Квант 1972, №8 · Страницы

КВАНТ
8
АВГУСТ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, С. Т. Беляев, В. Г. Болтянский, И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, А. И. Климанов (главный художник), С. М. Козел, В. А. Лешковцев (зам главного редактора), Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллоншиков, Н. А. Патрикеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков, М. П. Шаскольская, С. И. Шварцбург, А. И. Ширшов.

На первой странице обложки и на сеседнем рисунке приведены фотографии изображений в калейдосконе. По этим фотографиям можно определить, над какой точкой велась съемка.

Дело в том, что лучи света отражаются в зерках, образующих между собой некоторый угол, но не в вершине этого угла; поэтому из каждой вершины исходит светлая линия. Если продолжить эти линии внутри основания калейдоскола, то все они пересекутся в одной точке, над которой и был установлен объективное фотоаппарата. Попробуйте найти эту точку.

Откуда берется такие линии, можно ли на одной фотографии получить в калейдосконе сразу два изображения и некоторые другие вопросы разобраны в статье А. Н. Виленкина «Калейдосконы», помещенной на стр. 41—49.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов.
Художественный редактор О. Н. Яковлева. Корректор А. Л. Ипатова.
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Квант». Тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 14/1V 1972 г. Подписано в печать 30/VI 1972 г. Бумага 70×1001/16 Физ. печ. л. 5 Усл. печ. л. 6,5 Уч.-изд. л. 7,81 Тираж 312 060 экз. Т-07278 Цена 30 коп. Заказ 804 Чеховский полиграфический комбинат Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, г. Чехов Московской обл.

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАШАЮТСЯ

8
АВГУСТ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО • НАУКА•
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:
2 Кто поедет в Рио?
Г. М. Адельсон-Вельский,
И. Н. Берништейн, М. Л. Гереер
9 Высокое давление — создание
и измерение
Ф. Ф. Воронов
17 Саймон Флэгг и дьявол
Артур Порджес
23 Несколько слов
о Великой теореме Ферма
Ю. А. Гастев, М. Л. Смолянский
26 Возможности оптических телекопов
А. Д. Марленский
32 О механике Аристотеля
М. И. Казаное, Л. Я. Любарский
39 Конкурс Эдисона
Б. И. Алейников, М. С. Дубсон

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖOK
41 Калейдоскопы
А. Н. Виленкин

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
50 Отверстие — линза
В. В. Майер

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
56 Задачи M156—M160, Ф168—Ф172
58 Решения задач M110—M122, Ф131—Ф137

РЕЦЕНЗИЙ, БИБЛИОГРАФИЯ
74 Почему мы не проваливаемся сквозь пол?
М. П. Шаскольская

УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА
76 Марки, посвященные Международному году
спокойного Солнца
В. А. Леицковцев

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
(3-я стр. обложки)

СМЕСЬ (стр. 16, 25, 38, 49)

2

Кто поegем в Рюо

Г. М. Адельсон-Вельский,
И. Н. Берштейн,
М. Л. Гервер

Задача, о которой идет речь в этой статье, вовсе не носит специфический шахматного — да и вообще спортивного — характер. Ее можно было бы, например, сформировать так: из $n$ попарно не равных по весу камней отображать в порядке убывания $k$ самых тяжелых, ползуясь лишь двухчащными весами без гирь, с помощью минимального числа взвешивания. А вот формулировка, имеющая совершенное реализий математической смысл: составить программу для вычислительной машины, которая за минимальное число сравнений отбирала бы из $n$ попарно неравных чисел $k$ самых больших и располагала бы их в порядке убывания *).

Оговорка о попарном неравенстве чисел (или камней) автоматически обеспечивает выполнение условия: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$. Не нужно быть опытным большиском, чтобы понять, что в спорте на самом деле ничего подобного нет и что, скажем, проигрыв Фишера Петросяну на турине претензентов в Кюрасао и выигры Спасского в решающей партии матча на первенство мира с Петросяном отнюдь не предрешают исхода матча Спасский — Фишер.

Отметим, впрочем, что олимпиская система (проигравший выбывает) основана именно на допущениях, сформированных в начале статьи. Кстати, «обычная» олимпиская схема, по которой проигравший в финале сразу обьявляется вторым призером (а победитель встречи проигравших получиналистов — третьим), есть лишь ухудшенный вариант «Правил ВОМИ»!

Задача, о которой рассказывать авторы, как уже говорилось, носит полне серbezный характер. (Между прочитам, ее решение, при всей его видимой «элементарности», удалось получить лишь совсем недавно, что, безусловно, представляется особый интерес для нашего журнала). Излагать же ее показалось автором приятнее и веселее на «шахматном» языке…

Глава 1. Правила ВОМИ

Свершилось! Шахматные города Васюки, наконец, допущены на Всемирную Олимпiadу в Рю-де-Жаней-

*) В статье разбирается лишь случай $k=3$ (об общем случае говорится в задаче № 3).

ро. Вьяснилось это, как обычно, в последний момент, и теперь нужно в считанные дни проводится отборочный турир и выбрать из 128 шахматистов-любительей трех сильнейших. Двое из них (чемпion и второй призер) будут играть за команду Васю-

4

третього призеров, достаточно провести
$$127 + 6 + 6 = 139$$
партий.

Глава II. Нельзя ли короче?

Хорош ли правила ВОМИ? Нельзя ли определять 1-го, 2-го и 3-го призеров за меньшее число партий?

§ 1. Мнение руководства, случай и рок

Пусть еще до совершенной у руководства Клуба Четырех Коней сложилось мнение, что сильнейший шахматист — А, второй по слиле — В и третий — С. И пусть цель совершенной — проверить, что это действительное так.

Меньше, чем за 127 партий, такую проверку осуществить нельзя, так как все шахматисты, кроме чемпиона, должны проиграть хотя бы по одному партии. А за 127 партий — можно: 125 «аутсайдеров» (все, кроме А, В и С) играют 124 партии «на вылет» (после каждой партии проиграший выбывает), затем победитель играет с C и проиграает *), C проигравает *) В и В проиграает *) А. Собственно говоря, не обязательно даже знать призеров зааннее: их можно угадать случайно, так что иногда («если повезет») три призера определяются за 127 партий.

Мы будем, однako, считать, что про силу шахматистов ничего зааннее не известно и что нам «не веет». Более того, представим себе, что Злой Рок (или агент соперников — как хотите) влаяет на исход каждой партии так, чтобы совершенная тянулись как можно долше. Мы покажем, что в этом случае выбрать 1-го, 2-го и 3-го призеров среды 128 шахматистов меньше, чем за 139 партий, нельзя, как бы **) ни проводились оборочные севернония.

*) Если он выиграет, то, значит, руководство ошибалось, и что делать дальше — неясно.
**) Разумеется, в соответствии с предложениями 1—5 главы I.

§ 2. Формулировка теоремы

Исследуем сразу сущий случай, когда в совершенных участках 128, а любое число шахматистов. Обозначим его через n. Введем также следующое обозначение. Пусть N — произвольное число; для некоторых целых чисел l выполняется неравенство $2^l \geq N$. Обозначим через l [N] наименьшее из этих целых чисел.

Примеры.

1. Так как $2^3 < 10 < 2^4$, то l [10] = 4.
2. Если $2^{k-1} < N \leq 2^k$, то l [N] = k.
3. Вскоре нам понадобится знать, чем равно l [N], если N = 128·127. Так как $128 = 2^7$ и $2^6 < 127 < 2^7$, то $2^{13} < 128·127 < 2^{14}$, откуда l [128·127] = 14.

Теорема. Для определения 1-20, 2-20 и 3-20 призеров среди n шахматистов нужно сырать не менее, чем

$$P(n) = l[n(n-1)] + n-3$$
партий.

По сненее. По-другому эту теорему можно сформулировать так.

Пусть разрешено проверсти максимum R партий, где

$$R < l[n(n-1)] + n-3.$$

Тогда (по каким бы правил ни проводились оборочные севернония) результаты партий могут оказаться такими, что после R партий определить 1-го, 2-го и 3-го призеров еще не удостраняем.

Если n = 128, то l[n(n-1)] = l[128·127] = 14 (см. пример 3). Значит, P(128) = 14 + 128 - 3 = 139. Тем самым из формулированной теоремы следует, что для определения 1-го, 2-го и 3-го призеров среди 128 шахматистов нужно не менее, чем 139 партий. За 139 партий их определить можно по правиле ВОМИ — так что правила ВОМИ хорошо!

§ 3. В бухгалтерии Злого Рока

В § 1 этой главы мы предупредили, что Злой Рок старается затянут отборочные севернония. Сейчас

5

мы указываем стратегию, придерживаясь которой, он добется, чтобы определеня 1-го, 2-го и 3-го призов среди $n$ шахматистов попадобилось как минимум

$$P(n) = l \left[ n(n-1) \right] + n-3$$

партий.

О пределене 1. Будем называть командо любую пару шахматистов $(A, B)^*$. Подчеркием, что команды $(A, B)$ и $(B, A)$ — разные; $A$ играет в команде $(A, B)$ на первой доске, а в команде $(B, A)$ — на второй.

До начала соревнований на участке в Олимпиде претендуют все команды. Сколько их?

Do turнира каждой из $n$ шахматистов имеет шансы играть на первой доске. При этом он может возглавить $n-1$ команду (вторым к нему может попасть любой шахматист, кроме него самого). Таким образом, число всех командаров $n$ ($n-1$).

В ходе соревнований число команд, претендующих на позедку в Рио, постепенно уменьшается (пока не остаетсяровно одна такая команда).

Пусть в турине уже сыгран несколько партий. По их результатам разделим всех участников на 3 группы. К первой отнесем всех, кто не проигral ни одной партии. К второй — тех, кто проигralровно одну партию, причем обязательно шахматисту первой группы. К третьей — всех остальных (тех, кто проигral более одной партии или одну партию — по игроку не из первой группы).

У праванении. Проверьте, что в этой ситуации на позедку в Рио претендуют следующие команды:

1. все команды $(A, B)$, в которых $A$ — из первой группы, а $B$ — из второй, причем единственную партию, которую $B$ проигral, он проигral именно $A$;

2. все команды $(C, D)$, также, что и $C$, и $D$ — из первой группы.

Проверьте, что никакие другие команды на участке в Олимпиде не претендуют.

*) «Команда» состоит именно из двух, а не из трех человек: запасной игрок в состав команде не включается (так удобнее для изложения).

(У казание. Пусть $B$ проигral $A$, тогда $B$ уже заведено не станет чемпоном, а вторым призером сможет стать только при том условии, что чемпоном оказывается $A$. Тем самым $B$ уже не сможет возглавить никакую команду и только в одной команду — в $(A, B)$ — может попасть в качестве второго участника.)

Определение 2. Если к какому-то моменту соревнований шахматист $A$ выигral $a$ партий, а шахматист $B$ — $b$ партий, то мы будем говорить, что в активе команды $(A, B)$ имеется $a+b$ очков. Число $2^{a+b}$ называем характерисмкой команды $(A, B)$.

После каждой новой партии актив любои команды либо увеличивается на 1 (если победитель партии входит в эту команду), либо не меняется. Соответствие характерисмкой любои команды либо удаливается, либо остается неизменной.

Определение 3. Пусть проведено некоторое число партий. Сложившуюся ситуацию удобно характеризовать числом $M$, которое равно сумме характерисмкой всех команда, еще претендующих на участке в Олимпиде.

Чему равно $M$ в начальной ситуации (до проведения соревнований)? Никто не выигral еще ни одной партии, в активе каждой команды 0 очков, характерисмкой любои команды равна $2^0=1$. Таким образом, $M$ начальное — это просто общее число команда, то есть $M_{\text{начальное}}=n$ ($n-1$).

Лемма. Пусть в некоторых ситуациях, характеризуемой числом $M$, проводится партия между шахматами $A$ и $B$. Обозначим через $M_A$ число, характеризущее ситуацию, которая возникнет, если выиграет $A$, а через $M_B$ — характерисму ситуацию в случае выигрыша $B$. Тогда

$$M_A + M_B = 2M,$$

так что хотя одно из чисел $M_A$ и $M_B$ не меньше $M$.

Доказательство. До игры между $A$ и $B$ все команды, претендущие на участке в Олимпиде, естественно разбить на 3 группы.

6

I группа. Команды, в которых $A$ входит, а $B$ либо не входит, либо входит после $A^*$).

II группа. Команды, в которых $B$ входит, а $A$ либо не входит, либо входит после $B$.

III группа. Команды, в которых не входят ни $A$, ни $B$.

Обозначим через $M_I$, $M_{II}$, $M_{III}$ суммы характеристикоманд I, II и III группы (так что $M=M_I+M_{II}+M_{III}$).

Докажем, что $M_A=2M_I+M_{III}$. Действительно, после победы $A$ на победу в Рио претендуют только команды I и III группы; при этом в III группе характеристики команд не меняются, а в I группе удваивается.

Аналогично доказывается, что

$$M_B = 2M_{II} + M_{III}.$$

Итак,

$$M_A + M_B = 2(M_I + M_{II} + M_{III}) = 2M.$$

Стратегия Злого Рока. Как идет отборочный турпир? Как мы знаем, все партии проводятся последовательно (одна за другой). Участники каждой новой партии называются в зависимости от результатов всех предыдуших игра.

Пусть уже проведено неокоторое число партии, и очередная игра называется между шахматами $A$ и $B$. Злой Рок подсчитывает характеристики $M$, $M_A$ и $M_B$ (см. лемму); затем если $M_A>M_B$, он устранает так, чтобы победил $A$, а если $M_B>M_A$ — так, чтобы победил $B$; если же $M_A=M_B$, то он не встрешается. Так как большее из чисел $M_A$ и $M_B$ завершено не меньше $M$ (по лемме), то при такой стратегии характеристика $M$ после каждой партии не уменьшается.

Подчерком, что Рок достаточно быть Всемогущим и не нужно быть

*) В входит после $A$ только в одну команду ($A, B$); эта команда включается в I группу, размещется, только при том условии, что она еще претендует на победу в Рио.

Всеведущим: не вникая в планы устроительной турпира, он применяет одну и ту же стратегию при любом расписании игра.

Далее мы показем, что при этой стратегии определяние 1-го, 2-го и 3-го призеров потребует как минимум

$$P(n) = l[n(n-1)] + n-3$$

партий.

§ 4. Доказательство теоремы

Do corvevohany $M_{начальное} = n(n-1)$. Чему равно $M$, когда corvevohany закончены и определяны 1-й, 2-й и 3-й призеры $X$, $Y$ и $Z$? Для поезда на Олимпiadу отбрана одна команда ($XY$). Обозначим через $v$ число очков в активе этой команды. Тогда $M_{конецное} = 2^v$.

Если Злой Рок придерживался описанной выше стратегии, то после каждой партии характеристика $M$ не уменьшалась, так что $M_{конецное}$ не меньше, чем $M_{начальное}$. Отсюда $2^v \geq n(n-1)$, то есть $v \geq l[n(n-1)]$. Таким образом, первые два призера $X$ и $Y$ участвовали не меньше, чем $l[n(n-1)]$ партий.

Кроме того, было проведено как минимум $(n-3)$ партии без их участия. Действительно, каждый из $(n-3)$ шахматных, не вошедших в признаную тройку, должен был проиграть кому-то, кроме $X$ и $Y$, — иначе он претендуал бы на третье место.

Таким образом, всего в турире было сыграно не менее, чем

$$P(n) = l[n(n-1)] + n-3$$

партий. Теорема доказана.

Глава III. Как определить трех призеров среди $n$ шахматов?

В главе I были приведены правила, по которым можно определить трех призеров среди 128 шахматов. Приведем аналогичные правила для случая $n$ шахматов. Пусть $l[n]=k$, то есть

$$2^{k-1} < n \leq 2^k.$$

7

§ 1. Определение чемппона

Игры проводятся по оптимийской системе. На 1-м этапе всех участников разбиают на две группы: в одной $2^k$—пар; в другой паре определяется победитель, которое допускают ко 2-м этапу; члены первой группы начинают борьбу сразу со 2-го этапа. Всего ко 2-м этапу допущено

$$\left(n - 2^{k-1}\right) + \left(2^k - n\right) = 2^{k-1}$$

участников. Все этапы, начиная со 2-го, «стандартины»*): участники этапа разбиаются на пары, в каждой из пар определяется победитель, которое допускают к следующему этапу. Чемппон определяется в финансовой игре на $k$-м этапе. Так как каждый из $n$ участников, кроме чемппона, проигрывает при такой системеровно одну партию, то всего на $k$ этапах будет сыграна $(n-1)$ партия.

§ 2. Определение второго призера

На это место претендуют шахматные, проигрывшие только чемппону. Их не более чем $k$; присвоим им номера 1, …, $k$ ($N_2$ i — это тот, кто проигрывал чемппону на $i$-м этапе**).

Проводим игры так: $N_2$ 1 играет с $N_2$ 2***), затем победитель—с $N_2$ 3, и т. д. (всего не более чем $k-1$ партия). Победитель последней партии — второй призер.

*) 1-й этап в отличие от случая, разобранного в правильах ВОМИ, является «нестандартным» (то есть требует указанного в этом параграфе дополнительного разбиения участников на группы), если $n$ не есть точная степень двойки.

**) Отметим, что $N_2$ 1 может не достигся никакому (если чемппон начал игры со 2-го этапа).

***) Иного этапа не проводится (см. предыдущую способу), и все начинается с партией между $N_2$ 2 и $N_2$ 3.

§ 3. Определение третьero призера

Легко проверить (см. § 3 главы I), что второй призер выиграл не более $k$ партий и поэтому на третье место претендуют не более $k$ человек. Сильнейший из них завершимо определяется за $k-1$ партию. Это и есть третьей призер.

§ 4. Выводы

Что бы найти среди $n$ шахматистов 1-го, 2-го и 3-го призеров, достаточно проверить

$$\left(n-1\right) + \left(k-1\right) + \left(k-1\right) = 2k + n-3 = 2l \left[n\right] + n-3$$

партий. Это число мы обозначим через $Q(n)$.

Глава IV. Обсуждение результатов

Пусть $n$ — целое число, $n \geqslant 3$. Обозначим через $I(n)$ число, удовлетворяющее следующим двум условиям:

1. за $I(n)$ партий наверняка можно определить 1-го, 2-го и 3-го призеров среди $n$ шахматистов.

2. если $R < I(n)$, то результат партий могут оказаться таким, что за $R$ партий определить 1-го, 2-го и 3-го призеров среди $n$ шахматистов не удается.

Тогда результаты, полученные в главах II и III, можно записать в виде формулы

$$P(n) \leqslant I(n) \leqslant Q(n).$$

Напомним, что

$$P(n) = l \left[n(n-1)\right] + n-3,$$

$$Q(n) = 2l \left[n\right] + n-3,$$

где $l \left[n\right] = k$ при $2^k \geqslant n > 2^{k-1}$.

Можно показать, что $Q(n)$ равно либо $P(n)$, либо $P(n)+1$. В первом случае $I(n)=P(n)=Q(n)$. Во втором случае для $I(n)$ имеются две возможность: либо $I(n)=P(n)$, либо $I(n)=Q(n)$. Обе возможности

могут осуществляться, как видно из приведенной таблицы.

Как именно ведет себя $I(n)$, мы рассекjem подробнее в другой раз. А пока попытаться разобраться в этом самомстоящего. Попробуйте решить также следующее задачи.

1. Проверить приведенную выше таблицу.
   Указа ни и е. Наметим путь решения этой задачи для $n=20$. В этом случае $P[n] = P[20] = 26$.

Разделим 20 шахматистов на две группы: в первой группе 16 человек, во второй — четыре. В первой группе определяем стандартным способом (см. §1 и §2 главы III) 1-го призера $A$ и 2-го призера $B$. На это уйдет $15 + 3 = 18$ партий. При этом $B$ выиграет не больше, чем у четых человек (см. §3).

Во второй группе определяем сильнейшего $C$ по олимпийской системе (3 партии). При этом $C$ выиграет у двойх.

Рис. 1.

Рис. 2.

Следующую (22-ю) партию проведем между $B$ и $C$. Если победит $B$, то ясно, что $A$ — чемпион, $B$ — второй призер, а на третье место претендуют пятero, проиграших $B$. За оставшиеся 4 партию можно найти среди них третьero призера.

Пусть, наоборот, победит $C$. Тогда возникнет следующая ситуация (см. рис. 1): на признаве места претендуют шахматисты $A, B, C, D, E$ и $F$ (стрелки ведут от победителей к победенным). Проведем 23-ю партию между $D$ и $E$; пусть в этой партии победит $E$ (случай, когда победит $D$, проше и рассматривается аналогично).

24-ю партию проводим между $A$ и $E$. Если выиграет $E$, то $C$ — чемпион, $E$ — второй призер, а на третье место претендуют $A, D$ и $F$. За оставшиеся 2 партины найдем среди них третьero призера.

Если 24-ю партию выиграет $A$, то (см. рис. 2) на первые два места претендуют $A$ и $C$, на третье — $B$ и $E$. Проведя две партии (между $A$ и $C$ и между $B$ и $E$), мы определим 1-го, 2-го и 3-го призеров. Итак, $I(20) = 26 = P(20)$.

Только что приведенные правила резко отличются от стандартных правил из главы III. По стандартным правилам шахматисты, проиграшие хотя одну партию, не участвуют в следующих играх до тех пор, пока не определены чемпion. Только отказавись от этого, нам удалось претенть 1-го, 2-го и 3-го призеров среди 20 шахматистов за 26 (а не за 27) партий.

2. Доказать, что 1-го и 2-го призеров среди $n$ шахматистов наверняка можно определить за $l[n] + n - 2$ партий и может не удаться определить за меньшее число партий.

3. Пусть мы хотим определить среди $n$ шахматистов $k$ сильнейших (1-го, 2-го, …, $k$-го призеров). Доказите, что а) это наверняка можно сделать за $(k-1)l[n] + n-k$ партий;
   б) если

$$R < l[n(n-1)] \dots (n-k+2)] + n-k,$$

то результаты партий могут оказаться таким, что это не удаться сделать за $R$ партий.

Указа и е. В задаче 6) мы рекомендуем рассуждать так же, как в главе II, рассматривая «команды» $A_1, A_2, \dots, A_{k-1}$, состоящие из $k-1$ участника. Общешее число таких команд равно $n(n-1) \dots (n-k+2)$.

9

ВЫСОКОЕ ГАВЛЕНИЕ-СОЗГАНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ

Свойства вещества зависит от расстояний между его atomами. При уменьшении механических расстояний увеличивается плотность вещества, изменяются электрические, оптические, механические свойства, кристаллическая структура. Изучая свойства жидых веществ, мы глубже узнали природу и характер сил, действующих между atomами.

Как сбызить atoms в веществе?
Возьем кубик из вещества и начнем сжимать его под прессом. В результате сжатия вдоль одной оси мы вызовем в этом кубике деформацию, расстояние между его atomами будет уменьшаться. Однако значительные деформации мы не получим. После достижения предела прочно иступит разрушение.

Как же сбызить atoms в веществе еще сільнее? Для этого нужно сжимать вещество со всех сторон, то есть прикладывать одинаковые силы одновременного ко всем сторонам нашего кубика, подвергнуть его всестороннему высокому давлению. В этом случае нам удостраться atoms в веществе без разрушения, изменить его физические свойства, заставить протекать по-другому химическе процессы.

Диапазон давления в природах огромен. На дне воздуханого океана мы живем при давлении в одну атмосферу. На барбанные перепонки ныряльщика давит столб воды и для глубоководного погружения нужны специальные скафандры. По расчетам ученых-геофизиков давление в центре Земли около 4 миллионов atmosфер.

Утром вы открываете водопроводный краан, и вода с сильной струей льется в умывалник. Давление воды в водопроводе 1,5—2 atmosферы. Завтрак приготовлен на плите, к которой подведен газ под давлением 1,01 амп.

На улице mismo вас проносится троплейбусы, автовусы. В их шинах воздуха скаат до 2,5—4 амп. В цилиндрах motoра стремительной «Волги» давление достигает 30—50 амп. Турбины электростанций приводятся в действие паром при давлении 200—500 амп. На заводах химического промышленности получают полизтилен, скимая газ этилен до давления 1000 амп, синтезируют аммиак из азота и водорада при давлении 1500 амп. При превращении графига в алмаз давление достигает 100 000 амп, а температура 2000 градусов.

Определям давление как силу, с которой газ или жидкость, заключенные в резервуар, действуют на единицу площади стенки этого резервуара:

$$P = \frac{F}{S}.$$

По этой простой формуле можно установить единицы для измерения давления. Положив силу равной одной дине, а площадь — одному квадратному сантиметру, мы получим единицу давления в системе СГС — $1 \frac{\delta \ln}{cm^2}$, которое называют барней. Однако эта единица сликом мала для измерения высоких давления, и чашце использует в миллион раз больше: $1 \text{ бар} = 10^8 \frac{\delta \ln}{cm^2}$, и производные от нее: килобар, равный $10^3 \text{ бар}$ или $10^9 \frac{\delta \ln}{cm^2}$; медабар, равный $10^6 \text{ бар}$. В международной системе единиц СИ

10

принята другая единица — сила в 1 ньюмон, действующая равномерно на площадь в 1 м², создает давление в 1 паскаль (1 Па); 1 Па=10 $\frac{\partial \ln}{cm^2}$; 1 бар=10⁵ Па.

Определям, чему соответствует в этих единицах давление в одну физическую атмосферу. Как видно из названия, эта единица связана с давлением атмосферного воздуха. Пусть на поверхности площадью S давит столь жидкость или газа (в нашем случае воздуха) высоты h и плотностиρ. тогда объем этого столба V=h·S, а его вес G=h·S·ρ·g (приускорении силы тяжестеги g), и давление P = $\frac{G}{S} = h \cdot \rho \cdot g$. Прияв высоту воздуха атмосферы равной 200 км (2.10⁷ cm) и ее среднюю по высоте плотностьρ=5,16·10⁻⁵ e/cm³, получим, что при g=980 $\frac{cm}{c^2}$ P=1 amm=1,01·10⁶ $\frac{\partial \ln}{cm^2}$.

Воздущий океан нашей планеты неспокoen. Воздушие течение и циклоны менют высоту и плотность atmosферы. Atmosферное давление колблется в широких пределах и, безусловно, не может быть принято за этапон. Условились за «физическая atmosферу» принимать давление, которое производит на горизонтальную плоскость столбчки (эквивалент воздуха atmosферы) плотностью 13,595 e/cm³ высотой 760 мм при 0°С иускорении силы тяжестеги 980,665 cm/c². Тогда 1 amm=76×13,595·980,665=1,0132·10⁶ $\frac{\partial \ln}{cm^2}$ или 1 amm≈1 бар=10⁵ Па.

Создание высоких давления

Какому знаком устройство для создания «высокого» давления — вещепедный насос. Если подсоединить его к волейбольной камере и добавить еще изменитель давления (например, автоматный манометр), то перед нами будет модель установки высокого давления (рис. 1), состоящая из трех основных узлов: генератора давления (насос), сосуда высокого давления.

Рис. 1.

Рис. 2. Механический пресс.

леня (камера) и манометра, измеряющего созданное давление.

Вдвигая руками поршень в цилиндр насоса, мы создаем сравнительно небольшое давление: 2—3 атмосферы. Естественно, что для создания более высоких давления нужны и большее усилия при перемещении поршня той же площади (F=P·S, где S — площадь поршня). В механическом прессе для получения высокого давления используется вит (рис. 2). Таким образом получают значительный выгрузш в силе.

Еще больше усилия можно приложить к поршню, а значит, и получить более высокие (десятки тысяч atmosфер) с помощью гидравлического пресса. Такой генератор давления — мультипликатор—изображен на рисунке 3. Под большой поршень диаметра D с помощью насоса нагнетают жидкость при сравнительно низком давлении (Pₙ=100÷500 atmospheric pressure).

11

сфер). Этот поршень с силой $F = P_H \cdot S_H = P_H \frac{\pi D^2}{4}$ вдвигает поршень меншшего диаметра $d$ в цилиндр высокого давления и скимает нахождение в нем жидкость до давления $P_B$. Если пренебречь силами треня, то сила, развиваемая большим поршнем, будет всегда равна сце, с которой малый поршень выталкивает высоким давлением: $F = P_B \frac{\pi d^2}{4}$.

Приравняем эти выражения $P_H \frac{\pi D^2}{4} = P_B \frac{\pi d^2}{4}$. Отсюда получим зависимость величины высокого давления от величины низкого давления: $P_B = \frac{D^2}{d^2} P_H = k P_H$. Здесь $k$ — коэффициент мультипликации установки. Необходимое давление, как правило, получают за один ход поршня, то есть в результате одного скатия. Если надо повысить давление в большом сосуде, то мультипликаторы сабжайются васываюшим и нагнетаюшим клапанами и поршень перемещают несколько раз, как в величине насосе. Мультипликаторы — «тихоходные» машины, их производительность (количество скатой жидкости в минуту) мала.

Для создания высоких давления в больших объемах использются компрессоры. Компрессор можно представить себе как насос, поршень которого перемещается мощным электромотором через кривошипно-шатунный механизм. Общий вид компрессора показан на рисунке 4. В Советском Союзе созданы уникальные компрессоры, дающие десяти литров жидкости в час при давлении 10—16 тысяч atmosфер. Их отличительная особенность — большое число ходов поршня в минуту и высокая степень скатия. За один ход поршня давление в цилиндре поднимается с 30 до 16 000 atmosфер.

При скатии газов их объем вначале уменьшается приблизительно пропорционально давлению. При высоких давлениях плотность газов становится близкой к плотности жидкости ($\rho \approx 1 \text{ e/cm}^3$), их скимаемость падает и наблюдаются большие отклонения от закона Бойля — Марютта. Сжатый газ обладает огромным запасом энергии. При выстреле максимальное давление пороховых газов вOrdinary mode достигает 5—6 тысяч atmosфер. Однако литр газа при таком давлении обладает огромной энергии.

Работать с газами, скатыми до давления 20—30 тысяч atmosфер, крайне трудно и опасно. Представьте себе, что вам нужно проводить исследование с Ordinary mode, которое выстрел

12

лило, но снаряд не вылетел из ствола (вы вовремя заткнул ствол).

Сжатые жидкости обладают меньшим запасом энергии, у них меньше скимаемость. Однако при высоких давлениях сильно возрастает взрость жидкости, что затрудняет работу клананов компрессоров и передачу давления по соединительным трубам — капиллярам. При давлениях порядка 30—40 тыссч атмосфер жидкости затвердевают. Поэтому для создания давления в 50 тыссч атмосфер и выше в качестве рабочей среды используют пластические твердые тела.

Простейшей установкой для получения высоких давления в твердых телах является пызометр, изображенный на рисунке 5. Цилиндрические поршни из твердого сплава вдвигаются с помощью гидравлического пресса в сосуд высокого давления, называемый матрицей. В матрице находится мягкое пластическое вещество

Рис. 5. Пызометр.

Рис. 6. Кончческий аппарат.

(индий, свинец или хлопистое сербро), внутри которого помещают исследуемый образец. Давление в таком пызометре определяют по величины приложенной силы на единицу площади поперечного сечения канала пызомета. Максимальное давление, которое можно получить в таком аппарате, определяется пределом прочности поршней при скатии и обычно не превыходит 40—50 тыссч атмосфер.

Для предохранения поршней от разрушения необходимо их «поддержать»: создать на их боковой поверхности поддерживающей давление. Это легко достигается в кончском аппарате (рис. 6). При вдвигании прессом кончческих поршней в матрицу скимаемятся не только рабочая среда и образец в матрице, но и прокладка между кончским входом в матрицу и поршнем (на рисунке она изображена черным цветом). Возникающие при этом силы оказывают поддерживающее давление на боковую поверхности поршня.

Такие аппараты позволяют получить давление до 70—100 тыссч атмосфер. Слабым местом в этой конструкции оказывается нагрузку как от высокого давления внутри, так и от кони-

13

Рис. 7. Кубичский аппарат.

ческих поршней, которые также стремятся растнуть матрицу. Учены и конструкторы нашли оригинальный выход из создавшего затруднения. Если матрица не выдерживает — выбросить ее и заменить тем, что выдерживает такие давления — аналогичными поршнями, которые следует также сдвигать гидравлическими прессами. Так была создана шестиоснача установка (рис. 7). Кубик из пластического матриала, внутри которого расположен исследуемый образец, скимался поршнями — пуансонами, каждый из которых давил на одну гранькуба.

Между поршнями — пуансонами, как и в кончесом аппарате, помещались прокладки, при скатии которых возникало подерживающее давление на боковые поверхности пуансонов. В такой установке предел достижимых давления возникает из-за разрушения матриала, из которого сделан аппарат.

Более высокие давления можно, очень получить, применяя касадный принцпил или вставляя аппarat в аппарат по принципиу «матрешки». Так, если кончесую камеру, работаюшую до давления в 100 000 атмосфер, помещить в такую же кончесую камеру, также на 100 000 atmosфер, но больше размета, то во внутренней камере можно, очень получить 200 тысяч atmosфер. Благодар тому, что прочность материалов под давлением увеличивается, можно ожидать еще большеовым выгрыша.

Еще больше давления можно получить в тонких слоях вещества, скимая его между накovalнями (рис. 8). Исследуемый образец в виде тонкого диска помещают в колюц из известнаяка — катлинита. Известнаяка обладает большим коэффициентом трения и не позволяет скимаемому веществу вытечь из аппарата. В таких аппаратах, изготовленных из самых материалов, учены получают давления в 0,5 миллиона atmosфер. Еще больше давления — до 10—15 миллионов atmosфер получают динамическими методами: скимая вещество взрывом. Если амплуу с исследуемый веществом okружить со всех сторон взрывчатым веществом, например, толом, и подорвать это устойчивое с поверхности, то фронт взрыва будет распространяться к центру и взрывная волна со всех сторон созмет амплуу на доли секунды до огромных давления.

Рис. 8. Сжатие между накovalнями.

14

Измерение давления

Простейший способ измерения давления состоит в уравновешивании измеряемого давления весом столба жидкости. Чем тяжелее жидкость, тем меньше высота столба будет необходима для уравновешивания одного и того же давления. Однако даже применение самой тяжелой жидкости — рутини (плотность 13,6 $e/cm^3$) для измерения давления в сотни атмосфер привело бы к высоте столба в сотни метров (вспомним, что 0,76 м $pm. cm.=1$ атмосфере). Оргинальное решение этой проблемы было предложено Д. И. Менделеевым в 1872 году. Его.manometр состоит из нескольких колен, заполненных рутины и водой (рис. 9). Измерение давление будет равно сумме высоты столбов рутини ($H_1+H_2+H_3$), умноженной на плотность рутини, минус сумма высоты столбов воды ($h_1+h_2$), умноженная на плотность воды. Но несмотря на существенный выгрыш в размерах, точный.manometр такой конструкции на 200 атмосфер представляет собой внутренальное сооружение из 9 колен по 18 метров высотой.

Другим типом прибора для измерения давления является.manometр со свободным поршнем, схематически изображенный на рисунке 10. Сжатое вещество стремится вытолкнуть поршень, свободно движущейся в стальном цилиндре. Это давление урав-
Рис. 9. Manometр Менделеева.

Рис. 10. Manometр со свободным поршнем.

новшивается весом груза $G$ и, зная площадь поршня $S$, можно определить измерение давление $P=\frac{G}{S}$.

Это соответствие справедливо при несликом больших давлениях. При измерении давления в 10—25 тыссч атмосфер приходит учитьвать скатные поршня, увеличение диаметра отверстия цилиндра, возрастание вззости жидкости, вытекающий в зазор, и ряд других эффектов. Расчетная формула условия, условия и конструкция.manometра.

Рекорд в измерении высоких давления таким способом приладжит советским физикам во главе с академиком Л. Ф. Верещагиным. Ими была создана оригинальная конструкция.manometра со свободным поршнем на диапазон давления до 100 000 atmosфер.

Для измерений высоких давления в заводских установках и laboratorиях применяют более простые, но и менее точные.manometры, которые кальбруют и проверяют по абсолотным приборам. Наибольшее распространение получили.manometры с трубчатой ружиной. Если создать давление в изогнутой трубке, сечение которого показано на рисунке 11, то такая трубка будет разгибаться на величины, пропорциональную давлению. Конец трубки, перемещаясь,

15

Рис. 11. Пружинный манометр.

потянет зубчатую рейку и повернет ось, на котором насажена стрелка. Такие манометры применяются до 10—16 тыссч atmosфер.

Удобным для дистанционного измерения является электрический манометр, в котором используется свойство мангииновой проволоки *) линейно увеливать свое сопротивление с давлением. Если сопротивление катушки мангииновой проволоки при atmosферном давлении было $R_0$, а при $P_x$ стало равно $R_x$, то

$$P_x = k \frac{R_x - R_0}{R_0},$$

где $k$ — коэффициент ($k \approx 0,5 \times 10^6$ бар), известный из предварительных калибровок по абсцилотному манометру. Мангииновый манометр применяют для измерения давления в интервале 1000—100 000 atmosфер. А как изменить давление свыше 100 000 atmosфер? При таких давлениях поршни манометров деформаются очень сильно: лучшие стали и твердые сплавы становятся пластичными, и говорить о точных размерах невозможно. В таких случаях величины давления определяют по изменению физических свойств жидых веществ.

*) Мангиин — сплав 86% Cu, 11% Mn, 3% Ni.

Рис. 12. Кристалл NaCl и цепочкаонов.

16

ЗАДАЧИ НА НЕРАВЕНСТВА

1. Доказать неравенство
   $$\sqrt{x_1^2 + (1-x_2)^2} + \sqrt{x_2^2 + (1-x_3)^2} + \sqrt{x_3^2 + (1-x_4)^2} + \dots + \sqrt{x_{2n}^2 + (1-x_1)^2} \geq \sqrt{2} \cdot n.$$

2. Определить, что больше:
   $$\sqrt[3]{10} + \sqrt{8} \text{ или } 5?$$

3. Доказать, что
   $$\frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{2}} > \frac{1}{4}$$
   (в числеле $n$ радиkalов; в значенателе $n-1$ радиkal).

(Продолжение см. на стр. 25)

18

Жалкие сто тысяч, а любую — конечно, не слишком дикую — сумму. Кроме того, я предлагаю вам здоровье и счастье до конца вашей жизни. Если же я отвечу на ваш вопрос — ну, что же, последствия вам известны. Вот все, что я могу вам предложить.

Он взял своздухаажженную сиграу и задымил.

Воцарилось настроенное молчание.

Саймон смотрел перед собой, ничего не видя. Крупные капли пота выступили у него на лбу. Он отлично знал, какие условия может выступить черт. Мускуры его лица направились… Нет, он готов произакладать душу, что никто — ни человека, ни зверь, ни дьявол — не ответит за сутки на его вопрос.

— Включите в пункт о здоровье и счастье мою жену — и по рукам! — сказал он. — Давайте подпишем.

Черт кивнул. Он вынул израокок, с отвращением посмотрел на него и тронул контистим пальцем. Okурок мгновенно превращался в розовый мятную лепешку, которое черт принял сосать громко и с явным наслаждением.

— Что касается вашего вопроса,— продолжал он,— то на него должен быть ответ, иначе наш договор неействительен. В средние века люди любили задавать загадки. Нередко ко мне приходили с парадоксами. Например: в деревне жил только один цирюльник, который брил всех, кто не брился сам. Кто брил цирюльника? — спрашивали они. Но, как отметил Рассел, словечко «всex» делает такой вопрос бессмысленным, и ответа на него нет.

— Мой вопрос чистый и не содержит парадокса, — заверил его Саймон.
— Отлично. Я на него отвечу. Что вы ухмылаете?
— Я… ничего, — ответил Саймон, согласно с лица устешку.
— У вас крепкие нервы, — сказал черт мрачным, но одобрительным тоном, извлекая извоздуха пергамент. — Если бы я представил перед вам в образе чудовища, сочетающего в себе миллиодность ваших горилл с грацозностью монстра, обратшего на Венере, вы едва ли сохранили бы свой аппломб, и я уверен…

— В этом нет никакой надобности, — поспешно сказал Саймон.

Он взял протянуть ему договор, убедился, что все в порядке, и открыл перочинный нож.

— Минуточку! — остановил его дьявол.
— Дайте я его продезинфицирую. — Он поднес лезвие к губам, слегка подул, и стал накалилась до внешнего красного цвета. —

Ну вот! Тепер прикоснитесь кончиком ножа …гm… к черниlam, и это все… Прошу вас, вторя строчка сизу, последняя — моя.

Саймон помещил, задумчиво глядя на раскаленный кончик ножа.
— Подписьвайте,— поторопил черт, и Саймон, расправив плечи, поставил свое имя.

Поставив и свою подпись с пышным росчерком, дьявол потер руки, окинул Саймона открывенно собственническим взглядом и весело сказал:

— Ну, выкладывайте свой вопрос! Как только я на него отвечу, мы отправимся. Мне надо посетить сегодня еще одного клиента, а времени в обрез.

— Хорошо, — сказал Саймон и глубоко вздохнул. — Мой вопрос такой: верна или не верна Великая теорема Ферма?

20

— Нет, жестко перебил его Саймон. — Мы расписались полчаса назад. Возвращайте точно через двадцать три с половиной часа. Не буду торопить вас, — иронически добавил он, когда дьявол с тревогой взглянул на часы. — Выпейте рюмку вина и, прежде чем уйти, познакомться с моей женой.
— На работе я никогда не пью, и у меня нет времени знакомиться с вашей женой… во всяком случае теперь.
Он исчез.
В тот же миг вошла жена Саймона.
— Опять подслуживала у дверей! — мягко упрекнул ее Саймон.
— Конечно, — сдавленным голосом проговорила она. — И я хочу знать, дорогой, действительное ли труден этот вопрос. Потому что, если это не так… Саймон, я просто в ужасе!
— Будь спокояна, вопрос труден, — беспечно ответил Саймон. — Не все это сразу понятно. Видшь ли, — тоном лектора продолжал он, — всякий легко найдет два целых числа, квадраты которых в сумме тоже дают квадрат. Например, $3^2+4^2=5^2$, то есть просто $9+16=25$. Ясно?
— Угу.
Она поправила мужу галстук.
— Но никакое не мог найти два куба, которые при сложении тоже давали бы куб или более высокие степени, которые приводили бы к аналогичному результату, — по-видимому, их просто нет. И все же, — торжествующее закончил он, — до сих пор не доказано, что таких чисел не существует!
Тепер поняла?
— Конечно. — Жена Саймона всегда поняла самые мудренные математические положения. А если попадался камень преткновения, муж терпеливо обьясил ей все по несколько раз. Поэтому у миссис Флэгг оставалось мало времени для прочих дел.
— Сварию ксфе, — сказала она и ушла.
Четыре часа спустя, когда они сидели и слушали третью симфонию Брамса, дьявол явился вновь.
— Я уже изучил основы алгебры, трионометрии и планиметрии! — торжествущее обьявил он.
— Быстро работайте! — пожвали его Саймон. — Яуверен, что сферическая, аналитическая, проективная, начертательная и неевклидова геометрии не представят для вас затруднейий.
Дьявол поморшился.
— Их так много? — упавшим голосом спросил он.
— О, это далеко не все. — У Саймона был такой вид, словно он сообщил радостную весть. — Неевклидовый вам понравятся, — устехнула он. — Для этого вам не надо будет разбираться в чертежах. Чертежки ничего не скажут. И разы не в ладах с Евклидом…
Дьявол застонал, побlek, как старая кинопленка, и исчез. Жена Саймона хихикнула.
— Мой дорогой, — пропела она, — я начинаю думать, что ты возьмешь верх!
— Тсс! Последняя часть! Великолепно!

21

Еще через шесть часов что-то вспыхнул, комнату заволокло дымом, и дьявол опять оказался тут как тут. У него появились мешки под глазами. Саймон Флэгг согласно с лице умешку.

— Я прошел все эти геометрии, — с мрачным удовлетворением произнес черт. — Теперь будет легче. Я, пожалуй, готов занять вашей маленькой головоломкой.

Саймон покачал головой.

— Вы слишком спешите. По-видимому, вы не заметили таких функцийmentальных методов, как анализ бесконечного мальых, дифференциальные уравнения и исчисление конечных разностей. Затем есть еще…

— Нeyжели все это нужно? — вздохнул дьявол.

Он сел и начал терть кулаками опухшие веки. Бедняга не мог удержать зевоту.

— Не могу сказать наверное, — безразличным голосом ответил Саймон. — Но люди, трудясь над этой «маленькой головоломкой», испробали все разделы математики, а задача еще не решена. Я предложил бы…

Но черт не был расположен выслушивать советы Саймона. На этот раз он исчез, даже не встав со стула. И сделал это довольно неуклюжке.

— Мне кажется, он устал, — заметила миссис Флэгг. — Бедный чертука!
Впрочем, в ее тоне трудно было уловить сочувствие.

— Я тоже устал, — отозвался Саймон, — Пойдем спать. Я думало, до завтра он не повится.

— Возможно, — согласилась жена. — Но на всякий случай я надену сорочку с черными кружевами.

Наступило утро следующого дня. Теперь супругам казалось более подходящей музыка Баха. Поэтому они поставили пластинку с Ландовской *).

— Еще десять минут, и, если он не вернется с решением, мы выиграли, — сказал Саймон. — Я отдало ему должное. Он мог бы окончить курс за один день,pritом с отличием, и получить диплом доктора философии.

Раздалось шипение. Поднялось алое грибобразное облачко, распространязахапах серы. Перед супругами на коррике стоял дьявол и шумно дышал, выбрасывая клубы пара. Плечи его опустились. Глаза были налиты крыво. Когтистая лапа, все еще скимавшая пачку исписанных листов, заметно дрожала. Верятно, у него шалили нервы.

Молча он швырнул кипу бумаг на пол и принялся яростно топать их раздвоенными копытами. Наконец, источив весь заряд энергии, черт успокопился, и горькая умешка скривила ему рот.

— Вы выиграли, Саймон, — прошелал черт, глядя на математика с безлобным уважением. — Даже я не мог за это короткое время изучить математку настоящего, чтобы одолеть такую трудную задачу. Чем больше я в нее

*) Ландовская Ванда (1879—1959) — замечательная пинастика, пользовая широкой извесностью как исполнительница стариной музыки на фортепиано и клавишие.

углублялся, тем хуже шло дело. Неedinственное разложение на множители, идеальные числа — о Ваал!.. Вы знаете, — доверительно сообщил он, — даже лучшие математики других планет, а они ушли далеко от вас, не добились решения. Эх, один молодчик на Сатурне — он немного напоминает гриб на ходулях — в уже решает дифференциальные уравнения в частиных произвольных. Но и он спасовал. — Дьявол вздохнул. — Будьте здоровы!

Черт исчезал очень медленно. Видно, он-tаки изрядно устал.

Саймон крепко поцеловал жениу. Но она, с недовольной гримасой всматрився в лице мужа, витавшего где-то в облаках, спросила:

— Дорогой, что еще неладно?

— Нет, ничего… Но, понимаешь, я хотел бы ознакомиться с его работой, узнать, насолько близко он подошел к решению. Я былся над той проблемой не менее…

Он не договорил и изумленно вытарашил глаза: дьявол вновь очитился в комнате. У него был очень смущенный вид.

— Я здесь забыл… — пробормotal он. — Мне нужно… ах!

Он нагнулся над разбросанными бумагами и начал их бережно собирать и разглаживать. — Эта штука захватывает, — сказал он, избегая взгляда

Саймона. — Примо не оторваться! Если бы только мне удалось доказать одну простеньку лемму! — Увидев, что на лице Саймона вспыхнул жгучный интерес, он потупил взор, как бы просняли извивения. — Послушайте, профессор, — проворчал дьявол, — я не сомневаюсь, что и вы потребились над этим. Пробовали ли вы непрерывные доби? Ферма, несомненно, пользовался им, и… Будьте добры, оставьте нас вдвоем.

Последние слова были обращены к миссис Флэгг. Черт сель рядом с Саймоном, подоткнув под себя хвост, и указал на листы, испешренные математическими знаками.

Миссис Флэгг вздохнул. Погруженный в разумье дьявол вдруг показался ей очень знакомым: он почти не отличался от старого профессора Аткинса, коллеги ее мужа по университету. Стонт двум математикам углубиться в изучение какой-нибудь мучительной и заманчивой задачи, и они…

Она покорно вышла из комнаты с кофейником в руке. Несомненно, предстояло долгое, утомительное обсуждение. В этом миссис Флэгг была уверена. Ведь недаром она была женой извесного математика.

Рассказ перепечатан из сборника научно-фантастических рассказов «Туннель под Миром», М., «Мир», 1965.

24

Удовлётворяют соответствию $a^2 + b^2 = c^2$.
Поляга $\frac{a}{c} = x$ и $\frac{b}{c} = y$, получим, что $x^2 + y^2 = 1$ ($x$ и $y$ – рациональные числа).
Отсюда $y^2 = (1 - x)(1 + x)$ или $\frac{y}{1 + x} = \frac{1 - x}{y}$. Общее (рациональное) значение двух последних соответствий обозначим через $t = \frac{u}{v}$. Тогда $y = t(1 + x)$ и $(1 - x) = ty$, откуда $tx - y = -t$, $x + ty = 1$.

Из этих равенств в свою очередь следует, что
$$x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad y = \frac{2t}{1 + t^2},$$
или, подставляя $\frac{a}{c}$ вместо $x$, $\frac{b}{c}$ вместо $y$ и $\frac{u}{v}$ вместо $t$, получим
$$\frac{a}{c} = \frac{v^2 - u^2}{u^2 + v^2}, \quad \frac{b}{c} = \frac{2uv}{u^2 + v^2}.$$

Или: $a = (v^2 - u^2)r$, $b = 2uvr$, $c = (u^2 + v^2)r$, где $r$ есть некоторый рациональный коэффициент пропорциональности. Если, далее, предположить, что $a, b, c$ взаимно просты, то легко получается, что они удовлетворяют соответствиям $a = v^2 - u^2$, $b = 2uv$, $c = u^2 + v^2$, где $u$ и $v$ – целые положительные числа, взаимно простые и не являющиеся одновременной нечетными. (Формулы эти, известные еще математикам Древней Индии, часто называют «формулами индуксов».) И уже совсем легко показать (следайте это самостояльно), что числа $a, b$ и $c$ удовлетворяют соответствию $a^2 + b^2 = c^2$.

Более чем естественно попытаться обобщить задачу о разискании пифаровых треок, рассматривая уравнение $a^3 + b^3 = c^3$, $a^4 + b^4 = c^4$ и вообще $a^n + b^n = c^n$ и ставя вопрос о возможностях решения их в целых положительных числах. Именно в связи с рассмотрением пифаровых треок Ферма сделал в книге Дюофанта Алексадрийского замечание, что

при $n > 2$ уравнение $a^n + b^n = c^n$ неразрешим в целых числах *);

но что найдеенное им острумное доказательство этого факта слищком длино для того, чтобы поместить его на полях этой книги…

Сейчас большинство математиков довольно-tаки скептическими отношениями к этому заявлению Ферма. Во всяком случае, в последующих его работе для упоминаемого *) Именно это предположение и вошло в историю математики под названем Великий теоремы Ферма.

им «острумного доказательства» места не нашлось, хотя самой задачей он продолжал заниматься и даже решил ее для частного случая $n = 4$, разработав для этого специальный метод – так называемый метод — так называемый метод спуска.

Леонард Эйлер (1707—1783) доказал Великую теорему Ферма для случая $n = 3, 4, 5, 7$.

Самый крупный вклад в решение проблем Ферма связаан с именем немецкого математика Эрнста Куммера (1810—1893).

Можно показать (при помощи элементов расчудений), что для доказательства теоремы Ферма достаточно расматривать уравнения вида $a^p + b^p = c^p$, где $p$ – простое число, а $a, b, c$ – целые, но не обязательно положительные, числа.

Куммер доказал, что уравнение $a^p + b^p = c^p$ не допускает решения в целых (отличных от нуля) числа для всех простых показателей $p$, удовлетворяющих некоторому условию «регуляристости», в частности, для всех $3 < p < 100$. До сих пор не известно, бесконечно ли множество всех регулярных чисел, но заведено бесконечным является множество инрегулярных чисел, то есть чисел, для которых куммеровское доказательство не проходит.

Однако главное значение работы Куммера, посвященных Великой теореме Ферма, состоит в том, что Куммер «попутно» развил совершенное новую и важную отрасль теории чисел – так называемый теоретический разложения на простые множители, свидетельствует о том, что договора Саймон Флэг заставила такие дьявола прощудировать как следует работы Куммера.

В самые последние годы получили развитие геометрической подход к проблеме, связанной с Великой теоремой Ферма. Исходными здесь являются следующие сообщения. Если уравнение $x^p + y^p = z^p$ имеет целочисленное решение, причем $z \neq 0$, то уравнение $\left(\frac{x}{z}\right)^p + \left(\frac{y}{z}\right)^p = 1$ имеет решение в рациональных числах, и наоборот. Об уравнение $x^p + y^p = 1$ можно говорить как об уравнению некоторых кривой на плоскости $xOy$ (подобно тому, как уравнение $x + y = 1$ задает прямую, уравнение $x^2 + y^2 = 1$ — округность и т.п.), а о его решения в рациональных числах – как о точке кривой с рациональным координатами (короче: рациональный точке). Следует сразу отметить, что на кривой $x^p + y^p = 1$ есть рациональные точки; простой пример – точка $(0, 1)$; это соответствует очевидным решениям уравнения Ферма. Но здесь направляется следующие теоремы Ферма: является ли многоеесто рациональных точки кривой $x^p + y^p = 1$ конечным? Конечно, такой вопрос

рос можно поставить не только для «кривых Ферма», но и для любых других кривых. Окружность содержит бесконечное множество разциональных точек, причем их описание как раз и дается «формулими индусов». Бесконечный множество разциональных точек на несколько так называемых эллиптических кривых, определяемых уравнениями третьей стелени, например, на кривых $y^2 = x^3 + 1$, $x^3 + y^3 = 7$.

Что же касается уравнения стелени выше четвертой, то на определяемых имки кривых до сих пор удалалось обнаружить лишь конечные множества разциональных точек, что и далее Л. Дж. Морделл у повод высказать гипотезу о том, что так обстоит дело для всех кривых выше четвертой стелени *). Доказательство гипотезы Морделла (пока упорно не поддающейся решению) означает бы конечность числа решений уравнения Ферма $x^p + y^p = z^p$. Как и по отношению к куммеровским методам, о геометрическом подходе к теореме Ферма можно сказать, что, независимо от условия в решении самых по себе исходных задач, все это направление в целом сулит интересные новые результаты в теории чисел.

Наконец, имеется и в корне отличный от всех предыдущих подход к гипотезе Ферма: ни из чего не следует, что положительное или отрицательное ее решение вообще может быть выведено из аксиом арифметики натуральных чисел! Иными словами, утверждение, содержащейся в Великой теореме Ферма, может оказаться алгоритмическими, и успехи в доказательстве алгоритмического неразрешимости ряда теоретико-числовых задач**) заставляют все более сердезно задумывать и над такой возможностью (хотя прямых путь к ее выявлению также пока не видно)…

*) Разумеется, здесь не идет речь о «выражениях» кривых высших стеленей, получающихся простым возвведением в стелень обихаче уравнения вида $y=x+1$, и т. п.

**) См., например, статью Ф. Л. Вар-паховского и А. П. Колмогорова «О решении десятиой проблемы Гильберта» («Квант» № 7, 1970).

Как же обстоит дело с проблемой Ферма на сегодящий день?*) Несмотря на то, что гипотеза Ферма доказана для большого числа частных случаев (например, для всех $n < 619$), в полном свое вид она также делает от решения, как и триста лет назад. Опыт развития математики с тех пор со всей очевидностью показал полную беспочувенность надежь на «элементарное» доказательство Великой теоремы Ферма — надежь, стояль, увы, соблазнительных для людей, любящих не столбко математику, сколько успехов в математике. Правда, «Ферматисты》 успехом не избалованы; люди они, как правило, нечастные, и мы со всей серверностюх хотели бы предостеречь наших юных читателей от такой карьеры. Быть может, неишним будет еще раз прочитировать здесь книгу Курата и Роббинса (стр. 67): «… Проблега вывала большой интерес и в более широких кругах — отчеты благодарим решаем в 100 000 марок, предзначающий для лица, которое впервые дает решение, причем присуждение решений было поручено Гёттингенской Академии. Пока последовенная инфляция в Германии не свела на нет денежную ценность этой прими, ежегодно представлялось громадное число «решений», содержащих ошибки… Со времени padения курса марки актинаж okоло проблемы Ферма несколько притух;s и все же время от времени пресса не перестает осведомлять нас о том, что «решение» найдено каким-нибудь нововвлеленным «генемм».

Ю. А. Гастев,
М. Л. Смолянский

От редакции

Редакция «Кванта» со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматривается (и возвращается) не будут.

*) Для более сердезного ознакомления с проблемой Ферма мы можем порекомендовать следующие книги: А. Я. Хинчин, Великая теорема Ферма, М., Гостехидат, 1932; З. И. Боревич и И. Р. Шафаревч, Теория чисел, М., «Нayka», 1964.

ЗАДАЧИ НА НЕРАВЕНСТВА

(Продолжение, нацало см. на стр. 16)

4. Доказать неравенство
   $$\sqrt{5x+15} + \sqrt{8-8x} \leq 7.$$

5. Определить, что больше:
   $$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{18} \text{ или } 4?$$

6. Доказать, что выражение:
   $$\sqrt{2-\sqrt{2}-\ldots-\sqrt{2}-\sqrt{2}}$$
   менше 1 для четного числа радиkalов и больше 1 для нечетного числа радиkalов.

С. Т. Берколаюк

26

В апрельском номере нашго журнала была опубликована статья В. Е. Белонучкина и С. М. Козела «Оптический телефон». В ней рассказывалось об устройстве телефона, о принципе его действия, говорилось об основных оптических характеристиках этого прибора. В публикуемой ниже статьи рассказывается о возможности оптических телефонов, о том, какие небесные тела можно наблюдать в современные телефоны и какие недоступны для наблюдания с их помощью. Чтобы лучше понять эту статью, читатель нужно предварительно познакомиться со статьей «Оптический телефон».

Бурный рост астрономических открытей за последние десятилетия во многом обусловлен современным телефоном и техническим накладением. Где находится границы возможного для современных оптических телефонов? Какие небесные тела можно на пределе наблюдать в самых большие современные телефоны и какие недоступны для них?

Прежде чем ответить на поставленные вопросы, выясним предельные возможности невооруженного человекаского глаза при наблюдании небесных тел и затем рассмотрим, до каких пределов расширяют эти возможности современные оптические телефоны.

Из широкого спектра электромагнитных волн, которые излучаются небесными телами, человекай глаз воспринимает сравнительно узкую полосу частот — от красных до филотовых лучей: $v_{кр} = 4,0 \cdot 10^{14} \text{ eU}, v_{\phi} = 7,7 \cdot 10^{14} \text{ eU}$, что соответствует длиам волн $\lambda_{кр} = 7600 \text{ Å}, \lambda_{\phi} = 3900 \text{ Å}$ (этот промежуток длин волн и назы-вают видимой частью спектра электромагнитных волн).

Все остальные виды электромагнитных излучений небесных тел: радиоволлы различных диапазонов, инфракрасные, ультрафилолетовые,RENTеновские и gamma-лучи — человекай глаз не воспринимает.

При интегисовном движом свете человекай глаз наблюдают к излучению с длиной волны $\lambda = 5550 \text{ Å}$ (зеленая область спектра). При очень слабом освещении, в том числе при наблюдании слабых небесных тел, максимумчевствительности глаза смещается в сторону более коротких волн ($\lambda = 5130 \text{ Å}$).

Определя границы, в пределах возможных небесных тел невооруженным глазом, астрономы обличаются на шкалу звездных величины.

Еще в древности Гиппарх разбил все видимые звезды на 6 звездных величины (разумеется, это были звезды, видимые невооруженным глазом). Наиболее звезды он отнес к звездам 1-й звездной величины, а наиболее слабые — к звездам 6-й величины.

27

Для уточнения шкалы звездных величин в прошлом вке приняли считать, что звезды 6-й величины по сравнению со звездами 1-й величины (разность в 5 звездных величин) дают освещенность в 100 раз меньше. Таким образом, в основу шкалы звездных величин было положено число $\sqrt[5]{100} = 2,512$. Это значит, что звезда 1-й величины посылает к нам световой поток в 2,512 раза больше, чем звезда 2-й величины, и в $2,512^2 = 6,31$ раза больше, чем звезда 3-й величины, и т. д.

Следовательно, относение освещенности $E_1$ и $E_2$ от двух звезд, одна из которых имеет звездную величину $m_1$, а второй $m_2$, определяется следующей формулой:

$$\frac{E_1}{E_2} = 2,512^{m_2-m_1}.$$

Человеческий глаз при продолжительной адптации в особенно темные ночки и при хорошей проразности атмосферы способен видеть звезды 8-й звездной величины. Это — порог зрительных ошушений среднего человека глаз в физических единицах. Обытами установлено, что от нахождения в зените звезды 1-й величины на поверхности в $1 m^2$, перpendикулярную лучам, падает световой поток $0,85 \cdot 10^{-6}$ люмена ($\lambda m$).

Нетрудно расчитать, что в глаз с диаметром зрачка 6 мм от звезды 8-й звездной величины попадает световой поток

$$F = \frac{3,14 \cdot 0,003^2 \cdot 0,85 \cdot 10^{-6}}{2,512^7} \approx 3,8 \cdot 10^{-14} (\lambda m).$$

Оценим теперь, сколько квантам, попадающим в зрачок за 1 сек, соответствует этот пороговый поток. Будем считать, что поток состоит из лучей с длиной волны $\lambda = 5130$ Å ($v = 5,85 \cdot 10^{14} e\mu$), по отношению к которой глаз максимально чувствует при наблюдении очень слабых звезд. Обытами установлено, что светому потоку в 1 лм, образованному таким излучением, соответствует поток энергии в 0,00058 вм.

Следовательно, в зрачок глаз с диаметром 6 мм от звезды 8-й звездной величины попадает поток энергию

$$W = 3,8 \cdot 10^{-14} \cdot 0,00058 \approx 2,2 \cdot 10^{-17} (\lambda m).$$

Один квант излучения с частотой $v = 5,85 \cdot 10^{14} e\mu$ несет энергию

$$\varepsilon = hv = 6,62 \cdot 10^{-34} \cdot 5,85 \cdot 10^{14} = 3,87 \cdot 10^{-19} (\partial x).$$

Следовательно, за одну секунд от звезды 8-й величины в глаз попадает

$$N = \frac{2,2 \cdot 10^{-17}}{3,87 \cdot 10^{-19}} \approx 60 (\text{кваантов}).$$

Сразу же отметим, что на полученные результаты следует смотрить только как на оценочные, так как свет от звезд не является монохроматическим — это он не состоит из квантов одной части, а диаметры зрачков и чувствительность глаз у людей не одинаковы.

Применение биноклей и телесопов значительно расширяет возможность человека зрачка. С их помощью становятся видными многие слабые звезды. Большое того, оказывается, что некоторые из этих «слабых» звезд на самом деле представляют собой системы, состоящие из двух, трех, а то и большого числа звезд (такие системы принято называть «кратными звездами»). При наблюдении с телесопом световой поток, перехватываемый объективом, тем больше, чем больше диаметр объекта. Величина диаметра объекта определяет оптическую мощь или проницающую силу телесопа. Под этим терминами понятно звездные величины предельно слабых звезд, которые удается наблюдаются с данным телесопом.

Если не принять во внимание потери света в оптическей и неокоторые другие тонкости, то оптическую мощь телесопа при наблюдении звезд можно подсчитать при ближайшего наdo лишь определить, во

28

Рис. 1.

сколько раз площадь объекта больше площади экрана человекаского глаза, и результат выразить в звездных величины. Так, школьный телефон с диаметром объекта 60 мм по сравнению с глазом (диаметр экрана 6 мм) перехватывает в 100 раз больше световые потоки, что соответствует разнице в освещенности, которые дают звезды, отличноцесса на 5 звездных величины. Поэтому, если неооруженный глаз видит, например, звезды 6-й величины, то в телефон становятся заметными звезды до 6+5=11 звездной величины.

На рисунке 1 приведена шкала звездных величины с указанием звездных величины некоторых небесных объектов. Из рисунка видно, насколько расширяются возможности наблюдения при использовании телефонов.

В астрономической обсерватории, расположенной возле станции Зеленчукская Ставропольского края, сейчас заканчивается монтаж самого большого в мире телефона-рефлектора с диаметром зеркала в 6 м (рис. 2). Этот телефон позволяет визуально наблюдать звезды, послелающие к нам в $\left(\frac{6000}{6}\right)^2 = 10^6$ раз (15 звездных величины) меньше света, чем видимые неооруженным глазом звезды 6-й величины, то есть увидеть звезды 6+15=21-й величины.

Однако 21-я звездная величина — это не предел для проницающей силы шестиметрового телефона. Применяя специальные фотоэмульсины, можно будет с этим телефоном фотографировать при экспозициях в несколько часов звезды на 2—3 величины более

30

Рис. 5. Мицар и Алькор при наблюлении их невооруженным глазом, в бинокль и в телесекол. Стрелка указывает направление на северный полос мира ($P_N$).

величину $R = \frac{1}{\psi}$, где $\psi$ — минимальное угловое расстояние между двумя наблюдаемыми объектами, при котором они с помощью данного объектава еще различны отделно, то есть разрешены. Глаз как оптический прибор также характеризуется разрешающей способностью. Многочисленные опытами установлено, что минимальное угловое расстояние между двумя объектами, при котором они еще различаются глазом, составляет 1—2 угловых минуты. При наблюлении слабых звезд величина предельного угла увеличивается в несколько раз. Так, обладая нормальным временем, можно заметить, что возле Мицара — средней звезды вручке ковша Большой Медведицы — находится слабая звездочка Аль-

кор *) (рис. 5). Установить же двойственность звезды в Лиры (рис. 6) невооружным глазом не удается. Угловое расстояние между Мицаром и Алькором составляет $11'48''$, а между компонентами $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ Лиры — $3'28''$. Применение телесеколов значительное расширяет возможность обнаружения кратных звезд.

Угловые размеры диффрационных картины в целом небольшие; чтобы их увидеть, необходимо применять окуляры, дающие такие увеличения, при которых угловые размеры деталей обозреваемых картины были бы больше угла резрешения человекаческого глаза.

Так, телесекоп с идеальным объективом диаметром 6 см позволяет получить диффрационную картину с угловым размером радиуса центрального диска $\alpha = 14:6 = 2,3''$. Чтобы глаз мог видеть этот радиус под углом $3' = 180''$, необходимо применять окуляр, дающий увеличение $180'':2,3'' \approx 80$ раз. С повышением увеличения телесекопа растут видные угловые размеры диффрационных изображений звезд, но одновременно с этим уменьшаются ярости самих диффрационных картины, причем у слабых звезд hastолько, что исчезают колыца — не хватает световой энергии для разражения сетчатки глаза на увеличенной площади.

Обыт показывает, что для звезд одинакового блеска неразличность насупает при угловом расстоянии между центрами компонентов двойной звезды, равном

$$\psi_0 = 0,85\alpha = \frac{12''}{D(cm)}.$$

Следовательно, угол $\psi_0$ характеризует разрешающую способность хорошего телесекопа.

Когда фактическая разрешающая способность телесекопа, определяющая по двойным звездам, не достигает величины $\frac{1}{\psi_0}$, это может произойти

*) В переводе с арабского «Мицар» ознакомлен «Конь», «Алькор» — «Всадник».

31

Рис. 6. $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ Лиры при наблюдении невооруженных глазом, в бинокль и в телесоп.

по двум причины: от дефектов оптики и неспокоявия atmosферы.

В настоящее время конструкром и инженерам обычно удается расчитывать и создавать телесопы, оптика которых позволяет достичь границ разрешения согласно формуле (2), однako большие телесопы на практике не могут давать таких разрешений — мешает неспокоявние atmosферы. Состояние atmosферы считается хорошим, если с помощью большого телесопа удается достичь разрешения в $1''$. И только в отдельные кратковременные промежутки при исключительно хорошем состоянии atmosферы разрешаются звездные пары с угловыми расстояниями между компонентами до $0,4''$.

Если сравнить последние данные с теоретической разрешющей способностью шестиметрового telescopа ($\psi_0 = 0,02''$), то хорошо заметно, насоклько atmosфера даже при хорошем состоянии портит изображения: без нее при рассматривании небесных светил, имеющих заметные угловые размеры, можно было бы различать в 20—50 раз более мелкие детали. Если при этом учеть, что истинные угловые размеры отделных звезд большие угла разрешения 6-метрового telescopа (например, угловой диаметр Миры Кита — 0,056’’, Бетельгейз — 0,047’’, Антареса — 0,040’’), то при отсутствии atmosферы можно было бы надеться увидеть, наконец-то, дискчиками звезд, пусты они были бы только в два-три раза большие диффакционных дисков. Но все-tаки это были бы истинные диски звезд (хотя и с наложением диффакционной картины), а не только порождения волновой природы звездного света, прохождение через отверстие telescopа.

При отсутствии atmosферы становится возможным повысить проницающую силу telescopов и, кроме того, проводить с их помощью наблюдания в ультрафилотовых и инфракрасных лучах. Поэтому actрономы мечтают о выносе telescopов за пределы земной atmosферы.

По современным представлениям будущее успеха actрономи во многом связаны с созданием actрономических обсерватории на искусственных спутников Земли и на лишеной atmosферы Луне.

Упражнения

1. Определите практические угловое увеличение telescopа следующими темами способами: a) сравнивая угловые размеры обежды, наблюдаемых невооружным глазом и в telescopе; b) установив отношение фокусных размерий обежды и окуляра; b) определив отношение диаметра обежды и выходного диаметра зрача.

2. Удается ли вам с находящимся в вашем распоряжении telescopом наблюдать кратность звезд, изображенных на рисунках 4 и 5?

Наблюдаете ли вы диффакционные картины звезд? Что вы можете сказать на основе этих наблюданий о качестве оптики использования telescopа и о состоянии atmosферы?

32

О механике Аристотеля

М. И. Каганов, Л. Я. Любарский

Процесс познания природы не ограничивает спокояным накоплением фактов и формировкой на их основе абсолютоно точных утверждений — законов природы. По словам Альберта Эйнштейна, «идет драматическая борьба между старым и новым» *).

Не следует, однако, думать, что новые теории попросту отменяют (ниспровергают) старые. Как правило, новая теория указывает старой «ее место». Утверждения, ранее казавшиеся абсолютиными, справедливыми всегда и веде, как показывает анализ с позиций новой теории, справедливых лишь в определенных рамках, ограниченных определенными условиями.

В области, где она справедлива, старая теория по-прежнему хорошо. Иначе зачем ее было создавать?

Сравнивая механику Аристотеля с механикой Ньютона, мы показем, в каких условиях механика Аристотеля — правильная теория. Этот пример помогет разобраться, как совершается переход от новой теории к старой.

Галилей и Аристотель

Одним из выдающихся образцов смелой научной критики и в то же время классический примером «мысленного эксперимента» является расчужнение Галилея о падащем камне. Это расчужнение направлено против тестиса Аристотеля о пропорциональности силы и скорости и заключается в следующем.

Если взять два камня, один полегче, второй потяжелее, и сбросить их с базни, то согласно Аристотелью более тяжелый камень будет падать

*) А. Эйнштейн. Собранные научных трудов, т. IV, стр. 543, «Нуука», 1967.

быстрее, чем легкий, так как на него действует большая сила. Что же, тут как будто ничего неелепого нет. Каждый из нас знает, что металлическая монета падает быстро, чем пушинка.

Однако Галилей предлагает: соединним эти камни друг с другом. Что получится? Опять понятно. Более тяжелый камень будетускорять более легкий, а тот в свою очередь будет тормозить своего компанья. Так что соединенные вместе два камня будут падать несколько быстрее, чем падает свободный легкий камень, но медленней, чем падает тяжелый камень. Все это вытекает из тезиса Аристотеля и в то же время … противоречит этому тестису. В самом деле, соединенные вместе два камня мы вправа рассматривать как один камень с весом, равным сумме весов легкого и тяжелого камней. Так как вес двойного камня больше всего тяжелого камня, то он (согласно Аристотелью) будет падать быстрее, чем тяжелый камень. Итак, следуя Аристотелью, мы пришли к двум взаимно исключающим выводам. Поэтому тестис Аристотеля неверен.

Думается, что живой Аристотель сумел бы возразить Галилю. Но Галилей боролся не против живого Аристотеля, а против мертвой окостеншей догмы, в котором церковь превращила учение Аристотеля. И Галилю удалось победить эту догму.

Неправильные теории

«Всякое утверждение либо истинно, либо ложно». Это, конечно, верно. Однако это не лучший способ классификации утверждения. Поясним примером. Допустим, вы интересуетесь своим весом. Пусть весы показали 57 кГ 300 Г. Означает ли это, что ваш вес в точности равен

34

Рассмотрим сначала случай, когда $f=0$, то есть единственный силой, действующий на частиц, является сила треня. Из повседневного опыта известно, что скорость такой частицы все время будет уменьшаться и в конце концов частица остановится. Первая часть этого утверждения вытекает и из механики Ньютона. В самом деле, поскольку сила (в данном случае сила треня) направлена против скорости, то в ту же сторону направлено и ускорение, а это и означает, что скорость частицы уменьшается.

Насоклько быстро протекает этот процесс и сколько нужно ждать, пока частица остановится? Аналіз двijенения частицы под воздействием силы треня приводит к парадоксальному (на первый взгляд) результату: частица вовсе не остановится.

Правда, за время, равное $\frac{M}{\alpha} \ln 2$, ее скорость будет уменьшаться вдвое по сравнению с предыдущим значением.

Что значит «остановиться»?

В действительности никакого противления между теории экпериментом необходимо, чтобы расхождение между ними было меньше погрешности экперимента. В данном случае это условие не выполняется, так как предсказываемая теория скорость неограниченно убивает с течение времени и начиная с некоторого момента остановится меньше погрешности экперимента. Если состояние покоя фиксировать не визуально (на глаз), а пользоваться достаточно точными инструментами, то в случае микросоппечного тела можно обнаружить хорошо известное бруновское движение. Это, действительно, будет опроверженем теории, однако в таком опроверженении нет ничего удивительного, так как с самого начала мы учитывали только среднее действие частиц окружающей среды — например, молекул газа. Если тестенное, что основанная на этом предположении картина не отражает суляных ударов отдельных молекул о частиц, которые все вместе (усредненные) являются, как мы знаем, причиной треня.

Следовательно, вопрос: «Сколько времени прошедет до остановки?» — поставлен неправильно. Его следует заменить вопрос: «Когда скорость частицы станет практическим неотличимой от нуля?».

Понятие «практическим неотличимой от нуля скорость» нуждается, разумется, в дальнейшей расшифровке. В зависимости от целей, ради которой нужно остановить тело (например, катер у причала, с тем чтобы можно было набросить канат на кнехты), практические равная нулю скорость может составлять одну сотую, тысячную или, скажем, миллионную часть первогоначальной скорости. Для определения примем, что практическим неотличимой от нуля скорость составляет одну тысячную долю первогоначальной скорости. Мы уже говорили, что за время $\frac{M}{\alpha} \ln 2$ скорость частицы уменьшается вдвое. Назовем величины $\tau = \frac{M}{\alpha} \ln 2$ постоянной времени. (Эту величины называют временем свободного пробета, если речь идет не о макросоппеском теле, а об atomной частице… Ничего не поделаешь, часто одну и ту же величины в разных областях физики именуют по-разному.) По проществу времени в 10т скорость уменьшится более чем в $2^{10}=1024$ раза. Таким образом, время остановки равно удестеренной постоянной времени. Если считать частиц остановившейся лишь тогда, когда ее первогоначальная скорость уменьшится в миллион раз, то время остановки увеличится всего лишь вдвое, то есть станет равным 20т.

Вернемся к основной задаче — к изучению движения тела в вззкой среде под действием постоянной силы $f$. В этом случае, как мы говорили, особую роль играет скорость $v_0$ те-

36

Обратимся теперь к очень важному вопросу о соответствии классической теории и теории, ее обобщшей.

Все (и физики, и математики, и даже физиофы) стalkиваются с очень трудными задачими при изучении этого своего образного вопроса. Естественно ожидать, что чем «проще» и привлечей сравниваемые теории, тем легче усмотреть те связи, которые для них характерны. Поэтому заменив подобно рассмотреть самую простую пару теории: механика Аристотеля — механика Ньютона.

Рассмотрим несколько функательных физических понятий в рамках этих двух теорий.

Состояние системы

Понятие состояния системы не следует путь с описанием системы. Так, например, если мы скажем, что система состоит из двух шаров радиуса $r$ и массы $M$, связанных друг с другом прижиной, естественнаялина которой равна $L$, а жесткость — $k$, то из такого описания системы нельзя сделать вывод о положении и скорости каждой из шаров, о расстоянии между ними, обускренни шаров, в обшем, о всех тех величины, которые меняются с течение времени. Подобные величины (будем их называть переменными параметрами) могут носить и гораддо более сложный характер. Так, если система является atmosфера Земли, то к числу переменных параметров относится и температура как функция высоты и географических координат, и скорость ветра как функция от этих же переменных, и много других параметров.

Выберем некоторый набор $x_i$ ($i=1,2,...$) переменных параметров так, чтобы удовлетворить следующим двум условиям:

1. Любой набор значений параметров $x_i$ может осуществиться, то есть система можно привести в состояние, в котором каждой из параметров $x_i$ принимает предписание значения.

2. Зная в начальной момент $t=t_0$ значения всех параметров $x_i$, можно вычислить их значения в любой последующей момент времени.

Рассмотрим пример — электрон в постоянном электромагнитном поле. Для того чтобы описать эту систему в механиках Ньютона и Эйнштейна, нужно, помимо описания электромагнитного поля, указать массу и заряд электрона; в механике Аристотеля нужно задать его подвижность.

Попробуем задать состояние электрона, указав произвольное его координаты, скорость иускорение. Сразу видно, что в рамках механики Ньютона совокупность этих величины не годится для задания состояния. В самом деле, положение и скорость электрона определяют силу, действующую на него со стороны электромагнитного поля. Согласно механике Ньютона сила определяетускорение электрона. Поэтомуускорение нельзя произвольно и его надо исключить из набора параметров, заданной системе электрона. В механике Аристотеля из этого набора следует исключить и скорость, так как в рамках этой теории сила однозначно определяет скорость. Можно доказать математически, что, зная положение и скорость электрона в начальной момент времени, можно вычислить эти же величины в любой последующей момент времени, опираясь на второй закон Ньютона. Точно так же закон Аристотеля позволяет найти координаты точки в любой момент времени, если они известны в начальной момент.

Итак, в механике Ньютона состояние системы задается указанием всех точек системы и их скоростей.

В механике Аристотеля состояние системы известно, если известны положения всех ее точек.

Описание системы состоит из двух частей: описание внешних условий, в которых находится система, и собственное описание системы. Первая часть осуществляется путем задания сил, действующих на системе, для действия на системе со стойкой

37

роны «внешнего мира». Здесь отличные механики Аристотеля от механики Ньютона состоит в том, что в последней учитываются силы треня, а в первой они не заменяются. Вторая часть описания системы состоит в задании сил, с которых отдельные части системы взаимодействуют друг с другом, и в задании масс (в механике Ньютона) или подвижностей (в механике Аристотеля) каждой отдельной части системы.

Подытожим сказанное: каждое из двух понятый — описание системы и состояние системы — имеет различный смысл в механике Аристотеля и в механике Ньютона. Заметим, что при перехождение к квантовой механике оба эти понятия испытывают очередное и очень серbezное изменение.

Законы сохранения

Хорошо известно, что в механике Ньютона имеют место законы сохранения. Проще всего они формулируют для замкнутой системы. Так называется система тел, которые взаимодействуют друг с другом и не взаимодействуют ни с какими другими телами. Строю говоря, замкнутых систем в природа не существует. Правitationное и электромагнитное поля, потоки космических частиц не позволяют «замкнуться в себе» какой-либо системе тел. Существуют, однако, почти замкнутые системы. Силы, действующие на входящие в них тела со стороны посторонних тел, очень малы, и такие системы ведут себя почти неотличимо от замкнутых систем. Поэтому представляется важным познакомиться с основными свойствами замкнутых систем.

Оказывается, что семь величины энергия системы, три компоненты ее импульса и три компоненты ее момента количество движения — не изменяется с течение времени («сохраняются»), если система замкнута.

Легко найти закон сохранения и в механике Аристотеля. Расмотрим для этого какую-либо «замкнутую» систему тел. Слово замкнутая заключего в качестве с точки зрения механики Ньютона ни одна система тел в механике Аристотеля не является замкнутой — какое тело взаимодействует со средой, ответственный за силу треня.

Пусть $r_1(t), r_2(t), \ldots, r_n(t)$ — радиусы-векторы тел, образующих «замкнутую» систему. Построим вектор

$$R = \frac{\sum_i \frac{1}{\alpha_i} r_i(t)}{\sum_i \frac{1}{\alpha_i}}$$

и наозем его главным вектором системы. Предлагаем читателю самостоятельно доказать следующие утверждения: 1) главный вектор «замкнутой» системы сохраняет — не изменяется со временем; 2) если на тела действуют внешние силы, то конец главного вектора системы (телефу уже незамкнутой) движется как тело с подвижностью

$$\alpha = \frac{1}{\sum_i \frac{1}{\alpha_i}}$$

под действием суммы внешних сил, приложенных к системе. Это утверждение нетрудно доказать, пользоваться «Законом Аристотеля» и определением главного вектора системы.

Наблюдая за джедевой каплей

Как определить экспериментальное постоянную времени? Первое, что приходит в голову, — это изменить продолжительность переходного режима. Во многих случаях этот совет очень useful, что нам нужно изменить постоянную времени джедевой капли и способной не потерять ее из виду, пока она не станет падать равномерно.

Гораздо проще изменить скорость капли вблизи поверхности Земли $v_0$.

$$v_0 = \frac{f}{\alpha} = \frac{Mg}{\alpha} = \frac{g}{\tau},$$

а отсюда найдем постоянную времени $\tau = \frac{g}{v_0}$.

Вы, конечно, обратили внимание: для силы мы воспользовались выражением для силы тяжестеки; кроме того, мы предположили, что вблизи Земли движение уже установившееся. Это предположение надлежит проверить. Очень простой способ изменить скорость джедевых капель состоит в наблюдании следов этих капель, оставляемых на окнах движущегося трамвая. Если скорость трамвая, скажем, равна $V = 20 \text{ km/ч}$, а следы капель на стекле составляют с вертикального угол $30^\circ$, то скорость капель равна

$$v_0 = \frac{V}{\text{tg} 30^\circ} = 20 \text{ km/ч} \approx 9,4 \text{ m/c.}$$

Отсюда следует, что постоянная времени примерно равна одной секунде. Пусть, прошедший каплей в течение переходного режима, длительность которого можно принять равной 5—10 с, не превышает поэтому 50—100 м (мы учили, что скорость капли в переходном режиме не больше установленся скорости). То, что длина пути в переходном режиме оказывается столь малой, подтверждает наше предположение: капля движется вблизи Земли с установленшей скоростью. Но к этому выводу можно принять и без вычисления, наблюдая за джедем из открытого окна трамвая или, еще проще, за косым джедем.

РАДИОАКТИВНЫЕ ЧАСЫ
ПОКАЗЫВАЮТ
НЕВЕРНОЕ ВРЕМЯ

В статье В. И. Кузнецова «Радиоактивная память» (см. «Квант» № 2, 1972) было рассаказано о метода определения возраства по концентрации радиоактивного углерода $^{14}$C в исследуемых объектах. Произведенные недавно сравнивающие возраства деревьев, определенного по концентрации $^{14}$C и путем счета годичных колцез на средах, показали хорошее соглашение результатов, пока результаты о времени не равен 1000 лет до нашей эры. Но данные возраств, определенный по $^{14}$C, оказался меньше действительного, как это видно из таблицы.

Датировка по $^{14}$C Датировка по колцезам на средах деревьев

до нашей эры
1000 лет 1000 лет
1200 1500
1500 2000
2000 2500
2200 3000
2800 3500
3000 4000
4000 5000

Причны этого расхождения не ясны. По-видимому, интенсивность космических лучей в древние времена была больше. Это могло бы сследствие изменения магнитного поля Земли, пропускавшего больше части из космоса. А быть может, это связано с изменением солнечной активности. Такие условия в околоземном пространстве могли привести к увеличению содержания изотопа $^{14}$C в атмосфере, а, следовательно, и в растениях. Как бы то ни было, для тех времен радиоактивные части показывают неверное время.

«ЧАСТИЦЫ ИЗ СОЛНЕЧНЫХ НЕДР»

В № 6 «Квант» за 1972 год была напечатана заметка «Частцы из солнечных недр». К сожалению, новые эксперименты не подтверждили результаты. Поэтому вопрос о том, сколько солнечных нейтрино приходит на Землю, снова остается открытым.

Кстати, заметим, что в упомянутой заметке слою «антинейтрино» и символ «v» надо заменить словом «нейтрино» и символом «v».

39

Б. И. Алейников,
М. С. Дубсон

— Никак не могу найти себе помещника,— пожаловался однажды Эдисон Эйштейну.— Каждый день заходят молодые люди, но ни один не подходит.

— А как вы определите их природность? — поинтересовался Эдисон показал ему листок с вопросами:

— Кто на них ответит, тот и станет моим помещником.

«Сколько мыль от Нью-Йорка до Чикаго?» — проел Эдисон и ответил: «Нужно заглянуть в железнодорожный справочник».

«Из чего делаем нержавецую смаль?»— «Об этом можно узнать в справочнике по металловедению…»

Пробежав глазами остальные вопросы, Эдисон заключил: «Не джидяясь отказа, снимю свою кандидатру».

Потеря столбцного помещника не охладила, впрочем, намеренный американского изобретателя. С его именем связано первое в США крупное совершенное школьников — своевобразная всеамериканская олимпида по естественным научам. В 1929 году Эдисон решил поощрить крупной степени наиболее сметливого и знающего школьника своей страны. Специальные комиссии, возглавляемые губернаторами штатов, выбрали по одному юноше — победителью в своем штате. (Способности американских девушек к точным наукам в то время, по-видимому, котировались не очень высоко.)

Перед жюри, учрежденным Эдисоном, представили 49 человек, которые должны были в письменном виде ответить на 57 вопросов. В это числе входило по шесть вопросов из математики, физики и химики, а также 39 вопросов для выяснения «общего развития» испытуемых.

Эдисон так определил задачи конкурса:

— Цель совершенняя — выбрать из лучших самого лучшего. Я отдало себе отчет в том, что только будущее сможет показать, правильен ли наш выбор, так как многосторонность человекаской природы слищом велика, чтобы изменять подобным масштабом. Жизнь и человекаские отношения черезцур разнообразны, чтобы быть сведены к одной формуле…

Эдисон явно предопчитал формульному образование и знаниям эмпирических знания и здравый смысл, которые так необходимы для изобретательского труда. Это нашло свое отражение и при составлении вопросов конкурса. Попробуйте ответить на такие, например, вопросы:

В чем разница между шумом и музькальными звуками?

Если черковый ордан не слабжен подорегаетельным устройством, мо он не будем церрать, коеда в церкови холодно. Почему?

Вот один из вопросов по химини:

Какие факты связаваете вы в своем сознании с именами следующего ученых (отвечайте одним-двумя словами): Мендлеев, Дзви, Фарадей, Кюри, Пристили, Гей-Люссак, Дальмон, Сольвей, Рамзей, Лавузье?

Большинство же задачи по физике и химини представляли собой общные вопросы учебного характера. Например:

Дайте определение работы, энергии, силы; посятие каждого определения примером. Какая разница между

весом и массой? Какая разница между силой и энергейей? Где мело весим больше: на Луне или на Земле? Почему? Где мела вовсе не имеют вес?

Разве что закоренелого троечника в нашей время могут затруднить и математические «задания» конкурая Эдисона:

Упростить выражение

$$\frac{1}{\sqrt{x+1}-1} \cdot \left[ \frac{(\sqrt{x+1}+1) \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{x+1}+1} + \frac{(x+1)^{-1/2}}{(\sqrt{x+1}+1)^2} \right] + \frac{(1-\sqrt{x+1}) \cdot \frac{1}{2} \cdot (x+1)^{-1/2}}{(\sqrt{x+1}+1)^2}.$$

Решить систему

$$\begin{cases} x^2 y^2 = 8, \\ xy = 4. \end{cases}$$

Принимая, что мыщная колонная каждой три месца удаваем свою численность, найдем численность колонции, проследием от одной пары мыщей после трех лем разложения.

Ускорение силы тяжестями вне земного шара изменяется обратно проорционально квадрату расстояния от центра Земли. Близ земной поверхности ускорение силы тяжестями равно 32 футам. Как велико оно на высome 50 миль над земной поверхности? Радuct Земли равен 4000 миль.

Найти член разложения

$$(\sqrt{x}-2x)^{18},$$

содержащий $x^{11}$.

Равносторонный треугольник со стороною в б edиниц разделен на три равновеликие части прямыми, паралельными его основанию. В каких мощах эти прямы пересекают высому треугольника?

Достаточно своеобразными (и не чрезмерно суровыми) были представления замечательного изобретателя об «общем развитии»:

Что сделаем вы, если в будущее году получите наследство в миллион dollars?

Чем предпочины бы вы пожертовать ради дистрижения успеха: счастным, комфортом, слабой, гордострую, честью, здоровым, деньцами или любому?

Опишите, как вы представляем себе свой мининый день в возрасте 50 лет.

Коедда, по вашему мнению, ложь позволительна?

Назовите четыре качества, которые вы считаете самых необходимыми для дистрижения успеха на каком-либо порциие.

Назовите трех человек, которые вы считаете наиболее достойными уважением и изумлением. Какие их качества вас больше всего изумляют?

Если вы в конце жизни олгнемесь на пройденный путь, то по каким фактам вы будете судить о том, успешно ли проектира жизнь или нет?

Или вовсе:

Что макое мамонт?
Кто написал «Остров сокровиц?»
Что макое мурникет?
При скольких градусах Цельсия кипит вода?
Что макое метор?
Что сделал Джеймс Уатт?…

Победителем конкурса Эдисона оказался 16-летний Уильбург Хэстон из Детройта; 92% его ответов жюри сочло на лучшимми. Он был удостоен Эдисоновской стипендии в Массачусетском техническом институте — лучшем американском физико-техническом учебном заведении. При участника, занявшие последующее место, стал получать стипендию Эдисона в других колледжах. Никто из них, однако, не оправдал надежд, которые на них возлагались и в истории американской науки и технически имена их значатся. Как видно, критерию Эдисона оказались малопрогодными не только для Альберта Эйнштейна. Хорошо еще, что самому Эдисону пришлось в свое время прохождение совсеминой путь …

41

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

КАЛЕЙДОСКОПЫ

А. Н. Виленкин

Наверное, в детстве каждый из вас разобрал хотя бы один калейдоскоп, и вы знаете, как он устроен. Все же напомним, что когда вы его разобрали, из него высыпались кусочки цветного стекла, а внутри остались три полоски из зеркала (или стекла), расположенные под углом 60° друг к другу, так что в течение образуется правильный треугольник.

Почему калейдоскоп устроен именно так и как еще его можно сделать, мы и расскажем в этой статье. Задчи, помещенные в тексте (их результаты использовются в расчедениях), позволят вам не просто пассивно читать статью, но и самостоятельно «приложить руки» к построению теории. Впрочем, все задчи в статье начинаются словами «Докажите, что…», поэтому при первом чтении их можно заменить словами «Доказано, что…», а потом вернуться и взяться за доказательство. В конце номера есть указания ко всем задачам.

Устройство калейдоскопа

Для того, чтобы сделать калейдоскоп, вам потребуется несколько стекла (лучше брать именно

Рис. 1. Развертка калейдоскопа.

Рис. 2. Самодельный калейдоскоп.

стекляные полоски, а не зеркальные, потом мы обьясим, почему), лист плотной бумаги, немного kleя и две небольшие картоники. Калейдоскопы, которые продаются в магазинах, сделаны так, что у них невозможно изменить, скажем, угол между зеркаlamми. Мы сделаем несколько кустарный калейдоскоп, это приспособленный для экспериментов.

Приклейте стеклянные полоски к листу бумаги, оставив между полосками небольшие промежутки (что можно было согнуть лист в признаму). Хорошо, если лист будет непрозрачным — не будет попадать лишний свет.

У вас получалась развертка признамы (рис. 1). Сверните из нее признаму, а чтобы она не развернулась, вырежьте в картонах дырки по форме перpendикularного сечения признамы и оденьте картоники на признаму (рис. 2); меняя картоники, мы тем самым меняем форму признамы. Калейдоскоп готов! Тепер приставьте к одному

42

концу калейдоскопа какую-нибудь фигурку (обычно в калейдоскопах на этом месте пересыпаются кусочки цветного стекла) и посмотрите в другой конец. Вы увидите картинику, пожжую на рисунок на первый странице обложки. Как же возникает такая картика?

Ход лучей в калейдоскопе

Прямо перед собой вы увидите ту фигурку, которую помещили у другого калейдоскопа. Рядом вы увидите ее еще раз, только зerkально отраженную. Это и понятно, ведь рядом с него зerkало — вот и появилось зerkальное отражение. Роль зerkала играет стеклянная полоска.

Кстати, рисунок 3 обьясняет, чем площадка зerkальная полоска. Она имеет две отражающие поверхности: переднюю, отполированную, и заднюю, покрытую амалгамой. Чтобы убедиться в этом, приставьте к зerkалу остро отточенный карандаш. Вы увидите два или даже три отражения. Дело в том, что луч, падающий на стекло, раздаваивается. Одна его часть отражается от передней поверхности и дает первый отраженный луч, а вторая входит в стекло. Эта часть отражается в задней поверхности (почти полностью в слуае зerkала и незначительно в слуае стекла) и идет к передней поверхности. Через нее часть луча выходит и дает второй отраженный луч, а другая часть слова отражается (внутри зerkала) и начинает новое путешествие, кончащается появлением третьего отраженного луча. Эти лучи ослабляются по мере увеличения их номера, так что третий отраженный луч уже незаметен.

Если в калейдоскоп поставить зerkало, то появится второй отраженный луч, который вызовет также искажения, что ничего нельзя будет разобрать, особенно при многократных отражениях в зerkалах. Ведь первый и второй лучи смешены относительно друг друга и дают сдвиhte изобравжения. При отражении

Рис. 3. При отражении в обыкновенном зerkале видны три карандша.

в стекле второго луча не появляется — он поглощается задней поверхности. Большое нам подошло бы зerkало с передней отражающей поверхности — также зerkала стоит в телесопах-рефлекторах.

Напомним, что отражение луча от зerkала проискит по закону «угол padения равен углу отражения», а именно, отраженный луч, падающий луч и перпендикуляр к плоскости зerkала в точке padения лежат в одной плоскости (рис. 4), причем $\alpha = \beta$.

Попробуем найти способ строить изобравжения, которые должны получаться в калейдоскопе. Предположим, что перед калейдоскопом находится плоская картина (объемные изобравжения мы для простоты исключим),

Рис. 4. «Угол padения равен углу отражения».

43

причем плоскость этой картины является перпендикулярным сечением признамы; назовем ее картиной плоскостью.

Призма высекает в картиной плоскости выпуклый многоугольник; он будет играть основную роль во всех дальнейших рассуждениях — назовем его фундаментальным многоугольником. Итак, есть картиная плоскость $K$ и в ней фундаментальный многоугольник $M$; как геометрические описать отражения в гранах признамы?

Начнем с однократного отражения. Если мы смотрим в калейдоскоп из точки $T$ (рис. 5a), причем луч, выSEDший из точки $A$, в точке $O$ отразился от зеркала л и затем попал к нам в глаз, то нам кажется, что точка $A$ расположена за зеркалом на продолжении прямой $TO$, и если обозначить через $A_1$ это изображение точки $A$, то $OA_1=OA$, потому что наш глаз имеет оценивать расстояние до объекта. Простое геометрическое рассуждение показывает, что точка $A_1$ лежит в той же картиной плоскости $K$ и получается как геометрическое отражение точки $A$ в ребре $R$; проведите это рассуждение самостояльно.

Задание 1. Возьмем точку $A_1$, получающийся как геометрическое отражение точки $A$ в ребре $R$ (см. рис. 5a), $AP \perp R$, $AP=PA_1$. Доказите, что точка $A_1$ удовлетворяет физическому понятию «отражение точки $A$ в зеркале л». Это означает следующее. Для любой точки наблюдения $T$ проведем прямую $TA_1$. Пусть она пересечет плоскость л в точке $O$. Соединим точки $O$ и $A$. Надо доказать, что: $TOS=POA$ (уеденняя равен нулю отражения); $OA=OA_1$ (мочка $A_1$ находится на том же расстоянии от $T$, что и $A$ «с учетом зеркала»).

Утверждение задачи 1 справедливо для любой точки фундаментального многоугольника, поэтому при однократном отражении в зеркале изображение $M'$ всего фундаментального многоугольника $M$ лежит в картиной плоскости $K$ и получается отражение

44

Рис. 6. Геометрия двукратного отражения в зеркале (проекция на картинию плоскости).

фундаментального многоугольника), затем отразился в зеркале $R_2$ и лишь после этого попал в точку $T$ — к нам в глаз. Нам кажется, что луч исходит из точки $A_2$ — изображения точки $A$. Точка $A_2$ получается так. Раз луч сначала отразился в ребре $R_1$, отразим точку $A$ в ребре $R_1$, получится точка $A_1$ (рис. 6). Затем луч, идущий теперь как бы из точки $A_1$, отразился в ребре $R_2$ — отразим и точку $A_1$ в ребре $R_2$, получится точка $A_2$ — изображение точки $A$ при отражениях в ребрах $R_1$ и $R_2$.

Но можно рассудать и по-другому. За ребром $R_2$ мы видим изображениеfundamentalного многоугольника — многоугольник $M'$, в котором есть точка $A'$ — изображение точки $A$ в ребре $R_2$. У $M'$ есть ребро $R_1'$ — изображение зеркала (ребра) $R_1$ в зеркале $R_2$. И вот оказывается, что это изображение $R_1'$ зеркала $R_1$ можно считать настоящим зеркалом и, отразив точку $A'$ в $R_1'$, получить то же самое изображение $A_2$. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что рисунок 6 симметричен относительно $R_2$.

Итак, многоугольник $M'$ оказался равноправным сfundamentalным многоугольником $M$, а ребро $R_1'$ — полноправным зеркалом. Отразив $M'$ в ребре $R_1'$, мы получим многоугольник $M''$, соответствующий отражению в зеркале $R_1$ и $R_2$. Нетрудно понять, что мы можем делать отражения и в ребрах многоугольника $M''$ и таким образом получить последующее изображениеfundamentalного многоугольника $M$.

Теперь мы можем забиться не только о пространстве, но и зеркалах и описать изображение в картиной плоскости чистого геометрического.

Геометрия картиной плоскости

Имеется (фундаментальный) многоугольник $M$ с ребрами $R_1$, $R_2$, … Внутри многоугольника помещена картина ( многоугольник мы рассматриваем как плоскую фигуру). В ребрах $R_k$ производится отражения многоугольника $M$ (рис. 7), при этом получится многоугольники с ребрами $R_1'$, $R_2'$, … В этих ребрах также производятся отражения, получаются новые многоугольники. Продвигаясь таким образом, мы замощаем всю картиную плоскость.

Отметим одно обстоятельство. «Гуляя》 по плоскости, мы можем попасть на место, в котором уже один раз повышали. На нем уже есть изображение, скажем, точки $A$fundamentalного многоугольника, а теперь

45

мы достивали туда же изображение, возникно, другой точки $B$ фундаментального многоугольника.

Например, на рисунке 7 черным цветом изображен фундаментальный многоугольник, красным — одна последовательность отражений, синним — другая. В точке $X$ они перекрываются. Возникает вопрос: должны ли мы видеть в точке $X$ два изображения или одно, и если одно, то какое именно?

Сначала разберем такой вопрос: из каких точек пространства (внутри калейдоскопа) изображение $A_1$ видно, а из других — нет. Но точка $A_1$ — это точка картининой плоскости, что же видно в ней из других положений? Очевидно, изображение неокторой точки фундаментального многоугольника, но отраженное в другом зеркале.

Возьем, например, два зеркала, поставленные под углом $150^\circ$. Расмотрим их проекции на картининую плоскость (рис. 9). Из положения $T_1$ в точке $X$ мы видим изображение точки $A$ (отраженной в ребре $R_1$). Но из положения $T_2$ в той же точке $X$

Рис. 8. Зона видимости изображения $A_1$.

Рис. 9. Из разных положений в точке $X$ видны изображения различных точек: из положения $T_1$ — изображение точки $A$, из положения $T_2$ — изображение точки $B$.

мы видим изображение точки $B$ (отраженной в ребре $R_2$), потому что пряма, соединяющая точки $T_2$ и $X$, пересекает ребро $R_2$.

Ясно, что для многоократных отражений тоже надо соединить прямой линии точку наблюдания $T_2$ с точкой $X$, в котором мы смотрим, и взять ту последовательность отражений фундаментального многоугольника, которая покрывает отрезок $TX$. Точка $A$ фундаментального многоугольника, которая окажется в $X$, и будет в ней изображена, а отражения надо делать в тех ребрах, которые пересекает пряма $TX$. Для другой точки наблюдания может получиться другая последовательность отражений и другое изображение.

К чему это может привести? Вот к чему. Если учесь, что мы смотрим в калейдоскоп не из одной точки, а из целой области (зрачок глаза, объектив photoаппарата), то мы можем видеть в одной точке изображения двух разных точек фундаментального многоугольника. На рисунке 10а приведена фотографика изображения в калейдоскопе. Obъектив открыт полностью, и в некоторых точках видны перекрывающиеся изображения. Но если Obъектив диафрагмировать (уменьшить почти до «точки» отверстие для света), то в каждой точке останется лишь одно изображение

46

(рис. 106). В этом случае мы «смотрим» как бы из одной точки.

Итак, мы почтим исследовали, как получается изображение в картиной плоскости, только оказалось, что оно еще зависит от точки, из которой мы на него смотрим. Поэтому сделаем так.

Назовем калейдоскоп «физические правилам», если изображение в его картиной плоскости не зависит от точки на наблюдения, и «математические правилам», если для любой точки X картиной плоскости разные последовательности геометрических отраждений, приводящие в точку X, дают в ней изображение одной и той же точки функentialного многоугольника.

Рис. 10а. Объектов открыт полностью. В некоторых местах изображения перекрываются.

Рис. 106. Объекты диафрагмирован, перекрываются.

Отметим разницу между математическими и физическими понятием правилности калейдоскопа. Геометрические мы можем доставлять изображения в точку X любой последовательностью отраждений. Но далеко не каждое изображение можно будет увидеть хотя бы из одной точки внутри калейдоскопа. Однако из примеров мы приведли на рисунке 7 — изображение, доставленное по синему пути, в точке X видно, а по красному пути — нет. Вот еще один пример.

Задча 2. Доказание, что в калейдоскопе, перpendикулярное сечение коморого представляет собой равносторонний треугольник со сторонами $R_1, R_2, R_3$, невозможна.make последовательность отраждений севого луча: $R_1, R_2, R_1, R_3, R_2, R_3$.

Может ли получиться так, что математические калейдоскоп неправилен, то есть существует точка X и две последовательности отраждений, дающие в X разные изображения, но одно из этих изображений видно из любой точки, а второе (или все остальные) никакогда не видно, то есть физические калейдоскоп будет правильным?

Оказывается, это не так. Совершенно ясно, что если геометрические (отраждениями) в точку X по разным путем приходит одно и то же изображение, то оно и будет видно из любой точки. Но вместе с тем, если из любой точки на наблюдения $T$ в точке X видно одно и то же изображение, то и геометрические в точке X получаетсяровно одно изображение. Доказательством последнего утверждения и нахождения всех правильных калейдоскопов мы сейчас и займемся.

Правильные калейдоскопы

Сначала рассмотрим самые простые калейдоскопы. Правда, их сечения являются «бесконечными» (неограниченными) многоугольниками, но это не должно вас смущать.

Бесконечное плоское зеркою является математическим правильным калейдоскопом (в картиной плоскости

47

кости имеетсяровно одна «отражающая» пряма) — это следует из задачи 1.

Пусть теперь два зеркала $R_1$ и $R_2$ образуют между собой угол $\alpha$. Напомним, что ребра многоугольника, получащегося в перpendикularном сечении этого двугранного угла, мы обозначаем теми же буквами $R_1$ и $R_2$.

Задание 3. Докажите, что отраχение сначала в ребре $R_1$, а затем в ребре $R_2$ (как на рисунке 6) эквивалентно повороту вокруг точки $O$ на угол $2\alpha$ в направлении от ребра $R_1$ к ребру $R_2$.

Иными словами, вместе того, чтобы два раза отраχать картинику относительно прямых, можно просто повернуть ее вокруг точки $O$ на угол $2\alpha$.

Задание 4. Докажите, что два зеркала, поставленные под углом $120^\circ$, не образуют математических правильного калейдоскона.

Задание 5. Докажите, что два зеркала, поставленные под углом $\alpha = \frac{180^\circ}{n}$, еде $n$ — натуральное число.

Задание 6. Докажите, что если калейдоскон математически правильен, то улы при вершинах его функментальное множество и каких улы при его вершинах все эти улы имеют вид $\frac{180^\circ}{n}$ (п — соответствие натуральное число, для различных вершин эти $n$ могут быть различными).

Различие между заданными 5 и 6 неевелiko: в задание 5 зеркала неограничены, а в задание 6 они имеют конечные размеры. Решаются обе задачи почтой одинаково. Зато задача 6 дает необходимое условие математической правильности калейдоскона: углы при вершинах его функментального многоугольника должны иметь указанный вид.

Раз у нас есть бы одно условие, которое должно удовлетворять каждой математической правильной калейдоскопе, можно попробовать найти все калейдоскопы, удовлетворяющие этому условию. Во всяком случае, среди них будут все искочные калейдоскопы, что значительное существо наших понятий.

Задание 7. Найдем все калейдоскопы, удовлетворяющие необходимому условию правильности (задача 6). Это означает следующее: надо найти, при каком числе сторон функментального многоугольника и каких улы при его вершинах все эти улы имеют вид $\frac{180^\circ}{n}$. Проверить, что все получающие калейдоскопы математические правильны, то есть что необходимо условия математической правильности калейдоскона, формирурованное в задаче 6, является и достаточно.

Теперь мы вернемся к эквивалентности физической и математической правильности калейдоскопа. Изовем калейдоскоп правильным в улы, если каждые его два зеркала (мы считаем их бесконечными), образующие угол, является правильным калейдоскопом. Доказательство эквивалентности будем вести по следующей схеме, на которой стрелки ознакомют, что из одного утверждения следует другое.

Схема доказательства

Математическая правильность в углах
1
Математическая правильность в целом
2
Физическая правильность в углах
3
Физическая правильность в целом

48

Из этой диаграммы следует, что любая из правилностей калейдоскопа является собой все остальные. Значит, найдя все калейдоскопы, правильные математические в углах, мы тем самым нашли все правильные (с любой точки зрения) калейдоскопы.

Докажем справедливость диаграммы.

Переход 1. Он был представлен вам в виде задачи 7.

Переход 2. Его очевидность уже обсуждалась выше.

Переход 3. Он почти очевиден. Надо лишь учеть, что фундаментальный многоугольник для двух зеркал неограничен, а для исходного калейдоскопа он мог быть ограничен. Будем вести доказательство от противного. Пусть калейдоскоп неправильен физически хотя бы в одном угле, то есть найдет точки $T_1$ и $T_2$ (точки наблюдания) и $X$ (в картиной плоскости) также, что за счет отраЖеней только в этом угле из точек $T_1$ и $T_2$ в точке $X$ видны разные изобравжения. Подобно уменьшая всю картину к вершине угла, мы можем перевести точки $T_1$ и $T_2$ внутри фундаментального многоугольника. В новой точке $X'$ из точек $T'_1$ и $T'_2$ по-прежнему будет видны разные изобравжения. Тем самым переход 3 доказан.

Переход 4. Он также доказывает от противного, это будет еще одна задача.

Рис. 11.
48

Рис. 12.

Задча 8. Доказать, что если калейдоскоп из двух зеркал математически неправильен, то найдет точки $T_1$, $T_2$ и $X$ также, что из точки $T_1$ и $T_2$ в точке $X$ видны изобравжения разных точки фундаментального многоугольника.

Итак, мы разобрались в работе калейдоскопов. Фотографии изобравжения в некоторых из них приведены на рисунках 11—14.

Попробуйте определить, правильные ли эти калейдоскопы. На многохх из этих снимков можно определить, из какой точки велась сыемка. Лучи света не могут отраЗиться в вершине угла (ребре калейдоскопа), поэтому из каждой вершины исходит линяя раздела — смена порядка отраЖеней. По одному сторону от этой линии луч добавляется до глаза одной последовательностью отраЖеней, по другую — другой последовательностью. Если продолжить эти линяя внутри фUNDAMENTALНОМ МНОГОУЛЬНИКА,

Рис. 14.

то все они пересекутся в одной точке, над которой является сыемка. В правильных калейдоскопах вдоль этих линей изображения слияются, в неправильных наихом появляется «излом».

Упражнения

9. Образует ли пара параллельных зеркал «правильный калейдоскоп» (хотя он и не подходит под нашей определенные калейдоскопа, можно проверить, удовлетворяет ли эта оптическая система определенную правильности, данному выше)?

10. Какое максимальное число изображений одной точки можно увидеть в двух зеркалах, поставленных под углом $\alpha$ друг к другу, если $\frac{180^\circ}{\alpha} = r$ и a) $r$ — целое; b) $r$ — не целое?

11. Опять два зеркала образуют угол $\alpha$. Каково наиболее число точек функентального «двуугольника» (угла), изображения которых можно увидеть в некоторой фиксированной точке $A$ картиной плоскости такого калейдоскопа, меняя точку наблюдания? Изображения скольких точек функентального многоугольника накладываются в точке $A$ с точки зрения геометрии? Расмотите три случая: $\alpha = \frac{180^\circ}{r}$ и a) $r$ — irrationalное; b) $r = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь), $q \neq 1$; b) $r$ — натуральное число.

12. Что видно в «цилиндрической калейдоскоп», если глаз расположить на оси цилиндра?

13. Два плоских зеркала расположены под углом $40^\circ$ друг к другу. Какое максимальное число отражений светового луча возможно в этой оптической системе?

14. В задаче 7 есть решение $n_1 = \infty$, $n_2 = 2$, $n_3 = 2\left(\frac{180^\circ}{\infty}\right)$ мы считаем равным нулю). Какому «калейдоскопу» соответствует это решение (каков физический смысл этого решения)?

ОПИСАННАЯ ТРАПЕЦИЯ И СРЕДНИЕ

Взгляните на рисунок. Описанная трапеция, в которой проведены высота $BH$ и отрезок $HG$, перpendикулярный стороне $AB$. Казалось бы, ничего особенно применительно в этой фигуре нет, однако этот чертеж обладает удивительным свойством. На нем вместе с верхним основанием $a$ и нижним основанием $b$ уже содержатся все три средние этих отрезков: среднее арфметическое, среднее геометрическое и среднее гармоничское, а именно:

$$AB = \frac{a+b}{2},$$

$$BH = \sqrt{ab},$$

$$BG = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Попробуйте самостояльно доказать эти утверждения.

А теперь достаточно одного взгляда на чертеж, чтобы убедиться, что между средними выполнены следующие:

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}.$$

Действительно, $AB$ и $BH$ являются наклонной и перpendикулярным, проведенным к прямой $AD$ из точки $B$, а $BH$ и $BG$ — наклонная и перpendикулярная из точки $B$ к прямой $HG$.

А. Савин, В. Сендеров

50

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

ОТВЕРСТИЕ - ЛИНЗА

В. В. Майер

Дифракция света
на круглом ответсти

Наблюдая дифракцию света на прорезанном в непрозрачном экране круглом ответсти, можно заметить ряд интереснейших закономерностей*). Если расстояние от ответстия до плоскости наблюдания неveliko, то дифракционная картина представляется собой семейство концентрических светлых и темных колес, в центре которого может находиться как светлое, так и темное пятно. Будем увеличивать расстояние между ответстием и плоскостью наблюдания. Общий характер картины сохраняется, но в центре последовательно сменяются светлые и темные пятна. При еще большем увеличении расстояния до плоскости наблюдания в центре дифракционной картины появляются

*) Метод наблюдания дифракции света на круглом ответсти описан в статье Г. И. Косоурова «Шарик вместе линзы» («Квант» № 9, 1970).

ляется и при дальнейшем удалении остается светлое пятно (рис. 1).

Все эти закономерности можно объяснить, воспользовавшись методом построения зон Френеля.

Будем считать, что точный источник света $S$ находится в бесконечности, так что к экрану $\partial_1$ с круглым ответстем приходит плоская световая волна, параллельная плоскости экрана (рис. 2). Нам нужно оценить освещенность центральной точки $A$ дифракционной картины, получающейся на экране $\partial_2$.

Вicio площадь ответстия разобем на такие колщевые зоны, чтобы расстояния $AB_1, AB_2, \dots, AB_k$ удовлетворили условия:

$$AB_1 - AO = AB_2 - AB_1 = \dots = AB_k - AB_{k-1} = \frac{\lambda}{2},$$

где $\lambda$ — длина волны падающего света.

Это означает, что волны, приходящие в точку $A$ с границей соседних

Рис. 1. Распределение освещенности при дифракции света на круглом ответсти.
a) Расстояние от ответстия до плоскости наблюдания минимально; заметны неправильности дифракционной картины, обусловленные неравностями края ответстия.
b, в, г) При увеличении расстояния до плоскости наблюдания в центре дифракционной картины последовательно сменяются светлые и темные пятна.
d) При дальнейшем увеличении расстояния в центре остаются светлое пятно.

51

Рис. 2. Построение зон Френеля.

зон, имеют разность хода λ/2, то есть находятся в противофазе. Тогда для каждой точки любой зоны найдется такая точка соседней зоны, что волны из этих точек приходят в центр диффракционной картины в противофазе. Зоны, построенные таким образом, носят название зон Френеля.

Колебания, вызываемые в точке А волнами, идущими из двух соседних зон, взаимно компенсируются.

Ясно, что если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке А амплитуда результирующего колебания будет минимальная, а значит, минимальная будет и освещенность экрана $\Delta_2$ в этой точке. Максимальный освещенность точки А будет в том случае, если отверстие открывает нечетное число зон. Именно поэтому при удалении плоскости наблюдается от экрана с ответственным темные и светлые пятна в центре диффракционной картины последовательно смениют друг друга.

Оптическое изображение

Проколите в одной из стенок непрозрачной коробки небольшое ответственное хорошего натянутой пилиросной бумаги (или, еще лучше, матовым стеклом). У вас получилась камера-обскура — простейший прибор, дающий изображения предметов, прибор, в котором изображение создает круглым ответственным.

Но ведь отверстие не может дать иного распределения освещенности на плоскости наблюдается, кроме того, которое получается в результате диффракции света. Какое же из этих распределений можно считать изображением светящейся точки с большим основанием? Конечно то, которое больше всего напоминает саму светящую точку, то есть такое, в котором центральное светлое пятно имеет наиболее освещность, а окружающие его светлые колыца — наиболее освещную.

Такое распределение освещности будет на плоскости, бесконечно удаленной от ответствия. Действительно, в бесконечно удаленную точку, лежащую на оси ответствия, все волны, идущее от источника света (также лежащого в бесконечности), приходят в фазе, и их амплитуды в этой точке в результате интерференции суммируются. Во все другие точки осветления волны от источника света приходят уже с некоторой разностью хода, так что интенсивность света в них меньше, чем могла бы быть, если бы волны приходили в них в фазе. Раз интенсивность в центральной точке диффракционной картины стала меньше, то согласно закону сохранения энергии интенсивность света в окружающих ее колых возросла. А это означает, что изображение точного источника света ухудшилось.

Итак, наличище изображение светящейся точки, создаваемое ответством, есть диффракционная картина, в центре которого находится светлое пятно, причем разность хода волн, приходящей в центре этого пятна, равна нулю.

Но это идеальный случай. Практические волны в центре изображения всегда приходят с некоторой разностью хода. Каким должно быть максимальное значение этой разности хода, чтобы изображение можно было считать не слишком отличимся от идеального? Сразу можно сказать, что максимальная разность хода не должна превышать половины длины волны, потому что в этом случае отверстие открывает не более одной зоны Френеля, и интенсивность света в центре диффракционной картины много больше, чем в окру-

52

жаощих его колых. В центре картины получается светлое пятно. Но физики несколько более строго относится к подобным вешам. Поэтому они согласились с предложением Рэлея*) считать изображение не слишком сильно отличующим от идеального, если максимальная разность хода волн, индуших из источника в центр изображения, не превышает четырёх волны. Это предложение получило название критерия Рэлея.

Интересно, что в том случае, когда отверстие открываетровно однуону Френеля, яркость пятна в центре картины в четыре раза больше, чем при отсутствии экрана.

Фокусы круглого отверстия

Поскольку отверстие дает изображение, мы впраve ввести для него понятия, аналогичные тем, которые вводятся при изучении идеальной линии. Будем называть оптическим центром О круглого отверстия его центр, а главной оптической осью X — прямую, прохождение через оптический центр отверстия перпендикулярно плоскости непрозрачного экрана Э (рис. 3).

Пусть на прорезанное в непрозрачном экране Э круглое отверстие падает плоская световая волна от

*) Лорд Рэлей (1842—1919) — выдающийся английский физик, основные работы которого посвящены изучению колебаний и волн различной природы.

Рис. 3. Фокусы круглого отверстия.

бесконечно удаленного точного источника света S. Найдем точки главной оптической оси, в которых находится центра изображения источника света.

Обозначим диаметр отверстия через D, а максимальный разность хода волн через δ. Для любой точки x, лежащей на главной оптической оси, согласно теореме Пифагора можно записать:

$$\left(\frac{D}{2}\right)^2 = (x + \delta)^2 - x^2,$$

или

$$\frac{D^2}{4} = 2\delta x + \delta^2.$$

Величина δ² мала по сравнению с остальныеми величиными, входящими в эту формулу, можно его пренебреть. Тогда

$$x = \frac{D^2}{8\delta}.$$

Согласно критерию Рэлея максимальная разность хода δ не должна превышать четырёх волны, то есть 0 ≤ δ ≤ $\frac{\lambda}{4}$. Подставляя эти значения δ в формулу (1), получим

$$\frac{D^2}{2\lambda} \leq x < \infty.$$

Однако критерию Рэлея определяется не только многоестрою точек (2), но еще и симметрично расположенное ему относительно центра отверстия многоестрою точек (см. рис. 3),

$$-\infty < x \leq -\frac{D^2}{2\lambda}.$$

Оба многоестроя бесконечно удаленного источника света, лежащero на главной оптической оси отверстия. Но также точки принято называть фокусами системы. Таким образом, многоестроя бесконечно удаленного источника света, лежащero на главной оптической оси отверстия. У собирающей линзы фокус действительный (фокусное расстояние положительное), а у рассеивающей — минимый (фокусное расстояние отрицательное). Отверстие же, как показано.