Квант 1973, №9 · Страницы

Квашт
1973
9
Научно-популярный
физико-математический
журнал

4

VII Всесоюзная олимпiadа школьников по математике

1. Разбор задач с руководителем команд.
2. Обсуждение задач.
3. Вручение премии.
4. Восымиклассники за работу.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикони
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский.
Я. А. Смородинский.
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Черпова

В НОМЕРЕ:
2 Л. С. Хренов. Абу Райхан Беруни (к 1000-летию со дня рождения)
9 В. А. Александрова. Томас Юнг (к 200-летию со дня рождения)
12 Т. Юнг. Экспериментальная демонстрация интерференции света

Математический кругок
18 Б. А. Кордемский. Красноная комбинаторика

Задачик «Квант»
24 Победители конкурса «Квант»
25 Задачи М221—М225; Ф233—Ф237
27 Решения задач M179—M183; Ф193—Ф197

VII Всегоизная олимпида школьников по математике и физике
38 М. Л. Смолянский. Всегоизные олимпиды
41 Л. М. Пашкова. Олимпида у математиков
47 Л. Г. Лиманов. Задачи по математике
50 И. Н. Бернистей. Матбои
52 Т. С. Петрова, В. А. Тихомирова. Физическая олимпида
60 И. М. Яелом. Сборники «олимпидных» задач

Практикум абитуриента
63 Г. В. Дорофеев. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
68 Л. П. Баканина. Силы трения

Информация
72 А. И. Орлов. ВМШ при Московском математическом обществе
74 А. В. Каданов, И. И. Наслузов. Телевидение готовит в ВУЗ

«Квант» для младших школьников
76 Задачи
77 А. Ю. Сойфер. Новоселы зоопарка «Квант»
78 У нас в гостях журнал «Альфа»
79 Ответы, указания, решения
Смесь (смр. 17, 23, 26, 71, 73)

На первой странице обложки помещена фотография интерференционной картины, полученной при прохождении света от критического шнэра через интерферометр. О явлении интерференции света вы можете прочитать в статье T. Юнга «Экспериментальная демонстрация интерференции света» (с. 12).

Л.С.Хренов
АБУ РАЙХАН БЕРУНИ
к 1000-летию со дня рождения

Первая половина XI века и предшествовавшие ему два столетия характеризовались бурным развитием культуры народов Ближнего Востока и Средней Азии. Создание и развитие больших окинвленных городов, цветущих оазисов, irrigationных систем, формирование международных торговых путей, строительство дворцов и храмов стимулировали исследование в области математики, геодезии, астрономии.

Средняя Азия является одним из древнейших очагов мировой культуры. Труды среднеазатских ученых оказали большое влияние на развитие не только науки Ближнего Востока, но и всей европейской науки.

Широко известны работы среднеазатских астрономов и математиков IX—XVI вв. Средних одно из почетных мест принадлежит значитому ученому Абу Райхану Мухамmad ibn Axmad al-Berуки.

В этом Великомчеловеке сочетались лучшие черты ученого — преданность наук, неугасимая страсть к познаниям, целуустремленность и самотверженность.

Абу Райхан Беруни родился 4 сентября 973 года в Узбекистане в предмете г. Кят *), тогдашней столицы Хорезма.

Первые годы своей жизни он провел в семье хорезм-шаха Маму и а.

Таким образом, распространенный в низовьях Аму-Дарьи, называется Берунни (раныше Берунни считался арабским ученым, а по-арабски его имя звучит как Берунни).

Там на его выдающиеся способности обратил внимание известный ученый Абу Наср Мансура и бин Али и бин Ирака (примерно 950—1034), который привил юному Берунни интерес к естественным научкам и особенно к математике и астрономии. Вспоминая этот период своей жизни, Берунни в одном из своих последних стихотворений писал:

«Семья Ираков вскормила меня своим молоком, а их Мансур взялся вырастить меня…».

Получив прекрасное образование на родине, Берунни уже в юностипе произвел самостояльные наблюдения и около 995 года первый в Средней Азии построил глобус, позволяющий определить географические координаты населенных пунктов с достаточной для того времени точностью, занимася конструкированием астрономических инструментов (стенного квадрата и др.) и определил географические координаты различных мест Хорезма.

Его пытливый ум, постоянное стремление к приобретению знаний не могли бы удовлетворить образование, полученным в семье Ираков, и Берунни посвящает много времени изучению философии, математики, астрономии и других наук. С этой же целью онездил в такие крупные научные центры, как Багдад и Бухара и в различных городах Хорезма и Афганистана.

Распри между знаными людьми Хорезма вынуждали Берунни недоократно покидать свою Родину, так

4

как он уже в ранней молодости принимал активное участие в политической жизни Кята, занимая видное положение при двое хорезм-шаха.

Вернулись в 1004 году в Хорезм, в его новую столицу — г. Гургандж*), Беруни занимает должность советника шаха и руководит созданной к тому времени академией. Вокруг Беруни группируются блестише учены, приглашенные хорезм-шахом из разных стран. Украшением академии являлся бухарский ученый Абу Али и бн Сина (Авиценна, 980—1037), занимаетый естественно-пспытатель, врач и философ.

После захвата Хорезма султаном Махмудом Газневидским Газневидским в 1017 году Беруни вместе с другими учеными вынужден был переселиться в Газну (Афганистан), где и прожил до последних дней. Здесь он занимается астрономейей, математкой и геодезей. В этот же период Беруни дважды pobывал в Индии; там он не только провел работы по определению размеров земного шара, но и собрал общий материал по истории, географии, этнографии и философии этой страны.

В это же время он пшет историю развития математики в Индии, составляет карту мира и разработывает теорию проискождения морей.

О последних годах жизни Берунии известно очень мало: одиночесто, старость и, как всегда, направленный труд. Семьи у него не было, учеников — очень мало. Вероятно, Беруни видел свое предназначение в том, чтобы передавать свои знания не одиночкам, а всем людям. «Все мои книги — дети мои, а большинство людей окаровано своим детьми и стихами», — писал ученый. Отсюда и бережное отношение к каждому часу, к каждому minuteе своей жизни — сн стремился оставить людей все, что у него было, все до последней мысли.

*) Развалины этого города находятся в нескольких десятих километров от Ургенча.

Перу Беруни принадлежит около 150 научных работ, относится к самых различным областям науки: астрономии, математике, минералиги, географии, геодезии, истории, лингвистике и другим. Однако на протяжении всей жизни он наиболее внимательно изучил астрономейей, геодезии и математике.

Его первая капитальная работа «Памятники, оставшиеся от минувших поколений», кратко называемая «Хронология» (около 1001 года), включает описание клендарных систем различных народов (греков, римлян, хорезмицев, аридов, ebvreев, персов и др.), историю развития науки, культуры, обчаев и т.п.

Очень интересны сведения о том, что arabs в древности считали сутками времени от захода до захода Солнца, а греки, византийцы и персы — от востока до востока. В книге раскрывается об астрономеческих видах месццев (лунных, солнечных и високных), о проискждении названной месццев у разных народов.

Двенадцать глав «Хронологии» посвящены знаменитыми дням и религиозным праздниками древних персов, греков, римлян и других. Эта книга не отражала научной ценности и в нашей дни: в ней очень полно отражена история, религия и этнография народов Древнего Востока.

В 1025 году Беруни заканчивает свой тракт «Определение границ мест для ученения расстояний между пунктами», условия называемый «Геодезия». В нем Беруни — первый из астрономов-мусульман — дает детальную разработку метода определения географической долговыпки путем одновременного наблюдения лунного затмения из двух точек при известной долготе одной из них.

В Индии, общаясь с учеными и ремеслениками, захваченными в плен Махмудом Газневидским, Беруни узнавал подробности об их удивительной родине, о ее религии, обы-

6

величин движений светил, и увековчить то, что представляется почительным для тех, кто запоздал к нашему времени и является позже. Каждый действие в каждой главе я сочетал с указанием таких принципов действия и с таким разъяснениями сделанного много, которые удалили бы изучающего от слепого подражания мне и раскрыли бы перед ним врата для подтверждения истинности того, в чем я оказался прав, или исправления того, в чем я ошибся».
«Собранное сведений для познания драгоценностей», кратко назваемое «Мineralogy», — последний законченный труд Беруни. Книга в известной мере преследовала практические цели, связанные с торговлей драгоценными цветными камнями. Большая часть трактата посвящена минералам, которые были известны Беруни, меняшая — металлам. Ученый приводит название минералов на разных языках, описывает их цвет и оттенки, физические и лекарстенные свойства. Отромный интерес для истории физики и mineralogy представляет тот факт, что Беруни впервые точно определил удельные вес некоторых minerals, что далеко емувозможность классифицировать minerals. Таким образом, minerals, еще чисто описательная наука, впервые начала основаться цифровыми данных, полученными в результате физических экспериментов. «Мineralogy» была задачана Беруни не как строго научный, а как научно-литературный труд. Этим и объясняется большое количество легенд, рассказов и вымышленных истории о камнях, встречалось в тексте. Написанная ярким, выразительным языком, «Мineralogy» содержит образные характеристики minerals. «На полированной поверхности камня в большихстве слуаев видны золотистые звезды, подобные пылинкам в лучах Солнца», — так позтично описывает Беруни лазурит.

Наноболее важные исследования Беруни в области тригонометрии отно_

сяться к вычислению длион многоугольников на основе их построений с помощью циркуля и линейки. В его книгах приведено доказательство теорем о хордах, соответствующих теоремам о синусе суммы и разности двух углов, о синусе положенного и удвоенного углов, вычисленные отношение длины окружности к диаметру и значения синусов углов через каждые 15′ и тангенсов через 1° с точностью до четырех шестидесетричных знаков и даны правила пользования имми, описано линейное и квадратическое интерполярование, доказаны теоремы синусов плоской и сферической тригонометрии.

Значительный интерес представляют Беруни в области геодезии, одной из задач которого является определение форм и размеров нашей планеты. Изучение форм и размеров Земли вместе с ее положением и движением в пространстве имело большое значение для понимания человекаом окружающей его действительности, для разрешения загадки мироздания.

Халдейские учены еще в глубокой древности (VII—VI вв. до н. э.), наблюдая лунные затмения, высказавали мысли о шарообразности Земли. История сохранила для нас и известное определение радиуса земного шара (метод и размеры), произведенное греческим ученым Эртосфеном (около 276—194 гг. до н. э.). По его расчетам радиус земного шара оказался равным 6311 км.

Расхождения в размерах радиуса земного шара, полученных различных учеными к концу IX в., были известны Беруни и побудили его проведение самостоятельные измерения. С этой целью он применил новый метод. Вот что он пишет: «Для этой целли я в Индии нашел большую гору, возвышающего над широкой равниной. Поверхность равнины была главе самойширине Земли и неба, то есть кругга горизонта, и я нашел его

7

Рис. 1.

в инструменте (в астрологии), ограниченным горизонтальной восточно-западной линии, и определил угол полинжения горизонтала».

Действительно, если допустить, что высота горы $AM = H$ известна (рис. 1), то, изменив при помощи астрологии угол полинжения горизонтала $\alpha$, можно (из $\triangle CBA$) написать, что

$$R = (R + H) \cos \alpha;$$

отсюда

$$R = \frac{H \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}.$$

При этом для определения точки $B$, при визировании на котором измерют угол $\alpha$, надо найти «… такое место у моря или в пустые и наблюдайте Солнце с горы на востхое или закате, пока не скроется из нашего времени половина его диска».

Радиус земного шара, определенный Берунни по формуле (1), оказывается $R = 6399.58$ км, что мало отличается от размера радиуса Земли ($R = 6371.11$ км), которые пользоваться в настоящей время.

Для определения высоты $H$ (скажем, мечети) Берунни пользовался созданным им высотомером, при помощи которого он измерил отрезки $ND$ и $FQ$ (рис. 2). Расположив шит $MNPQ$ высотомера в вертикальной плоскости так, чтобы сторона $QM$ была бы направлена на точку $A$ (визируют через диоптры $m$ и $n$), при помощи алиады $PZ$, врашающейся вокруг точки $P$, визируют через диоптры $P$ и $Z$ на точку $A$. В этом положении закрепляют шит и на нем алиаду $PZ$.

Так как $\triangle PND$ подобен $\triangle AQP$, а $\triangle AFQ$ подобен $\triangle ACQ$, то

$$\frac{AQ}{PQ} = \frac{NP}{ND}, \quad \frac{AC}{AQ} = \frac{FQ}{PQ},$$

откуда

$$AQ = \frac{NP \cdot PQ}{ND}, \quad AC = \frac{AQ \cdot FQ}{PQ}.$$

Высота $H = AC$ будет $H = AC = AQ \cdot \frac{FQ}{PQ} = \frac{NP \cdot PQ \cdot FQ}{ND \cdot PQ} = \frac{NP \cdot FQ}{ND}.$

Вычисление кратчайшего расстояния $S$ на земной поверхности между значительно удаленными городами $A$ и $B$ Берунни рекомендувал произвольить по предварительно определенным географическим широтам $\varphi_A$ и $\varphi_B$ и долгатом $\lambda_A$ и $\lambda_B$ городов $A$ и $B$. Для этого по предложенной им

8

Рис. 3

формуле определяется хорда $S$, стягивающая дугу большого круга, проходящого через пункты $A$ и $B$:

$$S = \sqrt{\Delta \lambda^2 \cos \varphi_A \cos \varphi_B + \Delta \varphi^2},$$

где $\Delta \lambda$ и $\Delta \varphi$ — хорды, стягивающие дуги, соответствующие разностям долгов ($\lambda_B - \lambda_A$) и широт ($\varphi_B - \varphi_A$). Зная хорду $S$, можно вычислить и стягиваемого его дугу большого круга, проходящого через пункты $A$ и $B$, то есть кратчайшее расстояние между ними.

Большое внимание Беруни уделял конструкированию различных астроνομических и геодезических инструментов.

Им разработаны способы определения ширины реки или оврага (неодуступного для непосредственного измерения), глубины колодца, а также решен ряд других задач, не потерявших и теперь практического значения.

Рис. 4.

Наример, для определения ширины реки $AB$ (рис. 3) Беруни рекомендует построить два прямоугольных треугольника $BAC$ и $QAC$. Для этого при помощи астрофильника $AC$, перепределкулярную $AB$, и изменить в точке $C$ угол $ACB = \beta$, а затем построить при той же точке $C$ угол $ACM = \beta$. Теперя остается продолжить прямую $BA$ так, чтобы получить точку $Q$, лежащую на прямой $CM$. Тогда сторона $AQ$ треугольника $QAC$, достигная для непосредственного измерения, будет равна исключому расстоянию $AB$.

Беруни рекомендует использовать астрофильню и для определения глубины $H$ колодца $ABCD$ (рис. 4). Для этого достаточно в точках $C$ и $M$, лежащих на продолжении прямой $DC$, изменить при помощи астрофильника углы $\alpha$ и $\beta$. Из треугольника $ADM$ и $ADC$ следует, что $MD = AD$ стtg $\beta$, $H = CD = AD$ стtg $\alpha$. Далее, $h = MD - DC$, $H = \frac{h}{ctg \beta - ctg \alpha}$ стtg $\alpha$.

Таков весма краткий обзор трудов Беруни, отдавшего свою жизнь служению науки. Он обладал исключительной широтой научных интервос, и недаром историки науки назвали первую половину XI века в истории мировой науки эпохой Беруни.

Вдали от родины, в г. Газне в Афганистане (южнее Кабула) 11 декабря 1048 года перестановить бится сердце Абу Райхана Беруни — классика узбекской культуры, величайшего из ученых средневековья. То, что принес он миру, Родине, народу—не забылось и не померкло. Его научные открытия остаются примером для потомства.

Литература

1. Абу Райхан Беруни. Избранные произведения. III. Геодезия. Ташкент, «ФАН», 1966.
2. Беруни. Сб. под ред. С. П. Толстова. М., АН СССР, 1950.
3. Беруни. Индия. Ташкент, АН Узб. СССР, 1963.
4. Булгаков П. Г. Жизнь и труды Беруни. Ташкент, «ФАН», 1972.

9

В.А.Александрова
ТОМАС ЮНГ

и 200-летию со дня рождения

Выдающийся английский физик Томас Юнг родился в Милвертоне 13 июня 1773 года. Детство Юнга было необычным. В два года он свободно читал, в шесть лет начал изучать латинь, в восемь — заинтересовался землемерными работами и научился определять расстояния и вычислять высоты. Сначала он учился дома, затем — в частных школах. К пятнадцати годам он изучил несколько современных и древних языков.

В 1792 году девятнадцатилетний Юнг решил посвятить себя медицинне. Через год он представил Королевскому обществу*) работ «Наблюдения над процессом зрения», в котором рассматривался вопрос об аккомодации*) глаза. В то время существовали различные суждения по этому поводу. Одни учены считали, что глаз в целом способен деформировать (расстягивать или сокращаться); другие предполагали, что хрусталик может менять свое местоположение; третьи связали способность к аккомодании с изменением кривизны роговой оболочки; четвертые — с изменением кривизны хрусталика. Многочисленные опытами над собственными глазами Юнг опроверг первые три точки зрения и показал, что аккомодация глаза обязывается деформацией хрусталика. К сожалению, под давлением тогдашних авторитетов

*) Королевское общество — Академия наук Англии.

*) Акомодация глаза — приспособление глаза к ясному видению предметов, находящихся на различных расстояниях.

10

ему сначала пришлось отказывать от своей теории, но в 1800 году он вновь возвратился к ней и новыми исследованиями обосновал ее правильность.

После завершения медицинского образования (сначала в Лондоне, затем в Эдинбурге, Гейтинген и Кембридже) Юнг возврашается в Лондон, где открывает частью врачебную практику, одновременно продолжая заниматься научными исследованиями. С 1801 по 1804 год Юнг — профессор натуральной философии Королевского института, с 1811 года — врач в больнице Св. Георгия в Лондоне, с 1818 года — секретарь Бюро долгот, где ему поручено издание «Мореходного календаря».

«Всякий человек может сделать то, что делают другие» — таков был/devизит Юнга. Прекрасный музикант, знакок литературы и живописи, он интересуется вопросами механики, акустики, оптики, астрономии, ботаники, зоологически. Его работы были так многочисленны, что некоторые из них приходилось издавать анонимно, чтобы не повредить его репутации врача. Несмотря на это, паценты считали его слишком ученым, и он не пользовался у них успехом.

«Опыт о музыке и живописи», «Об устойчивости местных арок», «О вычислении затмений», «Опыт и проблем по звуку и свету», «Теории света и цветов», «Восстановление и перевод различных греческих надписей», «Опыт и вычисления, относится к физической оптике», «Лекция по натуральной философии» — вот название некоторых его работ. Коллега Юнга по Королевскому институту Хэфми Девискаал о нем: «Даже если бы он ограничил себя одной какой-нибудь области знаний, то, несомненно, был бы в этой области первым. Но он был выдающимся специальством и как линвист, и как иероглифик; он знаал так много, что даже трудно сказаать, чего он не знаал».

Юнг — основоположник теории цветного зрения. Он внес также существенный вклад в теории управления. Но в истории физики он известен прежде всего как ученый, который принадлежит аргументированное и бесспорное доказательство волновых свойств света.

Свет интересовал ученых давно, но лишь в конце XVII века были высказаны первые гипотезы о природе света. Такие законы, как закон прямолинейного распространения, отражения и преломления света уже нашли практическое применение в оптимических приборах (лупа, телекоп, микросkop), когда были обнаружены явления, требующие тщательных исследований и объяснений. Это прежде всего диффракция света, которое впервые наблюдал ильяский ученый Гримальди (1618—1663), и образование различных цветов тонких пленок, изученное английским ученым Гуком (1635—1703). И Гримальди, и Гук связьвали свет с колбанями, причем Гук даже упоминал о том, что направления световых колбаней перпендикулярны направленную распространения света, то есть световые колбаня являются поперечными (об этом, правда, потом надо это забели).

Более детально и обстоятельно волновая теория света была изложена голландским ученым Гюйгеном (1629—1695) в его знаменитом «Трактate о свете», где с волновой точки зрения объясняется многое световое явление. «Нельзя сомневаться в том, что свет состоит в движении какого-то вещества», — писал Гюйгенс, очевидно, проводя аналогию с процессом распространения звука. То есть Гюйгенсу пришлось построировать существование особого вещества — эфира, заполняющего все мирное пространство и обладающего удивительными качествами: очень большой упругостью и очень малой плотностью. Источник света создает в эфире колбаня, которое, распространясь с огромной скоростью, доходят до глаза

11

Микроконтурное изображение поверхности алмаза, полученное интерфейсиным способом.

наблюдатель; возникает ощущение света.

Современник Гюйгена великий английский ученый Исаак Ньюотон (1642—1727) внес существенный вклад в развитие оптики. Он открыл явление дисперсии света, создал теorio цветов, показал, что белый солнечный свет является сложным по своему спектральному составу. Ньюотон продолжил эксперименты с тонкими планками, причем особенно эффективным оказался опыт, который теперь называют опитом по наблюдению колес Ньюотона. Он повторил также опит Гримальди по дифракции света.

Для обяснения наблюдаемых явлений Ньюотон создал так называемую теorio источника света. Согласно этой теории, каждый источник света испускает мелчайшие частицы (корпускулы), величины их различна (наибольшая — для красного света и наименьшая — для филотового); попадая в глаз, частицы вызывают ощущение света.

Некоторые световые явления, например, отражение и преломление света, одинаково хорошо обязывались обеими теориими.

Интересно отмечать, что сам Ньюотон, хотя и не соглашался с волновой теории Гюйгена, но не настановал категорически на своей теории, так как считал, что вообще не обязательно иметь определенную точку зрения на природу света. Однако последовательный Ньюотона так активно проводглашали его теorio света, что потребовалось много времени и усилий, чтобы в начале XIX века вновь вернуться к волновой теории света. Первым шагом к этому было обязывание Юнгом явления интерфейсции на основании волновых представления и его значения опыт们 по интерфейсции и дифракции света.

В одной из своих работ Юнг так формулирует открытий им «простой и общий закон» интерфейсции света: «Взделе, где две части одного и того же света попадают в глаза различными путями, либо точно, либо весба близко по направлению, свет становится сильным там, где разность путей есть целое кратное некоторой длины, и наименее сильным в промежутках состояний интерфейрующих части; и эта длина различна для света различных цветов».

К сожалению, важно работать не была понята современниками; в результате этого принцип интерфейсции был забит еще на полтора десять лет, пока не было вновь открыт французским ученым Френелем (1788—1827).

12

Томас Юнге
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ
ДЕМОНСТРАЦИЯ
ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА

Ниже приведется отрывки из двух оригинальных работ Томаса Юнга:
I — из лекции, прочитанной им 24 ноября 1803 года в Королевском обществе; II — из 39-й лекции «Курса лекций по натуральной философии», опубликованного в 1807 году.
В этих работах на основе анализа явлений интерференции и диффакции строго и удивительное логично доказывается справедливость волновой теории света.
Перевод и подготовка публикации осуществлены С. Р. Филоновичем.

I. «… я обнаружил такое простое и столб легко демонстрируемое доказательство общего закона интерференции двух потоков света, который я уже пытался установить ранее, что решил представить Королевскому обществу краткое сообщение о факте, каждщемся мне столб доказательным. Утверждение, на котором я собираюсь теперь настанвать, простое: цветные полосы появляются вседствие интерференции двух потоков света. Я думаю, что факт возможности проверить это утверждение простыми экспериментами, о которых я собираюсь рассказать и которые могут быть легко повторены в любой солнечный день с помощью предметов, у каждой нахождения под рукой, не будет ответнуть даже людьми предубеженными.

Я продолжал маленькое ответение в оконной ставне и закрыл его листком толстой бумаги, которое проткнул тонкой иглой. Для большого удобства наблюдания я помещил снаряжи окна маленькое стекло так, чтобы оно отражало солнечный свет в горизонтальном направлении на противоположную стену. Расходящая световой поток проходил при этом над столом, на котором стояло несколько небольших экранов из бумажных карточек. В световой поток я внес полоску карточки шириной в 1/3 дюйма*) и наблюдал ее тень как на противоположной стене, так и на других карточках, помещенных на разных расстояниях от первой. При этом по краям тени образовались цветные полосы, а сама тень разделилась рядом параллельных полос, причем середина ее оставалась светлой. Эти полосы в самом тени являются следствием объединения двух порций света, приходящих с разных стороны полоски карточки и диффакриюших в области тени. Если маленький экран помещить в несколько дюймов от полоски так, чтобы края тени от него и полоски совпадали, все полосы, ранее наблюдаются в тени на стене, немедленно исчезнут, хотя свет, проходящий с другой стороны полоски, распространется тем же путем. Далее при увеличении интенсивности света восстанавливаются полосы было нельзя. Следовательно, один из двух потоков света не в состоянии само-

*) 1 дюйм — 2,54 см. (Здесь и далее при-mechanique переводика.)

13

стояльно образовать полосы. Если же не прерывать ни один из потоков, то линни появлялись даже в том случае, когда интенсивность уменышлась вдеять и даже в двенадцать раз…

Если постараться исследовать размеры полос в различных условиях, то можно рассчитать разность длины путей, проходимых потоками света. При этом мы найдем, что если длины путей равны, то свет всегда остается белым. Там же, где либо самый яркий свет, либо свет любого цвета появляетсяновь в первый, во второй или третий раз, разности длины путей двух потоков образуют арифметическую прогрессию, естественно, настолько точно, насколько эксперименты такого рода могут согласовываться между собой.

Наблюдения эффективов диффракции и интерференции могут быть подчас полезны с практической точки зрения, делая нас более осмотрительными в наших выводах относительно появления мелчайших тел, рассматриваемых в микросокоп. Тень от непрозрачного волокна, помещенного в пучок света, прошедшего через маленькое отверстие, всегда немного светлее в центре, чем на краю. Сходный эффект может, в определенной мере, иметь место и в отношении изображения на сетчатке глаза. Таким путем может создаваться представление о проэргности, который нет на самом деле. Если же малый пучок света действительно пройдет через вещество, то он может быть уничтожен интерференцией с диффрагированным светом, и создается впечатление частичной непрозрачности этого вещества. Таким образом, центральное пятно и светлое пятно, окруженное темным колыцом, могут соответственно получаться изобразениями полупрозрачных или непрозрачных частиц и производить впечатление сложности структуры, которое нет на самом деле. Для того чтобы избежать ошибки, мы можем положить на стекло две или три ниточки

Интерференционная топографическая карта поверхности слюды. Расстояние от одной темной линии до другой соответствует увеличению толщины на 1/40000 см.

Интерференционная картина выполнена еще более удобное средство — изменить увеличение микросокоп, и если явление остается неизменным по величины и характеристим, можно быть уверенным

14

Рис. 1.
в том, что оно действительное принадлежит природу рассматриемого объекта…».
II. «Природа света — предмет неслишком важный с материальной точки зрения, которая касается жизни и практики, но во многих других аспектах этот предмет очень интересный, поскольку обогащает наш знания о природаче чувств и о Вселенной вообще. Исследование получения цветов и богатства их оттенков тесто связывано с теории их важнейших свойств и их принцип. Многие из этих явлений помогут нам в формировании представления о природае и источнике света вообще.

Предполагается, что свет либо состоит из потока весма малых частиц светоносных веществ, существование которых поступрется (эти частицы движутся со скоростью, рисуней света), либо представляется собой возбужdenе волнообразного движения в легкой и упругой среде, наполняющей Вселенную, такого, которое соответствует звуку. Мнення ученых всех веков разделялись, когда требовалось отдать предопчение одному из этих сухдений. Кроме того, есть обстоятельства, которые заставляют разделяющихся первуго точку зрения либо верить вместе с Ньюотоном, что излучению частиц всегда сопутствует волнообразное движение эфироной среды, либо считать, что мелчайшие частицы сами в момент излучения получают неокторые врашательные и колбательные движения, которые они сохраняют все время их предполагаемого движения. Эти дополнительные сообщения, которые были придуманы для объяснения некоторых конкретных явлений, никогда не рассматривались и не принимались в общем, хотя не делалось никаких попыток для того, чтобы приспособить теорию для объяснения этих явлений каким-либо другим путем.

Предполагается, что свет любого данного цвета состоит из колбаний данной длины или данной частицы, мы приходим к выводу, что эти волновые движения ответственных за эффекты, которые мы уже изучили в случае волн на воде и звуковых импульсов. Было показано, что две равные группы волн, получающие от двух центров, расположенных рядом, могут в определенных точках уничтожить влияние друг друга, а в других точках удвоить его; биение двух звуков объясняется аналогичной интерфейсией. Теперь мы применим эти принципы к переменному сложению и погашению цветов.

Для того чтобы действия двух потоков света могли таким образом сложиться, необходимо, чтобы они порождены одним источником и чтобы они достигли одной точки разными путем по направлениям, не сильно различующимся друг от друга *). Это различие в пути может получить с помощью диффракиции, отражения, преломления, либо с по-

*) Как говорят теперь, потоки света должны быть корреентными.

15

мощью любой комбинации этих явлений. Простейшим является случай, когда поток однородного света падает на экран с двумя очень малыми отверстиями или щелями (рис. 1), которые могут считаться центрами расхождения, и от которых свет диффрагирует во всех направлениях *). В этом случае, когда два вновь образованных потока падают на поверхности, где они перекрывают, их свет разделяется темными полосами, приблизительно равными по величины, но становятся шире, когда экран отодвгается от отверстии. Середина между двумя потоками всегда светлая, а светление полосы с каждой стороны находится на таких расстояниях, что свет, приходящий к ним от одного отверстия, должен пройти путь больший, чем от другого, на величины, которая равна длине одной, двух, трех или более волн, в то время как лежащие между ними темные полосы соответствуют разности в пути в 1/2, 3/2, 5/2, … длины волны.

Из сравнения результатов различных экспериментов следует, что длина волн для красного света должна равняться в воздухе 1/36000 дюйма, для филотового света — 1/60000 дюйма; средняя величины по всему спектру равна приблизительно 1/45000 дюйма **). Исходя из этих размеров и учитывая выше известную величины скорости света, можно подсчитать, что даже для длиноволого света в одну секунду в глаз попадает 500 000 000 000 таких волн.

Еще более простую и удобную демонстрацию общего закона интерференции света представляют цвет тонких пленок произных веществ. Здесь можно наблюдать интерферению света, частично отраженного отверхней и нижней поверхности пленки, или, при рассмотрении в прохо-

*) Знаменный эксперимент Юга по дифракту от двух щелей.
**) Дейстительная область видимого света лишь немного выходит из этого диапазона. Наблюдая Юга были видимые точки.

Интерференционные полосы в горячее воздухе, поднимающимся от пламени свечи.

16

желтой, затем красной, темно-красной и синей, после чего эффект исчезает вследствие перехода пленки в непрозрачное состояние.

Объчно, правда, чередование цветов, полученных в отраженном свете, несколько иное. Плотность пленки окисла большие, чем плотность воздуха, а плотность металла большие, чем окисла; но если плотность среды над и под пленкой одновременно либо большие, либо меньше плотности пленки, то различные поверхности по-разному меняют состояние волны, и веса тонкий слой пленки становится темным вместе того, чтобы быть светлым, один поток света уничтожает другой вместе того, чтобы обединиться с ним *).

Если получить мыльную пленку и поставить ее в вертикальное положение, то верхний край пленки становится очень тонким и будет почти черным, в то время как нижние области будут подлеены горизонтальными линиями на серии цветных полос (рис. 2).

Когда два стекла, одно из которых слегка выпукло, прижаты друг к другу с некоторой силой, слой воздуха, находящейся между ними, обусловливает появление цветных колцес **), начинающихся с темного пятна в центре и становящся все уже и уже по мере того, как искривление стекла все быстро увеличивает толщину слоя воздуха между стеклами. Черное пятно сменяется таким слабым филолетовым цветом, что он едва заметен; затем следует оранжево-желтый, темно-красный и синей (рис. 3).

Если заменить воздуха, находящаяся между стеклами, водой или другой жидкостью, то колца появятся при толщине, меняющей толщину слоя воздуха, поскольку плотность жидкости больше. Это непосредственно следует из отношения скорости, с которым свет,

*) Это проискодит вследствие изменения фазы на противоположную при отражении от вещества с большим коэффициентом преломления.
**) Так называемые «кольца Ньютона».

Рис. 2. Интерференционная картина, полученная при отражении света от тонкой мыльной пленки. Снимок сделан: в белом свете; в красном свете; тоже в красном свете, но несколько позже предыдущего.

17

Рис. 3. Колыза Ньютона в отраженном свете.

согласно гипотезе Гюйгена, движется в различных средах.

Другое следствие, непосредственно вытекающее из этой теории и несовместимое с другими теориями, заключается в том, что если луч проходит наклонно через более поле толстую пленку, то это эквивалентно тому, что свет проходит перpendикулярно через менее толстую пленку; разности путей, проходимых разными потоками света, точно согласуются с наблюдаемыми явлениями…

Мы предполагаем, что точность, с которой доказана применимость общого закона интерференции к огромному разнообразию фактов, столь не похожих по своим деталям, позволяет нам считать полностью доказанной его справедливость. Полное приятие или решительный отказ от теории, с помощью которой этот закон был выведен, может произойти как с теоремем времени, так и в результате экспериментов, Если она будет опровергута, то наш взгляд на вещи станет достоянием истории, но если она подтвергнутся, то мы можем ожидать еще более широкого проникновения в тайны приоды с помощью таких мощных и универсальных средств изучения среды, к каким может быть причислено распространение света».

Задачи
на клетчатой
бумаге

У вас имеется бумага в клетку и линейка без делений. Попробуйте решить следующие задачи.

a) Построить середину отрезка AB (рис. 1).

b) Разделить отрезок AB на пять равных частей (рис. 2).

b) Разделить треугольник ABC на три треугольника равной площади (рис. 3).

г) Через точку A проведится прямую параллельно прямой CD (рис. 4).

д) Из точки A опустить перpendикуляр на прямую CD (рис. 5).

e) Из конца отрезка AB восставить перpendикуляр к нему (рис. 6).

E. A. Дышинский

18

КРАСОЧНАЯ
КОМБИНАТОРИКА
Б.А. Коргемский

Первые занятия «красочной комбинаторской» памятны каждому из нас: на белой бумаге — «оранжевое небо», «оранжевый верблюд» и «оранжевая мама». Перешагнуть рубеж этой детской «оранжевой» комбинаторной геометрии, математическая фантазия ввела палитру красок в условиях задач, занятных, но при этом и серьезных — задач о комбинациях красок и раскрашивания карт. А в некоторых задачах оказалось возможным иное использование красок: раскрашивание — элемент решения, изоминка, придающая рассуждением изящство и краткость.

Что касается комбинаторной геометрии, то это молодое, развивающееся направление математики. Ее методы и, в частности, раскрашивание в соединении с так называемым «принипом проверки на четность» числа однозвечных частей фигуры могут быть полезными в решения инженерных задач отыскания оптимальных способов подгонки стандартных деталей. Откладывая на будущее более подробный рассказ об этом, рассмотрим «для разминки» несколько занятых комбинаторов «красочных» задач.

Один совет: следуя за текстом статьи, пытайтесь всякий раз переедить автора в решении предлагаемых задач.

Двухцветная комбинаторка

Задача 1. ШестЬ мочек расположены в пространстве mak, что никакие три не лежат на одной пря-mой и никакие четыре не принадлежат одной плоскости. Все точки попарно соединены отрезками: синими или красными — по вашему усмотрению. В получившейся конфигурации, содержащей 15 отрезков ($C_6^2 = 15$), есть и треугольники. Может ли подобрать макое распределенное красок для отрезков, при котором не образовалось бы ни однозоно однозвечного треугольника?

Пробы и попытки приведут Вас к отрицательному ответу. Требуется его обосновать.

Решение. Выберем произвольное одну из данных шести точек и обозначим ее буквой A. Из пятей отрезков, сходящая в A, есть не менее трех одного цвета, так как мы располагаем только двумя красками; отметим три из этих отрезков и будем считать для определенности, что они красные. Расмотрим три отрезка, соединяющие пары других концов отчеченных отрезков. Ни один из рассматриваемых трех отрезков не должен оказаться красным, чтобы не возникок треугольник, все стороны которого одного цвета. Но тогда три последних отрезка — все сине и неизбежно образуют однозвечный треугольник.

Осуществим паркет

Задача 2. На рисунке 1 показано покрытие (napkem) квадрата $8 \times 8$ двадцать одной плоской «минимо» ($3 \times 1$) и одной плоской «мonomino» ($1 \times 1$). Доказать, что указанное положение плоки «мonomino»

21

ферийного кубика. Может ли он пройти через центры всех кубков и закончит путь в центральном кубике, если движется термит только параллельно ребрам куба и каждой кубик проходит один раз?

Опять фальшивая монета

«Опять» — в том смысле, что, веряяно, многим из вас знаком серия задач о выделении фальшивой монеты из данной выборки одинаковых по достоинству и по виду монет при помощи указанного числа взвешивания на чашечных весах без гриб. Автор этих задач неизвестен; в математических журналах их решения и исследования начали появляться с 1945 года.

Напомним, что если нет сведений о фальшивой монете (тяжелее она или легче настояшей), то для выделения ее из 12 данных монет достаточно трех взвешивания, а для выделения из 13 — недостаочно. Но…

Задача 9. Пусть кроме 13 монет, среди комorbых одна фальшивая (неизвестно, более легкая или более мягкая), в нашем распоряжении есть одна макая же монета,

причем насмотная. Раскрасием ее следующа, чтобы описить от остальных, но без оцутимого изменения ее собственного веса. Покажите, что в этом случае можно выделить фальшивую монету из 13 заданных при помощи трех взвешивания на цашечных весах без гриб.

Решен и е. Обозначим: 13 испытемых монет цифрами 1—13, окрашенную настоящую монету — кружком ●, левую и правую чашки весов соответствующего буквами Л и П, равновесие — Л=П; опускается левая чашка весов Л/П, опускается правая чашка весов — Л/П.

Схему возможных событий удобно представить таблицей (внизу).

Matematический «катализатор»
Процесс ускорения химического реакции с помощью вспомогательного вещества — катализатора, не расходующая при реакции, — называется камализом. Покажем на одном примере, как раскрашивание может оказаться своеобразным «катализом» решения задачи.

| Первое взвешивание | Второе взвешивание | Третье взвшивание | Фальшивая монета |
| :— | :— | :— | :— |
| монеты на чашках | монеты на чашках | monеты на чашках | monеты на чашках |
| Л=П | Л(10; 11) П(12; ●) | Л(13); П(●) | {Л/П Л/П Л/П Л/П } | 13; тяж. 13; лег. 12; лег. 10; тяж. 11; тяж. 12; тяж. 11; лег. 10; лег. |
| Л/П | Л(1, 2, 6, 7, 8) П(9, 10, 11, 12, ●) | Л(3); П(4) Л(1); П(2) Л(6); П(7) | {Л=П Л/П Л/П Л/П } | 5; тяж. 3; тяж. 4; тяж. 9; лег. 1; тяж. 2; тяж. 8; лег. 6; лег. 7; лег. |
| Л/П | | | | |

Выяснить самоестоящее

22

Рис. 9.

Задача 10. Определить, какое минимальное число кокосовых орехов можно быть собран пямыю моряками, высадившимся на острове после корабкрушения, если они делили орехи так: первый из них уростил один орехм мартынику и взял себеровно $1/5$ часть оставшихся орехов; мощно mak же один за другой посупили и остальные 4 моряка; после эмодо они в шестой раз уростил мартынику один орехом, а остальные поделили между собой поровну.

В слегка измененной редакции эта задача рассмотрена в статье автора «Этому виду задач более 1600 лет» («Квант» № 4, 1973).

Алгебраические решения приводит к линейному неопределенному уравнению с громоздками коэффициентами, которое, однako, как показано в упомянутой статье, легко решается методом «сравнения по модулю». Но всякий, кто увлечен математикой, наверное, с удовлетворением еще раз вернется к этой задаче и, операция дальнейшее изложение, попытается найти новую модель расужений, привлекая в качестве «катализатора» решения задачи дополнительные орехи, окрашенные в желтый цвет (что бы отличить их от исходных).

М. Гарднер в книге «Математические головоломки и развлечения» («Мир», 1971) заметает, что «Впервые раскрашивание как способ решения задачи было структю еще в 1912 году прсфессором Н. Эннингом. В его задание три человек делили между собой яблоки» (см. стр. 238). Далее М. Гарднер показывает, как можно применить способ Эннинга к решению задачи о кокосовых орехах.

К сожалению, именно в этом месте книги содержатся ошибочные утверждения, возникшие, возможно, возможно, вследствие неточности перевода.

Решение. Задачу было бы гораздо проще решить, если бы не требовалось отдавать орехи мартыше. Отделяя от кучи шесть раз $1/5$ часть орехов, мы оставляли бы в куче $4/5$, $(4/5)^2$, $(4/5)^3$, …, $(4/5)^6$ орехов. Наименьшее число орехов, $(4/5)^6$ от которых — целое число, это $5^6$, потому что оно должно шесть раз содержать многоителем пятерку.

Но нам надо еще отдавать орехи мартыше, поэтому даже исходное число орехов не должно делать на пять. Чтобы оно делилось на пять, добавим в кучу четыре желтых ореха. Посмотрим, что получится.

Итак, в кучу орехов, собранных моряками, добавляем еще четыре желтых ореха. Эту кучу разелим на пять равных кучек, причем желтые орехи распределим по одному в четыре кучи. Четыре моряками заготовлено по кучке с желтым орехом, а одному — кучка, в которой все орехи настоящие. Вытащим из кучек по одному ореху: из четырех — по желтому, а из последней — настоящий. Морякам доставется орехов поровну, и мартыше будет орех, и четыре желтых остались в стороне. Все получилось по условию задачи.

Теперь согласно условиям кучки четырех моряков вместе и добавим оставшиеся без дела четырех ореха. По условию, эта куч

23

чу можно разделить на пять равных частей. Снова вытащим четырех ячейых ореха и один для мартышки. Опять получилось!

Сделаем так шесть раз. Четыре ячейых ореха останутся и выйдет «сухими из воды». Они лишь играли роль каталога и помогли нам свести задачу к уже рассмотренной: надо найти наименьшую кучу орехов (в которой четырех ячейых!) такую, что от нее можно шесть раз отделить $1/5$ часть орехов. Наименьшее число орехов в такой куче равно $5^6$, поэтому моряки должны были собрать $5^6 - 4 = 15621$ орех.

Задача 11. Мы добавили четырех ореха, но они никаку не доставлись. Тем не менее мартышка получила шесть орехов. Откуда же они взялись? Ведь в более простой задаче лишних орехов не оставалось!

Конструкция-головоломка

Найдите в своих детских игрушках 4 одинаковых кубика (или склейте из плотной бумаги) и раскрасьте их четырьмя красками так, как показано на рисунке 9 — каждая грань окрашена одной краской. На нашем рисунке передние грани кубов раскрашены не полностью, чтобы была видна окраска всех остальных граней. В результате вы получите для себя и друзей увлекательную конструктивную головоломку.

Задача 12. Из сделанных четырех кубков пребуемся составным параллеленид $1 \times 1 \times 4$ так, чтобы на каждой его боковой грани были представлены все 4 цвета.

Это трудная головоломка, так как при заданной расцветке граней на 41472 различных разноцветных параллелепипеда приходится только один, удовлетворяющий условиям головоломки есть выбор из 41472 вариантов?

Задача 13. Какие вычисления привели к заключению, что в практическом решении головоломки есть выбор из 41472 вариантов?

Задача 14. Для приготовления головоломки с четырьмя кубками была представлена такая раскраска граней: 7 красных, 6 синих, 6 зеленых и 5 ячейых. Взамен этого придумайте новое раскрашивание граней четырех кубков, при котором оказалось бы по 6 однозвечных граней, и чтобы головоломка имела одно решение.

24

ПОБЕДИТЕЛИ КОНКУРСА
“КВАНТА”

Редколлегия журнала «Квант» установила специальные премии за наиболее интересные решения задач, помещенных в «Задачнике« Кванта».
Редакция журнала получила за 1972—1973 гг. около 4000 писем с решениями задач, помещенных в разделе «Задачник« Кванта». Среди авторов этих писем редакционная коллекция отбрала школьников, регуляро присылавших особенно оригинальные и удачные решения. Они нагружаются годовой подпиской на журнал «Квант» на 1974 год.
В соответствии с решением Оргкомитета Всесоюзной олимпiadы эти школьники допущены на область туры Всесоюзной олимпiadы 1974 года наравне с победителем районаных математических и физических олимпiad.

1. ВАЛЬКОВ АЛЕКСЕЙ (г. Ташкент, с. ш. № 110, 9 кл.)
2. ВОЙНОВА ОЛЬГА (Кирг. ССР, п. Кош-Тегирмен, с. ш. № 1, 9 кл.)
3. ГРИГОРЯН АЛЕКСАНДР (г. Баку, с. ш. № 211, 9 кл.)
4. ЗАСЛАВСКИЙ АЛЕКСАНДР (г. Калинин, с. ш. № 20, 9 кл.)
5. КОГАН ЯН (г. Глазов, с. ш. № 3, 8 кл.)
6. ЛУТИНГЕР ГЕРМАН (г. Черновцы, с. ш. № 14, 9 кл.)
7. МАКАРИЧЕВ АЛЕКСАНДР (г. Львов, с. ш. № 14, 9 кл.)
8. СЛЕСАРЕНКО АНАТОЛИЙ (г. Рубцовск Алтайского кр., с. ш. № 11, 9 кл.)
9. СМОЛЕНЦЕВ ЮРИЙ (г. Ессентуки, с. ш. № 3, 9 кл.)
10. ШЕНДРИК ВИКТОР (Алма-Ата, РФМШ, 9 кл.)
11. ШМЕЛЕВ ЮРИЙ (г. Ярославль, с. ш. № 20, 7 кл.)
12. ШЕРБИНА НИКОЛАЙ (г. Днепропетровск, с. ш. № 80, 9 кл.)

25

Задачи

M222-M225, Ф222-Ф237

М221. На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определяли наименьшее расстояние от границы кляксы, а также наименьшее расстояние от границы кляксы (на рис. показано наименьшее и наименьшее расстояние от границы для точки K). Среди всех наименьших расстояний выбрали наиболее $-r_0$, а среди наименьших выбрали наиболее $-R_0$. Какую форму имеет клякса, если $r_0 = R_0$?

А. Блох, ученик 8 класса

М222. Докажите, что у каждой выпуклого многогранника найдет две грани с одинаковым числом сторон.

А. Грюнмаль

М223. Наууральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 — совершенное: $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

А. Макарцев, ученик 9 класса

М224. У трехгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Докажите, что попарные углы между

26

треми этими биссектрисами все тулыые либо все острые, либо все прямые.

Э. Г. Готман

M225. Грани кубика занутерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма номеров на противоположных гранах равна 7. Кубик钙ят из левого нижнего в правый верхний угол шахматной доски размером $50 \times 50$ клеток (каждая клетка доски равна грани кубика) так, что он каждой раз переваливает через свое ребро на соседнюю клетку; при этом разрешается двигаться только вправо или вверх. На каждой из клеток по пути кубика пишется номер грани, которая опиралась на эту клетку Какое наиболее значение может иметь сумма всех 99 выписанных чисел? Какое наименьшее?

Г. А. Гальперин

Ф233. При скоростном спуске льжник скользит вниз по склону ($\varphi = 45^\circ$), не отталкивая палками. Коэффициент треня льжок о снег $k = 0,1$. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости льжника $F_c = \alpha v^2$, где $\alpha$ — постоянная величины, равная $0,7 \frac{H}{(m/c)^2}$. Какую максимальную скорость может развить льжник, если его масса 70 кг?

Ф234. Взрывная камера заполняется смесью метана и кислорода при комнатной температуре и давлении $p_0 = 760$ мм рм. см. Парциальные давления метана и кислорода одинаковы. После терметизации камеры в ней проискодит взрыв. Найти установившееся давление внутри камеры после охлаждения продуктов сгорания до первогоальной температуры, при которой давление насыщенных паров воды $p_H = 17$ мм рм. см.
А. В. Францесон

Ф235. Маленькая капля воды падает в воздухе с постоянной скоростью благодаря тому, что на нее со стороны воздуха действует сила трения, вызванная столковенными молекулы воздуха с каплей. Как изменится скорость падения капли при увеличении температуры воздуха?

Испарением капли пренебречь.

Ф236. Определить период колбанный полярной молекулы в однородном электрическом поле, направленность которого $E = 300$ б/см. Полярную молекулу можно представить в виде жесткой гантельки длины $l(l = 10^{-8} \text{ cm})$, на концах которой находится две материалы точки массы $m(m = 10^{-24} \text{ e})$, несущие на себе заряды $+e$ и $-e$ соответственно $(e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ K})$.

В. Д. Кривенков

Ф237. Почему лице фехтовальщика в проволочной маске не видно публике, а спортем видит все так же хорошо, как и без маски?

Автор третьего начала термодинамики Вальтер Нерист в часы доступа разводил карпов. Однажды кто-то глубокосленно заметил:
— Странный выбор. Кур разводить и то интересей.
Нерист невозмутимо ответил:
— Я развожу таких животных, которые находятся в термодинамическом равновесии с окружающей средой. Разводить теплокровных — это значит обогревать за свои деньги мировое пространство.

27

Решения задач
M179—M183; Ф193—Ф197

M179. Для каждого не прямого пользового треугольника $T$ обозначим через $H(T) = T_1$ треугольник, вершинами которого служат основания высом треугольника $T$; через $T_2 = H(T_1)$ треугольник, вершинами которого служат основания высом треугольника $T_1$; пусть далее $T_3 = H(T_2)$, $T_4 = H(T_3)$, …

Каким должны быть улы треугольника $T$, чтобы
a) треугольник $H(T)$ был остроуольным?
b) в последовательности $T_1, T_2, T_3, \dots$ острёмся прямого пользового треугольник $T_n$ (в этом случае $H(T_n) = T_{n+1}$ не определено)?
c) треугольник $T_1 = H(T)$ был подобен треугольнику $T$?
e)* для каждого $n = 1, 2, 3, \dots$ указываем, сколько существует не подобных других треугольников $T$, для которых $T_n$ подобен $T$.

Пусть $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $T$. Углы $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ при вершинах $A_1, B_1, C_1$ (соответственно) треугольника $A_1B_1C_1$ выражаются через углы $\alpha, \beta, \gamma$ при вершинах $A, B, C$ треугольника $ABC$ следующим образом:

$$\alpha_1 = \pi - 2\alpha, \quad \beta_1 = \pi - 2\beta, \quad \gamma_1 = \pi - 2\gamma,$$

(11)

Рис. 1.

Рис. 2.

28

с ($\alpha, \beta, \gamma$). Ясно, что можно рассматривать только случай
$$\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma$$
(2).

Углы любого треугольника можно обозначить буквами $\alpha, \beta$ и $\gamma$, так, чтобы выполнялись неравенства (2).

Если $\alpha < \frac{\pi}{2}$ (все углы — острые), то, поскольку из (2) вытекают неравенства $2\pi - \alpha \leqslant 2\pi - \beta \leqslant 2\pi - \gamma$, для подобия треугольников $T_1$ и $T$ должны выполняться система равенства
$$\pi - 2\alpha = \gamma, \quad \pi - 2\beta = \beta, \quad \pi - 2\gamma = \alpha,$$
откуда
$$\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}.$$

Если же $\alpha > \frac{\pi}{2}$, то из (2) мы можем пользоваться только тем, что $2\beta \geqslant 2\gamma$, и должны рассмотреть три возможных соотношения между углами $\alpha_1, \beta_1$ и $\gamma_1$: $2\beta \geqslant 2\gamma \geqslant 2\alpha - \pi, \quad 2\beta \geqslant 2\alpha - \pi \geqslant 2\gamma$ и $2\alpha - \pi \geqslant 2\beta \geqslant 2\gamma$. Первое из них приводит к системе
$$2\beta = \alpha, \quad 2\gamma = \beta, \quad 2\alpha - \pi = \gamma,$$
откуда находим интересное решение:
$$\alpha = \frac{4\pi}{7}, \quad \beta = \frac{2\pi}{7}, \quad \gamma = \frac{\pi}{7},$$

а два других, как нетрудно проверить, приводят к «выраженным» решениям (один из углов образуется в нуль), которые нам не подходят, как говорят, «не входят в область допустимых значений».

Как пишут читатели, занимающие решения этой задачи, для $n = 2, 3, 4$ и вообще для любого $n$ решения можно получить аналогичным, но значительно более громоздким перебором. Действительно, в принципи мы свели задачу к алгебраической. Наметим возможность план дальнейших расчудений (для произвольного натурального $n$). Из (1) по индукции можно получить формулы для углов треугольника

$$\begin{cases} \alpha_n = s2^n & \alpha + p\pi \\ \beta_n = s2^n & \beta + q\pi \\ \gamma_n = s2^n & \gamma + r\pi, \end{cases}$$

где $s$ равно $+1$ или $-1$, $p, q$ и $r$ — целые числа (доказите, что при данных $\alpha, \beta$ и $\gamma$ и при дополнительном условии $\alpha_n \geqslant 0, \beta_n \geqslant 0, \gamma_n \geqslant 0$, $\alpha_n + \beta_n + \gamma_n = \pi$ параметры $p, q, r$, $s$ определяются из (3) однозначно!). Напишем шесть систем, приравнявая ($\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$) различных перестановкам ($\alpha, \beta, \gamma$), и решим каждую из них. Из полученных решения (зависших от параметров $p, q, r, s$) выберем те, которые удовлетворяют условиям $\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma$. Чтобы ответить на вопрос: сколько существует решения (для данного $n$), нужно будет выяснить, сколько решения в целых числах $p, q, r, s$ (где $s = \pm 1$) имеет шесть полученных систем неравенства. Чтобы реализовать этот план,

30

веты «да»: число $n$ все время оказываюсь больше или равно очередному $x$. Ясно, что следующее $x$ надо взять больше всех уже употребленных (инначе этот вопрос будет лишьним).

Таким образом, в начале игры надо все время уведомить $x$ — до тех пор, пока в первый раз загадавший не скажет «нет». Пусть $x_1 < x_2 < x_3 < \dots$ — последовательность, которую угадаюший решил назвать, пока не получит первый ответ «нет». Она должна быть бесконечной, так как $n$ может оказаться сколько угодно большим.

Пусть теперь наступил второй игре: на $k$-й вопрос загадавший в первый раз ответил «нет». Таким образом,

$$x_{k-1} \leq n < x_k.$$

Дальше можно применить стратегию, аналогичную описанной выше стратегии $S_n$, делить оставшийся промежуток все время пополам. Очевидно, при этом будет потребно до $|\log_2(x_k - x_{k-1})|$ вопросов.

Предположим, что на втором этапе игры, то есть после первого ответа «нет», мы имеем так и играем. Остается выбрать монotonно возрастшую последовательность $x_k$, чтобы полностью определить стратегию.

Разберем три конкретных стратегии, отличношеся лишь выбором последовательности $x_k$.

1. Стратегия $T^1$: $x_k = 10k$. Тогда, как указано в условиям, $f_T(n)$ растет примерно как $\frac{n}{10}$.

2. Стратегия $T^2$: $x_k = 2^k$. Тогда число вопросов на первом этапе не больше $|\log_2 n|$, а число вопросов на втором этапе не больше $|\log_2 \frac{n}{2}|$. Всего получается примерно $2\log_2 n$ вопросов.

3. Стратегия $T^3$: $x_k = 2^{2k}$. Тепер число вопросов на первом этапе резко уменьшилось. В самом деле, пусть

$$2^{2k-1} \leq n < 2^{2k}.$$

Тогда число вопросов на первом этапе игры равно $k$ и не превышает

$$k \leq \log_2 \log_2 n + 1,$$

что при больших $n$ значительно меньше, чем $\log_2 n$. На втором этапе мы потребим приближательно

$$\log_2(2^{2k} - 2^{2k-1}) \approx \log_2 2^{2k} = 2^k$$

вопросов. Хорошо это или плохо? Это зависит от числа $n$. Оказывается, для наиболее $n$ в промежутке (2) эта стратегия значительно лучше, чем для наиболее $n$ в том же промежутке.

Пусть $n = 2^{2k} - 1$.

Тогда

$$f_T(n) \approx \log_2 \log_2 n + 2^k \approx \log_2 n + \log_2 \log_2 n,$$

При больших $n$ второе слагаемое значительно меньше, и относение $f_T(n)$ к нижней оценке $\log_2 n$ (см. формулу (1)) близко к 1.

Пусть теперь $n = 2^{2k-1}$. Тогда величана $f_T^3(n)$ — такая же, а выраженная через $n$ она составляет

$$f_T^3(n) \approx \log_2 \log_2 n + 2^k \approx 2\log_2 n + \log_2 \log_2 n,$$

то есть примерно двое превышает нижнюю оценку (1). Таким образом, для этих значений $n$ стратегия $T^3$ ничего не лучше стратегии $T^2$.

Это положение иллюстрируется графиком на рисунке 7. На этом графике красная линия условно изобразяется доказанную выше нижнюю оценку: $\log_2 n$ (график носит качественный, экизный характер и не претендует на точность).

Ступенчатая черная линия изобразяется график функции $f_T^3(n)$. Эта функция постояна на каждом промежутке вида (2). К концу такого промежутка нижняя оценка почти доогоняет ее, но тут $f_T^3(n)$ скажом увечивается и делает примерно вдвое большие.

Возникает вопрос: существует ли такая стратегия $T^4$, для которой $f_T^4(n)$ при всех $n$ не слишком сильно отличается от нижней оценки? (Предположительный график $f_T^4(n)$ приведен снимом пунктом.)

Сейчас мы опишем стратегию $T^4$ такую, что

$$\lim_{n \to \infty} \frac{f_T^4(n)}{\log_2 n} = 1,$$

то есть относительное превышаение $f_T^4(n)$ над нижней оценкой $\log_2 n$ при больших $n$ стратегии к нулю.

Первый этап игры, как и предшествует последовательностью чисел

$$x_k = 2^{2k}.$$

Пусть на $k$-й вопрос мы в первый раз получили ответ «нет», откуда

$$2^{2k-1} \leq n < 2^{2k}.$$

Опишем стратегию $T^4$ для второго этапа игры. Припишем каждому $n$ в промежутке (2)

Рис. 7.

31

«вес», равный $\frac{1}{n}$. Будем теперь задавать во-просы так, чтобы делить примерно пополам не количество значений, которые еще может принять $n$, а сумму их весов.

Подсчитаем примерно, сколько вопросов уйдет на отладывание произвольного $n$ в промежутке (2). Положим $m=2^{2k-1}$. Вначале сумма весов примерно равна

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{m+1} + \cdots + \frac{1}{m^2} \approx$$

$$\approx \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{m^2}\right) -$$

$$- \left(1 + \cdots + \frac{1}{m}\right) \approx \ln(m^2) - \ln m =$$

$$= \ln m \leqslant \ln n.$$

Если мы отгадаем $n$, то доведем сумму весов до величины $\frac{1}{n} \cdot$ значит, сумма весов уменышится примерно в $n\ln n$ раз. Предположим, что нам каждой раз удаваюсь делить её точно вдвое. Тогда было затрачено

$$\log_2 n\ln n = \log_2 n + \log_2 \ln n \approx \log_2 n$$

ворцов (второе слагаемое при больших $n$ значительно меньше первого). Поскольку сумму весов, как правило, точно разделить пополам не удался, число вопросов фактически несколько больше. Можно показать (но это уже сложнее), что она все же не превышает

$$\log_2 n + \text{const}\log_2 \log_2 n$$

ворцов. (Здесь const означает постоянное число, которое мы не оценивали.) Прибавляя сюда число вопросов на первом этапе игры, мы только уведомиваем коэффициент во втором слагаемом. Таким образом, мы построили стратегию, которая позволяет отладать любое $n$ не более чем за

$$\log_2 n + \text{const}\log_2 \log_2 n$$

ворцов.

Легко показать, что эта функция удовлетворяет условиям (3), которое мы и обещали выполнить.

Я. М. Бардзинь, А. Л. Тоом

M 181. Какую наименьшую длину должен кусок проболки, чтобы из него можно было сознуть каркас куба с ребром 10 см? (Проболка может проходить по одному ребру дважды, зависяться на $90^\circ$ и $180^\circ$, но ломать ее нельзя.)

Ответ. Нужно не меньше 150 см проболки.

Как согласно каркас из проболки такой длины — показано на рисунке 8. Тепер нам осталось доказать, что из проболки меньше длины каркас куба с ребром 10 см?

(Predположим на время, что нам разрешается гнуть проболку только в вершинах куба, и что какой-то каркас нами изготовлен, причем проболка начинается и кончается

Рис. 8.

в вершинах куба. Подсчитаем количество ребер в этом каркасе. Мы, разумеется, будем считать не ребра куба, — их 12, — а ребра из проболок. В каркасе естьровно одна вершина, в которой проболка начинается и одна, в которой проболка кончается (эти вершины могут и совпадать). Будем назвать эти вершины концевыми, а все остальные — проходными. К каждой проходной вершине примыкает четное число ребер. Действительно, проболка, войдя в эту вершину, обязательно должна должна из нее выйти. Поэтому к ней примыкает не меньше четырех ребер. К концевой вершине примыкает не меньше трех ребер. Поэтому всего ребер не меньше, чем $\frac{6 \cdot 4 + 2 \cdot 3}{2} = 15$. Действительно, каждое ребро примыкает к двум вершинам, поэтому если к вершине с номером $i$ примыкает $c_i$ ребер ($i = 1, 2, \ldots, 8$), то $c_1 + c_2 + \ldots + c_8$ равно удвоенному числу ребер. Таким образом, в каркасе не меньше 15 ребер, а так как длина одного ребра 10 см, то потребуется не менее 150 см проболок.

Тепер нам нужно доказать, что если гнуть проболку во внутренних точках ребер, то все равно менее чем 150 см проболок каркаса сделать нельзя. Эту задачу можно свести к предыдущей следующим образом: не уведомивая длины проболок, любой каркас можно перерить так, что все стыбы окажутся в вершинах. Мы не будем описывать этого перернения, а только передем несколько появяющихся его картинок (см. рис. 9, $a - \delta$; на них изобравено неокторое ребро куба, а покрывающая его проболок для наглядности развинута).

32

Рис. 9.

$$\frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{a+c+d} + \frac{c}{a+b+d} + \frac{d}{a+b+c} \geq \frac{4}{3};$$

в) $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ — положительные числа ($n \geq 2$), мо

$$\frac{a_1}{a_2+a_3+\dots+a_n} + \frac{a_2}{a_1+a_3+\dots+a_n} + \dots + \frac{a_n}{a_1+a_2+\dots+a_{n-1}} \geq \frac{n}{n-1}.$$

Решим сразу задачу (в). Сумму $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ обозначим через $s$, а числа $s - a_i$ через $b_i$. В этих обозначениях нам нужно доказать, что

$$\frac{s - b_1}{b_1} + \frac{s - b_2}{b_2} + \dots + \frac{s - b_n}{b_n} \geq \frac{n}{n-1}.$$

Это неравенство эквивалентно такому:

$$s \left( \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right) \geq \frac{n}{n-1} + n = \frac{n^2}{n-1}.$$

(1)

Воспользовемся теперь известным соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим (см. «Квант», 1970, № 8, с. 33): если $c_1, c_2, \dots, c_n$ неотрицательные числа, то

$$\frac{c_1 + c_2 + \dots + c_n}{n} \geq \sqrt[n]{c_1 c_2 \dots c_n}.$$

(2)

Из него сразу следует, что

$$\left( \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right)^n \geq \frac{1}{b_1 b_2 \dots b_n}$$

и что $b_1 b_2 \dots b_n \leq \left( \frac{b_1 + b_2 + \dots + b_n}{n} \right)^n$.

Из этих двух неравенств следует, что

$$\left( \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right)^n \geq \left( \frac{n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n} \right)^n$$

и наконец,

$$\frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \geq \frac{n^2}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}.$$

Но

$$b_1 + b_2 + \dots + b_n = ns - a_1 - a_2 - \dots - a_n = (n-1)s,$$

откуда

$$s \left( \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \dots + \frac{1}{b_n} \right) \geq \frac{sn^2}{s(n-1)} = \frac{n^2}{n-1}.$$

Неравенство (1) доказано.

Приведем теперь некоторые сообщения, с помощью которых можно доказать соотношение (2). Пусть $c_1 + c_2 + \dots + c_n = 1$. (Это не ограничивает общности.) Предположим, что для этих чисел соотношение (2) нарушено, то есть

$$\frac{c_1 + c_2 + \dots + c_n}{n} < \sqrt[n]{c_1 c_2 \dots c_n}.$$

Пусть средние чисел $c_i$ есть неравные. Тогда средние $c_i$ найдется два числа — можно считать, что это $c_1$ и $c_2$ — такие, что $c_1 < \frac{1}{n}$, $c_2 > \frac{1}{n}$. Заметим $c_1$ на $c'_1 = \frac{1}{n}$, а $c_2$ на $c'_2 = c_1 + c_2 - \frac{1}{n}$. Тогда для чисел $c'_1 = \frac{1}{n}, c'_2 = c_1 + c_2 - \frac{1}{n}$, соотношение (2) тоже будет нарушено. Доказательство этого факта свидетельствует неравенства $\frac{1}{n} \left( c_1 + c_2 - \frac{1}{n} \right) > c_1 c_2$ (при $c_1 < \frac{1}{n}, c_2 > \frac{1}{n}$), — с этим неравенством вы без труда справиться сами.

Предложая эти замены, мы должны do набора $c_1 = c_2 = \dots = c_n = \frac{1}{n}$. Таким образом, если соотношение (2) нарушено для некоторого набора $c_1, c_2, \dots, c_n$, то оно будет нарушено и для набора $\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \dots, \frac{1}{n}$. Однако неопределенной подстановкой мы убеждаемся, что в этом случае оно выполняется. Значит, оно выполняется и для исходного набора.

Вот еще одно решение нашей задачи, основанное на соотношения между средним

33

Рис. 10.

арифметический и средним геометрическим для двух чисел.
Мы должны доказать, что
$$(n-1) \left( \frac{s-b_1}{b_1} + \dots + \frac{s-b_n}{b_n} \right) \geq n.$$
Заметим, что $b_1 + \dots + b_n = (n-1) s$. Поэтому
$$(n-1) \frac{s-b_1}{b_1} = \frac{b_1 + b_2 + \dots + b_n - (n-1) b_1}{b_1} = \frac{b_2 + \dots + b_n}{b_1} - (n-2) = \frac{b_2}{b_1} + \frac{b_3}{b_1} + \dots + \frac{b_n}{b_1} - (n-2).$$
Преобразуем также остальные слагаемые $(n-1) \frac{s-b_i}{b_i}$ и все $n$ слагаемых сложим.

Потом сгруппируем попарно дроби $\frac{b_i}{b_j}$ и восползуемся неравенством:
$$\frac{b_i}{b_j} + \frac{b_j}{b_i} \geq 2$$
Поскольку всего пар $i$ и $j$ ($1 \leq i < j \leq n$) будет
$$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2},$$
то в результате получим:
$$(n-1) \left( \frac{s-b_1}{b_1} + \dots + \frac{s-b_n}{b_n} \right) \geq C_n^2 \cdot 2 - (n-2) n = n^2 - n - n^2 + 2n = n.$$
И из первого и из второго решения сразу видно, что неравенства переходят в равенства только при $b_1 = \dots = b_n$, то есть при $a_1 = \dots = a_n$
Л. Г. Лиманов

Рис. 11.

М183. Найдите высоту трапецции, у которой основания равны $a$ и $b$ ($a < b$), угод между диагоналями равен $90^\circ$, а угод между продолжениями боковых строки $-45^\circ$.

Большинство читателей прислали решение этой задачи, использующее тригонометрию. Вот одно из наиболее коротких решений, присланное Л. и С. Пиццковыми.

Пусть (рис. 10) в трапеции $ABCD$, где $AB \parallel CD$ $AB = a$, $CD = b$, $BC = x$, $AD = y$, точка $E$ на основании $CD$ такова, что $ABCE$ — параллелограмм: $AE = x$, $DE = b - a$. Удвоенная площадь треугольника $ADE$ равна
$$xy \sin 45^\circ = (b - a) h,$$
(1)
где $h$ — высота трапеции. Далее по теореме косинусов получаем, что
$$(b - a)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos 45^\circ.$$
(2)
И, наконец, с помощью теоремы Пифагора, примененной к четырем прямолинным треугольникам $AOB$, $BOC$, $COD$, $DOA$, выводим, что
$$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$$
(3)
Подставим теперь (3) и (1) в (2) ($\cos 45^\circ = \sin 45^\circ$):
$$(b - a)^2 = a^2 + b^2 - 2(b - a)h.$$
Таким образом,
$$h = \frac{ab}{b - a}.$$

Нашчитатель Н. И. Березовский и некоторые другие приводят способ построения трапецции, о котором идет речь в условиям, по данным а и b (рис. 11). Исследование показывает, что такая трапеция существует при $\frac{b}{a} \geq 1 + \sqrt{2}$.
Н. Б. Васильев

Ф193. Имеются две системы lines с одинаковыми формуциями расстояниями. Оптические оси lines совпадают. Первая система lines состоит из собирающих lines, во второй собирающей lines через угол с рассеивающим. Наименяемые линии в каждой из систем, если расстояние между linesми многое выше формусною.

34

Рассмотрим параллельный лучок лучей, идущий вдоль главной оптической оси системы, состоящий из собирающих линз. Пройдя первую линзу, лучок становится сходящимся, пройдя вторую — еще более сходящимся и так далее. Если число линз достаточно велико, то где-то внутри системы лучок содержится в точку. После этого лучок становится расходящимся, но расходимость его будет все меньше и меньше, пока он не станет параллельным; затем все будет повторяться. Примерный ход лучей dan на рисунке 12, а.

Для второго случая, когда система состоит из чередушихся собирающих и рассеивающих линз (см. рис. 12, б), «перiod» траектории лучей гораздо больше, чем в первом случае, так как действия на световой лучок собирающей и рассеивающей линз противоположны.

Для определения расстояние между линзами взято равным $1/3$ фокусного расстояния. Все расхождения в принципе остаются теми же как для произвольного лучка, так и для других соотношений между фокусным расстоянием и расстоянием между линзами.

Ф194. Между обкладками плоского конденсатора помещен заряд. Как он будет двiazambся, если на конденсатор подать синусовдальное напряжение с начальной фазой $\varphi_0 = 0$?

Пусть начальная скорость заряда равна нулю.

Если на плоскости конденсатора подается напряжение $u = U_0 \sin \omega t$, то направность поля внутри конденсатора меняется со временем по закону $E = E_0 \sin \omega t$. Так как на заряд $q$ в электрическом поле действует сила $F = Eq$, то его ускорение

36

в тот момент, когда сила упругостиранутый пружины станет равной весу нижнего кубика.

А может служится и так, что верхний кубик остановится в тот момент, когда сила упругостиранутый пружины меньше веса нижнего кубика. Тогда нижний кубик остановится на месте, и достаточно будет рассмотреть движение только одного верхнего кубика.

Запишем закон сохранения энергии для этого случая:

$$\frac{k(l_0 - l)^2}{2} = \frac{k(l_1 - l_0)^2}{2} + m_1g(l_1 - l)$$

($l_1$ — максимальная длина пружины).

Отсюда

$$l_1 = l_0 - \frac{m_1g}{k} + \sqrt{\left(l_0 - \frac{m_1g}{k}\right)^2 + l\left(l - 2l_0 + \frac{2m_1g}{k}\right)}$$

Высота поднятия верхнего кубика равна

$$\Delta l = l_1 - l$$

а центра масс системы —

$$\Delta x_{\text{цм}} = \frac{\Delta l m_1}{m_1 + m_2}$$

Ф196. В камере ускоримеля по окружности радиуса $R$ движется очень монкий пучок пружины. Величина мока в начальной момент $I_0$, полное число частиц в камере $n$. Максимный поток через неизменяющую орбиту пучка меняется со скоростью $\varphi$. Какой станем величины мока после моего, как частицы сделают один оборот? Скорость частицы остается много меньше скорости света.

Величина тока $I$ зависит от скорости частицы так:

$$I = en_0 v S$$

где $e$ — заряд пружина, $n_0$ — число протонов в единице объема, $S$ — площадь секения пучка, $v$ — скорость. Будем считать, что протоны равномерно распределены по своей орбите, поэтому (учитывая, что пучок очень узкий)

$$n_0 = \frac{n}{2\pi RS}$$

Тогда

$$I = \frac{en}{2\pi R} v$$

Таким образом, чтобы найти ток, нужно найти скорость пружинов. Начальную скорость мы знаем. Она равна

$$v_0 = \frac{2\pi R I_0}{ne}$$

Так как магнитный поток в камере ускорителя меняется, то в ней индуцирует с э. d. c. индукции, равная (по абсцилотной величины) скорости изменения магнитного потока $\varphi$, то есть

$$E = \varphi$$

Когда протон сделает один оборот, электрическое поле совершит над ним работу, равную $Ee$, которая поддет на изменение кинетической энергии протона:

$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = Ee$$

($m$ — масса протона$^*$).

Отсюда найдем скорость протона после того как он сделает один оборот в камере ускорителя:

$$v = \sqrt{v_0^2 + \frac{2Ee}{m}}$$

Тогда ток в камере будет таким:

$$I = \frac{ne}{2\pi R} \sqrt{\left(\frac{2\pi R}{ne} I_0\right)^2 + 2\varphi \frac{e}{m}} = I_0 \sqrt{1 + \frac{n^2 e^3 \varphi}{2\pi^2 R^2 m I_0^2}}$$

И. Ш. Слободецкий

Ф197. На мело массы $m$, лежащее на горизонтом шероховатом поверхности с коэффициентом пружина $k$, в момент времени $t = 0$ начала действовать под углом $\alpha$ к горизонтум сила, пропорциональная времени. Определить скорость $v$ движения тела через т секунду.

Считая тело материальной точкой, расстоянием действия на него силы (рис. 15). Это — сила тяжекти mg, сила реакции опоры $N$, сила $f = At$ (удобнее говорить о ее составляющих $f_1 = At$ cos $\alpha$ и $f_2 = At$ sin $\alpha$)

*) Поскольку скорость протонов оставется много меньше скорости света, массу протона можно считать величиной постоянной.

Рис. 15.

37

и сила трения $f_{\text{Tp}} = kN$. Горизонтальное ускорение тела может сообщить только сила $f_1$, но для этого она должна стать больше силы трения $f_{\text{Tp}} = kN = k(mg - At \sin \alpha)$, которая тоже зависит от времени $t$.

Построим графики зависимости действующего на тело горизонтальных сил от времени $t$ (рис. 16).

От 0 до момента $t_1$ тело еще не движется, так как сила трения покоя уравновешивает силу $f_1$, то есть

$$At_1 \cos \alpha = kmg - kAt_1 \sin \alpha,$$

откуда

$$t_1 = \frac{kmg}{A(\cos \alpha + k \sin \alpha)}.$$

Существует и вторая граница времени $t_2$ для указанного в задание движения. В этот момент сила реакции опоры обращается в нуль, и тело поднимается

$$N = mg - At_2 \sin \alpha = 0$$

и

$$t_2 = \frac{mg}{A \sin \alpha}.$$

Таким образом, движение тела по поверхности возникло для времени $\tau$, заключенного в интервале: $t_1 < \tau < t_2$.

Заметим, что если $kA \sin \alpha \geq A \cos \alpha$, то интервал $t_2 - t_1$ становится уже, но все рассуждания остаются в силу.

Запишем уравнение движения для момента времени $\tau = t_1 + t'$ ($t'$ – текущое время, отсутствающее от момента $t_1$)

$$A (t_1 + t') \cos \alpha + kA (t_1 + t') \sin \alpha - kmg - ma,$$

где $a$ – ускорение тела.

Рис. 17.

Подставив выражение для $t_1$, найдем

$$a = \frac{A \cos \alpha + kA \sin \alpha}{m} t'.$$

Нарисуем график зависимости $a(t)$ (рис. 17). Искомая скорость $v$ в момент $\tau = t_1 + t'$ численно равна площади выделенного треугольника:

$$v = \frac{a(\tau - t_1)}{2} = \frac{(A \cos \alpha + kA \sin \alpha)(\tau - t_1)^2}{2m} = \frac{[\tau A(\cos \alpha + k \sin \alpha) - kmg]^2}{2mA(\cos \alpha + k \sin \alpha)}.$$

Если изменить направление действующего силы, как показано на рисунке 18, то сила реакции опоры $N = mg + At \sin \alpha$ будет непрерывно возрастать (как и сила трения $f_{\text{Tp}}$).

Время $t_1$, после которого движения тела, находим из условия

$$At_1 \cos \alpha - kmg - kAt_1 \sin \alpha = 0;$$

тогда

$$t_1 = \frac{kmg}{A \cos \alpha - kA \sin \alpha}.$$

Однако в этом случае положительное значение $t_1$ возникло, только если $A \cos \alpha > kA \sin \alpha$. При $A \cos \alpha \leq kA \sin \alpha$ время $t_1 < 0$, и движение никакого не happens.

Увеличение компоненты $f_2$ может привести к разрушению тела (это может произойти и до наступления времени $t_1$). Если же тело не разрушается и $t_1$ имеет конечное значение, то для скорости $v$ в момент $\tau = t_1 + t'$ получим значение:

$$v = \frac{[\tau A(\cos \alpha - k \sin \alpha) - kmg]^2}{2mA(\cos \alpha - k \sin \alpha)}.$$

А. В. Устинова

38

VII ВСЕСОЮЗНАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО MATEMATIKE И ФИЗИКЕ

В апреле состоялась VII Всесоюзная олимпиада школьников по математике (в г. Кишиневе) и по физике (в г. Ленинграде).
Ниже мы помещаем материалы, посвященные этим олимпиадам.

М. Л. Смолянский

Всесоюзные олимпиады

Различные математические конкурсы в истории математики известны с давних пор. История донесла до нас сведения о математических конкуррах, проводимых еще в XIII века (Неаполитанское Королевство). Однако, это были математические современания, участные в которых приняли крупнейшие учены тех времен.

История школьных физико-mатематических олимпиад начиная с 1894 года, когда в Венгрии была проведена первая математическая олимпиада школьников (так называемое «соревнование Этвеша»). Эта, ставшая уже традиционной, олимпиада ежегодно проводится в Венгрии в октября.

В Советском Союзе первая математическая олимпиада школьников была проведена в Ленинграде весной 1934 года *). Инициаторами проведения этой олимпиады были член-kорреспондент АН СССР Б. Н. Делоне (председатель оргомитета олимпиады) и профессор В. А. Тартаковский.

По инциативе Московского математического общества осенью 1935 года была проведена Первая Московская математическая олимпиада школьников. Московские математики встретили ее с большим водушевлением. В оргомитет вошли все крупнейшие математики-москвичи (академик П. С. Александров — председатель оргомитета, академики А. Н. Колмогоров и С. Л. Соболев, члены-kорреспонденты АН СССР Л. А. Люстерник и Л. Г. Шинирельман, профессоры В. Ф. Каган, С. А. Янковская и другие).

В первом (отборочном).type Московской олимпиады участвовали 314 школьников, а во втором (заключительный).type — 120 школьников.

Вплоть до Великой Отечественной войны математические олимпиады в Москве проводились ежегодно и очень скоро завоевали всеобщие признание. Во время войны Московские математики проводили олимпиады в Ашхабаде и Казани. После Отечественной войны проведение математических олимпиад стало традицией во многих городах Советского Союза. Организовывались эти олимпиады совместными усилиями местных органов народного образования, университетов и педагогических институтов.

39

Общее количество проводимых в нашей стране математических олимпiad очень велико. Олимпiadы проводятся во многих городах страны. Зачастую в одном городе в течение одного учебного года разными учебными заведениями проводятся несколько олимпiad. Количество олимпiad, проводимых в Москве, нелегко подчитать: олимпiadы проводят Московский государственный университет, Московский физико-технический институт, Московский автодорожный институт, Московский институт стали и сплавов, Московский экономко-статisticalский институт и многое другое взызы.

Вслед за математиками своих олимпiadы стали проводить физики, химики, астрономы, географы, биологии, а затем и лингвистиы.

В 1960 году организат XXIII Московской математической олимпiadы совместно с Министерством просвещения РСФСР проводили математическое олимпiadу в более широком масштабе. В ней приняли участие команды 13 области РСФСР и 9 союзных республик. Эти олимпiadы получили название Всероссийских математических олимпiad.

Этот опыт показался весом успешным, и с 1961 года стали регулярно проводиться Всероссийские математические олимпiadы. Они проводятся в четыре тура: школьная, районная, областная и заключительная.

Первые олимпiadы по физике были проводены Московским университетом еще в 1938 году. С тех пор эти олимпiadы стали традицией для Москвыших школьников.

В дальнейшем такие олимпiadы начали проводить Московский физико-технический институт (МФТИ) и другие.byзы Москвы. Почин московичей подхватили в других городах страны.

В febrero 1962 года состоялась первая общегоизназа физico-mатематической олимпiadа школьников, проводная по инциативе МФТИ. В ней приняли участие свыше 6500 школьников из 58 городов Советского Союза. Она проводилась в один тур во время зимних каникул.

Интересна форма проведения олимпiadы. Студенты и аспиранты института проводили ее во время зимних каникул в своих родных городах. А затем решения задач приведения в Москве, где их проверили. Все работу по организации олимпiadы возглавил комитет ВЛКСМ.

По итогам олимпiadы более 400 школьников получили премии и пожавальные отзывы. В 1963 году МФТИ и физический факультет МГУ совместно проводили вторую физико-mатематическую олимпiadу. В ней приняли участие школьники Евро-пейской части СССР и Закавказья. Первый тур этой олимпiadы был заочный, а второй — очный.

С 1962 года Сибирское отделение АН СССР начало проводить Всесибирские физико-mатематические олимпiadы.

Начиная с 1964 года физические и математические олимпiadы проводились совместно под руководством Министерства просвещения РСФСР. Эти олимпiadы получили название Всероссийских физико-mатематических олимпiad*).

С 1967 года проводятся уже Всесоизные физико-mатематические и химические олимпiadы (Всесоизные олимпiadы)

Всесоизные олимпiadы министерством просвещения СССР совместно с Министерством высшего и среднего специального образования СССР, ЦК ВЛКСМ, АН СССР, Всесоизным обществом «Знание», ВЦСПС и научно-техническими обществами. Для непосредственного руководства Всесоизной олимпадой был создан Центральныйоргкомитет Всесоизной олимпады школьников, передедателем которого является академик И. К. Кикоин. Оргкомитет избирает центральное юридию олимпiadы по предметам.

*) В 1965 году к Всесоизной физико-mатематической олимпаде присоединились химики.

40

Всесоюзные физико-mатематические олимпиды проводятся в четыретура: школьные олимпиды, районные олимпиды, ресурсивские (или области) олимпиды и, наконец, заключительный тур.

Четыре победителя из 8—10 классов от каждой области, края, автономных и соозных ресурсивских и луреатых первой и второй премии проводнего заключительного типа Всесоюзной олимпиды приглашаются на заключительный тур очередной Всесоюзной олимпиды.

Заключительный тур Всесоюзной олимпиды проводит в апреле разделно (в разных городах) для математков и физиков.

Победители олимпидов отмечаются специальными премиями и пожавными грамотами. Из числа победителей Всесоюзной физико-mатематическойской олимпиды формируется команда СССР — участник Международной олимпиды школьников по математике и физике.

По решению Министерства высшего и среднего специального образования СССР участники Международной олимпиды школьников по математике и физике приннимаются в соответствии выше учебные сведения без экзаменов.

Начная с IV Всесоюзской математической олимпиды (1963г.), выпускается специальные значки, которые вручают всем участникам олимпиды.

IV Всесоюзская математическая олимпида (Москва, 1963 г.)
V Всесоюзская физико-mатематическая олимпида (Москва, 1964 г.)
VI Всесоюзская олимпида по математике, физике и химини (Москва, 1965 г.)
VII Всесоюзская олимпида по математике, физике и химини (Воронеж, Москва, 1966 г.)
II Всесоюзная олимпида (Ленинград, Ереван, 1968 г.); III Всесоюзная олимпида (Киев, Алма-Ата, 1969 г.); IV Всесоюзная олимпида (Симферополь, Свердловск, 1970 г.); V Всесоюзная олимпида (Рига, Новосибирск, 1971 г.); VI Всесоюзная олимпида (Челябинск, Тбилиси, 1972 г.); VII Всесоюзная олимпида (Кишинев, Ленинград, 1973 г.)

41

Матемчесская олимпиада
Л. М. Пашкова

С 11 по 17 апреля 1973 года в Кишиневе проходил заключительный этап VII Всегоозной математической олимпиады школьников. Седьмы всесоизные соревнования в «уме и знаниях» взяли старт в декабре 1972 года на школьных олимпиадах. В марта проходили олимпиады по области и ресурсикам. В Кишиневе приближили победители областных и ресурсиканских олимпиад и 26 призеров VI Всегоозной олимпиады (награжденные дипломами I и II степени).

Всего в заключительном.type олимпиады приняли участие 227 десятиклассников, 202 девятиклассника, 159 восемиклассников.

11 апреля во Дворце профессионского открытие олимпиады.С приветственными словами к гостям обращались ведущие учены Молдавин, представители партийных и советских организаресублики, победитель XIV Международной математической олимпиады, ученик школы № 19 г. Саратова Сергей Конягин. На открытии олимпиады было зачитано приветствие, последное юным математикам академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым:

«Желаю участникам олимпиады успеха как на олимпиаде, так и в дальнейшей жизни. Тем же, кто на олимпиаде. успеха не возьмет, — не разочаровываться в математике. Если после проверки самого себя обнаружите, что она для вас увлекает, продолжайте его занимать-

Школьники за работу (1 тур).

42

Ся и пострайтесь добиться возможности выбрать ее уже всегда своей специальностью».

12 апреля школьники сели за парты, чтобы в двухдневных современных последнего этапа определились сильнейшие. В первый день восbmиклассикам и десятиклассикам было предложено по три задачи, а девятиклассикам — четыре, а 14 апреля всем было предложено еще по три задачи. На решение задачи каждой день отводилось по 4 часа.

Жюри под председательством вце-президента АН Молдавской СССР академика В. А. Андрунакевича не только тщательно проверило работы, но и проверило вместе с учащимся разбор решений задачи и типичных ошибок.

В дни оlimппады участники не только совершались в «уме и знаниях», но и слушали лекции ведущих ученых страны. Увлекательно прошли встречи юных математиков с учеными Академии Наук Молдавской СССР и преподавателями университета. С большим интересом встретили участники оlimппады представителей редакции журнала «Квант»: большинство «олимппейев» являются активными читателями этого журнала.

В свободное время участники оlimппады встретились со школьниками Кишинева. Школьники Тирасполя, Бендер, сель Дубоссарского и Котовского районаов тепло встретили посланцев области и ресурсных и сопровождали их в экскурсиях по местам боевой славы, на родину легендарного Г. И. Котовского, по Пушкинским местам.

Оlimппада прошла очень четко и принесла большую рольу ее участникам благодарях хорошего работ оргомитета и жюри оlimппады, помощи ученых Молдавии и парттийных и советских организаций Молдавии и редакцией журнала «Квант». Юные математики и члены жюри направили А. Н. Колмогорову приветствие и поздравления с его славным юбилеем.

Итоги оlimппады:

Успешно закончили оlimппаду 348 участников.

Дипломы I степени
получили следующие участники оlimппады:

43

Ребята во время работы (II тур).

по 8 классам — Блох Александр (г. Харьков, с.ш. № 27), Дерябина Галина (г. Каменск, Ростовской-на-Дону обл., с.ш. № 9), Осипов Андрей (г. Москва, с.ш. № 91), Перевалов Виктор (г. Комсомольская-Aмуре, с.ш. № 51), Полонский Петр (г. Москва, с.ш. № 7), Розенитейн Борис (г. Каменецк-Подольск, Хмельницкой обл., с.ш. № 8);

по 9 классам Гусаров Михаил (г. Ленинград, с.ш. № 30),

Перцель Владимир (ФМШ при МГУ);
по 10 классам — Будаев Виктор (г. Смоленск, с.ш. № 7), Гольцман Наум (г. Москва, с.ш. № 178), Егоров Георей (г. Москва, с.ш. № 2).

Дипломы II степени
получили следующие участники олимпiadы:

по 8 классам — Аверустинович Сердей (г. Краснодар, с.ш. № 95), Ахметзянов Андрей (г. Новосибирск,

Жюри по 10 классам. На переднем плане (слева направо): члены жюри И. Петраков, Л. Вассерштейн, М. Смолянский, В. Гутенмахер, В. Сковорцов, Н. Васильев.

44

с.ш. № 110), Гивеналь Алексадр (г. Москва, с.ш. № 2), Домбровский Алексадр (г. Кривой Рог Днепропетровской обл., с.ш. № 6), Кац Михаил (г. Кишинев, с.ш. № 37), Корпюшкин Алексадр (г. Рига, с.ш. № 26), Музькантов Алексей (г. Новосибирск, с.ш. № 130), Продник Валдис (Латвийская ССР, Оггский р-он, Лилвардская с.ш.), Смуров Михаил (г. Елабуга Татарской АССР, с.ш. № 2);

по 9 классам Ананьевский Игорь (ФМШ при ЛГУ), Баум Михаил (ФМШ при МГУ), Данилов Леонид (ФМШ при МГУ), Дубицкий Владимир (г. Ленинград, с.ш. № 239), Крячюкас Валентин (Литовская ССР, Купиский р-н, Шепета), Тюкавкин Дмитрий (г. Иркутск, с.ш. № 11);

по 10 классам — Андреев Алексадр (г. Пенза, с.ш. № 53), Вайнтrob Аркадий (ФМШ при МГУ), Грозман Павел (ФМШ при МГУ), Кашкевич Сереей (г. Молодечно, с.ш. № 3), Конялен Сереей (г. Саратов, с.ш. № 19), Лецинер Дмитрий (г. Москва, с.ш. № 57), Лифциц Михаил (г. Ленинград, с.ш. № 30), Любезник Геннадий (г. Киев, с.ш. № 181), Роездский Леонид (ФМШ при ЛГУ), Скрябин Сереей (г. Свердловск, с.ш. № 69), Тихонов Олег (г. Казань, с.ш. № 126), Хухро Евгений (г. Новосибирск, с.ш. № 165), Царанов Сереей (г. Кипинев, с.ш. № 37), Юриа Константин (ФМШ при ЛГУ)

Дипломы III степени
получили следующие участники олимпиады:

по 8 классам — Белолевов Сереей (Пермская обл., Кишертский р-н, с.ш. № 1), Гейзель Владимир (г. Новосибирск, с.ш. № 40), Генкин Леонид (г. Горький, с.ш. № 40), Корпюшкин Сереей (г. Запороже, с.ш. № 28), Митин Сереей (г. Кострома, с.ш. № 32), Мицин Николай (г. Ульяновск, с.ш. № 31), Охимин Сереей (г. Оренбург, с.ш.

Лауреат премии «Квант» М. И. Жгенти.

№ 30), Попова Ирина (г. Астрахань, с.ш. № 15), Шлячков Сереей (г. Каменск-Уральск. Свердловской обл., с.ш. № 9);

по 9 классам — Асколдавиц Вилос (г. Вильнюс, с.ш. № 1), Браилов Андрей (г. Москва, с.ш. № 2), Корпилов Петр (ФМШ при МГУ), Лебедев Геннадий (г. Бобруйск, с.ш. № 3), Мерков Алексадр (г. Москва, с.ш. № 91), Муранов Юрий (Курская обл., Касторенский р-н, ст. Лачиново), Сивцкий Игорь (ФМШ

Зам. главного редактора журнала «Квант» М. Л. Смолянский вручает премию журнала победительного олимпиады по 8 классам А. Блюху.

45

Школьники 8, 9, 10 классов, получившие единому 1 степени (слева направо): В. Перевалов
Б. Розенштейн, М. Гусаров, В. Будаев, А. Блох, Г. Дерябина, В. Перцель, А. Осипов, Г. Его-
ров, П. Полонский, Н. Гольцман,

при ЛГУ), Скляр Григорий (г. Харьков, с.ш. № 27), Самородничий Геннадий (г. Нежин Черниговской обл., с.ш. № 3), Ткаченко Виктор (ФМШ при КГУ), Чернов Николай (г. Кривой Рог, с.ш. № 95), Чупрын Сергей (г. Пенза, с.ш. № 24), Шербина Николай (г. Днепропетровск, с.ш. № 80);

по 10 классам — Астмацов Алексадр (г. Львов, с.ш. № 5),

Байбородов Сергей (г. Ташкент, с.ш. № 145), Биниток Зинаida (г. Красноярск, с.ш. № 47), Бринкевич Диммий (г. Новогрудок, с.ш. № 2), Гомилко Алексадр (г. Хмельницкий, с.ш. № 6), Данилов Геннадий (г. Магадан, с.ш. № 7), Дульвер Марк (г. Волгоград, с.ш. № 35), Забежайло Михаил (г. Ростов-на-Дону, с.ш. № 5), Захаров Сергей (ФМШ при МГУ), Каланмарян Сергей (г. Сте-

Жюри по 8 классам. На переднем плане (слева направо): члены жюри Л. Макар-Лиманов, М. Гервер, Ю. Лысов, Н. Константинов.

46

панокерт, с.ш. № 3), Калуеин Анамолий (ФМШ при МГУ), Кауль Михал (г. Фрунзе, с.ш. № 61), Кибкало Алексадр (г. Арзамас, с.ш. № 3), Колосов Виктор (г. Киев, с.ш. № 173), Королев Владимир (г. Воронеж, с.ш. № 58), Крицитейн Семен (г. Калуга, с.ш. № 9), Кузьменко Виктор (г. Чернигов, с.ш. № 8), Макеев Владимир (ФМШ при ЛГУ), Маредлис Наум (г. Сороки Молдавской ССР, с.ш. № 2), Николин Владимир (г. Львов, с.ш. № 14), Орлов Леонид (г. Бобрыйск, с.ш. № 3), Пониманский Владимир (г. Ровно, с.ш. № 5), Питман Аркадий (г. Одеcca, с.ш. № 116), Саркисян Оденес (г. Ереван, с.ш. № 1), Стецко Юрий (г. Черновцы, с.ш. № 5), Талалай Алексадр (г. Москва, с.ш. № 91), Тюляенин Алексадр (г. Кировоград, с.ш. № 34), Уеолков Дмитрий (г. Рязань, с.ш. № 14), Ццучашилы Автандил (г. Тбилиси, ФМШ), Чеховая Елена (г. Киев, с.ш. № 38), Шерстюк Алексадр (г. Николаев, с.ш. № 2), Элимелах Семен (г. Брянск, с.ш. № 5), Эстеркин Алексадр (г. Ленинград, с.ш. № 30).

Кроме того, пожавленные отзывы I степени получил 101 участник, пожавленные отзывы II степени получили 152 участника.

Призами журнала «Квант» были нагружены ученик 8 класса с.ш. № 27 г. Харькова Блох Алексадр (за абсолотно наилучшие результаты по 8-м классам) и преподаватель математики с.ш. № 7 г. Батуми Жентим Медея Илларионовна (годовая подписка на журнал «Квант» на 1974 год)—за проделанную его работу по организации команды Аджарской АССР, впервые принявшей участие во Всесоюзной олимпиде.

Кроме того, за лучшее решение задач 1-го и 2-го дней премии журнала «Квант» (годовая подписка на журнал на 1974 год) получили

по 8 классам — Блох Алексадр (г. Харьков, с.ш. № 27), Дерябина Галина (г. Каменск Ростов-ской-на-Дону обл., с.ш. № 9), Корниошкин Алексадр (г. Рига, с.ш. № 26), Осипов Андрей (г. Москва, с.ш. № 91), Перевалов Виктор (г. Комсомольск-на-Амуре, с.ш. № 51);

по 9 классам — Баум Михал (ФМШ при МГУ), Гусаров Михал (г. Ленинград, с.ш. № 30), Перевалов Виктор (ФМШ при МГУ).

Призы ЦК ЛКСМ Молдавии, Кишиневского политического института им. С. Лазо, Институт математики АН МССР, Кишиневского государственного университета, Республиканского общества «Знание» и многих других организаций Молдавии получили: Гомилко Алексадр (г. Хмельницкий, с.ш. № 6), — за самое оригинальное решение олимпийской задачи, Чеховая Елена (г. Киев, с.ш. № 38) — она в третьий раз получает приз на Всесоюзной олимпиде, Перевалов Виктор (г. Комсомольск-на-Амуре, с.ш. № 51) — юный математик с Дальнего Востока, Белоелазов Серёц — самый молодой участник из сельской школы, успешно выступил на олимпиде, Студенковская Наталья (Мордовская АССР, дер. Андреевка) — участница олимпиде из сельской местности, показавшая хорошие результаты на олимпиде, Маредлис Наум (Молдавская АССР, Оггский р-н, Ливервардская с.ш.) — победитель олимпиде из сельской местности, и другие.

47

Задание
по математике

Л. Г. Лиманов

В этой статье приведятся тексты всех задач, предлагавшихся на олимпиде. Почти все они уже опубликованы в «Кванте» (№ 7, 8, 1973) и их решения появятся в соответствии with номерах журнала. Здесь же разработаны путь задач, не вошедших в «Задачник« Кванта».

8 класс

Первый день

1. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении Эксперт — чашечные весы без гриь.

a) Эксперт хочет доказать суду, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые. Как он может это сделать, использует только три взвешивания?

6. Показите, что с помощью трех взвешивания он может доказать даже больше: что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие.

2. Докажите, что девятизначное число, в записи которого участвует все цифры, кроме нуля, и которое оказывается цифрой 5, не может быть полным квадратом целого числа.

3. Дано $n$ точек, $n > 4$. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждой можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке либо по двум (кажды две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

Второй день

4. На сторонах остругольного треугольника $ABC$ во внешнюю сторону построены три подобных между собой остругольных треугольника $AC_1B, BA_1C, CB_1A$ (при этом $AB_1C = ABC_1 = A_1BC, BC_1A = B_1CA, CAB_1 = C_1AB$)

a) Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников $AC_1B, BA_1C$ и $CB_1A$, пересекаются в одной точке.

6. Докажите, что в той же точке пересекаются прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.

5. $N$ человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трех людей не оказалось одинакового числа знакомы. Докажите, что это можно сделать при любом $N$.

6. Король обошел шахматную доску $8 \times 8$, побивав на каждой полеровно один раз и вернулись последним ходом на исходное поле (король ходит по обычным правилам). Когда нарисовали его путь, соединив отрезками центры полей, которые он последовательно проходит, то получилась замкнутая ломанная без самопересечения.

a) Приведите пример, показывающий, что король мог сделатьровно 28 ходов по горизонталям и вертикалям.

6. Докажите, что он не мог сделать меньше, чем 28 таких ходов.

9 класс

Первый день

1. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие. Суд же знает только то, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково и фальшивые монеты весят одинаково и фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет взвешиватьями на чашечных весах без гриь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно являются фальшивыми, а остальные — настоящими. Сможет ли он это сделать?

2. Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторона в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$. Отрезок $OC$ пересекает окружность в точке $E$, а прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Доказать, что $OK = KB$.

3. Действительно числа $a, b, c$ таковы, что для всех чисел $x$, удовлетворяющих условию $-1 \leq x \leq 1$, выполено неравенство

$$|ax^2 + bx + c| \leq 1.$$

Доказать, что при этих значениях $x$ выполено также неравенство

$$|cx^2 + bx + a| \leq 2.$$

4. Теннисная федерция присвоила все входящим в нее теннисистам квадрифических номера: сильнейшему — первый номер, следующему по сле — второй и т.д. Известно, что во встречках теннисистов, квадрифических номера которых различаются более чем на 2, всегда победает спортенс с меньшим номером. Турир, в котором участвует 1024 сильнейших теннисиста, прово-

48

Дится по олимпийской системе: участники очередного тура разбиваются по жребию на пары и в следующий тур выходит победитель в каждой паре, так что число участников после каждого тура уменьшается вдвое. Таким образом, после десятого тура будет выявлен победитель. Какой наиболее номер может он иметь?

Второй день

5. Дан треугольник с площадью 1 и сторонами $a, b, c$. Известно, что $a \geq b \geq c$. Доказать, что $b \geq \sqrt{2}$.

6. Дан выпуклый $n$-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Доказать, что через эту точку нельзя провести больше $n$ прямых, каждая из которых делит площадь $n$-угольника пополам.

7. Король сбошел шахматную доску $8 \times 8$, побивав на каждой полеровно один раз и вернулись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательное соединение центры полей, которые он прохождение, получилось замкнутая ломанная без самопересечения. Какую наименьшую и наиболее длинную может она иметь?

10 класс

Первый день

1. Квадратный треугольен
   $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
   таков, что уравнение
   $$f(x) = x$$
   не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение
   $$f(f(x)) = x$$
   также не имеет вещественных корней.

2. Дан угол с вершиной $O$ и окружность, касающаяся его сторон в точках $A$ и $B$. Из точки $A$ параллельно $OB$ проведен луч, пересекающий окружность в точке $C$. Отрезок $OC$ пересекает окружность в точке $E$, а прямые $AE$ и $OB$ пересекаются в точке $K$. Доказать, что $OK = KB$.

3. На бесконечном клетчатом листе белой бумаги $n$ клеток закрашено в черный цвет. В момент времени $t = 1, 2, \dots$, проискодит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилам: каждая клетка $k$ прибретает тот цвет, который именно в предыдущей момент большим из трех клеток: самой клетки $k$ и ее соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то $k$ становится белой, если две или три из них были черными, — то черной).

a) Доказать, что через конечное время на листе не останется черных клеток.

b) Доказать, что черные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени $t = n$.

Второй день

4. Доказать, что если $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ — положительные числа, то $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)^2 \geq 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_5 + x_5x_1)$.

5. В пространстве задны 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепидов, для которых эти точки служат вершинами?

6. Король обошел шахматную доску $8 \times 8$, побивав на каждой полеровно один раз и вернулись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательное соединение центры полей, которые он прохождение, получилось замкнутая ломанная без самопересечения. Какую наименьшую и наиболее длинную может она иметь?

Решения некоторых задач

8 класс, задача 2. Предположим, что такое число найти удобь. Обозначим его через $n$, а через $m$ — то число, квадратом которого оно является. Последняя цифра числа $n$ равна 5, поэтому последняя цифра числа $m$ — тоже 5, и его можно представить так: $m = 10m_1 + 5$. Значит, $n = (10m_1 + 5)^2 = 100(m_1^2 + m_1) + 25$. Следовательно, вторая справа цифра числа $n$ — это 2, а третья совпадает с последней цифрой числа $m_1^2 + m_1$. Эта цифра определяется последней цифрой числа $m_1$: если последняя цифра $m_1$ — 2 или 7, то получится 6, во всех остальных случаях получится 0 или 2. Поскольку третья цифра числа $n$ не может быть ни нулем (по условию), ни двойкой (она уже использована), то она равна шести, а вторая цифра числа $m$ — 2 или 7. Но тогда $m$ делится на 25, а $n$ — на $25^2 = 625$. Но тогда и $n = 625 = 1000$. $n_1$ тоже делится на 625. Отсюда $n_1$ делится на 5 и последняя цифра числа $n_1$, являющаяся четвертой цифрой числа $n$, — нуль, либо пять. Но и то и другое противоречит условию задачи. Следовательно, отискать квадрат с указанным в задане свойствами невозможно.

8 класс, задача 4. Рассмотрим точку $O$ пересечения окружностей $S_1$ и $S_2$ (см. рис. 1, на нем равные углы отмеченых одинаковыми дужками). По условию все треугольники — оструговые; используя это, легко доказать, что точка $O$ лежит в точке $\Delta ABC$. Вы легко справиться с этим самостояльно. (Отметим, что жорни не снижаю оценки тем участникам, которые это не доказывали.) Вычислим $\text{BOA}$:

$$\text{BOA} = 360^\circ - \text{AOC} - \text{BOC}$$

Далее, $\text{AOC} = 180^\circ - \text{AB}_1C$, $\text{BOC} = 180^\circ - \text{BA}_1C$. Значит, $\text{BOA} = \text{AB}_1C + \text{BA}_1C$. Следовательно,