Квант 1972, №10 · Страницы

КВАНМ
10
ОКТЯБРЬ
1972
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, С. Т. Беляев, В. Г. Болтянский, И. Н. Броштейн, Н. В. Васильев, И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, А. И. Климанов (главный художник), С. М. Козел, В. А. Лешковцев, (зам. главного редактора), Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллионщиков, Н. А. Патрикеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков, М. П. Шаскольская, С. И. Шварцбург, А. И. Ширшов.

Как видно из рисунка, помещенного на первой странице обложки, квадрат (и вообще любой прямогольник) можно разбит на любое число подобных треугольников. Если же требовать, чтобы все фигуры разбиения были непреемно равными, то прямогольник (и любой параллелограмм) удалется разбит лишь на четное число треугольников (см. рисунок слева). В статье «Конечные паркеты» (стр. 25) подробно расссказывает о закономерности, которые подчиняются такого рода «паркеты», и приводятся любопытные примеры фигуры, разрезаемых на любое число равных треугольников.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов. Художественный редактор О. Н. Яковлева. Корректор В. П. Сорокина. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Квант»; тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 15/VII 1972 г. Подписано в печать 6/IX 1972 г. Бумага 70×100¹/₁₆. Физ. печ. л. 5. Усл. печ. л. 6,5. Уч.-изд. л. 7,23 Тираж 313 135 экз. Т-03378. Цена 30 коп. Зак. 1236. Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома Государственное комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полигraphи и книжной торговли г. Чехов, Московской области.

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАЩАЮТСЯ

1

10
ОКТЯБРЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО·НАУКА·
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:

2 Малая теорема Ферма С. Г. Гиндикин
10 Закон Джоуля — Ленца В. А. Фабрикатм
17 Интеграл в геометрии и физике Ю. И. Ионин
22 Высота гор иfundamentальные физические постояние В. Вайскопф

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
25 Конечные паркеты В. И. Каплин, В. Г. Лейбович, Е. Л. Папернов

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
31 Бумеранг Ф. Гесс

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
38 Задачи М166—М170, Ф180—Ф184
40 Решения задач М126—М128, Ф142—Ф147

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
47 Метод решения задач «с конца» Я. И. Груденов
52 Работа, энергия, мощность И. А. Зайцев
59 Варианты вступительных экзаменов по физике в Московский физico-технический институт в 1972 году
61 Варианты вступительных экзаменов по математике 1972 года

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ
62 Новые книги М. Л. Смолянский

ИНФОРМАЦИЯ
64 VI Всегоизная математическая олимпиада Школьников Л. Г. Лиманов
69 VI Всегоизная физическая олимпиада Школьников Т. С. Петрова
71 Математический бой В. П. Федомов
75 Ленинские premii 1972 года В. А. Лейковцев

УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА
77 Марки, посвязываемые изобретателем «русского света»
78 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
(3-я стр. обложки)
СМЕСЬ (стр. 16, 24, 30)

4

выберем все карточки. Поскольку на каждом шаге выбираетсяровно $l$ карточек, мы получаем, что первоначальное число карточек ($p-1$) должно делиться на $l$.

З а д а и а 1. Докажите, что минимальная длина л перiodа дроби $\frac{1}{p}$ совпадает с наименьшим показателем $l$, для которого $10^k-1$ делится на $p$.

Признаки делимости

Полученные результаты о делимости степени 10 на $p$ имеют еще одно интересное применение. Оказывается, что для любого простого числа $p \neq 2,5$ существует признак делимости, обобщший признак делимости на 3. Напомним рассуждания, относится к $p=3$. Пусть $A$ — натуральное число, $a_0, a_1, \dots, a_k$ — его цифры, занутерованные справа налево. Тогда $A=a_0+a_110+\dots+a_k10^k$. Поскольку $10^s$ для всех $s$ при делении на 3 дает остаток 1, то $A$ дает при делении на 3 тот же остаток, что $a_0+a_1+\dots+a_k$. В частности, $A$ будет делиться на 3 в том и только в том случае, когда $a_0+a_1+\dots+a_k$ делится на 3.

Пусть теперь $p=11$. Тогда, как мы видели, $l=2$ и все $10^{2k}$ при делении на 11 дает остаток 1. Разобъем цифры $A$ на пары справа налево, причем в последнюю группу попадает лишь одна цифра, если число цифр нечетно: $b_0=a_1a_0, b_1=a_3a_2, \dots$. Число $A$ следует обозначать записывается через $b_j: A=b_0+b_110^2+b_210^4+\dots+b_m10^{2m}, 0 \leq b_j < 100$. Ясно, что $A$ при делении на 11 будет давать тот же остаток, что и сумма двузначных чисел $b_0+b_1+\dots+b_m$.

В общем случае, если $p \neq 2,5$ — простое число и $10^l-1$ делится на $p$, мы разобем $A$ на $l$-значные блоки справа налево (в первом слева блок может быть меньше цифр) так, что $A=c_0+c_110^l+c_210^{2l}+\dots+c_n10^{nl}$, $0 \leq c_j < 10^l$.

Тогда $A$ при делении на $p$ дает момент же остаток, что и сумма $l$-значных чисел $c_0+c_1+c_2+\dots+c_n$; в частиности, $A$ делится на $p$ моеда и молко моеда, коеда эма сумма делится на $p$. Этот признак очень прост при $p=3$; мы видели, что при $p=11$ приходится разбивать на двухчные блоки, при $p=37$ — на трехзначные, однako при $p=7$ — на шестизначные, и вообще говоря, мы можем гарантировать лишь, что приведет к целли разбение на блоки длины $p-1$.

Задача 2. Докажите, что если $l=1$ для некоторого простого $p$, то $p=3$; если $l=2$, то $p=11$; если $l=3$, то $p=37$.

Малая теорема Ферма

Если вы просмотите еще раз наши рассуждания о делимости степени 10 на $p$, то убедитесь, что мы пользовались лишь тем, что 10 не делится на $p$. Фактически мы доказали следующее общее утверждение.

Малая теорема Ферма (1601—1665) без доказательства в письме Френиклю де Бесси от 18 октября 1640 года. На Ферма обнаруженная им закономерность произвела очень впечатление. «Меня озарило ярким светом», — писал он, сообщая о нем.

Задача 3. Докажите, что если $p$ — простое число, то $a^p-a$ делится на $p$.

Эта задача — вариант малой теоремы Ферма, в котором не исключаются $a$, кратные $p$.

Teория сравнения

При исследовании делимости целых чисел удобно пользоваться языком теории сравнения, введенным Гауссом. Цельные числа $a$ и $b$ называются сравнимыми по modulo $m$ (м—натуральное число), если $a-b$ делится на $m$. Это обозначает так:

$$a \equiv b \pmod m.$$ (1)

*) Она так называется в отличие от до сих пор не доказанной Великой теоремы Ферма (см. «Квант» № 8, 1972 года).

В частисти, если $a$ делится на $m$, то $a \equiv 0$ (mod $m$). Соответствие (1) равносильно тому, что $a$ и $b$ имеют одинаковые остатки при делении на $m$. Напомним, что под остатком от деления $a$ на $m$ понимается такое $r$, $0 \leq r < m$, что $a = mq + r$, где $q$ — целое. Этим условием $r$ однозначно определяется. Остатки еще называют вычетами по modulo $m$. Их совокупность $\{0,1,\dots,m-1\}$ мы обозначим через $Z_m$.

Сравнение по одному modulo можно получить складывать и переменная, если $a \equiv c$ (mod $m$), $b \equiv d$ (mod $m$), то $a + b \equiv c + d$ (mod $m$), $ab \equiv cd$ (mod $m$). Это легко проверяется непосредственно. Если $a - c$ и $b - d$ делятся на $m$, то на $m$ делится их сумма $a - c + b - d = (a + b) - (c + d)$, а также выражение

$$ab - cd = ab - cb + bc - cd = b(a - c) + c(b - d).$$

На языке остатков это означает, что остаток суммы $a + b$ зависит только от остатков $r_1$ и $r_2$ сладаемых и совпадает с остатком числа $r_1 + r_2$; аналогично, остаток $ab$ зависит только от $r_1$ и $r_2$ и равен остатку $r_1r_2$. В результате в множестве $Z_m$ возникают операции, которые будут называться соответствующими сложением и умножением по modulo $m$ (или сложением и умножением в $m$-арфметике).

Итак, чтобы выполнить одну из этих операций в $Z_m$, нужно выполнить эти операции в обычном смысле и взять остаток от деления результата на $m$. Аналогичным образом определяется вычитание в $Z_m$ (остаток обычной разности). Непосредственно проверяется, что и в $m$-арфметике вычитание — действие, обратное сложению, то есть

$$a + b = c \iff c - b = a;$$

$$a, b, c \in Z_m$$ (доказатель).

Заметим, что

$$0 - a = m - a \in Z_m;$$

$$a - b = a + (m - b).$$

Задача 4. Составить таблицы сложения, умножения и вычитания в $5$-арфметике, воспользовавшись таблицей 2 как образом.

В теории сравнения особое место занимают сравнение по простому modulo. Один из самых заменательных фактов, имеющих место для этого случая, заключается в том, что в $p$-арфметике ($p$ — простое) всегда однозначно выполено деление на $b \neq 0$. Покажем это.

Деление мы определяем как действие, обратное умножению, то есть в $Z_p \frac{a}{b} = c$, если $bc = a$.

6

Ясно, что случай $b = 0$ надо исключить, так как $0c = 0$ при всех $c$. Пусть $b \neq 0$. Расстоянием все элементы $Z_p$ вида $xb$, $x \in Z_p$. Показем, что при разных $x$ эти элементы различны, то есть что если $0 \leq x_2 < x_1 < p$, то $x_1b - x_2b = b(x_1 - x_2)$ не делится на $p$. Действительно, ни $b, 0 < b < p$, ни $x_1 - x_2, 0 < x_1 - x_2 < p$, не делятся на $p$. Значит, множество $xb, x \in Z_p$, содержит $p$ различных элементов, а потому совпадает с $Z_p$.

Таким образом, для всякого $a \in Z_p$ существует и единственное значение $x = c$, для которого $cb = a$.

Полученный результат можно переформулировать так: сравнение $ax \equiv b$ (mod $p$) при $a \neq 0$ (mod $p$) имеет решение, причем все решения сравнимы по modulo $p$.

Задача 5. Составьте таблицу деления в 5-аритметике.

Задача 6. Показите, что если все элементы $Z_m$ делятся на $b \in Z_m$, то $b$ и $m$ взаимно просты (мо есть их наиболее общий делитель $(b, m) = 1$). В частности, если $Z_m$ всегда выполняимо деление на ненулевые элементы, то $m$ — простое число.

Задача 7. Пусть последняя цифра в отрицания от 0, 2 и 5. Тогда для любой цифры $c$ можно указать число, делается на $b$ и имеющее данную цифру $c$ последней.

В силу малой теоремы Ферма $a^{p-1} = 1$ в $Z_p$ при $a \neq 0$, что эквивалентно сравнению $a^{p-1} \equiv 1$ (mod $p$) для $a$, не делится на $p$. Эйлер заметил, что теорема Ферма допускает обобщение на случай составного $m$. Пусть $a$ взаимно прост с $m$. Так же как и для простого $p$, показывает, что $a^k - 1$ для неокотого $k$ делится на $m$. Пусть $l$ — наменьший показатель, обладающий этим свойствам; приято говорить, что $a$ принадлежит показателю $l$ по modulo $m$.

Теорема Ферма—Эйлер. Пусть $a$ взаимно прост с $m$. Тогда $a^{\varphi(lm)} \equiv 1$ (mod $m$), (2)

еде $\varphi(m)$ — число элементов в $Z_m$, взаимно простых с $m$.

Величина $\varphi(m)$ называется функцией Эйлера (таблица 3).

Доказательство в точности повторяет рассужждение для простого $m = p$. Нужно выписать на карточках $\varphi(m)$ чисел, взаимно простых с $m$ и меньших $m$, а затем на каждом шаг вместе с одной из оставшихся карточки с числом $b_j$ мы выберем карточки, на которых выписаны остатки от деления $b_j, b_j a, \dots, b_j a^{l-1}$ на $m$. При этом на каждом шаг будет выбираться точно $l$ карточек, а в результате $\varphi(m)$ должно делиться на $l$.

Подумайте, что можно сказать, основываясь на теореме Ферма—Эйлер о периоде дробей $1/m$ и о признаках делимости на $m$, где $m$ — составное число.

Вычисление функции Эйлера

Разложим $m$ на простые множители: $m = p_1^{\alpha_1} \dots p_r^{\alpha_r}, \alpha_j > 0$. Тогда $\varphi(m)$ — количество натуральных чисел $k, 0 \leq k < m$, которые не делятся на одно из простых чисел $p_1, \dots, p_r$. Нам будет удобно вычислить выражение, более общее, чем $\varphi(m)$. Пусть $m_1$ и $m_2$ — взаимно простые делители $m$ и $\psi(m_1/m_2)$ — число таких $k, 0 \leq k < m$, которые делятся на $m_1$, но взаимно просты с $m_2$. Тогда $\psi(1/m) = \varphi(m)$.

Если $m_2 = q_1^{\beta_1} \dots q_s^{\beta_s}, \beta_j > 0, m_2' = q_1 \dots q_s$, то $\psi(m_1/m_2) = \psi(m_1/m_2')$ (почему?). Далее ясно, что $\psi(m_1/1)$ — это количество чисел

Таблица 3

$m$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
$\varphi(m)$ 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12

8

справедливо для многочленов степени не выше $l - 1$. Пусть далее $r_0, r_1, \dots, r_l, 0 \leqslant r_j < p$, удовлетворяют сравнению $P(r) \equiv 0 (\bmod p)$. Представим $P(x)$ в виде $P(x) = (x - r_0)Q(x) + P(r_0)$, где $Q(x)$ многочлен степени $l - 1$, а $P(r_0)$ делится на $p$. Тогда, поскольку $P(r_j)$ делится на $p$, $(r_j - r_0)Q(r_j)$ делится на $p$ при $1 \leqslant j \leqslant l$. Так как $r_j - r_0$ не может делиться на $p$, то $Q(r_j)$ делится на $p$, а тогда по предположению индукции $Q(r)$ будет делиться на $p$ при всех $r$. Следовательно, $P(r)$ делится на $p$ при всех $r$.

Следствие. Сравнение $x^l \equiv 1 (\bmod p)$ удовлетворяют не более $l$ элементов $Z_p$.

В силу леммы достаточно найти хотя бы одно $x \in Z_p$, не удовлетворяющее сравнению. Можно взять $x = 0$.

Теорема Гаусса. Пусть $p - \text{просмоте число}, l - \text{делимель (p - 1)}$. Тогда показатель $l$ принадлежит $\varphi(l)$ элементов $Z_p$.

Следствие. Для всякого проектирования $\varphi(p - 1)$ первогообразных корней (см. табл. 4).

Доказательство теоремы Гаусса. Пусть показатель $l(l - \text{делитель p - 1})$ принадлежит некоторое $a \in Z_p$. Расмотрим числа $1, a, \dots, a^{l-1}$ и их остатки $b_0, b_1, \dots, b_{l-1}$. Уже было показано, что все $b_j$ разлины. Ясно, что для любого $m$ имеем:

$$(a^m)^l \equiv (b_m)^l \equiv 1 (\bmod p),$$

то есть $b_0, b_1, \dots, b_{l-1}$ решения сравнения $x^l \equiv 1 (\bmod p)$, причем в силу следствия из леммы других решений у этого сравнения нет. В частности, среди $b_0, \dots, b_{l-1}$ содержатся все остатки, принадлежащие показателю $l$. Очевидно, что если $m$ и $l$ имеют общий делитель $d \neq 1$, то $(a^m)^{l/d} \equiv 1 (\bmod p)$, так что $b_m$ не может принадлежать показателю $l$, а поэтому показатель $l$ может принадлежать не более $\varphi(l)$ элементов $Z_p$.

Какждый из $p - 1$ ненулевых элементов $Z_p$ принадлежит какому-то показателю $l$, являющегося делителем $p - 1$. Пусть $d_1, \dots, d_k$ делители $p - 1$ и показателю $d_s$ принадлежит $\psi(d_s)$ элементов $Z_p$. Тогда $\psi(d_1) + \dots + \psi(d_k) = p - 1$ и $\psi(d_s) \leqslant \varphi(d_s)$ для всех $s$. В силу формулы Гаусса $(4) \varphi(d_1) + \dots + \varphi(d_k) = p - 1$, поэтому $\psi(d_s) + \dots + \psi(d_k) = \varphi(d_s)$ и, поскольку $\psi(d_s) \leqslant \varphi(d_s)$, обязанлено $\psi(d_s) = \varphi(d_s)$ для всех $s$. Теорема доказана.

Таблица 4

| $a$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $I(a)$ |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $2$ | $4$ | $1$ | $2$ | $4$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $3$ | $3$ | $2$ | $6$ | $4$ | $5$ | $1$ | $3$ | $6$ |
| $4$ | $4$ | $2$ | $1$ | $4$ | $2$ | $1$ | $4$ | $3$ |
| $5$ | $5$ | $4$ | $6$ | $2$ | $3$ | $1$ | $5$ | $6$ |
| $6$ | $6$ | $1$ | $6$ | $1$ | $6$ | $1$ | $6$ | $2$ |

9

Приведенное доказательство — типное доказательство существования. В нем доказывается существование $\varphi(l)$ элементов $Z_p$, принадлежих доказателю $l$, в частности, $\varphi(p-1)$ периобразных корней, но явное построение не проводится.

Первообразные корни существуют не только для простых чисел. Можно показать, что они существуют для чисел 2, 4, $p^\alpha$, $2p^\alpha$, где $p$ — нечетное простое число, и только для них.

Индексы

Применение периобразных корней основано на следующем факте. Пусть $g$ — периобразный корень по модулю $p$; $a_0, a_1, \dots, a_{p-2}$ — остатки от деления чисел 1, $g, g^2, \dots, g^{p-2}$ на $p$. Тогда все $a_j$ различны и все они отличны от нуля: следовательно, $a_0, \dots, a_{p-2}$ — это все ненулевые элементы $Z_p$. В результате всякому ненулевому элементу $b \in Z_p$ отвечает единственное $k \in Z_{p-1}$, для которого $g^k \equiv b$ (mod $p$); $k$ называется индексом $b$ относительно $g$ и обозначается через $ind_g b$ (табл. 5). Очевидно, что $ind_g ab = ind_g a + ind_g b$; $ind_g \frac{a}{b} = ind_g a - ind_g b$, где следва операции производаются в $Z_p$, а справа в $Z_{p-1}$. По этой причине индексы в $p$-арифметике играют роль, аналогичную логарифмам; при их помощи умножение и деление свойства к сложению и умножению. В учебниках по теории чисел приводятся подробные таблицы индексов, причем, как и в логарифмических таблицах, приводятся как таблицы для определения индексов по элементам $Z_p$, так и таблицы для определения элементов по индексам.

Задание 9. Составить таблицы индексов в 5-арифметике.

Мы ограничимся одним примером на применение индексов. Расмотрим сравнение $ax^l \equiv b$ (mod $p$), $(a, p) = 1$. Вопрос о его разрешимости можно исследовать непосредственно, но если перейти к индексам, то мы получаем относительно $y = ind_g x$ сравнение первой степени: $ly = c$ (mod $p-1$), $c = ind_g b - ind_g a$. Поскольку между ненулевыми остатками и индексами существует взаимно однозначное соответствие, такое же соответствие существует между ненулевыми решениями первого сравнения и решениями второго.

Задание 10. Покажите, что сравнение $ax^l \equiv b$ (mod $p$), $(a, p) = (b, p) = 1$ однозначно разрешимо мода и молко мода, когда $l$ и $p-1$ взаимно просты.

Указание. Воспользоваться задачей 6.

Индексы в $p$-арифметике зависит от выбора периобразного корня $g$. Однако наиболее общий делитель $d(a) = (ind_g a, p-1)$ не зависит от $g$, что следует из следующей джендиния.

Задание 11. Докажите, что имеем место соответствие $d(a)l(a) = p-1$, где $l(a)$ — показатель, который принимает на $p-1$ ($a^l \equiv g^l ind_g a$ ≡ 1 (mod $p$)).

Полученное соответствие позволяет легко найти $l(a)$ по индексу $a$. В частности, знание индекса 10, в $p$-арифметике можно найти период $1/p$, не выписьвая явно десятичной дроби.

10

ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА

В. А. Фабрикант

Нагревание проводника при прохождения электрического тока — один из наиболее привязываемых эффектов. Однако более внимательный анализ механизма возникновения джоулева тела показывает, что здесь далеко не все так просто.

В статье рассматривается явление, связанные с эффектом Джоуля—Ленца. В плазме электрического разряда в газах могут существовать в одном и том же объеме две температуры, отлично специфизируется в сотни раз. Такая плазма представляет собой как бы смесь двух газов с резко различимся температурами. Эти температуры не могут стать равными из-за того, что электрическое поле нагревается только один из газов и между газами имеет надежная «шуба».

Инженер, расчитывающий линейную дальней электриопередачи, и инженер, создавший мощную электрипечь, имеют диаметрально противоложные точки зрения на джоулево телло, выделяющиеся в проводнике при прохождения тока. Для первого этого — вредный эффект, заставляющий повышать напряжение и мечтать о сверхпроводящем кабеле; для второго — полезный эффект, позволяющий решать трудные технические проблемы. Однако она они согласно, что эффект этот весна важный.

Закон, по которым проводник нагревается электрическим током, был впервые экспериментально установлен в 1841—42 гг. английским физиком Джеймсом Джоулем и, независимо от него, несколько позднее (в 1842—43 гг.), но с гориздо большей точностью —петербургским академиком Эмилием Христановичем Ленцем.

Начав исследовать выделение тела при прохождения тока, Джоульувлекся более общей проблему — преобразование энергии. В частности, он занялся преобразованиям работы в телло, использую в качестве промежутного звена электрической ток *).

Для первых опытов Джоуля сделал довольно простой прибор, состоящий из стеклянной банки, наполненной водой, в которой опускалась стеклянная трубка с навитым на нее проводником и с термометром для измерения температуры воды. Источник электривищей силы службы батарея галванических элементов. Измерялось повышение температуры воды за определенный промежуток времени при прохождения тока.

Установив основные закономерности нагревания проводника при прохождения тока, Джоуль приSEL к мысли, что этот эффект возникнет за счет теплопроводности. Согласно его гипотезе, телло, выделяющее в галванической батарее,следствие теплопроводности распространется вдоль проводника и нагревает его.

*) Попутно Джоуль приSEL к выводу, что электрические моторы не смогут конкурировать с паровыми машинами из-за дороговизны получения электрического тока! Вывод для середины XIX века вполне обоснованный.

11

Для проверки этой гипотезы Джоуль построил города более сложный прибор. Вместо галванической батареи в этом приборе для получения тока использовался индукционный генератор со статером в виде мощного электромагнитта, между полюсами которого врашался в состоянии с водой ротор. Измерялся нагрев воды при замкнутой и разомкнутой обмотке ротора. Разность этих нагревов, очень high, вызвалась тепловым действием тока, индуцированного в обмотке ротора. Джоуль убедился в ошибочности своей гипотезы о роли теплопроводности и приSEL к правильному источок явления нагревании проводников *).

Установление точного закона выделения тепла при прохождения электрического тока было далеко не простой экспериментальной задачей для физика первого половины XIX века. Э. Х. Ленц подошел к решению этой задачи с большой тщательностью как первоклассный экспериментатор. Он начал с создания новых измерительных приборов и их калибровки, что потребовал много труда.

В частности, для измерения тока он построил так называемый мультитипикатор — прибор, в котором измеряемый ток проходит сквозь неподвижную обмотку, состоящую из нескольких витков провода. В центре обмотки подвешена магнитная стрелка. Поворот стрелки связан с величиной проходящero сквозь обмотку тока. До мультитипикторов применялись приборы с обмоткой, состоящей из одного витка. Ясно, что чувствуетность мультитипикатов была гораздо выше.

Неприятным свойством мультитипикатов было то, что магнитная стрелка около положения равновесия

*) Нагревание воды при врашении ротора с разомкнутой обмоткой явно натолкнуло Джоуля на идею его знаменного прибора для определения механического эkvивалента теплоты. Обыты Джоуля с этим прибором сыгры большую роль в обосновании закона сохранения энергии. Поэтому единiza энергии волне заслужено носит его имя.

13

Роль законов сохранения

Во внешне гладком выводе формулы Джоуля — Ленца есть не очень понятное место. Почему электрон при стольновении отдает atomу энергию, как раз равную дополнительной энергии, прибретенной в электрическом поле?

Рассмотрим этот вопроснее.

При решении любой физической задачи надо помнить о строих законах сохранения. Согласно законам сохранения импульса и энергии электрон при стольновении должен отдавать atomу волне определенную долю своей кинетической энергии. Нясно,почему эта доля полной кинетической энергии электрона должна быть как раз равна дополнительной энергии электрона, прибретенной в электрическом поле.

Будем считать, что электrons и atoms сталькиются как упругие шарики.

Подсчитаем, какую долю полной кинетической энергии должен отдать электрон atomу при центральномудре (рис. 2, а).

Пусть до стольновения электрон движется со скоростью $v$, а atom поконтся. Обозначим скорость электрона после стольновения $v_1$, скорость atoma $V_1$. Тогда по закону сохранения импульса:

$$mv = mv_1 + MV_1,$$

(6)

До стольновения После стольновия

Рис. 2.

а по закону сохранения энергии:

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{MV_1^2}{2}.$$

(7)

Из этих двух уравнений получаем:

$$\frac{MV_1^2}{2} = \frac{4Mm}{(m+M)^2} \cdot \frac{mv^2}{2}.$$

(8)

Так как $M \gg m$, в знаменатель можно пребречь $m$ по сравнению с $M$. Тогда:

$$\frac{MV_1^2}{2} = \frac{4m}{M} \frac{mv^2}{2}.$$

(9)

При нецентральных ударах (рис. 2, б) atom будет получать меньше долю начальной энергии электрона. При пролете электрона по касательной к «поверхности».atoma (рис. 2, с) передаваемая энергия будет равна нулю. Средняя доля энергии определяется как получма максимальной доли и нуля, иными словами, она равна половине максимальной доли. Итак, средняя энергия, получаемая atomами от электронов при каждой стольновении, равна

$$\frac{MV^2}{2} = \frac{2m}{M} \frac{mv^2}{2}.$$

(10)

Так как $m/M$ порядка $10^{-3}$ — $10^{-5}$, электрон может отдать atomу только ничтожную часть своей стольновения. Это и создает своеобразную «шубу», преляетсяушую обмену энергий между электронами и atomами.

Из обратности упругих стольновений во время следует, что atom, налетящий на электрон, может отдать электрону только такую же малую часть своей начальной кинетической энергии. Нетрудно в этом убедиться примым расчетом.

Другой способ вычисления джоуля тела

В проводнике движется не только свободные электrons, но и atoms, совершающиеxaотическая колбания около свих положений равновесия.

14

Позному надо рассматривать столковенная между двумя коллективами движущихся частиц.

При одних столковениях электроны отделяют часть своей энергии atomам, при других, наоборот, atoms отделют часть своей энергии электронам. Благодаря действию электрического поля электроны все время «подогреватся», получая дополнительную энергию. В результате электронный газ имеет несколько более высокую температуру $T_e$, чем температура atomов $T_a$. Позному, в среднем, электроны отделют atomам большешую энергию, чем получают от них.

Как уже было показано, при каждом столковении электрон может отделить $2\frac{m}{M}$ своей кинетической энергии. То же относится и к atomам.

Воспользовемся обычным выражением средней энергии частицы через температуру. Тогда

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT_e,$$

$$\frac{MV^2}{2} = \frac{3}{2} kT_a.$$

Поток энергии, определяющий нагрев atomов, равен разности двух потоков энергии — потока, текущего от электронов к atomам, и потока от atomов к электронам. Ясно, что этот результатруший поток энергии должен быть пропорциональен числу столковенной электронов с atomами $\frac{N}{\tau}$, коэффициент передачи энергии $2\frac{m}{M}$ и разности средних энергий электронов и atomов $\frac{3}{2} k(T_e - T_a)$.

Строгий расчет показывает, что никакого численного коэффициента в окончательное выражение для результрушющего потока энергии воditь не надо, то есть

$$W = \frac{N}{\tau} \frac{2m}{M} \frac{3}{2} k(T_e - T_a).$$

В формуле (11) $W$ — это джоулево теплло, но здесь оно выражается иначе, чем в формуле (3).

В отсутствие внешнего электрического поля настоящего между электронами и atomами. Электронная температура равна температуре atomов.

При тепловом равновесии ($T_e = T_a$) результатруший поток энергии должен быть равен нулю. Действие электрического поля на электроны вызывает нарушение этого теплового равновесия.

Приравнением правые части равенств (3) и (11) (мы можем это сделать, так как они характеризуют одну и ту же величины):

$$\frac{1}{2} \frac{e^2}{m} N\tau E^2 = \frac{N}{\tau} \frac{2m}{M} \frac{3}{2} k(T_e - T_a).$$

Отсюда для разности электронной и atomной температуры получим:

$$T_e - T_a = \frac{1}{6} \frac{M}{m} \frac{e^2\tau^2}{km} E^2.$$

Таким образом, в результате действия электрического поля устанавливается определенная разность температуры. Мы видим, что эта разность пропорциональна относению масс $M/m$.

Это обстоятельство компенсирует обратное отношение масс в формуле (10) и делает законом первоначальный вывод формулы Джоуля — Ленца, в котором $M/m$ не фигурирует вообщее.

Следует отметить, что в первые moments времени после наложения электрического поля на проводник равенство (12) не выполняется. Энергия, полученная электронами от электрического поля, неоторое время превышает энергию, отдаваему электронами atomам. В результате происходитрезвычайно быстро рост $T_e$, что в свою очередь приводит к росту энергии, отдаваемой электронами atomам. Так будет продолжаться, оченьindo, до тех пор, пока энергия, получаемая электронами от поля, и энергия, отдаваемая им atomам, не сравняются. После этого электроны при столковениях с atomами будут отдавать им энергию,

15

правную дополнительной кинетической энергии, приобретенной в электрическом поле за время т между двумя стольновениями. Электронная температура стабилизуется на уровень, определяемом равенством (13).

Примерно то же производит при отоплениям дома зимой. Все тепло, поступающей от отопления в комнаты, уходит сквозь стены дома на улицу. Иначе температура в комнате все время бы повышалась. Отопление необходимо для поддержания перепада температур между комнатами и улицей. Чем меньше теплопроводность стен, тем медленнее тепло уходит из комнаты, тем легче поддерживает перепад температур.

Электронный газ и atoms в проводнике представляют как бы два тела с разными температурами, но перемещенные в одном объеме, причем одно из «телл» подогревается электрическим полем. Телло, как всегда, переходит от более горячого тела (электронов) к более холодному (atomам).

Телопроводность «стенки», разделяющей эти два «телла», определяется коэффициентом, стоящим перед разностью температур в формуле (11).

Оценим разность электронной иatomной температур для металлического проводника.

Время т порядка $10^{-14}$ с, $E$ — порядка $10^{-3}$ b/cm. Для разности температур $T_e - T_a$ получаем величины порядка $10^{-9}$ °C!

Такая ничтожная разность температур достаточно для обеспечения нужного результирующего потока энергии, несмотря на плоской коэффициент передачи энергии при каждом стольновении между электронами и atomами. Объясняется это колосальным числом стольновений между электронами и atomами: $\frac{N}{\tau}$ порядка $10^{36}$ с$^{-1}$.

В полупроводниках и особенно в газовой плазме дело может обстоятельсовсем иначе.

Нервновесная плазма

Строго говоря, классические электроны представления, использанные нами, не применены к металлическим проводникам. Поведение электронов в таких проводниках носит сугубо квантовый характер$^*$). Классические представления справедливы в условиях прохождения электрического тока сквозь газы (газовая плазма), но в газах могут иметь место совсем другие соотношения, и законы Ома и Джоуля — Ленца зачастую теряют силу.

При прохождения электрического тока сквозь разреженный газ благодаря большой длине свободного пробета электронов время пробета т может быть на несколько порядков больше, чем в металлах. Так же на несколько порядков возрастает и $E$.

В результате электронная температура может достигать десяти тысяч градусов при температуре самого газа (атомов) в несколько сот градусов (например, в люминесцентных или рекламных лампах). Получается смесь двух газов с температурами, отличующимся в десяти и даже сотни раз. Ни о каком тепловом равновесии в таких условиях и речи быть не может. Такая плазма называется неравновесной.

Ясно, что малость относения $m/M$ благоприятствует установлению большей разности температур электронов и atoms неравновесной плазмы.

В условиях электрического газового разряда низкого давления нарушается закон Ома, так как т и $N$ зависит от $E$. Из-за большей энергии электронов могут произойти не только упругие, но и неупругие стольновения электронов с atomами. При неупругих стольновениях кинетическая энергия электронов преобразуется во внутреннюю энергию atomов.

$^*$ См. статью Д. А. Франк·Каменец кого «Электрическое сопротивление — квантовое явление» («Квант» № 9, 1970).

Рис. 3.

Атомы возбуждаются и начинают испускать свет, этим и объясняется свечение газоразрядных ламп. Можно проинсходить даже выбивание внутренних электронов (нонизация атомов), что приводит к росту $N$. При каждом неупругом столкновении электрон теряет гораздо большую энергию, чем при упругом. Джоульево тепло террь составляет только часть от полной мощности тока. Иногда джоульево тепло становится даже пренебрежимо малим по сравнению с $jE$.

Ясно, что в таких случаях формула Джоуля — Ленца неприменима и равенство (12) не выполняется.

Наконец, в некоторых сильнооточных разрядных устройств, создавемых с целью получения управляемых термоядерных реакций, имеет место обратное соотношение температуры (рис. 3). Температура атомов (точнее ионов) оказывается выше электронной температуры. Результующий поток энергии течение в обратном направлении — от атомов к электронам. В этих условиях электроны не нагревают, а охлаждают атомы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ

Ниже приведется задачи, предложенные на математическом бое, проводившемся во время слета учашихся физико-математических школа в Ленинграде 7 января 1972 г. (О его правилах расказано в статье на стр. 71.)

1. Найти целые $x$ и $y$ такие, что $(((x^x - y)^y)x - y)^x + x + y = 1972 + 1000x$.

2. Доказать, что из любых 1972 целых чисел можно выбратьровно 972, сумма которых делится на 972.

3. Можно ли точки трехмерного пространства раскрасить в три цвета так, чтобы не было ни одного отрезка, целиком закрашенного в один цвет?

4. Доказать, что произведение всех чисел от $n+1$ до $2n$ делится на $2n$ и не делится на $2^{n+1}$.

5. Построить окружность, которая делит каждой из трех данных равных окружностей на две равные части.

6. Среди трехгольников данной площади найти треугольник с наиболее суммой относительной medida к соответствующим биссектрисам.

7. Билет имеет шестиначный номер. Билет называется частливым поленинградски, если сумма первых трех его цифр равна сумме трех последних цифр. Билет называется частливый по-вышборски, если его номер делится на 11. Каких билетов больше: частливых по-ленинградски или по-вышборски?

8. Можно ли замостить плоскость четырехугольника, равными данному?

9. Можно ли в течение куба плоскостью получить правильный пятуюугольник?

18

Неопределенно из определения интеграла следует, что функция произекта $S$ — интеграл от числовой функции $f$. В частности, площадь всего подграфика функции $f$ равна $\int_{A}^{B} f(x) \, dx$. Выведенная формула шади подграфика показывает геометрический смысл интеграла: интеграл от неотрицательной функции — это площадь подграфика этой функции. На этом основано использование интеграла для вычисления площадей.

В качестве примера найдем площадь функции, отсекаемой от парабoles $y = x^2 + 1$ прямой $y = 2x + 1$.

Парабола и прямая пересекаются в точках, координаты которых (0, 1) и (2, 5) находятся как решения системы уравнений $y = x^2 + 1$, $y = 2x + 1$.

Искомая площадь (рис. 6) равна разности площадей подграфиков функции $x \rightarrow 2x + 1$ и $x \rightarrow x^2 + 1$, определяемых на отрезке [0, 2]:

$$S = \int_{0}^{2} (2x + 1) \, dx - \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx =$$

$$= \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = 2 \int_{0}^{2} xdx - \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{4}{3}.$$

Вообщество, если графики функции $f$ и $g$ пересекаются в точках с абсциссами $A$ и $B$, а для всех чисел $x$ отрезка $[A, B]$ выполнен неравенство $f(x) \geq g(x)$, то площадь функции, заключенной между этим подграфиками (рис. 7), равна $\int_{A}^{B} (f(x) - g(x)) \, dx$.

Уражнение 1. а) Вычислить площадь подграфика функции $x \rightarrow x^2$ на отрезке [0,1].

б) Вычислить площадь, ограниченную аркой синусовы и осью абсцисс (рис. 8).

2. Объем тела врашения

Предположим, что подграфик неотрицательной функции $f$, определяющий на отрезке $[A, B]$, врашает вокруг оси абсцисс. Каждый отрезку $[a, b]$, содержащемуся в отрезке $[A, B]$, поставим в соответствие число $V [a, b]$ — объем части образованшегося тела врашения, заключенной между плоскостями $x = a$ и $x = b$ (рис. 9).

Мы получим аддитивную функцию промежутка $V$.

Из рисунка 9 видно, что выделенная часть тела вращения содержит прямой круговой цилиндр, высотной которого служит отрезок $[a, b]$, а радиус основания равен $\min f$ и содержится в цилиндре с той же высотой и радиусом основания $\max f$. Так как объемы этих цилиндров равны соответственно $\pi (b-a)(\min f)^2$ и $\pi (b-a)(\max f)^2$, то

$$\pi (b-a)(\min f)^2 \leq V [a, b] \leq \pi (b-a)(\max f)^2.$$

Но $\pi (\min f)^2$ это наименьшее значение функции $\pi f^2$ на отрезке $[a, b]$, а $\pi (\max f)^2$ ее наибольшее значение на этом отрезке. Следовательно, $V$ — интеграл от этой функции, так что объем всего тела вращения равен

$$\int \limits_A \pi f^2(x) \, dx.$$

В качестве примера вычислим объем прямого кругового конуса и объем шара.

Примой круговой конус высоты $H$ можно рассматривать как результат вращения подграфика линейной функции $x \rightarrow kx$, определяной на отрезке $[0, H]$ (рис. 10). Если радиус основания конуса равен $R$, то

$$kH = R,$$

откуда

$$k = \frac{R}{H}.$$

Рис. 9.

Рис. 10.

20

§ 2. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ИНТЕГРАЛА

Приведем в заключение несколько примеров применения интеграла в физических задачах.

Задание 1. Найдем слугуравимочного взаимодействия между расположенными на одной прямой матерIALной точкой массы m и однородным стержнем длины l и массы M. Расстояние от точки до ближайшего конца стержня равно c.

Вам, конечно, известен закон всемирного тяготения, утверждающий, что сила gravitationного взаимодействия двух точных масс прорциональная произведение этих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Однако в нашем случае одна из взаимодействиях масс точной не является.

Если стержень разбит на несколько частей, то сумма сил взаимодействия этих частей с массой m равна силе взаимодействия всего стержня с этой массой. Объчно физики дальше пишут: «разобъем стержень на очень маленькие отрезки длины Δx. На отрезок, находящийся на расстоянии x от точки m, действует сила $\frac{mM\Delta x}{lx^2}$, сумма этих сил равна…».

Покажем, как можно оформлять подобные расчудения строгого, пользоваться нашим определением интеграла.

Прямую, на котором лежат стержень и точка, превращим в числовую ссыл, выбрав в качестве начальной точку, в которой помещена масса m, и направив ось так, чтобы стержень оказался на положительной полоси. Стержень зайдет тогда отрезок $[c, c + l]$ этой оси. Каждому отрезку $[a, b]$, содержащемуся в отрезке $[c, c + l]$, поставим в соответствие число F $[a, b]$ — величины сил взаимодействия между этим отрезком стержня и массой m. Ясно, что F — адитивная функция промежутка. Ясно, что эта сила увеличится, если всего массу отрезка $[a, b]$, равную $\frac{M}{l}(b - a)$, сконцентрировать в близheetем к массе m конце a этого отрезка, и уменьшится, если эту массу сконцентрировать в точке b. Но в обихах случай мы придем к взаимодействию двух точных масс. В первом случае сила взаимодействия оказывается равной $\frac{\gamma mM}{la^2}(b - a)$, во втором случае $-\frac{\gamma mM}{lb^2}(b - a)$. Следовательно, $\frac{\gamma mM}{lb^2}(b - a) \leq F[a, b] \leq \frac{\gamma mM}{la^2}(b - a)$.

Но $\frac{\gamma mM}{lb^2} = \min_{[a, b]} \frac{\gamma mM}{lx^2}, a \frac{\gamma mM}{la^2} = \max_{[a, b]} \frac{\gamma mM}{lx^2}$.

Следовательно, адитивная функция промежутка $F$ — это интеграл от функции $x \rightarrow \frac{\gamma mM}{lx^2}$. Вся сила gravitationного прияжения между стержнем и точкой равна

$$\int_{c}^{c+l} \frac{\gamma mM}{lx^2} dx = \frac{\gamma mM}{l} \int_{c}^{c+l} x^{-2} dx = \frac{\gamma mM}{l} (-1) \left[ (c+l)^{-1} - c^{-1} \right] = \frac{\gamma mM}{l} \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{c+l} \right) = \frac{\gamma mM}{c(c+l)}$$

Вы знаете, что силу gravitationного прияжения плает также вычисляется по закону всемирного тяготения. Доказательство справедливо для сферических масс той же формулы, что и для точных, последующих для Ньютона одним из точков к созданию интегрального численения.

Задание 2. Найти кинемическую энергию однородного диска радиуса R и массы M, врачаюцезся с постоянной угловой скоростью w векруездости, прохождение через центр диска и перpendикулярной его плоскости.

Кинетическая энергия движущейся точки зависит от массы и скорости. Хотя диск врачается с постоянной

22

ВЫСОТА ГОР
И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

Этот отрывок взят из лекции известного физика-теоретика В. Вайскопфа, которая была прочитана им в Европейском центр ядерных исследований (ЦЕРН) в 1969 г. Лекция называлась «Современная физика в элементарном изложении». Полностью она была опубликована в журнале «Успехи физических наук», том 103, вып. 1, 1971.

Перевод выполнен В. И. Рыдником.

Мы знаем, что на Земле есть и высокие, и низкие горы. Но почему самая высокая гора (Джомолунгма) имеет высокую лишь около 10 км? Почему, скажем, не в пятьдесят раз больше?

В процессех горообразования и выветривания горы разрушаются и многое из них «теряют» высоту. Что, однако, означает существование верхнего «предела» их высоты порядка 10 км = 10⁶ см? Оказывается, эта величина определяется самой физической существуютою твердого вещества скальных пород. Она также связана с таким величинами, как ускорение силы тяжестеи и число протонов и нейтронов в веществе Земли, составляющей примерно 3·10⁵¹.

Итак, почему горы не могут растить сколь угодно большой высоты? Если гора оказывается слишком высокой, она начинает «погружаться» в земную кору под ней, поскольку вещества, составляющие земную кору — гранит, кварц, двуокис кремния — не настолько прочны, чтобы «удержать» гору, высота которой больше определяющего предела. Вес такой горы оказывается столь большим, что нарушит направленность связи между

ду атомами скальных пород, в результате чего породы расплавятся, станут жидкими и получат возможность растекаться в стороны. Это и вызывает опускание горы. По мере погружения горы в земную кору освобождается часть потенциальной энергии горы в земном поле тяготения. Этот излишек переходит в энергию «ожжения» породы.

Пусть первоначально высота горы была h, и гора опустилась на высоту x (см. рисунок 1; сплошной и штриховой линиими показаны начальное и конечное положения горы). Массу горы примем равной M.

Как уже было сказано, уменьшение потенциальной энергии горы в земном поле тяготения равно энергии «ожжения» массы горы, заключенной в объеме высоты x, т. е.

$$Mgx = E_{0ж} \cdot nxS,$$

или

$$Mg = E_{0ж} \cdot nS,$$

где n — число молекул в единице объема горы, S — площадь основания горы, $E_{0ж}$ — энергия «ожжения» (т. е. скрытая теплота плавления) в расчете на одну молекул, $\dot{g}$ — ускорение силы тяжестеи.

24

часический масс $m$ на поверхности Земли и Землей массы $M_3$ равна
$$mg = \gamma \frac{M_3 m}{R_3^2},$$
где $R_3$ — радиус Земли, $\gamma$ — граница постоянная постоянная. Отсюда
$$g = \gamma \frac{M_3}{R_3^2}.$$
Если не требуется высокоий точности, то величины $M_3$ и $R_3$ можно выразить через число нуклонов $N_3$ в составе Земли. Кора Земли состоит в основном из SiO$_2$ ($A = 60$), а ядро — в основном из железа ($A = 57$). Эти два вещества имеют примерное один и тот же atomный вес, а следовательно, и размеры atomов. Если радиусы atomов считать равны $a$, то объем Земли будет равен
$$\frac{4}{3} \pi R_3^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{N_3}{A} a^3,$$
откуда
$$R_3 = a \left(\frac{N_3}{A}\right)^{1/3}.$$
Подставляя это в выражение (5), получим
$$g = \gamma \frac{M_3}{R_3^2} = \gamma \frac{N_3 m_p}{R_3^2} = \gamma N_3 \left(\frac{A}{N_3}\right)^{2/3} \frac{m_p}{a^2}.$$
Radius atomов твердых веществ в хорошо приближении равен $a = f a_0$, где $a_0$ — радиус atomа водо-рода, а значение коэффициента $f$ заключено в пределах 1—4. Таким образом,
$$g = \gamma N_3 \left(\frac{A}{N_3}\right)^{2/3} \frac{m_7}{(f a_0)^2}.$$
В этом выражении неуниверсальной постоянной является число нуклонов $N_3$ в составе Земли *).

*) При оценке высоты гор на других планетах величины $A$ и $N_3$ нельзя считать универсальным, так как состав элементов в породах, образующих эти планеты, может быть иным, чем у Земли. (Причение переводчика.)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Доказать, что сумма расстояний (на рисунке CE+CF) от любой вершины (C) треугольника до точек касания внешисанных окружностей со стороны,

прохождения через эту вершину, равна треугольнику ($AB=c$).

С. Н. Федин

ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ

В Глазго (Шотландия) и в Москве бытовал анекдот, который английане приписьвали знаменитому английскому физнику лорду Кельвину, а москвичи — профессор Московского университета Николай Алексеевич Умову.

На экзамене Умов, яковы, спросил студента: «Что такое электричность?». После долго разумья студент ответил: «Простите, профессор, забыл. Сегодия утром помил, а сейчас забыл».
«Вот, господа,— обратился Умов к другим студентам, — величайшая трагедия физики XIX столетия: одинивнictвенный человек на свете знал, что такое электричность, да и тот забыл!»

25

КОНЕЧНЫЕ ПАРКЕТЫ

В. И. Каплун, В. Г. Лейбович, Е. Л. Папернов

Семь раз отмерь — один раз отрезь

Представьте себе, что вы захотели замостить пол в ванной кафельными плитками или сделать общный паркет в комнате. При этом ставится единственное условие: чтобы плитки (паркетины) были одинаковыми. Первое, что приходит в голову, — поprobовать сделать паркет из правильных многоугольников. О таких паркетах можно прочитать в статье А. Н. Колмогорова «Паркеты из правильных многоугольников»*, где рассматривается бесконечные паркеты, то есть плитки покрывались вся плоскость. Переход к ограниченным областям (таким, как комната) приводит к существенным осложнениям.

Задча 1. Докажите, что правильными треугольниками или шестиугольниками нельзя замостить прямогольную комнату.

Задча 2. Придумайте пример прямогольной комнаты, комору неелья заместить никакими квадратными плитками.

Как видите, без «неправильных» фигур нам не обойтись. Они часто делают задачу совсем простой. Например, нетрудно подобрать такую прямогольную плитку, чтобы с ее помощью можно было покрыть данную прямогольную комнату (рис. 1). В дальнейшем мы узнали, как замо-

*) См. «Квант», № 3, 1970.

стить паркетом самые разнообразные области. При этом мы будем пользоваться только многоугольными паркетинами и всегда требовать, чтобы в каждом конкретном случае все они были одинаковыми. Заметим, что если мы покрыли паркетом неокоторую фигуру, мы одновременно разбили ее отрезками прямых на многоугольника — плитки. Поэтому в дальнейшем мы будет часто употреблять слова «разбивание» и «разрезание». Слову «разрезание» мы для удобства изложения придам специальный смысл: это разбение, в котором границы плиток образуют отрезки, разрезанное нашу область «насквозь». На рисунке 2 приведен пример разбения, не являющегося разрезанием, а на рисунке 3 — пример разрезания.

Посмотрим теперь, как можно разрезать прямогольник на равные треугольники. Это и будет одной из основных наших задач. Например, проведя диагональ, мы разрежем прямогольник на два равных треугольника.

Задча 3. Докажите, что произвольный прямогольник можно разрезать на любое целое число треугольников.

Возникает естественный вопрос: можно ли разрезать прямогольник на нечетное число равных треугольников? Ответ на этот вопрос будет следовать из более общих результатов, для получения которых мы

26

Докажем одну теорему о разрезании бесконечных области на равные треугольники.

Для ее формулировки нам понадобится одно важное понятие.

Пусть имеется некоторое семейство прямых на плоскости. Будем говорить, что это семейство обладает системой направления и, если на плоскости можно выделить конечное число прямых, что каждая прямая из данной совокупности параллельна одной из них. Так например, направления, выделенные красным цветом на рисунке 4, являются направляющими для приведенного на этом рисунке множества прямых.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Основная теорема. Пусть плоскость разрезана на равные треугольники; модель возможны следующие случаи:

1. если треугольники разрезания — прямоугольные с углами 30°, то система направляющих семейства прямых разрезания состоит либо из 3, либо из 4, либо из 6 элементов;

2. если треугольники разрезания — прямоугольные, но не являются треугольниками из случая 1, то система направляющих может состоять только из 3 или 4 элементов;

3. наконец, если треугольники разрезания не являются прямойными, то направляющих всего 3.

Отметим одно свойство разрезаний, которое будет играть важную роль в дальнейших расчудениях.

Пусть имеется произвольный треугольник, входящий в разрезание (ΔABC на рис. 5). тогда каждая из сторон этого треугольника определяет одну из прямых разрезания. К каждой из этих прямых по другую стороны приложены еще треугольники. Расмотрим, например, сторону AC треугольника ABC на рисунке 5 и соответствующую ей прямую l (на которой она лежит). Расмотрим тот из приложенных к AC треугольников, который имеет с AC общее точку, отличные от точек A и C (такой треугольник, очень широку). тогда этот треугольник — обозначим его A’B’C’ — может занимать по отношению к ΔABC только два положения (рис. 5, а и б). Доказательство этого факта (основанное на равенстве треугольников ABC и A’B’C’ и на том, что нашей разбиение есть

Рис. 4.

Рис. 5, a.

Рис. 5, b.

Рис. 6.

27

разрезание) мы оставляем читателем в виде легкого упражнения, разминки перед более трудными задачами, которые встреятся уже очень скоро.

Тепер можно перейти непосредственно к доказательству теоремы. Расмотрим сначала случай 3. Пусть $ABC$ — произвольный треугольник нашего паркета (рис. 6). Пусть, для определения, угол $A$ у него наобольший (в случае равноведренного или равностороннего треугольника можно, как будет ясно из дальнейшего, брать произвольный из соответствующих углов). Покажем, что второй треугольник, приложенный к стороне, содержащей вершину $A$, может образовать только конфигурацию, представленную на рисунке 5, $6$ (в дальнейшем будем писать просто «приложен по типу «6»)). Действительно, так как угол $A$ наобольший, то $\angle A \geq 60^\circ$. Следовательно, если треугольник $A'B'C'$ приложен по типу «a», то к другой стороне, содержащей вершину $A$, приложить треугольник уже нельзя. Доказательство этого несложного факта оставляем читателю. Отделно рассмотрим случай $\Rightarrow A = 60^\circ$.

Отсюда следует (это тоже задача), что парket может выглядеть только как на рисунке 7 (часть треугольников на нем закрашена для нагладности).

Переходим к случай 2. Очевидно, что здесь можно составить такой же паркет, как в случай 3. Но в этом случае можно построить ещеровно один (задча!) паркет (см. рис. 8).

В случай 1, конечно, могут быть реализованы оба паркета случай 2 и еще один паркет (опять задча!), который приведен на рисунке 9.

Тепер, имея в руках теорему о бесконечных паркетах, можно рассмотреть и разрезания конечных фигуры.

Теорема 1. Если квадрат разрезан на равные треугольники, мотеугольники эти — непременно прямоуровневые и их центное число.

Действительно, конечный паркет является либо частью одного из бесконечных, изобравенных на рисунках 7—9, либо имеет вид правильного $n$-угольника (это задча) (рис. 10).

В квадратной комнате, оченьindo, треугольный паркет может иметь вид, только как на рисунках 7—9. Но стороны квадрата сами обязаны быть прямыми разрезания, так что слуай 3 отпадает. Следовательно, разбиение состоит из прямойных треугольников. (Заметим, что когда треугольники на рис. 8 — равноведенные, мы получаем паркет типа рис. 10.). Если паркет имеет вид, как на рисунке 7, то среди образующих направленный только два взаимно перpendикularны. Они-то и должны совпадать с направлением сторона квадрата. В этом случае каждый из категов треугольника разрезания должен целое число раз укладывать на стороне квадрата. Пусть сторона квадрата равна $a$, а категы укладывают в ней соответствующее две пары взаимно perpendикularны направляющих.

Отметим, наконец, что паркет типа рис. 9 на квадрате реализовать нельзя. В этом можно убедиться следующим образом. Пусть длина гипotenузы треугольника разрезания равна $a$, тогда категы соответствующее равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} a$. Но если какой-нибудь прямой паркетом типа рис. 9, то (доказите!) одна из его сторон равна $k \frac{\sqrt{3}}{2} a$, а другой $n \frac{3}{2} a$, где $n$ и $k$ — цельные числа. Но тогда

28

стороны прямогольника оказываются неоизмеренными, а поэтому квадрат получится не может.

Теорема 2. Если прямогольник разрезан на равные треугольники, то все эти треугольники — прямогольные и их центное число.

Доказательство этой теоремы не отличается существению от доказательства теоремы 1. Попробуйте доказать ее самостояльно.

Убедившись, что паркеты для прямогольника не столбут уж разнообразны, естественно задают вопрос: а как обстоит дело с другими фигурами, например, с треугольником? Ясно, что равноведренный треугольник можно разрезать на два равных треугольника. А другие?

Задчаа 4. Докажите, что если треугольник разрезается на два равных треугольника, то он равноведренный.

Задчаа 5. Дан произвольный треугольник; на сколько равных треугольников можно его разрезать?

Все-tаки и треугольник, как видно, можно разрезать. Можно подумать, что так обстоит дело в всех многоугольников.

Однако это не так. Простейшим примером неразрезаемой фугры мы сейчас и займемся.

Рассмотрим вопрос о разрезании трапеций. На рисунке 11 приведен пример трапеции, которое можно разрезать на равные треугольники. Покажем, однako, что имеются трапеции, которые нельзя не только разрезать, но и разбит на равные треугольники. Существование таких трапеций основано на существовании неоизмеримых отрезков.Напомним, что отрезки $a$ и $b$ неоизмеримы, если отношение их длин — irrationalное число *). Наозвем отрезки $a_1, \dots, a_n$ взаимно неоизмеримы, если никакой $a_r$ не представим в виде $a_r = k_1 a_1 + \dots + k_n a_n$, где $k_1, \dots, k_n$ — рациональные числа ($k_r = 0$).

Возьем трапецию со сторонами $l, m, n, p$ (рис. 12), где отрезки $l, m, n, p$ взаимно неоизмеримы. Допустим, что ее можно разбит на равные треугольники. Расмотрим сторону $l$. Наше разбиение разделит ее на части, каждая из которых — одна из сторон треугольника разбиения (рис. 13). Поэтому $l = k_1 a + k_2 b + k_3 c$, где $k_1, k_2, k_3$ — целые неотрицательные числа. Аналогичные рассуждания для остальных сторон трапеции дают систему равенств

$$\begin{align*} l &= k_1 a + k_2 b + k_3 c, \\ m &= k_1 a + k_5 b + k_6 c, \\ n &= k_7 a + k_8 b + k_9 c, \\ p &= k_{10} a + k_{11} b + k_{12} c \end{align*}$$

где $k_1, k_2, \dots, k_{12}$ — целые неотрицательные числа. Мы допустили, что разбиение осуществимо. Значит, при данных $k_1, k_2, \dots, k_{12}$ эти равенства можно рассматривать как систему уравнения относительно $a, b$ и $c$.

Задчаа 6. Покажите, что в общем случае из попарной неоизмеримости чисел $a_1, \dots, a_n$ не следует их взаимная неоизмеримость.

Задчаа 7. Покажите, что совместное перехвих трех уравнений имеет вид

$$\begin{align*} a &= r_1 l + r_2 m + r_3 n, \\ b &= r_4 l + r_5 m + r_6 n, \\ c &= r_7 l + r_8 m + r_9 n \end{align*}$$

где $r_1, \dots, r_9$ — рациональные числа.

Подставив значения $a, b$ и $c$ в четырёх уравнения, получим $p =$

*) В дальнейшем отрезок и его длина обозначются одинаково.

29

$$= r_{10}l + r_{11}m + r_{12}n, \quad r_{10}, r_{11}, r_{12} \text{ — разциональные числа. Но отрезки } l, m, n \text{ взимно несоизмеримы. Мы пришли к противоречию; следовательно, трапецю со взимно несоизмеримыми сторонами разбит на равные треугольники невозможно.}$$

Задачка 8. Показите, что граница со сторонами $n = \sqrt{2}, m = \sqrt{3}, l = \sqrt{7}, p = \sqrt{5}$ нельзя разбит на равные треугольники.

Возьем теперь прямогольник и склием из него цилиндр (рис. 14). Если мы разрежем полученный цилиндр под каким-либо углом к основанию, то получим параллелограмм (рис. 15). Тем самым задача разрезания цилиндра прямым эквивалентна разрезанию параллелограмма. Но тут ситуация во многом аналогична прямогольнику: на четное число разрезать легко, на нечетное число равных треугольников разрезать параллелограмм нельзя, а можно ли разбит его на нечетное число треугольников, неизвестно. Мы видели, что для трапеции возможно разбиения связывана с разрешимостью определенной системы уравнения. Для параллелограммы мы имеем только три независимых уравнений, соответствующие тем величины, определенным параллелограммм, то есть двум сторонами и углу при основании. Поэтому задача условияется. Важно отметить, что угол $\alpha$ при основании зависит целком от нас, и мы можем выбирать его, как нам удобно.

Интересными свойствами по отношению к разрезаниям обладает другая фигура, которое можно склеить из прямогольника — лист Мёбиуса. Лист Мёбиуса получается, если мы склеиваем прямогольник $ABCD$ (рис. 16) следующим образом: прикленм $AB$ к $CD$ так, чтобы $A$ склеилось с $C$, а $B$ с $D$, то есть $AB$ «переворачивается». Лист Мёбиуса обладает рядом замечательных свойства.

(См., например, «Энциклопедия элементарной математики», М., 1966, т. 5, стр. 500).

Если мы сделаем разрез под острым углом к краю поверхности, то получим равноведренную трапецию (рис. 17). В ней угол $\alpha$ произвольен и $a + b = AD + BC$. Нетрудно подобрать $\alpha$ так, чтобы $3b = 4a$, тогда, проведяя шесть разрезов, мы получим 7 равных треугольников.

Задачка 9. Показите, что лист Мёбиуса можно разрезать на любое число равных треугольников.

Теперь, когда читатель ознакомился с некоторыми идеями и методами разрезания, мы предоставляем ему самостояльно занять теорей разрезания и разбиения. Приведем ряд возможных задач из этой области.

Задачка 10. Показите, что всякий прямогольный треугольник разрезается на любое, начиная с двух, число треугольников, подобных пероначальному.

30

Рис. 17.

Задча 11. Докажите, что всякий равноведренный треугольник разрезается на любое, начная с двух, число подобных треугольников.

Задча 12. Может ли это уверзждать для разрезания на треугольники, подобные первоначальному?

Задча 13. Покажите, что любый треугольник можно разрезать на четыре треугольника, подобных первоначальному.

Задча 14. Покажите, что любый треугольник разбиется на любое число треугольников, подобных первоначальному, начная с шести.

Задча 15. Покажите, что если треугольник разбиется на три подобных треугольника, то это любо примуольный, либо равноведренный треугольник.

Задча 16. Может ли это уверзждать для разрезания на пять подобных треугольников?

Задча 17. Докажите, что если каждая либо фигура разбиется на п подобных треугольников, то можно указать макое число m, что она будет разбиаться на любое число подобных треугольников, больше m.

Задча 18. Покажите, что существует чемпрехуделики, которые не разбиаются на подобные треугольники.

В заключение упомянем о некоторых перешенных проблемах.

Проблема 1. Может ли разбить прямоугольник на нечетное число треугольников?

Проблема 2. Тот же вопрос для произвольного параллелограмма. (Мы предполагаем, что ответ на оба эти вопросы омицателен.)

Проблема 3. Существует ли граница, которую нельзя разбить на подобные треугольники?

(Интересно было бы получить какое-либо продвижение в решении этой проблемы путем улучшения метода, используемого нами для решения задачи о разрезании границ на равные треугольники)

Проблема 4. Исследуйте разрезания других «многоугольных области». Найдем необходимые и достаточно условия существования разрезания.

Проблема 5. Исследуйте разрезания многоугольников на парамиды.

31

ЛАБОРАТОРИЯ КВАНТА

БУМЕРАНГ

Ф. Гесс

По-видимому, трудно найти человека, который не удивил бы траектория, описываемая бумерангом. И, конечно, многим очень хотелось бы сделать бумеранг и разобраться, почему же он возвращается. Но бумеранг не только игрушка. Тяжелый бумеранг довольно опасен. Поэтому мы предлагаем нашим читателем сделать бумеранг из легких материалов, например, из картона.

НИже мы публикуем сокращенный вариант статьи, опубликованной в ноябрьском номере журнала «Scientific American» за 1968 г. Статья переведена и подготовлена к печати В. И. Бахминым.

Представьте себе, что брошенный вами кусок дерева летит по круговой траектории, потом возвращается и спокойно ложится у ваших ног. Абсурд! Оdnako именно так ведет себя бумеранг, конечно, если вы его правильно изготовите иbrosите как надо.

Впервые бумеранг был сделан туземными життелями Австралии. Читатель, верятно, немного разочаруется, узнав, что большинство австралийских бумерангов не возвращаются. Бумеранги можно грубо разделить на два типа: военные и возвращающие. Бумеранги первого типа использует как оружеие, для войны или охоты. Хороший военный бумеранг летит очень далеко, но не возвращается. Возвращающие же бумеранги используют почти исключительно для игры.

На самом деле разобраться во всех существующих типах бумеран-гов не так просто, как может показаться. В Австралии существует множество видов туземного оружения. У разных племен форм бумеранга различна (рис. 1).

По внешнему виду нелегко заключить, возвращается ли данный бумеранг. Как правило, возвращаются бумеранг менее массивен, и угол между его плечами более острый. Общино он бывают длиной от 25 до 75 сантиметров, шириной от трех до пяты сантиметров и толщиной от половины до полутора сантиметров. Угол между плечами бумеранга может меняться от 80 до 140 градусов. Все достигает 300 граммов.

Характерия банановидная форма большинства бумерангов edва ли влияет на его способность возвращаться. Бумеранги в форме буку X, V, S, T, H, Y (видимо, возможно и другие формы) можно сделать так, что они будут возвращаться. Важно,

32

No можно использовать и другой материал, например, фанеру, пластмассу или картоон.

Как бросать возвратающийся бумеранг? Объчно его берут правой рукой за один из концов и держат вертикально, чуть повернуть влево выпуклую сторону. При этом оба конца бумеранга направлены либо вперед (так бросают австралицы), либо назад. Вы можете выбрать любой способ. Затем, размахнувшись правой рукой, бросают бумеранг вперед в горизонтальном направлении или чуть вверх. Для успеха необходимо, во-первых, чтобы плоскость бумеранга при броске была почти вертикальной или немного наклонена вправа, но только не горизонтальная. Во-вторых, бумеранг нужно застать быстро вращаться. Это можно добиться, если в момент броска резко задержать движение правой руки вперед. По инерции бумеранг сразу же начинает вращаться вокруг точки, за которым его держалmetadata, и, следовательно, приобретет одновременное поступательную и вращательную скорости.

Сначала какжется, что бумеранг улетает, но вскоре его траектория отклоняется влево, а часть и вверх. Затем он делает широкую, более или менее округлую petlio и падает где-то у ног бросавшего, иногда, впрочем, описывая перед этим еще одну небольшую petlio. Вторая petля бывает искривлена в другую сторону, так что все траектория в этом случае имеют форму восмерки (рис. 3). Великоленное зрелше, когда бумеранг, описав petlio и теряя скорость, паит некоторое время над вашей головой и потом медленно спускается.

Какждый бумеранг характеризуется легкостью метания, видом траектории и способностью к паранию. Кроме того, любой бумеранг может описывать разные орбиты в зависимости от способа бросания. Точноъ возвращения во многом зависит от мастерства метателя. Дальность полета может быть 40 метров, а может быть и вдвое меньше, высота полета — около 15 метров, хотя может быть и

33

Рис. 3.

1,5 метра. Современные австралийские бумераги пропетают расстояние более 100 метров, при этом они неплохо возврашаются. К сожалению, сам я не смог сделать бумераг, легtaющий далее, чем на 50 метров.

До сих пор мы молчаливо предполагали, что метатель не левша и бумераг у него тоже «правый». Если смотреть на обычный «правый» бумераг во время полета с выпуклой стороны, он будет вращаться против часовой стрелки. Поэтому можно горить о ведущем и ведомом краях каждого плеца бумерага. У бумерага туземцев оба края каждого из плееч более или менее остры. Но у современного бумерага ведущий край плеча тупой, как ведущий край крыла самолета. Иного плечи бумерага немного изгибают, так что концы его ведущих краев слегка приподнимаются.

Объяснить явления, произходящие с бумерагом, можно только рассматривая его взаимодействие с воздействием. Ведь в вакууме он не может описать ничего, кроме параболы. Однако эта задача очень сложна, поэтому по-proбudem взглянуть на проблему проще.

Если бросить бумераг горизонтально, заставив вращаться в вертикальной плоскости, то каждое его плееч будет рассеять воздействия сила F, с которой воздейств на плееч бумерага в направлении от более плоской к более выпуклой части (рис. 4). Эта сила подобна подъемной силе, действующей на крыло самолета. Кроме того, со стороны воздействия Q. При броске правой рукой сила Q будет направлена справа налево. Но одной этой силы недостаточно для того, чтобы заставить бумераг повернутьлево.

Скорость плеча бумерага относительно воздействия не постоянна.

34

Когда плею находится в верхней половине описываемой окружности, поступательная скорость бумеранга v складывается со скоростью врашення u, а когда в нижней, то скорости направлены противоположно, так что результирующая скорость уменышается или даже совсем исчезает в некоторой точке (рис. 5). Таким образом, бумеранг испытывает действие не только силы, направленной справа налево, но и момент сил F₁ и F₂, поворачивающего его вокруг горизонтальной оси и стремищегося переместить верхнюю часть бумеранга

Рис. 5.

влево. Но этого перемещения в действительности почти не происходит, так как бумеранг врашается настолько быстро, что ведет себя как гироскоп *).

Но гироскоп (который представляет собой быстро врашащийся максимк) обладает следующим свойствам: под действием силы, пытающейся его повернуть, гироскоп поворачивает не в направлении действия этой силы, а вокруг оси, перpendикальной как оси врашения, так и оси, вдоль которой направлен поворачивающий его момент. В нашем случае бумеранг начинает поворачивать влево. Это движение называется впервые.

Итак, бумеранг поворачивает влево, так что плоскость его постепенно составляла бы все больший угол с направлением движения, если бы не быстро уvelинчившаяся гироскопическая силы, которые вновь направляют полет параллельно плоскости бумеранга. В результате траектория искривляется влево, и угол между плоскостью бумеранга и направлением его движения поддерживается очень небольшим.

Часто плоскость бумеранга, почти вертикальная в начале полета, в конце концов становится почти горизонтальной, бумеранг как бы «ложится». Давайте разберем этот вопрос подробнее.

Каждеое плею бумеранга будем рассматривать как крыло самолета. Такое крыло движется вперед и в то же время врашается вокруг тяжестей бумеранга. Будем считать, что движение, перpendикулярное плоскости бумеранга, отсутствует. У крестообразного бумеранга центр тяжести лежит на пересечении лопастей, но у обычного бумеранга это не так. Там одно плею находится перед центром масс, а другое — позади. Мы назовем эксцентриситетом плея расстояние от него до центра масс. Каждуто точку крыла omывает воздействий поток, меняющийся непрерывно по величине и направлению относительно этой части крыла. Бывает так, что воздействие несущему крыло крыла. Это легко понять, если представить медленно врашащийся бумеранг, несущийся с больший поступательной скоростью, и взглянуть на его плею, направленное вниз. Что же за силы действия в этом случае на лопасте бумеранга?

Давайте сначала рассмотреть случай попрощение: лопасть движется по прямой с постоянной скоростью V относительно воздуха (рис. 6). Разложим аэродинамическую силу на две составляющие — подъемную силу F

35

Рис. 6.

(перpendикулярную V) и силу сопротивления Q (направленную против V). Обе они, как оказывается, пропорциональны V². Если крыло не перpendикулярно направленно скорости, то у V появляется составляющая, параллельная крылу, которая никак не влияет на движение. Поэтому можно заменить скорость V ее составляющей, перpendикулярной крылу, или эффективной скоростью V₃φφ. В этом случае силы пропорциональны (V₃φφ)².

Каждая точка плеча бумеранга принимает участие в поступательном движении. Скорость же относительно воздуха меняется от точки к точке,

Рис. 7.

так как бумеранг врашается. При скорости врашенияω и расстоянии от оси врашенияr (ось проходит через центр масс бумеранга) скорость точки u=ωr. Для каждой точки плеча можно, сложив v и u, найти результатирующего скорость V. Ее составляющая, перpendикулярная плечу бумеранга, есть V₃φφ (рис. 7). Конечно, величины V₃φφ для каждой точки плеча будет непрерывно меняться во время врашения. Очевидно, что вклад каждой точки плеча бумеранга в подъемную силу и силу сопротивления в каждой момент врашения пропорционален (V₃φφ)².

Итак, на каждое из плеч бумеранга действует средняя подъемная сила F (силы F₁ и F₂ на каждое плече соответствующего), средний момент

Рис. 8.

это силы M₁ относительно горизонтальной оси, параллельной скорости бумеранга, который заставляет бумеранг отклоняться влево, и момент M₂ — относительно оси, perpendикулярной скорости V, который заставляет бумеранг «ложиться» (рис. 8). Кроме того, на бумеранг действует средняя сила сопротивления Q, которая уменьшает поступательную скорость бумеранга, и средний момент этой силы M₄, замедляющий скорость врашенияω. Оказывается, ни одна из этих величины, кроме M₂, не зависит от эксцентриситета, a M₂

36

эстого пропорциональна величины эксцентриситета.

Силы и моменты, действующие на бумеранг в целом, получаются сложением величины для каждой плеча. Вклады в $M_2$ от разных плеч бумеранга могут частчно или полностью уничтожить друг друга.

Тепер мы переходим к важному вопросу: как будет двигатся бумеранг под влиянием всех этих сил и моментов (и силы тяжесте, конечно)?

Как уже упоминалось ранее, средний момент $M_1$ вызывает гироскопическую пресессию бумеранга. Давайте посмотрим на гироскоп повнимательнее. Если гироскоп врачается вокруг своей оси со скоростью $\omega$ и на него действует момент $M$, направленный вдоль оси, перпендикулярной оси врашения, то гироскоп начинает пресессировать, причем ось пресессии перпендикулярна как оси врашения, так и оси момента $M$ (рис. 9). Угловая скорость пресессии обозначает $\Omega$. Между $\omega$, $\Omega$, $M$ и моментом инерции гироскопа $I^*$ существует очень сильную подъемную силу. Поэтому, если вы хотите, чтобы буме-

$$\Omega = M/I\omega.$$

Для бумеранга момент $M$ пропорционален $\omega V$, так что скорость пресессии $\Omega$ должна быть пропорциональна

$$\frac{\omega V}{I\omega} = \frac{V}{I}.$$

Следовательно, скорость пресессии не зависит от скорости врашения бумеранга $\omega$.

Можно вывести еще более странное заключение. Скорость пресессии пропорциональна $V/I$; коэффициент пропорциональности зависит от формы бумеранга. Следовательно, можно написать

$$\Omega = CV,$$

где $C$ — характеристи параметр бумеранга. Тепер пусть скорость бумеранга вдвое больше.

Следовательно, положение его плоскости будет тоже изменяться в два раза быстрее. Это показывает, кроме всего прочего, что бумеранг полетит по той же кривой.

Таким образом, диаметр орбиты бумеранга, грубо говоря, не зависит ни от скорости врашения бумеранга, ни от его поступательной скорости. Это означает, что длина пути бумеранга — величины более или менее постоянная. Параметры орбиты бумеранга пропорциональны его моменту инерции; они становятся меньше, если профиль плеча бумеранга вызывает большую подъемную силу. Поэтому, если вы хотите, чтобы буме-