Квант 1974, №1 · Страницы

1974
1
Квашт
Научно-популярный
физико-математический
журнал

О том, как сделали диковинную рыбу, фотографию которого вы видите на первой странице обложки, и сверкающий eloquky (см. фото на четвертой странице обложки), вы можете прочитать в статье М. П. Головея и Г. Ф. Добржанского «Игрушки из кристаллов» (с. 31).

На помещенной фотографии показан электрохимический станок модели 4423, предназначенный для обработки металлических деталей электрохимических методом.

Во многих случаях электрохимические методы обработки оказываются надежнее и выгоднее обччных механических методов.

Об этом рассказывается в статье И. И. Мороза «Электрохимическая обработка металлов» (с. 27).

1

Главный редактор
академик И. К. Кикони
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллии.

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий.

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. И. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова.
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:
2 Л. Е. Садовский. Математика для спорта и спорт для математики
9 В. З. Кресин. Вблизи абсолотного нуля
13 М. Л. Гервер. Сюрпризы
22 А. В. Бляко. Электролиз и закон сохранения энергии
27 И. И. Мороз. Электрохимическая обработка металлов
Лаборатория «Кванта»
31 М. П. Головой, Г. Ф. Добряканский. Игрушки из кристаллов
Математический кругжок
35 Г. А. Гуревичи, Ж. М. Раббом. Оверяностях и «хороших» числах
Задачник «Кванта»
41 Задачи M241—M245; Ф253—Ф257
44 Решения задач M200—M204; Ф211,Ф212
Практикум абитуриента
53 Г. В. Дорофеев. Переформулировка задачи
60 Л. Г. Асламазов. Свойства паров, испарение и кипение жидкости
67 А. И. Забоев, И. Н. Николаев, Н. В. Шолохов. Московский инженерно-физический институт
Информация
69 В. К. Аслаян, А. П. Кирьянов, Т. А. Чугунова. Заочная физико-техническая школа при Московском физико-техническом институте
72 Вниманию семиклассников! Всегоизная заочная математическая школа объявляет прием учащихся
Рецензии, библиография
74 А. Ф. Хрусталев. Старые ошибки… вторым изданием
«Квант» для младших школьников
76 Задачи
77 А. Н. Колмогоров. Решено Эратовфена
78 Ответы, указания, решения
Уголок коллекционера
А. В. Алмыкс. На марках — Макс Планк (3-я с. обложки)
Смеся
(c. 12, 29, 33, 66, 71)

© «Квант», 1974 год.

2

Л.Е.Саговский МАТЕМАТИКА ДЛЯ СПОРТА
И СПОРТ ДЛЯ МАТЕМАТИКИ

В нашей стране физической воспитанию молодежи уделяется очень много внимания.
Без спорта гармоничное развитие личности невозможно. Спорт закаляет человека не только физические; он формирует и высокие духовные качества, создает хорошую работу пособилосьность.
Редакция журнала «Квант» получает много писем, авторы которых справивают, можно ли совместить занятия спортом с увлеченность физикой и математикой, насолько плодотворен такой сюз. На вопросы наших читателей ответает доктор физко-mатематических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Московского института инженеров транспорта (МИИТа) Л. Е. Саговский.

Математика и спорт, физика и спорт.
Многим юношам и девушкам, любящим математику и физку, занятия эти представляются несовместимыми лишь по недоразумению. Это просходит из-за отсутствия опыта или в силу того, что в ряде школ с хорошо поставленным преподаванием точных наук уроки физической культуры организации менее удачно. Во всяком случае, среди ребят, которых мы привыкли считать способными и умными, встречается, к сожалению, этакое пренебрежительное

3

отношение к физкультуре, спортивным играм, своевобразное бахвалство отлиниванием от них. Таким ребятам невdomек, что они сами обедняют свою жизнь, снижают свою работоспособность и лишают себя неизведанных ошибений.

В то же время многое математики и физики старшего поколения (увы, к ним принадлежу и я) с большим вниманием относится к своим спортивным занятиям. И это несмотря на то, что в нашей школьные годы спортивное воспитание находится в стадии становления. В то время о детских спортивных школах, также как и о школах физико-mатематических, крупных при университетах иузах, математических олимпiadах и о журнале, подобном «Кванту», можно было только мечтать.

В годы учебы людей мого pokоления объем знаний, сообщаемых в школе, был существен меньше. Занятия в группах были организованы по так называемому laboratorно-бригадному методу: все учат уроки в силу своих возможностей и желания, а ответ за всю бригаду держит один — наиболее успешной по данному предмету ученик.

Прошло несколько десятилетий, существенно изменивших условия нашей жизни; произведел качественный скакок в образовании, особенно в области точных наук. Возросший поток информации увеличил психологические нагрузки, занятия в школе стали более направлеными. Новые условия жизни и учебы потребовали от юношества (и даже от людей взрослых) определенной психологической и физической устойчивости. Я убежен на основании многоолетних наблюдений и собственного опыта, что такая устойчивость особенно необходима тем, кто занимается математкой и физкой. В самом деле, и тем, кто пока еще только решает трудные задачи, и тем, кто уже размышляет над сложными проблемами, хорошо известно особое умственное напряжение, необходимое для такой деятельности. Людям, знающим спецификку сервисных занятий математикой, физикой, их приложениями, известны и радость открытия (одна из удивительных радостей жизни, не всем знакомая), и напряженный труд, и горечь отказа от некоторых развлечений, и установленной напряжением, и установлено сопутствует период наприженной работы. Норберт Винер писал: «Интенсивная исследовательская работа изменивает до предела. Если ученный лишится возможность отдельать с такой же полного, с которой он отдается работе, это сразу же скажется на качестве его статей»*).

У меня много друзей—математков и физков, и у всех я заметил стремление к разрядке «умственной направленности». Однако разные люди разрядку обретают различными путями. Один увлекаются бриджем (разве это не игра для математков?), другие шахматами (шахматное искусство достойно мудрых!), третьи — эпизодические прогулками. И, увы, очень немного — физический культурой. Глубоко убежен, что ни бридж, ни шахматы, ни другие игры, хотя и вызывалощее у меня симпатично, но требующее умственного наприженения, не приносят настоящее отдыха. К тому же сервисные занятия одновременно математикой и шахматами, по-видимому, невозможны. Примеров этому можно ли использовать на момент жизни, ущел из математики, в которой раньше активно работал.

Некоторые из хорошо знакомых мне математков и физков говорили, что крепкие табаки и напитки приносят ясность мысли и некоторых творческих подем. Я не спорил с подобной точкой зрения, но предлагал испробовать другое средство — пробежаться, например; регуляро занимать последними физическими

*) Винер Н. Я — математик. М., «Наука», 1967, c.123.

4

упражнениями, посещать плаваательный бассейн или прибщиться к спортивным играм — теннису, баскетболу, бadmintonу, волейболу или другим. Я ссылался на Винера, который говорил, что ему лучше всего писалось, когда умственная работа черезлась с простыми неинтеллектуальными удовлетворяющими — прогуlkами, плаванием. Поклонник игры интеллектуальных обьяснял, что в спорте и спортивных играх ум, образование, расчет — вещи далеко не лишние. Ведь недаром говорят, что в теннис играют руками, а выигравают — головой. Хороший теннисист должен обладать разнообразной и тонкой технической ударов. Выход на kort, теннисист встречает с соперником, который, как правило, не уступает ему в технике. И здесь уже все решает тактика, сметка, расчет и предвидение. Недаром подавляющая часть хорошо теннисистов — образованные люди, недаром среди работников умственного труда теннис — широко распространяется игра. Но теннис не исключен, а аналогичные сообщения можно было бы высказать и относительно других спортивных игра. По мнению крупных авторов, современный спорт вообще становится в последние годы все более интеллектуальным. Следует также иметь в виду, что не только шашки, шахматы, карточные игры или bilgьярд служег источником многих интересных математических задач. Их можно встретить в спорте повсюду. Подумайте, например, сколько еще нерешенных проблем возникает при рассмотрении взаимодействия мяча с группом или травой. Раскройте книгу Кемени и Снела «Конечные марковские цепи», и вы обнаружите любопытное обслуживание системы игры в теннис с позицией случайных процессов.

Matematические методы все шире используют в спорте. Так, например, методами математической статистики устанавливают персональную спортеменов, условия, наиболее благоприятные для тренировок, их эффективность, обработываюот показания датчиков, контролирующих нагрузки спортемена. Теория информации позволяет оценить степень загруженности зрительного аппарата при занятиях различных видов спорта. Математика и физика помогают изыскивать наиболее удобные формы гребных судов и весел. Существует мнение, что иden П. Л. Чебышева, касающиеся раскройта ткани, были использованы при конструкировании суконной оплетки теннисного мяча*).

В то же время занятия спортом благотворно влияют на умственное деятельности и психку человека, укрепляют его волю. Этот факт беспренен для многих ученых, занимающих плаванием, теннисом, бегом, льжами, альпинизмом. Их энтузизм заразил меня. В свою очередь и мне удалось привести в курс многим других других.

Вспомним послевоенные годы, когда мая семья жила в ветхом доме в Сокольниках на Большой Оленей. Каждый воскрестен зимой у нас был «день открытия дверей» для друзей-лыжников. Один признак, другие узжали. Порой в кладовке хранилось до двадцати пар лыж. Каждый мог получить чай, печенье, сыр. Все грелись у печени, и приятная усталость после хорошо лыжной продукции и горячей чай располагали к бескде. В те годы в Сокольниках, в Яузском и Лосиноостровском лесничестве лыжников было немного, баз почти не было, и наша «лыжная база» пользовалась большой популярностью. Ее посещали многое друзья— математики и физики, связаться — И. И. Гроднев (ныне профессор),

*) Профессор нашей кафедры Е. С. Вентцель певедала мне, что, будучи студенткой математического факультета Ленинградского университета, слышала от своих ученелей о lekции по раскройю одежды, обьявленной П. Л. Чебышевым. Средя лыжателю было много портных. Лекцию П. Л. Чебышев нацелл слова: «Предположим, что человек имеет форму шара» …

5

И. Е. Ефимов (профессор, ныне ректор МИИСа), народная артистка РСФСР Зара Долуханова, киноактриса Элла Нечаева. Следуя нашему примеру, на льжи вставли не только все соседи, но и жильцы соседи домов.

«Вот вы ударились в частности»,— скажет критически мыслий читатель. Да, я несколько рискую, но мне кажется, что убедительное всего можно писать о спорте, опираясь на собственные «спортивные孵атления». Не сомневаюсь, что читатель поётмет меня правильно: мне хотелось бы по просбередки «Кванта» расскаatzать о своем подходе к спорту и о практике общения с ним. У меня нет ни малейшего сомнения в том, что то немного, чего мне удалось достигнуть в математике и педагогической деятельности, стало возможным благодаря постояным занятиям спортом. Как без математики, так и без спорта своей жизни я не мыслю.

Впервые теннисную ракетку я взял в руки в сорок лет и так увлекся, что через пять лет добавился первого разряда. Эта увлеченность охватила почти всех детей наших домов на В. Оленей и моих детей также. К счастью, гостириимные корты спортклуба «Шахтер» располагались пользовости. О, если бы все спортивные клубы, стадоны, ДСШ были такими доступными для жждуших спорта! Тогда многие проблемы молодежного спорта оказались бы решенными без многолетних дискусий.

Вместе со мной «вывальись» в теннис профессора П. А. Киткин, В. М. Фокеев, В. А. Лурье, доцент С. В. Борискин и другие. П. А. Киткин был директором одного из институтов в Кацевели (в Крыму, близ Сименза). Там он вместе с другими энтузиастами постройлкорт, обнес его рыболовной сетью и проволил тренировки. Мы были его гостими в летнее время и спали под деревьями вблизи корта.

Прошли годы. Все мы научились прилично играть в теннис, а это требует большой выносности. Олимпийский чемпion в бете Питер Снегл писал, что, к его удивлению, нагрузка при этой игре оказалась превышаюшей нагрузку при бете. Что же помогло нам, уже немолодым людям, справиться с этим трудностями? Физическая подготовка и выносимость,выработанные в предшествовавшие годы ходьбой на льжах, регулярыми пробежками, и, в особенности, плаванием.

При Московском Доме ученых в последовении годая ряда работала плавательная секция. В ней заимались член-корреспондент АН СССР Л. А. Люстерник, академик С. Л. Соболев и другие. При раза в неделью с семи утра мы в течение часа успешно тренировались. Обновленные, полные сил отправлялись на работу. Далее много лет спустя С. Л. Соболев говорил, что это было замечательное время, когда чудесно думалось и писалось. Л. А. Люстерник с удивлением обнаружил, что забыл о насморке, но узнал о существовании такого времени суток, как шесть часов утра. П. А. Киткин и В. М. Фокеев написали в эти годы докторские диссертации, А. И. Фельзенбаум — кандидатскую. Сам я, должен признаться, ряд лет урывками искал решение некоторых проблем из общей алгебры. Надежды сменялись разочарованиями. Когда же я взялся за дело вплотную, то построил жесткий режим: первая половина дня — работа, обед, затем — трехчасовая игра в теннис летом или льжки и пробежки зимой. И так ежегодно. Вечером — абсолотно свежая голова, ощущение полотны жизни, радостное ожидание работы, способствие при обдумывании путей и деталей доказательств. Мне удалось довести работу до логического конца, сохранить работоспособность и этойкость при неудачах. Как самую высокую пожавлу вспоминаю слова профессора П. Г. Конторовича: «Подумайте только! И как же это удалось Л. Е. (то есть мне) в такие годы представить работу из таких новых

7

1. Б. Н. Делоне в Карпатах.
2. А. И. Берг с дочкой (1964 г.).
3. П. С. Александров, А. И. Мальцев и С. В. Фомин в шлюпочном пожоде по Волге (1939 г.).
4. А. А. Красовский на кроссе в Тимирязевском цирке в Москве.
5. А. А. Красовский (слева) на Эльбрусе.
6. А. Н. Ширев на Эльбрусе на высоте 4200 м.
7. Б. Н. Делоне в Подмосковье (1970 г.).
8. Л. Е. Садовский после заплява (бассейн в Лужниких, 1965 г.).
9. С. М. Полоснов, А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин в Карпатах (1955 г.).

8

результатов? По-видимому, потому, что он сохранил свои физические силы. Оставляя за первую часть высказывания ответственных П. Г. Конторовича, осмеливалось считать вторую истинной. Берус утверждать, что удивительное творческое долговечение многих наших выдahoшихся математikов и физков обеспечивает их другой со спортом. Титул заслуженного мастерса спорта по альпинизму имеет член-корреспондент АН СССР Б. Н. Делоне, мастер спорта по альпинизму — академик А. Д. Александров. Лыжникими, пловцами, туристами являются академики А. Н. Колмогоров, П. С. Александров, М. А. Лаврентьев, Б. М. Понтекорво, член - корреспондент АН СССР Д. И. Блюхинцев, профессор С. В. Фомин; горнолыжником — профессор Л. А. Скорняков; на девятом десятике играет в теннис член-корреспондент АН СССР Д. Е. Меньшов. Инструктором-alыпинистом является профессор А. К. Киконн. Нильс и Гаральд Боры играли в классной футбольной команде. Альберт Эйнштейн увлекался не только игрой на скрипке, но и вожденем яхт. Крупнейший английский математик Г. Харди, по свидетельству Н. Винера, был великолепным спортомом и вышит авторитет во всех играх с мячом.

На kortах Московского Дома ученых вы видите многох известных деятельности науки, имеющих в 50—75 лет спортивные разряды. Они бегают по корту за мячом подобно юношам, и с юношами соперничит. Среди них вы встретите лауреата Нобелевской premии в области физики академика П. А. Черенкова, член-корреспондента АН СССР математика В. Я. Козлова, зам. минстра вышшего и среднего специалистного образования СССР, профессора азродинамики Н. Ф. Краснова (а самого минстра — член-корреспондента В. П. Елютина—вы встретите на kortах спортклуба «Шахтер»).

Если сравнить детей, получивших физическое воспитание, с детьми, ко-торые не увлекались спортом, то можно заметить, что первые легче продлевают трудности в жизни, учебе, успешнее борются с болезнями.

Я согласюсь с замечанием, что о громадном положительном влиянии спорта на творческое воздействие человека можно было бы написать более профессионально. Цель этой статьи — поделиться с читателем убежданностью, основанной на личном опите. И не случайно журнал «Квант» обрабатывает к этой теме. Существуют различные пути в любительский спорт. Этими путиники не поздно воспользоваться.

Очень многоое дает вам школа: уроки физического воспитания, льжные прогулки, посещение плаваительных бассейнов, сдача норма на значок ГТО. Кроме того, при отдельх народного образования, Дворцах пюнеров, при спортивных обществах работают детские спортивные школы (ДСШ), куда особенно охотно приглашают школьников младших классов.

Если вы становитесь студентами,— к вашим услугам кафедры физического воспитания и спорта взов. Помимо (а иногда и вместе) обязательных занятий вы можете посещать специальизированные секции: плавания, борбы, гимнастики, легкой или тяжелой атлетики, баскетбола, волейбола и другие. Многие крупные игры имеют свои спортивные сооружения, льжные базы. Вот, к примеру, наш МИИТ, помимо баз на Клязьеме, в Алуше и Европории, располагает чудесным спортивным комплексом: плаваательный бассейн, легкоатлетический манж, залы для спортивных игры, гимнастики, борбы и так далее. Если вы предполагаете работать, то помните о спортивных обществах, которые повсюду имеют свои секции.

Спорт принесет вам много здоровья, радости,уверенности в собственных силах и успехи в деле службы Родине, наук, обществу.

9

В. З. Кресин
Вблизи абсолотного нуля
(исторический очерк)

«… Если бы мы смогли помещить Землю в некую весма холодную облассть, то все наши реки и океаны превращались бы в горы. Воздух перестал бы быть невидимым и превращался бы в жидкость. Превращение такого рода открыло бы возможность получения новых жидкости, о которых мы до сих пор не имеем никакого понятия». Эти слова, произнестиные в середине XVIII века, принадлежат величому французскому химнику Лавузье.

В XIX веке были сжжены многое газы, но окончательно мечта Лавузье о получении новых жидкости исполнилась только в 1908 году, когда в лаборатории голландского физика Камерлинг-Оннеса в Лейденском университете последний из газов — геляй был превращен в жидкость.

Несоклько слов о главных достижениях на пути к абсолотному нулю.

Один из основных методов сжжения газов состоит в их скатии. При этом молекулы сближаются, возвращает роль сил сцепления и становится возможность переход в жидкое состояние. Оdnako если газ находится при температуре выше критической, тониккам сжжением нельзя превращить его в жидкость. В этом случае необходимо превращительное охлаждение газа.

К семидесятим годам XIX века было произведено огромное количество опытов по сжжению газов и получению много новых жидкости (следует особо отметить опыты Фарадея, который наряду со скатием, применяемый раньше для сжжения газов, первым использовал охлаждение газа). Оdnako кислород, азот и водород не проявляли никаких признаков превращения в жидкость. Поэтому в физике стало скадываться убеждание, что эти три вещества являются «постоянными газами». Лишь в 1877 году французский ученый Кальте сумел получить жидкий кислород при температуре $T = 90,2^\circ$ К. Через шесть лет пользование физики Вроблевский и Ольшевский первыми увидели жидкий азот. Переход азота в жидкость произошел при $T = 77,4^\circ$ К.

Очень сложным был путь получения жидкого водорода. Он превращается в жидкость при температуре всего $20,4^\circ$ К. Эта задача была решена лишь в 1898 году английским физиком Дьюаром. Дьюар использовал для хранения жидкого водорода изобретенный им вакуумный сосуд, который назван его и применяется посядень. Когда Дьюар работал над проблемой получения жидкого водорода, он не сомневался в том, что его работа — последнее успешное на пути к абсолотному нулю. Но Дьюар ошибался. Еще более низкой оказалась температура кипения жидкого геляя.

Геляй был открыт в 1869 году при исследовании спектра солнечной короны. На Земле же в течение очень длительного времени Никому не удалось его найти. Только в 1895 году английский химик Рамсей обнару-

11

квантах выдвинулю изменения при самых низких температурах на передний план физического интерсеса».
Жидкий гелий часто называют «квантовой жидкость». При первом знакомстве с квантовой физикой может создаться впечатление, что законы ее важны только для описания свойствatomов,atomных ядер,электронов и других микрочастиц. Жидкий гелий — один из самых ярких примеров того, что квантовая физика может описывать также и свойства макросоппических тел.

Перед вами — жидкость, напитая в сосуд. Вы можете наблюдать за ее поведением, переливать в другой сосуд и так далее. И вместе с тем свойства жидкого гелия совершенно необычны; он радикально отличается от всех других жидкости. Его поведение объясняется только законами квантовой физики.

Каковы же основные особенности поведения жидкого гелия? Первая из них была обнаружена Камерлинг-Оннесом еще при проведении эксперимента, во время которого впервые был получен жидкий гелий. Оннес предпринял попытку перевести гелий в твердое состояние. Он начал уменьшать давление в сосуд, где находилась кипящая жидкость. При этом температура попяжалась (ее значение стало близким к 1° К!), но никаких признаков затвердевания гелия не обнаружилось.

Камерлинг-Оннес и в дальнейшем неоднократно пытался получить твердый гелий. Последняя такая попытка была предпринята им в конце жизни в 1922 году. Откачивая пар над жидким гелием двенадцатью новых насосами специальной конструкции (давление при этом упало до 0,013 мм рм. см.!), он достиг температуры, равной всего 0,83° К. Сообщение об этом эксперименте называлось так: «О самом низкой температуре, полученной до сих пор». Но даже при этой, рекордно низкой по тому времени температуре гелий оставался жидким.

Г. Камерлинг-Оннес (1853—1926)

В настоящее время твордо установленное, что гелий — единственное в природе вещество, которое не затвердевает вплоть до абсолотного нуля (он может стать твердым лишь при дополнительном сильном скатии). Впервые твердый гелий был получен в 1926 году X. Кеезомом, преемником Камерлинг-Оннеса, возглавшим после него работу в Лейденской лаборатории.

С точки зрения классической физики уникальное поведение жидкого гелия совершенно неопонятно. Ведь с понжением температуры тепловые колбания частизвества становятся все слабее и слабее. Наличие же сил механикулярного сцепления должно приводить в конце концов к затвердеванию вещества.

Поведение жидкого гелия не имеет ничего общего с этой картиной. Гелий оставался бы жидким и при абсолотном нULE, хотя при этом вообще был не было никакого теплового движения.

Камерлинг-Оннес в первом же эксперименте показала очень малая плотность жидкого гелия. Он оказался ядром от том, что легкие и инертные atoms гелия находятся к тому же на большом расстоянии друг от друга. Перевести такую гелий

12

кость в твердое состояние города сложнее, чем обычные жидкости.

Гелий и остается поэтому жидким вплоть до самых низких температур. Вблизи же абсолотного нуля его затвердевание преляется законы квантовой физики. Согласно этим законам обычно представление о полной остановке atomов при абсолотном нуль оказывается неправильным.

Дальнейшее развитие физики низких температур привело к обнаружению еще одного замечательного свойства жидкого геля. При температуре $T=2,18^\circ$ К он переходит в состояние сверхтекучести, открытое и тщательно исследованное академиком П. Л. Капицей *).

Получив в 1908 году жидкий гелий и добавшись рекордно низких температур, Камерлинг-Оннес резко меняет направление своих исследований. Увидев, что область температур взлизи абсолотного нуля — это целый мир особых физических явлений, он приступает к последовательному изучению различных свойств вещества при низких температурах. «Из всех области физики, — писал Оннес, — подходят к нам только вопросы, ожидание решения от измерений при гелievых температурах».

Новые исследования привели Оннеса в 1911 году к открытию явления сверхпроводимости **).

Прошло почти полвека со времен открытия этого явления, прежде чем стала понятной его природа. Это — уникальный в нашей время случай научной задаки. Оdnako и в наши дни, когда уже создана теория сверхпроводимости, необходимо свойства сверхпроводников продолжает вызывать удивление и восхищение многих физików.

*) См. статью: А. Ф. Андреев, Сверхтекучесть жидкого геля, «Квант», 1973, № 10.
**) См. статью: В. З. Кресин, Природа сверхпроводимости, «Квант», 1973, № 11

На экзамене по астрономии

Сдавая экзамены на получение докторской степени, Макс Борн в качестве устного предмета выбрал астрономию. Принимал экзамен изввесный астроном - физик Шварцшильд.

«Что вы делаете, когда вы dentите падающий звезду?» — спросил экзаменатор.

«Надо посмотреть на часы, заметить время, определять направление движения, оценить приближательное длину светящейся траектории, определить, из какого созвездия появился звезда; сделав все это, можно приближательно вычислить траекторию падающей звезды». … такого ответа ждал экзаменатор. Борн это понимал, но не удержался и ответил: «Загадываю желание».

Из книги «Физики шутям»

Задачи

1. Если в двухзначном числе сложить его цифры, то получится число, которое в 5 раз меньше искомого. Найти это двухзначное число.
2. Если в трехзначном числе сложить все возможные числа, образованные из цифр этого числа, то получится число, которое в два раза больше искомого. Найти это трехзначное число.
3. Если в исходом числе сложить все возможные числа, образованные из цифр этого числа, то получится число, равное искомому. Найти все такие трехзначные числа.

В. М. Розенутлер

13

Неколько слов о названии.
Сначала мы разберем задачу M195 из «Задачника Кванта». Обнаружится, что она тесно связана с одним классическим построением в геометрическом кругов. Затем вскройются и другие неожиданные связи и факты.
Самый же главный сорриз… Но, т-с-с! Иначе какой же это будет сорриз?

§ 1. Задача о трех четырехугольников
M195. Дан $\Delta ABC$. Сколько существует таких точек $D$, что периметры четырехугольников ADBC, ABDC и ABCD одинаковы*)?

Решение. Построим три окружности ($\alpha$, $\beta$ и $\gamma$) с центрами $A$, $B$ и $C$, которые попарно касаются друг друга внешним образом (рис. 1).

*) Рассматриваются только такие точки $D$, которые лежат в плоскости $\Delta ABC$.

Радиусы этих окружностей $a, b$ и $c$ определяются из системы уравнений
$$a + b = AB, a + c = AC, b + c = BC.$$
Тем самым,
$$a = p - BC, b = p - AC, c = p - AB,$$
где $p$ — полуперimetр $\Delta ABC$.

Пусть $D$ — центр окружности $\delta$, которая внешним образом касается окружностей $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Радиус $\delta$ обозначаим через $d$.

To, что окружность $\delta$ существует, мы предполагаем известным. Построение такой окружности составляет содержание значений задания Аполлония*), решенной Аполлонем Пергским в III веке до н. э.

Из рисунка 1 сразу видно, что каждый из трех четырехугольников ADBC, ABDC и ABCD имеет перimeter $2(p+d)=2(a+b+c+d)$. Таким образом, хотя одна изскомая точка $D$ существует.

Может ли таких точек быть больше одной? Переходя к решению этого вопроса, прежде всего убедимся в том, что если перметры ADBC, ABDC и ABCD равны, то точка $D$ лежит вне окружностей $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ и равнула она их. Положим $AD=x, BD=y, CD=z$. тогда равенство перimetров рассматриваемых четырехугольников записется так:
$$2p - AB + x + y = 2p - AC + x + z = 2p - BC + y + z.$$ (2)

Вычитая почленно равенства (2) из числа $p+x+y+z$, получим
$$z - (p - AB) = y - (p - AC) = x - (p - BC).$$

*) Об этой задаче уже расссказываюсь в статье Савина А. П., Инверсия и задача Аполлония. «Квант», 1971, № 8.

14

Использову формулы (1), находим
$$z-c=y-b=x-a.$$

Согласно (3) числа $x-a, y-b$ и $z-c$ имеют один и тот же знак. При этом $x-a>0$, если точка $D$ лежит вне $\alpha$, и $x-a\leq 0$, если $D$ лежит внутри или на $\alpha$; знаки $y-b$ и $z-c$ имеют аналогичный смысл. Так как никакая точка не принадлежит сразу всем тем кругам, ограниченным окружности $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, то следует
$$x-a=y-b=z-c\leq 0$$
исключется. Значит,
$$x-a=y-b=z-c>0,$$
$D$ лежит вне $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ и равнулалена от них.

Операция на это, доказем единственное точки $D$.

Пусть (для определения) $\alpha$ — наименьшая из окружностей $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$:
$$a\leq b, a\leq c.$$ Радиусами $b-a$ и $c-a$ опшем окружности $\beta'$ и $\gamma'$ с центрами $B$ и $C$. Точка $D$, лежащая вне $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ и равнулалена от них, равнулалена также от точки $A$ и окружности $\beta'$ и $\gamma'$ (рис. 2). Построим еще три окружности ($\alpha''$, $\beta''$ и $\gamma''$) с центрами $A$, $B$ и $C$ и радиусами $AD$, $BD$ и $CD$. Пусть $T$ — произвольная точка, лежащая внутри $\alpha''$ или на $\alpha''$ и отличная от $D$. Тогда (рис. 2) $T$ лежит либо вне $\beta''$, либо вне $\gamma''$, либо вне обених этих окружностей. Тем самым $T$ расположена близке к $A$, чем к одной из окружностей $\beta'$ или $\gamma'$.

Последнее рассужждение показывает, что две различные точки $D_1$ и $D_2$ не могут быть равноудалены от $A$, $\beta'$ и $\gamma'$: предположив противное (пусты $D_1$ и $D_2$—такие точки, причем $AD_1\geq AD_2$) и обозначив $D_1$ через $D$, $a$ $D_2$ через $T$, сразу придем к противению.

Единственное точки $D$ доказана.

§ 2. Двойственная задача

В § 1 обнаружила техническая связь задания о трех четырехугольниках с задачей Аполлоня. В формулировке последней («Построить окружность, касающийся трех данных окружностей») не указано, каким должно быть касание — внешним или внутренним. В § 1 окружность $\delta$ касалась $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешним образом. Обозначим через $\epsilon$ окружность, которое все три окружности $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ касаются изнутри; центр ее называем $E$ (рис. 3).

Спрашивает: а не является ли отыскание точки $E$ решением какой-нибудь задачи, пожоже на задачу о трех четырехугольниках? (Прежде чем читать дальше, попробyte, конечно, сами придумать такую задачу.)

Положим $AE=x, BE=y, CE=z$, радиус окружности $\epsilon$ обозначим через $e$. Тогда (рис. 3) $x+a=y+b=z+c=e$. Отсюда $x+y+a+b=2e$, то есть $x+y+AB=2e$. Так же установливается, что $x+z+AC=y+z+BC=2e$. Величины $x+y+AB, x+z+AC$ и $y+z+BC$— это периметры треугольников $AEB, AEC$

Рис. 2.

Рис. 3

15

и ВЕС. Таким образом, центр $E$ окружности е оказывается решением задачи «о трех треугольников равного перimetра», совершенное аналогичной исходной задаче о четырехугольниках.

Точка формулировка новой задачи:

«Дан $\Delta ABC$. Сколько существует максимое $E$, что перimetры треугольников $AEB, AEC$ и $BEC$ одинаковы*)?>

Выше мы установили, что хотя одна такая точка $E$ существует.

У праванення

1. Докажите, что других таких точек нет.
2. Докажите утверждение, обратное полученному выше: пусть точка $E$ такова, что перimetр каждого из треугольников $AEB, AEC$ и $BEC$ равен $2e$, тогда $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ касаются изнутри окружности радиуса $e$ с центром $E$.

В задачах о трех четырехугольниках и о трех треугольниках мы не только доказали существование и единственность точек $D$ и $E$, но и нашли формулы для перimetров: $2(p+d)=2(a+b+c+d)$ и $2e$. Спрашивает: а можно ли вычислить эти перimetры, зная стороны $\Delta ABC$? Радиуса $a, b$ и $c$ вычисляются по простым формулам (1). Выражаются ли $d$ и $e$ через $a, b$ и $c$?

Положительный ответ на этот вопрос дается в § 3.

§ 3. Формула Фредерика Содди

Мы уже отмеали, что задача Аполлония была решена в III веке до нашей эры. Казалось бы, в наши дни она уже не может tantь в себе ничего нового и неожиданного. Однако сравнительно недавно была получена красивейшая формула, показывающая, как соответствия между собой размеры окружности в задаче Аполлония.

Эта формула производит еще больше в печатание, когда узнаешь, что ее придумал не профессиональный

*) Рассматривает только такие точки $E$, которые лежат в плоскости $\Delta ABC$.

математик, а химик — Фредерик Содди.

Обозначим через $k, l, m$ и $n$ величины, обратные радиусом окружностей $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$ из § 1:

$k=1/a, l=1/b, m=1/c, n=1/d$.

Тогда

$2(k^2+l^2+m^2+n^2)=(k+l+m+n)^2$.

Это изящное соотношение и есть формула Содди.

Ее можно рассматривать как квадратное уравнение относительно $n$ (числа $k, l$ и $m$ считаются при этом известными). Решая это уравнение, получим

$n_{1,2}=k+l+m\pm 2\sqrt{kl+lm+mk}$.

Положительный корень $n_1$ — это, разумеется, $1/d$. А что такое $n_2$?

Оказывается, $n_2=-1/e$, где $e$ — радиус окружности из § 2.

Каков смысл знаков «плюс» и «минус»: почему $1/d$ береется с плоском, а $1/e$ — с минусом?

Величина, обратная радиусу имеет специализное название: «кривизна». Чем больше радиус, тем более плавано «искривляется» окружность — тем меньше ее кривизна.

Прямая (предельный случай окружности — «окружность бесконечного радиуса») имеет нулевую кривизну. Знаками было бы естественно различать кривизну «выпуклых» и «вогнутых» кривизх. Но что такое выпуклы и вогнутые окружности?

Все окружности, разумеется, «одинаковы». Но когда находится вне окружности, то ее естественно считать выпуклой, а если находится внутри той же окружности, то она представляется вогнутой. Тем самым, «с точки зреня окружностей $\alpha, \beta$ и $\gamma$» окружности и ее разумно считать «разными»: первый — выпуклой, второй — вогунутой.

Вывод формулы Содди мы приведем в § 6.

§ 4. Главный сорпириз

У нас уже было несколько сорпиризов: в § 1 задача о четырехугольниках с равными перimetрами свелась вдруг к частному случаю задчи Аполлония, в § 2 необходимо оказаться порядок действия — мы сначала решили, а потом уже формулировали задачу о треугольниках с равными перimetрами, в § 3 мы приведем форму-

16

мулу, который современный химик украсил одну из древнейших геометрических задач.

Но главный спориз будет преподнесен сейчас.

В своих доказательствах мы пользовались следующими «очевидными» геометрическими фактами:

I. Пусть три окружности $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ попарно касаются друг друга внешним образом. Тогда существуетровно одна окружность $\delta$, касающаяся $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешним образом, ировно одна окружность $\varepsilon$, который $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ касаются изнутри.

II. Пусть три окружности $\alpha''$, $\beta''$ и $\gamma''$ проходят через одну точку $D$. Тогда любая точка $T$, лежащая внутри $\alpha''$, расположена либо вне $\beta''$, либо вне $\gamma''$ (либо вне обеих этих окружностей).

Оба факта… неверны. (Позному и решению задачи М195 — тоже неверно.)

§ 5. Капитальный ремонт

На рисунке 4 изображены окружности $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, для которых существуют две окружности ($\delta_1$ и $\delta_2$), касающиеся $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешним образом, и для которых не существует ни одной окружности $\varepsilon$, имеющей с $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внутреннее касание.

Рисунок 5 определяет «факт» II.

Неверны, разумеется, и следствия, основанные на «фактах» I и II —рушится все данные, возведенное на шатком фундамента!

К счастью, разрушения не такие уж катастрофические.

Теорема. Пусть окружности $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ попарно касаются друг друга внешним образом. Тогда возможно три (и только три) случая:

I. Существуетровно одна окружность $\delta$, касающаяся $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешним образом, ировно одна окружность $\varepsilon$, который $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ касаются изнутри.

II. $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ имеют общую касательную (причем лежат по одному стропу от нее), при этомровно одна окружность $\delta$ касается $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешним образом, и ни одной окружности $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ не касаются изнутри.

III. Существуетровно две окружности $\delta_1$ и $\delta_2$, каждый из которых касается $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешним образом, и не существует ни одной окружности, который $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ касаюсь бы изнутри.

Несоколько слов об инверсии.

При доказательстве этой теоремы воспользуемся метод инверсии*).

Напомним определение и некоторые свойства инверсии.

О пределене. Пусть $Q$ — окружность с центром $O$ радиуса $R$, лежащая в плоскости $P$. Инверсей относительно окружности $Q$ называется следующей преобразование плоскости $P$: каждая точка $M$ плоскости

*) Савин А. П., Инверсия и задача Аполлоня. «Квант», 1971, № 8.

Рис. 4.

Рис. 5.

17

Рис. 6.

$\Pi$, лежащая на положительном расстоянии $r$ от $O$, переходит в точку $M'$, лежащую на луче $OM$ на расстоянии $r'$ от $O$, такую, что $rr' = R^2$; $O$ называется центром инверсии, $R^2$ — коэффициент инверсии.

Свойства 1. Если $M$ принадлежит $Q$, то $M' = M$; если $M$ лежит внутри $Q$ и отлича от $O$, то $M'$ лежит вне $Q$; если $M$ лежит вне $Q$, то $M'$ — внутри $Q$.

2. Прямы и окружности переходит при инверсии в прямые и окружности, причем:

a) точки, лежащие на прямой, проходящей через $O$, переходит в точки той же прямой;

b) прямая, не проходящая через $O$, переходит в окружность, проходящую через $O$;

b) окружность, проходящая через $O$, переходит в прямую, не проходящую через $O$;

г) окружность, не проходящая через $O$, переходит в окружность, не проходящую через $O$; при этом $O$ лежит либо вне обених, либо внутри обених этих окружностей.

3. Если две окружности (или прямая и окружность) касаются в точке $M$, отличной от $O$, то их образы $^*$) тоже касаются в точке $M'$; если же точка касания совпадает с $O$, то эти окружности (или прямая и окружность) переходит в параллельные прямые.

*) То есть то, во что они переходит после инверсии.

Рис. 7.

Тому, кто узнал об инверсии впервые, мы рекомендуем либо доказать самостояльно перечисленные свойства, либо прочесть упомянутую выше статью А. П. Савина.

В качестве контрольного управления, которое поможет вам выяснить, насолько вы владеете методом инверсии, предлагаем найти ошибку в «решении» следующей задачи.

Пусть окружности $\alpha$ и $\beta$ касаются внешним образом в точке $O$ (рис. 6). Найти геометрическое место точки обозначим через $\Gamma$. При инверсии с центром инверсии $O$ окружности $\alpha$ и $\beta$ перейдет в параллельные прямые $\alpha'$ и $\beta'$ (рис. 6). Окружности $\gamma$, касающиеся $\alpha$ и $\beta$, перейдет в окружности $\gamma'$, касающиеся $\alpha'$, и $\beta'$. Пунктирная прямая $\Gamma'$ на рисунке 6 — это геометрическое место точки, являющихся центрами окружностей $\gamma'$. Итак, кривая $\Gamma$ при инверсии перешла в прямую. Значит, $\Gamma$ — либо окружность, либо прямая.

Если вы нашли ошибку в приведенном «решении», пора переходит к доказательству теоремы, сформулированной в начале § 5.

Доказательство теоремы. Окружности $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ по условияю попарно касаются друг друга внешним образом (рис. 7, a). Точку касания $\alpha$ и $\beta$ обозначим через $O$.

18

Возьем произвольную окружность $Q$ с центром $O$ и примем инверсию относительной этой окружности (рис. 6).

При инверсии окружности $\alpha$ и $\beta$ перейдут в параллельные прямые $\alpha'$ и $\beta'$, а окружность $\gamma$ — в окружность $\gamma'$, касающийся этих прямых (рис. 7, б). Центр инверсии $O$ расположен (проверьте это!) в полoce между прямыми $\alpha'$ и $\beta'$ вне окружности $\gamma'$.

Имеются, очевидно,ровно две окружности, касающиеся и $\alpha'$, и $\beta'$, и $\gamma'$ (рис. 7, е). При этом возможно три случая:

I. Точка $O$ лежит внутри одной из этих окружностей (и вне другой).

II. Точка $O$ лежит на одной из них (и вне другой).

III. Точка $O$ лежит вне обихих этих окружностей.

В случае I и II обозначим расматриваемые окружности через $\delta'$ и $\varepsilon'$ (причем через $\delta'$ — ту, вне которой лежит точка $O$), в случае III обозначим их через $\delta'_1$ и $\delta'_2$.

Любая окружность или прямая, касающаяся и $\alpha$, и $\beta$, и $\gamma$, перешап при инверсии в окружность, касающийся $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$. В случае I в окружности $\delta'$ и $\varepsilon'$ перешли окружности — назовем их $\delta$ и $\varepsilon$. В случае II в $\delta'$ перешла окружность (назовем ее $\delta$), а в $\varepsilon'$ перешла прямая (то есть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ имеют в этом случае общую касательную, при этом $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ лежат, очевидно, по одному сторону от нее). В случае III в $\delta'_1$ и $\delta'_2$ перешли окружности (назовем их $\delta_1$ и $\delta_2$).

Итак, окружностей, касающиеся и $\alpha$, и $\beta$, и $\gamma$ — либо две, либо одна. В случае I точки $O$ лежит вне $\delta$ и внутри $\varepsilon$, то есть $\delta$ имеет с $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешнее, а $\varepsilon$ — внутринее касание. В случае II точки $O$ лежит вне $\delta$ — снова $\delta$ имеет с $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешнее касание. В случае III точки лежит и вне $\delta_1$, и вне $\delta_2$, так что обе они касаются $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ внешним образом.

Теорема доказана.

Следствие 1. В случае $I$ и $II$ задача о трех четырехольных имеем единственное решение (ценр $D$ окружности $\delta$), в случае $III$ — два решения (ценры $D_1$ и $D_2$ окружности $\delta_1$ и $\delta_2$).

Следствие 2. В случае $I$ задача о трех четырехольных имеем единственное решение (ценр $E$ окружности $\varepsilon$), в случае $II$ и $III$ решения нем.

Заметание. В § 3 мы утверждали (в соответствии с неверной теории, развитой в §§ 1 и 2), что $n_1 = 1/d$, а $n_2 = -1/e$. Это действительное так в случае I. В этом случае $n_2 < 0$. В случае II $n_2 = 0$ (это соответствует тому, что прямая — общая касательная $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — имеет нулевую кривизну). В случае III $n_1 = 1/d_1$, а $n_2 = 1/d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — радиусы окружностей $\delta_1$ и $\delta_2$; в этом случае $n_2 > 0$. В справедливости только что сделанных утверждений мы убедимся в § 6.

Знача стороны треугольника $ABC$, мы можем вычислить $n_{1,2}$ и установить, какой из трех случаев имеет место.

Иногда можно обойтись без таких вычислений — об этом мы рассажем в § 7.

§ 6. Вывод формулы Содди

1. Пусть $U, V$ и $W$ — три произвольных неотрицательных числа, сумма которых равна $π$. Тогда
   $$\sin^2 U = \sin^2 V + \sin^2 W - 2 \sin V \sin W \cos U.$$
   Доказательство. Построим треугольник с углами $U, V$ и $W$. Пусть длины противолежащих сторон равны $u, v$ и $w$. По теореме косинусов
   $$u^2 = v^2 + w^2 - 2 vw \cos U.$$
   По теореме синусов
   $$u/\sin U = v/\sin V = w/\sin W.$$
   Отсюда нужная формула получается для любых ненулевых углов. Если хотя один из углов $U, V$ и $W$ равен 0, формула проверяется непосредственно.

19

2. Пусть $A, B, C$ и $D$ — четыре произвольные точки плоскости. Тогда
   $$\sin^2 \frac{\angle ADB}{2} + \sin^2 \frac{\angle ADC}{2} - \sin^2 \frac{\angle BDC}{2})^2 = 4\sin^2 \frac{\angle ADB}{2} \times \sin^2 \frac{\angle ADC}{2} \cos^2 \frac{\angle BDC}{2}.$$
   Доказательство. Возможны (рис. 8) четыре случая взаимного расположения точки $A, B, C$ и $D$. В каждом из них выберем $U, V$ и $W$ в соответствии с таблицей, помещенной ниже. В любом случае $U \geq 0$, $V \geq 0$, $W \geq 0$ и $U + V + W = \pi$ так что, согласно пункту 1,
   $(\sin^2 V + \sin^2 W - \sin^2 U)^2 = 4\sin^2 V \cdot \sin^2 W \cdot \cos^2 U$.
   Остается воспользоваться тем, что в любом случае
   $$\sin U = \sin \frac{\angle BDC}{2}, \\ \sin V = \sin \frac{\angle ADC}{2}, \\ \sin W = \sin \frac{\angle ADB}{2}, \\ \cos^2 U = \cos^2 \frac{\angle BDC}{2}.$$
3. Пусть один из углов треугольника равен $\theta$, противоположная сторона $-u$, прилежащие $-v$ и $w$, получимметр треугольника $-q$. Тогда
   $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{q(q - u)}{v \cdot w}, \quad \sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{(q - v)(q - w)}{v \cdot w}.$$
   Доказательство. По теореме косинусов
   $$u^2 = v^2 + w^2 - 2vw \cos \theta, \quad \cos \theta = (v^2 + w^2 - u^2)/2vw.$$
   Значит,
   $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2} = \frac{(v + w)^2 - u^2}{4v \cdot w} = \frac{(v + w + u)(v + w - u)}{4v \cdot w} = \frac{q(q - u)}{v \cdot w},$$

20

$$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2} = \frac{u^2 - (v - w)^2}{4v \cdot w} = \frac{(u + v - w)(u + w - v)}{4v \cdot w} = \frac{(q - w)(q - v)}{v \cdot w}.$$

4. Пусть окружности $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$ с центрами $A, B, C$ и $D$ и радиусами $a, b, c$ и $d$ попарно касаются друг друга внешним образом. Тогда
   $$\cos^2 \frac{\angle BDC}{2} = \frac{(b + d + c)d}{(b + d)(d + c)},$$
   $$\sin^2 \frac{\angle BDC}{2} = \frac{bc}{(b + d)(d + c)},$$
   $$\sin^2 \frac{\angle ADB}{2} = \frac{ab}{(a + d)(d + b)},$$
   $$\sin^2 \frac{\angle ADC}{2} = \frac{ac}{(a + d)(d + c)}.$$

Доказательство. В $\triangle BDC$ выразим стороны и полуперimetр через $b, d$ и $c$:
$$BC = b + c, \quad BD = b + d, \quad DC = d + c,$$
$$\frac{1}{2}(BC + BD + DC) = b + d + c$$

и воспользовемся формулами пункта 3. Другие две формулы получим аналогично из $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$.
4’. Пусть окружности $\alpha, \beta, \gamma$ с центрами $A, B, C$ и радиусами $a, b, c$ попарно касаются друг друга внешним образом и все три касаются изнутри окружности в с центром $E$ и радиусом $e$. Тогда
$$\cos^2 \frac{\angle BEC}{2} = \frac{(b - e + c)(-e)}{(b - e)(-e + c)},$$
$$\sin^2 \frac{\angle BEC}{2} = \frac{bc}{(b - e)(-e + c)},$$
$$\sin^2 \frac{\angle AEB}{2} = \frac{ab}{(a - e)(-e + b)},$$
$$\sin^2 \frac{\angle AEC}{2} = \frac{ac}{(a - e)(-e + c)}.$$

Доказательство — такое же, как в пункте 4.
5. В условях пункта 4 положим $k = 1/a, l = 1/b, m = 1/c, n = 1/d$.

Тогда
$(-k + l + m + n)^2 = 4(lm + mn + nl).$

Доказательство. Согласно пункта 2 и 4
$$\left[ \frac{ab}{(a + d)(d + b)} + \frac{ac}{(a + d)(d + c)} \right]^2 = 4 \frac{ab}{(a + d)(d + b)} \times \frac{ac}{(a + d)(d + c)} \cdot \frac{(b + d + c)d}{(b + d)(d + c)}.$$

Умножив обе части равенства на $[(a + d)(b + d)(c + d)/abcd]^2$, получим
$$\left[ \frac{c + d}{cd} + \frac{b + d}{bd} - \frac{a + d}{ad} \right]^2 = 4 \frac{b + d + c}{bdc},$$

или окончательно
$(-k + l + m + n)^2 = 4(lm + mn + nl).$

Заметание. Формулы пункта 4’ получаются из формул пункта 4, если заменить $d$ на $(-e)$. Поэтому доказанная в пункте 5 формула верна и в условиях пункта 4’ при $n = -1/e$.

6. Кривизны $k, l, m$ и $n$ окружностей $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$, попарно касаются друг друга внешним образом, связанными формулой Содди
   $(k + l + m + n)^2 = 2(k^2 + l^2 + m^2 + n^2).$

Та же формула верна, если $n$ — кривизна окружности $\varepsilon$, которое $\alpha, \beta$ и $\gamma$ касаются изнутри.

Доказательство. Преобразуем тожество
$(k + l + m + n)^2 = (-k + l + m + n)^2 + 4k(l + m + n)$

с учетом пункта 5:
$(k + l + m + n)^2 = 4(kl + km + kn + lm + ln + mn).$

Воспользовавшись тожеством
$(k + l + m + n)^2 - (k^2 + l^2 + m^2 + n^2) = 2(kl + km + kn + lm + ln + mn),$

получим
$(k + l + m + n)^2 = 2[(k + l + m + n)^2 - (k^2 + l^2 + m^2 + n^2)].$

Приведя подобные члены, получим формулу Содди.

7. Из утверждения, доказанного в пункте 6, сразу вытекает

21

Следствие 1. Положим (как в § 3)
$$n_{1,2} = k + l + m \pm 2\sqrt{kl + lm + mk}.$$
Тогда — в терминах § 5,— если имеет место случай I, то $n_2 < 0$, а если имеет место случай III, то $n_2 > 0$.

Упражнение 3. Докажите, что в случае II $n_2 = 0$.

Объединяя следствие 1 и упражнение, получаем

Следствие 2. Если $n_2 < 0$, то имеет место случай I, если $n_2 = 0$,— случай II, если $n_2 > 0$,— случай III.

§ 7. Еще одна необходимость

В июне в «Задачнике «Кванта» была опубликована задача M209.

Для любого треугольника ABC можно вычислить такую сумму:
$$S = \text{tg}^2 \frac{A}{2} + \text{tg}^2 \frac{B}{2} + \text{tg}^2 \frac{C}{2}.$$
Докажите, что:
a) $S < 2$ для всех остругольных и прямоугольных треугольников;
b) $S > 2$ для тупоугольных треугольников с тупым углом, большим 2 arc tg $^4/3$;
b) для всякого ф такого, что $\frac{\pi}{2} < \varphi < 2\arctg \frac{4}{3}$, среди тупоугольных треугольников с тупым углом, равным $\varphi$, имеются и такие, что $S > 2$, и такие, что $S < 2$.

На первый взгляд, в задачах M195 и M209 говорится про совершенное разные вещи. Но, оказывается,— еще одна неожиданность — между ними существует глубокая связь.

Используя § 6 (пункты 3 и 4), легко доказать следующее:

Утверждение 1. Пусть окружности $\alpha, \beta, \gamma$ с центрами A, B, C и радиусами a, b, с попарно касаются дружества внешним образом, и пусть $a + b + c = p$. Тогда
$$\text{tg}^2 \frac{A}{2} = \frac{bc}{ap}, \text{tg}^2 \frac{B}{2} = \frac{ac}{bp},$$
$$\text{tg}^2 \frac{C}{2} = \frac{ab}{cp}.$$

Таким образом, $(a + b + c)S = \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}$. Деля обе части этого равенства на abc, получаем
$$S \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \right) = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$$
или $S(kl + lm + mk) = k^2 + l^2 + m^2$. Используя тожество $k^2 + l^2 + m^2 = (k + l + m)^2 - 2(kl + lm + mk)$, находим: $(S + 2)(kl + lm + mk) = (k + l + m)^2$.

Итак, следующее условия попарно эквивалентны:
$$S < 2 \text{ и } (k + l + m)^2 < 4(kl + lm + mk),$$
$$S = 2 \text{ и } (k + l + m)^2 = 4(kl + lm + mk),$$
$$S > 2 \text{ и } (k + l + m)^2 > 4(kl + lm + mk).$$

Вспомним формулу
$$n_{1,2} = (k + l + m) \pm 2\sqrt{kl + lm + mk},$$
получаем от сюда.

Утверждение 2. Условия S<2, S=2 и S>2 характеризуют (соответствие) случай I ($n_2 < 0$), II ($n_2 = 0$) и III ($n_2 > 0$).

Поэтому результат задачи M209 позволяет довольно частю по виду △ ABC сказал, какой из случая I, II, III имеет место: если △ ABC остругольный или прямоугольный, то случай I (задача M195 имеет в этом случаеровно одно решение D), если △ ABC «очень тупоугольный» ($\varphi > 2\arctg^4/3$), то случай III (задача M195 имеет два решения D$_1$ и D$_2$). «Водораздел» (случай II) проходит по «не слишком тупоугольным» треугольникам ($\pi/2 < \varphi < 2\arctg^4/3$). Некоторые дополнительные сведения об этом «водоразделе» вы получите, решив задачу M209 или прочт ее решения в «Задачнике «Кванта»».

24

воды. Из опыта известно, что при образование 1 моль, или 18 e воды (то есть при полном сторании 1 моль, или 2 e водорада) выделяется энергия $W = 56,7$ ккал/mоль. Следовательно, пороговое напряжение

$$U_{\min} = \frac{W}{2} \cdot \frac{1}{N_e v} = \frac{56,7 \text{ ккал/mоль}}{1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \cdot 2} = 1,23\varepsilon.$$

Между электродом, опущенным в электролит, и электролитом установливается определенная разность потенциалов. Это может произойти в результате того, что металлы обладают способностью «переходить» в растор в виде ионов. При этом электрод заряжается отрицательно, а электролит — положительно. Вдоль поверхности электрода образуется слой положительных ионов. (Заметим, что эта разность потенциалов не вызывает тока через полужелем — так называют отделый электрод с соответствующим электролитом. Ионы находятся в состоянии дианического равновесия с электродом.) Возможен и другой варант, когда металл заряжается положительно, а электролит — отрицательно. Это происходит в тех случаях, когда опущенный в электролит электрод не «растворяется», а на его поверхности расположены ионы электролита.

Измерить непосредственно напряжение в полужелemente невозможно. Однако можно выбрать какой-нибудь один «постоянный» полужелент и, соединия с ним различные полужеленты, изменить разность потенциалов между электродами. «Постоянному», или, как его называют, нормальный электрод приписьают нулевой потенциал, и тогда можно считать, что второй электрод обладает полне определенным потенциалом — нормальным потенциалом ($\varphi_{\min}$).

Таблица, приведенная ниже, составлена по результатам, полученным таким методом. В качестве нормального электрода выбирается общчное плотиновая пластинка, а соответствующий электролит — однородный*) растор инов водорада. Нормальный потенциалом определяется энергия, необходимая для восстановления из инов 1 моля данного вещества.

Поскольку обычно интересует не потенциал отдельного электрода, а напряжение между парой электродов, то ясно, что выбор нормального электрода может быть произвольным. Важно то, что при выбранной паре электродов для электролиза каждого вещества электролита необходимо определения минимального потенциалов.

Электродные потенциалы металлов в таблице выписаны в порядке их убывания. Обратите внимание, что последовательность металлов (включая водород) K, Na, Mg, Al, Zn, Fe, Pb, H, Cu, Ag, Au — не что иное, как известный из химии ряд активности металлов. В этом ряду каждый металл может вытестить из растора соллиловой металл, стоящий от него справа. Например, возможно реакции

$$\text{Zn} + \text{Cu}^{++} \rightarrow \text{Cu} + \text{Zn}^{++},$$

$$2\text{Na} + 2\text{H}^{+} \rightarrow 2\text{Na}^{+} + \text{H}_{2}.$$

На этом примере видно, как физика дает количественное описание эмирических заменений в химии закономерности. Реакции идут в том направлении, при котором происходит выделение энергии, а значения пороговых напряжений пряmo пропорциональны количеству этой энергии.

Теперь, руководствуясь таблицей, мы можем обосновано ответить на вопрос, почему при электролизе водного растора NaOH на каатле выделяется водород, а не натрий. Пороговое напряжение электролиза растора NaOH равно 3,94 $\beta$ (2,71 $\beta$ + 1,23 $\beta$). Если разность потенциалов на электродах $U<1,23$, электролиз вообще담и не может, если же 1,23 $\beta<U<3,94 \beta$, то не мо-

*) Оdnонормальный называется растор, в котором на один литр растора прихождения один грамм-атом водорада.

25

Жет образователься металлической натрий. Если $U > 3,94$ $\theta$, то частично натрий получится может, но образовшись, он быстро прореагирует с водой.

Тот факт, что для разных металлов различются пороговые направления электролиза, используется для разделения металлов. Представьте себе, что у вас есть соль меди с малыми примесями сербра и золота. Как извлечь благородные металлы? Проведем электролиз соли меди CuSO$_4$, использовав эту неочищенную медь в качестве анода. При этом на аnode возможны реакции: выделения кислорода, растворения (то есть образования ионов) меди и растворения сербра и золота. На каоте же будет осаждаться металлическая медь. Если разность потенциаль электро-дов взять достаточно малой (меньшей 0,80$\theta$—0,34$\theta$ = 0,46$\theta$), чтобы не могли идти реакции растворения сербра и золота и электролиз воды, то аnod разрушается, они меди Cu$^{++}$ переходит в раствор, осаждаясь на каоте, а нерастворимые при этой разности потенциаль сербро и золото остатся на аnode.

Посмотрим теперь, какова волтамерная характеристика электролитов. Ситуация здесь различана для разных видов реакций, например, для реакций, прохождения в аккумуляторах, и для реакции электролиза воды.

В аккумуляторе химическая реакция подбирается так, чтобы вещества, образующие при разряде аккумулятора во время его экспилации, оставались в растворе или

26

осаждались на электродах. Тогда при заряжение аккумулятора реакция поддет в обратную сторону, а это приведет к восстановлению его первоначального состояния.

При электролизе может произойти выделение водорода или других газов, может восстановляться металл в растворе и выпадать в осадок. Тогда реакцию уже нельзя проверить в другую сторону.

Во втором случае ток при направлении, меняшем порогового, вообще не идет, сопротивление электролита практически бесконечное. Когда разность потенциальства отрицательной, аод и катод меняются местами, и, начиная с направления — $U_{\min}$, опять возникнет проводимость. Поэтому волт-ампераная характеристика имеет вид, показанный на рисунке 1.

Если при реакции первого типа на электродах уже выделилось вещество, то электролит вместе с электродами сам становится источником тока с электродвижущей силой, в точности равной пороговому направлению. Поэтому его волт-ампераная характеристика отвечает общному закону Ома для полной цепи, у которой сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, но смешенно из начала координат на величины порогового направления (рис. 2). При приложенном направлении, равном нулю, — это

объичный источник тока, конечно, только до тех пор, пока все активное вещество на электродах не оказывается израсходованным. Тангенс угла наклона прямых на рисунках 1 и 2 характеризует проводимость электролита и в случае плоских электродов прямо пропорционален сечению электродов и концентрациионов и обратно пропорционален расстоянию между электродами. Следует отметить, что графики имеют такой вид при не слишком больших плотностей тока.

В заключение еще раз подчеркием, что существование порогового направления является следствием законов Фарадея и закона сохранения энергии. Это явление демонстрирует взаимосвязь химического и электричского видов энергии.

Уражение

Электролиз 1 л водного раствора $\text{AgNO}_3$ ведется при направлении 1 e. Выделилось $m_{\text{Ag}} = 1\text{e}$. На сколько поднялась температура раствора? Телловые потери не учитываются.

27

Электроимпециальная обработка металлов
И. И. Мороз

В последние годы все более широкое применение находит электроимпециальные методы обработки металлов. Что это за методы, в чем их применяется перед другими методами обработки металлов, расскажается в этой статье.

В 1834 году Майкл Фарадей сформировал основные законы электролиза.

Согласно закону Фарадей, количество веществ $m$, выделенного или расторенного на электродах за время $t$, прямо пропорционально количество электричесва $q$, прошедшего через электролит:

$$m = kq = kIt = \frac{ItA}{Nev},$$

где $I$ — сила тока, $A$ — атомная масса, $v$ — валентность вещества, $N$ — число Авогадро, $e$ — заряд электрона.

Известно, что $I = jS$ (j — плотность тока, $S$ — площадь электрода).

Почиче через это лет после открытия законов электролиза, в 1928 году, советские инженеры В. Н. Гусев и Л. П. Рожков предложили использовать электролиз для обработки металлов вместе обччных механических способов (точения, фрезерования, резания, шлифования).

Это предложение на первый взгляд кажется необучным. Действительно, весь опыт человека, казалось бы, учит, что инструмент должен быть твердое обработываемого материала. Еще пешерный человек использовал камень в качестве обработывающего инструмента. Потом были созданы инструменты железные, стальные и, наконец, из твердых и сверхтвердых сплавов. Но по мере развития техники, особенно специализых отраслей машиностроения (авнимоторостроения, ракетостроения и некоторые других), появились новые материалы, обработка которых механическими методами сопряжена с большими трудностями, а в некоторых случаях — просто невозможна. Так, например, есть такие твердые и хруплкие сплавы, которые разрушают при механической обработке. Возникла необходимость создания новых методов обработки металлов. Вот тут-то и пригодилось предложение Гусева и Рожкова.

При электролизе металлические электроды погружаются в растор электролита, на них подается электричесное напряжение, и через растор электролита идет ток (рис. 1). Obviously на металлическом катале выделяется водород, а на аnde происходит расторение металла, которое часто сопровождается выделением кислорода.

В произвольственной практике давно уже широко использоваться электроимпециального травления и электролитического полирования металла. Первый — для очистки поверхности металла от окисных пленок, второй — для улучшения качества поверхности, придания ей зерnekального блеска. Оба эти процесса основаны на том, что при электролизе на аnde расторяется металл.

Рис. 1.

28

Как при травлении, так и при полировании с поверхности удаляетсяничтожное количество металла и геометрические размеры образываемой детали практически не изменяются. Это объясняется тем, что при плотности тока, применяемых в таких процесах, скорость расторения металла очень мал. Если же плотность тока увеличить в сотни раз, то увеличится и скорость аодного расторения металла. тогда количество удаляемого металла может быть consternimo с количеством металла, удаляемого при резании. Это и позволяет использовать электролиз для обработки металлов.

На рисунке 2 представлена общая схема электрокимического обработки металлов. Так же как при травлении и полировании, образываемой деталь присоединяют к положительным полюсу источника тока, а электрод-инструмент — к отрицательному. Но, в отличие от обычных электролитических ванн, где расстояние между электродами составляет 150÷200 мм, здесь это расстояние уменьшено до 0,05÷0,5 мм, и через этот узкий промежуток между электродами насосом непрерывно происходит растор электролита. Нерабочие поверхности катода покрывают изоляционные материалы.

Благодаря тому, что зазор между электродами очень мал, например

30

Раздел «Лаборатория «Кванта» принадлежит к числу систематических разделов нашего журнала. В нем мы стремемся дать нашим читателем возможность произвести какой-либо почитательный эксперимент, не требующей специального оборудования, так сказать, с подручными средствами, которые имеют практические влюбом доме. Эти процессы по использованию экспериментов помогают глубже проникнуть в суть различных физических явлений, развивают сообразительность и наблюдательность.

Многие законы и явления природы в основе своей не так-то уж и сложны, а их характерные черты можно проследить даже в сравнительно простых экспериментах. Такие эксперименты — первая ступень к самостоятельным исследованием.

Из письм наших читателей мы видим, что многие из них охотно проделывают предлагемые нами эксперименты и даже стремятся творчески видимземить их (варьировать условия — менять температуру, например или другие участующие в опыте физические величины, подбирать другие вещества и материалы и т.п.).

При воспроизведении описываемых нами опытов необходимо обращать особое внимание на технические особенности и строого выполнения рекомендации в статьях меры предостоюжности.

Мы надеемся, что раздел «Лаборатория «Кванта» поможет нашим читателям разобраться в своих способностях, развить в себе навыки будущих серверных исследовательей природы.

31

Игрушки из кристаллов

М. П. Головой,
Г. Ф. Добрянский

Кристаллы издана использующая для изготовления украшений и ювелирных изделий. Они привлекают нашей внимание приудливыми формами, сверкающихими гранями, переливами цветов и богатством оттенков. На страницах «Кванта» уже рассывывалось о том, как вырастить достагоно крупный однородный монокристалл *). Мы хотим научить читателей изготовлять оригинальные и красные изделия из поликристаллов, вырастить которые не представляют большого труда. При некоторых навыке и аккуратности можно стать, например, обладаателем удивительного дерева, состоящей из сверкающих и переливающихся зеленоватым светом небольших кристаллов, или зеленой новогодной.elочки, опушенной, как снегом, шапкой белых кристаллов. Познакомившись с методкой и прибретай неокторий опыт, вы и сами сможете придумать и изготовить различные украшения и суверины из поликристаллов.

Метод получения таких изделий основан на широком использующом способе получения монокристаллов — кристаллизации из воды растровов. При охлаждении насыщенного растора, а также при испарении расторителя и в других условиях,

*) См. статью: Варламов А. А., Казаковцев Д. В. Выращивание кристаллов. «Квант», 1973, № 6.

когда создается пересыщение растора, расторенное в нем вещество начинает выпадать в осадок. Если в сосуд с растором (кристализатор) помещить маленькие кристалки исходного вещества (затравки) или какне-нибудь посторонние нерастворимые частички, структура которых близка к структуре кристалков, то при достагоно медленном сниженном температуре мы можем добиться того, чтобы вещество осаждалось премишественно на затравках.

Получение достагоно крупных (размером в несколько сантиметров и более) однородных искусственных монокристаллов требует сложной аппаратуры с точным автоматическим управлением температурой, перемешивание расторов, регулированием химического состава среды и так далее. Маленькие кристалки и их сроки (поликристаллы) можно легко получить и не прибегая к сложным конструкциям и автоматике.

Если в кристализатор опустить какой-нибудь предмет, на котором находится большое число затравок, то, использует метод снижения температуры или испарения расторителя, можно обратить его кристалками с четко выраженной огранкой. При этом нет никакой необходимости перемешивать растор или точно регулировать скорость изменения температуры. кристалки и без этого вырастают достагоно красно-ограненных. Чтобы получить большое число затравок на зарашиваемом предмете, нужно предварительно обмотать его обчнымми хлопчатобумажными нитками № 10 (не обязательно плотно, виток к витку, можно и с инвервалом 1—3 мм), окнуть в растор, тут же вынуть и как следует просушить при комнатной температуре. Так как нитки пропитываются растором, то при высыхании на них образуют мелчайшие кристалки, которые и будут в дальнейшем служить затравками.

При желании кристаллим можно легко обработать любой нерастivo-

34

Математикой можно занимать по-разному. Можно взять только книгу и читать ее подряд: определения, теоремы, доказательства. А можно действовать более активно: прочитать определения и формулировки теорем, отложить книгу в сторону и придумать доказательства самому. Первый способ поначалу дает возможность двигаться быстро. Но только второй способ позволяет прочитывать математическую теорию, надолго ее запомнить и научиться применять.

Только решая уже известные задачи — открывая новое для себя, — можно подойти к новому для других.

Именно на такую активную работу читатель расчитаны заметки, которые публикуются в разделе «Математический кружок». Объчно эти заметки построены как занятия математического кружка: читатель предлагается несколько теоно связанных друг с другом задач. Некоторые из них решены в тексте, а другие— и легкие, и более трудные—оставлены для самостоятельного решения.

Как правило, наш математический кружок доступен школьникам 8—9, а часть и 7 классов.

35

О вероятностях и «хороших» числах

Г. А. Гуревич, Ж. М. Раббом

В «Кванте» публикуется много различных задач по математике. В письмах, прихождения в редакцию, часто задается вопрос: «Как придумывают задачи?» Наша заметка адресована прежде всего тем читателем, которые волнует этот вопрос.

Несмотря на каждийся «элементарный» характер многих интересных задач, большинство из них — переформулировки содержательных математических фактов. К сожалению, многие школьники часто, даже решив ту или иную задачу, и не подозревают об идеях, из которых она возникла.

Цель этой заметки — рассказать немного о теории вероятности, с которой связана задача M204 «Задачника», Кванта‘’, и дать простое решение этой задачи.

Сначала мы напомним условия задачи M204.

Назовем намуральное число «хорошим», если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9, 7, 3, и «плохим» в промисном случае. Доказим, что существует такое намуральное число n, что среди всех n-значных чисел больше «хороших», чем «плохим».

Неколько примеров

Мы начнем с рассмотрения нескольких примеров, которые на первый взгляд никак не связаны с нашей задачей.

Пример 1. Предположим, что мы подбросили монету. Если она без изъянов, то мы с одинаковой увеличностью можно ожидать как то, что она упадет вверх «орлом», так и то, что сверху окажется «решка». Кроме того, интуция нам подсказывает, что если мы подбросим монету два раза, то наша увеличность в том, что хотя бы один из этих двух раз выпадает «орел», будет горздо больше, чем в том, что она раз выпадает «решка». И уж, наверное, все согласятся с тем, что если подбросить монету 100 раз, то почти наверняка хотя бы один раз выпадает «орел», или, другими словами, маловероятно, что все 100 раз выпадает «решка».

Пример 2. В ящиком помещили 10 красных и 2 черных шара. Если научад вынуть какой-нибудь шар из ящика, то им почти наверняка оказется красный, так как красных шаров намного больше, чем черных. Но если многоократно (скажем, это раз) повторить этот опит, каждый раз восстановливая «исходное положение», то есть возврашая вынутый шар на место и тщательно перемешивая содержимое ящика, то можно с увеличностью сказать, что рано или поздно мы вытащим черный шар.

Пример 3. Возьмем 10 000 карточек и выпишем на них все натуральные числа от 0 до 9999 (на каждой карточке одно число). Если на карточке написано однозначное, двухначное или трехзначное число, то мы припишем к нему слева соответственно три, два или один нуль. Таким образом, все выписанные на карточках числа станут четырехзначными. Сложим все карточки в пачку и тщательно перемешаем. Будем теперь производить следующий опит.

37

тарное), оно состоит из двух элементарных: «извлечение черного шара № 1» и «извлечение черного шара № 2».

В примере 3 извлечение какой-то карточки — элементарное событие. Всего здесь элементарных событий — 10 000. А вот извлечение карточки, на котором написано «истинно», четырехзначное число (то есть число, у которого первая цифра слева — не нуль) — событие, состоящее из 9000 элементарных: «извлечение карточки с числом 1000», «извлечение карточки с числом 1001», «извлечение карточки с числом 1002», …, «извлечение карточки с числом 9999».

Какому из элементарных событий $e_1, e_2, \ldots, e_n$ мы припишем (поставим в соответствии) число $\frac{1}{n}$, которое называем вероятность его элементарного события.

Отметим, что мы каждому из элементарных событий приписали по определенному одинаковому вероятность. Это и служит выражением того, что все они «равноправны».

Элементарные события, из которых складывается данное событие $A$, называются исходами, благоприятными этому событию. Вероятность $p(A)$ события $A$, состоящего из $m$ элементарных событий, определяется так:

$$p(A) = \frac{m}{n},$$

где $m$ — число благоприятствующих событий $A$ изходов, $n$ — общее число изходов.

У практики

1. При бросании игральной костей выпадания 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков равноверятных. Какова вероятность того, что при бросании игральной костей выпадает:

a) четное число очков;
b) нечетное число очков;
b) 3 или 5 очков;
g) простое число очков?

2. Какова вероятность того, что число, написанное на выбранной карточке в примере 3, обладает следующими свойствами:

a) четрехзначное;
b) делится на 5;

b) есть полный квадрат;
g) не есть четырехзначное число?

Очевидно, что при данном определении вероятность любого события заключена между 0 и 1: $0 \leq p(A) \leq 1$.

Событие, вероятность которого равна 1, называем достоверным. Ему благоприятствует все исходы без исключения.

Событие, которая благоприятствует пустое множество элементов событий (другими словами, то, которое никакогда не произойдет), по данному определению имеет вероятность 0 и называется невозможным.

Операции над событиями

Пусть $A$ — событие. Обозначим через $\bar{A}$ событие, промивоположное $A$, то есть событие, которое благоприятствует все те элементарные исходы, которые не входят в $A$.

Пусть $A$ и $B$ — два события. Через $A + B$ обозначим событие, состоящее из исходов, благоприятствующих хотя бы одному из исходов $A$ и $B$.

Через $A \cdot B$ обозначим событие, состоящее из исходов, благоприятствующих $A$, но не благоприятствующих $B^*$).

У практики

3. Доказите, что: a) $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$;
   b) $p(A + B) \leq p(A) + p(B)$; в) $p(A \cdot \bar{A}) = 0$; г) $p(A + \bar{A}) = 1$; д) $p((\bar{A})) = p(A)$;
   e) $p((A \setminus B) + (A \cdot B)) = p(A)$;
   ж) $p((A \setminus B) \cdot B) = 0$.

4. Пусть событие $A$ — извлечение на карточке в примере 3 четырехзначного числа, событие $B$ — извлечение числа, делается на 5. Сформулируйте, что означает каждое из

*) Те, кто читал статью: Гиндкин С. Г., Сколко существует операций над множеством? «Квант», 1973, № 7, безусловно, заметили, что операции над событиями определяются точно так же, как операции над множеством (только вместе $A \cap B$, $A \cup B$ обозначаются как $AB$, $A + B$).

38

Рис. 1.

собътий, стоящих в скобках ниже, и найдите:
a) $p(\overline{A})$; б) $p(\overline{B})$; в) $p(A + B)$; г) $p(A \cdot B)$;
д) $p(A + \overline{B})$; е) $p(A \cdot \overline{B})$; ж) $p(A \setminus \overline{B})$;
з) $p(B \setminus A)$.

5. Докажите, что для любых двух собственных $A$ и $B$ выполняется равенство
   $$p(A + B) = p(A) + p(B) - p(A \cdot B).$$

В частиности, на рисунке 1 множество элементов собственной состоит из 16 элементов, изображенных черными точками. При этом $p(A) = 5/8$, $p(B) = 3/8$, $p(A \cdot B) = 3/16$, $p(A + B) = 13/16$.

Серия независящих испытаний

В наших примерах речь шла не только об одиночных испытаниях (бросании монеты, вытаскивания шара или карточки), но и о сериях из нескольких таких испытаний. Как вычислить веротности в таких случаях? Здесь мы сталиваемся с комбинаторными задачами. Схема действия такова: сначала надо найти множество элементов собственной и определять число $N$ его элементов, затем определять число $M$ исходов, благоприятствующих $A$, и по формуле $p(A) = \frac{M}{N}$ найти ответ.

Решим, например, такую задачу. Пусть мы призадаем бросили монету. Какова веротность, что выпадения «орла» и «решки» будут веротностью второго бросания не зависит от результата первого (испытания независями), то все эти четыре исхода равноверятны.

Аналогично, если мы будем бросать монету три раза, то исходами этого броса будут всевозможные тройки из О и Р. Какдому исходу мы приписываем одинаковую веротность, равную $1/8$, а интересующей нас событие «выпадения О и Р через дугу» состоит из двух элементов собственной; его веротность равна $2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$ (рис. 2).

В общем случае, если однократный опыт допускает $n$ элементов исходов, то число всехможных элементов исходов двукратного опыта равно, очевидно, $n^2$ (к любому из $n$ исходов первого опыта можно неза-

40

Общий член геометрической прогрессии $\left(\frac{9999}{10000}\right)^k$ со значением $\frac{9999}{10000}$, меньше 1, при неограниченном возрастании $k$ стремится к нулю. Поэтому найдет такое $k_0$, начная с которой $\left(\frac{9999}{10000}\right)^{k_0} < \frac{1}{2}$, то есть $1 - \left(\frac{9999}{10000}\right)^{k_0} > \frac{1}{2}$.

При $k > k_0$ среди 4$k$-значных чисел «хороших» будет больше, чем «плохих».

Из нашей решения получается следующая оценка для минимального $n = n_0$, начная с которой среди $n$-значных чисел больше хороших, чем плохих: $n_0 > 4\lg 2/\lg \left(\frac{10000}{9999}\right) \approx 30000$.

Эта оценка, конечно, довольно грубая.

Следует отметить ряд писем (H. Шербины, Днепропетровск; A. Курляндчика, Ленинград; A. Григоряна, Баку), в которых найдена более точная оценка. Наболее интересный путь здесь таков. Пусть $G(n)$ — количество хороших $n$-значных чисел: $G(1) = G(2) = G(3) = 0$, $G(4) = 1$, $G(5) = 19$, $G(6) = 280, \dots$

Докажем, что при $n > 5$
$G(n) = 9 \cdot 10^{n-5} + 10G(n-1) - G(n-4)$. (*)

Действительно, $n$-значных чисел, оканичивающих на 1973, существуют $9 \cdot 10^{n-5}$; хороших, которые остаются хорошими после вычеркивания последней цифры — $10G(n-1)$, а чисел, принадлежащих обимем этим множеством, очень удобно, $G(n-4)$.

Изrekуррентного соотношения (*) легко вывести, что минимальное $n_0$ заключено между 5000 и 10000. А если использовать ЭВМ (как поступил брат нашего читателя Л. Курляндчика), то можно быстро найти и точное значение $n_0$: оно равно 6933.

Основная ошибка, которую допустило большеинструточно читателей, состоит в следующем. Вместо того, чтобы оценить сверху количество лох и х чисел, как это делалось