Научно-популярный физико-математический
квант
2
1971
журнал
Академии
наук СССР
и
Академии педагогических
наук СССР

В номере:

Парадокс С. И. Вавилова 1 В. А. Фабрикин
Две игры со спичками 4 И. М. Яелом
Диалог о температуре 11 М. Я. Абзель

Математический кругок

Сравнение различных средних двух положительных чисел 20 З. А. Скопец

Задачик «Кваenta»

Задачи 24
Решения задач M21—M25; Ф29—Ф34 26
Н. Б. Васильев, И. Ш. СLOBODEЧИЙ

Практикум абитуриента

Две дюжины задач на прогрессии 37 А. Г. Мордкович
Кinematika и связи 44 С. А. Беллев
Вступительные экзамены по математике в Университет других народов 47 В. В. Рыжков

Рецензии. Библиография

Полет огненных стрел 52 Ю. М. Брук

Информация

XII Международная математическая олимпиада школьников 54 И. С. Петраков
IV Международная физическая олимпиада школьников 56 Ю. М. Брук, Н. А. Мини

Ответы, указания, решения 60

Кроссворд — 4-я стр. обложки

2

ПАРАДОКС С. И. ВАВИЛОВА

В геометрической оптике часто и плодворно применяется понятие о лучке параллельных световых лучей, имеющим конечное поперечное сечение. Более того, даже в теории такого волнового явления, как интеграция, во многих случаях допустимо использовать этого понятия.

Во многих случаях, но далеко не во всех. В книге «Микроструктура света» известного советского физика С. И. Вавилова разобран весьма поучительный в этом смысле оптической парадокс.

Напомним коротко, как выглядит энергетика интеграционной картины. Интеграция, как мы знаем, есть сложение колебаний. В нашем случае в волнах колебются значения направленностей электрического и магнитного полей. Эти направленности в каждой точке пространства в каждой момент времени определяют энергию электромагнитного поля. Электромагнитная волна переносит энергию, и можно ввести понятие о плотности потока энергии. Так мы называем величины, равную количество энергии поля, протекающей в единицу времени через единицу поверхности.

Каждая волна характеризуется еще и фазой. Если при сложении двух световых лучков разность их фаз остается все время одной и той же, мы говорим, что имеем дело с коректными лучками.

В интеграционной картине, возникший в результате сложения двух коректных лучков, происходитенное perераспределение световой энергии. В светлых полосах энергия больше, чем сумма энергий складываемых лучков; в темных полосах, наоборот, — меньше. Избыток энергии в светлых полосах как раз компенсируется недостатком ее в темных. Полная энергия, распределая по всей интеграционной картине, точно равна сумме энергий двух интеграриующих лучков.

На рисунке 1 показана зависимость плотности потока энергии в интеграционной картине от смесения по экрану, на котором она наблюдается. Картина получена при сложении двух коректных световых лучков равной энергии. Горизон-

Рис. 1.
1 Квант № 2

2

Рис. 2.

тальная пунктиная линия изобразяет сумму плотностей потоков энергии в складываемых пунктах. Частки кривой, идущие над этой прямой, соответствуют светлым интерференционным полосам, а частки кривой, лежащие под пунктиной прямой, — темным. Суммарная энергия, распределенная в интерференционной картене, изобразяется плоскью под кривой. Эта площадь точно равна площади под пунктиной прямой. Требования строго бухгалтера природы — закона сохранения энергии — выполняются неукоснительно.

Перейдем теперь к парадоксу С. И. Вавилова. Представьте два совершенню одинаковых коректных резко ограниченных световых пункта шириной $a$, пересекающих под малым углом $\alpha$. В области $ABCD$ проискодит интерференция (рис. 2).

Для наблюдения интерференционной картины можно установить экран, перpendикулярный плоскости чертежа, проходящий через точки $A$ и $C$. Интерференционная картина будет состоять из прямолинейных чередушихся светлых и темных полос, заполняющих экран от точки $A$ до точки $C$ (рис. 3).

Распределение плотности потока энергии в интерференционной картене соответствует графику на рисунке 1. Если у общих пучков одинаковые начальные фазы световых колебаний, то разность фаз световых волн первого и второго пучков в точках, лежащих на прямой $BD$, будет равна нулю. Она соответствует, таким образом, середине центральной светлой полосы. В середине соседней, темной полосы разность фаз должна быть равна $π$, иными словами, световые колебания в общих пучках должны быть в противофазе. Разность фаз $\Delta φ$ равна разности хода $\Delta L$ обеих волн до данного места, деленной на длину волны и умноженной на $2π$:

$$\Delta φ = 2\pi \frac{\Delta L}{\lambda}.$$ (1)

Увеличению длины пучки, проходимого волной, на $\lambda$ соответствует запаздывание фазы на $2π$. Из формулы (1) следует, что в середине ближайшей к центру интерференционной картены темной полосы $\Delta L$ должна быть равно $\frac{\lambda}{2}$.

Подсчитаем разность хода в точке $A$. Параалельный пучок можно рассматривать как поток плоских волн, перpendикулярных направлений световых лучей.

Проведем через точку $D$ (рис. 2) одну из волновых поверхностей (поверхностей равной фазы) первого пучка. На этой волновой поверхности лежат точки $D$ и $A'$.

Пути, проходимые обомми пучками до точки $D$, одинаковы. Для того чтобы попасть в точку $A$, волновая поверхность первого пучка, проходившая через точку $D$, должна

3

сместиться на отрезок $A'A$, а волновая поверхность второго пучка, проходившая ранее также через точку $D$, должна сместиться на отрезок $DA$. В результате возникнет разность хода

$$\Delta L = DA - AA' = a \left( \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\tg \alpha} \right) = \frac{2a \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}.$$

(2)

Ясно, что такая же разность хода, но с обратным знаком будет в точке $C$. Начнем теперь уменшать угол $\alpha$. При достаточно малом $\alpha$ можно сделать $\Delta L$ равным $\frac{\lambda}{4}$. Тогда все области $AC$ будет заполнена одной светлой интерференционной полосой. Следовательно, всоду энергия будет превышать сумму энергией двух пересекающихся пучков. Никакой компенсации за счет образования темных полос нет, так как они вообще отсутствуют!

Можно получить и, так сказать, неагативный результат, заставив пересекаться пучки с начальной разностью фаз, равной $\pi$. Тогда область $AC$ будет заполнена темной интерференционной полосой. В первом случае непонятно, откуда берется дополнительная энергия, во втором — неясно, куда исчезает энергия.

Оба случая явно противоречат закону сохранения энергии. Очевидно, в наших рассуждениях есть какой-то дефект, приводящий к присутствию с одним из основных законов природы. Чтобы понять, в чем здесь дело, запишем формулу (2) для указаного случая, когда $\Delta L = \frac{\lambda}{4}$, и воспользуемся при этом малостью угла $\alpha$ ($\sin \alpha \approx \alpha$ для малых $\alpha$). Мы показем ниже, что угол $\alpha$ действительно очень мал. Тогда получим

$$\frac{\lambda}{4} = \frac{2a \left( \frac{\alpha}{2} \right)^2}{\alpha} = \frac{a\alpha}{2},$$

(3)

или

$$\alpha = 0,5 \frac{\lambda}{a}.$$

(4)

Возьем $a=1$ см, $\lambda=5 \cdot 10^{-5}$ см, тогда $\alpha=2,5 \times 10^{-5}$ радиана. Из (4) мы видим, что непряятности с законом сохранения энергии возникают при угле между пучками порядка относительной длины волны к величины поперечного сечения пучка.

Решение парадокса заклонается в том, что при таких малых углах уже нельзя пользоваться понятным идеальным парадельного пучка конечного сечения.

При любой попытке реализовать такие пучки мы потерпим неудачу. Ограничение размеров пучка былаогдая явление диффракции с необходимостью приводит к превращению его в расходящейся пучок. Угол расхождения пучка определяется как раз формулой (4). При этом, естественно, угол, под которым пересекаются пучки, можно определить лишь с точностью до величины порядка угла расхождения пересекающихся пучков.

Если бы диффракция еще не была открыта, мы на основании закона сохранения энергии и формулы (4) должны были не только договораться о ее существование, но и указать на основную закономерность, управляющую величины диффракционного угла. Это хороший пример того, что закон сохранения в физике всегда может служить надежной путьодной звездой.

Взявальные световые пучки, мы нижогда, конечно, не получим противоречия с законом сохранения энергии. В интерференционных опытах данного типа всегда должно быть сводиться к пространственному перераспределению потока энергии.

Есть, однако, интерференционные эксперименты, где возникот еще более тонкие энергетические парадоксы, но это, как говорится, уже другая история.

4

ДВЕ ИГРЫ СО СПИЧКАМИ

И. М. Яглом

В этой статье мы рассакjem вам об играх «ним»
и «изяньшизцы». И «ним» и «изяньшизцы»—китайские народные игры; «изяньшизцы» в переводе означает «выбирание камней» (разумется, замена в условиях игр камней спичками ничего не меняет в ее существе). В последствии эти игры проникли в Европу; одно время игра «ним» была популярна в За-падной Европе.

5

Приведем правила этих игра.

Игра «ним»
На столе лежам три кучки спичек. Двое цераюцих поочередно берут спички из этих кучек, причем за один раз цераюцый может взять любое число спичек из одной (обязательно только из одной!) кучки. Выдержим сцитаемся том, кто заберет последнюю спику.

Игра «изяньшизцы»
На столе лежам две кучки спичек. Двое цераюцих поочередно берут спички из этих кучек, причем за один раз цераюцый может взять любое число спичек из одной кучки, либо поровну (но может любое число!) спичек из обеих кучек. Выдержим сцитаемся том, кто заберет последнюю спику.

Задача состоит в том, чтобы определить, при каких начальных положениях (то есть колчествах спичек в каждой из кучек) начинающий может выиграть, а при каких нет, и указать метод правильно (беспроигрышной) церы.

Пraktические играть в ним или изяньшизцы очень удобно у классной доски — без всяких спичек, но с мелом и трипкой в руке. На доске можно нарисовать, скажем, три ряда полей, оканичивающихся у правого края доски, и три шашки — по одной в каждой ряду полей (рис. 1). Каждый играющий в свой ход страет одну из шашек и «перевиграет» ее на любое число полей вправо (здесь речь идет об игре ним); выиграшим считается тот, кто сделает последний ход. Так же можно играть и изяньшизцы — только теперь доска для игры содержит два ряда

Рис. 1.

Рис. 2.

7

К сожалению, и здесь не видно никакого определенного закона составления этой таблицы.

А нельзя ли таблицы I и II записать по другому?

Нам не удалось понять, как составлены таблицы I и II, образованные в первом случае темя, а во втором — двумя строкками чисел. Подумаем теперь над возможными причинами постигшей нас неудачи.

Мы уже говорили о том, что таблицы I и II — это числовые таблицы; они образованы рядом чисел. Фигурирующие в этих таблицах числа мы, естественно, записывали обычным образом, используя общеприятную десятичную систему числения; так, например, составляющие последний столбец таблицы II числа 24 и 39 ознакомют: «2 десята и 4 единиц» и «3 десята и 9 единиц». Однако сама по себе десятичная система числения, произхождение которого связано с тем случайным остоятельством, что человек имеет на руках 10 пальцев, никак не связана с рассматриваемыми нами играми; поэтому уменьшной представляется попытка записать наши таблицы по-другому.

Дальнейшее содержание этой статьи связано со статьей «Системы числения» («Квант» № 6). Нам потребуется следующее следующее из этой статьи.

Систем записных положительных чисел с помощью небольшего числа символов (цифр) можно предложить много. Позиционные системы числения (точнее было бы сказать — позиционные системы записи чисел) строятся следующим образом. Задается неокоторый базис, или система ключевых чисел, представляющий собой бесконечную возможность последовательность целых чисел:

$$1 = q_0 < q_1 < q_2 < q_3 \dots$$

После этого каждое число $N$ представляет в виде суммы чисел нашего базиса, взятых с теми или иными целыми коэффициентами:

$$N = a_m q_m + a_{m-1} q_{m-1} + \dots + a_2 q_2 + a_1 q_1 + a_0 q_0;$$

это выражение записывается так:

$$N = a_m a_{m-1} \dots a_2 a_1 a_0,$$

где $a_m, a_{m-1}, \dots$ — «цифры» записи числа $N$.

Например, если система базисных чисел такова:

$$1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots$$

то число 27 записывается следующим образом:

$$27 = 1 \cdot 23 + 0 \cdot 19 + 0 \cdot 17 + 0 \cdot 13 + 0 \cdot 11 + 0 \cdot 7 + 0 \cdot 5 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = \text{«1000000101»}.$$

При этом $k$-я цифра $a_k$ в записи любого числа $N$ в системе числения с базисом (*) всегда будет меньше относительной $q_k + 1/q_k$.

Если базис системы числения имеет вид:

$$1 = q^0, q = q^1, q^2, q^3, q^4, \dots,$$

где $q$ — неокоторое целое число, то система числения называется «q-цифрой», в ней все числа представляются суммами степени числа $q$ и все цифры в записи числа $N$ меньше $q$ (меньше 10 в случае общеприятной десятичной системе числения).

8

Самой простой из всех систем записи цельх чисел является двойная система числения, в которой все числа представляют суммами степеней числа 2. Если использовать эту систему численения, то наши таблицы I и II примут совсем другой вид (числа в двойной системе численными будем записьать красными цифрами):

Таблица Ia

| №№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| a | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 10 | 0 | 11 | 10 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| b | 1 | 10 | 10 | 11 | 100 | 100 | 101 | 100 | 110 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1000 |
| c | 1 | 10 | 11 | 11 | 100 | 101 | 101 | 110 | 110 | 111 | 111 | 111 | 111 | 1000 | 1001 |

Таблица IIa

| №№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| a | 1 | 11 | 100 | 110 | 1000 | 1001 | 1011 | 1011 |
| b | 10 | 101 | 111 | 1010 | 1101 | 1111 | 1111 | 1010 |

| №№ | 110 | 1000 | 10001 | 10011 | 10101 | 1101 | 1111 | 10101 | 1010 | 1010 | 1010 | 1010 | 1010 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 1110 | 10000 | 10001 | 10011 | 10101 | 1101 | 1111 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 | 1011 |

**Внимательное изучение таблицы Ia позволяет усмотреть в ней вполне определению закономерности: да, конечно, произрывные позиции (a, b, c) в церем «ним» — это.me позиции, еде сумма цифр какдоео разряда в двойной записи чисел a, b, с цемна (то есть равна 0 или 2)! Оdnako таблица IIa оказывается болеековарной: она ничем не лучше таблицы II, и никакой определенной закономерности составления проигрывных пар (a, b) из нее усмотреть нельзя.

Но почему именно двойная система числения должна быть нам ключ к отысканию системы беспроигрывной игры в цяньшизцы? Правда, мы видели, что эта система помогает как будто при разработке теории игры nim: но ведь цяньшизцы — это совсем другая игра, а ключ, открывающий одну дверь, совсем не обязаан подходить к другой. Нельзя ли переписать таблицу II по-иному: может быть, другая система записи образу-

ющих эту систему чисел проблет больше света на ее строение?

Внимательное изучение таблицы II позволяет подметить, что в ней часто фигурирует числа Фибоначчи и см., например, 1-й, 2-й, 5-й и 13-й столбцы таблицы *). А это в свою очередь может навести нас на мысль о целесообразности попытки записать таблицу II в «фибоначченной системе числения», в котором все числа представляют суммами чисел последовательности Фибоначчи (числа в этой системе числения мы будем записать синими цифрами). Например, число 100 в Fibоначчи

*) Числа Fibоначчи — последовательность чисел, начинающая с 1 и 2 и далее строящая по следующему закону: какдое число последовательности Fibоначчи равно сумме двух предыдуших. Первые ее члены таковы: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … Числам Fibоначчи посвящена хорощая брошюра Н. Н. Воробьева «Числа Fibоначчи» (М., «Нayka», 3-е изд., 1969).

10

лированным выше условиям a) и 6)) в церем «ним» является.me и только не позиции (a, b, c), для которых суммы всех цфр, отвецоцих одному разряду в записи чисел a, b, с в двойной системе счисления, для всех разрядов цемны.

Теорема II. Процедыными в церем «изяныццы» являются.me и только не позиции (a, b), для которых а, будучи записанным в фибоначчевой системе счисления, кончается цемным числом нулей, а число b получается из числа а приписываем еще одно нулей в конце.

Затем ие. Из теорем I и II следует, что обе игры — «ним» и «изяныццы» — в определенном смысле выгоды для начинающего: проигрывших для начинающего позицией (см. таблицы I и II) в них довольно мало, то есть они встречаются гораздо реже, чем все остальные (выигрывные для начинающего) позиции.

Доказательства этих теорем составляют содержание приводных ниже упражнения. Ответы к ним даны на стр. 60 (попробуйте, однako, найти решения самостояльно). Советум вам сначала разобраться с упражнениями 1—4, так как упражнения 5—7 гораздо сложнее.

Упражнения

1. Докажите, что если позиция (a, b, c) в игре «ним» не является проигрывной, то есть не удовлетворяет указанным в формулировке теоремы I условиям, то играющий своим ходом может сделать ее проигрывной.

2. Докажите, что если позиция (a, b, c) в игре «ним» не является проигрывной, то есть не удовлетворяет указанным в формулировке теоремы I условиям, то играющий以其 ходом может сделать ее проигрывной.

3. Укажите правильная игре в игре «ним» в том случае, если число кучек спичек есть любое наперед заданное число число n ≥ 2 (прочее правильная игре мы оставляем прежним). К чему свидетельства беспроигрывной игре в случае n = 2?

4. Опишите проигрывные позиции (a, b, c) в игре «ним», записывая числа a, b, c не в двойной, а в четверчной системе счисления (то есть представляя, скажем, число a в виде a = aₙaₙ₋₁…a₂a₁a₀ = aₙ4ⁿ + aₙ₋₁4ⁿ⁻¹ + … + a₂4² + a₁4 + a₀; здесь 0 ≤ aᵢ ≤ 3 для всех i = n, n − 1,…, 2, 1, 0 *))

5. Докажите, что для любого целого положительного числа p существует одна и только одна проигрывная позиция (a, b) в игре «изяныццы» (то есть позиция, удовлетворяющая условиям теоремы II) такая, что b − a = p. Проверьте это для первых 15 проигрывных позиций, перечисленных в таблице II.

6. Докажите, что если позиция (b, a) в игре «изяныццы» не удовлетворяет условиям теоремы II, то играющий своим ходом может либо сразу выиграть, либо вести позицию к проигрывной.

7. Докажите, что если позиция (a, b) в игре «изяныццы» является проигрывной, то после любого хода играющего она перестает быть таковой.

8. Укажите правильная игре в церем «изяныццы», если число кучек нечетно (играющий каждым своим ходом имеет право взять любое число спичек из каждой-то одной кучки, либо поровну — и тоже любое число! — из всех кучек).

Проблема. Укажите правильная игре в церем «изяныццы», если число кучек равно четырем.

Хочу предупредить читателя, что решение поставленной проблемы автору неизвестно.

*) Черта над числом ознакомает, что это запись числа цифрами aₙaₙ₋₁…a₂a₁a₀, а не произведение чисел.

ДИАЛОГ О ТЕМПЕРАТУРЕ

М. Я. Азбель

Научно-популярная статья — всегда своеобразная игра Автора и Читатель, в которой Автору верят на слова (отсюда — не так уж редко реализуемая — возможность желанияства), но загоон не имеет права писать неопонятно и нагонять скуку. Иначе — проигрыв Автора: статья не будет прочитана и, значит, писалась зря.

Объчно популярная статья выглядит как длинный монолог. Но уже древние греки понимали, что научный диалог гораздо интереснее. Поскольку это не нарушает правила игры, последем их примеру. В результате Читатель получит возможность, проявив характер, попытаться сначала сам найти ответы на поставленные вопросы, каждый из которых — это физическая задача, а иногда и целая проблема.

Итак, занавес поднимается — мы начинаем.

Автор
Температура, пожалуйста, первоое количество понятные, с которым сталкивается в своей жизни человека. Пятлетний ребенок еще не умет считать, но уже сообщает: «Я здоров, у меня 36,6», — не понимая еще даже смысл произносимых слов (для десятичных дробей нужно вырасти вдвое). Это означает, что речь идет об одном из важнейших физических понятений. Человечество на протяжении всей своей истории пытается понять вещи, поражающие еще в детстве: пространство, время… Ибо чем прививнее понятие, чем проще формулируется вопрос, тем он обычно глубже и тем труднее на него ответить. Впрочем, тем труднее его и задать — настолько он кажется очень видным. Так, в одном из детективных рассказов сыщика сбиаются с ног, разыскивая то, что находится у них перед глазами.

Читатель
Бог с ним, и с сыщками, и с философскими рассуждениями. Нельзя ли поконкретнее?

Автор
Пожалуйста. Вот вопрос, последовательное выяснение которого ведет нас в конце концов к основным понятям общеей теории относительнойности.

Все методы измерения температуры основаны на выраживании температуры, то есть на том, что более горячое тело охлаждается, а более холодное — нагревается. Не так ли?

Читатель
Конечно.

Автор
А почему это происходит? Почему тепло всегда переходит от более нагретого тела к менее нагретоому?

Читатель
Не всегда! Холодильник, например, охлаждается, хотя около него нет более холодного тела. Тепло здесь передается более теплому телу — окружающему воздуху и всему тому, что находится в комнате.

Автор
Вы операдили ход моих рассуждений, сделав очень важное значение. Действительно, если потребуется и затратить работу, можно холодным телом нагреть горячое. Не зря холодильник включается в себя. Но в системе, не взаимодействующей ни с какими другими объектами (такую систему физики называют замкнутой), температура всегда выравнивается,

12

телло передается от горячего к холодному. Во всех случаях, когда это не происходит, можно найти, где система «разомкнута». Так, в случае холодильника его охлаждение происходит за счет энергии, полученной от электростанции, или, в конечном случае, от остывающего Солнца.

Читатель
Все, что вы говорите, по-моему, совершенно очень видно.

Автор
Я уже предупреждал: источник самых глубоких ией — каждшаяся очень носится за счет энергии, полученной от электростанции, или, в конечном случае, от остывающего Солнца.

Читатель
Все, что вы говорите, по-моему, совершенно очень важно — каждшаяся очень носится за счет энергии, полученной от электростанции, или, в конечном случае, от остывающего Солнца.

Объчно, когда результаты эксперимента противоречат теории, надо исправлять теории. Если же эксперимент противоречит второму началу термодинамики, или ошибку в эксперименте. И всегда находится к так называемому «второму началу термодинамики» («первым началом» называют закон сохранения энергии), или «закону возрастиния энергии».

Объчно, когда результаты эксперимента противоречат теории, надо исправлять теории. И всегда находится к так называемому «второму началу термодинамики» («первым началом» называют закон сохранения энергии), или «закону возрастиния энергии».

Второе начало термодинамики гласит: «В замкнутой системе процессов выравнивание температур». Иначе говоря, теплопереход от горячего тела к холодному. Первое охлаждение, а второе нагревается.

Для того, чтобы ответить энергию более нагретою тела, надо затратить работу. Значит, невозможен не только «вечный двигаатель первогорода», который совершает работу из «ничего», вопроси первому началу термодинамики — закону сохранения энергии. Невозможен также не противоречит этому закону «вечный двигаатель второгорода», который быстро сформировано нами второму началу термодинамики, совершал работу, охлаждал работу, охлаждаю моря, океаны, материалов. Запасы их тепловой энергии практически неисчерпаемые, но — увы — недоступны. Какие собственные процессы могут быть второе начало!

Итак, в замкнутой системе процессов выравнивание температур.

Этот процесс заканчивается, когда температуры тепло-восточные одинаковыми. Тогда наступает состояние равновесия, но не механического, а термодинамического.

Но отicioда немедленно следует вывод о «телловой смерти Вселенной», принадлежащий немецкому ученому Клаузису. Раньше или позже остынет все звезды, во всем мире установится одна и та же температура, любые процессы оказываются невозможными — мир превращится в безжизненную пустую. Все попытки понять, почему этого не произойдет за время существования Вселенной, были бесплатны до появления общей теории относительнойности!

Читатель
А согласно теории относительной температуры не выравнивается?

Автор
Нет, ответ не столь прямолинен. Но для того, чтобы понять, как расправилась общая теория относительнойности с тепловой смерти, надо хотить немного рассказыть об основных понятиях этой теории.

Читатель
А это, скажете вы сейчас, школьник недоступно…

Автор
Наоборот, уверен, что доступно. Считаю, что чем глубже физическая или математическая идея, тем проще ее изложить, не используя никаких специальных знаний.

Читатель
Так рассакжите, пожалуйста, об общей теории относительнойности.

Автор
Это должно быть темой отдельной беседы. Сегодня мы говорим о температуре, и мне было важно показыть, что, размышляя над тем, как термометр изменяет температуре, можно

13

но прийти к теории Эйнштейна; пока-zать, как много проблем и перспективы можно увидеть, читая школьную физiku. Как видите, размышления о температуре оказываются исключительно плодотворными. Что же такое температура?

Читатель
Из того, что вы говорили, я понял, что температура — это то, что выравнивается при контакте двух тел. В школе нам говорили, что температура — это величина, пропорциональная средней кинетической энергии молекул:

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT,$$

где $k \approx 10^{-21} \text{ } \partial x/\partial p \text{ — постоянная Больцмана.}$

Выравнивание температур происходит потому, что при стольновении энергия передается от частиц с большей энергейей к частицам с меньшей энергейей.

Автор
Какова, по-вашему, потенциальная энергия взаимодействия частиц в кристалле при абсолотном нуле температуры?

Читатель
Мы предложаем эту энергию, превращая кристалл в газ. Значит, на каждый atom приходится энергия, равная примерно $kT_k$, где $T_k$ — температура кипения.

Автор
Совершенно правильная оценка. Значит, по-вашему, кристалл, находящийся при абсолотном нуле температуры, может нагреть газ, имеющий температуру ниже температуры кипения кристалла?

Читатель
Нет, конечно. Я имел в виду не полную, а кинетическое энергию, которая тем выше, чем выше температура.

Автор
Хорошо. Расмотрим, например, кусок льда. Над ним, конечно, есть водяной пар. Из-за выравнивания температур у льда и пара при равновесии температуры одинаковы. Значит, одинаковы и средние скорости молекул в паре и кристалле льда.

Читатель (озадачено).

Нет, это что-то страно. Ведь в твором льде молекул почти не подвижны, а вpare носится с огромными скоростями. Я хорошо помню, что при испарении жидкость охлаждается. Есть даже такой способ получения очень низких температур — испарение жидкого геля. Это и понятно. За границы молекулярного принятия в жидкости могут вылетать лишь самые быстрые молекулы. Остационные же медленные соответствуют более низкой температуре.

Автор
Но разве на предодление молекулярного принятия в жидкости не будет истраченча часть энергии? Разве из жидкости в пар молекулы вылетит с той же скоростью, с какой началась свой путь?

Читатель
Понстине, хорошо дело спорить. Я никогда не думал, что в споре на самом делерождается истина! Я, кажется, понял все до конца! Дей-stвитьлено, испарются те молекулы, которые были смыли быстрыми, поэтому вначале жидкость охлаждается. Предодовая принятие, молекулы теряют своего скорость, как пакета, вылетаюшая к Луне. Поэтому газ тоже состоит не из рекордно быстрых молекул и средние скорости молекул в газе и жидкости совпадают. Благодаря испарению установливается общая температура. Если вылетающее—бывшие быстрые молекулы уносятся, как при испарении под откачкой, можно добиться заметного понжения температуры жидкости.

Автор
А как бы со скоростями молекул в кристалле?

Читатель
В кристалле молекулы движутся с теми же средними скоростями, что и в паре над ним, но совершают не свободное поступательное движение, слегка искажаемое редкими столковыми, как в газе, а колеблотся возле стандартных мест в кристаллеческой решетке…

14

Автор
…которые называются узлами решетки. Совершенно верно.
Но я буду продолжать сивать вас. Со временем вы научитесь делать это самостояльно. Графоман цвет подверженный любой своей идее — ученый сначала начинает понски возможных опровержений.
Итак, высказали, что температура определяет среднюю скорость молекул. Это значит, что средние скорости молекул в любых телах, независимо от их состав и состояния (вода, железо, воздуха), при одной и той же температуре одинаковы. А при абсолитном нуле скорости равны нулю. Но как же тогда быть с гелем, который даже при абсолитном нуле температуры остается жидким?
Читатель
Но я читал, что абсолитный нуль недостижим. Кстати, почему?

Автор
Для того чтобы разобраться почем, нужно поговорить об энтропии. Это сильно увеличет нас в сторону. А то, что нуль недостижим, в нашем случае не существует. Приципиально мы можем приблизиться кнему сколько угодно близко. Для нас важно лишь то, что при температуре в несколько градусов Кельвина средняя скорость atomов геля уже слабо зависит от температуры, а при изменении температуры от 1 до 10⁻⁶ градуса практически не меняется, хотя, казалось бы, должно быть уменыштся в тысячу раз.
Читатель
Может быть, это связано с особыми свойствами геля, с его сверхтекучестью?

Автор
Некоторые общество между этим явлениями есть. Однако остався жидким при абсолитном нуле — свойство не только геля. Как вы знаете, хорошо электронроводность металлов обусловлена свободными электронами. Их средняя кинетическая энергия практически не зависит от температуры металла, и если ее резчитать на температуре по нашей формуле $$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT$$, то мы увидим, что она соответствует температуре 10⁵—10⁶ градусов, то есть температуре внутри звезд!
Читатель
Может быть, не совпадают температуры металла и электронов?
Автор
Нет, в состоянии равновесия температуры, как мы говорили, всегда выравниваются. Дело здесь в другом. То определяние температуры, которое вы дели, правильно — но только в классическом механике. Такая «простая», хорошо всем знакомая иfundamentальная величины, как температура, строго говоря, имеет квантовый характер! Именено в этом связи сверхтекучести геля и того, что он никогда не заменает при atmosферном давлении, — оба эти свойства чисто квантовые. Как видите, в поисках существенного квантовых эффектов не обязательно искать пути в микромир — эти эффекты перед глазами.
К сожалению, в квантовом случае смысл температуры не столь наглуден, как в классическом. Начнем абсолитного нуле температуры и рассмотрим чисто квантовый эффект — определяим кинетическая энергия при абсолитном нуле, то есть величины, в классическом теории равную в точности нуле. Это позволяет нам узнать, все ли вещества остаются твердыми при нульовой температуре, всегда ли способствует затвердеванию увеличение давления и каково состояние вещества в недрах Земли и в глубинах звезд.
Все эти выводы могут быть получены из одного важнейшего квантового закона—приципиа неопределенности.
Читатель
Приципи неопределенности в применении к координате и импульсу частицы я знаю. Koордината и импульс не могут быть точно измерены, так как они не имеют одновременного определенного значения. При измерении им-

15

пульса частцы $p$ и координаты $x$ мы узнаем значения этих величины с некоторыми погрешностями $\Delta p$ и $\Delta x$.
Свойства этих двух величины, что нижним образом нельзя сделать так, чтобы произведение этих погрешностей (иногда говорят «неопределенность») было меньше, чем $\hbar$ — постоянная Планка, деленная на 2π

$$\left( h = \frac{h}{2\pi} \approx 10^{-32} \frac{\partial \hbar}{\partial e_k} \right): \quad \Delta p \Delta x \geq \hbar.$$

Автор
В обежеkte, состоящем из одинаковых атомов, все они тоже действены, и потому их положение нельзя изменить с точностью большей, чем расстояние между ними. Если $\Delta x \sim a$, то каково наменьшее возможное значение импульса?

Читатель
Конецно, $\frac{\hbar}{a}$! Если бы я сказал, что импульс, например, меньше 0,1 $\frac{\hbar}{a}$, то это означает бы изменение его с точностью 0,1 $\frac{\hbar}{a}$, что невозможно!

Автор
Значит, наменьшая возможность кинетическая энергия…

Читатель
…равна $\frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$, то есть тем больше, чем меньше масса! Интересно, какой температуре соответствует такая энергия в классической механике? Среднее расстояние между атомами и электронами в металлах $a \approx 10^{-10}$ м, масса электрона $10^{-27}$ e, масса атома гелия $10^{-23}$ e. Из формулы

$$\frac{3}{2} kT = \frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$$

мы получим, что для электронов температура равна

$$T = \frac{\hbar^2}{3kma^2} = \frac{10^{-64}}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-21} \cdot 10^{-30} \cdot 10^{-20}} \approx 2,5 \cdot 10^6 \text{°K}.$$

Большое миллиона градусов! Для гелия мы таким же образом получили бы температур $1^\circ \text{K}$.

Автор
Как раз те цифры, о которых шла речь раныше. Теперь вам уже не трудно выяснить, каким будет вещество при нулевой температуре—твердым или нет. Но сначала подумайте, почему вообще темястенно твердеть при низких темперарах.

Читатель
Очевидно, потому что при низких температурах кинетическая энергия частистя становится малой.

Автор
Что значит малой? По сравнению с чем?

Читатель
По-видимому, по сравнению с потенциальной энергией взаимодействия частиц между собой. Когда потенциальная энергия становится значительно большей кинетической, она заставляет atoms занять определенные места в кристаллической решетке. Поэтому, для того чтобы сказать, каким будет вещество при нулевой температуре, нужно знать, как зависит потенциальная энергия взаимодействия частиц от расстояния между ними.

Теперь мне ясно, что жидкость, не замерзающее при абсолотном нулевом температуре, следует искать среди веществ, обладающих атомами легкими и слабо взаимодействующими,—далее повышенное кинетическое энергия atomов и помещенное потенциальная энергия взаимодействия $U$. Гелий—легчайший инертный газ, atoms которого слабо взаимодействуют друг с другом (как, впрочем, и с другими atomами—в этом и состоит их «инертность»). Очевидно, он удовлетворяет общим условиям.

В случае электронного газа потенциальная энергия взаимодействия соответствует закону Кулона: $U(a) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}$, где $e$ — заряд электрона, равный примерно $1,6 \cdot 10^{-18} \text{K}$, и $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx$

16

$$\approx 9 \cdot 10^9 \frac{m^2}{\kappa}.$$

При $a \approx 10^{-10} m$ минимальная кинетическая энергия электронов

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2} \approx \frac{10^{-64}}{2 \cdot 9 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-20}} \approx 5 \cdot 10^{-15} \text{ дж}, a$$

$$U(a) \approx \frac{2,6 \cdot 10^{-36} \cdot 9 \cdot 10^9}{10^{-10}} \approx 2,3 \cdot 10^{-16} \text{ дж}.$$

$U(a)$ получается примерно такой же, как минимальная кинетическая энергия электронов! Поэтому электронный газ и не может затвердеть.

Автор

Интересно, что уже из принципи неопределенности следует отсутствие электронов в ядре, размер $R$ которого порядка $10^{-13} \text{ cm}$. Там он должен быть бы иметь скорость $v \geq \frac{\hbar}{mR} \sim 6 \times 10^{11} \frac{m}{\text{сек}}$, то есть в 2000 раз больше скорости света!

Теперь вы можете проследить, что будет проискодить с веществом при $T=0$ по мере роста давления, то есть по мере уменьшения механиного расстояния.

Читатель

Ну да, все определяется соответствием потенциальной и кинетической энергии: $U(a)$ и $\frac{\hbar^2}{2ma^2}$. Если $2ma^2U(a) \gg \hbar^2$, получится кристалл, в обратном случае — жидкость или газ.

Автор

Если вещество скать настолько, чтобы «раздавить» и низковать atoms, то $U(a)$ пропорциональная $\frac{1}{a}$.

Читатель

Поэтому при $a \rightarrow 0$ будет все более газообразным! Давление приводит к плавлению — очень интересно!

Автор

При очень больших давлениях, когда разваливаются ядра, потен-

$$E_2$$

$$E_1$$

$$E_0$$

Рис. 1.

циальная энергия быстро растет с уменьшением $a$, и вещество опять затвердевает. Затем в области сверхвысоких плотностей, соответствующих напрямеру, нейтронным звездам, определяющей становится энергия гравиатционного взаимодействия, и новым может наступить плавление.

Существуют звезды, меняющие свой блеск и имеющие размер около 10 км и массу, сравнимую с массой Солнца. У них твердая кора (плотность ее меняется от $10^6$ до $5 \cdot 10^{13} \text{ e/cm}^3$) и жидкая сердцеина с плотностью $5 \cdot 10^{14} \text{ e/cm}^3$.

Читатель

Все это очень интересно, но я так и не понял, что же такое температура с точки зрения квантовой механики.

Автор

Мы определили пока только минимальную энергию atoma или молекулы. Однако это еще не определят кинетической энергии вещества. Над иметь в виду следует. Согласно законам квантовой механики энергия частицы не может быть любоей. Она может принимать только в полне определенные значения, или, как говоря, частицы могут находиться на определенных энергетических уровнях. Их обычно изобравают в виде расположенных одна над другой горизонтальных линей (рис. 1). Система энергетических уровней — это что-то вроде книжного шкафа с полками. Книги могут стоять на полках, но не между ними.

Читатель

А распределение частиц по полкам-уровням чисто случайное, беспорядочное?

18

науки, но и для техники. В знаментичных квантовых генераторах — лазерах и мазерах — специально создают отрицательную температуру в том именно смыслое, о котором вы говорили, а затем быстро «высвечивают» скопленную энергию.

Читатель
Разве температура определяет распределение частиц по энергетическим уровнем только в квантовой механике?

Автор
Конецно нет. Это верно и в классический механике. Например, распределение по энергиям молекул «классический» идеально газа такое, как показано на рисунке 4. Оно определяется формулой
$$\frac{n}{n_0} = e^{-\frac{E}{kT}}.$$
Здесь $n_0$ — число частиц в том состоянии, с которой мы начинаем отсутствует энергия частицы $E$; $n$ — это число частиц с энергейем $E$; $e = 2,718$ — основание натуральных логарифмов, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура газа.

Читатель
Если преобразовать эту формулу, продолжарифмов обе части равенства, то она примет вид
$$\ln \frac{n}{n_0} = -\frac{E}{kI}.$$

Рис. 4.

Рис. 5.

Отсюда
$$T = -\frac{E}{k(\ln n - \ln n_0)}.$$

Если к газу подводить энергию, то мы будем повышать его температуру, переводя все больше части с нижних энергетических уровней на верхние. При этом мы можем добиться того, что $n$ становится $n_0$ и $\ln n$ больше $\ln n_0$. Это будет означает, что температура газа отрицательна! Мне кажется, мы пришли к абсурду. Говорить об отрицательной температуре идеального газа, поему, бессмысленно.

Автор
Если мы будем рассматривать только несколько энергетических уровней, то мы можем сделать так, что на верхних из них будет больше молекул газа, чем на нижних. Однако нельзя добиться того, чтобы распределение молекул по энергиям было таким, как показано на рисунке 5: зависимость числа части от энергии экспоненциальная и на достагоно высоких уровних находится больше части, чем на нижних.

Все дело в том, что наш вывод о возможности отрицательных температур справедлив не для любой системы частиц, а только для такой, у

19

которой число энергетических уровней конечное. Ведь обычно в энергюю входит составной частью энергия клиническая, а она может быть сколь годно больше. На квантовом языке это означает, что число энергетических уровней бесконечно велико. Но в таком случае нельзя даже равномерно распределить конечное число частиц по бесконечно большому числу энергетических уровней, не говоря уже о том, чтобы получить отрицательную температуру. Значит, наш расчетная верны для систем, энергия которых не связана с клинической энергейой.

Читатель
Это очень трудно понять. Я что-то никогда не слышал, чтобы кто-то держал в руках или видел тело с отрицательной температурой.

Автор
В этом нет ничего удивительного. В стабильном, равновесном состоянии отрицательная температура невозможна. Состояние с отрицательной температурой — это, как говоря, metastабильное состояние. Возникнув, оно существует обычно недолго (хотя бывают и весма долговечные metastабильные состояния, например стекло, которое в равновесном состоянии — непрозрачный кристалл). Например, когда в рабочем веществе лазера создается отрицательная температура, оно очень быстро переходит в состояние с положительной температурой: частицы с высоких энергетических уровней переходят, как бы «свальваются» на более низкие уровни, а теряемая при этом энергия выделяется в виде лазерного луча.

Читатель
Но я хотел бы вернуть к температуре. Если я правильно вас понял, температура — это понятие, у которого много разных сторон. С одной стороны, температура — это величина, характеризующая состояние тела, замена тела, что при переходе какой-нибудь системы к равновесию она оказывается одинаковой во всех частях системы. С другой стороны, температура связана со средней клинической энергейой частиц, составляющих тело. Наконец, в квантовой механике она выступает как величина, определяющая распределение частиц по энергетическим состоянием. Легко заметить, что во всех трех проявлениях температура самым темным образом связана с другой физической величины — энергейой. Но раньше вы упомянули еще об одной величины, совсем мне незнакомой, — об энтропии. Она тоже имеет отношение к температуре?

Автор
Самое непосредственное. И рассказ о температуре не может быть полным, если не рассказать и об энтропии. Но всегда об энтропии должны занять не менее места, чем та, которая теперь пора закончит.

20

СРАВНЕНИЕ
РАЗЛИЧНЫХ СРЕДНИХ
ДВУХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ

3. А. Скопец

Хорошо известно, что с двумя положительных числами $a$ и $b$ или с двумя отрезками, имеющими длины $a$ и $b$, связаны их среднее арифметическое $\frac{a+b}{2}$ и среднее геометрическое $\sqrt{ab}$, причем $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ (равенство выполняется только при $a=b$). Алгебраическая доказательство этого неравенства чрезвычайно простое:

$$(a-b)^2 \geq 0, (a+b)^2 \geq 4ab,$$
$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \text{ и } \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.$$

Геометрическое же доказательство основано на одном метрическом соотношении между элементами прямогоугольного треугольника: высота прямогоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. Эта высота не превыходит радиуса описанной около треугольника окружности, в то время как среднее арифметическое отрезков гипотенузы в точности равно радиусу этой окружности.

Помимо указанных двух средних интерсено рассмотрен еще два часто встречающихся средних: среднее квадратиное $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ и среднее гармоничное $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b}$.

Приведем алгебраическое, а затем и геометрическое доказательство того, что

$$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}},$$

причем во всех случаях знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда $a=b$. Обозначим выписанные в (1) средние почередно буквами $M, N, K, L$. Неравенство $N \leq K$ мы уже проверили. Остается доказать, что 1) $K \leq L$; 2) $M \leq N$.

1. $K^2 - L^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{a^2+b^2}{2} = -\frac{1}{4} (a-b)^2 \leq 0,$

то есть $K \leq L$, причем $K=L$ только при $a=b$;

2. $M^2 - N^2 = \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} - ab = -\frac{ab (a-b)^2}{(a+b)^2} \leq 0,$

то есть $M \leq N$, причем $M=N$ при $a=b$.

Справедливо неравенств (1) доказана *).

Теперь мы рассмотрим геометрическое доказательство этих неравенств, которые могут оказаться по-

*) Об этих неравенств уже шла речь в статье A. П. Савина «Максиум, минимум и теорема о средних» («Квант» № 11, 1970).

21

Лезными при решении геометрических задач.

Пусть данные два отрезка $a$ и $b$. Если $a=b$, то проверкой убеждаемся в справедливости неравенств (1). Предположим, что $a>b$, и построим трапецю $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, равными соответствию $a$ и $b$ (рис. 1). Проведем секущую прямую $l$ так, чтобы она была параллельна основаниям трапеции и рассекала ее на две равновеликие трапеции $T_1(ABL_2L_1)$ и $T_2(L_1L_2CD)$. Вычислим длину отрезка $L_1L_2$, которое обозначим через $x$. Из равновелиости трапеций $T_1$ и $T_2$ следует, что $(a+x)h_1=(x+b)h_2$, или

$$h_1:h_2=(x+b):(a+x),$$

(2) где $h_1$ — высота трапеции $T_1$, а $h_2$ — высота трапеции $T_2$. Из подобия треугольников $AL_1U$ и $DL_1V$ вытекает, что

$$h_1:h_2=(a-x):(x-b).$$

(3) Сопоставляя (2) и (3), получаем

$$\frac{x+b}{a+x}=\frac{a-x}{x-b},$$

откуда находится, что $x^2-b^2=a^2-x^2$, и окончательно

$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

Итак, доказано, что $L_1L_2=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$

Учитывая (2), имеем $h_1<h_2$, поэтому отрезок $L_1L_2$ лежит близке к большему основанию $AB$ трапеции, чем ее средняя линия $K_1K_2$, равная $\frac{a+b}{2}$. Нолина отрезка $x$, параллельного основаниям трапеции, концы которого лежат на боковых сторонах трапеции, заключена между длинами ее оснований (это вытекает из свойств подобия). Итак, при $a>b$ имеем $\frac{a+b}{2}<\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$. Это неравенство остается в силу и при $a<b$ (достаточно поменять обозначения: $a$ на $b$ и $b$ на $a$). Следовательно, для любых $a$ и $b$ имеем $\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$

Перейдем к сравнению $N$ и $K$. Для этого проведем секущую прямую $n$ так, чтобы она рассекала данные трапецию на две подобные (гомотетичные) трапеции $T_1'(ABN_2N_1)$ и $T_2'(N_1N_2CD)$ (рис. 2). Обозначим длину отрезка $N_1N_2$ через $y$. Из подобия трапеций $T_1'$ и $T_2'$ следует, что $a:y=y:b$, или

$$y=\sqrt{ab}.$$

Следовательно, $N_1N_2=\sqrt{ab}$. Из подобия трапеций (с учетом (4)) следует также, что

$$AN_1:N_1D=a:y=\sqrt{\frac{a}{b}}>1.$$

Это означает, что прямая $n$ находится дальше от основания $AB$ трапеции,

22

Чем средняя линия $K_1K_2$, и поэтому $N_1N_2 < K_1K_2$. Итак, для любых $a$ и $b$ имеем

$$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.$$

Наконец, проведем через точку пересечения $O$ диагоналей данной трапеции прямую $m$, параллельную ее основаниям и пересекающую боковые стороны в точках $M_1$ и $M_2$ (рис. 3). Очевидно, что $AM_1:M_1D = AO:OC = a:b$.

Но $\frac{a}{b} > \sqrt{\frac{a}{b}}$, ибо $a > b$. Следовательно, учитывая (5), заключаем, что отрезок $M_1M_2$ находится близке к меньшему основанию трапеции, чем отрезок $N_1N_2$, и поэтому $M_1M_2 < N_1N_2$. С другой стороны,

$$M_1O:a = DO:DB = CO:CA = OM_2:a.$$

Это означает, что $M_1O = OM_2$. Далее,

$$\frac{M_1O}{a} + \frac{OM_2}{b} = \frac{DO}{DB} + \frac{BO}{DB} = 1.$$

Отсюда находится, что $M_1M_2 = 2M_1O = 2\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$, и поэтому $M_1M_2 = \frac{2ab}{a+b}$. Итак, $M < N$, если $a > b$. Аналогично доказывается, что $M < N$, если $a < b$. Следовательно, для любых $a$ и $b$ имеем

$$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}.$$

Этим справедливо неравенств (1) доказана.

Таким образом, все четыре средние

$$M_1M_2 = M = \frac{2ab}{a+b}; \quad N_1N_2 = N = \sqrt{ab};$$

$$K_1K_2 = K = \frac{a+b}{2}; \quad L_1L_2 = L = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

ниже двух отрезков $a$ и $b$ получили геометрическое истоковоеение: если эти два отрезка служат основаниями трапеции, то близке к большему основанию трапеции находится среднее квадратичное, за ним следует среднее арфметическое, далее идет среднее геометрическое и, наконец, среднее гармоничное (рис. 4). Очевидно, что длины этих отрезков не зависит от формы трапеции — у всех трапеций с данными длинами $a$ и $b$ оснований указанные средние соответствующего равны. Когда $a = b$, то трапеция превращается в параллелограмм и все четыре средние совпадают и становятся равны $a$.

Остается построить эти четыре средние по заданным отрезкам $a$ и $b$. Мы даим такие построения, чтобы можно было другим путем убедиться в истинности неравенств (1).

Отложим на прямой по одному сторону от точки $O$ отрезки $OA = a$, $OB = b$, где $a < b$. Пусть $S$ — середина отрезка $AB$ (рис. 5). Тогда

$$OS = a + \frac{b-a}{2} \text{ или } OS = \frac{a+b}{2} = K.$$

23

Рис. 5.

$$OC = M = \frac{2ab}{a+b};$$
$$OP = N = \sqrt{ab};$$
$$OS = K = \frac{a+b}{2};$$
$$OE = L = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}};$$
$$M < N < K < L.$$

Построим на отрезке $AB$, как на диаметре, окружность и проведем к ней из точки $O$ касательные $OP$ и $OQ$ ($P, Q$ — точки касания). Воспользуемся зависимостью между отрезками секущей и касательной, проведенных из точки $O$ к окружности:
$$OP^2 = ab.$$ Следовательно, $OP = \sqrt{ab} = N$, причем $N < K$. Далее, пусть $PQ$ пересекает $OS$ в точке $C$. Тогда $OP^2 = OS \cdot OC$ и
$$OC = ab: \frac{a+b}{2} = \frac{2ab}{a+b} = M,$$
причем $M < N$.

Наконец, построим радиус $SE$, перpendикулярный $AB$. Имеем
$$OE^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2,$$
$$OE = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} = L,$$
причем $K < L$. Итак, если $a \neq b$, то $M < N < K < L$.

Уражнения

1. На прямой по одному сторону от точки $O$ отложены отрезки $OA = a, OB = b, a < b,$ и построена окружность $k$ диаметра $AB$ с центром $S$. Далее, построены $k_1$ с центром $O$ радиуса $OP$ и $k_2$ с диаметром $OS$.

Доказать, что если прямая, проходящая через $O$, пересекает часть линей $g, k_1$ и $k_2$, расположенные внутри $k$, в точках $C_1, P_1, S_1$, а окружность $k$ — в точках $A_1$ и $B_1$, то
$$OC_1 = \frac{2a_1b_1}{a_1+b_1},$$
$$OP_1 = \sqrt{a_1b_1},$$
$$OS_1 = \frac{a_1+b_1}{2} \quad (a_1 = OA_1, b_1 = OB_1).$$

2. Найти четые соотношения, связывающие между собой каждые три средние двух чисел $a$ и $b$:
   $$M = \frac{2ab}{a+b},$$
   $$N = \sqrt{ab},$$
   $$K = \frac{a+b}{2},$$
   $$L = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

3. Доказать истинность следующих неравенств:
   a) $N - M \leqslant K - N,$
   b) $K - M \leqslant L - N,$
   b) $L - K \leqslant K - N.$

4. Okружность с центром $S$ на оси абсцисс прямого угловой системы координат пересекает ось в точках $A(a, 0)$ и $B(b, 0), a > 0, b > 0, a < b$. Секущая, проходящая через начало координат $O$, пересекает окружность в точках $A_1$ и $B_1$. Составить уравнение линей, которой принадлежат те точки $C_1(x, y)$ на секущих, для которых
   $$(OC_1)^2 = \frac{1}{2} \left[ (OA_1)^2 + (OB_1)^2 \right].$$

5. На продолжении стороны $AB$ треугольника $ABS$ за точкой $A$ дна точка $O$, через которого проведена прямая, пересекающая $AS$ и $BS$ соответствующего в точках $B_1$ и $A_1$. Через точку пересечения $P$ прямых $AA_1$ и $BB_1$ проведена прямая $SP$, пересекающая $AB$ в точке $C$. Доказать, что $c = \frac{2ab}{a+b}$, где $OA = a, OB = b, OC = c$.

6. Дан параллелограмм $OABC$ и средняя линия $MN$ треугольника $ABC$, параллельная $AC$. Через вершину $O$ проведена прямая; пересекающая прямые $BC, CA, AB, MN$ соответствующего в точках $A_0, B_0, C_0, D_0$. Доказать, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{d}$, где $OA_0 = a, OB_0 = b, OC_0 = c, OD_0 = d$; точки $A_0, B_0, C_0, D_0$ находится по одному сторону от $O$ ($d$ — среднее гармоничное отрезок $a, b, c, d$).

Как изменится указано равенство, если точки $A_0, B_0, C_0, D_0$ не лежат по одному сторону от $O$?

26

РЕШЕНИЯ

В этом разделе журналы мы продолжаем публикать решения задач из задачика «Кванта». Некоторые из этих задач трудны даже для специализов математиков и физиков. Многие из них дают повод для разговора о целом классе задач, о методах подхода к тем или иным явлениям. Каждый решение представляет собой небольшую отдельную статью, и мы рекомендуем познакомиться с ним даже тем, кто не пытается решать задачи раныше.

В большинстве случаев мы указываем фамилии читателей, приславших наиболее удачные решения, но, конечно, мы не сможем ответить всем, приславшим нам письма.

M21
Внутри квадрата со стороны 1 расположено несколько окружностей, сумма длины которых равна 10. Доказать, что найдется прямой проведисти нельзя. Тогда каждая точка на стороне AB покрыта не более чем tremя проекциями окружностей (рис. 1), иначе прямая, проходящая через точку и перпендикулярная AB, пересекала бы более трех окружностей. Следовательно, сумма всех проекций, то есть сумма длини диаметров окружностей, не превыходит 3; поэтому сумма длини окружностей не превыходит 3π, в то время как по условию она равна 10>3π. Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

Такое решение прислада Д. Григорьев из Ленинграда и Н. Рассхин из Москвы.

Точно так же можно доказать следующие более общее утверждение. Назовем поперечником выпуклой фигуры ширину наиболее узкой полосы, в которой эту фигуру можно помещить. (Можно показать, что это определенное годится для любой ограниченной фигуры.) Тогда, если внутри фигуры с поперечником h находится n фигуру, сумма поперечников которых больше kh, то найдется прямая, которая пересекает не менее k + 1 из этих фигура.

28

Перепишем квадрат данного выражения в таком виде:

$$P_n^2 = \frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{3^2}{4^2} \cdot \frac{5^2}{6^2} \cdot \dots \cdot \frac{(2n-1)^2}{(2n)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^2}{2 \cdot 4} \cdot \frac{5^2}{4 \cdot 6} \cdot \dots \cdot \frac{(2n-1)^2}{(2n-2) \cdot 2n} \cdot \frac{1}{2n}.$$

Поскольку при любом целом $k > 1$

$$\frac{(2k-1)^2}{(2k-2) \cdot 2k} = \frac{(2k-1)^2}{(2k-1)^2 - 1} > 1,$$

то

$$P_n^2 > \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2n} \text{ и } P_n > \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$$

С другой стороны, так как всегда

$$\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2} = \frac{(2k)^2 - 1}{(2k)^2} < 1,$$

то

$$P_n^2 = \frac{3}{2^2} \cdot \frac{3.5}{4^2} \cdot \frac{5.7}{6^2} \cdot \dots \cdot \frac{(2n-1)(2n-3)}{(2n-2)^2} \cdot \frac{2n-1}{(2n)^2} < \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2n} \text{ и}$$

$$P_n < \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$$

Несколько иное решение предложил Д. Грицорьев (такое решение при сслили и другие читатели журнала). Рассмотрим вместе с данным выражением

$$P_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \frac{2n-1}{2n}$$

следующое:

$$Q_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \dots \cdot \frac{2n-4}{2n-3} \cdot \frac{2n-2}{2n-1}.$$

Поскольку каждый из сомножителей произведение $Q_n$ не больше соответствующего сомножителя $P_n$, то $P_n > Q_n$ и, следовательно, $P_n^2 > P_nQ_n = \frac{1}{4n}$, то есть $P_n > \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$

С другой стороны,

$$R_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{2n-2}{2n-1} \cdot 1 > P_n,$$

позному $P_n^2 < P_nR_n = \frac{3}{8n}$ и $P_n < \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2n}}.$

Казалось бы более естественным найти $R_n$ не с 1/2, а с 2/3. Но тогда для $P_n$ получится оценка более грубая, чем требуется в условиях задачи. Наоборот, если оставить в $R_n$ не один, а больше сомножителей равными первыми сомножителями $P_n$, то для $P_n$ получится более точная оценка вида $P_n < \frac{c}{\sqrt{n}}$, где $c$ — некоторое число, меньше $\sqrt{\frac{3}{8}}$. То же замечание относится к оценке с другой стороны.

Есть также решение, основанное на методе математической индукции. Именно на примере этой задачи в заметке Е. Г. Николаева «Случай с методом математической индукции» (см. «Квант» № 7, 1970, стр. 37 и «Квант» № 12, 1970, стр. 58) расссказывалось о том, что иногда более сильное неравенство доказать по индукции проще, чем более слабое.

29

Из доказанных неравенств следует, что величина $P_n$ с ростом $n$ стремится к нулю, а величина $P_n \sqrt{n}$ заключит между $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}$. Можно доказать (см., например, задачи 145, 160, 161 в книге А. М. Яглома и И. М. Яглома «Незlementарные задачи в элементарном изложении», ГИТТЛ, М., 1954), что при $n \to \infty$ $P_n$ стремится к пределу, равному $\sqrt{\frac{1}{\pi}}$.

M24

Докажите, что любую дробь $\frac{m}{n}$, где $0 < \frac{m}{n} < 1$, можно представить в виде

$$\frac{m}{n} = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + \frac{1}{q_3} + \dots + \frac{1}{q_r},$$

где $0 < q_1 < q_2 < \dots < q_r$ – целые числа и каждое $q_k$ ($k=2, 3, \dots, r$) делится на $q_{k-1}$.

Какую дробь $\frac{m}{n}$ можно разделить и знаменатель на их наиболее общий делитель, заменить равной ей несократимой дробью. Например, $\frac{288}{504} = \frac{4.72}{7.72} = \frac{4}{7}$. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие несократимые дроби.

Докажем утверждение задачи индукцией по $m$. Для $m=1$ оно очевидно: сама дробь $\frac{m}{n}$ уже имеет нужный вид. Тепер доказем, что если утверждение задачи верно для всех дробей с числительми, меньше чем $m$, то оно верно и для дробей с числительм, равным $m$. Пусть $\frac{m}{n}$ – такая дробь ($1 < m < n$). Разделим $n$ на $m$ с остатком; получится частное ($d_0-1$) и остаток ($m-k$), то есть

$$n = m (d_0-1) + (m-k) = md_0-k,$$

где $d_0 > 1$ и $0 < k < m$. Перепишем (1) так: $md_0=n+k$, или

$$\frac{m}{n} = \frac{1}{d_0} \left( 1 + \frac{k}{n} \right).$$

Поскольку $0 < k < m$, дробь $\frac{k}{n}$ можно представить в нужном виде:

$$\frac{k}{n} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_1 d_2} + \dots + \frac{1}{d_1 d_2 \dots d_r},$$

где $d_1, d_2, \dots, d_r$ – некоторые натуральные числа, больше 1. Из (2) и (3) получаем

$$\frac{m}{n} = \frac{1}{d_0} + \frac{1}{d_0 d_1} + \frac{1}{d_0 d_1 d_2} + \dots + \frac{1}{d_0 d_1 d_2 \dots d_r}.$$

Дробь $\frac{m}{n}$ представлена в требуемом виде.

Заметим, что из нашей решения задачи нетрудно извлечь простой алгоритм – правило, как любую данную дробь представить в виде суммы (3). Продемонстрируем его на одном примере. Пусть нам дана дробь $\frac{5}{7}$:

$$7 = 2.5 - 3; \quad \frac{5}{7} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{3}{7} \right);$$

$$7 = 3.3 - 2; \quad \frac{3}{7} = \frac{1}{3} \left( 1 + \frac{2}{7} \right);$$

$$7 = 4.2 - 1; \quad \frac{2}{7} = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{7} \right).$$

30

Итак,

$$\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{2.3.4.7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{168}.$$

Разумеется, могут найти несколько представлений в виде (3), например:

$$\frac{3}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{1}{3} + \frac{1}{24}.$$

Решение этой задачи прислал Д. Грицорье.

M25

В множестве, состоящем из $n$ элементов, выбрано $2^{n-1}$ подмножества, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Всего в множестве $A$, состоящем из $n$ элементов, существует $2^n$ различных подмножества, считая пусть множество и само множество $A$ (см. статью Н. Я. Виленкина «Комбинаторика», «Квант» № 1, 1971). Мы будем обозначать разные подмножества $A$ буквами $B, C, \dots$, пересечение множества $B$ и $C$, то есть множество, составленное из общих элементов $B$ и $C$, принято обозначать так: $B \cap C$; дополнительное подмножества $B$ до всего множества $A$, то есть множество, составленное из всех тех элементов $A$, которые не входят в $B$, обозначается так: $\bar{B}$.

По условию выбрано $2^{n-1}$ подмножества, то есть половина всех возможных, причем каждое из выбранных подмножества, пересечение любых двух (и даже трех) из них не пусто. Следовательно, из каждой пары подмножества $(B, \bar{B})$, дополнительных друг друга до $A$, выбрано в точности одно. Далее, если $B$ и $C$ выбраны, то $D = B \cap C$ тоже выбрано, поскольку $\bar{D}$ не может быть выбрано (все три подмножества $\bar{D}, B$ и $C$ не могут иметь общих элементов, ведь общие элементы $B$ и $C$ содержатся в $D$). Пользоваться этим, оченьной индикцией можно доказать, что если $B_1, B_2, \dots, B_k$ выбраны, то пересечение всех этих подмножества $B_1 \cap B_2 \cap \dots \cap B_k$ тоже выбрано. Следовательно, пересечение всех $2^{n-1}$ выбраных подмножества тоже принадлежит к числу выбранных, значит, оно не пусто.

Таким образом, мы доказали, что условию задачи удовлетворяет только такая система подмножества: фиксируется неокоторый элемент $a$ множества $A$ и выбраются в се подмножества, содержащие этот элемент.

Н. Б. Васильев

Ф29

Найти скорость испарения с единицей поверхности воды в вакуум при температуре $20^\circ\text{C}$. (Давление насыщенных паров при этой температуре равно 17,5 мм рт. ст.) За какое время испарится в комнате воды, напитая доверху в обычное чайное блюдце? Испарение небольшого количества воды практически не меняет в комнате влажность воздуха, равную 70%.

Для того чтобы решить задачу, нужно найти количество молекул жидкости, покидающих 1 см$^2$ ее поверхности за 1 сек. Умножив его на массу молекул воды, мы сможем узнать скорость испарения, то есть массу воды, испарующая с единицей поверхности воды за 1 сек.

Bydem рассуждать так. Если бы над жидкостью был насыщенный пар, то число молекул жидкости, покидающих ее в 1 сек, было бы таким же, как и в отсутствие пара. При этом, однажды, в жидкость попадало быровно столь же молекул, сколько вылетало из нее. Это позволяет нам подсчитать,

31

сколько молекул вылетает из воды в 1 сек, так как найти число молекул, попадающих в жидкость, довольно просто.

Воспользовемся следующей моделью идеального газа: все молекулы газа имеют одинаковые скорости $v$, и каждая из молекул может двигатся только в одном из трех взаимно перpendикулярных направлений вдоль осей координат (рис. 4). Причем число молекул, движущся в каждой из этих трех направлений, одинаково. Если одна из осей координат перpendикулярна жидкость, то за время $\tau$ в жидкость попадает масса пара, которые находится от нее на расстоянии $l = v \cdot \tau$. Пусть в единице объема находится $n$ молекул пара, тогда на участок поверхности с площадью $S$ попадает $N = \frac{1}{6} nv\tau S$ молекул пара: вдоль оси координат, перpendикулярной поверхности жидкости, движется $\frac{1}{3}$ часть молекул пара, находящся в объеме $v\tau S$, причем скорость половины из них направлена от жидкости. Если масса молекул пара $m$, то за время $\tau$ в жидкость попадает масса пара $M = \frac{1}{6} nv\tau Sm$. $n \cdot m$ это плотность пара $\rho$. Поэтому

$$M = \frac{1}{6} v\tau S\rho.$$

Скорость молекул пара можно выразить через его давление и плотность. Расмотрим кубический сосуд с ребром $l$ и гранями, перpendикулярными осями координат (рис. 4). При упругом стокновении молекул пара со стенкой ее количество движения меняется на $2mv$ — до стокновения импульс молекулы равен $mv$, а после стокновения — $mv$: молекula движется от стенки. Так как между двумя последовательными стокновениями молекулы с одной и той же стенкой проходит время $t = \frac{2l}{v}$, то в соответствии со вторым законом Ньютона можно считать, что на молекулу со стороны стенки действует средняя сила $f = \frac{2mv}{2l} = \frac{mv^2}{l}$. По третьему закону Ньютона сила такой же величины действует на стенку. Так как вдоль каждой из осей движения $N = \frac{1}{3} nl^3$ молекул, каждая из которых вносит вклад в давление на стенку, то полная сила, действующая на стенку, равна

$$F = \frac{mv^2}{l} \cdot \frac{1}{3} nl^3 = \frac{1}{3} nml^2v^2,$$

а давление пара на стенку равна

$$P = \frac{F}{l^2} = \frac{1}{3} nmv^2 = \frac{1}{3} \rho v^2.$$

32

Поятому
$$v = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}.$$

Подставляя это выражение для $v$ в формулу (*), получим
$$M = \frac{1}{6} \tau S \rho \sqrt{\frac{3P}{\rho}}.$$

Выразим еще плотность пара через его давление. Они связаны уравнением Клапейрона:
$$P = \frac{\rho}{\mu} RT,$$

где $\mu$ — масса одной грамм-молекuli пара, $T$ — его температура, а $R = 8,3 \frac{\partial \kappa}{\partial \rho} - \text{газовая постоянная}.$

Из этой формулы найдем, что $\rho = \frac{P \mu}{RT}$. Поятому $M = \frac{1}{6} \tau S \frac{P \mu}{RT} \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}.$

Таким образом, если над жидкостью находится пар, то на единицу ее поверхности за 1 сек попадает масса пара, равная
$$\frac{M}{\tau S} = \frac{1}{6} P \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}.$$

Это означает, что скорость испарения жидкости в вакуум равна
$$\frac{1}{6} P \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}.$$

Подставив сюда численные значения $T = 293^\circ \text{K}$, $\mu = 18 \frac{\kappa_2}{\kappa_0 \text{м}^2}$ и $P = 2,3 \cdot 10^3 \frac{\mu}{m^2}$ ($P$ — давление насыщенного пара при $T = 293^\circ \text{K}$), получим, что скорость испарения равна $14,8 \cdot 10^{-8} \frac{\kappa_2}{m^2 \cdot \text{сек}}.$

Мы могли бы решить задачу и более точно, учитывая, что молекулы движутся с разными скоростями и во всехможных направлениях *). Это, однако, не изменило бы качественный результат, который мы получили. Изменился бы лишь численный множитель в последней формуле.

Теперь нетрудно найти и время, за которой испарится в комнате вода, напитая в чайное блюдце. В этом случае с едиными поверхностями жидкости за 1 сек вылетают молекулы с общей массой, равной $\frac{1}{6} P_0 \sqrt{\frac{3\mu}{RT}} \left( P_0 = 10^{-5} \frac{\mu}{m^2} \right)$, а в жидкость попадает масса пара, равная $\frac{1}{6} P \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}$, где $P = \eta \cdot P_0 = 0,7P_0$. Таким образом, скорость испарения жидкости равна
$$\frac{1}{6} \left( P_0 - P \right) \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}.$$

Если площадь поверхности воды $S$, а ее масса $M$, то все воды испарятся за время
$$t = \frac{M}{\frac{1}{6} S \left( P_0 - P \right) \sqrt{\frac{3\mu}{RT}}}.$$

*) Такой расчет приводится в статье Я. А. Смородинского «Идеальный газ» («Квант» № 10, 1970 г.).

33

Принимая, что в блюдце входит 100 $e$ воды, его диаметр равен 10 $cm$, температура воздуха в комнате равна $17^\circ C=290^\circ K$ (при этой температуре $P_0 = 2,3 \cdot 10^3 \frac{H}{M^2}$ и $P = 1,6 \cdot 10^3 \frac{H}{M^2}$), найдем $t=1$ сек.

Получился парадоксальный результат. В чем же мы ошиблись? В величины давления пара вблизи поверхности воды. Здесь давление пара значительное больше, чем в комнате. В тонком слое у поверхности пар почти насыщен. Только благо-даря этому вода испаряется достаточно медленно.

Пример, который мы рассмотрели, показывает, как важно при решении физической задачи разобраться в «физике» явления, то есть понять, чем можно и чем нельзя пренебречь.

Ф 30

В киноаппарате и кинопроекторе проходит 8 кадров в секунду. На экране движения автоматиль с колесами, реальный диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 2 оборота в секунду. Какова скорость автоматиль?

Так как изображения колес поворачиваются на 2 оборота за то время, за которое в проекторе проходят 8 кадров, то на каждом кадре колесо должны быть повернут по сравнению с предыдущим на $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ оборота. Причем изображения колес автоматиль на экране могут врашаться как «вперед», так и «назад», хотя сам автоматиль движется и в первом и во втором служев в одну и ту же сторону (рис. 5). Колеса на экране врашаются «вперед», если скорость движения автоматила такова, что за время между кадрами $\tau = \frac{1}{8} c$ колеса автоматила делают $n$ полных и еще $\frac{1}{4}$ оборота вокруг оси. Если же за $t$ колеса делают $n$ полных и $\frac{3}{4}$ оборота вокруг оси, то изображения колес на экране будут врашаться «назад». Таким образом, угловая скорость автоматила равна или $\omega_{\text{вп}} = \frac{\left(n + \frac{1}{4}\right) 2\pi}{\frac{1}{8}} \frac{pa\partial}{c} = 16 \left(n + \frac{1}{4}\right) \pi \frac{pa\partial}{c}$, или $\omega_{\text{н}} = 16 \left(n + \frac{3}{4}\right) \pi \frac{pa\partial}{c}$. Это означает, что оси колес, а вместе с ними и автоматиль движется со скоростью $v = 16 \left(n + \frac{1}{4}\right) \pi R \frac{m}{c}$ (тогда изображения колес врашаются «вперед») или со скоростью $u = 16 \left(n + \frac{3}{4}\right) \pi R \frac{m}{c}$ (в этом служев изображения колес врашаются «назад»). Подставляя в эти формулы $n = 1, 2, 3, \dots$, мы будем получить ответы

$$v_1 \approx 12,6 \frac{m}{c} = 45 \frac{km}{час}, \quad v_2 \approx 223 \frac{km}{час}, \quad u_1 \approx 136 \frac{km}{час}, \quad u_2 \approx 316 \frac{km}{час}, \dots$$