Квант 1970, №4 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
4
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

“РАЗРУШИМОСТЬ АТОМА, НЕИСЧЕРПАЕМОСТЬ
ЕГО, ИЗМЕНЧИВОСТЬ ВСЕХ ФОРМ МАТЕРИИ И ЕЕ
ДВИЖЕНИЯ ВСЕГДА БЫЛИ ОПОРОЙ ДИАЛЕКТИ-
ЧЕСКОГО МАТЕРИАЛИЗМА”.
В.И. ЛЕНИН

2

Главный редактор — академик И. К. КИКОИН
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. КОЛМОГОРОВ

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, академик
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский, член-корреспондент АПН СССР
И. Н. Бронитейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов, академик АПН СССР
П. Л. Капица, академик
В. А. Кириллин, академик
Г. И. Косоуров
В. А. Лейковцев (зам. главного редактора)
В. П. Лищевский
А. И. Маркуцевич, академик АПН СССР
М. Д. Миллюоницков, академик
Н. А. Патрикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧИЙ
М. Л. Смолянский (зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский, доктор физико-математических наук академик АПН СССР
В. А. Фабрикант, академик АПН СССР
Я. Е. Шнайдер (ответственный секретарь)

Заведующая редакция Л. В. Чернова
Главный художник Е. П. Леонов
Технический редактор Т. М. Макарова.
Корректор И. Б. Мамулава
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Сдано в набор 25/11-70 г. Подп. к печати 8/V-70 г.
Бумага 70×100/16. Физ. печ. л. 4. Услови, печ. л. 5,2.
Уч.-изд. л. 5,88. Тираж 202 500 экз. Т-107842.
Цена 30 коп. Заказ 316

Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов, Московской области

3

В номере:

Философские идеи В. И. Ленина и развитие современной физики
4

Паросочетания и транспортные сети
14

Задачник «Кваenta»
25

Плоккий мир Хинтона
28

Писменный экзамен по физике на физике МГУ
32

Гуманитарии сдают математику
35

Геометрический смысл некоторых неравенств с двумя переменными
41

14 дней в Бухаресте
49

12 дней в Чехословаки
52

Серьезно + популярино
55

Шашки Э. Ласкера
59

Ответы, указания, решения
61

Числовая пирамида. Еще одна шифровка

И. К. Кикопин
M. И. Башмаков
В. П. Лищевский
К. Н. Баранский,
А. В. Устинова
А. С. Кузчцев,
В. А. Успенский
А. Я. Маргулис,
Б. А. Радунский
И. С. Петраков
А. Климов,
Н. Кондратьев,
А. Черночан
В. Н. Березин,
М. Л. Смолянский

3-я страница обложки

4

ФИЛОСОФСКИЕ ИДЕИ В. И. ЛЕНИНА
И. К. КИКОИН

Физика занимает исключительное положение среди многочисленных наук о природа. Эта исключительная физика связана с тем, что она изучает простейшие и вместе с тем наиболее общие свойства материалов. Поэтому неизбежно происходит физика в любой раздел естественного науки. Сейчас получили права гражданства такие научные дисциплины, как биофизика, геофизика, астрофизика, химическая физика и другие «физики».
Общеизвестно, что физика является материалом технически. Так было всегда, но особенно очевидным это стало в последнее годы в связи с рожденияем ядерной техники, электронной техники, лазерной техники и т. д.
Такая широта и общность содержания физики с неизбежностью должны привести ее к физофии, которая изучает наиболее общие вопросы теории позания. Об этом свидетельствует все история развития физики.
Всегда, когда в физку вводились новые понятия и представления до этого непrivibличные, физика теореплеталась с физофейем.
Связь физики и физофии особенно отчетливо обозначалась в XX веке, когда закладывались основы современной физики: учение о строении вещества, теория относительнойности и квантовая механика.

Тесная связь между физикой и теорийной позания — это историческая необходимость. Не удивительно поэтому, что физики, пытаясь осмыслить состояние своей науки, очень часто обращались к физофии. Многие крупнейшие физики выпускали специальные физофские сочинения.

Владимир Ильич Ленин был не только великим политический и государственный деятелем, но и великим ученым, основоположником научного коммунизма. Особая роль физики в развития как технически, так и физофии является причины приставного внимания Ленина к вопросам новой физики (может быть, на интерес Ленина к физике в какой-то мере повлияло и то, что его отец Илья Николаевич Ульянов был учитель физики).

Ленинский метод научной работы особенно близок сердцем физков. В своей теоретической научной работе Ленин всегда опирался на опыт, на практику как на критерий истинны. Ленин следующего словами Энгельса появляется идею «критерия практики»: «В тот момент, когда сообщенное воспринимаемым нами свойством какой-либо вещи, мы употребляем ее для себя,— мы в этот самый момент подвергаем безошибочному испытинию искусств или ложность наших чувственных восприятий… (курсив мой.— И. К.) …ус-

5

пех наших действий дает доказательство соответствия (Ubereinstimmung) наших воспряний с предметной (gegenständlich) природой восприимаемых вещея*).

Тут возникает следующий вопрос. История науки знает немало примеров, свидетельствующих о том, что явно неправильные с современной точки зрения представления ученых природили тем не менее к «испеxy наших действий».

Для примера возьмем старую теорию магнетизма, по которой намагниченный кусок стали рассматривался как магнитный диполь, состоящий из двух магнитных полюсов или «магнитных зарядов» (по аналогии с электрическим диполем). Пользовать этим представлением, физики создают магнитостатку, на котором базируется вся практика и техника использования магнитов. Эта практика быстрошее подтверждение теорию «магнитных зарядов». Между тем теперь хорошо известно, что никаких магнитных зарядов в действительности не существует. И когда сейчас говорят о магнитных полюсах, то обязательно оговоряют, что это фиктивное понятие.

Выходит, как будто, что критерий практики не может служить надежной основой для выяснения истинности наших представлений о том или ином предмете? Это, разумеется, не раздный вопрос.

Один из крупнейших физиков-современности Ричард Фейнман, пытаясь выяснить, что же такое философское толкование физического закона, иллюстрирует значение этого вопроса следующим примером.

«Пусть те, кто настоящает на том, что единственное важным является лишь соглашение теории и эксперимента, представляет себе разговор между астрономом из элемента майя и его студентом. Майя умела с поразительной точностью представлять, например, время затмения, положение на небе Луны, Венеры и других планет. Все это делалось при помощи арифметики… У них не было ни малейшего представления овращении небесных тел.

Представьте себе, что к нашему астроному приходит молодой человека и говорит: «Вот, что мне пришло в голову. может быть, все это верится, может, это шары из камня… и их движение можно расчитыватьсовсем иначе». Далее, узнав, что молодой человека еще не дошел до расчетов движения планет, астроном майя ответит ему, что мы можем и так достагоно точно вычислить затмения, так что не стоит возиться с твоими идеями.

Как видим, — заканчивает Фейнман, — нелегкая задача решить, стоит или не стоит задумывать над тем, что кроется за нашими теориями».

Это и в самом деле нелегкая задача. Ведь если приять безоговорочно утверждение, что критерий истинны является практика, то такое утверждение, как видно из приведенных примеров, может привести к застою в науке.

Эту нелегкую задачу с блеском решил В. И. Ленин.

Утверждая, что «точка зрения жизни, практики должны быть первой и основной точкой зрения теории познания», Ленин добавляет следующим многозначительным абзац.

«…конечно, при этом не надо забывать, что критерий практики никакогда не может по самому пути делать подвергнуть или опровергуть положению майя и его студентом. Майя умела с поразительной точностью представлять, например, время затмения, положение на небе Луны, Венеры и других планет. Все это делалось при помощи арифметики… У них не было ни малейшего представления овращении небесных тел.

*) Агностицизм называется философское течение, утвержданное неустранимую ограниченной человекской познания.

8

ханки можно назвать исключительноми. Она позволяет раскрыть тайну строения.atoma. Пользовая квантовой механикой, можно с любой степенью точности расчитать atom, то есть вычислить детальную электронную структуру.atoma. Эти вычисления нахождения в потрясающем по точности согласи с экспериментом.

Все современная квантовая электроника с ее разнообразными техническими применениями (лазерами, мазерами и т.п.) — это продукт квантовой механики. Квантовая механика еще не стала объектом изучения в школе, но ее приложения изучаются уже в техническихузах. И при всем том крупнейший авторитет в этой области физики утверждает, что ее никто не понимает!

Попытемся разобраться, в чем причины непонимания квантовой механики.

Дело в том, что уже при самом ее заорожении квантовая механика содержала противорения. Обратимся, например, к простейшему проявлению квантовой природы света — к фотозлектрическому эффекту.

Теория фотоэфекта, развита Эйнштейном, состоит в том, что поток света частичной v расматривается как поток «частиц», —фотонов, энергия которых E=hv(h—постоянная Планка). Когда фотоны достигают поверхности металла, неоторая часть их поглощается электронами. Вследствие этого кинетическая энергия электрона, поглощшего фoton, увечивается на величины hv. Обладая такой энергий, электрон может покинуть металл и вылететь наружу. При этом он теряет часть прибреженной энергии, затратив ее на «работ выхода» A. Поэтому максимальная кинетическая энергия, с которой электрон вылетит из металла, равна

$$\frac{1}{2} mv^2 = hv - A.$$

Это заменит формула Эйнштейна для фотоэфекта, которая подтверждается многочисленными экспериментами и лежит в основе бесплатных применений этого эффекта.

Так вот, если вдуматься в смысле формулы Эйнштейна (она была получена им тоже в 1905 году), то сразу становится ясным ее противоречность.

Входящая в эту формулу величина E=hv — это энергия «световой частицы» (фотона), а величина v — частота света, состоящего из частиц. Но частота — это величина, характеризующая волну. Понятие частоты света появилось после того, как в XIX столетии было установлено, что свет представляет собой процесс распространения колебаний. Такой процесс и называется волной. Но волна, по самому смыслу этого понятия, занимает большую область пространства, а если говорить строго, то даже все пространство. Частца же — это нечто такое, что локализовано в пространстве, то есть занимает малый объем. Поэтому основное выражение E=hv, связывающее энергию фoton (то есть частицы) с частотой световой волны, представляет с точки зрения «здраваго смысла» абсурдным.

Фотоэлектрические явления неопровержимо доказали, что свет представляет собой поток частицы.

С другой стороны, существуют столже неопровержемые экспериментальные доказательства того, что свет представляет собой волновой процесс. Действительно, самое характерное свойство волны заключится в следующем: если наложить две волны друг на друга так, чтобы гребень одной совпал со вращенной другой (рис. 1, a), то волнение вовсе прекратиется (рис. 1, 6). И, наоборот, когда гребни одной совпал с гребнями другой, волнение успливается. Это хорошо известное явление называется интерференцией волн. Можно утверждать, что если в опыте наблюдается явление интерференции, то мы имеем дело с волной.

Волновая теория света утверждается в начале того, как было показано, что некоторые точки экрана, освещаемого одновременно двумя

10

одинаковыми источниками света, оказываются темными (рис. 2), тогда как при действии каждой парадоксаный факт, что как волновая, так и квантовая теория света верны, а формула $E=hv$ устанавливает связь между этим противоречивыми теориями.

Этот вызов «здравому смыслу» достигает своей кулминации в 1924 году, когда двойственное понятие «волна» частица» путем теоретических рассужdenей было распростраено на электроны и atoms. Другими словами, atom и электрон, которые с момента их открытия обладают всеми свойствами частиц, должны быть вести себя и как волны. И очень скоро эксперименты подтвердили эти выводы.

Физики должны были более глубоко осмыслить возникшую ситуацию, что и приведено к созданию современной квантовой механики (или, как она ранее назвалась, волновой механики).

Основы квантовой механики были заложены в 1925—1927 годах. Существенный вклад в ее развитие внес немецкий физик Вернер Гейзенберг свой формулировкой так называемого соответствия неопределенности, во

круг которого разгорелесь общирная философская дискуссия. Многих известных физков это соответствие привело в лагерь философских идеалистов.

На первый взгляд соответствие следующего совершенно безобидный вид:

$$\Delta x \Delta p \geq \frac{h}{2\pi}.$$

Здесь $\Delta x$ — неопределенность (неточность) координаты частицы, $\Delta p$ — неопределенность импульса (или скорости) частицы и $h$ — постоянная Планка. В переводе на обычный язык это означает, что нельзя в одной и то же время точно узнать место и скорость движения частицы. Другими словами, если мы попытаемся зафиксировать частицу в каком-то определенном месте, то наша попытка приведет к тому, что мы не смогем определить, куда и с какой скоростью она затем полетит. Наоборот, если мы заставим частицу двигаться очень медленно с определенной скоростью, то мы не сумем указыть, где она находится, то есть частица будет представлять расплывающий. Отсюда уже легко сделать «простейшее» заключение явно идеалистического характера о том, что знания человека прициппально ограничены, раз нам не дано ответить на такой простой вопрос. Более того, отсюда же можно сделать заключение, столбже идеалистическое по своему смыслу, что события в мире нередсказуемы, то есть нарушается принципности.

Действительно, мы привыкли к тому, что классическая механика позволяет нам предвидеть будущее движения тела, если известны его начальное положение и скорость, а также действующие на него силы. На этом основана вся механика. Так, например, успехи космонавтики основаны на том, что, зна место старта ракеты (начальные координаты) и задав извлечную начальную скорость, мы можем по законам классической механики заранее предвидеть, где бу-

11

дет находиться пакета в любой момент времени.

Иное дело с частицей, подчиняющейся квантовой механике. Раз мы, в соответствии с соотношением неопределенности, не можем точно указать ее координаты и скорость, то, очевидно, мы не можем предсказать, какими они станут в будущеем. Нетрудно договораться, что все это является следствием того, что частицы (электроны, атомы, нейтроны и т. д.) обладают волновыми свойствами.

В самом деле, рассмотрим следующий грубо схематизированный опыт, который тем не менее очень недалекотдействительно осуществляемых опытов. Представим себе (рис. 3), что через два ответствия в экране пролетают электроны, испускаемые каким-то источником, например, накаленной проводкой. Из каждого ответствия электроны могут лететь во всех направлениях. Позади экрана мы можем передвигать счетчик электронов параллельно экрану с ответствиями. Счетчик электронов позволяет регистрации какдый попавший в него электрон. Значит, число электронов можно непосредственно сосчитать.

Естественно полагать, что каждый электрон, попадающий в счетчик, прошел через одно из двух ответствий. Поэтому, если мы сосчитаем число электронов, попавших в счетчик через ответный при закрытом втором, затем проделаем тоже самое с электронами, попавшими в счетчик через ответные при закрытом первом, то мы впраve окидать, что число электронов, попавших в счетчик через оба ответствия, будет равно сумме показанной счетчика. Это требует здравый смысл. Мы уверены, что так было бы, если бы мы стрелли из пулемета через броневой шит с двумя ответствями, за которым в каком-нибудь месте помещен ящик с песком, где застревают протеевшие пуля. Можно не сомневать в том, что число пуль, попадающих в ящик с песком при открытых обихах ответствях в шите, равно сумме чисел пуль, попадающих в тот же ящик через каждое из ответствий в отдельности (конечно, за один и тот же промежуток времени, скажем, за час).

Но когда мы «стрелляем» электронами, этого не получается! Большое того, может оказаться, что установленный в надлежащем месте счетчик, зарегистрироващий одинаковое число электронов при их прохождения через каждое ответствие в отдельности (когда одно из ответств закрыто), не зарегистрирует ни одного электрона, когда открыты оба ответств (рис. 3).

Естественно возникает вопрос: как это может быть?

Нетрудно усмотреть здесь то же явление, которое наблюдается при освенении экрана двумя одинаковыми источниками света, то есть явление интегерении.

Попытемся теперь ответить на вопрос, почему непонятна квантовая механика. Это нам помогет найти корни идеалистических выводов, к которым пришли некоторые философы и физики, анализируя создавшееся в физике положение.

Основная трудность понимания рассмотренных выше физических явлений заключится в том, что мы пытаемся при их анализе пользоваться теми же понятями, к которым мы привыклили в повышенной жизни. Многоvekовой опыт человека привел

12

к тому, что человек считает для себя понятным то, что он может представить себе в виде геометрической или механической образа. Этот опыт, практика изучения окружащего мира привели к созданию ряда понятный, при помощи которых реализный мир отражается в мозгу человека. Но до XX века человекство занималось лишь макросоппечими телами, движущимися со сравнительно небольшими скоростями. Макросоппечими называются тела, которые можно видеть, определять их форму и размеры (создать геометрический образ) и изучить их движение (создать механический образ). К этому опыту были приспособлены и соответствующие понятия.

Механика Ньютона, разработанная применительно к движению макросоппечих тел, установила, что механическое состояние тела однозначно определяется его координатами и имплусом (или скоростью, если массу тела считать неизменной).

Но вот мы перешли к миру объектов, подчиняющихся к движению макросоппечих тел, установила, что механическое состояние тела однозначно определяется его координатами и имплусом (или скоростью, если массу тела считать неизменной).

Не вот мы перешли к миру объектов, подчиняющихся к движению макросоппечих тел, установила, что механическое состояние тела однозначно определяется его координатами и имплусом (или скоростью, если массу тела считать неизменной).

Если опыт показывает, что эти объекты обладают и свойствами частиц и свойствами периодических волн, то в действительности они не волны и не частицы, а должны быть чем-то иным, «единивьт противоположностей».
И действительно, если внимательно рассмотреть экпериментальные доказательства того, что электрон есть общная механическая часть, то мы убедимся, что это весма косвеные доказательства. Скорое всего только глубокое убеждание физков в atomистическом строении вещества привело их к выводу, что опыт с электронами (и atomами тоже) свидетельствует о том, что они являются частицами в общном механическом смысле.

Далее Эйнштейн не мог отречься от «механической» точки зрения на движение электрона. Он часто качал головой и говорил: «но ведь негадает же бог «орел — решка», чтобы решить, куда должен движаться электрон».

В нашей做过верность реализного существования atomов, электронов, протонов может сопрничать с достоверностью системы Коперника в астрономии. Но это не значит, что мы можем представлять себе эти объекты как уменьшенную модель астрономических тел. Мы do сих порника не можем их себе представить; они ни на что не похожи. И в этом природа не виновата!

Было бы, конечно, выражением высшей степени философского идеализма считать, что природа должна приспособиться к человекскому разуму, чтобы он мог образно представить себе все ее объекты. Именно потому, что мы не можем представить квантовые объекты в виде геометрических и механических образов, мы считаем их непонятными.

Но если это так, то какие у нас основания предполагать, что состояние движения квантовых объектов должно определяться теми же величиными, то есть координатами и имплусом, которые определяются состояние объчных тел? Словом, вопрос «каковы координаты и имплус в данной момент времени?» применительно к квантовым объектам — незааконный вопрос. Ведь не всякий вопрос правомерен. Например, нельзя ответить на вопрос «какого цвета пульковский меридан?». Но из этого не следует, что возможно познания человека ограничены!

В такой же мере, по-видимому, неправомерен вопрос «каковы координаты и имплус электрона?».

К создавшейся ситуации в квантовом механике как нельзя лучше применными слова Ленина, сказанные им по аналогичному поводу: «Движение тел превращается в природа в движение того, что не есть тело с постоянной массой, в движение того, что есть неведомый заряд неведомого электричеса в неведомом эфире,— эта диалектка матерIALных превращений,

В конце серъезной и толстой книги,
посвященной функциональному анализу,
напечатны следующие строки:

Теорема о сватовстве. Пусть $n$ юношей другат с де-
вушками. Предположим, что для каждой группы, состоящей
из $k$ юношей ($k=1, 2, ..., n$) имеется по крайней мере $k$ девушек,
имеющих другей среди этих юношей. Тогда каждого юношу
можно женить на девушке, с которой он другит $^*$).

С первого взгляда это может показаться шуткой.
Но уже в следующей важной теореме
одни множества называются «юношами»,
а другие «девушками»,
и после того, как их удалется поженить,
весьма ловко завершается трудное доказательство.

Логичский путь
от оптимизации задач, доступных семиклассику
и повторяющих идею «теоремы о сватовстве»,
до заменательных комбинаторов методов,
открытых не так давно
и решающих важные экономические задачи,
оказывается очень недлинным.

Попробуйте проследить его,
но учтите, что этот путь не прост —
местами он кругто поднимается в гору.

• К. Морен, Методы гильбертова пространства, «Мир», 1965, стр. 549.

16

1. ТЕОРЕМА О СВАТОВСТВЕ

Давайте обдумаем формулировку теоремы. Имеется компанию, состоящая из $n$ юношей, каждой из которых другит с одной или с несколькими двушкими. Интересующий нас вопрос состоит в следующем: при каких условиях каждый из $n$ юношей может выбрать себе невесту из числа своих подруges (так, разумеется, чтобы ни одна двушка не была выбранна сразу двумя юношами).

Попробуйте выяснить, возможно ли устроить такое сватовство в двух примерах $a$ и $b$), приведенных на рис. 1. Здеся $n=6$; двушки и юноши изображены точками, и от каждой двушки проведены стрелки к тем юношам, которые с него другат. Устроить сватовство — значит, выбрать (например, обвести карандашом) шесть стрелок, ищих от шести разных двушки ко всем шести разными юношам.

Оказывается, что для примера $a$ это сделать можно ). А в примере $b$), сколько бы мы ни старались, поженить всех юношей не удостраняем. Не трудно обьясить, почему. Дело в том, что четверо юношей — Илья, Коля, Марк и Никита—дружат только с третья двушки — Бэлой, Ве

*) Одно из решений задачи указано на стр. 18 (рис. 2). Существуют и другие решения.

Рис. 1

16

17

Могут быть только два случая:
Случай 1. При некотором $k$ ($1 \leq k < n$) найдется группа из $k$ юношей, которые другат (все вместе) точно с $k$ девушками.

Обозначим множество этих юношей через $IO_k$, а множество их подруг — через $Д_k$. Для группы юношей $IO_k$ выполнен индукционное предложение. При этом их невесты исчерпывают все множество $Д_k$ (в немровно $k$ девушек). Выбросим из рассмотрения этих юношей и девушек и докажем методом «от противного», что для оставшихся $n - k$ юношей выполнен условие теоремы.

Отберем из этих $n - k$ юношей компанию, содержащую $r$ юношей. Допустим, что число их подруг $s$ оказалось меньше $r$. Вернемся налад и обединим эти $r$ юношей с группой $IO_k$. В новой группе оказывается $r + k$ юношей. Так как в множество $D_k$ содержатся все подруги юношей из $IO_k$ (и, возможно, еще какие-то подруги $r$ юношей из отображенной компании), то у этих $k + r$ юношей в самом начале было $k + s$ подруг. По исходному условию $k + r \leq k + s$. Следовательно, $r \leq s$. Получилось противоречие с предложением $s < r$. Значит, в этом случае теорема верна.

Случай 2. Любая группа из $k$ юношей ($1 \leq k < n$) другит не менее чем $k + 1$ девушкой.

В этом случае все просто. Женим любого юношу на любой его подруге. Исключим эту пару из рассмотрения. Докажем, что для оставшихся $n - 1$ юношей выполнен условие теоремы. Возьмем любую группу из $k$ юношей ($k \leq n - 1$). В самом начале у них было не менее $k + 1$ подруг. Далее невеста выбранного юноши попала сюда, то остается еще $k$ девушек. Это полностью доказывает теорему.

Верятие, вам пришлось потратить некоторые условия на то, чтобы разобраться в этом доказательстве. Но, кроме того, что доказательство не просто, оно страдает важным недостатком — из него не видно простого способа узнать, выполняется ли для каждой конкретного случая условие теоремы о сватовстве, а если выполняется, то как осуществить выбор невесты, нужно перебрать все неустые подмножества (а их $2^6 - 1 = 63$) множество юношей и для каждой из этих подмножества юношей проверить, что у них достаточно подруг. Но даже если проделать это и убедиться, что в принципие устроить все свадьбы можно, то мы не получим отсюда никаких указаний, кого на ком женить. Правда, в данном примере $a$ вам, несомненно, легко удалось подбрать нужные шесть пар (существует даже несколько возможных вариантов), но когда множество очень большие, то случайный подбор отличается лишьком много времени. Особенно важно иметь четкое и экономное правило выбора, чтобы поручить решение задач такого типа вычислительной машине.

Мы построим некоторый алгоритм*), который не только заново докажет теорему о сватовстве, но и дает быстрый способ устроить нужное сватовство, а если этого сделать невозможно, то указывает вариант максимального количества свадьб.

3. СВАДЬБЫ И ГРАФЫ

Систему точек, которые каким-нибудь способом соединены стрелками, называют ориентированным графом*). В этом случае точки называются вершинами графа, а отрезки — его дуеми или ребрами. Примеры ориентированных графов изображены на рассмотрении уже рисунка 1, а также на рисунках 3 и 5. В случае рисука 1 множество всех вершин графа удалось разбит на два множества — девушек и юношей — так, что ребра идут от точек одного множества к точкам другого. В такой ситуации

*) Послеовательность действий для решения определенного типа задач. Москови обещано пшут алгоритм, лениградцы — алгоритм. В настоящее время вторая страница страниц.

18

граф называют простым или двудольным, а задачу, которая нас до сих пор занимала, — благополучно устроить личную жизнь максимального числа девушек и юношей — задачей о максимальном паросочетании.

Задачу о сватовстве можно формулировать с помощью графа следующим образом. Выбор каждой пары «девушка — юноша» означает выбор ребра графа. Припшем каждой пары в бранном у ребру графа число 1, а каждой из остальных — число 0. Устройв все свадьбы, мы получаем функцию, областую определению которой является все ребра графа, а множество значений — два числа 0 и 1*). Как в терминах этой функции поставить все остальные условия задачи? Нам надо, чтобы каждой юноша выбрал себе девушку, а каждой девушка оказалась выбранной не более чем одним юношей. Другими словами, для каждой вершины графа, изображаются девушку, сумма значений функций по всем ребрам, выходящим из нее, должна быть не более единицы, а для каждой вершины, изображаются юношу, сумма значений функций по всем ребрам, входящим в нее, в точности равна единице.

Таким образом, наша задача формулируется как задача нахождения некоторой функции, заданной на ребрах графа и удовлетворяющей некоторым неравенствам**).

Одно из решений этой задачи (в случае примера a)) изображено на рисунке 2, где выбранные ребра — головы. Искомая функция имеет следующий вид:

Аня — Коля, Бэла — Илья, Вера — Лева, Даша — Ося, Жанна — Марк, Зина — Никита, Аня — Никита, Вера — Илья, Галя — Коля, Даша — Лева, Даша — Марк, Даша — Никита, Ева — Лева, Жанна — Лева

*) См. статью А. Н. Колмогорова «Что такое функция» в № 1 «Квант».
**) Заметим, что равенство f=1 можно записать в виде системы двух неравенств: f≥1 и f≤1.

19

Наимпорта от покое матримониального тематику. С помощью графов избражают самые системы связи. Например, при контроле за выполненем сложного комплекса работы отдельные промежуточные этапы обозначают вершинами графа, а стрелками соединяют те из них, которые зависит друг от друга (рис. 3). На графе, помещенном на стр. 14 (заставка к настоящей статусе), показано, как связаны ее части; из него сразу видно, например, что п. 3 можно читать независяимо от того, понятен ли п. 2. Когда задан граф, то для него часто ставятся задачи, которые математически связаются к разысканию функций, удовлетворяющие некоторым неравенствам. Онуну из них — задачу о сравовстве мы рассмотрели. Поставим еще подобную задачу (не решая ее).

З а д а ч а. Обойти ходом коня шахматную доску $8 \times 8$, начав и кончив в заданных клетках.

Рисуем граф (рис. 4) с 64 вершинами (поля шахматной доски) и соединяем ребрами (в данном случае — прямолинейными отрезками) каждой вершины с теми, в которых можно попасть ходом коня. Пока мы не приступили к решению задачи, направление движения нам неважно, и можно рисовать ребра графа без стрелок (неориентированный граф); а можно нарисовать на каждой ребре пару стрелок двух противоположных направлений.

Искомая функция должна давать для каждой промежуточной вершины число 2, а для начальной и для конечной — единицу.

4. СЕТИ И ПОТОКИ

Сейчас мы рассмотрим некоторые специальные виды графов — сети и специальный вид функции на таком графе — потоки. Взглянем снова на граф (см. стр. 14). У него есть две крайние вершины — «вход» (1. Теорема о сватовстве) и «выход» (Задачи). Ориентированный граф с входом и выходом называют траспортиной семью или просто семью. Пример такой сети избражен на рисунке 5, а.

Помоком на данной сети называют функцию на ребрах графа, принимающую (в простейшем случае) значения 0 и 1 и удовлетворяющую следующему условию: для каждой промежуточной вершины (т. е. отличной от входа и выхода) сумма значений потока по всем ребрам, входящим в эту вершину, равна сумме значений по всем выходящим из нее ребрам.

Название «траспортиная семь» и «поток» можно посчитать следующим образом.

Представим себе город с развитием системой улиц (ребер) и перекрестков (вершин), причем на каждой улице установлено одностороннее движение и имеется только один везде в город и один везде из города.

Через город проходит неперерывный поток машин, причем движение организовано так, что ни на одном перекрестке не образуется пробки. В рассматриваемом простейшем случае мы предполагаем, что все улицы, через которые идет поток, загружены одинаково (имеют одинаковую пропускную способность, которая условно принимается за единицу).

В более общем случае каждому ребру приписывается целое положительное число — вес или пропускная способность. (В нашем примере

21

пропускная способность улицы — это количество машин, которое может проехать через «поперечное сечение» улицы за единицу времени.)

Вместо того чтобы сказаать «на сети задан поток», принято говорить «через сеть пропущен поток». Очевидно, поток ничего не оставляет в промежуточных вершинах, а следовательно, приносит в выход столкно единниц, сколько ушло через вход. Эта сумма значений потока по всем ребрам, выходящим из входа, равная сумме значений по всем ребрам, выходящим в выход, называется величины потока.

На рисунке 5,6 изображен поток на сети рисунка 5,a. Ребра сети, на которых значения этого потока равны 1, изображены головы головом. Величина потока равна 3.

Легко сообщить, что для того, чтобы по сети можно было пропустить поток величины n, должно выполнять следующие необходимые условия: если выключить из сети любые k ребер, где k<n, то из входа можно пройти в выход по оставшимся ребрам.

Замечательно, что (так же, как в теореме о сватовстве) это необходимое условие оказывается достаточно м.

Ряд реальных экономических задач приводит к отысканию максимального потока, т. е. потока наиболее возможной величины, который возможно пропустить через данную сеть.

Описанием алгоритма, дающего возможность построить максимальный поток, мы сейчас и займемся.

5. АЛГОРИФМ
   ФОРДА — ФОЛКЕРСОНА

Пусть у нас есть транспортная сеть (рис. 5,a). Нашей задачей является построение для нее максимального потока.

Пусть по этой сети какой-нибудь начальный поток (в крайнем случае нульовой, т. е. такой, значения которого на каждом ребре равны нулью).

Мы начнем с ненулевого потока (рис. 5,6). Ребра, по которым пошел этот поток (они сделаны головами) будем называть насыщенными, а остальные (желтые) — свободными. Проверите, что наш поток нельзя увеличить, не трогая уже занятых друг (нельзя соединить вход с выходом, двигаясь только по свободным стрелкам).

Мы сейчас проделаем некоторую операцию, которая приведет к двум возможным исходам: либо будет показано, как увеличить этот поток, либо будет выяснен, что имеющийся поток максимальный.

Начем ставить на вершинах помещки «плюс» и «минус». Пометим плоском пряжке всего все вершины, в которых можно попасть из входа по свободным ребрам. Дальнейший процесс помещок будет произвольным образом: от помещенной уже вершины будем помещать плоском те вершины, в которых из нее попасть по свободным ребрам, и минутом — все те вершины, куда из нее можно вернуть (в направлении, противоположном стрелке) по насыщеннымдугам. Пусть вас не смущает, что процесс помещок недозначный, —часто одну и ту же вершину можно помещить и плюсом и минутом.

Пометим этим способом все возможные вершины (на рис. 5,6 не помещенных вершин нет; но в других случаях они могут появиться!).

Возможны два случая: 1) удалось помещить выход (разумется, плюсом); 2) помещок больше сделать нельзя, а выход остался неопеченным.

1. В выход оказался помещны м. (Это имеет место на рис. 5,6.) Восстановим порядок, в котором удалось помещить выход*), т. е. соединим выход со входом путем, проходящим по намеченным вершинам (этот путь может в ряде случаев идти

*) Практические (в графах с большим числом вершин) помещки делают часть более сложными, чтобы сохранить информацию о том, в каком порядке помещались вершины.

22

в сторону, противоположную направлению стрелок).

Этот путь на рисунке 5,6 выделен красной линии.

Теперь сделаем следующие: в выделенном красном пути свободные стрелки сделаем насыщенными и наоборот (рис. 5,8), т. е. изменим поток на красной линии так, чтобы он принял на каждом ее ребре значение 1 вместе 0 и 0 вместе 1*). Легко видеть, что новая функция снова является потоком, т. е. в промежутных вершинах число входящих и выходящих насыщенных стрелок снова одно и то же — баланс не нарушается. В то же время в лице ина потока увечилась на единицу у.

Итак, в первом случае мы могли увеличить поток. Если эту операцию возможно проделать еще раз, будем повторять ее, пока это возможно.

2. ВЫХОД ОКАЗАЛЯ НЕ ПОМЕЧЕНЫМ (рис. 5,2). Нашим способом увеличить поток нельзя. Но отсюда пока еще не следует, что он максимальный. Возможно, что плох наш способ увеличения, и мы сможем увеличить поток другим путем. Докажем, что это не так, т. е. докажем, что имеющийся поток — максимальный. Расмотрим множество всех неопмещенных вершин. В это множество по условию входит выход. Подсчитаем число стрелок, ведущих в это множество, т. е. таких, левый конец которых помещен, а правый—нет. Ясно, что величина любого потока не больше этого числа. В то же время для нашей потока все эти стрелки насыщены, так как иначе правый конец можно было бы помещить плосом. Кроме того, все стрелки, выходящие из множества неопмещенных вершин (т. е. такие, левый конец которых не помещен, а правый помещен), свободны, иначе левый конец можно было бы помещить минутом. Это означает, что величина исходного потока равна числу стрелок, выходящих в

6. ТЕОРЕМА ГЭЙЛА
   О НАСЫЩЕНИИ

С помощью алгоритма Форда—Фолкерсона мы сормулируем и доказем сейчас центральную теорему теории трансportных сетей. Формулировка ее будет использовать некоторые естественные экономические термины, но вы почувствуете, как она близка к теореме о сватовстве.

Пусть нам дана трансportная сеть. Расмотрим произвольное множество произвольных вершин $A$ (т. е. не содержащие ни входа, ни выхода). Изовем пропускной способностью этого множества $A$ число стрелок, выходящих в $A$. Обозначим это число

23

через $c(A)$. Изовем полной потребностью множества $A$ число ребер, ведущих из $A$ прямо в выход. Обозначим это число через $d(A)$.

Изучим следующий вопрос: при каких условиях существует поток, насыщаюший все выходные ребра, т. е. такой, значения которого на всех ребрах, ведущих в выход, равны единице. Ясно, что такой поток должен быть максимальным.

Теорема Гэйла. Для мого числовых существуют поток, насыщаюший все выходные дуги, необходимо и достаточно, чтобы для любого множества $A$ его полная потребность не превысило способности:

$$d(A) \leq c(A).$$

Доказательство. Как и в случае теоремы о сватовстве, необходимость почти очереди. Действительно, если мы можем построить поток, проходящий по всем ребрам, ведущим в выход, то для любого множества $A$ он проходит в том числе и по ребрам, ведущим в выход только из $A$. В то же время количество потока, ведущего в множества $A$, не может быть больше, чем число ребер, ведущих в $A$, т. е. числа $c(A)$. Но это количество потока должно целиком уйти из $A$ по всем ребрам, ведущим примо в выход, и может быть еще по каким-то другим. Отсюда ясно, что $d(A) \leq c(A)$.

Достаточность. Пусть по нашей сети максимальный поток. Докажем, что он проходит по всем выходным дугам. Сделаем пометки вершин способом Форда — Фолкерсона и рассмотрим множество непомеченных вершин. Удалим из этого множества выход. Полученное множество обозначим через $A^*$. Ребра, ведущие в выход, могут быть двух сортов.

Во-первых, это также ребра, у которых лежит конец лежит в $A$, т. е. является помеченной вершиной. Они будут насыщены, так как по способу построения поток все ребра, лежий конец которых помещен, а правый нет, насыщены.

Во-вторых, это — ребра, ведущие в выход из множества. Так как $A$ вместе с выходом образует множество всех непомеченных вершин, то все $c(A)$ ребер, ведущих в $A$, будут насыщены, а все ребра, ведущих из $A$ не прямо в выход, — свободы.

*) Множество $A$ может оказаться пустым — наше рассудение все равно будет верно. Но в этом случае справедливо теоремы Гэйла видна сразу. Почему?

Значит, весь поток величины $c(A)$, вошедший в $A$, должен выйти из $A$ прямо в выход. Но из $A$ в выход ведут всего $d(A)$ друг, и мы знаем, что $d(A) \leq c(A)$. Следовательно, все эти ребра насыщены и $d(A) = c(A)$.

Вы, верятоно, заметили, что условие теоремы Гэйла соответствует условиям теоремы о свадбах. Попробуйте самостояльно вывести эту теорему как следствие теоремы Гэйла. Для этого нужно из двудольного графа знакомств между юношами и девушками сделать трансортуную сеть, соединив вход со всеми девушками, а выход — со всеми юношами (за тем удобно приписать каждой стрелке, соединяющей девушку с юношей, вес $N$, где $N$ больше числа юношей).

Для нас гораздо важнее сейчас не то, что мы получили еще одно доказательство теоремы о сватовстве, а то, что мы располагаем простым алгоритмом для построения максимальных потоков.

Для задачи о сватовстве алгоритмом поток, естественно, формулируется так: для каждой девушки, не являющейся невестой, плоском помещаются все ее друзья, затем минутом — невесты этих друзей, затем плоском — остальные друзья этих невест и т. д.; если оказывается помещенным незанятый юноша, то количество свадб можно увеличить, произведя замены вдоль цепочки, проведенной (как красная линия на рис. 5,6) по пометкам от незанятой девушки к незанятому юноше.

Устройство свадб для всех юношей есть не что иное, как построение потока, насыщающего все выходные дуги; если такого нет, то алгоритм Форда — Фолкерсона дает максимальное возможное новое интересное алгоритммы для решения ряда трудных задач конечной математики.

24

ЗАДАЧИ

1. Пусть каждый юноша другит не менее чем с $m$ девушками, а каждый девушка — не более чем с $m$ юношами ($m$ — произвольное натуральное число). Докажите, что в этом случае выполнен условие теоремы о сватовстве.

2. Школьники на кружке решили задачи. Оказалось, что каждый решил по 4 задачи и каждый задача была решена четырьмя школьниками. Докажите, что можно организовать разбор задачи так, чтобы каждый школьник расскаалровно одну задачу и чтобы все задачи были разобраны (по одному разу).

3. Дана транспортиная сеть. Множество вершин, содержащие выход, по не содержащие вход, называют разрезом сети. Пропускной способностью разреза $B$ называется число $c(B)$, равное числу дут, входящих в $B$. Если через $\phi$ обозначает поток, то $|\phi|$ будет обозначает величины потока. Докажите, что для любого потока $\phi$ и любого разреза $B$ верно переваненство: $|\phi| \leq c(B)$.

4. Разрез $B$ называет минимальный, если его пропускная способность $c(B)$ — самая маленькая среди пропускных способностей всех разрезов. Вывести с помощью алгоритма Форда—Фолкерсона, что пропускная способность минимального разреза равна величины максимального потока — max $|\phi| = \min c(B)$ (теорема Форда—Фолкерсона).

5. Проверить, что если $\phi$ — максимальный поток, то разрез, получащийся обедининием всех непомеченных вершин (пометки делаются, исходя из потока $\phi$, методом Форда—Фолкерсона), является минимальным.

6. Доказать, что обедининие и пересечение любых двух минимальных разрезов есть снова минимальных разрез.

7. Доказать, что разрез из непомеченных вершин (для максимального потока) является обедининием всех минимальных разрезов. Вывести отсюда, что этот разрез не зависит от того, с помощью какого максимального разреза делались потоки.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. Кофман, Р. Фор, Займется исследованием операций, «Мир», 1966.
2. К. Берж, Теория графов и ее применение, ИЛ, 1962.
3. Л. Форд, Д. Фолкерсон, Потоки в сетях, «Мир», 1966.
4. О. Оре, Теория графов, «Нayka», 1968.
5. Д. Гэйл, Теория линейных экономических моделей, ИЛ, 1963.

ПАРИЖ МАТЕМАТИКОВ И ФИЗИКОВ

В Париже многое здания связанны с памятью о выдающих ученых прошливх столей. Далее Лувер, который неогда был оплотом королей, перед самой революцией 1789 года стал местом заcedания академиков Хотя позднее, при Наполеоне I, Лувер стал музеем, но и тогда в нем были расквартированны некоторые учены. Сохранилиись письмо Лежандра, в котором этот математик умолял поселить его в старой части дворца.

В Париже есть улицы, носящие имена математиков, физиков и астрономов, причем не все из этих ученых французы. Вот эти имена: Лежандр, Реомор, Паскаль, Пьер Кюри, Мария Кюри, Ламберт, Бюофон, Франклин, Карно, Араго, Декарт, Лейбниц…

Фразу «Число $z$ есть наиболее из двух чисел $x$ и $y$» с помощью формулы можно записать так:

$$z = \frac{1}{2} (|x - y| + x + y).$$

А как записать фразу «Число $u$ есть наиболее из трех чисел $x, y$ и $z$»?

Доказать, что слово АБАБАБ делится на 7 (А и Б — любые цифры).

ФУТБОЛЬНЫЙ ВОПРОС

Как известно, игры на кубок по футбольу проводятся по так называемой olимпийской системе: проигравший выбывает, в случаеничей — переигровка.

В тот год переигровок не было, а в играх участвовали 75 команда.

Сколько было сыграно матчей на кубок?

26

Ф19. Форма сообщающихся сосудов показана на рисунке 1. Куда по-teчет вода по трубке, соединяющей сосуды, если нагреть воду в одном из сосудов?

Ф20. Параллельно оси цилиндра радиуса $R$ на расстоянии $\frac{R}{2}$ от его центра просверлено отверстие. Радиус отверстия равен $\frac{R}{2}$. Цилиндр лежит на дошечке, которое медленно поднимают за один конец (рис. 2). Найти предельный угол наклона дошечки, при котором цилиндр еще будет находиться в равновесии. Коэффициент треня цилиндра о дошечку равен 0,2.

Всесоюзная заочная olимпиада, 1967 г.

Ф21. Оси якорей двух одинаковых электродвигателей постоянного токажестко соединены друг с другом. Если к обмоткам якорей подключены одинаковые источники тока с э. д. с. ε, то угловая скорость врашення якорей без нагрузки равна $\omega_0$; если двигаели затормозить так, чтобы они не врашались, то через обмотки якорей идет ток $I_0$. Один из источников тока переключили так, что врашшение моменты двигаелей противоположны. Какой внешний момент нужно приложить к оси якорей для того, чтобы они врашались с за-

данной угловой скоростью $\omega$? Трение в движательях пренебрежимо мало; магнитное поле статара создается постоянным магнитом.

III Всесоюзная физическая olимпиада, 1969 г.

Ф22. Два кузнеца образывают кусок железа. Сначала егоkladут на наковальню и быют молотком по очереди, потом подвешивают к потолку и быют одновременно с разных сторон. Сила удара каждого кузнеца одинаковова в обихх случаях. В каком случае кусок железа больше нагреется за одинудар?

А. М. Будкер

Ф23. На горизонтальной плоскости находится две одинаковые тонкостей трубы массы $m$ каждый. Оси их параллельны, а радиус равны $R$. Вначале одна из трубок поконтся, а вторая катится без просkalывания по направлению к первой до стольновения. Скорость поступательного движения трубы равна $v_0$. Как зависит от времени (нарисайте графики) поступательные и угловые скорости врашения труб? Коэффициент треня скольжения труб о горизонтальную поверхность равен $k$, трение между трубами при стольновении пренебрежимо мало, удар абсолотно упругий.

III Всесоюзная физическая olимпиада, 1969 г.

27

М16. Докажите, что многочлен $p(x)$ с цельми коэффициентами, который при трех различных цельх значениях $x$ принимает значение 1, не может иметь ни одного целого корня.

М17. Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящся под углом в $60^\circ$, просил: «Как пройти в селье $NN$?» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни $N$ — это в восьми верстах отсюда, — там увидишь, что направо под прямым углом отходит большаяровная дорога — это как раз дорога в $NN$. А можно идти другим путем: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, — значит, половину пути проще; тут поверни налево и идти прямо по шпалам до самого $NN$. — «Ну, а какой путь короче-то будет?»—《Да все равно, что так, что этак, никакой разницы». И пошел крестьян по правой дороге.

Сколько верст ему придется идти до $NN$? Большое десяти или меньше? А если идти от развилки до $NN$ напрямик? (Все дороги считаются прямыми.)

М18. a) Докажите, что для любой точки $M$ окружности, описанной около правильно треугольника $ABC$, один из трех отрезков $MA, MB, MC$ равен сумме двух других.

6. Три равные окружности $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность $\gamma$, которая касается всех трех: $\gamma_1, \gamma_2$ и $\gamma_3$. Докажите, что для любой точки $M$ окружности $\gamma$ касательная, проведенная из точки $M$ к одной их трех окружностей $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$, равна сумме касательных, проведенных из точки $M$ к двум других окружностями.

M19. В бесконечной цепочке невных клеток каждой клетка может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбужdenе». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседи с ней клеток. Каждый клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседи клеток;

если сигнал приходит одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени $t=0$ возбудить три соседи клетки, а остальные оставить в покое, то возбужнение будет распространяться так, как показано на рисунке 3). (Возбужdenные клетки — синние).

Пусть в начальной момент времени возбуждана только одна клетка. Сколько клеток будет находиться в возбужdenном состоянии через 15 месек? через 65 месек? через 1000 месек? вообще через $t$ месек?

Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а содержит всего $N$ клеток, соединенных в окружность (рис. 4), — будет ли возбужdenе поддерживать бесконечную долго или затухнет?

H. Васильев

M20. Можно ли разить правильный треугольник на миллион выпukых многоугольников так, чтобы любая пряма пересекала не более сорока из этих многоугольников? (Мы говорим, что пряма пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну одну общую точку.)

XXXI Московская математическая олимпиада

*) Это предположение не отражает realidad поведения клеток нервной системы жизни организмов.

В 1907 году в Лондоне была издана книга «Эпизод в Флетленде», написанная преподавателем математики Пристонского, а затем Миннесотского университета Чарльзом Говардом Хинтоном. В ней Хинтон сделал попытку обрабатывать плоский мир.

В двухмерном мире, созданным с одной воображения Хинтона, вокруг плоского, как блин, Солнца вращаются такие же плоские планеты, на одной из которых, называют автором Астрией, и проискодят события,

списанные в романе. Этот двумерный мир вы легко представите себе, положив на стол несколько монет. Пусть одна из них, скажем, металлический рубль, изображает Солнце, другие же, более мелкие монеты, изображают планеты, врашающесвокруг него. Сила тяжесты в этом двумерном мире ведет себя не так, как в нашем пространстве. Отличие заключается только в том, что она изменяется обратно пропорционально расстоянию между телами, а не квадрату расстояния, как в привчном нам мире.

Астрия вращается вокруг оси, как любая планета. Например, в котором она вращается, называется востоком, противоположное — западом. Своих плоских actriян (жителей Астрии) Хинтон как бы поставил на «обод» планеты. Они могут перемешаться, оставаться в плоскости диска Астрии. В этой же плоскости растут деревья и стоят дома. Поэтому, встречая дерево, actriянн должен или перебираться через него, или его средать. Чтобы один пропустил другого, два жителя планеты должны двигаться или один под другим, или перерыгивать друг через друга, как это сделали бы два акробата на туго натянутом канате.

Чтобы увидеть что-либо сзади себя, actriянн должен нагнуть и стать на голову или применить зеркоало. Так как второй способ более

удобен, то ни один житель Астрии не выходит из дома без зеркала.

Помимо того, что каждый астриин носит с собой зеркало, все их дома также снабжены зеркалими. Устройство домов сообщуется с двумерным миром. Они имеют окна и двери, через которые можно входить и выходить, но, чтобы дом не рухнуть, в нем можно открыть одновременно только одну дверь или окно. Если западная дверь открыта, восточная дверь и окна должны быть закрыты, иначе верхняя часть дома обвалится. По той же причине дома в Астрии не имеют труб. Ведь нет способа соединить концы трубы так, чтобы ответские не было закрыто.

Тела астриан имеют сложную структуру, но, чтобы избежать неужного детализирования, Хинтон предоставляет их прямогольными треугольниками с руками, ногами и одним глазом. Все мужчины Астриин рождения с лицами, обращенными на восток, а все женщины—на запад. Такая ориентация сохраняется у них до самого смерти, так как для плоских существ (двумерцев) нет способа повернуться, не выходя в третье измерение. Пошеловать jenу или doch астрианину просто. А вот, чтобы поеловать сына, отцу приходит переворочать его и держать вверх ногами.

Грузы в Астрии перевозят кораблями и самолетами. Винт исключается (при своем врашении он выходит в третье измерение), поэтому все самолеты — с машущими крыльями.

Веревки в Астрии не могут быть завязаны в узлы. Это возможно лишь в трехмерном мире. Можно математически строго доказать, что веревки (одномерные тела) могут быть завазаны в узлы только в пространстве трех измерений, но доказательство этой теоремы (и даже ее точную формулировку) мы приводить здесь не будем.

В плоском мире совершенню исключчатся колеса с осями. Тяжелые тела можно транспортировать в Астрии, применяя метод перекатывания через круги, подобно тому как трехмерные вещи можно дивигать на подложенных под них цилиндрических катках.

Таков математический фон романа Хинтона. Но этим не исчерпываются все 181 страниц «Эпизода в Флетленде». Есть там и любовь, и война, и надвигающаяся катстрофа (приближение другой планеты, которое настояло изменить орбиту Астрии, что жизнь там станет невозможной), и счастливый конец. Но это подано гораздо менее интересно, чем все, что касается математики и механики.

В заключение предлагаем решить задачу, которая поможет вам проверить свое воспрятие двумерного мира.

31

Представьте себе плоский астряанский валон длиной 30 метров, который перекатывается на трех окружности (см. рисунок). Центры окружностей расположены на расстоянии 10 метров друг от друга. Этот валон перемещают два астрянина. Как только положение, показанное на рисунке, достигает заднее колесо и бросает его своему компанью. Тотловит колесо и установливает его перед валоном так, как показано пунктом на рисунке. Валон снова катися вперед (на рисунке впраvo) на трех колесах. Особождается следующей колесо, его перебрасывают вперед и т. д. Эта процедура продолжается столько раз, сколько не обходимо. В 55 метрах вперед от колеса, обозначенного пунктом, имеется небольшой высуп. Вычислите, сколько колес перекатыется через него при движении валона. Найти сначала ответ в уме, а затем — при помощи карандаша и бумаги. Попробуйте обобщить решение на случай $n$ одинаковых колес. (Интересно, что величины радиуса колес не имеет значения.)

ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ

Одним из первых математikов, известных истории, был Фалес Милетский. Жил он в Греции в 624—547 гг. до нашей эры.

Фалес обладал исключительно разносторонними дарованиями и интересами. Он занимался политкой, технической, философийной, астроνομной, математкой, торговлей. Как политический деятельности он прославился мудрым советом, который дал своим соотечественникам — воздействия от союза, который предлагал им царь Крез; как инженер он прославился тем, что помог воску того же царя Креза перейти через реку, не замочив ног. По его указанию был прорbit канал, в которой временно переведел русло реки…

Фалес — философ принадлежит теисс «Позная самого себя». Отвечая на вспрос, как проектирует и справедливо, он говорил: «Воздерживайтесь делать то, что считаете поступным для других». Когда Фалес спросили, какую нагруду он хотел бы получить за свое открытие в астрюмии, мудрец ответил: «Для меня достаюно, если рассказываю о моем открытии другим, вы будете говорить, что это—мое открытие, а не ваше». Фалес — математик. Он измерил по тени высоту параметры; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что равны вертикальные углы. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на полукружность — прямою.

ГОДИТСЯ ЛИ ДЛЯ 27!

Хорошо известны признаки делимости на 3 и на 9. Если сумма цифр числа делится на 3 или на 9, то число, соответствующего делится на 3 или на 9.

А как вы думаете, если сумма цифр числа делится на 27, то обязательно ли число делится на 27?

32

ПРИ ПОСТУПЛЕНИИ НА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МГУ
абитуриенты сделают два экзамена по физике:
письменный и устный.
В 1969 году на письменном экзамене предлагалась контрольная работа из пяты задач. На решение ее отводилось четыре часа.
Здесь публикуются два варианта контрольной работы 1969 года. На стр. 61 приведены ответы на задания и даны обязывания к решении некоторых из них.

Вариант 1

1. Хоккейная шайба, сколько по льду, проходит последовательно два равных отрезка пути длиной $l$ каждый и продолжает двигаться. Первый отрезок она проходит за $t$ секунд, второй — за время $2t$ секунд. Найти скорость шайбы в конце первого отрезка пути, если сопротивление движению считать постоянным.

2. В теплопроводном состоянии находим дуги жидкости с удельными тепломкостими $c_1$ и $c_2$, разделенные нетелепропроводной перегородкой. Температура одной жидкости больше, чем другой. Перегородкуубирают, и после установления теплового равновесия разность между начальной температурой одной из жидкости и установленшей в соусде температурой оказывается в два раза меньше разности начальных температур жидкости. Найти отношение масс $m_1$ и $m_2$ первой и второй жидкости.

3. В схеме, изображенной на рисунке 1, первоначально все ключи разомкнуты, и конденсаторы разряжены. Затем замыкают ключи $K_1$ и $K_2$, а ключ $K_3$ остается разомкнутым. Спустя некоторое время ключи $K_1$ и $K_2$ размыкают, а ключ $K_3$ замыкают. Найти заряд на конденсаторе $C_1$ после указанных переключиний. Емкость конденсатора и ЭДС батарей указаны на рисунке буквами.

33

4. Два плоских зеркала $3_1$ и $3_2$ (рис. 2) установлены вплотную друг к другу под углом $a=15^\circ$ к вертикали. На расстоянии $L=8,3$ см от линии соединения зеркала помещена тонкая собирающая линза так, что ее главная оптическая ось перепедикулярна к линии соединения зеркала. Между зеркалами и линзой на главной оптической оси линзы на расстоянии $R=2$ см от линии соединения зеркала расположен точчный источник света $H$. Определите расстояние между изобравениями источника света, которые получаются с помощью линзы. Фокусное расстояние линзы $f=8$ см. Перегородка $K$ зашищает линзу от лучей, и душих непредставенно от источника света.

5. Шар $A$ массы $m$, закрепленный на длиной неевесомой спице, образует мятник, который может совершать колбания, врачаясь вокруг оси $O$ (рис. 3). Шар $A$ отклонен на высоту $h$ и отпущен без начальной скорости. В нижней точке своей траектории шар $A$ содержается с двумя шищимся навстречу шаром $B$, масса которой $M$. Шар $B$, подобно шару $A$, закреплен на длиной неевесомой спице, врачающей вокруг оси $O_1$. Непосредственно перед соударением скорости шаров направлены вдоль линни, соединяющих их центры. Какую скорость $v$ должен иметь шар $^1$ $B$ перед соударением, чтобы шар $A$ после соударения поднялся бы на ту же самую высоту $h$? Удар абсолютино упругий. Тренние в осах и овозdux не учитывать.

Вариант 2

1. Маленький свинцовый шарик объемом $V=0,02$ $cm^3$ равномерно падает в воде. Какое количество теплла выделится при перемещении шарика вниз на 6 м? Плотность свинца $\rho=11,3$ $e/cm^3$. Принять $g=10$ $m/cek^2$.

2. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $f=10$ $cm$ разрезана по диаметру пополам и ее половины $J-L$ (рис. 4) смешены друг относительно друга вдоль главной оптической оси на расстояние $l=10$ $cm$. На расстоянии $a=30$ $cm$ от верхней половины линзы на главной оптической оси установлено зеркало, показанное на рисунке 5. С каким ускорением начет движаться тележка по полу, если к свободному концу ввервики приложить силу $F=8$ $cm$, направленную вертикально вверх. Козффициент треня между грузом и тележкой $k=0,6$. Принять $g=10$ $m/cek^2$.

3. Низкая тележка весом $P=12,5$ $k\Gamma$ может без треня перемещаться по горизонтальном полу. На тележке лежит груз весом $P_1=10$ $k\Gamma$. К грузу прикреплена ввервика, перекинитая неевесомый блок, укрепленный на тележке, как показано на рисунке 5. С каким ускорением начет движаться тележка по полу, если к свободному концу ввервики приложить силу $F=8$ $cm$, направленную вертикально вверх. Козффициент треня между грузом и тележкой $k=0,6$. Принять $g=10$ $m/cek^2$.

34

4. В схеме, изображенной на рисунке 6, оба ключа $K$—$K$ первого аналогно разомкнуты, конденсатор $C_1$ разряжен; конденсаторы $C_2$ и $C_3$ заряжены и имеют одинаковый заряд $q$, полярность их пластин указана на схеме. Найти заряд, который оказывается на конденсатор $C_1$ после того, как оба ключа будут разомкнуты. Емкость всех конденсаторов одинакова.

5. На горизонтальном разположенном две прямугольного железа лежат брусок массы $M$ и соприкасающийся с ним клин массы $m$, который может скольнить по бруску (рис. 7, вид сверху). Правая вертикальная грань бруска скошена под углом $\alpha$. Брусок может перемещаться вдоль железа, боковые стенки которого служат направляющими. Нормально к левой вертикальной грани бруска прикладывается сила $F$. С каким ускорением начнет двигаться брусок? Треннем между всеми соприкасающимся поверхностями пренебречь.

Во время первой мировой войны среди французских офисеров, которые пришли в армюю со студенческой скамби, во время длительных порой промежутков между боями были распространены составляния по решению задач из элементарной математики. Победитель должен быть найти правильное и наиболее интересное по общему мнению решения.

Вот одна из таких задач:
Доказать, что треугольник равноведренный, если его биссертрисы равны.
Пытались решать эту задачу многое, но находили правильные пути не все. Не хотите ли попробовать свои силы?

В 1939 году во втором type 5-й Московской математической олимпiadы участникам ее была предложена задача: «Разложить на целые рациональные множители выражение $a^{10} + a^5 + 1$».

Эту задачу легко решить, если воспользоваться теоремой: Многочлен $1 + a^{3k+1} + a^{3p+2}$ делится без остатка на многочлен $1 + a + a^2$ при любых натуральных $k$ и $p$.

Попробуйте установить, справедлива ли теорема:
Многочлен $1 + a^{4m+1} + a^{4l+2} + a^{4k+3}$ делится без остатка на многочлен $1 + 1 + a + a^2 + a^3$ при любых натуральных $k$, $l$ и $m$.

35

ГУМАНИТАРИИ
СДАНОТ
МАТЕМАТИКУ

При набившем уже оскомину делении на «физиков» и «лириков» к «физикам» относительно не только физиков, но и химиков, инженеров, биологов, геологов, математиков, а к «лирикам» — не только лирических позтов, но и филологов, обществоведов и вообществе представителей гуманитарных наук.
Сложность представления и о двух полярных категориях школьников — одна увлекательная химия, физикой, математикой и активно участвуют в крупках технического моделирования; другие интересующие истории, искусством, психологии и печатися в школьных литературных журналах. Первые должны идти во втузы, а также на физico-mатематические и химico-bиологические факультеты; вторые — в институты и на факультеты гуманитарного профессионала.
Одноко старшеклассика, думалосьим о выборе места дальнейшей учebы, не следует забывать, что последнее десятилетия ознакомовались глубоким проникновением математики во многие отрасли знания, традиционно считавшиеся «гуманитарными». Достаточно сказать, что математика преподается сегодня на экономическом и психологическом факультетах и на отделении структурой и прикладнойлингвистики филологического факультета Московского университета.
Здесь не место говорить о роли математики в гуманитарных исследований или хотя бы о роли математических дисциплин в преподавании на указанных факультетах МГУ. В этой статье мы приводим лишь задачи по математике, предложенные на гуманитарных факультетах МГУ на письменныхступительных экзаменах в августа 1969 г. Впрочем, в вариантах письменных заданий отчасти отражены требования, предъявляемые к математической подготовке поступающих на те или иные факультеты и отделения.

36

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА*)

Факультет психологии

1. Внутренняя точка $A$ шара радиуса $r$ соединена с поверхностью шара трея отрезками прямых, имеющих длину $l$ и проведеными под углом $a$ друг к другу. Найти расстояние точки $A$ от центра шара.

2. Найти все положительные числа $a$, для которых все различные неотрицательные значения $x$, удовлетворяющие уравнению
   $$\cos[(5a - 9)x] = \cos[(9a + 17)x]$$
   и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.

3. Доказать, не пользоваться десятичными дробями, что
   $$\log_2 5 > \log_5 32.$$

4. Расстояние между $A$ и $B$ равно 7 км. Два пешекода одновременно вышили навстречу друг другу и встретились равные через час. Если бы первый шел вдвое быстрее, чем он шел на самом деле, а скорость движения второго была бы на 2 км/час больше его фактической скорости, то к моменту встречи второй прошел бы большеную часть пути. Скорость какого пешекода больше?

5. Доказать, что
   $$8x^2 + y^2 + 11z^2 + 4xy - 12xz - 5yz > 0,$$
   если $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

3 адачи
из других вариантов

a) В шара радиуса $r$ проведен диаметр $AB$ и три равные хорды $AC, AD$ и $AF$ проведены под углом $a$ друг к другу. Найти объем тела, ограниченного плоскостями треугольников $ACD, ADF, ACF, BCD, BDF$ и $BCF$.

6. Из $A$ в $B$ по течение реки плявет плот. Одовременно с тем, когда плот начал путь из $A$ в $B$, из $B$ в $A$ навстречу ему плявла лодка, которая встречает плот не ранее чем через 2 часа, и затем прибывает в $A$, затратив на весь путь менее трех часов двацати минут. Успеет ли плот преодолеть путь из $A$ в $B$ за 5 часов, если расстояние между $A$ и $B$ равно 20 км?

Решения задач

1. Пусть $O$ — центр шара; $B, D$ и $C$ — точки пересечения с поверхностью шара прямых, проведенных из точки $A; O_1$ — центр сечение шара плоскостью $\Delta BCD$. Учитывая,

*) На экзамены отводилось: на факультете психологии и отделении политического экономии экономического факультета — 4 часа, на филиологическом факультете и отделении экономического экономического факультета — 5 часов (один час равен шестидесятей минутам).

что плоскость $\Delta BCD$ перпендикулярна диаметру $AO_1$ (кроме случая $l = r$), находим
$$OO_1 = \sqrt{r^2 - \frac{4}{3}l^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
$$AO_1 = l \sqrt{1 - \frac{4}{3} \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда
$$AO = OO_1 + AO_1,$$ если точки $A$ и $O$ лежат по разные стороны плоскости $\Delta BCD$;
$$AO = OO_1 - AO_1,$$ если точки $A$ и $O$ лежат по одному сторону плоскости $\Delta BCD$, и точки $O$ лежат вне пармиды $ABCD$ ($OO_1 > AO_1$);
$$AO = AO_1 - OO_1,$$ если точки $A$ и $O$ лежат по одному сторону плоскости $\Delta BCD$, и точки $O$ лежит внутри пармиды $ABCD$.

2. По формуле разности косинусов
   $$2 \sin [(7a + 4)x] \cdot \sin [(2a + 13)x] = 0.$$

Так как $a > 0$, то решения уравнения имеют вид
$$\frac{\pi k}{7a + 4}, \frac{\pi l}{2a + 13}; k, l - целые.$$

Ясно, что неотрицательные решения (соответствующие неотрицательным $k$ и $l$) образуют две арифметические прогрессии с первым членом 0 и разностями соответствующего целое число разкладывается в другой, т. е. когда либо $\frac{d_1}{d_2}$ натурально, либо $\frac{d_1}{d_2}$ аналогично получается: $\frac{d_2}{d_1}$ натурально.

Обратно, если, например, $\frac{d_2}{d_1}$ натурально, то в связи с арифметической прогрессии с первым членом 0 и разностю $\frac{d_2}{d_1}$ является также членом арифметической прогрессии с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$, поэтому членов двух прогрессий вместе образуют арифметическую прогрессию с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$.

Итак, $a > 0$ удовлетворяет условиям тогда и только тогда, когда либо $\frac{d_1}{d_2}$ натурально, либо $\frac{d_2}{d_1}$ натурально, либо $\frac{d_1}{d_2}$ является также членом арифметической прогрессии с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$, поэтому членов двух прогрессий вместе образуют арифметическую прогрессию с первым членом 0 и разностю $\frac{d_1}{d_1}$.

38

6. Положив $y = \frac{2x - 1}{2x - x^2 - 4}$, получаем квадратное (относительно $x$) уравнение $yx^2 + 2(1-y)x + 4y - 1 = 0$, дискриминант которого должен быть неотрицательным: $(1-y)^2 + y(4y - 1) \geq 0$, так как $x$ — действительное число, откуда
   $$-\frac{1 + \sqrt{13}}{6} \leq y \leq \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}.$$
   Следовательно, наименьшее значение $y$ равно $-\frac{1 + \sqrt{13}}{6}$; соответствующое значение $x$, как легко подсчитать, есть $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Отделение экономической кибернетики экономического факультета

1. Решить уравнение
   $$\left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right)^2 - 2 \sqrt{\cos x} \times \left( \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2}\right) - \sin x = 0.$$
2. Четыре группы туристов отправились в воскрестный подход по четырем маршрутом разной длины. Сумма расстояний, проиденних первоя и четверой группами, на 6 км больше суммы расстояний, проиденних второй и третьей группами. Вторая группа прошла на 2 км меньше первого. Число туристов третьей группы равно расстоянию, проиденному первоя группой, а число туристов второй группы равно расстоянию, проиденному четверой группой. Сумма квадратов расстояния, проиденних каждой группой, равна 494. Сколько кибернетки просила каждый группа?
3. В круг радиуса $R$ виссан шестугольник ABCDEF. Известно, что $\angle A = \angle C = \angle E$, сторона $AB = a$, CD = b, EF = c. Вычислить площадь шестугольника ABCDEF.
4. Решить неравенство
   $$\left( 4x - x^2 - 3 \right) \log_2 \left( \cos^2 \pi x + 1 \right) \geq 1.$$
   3 задание
   из других вариантов
   a) Отрезок $AB = a$ перпендикулярен отрезку $BC = 3a$. В плоскости, содержащей оба эти отрезка, построены два круга радиуса $a$ с центрами в точках $A$ и $B$ и круг радиуса $3a$ с центром в точке $C$. Вычислить площадь части трех построенных кругов.

6. Решить неравенство
   $$\left| \sqrt{2} | x | - 1 \right| \cdot \log_2 \left( 2 - 2x^2 \right) \geq 1.$$

Решения задач

1. Область допустимых значений (ОД3):
   $$-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi,$$
   $k = 0, \pm 1, \dots$

Положим
$$y = \sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2},$$
тогда
$$y^2 - 2 \sqrt{\cos x} y - \sin x = 0,$$
откуда
$$y = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt{\sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)},$$
т. е. имеем
$$\sqrt{\cos x} - 4 \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} + 5 \sqrt[4]{2} = \sqrt{\cos x} \pm \sqrt[4]{2} \sqrt{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}.$$

Положив $z = \sqrt[4]{\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}$, получим $-4z + 5 = \pm z^2$. После уравнения имеет корни $z_1 = 1, z_2 = -5, z_3 = 2 \pm i$. Корни $z_2, z_3, z_4$, очень/no, построение.
Из $z_1 = 1$ следует $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$. Таим образом, $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1$.

2. Пусть $x_i$ — расстояние, проиденное $i$-группой, $i = 1, 2, 3, 4$. Из условия задачи имеем $x_1 + x_4 - 6 = x_2 + x_3, x_1 - x_2 = 2, x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 494$, откуда
   $$(x_1 - 1)^2 + (x_4 - 2)^2 = 242,$$
   $$x_1 = 1 + \sqrt{242 - (x_4 - 2)^2}.$$

По условиях $x_1$ и $x_4$ — натуральные числа ($x_1$ — число туристов в 3-й группе, а $x_4$ — число туриста легкого подбором, исходя из последнего соответствия (и заменяя, что в силу этого же соответствия $x_4 < 18$). Перебирая последовательно
$x_4 = 1, 2, 3, \dots, 17,$ находим единственное решение:
$x_4 = 13, x_1 = 12.$
В этом случае $x_2 = 10, x_3 = 9.$

3. $$\frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2 + \frac{\sqrt{3}}{8} a \left( \sqrt{12R^2 - 3a^2} - a \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} b \left( \sqrt{12R^2 - 3b^2} - b \right) + \frac{\sqrt{3}}{8} C \left( \sqrt{12R^2 - 3C^2} - C \right).$$

40

$$\frac{\cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ - 1}{\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ} = 2 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}.$$

В заключение предлагаем решить самостояльно по одному варианту каждой таблицы.

Филологический факультет

1. В бассейн проведено три трубы, по которым в него течет вода. Первая и вторая трубы вместе наполняют бассейн на 35/18 часа быстрее, чем первая и третья трубы вместе наполняют его за 10 часов. Какую часть бассейна в час наполняет вторая труба, если она одна наполняется его в $\frac{7}{5}$ раза долше, чем одна первая труба?
2. Решить уравнение:
   $$\log_{\sin x} \left( \sin x - \frac{1}{4} \cos x \right) = 3.$$
3. Решить неравенство:
   $$2\log_3 x - \log_1/5 (4 - x) \leq \log_3 (x - 1)^2 + 2\log_2 (10 - x).$$
4. N человек обменялись рукопажатями. Сколько было рукопажатей?
5. Указать хотя бы одну пару целых положительных чисел $k_1$ и $k_2$ таких, что $36 \cdot k_1 - 25 \cdot k_2 = 1$.
6. Доказать, не пользоваться таблицами, что $\log_4 9 > \log_5 11$.
7. Есть ли тупой угол у треугольника, стороны которого равны соответственно 10, 14 и 17?

Факультет психологии

1. В шаре проведен диаметр $AB$ и две равные хорды $AM$ и $AN$, каждая под углом $a$ к диаметру. Найти угол между хордами, если отрезок $MN$ виден из центра шара под углом $\beta$.
2. Найти все положительные числа $a$, для которых все различные неотрицательные значения $x$, удовлетворяющие уравнению $\cos [(8a-3)x] = \cos [(14a+5)x]$ и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметический прогрессию.
3. Доказать, не пользоваться десятичными дробями, что $\log_3 16 > \log_16 729$.
4. Расстояние между станциями $A$ и $B$ равно 360 км. В одно и то же время из $A$ и из $B$ настречу друг другу выездят два поезда. Поезды выехали из $A$, прибывает на станцию $B$ не ранее чем через 5 часов. Если бы его скорость была в 1,5 раза больше, чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд еще чем через 2 часа после своего выхода из $A$. Скорость какого поезда больше?
5. Доказать, что
   $$2x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 6xy - 2xz + 5yz > 0,$$
   если $x^2 + y^2 + z^2 > 0$.

Отделение политической экономии

1. Пять туристских палаток и двадцать спальных мешков стопли 490 руб. После десятипроцентной скидки на одну палатку и пятипроцентной скидки на один мешок за то же количество палаток и мешков нужно платьть 457 руб. Сколько до скидки стопли одна палатка и сколько стопли один мешок?
2. Решить неравенство: $x^2 + x - 10 < 2/x - 2$.
3. В остругольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $a$, сторона $AC$ равна $b$. Из вершины $B$ проведена медиана $m$. Вычислить площадь треугольника $ABC$.
4. Решить уравнение: $(3 - \text{ctg}^2 x)\sin 2x = 2(1 + \cos 2x)$.
5. Найти наиболее значение дроби $\frac{3x - 2}{4x - x^2 - 6}$, если $x$ может принимать любые действительные значения.

Отделение экономической библиотекки

1. Решить уравнение
   $$\left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - 5 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \sqrt{2} \left( 4\sqrt{\cos \frac{x}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \right) - \frac{\cos x}{2} = 0.$$
2. В пionерском лагере работают четыре художественные кружка. Кажdomу члену кружка привести по одинаковому набору красок. В первом и четвертом кружках вместе, а во втором и четвертом кружках вместе на четые пionера больше, чем в первом и третьем кружках вместе. В третьем кружке не больше десяти пionеров. Сколько пionеров в каждом кружке, если цена в рублей одного краска равна количество членов первого кружка, поделенному на десять, а за краски запалатили 52 руб. 80 коп.?
3. В трапецю $ABCD$ вписан круг. Найти разность длины отрезков диагонали $AC$, расположенных в круга, если высота трапеци равна $h$, а углы при основании $AD$ равны $a$ и $\delta$.
4. Решить неравенство: $2^{-1}x - 2^1\log_2(4x - x^2 - 2) \geq 1$.

А. С. КУЗИЧЕВ
В. С. УСПЕНСКИЙ

41

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕКОТОРЫХ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

А. Я. МАРГУЛИС, Б. А. РАДУНСКИЙ

При изучении курса математики школьник часто приходит решать неравенства и системы неравенств с одним неизвестным. При этом геометрическая иллюстрация решения (в совокупности с методом интегралов) помогает им кратчайшим путем нахождения правильные решения.

Рассмотрим, например, неравенство
$$\log_2 (x^2 - 4x + 3) \leq 3.$$
Его решение совпада с решению системы двух неравенств с одним неизвестным
$$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 8 \end{cases}$$
(необходимо для существования логарифма),
(получается при потенцировании заданного неравенства).

Множество значений $x$, удовлетворяющих первому неравенству, есть совокупность двух интегралов
$$x < 1 \text{ и } x > 3,$$
а второму — отрезок
$$1 \leq x \leq 5$$
(это вытекает из свойств квадратного треxcчлена).

Отметив на числовой оси эти промежутки (рис. 1), мы видим, что множество значений $x$, удовлетворяющих системе неравенств, заполняет два получкрытых интеграла, $-1 \leq x < 1$ и $3 < x \leq 5$ (на рисунке они даны пунктом).

Для большей наглядности на самом рисунке отмечено, какие из концов интегралов принадлежат к области решения, а какие — нет.

Геометрическая иллюстрация оказылась здесь весма полезной. Ее роль еще больше возрастает при решении неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными.

42

Рассмотрим неравенства с двумя неизвестными вида

$$y - f(x) > 0.$$

(1)

Построим график функции $y = f(x)$ и возьмем произвольную точку $A'_1$ с абсциссой $x = x_0$ (рис. 2). Если при том же $x = x_0$ ее ordinата $y_1$ больше ordinаты $y_0$, соответствующей точки $A$ кривой $y = f(x)$, то точка $A'_1$ лежит над кривой. Точка $A'_1$ лежит под кривой $y = f(x)$, если ее ordinата $y_2$ меньше ordinаты $y_0$. Следовательно, координаты всех точек, лежащих ниже кривой $y = f(x)$, удовлетворяют неравенству $y < f(x)$, а координаты всех точек, лежащих выше кривой $y = f(x)$, удовлетворяют неравенству $y > f(x)$.

Таким образом, график функции $y = f(x)$ разбивает координатную плоскость на две части, в одной из которых выполняется неравенству $y - f(x) > 0$, а в другой $y - f(x) < 0$.

Введем следующое определение. Множество мощи плоскости называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя мощами $A$ и $B$ содержим все мощи отрезка $AB$.

Рассмотрим, например, внутреннюю часть любого треугольника, круга, квадрата. Можно показать, что эти множества являются выпуклыми.

Очевидно, что те части, на которые кривая $y = f(x)$ разбивает плоскость, могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми (см. рис. 2).

Проиллюстрируем теперь на ряде примеров, как при помощи геометрических представлений можно решать неравенства и системы неравенств с двумя неизвестными.

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = ax + b$ (2).

Графиком линейной функции $y = ax + b$ является прямая линия (рис. 3). Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости: верхнюю и нижнюю. В первой из них выполняется неравенство $y - (ax + b) > 0$, а во второй $y - (ax + b) < 0$. Заметим, что обе эти полуплоскости являются выпуклыми множествами.

43

Пример 1. Найти на координатной плоскости геометрической места точек, координаты которых удовлетворяют системе двух линейных неравенств (решить графические заданные системы неравенств):

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 2, \\ y < -\frac{1}{2}x + 1; \end{cases}$$

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 1; \\ y < -\frac{1}{2}x + 2, \end{cases}$$

$$\begin{cases} y \geq \frac{1}{3}x + 1, \\ y \leq 2x - 2. \end{cases}$$

Решение. На рисунке 4 приведены графические решения данных неравенств. Если решение каждого из неравенств закрасить желтой или серой краской, то решением системы является часть плоскости, закрашенная обоими цветами. Из рисунка 4 видно, что система a) решений не имеет (рис. 4,a); решением системы b) является полуплоскость, лежащая над прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (рис. 4,б); решением системы b) является бесконечная полоса между прямыми $y = -\frac{1}{2}x + 1$ и $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (рис. 4,в); а решением системы г) является часть плоскости, лежащая внутри дважды закрашенного угла, включая его стороны (рис. 4,г).

Рис. 4 a, б, в, г.

45

$y = x + 1$, принадлежая область решения, проведена сплошной линий, а пряма $y = x + 2$, не принадлежая область решения, — пунктиром.

Пример 4. Решить графические неравенство $\log_{y-1}(x-2) < 1$.

Решен и е. Области допустимых значений (ОДЗ) неизвестных, очевидно, определяется системой неравенств

$$x > 2, y > 1, y \neq 2.$$

В соответствии с данной системой исключим вначале множество не может иметь решения. Для этого на рисунке 7 закрасием серой краской полуплоскость $x < 2$, полуплоскость $y < 1$, и пунктиром проведем прямую $y = 2$.

Рассмотрим теперь два случая:

a) $1 < y < 2$. Потенцируя исходное неравенство, получим $x - 2 > y - 1$ или $y < x - 1$.

b) При $y > 2$ получаем $x - 2 < y - 1, y > x - 1$.

Решения, соответствующие этим случаям, на рисунке 7 оказываны в зеленьй цвет.

Решите самостояльно примеры 5 и 6.

Пример 5. Решить графические неравенство $\log_{y-1}(y - x + 2) > 0$ (см. рис. 8).

Пример 6. Решить графические неравенство $\log_x \log_y y > 0$ (см. рис. 9).

Рассмотрим теперь квадратный треxcхлен

$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

Как известно, графиком функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола с осью симметрины, параллельной оси ordinат, и с вершиной в точке $B\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$, где $D = b^2 - 4ac$.

График одного из квадратных трехчленов (при $a > 0$) схематически показан на рисунке 10. Этот график делит плоскость на две части, в одной из которых выполняется неравенство $y - (ax^2 + bx + c) > 0$, а в другой $y - (ax^2 + bx + c) < 0$. Читатель без труда

46

да заметит, что только одна из этих частей является выпуклым множеством.

Пример 7. Решить графические неравенство $\log_y(5x-x^2-6)>1$.

Решение и.e. Область допустимых значений определяется, очевидно, неравенствами

$$\begin{cases} 5x-x^2-6>0, \\ y>0, \\ y\neq 1. \end{cases}$$

Первое из этих неравенств эквивалентно неравенству $x^2-5x+6<0$. Его решения заполяют интервал $2<x<3$.

На рисунке 11 серым закрашены те части плоскости, где $x<2$ и $x>3$, и получилось $y<0$, а также исключены точки, лежащие на проведенной пунктром прямой $y=1$.

Рассмотрим два случая: $y>1$ и $0<y<1$.

a) $y>1$. Потенцируя исходное выражение, получаем не равенство $5x-x^2-6>y$, или $y-(-x^2+5x-6)<0$. Последнему неравенству удовлетворяют координаты всех точек, расположенных под параболю $y=-x^2+5x-6$, но ни одна из них не соответствует условиям $y>1$. Таким образом, при $y>1$ решений нет.

b) $0<y<1$. Аналогично получаем неравенство $5x-x^2-6<y$, т. е. $y-(-x^2+5x-6)>0$.

Очевидно, что решением является закрашенная на рисунке 11 зеленьм цветом область над параболю $y=-x^2+5x-6$.

Решите самостояльно примеры 8 и 9.

Пример 8. Решить графические неравенство $\sqrt{y}<x-1$ (см. рис. 12).

Пример 9. Решить графические неравенство (см. рис. 13)

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{y-x+3}}$$

Пример 10. Решить графические неравенство

$$\sqrt{1-(x-3)^2-(y-2)^2} < \sqrt{1-(x-4)^2-(y-2)^2}$$

Решение и.e. В данном случае ОДЗ определяется неравенствами

47

$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0, \\ 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0. \end{align*}$$

или

$$\begin{align*} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1, \\ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1. \end{align*}$$

Уравнение $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 1$ является уравнением окружности единичного радиуса с центром в точке $O_1(3;2)$. Неравенству $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \leq 1$ удовлетворяет все точки, удаленные от точки $O_1$ не более чем на единицу, т. е. все точки указаанного кругга, включая и его границу. Аналогично определяется и множество точки, координаты которых удовлетворяют второму неизвестных является общая часть двух кругов (рис. 14). Остается найти множество точки, для которых выполняется заданное неравенство. После оценных преобразований получим неравенства, которые в данной ОДЗ равносильны исходному:

$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &< \\ < 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2, \\ (x - 4)^2 - (x - 3)^2 &< 0, \\ x &>\frac{7}{2}. \end{align*}$$

Таким образом, решение является закрашенная на рисунке 14 с ней краской области (часть ОДЗ, лежащая правее прямой $x = \frac{7}{2}$).

В заключение рассмотрим следующий пример.

Пример 11. Среди точки, координаты которых удовлетворяют условием $x + 2y \leq 3$, $2x - y \leq 1$, $x \geq 0$ и $y \geq 0$, найти такую точку, для которой выражение $x^2 + y^2$ будет наиболее точным.

48

Решение. Найдем при помощи графического решения системы неравенств

$$x + 2y \leq 3, \quad 2x - y \leq 1, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0$$

множество точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям. Из рисунка 15 видно, что это будет четырехугольник OABC. (Координаты его вершин легко определяются из уравнений граничных прямых и указыны на том же рисунке.)

Тепер наша задача формулируется так. Среди точек четырехугольника AOBC найти такую точку, для которого выражение $x^2 + y^2$ является наиболее简便. Но мы знаем, что выражение $x^2 + y^2$ определяет квадрат расстояния от точки с координатами $(x, y)$ до начала координат. Следовательно, задача сводится к отисканию в четырехугольнике OABC точки, наиболее удобной от начала координат. Очевидно, что такой точкой является точка $C\left(0; \frac{3}{2}\right)$. Доказайте!

Решите сами две задачи такого типа (эти задачи представлены в 1968 году на вступительных письменных экзаменах по математике).

Пример 12 (физик Ленинградского университета). Среди всех пар чисел, удовлетворющих неравенству $\log_{x^2 + y^2}(x + y) \geq 1$, найти те, у которых $y$ наиболее.

Пример 13 (мехмат Новосибирского университета). Для каждой $a$ среди всех точек плоскости, координаты которых $(x, y)$ удовлетворяют системе неравенств

$$\begin{align*} y - 2x &\geq 0, \\ -x^2 + 2ax - a^2 + a + 1 - y &\geq 0, \end{align*}$$

найти точку с наиболее $y$.

В начале лекции лектор сформулировал известную теорему Коши, по которой среднее арифметическое неравных между собой положительных чисел больше их среднего геометрического.

В этот момент студента вызвал в деканат. Когда он возврался на лекцию, то еще за дверью условия, как лектор заканчивал формулировку задачи:

«Подсказку, что все корни уравнения не только действительны, но еще и положительные».

Когда студент вошел в аудиторio, то на доске все уже было стерто, кроме записи $x^{20} - 20x^{19} \dots +1 = 0$.

— Все ясно — сказал студент и назвал все корни уравнения, которые в его отсутствие записьвал лектор.

А вы сможете их назвать?

49

14 ДНЕЙ В БУХАРЕСТЕ

Жители Бухареста привыкли к туристам всех возрастов. Должно быть, поэтому вряд ли кто обращал внимание на разнорязычные стайки юношей и девушек, знакомившихся в июле прошло года с румынской столицей. И только посвященные знали, зачем сюда приехали школьники из 14 стран.

50

Впрочем, из газет стало об этом известно потом многоим.

Что же приведо в Бухарест юных гостей из Англли, Белгии, Болгарии, Венгрии, ГДР, Голландии, Монголии, Польщи, Румынии, СССР, Франции, Швеции, Чехословакии, Югославии? Привела их математика: здесь проходила XI Международная математическая олимпиада.

Нелегким был путь соверших школьников в Бухарест. Для этого они должны были занять признаные места на всех наших олимпиадах различных «рангов» — школьных, районных, областных, Всесоюзной. Мало того, победа в совершеннях только одного года еще не гарантировала успеха. Предпочтение отдавалось тем, кто имел хорошего «олимпискую биографию» за несколько лет.

И вот называем имена: Владимир Дринфельд — 10-й класс харьковской школы № 27, Андрей Зелевинский — 9-й класс Московской школы № 2, Аркадий Климов — 9-й класс Московской школы № 18 (физко-математическая школа при МГУ), Елена Неклодова — 10-й класс Московской школы № 7, Андрей Прасолов — 10-й класс и Андрей ХодULEВ, 9-й класс, — оба из Московской школы № 18, Валерий Соловев — 10-й класс казанской школы № 131, Павел Суворов — 10-й класс ленинградской школы № 45 (физко-математическая школа при ЛГУ). Этим воьсмерным участником олимпиады предстояло выдержать «бои» с таким же количеством соперников от каждой иностранной команды.

《Экзамен》 принимало солидное жюри, возглавляемое румынским академиками Мойсилом и Теодерсеку. В его состав входили видные учены и педагоги из всех стран, пославших команды на олимпиаду; от СССР в жюри входил руководитель советской команды проф. В. И. Левин.

Прихав 7 июля в Бухарест, наши олимпицы, В. И. Левин и его заместитель — автор этих строк — осмотрел достопримечательности города, его исторические памятники, музей, парки, посетили советское посольство.

10 июля начались двухдневные совершенные совершения. По условиям Олимпиады каждой из участников должны быть как в первый, так и во второй день за четыре часа решить три задачи; их текст приведен ниже. Каждый задача оценивалась установлением количеством очков. За правильный ответ решивший получал максимальное количество очков, а если в решении были недочеты, число очков поняжалось.

Между 12 и 19 июля участники Олимпиады отправились в путешествие по стране. Конецно, им очень понавились румынские города, где они чувствовали себя в великолепно, но сердцем и мыслими были в Бухаресте, где жюри подводило итоги конкурса. Он стал известен 19 июля, когда в залicenseм. Н. Бэлчесу (лицейми называются там средние школьы) были назаны победителем. Диплом первого степени жюри присудило участникам, набравшим максимальное возможное число очков — 40. Его удостолилось трое: Владимир Дринфельд (ССCP), Симон Нортон (Англия) и Филала Тибор (Венгрия). Дипломы второй степени врачаи участвовали в учении участникам, набравшим от 30 до 37 очков. Из наших участников их получили Андрей Прасолов, набравший 32 очка, Андрей Зелевинский и Андрей ХодULEВ, набравшие по 30 очков. Дипломы третьей степени врачаились тем, кто набрал от 24 до 29 очков. Из советских учащихся дипломы третьей степени достигли достижения Елене Неклодовой и Валерию Соловеву, набравшим по 27 очков, а также Аркадий Климов, набравшиму 24 очка. Павел Суворов набрал 21 очков. Он получил диплом учащника.

По общему числу очков (231) наша команда заняла третье место, первоое завоевали венгры — 247 очков. Им вручены один дивлом первой степени, четыре — второй и два — третьей. Один венгерский школьник получил дивлом учащника. На второй месте команда ГДР — 240 очков: четыре диплома второй степени и четыре третьей. Если же считать по «олимпискому счету» 7 очков за первое место, 4 — за второе и 3 — за третье, то венгерская команда получила 29 очков, а команда ГДР и СССР по 28 очков.

Все члены нашей команды, окончившие 10-й класс, были зачислены без случая вступительных экземпов на механико-mатематическе факультеты университетов.

Приводим задачи, которые былиданы участниками олимпиады. Полное решение всех задач опубlikовано в журнале «Математика в школе» № 1 за 1970 год.

В первый день совершенняй былданы следующие задачи.

51

1. Доказать, что существует бесконечное множество натуральных чисел $a$ со следующими свойствами: число $z = n^4 + a$ не является простым или для какого натурального $n$ (ГДР, 5 очков).

2. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — действительные постоянные, $x$ — действительное переменное и
   $$f(x) = \cos(a_1+x) + \frac{\cos(a_2+x)}{2} + \frac{\cos(a_3+x)}{2^2} + \dots + \frac{\cos(a_n+x)}{2^{n-1}}.$$
   Доказать, что из $f(x_1) = f(x_2) = 0$ следует, что $x_1 - x_2 = m$, где $m$ — целое число (Венерия, 7 очков).

3. Для каждого значения $k = 1, 2, 3, 4, 5$ найти необходимые и достаточно условия, которые должны удовлетворять число $a > 0$ для того, чтобы существовал терраэр, $k$ ребер которого имеют длину $a$, а остальные $6 - k$ ребер — длину 1 (Полыша, 7 очков).

Во второй день были предложены задачи:

4. Полуокружность $\gamma$ построена на диаметре $AB$. Точка $C$ лежит на $\gamma$ и отличают $A$ и $B$. Ортогonalную проекцию $C$ на $AB$ обозначим через $D$. Расмотрим три окружности $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$, имеющие $AB$ в качестве общей касательной: из них $\gamma_1$ вписана в треугольник $ABC$, $\gamma_2$ и $\gamma_3$ обе касаются отрезка $CD$ и $\gamma$. Доказать, что $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ имеют вторую общую касательную (Голландия, 6 очков).

5. В плоскости данных $n > 4$ точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Показать, что можно найти не менее $C_n^2 - 3$ выпуклых четырехугольников с вершинами в четырех из данных точек (Монголия, 7 очков).

6. Доказать, что если $x_1 > 0, x_2 > 0$ и $x_1y_1 - z_1^2 > 0, x_2y_2 - z_2^2 > 0$, то
   $$\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1-z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1 - z_1^2} + \frac{1}{x_2y_2 - z_2^2}.$$
   Установить необходимые и достаточно условия, при которых в данной неравенстве имеет место равенство (ССCP, 8 очков).
   Н. С. Петраков

Школа-интернат при ЛГУ принимает успешно окончивших сведений и восьмой класс общеобразовательной школи и проявивших способности к изучению естественных предметов, проживающих в Архангельской, Волгодской, Калининградской, Кировской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Карельской и Коми АССР, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР.

Для поступления в восьмой класс школьи-интерната необходимо сделать конкуренный экзамен по математике (письменно) и проити собственование с представлениями приемной комиссии (с физиком, математиком или биологом).

В восьмые классы принимаются учащся, применущественно проживающие в сельской местности, в рабочих поселках, небольших городах Северо-Запада.

Поступление в девятый класс сделают письменный экзамен по математике, устный по физике. Поступление на физико-mатематическую специализацию проходят собственание по математике, на химico-biolогическую — либо по химии, либо по биологии.

Вступительные экзамены проходят во время весенних каникул одновременно с областным (песпубликанским) туром физико-mатематической, химической и биологической олимпiadы, а также в июне в области иеспубликанских центрах среди кандидатов, отображенных организами народного образования.

Желание участовать в конкурсных экзаменах предметов в органы народного образования (ОБЛОНО или Министерство просвещения Республики):

Рекомендацию педагогического совета своей школе.

Характеристику (утвержденную педагогическую советом).

Заявление родитель или лице их заменяющих.

Medицинский справку (форму № 26).

Вопрос о зачислении в интернат решается в приемной комиссии в Ленинграде. Решение приемной комиссии сообщается до 10 июля.

Наш адрес: Ленинград, П—228, улца Савушкина, 61. Специализированная школа-интернат при Ленинградском университете.