Квант 1973, №5 · Страницы

1973
5
Квант
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На первой странице обложки вы видите фантастическое голландское художника М. Эшера на тему «Правильные многообразники».
На второй и четвертой страницах обложки приведены все существующие правильные многообразники.
О правильных многообразниках вы можете прочесть в статье В. Н. Березина на стр. 26.

2

БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ
ЗАДАЧА
В КОСМОСЕ

Представим себе, что с поверхности Земли взлетает космический корабль, и в момент остановки (в системе отсутства, связанной с центром масс Земли) из него выбрасываются с одной и той же по величине скоростью $v_0$ по разным направлениям одинаковые тела. Возникает вопрос: в какую часть околоземного пространства могут попасть эти тела?

Решению этой задачи и ряда связанных с ней задач посвящена настоящая статья. Специаль предупредить читателя, что в такой постановке задача была рассмотрена еще в прошлом столетии, а именно, в статье профессора Б. К. Млодезевского «Об огибаюшей орбит при ньютоновском приятиении», опубликованной в 1886 году, а затем, с более простым выводом, в статье знаменитого русского механика Н. Е. Жуковского «Замечание по поводу статьи Б. К. Млодезевского», опубликованной в том же году.

Ниже будет приведено еще более элементарное изложение этих вопросов, которое потребует от читателя знания простейших свойств эллипса, а также двух законов сохранения для движения под действием ньютоновской силы приятиения и первого закона Кеплера *).

*) Все эти сведения можно найти, например, в статье Я. А. Смородинского «Движение планет», «Квант» № 1, 1971.

1. Постановка задачи.
   Исходные предложения

При решении задачи мы будем пренебрегать сопротивлением атмосферы Земли; выбранную систему отчета, связанную с Землей, будем считать инерционной, тела — материльными точками массы $m$, а Землю — однородным шаром массы $m_0$.

Как известно, такой шар принязывает материльную точку с силой, направленной к его центру и равной $F = \gamma \frac{m_0 m}{r^2}$, где $\gamma$ — гравиатционная постоянная, а $r$ — расстояние материльной точки до центра шара.

Позному рассматриваемая нами задача сводится к идеализированной задаче, изученной еще Ньюотоном:

В неподвижном *) цептре О сосредоточена масса $m_0$, комора примецаем материльную точку массы $m$ с силой $F = \gamma \frac{m_0 m}{r^2}$. Требуется исследовать возможность движения этой материльной точки под действием силы тяготения имеются два закона сохранения: механический энергии и момент количества движения.

Закон сохранения полной механической энергии говорит о том, что энергия

$$E = E_K + E_n = \frac{mv^2}{2} - \gamma \frac{m_0 m}{r}$$

(1)

сохраняет постоянное значение, то есть в любой момент времени $E = E_0$, где $E_0$ — начальная энергия

$$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0 m}{r}$$

(2)

*) Строго говора, в результате взаимного приняжения и материльная точка, и Земля будут движаться относительно их общего центра масс. Но так как масса $m$ пренебрежимо мала по сравнению с массой $m_0$, то Землю можно считать неподвижной.

**)О том, как подсчитать потенциальную энергию в поле тяготения, можно прочитать, например, в статье Н. М. Сперанского «Потенциальная энергия тел в поле тяготения», «Квант» № 6, 1972.

В частиности, отсюда следует, что $-\gamma \frac{m_0 m}{r} < E_0$, или $\gamma \frac{m_0 m}{r} > -E_0$.

Если $E_0 < 0$, то $r$ остается ограниченным. Известно, что в этом и только в этом случае материльная точка описывает эллипс, причем один из его фокусов совпадает с центром $O$ (первый закон Кеплера). Поэтому начальная скорость $v_0$, для которого $E_0 < 0$, называется эллиптической. Если $E_0 = 0$, тоочка движется по параболе, и соответствующая начальная скорость называется параболическим. Если $E_0 > 0$, движение точки проходит по гиперболе, а скорость называется гиперболической.

Закон сохранения момента количества движения *) (момента импульса) заключается в том, что величины $L = mv\rho = mvr \sin \alpha$ (3)

(рис. 1)

Теперь рассмотрим несколько конкретичных задач, относящих к движению материльной точки по эллиптической траектории.

2. Независимость большой получи эллипса от направления начальной скорости

Изложенные предложения позволяют с помощью несложных выкладок

*) Как известно, этот закон сохранения связан со вторым законом Кеплера.

Рис. 1.

4

найти большую полуось эллипса.
В самом деле, для тех моментов, когда матеріальна точка попадает в одну из вершин $M_1$ или $M_2$ эллипса, то есть проходит через апогей или перигей, равенство $E = E_0$ дает

$$\frac{v_1^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_1,2} = \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0},$$

(4)

а равенство $L = L_0$ дает

$$mv_1,2r_1,2 = mv_0r_0 \sin \alpha_0.$$

(5)

Исключив $v_{1,2}$ из выражений (4) и (5), получаем квадратное уравнение относительно $r_{1,2}$:

$$\left( \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0} \right) r_{1,2}^2 + \gamma m_0 r_{1,2} - \frac{v_0^2 r_0^2 \sin^2 \alpha_0}{2} = 0.$$

(6)

Два корня этого уравнения, $r_1$ и $r_2$, дают значения $r_{1,2}$ в апоге и перигree. Так как большая полуось эллипса $a = \frac{1}{2} (r_1 + r_2)$, то по теореме Виета из (6) находится

$$a = - \frac{\gamma m_0}{2 \left( \frac{v_0^2}{2} - \gamma \frac{m_0}{r_0} \right)} = \frac{\gamma m_0 r_0}{2 \gamma m_0 - r_0 v_0^2}.$$

(7)

Таким образом, при фиксированной массе притягивающего центра большая полуось эллиптической траектории матеріальной точки определяется ее начальным положением ($r_0$) и величины начальной скорости ($v_0$), а от направления этой скорости никак не зависит.

3. Попадание из начального положения в заданное.
   Эллипсид «безопасности»

Решим следующее задачу.
Какое нужно сообиться направление начальной скорости при заданной величины $v_0$, чтобы матеріальная точка переша из начального положения $M_0$ в заданное положение $M$?

Точка $M$ должна лежать на эллипсе, поэтому начальное начальное скорости — это значит най-

ти направление касательной к эллипсу в точке $M_0$. Это можно сделать, воспользовавшись оптическим свойством эллипса, согласно которой начальная скорость должна быть направлена (в ту или иную сторону) по биссертике угла, смежного углу ($r_0, r'$) (рис. 2), где $r_0$ и $r'$ — радиусы-векторы, проведенные из фокусов в точку $M_0$.

Один из фокусов эллипса известен (совпадает с точкой $O$), а другой надо определить. Очевидно, что расстояния $r'$ и $r'$ от точки $M_0$ и $M$ до этого фокуса удовлетворяют условиям

$$r_0 + r' = 2 a,$$

$$r + r' = 2 a.$$

Отсюда следует, что

$$r' = 2 a - r_0$$ и $$r' = 2 a - r,$$

то есть $r_0$ и $r'$ выполняются положением точки $M_0$ и $M$ и величины начальной скорости. Стало бы быть, искомый фокус лежит на пересечении двух окружностей с центрами в точках $M_0$ и $M$ и с радиусами, равными соответствующим $r'$ и $r'$.

Если расстояние $M_0 M > r' + r' = 4 a - r_0 - r$, то задача не имеет решения, так как окружности не пересекаются.

Если $M_0 M < r' + r'$, то указанные выше окружности будут иметь две точки пересечения $F_1$ и $F_2$, как показано на рисунке 2, и у задачи будет два решения.

6

ком на продолжении земной оси (рис. 4).

При достаточно малых значениях $v_0$ элипсисд безопасности будет пересекаться с земной поверхности по некоторой параллели. Из рисунка 4 видно, что большая ось элипсисд безопасности, равная $4a - r_0 = M_0M + R$, возрастает при возрастании угла $\varphi$. При $\varphi = 180^\circ$
$$4a - r_0 = r_0 + 2R,$$
то есть $a = \frac{1}{2}(r_0 + R)$.

Из равенства (7) находится соответствующее значение начальной скорости

$$\hat{v}_0 = \sqrt{\frac{2\gamma m_0 R}{r_0 (r_0 + R)}},$$
или, учтывая, что $\gamma m_0 = gR^2$,

$$\hat{v}_0 = \sqrt{\frac{2gR^3}{r_0 (r_0 + R)}}.$$

Это — наименьшая начальная скорость, позволяющая попасть в любую точку земной поверхности. В частности, если $r_0$ приближается к $R$, то $\hat{v}_0$ стремится к $\sqrt{gR}$, то есть к первой космической скорости, что в полне естественно. С увеличением $r_0$ скорость $\hat{v}_0$ убивает, что также в полне естественно. При $v_0 > \hat{v}_0$ можно будет попасть в любую точку Земли по двум различным траекториям, а при $v_0 = \hat{v}_0$ это же имеет место для всех точек земной поверхности, кроме Южного полюса.

Уражнения

1. При $v_0 = v_{\text{параб}} (E_0 = 0)$ расстояние от фокуса $O$ параблической траектории до ее вершины $A$ равно

$$h = r_0 \sin^2 \alpha_0 = \frac{1}{2} r_0 (1 - \cos 2\alpha_0)$$

рис. 5).

Проверить, что эта формула непосредственно следует из «оптического» свойства парабoles: плоский пучок лучей, направленный на параблическое зеркало параблено его оси, после отражения от зеркала собирается в его фокусе.

Указание. При решении воспользоваться классическим определением парабoles: парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки,

$$a = \frac{Qq r_0}{mr_0 v_0^2 + 2Qq}.$$

Понск

Труд поисково-геологических эксперимений овяян романтикой: костры и песни под гитару, заросли и болота, проявления лучших и худших черт человекаческих, вспливующих на фоне трудностей… И нет зацелки для вместества «трезвого» математика.

Но это лишь на первый взгляд. Давайте приглядимся внимательнее, забудем на время о романтике и выясним, ради чего геологи организуют различные эксперименты, какая у них цель, как они ее достигают? Ясно, что в экспериментии геологии отправляются не только для собственного удовлетворения. Их цель — поиск полезных ископаемых.

Что же они делают? Ищут… И когда находят — это раздикок, радость: их тяжелый труд не пропал даром. Ибо бывают, что работа проходит вхолостую. Конечно, геологи действуют не вселеную, имеется огромный опыт предшествников, геологическая наука, новые и еще более новые методы геофизики, геохимии, геоморфологии и других гео…наук. И все равно случается, что деятельности поисковых партий терпит фиаско: в результате большой работы ничего не находят.

Но как-то нежорoso в наш век, в период научно-технической революции вместе действий наверняка

8

Жить по-старинке в ситуции «повезет — не повезет». И какется, что следует прикрикнуть на геологов, потребовать с них работы наверняка, раз им «создают все условия»…

Геологи цитут неklad, спрятанный пиратом от посторонних взоров, а подземные кладовые, где уголь и нефть, золото и волфрам, железо и уран — богатства, не сравнимые по масштабам с любыми кладами. И, конечно, они при поиске как-то оценивают свои шансы. Оценки эти до сих пор носят качественный характер, хотя опираются на различного рода информации, носящую как качественный, так и количественный характер.

Но сейчас во всех отраслях промышленности решается проблема оптимизации: надо все делать возможно быстрее,дешевле, с наиболееим количеством погрешностей и ошибок. И возникает необходимость учета всех причины, создающих помехи, средств для их предоления, необходимость количественной оценки качества проведенных работ.

Итак, речь пойдет о новом подходе к проблеме поиска полезных ископаемых, точнее, о проблеме поиска месторождения нефти и газа.

Что искать?

Поверхность Земли на много километров в глубину представляется собой многослойный бутерброд: через

дуотся пласты песчные, глинистые, известняки и т. д. Нефть или газ могут залегать лишь в пористых пластах, где между частичками породы имеются достоинные промежутки. Под влиянием всяких катализмовровные пласты осадочных пород изменили свою геометрию, появились вpidины и подъемы, горные кряжи и разломы. В большинстве случаев месторождении нефти и газа прироучены к подземным холмам с непроницаемой для жидкости или газа покрышкой; она может быть глинистой или соляной. Под этим плотным куполом находятся пористые пласты, в которых и залегает жидкость или газ. Поэтому первая задача геологов при поиске нефти или газа — это обнаружить подземные купола, или, как их называют геологи, локальные*) поднятия. Вот о поиске локальных поднятий и поддет сейчас речь.

Модель

Как составить себе представление о структуре земных пластов на глубине нескольких километров подверхность Земли? Ответ ясен: надо бурить скважины, отбирать с разных глубин куски породы — керн, и затем сопоставлять результаты исследований различных скважин. Но бурить много скважин — это очень дорого, бурение скважины на глубину 2—4 км стоит сотни тысяч рублей, а сейчас бурят и более глубокие скважины. И поэтому для получения предварительной информации использует различные косвенные методы, такие, например, как гравиизведка или электropазведение. Нанболее информативный среди них — сейчас моразведение.

Этот метод, простой по идее, но достаточно сложный при осуществлении, состоит в следующем (рис. 1). В неглубокой скважине производ взрыв (незначительный силы). Упругая волна — результат взрыва — рас-

*) Слово «локальный» означает местный, не выходящий за определенные пределы.

9

пространяется в толще Земли, отражаясь от границ раздела плacentов, образованных различными породами. Отраженная волна регистрации сейсмоприемником, расположенным на поверхности Земли — на дневной поверхности, как говоря геологи.

Если предположить, что граница, от которой регистрации отражения, является плоской, а скорость распространения упругих волн вдоль всего пути волны постоянна, то можно явно выписать зависимость времен прихода волны на дневную поверхность от координат сейсмоприемника и параметров среды. Эта зависимость носит в сейсморазведке название зодоредфа отраженной волны, а задача восстановления отражения границ по заданному годографу называется обратной kinematической задачей сейсморазведки. При сделанных предположениях эта задача однозначно разрешима, и такой метод используется на практике под названием метода эффективной скорости.

Введенные выше предположения в совокупности образуют так называемую модель реального среды. Та модель, которая используется в метода эффективной скорости, весма приближенного описывает реальный сигнал. Разумеется, ее можно было бы условить, чтобы приблизить к реальной среде. Но нам важно поддержить, что построение модели среды — неотъемлемая часть решения обратной kinematической задачи сейсморазведки. В той или иной форме она всегда присутствует при интерпретации данных сейсморазведки. Однако любая принятая модель лишь приближенно отражает действительное положение вещея. Это, конечно, не единственная трудность, возникшая при интерпретации сейсмических наблюдений: имеются еще аппаратные погрешности, наблюдаются искажения регистрации отраженной волны колбаниими, отражеными от других границ, и т. п. Но все же, как показывают и опыт, и общее рассуждение, источник наблюдений — это не

10

тая, то такие линни расположены густо, если пологая — редко.

Когда поверхность представляется собой купол, то ее линни уровня — замкнутые кривы, причем окрестности вершины купола соответствуют внутренняя, самая маленькая по размерам линия.

Итак, результатом сея сморазведочных работ является карта линний уровня изучаемого горизонтта, и если где-то на этой карте есть ряд замкнутых линей уровня, вложенных друг в друга, причем внутренние линии соответствуют меньшим глубинам, то эта часть карты соответствуют куполу — локальному поднятию.

Тепер нужно бурить скважину, чтобы выяснить, если ли в этом поднятинии нефть или газ. И каждому ясно, что бурить надо в вершине купола, то есть внутренние линии соответствуют меньшим глубинам, то эта часть карты соответствуют куполу — локальному поднятию.

Не подчас пробурят гервую скважину, а она не дает приока нефти или газа, затем бурят еще одну, две, три, и вот оказывается, что никакого локального поднятия нет, геофизическая информация о наличии купола оказалась ошибкой. Следовательно, зря бурили эти скважины, впустую потрачены больше средств и значительное время.

Как же это могло произойти? Кто в этом виненен? И главное: как избежать таких ошибок?

Вспомним выделенное выше слов при и женно. Глубины залегания, а следовательно, форма и расположение линей уровня определяются геофизками не точно, а с погрешностями, и порой с весма значительными.

Винить их в этом не нужно. Дело в том, что ошибки, как я выше говорил, это следствие как аппаратурных погрешностей, так и самого метода. И если аппаратурные погрешности можно заметно уменшить, то погрешности метода прициппально не устранны. Если бы нам были известны точно скорости характеристки среды, то есть скорости распространения упруго волны во всех пластах вдоль пути этой волны, то проблемы понска локальных поднятий вообще не существовало бы: добраться до локального поднятия прициппально было бы столь же легко, как добраться из Москвы в Киев, пользоваться компасом и точной географической картою.

Однако, когда карта линний уровня — ее называют структурной картою — уже нарисована (а далась она не даром — затрачены большой и квалифицированный труд, средства и время), то очень соблазнительно относиться к такой карте с доверением. Такова уж человекская природа: трудно все время относиться с недоверением к окружающейму, особенно, если проще этому верить. Да и что же здесь можно поделать: другой информации в распоряжении геофизика или геолого вроде бы и нет.

Формализация

О кладионскателей написано много, и я уверен, читатель легко восстанавливает в памяты соответствующие сюжеты. Всякий раз, когда кладионскатель стalkивает с трудностями, связанными с возможностью разных путей для достижения своей цели, он как-то оценивает свои шансы на каждом из путей. Но это оценка интуитивная, качественная. Если бы кладионскатель оказался кибернетик, то он прежде всего приложил бы усилия для выработки критерия количественной оценки шансов добиться успеха, а затем выбор пути на каждом шаг уже не представлял бы для него трудностей: надо было бы действовать так, чтобы критерий давал все время наобольшее из возможных значений.

В нашей задаче понска подземных кладовых — локальных поднятия — ситуация та же: нужно построить критерий для выбор на лучшей последовательности действия или, как принято сейчас говорить, для выбор на лучшей стратегии,

11

Заметим теперь, что информация, получаемая в ходе поискового процесса, носит статистический характер, и поэтому при построении критерия и выбора стратегий целесообразно воспользоваться вероятностным подходом.

Итак, речь пойдёт о подходе к поискову процессу с математическими позициями. Но для этого и сам процесс следует должным образом форматизовать.

Прежде всего нужно дать четкое определение изучаемому объекта — локальному поднятию.

Определим в каждой точке $Q$ с координатами $(x, y)$ на изучаемой части плоскости (дневной поверхности) функцию (расстояние от дневной поверхности до поверхности купола) $h = H(Q) \equiv H(x, y)$, значения которой описывают поерхность изучаемого горизонтта. Линяя уровня представляется собой множество тех точек $Q$, координаты которых удовлетворяют уравнению $H(x, y) = h_0$, где $h_0$ — определение число.

Локальное поднятие — это область на плоскости, орангищная замкнутой линий уровня при каком-то фиксированном значении $h_0$, внутри которой всёу $H(x, y) > h_0$.

Здесь следует сделать два замечания.

Во-первых, из определения вытекает, что внутри локального поднятия находится бесконечно много других локальных поднятий, либо внутри выбранных нами линии уровня лежат другие также замкнутые линии уровня. Впрочем, это многообразие нам не помещает.

Во-вторых, следует ограничить размеры изучаемых локальных поднятий. Действительно, весьма маленьку купола не имеет промышленного значения, а сликом больше могут вообще иметь другой смысл.

Позному практически на каждой территории нас интересют локальные поднятия, диаметр $D$ (то есть наибольшая хорда) которых заключен в некоторых пределах (между минимальным, меньше которого раз-

Рис. 3.

работка залежи перентабельна, и тем, который соответствует максимальной возможному размеру поднятия изучаемой территории).

На практике исходные данные сея сморазведки дают возможность определить глубины залегания изучаемого горизонтта лишь в некоторых отдельных точках, да и то с погрешностями. Затем если поерхность этого горизонтта определяется путем интерполяции (то есть приближение восстановления), и, конечно, положения точки этой поерхности будут еще менее точными.

Итак, положения точки изучаемой поерхности определятся с ошибками, а следовательно, и положения точки ее линии уровня тоже определятся с ошибками.

Для дальнейшего нам полезно изучения: мы будем интересовать не наличие или отсутствием в данной области локального поднятия, а будем выяснять относительно отдельных точек, принадлежат ли они к локальному поднятии.

Разобъем плоскость $(x, y)$ квадратной сетью с шагом $a$. Функцию $H(Q) \equiv H(x, y)$, описывающего поерхность локального поднятия, будем задавать только в узлах сети, и вместо произвольных кривых будем рассматривать лишь полигоны, то есть кривые, стороны которых идут вдоль линии сети. На рисунке 3 закрашена внутренность такого замк-

12

нутого полигона, охватывающего точку $Q_0$, которое мы также помещаем в узле сети.

Реальные локальные поднятия в платформенных сбластях — достаточно хорошо устроенные поверхности: они медленно меняются, и шаг сети выбирается так, чтобы между узлами не было резких колебаний этой поверхности. Тогда можно с достаточной точностью заменить предыдущее определение локального поднятия на следующие: точка $Q_0$ принадлежит локальному поднятию, если найдется хотя бы один замкнутый полигон, охватывающий точку $Q_0$, во всех узлах $Q_i$ которого изучаемая поверхность расположена ниже, чем в точке $Q_0$: $H(Q_i) < H(Q_0)$ для всех $i = 1, 2, \dots, n$.

Диаметр полигона предполагается при этом ограниченным, так же как и выше для произвольных линей.

Вероятностный подход

В соответствии с определением точка $Q_0$ либо принадлежит локальному поднятию, либо не принадлежит. Но наши знания о положении точек изучаемой поверхности содержат погрешности, носящие статистический характер. Поэтому утверждение о принадлежности точки $Q_0$ локальному поднятию может быть высказано лишь с использованием Введем соответствующее характеристики.

Именно, определяем в каждом изучаемой точке $Q$ с координатами $(x, y)$ изучаемой сбластей функции и до сtoberности $d(Q) \equiv d(x, y)$, представляющего собой вероятность того, что точка $Q$ принадлежит локальному поднятию.

Функция достоверности наглядо может быть задана так же, как и структурная карта — набором ее линей уровня. Точки, расположенные на этой линии уровня, с одинаковой вероятностью принадлежат локальному поднятию. При этом линии уровня функция достоверности, вообще, не совпадает с линейми уровня, не совпадает с линейми уровня.

Ня讶ерхости, которая строится по геофизическим данным.

Теперь возникает вопрос о том, как же построить функцию достоверности по информации, имеющей в распоряжении геофизиков. Отклонения значений глубины залегания, полученных в результате сея сморазедочных работ, от действительных значений глубины залегания изучаемой поверхности в каждой точке $Q$ — это случайные величины. Для изучения их вероятностных характеристик были сопоставлены с данными последующого бурения, которые, как значительно более точные, были приняты за действительные. Обработка данных на больших регионах ВолгоУральской нефтегазоносной провинции для возникновения della возможность выяснить вероятностные характеристики этих случайных величины.

В соответствии с последним определением нужно, чтобы нашелся хотя бы один замкнутый полигон, охватывающий точку $Q_0$, во всех узлах $Q_i$ которого значения функций $H(Q_i)$ будут меньше, чем $H(Q_0)$. Так как сами величины $H(Q_i)$ — случайны, то и собственные «найдется хотя бы один замкнутый полигон, охватывающий точку $Q_0$», — тоже случайное. Его вероятность и есть вероятность принадлежности точки $Q_0$ локальному поднятию, то есть значение функций достоверности $d(Q_0)$.

Зная вероятностные свойства случайных величины $H(Q_i)$, можно написать формулы для вычисления значений функций достоверности. Однако эти формулы очень громоздки, и для вычисления их использовать нецелесообразно.

Позному для вычисления значений функций достоверности используется другой примем, основанный на так называемом методе Monte-Karlo (или методе статистических испытаний). Здесь приходится уже воспользоваться быстроей вычислительной машиной. Но это tema отделной статьи. Сейчас лишь под-

13

черкуну, что именно на этом пути были получены окончательные результаты, о которых сейчас и понятет речь.

Некоторые результаты и перспективы

Сама собой направляется мысль: на структурную карту (то есть на карту линей уровня изучаемого горизонта, построенную по данным сея сморазведки) нанесены и значения функций достоверности. Можно даже, пользоваться общим приемами интерполяции, нанесения линей уровня функций достоверности (на рис. 2 и далее линей уровня функций достоверности нанесены красными линяями).

Тепер можно приступить к обсуждению того нового, что внесла в структурную карту функция достоверности.

Оказалось, что на участках, где наиболее значения функций достоверности были достаточно высокими (более 0,8), наблюдаются, как правило, совпадение локального поднятия, построенного по данным сея сморазведки, (будем его в дальнейшем называть геофизической поднятем) с реальным поднятем (см. рис. 4, где локальное поднятие закрашено).

При наиболее значениях функций достоверности порядка 0,5 — 0,6 часто отмечалось смешение геофизического поднятия от реального, причем участки с наиболее значениями функций достоверности тяготели по расположению к реальному поднятию (рис. 5 и 6). Из этого следует важный практический вывод: заключить поисковую скважину следует не в тех точках, которые оказались по геофизической построенной самыми высокими (то есть в своде геофизического поднятия), а в точках с наиболее значениями функций достоверности, либо с наиболее верятностью на обследуемой области принадлежат реальному локальному поднятию.

Наконец, геофизические структуры, на которых максимальные значения функций достоверности были более 0,35, как правило, оказались ложными; их наличие опровергались последующим бурением. В этом случае все затраты на разбуривание подобных ложных структур оказались непроизвольными.

14

Хочу заметить, что эти выводы были сделаны на основании очень большого экспериментального материала, по сотням геофизических поднятий, и, конечно, обработка геофизического материала для значительной большей сведений, чем здесь упомянуто.

Таким образом, новый подход к проблеме поиска и создании математической аппарат уже показал свою жизньеспособность и высокую эффективность в проблеме оценки достоверности при поиске локальных поднятий. Однако те же методы дают возможность построить функцию достоверности для оценки принадлежности точки к свойства локального поднятия (это существенно при выборе точки заложения первого поисковой скважины) и функцию достоверности для зоны водонефтяного контакта, то есть границы нефтяной залежи. Далее, используя функцию достоверности принадлежности точки локального поднятия, можно построить хорошего оценку средней площади, занимаемой локальным поднятием. Этот же прием дает возможность с новых позиций подойти к важнейшей проблеме подсчета запасов нефти (или газа) на месторождении. Таким образом, в области нефтегазовой геологии и геофизики методы, опирающиеся на функцию достоверности, уже принесли значительный эффект, и их последовательное использование приведет к еще большим успехам.

Но здесь мне хотелось бы подчеркнуть, что методы вероятностного поиска с успехом могут быть использованы и при решении других поисковых задач в геологии, да и многих аналогичных задач из других области науки и техники.

Художник снадил ее подписью: «Без слов». Мы предложаем другую подпись: «Может ли быть такое?》 Пробуйте оценить карикатуру с этой точки зрения.

В. Алексадров

20

merених 1969 года значительное меншше, чем в измерениях 1963 года.

Эти измерения хорошо инллюстрируют связи, которая имеется между значениями фундаментальных постоянных: существенное изменение значения одной из них влечет за собой заметные изменения значений остальных величины.

Интересно также наблюдать, как меняется нашей значение фундаментальных постоянных по мере развития физики. В качестве характераного примера мы приводим на рисунке 2 график, который показывает, как менялось приятие значения массы электрона в период после 1950 года. Около каждой точки указаны значения $m_e$ (в единицах $10^{-31}$ ке). Вертикальные церточками показаны погрешности, приписываемые этим значением.

По оси ординат отложены относительные отклонения значений $m_e$ от значения, принято в 1969 году.

Этот график наглядно показывает, что ни одну совокупность фундаментальных постоянных нельзя принимать за истину в последней инстанции. Мы можем надеять, что значения 1969 года близке к истине, чем предшествующие. Однако, будучи реалистами, мы не можем ответнуть возможно того, что в будущем могут потребоваться дальнейшие существенные изменения численных значений постоянных. Здесь в полное уместо привести слова Гёте: «Не ошибается лишь тот, кто ни к чему не стремиется».

ЧERO же следует ожидать в будущем? Можно ли непрерывно совершенствовать измерения, чтобы с их помощью удалить получать все более точные значения постоянных? Будут ли в дальнейшем совершенствовать теории, извлекая ползу из уточненных значений постоянных, так что можно будет производить все более строгие сопоставления теории и опыта? На все эти вопросы ответ, безусловно, положительный. Можно считать общим правилом, что когда существующие методы достигают своего predела возможно℃, открываются новые явления и получают новый толчок эксперимент и физическая теория.

Рис. 2.

21

Лаборатория «Кванта»
В. В. Майер

Опыты с инфракрасным излучением

Приемником инфракрасного излучения может служить самодельный фототранзистор. Его нетрудно изготовить, спилив головку металлического корпуса любого мощного трансистора (например, П-210). Такой фототранзистор реагирует практическим только на инфракрасные лучи, неисредственно примыкающие к видимой области спектра.

Если на изготовленный вам фототранзистор направить свет от включенной в себя переменного тока лампы накапливания, на его выводах появится переменное напряжение частотой 100 $2\mu$. Величина этого наприряжения очень мала, ее следует усилить.

Схема простейшего представления изображена на рисунке. В качестве трансисторов $T_2$ и $T_3$ можно использовать любые низкочастные трансисторы. Питание усилителя осуществляется от батареи карманного фонаря КБС-Л-0,50.

$$R_1 = 2 \text{ ком}; R_2 = 100 \text{ ком}; R_3 = 10 \text{ ком}; R_4 = 100 \text{ ком}; R_5 = 10 \text{ ком}; T_2 \text{ и } T_3 \text{- любые низкочастные трансисторы.}$$

Транзистор $T_1$ можно включить и иначе — использовать выводы эмметтер — база. При этом вывод базы подключается к плосу батареи, а сопротивление $R_1$ нужно взять равным 30 ÷ 50 ком.

При правильной сборке прибор начинает работать сразу при включении питания. Наладка заключится в подборе величины резистора $R_1$.

Выход предварительного успешителя при помощи экранированного провода следует подключит к гнездам «звукоиспimatель» любого промышленного радиоприемника или проигрывателя (можно использовать и самодельный успешель низкой частоты). При освешении фототранзистора светом включенной в себя лампы накапливания вы услышите звук частотой 100 $2\mu$. (Если сильный «фон» переменного тока слышен и без освешения транзистора, то предварительный успешель следует заключит в металлической коробку, соединенную с «землей» устройства, — это уменьшит наводки из сети.)

Теперь, когда у вас есть примник инфракрасного излучения, попробyte ответить на следующие вопросы:

1. Почему при освешении фототранзистора лампой накапливания, включенной в себя переменного тока, из диамина усилите сышен звук («фон») частотой 100 $2\mu$?

2. Как, не меняя схемы примника, существенно усилить звук?

3. Убедитесь, что датчик действияrielно реагирует на инфракрасные лучи (пластника збонита толщиной 0,5—1 мм полностью задерживает видимый свет и пропускает инфракрасные лучи).

4. Полытайтеесь найти какой-нибудь инфракрасный фильтр (попробyte использовать, например, различные типы фотографических светофильтров).

5. На пути пучка света, падающего на phototransistor, расположите два поляроида (их можно взять из школьного набора по поляризация света). Вращайте один из поляроидов вокруг его оси. Что вы при этом наблюдаете? Какие выводы вы можете сделать из своих наблюдаений?

6. Докажите закон отражения для инфракрасных лучей.

7. Проверьте, фокусируются ли инфракрасные лучи линзой?

8. Какие эксперименты по изучению свойства инфракрасного излучения вы можете еще поставить?

23

Так последовательно мы можем получить с помощью тождества (3) выражения для $S_3(n)$, $S_4(n)$ и т. д.

В эффективности таких формул вы можете убедиться, продолжав некоторые конкретиные вычисления. Например, с помощью полученного выражения для $S_2(n)$ такая большая сумма, как $1^2 + 2^2 + \ldots + 99^2 + 100^2$ находится очень быстро: $S_2(100) = 338350$. А сколько потребовалось бы времени для последовательного сложения!

§ 2. Вместо $q$ членов — один

Итак, к каждой из формул для вычисления сумм $S_q(n)$, $q = 1, 2, \ldots$ можно последовательно принять с помощью общего соответствия (3). Такие соответствия, которые определяют новый член неокоторой последовательности по ее предыдущим членам, называются рекуррентными.

Конечно, более предопчитательными является также рекуррентные соответствия, которые содержат в правой части возможного меньше членов, — в лучшем случае только один: предшествующий определяемому.

Для последовательности сумм $S_q(n)$ такое простое рекуррентное соответствует.

Для того чтобы его записать, ведем следующие обозначение. Пусть $P_m(n)$ — неокоторый многочлен степени $m$ относительно $n$:

$$P_m(n) = a_0n^m + a_1n^{m-1} + \ldots + a_{m-1}n + a_m.$$

Тогда $P_m^*(n)$ — это многочлен степени $m+1$, получающийся из многочлена $P_m(n)$ заменой в нем степени $n^k$ выражениями:

$$\frac{n^{k+1}-n}{k+1} \quad (k=0, 1, \ldots, m).$$

Очевидно следующее простое свойство: если $P(n)$ и $Q(n)$ — два много-

24

Воспользовемся теперь тем, что
$$1 - C_{m+1}^1 + C_{m+1}^2 - \cdots + (-1)^{m+1} C_{m+1}^{m+1} = 0$$
и, следовательно,
$$C_{m+1}^2 - C_{m+1}^3 + \cdots + (-1)^{m+1} C_{m+1}^{m+1} = C_{m+1}^1 - 1 = m.$$
Замечая еще, что
$$C_{m+1}^k \frac{m-k+1}{m+1} = C_{m}^k$$
и использует свойство (4) операции*, получим такое выражение для $S_m(n)$:
$$S_m(n) = \frac{n^{m+1} + nm}{m+1} + [C_m^2 S_{m-2}(n) - C_m^3 S_{m-3}(n)]^*.$$
Полягая в (3) $q = m-1$, получим, что выражение в квадратных скобках равно $mS_{m-1}(n) - n^m$, следовательно, $S_m(n) = \frac{n^{m+1} + nm}{m+1} + [mS_{m-1}(n) - n^m]^* = \frac{n^{m+1} + nm}{m+1} + mS_{m-1}^*(n) - \frac{n^{m+1} - n}{m+1} = n + mS_{m-1}^*(n).$
Таким образом, (5) верно и для $q = m$. Теорема доказана.
Пример. Предположим, вы знаете, что
$$S_3(n) = \frac{1}{4} (n^4 + 2n^3 + n^2).$$
Найдем выражение для $S_4(n)$:
$$S_4(n) = n + 4S_3^*(n) = n + (n^4 + 2n^3 + n^2)^* = n + \frac{n^5 - n}{5} + 2 \frac{n^4 - n}{4} + \frac{n^3 - n}{3} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}.$$
§ 3. Общая формула
Бином Ньютона, однако, может даить значительное больше, чем тожество (3), доказанное в § 1.

Рассмотрим следующие преобразования (м и n предполагаются натуральными числами):
$$m^n - 1 = [(m-1) + 1]^n - 1 = (m-1) C_n^1 + (m-1)^2 C_n^2 + \cdots + (m-1)^n C_n^n.$$
Пусть $m \neq 1$. Разделив обе части тождества на $m-1$, получим
$$1 + m + m^2 + \cdots + m^{n-1} = C_n^1 + (m-1) C_n^2 + \cdots + (m-1)^{n-1} C_n^n.$$ (6)
Это равенство справедливо для всех натуральных $m$ и $n$, в том числе и для $m=1$ (в этом случае оно оченьindo). Поскольку слева и справа мы имеем многочлены степени $n-1$ относительно $m$, то это возможно лишь в том случае, если многочлены тождественно равны, то есть их коэффициенты совпадают (в данном случае все они равны единице). Если раскрыть скобки в правой части (6) и приравнять коэффициенты при $m^k$, $k=0, 1, \ldots, n-1$, единице, то получится ряд тождеств, связывающих биомпальные коэффициенты. Для нас важно следующее: если степени $m^k$, $k=0, 1, \ldots, n-1$ слева и справа в (6) заменить любыми числами $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$, равенство не нарушится: ведь коэффициенты перед числами $a_k$ останутся равными единице! Таким образом, мы приходим к следующему тождеству, верному для любых чисел $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$:
$$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = C_n^1 + (a_1 - a_0) C_n^2 + (a_2 - 2a_1) + a_0) C_n^3 + \cdots + [a_{n-1} - C_n^1 a_{n-2}) + C_n^2 a_{n-3} - \cdots + (-1)^{n-1} C_n^n.$$ (7)
Теорема 2. Сумма $S_q(n)$ в общем случае может быть вычислена по формуле
$$S_q(n) = C_n^1 + (2^q - 1) C_n^2 + (3^q - 2 \cdot 2^q + 1) C_n^3 + \cdots + [(q+1)^q - C_q^1 q^q + C_q^2 (q-1)^2 - \cdots + (-1)^q] C_n^{q+1}.$$ (8)

25

Доказательство. Положим в точдестве (7) $a_k = (k+1)^q$, $k=0, 1, \dots, n-1$ и рассмотрим вначале значения $n \leq q+1$. Так как в этом случае $C_p^n = 0$ для $p > q+1$, то из (7) вытекает формула (8) при условии $1 \leq n \leq q+1$. Однако следует и справа мы имеем многочлены степени $q+1$ относительно $n$ без свободного члена и, следовательно, они должны совпадать для всех $n$. Действительно, в противном случае их разность многочлен степени не выше $q+1$ – имеем $q+2$ вещественных корня: $0, 1, 2, \dots, q+1$.

Попытайтесь самостоятельно доказать, что тогда этот многочлен тоже действно равен нулю *).

Формула (8) представляется сумму $S_q(n)$ в виде линейной комбинации сочетаний $C_n^1, C_n^2, \dots, C_n^{q+1}$.

$$S_0(n) = C_n^1,$$
$$S_1(n) = C_n^1 + C_n^2,$$
$$S_2(n) = C_n^1 + 3C_n^2 + 2C_n^3,$$
$$S_3(n) = C_n^1 + 7C_n^2 + 12C_n^3 + 6C_n^4,$$
$$S_4(n) = C_n^1 + 15C_n^2 + 50C_n^3 + 60C_n^4 + 24C_n^5,$$

и т. д.

Исследовать любопытные закономерности, возникшие между коэффициентами этих комбинаций, например, законы образования коэффициентов по стольцам, представляем читателем.

Приведем в заключение еще несколько задач о суммах $S_q$.

Упражнения

1. Покажите, что
   $$S_1 = S_1,$$
   $$2(S_1)^2 = 2S_3,$$
   $$4(S_1)^3 = 3S_5 + S_3,$$
   $$8(S_1)^4 = 4S_7 + 4S_5,$$

*) Если вам не удалось это сделать, мы можете найти доказательство в «Кванте» № 12, 1972, стр. 37

и вообщество, что при $k=1, 2, 3, \dots$

$$2^{k-1}(S_1)^k = C_k^1 S_{2k-1} + C_k^3 S_{2k-3} + C_k^5 S_{2k-5} + \dots,$$

причем последний член стоящего справа выражения равен $S_k$ либо $kS_{k+1}$, в зависимости от того, нечетно $k$ или четно.

2. Покажите, что

$$3S_2 = 3S_2,$$
$$6S_2S_1 = 5S_4 + S_2,$$
$$12S_2(S_1)^2 = 7S_6 + 5S_4,$$
$$24S_2(S_1)^2 = 9S_8 + 14S_6 + S_4$$

и вообщество, что при $k=1, 2, 3, \dots$

$$3 \cdot 2^{k-1}S_2(S_1)^{k-1} = (C_k^0 + 2C_k^1)S_{2k} + (C_k^2 + 2C_k^3)S_{2k-2} + \dots,$$

причем последний член стоящего справа выражения равен либо $(k+2)S_{k+1}$, либо $S_k$, в зависимости от того, нечетно $k$ или четно.

3. Покажите, что

$$S_3 = (S_1)^2,$$
$$S_5 = (S_1)^2 \cdot \frac{4S_1 - 1}{3},$$
$$S_7 = (S_1)^2 \cdot \frac{6(S_1)^2 - 4S_1 + 1}{3},$$

и вообщество, что $S_{2k-1}$ (где $2k-1 \geq 3$) является многочленом от $S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$ степени $k$, делящимся на $(S_1)^2$.

4. Покажите, что

$$S_4 = S_2 \cdot \frac{6S_1 - 1}{5},$$
$$S_6 = S_2 \cdot \frac{12(S_1)^2 - 6S_1 + 1}{7},$$
$$S_8 = S_2 \cdot \frac{40(S_1)^3 - 40(S_1)^2 + 18S_1 - 3}{15},$$

и вообщество, что $\frac{S_{2k}}{S_2}$ является многочленом степени $k-1$ от $S_1$.

5. Докажите, что при $k \geq 1$ (но не при $k=0$)

$$S_k (-x-1) = (-1)^{k-1}S_k(x).$$

6. Найдите сумму: $1 + 27 + 125 + \dots + (2n-1)^3$.

7. Найдите сумму: $2^2 + 5^2 + 8^2 + \dots + (3n-1)^2$.

26

Правильные многогранники — тетраэд, octaэд, гексаэдр (куб), дodeкаэдр и икосаэдр — приято называть платоновыми телами*).

Платоновы тела рассматриваются в школьных учебниках, в том числе в учебнике А. П. Киселева «Геометрия», часть вторя.

Напомним определение правильного многогранника, данные в этом учебнике: «Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны». Из этого определения следует, что в правильных многогранниках равны все плоские углы, все двугранные углы и все ребра. В учебнике доказывается, что никаких других правильных многогранников, кроме платоновых тел, (см. 4-ю страницу обложки) быть не может.

Доказательство приводится в полне строе. И все же правильных многогранников не пять, а девять. Их вы видите на обложке нашего журнала. Дело в том, что у остальных четырех многогранников (их мы в дальнейшем будем называть звездчатыми) грани — пересекающие правильные многоугольники, а у двух из них каждая из граней представляет собой самопересекающийся многоугольник. Такие многоугольники и многогранники в курсе А. П. Киселева из рассмотрения исключены, хотя приведенное выше определение правильного многогранника, как и следствие из него, осталось в силу.

Тепер немного источника. Два звездчатых многогранника были построены Иоганном Кеплером (1571—1630). Только спустя без малого действия лет французский геометр Луи Пуансо (1777—1859) указыва на существование еще двух правильных звездчатых многогранники.

*) Древнегреческий философ Платон (427—347 гг. до н. э.), который упомянул о правильных многогранниках в одной из своих работ, на самом деле не являлся их первоткрытелем. Тетраэд, гексаэдр и дodeкаэдр были известны задолго до Платона. Например, при раскопках найдена модель дodeкаэдра, служившая детской игрушкой более 2500 лет назад.

27

ков. (Все четыре звездчатых многограника приведены на 2-й странице обложки.) Доказать, что других правильных многограников не существует, Пуансо не сумел.

Спустя год (в 1811 году) это сделал французский математик Огюстен Луи Коши (1789—1857). Он воспользовался тем, что согласно определению правильного многограника, его можно наложить на самого себя так, что произвольная его грань совместится с наперед выбранной. Из этого следует, что все грани звездчатого многограника равноудалены от некоторой точки — центра сферы, вписанной в многограник.

Плоскости граней звездчатого многограника, пересекаясь, образуют еще и правильный выпуклый многограник, то есть платоново тело, описанное около той же сферы. Это платоново тело Ксши назвал ядром данного звездчатого многограника. Тем самым звездчатый многограник можно получить, продолжая плоскости граней одного из платоновых тел.

Любое ли платоново тело может служить ядром правильного звездчатого многограника? Чтоы разобраться в этом, обратимся к многогранным углам звездчатого многограника. Плоские углы такого многограниного угла равны и благодаря ратенству соответствуют двум гранных углов могут быть совмещены друг с другом поворотом многогранного угла относительно оси, проходящей через его вершину. Одновременно с совмещением плоских углов совместятся и соответствуют грани ядра, повернуть его вместе со звездчатым многограником.

На рисунках 1, 2 и 3 выделены грани ядер — дodeкаэдра и икосаэдра, которые генерируют друг в друга при таких поворотах, и показаны многогранные углы, к которым приводит продолжение граней.

На рисунке 4 рассмотрен случай, когда продолжение ребер правильного многограника, октаэдра, приводит к образованному неодного, а двух правильных многограников — пересекающихся тетраэдров.

Доказите самостояльно, что никакие другие повороты платоновых тел и соответствующие продолжения их граней не приводят к образованному новых правильных многограников.

В. Н. Березин

28

Задачик «Кваenta»

Решения задачи из этого номера можно посылать не позднее 30 июня 1973 года по адресу: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Кваент».
После.adреса на конверте написите, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Кваenta», М201, М205» или «… Ф215».

Решения задачи по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Орценальные задачи, предлагаемые для публикации, просылайте вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте пометьте: «Задачик «Кваenta», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

Задачи из разных номеров журнала присылайте в разных конвертах. После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Задачи повышенной трудности отмечены звездочек.

Задачи
M201—206; Ф213—217

M201. Прямая $l_1$ пересекает стороны $a$; $b$ и $c$ треугольника (или их продолжения) в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно; прямая $l_2$ пересекает их в точках $A_2$, $B_2$ и $C_2$. Докажите, что если точки $A_1$ и $A_2$ симметрины относительно середины стороны $a$, а точки $B_1$ и $B_2$ симметрины относительно середины стороны $b$, то точки $C_1$ и $C_2$ симметрины относительно середины стороны $c$.

Нуем Конг Кви (Ханой)

M202. Докажите, что из последовательности $a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ...$, является бесконечной arithmetic progression ($d \neq 0$), тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющийся бесконечной геометрической прогрессей, когда относение $a/d$ разнонально.

Н. Б. Васильев

M203. a) Докажите, что если проекции точки пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ на прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соединить последовательно четырьмя прямыми (рис. 1), то эти прямые будут касаться одной окружности.

б) Сформируйте и докажите обратную теорему.

Рис. 1.

M204. Наозем натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1973, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число $n$, что среди всех $n$-значных чисел (от $10^{n-1}$ до $10^n$ — 1)

29

большие хороших, чем плохих. Пострайтесь найти возможность меньше такое $n$.

Г. А. Гуревич

М205.* 24 студента решили 25 задач. У преподавателя есть таблица $24 \times 25$, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказаюсь, что каждую задачу решил хотя бы один студент *). Докажите, что

a) можно отметить неокоторы задачи «галочка» так, что каждый из студентов решил четное число (в частности, быть может, нуль) из отмеченных задач;

b) можно отметить неокоторы из задач знаком «+», а неокоторы из остальных — знаком «—» и припись каждой задаче неокоторе целое положительное число баллов так, что каждый студент набрал поровну балов за задачи, отмеченные знаками «+» и «—».

(Замечание. Эти утверждения верны только в том случае, если количество задач была на единицу большие количество студентов.)

Ф213. Максимальное допустимая скорость движения автоматически по скользкой дороге при прохождении поворота радиуса $R$ равна $v_{\max}$. На повороте дорога наклонена под углом $\alpha$ к горизонту. Какова минимальная скорость, с которой должен двигаться автоматically, чтобы проехать поворот?

Ф214. В схеме, изобравенной на рисунке 2, $R_1 = 10$ ком, $R_2 = R_3 = 5$ ком, а к klemmam 1—2 приложено переменное напряжение $U = 127$ в. Диоды можно считать идеальными — при одном направлении тока их сопротивление бесконечного мало, при другом — бесконечно велико. Найти, какая мощность выделяется на сопротивлении $R_1$.

Л. П. Баканина

*) Мы надеемся что аналогичное утверждение будет верным для задач М181—M205, тем более, что читатель «Квана» много больше 24.

Рис. 2.

Ф215. Два мыльных пузыря радиусов $R_1$ и $R_2$ сливаются в один пузырь радиуса $R_3$. Найти атмосферное давление, если коэффициент поверхностиного натяжения мыльной пленки равен σ.

Ф216. Вставая и приседая в определенные моменты времени, мальчик на качелях легко увеличит амплитуду своих качаний. Объясните, почему это удается.

Ф217*. Электронно-лучевая трубка сускорющим напряжением $U$ помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B$, направленной вдоль оси трубки. На экране при этом наблюдается небольшое распливчатое пятно. Если менять величину индукции, то можно заметить, что при неокотории значения $B_0$, $2B_0$, $3B_0$, … электронное пятно фокусируется — собирается в точку. Объясните это явление. Как с помощью такого эксперимента определять отношение заряда электрона к его массе?

32

ОА₂, что и вершина A₁ (заштрихована та сторона отрезков, к которой примыает озеро). Значит, точки A₁ и A₃ находится по разные стороны прямой OA₂.

Пусть точка X движется по беггу озера (от A₁ к A₂, от A₂ к A₃ и т. д.). Когда X движется от A₁ к A₂, отрезок OX врашается в некоторую сторону (например, пусть он врашается по часовой стрелке). Так как A₁ и A₃ лежат по разные стороны отрезка OA₂, то при движении точки X от A₂ к A₃ отрезок будет враться в ту же сторону. Рассуjdая аналогично с точки A₂, A₃, A₄, …, мы видим, что при движении от A₃ к A₄, ст A₄ к A₅ и т. д. отрезок OX врашается в ту же сторону.

Когда отрезок OX совершит полный оборот, точка X совпадает с точкой A₁. Действительно, предположим, что точка X не свпала с A₁; например OX < OA₁. тогда при дальнейшем движении точка X не может попасть в точку A₁, так как она не может выйти за пределы многоугольника DA₂A₃…A₄k+1 (рис. 2) — готов многоугольника к замкнется.

Следовательно, внутри ΔOA₁A₂ не попадет ни одна точка кобытура, и берег A₁A₂, а значит, и все берега озера из точки O видны.

2. Пусть из точки O видны все бегга озера. Рассмотрим сторону l = CB многоугольника A₁…Aₙ. Тогда ясно, что ΔOCB лежит полностью внутри озера, значит, точка O лежит внутри D₁. Таким образом, точка O лежит внутри всех полупоскостей D₁, то есть лежит внутри D.

Итак, мы показали, что множество точки, из которых видны все бегга, совпадает с многоугольником D и, значит, либо пуст, либо является выпukлым многоугольником с числом сторон m, где m ≤ n.

И. Н. Берништейн

M162. Последовательно нагуральных чисел a₁ < a₂ < a₃ < … < aₙ < … (A) макова, что каждое нагуральное число любое в последовательность (A) любое предложение.

иставляемся в виде суммы двух чисел из последовательности (A), быть может, одинаковых.

Докажите, что a ≤ n² для всех n = 1,2, …

Рассмотрим первые (n−1) членов последовательности (A)

a₁, a₂, a₃, …, aₙ−1, (1)

и все натуральные числа, которые можно представить в виде суммы двух из этих чисел:

a₁ + a₁, a₁ + a₂, a₁ + a₃, …, a₁ + aₙ−1, a₂ + a₂, a₂ + a₃, …, a₂ + aₙ−1, aₙ−1 + aₙ−1. (2)

Нетрудно подчитать, что здесь написано $\frac{n(n−1)}{2}$ попарных сумм. Далее все числа (1) и (2) различны, все равно их общее количество не превышает n.

Таким образом, найдется натуральные числа от 1 до n², которые не содержат среди чисел (1) и (2). Поэтому, если последовательность (A) удовлетворяет условию задачи (каждое нагуральное число может быть представлено в виде суммы не более двух чисел из (A)), то aₙ ≤ n².

Из нашей рассуждения можно получить и более точную оценку:

aₙ ≤ $\frac{n²+n}{2}$. (3)

Интересно выяснить, нельзя ли получить еще лучшую оценку. Последовательность, удовлетворяющей условию задачи, которые удовлетворяют условию задачи, как легко видеть, при n = 2k

aₙ = a₂k = 2k² − (k−1)² =

= k² + 2k − 1 = $\frac{n²+4n-4}{4}$. (4)

Однако, хотя оценка (4) для aₙ при n = 2k лишь примерно вводе хуже (3), но с ростом n расхождения между aₙ и $\frac{n²+n}{2}$ сильно увеличивается: ведь aₙ растет как линейная функция от n.

2. Расмотрим последовательность всех нагуральных чисел, представимых в виде

33

суммы двух квадратов целых чисел:
1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20 …

Поскольку каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов *), эта последовательность тоже удовлетворяет условию задачи. (Как можно доказать, она растет быстрее любой линейной функции от $n$: $\lim_{n \to \infty} a_n/n = \infty$, но медленнее $n^2$: $\lim_{n \to \infty} a_n/n^2 = 0$. Оказывается, $a_n$ растет примерно как $n\sqrt{\ln n}$.

M163. Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то проекции их точки пересечения на все четыре стороны (или их продолжения) лежат на одной окружности.

Многие читатели правильно указыли, что добавка «или их продолжения» в условия не нужна, поскольку перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла, не может не попасть на гипотенуzy.

Заметим, что если из основания высоты $BH$ произвольного треугольника $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$ (рис. 3) опустить перпендикуляры $HK$ и $HN$ на стороны $BC$ и $BA$ соответственно, то треугольники $KBN$ и $ABC$ подобыны (угол $B$ общий и $AB \cdot BN = BH^2 = BC \cdot KB$, то есть $AB : BC = KB : BN$), поэтому $BKN = BAC$ (и $BNK = BCA$).

Используя это, легко проверить, что углы, обозначенные на рисунке 4 одинаковыми буквами — $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$, равны друг другу, поэтому сумма противоположных углов $K$ и $M$ четырехугольника $KLMN$ равна $(\pi - \alpha - \beta) + (\pi - \gamma - \delta) = (\pi - \beta - \delta) + (\pi - \alpha - \gamma) = \pi$, поэтому он вписяный.

*) См., например, задачу 249 из книги Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова, И. М. Яглома «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арфметика и алгебра». «Нayka», М., 1965.

Верно и обратное: если в четырехугольнике $ABCD$ основания перпендикуров, опущенных из точки пересечения диагоналей на стороны, являются вершинами вписанной четырехугольника, то диагонали $ABCD$ перпендикурины. Это доказывает точно так же.

M164. На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполненной верхнюю полуплоскость (рис. 5), записаны какие-то числа так, что для каждой черной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках, справа и слева, равна сумме двух других чисел, сумма их с соседних с ней клетках, сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке $n$-й строки (олубой крестик на рисунке), а пребутся узнать число, стоящее над ним в $(n + 2)$-й строке (красный знак вопроса на рисунке). Солько еще чисел, стоящие в двух нижних строках (олубые точки на рисунке), нужно для этого знамь?

Введем следующие обозначения (см. рис. 6): $x$ — неизвестное число в $(n + 2)$-й строке, $d_n$ — данное число в

34

Рис. 6.

$n$-й строке. Числа $a$ и $b$ нам не даны, но известно что $x + d_n = a + b$, откуда $x = d_n + (a - d_n) + (b - d_n)$. Так как $b + d_{n-1} = d_n + b_n$, то $b - d_n = b_n - d_{n-1}$. Аналогично

$$b_n - d_{n-1} = b_{n-1} - d_{n-2} = \dots = b_1 - d_0.$$

Тем самым, $b - d_n = b_1 - d_0$. Точно так же

$$a - d_n = a_n - c_{n-1} = a_{n-1} - c_{n-2} = \dots = a_1 - c_0.$$

Значит, $x = d_n + (a_1 - c_0) + (b_1 - d_0)$.

Итак, чтобы определить $x$, нужно, кроме $d_n$, знать всего 4 числа $a_1, b_1, c_0$ и $d_0$ в первой и нулявой строках.

Нельзя ли обойтись меньше, чем четырьмя числами?

В выраженном случае (при $n = 0$) можно: тогда $x = a_1 + b_1 - d_0$ (см. рис. 7), и, кроме $d_0$, достаточно знать только два числа ($a_1$ и $b_1$).

При $n \geq 1$ обойтись меньше, чем четырьмя числами, нельзя, причем, кроме $d_n$, нужно знать именно числа $a_1, b_1, c_0$ и $d_0$: если хотя бы одно из этих чисел известно, то значение даже всех остальных чисел в первой и нулявой строках не дает возможность определить $x$. Докажем это.

Рис. 7.

Пусть, например, число $a_1$ неизвестно (см. рис. 6). Тогда ничего не мешает задать его произвольно. Это было бы содержению оценидно, если бы число $d_n$ не было известно. В этом случае числа первого и нулявой строк не связаны никакими соответствиями, — их можно задать все содержению произвольно, а по ним определить все остальные числа (сначала во второй строке, затем в третьей, и т. д.). При этом $d_n = P - N$, где $P$ — сумма чисел первого строки, стоящих между $a_1$ и $b_1$ (исключая сами $a_1$ и $b_1$), а $N$ — сумма чисел нулявой строки, стоящих между $c_0$ и $d_0$ (исключая сами $c_0$ и $d_0$); равенство $d_n = P - N$ легко доказывается индукцией по $n$; при этом нужно воспользоваться выведенной ранее формулой $x = d_n + (a_1 - c_0) + (b_1 - d_0)$.

Таким образом, $d_n = P - N$ — единственное соответствие, связывающее $d_n$ и числа нулявой и первой строки; $a_1$ в него не входит. Значит, зная $d_n$ и все числа нулявой и первой строки, кроме $a_1$, мы не можем определить $a_1$, — наоборот, оно может быть задано произвольно. Но, зафиксировав $b_1, c_0, d_0$ и $d_n$ и придавая $a_1$ различные значения, мы будем получить разные значения и для $x$.

Итак, знание $a_1, b_1, c_0$ и $d_0$ необходимо и достаточно для определения $x$ при даннойом $d_n$.

М. Л. Гервер.

Ф178. В закрытом кубищеком сосуда с ребром 1 см имеет $n$ молекул газа. Стенки кубика маковы, что молекул газа, попава на стенку, осталось на ней $10^{-2}$ с. Оценить, сколько молекул газа находится на стенке, ко времене $t$ ее полета от одной стены до другой:

$$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\tau}{t}.$$

Так как $n_1 + n_2 = n$, то

$$\frac{n_1}{n} = \frac{\tau}{t + \tau}.$$

Отсюда

$$n_1 = n \frac{\tau}{t + \tau} = n \frac{1}{1 + \frac{t}{\tau}}.$$

Оценим величины $t$. Средняя квадратическая скорость молекул газа с молекулярной массой $\mu$ при температуре $T^\circ$ К равна

$$\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}.$$

35

Для определения будем считать, что все молекулы движутся с такой скоростью перpendикулярно к стенкам сосуда. Тогда время, за которой молекula пролетит расстояние $l$ между стенками, равно

$$t = \frac{l}{\bar{v}} = \frac{l}{\sqrt{\frac{3RT}{\mu}}},$$

и

$$n_1 = n \frac{1}{1 + \frac{l}{\tau} \sqrt{\frac{\mu}{3RT}}}.$$

Пусть в сосуде находится возможность ($\mu = 29 \text{ кД/кмоль}$) при температуре $T = 300^\circ \text{K}$. Подставляя в формулу для $n_1$ значения всех величины, получим

$$n_1 = n \frac{1}{1 + \frac{10^{-2}}{10^{-2}} \sqrt{\frac{29}{3 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 10^3 \cdot 300}}} \approx n \frac{1}{1 + 0.02} \approx 0.98 n.$$

Ф179. Подвесная лодка, поружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сценагаzdролокаторадимельностью $\tau_0$ в направлении дня. Димельность отраженных сценалов, изменяемыхzdролокустимом на лодке, равна $\tau$. Какова скорость поружения лодки?

Скорость звука в воде $V$. Дно горизонтально.

Рассмотрим, с чем связано изменение длиательности сгинала. Для этого удобно перейти от длиательности сгинала к его протяженности. Пусть сгинал, излучаемый гидролокатром на лодке, имеет форму, показанную на рисунке 8, то есть его интенсивность скачком меняется от нуля до неокоторой величины в момент времени $t$, остается постоянной в течение времени $\tau_0$ и опять скачком падает до нуля в момент времени $t + \tau_0$. Если лодка неподвижна, то протяженность излучаемого сгинала (расстояние между передним и задним фронтами) равна $l_0 = V \tau_0$. Если лодка опускается, протяженность сгинала становится меньше. Дейстивительно, пусть

$$\tau = \frac{l_1}{V + u} = \frac{(V - u) \tau_0}{(V + u)}.$$

Отсюда

$$u = V \frac{\tau_0 - \tau}{\tau_0 + \tau}.$$

Ф180. В однородное электрическое поле, направленность короткого равна $E$, внесли металлический шар. Известно, что плотность поверхности загрязнов на «полoce» шара в момент $A$ (рис. 10) равна $\sigma_0$. Определить плотность поверхности загрязнов в момент $B$, направленное на коротую из чентира шара составляемую угол $\alpha$ с направлением внешнего электрического поля.

Очевидно, что распределение наведенных на шар зарядов должно быть симметричным относительно оси $AC$. Так как в целом шар

36

Электронный транален, то заряды выше и ниже «экватара» имеют разные значки. Следовательно, на втором полюсе $C$ плотность поверхностных зарядов равна $-\sigma_0$, а на эквatoре она равна нулю.

Поскольку заряды на поверхности проводника всегда распределяются так, что их плотность пропорциональна напряжению электрического поля, то можно считать, что плотность наведенных зарядов $S$ в каждой точке шара будет пропорциональна напряжению внешнего поля $E$:

$$\sigma \sim E.$$

(Это следует также из сообщений размерностей — размерности $\sigma$ и $E$ одинаковы).

Воспользовемся принципом суперпозициии и разложим поле с напряженною $E$ в точке $B$ на две составляющие (рис. 11)—по направлению $OB$ (вектор $E_1$) и перпендикулярно к $OB$ (вектор $E_2$):

$$E_1 = E \cos \alpha,$$
$$E_2 = E \sin \alpha.$$

Плотность зарядов $S$ в точке $B$ тоже представим как сумму плотностей зарядов, которые возникают в этой точке: $\sigma = \sigma_1 + \sigma_2$, причем $\sigma_1$ создается полем с напряженною $E_1$, а $\sigma_2$ — полем с напряженною $E_2$.

Но в поле с напряженною $E_2$ точка $B$ лежит на «экватаре» сферы, поэтому $\sigma_2 = 0$. В поле же с напряженною $E_1$ точка $B$ является «полюсом» сферы. Поэтому $\sigma_1 \sim E_1$

$$\frac{\sigma_1}{\sigma_0} = \frac{E_1}{E}.$$

Отсюда

$$\sigma = \sigma_1 = \sigma_0 \frac{E_1}{E_0} = \sigma_0 \cos \alpha.$$

Ф181. Спутник движется вокруг Земли по полям крутовой орбите со скоростью $v$. Изменение его орбиты связано с тем, что на спутник дейструем со стороны микроэсциссы сила трения $F = av^\alpha$, еде $a$ и $\alpha$ — константы. Наимен $\alpha$, если известно, что радиус орбиты спутника меняется очень медленно.

Сразу оговорим, что будем решать задачу для случая, когда радиус орбиты меняется с постоянной скоростью.

Работа против силы трения совершается за счет уменшення механической энергии спутника.

Пусть спутник массы $m$ движется со скоростью $v$ по круговой орбите радиуса $R$.

Его кинетическая энергия равна $W_K = \frac{mv^2}{2}$, а потенциальная $W_\pi = -\gamma \frac{mM}{R}$, где $M$ — масса Земли, $\gamma$ — гравиитционная постоянная (см., например, статью Н. М. Сперанского «Потенциальная энергия тел в поле тяготения», «Квант» № 6, 1972).

Центрстремительное ускорение спутнику сообщает слая тяготения. Поэтому по второму закону Ньютона

$$\frac{mv^2}{R} = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

откуда

$$v = \left( \gamma \frac{M}{R} \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Телер выражение для $W_K$ можно записать так:

$$W_K = \frac{mv^2}{2} = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R}.$$

Тогда полная механическая энергия спутника равна

$$W = W_K + W_\pi = -\frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R}.$$

Если радиус орбиты за время $\Delta t$ уменшится на малую величины $\Delta R (\Delta R \ll R)$, то изменение энергии спутника будет равно

$$\Delta W = -\frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R} - \left( -\frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R - \Delta R} \right) =$$

$$= \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R(R - \Delta R)} \Delta R \approx \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^2} \Delta R.$$

Работу против силы трения за это время можно посчитать так:

$$A = F_{\text{тр.}} v_{\text{cp}} \Delta t = av^{\alpha+1} \Delta t \approx$$

$$\approx a \left( \gamma \frac{M}{R} \right)^{\frac{\alpha+1}{2}} \Delta t = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^2} \Delta R.$$

37

Разделив обе части равенства на $\Delta t$, получим

$$a \left( \frac{M}{R} \right)^{\frac{\alpha+1}{2}} = \frac{1}{2} \gamma \frac{Mm}{R^2} \frac{\Delta R}{\Delta t},$$

где $\frac{\Delta R}{\Delta t}$ — скорость приближения спутника к Земле — величина постоянная. Проанализируем полученное равенство. Оно должно выполнять при любых значениях переменной $R$. Для этого необходимо, чтобы показатели степени при $R$ в обенх частях равенства были одинаковы, то есть

$$-\left( \frac{\alpha+1}{2} \right) = -2,$$

откуда $\alpha = 3$.

Ф182. Оцените, на какую высоту вы сможете бы подпрыгнуть на Луне.

Эту задачу трудно решить строго.

Большинство читателей, приславших нам решение этой задачи, рассуждали так. При прыжке на Земле центр тяжестей человека поднимается на высоту $h_3$. Это означает, что человек совершает работу $A = mgh_3$. Такую же работу может совершить человека и при прыжке на Луне. Но на Луне ускорение свободного падения составляет $1/6$ часть земного: $g_{\text{л}} = \frac{1}{6} g_3$.

Позетом из равенства работы

$$mg_{\text{л}}h_{\text{л}} = mg_3h_3$$

следует, что на Луне человек может подпрыгнуть на высоту в 6 раз большую, чем на Земле ($h_{\text{л}} = h_3g_3/g_{\text{л}}$). Если на Земле при прыжке центр тяжестей человека поднимается на высоту $h' = 60$ cm, то на Луне вы сможете подпрыгнуть на высоту 3,6 м.

В этом решении не учтена, однако, существенная деталь. Вспомним, как мы прыгем на Земле: присредаем, затем резко выпрямляем ноги. Пусть, присредая, человек опускает свой центр тяжестей на $h'' = 50$ cm, а, подпрыгивая, поднимает его на $h' = 60$ cm (по сравнению с тем положением центра тяжестей, когда человек просто стоит) на Земле и на высоту $h$ — на Луне. Будем считать, что человек во время прыжка совершает одинаковую работу на Земле и на Луне*), то есть

$$mg_3(h' + h'') = mg_{\text{л}}(h'' + h).$$

Отсюда

$$h = 6h' + 5h'' = 6,1 \text{ м.}$$

И. Ш. Слободецкий

*) Это равносильно предположению, что одинаковая сила, которая действует на туловше со стороны ног.