Квант 1970, №1 · Страницы

Научно-популярный физico-mатематический
квант
1
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

E=Ihv

71

Главный редактор — академик И. К. КИКОИН
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронштейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
Г. И. Косоуров
В. А. Лешковцев
В. П. Лишевский
А. И. Маркушевич,
М. Д. Миллюоницков,
Н. А. Патрикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
Я. Е. Шнайдер

акademик
член-корреспондент АПН СССР
(зам. главного редактора)

действительный член АПН СССР
акademик
акademик
(зам. главного редактора)

действительный член АПН СССР
акademик

доктор физико-математических наук
действительный член АПН СССР
(ответственный секретарь)

Заведующая редакция Л. И. Князева.
Художственный редактор И. П. Леонов.
Технический редактор В. С. Никифорова.
Корректоры О. А. Сцеал, И. Б. Мамулова.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

Сдано в набор 30/X 1969 г. Подп. к печати 16/1 1970 г.
Бумага 70×100¹/16. Физ. печ. л. 4. Услов. печ. л 5,2.
Уч.-изд. л. 5,25. Тираж 201 000 экз. T-00118.
Цена 30 коп. Заказ 2241.
Чеховский полиграфкомбинат Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов, Московской области

1

1
Научно-популярный физико-mатематический
Квани
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии
педагогических
наук СССР

В НОМЕРЕ:
К нашим читателем
4
Рассказ о кваните
6
Я. А. Смородинский
Цепные дроби
16
Н. М. Бескин
Что такое функция
27
А. Н. Колмогоров
Сухое трение
37
И. Ш. Слободецкий
Кристаллы из шариков
44
Г. И. Косоуров
Откуда произошли названия
геометрических фигур
50
Б. А. Розенфельд
Задачник «Квана»
52
Заочная математическая
школа
55
Физико-mатематические
школь-интернаты
58
А. Н. Колмогоров,
В. А. Гусев, А. А. Его-
ров, Е. Л. Сурков
Надчем думают физики
60
В. А. Лешковцев
Ответы, указания, решения
62
Смесь
26, 43, 54, 64
Кроссворд
3-я страница обложки
1

2

Сердечно поздравляю юных читателей,
интересующихся современной физикой и математикой,
желающих разширить и улыбить свои знания
в этих увлекательных областях науки,
с выходом нового журнала «Квант».
Горизонты науки в нашей эпоху
стали постите необозримыми,
знание науки в жизни человека
никогда не было так велико.
Одной из характерных особенностей современной науки
является все большее проникновение математических
и физических методов исследования
в самые различные области знания.
Matematika и физика с другими естественными науки
являются основой технического процесса.
У нас они доступны высокого уровня;
по важнейшим научным направлениям
наша страна вышла на передовые позиции в мире.
Чтоы успешно разбираться в сложнейших проблемах
сегоодняющей науки и техники, необходимо с юных лет
неустанно овладеть знаниями.
и новый журнал окажет в этом большую помощь нашей молодежи.
Расширение контактов
учених с преподавателями средней школи и школьниками,
несомненно, будет способствовать выявлению
и воспитанию молодых талантов,
обцему повышению уровня физico-matематических знаний в стране.
Приветствуя выход журнала, мне хотелось бы
пожелать юным математикам и физкам,
всем читателем «Квант» больших успехов в учебе,
в работе, в приобретении и совершенствовании
своих знаний.

President Akademii наук СССР
акademik M. В. КЕЛДЫШ

3

Академия педагогических наук
рада поздравить читателей
с выходом журнала «Квант».
Мы надемемся, что новый журнал
поможет воспитать
большие одаренных ученых,
инженеров и техников,
достойных продолжателей
великих традиций Ломоносова,
Лобачевского, Менделеева,
Циolkовского, Вавилова, Королева
и других крупнейших
отчесственных ученых.
Нашей Родине
принадлежит выданцяя роль
в мировом научном проресесе,
в современной
научно-технической революции.
Пусть «Квант»,
содержит росту
молоды дарований,
внесет свой вклад в мощность
и процветание Советской страны.
Желаем читателем «Кванта»
почернуть на его страницах
как можно больше знаний,
а затем применить эти знания
на благо нашей велиkomу народу.

Президент Академии
педагогических наук СССР
акademик В. М. ХВОСТОВ

Желаю новому журналу «Квант»
больших успехов
в пропадание достижения
физико-mатематических наук,
в развитии у своих юных читателей,
интерес к познанию природы.
Уверен,
что «Квант» будет способствовать
формирование материалистического
мировозрения учащихся,
их научно-тестических убежданий,
воспитанию советского патриотизма
и пропетарского интернационализма,
коммунистического отношения
к труду.
Желаю читателем журнала «Квант»
активно участвовать
в техническом творчестве,
в рационализация
и изобретательстве,
в решении трудных,
но увлекательных задач
и вопросов из области
физико-mатематических наук.

Minister preservice CCCP
M. A. ПРОКОФЬЕВ

4

К НАШИМ

В нашей стране издается много научных журналов. Они нужны математикам и физикам, биологиям и врачам, географам и геологиям, инженерам разных специальностей, учтелям и, конечно,… школьникам. Но СВОЕГО научного журнала у школьников пока не было. Настояла пора заполнить этот пробел. Мы хотели бы, чтобы для школьников, интересующихся математикой и физикой, «Квант» стал бы их первым научным журналом.

Создание нового журнала для школьников — свидетельство постоянной работы партии и развительства о молодеки. Знаменательно, что журнал роздается в год Великого юбилей — 100-летия со дня рождения В. И. Ленина, открывшего всем народам нашей страны доступ к вершинам человекаских знаний.

Конечно, мы рассчитываем на школьников, которые математика и физика просто «правятся» или могут поправиться. Но сейчас очень велика потребность страны в молодеки, занимающейся научкой с увлечением и сверх обязательных школьных требований. В СССР на конец 1968 года было более 800 000 научных работников и среди них более 80 000 специалистов по физico-mатематическим научам. Общее же число научных работников, инженеров, экономистов и т.п., которые надо с инцицативой и собственной выдумкойладеть математическими методами и искусством физического эксперимента, скоро будет исчисляться миллионами. Поэтому наша страна интересована в том, чтобы школьники, которые чувствуют в себе способности справляться с математическими и физическими задачами, своевременно задумались о выборе такого дальнейшего жизниенного пути, на котором их способности и интересы не пронадут даром.

Позному и созданятся все возможности для успешных занятий математикой и физикой. Организуются специальные физico-mатематические школы, со старшими школьниками ведутся дополнительные факультативные занятия,STRAVAЮТСЯ физические и математические олимпiadы. Это же целый случай и «Квант». В журнале будет много материалов, подходическое для работы в школьных кругхах. Но по журналу можно будет работать и самостоятельно.

6

РАССКАЗО КВАНТЕ

Я. А. СМОРОДИНСКИЙ

В статье речь идет об очень сложном и вместе с тем фундаментальном понятию, играющем огромную роль в современной физике. Именно поэтому статья несколько трудна для понимания. Но не рассказать в первом номере журнала о кванте как физический понятие мы не могли, так как наш журнал называется «Квант».

ДВЕ САМЫЕ КОРОТКИЕ ФОРМУЛЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ

Современная квантовая физика родилась 14 декабря 1900 года. В этот день на заседании Берлинского физического общества выступил с докладом Макс Планк. В его докладе впервые появился новая мировая постоянная, обозначенная буквой $h$ и называная элементарным квантом действия. Элементарным она была назван потому, что определяла самую малую энергию, которое может нестис с собой электромагнитное излучение.

Слово квант произходит от латинского слова quantum, означающего «столько» (например, quantum placet означает «столько, сколько хочется»). $h$ называют теперь постоянной Планка, и ее наиболее точное значение равно:

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

(система СИ),

или

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-27} \text{ эрле·сек.}$$

(система СГС).

Вместо $h$ физики чаще пользовются другой величины, которая в 2π раз меньше. Ее также называют постоянной Планка и обозначают

$$\frac{h}{2\pi} = \hbar = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ джоулей·сек.}$$

Формула Планка записывается так:

$$E = hv.$$

Здесь $E$ — наименшая порция света (или радиоволн, или рентгеновских лучей, или любого другого электромагнитного излучения), которое испустить или поглотить atom, молекула или кристалл при заданной частоте излучения $v$. Для видимого света частота определяет «цвет» света. Синему цвету соответствует большая частота, красному — меньше. Частота колебаний излучения связывана с длиной волны $\lambda$ соответствием

$$v = \frac{c}{\lambda},$$

7

где $c$ — скорость света, которая в пустоте равна $3 \cdot 10^8$ м/сек (точнее 299792,5 км/сек). Таким образом, постоянная Планка связаывает наименьшую энергию излучения с его частотой, показывая, что отношение $E$ к $v$ есть всегда величины постоянная.

Формула Планка вместе с формулой Эйштейна, связывающей массу и энергию: $E = mc^2$, — две самые короткие и самые значительные формулы современной физики.

Попробуем понять, что привело Планка к необходимости квантовой гипотезы и почему формула Планка оказывается столь важной.

С ЧЕГО ВСЕ НАЧАЛОСЬ?

Если пропустить свет через призму, то на экране, поставленном за ней, возникнет разноветный спектр. (Его впервые наблюдал Ньюотон.) После узнал, что спектр дает не только солнечный свет, но и излучение от любого нагретого тела. Чем выше температура тела, тем больше в спектре синих лучей. Не очень нагрето тело (градусов до 500 С) — красного цвета, сильно нагрето (градусов до 1000 С) — белого. Постепенно перед исследователем вставли два вопросы: как зависит спектр тела от его температуры и как распределяется энергия вдоль спектра?

Если к разным местам спектра приложить термометры, то можно изменить, какая доля энергии приходится на каждой участок спектра. Если лучшие взяты не термометры, а прямой calorimetры. Измеренные количества тепла, которые падают, скажем, на полоску спектра шириной в 1 см, и будут теми величины, которые нам нужны. Геометрическая длина спектра зависит от расстояния до экрана, поэтому обычно измеряют энергию, упавшую не на 1 см, а на участок спектра, соответствующий частоте излучения $v$ или определенной длине волны $\lambda$.

Отношение величины энергии, сосредоточенной в узкой полоске спектра на участке частот в промежутке от $v$ до $v + \Delta v$, к $\Delta v$ называют спектральной плотностью энергии или просто спектральной функцией и обозначают $f(v)$.

Какой вид имеет спектральная функция $f(v)$? Ясно, что она зависит от температуры тела. Вообще говоря, $f(v)$ разная и уразных тел. Как же определять вид спектральной функции? Это была трудная задача, и чтобы рассказыть о том, как она решалась, придется наать изделека. Но сначала еще несколько слов о спектральной функции.

Схема спектра видимого света

Слева филотовый конец спектра, справа красный. Наверху длины волн в ангстремах $(1 \text{Å} = 10^{-8} \text{cm})$, внизу частоты в обратных секундах ($\frac{1}{\text{сек}} = \frac{1}{2\pi}$ герц). Количество энергии, падающие на выделенные четыре полоски спектра, относится как значения спектральной функции $-f(0,120 \cdot 10^{15})$: $f(0,096 \cdot 10^{15})$: $f(0,080 \cdot 10^{15})$: $f(0,067 \cdot 10^{15})$.

$\omega \frac{1}{\text{сек}}$ 0,75 $\cdot 10^{15}$ 0,59 $\cdot 10^{15}$ 0,49 $\cdot 10^{15}$ 0,43 $\cdot 10^{15}$
$\nu_{\text{герц}}$ 0,120 $\cdot 10^{15}$ 0,096 $\cdot 10^{15}$ 0,080 $\cdot 10^{15}$ 0,067 $\cdot 10^{15}$

8

СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Спектральная функция $f(v)$ — это, вероятоно, самое трудное, что нужно понять в этой статье. Спектр, который мы видим на экране, тянется непрерывной полоской, и в нем представлены все части. Не имеет смысла спрашивать, какую энергию можно сопоставить в спектре точно данной части $v$. Когда из источника течет вода, нельзя спросить, сколько воды вытечет в какой-то определенный момент времени, например,ровно в 12 часов дня. Точно в этот момент вытекает объем воды, равный нулю. Для того чтобы вытекло какое-то количество воды, надо чтобы прошел хотя бы небольшой промежуток времени. Можно спросить, сколько воды вытечет за время от 12.00 до 12.01. Можно спросить, сколько воды за любой интервал времени $\Delta t$ от 12 часов до 12 часов + $\Delta t$ минут. Если вода течет более или менее равномерно и за 1 минуту вытекает $g \cdot cm^3$ воды, то за время $\Delta t$ вытечет $g(t) \cdot \Delta t \cdot cm^3$.

Мы написали не $g$, а $g(t)$, так как в разное время (в час дня, в два часа дня и т. д.) вода может течение по-разному. Это, например, означает, что количество воды, вытекающей за 1 минуту в 12.15 дня, и количество воды, вытекающей за 1 минуту в 12.30, относится как $g(15) : g(30)$, если за начало отсчета времени взять полдень — 12.00.

При подсчете количества воды мы стalkиваем с новой величины, которая описывает интенсивность непрерывного процесса. $g$ есть отношение количества воды, вытекающего за интервал времени $\Delta t$, к этому интервалу, когда он взят очень маленьким.

Спектральная функция имеет аналогичный смысл; она определяет отношение количества энергии в полоске спектра к ширине этой полоски, когда ширина полоски взята очень маленькой. Ширина при этом изменяется, как было уже сказано, не в длинах, а в частотах.

ЧАСТИЦЫ ИЛИ ВОЛНЫ?

С самого начала механика встречалась с задачами, которые можно было разить на два совершенного разных класса. Движение материалов точек и твердых тел описываются уравнениями Ньютона. Из этих уравнений можно было определить траектории движения тела, например, планет солнечной системы, и описывать, как происходит движение вдоль траектории. Но были и другие объекты. Движение воды в каналах, распространение звука в воздухе, изгиб железной балки — все эти задачи относятлись к механике сплошных сред, и имзаимались гидродинамика, аэродинамика, теория ургостии и другие разделы механики.

Сплошная среда и система материалов точек представлялись совершенно разными физическими объектами. Если даже, решая задачу о течение воды, и выделяли мысленное небольшой объем жидкости, то этот объем никак не связывали с молекулами жидкости (о молекулах вообще узнали через много лет после того, как были написаны уравнения гидродинамики).

Волны в воде или в воздухе (пример, те, которые называют звуком) и планета, движущаяся вокруг Солнца, имея, казалось, мало объекта. Все было ясно, вот только в оптическом отслеживании вопрос: что такое свет? Поток мелчайших частиц, как это думал Ньютон — строонник корпускулярной теории, или это волны в какой-то среде — мировом эфире, как думал Гюйгенс — создатель волновой оптики? Популярность каждой из теорий в разное время была различной, но никто не мог найти решающего аргумента в пользовании из них: свет в одних явлениях вел себя, как поток корпускул, в других — как волны. Сейчасы хорошо знаем, что в этом нет противения — повреждить в это столо возможным лишь благодаря квантовой теории. В прошлом жеве

9

противоречие казалось неразрешимым. Свет должен быть либо волной, либо частиц. Это утверждение выглядело логически безупречный.

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ

Разница между системой материалов частиц и сплошной средой выступает очень четко, если посмотреть, каким числом координат задается состояние системы.

Положение каждой точки в пространстве задается трея числа — трея координатми. Говорят, что материалная точка имеет три степени свободы. Если в системе входит $N$ материалов точек, то говорят, что она имеет $3N$ степеней свободы.

Такое же рассужждение можно prove и для скорости. Скорость одной точки описывается трея числа — трея компонентами вектора скорости. Скорости $N$ точек требуют для своего описания $3N$ чисел.

Сколько чисел надо задать, чтобы описать состояние поверхности моря? Строго говоря, для каждой точки поверхности надо задать три числа — вектор скорости воды в данной точке; следовательно, чисел будет бесконечно много. Поверхность моря представляется нам как система с бесконечно большим числом степеней свободы. Далее тот факт, что вода состоит из молекул, а потому число степеней свободы можно определить, состав молекулы, не обладает задачу: молекул настоящего много, что практическими число степеней свободы остается бесконечно большим. В действительности же нас не интересует движение каждой молекулы. Когда по морю бегут волны, например, от индущего корабля, то мы можем описать картину распределения волн, использую сравнительно немного чисел. Мы можем задаать величины амплитуды и фазы каждой волны; волн хотя и много, но все же меньше, чем молекул. Кроме того, картина, в основном, повторяется со временем: волны более или менее одинаковые.

В каждой волне движется много молекул, движение носит коллективный характер, и мы можем говорить о коллективных степенях свободы на поверхности моря, в отличие от индивидальных степеней свободы, скажем, отделной молекулы воды.

Такое же коллективное описание можно использовать, рассказывая о свойствах света. В частиности, мы так и делаем, когда пытаемся описать распределение энергии по спектру.

Свет — волновой процесс, и его описание проще всего выглядит с позиций волновой теории. Конечно, подобное описание света совсем неположке на описание системы точек. Здесь нет даже намека на какие-то степеней свободы — волны и частицы совсем непохожи друг на друга. Но это все-tаки не совсем так. У волн и частиц есть общие свойства. Это, прежде всего, те, которые проявляются, когда мы начинаем изучать тепловые явления и думать, как распределяется между волнами и частицами тепловой энергия.

ТЕМПЕРАТУРА
И ТЕПЛОЕМКОСТЬ

Рассмотрим газ, находящийся в нагретом состоянии. Мы знаем, что температура газа и стенок сосуда должны быть одинаковой. Если это вначаile было не так, то тепл будет до тех пор перегать от более теплого тела к более холодному, пока температуры не станут равными, то есть пока не установлен температуре равновесие между стенками сосуда и находящимся в нем газом.

Температура газа связана с кинетической энергией его atomов (мы будем для простоты говорить об одноатомном газе). Один из самыхрывов кинетической теории газа составляет $3/2 kT$, по $1/2 kT$ на каждую степень свободы, а полная энергия газа равна $3/2 NkT$, где

10

Сосуд с газом

Атомы сталькиются со стенками, и в результате установливается тепловое равновесие между газом и сосудом — газ приберетает температуру стенок. Число атомов при стольновениях не меняется. Чтобы изменить температуру газа, можно вычисить небольшую порцию через маленькое отверстие.

$N$ — число части в газе (3$N$ — полное число стененной свободы). Здесть $k$ — постоянная Больцмана ($k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ джоуль/градус); она играет роль переводного коэффициента от градусов на шкале Кельвина к джоулям. Дальше в кинетической теории газов показывают, что если есть колебания, то на каждую колебательную стенень свободы приходит энергия $kT$, вдвое больше, чем на стенень свободы, отвечающий поступательному движению. Эти утверждения, доказанные и проверенные, относятся к газу. Естественно, возможно сначала об энергии излучения?

Представим себе, что у нас есть сосуд (как говорили раньше «полость»), в котором нет газа. Однако в таком сосуде всегда будет электромагнитное поле. Электромагнитные волны излучаются и поглощаются стенками, и эта энергия как-то будет распределена по спектру. Если сосуд имеет какую-то фиксированную температуру, то распределение энергии будет, очевидно, различным при разных температурах. Мы можем изучить поле внутри сосуда, сделав в нем маленькое отверстие и выпустив пучок света.

Когда впервые начали обсуждать свойства такой «полости», то заметили, что если свет снаружи попадает в отверстие, то он, очень много раз отражится от стенок и «заблудившись», почти не будет иметь шанс совпадать наружу. Отверстие поглощает весь падающий на него свет, поэтому тело и называли «черным», а свет, который выходит из отверстия, называли «излучением черного тела» (так что «черное тело» светится!).

Представьте теперь, что «черное тело» нагревают. Когда можно задать вопрос: какое количество тепловой энергии перейдет в свет? Ответ на него был дан в конце XIX века и состоит в том, что свет, заключенный внутри «черного тела», должен находиться в тепловом равновесии со стенками сосуда. Это равновесие установливается и поддерживает процессы излучения и поглощения световых волн нагретыми стенками (сколько излучают, сколько же поглощают обратно), а количество энергии и ее спектральная плотность полностью определяются только одним параметром — температурой. Ниакого разговора о числе стененной свободы (как это было в случае газа) здесь как будто и не возникнет.

Сосуд с излучением («черное тело»)

Волны или лучи света много раз отражаются от стенок, при этом они поглощаются стенками и излучаются вновь; в результате установливается тепловое равновесие между излучением и стенками. При таких процесах число квантов не остается постоянным: количество энергии и число квантов полностью определяется температурой сосуда. Свет, выходящий из маленького отверстия в таком сосуде, будет иметь спектр «черного тела».

12

свободы, то можно дать ей красивое обьяснение. Формула Релея — Джинса имеет такой вид, как будто участок спектра $\Delta v$ содержит $8\pi v^2/c^3$ степеней свободы, на каждую из которых приходит температура $kT$. Однако эта эффективная интерпретация порочна. Число степеней свободы быстро растет, если переходит ко все большим частотам в ультрафилотовый частъ спектра (направо от максимума кривой). Это значит, что чем больше частота, тем больше энергии содержит спектр. То есть и по этой формуле все тела должны излучать электромагнитные волны с бесконечно большой частотой.

Этот страный вывод носил драматическое название «ультра-филотовой катстрофы», так как демонстрировал полный провал попыток обяснить свойства спектра, оставясь в рамках понятной классической физики.

Другую формулу предложил уже известный нам Вин в 1890 году:

$$f(v) = A v^3 e^{-\frac{b v}{T}}$$

(Правда, он писал эту формулу несколько иначе, выражая часть через длину волны.) В формуле Вина $A$ и $b$ — некоторые постоянные, связанные, как мы это увидим в дальнейшем, с постоянной Планка. Формула Вина описывает ультра-филотовый частъ спектра, но была бесплатна, когда речь заходила о длиноволновой его части.

Итак, перед работами Планка физики знали уже довольно много: площадь под кривой распределения энергии по спектру, положение максимума и форму кривой в «начале» и в «конце». Оставалось сделать последний смелый шаг. Он-то и привед крожению новой физики.

$$e^x \approx 1+x.$$

ФОРМУЛА ПЛАНКА

Сейчас трудно восстановить ход мыслея физков, живших много лет тому назад. По-видимому, Планк просто искал какую-нибудь формулу, которая объединяла бы вместе все, что было известно о спектре «черного тела». Пробуя разные подходы, он в конце концов пришел к выводу, что надо рассматривать свойства atomов, из которых состоит стенка и которые излучают свет. Гипотеза Планка состоит в том, что излучающие atoms могут иметь не любую энергию, а только энергию, равную целому числу $hv$, где $v$ — частота колебаний атома. Отсюда уже получилось, что atom может излучать свет только квантами (хотя эту связь фактически понял несколько позже).

Планк записал свою формулу так:

$$f(v) = n(v) \cdot hv,$$

где $n(v)$ — число квантов, равное $\frac{8\pi v^2}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}} - 1$

$hv$ — энергия кванта. Последняя формула может показаться несовсем точной, так как из нее $n(v)$ получается не целым. В этом ничего нет, так как формула дает среднее число квантов. Например, если в каком-то объеме половину времени есть один квант, а половину времени квантов нет совсем, то среднее число квантов равно $\frac{1}{2}$!

Формула Планка отличается от формулы Релея — Джинса тем, что ее нельзя обьясить с точки зрения степени свободы. Если считать, что каждый квант имеет три степени свободы, то число степеней свободы системы, равное $3n(v)$, оказывается функцией температуры: число степеней свободы растет с повышением температуры. Вывод абсурдный с точки зрения степени свободы частиц. Но именно в этом нарушении привченной логики и лежал выход из тупика. Ведь количество излучающих частиц может и не быть строго определенным числом; оно может изменяться с изменением условий. Это

13

особенно стало ясно, когда было открыто рождение пар: электрон — позитрон, протон — антипротон и т. д.

В тот вечер, когда Планк делал свой доклад, никто не думал о рождении новой физики. На формулу посмотрели с практической стороны и сразу же (в ночь после доклада) сравнили график, даваемый новой формулу, с кривыми, полученными из опыта. Оказалось, что формула Планка хорошо описывает весь спектр.

Для той части спектра, где ν велико, можно вычернуть единицу в знаменатель формулы, по которой вычисляется число квантов $n(\nu)$ — эта единица mala по сравнению с перым членом. тогда формула Планка превращится в формулу Вина. Из сопоставления двух выражений можно заключить, что коэффициенты в формуле Вина равны

$$A = \frac{8\pi h}{c^3} \quad \text{и} \quad b = \frac{h}{k}.$$

Планк, сравняя свою формулу с формулой Вина, дал первое значение постоянной $h$. Он получил, что $h = 6.55 \cdot 10^{-27} \text{ зре·сек.}$. Далее удивительно, как мало отличается значение $h$, вычисленное Планком, от современного, которое приведено выше.

При малых значениях $v$ в формуле Планка можно произвести следующую замену:

$$e^{\frac{hv}{kT}} \approx 1 + \frac{hv}{kT} \quad \text{если } \frac{hv}{kT} \ll 1.$$

Тогда получится в точности формула Релея — Джинса. Используя формулу Планка, можно получить и закон Стефана — Больцмана. Постоянная этого закона σ выражается через $h$ формулуой

$$\sigma = \frac{2\pi^5}{15c^2} \frac{k^4}{h^3}.$$

1 — кривая, соответствующая формуле Релея — Джинса; 2 — графическое изображение формулы Планка; 3 — кривая, которую дает формула Вина.

15

квантами, но что он сам состоит из квантов.

Излучая квант, тело теряет свою энергию, которая передается свету. Значит свет, согласно теории относительности, уносит и массу тела.

Массу кванта можно получить,скомбинировав две формулы: $E=hv$ и $E=mc^2$. Из них: $m=\frac{hv}{c^2}$. (Лучше говорить, как это принято, что квант имеет количество движения $p=mc$, то есть $p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}$. Количество движения $p$, конечно, вектор: он направлен туда, куда летит квант.) Энергия кванта связана с его импульсом соответствием $E=cp$. Таким соответствием описывается частицы, у которых равна нулю масса покоя. Если масса покоя $m_0\neq0$, то энергия и количество движения частицы связаны в теории относительной формулией $E=c\sqrt{p^2+m_0^2c^2}$.

Благодаря Эйштейну квант стал в один ряд с частицами; только он не имеет массы покоя, а потому обречен всегда летать со скоростью света.

КОМПТОН-ЭФФЕКТ

Во всем предыдущеем оставался еще один пункт, не проверенный опитом. Если квант обладает и энергейем и импульсом, то выполняются ли для него законы сохранения энергии и импульса так же, как для других частиц? И хотя в положительном ответе на этот вопросник не сомневался, все же прямая экспериментальная проверка законов сохранения была бы очень полезной. Такая проверка была осуществлена в 1925 году Артуром Комптоном, который изучал, как рассеиваются кванты света, когда они падают на покоящий электрон. Комптоон обнаружил, во-первых, что электрон испытывает от кванта импульс, а во-вторых, что квант теряет энергию и его частота уменьшается. Качественное картина была положенной на стольнове частиц. Но Комптоон показал и больше; он показал, что энергия и количество движения электрона и кванта в конце содержания как раз также, какие получаются из уравнений, описывающих законы сохранения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, начав с изучения световых волн, физики постепенно пришли к механике квантов, очень напоминающей механику Ньютона, только с теми обобщениями, которые принесла с собой теория относительнойности.

Рождение новой научки всегда проискодило так, что в ней приудливuso переплетались разные, в прошлом далеко стоящие друг от друга факты и выявлялись связи, не замечаемые ранее. Термодинамика, кинетическая теория газов, электродинамика, оптика и, наконец, теория относительной — вот тот фундамент, на котором из формулы Планка выросло значение современной физики.

ЗАДАЧИ

1. Есть сосуд — «черное тело», нагрето до температуры $6000^\circ$ К. (Подобную температуру имеет поверхность Солнца.) Определите, какое количество энергии заклононо в $1\text{ cm}^3$ внутреннему при одной и той же частице? Почему?

2. Постройте спектр энергии «черного тела» и спектр числа квантов для температуры $6000^\circ$ К. Будут ли эти кривые иметь максимы при одной и той же частице? Почему?

3. Используя построенную кривую, оцените, какое число квантов находится в $1\text{ cm}^3$ «черного тела», нагрето до температуры $6000^\circ$ К. (Для этого надо изменить площадь кривой. Почему?

4. Квант с энергейем $10\text{ квв}$ ($1\text{ квв}=1,6\times10^{-16}$ джоулей) падает на покоящийся электрон и отлегает назад. Найдите частоту падошего и отраженного кванта. Найдите энергию электрона после стольновения.

16

ЦЕПНЫЕ ДРОВИ

Н. М. БЕСКИН

Еще в глубокой древности учены интересовало,
как для любого нецелого числа
найти его хорошее приближение
дробями с небольшими значениями.
В статье расссказывается о самом простом
способе нахождения таких дробей.

$$\pi = \sqrt{2}$$

1. ДВЕ ЗАГАДКИ

2. Загадка Архимеда.
   Многие полагают: чтобы найти что-нибудь необыкновенное, надо отправиться очень далеко, лучше всего в космос. В обыделной жизни вокруг нас все хорошо известно, и ничего интересного нет.

Какое заблуждение! Мы окружены загадочными явлениями, но не задумываемся над ними, потому что они прививны. Здесь будет расссказано о двух загадочных фактах из истории математики.

Все школьники мира «проходят» в курс геометрии, что Архимед нашел для числа π приближение зна-

чение $$\frac{22}{7}$$). К этому факту так привыкли, что не подозревают, какая тайна в нем скрыта. А между тем стоит только задать естественный вопрос: почему Архимед предпочел сельные доли? Почему не восьмы? Попытка ответить на этот вопрос приведет нас в новую область арифметики.

Уточним задачу «дать приближение выражение действительного числа α в виде дроби со значением q».
Это значит: из всех дробей со значением q найти ближайшую к числу α. Если на числовой оси нанесены все дроби со значением q, то число α попадает между двумя таким соседними дробями (случай, когда α совпадает с одной из них, неинтересен)

$$\frac{p-1}{q} < \alpha < \frac{p}{q}.$$

Из этих двух дробей выбирается та, которая близке к α. Например, на рис. 1 точка α близке к правому концу отрезка $$\left[ \frac{p-1}{q}; \frac{p}{q} \right],$$ и поэтому

*) На самом деле Архимед в сочинении «Об измерении круга» сформулировал этот результат чуть-чуть иначе. Он указыл границы для л:

$$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}.$$

Во всеобщее употребление вошло значение $$3 \frac{1}{7},$$ как более простое, хотя л близке к $$3 \frac{10}{71}.$$

17

Следует принять
$$\alpha \approx \frac{p}{q}.$$
Если $\alpha$ есть середина отрезка $\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right]$, то для определения условий условия выбирать его левый конец.

Процесс замены числа $\alpha$ его приближенным значением называют аппроксимации (приближением).

Из изложенного понятно, что для аппроксимации числа $\alpha$ можно пользоваться дробями с любым значением. Выбор значения зависит от нашего желания. Ради технического удобства почти всегда пользовается десятичные дробями. Однако во время нахождения десятичных дроби еще не были изобретены, и Архимед мог выgbать любые доли. Он выбрал себяемые. Почему? Терпенение, скороны в этом разберемся.

При аппроксимации действительного числа $\alpha$ дробю $\frac{p}{q}$ возникает потребность
$$\Delta = \alpha - \frac{p}{q}$$

(запомним: потребность есть почти значение минус приближенное). Если приближение значение взято с недостатком, то потребность положительная, а если с избытком — отрицательна.

Абсолютная величаная потребность называется абсолютной потребностью.

Ясно, что при избранном способе аппроксимации абсолютная потребция

ность не может превышать $\frac{1}{2q}$ (см. рис. 1)

$$|\Lambda| \leqslant \frac{1}{2q}.$$

Число $\frac{1}{2q}$ есть верхняя граница абсолютной потребности. При другом способе аппроксимации верхняя граница может быть иной. Например, если мы условились всегда брать приближение с недостатком, то она равналась $\frac{1}{q}$.

Абсолютная потребность достигает верхней границы в том (самом неблагоприятном) случае, когда $\alpha$ есть середина потребка
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$

Ясно, что приближение выгодно, если оно при малом значении $q$ даем высокую мощность. Чтобыxaрактизоватьвыгодность, надо сравнить две величины: 1) фактическую абсолютную потребность, 2) верхнюю границу абсолютной потребности:

$$\frac{\text{абсолютная потребность}}{\text{верхняя граница абс. погр.}} = \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| : \frac{1}{2q} = 2 \cdot |q\alpha - p|.$$

Принято рассматривать положину этой величины. Наозем ее приведенной потребностью
$$h = |q\alpha - p|$$

и запомним: приведенная потребность $h$ есть полована отношенная фактической абсолютной потребности к максимальной возможной.

Очевидно,
$$0 < h \leqslant \frac{1}{2}$$

Чем меньше $h$, тем выгоднее приближение. Если $h$ близко к нулю, значит, число $\alpha$ расположено близко к одному из концов отрезка
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$ Чем больше $h$ к $\frac{1}{2}$, тем $\alpha$ близке к середине отрезка.

18

Величину

$$\lambda = \frac{1}{2h} = \frac{1}{2 \cdot |q\alpha - p|}$$

назовем коэффициентом выгодности. Его смысл очень прост: коэффициент выгодности показывает, во сколько раз фактическая абсолитная погрешность меньше максимального возможной. Чем больше $\lambda$, тем выгоднее приближение. Очевидно,

$$1 \leqslant \lambda < \infty,$$

$$\lambda h = \frac{1}{2}.$$

Не следует думать, что более мелкие доли всегда дают более точное приближение! Можно сучиться, что при нанесении на числовую ось восемых долей число $\alpha$ занимает менее выгодное положение, чем при нанесении седьмых. Сделаем опыт с числом $\pi$, аппроксимируя его разными долями — от первых до десятых. Вычисления опущены, читатель может воспроизвести их сам.

Рис. 2.

погрешность не превысила 0,0013, какие доли выбрали бы? Мы записали бы условия $\frac{1}{2q} \leqslant 0,0013$, откуда $q \geqslant 385$, а Архимед достит той же точности, взяв гораэд меныший знаменатель.

Теперь вы убедились, читатель, что Архимед выбрал седьмые доли не случайно?

Через много веков голландский математик Адриан Meций дал приближение

$$\pi \approx \frac{355}{113}.$$

Число Meция обладает теми же удивительными свойствами, что и число Архимед: знаменатель 113 гораэд

*) Вычисление дает $\lambda = \frac{1}{2 \cdot 0,0089} = 56,2$. Чтобы правильно получить цифры десятих, надо взять $h$ с пятью цифрами после запятой

19

выгоднее, чем другие близлежащие значенатели. Рекомендуем читателю исследовать число Мещи так, как выше исследовано число Архимеда. Например, чем равен коэффициент выборности?

2. Загадка Григория XIII. Григорий XIII не был математиком Он был римским папой. Тем не менее его имя связано с важной математической задачей — с проблемой календаря.

Природа дала нам две естественные единницы времени: год и сутки (солнечные). Как сказано в одном старом учебнике космографии *) «к созеленю, год не равен целому числу суток». С этим нельзя не согласиться, так как из упомянутого факта простекает много неудобств. Зато он порождает интересную математическую проблему.

1 год =
= 365 суток 5 час. 48 мин. 46 сек.
или

1 год = 365,242199 суток.

Узаконить в гражданской жизни такую длину года невозможно. А что получится, если считать год равным 365 суткам? На рис. 3 показана ортография — так равше называющей учебный предмет, содержавший общее сведения по астрономии и физической географии.

*) Космография — так равше называющей учебный предмет, содержавший общее сведения по астрономии и физической географии.

Рис. 3.

бита Земли. 1 января 1970 г. в 0 час. Земля находится в точке А. За 365 суток она не придет в ту же точку орбиты и, следовательно, 1 января 1971 г. в 0 час. окажется в точке В, а 1 января 1972 г. — в точке С и т. д. Получится, что если фиксировать неокоторую дату, то положение Земли на орбите будет каждой годю иное (оно будет отставать почти на 6 часов).

За четые года отставание составляет почти сутки, и фиксированная дата будет попадать на разные времена года, т. е. 1 января с зимы постепенно переместится на осень, потом на лето. Это неудобно: периодические мероприятия (посев, начало учебного года) нельзя будет связывать с определенными календарными датами.

Выход из этого положения есть. Нало считать неокоторые года по 365 суток, а неокоторые по 366 суток, черезия их так, чтобы средняя длина года была возможно ближе к истинной. Можно воспроизвести истинную длину года с любой точностью, но для этого может попадиться очень сложный закон черезования коротких (простых) и длинных (високосных) лет, что нежелательно. Нужен компромисс: сравнить/no просойти закон черезования лет, дающий среднюю длину года, достаточно близкую к истинной.

Эту задачу впервые разрешил Юлий Цезарь. Разумеется, к правильному слову «разрешил» может применяться лишь условно. Это сделал для него алекандрийский астроном Созиген, вызванный для этой цели в Рим. Юлий Цезарь введет такую систему: три года подряд коротких, четвертый — длиной.

Много позже, когда было принято христанское летосщение, високоными стали считать годы, номер которых делится на 4. Этот календарь называется «юлианским». По юлианскому календарю средняя длина года составляет

$$365 \frac{1}{4} \text{ суток} = 365 \text{ суток } 6 \text{ часов.}$$

20

Как видно, средняя длина юлианского года больше истинной на 11 мин. 14 сек. В 16 столетии папа Григорий XIII пожелал исправить эту неточность. В 1582 году он произвел следующую реформу календаря. Сохраняется черезование простых и высокосных лет, но оно дополняет правилам: если номер года оказался двумя нулями, а число смен не делится на 4, то этом год просмотр. Например, по этому правил 1700 год простой, но 1600 высокосный.

Кроме того, считая, что от начала летосчисления (от «роздества Христова») уже накопилась ошибка в 10 дней, Григорий XIII сразу прибавил 10 дней. С тех пор накопилось еще 3 дня (в 1700, 1800 и 1900 годах). Поэтому в настоящее время между юлианским календарем и новым («григорIANским») расхождение составляет 13 дней.

Какова средняя длина григорIANского года? Из 400 лет по юлианскому календарю 100 высокосных, а по григорIANскому — 97. Поэтому

средняя длина григорIANского года =
= 365 $\frac{97}{400}$ суток = 365,2425 суток =
= 365 суток 5 час. 49 мин. 12 сек.,

т. е. она больше истинной на 26 сек.
Как видим, веса простыми средствами достигута очень большая точность.

В царской России до Великой Октябрьской революции пользовались юлианским календарem. ГригорIANсккий календарь был введен специальным декретом Совета Народных Комиссаров в 1918 году. Им мы и пользовемся в настоящее время. Степень его соответствия реальной длине солнечного года вполне достаточно для всех практических целей. Можно ли утверждать, что решение палы Григория XIII — самое простое и естественное? С ответом потерпите до конца этой статьи.

II. ЦЕПНЫЕ ДРОВИ

3. Понятие о цепной дрои и. Забудем о десятичной системе численения. Как говорил выданныйся русский математик Николай Николаевич Лузин (1883—1950), «преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человеково пользовалось бы восемеричной системе». Дестячная система практических оцень удобна, но при исследовании теоретических вопросов арифметики она только мешает.

Итак, открыемся от специальных систем численения, и задаемся над вопросом: какой самый естественный способ приближенного представления положительных чисел дробями.

В ответе на этот вопрос не может быть никаких колебаний: надо прежде всего указаать, между какими числами числами оно заключено. Например,

$$\frac{61}{27} \text{ нахождение между } 2 \text{ и } 3,$$
$$\sqrt{2} \text{ » } 1 \text{ » } 2,$$
$$\pi \text{ » } 3 \text{ » } 4.$$

Разумеется, достаточно указывать только меньше из этих чисел:

$$\frac{61}{27} = 2 + x \quad (0 < x < 1),$$
$$\sqrt{2} = 1 + y \quad (0 < y < 1),$$
$$\pi = 3 + z \quad (0 < z < 1).$$

21

Заметим, что такая оценка не связана со способом обозначения целых чисел, т. е. с какой-нибудь конкретной системой численения.

Займется числом $\frac{61}{27}$. Наша оценка «два с лишним» слишком грубая и годится лишь как первое приближение. Если мы хотим сделать второй шаг, то мы должны оценить добавку $x$. Поскольку она меньше единиццы, естественно представить ее как дробь с числителем 1 (мы опять апеллируем к «естественности», но это — в последний раз)

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{1}{x_1}.$$

Тепер $x_1$ больше единиццы, и мы опять повторяем те же шаги: выделяем целую часть и т. д. и т. д. Приглашаем читателя внимательно проследить за чередованием этих двух шагов:

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{7}{27} = 2 + \frac{1}{27} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{6}{7}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7}} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}}}.$$

Выражение

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s},$$

где $a_1, a_2, \dots, a_s$ — натуральные числа, а $a_0$ — натуральное число или нуль, называется цепной дробью.

Числа $a_0, a_1, a_2, \dots, a_s$ называются элементами *) цепной дроби. Можно сказать, что мы представили число $\frac{61}{27}$ в виде цепной дроби.

*) Иногда их называют неполybимыми частными.

Не слишком ли громоздко обозначение цепной дроби? В нашем примере получилась трехтажаная дробь, а если получится двацатинэтажная, то ее нельзя уместить на листе бумаги.

Это верно, и поэтому для цепных дробей употребляется различные условия обозначения. Мы будем пользоваться таким:

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s} =$$

$$+ \frac{1}{a_s}$$

$$= [a_0; a_1, a_2, \dots, a_s].$$

Обратите внимание на точку с запятой. Она подчеркивает, что роль целой части $a_0$ особая, не такая, как других чисел (особая — не значит более важная, в данном случае скоре наоборот).

Можно ли утверждать, что всякое действительное *) число может быть изображено цепной дробью и притоме единственным образом?

Прежде всего задаумаемся над таким примером:

$$\frac{1}{6 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + 1}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}}}$$

или в сокращенных обозначениях

$$[0; 6, 4] = [0; 6, 3, 1].$$

Такое преобразование (отделение единиц от последнего элемента) можно произвести с любой цепной дробью, у которой последний элемент отличает от единиц. Если же последний элемент равен единице, то его можно прибавить к предпоследнему. Например,

$$[1; 10, 3, 7, 1] = [1; 10, 3, 8].$$

Легко, однako, доказать, что это единственная причина неоднозначности

*) Пока речь идет о положительных разнональных числах. Введение отрицательных чисел ничего не меняет в существве вопроса, а введение irrationalных чисел многое меняет. Об этом будет сказано ниже.

22

ти представления рационального числа целной дробью.
Можно доказать, что:

1. Процесс превращения рационального числа $\frac{p}{q}$ ($p$ и $q$ взаимно простые натуральные числа) в целную дробь на некотором шаге заканчивается. Иначе говоря, любое положительное рациональное число представимо в виде $(\cdot)$. В силу только что сказано такое представление всегда возможно и с соблюдением ограничения $a_s > 1$.
2. Две целные дроби $|a_0; a_1, \dots, a_s|$ и $|b_0; b_1, \dots, b_t|$, у которых $a_s > 1$ и $b_t > 1$, равны друг другу в том и только в том случае, если у них одинаковое число элементов, т. е. $s = t$ и $a_i = b_i$ при $i = 1, 2, \dots, s$.
   Мы этого доказывают не будем. Цель нашей статьи в том, чтобы расказать основные идеи и побудить читателя к более основательному изучению вопроса по книгам *).

4. Бесконечные целные дроби. А как быть с irrationalными числами? Попробуем разлагать в целную дробь $\sqrt{2} = 1,4142\dots$. Полячим:
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x_1},$$
   $$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1,$$
   $$x_1 = 2 + \frac{1}{x_2}, \quad x_2 = \sqrt{2} + 1 = x_1.$$
   Ясно, что
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   где $x = \sqrt{2} + 1$

*) Все пропущенные здесь доказательства можно найти, например, в книжке А. Я. Хинчина «Цепные дроби», изд. 3, 1961.

Хочется сразу написать
$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}},$$
$$= [1; 2, 2, 2, 2, \dots].$$

т. е. представить $\sqrt{2}$ в виде бесконечной целной дроби. Но здесь нужно крайная осторожность: мы встретились с новым понятием «бесконечная десятичная дробь», но не знаем, что это такое. Легко понять только, что каждому положительному irrationalному числу соответствует полное определения бесконечная последовательность
$$[a_0; a_1, a_2, \dots],$$
где $a_0$ — целое не отрицательное, а все $a_i$ с номером $i \geqslant 1$ — натуральные числа. Во всем относится сюда мы разберем только позже *), а пока удовлетворимся тем, что нам понятно: как по положительному числу $\alpha$ построить его формульное разложение
$$\alpha \sim [a_0, a_1, a_2, \dots]$$
в конечную или бесконечную целную дробь **).

5. Подходящие дроби. Цепную дробь можно оборвать, удержав элементы $a_0, a_1, \dots, a_n$ и отбросив $a_{n+1}, \dots$. Полученное таким образом называется $n$-й подходящей дробью и обозначает $\frac{p_n}{q_n}$. В частности, при $n = 0$ имеем нулевую подходящую дробь $\frac{p_0}{q_0} = \frac{a_0}{1}$.

Мы увидим, что, чем меньше $n$, тем подходящая дробь проще (т. е. имеет меньше знаменатель). В то же время она может использоваться как приближенное значение целной дроби.

*) Этот вопрос будет полностью рассмотрен в одном из следующих номеров журнала.
**) «~» — знак соответствия. Мы больше поставить знак равенства, пока не установлен смысл символа, стоящего в правой части.

23

Пример. Возьмем опять разложение числа $\frac{61}{27}$ в целную дробь и образуем подходящие дроби

$$\frac{p_0}{q_0} = 2,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [2; 3] = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [2; 3, 1] = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}} = \frac{9}{4},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [2; 3, 1, 6] = \frac{61}{27}.$$

Разумеется, последняя подходящая дробь разнонального числа $\alpha$ равна $\alpha$.

Мы получили несколько постепенно условияющихся приближений для числа $\frac{61}{27}$. Для оценки их заменим, что $\frac{61}{27} \approx 2,259$.

1-ое приближение 2, $\Delta = 0,259$ *).

2-ое $\frac{7}{3} = 2,333, \Delta = -0,074$.

3-е $\frac{9}{4} = 2,250, \Delta = 0,09$.

Мы заменаем, что погрешность убывает (по абсцидной величины) и имеет чередующесся знаки. Это — общее правило.

В случае разложения в целную дробь числа $\sqrt{2} = 1,4142$… получим

$$\frac{p_0}{q_0} = 1, \text{ погрешность } \Delta = 0,4142,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [1; 2] = \frac{3}{2} = 1,5, \Delta = -0,0858,$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [1; 2, 2] = \frac{7}{5} = 1,4,$$

$$\Delta = 0,0142,$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [1; 2, 2, 2] = \frac{17}{12} = 1,4167,$$

$$\Delta = -0,0025,$$

$$\frac{p_4}{q_4} = [1; 2, 2, 2, 2] = \frac{41}{29} = 1,4138,$$

$$\Delta = 0,0004.$$

Мы наблюдаем и здесь ту же самую картину.

*) $\Delta$-погрешность (см. стр. 17).

6. Основное свойство подходящих их дробей. Сформулируем теперь без доказательства то основное свойство подходящих дробей, которое и приведет к разгадкам наших загадок.

Если $\frac{p_n}{q_n}$ — подходящая дробь для числа $\alpha$, то абсцидная погрешность

$$|\alpha - \frac{p_n}{q_n}|$$

менные, чем при аппроксимации числа $\alpha$ любой дробью с меньшим значением *).

Например, получив для $\sqrt{2}$ подходящую дробь $\frac{p_3}{q_3}$, мы можем быть уверены, что приближение к $\sqrt{2}$ любой дроби со значением, меньшим 12, будет хуже.

III. РАЗГАДКИ

7. Загадка Архимеда. Попробуем разложить в целную дробь число

$$\pi = 3,14159265\ldots$$

$$\pi = 3 + 0,14159265\ldots =$$

$$= 3 + \frac{1}{7 + 0,00885145}.$$

*) Подходящие дроби во многих отношениях дают чрезвычайно высокие приближения. Приведенное здесь свойство — не единственное и не самое главное. Другие свойства будут рассмотрены в одном из следующих номеров журнала.

24

Уже на этом этапе выкладок мы видим, что первый подходящий дробями будет

$$\frac{p_0}{q_0} = 3, \quad \frac{p_1}{q_1} = \frac{22}{7}.$$

Проделяйте сами выкладки и убедитесь, что

$$\pi \approx 13; \ 7, 15, 1, 288, 1, \dots.$$

$$\frac{p_2}{q_2} = \frac{333}{106}, \quad \frac{p_3}{q_3} = \frac{355}{113}$$

Вот и все. До чего же просто! Эта таблица раскрывает секрет Архимеда, а заодно и Меция. Из нее видно:

1-e приближение: $\pi \approx 3$.

2-e приближение: $\pi \approx \frac{22}{7}$.

3-e приближение: $\pi \approx \frac{333}{106}$.

4-e приближение: $\pi \approx \frac{355}{113}$

(нечетные приближения с недостатком, четные — с избытком).

Можно ли считать, что Архимед и Меций разоблачены: они пользовались цепными дробями, Архимед использовал вторую подходящий дробь, а Меций — четвертую?

Нет, про Архимед этого сказать нельзя.

Следуетясно понять, что мы решили математическую, но не историческую задачу. Мы обьясили, как можно прийти к числу $\frac{22}{7}$.

Весьма возможно, что Архимед пользовался цепными дробями, но установить это по его работам нельзя. Суд не признал бы наших доводов. Историки не пришли к единому мнению. Преимущество седьмых долей можно обнаружить и эмпирические, сравнимая их с разными другими.

Другое дело Меций. Невероятно предположить, что такая сложная дробь, как $\frac{355}{113}$, найдена без теории. Очень вероятно, что Меций пользовался цепными дробями. Понятно почему он остановился на четвертой подходящей дроби: следующее настоящее громоздки, что практически непригодны.

8. Загадка Григория XIII. Сначала подумаем, как мы сами решили бы проблему черезования високосных лет. Мы представили бы длину года в виде цепной дроби.

$$1 \text{ год} = 365^2 5^4 48^3 46^2 = 365,242199^2 = 1365; 4,7,1,3,5,20,6,12]^2.$$

Причем не. Л — irrationalное число. Оно разлагается в бесконечную целую дробь. Величина года — эмпирическая. Всякая эмпирическая величина изменяется лишь с определенной точностью, и говорить об ее рациональности или irrationalности не имеет смысла. Приведенная выше величина года — приятая, и мы должны считать ее точной. Она выражается конечной целой дробью.

Находим несколько первых подходящих дробей:

$$\frac{p_0}{q_0} = 365,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = 365 + \frac{1}{4} = 365 \frac{1}{4},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7}} = 365 \frac{7}{29},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1}}} = 365 \frac{8}{33},$$

$$\frac{p_4}{q_4} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}} = 365 \frac{31}{128}.$$

Какая подходящая дробь дает решение проблемы календаря. Например, приближение $365 \frac{1}{4}$ приводит к решению Юлия Цезаря: один високосный год из каждой четырех. Пользоваться приближением $365 \frac{7}{29}$никто не предлагал, по-видимому, потому, что следующее приближение

25

365/33 лишь немного сложнее, но значительно точнее. Календарь, по которым высокосимми должны были считаться восемь лет из каждой тридцати трех, был предложен вликом туркмено-персидским философом, математиком, астрономом и поэтому Омаром Хайямом (1040—1123).

Сведения о точности найденных приближений к истинной динегаданы в следующей таблице.

| № приближения | Чередование высокосных лет | Средняя длина года | Погрешность |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | 1 высокос. из каждой 4 | 365ᵃ 6ᵃ 00ᵃ 00ᵇ | -11ᵃ 14ᵇ |
| 2 | 7 》 》 》 29 | 365ᵃ 5ᵃ 47ᵃ 35ᵇ | +1ᵃ 11ᵇ |
| 3 | 8 》 》 》 33 | 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 05ᵇ | -19ᵇ |
| 4 | 31 》 》 》 128 | 365ᵃ 5ᵃ 48ᵃ 45ᵇ | +1ᵇ |

В графе «Погрешность» знак минус указывает, что средняя длина года больше истинной.

Четвертый вариант исключительно точен. Погрешность в 1 сек. не имеет никакого практического значения. Поэтому были предложения использовать этот календарь. Например, в 1864 году русский астроном Medлер предложил с XX столетия ввести такой календарь в России. Для этого надо ввести в юлианский календарь следующую поправку: каждый 128 лет пропускать один высокосный (потому что по юлианскому календарю на 128 лет приходится 32 высокосных). Однако этот календарь не был принят нигде в мире, по-видимому, потому что период 128 «некруглый».

Решив математическую задачу, вернемся к задаче исторической. Каковы были сообщения Григория XIII (или его сотрудников)?

В начале статьи говорилось, что средняя длина григорианского года 365 суток 5 час. 49 мин. 12 сек.

Это значение отличяется от истинного на целых 26 секунд. Получается впечать, что пада Григорий XIII или его учены советники придумали ка—

номей (недаром его произвали Альфонс-астроном). Эти таблицы впервые были изданы в Венецин через сто лет после смерти их автора. В них дается следующая продолжительность года:

1 год = 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 16ᵇ.

Пользоваться этим таблицами, комиссия должна быть прийти к выводу, что предложенная его средняя длина календарного года только на четыре секунды отличается от истинной. Если бы комиссия и была знаком с предложением Омара Хайяма, то она пришла бы к выводу, что его календарь дает ошибку в 11 секунд.

Добавим, что нет никаких оснований предполагать, что комиссия Григория XIII использовала целые дроби. Она кропотливо, в NOTE лица подбирала нужное соответствие.

Что касается Омара Хайяма, то учены думают, что он владел, если не полной теорий целых дробей, то каким-либо аналогичным принципальным подходом к задачам о наиболее рациональных приближениях дробями с небольшими значениями. В его эпоху восточная наука во многих отношениях стояла выше европейской.

26

ЗАДАЧИ

1. Найдите коэффициент выгодности для числа Мещи.

2. Разложите в цепную дробь $\frac{157}{225}$.

3. Сверните цепную дробь [3; 12, 2, 1, 50].

4. Разложите в цепную дробь
   a) $\sqrt{3}$, б) $\sqrt{5}$, в) $\sqrt{6}$.

Попробуйте самостоятельно (еще не обращаясь к книжкам) подумать о свойств цепных дробей, которые получаются при разложении $\sqrt{n}$, где $n$ — натуральное число, не являющееся квадратом натурального числа.

5. Найдите значения перiodических цепных дробей a) [0; $a$, $a$, $a$, …]; b) [0; $a$, $b$, $a$, $b$, …].

6. Некоторые восточные народы пользовются смешанным солнечно-лунным календарем. Мещи у них имеют to 29, то 30 дней. Мещи из 29 дней называются «пустыми», а из 30 дней «полными». Календарный год состоит из двенадцати, то из тринадцати месяцев. Греческий математик Метон (433 год до нашей эры) предложил заменательное решение проблемы лунно-солнечного календаря. По Метону из каждой 19 лет семь имеют по тринадцать месяцев, а остальные двенадцать лет — по двенадцать месяцев. Из общего числа 235 лунных месяцев, помещаются в «золотом» девятнадцатилетнем периоде, 110 пустых и 125 полных. Здесь люди столкнуть с более сложной задачей одновременного приближения к отношением трех величины — длины суток, длины лунного месяца и длины солнечного года. С достаточно хорошим приближением

$$\frac{1 \text{ солнечный год}}{1 \text{ лунный месяц}}$$

Вы получите объяснение удачи изобретения Метона.

Разложите в цепную дробь и отношение длины лунного месяца к суткам.

Знаете ли Вы тайну этого магического числа? Напишите его цифры по кругу: теперь умножайте его последовательно на 2, 3, 4, …, 7 и всякий раз сверайте с магическим кругом. Вы заметите, что все время не выходит из магического круга, пока «магический» число 7 не разорвет его!

Постраайте понять, в чем дело? Почему такое забавное число? Оказывается, это период до 1/7 при обращении ее в десятичную.

Найдите сами «магические числа» в других системах числения, например при основании системы счета 8 или 9, или 5. Попробуйте обобщить полученную закономерность.

Заметим, что этим числом построено пользоваться для проверки надежности работы арфметра или другой счетной цифровой машины.

П. А. Новиков

28

Пример 1. Будем считать, что буквы $x$ и $y$ обозначают действительные числа. Знак $\sqrt{1-x^2}$ будем считать знаком извлечения аргументакого квадратного корня. Равенство

$$y = \sqrt{1-x^2}$$

обозначает, что выполнены условия

$$x^2 \leq 1, \quad y \geq 0, \quad x^2 + y^2 = 1.$$

Точек, координаты которых удовлетворяют этим условиям, образуют полукругность, изображенную красной линий на рис. 1.

Рисунок 1 делает наглядными следующие факты, которые вы можете доказать и чисто алгебраическим путем:

1. формула (1) позволяет для любого $x$, удовлетворяющего условиям

$$-1 \leq x \leq 1,$$

вычислить соответствующее ему $y$, которое удовлетворяет неравенству (4), соответствует хотя бы одно такое $x$, которое по формуле (1) соответствует это заданное $y$.

Можно сказать, что формула (1) задает отображение множества чисел $x$, удовлетворiousих неравенствам (3), на множество чисел $y$, подчиенных неравенствам (4). Математики часто (особенно в последнее время) для обозначения отображений употребляют стрелку. Занимающее нас отображение можно записать при помощи стрелки так:

$$x \rightarrow \sqrt{1-x^2}.$$

Например:

$$\begin{align*} -1 &\rightarrow \sqrt{1-(-1)^2} = 0, \\ -\frac{4}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}, \\ \frac{3}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}, \\ 0 &\rightarrow \sqrt{1-0^2} = 1. \end{align*}$$

Заметьте: отображение полностью определено, если

a) задано множество $E$, которое отображается,

b) для каждой элемента $x$ это множество $E$ задан элемент $y$, на котором элемент $x$ отображается.

Рис. 1.

Рис. 2.

29

Множество всех значений $y$ обозначает буквой $M$. В примере 1 $E$ — множество чисел, удовлетворяющих условию (3), а $M$ — множество чисел, удовлетворяющих условию (4) *).

Пример 2. Правила

1. $x \to \sqrt{x^2}$,
2. $x \to \begin{cases} x, \text{ если } x \geqslant 0, \\ -x, \text{ если } x < 0 \end{cases}$

определяют одно и то же отображение

$$x \to |x|$$

(7)

действительных чисел $x$ на их модели (абсолотные величины) $|x|$ (рис. 2).

Отображение (7) отображает множество всех действительных чисел

$$R = (-\infty, \infty)$$

на множество

$$R_+ = (0, \infty)$$

неотрицательных действительных чисел.

Вместо слова отображение можно говорить функция и записать отображение (5) так:

$$f(x) = \sqrt{1-x^2},$$

(8)

а отображение (7) так:

$$f(x) = |x|.$$

(9)

Частные значения функции (8), перечисленные в формулах (6), будут тогда записаны в таком виде:

$$f(-1) = 0, \quad f\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}, \quad f\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}, \quad f(0) = 1.$$

Область определения функции (9) является множеством всех действительных чисел $R$. Множествором ее значений является множество $R_+$ неотрицательных действительных чисел.

Пример 3. Петя, Коля, Саша и Володя живут в комнате общежития. На февраль они установили такой график деятельности:

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | . . . | 28 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Петя | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | . . . | |
| Коля | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| Саша | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| Володя | ■ | | | ■ | | | | ■ | | | | | | | . . . | |

*) Множество можно обозначить любой буквой. Здесь взяты буквы $E$ (от французского слова ensemble — множество) и $M$ (немецкое — Менge; случайно и русское слово «множество» начинается с этой же буквы). Но это не обязательно: уже в следующем примере мы обозначим множество действительных чисел, как это принято, буквой $R$ (французское гел — действительный, реальный).

30

Сразу бросается в глаза сходство этой таблицы с привчными вам из школьного курса алгебры графики функций. Имеет ли эта аналогия точный логический смысл? Установили ли здесь мальчики отображение одного множества на другое, т. е. определили ли некоторую функцию? И не начертили ли они график этой функции? (Обратите внимание на житейское выражение «установили график функции»!)

2. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Нетрудно видеть, что в примере 3 на каждый из 28 дней февраль назначен определенный дежурный. Иначе говоря, множество дней февраль отображено на множество мальчиков, распределенших между собой дежурства. Можно условиться, что буква x обозначает любой день февраль, а y=f(x) — дежурного в день x. Нет никаких оснований отказывать отображению

день x→y = дежурный на день x

в права называть функцией и записать это отображение так:

y=f(x).

Любое отображение f множество E на множество M мы будем называть функцией с области определения E и множество значений M.

Не забудьте, что, говоря об отображении f множество E на множество M, мы имеем в виду, что y=f(x) определено для любого x из E и

Отображение E на M

Отображение E в M

то лько для x из этого множества, а значение y функции f непременно принадлежит множеству M, и каждое y из этого множества M является значением функции f хотя бы при одном значении аргумента x.

Если известно только, что значения функций f непременно принадлежат множеству M, но не утверждается, что ли ю бой элемент этого множества является значением функции f, то говорят, что функция отображает свою область определения E в множество M или что отображение f есть отображение множества E в множество M.

Таким образом, надо строго различит смысл выражений

«отображение на множество M»
«отображение в множество M»*).

*) Заметьте еще, что каждое отображение «на» можно назвать и отображением «в» но не наборот.

31

Например, про ображение

$$x \rightarrow |x|$$

можно сказать, что оно является ображением $R$ в $R$, но нельзя сказать, что это «ображение $R$ на $R$».

С чисто логической точки зрения наиболее простым случае является случай, когда область определения функций конечна. Ясно, что функция, область определения которого состоит из $n$ элементов, не может принимать более $n$ различных значений. Таким образом, функция, определенные на конечных множестве, осуществляют ображения конечных множеств на конечные множества. Такие ображения являются одним из предметов изучения важной части математики — компинаторики (см. задачи 8, 11, 18, 19).

Пример 4. Рассмотрим функции, области определения которых есть множество

$$M = \{A, B\}$$

из двух букв $A$ и $B$ и значения которых принадлежат тому же множеству, т. е. ображения множества $M$ в себя.

Таких функций существует всего четыре. Зададим их таблицым способом:

| $x$ | $f_1(x)$ | $f_2(x)$ | $f_3(x)$ | $f_4(x)$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

Функции $f_1$ и $f_2$ являются константами, т. е. постояны ми: множество значений каждой из этих функций состоит из одного-единственного элемента.

Функции $f_3$ и $f_4$ — ображают множество $M$ на себя. Функция $f_3$ может быть задана формулой

$$f_3(x) = x.$$

Это — мождестшение ображения: каждый элемент множества $E$ обрабатывается в самом себе.

Чтобы закончить выяснение смысла самого понятия «функция», остается обратить внимание на то, что выбор букв для обозначения «независимого переменного», т. е. произвольного элемента обрабатения, и «зависимого переменного», т. е. произвольного элемента множества значений, совершенного несущением. Записи

$$x \rightarrow \sqrt{x}, \quad \xi \rightarrow \sqrt{\xi}, \quad y \rightarrow \sqrt{y},$$

$$f(x) = y = \sqrt{x}, \quad f(\xi) = \eta = \sqrt{\xi}, \quad f(y) = x = \sqrt{y}$$

определяют одну и ту же функцию $f$, которая обрабатывает неотрицательное число в арифметической квадратной корень из него. Пользовать любой из этих записей, мы получим

$$f(1) = 1, \quad f(4) = 2, \quad f(9) = 3$$

и т. д.

32

3. ОБРАТИМАЯ ФУНКЦИЯ

Функция

$$y = f(x)$$

называется обратимой), если каждое значение она принимает один-
единственный раз. Таковые функции $f_3(x)$ и $f_4(x)$ из примера 4. Функции же
$f_1(x)$ и $f_2(x)$ примера 4 и функции примеров 1, 2 и 3 нео́ргатны.

Чтобы доказать, что какая-либо функция необратима, достаточно ука-
зать какие-либо два значения аргумента $x_1 \neq x_2$, для которых

$$f(x_1) = f(x_2).$$

В примере 3 достаточно заметить, что Петя дежурит как 1-го, так и 5
февраль. Поэтому функция примера 3 необратима.

Пример 5. Функция $f$

$$x \xrightarrow{f} y = -\sqrt{x}$$

обратима. Она определяна на множество $R_+$ неотрицательных чисел. Мно-
жестом ее значений является множество

$$R_- = (-\infty, 0]$$

всех неположительных чисел. Задав любое $y$ из множества $R_-$, можно найти
соответствующее $x$ по формуле $x = y^2$.

Функция $g$

$$y \xrightarrow{g} x = y^2$$ при $y \leqslant 0$

есты функции, обратная к функции $f$. Она отображает множество $R_-$ на множество $R_+$. Как уже говорилось, выбор букв для обозначения независящего и зависящего переменного не существует. Функции $f$ и $g$ можно записать в виде

$$f(x) = -\sqrt{x}$$ при $x \geqslant 0$, $g(x) = x^2$ при $x \leqslant 0$.

На рисунке 3 изображены графики взаимно обратных функций $f$ и $g$.

Рис. 3.

Рис. 4.

*) Проискождение названия выясится далее: функция обратима, если для нее
существует обратная ей функция.

33

Пример 6. Функция $f$, заданная таблицей

$$\begin{array}{c|cccc} x & A & B & B & \Gamma \\ y = f(x) & 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{array},$$

определяена на множество perвых пяти букв русского алфавита, а множество ее значений есть множество perвых пяти натуральных чисел. Обратная функция $g$ задается таблицей

$$\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y = g(x) & B & B & A & D & \Gamma \end{array}.$$

На рисунке 4 даны графики этих функций.

Дадим точные определения. Пусть $f$ — отображением множества $E$ на множество $M$. Если для любого элемента $y$ из множества $M$ существует один-единственный элемент

$$x = g(y)$$

множества $E$, для которого

$$f(x) = y,$$

то отображение $f$ является обратным, а

$$y \rightarrow x$$

называется отображением, обратным к отображению $f^*$.

Обратимое отображение $E$ на $M$

Обратимое отображение $E$ в $M$

Таким образом, обратимость отображения $f$ означает, что у него есть обратное отображение $g$. Отображение, обратное к $f$, приято обозначать знаком $f^{-1}$. Например, если

$$f(x) = x^3,$$

то

$$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}.$$

Так как слово «функция» есть просто синоном слова «отображения», то тем самым мы определили и смысл выражения «обратная функция».

*) Такие отображения называются еще взаимно однозначными отображениями $E$ на $M$.

34

Попробуйте сами повторить сказаное выше, употребляя вместе слова «отображение» слова «функция».

Ясно, что область определения обратной функции $f^{-1}$ является множество значений функции $f$, а множество значений $f^{-1}$ есть область определения функции $f$.

Функцией, обратной к обратной функции $f^{-1}$, является исходная функция $f$:

$$(f^{-1})^{-1} = f.$$

Таким образом, функции $f$ и $f^{-1}$ всегда взаимно обратны.

При мер 7. Существуют функции, которые сами себе обратны. Таковые функции

a) $f(x) = x,$
b) $f(x) = \frac{1}{x},$
b) $f(x) = \frac{x}{x-1}$.

Проверьте! Графики этих функций даны на рисунке 5. Заметьте, что все эти графики симметрины относительно биссектрисы первого и третього квадратов, т. е. прямой $y=x$.

Изображим схематически соответствия между разными видами отображения множества $A$ на множество $B$ и $A$ в множество $B$.

Напомним еще раз, что самый общим понятем является понятие отображения $A$ в $B$. Если при таком отображении образ $A$ совпадает с $B$, говорят об отображении $A$ на $B$.

35

Обратимые отображения называют еще взаимно однозначными отображениями. Этот термин вам часто встретиется в книгах. Но не принято говорить о «взаимно однозначных функциях». Так как мы считаем слова «функция» и «отображение» синонимими, то вместе слов «взаимно однозначный» мы предполили применять слова «отображаемая функция» или, что то же самое, «отображенное отображение».

В последнее время в нашей литературе получила еще распространение французская терминология:

1. отображение $A$ на $B$ французы называют «сюрьективными», или «сюрьективными»;
2. отображемые отображения $A$ в $B$ они называют «инъективными» или «инъекциями»;
3. отображемые отображения $A$ на $B$ во французской терминологии называются «биективными», или «биекциями».

Обратите внимание на то, что при визитальном отношении к употреблению предлогов «в» и «на» такое общие терминов излишне.

3 АДАЧИ

Нуликом отмечены совсем легкие вопросы, отвечая на которые, вы можете проверить, поняли ли вы написанное в статусе. Более трудные задачи отмечены звездочкой. Не обязательно их решать все.

1. Введение

1.0. Найдите области определения и множество значений следующих функций:

a) $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$, 6) $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

2. Целой частю числа $x$ называется наиболее целое число, не превысаящее $x$. Целая часть $x$ обозначает $[x]$. Например,

$$[0] = 0, [7,5] = [7] = 7, [-0,3] = -1, [-\pi] = -4.$$

Разность $x - [x]$ называется дробной частю числа $x$ и обозначает $\{x\}$. Постройте графики следующих функций и найдите их области определения и множество значений:

a) $f_1(x) = [x]$, 6) $f_2(x) = \{x\}$, b) $f_3(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$, r) $f_4(x) = \left| \{x\} - \frac{1}{2} \right|$,

$$d^*) f_5(x) = \left[ \frac{1}{x} \right], e^*) f_6(x) = \frac{1}{[x]}, j^*) f_7(x) = \left\{ \frac{1}{x} \right\}, 3^*) f_8(x) = \frac{1}{[x]}.$$

3 *. Для любого натурального числа $n$ определим $s(n)$ как сумму делителей числа $n$ (не считая самого $n$). Например,

$$s(1) = 0, s(2) = 1, s(6) = 6, s(12) = 16, s(28) = 28, \dots$$

Доказать что, $s(n)$ не принимает значений 2 и 5.

2. Функция

4.0. Два целых ($A$ и $B$) могут поселиться в двух комнатах четырьмя способами:

Сколько способами можно поселить: a) двух целых в трех комнатах, b) трех целых в двух комнатах, b) трех целых в двух комнатах так, чтобы ни одна из комнат не осталась незаанятой?

36

5. Множество $M$ состоит из трех элементов, а множество $N$ — из двух элементов. Сколько существует: а) отображений $M$ в $N$, б) отображений $M$ на $N$, в) отображений $N$ в $M$, г) отображений $N$ на $M$?

6. Сколько существует семизначных телефонных номеров? Какое число из них образовано только цифрами 0, 1, 2 и 3?

7. Докажите, что существует более миллиона функций, принимающих только два значения 0 и 1 и определенных на множество первых двацати натуральных чисел.

8. Множество $M$ состоит из $m$ элементов, а множество $N$ из $n$ элементов. Сколько существует функций, определенных на множество $M$ со значениями, принимающих $N$?

Заметим и е. Задание 8, 11, 18, 19 принимает к числу основных задач комбинаторики. Мы приводим их здесь, чтобы показать, что комбинаторика в значительной связи с частями и занимается подсчетом числа отображений того или иного типа конечных множеств в конечные множества.

9. Сколько способами можно рассадить: а) двух гостей на двух стульях, б) трех — на трех стульях, в) шестеры — на шестей стульях?

10. Множество $E$ состоит из шести элементов. Показать, что существуетровно 720 функций, для которых $E$ является как область определения, так и множество значений.

11. Отображение конечного множества на себя называется подстранной. Число различных подстановок множества зависит только от числа его элементов $n$ и обозначется $n!$. Показите, что

$$1! = 1, \ 2! = 2, \ 3! = 6, \ 4! = 24, \ 5! = 120, \ 6! = 720.$$

Укажите общий способ вычисления $n$!

3. Обратная функция

12.0. Какие из следующих функций обратны и какие не обратны?

$$f_1(x) = x^3, \ f_2(x) = x^4, \ f_3(x) = x^{17}, \ f_4(x) = x^{18}$$

13. В классе за каждой парой сидит не более двух человек. Поставим в соответствии каждому ученику его соседа по парте, а если он сидит один, то его самого. Каково будет обратное обратение?

14. Пусть каждому слову русского языка поставлено в соответствии с словом, записанное теми же буквами, но в обратном порядке (словом называется последовательность букв). Является ли эта функция обратной? Если да, то какова обратная функция?

15. Отображение конечного множества на себя всегда обратимо. Дайте пример необратного отображения множества натуральных чисел на себя.

16. Девять туристов должны разместиться в трех lodках. Сколько способами они могут это сделать, если требуется, чтобы a) в каждой lodке было по три человека, b) в каждой lodке было не более четырех и не менее двух человек, b) в каждой lodке плыл хотя бы один турист? (Лодки имеют номера: № 1, № 2, № 3.)

17*. Если у хозяйв доставочного студентов, то не принято скажать на один студоль одного гостя: множество гостей отображается в множество студентов обратным образом. Если в комнате всего шесть студентов, то сколькими способами можно рассадить на них: a) одного гостя, b) двух гостей, c) четырех, d) пяты, e) шесть гостей?

18*. Обратные отображения одного конечного множества $M$ в другой конечное множества $N$ называются размещением (гостей «размещаются» по стульям). Число отображений множества $M$ в множестве $N$ зависит только от числа элементов $m$ множества $M$ и числа $n$ элементов множества $N$ и обозначется $A_m^n$. Показите, что

$$A_1^1 = 1, \ A_2^1 = A_2^2 = 2, \ A_3^1 = 3, \ A_3^2 = A_3^3 = 6, \ A_1^2 = 90,$$

и установлен общее правило вычисления $A_n^m$. Показите, что всегда $A_n^{n-1} = A_n^n$.

19*. Задание 16в может быть сформирована абстрактно: сколько существует отображений множества из девятых элементов на множестве из трех элементов. Обозначим $D_n^m$ число отображений множества из $n$ элементов на множестве из $m$ элементов. Проверьте, что

$$D_3^2 = 6, \ D_4^2 = 12, \ D_4^3 = 36, \ D_n^n = n!$$

Попробуйтеать общее правило вычисления $D_n^m$ (это несколько более трудная задача, чем задачи 8, 11 и 18).

20*. Сколько существует функций, определенных на множестве из 28 элементов, которые принимают каждое из четырех значений П, К, С и В по шесть раз?

Это задача о числе способов справедливо распределить в февраль дежурства между Петей, Колей, Сашей и Володей (пример 3 на стр. 29).

37

С тренем мы стalkиваем на каждом шагу. Вернее было бы сказать, что без треня мы и шагу ступить не можем. Но несмотря на ту большую роль, которое играет трение в нашей жизни, до сих пор не создана достоинно полная картина возникновения трения, и вопрос этот остается неясным. Это связано даже не с тем, что трение имеет сложную природу, а скорее с тем, что опыты с тренем очень чувствительны к обработке поверхности и поэтому трудно воспроизводимы.

Вот пример. Англійский физик Гарди исследовал зависимость силы трения между стекляными пластинками от температуры. Онtlsательно обработавал пластинки хлорной извъюно и обмывал их водой, удаляя жиры и загрязнения. Трение увеличилось с температурой. Обыт был повторен много раз, и каждый раз получался примерно одни и те же результаты. Но однажды, моя плас-

Вверху: копия с рисунка Леонардо da Винчи.

38

тиники, Гардин протер их пальцами. Тренне перестановать от температуры. Протерев пластинки, Гардин, как он сам считает, удалил с них очень тонкий слой стекла, изменивший свой свойства из-за взаимодействия с хлоркой и водой.

Когда говорят о тренни, различют три несколько отличных физических явления: сопротивление при движении тела в жидкости или газе — его называют жидким треннем; сопротивление, возникающее, когда тело скольzt по какой-нибудь поверхности, — тренне скольжения, или сухое тренне; и сопротивление, возникающее, когда тело катится, — тренне качения. Эта статья посвящена сухому тренню.

Первые исследования трения, о которых мы знаем, были проведены Леонардо да Винчи примерно 450 лет назад. Он измерил силит трения, действующего на деревянные параллелепиды, скользывание по доске, причем, ставя бруски на разные грани, определял зависимость силит трения от площади опоры. Но работы Леонардо да Винчи не были опубликованы. Они стали известны уже после того, как классические законы трения были в 17—18 вв. вновь открыты французскими учеными Амонтоном и Кулоном.

Вот эти законы: 1) силит трения $F$ прямого пропорциональна силе $N$ нормального давления тела на поверхность, по которой движется тело: $F = kN$, где $k$ — безразмерный коэффициент, называемый коэффициентом трения; 2) силит трения не зависит от площади контакта между поверхностями; 3) коэффициент трения зависит от свойств трушихся поверхностей; 4) силит трения не зависит от скорости движения тела.

Триста лет исследовании трения подтвердили правильно трех первых законов, предложенных Амонтоном и Кулоном. Неверным оказался лишь последний — четвертый. Но это стало ясно много позже, когда появились железные дороги и машинсты заметили, что при торможении состав ведет себя не так, как предсказывали инженеры.

Амонтон и Кулон объявили происходение трения довольно просто. Обе поверхности неровные, они покрыты небольшими горбами и впаднами. При движении выступы цепляются друг за друга, и поэтому тело все время поднимается и опускается. Для того чтобы вращить тело на «холмы», к нему нужно приложить определенную силу. Если выступы больше, то и сила нужно побольше. Но это обьяснение противоречит одному очень существенно явлению: на тренне трактися энергия. Кубик, скользяший по горизонтальной поверхности, останавливается. Его энергия расходуется на тренне. А поднимаясь и опускаясь, тело не траит своей энергией. Вспомните аттракцион «американские горы». Когда санки скатывалися с горки, их потенциальная энергия переходит в кинетическое, и скорость санок возрастает, а когда санки вызжают на новую возвышенное, кинетическая энергия, наоборот, переходит в потенциальную. Энергия санок уменьшается за счет трення, но не из-за подъем и спусков. Аналогично обстоит дело и при движении одного тела по поверхности другого. Здесь потери энергии на тренне также не могут быть связаны с тем, что выступы одного тела взбираются на бугры другого.

Есть еще возражения. Например, простые опыты по изменению силит трения между полированным стеклянными пластинками показали, что при улучшении полировки поверхностей силит треня сначала не меняется, а затем возрастает, а не убывает, как следовало бы ожидать на основании модели явления, предложенной Амонтоном и Кулоном.

Механизм трения значительно более сложен. Из-за неровностей они соприкасаются только в отдельных точках на вершинах выступов. Здесь молекулы соприкасающихся тел подходят на расстояния, созмерные с расстоянием между молекулами в самих телах, и специются. Образуется прочная связыва, которая ввется при нажмите на тело. При

39

движении тела связи постояно возникот и рвутся. При этом возникают колебания молекул. На эти колебания и тратися энергия.

Площадь действительного контакта составляет общно от одного до двух тысяч квадратных микронов. Она практически не зависит от размеров тела и определяется пригодой поверхности, их обработкой, температурой и силой нормального давления. Если на тело надавить, то выступы сminаются, и площадь действительного контакта увеличивается. Увеличивается и сила треня.

При значительной шероховатости поверхности большую роль в увеличении силы треня начинает играть механическое замещение между «холамами». Они при движении сminаются, и при этом тоже возникают колебания молекул.

Теперь понятен опыт с полированными стеклянными пластинками. Пока поверхности были «грубые», число контактов было невелико, а после хорошего полировки оно возросло. Можно привести еще пример увеличения треня с лучшимением поверхности. Если взять два металлических бруска с чистыми полированными поверхности, то они сппаются. Трене здесь становятся очень большим, так как площадь действительного контакта велика. Силы молекулярного сцепления, которые ответственны за трене, превращают два бруска в монолит!

В домашних условиях можно проведсти следующий опит. Поставьте рюмку на стеклянную пластинку и приязав к ножке бечевку, поташите рюмку. Затем увлажните стекло и ножку рюмки водой, которая сметет жиры и грязь. Опять поташите. Теперь это сделать значительное труднее. Чистый контакт стекло — стекло разорвать нелегко. Присмотревшись к поверхности, вы можете заметить даже царапины. Вырвать кусочки стекла оказывается легче, чем разорвать контакт!

Рассмотренная нами модель треня довольно груба. Мы не останавливались здесь на диффузии молекул, то есть на пропикновении молекул одного тела в другое, на роли электронных зарядов, возникающих на соприкасающих поверхностях, на роли и механизме действия смазки. Эти вопросы во многом неясны, а объяснения спорны. Можно только удивлять тому, что при такой сложности трене описывается только простым законом: $F = kN$. И хотя коэффициент треня $k$ не очень постоянен и несолько меняется от одной точки поверхности к другой, для многих поверхности, с которых мы часто сталкиваемся в технике, можно делать достаточно хорошее оценки ожидаемой силы треня.

Сухое трене имеет одну существенно особенность: трене покоя. Если в жидкости или газе трене возникнет только при движении тела и тела можно сдинуть, приложив к нему даже очень маленькую силу, то при сухом трене тела начинает двигаться только тогда, когда проекция приложенной к нему силы $F$ на плоскость касательную к поверхности, на которой лежит тело, станет больше некоторой величины. Пока тело не начало скольнить, действующая на него силы треня равна касательной составляющей приложенной силы и направлена в противномоложную сторону. При увеличении приложенной силы треня тоже возрастает, пока не достигнет максимальной величины, равной $kN$, при которой начинается скольжение. Дальше треня уже не меняется.

40

Часто об этом забывают при решении задач. На вопрос «какая сила действия на стол весом 30 кГ, стоящий на полу, если коэффициент треня равен 0,4», большимство уверенно отвечает: «12 кГ», что неверно. Сила треня равна нулю, иначе стол поехал бы в сторону действия силы треня, так как других горизонтальных сил нет.

Итак, если тело поконтся, то для того, чтобы сливнуть его с места, к телу нужно приложить силу, большую максимальное возможной силы треня покоя, которое обусловлено прочностью молекулярных связей. А как обстоит дело, если тело уже движется? Какую силу нужно приложить для того, чтобы тело начало движется еще и в другом направлении? Оказывается, сколько угодно малую. Связано это как раз с тем, что сила не может быть больше максимальной силы треня покоя.

Попробуйте проделать простойопыт. Возьмите книжку и положите ее один краем на другую книжку потолще. Получится наклонная плоскость. Теперь положите на эту плоскость спиечный коробок, к которой приложена нитка. Если коробок скольчит, то уменьшите наклон плоскости, взяв книжку-подставку потолше. Потяньте за нитку коробок выбор. При этом он поддет еще и вниз! Уменьшите наклон плоскости и опять потяните за нитку. Та же картина. Коробок сосальзывает даже при очень малых углах наклона плоскости. Сила треня, равше удерживаемой коробок на плоскости, сталапочему-то очень малейкой.

Попробуем понять, в чем здесь дело. Если бы коробок движался только горизонтально, то параллельно ребру наклонной плоскости на него действовала бы сила треня, равная $kN$. Для того чтобы коробок при этом не сосальзывавал вниз, вверх на него должен действовать сила треня, равная по величины проекции веса коробка на наклонную плоскость. Равнодействующая этих двух сил треня больше чем $kN$, а этого быть не может. Значит, коробок должен сосальзывать с наклонной плоскости.

Возьмите брусок, прияжем к нему нить и, положив брусок на горизонтальной плоскость, будем тянуть за нить с постоянной скоростью $v_1$. Приложив к бруску силу, перепедикулярную к $v_1$ его можно заставить двигатся еще и в этом направлении с постоянной скоростью $v_2$. Сила треня при этом будет равна $kN$ и направлена противоположно скорости $v$ движения бруска относительно плоскости

$$F_1 = F_{\text{tp}} \cos \beta, \quad F_2 = F_{\text{tp}} \sin \beta,$$

где $\beta$ — угол между векторами $v_1$ и $v$, а $tg \beta = \frac{v_2}{v_1}$.

Составляющая $F_1$ силы треня уравновешивается силу натяжения нити, а составляющая $F_2$ «боковый» силы, приложенную к бруску. Так как

$$\sin \beta = \frac{tg \beta}{\sqrt{1 + tg^2 \beta}},$$

то

$$F_2 = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{1 + \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2}} = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}.$$

Если $v_2 \ll v_1$, то угол $\beta$ мал и $\sin \beta \approx tg \beta$.