Квант 1973, №6 · Страницы

Кеант
1973
6
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На первой странице обложки — фотография кристалла кварца, выросшего в естественных условиях условий. О том, как получить кристаллы искусственных путем, вы можете прочитать в статье А. А. Варламова и Д. В. Казаковцева «Вырацчивание кристаллов».
Фото Э. Герцука

В горode Дзержинске при школе № 2 организационный Клуб юных физikов — КЮФ.
В нем занмаются ученки 9-х и 10-х классов.
На наших фотографиях вы видите ребят — членов клуба — за работу.
Фото Д. Воздвиженко

2

1 марта 1973 года скончался член редакционной коллекции журнала «Квант», выдавшийся физик, крупный организатор научки и общественный деятельности, член председума Академии наук СССР, академик-секретарь Отделения общеей физики и астрономии АН СССР, руководитель научного отдела Института атомной энергии им. И. В. Курчатова, председатель Национального комитета советских физков, председатель научного совета по комплексиной проблеме «Физика плазмы», профессор Московского университета, Герой Социалистического Труда, лауреат Ленинской и Государственных премий СССР академик Лев Андреевич Арцимович.

Лев Андреевич АРЦИМОВИЧ

Л. А. Арцимович родился 25 февраля 1909 года в Москве. В 1928 году он окончил физико-математический факультет Белоруссого университета и в 1930 году поступил лаборатором в Ленинградский физико-технический институт. Вскоре он начал самостоятельные научные исследования.

Основной области его научных интересов, в котором он внес наиболее важный вклад, была atomная физика. Он впервые количество изучения полного внутреннего отраженияRENTеновских лучей. Позже он, совместно с И. В. Курчатовым, исследовал реакцию «нейтрон+протон», в результате которой получается ядро тяжелого водорода. В 1936 году Л. А. Арцимович остроумными опытами опроверг предложение американского физика Шenkланда о том, что при взаимодействии электронов и позитrons в определенных условиях нарушается закон сохранения энергии. В 1936—1940 годах он исследовал различные явления, сопровождающие прохождение быстрых электронов через вещество. При этом он доказал, что все эти явления, вопросы мнения некоторых ученых, правильно описываются квантовой механикой.

В годы войны Л. А. Арцимович выполнил ряд важных работ в области электронной оптики. В последованные годы Л. А. Арцимович занялся решением важной научно-технической проблемы — электромагнитным методом разделения изотопов atomных ядер. Разработка этой проблемы потребовала создания большого научного коллектива, который удалось создать надежные промышленные установки для разделения изотопов и обеспечить производство чистых изотопов различных элементов для нуждающих физики, технически, биологически и медицинны.

С 1951 года и до последних дней своей жизни Л. А. Арцимович возглавил экспериментальные исследования по физике горячей плазмы и управляемых термодерных реакций в нашей стране. Ему и его сотрудникам удалось впервые осуществить термодерную реакцию влабораторных условиях. В последние годы на установках «Токамак» совершение физики достигли рекордных результатов как по температуре водородной плазмы, так и по времени ее устойчивого существования.

Отдавая дать научным заслугам Л. А. Арцимович, Академия наук СССР в 1946 году избрала его членом-корреспондентом, а в 1953 году — академиком. С 1957 года Л. А. Арцимович был бессменным академиком-скретарем Отделения физico-mатематических наук, а затем — Отделения общеей физики и астрономии АН СССР.

Немало времени отдел Лев Андреевич воспитанию научной смены. Он преодолал в Ленинградском политехническом институте, Ленинградском университете, Московском инженерно-физическом институте. В последние жизни он руководил кафедрой atomной физики в МГУ.

Л. А. Арцимович был человеком с необходимым богатством интерсов, далек выходивших за пределы его специальности. Он обладал большим человекским обязанем и обостренным чувством юмора. Многие из его шутливых высказываний давно стали «физическими афоризами».

Лев Андреевич не доходил до создания технического термодерного реактора. Но благодарное человекство не забудет им того, кто внес неоценным вклад в создание будущих термодерных электростанций.

5

Вообще решения задач о вычислении объемов и поверхностей тел врашения, как правило, не сложны, но довольно громоздки. В то же время решения таких задач с помощью теорем Гольдена записьюются буквально в несколько строк.

Сформулируем эти теоремы.

1-я теорема Гольдена (о площади поверхностей врашения). Поверхность тела, образованного врашением плоской линии (замкнутой или неамкнутой) бокрете оси, лежающей в плоскости этой линии и не пересекающей ее, равна произведению длины врашающего линии на длину окружности, радиусом коморой случай расстояние от оси врашения до центра мяжести линии:

$$S = P \cdot 2\pi R,$$

еде $P$ — длина врашающего линии (или ее периметр, если она замкнутая), а $R$ — расстояние от центра мяжести до оси врашения.

2-я теорема Гольдена (об объеме тела врашения). Объем тела, образованного врашением плоской фигуры бокрете оси, расположенной в этой плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину скружности, радиусом коморой случай расстояние от оси врашения до центра мяжести фигуры:

$$V = S \cdot 2\pi R,$$

еде $S$ — площадь врашаемой фигуры, $R$ — расстояние от центра мяжести до оси врашения.

Подчерким, что в первой теореме речь идет о центре тяжестии масс, равномерно распределенных по длине линии, а во второй теореме — о центре тяжестии масс, равномерно распределенных по всей площади фигуры.

Вследствие того, что теоремы Гольдена не доказываются в школьном курсе (они доказываются методами интегрального исчисления) *), прямо использовать их для решения задач в практике школьны или экзамена не при

*) См. статью В. Г. Болтянского на с. 9.

Рис. 1.

нято. Но предсказать элементарному решения быстрее получение ответа с помощью теорема Гольдена, не скрывая своего знакомства с этим теоремами, можно, и предосудитьного в этом ничего нет. Знание же ответа obligает длиные и громоздкие выкладки, и, главнее, включает уверенность в работу.

Теоремы исследуются «физическая привкус». Для их применения нужно уметить находить центры тяжестии линии и плоских фигуры.

В тех случаях, с которым нам придется столкнутся, это несложно. Так, центром тяжестии отрезка является его середина. Это дает возможность находить центры тяжестии ломанной линии (в частиности, центр тяжестии контура многоугольника): надо поместить в середине каждого звена ломанной массу, численно равную длине этого звена; тогда центр тяжестии этих масс и будет центром тяжестии ломанной линии.

Нетрудно находить и центры тяжестии плоских фигуры. Например, центром тяжестии круга и правильного многоугольника служит их центр, центром тяжестии треугольника — точка пересечения его медиан; параллелограмма (квадрата,

6

ромба, прямогольника) — точка пересечения диагоналей.

Центр тяжесте произвольного $n$-угольника строится так. Разобем $n$-угольник на треугольники, в каждом из которых найдем центр тяжесте. Потом в каждом центре тяжесте треугольника помещим массу, численно равную площади этого треугольника. Центр тяжесте этих масс и будет центром тяжести исходного многоугольника (рис. 2).

У пряжене. Постройте центр тяжести трапеции и центр тяжести ее контура; то же в случае делителя (это два равноведренных треугольника, имеющих общее основание, еершины которых лежат по разные стороны от него) произвольного неправильного пятугольника.

Но одно дело построить точку — центр тяжести, а другое — суметь найти расстояние от него до оси врашения. В тех случаях, когда вам это будет удаваться (а в школьных и экзаменationalных задачах — это, как правило, можно сделать), проверка с помощью теorem Гюльдена будет возможна.

Решение большиства задач, помещенных в задачике по геометрии Н. А. Рыбкина (ч. 2, §24), можно проверить с помощью теorem Гюльдена.

Вернемся теперь к задаче, с которой мы начали статью, и показем ее решение (лучше сказать, проверку решения) с помощью теorem Гюльдена. Найдем вначале $R$ — расстояние от оси врашения до центра тяжести (см. рис. 1):

$$OM = R = OK + KM = \frac{a \sqrt{3}}{3};$$

$$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3};$$

$$V = S \cdot 2\pi R = \frac{1}{2} \pi a^3.$$

Проверьте с помощью теorem Гюльдена ответы к задачам №3, 4, 6, 7, 9, 10 (§24 того же задачика).

А вот типичная задача средней трудности.

Задча 2*). Правильный треугольник, сторона коморого $a$, врачается около оси, проходящей все его через конец его стороны под острым углом $a$ к этой стороне. Определить площадь поверхности тела врачиния.

Ответ: $2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha)$.

Получим его с помощью теоремы Гюльдена. Из $\Delta AOM$ (рис. 3)

$$R = AO \cdot \sin (30^\circ + \alpha) = \frac{a \sqrt{3}}{3} \times \sin (30^\circ + \alpha),$$

$$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha).$$

*) П. В. Стратилатов, Тригонометрия. Дополнительный материал к курсу геометрии 9, 10 классов, М., «Просвещение», 1972, задча 294; П. В. Стратилатов, Сборник задач по тригонометрии, М., «Просвещение», 1965, задча 553.

7

Сравнить это решение с обычным, вы полнее оцените краткость проверки.

Проверьте, используя теоремы Гольдена, ответы к задачам №296 (555), 300 (559), 303 (585) (П. В. Стратилатов, Сборник задач по тригонометрии).

Покажем еще несколько интересных применений теorem Гольдена к решению задач.

Задача 3*. Плосая ломанная состоянием из n равных отрезков, имеющих длину a и соединенных в виде змеязаea под углом α друже к дружеу. Определить поверхность, образуемую враценем этой линии около оси, которая проходит через один из концов ее паралельно bicсектрис уела α*).

Традиционное решение этой задачи довольно громоздко, оно включает в себя суммирование арифметической прогрессии (точнее, первых n нечетных чисел) и в полне оправдывает «звездочку» — знак повышенной трудности, которая стоит около ее номера. Между тем теорема Гольдена позволяет решить задачу совсем коротко, почти в уме.

В самом деле, центр тяжести ломанной нахождения, как легко видеть, на расстоянии $\frac{na}{2} \sin \frac{\alpha}{2}$ от оси врашения, а длина ломкой равна na (рис. 4). Следовательно,

$$S = P \cdot 2\pi R = na \cdot \pi na \sin \frac{\alpha}{2} = \pi n^2 a^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

В прочеем, из рисунка 4 нетрудно усмотреть изящное решение задачи традиционным методом: легко доказать, что искомая поверхность врашения равна боковой поверхности конуса с образующей AM, служащей продолжением последнего звена AB. Ведь поверхность врашения отрезка

*) Н. А. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, М., Учредгиз, 1956, § 23, задача 7.

Рис. 4.

$BC'$ равна поверхности врашения отрезка $BC$ (эти поверхности симметрины относительно плоскости, перpendикулярной оси врашения и проходящей через точку $B$). Поверхности врашения отрезков $DC$ и $D'C'$ также равны (они совмещаются паралельным переносом). Остается найти боковую поверхность конуса с образующей AM:

$$S = \pi rl = \pi \left( na \sin \frac{\alpha}{2} \right) an = \pi a^2 n^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

Вот еще одна задача.

Задача 4. Прямоугольник вращется около оси, проходящий через его вершину паралельно диаzoнали. Определить объем и поверхность тела вращения, если диаzoналь прямоугольника равна d, а угол между диаzoналими равен φ.

8

Рис. 5.

Здесь площад примугольника равна $\frac{d^2}{2}\sin\varphi$, его перimetр равен

$$2d\left(\sin\frac{\varphi}{2}+\cos\frac{\varphi}{2}\right)= =2\sqrt{2}d\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right),$$

а центр тяжести находится на расстоянии $R=\frac{d}{2}\sin\varphi$ от спи врашения. Следовательно, по теорем Гюльдена

$$V=\frac{1}{2}\pi d^3\sin^2\varphi,$$

$$S=2\pi d^2\sqrt{2}\sin\varphi\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right).$$

Обычное решение довольно громоздко: нужно найти объемы двух усеченных конусов с образующими BC и CD (рис. 5) без объемых двух полных конусов с образующими AB и AD. Однако если продолжить стороны BC и CD до пересечения с осью врашения в точках M и N, то искомый объем значительного корочка вычисляется как сумма объемых двух полных конусов с образующими CM и CN без удовлетворого объема тела, образованного врашением треугольника ABM (сумма объемов полных конусов с образующими AB и BM). Удвоенный объем потому, что надо бы вычитать сумму объемов тел, полученных от врашения двух треугольников ABM и ADN. Но один из этих треугольников может быть совмещен со вторым с помощью перенока, паралельного оси. Поэтому объемы этих тел врашения равны между собой.

Точно так же при вычислении поэверхностей в этой задаче боковые поверхности усеченных конусов могут быть заменены боковыми поверхности полных конусов, что тоже заменено сокращает выкладки.

Последение наших задачи также позволяет использовать для их решения все упрощения и премишства, которые дают теоремы Гюльдена. Предоставляем решить ее читателю.

Задание 5. Ромб со сторонай а и острым углом α врачается около сси, проходящей вне ромба паралельно стороне на расстоянии $\frac{a}{4}$ от этой стороны. Определить объем и поверхности тела врачания.

Задание 6. Квадрат ABCD со сторонай а врачается около оси, проходящей вне ромба паралельно вом близкой вершины A квадрата и составляющей угол α со сторонай AB. Определить объем и поверхности тела врачания.

10

Рис. 2. Рис. 3.

откуда
$$r^* = \frac{(n-1)r + r_n}{n} = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n}{n}.$$

Таким образом, утверждение леммы справедливо для $n$ материальных точек. Проведенная индукция и доказывает лемму.

Перейдем теперь к доказательству первой теоремы Гольдена. Прежде всего доказем, что эта теорема справедлива, если плоская линия, о которой идет речь в теореме, является $n$-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину $m$. Середины звенев ломаной обозначим через $M_1, M_2, \dots, M_n$, а расстояния этих точек от прямой $l$ через $r_1, r_2, \dots, r_n$ (рис. 2). При врашении расматриваемой ломаной вектор пряной $l$ получается поверхности (рис. 3), состоящая из $n$ частей, каждой из которых представляет собой боковую поверхности усеченного конуса. Так как боковая поверхности усеченного конуса равна произведению длины образующего на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся поверхности врашения равна
$$S = m \cdot 2\pi r_1 + m \cdot 2\pi r_2 + \dots + m \cdot 2\pi r_n.$$

Замечая, что длина расматриваемой ломаной (рис. 2) равна $P = nm$, можно переписать выражение для площади так:
$$S = P \cdot 2\pi R,$$
где
$$R = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_n}{n}.$$

Но центр тяжестни ломаной, то есть центр тяжестни системы точек $M_1, M_2, \dots, M_n$, в каждой из которыхисредоточена масса $m$, согласно лемме, отстоит от прямой $l$ на расстоянии $R$. Это и означает, что в расматриваемом частном случае первая теорема Гольдена справедлива.

Обратимся теперь к общему случае. Пусть $K$ — плоская линия, а $\Pi$ — поверхность, получающая при врашении лилини $K$ вокруг пряной $l$. Разведем ножки циркуля на некоторое расстояние $m$ и будем, начиная от одного конца лилини $K$, откладывать засечки вдоль лилини $K$ (рис. 4) столько раз, сколько мы сможем это сделать. Соединяя последовательно точки, полученные при выполнении этих засечек, мы получим ломаную $L$, вписанную в лилини $K$, причем все звенья ломаной $L$ имеют одну и ту же длину $m$ (рис. 5). При врашении ломаной $L$ вокруг пряной $l$ получится поверхности $T$, вписанная в поверхности $\Pi$.

Как мы уже знаем, площадь $S$ поверхности $T$ вычисляется по формуле (1), где $P$ — длина лилини $L$, а $R$ — расстояние центра тяжестни лилини $L$ от прямой $l$. Будем теперь в этом построении считать, что $m \to 0$. Тогда

11

Длина $P$ ломаной $L$ будет стремиться к длине линии $K$, площадь поверхности $T$ будет стремиться к площади поверхности $\Pi$, а центр тяжести ломаной $L$ будет приближаться к центру тяжести линии $K$. Так как для ломаной $L$ справедливо, то, переходя к пределу при $m \to 0$, мы найдем, что соответствие (1) справедливо и для линии $K$. Этим и завершается доказательство первой теоремы Гюльдена.

Обратимся теперь к доказательству второй теоремы Гюльдена. Прежде всего рассмотрим шайбу, то есть тело, получающейся при врашении прямогогольника вокруг прямой, которая не пересекает прямогогольника и параллельна двум его сторонам (рис. 6). Объем шайбы легко вычислить как разность объемов двух цилиндров. Представляем читателю самостояльно вычислить этот объем $V$ и убедиться, что для шайбы справедливый вторая теорема Гюльдена,

$$V = S \cdot 2\pi r,$$

(3)

где $S$ — площадь врашающегося прямогогольника, а $r$ — расстояние его центра тяжести от оси врашения $l$.

Пусть теперь $F$ — плоская фигура площади $S$, а $l$ — лежащая в ее плоскости прямая, не пересекающая фигуры $F$. Возьмем произвольное натуральное число $n$ и проведем $n - 1$ прямых, перепendlukyrных $l$ и разбиаюших фигуру $F$ на $n$ «долек», каждая из которых имеет одну и ту же площадь $\frac{1}{n} S$ (рис. 7). Каждый «долек» ограничена двумя отрезками, перpendикularными $l$, и двумя дугами, соединяющими концы этих отрезков. (Правда, если фигура $F$ — не выпуклая, то могут быть и более сложные «долеки», как, например, на рис. 8; однако проводимые расчудения применены и к этому случаю.) Заменим эти дуги отрезками, параллельными $l$, так, чтобы площадь при этом не изменилась (то есть чтобы «долека» превращалась в прямогогольник той же площади $\frac{1}{n} S$). Проделав это с каждой «долекой», мы превращим $F$ в «ступенчатую» фигуру $G$, мало отличную от фигуры $F$. Фигура $G$ составлена из $n$ прямогогольников, каждый из которых имеет площадь $\frac{1}{n} S$. Центры тяжести этих прямо-

12

угодников обозначим через $M_1, M_2, \dots, M_n$ (рис. 9), а их расстояния от прямой $l$—через $r_1, r_2, \dots, r_n$.

При выражении фигуры $F$ вокруг прямой $l$ получается тело $X$, объем которого требуется найти, а при выражении фигуры $G$ вокруг прямой $l$ получается тело $Y$, мало отличищеся от тела $X$. Так как фигура $G$ составляет из $n$ прямогольников, то тело $Y$ составляет из $n$ шайб. Вычисляя объем каждого шайбы по формуле (3), легко найти объем $V$ тела $Y$:

$$V = \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_1 + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_2 + \dots + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_n,$$

то есть

$$V = S \cdot 2\pi R,$$

(4)

где $R$ вычисляется по формуле (2). Заметим теперь, что центraryтяжестиплощади фигуры $G$, то есть центraryтяжестип системы точки $M_1, M_2, \dots, M_n$, в каждой из которых сосредоточена масса $\frac{1}{n} S$, согласно лемме, отстояют от прямой $l$ на расстоянии $R$. Формула (4) означает, следовательно, что для фигуры $G$ вторая теорема Гольдена справедлива.

Будем теперь в этом построении считать, что $n \to \infty$. Тогда объем тела $Y$, получащегося при выражении фигуры $G$, будет стремиться к объему тела $X$, а центraryтяжестиплощади фигуры $G$ будут стремиться к центру тяжести фигуры $F$. (Заметим, что площади фигур $F$ и $G$ одинаковы.) Так как для любого $n$ соответствие (4) для фигуры $G$ справедливо, то, переход к предлу при $n \to \infty$, мы найдем, что соответствие (4) справедливо и для фигуры $F$. Эти завершается доказательство второй теоремы Гольдена.

Вторую теорему Гольдена можно условить считать «трехмерной» теоремой Гольдена, так как она говорит об объеме тела врашения. Первоую теорему Гольдена можно назвать «двумерной», так как она говорит о площади поверхности врашения. Можно по аналогии с формулировать «одномерную теорему Гольдена»:

Пусть в плоскости по одному сторону прямой $l$ даны несколько точек. Тогда суммарная длина $C$ окружности, получающей этой системе точек вокруг прямой $l$, равна произведению числа точек на длину окружности, радиусом которой служим рассмотрение от оси вращения $l$ до центра мягкости этой системы точек:

$$C = n \cdot 2\pi R,$$

еде $n$ — число точек, а $R$ — расстояние от центра мягкости до оси вращения.

Читатель без труда сам докажет эту простеньку теорему.

Любопытно, что все три теоремы Гольдена (трехмерная, двумерная и одномерная) могут быть объединены одной формулировкой. Делается это так. Будем называть нульмерной фигурой любое множество, состоящее из конечного числа точек. Далее, нульмерным объемом нульмерной фигуры условиям называется число точек этой фигуры. Линия условия называется одномерными фигурами; длину линии будем называть ее одномерным объемом. Поверхности (в частисти, плоские фигуры) условиям называется двумерными фигурами, а площадь поверхности — ее двумерным объемом. Накониц, тела будем называть трехмерными фигурами, а объем тела будем также называть его трехмерным объемом.

Теорема Гольдена. Пусть в плоскости по одному сторону прямой $l$ расположена $(k - 1)$-мерная фигура $F$ (эдесь $k$ — любое из чисел 1, 2, 3). Через $S$ обозначим $(k - 1)$-мерный объем фигуры $F$, а через $R$ — расстояние от ее центра мягкости до прямой $l$. При вращении фигуры $F$ вокруг прямой $l$ получается к-терминал фигура, к-терминал объем которого выполняется по формуле:

$$V = S \cdot 2\pi R.$$

При $k = 3$ это дает «трехмерную» теорему Гольдена; при $k = 2$ и 1 получаем (только в них обозначение

13

ниях) «двумерную» и «одномерную» теоремы.

Наконец, отметим (для читателя, знакомого с понятями многомерной геометрии), что приведенная выше общая формулировка теоремы Гюльдена применима к $n$-мерному ενклидову пространству — только вместе плоскости над расматривать $(n-1)$-мерную плоскость, а в качестве $l$ надо взять $(n-2)$-мерную плоскость. Число $k$ в этой теореме может (в случае $n$-мерного пространства) принадлежать любое из значений 1, 2, . . . , $n$.

А чтобы не огорчались читатели, не знакомые с понятями многомерной геометрии, формулируем получающую теорему для $n=2$ (то есть для случая плоскости).

Теорема Гюльдена на плоскости. Пусть на прямой no odну сторону от точки $O$ расположена $(k-1)$-мерная фигура $F$ (здесь $k$-любое из чисел 1, 2). Через $S$ обозначим $(k-1)$-мерный объем фигуры $F$, а через $R$ — расстояние ее центра мяжестями от точки $O$. При враценении фигуры $F$ вокруг точки $O$ получается $k$-мерная фигура, $k$-мерный объем коморой вычисляется по формуле

$$V = S \cdot 2\pi R.$$

В частности $k$ при $k=1$ (то есть в случае, когда фигура $F$ состоит из нескольких отрезков, рис. 10) эта формула позволяет вычислить сумму плошадей нескольких концентрических колес.

Разные задачи

1. Исключить $x, y, z$ из уравнений
   $$xy (x+y)=c,$$
   $$yz (y+z)=a,$$
   $$zx (z+x)=b,$$
   $$xyz=d.$$

2. Построить треугольник $ABC$ ($BC>AB>CA$) по заданному углу $A$ и суммам длин сторон $AB+BC$ и $AB+AC$.

3. Решить систему уравнений
   $(ax)^{1/2}a=(by)^{1/2}b,$
   $b^{1/2}x=a^{1/2}y.$

4. Найти частное от деления на $p-1$ числа, написанного в $p$-чной системе счисления с помощью $p-1$ единиц (то есть числа 111…1). Как записьается это частное в $p$-чной системе счисления?

5. Три точки $A, B$ и $C$ лежат на одной прямой. Построена окружность с центром в точке $A$. Найти геометрическое место точки пересечения прямых, соединяющих точки $B$ и $C$ с динамическим противоположными точками окружности.

6. Три окружности проходит через точки $M$ и $N$. Найти геометрическое место таких точки $P$, что касательные $PA, PB$ и $PC$, проведенные из точки $P$ к этим окружностям ($A, B, C$—точки касания), удовлетворяют соотношению $PA \cdot PB = k \cdot PC^2$.

7. Доказать, что если $p$-простое число, то остаток от деления $C_{p-1}^m$ на $p$ равен $(-1)^m$.

8. Доказать, что если $p$-простое число, больше трех, то $\frac{1}{2} C_{p/2}^p - 1$ делится на $p^3$.

14

Электрон
движется с тренем
M. И. Каганов, Г. Я. Люварский

Введение
Слово «тренние» наполинает о движущихся частях машин, о санках, скользыващих по снежному насу, о меторите, раскаляющейся при пролете через атмосферу. В одной случае без трення нельзя обойтись, в другой — делают всевозможное, чтобы от него избавиться. С треннем приходится считаться льжнику-слаломисту и инженеру-конструктору; посколькуся прохожий сетует на отсутствие трення, а физики вLABораториях изыскивают способы уменшения трення хотя бы на доли процента. Но, пожалуй, кто бы ни думал о трении, все представляют себе какое-либо макросоппическое тело (нога, колесо, вит парохода), взаимодействующее со средой или с другими телами.

А можно ли говорить о трении при движении микросоппической частицы, например, электрона?

В этой статье мы рассмотрим движение электронов в металле. Известно, что электроны совершают беспорядочное,xaотическая движение. Но если по проводнику идет ток, то, кромеxaотического теплового движения, есть еще и направленное движение электронов.

Очень сложно описать поведение каждого электрона в отдельности. Поэтому мы заменим движение всех частц потоком одинаковых «средних» частц, движущихся в одном направлении с одинаковыми средними скоростями. Это можно сделать, так как при векторном сложении всех скоростейxaотического движения

ния, направленные в разные стороны, дают в сумме нуль, и остаются только скорости направленного движения электронов под действием электрического ток. Оказывается, рассматривая поток «средних» электронов, можно не только понять процессы, происходящие в металлах, но и вывести правильные формулы, описывающие эти процессы. Конечно, такое «исреднение» рассмотрение проще, чем подробное.

Электронный газ
To, что металлы хорошо проводят электрический ток, давно приведко мысли, что в металле есть свободные электроны.

Свободных электронов много. В одном кубическом сантиметре металла их около $10^{22} \div 10^{23}$. Подобно молекулам в газе, они находятся в непрерывном движении. Так и говорят: «электронный газ» или «газ электронов проводимости». Правда, свойства этого газа существенно отличются от свойств обычных газов. Электронный газ в металлах подчиняется законом квантовой механики. Из всех необходимых (квантовых) свойств электронного газа для нас важно одно: средняя скоростьxaотическая движения электронов в металле слабо зависит от температуры и для большинства металлов приблинительно равна $<v> \approx 10^8 \text{ cm/c}^*$.

«Средний» электрон
Если по металлическому проводнику течение ток, значит, к нему приложена разность потенциальов, причем между током $I$ и разностью потенциальов $U$ сущеует простая пропорциональнаяность

$$I = \frac{U}{R}.$$

Это — знаментий закон Ома.

*) Речь идет о средней квадратической скорости: $<v> = \sqrt{\frac{v^2}{c^2}}$; черта над $v^2$ здесь и в дальнейшем обозначает среднее арифметическое значение.

Сопротивление $R$ пропорционально длине проводника $L$ и обратно пропорционально площади его поперечного сечения $S$:

$$R = \frac{\rho L}{S}.$$

Козффициент пропорциональности $\rho$ (удельное сопротивление) зависит только от матрица проводника и от того, в каких условиях этот проводник находится (какова его температура, например). Величину $1/\rho$ обычно обозначают буквой $\sigma$. Это — удельная электропроводность. Если ввести плотность тока $j = \frac{I}{S}$ и напряжение электрического поля $E = \frac{U}{L}$, то закон Ома перепишется в дифференциальной форме *)

$$j = \sigma E.$$

Величины, входящие в (1), не зависит от геометрических размеров проводника. Буквы $j$ и $E$ направляются жирным шрифтом, чтобы показать: направление электрического поля и плотность тока — векторы.

Так как заряд переносит электроны (заряд каждой电极а $e \approx 4,8 \cdot 10^{-10}$ электростатических единиц **), $[e] = \frac{e^{1/2} c m^3/2}{c}$), то плотность тока можно выразить через число электронов в единице объема ($n \approx 10^{23} \text{ cm}^{-3}$) и среднее арифметическое значение их скорости $\bar{v}$:

$$\bar{v} = en \bar{v}.$$

По металлу течение ток; имеет направленный поток электронов; $\bar{v}$ — скорость этого потока.

Формулу (2) можно «прочесть» несколько иначе, не учитываяxaотие

*) См. статью Я. А. Смородинского «Закон Ома» («Кваант» № 4, 1971).

**) Мы в этой статье будем пользоваться системой СГСЭ, в котором единицы электрических величины (заряда, ток, направленное электрического и магнитного полей) выражаются через механические единицы ($cm, \text{z}, \text{c}$).

16

ческого движения электронов. В каждом кубическом сантиметре металла есть $n$ электронов, и все они движутся со скоростью $\bar{v}$. Подмена беспорядочно движущихся электронов, «сосимых» приложенным к металлу электрическим полем, одинаково движущимися «средними» электронами производится для упрощения, чтобы легче исследовать свойства проводников.

So стороны приложенного к проводнику электрического поля на электрон действует сила, равная

$$F = eE. \tag{3}$$

Из формул (1), (2) и (3) следует, что скорость «среднего» электрона пропорциональна приложенной силе:

$$\bar{v} = \frac{\sigma}{e^2n} F, \tag{4}$$

то есть «средний» электрон движется по законам механики Аристотеля *). Механика Аристотеля правильно описывает движение в тех случаях, когда тело движется с тренем и приложенная постоянная сила уравновешивается силой треня. Следовательно, «средний» электрон под действием электрического поля движется по металлу с тренем.

Подвижность

Главная характеристика частц в механике Аристотеля — их подвижность $u$ — скорость частцы под воздействием единичной силы. Согласно формуле (4) подвижность «среднего» электрона равна $\sigma/e^2n$.

В отличие от средней скорости, подвижность не зависит от величины приложенной силы.

Приятно не подвижность выражать через удельную электропроводность, а наоборот, удельную электропроводность выражать через подвижность:

$$\sigma = ne^2u. \tag{5}$$

*) См. статью М. И. Каганова, Г. Я. Любарского «О механике Аристотеля» («Квант» № 8, 1972).

Может возникнуть вопрос: зачем одну характеристку металла (электропроводность $\sigma$) выражать через две другие?

Это делают потому, что величины $n$ и $u$ определяют различные, можно сказать, независимые характеристки металла. Число свободных электронов в единице объема $n$ практически не изменяется с температурой, мало зависит от состояния образца данного металла (монокристалл или поликристалл, очень чистый или с небольшим количеством примесей). Подвижность $u$ характеризует силу сопротивления среды движению электронов. С изменением температуры она может измениться в соответствии с тренями, тысячи раз; значительное увеличение подвижность при очистке металла от примесей. Число электронов $n$ и подвижность $u$ допускают независимое экспериментальное определение.

Следует подчернуть еще одно. Введение подвижности означает определение пропикновенение в приложении электропроводности: формула (5) имеет право на существование только в том случае, если ток переносится электронами. Вся совокупность экспериментальных фактов подтверждает такую точку зрения.

Эффект Холла

Если проводник, по которым течение ток, помещить в магнитное поле В так, как показано на рисунке, то в направлении оси $y$ возникнет разность потенциальов, пропорциональная величины тока и магнитного поля. Это явление называется эффектом Холла.

На электрон, находящаяся в проводнике с током, кроме силы, действующей со стороны электрического поля, действует также сила Лоренца

$$F = \frac{e}{c} vB \sin(\hat{v}B);$$

направление которой перепедикулярно скорости $v$ и магнитному полю $B$.

На «средний» электрон также действует сила Лоренца, величины которого

18

лите скорость «среднего» электрона, скажем, когда по металлу течение ток, плотность которого равна $1 \, a/mm^2$*).

Если вы не ошиблись при расчете, то вас, наверное, поразило, как малая средняя скорость: под действием электрического поля электронный газ медленно перемещается по проводнику. Это конечно, ни в коей мере не противоречит утверждение о том, что средняя скорость хаотического движения очень велика.

Время свободного пробета

Тот факт, что по проводнику под действием постоянного поля течение постоянный ток, показывает, что электроны, прибретающие энергию от электрического поля, отдают ее металлу (точнее было бы сказал: кристаллический решетке металла); в металле при прохождения тока выделяется тепло (его называют джоулевым). Чтобы не противоречить ранее высказанному утверждению о свободе электронов в металлах (мы его скоро проверим!), предположим, что каждый электрон движется в течение времени $\tau$ под действием внешнего поля, а потом, в коротком акте стольновения с чем-то, отдает прибретенную от электрического поля энергию ($\tau$ — время свободного пробета электрона). Так как ускорение электрона равно $eE/m$, то прирост скорости за время $\tau$ равен $\frac{e\tau}{m} E$, а средний ток есть **)

$$j = \frac{ne^2\tau}{m} E.$$ (8)

Сравнивая эту формулу с формулими (1) и (5), находим

$$\rho = \frac{m}{ne^2\tau}; \quad u = \frac{\tau}{m}.$$ (9)

*) Экспериментальное определение скорости носителей заряда описано в статье В. В. Майера «С какой скоростью движется нонны» («Кваант» № 4, 1973).
**) Формулу (8) можно вывести значительно более аккуратно. Пострайтесь это сделать, рассмотреть электроны, пересекающие плоскость, расположенную perpendicularно вектору $E$.

Это — очень важные формулы. Они связываются макросопперсные величины (удельное сопротивление, подвижность) с параметрами, характеризующими движение отдельных электронов. Не надо, правда, забывать, что $\tau$ — тоже средняя характеристика.

Вместо времени свободного пробета иогда удобно пользоваться понятным дляны свободного пробета:

$$l = <v>\tau,$$ (10)

$l$ — расстояние, которое проходит (в среднем) электрон между двумя стольновениями, $<v>$ — средняя скоростьхаотического движения электронов. Для электронного газа, как мы уже говорили, $<v>$ не зависит от температуры и температурные зависимости $l$ и $\tau$ совпадают.

Теперь проверим, можно ли в действительности считать электронов свободными. Выше мы подчитали подвижность электронов меди. Она оказалась равной $6 \cdot 10^{12} \, c/e$. Отсюда и из формул (9) и (10) следует:

$$\tau \approx 2 \cdot 10^{-14} \, c; \quad l \approx 2 \cdot 10^{-6} \, cm,$$ (11)

так как $m \approx 10^{-27} \, e$, а $<v> \approx 3 \cdot 10^8 \, cm/c$.

Значения $\tau$ и $l$ полностью подтверждают нашей представление о свободе электронов проводимости: между двумя стольновыми электронsproходит расстояние, встрояшающее размеры atoms! При понжении температуры электропроводность металлов возвращает, возвращает подвижность электронов, а следовательно, возвращает и время свободного пробета — более отчетливо проявляется свобода электрона.

Можно ли неопределенно изменить время свободного пробета электронов $\tau$ или их длину свободного пробета $l$? Отвечая на этот вопрос, мы не должны забывать, что в эксперименте мы всегда имеем дело со всеми электронами сразу — просто с образцом металла (проволочкой, пластинкой). Или, другими словами, следим за движением «среднего» электрона, под-

20

О наполнения и закупировании бутылок

М. Л. Гервер

Все устел: обед разогрел,
Выстро сел — за уроки сел,
«Квант» почитал — в футбол попирал…
Милл. «Мисти-фисти, или сказки про пострела»

Человек каждый день много дел развых делает. Идет утром в школе (если он школьник), домой вернется — обед разогрет и т. д. (см. эпиграф). Дела обично менять местами можно: сначала в футбол попрать — потом за уроки сеть, сперва обед съеть — потом его разогреть…

Стоп! С обедом что-то не вышло — не все на свете переставлять разрешается.

Это относится и к совсем сервисным вещим: высотному крану нечего делать на стройке, пока фундамент дома не заложен; нельзя «для сокращения сроков» пахать, сеть и молотить одновременно…

С тем, что задержка в одном дел может помешать начать другие, приходится считаться при планировании — например, когда оценивают, сколько времени потребует большеской комплекты взаимосвязанных работ. В заменке на шутливом примере показано, какого рода математические задачи могут встретиться при этом.

1. Постановка задачи

Приведли на автоматическую линию бутылки, очень много: N штук. А на линии работают 2 автомата: I и II. I бутылки наполняет, II — закупо-

21

ривает. Бутыли разные: с широким горлыщком и с узким, высоким, пузаные — нестандартиные. Про каждую бутыли известно, сколько времени уходит на ее наполнение и сколько — на ее закупоривание.

Сколько проработает автоматическая линия с момента, когда начинает наполняться первая бутылака, до момента, когда будет закупорена последняя? Это зависит от того, в каком порядке бутыли будут в автоматы попадать (например, для 6 бутылок есть $P_6=720$ таких порядков). Возникают, таким образом, два впроса:

Как быстро определить том порядок, при котором время работы линия будет наименьшим? И как бы числом это наименьшее время?

2. Численный пример

Начнем с примера: путь партия из 6 бутылок характеризуется таблицей 1.

Попробуем подавать бутыли в автоматы именно в том порядке, в котором они указаны в таблице: сначала 1-ю, потом 2-ю и так до 6-й. Тогда автоматы будут работать так.

Через 7 секунд наливающий автомат наполнит 1-ю бутыли (рис. 1), через 7 + 9 = 16 с. — 2-ю, через 16 + 3 = 19 с. — 3-ю, через 19 + 2 = 21 с. — 4-ю, через 21 + 11 = 32 с. — 5-ю, через 32 + 5 = 37 с. — 6-ю*).

Закупоривающий автомат покончит с 1-й бутыликой через 7 + 10 = 17 с. и лишь тогда сможет занять 2-й бутыликой (которая, тем самым, простит наполненная целую секунду). Со 2-й бутыликой он покончит через 17 + 8 = 25 с. (так что 3-й бутылака простит в ожидании пробки уже 6 с.). Через 25 + 1 = 26 с. будет закупорена 3-й бутылака, через 26 + 4 = 30 с. — 4-я. Теперь закупоривающий автомат мог бы занять 5-й бутыликой, но та, как мы знаем, еще не наполненна, поэтому автомат 2 с. простит без дела. Через 32 + 6 = 38 с. будет закупорена 5-й бутылака, а через 38 + 12 = 50 с., наконец, и 6-я.

Построим вспомогательную таблицу 2.

*) Считается, что, наполив бутыли, автомат может, не теряя ни секунды, начать наполнять следующее время.

22

Числа, стоящие в ее первом столбце, уже знакомы нам: здесь записано, через сколько секунд автомат I наполнит первую бутылку, первые две бутылки, первые три бутылки и т. д. Этот столбец получается последовательным сложением (сверху вниз) чисел, стоящих во втором столбце таблицы 1. Второй столбец таблицы 2 удобнее сначала читать сизу вверх: в таком порядке, чтобы получился этот столбец, складывали числа из третього столбца таблицы 1. Третьий столбец 2 — сумма первых двух ее столбцов.

Второй столбец таблицы 2 имеет следующий смысл: если бы автомат II работал без просмотр, то он закупорил бы все бутылки за 41 с.; если бы он закупоривал без просмотр все бутылки начиная со 2-й, то потребил бы на это 31 с.; на закупоривание без просмотр всех бутылок, начиная с 3-й, нужно 23 с. и т. д.

В нашем примере автомат II работал без просмотр лишь после того, как в него попала 5-я бутылка. Она была тогда подана (см. 5-ю строку таблицы 2) через 32 с. после начала работ автоматической линии; после этого автомат II работал 18 с., так что вся работа линии длилась 50 с. (см. третьий столбец таблицы 2).

В п. 5 мы вернемся к этому примеру, а теперь покажем, как вычислить время работы автоматической линии в общем случае — при условии, что порядок подачи бутылок на линии задаан.

3. Время работы автоматической линии

В нашем примере 50 с. — это наиболее число в третьем столбце таблицы 2. Это не случайно: справедливо следующее.

Утверждение 1. Пусть время наполнения и закупоривания бутылок задаются таблицей 3, и пусть бутылки попадают в автоматию в том порядке, в котором они указаны в этой таблице. Построим по таблице 3 вспомогательную таблицу 4 (подобно тому, как выше, no таблице 1 была построена таблица 2).

Тогда время работы автоматической линии равно набольшему числу в третьем столбце таблицы 4.

Доказательство. Проведем две горизонтальные прямые: I и II (рис. 2.) На прямой I отложим (сле-

23

ва направо) отрезки $P_0P_1, P_1P_2, \dots, P_{N-1}P_N$ (с длинами $a_1, a_2, \dots, a_N$). На прямой $II$ отложим (тоже слева направо) отрезки $H_1K_1, H_2K_2, \dots, H_NK_N$ (с длинами $b_1, b_2, \dots, b_N$). Точку $H_1$ расположим при этом на одной вертикали с $P_1$, и далее — при любом $i$, $1 < i \leq N$, — точку $H_i$ будем располагаать на одной вертикали с более правой из точки $P_i$ и $K_{i-1}$ (это соответствует тому, что автомат $II$ начинает закупоривать очередную бутылку, когда она наполнена и когда закупорена предыдущая бутылка). Ортогонально спроектируем на горизонтальном ось времен $t$ точки $P_0, P_1, \dots, P_N$ в точки $O, A_1, \dots, A_N$ и точку $K_N$ в точку $T_N$. Ясно, что $T_N$ – время работы автоматической линии в рассматриваемом нами случае.

Длину отрезка $A_iT_N$ на оси $t$ обозначим через $C_i$ $i=1, \dots, N$; тогда $T_N = A_i + C_i$.

Между отрезками $H_1K_1, H_2K_2, \dots, H_NK_N$ на прямой $II$ могут быть просветы, и точка $H_i$ располагается либо на одной вертикали с $P_i$, либо правее; поэтому $C_i \geqslant B_i = b_i + b_{i+1} + \dots + b_N$. Следовательно, $T_N \geqslant A_i + B_i$ ($i=1, \dots, N$).

Возьем самый правый из просветов между отрезками $H_iK_i$. Правае его идут отрезки $H_nK_n, H_{n+1}K_{n+1}, \dots, H_NK_N$, образующие один «сплошной» (без просветов) отрезок *) длины $B_n$. Так как $H_n$ не совпадает с $K_{n-1}$ (их разделяет просвет), то $H_n$ лежит на одной вертикали с $P_n$ и $A_n$. Итак, $T_N = A_n + B_n$.

Таким образом, $T_N$ равно максимному из чисел $A_i + B_i$ ($i=1, \dots, N$). Утверждение 1 доказано.

Таблица 4 строится по заданной таблице 3 чрезвычайно быстро: первые два столбца

$$\begin{array}{c c c} a_1 = A_1 & B_2 + b_1 = B_1 & A_1 + B_1 \\ A_1 + a_2 = A_2 & B_3 + b_2 = B_2 & A_2 + B_2 \\ A_2 + a_3 = A_3 & B_4 + b_3 = B_3 & A_3 + B_3 \\ \dots & \dots & \dots \\ A_{N-3} + a_{N-2} = A_{N-2} & B_{N-1} + b_{N-2} = B_{N-2} & A_{N-2} + B_{N-2} \\ A_{N-2} + a_{N-1} = A_{N-1} & B_N + b_{N-1} = B_{N-1} & A_{N-1} + B_{N-1} \\ A_{N-1} + a_N = A_N & b_N = B_N & A_N + B_N \end{array}$$

24

4. Наилучший порядок

Сначала рассмотрим случай, когда бутылок есть две.

Пусть для одной из них времена наполнения и закупирования равны $a$ и $b$, а для другой соответственно $c$ и $d$. Какой тогда порядок лучше — указаный в таблице 5 или указаный в таблице 5'?

Время работы линии в первом варианте (табл. 5) созначит через $t$. В обозначениях таблицы 4 для $N = 2$

$$A_1 = a, \quad B_1 = b + d$$
$$A_2 = a + c, \quad B_2 = d.$$

Согласно утверждению 1 время $t$ равно большему из чисел $A_1 + B_1$ и $A_2 + B_2$:

$$t = \max(A_1 + B_1, A_2 + B_2) = \max(a + b + d, a + c + d).$$

Обозначим сумму $a + b + c + d$ через $S$. Тогда формулу для $t$ можно переписать так:

$$t = \max(S - c, S - b) = S - \min(b, c)$$

(если от $S$ отличается из чисел $b$ и $c$, то получится больше из чисел $S - b$ и $S - c$).

Аналогичная формула, разумеется, справедлива и для $t'$, где $t'$ — время работы линии во втором варианте (табл. 5’):

$$t' = S - \min(a, d).$$

Итак, если $\min(a, d) \geq \min(b, c)$, то $t \geq t'$.

Другими словами, при $N = 2$ лучший порядок определяется по следующему правилу: выберем наиболее из чисел $a, b, c$ и $d$; если это $a$ или $d$, то лучше первый вариант (табл. 5), если же это $b$ или $c$, то — второй (табл. 5’). To есть при $N = 2$ в таблице, указавшей лучший порядок, наиболее из чисел должно быть в левом верхнем, либо в правом нижнем уелу.

На случай произвольного $N$ последнее предложение обобщается так.

Утверждение 2. «Наилучший» порядок можно определить по следующим правилам. Выберем в таблице 3 наиболее из чисел $a_1, b_1, \dots, a_N, b_N^*$. Если это число равно $a_k$, то $k$-ю бутылку нужно подавать на линии самого первого; если это число равно $b_k$, то $k$-ю бутылку нужно подавать на линии последней. Выяснить максим образом судьбу $k$-й бутылки, вычеркием $k$-ю строку из таблицы 3. Среди оставшихся чисел $a_i, b_i$ ($1 \leq i \leq N, i \neq k$) снова выберем наиболее из чисел $*$. Если оно равно $a_l$, то $l$-ю бутылку отправим в начало очереди, а если оно равно $b_l$, то $l$-ю бутылку отправим в конец очереди (коморую образуем все бутылки, кроме $k$-й). Итак до последней бутылки.

Мы доказем утверждение 2 в п. 6, а сейчас применим утверждение 1 и 2 к нашему примеру.

*) Если таких наиболее чисел несколько, можно взять любое из них.

25

5. Численный пример (окончание)

Наименование из чисел, обозначающих времена в таблице 1, равно 1. Это время закупоривания 3-й бутылки. Поэтому отправим 3-ю бутылку в самый конец очереди. Вычеркнем 3-ю строку из таблицы 1 и снова найдем наименование число. На этот раз оно равно 2 — это время наполнения 4-й бутылки. По нашим правилам отправляем 4-ю бутылку в начало очереди. Продолжая действовать так же, получим таблицу 1′.

Сколько будет работать линяя при новом порядке? Составим, как обычно, таблицу 2′.

Максимальное число в ее 3-м столбце равно 44. Это и есть время работлиния. По сравнению со старым порядком мы выиграли 6 секунд.

Замечание: Переставим в таблице 1′ последние две строки (то есть помещаем 3-ю и 5-ю бутылки). Первые четыре строки в таблицах 1′ и 2′ при этом не изменятся, а последние две станут таким, как в таблицах 1″ и 2″ на странице 26.

Согласно утверждению 1 время работы линейки будет по-прежнему равно 44 с. Таким образом, может служиться, что несколько различных порядков — «наилучшие». Утверждение 2 позволяет быстро найти один из них.

6. Доказательство утверждения 2

Выберем в таблице 3 какие-нибудь две строки, стоящие друг за другом, и поменяем их местами (см. табл. 6 и 6′).

Посмотрим, как изменится при этом таблица 4. Если мы переставим строки с номерами i и (i+1), то при k < i и при k > i + 1 числа $A_k$ и

Таблица 2′

26

Таблица 1"

| 3 | 3 | 1 |
| :— | :— | :— |
| 5 | 11 | 6 |

Таблица 2"

| 23+3=26 | 6+1=7 | 26+7=33 |
| :— | :— | :— |
| 26+11=37 | 6 | 37+6=43 |

Таблица 3'

| $i$ | $a$ | $b$ |
| :— | :— | :— |
| $i+1$ | $c$ | $d$ |

$B_k$ не изменяется. Изменения произойдет только в строках с номерами $i$ и $i+1$ (см. табл. 7 и 7’).

Тем самым
$$A_i + B_i = (A_{i-1} + B_{i+2}) + a + b + d,$$
$$A'_i + B'_i = (A_{i-1} + B_{i+2}) + b + c + d,$$
$$A_{i+1} + B_{i+1} = (A_{i-1} + B_{i+2}) + a + c + d,$$
$$A'_{i+1} + B'_{i+2} = (A_{i-1} + B_{i+2}) + a + b + c.$$

Обозначая $A_{i-1} + B_{i+2}$ через $H$ и используя формулы для $t$ и $t'$ из п. 4, находим
$$\max(A_i + B_i, A_{i+1} + B_{i+1}) = H + t,$$
$$\max(A'_i + B'_i, A'_{i+1} + B'_{i+1}) = H + t'.$$

Найбольшие из чисел $A_k + B_k$ (при $k \neq i$ и $k \neq i+1$) обозначим через $K$. Время работы линии в двух сравни-

ваемых между собой вариантах обозначим через $T$ и через $T'$. Тогда, согласно утверждению 1,
$$T = \max(K, H + t),$$
$$T' = \max(K, H + t').$$

Ясно, что если $t \geq t'$, то $T \geq T'^*$.
В п. 4 мы доказали, что $t \geq t'$, если $\min(a, d) \geq \min(b, c)$.

Поэтому только что полученный результат можно сформулировать так:
Лемма. Выберем в таблице 3 две произвольные сеседные строки (см.

*) Отметим, что если $t > t'$, то не обязаτεльно $T > T'$. Можно слушаться, что $\max(K, H + t, H + t') = K$ и тогда $T = T'$ независимо от того, какое из чисел $t$ и $t'$ больше.

Таблица 4**

| $A_i - 1 + a = A_i$ | $B_{i+1} + b = B_i$ | $A_i + B_i$ |
| :— | :— | :— |
| $A_i + c = A_{i+1}$ | $B_{i+2} + d = B_{i+1}$ | $A_{i+1} + B_{i+1}$ |

Таблица 5'

| $A'_i - 1 + c = A'_i$ | $B'_i + 1 + d = B'_i$ | $A'_i + B'_i$ |
| :— | :— | :— |
| $A'_i + a = A'_i + 1$ | $B'_i + 2 + b = B'_i + 1$ | $A'_i + 1 + B'_i + 1$ |

26

27

6). Если для них
min (a, d) ≥ min (b, c),
то эти строки можно переставить (см. табл. 6’), и время работы линии при этом не увеличится.

Отсюда уже следует утверждение 2 из п. 4. Доказем его.
Начем с двух простых замечаний.

1. Порядок, к которым мы приедем, применяем правила п. 4, не зависит от того, в каком порядке будут были рассставлены первоначально. Поэтому достаточно доказать утверждение 2 в том случае, когда порядок, указанный в таблице 3, уже был «наплачшим» (точнее, одним из «наплачших» *).
2. Допустим, что, последовательно применяем правила п. 4, мы решили (на некоторых шаге) перевинить какую-то бутылку ближе к концу очереди: с i-го места на (i + s)-е. тогда это можно сделать в s этапов: сначала переставить выбранную бутылку на (i + 1)-е место, потом на (i + 2)-е и т. д. To же верно и в случае, если мы должны перевинить какую-то бутылку ближе к началу очереди: это также можно сделать в несколько этапов, меняя местами лишь рядом стоящие бутылки. Если убедиться, что на каждом этапе применима лемма, то тем самым будет доказано, что выполнение правил п. 4 не увеличивает времени работы линии. Согласно предыдущему замечанию только в этом и осталось убедиться, чтоы доказать утверждение 2.

Слушан, когда какая-то бутылка переносится в начало или в конец очереди, рассматривают совершенное аналогично. Рассмотрим, например, второй из них.

Пусть по правилам п. 4 решено на некоторых шаге перевести какую-то бутылку с i-го на (i + s)-е место, и пусть на этом шаге i-я и (i + 1)-я строки задаются таблией 6. Тогда число b является наименьшим среди

*) См. замечание в конце п. 5.

чисел, обозначающих время наполнения и закупоривания для всех бутылок, еще не расставленных к этому моменту на свой окончательные места. В частности, b = min (a, b, c, d). Тем самым, min (a, d) ≥ min (b, c). Значит, лемма применима. Точно так же доказывается, что она применима на любом этапе. Таким образом, доказательство полностью закончено.

У разнения

1. В п. 3 мы подсчитали, что если порядок подачи бутылок на автоматическую линию задан, то время работы линии вычисляется за 3N — 2 сложения (где N — число бутылок). А сколько действий нужно произвести для определения «наплачшим» порядка?

Если называть «действием» выбор наименьшего числа в таблице из двух столбцов и произвольного числа строк, то потребуется N действия (см. утверждение 2 в п. 4). Пока N не велико, данное определение «действия» разумно,— например, можно считать, что при составлении таблицы 1’ по таблице 1 в п. 5 мы действительно потребили N действия (N = 6). При больших N нахождения наименьшего числа в таблице явно переставят бутыль элементарным актом, так что «действием» разумнее называется сравнение двух чисел (и выбор наименьшего из них). Сколько таких действий-сравнения требуется для определения наименьшего порядка?

2. Можно рассматривать «задачу о бутыках» не для двух, а для n автоматов. (В математической литературе решения в затемке задача известна под названием «задача Джонсона для n = 2».)

При n > 2 (далее при n = 3) эта задача до сих пор не решена. Во многом это объясняется следующим. При n = 2 добавление (N + 1)-й бутылок к N бутыкам, уже расположенным наличием образом, не влияет на взаимный порядок первых N бутылок. При n > 2 это представляется быть верным: уже при n = N = 3 можно так задать время a_i, b_i, c_i (i = 1, 2, 3) обработки трех бутылок времени, что «в присутствии 3-й бутылок» 1-я бутыка должна подаваться на линию равше 2-й, а «в отсутствие 3-й бутылок», наоборот, 2-я бутыка должна подаваться на линию равше 1-й. Приведите пример, подтверждающий это.

3. Проверьте, что при n = 3 бутыки, рассставленные «наплачшим образом», подаются на каждый из автоматов в одном и том же порядке. При n > 3 это уже не обязательно так: чтобы сделать время работы линии наименьшим, может иногда попадаться отсторону очередную бутылу, обработанную неокончательным автоматом A, и на следующий автомат B подать ее уже после бутыки, которая выйдет из автомата A позже этой. Приведите соответствующий пример.

28

Скорнем квадратным — сквозь историю

$$\sqrt{2} = 1.41421356237309504$$

Совокупность цифр — эта бесстраная аббука весыма выразительного языка математики — вот уже тысячелетями порядкает вообразение человека. Традиция интереса к очень крупным числам восходит, по крайней мере, к Архимеду, который, решив определенить, сколько песчинок может помещиться во Вселенной, разработал систему классов и порядков арифметических величины. Он даже предложил принципи, с помощью которых можно «придумывать» называния сколько угодно больших чисел.

Однако интерес к квадратному корню из двух, видимо, возник еще раныше. В собрании Вавилонских исторических ценностей, хранящемся в Йельском университе (Нью-Хейвен, штат Коннектику), есть круглая глиняная таблица, отнесшаяся к 1750 г. до нашей эры. На ней изображен рассеченный диагоналями квадрат и четкими клинописными знаками выписаны три цифры (см. фотографию). Когда их прочили, стало ясно, что без малого четыре тысяч лет назад в Вавилоне умели определять диагональ квадрата по его стороне, умножая ее длину на квадратный корень из двух. цифры на таблице как раз и представляют собой эту величины, выведенную с точностью до пятого знака: 1, 24, 51, 10. Ну что же, это совсем неплохое приближение к истине, ведь $1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1,41421$.

Невольно хочется повторить: это подсчитано в XVIII веке до нашей эры!

За пять столей до нашей эры школа Пифагора сделала одно из величайших математических открытий. Пифагорейцы пытались доказать, что любое число может быть выведено путем сложения, вычитания, умножения и деления положительных целых чисел. А корень квадратный из двух — число irrationalное и конечным числом таких операций не получается. Это и было обнаружено последовательами Пифагора. Однако они любили всяческую секретность и «законспирировали» свое открытие на долге годы.

Его доказательство впервые появилась в «Началах» Евклида около 300 г. до нашей эры. А затем примерно в 140 г. нашей эры Теону из Смирны удалось разработать интереснейший алгоритм вычисления корня квадратного из двух; этот алгоритм стал предчётей всей методики использования непрерывных дробей.

В XIX веке математик Дж. М. Бурман довел вычисление квадратного корня из двух до 486-го десятичного знака. Его победа, добавляя «голыми руками», омачается тем, что в 316-м знаке Бурман допустил ошибку, и далее его вычисление уже неверно.

В последнее время интерес к подобным операциям стал не только данную традицию. «Нeuпорядоченные» величины, вроде корня квадратного из двух, могут служить для моделирования случайно произходящих массовых явлений, например возникновения и исчезновения рыночного

29

спроса, характерная движением машин на шоссе в часы «пик», числа телефонов вызовов в большой сети, для составления расписания прибития самолетов. Все это входит в круг математический теории с произческим названением «теория массового обслуживания».

Matematikam необходимо знать, появляются ли где-либо в этой величины $\sqrt{2}$ такие последовательности, как, например, 7, 7, 7, 7 или 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Подобные события теория пока предсказать не в силах, так что приходит добавться ответа эмпирических, путем приближения и приближения к истине. Поэтому с момента появления скорости электронных вычислительных машин математики не желели сил и довели вычисление $\sqrt{2}$ до стольсяного знака. Недавним достижением была титанческая работа сотрудника Отдела математических методов в инженерном деле при Колумбийском университете профессора Жака Дутки (Нью-Йорк). Он специально разработал совершенное новый алгоритм и подсчитал величины пресловутого корня до миллион восемьдесят второго десятичного знака! Это наиболее длинная из всех вычислительных величины за всю историю математики.

Хотя алгоритм профессора Дутки и расчитан на эффективное и быстroe

30

1. Введение.
   Определение логарифма

Показательная функция $x \rightarrow a^x$ изучается в школе после нескольких обобщений операции возвывания в степени: сначала определяется степень с натуральным показателем, затем с разциональным и, наконец, с irrationalным показателем. Логарифм определяется затем как функция, обратная показательной.

Мы поступим начете: начнем сразу с определения логарифма, а потом перейдем к обратной функции — «экспоненте». Определение, которое мы сейчас даим, позволяет изучить основные свойства этих функций и получить оценки, особенно важные для физических приложений, а также продемонстрировать один из часто встречающихся в математике способов построения новых функций по уже известным.

Такой известной функцией послужит нам функция $x \rightarrow \frac{1}{x}$, график которого $y = \frac{1}{x}$ — знакомая вам гипербола.

Определение. Пусть $b$ — положительное число. Обозначим через $\ln b$ число, модель которого равен площади функции, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = b$, а знак — плоск, если $b > 1$ (рис. 1, а), и минус, если $b < 1$ (рис. 1, б); если $b = 1$, то $\ln b = 0$.

Функция $b \rightarrow \ln b$ называется натуральным логарифмом.

Мы видим скоро, что $\ln b$ действительное есть логарифм числа $b$ по основанию $e$, где $e = 2,71828\dots$ — заменательная математическая константа, о которой уже расссказывалась в «Кванте» (см. статью Л. Г. Л именова «О числе $e$ и $n$» в № 5 за 1972 г.).

Для тех, кто знаком с понятным интеграла (например, по статью Ю. И. Ионина в «Кванте» № 9), нашей определение логарифма можно формулировать так:

$$\ln b = \begin{cases} \int \frac{1}{x} dx, \text{ если } b > 1, \\ 0, \text{ если } b = 1, \\ -\int \frac{1}{x} dx, \text{ если } 0 < b < 1. \end{cases}$$

Мы будем иногда ссылаться на статьи «О числе $e$» и «Интеграл», но лишь для сопоставления: предварительноного знакомства с ним от читателя не требуется. Читатель, который хотел бы детально и строго проследить за всеми рассужdenями и решить задачи (а в них заключаена значительная часть содержания статьи), потребуется знание основных свойства действительных чисел *). Однако Sta-

*) См., например, пробный учебник Б. Е. Вейцца и И. Т. Демидова «Алгебра и начала анализа», 9 класс, М., «Просвещение», 1969.

31

Рис. 1.
тья написана по возможности так, чтобы основные факты, касающиеся свойств логарифма и экспоненты, можно было понять, пользовать лишь наивными представлениями о действительных числах, непрерывности, пределе и т.п., не вникая в тонкости, связанные со строгими определениями этих понятий.

2. Площадь
   Одно из понятей, которое следует бы строго определить, — это понятие площади. Действительно, нужно обяснить, что мы понимаем под площадью «криволинейной трапеции» (см. рис. 1). Ведь в школе речь идет только о площадях многоугольника, кругга и его частей, а наша трапеция с одного бока ограничена гиперболой.

Здесть мы ограничимся заменением, что площадь — это функция, которое можно определить на достаточно широком классе функции (в этот класс включаются и многоугольники, и все выпуклые ограниченные функции, и наша «трапеция») так, чтобы выполнялись условия:

1. площадь любой функции — число неотрицательное;
2. площади равных (конгруэнтных) функции равны;
3. если функция разрезать на две части, для каждой из которых площадь определена, то сумма этих площадей равна площади всех функций;

Рис. 2.
4) площадь прямогольника со стороны $a$ и $b$ равна $ab$.

Описывать класс функции, для которых можно определить такую функцию $S$, мы не будем, но доказем, что условиями 1—4 площадь $S$ «криволинейной трапеции» $a \leq x \leq b$; $0 \leq y \leq \frac{1}{x}$ (рис. 2) определяется однозначно.

Для этого разделим отрезок $[a, b]$ на $n$ равных частей и построим две «лестницы» — ступенчатые функции, состоящие из прямогольников с основаниями $\frac{b-a}{n}$ на оси $Ox$, из которых одна содержит нашу кривolinейную трапецию, а другая содержится в ней (рис. 2). Пусть $S'_n$ и $S''_n$ — площади этих «лестниц» $^*$). Ясно, что $S'_n < S < S''_n$. С другой стороны, ясно, что

$$S''_n - S'_n = \frac{b-a}{n} (a^{-1} - b^{-1}),$$

то есть при достаточно большом $n$ разность между $S''_n$ и $S'_n$ может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому существует только одно число $S$, заключенное между $S'_n$ и $S''_n$ при всех $n$ (отсюда следует также, что обе последовательности $S'_n$ и $S''_n$ с ростом $n$ приближаются к $S$, то есть, что $S$ является их общим пределом).

*) Эти площади мы умеем определить с помощью условия 3 и 4.

32

3. Основное свойство натурального логарифма

Это свойство выражается формулой

$$\ln x_1 x_2 = \ln x_1 + \ln x_2$$

(1)

(при $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$)

и означает, что натуральный логарифм произведение равен сумме натуральных логарифмов сомножителей.

Прежде чем доказывает формулу (1), установим одно важное свойство кривolinейных трапеций для функций $y = \frac{1}{x}$.

Обозначим через $S[A, B]$ площадь кривolinейной трапеции с вершинами $A, B$ (рис. 3). Тогда, если $b > a > 0$ и $k$ — произвольное положительное число, то (рис. 4)

$$S[a, b] = S[ka, kb].$$

(2)

Для доказательства рассмотрим преобразование плоскости, состоящее в растяжении в $k$ раз от оси $Oy$ и в скатии в $k$ раз к оси $Ox$, то есть преобразование, переводящей точку $(x, y)$ в точку $(kx, \frac{y}{k})$ (рис. 5). Легко видеть, что это преобразование по:

$$\int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \int_k^a \frac{1}{x} \, dx.$$

34

5. Экспонента

Можно доказать, что функция, изученная нами в предыдущих параграфах, принимает все действительные значения *). При этом каждое значение принимается, конечно,ровно один раз, то есть при любом $x$ уравнение $\ln y = x$ имеет единственное решение. Для числа $y$, являющегося решением этого уравнения, приято обозначение

$$y = \exp x.$$

Получившаяся новая функция $x \rightarrow \exp x$, обратная к функции $x \rightarrow \ln x$, называется экспонентой.

Заметим, что по определению экспоненты справедливо равенство

$$\exp (\ln x) = \ln (\exp x) = x.$$ (6)

График $y = \exp x$ симметричен графику $y = \ln x$ относительно прямой $y = x$. В самом деле, поскольку $y = \exp x$ равносильно $\ln y = x$, то график экспоненты получается из графика логарифма преобразованием плоскости, при котором точка $(x, y)$ переходит в точку $(y, x)$, а это преобразование — симметрия относительно прямой $y = x$ (рис. 8**)).

*) Мы не будем этого доказать, но заметим, что это почти очевидно «из сообщений непрерывности». Строное доказательство этого факта можно проведен примерно так же, как доказательство существования $\sqrt{a}$ для любого $a \geq 0$.

**) Для того чтобы убедиться в правильности этого рисука, вам следует доказать, что $\ln x < x$ при всех $x > 0$.

Таким образом, экспонента — возрастоящая функция, определяная на всей числовой прямой $-\infty < x < +\infty$ и принимающая положительные значения. Кроме того, экспонента принимает сколь годно больше значения при неограниченном возрастании $x$ и стремится к нулю при $x$, стремящемся к $-\infty$.

6. Основное свойство экспоненты

Это свойство выражается следующей формулой:

$$\exp \left( x_1 + x_2 \right) = \exp x_1 \cdot \exp x_2.$$ (7)

Для его доказательства воспользуемся основным свойством натурального логарифма и соответствием (6). Так как $\ln y_1 y_2 = \ln y_1 + \ln y_2$, то для $y_1 = \exp x_1$ и $y_2 = \exp x_2$ получаем $\ln y_1 y_2 = x_1 + x_2$, то есть $y_1 \cdot y_2 = \exp \left( x_1 + x_2 \right)$ или $\exp x_1 \cdot \exp x_2 = \exp \left( x_1 + x_2 \right)$.

Из основного свойства exp (или из соответствующих свойств функции ln) легко вывести, что

$$\exp (-x) = \frac{1}{\exp x}$$

и

$$\exp \left( x_1 + x_2 + \dots + x_n \right) = \exp x_1 \cdot \exp x_2 \dots \cdot \exp x_n).$$

Обозначим число exp1 через $e$. Другими словами, $e$ — это решение уравнения $\ln e = 1$.

Пользоваем основным свойством экспоненты, мы докажем, что для рациональных $x = \frac{m}{n}$ exp $x = e^x$.

Прежде всего при натуральном $m$ exp $m = \exp \left( 1 + 1 + \dots + 1 \right) = \exp 1 \cdot \exp 1 \cdot \dots \cdot \exp 1 = e^m$ и exp $(-m) = \frac{1}{\exp m} = \frac{1}{e^m} = e^{-m}$.

Итак, exp $m = e^m$ при любом целом $m$.

Кроме того, при натуральном $n$

$$\exp \left( \frac{1}{n} \right)^n = \exp \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n} \right) = \exp 1 = e,$$

то есть
$$\exp \frac{1}{n} = \sqrt[n]{e}.$$

Для произвольного рационального $x = \frac{m}{n}$ (где $n > 0$, $m$ и $n$ целые) получаем
$$\exp \frac{m}{n} = \left( \exp \frac{1}{n} \right)^m = \left( \sqrt[n]{e} \right)^m = e^{\frac{m}{n}},$$
то есть $\exp x = e^x$ при любом рациональном $x$.

Если же $\alpha$ — irrationalное число, то формулу $e^\alpha = \exp \alpha$ удобнее всего считать определением степени числа $e$ с показателем $\alpha$.

Таким образом, для всех $x$
$$\exp x = e^x. \tag{8}$$

Из последнего равенства и соответствия (6) следует, что логарифм данного положительного числа $x$ — это показатель степени, в котором нужно возвести число $e$, чтобы получить число $x$:
$$e^{\ln x} = \exp \ln x = x.$$

7. Показательные функции и логарифмы с произвольным основанием

Теперь мы можем определить $y = a^x$ при любом $a > 0$, $a \neq 1$, и любом $x$, положив
$$a^x = \exp (x \ln a) = e^{x \ln a},$$
а также логарифм числа $x > 0$ по основанию $a$, положив
$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.$$

Легко убедиться в том, что для этих функций выполнены те же основные свойства:
$$a^{x_1} + x_2 = a^{x_1} \cdot a^{x_2},$$
$$\log_a x_1 x_2 = \log_a x_1 + \log_a x_2$$
(при $x_1 > 0$, $x_2 > 0$) и
$$a^{\log_a x} = x.$$

Мы предлагаем читателю самостоятельную убедиться в том, что эти определения совпадают с традиционными. Но в дальнейшем мы будем занимать такиеими свойствами логарифмов и экспоненты, где существенно, что в роли основания береется именно число $e$, а не какое-то другое.

8. Скорость изменения показатель функции и логарифма

Do схх пор мы говорили о свойств логарифмов и показательных функций, которые известны из школьного курса. Сейчас речь поняет о таких свойствах, которые связаны с скоростью изменения этих функций и которые особенно важны для приложений в физике.

Наннем с некоторых определений. Приращением $\Delta f$ функция $x \rightarrow f(x)$ на отрезке $[x_0, x_1]$ называется разность $\Delta f = f(x_1) - f(x_0)$, приращением аргумента — разность $\Delta x = x_1 - x_0$. Отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$ естественно называется средней скоростью изменения функции $x \rightarrow f(x)$ на отрезке $[x_0, x_1]$ (если $x$ — время, а $f(x)$ — путь, пройденный движущим телом к моменту $x$, то $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ — средняя скорость движения за промежуток времени от $x_0$ до $x_1$). Пусть теперь $x_0$ фиксировано, а $x_1$ приближается к $x_0$. Если при этом относение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ стремится к некоторому пределу, то это предельное значение — «мгновенная скорость» изменения функции в точке $x_0$ — называется произвольной функцией $x \rightarrow f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается через $f'(x_0)$. Значение произвольной характеристики позволяет поведение функции влизывачи точки $x_0$.

Произвольная имеет наглядный геометрический смысл. Пусть $M_0$ — точка графика $y = f(x)$, соответствующая $x = x_0$, то есть точка с координатами $(x_0, f(x_0))$, $M_1$ — точка $(x_1, f(x_1))$. Проведем прямую $M_0 M_1$. Угловой коэффициент этой прямой, то