Квант 1972, №7 · Страницы

Квашт
7
ИЮЛЬ
1972
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Кикоин,
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров,

Редакционная коллекция

Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, С. Т. Беляев, В. Г. Болтянский, И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, А. И. Климанов (главный художник), С. М. Козел, В. А. Лешковцев (зам. главного редактора), Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллионщиков, Н. А. Патрикеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков, М. П. Шаскольская, С. И. Шварцбург, А. И. Ширшов

На первой странице обложки изображен двумерный орnament, получающийся переносами квадрата по горизонтали и по вертикали.

На соседнем рисунке изображен линейный орnament («бордюр»), получающийся переносами исходной фигуры (определенное самостояльное) лишь по горизонтали.

Об уравнениях, которые можно описывать подобные орnamentы, рассказано в статье М. И. Брюховского «Симметрия и уравнения орnamentов», помещенной на стр. 14. Прочитав ее, попробyte описать уравнениями нарисованные здесь орnamentы.

Заведующая редакция Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов.
Художественный редактор О. Н. Яковлева. Корректор А. Л. Ипатова.
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. «Квант». Тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 14/IV-72 г.
Подписано в печать 30/V-72 г.
Бумага 70×100¹/16
Физ. печ. л. 4 Усл. печ. л. 5,2 Уч.-изд. л. 5,64 Тираж 310 440 экз. T-10502 Цена 30 коп. Заказ 620 Чеховский полиграфический комбинат Главполиграфпрома Комнета по печати при Совете Министров СССР, г. Чехов Московской обл.

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАЩАЮТСЯ

1

ОСНОВАН
В
1970 ГОДУ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО • НАУКА•
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ
2 Ветви и границы Р. П. Шейнцит
6 Атом излучает кванты Б. С. Ратнер
11 Так или не так действовал Ферма? Б. А. Кордемский
14 Уравнения орnamентов М. И. Брякововский
20 Спор, длившийся полвека А. К. Киконн

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
23 Фигуры Лиссажу Н. А. Силаева

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
29 Теорема косинусов и ее следствия Э. Г. Готман

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
33 Задачи M151-M155; Ф163-Ф167
35 Решения задач M108-M109, Ф129-Ф130

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
40 Применение тригонометрии при решении геометрических задач. А. Г. Мордкович
Вариantsы вступительных экзаменов по математике 1971 года
45 Решение задач по электростатике Г. Я. Мякицев
51 Электромагнитная индукция Л. Г. Асламазов

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ
56 Сколько стоит грамм света? А. Б. Геллер

УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА
58 Атомная энергия на службе мира А. В. Алтыкис

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
(3-я стр. обложки).

СМЕСЬ
(стр. 28, 50.)

2

Рассмотрим задачу:
На складе имеются предметы (как-
дый — по одному), вес и стоимость
коморых указанных в таблице.

| Порядковый номер | вес в цент-
нерах | Стоимость
(в рублях) |
| :— | :— | :— |
| 1 | 11 | 120 |
| 2 | 7 | 140 |
| 3 | 6 | 60 |
| 4 | 5 | 80 |
| 5 | 12 | 160 |
| 6 | 9 | 110 |
| Всего | 50 | 670 |

Грузоподъемность автоматии — 3200 кк. Требуется максимальное畜力, чтобы обцяя стоимость взятых предметов была как можно большей.

Очевидно, выгоднее брать предметы, имеющие при малом весе большую стоимость.

Введем понятие уделной стоимости предмета $d_i$, то есть стоимость одного центра $i$-го предмета в рублях: $d_1=10,9$; $d_2=20$; $d_3=10$; $d_4=16$; $d_5=13,3$; $d_6=12,2$.

Если загрузить автоматную предмети с наиболее уделной стоимость — вторым, четвертым, пятым и шестым, — то сумма их весов оказется больше грузоподъемности автоматии ($7+15+12+9>32$).

Если же взять только 2-й, 4-й и 5-й предметы, то машина оказывается недогруженной на 8 кк. Можно тогда погрузить еще только один 3-й предмет, причем суммарная стоимость получится равной 440 руб., а машина будет недогружена на 2 кк. Можно ли быить уверенны, что не существует лучшего способа загрузки машины?

Может быть, выгоднее оставить какой-либо из предметов с большей уделной стоимостью, но это увеличить общую стоимость путем полного использования грузоподъемности машины?

Как видим, «в люб» задачу решить трудно. А в реальных условиях, когда ребь зачастую идет не о шести, а о шестидесятей предметах, и браться за нее нельзя, не вооружившись математическими методами. Переведем задачу на языке математики (как говорят, математизируем ситуацию). Пусть $x_i=1$, если $i$-й предмет погружается на автоматину, и $x_i=0$ в противном случае ($i=1, \dots, 6$). Тогда общая стоимость погруженных предметов в рублях равна 120 $x_1+140 x_2+60 x_3+80 x_4+160 x_5+110 x_6$, а их общий вес в центнерах равен 11 $x_1+7 x_2+6 x_3+5 x_4+12 x_5+9 x_6$.

Итак, отвлекаясь от «жизненной» ситуации, мы получаем число математического задачу: найти значения

3

переменных $x_1, \dots, x_6$ (какое из которых может быть равно 0 или 1), при которых функция
$$f(x_1, \dots, x_6) = 120x_1 + 140x_2 + 60x_3 + 80x_4 + 160x_5 + 110x_6$$
достигает максимума, если выполняно условие (ограничение)
$$11x_1 + 7x_2 + 6x_3 + 5x_4 + 12x_5 + 9x_6 \leq 32.$$ (1)

Функцию $f$ называют целевой функцией задачи; она определяна на множество всех упорядоченных шестерок из нуля и единиц (исстимерных векторов, каждой компонента которых равна 0 или 1).

Всего, оченьindo, имеется $2^6 = 64$ таких векторов, причем каждый из них дает некоторый способ загрузки автоматизины. Но не каждый из этих 64 способов загрузки допустим: вектор $(1,0,1,0,1,1)$ соответствует погрузке на машину 1-го, 3-го, 5-го и 6-го предметов, однокто их общий вес $(38 \mu)$ превышает допустимый.

Естественно называть вектор допустимым, если для него выполняется условие (1). Итак, решением задачи является допустимый вектор, максимизирующий целевую функцию $f$.

Теперь допустим, что 1-й предмет, погружен на автоматизину. Тогда $x_1 = 1$, и мы получаем новую задачу:

Наименование переменных $x_2, \dots, x_6^*)$, при котором достаточно максимума функция $f_2(x_2, x_3, \dots, x_6) = 140x_2 + 60x_3 + 80x_4 + 160x_5 + 110x_6$ при условии $7x_2 + 6x_3 + 5x_4 + 12x_5 + 9x_6 \leq 32$.

Если же 1-й предмет не погружен, то $x_1 = 0$, и мы получаем такую задачу:

Наименование переменных $x_2, \dots, x_6$, максимизирующих функцию $f(x_2, \dots, x_6) = 140x_2 + 60x_3 + 80x_4 + 160x_5 + 110x_6$ при условии $7x_2 + 6x_3 + 5x_4 + 12x_5 + 9x_6 \leq 32$.

*) Условия $x_i = 0$ или 1, предполагаемые на протяжении всей статы, мы в дальнейшем специально не ограничены.

Таким образом, одну задачу с 6 переменными можно свести к двум задачам с 5 переменными; те в свою очередь сводятся к четырем задачам с 4 переменными и т. д., так что в конце концов мы получаем 64 задачи с одной переменной каждой. Но уже если надо решать такую систему, то процесс непредставленного проверить условия (1) для каждой из 64 возможных векторов, для допустимых из них вычислить значение целевой функции и выбрать тот вектор, для которого значение максимального, то есть, как говоря, решить задачу «полным перебором».

А как же быть в тех случаях, когда число предметов (компонент векторов) велико? Ведь уже при 20 предметах число возможных вариантов превышает миллион! Ясно, что метод полного перебора в задачах такого рода в большинстве служев непригrodен.

Мы расскажем сейчас об одном методе, позволяющим как правило, значитьлено уменшить число сравняемых вариантов, необходимое для получения решения. Метод этот, известный под названием «метод ветвей и границ», мы опишем в процессе его применения к нашей задаче.

Процесс отбора предметов для погрузки на автоматизину можно изобразить в виде $\textcircled{2}$ графа $^*$). Начальный узел 0 соответствует множество $P$ всех 64 максимальных векторов. От узла

*) См. статью М. И. Башмакова. «Паросочетания и трансортиные сети» в № 4 «Кванта» за 1970 год. Впрочем, дальнейшее будет понятно и тем, кто не читал этой страницы.

4

0 начинается вемвленное к узлом 1 и 2 (рис. 1). Узел 1 находится правее и ниже узла 0. Он соответствует таким способам погрузки, при которых 1-й предмет обязательно погружается на автоматину. Очевидно, узел 1 соответствует подмножеству $P_1$ таких 32 векторов из $P$, у которых $x_1=1$. Узел 2 находится левее и ниже узла 0 и соответствует подмножеству $P_2$ таких 32 векторов из $P$, у которых $x_1=0$. Дальнейшее построение графа ясно. На рисунке 1 показан граф после двух шагов ветвления.

Каждай узел графа соответствует подмножеству векторов из $P$, у которых неоторные из компонент уже зафиксированы. Если построение множества $P_1$ и $P_2$ рассматривать как первый шаг ветвления (первый уровень графа), то на $k$-м шаг ($k$-й уровень графа) мы получим $2^k$ узлов, каждый из которых соответствует множество $2^8-k$ векторов (варинартов загрузки автоматизины). Узлы, полученные на шестом шаг ветвления, представляют по одному вектору каждой, так что средние этих узлов находится задан. Итак, если проведится ветвление полностью, то придется построить граф с числом узлов $1+2+4+\dots+64=127$.

Но мы постараемся действовать таким образом, чтобы попутно обнаруживать «бесперспективные» узлы, из которых не могут выходить ветви, ведущие к решению. Чем раньше (выше) «отсечь» эти ветви, тем меньше перебор придется нам делать потом. С этой целью сопоставим каждому узлу 2 числа (которые будем записывать под узлом). Верхнее из них показывает наиболее возможную суммарную стойимость (эранцу стойимости) взятых предметов при любом способе погрузки, описываем векторами данного узла. Ниже число показывает, какой общий все общаяемых предметов допустим на данном шаг (это число равно разности между грузоподъемностью автоматизины и весом всех уже погруженных предметов). Для примера найдем верхнее и нижнее

Числа для 1-го узла. Поскольку во всех соответствующих ему вариантах погрузки 1-й предмет обязательно береется, нижнее число на этом шаг равно $32-11=21$. Граница строится (верхнее число) равна сумме строимости всех предметов, так как мы еще не исключали возможность выбор ни одного из них. Поэтому верхнее число 1-го узла равно 670. Для второго узла верхнее число равно 550 (670-120), так как первый предмет не береется: нижнее же число равно здесь 32.

Пусть $P_i$ — вес $i$-го предмета, $C_i$ — его стоимость. Очевидно, что при переходе от любого узла, находящемся на $i$-м уровне графа, направившись верхнее число не меняется, а нижнее уменьшается на $P_{i+1}$, при переходе же от этого узла налево внизим число не меняется, а верхнее уменьшается на $C_{i+1}$. Будем на каждом этапе вемволь том узел, у которого верхнее число наиболее целым. Если же у двух узлов верхние числа совпадают, то будем вемволь том из них, у которой нижнее число меньше. Если в процессе ветвления встретиется узел с отрицательным нижним числом, это значит, что при соответствующих данному узлу способах погрузки автоматизина будет перегружена, и ветвление такого узла не имеет смысла. Производя ветвление по указанному способу, мы приедем к узлу, находящемуся на последнем, шестом уровне графа, с неотрицательным нижним числом.

Этот узел соответствует некоторому допустимому способу погрузки, при котором значение целевой функции равно верхнему числу. Все неветвленные узлы, у которых меньше, чем у этого узла, незначим ветвить, так как при ветвлении верхнее число не может увеличиться. может оказаться, что верхнее число найdenного узла больше, чем у любого другого узла. Тогда этот узел и дает решение задачи. На рисунке 2 показан окончательный граф.

Построение графа продолжит по следующим этапам (числа ознакомят

5

номера узлов):

1. 0→1→3→5→7→9; 2) 6→11→13; 3) 8→15; 4) 2→17→19→21→23→25; 5) 12→27→29; 6) 4→31→33→35; 7) 10→37; 8) 20→39→41→43; 9) 22→45→47; 10) 32→49→51→53; 11) 14→55; 12) 34→57→59.

Дальнейшее ветвление бесполезно, так как узел 55 находится на последнем уровня графа и имеет наиболее верхнее число. Этот узел и дает решение задачи. Он соответствует вектору (1,1,0,1,0,1): нужно погрузить на автоматину 1-й, 2-й, 4-й и 6-й предметы. При этом суммарная стоимость (максимум целевой функции) равна 450 руб.

В процессе построения графа было «отсечено» свыше 50% беспереспективных вариантов. При увеличении числа переменных процент таких вариантов обычно растет.

Кроме того, процесс можно использовать описанного подхода к решению подобных задач. Конечно, наша задача достаточно проста: из каждого узла выходит лишь 2 ветви, и не составляет труда найти границы (верхнее и нижнее числа). В других задачах процессы ветвления и ограничения могут быть сложнее и зависит от опитности и острумия тех, кто ее решает. Что же касается трудоемкости самой реализации процесса, то здесь на помощь приходит электронно-вышистельные машины. Задания, подобные рассматриваемой, часто называют «задачами о рюкзаке» (замените автоматину туристским рюкзаком, а ее грузоподъемность — предельными возможностями туриста, собирающего в подход и совершающего трудный выбор среди «совершенного необходимых» предметов).

Конечно, задачи эти приходятся решать далеко не только перед отпуском или каннику. Ведь формирование годового плана предприятия во многих случаях — та же задача о рюкзаке. Недвижительно, что метод ветвей и границ «работает» во многих планахово-экономических задачах, имеющих больше значения для народного хозяйства.

6

В «Рассказе о кванте»*) были рассмотрены основные свойства электромагнитного излучения. Наименьшая порция энергии, которая может быть испущена или поглощена в виде излучения с частотой $v$, называется квантом. Энергия кванта $E = 2\pi hv$, где $h = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ дж·с}$ — значением постоянная Планка. (В старой литературе под постоянной Планка подразумевали величины $h = 2\pi h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ дж·с.}$)

Диапазон энергии квантов, встречающийся в природе, необычайно широк (см. рис. 1). Если энергия кванта, соответствующего длиным радиоволнам (например, волна длиной 1000 м), составляет всего $E = \frac{2\pi hc}{\lambda} = 1,2 \cdot 10^{-9} \text{ дж}$ (то есть в миллиард раз меньше энергии светового кванта), то энергия жестких γ-квантов, возникающих при распаде падающих на Землю частц космии

*) См. «Квант» № 1, 1970 г., стр. 6.

ческих лучей, достигает значений $\approx 10^{15} \text{ дж}$ ($1 \text{ дж} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ дж}$).

В этой статье мы рассекем о том, как образуют связи иRENTНОВСКИЕ КВАНТЫ, а также ГАММАКВАНТЫ.

Возникновение света

Солнечный свет и пламя спички, свет неоновой рекламы и свечение раскаленного металла, несмотря на каждушее разлиние, имеют одну природу. Возникновение света во всех источниках обусловлено изменениями, происходящими в атомах.

Согласно теории Бора atom любого элемента может находиться лишь в строю определенных дискретных состояний. Каждому состоянию соответствует определенная внутренняя энергия atoms $E_n$. Возможные значения энергии atoms получили название энергетических уровней и обозначются на схеме уровней горизонтальными прямыми (см. рис. 2, a).

Расстояние между прямыми $\Delta E$

Рис. 1. Диапазон энергии квантов электромагнитного поля, встречающийся в природе.

Рис. 2. а) Схема уровней атомов водорода. Показаны переходы на уровни с $n=1$ и $n=2$. Спект излучения атомарного водорода в видимой области — переходы на уровень с $n=2$. Такая картина наблюдается в спектрометре.

равно разности энергий соответствуют уровней атома. Изший энергетический уровень $E_1$ характеризует основное состояние атома. В этомустойчивом состоянии находится нормальный условия все атомы. При поглощении энергии atom переходит в одно из возникенных состояний $E_2$, $E_3$, $E_4$, … Способ возникения атом может быть самым различным: облучение быстрыми электронами, тепловое воздействие, воздействие световых квантов или электрической разряд. Во всех случаях возникения энергия передается электронам атома, поэтому часто говорят не о переходах атома с одной уровня на другой, а о переходах электрона. Возбуженные состояния атома неустойчивы. За время $\tau \approx 10^{-8}$ с atom переходит в основное состояние, излучая энергию в виде квантов электронагнитного поля. Энергия кванта $E = 2\pi hv = E_2 - E_1$.

Рассмотрим atom водорода, просчетший из атомов, состоящий из протона и связанного с ним электрона. Энергия любого уровня может быть найдена из следующей формулы:

$$E_n = -\frac{13,59}{n^2} \text{эв},$$

где $n=1, 2, \dots$ — так называемое главное квантовое число, характеризующее энергию уровня. В невозбужdenном состоянии атома электрон находится на уровне с $n=1$. При возбужdenнии электрон может оказаться на уровне с $n=2, 3, \dots$. Из формулы видно, что с увеличением энергии возбужdenия расстояние между соседними уровнями (то есть разность энергии) уменьшается. Отрицательным значением энергии $E_n$ соответствует связанные состояния электрона. Следовательно, до тех пор, пока электрон удерживает в поле атома, спектр имеет прерывный (дискретный) характер. Сообщив atomу водорода энергию, превышающего значение $E = 13,59 \text{эв}$, мы понизем его.

При переходе электрона с более высокого уровня на более низкий испускается квант света. Его энергия равна разности энергий уровней:

$$E_{n_i n_k} = E_{n_i} - E_{n_k} = 13,59 \left( \frac{1}{n_k^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) (\text{эв}).$$

Зная энергия кванта, мы можем найти длину волны испущенного света, наблюдаемого в спектроске:

$$\lambda = \frac{2\pi hc}{E} (\text{см}).$$

Схема энергетических уровней атомов водорода показана на рисунке 2, а. Серия спектральных линей, соответствующих переходам на уровень с $n=2$ со всех вышележащих уровней (серия

8

Бальмера), нахождение в видимой области (рис. 2, 6). Переходы в основное состояние дают излучение в ультрафилотовой части спектра (серия Лаймана).

В atomах более сложных, чем водород, электроны группируются в оболочки, то есть группы уровней с близкой энергейой, имеющих одно и то же главное квантовое число $n$. Различные оболочки обозначают буквы $K, L, M$ и т. д. На близкой к ядру $K$-оболочке располагается не более 2-х электронов, на $L$-оболочке — 8, на $M$-оболочке — 8, на $N$-оболочке — 18 и т. д. Наружные электроны связи с atomом слабее внутренних; объясняется это увеличением расстояния до ядра и частным экранированием притяжения ядра со стороны внутренних электронов.

С увеличением заряда ядра энергия связи $k$-электронов быстро расчет (пропорционально $Z^2$) и составляет в atomе натрия 1,1 кэв, а в atomе волфрама — 70 кэв. Поэтому кванты видимого света, энергия которых составляет от 1,6 до 4,1 кэв, испускаются сложными atomами при переходах электронов между уровнями внешней оболочки.

Широко известен опыт, в котором пламя газовой горелки всыхивает желтым светом, когда в него бросают щепотку поваренной соли. Два очень близкие по энергии кванта, излученные atomами натрия в желтой части спектра, ответственных за этот эффект (см. рис. 3).

Испускание света в газоветных трубках, использемых для рекламы, также обусловлено переходами между определенными уровнями atomов газа, возбуждаемых с помощью электронического разряда. Однако чаще нам приходится стalkивать с источниками света, обладающих сплошным (непрерывным) спектром. Именно к таким источникам света относится солнеце, лампы накаливания и лампы дневного света (лиминесцентное освещение). В чем причина перехода от отдельных линей к сплошному

спектру? Оказывается, только разреженные газы, в которых взаимодействие между atomами неVELКО, дают линейные спектры. Если же всплесние высокой температуры или большого давления atoms газа часто испытывают соударения, то линии излучения ушируются настолько, что образуют непрерывный спектр. (Любоопытно, что хотя спектр солнечного света сплошной, спектр атмосферы Солнца, который удается изменить во время полного солнечного затмения, состоит из отдельных ярких линей).

В твердом теле высокорасположенные уровни отделных atomов, участвующие в образовании оптических спектров, из-за взаимодействия atomов превращаются в широкие энергетические зоны. Переходы между ними дают сплошной спектр, почти одинаковый для всех раскаленных твердых тел и зависшей, в основном,

L; далее идут серии M и N, которые наблюдаются только у тяжелых элементов. Длина волныRENTеновских лучей в тысячи раз меньше длины волн, испускаемых в видимой части спектра при переходах электронов внешней оболочки атомов.

Возникновение γ-квантов

Вскоре после открытия радиоактивного распада элементов Э. Резерфорд осуществил свой известный опыт по определению природы нового излучения. На одну из составляющих лучей, испускаемых препаратом радия, магнитное поле не оказывало никакого воздействия — это были γ-кванты.

С тех пор вот уже более полезна испускание γ-квантов ядрами является предметомtlsательного изучения физики.

Ядра, как и atoms, помимо основного состояния с минимальной энергейой могут находиться в дискретных возбужdenных энергетических состояниях. Расстояние между энергетически уровнями колблется в зависимости от массы ядра и энергии возбуждания от десятка кээ до нескольких Мээ. Время жизни ядра в возбужdenных состояниях не превышает $10^{-13} - 10^{-14}$ с. Переход ядра из возбужdenного состояния в основное чаще всего сопровождается испусканием γ-квантов.

Энергия γ-кванта равна разности энергии начального и конечного состояния. Иногда энергия возбужdenия ядра может превращаться в кинетическая энергия электрона, который вследствие этого покидает atom. Этот процесс, называемый внутренней конверсией, чаще всего происходит на ближайшей к ядру электронной оболочке.

У некоторых ядер встречаются состояния, распад которых в основное состояние запрещен определенными правилами квантовой механики. Время жизни таких состояния, называемое

11

Так или не так действовал Ферма?
(о факторизация чисел)

Б. А. Кордемский

С именем знаменного Пьера Ферма связано много тайн. Однако он получил письмо с вопросом: «Является ли простым числом 100895598169?» Ферма незамедлительное ответил, что это двенадцатизначное число является произведением двух простых чисел: 898423 и 112303.

Способ исследования числа он не раскрыл.

Отъискание простых множителей натурального числа называют для краткости «факторизация» («фактор», значит — множество ссылок слового объчно и употребляется). Далее с таким помощьюками, как электронные вычислительные машины, факторизация больших чисел — чрезвычайно трудоемкая задача, тем более трудно сделать это «ручным способом». Несолько первых простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, …) легко проверяют на их природность в качестве возможных множителей испытуемого числа — по известным признакам делимости на эти числа. Упрощает вычисления и значение признаков делимости на какие-либо из последующих простых чисел *).

Ясно также, что для всякого заданного числа $N$ достаточно испытывать в качестве возможных множителей простые числа, меньше, чем $V\overline{N}$. Действительно, если у числа $N$ есть множитель $m > V\overline{N}$, то ему соответствует, как результат деления $N$ на $m$, и некоторый множитель, меньше, чем $V\overline{N}$.

Как прием факторизацию можно использовать известный алгоритм Евклида.

*) См. например, заметку о признаках делимости на 19 и 7 в «Кванте» № 6, 1970, стр. 10.

клида для отыскания наиболее общего делителя (НОД) двух чисел. Состоит он, как вы, быть может, помните, в следующем *): находим остаток $r_1$ от деления большого числа на меньше, затем находим остаток $r_2$ от деления предшествующего делителя на $r_1$, затем остаток $r_3$ от деления $r_1$ на $r_2$ и т. д. Послений не равный нулю остаток (он непременно существует, поскольку числа $r_i$ убывают) и есть НОД заданных чисел (если он равен 1, то они взaimно просты).

Для примера применим этот алгоритм к числам 104 и 39:

104 : 39 = 2 (остаток 26);
39 : 26 (остаток 13);
26 : 13 = 2 (остаток 0).

Ответ: НОД (104,39) = 13.

Как же применить алгоритм Евклида к факторизации чисел?

Для выявления простых множителей числа $N$ образуется другое число $P$ — произведение всех простых чисел от наименьшего из «подозреваемых» множителей числа $N$ до наименьшего среди всех простых, меньше, чем $\sqrt{N}$. К этим числам $N$ и $P$ мы и применим алгоритм Евклида.

Пусть, например, $N = 851$. Замечаем, что $\sqrt{N} < 31$. Установливаем по признакам делимости, что $N$ не делится на 3, 7, 11, 13. Кроме того, сразу видно, что 851 при делении на 17 дает в остатке 1. Остается испытыть делимость $N$ на 19, 23 и 29. Для такого необольшего числа, как 851, это легко сделать примым делением

*) Обоснование и примеры применения алгоритма Евклида приведены в статье А. Н. Виленкина «Сокращение алгебраических дробей» («Квант» № 11, 1970) и Вагутена «Алгоритм Евклида и основная теорема алфметики» («Квант» № 6, 1972).

14

УРАВНЕНИЯ ОРНАМЕНТОВ
М.И.Бржозовский

Подбирая должны образом уравнения, можно получить самые разнообразные, подчас весма приудливые картины. Например, можно получить «розициу», изображенную на рисунке А. Как это сделать? Предварительно нам придется вспомнить, что числовой плоскость называется множество всех пар действительных чисел (см. статью А. Н. Колмогорова «Что такое график функции», «Квант» № 2, 1970 г.) Любое множество точки числовой плоскости условия называется геометрической фигура описывается уравнением $f(x, y)=0$.

Можно, в частности, рассмотреть множество всех таких пар действительных чисел $(x, y)$, для которых $f(x, y)=0$, где $f(x, y)$ — заданное выражение. В этом случае говорят, что получающаяся геометрическая фигура описывается уравнением $f(x, y)=0$.

Так, уравнение $x^2-y=0$ описывает парабoly; уравнение $x^2-y^2=0$ — две прямые ($y=x$ и $y=-x$), пересекающие в точке $(0, 0)$; уравнение $x^2+y^2=2$ — окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{2}$; уравнение $|x|+|y|=1$ — квадрат с центром в точке $(0, 0)$ и вершинами, лежащих на координатных осях.

Тепер рассмотрим следующие уравнения:

$$\left(x+y\mathrm{ctg}\frac{\pi n}{32}\right)\sqrt{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{49}-1} = 0$$

(1)

Рис. А.
Рис. Б.
Рис. В.

16

рис. 1). Уравнение окружности $F_1$ в той же системе координат записьется уже в виде

$$(x - 2)^2 + y^2 = 1.$$

Аналогично можно получить целочку окружности $F_{-1}, F_2, F_{-2}, \dots, F_k, F_{-k}, \dots$. Они образуют линейный орnament.

Всю эту целочку окружности можно описать одним уравнением, если в расстояние функции $[x]$ — целая часть $x^*$).

Вот это уравнение:

$$(x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right])^2 + y^2 = 1.$$

Если $x$ находится в промежутке $[2k - 1, 2k + 1)$, то это уравнение, как нетрудно проверить, задает одну из окружностей:

$$(x - 2k)^2 + y^2 = 1.$$

Вообще, если $f(x, y) = 0$ (при $a \leqslant x < a + T$) — уравнение неокоторой геометрической функции, которое мы назовем основной функцией $F_0$, то линейный орnament, полученный из $F_0$ переносами на $kT$ единиц по оси $Ox$ (где $T > 0$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$), описывается уравнением

$$f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right], y \right) = 0.$$

Пусть теперь основная функция $F_0$, заданная в полосе $(b \leqslant y < b + S)$ переносится (по диагонали) на $kT$ единиц по оси $Ox$ и на $kS$ единиц по оси $Oy$. тогда получается линейный орnament со звеньями из функции $F_i$, расположенный вдоль отрезка, соединяющего начало координат $(0, 0)$ с точкой $(T, S)$, а уравнение

$$* ) \text{ Функция } [x], \text{ называемая «целой часть } x», \text{ определяется равенством } [x] = k, \text{ если } k \leqslant x < k + 1, \text{ где } k - \text{ целое число (наибольшее целое число, не превысходящое } x).$$

Рис. 2.

этоого орnamentа будет

$$f \left( x - T \left[ \frac{y - b}{S} \right], y - S \left[ \frac{y - b}{S} \right] \right) = 0 \quad (7)$$

(при $S \neq 0$). При $T = 0$ получается линейный орnament, расположенный вдоль оси $Oy$. Комбинацией переходов (6) и (7) получаются уравнения двумерных орnamentов.

Интересно отмечить, что если функция $y = f(x)$ определяена в интервале $a \leqslant x < a + T$, то функция

$$y = f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$$

определена на всей вещественной оси $-\infty < x < \infty$, периодична с периодом $T$ и совпадает с $f(x)$ в интервале $a \leqslant x < a + T$.

Функция $f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$ называют периодическим продолжением функции $f(x)$. Например, если $y = |x|$ в промежутке $(-1, 1)$, то

$$y = |x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right] |$$

— периодическая функция с периодом $T = 2$, ее график приведен на рисунке 2.

На рисунке 3 изображен линейный орnament, составленный из дуг окружностей радиуса $R = 1$. Основу этого орnamentа составляет функция $F_0$ (красная часть рисунка 3), заданная уравнением

$$\left( x - \left[ \frac{x + 1}{2} \right] \right)^2 + \left( y - \left[ \frac{y + 1}{2} \right] \right)^2 = 1.$$

18

Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.

$F_0$ — множество всех внутренних точек шестиугольника с центром в начале координат, вписанного в окружность радиуса $R = \frac{2}{\sqrt{3}}$ (рис. 7).

Уравнение этого шестиугольника можно записать в виде

$$\left| y \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| = 1,$$

так как для этих и только этих точек выполняются неравенства

$$1 \leqslant | y | + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| < 2.$$

Чтобы получить синюю часть паркета, можно сначала произвести над $F_0$ серию переносов по оси $Ox$ (при $T_1 = 2\sqrt{3}, a = -\frac{2}{\sqrt{3}}$), а затем полосу из фигур $F_i$ (на оси $Ox$) переести по диагонали (при $T_2 = \sqrt{3}, S = 3, b = -1$). Уравнение красной части паркета получается из построенного уравнения заменой $y$ на $y - 2$, а желтой части — заменой $y$ на $y + 2$.

Интересные круговые орнаменты получаются, если воспользоваться полярными координатами.

В полярной системе координат каждой точка $A$ имеет две координаты (рис. 8): расстояние $\rho$ от этой точки до начала координат $O$ и угол $\varphi$, который образует луч $OA$ с фиксированной осью (на рисунке 8 — с

осью $Ox$); отсчитывается этот угол в положительном направлении (против часовой стрелки) от оси $Ox$. «Начало координат» (точка $O$) имеет координаты $\rho = 0$ и любой угол $\varphi$; любая другая точка имеет однозначно определенную положительную координату $\rho$ и определенную с точкию до кратных $2\pi$ координату $\varphi$.

В полярной системе координат, как и в декартовой, можно описывать фигуры уравнениями. Например, уравнение окружности $F_0$ на рисунке 1 будет $\rho = 1$ (как видим, оно городадо проще уравнения в декартовой системе координат).

Если $f(\rho, \varphi) = 0$ — уравнение основной фигуры, содержащейся в секторе $0 \leqslant \varphi < \frac{2\pi}{n}$, то по аналогии с формулой (6) уравнение

$$f(\rho, \varphi - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right]) = 0$$

задает круговой орнамент, составленный из фигур $F_i$.

Например, можно написать уравнение правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Уравнение $\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} \right) = R \cos \frac{\pi}{n}$ внутри сектора $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{2\pi}{n}$ задает сторону $AB$ (рис. 9), а после серии поворотов отрезка $AB$ на углы, кратные $\frac{2\pi}{n}$, получается и вес $n$-угольник.

Его уравнение по формуле (8) может быть написано в виде

$$\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right] \right) = R \cos \frac{\pi}{n}.$$

20

В 1686 году немецкий философ и естественныйатель Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) опубликовал маленькую в две страницы статью с очень длинным заглавием, таким длинным, что мы не станем приводить его здесь полностью. Но начинаясь заглавие так: «Краткое доказательство примечательной ошибки Декарта и других относительно…».

Статья этаположила начало значитому научному спору между Лейбницем и его стороными, с одной стороны, и последовательными Декарта (картезнацами, как их объявно называют) — с другой. Сам Ренедекарт (1596—1650) умер еще за 36 лет до появления статьи Лейбницца. Этот спор длился более 50 лет.

Какую же ошибку значитый философ Лейбницц заметил у не менее значитого философа Декарта? О чем шел столбдолгий спор?

У всех движущихся тел общим является, конечно, то, что они … движутся. Но можно ли сказать, что у одинх тел «больше движения», а у других меньше, что один тела движутся «сильнее» других? К тому времени, когда возник спор Лейбницц — Декарт, ученые уже были убежены в том, что можно и нужно говорить о «силе» движения, о «количестве движения». Не было только ясно, какая величина выражает «силу» или количество движения. Казалось бы, достаточно характеристкой движения является скорость: более «сильно», то есть с большим количеством движения, движется то тело, у которого скорость больше! Но будет ли правильно утверждать, что маленькая пуля, скорость которой равна, например, 700 м/с, движется «сильнее», чем крупный снаряд, движущийся со скоростью всего в 300 м/с? Очевидно, что важна не только скорость тела. Важно еще, велико или мало движущесся тело.

О величине, выражающей «силу» движения, количество движения, и шел упомянутый спор.

Философские взгляды Лейбницца и Декарта были во многом противоположными, но как физики они сходились в том, что «силу» движения нужно характеризовать тем действием, которое движущееся тело оказывает на другое тело, когда оно с ним вззамодействует (например, при удраpe). Сходились они и в том, что когда при вззамодействии тел движение передается от одного тела к другому, оно (движение) сохраняется. Это значит, что количество движения (или «сила» движения), потеряное одним из тел, прибретается другим. Значит, и выражается «сила» движения такой величины, которая при движении тел и их вззамодействиях сохраняется.

В 1644 году Декарт в своей книге «Начала философия» доказывает, что свойством сохранения обладает произведение «величины тела» (то есть его массы) на абсолютиное значение его скорости. Это произведение и выражает «силу» движения тела. Здесь Декарт допустил очень важную ошибку: свойством сохранения на самом деле обладает произведение массы тела на вектор скорости, а не на ее абсолютиное значение. Но Декарт не считал нуждным учитывать направление движения, считая, что «движение движения не противоположно».

Против предложенной Декартом величины «силы» движения («количества движения») и выступил в своей статье 1686 года Лейбницца, доказывающий, что «силу» движение должно призвонить произведение «величины

21

тела» (массы) на квадрат скорости, так как именно величины этого произведение не меняется в процессе движения. После этого и начался великий спор:

$$mv \text{ или } mv^2?$$

Если выразить существ стора на современном языке механики, то она свойства к следующему.

Декарт считал, что большей «силой» движения или большим количеством движения обладает тело, у которого больше значения величины $mv$. И вот почему: если взять два положихся тела с массами $m_1$ и $m_2$ и подвергнуть их действию сил $F_1$ и $F_2$ в течение одного и того же промежутка времени $t$, то относение сил $F_1$ и $F_2$ будет равно

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1}{m_2 a_2}.$$

Умножим и разделим правую часть этого уравнения на $t$. Тогда получим

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1 t}{m_2 a_2 t}.$$

Но $a_1 t = v_1$, а $a_2 t = v_2$. Поэтому

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 v_1}{m_2 v_2}.$$

Так как относение сил равно относению величины $mv$, то $mv$ и есть количество движения («силла» движения).

Лейбниц же рассуждает так: если взять два тела с массами $m_1$ и $m_2$ и подвергнуть их действию сил $F_1$ и $F_2$ так, чтобы под действием этих сил оба тела прошли одно и то же расстояние $S$, то относение сил будет равно

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1}{m_2 a_2}.$$

Умножив и разделив правую часть этого равенства на $S$, получим

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 a_1 S}{m_2 a_2 S}.$$

Но, как известно, $a_1 S = \frac{v_1^2}{2}$, а

$$a_2 S = \frac{v_2^2}{2}.$$

Позному

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_2 v_2^2} = \frac{m_1 v_1^2}{m_2 v_2^2}.$$

Так как относение силы равно относению величины $mv^2$, то $mv^2$ и выражает «силу» движения, или количество движения.

Для картезанцев, таким образом, «силой» движения является величины $mv$, а для Лейбниц и его стороны — величины $mv^2$. В 1695 году в ходе спора Лейбниц предложил для величины $mv^2$ (точнее, для $\frac{mv^2}{2}$) название «живая сила», и оно до сих пор не вышло из употребления. На языке современной механики $\frac{mv^2}{2}$ — это кинетическая энергия тела. Сила, приложенная к телу, изменяет kinetic energy of the system, и это изменение равно работе силы, то есть равно FS. Величина же $mv$ — это импульс тела. Он тоже изменяется под действием приложенной к телу силы, и его изменение равно импульсу силы, то есть равно $Ft$.

Кто же был прав в этом споре?

Как это ни странно, но в этом должно срочно.net ни победнено. Обе стороны были и правы, и не правы. Правы потому, что обе величины — $mv$ и $mv^2$ являются важными характеристиками движения. Значение величины $mv$ определяет время, в течение которого первоначально поконвшеся тело под действием данной силы изменяет скорость от нуля до $v$. Значение же $mv^2$ (точнее, значение $\frac{mv^2}{2}$) определяет расстояние, которое тело должно пройти под действием данной силы, пока его скорость изменяется от нуля до $v$.

На это именно и указал в 1743 году французский ученый Даламбер. Так как каждая из предложенных участниками спора величины может считаться мерой «силы» движения, то спор,

длившийся так долго, есть, по словам Даламбера «…бесплодный…спор о словах, недостойный философов». Спор, таким образом, приSEL к естественному концу.

Но обе стороны были неправы потому, что ни величина $m|v|$, где $|v|$ — модуль скорости, ни величина $\frac{mv^2}{2}$ не обладают свойством сохранения при взаимодействиях. Свойством сохранения в действительности обладает величина $mv$. Что касается $\frac{mv^2}{2}$, то во всех случаях, когда кинетическая энергия переходит в какой-либо другой вид энергии, например, в потенциальную энергию взаимодействия, в тепло, в энергию электрического тока и т. д., она вообще не сохраняется. Она, в существии, не сохраняется и в том процессе, изучение которого и приведено к идее о сохранении величины $mv^2$, — в процессе управления. Если, например, стандартная два шара одинаковой массы, движущие настречу друг друга с одинаковыми скоростями $v$, то значения $mv^2$ до и после стокновения одинаковы. Но в самый момент удара величина $mv^2$ (точнее, кинетическая энергия $mv^2/2$) равна нулю! Сохраняется не $mv^2$, а то, что мы называем теперь полной энергей.

Может показаться страным, что спор, начавшийся в 1686 году, мог продолжаться так долго. Ведь в том же 1686 году Ньюотон представил свой знаменитый труд «Математические начала натуральной философии», в котором была изложена механика Ньюотона. А из нее как будто бы宙но, что спорить, собственно, и не о чем было. Но дело в том, что механика Ньюотона далко не сразула всеобщее признание, особенно за пределами Англлии. Поэтому споршие стороны не пользовались ни понятием массы, ни понятием силы в «ныютоновском» смысле. Слово «сила» означает у спорших именно «силу» движения, а не причину ускорения тел. К тому же Ньюотон не знал, конечно, о существовании закона сохранения энергии (ведь само понятие работы и энергии появилось лишь спустя сто с лишним лет) и, вообще, не придавал значения законам сохранения. И еще долго слова «сила» применялось одновременно и в ньюотновском смысле (сила — причина ускорения), и в смысле Лейбница, хотя то, что у Лейбница называется «силой», в действительности есть энергия. Отложком тех далеких времени в какой-то мере являются такие современные выражения, как электродвижущая сила (энергия, приходящая на единицу электрического заряд), лошадная сила (до недавнего времени — единица мощности) и т. д.

Любопытно, что когда в 1847 году появился стать известного немецкого ученого Германа Гельмгольца, в которой был формулирован один из самых важных законов природы — закон сохранения энергии, то в заголовке этой статьи слова: «О сохранении силы»!

23

В «Кванте» № 1 за 1972 год мы уже расссказывали об опытах с одним из самых простых физических приборам — магнитком *). В этой статье мы рассекем еще о несколько опытах, которые мы можете провести у себя дома.

Смыные простые колебания тела — это колебания, при которых отклонение $x$ тела от положения равновесия изменяется по закону

$$x = a \sin(\omega t + \varphi),$$

где $a$ — амплитуд, $\omega$ — частота, $\varphi$ — начальная фаза колебаний.

Такие колебания называются гармоничическими. Гармоничские колебания совершают математический мятник, грузик на пружине, направление в электрическом контуре.

В этой статье мы рассмотрим случай, когда тело участует одновременно в двух гармоничских колебаниях. Если оба колебания происходит вдоль одной прямой, то уравнение движения тела будет представлено суммой уравнения двух движений:

$$x = A_1 \sin(\omega_1 t + \varphi_1) + A_2 \sin(\omega_2 t + \varphi_2).$$

Нетрудно построить график смешения тела от положения равновесия в зависимости от времени. Для этого нужно сложить ordinаты кривых, соответствующих первому и второму движениям. На рисунке 1 показан пример сложения двух гармоничских колебаний (черные синусиды). Красная линия соответствует результатурушему колебанию. Оно уже не является гармоничским.

Более сложные траектории получаются при сложении колебаний в двух взаимно перепределительных направлениях. Примером такого колебания может служить движение тела, изображенное на рисунке 2. В этом случае вид траектория зависит от соответствия частот, амплитуд и фаз взаимно перепределительных колебаний. Эти траектории называют фигурами Лиссажу, по имени французского физика Лиссажу, который в 1863 году впервые описал их. Установка, использованная Лиссажу,

*) Г. Л. Коткин, Олыты с магнитами, «Квант» № 1, 1972 г.

24

Рис. 2.

показана на рисунке 3. Камертоон $T'$ колблется в горизонтальной плоскости, камертоон $T$ — в вертикальной. Луч света проходит через линзу и попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону $T'$, отражается им, попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону $T$, и после вторичного отражения попадает на экран. При колбании только одного камертона светлое пятно на экран колблется вдоль прямой линии. Если колблотся оба камертона, пятно может описывать замысловые траектории.

Рис. 3. Установка Лиссажу.

Траектория движения тела в том случае, когда оно одновременно участвует в двух взаимно перpendикулярных колбанях, описывается системой управления

$$x = A_1 \sin (\omega_1 t + \varphi_1),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2),$$

где $x$ и $y$ — проекции смешения тела на оси $X$ и $Y$.

Допустим для простоты, что $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$ и $\omega_1 = \omega_2 = \omega$. Тогда

$$x = A_1 \sin \omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Это означает, что $y = \frac{A_2}{A_1} x$; следовательно, соответствия (2) описывается отрезок прямой. Угол наклона $\alpha$ к оси $X$ определяется уравнением

$$tg \alpha = \frac{A_2}{A_1}.$$

Пусть теперь $\varphi_1 = \varphi_1' + \frac{3\pi}{2}$. Тогда

$$x = A_1 \cos (\omega_1 t + \varphi_1'),$$
$$y = A_2 \sin (\omega_2 t + \varphi_2).$$

Разберем сначала самый простой случай, когда $A_1 = A_2$, $\varphi_1' = \varphi_2 = 0$ и $\omega_1 = \omega_2 = \omega$, то есть

$$x = A \cos \omega t,$$
$$y = A \sin \omega t.$$

Точка с координатами $x$ и $y$, определяемыми этим уравнением, описывает окружность радиуса $A$. Действительно, $x^2 + y^2 = A^2 \cos^2 = \omega t + A^2 \sin^2 \omega t = A^2$. А это и означает, что траектория движения — окружность.

Пусть теперь $A_1 \neq A_2$. Построим траекторию движения для случая $A_1 = 1$, $A_2 = 2$. В момент максимального отклонения $x = A_1 = 1$, то есть $\cos \omega t = 1$, $\omega t = 0$ и следовательно, $y = 2 \sin \omega t = 0$. Аналгично, при $x = 0$ $y = 2$, при $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $y = \sqrt{2}$ и так далее:

Построив по этим координатам график, мы получим эллипс, больше получь которого равна $A_2$,

25

a малая $-A_1$, то есть эллипс вытянут по оси $Y$ (рис. 4, а) *). Нетрудно показать, что при $A_1 = 2$ и $A_2 = 1$ мы получим эллипс, вытянутый по оси $X$ (рис. 4,б).

Таким образом, ясно, что, меняя соответствие амплитуд, можно получить различные эллипсы.

Пусть теперь $\omega_1 = 2\omega$, $\omega_2 = \omega$, $\varphi'_1 = 0$ и $\varphi'_2 = 0$. тогда система уравнения (3) прибретает вид

$$x = A_1 \cos 2\omega t,$$
$$y = A_2 \sin \omega t.$$

Преобразуем уравнение для $x$ следующим образом:

$$x = A_1 \left( \cos^2 \omega t - \sin^2 \omega t \right) =$$
$$= A_1 \left( 1 - 2 \sin^2 \omega t \right) = A_1 \left( 1 - 2 \frac{y^2}{A_2^2} \right).$$

Эта кривая — часть параболы с осью вдоль оси $X$ и вершиной в точке $x = A_1$ (рис. 5). Таким образом, мы получили незамкнутую кривую.

Рассмотрим теперь влияние частот на форму траектории, а амплитуды поперечного и продольного коллебаний, описываемых системой уравнения (3), возьмем одинаковыми.

Построим, например, кривые, соответствующие уравнениям

$$\begin{cases} x = A \cos \omega t, \\ y = A \sin 2\omega t, \end{cases}$$

Сделать это проще всего так. Возьмем окружность радиуса $A$ (рис. 6), отметим на ней точки, соответствующие углам $\omega t$, равным 0, $\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{8}, \pi, \dots, 2\pi.$

*) To, что система уравнения

$$\begin{cases} x = A_1 \cos \omega t, \\ y = A_2 \sin \omega t \end{cases}$$

описывает эллипс, можно показать и анализе:

$$\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} = \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1,$$

то есть точка с координатами $x$ и $y$ лежит на эллипсе. (См. статью И. Н. Бронштейна «Эллипс», опубликованную в «Кванте» № 9, 1970 г.)

26

взяли окружность радиуса $A$, то координаты $x$ и $y$ каждой окружности — это проекции радиусов векторов этих точек на оси $X$ и $Y$.

Для обонх случаев получаются замкнутые кривые, число петель которых соответствует отношению
$$n = \frac{\omega_2}{\omega_1} \text{ (рис. 7, а, б)}.$$

Фигура, приведенная на рисунке 8, незамкнута. Она соответствует системе уравнения
$$x = \cos 2\omega t,$$
$$y = \sin 3\omega t.$$

В каком же случае получается незамкнутые фигуры? Можно ли найти общие закономерности? Расмотрим уравнения в виде
$$x = A_1 \cos p\omega t,$$
$$y = A_2 \sin q\omega t.$$

Прежде всего заметим, что в той точке, где кривая поворачивает обратно по той же траектории, скорости тела вдоль осей $X$ и $Y$ одновременно обращаются в нуль. Ведь именно в этом случае тело, дивяясь вдоль кривой, останавливается, а затем начинает дивягаться обратно. Если $x = A_1 \cos p\omega t$, то
$$v_x = \frac{A_1 \cos p\omega t_2 - A_1 \cos p\omega t_1}{t_2 - t_1} =$$
$$-2A_1 \sin \frac{p\omega t_2 + p\omega t_1}{2} \sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} = \frac{t_2 - t_1}{t_2 - t_1}.$$

Когда $t_2 \approx t_1 = t$ (разность $t_2 - t_1$ мала), $\sin \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2} \approx \frac{p\omega t_2 - p\omega t_1}{2}$.

В результате
$$v_x = -A_1 p\omega \sin p\omega t.$$
Аналогично для $v_y$ получаем
$$v_y = A_2 q\omega \cos q\omega t.$$

Посмотрим, когда скорости $v_x$ и $v_y$ обращаются в нуль.
$$v_x = 0, \text{ если } p\omega t = k\pi,$$
$$v_y = 0, \text{ если } q\omega t = \frac{\pi}{2} + m\pi.$$

Из этих условий ясно, что фигура Лиссажу получается незамкнутой в

27

техслучаях, когда

$$\frac{p}{q} = \frac{2k}{2m + 1}$$

В частности, кривая на рисунке 8 удовлетворяет этому условию.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать на экране осцилографа. На вертикальном развертуку подается одно гармоничное колебание, на горизонтальном — другое. Их сумма может принимать разнообразные формы. Для этого достаточно менять частоту переменного напряжения на обкладках осцилографа.

Каждай из вас может сам сделать очень простое устройство для наблюдения и фотографирования фигур Лиссажу. Возьмите обыкновенную металлическую линейку и изогните ее так, чтобы плоскость одной половины линейки была переменную плоскости второй ее половины (см. рис. 9).

Один из концов линейки zajмите в тиски. Если теперь качнуть свободный конец линейки, он будет описывать в воздухе замыслованные фигуры. Это и будет фигуры Лиссажу.

Движение свободного конца линейки складывается из независимых колебаний двух частей линейки. Однако — от тисков до перегиба и вторая — от перегиба до конца. Колебания каждой частей переменную плоскости линейки на этом отрезке. Поскольку угол перегиба линейки равен $\frac{\pi}{2}$, колебания взаимно переменикularны. Вид траектории конца линейки зависит от длины и ширины линейки и от того, в каком месте ее перегнуть.

Для получения разных фигур можно использовать одну и ту же линейку. Чтобы изменять соответствие вертикального и горизонтального колебаний, достаточно зажимать линейку в тиски в разных местах.

Так как частота колебаний зависит от длины линейки, то, меняя соответствие между длинами частей линейки, вы будете изменять соответствие между частотами взаимно переменикularных колебаний конца линейки. При этом вы будете получать различные траектории конца линейки.

Чтобы сформировать получающие фигуры, к свободному концу надо прикрепить маленькую лампочку от карманного фонарика. Лампочка проводами, протянутыми вдоль линейки, соединяется с батарейкой (рис. 9). Поместив наш сложный магнит в темной комнате, можно сформировать колебания линейки. Время экспозиции должно быть достаточно велико. Его вы можете определить, проверяя несколько опыт с разной экспозицией.

29

В этой статье рассказывается о том, как с помощью теоремы косинусов решать разнообразные геометрические задачи. СAMA теорема косинусов не доказывается.

Для вычисления элементов треугольника по двум сторонам и углу между ними или по трем сторонам применяется соответствие

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A,$$

называемое «теоремой косинусов».

Teорему косинусов можно использовать и при решении более трудных задач.

Пример 1. Найти площадь параллелограмма, если известны его стороны a и b и острый угол α между диагонали.

Решение. Пусть $ABCD$ — параллелограмм, причем $AB = a$ и $BC = b$ (рис. 1). Будем считать, что $a > b^*$. Тогда угол $BOC$ между диагонали — острый, и согласно условию задачи $\Rightarrow BOC = \alpha$.

Если обозначить длину диагонали $AC$ через 2x, а длину диагонали $*$) Если $a = b$, то параллелограмм является ромбом, а угол между диагонали — прямой.

BD через 2y, то площадь параллелограмма $S$ равна 2xysinα. Из треугольников $AOB$ и $BOC$, используя теорему косинусов, найдем стороны a и b:

$$a^2 = x^2 + y^2 + 2xycos\alpha,$$
$$b^2 = x^2 + y^2 - 2xycos\alpha.$$

Позтому

$$a^2 - b^2 = 4xycos\alpha,$$

откуда

$$xy = \frac{a^2 - b^2}{4cos\alpha}.$$

Следовательно,

$$S = \frac{(a^2 - b^2)sin\alpha}{2cos\alpha}$$

или

$$S = \frac{a^2 - b^2}{2}tg\alpha.$$

Примечние. Если $A$ — угол параллелограмма, то $S = absinA$, откуда следует, что $0 < S \leq ab$. Позтому

$$\frac{a^2 - b^2}{2}tg\alpha \leq ab$$ и

$$tg\alpha \leq \frac{2ab}{a^2 - b^2}.$$

Таким образом, чтобы задача имела решение, необходимо параметры a, b и α выбрать так, чтобы выполнялись неравенства

$$a > b > 0, \alpha \leq arctg \frac{2ab}{a^2 - b^2}.$$

30

С помощью известных формул геометрии и тригонометрии из теоремы косинусов можно вывести некоторые соотношения, связывающие элементы любого треугольника.

Пример 2. Доказать, что стороны, улы и площадь S треугольника ABC удовлетворят соотношениями

$$\text{ctg } A + \text{ctg } B + \text{ctg } C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}.$$

Решение. Из формулы $S = \frac{1}{2} bc \sin A$ находим, что $bc = \frac{2S}{\sin A}$. Подставив в формулу $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ вместе $2bc$ выражение $\frac{4S}{\sin A}$, получим соотношение

$$a^2 = b^2 + c^2 - 4S \text{ctg } A.$$ (1)

Следовательно,

$$\text{ctg } A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}.$$

Если в соответствии с этой формулой выразить через стороны треугольника $ctg B$ и $ctg C$ и полученные выражения сложить, то мы получим тожество

$$\text{ctg } A + \text{ctg } B + \text{ctg } C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}.$$

Пример 3. Доказать, что для любого треугольника справедлицы неравенства

a) $\sin \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2\sqrt{bc}}$,

b) $\text{tg} \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2h_a}$,

еде $a, b, c$ — стороны треугольника ABC и $h_a$ — высота, проведенная из вершины A.

Решение. a) Формулу (*) можно записать так:

$$a^2 = (b - c)^2 + 2bc (1 - \cos A).$$

Если $1 - \cos A$ заменить теперь $2\sin^2 \frac{A}{2}$, то мы придем к такой формуле

$$a^2 = (b - c)^2 + 4bc \sin^2 \frac{A}{2}.$$ (2)

Позатем

$$a^2 \geqslant 4bc \sin^2 \frac{A}{2},$$

или

$$\sin \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2\sqrt{bc}},$$

причем равенство достигается только при $b = c$.

6. Формулу (2) легко привести к такому виду:

$$a^2 = (b - c)^2 + 4S \text{tg} \frac{A}{2}.$$ (3)

Для этого достаточно выполнить следующие преобразования:

$$bc \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{2S}{\sin A} \sin^2 \frac{A}{2} =$$

$$= \frac{2S\sin^2 \frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}} = S \text{tg} \frac{A}{2}.$$

Из формулы (3) вытекает неравенство $a^2 \geqslant 4S \text{tg} \frac{A}{2}$, откуда $tg \frac{A}{2} \leqslant \frac{a^2}{4S}$.

Учитывая, что $S = \frac{1}{2} ah_a$, получим неравенство $tg \frac{A}{2} \leqslant \frac{a}{2h_a}$.

Из приведенных примеров видно, что формулу

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

с помощью несложных преобразований к одному из видов 1—3. Аналогично выводятся следующие соотношения:

$$a^2 = (b + c)^2 - 4bc \cos^2 \frac{A}{2},$$ (4)

$$a^2 = (b + c)^2 - 4S \text{tg} \frac{A}{2}.$$ (5)

Рассмотрим теперь несколько задач, решающихся с помощью формул (1)—(5).

Пример 4. Вычислить площадь треугольника, если данные его стороны.

31

Решение. Перепишем соответствия (3) и (5) следующим образом:

$$4S \mathrm{tg} \frac{A}{2} = a^2 - (b - c)^2,$$
$$4S \mathrm{ctg} \frac{A}{2} = (b + c)^2 - a^2.$$

Если перimetр треугольника обозначить через 2p, то
$$a^2 - (b - c)^2 = (a + b - c) \times (a + c - b) = 4(p - b) \times (p - c),$$
$$(b + c)^2 - a^2 = (a + b + c) \times (b + c - a) = 4p(p - a).$$

Следовательно,

$$S \mathrm{tg} \frac{A}{2} = (p - b)(p - c),$$
$$S \mathrm{ctg} \frac{A}{2} = p(p - a).$$

Переменная эти равенства по-членно, получим известную формулу Герона для вычисления площади треугольника

$$S^2 = p(p - a)(p - b)(p - c).$$

Пример 5. Дан равносторонний треугольник ABC со стороны a. Через точку M, лежащую на стороне AB, параллельно сторонам AC и BC треугольника проведены прямы, пересекающие эти стороны соответственно в точках K и L. Вычислить площадь треугольника KLM, если KL = d (рис. 2).

Решение. Обозначим отрезки KM и LM соответственно через x и y. Треугольники AKM и BLM равносторонние, следовательно,

Рис. 2.

Пример 6. Данный треугольник разделить на две равновеликие части отрезком наименьшей длины.

Решение. Пусть отрезок MN делит площадь треугольника ABC пополам (рис. 3). Если точки M и N лежат на сторонах угла BAC и S — площадь треугольника ABC, то площадь треугольника AMN равна $\frac{1}{2}S$, и по формуле (3)

$$MN^2 = (AM - AN)^2 + 2S \mathrm{tg} \frac{A}{2},$$

Отсюда сразу находим, что при AM = AN отрезок MN имеет наименьшую длину, равную $\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{A}{2}}$.

32

Рис. 3.

Длину отрезка AM легко вычислить, поскольку $S = AM^2 \sin A = \frac{1}{2} bc \sin A,$

откуда

$$AM = \sqrt{\frac{bc}{2}}.$$

Ясно, что если концы отрезка MN лежат на сторонах угла B треугольника, то наименьшая длина этого отрезка равна $\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{B}{2}}.$

Пусть $a < b < c,$ тогда

$$\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{A}{2}} < \sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{B}{2}} < \sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{C}{2}}.$$

Позному длина минимального отрезка MN равна $\sqrt{2S \mathrm{tg} \frac{A}{2}}.$ При этом $AM = AN = \sqrt{\frac{bc}{2}}.$

Построение отрезка MN всегда возможно; так как $c < a + b < 2b,$ то $\sqrt{\frac{bc}{2}} < b$ и подавно $\sqrt{\frac{bc}{2}} < c.$

В заключение приведем несколько задач, которые представим читателю решить самостояльно.

1. На сторонах треугольника с углом $60^\circ$ вне его построения равносторонние треугольники. Докажите, что сумма площадей данного треугольника и треугольника, построенного на стороне, противолежащей углу в $60^\circ,$ равна сумме площадей двух треугольников.

2. На сторонах треугольника $ABC,$ угол $C$ которого равен $135^\circ,$ вне его построены квадраты $ABMN, BCKL$ и $CAPQ.$ Докажите, что площадь шестиугольника $KLMNPQ$ равна удвоенной площади квадрата $ABMN.$

3. Вычислите площадь параллелограмма $ABCD,$ если $AB=5, BC=2$ и угол между его диагоналями составляет $45^\circ.$

4. Выразите тригонометрические функции поливинных углов треугольника через его стороны.

5. Докажите, что стороны треугольника $ABC$ удовлетворяют равенству $a^2 + b^2 = 2c^2$ тогда и только тогда, когда углы треугольника связаны соотношениям

$$\text{ctg} A + \text{ctg} B = 2 \text{ctg} C.$$

6. Стороны треугольника $ABC$ связаны зависимости $a^2 + b^2 = nc^2,$ где $n>1.$ Докажите, что $\cos C \geq \frac{n-1}{n}.$

7. Докажите, что углы любого треугольника удовлетворяют неравенству.

$$\text{tg} \frac{A}{2} + \text{tg} \frac{B}{2} + \text{tg} \frac{C}{2} \leq \text{ctg} A + \text{ctg} B + \text{ctg} C.$$

8. В окружность вписан равносторонний треугольник со сторону $a.$ Докажите, что $x^2 + y^2 + z^2 = 2a^2,$ где $x, y, z$ — расстояния от произвольной точки окружности до вершин треугольника.

9. В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторона $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N.$ Определите угол $A$ треугольника, если $\frac{AM}{MB} = \frac{1}{6}$ и $\frac{AN}{NC} = \frac{1}{7}.$

10. Найдите площадь треугольника $ABC,$ зная угол $A$ и отрезки $m$ и $n,$ на которые точка касания вписанной окружности делит сторону $BC.$

11. Данны прямая $l$ и две точки $A$ и $B,$ не лежащие на ней. Найдите на прямой $l$ точку $M,$ для которого отношение $\frac{AM}{BM}$ принимает $a)$ наиболее значение; $6)$ наиболее значение.

12. Докажите, что углы любого треугольника удовлетворяют неравенству

$$\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}.$$

13. Около окружности радиуса $r$ описана трапеция с основаниями $a$ и $b$ ($a > b$). Вычислить угол между ее боковыми сторонами.

14*) Докажите, что для всякого треугольника $ABC$ справедливо такое соотношение:

$$16S^2 = (a^2 + c^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) + (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - c^2) + (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - b^2).$$

*) Эту задачу прислал наш читатель В. П. Гаспарин.