Квант 1972, №4 · Страницы

КВАНТ
4
АПРЕЛЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский, И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев,
И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица,
В. А. Кириллин, А. И. Климанов (главный художник),
С. М. Козел, В. А. Лешковцев (зам. главного редактора),
Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллионщиков, Н. А. Патрикеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская, С. И. Шварцбург, А. Т. Ширшов.

На первой и четвертой страницах обложки помещены рисунки к статуе А. П. Савина «Карты и раскраски» (художник В. Егоров). Статья помещена на стр. 30.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов
Художественный редактор О. Н. Яковлева. Корректор М. Л. Медведская
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 16/1-1972 г. Подписано в печать 29/II-1972 г. Бумага 70×100¹/₁₆ Физ. печ. л. 5. Усл. печ. л. 6,5. Уч.-изд. л. 7,45. Тираж 340 985 Т-01574. Цена 30 коп. Заказ 2538.
Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома Комитет по печати при Совете Министров СССР, г. Чехов Московской области.

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАШАЮТСЯ

2

День космонавтики

В 1972 году исполянется 15 лет с момента запуска первого искусственного спутника Земли и 11 лет с момента первого полета человека в Космос. Оба эти события произошли в нашей стране. Советский Союз насегда остановся в памяты людей как страна, первый prolожившая дорогу в космическе просторы.

Немногим более десяти лет отделют нас от этих событий. За эти годы наука узнал о Луне, Венере, Марсе, Солнце и космических просторах больше, чем за все предыдущее столетия упорных наблюдиений и исследований.

К настоящему моменту в Космос запущено более тысячи различных аппаратов, половина которых сделана руками советских ученых, инженеров, рабочих. Наша космическая программа порождает мир своей последовательность. В ней отчетливо выделяются три основных направления: исследование околоземного космического пространства и самой Земли, имеющие не только научное, но и большее практическое значение; изучение Луны; исследование планет Солнечной системы.

Советские искусственные спутники серии «Метеор» позволили создать постоянную службу наблюдения за meteorologicalими процесами в атмосфере, ледниковым покровом, поверхностью океанов и т. д. Спутники серии «Молния» необычайно расширили возможности передачи информации. Они являются надежной основой для создания международной системы космической связи «Интеркосмос».

Спутники оказывают неценному помощь в изучении водного режима и составления карта труднодоступных районов, поисках полезных ископаемых и охране лесных богатств, облегчении условий habитации кораблей и смслетов и борббе с вредителями в сельском хозяйстве.

Длительный полет соверших космонавтов А. Г. Николаева и В. И. Севастьянова на корабле «Союз-9» подтвердил возможность успешной продолжительной работы человека за пределами земной атмосферы. Космонавты не раз выходили в открытый космос; отлажены системы управления в групповых полетах; произведены стыковки космических кораблей; опробованы методы космического сварки. На поверхности дня поставлен вопрос о создании орбитальных обсерватории, где периодические сменяемые группы ученых будут проводить научные исследования по широкой программе. Первая плотируемая орбитальная научная станция была создана в нашей стране 7 июня 1971 года после успешной орбитальной научной станции «Салют» и космического корабля «Союз-11».

Успешно развивался также исследование Луны. Особенно большой вклад в них внесли полеты автоматических станций «Луна-16», «Луна-17» и «Луна-20». Первая и третья доставили на Землю образцы лунного грунта. Вторая опустила на поверхности Луны передвижную исследовательскую laboratorию «Луноход-1», в течение многих месяцев выполнявшую сложную научную программу. (Одна из снятьх Луноходом панора лунной поверхности помещена на приведенной здесь фотографии.)

Советский Союз далек продвинутся по пути изучения планет Солнечной системы, прежде всего Венеры и Марса. Четыре наших спускаемых аппарата находятся на поверхности Венеры. Они сообщили детальнее сведения о температуре, давлении и химическом составе atmosферы этой загадочной планеты. 2 декабря 1971 года епервы в истории спускаемый аппарат автоматической станции «Марс-3» произвел мягкую посадку на поверхности Марса. Станции «Марс-2» и «Марс-3» стали искусственными спутниками Марса.

Огромный путь пройдет нашей космической научной и технической заполтора десятилетия. А вперед — неизведанная дорога к более далеким планетам, к звездам и населенным разумными существами мира. И кто знает, какие удивительные открытия подарит нам она в недалеком будущеем.

4

РАССТАНОВКА
КУБИКОВ

Н. Б. Васильев

В этой статье мы рассекjem решение одной из задач, предлагавшихся девятиклассикам и десятиклассикам на прошлогодней Всесоюзной математической олимпiadе в Риге (см. «Квант» № 11, 1971). Она формулировалась так.

Задача. Куб с ребром длины $n$ разбит на $n^3$ единичных кубиков. Выберем несколько кубиков и проведем через центр каждой из них три прямы, параллельные ребрам. Какое наименьшее число кубиков можно выбрать так, чтобы проведенные через них прямы перечеркнуты все кубики?

a) Укажите ответ для маленьких значений $n$: для $n=2, 3, 4$.

b) Попробуйте найти ответ для $n=10$.

в) Решите общую задачу. Если вам не удалось найти точный ответ, доказите какие-либо неравенства, оценивающие сверху и снизу число отмеченных кубиков.

г) Заметьте, что эту задачу можно формулировать так. Рассмотрим всевозможные наборы $(x_1, x_2, x_3)$, где каждая из букв $x_1, x_2, x_3$ принимает одно из $n$ значений 1, 2, …, $n$. Какое наименьшее число наборов нужно выбрать, чтобы для каждой из остальных наборов среди выбранных нашеся такой, который отличался бы от него только в одном месте (значением только одной из координат $x_1, x_2, x_3$)? Попробуйте найти оценки для числа наборов в более общей задаче, когда рассматриваются наборы не из трех, а из четырех и большего количества букв.

Формулировка с ладьями

Чтобы не путаться в словах «куб», «кубик» и «выбранный кубик», удобно переформулировать задачу в других терминах. Весь куб $n \times n \times n$ мы наозем «пространственный шахматной доской», каждый из кубиков $1 \times 1 \times 1$ — «клеткой», каждый выбранный кубик — «клеткой, занятой ладьей». Будем считать, что ладья, стоящая в какой-то клетке $x$, держит под ударом все клетки, расположен-

Рис. 1. Ладья, стоящая на поле 222 (розовый кубик), быть десять полей: кроме самого поля 222, еще 122, 322, 422 (в направлении $x_1$ в «ширину»), 212, 232, 242 (в направлении $x_2$ в «высоту»), 221, 223 и 224 (в направлении $x_3$ в «глубину»).

4

ные вдоль трех прямых, параллельных ребрами куба и проходящих через центр клетки $x$ (в том числе будем считать, что ладья быть и саму эту клетку $x$ (рис. 1)). Тогда вопрос, поставленный в условия, можно формулировать так: какое наименьшее число ладей можно расставить на доске $n \times n \times n$, чтобы они были всю доску (то есть все клетки без исключания)?

Упражнение 1. Решите аналогичную задачу для «плоской» шахматной доски $n \times n$. (Ответ: $n$. Заметьте, что если на доске $n \times n$ стоит меньше чем $n$ ладей, то найдет горизонталь и вертикаль, свободные от ладей).

Первоначальные грубые оценки

Обозначим через $A_n$ наименьшее количество ладей, которые могут посыть всю доску $n \times n \times n$.

Поскольку на доске $n \times n \times n$ каждая ладя быет $3n-2$ клетки, а всего клеток $n^3$, то, чтобы посыть всю доску, нужно расставить по крайней мере $\frac{n^3}{3n-2}$ ладей. Другими словами,

$$A_n \geq \frac{n^3}{3n-2}.$$

Отсюда следует, что

$$A_2 \geq 2, A_3 \geq 4, A_4 \geq 7, A_5 \geq 10.$$

Легко придумать пример расстановки $n^2$ ладей, быющих всю доску (их можно расставить в одном горизонтальном «слое»).

Это дает такую грубую оценку:

$$A_n \leq n^2.$$

Упражнение 2. Докажите, что

$$A_n \leq \frac{3n^2}{4},$$

воспользовавшись следующим сообщением: если расставить $n_1$ ладей вдоль ребра $n_1$ доски $n_1 \times n_2 \times n_3$, то после этого остается решить задачу для доски $n_1 \times (n_2-1) \times (n_3-1)$.

Запись расстановок «в плане»

При $n=2$, оченьindo, двух ладей достаточно, чтобы держать под ударом все восемь клеток (рис. 2), то

6

Рис. 4.

Будем назвать слоем множество клеток, центры которых лежат в плоскости, параллельной одной из граней dockки, и линей — множество клеток, центры которых лежат на одной прямой, параллельной ребру; слой состоит из $n^2$ клеток, линии — из $n$ клеток. Нарисуем проекцию dockки на одну из граней, скажем, на плоскость $Ox_1x_2$ (вид спереди) и на каждом поле полученной dockки $n \times n$ напишем номер слоя, в котором встречается ладья, проектирующая на это поле. Тогда расстановка ладей, изображенная на рисунке 3, запишется так, как показано на рисунке 4 (ситуации, когда в одной линии стоит больше одной ладьи, у нас не будет встречаться, поэтому на каждом поле dockки $n \times n$ будет записывать не более чем одно число). Заметьте, что на рисунке 4 для каждой пустого поля в строке и столбце, на пересечении которых оно стоит, встречаются все номера: 1, 2 и 3. Это и означает, что каждое поле dockки $3 \times 3 \times 3$, которое не будет в направлении $x_3$, будет или в направлении $x_1$, или в направлении $x_2$.

Итак, мы убедились, что $A_3 \leq 5$. То, что $A_3 \geq 4$, было уже доказано (см. (1)). Возникает вопрос: чем же равно $A_3$: 4 или 5? Мы предоставляем читательам возможность разо-

браться в случае $n=3, n=4$ и т. д., а затем перейдем сразу к общему случаю.

Упражнение, что 4 ладьи нельзя расставить так, чтобы они были всего dockку $3 \times 3 \times 3$; 6) указывает пример расстановки 8 ладей, которые быот всего dockку $4 \times 4 \times 4$; в документа, что $A_4=8$.

Общий случай. Формулировка результата

В нашей задаче edва ли не самое трудное — вывинуть правильногипотезу: чем равно $A_n$. Эта ответ, уже значительно легче и построить пример (то есть оценить $A_n$ сверху), и доказать, что меньше числом ладей обойтись нельзя. А ответ таков:

$$A_n = \begin{cases} \frac{n^2}{2}, \text{ если } n \text{ четно}, \\ \frac{n^2 + 1}{2}, \text{ если } n \text{ нечетно}. \end{cases}$$

В частности, $A_4=8$, $A_5=13, \dots, A_{10}=50$.

Примеры «оптимальный» расстановки $A_n$ ладей ясны из рисунков 5, $a$ ($n$ четно) и 5, $b$ ($n$ нечетно). Легко проверить, что все поля, которые не быются в направлении $x_3$, быются либо в направлении $x_1$, либо в направлении $x_2$: в каждом «кресте» — строке и столбце, на пересечении которых стоит пустое поле — встречаются все номера от 1 до $n$.

Осталось доказать, что в меньше количества ладьи не могут побить всю dockку.

Первое доказательство

Пусть $M$ ладей расставлены так, что они быот все клетки dockки. Выберем из всех слоев тот, в котором количество ладей минимально (если таких слоев несколько, возможно ли их). Можно считать, что он расположен параллельно плоскости $Ox_1x_2$. Обозначим этот слой через $S$, а количество ладей в нем — через $m$. Пусть эти $m$ ладей быот $m_1$ рядов в направлении $x_1$ и $m_2$ рядов в направлении $x_2$ (можно считать, что $m_1 \geq m_2$; разумеется, $m \geq m_1$ и $m \geq m_2$). Тогда

8

Второе доказательство

Лемма. Пусть в таблице $n \times n$ стоит целые неотрицательные числа так, что если в каком-то поле стоит 0, то сумма всех чисел строки и столбца, на пересечении которых стоит это поле, не меньше $n$. тогда сумма всех чисел таблицы не меньше $\frac{n^2}{2}$ (и следовательно, если все числа в таблице целые, то при нечетном $n$ эта сумма не меньше $\frac{n^2+1}{2}$).

Из леммы нужно оценка для $A_n$ получается легко: достаточно спроектировать доску на одну из граней и написать в каком поле полученной таблицы $n \times n$, сколько ладей в нее спроектировалось. Ясно, что условие леммы для полученной таблицы будет выполнено.

Осталось доказать лемму. Мы не будем этого делать, поскольку эта лемма уже встречалась недавно в «Кванте»: как это ни парадоксально, она предлагалась в том же прошлом году в качестве отдельной задачи на Международной олимпийде (см. «Кванте» № 12, 1971 г.). К сожалению, второе доказательство нашей задачи, а тем самым и лемма не расссказывались на разборе задачи Всеюозной олимпийде, так что этой леммы не знали ни руководители советской команды (инчете они, разумется, добавились бы, чтобы ее не предлагали школьникам, как слишком известную), ни участникам нашей команды (инчете они все решили ее безпречно).

Итак, основная задача, о которой идет речь в пунктах a), б) и в) условия, решения.

Замечания по поводу обобщений

Что же касается более общей задачи, сормулированной в пункте r),— аналогичной задачи не для «трехмерной», а для «k-мерной» доски ($k \geq 4$), то здесь окончательный результат не известен. Для минимального числа $A_n^k$ ладей, быоших всего доску $n \times n \times \dots \times n$ (мы сохраняем шахматную терминологию, но например, что теперь клетка $x$ — это набор из $k$ чисел ($x_1, x_2, \dots, x_k$),

где каждое $k$ принимает значение от 1 до $n$), легко получить оценки, аналогичные (1), (2):

$$A_n^k \leq n^{k-1}, A_n^k \geq \frac{n^k}{k(n-1)+1}.$$

У разжене 4. Докажите эти неравенства. Постраайтесь улучшить оценку $n^{k-1}$, используя те же соображения, что и в упражнения 2.

Поскольку $A_n^2=n$ и $A_n^3$ равно $\frac{n^2}{2}$ или $\frac{n^2+1}{2}$, направивется гипотеза, что $A_n^k$ близко к $\frac{n^{k-1}}{k-1}$. Эту гипотезу, наряду с другими, обсуждали участники оlimппады и члены жюри не только во время оlimппады, но и после нее. Однако из наиболее интересных результатов нам сообщили выпускник физико математического школа при Ленинградском университете Д. Григорьев и наш читатель В. Гинзбург: им (независимо) удалось доказать, что если $M$ ладей быот всего доску и при этом никакие две не былом другие, то $M \geq \frac{n^{k-1}}{k-1}$ (доказательство мы помещаем в конце статьи). По-видимому, этот результат верен и без дополнительного предположения, выделенного курсиом, то есть верен неравенство $A_n^k \geq \frac{n^{k-1}}{k-1}$, причем, как показывалот примеры, при $n > k$ эта оценка довольно близка к точной (или даже в точности совпадает с ней).

Однако оценка $\frac{n^{k-1}}{k-1}$ зависит не является «очень точной» при всех $n$ и $k$.

Например, если $n=2$, то $\frac{n^{k-1}}{k-1} = \frac{2^{k-1}}{k-1}$, и «грубая» оценка $\frac{n^k}{k(n-1)+1} = \frac{2^k}{k+1}$ оказалась лучшей (при $k>3$); при больших $k$ число $\frac{2^k}{k+1}$ применено в два раза больше, чем $\frac{2}{k-1}$.

У разжене 5. Найдите $A_2^4, A_3^4, A_2^5$.

Некоторые слов про задачи о кодах

Одна задача, очень близка в нашей по формулировке, является значительной преждевременной — преждевременно, потому что она важна для приложений. В «шахматных терминах» она звучит так: какое наиболее

9

шее число ладей можно расставить на $k$-мерной доске $n \times n \times \dots \times n$, чтобы они не были друг друга? (Другой вариант: чтобы никакое поле не было двуяяями?) Иначе говоря: какое множество $Y$ наборов $y = (y_1, y_2, \dots, y_k)$ можно составить так, чтобы а) каждый два набора в $Y$ отличались более чем в одной координате, или б) каждый ни был набор $x = (x_1, x_2, \dots, x_k)$, в множество $Y$ найдется не больше одного набора $y$, отличаться от $x$ лишь в одной координате? Сформирование заданий прямо относится к теории информатии, точнее, к ее разделу, — теории кодов, исправляющих ошибки. Эта теория занимается задачами такого типа: составить множество $Y$ «слов» $(y_1, y_2, \dots, y_k)$ такое, что если при передаче одного из этих слов (скажем, по телефapy или по каналу связи в вычислительной машине) включается в какой-то «букве», то эту ошибку можно было бы обнаружить, а еще лучше, исправить, то есть восстановить переданное «слов». Поэтому множество $Y$, удовлетворяющее условию a), называется «кодом, обнаруживающим одиночные ошибки», а удовлетворящее условию б) — «кодом, исправляющим одиночные ошибки». Вы видите, что в математике слово «код» используется несовсем так, как в книгах про шпинов.

У праванении б. Пусть $B_n^k$ — наиболее число ладей, которые можно расставить на $k$-мерной доске $n \times n \times \dots \times n$ так, чтобы они не были друг друга a) Какое число больше: $B_n^k$ или $A_n^k$? б) Найдите $B_n^2, B_n^3, B_n^4$.

Teория кодов представляет собой, пожалуй, самый яркий пример применения современной алгебры в дальнейот нее, на первый взгляд, области, прямо связанной с техническими приложениями. Ей посвящего много научных работ и несколько толстых книг *, она быстро развивается и заслуживает специализацию знакомства.

*) У. Питерсон. Коды, направляющие ошибки, «Мир», 1964; Э. Берлекэм п Алгебраической теории кодирования, «Мир», 1971.

Приложение

Теорема. Пусть $X$ — множество всех наборов $x = (x_1, x_2, \dots, x_k+1)$, где каждая из $k+1$ координат $x$ принимает $n$ значений: $1, 2, \dots, n$; $Y$ — подмножество $X$ такое, что (1) любые два набора из $Y$ отличаются хотя бы двумя координатами и (2) для каждой $x$ из $X$ существует набор $y$ из $Y$, отличаться от $x$ не более чем в одной координате. Тогда в $Y$ не более $n^k/k$ элементов.

Доказательство. Пусть $\alpha(x)=1$, если $x$ принадлежит $Y$, и $\alpha(x)=0$, если нет. Положим $\beta(x)=\beta(x_1, x_2, \dots, x_k)$:

$$\sum_{i=1}^{k} \alpha(x_i, x_j, \dots, x_k) = \sum_{i=1}^{k} \alpha(x_i, x_j, \dots, x_k) = \sum_{i=1}^{k} \beta(x_i, x_j, \dots, x_k)$$

(«Укороченные» наборы из $k$ и $(k-1)$ координат мы будем обозначать той же буквой $x$, помня, что у аргументов $\beta$ всегда выброшено $x_{k+1}$, а $y \gamma_i - x_{k+1}$, и $x_i$. По условию (1) $\beta(x) \leq 1$ для любого $x$. По условию (2), если $\beta(x)=0$ для некоторого $x$, то $\sum_{i=1}^{k} \gamma_i(x) \geq n$ для этого $x$. Поэтому для всех $x$ без исключения

$$\sum_{i=1}^{k} \gamma_i(x) (1-\beta(x)) \geq n (1-\beta(x))$$

Просуммируем все такие неравенства, соответствующие $n^k$ различных наборам $(x_1, x_2, \dots, x_k)$. Это суммирование обозначим буквой $\Sigma'$, а суммирование по всем координатам, кроме $x_i$, — через $\Sigma'_i$. Пусть общее число элементов $Y$ разно $M$. Тогда, поскольку $\Sigma'_i(x)=M$ и $\Sigma'_i(y)=M$ для каждой $i$, получим

$$\sum_{i=1}^{k} (nM - \sum_{i=1}^{k} \gamma_i^2(x)) \geq n^{k+1}-nM$$

Поскольку сумма квадратов $N$ вещественных чисел не меньше квадратных сумм, деленной на $N$, левая часть не большеше

$$\sum_{i=1}^{k} (nM - \sum_{i=1}^{k} \gamma_i^2(x)) \leq \sum_{i=1}^{k} \left( nM - \frac{(\sum_{i=1}^{k} \gamma_i(x))^2}{n^{k-1}} \right) = knM - \frac{kM^2}{n^{k-1}}.$$

Таким образом, верно неравенство

$$knM - \frac{kM^2}{n^{k-1}} \geq n^{k+1}-nM,$$

откуда $M \leq n^{k/k}$.

10

ОПТИЧЕСКИЙ
ТЕЛЕСКОП

В. Е. Белонучкин
С. М. Кóзел

Телекоп по правау считают одним из крупнейших изобретений всех времен. С тех пор, как первый примитивный инструмент открыл Галилею спутников Юпитера, прошли столетия, принесшие с собой огромный процесс во всех областях науки. Значение телекопа как инструмента позначения мира не изменилось. Он открывает нам недоступные наблюдения простым глазом просторы Вселенной.

Do изобретения photography astrophotometric telescopes predawnacularlyисключительно для визуальных наблюдений. Да и телекоп по-прежнему остается, в первую очередь, визуальным инструментом. В основе устройства telescopа лежат простые физические принципы, которые мы и обсудим в этой статье.

Визуальный telescop выполняет две основные функции. Во-первых, он создает на сетчатке глаза отчетливое изображение далекого предмета, сильно увеличенное по сравнению с тем, которое создается в случае невооруженного глаза, и это позволяет различить подробности, недоступные невооруженныму глаза. Во-вторых, telescop создает свет небесного тела и узким пучком передает его в наш глаз.

Между тем в книгах по оптике можно встретить такие утверждения:
«Даже в самый мощный telescop звезды представляются нам светящимися точками» и «Изображения объектов, наблюдаемых в telescopе, не могут быть более яркими, чем при наблюдании невооруженным глазом».

Для чего же служит telescop, что можно и чего нельзя увидеть с помощью telescopа? Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо разобраться в принципальном устройстве telescopа.

Вместе с человекским глазом telescop составляет единую систему. Так как именно глаз есть тот «прибор», к которой telescop должен быть приспособлен, следует несколько

11

слов сказаь о самом глазе, прежде чем обращаться к телефону.

В данном случае речь будет идти о заменительной способности глаза перестраивать (аккомодировать) при наблюдении предметов, находящихся на различных расстояниях. Известно, что глаз обладает значительной области аккомодации. У нормального человека есть простается на расстояния от 10 cm до бесконечности. В тех случаях, когда глаз вооружен telescopом (или другим зрительным прибором), изобравнение предмета, создаваемое в приборе, должно конечно, располагается в области аккомодации. При рассмотрении хода лучей в оптических приборах полагают, что глаз аккомодирован на бесконечность. Это означает, что лучи от каждой точки изобравнения предмета должны попадать в глаз параллельным лучом. В этом случае ход лучей в оптических приборах оказывается наиболее простым (так называемый telescopический ход лучей).

Телефоны бывают разные. В зависимости от того, какие оптические системы используются в качестве объекта и окуляра, различают нескольько типов telescopов. Объективом telescopа может служить линза (или система линз) (рис. 1, а, б). Такие telescopы называют рефракторами. Если в качестве объекта используется зеркальная система (например, такая, как на рис. 1, в), telescop назвают рефлектором.

Мы не будем здесь обсуждать достоинства и недостатки различных оптических систем. Для ответа на вопросы, которые мы перед собой поставили, достаточно рассмотреть одну из оптических схем, например, простейший telescop — трубу Кеплера (рис. 1, а).

Объективом трубы Кеплера служит линнофокусная собирающая линза ($L_1$). Эта линза дает в своей фокальной плоскости ($F_1F_1$) первое действительное изобравнение удаленного объекта, которое рассматривается глазом через окуляр ($L_2$, также собирающая линза). Окуляр, играющий роль лучы, дает второе изобравнение (минимое), которое и рассматривается глазом. Легко понять, что при telescopическом ходе лучей передний фокус окуляра совпадает с задним фокусом объекта и, следовательно, длина трубы $l=f_1+f_2$, где

Рис. 1. a) Астрономическая труба Кеплера. б) Труба Галилея. в) Отражательный telescop (рефлектор) системы. Кассерена, объективом telescopа служит система из вогнутого и выпуклого зеркал.

12

Рис. 2.

$f_1, f_2$ — фокусные расстояния объекта и окуляра.

Допустим, что с помощью трубки Кеплера мы рассматрием поверхность Лунны. Чем отличается наблюдаемая нами картина от той, что мы видели невооруженным глазом? Прежде всего, конечно, размерми. Если какие-то две точки лунной поверхности видны невооружным глазом под углом $\alpha$, то при наблюдаении в telescopле глаз видит их изображения под другим, бóльшим углом $\beta$ (рис. 2) $^*$). Угловое увеличение, даваемое telescopом, характеризуется относением $\gamma = \frac{\beta}{\alpha}$. Расстояние между изображениями рассматриваемых точки лунной поверхности на сетчатке глаза в первом слуае равно $l' = \alpha f$, а во втором $l' = \beta f$ ($f$ — фокусное расстояние хрусталика глаза); оно изменяется в $\gamma = \frac{l'}{l'} = \frac{\beta}{\alpha}$ раз.

Следовательно, угловое увеличение telescopа является также и мерой увеличения линейных размеров изображения на сетчатке глаза. Если линейные размеры изображения на сетчатке увеличются в $\gamma$ раз, то площадь изображения увеличивается в $\gamma^2 = \frac{\beta^2}{\alpha^2}$ раз.

$^*$) Будем для простоты считать, что углы $\alpha$ и $\beta$ достаточно малы, так что $\sin \alpha \approx \alpha$ и $\sin \beta \approx \beta$.

Определим теперь, чем равно угловое увеличение telescopа. Для этого рассмотрим рисунок 3. Параллельный пучок лучей попадает в объектив $L_1$ под углом $\alpha$ к оптической оси. Пучок лучей выходит из окуляра $L_2$, отклоняется на угол $\beta$ (пунктром показана побочная оптическая ось окуляра). Из треугольников $ABO_1$ и $ABO_2$ получаем:

$$\alpha \approx tg \alpha = \frac{AB}{AO_1} = \frac{AB}{f_1};$$

$$\beta \approx tg \beta = \frac{AB}{AO_2} = \frac{AB}{f_2}$$

($f_1$ и $f_2$ — фокусные расстояния объекта и окуляра соответственно). Следовательно,

$$\gamma = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{f_1}{f_2},$$

то есть увеличение, даваемое telescopом, число равно относению длины фокусных расстояний объекта и окуляра.

Теперь мы знаем, как сделать telescop с большим увеличением: для этого нужно длинофокусные объективы и короткофокусные окуляры. Но не следует забывать, что telescop и глаз наблюдаются составляют единую оптическую систему. Поэтому при подобре оптических параметров объективы и окуляра необходимо учитывать и параметры глаз как оптического прибора. Разберемся в этом подробнее. Расмотрим, на-

13

пример, вопрос о яркости изображения лучной поверхности, наблюдаемой в телекопп.

Яркость оценвается наблюдаемым по освещенности изображения на сетчатке. Рассмотрим параллельный лучок лучей от неекоторого малого элемента лучной поверхности, лежащего на оптической оси телекоппа. Диаметр лучка лучей, выходящих из окуляра, равен, очевидно, $d = \frac{D}{\gamma}$, где $D$ — диаметр объекта (то есть диаметр лучка лучей, проходящих в объектив).

Рассмотрим случай $d < d_{3p}$. В этом случае весь световой поток, попадающий в объектив, должен до сечатки (мы не учитываем здесь неизбежных потерь света в оптической системе, составляющих общую даже в хорошо инструментах 20—30%). Освещенность изображения на сетчатке пропорциональна световому потоку, пропникающим в зрачок (следовательно, пропорциональная $D^2$), и обратно пропорциональна площади изображения (то есть обратно пропорциональная квадрату увеличения телекоппа $\gamma^2 = \frac{f_1^2}{f_2^2}$).

Таким образом, при $d < d_{3p}$ имеем $E \sim D^2 \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2$.

В случae $d > d_{3p}$ в зрачок будет пропникать только часть светового по-

такка лучи, induzione черзей перipherическая части объекта, в зрачок не попадут. Из рисунка 4 видно, что в этом случае диаметр $D'$ работаюшей части объекта равен

$$D' = \frac{f_1}{f_2} d_{3p} = \gamma d_{3p}.$$

Следовательно,

$$E' \sim (D')^2 \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2 = \left( \frac{f_1}{f_2} \right)^2 d_{3p}^2 \times \left( \frac{f_2}{f_1} \right)^2 = d_{3p}^2,$$

то есть

$$E' \sim d_{3p}^2.$$

Освещенность изображения протяженного предмета на сетчатке в случae невооруженного глаза $E_0$ пропорциональна, очевидно, $d_{3p}^2$. Таким образом, при условии, что $d > d_{3p}$, освещенность изображения на сетчатке глаза такая же, как и в случae невооруженного глаза. При $d < d_{3p}$ освещенность изображения на сетчатке глаза, вооруженного телекопом, меньше $E_0$.

Какое же увеличение телекоппа целесообразно установить? Ответ на этот вопрос сводится к правильному подбору окуляра под данный объектив.

Рис. 3.

14

Рис. 4. Пучок лучей в телеске. Изображен спучай $d > d_{3p}$. Видно, что перipherическая часть объекта не работают.

Заметим, что объектив является наиболее ответственный и дорогой частью любого инструмента; для изготовления большого объектава астрономического телесока требуется много годы кропотливого труда. Во всем мире в настоящее время насчитывается лишь два десятика телекопов-рефакторов с диаметром объекта от 25 дюймов и выше (1 дюйм=2,54 см) и примерно такое число телекопов-рефакторов с диаметром зеркала свыше 40 дюймов. Крупнейший в мире рефактор Иеркской обсерватории в США имеет диаметр объектава, равный 40 дюймам; у крупнейшего из действующих рефакторов диаметр зеркала равен 200 дюймам (Маунт Паломар, США). В Советском Союзе строится рефактор с диаметром зеркала 6 метров (около 250 дюймов).

Итак, нужно подобрать окуляр. Ясно, что всякий окуляр, при котором диаметр $d$ выходитщего пучка оказывается больше $d_{3p}$, должен быть не медленно забракован. Как видно из рисунка 4, при таком окуляре мы не используем возможность большого объектава, и в полне можно было бы обойтись объективом меньшего размера. Из расчетов, проведенных выше, следует, что при $d < d_{3p}$ мы проигрывать в яркости изображения. Таким образом, существуют весы весные основания выбирать окуляр таким, чтобы $d = d_{3p}$. Как видите, телекоп должен быть в высокой степени приспособлен к человекескому глазу.

Увеличение телекопа при $d = d_{3p}$ называется нормальным:

$$\gamma_{\text{норм}} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{D}{d_{3p}}.$$

При выборе увеличения астрономырки приннимают во внимание, что диаметр зрача зависит от условий наблюдения: при дневных наблюдениях в глаз попадает много света, и сразу сужается ($d_{3p} \approx 3$ мм), при ночных наблюдениях зрача расширяется ($d_{3p} \approx 6$ мм). В соответствии с этим должны выбираться значение $\gamma_{\text{норм}}$. Объчно астрономырки устанавливают увеличение несколько большие $\gamma_{\text{норм}}$. В этом случае изображение на сетчатке глаза оказывается более качественным, так как в значительной степени удается установить искажения.

Рис. 5. Дифракция волн на малом ответственном пучке $\varphi \approx \frac{2\lambda}{D}$.

15

(аберрации), внесимые глазной оптикой (работает не весь зрачок, а лишь его центральная часть).

Тепер мы сформируем последний и очень важный вопрос. Мы видели, что при $d < d_{3p}$ (при $\gamma > \gamma_{horm}$) получается проигрыв в ярости изображения. Но допустим, что мы рассматрием с помощью телекопа объекта, обладающий значительной яркостью, и проигрыв в ярости при $d < d_{3p}$ несуществен (например, при наблюдении поверхности Солнца все равно приходит ослаблять солнечный свет во много раз, чтобы не повредить глаза.) Выбрав увеличение $\gamma > \gamma_{horm}$, мы получим на сетчатке изображение большого размера. Увидим ли мы при этом какие-либо новые детали объекта?

По существу это вопрос о качестве изображения, и его можно сформировать иначе: в точности ли изображение подобно самому объекту? Ясно, что если оптическая система вносит аберрации, то такое подобие не существует. Но допустим, что оптическая система идеальная и наблюдение ведется при идеальной спокойной атмосфере. Оказывается, что даже в этом случае изображение не точно подобно наблюдаемому объекту. Существуют изображения, которые обусловлены прициплительной неустранимой причиной — дифракцией световых волн.

Дифракционные явления возникают при прохождения волн около прействий. Эти явления протекают одинаково для волн любой физической природы. Проще всего ставить дифракционные опыты с волнами на поверхности волны. Для этой цели можно использовать установку, описанной в статье «Волны в мелкой тарелке» (Квант № 1, 1971). Мы будем говорить о дифракции световых волн. Если помещить на пути волн прействие, в котором имеется небольшое отверстие, то можно наблюдать характерное дифракционное явление — расходимость волнового лучка. Рисунок 5 илистрирует явление. В теории дифракции показывает, что угол расходимости волнового лучка приблизительно равен $\varphi \approx \frac{\lambda}{D}$, где $\lambda$ — длина падающей волны, $D$ — размер отверстия. Если на достаточно большом расстоянии $L$ за отверстием расположить экран, на нем можно увидеть характерную дифракционную картину, состоящую из ряда чередушихся светых и темных областей (см. рис. 5). Радиус центрального светого пятна, на долю которого приходит значительная часть энергии волнового лучка (около 85%), приблизительно равен $L \cdot \frac{\varphi}{2} = \frac{\lambda}{D} \cdot L$.

Таким образом, из-за дифракции волны заходят в области геометрической тени. Можно сказать, что дифрагированный волновой лучок представляет собой совокупность волн, направления распространения которых заключены в интервале от $-\frac{\varphi}{2}$ до $+\frac{\varphi}{2}$. Если на пути такого лучка поставить линзу с фокусным расстоянием $F$, то в фокальной плоскости линзы обращается дифракционная картина подобно тему, как это изображено на рисунке 6. Радиус центрального светого пятна равен $R \approx \frac{\varphi}{2} \cdot F \approx \frac{\lambda}{D} \cdot F$.

Дифракция приводит к тому, что лучки не сходятся за линзой в одной точке (фокус), как это получается по правилам геометрической оптики, а образуют освещенную область (см. рис. 6; масштаб дифракционной картины сильного увеличения). Осталось сделать последний шаг — убрать дифрагму с отверстием. Тогда роль такой дифрагмы будет играть проего оправа линзы, и в описанной выше формуле, определяющей размер центрального пятна, под $D$ нужно поннимать диаметр самой линзы.

Мы приходим к весы важному выводу: изображение светящейся

18

для согласования пучка лучей, прощеших через объектив, с глазом.

Если мы сравним два телефонна с диаметрами объективов $D_1$ и $D_2$ ($D_1 > D_2$), то бóльший телефон дает выигрыш в световом потоке, равный отношению $\frac{D_1^2}{D_2^2}$; в то же время он дает выигрыш и в разрешающей способности в $\frac{D_1}{D_2}$ раз. Разумеется, такой выигрыш может быть реализован в случае объективов высокого качества и при достаточно хороших атмосферных условиях.

Мы часто думаем о телефонке как о комбинации высококачественных оптических элементов, забывая при этом, что астрономический телефон является сложнейшим инженерно-техническим сооружением, в котором высокая оптическая точность сочетается с совершенством механической конструкции. И тем не менее, в основе устройства телефонка лежат простые физические принципы. Обсуждение этих принципов и была посвящена настоящая статья.

Уражнения

1. Можно ли с помощью самого большого в мире телефонна ($D=5\text{ m}$) увидеть на поверхности Луны Советский лучход ($H \approx 1\text{ m}$)? Каков размер деталей лучной поверхности, которые можно изучать с помощью такого телефонна?

2. В школьном физическом кругже построена зрительная трубка Кеплера, объективом которой служит линза с фокусным расстоянием $F=50\text{ cm}$ и диаметром $D=75\text{ mm}$. Каково фокусное расстояние окуляра, если при наблюдении с помощью трубки Кеплера Луна какается в 8 раз менее яркой по сравнению с наблюдаемым невооруженным глазом? Потери света в трубке составляет 50%. Диаметр эрача принять равным 3 мм. Какой окуляр следовало бы использовать в данной случае?

3. Наблюдатель рассматривает удаленный предмет с помощью трубки Кеплера. В качестве объекта и окуляра трубки используется линза с фокусными расстояниями $F_1=30\text{ cm}$ и $F_2=5\text{ cm}$. Наблюдатель видит четкое изображение предмета, если расстояние между объективом и окуляром не менее $L_1=33\text{ cm}$ и не более $L_2=34,5\text{ cm}$. На качках расстояния этот наблюдаемый объектив видит предметы невооруженным глазом?

ИЗМЕРЕНИЕ
СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
НА ЛУНЕ
С ПОМОЩЬЮ
ТЕЛЕВИЗОРА

Преподаватель американского коллекжа Хупер смотрел у себя дома по телефизору высадку космонавтов на Луну. Вдруг он заметил, что из одного из отсеков корабля свисал, качаясь на чем-то вроде каната, какой-то тяжелый предмет. Простая, но красивая идея пришла ему в голову. Посмотрев на свои часы, он определил, что период колебаний, за которым он следил, составляет около 5 сек.

Длину подвеска можно было оценить, сравнивая его с ростом космонавта, стоящего рядом; она оказалась равной примерю 1 м. Отсюда, пользоваться формулой матрика

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}},$$

можно было оценить и усокренние силы тяжести на поверхности Луны

$$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{4 \cdot 3,142 \cdot 100}{5^2} \approx 160 \left( \frac{cm}{sec^2} \right).$$

Эта величины почти точно равна 1/6ускорения силы тяжести на Земле. Так, не выходит из дома, Хупер произвел настоящий «космический» эксперимент.

Д. Бородин

21

Рис. 5.

получим сетку с теми же узлами, состоящую из одинаковых остроугольных равноведенных треугольников (см. рис. 4).

Внутри каждой треугольника отметим красьим цветом центр его описанной окружности. Затем соединим красьими отрезками центры треугольников, имеющих общую сторону (см. рис. 5).

Эта сетка разбивает плоскость на одинаковые шестиугольники. Внутри каждой из них лежитровно один узел, который является его центром симметричным и центром его описанной окружности.

Мы утверждаем, что полученные шестиугольники и являются облаками Дирихле. В самом деле, расстоянием, направлением, шестиугольник с центром в узле O. Каждый его сторона является перpendикуляром к отрезку, соединяющего узел с одним из соседних к нему узлов. Причем этот перpendикуляр проходит через середину соответствующего отрезка (рис. 6). Следовательно, точки шестиугольника находится от точки O на расстоянии не большем, чем от узлов сетки, окружающих точку O. (Здесь мы пользовемся известным фактом: если проведение перpendикуляр через середину отрезка AB, то он разбивает плоскость на две части: одна из этих частей состоит из точек, которые близке к A, чем к B, а другая — из точек, которые близке к B, чем к A.)

Вообще говоря, нам надо доказать, что каждая точка шестиугольника находится

Рис. 6.

дится не дальше от точки O, чем от всех других узлов сетки. Мы доказали это только для соседних с O узлов сетки, и мы можем показать утверждение его шестиугольника.

Приведем рассужение, показывающее, что она с ним совпадает.

Заметим, что область Дирихле для всех узлов также лежит в соответствии with шестиугольника. Но по своему определению области Diрихле должны покрывать всю плоскость, так как всякая точка плоскости отстоит по меньшей мере от одного из узлов не дальше, чем от всех других. Следовательно, каждая область Diрихле заполняет весь шестиугольник.

Теперь уже легко ответить на все поставленные в задаче вопросы.

Ответим сразу на вопрос в). Найболее удаленные от узлов решетки точки располагаются, оченьindo, в вершинах шестиугольников (см. рис. 6). Расстояние от любой из этих точки до ближайшего узла — центра шестиугольника — равно радиусом описанной около шестиугольника окружности. Он равен радиусу окружности, описанной около равноведенного треугольника с углом Ф при вершине и боковыми сторонами, равными 1. Следовательно, найболеще расстояние равно $\frac{1}{2 \cos \frac{\varphi}{2}}$.

Квадрат расстояния $(f_a(x, y))$ для этих точки равен

$$\frac{1}{4 \cos^2 \frac{\varphi}{2}} = \frac{1}{2 (\cos \varphi + 1)} = \frac{1}{a + 2};$$

$(2 \cos \varphi = a, 0 < a < 2)$.

Позному для всех точки $(x, y)$ плоск-

22

кости мы получаем

$$\bar{f}_a(x, y) \leq \frac{1}{a+2}.$$

При $a=1$ (пункт 6) задачи)

$$\bar{f}_1(x, y) \leq \frac{1}{3}.$$

В этом случае

$$\cos \varphi = \frac{1}{2} \text{ и } \varphi = 60^\circ,$$

следовательно, красная сетка состоит из правильных шестиугольников со стороны $\frac{\sqrt{3}}{3}$, а равенство

$$\bar{f}_1(x, y) = \frac{1}{3}$$

достигается в вершинах этих шестиугольников, координаты которых задаются следующими двумя формулами:

$$\left( \frac{1}{3} + m, \frac{1}{3} + n \right),$$

$$\left( -\frac{1}{3} + m, -\frac{1}{3} + n \right),$$

где $m$ и $n$ — произвольные целые числа.

При $a=0$ и $a=2$ задача сильно упрощается.

Рис. 7.

Действительно, $f_0(x, y) = x^2 + y^2$. Все наши рассуждения сохраняются (можно считать $\varphi = \frac{\pi}{2}$ и система координат $Oxy$ получается прямоугольной (см. рис. 7)), только вместе шестиугольников получаются квадраты и оценка $\bar{f}_0(x, y) \leq \frac{1}{2}$. Случай $a=2$, когда $f_2(x, y) = (x+y)^2$, нужно разбирать отдельно, здесь $\bar{f}_2(x, y)$ равно квадрату разности между числом $x+y$ и ближайшим к нему целым числом, так что максимум $\bar{f}_2(x, y)$ равен $\frac{1}{4}$.

Итак, оценка (*) $\bar{f}_a(x, y) \leq \frac{1}{a+2}$ верна и при $a=0, a=2$.

Остается рассмотреть случай $a>2$. Покажем, что для каждой точки $(x, y)$ наименьшего из чисел $f_a(x-m, y-n)$ не существует.

В самом деле, пусть $a=2+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$. Зафиксируем точку $(x, y)$ и рассмотрим $f_{2+\varepsilon}(x-k, y+k)$, где $k$ — какое-то целое число:

$$f_{2+\varepsilon}(x-k, y+k) = (x-k)^2 + 2(x-k)(y+k) + (y+k)^2 + \varepsilon(x-k)(y+k) - \varepsilon k^2 + \varepsilon(x-y)k + (x+y)^2 + \varepsilon xy.$$

Мы получили квадратный трехчлен относительно $k$, первый коэффициент которого меньше нуля. Следовательно, при $k$, стремящемся к $+\infty$, эта величина будет стремиться к $-\infty$, то есть может быть сделана меньше любого отрицательного числа. Таким образом, $\bar{f}_a(x, y)$ не определяено при $a>2$.

Более естественным ограничением на $a$ в условиях задачи было не $a \geq 0$, а $-2 \leq a \leq 2$.

Для отрицательных $a(-2 < a < 0)$ решения переносится без всяких изменений: последем $a=2$ сos $\varphi$ и берем угол $\frac{\pi}{2} < \varphi < \pi$.

Поскольку решета получается в этом случае также же, как и при угле $\psi = \pi-\varphi$, мы получаем также же оценку, что и при острых углах, то есть $\bar{f}_a(x, y) \leq \frac{1}{2+|a|}$.

23

Почему Луна не из чугунна?

Как известно, лапутянские учены поведали Гульверу, что у Марса есть два спутника. Большое лапутяне сообщили, на каких расстояниях от Марса эти спутники движутся. Земные астрономы открыли их лет на сто позже, причем много детали сообщения лапутян подтвердились. Откуда же Свифт знал о спутниках Марса?

Долго тут видели простое совпадение, пока не пришла moda сваливать подобные «чудеса» на пришельцев из космоса. По мнении некоторых лиц, пришельцы в закодированном виде сообщили лодям ряд астрономических сведений. Сохранялись эти сведения разными способами — в сказках, песнях, мифах.

Очевидно, передаваемый детьми из поколения в поколение диалог: «Почему Луна не из чугунна? — Потому что на Луну не хватило б чугунну»,— тоже представляют собой отрывок из сведений о поверхности Луны, сообщенных пришельцами. Следовательно, рано или поздно, а наука должны была подтвердить заключенную в этом диалоге идею.

Действительно, исследование Луны показало, что Луна содержит 15% железа (а Земля 35%). Кроме того, отсутствие магнитного поля у Луны объясняется либо отсутствием, либо гораздо менышим объемом расплавленного, обогащенного железом ядра. А именно конвекционными движениями в этом ядре Земли сейчас и объясняется магнитное поле. И, наконец, удельный вес Земли 5,5, а Луны всего 3,34 e/cm³, что соответствует плотности вещества, состоящего в основном из силикатов земной коры. По мнению профессора С. Ранкорна (Англия), можно полагать, что и 4,5 миллиарда лет назад, при обращении Земли и ее спутника, Луна уже получила значительное менше железа. Почему? На этот вопрос ответ нет. Возможно, пришельцы знали это, но продолжение диалога утверно при бесконечных повторениях.

Из чего же все-tаки сделана Луна, раз уж на нее не хватило чугунна? Для ответа на этот вопрос нам приходится искать другие источники. Как известно, барон Мюнхаузен открыл на Земле остров, состоящий из сыра. С его слов это замечательное и достоверное сообщение было опубликовано Г. А. Бергером еще в 1786 году. С тех пор неоднократно появлялись предложения, что и Луна состоит из того же материалов. Впсщем, вопрос о том, из какого сорта сыра состоит Луна, вызывал жесткие дискусии.

Известному американскому геофизу профессору О. Андерсон из Колумбийского университета было поручено изменить скорость распространения звука в лунных породах и найти аналоги среди земных пород. Результатов, естественно, ждали с нетерпенем.

Под новый год О. Андерсон разослал свои имком знаком открытку.

Вот волный перевод стихотворения вверху открытки:

Снизошло к нам озаренье,
И исчезли все сомнения,
Сообщаем всему миру,
Что Луна — головка сыру.

24

ВНИЗУ ПРОФЕССОР О. Андерсон приводит скорости распространения звука $v_{3B}$ (км/сек) в исследованных образцах:

| Лунные породы и сыры | Скорость звука $v_{3B}$ (км/сек) |
| :— | :— |
| Образец лунной породы 10 017 | 1,84 |
| Норвежский сыр | 1,83 |
| Итальянский сыр | 1,75 |
| Итальянский сыр (primский) | 1,75 |
| Вермонтский сыр | 1,72 |
| Швейцарский сыр | 1,65 |
| Висконсинский сыр | 1,57 |
| Образец лунной породы 10 046 | 1,25 |

Как видно из таблицы, по данному физическому параметру показатели для сыров совпадают с показателями для образцов лунных пород. Таким образом, можно считать, что именно сыр — земной аналог лунного грунта. К сожалению, из приведенной таблицы по-прежнему неясно, какой именно сорта сыра играет эту роль. Однако удалость решить и эту загадку.

Сейсмическое колебания лунной почвы после сбрасывания на Луну взлетных ступеней пакет затухали не за секунды, как полагалось по всему правилам, а за десяти минут. Высказываюсь предположение, что это может быть вызван существованием каких-то танистенных полостей, проискождения которых неизвестно. Но ведь в сыре-то (по крайней мере в некоторых сортах) обязательно должны быть дырки! Пересчитайте на соответствующие размеры, и непонятный эффект будет полностью обьясен. Более того. Так как самые крупные дыры встречаются в сыре швейцарском, то решается, наконец, и вопрос о сорте сыра.

Итак, Луна не из чугунна, а из швейцарского сыра. Отсюда совет учены — внимательно пересмотрить весь фольклор и все детские считали. Лучше всего поручить это ЭВМ.

М. А. Корец,
З. Л. Понизовский

28

Конус максимального объема в природе

С. М. Петров

Рассмотрим известную задачу:
Задача 1. Уеол при вершине в осевом сечении конуса равен $\alpha$. Найти центральный уеол $\beta$ в развертке его боковой поверхности.

Решение. Изображим на рисунке 1 осевое сечение конуса и на рисунке 2 — его развертку. Заметаем $*$), что $2\pi R = \beta L$ или

$$\beta = 2\pi \frac{R}{L} = 2\pi \sin \frac{\alpha}{2}. \tag{1}$$

Задача 2. Дан круг радиуса $L$ (рис. 2). Вырезать из него развертку конуса наибольшего объема.

Решение. Имеем (см. рис. 1)

$$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(L \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2 \times L \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3} \pi L^3 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}. \tag{2}$$

Если зафиксировать образуюшую $L$ и менять угол $\alpha$, то объем $V$ достигнет наибольшего значения одновременного с функцией

$$y = \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}, \tag{3}$$

где $0 < \alpha < \pi$.

*) Разумеется, углы измеряют в радианах.

Сделаем замену переменных:

$$\sin \frac{\alpha}{2} = u.$$

Тогда

$$y = u^2 \sqrt{1 - u^2} = \sqrt{u^4 (1 - u^2)} = \sqrt{\frac{1}{2} u^2 u^2 (2 - 2u^2)}.$$

Так как $u^2 + u^2 + (2 - 2u^2) = 2 = \text{const}$, то подкоренное выражение достигнет своего максимума $*$) при $u^2 = u^2 = 2 - 2u^2$. Отсюда $u^2 = \frac{2}{3}$, и

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}, \tag{4}$$

$\alpha = 2 \arcsin \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 2 \arcsin \frac{2,44949}{3} \approx 2 \arcsin 0,8165 = 2 \cdot 54^\circ 44' = 109^\circ 28'$. \tag{5}

Учитывая (1) и (4), находим

$$\beta = 2\pi \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2\pi \sqrt{6}}{3} \approx 120^\circ \cdot 2,44949 \approx 293^\circ 56'.$$ \tag{6}

*) См. статью А. П. Савина «Максимум, минимум и теорема о средних», «Квант» № 11, 1970.

29

ВЫЧИСЛИМ МАКСИМАЛЬНЫЙ ОБЪЕМ КОНУСА. ДЛЯ ЭТОГО Найденное в (4) значение sin $\frac{\alpha}{2}$ подставим в (2):

$$V_{\text{max}} = \frac{1}{3} \pi L^3 \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2 \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2} = \frac{1}{3} \pi L^3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \pi L^3 \sqrt{3}}{27} = 0,4030 L^3$$

Интересно отметить, что такие конусы встречаются в природе, разумеется, с известным приближением. Вот один физический пример.

Задание 3. Пусть электронная лампока может передвiazаться (например, на блоке) по вертикальной прямой OB (рис. 3). На каком расстоянии от горизональной плоскости OA ее следует помещить, чтобы в точке A получить наиболее освещенное?

Решение. Известно, что освещенность $E$ пропорциональная косинусу угла падения лучей ($\Rightarrow BAN = \frac{\alpha}{2}$) и обратно пропорциональная квадрату расстояния ($AB = L$), то есть

$$E = C \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{L^2},$$

где $C$ зависит от силы света лампоки.

Учитывая, что $L = \frac{R}{\sin \frac{\alpha}{2}}$, приведем формулу (8) к виду

$$E = \frac{C}{R^2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}.$$

Подмечаем, что $E$ пропорциональная функция (3), то есть данная задача свелась к задаче 2.

Таким образом, если лампоку помещить в вершине конуса максимального объема, то окружность его основания получит наиболее освещенное (!).

Наконец, еще одно явление.

В учебнике по организационной химии Л. А. Цветкова («Просвещение», М., 1969, стр. 16) находится:

«Все валентные связи atoma углерода направлены к вершинам терраэдра, одинаково удалены друг от друга, угол между ними составляет 109°28′».

Проверим, что и здесь появляется освенноеечение конуса наиболее освещенное?

Пусть в центре $O$ правильно терраэдра $SABC$ (рис. 4) находится atom углерода, а четыре валентности направлены к его вершинам. Докажем, что треугольники $AOS, BOS$ являются освенными сечениями конуса максимального объема, то есть, что направер,

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Обозначим $\Rightarrow AOS$ через $\alpha$. Проведем $ON \perp AS$, тогда $\Rightarrow NOS = \frac{\alpha}{2}$. Далее, $\triangle AO_1S \sim \triangle ONS$ (очевидно). Отсюда $\Rightarrow SAO_1 = \Rightarrow NOS = \frac{\alpha}{2}$.

Если обозначить ребро терраэдра через $a$, то $AO_1 = \frac{a \sqrt{3}}{3}$,

$$SO_1 = \sqrt{AS^2 - AO_1^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Следовательно,

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sin \Rightarrow NOS = \sin \Rightarrow SAO_1 =$$

$$= \frac{SO_1}{AS} = \frac{a \sqrt{6}}{3a} = \frac{\sqrt{6}}{3},$$

что соответствует формуле (4).

Интерес вызывает построение графика функции

$$y = \sin^2 x \cos x,$$

которое мы представляем читателем.

32

Рис. 4.

окажутся две замкнутые кривые, составленные из неразрушенных плоских полей. Одана из них охватывает торо параллели, а другая — по мередиану аналогичного кривым, являющимся линями склейки квадрата при построении тора.

Вернемся, наконец, к задание, сформулированной в начале статьи: «Существуют ли такие карты на торе с числом стран, большим семи, у которых каждые две страны имеют общую границу?».

Покажем, что достаточно рассмотреть лишь те карты, в каждой вершине которых сходитсяровно по три страны.

Действительно, пусть в каждой вершине искомой карты сходится более трех стран (см. рис. 4). Несложно преобразовать карту так, чтобы во всех вершинах сходилосьровно по три страны, число стран остanetся при этом прежним, а число вершин увеличится. Метод такой перестройки хорошо виден из рисунка. При этом те страны, которые имели общую границу (но не вершину), также будут иметь общую границу.

Телерь присутствим к счету. Пусть число страна на карте равно $n$ (то есть $C=n$), тогда, поскольку каждая страна имеет с каждой из $n-1$ других не менее одной границы, то число границ у каждой страны не менее $n-1$.

Каждая граница принадлежитровно двум странами, поэтому общее число границ не менее $\frac{n(n-1)}{2}$. Итак, мы получили, что $\Gamma \geq \frac{n(n-1)}{2}$. Подсчитаем число вершин. В каждой вершине сходитсяровно три границы, а каждая граница содержаетровно 2 вершины. Поэтому удвоенное число границ равно утроенному числу вершин, или $2\Gamma = 3B$ или $B = \frac{2}{3}\Gamma$.

Подставим полученное выражение для $B$ в формулу Эйлера: $-\frac{\Gamma}{3} + C = 0$ или $\Gamma = 3C$.

Так как $C=n$, а $\Gamma \geq \frac{n(n-1)}{2}$, то $3n \geq \frac{n(n-1)}{2}$ или $7n \geq n^2$.

Отсюда $n \leq 7$.

Доказательство окончено.

Покажите, что если не все страны геометрины кругу (например, у карты есть страны в виде колца), то число стран, удовлетворяющих условия задачи, также не преосходит семи.

Попробуйте самостоятельно доказать, что для поверхности шара наиболее число стран, попарно границах друг с другом, равно четырем.

Примером карты с четырьмя странами на шаре может служить терадр, у которого страны — его грани. Чтобы превращать терадр в шар,

34

А. А. Пресман

Графический способ решения квадратного уравнения с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов не велика.

И однажды, вспомнить про геометрические построения, учащся задачи мне такой вопрос: «А почему мы не решаем квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки? Ведь окружность очень легко построить!».

Так возникла на уроке математическая проблема:

По данным действительным коэффициентам $a$, $b$ и $c$ уравнения $ax^2+bx+c=0$ определяют радиус и координаты центра окружности, пересекающей ось Ox в точках, абсциссы которых являются корнями данного уравнения (всюду далее мы считаем, что $a \neq 0$).

Сразу ясно, что таких окружностей много, поэтому допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках $B(x_1, 0)$ и $C(x_2, 0)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, и проходит (для определения) через точку $A(0, 1)$ (рис. 1).

Тогда по теореме о. секущих

$$OC \cdot OB = OE \cdot OA,$$

откуда

$$OE = \frac{OB \cdot OC}{OA} = \frac{x_1 \cdot x_2}{1} = \frac{c}{a}.$$

Центр $S$ окружности находится в точке пересечения перпендикуляров $SF$ и $SK$, восставленных в серединах хорд $AE$ и $BC$, поэтому

$$OK = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-b}{2a},$$

$$OF = \frac{1 + \frac{c}{a}}{2} = \frac{a + c}{2a}.$$

Отсюда вытекает следующий способ нахождения корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ с помощью циркуля и линейки.

Построим точки $S\left(-\frac{b}{2a}, \frac{c+a}{2a}\right)$ (центр окружности) и $A(0, 1)$. Затем проведем окружность с радиусом $SA$. Абсциссы точки пересечения окружности с осью Ox являются корнями исходного квадратного уравнения.

Рис. 1.

Рис. 2.

Подробное доказательство правильности приведенного способа представляется читателю. Отметим три случая, которые надо рассматривать, и способ графических найти компликсы (!) корни исходного уравнения.

Случай 1. Радуус окружности большие ordинамы центра.

Окружность пересекает ось $Ox$ в точках $B(x_1, 0)$ и $C(x_2, 0)$ (рис. 1).

Случай 2. Радуус окружности равен ordинаме центра, окружность касается оси $Ox$ в точке $B(x_1, 0)$ (рис. 2).

В этом случае уравнение имеет равные действительные корни, абсцисса точки касания

$$x_{1,2} = -\frac{b}{2a}.$$

Случай 3. Радуус окружности меньше ordинамы центра, окружность не имеет общих мочек с осью $Ox$ (рис. 3).

В этом случае уравнение имеет компликсы и сопряженные корни:

$$x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a} i.$$

Рис. 3.

Вещетвенная часть комплекского корня выражается отрезком $OB = -\frac{b}{2a}$ – абсциссой центра. Абсциссная величаная коэффициента минимой части выражается отрезком касательной $BC$.

С помощью приведенного способа легко проверсти исследование корней квадратного уравнения на знак и геометрической dokазать формулы Виета. Оdnako в этом случае нельзя использовать формул Виета при обосновании способа, поэтому в заключение указываем алгебраическую интерпретацию предложенного графического решения квадратного уравнения.

Вместо уравнения

$$ax^2 + bx + c = 0$$

рассмотрим эквивалентную ему систему уравнений

$$\begin{cases} ax^2 + bx + c = ay^2 - (c + a)y = 0, \\ y = 0. \end{cases}$$

Очевидно, если квадратное уравнение имеет корень $x_1$, то система имеет решение $x=x_1$, $y=0$, и наоборот. Первое уравнение системы задает окружность (проверьте!), а второе — ось $Ox$. В пересечении получаем точки вида $(x_i, 0)$, где $x_i$ — корни квадратного уравнения.

36

Применение алгебраических точек есть к получению геометрических неравенств

З. А. Скопец

Алgebraические точекства, справедливые за отдельными исключениями, для множество компплексных чисел, можно с успехом применить для получения интересных геометрических неравенств, связывающих линейные и угловые элементы плоских фигур. Ниже несколько геометрических неравенств получено именно таким образом. Заметим, что найти число геометрические доказательства этих неравенств довольно трудно. Комплексные числа мы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита $a, b, c, \dots$. Напомним, что компплексное число — это выражение $x+iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа, а $i$ — минимая единица ($i^2=-1$). Если на плоскости задана прямогольная (декартова) система координат $Oxy$, то каждому компплексному числу $a=x+iy$ можно сопоставить точку $A$ плоскости с абсциссой $x$ и ординатой $y$. Приведем некоторые определения, связанные с компплексными числами.

I. Моделем компплексного числа $a=x+iy$ называется неотрицательное число $\sqrt{x^2+y^2}$, равное расстоянию

Рис. 1.

Рис. 2. $OM=MA$; $A_1M=MA_2$

Рис. 3. $OM=MA_1$; $A_2M=MA$

37

Рис. 4. Рис. 5.

имеем

$$|a_1+a_2| \leq |a_1|+|a_2|.$$ (2)

Знак равенства в (2) означает, что точки $O, A_1$ и $A_2$ расположены на одной прямой, причем точка $O$ не принадлежит отрезку $A_1A_2$.

Итак, модель суммы двух комплектных чисел не превозходим суммы моделей слагаемых.

Разность $a_1-a_2$ двух комплектных чисел $a_1$ и $a_2$ — это такое число $a$, что $a+a_2=a_1$ (геометрическое построение приведено на рисунке 3). Поскольку $OA=A_1A_2$, то

$$|a_1-a_2|=A_1A_2.$$ (3)

Следовательно, модель разности двух комплектных чисел равен рассмотрению между соответствующими им точками.

Далее, $OA_1-OA_2 \leq A_1A_2 \leq OA_1+OA_2$. Поэтому

$$|a_1|-|a_2| \leq |a_1-a_2| \leq |a_1|+|a_2|.$$ (4)

Если точки $O, A_1$ и $A_2$ принадлежат одной прямой, то один из знаков неравенства в (4) превращается в равенство.

Таким образом, модель разности двух комплектных чисел не больше суммы их моделей и не меньше их разности.

Легко проверить (рис. 4) справедливо, например, следующее неравенства:

$$|a+b+c| \leq |a|+|b|+|c|.$$ (5)

Заметим, что если числу $a$ соответствует точке $A$ с координатами $x, y$, то числу — $a$ соответствует точке с координатами — $x$, — $y$. Эти две точки симметрины относительно начала координат $O$ (рис. 5). Следова-

38

Рис. 7.

2. Легко проверить следующие точки:
   $$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(b-c)(c-a)(a-b).$$
   Из этого точки следует, что $|b-c| |c-a| |a-b| \leqslant |a^2| |b-c| + |b^2| |c-a| + |c^2| |a-b|$ или (рис. 7)
   $$BC \cdot CA \cdot AB \leqslant OA^2 \cdot BC + OB^2 \cdot CA + OC^2 \cdot AB.$$ (8)
   Следствие 1. Если $ABC$ — равносторонний треугольник, то $OA^2 + OB^2 + OC^2 \geqslant d^2,$ (8’)
   реде $d$ — длина стороны треугольника.
   Итак, сумма квадратов расстояний любой точки плоскости до вершин равностороннего треугольника не меньше квадрата его стороны.
   Следствие 2. Если $O$ — центр окружности, описанной около произвольного треугольника, то из (8) следует
   $$AB \cdot BC \cdot CA \leqslant R^2(AB + BC + CA)$$
   или
   $$\frac{AB \cdot BC \cdot CA}{AB + BC + CA} \leqslant R^2.$$ (8’’)
   Таким образом, отношение произвольения трех сторон треугольника к их сумме не превыходит квадрата радиуса окружности, описанной около треугольника.
3. Проверкой убеждаемся в истинности такого точки:
   $$(b-c)(b+c)^2 + (c-a)(c+a)^2 + (a-b)(a+b)^2 = (a-b)(a-c)(b-c).$$
   Обозначим через $k_1, k_2, k_3$ соответственно расстояния от центра окружности, описанной около треугольника $ABC$, до сторона $BC, CA, AB$ (рис. 8). Центр этой окружности при-

Рис. 8.
мем за начало координат. Тогда
$$|b+c| = 2k_1, |c+a| = 2k_2, |a+b| = 2k_3.$$
Из данного точки следует
$$AB \cdot BC \cdot CA \leqslant 4(k_1^2 \cdot BC + k_2^2 \cdot CA + k_3^2 \cdot AB).$$
Но $S_{OBC} = \frac{1}{2} k_1 \cdot BC = \frac{1}{2} R^2 \sin 2A,$ если $A \leqslant 90^\circ$. Следовательно,
$$k_1 \cdot BC = R^2 \cdot \sin 2A.$$
Аналогично, если углы $B$ и $C$ не тупые, то
$$k_2CA = R^2 \sin 2B, k_3AB = R^2 \sin 2C.$$
Позному
$$AB \cdot BC \cdot CA \leqslant 4R^2(k_1 \sin 2A + k_2 \sin 2B + k_3 \sin 2C).$$
Учитывая, что
$$k_1 = R \cos A, k_2 = R \cos B, k_3 = R \cos C, AB \cdot BC \cdot CA = 4RS_{ABC},$$
имеем
$$4RS_{ABC} \leqslant 4R^3 (\cos A \sin 2A + \cos B \sin 2B + \cos C \sin 2C).$$
Отсюда
$$\frac{S_{ABC}}{R^2} \leqslant \cos A \sin 2A + \cos B \sin 2B + \cos C \sin 2C.$$ (9)
Итак, для всякого нетупого треугольника имеет место неравенство (9).
IV. Задачи для самостояльного решения.
Задание 1. Вывести из точкиства $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ неравенство $2OM \cdot AB \geqslant OA^2 - OB^2,$ где $M$ — середина $AB, O$ — начало координат, $a, b$ — числа, соответствующие точкам $A, B$. Выяснить, когда оно обращается в равенство.
Задание 2. Вывести из точкиства $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = -(a+b)(a-b)(b-c)(c-a)$ нера-