Квант 1974, №2 · Страницы

Квашт
1974
2
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На этом рисунке вы видите семейство подобных треугольников; стороны (или продолжения сторон) всех этих треугольников проходят соответственно через три фиксированные точки. Понятно, почему вершины этих треугольников лежат на окружности,— они являются вершинами равных углов, опирающихся на фиксированный отрезок.
Судя по рисунку, площади треугольников сначала увеличиваются, когда треугольники удаляются от красной точки по ходу часовой стрелки (их цвет при этом меняется почти как в радиге— от синERO до красного), а потом уменьшается.
Где же находится треугольник наиболее площади? Прочитите решение задачи M207, помещенное на с. 38—42, и вы узнали ответ на этот вопрос.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,
главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,
зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
И. Б. Мамулова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ
2 А. А. Белский, Л. Е. Садовский. Колыца
8 А. Б. Шварцбург. Магнитное поле Земли
13 И. М. Яелом. Заплаты на кафтане
22 И. И. Воробьев. Необучное путешествие

Математический кругок
26 О. Т. Долгов. Игра в 15

Задачник «Квант»
34 Задачи M246—M250; Ф258—Ф262
36 Решения задач M205—M207; Ф213—Ф217

Практикум абитуриента
46 И. А. Кушинр. Метод вспомогательного элемента
52 Новосибирский государственный университет

Рецензии, библиография
56 И. Зориц. Беседы старого учитель

«Квант» для младших школьников
57 Задачи
58 Б. А. Кордемский. Топологические опыты своих pupils

Ответы, указания, решения

Уголок коллекционера
В. А. Лешковцев. Первый полет к Венере (3-я с. обложки)

Смесь (с. 12, 60)

На первой странице обложки вы видите старинный морской комнат. Этот комнат с позолоченной короной сделан, как предполагается, в 1790 году и, возможно, находился в капитанской каюте корабля Британского королевского флота. Компас подвешивали на цейги и думя перекрещенными колццами прикрепляли к потолку каюты. Это обеспечивало горизонтальное положение магнитной стрелки при любой качке. Смотреть на комната нужно было сизу. Сейчас этот комнат хранится в Национальном морском музее в Гринвчине (Великобитания).

О том, почему магнитная стрелка показывает направление свет—юг, всегда ли она установливается в этом направлении, когда и почему стрелка отклоняется, вы можете прочитать в статье А. Б. Шварцбург «Магнитное поле Земли», помещенной в этом номере нашего журнала.

© «Квант», 1974 200

2

С понятем колыца стalkиваются еще в средней школе: впервые — овладевая действием сложения и умножения чисел, затем — обучаясь действием с многочленами (полномами). И в том и в другом случае общими оказываются определенные правила (аксиомы), которые подчиняются эти операции. Ради изучения именно этих общих свойства операций сложения и умножения (чисел, полиномов или, как мы увидим далее, объектов иной природу) как таковых, в их внутренней связи между собой, безно尬ительной к природу элементов, над которым они производятся, и было введено в алгебре понятие колыца.

Что же такое колыцо? Точно определяние этого объекта связано с понятием операции. С него мы и научем.

Рассмотрим произвольное множество $M$. Будем говорить, что на нем определяена операция, если установлен правило, по которой любым двум элементам $a$ и $b$ из $M$ ставится в соответствии третий элемент $c$ того же множество. Так, например, если $M$ — множество всех целых чисел (для него принято стандартное обозначение $Z$), то сложение $c = a + b$ и умножение $c = ab$ является двумя различными операциями на этом множество. Если, скажем, $M$ — это множество из двух различных элементов $a$ и $b$ (общеринарное обозначение $M_2 = \{a, b\}$), то все возможные операции на нем можно полностью описать. Для этого сначала нужно перечислить всевозможные пары элементов из $M_2$. Вот они: $(a, a)$, $(a, b)$, $(b, a)$, $(b, b)^*$; затем следует решить, какой элемент из $M_2$ относится той или иной паре.

Удобнее всего конкретную операцию на множество, состоящем из

*) Таким образом, мы различаем пары $(a, b)$ и $(b, a)$, то есть рассматрием так называемые «упорядоченные пары».

Конечного числа элементов, описывайте таблицей (такой способ предложил английский математик А. Кэл и (1821—1895), по имени которого также таблицы теперь и называются таблицами Кэл).

В левом столбце и в верхней строке записываются элементы множества $M$ так, как это указано в таблице 1; на пересечении строки, которая начинается с элемента $a$, и столбца, который начинается с элемента $b$, указывается тот элемент, который сопоставляется рассматриваемой операцией паре $(a, b)$. Например, если паре $(a, b)$ сопоставляется элемент $a$, то это обстоятельство записывается так, как в таблице 1’. Далее, если паре $(b, a)$ ставится в соответствии элемент $b$, то получается таблица 1’'.

Табл. 1
Табл. 1'

3

Заполенная таблица полностью определяет операцию. В таблицах 2—5 приведены примеры различных операций на множестве из двух элементов. Читатель будет полезно описать таблицами все остальные операции на этом множестве (всего их 16; советуем их найти).

В таблице 6 приведен пример операции на множестве $M_3 = \{a, b, c\}$ из трех элементов. Подсчитайте, сколько операций существует на $M_3$.

В известных нам из аргументки случайных операции присвоены называния: скажем, сложение, вычитание, умножение. В обшем случае, о котором только что шла речь, операции специальных называний не имеют. Лишь для удобства ту или иную операцию иногда называют умножением, еще реже — сложением, хотя

Table 1
Table 2
Table 3
Table 4
Table 5
Table 6

Если при данной операции парамет $(a, b)$ и $(b, a)$ сопоставляется один и тот же элемент, то есть $a * b = b * a$, то говорят, что элементы $a$ и $b$ коммутируют, а относительно операции, описанной в таблице 3, эти же элементы не коммутируют. Если операция также, что относительно нее коммутируют все пары, то говорят, что она коммутативна. Конечно, сложение и умножение целых чисел — коммутативные операции, таблицы 2 и 6 тоже задают коммутативные операции.

Докажите, что таблица Кэли коммутативной операции симметрина относительно главной диагонали (так называют линюю, индушую из левого верхнего угла таблицы в правый нижний угол).

Сформируем теперь в общем виде еще одно свойство, который может обладать (или не обладать) операция. Пусть $a, b$ и $c$ — три (не обязательно

4

различных) элемента множества $M$. Если $a * (b * c) = (a * b) * c$ для этих элементов, то их называют ассоцирующими.

Подчерком, что в обеих частях последнего равенства элементы $a, b, c$, независимо от расстановки скобок, выписываются в одном и том же порядке. В этом смысле тройка элементов $a, b, c$ являются упорядоченными.

Так, например, элементы $b, a, b$ из $M_2$ относительно операции, описанной в таблице 3, — ассоцирующие, а относительно операции из таблицы 5 не являются ассоцирующими (проверьте это!). Операция, относительно которого все тройки элементов множества $M$ являются ассоцирующими, называется ассоциативной. Сложение и умножение целых чисел — операции не только коммутативные, но и ассоциативные. Читателью будет полезно придуть пример такой операции, которая была бы коммутативной, но не ассоциативной.

Теперь мы готовы дать определение колца. Колчо — это множество $M$ с двумя специфическими операциями. Оdnу из них принято назвать сложением и обозначать элемент, сопоставляемый его пар $(a, b)$, через $a + b$, а другую принято назвать умножением и обозначать элемент, сопоставляемый пар $(a, b)$, через $ab$. Специфика этих операций заключаена в следующих пятей требований, которые к ним предъявляются:

сложение должно быть коммутативным и ассоциативным, то есть для всех пар $(a, b)$ и для всех простых $(a, b, c)$ элементов из $M$ должны место равенства:

1. $a + b = b + a$;
2. $(a + b) + c = a + (b + c)$;
3. в множество $M$ должны существовать максимальный элемент 0, что $a + 0 = a$ при всех $a$ из $M$; этом элемент 0 при этом называется нулем;
4. для каждого $a$ из $M$ должны существовать максимальный элемент $c$ из $M$, что $a + c = 0$; элемент $c$ называет сначала нулем и умножения. Если внимательно присмотрется, то становится следующее обстоятельство:

промышленным элементу $a$ и часто обозначатом через — $a$ (так что в данном случае $c = -a$);

5. от умножения пребуется лишь одно: оно должно быть диспribутивно связано со сложением, то есть для любых $a, b, c$ из $M$ должны иметь место равенства

$$a (b + c) = ab + ac;$$
$$b + c) a = ba + ca$$

(различать эти два равенства надо потому, что умножение не предполагается коммутативным). Часто указанное свойство называют «распределительное умножение относительно сложения».

Вот что такое колцо. Очень важно иметь в виду, что из требований 1) — 4) следует «единистенность» нуля и «единистенность противоположного элемента». Означает это следующее: а) если $0_1$ и $0_2$ — два элемента колца $M$, удовлетворяющие требованиям 3), то $0_1 = 0_2$; 6) если $a + c_1 = a + c_2 = 0$, то $c_1 = c_2$. Иными словами: в колце только один нуль, и каждый элемент колца имеет лишь один противоположный элемент. В самом деле, ведь в силу 1) и 3):

$$0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2 + 0_1 = 0_2.$$

Этим доказано a). Далее, если к обеим частям равенства

$$a + c_1 = a + c_2$$

прибавить, скажем, $c_1$, то получится

$$c_1 + (a + c_1) = c_1 + (a + c_2),$$

или, в силу 2),

$$(c_1 + a) + c_1 = (c_1 + a) + c_2,$$

или, ввиду того что $a + c_1 = c_1 + a = 0$, получаем

$$0 + c_1 = 0 + c_2,$$

или $c_1 = c_2$, чем и доказывается 6).

Примерами колцом могут служить известные нам уже множество всех целых чисел, множество всех разнональных чисел, множество всех полиномов с вещественными коэффициентами относительно общих операций сложения и умножения. Если внимательно присмотрся, то становится следующее обстоятельство:

6

ны, $a_2 + b_2 = n(q'_2 + q'_2) + r' + r''$, и снова
$$\overline{a_2 + b_2} = r' + r''.$$
Следовательно, $\overline{a_1 + b_1} = \overline{a_2 + b_2}$, что и требовалось доказать.

Итак, одна операция на $Z_n$ определяна. Она называется сложением, а результат ее применения к двум остаткам из $Z_n$, как уже говорилось, называется суммой.

Предложение 1. Сложение на $Z_n$ удовлетворяет требованиям 1) — 4), перечисленных в определении колба.

Доказательство. Благодаря равенству (3), которое подробно обсуждалось, выше, коммутитивность и ассоциативность введенного сложения непосредственного следуют из коммутитивности и ассоциативности сложения целых чисел. Аксимма 3) о существовании нуля выполняется благодаря существования остатка $\overline{0}$ (его дают числа, кратные $n$): $\overline{a} + \overline{0} = \overline{a} + 0 = \overline{a}$. Наконец, противоположим остатку $\overline{a}$ служит, оченьindo, остаток $-\overline{a}$, так что $-\overline{a} = -\overline{a}$, и аксиома 4) также выполняется.

Вот несколько таблиц сложения в $Z_n$ (см. табл. 7—8).

Введем теперь в $Z_n$ умножение. Положим для $\overline{a}, \overline{b}$ из $Z_n$
$$\overline{ab} = \overline{ab}$$ (4)
и называем $\overline{ab}$ произведением $\overline{a}$ и $\overline{b}$, а само действие — умножением. Конечно, и в этом случае нужно доказать, что определение корректно, то есть нужно убедиться в следующем:

щем:
если $\overline{a}_1 = \overline{a}_2$ и $\overline{b}_1 = \overline{b}_2$, то $\overline{a_1b_1} = \overline{a_2b_2}$.

Пусть, в самом деле, $a_i = q'_i n + r'$, $i = 1, 2$, и $b_j = q'_j n + r'$, $j = 1, 2$. Тогда
$$\overline{a_1b_1} = \overline{(q'_1 n + r')(q'_1 n + r'')} = \overline{n (nq'_1 q'_1 + r'q'_1 + r''q'_1) + r'r''} = \overline{r'r''}$$
$$\overline{a_2b_2} = \overline{n (nq'_2 q'_2 + r'q'_2 + r''q'_2) + r'r''} = \overline{r'r''}$$.

Предложение 2. Умножение на $Z_n$ удовлетворяет аксиммом 5) — 8), перечисленных в определении колба.

Доказательство. Дистрибутная связь со сложением, а также коммутитивность и ассоциативность умножения следуют, благодаря (4), из аналогичных свойства умножения целых чисел. Роль единцы для умножения играет остаток $\overline{1}$.

Итак, $Z_n$ — количество коммутитивное, ассоциативное и обладающее единцией.

Умножение в каком бы то ни было колба $R$ существенно характеризуется тем, в каких случаях оказывается выполненным равенство
$$ab = 0.$$ (5)
Так, например, в колба $Z$ целых

7

чисел равенство (5) выполняется лишь тогда, когда либо $a = 0$, либо $b = 0$. Аналогично утверждение справедливо и для $Z_3$ (см. табл. 9). Но в колъце $Z_6$, например, равенство (5) справедливо при $a = \overline{2}$ и $b = \overline{3}$, то есть произведение ненулевых сомножителей оказывается здесь равным нулю. Прияго говорить, что элемент $a$ колъца $R$ является делителем нуля, если $a \neq 0$ и если существует такой элемент $b \neq 0$ в $R$, что $ab = 0$. Таким образом, остаток $\overline{2}$ в $Z_6$ является делителем нуля; с другой стороны, в расстоянии выше колъца $Z$ и $Z_3$ делителей нуля нет совсем.

Наряду с равенством (5) умножение в колъце характеризуется и тем,

| | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ |
| $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ |
| $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ |
| $\bar{5}$ | $\bar{0}$ | $\bar{5}$ | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\bar{1}$ |

Табл. 10. Умножение в $Z_4$

чисел равенство (5) выполняется лишь тогда, когда либо $a = 0$, либо $b = 0$. Аналогично утверждение справедливо и для $Z_3$ (см. табл. 9). Но в колъце $Z_6$, например, равенство (5) справедливо при $a = \overline{2}$ и $b = \overline{3}$, то есть произведение ненулевых сомножителей оказывается здесь равным нулю. Прияго говорить, что элемент $a$ колъца $R$ является делителем нуля, если $a \neq 0$ и если существует такой элемент $b \neq 0$ в $R$, что $ab = 0$. Таким образом, остаток $\overline{2}$ в $Z_6$ является делителем нуля; с другой стороны, в расстоянии выше колъца $Z$ и $Z_3$ делителей нуля нет совсем.

Наряду с равенством (5) умножение в колъце характеризуется и тем,

| | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ | $\bar{0}$ |
| $\bar{1}$ | $\bar{0}$ | $\bar{1}$ | $\bar{2}$ | $\bar{3}$ | $\bar{4}$ | $\bar{5}$ |
| $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{2}$ | $\bar{4}$ |
| $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ | $\bar{0}$ | $\bar{3}$ |
| $\bar{4}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ | $\bar{0}$ | $\bar{4}$ | $\bar{2}$ |
| $\bar{5}$ | $\bar{0}$ | $\bar{5}$ | $\bar{4}$ | $\bar{3}$ | $\bar{2}$ | $\bar{1}$ |

Табл. 11. Умножение в $Z_6$

Такие элементы называют обратными. В колъце $Z$ множество обратных элементов состоит всего лишь из 1 и —1; в колъце $Z_3$ обратными все элементы, кроме 0, а в колъце $Z_6$ обратными только остатки $\bar{1}$ и $\bar{5}$, поэтому что $\bar{5} \cdot \bar{5} = \bar{1}$. (Советует читатель проверить, что в $Z_6$ все остальные элементы $x$ не являются обратными.)

Мы познакомились, таким образом, с понятем колъца, рассмотрели простейшие примеры и первые структуры характеризки этого нового объекта: делители нуля и обратные элементы. Телер можно приступить к изучению таких важных вопросов, как, например, вопрос о простых элемтах колъца и разложении на простые множители. Этот целли мы сейчас перед собой не ставим: ей естественно посвятить отдельный разговор.

В заключение — несколько задач для самостоятельного решения.

1. Докажите, что множество полиномов с действительными коэффициентами с общиммислом сложением и умножением является колъцем без делитель нуля. Каково множество обратных элементов этого колъца?

2. Составьте таблицы сложения и умножения в $Z_5$ и $Z_7$ и докажите, что в этих колъциях не только нет делитель нуля, но и что каждый ненулевой элемент в них обратен.

3. Докажите, что свойствами, о которых говорится в предыдущей задаче, обладает любое колъцо $Z_p$ при простом числе $p$.

4. Докажите, что в колъце $Z_n$ каждый ненулевой элемент либо обратен, либо не является делитель нуля.

5. Докажите утверждение 4 для любого колъца, обладающего единней, составшего из конечного числа элементов и ассоциативного.

8

Магнитная стрелка, помещенная в сосуд с водой, служила путешественником для орентации в море еще в средние века. Долго время считалось, что стрелка указывает на север, точнее — на Полярную зелёду. Однако наблюдания при дальнейх морских путешествиях и на суше показали, что это неверно. Поэтому мореплавательям особенно важно знать:

Куда указывает стрелка компас?

Христофор Колумб по пути в Новый Свет обратил внимание на важное свойство магнитной стрелки. Вскоре после отплытия (в сентябре 1492 года), продавясь на запад от берегов Пиренейского полуострова, он заметил, что магнитная стрелка все больше отклоняет от направления север — юг. Наблюдения по Солнцу показали, что за четыре дня конец стрелки сметлися на целое деление (шкала компас состояла из 32 делений, так что каждое соответствующее углу в $11^{1/4}$). Многие моряки восприяли это неожиданное и непонятное явление как плоское предзнаменование. Рассказывали даже, что капитану, во избежание воленей на борту, пришлось заявить команде, что сметлилась Полярная зелёда, вызвав этим смешение стрелки. Однако по мере приближения к Америке смешение стало уменьшаться, и постепенно стрелка приблизалась к привычному положению.

Таким образом было установлено два важных факта: 1) магнитная стрелка может отклоняться от направления север — юг; 2) величины отклонения изменяется в зависимости от места наблюдения.

Величину угла географических meridianом и направлением стрелки (в горизонтальной плоскости) называют склонением.

Представлено о том, что магнитная стрелка направлена строго на север, был нанесен еще один удар: учены обнаружили, что стрелка не установливается горизонтально; точнее, было замечено, что в северном полушарии ее северный конец отклоняется вниз. Наименший угол между направлением стрелки и горизонтальной плоскостью называют наклонением. Наклонение в разных местах также оказывается различным, причем распределение величины склонения и наклонения по поверхности Земли выглядело чрезвычайно сложно. После этого возникло естественное предположение, что причина отклонения стрелки как-то связана с Землей. Такое предположение получило развитие в знаментий книге английского естественного спектрального Гильберта «О магните, магнитных телах и великом магните Земли», которая увидела свет в 1600 году. Чтобы объяснить поведение магнитной стрелки, автор уподобляет земной шар стержнеобразному магниту, уже знакомому ученым в то время. Подобная модель во многом сохранила значение и сегодня. С помощью та-

9

кой модели можно приближенно описать магнитное поле Земли, однако это довольно грубо описание. На поверхности Земли магнитное поле обнаруживает отсутствия от этой модели, а далекот от Земли, в космосе, такая модель хорошо описывает магнитное поле Земли.

Магнитный диполь

Электрическое поле двух зарядов, разделенных на расстояние $l$, носит название поля электрического диполя. Хотя в природе нет магнитных зарядов, существуют магнитные поля, картина силовых линей которых подбна картине силовых линей электрического поля диполя. Таково, например, поле намагниченного стержня на достаточно больших расстояниях от него. По аналогии с электрическим такое поле называют полем магнитного диполя. При описании такого поля можно считать (хотя на самом деле это не так), что оно создается двумя «магнитными массами», помещеными на концах намагничного стержня (см. рисунок). В течение многих лет учены так и рассужали, уподобляя магнитные массы электрическим зарядам.

Найдем сначала индукцию в «далекой» точке $A$ на оси диполя такой,

$$B_1 = -\frac{kM}{(L+a)^2}.$$

Для поля электрического заряда было бы $E = \frac{k'Q}{(L+a)^2}$. Здесь $k$ и $k'$ — коэффициенты, зависимости от выбора системы единиц. В этой же точке индукция поля «магнитной массы» $M$ равна

$$B_2 = \frac{kM}{(L-a)^2}.$$

Используя принцип суперпозицини, найдем результатющее значение индукции в точке $A$:

$$B_\parallel = B_1 + B_2 = 4 \frac{kMaL}{(L^2-a^2)^2}.$$

Так как $L \gg a$, можно считать, что

$$B_\parallel = 4 \frac{kaM}{L^3}.$$

Величина $2kMa$ посит специальное название — магнитный момент диполя; обозначим эту важнуюеличину через $p$, тогда

$$B_\parallel = \frac{2p}{L^3}.$$

Найдем теперь индукцию в плоскости, перpendикулярной оси диполя. Индукция поля, создана в полосом — $M$, численно равна $B_3$, а направлена по прямой $DF$. Проектура векторы индукции $B_3$ и $B_4$ на оси $OF$ и $CD$, увидим, что сумма проекций на ось $FO$ равна 0. Результирующая проекция на ось $CD$ составляет

$$B_\perp = 2B_3\sin \alpha = 2 \frac{kaM}{(FC)^2FC}.$$

10

Использование момента диполя $p = 2kMa$ и заменяя, что при больших расстояниях FC ($FC \gg 2a$) можно приближенно положить FC = L, запишем формулу для величины магнитной индукции в плоскости, перpendикулярной оси диполя:

$$B_{\perp} = \frac{p}{L^3}.$$

(2)

Сравнение формул (1) и (2) показывает, что поля диполя сложнее поля точного заряда: величина индукции зависит не только от расстояния до источника поля, но и от угла радиуса-вектора точки, в которой измеряется индукция с осью диполя. При изменении этого угла от 0 до $\frac{\pi}{2}$ индукция поля (на том же расстоянии $L$) уменьшается вдвое.

Тепер приименим модель магнитного диполя к описанию магнитного поля Земли. Представим себе, что внутри земного шара находится две «магнитные массы», образующие диполь. Ось диполя продолжена так, что пересекает поверхность Земли. Точки пересечения называются магнитными полюсами. Величина индукции магнитного поля вблизи полосов вдвое больше, чем на магнитном экваторе. Непосредственные измерения показывают, что вблизи магнитных полосов $B = 0,7 \cdot 10^{-4} \text{ m/l}$, а вблизи экватора $B = 0,4 \cdot 10^{-4} \text{ m/l}$. Если не интересоваться специально областими вблизи полоса или экватора, то для оценки принципов среднее значение $B = 0,5 \cdot 10^{-4} \text{ m/l}$.

С помощью формул (1) или (2) можно узнать диполный момент, соответствующий определенным значением индукции. Считая, что радиус Земли равен $R_0 = 6400 \text{ km}$, получим, что величина магнитного момента Земли составляет

$$p = 8 \cdot 10^{15} \text{ m/l} \cdot \text{m}^3.$$

Вариации и аномали магнитного поля

Одним из первых пунктов, где систематически начали измерять внешну магнитного склония, был Лондон. Вот значения склония по годам: в 1540 году — 7,2°; в 1560 — 9,6°; в 1580 — 10,9°. Оказывается, склоние меняется со временем, причем скорость этого изменения не постоянна. После 1580 года начинается уменшение склония. Okolo 1660 года значение этой величины перешло через нуль и стало отрицательным, то есть стрелка стала отклоняться не к востоку, а к западу. Угол отклонения возрастал и в 1820 году составил около 24°. Потом западное склоние стало уменшаться и сейчас составляет около 16°.

Сейчас значения склония изменяется на Земле в несколько десятичных тысяч пунктов. Результаты изменений наносят на так называемые магнитные карты. На этих картах проведены линии, соединяющие пункты с одинаковым значением склония (так же как на географических картах — точки, лежащие на одинаковой высоте над уровнем моря).

Таким образом, из-за изменения склония с течение времени — так называемых варнаций — магнитные карты теряют ценность, и через несколько лет их нужно составлять заново. Склоние магнитной стрелки нельзя обяснить с помощью представления о постоянном магнитном диполе, расположенном в центре Земли. Такие представления описывают лишь среднее поведение магнитного поля. На Земле существует немало магнитных аномалей, характеризующихся значительным отступлением величины и направления магнитного поля от диполной модели. Так, в южной оконечности Южной Америки индукция магнитного поля падает до 2,5 \cdot 10^{-5} \text{ m/l} — меньше, чем на магнитном экваторе. Некоторые аномали связаны с залеганием магнитных материалов. Такова, например, значения Курская магнитная аномали, где индукция магнитного поля превышает величины 2 \cdot 10^{-4} \text{ m/l}. Это больше значения индукции вблизи магнитных полосов Земли.

11

Магнитосфера Земли
и солнечный ветер

До сих пор речь шла о магнитном поле на поверхности Земли. Однако магнитное поле Земли играет важную роль в физических процесах, протекающих на больших высотах, там, где «дует» солнечный ветер. Солнечный ветром называют поток газа, радиальное удляющийся по всему направлением от Солнца. Газ солнечного ветра полностью иннизирован и состоит из протонов и электронов. В таком состоянии он хорошо проводит электрический ток.

Солнечный ветер не достигает Земли, этому преляется соответствие Землей магнитное поле. Поток индуших от Солнца части отклоняется и обтекает Землю в области, называемой магнитосферой. Magнитосфера расположена на большом расстоянии от земной поверхности, намного больше, чем радиус Земли. Поэтому магнитное поле здесь значительное слабое, чем на поверхности Земли. Тем не менее магнитосфера все же играет роль свободного «шита», прикрывающего Землю от проникновения части из космоса. Расчет показывает, что поток части, расположенной в плоскости магнитного экватора, затормозит далеко от поверхности Земли, на расстоянии примерно в 8—9 земных радиусов.

С другой стороны, поток солнечного ветра, движущийся вдоль магнитной оси Земли в направлении близи магнитного полюса, встречает на своей пути лишь очень слабую, стремящуюся к 0, горизонтальному составляющему магнитного поля Земли. Поэтому такие потоки части подходят гораздо близке к поверхности Земли и вызывают сильные возможности в ионосфере Земли.

Геомагнитное динамию

В последнее время благодар_usпехам космонавтики появился возможность непредставленного измерителя магнитное поле на поверхности близкой ших к нам планет Солнечной системы. Оказалось, что на Лунс или совсем нет собственного магнитного поля, или его индукция, во всяком случае, меньше одной десятицыной индукции магнитного поля Земли*). После этого вопрос о принципах существования магнитного поля Земли и его изменений прибрежелосубую систему. Magнитное поле Земли можно приближенно описать, если предположить, что оно индуцируется некоторым электрическим током, тёкшим глубоко в недрах Земли. Действительно, картина силовых линей электрического поля колба с током подобна картине магнитных силовых линей поля намагниченного структрия, который мы заменили магнитное поле Земли. Физические причины, приводящие к существованию такого тока, пока еще не установлены окончательно. Существует несколько теорий, пытающихся объяснить проискхдение этого тока. В последнее время среди геофизков пользоваются популяриостью так называемая «теория геомагнитного диамо» или, короче, «динамо-теория». Рассказаем включение, в чем состоит физическое основы этой теории.

Результаты геологических исследований позволяют считать, что в центре Земли находится жидкое электропроводшее ядро. Радиус ядра составляет около 3900 км. Согласно «динамо-теории», токи в ядре образуют за счет электромагнитной индукции привращательном движении проводшего ядра в магнитном поле. Magнитное поле создается этим же токами. Таким образом, магнитное поле само себя поддерживает, подобно тому, как это происходит в диамо-машине (отсюда и пошло название теории). Однако еще до начала такой машины допусков существенного «затравочное» поле.

*) Подробнее о магнитном поле Луны см. статью: Гинцбург М. А. Измерение магнитных полей на Луне. «Квант», 1973, № 11.

12

«Затравонное» поле, необходимое для «запуска динамо», могло быть создано различными физическими механизмами. Однако из наиболее простых obъяснения связи с тем, что небольшое намагничивание присуше любому врашающему телу. Предположение о существовании такого намагничивания высказывал еще П. Н. Лебедев. В его опытах делалась попытка обнаружить намагничивание, создаваемое врашающему диском. Хотя техническа эксперимента того времени и не позволила надежно зафиксировать возникновение намагничивания, впоследствии опыты были повторены другими учеными на более совершенных установках. В частности, было экспериментально измерено намагничивание стержня, возникающее при врашении этого стержня вокруг продольной оси. Оценки показывают, что индукция поля, возникающая при врашении Земли, составляет ничтожно малую величины, порядка $10^{-11}$ индукции поля Земли. Однако стол малое поле, возникнув, могло усиливать за счет действия «геомагнитного динамо», как описано выше. Источником энергии, необходимой для создания поля, могло служить врашение Земли.

Эту теорию нельзя считать окончательной, и вопрос происхождения магнитного поля Земли во многом остается открытым. Поскольку эта проблема связана с особенностями состояния вещества вблизи центра Земли, объяснение магнитизма Земли было бы важным результатом и для геологии, и для астрономии. Решение этой проблемы, верятно, помогло бы связать факт отсутствия диопольного магнитного поля на Луне с внутренним строением этой планеты.

Задча-пасьянс

Тщательно перемешаем коости домино и разложим их лицевой сторон вниз в виде треугольника.

Мы хотим разместить их в таком виде:

Для этого открыем нижнюю кость и помещим ее на предназначенное ей место. Кость, которая заняла кость, открывается на помещаем на соответствующей ей место, и так далее.

Пасьянс считается удалшимся, если такими действиями нам удался перевернуть все кости (то есть если место нижней кости будет занято лишь на последнем ходу).

Какова веряность такого исхода? (Или: в какой части слуаев пасьянс удался?)

13

В № 1 журнала «Квант» за этот год была опубликована следующая задача Е. Б. Дынкина:

M185 *. На кафмане плочадью 1 помещается 5 заплам, плочадь каждой из которых не меньше $1/2$. Доказите, что найдет две запламы, плочадь общей части которых не меньше $1/5$.

Мы разберем решение этой задачи и обсуждим некоторые ее обобщения и варианты *). Наше изложение будет сопроводаться задачими, в которых, в частности, будут отмечены отдельные детали проводимых доказательств; номера наиболее трудных задач помещены звездочкой.

Мы будем обозначать как сам кафтан, так и его плочадь (по условию равную 1) буквой $M$; заплаты на кафтане (и плошади этих заплат) мы обозначим через $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ и $M_5$, а, скажем, обещую часть заплат $M_1$ и $M_2$ (и плочадь этой общей части) — через $M_{12}$; аналогично этому общую часть заплат $M_1$, $M_2$ и $M_3$ (и ее плочадь) мы обозначим через $M_{123}$ и т. д. To obstruction, что, например, через $M_1$ мы обозначаем как заплату (геометрическую функцию), так и плочадь этой заплаты (число!), не должно нас смущать — из текста каждой раз будет понятно, в каком смысле мы употребляем запись $M_1$.

Начинаем решать задачу

Из того, что обещая плочадь всех заплат

$$M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + M_5 \geq \frac{5}{2}$$

большое плочади $M = 1$ кафтана, вытекает, что наша пллаты перекрываются — и задача состоит в том, чтобы оценить плочади их общих частей (точнее — оценить наиболее из чисел $M_{12}$, $M_{13}, \dots, M_{45}$). Мы утверждаем, что

$$M - (M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + M_5) + (M_{12} + M_{13} + M_{14} + \dots + M_{45}) \geq 0.$$ (1)

В самом деле, если бы заплаты не перекрывались, то была бы неотрицательная разность $M - (M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + M_5)$, равная плочади части кафтана, вовсе не покрытой запланами. Но на самом деле наша пллаты пересекаются — и сумма $M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + M_5$ оказывается гораздо больше общей плочадии $S$ покрытой запланами части кафтана (где, разумеется, $S \leq M = 1$): часть $M_{12}$ кафтана учитывает в сумме $M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + M_5$ дважды, поскольку она входит в слагаемое $M_1$ и в слагаемое $M_2$, часть $M_{123}$ — трижды и т. д. Попробуйте теперь доказать, что

$$S \geq \sum M_i - \sum M_{ij}.$$ (1')

*) Краткое решение этой задачи приведено в «Кванте» № 10, 1973.

14

Если вам не удалось сделать, прочитите следующий раздел статы, а потом вернитесь к этому неравенству.

Из (1’), поскольку $M \geq S$, вытекает неравенство (1).

Неравенство (1) уже позволяет оценить попарные пересечения $M_{12}, M_{13}, \dots$ заплат. В самом деле, из него следует, что $(M_{12} + M_{13} + \dots + M_{45}) \geq \geq (M_1 + M_2 + M_3 + M_4 + M_5) - M \geq \geq \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$.

А так как общее число попарных пересечений заплат $M_{ij}$ равно $C_5^2 = 10$, то наиболее из чисел $M_{12}, M_{13}, \dots, M_{45}$ не меньше чем
$$\frac{3}{2}:10 = \frac{3}{20}.$$

Полученная нами оценка, однако, х уже требуемой оценки $\frac{1}{5} \left( = \frac{4}{20} \right)$.

Уражение

1. На кафтане площади 1 имеется 9 заплат площади $1/5$. Докажите, что найдет такие две заплаты, площад обшей части которых не меньше $1/45$.

Формула вklюченной и исключенной

Наша оценка (1’) для площади $S$ всей покрытой запланами части кафтана не точна. Постараемся точнее определить эту площад. В правило части формулы (1’) невойдет площад никакой части кафтана, покрытой сразу тремя запланами: например, $M_{123}$ войдет в имеющие знак «плюс» члены $M_1, M_2, M_3$ и в имеющие знак «минус» члены $M_{12}, M_{13}, M_{23}$ — то есть полностью ввинадем из формулы (1’). Поэтому лучше оценкой для $S$ может служить выражение
$$\sum M_i - \sum M_{ij} + \sum M_{ijk}.$$
Однако и эта величина еще не равна $S$, поскольку какая часть кафтана $M$, покрытая сразу тремя запланами, учитывает в ней дваж-

ды: в самом деле, скажем, величина $M_{1234}$ учитывает в 8 членах $M_1, M_2, M_3, M_4; M_{123}, M_{124}, M_{134}, M_{234}$ последнего выражения, входящих в него со знаком «плюс», и лишь в 6 членах $M_{12}, M_{13}, M_{14}, M_{23}, M_{24}$ и $M_{34}$, входящих в это выражение со знаком «минус». Поэтому следует приближением к истинной величины $S$ явится выражение
$$\sum M_i - \sum M_{ij} + \sum M_{ijk} - \sum M_{ijkl},$$
которое уже «почти равно» $S$ — в нем точно учитываются все участки кафтана $M$, покрытые запланами не более чем четыреххитвых запланами, из последнего выражения «винадем»: в самом деле, он входит во все члены этого выражения, то есть как в 15 членов $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5; M_{123}, M_{124}, \dots, M_{345}$, имеющих перед собой знак «плюс», так и в 15 членов $M_{12}, M_{13}, \dots, M_{45}; M_{1234}, M_{1235}, M_{1245}, M_{1345}$ и $M_{2345}$, имеющих перед собой знак «минус». Поэтому для того, чтобы получить точное выражение для $S$, мы должны член $M_{12345}$ к последней сумме прибавить. Вот точное равенство:
$$S = \sum M_i - \sum M_{ij} + \sum M_{ijk} - \sum M_{ijkl} + M_{12345}.$$
(здесь $i, j, k, l = 1, 2, 3, 4$ или 5). Но площад σ части кафтана, не покрытой ни одной запланой, равна $M - S$; так как $\sigma \geq 0$, то имеем $\sigma = M - \sum M_i + \sum M_{ij} - \sum M_{ijkl} + \sum M_{ijkl} - M_{12345} \geq 0.$

Формула (3) получается последовательным исключеннымрокъных запланами участки кафтана $M$ и вklючением тех из них, которые оказались исключенными двумя критрами; ее иногда называют формулой вklюченной и исключенной. Эта формула используется во многих комбинаторных рассмотренях.

15

Формула включает и исключающий справедлива и для отличного от пятки числа запlat. В обшем случае $n$ запlat формула включает и исключающий принимает внешне несколько пуляшей своей сложностью, но по существу — в полне произрачный вид:

$$\sigma = M - \sum M_{i_1} + \sum M_{i_1 i_2} - \sum M_{i_1 i_2 i_3} + \sum M_{i_1 i_2 i_3 i_4} - \dots + (-1)^{n-1} \sum M_{i_1 i_2 i_3 \dots i_{n-1}} + (-1)^n M_{123 \dots n} \geq 0$$

(здесь все индексы $i_1, i_2, \dots, i_{n-1}$ могут принимать любые из значений 1, 2, 3, \dots, $n$, причем для пересечения $M_{i_1 i_2 \dots i_k}$ запlat $M_{i_1} M_{i_2} \dots M_{ik}$ все значения $i_1, i_2, \dots, i_k$ обязательно различины).

Упражнения
2. Докажите формулу (4) при $n = 6$.
3*. Докажите формулу (4).
4. Домпонеров регулярно посещают 220 школьников. При домапонеров имеется шесть спортивных секций: легкоатлетическая (л), волейбольная (в), баскетбольная (б), футбольная (ф), секция самбо (с) и шахматная секция (ш). Число участников этих секций таково: (л) — 30 человек, (в) — 26 человек, (б) — 32 человек, (ф) — 31 человек, (с) — 28 человек и (ш) — 36 человек. Несолько секций посещают 53 школьника; из них 24 школьника посещают три или больше секций, 9 школьников — не меньше четырех секций и 3 школьника — даже пять секций (в последнюю тройку школьников входит и один чудак, который посещает все шесть спортивных секций). Сколько из посещающих домпонеров школьников не участвуют ни в одной спортивной секции?

Решение задачи M185

Мы видели, что «сокращенная» формула включает и исключающий $M - \sum M_i + \sum M_{ij} \geq 0$ (1) не дает точной оценки интересующей нас величины max $M_{ij}$ (набольшей из величины $M_{ij}$); поэтому нам придется привлечь «полную» формулу $M - \sum M_i + \sum M_{ij} - \sum M_{ijk} + \sum M_{ijkl} - M_{12345} \geq 0$. (3')

Приименим теперь формулу включает и исключающий (4) (где мы считаем теперь, что $n = 4$) к части $M_1$ кафтана $M$, покрытой своим заплатами $M_{12}, M_{13}, M_{14}$ и $M_{15}$. Мы получаем

$$\sigma_1 = M_1 - \sum M_{1i} + \sum M_{1ij} - \sum M_{1ijk} + M_{12345} \geq 0,$$

где $\sigma_1$ — часть заплаты $M_1$, не покрытая другими заплатами, и номера (или индексы) $i, j, k$ пробегают всевозможные значения 2, 3, 4 или 5. Аналогичные неравенства можно выписать и для участков $M_2, M_3, M_4$ и $M_5$ кафтана:

$$\sigma_2 = M_2 - \sum M_{2i} + \sum M_{2ij} - \sum M_{2ijk} + M_{12345} \geq 0,$$

$$\sigma_5 = M_5 - \sum M_{5i} + \sum M_{5ij} - \sum M_{5ijk} + M_{12345} \geq 0.$$

Сложив полученные таким путем 5 неравенств, отвечающих участкам $M_1, M_2, \dots, M_5$ кафтана, получаем (проверьте это):

$$\sum M_i - 2 \sum M_{ij} + 3 \sum M_{ijk} - 4 \sum M_{ijkl} + 5 M_{12345} \geq 0.$$ (5)

Найдем теперь такую комбинацию неравенств (3’) и (5), в которой овсе отсутствует сумма $\sum M_{ijk}$ «тройных перекрытый заплат». Очевидно, для этого достаточно прибавить к (3’) умноженное на $1/3$ неравенство (5). Мы получим такое неравенство

$$M - \frac{2}{3} \sum M_i + \frac{1}{3} \sum M_{ij} - \frac{1}{3} \sum M_{ijkl} + \frac{2}{3} M_{12345} \geq 0.$$ (6)

Из него следует также, что

$$M - \frac{2}{3} \sum M_i + \frac{1}{3} \sum M_{ij} \geq 0.$$ (7)

Действительно, часть $M_{12345}$ кафтана входит в каждой из его частей $M_{ijkl}$, в силу чего $\sum M_{ijkl} > 5M_{12345}$, и по-

16

Формулировка общей задачи;
случай двух запласт

На кафмане М площади 1 имеется n запласт $M_1, M_2, \dots, M_n$, площadb каждой из которых не меньше известного нам числа $\alpha$; требуется оценить площadb наиболее из пересечений $M_{ij}$ запласт.

Другими словами, для каждой конфигурации из $n$ запласт на кафтане мы находим максимум $M_{ij}$, а потом отыскиваем минимум этого максимума $M_{ij}$ по всем возможным конфигурациям запласт*). Такого рода «минимаксные» (то есть связанные с нахождением минимума некоторых максимумов) задачи играют в современной математике очень большую роль.

Искомое число min max $M_{ij}$ зависит, разумеется, от заданного числа $\alpha$, то есть является функцией от $\alpha$; так как оно зависит также и от числа $n$ запласт, то мы обозначим эту функцию через $f_n(\alpha)$ (где, очень удобно, $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$, а $n \geqslant 2$). Решение задачи M185 сводится к доказательству равенства

$$f_5\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{5};$$

общая задача требует указыть формулу, выражающего $f_n(\alpha)$ через $\alpha$ и $n$.

Для того чтобы понять, какого ответа можно ожидать в этой общей задаче, мы начнем с (совсем простого!) случай $n = 2$. Итак, мы считаем, что на кафтане М площади 1 имеется двое запласт $M_1$ и $M_2$, площadb каждой из которых не меньше $\alpha$; нам надо указыть наименьшую возможную площад $f_2(\alpha)$ пересечения $M_{12}$ этих двух запласт.

Ясно, что если $\alpha \leqslant 1/2$, то заплаты могут во все пересечения (рис. 2, а); если же $\alpha \geqslant 1/2$, то наименьшая возможная площад $f_2(\alpha)$ пересечения

*) Мы предполагаем, что такой минимум существует, хотя это далеко не очень удобно.

17

М$_{12}$ заплат равна $2\alpha - 1$ (рис. 2, б). Таким образом,

$$f_2(\alpha) = \begin{cases} 0 & \text{при } 0 \leqslant \alpha \leqslant 1/2, \\ 2\alpha - 1 & \text{при } 1/2 \leqslant \alpha \leqslant 1, \end{cases}$$

— то есть график функции $y = f_2(\alpha)$ представляет собой ломаную линию (рис. 3). Это обстоятельство называется ломаной линий.

Уражнение
5. Описите функцию $y = f_3(\alpha)$.
Указание e: рассмотренте три сектора $M_1, M_2$ и $M_3$ круга $M$, оси симметрины $l_1, l_2$ и $l_3$ которых попарно образуют углы в $120^\circ$, а центральные углы (измеренные в долях полного угла!) равны $\alpha$; начинате с небольших значений $\alpha$ (рис. 4) и выясните, что произойдет при росте $\alpha$ вплоть до $\alpha = 1$.

Случай пяты заплат
Обратимся теперь к исходному случай 5 заплат $M_1, M_2, M_3, M_4$

Рис. 3.

Рис. 4.

2 «Квант» № 2

18

быть равны 0, и все $M_{ij}$ должны иметь одну и ту же величины $\frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{10}$. Но если все $M_{ijk} = 0$, то каждую заплату площади $\alpha$ (например, заплату $M_1$) «заплаты на заплате» $M_{12}, M_{13}, M_{14}$ и $M_{15}$ площади $\frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{10}$ должны покрывать уже без перекрытия, что возможно только, если $4\left(\frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{10}\right) \leq \alpha$ и, значит, $\alpha \leq \frac{2}{5}$ (ср. с разбором выше случая образнения функций $f_5(\alpha)$ в 0).

Таким образом, нам удалось продолжить график функции $y = f_5(\alpha)$:

$$f_5(\alpha) = \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{10}$$ при $\frac{1}{5} \leq \alpha \leq \frac{2}{5}$.

Далее нам придется обратиться к неравенству (7) (с. 15), явившееся основным инструментом решения задачи M185. Из этого неравенства вытекает, что

$$\sum M_{ij} \geq 2\sum M_i - 3M \geq 2(5\alpha) - 3 = 10\alpha - 3,$$

откуда

$$f_5(\alpha) \geq \frac{1}{10}(10\alpha - 3) = \alpha - \frac{3}{10}.$$

Неравенство (10) выполняется при всех $\alpha$ (т. е. график функции $y = f_5(\alpha)$ целиком лежит над прямой $y = \alpha - \frac{3}{10}$; рис. 7); одноко в равенство оно обращается лишь при $\frac{2}{5} \leq \alpha \leq \frac{3}{5}$ (см. упражнение 6,a).

Далее нам придется применить формулу включений и исключений уже не только к области $M_i$ кафтана, но и к области $M_{ij}$ и $M_{ijh}$. Так, применяя эту формулу к кафтану $M_{12}$, покрытому третьями заплатими $M_{123}, M_{124}$ и $M_{125}$, получаем

$$\sigma_{12} = M_{12} - \sum M_{12i} + \sum M_{12ij} - M_{12345} \geq 0.$$

Выписьвая 10 подобных неравенств, отвечающих 10 пересечениям $M_{ij}$ заплат, и затем складывая их все, получаем (проверьте это!), что

$$\sum M_{ijh} - 4\sum M_{ijkl} + 10M_{12345} \geq 0.$$

19

Рис. 8.

Теперь мы имеем четыре неравенства (3′), (5), (11) и (12), связывающие одни и те же величины $M$, $\sum M_i$, $\sum M_{ij}$, $\sum M_{ijk}$, $\sum M_{ijkl}$ и $M_{12345}$.

Сложив неравенства (3′); (5), умноженное на $1/2$; (11), умноженное на $1/6$, мы придем к неравенству

$$M - \frac{1}{2} \sum M_i + \frac{1}{6} \sum M_{ij} - \frac{1}{6} M_{12345} \geq 0,$$

(13)

из которого выпали как член $\sum M_{ijk}$, так и член $\sum M_{ijkl}$. Из (13), очевидно, следует, что тем более

$$M - \frac{1}{2} \sum M_i + \frac{1}{6} \sum M_{ij} \geq 0$$

и, значит,

$$\sum M_{ij} \geq 3 \sum M_i - 6M \geq 3(5\alpha) - 6,$$

откуда

$$f_5(\alpha) \geq \frac{1}{10}(15\alpha - 6) = \frac{3}{2}\alpha - \frac{3}{5}.$$

(14)

Таким образом, график функции $y = f_5(\alpha)$ лежит не ниже прямой $y = \frac{3}{2}\alpha - \frac{3}{5}$ (рис. 8).

Аналогично, складывая неравенства (3′); (5), умноженное на $3/5$;

(11), умноженное на $3/10$; (12), умноженное на $1/10$, мы получим неравенство

$$M - \frac{2}{5} \sum M_i + \frac{1}{10} \sum M_{ij} \geq 0,$$

(15)

из которого выпали все члены, кроме $M$, $\sum M_i$ и $\sum M_{ij}$. Из (15), очевидно, следует, что

$$\sum M_{ij} \geq 4 \sum M_i - 10M \geq 4(5\alpha) - 10 = 20\alpha - 10$$

и, значит,

$$f_5(\alpha) \geq \frac{1}{10}(20\alpha - 10) = 2\alpha - 1.$$

Таким образом, график функции $y = f_5(\alpha)$ лежит не ниже прямой $y = \frac{3}{2}\alpha - \frac{3}{5}$ (рис. 8).

Упражнения

6. Докажите, что

a) $f_5(\alpha) = \alpha - \frac{3}{10}$ при $2/5 \leq \alpha \leq 3/5$;

b) $f_5(\alpha) = \frac{3}{2}\alpha - \frac{3}{5}$ при $3/5 \leq \alpha \leq 4/5$;

b) $f_5(\alpha) = 2\alpha - 1$ при $4/5 \leq \alpha \leq 1$.

7. Описите функцию

a) $f_4(\alpha)$; b) $f_6(\alpha)$.

20

Случай $n$ заплат

Этот случай рассматривается аналогично случайю $n = 5$; изложим коротко соответствующее рассуждение.

Прежде всего ясно, что для того, чтобы $n$ заплат $M_1, M_2, \dots, M_n$, плошадь каждой из которых не меньше $\alpha$, не перекрылаись, надо, чтобы их общая площадь $\sum M_i \geq n\alpha$ не превысило площади $M = 1$ кафтана; поэтому

$$f_n(\alpha) = 0 \text{ при } 0 \leq \alpha \leq \frac{1}{n}.$$

Далее рассмотрим основное неравенство (4) (формулу включенной и исключенной, с. 15). Из этого неравенства следует, что

$$M - \sum M_i + \sum M_{ij} \geq 0 \tag{16}$$

(почему?); и, значит,

$$\sum M_{ij} \geq \sum M_i - M \geq n\alpha - 1.$$

А так как общее число «попарных пересечений заплат» $M_{ij}$ в общем случае равно числу $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$ соответствий из $n$ по 2, то

$$f_n(\alpha) \geq \frac{1}{n(n-1)/2} (n\alpha - 1) = \frac{2}{n-1} \alpha - \frac{2}{n(n-1)}. \tag{17}$$

При этом неравенство (17) может обращаться в равенство, только если обращается в равенство (16), то есть если в формуле включенной и исключенной (4) обращаются в 0 все следующие за $\sum M_{ij}$ члены (и если, кроме того, все заплаты $M_i$ имеют площадь $\alpha$ и полностью покрывают кафтан $M$). Но в этом случае $n - 1$ «попарных пересечений заплат» $M_{12}, M_{13}, \dots, M_{1n}$ покрывают заплату $M_1$ без перекрытия (ибо все $M_{ij} = 0$). А так как в этом случае все

$$M_{1i} = \frac{2}{n-1} \alpha - \frac{2}{n(n-1)},$$

то

$$(n - 1) \left[ \frac{2}{n-1} \alpha - \frac{2}{n(n-1)} \right] \leq \alpha,$$

и, значит, $\alpha \leq \frac{2}{n}$ (и, разумеется, $\alpha \geq \frac{1}{n}$).

Далее нам придется применять формулу включенной и исключенной уже к заплатам $M_i$ (вместо всего кафтана $M$), к их пересечениям $M_{ij}, M_{ijh}$ и т. д. Применим, например, эту формулу к заплате $M_1$, покрытой «заплатами второго порядка» $M_{12}, M_{13}, \dots, M_{1n}$:

$$M_1 - \sum M_{1i} + \sum M_{1i1} i_2 - \sum M_{1i1} i_2 i_3 + \dots + (-1)^{n-2} \sum M_{1i1} i_2 \dots i_{n-2} + (-1)^{n-1} M_{123} \dots n \geq 0$$

(где $i_1, i_2, \dots, i_{n-2} = 2, 3, \dots, n$).

Складывая $n$ таких неравенств, отвечающих заплатам $M_1, M_2, \dots, M_n$, получаем неравенство

$$\sum M_i - 2 \sum M_{i1} i_2 + 3 \sum M_{i1} i_2 i_3 - \dots + (-1)^{n-2}(n-1) \sum M_{i1} i_2 \dots i_{n-1} + (-1)^{n-1} n M_{123} \dots n \geq 0 \tag{18}$$

(ср. с неравенством (5) на с. 15). Из неравенства (4) и (18) нетрудно использовать член $\sum M_{i1} i_2 i_3$ – для этого достаточно сложить (4) с умножением на 1/3 неравенством (18):

$$M - \frac{2}{3} \sum M_{i1} + \frac{1}{3} \sum M_{i1} i_2 - \frac{1}{3} \sum M_{i1} i_2 i_3 i_4 + \dots + (-1)^{n-1} \frac{n-3}{3} \times M_{123} \dots n \geq 0. \tag{19}$$

Из (19) следует, что

$$M - \frac{2}{3} \sum M_{i1} + \frac{1}{3} \sum M_{i1} i_2 \geq 0 \tag{19a}$$

и, значит,

$$\sum M_{i1} i_2 \geq 2 \sum M_{i1} - 3 M \geq 2 (n\alpha) - 3 = 2n\alpha - 3.$$

Таким образом,

$$f_n(\alpha) \geq \frac{1}{n(n-1)} (2n\alpha - 3) =$$