Квант 1972, №11 · Страницы

КВАНТ
11
НОЯБРЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Киоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, М. П. Башмаков, С. Т. Беляев, В. Г. Болтянский, И. Н. Броштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, А. И. Климанов (главный художник), С. М. Козел, В. А. Лешковцев (зам. главного редактора), Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллоншиков, Н. А. Патрикеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам. главного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков, М. П. Шаскольская, С. П. Шварцбург, А. П. Ширшов.

На первой и второй страницах обложки изображены ледники восточного Кавказа (район горы Чунха). Механизм движения ледников подробно рассмотрен в статье В. Г. Брэгга «О структуре льда», опубликованной на стр. 11.

Фото Г. И. Анохина.

Заведующий редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов
Художественный редактор Т. М. Макарова. Корректор Л. Сомова
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 15/VIII-1972 г. Подписано в печать 26/IX-1972 г. Бумага 70×100¹/₁₆
Физ. печ. л. 4. Усл. печ. л. 5,2. Уч.-изд. л. 5,93. Тираж 313370 экз. T-03400 Цена 30 коп. Зак. 1437.
Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphрома
Государственное комитета Совета Министров СССР
по делам издательств, полигraphии и книжной торговли
г. Чехов Московской области

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАШАЮТСЯ

Кlemчатые государ и полимино

А. Ю. Сойфер

Профессор Южнокалифорнийского университета С. Голомб — автор ряда работ по теории информации, теории кодирования, математической статистике и их приложения к теории математических машин и генетике. Но не эти работы, представляющие безусловный интерес для специалистов, определяли широкую популярность имен профессионального им в часы доступа игре, точнее, целой серии игра, связанных с так называемым «полимино». Голомб опубликовал в 1965 году книгу «Полимино», содержащую много красных и интересных математических задач. Часть этих и им подобных задач известна нашему читателю по недавно выSEDшей в издательстве «Мир» книге Мартина Гарднера «Математические головоломки и развлечения»* (главы 12 и 46), а также по серии публикаций в разделе «Психологический практику» журнала «Нука и жизнь» за 1967—1968 гг., где, в частности, описаны голововские игры «пентамино» и «гексатрион» и ряд связанных с ними задач.

«История» полимино начинается со статьи Голомба «Шахматные докки и полимино», который он, будучи еще аспирантом Гарвардского университета, опубликовал в 1954 году в журнале American Mathematical Monthly («Американский математический ежемесячник»). Публикуемый отрывок из этой статьи («А. М. М.», 61 № 10. Перевод И. И. Яглома), введет вас в круг основных понятий, связанных с полимино, даст примеры «типичных» задач на полимино. В идешей dalleе статьей躬дет речь о некоторых более общих задачах на ту же тему. Итак, слово С. Голомбу.

Мы начнем с хорошо известной задачи:
дана шахматная докка, из которой вырезана пара промионовых целовых клеток (рис. 1) и дана коробка докино, какдая космочка коророю покрываемрово две клетки шахматной докки. Возможно ли покрыть эту докку с помощью 31-й космочки докино?

Ответ на этот вопрос гласит: «Нет»; для доказательства достаточно расстретить общную раскраску шахматной докки (рис. 1). Какдая положенная на докку и покрывающая два квадрата космочка докино покроет один светленный и один темный квадрат,

*) Издательство «Мир», М., 1971.

а n косточek домино — n светлых и n темных квадратов, то есть поровну тех и других. Но изображенная на рисунке 1 шахматная докка содержит большие темных клеток, чем светлых. Поэтому ее и нельзя покрыть косточками домино.

Мы по-прежнему будем использовать в качестве «игрового поля» общную шахматную докку размера 8 × 8, но обобщим домино в «полимино» — и наши теоремы охватят все простейшие типы полимино, изображенные на рисунке 2. Более точно: мы определим n-mino как совокупность n квадратов шахматной докки, группированных «по принципу ладьи», то есть так, что поставленная на любую клетку n-mino ладья может

За конечное число ходов перейти на любую другую клетку того же $n$-мино.

Сначала мы рассмотрим тримино. Ясно, что шахматную доску размета $8 \times 8$ нельзя покрыть тримино, так как 64 не делится на 3. Попытаемся вместе этого покрыть шахматную доску 21-м тримино и одним мономино.

Шахматную доску нельзя покрыть 21-м примым тримино и одним мономино, расположенным в верхнем левом углу доски. Чтобы доказать это, мы раскраим теперь доску в три цвета: $a$, $b$ и $c$ (рис. 3). Как видите, у нас получилось 21 поле цвета $a$, 22 поля цвета $b$ и 21 поле цвета $c$. Каждый примео тримино покрывает одно поле цвета $a$, одно поле цвета $b$ и одно поле цвета $c$, то есть примыте тримино всегда покрывают одинаковое число $a$-клеток, $b$-клеток, и $c$-клеток. Верхний левый угол — это $a$-клетка и после покрытия ее мономино у нас останутся неравные количество $a$-, $b$- и $c$-клеток. Следовательно, покрыть оставшиеся 63 клетки примым тримино невозможно.

Точно так же мы убеждаемся, что после покрытия мономино любой $a$-или $c$-клетки оставшуюся часть доски нельзя покрыть примым тримино. Остается рассмотреть лишь $b$-клетки. Но если мономино покрывается, например, $b$-клетки, расположенную в нижнем левом углу, то в силу симметрики доски относительно изображенной на рисунке 3 примой $x$ мы приходим к уже рассмотренной задаче покрытия примым тримино доски, в верхнем левом углу которого лежит мономино. Верхний левый угол доски — это $a$-клетка, и в этом случае покрытие невозможно; значит, оно невозможно и тогда, когда мономино лежит в нижнем левом углу.

Таким образом, установливается, что для того, чтобы покрытие было возможно, мономино должно покрывать непреемно такую $b$-клетку, которая относительно примых $x$ и $y$ (см. рис. 3). симметрина также $b$-клеткам. Единственные такие клетки

4

Рис. 4. Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

ки — это те, что закрашены на рисунке 4. А из рисунка 5 следует, что если мономино покрывает одну из этих клеток, то оставшуюся часть мономино действительное можно покрыть прямыми тримино.

Итак, необходимо и достаточно условия возникности покрытия шахматной мономино и 21-м прямым тримино состоящим в том, что мономино покрывает одну из закрашенных на рисунке 4 клеток.

До сих пор мы имели дело с «доказательствами невозможности». Следующий результат имеет противоположный характер: неависимо от мою, какую клетку шахматной мономино, оставшиеся клетки моут быть покрыты 21-м прямоульным тримино.

Доказательство проводится по иndу кци и для шахматной моноки «общего вида» размером $2^n \times 2^n$. Для моноки $2 \times 2$ ясно, что где бы ни лежало на ней мономино, оставшиеся три клетки можно покрыть прямоульным тримино (рис. 6, а). Взяв теперь моноку размером $4 \times 4$, мы разделим ее на четыре части, размером каждой $2 \times 2$ (рис. 6, б). Пусть мономино покрывает клетку, скажем, желтой части на рисунке 6, б. Так как каждая четверть моноки — это дока размера $2 \times 2$, то ее можно покрыть одним тримино и одним мономино, покрывающим произвольную клетку этой моноки. В желтой части мономино уже есть; что же касается остальных трех четвертей, то мы расположим на них мономино в центральных (для большой моноки) клетках — после этого мы сможем заменить наш мономино на одно прямоульное тримино (см. тот же рисунок 6, б). Итак, мы покрыли шахматную моноку размером $4 \times 4$ одним (произвольно расположенным) мономино и пятую прямоульными тримино.

Случай моноки $8 \times 8$, как и самый общий случай, рассматривается аналогично (см. рисунок 6, в).

Теперь перейдем к террамino. Шахматную моноку легко полностью покрыть прямыми, квадратными, Г-терминно или Г-терминно — это ясно из рисунка 7. С другой стороны, покрыть моноку космитерминно невозможно — ведь косые террамino невозможно расположить на доке даже так, чтобы полностью покрыть ряд клеток, прямыхкающих к какой-либо стороне моноки…

5

Продолжим занятие полимного, начатьые знакомством со статей профессора Голомба.

Вы уже видели, что некоторые задачи на полимно во все не предполагают непреемно, что речь идет о «стандартий» шахматной доске $8 \times 8$; мы рассматривали и доски $2^n \times 2^n$ для произвольного натурального числа $n$. Так пондем теперь дальше и будем говорить о произвольных квадратных дорах $n \times n$ и, более того, о произвольных прямогольных дорах $m \times n$.

Задача 1. Наименование таких пары натуральных чисел $(m, n)$, что клематную доску $m \times n$ можно было бы выполить линейным $k$-мино.

1-й способ решения.

Если хотя бы одно из чисел $m, n$ делится на $k$, то доску $m \times n$ можно выполить линейным $k$-мино (проверте!).

Предположим, что ни одно из чисел $m, n$ не делится на $k$, а доска $m \times n$ тем не менее уложена линейным $k$-мино. Раскрасием доску $k$ цветами диагональным способом, циклические меняя цвета: 1-й, 2-й, …, $k$-й, 1-й, 2-й, … (рис. 8).

Раскрашенная таким способом доска имеет интересное свойство: как бы на ней ни было расположено линейное $k$-мино, горизонтальное или вертикальное, оно покрываетровно по одной клетке каждой из $k$ цветов. Итак, по предположению доска покрыта линейным $k$-мино, а каждое $k$-мино покрывает одинаковое число клеток каждой цвета (по одной клетке)

Рис. 8. Диагональная раскраска при $k=3$.

6

равные количество клеток каждой цвета.

Но, с другой стороны, цветных диагоналей в такой доске всегда

$$r_2 + r_1 - 1 \leq \frac{k}{2} + \frac{k}{2} - 1 < k,$$

так что в ней не будет ни одной клетки хотя бы одного из употребленных для раскраски цветов. Противоречие!

Итак, доску $m \times n$ можно выложить линейным $k$-minо тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел $m, n$ делится на $k$.

Эту задачу можно решить, используя инную раскраску.

2-й способ решения.

Предположим, что ни одно из чисел $m, n$ не делится на $k$, а доска $m \times n$ выложена линейным $k$-minо.

Разделим с остатком $m$ и $n$ на $k$:

$$m = kq_1 + r_1; \quad 0 < r_1 < k,$$
$$n = kq_2 + r_2; \quad 0 < r_2 < k.$$

Раскрасием доску $k$ цветами следующим образом: 1-й столбец — 1-м цветом, 2-й — 2-м, …, $k$-й — $k$-м, $(k+1)$-й — 1-м и т. д., $m$-й — $r_1$-м цветом (рис. 9).

Раскрашения таким способом доска имеет следующое свойство: если линейное $k$-minо положить на доску вертикально, то оно будет покрывать $k$ клеток одного цвета, а если горизонтально — торовно по одной клетке каждой цвета. Доска, по предположению, выложена $k$-minо; поэтому

$$S_1 \equiv S_2 \equiv \dots \equiv S_k \pmod{k},$$

где $S_1(l=1, 2, \dots, k)$ есть число

Рис. 9. Столбцевая раскраска при $k=4$.

клеток $l$-го цвета, содержащихся в доске.

С другой стороны, как легко подсчитать,

$$S_{r_1} - S_{r_1+1} = n;$$

следовать,

$$S_{r_1} - S_{r_1+1} \equiv r_2 \pmod{k},$$

так что

$$S_{r_1} \neq S_{r_1+1} \pmod{k}.$$

Полученное противоречие показывает, что для существования искомой укладки необходимо $m: k$ или $k^*$).

Уж не подумали ли вы, что решения задач об укладке доски полимно не прееменно связано с тем или иным способом раскрашивания доски? Ничего подобного!

3-й способ решения.

Предположим, что доска $m \times n$ выложена линейным $k$-minо и

$$m = kq + r_1; \quad 0 < r_1 < k;$$
$$n \equiv r_2 \pmod{k}; \quad 0 < r_2 < k.$$

Будем говорить, что $k$-minо «растет из $l$-го столбца», если оно расположено горизонтально и начинается в $l$-м столбце (рис. 10).

Обозначим через $t_l$ количество $k$-minо, растущих из $l$-го столбца. По предположению доска выложена $k$-minо; поэтому

$$t_1 \equiv r_2 \pmod{k},$$
$$t_2 \equiv 0 \pmod{k},$$
$$t_3 \equiv 0 \pmod{k},$$
$$\dots$$
$$t_k \equiv 0 \pmod{k},$$
$$t_{k+1} \equiv r_2 \pmod{k},$$
$$t_{k+2} \equiv 0 \pmod{k},$$
$$\dots$$
$$t_{kq+1} \equiv r_2 \pmod{k}.$$

*) $m: k$, как обычно,означет, что $m$ делится на $k$.

Рис. 11.

С другой стороны, ясно, что $k$-мино, растущее из $(kq+1)$-го столбца, «вырастет» за пределы прямогольника, откуда $t_{kq+1} = 0$. Мы и здесь пришли к противоречию, показывающему, что для существования укладки доски $m \times n$ $k$-мино необходима делимость хотя бы одного из чисел $m, n$ на $k$.

Для дальнейших задач нам понадобится «система координат» на доске, мы занутером строки и столбцы доски (см. рис. 11).

Каждая клетка теперь задается парой чисел $(x, y)$, где $x$ и $y$ — соответственно номера строки и столбца, в которых эта клетка расположена.

Задача 2. Имеется прямогольная клетчатая доска $m \times n$ и линейное $k$-мино. Клетку доски $(x, y)$ будем называть «удачно расположенной», если фигуру $F$, получающей из доски в результате вырезания этой клетки, можно выполнить линейным $k$-мино. Наименование $M$ всех удачно расположенных клеток доски.

При $k = 1$, очевидно, $M$ совпадает с множеством всех клеток доски. Допустим, что $k = 2$. Предположим, что из прямогольника вырезана одна клетка и полученная фигура $F$ выложена домино; тогда $(mn-1)$ —

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

клеток $(x, y)$, что $x \equiv y$ (mod 2); если хотя бы одно из чисел $m, n$ кратно 2, то доска $m \times n$ удачно расположенных клеток не имеет.

Пусть теперь $k > 2$. В этом случае $1 \neq -1$ (mod $k$).

Предположим, что полученная последвая вырезания клетки $(x, y)$ фигура $F$ уложена линейным $k$-мино. Устройм на данной доске столбцевую циклическую раскраску в $k$ цветов (см. рис. 9). Мы уже отмечали свойство доски, раскрашенной таким способом: если линейное $k$-мино расположено на доске вертикально, то оно покрывает $k$-клеток одного цвета, а если горизонтально, торовно по одной клетке каждой цвета. По предположению, фигура $F$ выложена линейным $k$-мино; поэтому

$$P_1 \equiv P_2 \equiv \dots \equiv P_k \pmod{k},$$

(1) где $P_l (l = 1, 2, \dots, k)$ — количество клеток $l$-го цвета в фигуре $F$.

Пусть

$$m = kq_1 + r_1 \quad (0 \leqslant r_1 < k),$$
$$n = kq_2 + r_2 \quad (0 \leqslant r_2 < k).$$

Обозначим через $S_l (l = 1, 2, \dots, k)$ число клеток $l$-го цвета во всей доске. Легко подсчитать, что

$$S_1 = \dots = S_{r_1} = n(q + 1),$$

(2a)
$$S_{r_1+1} = \dots = S_k = nq.$$

Фигура $F$ содержитровно на одну клетку меньше, чем все доска, поэтому из соответствия (1) и (2) следует, что возможность лишь два слуая: либо $r_1 = 1$ и вырезанная клетка — первого цвета, либо $r_1 + 1 = k$ и вырезанная клетка — $k$-го цвета.

1 слуай. Вырезанная клетка $(x, y)$ — первого цвета, то есть $y \equiv 1 \pmod{k}, r_1 = 1, m \equiv 1 \pmod{k}$, и кроме того,

$$S_1 - 1 \equiv S_2 \equiv S_3 \equiv \dots \equiv S_k \pmod{k},$$

откуда $n(q + 1) - 1 \equiv nq$. (mod $k$), то есть $n \equiv 1 \pmod{k}$.

Итак, $m \equiv n \equiv y \equiv 1 \pmod{k}$.

2 слуай. Вырезанная клетка $(x, y)$ — $k$-го цвета, то есть $y \equiv 0 \pmod{k}, r_1 = k - 1,$

$$m \equiv -1 \pmod{k}$$ и, кроме того,

$$S_1 \equiv S_2 \equiv \dots \equiv S_{k-1} \equiv S_k - 1 \pmod{k},$$

откуда $nq - 1 \equiv n(q + 1) \pmod{k}$, то есть $n \equiv -1 \pmod{k}$.

Итак,

$$m \equiv n \equiv -1 \pmod{k}; y \equiv 0 \pmod{k}.$$

Повернем теперь данную доску на $90^\circ$, то есть рассмотрим доску $n \times m$ и применим к ней изложенные выше рассудения. Вот окончательные выводы: если $m \equiv n \equiv 1 \pmod{k}$, то координаты удалено расположенной клетки $(x, y)$ должны удовлетворять соответствию $x \equiv y \equiv 1 \pmod{k}$. Если же $m \equiv n \equiv -1 \pmod{k}$, то координаты удалено расположенной клетки $(x, y)$ должны удовлетворять соответствию $x \equiv y \equiv 0 \pmod{k}$.

$x \equiv y \equiv 0 \pmod{k}$.

В остальных случаях удалено расположенных клеток доска $m \times n$ не имеет.

Рисунки 15 и 16 показывают, что если $m \equiv n \equiv 1 \pmod{k}$, то любая клетка

9

ка $(x, y)$, для которого $x \equiv y \equiv 1$ (mod $k$), удачно расположена; если же $m \equiv n \equiv -1$ (mod $k$), то удачно расположена любая клетка $(x, y)$, для которой $x \equiv y \equiv 0$ (mod $k$).

Итак, задача решения.

Ответ удобно записать в виде таблицы (см. таблицу сверху).

Мы видим, что если доска $m \times n$, при $k > 2$ и содержит удачно расположенные клетки, то их количество $v$ сравнительно с числом всех клеток доски невелико; докажите, что

$$v = \frac{[m + (-1)^r(k - 1)][n + (-1)^r(k - 1)]}{k^2},$$

где $r = 1$, если $m \equiv n \equiv 1$ (mod $k$), и $r = -1$, если $m \equiv n \equiv -1$ (mod $k$).

Но число таких клеток можно увеличить! Скленем пару противоположных сторон нашей доски: мы получим клетчатый цилиндр (рис. 17).

Задча 3.
a) Из прямоеольной клетчатой доски $m \times n$ склеили цилиндр. Наимножество всех удачно расположен-

ных клеток цилиндра для линейного $k$-мино.

b) Если $m \neq n$, то в зависимости от мою, какую пару противоположных сторон мы склеили, можно получить два различных цилиндра. Какой из этих цилиндров имеет большее число удачно расположенных клеток?

Пойдем теперь дальней и склеим основания нашего цилиндра (рис. 18).

Полученная фигура, называемая мором, имеет безусловное «преимущество» по сравнению с клетчатой доской или клетчатым цилиндром: все ее клетки равно правны. В частности, если клетчатый тор имеет хотя бы одну удачно расположенную клетку, то все его клетки являются удачно расположенными.

Торидальная клетчатая доска имеет и другие достоинства. Решим, к примеру, следующую задачу.

Задча 4.
a) Найти все такие натуральные числа $n$, что квадратную доску $n \times n$ можно уложить прямоеольным прямоугольником, изображенным на рисунке 19.

Рис. 17.
Рис. 18.

10

Рис. 19, 20, 21.

6. Наими все также намуральные числа $n$, что мородальную доску, полученную из квадратной клеткой доски $n \times n$, можно выложить тримино, изобразенным на рисунке 19.

Так как тримино состоит из трех клеток, то для возникности укладки доски $n \times n$ тримино необходимо, чтобы $n$ было кратно 3.

Примугольник размером $2 \times 3$, конечно, можно уложить тримино (рис. 20). Сложнее уложить примугольник размером $5 \times 9$ (рис. 21). Теперь не представляется большого труда доказать (доказите!), что квадрат $n \times n$ можно уложить тримино при $n = 3k$, где $k = 2, 3, \dots$.

Докажите, что квадрат $3 \times 3$ нельзя уложить нашим тримино. Что же касается торидальной доски, склеенной из квадрата $n \times n$, то ее можно уложить тримино при любом $n$, делящемся на 3.

Рис. 22.

Для доказательства этого факта нам осталось показать, что торидальный доску $3 \times 3$ можно уложить тримино. Рисунок 22 показывает возможные такой укладки (при склеивания тора красные клетки соберутся, образовав тримино требуемого вида).

Уражнения

1. Имеется примугольная клетчатая «хорошей», если фигуру, получающегося из доски в результате вырезания эмых двух клеток, можно уложить домино. Наими все хорошие пары клеток.

2. Имеется примугольная клетчатая доска $m \times n$ и натуральное число $k$, $k < \frac{mn}{2}$.

Играм довое. Первый играющий вычеркивает любую клетку доски, затем второй вычеркивает любую клетку, отличную от вычеркивания любой клетки доски, отличной от ранее вычеркивания. После того как играющие сделали по кходе, определяется победителем. Выиграл второй, если фигура, полученная после вырезания всех вычеркичных клеток, может быть уложена домино; в противоположном случае победителем снимается первый играющий.

Найдите стратегию игры для одного из играющих, позволяющего ему выиграть вне зависимости от церры промивника.

3. a) Наими все также намуральные числа $n$, что квадратную клетку доску $n \times n$ можно уложить Т-метрамно (см. рис. 2).

6. Изменится ли результат, если вместе лоскоций доски укладываются цилиндрическую? мородальную?

4. a) Наими все также намуральные числа $n$, что квадратную клетку доску $n \times n$ можно уложить Г-метрамно.

6. Изменится ли результат, если вместе лоскоций доски укладываются цилиндрическую? мородальную?

5. a) Из примугольной клеткой доски $m \times n$ склеили цилиндр. При каком условия его можно уложить линейным к-мино?

6. Если $m \neq n$, то из доски $m \times n$ можно склеить два различных листа Мёбиуса. Можно ли случиться так, что один из них можно уложить линейным к-мино, а другой — нет?

Рис. 23.

6. Примугольную доску (на коморой клетчатая семка имеется с обеих строком) перегнути и склеили, как показано на рисунке 23. Получается лист Мёбиуса.

a) При каком условия лист Мёбиуса, склеенный из доски $m \times n$, можно уложить линейным к-мино?

6. Если $m \neq n$, то из доски $m \times n$ можно склеить два различных листа Мёбиуса. Можно ли случиться так, что один из них можно уложить линейным к-мино, а другой — нет?

11

О СТРУКТУРЕ ЛЬДА

В.Г.Брэгг

Стаья извесного английского физика Вильяма Брэгга «О структуре льда» появилась в 1938 году. В 1939 году эта статья в переводе Н. А. Шишакова была опубликована в журнале «Успех физических наук». Ниже мы приводим сокращенный вариант этой статьи.

Публикацию подготовил И. Ш. Слюбодецкий.

В последние годы при изучении кристаллического характера льда и снега выяснилися некоторые факты, которые позволяют получить новые объяснения старых проблем. Однако из них является движение льдов и снегов на горах, всегда служившее предметом удивления. Чтобы определить характер величественных движений Альпийских ледников, в середине XIX века были predприяты попытки систематически измерений. При этом оказалось, что лед течет, приспособливаясь к извилинам и спускам в долинах, подобно воде. Тогда же было установлено, что середины ледников движутся быстрее краев. Объяснение этой любопытной пластиности льда, являющегося в то же время очень хруплким веществом, наталкиваюсь в те времена на великие трудности, но теперь эту задачу можно считать решенной.

Оказывается, что имеется удивительная связь между величественными картинами движения ледников и мелчайшим деталями строения молекул воды и кристаллов льда.

Предметом внимание прежних наблюдается такая удивительная правильность в строении снежинок, в особенности бросающаяся в глаза при наблюлении их в световых странах. Однако только в конце прошло столетя этот факт подвергся систематическим наблюдением, последившим затем predметом классификации. При этом крайне изучительным и загадающим казалось совершенное состояние между всему шестю лучами в любой снежинке и в то же время огромное разлиние в строении различных снежинок. Примеры их predставлены на рисунке 1.

В последнее время расположениеatomов и молекул в кристалх льда

Рис. 1.

12

и снега сделалось предметом чрезвычайного интереса для химков и физков. Это и понятно, так как известные вещества земной поверхности наполину образованы из кислорода, причем два его соединения с водородом — вода H₂O и гидроксил OH — играютfundamentalную роль в огромном множество процессов в природе.

Основные черты кристалической структуры обыкновенного льда были выясены при помощи рентгеновских методов исследования лет пятнадцать назад. Атомы кислорода в кристалях льда расположены так же, как шары, изобравенные на рисунке 2. Структура в целом является гексагональной (в одной из плоскостей atoms кислорода образуют правильные шестиугольники).

Первая попытка физического объяснения так называемой пластинности льда была предложена Тиндалем и Гексли в 1857 году. В основу объяснения

Рис. 2.

Рис. 3.
неня было положено наблюдавшееся Фарадеем замечательное явление смерзания приведенных в соприкосовение кусков льда. Такое смерзание происходит при самом слабом контакте в том случае, когда куски находятся в воде (рис. 3). Фарадей говорил, что молекулы воды переходят от жидкости к твердому телу гораздо легче в том случае, когда они окружены значительной уже затвердевшей массой. Tonкий слой воды вблизи мест соприкосовения обихх кусков затвердевает и скрепляет их вместе, даже если бы он и не мог замерзнуть сам по себе, находясь в дали от массы льда. Согласно такиму взгляду замерзание зависит не только от температуры, но также и от окружающих условий. Аналогично, водной пар внутри трешины, то есть между двумя поверхностями, будет конденсировать и превращаться в лед газадо легче, чем на открытом месте, где контакт возникен лишь с одной поверхностью льда.

Лед, находящейся под напряжением, трескается. Тиндаль и Гексли предложали, что трешины «залечиваются» вследствие осажения пара или жидкости, произходящих от окружающих частей льда. Поэтому ледной массив может приспособляться к форме своего ложка и ледник в целом как бы течение.

Джемс Томсон в 1860 году предложил иное объяснение этого явления. Признав факт, который наблюдая Фарадеем, Томсон тем не менее ответгреет прежнее его объяснение; скрепление кусков льда друг с другом он приписывал действию давления, которое оказывают куски

13

Рис. 4.

друг на друг. Действительно, если вода при замерзании расширяется, то всякое давление, поскольку оно преляется вететом этому расшириению, должно превращать и замерзанию, а это эквивалентно попежению точки замерзания. Поэтому при 0° лед под давлением должен плавиться. Это в действительности и наблюдается на опыте. Если какой-либо острый предмет, например, кончик ножа, местить на кусок льда, то остreme проникает вглубь не потому, что лед режется или крошится, а потому, что лед плавится под давлением. Согласно Томсону при сдавливании вместе двух кусков льда в месте соприкосовения должно происковать плавление; получающаяся при этом вода вытегается и где-нибудь пользовости вовь замерзает, поскольку она уже не находится более под давлением.

Тиндаль продемонстрировал эффект смерзания ледных кусочков следующим образом. Лед разбивался на мелкие куски, которые затем подвергали сдавливанию в специальной форме. В результате получалась сплавная произнашная масса льда. Таким путем, подвергая порошок льда давлению в несколько сотен килogramмов на 1 см², можно изготовлять ледные чашечки и другие предметы разнообразной формы.

Объяснение явления течение ледников, казалось бы, становится теперь очень очевидным. Согласно Томсону и Тиндалио изменение формы движущегося ледника происходит в результате плавления льда в местах сильных давления и последующого затвердевания освобождения при этом плавления воды.

Конечно, утверждение Томсона, что лед плаится под давлением, является совершенной правильным. Однако нельзя согласиться с его предположением, что фарадевское смерзание плавающих кусков льда основано на этом же принципе. Томсон утверждал, что уже при простом соприкосовении кусков возникнет некоторое давление благодаря капиллярному действию *). Это давление и является причиной эффекта Фарадея. Чтобы показать неосновательность возникней Томсона, Фарадей в 1860 году поставил свой опыт при таких условиях, когда капитлярное действие отсутствует. Он сделал из льда несколько дисков, придав им плоско-выпуклую форму, и пустил их плавать по воде выпуклой сторонной кверху. При таких условиях куски могли касаться друг друга только под водой (рис. 4). При слабом соприкосовении друг с другом они смерзались вместе настолько прочно, что для приведения всех массы в движение на воде достаточно было воздействовать лишь на какую-либо одну точку. Деревянные же диски при соприкосовении как по ватерлинини, так и под водой и, следовательно, при наличии капитлярного действия друг на друга, не обнаруживали никаких признаков скрепления.

Несмотря на это, как принципи Фарадея, так и принципи Томсона не дали удовлетворительного объяснения движения ледников. Например, они не объясняли процесс смерзания льда при тех низких температурах, при которых существенно неоторные ледники мира. Впрочем, и сам Фарадей указывал, что два куска льда не смерзают под давлением, если они охлаждены ниже нуля.

Много лет спустя эти вопросы вновь были подняты Мак-Коннелом, который долгое время приходилось жить в Давосе в Швейцарии. Некоторые из предварительных опытов

*) За счет сил поверхностного натяжения ленки воды, находящейся между касящимися друг друга кусками льда.

14

Рис. 5.

привели его к заключению, что секрет пластинности льда может быть обьясен лишь при изучении свойств монокристаллов льда. Большинство же разновидностей льда, в особенности искусственной led и ледниковая масса, представляют собой конгломерат из отдельных небольших кристаллов (рис. 5). Монокристаллы достаточно большой величины были вышеаны Мак-Коннелом из льда, образовавшегося на поверхности озера или в открытом сосуде. В опытах Мак-Коннела изучались упругие и пластические деформации при следующих условиях:

1. Образец брался в виде пластинки длиной 10—15 сантиметров и примерно по 2—3 сантиметра в ширину и толщину и располагался на двух опах естественной поверхности льда кверху.

2. Тот же образец поворачивался на прямой угол так, что «поверхность озера» становилась вертикальной.

3. В качестве образца брался длиной столь, который в исходном массиве был вертикальным.

В первом случае образец оказался согнутым, как обыкновенныйстержень (рис. 6). Во втором случае деформация оказалась такой же по характеристике, как в первом случае, но значительное менше по величины. В третьем случае деформация прибрела совершенное своевобравный характер (рис. 7), показывая, что на этот раз имеет место движение вдоль некоторых плоскостей скольжения.

Рис. 6, 7, 8.

15

надо полагать, что он должен иметь значительный внутреннюю прочитать и сравнительно малую способность сопротивляться смешению в собственной плоскости по отношению к смежным слоям. При таком скольжении связи, перепределкулярные слоям, разрываются между двумя atomами и немедленно восстанавливаются между другой парой atomов. С этим движением можно сравнить движение щетки по грубой поверхности: отдельные щетинки попеременно то уступают действиями силы, то снова разгибаются, чтобы найти затем новый контакт. Эти слоны в кристалле льда оказываются параллельными поверхности льда на поверхности озера или сосуда.

Возвращаясь к опытам Мак-Коннела, мы можем сказать, что описанная в третьем случае установка кристалла действительно хорошо воспроизведится слоями стекла, которые скользят друг стносительную друга. В первых же двух случаях изгибание образцов льда происходит аналогично изгибанию деревянной полоски под нагрузкой. При этом деформация получается меньше, когда полоска положена на ребро, чем тогда, когда она положена плашми.

В противоположность металлим кристаллы льда не упрощают при холодной обработке. Слон при скольжении относительно друг друга остаточная неискаженный и не разорванными, так что условия существования кристаллов не изменяются. В металле же происходит нарушение прежнего расположения atomов и условия становятся более сложными.

Смерзание кусков льда друг с другом и плавление льда под давлением представляют собой следствия особенностей строения льда, которые в свою очередь являются следствием специального характера связей, удерживающих atoms и молекулы льда вместе. Последние годы ознакомлены значительные значениями в наших знаниях об atomных связях. Для настоящего целя достаточно отметить, что в некоторых случаях один atom

atom присоединяет к себе другие atoms только в некоторых точках его поверхности. Более правильным было бы выразить эту мысль, сказав, что точки, которые atoms связываются друг с другом, распределены по поверхности atomов согласно определенному правилу. В частности, atom углерода привязывает к себе четырех atoms в точках, которые лежат на поверхности в четырех вершинах правильного тетраэдра. В других случаях (например, в случае жидкой рутини) не существует такого закономерного расположения точки связи. И действительно, внутренние свойства жидкости определяются отсутствием таких направляющих связей, которые создают структуру, или маскировкой их других более сильными связями.

Можно представить себе такие крайние случаи. В одном из них существуют только силы первого рода. Это значит, что atoms имеют взаимное прияжение только в том случае, когда они прилаживаются друг к другу имеющимся на их поверхности контактыми точками. Совокупность таких atomов могла бы быть либо твердым телом либо группой atomов, не связанных взаимным прияжением. В последнем случае при наличии достаочного тепловой энергии группа atomов должна быть образовать газ. Может, однако, считать, что при таких obstructionах могло иметь место случайное сцепление. Если запас теплы уменьшится, то такое соединение atomов становится более частным и более постоянным, из-за чего в отдельных местах начинается затвердение. Каждая группа соединенных таким образом atomов становится кристаллом, если, конечно, процесс идет не настолько быстро, чтобы образование настоящего кристалческого расположения сделалось невозможным. Атомы или молекулы должны стремиться занять готовые для них места на уже формировавшихся кристаллах. Таким путем растут кристаллы

16

из паров без образования жидкости как промежутной фазы.

В другом крайнем случае можно представить себе atoms или молекулы, которые не имеют направленного притяжения. Если тепловые колбания недостаточно сильны для того, чтобы atoms или молекулы были изолированны друг от друга, то они собираются вместе и образуют жидкость, вззость которой будет завися от того, насоклько легко могут дивигаться отдельные молекулы среди других молекул. При дальнейшем охлаждения вязкость может возрасть непрерывно или внезапными скачками, вплоть до той степени, когда эта совокупность молекул сможет быть назван твердым телом.

Естественные вещества лежат между этими двумя крайностями, причем лед, по-видимому, близке к первой из них, чем другие вещества. Действительно, его кристаллы образуют неопределенное из пара. С другой стороны, молекулы водного пара непрерывно отрывают от кристаллов в результате действия тела или по другой причине и смешиваются с молекулами окружающего среды. Лед «сублимируется». Легкость или трудность конденсции и отрыва молекул должны определяться каким-то соответствием между плотностью пара, температурой и поверхностными условиями. В трещинах шансы на конденсцию выше, чем на открытых местах, так как в трещинах, начиная с их ребер, молекулы находятся под двойным действием. Отрыв молекул с большей вероятностью проискодит с выпukлой поверхности. Этот эффект совершенен аналогичен эффективу зависимости упругости пара от формы жидкости, с которой пар соприкается, как на это и было указано Фарадем. В трещине равновесие между сублимцией и осадением должно быть иным, чем снаружи, причем последнее воздействует за счет первого. Иными словами, упругость пара поняжется, то есть температура точки земерзания повышается.

При обычных давлениях вода имеет наиболее плотность влизаиз 4°С. При дальнейшем попжении температуры вплоть до температуры замерзания, плотность становится все меньше и меньше. Очевидно, что некоторые из молекул образуют комплекты, которые занимают большие пространство, чем же молекулы, взятые в отдельности, так как механиные силы заставляют atoms принимать определенное расположение в пространстве. При этомсовсем нет необходимости считать эти комплекты постоянными: по всейвероятности, они постоянно возникают, распадаются и возникают вновь.

Рассмотрим теперь следующиеxlопья. Два главных факта, требующих обязывания, таковы: беспонечное разнообразие гексагональных форм и симметрия каждой снежинки. Шеступольная форма снежинок, оченьindo, находится в связи с гексагональной формукой кристаллов льда, но все же всегда было очень трудно обязыванить, почем шесть лучей каждой снежинки так похожи один на другой и в то же время так сильно отличается от лучей всякой другой снежинки. Удовлетворительное обязывание можно дать следующим путем.

Весь вопрос может быть рассмотрен в свете тех же эффективных механических и осадений, как и в случае смерзания кусков льда. Когда такая шестиупольная конструкция выражается из неокоторого ядра в атмосфере водного пара или в жидкости, содержащей расторенную воду, то характерposta должна завися от условий, при которых этот рост происходит. Если в окружающей пространстве много пара или температура низка, то рост идет быстро и лучи снежинок стремятся проникнуть в окружающей многочисленные молекулы воды. Рост идет на концах лучей и на вспомогательных ветвях, которые образуют с первыми уголом в 60°. Если же снежинка переносится в пространство с малой плотностью

17

ность пара или с более высокой температурой, то происходит образный процесс. Молеклы гориздюлегчие отрываются от концов ветвей, чем от центральных областей снежинки, и отлагаются на ней не с прежней скоростью. Благодаря этому снежинка утомляется в центральной части, а ее ветви укорочиваются и даже закругляются. Так как снежинки размером неевелики, часто не более нескольких миллиметров в диаметре, то условия вокруг каждой из них можно считать одинаковыми во всех точках. Если удлиняется один луч, то удлиняется также и остальные лучи. При всем этом, падая на Землю, снежинки могут встречать самые разнообразные местные условия, в соответствии с чем они могут приобретать множество различных форм, в то время как лучи каждой отдельной снежинки остаются совершенно схожими.

Согласно этому обязыванию больше разнообразие форм снежинок основано на существовании двух противоположных процессов: быстрого роста ветвей, ведущего к перистой их форме, и уплотнение в центрах этой перистой структуры. В первом процессе рост в большей степени преобладает над сублимацией, чем во втором, так что она скорее различаются по степени, чем по качеству. Форма каждой снежинки говорит нам о тех изменениях в атмосферных условиях, которые пришлось ей пережить.

Еще более медленный рост кристаллов льда может быть осуществлен, если выдерживать led при температуре как раз ниже температуры замерзания в одной части откачанного сосуда и представлять ему суб-

лимироваться на металлической пластинку в другой части сосуда, поддерживаемой при значительной более низкой температуре. Кристаллы принимают форму шестиугольных призм.

Изображенные на рисунке 9 перистые формы были получены при быстрохождения смеси глицерина, спирта и сравнительно больших количеств воды. Более плотные шестиугольные призмы на рисунке 10 получены более медленным охлаждением такой же смеси, но с меньшим количеством воды. Если полученные таким образом призмы заставить плавиться или возгораться, то в некоторых момент появляется стадия более открытой структуры, весма напоминающей естественные снежинки в некоторых их формах (рис. 11).

Тиндалем был произведен прекрасный опыт, при помощи которого ему удалось продемонстрировать структуру льда. Этот опыт называется «получением ледяных цветов». Пуок света от дугового фонари пропускается через кусок льда. В различных точках этого куска, где имеются загрязнения или неправильности, телло задерживается и вызывает плавление. Получающие в этом случае пустоты имеют гексагональную форму, так как разрушение структуры идет в направлении, как раз противоположном росту. Эти фигуры представляют собой, так сказать, отрицательные снежинки. При помощи подходящей аппаратуры эти фигуры могут быть проектированы на экран. Если на пути лучей от фонари ко льду помещить ковету с водой, то тепловые лучи поглощаются, и рост таких пустот в кристалле прекращается.

18

Как вы, оченьindo, знаете, для решения любой задачи на электронной вычислительной машине (ЭВМ) машине необходимо «сообщить» исходные данные решения и прорамму действия, которые требуется произвести над этим данныхми *). Получив такие сведения, ЭВМ выполяет предложенные действия над данныхми («думает») и в результате получает искомое решение.

Нынешние ЭВМ научились очень неплохо «думать», но все еще крайне неповоротливы в отношении восприятия («чтения») необходимых предварительных сведений: они напоминают первоклассика, хорошо успевающего по арифметике, но сильно отстающего по чтению.

Всякая ЭВМ строится из некоторого (очень большого!) числа «элементов», которые могут находиться в двух различных состояниях; для наглядности можно представлять себе каждой такой элемент как лампчку, которая либо выключена (состояние 0), либо включена (состояние 1). Поэтому все, что сообщается машине, нужно сначала «перевести» на язык нулей и единиц. Любые сведения — будь то набор чисел, система управления или шахматная позиция — «записьюются» в машине в виде подходящих последовательностей нулей и единиц. Чтобы хранить и записьать нужные сведения, ЭВМ сначала специализим устройством — памяти. Память ЭВМ представляет собой набор ячеек из некоторого определенного числа элементов каждой (скажем, шести). В любой ячеек можно записать какую-нибудь последовательность из нулей и единиц (число различных таких последовательностей равно 2⁶=64).

Допустим, например, что машине нужно «сообщить» число 19. Для этого числу 19 приписывается сначала определенный код в виде последовательности нулей и единиц: 010011 *). Затем данный код наносится на специальную ленту (перфоленту): в нужных местах этой ленты пробиваются отверстия. Наконец, лента вводится в машину, которая в соответствии с отверстиями на ленте переводит в требуемые состояния элементы ячейки, отведенной для записи данного числа. Процесс схематически изобразен на рисунке 1.

Легко представить, сколько времени идет на изготовление ленты, каким трудоемким оказывается вес процесс, когда машине требуется сообщить больше число данных. Какже упрощить и автоматизировать передачу данных машине? Нельзя ли давать машине нужные ей сведения в общий форму (скажем, в виде направанного текста), предоставив кодирование самой машине? В принципие, конечно, можно. Но для этого

*) См., например, статьи Р. С. Гутера «Что умеют машины» («Квант» № 5, 1970) и «Язык человека и язык машины» («Квант» № 10, 1971).

20

Рис. 3.

в 10 последовательных ячейках памяти, как показано на рисунке 3.

Тем же способом в памяти машины вводятся и все другие этапы. В процессе чтения каждой читаемая буква проверяется последовательность всеми этапами. При проверке очередным этапом машина сравнивает содержимое каждой клетки (закрашенное или неакрашенное этой клетки) с состоянием соответствующего элемента ячейки памяти и подсчитывает общее число «разночений». После сравнения со всеми этапами машина выбирает тот из них, для которого число разночений — наименьшее; код выбранной буквы занимается в очередную ячейку памяти, и машина переходит к чтению следующей буквы.

Такое механическое чтение заранее определяемого шрифта было достаочного надежным, хотя ошибки не исключаны даже в этом случае. Нетрудно, например, представить себе, что буква «С» может из-за различных неправильностей оказаться «ближе» к этапу буквы о», чем к своему собственному. Дополнительные трудности связаны с введением заглавных (больших) букв и знаков пунктуации (точки, запятой и пр.).

Главное неудобство данной системы чтения заключается в ее неибkoости: стоит немного изменить шрифт, и чтение перестает быть правильным. Происходит это потому, что при такой способе чтения ЭВМ различает буквы не по характерным особенностям их формы, а по конкретному способу их написания. Буква «О» из другого шрифта может значительное отличаться от этапной соответствием своих частей: быть более узкой, иметь более крупные закругления и т.п. Число разночений (при сравнинии с этапной буквой «О») оказывается тогда очень большим, и машина может «спутать» букву «О» с какой-нибудь другой буквой. Следовательно, при перехождение на другой шрифт нужно вводить в машину новые этапы, заставляя машину каждой раз как бы заново «учить» алфавит.

Желательно, конечно, заставить машину правильно распознавать буквы исключительно по их строению, структуре — так, чтобы даже значительные различия в соответствии частей буквы не влияли на результат читания. Здесь, однako, как раз кроются основные трудности, которые особенно наглядно проявляются при чтении рукописных текстов. Например, букву «а» даже один и тот же человек пишет по разному в разных случаях, не говоря уже о разных. И если человек, разбиая какой-либо текст, прибегает к помощи многочисленных смысловых, логических и грамматических связей, то машина такой помощи, вообще говоря, лише и должа рассчитывает только на свое «зрение».

Чтобы отсутствие представить, какие здесь возникали проблемы и как можно подойти к их решению, остановимся на простом примере рукописного текста, записанного asбукой Морзе. В этом случае символов всегда два: «точка» и «тире» (не считая всевозможных различных по длине пропусков между символами и группами символов). Главное затруднение состоит в том, что некоторые «точки» у одного «морзиса» могут оказаться длине неокторных «тире» у другого. По этой причине нельзя сначала сначала машину точным представлением: все знаки, длина которых меньше данного числа l, должны считаться точками, все прочие знаки — тира. Можно, однako, сделать так, чтобы по достаочно длиному тексту одного морзиса машина сама определяла такое погранчное число l. Ведь у всякого морзиса длины всех

21

точек будут близки к определенному числу $l_1$, а длинны тира — к некоторому определенному числу $l_2$. Если найти эти два числа $l_1$ и $l_2$ и положить $l = \frac{l_1 + l_2}{2}$, то можно ожидать, что почти все точки оказываются короче $l$, а почти все тира — длине $l$. Для определения же чисел $l_1$ и $l_2$ машина «просматривает» какой-нибудь большой кусок текста и отмещает длинные всех встречшихся в нем знаков. Например, в случае текста, показанного на рис. 2, машина находится 4 раза, длины 2 — 3 раза, длины 3 — 1 раз, длины 4 — 3 раза, длины 5 — 1 раз:

| Длина знака | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Число знаков | 4 | 3 | 1 | 3 | 1 |

Получается, что самый частный короткий знак — это знак длины 1, а самый частный длиный знак имеет длину 4. Этти два числа машина «принимает» в качестве $l_1$ и $l_2$ и вычисляет $l = \frac{1 + 4}{2} = 2,5$.

Теперь машина будет считать точками все знаки, длина которых меньше 2,5, а все другие знаки будет считать тира. Время от времени для большей надежности машины может произвольно перераспределить чисел $l_1$, $l_2$ и $l$.

Такой способ распознавания точек и тира (с неокоторыми усвоенными свойствами) был испробован на конкретной машине и для прекрасные результаты: более 90% символьов машина прочитала правильно.

Конечно, решающее успешно в этой области еще впереди; но кое-что уже сделано, и учены продолжают интенсивно работать в этой области. Задча научить машину читать привлекательные многих исследователей как одна из наиболее важных, интересных и трудных задач в современном кибернестики **).

*) Все длины округляются до ближайшего целого числа.

**) Подробнее см., например, книгу М. М. Бонгарда «Проблема узнавания» (М., изд-во «Наука», 1967).

Несостоящийся обед

Дорофей Мартьяньч Дубодумов, переехав на лето на дачу, решил дать обед и пригласить всех восьмерых своих соседей.

«— Что вы, что вы,— замахали на него руками.— Разве вы не знаете, что Порфирий Аполlinаривич никакогда не примет приглашення, если вы позовете Афанасия Мефодевича или Амвросия Евламппевича, или если одновременно будет приглашены Авдотья Пафнутьевна и Никодим Гаврилович. Амвросий Евламппевичи и Афанасий Мефодевичи, правда, не будут возражать против каких-либо приглашений, затем Авдотья Пафнутьевна придет только в том случае, если будет приглашен и Никодим Гаврилович, который за что не примет приглашения, если на обед будет Афанасий Мефодевичи. Розалия Леопольдовна наносит взбиты только в сопровождении Акакия Акакиевчи. Клеопатра Ивановна не будет возражать против приглашения Розалии Леопольдовны только в том случае, если будет приглашен Порфирий Аполlinаривич, но если не будет приглашена Никодима Гаврилович. Чтобы приглашение Акакия Акакиевчи, надо пригласить либо Авдотью Пафнутьевну, либо Клеопатру Ивановну, кроме того, он откажет от приглашения, если на обед будет Никодим Гаврилович без Порфирия Аполlinаривчи, а о том, что Акакия Акакиевчи не придет, если будет приглашен Афанасий Мефодевичи или Амвросия Евламппевичи, так даже и говорить не стоит».

(Окончание см. стр. 39)

1. Невидимые миру звезды — «черные дыры» — стали предметом поиска. Их открытие будет иметь первостепенное научное значение. («Земля и Вселенная», № 2, 1972).

2. Так в июне 1971 года произделло сбыжение транспортного космического корабля «Союз-11» с орбитальной станцией «Салют». («Земля и Вселенная», № 2 и № 3, 1972).

3. Тридцать миллионов лет назад на севере Сибири произошла космическая катстрофа, в результате которой возник Попигайский кратер. («Земля и Вселенная», № 5, 1971).

4. «Медвежий» — пример пульсирующего ледника, причны неожиданных перемещений которого пытаются выястить глязиологи. («Земля и Вселенная», № 3, 1972).

У НАС В ГОСТЯХ ЖУРНАЛ
ЗЕМЛЯ и ВСЕЛЕННАЯ

В января 1965 года вышел из печати первый номер нового научно-популярного журнала Академии наук СССР «Земля и Вселенная». Журнал признан удовлетворять огромный интерес к проблемам исследований космоса, а также их текную связь с другими областями знания;
Вскрывать антинаучную существуюясякого рода сенсационных «гипотез» и «теории» в области астрономии и геофизики, распространение которых дискретирует советскую науку;
Оказывать помощь преподавателям и лекторам;
Содействовать широкому участию любителей в массовых наблюдениях и исследований, важных для астрономии, геофизики и геодезии;
Способствовать широкому участию любителей астрономии.

За годы своего существования журнал опубликовал много интересных материалов, посвященных исследованием Луньи и планет Солнечной системы, квазарам, пульсарм, репликтовому изучению и другим загадочным объектам, открытом радиоastronomами. Он рассказал об изучении нашей Галактики и процессов, проискодиях в других галактиках, о новых разделах астрономии (реентновская астрономия, нейтрина астрономия и т. д.), о причины землетрясений, цунами, движении земных материалов.

Материалы, публикуемые в журнале «Земля и Вселенная», имеют различный уровень трудности. Часть из них расчитана на хорошо подготовленных читателей; другая не требует никакой специальной подготовки.

Мы помещаем две статьи постояных авторов журнала. Статья Л. М. Гиндлиса связывана с весыма сложной проблемой, и некоторые ее выводы, касающиеся теории фотонных ракет, нашим читателем придется приять «на веру». Но сама проблема поисков космических цивилизаций настоящего интереса, что мы охотно публикуем эту статью. Статья В. И. Левантовского посвящена одной любопытной задаче современной космонавтики. По своему характера она значительно близке к материалам, публикуемых в нашем журнале.

24

Сейчас много говорят и пишут о проблеме связи с внешними цивилизациями. Специалисты коротко называют ее СЕTI, по первым буквам английских слов Communication with Extraterrestrial Intelligence, что в переводе на русский язык означает «связь с внешним разумом». Пищут не только в фантастических произведениях, но и в серbezных, волне серbezных научных работах. Этот теме уже не раз были посвящены научные семинары, совещания, конференции. Недавно в Армении, в Бiopраканской астрофизической общеватории, прошла I Международная конференции по этой проблеме. В ее работе приняли участие многие выдающиеся советские и зарубежные учены — специалисты в области астрофизии, физики, биохимии, биологии, истории, философии, социологии, кибернетики, теории информации и связи. В течение нескольких дней они обсуждали возможность обнаружения внешних цивилизаций, проблемы установки контакта с внешним разумом*). Действительно, можно ли установить контакт с разумными общеателем других миров, отделенных от нас гигантскими расстояниями, которыелегче записать с помощью цифр, чем представить силу воображения?

Как это сделать?

Вооружимся карандашом и бумагой и вместе подумаем над этой проблемой.

*) Об этих дискусциях вы можете прочитать в журнале «Земля и Вселенная» № 2 и № 3 за 1972 г.

Конечно, интереснее всего было бы следать к ним в гости, посмотреть, как они живут, чем занимаются, поделиться опитом… Итак, садимся в ракету. Чтобы вывратся из сферы земного приятиения, надо развить скорость 11,2 км/с. Это — так называемая вторая космическая скорость (вопрос в скобках: почему вторая, а что же такое первая космическая скорость?) А чтобы покинут Солнечную систему, необходимо развить скорость, которая превышает третью космическую (чем она равна?).

Пусть наша ракета мчится со скоростью порядка третий космической скорости. Сколько времени потребуется нам, чтобы долететь до ближайшей к Солнцу звезды? (Как она называется, на каком расстоянии от нас находится?). А до центра Галактики? До Туманности Андроемды?

Если вы не ошиблись в вычислениях, результат их может вызвать унынение. Чтобы долететь даже до ближайшей звезды, неxbатит никакой человекской жизни. Что же делать? Ну, конечно, увеличит скорость. Для нас с вами это не представляется никакого труда: ведь мы проводим мысленный эксперимент, поэтому мы можем использовать любые средства, даже те, которые не достигнуты технического дня. Запрещается нам только одно: нарушать законы физики. Итак, увеличится скорость.

Какова максимальное возможная скорость?

Это вы, конечно, знаете; она равна скорости света в пустоте—300 000 км/с. При такой скорости, чтобы долететь до ближайшей звезды, потребуется

25

немногим более четырех лет. Конечно, точно со скоростью света не может лететь ни одно материальное тело. Такая скорость доступна лишь для частиц, лишенных массы покоя. Но пакета может доступна скорости сколь угодно близкой к скорости света, так что полег до близкой звезды действительного займет около четырех лет.

А сколько времени потребуется, чтобы лететь до центра нашей Галактики? До туманности Андромеды?

Ну, это совсем просто. Расстояние до центра Галактики составляет приблизительно 34 000 световых лет, следовательно, если лететь со скоростью света, то потребуется 34 тысячи лет. Действительно просто, но неутешительно: опять-tаки слишком долго. Положение каждой безвыходным — ведь мы летим с максимальной возможной скоростью. Где же выход? Впрочем, стоп! В нашем рассужdenении есть неточность. Мы не учили разлиния в темпе течение времени на Земле и в нашей пакете. Для наблюдателя, осталосься на Земле и следующего по своим часам за нашим полетом, действительное пройдет 34 000 лет. Но на движущемся корабле согласно теории относительной времени течет по-другому. Чем близке скорость к скорости света, тем медленнее течет на нем время. Значит, если мы достаточно близко подойдем к скорости света, то сумем лететь куда угодно и почти не составимся.

Пусть корабль движется с постоянной скоростью $v$. Вам поставлена задача: за 10 лет лететь до туманности Андромеды. Какова должа быть скорость корабля? Чему равно ее относение к скорости света?

Расстояние до туманности Андромеды приближено равно двум миллионам световых лет. Чтобы пролететь это расстояние за 10 лет, релятивистское сокращение времени, то есть относение собственного времени $t$ космического корабля ко времени $t$, изменяемому по часам земного наблюдаателя, должно быть равно

$$\frac{\tau}{t} = \frac{10}{2000000} \frac{v}{c}.$$

Но при постоянной скорости корабля эта величина

$$\frac{\tau}{t} = \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}.$$

Отсюда

$$\frac{v}{c} \approx 1 - 1.25 \cdot 10^{-11} = 0.999999999875c,$$

Итак, если корабль будет движется со скоростью 0,999 999 999 987 5 $c$, он за 10 лет может лететь до туманности Андромеды.

Но, чтобы достигнуть такой скорости, корабль должен быть предварительноускрен с помощью какого-то движения. Следовательно, надо еще учеть времяускреня корабля. Козффициент полезного действия пакеты тем выше, чем близке скорость истечения рабочого тела («топлива») к конечной скорости пакеты. Поэтому наиболее эффективным средством достижения околосветовых скоростей является использование фотонной пакеты, работающей за счет реакции ангигляции вещества и антивищества. Конечным продуктом этой реакции является γизлучение. Итак, скорость истечения рабочого тела равна скорости света.

Пусть фотонный корабль движется сускренем $a = g = 10 \text{ m/c}^2$ (для нас это очень удобно: никаких перегрузок, никакой неевесомости). Каково собственное времяускреня корабля от нулявой скорости до скорости $v$, которое мы только что определили? Чему равно読ения в системе неподвижного наблюдаателя?

Из теории фотонной пакеты извесно*), что если она движется с

*) См., например, С. Хорнер, «Осуществим ли космические полеты?» Сборник «Межзвездная связь», М., Мир, 1965, стр. 158—176.

26

постоянным ускорением $a$ и если массовое число, то есть отношение начальной массы ракеты к конечной (после выгорания топлива), равно $\mu$, то время ускорения, или дилительность полета на активном участке траектории, в системе отчета, связанной с ракетой, равно

$$\tau = \frac{c}{a} \ln \mu.$$

(1)

To же время в системе неподвижного наблюдается

$$t = \frac{c}{2a} (\mu - \mu^{-1}).$$

(2)

При этом ракета в ускоренном полете проходит путь

$$x = \frac{c^2}{2a} (\mu + \mu^{-1} - 2)$$

(3)

и достигает в конце этого путь скорости

$$v = c \frac{1 - \mu^{-2}}{1 + \mu^{-2}}.$$

(4)

Определим прежде всего $\mu$. Из последней формулы получаем

$$\mu^2 = \frac{c + v}{c - v} \approx \frac{2}{1 - \frac{v}{c}}.$$

Подставляя сюда найденное выше значение скорости $v$, находим $\mu = 4 \cdot 10^5$. Тепер можно определить величины $\tau$, $t$, $x$. Они равны: $\tau = 3,9 \cdot 10^7 c \approx 12$ лет, $t = 6 \cdot 10^{12} c \approx 2 \cdot 10^5$ лет, $x = 1,8 \cdot 10^{23} cm \approx 2 \cdot 10^5$ световых лет.

Итак, в нашем примере фотонный корабль, дивяясь с постоянным ускорением $a = 10 m/c^2$, за 12 лет достигает скорости 0,999 999 999 987 5 $c$ и при этом успеет пройти приблизительно десятию часты путь до туманности Андромеды. Двигаясь далее по инерции с постоянной скоростью $v$, он приблизительно через 1,6 миллиона лет по земным часам будет находиться на расстоянии 200 000 световых лет от целей. Так как релятивистское сокращение времени при данной скорости составляет $5 \cdot 10^{-6}$, то собственное время корабля, прошедшее с момента выключения дви-

27

Прис. 2. Схема полета с возвратом космонавтов на Землю.

До сих пор мы интересовались только временем полета. Подумаем теперь о необходимой мощности. Пусть корабль движется описанным выше оптимальным образом с постоянным ускорением до положины пути и последующим замедлением на оставшемся участке. На обратном пути все повторяется в том же порядке (рис. 2). Пусть ускорение корабля $g$, конечная масса 10 тонн, дальнейшее полета 1 000 световых лет (совсем рядом по сравнению с туманностью Андромеды!). Какова начальная масса корабля? Чему равен энергетической эkvивалент этой массы? Какова мощность движения?

Поскольку дальность полета равна 1 000 световых лет, длина участка ускорения составляет 500 световых лет. Полягая $x=500$, из формулы (3) находим $\mu=10^3$. Следовательно, если $M_0$ — начальная масса пакеты, то в конце участка ускорения ее масса $M_1=10^{-3} M_0$. Поскольку длина участка торможения также составляет 500 световых лет, а ускорение (замедление) по-прежнему равно $g$, то масса пакеты в конце этого участка равна $M_2=10^{-3} M_1=10^{-6} M_0$. На обратном пути, после торможения, масса пакеты будет равна $M=10^{-6} M_2=10^{-12} M_0$. Это и есть полезная масса корабля, равная по условию 10 тонн. Отсюда получаем $M_0=10^{13}$ тонн, что равно массе марсианского спутника Фобоса. Энергетический эkvивалент этой массы $E=M_0 c^2 \approx 10^{40} \text{эр}$. Это в $10^{13}$ раз превышает современное потребление энергии в год по всему земному шару.

Определим теперь мощность движения, которая из теории фотонной ракеты равна

$$P=M_0 \text{ ca.}$$

(5)

Подставляя сюда значение $M_0$, найдем $P=3 \cdot 10^{25} \text{ бт}$. Это всего в 10 раз меньше мощности излучения Солнца. Но масса Солнца равна $2 \cdot 10^{33} \text{ e}$, а масса нашей пакеты всего $10^{19} \text{ e}$. Следовательно, удельная мощность Солнца (в расчете на 1 е массы) составляет около $10^{-7} \text{ бт/е}$, а удельная мощность движения фотонной пакеты в нашем примере должна быть равна $3 \cdot 10^6 \text{ бт/е}$, то есть на 13,5 порядков выше. Это, конечно, фантастически большая величина. Если бы масса Братской ГЭС была 1 ке, она имела бы подобную удельную мощность. Для сравнения отметим, что современные судовые реакторы имеют удельную мощность порядка $10^{-2} \text{ бт/е}$.

Трудности, с которых мы встретились, в поле понятны. Стремясь достигнуть наших «братцев по разуму», мы пытаемся разогнать тяжелое тело (корабль с космонавтами) до околосветовой скорости. Но в природае есть частицы, лишенные массы покоя (фотоны, нейтрино), которые не нужно разгонять, либо могут существовать, только движясь со скоростью света. Не воспользоваться ли нам их услугами? В повышенной жизни мы постоянно делаем это, когда случая радно, смотрим телевизор или говорим по телефону. Электромагнитные волны добросовестно пересят информацию нашим абонентам. Так давайте попробуем воспользоваться им для связи с другими цивилизациями.

Предположим, что мы располагаем энергий порядка $10^{40} \text{ эр}$ и можем построить либо фотонную ракету с мощностью движения $3 \cdot 10^{25} \text{ бт}$ либо передатчик такой же мощности. Какой путь нам избрать? При заданной мощности движения фотонная ракета, как мы видели, позволяет на расстояние 1 000 световых лет и вернуть обратно. В

28

сфере такого радиуса содержится около 10 миллионов звезд. Но пакета может поплететь только на одну из них. Как ее выбрать? Не слишком ли велик риск ошибиться?

Попробуем встать на другой путь. Будем излучать электромагнитные волны по всему направлениям в пространстве, передавая с их помощью определению информации. С энергетической точки зрения это самый неввыгодный тип связи (когда энергия рассеивается во всех направлениях). Зато любой абонент, в каком бы направления он ни находится, может принять наши сигналы, так что мы наверняка не промахнемся.

Вычислим дальность, на которой возможен прием сигналов от нашей передатчика. Поток энергии, проходящий через единицу поверхности на расстоянии $R$ от передатчика, равен

$$\frac{P}{4\pi R^2} \text{ бт/m}^2$$

где $P$ — мощность передатчика.
Если $A$ — эфективная площадь приемной антенны, то мощность приемного сигнала будет равна

$$P_c = \frac{PA}{4\pi R^2} \text{ бт}$$

Положим $R=10^5$ световых лет, что равно диаметру нашей Галактики, и пусть $A=10^4$ м$^2$ (подобные радиотелекторы уже есть на Земле). Тогда мощность сигнала будет равна $2.4 \cdot 10^{-14}$ бт. Такой сигнал в полне можно зарегистрировать с помощью высокочувствительной приемной аппаратуры. Значит, где бы в пределах Галактики ни находился наш абонент, он может зарегистрировать посланные нами сигналы. При этом передатчик может непрерывно работать целый год, прежде чем мы исчерпаем имеющийся запас энергии ($10^{40}$ эр$^2$). За это время он сможет передать $10^{14}-10^{15}$ бит информации. Для сравнения укажем, что одна страница печатного текста содержит приблизительно $10^4$ бит информации. Следовательно, мы могли бы передать текст объемом в $10^{10}-10^{11}$ страниц. Это целая библиотека —десятки миллионов томов по 1 000 страниц в каждой томе.

Вот и решайте теперь, что лучше: лететь туда, не знаю куда, или послать свой радиопрiver всем, кто может его услышать.

В связи с этим последняя задача на дешфровку. Вы получили сигнал из космоса, изобразенный на рисунке 3. Он состоит из пяты последовательных серий импульсов. Числа в каждой серии представляют собой расстояния между импульсами (измеренные в долях дительности одного импульса, то есть $t/\Delta t$).

Попробуйте расшифровать это сообщение.

НЕИЗВЕСТНЫЙ СВЕРХТЯЖЕЛЫЙ ЭЛЕМЕНТ?

Do needavнего времени считалось, что обнаруженный в meteoritах ксенон образуется только в результате деления пулотония 244. В 1969 г. было высказано предложение, что ксенон может возникать и при делении еще неизвестногоLETУЧЕГО СВЕРХТЯЖЕЛОГО Элемента, который к моменту падения meteoritа уже распался.

Что сейчас знают учены об этом пока неуловимом гипотетической элементе? Его теплота испарения, по менению профессора Э. Андерса и Дж. Ларимера (США), составляет $(54 \pm 3)$ ккал/моль, а температура кипения $(2500 \pm 400)^\circ\text{K}$. Наиболее подходящими «кандидатами» на место этого элемента могут быть элементы с номером 111 (эка-золото) и 115 (эка-висмут) в таблице Менделеева. За ним, по степени вероятности, следует элементы 113 (эка-талий), 114 (эка-свинец), 112 (эка-ртуть) и 116 (эка-полони). Элементы от 105 (эка-тантал) до 110 (эка-платина) недостаточно летучи, и их, очень/no, нужно исключать из этого списка.

29

На первый взгляд кажется, что попасть ракетой в Солнце так же просто, как яблоку упасть на Землю.

Во многих фантастических рассказах, посвященных космическим полетам, как самая ужасная кастрофа, которая может постчь исследовательей Солнечной системы, рисунется падение космического корабля на Солнце. Иного падение происходит вследствие технической неисправности, иногда — из-за ошибки пилота при управлении кораблем…

Между тем, падение на Солнце по случаиной причины так же невозможно, как, скажем, нечаянное падение на Луну самолета, который выполняет фигуры высшего пилотажа. Дело в том, что перевести космический корабль на траекторию падения к Солнцу можно, лишь затратив большее количество энергии, для чего требуется слишком много топлива.

Вычислим скорость, которую ракета-носитель должен сообщить космическому аппарату, чтобы он мог достичь Солнца. Если бы старт просходил с непритягивающей Земли, то ракете достаточно было бы развить скорость, противоположную орбитальной скорости Земли и равную ей по величины, то есть равную 29,77 км/с. Тем самым гелюцентрическая скорость космического аппарата (скорость относительно Солнца) оказалась бы равной нулю, и он начал бы падение на Солнце по прямолинейной траектории.

Учетом теперь эффектив земного прияжения. Пусть геоцентрическая скорость космического аппарата (скорость относительно Земли), построено падая, становится вдали от Земли («на бесконечности»), где уже не ошибается прияжение Земли, равной $v_\infty=29,77$ км/с. Напишем для этого случая закон сохранения механического энергии:

$$\frac{mv_H^2}{2} - \frac{\gamma Mm}{r_H} = \frac{mv_\infty^2}{2}$$

(1)

($m$ и $M$ — соответственное массы космического аппарата и Земли, $v_H$ и $r_H$ — скорость и расстояние от центра Земли в начале пассивного полета (в конце разгона), $\gamma$ — гравиатционная постоянная). В правой части здесь отсутствует потенциальная энергия ракеты в поле земного прияжения, равная нулю на бесконечности. Отсюда получаем

$$v_H^2 = v_\infty^2 + \frac{2\gamma M}{r_H}$$

(2)

Но второй член в правой части формулы равен квадрату скорости освобождения $v_{\text{OCB}}$ (второй космической скорости). В этом можно убедиться, положив в последнем уравнении $v_H=v_{\text{OCB}}$, $v_\infty=0$ (в соответствии с определением скорости освобождения).

Итак,

$$v_H = \sqrt{v_\infty^2 + v_{\text{OCB}}^2}$$

(3)

Принаяв $v_{\text{OCB}}=11,19$ км/с (условное значение у поверхности Земли) и $v_\infty=29,77$ км/с, найдем: $v_H=31,8$ км/с. Такую скорость надо сообщить ракете, чтобы она могла достичь Солнца. Эту скорость иногда называют чемвертой космической скоростью. Она почти вдвое больше третьей космической скорости (16,67 км/с), обеспечивающей уход из Солнечной системы.

Постотрим теперь, какие трудности должны предолеть техническа, чтобы космический аппарат мог развить четвертую космического скорость и достичь Солнца.

Допустим, что солнечный зонд стартует с круговой орбиты искусственного спутника, которая расположена на высоте 200 км над земной поверхности. Учитывая, что скорость спутника равна 7,8 км/с, найдем начальную скорость старта с орбиты: 31,8—7,8=24 км/с.

Воспользовемся известной формулой, дающей отношение начальной массы $M$ пакетной системы к конечной массе (полезной нагрузке) $m_n$:

$$\frac{M}{m_n} = e^{v/c} \left( \frac{s-1}{s-e^{v/nc}} \right)^n,$$

где $e$ — основание натуральных логарифмов, $v$ — скорость, которую нужно сообщить полезной нагрузке, $c$ — скорость источника газов из солла ракеты, $n$ — число ступеней, $s$ — конструктивный параметр, указывающий отношение массы ступени, заполненной топливом, к массе пустой ступени. Величины $s$ и $c$ предполагаются одинаковыми для всех ступеней.

Предположим, что конструктивный параметр имеет чрезвычайно хорошее значение $s=20$, и пусть двигается, разгоняющая космический зонд до скорости 24 км/с, использует в качестве горючего жидкий водород и в качестве окислителя жидкий кислород. Такое топливо обеспечивает скорость источника $c$ порядка 4 км/с.

При $n=1$ и $n=2$ в нашем случае оказывается, что $s<e^{v/nc}$. Это означает, что одноступенчатая и даже двухступенчатая ракеты не могут при $c=4$ км/с обеспечить достижение нужной скорости. При $n=3$ получим $M/m_n=1380$, а при $n=5$ относение $M/m_n=906,6$.

Следовательно, при существующем сейчас химическом топливе (т. е. при $c=4$ km/c; значение $c$ для химических топлив и в будущем не сможет превысить 5 km/c) на каждый kilogramм полезной нагрузки, доставляемой к Солнцу, должно приходиться 1380 ккал массы, стартующий с орбиты при трехступенчатом варианте и 906,6 ккал — в случае пятей ступеней. Увеличение числа ступеней даже до 10 сначала относение масс $M/m_n$ лишь до 627,9.

Если предположить, что масса космического зонд равна 500 ккал, то при $n=5$ получаем $M=453,3$ м. Чтобы смотреть на околоземной орбите пятейступенчатую ракетную систему такой массы, попадобится запуск с Земли пятей ракет такого класса, как американская лунная система «Сатурн-5». С энергетической точки зрения после небольшей зонд на Солнце не легче, чем осуществить несколько лунных экспедии!

Дело обстоятельно было совершено инчете, если бы на околоземной орбите включались не химические, а ядерные двигаители. Если даже предположить всема умеренное для таких двигаителей значение $c=8$ km/c, то при $n=2$ будет относительно $M/m_n=30,11$. Значит, двухступенчатый ядерно-реактивный аппарат, стартующий с круговой орбиты, мог бы иметь массу в 15 м при прежней пакетной нагрузке $m_n=0,5$ м. При этом не нужно montаж на орбите: запуск спутника такой массы давно уже стал возможным.

Однако попасть на Солнце можно и с помощью обычных химических двигаителей, если воспользоваться граBITционными полями Юпитера или Венеры. Юпитер может отбросить к Солнцу космический зонд, подобно тому как Луна отбрасывает к Земле обладающий ее станцию, а Венера может приблизить к Солнцу проплегацию в близи не траекторию космического зона.

31

Гений XVIII века

А. Я. Яковлев

В мае 1727 года, в теплый весенний день по «Невской першпективе» шел двадцатлетний юноша. Он только что приехал из Базеля (Швейцария), где получил свою первую ученую степень.

Еще в 1721 году знаменитый Иоганн Бернулли, профессор Базельского университета, заметил необычные способности четырнадцатлетнего студента. В течение ряда лет молодой Леонард Эйлер каждую субботу проволил в доме Бернулли. Тогда же он подружился с сыновями своего учитель — Николаем и Даниилом, впоследствии профессорми Петербургской Академии.

По рекомендации братев Бернулли получил приглашение в Петербург и молодой магистр искусств Леонард Эйлер.

Уже через несколько месяцев приезжий довольно бегло говорил на «непостжимом» русском языке. Вскоре в академических изданиях появились его первые работы: труды по математике, механике, физике. Со следующего года ни один том трудов Академии не выходил без нескольких работ молодого ученого. А в возрасте 26 лет Леонард Эйлер, будущий «общий учитель всех математков второй половины XVIII века», стал академиком.

В течение 14 лет Эйлер написал более 75 крупных работ. Он читал лекции студентам Академического университета, принимал экзамены, составил прекрасное «Руководство карифметике», занимался вопросами устройства механических пил и пожарных насосов, работал в Комиссии мер и весов, в Географическом департаменте, где руководил созданием генеральной карты России.

Л. Эйлер (1707—1783)

Эйлер былlectящим вычислителем. Он быстро и точно выполнил громоздкие расчеты. Не ограничивая чисто математической стороной дела, он глубоко занял картофей и сам вычертил немало карт. «География Российской через мои и господина Гейнзуса труды гораздо в исправнейшее состояние приведена, — писал впоследствии Эйлер. — Кроме разве Франции почти ни одной земли нет, которая бы лучше карты имела».

В начале сороковых годов обстановка в Петербургской Академии резко обстоятельлась. Руководство Академiei захватили Бирон, Шумахер и другие нежежственные величины. В 1741 году Эйлер принял настоящие приглашение русского короля Фридриха II и переехал в Берлин. Вначале он был членом Правления Академии и директором класса (отделения) математики, а с 1759 года фактически возглавил Берлинскую Академию наук.

В Берлине Эйлер продолжал труды в области математики и механики. Однако большинство своих теоретических работ Эйлер по-

32

прежнему печатал в изданиях Петербургской Академии.

Все это время Эйлер продолжал оставаться почетным членом Российской Академии наук и получал большое по тем временам пенцию (200 рублей в год). Леонард Эйлер редактировал математические отделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги и инструкты; на квартире у него годами жизни ученики — адыонкты из Петербурга. Ему посылались на отзыв письменные работы. В 1747 году Шумахер послал Эйлер два сочинения М. В. Ломоносова, наяясь получить отрицательный ответ и отстранить Ломоносова от научной деятельности. Но ответ Эйлера разбил планы Шумахера.

«Все си сочинения, — писал Эйлер, — не токмо хороши, но и превосходны, либо он изъяснет физические и химические материалы… с таким основательством, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснения».

С июня 1766 года Эйлер снова в Петербурге. К этому времени зрение его резко ухудшилось. Еще в тридцатых годах, занимаясь кропотливыми вычислениями и вычерчивающими картры, Эйлер потерял зрение на левый глаз; теперь и правый глаз почти ничего не видел. Крупнейшие ученыы всего мира с тревогой узнавали об ухудшении его зрения. Однако сам Эйлер относился к потере зрения с величайшим способием. Обладая феноменальной памяти, он научился писать вселенную мелом на доске и давал в то же время устные погсенения. Несмотря на полную слепоту, Эйлер проявлял удивительную трудоспособность, диктуя стать и целые книги академики Н. И. Фуссу, М. Е. Головину (племяннику М. В. Ломоносова), своему сыну Иоганну Альбрехту и многочисленным ученикам. В то же время он не прекрашал административную и организационную работу в Академии.

18 сентября 1783 года Эйлер внесенное поувствовал себя плохо.

Он успел лишь произвести «Я умираю» и потерял сознание. Через несколько часов он скончался от кровозизления в мозг.

По образному выражению французского ученого Кондорсе, «Эйлер перестал жить и вычислить». Его похоронили на Смоленском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: «Леонарду Эйлер — Петербургская Академия». В 1956 годурах Эйлера перенесли в Ленинградскийnekрополь.

Эйлер прожил долгую плотворную жизнь. Россия стала его второй Родиной. Здесь выросли пятеро его детей, 38 внутриков. Потомки великого ученого и сейчас живут в нашей стране.

Леонард Эйлер был избран академиком в стран мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики и ряду прикладных наук; многое из них по сея день входят в курсы вычислых учебных заведений. Двухтомная «Морская наука» сыграла колосальную роль в развитию кораблектоения и кораблеводения в XVIII веке. «Теория движения Луньи» и основанные на ней таблицы более сотни лет использовались мореплавательми всех стран мира. Трехтомная «Диоптрика» и другие сочинения по физике помогли создать высококачественные телескопы и микроскопы. Трудно даже перечислить отрасля науки и техники, в которых трудился великий ученый. Но в первую очередь он был математиком. Его работы по механике, физике, астрономии, как правило, представляют собой математическое постановку и математическое разрешение рассматриваемых задач.

В начале нашего Швейцарское общество естественноеателей решило издать полное собрание сочинений Эйлера. Свыше 850 крупных научных работ составили 72 больших тома.

Чтобы только разобраться в научном наследии Эйлера, нужно целая человеческая жизнь…

33

На «карте» современной математики имя Эйлера встреется на каждом шагу. В математическом анализе при интеррировании irrationalных функций применяют подстановки Эйлера, сведение задачу к более простой: к интеррированию рациональных функций. Однако из простейших приближенных методов решения дифференциальных уравнений — метод ломанных Эйлера. В высших разделах анализа важную роль играют так называемые эйлеровы интегралы (В-функция и Г-функция). В теории чисел известна теорема Эйлера о сравнения и функция Эйлера — число натуральных чисел, меньше данного числа и взимно простых с ним. В механике при описании движения тел пользовются уелами Эйлера, определяющих взимное положение различных систем координат. В гидродинамике рассматривается число Эйлера — отношение разности давления в двух характерных точках потока жидкости. Можно было бы назвать еще десяти функций, формул, теорем, связанных с именем Эйлера.

Для произвольного «простого» многогранника (то есть многогранника, не имеющего «дыр») справедлива теорема Эйлера: если обозначить число вершин через $V$, число граней через $F$, а число ребер через $E$, то $V+F-E=2$. (Например, у куба или параллелепида $V=8$, $F=6$, $E=12$; у шестигранной признамы («карандаша») $V=12$, $F=8$, $E=18$; у примиды с четырехугольным основанием $V=5$, $F=5$, $E=8$). Этоя замена地层 теореми (и знаменитой задачей о «кенигсбергских местах», также решенной Эйлером) было, по существу, положено начало новой математической дисциплине — топологии *).

*) См. подробнее Р. Курант и Г. Роббинс «Что такое математика?», М., «Просвещение», 1967, гл. V (особенно §1).

Тригонометрические функции связаны с показательной функцией от минимого аргумента формулицы Эйлера:

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x; \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2};$$

$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.$$

Эти формулы также играют основополагающую роль для области математики — теории функций комплисного переменного.

Предлагаем в заключение решить следующую задачу, предположенную Л. Эйлером. Изовем середины отрезков высот треугольника от ортоцентра до каждой из вершин (мочки К, М, L на рисунке) точки Эйлера. Доказать, что середины стороны любого треугольника, основания его высот и точки Эйлера лежат на одной окружности. Эту окружность называют окружностью девятки точек, или окружностью Эйлера. Радиус ее равен половине радиуса окружности, описанной около этого же треугольника. Примую, соединяющего ortоцентр треугольника с центром описанного кругга, называют прямой Эйлера. Центр окружности Эйлера лежит на этой прямой как раз посредине между ortоцентром и центром описанного кругга.

Литература

1. А. П. Юшекич. Эйлер. Большая Советская Энциклопедия, 2-е изд., т. 48.
2. История естественного в России. Т. 1, ч. 1, М., «Нayka», 1957.

34

ЛУЧИ СВЕТА X.Рачлис

Недавно издательство «Мир» выпустило в свет небольшую научно-популяриную книгу X. Рачлиса «Физика вванне». Мы помещаем здесь одну из глав этой книги. Перевод ее осуществлен P. И. Нудельманом.

В конце этого номера журнала в разделе «Рецензии, библиография» вы можете прочитать короткий рассказ об этой книге.

Нальем вванну немного воды так, чтобы глубина ее достигла примерно 10 сантиметров. Закроем кран и выждем, пока все волны улягутся, а потом взглянем вниз. Там мы увидим изобравжение своего лица, почти такое же, как в настоящем зеркале, только чуть туманнее. Сделаем его поярче, осветив лицо карманных фонариком.

А теперь попробуем осторожно пощевить воду пальцем. Видите, изобравжение исказилось — вначале задрожало, заколыхалось, а затем постепенно успокопилось и вновь стало неподвижным. Вот оно уже приняло свой первоначальный вид. Bizолтаем воду посильнее. На сейчас изобравжение исчезло совсем.

Почему водная поверхность обязает зеркальное изобравжение? И почему оно не такое отсутствие, как в обычном зеркале? Почему изобравжение становится более ярким, если подвешивать лицо фонариком? Почему оно исчезает, когда поверхность воды становится нерновой?

Выяснение всех этих вопросов хорошо найти вот с чего — осветить фонариком поверхность воды, погасив предварительно свет вванной. Спереди на фонарик лучше всего одеть картонулю трубку примерно 30 сантиметров длиной. Если кто-то из вас не сумеет достать готовую трубку, можно сделать ее самому, скатав несколько листов бумаги и закрепив конец kleйкой лентой.

В такой трубке фонарик дает почти нерасходящая пучок света, как показано на рисунке 1. Направаим этот пучок вниз, на поверхности воды, и попалюдаем, что с ним произойдет.

Для начала будем держать фонарик наклонно. Отражается ли свет от поверхности воды? Существует несколько способов проверить это. Один из них — попытаться найти световой зайчик на стене воды. Иного отражений пучок можно даже увидеть, особенно если в воздухе есть пылики. Можно попробовать самому вызвать облачко «чистой пыли» — для этого нужно разбросать в воздухе, чтобы повышение отраженного пучка, мелчайший порошок талк. А можно воспользоваться

35

Рис. 2.

ваться еще один способ: если в семье кто-нибудь курит, попросите его пустить дым на отраженный пучок. Частцы пыл или дыма в воздухе отражают свет в сторону глаза, и пучок становится видимым.

Если же возле того места, где пучок света попадает на воду, высать ладонь, на ней показется яркое пятно — это значит, там проходит отраженный пучок света. Междуно поднимая руку, чтобы проследить за пучком, мы в конце концов коснемся яркого пятна на стене.

Примотримся, под каким углом пучок ударяется о поверхности воды, а затем попытаемся установить под каким углом он отражается. Для этой цели лучше всего воспользоваться методом обнаружения пучка с помощью талька или дыма. Что можно сказать относительно угла, под которым пучок падает в воду, и угла, под которым он отражается? Они явно одинаковы.

Попробуем изменять наклон пучка. На рисунке 2 показаны некоторые типические случаи отражения. Если световой пучок входит в воду под небольшим углом, как на рисунке 2 а, отражение от поверхности происходит под таким же небольшим углом. Если же угол между световым пучком и поверхности воды больше, как на рисунке 2,6, отраженный луч отходит от воды также под большим углом. Если же пучок идет почти вертикально вниз, как на рисунке 2,8, он отражается почти вертикально вверх.

А теперь направим пучок света наклонно к воде так, чтобы на стене образовалось световое пятно. При этом поверхности воды должны быть слегка неровной (дотронемся до нее несколько раз пальцем). Что произойдет с четыREM отраженным пятном на стене? Смотрите, оно расширяется, становится размытым, искажается, оно дрожит и колышется.

Множество лучей (очень узких пучков) света, посылаемых фонариком, падает на воду почти под одинаковым углом. Если поверхности воды спокояная ировна, то она отражит все лучи света под одинаковыми углами, то есть все лучи отражаются согласно и пучок света остanetся, как и был, собранным. Вот почему, когда поверхности глаза, на стене образуется небольшее яркое пятно.

Когда же мы «потревожили» воду, на ее поверхности образовалась рябь. И хотя отраженные лучи по-прежнему отходят от поверхности под тем же углом, под каким падающие лучи приходили к каждому участку воды, теперь каждый участок поверхности все время меняет свое положение (рис. 3). Из-за этого наклоны каждой отделного луча света к воде постояно меняются, и луч всякий раз отражается в другом месте на стене. Пучок света прыгает, расширяется — он становится то меньше, то больше, в зависимости от того, насколько взбудоражена поверхности воды.

Итак, только глаза поверхности могут давать сконцентрированное отражение. На/herовной поверхности отражения расходятся во все стороны.

36

Рис. 3.

Почему на поверхности образуется зеркальное изобравжение? Допустим, кто-либо смотрит в воду, стремясь увидеть в ней отражение маленького предмета A (рис. 4). На рисунке глаз B смотрящего человека показан сильно увеличенным — это позволяет лучшие разобраться, что же происходит со светом. Предположим, что лучи солнечного света падают на предмет A и отражаются им.

Как правило, предметы не бывают такими глазами, как поверхности спокойной воды или зеркала. Строю говоря, если на поверхности предмета есть неровности, составляющие всего 1/25 000 сантиметра, этого уже

Рис. 4.

достаточно, чтобы отражать свет во всех направлениях. Представим себе, что предмет A имеет такие неровности. Рассмотрим, например, солнечные лучи B и Γ, отраженные от предмета. Они пойдут от поверхности воды, как показано буквами Д и Е, и в конечном случае попадут в глаз B.

Обратите внимание, насколько расходятся лучи B и Γ по мере того, как идут наклонно по направлению к воде. После отражения от поверхности, каждый под своим углом, они продолжают расходиться, пока не попадут в глаз. Глаз не может знать, откуда к нему приходит лучи на самом деле. Ему кажется, что они выходят из точки Ж, расположенной ниже поверхности воды. Другими словами, глаз видит подобие, или изобажение, предмета под поверхности воды.

В большинстве случае предметы бывают большие, чем предмет A, показанный на рисунке 4. Но справедливо рассуждение от этого не меняется. Каждый точка большого предмета дает свое собственное изобажение. В глазу же изобажение всех этих точек складывается в одно изобажение, которое выглядит точно так же, как сам предмет.

Разумеется, чтобы создать подобное изобажение, нужно очень глазая отражающая поверхности, которая позволяет лучам отражаться таким образом, что после отражения они располагаются друг относительно друга так же, как и до отражения. На глазной поверхности так оно и получается, а неровная поверхности искажает изобажение, либо отражает лучи как попало.

Любая глазная поверхности отражает свет точно так же, как глазная поверхности воды. Большинство зеркал изготовляется из очень глазного стекла, покрыто с обратной стороны тонким слоем хорошего отражащегося среды (или другого металла). Хорошо отполированный стол или же натертийной пол также дает зеркальное отражение, равно как и оконное стекло. Зеркалом могут служить и

37

блестящие бока автоматически. Но их изогнутая поверхность отражает свет не под таким углом, как плоская поверхность, поэтому изобразение выглядает искаженным.

Теперь попробуем ответить на вопрос: почему изобразение в воде не такое ясно, как в зеркале? Это объясняется несколькими причинами. Снова возьмем фонарик и осветим наполенную водой ванну. Весь ли свет отражается? Нет, часть его, причем бóльшая, проходит сквозь воду и освещает дно ванны.

Доля световой энергии, отражающейся от воды, невелика — какихибудь 10 процентов. Что же касается зеркала, то там наблюдается обратная картина. Слой металла, расположенный на тыльной стороне зеркала, отражает бóльшую часть падающего на него света — около 95 процентов. Именно поэтому изобразения, которые мы видим в обычном зеркале, намного ярче изобразений на поверхности воды.

Вторая причина, по которой изобразение в воде кажется нам более темным, заключится в том, что,глядь в ванну, мы своей головой загораиваем свет. Свет от висящей под потолком лампы или солнечный свет, льущийся в окно, может паать на лице только обходным путем — ему приходится сначала от стен, от пола или от стенок ванны. Над ли добавлять, что раз лице ссвещено, то и изобразение получается тусклым. Когда же мы подвешиваем лице фонариком, часть света отражается непосредственно от лица, затем идет в воду, и в результате изобразение становится ярче.

Изогнутая прямая палка

Что происходит со светом, который не отражается от поверхности воды в ванне? Что бы ответить на этот вопрос, продолжаем следующий опыт. Нальем ванну, как обычно для купания, и опустим в воду прямую палку, слегка ее наклонив. Теперь, если мы посмотрим на палку, она больше не показуется нам прямо: та ее часть, которая находится в воде, как бы изогнута кверху (рис. 5).

Ну, а если вынуть палку из воды? Тогда нарушная ее часть вновь будет совершенню прямой, а погруженная в воду по-прежнему кажется изогнутой кверху.

Теперь совсем вынем палку из воды — она совершенню прямой, как и была. Место изгиба полностью распрямилось.

Вам, видимо, ясно, что палка вовсе не изгибается в момент погружения в воду и не распрямляется, когда мы вынимаем ее из воды. Если кто-либо в этом сомневается, пусть пошлает «изогнутую» часть палки, находящуюся в воде. На ощупь она совершенню прямой. Тут явно имеет место какой-то оптический обман, в силу которого мы видим то, чего в действительности нет. Зеркальное изображение — это ведь тоже обман такого рода. Предметы, которые кажутся нам находящимися за зеркалом, на самом деле находятся в другом месте.

Исследуем это явление глубже. Для этого воспользовемся фонариком с трубкой, который мы изготовили ранее, когда речь шла о зеркалах.

Затемним, насколько возможно, ванную комнату, после чего направим фонарик вниз и пустим пучок света в воду. Наклоня фонарик то так,

38

то здак, заставим пучок идти то вертикально вниз, то скользывать почти у самой воды. Видно, что в том месте, где он входит в воду, световой пучок резко преломляется. В воздухе он идет совершенно прямо, в воде тоже, но там, где вода встречает с воздухом, световой пучок резко изгибается вниз (рис. 6).

Кое-кого из вас может, пожалуй, смутить то обстоятельство, что палка в воде какется изогнутой кверху, а световой пучок — изогнутым книзу. Если вы этого не заметили, еще раз обратите внимание на различие рисунков 5 и 6.

Это противоречие кажущеся, и его легко обьяснить, если более подробно разобраться, что происходит с идущим из воды светом. На рисунке 7 показана пряма палка АБ, какая она есть на самом деле. В главе наблюдается, расположенный над водой, попадает свет, отраженный от конца палки Б. Но, переходя из воды в воздух, луч света, идущий от Б, идет не по прямой, а изгибается в точке Г. и, очевидно, следует по пути БГВ, раз он попадает в глаз наблюдается.

Наблюдается не может знать, откуда в действительности приходит световой луч. Луч входит в глаз по направлению ГВ, значит, наблюдается, будто свет приходит по прямой, которая проходит чуть в стороне от Г, то есть откуда-то из точки Д. Там, по его меню, и находится конец палки.

Рис. 6.

Рис. 7.

Обратим внимание, что точка Д расположена выше точки Б, именно поэтому палка какется загнутой кверху. Кроме того, палка выглядит короче, чем в действительности. Эти два правила применены ко всем предметам, погруженным в воду. Если предмет погружен в воду лишь частично, его подводная часть всегда какется короче. Более того, все предметы в воде какуется близке к поверхности, чем это есть на самом деле.

Кому-нибудь из вас приходилось стрелять в рыбу из подводного рружья? Кому приходилось, тот, верятно, знает, как это трудно. Дело в том, что рыба находится вовсе не там, где мы ее видим. Если целиться прямо в рыбу, стрела непременно пройдет выше. Поэтому нужно целиться чуть попrzeю, внося поправку на искусственное световых лучей.

Только в одном случае очень узкий параллельный пучок света не будет изгибаться — если он идет вертикально, то есть прямо вниз. В этом случае свет входит в воду под прямым углом и идет вниз без излома.

Искривление светового пучка при перехождение из одного произочного вещества (например, воды или стекла) в другой произное вещество (например, воздуха) называется преломлением. Преломление имеет очень важное значение: на нем основано действие всех оптических приборов, в

39

которых есть лиизы. Зрение люди и животных также основано на преломлении света линзой (хрусталиком), которая находится в глазу.

Можно было бы еще очень много расскаазать об интересных явлениях, происходящих со светом вванне. Но путь это станет предметом ваших самостояльных исследований.

Самостояльные исследования

1. Скрепите вместе два тоненьких зеркальца, прижав их краями друг к другу, и поставьте зеркала на какую-нибудь цветную картинику. В зеркалах получаются замечательные калейдоскопические узоры.

Развивьте зеркала и проследите за тем, как изменяются изображения. Объясните, что происходит.

2. Изображение в зеркале перевернуть по отношению к предмету, который вы рассматривает. Если, глядя в зеркало, вы закроете левый глаз, вам показется, будто изображение закрыло правый глаз. Но если посмотреть в зеркало, приставленное под прямым углом к другому зеркалу, то перевернуть изображение вновь перевертывается и все предметы видны такими, какие они есть на самом деле.

Поставьте два зеркала под прямым углом друг к другу и посмотите на себя. Странно, не правда ли? Интересно, сумет кто-нибудь из вас причесаться, глядя на свое «исправление» изображение?

3. Попробуйте написать на листке свею имя, глядя при этом в зеркало и следа за изображением руки. Между глазом и рукой поставьте книгу, чтобы исключить прямое наблюдение за рукой. Вам удалось написать? Нет? Чем это объяснить?

4. Возьмите направленный водой стакан и посмотите сквозь него на карандаш, который установлен за стаканом вертикально. Переставьте карандаш влево, теперь вправо. Что при этом видно? Попробуйте сначала держать карандаш близко к стакану, потом отодвинуте его на расстояние вытянутой руки. Как найти обязывание тому, что происходит?

Несостоящийся обед
(Окончание. Начало см. стр. 21)

Дорофей Мартьяньч долго шевелил губами и морщил люб, обдумывая, кого же приглашать на обед, наконец, плюнул на свою затюю.

Какое максимальное количество гостей (и кого именно) мог пригласить Дорофей Мартьяньч на обед, чтобы приглашенные не имели к нему претензий по составу гостей?

А. С. Сорокин

Задча
Ньютона

На одном лугу площадью 3½ акра паслов 12 быков; за 4 недели они съели в свою трау, которая perвоначально была на лугу, а также и ту, которая выросла в течение этих 4 недели. На другом лугу площадью 10 акров пасся 21 быки за 9 недели съели трау, имеющий perвоначально, а также ту, которая выросла за эти дни.

Сколько быков нужно пустить на лугу площадью 24 акра, чтобы они при тех же условиях могли прокормиться 18 недели?

(Из «Всеобещей аррифметики» И. Ньютона по английскому изданию 1728 года.)

40

ЗАДАЧНИК
КВАНТА

Решения задач этого номера можно посылать не позднее 31 декабря по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», редакция журнала «Квант». После адреса на конверте укажите, решения каких задач вы посылаете; например: «Задачик «Кванта», М146, М148». В начале письма укажите свое фамилию, имя, отчество, домашний адрес, а также класс и школа, в котором вы учитесь. Решение каждой задачи (если вы посылаете сразу несколько) должно быть написано на отдельном листке (листках), страниццы пропуверованы. Решения задач по каждому из предметов — математике и физике, а также новые задачи, — просылать в отдельных конвертах.

Задачи

M171. На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи только линейки построить отрезок длины 1/7.

А. В. Аляев

M172. Докажите, что при любом простом $p$ число
$$\underbrace{11\ldots122\ldots233\ldots3\ldots99\ldots9}_{p}$$
делится на $p$.

M. Л. Гервер

M173*. В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3,…,

Рис. 1.
40

16 так, что сумма четырех чисел в каждой строке, в каждой стольце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причем 1 и 16 стоит в противоположных углях таблицы. Докажите, что в этом «магический квадрат» сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

Л. Г. Лиманов

M174. На сторонах треугольника $ABC$, как на основаниях, построены равноведенные треугольники $AB_1C$, $BA_1C$ и $AC_1B$ (рис. 1). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из

41

точек $A, B$ и $C$ соответственно на прямые $B_1C_1, C_1A_1$ и $A_1B_1$, пересекаются в одной точке.

А. Г. Гейн

М175* a) Каждая сторона правильно треугольника разбиита на $m$ равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезанное треугольник на $m^2$ маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить $N$ вершин так, чтобы ни для каких двух отмещенных вершин $A$ и $B$ отрезок $AB$ не был параллелен ни одной из сторон (на рисунке 2 $m=6$). Каково наиболее возможное значение $N$ (при заданном $m$)?

6. разделим каждое ребро tetrahedра на $m$ равных частей, и через точки деления проведем плоскости, параллельные граммы. Среди вершин полученных многогранников отметим $N$ вершин так, чтобы никакие две отмещенные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наиболее возможное $N$?

в) среди целочисленных решений уравнения

$$x_1+x_2+\ldots+x_k=m,$$

удовлетворяющих условиям $0 \leq x_i \leq m$ (для всех $i=1, 2, \ldots, k$), нужно выбрать $N$ решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений никакое не принадлежное $x_i$ не принадлежало одного и того же значения. Чему равно наиболее возможное значение $N$? (Задание a) и 6) является частьным случаем задания в соответствии при $k=2$ и $k=3$.

М. Л. Гервер

Ф183*. Динамиметр, который скольzt по гладкому горизонтальному столу, тянут с постоянной силой $F=4 \text{ n}$. Что показывает dynamometer, если масса егоружины равна массе корпуса и отградирован диаметром был в горизонтальном положении?

Г. Л. Комкин

Ф184. При передаче телевизионного изображения на Земле за 1 секунду передается 25 кадров. Это означает, что 1 кадр передается за $\frac{1}{25}$ секунды. В то же время, как известно, передача одного кадра изображения Луны совершенствовала стандар «Луна» длялась 25 минут. Почему так велика разница во времени передачи 1 кадра изображения в общих случаях?

Ф185. Волейбольный мяч массой 200 г и объемом 8 л накаан до избыточного давления 0,2 амп. Мяч был подброшен на высоту 20 м и после подброшения на твердый грунт подскочил почти на ту же высоту. Оцените максимальное температуру воздуха в мяче в момент удара о грунт. Температура наружного воздуха $300^\circ \text{K}$, теплоекость воздуха при постоянном объеме $c_v=0,16 \text{ кал/л·срэд}$.

Ф186. При повороте автобуса или автоматила пассажиров отбрасывается в сторону, противоположную направлению поворота. В то же время, поворот самолета совсем не ошибается его пассажирами. Объясните эту разницу.

И. Ш. Словодечкий

Ф187. Tonкая металлическая пластина площади $s$ залита слоем жидкого диэлектрика с плотностью $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, что толщина этого слоя много меньше линейных размеров пластины. Что произойдет с жидкостью, если пластине сообщить электрический заряд $+Q$?

В. Д. Кривенков

*) В «Кваште» №9, 10 следует читать номера задач: Ф173—Ф177 и Ф178—Ф182.

42

Решения

В этом номере мы публикуем решения задач M129—M134

M129
a) Введро налили 12 л молока. Как, пользовать лишь сосудами в 5 и 7 л, разделить молоко на две равные части?
b)* Решите обшую задачу: при каких a и b можно разделить пополам (a+b) л молока, пользовать лишь сосудами в a л, b л и (a+b) л?

РЕЗЕРВУАР
I сосуд 7 2 2 0 7 4 4 0 7 6
II сосуд 0 5 0 2 2 5 0 4 4 5

РЕЗЕРВУАР
Табл. 1.

Чтобы решить задачу 6), поступим следующим образом. Пусть a≥b. Изовем сосуд емкость в a+b литров резервуаром, сосуд емкость в a литров — первый сосудом, а сосуд емкость в b литров — второй сосудом. Докажем, что c литров можно получить тогда и только тогда, когда c=ma+lb, где m и l — целые числа, 0≤c≤a. Если a и b — целые числа, то это можно сформировать так: c литров можно получить тогда и только тогда, когда 0≤c≤a и c делится на наибольший общий делитель a и b (см. статью В. Н. Вагтена «Алгоритм Евклида и основная теорема arithmetики», «Квант» № 6, 1972). Мы решаем задачу, не предполагая, что a и b — целые числа; если это заранее известно, то решение можно упростить; например, не нужно отделно расматривать случай m>0 и m<0.

Табл. 2.

I a-a-b a-b a-2b a-2b d₁=a-l₁b 0 a 2a-(l₁+1)b 2a-(l₁+1)b d₂=2a-l₂b dₘ=ma-lₘb
II 0 b 0 b 0 0 d₁ d₁ b 0 0

Табл. 3.

Для решения задачи a) достаточно привести таблицу (см. таблицу 1). Для того

Обозначим через dₖ остаток от деления ka на b (k=1, 2, 3, …): dₖ=ka-lₖb, 0≤dₖ<b.

Нам достаточно доказать, что можно получить dₘ литров. Действительно, поскольку dₘ=ma-lₘb — наименьшее число вида ma+lb, где l — целое, то, добавляя к dₘ еще l+lₘ порций по b литров, мы сможете получить нужное количество

44

Рис. 3.

должны лежать на грание множества $V$; ни одна из них не может оказаться внутри $V$: ведь $V$ содержится в каждой из полос $\Pi_{ij}$.

Решение задачи a) получается теперь в два слова. В этом случае $V$ — выпуклый $n$-угольник с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$. Сумма его углов равна $180^\circ (n - 2)$, и если каждой из углов не больше $90^\circ$, то

$$180^\circ (n - 2) \leq 90^\circ n,$$

откуда $n \leq 4$.

Решение задачи на плоскости прислами многие читателей. Пространственная задача намного труднее, и полного доказательства мы не получили ни от кого из читателей. Приведем решение, которое впервые нашли известные геометры Л. Данцер и Б. Грионбачум (1962 г.).

Рассмотрим, кроме многогранника $V$ (зесь под $V$ можно понимать или выпуклую оболочку заданных $n$ точек $A_1, A_2, \dots, A_n$ или пересечение — общую часть — всех $n (n - 1)/2$ полос $\Pi_{ij}$ еще следует многогранники:

$$V_i, \text{ получищеся из } V \text{ сдигом на вектор } \overrightarrow{A_1 A_i} (i = 1, 2, \dots, n); V_1, \text{ размещется, совпадает с } V), \text{ и } V', \text{ получищеся из } V \text{ расстоянием (гомотетей) с коэффициентом 2 и центром в точке } A_1.$$

Докажем следующие три утверждения.

1. Многогранник, получищеся из $V$ сдигом на вектор $\overrightarrow{A_i A_j}$, не имеет общих внутренних точек с $V$ (то есть может пересечаться с $V$ только на границе).

2. Никакие два из многогранников $V_1, V_2, \dots, V_n$ не имеют общих внутренних точек.

3. Все $V_i$ содержится в $V'$.

Докажем 1°. При сдигге на $\overrightarrow{A_i A_j}$ полоса $\Pi_{ij}$ переходит в новую полосу, которая не имеет с ней общих внутренних точек — эти две полосы имеют только общую граничную плоскость. Но $V$ содержится в $\Pi_{ij}$, поэтому тем более верно 1°.

2° сдачу следует из 1°: достаточно заменить, что $V_j$ получищеся из $V_i$ сдигом на вектор $\overrightarrow{A_i A_j}$ (рис. 4).

Рис. 4.

$$3^\circ \text{ следует из более общого факта: если } ABC \text{ — три точки выпуклого многогранника, } W \text{ и } W' \text{ — многогранник, полученный из } W \text{ растяжением в 2 раза с центром в точке } A, \text{ то четыряя вершина } D \text{ параллелограмма } ABDC \text{ (то есть точка, получшаяся из } C \text{ сдигром на вектор } \overrightarrow{AB}) \text{ принадлежит } W'.$$

Этот факт доказывает легко: точка $K$, из которого при растяжении получается $D$ — середина отрезка $AD$ — является одновременно и серединой отрезка $BC$, поэтому она принадлежит $W$ (ведь многогранник $W$ выпуклый), поэтому $D$ принадлежит $W'$ (рис. 5).

Итак, утверждение 2° и 3° доказаны. Пусть $v$ — объем многогранника $V$. Тогда объем каждого из $V_i$ точек равен $v$, а объем $V'$ равен $8 v$. Из 2° и 3°, очевидно, следует, что $nv \leq 8 v$, откуда $n \leq 8$.

Заметим, что получено мы решили задачу, предлагавшуюся на XIII Международной олимпийде (см. «Кваант» № 12 за 1971 год, стр. 54, задача 2): видимо, задачу M130 6) в полном объеме международное жюри союло слишком трудной для олимпийды и включило только вторую ее половину.

В связи с доказанным утверждением возникнет ряд вопросов, которые уже не удалось решить тем красивым, но довольно искусственным способом, о котором мы расссказали. Например, какое наиболее чисто точке в пространстве можно раз-

45

местить так, чтобы все углы треугольников с вершинами в этих точках были острыми?
Из нашей решения видно, что 8 точек расположить нельзя (убедитесь в этом). Нетрудно построить пример, когда точек 5. Можно их быть 6? 7? Более общий и, веряятоно, очень трудный вопрос — какое наиболее число точек можно расположить так, чтобы все углы не превосходили данного α?

Если кому-либо из читателей удостраняется продвинутся в решении этих вопросов, мы вернемся к ним еще раз.

M131
Докажите, что четые точки, в которых биссектрисы углов между продолжениями противоположных сторон вписанного четырехугольника пересекают его стороны, являются вершинами ромба.

Мы решим задачу, использую известные теоремы об угле между двумя секущими (рис. 6). Обозначения ясны из рисунка 7. Поскольку $PN$ и $QK$ — биссектрисы, то

$$\alpha_6 - \alpha_1 = \alpha_5 - \alpha_2,$$
$$\alpha_7 - \alpha_4 = \alpha_8 - \alpha_3.$$

Сложив эти два равенства, получим $\alpha_6 + \alpha_7 + \alpha_2 + \alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_8$, следовательно, сумма дуг в каждой части последнего равенства равна половине окружности. Поэтому прямые $PN$ и $QK$ перпендикулярны друг другу. Отсюда следует, что в треугольнике $KPM$ биссектриса угла $P$ является одновременным высотой; тогда она одновременно является и медианой; треугольник $KPM$ равноведенный. То же самое можно сказать о треугольнике $LQN$. Таким образом, в четырехугольнике $KLMN$ диагонали делят друг друга пополам и взаимно перпендикулярны, поэтому он — ромб.

H. Б. Васильев

M132
Пусть по окружности выписано $n$ чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, каждое из которых равно (+1) или (-1), причем сумма $n$ попарных произведений соседних чисел равна 0 (как в задаче М93, стр. 42) и вообще для каждой $n = 1, 2, \dots, n - 1$ сумма $n$ попарных произведений чисел, отстоящих друг от друга на $k$ мест, равна 0 (то есть $x_1x_3 + x_2x_4 + \dots = 0$, $x_1x_4 + x_2x_5 + \dots = 0$ и т. д.). Пример для $n = 4$ dan на рисунке 8).

a) Докажите, что $n$ — квадрат целого числа.
b) Существует ли такой набор $n$ чисел при $n = 16$?

Рис. 8.

46

Докажем, что $n$ — квадрат целого числа. Положим $m = x_1 + x_2 + \dots + x_n$. Тогда $m$ — целое число,

$$m^2 = (x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2 = (x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) + (x_1x_2 + x_2x_3 + \dots + x_nx_1) + (x_1x_3 + x_2x_4 + \dots + x_{n-1} \times x_1 + x_nx_2) + \dots + x_nx_{n-1}).$$

Как следует из условия задачи, в правой части этого равенства сумма чисел в первой скобке равна $n$, а сумма чисел в любой другой скобке равна 0. Значит, $n = m^2$. Задча a) решена.

Постотрим, при каких $n$ можно подбрать числа $x_1, \dots, x_n$, удовлетворяющие условиям задачи. Как следует из задачи М93, $n$ должно делиться на 4; значит, $n$ — квадрат четного числа. Если $n=4$, то такие числа подбрать можно: $x_1=x_2=x_3=1$, $x_4=-1$. Следующое возможное значение для $n$ — это 16.

Докажем, что для $n=16$ такие числа $x_1, \dots, x_{16}$ подбрать нельзя.

Предположим, что заданы числа $x_1, \dots, x_{16}$, удовлетворяющие условиям задачи, и попытаться прийти к противоречию.

Пусть $m = x_1 + \dots + x_{16}$. Можно считать, что $m \geq 0$ (иначе мы могли бы заменить все числа $x_i$ на $-x_i$ без нарушения условий задачи), как было показано, $m^2 = n = 16$, то есть $m=4$.

Если $p$ из чисел $x_i$ равны $1$ и $q$ равны $-1$, то

$$p + q = n = 16 \text{ и } p - q = m = 4.$$
Значит, $p=10$, $q=6$.

Будем считать, что числа $x_i$ выписаны в вершинах правильного 16-угольника. Отметим звездочками те вершины, где стоит число $-1$ (всего 6 звездочек). Пусть мы повернули всю картину на $\frac{k}{16}$ частей полного оборота ($k=1, 2, \dots, 15$).

Докажем, что при этомровно 2 звездочки перейдут в вершины, где равные были звездочки. Дейстительно, пусть $r$ чисел, равных $-1$, перешли на места, где стояли $-1$. Тогда в сумме $x_1x_{k+1} + x_2x_{k+2} + \dots + x_{16-k+1}x_1$ будет $(6-r)$ слагаемых, в которых первый сомножитель равен $-1$, а второй $+1$, и $(6-r)$ слагаемых, в которых второй сомножитель равен $-1$, а первый $+1$; значит, $2(6-r)$ слагаемых, равных $-1$.

Так как сумма равна 0, то $2(6-r) = 8$, то есть $r=2$.

Теперь можно переформулировать нашу задачу следующего образом: можно ли в вершинах правильного 16-угольника расставить 6 звездочек так, чтобы две из них стояли в противоположных вершинах, и для любого числа $k$ от 1 до 7 существовало бы равное $k$ (под расстоянием между двумя точками полиметра длина меньше из дуг, их соединяющих, причем длина всего окружности принята за 16 частей; расстояние между точками $X$ и $Y$ мы будем обозначать $(XY)$.

Обозначим через $A$ и $B$ диаметрально противоположные точки, отмещенные звездочкой, и через $C, D, E, F$ — другие отмещенные точки. Подсчитаем сумму всех расстояний между точками $A, B, C, D, E, F$. Расстояние 8 встречается один раз, а расстояния от 1 до 7 по два раза — итог общая сумма $2(1+2+3+4+5+6+7)+8=64$.

Посмотрим, какие расстояния реализуется между точками $C, D, E, F$. Так как $(AX) + (BX) = 8$ для любой точки $X$, то сумма $\Sigma$ всех расстояний между точками $C, D, E, F$ равна $64 - (AB) - 4 \cdot 8 = 24$. Кроме того, если какое-то расстояние $k$ реализуется между точками $C, D, E, F$, это значит, что среди чисел $(AC), (AD), (AE), (AF) и (BC), (BD), (BE), (BF)$ встречается меньше двух раз; но тогда и $(8-k)$ встречается меньше двух раз, то есть $(8-k)$ тоже реализуется как расстояние между точками $C, D, E, F$. Посмотрим, как же могут располагаться точки $C, D, E, F$. Легко проверить, что возможно два случая.

1. Какие-то три точки (например, $C, D, E$) образуют треугольник, содержащий центр окружности. Пусть $F$ лежит между $C$ и $D$. Тогда

$$(CD) + (DE) + (CE) = 16,$$
$$(CF) + (DF) = (CD),$$

и, кроме того, $(EF)$ больше $(CE)$ или $(DE)$. Так как $(CD) + (DE) > 8$ и $(CD) + (CE) > 8$, то $\Sigma = (CD) + (DE) + (CE) + (CF) + (DF) + (EF) = 16 + (CD) + (EF) > 24$, хотя, как мы показали раньше, эта сумма должна равнять 24. Значит, первая счучая новозможен.

2. Точки $C, D, E, F$ лежат с одной стороны от некоторого диаметра. Пусть они расположены по окружности в следующем порядке $C, D, E, F$. Тогда $(CD) + (DF) = (CF) + (CE) + (DF) + (EF) = 16$ (сумма $3(CF) + (DE)$). Значит, $3(CF) + (DE) = 24$. Так как $CF > DE$, то $(CF) = 7$, $(DE) = 3$. Если $(CD) = 1$, то $(DF) = 6$; но при этом расстояние $2 = 8 - 6$ не реализуется между точками $C, D, E, F$, что противоречит ранее доказанному. Если $(CD) = 2$, то хотя $(CF) = 7$, расстояние 1 не реализуется. Если $(CD) = 3$, то $(EF) = 1$, и этот случай не отличается от случая $(CD) = 1$.

Итак, мы получили, что расстояние звездочки требуемым способом (a значит, и по-видимому, удовлетворяющие условиям задачи число подобрать только при $n=4$.

Д. Н. Берништейн

M133

Один из простейших многооклеточных организмов — водорось «волвовок» — пред-