Квант 1972, №5 · Страницы

КВАНТ
5
МАЙ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Киоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция
Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, С. Т. Беляев, В. Г. Болтянский, И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, А. И. Климанов (главный художник), С. М. Козел, В. А. Лешковцев (зам. главного редактора), Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллионщиков, Н. А. Патрикеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков, М. П. Шаскольская, С. И. Шварцбург, А. И. Ширшов.

На первой странице обложки изображены универсальные, экватorialные, портативные солнечные часы. О том, какими пользоваться, рассказано в заметке В. Березина «Солнечные часы» (см. стр. 35).

Заведующая редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов
Художественный редактор О. Н. Яковлева Корректор В. П. Сорокина
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В71, Ленинский проспект, 15, тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 16/II 1972 г. Подписано в печать 4/IV 1972 г. Бумага 70×100¹/16 Физ. печ. л. 4. Усл. печ. л. 5,2. Уч.-изд. л. 6,04. Тираж 342 690 экз. Т-06134 Цена 30 коп. Зак 165 Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР г. Чехов, Московской области

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАШАЮТСЯ

ОСНОВАН
В
1970 ГОДУ

5
МАЙ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО·НАУКА·
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:
2 Искусственные ядра
В. И. Кузнецов
8 Машина Поста
Н. Кудрявская, И. Ломакина, С. Приз

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
14 О числе e и n!
Л. Г. Лиманов

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
20 Исследование волн на поверхности воды
К. Стонг

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
25 Задачи M141-M145; Ф153-Ф157
27 Решения задач M101-M105; Ф116-Ф122

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
36 Тригонометрические функции
Ж. М. Раббом
43 Варианты вступительных экзаменов
по математике 1971 года
45 Законы идеальных газов
Б. Б. Буховцев

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ
51 Математические головоломки и развлечения
В. Н. Березин, М. Л. Смолянский

ИНФОРМАЦИЯ
55 Слет учашихся физiko-математических школ
А. Н. Виленкин, Т. С. Петрова

УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА
59 Марки, посвященные Леонардо да Винчи
А. В. Алтыкис

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
(3-я стр. обложки)
СМЕСЬ (стр. 26, 35)

2

Все материалы тела состоит из atoms 88 элементов, встречающих на Земле. Большинство из этих элементов представляют собой смесь atoms нескольких типов, отличияхся друг от друга по массе. Такие atoms одного и того же элемента, отличияхся только массой, называются изотопами. Всеу у 88-ми природных элементов имеется около 400 природных изотопов, в среднем около 4,5 изотопа на каждый элемент.

Значительное большое число изотопов получено в laboratorии искусственных путем. Таких изотопов в наши дни известно более 1200. Они созданы в ядерных реакциях, осуществленных человеком. Среди них не только изотопы элементов, которые существуют в природе, но и изотопы синтетических элементов, полученных в нейтронных потоках ядерных реакторов и в пучках ускоренных частиц современных ускорителей.

Искусственные элементы уже давно нашли важные практические применения. Так, элемент № 94, плутоний, одна из основ современной ядерной энергетики, и его производят тоннами. Для разведки нефтяных скважин и лечения неокотных более_NE 98-го элемента) с массовым числом 252. Сейчас производство многохиссистенных изотопов налажено в промышленных масштабах. Однако самое интересное в производстве изотопов — это синтез и изучение новых atomных ядер, лежащих за нижним краем таблицы Менделеева.

Чаще всего новые элементы получают путем синтеза (слияния) двух стабильных atomных ядер.

Для того чтобы два ядра образовали единое ядерное вещество, они должны коснуть друг друга своим поверхностями. Добиться этого непросто. Все atoms ядра несут положительный заряд, и когда они сближаются, то отталкивают друг друга с большой силой. Эта сила определяется законом Кулона и равна

$$F = \frac{q_1 q_2}{r^2},$$

(1)

где $q_1$ и $q_2$ — заряды atomных ядер, а $r$ — расстояние между их центрами. Ядра можно считать равномерно заряженными шарами (рис. 1), радиус которых определяется формулой

$$r = 1.5 \cdot 10^{-13} \sqrt{A} (cm).$$

(2)

Такая формула получается, если предположить, что плотность ядерного вещества в atomах всех элементов неизменна. Тогда объем ядра $V$ будет пропорционален числу $A$ входящих в него нулюлов (нуклонами называют протоны и нейтроны, составляющие atomные ядра), так же как объем плотной крипичной степени пропорционален числу содержащихся в ней крипичей: $V = kA$ или

$$r \approx 10^{-4} \text{Å}$$

Рис. 1.

4

момент равно сумме их радиусов, то есть $r_1 + r_2$ (рис. 3). Совершенню к этому моменту работу $P$ обозначим буквой $B$. Тогда уравнение (3) и (4) примут вид:

$$\begin{cases} B + (m + M) \frac{v^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2}, \\ (m + M) v = mv_0. \end{cases}$$

Исключив из этой системы уравнения $v$, найдем величины минимальной кинетической энергии, который должно обладать ядро-снаряд, чтобы расстояние между ядрами стало равным $r_1 + r_2$:

$$E = \frac{mv_0^2}{2} = B \left( 1 + \frac{m}{M} \right).$$

Следовательно, для того чтобы произошла реакция синтеза, приводящая к образованию нового ядра, энергия ускоренных частиц (ядер-снарядов) должна быть больше $B \left( 1 + \frac{m}{M} \right)$.

Более точный расчет по законам квантовой механики приводит, однако, к неожиданному результату. Оказывается, даже если $E < B \left( 1 + \frac{m}{M} \right)$, то ядра иногда могут слиться в единую каплю. Но вероятность такого, как его называют, «подбарьерного» слияния очень мала.

Теперь нам осталось определить работу $B$, и тогда искомая величина энергии $E$ будет известна.

В электростанческом поле работы при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна разности потенциальов электреческого поля в этих точках $\varphi_2 - \varphi_1$. Пotenциаль поля равномерно заряженного шара вне него определяется формулой $\varphi = \frac{q}{R}$, где $q$ — заряд шара, а $R$ — расстояние до центра шара.

Таким образом, работа $P$ при перемещении заряда $q_2$ из точки 1 в точку 2 равна $q_2 \left( \frac{q_1}{R_2} - \frac{q_1}{R_1} \right)$. В нашем случае $R_1 = \infty$ и $\frac{1}{R_1} = 0$, $R_2 = r_1 + r_2$. Следовательно, воспользоваться формулой (2), мы можем записать

$$B = \frac{q_1 q_2}{r_1 + r_2} = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{1,5 \cdot 10^{-13} \left( \sqrt{A_1} + \sqrt{A_2} \right)}.$$

Энергию $B$ называют потенциальным барером или просто барером. Для легких ядер «высота» барера составляет несколько миллионов электронов ($Mэθ$), а при слянии тяжелых ядер барер доступает сотен миллионов электронов. Если в формулу (7) поставить численное значение заряда электрона и выражить энергию $B$ в миллионах электронов, то получится простое соответствие для высоты потенциального барера:

$$B = \frac{0,96 Z_1 Z_2}{A_1^{1/3} + A_2^{1/3}}.$$

Если масса ядра-minшени значительное больше массы ядра-снаряда, так что можно считать $1 + \frac{m}{M} \approx 1$, то кинетическая энергия легкой ускоренной частицы, необходимая для осуществления ядерной реакции, будет равна потенциальному бареру $B$ [см. формулу (6)]. В этом и заключаем физический смысл этой величины.

Физик-экспериментатор начинает планировать опыт по синтезу нового atomного ядра с расчетом величины $B$ и $E$. Для этого он пользовется формулами (8) и (6). Когда известна энергия $E$, можно судить о том, на какой установке, ускоряющей atomные ядра, осуществим тот или иной опыт. Так, для сляния ядер неона ($A=22$, $Z=10$) и урана ($A=238$, $Z=92$) необходимо, чтобы кинетическая энергия ядра неона была больше 106 $Mэθ$. Сейчас до такой энергии ядра неона можно ускорить только на двух ускорителей в мире: на циклотроне, установленном в Лаборатории ядрных реакций Объедин-

5

Рис. 4.

ненного института ядерных исследований в подмосковном городе Дубна (рис. 4), и на линейномускоритель atomных ядер в городе Беркли в США.

Итак, физик определял характеристики нужных ему ускоряемых ядер, выбрал подходящий для этой цели ускоритель и установил на пути ускоренных ядер «тяжелую» миниень. Что произойдет, когда на миниень начут падать «снаряды»?

Прежде чем ответить на этот вопрос, условия обозначать ядра называются изотопов и элементов таким образом: около химического символа элемента вверху слева будем писать массивое число A, а внизу — atomный номер. Например, ядро изотопа урана с массивным числом 238 в этих обозначениях запишется так: $^{238}U$. Иногда atomный номер не пишут, поскольку химический символ элемента уже определяет число протонов в его ядре ($^{238}U$).

После того как ядро-снаряд достигнет ядра-minшени, начинают сказывать особые ядерные силы прияжения, природа которых еще не изучена достаточно полно. Эти силы действуют на очень малых расстояниях. Когда ядра коснутся поверхностями, ядрыные силы с избытком компенсируют электростатическое откалкивание, и atomные ядра сливаются в единую ядерную «каплю» — составное ядро:

$$\frac{22}{10}Ne + \frac{238}{92}U \rightarrow \frac{260}{102}X.$$

Образование составного ядра — первая стадия процесса синтеза нового atomного ядра. Составное ядро еще нельзя назвать atomным. Оно неустойчиво и время его жизни слишком мало для образования атома: электроны попросту не успеют занять свои места на орбитах.

В реакции (9) мы приписали составному ядру массивное число, равное сумме массовых чисел образований

6

ero ядер. Однако в ядерных реакциях синтеза новых элементов масса составного ядра, как правило, больше суммы масс ядер, участвуших в реакции. За счет чего возникает этот избыток?

По соответствию Эйнштейна энергия $E$ связывана с массой: $E = mc^2$, где $c$ — скорость света. Следовательно, для увеличения массы на величины $\Delta M = M_{\text{соct}} - (M + m)$ требуется энергия $E^* = \Delta Mc^2$. Некоторые доля кинетической энергии ускоренной частицы переходит в кинетическую энергию составного ядра $M_{\text{соct}} \frac{V^2}{2} \approx (M + m) \frac{V^2}{2}$. Таким образом, на поступательное движение составного ядра и энергию, поглощаемую при слянияни, приходится

$$\varepsilon = \frac{(M + m) V^2}{2} + \Delta Mc^2.$$

При обработании составных ядер в результате слянията таких ускоренных частиц, как углерод $^{12}_{6}$C, кислород $^{16}_{8}$O, heon $^{22}_{10}$Ne, аргон $^{40}_{18}$Ar с тяжелыми ядрами величина $\varepsilon$ значительное меньше кинетической энергии $\frac{mv_0^2}{2}$, необходимой для преодоления кулоновского барера $B$. Таким образом,

$$\frac{mv_0^2}{2} - \varepsilon = E - \frac{(M + m) V^2}{2} - \Delta Mc^2 = B - \Delta Mc^2 = B + Q = E^*.$$

Величину $Q = -\Delta Mc^2$, равную энергии, затрачиваемой на обработание составного ядра, называют энергий обработания этого ядра. Избыток же кинетической энергии $E^*$, остающийся в составном ядре, называется энергий возбуждения составного ядра.

Энергия $E^*$ при слянияни сложных ядер с тяжелыми ядрами-мишенями достигает значительных величины. Так, величина $B$peak или слянияни $^{22}_{10}$Ne с $^{238}_{92}$U [см. формулу (9)] равна 98,1 Мэв. При этом $Q = -56,1$ Мэв.

И, следовательно, $E^* = B + Q = 42$ Мэв. Такая энергия сильно нагревается составное ядро, оно становится неустойчивым, начинает совершать колбания и, как правило, делится за очень короткое время на ядра-осоклис сatomными номерами, близкими к 50.

Время жизни составного ядра (точнее, среднее время жизни) лежит в интервале $10^{-14} - 10^{-18}$ сек, в зависимости от энергии возбуждения составного ядра. По житейским представлениям—очень малая величина. Но она достаточно велика по сравнению с «ядерной» единицей времени. За такой единицу применяют времени, протекающий между двумя последовательными столкновениями нуклона с другими ядрами нуклонами. Это время можно оценить из следующих сообщений. Чтобы оставаться внутри ядра, нуклон должен взаимодействовать со своим соседями на расстояниях порядка $10^{-13}$ см. Скорость нуклона в ядре примерно равна $10^9$ см/сек. Таким образом, для ядерной единицей времени получим $10^{-22}$ сек. Поэтому за время жизни составного ядра, скажем, $10^{-18}$ сек, каждый нуклон испытает около $10^4$ столкновений. При этом составное ядро «забывает» о способе своего обработания, и вероятность его распада тем или иным путем определяется только его энергий возбуждения.

В некоторых случаях сльно нагретое ядро «испаряет» последовательно один за другим несколько нейтронов. Ядерную каплю покидают наиболее энергичные нейтроны, и поэтому она сльно охлаждается, становится устойчивым atomным ядром нового элемента. Испарение нейтронов наполняется с поверхностной нагретом капли обчного вещества, когда вылетают наоблее энергичные atoms, на долю которых пришлась кинетическая энергия бóльшая, чем средняя кинетическая энергия atomов при данной температуре. Вылетающие с поверхностной капли atoms и охлажда-

7

от каплю. Нагретое ядро, так же как и обычную каплю, можно характеризовать температурой. При этом $kT = \frac{mv^2}{2}$. Здесь $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура ядра, $\frac{mv^2}{2}$ — средняя кинетическая энергия нуклона.

Объчно нуклон уносит из составного ядра энергию порядка 10 Мэв. Поэтому в случае слияния урана с неоном, когда энергияускоренных ядер неона незначительно превозходит высоту баррера $B$ и $E^* = 42$ Мэв, из составного ядра вылетают четыре нейтрона. Такая реакция записьвается следующим образом:

$$\begin{array}{c} I \\ 238 U + 22 N e \rightarrow 260 X' \\ 102 \\ \end{array} \begin{array}{c} 256 X + 4 N e \\ 102 \\ \end{array}$$

Здесь $1/0 n$ — символь нейтрона (как и у любого изотопа вверху слева стоит массовое число, внизу — величины заряда, равная нулю). Число нуклонов в ядерных реакциях не меняется. Поэтому сумма вверхних индексов в правой части (II) уравнения реакции равна сумме вверхних индексов левой части (I) с учетом коэффициента 4, стоящего перед символьом нейтрона. Сохраняется и заряд, поэтому сохраняется сумма нижних индексов.

В реакции слияния урана с неоном учеными Дубны были получены первыые atoms элемента № 102. Готовясь к опытам, они выполнили точно такие же расчеты, какие сделаны в этой стате.

Уже говорилось, что реакция образования это второго элемента протекает лишь в редких случаях. Опытным путем удалость установить, что на 100 миллионов составных ядра роздается только одно ядро изотопа $256 X$. В остальных случаях ядра делятся на околки:

$$\begin{array}{c} 238 U + 22 N e \rightarrow 260 X' \\ 102 \\ \end{array} \begin{array}{c} 256 X + 4 N e \\ 102 \\ \end{array}$$

В редких случаях, когда ядро неона отдает урану только часть своих нуклонов, образуется другие изотопы 102-го элемента.

На фоне всех этих побочных продуктов взаимодействия ускоренных ядер с ядрами-minшенями и регистрации

руется распад ядер нового элемента. Отделить излучения этого элемента от излучений посторонних продуктов — в этом и состоит самая трудная часть опитов по обнаружению изотопов элементов с atomным номером большим ста. Трудности возратают с увеличением atomного номера. Так, если в реакции слияния неона с плутоном получать ядра элемента № 104, называемого «кучатовием» в память о выдающемся советском физике И. В. Курчатове, то одно ядро образуется на 10 миллиардов составных ядер:

$$\begin{array}{c} 242 P u + 22 N e \rightarrow \\ 264 K u - \\ 10 \text{ миллиардов делений.} \end{array}$$

Далее в самых мощных ускоренных онов за несколько часов роздается только одно ядро куритовия. Приходит изучать его свойства по распаду отдельных atoms ядер. И все же, несмотря на такой малый к.п. д. реакций слияния тяжелых заряженных частиц, сейчас не существует более эффективных способов получения ядер далеких заурновых элементов.

В реакциях слияния впервые были получены изотопы технически Тс, кюрия Ст, берклия Вк, калифорния Cf, менделевия Md, курчатовия Кu, элементы № 102, 103, 105.

8

Машина Поста

Вообщше-то, надо сказать, это во все нижкая не машина. Это, если угодно, чертеж машины. А еще правильнее сказать — рассказ о машине. Но уже если рассказывать, то рассказывать сначала **).

Тридцать пять лет назад в двух математических журналах (в издавемом в США международном «Журнале символьческой логики» и в «Трудах Лондонского математического общества») почти одновременно появились двух выдающихся учены: американца Эмиля Л. Поста и английина Алена М. Тыоринена,

*) Школой руководит Валентин Николаевич Касаткин, автор популярных книг «Азбука кибернетики» и «Секрет кибернетики». В конце статьи мы приводим несколько присланных им задач.

**) Данное здесь описание «машины Поста» принадлежит Ю. А. Гастеву.

посвященные уточнению издавна употребляемого в математике (да и не только в математике) понятия алгоритма (или алгоритма *)). Алгоритм — это единый общий метод, предназначный для решения целой серии одномплиных задач. Единый — в том смысле, что, зная соответствующий алгоритм, мы можем каждую задачу из данной серии решить без всяких дополнительных разумений, как говорят, «чисто механические», «форматное».

«Формально», «безумно», «механические» — в эти слова часто включается довольно обидный смысл. И почти всегда напрасно! Посудите сами: допуматься до способа сложения любых многозначных чисел «столбиком» в первый раз было, конечно,

*) Способ написания определяется лишь традициями и привлечений. Сохранить в русском языке буква θ («фита» — то же, что греческая «тэта»), то и продолжали бы все писать «алгориθм»!

10

ни даже Гауссу не было нужны в общем понятии алгорифма. Но понять — и, тем более, доказать, что бывают неразрешимые массовые проблемы (то есть классы задач, не допускающие никакого решения, единого для всего класса*)), без такого общего определения уже, конечно, не удостся.

Не менее существена и чисто «положительная» ценность общего понятия алгорифма: понимание общих закономерностей, которые подчиняются самые различные алгорифмы, играет первостепенно роль для «машинной» математики. Как известно, универсальная электронная вычислительная машина «способна воспринять» программы самых разнообразных математических (да и далеко не только математических) задач**). Машинная же программа это и есть алгорифм, только вдобавок приспособленный к особенностям данной конкретной машины (или записанный на специальном «языке программирования», допускаем «трасляцию», то есть попросту перевод, на языки команд разных машин).

Уже первые работы Тыорига и Поста, посвященные уччению понятия алгорифма, давали возможность существенного продвижения в обихах указанных направлениях. Неосредственным побудительным мотивом к таким уччению в обихах случах послужило желание установить алгорифмческую неразрешимость некоторых математических массовых проблем (и именно Посту принадлежат первые результаты в этом направлении). Любопытно, что оба учченных пошли, по существу, по одному и тому же пути (вскоре выяснилось, что этот путь—не единственно

*) Об алгорифмических неразрешимых проблемах см., например, статью Ф. Л. Варраховского и А. Н. Колмогорова «О решении десятий проблем Гильберта» («Квант», № 7, 1970).

**) См., например, статью Р. С. Гутера «Что умел машины» («Квант», № 5, 1970) и «Язык человека и язык машины» («Квант», № 10, 1971).

но возможный): вместе интуитивно понятных, но абсолотно непригодных для извлечения точных математических следствий, разговоров о «едином общеmentе, приготовном для решения целой серии однотипных задач» (см. начало этой заметки), Тыориг и Пост вывинули представление об алгорифме как о некоей абстрактной (мысленной) «машине», описанной в точных математических терминах и в то же время соответствующей нашим представлениям о вычислительной процессе, протекающем по правильам-командам определению стандартного вида.

Какое именно определение алгорифма принимает — Тыорига, Поста или принадлежшее кому-либо еще (наболее известны определения К. Гёделя, А. Чёрча, С. К. Клини, А. А. Маркова, А. Н. Колмогорова)—несущественно: вскоре выяснились, что все эти определения в определении смысле эквивалентны. Поэтому выбор какого-либо одного из этих уччений в качестве исходного определения не математической стороны дела, а удобством изложения.

«Машина Тыорига» описана и в сервисных, и в популярных книгах*).

«Машина Поста» в этом отношении повезло меняше, быть может, потому что «машина» эта, будучи проще «машины Тыорига», именно по этой причине требует, вообще говоря, более громоздкой системы команды для выполнения конкретной задачи. Кроме единственной статьи самого Поста, это уччение понятия алгорифма описано, по сути дела, лишь в одном месте: в серии из четырех статей В. А. Успенского в журнале «Matematika в школе» за 1967 год. Отсылая читатель к этим очень интересным (и ясно написанным) статьям, рассакjem теперь о «машине Поста» лишь самые первоначальные сведения, необходимые для понимания дальнейшего.

*) Из них числа в первую очередь рекомендуем читателю книгу Б. А. Трахтенброта «Алгоритмы и машинное решение задач», Физматиз, 1960, 2-е изд.

12

1. машина doit do невыполнимой команды (печатание метки в отменной секции или стирание метки из пустой секции) — так называемая безрезультатная остановка;
2. машина doit do команды остановки — результатом результатная остановки;
3. ни один из первых двух случая не осуществится — машина будет работать бесконечно.
   Пример 1. В программе

1. ⇒2
2. ξ 3
3. стоп,
   применной к пустой лente, безрезультатная остановка наступит уже на втором шагу. (так что до предписьваемой третьей команды результатной остановки дело так и не doit).
   Пример 2. Программа
4. ⇒2
5. ⇒3
6. стоп,
   применная к пустой лente, будет выполнять следующим образом: каретка передвиется на две секции вправо от обозреваемой, после чего машина остановится.
   Пример 3. Если программа
7. ∨ 2
8. ⇒3
9. ⇒1
   применить к пустой лente, то машина будет печатать, начиная с обозреваемой секции, метки через одну и никака не остановится.
   Дальнейшие примеры читатель найдет в уже упомянутых статых В. А. Успенского.
   Мы же сейчас предоставим слова участникам шкOLS юных кибернетиков «Малой академии наук», ученицам 9-го класса Бахчисарайской шкOLS № 2 Наташе Кудрявской, Ире Ломакиной и Светлане Приз, которые расскажут вам о своем опите обучения программированию с помощью машин Поста (работа которой в сильно упрощенном виде воспроизведут работу любой современной универсальной вычислительной машины). Девочки испытывали свои программы на изготовленный сотрудник Выши-

слительного центра Симферопольского педагогического института металлической модели, сабженной клавиши, тумблерами, штекерами и прочими непреемными атрибутами «кибернетическая машин». «Лента» в этой «действующей модели» состоит из электронических лампочки (40 штук; выход за пределы ленты квалифицирован как безрезультатная остановка машины), причем отмечаемые секции загораются, а страемые — гаснуть *).

Очень интересно программировать и видеть, как, подчиняясь воей программе, машина решает задачи. Счетчик команд позволяет видеть, какая команда выполняется в данной момент. Программа сначала записьается на бумаге, а затем с помощью штекеров запосится на наборное поле машин (каждой команде соответствует свой двойный код). Машина работает (в автоматическом режиме) не очень быстро, поэтому все действия хорошо наблюдаются; выполнение программы можно пристановить.

Интересно наблюдать, как машина выступает содержимом человека в различных играх. Мы решаем задачи и по составлению программы, пользоваться которых машина никака не проигрывает **). Вот пример такой программы. Условия игры: на ленте стоит подряд 26 меток, самая лева из которых обозревается картекой. Человек и машина ходят по очереди (начиная игру всегда человека), стирая за свой ход не более четырех меток. Тот, кто стирает последнюю метку, проигрывает. Если условия,

*) Мы специально не остававливались выше на всех этих впечатляющих деталях, дабы не отвлекать читателя от сутки дела; различие между «электронной моделью машины Поста» и описанной выше «спичечно-бумажной» примерного того же рода, что различие между магазинными чеками, отпечатными на электронском или ручном кассовом аппарате и выписанными от руки.
**) То есть всегда выигрывает: все эти игры таковы, что не допускают ничейного исхода.

что стираемые человеком метки (одна, две, три или четыре) — всегда самые крайние слова, то искомая программа будет иметь следующий вид:

1. ? / 2
2. ⇒ 3
3. ⇒ 4
4. ⇒ 5
5. ⇒ 6
6. ? / 7
7. стоп
8. ξ 9
9. ⇐ 10
10. ? / 11
11. ⇒ 12
12. ? / 11

Вот краткие пояснения к программе. 1-я команда — передача управления: машина перейдет ко 2-й команде только после того как человек сделает ход. По 2-й, 3-й, 4-й и 5-й командам каретка сdviraется впраvo, а по 8-й команде*) стирает в обозреваемой секции метку и переходит к 9-й команде, по которой она сdviraется впраvo и переходит к команде № 10. По этой команде, если обозреваемая секция пуста, машина выполняет 11-ю команду, а если отмещена — 8-ю. По 11-й команде каретка сdviraется впраvo и переходит к 12-й команде. Если теперь секция, под которой находится каретка, пуста, то машина возврашает к 11-й команде, а если отмещена, начинает все сначала, то есть переходит к 1-й команде.

*) Изначение 6-й и 7-й команд — остановка после того, как человек сорте последнюю метку.

3 адач и

1. а) Докажите, что описанная здесь «машинная стратегия» действительное всегда обеспечивает беспроигрывую игру машины для случаев, когда на ленте отмещено 11 или 16 меток; для какого еще числа меток на ленте годится та же программа (дайте ответ по возможности в общем виде)?

2. Дан массив из n меток (то есть n индуших подряд отмещенных секций). Составьте программу, расставляющую эти метки на ленте так, чтобы между каждой парой было по одной пустой секции (каретка обозревает крайнюю правую из отмещенных секций).

3. (Эта и следующее две задачи предложены В. Н. Касаткиным.) На ленте имеется массив из n отмещенных секций (обозревается крайняя левая из них), а справа от него, на расстоянии в m секций — еще одна отмещенная секция. Составьте программу, привиграюшую данный массив к данной секции.

4. На ленте расположены два массива разной длины (обозревается крайняя секция одного из них). Составьте программу, сравнивающую длину массивов и страшнуюю больший из них. (Отделно продумайте случая, когда длинная массивов равны.)

5. На ленте dan массив, крайняя секция которого обозревается кареткой. Составьте программу, наносящую на ленту еще один массив той же длины, находящийся через две пустых секции впраvo от данного.

6. На ленте даны два массива на расстоянии одной пустой секции друг от друга, причем каретка находится под крайней секцией отмещенной секцией левого массива. Составьте программу, привиграюшую эти массивы друг к другу.

7. Составьте выиграяшую программу для следующего игры. На ленте машины Поста отмещена 21 секция, крайняя секция. Человек и машина ходят по очереди (первым ходит человек!), стирая за ход не более 6 меток. Победает (в отличие от приведенной выше игры) тот, кто стирает последнюю метку.

14

О числе e и n!
Л. Г. ЛИМАНОВ

В этой заметке мы разберем задачи из статьи М. И. Башмакова «О поступление Бертрана» (см. «Квант» № 5, 1971).

Напомним, что поступатом Бертрана называется следующей итерацией: если $x > 1$, то существует простое число, заключенное между $x$ и $2x$.

Это утверждение формировал французский математик Бертран, но отыскать доказательства для него не сумел. Это удалось сделать Чебышеву, причем сделать совершенно элементарно. Правда, он воспользовался одной не элементарной формулой — формулой Стирлинга:

$$n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\theta_n/12n},$$

где $0 < \theta_n < 1$.

В эту формулу входят два едва ли не самых замечательных числа. Первое — это всем вам известное число $n$ — отношение длины окружности к ее диаметру. второе число — это число $e$ — предел последовательности $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ при $n$, стремящемся к бесконечности. Формула эта понадобилась Чебышеву для того, чтобы оценить величины $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$.

На самом же деле, чтобы доказать поступат Бертрана, можно использовать существенное менее точные оценки величины $n$!

Именно такие оценки и предлагалось доказать читателю в статье Башмакова (задача 3). С разбора этой задачи мы и научем.

Вот ее формулировка:

Докажите, что существует такое действительное число $e$, что при всех натуральных $n$, больших некоморозо $n_0$,

$$\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n.$$

Неравиенства $\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n$ можно использовать вместе формулы Стирлинга. Они, конечно, менее точны, но это и доказать их намного проще.

Остальные задачи из статьи — это, по сути дела, леммы из Чебышевского доказательства поступата Бертрана. Решить их намного проще, чем задачу 3. Заслуга Чебышева не в том, что он их решил — сделать это нетрудно, — а в том, что он их формулировал и нашел, как с помощью этих утверждений получить оценки для произведения (и, тем самым, для количества) простых чисел, не превосходящих $x$, и доказать поступат Бертрана.

Решение задачи 3. Прием пока без доказательства, что такое число $e$, что при всех натуральных $n$,

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^n < e < \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1},$$

действительно существует. (Доказательство существования будет приведено чуть ниже.)

15

Мы хотим доказать, что $\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n$ или (что то же самое)
$\frac{(n+1)^n}{n!} < e^n < \frac{n^n}{(n-1)!}$ при $n$, бóльших неокоторого $n_0$.

Пусть для неокоторого $k$ доказано, что $\frac{(k+1)^k}{k!} < e^k$. Но
$\frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)!} / \frac{(k+1)^k}{k!} = \left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k+1} < e$. Поэтому $\frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)!} < e^{k+1}$.

Таким образом, наше утверждение верно и для $k+1$, а значит, и для $k+2, k+3$ и т. д. Точно так же из предположения

$$e^k < \frac{k^k}{(k-1)!}$$

выводится, что

$$e^{k+1} < \frac{(k+1)^{k+1}}{(k)!}.$$

Действительно,

$$\frac{(k+1)^{k+1}}{k!} / \frac{k^k}{(k-1)!} = \left(\frac{k+1}{k}\right)^{k+1} > e.$$

Остается доказать, что $e$ существует, и найти начальные значения для $n$ в каждом из неравенств

$$\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n!, n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n.$$

Доказательство существования $e$

Условия называть совокупность действительных чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $a \leqslant x \leqslant b$, отрезком с концами $a$ и $b$ (отрезок с концами $a$ и $b$ обозначается через $[a, b]$).

При доказательстве существования числа $e$ мы будем пользоваться следующим свойствам действительных чисел: если есть последовательность отрезков $[a_i, b_i]$, где $a_i \leqslant a_{i+1} < b_{i+1} \leqslant b_i$ ($i=1, 2, \dots$) (о такой последовательности говорят, что она является последовательностью вложенных отрезков), то существует точка $\alpha$, общая для всех этих отрезков.

Это свойство мы не будем доказать. Дело в том, что при четком определении того, что мы понимаем под множество действительных чисел, это (или какое-нибудь эквивалентное ему) свойство приннимается как аксиома.

Упражнения

1. Проверьте, что следующие свойства действительных чисел эквивалентны; если принять любое из них без доказательства, то остальные из него выводятся.
   a) У всякой последовательности вложенных отрезков есть хотя бы одна общая точка.
   b) Всякая ограниченная monotонно возрастающая последовательность имеет предел.
   b) Всякая последовательность $\{a_i\}(i=1, 2, \dots)$, в которой для любого $\varepsilon > 0$ можно указать такое $N$ (зависшее, разумется, от $\varepsilon$), что $|a_n - a_m| < \varepsilon$ при $m, n > N$ имеет предел. (Такие последовательности называются последовательностями Коши.)
   r) Всякое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную версию граны, то есть можно указать такое число $\alpha$, что все принадлежшие этому множеству числа не больше $\alpha$, но для всякого числа $\beta$, меньше $\alpha$, найдет число из этого множества, больше $\beta$.
   d) Из всякого семейства отрезков, покрывающих отрезок $[a, b]$, можно выделить конечное семейство отрезков, покрывающих отрезок $[a, b]$. (Мы говорим, что система $M$ отрезков покрывает отрезок $[a, b]$, если для всякого $x$, принадлежшее отрезку $[a, b]$, найдется отрезок из системы $M$, содержащий $x$.)

16

Покажем теперь, что последовательность $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ — монотонно возрастищая. Для этого нужно, чтобы при любом $n\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ было меньше $\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$.

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^n < \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$$

С помощью несложных преобразований это неравенство можно привести к такому виду:

$$[(n^2+2n+1)^n - (n^2+2n)^n](n+1) < (n^2+2n)^n.$$

[Вот промежуточные неравенства: $(n+1)^{2n+1} < (n+2)^{n+1}n^n$ и $(n^2+2n+1)^n(n+1) < (n^2+2n)^n(n+2)$.] Воспользовавшись формулой $a^k - b^k = (a-b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + \ldots + ab^{k-2} + b^{k-1})$, получаем: $(n^2+2n+1)^n - (n^2+2n)^n < n(n^2+2n+1)^{n-1}$. Поэтому неравенство (1) будет доказано, если мы докажем такое неравенство:

$$(n^2+2n+1)^{n-1}(n+1) < (n^2+2n)^{n-1}(n+2).$$

Оно в свою очередь (это оказывается точно так же) следует из неравенства

$$(n^2+2n+1)^{n-2}(n+1) < (n^2+2n)^{n-2}(n+2).$$

Повторяя эти рассудения, мы убеждаемся, что неравенство (1) следует из очевидного неравенства

$$n+1 < n+2.$$

Еще проще показать, что при любом натуральном $n$

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1} > \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2}.$$

В самом деле, неравенство (2) эквивалентно неравенству

$$(n+1)^{2n+3} > (n+2)^{n+2}n^{n+1}.$$

Позному достаточно показать, что

$$[(n^2+2n+1)^{n+1} - (n^2+2n)^{n+1}](n+1) > (n^2+2n)^{n+1}.$$

Но

$$(n^2+2n+1)^{n+1} - (n^2+2n)^{n+1} > (n^2+2n)^{n+1}(n+1),$$

откуда

$$[(n^2+2n+1)^{n+1} - (n^2+2n)^{n+1}](n+1) > (n^2+2n)^{n+1}(n+1)^2 > (n^2+2n)^{n+1}(n^2+2n) = (n^2+2n)^{n+1},$$

то есть неравенство (3), а значит, и неравенство (2), — доказано.

Итак, мы доказали, что последовательность $a_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ монотонно возрастищая, а последовательность $b_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}$ монотонно убивает. Кроме того, $a_n < b_n$, поскольку $\frac{n+1}{n} > 1$. Таким образом последовательность отрезков с концами $a_i$, $b_i$ является последовательностью вложенных отрезков и длина $k$-го отрезка равна $\left(\frac{k+1}{k}\right)^k \cdot \frac{1}{k}$, то есть при росте $k$ она стремится к нулю. Поэтому у всех этих отрезков естьровно одна общая точка. Соответствующей ей число и называется числом $e$.

Можно вычислить сколько угодно десятичных знаков числа $e$. Вот первые несколько: $e=2,71828...$

18

1. Доказать, что
   $$T(x) = \psi(x) + \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \psi\left(\frac{x}{3}\right) + \dots$$

2. Доказать, что
   $$\psi(x) = \theta(x) + \theta(\sqrt{x}) + \theta(\sqrt[3]{x}) + \theta(\sqrt[4]{x}) + \dots$$

Воспользовавшись результатом задачи 1, $S(x)$ можно записать так:
$$S(x) = A_1\psi(x) + A_2\psi\left(\frac{x}{2}\right) + A_3\psi\left(\frac{x}{3}\right) + \dots$$

3. Проверить, что коэффициенты $A_1, A_2, A_3, \dots$ меняются с перiodом 30 и что для первых тридцати значений $n$ коэффициенты $A_n$ составляют следующую последовательность: 1, 0, 0, 0, 0, —1, 1, 0, 0, —1, 1, —1, 1, 0, —1, 0, 1, —1, 1, —1, 0, 0, 1, —1, 0, 0, 0, 0, 1, —1.

4. Докажите, что коэффициенты $A_1, A_2, A_3, \dots$ меняются с перiodом 30 и что для первых тридцати значений $n$ коэффициенты $A_n$ составляют следующую последовательность: 1, 0, 0, 0, 0, —1, 1, 0, 0, —1, 1, —1, 1, —1, 0, 0, 1, —1, 1, —1, 0, 0, 0, 0, 1, —1.

5. Докажите, что
   $$\psi(x) - 2\psi(\sqrt{x}) \leq \theta(y) \leq \psi(x) - \psi(\sqrt{x}).$$

6. Докажите, что
   $$\frac{\psi(x)}{\log x} < \pi(x) < \frac{\psi(x) + \theta(x)}{\log x}.$$

Решение задачи 1. Заметим, что $a_p = [\log_p x]$. Вычисляем, с каким коэффициентом входит $\log p$ в сумму $\psi(x) + \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \dots$ В $\psi\left(\frac{x}{i}\right)$ логарифм $p$ входит с коэффициентом $\left[\log_p \frac{x}{i}\right]$, значит, общий коэффициент при $\log p$ равен $\sum_{i=1}^{\infty} \left[\log_p \frac{x}{i}\right]$. Вычитем из каждого слагаемого единицу и преобразуем его: $\left[\log_p \frac{x}{i}\right] - 1 = \left[\log_p \frac{x}{i} - 1\right] = \left[\log_p \frac{x_1}{i}\right]$, где $x_1 = \frac{x}{p}$. Поэтому $\sum \left[\log_p \frac{x}{i}\right] = \left[\frac{x}{p}\right] + \sum \left[\log_p \frac{x_1}{i}\right]$. Повторяя наше преобразование, мы получим такое равенство:
$$\sum \left[\log_p \frac{x}{i}\right] = \sum_{i=1}^{\infty} \left[\frac{x}{p^i}\right].$$

Итак, коэффициент при $\log p$ в сумме $\psi(x) + \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \dots$ равен $\sum_{i=1}^{\infty} \left[\frac{x}{p^i}\right]$. Заметим теперь, что $T(x) = \sum_{i \leq x} \log i$ тоже можно представить в таком виде: $T(x) = \sum_{p \leq x} c_p \log p$, где $p$ — простые числа.

Упражнения

12. Докажите, что если $k$ — натуральное число, то $\left[\frac{x}{k}\right] = \left[\frac{x}{k}\right]$ и при $x > 1 [\log_h[x]] = [\log_hx]$.

13. Убедитесь, что коэффициент $c_p$ равен

$$\sum_{i=1} \left[ \frac{[x]}{p^i} \right].$$

Указание. Представьте $T(x)$ в виде $\log([x])$.

Решив упражнения 12 и 13, выполностью решите задачу 1.

Решение задачи 2. Решение этой задачи похож на решение задачи 1: нужно убедиться, что коэффициент при $p$ в сумме $\theta(x) + \theta(\sqrt{x}) + \cdots$ равен $[\log_p x]$. Следать это совсем просто. $\log p$ входит слагаемым в $\theta(\sqrt{x})$, если $\sqrt{x} \geq p$, то есть $\log_p x \geq i$. Поэтому в $\sum \theta(\sqrt{x})$ логарифм $p$ входит слагаемым $k$ раз, где $k$ определяется из неравенства $k + 1 > \log_p x \geq k$, то есть $[\log_p x]$ раз.

Решение задачи 4. Эта задача очень похож на задачу M92 (см. «Квант» № 7, 1971).

Действительно, ее можно формулировать следующим образом:

В первую же поэзду в маазин Петя купил себе много маленьких шоколадок. Он решил, что в скучные дни ему следует съедать три шоколадки, в те дни, когда он занят только одним делом — две, а в остальные — по одной. Тогда $A_i + 2$ равно числу шоколадок, которые Петя съел в $i + 1$ день. (Напомним, что Петя каждый второй день зделил купаться, каждый третий — в маазин и каждый пятый решал математические задачи).

Приведем формулу для $A_i$:

$$A_i = 1 - [2^{[i/2] - i/2}] - [2^{[i/3] - i/3}] - [2^{[i/5] - i/5}] + [2^{[i/30] - i/30}].$$

Упражнения

14. Докажите формулу (4).
15. Выведите формулу для числа дел, которые будет делать Петя в $k$-й день.

Из формулы (4) сразу видно, что $A_{i+30} = A_i$. Вычислить значения первых трицати коэффициентов вы, конечно, сумме сами.

Решение задачи 5. Эта задача следует из задачи 2. Действительно,

$$\psi(x) - \psi(\sqrt{x}) = \theta(x) + \theta(\sqrt{x}) + \cdots \geq \theta(x),$$

$$\psi(x) - 2\psi(\sqrt{x}) = \theta(x) - \theta(\sqrt{x}) + \cdots \leq \theta(x).$$

Решение задачи 6. Поскольку $a_p = [\log_p x]$,

$$a_p \log p \leq \log_p x \log p = \log x, \quad (a_p + 1) \log p > \log x.$$

Позному

$$\psi(x) = \sum_{p \leq x} a_p \log p \leq \sum_{p \leq x} \log x = \pi(x) \log x,$$

$$\psi(x) + \theta(x) = \sum_{p \leq x} (a_p + 1) \log x > \sum_{p \leq x} \log x = \pi(x) \log x,$$

откуда

$$\frac{\psi(x)}{\log x} < \pi(x) < \frac{\psi(x) + \theta(x)}{\log x}.$$

20

С различными волнами мы встречаемся повсюду, начиная от гаммалучея с очень маленькой длиной волны до огромных волновых перемещений в области рассеяной между звездами мелкой пыли. Но так как все волны переносят энергию, то не удивительно, что их поведение во многом одинаково.

В однородной среде волны распространяется по прямым линиям с постоянной скоростью, изменяя направление и скорость в тех местах, где изменяются физические свойства среды. Если звуковая волна в атмосфере попадает на твердый объект, например, кирпичную стену, то часть ее возврашает, подобно эху, к источнику.

Изучение волн одного типа позволяет исследовать узнать, что можно ожидать от волн других типов. Так, например, о некоторых акустических свойствах аудитории можно судить, наблюдая за поведением волн в плоской ванне с водой.

Волновую ванну можно сделать в домашних условиях (рис. 1). Основная ее часть состоит из деревянной рамки 6 со стеклянным домом. Толщина рамки около 5 см, площадь стеклянного дна ≈ 0,2 м². Чтобы вода не протекала, до следует прикрепить к рамме мастикой или пласти-ЛИном. Ванная устанавливается на четырех ножках на высоте около 0,5 м от пола. В качестве источника света для отбрасывания теней от рыби на экран 9, расположенный под стеклом, используется матовая лампа 5 мощностью 100 вт. Лампу помещают в коробку из огнепорного картона 2 и устанавливают на высоте около полумаетра над ванной на деревянной рамке. В коробке нужно проделать ответствие 3, чтобы получить точный источник света.

На двух кронштейнах 10 закрепляется деревянная перекладина 11. К этой перекладине на резинках подвешивается брусок, который и служит для возбуждания волн. Расстояние между бруском и водой можно регулировать изменением положения металлических кронштейнов и укорочиванием или удлинием резиновых подвесов.

В середине бруска (рис. 2) белоевой прикрепкой 4 закрепляется получательства батарея для игрушенного мотора. Жестким проводом, согнутым под прямым углом, к бруску прикрепленны несколько бусинок 5 из стекла или пластика; расстояние между ними можно менять, если сделать в бруске ответия через каждые 5 см. К валу мотор прикреплен вит длиной 2—3 см, выполняющий

21

роль эксцентрического груза. Вал 1 проходит через отверстие, просверленное около головки винта, который жестко крепится гайкой; вторая гайка 3 находится в начале винта. Скорость moto можно регулировать обычным реостатом, состоящим из тонкой стальной пружины и зажима типа «крокодил». Один конец пружины соединин с батареей, а зажим соединин с одним из выводов moto. Необходимая скорость подбирается подklючением вывода moto к различным точкам пружины.

По внутреннему краю ванны (рис.3) прошедена мягкая алюминиевая сетка 8, загнутая под прямым углом по всей длине и покрыта одним слоем марли 9. Такое сочетание марли и сетки поглощает энергию набегаюших волн. Таким образом предотвращается отражение от краев ванны, что могло бы служить помехой.

Прибор выравнивают, заполняют ванну водой на глубину 2 см, включают лампу, подключают вывод moto к стальной пружине и установляют высоту деревянного бруска так, чтобы один из стеклянных шариков касался воды. Вращение эксцентрического груза заставляет вбрировать прямогольный кронштейн, а шарик — поднимается и опускается в воде. Амплитуда волн регулируется изменением положения свободной гайки на крепежном винте. Длина волны, определяемая расстоянием между гребнями соседних волн, изменяется в зависимости от скорости moto. Kontрактисть между светом и тенью волновой картины, проектируется на экран, регулируется поворотом лампы. Прибор должен иметь по крайней мере два шарика, то есть два точных источника волн. Для получения волн с прямыми фронтами (аналога плоских волн, распространяющихся в трехмерных средах) держатель шарика поворачивают вверх, а сам брусок опускают в воду.

Установите прибор так, чтобы он возбужdal плоские волны с расстоянием между гребнями около 5 см. Волны будут расходиться от источника волна для моделирования волн.

Рис. 1. Волновая ванна для моделирования волн.

1 — держатель источника света; 2 — защита коробка; 3 — ответствие для света; 4 — motor-вибратор (1,5 е); 5 — матовая лампа; 6 — рамка со стеклянным домом; 7 — парафиновый отражатель; 8 — зажим и стальная пружина для регулировки скорости moto; 9 — экран; 10 — кронштейны; 11 — перекладина.

Рис. 2. Детали волнового генератора.

1 — вал, проходящий через отверстие в винте; 2 — держатель из резиновых полос; 3 — груз для регулирования амплитуды колбаний; 4 — motor-вибратор, фиксируемый белевой пришелкой; 5 — шарик на проволоке (его можно повернуть вниз для получения точного источника волна).

22

ника к переднему краю ванны и там поглощаться. Установите лампу так, чтобы контрастисть была максимальной. В ванне под углом 45° поставьте парафиновый барер и посмотрите, как отражаются волны (рис. 4). В частности, можно убедиться, что угол $\Theta_i$ между направлением распространения волн и линейей, перпендикулярной к бареру, равен углу $\Theta_r$ между направлением распространения отраженных волн и тем же перпендикуляром.

Установите барер под другим углом, меняшим, чем 45° и измените длину волн и амплитуду. Легко убедиться, что при любом распложении барера угол падения равен углу отражения. Это — закон отражения для волн любого типа.

Замените парафиновый барер стеклянной пластинкой шириной 15 cm и длиной 30 cm. Установите ее так, чтобы верхняя поверхность была на расстоянии 1 cm от дна ванны. Наполните ванну водой так, чтобы расстояние от стекла до поверхности воды составило 2—3 мм, и создать ряд плоских волн. Посмотрите, как заменяются волны при пересечении края стекла и стolkновении с мелкой водой. Из-за изменения скорости волны распространются в новом направлении над стеклом так же, как шеренга солдат, которая скходит с сухопутного места на грязную дорогу (рис. 5). В этом опьте волны отклоняются от первого嗽ального направления за счет преломления — явления, наблюдаемого у волн всех типов, когда они попадают под углом из одной среды в другую, в которой распространяется с иной скоростью. Волны на воде отличются тем, что меняют скорость распространения при изменении глубины среды. Приблизительно можно считать, что отношение скоростей распространения волн в мелкой и глубокой воде пропорционально отношению глубины воды. Это отношение в действительности не что иное, как показатель преломления на границе двух сред. Скорость распространения световых

Рис. 3. Детали держателей ванны и волнового поглотителя.
1 — держатель источника света; 2 — держатель бруска с motorиком; 3 — металлический кронштейн; 4 — вода; 5 — стекло; 6 — мастика; 7 — алюминиевые стойки; 8 — поглотитель волн; 9 — битт, намотанный на сетку.

и звуковых волн изменяется в зависимости от плотности среды.

Отражение в месте перехода с глубокой воды на мелкую можно умень-
Рис. 4. Отражение волн.
1 — источник волн; 2 — отражатель; 3 — перpendикуляр к отражателю; 4 — прямые волны; 5 — отраженные волны.

24

рых возникают максиммы и узлы. Синус угла для максимума равен $n\lambda/d$, где $n$ — номер максимума (центральный максимум, перpendикулярный линей, соединищей источники, имеет «нулевой» номер, а радиальные максиммы, расположенные по обе стороны от центраного максимума, имеют последовательно номера «первый», «второй», «третий» и т. д.), $\lambda$ — длина волны и $d$ — расстояние между источниками. Аналогично, узлы лежат на луче, определяемом уравнением $\sin \theta = (m - 1/2)\lambda/d$. Здесь $m$ — номер узла.

Барьеры не обязаетельно должны быть сплошными. Решетка из равномерно расположенных штифтов также отражает волны (рис. 9). Когда плоские волны последовательно наталкивают на решетку, от каждой

Рис. 9. Поперечноеечение решетки из штифтов.
1 — штифты; 2 — основание решетки из пластка.

штифта расходятся круговые волны, которые интерферрируют и снова образуют плоские волны. Например, соответствующие наиболее амплитуды волн, $n$ — целое число, $\lambda$ — длина волны, $d$ — расстояние между соседними рядами решетки (перiod решетки) (рис. 10). Это соответствие называют формулой Брэгга — Вульфа.

С помощью волновой ванны можно исследовать эффект Доплера *. Доплер обнаружил, что повышение тона свистка у быстро приближающего поезда и смещение цвета движущейся

*) Более подробно об эффекта Доплера рассказывается в статье Л. Г. Асламазова «Эффект Доплера», «Квант» № 4, 1971.

Рис. 10. Отражение от решетки.
1 — ряды штифтов; 2 — фронт прямых волн; 3 — направление распространения прямых волн; 4 — направление распространения отраженных волн; 5 — фронт отраженных волн.

к земле звезды в сторону синея части спектра — явления одной природы. Оба явления обусловлены тем, что движущиеся источники волн могут договорить, а иногда и переогнять испускаемые ими волны. Чтобы продемонстрировать эффект Доплера в ванне, возьмите небольшую трубку, которая с помощью_memбраны, приводим в действие соленодом, направляет в ванну через равные промежутки времени порции воздуха, одновременно движясь по ванне с заданной скоростью. (Можно смотрить у края ванны несколько участков игрушенной железной дороги и установить трубку в игрушном вагончике). Когда трубка перемещается со скоростью, меняшей скорости волн, гребни перед ней располагаются более часто, а позади — более редко.

Эффект Доплера наблюдается в различных рода волнах, в том числе радиоволнах. Получясь сравнительно несколько аппаратурой, можно по радиосигналам искусственного спутника, учитывая эффект Доплера, определять величины и направление скорости спутника.

Все эти эксперименты — лишь немногое из того, что можно проделать с помощью нескольких приспособлений в волновой ванне. Каждай, кто построит и оборудует такой ванну, убедится, что интересных опытов хватит не на один непогожий день.

25

ЗАДАЧИ

Решения задач можно посылать не позднее чем через полтора месяца после выхода из печати соответствующего номера журнала по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете; например, «Задачик «Кванта», М137, Ф139. В начале письма укажите свое фамилию, имя, отчество, домашний адрес (а также класс и школа, в котором вы учитесь).
Звездочный отменный более трудные задачи.

ЗАДАЧИ

M141. Выберем на высоте ВН треугольника ABC произвольную точку P. Пусть K — точка пересечения прямых AP и BC, L — точка пересечения прямых CP и AB. Доказите, что отрезки KH и LH составляют равные углы с высотой ВH.
E. В. Саллинен

Рис. 1.

M142. a) Доказите, что нельзя занумеровать ребра куба чисlamи 1,2,…,12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трех выходящих из нее ребер была одной и той же.
6)* Можно ли вычернуть одно из чисел 1,2,…,12, 13 и оставшимся занумеровать ребра куба так, чтобы выполнялось то же условие?
H. H. Константинов,
H. B. Васильев

M143. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполняется следующее условие:

если n делится на p—1 и p простое, то n делится на p.

M144. Найдите необходимые и достаточно условия, которые должны удовлетворять числа a, b, a, β, чтобы прямогольник a×b можно было разрезать на несколько прямогольников α×β.

Например, можно ли прямогольник 50×60 разрезать на прямогольники размерами:
a) 20×15; 6) 5×8; в) 6,25×15;
г) (2−√2)×(2+√2).

A. T. Коломов

M145. А общее платить В в среднем √2 руб. в день. Они условиясь, что в n-й день A будет получать целое число aₙ рублей (aₙ равно 1 или 2) с таким расчетом, чтобы сумма, полученная за первые n дней (a₁+a₂+…+aₙ), была как можно больше к числу n√2.

Например, a₁=1, a₂=2, a₃=1, a₄=2, a₅=1. Доказите, что последовательность a₁, a₂, a₃, … непериодическая.

A. K. Толпью

Ф153. Почем реки, текущие даже по совершению плоской однородной почве, изгибаются?
Для простоты рассмотрите реку, текущую вдоль экрана.

Ф154. Оцените, сколько капелек воды имеет в 1 m³ тумана, если видимость составляет 10 m и туман оседает через 2 часа? Высота тумана 200 m.

26

О ЧИСЛЕ «ПИ»

Читатель нашего журнала Л. Вейдеман (из г. Риги) обрабатывает в «Квант» с вопросом: «В книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения…» на стр. 418 написано: «Отношение длины окружности к ее диаметру, которое древние греки обозначили буквой π («пи»)…».

В книге «Алгебра и элементарные функции» (учебное пособие для средней школы)… член редакленики «Кванта» профессор А. И. Маркушевич на стр. 278—279 пишет, что «Впервые это обозначение встречает в книге английского математика В. Джонса (1706)». Кому же верить?»

Нам кажется, что ответ на этот вопрос будет интересен многим нашим читателем. Ниже мы помещаем текст ответа профессора А. И. Маркушевич.

Уважаемый тов. Вейдеман!
К сожалению, авторы (да и редакторы) научно-популярных книг далеко не всегда являются знакоми источники научки, и поэтому в этих книгах можно встреть устаревшие, а иногда и просто ошибочные утверждения исторического характера. Именно так обстоит дело с книгой Гарднера. Древние греки, не знание современных цифр, обозначали числа (целые положительные) буквами своего алфавита. В частности, буква п (с добавочной черточкой наверху) обозначала число 80 и только это число, что, очевидно, не имеет ничего общего с отношением длины окружности к диаметру. Но я является также и первой буквой греческого слова леріфера, ознакомшего окружность (отсюда нашей переферия). Недвижительно, что ряд английских математиков XVII века (но не раньше!) использовали букву п для обозначения длины самого окружности (произвольного радиуса). Впервые в истории математики эта буква была употреблена для обозначения отвлеченного числа 3,1415… в сочинини Synopsis Palmariorum Matheseos английского предложателя математики Вильяма Джонса в 1706 году. Всеобще распространение этого обозначения получило только благодария трудам Эйлера (начиная с 1737 г.), пришедшего к этому, скорее всего, независимо от Джонса.

Прочесть об всем этом можно в классическом сочининии Д. Е. Смита (History of mathematics by D. Smith, vol. II, New York, 1958, p. 312), или — в виде краткой ссылки — в советском коллективном труде: «История математики», том второй, М., изд-во «Наука», 1970, стр. 61.

А. И. Маркушевич

27

РЕШЕНИЯ

В этом номере мы публикуем решения задач M101—M105.

M101

В колонию, состоящую из $n$ бактерии, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерия, затем делится на два новых вирус, и одновременно каждая из оставшихся бактерии тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вирус уничтожают две бактерии, и затем оба вирус и все остальные бактерии снова делятся, и так далее.

Видет ли эта колония жить бесконечно долго или в конце концов погибнет?

Легко проверить, что колчество бактерии и вирусов будет меняться со временем по следующему закону:

| Время (минуты) | Кол-во вирусов | Кол-во бактерии |
| :— | :— | :— |
| 0 | 1 | $n$ |
| 1 | 2 | $2(n-1)$ |
| 2 | $2^2$ | $2^2(n-2)$ |
| 3 | $2^3$ | $2^3(n-3)$ |
| … | … | … |
| $t$ | $2^t$ | $2^t(n-t)$ |
| $t+1$ | $2^{t+1}$ | $2^{t+1}(n-t-1)$ |
| … | … | … |

Отсюда ясно, что при $t=n$ колчество бактерии обратится в нуль — колония погибнет.

Мы получили около 80 писем с решением этой задачи и одно письмо, где был дан неверный ответ.

M102

Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек, обладает следующим свойством: для любых двух точек $A$ и $B$ множество найдется точка $C$ множество такая, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Сколько точек может содержать такое множество?

Докажем, что такое множество может содержать только три точки (разумеется, предполагается, что оно содержит более одной).

Обозначим это множество буквой $\Gamma$.

Пусть $A$ и $B$ — две точки множества $\Gamma$, расстояние между которых называется $d$, точка $P$ должна лежать внутри кругла радиуса $d$ с центром $A$. Точно так же она должна лежать и внутри кругов радиуса $d$ с центрами $B$ и $C$. Таким образом, множество $\Gamma$ не выходит за пределы общей части этих кругов — кривolinейного «треугольника» $T$ (рис. 1).

Далее, вместе с точки $P$ и $A$ множество $\Gamma$ должна принадлежать одна из двух точек $Q$ и $R$ — вершин равносторонних треугольников $APQ$ и $APR$, то есть точки, получающихся из $P$ поворотом на $60^\circ$ (в ту или другую сторону) вокруг $A$ (рис. 2).

Для того чтобы точка $Q$ лежала внутри $T$, нужно, чтобы точка $P$ лежала в пределах гольбого «лепестка» $AB$; действительно, если повернуть треугольник $T$ вокруг точки $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки, то точки лепестка $AB$ и только они не выйдет за пределы

28

Т. Точно так же, для того чтобы точка $R$ лежала внутри $T$, нужно, чтобы точка $P$ лежала в пределах голубого «лепестка» $AC$. Итак, мы доказали, что любая точка $P$ множество $\Gamma$ должна лежать в пределах множество $T_A$, состоящего из двух голубых лепестков $AB$ и $AC$ с общей вершиной $A$. Но точно так же доказывается, что $\Gamma$ заключено в пределах множество $T_B$ (рис. 3) и $T_C$ (рис. 4), а общая часть трех множеств $T_A, T_B$ и $T_C$ состоит только из трех точек $A, B$ и $C$. Следовательно, никакая другая точка $P$ не может принадлежать множеству $\Gamma$.

Правильное решение задачи прислада А. Блюхин (Климовск Кемеровской обл.), Н. Чернов (Кривой Рог), Ш. Слепой и Э. Туркевичи (Черновцы), А. Меркурьев (Ленинград), М. Розов (Минск), А. Глушко и В. Коршенко (Воронеж) и другие.

В нашем решении мы пользовались только тем, что в множестве $\Gamma$ можно указать две точки, расстояние между которых максимально. Для множества $\Gamma$, состоящего из конечного числа точки, это, разумеется, так. Однако утверждение задачи остается верным, если наложить на множество $\Gamma$ более слабое условие — условия ограниченности. Для решения задачи в этом случае необходимо дополнительные рассудения; их без труда могут проверсти те, кто владеет первоначальным понятиям топологии точных множеств на плоскости, например, в объеме кники: Н. Стинрод и У. Чинн «Первыые понятия топологии» («Мир», популярия серия «Современная математика»). Заметим, что от условия ограничности отказаться уже нельзя.

M103

Исследуйте, сколько решений имеет система управления

$$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = a, \\ x^2 - y^2 = b, \end{cases}$$

где $a$ и $b$ — некоторые действительные числа.

Перейдем к новым переменным по формулам

$$\begin{cases} x + y = u, \\ x - y = v, \end{cases}$$

то есть

$$\begin{cases} x = \frac{u + v}{2}, \\ y = \frac{u - v}{2}. \end{cases}$$

Тогда данная в условиях системы запишется так:

$$\begin{cases} 3u^2 + v^2 = 4a, \\ uv = b. \end{cases}$$

Очевидно, что каждой пале $(x, y)$ соответствует по формулам (1) одна пара $(u, v)$, а каждой пале $(u, v)$ — пара $(x, y)$, так что нам нужно выяснить, сколько решений $(u, v)$ при различных значениях параметров $a$ и $b$ имеет система (2). (Сразу ясно, что при $a < 0$ решений нет, при $a = 0$ и $b \neq 0$ — тоже, а при $a = b = 0$ — единственное решение $u = v = 0$, но это можно было бы и не отмечать, поскольку наше дальнейшее рассуждение годится для этих случая.

Вычитем и прибавим к первому уравнению системы (2) второе уравнение, умноженное на $2\sqrt{3}$.

Получим такую систему:

$$\begin{cases} (\sqrt{3}u - v)^2 = 4a - 2\sqrt{3}b, \\ (\sqrt{3}u + v)^2 = 4a + 2\sqrt{3}b \end{cases}$$

равnocильную систему (2). [Подумайте, как из (3) вывести (2)]. Ясно, что каждому набору значений $\sqrt{3}u - v$ и $\sqrt{3}u + v$, которые получаются из (3), соответствует одно решение $(u, v)$ системы. Остается учеть, что (в области действительных чисел) уравнение $z^2 = c$ имеет два решения: $z_1 = \sqrt{c}$, $z_2 = -\sqrt{c}$, если $c > 0$, одно $z = 0$, если $c = 0$, и не имеет решения, если $c < 0$.

Ответ. Решения есть тогда и только тогда, когда выполнены неравенства

$$-2a \leq b\sqrt{3} \leq 2a,$$

На рисунках 1-4 области, окрашенные в голубой цвет, ограничены двумя другими окружностями радиуса $d = AB$ с центрами в точках $A, B$ или $C$. Проверьте, что эти области пересекаются лишь в точках $A, B$ и $C$.

29

Рис. 5. Поворотом на $45^\circ$ по часовой стрелке из этого рисунка получается рисунок 6 (но в другом масштабе).

причем, если она неравенства строие («меньше»), то решений четыре; если одно из них обращается в равенство — то два, если она (это возможно лишь при $a = b = 0$), то одно.

Многие читатели, приславшие решение этой задачи, приводят (как правило, в несколько иной форме) этот результат, а также явные формулы для решения системы. Их нетрудно получить из наших выкладок, но они довольно громоздки, и мы не будем их приводить, тем более, что это и не требуется в условиях. Вместо этого укажем на геометрическую интерпретацию уравнения системы: первое задает эллипс, второе — гиперболу. Красная гипербола на рисунках 5 и 6 соответствует таким значением параметров $a$ и $b$, когда кривые пересекаются (четыре решения), голубые — когда гипербола касается эллипса (два решения).

Некоторые читатели провели исследование и для того случая, когда система решения в области всех комплектных чисел. И здесь наше рассуждение позволяет сразу дать ответ: в комплектных числах $(x, y)$ система имеет четыре, два или одно решение, если из двух равенств $2a = b\sqrt{3}$, $2a = -b\sqrt{3}$ соответственно нуль, одно или два верных.

M104

Внутри треугольника $ABC$ лежат такие две точки $P$ и $Q$, что отрезки $AP$ и $AQ$ составляют равные углы с биссектрисой угла $A$ треугольника, а отрезки $BP$ и $BQ$ составляют равные углы с бисsектрисой угла $B$.

Доказите, что отрезки $CP$ и $CQ$ составляют равные углы с бисsектрисой угла $C$ (рис. 7).

30

ПОЛУЧИМ

$$\sin(C - \gamma_1) \sin\gamma_2 = \sin(C - \gamma_2) \sin\gamma_1$$ или
$$\sin C \sin(\gamma_1 - \gamma_2) = 0.$$

Поскольку $0 < C < \pi$ и $-\pi < \gamma_1 - \gamma_2 < \pi$, отстояда следует, что $\gamma_1 = \gamma_2$.

В. Н. Березин (Москва) сообщил другое, чисто геометрическое решение.

Пусть $P_A, P_B$ и $P_C$ — точки, симметричные точки $P$ относительно сторона $BC$, $AC$ $AB$ треугольника $ABC$. Заметим, что для того, чтобы отрезок $AQ$ составлял с отрезками $AB$ и $AC$ углы, равные $\Rightarrow PAC = \alpha$ и $\Rightarrow PAB = A - \alpha$, необходимо и достаточно, чтобы он шел по биссертице угла $P_BAP_C$ (рис. 8).

Поскольку $AP_B = AP_C$, это условие можно формularовать еще так: точка $Q$ должна лежать на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка $P_BP_C$. Теперь осталось доказать, что если $Q$ лежит на перпендикулярах, проведенных через середину отрезков $P_BP_C$ и $P_CP_A$, то $Q$ лежит также на перпендикуляре, проведенном через середину отрезка $P_BP_C$. Это очевидно: точки $P_A, P_B, P_C$ не лежат на одной прямой, и $Q$ является центром круга, описанного около треугольника $P_AP_BP_C$ (рис. 9).

Разумеется, точно так же можно доказать, что $P$ — центр круга, описанного около треугольника $Q_AQ_BQ_C$, где $Q_A, Q_B, Q_C$ — точки, симметричные $Q$ относительно сторона треугольника $BC, CA, AB$. Отображение $P \rightarrow Q$ совпадает с обратным к нему. При этом отображении центр вписанного круга переходит в себя, а центр описанного круга и точка пересечения высот — друг в другу (проверьте это!).

M105

Сумма цифр числа после его умножения на 8 может уменьшиться: $75 \cdot 8 = 600$ — сумма цифр была $7 + 5 = 12$, а стала 6. Однако она не может уменьшиться более, чем в 8 раз. Докажите это.

Другими словами, докажите, что для любого натурального числа $N$

$$\frac{S(8N)}{S(N)} \geq \frac{1}{8},$$

где $S(A)$ — сумма цифр числа $A$ (в десятичной записи).

Для каких еще натуральных $k$ существует такое положительное число $c_k$, что для всех натуральных $N$

$$\frac{S(kN)}{S(N)} \geq c_k?$$

Найдите наиболее подходящое значение $c_k$.

Сначала заметим, что $S(8 \cdot 125) = S(1000) = 1$.

Нам будут нужны следующие свойства функции $S(N)$:

1. $S(A + B) \leq S(A) + S(B)$;
2. $S(A_1 + A_2 + \dots + A_n) \leq S(A_1) + S(A_2) + \dots + S(A_n)$;
3. $S(nA) \leq nS(A)$;
4. $S(AB) \leq S(A)S(B)$.

Чтобы убедиться в справедливости своей части $1^\circ$, достаточно представить себе, что числа $A$ и $B$ складываются «столбиком». Свойство $2^\circ$ получается из $1^\circ$ простой индукции. $3^\circ$ — частный слуаг $2^\circ$.

Если представить себе, что $A$ можно на $B$ «столбиком» и к каждой цифре числа $B$ применить $3^\circ$, то получится $4^\circ$.

Теперь легко доказать требуемое неравенство: $S(N) = S(1000N) = S(125 \cdot 8N) \leq S(125)S(8N) = 8S(8N)$, то есть

$$\frac{S(8N)}{S(N)} \geq \frac{1}{8}.$$

To же рассуждение годится для любого числа $k = 2^{2^q}5^q$. Обозначим через $c_k$ число $\frac{1}{S(2^q5^r)}$. Докажем, что для любого $N$ $\frac{S(kN)}{S(N)} \geq c_k$ (при $N = 2^{2^q}5^r$ это неравенство превращается в равенство, поскольку

$$S(kN) = S(10^{r+q}) = 1$$. Для любого $N$
$$S(N) = S(10^{r+q}N) \leq S(2^q 5^r) S(kN) = \frac{1}{c_k} S(kN),$$
что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что для чисел $k$ вида $Q2^r 5^q$, где $Q$ взаимно просто с 10, относение $S(KN)/S(N)$ может быть меньше любого заданного $\varepsilon > 0$, то есть требуемого положительного числа $c_k$ не существует.

Нам потребуется такая lemma: существует число $10^m-1$ (состоящее из $m$ девяток), делается на $Q$. Ее легко доказать с помощью «причина Дирихле» *). Рассмотрим остатки от деления на $Q$ чисел

$$\begin{array}{c} 9 \\ 99 \\ 999 \\ 9999 \\ \cdots \end{array}$$

Какие-то два из них совпадают, и разность соответствующих чисел делится на $Q$:

*) См. статью А. И. Орлов в «Кванте» № 7, 1971.

В этом номере мы публикуем решение задач Ф116—Ф122.

Ф116

Если температура воздуха в цилиндре, показанным на рисунке 10, равна $T_0(T_0 > 0^\circ C)$, то он оставает до температуры $\frac{T_0}{2}$ примерно за время $\tau = 30$ сек. Поршень начинают ввигать и вывигать с некоторой частотой. В каком случае растет больше льда, окружающей цилиндр, за 50 ходов поршня, если они сделаны: а) за 1 минуту; б) за 1 час; в) за 30 суток?

Скорость изменения температуры воздуха в цилиндре пропорциональна самой температуре. Это означает, что изменение температуры идет по экспоненте $T = T_0 e^{-\alpha t}$ ($\alpha$ — коэффициент, $t$ — время) (см. «Кванте» № 1).

Очевидно, если выбранные интервалы времени $t$ составляют арифметическую прогрессию с разностью $\tau$, то есть $t=n\tau$, то температура газа составляет геометрическую прогрессию со значением $e^{-\alpha t}$. В этом нетрудно убедиться, записав формулу зависимости температуры газа от времени в виде

$$\frac{T}{T_0} = \left(e^{-\alpha t}\right)^n.$$

При $n=1$ $\frac{T}{T_0} = \frac{1}{2}$. Это означает, что $e^{-\alpha t} = \frac{1}{2}$ и $\frac{T}{T_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Отсюда следует, что в сосуде с неподвижным поршнем температура газа каждые 30 секунд будет уменьшаться ввое.

Если поршень делает 50 ходов за 1 минуту, то один поршня делается за 1,2 секунды. Это время мало по сравнению с характерным временем процесса теплопередачи — 30 секундами. Поэтому тепло, выделяющее при уменьшении объема газа, не успевает рассеять и практически положительно будет отбираться при увеличении объема

32

Рис. 11.

ма газа. Следовательно, в этом случае движение поршня не изменит скорости таяния льда.

Ясно также, что и при 50 ходах поршня за 30 суток лед будет таять так же, как он таял бы при неподвижном поршне. Тепрь время одного хода поршня сликом велико по сравнению с тем временем, за которое растает практически весь лед и температура воды станет равной 0° С.

Если поршень делает 50 ходов за 1 час, то один ход делается за 1,2 минуты. Благодарая этому телло, выделившееся при скатин газа, успет пойти на таяние льда. В этом случае льда растает больше, чем при неподвижном поршне.

Правильное решение этой задачи прислали М. Флеров (Москва) и М. Вайнхахер (Кривой Por).

Ф117

По обследенной дороге обычно идут, делая маленькие шаги. С какой шрининой шага должен идти человек, не боясь упасть, если длина его ног равна 1 метру, а коэффициент треня подошв обуви о дорогу равен 0,1?

Пусть шринина шага равна 2x (рис. 11). Когда человек поднимает одну ногу, весь его вес приходит на вторую ногу. Тогда сила N реакции земли равна mg (m — масса человека). Это означает, что максимальная сила треня F_TP, которая может действовать на ногу человека, не давая ей скольнить, равна kmg. Равнодействующая сила N и силы треня F_TP направлена к центру тяжести человека, то есть практически вдоль ноги, и образует с вертикально угол α:

$$\frac{F_{ТР}}{N} = \text{tg} \alpha.$$

Позетом

$$\text{tg} \alpha = \frac{kmg}{mg} = k,$$

но

$$\sin \alpha = \frac{x}{l}.$$

Следовательно,

$$x = l \sin \alpha = l \frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} \approx 0, 1 l = 10 \text{ cm}).$$

Ширина шага, который может сделать пешекод, равна 20 cm.

Эта задача оказывается самой легкой. Ее правильное решение прислали более 50 читаателей.

Ф118

В камеру сгорания реактивного двигателя поступает в секунду масса m водорода и необходимое для полного сгорания количество кислорода. Выходное решение сопла S. Давление в этом сечении P, абсолютиная температура T. Определить силу F тяги двигателя.

Найдем массу водыных паров, образующих при сгорании массы m водорода. Запишем уравнение реакции горения водорода

$$2\text{H}_2 + \text{O}_2 = 2\text{H}_2\text{O}.$$

Из уравнения реакции можно заключить, что две молекулы водорода соединяются с одной молекулой кислорода. В результате получается две молекулы водяных паров. Это означает, что для сгорания одного кислорода водорода необходима половина кислорода кислорода, и в результате реакции получается один кислороль воды. При сгорании n = \frac{m}{\mu_B} кислоролеводорода получится столько же кислоролеводорода (μ_B = 2 ке/кмоль — масса одного кислороля водорода). Поэтому при сгорании массы m водорода получается масса M = \frac{m}{\mu_B} \mu_\pi = \frac{18}{2} m = 9 m водяных паров (μ_\pi = 18 ке/кмоль — масса одного кислороля пара). Эта масса водяных паров вылетает из сопла двигателя за одну секунду. Так как нам известна площадь выходного сопла двигателя, можно найти скорость v газа, выходящero из сопла. За одну секунду из сопла двигателя будет выброшен объем пара V = vS. Если плотность пара равна р, то масса этого объема пара будет равна vSр, поэтому M = ρSv.

Отсюда v = \frac{M}{\rho S} = \frac{9m}{\rho S}.

В эту формулу входит плотность пара. Она нам не известна, зато мы знаем давление пара и его температуре. Записав уравнение Клапейрона—Менделеева PV = \frac{m}{\mu_\pi} RT (R — газовая постоянная), найдем, что плотность пара равна

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{P \mu_\pi}{RT} \text{ и } v = \frac{9mRT}{P \mu_\pi S}.$$

Так как за время Δt из сопла расчеты выбрасывается масса пара MΔt, которой сообщается импульс MΔtv, то на газ дей-

33

$$F_1 = \frac{M \Delta t v}{\Delta t} = M v.$$

Такая же по величине сила, но направления в противоположную сторону, действует на двигагатель. Полная сила, действующая на двигагатель (то есть сила тягги двигагателя) равна сумме реактивной силы $F_1$ и силы статического давления $F_2 = p S$, то есть

$$F = M v + p S = 81 \frac{m^2 R T}{p \mu_\pi S} + p S = \frac{9}{2} \frac{m^2 R T}{p S} + p S.$$

Объчно соплара реактивных двигагателей устроены так, что давление $p$ газа, выходящего из сопла, мало. Поэтому второй член в выражении для силы тягги двигагателя мал по сравнению с первым и при расчетах им можно пренебречь.

Правильные решения прислали: В. Кууск (Ржев); П. Серееев (Грозный), Л. Смушекевич (Магнитогорск), И. Сидоров (Москва), С. Арасланова (Н-Ивкино Кировской обл.), Д. Фушман (Черновцы), Е. Долгов (Москва), Я. Имин (Речница Гомельской обл.), В. Катенов (Москва), Г. Симоненков (Каунс), В. Белов (Вологда), Н. Федин (Омск), М. Федин (Алушта), В. Кулиц (Иваново Брестской обл.), С. Черников (Семипалатинск), В. Коротких (Новокузнецк), О. Заумыслова (Москва), Ю. Полянский (Зеленодольск ТАССР), А. Редченко (с. Новопетровка Белопольского р-на Сумской обл.), С. Божевольный (станица Копанская Красноарсского края), Ю. Лурье (Грозный), Е. Шахнович (Калинин. обл.), Л. Брацинский (Фрунзе), Ю. Шашков (Шигри Курской обл.), А. Удальцов (Калининград Московской обл.), А. Гордиенко (с. Полтавенское Красноарсского края), В. Бояришинов (Коломна), А. Смирнов (Горький), А. Мамула (с. Дыбинцы Киевской обл).

Ф119

К матникку $AB$ с шариком массы $M$ подвешен матник $BC$ с шариком массы $m$ (рис. 12). Точка $A$ совершает колебания в горизонтальном направлении с перiodом $T$. Найти длину нити $BC$, если известно, что нить $AB$ все время остается в вертикальном положении.

Поскольку нить $AB$ остается вертикальной, на шарик массы $M$ во время движения системы не действуют горизонтальные силы. Это означает, что горизонтальные силы не действуют и на системе, состоящую из двух шариков, $M$ и $m$, и шарики должны двигаться так, чтобы их центр масс не перемещался в горизонтальном направлении. Поэтому шарик массы $m$ движется так, как будто он прикреплен к нити длины $x$, где $x$ — расстояние от шарика до центра масс системы.

Рис. 12.

мы. Перiod колебаний такого матника равен $2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$. Этот период, очень длинный, равен колебаний точки $A$, то есть $T$:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}.$$

Найдем теперь $x$. Положение центра масс системы нахождения точно так же, как положение центра тяжести:

$$xm = (l - x)M.$$

Отсюда

$$x = l \frac{M}{m + M}.$$

Подставляя это выражение для $x$ в формулу (1), получим

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g} \cdot \frac{M}{m + M}}.$$

Отсюда

$$l = \frac{T^2 g}{4\pi^2} \cdot \frac{m + M}{M}.$$

Правильное решение задачи прислали; Л. Брацинский (Фрунзе), В. Коротких (Новокузнецк), М. Премер (Томск), Н. Федин (Омск), Л. Смушекевич (Магнитогорск), Ю. Лурье (Грозный), П. Серееев (Грозный), Е. Долгов (Москва).

Ф120

Конькобежец по ледяной дороге страдает проятить вираж как можно близке к внутренней бровке. Велосипедист на велотреке проходит вираж возможное дальше от внутренней бровки. Как разьяснить это разлиние в движении конькобежца и велосипедиста на вираже? Профиль трека изобранен на рисунке 13.

Конькобежцу центристремительное ускорение сообщает сила трения о лед $F_{ТP} = kN$, где $N$ — сила нормального давления конькобежца на лед (рис. 14). Так как конькобежец не перемещается в вертикальном