Квант 1970, №7 · Страницы

Научно-популярный физико-математический
квант
7
1970
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

Главный редактор — академик И. К. Киоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, академик
М. И. Башмаков
В. Г. Болтянский, член-корреспондент АПН СССР
И. Н. Бронштейн
Н. Б. Васильев
И. Ф. Гинзбург
В. Г. Зубов, академик АПН СССР
П. Л. Капица, академик
В. А. Кириллин, академик
Г. И. Косоуров
В. А. Лешковцев (зам. главного редактора)
В. П. Лишевский
А. И. Маркушевич, академик АПН СССР
М. Д. Миллюоницков, академик
Н. А. Патрикеева
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЧИЙ
М. Л. Смолянский (зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский, доктор физико-математических наук
В. А. Фабрикант, академик АПН СССР
Я. Е. Шнайдер (ответственный секретарь)

Заведующая редакцией Л. В. Чернова.
Главный художник Е. П. Леонов.
Технический редактор Т. М. Макарова.
Корректоры Л. Н. Боровина, В. П. Сорокина

Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В — 71, Ленинский проспект, 15

Сдано в набор 23/1V—1970 г. Подп. к печати 15/VII—1970 г.
Бумага 70×100 1/16. Физ. печ. л. 4. Услов. печ. л. 5,2. Т—09868
Уч.-изд. л. 5,67. Тираж экз. 169404
Цена 30 коп. Заказ 644
Чеховский полиграфкомбинат Главпо-лигrafпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
г. Чехов, Московской области

2

Ленинская теория
познания
и математические понятия

В. Г. Болтянский,
Н. Х. Розов

Уже в средних классах школа становится ясным своеобразие математики по сравнению, например, с физикой. Все физические законы справедливы с некоторой степенью точности и часто при прогрессизмерительной технике заменяются новыми, по отношению к которым персональные становятся лишь первым приближением. Бессмысленно справивать себя, рациональная или irrationalна длина стержня. Для узко понятой практики irrationalные числа не нужны. В математике же теорема о том, что диагональ квадрата несоизмерима со стороны, считается очень важной. Открытие этого факта в Древней Греции считается одним из поворотных пунктов всего развития математики.

Публикуемая статья В. Г. Болтянского и Н. Х. Розова содержит попытку популярино изложить своеобразие математики с точки зрения философии диалектического материйализма. Быть может, неоторные из вас осилят посвященные этим вопросам разделы моей статьи «Matematika» в 26 томе второго издания «Больший Советской Энциклопедии».

В. И. Ленин, как вы знаете из статьи И. К. Кикона («Квант» № 4), дал подробный анализ основных философских вопросов физики. Специально философими вопросами математики Ленин не занимается. Но его общее высказывания по вопросам теории познания служат руководством и для математков.

А. Н. Колмогоров

3

Позначение окружающей нас реальной действительности, объективных законов природы и общества всегда было и остается составной и неотъемлемой частью человекаской деятельности, целью и задачей развития науки. Изучением же сложного и многогранного процесса познания, выявленем объективных законов процесхожения и формирования человеках знаний о материальном мире занимается теория познания — один из разделов философской науки.

Творческий развивая диалектикоматериалистическую теорию познания, В. И. Ленин обогатил ее новыми, основополагающими положениями, с исключительно глубиной глубиной и ясностью разработал необсячайно широкий круг связанных с ней вопросов. Это и позволяет нам с полным основанием говорить о ленинской теории познания — один из разделов философской науки.

НасOkружает материальный мир, движение и развтие которого подчиняется объективным, существующим независям от человека законам. Свойства и взаимные связи объектив материального мира прямо или косвенно воспринимаются людьми, их организми чувств, отображаются в человекаском сознании. Живое созерцание, неисредственная чувственная связь человека с объективной реальностью в процессе практической деятельности, является исходным пунктом познания, позволяет нам составить представление об окружающей действительности.

Накопленные человекаом данные опыта обращаются и обобщаются его абстрактно-лозическим мышлением. Именно мышление позволяет человеку, отталкивая от фактов, познавать то, что недоступно восприятию с помощью органов чувств, дает возможность проникать в существ предметов и явлений, выявлять связи между ними, открывать объективные законы материального мира, воспроизводить действительность.

Естественно, возникает вопрос о том, соответствует ли воспроизведенная мышление картина реальной действительности самой этой действительности, отражают ли (и насколько правильно) наши представления объективное положение вещея. Только на практике, только в сравнинии ожиданияхся результатов с тем, что действительное произойдет, человек может оценить правильность и ценность своих знаний. Именно практика служит критерiemистмы той или иной идеи, гипотезы, теории.

В. И. Ленин принадлежит генеральное определение процесса познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от неeso к практике — таков диалектический путем познания истинны, познания объективной реальности» *).

В окружающей нас мире нет вещея непозначаемых, принципально недоступных человекаскому разуму. Однако позначение предметов, явлений во всей их полном может быть дан только бесконечной суммой общих понятий, законов и т.п. И овладение всей этой суммой знаний все время приблизительно, т. е. исчерпывающейся позиции мира возможно, говоря математическим языком, лишь в пределе. На каждом отрезке исторического развития наш знания о действительности является лишь относительным и в то же время содержат в себе частицу абсолютиной истинны: один стороны предметов и явлений отражаются научными понятиями более или менее правильно, адекватно, другие — лишь примерно или даже неверно, третье еще вообще неизвестны.

Движение, изменение, развтие материального мира протекает в различных формах; предметы и явления объективной реальности надлежащими качествами и обладают разнообразными количественными характеристиками.

Различные направления науки изу-
*) В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 29, стр. 152—153.

4

чайот специфические качественные особенности предметов или стороны явления, исследуют одну или несколько теоносвязных форм движения материи. Так, биохимия рассматривает химические процессы в их связи с живыми организмами, география описывает картину нашей планеты и изучает законы ее преобразования людьми, история имеет свою предметом раскрытие законов развития человекаского общества в их конкретном проявлении и т. д.

Специфика математики состоит в том, что она не рассматривает конкретные материалы тела, не анализирует какую-либо определенную форму движения материи. «Чистая математика, — писал Ф. Энгельс, — имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира…» *. Иначе говоря, математика изучает материальный мир с особой точки зрения: предметом ее исследования является сами колисетвенные отношения (в общефилософском понимании этого термина), которые присущены всем без исключения объектам реальной действительности и которые «характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, которые они связывают…» **).

Эта специфика предмета определяет широкую применимость математики в других науках. Внутренняя неразделимость качественных и количественных свойств предметов или явления реальной действительности создает объектные предложки для использования математических методов в изучении многих важнейших проблем биологии, геологии, языкования и др. В этом смысле К. Маркс говорил, что «…наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математкой» ***).

*) К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 37.
**) А. Н. Колмогоров, Математика, БСЭ, т. 26, стр. 476.
***) Сб. «Воспоминания о Маркее и Энгельсе», М., 1956, стр. 66.

Математику принято считать абстрактной наукой, и это, бесспорно, справедливо. Именно специфика математики, изучаются пространственные формы и количественные отношения, определяет ее особую абстрактность. На это обращал внимание еще Ф. Энгельс: «…чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенствовать их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное…» *).

Иначе говоря, речь идет об исследовании, результаты не с помощью микросопа или химических реактивов, а лишь силой абстракции.

Каждай предмет или явление объективной реальности обладает бесконечным числом свойств, качеств и неразрывно связанных с другими предметами и явлениями, со всем материальным миром. Наше мышление не может охватить сразу все эти свойства и все многообразие связи. Поэтому, производа научные исследования, мы вынуждены останавливать свое внимание лишь на одном или нескольких свойствах изучаемого объекта, лишь на некоторых его связи с другими объектами. На все остальные свойства и связи мы не обращаем внимание, т. е. отвлекаемся, абстрагируемся от них.

Иными словами, всякое познание необходимо связано с процесами абстрагирования, с абстрактцами. «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не охотит — если оно правильно… — от истинны, а подходит к ней… все научные (правильные, серыеные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее», — отмечает В. И. Ленин **).

No abstraction имеет и свою слабость, которая заключится преждеем

*) К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 37.
**) В. И. Ленин. Попл. собр. соч., т. 29, стр. 152.

6

дает большими или меньшими размерами. Таким образом, «дома» реально существует, а «материальные точки»— нет.

To же самое можно сказать и о геометрическом понятии «отрезок». В природе мы не наблюдаем «в чистом виде» предметов, обладающих длиной и «прямизной», но «лишеных толщины». Это понятие, следовательно, не возникает в результате абстракции отождествления, а является идеализцией.

Идеализация в общих чертах состоит в следующем. Реальный объект заменяется в нашем сознании абстракной моделью, которая получается не только путем отвлечения от несуществных свойств, но и путем наделения модели идеализированных свойствами, в утрированном виде отражающим существные свойства объекта. Например, если мы изучаем движение небесного тела, удаленного от нас на расстояние, во много раз превышает его размеры, мы можем построить утрированную модель, считая это тело материальной точкой. Точно так же понятие «касания» в утрированном виде отражает возможность в действительности взаиморасположение предметов.

Разумеется, сказано не означает, что понятие, возникшее в результате идеализции, совершено оторваны от объективного мира и лишены реального смысла. Позволяя нам особенно глубоко и четко проследить наиболее существенные свойства объекта, эти понятия имеют общеизвестное значение в практических приложениях математики.

Особым видом абстракции идеализация является абстракция помещacionalной осуществимости. Она характеризуется отвлечением от реальных границ наших конструктивных возможностей, обусловленных ограниченной нашей жизни в пространстве и во времени.

Эта форма абстракции позволяет нам рассужать, например, о любом большом числе (скажем, о числе $10^{10}$) и предполагать, что мы как бы имеем возможность dochить до него, начиная с 1, 2, 3, 4 … и т. д. Очевидно, что эта возможность чисто потенциальная: нам не хватит на это всей нашей жизни.

Однако мы отвлекаемся от практической неосуществимости этой задачи, от ограниченности наших возможностей и считаем допустимым расматривать любые числа, приходя тем самым к понятию «бесконечный ряд натуральных чисел».

В результате применения этого вида абстракции возникают и также понятия, как «прямая» (неограниченно пространiosaся в обе стороны), «плоскость» и другие.

Современная математica операрует с громадным количеством понятий, которые не могут быть получены как оченьные, неосредственные абстракции доступных животному созерцанию свойств объекта математного мира. Эти понятия образуются в процессе многоступенчатого наслоения абстракции.

Исходные, первичные математические понятия возникают из объективной реальности, отражая, абстракция количественных отношений и пространственных форм объекта действияностей. Но, возникнуть, эти понятия как бы живут своей собственной жизни, образуя в сознании человека свой собственный мир, сами порождают дальнейшие отражения и новые абстракные понятия. Эти абстракные понятия в свою очередь снова порождают новые абстракции, так сказать, более высокого порядка и т. д.

Для того чтобы посять сказанное, обратимся к понятию «числа». Число, первичально выступающей как результат счета предметов (абстракция отождествления), обобщается затем до понятия натурального числа (абстракция потенциальной осуществимости). Потом вводится понятие дробного числа (абстракция отождествления).

7

дествления *). Следующая абстракция — рациональные числа (положительные и отрицательные), а затем и действительные числа.

Многоступенчатый характер абстракции здесь совершено ясно виден. Точно так же понятия «числа», «вектора», «геометрическо преобразования» и ряд других абстракций (относитсяся, оченьindo, к пространственным формам и количественных отношениями реального мира) порождают понятие «группа», являющееся абстракцией более высокого порядка.

Однако не следует думать, что многоступенчатость математических абстракций, наличие абстракций разного порядка означает отрыв математики от реального мира. Очень почучительным в этом отношении является то, что многие «изысканные» абстракные понятия и теории современной математики уже сейчас находит важные применения. Так, понятие «группа» и тонкие вопросы теории группы находит важные приложения в физике элементарных частиц.

Спецификационный отпечаток на всю математике накладывает единственный характер математических теорий.

Физики изучают, например, изображение газовые процессы, т. е. исследуют свойства газа при условии, что его температура не изменяется. Другой пример из физики — изучение переохлажденных жидкостей, т. е. исследование свойств веществ при условии, что оно имеет температурные точки плавления, но (в силу особых условий опыта) не критализуется, а остается в жидком состоянии. Законы, открыты в этих условиях, будут единственным при выполнении определенных гипотез.

Однако в физике также законы имеют смысл лишь тогда, когда соответствующие условия, гипотезы реально осуществмы. В самом деле,

*) Расчленяя целое, единницу на доли, мы затем отождествляем символы $1/3$, $2/6$, $3/9$, $4/12$ и т. д., считая их представляющими одно и то же дробное число.

если бы кто-нибудь создал «теорию» о поведении веществ при температуре ниже абсолитного нуля, то физики вряд ли приняли бы ее вверь, либо она использует гипотезу, противоречащего известным нам свойством реального мира.

В математике дело обстоит (во всяком случае, внешнее) по-другому. Окружающие нас предметы имеют три измерения, но математики построили теории $n$-мерных (и даже бесконечномерных) пространств. Мы знаем, что умножение чисел коммутативно: $ab=ba$, но в математике изучают и такие числовые системы, в которых $ab\neq ba$. Можно привести и другие примеры теории, противоречащих «здравому смыслу».

Но характерно, что эти на первый взгляд «дикие» теории находится важное применение при изучении реального действительности! Достаточно напомнить, например, что теория относительной широко использует четырехмерное пространство.

Ниболее ярким примером гипотезической теории, оказывающей влияние на всю математку, была геометрия Лобачевского. Н. И. Лобачевский заменил поступат Евклида о параллельных других, своим поступатом (через данные точку в данной плоскости можно проверить бесплатное множество прямых, не пересекающих данную прямую), а затем на базе этой аксиомы (и остальных аксиом, совпадающих с ενклидовым) построил логические строя ную и законченную геометрию.

Открытие Н. И. Лобачевского в значительной мере предположило полное торжество аксиоматического метода построения математики. Суть этого метода состоит в том, что все теоремы выводятся чисто логическими путем из сравнительно небольшего числа недоказываемых предложений—аксиом. Иначе говоря, математическая теория развивается, строится в предположении, что имеет место определенные, заранее фиксируемые аксиомы.

Matematик в процессе своего твор-

8

честава имеет дело с абстрактными понятиями. Он не обращается к каждым раз в своих рассуждениях к обеективной действительности, неосредственно исследует не ее, а именно этот «мир понятый». Для доказательства той или иной теоремы нет необходимости описывать и систематизировать факты и явления, не нужно строить громоздкие и дорогостящие установки, не требуется проводить ювелирно-точные эксперименты.

Matematическое исследование происходит чисто умозрительным путем, подчиняясь законам лоевики. Математик в процессе своей работы представляет лишь цель проведения логических строгих, исчерпывающих доказательств теорем, построения непротиворечных теории.

Но, помимо чисто логического деятельности мышления, большую роль в развити математики (как, впрочем, и всякой науки) играют и также творческие возможности человека, как воображение, интуиция. Подчеркивая значение творческого воображения, интуитивнойогдаки, значение фантации в процессе познания, В. И. Ленин писал: «Напрасно думают, что она нужна только позту. Это глубий предрасудок! Дажке в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчисления невозможно было бы без фантации» *).

Чисто умозрительный, мысленный путь математического исследования, допускающий широкое использование фантации и гипотетических построений, создает целозию независящности математических понятий и теории от объективного мира, отсутствия реального содержания у абстракций более высокого порядка, возникающих в процессе «свободного творчества» разума.

В самом деле, формально открывается следующие возможности: математик выдвигает произвольные, выдуманные им аксиомы и выводит из них с помощью законов логики разума.

*) В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 45, стр. 125.

личные следствия; если ему «повезет» и в результате получится непротиворечная теория, то можно говорить о математическом открытии. Иными словами, математик, не будучи непротиворечно ни с какими реальными объектами, ни с какой формулиждения материки, может, казалось бы, руководствовать только своим воображением, делать любые гипотезы и на их основе развивать теории, лишь бы получить что-нибудь логическое непротиворечное и «математически интерсное».

Развивая подобные мысли, один из крупнейших французских математков Анри Пуанкаре (1854—1912 гг.) утверждал, что в основе математики (и даже науки вообще) яковы лежат свободные, произвольно принять соглашение, выдуманные исследовать и удобные для него. Он считал, что математика является продуктом свободного «чистого разума» и не зависит от существования материалов объектов, не связана с практической деятельности людей. Что же касается возможность практического применения достижения математики, то это лишь частливая служащность, объяснить которой мы не в состоянии *).

Отдавая должное научным заслугам А. Пуанкаре, В. И. Ленин подверг резкой критике его философские концепции, охарактеризовав его как «очень путаного философа». Следует иметь в виду, что при всей непоступности и открывенности идеалистическомxa-

*) Подобные взгляды можно встретить иногда и сейчас. Например, группа известных зарубежных математков, выступающих под псевдомим Николая Бурбаки, писала, касаясь отношений «мира экспериментального и мира математического»: «To, что между экспериментальным явлениями и математическим структурами существует теория связи, — это, как кажется, было совершено неожиданным образом подтверждено недавним открытиям современной физики, но нам совершено неожиденный глобокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысла), и, может быть, мы их инкогда не узнаем» (Н. Бур бак и, Очерки по истории математики, М., 1963, стр. 258).

9

рактере подобных взглядов, провергнуть их чисто логическими доводами невозможно. Правильный ответ может дать только последовательная диалектко-materиалистическая точка зрения, признание практики критерiem истинны.

Логика является рабочим инструментом математики: утверждение, выведенное из посылок, аксиом и определений по правилам логики, считается в математике истинным. Но «очевидность», «ясность», «убедительность» смих шагов логических расуждений возникает не сама по себе; правомерность логических построений находится свое подтверждение в многовековом опите практической деятельности человека.

Именно этот опит подтверждает, что внутренние законы развития логического мышления мождествены законом развития объективной реальности. Ф. Энгельс писал по этому поводу: «Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютиной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законом и что поэтому они и не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласовать между собой»*).

Таким образом, требование формальной математической строгости, т. е. точности определения, полностью доказательств теорем, непротиворечности теории и т. д., и есть одна из сторон специфического проявления критерия практики в математике.

*) К. Маркси Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 581.

Однако сама по себе математическая строгость не может полностью заменить собой критерий практики, не является исчерпывающей гарантийей истинности математического знания, т. е. правильности отражения человекаом объективной реальности.

Ибо существенный является и вопросо с соответствии принятых в теории посылок реального действияности. Этот вопрос уже выходит за пределы комппетенции логики и может быть решен лишь в ходе общественного произвольенной (в том числе—научной) деятельности людей. Только опыт этой деятельности может отличить строого логичные «теории», построенные на нереальных, фантастических гипотезах и аксиомах, от подлинно научных теории, приближающих нас к познанию объективных истин.

Научно-историческая практика свидетельствует, что первичные математики и описывающие их аксиомы взяты из жизни и являются отражением объективных свойств реальных предметов. Посольку логика понятый отражает объективную логiku вещей, т. е. объективные связи предметов математного мира, то новые понятия и теории техническим образом связаны с реальным миром и потому закономерно, а вовсе не случайно, находят все новые приложения в научной и практической деятельности людей.

Протекающий сейчас бурый процесс «математизации» знаний, еще более стимулируемый развитием вычислительной техники, полностью подтверждает мощь математических методов и их организаскую связь с жизни.

10

ПОРТРЕТЫ
ЗЕМЛИ

Портреты, модели, карты
Схемы, чертежки, планы, фомо-
графии, портреты, выполн-
енные художниками и кон-
структорами,—все это моде-
ли изобраяемых ими предмет-
мов («ориценалов»). Модель есть
своего рода заменитель изобра-
жаемого его предмета. Каждый моде-
ль, слабаяная нас информацией об
изобраяаемом его «орицена-
ле», в то же время ряд чертеж это «орицена-
ла» не восприизводит, опускает их, или, как во-
ворят, абстрагируется от них. Да это и понятно:
«полная» модель, являющаяся точной копией «ори-
ziенала», не обладала бы с точки зрения легости
изучения никакими премиуществами в сравнению с ним.
Ради упрощения процесса познания приходится жертвовать его полномой. Как правило, плоское изображение про-
странственное объекта искажает форму орицинала. К числу
маких объектов относится земной шар, способам изю-
мовления «портретов» коморого, м. е. попросту геодра-
фических карт, посвящена эта статья. Способов
этих (в зависимости от назначения карти) из-
весимо много. Но при всем их разнообразии
все они так или иначе включают и варbi-
руют два основных «мотива»: проектиро-
вание и развертку на плоскость.

В. Н. Березин,
М. Л. Смолянский

11

«Бюст Земли» — глобус

Прежде чем перейти к различным способам изображения земной поверхности на карте, или, как их называют, картографическим проекциям, скажем несколько слов о «скульптурном портрете» Земли, который можно считать промежуточным этапом для получения других «портретов»,— иначе говоря, о хорошо известном всем глобусе.

To, что наша планета по форме близка к шару, было достаточноясно осознано еще древнегреческийми учеными, основывавшимися главным образом на наблюдениях мореплавателей и путешествников. Конечно, сами по себе эти наблюдения позволили утверждать лишь, что известная грекам часть Земли,— то есть части Европы, Азии и Африки, непосредственно примыкающие к Средиземному и Черному морям и восточной части Атлантического океана,— вЫ пукла. Не удивительно, что при высокоразвитой у греков культуре абстрактного мышления эти достагоно косвенные данные позволили ученым того времени вывинуть смелую гипотезу о замкнутости поверхности Земли. Форма же земной тела на поверхности Луны во время затмения (осознание того, что это тень Земли, само по себе было достигением, которое трудно переоценить), а точаси умозрительные доводы, при-

влекающие в той или иной форме представления о симметрии, приведен к убежданию, что Земля — шар.

О том, как греки представляют себе «лицо» Земли, можно судить по древнейшей дошедшей до нас (в позднейших латинских копиях) географической карте, составленной знаменитьм греческим ученым Клавдием Птолемеем (около 150 лет до нашей эры). Птолемей, пользоваться введенной еще до него Гиппархом координатной сеткой, пытается развернуть сферическую поверхность Земли на плоскость (рис. 1). Мериданны изобразаются двумерными ломанными, а широтные круги — дугами окружностей, верхняя из которых соответствуетprimерно полярному кругу, нижняя — экватору, а отделяющая усеченный конус умеренного посяса от цилиндрического экваториального (широта 0°) — тропику Рака. Вдоль мериданов выдержан постоянный масштаб (концентрические дуги параллелей отделены друг от друга через каждые 10° равными промежуточками). Понимая, что к югу от экватора параллелей снова должны сокращаться, в связи с чем нижняя половина развертки должна быть отделена от изображенной им верхней разрезом. Птолемей не пытаются изображать Южное полушарие. Африку с юга и Азию с востока ему пришлось продолжать гипотетическое Terra incognita («Ненизвестной Землей»), к югу от Индийского океана переходящей в «Звездную Землю» (Terra australia; название это воскледствии было присвоено открытомprimерно в тех же краях пятому материку). Карта Птолемей выполнена, как сказали бы современные картографы, в «произвольной проекции». Тем примечательнее точность, с которой на нее нанесены координаты (особенно широты) многох городов и портов.

Птолемей приводит и другую проекцию, с его точки зрения более красивую и правильную, но менее удобную для практических построений.

12

Рис. 2.

Предоставим слово самому Полемею *): «… можно было представить себе в виде прямой один только средний meridian, с плоскостью которого совпадает ось зреня. Meridianны же, находящиеся по обе стороны от него, кажутся обращенными к нему своей вогнутостью, возвращаются по мере удаления от него (рис. 2).

Послений чертеж передает это, сохраняя надлежащее соответствие изгибов. Кроме того, взаимная пропорциональность друг параллелей передает как можно точнее подлинное отношение одних параллелей к другим…

Благодаря всему этому второй способ имеет, пожалуй, преимущество перед первым, уступая ему, однako, в удобстве исполнения чертежа. Там можно было проведти только одну параллель, разбить ее на деления и наносить на карту любой пункт, прикладывая и перемещая линейку. Здесь же этого удобства нет, так как линейный meridianов подходят к среднему meridianу изгибаясь, и, кроме того, нужно еще чертить все окружности, а положение относительно окружающих стороны квадрата точек, приходящийся на просветы сетки, нужно определить по нанесенным на карту точкам путем расчета. Поз_

*) «Античная география», составитель проф. М. С. Боднарский, География, 1953.

Рис. 3.

тому, хотя я лично в данном деле и взделе предпочитаю то, что лучше и труднее, тому, что хуже и легче, нужно все же придерживаться обихх установленных способов, имея в виду людей, которых раздностъ влечет к более легкому…»

Примерно к тому же времени (середина II века до нашей эры) относится, по-видимому, и изготовление первого из известных глобусов. Глобус этот, сделанный философом Кратесом Малосским, не сохранился и известен по позднейшим описаниям, на схематичность которых приходит делать неизбежную скидку при оценке его точности. Знаниям этой эпохи вполне соответствовали изобравжение на глобусе материка Ойкумены («Обитаемого»), состоящего из Евразии и Африки (для этого у Кратеса были, конечно, основания, поскольку Сузский перешел был перерезан каналом, действительно, несколько позднее). Пропорции привычных нам чертаний береговых линей (особенно в перipherийных области) заметно нарушены, но взаимное расположение таких характерных элементов карты, как Средиземное, Черное, Красное и Белое моря, Персидский залив, Аравийский полуостров и полуострова Юга Евровы, передано в обшем правильно.

Глобус Кратеса (в отличие от гораздо более подробной карты Пто-

13

Рис. 4.

лемея) играл, оченьindo, в основном демонстрационную роль. Появление же на нем таких фантастических деталей, как симметричный Ойкумене относительно экватора материки, наcelенный будто бы «Антэками», и материки на севере и юге противоположного полушария (обиталища «Перизков» и «Антиподов») можно, пожалуйста, объяснить неосознаным стремлением к «симметри», очень характерным, кстати, и для современной науки. (рис. 3)

До наших дней дошел глобус (смотри заставку к статье), изготовленный жителем Нюрберга Мартином Бихеймом намного позже — в том самом 1492 году, который в честь открытия Колумбом Америки стали считать условной границей между средневековым и новым временем. На polymetровом глобсе Бихейма и особенно на карте (см. рис. 4), изготовленный с помощью этого глобуса, хорошо видно, что географы того времени переошелли размеры Азии, а путь из Испании до ее восточных берегов (Китая и Индии) оценвали из-за этого почти вдвое меньшим, чем в действительности.

Ошибка, конечно, есть ошибка, но объективно эти представления безусловно способствовали оптимизму Колумба, вдохновляя его на смелый замысел достичь восточных хб-

регов Азии, двигая свои карavelлы все время на запад.

От «макета» к «портрету»
No сейчас, когда глобусы имеют делать волне хорошего, что мешает пользоваться ими во всех случаях, когда нужно карта? Или они тоже не свободны от искажений — не учитывают, например, сплюснуты Земли у полосов или ее горный рельеф? Нет, это здесь не очень существенно: разница между полярным и экваториальным радиусами Земли составляет не более 0,3% любого из них, а высота высочайшей горной вершины — Джомолунгмы — около 0,1% земного радиуса (и примерно того же порядка — глобочнаяше владины на дне океанов), так что в пределах размерной точности изготовления эти факторы вообще практические незаметны; гораздо удобнее изобразить рельеф на карте или глобус с помощью так называемых «линий уровня», окрашивая для наглядности проектуки между ними в разные цвета. Суть же дела очень проста: глобус менее удобен, чем карта, — не слабаяют же паспорта бюстами и барельфами владельцев!

No, имея глобус, можно подумать и о «развертке» его — хотя бы приблизительной. Для изготовления портрета Земли нам понадобится ее миниатюрный макет.

Разбравшись в том, как глобус «развертывается» в карту, мы подойдем, кстати, и к пониманию не менее интерсной обратной задачи: как по полученным в результате аэрофотосьемки плоским изображением кусков земной поверхности воссоздается истинный вид оригинала — Земли.

Вспомним теперь, как делаются развертки поверхностей. У многоограничника можно, например, разрезать почти все ребра, оставляя лишь по одному неразрезанному ребру у каждой грани, чтобы поверхность не распадалась на куски. Еще проще развертываются цилиндры и конусы. Модель цилиндра (точнее, цилиндрской поверхности) вы получите,

14

Рис. 5.

склейд две противоположные стороны прямого листа бумаги, а модель конуса — это просто бумажный функция. Достаточно разрезать любую из этих модели по образу щей и положить получившийся кусок бумаги на стол — и развертка готова! Длины линей, начерченных на исходных поверхностях, сохраняются и на развертках (разве что линя — если она пересекала образу щей, вдоль которой делался разрез, — развертся на две части).

Но Земля наша — шар. Как доказал в 1777 году Леонард Эйлер,никакая (сколь уголно малая!) часть сферического поверхности не может быть развернута на плоскость с сохраненем всех растойний. Идея эйлеровского доказательства очень проста. Какую бы малую часть сферического поверхности глобуса мы ни взяли, мы можем внутри нее выделить круглую «шапочку». Ввиду полного равноправия каждой точки сферы (каждый диаметр является осью ее симметрии) мы можем считать центр этой «шапочки» полосом, а границу — паралелю (широтным кругом). Расстояния между точками шапочки надо, естественно, изменять по поверхности шапочки. В частиности, расстояние от полока до любой точки границы шапочки будет равно длине $r$ соответствующей дуги меридиана (рис. 5). Значит, на не искажающей размеров развертке эта параллель должна изображаться на плоскости окружностью радиуса $r$ и имеет, следовательно, длину $2\pi r$. Но легко доказать (сделайте это сами!), что на самом деле длина нашего кругга меньше $2\pi r$. Полученное противоречие и доказывает невозможность точной развертки на плоскость даже самой малой шапочки, среданной со сферы, и вообще нижкой части сферического поверхности.

«Микрокарты» — планы

Из доказательства теоремы Эйлера (да и просто из сообщений «здраваго смысле») видно, что, когда речь идет об очень малых участках земной поверхности, замена таких малых «шапочек» плоскими кругочками искажает переносимые на карту размеры тем меньше, чем меньше диаметр кругжа. В конечном случае вороссводится к тому, какая же точность изображения нам действительно нужна. Оценка допускаемой погрешности очень проста (см. задачу на стр. 25) и в каждом конкретном случае позволяет разумным образом ответить на этот вопрос.

Складем, архитектор, планирующий застройку города, совершенное не интересуется формуой в сего земного шара — какой-нибудь овраг беспоконит его, конечно, гораздо большше, чем такие «вселенские» проблемы! Мало дела до округлости Земли и геология, ведущему разведку конкретного месторождения, — ему гораздо существенное участие всякого рода местные уклоны и прочие «неправильности» решения, могут повлиять наращивание выбор пунктов бурения скважин. Короче говоря, когда речь идет о составлении карт малых участков, мы можем смело уподобиться древним египтнам, еще пять тысячелетия назад составляющих ланны (так общно называют эти «микрокарты») участков земной поверхности, абсолютино игнорирувыпуклость Земли в целом. Единственное требование к плану состоит

15

Рис. 6.

в том, чтобы для произвольных точек $A, B, C$ и $D$ на поверхности изображаемого участка Земли и их изображений на плане — точек $A', B', C'$ и $D'$ с достаточной точностью выше полялось равенство $\frac{A'B'}{AB} = \frac{C'D'}{CD}$.

Величину отношения $\frac{A'B'}{AB}$ естественно называть масштабом изображания участка $AB$; таким образом, условие наше выражает приниппостояства масштаба. Из теоремы Эйлера следует, конечно, что строго постоянным масштабом изображания куска земной поверхности быть не может. Поэтому в каждой конкретном случае устанавливают приемлемую величины допустимой погрешности и считают план «правильным», если погрешности не не превышает установленной нормы.

Очень простые и наглядные геометрические расстояния (см. рис. 6) убеждают нас в том, что все meridianны (линии постояной долготы) равны между собой, а все параллели (линии постояной широты) уменьшаются от экватора к полюсам от $2\pi R_{земли}$ до нуля («90-я параллель» вырождается в точку — полюс). Отсюда сразу следует, что отрезки meridianов, заключенные между соседними параллелями на глобусе, равны, а отрезки параллелей, заключенные между соседними meridianами уменьшаются по направлению от экватора к полюсам.

Легко также проверить, что все углы между параллелями и meridianами в точках их пересечения (т. е. углы между касательными к этим кривым в данных точках) прямы.

Еще чуть-чуть истории

Do these well-known geographical occurrences of the (XV век) cartography, если и развилась, то в достаточной мере стихийно. Сохранившееся средневековые карты зачастую представляли даже значительный шаг назад от описанной выше карты Птолемея. Примером может служить так называемая Гереефордская карта (1280 г.), довольно-tаки фантастическое изображение круглой и плоской Земли на которой особых комментариев не требует и представляется разве лишь historический интерес (рис. 7).

Для мореплавателей, однако, уже тогда составлялись специальные мореходные карты (рис. 8) — так называемые портulanны (или портоланны), снабженные вместе координатной сетки (ползовались ли его и чем вообще ползовались, помимо чисто эмирических приемов, составили портulanов — точно сказать трудно) так называемой «розой ветров» — направлениями «линий румбов», соответствующих делениям картушки (круглой шкалы) магнитного компаса, при-

17

менявшегося в Европе уже с XII столетия (рис. 9). Они позволили пролагать курс корабля на карте без всяких дополнительных расчетов, проводя с помощью так называемой штурманской линейки (сохранившейся, между прочим, и до наших дней) через точку положения корабля прямо, параллельно соответствующей линии румба (рис. 10).

Естественно, моряки были заинтересованы в том, чтобы направление курса, отклоняющегося от meridiana на данное число градусов, в любой точке карты было одним и тем же. Для этого необходимо (хотя, разумеется, недостаточно), чтобы мери дианы и паралелии изображались на карте прямо. Удовлетворить это требование в сочетании с достоинной точностью изображения удалось впервые Герарду Меркатору, с именем которого часто связivated на начало научной картографии. Меркаторская карта мира, опубликованная на 18 отдельных листах в 1569 году, не потеряла значения и до сих пор. (На рисунке, приведенном на стр. 18, показан фрагмент этой карты).

Бурный прогресс географических знаний в целом и в картографии в частиности был характерен для XVI—XVII веков: изобретение математических часов (X. Гюйгенс, 1675 г.),

19

Рис. 12.

а затем и хронометра позволило с большой точностью определять географическую долготу пункта (широту хорошего определения еще древние греки), появились разнообразные, приспособленные к различным нуждаем и исходящие из различных принципов системы проекций. К тому времени относится карта (рис. 11), изображаяшая всю поверхность Земли в виде двух «полушарий» (де Вит, 1700 г.). Ниже мы познакомимся с несколькими, относительно простыми по идее картофических процесциями. Конечно, это только отдельные吏рихи картоффи — науки, связанной с таким словами именами, как Эйлер, Гаусс, Чебышев, Ламбер.

Квадратная проекция

Представим себе глобус, изготовленный в виде мяч правильно сферической формы, оболочка которого сделана из ткани, легко растягивающейся в одном направлении и совершенно нерастяжимой в перпендикулярном ему. Можно, например, считать, что горизонтальные нити — резиновые, а вертикальные — стальные, причем резиновые нити замкнуты и стягивают наш мяч- глобус по параллелям, а перпендикулярные им тонкие гибкие стальные стержни плотно облегают глобус по polymериданам, примыкая друг к другу концами в полосах. Поскольку концы мердианов не прикреплены друг к другу, можно, следка растянув близкие к полосам резиновые паралелы, просунуть в образовательнее отверстия тонкую твердую спицу. Впрочем, не обязаτεльно тонкую. Кто нам мешает растянуть паралели посильнее? Давайте так и поступим и вдвинем в отверстия, растянуть до размеров экватора, «толстую спицу», представляющий собой прямой круговой цилиндр того же радиуса, что и наш сферический глобус (рис. 12).

Вот мы и «предодолели» теорему Эйлера: ведь полученный цилиндр, будучи разрезанным вдоль лобого полумеридана (можно представить, что резиновые паралелы, чтобы они после этой операции не стянулись вновь, подвергли перед разрезанием специальной термической обработке, лишившей их способности к дальнейшем сжатию и растяжению), великолепно развертывается на плоскость! Разумеется, это не более чем шутка, — чуда «предодоления» не произшло: ведь все паралели (кроме экватора) растянулись, и очередная материков и островов растянулись в поперечном направлении. Особенно это растяжение заметно, конечно, в приполярных области.

Мы получили изображение земного шара в виде прямогоЛЬНИКА, основание которого (равное экватор),

21

Рис. 14.

на выглядеть по мере приближения к полюсу локсодромия на глобусе, и бесконечность ее «растиhyотой развертки» уже, пожалуй, не показется вам удивительной.

Еще одно растяжение. Проекция Меркатора

Давайте, теперь представим себя на минуту в роли Меркатора, с неудовольствием разглядывающего несуразно расплошенные очертания Скандинавии и Канады в квадратной проекции (Антарктиды тогда, слова богу, еще не знали,— вот бы на чье изображение ему полюбоваться!). Но неэстетичность карты можно было бы в конце концов пережить. Да и растяжение расстояний вдоль параллелейникого не введет в заблуждение, раз уж нам известно правило получения истинного расстояния. Не кривое зеркало страшно, а уверенность в его правильности.

Хуже другое: карта в квадратной проекции неудобна для моряков, заинтересованных не столько в точности измерения расстояний, сколько в возникности легко «прокладывать» на карте постоянный курс, иными словами, в прямолинености локсодроми. (Вспомним, что еще в старых «портульах», несмотря на всю их кустарность, это требование волнеудовлетворялось с достаточной для пра-ktики точностью.) Так что огорчает на рисунке 14 не столько «сплошность» карты, сколько вид локсодроми.

Нельзя ли ее выпрямить? За счет чего она получалась кривой? Из-за растяжения карты в $\frac{1}{\cos \varphi}$ раз по широте?— Прекрасно! Кто же нам может помещать растянут meridianны квадратной координатной сетки, то же в $\frac{1}{\cos \varphi}$ раз!? Квадраты прежней координатной сетки вытянулись теперь в прямогольники, и карта уже не обладает постоянством масштаба вдоль meridianов (см. рисунок 15, все кружки на котором изображают равные участки; синия линя изображает локсодромию). Зато на меркаторской карте остается неизменным угол между двумя линями, пересекающимся на глобусе. (Попробуйте доказать!) Достаточно малень части земной поверхности передаются «почти» с сохраненем подобия (окружность радиуса 500 км, например, изображается на карте Меркатора замкнутым овалом, зрительно неотличимым от окружности). И локсодроми, конечно, пря-молинейны.

По мере приближения к полосам растяжение вертикального масштаба в проекции Меркатора неограниченно возрастает, следовательно, полная карта Земли в этой проекции была бы

22

Рис. 15.

разверткой цилиндра с бесконечной высотой и потребовала бы для своего изобравжения бесконечного листа бумаги. Поэтому приполярные области на таких картах не изобравают (верхняя и нижняя границы карты, конечно, определяются при этом чисто произвольно, из сообщений удобства; например, рисунок 15 ограничен сверху 85-й широтой, сизу — 30-й).

И еще два замечания. Во-первых, наша реконструкция хода мысли Меркатора может вовсе не совпадать с действительным ходом его расужdenный; просто нам показалось, что именно так об этом говорить проще всего. Далее надо заметить, что вывод о растяжении карты вдоль meridianов в $\frac{1}{\cos \varphi}$ раз, полученный нами «на пальцах», для строго (хотя и не сложного) обоснования потребовал бы владения элементами математического анализа, включая натуральные логарифмы и начала дифференциального и интегрального исчисления*). Кстати, сам Меркатор в действительности и не сделал этого — строгое решение задачи «выпрямления локсодромий» было получено лишь тридцать годами позже Ричардом

*) Сведения эти можно, например, найти в книгах P. Курантан Г. Роббинса «Что такое математика?» (М., 1967) или Н. Я. Виленкина С. И. Шварцбург да «Matематический анализ» (М., 1969).

Райтом из Кембриджа (в чьей редакции и выходят современные издания того, что в нашей именуют «проекцией Меркатора»).

Цилиндрическая проекция Ламберта

Рассмотрим еще одну проекцию с прямогольной сеткой; получается она очень просто. Опишем вокруг глобуса прямой круговой цилиндр (касаоцийся его по экватору и в полосах) и проектируем на его боковую поверхность поверхности глобуса (без полосов!) так, чтобы лучом проекции для каждой точки этой поверхности служил прохождение чередз нее перпендикуляр к земной оси (рис. 16).

С помощью обычных формул школьной stereometрии легко показать (попробуйте!), что площади любых участков поверхности глобуса и их проекций на боковую поверхность цилиндра оказываются при этом равны ми, в связи с чем развертку этого цилиндра (разрезанного по любому meridianу) и называют равновелюкой цилиндрической проекции (или проекцией Ламберта). Правильно передавая площади, проекция Ламберта сильно искажает форму даже малых участков проектируемой поверхности (сравните эллипсы на рисунке 17 с соответствующими кругскими на рисунке 15): приполярные области сплошиваются здесь еще

23

Рис. 17.
сильнее, чем в квадратной проекции, из которого проекция Ламберта может быть, очень получена сжатием по вертикальной оси. Прямолинейность изображений meridianов и параллелей совершенного очевидна.

Ортодроми

До сих пор мы считали почти само собой разумениемся то, что для моряков важна простота прокладывания курса по карте, расстояние же, которое при этом приходит проходить кораблю, интересует их куда менше. Что же, во времяна парусных судов, пожалей, так дело и обстояло. Но в наших дни, при плавании на очень большие расстояния, вовсе не дляшихся мясцами, и годами, не говоря уже о дальнейх (в том числе трансcontinentalных и международных) авиационных полетах, первостепенно важность приобретает вопросо-minimalности траектории.

Можно доказать (чего мы здесь не будем пытаемся делать), что на поверхности шара кратчайшей линии, соединяющей две произвольные ее точки (или, как принято говорить в математике, геодезичной), служит меньше из друг большого круга, проходшего через эти точки. (Для диаметрально противоположных точек сферы обе дуги проходшего через них большого круга равны, и

24

Жет быть расхождение между локомпней и ортодромей. Конечно, при больших перелетах разница может быть больше и при путешествии в умеренных широтах; например, путь по локодромии от Москвы до Нью-Йорка равен 8500 км, а по ортодромии — 7500 км.

Гномоническая проекция

Проекция, в котором ортодромии изобразаются прямыми, получается центральным проектированием из центра земной сферы: при этом все лучи, направленные в точки ортодромии (являшейся, как мы видели, большим кругом), лежат в одной плоскости, пересекающей по прямой с любой плоскостью проекции. Проще всего сетка меридианов и параллелей выглядит в этой так называемой гномонической проекции (рис. 19), если плоскость проекции касается проектируемого на нее глобуса в полюсе. (Гномон — это стержень солнечных часов; если вставить на плоскость проекции и считать гномоном земной радиус, то проекция проектирующего луча действительно представится нам тенью этого гномона.)

Легко доказать (сделайте это самостояльно), что меридианы изобразаются в гномонической проекции этого вида прямыми, а параллели — концентрическими окружностими. На рисунке 19 (где по понятным причинам нет изображения экрана: он «ущел в бесконечность») очень наглядна спиралеобразная форма локодромии в окрестности полюса в гномонической проекции.

Для морских и воздушных путешествий на большие расстояния

25

гномонические проекции очень удобны. Всю земную поверхность на такой карте, конечно, не изобразизь, так что приходится выбирать различные плоскости проекции, от положения которых зависит и форма изобразяемой на них координатной сетки. На рисунках 20, а и 20, б изобразены гномонические проекции, картиная плоскость которых касается глобуса не в полюсе.

Задача. Пусть план местности изобразяется проектированем данного участка, имеющего форму «шапочки» радиусом среда 100 км, на плоскость, касающейся «шапочки» в центре ($R_{\text{земли}} \approx 6000$ км). Найти точность изобразения, т. е. узнать на сколько процентов искажаются небольшие отрезки меридианов и параллелей, проведенных в любой точке «шапочки»:

a) в гномонической проекции (центральное проектирование из центра Земли);
b) в ortографической проекции (параллельное проектирование в направлении, перpendикулярном данной касательной плоскости). Смотри рисунки 21, а, б.

Вместо заключения
Вот пока и весь рассказ об основных принципах и конкретих способах изобразения земной поверхности на карте. Тому, кто захотел бы познакомиться с наукой о «портретах Земли» — картографий — глобже, подробнее и систематически, мы посоветовали бы прежде всего внимательно просмотреть какой-нибудь большой атлас, обращая особое внимание на различие применяемых в нем проекций, и попытаться уяснить самостояльно (с помощью, быть может, довольно кратких погсенний, приводимых обычно в атласах) причины этого различия. Правда, при этом вы, возможно, обогатитесь не столько ответами, сколько новыми вопросами. Но тем лучше!

Систематическое (но весма насыщенное и потому значительное более трудное, чем в этой стране) освещение предмета вы найдете в стате «Картографические проекции» последнего издания Большой Советской Энциклопедии. В очень богатой историческом материалом статье «Карты географические», помещенной там же, вы найдете дальнейшие указания на литературу.

27

Металлы нерозрачны, блестищи и сравнительныеяжелы. Металлы прочны, но их форму можно изменять с помощью ковки и прокатки. Их также можно плавать и сваривать. Металлы имеют хорошо электрон- и теплопроводность. Всем этим они обязаны металлической связи. Природа этой связи состоит в том, что в металле каждый atom окружен большим числом точек таких же atoms, каждый из которых имеет лишь несколько электронов на внешней электронной оболочке, причем оболочки электронов так перекрываются, что слабо удерживаемые внешние электроны уже нельзя приписать какому-либо одному из atoms. В то время как atoms, а вернееоны, остаются на месте, «электронный газ» свободно движется среди ионов, связьвая их друг с другом, подобно клею.

Благодаря тому, что электроны свободны и могут перемешаться в электрическом поле, металлы являются проводниками. Благодаря тому, что свободные электроны поглощают, а затем излучают обратно большую часть падающего на них света, металлы нерозрачны и блестищи. Благодаря тому, что свободные электроны могут переносить тепловую энергию, металлы имеют высокую теплопроводность.

В этой статье не рассматривается тепловые, электрические и оптические свойства металлов. Главным образом я буду говорить об их механических свойствах.

Природа металлической связи одинакова для разных металлов. Она способствует образованию плотной упаковки atoms, характерной для

На сниме (см.Заставку), полученном с помощью инного микросопа, толщина границ созв娠 лет всего несколько atoms. На фотографини — кончик волфрамовой иглы, увеличенный примерно в 5 миллионов раз. Каждая яркая точка соответствует atomу волфрама. Расположение точек зависит от того, как поверхность игры пересекает плоскость кристалла. Видно нарушение структуры на границе зерна, идущей из левого нижнего в правый верхний угол снимка.

Такие структуры, сопротивляясь скатанию, оказывают меньше сопротивления свигуру, поэтому металлы пластинны. Плотная упаковка обязывает и большой удельный вес металлов. Механические свойства металлов, следовательно, определяются той кристаллической структурой, которая наиболее подходит для металлической связи, осуществляемой свободными электронами.

Еще в 1665 году Роберт Гук моделировал характерную форму кристаллов с помощью укладиваемых рядами добинок, но лишь через 250 лет выяснили, что он построил точную модель кристаллической структуры известных металлов, в которой каждому atomу соответствует тепловую энергию, металлы имеют высокую теплопроводность.

Хотя уже несколько столейный было известно, что некоторые вещества имеют кристаллической структуру, тот факт, что обычные металлы являются кристаллами, оставался под сомнением вплоть до недавнего времени. Такие свойства, как затвердение расплава при вполне определенной температуре и наличие блестиших зерен на поверхности изломов, говорили о кристаллической структуре, но другие факты, казалось, указывали на аморфность: расплавленные металлы после затвердения принимают форму сосуда, твердые металлы были пластинны и их форму можно было изменить ковкой, отполированная поверхность металла выглядела совершенно однородной.

Ключ к выяснению структуры металлов был найден в 1864 году, когда английин Генри Сорби разработал способ исследований металлов под микросопом в отраженном, а не в прохождение свете. Кроме того, своим успехом он был обязан тому, что вместе полированной поверхности рассматривал поверхность металла, обработанную слабым хи-

*) О плотной упаковке atoms см. статью Г. И. Косурова «Кристаллы из шариков», «Квант» № 1.

28

мическим реагентом. Некоторые реактивы протравливали глубокие борозды вдоль границ зeren, другие проявляли микроструктуру зeren, действuya на сами зерна.

Это дело возможность обнаружить неправильную сетку границ, разбивающих металл на маленькие многогранники — зерна размером около 0,25 мм (рис. 1).

При одном и том же освещении одного зерна казались более яркими, другие — более темными. Распределение света и тени менялось при изменении угла освещения, показывая, что протравленная поверхность каждого из зeren состоит из маленьких плоских отражающих ступенек, неодинаково наклоненных к поверхности металла. Стало ясно, что каждое зерно, несмотря на свою неправильную форму, является отдельным кристалликом, а весь кусок металла состоит из множества таких маленьких кристалlikов, ориентированных в разных направлениях и имеющих общие границы.

Метод металлографии, изобретенный Сорби, оказался весом плодотворным для определения формы и размеров зeren, что важно для исследования технических свойств металлов, для обнаружения примесей и их скоплений вдоль границ зeren, для исследования сплавов. Однако оптическая металлография не могла дать

Рис. 1.

Микрофотография зeren алюминия в отрахенном свете. Образец протравливания. Как схематически показано справа, неокоторые зерна ориентированы так, что какуся ярким, другие — темными. Увеличено в 60 раз.

сведений о строении границ зeren. Постепенно исследователи приходили к мысли, что при охлаждении металла ниже точки плавления соседние зерна захватывают как можно больше число atomов, сокращая границу между зернами до слоя, толщиной лишь в несколько atomов, внутри которого кристаллографическая ориентация резко изменяется от одного зерна к другому.

Недавно эта точка зрения подтвердилась благодаря использованию инонного микросопа, изобретенного американцем Эрвином Мюллером. В этом приборе кончик металлической иглы находится под высоким положительным потенциалом в вакууме, так что сливые линии электрического поля начинаются на игле и кончаются на флуоресцирующем экране. В камеру впускается небольшое количество гелия. Когда atom гелия сталькается с atomом иглы, он становится положительным и летит по направлению к экрану вдоль сливой линии. При удалении об экране образуется видимое изобравнение. Соотношение размеров таково, что площади одного atom на кончке иглы соответствует примерно один квадратный миллиметр на экране; именно в этом смысле мы «видим» atomную структуру иглы (см. фотографию в начале статьи).

В 1900 году Джеймс Эвинг и Вальтер Розенхейн обнаружили, что

29

если образец подвергнуть деформации, например, сдвига его грани в разные стороны, то его поверхности покрывается линями. Они обычно идут строго параллельно друг другу в пределах каждого из зерен, и направление их в разных зернах различно (рис. 2). Тщательно наблюдая показали, что эти линии — следы ступенек, образующихся при скольжении тонких слоев кристалла друг по другу. Дальнейшие исследования (в особенности с большими идеальными кристаллами металлов) показали, что это скольжение происходит вдоль определенных плоскостей и в определенных кристаллографических направлениях. Междузим пластический деформация металлов оказывается, таким образом, сильно отличающимся от текущей жидкости и газов. Пластическая деформация характерна именно для кристаллческого структуры. Она происходит так, что atoms с одной стороны плоскости скольжения отделяются от своих прежних соседей с другой стороны плоскости и перемещаются, переносся с собой определенную часть кристалла и занимая, наконец, положение, при котором они вместе с их новыми соседями образуют столбже правильную структуру, как и раньше. При этом восстанавливаются первоначальные свойства и внутренняя структура кристалла.

Если пластический сдвиг — след

30

шения одной плотной плотопакованной плоской структуры над другой. Каждый три соседних шарика в плоскости образуют ямку, в котором можно вложить шарик верхнего слоя.

Выбрать такие ямки можно двумя способами. Если места расположения шаров первого слоя обозначит буквой A, а два последующих слоя—соответственно буквами B и C, то гранецентрированная кубическая решетка получается, если класть слой в последовательности ABCABC, а гексагональная плотная упаковка — при ABABAB.

В кристаллах металлов скольжение происходит вдоль тех направлений, где atoms уложены наболее плотно, так как сопротивление движению слоев друг относительно друга в этом случае меньше. Кроме того, как мы увидим далее, atoms, движущие вдоль плотопакованных рядов, чаще занимают источные положения. Благодаря большей симметричне кубические структуры содержат много таких направлений, в которых ряды atomов упакованы плотно и плоскости atomов могут скольнить друг по другу во многих направлениях. Это сильно сказывается на плоскности. Отдельные кристаллики могут принять такое форму, что соседние зерна подойдут вплотную друг к другу, не оставляя положей и трещин, и, следовательно, весь кристалл тоже может приннимать любую форму, не ломаясь при этом. Кристаллы с гексагональной структурой более хруплкие и хуже поддаются механической обработке.

Пластические свойства кристаллов обычно обязываются, как мы видели, начиным плотопакованных направлений и плоскостей, вдоль которых проискот сольжение. Почему образуется такие кристаллические структуры? Что бы ответить на этот вопрос, мы должны обратиться к электронному строению металлов.

В 1900 году немецкий физик Павль Друде предложил, что в металле имеются свободные электроны, которые могут движаться по всему объему металла под действием электрического поля, что и является причиной высокой электропроводности металлов. Эта теория была впследствии улучшена приложением квантовой механики, но основа осталась прежней: газ подвижных электронов, подобно жидкому kleю, скрепляет положительныеоны металла между собой за счет сил электрического прияжения к этому газу. Электронный газ ионы пригиваются друг к другу, стремясь образовать компактную массу, структура и объем которого определяются главным образом геометрией плотопакованных шаров. Если шары одинаковы, как в чистом металле, то возникают простые кристаллические структуры,

31

рассмотренные нами ранее. В некоторых сплавах могут образоваться другие структуры, и даже более плотные, благодаря разница в размерах шаров.

Из-за того, что электронный газ ведет себя подобно клею, связывающему ноны, валентность металлов не сказывается на их кристаллической структуре, как в случае неметаллов. Кристаллики металлов могут быть так сильно связанны между собой газом свободных электронов, что границы между ними почти не ошушаются. Очень трудно разбитый холодный металл вдоль границ зерен, если только границы не ослаблены примесями. Такая «неразборичность» металлической связи приводит к тому, что два куска металла можно соединить друг с другом, если просто прижать их чистые поверхности. металлическая связь позволяет получить сплавы различных металлов в очень разнообразных сочетаниях и пропорциях.

Каким же образом наличие свободных электронов сказывается на проности и пласточности металлов? Один эффект мы уже рассмотрели: образование у металлов (и у некоторых сплавов, в которых размерыatomов не слишком отличаются друг от друга) простых кристаллических структур с плотозаполенными плоскостями и линяями, вдоль которых осуществляется скольжение. Пластичность металлов обьясняется также тем, что atoms не связаны непосредственно друг с другом, а приятивются один к другому благодаря газу свободных электронов. Поэтому скольжение одного слоя относительно другого проискодит легко.

Если бы скольжение слоев проискодило при полном отсутствии сопротивления, то материал вообще не обладает бы жесткостью. Твердое тело, тем не менее, имеет вполене определенную жесткость, мерой которого является модель сдига, определяющий усиление, необходимое для очень малой деформации.

Рассмотрим два сплавящего плоскости (рис. 4). В одном сплачке (а) atoms в каждой направлении упакованы плотнее, и, следовательно, расстояния между плоскостями в вертикальном направлении меньше, чем в сплачке б. Ясно, что одна и та же деформация в сплачке а потребует меньше usилий, чем в сплачке б. Для наглядности можно сказать, что «взбираться» придется на меньше xmlns (в действительности это означает, что потребуется меньше usилие для деформации электронных оболочек). Другими словами, вдоль плотной упакованных плоскостей модель сдига меньше.

Прочность металла характеризуется также величины деформации, которая вызывает его текущеть, —

32

Рис. 5.
Кристалл с правильной решеткой можно представить себе как пакет из параллельных atomных плоскостей (a). Если одна или несколько плоскостей обращаются внутри кристалла, то края «лишних» плоскостей образуют в кристалле краевую дислокацию (б). Другой простейший вид дефекта — винтовая дислокация. Здесь ни одна из atomных плоскостей скольжение atomов. В случае скольжения плоскостей пластическая деформация начинается тогда, когда atom верхнего слоя приближается к положению неустойчивого равновесия, то есть когда разница между электрическими силами, стремящимся вернуть atom назад, и электрическими силами, толкающим его вперед к следующей «ямке», максимальная. Ясно, что в случае а эта деформация меньше. Из-за этих двух причины: меньше сопротивления свигу и меньше деформации, необходимой для достижения предела текущости, скольжение более верятно вдоль плотопакованных плоскостей. Эти сообщения обязывают, почему металлы с кубической структурой, такие, как медь и алюминий, особенно пластичны, но вопрос о прочности остается открытым. Вычисления, основанные на этих сообщениях, показывают, что металлы должны деформироваться упруго на 3—10% до того, как наступит текущость. Однако чистые металлы текст уже при деформации в 0,01%.

Расхождение в тысячу раз представляет как научный, так и технический интерес. Когда это расхождение было впервые обнаружено, сначала показалось, что все теория неверна. Но это не совсем так, либо кристаллы металлов, выращенные в форме тонких «усов», обладают прочноностью, близкой к расчетной костей не окачивается внутри кристалла, но сами плоскости близизли линни дислокации уже не параллельны, а смыкаются друг с другом так, что все кристаллы как бы состоит из единственной внутреннего изогнутой atomной плоскости (б). При обхождение линни дислокации эта плоскость поднимается (или опускается) на один шаг внта, равный межплокостному расстоянию.

Меншаая прочность больших кристаллов объясняется начиным в кристаллах дислокации — нарушений правильной структуры, которые даютatomным плоскостям возможность скольнить друг относительно друга легче, чем в идеальном кристалле.

Пусть нам нужно сдинить больший тяжелый ковер. Если попытаться сдинить вес ковер целиком, то сопротивление будет слишком большим. Но можно сделать на ковре складку и передвигать ее. Такое действие не требует большой затраты энергии, а в результате вес ковер оказывается сдинитым.

Движение ковра в этом случае очень похож на пластический свиг, вызванный дислокцией. Однако кристалла скольнит по другей не целиком, а по частям. Во время такого скольжения обязательно повится граничная линия (disлокация), разделяющая уже сдинившуюся часть от еще не сдинившейся.

Различют «краевую» и «винтовую» дислокации (рис. 5). В первом случае линяя дислокация перпендикулярна направленно скольжения, во втором — параллельна. Большинство дислокации является комбинцией этих двух типов и по форме напоминает ружину.

Disлокации в кристалле почти неизбежны, хотя бы из-за неравномерности процесса роста кристалла и наличия зерен, границы которых

33

Рис. 6.
Дислокация двихутся вдоль кристалла. Диаграмма или построует процесс пластического свира в плотноупакованном кристалле. Под действием свирающего усилия (стрелки) atomная плоскость (черные шары) смешается (2), и связывает (пунктир).

Лишняя плоскость (черные шары) продолжает двигаться, связи нарушаются, а затем восстанавливаются (черная линия). Когда дислокация (области нарушенных связей) пройдёт через весь кристалл, он оказывается деформаным (6).

34

Рис. 7.

Точечные дефекты, как и дислокации, нарушают структуру кристалла. Имеются три разновидности точных дефектов (слева направо): вакансия (отсутствие атома), замещение (включение атома постороннего веществ).

В результате фактически совокупностью дислокации. Сдвигающее усилия, приложенные к кристаллу, заставляют дислокацию перемещаться вдоль плоскостей скольжения. Если в кристалле имеется лишь одна дислокация, то при сдвиге она выходит из кристалла (рис. 6). В действительности же в кристалле обычно имеется сложная сеть дислокации, связанных друг с другом, не считая других нарушений структуры и наличия примесей. Так как концы дислокации закреплены либо на других дислокациях, либо на примесях, то при сдвиге кристалле не избавляется от нарушений в своей структуре. В действительности при сдвиге число дислокаций увеличивается.

Дислокация перемещаются вдоль плоскости скольжения благодаря «сдвиговым усилиям», возниккающим при растяжении, скатии или кручени образца. Какова величина усилия, необходимого для перемещения дислокации? В этом вопросе содержится два вопроса: 1) о естественном сопротивлении движению дислокации в идеальном кристалле и 2) овлиянии помех (примесей и других преятствий), имеющих в реальном кристалле.

Рассмотрим сопротивление движению дислокации в идеальной решетке. Атомы, расположенные неосредственно перед дислокцией, отталкивают ее, так как она стремится ва), междуальный atom (лишний atom). Каждый из этих дефектов нарушает кристаллическую решетку по-своему (красные линии). Точные дефекты часто взаимодействуют с дислокациями.

вывести их из положения устойчивого равновесия. Атомы, расположенные за дислокацией, только ее вперед, так как они стремятся занять новое устойчивое положение. На дислокацию действуют равные и противоположно направленные силы, поэтому сопротивление ее движению через кристалл равно нулю! Это странное свойство кристаллеского состояния имеет место, если область дислокации достаточно велика. В этом случае по обе стороны от дислокации так много атомов, только их действие полностью уравновешивает друг друга. В противном случае для передвижения дислокации необходимо приложить силу. В пределе, когда толщина дислокации не превышает размер атома, эта сила почти равна прочитанности материалов.

Узкие дислокации могут возникать в кристаллах типа алмаза, поэтому такие материалы даже с дислокациями весы прочитны. Широкие дислокации объясняют мягкость таких металлов, как медь, золото, алюминий. Практические задачи по отношению к этим металлам состоят не в том, чтобы сделать их мягче, а наоборот — сделать твердое. Металлурги достигают этого, помещая на пути движения дислокаций различных преятствия (рис. 9).

Внесение атомов примесей приводит к локальным нарушениям

35

Рис. 8.
Одночная дислокация в кристалле кадмия. Симок получен с помощью электронного микрокоппа и специального метода фотографирования.

структуры кристалла. Эти нарушения оказывают сопротивление движению дислокации. Действие atomов примесей усиливается, когда они группируются. Это можно добиться термической обработкой. Так как дислокация концентрируется на границах зерен, металл можно упрощать, уменьшая размеры зерен.

Если дислокация много, то при своем движении вдоль плоскостей скольжения они мешают друг друга—этот эффект может легко себе представить какждый, кому приходилось задерживать на перекрестке улиц с окивлением движением.

Рассмотрим последний вопрос. Что происходит, когда металл пытается быстро разрубить? Obviously металлы содержат примеси разных хруплих веществ, и если частота такого вещества раскрывается, то трещина быстро выходит за пределы включения. Опыт показывает, что металлы с гранецентрированной решеткой, например медь, лучше сопротивляется раскoly. Он не распространяется по всему кукуруза, а «затухает» благодаря пластического деформации.

Рис. 9.
Примеся могут закреплять дислокацию, заставляя ее изгибаться и пересекать различные плоскости, что мешает движению дислокации. На микрофотографии, полученной с помощью электронного микрокоппа, видны дислокации, закрепленные на примесях в кристалле кадмия. Увеличено в 90 000 раз.

Metаллы с объемноцентрированной решеткой, например, такие, как железо, ведут себя в нагретом состоянии как медь, но легко раскрывают, будучи холодными.

Если клин движется медленно, то уже имеющиеся в металле дислокации движутся под действием направления, возникающей в воздухе при перемещении клина, и энергия его траится на пластическую деформацию. А что будет, если клин движется быстро?

Келли, Тайсон и я недавно расстрелли этот вопрос. Мы вычислили, что непосредственно вблизи остро края клина силы, стремящемся разорвать atomные связи, в 5—6 раз больше силы, стремящемся вызывать сдвиг. И те и другие силы растут с приближением клина, но их отношение остается тем же самым до тех пор, пока не достигется предела проности атомных связей на разрыв или на сдвиг.

Если отношение проности на разрыв к проности на сдвиг больше, чем относение разрывающих сил к силам, вызывающим сдвиг атомов, то разрушение будет иметь вид деформации скольжения. Если наоборот, то материал треснет.

36

Рис. 10.
Три дислокации, с моделированные с помощью мыльных пузьрьков. (Слой пузьрьков моделирует слой атомов.) Disлокация, каждая из которых содержит лишний ряд, идут по диагонали из левого нижнего в правый верхний угол.

Рис. 11.
Клин, движущийся через металл с высокой скоростью, может либо просто разорвать связи между атомами, либо заставить atoms скользывать друг по другу. В хруплком материале (вверху) связи разрываются раныше, трешина распространяется быстрое, и металл разваливается на куски. В взском материале (внизу) при движении клина проискодит сдвиг. Связи рруться и восстанавливаются после сдвига атомов. Клин увазает.

Можно оценить прочность связи на разрыв и на сдвиг для различных материалов. Если это сделать, то оказывается, что материалов типа алмаза должны быть хруплками. Металлы с объемнотрированной кубической решеткой могут быть как хруплками, так и взkimми. У металлов с граментированной решеткой прочность связи на сдвиг называется

Сокращенный перевод E. M. Дижура (A. H. Cottrell, The Nature of Metals. «Scientific American», September 1967, p. 90).

А. Х. Коттрэл

37

Случай с методом математической индукции

Однажды учитель задал ученикам 10-го класса на дом следующую задачу:

Доказать, попытясь методом математической индукции, что при любом натуральном $n$ верно неравенство

$$P_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots 2n} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

Коля В. нашел дома следующее решение;

a) При $n = 1$ неравенство верно, так как

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

6. Покажем, что из условия $P_n < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ вытекает справедливость неравенства $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+2}}$. Для этого достаточно показать, что

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},$$

или

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n+1}{n+2}},$$

или

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3.$$

или

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

или

$$0 < 3n + 2,$$

что, очевидно, верно. Таким образом, справедливо доказываемого неравенства следует из принципи математической индукции.

Однако, рассказывая в школе это решение, Коля забил поставить в знаменателье единицу и стал доказывать более «грубое» неравенство:

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Вот что у него получилось:

a) При $n = 1$ неравенство верно, так как

$$P_1 = \frac{1}{2} < \frac{1}{1}.$$

6. Покажем, что из условия $P_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$ следует $P_{n+1} < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. Для этого достаточно показать, что

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} < \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}},$$

или

$$\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n}{n+1}},$$

или

$$(2n+1)^2(n+2) < 4(n+1)^3n,$$

или

$$4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 < 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,$$

или

$$0 < 3n + 2,$$

что, очевидно, верно. Таким образом, справедливо доказываемого неравенства следует из принципи математической индукции.

Разобравшимся в этом вопросе предлагаем доказать два неравенства:

1. $P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n}}$.

Интересно, что в этом неравенстве коэффициент 3,1 нельзя заменить на 3,2. Самый большой коэффициент, при котором оно остается верным, равен π (отношение длинны окружности к диаметру).

2. $\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4}$.

38

Неколько слов об авторе решения десятий проблем Гильберта

Юрий Владимирович Матиясевич родился 2 марта 1947 г. в Ленинграде. Первым человеком, образившим внимание на выданноеся математические способности мальчика и повышшим на зарожжение у него раннего интереса к математике, была преподавательница математики 255 школа г. Ленинграда Софья Григорьевна Генерсон. Начиная с класса Юрий участует в городских математических оптимидах, неизменно занимая в них первые места, а в 1961 — 1964 г. — и во всероссийских и Московских оптимидах, где был также в числе победителей. (10 класс Юрий Матиясевич закончил в 18 школе-interнате при МГУ). С 7 по 9 класс Юрий занимался в математическим кругжке Ленинградского Дворца пionероз под руководством сотрудника ЛОМИ (Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Академии наук СССР) Н. М. Митрофанова.

Участья в составе команды СССР в VI Международной математической оптимиде (Москва, 1964 г.), Матиясевич был удостоен Диплома 1 степени.

В 1964—1969 гг. Юрий Матиясевич — студент математico-механического факультета Ленинградского университета.

Еще на II курсе Матиясевич выполнил две работы по математической логике, направанные затем в «Докладах Академии наук СССР». Основные результаты этих работ были дополены Ю. Матиясевичем на Международном математическом конгрессе в Москве в 1966 г.

В настоящее время Матиясевич — спирант Ленинградского отделения математического института. Математическое творчество Ю. Матиясвича — яркий пример преемственности научной традиции. Научным руководителем Матиясвича в университете и спирантype является молодой, но уже хорошо известный специалист по математической логике Сергей Юрьевич Маслов, по совету которого Матиясевич с декабри 1965 г. и обратился к десяти проблеме Гильберта. Учитель С. Ю. Маслова проф. Николай Александрович Шанин — ближайший ученик члена-корреспондента АН СССР Андрея Андреевича Маркова.

Таким образом, Юрий Матиясевич — представитель уже «четвертого поколения», возглавляемого выдaoшимся советским математиком Марковым так называемого конструктивного направления в логике и математике.

39

В третьем номере «Квана» сообщалось о выдающемся успесе молодого ленинградского математика Ю. В. Матиясевича, которое недавно удалось сделать завершающий шаг в решении одной из значений «проблем Гильберта», поставленных еще в 1900-м году. Работа Ю. В. Матиясевича опубликована в Докладах Академии наук СССР*). И что бывают редко — вдумчивый школьник может самостоятельно разобраться в основном содержании этой работы, имеющей важное значение для современной математической науки. Дело в том, что оригинальная часть работы Ю. В. Матиясевича посвящена доказательству теоремы, формулировка которой вполне элементарна и приведена в публикуемой нами статье. Методы доказательства тоже элементарны. Труднее, правила, обьясить на понятном школьнику языке, почему эта теорема о числах Фибоначчи имеет столь значительный интерес для серверной математической науки. По своей формулировке и методам доказательства она скорее напоминает хитроумную оптимизацию задачу.

1. Теорема о числах Фибоначчи

Во всем дальнейшем мы будем иметь дело только с целыми числами. Расмотрим такое свойство пары чисел (a, b):

«b делится на a».

Это свойство пары чисел можно выразить и так:

«существует число x такое, что ax—b=0».

Мы выразили наше свойство пары чисел (a, b) через существование решения уравнения

ax—b=0

(напомним еще раз, что мы имеем дело только с целыми числами и, значит, только с целыми решениями). Уравнение этого имеет вид

P(a, b, x) = 0,

где P — многочлен от трех переменных a, b, x.

Введем теперь общее определение; свойство конечной последовательности чисел (a₁, a₂, …, aₘ) называется диофантовым, если существует такой многочлен от m + n переменных

P(a₁, a₂, …, aₘ), что последовательность (a₁, a₂, …, aₘ) обладает нашим свойством в том и

*) Вот название и точный «адрес» статьи: Ю. В. Матиясевича. Диофантовость перечисленных множества, ДАН СССР, 1970, том 191, № 2.

40

только в том случае, когда существуют числа $x_1, x_2, \dots, x_n$, для которых $P(a_1, a_2, \dots, a_m, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$.

Основное достинение Матиясвича как раз и состоит в доказательстве диофантовости неокоторого спецальноного свойства пар чисел $(a, b)$.

Многие из вас знакомы с числами Фибоначчи

$$\psi_0 = 0, \quad \psi_1 = 1,$$
$$\psi_2 = \psi_0 + \psi_1 = 1,$$
$$\psi_3 = \psi_1 + \psi_2 = 2,$$
$$\psi_4 = \psi_2 + \psi_3 = 3,$$
$$\psi_5 = \psi_3 + \psi_4 = 5,$$

бесконечная последовательность которых определяется рекуррентной формулой

$$\psi_{n+1} = \psi_{n-1} + \psi_n.$$

Свойство пары чисел $(a, b)$, которые занимается Матиясвиччи, таково:

«$b$ есть число Фибоначчи

с номером $2a$», т. е. $b = \psi_{2a}$.

Ясно, что этим свойством обладают пары

$(0,0), (1,1), (2,3), (3,8)$

и т. д. Утверждение, что свойство Матиясвича диофантово, означает, что существует многочлен

$$Q(a, b, x_1, x_2, \dots, x_n)$$

такой, что $b$ будет числом Фибоначчи с номером $2a$ тогда и только тогда, когда существуют такие числа $x_1, x_2, \dots, x_n$, что

$$Q(a, b, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0.$$

Многочлен $Q$ с целыми коэффициентами можно было бы в принципе явно выписать. Матиясвич это не делает и даже не указывает, каково число $n$ дополнительных переменных.

Что касается доказательства формулированной теоремы, то, как уже было сказано, оно вполне элементарно. Матиясвич ссылается на одну лемму, доказанную в книжке Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи», предназначаетной для школьников, и один результат, доказанный в более ученой книге А. И. Мальцева, но тоже элементарный. В самом работе Матиясвича девятнадцать лемм приведены без доказательства, но доказательство каждой из них в отдельности не труднее обчичных задач для школьников. Трудность состоитла лишь в том, чтобы найти ту именно комбинацию элементарных предложений, которая ведет к конечной цели.

2. Почему все это так важно?

Если бы многочлен $Q$ Матиясвича был в самом деле очень нужен математик для проведения каких-либо расчетов, то верятно, Матиясвич не поленился бы его явно выписать. Но в действительности само обращение к числам Фибоначчи является эврисимым, для последовательного выписывания всех обладающих этим свойством пар

$(0,0), (1,1), (2,3), (3,8), (4,21), (5,55), \dots$

Так как многочлен этих пар бесконечно, то процесс их выписывания никакогда не кончится. Но мы расположаем правилом, по которым наши пары можно выписать одну за другой с увеличностью в том, что

1. будут выписаны только пары, обладающие свойством Матиясвича,
2. любая пара, обладающая свойством Матиясвича, рано или поздно будет выписана.

Свойство (на более ученом языке «предикат») конечной последовательности чисел $(a_1, a_2, \dots, a_m)$ называется перечислением, если существует правило, позволяющее при помощи механического применения этого правила получить одну за другой последовательности, с непреемноностью обладающей заданным свойством, и при том так, что любая последовательность

41

ность, обладающая этим свойством, рано или поздно будет получена.

С современной точки зрения самим значительным следствием теоремы Матиясвича о числах Фибоначчи является

Теорема 1. Любое перечисление свойство конечной последовательности чисел является диофантовым.

Do 1961 года эта теорема казалась бы крайне неожиданной. Но некоторые более слабый результат Девиса, Путнама и Робинсон, доказанный в 1961 году, сделал такую гипотезу уже не столь невероятной. На ее доказательство математики были затрачены немалые усилия. Матиясвич и восползвался некоторыми, как говоря, «редукциями» проблемы к более специальным задачам. Но идея свести все к свойств чисел Фибоначчи была и в обстановке, сложившейся к 1970 году, неожиданной.

Таким образом крупный успех Матиясвича требовал соединения понимания больших проблем современной математики и эрудици в своей области с искусством нахождения неожиданные вполне элементарные пути решения специальных задач.

3. В каком смысле Матиясвич решил десятую проблему Гильберта

В десятий проблеме Гильберта*) решил об уравнениях вида

$$P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,$$

где $P$ многочлен с целыми коэффициентами. Степенью такого уравнения называют степень многочлена $P$. Когда вопрос ставится о нахождения их решения в целых числах, эти уравнения называют «диофантными». Например, уравнение

$$x^2 + y^2 = 1$$

имеет четые решения в целых числах

$$x = \pm 1, \quad y = \pm 1,$$

*) Более подробно о проблемах Гильберта можно прочитать в книге Д. Гильберт, «Matематические проблемы», «Наука», 1969.

а уравнение

$$x^2 + y^2 = 3$$

в целых числах решений не имеет.

Тепер предоставим слово самому Гильберту:

«Пусть дан произвольное диофантное уравнение с произвольным числом неизвестных …; пребуемся указать общий метод, следующая компону можно было бы в конечное число шагов узнать, имеем данное уравнение решения в целых … числа или нет».

Гильберт, по-видимому, был убежен, что искомый общий метод существует, и дело заключалось лишь в том, чтобы найти его. Немало успешный было затрачено, чтобы отыскать этот метод, но сколь-нибудь обнадеживающих результатов не получалось.

Задача о целых решениях произвольного уравнения легко сводится к задаче о натуральных (целых неотрицательных) решениях. Далее, совсем нетрудно показать, что достаточно ограничиться диофантными уравнениями степени не выше четырёх. Для диофантных уравнений степени не выше второй искомый общий метод был найден, но уже уравнения третьей степени не подавались никаким числяям.

В связи с неудачами в этом направлении возникло подозрение, что тот общий метод, об отыскании которого говорится в формулировке Гильберта, попросту не существует! Сходная с ситуации сложилась и в ряде других задач аналогичного характера. Однако, одно дело найти требуемый общий метод — тут достаточно было только предъявить этот метод и неосредственно убедиться в том, что он удовлетворяет условиям, выдивинутым Гильбертом.

А вот чтобы доказать несуществование некоого метода для решения серии задач, требовалось дать точное определение тому, что такое этот общий метод, как и какими средствами он может быть реализован.

В начале тридцать годов соответствующие определения были выра

42

ботаны в трудах американского ученого Чёрча и английского ученого Тыорига. Эти определения положили начало теории алгоритмов. Оглаядыясь на проиденный путь, математики должны быть благодарны десятий проблем Гильберта уже за то, что она послужила одним из стимулов для создания этой теории.

В рамках теории алгоритмов было получено и точное определение понятия «перечислимое свойство», который мы воспользовались в предыдущем пункте.

Оказалось, что из диофантовости любого перечислного свойства конечной числовой последовательности вытекает

Теорема 2. Невозможно общий метод (алгоритм), позволяющий для любого заданного диофантова управления установить, имеет оно решения в целых числах или нет.

Матиясевич из своей теоремы о диофантовости специального свойства пары чисел (a, b)

$$b = \psi_{2a}$$

вывел доказательство теоремы 1, из которого, как уже было известно, вытекает теорема 2, т. е. отрицательное решение десятий проблем Гильберта.

Для окончательного понимания всего сказанного вам не хватает только отчетливого знания того, что такое «алгоритм» (общий метод решения бесконечного ряда задачи) и что такое «перечислимое свойство» (перечислный predикат). Но это уже значительное более трудная тема.

4. Определения и факты теории алгоритмов

5. Среди функций, определенных на множество N натуральных чисел и принимающих натуральные значения, следующим образом выделяется класс примитивно рекурсивных функций.

Рассматривают функцию S(n) n+1 и q(n)=n-p, где p²≤n<(p+1)². Из функций f(n) и q(n) разрезается образовать функцию h₁(n)=f(n)+q(n) (операция сложения), $h_2(n)=f(q(n))$ (операция подстановки), а из одной функции f(n) — функцию, определяемую равенствами h₃(0)=0, h₃(n+1)=f(h₃(n)) (операция инерирования). Класс примитивно рекурсивных функций состоит из функций S, q и всех тех функций, которые могут быть получены из них конечным числом сложений, подстановок и инерирования.

При имер. Покажем, что функция φ(n)=2n и φ(n)=2n+1-primитивно рекурсивное. Приимем сначала операцию инерирования к функции S(n)=n+1. Тогда h(0)=0, h(n+1)=S(h(n))=h(n)+1. Следовательно, h(n)=n и φ(n) получается применением операции сложения к двум функциям, каждой из которых равна h(n): φ(n)=h(n)+h(n)=n+n=2n. Наконец, функция φ(n) получается операцией подстановки, примененной к функциям S(n)=n+1 и φ(n)=2n: φ(n)=S(φ(n))=S(2n)=2n+1.

2. Множество M натуральных чисел называется перечислым, если оно совпадает со множеством значений некоторой примитивно рекурсивной функции.

Так, например, множество четных чисел перечислимо, так как является множеством значений примитивно рекурсивной функции φ(n)=2n. Множество нечетных чисел, совпадает со множеством значений примитивно рекурсивной функции φ(n)=2n+1, также перечислимо.

3. Множество M называется разрешимым, если оно перечислимо вместе со своим дополнением N—M (где N—множество всех натуральных чисел).

В частности, разрешимое множество чисел, поскольку оно перечислимо вместе со своим дополнением (множество нечетных чисел).

4. Существуют перечислимы, но неразрешимые множества.

Можно привести конкретный пример такого множества, однако соответствующая конструкция технически сликом сложения, для того чтобы было выполнить в рамках настоящего замечания.

Пусть теперь данное некоторое множество M натуральных чисел. Можно задать вопросом, существует ли общий метод, который по каждому натуральному n определяет в конечное число шагов, принадлежит это n множеству M или нет. Основное положение теории алгоритмов (теис Чёрча) утверждает, что макой метод (алгоритм) существует модела и молко модели, когда множество M разрешимо.

Для отрицательного решения деяточной проблемы Гильберта достаточно было доказать диффантовость каждого перечислого множества, т. е. по каждому перечислому множеству $M$ имеет строить такое диффантово уравнение $P(y, x_1, \dots, x_h) = 0$, которое имело бы натуральные решения $x_1, \dots, x_h$ для всех $y$, принадлежих $M$, и только для таких $y$.

В самом деле, если бы это можно было сделать, то, взяв в качестве $M$ неразрешимое множество (такие есть среди перечислых, см. п. 4), мы получили бы, что уже для соответствующего уравнения $P(y, x_1, \dots, x_h) = 0$ нет общего метода (алгоритма), который по каждому натуральному $y$ давал бы ответ на вопрос о существовании у этого уравнения натуральных решений. Ведь если бы этот метод имелся, то можно было бы за конечное число шагов узнать, имеет ли уравнение $P(0, x_1, \dots, x_h) = 0$ решение (т. е. принадлежит ли число 1 множеству $M$), имеет ли уравнение $P(1, x_1, \dots, x_h) = 0$ решение (т. е. принадлежит ли число 1 множеству $M$) и т. д. Получилось бы, что существует общий метод, который по каждому натуральному $y$ определяет за конечное число шагов, принадлежит это $y$ множеству $M$ или нет. Тогда в силу тестиса Чёрча $M$ было бы разрешимо, вопрос выбор этого множества.

5. Что было сделано и что сделал Матиясевич.

В пятидесные годы группа американских математиков (Р. Робинсон, X. Путnam, М. Дэвис, Дж. Робинсон) получила ряд значительных и обна-

деживающих результатов в понсках доказательства диффантовости перечислых множества. (Гипотезу о диффантовости перечислых множества вывинул Мартин Дэвис.)

Американским ученым ценно значительные условия удалость свести задачу к доказательству диффантовости отношения $y = z^u$. Джуляя Робинсон пошла даже несколько дальнейше, показав, что достаточно построить конкретоное уравнение $R(u, v, x_1, \dots, x_h) = 0$, не допускающее решения с $v > u^u$, но для каждой $n$ имеющей решение с $v > u^n$. Именено такого рода уравнение и удалость построить Ю. В. Матиясевич, предложивему в полне элементарную, но чрезвычайно остроумную и оригинальную конструкцию. При этом пришлось решать задачу, необычно для традиционной теории чисел. Ведь в теории чисел по заданному уравнению, как правило, исследуются свойства его решений, здесь же, наоборот, задавшись определенными свойствами решений, нужно было искать требуемое уравнение.

Обратившись к рассмотрению последовательности Фибоначчи, Матиясевич заметил, что если за $u$ взять половину номера четного члена последовательности, а за $v$ — сам член, то неравенство $v > u^u$ будет всегда неверно, а для любого $n$ можно найти такой чейный член последо-

44

вательности, что неравенство $v > u^n$ будет верно. Это обстоятельство или построуется таблицей приведенной на стр. 43. (В ней выделены те клетки, в которых числа $u^k$ оказываются меньше соответствующих чисел $v$).

После того как указано свойство было проверено, Матиясевич «подправил» последовательность Фибоначчи, выбросив из нее нечетные члены. Именно, он рассмотрел последовательность, задаваемую соответствующими: $\varphi_0 = 0, \varphi_1 = 1, \varphi_{n+1} = 3\varphi_n - \varphi_{n-1}$. Получилось в точности последовательность из четыых членов первого차ной последовательности: $\varphi_0 = 0, \varphi_1 = 1, \varphi_2 = 3, \varphi_3 = 8, \varphi_4 = 21, \varphi_5 = 55, \varphi_6 = 144, \varphi_7 = 377$ и т. д. Приявтелегр за $u$ номер члена последовательности, а за $v$ — член последовательности с номером $u$, т. е. $\varphi_u$, мы получаем, что снова выполняется требуемое свойство для $u$ и $v$. Терерь оставалось построить уравнение $P(u, v, x_1, \dots, x_k) = 0$, которое имело бы натуральное решение тогда и только тогда, когда $v = \varphi_u$, — дальнейшее было составяя на результат Джулии Робинсон! Для этого достаточно было построить систему диффантовых уравнений $P_1 = 0, \dots, P_n = 0$ в переменных $u, v, x_1, \dots, x_k$, имеющего решение тогда и только тогда, когда $v = \varphi_u$ — ведтая система имеет в точности те же решения, что и единственное уравнение $P_1^2 + \dots + P_n^2 = 0$.

Вот в каком виде получил Матиясевич требуемую систему уравнений:

1. $u + (a - 1) = v$,
2. $v + b = l$,
3. $l^2 - lk - k^2 = 1$,
4. $g^2 - gh - h^2 = 1$,
5. $l^2c = g$,
6. $ld = r - 2$,
7. $(2h + g)e = r - 3$,
8. $x^2 - rxy + y^2 = 1$,
9. $lp = x - u$,
10. $(2h + g)q = x - v$.

Для доказательства того, что сущевование натурального решения этой системы равносильно соответствующию $v = \varphi_u$, Матиясевич использовал следующую характеристику свойство последовательности $\{\varphi_k\}$:

пара условий $x < y$ и $x^2 - 3xy + y^2 = 1$ равносильно существование такого $k$, что $x = \varphi_k$ и $y = \varphi_{k+1}$.

Интересующемуся читателю рекомендуем поprobовать свои силы на доказательстве этой равносильности.

Укажем в заключение, что найденное решение десятий проблем имеет ряд интересных следствий, из которых, быть может, наиболее эффективным является следствие: можно указать конкретный многочлен прямой стрелени, множество положительных значений которого совпадает со множеством всех простых чисел!

Matематическая наука записала в свой актив серверное и почительное достижение.

Задание 1

1. Покажите, что для любого $k$ числа $\varphi_k$ и $\varphi_{k+1}$ взаимно просты.
2. Докажите соответствие: $\varphi_{k+1} = \varphi_k + 1$.
3. Покажите, что диффантовое уравнение $P(y, x_1, \dots, x_k) = 0$ имеет решение в целях положительных числа тогда и только тогда, когда такое решение имеет уравнение

$$Z = (1 - (P(z, x_1, \dots, x_k))^2) - y.$$

По вине типографии в «Кванте» № 5 (стр. 64, зад. 1226) неправильно набран формула деления чисел. Она должна выглядеть так:

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$$

45

В наш век физики привели удвляться градиозным вещем — центральному ускорителем, магниту, дайцему поля в сотни тысяч стред, прибора квантовой электроники. Только построив огромную камеру для наблюдения процессов, процесодиях в микромире, физики могут наделять пропикнуть данные в суть явлений природы. А ведь не так давно, еще в начале нашей века, физик сам строил маленькие установки, уменьшился на его столе и делал великие открытия. Атомное ядро, радиоактивность,RENTеновские лучи, радиоволны — все это было открыто в XIX веке с помощью несложных средств, которые находились в распоряжении естественного теле. А если утити еще данные в прошло? Трудно сейчас поверить, что в XVIII веке даже королевские врачи не могли доводиться между собой о частоте пульса короля, так как часы у них ходили по разному. Давление крови и даже просто температуру тела вообще никто неизмерял. Появление термометра вызвал тогда энтузизма не меняшии, чем открытие лазера в наши дни. Вот с каким востором писал об этом изобретении Реомюр в 1730 году.

Я. А. Смородинский

«ОБ УСТРОЙСТВЕ ТЕРМОМЕТРОВ», 1730 г.

Реомюр

Термометр, без сомнения, есть одно из чудесных изобретений современной физики, которое в свою очередь много содержит значимую информацию. Он нам доступил больше число интересных знаний, которые были бы недоступными без его помощи. Как мы во многих случаях могли бы без термометра узнать, что жидкость (некоторые), смешанные между собой, нагревалится? Без термометра мы никогда не открыли бы, что при расторении известных солей процесодит охлаждение, а также при каких случаях это охлаждение обнаруживается наиболее сильно. Мы не могли бы также узнать, что один кусок льда может быть холоднее другого. Мы также не могли бы открыть, что кипящая вода имеет температуру, выше которой вода вообще не может быть нагрета (при нормальном давлении).

Все физики знают, что с термометром в руках можно произвести бесписсленные опыты. Но в этом приборе нужноются не один физик; применение его не ограничивается лабораториями — мы обычно изнаем по термометру, какова температура воздуха…

Doix por (t. e. do 1730 г.) термометры почти совсем не употреблялись для определения наиболее холода и жара в различных климатах — вопросов большой половины и интерсаса. А между тем таким образом легко узнать, сколько градусов теплла или холода может выдержать человек. Столь же важно бы знать, в каких температурах нужно сделать приизрастания те растения и деревья, которые могли бы у нас акклиматизировать.

46

Все задачи по математике в этом номере взяты из числа предлазавшихся на последней Московской математической олимпiadе, некоторые формулировки следует изменены.

Ф36. Капля жидкости лежит на плоской стороне полусферической стеклянной пластинки. Покажите, как можно определить показатель преломления жидкости из наблюдающий полного внутреннего отражения. Показатель преломления стека тоже неизвестен и его надо определить.

47

Ф37. В двух вертикальном расположенных цилиндрах, площади сечения которых $S_1$ и $S_2$, находятся два неверсимых поршня, соединенных тонкой неверсимой нитью длины $l$ (рис. 1). Пространство между поршнями заполено водой. Найти наяжение нити, если концы сосудов открыты в атмосферу. Плотность воды $\rho$.

Ф38. Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет больший диаметр, чем узкое. К какому колену следует прикрепить шкалу для отчета измерения давления, чтобы точность измерения была выше?

Ф39. Планету радиуса $R$ и массы $M$ окружает равноплотная атмосфера, состоящая из газа с молекулярным весом $\mu$. Какова температура атмосферы на поверхности планеты, если высота atmosферы равна $H$?

Физическая олимпиада МГУ, 1967 г.

Ф40. При какой разности потенциаль между электродами зажигается неоновая лампочка, если энергия ionизация неона $I=21,5$ эв, а среднее расстояние между двумя последовательными стольновениями электрода с atomами газа равно 0,4 мц? Электроды имеют вид больших пластинок, расположенных на расстоянии $d=3$ мм друг от друга.

Ф41. Во сколько раз обеспечность в лунную ночь в полнолуние меньше, чем в солнечный день, при одинаковой высоте Луны и Солнца над горизонтом? Считать, что освещенная полученная лунь равномерно рассеивает свет в пространство. Радиус Луны принять равным 2000 км, а расстояние от Луны до Земли — 400 000 км.

M31. Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы среди полученных частей оказалось равно столько измерения была выше?

И. Берништейн

M32. Во всех клетках таблицы $100 \times 100$ стоит плюсы. Разрешается одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или одного столбца. Можно ли, продолжав также операции несколько раз, получить таблицу, гдеровно 1970 минутов?

А. Зелевинский

M33. Имеется натуральное число $n>1000$. Возьмем остатки от деления числа $2^n$ на числа 1, 2 3, . . . , $n$ и найдем сумму всех этих остатков. Доказать, что эта сумма больше $2n$.

А. Куиниренко

M34. Доказать, что если натуральное число делится на 10 101 010 101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

А. Толпьео

M35. Около сферы радиуса 10 описан неокторый 19-граник. Доказите, что на его поверхности найдет две точки, расстояние между которых больше 21.

А. Куиниренко

48

С этого номера мы начнем печать решения «Задачника Кванта».
Большинство из задач, помещенных в этом разделе журнала, довольно трудны и обсуждению некоторых из них следовало бы посвятить больше статую. Многие из них дают повод для разговора о целом классе задач, о методах подхода к тем или иным явлениям, об использовании различных явлений в практике. Иногда мы будем вести этот разговор на страницах нашего журнала. Но часто читатель самим стоит подумать над тем, как обобщить приведенное решение, или как его упростить, над тем, где применяется явление, о котором говорится в задание и т. д.

Седьмой номер был подготовлен к печати в конце марта, поэтому здесь, естественно, не учтены письма с решениями, которые мы получили позже. В дальнейшем предполагается публиковать решение примерно через полгода после публикации задач. При этом мы успешно познакомиться с решениями, последними «вовремя» — не позднее чем через полтора месяца после выхода соответствующего номера. Конечно, мы не сможем ответить всем читателем, прилавшим нам письма. Лучшие решения будут опубликованы на страницах журнала. Тем же, кто придумал решение, сильно отличается от опубликованного, придется самим разобраться, верно оно или нет, и если нет, — в чем ошибка.

И последнее. Придумать задачу об卑но труднее, чем ее решить. Труднее, но это и интереснее. Попробуйте придумать задачи и пришите их нам. Лучшие задачи мы опубликовем в «Задачнике Кванта».

49

М1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизюсь время новых президентских выборов. В странеровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлорес. Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы казались демократическими. «Демократическим голосованием» Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на несколько равных групп, затем каждой из этих групп повышается на некоторое количество равных групп, затем эти последние группы снова разбиваются на равные группы и т. д.; в самых мелких группах выбирают представители группы—выборщика, затем выборщик представляет для голосования в еще большей группе и т. д.; наконец, представители самых больших групп выбирают представителя на группы, как он хочет, и инструктурует свои стороны, как им голосовать. Сможет ли он так организовать «демократические выборы», чтобы его избрали предidentом? (При равенстве голосов побеждает опозиция.)

Ответ. Да, сможем.

Прежде всего, разберемся, как может на «многоступенчатых» выборах победить кандидат, за которым голосует меньшинство. (Кстати, по такой системе голосуют во многих капиталистических странах.) Самый простой пример такой ситуации изображен на рисунке 1: здесь девять избирателей — четыре «черных» и пять «голубых» — разбиты на три группы по три избирателя так, что в двух группах побеждают черные, и поэтому в результате таких «двухступенчатых выборов» будет избран кандидат черных, хотя число его стороны составляет только $\frac{4}{5}$ от общего числа избирателей. (Нетрудно сообщить, что при двухступенчатых выборах с большим числом избирателей процент голосов, достаточно для победы, может быть еще меньше, но все также завершено больше 25%.) Ясно, что при трехступенчатой системе выборов этот процент можно сделать еще ниже. Например, если заменить на рисунке 1 каждого избирателя группы из ста человека, причем так, что в голосовой группе все это избирателей голосые, а в черной — 51 черный и 49 голубых, то мы получим пример ситуации, где черные составляют только $\frac{4}{9} \cdot \frac{51}{100} = \frac{17}{75}$ от общего числа избирателей и тем не менее побеждают.

После этих предварительных сообщений пришли решение задачи.

Разобем всех избирателей на 5 группы по 4 миллиона в каждой так, что две группы целиком составят из противников Мирафлоresa (назовем эти группы «голубыми», а три остальные — «черными»). Каждый из

50

этих групп «первого ранга» снова разобъем на 5 групп второго ранга, причем из пятей групп, составляющих черную групп первого ранга, три черных и т. д., как указано в таблице.

Ясно, что при таком разбиении для победы Мирафлореса достаточно, чтобы за него проголосовала

$$\frac{3^{11}}{2^8 \cdot 5^7} = \frac{177 \cdot 147}{20 \cdot 000 \cdot 000} < \frac{1}{100}$$

часть всех избирателей. Тем самым, поскольку армия составляет $\frac{1}{100}$ часть избирателей и поддерживает Мирафлореса, он смотет победить.

Некоторые читатели пытались решить следующий, более общий вопрос: какое наименьшее число сторонников должен иметь Мирафлорес, чтобы победить на «демократических выборах», если общее количество избирателей $N$? Разумеется, ответ на этот вопрос зависит не столько от величины числа $N$, сколько от того, как оно раскладывается на множители. Если, скажем, $N$ — число простое, то избиратей вообще никак нельзя разбить на равные группы (кроме тривальноного способа: $N$ групп по одному человеку) и для победы нужно иметь простое большеинструто. Покажем, как ответить на этот вопрос для любого $N$.

Рассмотрим такое разбиение $N$ человек на группы (1-го, 2-го и т. д. ранга), при котором победает Мирафлорес и число его стороны — наименьшее из возможных. Очевидно, можно считать, что в группах, голосующих против него, нет ни одного его стороны и что все черные группы одного ранга разбиты совершенно одинаково. Удобно использовать общение $[1]$ — «целая часть» ($[x]$ — наиболее целое число, не превысая $x$; например, $[2] = 2$, $[3\frac{1}{2}] = 3$). Ясно, что если неокторачая черная группа состоит из $k$ групп следующего ранга, то среди них должны быть не менее $[\frac{k}{2}] + 1$ черных. Пусть каждая группа $r$-го ранга ($r = 1, 2, \dots, m-1$) разбита на $k_r$ групп меньше ранга, а группы последнего $m$-го ранга состоит из 1 человека. Тогда для победых необходимо иметь по крайней мере

$$B = \left( \left[ \frac{k_1}{2} \right] + 1 \right) \left( \left[ \frac{k_2}{2} \right] + 1 \right) \dots \left( \left[ \frac{k_m}{2} \right] + 1 \right)$$

черных голосов. Наша задача свелась к такой: разложить данное $N$ в произведение максимimalей $k_1, k_2, \dots, k_m$, чтобы произведение $B$ было минимально.

Пусть

$$N = k_1 k_2 \dots k_m$$

— такое разложение. Как показывает следующая лемма, можно предложать, что в этом разложении нет сомножителей $k$ вида $k = pq$, где $p$ и $q$ больше 2 (если такие есть, можно проверить дальнейшее разложение, не увеличивая $B$).

Лемма.

$$\left( \left[ \frac{p}{2} \right] + 1 \right) \left( \left[ \frac{q}{2} \right] + 1 \right) \leq \left[ \frac{pq}{2} \right] + 1$$

для всех целых $p$ и $q$, большех 2.

Доказательство. Если $p$ и $q$ оба четны, то неравенство можно переписать так:

$$\left( \frac{p}{2} + 1 \right) \left( \frac{q}{2} + 1 \right) \leq \frac{pq}{2} + 1,$$

$(p + 2) (q + 2) \leq 2pq + 4,$

$pq - 2q - 2p + 4 \geq 4, \quad (p - 2)(q - 2) \geq 4,$

что, очевидно, верно для $p > 2$ и $q > 2$.

В случае, когда одно из чисел $p, q$, например $p$, четно, а другое нечетно, имеем:

$$\left( \frac{p}{2} + 1 \right) \left( \frac{q}{2} + 1 \right) \leq \frac{pq}{2} + 1,$$

$(p + 2) (q + 1) \leq 2pq + 4,$

$pq - 2q - p + 2 \geq 0, \quad (p - 2)(q - 2) \geq 0.$

Случай, когда $p$ и $q$ нечетны, разбиается аналогично. Лемма доказана. Отсюда сразу следует, что нечетные $N$ надо раскладывать на простые множители «до конца». Осталось разобраться с двойками.

Можно считать, что в разложении нет сомножителей вида $2q$, где $q$ нечетно, поскольку $2$ ранга

$$2 \left( \left[ \frac{q}{2} \right] + 1 \right) = \left[ \frac{2q}{2} \right] + 1.$$

52

шей черз центры окружностей и центр сферы. Действительно, обе окружности симметричные относительно плоскости $P$, и если бы они имели общую точку по одному сторону плоскости $P$, то должны были бы иметь и симметрично ей общую точку по другую сторону $P$, а у них всего одна общая точка. Если эти окружности имеют один и тот же радиус $r$, то расстояние между их «центрами» равно $2r$, потому что на окружности большого круга, получающейся в пересечении сферы и плоскости $P$ (рис. 2, $\theta$), диаметры наших окружностей (черные отрезки) и отрезок, соединяющий их «центры» (красный), стягивают равные дуги.

Пусть $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ — «центры» окружностей $\gamma_0, \gamma_1, \dots, \gamma_n$, о которых идет речь в условиям задачи. Тогда $A_0A_1 = A_0A_2 = \dots = A_0A_n = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_nA_12r$, других словами, $A_0A_1A_2 \dots A_n$ — вписанная в данную сферу радиуса 1 правильная $n$-угольная парамида с вершиной $A_0$, у которой все боковые грани — равносторонние треугольники со стороны равными $2r$. Итак, достаточно построить парамиду, для которого выполнен эти условия, тогда точки $A_0, A_1, \dots, A_n$ будут определенные окружности радиуса $r$ с «центрами» $A_0, A_1, \dots, A_n$, которые, очевидно, удовлетворяют условиям задачи.

Поскольку сумма плоских углов выпуклого $n$-гранного угла с вершиной $A_0$ меньше $360^\circ$:
$$n \cdot 60^\circ = A_1A_0A_2 + A_2A_0A_3 + \dots + A_nA_0A_1 < 360^\circ,$$
то $n < 6$. Для $n = 3, 4$ и 5 нетрудно построить нужные парамиды.

Пусть $O$ — центр сферы. Высота парамиды $h$ и длина ее ребер $2r$ находится из следующих соображений: радиус $KA_1$ основания парамиды — катет $\Delta A_0KA_1$ и боковая сторона $\Delta A_1KA_2$, где $\Delta A_1KA_2 = 2\pi/n$ (рис. 3, $a, \delta$),

$$\sqrt{4r^2 - h^2} \sin \frac{\pi}{n} = r.$$

Из $\Delta A_0OA_1$ имеем $r = \frac{h}{2r}$.

Отсюда $h = 2r^2$, $r = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{n}}}$.

Таким образом,

при $n = 3$: $r = \sqrt{\frac{2}{3}} \left( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$;

при $n = 4$: $r = \sqrt{\frac{1}{2}} \left( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$;

при $n = 5$: $r = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

(формулу $\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ можно вывести из рисунка 4, с помощью которого строятся правильные десятиугольники и правильные пяты-угольники).

53

Зная $r$ и $h$, мы можем построить правильные парамиды, которые в силу приведенных соотношения будут удовлетворять всем нужным условиям: все грани — равносторонние треугольники со сторонами $2r$, радиус описанной сферы — 1.

Построенные парамиды тесно связаны с правильными многогранными

ками, грани которых — треугольники. Таких многогранников всего три: tetraэдр, octaэдр и ikocaэдр (рис. 5), и если от каждой из этих многогранников отрезать «верхушку» — все грани, примыкающие к одной вершине, — то получается как раз также три парамиды, которые мы занимались. Подробнее о правильных многогранниках и о построении пятугольника можно прочитать в прекрасной книге Г. С. Коктера «Введение в геометрию» («Наука», 1966, гл. 10 «Пять платоновых тел» и гл. 11 «Золотое сечение и филлотаксис»).

Несколько иначе (без использования «центров на сфере») решил задачу ученик 10-го класса Сердей Макеев из г. Волоколамска.

Заметим еще, что ограничение $n \geq 3$ в условиям задачи в полне можно было бы заменить на $n \geq 2$. Соответствующие расположение трех окружностей $\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2$ существует (рис. 6; «центры» окружностей расположены в вершинах правильного треугольника-

54

Рис. 6.

ка, вписанного в большой круг), и для вычисления $r$, как это ни странно, годится та же формула, которую мы доказали для $3 \leq n \leq 5$

$$r = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\pi}{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

М3. а) На рисунке 7, $a$ плоскость покрыта квадратами пя ти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

6. На рисунке 7, $b$ плоскость покрыта шестиугольниками с теми цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решетки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение?

Примечание. В первой задаче число цветов может равнять единицу (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). Во второй задаче вы без труда найдете рсшення с одним цветом и с тремя цветами. Желательно дать полное решение задач, т. е. описать все раскраски, удовлетворяющие указанным условиям. Присылайте, однako, и неполные решения, если они показут вам интересными. Подумайте, например, существует ли во второй задаче решение с тринадцатью цветами?

Полных решений этой задачи мы пока не получили.

Ученик 6-го класса Сереей Елисеев (Москва) прислал нам раскраску шестиугольной сетки тринадцатью цветами, которое мы воспроизводим, насолько это позволяют полиграфическе возможность, на рисунке 8;

Рис. 7 a, б.

он утверждает (без обьясеней), что ответ в обшем случае такой:

В задаче a) пребуемая раскраска возможна, если количество цветов равно сумме двух квадратов целых чисел:

$$1 = 0^2 + 1^2; \quad 2 = 1^2 + 1^2; \quad 4 = 0^2 + 2^2; \quad 5 = 1^2 + 2^2; \quad 8 = 2^2 + 2^2; \quad 9 = 0^2 + 3^2; \quad 10 = 1^2 + 3^2; \quad 13 = 2^2 + 3^2; \quad 16 = 0^2 + 4^2$$ и т. д.

В задаче б) решение возможно при количестве цветов, равном сумме двух чисел из последовательности 0, 1, 3, 6, 10, 15, . . . , $\frac{n(n+1)}{2}$, . . .

$$1 = 0 + 1; \quad 3 = 0 + 3; \quad 4 = 1 + 3; \quad 6 = 0 + 6; \quad 7 = 1 + 6; \quad 9 = 3 + 6$$ и т. д.

Попробуйте выяснить, правильны ли эти ответы? К этому вопросу мы вернемся позднее, а пока обратим внимание на одну точку в формулировке задачи (первым ее заметил читатель В. Гутенахер из Москвы).

Начнем с задачи a). В ней требуется найти раскраски, при которых «центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки». Но в условии не сказано, что для разных цветов эта «большая» квадратная сетка должна быть одинаковой. Посмотрите на рисунок 9. Здесь тоже квадраты каждого из трех цветов образуют сетку, но для красного цвета «шаг» (сторона квадрата) сетки равен $\sqrt{2}$, а для белого и зеленного — 2, да еще сетки повер-

55

Рис. 8.

нуты друг относительно друга. Но если понятно условие задачи буквально — а на письменном экзамене или на олимпиде именно так и следует поступать, — то раскраска рисуна 9 удовлетворяет условию задачи. При подобном понимании ответ в задаче а) будет такой: при любом числе цветов. Действительно, из любой раскраски с $n$ цветами, один из которых белый, легко изготовить раскраску с $(n+1)$ цветом: нужно белые квадраты в «шахматном порядке» раскрасть белой и новой $(n+1)$-й красной (именно так из шахматной красно-белой раскраски получалась раскраска рисуна 9).

При таком понимании и задача 6) становитсясовсем простой.

Ответ. При любом числе цветов, большем 2. Действительно, раскраска двумя цветами невозможна, поскольку, если из трех шестиугольников, каждые два из которых имеют общую сторону, два покрышения в один цвет, то и все шестиугольники должны быть раскрашения этим цветом. раскраски с 3 и 4 цветами находятся легко, а дальше нетрудно, раскрашивая белые шестиугольники в три цвета, увеличить число цветов на 2, затем еще на 2 и т. д.

Разумеется, таким способом можно получить много разнообразных раскраскок. Имея любую раскраску $A(k)$ цветов, выделив в

56

Ф1. Три сообщающся сосуда с водой, центры которых находится на одинаковом расстоянии $a$ друг от друга, прикрыты поршнями одинаковой толщины, сделанных из одного и того же материалов. К поршням прикреплены вертикальные одинаковые штоки, которые шарнирно соединены со стержнем $AB$. В какой точке стержня можно прикреплить к нему груз, чтобы в положении равновесия стержень оставался горизонтальным, если массы стержня и штовок пребрежимо мылы по сравнению с массами поршней и груза. Диаметры сосудов соответственно $d_1$, $d_2$ и $d_3$.

Сторжение $AB$ и поршни находится в равновесии под действием семи сил: силы $Q$, действующей со стороны груза, силы тяжестей, действующих на поршни—эти силы пропорциональны площадям поршней: $P_1 = k_1 d_1^2$; $P_2 = -k_1 d_2^2$; $P_3 = k_1 d_3^2$ и трех сил давления жидкости на поршни: $N_1$, $N_2$, $N_3$ (рис. 10). Так как уровни жидкости в сосудах одинаковы, давления на все поршни равны, а силы давления относится как площади поршней: $N_1 : N_2 : N_3 = d_1^2 : d_2^2 : d_3^2$. Поэтому $N_1 = k_2 d_1^2$, $N_2 = k_2 d_2^2$, $N_3 = k_2 d_3^2$.

Равноведействующие силы, приложенные к каждой из поршней, равны: $F_1 = N_1 - P_1 = (k_2 - k_1) d_1^2 = kd_1^2$, $F_2 = kd_2^2$, $F_3 = kd_3^2$.

Обозначив через $x$ расстояние от середины стержня до точки, в которой прикреплен груз, запишем условия стержня: 1) равенство нулю суммы всех сил, действующих на стержень: $F_1 + F_2 + F_3 - Q = 0$ и 2) равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на стержень, относительно середины стержня: $F_1 a - F_3 a - Qx = 0$. Подставляя в эти уравнения выражения для $F_1$, $F_2$ и $F_3$, а затем решая эти уравнения совместно, найдем, что

$$x = \frac{d_1^2 - d_3^2}{d_1^2 + d_3^2 + d_3^2} a.$$

Никто из читателей, приславших решение этой задачи, не учитвал масс поршней. Но только две — Г. Кальшин из Кировобада и А. Карпенко из г. Лисианска Ворошилговредской области — объясили, почему это можно сделать. Так как поршни сделаны из одного и того же материалов и имеют одинаковую толщину, то дополнительные давления на_body не зависит от диаметров поршней. Условие же равновесия поршней — это равенство давления на_body во всех цилиндрах (так как уровни воды в цилиндрах одинаковы). Дополнительные давления из-за поршней этому условию удовлетворяют автоматически.

Ф2. На горизонтальной плоскости лежат два шарика с массами $m_1$ и $m_2$, скрепленные между собой пружинкой с жесткостью $c$. Плоскость гладкая. Шарики сдигают, скимая пружину, затем их одновременно отпускают. Определите перiodы возникших колбаний шариков.

Центр масс системы не должен дивигаться (или может дивигаться равномерно и прямолинейно), поэтому шарики колблюются в противофазе с одинаковой частотой, а их отклонения $x_1$ и $x_2$ от положения равновесия удовлетворяют соответствующим кусков пружины длиной $l_1$ и $l_2$ ($l_1$ и $l_2$ — расстояния от шариков до центра масс системы;

$$l_1 = l \frac{m_2}{m_1 + m_2}, \quad l_2 = l \frac{m_1}{m_1 + m_2}).$$

Удлинение $1/q$-й части пружины всегда в $q$ раза меньше удлинения всей пружины, т. е. $1/q$-й часть пружины имеет жесткость в $q$ раза больше удлинения, чем

57

Жесткость всей пружины. Поэтому $c_1 = \frac{m_1 + m_2}{m_2} c$. Отсюда следует, что период колебаний шариков

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2) c}}.$$

Интересно проверить ответ, взяв какой-нибудь предельный случай. Так поступил ученик 10 класса школьies № 20 из г. Волгды Е. Тихонов. Предположим, что масса $m_2$ очень велика: $m_2 \gg m_1$. Тогда шарик с массой $m_1$ должен колебаться так; как если бы второй шар был неподвижно закреплен, и $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c}}$. Проверим нашу формулу

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{c}}.$$

Ф3. Из двух одинаковых кусков стальной проводки свили две пружины. Диаметр витков одной из них равен $d$, другой $2d$. Первая пружина под действием груза растяжалась на одну десятую свойей длины. На какую часть свойей длины растяжется под действием того же груза вторя пружина?

Удлиние пружины равно $\Delta l = n \cdot 2d \cdot \sin \frac{\alpha}{2}$, где $n$ — число витков пружины, а $\alpha$ — угол, на которой разворачивается соседние витки пружины (рис. 11). Так как удлиние пружины мал, то этот угол мал и $\sin \frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}$. Поэтому $\Delta l = nd\alpha$.

Угол $\alpha$ пропорционален моментм

сил $F$, которые растяивают виток: $\alpha = F \cdot d$. Сила $F$ равна весу груза, подвешенного к пружине, и одинаковая в обих случаях, поэтому $\Delta l \sim nd^2$.

Диаметр витков второй пружины вдое больше, а число витков у нее вдое меньше, следовательно, абсцилтоное удлинение второй пружины вдое больше, чем у первой. Таким образом, вторая пружина растянется на $\frac{2}{5}$ своего длины.

Многие, приставшие решение этой задачи, правильно нашли, что удлинение второй пружины в два раза больше, чем первой, но забыли, что вторая пружина вдое короче, чем первая, поэтому относительное удлинение второй пружины равно $\frac{1}{5}$, как получалось у них, а $\frac{2}{5}$.

Ф4. В баллоне содержится очищенный газ, но неизвестно какой. Чтобы поднять температуру 1 кеэто газа на один градус при постоянном давлении требуется 958,4 дж, а при постоянном объему — 704,6 дж. Что это за газ?

При нагревании газа при постоянном объему затрачиваемой энергии идет только на изменение внутренней энергии газа, а при нагревании при постоянном давлении — еще и на совершение работы. Запишем закон сохранения энергии для обих случая:

$$mc_V \Delta t = \Delta W,$$

$$mc_p \Delta t = \Delta W + A.$$

Здесь $c_p$ — тепломкость газа при постоянном давлении (т. е. количество теплла, которое необходимо для нагрева 1 кеэто газа при постоянном давлении), $c_v$ — тепломкость газа при постоянном объему, $\Delta t$ — изменение температуры, $\Delta W$ — изменение внутренней энергии газа, $m$ — масса газа, $A = p \Delta V$ — совершенная при расширении газа работа ($\Delta V$ — изменение объема, $p$ — давление).

Так как при повышении температуры газа на одинаковое число градесов изменение его внутренней энергии одинаково как при нагревании при постоянном объему, так и при

58

нагревании при постоянном давлении, то можно записать: $c_p m \Delta t = c_v m \Delta t + p \Delta V$. С помощью уравнения газового состояния (уравнения Клапейрона — Менделеева) совершенную газом работы можно выразить через молекулярную массу газа $\mu$ и газовую постоянную $R$: $p \Delta V = \frac{m}{\mu} R \Delta t$. Подставляя это соответствие в уравнение (1), получим: $c_p = c_v + \frac{R}{\mu}$, откуда

$$\mu = \frac{R}{c_p - c_v} \approx 32,7 \text{ ккал/кмоль}.$$

Нензвестный газ — кислород с очень небольшой примесью более тяжелого газа.

Ф5. Имеется электрическая цель, изобранная на рисунке. Что показет волтметр с очень большим внутренним сопротивлением, если его присоединить к точкам $C$ и $D$? $U_{AB} = 518$.

Вольтметр показет наличие напряжения между точками $E$ и $D$. Для того чтобы найти его, удобно сначала определить напряжение напряжения между точками $F$ и $B$. Для этого схему можно переписать так, как показано на рисунке 12.

$$R_0 = 3 \text{ ом}, R'_0 = \frac{3}{4} \text{ ом},$$

$$U_{FB} = U_{AB} \frac{R'_0}{R_0^1 + R_1} = \frac{3}{11} U_{AB}.$$

Теперь таким же способом найти что

$$U_{ED} = \frac{R_3}{R_2 + R_3} U_{FD} = \frac{1}{3} U_{FD} = \frac{1}{11} U_{AB} = 4,6 \text{ е}.$$

Эту задачу правильно решили практические все читатели, приславшие нам письма.

Ф6. Найдите, чему равен заземленного металлического шара радиуса $r$, если на расстоянии $R$ от его центра находится точечный заряд $q$.

Потенциаль шара должна быть равен нулю. Потенциаль поля в центре шара, равный, конечно, потенциаль шара, складывается из потенциаль поля точечного заряда $q$ и поля, создаваемого зарядом $Q$ шара. Заряд $Q$ распределен по шару не равномерно, но если шар разбит на маленькие участки с зарядами $\Delta q$, то потенциаль поля, создаваемого зарядом шара в центре, можно выразить как суммарный потенциаль полей точных зарядов $\Delta q$. Таким образом, можно записать для центра шара:

$$\Delta \varphi = \sum \frac{\Delta q}{r} = \frac{1}{r} \sum \Delta q = \frac{Q}{r} + \frac{q}{R} = 0.$$

Отсюда $Q = -\frac{r}{R} q$.

Правильный ответ получили многие читатели, но правильных решений мы получили очень мало. Многие читатели использовали формулу для емкости конденсатора $C = \frac{\Delta Q}{\Delta \varphi}$, полагая емкость шара равной $r$. Но это справедливо лишь для изолированного шара с равномерно распределенным зарядом.

59

В этом номере «Кваента» мы за-
каничиваем публикацию самых интерес-
ных задач из нового пробного учеб-
ника для 5 класса.

1233. Из 8 монет одна фальшивая
      (более легкая). Как определить фаль-
      шивую монету двумя взвешивающими
      на весах с двумя чашечками без гриь?

1234. Среди 20 монет имеется одна
      фальшивая, отличношаяся по весу
      от настояших. С помощью трех взве-
      шиваний на весах с чашечками без
      гирь определить фальшивую монету
      и установить — легче она или тяжелее настояших.

1235. У меня есть только стенные
      часы, которые оставились. Я от-
      правляюсь к своему знакомому, ча-
      сы которого идут верно, находясь
      у него некоторое время и, возвратив-
      щись домой, ставлю свои часы верно.
      Каким образом мне это удалось сделать, если предварительно мне не
      было известно, сколько времени за-
      нимает дорога?

1236. Для номерации страниц слова
      потребовалось 6869 цифр.

Сколько страниц имеем словарь?

1238. Сколько делитель у числа
      3⁶·5⁴?

1239. При делении числа N на 2 в
      остатке получается 1, а при делении
      на 3 в остатке получится 2. Какой
      остаток получится при делении числа
      N на 6?

1240. Если от задуманного трехзнач-
      ного числа отнять 7, то оно разделится на 7, если же от него отнять 8, то оно разделится на 8, и если отнять 9, то оно разделится на 9. Какое число было задумано?

1241. Какой цифрой оказается число 66⁶⁶? 33³³? 7⁷?

1242. Докажите, что число 7⁷⁷+1 не делится нацело на 5.

1243. Докажите, что сумма двух любых последовательных нечетных чисел делится нацело на 4.

1244. Некоторые шестизначное число начинается цифрой 7. Откинув эту цифру следва и приписав ее справа, получим число, в 5 раз меньше первого начального. Найти первоначальное число.

60

1251. Если между цифрами двухначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше первого на 7, 11 и 13.

1252. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой и третья — с шестой. Доказать, что это число делится на 7, 11 и 13.

1253. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы число делилось на 45.

1254. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом? А сумма трех?

1255. Ученики A, B и C составлись в беге на 100 м. Когда A добавил до конца, B отставал от него на 10 м. Когда B добавил до конца, C отставал от него на 10 м. На сколько метров отставал C от A, когда A закончил бег?

1256. Покажите, что любую сумму денег можно уплаить, если продавец и покупатель имеют лишь трехопеченные и пятикопечные монеты.

1257. Отц поручил сыну измерить длину двора шагами. Это было зимой. Для проверки отц измерил ту же длину двора своим шагами. Отц шагал с того же места, что и сын, и шел в том же направлении, так что в некоторых случаях следы отца и сына совпадали. Всего следов на снегу получилось 61. Чему равна длина двора, если шаг сына 0,54 м, а шаг отца 0,72 м?

1258. Докажите теоремы:

1. Если произведение трех целых чисел — число нечетное, то и их сумма — число нечетное;
2. Если сумма двух целых чисел — число нечетное, то их произведение — число четное.

1268. Ребра прямогоного параллелепidea выражаются натуральными числами, а его объем — простым числом, большим 2. Докажите, что сумма длины двух неравных ребер — число четное.

1269. Может ли существовать прямой параллелепед, длины ребер которого — натуральные числа, а площадь поверхности— простое число?

1270. Разделите 7 яблок на 12 целовек поровну, не разрезая ни одного яблока на 12 и больше число равных частей.

1271. Сократите дроби:
      $$\frac{37\ 373\ 737}{81\ 818\ 181}; \quad \frac{609\ 609\ 609}{205\ 205\ 205}.$$

1272. Найдите значение выражения:
      $$\frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \frac{1}{5\cdot6} + \dots + \frac{1}{19\cdot20}.$$

1273. Докажите, что
      $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{199} - \frac{1}{200} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \dots + \frac{1}{200}.$$

1274. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на каждую из дробей $\frac{28}{297}$ и $\frac{35}{396}$ получается целые числа.

1275. Поезд проходит данное расстояние за 10 чисел. Если бы он увеличил скорость на 10 км/час, он ехал бы 8 чисел. Найдите скорость и расстояние.

1276. Автомобиль половину пути ехал со скоростью 50 км/час, а вторую половину со скоростью 30 км/час. С какой средней скоростью проехал автомать весь путь?

1277. От Горького до Астрахани теллоход идет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток должен пройти теллоход от Горького до Астрахани?

1278. Я отпил $1/6$ чашечки черного кофе и долил его молоком. Затем я выпил $1/3$ чашечки и снова долил ее молоком. Потом я выпил получую чашечку. Чero я больше выпил кофе или молока?

1279. Повар варил суп и положил в него мало соли. Пришлось досали-

61

вать готовый суп. На следующий раз повар чел эту ошибку и в то же количество супа положил в 2 раза больше соли, чем в первый раз. Это тоже оказалось мало, но достаточно пришлось уже вдвое меньшим количеством соли. Какую часть нужно количество соли положил повар в суп в первый раз?

1283. Сеня уплатил в кассу столовой за 3 блюда, а Саша за 2 (все блюда стопли одинаково). За столом к ним присоединился Костя, и они втором сыли эти 5 блюда. При расчете оказалось, что Костя должен уплатить товарщам 50 коп. Сколъко денег из этой суммы должен получить Сеня, а сколько Саша?

1284. Передние покупки колес автоматически страются через 25 000 км, а задние через 15 000 км. Когда целесообразно поменять местами покупки, чтобы они одинаково стрались? (Предположите, что замена передних и задних покупек производила один раз, хотя на практике шоферы производят эту замену чаще.)

1285. Несолько шоколников завтракали вместе и должны были заплаать 1 руб. 75 коп. Оказалось, что у двойх не было при себе денег, поэтому каждому из оставшихся пришлось уплать на 10 коп. больше, чем пришлось денег на долю каждого. Сколъко шоколников завтракало?

1286. Сумма трех добей равна 1. Разность между первой и второй добями равна третьей. Сумма первых двух добей в 5 раз больше третьей доби. Найдите эти доби.

1287. Разность двух неотрицательных добей равна $2/9$. Численель одной доби больше другой в 4 раза, а знаменатель этой доби больше другой в 3 раза. Найдите доби.

1288. Дано несколько натуральных чисел. Каждое из них разделили на сумму всех данных чисел. Чему равна сумма всех частных?

1289. Я задумал трехзначное число. Если из цифр этого числа составить всевозможные двухначные числа и затем их сложить, то требуется равна задуманному числу. Найдите задуманное число.

1290. Мама купила яблоки для своих детей Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить яблоки между собой поровну. Ваня пришел домой первым, сосчитал яблоки, взял третью часть и ушел. Потом пришла Нина и полагая, что пришла первой, сосчитала оставшиеся яблоки, взяла свою долю и так же ушла. Наконец, пришел Миша и взял себе третью часть оставшихся яблок. После всего этого осталось 8 яблок. Сколъко яблока мама для детей?

1291. Двум братьям необходимо было бы на железнодорожной станции, которая находится на расстоянии 4 км от их дома. Чтобы не опоздать к отходу поезда, оставалась лишь одна возможность — ехать на велосипед. Но у старшего братья весопределен. Если идти пешком, то опоздавы на 10 мин. Оdnako оба братья попали на станцию одновременно и за 10 мин до отхода поезда. Скажите, как они поступили, если ходба пешком второе медленнее езды на велосипеде и если ехать на велосипеде вдвоем нельзя?

1292. Какое число обладает таким свойством, что если к нему прибавить произвольное число, затем из произведения вычесть то же самое произвольное число и на него же разделить полученную разность, то в результате получится это же самое произвольное взятое число?

62

ЧТО мы знаем
И чERO не знаем
О гравитации

Тот, кто читал роман И. А. Ефремова «Туманность Андромеды», помнит о железной звезде — «ужасе астролетиков», которая своим громадным притяжением захватывает начечно пролеташие мимо тела.

Еще более удивительные небесными объективами должны быть звезды, предсказанные немецким астрономом Карлом Шварцшильдом. Силы тяготения вблизи таких звезд надастолько удовишны, что испущенный имми свет не может удалиться за предельы близких окрестностей звезды. А луч света, посланный издалека к такой звезде, никогда не сумет доститься ее поверхности. Какая-то страная гравитационная мышеловка! Но, несмотря на всю необходимость подобных небесных тел, теория предсказывает их существование с достаточной степеней строгости.

Казалось бы, силы тяготения настоящего привчены и вздесящены, что человека давным-давно должен был бы знать о них все, что его интересует. Ведь это так просто: положим камень на весы и измерим силу, с которой он притягивается к Земле! Но, задумавшись над природой такого явления, мы сразу окажемся в плену у нерешенных вопросов.

В самом деле, почему любые два тела всегда притягиваются друг к другу, а не отталкиваются под влиянием гравитационных сил? Почему нельзя отгородиться от действия сил притяжения, подобно тому, как занавеска отделяет нас от солнечных лучей? Какова природа неви-
dимых «пружинок», которые притягивают даже очень далеко друг от друга тела? Много есть вопросы, связанных с гравитацией, на которые наука еще не сумела ответить.

Но многое нам уже известно. В 1687 году Исаак Ньюотон открыл закон всемирного тяготения, который позволил понять, как движутся небесные тела. Следующий важный шаг в познанин гравитации принадлежит Альберту Эйнштейну. В 1916 году он создал так называемую общую теорию относительнойности, которое терррrio принято именовать теорий притранства, времени и тяготения. Эта теория заставила учены переместить свои взгляды на такие важные физические понятия, как притранство и время. Ньюотон считал, что свойства притранства и ход времени совершению не зависит от окружающих тел. Эйнштейн доказал, что чем тягелее тело, тем сильнее искривлено притранство вблизи него и тем медленнее чемчет времени в его окрестности. Протранство, время и тяготение оказывались не независимыми друг от друга, а тестием обозначим нелегко. Но ее значение в современной физике исключитело велико. Поэтому какая новая научно-популярная книга, посвященная этой теме (а таких книг совсем немного), обещано вызывать больше интерес.

Мы расскажем здесь о некоторых книгах, в которых освещены различные проблемы современной теории гравитации.

Нанболее простое и общеодоступное изложение основ теории гравитации со-

63

держится в популярной книге М. Гарднера «Теория относительной длины миллионов», изданной в 1966 году «Атомиздатом». В пятой главе расссказано об основном исходном постулате теории — равенстве gravитационного и инертной масс любого тела, — подтвержденном с огромной степенью точности специально поставленных экспериментами. В главе шестой описываются взгляды современной физики на силы тяготения, как на результат изменения геометрических свойств пространства и времени под влиянием тяготейших масс. При главы (7, 9 и 10) просвязываны различным космическим проблемам, связанным с теории gravитации. В них рассматривают разные варианты модели Вселенной и подробно обсуждаются вопросы о так называемом «красном смещении» — изменении цвета небесных объектов под влиянием их движения, произходшего с огромными скоростями.

Нанболее современное описание космических проблем можно найти в небольшой брошюре академика В. Л. Гинзбурга «Как устроена Вселенная и как она развивается во времени», выпущенной издательством «Знание» в 1968 году. (В основу этой брошюры положены три статы автора в журнале «Нука и жизнь» №№ 1, 2, 3 за 1968 год.)

Вначале автор расска-зывает о первых космологических моделях Вселенной, которые были предложены еще до создания общей теории относительной длины миллионов. Затем, после краткой характеристики основных специалной и общей теории относительной длины, он рассматривает новые модели, связанные с этим теории. Согласно модели Эйнштейна Вселенная образует замкнутую трехмерную сферу, не изменяющуюся со временем. В модели советского ученого А. А. Фридмана Вселенная либо расширяется, либо скимается. В модели Леметра Вселенная на неокотором этапе заменяет свое развитие, как бы застывает в неподвижности, чтобы затем вовь начат стремительно расширяться.

В Л. Гинзбурге приводит интереснейшие данные о радиогалактиках, которые находятся на расстояниях порядка 5—8 миллиардов световых лет от Земли. Их изучение рассказывает нам о процесах, произходивших в те времени, когда не было еще не только Земли, но, повидимому, и Солнца.

В 1969 году издательство «Нука» выпустило научно-популяриую книгу П. Бергмана «Загадка gravитации». Автор книги в течение нескольких лет был сотрудником Эйнштейна.

Бергман включает в свою книгу все основные вопросы, связанные с современной теории gravитации. В книге три главы: I. Ньютоновская физика и специалная теория относительной длины террина. II. Общая теория относительной длины террина. III. Последние достижения. Книга содержит увекаательный рассказ об основных теории, представленных его эффективным и нерешенным проблемах, над которым физика работал в наши дни.

Звезды Шварцшильда, gravитационный коллас, приода недавно открыты загадачных небесных объектов «квазаров», космическое радиоизлучение, рассказывающее нам, как выглядела Вселенная миллиарды лет тому назад, и многое другое, не менее интересное, описанозывает о первых космологических моделях Вселенной, которые были предложены еще до создания общей теории относительной длины миллионов. Затем, после краткой характеристики основных специалной и общей теории относительной длины террина, он рассматривает новые модели, связанные с современной теории gravитации. Согласно модели Эйнштейна Вселенная образует замкнутую трехмерную сферу, не изменяющуюся со временем. В модели советского ученого А. А. Фридмана Вселенная либо расширяется, либо скимается. В модели Леметра Вселенная на неокотором этапе заменяет свое развитие, как быSTANCEВАЯ в неподвижности, чтобы затем вовь начат стремительно расширяться.

В 1969 году издательство «Нука» выпустilo научно-популяриую книгу П. Бергмана «Загадка gravитации». Автор книги в течение нескольких лет был сотрудником Эйнштейна.

Автор стремится помочь читателю. Он выносит все основные расчеты в специалное математическое дополнение, помещает в конце книги небольшой толковый словарь наибольшее трудных терминов и понятный. И все же в отдельных частях книга остается сложной для понимания школьников старших классов. Правда, есть в ней немало и таких параграфов, которые доступны значительно менее подготовленным читателем. Их особенно много в третьей, заключительный главе книги.

В перечисленных нами книгах целый мир новых идей и фактов, будущих экспериментов, открыты и неоткрыты явленей и законов. И какый, кто всегда прикосновется к этому миру, безусловно получит большое удовлетворение.

В. А. Лешковцев

64

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

К задание «Только ли 2?»
(см. «Квант» № 6)

Из равенства $a + b = ab$ найдем $a$:

$$a = \frac{b}{b - 1}.$$

Заметим, что $b \neq 1$.

1. Пусть $a - \text{целое число}.$ Так как числа $b$ и $b - 1$ взаимно просты (их разность деления на их НОД, но она равна 1), то $b - 1 = 1$ или $b - 1 = -1$.

Отсюда $b_1 = 2$, $a_1 = 2$; $b_2 = 0$, $a_2 = 0$.

2. Если $b$ произвольное рациональное число, не равное 1, то по формуле (*) определем $a$.

3. Если $ab = p$, то $p = \frac{b^2}{b - 1}$, откуда

$$b^2 - pb + p = 0, \quad b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - p},$$

$$b = \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p(p - 4)}{2}}.$$

a) по формуле () для любого $p \geq 4$ или $p \leq 0$ находится соответствующее $b$ и по формуле () $a$;

6. надо найти, существует ли такое число $p$, что

$$p(p - 4) = \frac{q^2}{s^2},$$

(***)

где $\frac{q}{s}$ — несократимая дробь. Решаем уравнение (*) в целых числах $(p, q, s$ и $m$ — целые числа):

$$q^2 = s^2p(p - 4),$$ но из несократимости дроби следует, что $s = 1$.

$$p^2 - 4p - q^2 = 0, \quad p = 2 \pm \sqrt{4 + q^2},$$

$$4 + q^2 = m^2,$$

$$(m - q)(m + q) = 4 \cdot 1 = 2 \cdot 2.$$

Единственное решение в целых числах $m = \pm 2$, $q = 0$, приводит к решении (1).

Две сценки из жизни

«Знающий» экскурсовод

Экскурсовод: …На планеты действует закон Ньютона, поэтому они врачаются вокруг Colnца. Еще на них действует закон Кеплера, но я не буду вам о нем рассказывать, так как он сложный, и вы ничего не понятете… Чтобы улететь от Земли, нужно иметь вторую космическую скорость. Как вы видите на плакате, она равна 11,2 km/сек, в прошлом году она равна 11,4 km/сек… Космонавтам приходится трудно. Когда они пролетают через атмосферу, то она сильно давит на корабль и космосавты испытывали перегрузку, но за атмосферой еще хуже — там начинается пространство невесомости…

В одном НИИ

Аспирант: Я считаю, что каток проседает в битуме из-за того, что от его давления уvelичивается скорость молекул, и они разбегают из-под катка.

Научный руководитель: Над чем вы конкретно сейчас работаете?

Аспирант: Вычислюо зависимость скорости молекул битума от давления на них катка.

Научный руководитель: Хорошо. Что вам нужно, чтобы закончить работу?

Аспирант: Мне бы гидравлический пресс!

Научный руководитель: Пишите заявку. Думаю, достанем.

Три магических квадрата

65 4 54 64 6 53 70 3 50
24 44 55 23 43 57 20 40 63
34 75 14 36 74 13 33 80 10

67 9 47 69 8 46
26 37 60 25 39 59
30 77 16 29 76 18

72 2 49 66 5 52 68 7 48
19 42 62 22 45 56 27 38 58
32 79 12 35 73 15 28 78 17

Магический квадрат — это квадрат, расчерченый на клетки, в каждую из которых вписано число так, что суммы чисел по любой строке, по любому столбцу и по обемим диагоналям квадрата равны.

Такой магический квадрат размером 6×6 можно составить из зеленных квадрати-ков 3×3, которые видны на рисунке. (Проверьте!).

Задание состоит в том, чтобы запопить клетки красного квадрата 3×3 так, чтобы:
a) красный квадратик был магический;
b) весь большой квадрат 9×9 также был магический.

Ответ на кроссворд,
помещенный в № 6.

По горизонтали:
5. Размах. 6. Радиан. 8. Сфера. 9. Точка.
11. Хвост. 13. Член. 14. Поле. 16. Звено.
19. Штрих. 21. Прием. 22. Поляра. 23. Адамар.
По вертикали:

1. Карно. 2. Масса. 3. Банх. 4. Гаусс. 7. Весы.
2. Кулон. 12. Волт. 15. Клин. 17. Виток.
3. Опора. 19. Шmidt. 20. Идеал.

7