Квант 1972, №12 · Страницы

КЕАНТ
12
ДЕКАБРЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Главный редактор — академик И. К. Киоин
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

Л. А. Арцимович, М. И. Башмаков, С. Т. Беляев, В. Г. Болтянский, И. Н. Бронштейн, Н. Б. Васильев, И. Ф. Гинзбург, Ю. Н. Ефремов, В. Г. Зубов, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, А. И. Климанов (елавный художник), С. М. Козел, В. А. Лешковцев (зам..elавного редактора), Л. Г. Макар-Лиманов, А. И. Маркушевич, М. Д. Миллионщиков, Н. А. Патрикеева, И. С. Петраков, Н. Х. Розов, А. П. Савин, И. Ш. Слободецкий, М. Л. Смолянский (зам..elавного редактора), Я. А. Смородинский, В. А. Фабрикант, А. Т. Цветков, М. П. Шаскольская, С. И. Шварцбург, А. И. Ширшов.

Кривая, изображенная на рисунке слева красной краской, называется тракти稼ой. По такой кривой катится тележка, если она находится на местеовой, а тянущий ее ребенок идет по бровке тротуара.

Вот ее точное определение:
тракти稼ой называется кривая, обладающая тем свойством, что отрезок касательной от точки касания до пересечения с данной прямой $X'X$ (направляющей) имеет постоянную длину, неависящую от точки касания.

Тело, получаемое выражением тракти稼ы относительно прямой $X'X$ называется псевдосферой (ее мы видим на первой странице обложки). Как установил в 1863 году игальянский геометр Е. Бельтрами, псевдосфера обладает таким замечательным свойством: на ней выполняется геометрия Лобачевского. О Н. Н. Лобачевском и открытом им неевклидовой геометрии вы можете прочесть в статусе на странице 6.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов.
Художественный редактор Т. М. Макарова. Корректор Т. С. Вайсберг
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Квант». Тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 15/IX 1972 г. Подписано в печать 27/X 1972 г. Бумага 70×100¹/16
Физ. печ. л. 5 Усл. печ. л. 6,5 Уч.-изд. л. 7,17 Тираж 313485 экз.
Цена 30 коп. Заказ 1654
Чеховский полиграфкомбинат Главполиграфпрома Государственного комитета
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАЩАЮТСЯ

ОСНОВАН
В
1970 ГОДУ

12
ДЕКАБРЬ
1972

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО • НАУКА•
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В НОМЕРЕ:

4 Триумф великий идеи
6 Творец новый геометрии Б. А. Розенфельд,
А. Я. Халамайзер
16 С законом Гука на острова Новые Гебриды А. А. Дозоров
19 Экспонента С. Д. Осятинский,
Л. З. Румшиский
26 С метром по глобусу А. Б. Шварцбург

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
34 Задачи M176—M180; Ф188—Ф192
36 Решения задач M135—M140; Ф153—Ф158

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
49 Иrrрациональные неравенства Е. М. Герцунов
51 О некоторых irrрациональных уравнений В. М. Розентуллер
53 Гидростатика Л. Г. Асламазов

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ
61 50 заиматательных задач А. Н. Виленкин,
Л. Г. Лиманов
62 Расссказ о великих экспериментах И. М. Зорич

ИНФОРМАЦИЯ
65 III Математическая олимпиада МЭСИ И. Г. Венецкий,
Ю. И. Соркин
66 Олимпиада МФТИ-72 А. П. Савин
68 Нам пшут В. Н. Березин,
М. Л. Смолянский

УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА
70 Марки, посвященные 50-летию образования СССР А. В. Алтыкис
71 Создатели неевклидовой геометрии А. В. Алтыкис

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
76 Напечатано в 1972 году
79 Анкета

4

ТРИУМФ ВЕЛИКОЙ ИДЕИ

Большинство граждан нашей великой Родины, в особенностях молодежь, с детства привыкли к тому, что они родились и живут в Советском Союзе.

Изредка мы произносим полное название нашей страны, родившееся 50 лет тому назад: Союз Советских Социалистических Республик. Не всегда мы задумываемся над глубоким смыслом этого названия и над величием самого идеи об образованнии этого Союза. Между тем идея образованния Советского Союза — это великая идея.

Автор этой идеи — Владимир Ильич Ленин.

Читатели «Кванта» знают, что в области физико-математических наук великими называются идеи, преобразующие основы науки (например, квантовая теория, теория относительности). Что же сказать о научной идее, который было существено преобразовать мир?

Ее существление привело к кардиального решения одной из самых жгучных мировых проблем, которая называется национальным вопросом.

В течение многих веков мир разделился, а капиталистический мир и понные разделяются националистическими противоречиями. Научный анализ этой проблемы, произведенный В. И. Лениным на основании мирового опыта общественного развития и опыта Великой Октябрьской Социалистической революции, показал, что для вражды между отдельными национальными нетниками глубоких принципальных принцип.

Национальная рознь — это порождание реакционного общественного строя, будь то равноведельче-кий, федеральный или капиталистический строой.

Кapitалистический строой служит питательной средой для развития ультрареакционных «теории» национальной или расовой исключительнойности. Именно эти «теории» были приняты на вооружение германским фашизмом.

Ленинская теория национального вопроса, в противовес Буржуазно-националистической идеологии, исходит из того, что нет никакой национальной или расовой исключительнойности. Великий физик XX столетия, создатель теории строения atoma Нильс Бор глубоко интересовал отсутствие национальной исключительнойности следующим примером. Если, утверждал Н. Бор, русского ребенка в грудном воздействие на постоянное житьство во Францию, то, выросший там, он по своему духовному облику, по привчкам и поведению не будет отличаться от коренного французца.

Точно так же и французский ребенок, выросший в России, не будет отличаться от коренного русского.

Национальное здесь ни при чем — все определяется общественной средой, в котором человек воспитывает.

Ленин решительно отстаивает идею равноведельности, показав одновременную, что осуществление такого рода равноведельного подхода в социальisticском обществе.

Образование Союза Советских Социалистических Республик было практическим вопросом этой идеи.

5

Попуvekовой опыт существования и развития Советского Союза — это триумф учения Ленина о национальном вопросе.

Одной из наиболее ярких иллюстраций успешного решения национального вопроса может служить развитие науки в ресурсных Советского Союза.

На месте отсталых федеральных и получаемых окраин царской России, где подавляющая часть населения была неграмотной, выросли многочисленные города, ставшие крупными научными центрами. Научные центры имеют теперь во всех союзных ресурсных. Многие научные институты в ресурсных пользовании имеют атомные реакторы. Один из лучших в мире atomных реакторов, предназначенных для физических исследований, построен в Грузинской ССР. Один из лучших в мире укорителей электронов находится в Армении.

В физических институтах Казахстана, Узбекистана проводятся важные для науки и народного хозяйства исследования.

Во всех союзных ресурсных имеются ресурсikanские академии наук, объединяющие крупных ученых.

Ряд союзных ресурсикских сил скали себе мировую slavery. Многие международные союзы учены воз-
главляют соетским учеными. По нянтоно, что все это привело к тому, что советская наука вообщее оказалась огромное влияние на развитие науки во всем мире.

Свидетельством этому служит, например, тот факт, что больше число советских научных журналов переводится на иностранные языки.

Читательям «Квантта» известно, что всесоюзные оптимизации школьников проходят в городах ряда союзных ресурсикских. Участики этих оптимизации на собственном опите осуществлены относительно себе стороны своих товаров смых разных национальнойностей.

Мы привыклили к таким положению, и мы вссприннимаем все это как должное.

Но нужно помнить, что путь к этому «должному» не был легким и простым. Советскому народу, Коммунистической партии на этом пути пришлось предложить немалые трудности, связанные с экономическим и культурнойсталостью, бороться против попытки контрреволюции использовать в своих целях наследие прежней национальной вражды. И в этой борьбе советский народ вышел победителем.

Теперь советский опыт создания многонационального социального государства получил научное признание и служит примером для борцов за социальism и национальное освобождение во всем мире.

Вот почему 50-летний юбилей Советского Союза раздуют не только наоды нашей страны, но и все прогрессивное человечество мира.

7

Б. А. Розенфельд,
А. Я. Халамайзер

— Каждай из них произведел революцию в научных идеях, — сказал английский ученый Вилым Клиффорд о Копернике и Лобачевском, — и обе эти революции имеют одно и то же значение. Это революции в нашем понимании космоса.

Неевклидова геометрия, открыта Николаем Ивановичем Лобачевским, нанесла первый удар вековчным идеям незыблемости геометрических законов, сформулированных Евклидом. Затем последовал новый удар: известный опыт Майкельсона по определению скорости света. И наконец, теория относительной Эйнштейна окончательно разрушила представления ученых об абсолютистике пространства. Нет абсолютиного пространства, одинакового для всех, сказал Эйнштейн, так же как нет и абсолютиного времени, одинакового для всех.

И как Солнечная система Коперника объявила загадку мироиздания, мучавшую астрономов, так и геометрия Лобачевского решения проблем, над которой всками были геометры.

— Задача, которую решил Лобачевский, была задачей, которую ставили на очередь математика и физика того времени, — говорил профессор А. В. Васильев, представатель Коперника физико-mатематического общества. — Чтобы устотеть эту задачу, нужно была генеральность Гаусса и Лобачевского, нужны были настоящийность и трудолюбие нашего знаменитого соотечественника. Для нас всегда остался предмет высокой патриотической гордости, что эту задачу решил ученый, живший в Казани, вдалеке от центров умственной жизни.

К 180-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского

1 декабря 1792 года у мелкого нижнегогородского чиновника Ивана Максимовича Лобачевского родился сын, «което при святом крещении нарекли Николаем». Десять лет спуста Николая вместе с братыми Алексадром и Алексеем зачислили на казенное разночинское содержание в Казанскую гимназию.

Уже в гимназии проявились незаурядные способности Николая к научкам вообще, к математике и физике в частности. Немалую роль в развитии таланта Лобачевского сыграм молодой преподаватель Г. И. Карташевский.

С 1807 года Николай — студент Казанского университета. Профессия удивляющая легкость, с которой он воспринимает научки, их порядок способности пятнадцатилетнего юноши, оригинальное его мышление. Николай становится «гордостью университета». Но мальчишка остается малчищкой: то он запускает ракеты, то едет по городскому саду верхом на корове, то на спор перерыгивает через полного и страдающего одышкой профессора Николыского. Он «является признаки безжжия». Это серверное представление обсуждается на совете университета, волновомуца собираются отдельно профессора Литтрова и Бартельса спадает талантливого юношу от солдатской шинели.

В 1811 году после блестиго окончания университета Лобачевский — магистр *), с 1814 года он — адьюнкт *), а с 1816 — профессор.

*) Магистр, адьюнкт — младшие ученые степени в Российской университетах (до 1863 года).

8

В ноября 1820 года его избрают деканом физико-математического факультета, в 1827 году — ректором университета. На этом посту Лобачевский оставался почти 20 лет.

В течение многих лет Лобачевский заведовал библиотекой университета, подбирал и закупал учебную и научную литературу. С 1822 года он был членом, а с 1825 года — председателем стройного комитета. Не довольствуясь приглашением лучших архитекторов того времени, Лобачевский сам серbezно изучал архитектуру. Под его руководством были построены и реконструированы многие учебные здания, библиотека, астрономическая обсерватория, клиника, типография.

В тяжелое время пришел Лобачевский к руководству университетом. Многие профессора прошли стоян на позициях воскресенного сотрудника мира.

— … Из свягого писания открывается, что свет солнечный есть отблеск лika бокжего. А как он распространяется, через волнение или другим образом, о том святое писание ясно не говорит. Согласнее со святьим писанием думать, что свет есть орран, через которых живущий в мире неприступном, посылает в мир подлунный духа своего… — записано в тетради одного из профессоров.

По этой тетради читались лекции студентам!

— Гипотенуза, миллию божней, — начinal лекции по геометрию профессор Никольский. Так его и произвали студенты: «Гипотенуза миллию божней».

Недавний попечитель учебного округа мраковес М. Л. Магницкий, пытавшийся (но, к счастью, не сумевший) добиться закрытия университета, составил особую инструкцию, обязывающий его должность о всякой «крамоле»; 9 передовых профессоров были изгнаны.

Лобачевский считал, что школа и университет должны давать молодым людям знания, определенные моральные устон, делать их полезными и жизниредостимыми членами общества. Уже через год после вступления в должность, 17 июля 1828 года ректор Лобачевский произносит свою значенную речь «О важнейших предметах воспитания».

— В это завершение вступили, юношество не условият пустых слов, без всякой мысли. Здесь учат тому, что на самом деле существует, а не тому, что изобретено праздным умом… Спрашивайте природу! Она хранит все истинны и на вопросы ваши будет ответать непреемно и удовлетворительно.

Новому ректору удалось избавить университет от бездарных преподавателей, считавших солнечный свет отблеском лika бокжего. Вскоре был учрежден печатный орран — «Ученызаписки Казанского университета», изданнойся и по сей день. Казанский университет становится первооклассным учебным заведением.

В архивах университета сохранилось решение Л. Н. Толстого о разрешении допустить его к приемным экзаменам. Здесь учились знаменитые химики Зинин и Бутлеров. Подднец университет закончил Илья Николаевич Ульянов. А в конце XIX века студентом Казанского университета становится Владимир Ильич Ульянов—Ленин.

Жарким летом 1830 года к Казанни приближалась холера. Еще только просывал о ней, многое жители узжали из города; оставшиеся запасались продуктами и старались не выходить заворота. Но опасность была уже близка.

Первые же случаи zabолевания настояжили Лобачевского. Он распорядился:

— те и другиеворота — на запор;
— вдоль заборов — охрану;
— впускать — только с его разрешения и после okуривания хлопом;
— химикам — заготовить хлоп и хлопную изввсть.

9

Затем Лобачевский оправился на соседню улицу к губернатору, барону Пирху.

— Что, холера? — удивился барон. — Из Симбирска? Но мы жали ее, господин Лобачевский, сверху, из Нижнего Новгорода.

— Я считаю необходимым, ваше превосходительство, немедленно оценить пристани, поставить кордоны, изолировать город… — И Лобачевский развернул перед губернатром подробный план борбы с надвигающейся опасностью.

— Да вы что? — не дослушал Пирх. — Хотите, чтобы холерный бунт? Город изолировать? А подати кто собирать будет? А в солдаты набирать, воевать кто будет?

Лобачевскому оставалось только распрошаться.

Срочно собрашияся совет университета передал ректору всего полоту власти. Лобачевский объявил карантин. Все студенты, преподаватели, служащие переселились на территorio университета. И все же в первые четыре дня умерло 12 человек. По приказанию ректора группы умерших обливали хлопной извесью, одежду, постель и другие личные вещи немедленно сжигали. На пятый день заболевания прекратились. За доставкой и хлопированием воды Лобачевский наблюдал лично. И хотя в городе холера выкосила часть ли не половину населення, из 560 человек, живших на территории университета, никто больше не пострадал.

Не меняшую энергию прошил ректор и в августа 1842 года, когда в Казани свирпствовал пожар. В городе выгорели целые кварталы, от множества зданий остались груды головшек. Загорелась университетская библиотека, недавно построенная обсерватория. Лобачевский не отлучался с пожара, сам руководил спасательными работами. Обсерватория сгорел, но ценное оборудование удалось спасти; библиотеку от огня. Однако дом, принадлежащий Лобачевскому, сгорел дотла; сгорел и университетская kvартира, где жил Николай Иванович; в огне погибло имущество Лобачевских и бесценные рукописи.

Заслужги Лобачевского перед Казанским университетом трудно переоценить. Рассуждение его «о важнейших предметах воспитания» оказалось весна ценных вкладом в педагогическую науку. Но смелость сухдений и прямой, независяный характер правятся не всем. Против Лобачевского начислясь проискки.

В 1846 году Николай Иванович был назначен помошником попечителья Казанского учебного округа, а попечительем вскоре стал малообразованный казачий генерал Молоствов, который, нимало не смущаясь, заявил министру народного просвещения Носову:

— Моему помошнику совершенно нечего делать…

Отстранение от активной административной и педагогической деятельности вызвалу у Лобачевского резкий упадок сил. В 55 лет он почувствовал себя немощным и больным. Вскоре он лишился даже номинальной должности помошника Молоствова, а с него — и жалованы. Появились материальные затруднения.

Лобачевский стал слегнуть: сказались непомерныеочные бдения в молодости. Последние годы жизни Николай Иванович не мог самостоятельно перевгrizаться. Но он верил в великое будущее своего открытия не покидала его: будучи слабым и больным, почти ничего не видя, он дискотел свое научное завещание — «Пан геометрию», которая вышла из печати незадолго до его смерти.

Еще в молодости Лобачевский заинтересовался основания геометрии и подверг критике «Начала» Евклида. Особое внимание привлек так называемый V постулат:

— Всякие две прямы, которые при пересечении с третий образуют внутренние односторонние углы, дающие в сумме менше двух

10

Рис. 1.

прямых, при продолжении обязаательно пересекаются.

На протяжении многих веков геометры пытались доказать пятый постулат, как теорему. Но каждый из них неявно вводил какое-то «очевидное» свойство:

… Геометрическое место точек плоскости, равностоящих от прямой и лежащих по одному сторону от нее, есть прямая, — считал Посидоний (Рим, I век до н. э.).

… Две приближащиеся прямые обязаательно пересекаются, — утверждал Омар Хайям (Средняя Азия, XI век).

… Для всякой фигуры можно построить ей подобную, — был убежен Джон Валис (Англия, XVII век).

Алексис-Клод Клеро (Франция, XVIII век) строил теорию параллельных линей, основываясь на существовании прямогоугольника; Фаркаш Бойян (Венгрия, конец XVIII — начало XIX век) доказывал пятый постулат, исходя из того, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно проведи окружность.

Но все эти продложения оказались равносильными пятому постулату Евклида или даже более сильному постулату: через точку вне некоторой прямой можно проведи в их плоскости одну и только одну прямую, не пересекающую данной. А последнее утверждение равносиль-

Рис. 2.

но тому, что сумма углов любого треугольника составляет 180°.

Еще в 1823 году Лобачевский подготовил к печати первый составленный им курс геометрии. Пытаясь оторваться от Евклида, он построил в первой половине книги «абсолютную геометрию» — не зависящую от постулата о параллельных. Он был убежен, что геометрия, в котором верны все аксионы Евклида, кроме аксионы о параллельных, — не противоречива. Важнейшую роль в этом выводе сыграло критическое отношение Лобачевского к убежению о воскледности наших геометрических знаний: ведь из этого убежения вытекала бы единственность геометрической системы.

Ученик великого Эйлера, академик Николай Иванович Фусс, не разобрались в революционной системе ией Лобачевского, дал о работе резко отрицательный отзыв. Особенно возмутило академика … введение метра как единцы измерения длины и деление круга на 400 градусов, а не на 360.

— Сие разделение выдумано во время французской революции, — пишет Фусс в решении, — но сияновизна нигде принята не была по причине очередных неудобств.

Резценция эта ошибочная вводие: генциальность ией Лобачевского оказалась недоступной не только Фуссу, но и многим талантливым умам того времени, а метр прочно завоевал права гражданства.

11

Но разгромная резенция Николая Ивановича Фусса не испугала Николая Ивановича Лобачевского. Он продолжает развивать свои идеи и в последующие годы делает генциальный по простоте шаг: отказывается от пятого поступата, господствовавшего в умах чуть не две тысячи лет и не вызывшего никаких сомнений ни у предшественников, ни у современников.

Лобачевский предположил, что через данную вне прямой точку можно провести в их плоскости не менее двух прямых, которые не пересекутся с данной прямой $AB$.

Из этого совершенного непелого на первый взгляд допущения Лобачевский стал делать дальнейшие выводы. И не пришел ни к какому противоречию! Более того, получил строную, логичную геометрическую систему, законченное целое, которое он называл «воображаемой геометрией» — по аналогии с миниммическими, которые он тоже называл воображаемыми; если минимые числа — наиболее общие, для которых справедливы законы общей арифметики, то «воображаемая геометрия» — наиболее общая геометрическая система, в которой выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных. И как действительные числа являются частным случаем множества комплексных чисел, так и привчная геометрия Евклида является частным случаем общей геометрической системы.

«Воображаемая геометрия» существенно отличается от привчной геометрии Евклида.

Начнем с того, что сумма углов треугольника в ней всегда меньше 180°; что множество всех точек плоскости, лежащих в одной полуплоскости и равнодаленных от заданной в ней прямой — «базы», — вовсе не прямая, а особая линия, называемая эквидистантор; что через три точки, не лежащие на прямой, можно провести или окружность, или эквидистанту, или промежутную между ними линю — «орицикл».

Рис. 3. Через точку $C$, лежащую вне прямой $AB$, можно, предположил Лобачевский, проведи хотя бы две прямые $a$ и $b$, которые не пересекутся с прямой $AB$ (для наглядности «прямы» $a$ и $b$ изображены здесь в исключенном виде). Точно так же не пересекают прямую $AB$ и прямые $m$, $n$, $p$, проходящие через точку $C$.

Рис. 4. Сумма углов треугольника меньше двух прямых.

Рис. 5. Эквидистанта ortogonalна всем прямым, перpendикularным к ее базе.

Через точку, взятую внутри угла, не всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Наконец, в этой геометрине не существует подобных многоугольников.

12

Рис. 6. Орицикл ortogonalен пучку паралельных прямых.

Лобачевский расматривал и геометрию пространства. Вращая окружность, орикл и эквидistantу вокруг из ортогональных им прямы, можно получить в первом случае сферу, во втором — орисферу, в третьем — эквидistantную поверхность, то есть геометрическое место точек пространства, равностоящих от плоскости. Оказалось, что геометрия на сфере совпадает с геометрией эклидовой сферы, геометрия на орисфере совпадает с геометрией эклидовой плоскости, а геометрия на каждой из двух полостей эквидistantной поверхности — того же типа, что и геометрия плоскости Лобачевского.

Лобачевский нашел тригонометрические соотношения в плоских треугольниках в открытою им геометрии. Далее, он показал, что эти соотношения могут быть получены из формул сферического тригонометрики.

Геометрия Лобачевского обладает и другими свойствами, аналогичными сферической геометрии; в частности, площадь треугольника на плоскости Лобачевского выражается через его углы (в радианной мере) по формуле; совпадающей с формулой

$$S = r^2 (A + B + C - \pi)$$

для сферических треугольников, если считать радиус сферы $r$ чисто минимым.

Евклидовый геометрию можно рассматривать как предельный случай либо сферической геометрии, либо геометрии Лобачевского при стремлении $r$ к бесконечности. Более общий характер открытою им геометрии Лобачевский подвергивал и названем «Пангеометрия» — «всеобщая геометрия», которое он дал ей в своей последней работе.

Установив основы новой геометрии и тригонометрические соотношения в треугольниках этой геометрии, Лобачевский ввел в этой геометрию координаты и решил большое число задач аналитической геометрии и задач на вычисление площадей и объемов, с помощью которых он впервые

Рис. 7. Если точка $A$ лежит по другую сторону «прямой», параллельной обеим сторонам угла, то через нее нельзя проверить прямую, пересекающую обе стороны угла.

вычислил цельряд определенных интегралов.

Лобачевский пытается установить эксperиментальное, какая геометрия имеет место в реальном мире — евклидова или «воображаемая». Для этого он вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого были две диаметрально противоположные точки земной орбиты и одна из неподвижных звезд. Найда, что отклонение этих сумм от л не выходит за пределы ошибки наблюдания, Лобачевский приSEL к выводу, что геометрию реализного мира можно считать евклидовой, однако он наделяся, что отклонение суммы углов треугольников от л можно будет обнаружить при рассмотрении космических треугольников больших размеров.

Одновременно с Лобачевским неевклидову геометрию открыли еще несколько математиков. Еще в последних годы XVIII века к идее о неевклидовой геометрии приSEL величий Гаусс, продолжавший записать этиМИ вопросами в течение нескольких десятилетий, но не опубликовавший свои результаты. Несколько позже к геометрию Лобачевского приSEL Янош Бойяи. Он изложил свое открытие в приложении к математическому соиненню отца—Фаркаша Бойяи, — опубликованному в 1832 году. Так как Гаусс не опубликовал своего открытия, а Бойяи опубликовал его позже Лобачевского, приоритет признается за Лобачевским.

13

23 февраля 1826 года на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета тридцатитрехлетний Лобачевский сделал доклад о своем открытии и просил рекомендавать изложенное на французском языке сочинение к опубликованию.

Рис. 8. На каждой из поверхностей такого гиперболона осуществляется геометрия Лобачевского, если расстояние $d$ между точками $A(x_1; y_1, z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ определяется формулой $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2$. Пространство с определенным таким образом расстоянием между точками называется псевдоевклидовым.

Присутствовавшие на заседании не смогли разобраться в работе; была назначена комиссия из трех специальов для детального ознакомления с представлением сочинением. Однако ни адьонкт Николай Дмитриевич Брашман, впоследствии крупный ученый, один из создателей Московского математического общества, ни профессор Алексадр Яковлевич Купфер, ни старый друг и однокашник Николая Ивановича, видный ученый того времени Иван Михайлович Симонов не смогли понять глубочайшего физофского значения новой геометрии. Проходил месяц за месяц, год за годом, отзыва от ученой комиссии не поступало, и бесценная работа была сделана в архив.

Лишь в 1829 году в университетском журнале «Казанский вестник» появилось первое изложение открытия Лобачевского — статья «О началх геометрии». Еще несколько статей и темуаров с изложением основных результатов Лобачевского было опубликовано в 30-х годах. В 1840 году Лобачевский издал в Берлине на немецком языке систематическое изложение своего открытия — книгу «Геометрические исследования по теории параллельных линей». Эта книга была заменена Карлом Фридрихом Гаусссом, «королем математков» того времени. Он был единственным авторитетным человеком в мире, кто мог оценить гениальную открытий Лобачевского — и оценил их — по достоинству.

— Как мне сказал, — пишет Гауссс в 1841 году одному из своих ученников, — труды Казанского университета, написанные на русском языке, содержат массу его сочинений… Много овладело железное прочесть побольшие сочинения этого остроимного математика.

В возрасте 63 лет «король математков» начинает изучать русский язык.

— Я начинаю читать по-русски с некоторой беглостью и извлекаю из этого большее удобствие, — пишет Гауссс.

14

Рис. 9. Интерпретацию Бельтрами—Клейна можно получить, проектируя сферу минимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве из ее центра на касательную к ней плоскость.

По инцициативе Гаусса Лобачевский избран членом-корреспондентом Геттигенского Королевского общества. В Дипломе, присланном в Казань, его называют «одним из превосходнейших математических русского государства». Оdnako и «король математиков» не выступил в печати с публичным признанием заслуг Лобачевского, либо он боялся быть непонятным современниками. При жизни Лобачевского лишь один из его коллег — профессор Казанского университета П. И. Котельников — публично обьявил о большом научном и познавательном значении его открытия.

Признание пришло лишь через несколько лет после смерти Николая Ивановича, благодаря работам Эудженино Бельтрами (Италия) и позднее, Феликса Клейна (Германия) и Анира Пуанкаре (Франция).

В нашем «привычном» евклидовом пространстве Бельтрами нашел так называемые псевдоферические поверхности. На обложке нашего журнала изображена часть такой поверхности. На них осуществляется геометрия Лобачевского и имеет место установленные им зависимость между сторонами и углами геодезического *) треугольника, между радиусом круга и его площадью и т. п.

*) Линия, соединишая две точки некоторой поверхности, называется на ней геодезический, если она представляется собой краток.

Рис. 10. В интерпретации Бельтрами — Клейна всегда плоскость Лобачевского изображается внутриней области круга; прямы изображаются хордами этого круга.

Рис. 11. Интерпретацию Пуанкаре можно получить, проектируя сферу минимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве из одного ее полока на экваторialную плоскость.

чайшее расстояние (по поверхности) между любыми двумя достаточно близкими ее точками.

15

Рис. 12. В интерпретации Пуанкаре всегда плоскость Лобачевского изображается внутриенной области круга; прямые изображаются двумя окружностями, ortogonalными к окружности круга. Все углы сохраняют натуральную величины.

Лобачевский был автором ряда работ в других областях математики. Одни работы были связаны с его геометрией, — например, работа о вычислении определенных интервалов, работа о веряной оценке наблюдаемой при измерении суммы углов треугольника с очень большими сторонами. Другие работы относятся к алгебре и анализу: «Алгебра или исчисление конечных» (1834 г.), «О исчезании тригонометрических строк» (1834 г.), «О сходимости бесконечных рядов» (1841 г.) и др. Лобачевский один из первых дал общее определение функции, формулировал понятие непрерывности и дифференцируемости функции и установил различие между этим понятиями, которые до него часто смешвали.

Но основной заслугой Лобачевского, ценнейшим вкладом в сокровищницу мировой науки является предполнение привченных и интуитивно неопровержимых представлений — отказ от пятого постулата и создание обобщенной геометрии, в котором геометрия Евклида является лишь предельным частным случаем. Тот путь, на котором впервые стал Лобачевский, в значительной степени

Рис. 13. Треугольник в интерпретации Пуанкаре. Ясно видно, что сумма его углов меньше 180°,

определенл лицо современной математики.

— Идеи нашего генциального соотечественника, которые сто лет назад казались недопустимым парадоком, — говорит видный советский геометр профес. П. К. Рашевский, — теперь, широко развиты и обобщенные, являются одним из краеугольных камней современной науки.

Литература

1. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. М., 1950.
2. Каган В. Ф. Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его место в мировой науки. М. — Л., 1948.
3. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М., 1953.
4. Широков П. А. Краткий очер основ геометрии Лобачевского. М., 1955.
5. Яглом И. М. Геометрические преобразования, т. П, М., 1956.
6. Заботин И. П. Лобачевский. М., 1956.
7. Ливанова А. Три судьбы. Постяжение мира. М., 1969.
8. Колесников М. С. Лобачевский. Серия ЖЗЛ. М., 1965.
9. Тарджеманов Д. А. Юность Лобачевского. Казань, 1968.
10. Каган В. Ф., Рыбкин Г. Ф., Лобачевский. Статья в БСЭ, т. 25.
11. Александров А. Д. Геометрия Лобачевского. Статья в БСЭ, т. 25.

16

С законом Гука на острова Новые Гебриды

А. А. Дозоров

Жители одного из островов архипелага Новые Гебриды довольно эффективно отмещают разные торжества *). Юноша взбирается на специально для этой цели построению вышку, призывает к ногам ляны, концы ляна закрепляет на вышке, а затем под ритульный танец островятян бросается вниз. Ляны амортизируют удар, и юноша благополучно приземляется.

Высота, с которой совершается прыжки, колбляется от 15 до 30 метров. Казалось бы, нагрузка на ноги прыгуна тем больше, чем выше вышка, чем длинее ляна, поэтому должа сущестовать предельная высота, с которой можно прыгать. Однако это на первый взгляд весьма очень рассужdenе оказывается совершению неправильным. Правильный ответ нам помогет найти закон Гука.

Пусть длина нити в свободном состоянии равна $l$. Под действием некоторой силы нить растяется до длины $l+x$. Величина $x$ называется абсолотной деформацией нити, а величины $\frac{x}{l} = \varepsilon$ называют относительной деформацией. Деформация называется упругой, если после снять силы длина нити становится прежней. При малых упругих деформациях ($x \ll l$) величина абсолотной деформации, как правило, пропорциональна силе. Нправление упругой силы, стремящаяся вернуть нить в исходное состояние, и направление деформации противоположны. Все это описывает законом Гука:

$$F = -kx. \tag{1}$$

Коэффициент пропорционального $k$ называют коэффициент жесткости растяживаемого тела (нити, пружины).

Чем больше поперечное сечение нити, тем больше силу необходимо приложить, чтобы вызвать одно и то же удлинение нити. Другими словами, коэффициент жесткости является функцией поперечного сечения. Частию пользоваться понятным направлением материала $\sigma = F/S$. (Если стержень скжается под действием силы $F$, то $\sigma$ — среднее давление на торц стержня.)

Абсолютная величины относительной удлинения $E$ при малых деформациях

*) См. журнал «Вокруг света» № 12, 1971.

18

есты потенциальная энергия ниги $W$ определяется площадью треугольника $OCD$:

$$W = \frac{1}{2} Fx = \frac{1}{2} kx^2.$$

Потенциальная энергия груза переходит в кинетическое энергию его движения, а затем в энергию деформации ниги. Так как полная высота, с которой падает груз, равна $(l+x)$, то

$$mg(l+x) = \frac{1}{2} kx^2.$$

Отсюда удилиние ниги равно

$$x = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2kmgl}}{k},$$

а максимальная сила натяжения ниги (так как $k = \frac{SE}{l}$)

$$F = mg + \sqrt{(mg)^2 + 2mgES}.$$

Следовательно, максимальноеускорение

$$a = g \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2ES}{mg}}\right)$$

(очевидно, оно достигается в нижней точке).

Таким образом, ни максимальная сила, ни максимальноеускорение не зависит от длины ниги.

Возвращаясь к прыжкам с вышки, мы видим, что не существует критической высоты, начиная с которой перегрузки становятся недопустимыми для человекаского органазма. Если нить (лиана) по упругим свойством близка к резине (каучуку), то есть $E \approx 10^7 \frac{H}{m^2}$, поперечное сечение ниги $S = 9 cm^2$ и масса прыгуна $72 \text{ кг}$, то $a = 5 \text{ g}$. Такие перегрузки для человека вполне допустимы.

Роберт Гук
о своем законе

Закон пропорциональности удлиненияружины приложенной силе был открыт англійским физиком Робертом Гуком (1635—1703).

Гук был очень разносторонним ученым. Но он не доводил свой работы до конца, а потому до сих пор спорят — опередил ли Гук свойства современников Ньютона и Гюйгена. Но закон, который позволяет численную величины силы, вошел в историю под названием закона Гука. Гук, в двух своево времени, называл его не законом, а теорей. Вот как Гук писал о созданной им теории пружины:

«…Teория пружины не была до сих порником опубlikована, хотя разные значенные математики трудились над ней. Сейчас прошло уже около восемнадцати лет с тех пор, как я впервые нашел ее. Однако, намереваясь ее применить кчемнибудь полезному, я удержался от публикации.

Спустя три года Его Величество благословно наблюдал опыты, испытывали эту теорию, в Уайт-холле, а также мои пружинные часы.

Еще через два года я напечатал теорию как ana-gramму в конце моей книги описания гелиоскопов: ceiiilo ssttuv, то есть Ut tensio sic vis. Это значит: натяжение пружины изменится в той же пропорции, что и сила *). Итак, если одна сила вытягивает или изгибает на единицу, то две изогнут на две, три — на три и так далее. Так как теория очень заменяет теорию: «Каково расчетные, такова и сила»).

20

шению $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$

или

$$\Delta y \approx ky \cdot \Delta t,$$

(1)

где $k$ — коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент может быть как положительным числом (например, в процессе роста численности населения), так и отрицательным (например, в процессе радиоактивного распада). Пribлиженное соотношение (1) надо помнить в том смысле, что относительная ошибка этого соотношения убивает с уменьшением промежутка времени $\Delta t$, то есть что при стремлении $\Delta t$ к нулю соотношение $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$ становится все более точным.

Тепер поставим вопрос: какой же функциональной зависимости можно описать процесс, обладающий свойством (1)?

Среди элементов функции, изучаемых в школе, мы находим одну функцию, обладающую нужным свойством — это показатель функции $y=a^t$. В самом деле, изменение (или приращение) этой функции $\Delta y = a^t + \Delta t - a^t$ в силу основного свойства показатель функции $a^t + \Delta t = a^t \cdot a^{\Delta t}$ можно представить в виде произведения двух соотношателей $\Delta y=a^t (a^{\Delta t} - 1)$. Первый множество $a^t$ совпадает со значением функции $y=a^t$, а второй множество $a^{\Delta t} - 1$ зависит только от приращения аргумента $\Delta t$. Можно показать, что при малых значениях $\Delta t$ разность $a^{\Delta t} - 1$ приближено пропорциональна $\Delta t$. Этот факт эквивалентен тому, что график показатель функции $y=a^t$ имеет касательную в точке пересечения этого графика с осью ordinат (рис. 1).

Отрезок $a^{\Delta t} - 1$ приближено равен отрезку $\Delta t \cdot tg \varphi$, где $\varphi$ — угол наклона касательной к оси абсцисс:

$$a^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t \cdot tg \varphi,$$

(2)

причем относительная ошибка приближенного равенства (2) уменьша-

Рис. 1.

ется с уменьшением $\Delta t$ и стремится к нулю при $\Delta t \rightarrow 0$ (вспомним, что касательная определяется как предельное положение секущей). Приближенное равенство (2) остается справедливым и для отрицательных значений $\Delta t$, мальх по абсциссной величины.

Но отсюда следует, что приращение показатель функции $y=a^t$ при малых $\Delta t$ приближено равно

$$\Delta y \approx y \cdot \Delta t \cdot tg \varphi.$$

(3)

Соотношение (3) аналогично соотношению (1) и полностью совпадает с ним, если выбрать такое основание $a$, чтобы для него значение $tg \varphi$ совпало с коэффициентом пропорциональности $k$.

Однако при описании процессов значительное удобнее пользоваться одним и тем же основанием, а коэффициент пропорциональности $k$ учитывает явным образом в показатель степени. Для этого выбираем такое

Рис. 2.

21

основание, при котором $tg\varphi=1$; тогда график показательной функции пересечет ось ordinат под углом $45^\circ$. Такое основание обозначает буквой $e$. Число $e$ irrationalно, его приближение значение равно 2,718.

Показательная функция с основанием $e$ и называется экспонентой. Она имеет специальное обозначение: Expr $t$. График экспоненты $y=e^t$ изображен на рисунке 2. Касательная к нему в точке $t=0$ накладена к оси $Ot$ под углом $45^\circ$, поэтому она задается уравнением $y=1+t$.

Можно показать, что все точки экспоненты лежат выше касательной, так что при всех значениях $t$ выполняется неравенство $e^t>1+t$. Из этого неравенства можно получить оценки числа $e$. Для этого заметим что при $t=\frac{1}{n}: \frac{1}{n}>1+\frac{1}{n}$; отсюда, возвода в степень $n$, получим

$$e > \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

При $t=-\frac{1}{n+1}: e^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$, откуда $\frac{1}{n+1}<\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$, и, возвода в степень $n+1$, получим

$$e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$

Неравенствами

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

число $e$ определяется однозначно (см. статью Л. Г. Лиманова «О числе $e$ и $n!$», «Квант» № 5, 1972).

Так как при основании $a=e$ по определению $tg\varphi=1$, то из формулы (3) вытекает приближение равенство (при $t=0$ и малых $\Delta t$)

$$\Delta e^t = e^{\Delta t} - e^0 = e^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t.$$ (4)

Тепер введем коэффициент пропорциональности. Для этого подставим в формулу (4) $k \cdot \Delta t$ вместе $\Delta t: e^{k \cdot \Delta t} - 1 \approx k \cdot \Delta t$ (при малых $\Delta t$).

Значит, для функции $e^{kt}$ приращение $\Delta y$ (при любом $t$) имеет вид

$$\Delta y = e^{k(t+\Delta t)} - e^{kt} = e^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

Таким образом, функция $y=e^{kt}$ удовлетворяет условия (1). Очевидно, что и функция $y=Ce^{kt}$ при любом постоянном множителье $C$ удовлетворяет этому же условияю, так как ее приращение равно

$$\Delta y = Ce^{k(t+\Delta t)} - Ce^{kt} = Ce^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

В конкретных примерах можно tellе $C$ позволяет учеть так называемое начальное условие — значение величины $y$ в начальной момент времени $t=0$. При $t=0$ получаем $y(0) = Ce^0 = C$. Окончательно описываемый процесс можно записать так:

$$y(t)=y(0)e^{kt}.$$ (5)

Мы начали с показательных функций, но любую показательную функцию можно выразить через экспоненту, использую равенство

$$a^t = e^{kt},$$

где $k=\log_e a$. Логарифм по основанию $e$ называется натуральным логарифмом и обозначется символьом $\ln a$, то есть $\ln a=\log_e a$. Выбор экспонентов вместе другой показательной функции объясняется лишь простой учета коэффициента пропорциональности $k$.

Natуральные логарифмы связаны с десятичными соотношением

$$\ln a = \frac{1}{\lg e} \cdot \lg a,$$

которое получается при логарифмировании по основанию 10 тождества $e^{\ln a}=a$ и переносом $\lg e$ в правую часть.

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ

Здесь мы, исходя из физических соображений, показем, что рассматриваемый процесс удовлетворяет соотношению (1), а отсюда немедленно будет следовать, что этот процесс описывается экспонентой (5).

22

1. Радиоактивный распад

Пусть в некоторый начальный момент ($t=0$) мы имеем $N_0$ атомов радиоактивного вещества. Распад атомов в нем совершается случайным образом, но экспериментально установлено, что среднее число атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющих атомов. Следовательно, через промежуток времени $t$ у нас будет уже не $N_0$ радиоактивных атомов, а $N_t$. Так как этот процесс удовлетворяет уравнению (1), то мы можем написать $N_t=N_0e^{kt}$.

Найдем значение коэффициента $k$. Для этого используем понятие перiodа полураспада $T$.

Перiod полураспада — это время, за которое число атомов вещества уменьшается вводе. Начальное количество вещества нам известно, период полураспада $T$ также известен. Тогда коэффициент $k$ можно найти из условия, что к моменту времени $t=T$ остanetся половина начального количества:

$$N_T = \frac{1}{2} N_0$$

Рассмотрим возможность столбецничного сечения (рис. 4). Пусть давление на высоте $h$ равно $P$, тогда давление на высоте $h+\Delta h$ изменится на величины $\Delta P$, где $\Delta P$ — вес воздуха столбца высоты $\Delta h$. Но $\Delta P \approx -\rho g \cdot \Delta h$, где $\rho$ — плотность воздуха на высоте $h$, $g$ —ускорение свободного падения. Если положить, что температура воздуханого столбца всегда одинакова, то в силу газовых законов плотность газа прорциональная давление и обратно пропорциональная абсолотной температуре, то есть $\rho = k \frac{P}{T}$, где $k$ — коэффициент пропорциональногоости, $T$ — абсолотная температура (коэффициент

$$kT = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2, \quad k = -\frac{\ln 2}{T},$$

и окончательно

$$N_t = N_0e^{-\frac{\ln 2}{T}t}$$

2. Процесс разряда конденсатора

Пусть $C$ — емкость конденсатора, $R$ — сопротивление, через которой разряжается (рис. 3), $q$ — заряд конденсатора в момент времени $t$ (в момент $t=0$ мы замыкаем ключ $K$), $\varphi_1 - \varphi_2$ — разность потенциалов, соответствующая заряду $q$, $I$ — ток в момент времени $t$, $\Delta q$ — изменение

23

цитент $k$ может быть найден из уравнения Менделеева — Клапейрона). Подставляя значение $\rho$ в формулу для $\Delta P$, получим

$$\Delta P \approx -k \frac{g}{T} P \cdot \Delta h,$$

откуда

$$P = P_0 e^{-\frac{k g h}{T}} h.$$

4. Явление самонидукции

Рассмотрим цепь (рис. 5), состоящую из источника э. д. с. $(E)$ и последовательно включаемых катушки индуктивности $(L)$ иOmческих сопротивлений $(R)$. Пусть до момента времени $t=0$ цепь замкнута и по ней течение ток $I_0$. При $t=0$ закоротим цепь ключом $K$ и рассмотрим изменение со временем тока $I(t)$ в цепи $L$, $R$. Согласно закону Ома для рассматриваемой цепи, состоящей из индуктивности иOmческого сопротивления, имеем $IR \approx -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ (здесь $-L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ представляется собой э. д. с. самонидукции). Следовательно,

$$\Delta I \approx -\frac{R}{L} I \cdot \Delta t,$$

откуда

$$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L} t}.$$

Для цепи, состоящей из катушки $L$, сопротивления $R$, и источника э. д. с. $(E)$ (рис. 6), закон Ома примет форму $IR \approx E - L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. Пусть в момент $t=0$ ключ $K$ замкнули

Рис. 6.

Рис. 7.

(до этого предполагается цель разомкнутой). После того как процесс станет установившимся, в цепи будет ток $I_0 = \frac{E}{R}$, но до наступления этого результатующего ток в цепи получается как алгебраическая сумма тока $I_0$ и противоположного ему, определяемого формулой (6). Таким образом, при неустановившемся режиме результатующий ток определяется как

$$I = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L} t} \right).$$

Его график изобравен на рисунке 7.

5. Остывание тела

Согласно закону Ньютона при небольшей разности температур между телом и окружающей средой изменение энергии тела за время $\Delta t$ определяется формулой

$$\Delta Q \approx -k (T - T_c) \cdot \Delta t,$$

где $\Delta Q$ — количество излучаемой энергии (телла) за время $\Delta t$, $T$ — температура тела, $T_c$ — температура окружающей среды, коэффициент $k$ зависит от поверхности и природы тела. Для простоты положим $T_c=0$, тогда $\Delta Q \approx -k T \cdot \Delta t$. С другой стороны, изменение количества теплла равно $\Delta Q = C \cdot \Delta T$ (здесь $C$ — тепллоемкость тела, $\Delta T$ — изменение его температуры). Сравнивая выражения для $\Delta Q$, получим

$$\Delta T \approx -\frac{k}{C} T \cdot \Delta t,$$

24

то есть скорость изменения температуры пропорциональна температуре тела, следовательно,

$$T = T_0 e^{-\frac{k}{C} t}.$$

Читатель предлагается в случае $T_c \neq 0$ докаазать справедливо следующей формулы:

$$T = \left( T_0 - T_c \right) e^{-\frac{k}{C} t} + T_c.$$

6. Движение тела в вязкой жидкости

Рассмотрим движение лодки в воде с учетом силы вязкого треня. Пусть лодка с работающим двигателем движется в воде равномерно (это означает, что сила тгиги движателя уравновешивается с силой вязкого треня). В момент времени $t = 0$ движатель выключится; требуется найти закон изменения скорости лодки.

Очевидно, что после выключития двигателя на лодку действует лишь тормозящая сила вязкого треня, которая пропорциональна скорости лодки и направлена в сторону, противоположную движению: $F_{tp} = -kv$. Подставляя выражение для силы во второй закон Ньютона $F = ma$, получим $ma = -kv$ или

$$\Delta v \approx -\frac{k}{m} v \cdot \Delta t.$$

Следовательно, скорость лодки изменяется по закону

$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m} t}.$$

Рис. 8.

7. Ослабление интенсивности изменения при прохождении через поглощающую среду

Паралельный пучок лучей (или частиц), проходя через слой вещества, уменшает свою интенсивность (рис. 8). Если толщина слоя достаточно мала, то интенсивности пучка пропорционально толщине слоя: $\Delta I \approx k_1 \cdot \Delta l$. С другой стороны, количество поглощенных квантов (или рассеяных частиц) пропорционально интенсивности пучка: $\Delta I = -k_2 I$.

Коэффициенты $k_1$ и $k_2$ зависит от свойств поглощающей среды. Объединия обе формулы, получим

$$\Delta I \approx -k I \cdot \Delta l.$$

Отсюда интенсивность паралельного пучка при прохождении через поглощающую среду убивает по закону

$$I = I_0 e^{-kl}$$

(закон Ламберта — Бугера — Бера).

8. Работа идеального газа при изготовлении процессе

При изображении процессе работа, совершаемая идеальным газом, может быть вычислена как произведение давления на изменение объема: $A = P(V_2 - V_1)$. В случае изготовления процесса этой формы ползоваться нельзя, либо давление не остается постоянным. Но при малом изменении объема можно пренебречь изменением давления и вычислять работу как

$$\Delta A \approx P(V_2 - V_1) = P \cdot \Delta V.$$

Выразив давление по формуле Менделеева — Клапейрона, получим

$$\Delta A \approx \frac{m}{\mu} RT \frac{\Delta V}{V}.$$

Это позволяет найти зависимость $V$ от $A$:

$$\Delta V \approx \frac{\mu}{mRT} V \cdot \Delta A,$$

откуда следует, что

$$V = V_0 e^{\frac{\mu}{mRT} A}.$$

25

Пропогарифмировав это равенство по основанию $e$, получим

$$A = \frac{m}{\mu} RT \ln \frac{V}{V_0}.$$

Здесь $V_0$ — начальное значение объема, $V$ — конечное.

9. Задча Циолковского

Рассмотрим движение космического корабля, находящемся на большом удалении от масс тяготения. Очевидно, что если движатель не работает, то корабль или поконтся или движется равномерно и прямолинейно; будем считать, что он поконтся, $v_0 = 0$. В силу законов сохранения после включения двигателя колчество движения системы «корабль—выхлопные газы» остается неизменным, поскольку на эту систему не действуют внешние силы.

Обозначим через $m$, $v$ массу корабля с топливом и скорость его в момент времени $t$, $u$ — скорость выбрасываемого выхлопного газа относительно корабля (величина постоянная). Тогда $mv = (m - \Delta m) \times (v + \Delta v) - \Delta m (u - v)$, откуда $\Delta m = -\frac{\Delta v}{u - \Delta v} m$. Найдем зависимость $m$ от $v$. При малых $\Delta v$, учитывая, что $u$ — постоянная, $u \neq 0$, имеем $u - \Delta v \approx u$, поэтому

$$\Delta m \approx -\frac{1}{u} m \cdot \Delta v,$$

и, стало быть,

$$m = m_0 e^{-\frac{v}{u}}.$$

Proлогарифмировав по основанию $e$ и упрощая, получим

$$v = u \ln \frac{m_0}{m}.$$

Отсюда следует, что скорость корабля целиком определяется его начальной скоростью, относительной скоростью части выхлопного газа и количеством израсходованного топлива и не зависит от закона расходования топлива.

На стр. 61 помещена решение на книгу Ф. Мостелера «Пятьдесят занимаемых вероятностных задач». Мы приводим некоторые задачи из книги Ф. Мостелера.

Странное метро

Мэрвин кончает работу в случае времени между 15 и 17 часов. Его мать и его невesta живут в противоположных частях города. Молодой человек садится в первый подошший к платформе поезд, иуший в любом направлении, и обедает с той изdam, к которой придет. Мать Мэрвина жа́дется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невесой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление.

Нетерпельные дузленты

Дузли в горode Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дузлитель прибывает на место встречи в случаеный момент времени, между 5 и 6 часов утра и, продолжав содержника 5 минут, удаляется. В случае же прибывание в эти пять минут дузлится. Какая часть дузлителя тела заакчивается поединком?

(Окончание см. на стр. 48)

26

С МЕТРОМ ПО ГЛОБУСУ

А. Б. Шварцбург

Попробуем наиссовать на поверхности глобуса путь корабля, который выsel из порта $A$ и должен пройти в порт $B$. Этот путь можно проделать разными способами, и у каждой есть свои достоинства и недостатки. Если корабль спешит, то важно знать кратчайший путь между портами. Как известно, на плоскости кратчайшее расстояние между двумя точками — пряма. Оdnako на сфере картина условияется. Натягивая на глобусе гибкуо нерастижимо нить между точками $A$ и $B$ (начало и конец пути), можно найти такое положение нити, при котором длина $AB$ будет наименьшей. Оdnako ориентиция нити относительно сетки meridianов и параллелей, нанесенной на глобус, будет различной в каждой точке вдоль длины $AB$. Это значит, что положить такой путь в открытом море нелегко.

Можно выбрать другой способ — например, дивигаться все время в одном направлении, пересекая все meridianны под одним и тем же углом. Тогда ориентировать в море будет легче. Оdnako с помощью той же нити на глобусе легко убедиться, что такой путь будет длинее, чем первый. Чтобы лучше представить себе каждой путь, рассмотрим одну вспомогательную задачу.

Движение вблизи полюса

На школьной карте meridianны и параллелей обычно изобразяются в виде прямогольной сетки. Оdnako для изобразения районаов, примыкающих к полюсом, используют и другую координатную сетку, в которой meridianны представляются лучами, выходящими из полюса $O$, а параллелей — окружностями с центром в полюсе. Допустим, что на такой карте нанесены точки $A$ и $B$. Попробуем проложить траекторию $AB$, не заботая о протяженности путь, но требуя, чтобы направление движения было постоянным. Иными словами, требуется намерить плоскую кривую, которая проходит бы через точки $A$ и $B$, пересекая все лучи, выходящие из полюса, под некоторым постоянным углом $\alpha$ (рис. 1, а).

Координаты точки $A$ и $B$ считаем известными (то есть известны их расстояния до полюса $\rho_A$ и $\rho_B$ и разность их долгот). Легко указать частный случай такой траектории, соответствующей $\rho_A = \rho_B$. Линия, перpendикулярная ко всем лучам, выходящим из одной точки, является окружностью. Чтобы найти траекторию при произвольном угле $\alpha$, рассмотрим два луча, образующие малый угол $\theta$. Пусть один из них $OA = \rho_0$ соответствует значению $\theta = 0$. Откладывая на втором луче $ON = \rho_0 = OA$ (рис. 1, б), заметим, что $\rightarrow ANO \approx \frac{\pi}{2}$ (так как угол $\theta$ мал).

27

Пусть траектория пересекает луч $ON$ в точке $K$. Тогда из треугольника $ANK$, в котором $AN = \rho_0 \theta^*$): найдем $NK = AN \cdot \text{ctg} \alpha = \rho_0 \theta \text{ctg} \alpha$. Отсюда видно, что длина радиуса-вектора траектории $OK$ составляет

$$\rho_1 = \rho_0 - \rho_0 \theta \text{ctg} \alpha = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha).$$

Откладывая по часовой стрелке от $ON$ угол $\theta$ еще раз, получим для радиуса-вектора

$$\rho_2 = \rho_1 (1 - \theta \text{ctg} \alpha) = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha)^2.$$

Повторяя эти выкладки $n$ раз, найдем

$$\rho_n = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha)^n.$$

Предположим, что радиус-вектор $\rho_0$ за $n$ поворотов повернулся на угол $\lambda$, тогда $\theta = \frac{\lambda}{n}$ и

$$\rho_n = \rho_0 \left(1 - \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha\right)^n.$$

Предположим, что мы, считая угол $\lambda$ постояным, увеличиваем число «шагов» так, что величины одного «шага» $\theta = \frac{\lambda}{n}$ уменьшаются. Если $n$ увеличивается неограниченно, то это будет соответствовать непрерывному перемещению точки по траектории. Переходя в формуле (4) к предлуру при $n \to \infty$, найдем (см. Л. Г. Лиманов «О числе $e$ и $n!$» «Квант» № 5, 1972):

$$\rho = \lim_{n \to \infty} \rho_n = \rho_0 e^{-\lambda \text{ctg} \alpha},$$

где $e = 2,73$ — известная в математике постояная, знамените «число $e$», являющееся основанием натуральных логарифмов.

Мы получили уравнение кривой, которая пересекает все лучи, выходящие из центра, под углом $\alpha$. Величину этого угла можно найти, зная координаты точки $A$ и $B$ и разность их долгот $\lambda$. Из (5) найдем

$$\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{\lambda} \ln \frac{\rho}{\rho_0}.$$

Пересекая каждой meridian под углом $\alpha$, карась придет из порта $A$ в порт $B$.

Из формулы (6) видно и другие важные свойства полученной кривой: угол между радиусами-векторами пропорционален логарифму их

*) Такая замена эквивалентна приближенной равенству, выполненной при малых значениях угла $x \left(x \ll \frac{\pi}{2}\right)$: $\sin x \approx x$. Это равенство и следующее из него равенство $\text{ctg} x \approx x$ не раз используется в этой статье.

28

$$\lambda = - \frac{\ln \frac{\rho}{\rho_0}}{\text{ctg} \alpha}.$$

Кривая (5) носит специальное название «логарифмическая спираль», а математик Яков Бернулли даже называл ее «spira mirabilis», что по-латыни значит «чудесная спираль».

В этой вспомогательной задаче часть земной поверхности, на которой происходит движение, считалась плоскостью. Попробуем обобщить полученное решение (6) на случай сферического поверхности. Иными словами, попробуем проверсти на глобусе кривую, соединяющую точки A и B и пересекающую все meridianны под постоянным углом α. При этом нам пригодится тот же математический прим, который использался во вспомогательной задаче.

Кривая Снеллиуса

Будем считать, что хотя бы одна из точек A и B не совпадает с полюсом сферы. (Если A и B — полюсы, то любой meridian является исключой кривой). Будем характеризовать положение каждой точки ее широтой φ, отсутствием от экватора, и долготой λ. Требуется проверсти кривую на сфере, выходящую из точки A с координатами φ_A, λ_A и прихождения в точку B с координатами φ_B, λ_B (см. рис. 2), так, чтобы все meridianны пересекались под одним и тем же углом α. Во вспомогательной задаче мы показали, что плоской кривой, обладающей таким свойством, является логарифмическая спираль.

Рассмотрим две близкие точки на сфере (A и N) (рис. 3), разность широт которых (дуга AO) составляет Δφ, а разность долготhora (дуга ON) — θ, где θ — малый угол, (θ << λ). Если обе точки лежат на интересушей нас кривой, то эта кривая образует равные углы α с meridianнами, проходящими через эти точки. Рассмотрим кривойнейный треугольник AON, где дуга AO совпадает с частью meridiana, дуга ON — с частью круга широты φ₁, а ⇄ OAN = α. Обозначим значение координаты φ в точке A через φ_A = φ_0. Таким образом, φ₁ = φ_0 + Δφ.

Рис. 2.
Рис. 3.

29

Можно строго доказать, что значения координат $\varphi_0$ и $\varphi_1$ связываны следующим образом:

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_1}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha].$$

(Сторгий вывод этого равенства дан в Приложении I.)

Далее можно рассуждать так же, как и при решении вспомогательной задачи. Значение функции $\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)$ в точке с координатами $\varphi_2$, $2\theta$ составит

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_2}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_1}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha] =$$

$$= \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha]^2.$$

После $n$ «шагов» получим для $\varphi_n$

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_n}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) \left[ 1 + \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha \right]^n.$$

Допустим теперь, что мы уведомиваем число «шагов» $n$ до бесконечности, приближаясь к точке $B$. При этом $\varphi_n \rightarrow \varphi_B$. Тогда величина каждого шага $\theta = \frac{\lambda}{n}$ стремится к 0, а число сомножителей в правой части (9) неограниченно растет. Перейдя в формуле (9) к пределу при $n \rightarrow \infty$, получим (по аналогии с формулой (5)):

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_B}{2} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left\{ \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right) \left[ 1 + \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha \right]^n \right\} =$$

$$= \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right) e^{\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

Полученная кривая пересекает все meridianны на сфере под постоянным углом $\alpha$. Величину этого угла легко найти из (10), зная широту каждого порта ($\varphi_A$ и $\varphi_B$) и разность долгот ($\lambda_B - \lambda_A) = \lambda$ между ними:

$$\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_B}{2} \right)}{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right)}.$$

Кривая, выраженная формулой (10), носит специальное название «локсодрома», что можно перевести с латыни как «кособежная». Эту кривую исследовал в XVIII века математик Снеллиус, известный еще и тем, что он сформировал закон преломления световых лучей на границе двух сред, известный как дому школьнику.

Локсодрома пересекает «наискось» meridianны шара и приближается к полюсу, «накручиваясь» на него, как спираль. Нетрудно показать, что влизация полюса локсодрома близка к логарифмическому спирали, о которой мы говорили во вспомогательной задаче. Действительно, вблизи полюса $\varphi = 90^\circ - \delta$, где $\delta \ll 90^\circ$. Тогда

$$\frac{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)}{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right)} \approx \frac{\text{tg} \left( \frac{\delta_0}{2} \right)}{\text{tg} \left( \frac{\delta}{2} \right)} \approx \frac{\delta_0}{2} \frac{\delta}{2}.$$

30

Сравнивая формулы (10a) и (10), получим

$$\delta = \delta_0 e^{-\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

(106)

С другой стороны, расстояния от полюса до точек $A$ и $B$, шириты которых $\delta_A$ и $\delta_B$, равны соответствию $\rho_A = R \delta_A$, $\rho_B = R \delta_B$ (R — радиус земного шара). (При написании этих равенств мы заменяем часть дуги меридиана хордой, соединяющей концы дуги.) Тогда из (106) получаем:

$$\rho_B = \rho_A e^{-\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

(10в)

Это равенство мы уже получили во вспомогательной задаче.

Локсодрома (10) описывает такой курс корабля в открытом море, при котором направление движения остается постоянным, поэтому ориентировать в пути легко. Однако путь по локсодроме, как мы говорили выше, не является кратчайшим путем на сфере между двумя точками.

Геодезическая линия

Попробуем теперь найти кривую, которая является кратчайшим путем между двумя точками на шаре. Такую кривую называют геодезической линейей, но она представляется не только для геодезистов. Эта кривая важна и для мореплавателей, летчиков, путешествников. Если упрощить задачу и выбрать точки $A$ и $B$, расположенные на одном кругле шировты $\varphi$, то может показаться, что кратчайшим путем между этим точками является дуга широтного круга. Однако такой ответ неверен. Чтобы убедиться в этом, сравним расстояния $S_1$ и $S_2$ между точками $A$ и $B$, измененные вдоль широтного круга ($S_1$) и вдоль дуги большого круга ($S_2$) (рис. 4). Если разность долгот точек $A$ и $B$ составляет $\lambda$, то

$$S_1 = R \lambda \cos \varphi,$$

$$S_2 = RC,$$

где $C$ — радианная мера дуги $S_2$.

Можно доказать, что величины дуги $C$ (в радианах) равна

$$C = \arccos \left[ \cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \right],$$

где $\varphi' = \frac{\pi}{2} - \varphi$. (Это доказано в приложении II.)

Докажем, что длина дуги большого круга $S_2$ не больше длины дуги широтного круга $S_1$ ($S_2 \leq S_1$), то есть докажем неравенство:

$$R \arccos \left[ \cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \right] \leq R \lambda \sin \varphi'.$$

(14)

Равенство (14) возвращает лишь при $\varphi' = 90^\circ$ или $\varphi = 0$, то есть когда широтный круг совпадает с большим кругом.

Обе части неравенства (14) положительные. Будем считать, что разность долгот между точками $A$ и $B$ заключана в интервале $0 \leq \lambda \leq \pi$. Для $0 \leq \lambda \leq \pi$ cos $\lambda$ — убывающая функция.

31

Позному из неравенства (14) следует неравенство:

$$\cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \geq \cos (\lambda \sin \varphi').$$

Используя тождество $\cos \lambda = 1 - 2 \sin^2 \frac{\lambda}{2}$, приведем неравенство (15) к виду

$$\sin^2 \varphi' \sin^2 \frac{\lambda}{2} \leq \sin^2 \left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right).$$

Умножив и разделив это неравенство на положительное величины $\left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right)^2$, получим:

$$\left( \frac{\sin \frac{\lambda}{2}}{\frac{\lambda}{2}} \right)^2 \leq \left( \frac{\sin \left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right)}{\frac{\lambda}{2} \sin \varphi'} \right)^2.$$

Если теперь построить с помощью тригонометрических таблиц графики функций $y = \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$, то будет видно, что эта функция монотонно возрастает от $y = \left( \frac{2}{\pi} \right)^2 < 1$ до 1 при убывании $x$ от $\frac{\pi}{2}$ до 0. Так как $\frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \leq \frac{\lambda}{2}$, то неравенство (17) всегда выполено, а значит, выполено и исходное неравенство (14). Следовательно, дуга большого круга короче других широтного круга, соединяющей те же две точки.

Можно доказать, что и при произвольном расположении двух точек на шарре кратчайшее расстояние между ними определяется по дуге большого круга, проходящей через эти точки. Иными словами, геодезический линей на шаре является дуга большого круга.

Однако ориентироваться при движении по дуге большого круга трудно — угол $\alpha$ между направлением движения и meridianом все время меняется.

Таким образом, пути по локсодроме и по дуге большого круга имеют свои достоинства и недостатки. Выбирая между этим путями, часто поступают так же, как и при движении по плоскости, когда вместе движения по сложной плоской кривой намечают пути по ломаной, все вершины которого лежат на нужной кривой.

Аналогично, при движении по сфере намечают на дуге большого круга, соединяющей пункт отправления и пункт назначения, несколько точек, и от точки к точке движется по локсодромам.

Приложение I

Точку на сфере удобно характеризовать не широтой $\varphi$, а дополнительным углом $\varphi'$

$$\varphi' = 90^\circ - \varphi.$$

Удобство такого описания связано с тем, что функция $ctg \left( \frac{90^\circ - \varphi}{2} \right)$ обладает важным свойством. Вычислим, использую формулу для тангенса суммы двух углов, приращение этой функции при изменении $\varphi$:

$$ctg \left( \frac{90^\circ - \varphi}{2} \right) = tg \left( \frac{90^\circ + \varphi}{2} \right) = tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right);$$

32

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) =$$

$$= \frac{tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) + tg \frac{\Delta \varphi}{2}}{1 - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) tg \frac{\Delta \varphi}{2}} - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) =$$

$$= \frac{tg \frac{\Delta \varphi}{2}}{\cos^2 \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)} \cdot (I-3)$$

Используя то жество $\frac{1}{\cos \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)} = 2 \sin \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) \cos^{-1} \varphi$, получим из формулы

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{2 tg \frac{\Delta \varphi}{2} tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)}{\left[ 1 - tg \frac{\Delta \varphi}{2} tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) \right] \cos \varphi}.$$

(I-4)

Рассмотрим случай, когда приращения $\Delta \varphi$ малы, так что $|tg \frac{\Delta \varphi}{2}| \cdot |tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)| \ll 1$. Тогда значатель в формуле (I-4) можно считать приближенно равным 1, а $tg \frac{\Delta \varphi}{2}$ можно заменить на $\frac{\Delta \varphi}{2}$. Тогда из (I-3) и (I-4) находится:

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi} \cdot tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right).$$

(I-5)

Формула (I-5) показывает, что функция $tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)$ действительно обладает важным свойствам: малые приращения этой функции пропорциональны значению самого функции.

Найдем коэффициент пропорциональности в формуле (I-5). Так как радиус круга шипоты равен

$$r = R \cos \varphi,$$

то длина дуги $ON$ составляет (см. рис. 3)

$$ON = R \theta \cos \varphi.$$

Здесь $R$ – радиус сферы. Аналогично, длина дуги $OA$ равна

$$OA = R \Delta \varphi.$$

Так как в треугольнике угол $\angle AON = \frac{\pi}{2}$, то для тангенса угла $\alpha$ можно записать

$$tg \alpha = \frac{R \theta \cos \varphi}{R \Delta \varphi}.$$

Из этого соотношения находится $\frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi}$ в формуле (I-5):

$$\frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi} = \theta \text{ ctg } \alpha.$$

34

Решения задач этого номера можно посылать не позднее 1 февраля 1973 года по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач Вы посылаете, например: «Задачик «Кванта» М176» или «…Ф198».

Решения задач по каждому из предметов — математике и физике, — а также новые задачи просылать в отдельных конвертах.

Оргинальные задачи, предлагаемые для публикации, присылайте вместе с Вашими решениями этих задач (на конверте помещите «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).

Значком * отмещены более трудные задачи.

Задачи

M176. К какой стороны треугольника ABC близке всего расположена точка пересечения его высот, если $A < B < C$? А к какой вершине?

Л. Шнайдер, ученца 9 класса

M177. Найдите все решения уравнения

$$\sqrt[n]{x^n - a^n} + \sqrt[n]{2a^n - x^n} = a,$$

где $a$ — заданное вещественное число, $n$ — натуральное число, большее единицы.

T. Темиров

M178. Опустим из любой точки $P$ bicсектрисы угла $A$ треугольника ABC перpendикulares $PA_1, PB_1, PC_1$ на его стороны BC, CA и AB соответственно. Пусть $R$ — точка пересечения прямых $PA_1$ и $B_1C_1$. Доказите, что прямая $AR$ делит сторону BC пополам.

M179. Для каждой не прямого треугольника $T$ обозначим через $T_1 = H(T)$ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника $T_1$; через $T_2 = H(T_1)$ — треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника $T_1$; пусть далее $T_3 = H(T_2)$; $T_4 = H(T_3)$, …

Какими должны быть углы треугольника $T$, чтобы

a) треугольник $H(T)$ был остроугольным?

b) в последовательности $T_1, T_2, T_3$, … встретился прямой треугольник $T_n$ (в этом случае $H(T_n) = T_{n+1}$ не определено)?

b) треугольник $T_3 = H(H(T))$ был подобен треугольнику $T$?

г)* Для каждой $n=1, 2, 3, ...$ укажите, сколько существует не подобных друг друг треугольников $T$, для которых $T_n$ подобен $T$.

H. В. Васильев

M180*. Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число $n$, а другой задает вопросы типа «верно ли, что $n \geq x$» (x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Какой возможный стратегии $T$ второго играса способствует функцию $f_T(n)$, равную числу вопросов (до отладивания), если было задумано число $n$.

Решения

В этом номере мы публикуем решения задач M135—M140

M135
Докажите, что для каждой натурального $n>1$ верно то жество

$$\sin x \sin \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \sin \left( x + \frac{2\pi}{n} \right) \times \cdots$$
$$\cdots \times \sin \left( x + \frac{(n-1)\pi}{n} \right) = c_n \sin nx,$$
где $c_n$ — некоторое число (зависшее от $n$), и найдите $c_n$.

Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. $$\sin nx = \sin x \cdot A_n (\cos x),$$
еде $A_n (x)$ — некоморный многочлен степени $(n-1)$ с первым коэффициентом $2^{n-1}$, $$\cos nx = B (\cos x),$$
еде $B_n (x)$ — некоморный многочлен степени $n$ с первым коэффициентом $2^{n-1}$.

Ясно, что при $n=1$ утверждение леммы верно. Пусть оно верно для $n=k$. тогда

$$\sin (k+1) x = \sin x \cdot \cos kx + \cos x \cdot \sin kx = \sin x \cdot \left( B_k (\cos x) + \cos x \cdot A_k (\cos x) \right);$$
$$\cos (k+1) x = \cos x \cdot \cos kx - \sin x \cdot \sin kx = \cos x \cdot B_k (\cos x) + \left( \cos^2 x - 1 \right) A_k (\cos x).$$

Позотому ясно, что $A_{k+1} (x) = B_k (x) + x A_k (x)$ и $B_{k+1} (x) = x B_k (x) + \left( x^2 - 1 \right) A_k (x)$ — многочлены с первым коэффициентом, равным сумме первых коэффициентов многочленов $A_k (n)$ и $B_k (n)$, — то есть с первым коэффициентом, равным $2^{k-1} + 2^{k-1} = 2^k$. Лемма доказана.

Положим $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \times \cdots \times \sin \left( x + \frac{\pi (n-1)}{n} \right)$. Струппирум попарно члены вида $\sin \left( x + \frac{\pi i}{n} \right)$ и $$\sin \left( x + \frac{\pi (n-i)}{n} \right),$$ где $0 < i < \frac{n}{2}$.

Если $n$ четно, то в произведении остатся еще член

$$\sin \left( x + \frac{\pi \frac{n}{2}}{n} \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x.$$

Преобразуем попарные произведения:

$$\sin \left( x + \frac{\pi i}{n} \right) \cdot \sin \left( x + \frac{\pi (n-i)}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( -\cos (2x + \pi) + \cos \left( \frac{2\pi i}{n} - \pi \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \cos \frac{2\pi i}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cos^2 x - 1 - \cos \frac{2\pi i}{n} \right) = \cos^2 x - d_i,$$
где $d_i$ — некоморые constants.

Итак, $f(x) = D_n (\cos x)$, где $D_n (x)$ — некоморный многочлен степени $(n-1)$ с первым коэффициентом 1.

Нам осталось доказать, что $A_n (x) = 2^{n-1} D_n (x)$ (в частности, отсюда будет следовать, что константа $c_n$ в условиях задачи равна $\frac{1}{2^{n-1}}$).

Воспользуемся для этого теоремию о том, что многочлен степени $k$ имеет не более $k$ различных корней. (Ниже мы напомним, как она доказывается.)

37

Рассмотрим многочлен $F(x) = A_n(x) - 2^{n-1}D_n(x)$. Его степень меньше, чем $(n-1)$, так как коэффициенты при $x^{n-1}$ у многочленов $A_n(x)$ и $2^{n-1}D_n(x)$ равны. Значит, либо $F(x)$ тождейственно равен 0, либо $F(x)$ имеет меньше, чем $(n-1)$ корень.

Рассмотрим точки $x_1 = -\frac{\pi}{n}, x_2 = -\frac{2\pi}{n}, \ldots, x_{n-1} = -\frac{\pi(n-1)}{n}$ и путь $t_i = \cos x_i$. Ясно, что $f(x_i) = 0$, и потому $D_n(t_i) = 0$; кроме того, $\sin(n \cdot x_i) = 0$, а $\sin x_i \neq 0$, — значит, $A_n(\cos x_i) = A_n(t_i) = 0$. Заметим, что все точки $t_i$ различны так как cos $x$ возвращает на отрезке $[-\pi, 0]$.

Итак, многочлен $F(x)$ обращается в нуль в $(n-1)$ точке $t_1, t_2, \ldots, t_{n-1}$ и, значит, $F(x)$ тождейственный нуль. Таким образом, $A_n = 2^{n-1}D_n$, то есть

$$\sin x \cdot \sin \left(x + \frac{\pi}{n}\right) \times \cdots \times \sin \left(x + \frac{\pi(n-1)}{n}\right) = \frac{1}{2^{n-1}} \sin nx.$$

Напомним теперь, как доказывается, что у многочлена степени $k$ не более $k$ корней. Для $k = 1$ это очевидно. Пусть это утверждение верно при $k = l-1$ и путь $P(t) = a_l t^l + a_{l-1} t^{l-1} + \ldots + a_1 t + a_0$ — многочлен степени $l$ ($a_l \neq 0$). Пусть $\alpha$ — корень многочлена $P$ (если у $P$ нет корней, то все доказано): $P(\alpha) = a_l \alpha^l + \ldots + a_0 = 0$. Поэтому $P(t) = P(t) - P(\alpha) = a_l (t^l - \alpha^l) + a_{l-1} (t^{l-1} - \alpha^{l-1}) + \ldots + a_1 (t - \alpha).$ Легко проверить, что $t^l - \alpha^l = (t - \alpha)(t^{l-1} + \alpha t^{l-2} + \alpha^2 t^{l-3} + \ldots + \alpha^{i-2} t + \alpha^{i-1}).$ Поэтому $P(t) = (t - \alpha)[a_l (t^{l-1} + \ldots + \alpha^{l-1}) + a_{l-1} (t^{l-2} + \ldots + \alpha^{l-2}) + \ldots + a_1] = (t - \alpha) H(t)$, где $H(t)$ — неокторный многочлен степени $l-1$.

По предположению $H(t)$ имеет не более $(l-1)$ корня. Значит, $P$ имеет не более $l$ корней ($\alpha$ и корни многочлена $H(t)$).

Наште утверждение доказано для всех $k$.

И. Н. Берништейн

M136

Можно ли увеличить из каменоломни 50 камней, веса которых 370 ке, 372 ке, 374 ке, …, 468 ке (все составляют арифметическую прогрессию с разностью 2 ке), на семи трех конах?

Ответ: нельзя.

Если бы камни удалилось увеличить, то на какую-то трехонку пришлось бы положить 8 камней, но даже 8 самых легких камней весят

$$370 + 372 + 374 + 376 + 384 + 382 + 380 + 378 = 4.754 = 3016$$

килограммов — большие трех тонн.