Квант 1973, №4 · Страницы

КЕАНТ
1973
4
Научно-популярный
физико-математический
журнал
12
АПРЕЛЯ
1961

1

Главный редактор — академик
И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора — академик
А. Н. Колмогоров
Редакционная коллекция
Л. А. Арцимович,
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
И. Н. Бронштейн,
Н. Б. Васильев,
И. Ф. Гинзбург,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
А. И. Климанов
(елавный художник),
С. М. Козел,
В. А. Лешковцев
(зам. елавного редактора),
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
М. Д. Миллионщиков,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,
М. Л. Смолянский
(зам. елавного редактора),
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
Т. М. Макарова
(художественный редактор),
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
Л. В. Чернова
(зав. редакцией).

Корректор А. Л. Иnamова
117071, Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15,
«Квант», тел. 234-08-11
Сдано в набор 5/1 1973 г.
Подписано в печать 21/II—73 г.
Бумага 70×100/18 Физ. печ. л.5.
Усл. печ. л.6,5. Уч.-изд. л.6,77.
Тираж 380 720 экз. Т-00766.
Цена 30 коп. Зак. 2516
Чеховский полиграфкомбинат Главполиграфпрома
Государственное комитета Соleta Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области

Руководи не возвращаются

Основан в 1970 году
1973
4

Научно-популярный физико-математический журнал
Академи наук СССР
и Академи педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы

В НОМЕРЕ:

2 А. Г. Нетужкин. К. Э. Циолковский в фотографиях
8 М. Л. Смолянский. Андрей Николаевич Колмогоров (к семидесятилетию со дня рождения)
12 А. Н. Колмогоров. О профессии математика
19 В. И. Кузнецов. Часы на миллиарды лет
24 В. Г. Болтянский. О врашении отрезка
30 Л. С. Хренов. Задча Потенота
35 Н. Б. Васильев, Г. А. Гальперин. Упаковка квадратов

Математический кружок
38 Б. А. Кордемский. Эгому виду задач более 1600 лет

Лаборатория «Кванта»
42 В. В. Майер, Р.-Э. Е. Шафир. С какой скорость движутсяоны?

Задачник «Кванта»
43 Задачи М196—М200; Ф208—Ф212
46 Решения задачи М156—М159; Ф176—Ф177

Практикум абитриента
52 И. А. Смоляров. Переход от одной системы единиц к другой
57 В. П. Лебедев. Некоторые задачи на прогрессии
60 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
64 В. Л. Клюшин. Университет других нааров имени Патриса Лумутмы

Рецензии, библиография
65 И. Зорич. Симметрия в природе
66 А. Макуха. В издательстве «Вища школа»

Информация
67 В. А. Лешковцев. Государственные premii 1972 года

«Квант» для младших школьников
70 Задачи
71 А. Д. Бендукидзе. О простых числах
73 Ответы, указания, решения
80 Уголок коллекционера
В. А. Рудов. Марки, посвязывание Ю. А. Гагарину

Смесь. (стр. 11, 29, 34, 45, 56, 59, 63)

Фотографика, помещенная на второй странице обложки, сделана в zorax Кавказа. Обжавшись с слономых пород позволют судить об эволюции земной коры, отражают различные этапы ее образования. О радиоактивных методах определения абсолитного возраства Земли вы можете узнать, прочитав статью В. Н. Кузнецова «Часы на миллиарды лет» (стр. 19). Фото Г. И. Акохина.

На снимке, сделанном в мае 1932 года, дом, где живел Константин Эдуардович почти 30 лет. Сейчас здесь мемориальный дом-музей К. Э. Циolkовского.

Константин Эдуардович в кругу своей семьи. Снимок сделан в мае 1932 года в саду дома К. Э. Циolkовского в Калуте.

К. Э. Циolkовский в своей кабинете. Апрель 1930 года. (фото внизу справа).

К. Э. Циolkовский в возрасте 5—6 лет.

В 1887 году К. Э. Циолковский сделал доклад об основных принципах создания и полета целымometалического эзростата в Московском обществе любителей естественногоания. Среди службыелей доклада были профессора Н. Е. Жуковский и А. Г. Столетов.

На снимке К. Э. Циолковский у модели металлического дрижабля — одного из своих первых крупных изобретений. Этот снимок сделан летом 1914 года в саду дома Циолковского самим Константином Эдуардовичем.

К. Э. Циолковский вел широкую переписку. Его корреспондентами были и юные школьники, и мастерские ученые, и знаменитые писатели. На снимке, сделанном в мае 1932 года, К. Э. Циолковский рассматривает журнал «Красная стрела», который прислал ему друг Маяковского, поэтому и художник Д. Бурлюк. Этот прогрессивный журнал, издаваемый в 30-х годах в США Д. Бурлюком, правиво освещал жизнь Советской России. В присланном номере журнала были помещены материалы о Циолковском.

Константин Эдуардович любил работать, сидя в старом удобном кресте, пользоваться вместе стола небольшой дощечкой. Писал он простым черным карандашом обычно на школьных тетрадях. На стене — любимые карманные часы К. Э. Циolkовского, служившие ему хронометром во время опытов.

К. Э. Циolkовский в своей мастерской, рядом с ним К. Н. Алтайский, секретарь редакции Калужской губернской газеты «Коммуна». Мастерская ученого нахождения в его доме, рядом с кабинетом. У окна токарный станок с ножным приводом, на колором работал К. Э. Циolkовский.

Еще в девятилетнем возрасте, в результате осложнения после скаратинны, К. Э. Цилковский потерял слух. С годами более програссировала, и Константин Эдуардович вынужден был пользоваться собственному сделанной служовой трубоей. Принимая посетитель, он просил говорить, не повышая голоса, так как этот рупор хорошо усиливал звук.
На этом сниме — Константин Эдуардович Цилковский во время приема посетителя.
На коленях дошечка с бумагоей. Цилковский любил во время разговора посягать сказанное рисуком, чертежом, расчетом. На заднем плане на полу видны связки брошюр Цилковского, полученные из типографии.
Вот название некоторых его работ:
«Механика животного организма» (1885 г.),
«Реактивный прибор как средство полета в пустоте и атмосфере» (1910 г.),
«Причина космоса» (1925 г.),
«Сопротивление воздуха и скорый пoeзд» (1927 г.),
«Давление на плоскость прие нормальном движении в воздухе» (1929 г.),
«Стратоплан полуреактивный» (1932 г.).

8

Андрей Николаевич Колмогоров
(к семидесятию со дня рождения)

25 апреля 1973 года исполняется семьдесят лет одному из самых выдающихся современных математиков — Герою Социалистического Труда, академику Андрею Николаевичу Колмогорову.

Интерес к математике возник у А. Н. Колмогова рано. Уже в пятилетном возрасте он самостоятельно с изучением обнаружил, что
$$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2n + 1) = n^2.$$
В старших классах средней школы у него преобладали другие интересы, в частности, к русской истории.

К математике он вернулся только в студенческие годы и уже на всю жизнь. Поступить в университет в 1920 году было легко, но занимается — гораздо труднее. Это были головные годы; лекции читались в аудиториях, где температура была ниже нуля. Большим благом считалось то, что, начиная со второго курса, каждый студент получал в месяц 16 кг хлеба и 1 кг масла.

Под влиянием lekций академика Н. Н. Лузина, А. Н. Колмогов нацелл самостояльную научную работу, построив в 1922 году весма общую «теорию операций над множеством», не потерявшую значения и в нашей дни. В студенческие же годы (1920—1925) А. Н. Колмогов занимался теории трионометрических рядов и решил, в частности, весма трудную проблему сходимости рядов, построив впервые пример всуду расходящого ряда Фурье.

В 1922—1925 годах параллельно с занятиями в университете Андрей Николаевич преподавал в опытно-по-

9

казательной школе Наркомпроса РСФСР в Потыlixе, на теперьхних Ленинских горах. Вначале он поступил в эту школе, чтобы заработать на жизнь, так как студенческий стилей в те времена было недостаточно, но работа захватила его. Работая в школе, А. Н. Колмогоров был секретарем школьного совета, руководил биологическим кружком и даже был старшим в школьном пешем положде по Крыму. Жизнь в потыlixинской школе имела для Колмогоров большое значение еще и потому, что там прощевали физкультурные секции, а Андрей Николаевич до двадцати лет даже не умел плавать. Теперь он решил наверстать упущенное и достиг некоторыех, хотя и скромных, успехов в плавании, ходьбе на льжах, гребле.

Школа на всю жизнь привила А. Н. Колмогорову любовь к педагогической работе. Вероятно, этим и объясняется то, что в дальнейшем Колмогоров занялася составлением школьных учебников, организованал школьинтернат при МГУ и т. д.

Поступление в аспирантуру в те годы для не обремененного семьей молодого человека ознакомло полную свободу от понков заработка. С 1925 года Колмогоров основные силы направляет на научную работу, соединяя ее с преподаванием вузах, главным образом в Московском университете, где в 1931 году становится профессором.

Это были годы, положившие наало плодотворной научной работы, не ослабшей и до наших дней. Именно в это время Андрей Николаевич создает свои основные работы в области теории вероятности, топологии и механики.

Наши читатели, чувствующие себя способными хоть в некоторых стеени разобраться в содержании работ Колмогорова, могут обратиться к юбилейным статьям, опубликавным в журнале «Успех математических наук» в 1953 и 1963 годах *).

*) Успех математических наук, VIII, вып. 3 (1953), 177—200; VIII, вып. 5 (1963), 115—120.

10

по вопросам, связанным с функциями многих переменных; Б. В. Гнеденко, Ю. В. Просоров, С. Х. Сираджинов — ведущее советские исследователь по теории вероятности, основной специализности А. Н. Колмогорова в математике.

Занимающиеся научной работы математики сравнительно мало времени проводят в службных кабинетах научных институтов, научное общественное международным проискодит и дома, и на протяжении и во время отпуска, и в туристических путешествиях. Много тысяч kilометров А. Н. Колмогоров пропыллел на парсных и гребных лодках и байдарках со своим ближайшим другом, академиком П. С. Александровым, и с учениками разных поколений.

Проблемы педагогики занимают в жизни А. Н. Колмогорова весма значительное место. Он не мыслит своего творчества в отрыве от подбора и воспитания учеников, от передачи им своих знаний и научных идеи. Для него работа с молодежью, создание научных школ и направления является неотъемлемой и естественной частью его собственных научных исследований. Вопросы воспитания научной смены, выбор условий, при которых математические способности не подавлялись бы, а получали стимул к развитию, постоянно волнуют Андрея Николаевича, и этой важной проблеме он посвятил много устных и письменных выступлений. С этим связано его активное участие в проведении школьных математических олимпiad, выступления перед школьниками с рассказами об идеях и результаты математической научки. Об этом же рассказывает известная брошора А. Н. Колмогорова для школьников и преподавателей «О профессии математика», выдержавшая несколько изданий и выпущенная тиражом во много тысяч экземпляров.

В нашей знание математики перестало служить лишь целым общего развития и приобретения навыков элементов расчетов: для многих молодых людей, оказивающих среднюю школа, математика стала одним из важнейших орудий повседневной работы. Вот почему Андрей Николаевич отстаивает тот теисс, что умело применение математических сведений возможно лишь тогда, когда они не только закрепились в памяти, но условия творчества. Вопросные в жизни этого замыслла предъявляет определенные требования к тем, кто его будет осуществлять. Действительно хорошо преподавать математку может только человек, который сам его увлечен и восприняется ее как живую, развивающийся научу. Вероятно, многие учащиеся средней школе знают, насколько увлекательной, а, благодаря этому, легкой и доступной становится математика у таких преподавателей.

Воспитание математического стиля мышления необходимо не только тем, кто впоследствии становится математиком, но и тем, кто выберет для себя профессию физика, инженера, экономиста или какую-либо иную из многих других. Некоторые идеи по этому поводу были высказаны А. Н. Колмогоровым в статье «Поиск таланта» («Известия» № 83 (14246), 6.4.1963). Важнейший вопрос, стоящий перед современным преподаванием, — что и как преподавать — глубоко интересует А. Н. Колмогорова. Еще перед Великой Отечественной войной он выступил с рядом статей о преподавании алгебры в средней школе и написал совместно с П. С. Александровым первого части учебника алгебры.

11

Введущаяся в настоящее время перестройка школьного образования происходит под непосредственным руководством А. Н. Колмогорова. Им или под его редакцией выпущен ряд стабильных и пробных учебников для средних школы.

В последние дваяты лет заметное место в деятельности А. Н. Колмогорова занмает научное руководство школьной интернатом при Московском университете и преподавании в нем. Сейчас бышше ученики этой школы уже кончают ассирантру, защищают кандидатские диссертации и публикуют больше число отличных научных работ.

Советское Правительство высоко оценило большое заслуги А. Н. Колмогорова как ученого и общественного деятельности, присудив ему Ленинскую премию (совместно с его учеником В. И. Арнольдом), Государственный премию, нагradило его четырьмя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и медалими. В 1963 году Андрею Николаевич Колмогорову было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

С 1970 года, со дня образования нашего журнала, Андрей Николаевич являлся бессменным руководителем математического отдела «Кванта». Коллектив редакции сердечно поздравляет замечательного ученого со слабым юбилеем.

М. Л. Смолянский

Признаки делимости

На 61. Зачеркнем последнюю цифру данного числа и относим от полученного числа шестериную вычеркунтую цифру. Проделаем эту операцию несколько раз, при этом мы будем получить все меньшие числа. Если на некотором этапе получится нуль, то исходное число делится на 61, а если не получится, то не делится.

Пример. Делится ли на 61 число 752886?

752886—6×4=752862
75286—6×2=75274
7527—6×4=7503
750—6×3=732
73—6×2=61
6—6×1=0.

Ответ: делится.

На 59. Зачеркнем последнюю цифру данного числа и прибавки к полученном числу шестериную вычеркунтую цифру. Проделаем эту операцию несколько раз, опять числа будут последовательно уменьшаться. Но теперь, если на некотором этапе получится 59, то исходное число делится на 59, а если не получится, то не делится.

Пример. Делится ли на 59 число 728355?

72835+6×5=72865
7286+6×5=7316
731+6×6=767
76+6×7=118
11+6×8=59.

Ответ: делится.

Попробуйте доказать эти признаки делимости и обобщить их на другие процессы двузначные (а может и многозначные) числа.

В. М. Розентулер

12

О профессии математика

Ниже мы публикуем выдержки из широкого известной брошюры А. Н. Колмогорова «О профессии математика» *)
Публикацию подготовили М. Смолянский и Т. Кислова

1. Значение математических методов в таких науках, как механика, физика или астрономия, хорошо известно. Также всем известно и то, что математика необходимо в практической работе инженеров и техников. Элементарные знания по геометрии, уменные пользоваться буквенными формулами необходимо почти каждому мастеру или квалифицированному работему. Но менее ясным для многих является вопрос о том, что значит имеет специальное математика и занимается самой математикой в качестве основной профессии.

Очень многое представляют себе дело так, что в учебниках и математических справочниках собрано уже волне достаточного формул и правил для решения всевозможных встречualшихся на практике математических задач. Далее очень образованные люди часто справывают с недоумением: разве в математике можно сделать что-либо новое?

Позмоту и математика иногда представляют себе как скучного человека, вычившего больше число формул и теорем, и считают, что его задача состоит в том, чтобы заученные, готовые знания передать другим.

Во всем этом верно только то, что математические сведения, сообщаемые в средней школе и на первых ступенях изучения математики в высшей школе, добавы человеком давно. Но даже и эти простейшие математики

*) А. Н. Колмогоров. О профессии математика. М., Издательство МГУ, 1959.

чесные сведения могут применяться умелю и с пользованием творческих так, что учащся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно. От предложателя математики и в высшей и в средней школе требуется не только творое знание предложаемой им науки. Хорошо предложать математку может только человек, который сам его увлечен и восприняет ее как живую развивающуюся наук. Вероятно, многие учащся средней школе знают, наколько увлекательной и, благодаря этому, легкой и доступной становится математика у таких предложателей.

Еще в большей степени самостоятельность и способность по-новому подойти к математической формулировке задания необходимы тому, кто применяет математку в решении технических проблем. Это относится к работе каждого инженера. Но так как требуются при этом математические знания и способности имются не у всех, то большинство наших научно-исследовательских технических истититов и даже неокоторые крупные заводы стали успешно привлекать специалистов-математиков для работы вместе с инженерами над техническими проблемами.

Ошибочный является представление о математике как о науке законченой, раз наседда построенной в своих теоретических основах. В действительности математика обогащается совершенню новых теории и перестраивает в ответ на новые запросы механики (нелинейные колёс

13

баня, механика сверхзвуковых скоростей), физики (математические методы квантовой физики) и других смежных наук. Кроме того, и в недрах самой математики после накопления большого числа разрозненных специальных задач, решенных частиными приемами, создаются новые общее теории, освещающие эти задачи с иных точек зрения и позволяющие решать их однозобrazными методами. Например, методы возникающего на наших глазах «функционального анализа» относятся к математическому анализу (который был создан еще в XVII—XVIII вв. и преодается во всех высших технических заведениях) примерно так, как относится алгебра к арифметике. Так называемые «операторные методы» функционального анализа уже нашли широкое применение в современной физике и технике.

В настоящее время особенно не хватает математков, способных руководить большими вычислительными работами.

Имеется много задач, в которых для получения числового результата требуют вычисления, преосходящие возможность одного человека. Расчет упругих напряжений в плотных, фильтрация воды под плотными, сопротивлением, испытываемых самолетами при полете, или траекторий снарядов — вот типичные примеры таких задач. Уже давно при научных институтах, проектных организациях и заводах, нуждающихся в решении подобных задач, стали возникать вычислительные бюро со многими десятими инженеров-вышистелей, оборудованные арифметрами и вычислительными автоматами, требующими для выполнения арифметических действия над многозначными числами лишь набора их при помощи клавиш и нажатия соответствующей кнопки (+, —, ×, :). Однако современные наука и техника стalkиваются с таким задачими, которые при этом уровень организации вычислительных работ требуют многох месяцев, а иногда и лет работы десятиков вычислительной. Такое положение вызвало бурное развитие современной «машинной математики».

Конструирование и обслуживание современных вычислительных машин превращались в широкое инженерное специализности, которые студенты получают на соответствующих отделениях техническихузов. Для работы в вычислительных бюро старого типа или для введения данных в современную вычислительной машину достаточно общего среднего образования и полученного производства обучения. Для того чтобы довести решение математических задачи до этапа, после которого они могут быть переданы в вычислительное бюро или на вычислительное машину для получения численных результатов, необходимо много людей с глубокими математическими знаниями.

Теория «вычислительных методов» математики развилась сейчас в большую науку, и потребность в специализах, владеющих этим методами, с развитием «машинной математики» возрастает. Перед нами возникают своеобразные задачи «программирование», то есть приведения процесса вычисления к виду, допускающей ему полную автоматизацию решения задачи определенного типа на машинах.

2. Как и всякая наука, математика требует прежде всего творного знания того, что по исследуемому вопросу уже сделано. Но не следует думать, что в математике труднее, чем в других науках, добаваться до возможности сделать что-либо новое. Опыт говорит скорее о другом: способные математики, как правило, начинают самостоятельные научные исследования в очень молодом возрасте. Если математические открытия, сделанные в 16- или 17-летнем возрасте, являются все же исключениями, совпадающими с особой тщательностью в получарных книгах по истории математики, то начало серbezной научной работы в 19—20 лет на средних курах университетов достаточно т

14

пично для биографий многих наших ученых. Академик С. Л. Соболев в 1933 году в возрасте 25 лет был уже избран членом-корреспондентом АН СССР. В 1953 году членом-корреспондентом АН СССР стал 25-летний математик С. Н. Мергелян.

Конечно, широта постановки задач приходит обычно несколько позднее, но при решении отчетливо поставленных трудных конкретных задач современмое молодые люди часто с успехом совершают со сложившимися известными учеными.

В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной. Поэтому вовсе не существует непроходимой стены между самыми новыми и трудными оригинальными математическими исследованиями и решением задачи, доступных способному и достаточно упорному начинаящему математики. Интересно с этой точки зрения прочитать некоторые главы из «Математический авторографии» знаменитого советского алгебраиста Н. Г. Чеботарева*, где автор излагает историю своих научных понятий, начиная с первых определению сказать, что наиболее успешным оно оказывается при условии, если математик не ограничивается роль исполнителя сделанного ему «заказа», а старается проникнуть в существующее научных и технических проблем. Специалисты по математической и теоретической физике, теоретической механике или теоретической геофизике могут подготовливаться двумя путими: начинать свое образование с изучения физики, механики или геофизики, или же сначала изучать математку на математических отделениях университетов, а потом основательно входить в ту или иную область применения математики.

Существует даже такая точка зрения, что второй путь дает лучшие результаты, то есть, что изучить на солидной математической основе аэромеханику, газового диаманку, сейчасмологию или диаманческую meteorologicalлегче, чем специализуру в какой-либо из этих областей воспользовать недостаток математической подготовки. Такое мнение можно считать слишком крайным и заметить, например, что хорошо выделение экспериментальной техники встречает у математков, перешедших на работу в какой-либо смежной области, лишь как редкое исключение. Но нельзя не признать, что из математков по образование вышло много крупнейших наших специалистов в смежных наукках.

Трудно отделить математку от механики и сейчасмологии в работе академиков М. А. Лаврентьева и С. Л. Соболева. В первую очередь как механики известны академики М. В. Кельыш, Л. И. Седов и чл.-кор. АН СССР Л. Н. Сретенский; как геофизики — члены-корреспонденты АН СССР А. Н. Тихонов и А. М. Обухов; как специализ по теоретической физике—академик Н. Н. Боголовов. Между тем все они окончили университеты в качестве математков.

Можно было бы указать много связанных с именами математков конкретных достижений в естественных и технических方面, которые оказались весом существования с непредсказывающим практическим сторонами.

3. Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преуvaluовать. В печатание исключительной трудности математики иногда создается ее положим, чрезмерно формаль-

15

ным изложением на уроке. Объчисных средних целовечских способностей вполне достаточно, чтобы при хорошем руководстве или по хорошим книгам не только усвоить математику в объеме средней школи, но и разобраться, например, в началх дифференциального и интегрального исчислении. Тем не менее, когда дело идет о выборе математики в качестве основной специализности, вполне естественно желание проверить «математическую одаренность». Ведь несомненно, что разные люди воспринимают математические расчудения, решают математические задачи или—на более высокой степени — приходит к новым математическим открытиям с разной скоростью, легкостью и упспехом. И, конечно, следует стремиться к тому, чтобы из миллионов нашей молодежи специализми-mатематиками становились именно те, кто в этой области будет работать наиболее успешно.

Позному содержание вывяжению математических одаренной молодежи является одной из важных задач школьных математических кругков, математических олимпiad и других мероприятий по пропаганде математических знаний и распространения интереса к самостоятельным занятиям математикой. Не следует спшить с чрезмерно ранним созданием для отдельных молодых людей репутации «математических талантов». Но вовремя подготовить способных математков в сторону выбора математики в качестве своей дальнейшей работы советом или премированием на оптимиде необходимо.

В чем же заключится эти способности? Следует прежде всего подчернуть, что успех в математике меньше всего основан на механическом запоминании большого числа фактов, отдельных формул и т.п. Хорошая память в математике, как и во всяком другом деле, является полезной, но никакой особенной, выдающейся память большимстрою кругпных ученых-mатематиков не обладало.

В частности, фокусники, заполняющие длинные ряды многозначных чисел и складывающие или переменная их в уме, совсем не могут служить примером лодей с хорошими математическими способностями в сервисном смысле слова.

Способность производить алгебраические вычисления, то есть умение преобразование сложных буквенных выражений, нахождение удачных путей для решения уравнений, не подходящих под стандартные правила и тому подобное, уже более соррикается с теми способностями, которые часто требуют от математика в сервисной научной работе.

Приято даже думать, что исключительно большое развитие таких вычислительных или, как иногда говорят, «алгоритмических» способностей, является характерным для одного из нескольких основных типов математической одаренности. Такого рода способности требуют, чтобы предолеть трудности школьной алгебры, и прежде всего — в разложении алгебраических выражений на множители.

Далее основной примениment это рода способностей становятся решение уравнений. Однако веде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые им们 пробелы геометрической наглядными. В средней школе достаточно ясно видно, насколько полезны графики для изучения свойств функций. Поэтому читатель не удивится утверждению, что геометрическое воображение, или, как говоря, «геометрическая интуция» играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых ответственных.

В школе обычно с большим трудомдается наглядное представление пространственных функций. Надо, например, быть уже очень хорошим математиком, чтобы, закрыв глаза, ясно представить себе, какой вид имеет пересечение поверхности куба с плоскостью, проходящей через центр куба и перпен-

18

Плотин больших электростанций, занимают места и даже годы работы специальных вычислительных бюро. Такое положение естественно привело к необходимости усовершенствовать машинную вычислительной технику. Прежде всего, наряду с обычными арифметическими, получили широкое распространение «мальные вычислительные машины», автоматически выполняющие четые арифметические действия над многозначными числами. Переменные двух восмизначных чисел занимает на такой машине сорок секунд.

При использовании этих машин вычислитель вынужден еще записьвать результаты каждой действия, потому вновь вводить их в машину. За последние двацать лет широко развернулсь работа по созданию «больших вычислительных машины», которые без вмешательства человека выполняют длиные ряды арифметических действия.

Программа работы такой машины задается перфолентой. Машина сама выполняет в указанном порядке арифметические действия, фиксирует процессующее результаты, использует их в дальнейших вычислениях и, наконец, выдает окончательный результат пробитим на ленте или карточек или даже отпечатным.

Сначала в подобных сложных вычислительных машинах использовались механические элементы типа колесиков объчного арифметера и электромагнитные реле, замыкающие и размыкающие ток, приводящей в движение элементы машины. Полный переворот в вычислительной технике производил около десяти лет назад, когда было показано, что возможно обойтись совсем без механического перемещения элементов машины, заменив их электронными лампами (дюдамми, триодами и т. д.) и их комбинациями (триггерами и т. п.). Благодая этому стало возможность произвольить, например, в одну секунду по несколько тысяч операций умножения многозначных чисел. Еще несколько позднее электронные лампы стали заменять получившийся элементами, имеющим значительное значение размеры; для «запоминания» большого числа промежуточных данных (до несколько сотен тысяч), были введены магнитные базы и т. д. Стало возможным делать вычисления, требующие например, 20 миллионов операций для предсказания по данным меторологических станций погоды на следующий день, вычислять траекторию снаряда за время, меньше времени его полета, и т. д.

Большие вычислительные машины иногда использовали специально строятся для какой-либо одной цели (например, для предсказания погоды), но чаще имеют универсальный характер, то есть предназначаются для решения самых разнообразных задач. В этом случае они размещаются в «вычислительных центрах», обслуживающих различные научные и технические учреждения, не имеющие собственных больших вычислительных машины. Часто вычислительные машины подключаются к приборам, управляющим автоматическим тем или иным процессом.

Если управление быстрою протекающим процессом требует сложных вычислений, основанных на данных, получаемых в ходе этого процесса, то без скоростей вычислительных машины подобная была бы вообще не осуществима. Сфера применения таких управляющих машины быстро растет.

Управляющие машины во многом похожи во управляющие механические элементы, возникшие естественно изучаются недавно возникшими научами: теорий информатии и кибернетикой, которые в значительной своей части являются математическими и предъявляют к чистой математике много новых запросов.

20

Рис. 1. Основная цепь радиоактивных превращений урана. По оси абсцисс отложено число нейтронов в ядре, а по оси ординат — число протонов (atomный номер элемента). Стрелки, направленные вниз, соответствуют процессу α-распада. В этом процессе atomное ядро испускает быстroe ядро геля (α-частиц), теряя два протона и два нейтрона. Стрелки, направленные вверх, обозначают β-распад. В этом процессе ядрон становится протоном и atomный номер увеличивается на единицу.

ного для измерения сроков порядка миллиардов лет, должен быть такое порядка величины. Лишь при этом условии радиоактивные atoms сохраняются в минерале до наших дней.

Первый процесс радиоактивного распада, который был использован для определения возраства минералов, — превращение изотопов урана в свинец.

Природный уран состоит из трех сортов atomов разной массы — изотопов $^{238}$U, $^{235}$U и $^{234}$U. Самый распространенный изотоп урана — $^{238}$U. В уране, выделенном из любой горной породы, на его долю приходится 99,3%.

Проследим за цепью радиоактивных превращений изотопа $^{238}$U

(рис. 1). Атомы $^{238}$U медленно превращается в atomы свинца ($^{206}$Pb) и геля ($^{4}$He). Требуется 4,5 миллиарда лет, чтобы поливна первоначально количество $^{238}$U перешла в свинец и геля. При этом происходит 14 радиоактивных превращений, в результате которых каждый распавшийся atom урана дает один atom стабильного свинца и восемь atomов геля:

$$\frac{238}{92}U \rightarrow 8_{2}^{4}He + \frac{206}{82}Pb + 6_{-1}^{0}e.$$

Если кусок плотной породы, например, граница, размолоть, получившийся порошок расторить в кислоте, выделить из расторя свинце и урана, а затем определить, сколько atomов изотопа $^{206}$Pb приходит на один atom $^{238}$U, то по этим данным можно определить возрасть гранитта. Обозначаим буквой $N$ число atomов урана, а $N_1$ — число atomов свинца $^{206}$Pb, содержащихся в минерале в момент анализа. Тогда $N_0 = N + N_1$ — число atomов урана в момент образования гранитта. (Мы считаем, что в граните весь свинц образовался из урана путем радиоактивного распада.) По закону радиоактивного распада

$$\frac{N}{N_0} = \frac{N}{N + N_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}},$$

где $t$ — возрасть гранитта. Логарифмиру это равенство, получаем формулу для вычисления возраства минерала:

$$t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln \frac{N_0}{N}.$$

При расчетах предполагалось, что в образце нет построенного свинца и обмен веществом с внешней средой исключен. Однако это не всегда так. Возникающий на пути превращений урана — свинце элемент радон принадлежит к группе благородных газов, и если изучаемый minerал недостаочно плотен, радон может улетучиться. Тогда количество atomов свинца в образце оказывается меньше, чем количество atomов урана, рас-

21

павшихся за время существования образца. При этом условия возраст минерала, вычисленный по формуле (1), будет меньше действительного. С другой стороны, в породе может находиться свинец, появившийся одновременно с другими элементами и попавший в минерал во время образования твердой земной коры. Такой свинец называют первичным. На лице первичного свинца приводит к завышению возраста горной породы. Поэтому для правильного определения возраста необходимо убедиться в том, что из минерала не утекал радон, и уметь определить долю первичного свинца в породе.

Свинец радиоактивного производства (радиогенный свинец) накапливается не только после распада изотопа $^{238}$U, но образуется и в результате радиоактивных превращений $^{235}$U и $^{232}$Th. Изотоп $^{206}$Pb — потокок $^{238}$U, а изотопы $^{207}$Pb и $^{208}$Pb замыкают цель распада $^{235}$U и $^{232}$Th соответственно.

В природном свинце содержится также легкий изотоп $^{204}$Pb, который не накапливается в целях радиоактивных превращений ни одного из природных радиоактивных элементов. Откуда взгляся «легкий» свинец? Ответ один — свинец с массовым числом 204 образователься одновременно с другими элементами на Земле.

Изотопный состав свинца без радиогенных примесей был определен при анализе железных meteoritов. В таких meteoritах нет урана и тория — источников радиогенного свинца. Метеоритный свинец на одну часть изотопа $^{204}$Pb содержит 10 части $^{206}$Pb, 10 части $^{207}$Pb и 29 части $^{208}$Pb.

Изотопный анализ позволяет по количеству изотопа $^{204}$Pb оценить количество первичного свинца в горной породе. Так, если в свинце отсутствует изотоп $^{204}$Pb или содержится небольшая доля его, то практически весь свинец радиогенного производства.

Первые изменения возраста минералов и Земли радиоактивными методами должны значительное значение, чем принять в наши дни. Ошибки, по-видимому, включаются из-за диффузии радиона.

В дальнейшем были получены более точные значения возраста не только благодаря совершенствованию свинцово-уранового метода, но и за счет развития других способов. Данные считаются в поле надежными, когда ответы, полученные разными путем, совпадают. К счастью, изотопы урана — не единственный набор atomных ядер с периодом полураспада, созмерным с дительностою геологических эр. В таблице приведены другие радиоактивные изотопы, позволяющие осуществлять взаимную проверку возраста минералов.

В природном калии в небольших количеств радиоактивный изотоп $^{40}$K с периодом полураспада 1,3 миллиарда лет. Объчно ядро $^{40}$K испускает электрон и пре-

Название метода (изотоп)	Измеряемый возраст (лет)	Перiod полураспада (лет)
Радиоуглеродный ($^{14}$C)	От 100 до 50 тысяч	5570
Калиево-аргонный ($^{40}$K)	Свыше 100 тысяч	1,3·10^9
Рубиднево-стронцевый ($^{87}$Rb)	Свыше 5 миллионов	5,0·10^10
Свинцово-урановый ($^{238}$U)	Свыше 200 миллионов	4,5·10^9

22

Рис. 2. Радиоактивный распад изотопа $^{40}$K.

вращается в кальций. Отличить наконпившийся в горных породах радиогенный кальций от первичного невозможного. Однако таким образом распадается 89% изотопа $^{40}$K, а 11% распадается другим путем, испытывая, как говоря физики, $K$-захват. Процесс $K$-захвата состоит в том, что atomное ядро захватывает орбитальный электрон и становится ядром элемента, атомный номер которого на единицу менше. Так, $^{40}$K переходит в изотоп аргона $^{40}$Ar (рис. 2).

Исследования минералов показали, что в некоторых породах, например в слюде, аргон сохраняет без потерь миллиарды лет. Первичный аргон при образовании земной коры «выкипел» в атмосферу, поэтому в минералах содержится только радиогенный аргон.

Таким образом, выделив аргон из слюды, содержащейся в граните, можно определить возрастат, полученный свинцово-урановым способом.

Перiod полураспада изотопа $^{40}$K можно определить с помощью счетчика бета-частиц и обыкновенных часов, число atomов $N$ — в результате химического анализа. Величина $N_0$ равна $N + N_p$, где $N_p$ — число atomов $^{40}$K, распавшихся за время существования гранита. $N_p$ можно вычислить, если известно число atomов аргона, содержащихся в слюде.

Обозначим это число буквой $A$. Тогда $N_p = \frac{A}{0,11}$ (так как на долю превращений калией — аргон прихождения 11% от полного числа распадов радиоактивного изотопа калия). Следовательно, $N_0 = N + \frac{A}{0,11}$. Подставив это выражение в формулу (1), получим

$$t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \ln \left(1 + \frac{A}{0,11}\right).$$

Большой интерес представляют также рубидево-стронцевые радиоактивные часы. Изотоп рубидия $^{87}$Rb радиоактивен и испускает бета-частицы, переходя при этом в изотоп стронция $^{87}$Sr. В естественном рубидии содержится 28% радиоактивного изотопа. Приципоп определяния даетрожения минералов рубидево-стронцевым методом оценки прост. Химическая анализом определяется полное количество рубидия, а затем содержание изотопа $^{87}$Sr. После таких процесур выполняются расчеты по формулам радиоактивного распада.

Все методы, о которых мы расскаали, относятываются возрастим минералов с момента их кристализации. Только в твердых телах продукты радиоактивного распада остаются рядом с материнским ядрами. В жидком расплаве atoms свободно перемешиваются, а поскольку химические свойства вещества, состоящего из дочерних ядер, отличаются от свойств материнского вещества, дочерние продукты концентрируются в других местах.

Как правило, древнейшие породы залегают под громадными толщами отложений. Лишь в некоторых районах они выходит близко к поверхности. На Колыском получове исследована гранитная плита, вещество которого затвердело 3,4 миллиарда лет назад. Это один из древнейших минералов Земли. Если к возрасту кольской плиты прибавить время, необходимо для образования на Земле твердой коры, то полный возраст Земли получится близким к пяту

24

О вращении отрезка

В. Г. Болтянский

1. Ясно, что отрезок длины 1 может совершить полный оборот, все время нахождения в фигуре площади π/4, а именно в круге диаметра 1 (рис. 1). А не может ли отрезок длины 1 совершить полный оборот, движясь в фигуре меньшей площади? На первый взгляд это кажется маловерятным: похоже, что круг диаметра 1 является наиболее «экономной» (в смысле площади) фигурой, в котором отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Однако это неверно!

В 1918 году А. С. Безикович доказал, что существует фигура сколь годно малой площади, движясь в котором отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Точнее говоря, если мы зададим любое положительное число ε (например, ε = 0,000001), то сложем построить фигуру площади ε, внутри которого может совершить полный оборот отрезок длины 1. Безикович предложил простые геометрические идеи, с помощью которых можно доказать этот удивительный факт. Однако для того, чтобы превращать эти идеи в полное доказательство, ему пришлось proveсти довольно громоздкие вычисления, так что все рассуждание в целом оказалось сложным (доказательство, похоже на доказательство Безиковича, приведено на стр. 258—263 книги И. М. Яглома и В. Г. Болтянского «Выпуклы фигуры»).

Не так давно академик И. М. Виноградов расссказал мне короткое и элегантное доказательство этой теоремы. Это доказательство он придумал сразу же после того, как Безикович расссказал ему о своей теореме, однократно печатать его на стал. С любезного согласия И. М. Виноградов я приведу здесь его доказательство.

2. Прежде всего рассмотрим геометрические идеи А. С. Безиковича.

Ясно, что достаточно построить фигуру маленькой площади, внутри которого отрезок длины 1 можно повернуть на угол 60°: прикладывая тогда друг к другу три такие фигуры, получим фигуру, внутри которого можно будет повернуть отрезок на угол 180°.

Поворот отрезка длины 1 на 60° можно совершить внутри равностороннего треугольника с высотой 1 (рис. 2). Разрежем теперь этот треугольник высотой на две части и наложим эти части друг на друга. Внутри получившейся фигуры (рис. 3) можно отрезок AB повернуть в положение AC; кроме того, отрезок DE, параллельный AC, можно повернуть в положение DF. Но переместить отрезок AB в положение DF в этой

25

виим к фигуре, изображенной на рисунке 3, отрезки $AH$ и $DH$ и сектор радиуса 1 с центром $H$, как показано на рисунке 4. В полученной фигуре уже можно будет повернуть отрезок из положения $AB$ в положение $DF$: надо будет из положения $AC'$ сдвинуть отрезок вдоль $AH$ в положение $HK$, затем повернуть его внутри сектора в положение $HL$, а потом сдвинуть вдоль $HD$ в положение $DE$.

Что же мы получили в результате? Площадь фигуры, изображенной на рисунке 3, существует меньше площади первого равностороннего треугольника (так как две половинки этого треугольника перекрывают). При переходе же от рисунка 3 к рисунку 4 мы добавляем лишь отрезки $AH$, $DH$ (они имеют нулевую площадь) и сектор с центром $H$, причем площадь этого сектора можно сделать как угол малой (нужно лишь точку $H$ взять далеко, чтобы угол $AHD$ был маленьким).

А что если разрезать равносторонний треугольник не на две, а на четыре части (рис. 5)? Тогда, производа параллельные перености этих частей (чтобы они перекрывались), мы получим фигуру (рис. 6), в которой можно отрезок длины 1 повернуть на угол $15^\circ$, затем, «перепрыгнуть» в параллельное положение, повернуть еще на $15^\circ$, потом еще и еще на $15^\circ$. А так как «прыгать» нашему отрезку не разрешается, то придется, как и на рисунке 4, добавить отрезки и секторы (рис. 7). В фигуре, изображенной на рисунке 7, отрезок длины 1, непрерывно перемещаясь, может повернуть на угол $60^\circ$. При этом сумму площадей добавленных секторов можно сделать как угол малой (надо лишь взять точки $H_1$, $H_2$, $H_3$ достаточно далеко). В то же время площадь фигуры, изображенной на рисунке 6, значительное меньше площади исходного равностороннего треугольника, поскольку четыре части, на которых разрезан этот треугольник, многократно перекрывают.

Теперь становится понятьим общее направление доказательства: надо

26

ми этими частями, имея площадь, меньше чем ε, где ε — данное положительное число.

3. Изложенные сообщения, однако, вовсе еще не дают доказательства. Это только направление, в котором следует его искать. Самое трудное впереди: надо придумать, как следует сdvигать части, чтобы за счет многоократных перекрытий получалась фигура достаточно малой площади. Способ сdvигта части и подсчета площади, предложенный И. М. Виноградовым, состоит в следующем.

Возьем произвольное натуральное число m и разобем основание равностороннего треугольника на 2$^m$ равных частей. Соединив точки деления с вершиной, мы получим разбиение равностороннего треугольника на 2$^m$ частей, которые условия называют клиьями. Проведем, кроме того, прямы, паралельные основанию и разбиающее высоту треугольника на m равных частей; эти прямы обозначаим, начиная от вершины, через $l_1, \dots, l_{m-1}$ (рис. 8).

Рассмотрим два соседних клина. Прямая $l_1$ высекает в них одинаковые отрезки. Сdvинем эти клины так, чтобы эти отрезки «перерыгнуты» друг через друга (рис. 9), и «склеим» теперь эти два клина, то есть фигуру, полученную из этих двух клиньев, будем рассматривать как единое целое при всех дальнейших паралельных переносах. Такое склеивание произведем для каждой двух соседних

27

клиньев: 1-й склем со 2-м, 3-й с 4-м, …, (2$^m$—1)-й с 2$^m$-м.

Фигуру, полученную склеванием двух клиньев, разобъем на части следующим образом: выделим из нее треугольник с вершиной на прямой $l_1$ и четыре «хвостика». Каждый из «хвостиков» представляет собой треугольник с высотой $1/m$ (напомним, что высота исходного равностороннего треугольника равна 1). Основание же каждого «хвостика» равно $\frac{a}{m \cdot 2^m}$, где $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$ — сторона исходного равностороннего треугольника. Следовательно, общая площадь всех четырех «хвостиков» равна $2 \cdot \frac{a}{m^2 \cdot 2^m}$, а так как всего имеет $2^{m-1}$ пар склеенных клиньев, то общая сумма площадей «хвостиков» равна $a/m^2$. Площадь $S_1$ равностороннего треугольника $\Delta_1$, отсекаемого от исходного треугольника прямой $l_1$ (рис. 10), равна $\frac{a}{2m^2}$. Таким образом, общая сумма площадей всех «хвостиков» равна $2S_1$. Выбросим теперь все эти «хвостики» из рассмотрения, заполив сумму их площадей. При всех дальнейших сdwгах сумма площадей отброшенных «хвостиков» может лишь уменьшиться (за счет перекрытия).

Треугольники, остающиеся после отбрасывания всех «хвостиков» (число этих треугольников равно $2^{m-1}$),

будем теперь рассматривать как новые клинья. Сдвинув их вместе, получим из этих $2^{m-1}$ новых клиньев равносторонний треугольник с высотой $1 - \frac{1}{m}$ (рис. 11). Теперъ уже не прямая $l_1$, а прямая $l_2$ отсекает от него маленький равносторонний треугольник $\Delta_2$, причем он, очень/no, равен треугольнику $\Delta_1$. Сдвигая и склевая новые клинья так же, как и раньше, мы опять получим «хвостики», общая сумма площадей которых равна $2S_1$, и «совсем новые» клинья, вершины которых лежат на прямой $l_2$.

Из этих «совсем новые» клиньев, сдвигая их, получим равносторонний треугольник с высотой $1 - \frac{2}{m}$, а склевая «совсем новые» клиньой попарно, опять получим «хвостики», сумма площадей которых равна $2S_1$, и т. д.

Проделаем все $m$ шагов такого построения (на последнем $m$-м шаге получится просто равносторонний треугольник, равный $\Delta_1$, так что ничего и сдвигать не надо). Мы видим, что от первого начальных клиньев после построения отрезания «хвостиков» ничего не осталось. Иначе говоря, площадь фигуры, получившейся из первого начальных клиньев после всех сдвигов и склевания, меньше общей суммы площадей всех «хвостиков», то

28

ectь менше, чем

$$m \cdot 2S_1 = 2m \cdot \frac{a}{2m^2} = \frac{a}{m} = \frac{2}{\sqrt{3}m} < \frac{2}{m}.$$

Тепер ясно, что, взяв $m$ достаточно большим, мы можем сделать эту площадь как уголно малой. Доказательство закончен!

4. И все же, может интуция нас не обманыет? Может быть, круг диаметра 1 действительно является наименьшей по площади фигурой, в котором может совершить полный оборот отрезок длины 1, но только не среди любых фигур (как мы видели, это неверно), а среди всех в лиу к лых фигур? Ведь те фигуры достаточно малой площади, о которых шла речь выше (см. рис. 7), являются очень «рыхлыми», разбросанными и уж, во всяком случае, невыпуклыми. Напомним, что выпуклой называется такая фигура, которая вместе с каждыми двумя точками целиком содержит и соединяющий их отрезок (рис. 12). Так вот, верно ли, что среди всех выпukлых фигур, в которых отрезок длины 1 может совершить полный оборот, круг диаметра 1 имеет наименьшую площадь?

Оказывается, что и это неверно. Поясним, в чем здесь дело. Пусть $F$ — фигура, в которой может совершить полный оборот отрезок длины 1. Возьмем какую-либо прямую $l$ и проведем две опорные прямые $l_1$ и $l_2$ фигуры $F$, параллельные $l$, то есть две прямые, между которых «зажата» фигура $F$ (рис. 13). Так как отрезок, совершший в фигуре $F$ полный оборот, должен в какой-то момент занять положение, перpendикулярное прямой $l$, то расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$ (его называют шириной фигуры $F$ в направлении, перpendикулярном $l$) не меньше 1. Итак, ширина фигуры $F$ в любом направлении не меньше 1.

Кажется в полне естественных предположения, что у фигуры на именЬшей площади ширина во всех направлениях должны быть равна 1 (инначе площадь, видимо, больше бы уменнышь). Посмотрим, к чему приведет нас это предположение.

Прежде всего возникает вопрос, что собой представляет фигура, у которой во всех направлениях ширина равна 1? Нередко отвечают, что такой фигурой может быть только круг диаметра 1. Однако это неверно! Существует бесконечно много различных фигур, у которых ширина равна 1 во всех направлениях; их называют фигурами постоянной ширины 1. На рисунке 14 показаны две такие фигуры. Обе фигуры ограничены двумя окружностями, и расстояние между этим прямыми равно 1. Первая из изображенных на рисунке 14 фигур имеет специальное название: треугольник Рело (по имени механика, который впервые заинтересовался свойством этой фигуры и пытался использовать ее при конструкровании механизмов).

29

Фигуры постояной ширины обладают многими замечательными свойствами. Например,лина кривой, ограничивающей любую фигуру постояной ширины 1, равна π, то есть равна длине окружности диаметра 1 (теорема Барбье). Далее, из всех фигур постояной ширины 1 наибольшую ую (а не наименьшую!) площадь имеет круг, а наименьшую ую площадь имеет треугольник Рело; во всяком случае, нетрудно проверить, что площадь треугольника Рело равна $\frac{\pi - \sqrt{3}}{2} \approx 0,7048$ — заметно меньше площади круга, равной $\frac{\pi}{4} \approx 0,7854$. Отметим еще, что две параллельные опорные прямые, проведенные к фигуре постояной ширины 1, имеют с этой фигурой две общие точки, причем отрезок, соединяющий эти точки, перепendlулярен опорным прямым (и, следовательно, имеет длину 1; рис. 14). Из этого следует, что во всякой фигуре постояной ширины 1 отрезок длины 1 может совершить полный оборот. Доказательство формулированных здесь утверждений можно найти в упоминавшейся выше книге «Выпуклые фигуры» (см. также журнал «Квант» № 3, 1971 г., стр. 21).

Итак, если бы сделанное выше предположение было верно, то наименьшей (по площади) выпуклой фигурой, в котором может совершить полный оборот отрезок длины 1, был бы треугольник Рело (а вовсе не круг). Но, оказывается (как это на первый взгляд ни какется страным), что и треугольник Рело не является наименьшей фигурой. Такой наименьший фигурой служит равносторонний треугольник с высотой 1 (его площадь равна $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,5773$, то есть наимного меньше площади треугольника Рело). Доказательство этого факта можно найти на стр. 256—258 книги «Выпуклые фигуры».

О квадратах чисел

Вот несколько интересных фактов, характеризующих квадраты чисел. Если две последние цифры квадрата одинаковы, но не ноль, то это обязательно должны быть две четверки. Самый маленький такой квадрат — 144. На конце могут быть и три четверки — это число 1444. Но квадратов с четырьмя четверками на конце уже не существует. Не было много значных квадратов со всеми одинаковыми цифрами и таких, у которых все цифры — нечетные. Попробуйте это доказать.

Среди двухначных чисел есть число, обладающее любыми свойствами. Это число 13. Его квадрат — 169. Прочитав это число справа налево, получим 961 — число, квадратный корень из которого равен 31, то есть 13, прочитанное наоборот. И, наконец, сумма цифр 169 равна 16, а сумма цифр 13 равна 4, то есть корни квадратному из 16. Среди двухначных чисел есть только одно число с таким же набором свойства, попробуйте его найти.

Есть квадраты, которые содержат все цифры, причем каждую каждой нойти на стр. 256—258 книги «Выпуклые фигуры».

30

Задча Потенота

Л. С. Хренов

Если на плоскости даны три точки A, B и C (то есть известно взаимное расположение этих точки), то для определения положения четвертой точки M обычно достаточно знать два угла: $\angle ABM = \alpha$ и $\angle BMC = \beta$. Такая задача известна под названием задачи Потенота. Она возникнет, например, при определении местоположения корабля, с которой видны три маяка, координаты которых известны, а также во многих других случаях.

Геометрическое решение задачи Потенота

Задча Потенота совпадая к построению дуги AB (рис. 1), из любой точки M которого отрезок AB виден под углом $\alpha$, и дуги BC, из точки которого отрезок BC виден под углом $\beta$. Для этого достаточно от прямой AB отложить угол $\alpha$ и к полученной прямой AV восставить перpendикуляр AP, а к отрезку AB восставить перpendикуляр в его середине. Точка $O_1$ пересечения этих перpendикularов будет центром окружности, проходящей через точки A, B и M, а линяя AB будет хордой дуги, вместе угодл $\alpha$. Аналогично строится центр $O_2$ окружности, проходящей через точки B, C и M с другой BC, вместе угодл $\beta$.

Пересечение построенных таким образом двух окружностей и определить положение точки M, так как у них не может быть более двух общих точек. Однако из них, согласно построению, является точка B, второй будет искомая точка M. Следовательно, задача Потенота имеет волне определение и единственное решение, за исключением случая, когда обе окружности сливаются в одну, проходящую через точки A, B, C и M (рис. 2). В этом случае искомая точка M лежит на окружности, проходящей через точки A, B и C, и для определения положения точки M надо знать еще какие-либо расстояния.

Однако, несмотря на простоту геометрического решения задачи Потенота, на практике оно не применяется.

На практике для решения задачи Потенота применяют аналогичные *) или графические способы с использованием мензулы, кипрегеля или альдады и буссоли.

*) Первое аналогичное решение было предложено в 1616 году голландским астропомом и математиком В. Снегл иусом (1580—1626), позднее, в 1692 году французский математик Л. Потенот (1660—1732) предложил более удачное решение этой задачи, что и последнюю основанием называется эту задачу его именно.

Рис. 1. Рис. 2.

31

Мензула представляет собой столик для черчения плана. Она состоит из шатива и планшета — чертежной квадратной доски, которая укрепляется на подставке. Подставка имеет три подъемных винта, позволяющих приведения на подставке. Подставка вместе с планшетом прикрепляется к штативу при помощи станового винта. Подставки могут быть деревянными или металлическими. Центрировочная вилка (см. рис.нок) служит для центрирования точки на планшете над соответствующей точкой местности: к нижнему концу вилки подвешивается отвес, верхний конец вилки находится на одной вертикали с нижним.

А ли да да слижила для визирования с точки мензулы на точку местности. Она состоит из линейки, на которой выгравирован поперечный масштаб, и двух диоптров со щелями и волосками; на линейке aliдады обычно помещается цилиндрический уровень для приведения планшета мензулы в горизонтальное положение. Телерь вместе aliдады с диоптрами использует кипрегель.

Кипрегель состоит из линейки с поперечный масштабом и уровнем, и из трительной трубЫ, врашающегося на оси колонки так, что плоскость, описываемая визирной осью трубЫ (колимационная), проходит через скошенный край линейки кипрегеля. На мензуле должно получаться горизонтальное положение местности, поэтому для изменения углов наклона изготовляется кипрегели с вертикальными кругами, с помощью которых углы наклона изменяются с точностью до 1°. Две дополнительные нити (дальномерные), расположенные симметрично относительно средней оси, видны в поле зреня трубЫ кипрегеля. Они служат для определения расстояний на местности.

Буссоль (усовершенствованный компас) применяется для ориентирования мензулы по странам света. Буссоль имеет вид круглой или прямогольной коробки с градуными делениями, в центре врашается магнитная стрелка. Буссоль устроена всегда так, что линия, соединяющая деления 0°—0° или 0°—180° и проходящая через центр бусоли, паралельна внешним краям коробки.

Графический решение задачи Потенота

При наличии трех точек на мензульном планшете, соответствующих тем точкам на местности (то есть при наличии, например, карты местности), можно определить положение четвертой точки, произведя наблюдая только в ней, то есть решить задачу Потенота.

32

Для графического решения задачи Потенота предложено более 100 различных способов *). В их основе лежит ориентирование мензульного планшета. Пусть три точки $a, b$ и $c$ (рис. 3), составляющие на мензульном планшете $Q$ треугольник $abc$, соответствуют трехкам $A, B$ и $C$ на местности. Планшет $Q$ ориентирован, если он расположен так, что $ab \parallel AB, ac \parallel AC$ и $bc \parallel BC$.

В этом случае направления, прочееенные через $a, b$ и $c$ при визировании на соответствующие точки местности, пересекутся в одной точке. Для доказательства построим точку $m$ как точку пересечения прямых $Aa$ и $Bb$. Подобно уменьшив $\Delta ABC$ так, чтобы $AB$ перешло в $ab$, мы получим $\Delta abc'$, но поскольку $ac \parallel AC \parallel ac'$ и $bc \parallel BC \parallel bc'$, точки $c'$ и $c$ обязаны совпадать, а прямые $Aa, Bb$ и $Cc$ пересекутся все в точке $m$, соответствующей на планшете точке $M$, из которого мы визируем на точки $A, B, C$.

Если же мензульный планшет, находящийся в точке $M$, ориентирован лишь приблизительно, то те же прочееенные три направления $aA, bB$ и $cC$ не пересекутся в одной точке, а образуют небольшой треугольник (рис. 4), называемый треугольником погрешности. И чем точнее произведено ориентирование

*) Первый из них был предложен в 1592 году мексиканцем Сисиутti (The Canadian Surveyor, 1936).

Рис. 3.

Рис. 4.

ваниме мензульного планшета, находящаяся в определенной точке, тем будут меньше размеры треугольника погрешности. Это положение и использовал И. Леман (1765—1811) при графическом решении задачи Потенота, предложив способ приближений, использующий в практике мензульной сыемки.

С пособ И. Леман. Мензулу установливают над искомой точкой $M$, приводят верхнюю плоскость планшета в горизонтальное положение и возможно точнее ориентировать планшет *) $Q$ так, чтобы линии $ab, bc$ и $ac$ на планшете были параллельны линям $AB, BC$ и $AC$ на местности. После этого через три данные точки на планшете визируют на соответствующие точки местности и прочееваяют по ребру линейки визирного прибора (кппрегель, алидада) линии (как на рисунке 3). Если ориентирование планшета произведено точно, то при направления, прочеечевая точку $a, b$ и $c$ при визировании на соответствующие точки местности, пересекется в искомой точке $m$.

Если же планшет $Q$, находящийся в точке $M$ местности, ориентирован неточно, то при прочеечевая точку $a, cC$ и $bB$ пересекется на планшете не в одной точке, а образуют треугольник погрешности.

*) Для более точного ориентирования планшета рекомендуется пользоваться буссолью.

34

в одной точке, то называенное положение точки будет соответствовать на планшете искомой точке; в противном случае опять получится треугольник погрешностей, но менее первого, относительно которого можно с большей точностью на глаз положение искомой точки. Такие действия повторяют до тех пор, пока прочееываемые направления не пересекутся в одной точке.

Примечние. Получив второй треугольник погрешностей, можно соединить их одномименные вершины прямыми; в пересечении этих прямых и будет находиться искомая точка $m$ на планшете. Полученную таким образом точку использует для нового ориентирования планшета и прочеевая треть направленный.

Список А. П. Болотова. Оргинальное решение задачи Потеота, не потеряшее своего практического значения и до сих пор, было предложено А. П. Болотвым (1803—1853) (этот список особенно близок к описанному выше геометрическому решению).

При этом способе над точкой $M$ местности устанавливают мензулу с нанесенными на ее планшете точками $a, b$ и $c$, соответствующими на местности точкам $A, B$ и $C$ (рис. 6). Накрывают планшет восковкой (калькой) и на ней намечают точку $m$, расположенную примерно над искомой точкой $M$ местности. Затем через точку $m$ на восковке визируют последовательно на точки $A, B$ и $C$ местности и прочеевая направления $mA, mB$ и $mC$. После этого восковку перемещают по мензульному планшету так, чтобы прочееанные на ней направления $mA, mB$ и $mC$ прошли через точки $a, b$ на планшете. Если теперь, придержав восковку в таком положении, проколить ее в точке $m$, то на планшете получится истинное положение искомой точки.

Для контроля произведенных действия рекомендуется проверить ориентирование планшета по самой удаленной от него точке $A, B$ или $C$.

В тихой гавании

Tripirata делят добычу, состоящую из 10 пистров, 10 дволонов и бочки вина. Тара для разливания вина у них имеется, но, увы, у каждой пирата свое мнение о сравнительной ценности пистров, дволонов и вина.

Все, однако, согласны с тем, что бочка вина стоит дороже четырех пистров и дороже четырех дволонов.

Докажите, что прирамудяется разделить добычу так, что каждой пирата получится часть, стбящую, по его мнению, не меньше, чем часть каждой из остальных.

А. Тоом

36

угольников. Поскольку каждого из прямогольников не меньше $\sqrt{2} - x$, а сумма их высот равна $h - x$, то сумма площадей всех прямогольников не меньше $(\sqrt{2} - x)(h - x)$, следовательно, сумма площадей всех квадратов не меньше $x^2 + (\sqrt{2} - x)(h - x)$.

Но по условию сумма их площадей равна 1. Итак,

$$x^2 + (\sqrt{2} - x)(h - x) \leq 1,$$

откуда

$$h \leq \frac{1 - x^2}{\sqrt{2} - x} + x = \sqrt{2} \left[ 3 - \left( y + \frac{1}{y} \right) \right],$$

где

$$y = 2 - x \sqrt{2}.$$

Следовательно, поскольку величины $y + 1/y$, стоящая в круглых скобках, при любом $y$ не меньше 2, $h \leq \sqrt{2}$.

Второе решение. Если в первом решения описать способ расстояний квадратов было очень легко, а основную трудность составляло доказательство нужной оценки, то во втором решения, наоборот, трудно описать способ упаковки (а оценка будет почти оценной). Не волне точные описания приводим ниже упаковки предложили несколько читателей.

Мы опишем здесь способ упаковки совершенного формального. Описание «алгоритма» — предписания, согласно которым мы предлагаем упаковывать квадраты, — содержится в следующем абзаце. После того как описанная там операция проделана $k$ раз, в квадрат $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ оказываются размещены первыше $k$ квадратов (мы по-прежнему считаем, что они занутерованы в порядке убывания сторон), а остальная часть квадрата $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ разбиита на $(k + 1)$ прямогольников, которые приписаны определенные номера (от 0 до $k$). Некоторые прямогольники объявляются «закрытыми» (это означает, что больше в них не будут вставляться квадраты), а остальные — «открытыми» (в любой открытый прямогольник помещается $(k + 1)$-квадрат). Вначале «прямогольник № 0» объявляется весь квадрат $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$. Итак, алгоритм расстановки квадратов:

$$k - \text{шаг} (k = 1, 2, 3, \dots).$$

Выбираем из всех не закрытых прямогольников тот, у которого наиболее номер. (Пусть этот номер $m$). Размещаем в его углу $k$-й квадрат. Продолжаем сторону этого квадрата, параллельную меньшей стороне прямогольника $m$ (если стороны прямогольника равны, выбираем любую из них) так, чтобы часть прямогольника $m$, не занятая квадратом $k$, разбилась на два прямогольника. Из этих двух прямогольников мы присваиваем номер $k$ тому, который составляет прямогольник вместе с квадратом $k$, а номер $m$ теперь сохраняется за оставшейся частью «бывшего» прямогольника $m$ (рис. 4). За всеми квадратами и прямогольниками, кроме прямогольников $m$ и $k$, сохраняются старые номера. Если $k$-й квадрат, который мы разместили, — не последний, то проверим, помещается ли $(k + 1)$-й квадрат в прямогольник $k$ и в прямогольник $m$, и если нет, то объявляем соответствующей прямогольник (или оба) закрытыми.

(На рисунке 5 для примера показана возможность после 4-го шага. Для $k = 5$ номер $m$ бу-

37

Рис. 5.

дет равен 2; безвъёные прямогольники закрыты).

Нужно еще доказать, что не может встретиться случай, когда окажутся закрытыми все прямогольники, даже «номер 0». Прежде чем доказать это, заметим, что площадь закрытого прямогольника номер $k$ меньше, чем площадь квадрата номер $k$ (это — основная идея нашего способа укладки!). Действительно, ясно, что до тех пор, пока меньше эта сторона прямогольника $k$ равна стороне квадрата $k$, он еще не может быть закрыт (в него вплезает даже $k$-й квадрат).

Тепер предположим, что на неоктором $n$-м шаге прямогольник 0, который имел до этого шага размеры $c \times d$ ($c \geq d$), закрыт. Ясно, что на $n$-м шаге $m = 0$, то есть все прямогольники с номерами $m > 0$ закрыты, и их площадь меньше площади соответствующих квадратов.

Пусть $u$ и $v$ — стороны квадратов с номерами $n$ и $n+1$. Если квадрат $v \times v$ не помещается в прямогольник $d \times (c - u)$ (рис. 6), то $v \geq c - u$, поэтому

$$2(u^2 + v^2) \geq (u + v)^2 \geq c^2 \geq cd,$$

то есть сумма площадей $n$-го и $(n+1)$-го квадратов не меньше половины площади прямогольника $c \times d$. Получается, что уже первые $(n+1)$ квадратов составляют больше половины площади квадрата $\sqrt{2} \times \sqrt{2}$. Противоречие.

Рис. 6.

Предлагаем несколько задач, уточняющих и обобщающих утверждения задачи об упаковке квадратов.

1. Два равных квадрата со стороны $a$ нельзя разместить без пересечения в квадрате, сторона которого меньше 2$a$.

2. Квадраты, сумма площадей квадрых равна $S$ и сторона наиболее из которых равна $x$, можно упаковать в квадрат со стороны $x + \sqrt{S - x^2}$.

3. Этки квадраты можно упаковать в прямогольник $a \times b$, если $a \geq x$, $b \geq x$ и $ab \geq 2S$.

4. Если любую систему квадратов общей площадью 1 можно упаковать в прямогольник $a \times b$, где $a \geq b$, то верно по крайней мере одно из двух условий: 1) $a \geq \sqrt{3}$ и $b \geq 1$ 2) $a \geq \sqrt{2}$ и $b \geq 2/\sqrt{3}$.

Д. Клейтман и М. Кригер доказали, что в прямогольнике $1 \times \sqrt{3}$ можно разместить любую систему квадратов общей площади 1. Правдополобно, что аналогичное утверждение верно и для прямогольника $\sqrt{2} \times 2/\sqrt{3}$.

5. Прямогольники, сумма площадей квадрых равна $S$ и наиболее из стороны квадрых равна $x$, можно упаковать в прямогольник $a \times b$, если $a \geq x$ и $ab \geq 2S + a^2/8$.

6. Кубы общим объемом $V$ можно упаковать в куб объема 4$V$.

38

Этому виду задач более 1600 лет

Б. А. Кордемский

Менялась фабула и форма записи задачи, накапливались способы решения, но суть оставалась неизменной: найти целые (чаще натуральные) $x$ и $y$, удовлемворюшение уравнения
$$ax + by = c$$
(1)
с. заданных целыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$.

Может быть, $c$ — это 1001 сказка Шехерезды, а нас интересует, сколько ночей потребуется Шехерезде, чтобы рассказыть все свои сказки, если $x$ ночей она будет рассказывать по 5 сказок, а остальные сказки по 3 за $y$ ночей.

Сказочные, очевидно, потребуется $x+y$ ночей, где $x$ и $y$ — натуральные корни уравнения $5x+3y=1001$.

А может быть, $c$ — это 10 $p$. 01 $\kappa$., которые некоют израсходовал на $x$ поездок автовусом (по 5 копеек за рейс) и $y$ поездок трамваем (3 копейки за рейс). Ответ на вопрос, сколько совершено поездок, заложен в том же уравнения $5x+3y=1001$.

Корни этого уравнения рассказывают также и о тех точках на прямой

Рис. 1.

$5x+3y=1001$ (см. рисунок), обе координаты которых — натуральные числа (или целые — в какой-нибудь другой задаче).

Уравнения, в которых из множества решений выделены только целочисленные значения неизвестных, часто называют диофантовым в честь значенного математика II—III веков и э. Диофанта из Александрии.

Вопросы теории, связанные с условиям существования целочисленных, в частности, натуральных решений уравнения вида $ax+by=c$, рассмотрены в статье В. Н. Вагутена «Алгоритм Евклида и основная теория арифметики» («Квант» № 6, 1972). Мы этой теорией занимаемся не будем, а присутствим к решению конкретного уравнения $5x+3y=1001$, чтобы показать на этом примере разнообразные приемы, помогающие отыскать целочисленные решения уравнения *).

Решение способом «изобретательного школьника»

Делим обе части уравнения $5x+3y=1001$ на меньший коэффициент: $\frac{5}{3}x+y=\frac{1001}{3}$; справа и следваем целые части:
$$x+\frac{2}{3}x+y=333+\frac{2}{3};$$
$$x+y+\frac{2(x-1)}{3}=333.$$ (2)

Так как $x$ и $y$ целые, то должно быть целым и $\frac{x-1}{3}$; полагаем $\frac{x-1}{3}=t$; тогда $x=3t+1$. Подставляя в (2), получаем
$$3t+1+y+2t=333; y=332-5t.$$

В упомянутой статье В. Н. Вагутена доказывает, что полученные для $x$ и $y$ выражения являются «обшимми решениями», то есть содерж_

*) Напомним только, что существование целочисленных решений уравнения (1) гарантирует условия НОД ($a,b)=1$, так что уравнение $5x+3y=1001$ имеет решения в целых числах.

39

жат в себе все целочисленные решения данного уравнения.

Придавая параметру $t$ значения $t = 0, 1, 2, \dots, 66$, найдем 67 пар возможных натуральных корней данного уравнения.

Тепер предположим дополнительно, что Шехерезада хотела бы распределить свою тысячу и одну сказку между как можно большем числом ночей *). Этому требованию удовлетворяет max $(x + y)$ — наиболее из сумм пар корней уравнения. Имеем $x + y = 333 - 2t$; очевидно, max $(x + y)$ достигается при $t = 0$.

Итак, Шехерезада расскажет свои сказки самое большее за 333 ночи, если 332 ночи будет рассказывать по 3 сказки и только одну ночь — 5 сказок. Она может сократить срок своей «работы» и довести его до 201 ночи, если только 2 раза (при максимальной возможности изобретательного школьника), вы получили $x + y + \frac{4y - 1}{3} = 77$. Как теперь надо расчудать и действовать, чтобы подхождение образом выражить сначала $y$, а затем $x$ через целое $t$?

Решение способом «изобретательного математика» **)

Для уравнения $ax + by = c$ порядок действия таков: найти остаток $m$ от деления $a$ на $b$ (пусть $a > b$) и остаток $n$ от деления $c$ на $b$; если $n = 0$, то получаем сразу $x = bt$, $y = \frac{c}{b} - at$, $t = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$;

*) Разумеется, при условии, что каждую ночь она рассказывает либо три, либо пять сказок.
**) Изобретатель способа Taylor L. F., «Numbers», London, 1970 не дал ему названия.

если $n \neq 0$, то умножить $m$ последовательно на 1, 2, …, $(b - 1)$ и выписать последовательность остатков от деления этих произведений на $b$. В полученной последовательности будет число $n$ (если его не будет, то и целочисленные решения уравнения не будет). Номер места, занимаемого числом $n$ в последовательности остатков, и есть одно из возможных значений $x$.

Приименим этот способ к уравнению $5x + 3y = 1001$. Имеем: $m = 2$, $n = 2$, умножаем $m = 2$ на каждый член последовательности {1; 2}, получаем {2; 4}; делим на 3 и выписываем остатки: {2; 1}. Замечаем, что число $n = 2$ занимает в этой последовательности остатков первого места, следовательно, $x = 1$. Этим определяется и соответствующее значение $y = 332$.

Легкий и вполне общий способ решения в целях числа линейных неопределенных уравнений с двумя неизвестными!

Но «способ изобретательного математика», в отличие от предыдущого приема, дал нам всего лишь одну пару корней: (1; 332). Дефект способа? Отнюдь нет. Расмотите формулы «общего решения» задачи, полученные «способом школьника»: $x = 1 + 3t$, $y = 332 - 5t$.

《Частные решения》 $x_0 = 1, y_0 = 332$ одинаковы в общих способах, а коэффициенты при $t$ (3 и 5) определяются коэффициентами решения уравнения: $3 = b; -5 = -a$. И это не случайное совпадение, а закономерность: если $(x_0, y_0)$ — какое-либо целое решение уравнения $ax + by = c$, причем $a$ и $b$ взаимно просты, то все его целые решения определяются формулами: $x = x_0 + bt$, $y = y_0 - at$, $t = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Решение «способом сравнения по модлю»

Это приятный и часто самый быстрое способ отискания целочисленных решения уравнения $ax + by = c$.

Для нашей целого достаточно напомнить, что утверждение $a \equiv b$ (mod $m$)

40

эквивалентно тому, что $a-b$ делится на $m$, или $a=b+km$ ($a, b$ и $k$ — целые, $m$ — натуральное).

Далее, если $a \equiv b$ (mod $m$), то верно, что $a \equiv b+km$ (mod $m$), где $k$ — любое целое число $^*$). Пусть, например, $3x \equiv 2$ (mod 5), тогда $3x \equiv 2+2\cdot 5$ (mod 5), $3x \equiv 12$ (mod 5) и $x \equiv 4$ (mod 5).

Заметим, что деление обеих частей сравнения по modulo $m$ на общий множитель $q$ допустимо лишь в том случае, когда $q$ и $m$ — взаимно простые числа.

Предварительно пример. Пусть требуется решить сравнение $11x \equiv 2$ (mod 23). Непрактично прибавлять к правой части по 23 до получения числа, кратного 11. Надо искать более низший путь. Пригоден, например, такой: написать, что $22x \equiv 4$ (mod 23), затем из левой части вычесть $23x$; получим $-x \equiv 4$ (mod 23), $x \equiv -4$ (mod 23) и, наконец, $x \equiv 19$ (mod 23).

Для решения уравнения $5x+3y=1001$ «способом сравнения по modulo» действовать надо так: $3y=1001-5x; 3y=1001$ (mod 5). Так как $1001=200\cdot 5+1$, то $3y \equiv 1$ (mod 5), или $3y \equiv 6$ (mod 5); $y \equiv 2$ (mod 5), следовательно, $y=2+5k$ ($k=0, \pm 1, \pm 2, \dots$). Легко видеть, что это решение эквивалентно раннее получению

$$y=332-5t \ (t=0, \pm 1, \pm 2, \dots).$$

Решение «способом сравнения по modulo» действовать надо так: $3y=1001-5x; 3y=1001$ (mod 5). Так как $1001=200\cdot 5+1$, то $3y \equiv 1$ (mod 5), или $3y \equiv 6$ (mod 5); $y \equiv 2$ (mod 5), следовательно, $y=2+5k$ ($k=0, \pm 1, \pm 2, \dots$). Легко видеть, что это решение эквивалентно раннее получению

$$y=332-5t \ (t=0, \pm 1, \pm 2, \dots).$$

*) Много полезных сведений о сравнения целых чисел по modulo приведено в статьях А. А. Егорова «Сравнение по modulo и арифметике остатков» («Квант» № 5, 1970), М. И. Башмакова «Нравится ли вам возить с целыми числами» («Квант» № 3, 1971) и уполмунуто выше статьев В. Н. Вагутена.

уравнения, в «целину»:

$$\frac{a}{b} = [a_0; a_1, a_2, \dots, a_n],$$

вычислить числитель и знаменатель предпоследней «подходящей» дроби $\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}$ непосредственно или пользову рекуррентными формулами

$$P_{k+1} = P_k \cdot a_{k+1} + P_{k-1};$$

$$Q_{k+1} = Q_k \cdot a_{k+1} + Q_{k-1},$$

где $P_0=a_0$, $Q_0=1$ и $P_1=a_0 \cdot a_1+1$ и $Q_1=a_1$, $k=0, 1, 2, \dots$.

Решение задачи завершается применением готовых формул*), представляющих общее решение данного уравнения

$$\begin{cases} x = (-1)^{n-1} \cdot c \cdot Q_{n-1} + b \cdot t, \\ y = (-1)^{n} \cdot c \cdot P_{n-1} - a \cdot t, \\ t = 0; \pm 1; \pm 2, \dots. \end{cases}$$

Обратимся к уравнению $5x+3y=1001$ в последний раз. Проделаем подробно превращение числа $\frac{5}{3}$ в цепную дробь:

$$\frac{-5}{3} \left| \frac{3}{1} \right| \dots a_0=1,$$

$$\frac{-3}{2} \left| \frac{2}{1} \right| \dots a_1=1,$$

$$\frac{2}{2} \left| \frac{1}{2} \right| \dots a_2=2,$$

откуда $\frac{5}{3} = [1; 1, 2]$. Составим «подходящей» дроби

$$\frac{P_0}{Q_0} = \frac{a_0}{1} = 1; \quad \frac{P_1}{Q_1} = a_0 + \frac{1}{a_1} = \frac{2}{1};$$

$$\frac{P_2}{Q_2} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2}} = \frac{5}{3}$$

(последняя подходящая дробь не нужна, кроме того, она всегда равна дан-

*) Вывод этих формул можно найти в специальных пособиях, или, например, в книге «Энциклопедия элементарной математики», книга первая, 1951 (статья А. Я. Хинчина «Элементы теории чисел»). О цепных дробях расссказано также в статье Н. М. Бескина «Цепные дроби» («Квант» № 1, 1970).

41

ной дроби; мы выполнили вычисление только для наполнения способа неопределенного составления «подходящих» дробей).

Так как здесь $n = 2$, то числитель $P_{n-1}$ и знаменатель $Q_{n-1}$ предпоследней «подходящей» дроби равны соответственно

$$P_{n-1} = P_1 = 2; \quad Q_{n-1} = Q_1 = 1.$$

Все готово к применению формул (3): $x = -1 \cdot 1001 \cdot 1 + 3t, y = 1 \cdot 1001 \cdot 2 - 5t, t = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Окончательно, $x = -1001 + 3t, y = 2002 - 5t, t = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

По виду решения как будто опять получился иной результат, не сохранив с предыдущими, но легко обнаружить его эквивалентность всем предыдущим записям общего решения рассматриваемого уравнения. Так, $x = 1$ и $y = 332$ получаются отсюда при $t = 334$. Тепер решим еще одну задачу.

После корабlekрушения

Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснулись ночь, пересчитал добцыч, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно $\frac{1}{5}$ часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?

Решение. Обозначим искомое число орехов через $x$. Выражая последовательные действия моряков уравнениями, получаем $x = 5a + 1; 4a = 5b + 1; 4b = 5c + 1; 4c = 5d + 1; 4d = 25y + 1$ (обдумайте смысл предлагаемых уравнений).

Эта система сводится к одному неопределенному уравнению

$$256x = 2101 + 15625y.$$

Выстрое решение в целых числах этого громоздкого уравнения будет приятной наградой за терпельное ознакомление с предложенными четырьмя способами — можно выбрать из них наиболее эффективный для данной задачи. Ответ в этой задаче таков: $x = 3121$ — наиболее из возможных натуральных значений $x$.

Заметание. В книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения» («Мир», 1971), в котором есть эта задача, написано, что она «принадлежит к числу наиболее часто решаемых, но наиболее поддающихся решению диофантовых головоломок» (стр. 234). Когда эта задача в 1926 году появилась в одной газете (без решения и ответа), то 20 лет после этого не прекрашался поток писем в газету либо с просьбой сообщить ответ, либо с вариантом собственных решений.

Уражения

1. Найти целые решения уравнения $10x + 21y = 23$ каждим из описанных способов.
2. Найти двузначное число, у которого увоссмереенное число единиц на 13 меньше утроенного числа десятиков.
3. Некоторые числа экскурсантов, размещенных поровну в 5 автобусах (каждый автовосвяает не более 54 человек), были доставлены на вокзал. Там к ним присоединились еще 7 человек, и все экскурсанты распределились поровну в 14 варонах. Сколько всего было экскурсантов?
4. Имеются ли на пример $13x - 5y + 96 = 0$ точки с целыми координатами, не превосходящими по абсолотной величины число 10?
5. Пусть $n$ — натуральное число. Найти целые решения уравнения

$$nx + (n + 1)y = 2n + 1.$$

6. Надо разлить 15 л жидкости в бутылки emкостью в 0,5 л и 0,8 л так, чтобы все использованные бутылки были полными. Сколько потребуется бутылей той и другой emкости?
7. Доказать, что при любом нечетном $x$ выполняется сравнение $x^2 \equiv 1$ (mod 8), то есть квадрат любого нечетного целого числа при делении на восемь дает в остатке единицу.

42

С какой скоростью движется онны

В. В. Майер, Р.-Э. Е. Шафир

Чтобы ответить на вопрос, с какой скоростью движется онны, можно поставить опит, в котором неосредственно видно движение носителей заряда. Простой прибор для проверения подобного опита был предложен в 1948 году С. А. Арцыбышевым и И. А. Бильдзюкевичем.

На стеклянную пластинку (1) размером 50 × 60 мм положите вырезную из плотной бумаги ramку (2) с окном размером примерно 25×40 мм (см. рисунок). На ramку параллельно друг другу на расстоянии около 15 мм положите два алюминиевых электрода (3) размером 20×40 мм. Электроды прижмите пружинящими контакками (4). Между электродами помещите несколько капель водного растворора поваренной coli и наложите на бумажную ramку стеклянную положку (5) так, чтобы получился тонкий слой электролита. Пластика должна быть такой ширины, чтобы между ее краем и катодом оставался промежуток примерно в 1 мм.

Если теперь подать на электроды направление, то через растор электролита NaCl поддет ток. При этом онны Na⁺ и Cl⁻ будут перемещаться в расторе, но наблюдаются их движение.

Скорость передвижения окшеной полоскионов меняется в зависимости от условий опита. На нее влияет и концентрация растворора, и направление, подаваемое на электроды, и многое другое причины. Попробуйте, немного изменяя условия опита, установить, с какой скоростью могут движаться онны.

43

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Решения задачи из этого номера можно посылать не позднее 31 мая 1973 года по адресу: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Кванта».
После.adреса на конверте нашищите, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Кванта», М196, М198 или «…Ф210».
Решения задачи по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах.
Опrizinalные задачи, предложаемые для публикации, присваиваем вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте помещение: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). Задачи из разных номеров журнала присваивают в разных конвертах.
Задании повышенной трудности омеченны звездочкой.
После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Задачи
M196-M200; Ф208-Ф212

M196. В окружности радиуса 1 проведено несколько ходд. Докажите, что если каждой диаметр пересекает не более k ходд, то сумма длин ходд меньше лк.

A. T. Коломов

M197. В прямогольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn произвольных положительных чисел. Найдем произведение чисел в каждом столбце и затем сумму S всех n таких произведений. Докажите, что если пе-

$$S = 84$$
Рис. 1.

M199. a) Докажите, что сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 \frac{1}{4} + C_{n-2}^2 \frac{1}{4^2} - \cdots + (-1)^i C_{n-i}^i \frac{1}{4^i} + \cdots$$
(sумма берется по всем целым i, $0 \leq i \leq \frac{n}{2}$) равна $\frac{n+1}{2^n}$.

6)* Докажите, что если p и q—различные числа и p+q=1, то сумма
$$C_n^0 - C_{n-1}^1 pq + C_{n-2}^2 p^2 q^2 - \cdots + (-1)^i C_{n-i}^i p^i q^i + \cdots,$$

44

можно 24 разными способами отображать это множество из шести точек на себя так, чтобы каждый три точки, лежащие на одной прямой, отображались в три точки, также лежащие на одной прямой.

6. На рисунке 4 девять точек лежат по три на девятим прямых, причем через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точки и.devят прямых образуют знаменную «конфигурацию Паскала». Скольники способами можно множество наших.devят точек отображать на себя так, чтобы каждый тройка точек, лежащая на одной из.devятных наших прямых, отображалась на тройку точек, которая лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображенной на рисунке 5.

А. Н. Колмодоров

Ф208. У автоматия, участвующего в тонке, лопается шина. Оценить, с какой скоростью должен ехать автомать, чтобы шина не сминалась.

П. Л. Капица

Ф209*. Смоделировать траекторию заряженной частицы в магнитном поле можно, помещив в однородное магнитное поле закрепленный на концах гибкий проводник, по которой пропускается ток. Каким будет натяжение такого провода при токе 1 а, если он имитирует

М200. a) На рисунке 3 изображены шесть точек, которые лежат по три на четырех прямых. Доказите, что

Рис. 6.

45

Рис. 7.

траекторию движения протона с энергейой 1 Мэв, влетающего в магнитное поле перпендикулярно магнитным силовым линяям?

Ф210. Два одинаковых открытых сосуда соединены двумя одинаковыми трубками и доверху заполнены водой. Трубки закрыты кранами $K_1$ и $K_2$ (рис. 6). Температура воды в сосудах поддерживается постоянной, причем $t_1^\circ > t_2^\circ > 4^\circ$ С. Что будет проискать с водой в сосудах, если сначала открыть краан $K_2$, а затем (при открытом кране $K_2$) открыть краан $K_1$?

Ф211. С идеальным одноатомным газом проводится замкнутый процесс (цикл), показанный на рисунке 7. В точке $C$ газ имел объем $V_C$ и давление $P_C$, а в точке $B - V_B = \frac{1}{2} V_C$ и $P_B = 2P_C$. Найдите к. п. д. этого цикла и сравните его с максимальным теоретическим к. п. д. цикла, у которого температуры нагреваются и холодильника равны соответственно максимальной и минимальной температур расматривается цикл.

М. Е. Маринчик

Ф212. От сползающего в океан по кругому склону ледника на глубине 1 км открывается глыба льда — айсберг (его высота меньше 1 км). Какая часть айсберг может расплавиться при всплывании? Температура льда и воды равна 0°С.

ЗАДАЧА

В четых урнах лежат шары. Двое играоших поочередно берут шары из урн. За каждый ход играоший выбирает две урны и берет из них любое количество шаров, причем хотя бы один шар должен быть взят. Выигравает тот, кто возьмет последний шар. При каждих числа шаров в урнах начинающий выиграет и как он должен играть, чтобы выиграть? Попробуйте обобщить эту игру.

Г. И. Подольный

В «Кванте» № 3 по недостатру редакции в списке школьников 7—10 классов, получивших право участвия в областных, краевых и ресурсильских олимпиадах по физике, оказались пропущены:

И. Братовская — г. Усольье-Сибирское, с.ш.2;
В. Кууск—г. Ржев, с.ш.4;
Г. Левин — г. Куйбышев, с.ш.135.
Редакция принит свои глубокие извлечения.

46

Решения задач

M156-M159; Ф176-Ф177

М156. В прямоугольнике ABCD точка M—середина стороны AD, N—середина стороны BC. На продолжении отрезка DC за точку D берется точка P. Обозначим точку пересечения прямых PM и AC через Q. Доказать, что QNM = MNP.

Задача имеет много простых геометрических решений. Вот одно из них.

Пусть O — центр прямогоугольника (см. рис. 1) (точка пересечения MN и AC), K — точка пересечения QN с перпендикуляром, восставляемым к отрезку MN в его середине O. Тогда, как легко видеть, QM/MP = QO/OC = QK/KN, и, следовательно, MK||PN. Но треугольник MKN равноведенный: в нем по построению KO — и высота, и медиана. Позному QNM = KMN = MNP.

Нетрудно решить задачу и с помощью вычислений. Например, можно воспользоваться методом координат. Если ввести систему координат так, как показано на рисунке 2, то координаты $(x_0, y_0)$ точки Q удовлетворяют двум уравнениями:

$(p - 2b)x - ay = -2ab$ (уравнение прямой MP) и $bx + ay = ab$ (уравнение прямой CA).

Умножим второе уравнение на 2 и сложим с первым. Получим (для $x = x_0, y = y_0$) $px_0 + ay_0 = 0$. Таким образом, угловой коэффициент прямой NQ равен $\frac{y_0}{x_0} = -\frac{p}{a}$,

рис. 1. Рис. 2.

М157. Сумма п положительных чисел $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ равна 1. Пусть S — наибольшее из чисел

$$\frac{x_1}{1+x_1}, \frac{x_2}{1+x_1+x_2}, \dots, \frac{x_n}{1+x_1+x_2+\dots+x_n}.$$

Найти наименьшее возможное значение S. При каких значениях $x_1, x_2, \dots, x_n$ оно достигается?

Предположим, что положительные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ таковы, что $a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1$ и

$$\frac{a_1}{1+a_1} = \frac{a_2}{1+a_1+a_2} = \dots = \frac{a_n}{1+a_1+a_2+\dots+a_n}.$$

(Ниже мы увидим, что такой набор $a_1, a_2, \dots, a_n$ действительно существует.) Покажем, что при $x_1 = a_1, x_2 = a_2, \dots, x_n = a_n$ величины S принимает наименьшее возможное значение. Пусть $b_1, b_2, \dots, b_n$ — другой набор положительных чисел, сумма которых равна 1. Заметим, что если $x_k$ увеличить, а все предыдущие $(x_1, x_2, \dots, x_k-1)$ не увеличивать, то величины

$$\frac{x_k}{1+x_1+\dots+x_{k-1}+x_k} = \frac{1}{\frac{1}{x_k}+\frac{x_1}{x_k}+\dots+\frac{x_{k-1}}{x_k}+1} = \frac{1}{1+x_1+\dots+x_{k-1}+x_k} + 1$$

увеличится.

Позному, если $b_1 > a_1$, то $\frac{b_1}{1+b_1} > \frac{a_1}{1+a_1}$; если $b_1 \leq a_1, b_2 > a_2$, то $\frac{b_2}{1+b_1+b_2} > \frac{a_2}{1+a_1+a_2} = \frac{a_1}{1+a_1}$; если $b_1 \leq a_1, b_2 \leq a_2, b_3 > a_3$, то $\frac{b_3}{1+b_1+b_2+b_3} > \frac{a_3}{1+a_1+a_2+a_3} = \frac{a_1}{1+a_1+a_2+a_3}$ и т. д. Поскольку набор чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ отличается от набора $a_1, a_2, \dots, a_n$, а сумма чисел в общих набо-

47

рах одна и та же, то $b_k > a_k$ для некоторого $k$. Пусть $k$ — наименьший индекс с таким свойством, то есть $b_1 \leq a_1, b_2 \leq a_2, \dots, b_{k-1} \leq a_{k-1}, b_k > a_k$, тогда

$$\frac{b_k}{1+a_1+\dots+a_k} > \frac{a_k}{1+a_1+\dots+a_k} = \frac{a_1}{1+a_1}.$$

Таким образом, наибольшее из чисел

$$\frac{b_1}{1+b_1}, \frac{b_2}{1+b_1+b_2}, \dots, \frac{b_n}{1+b_1+\dots+b_n}$$ больше $\frac{a_1}{1+a_1}$

наибольшего из чисел $\frac{a_1}{1+a_1}, \frac{a_2}{1+a_1+a_2}, \dots, \frac{a_n}{1+a_1+\dots+a_n}$.

Остается решить в положительных числах системы уравнения

$$\begin{cases} x_1+x_2+\dots+x_n=1, \\ \frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_1+x_2} = \dots, \\ \dots = \frac{x_n}{1+x_1+x_2+\dots+x_n}. \end{cases}$$

Уравнение $\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_k}{1+x_1+\dots+x_k}$ (для положительных $x_1, x_2, \dots, x_k$) преобразуется к виду $x_k = (1+x_1+\dots+x_{k-1})x_1$, так что данная система эквивалентна системе

$$\begin{cases} x_2 = (1+x_1)x_1, \\ x_3 = (1+x_1+x_2)x_1, \\ \dots, \\ x_n = (1+x_1+\dots+x_{n-1})x_1, \\ x_1+x_2+\dots+x_n=1, \end{cases}$$

которая в свою очередь эквивалентна системе

$$\begin{cases} x_2 = (1+x_1)x_1, \\ x_3 = (1+x_1)^2x_1, \\ \dots, \\ x_n = (1+x_1)^{n-1}x_1, \\ x_1+x_2+\dots+x_n=1, \end{cases}$$

то есть числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ образуют геометрическую прогрессию со значением $(1+x_1)$ и суммой $(1+x_1)^n-1$.

1. Телеръ легко находится решение системы:

$$a_1 = \sqrt[n]{2}-1, a_2 = \sqrt[n]{2}\left(\sqrt[n]{2}-1\right), a_3 = \sqrt[n]{2^2}\left(\sqrt[n]{2}-1\right), \dots, a_n = \sqrt[n]{2^{n-1}}\left(\sqrt[n]{2}-1\right).$$

Искомое значение $S$ равно

$$\frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[n]{2}}.$$

M158. Треуедльная таблица строится по следующему правилау: в верхней строке написано натуральное число $a > 1$, а далее под каждым числом $k$ следует $k^2$, а справа — число $k+1$. Например, при $a = 2$ получается таблица:

Доказать, что в каждой строке таблицы все числа различаются.

Предположим, что в некоторых строках таблицы встречаются одинаковые числа. Пусть $n$ — номер самого верхней из этих строк, $p$ и $q$ — равные числа в строке с номером $n$. Так как в предыдущей строке равных чисел нет, то $p$ и $q$ получены из чисел предыдущей строки разными действиями: одно — возвведением в квадрат, другое — добавлением 1. Пусть $p = r^2$, $q = s+1$, так что $s = r^2-1$. Числа $r$ и $s$ расположены в $(n-1)$-строке. Рассмотрим путь, на котором из числа $a$ получилось число $s$. Предположим, что на этом пути встречались возвведения в квадрат. Так как $s < r^2$, то самым большим числом, возводимемся в квадрат, могло бы быть $r-1$. Но $s-(r-1)^2 = 2r-2$. Это означает, что число $s$ из числа $(r-1)^2$ могло быть получено только добавлением 2$r-2$ шага. Таким образом, число $s$ получилось из числа $a$ не менее чем за $2r-1$ шагов, так что $n-2 \geq 2r-1$. Но все числа, получшиеся из числа $a$ за такое число шагов, не меньше, чем $a+2r-1 > r$, в то время как число $r$, расположенное в той же строке, что и $s$, получено из $a$ за то же число шагов, что и $s$. Таким образом, при получении числа $s$ из числа $a$ не было ни одного возвведения в квадрат. Это же можно сказать и про число $q = s+1$. Следовательно, $q$ — наименьшее крайное правое число в своей строке, что противоречит равенству $q = p$.

Задачу можно обобщить следующим образом.

Пусть $f$ — функция, определяная на множество натуральных чисел и принимающая значения. Предположим, что $f(n+1)-f(n)>n+1$ для каждого натурального числа $n$. Поэтому треугольную таблицу по той же схеме, что и в задане, но применяя какждый раз