Квант 1973, №10 · Страницы

КВАНТ
1973
10
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На рисунке сверху изображена замыслованая фигура, лежащая на лице клетчатой бумаги. На ее «территорию» попало девять узлов (узлами мы называют точки пересечения горизонтальных и вертикальных прямых, линиюцих бумаги). А нельзя ли сdbинуть ее по бумаге так, чтобы в занимаемую ее площадь попало меньше узлов? Оказывается можно: если площадь произвольной фигуры, лежащей на клетчатой бумаге, меньше n (плouзадь одного квадрата принята за.edиницу), то ее можно сdbинуть так, что на ее территории попадает не больше (n—1) узлов. Это утверждение называется теоремой Блихфельда. Постраайтесь ее доказать. После этого вам остается убедиться, что площадь нашей фигуры меньше edиницы, и, значит, ее можно вообице сdbинуть с узлов.

На первой странице обложки вы видите модель идеального ionного кристалла. Своийства кристалических веществ определяются строением их кристалической решетки. О том, как по микросопперемхарактеристикам найти механические параметры вещества рассказывается в статте Г. Б. Ку-пермана и Е. Д. Шукина «Механические свойства кристаллов».

1

Главный редактор —
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора —
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
А. И. Климанов
(главный художник),
С. М. Козел,
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора),
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора),
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
Т. М. Макарова
(художственный редактор)
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
Л. В. Чернова
(зав. редакцией).
Художник В. В. Андреев

В НОМЕРЕ:

2. Н. Я. Виленкин, В. П. Лицевский. Эварист Галya
3. А. Ф. Андреев. Сверхтекучесть живкого геляя
4. Л. Е. Садовский, А. Л. Садовский. Как измеряют площадь
5. И. М. Яелом. Оценки углов
6. Г. Б. Куперман, Е. Д. Шукин. Механические свойства кристаллов

Лаборатория «Квант»
42. Б. И. Алейников. Как определить полюса магнита?

Математический кругок
43. Ю. И. Ионин, Л. Д. Курляндик. Окрестность фигуры

Задачик «Квант»
46. Задачи М226—М230; Ф238—Ф242
48. Решення задач М184—М189; Ф198—Ф202

Практикум абитуриента
56. М. Л. Крайзман. Высота пирамиды
61. Московский физico-технический институт

Рецензии, библиография
64. И. Е. Евгеньев. Книга о Вселенной
66. К. И. Кашин. Что такое «центроид»?
68. Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги

«Квант» для младших школьников
70. Задачи
71. А. С. Варпаховский. Тайны совершенных чисел и другие величины пар
75. Ответы, указания, решения

Смеся (с. 13, 21, 36, 41, 60, 63, 65, 67)

«У меня нет времени… У меня нет времени!» Эти слова, нацарапанные майской ночью 1832 года почти неразборивыми каракулями на листке, сплошь исписанном алгебраическими формулами, кричат о самом удивительной и трагической судьбе, которая когда-либо выпадала на долю ученого, — о судьбе Эвариста Галуа. Непризнанный гений, отверженный ученый, однокий и непримиримо честный. В ночь перед дуэлью двадцатилетний юноша писал в последний раз, писал, прощаясь с друзьями, с науккой, с жизни.

Эварист Галуа родился 26 октября 1811 года в городке Бур-ля-Рен в семье директора пансона. Его матЬ Аделаида-Мари, doch доктора прав Парижского университета, дала своему сыну хорошее гуманитарное образование. Его любимые авторы — Плутарх и Тит Ливий, Корнель и Расин — учили, что нет большого счастья, чем отдать жизнь за свободу своей родины.

В двенадцать лет Эварист поступил в Парижский лице Людовика Великого. Там он стал одним из лучших — пожавленные листья и прізь залатинские стихи и переводы с греческого сыпались на него один за другим. Оdnako Эварист довольно быстро охладает к литературе и истории и остается на второй год в классификии. Его работу оценили как посредственную, поведение — как рассеянное, ум — как слишком юный. Галуа воспользовался своим возвращением на повторный курс для того, чтобы одновременно учиться и в математическом классе. Там сразу обнаружились его исключительные математические способности. Элементарные книги по алгебре не удовлетворили юношу: в них отсутствовал двух научного исследования. Это учебник геометрии Лежандра он прочтibtвает, не отрываясь, как роман, и, когда кончает чтение, весь длиной ряд теorem прочно остается в его памяти.

Настоящее умственное наслаждение дает ему чтение работ Лагранжа, одного из крупнейших математиков XVIII века. С поражительной легкостью Галуа овладевает математическим анализом. Но больше всего заинтересовала работа Лагранжа, в которой великий анализик исследовал проблему разрешимости в радиках алгебраических уравнений.

Еще в XVI веке иллюянские математики Тарталья и Кардно вывели формулы для решения уравнений третьей степени, а Феррари, юный ученик Кардно, — формулы для решения уравнений четвертой степени. Но дальше дело застопилось: никаку не удалось вывести формулу для решения уравнений пятой степени. В том, что такая формула существует, математики в то время не сомневались. Всем казалось, что дело лишь в том, чтобы найти эту формулу, составить волшебную комбинацию из коэффициентов уравнения, знаков арифметических действия и радикалов, по которой можно будет решить любое уравнение пятой степени. Но проходили столетия, а также комбинацию никаку не удалось

4

лось составить, хотя много посвятили этому всю жизнь.

Лагранж отличается своеобразным складом ума. В каждом вопросе он стремился создать широкие теоретические концепции, связывающие в единое целое все множество отдельных задач, предложений и примов. Этот же подход применил он и к вопросу о решении уравнения в радиках. Он не стал составлять различные комбинации, а постановление в чем была причина успешности примов, примененных Карданов, Феррари, Эйлером, Чирггаузеном и многими другими для решения уравнения 3-й и 4-й степеней.

Оказалось, что все они делали одно и то же — составляли выражения из корней уравнения, которые при реестановках корней принимают относительно мало различных значений. Например, если взят рациональное выражение, составленное из 4 корней $x_1, x_2, x_3, x_4$ уравнения 4-й степеня, то при различных реестановках корней оно применет, вообще говоря, 24 различных значения (потому что 4 объекта можно представлять 24 способами).

Одночлен $x_1$ примет при таких реестовках 4 значения: $x_1, x_2, x_3, x_4$, то есть столько же, какова степеня уравнения; произведение

$$\left( x_1 - x_2 \right) \left( x_1 - x_3 \right) \left( x_1 - x_4 \right) \times \left( x_2 - x_3 \right) \left( x_2 - x_4 \right) \left( x_3 - x_4 \right)$$

при этих реестовках применяет лишь 2 различных значения; двучлен $x_1 x_2 + x_3 x_4$ — только 3 различных значения. Лагранж доказал, что если $x_1, \dots, x_n$ — корни уравнения $n$-й степеня, то число реестановок $k$, не меняющих вида неокоторого рационального выражения $f(x_1, \dots, x_n)$, является делителем числа $n!(n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n)$, а само это выражение удовлетворяет уравнению $n! / k$-й степеня, коэффициенты которого могут быть выражены через коэффициенты заданного уравнения.

Анализируя всевозможные выражения, составляемые из корней данно уравнения, и перестановки, оставляющие эти выражения неизменными, Лагранж доказал, что если $p$ — простое число, то решение любого уравнения $p$-й степеня свидетельствует к решению уравнения степеней $(p - 2)!$. При $p = 3$ имеем $(p - 2)! = 1$, уравнение первого степеня решается. Если же $p = 5$, то $(p - 2)! = 3! = 6$, то есть решение уравнения пятой степеня свидетельствует к решению уравнения шестой степеней. «Отсюда следует, — писал Лагранж, — что весмаCommittee, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать полное решение уравнения пятой степеней». Главное же в работе Лагранжа было то, что он установил связь между решением уравнения в радиках и перестановками корней. Эту связь он назвал «истинной философей решення уравнения».

Работы Лагранжа открыли перед Галуа новый мир. Все его помыслы отные направлены на математку. Забиты истории, литература, риторика; преподаватели этих наук пишут, что «его способности — это не более чем легенда, который пора переставить верить…». Далее учитель математики Верные, который был весма высокого мнения о дарованиих Галуа, считает поведение Эвариста очень плохим, а его самого — скрытым и самолюбивым. Он видит, что юношей владеет страсть к математике, но пытается уговорить его занимать и математикой, и риторикой. Поздно! Галуа уже вступил на путь самостоятельной научной работы. В шестнадцать лет он совершает ту же ошибку, которое за несколько лет до него сделал другой генциальной юноша — норвежец Нильс Абель, — он думает, что решил уравнение пятой степеней. Какое значение имеет то, что Верные дал ему лишь седьмую нагруду. Галуа уже не думает о лице — он стремится в знаменитию Политехническую шкалу, где преподават ученики Лагранжа. Он верит, что в ней его оценят…

Однако попытка поступить в Политехническую шкалу окончantly про-

5

валом: знания работ Лежандра и Лагранжа оказалось недостаточно для того, чтобы решать изощренные задачи, предлагавшие экзаменатории. Галya вовь возврашает в опостылевший лицей. И здесь ему впервые улыбается счастье — он встречает учитель, который смог оценить его генциальность.

Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в курсе успев наук и стремился расширить кругозор своих ученников. Отзывы Ришара о Галya просты: «Он работает лишь в высших областях математики».

И действительно, уже в семнадцать лет Галya получает первые научные результаты. Однако его заметка последняя в известный математический журнал и вскоре выходит в свет. И хотя заметка называется «Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных дробях», она всецело посвязывана теории управления —

Галya исследует, как связаны друг с другом разложения двух корней уравнения в непрерывные дроби.

Эта заметка — лишь первая проблема. В семнадцать лет Галya сделал гориздо более важные открытия в теории уравнения и направил работу в Академию наук. Представить его работу взялся самый знаменитый из французских математиков того времени — Коши, но академик был сликом занят, и работа юного лицеста попросту затерялась.

Продолжать эти исследования у Галya уже не было времени: надо было готовиться к повторной попытке построить в Политехническую школе. На этот раз ни у Эвариста, ни у его учитель Ришара comнений в успехе не было — экзамены должны быть держать не самонадейный школьник, а глубокий знаatok математики, автор научных работ.

И снова Эварист стоит перед экзаменаторами. Каштановые волосы, близоруко пришуренные глаза. Взволнованный и бледный, он выглядит моложе своих семнадцатей с половиной лет. Руки нервно крошат мел. «Рассказите, что Вы знаете о логарифмах». И выглят事先ность Эвариста сменяется гневом: «Я не школьник! Не буду ответать на такой простой вопрос!». Тогда Галya предложили решить труднейшее уравнение. В несколько минут он набросал оригинальное решение. Не поняв написанного, экзаменатор заместился. После короткого спора выведенный из себя Эварист бросил в экзаменатор трипку для стирания тела. Это был не только жест гнева, но и жест отчаяния: Галya понял, что то, о чем он страстно мечтал,ускользает от него навсегда.

《Почему экзаменаторы задают кандидат только запутанные вопросы? — записьает он. — Может показаться, что они боятся быть понятыми теми, кого спрашивают. Откуда взялась эта элосчастная манера нагромождать в вопросах искусственные трудности? Нeyужели кто-нибудь думает, что наука сликом

6

проста? А что из этого получается? Ученик заботится не о том, чтобы получить образование, а о том, чтобы выдержать экзамены… Можно с полным правом сказать, что несколько лет назад появился новая наука, приобретаюшая с каждым днем все больше и больше значения. Она состоит в изучении пристрастия господ экзаменаторов, их настроений, что они предпочитают в науке и к чему питают отвращение».

А через несколько дней после неудачных экзаменов на Эвариста свалилась новая, неизмеримо больше беда. Второго июля его отец Николая-Габризль Галya, затравленный политическими противниками, kleриkalами и неучитами, покончил с собой.

Эварист проводжет прав своего отца. За гробом идут сотни жительей Бур-ля-Рена. Они отдают последние почетные свойства новая, неизмеримо больше беда. Второго июля его отец Николая-Габризль Галya, затравленный политическими противниками, kleриkalами и неучитами, покончил с собой.

Эварист проводжет прав своего отца. За гробом идут сотни жительей Бур-ля-Рена. Они отдают последние почетные свойства новая, неизмеримо больше беда. Второго июля его отец Николая-Габризль Галya, затравленный политическими противниками, kleриkalами и неучитами, покончил с собой.

В душе Эвариста смерть и похороны отца оставили глубокий след.

В февраль 1830 года восемнадцатейный Эварист Галya был зачислен в Приготовительную школе — ничтожную и бледную тень прежней Нормальной школе, упразденной Бурбонами в 1826 году. Поступить туда ему было легко — ведь эта школа была как бы продолжением лице Людовика Великого. В ней готовились кандидаты на звание преподавателя.

В Приготовительной школе Эварист сделает испытания на степень бакалавра литературы и математики. Лишь после второй попытки он был удостоен этого звания, плюхо выдержав испытания по литературе, но очень хорошо — по математике и физике. Во время обучения Галya публикует еще три научные работы, которые в явале 1830 года представляют на конкурс в Академию наук. Теперь его судьба в руки бессменного секретаря Академии — Фурье. Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и первая, исчезает.

Летом 1830 года, когда Галya заканчивал первый год обучения в Приготовительной школе, Июльская революция лишает властки короля Карла X. На баррикадах в первых рядах стражются студенты Политехнической школи, той самой, куда так стремился попасть Галya.

Приготовительной школе в то время руководил нечто Гиньо. Пытаясь помешать своим студентам принять участие в развертывающихся событиях, он взял с них слово не покидать школе и распорядился запереть двери. Лишь два ученика отказывались дать слова, требуемое директором, — Галya и его кузен Бенар.

В ночь с 28 на 29 июля Галya пытается вырвать на волю и присоединиться к восставшему народу. За это Гиньо подвергает нарушителя домашнему адресу. Галya полон гнева и презрения к Гиньо, да и возведение на престол Луи-Филиппа вместе установления ресурсники является в его глазах изменой идеалом, за которым стражались бойцы баррикад.

Во время каникул 1830 года Галya активно участвует в работе революционных кружков, вступает в Общество других народов. После начала занятия в Нормальной школе (революция вернула ей прежнее название) юноша начинает борбу со всемильным директором. В конце ноября запрещает мятежному Галya покидать школе.

Но Эварист не сделается. Он находится вmozжносте нанести ответный удар. В декабрьском номере «Ля газет дез эколь» за подписью «Ученик Нормальной школе» было помещено резкое письмо. Автор не ограничился критикой системы преподавания в

7

школе. Он расскаазал о политической беспринципиности ее директора, описал издеваательства, который подвергался «строптивные»… Для Гиньо было ясно, кто автор письма. Через четыре дня после его опубликования Эвариста исключают из школи.

Галya оказался лишенным не только права посещать лекции, но и средств к существованию. Верный себе, Эварист не предается горестим размышлениям. Он действует. 9 января 1831 года в той же газете «Ля газет дез эколь» появляется обувление: «В четверг 18 января г-н Галya откроет публичный курс высшей алгебры у Кайо, книготорговца, улица Сорбонны, дом 5. Этот курс будет читаться во все четверги в час с четвертью; он предназначен молодым людям, которые, чувствуя, насколько неполно изучение алгебры в коллежах, желают углубиться в эту науку. Курс состоит из теории, частично новых, которые никакогда еще не изучались в публичных курсах. Мы ограничимся тем, что назовем новую теорию миниых, теории управления, разрешимых в радиках, теории чисел и эллиптических функций, трактуемых чисто алгебраической». Это была неслыханная деревость: исключенный ученик восставал против своих учительей, девятнадцатилетний юноша бросал вызов официальной Corpбонне.

Как утверждают свидетельи, на первую лекцию пришло трудать случаете, на второй их было не более десяти, а на третьей (и последней) — четыре человека. Галya читал слишком сложно.

Из приведенного объявления видно, что в это время Галya уже владел идеями, обессмертившими его имя, — лекции посвящались разрешимости управления в радиках. Над разрешимостью управления Эварист начал думать еще со школьной скамби. Телерь он уже знал, что ошибся, общее управление пятой степени нельзя решить в радиках (доказательство этой теоремы было

9

ется перестановка

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

Так получится 4 различные перестановки корней, в том числе и тождественная перестановка

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix},$$

при которой все корни остаются на месте. Эти перестановки, и только они, переводят соответствия $x_k = x_1^k$ в другие соответствия, выполняющейся для корней уравнения (1) при $n = 4$. И любопытно вот что. Если сделать сначала одну такую перестановку, а потом другую, то в результате получится перестановка, которая тоже переводит верные соответствия в верные. Эти перестановки можно умножать подобно числом.

А нет ли таких перестановок и для других уравнений? Ведь и для них можно составлять соответствия между корнями и смотреть, при каких перестановках верные соответствия будут переходить в верные. Конечно, самые лучшие — это уравнения, корни которых — рациональные числа. Такие уравнения решаются без извлечения корней. Для таких уравнений есть очень простые соответствия между корнями $x_1 = b_1, \dots, x_n = b_n$, и единственный «перестановкой», сохраняющий эти соответствия, является тождественная перестановка. Значит, уравнение тем проще, чем меньше совокупность перестановок, сохраняющих соответствия между корнями! Следует как-то назвать такие совокупности перестановок. Эти перестановки собираются вместе, группируются. Не назвать ли их совокупность erpnnoi?

Вряд ли, применив это название, Эварист думал, что он видит в математике новое понятие, которое сущена долга и славная жизнь, что число работ, посвязываемых группам, будет исчисляться многоими тысячими, что методы теории групп открыт тайны кристаллических решений, атома и многое другое. Он хотел лишь посмотреть, что происходит с группами перестановок корней в процессе решения уравнений.

Конечно, Галya не был первым, кто имел дело с группами перестановок корней. Ими занимались уже и Лагранж, и Гаусс. Сам Галya понял, что идеи, высказанные им, в нейвной форме содержались в работах его предшественников.

Но велика заслуга того, кто разьясил такие идеи, формулировал существенные свойства понятей, применил их к решению новых и трудных задач. Это и сделал Галya для понятия группы — лишь после его работы оно стало предметом изучения математиков.

Однако вернемся к ходу рассужdenия Галya. Теперь надо внимательно посмотреть, какие соответствия могут быть между корнями уравнения. Это зависит от того, какие коэффициенты считать допустимыми в таких соответствиях. Возьмем уравнение

$$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0.$$

Если в соответствии допустимы лишь рациональные коэффициенты, то для его корней есть только соответствия Виета, соответствия вида $x_k = x_1^k$ и те, которые из них получаются с помощью рациональных операций. Но если допустить коэффициенты более сложного вида, то появятся и новые соответствия.

Чем шире множество коэффициентов, тем больше соответствия между корнями. А тогда перестановки, сохраняющие верными все старые соответствия, могут уже оказаться непроизведными: они могут нарушать новые соответствия. Значит, с расширением множества коэффициентов группы уравнения уменьшается. Но ведь если уравнение решено, то его группа превращается в единичную, то есть в группу из одной тождественной перестановки. Так вот в чем тайна решения уравнения! Надо расширить множества коэффициентов и следить за тем, как меняется при этом группа уравнения (через много десятиле-

10

тий все математики будут называть ее группой Галуа). Как только группа превращится в тождестенную, уравнение решение. А расширять множество коэффициентов надо, присоединяя к нему корни каких-то вспомогательных уравнений. Теперяяясно, какие вспомогательные уравнения хорошо, — только те, присоединение корней которых к допустимому множество коэффициентов уменшает группу Галуа.

Осталось выяснить, какой должа быть группа уравнения, чтобы его можно было решить в радиках. Близкий результат появился в 1829 году в берлинском «Журнале Креля». Его автором был знаменитый Абель.

Он доказал, что уравнение решения в радиках, если все его корни можно выразить в виде рациональных функций от одного корня $x_k = F_k(x_1)$, причем эти функции должны обладаться следующим свойством коммутиативности: $F_k(F_l(x_1)) = F_l(F_k(x))$. В этом случае и перестановки, сохраняющие соответствия $x_k = F_k(x_1)$, обладают тем же свойствами коммутиативности — их произведение не зависит от порядка коммунителей (для любых перестановок это не так).

Могучим напряжением ума Галуа решает задачу до конца. Оказывается, уравнение решения в радиках в том и только в том случае, когда его группа определяемых образом свойства к коммутиативным группам перестановок (мы не будем здесь говорить точнее, что это значит). При этом Галуаводитfundamentальные для всей теории групп понятия нормального делителя, смежного класса, разрешимой группы и так далее. Волшебный ключ найden — теория групп раскрывает тайны уравнения.

Перед Галуа разворачивается градинозный план целой серии научных работ, которые служено совершить переворот в математике… И здесь перед ним встает моральная проблема, о которой мы узнали из записи, сохранившейся на листке бумаги:

«Человек, обладающий какой-нибудь идеей, имеет выбор: или пользоваться в течение своей жизни колосальной репутации ученого человека, или же оставить больше имя в будущеем. Первое имеет место, если применять свою идею, не высказывая ее; второе — если ее опубликовать…»

Для Эвариста выбор ясен — его идеи принадлежат всему миру научки. Он хочет изложить все самое важное, что есть в его исследованиях, изложить добросовестно, без уловок, указывая путь, который привед его к этим результатам, отмечая все затруднения и нерешенные вопросы.

Но Галуа не было службы вполнить свой план. Его захватилиревлоонные события. Сразу после исключения из Нормальной школи он

11

вступил в артиллерию национальной гвардии. Из четырех батальонов артиллерии два почти целиком состояли из членов Общества друзей народа. Это была вооруженная сила резолюции, и правительство Луи-Филиппа постарались как можно скорее распустить его. После этого Галya участковал во всех волнеях, потрясавших Париж на протяжении 1831 года. Математика была заброшена.

9 мая 1831 года Общество друзей народа организовало банкет в ресторане «Вандж-de-Bургонь». Среди приглашенных на почетном месте — Александр Дюма. Многие участники в знак протеста надели мундиры артиллеристов национальной гвардии. Тосты за резолюцию 1793 года, за Робеспьера, за монтаяров встречются апподисmentами; тосты за резолюцию 1830 года — шикабем и смехом. И вдруг… тост за Луи-Филиппа… Кто же провозгласил такой тост? Нeyжели неистовый ресурубликаец Эварист Галya? В ответ разделись свистки, но вдруг все умолкли — в руке у Галya был не только стакан с вином, но и открытий нож! Осторожный Дюма предпочел удалиться с банкета. Но большество осталось. Участики банкета, подражая Галya, угрожающее поднимают руки и повторяют: «За Луи-Филиппа! За Луи-Филиппа!».

На следующий день Галya адресовают. Ему предъявляют обвининие «в попытке спровоцровать покупение на жизнь и особу короля французов путем заявления, сделанного в общественном месте во время публичного собрания». Суд, состоящийся 15 июня, оправдал Галya — защитик сумел убедить присяжных в том, что ресторан не является общественным местом. Галya спокойно встал, взял со стола вещественных доказательствской нож, закрыл его, положил в карман и вышел, не промолив ни слова.

12

No Эварист недолго оставался на свободе. 14 июля 1831 года, в день взятия Бастилии, несколько сотен манифестанов с развевαιошмися знаменами прошли по Новому месту. Они протестиали против запрещения демонстраций Лун-Филлпом. В первых рядах — Галуа. На нем мундир национального гвардейца, в руке — карабин, под мундиром — кинжал. Как только демонстраты перешли мест, их окружили отряды полиции. Галуа был арестован вместе со многими другими участниками демонстрации. На этот раз его приговорили к шести месяцев тюремного заключения за незааконное ношение военной формы и оружия.

В тюрьме Сент-Пелажи Галуа отредактировал свои самые важные работы. В предисловии к одной из них он писал:

«Прежде всего, титульный лист этой работы не загроможden именами, фамилиями и званями и не сопровождается пожвалами скупным вельможам, кошелек которых открывается, когда вы им курите фимам, и розит захлопнуться, как только кадильница иссякает. Никто не увидит здесь заголовка, написанного аршинными буквами и выражающего почтительное благоговение перед светилом науки или каким-нибудь ученым покровителем, весма полезным (и даже сказал бы необходимым) для того, кто в двадцать лет хочет писать.

Я не говорю, что все хорошее в моей работе достигнуто благодаря советам и пошреням такого-то. Не говорю потому, что это значило бы ляты…»

А ляты Эварист не мог. В тюрьме Сент-Пелажи он получил еще один «привет» от префекта полиции месье Жиске — пуля, пушеная 29 июля с чердака соседнего дома, влетела в камеру и расплошилась о стену в нескольких сантиметрах от головы заключенного.

Здесь же, в тюрьме, Галуа получил письмо из Академии наук. В нем лежала его рукопись и записка от секретаря академии Франуса Араго:

«Дорогой месье Галуа!

Ваша рукопись была послана для ознакомления месье Пуассону. Он возвратил ее нам с отзывам, которые мы здесь и приводим:

,,Мы приложили все услуги, чтобы понять доказательства месье Галуа. Его рассуждания недостагоно ясны, недостагоно развернуть и не дают возможности судить, насолько они точны…‘»

Академия вновь, в которой раз, не поняв, отвергла его работу…

Впрочем, отчасти в этом был вновот и сам Эварист. В спешке он несовсем ясно излагал свои мысли, а некоторые теоремы, которые не были им доказаны, сформулировал как доказанные. Да и стиль работы Галуа был непrivычен для математиков наcala XIX века. Новый стиль проводствиком математики XX века. Вместо длинных выкладок для решения проблем применения совершенно неожиданные идеи; кроме того, в его работе было слишком много новых понятий. Недвижительно, что Пуассону, научные интересы которого были далек от теории алгебраических уравнений, эти работы показались недостагоно ясны.

Здоровье Эваристу ухудшается. 16 марта 1832 года его переводят в тюремную больницу. Именно здесь он познакомился с женишной (имя ее осталось неизвестным), которая сыграла роковую роль в судьбе Галуа.

В последнюю ночь своей жизни он приведел в порядке своих рукописи и написал несколько письм. В одном из них, адресованном своему единственному другу Огюсту Шевальье, он кратко изложил содержание своих исследований и попросил обратиться к виднейшим математикам для оценки важности этих результатов — в их истинности он не comневался. Другое его письмо кончается словами: «Nitens lux, horrenda procella, tenebris aeternis, involuta» *), как бы резю-

*) «Ослепляющий свет, ужасная буря, окруженная вечным мраком» (lam.).

13

мируощими его судьбу такой, какой он ее тогда видел.

Утром 30 мая 1832 года какой-то крестьян около пруда в местечке Жантийи наткнулся на тяжело раненого в живот молодого человека. Раненого переведли в большицу, где он скончался утром следующего дня на руках своего брата.

— Не плачь, — просил Эварист брата перед смертью, — не плачь. Мне нужно сохранить все свое мужство, чтобы умерть в двадцать лет.

В одном из последних письем он писал: «Я умираю жертвой подlayer кокетки и двух преданных ей простофиль». Но Эварист знал не все. Уже упоминавшийся префект полиции Жиске в своих «Мемуарах» вспоминал: «Месье Галya, неистовый ресурплканец, был убит на дузли одним своим другом». Уже одна такая осведомленность префекта полиции подзрительна. Есть и другие факты, указывающие на то, что дузль была специально подстроена, чтобы убрать «неистового ресурплкаца», угрожавшего жизни короля. Ведь недом же в другом письме, адресованном «всем ресурплкацам», Эварист писал: «Прошайте! Я отдал свою жизнь на благо народа!»

Только через 14 лет после смерти Галya его работы были разобраны и опубликованы Ливилем. Признание же пришло еще позже — в 70-х годах прошло столетия.

Сейчас имя Галya — одно из самых популярных в математике. Группа Галya, который Галya, пояя Галya — трудно перечислить все словосочетания, в которых встречается его фамилия. И когда, читая какую-нибудь научную работу, встречаешь сокращение Gal, не надо долго размышлять о его смысле: буквы Gal означают Galois — имя одного из величайших математков всех времен и народов.

Новое доказательство

Вероято, все наши читатели знакомы с теоремой о среднем арфметической и среднем геометрической. Формулируется она так: если есть два положименных числа a

и b, то $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$, причем равенство достигается, когда a = b.

Приведем совсем простое и наглядное его доказательство.

Построим квадрат CDEF со стороны CD = a + b (см. рисунок). Предположим пока, что a ≠ b. На сторонах квадрата от точки C, D, E, F отложим равные отрезки: CK = DL = EM = FN = b. Через точки L и N проведем прямые, параллельные стороны CD, а через точки K и M — параллельные стороны CF. Точки пересечения этих прямых обозначаем через R, T, S, P. В результате этих построений получаем квадрат RTSP и четыре равных прямогольника, так что площадь квадрата CDEF оказывается равной сумме площади квадрата RTSP и учетверенной площади прямогольника KDLP.

Площадь квадрата CDEF равна $(a+b)^2$, площадь прямогольника равна произведению ab, получаем такое равенство: $(a+b)^2 = 4 ab + S_{\text{RTSP}}$. Но так как S_{\text{RTSP}} \geq 0 (очевидно), то $(a+b)^2 \geq 4 ab$, откуда $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$.

Л. М. Дубинский

14

А.Ф. Ангреев
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
ЖИДКОГО
ГЕЛИЯ

Одним из важнейших достинений современной физики является особых свойств жидкого геля. Эти свойства неожиданны и парадоксаны. В настоящее время все они обединиются понятным сверхтекучести — явлением, открытым советским физиком П. Л. Капицей в 1938 году. Явление сверхтекучести, разумеется, не сводится к чисто количественной оценке, то есть к тому, что жидкий гелейет значительное лучше других жидкостей. Свойства сверхтекучего геля *), как показал в 1941 году советский физик-теоретик Л. Д. Ландду в своей теории сверхтекучести, — наиболее яркое проявление общих закономерностей в поведении любого вещества при достаточно низких температурах. Именно поэтому так велико то влияние, которое оказывали исследования жидкого геля и на другие, казалось бы, далеко областки физики.

1. Свойства сверхтекучего геля

Гелей не служано называют инертным газом. Его atoms чрезвычайно слабо взаимодействуют с другими atomsми и особенно между собой. Вот почему гелей переходит из газообразного состояния в жидкое при переходном низкой температуре (4,2° К при нормальном atmosферном давлении) и при дальнейшем понижении температуры не затвердевает вплоть

*) Имеется в виду наиболее распространенный изотоп геля He⁴.

Вязкость и сверхтекучесть

Первая загадка возникнет при изменении вязкости (или, другими словами, внутреннего треня) геля II. В обычных жидкостях вязкость (точнее, коэффициент вязкости) может быть изменена двумя простейшими способами, дающим, конечно, один и тот же результат. Первый способ заключается в изменении скорости вытекания жидкости из сосуда через узкую щель под действием силы тяжести (рис. 1). Скорость жидкости, изображенная на рисунке стрелками,

15

Рис. 1.

маскимальна в средней части щели и убывает при приближении к стенкам. Различные слоны движутся, таким образом, с разными скоростями, и поэтому между ними возникает сила внутреннего треня, от внешней которого зависит скорость вытекания. По внешне этой скорости можно судить о вззостии жидкости. Второй способ (рис. 2) заключится в изменении времени затухания круглых колбаний погруженного в жидкость диска. Здесь все аналогично первому слуаquo. Жидкость влизаи диска увлекается его движением, а вдали она практически поконтся. Различные слоны жидкости вновь движутся с разными скоростями, и возникающая сила вззости приводит в конце концов к тому, что энергия колбаний превращается в тепло. Измерив время затухания, можно определить вззость.

Эксперименты с жидким гелем, проведенные первым способом, показали, что вззость гелия I вполне заметна и изменима, но при переходе в области гелия II она скачком падает до неизмеримо малой величины, которая, скорее всего, равна нулю. Казалось бы, еще имеется возможность считать гелий II жидкостью, подчиняющейся обичным законом, но обладающей чрезвычайно малой вззостью. Однако результаты изменений вторым способом дают для вззости гелия II величины того же порядка, что и для гелия I. Таким образом, оказывается, что гелий II, в отличие от обычных жидкости, в одних условиях совсем не обнаруживает вззости, а в других его вззость вполне заметна.

Фундаментальное свойство гелия II протекать через узкие щели, не обнаруживая вззости, и было назван сверхтекучестью.

Перенос тепла и движение

В обычных жидкостях существует два механизма перенаса тела — теплопроводность и конвекция.

Темпропроводность — это передача тепла от более нагретых мест к менее нагретым в неподвижной жидкости. Расмотрим следующий опыт (рис. 3). Нагреватель H излучает тепло в направлении, указанном на рисунке стрелкой; температура жидкости убивает слева направо. Если перенос тепла осуществляется теплопроводностью, то жидкость неподвижна, а от более нагретых мест к менее

16

нагретым возникает поток тепла *). Для того чтобы теплопроводный поток тепла был отличен от нуля, необходимо, таким образом, чтобы термометр $T_1$ показывает более высокую температуру, чем термометр $T_2$. Количество характеристкой теплопроводности является коэффициент теплопроводности, связанный с относением потока тепла к разности температуры. Чем больше коэффициент теплопроводности, тем больше поток тепла переносится в жидкости от одного участка к другому при одной и той же разности температуре, или, другими словами, тем меньше разность температур необходима, чтобы обеспечить один и тот же поток тепла.

Конвекционный перенос тепла связаан с движением самой жидкости. Если в рассматриваемом опыте жидкость в силу каких-то принципыходит в движение в направлении слева направо, то в этом направлении происходит перенос тепла, поскольку движущаяся жидкость обладает тепловой энергейой. Причиной возникновения потока тепла в данном случае является движение жидкости, а не разность температуры. Конвекционный перенос тепла может, таким образом, произойти и при однаковых показаниях термометров $T_1$ и $T_2$.

В обычных жидкости конвекция связана с достаточно большими значениями потока тепла. Если поток тепла мал, то механизм переосса тела является чисто теплопроводным, и мы можем определить коэффициент теплопроводности жидкости, измерив на опыте поток тепла и разность температуры.

Если мы проведем этот опыт с телем II, то обнаружим, что как угодно малые конвекция тепла переоссация через жидкость при абсолотно равных показаниях термометров $T_1$ и $T_2$. Можно сделать два вывода из этого результата. Предположим сначала, что в гелини II, как и в обычных жидкостях, при малых потоках тепла конвекция несуществена и основную роль играет теплопроводность. тогда мы должны приписать гелини II бесконечно большешую теплопроводность. Однако можно предположить, что в гелини II перенос тепла осуществляется всегда только посредством конвекции, а тогда разности температур может и не быть.

Для того чтобы выяснить, какое предположение соответствует действительности, поступим следующим образом. Установим в гелини лепесток Л, который может свободно врашаться вокруг неподвижной оси O (см. рис. 3). Мы обнаружим, что всегда, когда через гелини II протекает поток тепла, лепесток отклоняется в направлении потока, что явно указывает на движение жидкости. Таким образом, подвергались вторялась вторая гипотеза.

Ситуация, однако, значительное сложнее, чем нам сейчас может показаться. Расмотрим следующий весма наглядный опит (рис. 4), проведенный П. Л. Капицей в 1941 году. Нагреватель H установлен в гелини II, частично заполняется замкнутый сосуд с единственным выходом в окружающей гелини II. Вблизи выхода находится тот же лепесток Л на оси O. Если включить нагреватель, то поток тепла будет вытекать из внутренней области нагружу, что, как мы уже знаем, связано с движением жидкости. Действительно, лепесток Л отклоняется вправа, показывая, что

*) Поток тепла — это энергия, проходящая в единицу времени через единичную площадку, перепределенную направлению распространения энергии.

18

Для жидкого геля II это не может быть, конечно, движение отдельных atomов геля *), хотя бы потому, что именно на таком представлении о тепловом движении основана физика обычных жидкости, законам которой, как мы видели, свойства геля II явно противоречат. Нужные нам элементарные возможности следует искать среди каких-то других видов теплового движения. Л. Д. Ланду предложил, что элементарными возбуждениями геля II являются не движения отдельных atomов, а коллективные движения atomов жидкости, то есть звуковые колебания, и показал, что на основе этого предложения можно построить последовательную теорию сверхтекущости. Сейчас предложение о звуковой природе элементарных возбуждений полностью подтверждено многочисленными экспериментальными исследованиями.

Существуют и простые сообщения, показывающие естественное такое предложение. Действительно, в обычных веществ процесс вымерзания движения отдельных молекул связи с затвердеванием жидкости. В твердом теле молекул могут совершать, как уже отмечалось выше, лишь малые колебания выззии определенных положений равновесия. Но это не есть независящие колебания отдельных частиц. Колебание какой-либо молекулы сразу передается соседям, и в результате возникнет колебание всего коллектива молекул, то есть всего твердого тела. А это и есть звуковые волны. В обычных веществ, таким образом, процесс вымерзания движения отдельных молекул ознакомлен переход к звуковому типу движения. Звук может распространяться и в жидкости, однако в обычных жидкости он в конце концов всегда затухает просто потому, что его энергия превращается в энергию теплового движения отдельных молекул при распространинии в жид-

*) Molекула геля состоит из одного атома.

Некоторые свойства звуковых волн в жидкости

Первое важное для нас свойство заключается в том, что распространиние звука сопровождается переком массы жидкости в направлении распространиния. Если проследить за движением какой-либо частицы жидкости при распространинии в жид-

20

шпеся стенки не увлекают жидкость, но «увлекают» имеющиеся в жидкости звуковые волны. Действительно, при «столкновениях» звуковых волн с движущейся шероховатой стенкой они получают от нее некоторый импульс в направлении движения стенки. Ясно поэтому, что движение стенок приводит к появлению преимуществаного направления распространения звуковых волн. При этом, как мы знаем, возникает перенос массы жидкости. Таким образом, в действительности движущиеся стенки увлекают своим движением некоторую массу, но при низких температурах энергия звуковых волн весма мала, и потому переносимая им масса много меньше полной массы жидкости.

Можно представить, как будто гели II состоит из двух компонент, способных двигаться независимо друг от друга. Движение одной из них не сопровождается тренем, и она называется поэтому сверхтекучей компонентой. При движении другой компоненты, увлекающейся стенками, как и в обычных жидкости, возникает трене; эта компонента называется нормальной. Сумма масс обих компонент равна полной массе жидкости. Нужно, конечно, иметь в виду, что разделение гели II на две компоненты является чисто условным. В действительности, как мы видели, в гели II могут существовать два вида движений, каждое из которых сопровождается переносом своей массы, причем сумма масс равна истинной массе жидкости. Однако из этих движений связано с движением звуковых волн и сопровождается тренем, второе обладает свойством сверхтекучости. Все atoms гели участуют в обих движениях, о разделении атомов на сверхтекучие и нормальные при этом не может быть и речи.

При повышении температуры энергия звуковых волн возрастает и вместе с тем возрастает масса, связанная с нормальным движением. Наконец, при некоторой температуре она становится равной истинной массе жидкости.

При этом сверхтекучие движение исчезает, так как исчезает переносимая им масса, и гели II переходит в гели I, который ведет себя как обычные жидкости, поскольку в нем возможно только нормальное движение.

Если в гели II равномерно движется какое-либо тело со скоростью, меняющей звуковой, то возникало переносимая им масса, и гели II переходит в гели I, который ведет себя как обычные жидкости, поскольку в нем возможно только normalное движение.

Если слия сопротивления отлична от нуля, то для перемещения тела к нему нужно приложить силы, которая совершит работу. Однако эта работа может превращаться лишь в тепло, то есть почти на излучение звука в жидкости, что, как мы знаем, невозможно. Этот результат можно сформировать и как отсутствие силы давления на тело, обтекаемое сверхтекучным движением. Звуковые же волны при встрече с поверхностью твердых тел, погруженных в жидкость, обменяются с ними импульсом, что мы уже видели на примере их взаимодействия со стенками щеллю. Поэтому обтекание нормальным движением сопротивления возникнет смещением силы давления.

Теперь мы можем легко обяснить рассмотренные вначале эксперименты с гелием II.

При изменении высоты способом (опыт со щеллю) вызвость гели II не обнаруживается, поскольку сверхтекучая компонента весма быстро вытекает через щелль без треня. Тот факт, что она имеет плотность, несколько меньше полной плотности, в данном случае совершено незааметен, так как любая обичная жидкость, обладающая высокой проексация бы через достаточно узкую щелль неравенно медленнее.

Измерения высоты с помощью колблющегося диска приводят к отличной от нуля высоте потому, что диск движется в жидкости, содержащей обих компоненты. Затухание его колблющий проексодит из-за взаимодействия с нормальной компонентой.

21

Можно сказать, что в эксперименте со щелью проявляет себя сверхтекучая компонента, а в эксперименте с диском — нормальная.

Выделение тела в гелини II представляет собой процесс излучения звуковых волн. Перенос тела в каком-то определенном направлении происходит потому, что энергия звуковых волн, распространяющихся в этом направлении, больше, чем в обратном. Поэтому направление переноса тела является в то же время направленем преимущественно распространяющей звуковых волн и связанной с ним нормальной компоненты.

Perенос тела в гелини II, таким образом, всегда сопровождается движением нормальной компоненты, то есть механизм perеноса тела всегда конвекционный. Вот почему в опыте, схема которого изображена на рисунке 3, показанная термометров были одинаковы, а лепесток все время отклонался в направлении телового потока под действием обтекающей его нормальной компоненты.

Если поток тела имеет место в гелини II, заполняющим неокоторый замкнутый сосуд, как на рисунке 4, то неперивного perеноса массы жидкости в одном направлении не происходит, так как порождаемая потоком разность давления вызывает движение сверхтекучея компоненты в обратном направлении. Причем, скорость сверхтекучего движения соответствует тому, что суммарный perенос массы отсутствует, поэтому уровень жидкости не меняется. Отклонение лепестка показывает, что из внутренней области вытекает нормальная компонента, а сверхтекучее движение остается незаметным, так как оно не оказывает давления на обтекаемые им тела.

Точки на плоскости

Вот задача, решение которой, на первый взгляд, кажется совершенной невозможным. Требуется найти на плоскости такой конечный набор точек, что переменикулар, восставленный в середине отрезка, соединяющего любые две точки, обязаательно пересечет еще хотя бы две точки из этого набора. Тем не менее задача имеет интересное решение. А набор с таким удивительным свойством состоит из восемми точек. Постарей-tecb obticata его!

Задания

Задание 1. Какое число точки можно выбрать
a) на плоскости,
b) в пространстве так, чтобы каждый три точки служили вершинами прямого полного треугольника?
Задание 2. Какое число точки можно выбрать
a) на плоскости,
b) в пространстве так, чтобы каждый три точки служили вершинами прямого полного треугольника?
И. Я.

22

Как изменяют площадь

Задачу изменения площади фигуры, ограниченной некоторой замкнутой линией, приходится решать лицам самых различных специалностей: математикам, геодезистам, физикам…

Прежде всего возникают два тено связанных между собой вопроса: что такое площадь и что значим ее изменить?

Эти вопросы не так уж просты, и школьный курс геометрии дает ответы на них постепенно и только для некоторых частных случаев. Сначала для ряда простейших фигур — квадрата, прямоугольника, треугольника, а затем для многоугольника, круга и некоторых его частей (сектора, сегмента).

Вспомним, что квадрату, сторона которого равна единице длины, принимают площадь, равную единице (плошади). Это условие является аксиомой (аксиома единицей площади). Если, далее, фигура (рис. 1) состоит из двух частей, которые имеют не более чем конечное число общих отрезков и точек, и если при этом площади частей определяны, то сумму площадей этих частей принимают за площадь всей фигуры. Условие это называется аксиомой сложения площадей (аддитивностью площади *)). Наконец, условияются равным фигурам приниматься площади (аксиома конгруэнтности).

*) О свойстве аддитивности некоторые величины шла речь в статьях: Иони и Ю. И. Интергал. «Квант», 1972, № 9 и Смородинский Я. А. Инертная масса. «Квант», 1972, № 3.

Рис. 1.

23

Рис. 2.

$F_k$ полностью покрывает фигуру $F$ и может даже выходить за ее границу $C$. Площадь $F_k$, согласно аксиме аддитивности, равна сумме $S_k$ площадей этих квадратников (она пропорциональная числу квадратков, составляющих $F_k$). Величину $S_k$ естественно принять за приближение значение площади фигуры $F$ (с избытком).

Подсчитаем теперь сумму $S_k$ площадей тех квадратков сетки разряда $k$, которые целиком содержатся в $F$. Эти квадратки составляют многоугольник $f_k$ (он окрашен в зеленьй цвет), не выходящий за контур $C$. Ясно, что при любом $k$ справедливо неравенство $S_k \leq S_k$. Естественно принять $S_k$ за приближение значение площади $F$ (с недостатком).

Заметим, что сам контур $C$ оказывается заключенным в некоторой многоугольной области $\varphi_k$ (она окрашена в желтый цвет), лежащей между границами многоугольников $F_k$ и $f_k$; площадь $\varphi_k$ равна $S_k - S_k$.

Можно убедиться (проверьте это!), что при переходе от сетки разряда $k$ к сетке разряда $k+1$ выполняется неравенство $S_k \geq S_{k+1}$. При этом каждое число $S_k$ неотрицательно, поэтому многоугольная и ограниченная сизу последовательность

$$S_1 \geq S_2 \geq S_3 \geq \dots \geq S_k \geq \dots$$

должна иметь предел $S = \lim_{k \to \infty} S_k$.

Аналогично, многоотношение последовательность

$$s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_k \leq \dots$$

также имеет некоторый предел $s = \lim_{k \to \infty} s_k$.

Предположим, что при неограниченном увеличении разряда $k$ сетки (и, следовательно, при стремлении $h_k$ к нулю) последовательности (1) и (2) имеют один и тот же предел: $s = S$. В этом случае фигуру $F$ называют квадрируемой и площадь ее принимают равной $S^*$). Если $F$ квадрируема, то ее граница $C$, как это следует из предыдущого, может быть заключена в многоугольную область $\varphi_k$, площадь $S_k - s_k$ которой неограниченно уменьшается при возникании $k$. Поэтому в полне логичного условия считать, что площадь такого контур $C$ равна нулю. Таким образом, если область $F$ квадрируема, то площадь ограничивающего ее контур равна нулю.

Справедливо, конечно, и обратное утверждение (доказante его): если площадь контура $C$ равна нулю (это значит, что $C$ можно покрыть многоугольной области $\varphi_k$, составленной из квадрируков сетки разряда $k$, площадь которого стремится к нулю при $k$, стремящемся к бесконечности), мои фигура $F$ квадрируема.

В большинстве практических случаев приходим到 дело с линейми $C$ нулевой площади. К их числу

*) Заметим, что все рассуждения в действительности не зависит от ориентации палестино относительно фигуры. Если при одной ориентации сеток фигура $F$ оказывается квадрируемой, то она оказывается такой же и при произвольном смесении сеток. И хотя при новом положении сеток сами числовые последовательности (1) и (2) меняются, предел их $S$ остается одним и тем же.

Проведенные здесь рассуждения в полне аналогичны тем, которые в учебниках геометрии приводят к определению площади круга как предела последовательности площадей правых вписанных (описанных) многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

24

Рис. 3.

относится линия, изученные французским математиком Камилем Жорданом (1838—1922). Это так называемые жордановы кривые. Если жорданову кривую рассматривать как траекторию движения (в плоскости) точки, то ее прямогольные координаты $x$ и $y$ можно задать как непрерывные функции

$$x = x(t), \quad y = y(t)$$

время $t$ ($t_0 \leq t \leq t_1$).

Жордан доказал, что всякая замкнутая жорданова линия $C$ без точек самопересечения разбиает всю плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю (рис. 3); для каждой из них $C$ служит общей границей. Любые две точки, принадлежащие одной и той же части фигуры (например, внутренней), можно соединить ломаной, не пересекающей $C$. Любая ломаная, соединяющая две точки из разных частей, неизбежно пересекает $C$. Так как площадь замкнутой и несамопересекающей жордановой кривой равна нулю, то фигура $F$ (она ограничена) квадрируема, то есть для нее последовательности (1) и (2) имеют общий предел $S$.

Измерение площади

Теперь становится понятным, что значит измерить площадь квадрируемой фигуры $F$. Это значит найти число $S$ — предел последовательности чисел $S_h$ (или $s_h$). Каждый из чисел $S_h$ дает лишь приближение значения площади с избытком ($s_h$ — с недостатком). Этот избыток (недостаток) тем меньше, чем больше разряд $k$ сетки.

Естественно, что на практике не вычислют предел $S$, а ограничиваются определением его приближенного значения $S_h$ с помощью сетки подходящого разряда *).

Одноко издавана возникла потребность в более совершенных, чем палетка, приборах, позволяющих измерять площадь быстрее, точнее и, по возможности, автоматически. Первые такие приборы, называемые планиметрами, были созданы более лет тому назад и, как очень часто бывают в вопросах большой практической или научной важности, почти одновременно в различных странах. Однако из первых планиметров (планиметр-самокат) был изобретен в 1854 году русским механиком П. А. Заар и нины м (1816—1886). В том же году иную конструкцию планиметра предложил Швейцарский математик Я. Амслер (1823—1912).

Эти и подобные им планиметры основаны на довольно простой и вместе с тем весма плодотворной идее (мы изложим лишь саму идею, а строение доказательства опустим).

Рассмотрим в плоскости чертежа два произвольных положения некоторого отрезка (стержня). Перевести отрезок из исходного положения $A_0B_0$ в конечное — $AB$ (рис. 4a) можно с помощью перемещений трех типов:

(1) поворотом вокруг середины $C_0$ стержня на угол $\alpha \geq 0$ в положение $A_1B_1$, параллельное $AB$;

(2) поступательным перемещением на величину $h \geq 0$ в направлении, перpendикулярном $A_1B_1$, переводящим отрезок в положение $A_2B_2$ на прямой $AB$;

*) Заметим, что методы интегрального исчисления позволяют в больших степени практических случаях определить число $S$ без использования последовательности (1) или же найти приближение значения $S$ более экономным путем, нежели подсчетом квадратических по сетке (о понятии интеграла см. статью: И он и Ю. И. Интеграл. «Кваант», 1972, № 9).

25

(3) сdwгом на $g \geq 0$ в направлении $AB$, совмещающим точку $A_2$ с точкой $A$.

Впрочем, из курса физики известно, что два последних перемещения можно заменить одним — поступательным перемещением, переводящим $A_1B_1$ сразу в $AB$. При этом отрезок «заметет» параллелограмм $B_1A_1AB$ с высотой $h$ и основанием, равным длине $l$ отрезка.

Подсчитаем всю площадь, заменую отрезком при перемещении из $A_0B_0$ в $AB$. Прежде, однако, прием важное правило.

Условия приписывать (глядя из $B$ в $A$) площади положительный знак, если она при перемещении стержня остается справа от него, и отпечатный, если она остается слева (рис. 4a).

С учетом этого правила ясно, что суммарная площадь, замененная отрезком в результате перемещения первого типа, равна нулю.

Рис. 4a.

Рис. 46.

Естестенно, что равна нулю площадь, заменная при перемещении треться типа. Отличной от нуля оказывается лишь площадь прямогольника, заменного при поступательном перемещении второго типа; она равна $lh$ (это же величины равна и площадь параллелограмма $B_1A_1AB$).

Если теперь совершает произвольное перемещение из положения $A_0B_0$ в положение $AB$, то в любой момент это перемещение можно разложить на три: типов (1), (2) и (3). При этом перемещения (1) и (3) не дают включения перемещения в направлении, перпендикулярном отрезку (типа (2)), полностью определяет замена ему площадь (это — самое «тонкое» место в наших рассудениях, именно здесь мы не приводим строение доказательства).

Таким образом, для определения суммарной площади (точнее, алгебраической суммы площадей), заменной отрезком известной длины $l$, достаточно иметь устройство, изменяющее суммарное перемещение отрезка в перпендикулярном направлении (рис. 46).

Оказалось, что таким устройством может служить небольшое колесико $R$ с закругленными краями, насаженное в середине (в точке $C_0$) стержня и соединенное с ним так, что оно может лишь вращаться. Ясно, что при перемещениях первого и третьего типов колесико не станет вращаться, а увлекаемое стержнем будет лишь скольнить по поверхности чертежа. Но это при перемещении второго типа оно практически без скольжения будет катиться по чертежу, поворачиваясь относительно стержня. При этом оно повернет как раз надугу, равную $h$.

Следует иметь в виду, что колесико можно помещить в любой точке стержня. При этом сохраняется возможность использовать его для изменения площади. Попробуйте убедиться сами, что если колесико сместить на величины $\lambda$ относительно середины стержня, то его показания изменятся на $\lambda\alpha$, где $\alpha$ — угол (в радианах), образованный исходным и конечным положением стержня.

26

Рис. 5.

Если окружность колесика разбит на некоторое число делений, а на стержне укрепить указаать, то оказывается возможность следить за тем, насколько поворачивается колесик. Возникнет простейший механизм. Сразу замечаем, что не всегда второй отсутствует (после обвода) оказывается больше первого (до обвода), все зависит от того, в какую сторону будет врашаться колесик. Если сдвинуть стержень из положения $A_0B_0$ в положение $AB$, а затем возвратить его снова в исходное, то в результате отсутствует остатся без изменения, то есть указаleb будет стоять против одного и того же деления в начале и в конце этих двух перемещений. Это естественно, так как стержень дважды прощел над параллелограммом $B_1A_1AB$; один раз площади приписывался положительным знак, другой — отрицательный.

Воспользовемся полученными результатыми для вычисления площади $S$ фигуры $F$ с кривolinейной границей, например, такой, как на рисунке 5. Для этого один из концов $B$ стержня будем перемещать вдоль границей $F$ в направлении стрелки. Конец $A$ пусты при этом движется по прямой $LA$. На рисунке 5 показано несколько положений стержня при его перемещении от точки $P$ границы к точкам $Q$, $R$ и $T$.

Мы замечаем, что над определением площадью $S$ стержень $AB$ прочет лишь один раз — при перемещении из точки $Q$ к точкам $R$, $T$, $P$. Зато площадь, лежащая вне границей, бу

27

отсчет ответает их сумме. Позтому
$$lh = S \pm s.$$ (3)

В качестве границ s можно выбрать круг радиуса r; тогда s = $\pi r^2$ и искомая площадь составит
$$S = lh \pm \pi r^2.$$

В этой формуле знак плоскости выбирается, например, и тогда, когда s лежит внутри S (рис. 8).

Все сказанное означает, чтостержень с колесиком (его часто называют интегрирующим) может служить планетром. Однако такой простой прибор неудобен в работе и вносит большие погрешности. В действительности планетр устроен несколько сложнее, хотя прицип его работы остается тем же. Имеются планетры многох типов, выпускаемые различными заводами точной механики. Они отличятся друг от друга конструкциями отдельных элементов, а также выбором кривой, по которой движется конец A стержня. В качестве такой кривой обычно выбирают либо прямую линию (линейный планетр), либо окружность (полярный планетр).

Конструции планетров

Рисунок 9 дает представление об общем виде полярного планетра. Полярный рычаг p и обводный рычаг l соединены шарниром b и могут быть отделены друг от друга; на конце обводного рычага имеется острый шпиль F, который обводит границу площади, и упор f, предохраняющий чертеж от повреждения шпилем. Полярный рычаг врашается вокруг конца (полюса), шарниро соединенного с тяжелой платой Π (она не позволяет полосу сdwгаться). Счетный механизм (рис. 10) связан с обводным рычагом. Его можно сdwгать вдоль этого рычага и укреплять в нужном положении винтом q. Счетный механизм опирается на изменительное колеско R и дополнительный опорный ролик C, придающий прибору устойчивость. Вращение колесика R через черччный вит передается счетному диску Z. Один полный оборот колесика вызывает поворот диск на одно издесят нанесенных на нем делений. Перimeter связанного с роликом счетного барабанчика T разделен на сто малых делений. С помощью расположенного ряда с ним вернgebra V можно отсчитывать десять доли малого барабанчика T.

Рис. 9. Полярный планетр

28

Рис. 10. Счетный механизм полярного планметра.

Каждай отчет представляет собой четырьхзначное число: сначала записьается количество полных делений на диске Z, затем число больших делений на барабанчике T, потом число полных малых делений на нем и, наконец, число десятих малого деления.

Для определения площади S в делениях планметра следует установить общий шпиль F в некоторой точке границы, затем на начальный отсчет, объективью границу, и, вернулись в исходную точку, записать новый отсчет. Затем вычесть из первого отсчета второй; тогда их разность (с точностью до знака) даст число, которое для получения исходной величины h надо умножить на радиус р колесика. Чтобы каждой длина l на величины h, подчитывать заранее, чем соответствует одно деление планметра (так называемую «цену деления» планметра) при определении длине общного рычага l. Для этого обводят какую-либо фигуру (например, квадрат или круг), площадь которой можно подчитать по формулой геометрии. Затем делят эту площадь на разность отсчета в конце и в начале обвода.

В специальном паспорте, который прилагается к каждому прибору, указывается цена деления при различной длине l обводного рычага. Это длину можно изменять, сдвигая счетный механизм. При сдвигах счетного механизма изменительное количество смещается от средней точки на ту или иную величины λ. Тем не менее можно доказать, что выведенная выше формула остается по-прежнему справедливой. Исключение представляется случай, когда в результате обвода границы рычаг l совершит полный оборот. В этом случае разность отсчетов надо увеличить на 2πlλ.

Самодельный планметр

Средние весы планметров имеются один необъчайно простой. Это так называемый «планметр-топорик Прица» (1886 г.). Он может быть изготовлен из куска объективной проводки, согласно в виде растянутой буквы П (рис. 11). Один из загнутых концов k заостряется и служит обводным шпилем, другой конец T расположивается и имеет вид топорика, лезвие которого лежит в одной плоскости с острием. Ostрие k устанавливается в некоторой точке O внутри изменяемой площади (желательно пользовке к центру тяжестей обводимой фигуры). Положение точки T₀ касания лезвия топорика с чертежом отмещают; затем, держа топорик ответно, ведут отрие к границе, обводят всю границу и возвращаются в исходную точку O. При этом топорик описывает некоторую кривую (если лезвие отсутстве, она оказывается

Рис. 11.

29

нацарапанной на чертежке). Одна из таких линей — линяя погони *), возникающая при обводе кругга, — показана на рисунке 12. Возвращшись в исходную точку $O$, отмечают новое положение $T_1$ лезвия. Чтобы определить теперь положение обведенной фигуры, надо изменить в радианах угол $\varphi = \frac{l}{2}\varphi$ между начальным и конечным положением планметра и умножить его на $l^2$. Если угол не великий, то вместо него достаточно изменить хорду $T_0T_1$ и составить произведение $l \cdot T_0T_1$. Это правило можно получить из общей теории планметра **). Оно означает, что планметр-тоорик не нуждается даже в изменительном колесике.

Действительно, предположим, что планметр-тоорик все же снажен изменительно колеском, насажен

*) По такой кривой должен быть охотник за зайцем, если он, «поймав зайца на мушку», захочет в течение всей погони держать его под прицельным огнем и при этом не менять направления ружья относительно корпуса.

**) Элементарную геометрическую теорию планметра-тоорика привед академик А. Н. Крылов в 1904 году в статье «On the hatchet planimeter» (Собр. трудов. Т. V).

ным на его конце (рядом с лезвием). Тогда при обводе границы фигуры $F$ колесико будет только скольнить, и потому поворот его оказывается нулевым. Если, однako, колесико насадить в середине топорика, то поворот его составит $\frac{l}{2}\varphi$ (почему?). На такую жедуг $\frac{l}{2}\varphi$ повернет колесико при повороте стержня из положения $OT_0$ в $OT_1$, а всего — на $l\varphi$. Поэтому алгебраическая сумма площадей, обметенных планметром, оказывается равной $l^2\varphi$. Остается только заметить, что эта величина равна алгебраической сумме искомой площади $S$ и площади $s$, ограниченной кривой погони (она замыкается поворотом планметра на угол $\varphi$). Можно доказать, что если начальная точка $O$ обвода расположена близко к центру тяжести $F$, то $s$ близко к нулю, и формула (3) дает:

$$l^2\varphi = S.$$

Планметр-тоорик может легко изготовить каждой из вас. Но уже полярный планметр требует высокой культуры произвольства, он измеряет площадь в десять раз точнее планметра-тоорик. Высокой точности (прецизиновые) планметры измерят площадь в десять раз точнее, чем обычные (ошибка составляет лишь 0,0001 обводимой площади). В этих приборах измерительное колесико катится не по чертежу, который может иметь складки или другие неровности, а по специальному металлическому диску или линейке.

Причечение. Не всегда обход границы фигуры $F$ сопровождается движением конца $A$ по направлению $L$ строгого в одном направлении и заканчивается ее полным обходом: движение против часовой стрелки может сменять движением по часовой и наоборот. Все зависит от взаимного расположения и конфигурации $F$ и $L$. В связи с этим рисунки 6, 7 и 8 являются сугубо схематичными.

30

И. М. Яелом Оценки углов

Исходной для нас будет служить следующая неопустная, но почитальная задача 1. Пусть $A, B, C$ — три произвольные (несовпадающие) точки на плоскости; улы треугольника $ABC$ (мочее, $\angle BAC, \angle ABC$ и $\angle ACB$) мы обозначим через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha \geq \gamma \geq \beta$. Какие значения моем приимать $\alpha$, $\gamma$ и $\beta$?

Эта задача хорошо иллюстрирует тематику настоящего статьи: в ней обсуждается следующее (в общем виде не решенная до сих пор!)

Основная проблема. На плоскости данных $n$ точки $A_1, A_2, \dots, A_n$. Обозначим через $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ улы треугольников, образованных этих точки *). Пусть $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \dots \geq \alpha_N$. Какие значения моем приимать $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$?

Чтобы представить себе, с чем мы можем встретиться при решении основной проблемы, решим задачу 1.

Решение задачи 1

Так как $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ = 3 \cdot 60^\circ$, то наиболее из трех углов треугольника не может быть меньше $60^\circ$, а

*) Число $N$, разумеется, зависит от $n$. Нетрудно видеть, что

$$N = 3C_n^3 = 3 \frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2},$$

где $C_n^3$ — число сочетаний из $n$ по 3, но нам эта формула не понадобится.

31

ны быть острыми, то $\gamma < 90^\circ$ (случай, когда три точки лежат на одной прямой, не спасет положения, поскольку при этом $\alpha = 180^\circ$, $\beta = 0^\circ$, $\gamma = 0^\circ$). Однако $\gamma$ может быть скольго близким к $90^\circ$ (на рисунке 3 наименьший угол $\beta = \angle BAC$ очень мал, а $\angle ABC = \angle ACB \approx 90^\circ$). Таким образом,

$$60^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ, \quad 0^\circ \leq \gamma < 90^\circ, \quad 0^\circ \leq \beta \leq 60^\circ.$$

Чтобы заверить решение задачи 1*, нам еще надо доказать, что $\alpha$ может принимать либо более значения в пределах $60^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$ (и аналогично для углов $\beta$ и $\gamma$). Впрочем, эта часть решения очень проста — она совпается к построению треугольника $ABC$, у которого наибольший угол $\alpha$ (или «средний» угол $\gamma$, или наименьший угол $\beta$) имеет заданное значение, выбранное в указанных пределах; это вы легко сделать сами.

Обсуждение решения задачи 1

Прежде всего изменим обозначения. Условия обозначать вершины треугольника через $A_1, A_2, A_3$, а его углы — через $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Наибольший из углов $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ можно обозначить так:

$$\alpha = \max_i \alpha_i,$$

а наименьший из углов $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ так:

$$\beta = \min_i \alpha_i,$$

причем $i = 1, 2, 3.$

мах — это сокращение латинского слова maximum — «максимум», то есть наибольшее. Знак $i$ под.max показывает, что меняется $i$, то есть задан набор величины $\alpha_i$ (здебь — $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$), из которых мы берем наибольшую (а не, скажем, наибольший из вообще возможных углов треугольника $A_1A_2A_3$ — в

*) Мы приводим здесь подробное решение задачи 1. Указания к решению остальных задач помещены в конце журнала (но не топппесь туда заглядываать — попробyte сначала решить задачу самостояльно). Звездочный отмечень более трудные задачи; во-простейный знак у номера задачи ознакомят, что решение автору не известно (откуда еще вовсе не следует, что эта задача — трудная; подумайте и над этим задачи).

этом случае мы напишем max $\alpha$. Закmak max $\Delta A_1A_2A_3$ обычно употребляется для наибольшей из конечного числа величины (здебь — из трех). Для наибольшей из бесконечного числа величины тоже можно применять знак max, но это опасно — здесь надо еще доказывать, что это наибольшая величина сущействует (см. далее).

min — сокращение латинского слова minimum — «минимум», то есть наибольшее.

В задаче 1 не вызываю ни каких затруднений определение самого большого возможного значения $\alpha$, то есть

$$\max \alpha = \max \max \alpha_i = 180^\circ,$$

$$\Delta A_1A_2A_3 \quad \Delta A_1A_2A_3 \quad i$$

и самого малого возможного значения $\beta$, то есть

$$\min \beta = \min \min \alpha_i = 0^\circ.$$

Наибольший интерес здесь представляется наименьшего возможного значения $\alpha$, то есть

$$\min \alpha = \min \max \alpha_i = 60^\circ,$$

$$\Delta A_1A_2A_3 \quad \Delta A_1A_2A_3 \quad i$$

Постановка таких «минимаксных» задач характерна для современной «чистой» и (особен!) прикладной математики.

Значительнаяную часть задачи 1 также составляет оценка наибольшего возможного значения величины $\gamma$ (наименьшее легко находится: из рисунка 2 следует, что min $\gamma = 0^\circ$). Однако здесь нас подстерегает сорриз: оказавется, что искомого наибольшего значения $\gamma$ не существует: угол $\gamma$ может быть скольго близок к $90^\circ$, но он никогда не оказывается равным $90^\circ$. Математики в таком случае говорят, что $90^\circ$ — это (моная) верхняя грань величины $\gamma$:

$$\sup \gamma = 90^\circ.$$

sup — это сокращение латинского слова supremum — «супремум», то есть вышее. Запись sup $x_i = \xi$ означает, что $x_i \leq \xi$ для любого $i$, но $x_i$ может быть скольго угло

32

близким к ξ, то есть ξ — наименьшее из чисел, не меньше чем любое $x_i$. Можно показать, что если величины $x_i$ ограничены сверху, то есть существуют хотя бы одна верхняя грань величины то среди этих верхних граней найдется наименьшая (моная), то есть sup $x_i$ существует.

Аналогично употребляется запись inf $x_i$. Inf — это сокращение латинского слова infimum — «инфимум», то есть низшее.

inf $x_i$ — это мощная низкая грань, то есть наибольшее из чисел, не превысших любого $x_i$. В тех случаях, когда это не вызывает затруднений при чтении, мы не будем писать $i$, $\Delta A_1 A_2 A_3$ и т.п. под знаками sup, inf, max, min.

Нетрудно понять, с чем связан этот сорпириз. Ясно, что величины max $\alpha_i$ и min $\alpha_i$ существуют — ведь из трех углов $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ всегда можно выбрать наибольший и наименьший. А число треек $\{A_1, A_2, A_3\}$ точек на плоскости является бесконечным. И здесь мы уже не можем ручаться за то, что найдется такая трека, которая отвечает наибольшее значение угла $\gamma$. Ведь переходить от одной треки точек к другой, которое отвечает большее значение угла $\gamma$, мы можем сколь годно много раз, и при этом каждый раз может оказаться, что все равно осталась трека, лучшая, чем все предыдущее.

В принципие, ни одна из величины sup $\alpha$, sup $\beta$, sup $\gamma$, inf $\alpha$, inf $\beta$, inf $\gamma$ не обязательна достаточно — и мы должны расценить как удачу то обстоятельство, что величины sup $\alpha = 180^\circ$, sup $\beta = 60^\circ$, inf $\alpha = 60^\circ$ и inf $\beta = 0^\circ$ достигаются, то есть что существуют max $\alpha$, max $\beta$, min $\alpha$ и min $\beta$. Для величины $\gamma$, как мы видели, inf $\gamma = 0^\circ$ достигается, а sup $\gamma = 90^\circ$ — нет.

Аналогично этому, скажем, для величины $\frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число, sup $\frac{1}{n} = 1$ достигается (при $n = 1$), а inf $\frac{1}{n} = 0$ — нет; таким образом, величины $\frac{1}{n}$ имеет максимум и не имеет минимума.

Рассмотрим, наконец, вопрос о том, для каких именно треек точки $P_3 = \{A_1, A_2, A_3\}$ (или $\{A, B, C\}$) достигается максимум или минимум величины $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Легко видеть, что min $\alpha$ и (одновременно) max $\beta$ достигаются для единственного тройки точек — для вершин правильного треугольника $ABC$ (см. рис. 1) конечно, с точностью до замены треугольника $ABC$ подобным, что, впрочем, не меняет ни одного из его углов. max $\gamma$, как мы уже знаем, вообщше не существует. А величины max $\alpha$, min $\beta$ и min $\gamma$ реализуют беско нечны множеством разных (далее не подобных) тройек точек, — ведь средняя точка на рисунке 2 может располагаться в любом месте на отрезке, соединяющего две другие точки.

Тепер мы перейдем к другим задачам.

Задание 2. a) Пусть $P_4 = \{A, B, C, D\}$ — произвольная система четырех точки на плоскости; величины наименьшего из 12 углов, определенных эмпиримом и мочиками, обозначим через $\beta$. Докажите, что $0^\circ \leq \beta \leq 45^\circ$.

b) Пусть $P_5$ — произвольная система четырех точки на плоскости; наименьший из определенных эмпиримом и мочиками углов обозначим через $\beta$. Докажите, что $0^\circ \leq \beta \leq 36^\circ$.

в) Пусть $P_6$ — произвольная система четырех точки на плоскости; наименьший из определенных эмпиримом и мочиками углов обозначим через $\beta$. Докажите, что $0^\circ \leq \beta \leq 30^\circ$.

Для каких систем из четырех, пяты и шести точки на плоскости достигаются наибольшее и наименьшее значения угла $\beta$?

Начало решения задачи 2. Предположим, что рассматриваемые точки — это вбитые в земм

34

мом же результатом, что и для систем из 7 точек (мо есть это здесь также inf α = 120°, u min α не существует).

Обратимся снова к фигурирующим в основной проблеме «общим» системе $P_n = \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ из $n$ точек на плоскости; наиболее изуглов, определяемых этих точек, мы обозначим через $\alpha$, а наиболее — через $\beta$. Так как, очевидно, наиболее возможное значение $\alpha$ равно 180°, а наиболее значение $\beta$ равно 0°, то задача оценки углов $\alpha$ и $\beta$ состоит в нахождения sûр $\beta$ (эту величины мы обозначим через $\beta$ или плоскку она, разумеется, зависит от $n$, — через $\beta(n)$) и inf $\alpha$ (эту величины мы обозначать через $\alpha$ или $\alpha(n)$). Найти величины $\beta(n)$ несколько:

$$\beta(n) = \frac{180^\circ}{n},$$

и эта величина всегда достижима (см. задачу 3). Однако задача нахождения величины $\alpha(n)$ не так проста и в общем виде до сих пор еще не решена. Задачи 4 и 5 утверждают, что $\alpha(4) = 90^\circ$, $\alpha(5) = 108^\circ$ и $\alpha(6) = \alpha(7) = \alpha(8) = 120^\circ$; при этом значения $\alpha(4), \alpha(5)$ и $\alpha(6)$ достижены, а значения $\alpha(7)$ и $\alpha(8)$ уже не достижены.

Задачу определяния величины $\alpha(n)$ впервые поставил американский геометр Л. Блюменталь; ее решением занимались венгерские математики П. Эрдеш*) и Г. Секереш. П. Эрдеш предложил, что для всех $n \geq 6$ $\alpha(n) = \frac{k-1}{k} \cdot 180^\circ$, где $2^{k-1} \leq n \leq 2^k$, и что достигается это значение $\alpha(n)$ лишь при $n = 6$. Однако доказано до сих пор лишь, что

$$\alpha(2^k) = \frac{k-1}{k} \cdot 180^\circ$$ при $k \geq 2$

*) Пал Эрдеш — видный современный венгерский математик. Эрдеш принадлежит многое яркие результаты в разных областях математики (теория чисел, математический анализ, теория вероятности, геометрия и т. д.); одна в результате его деятельности число нерешенных до сих пор задач лишь увеличилось, но он поставил больше новых задач, чем решил старых.

и что если $2^{k-1} < n < 2^k$ (где $k \geq 3$), то $\frac{k-1}{k} \cdot 180^\circ \geq \alpha(n) > \frac{k-2}{k-1} \cdot 180^\circ$ (последняя оценка может быть даже слегка усилена).

Обратимся теперь к остальном углом, фигурирующим в probleме.

Задача 6. Пусть $P_4$ — произвольная система четырех точек на плоскости; $\alpha = \alpha^{(1)}$ и $\alpha^{(2)}$ — два сальых больших из девенадчатми углов, задаваемых этим точек, $a = \beta = \beta^{(1)}$ и $\beta^{(2)}$ — два сальых маленных углов; при этом $\alpha^{(1)} \geq \alpha^{(2)}$, $\beta^{(1)} \leq \beta^{(2)}$. Докажите, что

a) $72^\circ \leq \alpha^{(2)} \leq 180^\circ$;
b) $0^\circ \leq \beta^{(2)} \leq 45^\circ$.

Для каких систем точки реализуется наобольшее и наименьшее значения $\alpha^{(2)}$ и $\beta^{(2)}$?

Задача 7. Докажите, что при всех $n \geq 2$ max $\alpha(i) = 180^\circ$ при $1 \leq i \leq \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$,

$$u \min \alpha^{(i)} = 0^\circ$$ при $P_n$

$$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} < j \leq N = \frac{n(n-1)(n-2)}{2}$$

Таким образом вопрос об оценках всех $N$ углов $\alpha^{(i)}$ свидетельствует к определению величины inf $\alpha^{(i)}$, где

$$1 \leq i \leq \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$

(inf $\alpha^{(i)}$ можно обозначить символом $\alpha^{(i)}(n)$) и sup $\beta^{(i)}$ при

$$1 \leq j \leq \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$$

*) Заметьте, что $\frac{n(n-1)(n-2)}{6} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{2} = N$. Укажем еще, что число подлежащих определению величины $\beta^{(i)}$ всегда вдвое большие числа интерсуоших нас числа $\alpha^{(i)}$, например: 2 и 1 при $n = 3$, 8 и 4 при $n = 4$ и т. д.

36

но и «обратить» — заранее задать ту или иную оценку для (одного или несколько) углов $\alpha^{(1)}, \alpha^{(2)}, \dots, \alpha^{(N)}$ или $\phi^{(1)}, \phi^{(2)}, \dots, \phi^{(N)}$ и поставить вопрос о том, при каком числе $n$ точек плоскости или пространства эти оценки могут быть удовлетворены. Мы ограничимся здесь лишь двумя примерами подобной постановки задачи, принадлежащими, видимо, все тому же Палу Эрдешу.

Задача 15. При каком числе $n$ точек
a) на плоскости,
b) в пространстве
их можно расположить так, что все образуемые эти точки улыбны будут не больше $90^\circ$?
Задача 16. При каком числе $n$ точек
a) на плоскости,
b) в пространстве
их можно расположить так, что все образуемые эти точки улыбны будут не больше $90^\circ$?
Таким образом, в задаче 15 требуется расположить точки так, чтобы все углы $\alpha^{(i)}$ или $\phi^{(i)}$ были не больше $90^\circ$; в задаче 16 нестрогое неравенство заменяется строгим. П. Эрдеш указывает простых задачи 15a и 16a и высказал предположения об ответах к задачам 156 и 166. Задача 156 впервые была решена в 1962 году известными математиками Л. Данцером и Б. Грионбаумом; впоследствии то же решение нашел студент МГУ, член жюри Весоюзных математических олимпiad Гриша Гальперин. Задачу 166 впервые решил в 1961 году английский математик Г. Крофт; в 1963 году несколько более простые ее решения нашли тот же Б. Грионбаум и немецкий математик К. Шютте.

Максиум?

Иного бывают интересно не только решать нерешенную задачу, но и найти лучшее решение той, которая, казалось, была уже решена. Вот одна такая задача:

Возьем цифры от 1 до 9 и разделим их на четыре группы: в первой группе — три цифры, а в остальных — по две. Зафиксировав порядок цифра в этих группах, мы получим четыре числа. Переменная числа на одно из двух значений а два оставшиеся двух значных числа между собой. Например:

158 79
23 46
474 474
316 316
3634 3634

В обонх случае произведение равно 3634.

Так вот, нужно распределить те же 9 цифр по той же схеме (с равными произведениями), но получить при этом наиболее возможное произведение 584×12=96×73=7008.

Этот результат держался до 1971 года, когда в Японии было найдено новое рекордное решение этой задачи. По-видимому, оно оказется последним, хотя это еще не доказано. Попробуйте найти, чем равно это последнее рекордное произведение или увеличить его.

В. Б.

37

Механические свойства кристаллов

Такие свойства твердых тел как упругость, прочность, поверхностное наяжение определяются силими взаимодействия между atomами и строением кристаллов (типом кристаллического решетки). Изучая силы между atomного взаимодействия, можно, например, определить величины модуля упругости, предела прочности материалов, энергии связи кристалла и коэффициента поверхностного наяжения.

Таким образом оценывают характеристики любых твердых тел, но проще всего это сделать для идеальных nonhydrostatic кристаллов. В решетке таких кристаллов периодические черезют положительные и отрицательныеоны.

Для оценки прежде всего необходимо выяснить величины единичной механической связи, которая в nonhydrostatic кристаллах определяется силой взаимодействия между двумя ionами.

Силим механиного взаимодействия
Зависимость сил механиного взаимодействия *) от расстояния между центрами atomов в твердых телах схематически показана на рисунке 1.

По этому рисунку можно судить о неокоторых особенностях сил механиного взаимодействия.

1. Между atomами одновременно действуют силы прятяжения и силы отталкивания. Результирующая сила между atomного взаимодействия — сумма этих двух сил.

2. При уменьшении расстояния между atomами силы отталкивания нарастает значительное быстрее, чем силы прятяжения; поэтому существует неокоторое расстояние $r_0$, при котором силы прятяжения и силы отталкивания уравновешиваются и результатирующая сила становится равной нулю. В кристалле, предоставленном самому себе, они располагаются именно на расстоянии $r_0$ друг от друга. Если расстояние между atomами меньше равновесного ($r < r_0$), то преобладают силы отталкивания, если $r > r_0$, то преобладают силы прятяжения.

Эти свойства механических сил позволяют условно рассматривать частицы, образующие кристалл (например,оны Na и Cl в кристалле поваренной coli), как твердые прятяжие, взаимодействующие друг с другом. Деформация расстояния кристалла приводит к увеличению расстояния между центрами соседних шаров и преобладанию сил прятяжения, а деформация скатия — к уменьшению этого расстояния и преобладанию сил отталкивания.

Прочность при расяжении
Пределом прочности обычно называют наиболее направленное (*), которое

*) Подробнее о силах механиного взаимодействия можно прочитать в статье: М я ки шев Г. Я. Взанмодействие atomов и молекул. «Квант», 1971, № 11.

38

может выдержать материал, не разрушаясь. При растяжении образца предел прочитности определяется максимальной величины результирующей силы междуатомного притяжения, приходящей на единицу площади секения, перpendикулярного направления растяжения.

Результирующая сила междуатомного взаимодействия достигает максимального значения, когда центры atomов находится на расстоянии $r_1$ друг от друга (см. рис. 1). Когда растяжение еще более увеличивается, силы взаимодействия становятся настолько малыми, что связи междуатомами разрываются.

Обозначим величины наиболее сильных притяжения междуатомами (то есть величины силы единичной связи) через $F_{\text{max}}$, а число связи на единице площади секения, перpendикулярного направления внешней силы, через $N_{\text{cb}}$. тогда предел прочитности кристалла

$$\sigma = F_{\text{max}} N_{\text{cb}}.$$

На рисунке 2 показана простейшая модель инного кристалла поваренной soli (NaCl состоит из положительныхонов натрия и отрицательныхонов хлора). У каждой изтом кристалле шесть ближайших соседей с противоположным знаком заряда. При разрыве такого кристалла у каждой atomа обращается по одной связи. Разрыв кристалла схематически изображен на рисунке 3. В рассматриваемой модели число связи, разрываемых на каждом квадратом сантиметре, равно числу atomов, приходящих на эту площадь ($N_{\text{cb}} = N_{\text{at}}$). Для простоты мы пренебрегаем взаимодействием междуатомно-значением, находящимся друг от друга на расстояниях, больших $r_0$ (остальныеоны удалены на расстояния не меньше, чем $r_0\sqrt{2}$). Эти взаимодействия дают относительно небольшую поправку. Для оценки предела прочитности σ достаточно умножить набольшее значение силы взаимодействия междуатомно-значением, находящимся в единицу площади в плоскости разрыва:

$$\sigma = F_{\text{max}} N_{\text{at}}.$$

Оценка величины сил связи

Порядок величины сил связи в понных кристалках можно найти, исходя из предположения, что онны взаимодействуют по закону Кулона. В нашей модели кристалл состоит из чередушихсяонов противоположных знаков, равновесные расстояния между

39

ду которых $r_0 \approx 3 \text{\AA}$). Предположим, что деформация остается упругой вплоть до деформации, соответствующей разрыву; иначе говоря, наиболее упругой деформации соответствует напряжению, равное предлу прочитости. Но максимальной упругой деформации приблизительно соответствует максимальное значение силы механического притяжения (см. рис. 1).

Опыты с самых прочными кристаллими показали, что их максимальная относительная упругая деформация $\varepsilon_{\text{max}}$**) перед разрушением обычно не превышает 10—20%. Положим $\varepsilon_{\text{max}} = \frac{1}{6} \approx 17\%$. Это относительной деформации соответствует смешине атомов от положения равновесия на расстояние $\Delta r = \varepsilon r_0 = \frac{1}{6} 3 \text{\AA} = 0,5 \text{\AA}$.

Таким образом, при подсчете сил механиного притяжения для расстриваемой модели кристалла за расстояние между ионами следует быть величины
$$r = r_0 + \Delta r = 3 \text{\AA} + 0,5 \text{\AA} = 3,5 \text{\AA}$$
Если учесть, что заряд каждого иона по величины равен заряду электрона, то есть $q = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{\AA}$, то максимальное значение силипропионально расстояние. Козффициент пропорциональности между величиной деформации $\varepsilon$ и напряжением $\sigma$ (модуль упругости)
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon}$$
Так как величина прит哗сти по ионай оценке
$$\sigma \approx 2 \cdot 10^{10} \text{\AA}^2$$
а максимальная упругая деформация $\varepsilon_{\text{max}} \approx \frac{1}{6}$, то модель упругости
$$E = \frac{2 \cdot 10^{10} \cdot 6}{1} \approx 10^{11} \left( \frac{\mu}{m^2} \right)$$
Результат расчета по прит哗сти соответствует экспериментальным данным. Например, модель упругости стали $2 \cdot 10^{11} \text{\AA}^2 / m^2$, аминия $0,7 \cdot 10^{11} \text{\AA}^2 / m^2$, каменной соли — $0,4 \cdot 10^{11} \text{\AA}^2 / m^2$.

40

Оценка величины энергии связи

Зная величины единной силы междуатомной связи, можно найти величину энергии взаимодействия двух atomов. Энергия связи двух atomов определяется работой, необходимой для удаления этих atomов друг от друга на такое расстояние, при котором силы взаимодействия исчезающе малы. Это расстояние (см. рис. 1) примерно равно 2 $r_0$.

Для упрощения будем считать среднее значение силы взаимодействия при изменении расстояния от $r_0$ до $2r_0$ равным $\frac{1}{2} F_{\text{max}}$. тогда энергия связи (в расчете на одну связи) равна

$$W_1 = A = F \cdot l \approx F_{\text{cp}} (2r_0 - r_0) \approx \frac{F_{\text{max}}}{2} \cdot r_0 = \frac{2 \cdot 10^{-9}}{2} \cdot 3 \cdot 10^{-10} = 3 \cdot 10^{-19} (\partial \chi).$$

Интересно сравнить полученное значение потенциальной энергии взаимодействия частиц в твердом теле (энергии связи) с кинетической энергейей их теллового движения, определяемой в среднем величины $kT$. При комнатной температуре

$$W_K \sim kT = 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 \approx 4 \cdot 10^{-21} (\partial \chi).$$

Видно, что $W_1 \gg W_K$, то есть в твердом теле энергия междуатомного взаимодействия много больше энергии теллового движения.

По известному значению энергии одной связи найдем энергию связи кристалла, то есть энергию, которое необходимо затратить, чтобы разделить кристалл на отдельные atoms, и сравним полученную величины с экспериментальными значениями. На опите величина энергии связи кристаллического вещества — это теплота испарения твердого тела.

Энергия связи одного моля вещества равна

$$W_{\text{cb}} = W_1 N' N_A,$$

где $W_1$ — энергия одной связи, $N'$ — число связи, приходящих на один atom, $N_A$ — число Авогадро.

В рассматриваемой простейшей решетке (см. рис. 2) на каждый atom приходится по одному связи. Следовательно, величина энергии связи

$$W_{\text{cb}} = 3 \cdot 10^{-19} \cdot 1 \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \approx 18 \cdot 10^4 (\frac{\partial \chi}{\text{моль}}) \approx 40 (\frac{\kappa \alpha L}{\text{моль}}).$$

Это значение близко к найденным экспериментальным значениям энергии связи различных кристаллов (несколько десятиков килокалорий на моль).

Вычисление поверхностного натяжения

Пользоваться рассмотренной моделью, можно оценить и величину удельной поверхности энергии — коэффициент поверхности энергии — коэффициент поверхности энергии, которое обладает единица поверхности на границе вещества ($\alpha = \frac{W}{S}$). При разрыве кристалла сечения $S$ образуется новая поверхность плоскости разрыва твердого тела равна $W' = W_1 \times N_{\text{cb}}$, где $W_1$ — энергия одной связи, а $N_{\text{cb}}$ — число связи, приходящих на один квадратный метр. Эта энергия принимает как сложatomов, лежащему с одной стороны плоскости разрыва, так и слою, лежащему с другой стороны.

41

Поверхность натяжение

$$\alpha = \frac{W}{S_1} = \frac{W' S_{CB}}{2S} = \frac{W' N_{CB}}{2} = \frac{3 \cdot 10^{-19} \cdot 10^{19}}{2} = 1,5 \left( \frac{\partial \chi}{\partial m^2} \right).$$

У кристалла NaCl $\alpha \approx 0,35 \frac{\partial \chi}{\partial m^2}$.

Рассматривая взаимодействие между ионами, мы смогли оценить порядок величины предела прочности, модель упругости, энергии связи, коэффициента поверхностного натяжения. Таким образом, мы убедились, что силы взаимодействия между ионами кристаллической решетки, то есть силы, действующие в «микромире», определяют макросоппуские свойства твердых тел.

Можно поступить и наоборот — по найdenным экспериментальным характеристикам механических свойств кристаллов определять величины силы механиного взаимодействия. Оцените, например, величины силы механиного взаимодействия по известному значению модели упругости $E = 10^{11} \pi / m^2$.

Оценки, которые мы проводили, делались в предположении, что рассматриваемый кристалл имеет идеальный структуру решетки. У решных кристаллов правильность решетки нарушается. Учет этого факта значительное условие теоретические расчеты характерistik физических свойств кристаллов. Некоторые из сделанных нами оценок для идеальных кристаллов значительное расходящее с данными, получаемыми из экспериментов.

Стакан воды

Какой стакан устойчивое — до краев полный воды или наполовину пустой?

Если у вас есть два совершенно одинаковых по форме предмета, то более устойчивым будет тот, у которого ниже центр тяжести. Это вы, наверное, знаете. Поэтому, чтобы сделать устойчивое наполненный водой стакан, достаточно отпить из него несколько глотков. При этом центр тяжести, который равше нахождения в центре стакана, опустится. Сколько же нужно оставить в стакане воды, чтобы его положение было наиболее устойчивым?

Ведь, если выпить всю воду, то центр тяжести оказывается на прежнем месте (дно мы будем считать невескомым). Значит, в какой-то момент центр тяжести занимаем самое низкое положение. Как, зная все пустого и полного стаканов, определять, каким должен быть уровень воды в наиболее устойчивом стакане?

Te, кто знакомы с высшей математкой, верятно уже сообщали, что для решения достаточно выразить высоту центра тяжести стакана через положение уровня воды в нем, а затем, продолжениемировав эту функцию, приравнять производную нулю и найти таким образом минимум. Однако существует и более простое решение этой задачи без всякой высшей математики. Попробуйте найти его.

В. Б.

42

Как определить полюса магнита?

Б. И. Алейников

Вопрос этот совсем не такой простой, каким кажется с первого взгляда. Ведь у нас нет никакой уверенности в том, что полюса магнита не раскрасли в различных цвета просто, чтобы их разлиять, то есть без связи с их истинным магнетизмом. Кроме того, магнит может быть вообще не маркирован.

Для опыта нужны две вещи — постоянный подковообразный магнит, не обязательно раскрашенный в два цвета (далее интереснее, если полюса магнита заранее не размечены), и … телевизор. Опыт лучшие производить утром или днем, когда по телевидению передают сетку для настройки телевизоров.

Поднесем магнит к экрану включенного телевизора так, как показано на рисунке. Изображение не медленно исказится. В центре сетки имеется маленький кругок. Он заметно сместится вверх или вниз, в зависимости от того, как расположены полюса магнита.

Изображение на экране телевизора создает электронный луч, ищущий из глубины трубки на эрителя. Наш магнит отклоняет движущие электроны, поэтому изобразение смещается. Направление действия магнитного поля на движущийся заряд определяется по правлиу левой руки. Нужно расположить ладонь так, чтобы сливые линии входили в нее, а вытянуть пальцы указывали направление тока; тогда отогнутый под углом 90° больше палец указывает направление смещения движущого заряда. Силовые линии идут от серверного к южному полюсу магнита. А направленем тока в правиле левой руки считается «техническое» направление — от плiosa к минуту. Так двигалисы бы положительные заряды. Но в кинесоплее движутся электроны, причем летят они на нас. Это эkvиваленного тому, что положительные заряды летят от нас. Поэтому вытянуть пальцы левой руки должны быть направлены в экран. Остальное понятно. По смещению центрального кругочка телевизionной сетки определяем, какой полос магнита поднеся к экрану, северный или южный. Итак, с помощью телевизора можнолегко и быстро определить расположение полюсов немаркированного магнита.

Телевизор может помочь и при определении знака полюсов немаркированной батареи. Для этого опыта необходимо иметь батарею, электромагнит с двумобразным сердечником, телевизор, сопротивление, проводник.

Подключим к батарее последовательно электронагнит и сопротивление, подобранное с таким расчетом, чтобы ток не превышал допустимого. Поднос электромагнит к экрану телевизора, определяем по правиле левой руки его полюса. Далее по правиле буравика найдем направление тока и, следовательно, знаки полюсов батареи.

43

Окрестность фигуры
Ю. И. Ионин,
Л. Д. Курляндчик

Разберем две геометрические задачи.

Задача 1. В прямогольник 20 × 25 бросили 120 единичных квадратов. Доказать, что в прямогольник можно поместить круг радиуса $1/2$, не пересекающей ни с одним из квадратов.

Выясним, где может находиться центр круга радиуса $1/2$, не пересекающего с данным единичным квадратом. Геометрическим местом точек, удаленных от квадрата не более чем на $1/2$, является фигура, изображенная на рисунке 1 (расстоянием от точки до фигуры называется расстояние до ближайшей точки этой фигуры). Следовательно, центр круга радиуса $1/2$, не пересекающего с квадратом, расположен вне изображенной расстояние до ближайшей точки этой фигуры). Следовательно, центр круга радиуса $1/2$, не пересекающего с квадратом, расположен вне изображенной расстояние до ближайшей точки этой фигуры). Построим $\frac{1}{2}$-окрестность для каждой из данных 120 единичных квадратов. Центр искомого круга должен лежать вне этих окрестностей. Кроме того, чтобы круг оказался внутри прямогольника, его центр должен принадлежать меньше прямогольнику $19 \times 24$, который получится, если сдвинут какую-то сторону исходного прямогольника внутри на $\frac{1}{2}$.

Задача будет решена, если удastoreть, что построенные 120 окрестностей не покрывают полностью меньше прямогольник.

Оценим площадь, покрываем этотими окрестностями. Каждый окрестность состоит из квадрата состояной 1, четырех прямогольников $1 \times \frac{1}{2}$ и четырех четвертей круга радиуса $\frac{1}{2}$. Следовательно, площадь одной окрестности равна $1 + 4 \cdot \frac{1}{2} + \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 + \frac{\pi}{4}$. Все 120 окрестностей покрывают площадь, не превосходящую (окрестности могут перекрываться) $120 \cdot \left(3 + \frac{\pi}{4}\right) = 360 + 30\pi$.

В то же время площадь прямогольника $19 \times 24$ равна 456. Остается заметить, что $360 + 30\pi < 456$, так как $\pi < 3.2$.

Задача 2. Плоская фигура площади 1 покрыта конечным числом кругов. Доказать, что из этих кругов можно выбрать один или несколько попарно не пересекающейся, занимающей площадь не менее $\frac{1}{9}$.

Выберем самый большой из данных кругов и обозначим через $R_1$

44

Рис. 2.

его радиус. Если площадь этого круга не меньше $\frac{1}{9}$, задача решения. Предположим, что $\pi R_1^2 < \frac{1}{9}$. Так как радиусы остальных кругов не больше $R_1$, то центры тех из них, которые пересекаются с выделенным кругом, лежат в $R_1$-окрестности этого круга. Сами же круги лежат в $2R_1$-окрестности выделенного круга (рис. 2). Так как площадь этой $2R_1$-окрестности, равная $9\pi R_1^2$, меньше 1, то найдется круги, не пересекающиеся с выделенным из таких кругов. Если $\pi R_1^2 + \pi R_2^2 \geq \frac{1}{9}$, задача решения. Если $\pi R_1^2 + \pi R_2^2 < \frac{1}{9}$, то $9\pi R_1^2 + 9\pi R_2^2 < 1$, следовательно, найдется круг, центр которого лежит вне $R_1$-окрестности первого и вне $R_2$-окрестности второго круга и который тем самым с этим кругами не пересекается. Обозначим через $R_3$ радиус наибольшего из кругов, не пересекающихся с одним из двух выделенных кругов. Если $\pi R_1^2 + \pi R_2^2 + \pi R_3^2 \geq \frac{1}{9}$, задача решения, в противном случае повторяем рассужждение. Таким образом, каждый раз мы либо находим несколько попарно непересекающихся кругов, сумма плошейного которых не меньше $\frac{1}{9}$, либо обнаруживаем еще один круг, не пересекающийся ни с одним из найденных. Последнее в конце концов оказется невозможным так как кругов конечное число.

В обеих разобранных задачах полезным оказалось понятие окрестности фигуры.

Определение 1. Пусть $\varepsilon$ — положимельное число. $\varepsilon$-окрестность плоской фигуры $F$ называется многочесвою всех моек плоскости, расстояние $*$ коморых до фигуры $F$ не превыходит $\varepsilon$.

Можно несколько иначе описать $\varepsilon$-окрестность плоской фигуры.

Определение 2. Построим круги радиуса $\varepsilon$ с центрами в каждой точке фигуры $F$. Совокупность моек всех этих кругов и есть $\varepsilon$-окрестность фигуры $F$.

Понятие $\varepsilon$-окрестности можно вести и для тела в пространстве. Нужно только вместе кругов рассмотреть шары радиуса $\varepsilon$ с центрами в точках тела.

Выясним, что представляет собой $\varepsilon$-окрестность выпуклого многоугольника. Нетрудно понять, что она состоит из самого многоугольника, прямогоугольников высоты $\varepsilon$, построенных на его сторонах как на основаниях и расположенных вне многоугольника, и круговых секторов радиуса $\varepsilon$ с центрами в верхинах многоугольника (рис. 3). Центральный угол сек-

*) Говорят, что точка $O$ находится на расстоянии от фигуры $F$, если всякий круг с центром $O$ и радиусом, меньше $\varepsilon$, не пересекается с фигурой $F$, а всякий круг с радиусом, меньше $\varepsilon$, пересекается.

45

Рис. 4.

тора при каждой вершине многоугольника дополняет до 180° внутренний угол многоугольника при этой вершине. Следовательно, сумма всех центральных углов равна 180° $n$ — 180° ($n$ — 2) = 360°, ($n$ — число сторона многоугольника, 180° ($n$ — 2) — сумма его внутренних углов). Это означает, что, расположив секторы без наложений и совместив их центры, мы получим круг радиуса $e$. Теперь легко вычислить площадь $\varepsilon$-окрестности выпуклого многоугольника. Она равна $S + P\varepsilon + \pi e^2$, где $S$ — площадь многоугольника, $a$ — его перimeter.

Рассмотрим еще одну задачу, которая легко решается, если воспользоваться понятным окрестностям фигуры.

Задача 3. Точка $A, B, C, D$ расположены в пространстве максимального, что длины отрезков $AC$ и $BD$ не превысают 1. Доказать, что для каждой точки $M$ отрезка $AB$ можно найти максимую точку $N$ отрезка $CD$, что длина отрезка $MN$ не превысит 1.

Доказываемое утверждение можно формularовать следующим образом:

каждая точка отрезка $AB$ отстояит не более чем на 1 от отрезка $CD$, то есть принадлежит 1-окрестности отрезка $CD$. Эта окрестность состоит из прямого кругового цилиндра радиуса 1, ось которого служит отрезок $CD$, и двух полушарий радиуса 1, ось которого служит отрезок $CD$, и двух полушарий радиуса 1 с центрами в точках $C$ и $D$, основания которых являются основания цилиндра и которые расположены внецилиndра (рис. 4). Из условия задачи следует, что точки $A$ и $B$ принадлежат 1-окрестности отрезка $CD$, а так как эта окрестность выпукла, то она содержит весь отрезок $AB$, что и требовалось доказать.

Упражнения

1. Стороны выпуклого многоугольника перimetра $P$ отодвигают параллельно самим себе во внешнюю сторону на расстояние 1 и продолжают до пересечения. Докажите, что площад многоугольника увеличится при этом более чем на $P + \pi$.

2. Найдите объем $\varepsilon$-окрестности единичного куба.

3. В параллелепипе $5 \times 10 \times 25$ произвольным образом расположено 120 единичных кубов. Докажите, что в параллелепипе можно помещить шар радиуса $1/2$, не имеющий общих точек ни с одним из кубов.

4. На плоскости расположено несколько правильных треугольников, покрывающих площадь 1. Докажите, что из них можно выбрать один или несколько попарно не пересекающихся треугольников с суммарной площадью, не меньше $1/16$.

5. В квадрат со стороны 38 см бросили 100 выпуклых многоугольников, площадь каждого из которых не превысит $cm^2$; а перimeter — 2π см. Докажите, что в квадрат можно помещить круг радиуса 1, не пересекающийся ни с одним из многоугольников.

6. Докажите, что в выпуклый многоугольник площади $S$ и перметра $P$ можно помещить круг радиуса $\frac{S}{P}$.

7. В квадрат со стороны 1 находится 6 отрезков длины $1/2$. Докажать, что на некоторых двух отрезках найдет точки $M$ и $N$, расположенные между которых меньше $1/4$.

46

Задачи

M226—M230; Ф238—Ф242

M226. В трех вершинах квадрата находится три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик A прягает через кузнечика B, то после пряжака он оказывается от B на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой; рис. 1). Можно ли после нескольких пряжков один из кузнечков попасть в четвертую вершину исходного квадрата?

Ю. И. Юонин

Рис. 1.

M227. На каждой стороне параллельграма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллельграма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллельграма.

E. В. Саллинен

M228. Лист клетчатой бумаги размером $n \times n$ клеток раскрасили в $n$ цветов (каждую клетку закрыли в один из этих цветов или не закрыли вообще). Правильной называется раскраска, при которой в каждой строке и в каждом столбце нет двух клеток одного цвета. Всегда ли можно «докрасить» весь лист правильным образом, если первоначально были правильно закрыты

a) $n^2$ — 1 клетка;
b) $n^2$ — 2 клетки;
b) $n$ клеток?

Д. Логачев

M229. В центре квадрата находится полицейский, а в одной из вершин — гангстер. Полицейский может быть по всему квадрату, а гангстер — только по его сторонам. Из-

47

всего, что максимальная скорость полицейского равна $u$, а гангстера — $v$. Цель полицейского — оказаться с гангстером на одной стороне квадрата. Докажите, что

a) если $\frac{u}{v} > \frac{1}{3}$, то он может добиться своей целли;
b) если $\frac{u}{v} < \frac{1}{3}$, то гангстер может помещать ему это сделать.

А. Белкин

Рис. 2.

М230. Докажите, что из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятугольника (рис. 2).

С. Коняшин.

Ф238. Имеются две проволоки квадратного сечения, сделанные из одного и того же материалов. Сторона сечения одной provолоки — 1 мм, а другой — 4 мм. Для того чтобы расплавить первую provолоку, через нее нужно пропустить ток в 10 а. Какой ток нужно пропустить через вторую provолоку, чтобы она расплавилась?

Считать, что количество тепла, уходящого в окружающей среду за 1 секунду, пропорционально разно-

Рис. 3.

сти температур provолоки и среды и площади поверхности provолоки, причем коэффициент пропорциональности одинаков для обенных provолок.

Ф239. Колесо радиуса $R$ катится без просkalывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра колеса постоянна.

Как известно, траекторию кривойнейного движения точки в течение малого промежутка времени всегда можно считать дугой окружности. Определить радиуса окружностей, по которым движутся точки колеса $A$ и $B$, в тот момент времени, когда радиус-вектор точки $A$ горизонтален, а радиус-вектор точки $B$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью (рис. 3).

Ф240. Шар-зонд, имеющий нерастижную оболочку, поднялся на максимальную высоту и совершает малые колебания около равновесного уровня. Найти период этих колебаний, считая, что на такой высоте плотность воздуха $\rho$ убивает с высотой равномерно на величины $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2}$ $\rho$ через каждые $h = 100$ м. Треннем шара о воздушке претензь.

М. В. Казарновский

Ф241. Колесо массы $m$ может скольить по стержню длины $L$. Сила трения между ними $F$. Определить, какую минимальную скорость $v_0$ нужно сообщить стержню, чтобы он пролетел сквозь колюцо, если вначале колюцо покопится.

Опыт проводится в невесомости.

Ф242. Камера-обскура представляет собой прямогольный ящик, в одной из стенок которого имеет круглое отверстие. Освещенность изображения Солнца, которое получается на противоположной стенке камеры — экране, падает вдвое при удалении от центра изображения к краю на 0,9 радиуса изображения. Во сколько раз освещенность передней стенки камеры больше, чем освещенность в центре изображения?

Г. Л. Комкин

48

Решения задач
M184—M189; Ф198—Ф202

M184. Докажите мождество

$$\frac{C_n^0}{x} - \frac{C_n^1}{x+1} + \dots + (-1)^n \frac{C_n^n}{x+n} = \frac{n!}{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}$$

Докажем это тоже достиство методом математической индукции. При $n=1$ оно верно, поскольку $C_1^0 = C_1^1 = 1! = 1$:

$$\frac{C_1^0}{x} - \frac{C_1^1}{x+1} = \frac{1!}{x(x+1)}$$

Допустим, что верно также:

$$\frac{C_n^0}{x} - \frac{C_n^1}{x+1} + \frac{C_n^2}{x+2} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{C_n^{n-1}}{x+n-1} + (-1)^n \times \frac{C_n^n}{x+n} = \frac{n!}{x(x+1)\dots(x+n)}$$

Заменим в (1) $x$ на $x+1$. Получим также:

$$\frac{C_n^0}{x+1} - \frac{C_n^1}{x+2} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{C_n^{n-1}}{x+n} + (-1)^n \times \frac{C_n^n}{x+n} = \frac{n!}{x(x+1)\dots(x+n)}$$

Вычтем почленно (2) из (1) и воспользуемся тем, что

$$C_n^0 = C_n^n = C_n^{n+1} = C_n^{n+1} = 1,$$

$$C_n^k + C_n^{k+1} = C_n^{k+1}$$

для каждой $k=0,1,2,\dots,n-1$. Получим

$$\frac{C_n^0}{x} - \frac{C_n^1}{x+1} + \frac{C_n^2}{x+2} - \dots + (-1)^n \frac{C_n^n}{x+n} + (-1)^n \times \frac{C_n^{n+1}}{x+n+1} = \frac{n!}{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}$$

Таким образом, индуктивный шаг проделан и наше равенство доказано при всех $n$.

Te, кто читал статью В. Н. Вагутена «Числа $C_n^k$, последовательности и многочлены» в «Кванте» №2 (1973), заметили, конечно, что в задаче M184 мы получили формулу разности порядка $n$ для последовательности $f(x) = \frac{1}{x}$:

$$\Delta^n f(x) = \frac{(-1)^n n!}{x(x+1)\dots(x+n)}$$

Многие читатели привели доказательство следующого утверждения о единственности тожества вида (1): если верно мождество

$$\frac{n!}{x(x+1)\dots(x+n)} = \sum_{i=0}^{n} \frac{A_k}{x+k},$$

еде $A_k$ – некоморые числа, мо

$$A_k = (-1)^k C_n^k = \frac{(-1)^k n!}{k!(n-k)!}$$

Действительно, достаточно умножить обе части (4) на общий знаменатель $x(x+1)\dots(x+n)$ и положить в полученном тожестве $x = -k$. Тогда справа все слагаемые, кроме одного

$$A_k(-k)(-k+1)\dots(-1)1\cdot2\dots\dots(n-k) = A_k(-1)^k k!(n-k)!$$

обратятся в нуль и мы придем к (5).

M185. На кафмане площадь 1 помещается 5 заплам, площадь каждой из коморых не меньше $1/2$. Докажите, что найдумся две запламы, площадь общей части коморых не меньше $1/5$.