Квант 1974, №4 · Страницы

КБАНМ
1974
4
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На приведенной здесь гравюре изображен бышний дворец царицы Прасковьи Федоровны (справа), в котором персонально размещалась Академия наук, в том числе ее физический кабинет. Рядом здание Кунсткамеры Петра I, также переданное Академии наук. Гравюра взята из книги «План столчного города Санкт-Петербурга с изображением знанийших одного прослектов, изданный трудами Императорской Академии наук и художств» в 1753 году.

1

Главный редактор
академик И. К. Кикони
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патриеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ

2 Академии наук СССР 250 лет
3 Б. В. Гнеденко. Академия наук и прогресс математики
12 С. И. Вавилов. Очерк развития физики в Академии наук
18 А. К. Кикоин. Свободное padение тел на врашающуся землю
23 Э. Г. Белаза. Арфметика на географической карте

Задачик «Квант»
30 Задачи M256—M260; Ф268—Ф272
32 Решения задач M211—M218; Ф223—Ф227

Практикум абитуриента
41 Ю. В. Сидоров. Аргумент комплектного числа
47 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
50 А. Н. Борзак, В. И. Давыдов, П. Т. Дыбов, И. А. Дыяконов, А. С. Иванов. Телевидение готовит вуз

Рецензии, библиография
52 Г. В. Дорофеев. Методическое пособие по разделу «Неравенства»?

«Квант» для младших школьников
54 Задачи
55 Б. А. Кордемский. Турист в незнакомом городе
57 Ответы, указания, решения

Уголок коплесционера
В. А. Лешковцев. В. И. Ленин — величайший ученый XX века (3-я с. обложки)

На первой странице обложки воспроизведена картина художника Иващенко «Прыжок».

© «Квант», 1974 год.

2

28 января (по старому стилю) 1724 года был опубликован сенатский указ об учреждении Академии наук. Указ извезал, что «Вспересоветлейший державный Петр Великий… указал учинить Академию, в котором бы учились языкам, также против наукам и знаний художствам и переводили бы книги» *).

В соответствии с указом Академия является научно-исследовательским учреждением, при котором состоит университет и гимназия. Главная задача академиков определялась так: «Должность их: все тое, что уже в научах учинено — свидетельствать, что к исправлению и размножению они потребно есть — производить, что каждый в таком случае изобрет — сообщать и секретарю вручать. О всех декувертах, которые свидетельствовали и апробили их поданы будут, имеют они непристрастное расужениечинить: сирень истинны ли они, великой ли или малой ползы суть и известны ли они были прежде всего или нет!».

Со дня своего основания Академия наук стала играть видающуюся роль в проресесе всех отраслей знания, в изучении природных богатств страны. С Академией наук связан как отдельные достижения в отчетственной наукке, так и создание новых направлений.

Особенно выделяются роль стала играть Академия наук после победы Великой Октябрьской социалистической революции.

Сквозь дум попыткашего пожара гражданской войны В. И. Ленин с генеральной проор纵овостью видел контуры будущего социалистического советского государства. Он понял, что в построении социалистическа наука должна играть видающуюся роль. Этим объясняется большое внимание, которое В. И. Ленин удалял развитию Академии наук. Идя по пути, намещенную в великим Лениным, Академия наук подчинила всю свою деятельности развитию социалистического общества. Выполняя свой патриотический долг перед Родиной, учены Академия наук самоотверженно трудились и вместе с советским народом, его армейкой победу в Великой Отечественной войне.

Крупные научные достижения советских учены обеспечили высокий технический уровень развития промышленности и всего народного хозяйства страны. Академия наук СССР всемерно содержавала создание национальных научных центров — Академий наук соозных ресурсных, филиалов Академии наук. За последние годы возникли новые научные центры в Сибири, на Урале, Дальнем Востоке.

Успехи советских учены сейчас получили всемирное признание.

*) Полное собрание законов, т. VII СПБ, 1830; № 4443.

4

студентами Академии были позтВ. К. Тредиаковский, путьществник и географ С. П. Крашениников, ученый и литератор М. В. Ломоносов.

При Академии первоначально были организаны гимназия и университет, поскольку в ту пору не было других источников, откуда Академия могла бы получить научно подготовленную молоджь. Контигент студентов был определялен в 30 человек, был разработан учебный план для их обучения. При этом поддерживаясь специализно «… смотреть, чтобы один студент вдруг многимиlekциями отягчен не был» Что бы была реализная возможность поддерживать число студентов университета, была учреждена гимназия, при которой предписывалось 20 человек «содержать на конце академического и годных производить в студенты, а негодных отдавать в Академию художеств».

Академия была основана, но в России не было ученых. Вот почему первыые академики были приглашены из-за пределов страны. Всего были приглашены 23 академика. Их выбор был исключительно удачен, подавляющее большинство из них энерггично принялись за организацию работы и научные исследования. И уже очень скоро Академия имела превосходную для своего времени химический laboratorium, астроническую обсерватorio, физический кабинет, механическую и оптическую мастерские, типографию, библиотеку и других ученых учреждений.

Математика с первых дней существования Академии играла в ней значительный роль. Среди 23 приглашенных академков семь были математиками. Имена многих из них прочно вошли в историю математики: Николай и Даниил Бернулли, Леонард Эйлер, Христан Гольдбах.

Петр I не доходит до торжества открытия Академии: ее первое состояние лишь в августа 1725 года, спустя полгода после его смерти. Но начало работы было достаточно успешным: регуляро проходили собрания, началось буроное изучение страны и ее природных ресурсов, проводилось систематическое изучение важнейших явлений природы, выполнлись первоклассные математические исследования. Начиная с 1728 года Академия стала выпускать научный журнал «Комментарии Петербургской Академии», а через шесть лет после этого Даниил Бернулли, к тому времени возвратились в Швейцарию, писал Л. Эйлер: «Не могу Вам довольно обязывать, с какой жадность повсуду справивают Петербургских темуарах … Желательно, чтобы их печатание былоускорено». Речь шла при этом о математических работах, которые были опубликованы в этом первом научном русском журнале. Так уже на заре своевого существования Академия превращалась в один из крупнейших научных центров мира, в которых проводились математические исследования.

Д. Бернулли (1700—1782) проработал в России всего лишь несколько лет, но и за этот срок он оставил заметный след в истории русской науки. Именно ему Академия обязана приглашением в свой состав Л. Эйлер. В изданиях Академии Д. Бернулли опубликовал ряд работ, положивших наало таким важным областям математических исследований, как математическая гидродиамника, математическая теория колебаний, механика газов, а также теория тригонометрических рядов. Теория тригонометрических рядов спустя сто лет была подробно развита французским математиком Фурье в связи с развитием математической теории распространения телла. Однако впервые тригонометрические ряды были использованы при решении задач механики и математической физики еще Д. Бернулли.

В заключение этого краткого рассказа о Д. Бернулли мне хотелось

5

бы здесь упомянуть еще об одном его результате, который теперь известен как дому, кто знакомится с элементами математического анализа. На заседании Академии наук 30 января 1729 года он сообщил доказательство следующого (телеф элементного) факта (существование числа $e$):

$$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots^*.$$

В ту пору это было серверной научной новостью. Впрочем, заметим, что все действительное серверные открытия постепенно становятся широким известными, входят в программы университетского и школьного обучения.

Х. Гольдбах (1690—1764) был користом по образование и как математик проработал в Академии очень короткий срок. Основная его деятельности в России прошла в ведомстве иностранных дел, где он занимал крупный пост. В математике он вошел в первую очередь как автор знаменитой задачи Гольдбаха. Этот задаче можно дать несколько почти эквивалентных формуларов, мы приведем одну из них: любое целое число, большее двух, представimo в виде суммы двух простых чисел. Этот факт был заменен Гольдбахом на четырех числа первых десятиков. На протяжении двухсот лет к решению проблем Гольдбаха не было видно и пути подхода. И лишь в тридцать годы нашего века такие пути были найдены в работах Л. Г. Ширельма и И. М. Виноградава.

Несомненно, что самый яркий след из всех членов Петербургской Академии в области математики в XVIII веке оставил в истории науки Л. Эйлер. Продукция его была огромна: сейчас известны 865 его работ, в том числе 43 отдельных тома. Печатание его исследований продолжалось до 1862 года. Наша страна благодарна Эйлеру и за подготовку ряда ученков, внесших позднее большой вклад

*) См. «Квант», 1972, № 5, c. 17.

Л. Эйлер

в развитие науки и культуры. Изовем несколько имен — С. К. Котельников, А. И. Лексель, Ф. И. Шуберт, С. Я. Румовский, М. Софронов, Н. И. Фусс, М. Е. Головин, С. Е. Гурьев, В. И. Висковатов. Они работали впоследствии во многих области математики, механики, астрономии, физики, преподавания. Не малую помощь и поддержку оказал Л. Эйлер и М. В. Ломоносову в научных начинаях последнего.

Нет возможность в краткой стать даже просто перечислять те вопросы, которые занимаются в математике Л. Эйлер и получил в них основополагающие результаты. Им были условиянствованы и развиты дифференциальное и интегральное исчисления, в значительной мере созданы методы решения дифференциальных уравнений, существенно продвинуте решение сложнейших задач теории чисел, созданы основы вариационного исчисления, исследованы задачи страхования и теории ошибок наблюдания, изучен ряд задач небесной механики и в том числе разработана теория движения Луны,

6

фактически создана теория движения твердого тела, решены многочисленные задачи внешней баллистики. Могне из области исследования, которые заинтересовали Л. Эйлера, находились в неопределенной связи с актуальными вопросами практики того времени. Эйлер введел в научку ряд понятный, которые стали на многое десятилетия основным объектом ее изучения. Так, к Эйлеру восходит рассмотрение знаменитой в теории чисел функции дзета, с помощью которого до сих пор изучаются свойства распределения простых чисел в ряду целых положительных чисел.

Ко времени Эйлера в математике было изучено несколько задач, в которых требовалось найти максимум или минимум некоторой величины в зависимости от выбора некоторой линии. Вот классические примеры этогорода: среди всех плоских линей даниной длины l наими my, которая оданчиваем максимальную площадь. Среди всех кривых, соединяющих точки A и B (кривые предполагаются плоскими, находящимся в вертикальной плоскости, точка A находится выше точки B), наими my, по которой между точка, двигаясь под действием силы мяжестями, из точки A попадаем в В кранчайший срок. Начальная скорость предполагается равной нулю. Это известная задача о брахистохроне, поставленная известным швейцарским математиком Иоганном Бернулли и одновременно решенная треяя знаменитыми математikами того времени — Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем.

Эйлер уловил важность подобного типа задачи и создал общий метод их решения — выраженное исчисление, которое в полной мере используется в науке и в нашей дни.

Эйлер оказал исключительное влияние на систему преодавления математики от самых ее начал до известных в ту пору ее вершин. Им были написаны учебники арфметики, элементарной алгебры, введение в математический анализ и анализческую геометрию, создана система изложения тригонометрии, доказшая до нас в почти неизменном виде. Им были введены прияные теперь обозначения тригонометрических функций. Ему же принадлежат обозначения чисел e, π, i = √-1.

Многие ученики Л. Эйлера вослудствии стали академиками. Особого упоминания заслуживает С. Е. Гурьев (1764—1813), который зачетверть века до французского математика О. Коши обратил внимание на необходимость строости при изложении математического анализа. Вопрос обоснования математики, в том числе и математического анализа, и были посвящены основные его труды. Основным трактом Гурьева в указанном направлении следует считать книгу «Опытусовершенствования элементов геометрии» (СП6., 1798). Я приведу слова Гурьева, которые он называл трактат: «Читая математическая открывения нынешних времени и обращаясь к началм, на конх опытовенное утверждаются, всегда я представляю себе огромное значение, непреставно возвышающее на слабых основаниях, всегда сокращался о прекращности кpadению сея чрезвычайной громады полезнейших роду человекаческому знаний». Заметим, что вопросы обоснования математики, построения ее прочно фундамента, начиная с XIX века занимают видное место в математических исследованиях, и наша наука может гордиться тем, что одним из зачинателей этого движения был наш соотчетенный.

Следующий этап в развитии математики в Академии наук связи с именами М. В. Острогадского (1801—1862) и В. Я. Буняковского (1804—1889).

М. В. Острогадский) оставил значительный след в развитии

8

пересилить освященные тысячелетями традиционные взгляды и предложить свои новые. Его взгляды оказались для современников настолько новыми и необычными, что они их не понимали, а многие и издавались над их автором. В результате Н. И. Лобачевский остался в Академии наук.

Вторая половина прошло века в Академии наук и в математической жизни всей страны прошла под огромным влиянием идей и результатов замечательного математика П. Л. Чебышев (*) (1821—1894). Под его влиянием выросла превосходная по составу и силу полученных результатов петербургская математическая школа. Она работала с большим успехом в ряде области математики и в первую очередь в теории функций, математического анализе, теории чисел и теории вероятностей. Эта школа была тесно связана с запросами практики, и сам Чебышев не установал говорить о том, что практика является исходным пунктом для математических теории и одновременно на ней проверяется их научная и общественная ценность.

Научное творчество П. Л. Чебышев началось еще в битносте его студентом Московского университета. За работу «Вышисления корней управления» физико-mатематической факультет присудил ему в 1841 году середбряную медаль. В 1847 году Чебышев переехал в Петербург, и вся дальнейшая его жизнь была связана с Петербургским университетом, а также с Академией наук, куда он был привлечен для подготовки к изданию рукописей Л. Эйлера по теории чисел. Работа была закончена исключительно быстро — уже через два года выши из печати два тома работ Л. Эйлера по теории чисел, снабженные подробными указателями. В эти два тома вошли много неопубликаанные результаты, хранились в рукописях и в записных

*) См. «Квант», 1971, № 5, c. 1.

П. Л. Чебышев

книжках Л. Эйлера. Несомненно, что интерес П. Л. Чебышева к теории чисел в значительной мере был связан с этой его издательской деятельности.

В том же 1849 году вышла из печати и была запущена в качестве докторской диссертации книга П. Л. Чебышева «Теория сравнения». В течение многих лет эта книга служила основным учебником по теории чисел для университетов. Но, пожалуй, еще важнее то обстоятельство, что в качестве приложения к этой книге было опубликовано замечательное исследование «Об пределенении числа простых чисел, не превосходящих данной величины», оказавшее решающее влияние на направление дальнейших работ по теории чисел. Это дополнительное быстро переведено на французский язык и издано во французском журнале. Внимание математической общественной кRESULTATУ П. Л. Чебышева было вполне естественным, поскольку ему удалось сделать фундаментальный шаг в изучении закономерностей рас-

9

пределеня простых чисел в ряду натуральных впервые после Евклида. Знаменитому древнегреческому геометру принадлежит доказательство того факта, что простых чисел существуют бесконечно много, Чебышев же открыл замечательную асимптотическую закономерность их распределения среди всех целых положительных чисел. Мы приведем этот результат в формулировке, которая была опубликана Чебышевым во второй его статье «О простых чисел»: Обозначим через π (x) число простых чисел, меньших по величины, чем x. Тогда для всех достаточно больших x выполняются неравенства:

$$0,92149 \leq \pi(x) : \frac{x}{\ln x} \leq 1,10555,$$

еде ln x означает логарифм по основанию e = 2,7128 . . . числа x.

Далее Чебышев доказал, что если при x → ∞ отношение π(x) : x/ln x стремится к некоторому пределу, то этим пределом может быть только число 1.

Доказательство существования этого предела потребовало более громоздких и сложных рассужdenи и появилось лишь спустя пятьдесят лет после открытия Чебышева. Это доказательство было получено одновременно двумя математиками: французским ученым Ж. Адамаром и белгийским — Ш. Ж. де la Валле Пуссеном. Метод Чебышева вполне элементарен и, нужно думать, его возможность еще далеко не исчерпаны.

Второе направление математических исследований, в котором Чебышев оставил яркий след, связан с теорейвероятностью. Здесь он указыл на новый важный объект исследований и разработал простые и в то же время очень сильные методы исследования. В первую очередь мы должны указыть на знаментий закон больших чисел в форме Чебышева, который до сих пор излагается в неизмененном виде во всех, даже самых учебниках теории вероятности, и при этом его доказательство приводится в предложенной им форме. Этот результат Чебышева дает веса общие условия, при которых суммарное воздействие большого числа случайных ингредиентов оказывается почти постоянным. Значение открытия Чебышевым закономерности представляется не только общееоретический интерес, но и имеет большое практическое значение.

Третье направление исследований, в котором Чебышев принадлежит сама идея его возникновения, связано с так называемым наилучшим приближением функции. Эта область математической мысли, целиком является в своих основах изобретением Чебышева, превращалась в наши дни в богатую результатами и связями с другими ветвями знания часть математики. Исходным пунктом для построения этой теории является чисто практическая задача, возникшая у Чебышева в связи с поручением факультета Петербургского университета подготовить и прочитать курс практической механики.

Перед Чебышевым возникло вопрос об уменьшении возможных отклонений движения штока от прямолинейного в так называемом параллелограмме Уатта, а уже этот чисто практический вопрос приведел его к постановке ряда новых математических задач. Простейшая из них широко известна: среды всех многочленов степени n

$$P_n(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$$

найти том, для которого max |P_n(x)| при |x| ≤ 1 имеет минимальное значение.

Ответ был найден П. Л. Чебышевым еще в 1859 году; оказалось, что искомый многочлен (телерь его называют многочленом Чебышева) имеет следующий вид:

$$P_n(x) = \frac{1}{2^{n-1}} \cos(n \arccos x).$$

10

А. М. Ляпунов

Упражнение. Напишите в явном виде многочлены Чебышева при $n = 1, 2, 3$ и 4.

Остановимся еще на результатах двух выдающихся учеников П. Л. Чебышева — А. М. Ляпунова (1857—1918) и А. А. Маркова (1856—1922).

А. М. Ляпунов еще в Петербургском университете получил от П. Л. Чебышева тему самостоятельной работы, которое успешно завершил. Эта тема была связана с одним из труднейших вопросов механики: устойчивостью формы у жидких врашащихся масс. Она получила дальнейшее развитие в его магистской диссертации.

После успешной защиты диссертации А. М. Ляпунов был приглашен для преподавания в Харьковский университет. Естественно, что первые годы преподавания требовали от Ляпунова большой затраты времени на подготовку, тем более, что преподавать приходилось ряд математических дисциплин и теоретическую механику. Но эта подготовка и последующее необходимость осмысливать материал для изложения приводил к постановке новых научных вопросов, требующих тщательного исследования. В Харьковском университете Ляпунов заняла таким новым направлением математики, которое получило позднее название теории устойчивости движения.

К изучению поведения решения систем дифференциальных уравнений при неограниченном возрастании аргумента свойства многочисленные задачи теории и практики. Ляпунов разработал эффективные методы их исследования. В ту пору работы Ляпунова представляли интерес в первую очередь для задач небесной механики (вопросы устойчивости солнечной системы и т.п.). Однако, начиная с тридцатьх годов нашего века, имена и методы Ляпунова получили непредседательное практическое значение для задачи авизации, радиотехники, машиностроения и т.д. Ляпунов заложил основы теории устойчивости движения, разработал методы исследования и рассмотрел важнейшие части случаев. Эти идеи были разработаны им в ряде работ и обединины в 1892 году в докторской диссертации «Общая задача устойчивости движения», принесшей ему мировую известность.

В 1900 году А. М. Ляпунов был избран членом-корреспондентом Академии наук, а через год — ее действительным членом. После избрания Ляпунов переехал в Петербург, и, бросив преподавание, целиком отдалялся научным изысканием.

На рубеже двух столей Ляпунов обращался к вопросам теории вероятности и изучения одна задача своего учитель — разыскание наиболее общих условий, при выполнении которых нормированные суммы независимых случайных величины при большом числе слгаемых имеют почти нормальное распределение. Доказанная им теорема получила название центральной предельной теории вероятности.

11

А. А. Марков

После 1901 года Ляпунов полностью отдал свои силы решению задачи Чебышева о равновесии живых врашаюшихся масс. Он был недоволен своим первоначальным результатам, поскольку в них он исследовал лишь первые приближения. Согласно же его мнению, решение естественного задачи требует полного и строгого решения, поскольку иначе можно прийти к ошибочным выводам. Современник Ляпунова французский математик А. Пуанкаре занимается той же задачей, но при этом он доволствовал лишь первым приближением. В результате они пришли к противоположным выводам, приведшим к длительному научному спору. Астроном Дарвин (сын известного естественного спитателя Чарльза Дарвина) выступил с космогонческой теорией, построенной на приближенных результатах Ляпунова. В конце концов спор закономлся полной победой решаторов Ляпунова.

С именем А. А. Маркова связаны крупные сdvги в развитию теории дифференциальных уравнений, теории непрерывных дробей и их применения к вопросам теории функций, теории квадратичных форм и теории вероятности. Особенно важные результаты были получены А. А. Марковым в теории вероятностей, где он заслужен считается одним из основоположников современного состояния этой науки. Он введил новый объект исследования в теории вероятностей, получивший наименование «целей Маркова». Речь при этом идет о последовательности случайных событий, вероятность появления или непоявления которых зависит от того, появилось или нет в предыдущеем месте соответствующего событие. Для целей Маркова самим автором был получен ряд глобоких результатов. Были рассмотрены, используя цепи Маркова, закономерности черезования гласных и согласных на примерах двух классических произведений русской литературы — «Евгений Онегин» А. С. Пушкин и «Детские годы Баррова внука» С. Т. Аксакова.

А. А. Марков не доходит до того периода, когда понятие цепи и процесса Маркова стало центральным не только в теории вероятностей, но также в физике, теории автоматического управления, разнообразных применениях теории вероятностей в биологических и производственных задачах, в теории информации.

Большое значение для развития отечественного общественного мышления многочисленные выступления А. А. Маркова против произвольла царского режима и церкови. Он не прошел mismo событий 1905 года, отличия Л. Н. Толстого от церкови, отказа царского правительства утвердить избранное Максима Горького в Академию.

Мы продолжим наш очер в следующем номере, где рассскажем о достижении Академии в советское время.

12

ОЧЕРК
РАЗВИТИЯ ФИЗИКИ
В АКАДЕМИИ НАУК

С. И. Вавилов

Выдающийся советский физик академик Сергей Иванович Вавилов, былший с 1945 по 1951 год Председатом Академии наук СССР, много внимания уделял вопросам истории физики. Средя его работ есть статья под названием «Очерк развития физики в Академии наук за 220 лет». Она была нацчатана в 1945 году, к юбилею Академии, в «Очерках по истории Академии наук», выпущенных Издательством АН СССР. В этой статье С. И. Вавилов охарактеризовал вклад членов Академии в развитие отечественной физики. Небольшие редакционные дополнения к статье приводятся в квадратных скобках.

«… собирая Академию в России, где не было еще университетов и даже средних школ, Петр, несомненно, понимал, что она не может быть копий Парижской Академии наук и Лондонского Королевского общества. Русская Академия не могла быть вершиной ученой парамиды, как во Франции и в Англии, по причине отсутствия самой этой парамиды. В задачу новой Академии прежде всего входило ее создание. По этой причине на берегах Невы возникла Академия совсем особого рода. Наряду с учеными заседаниями, на которых… Бернулли, Эйлером и другими делались сообщения по самым острым вопросам европейской науки, все академики занимались университетским и гипназическим преподаванием и прежде всего были профессорами. На академков возлагалась, помимо того, больше и трудная работа по заностороннему изучению России, ее природы, истории, народов, языка; академики постояно привлекались к техническим экспертизам, к организации производства. Это необходим имеет в виду, рассматривая первый период физики в Академии до самого конца XVIII века. Число лиц, причастных к развитию физики в Академии наук в течение всего XVIII века, очень невелико; это — академики, официально занимающие кафедру физики или фактически работавшие в этой области, небольшой технический персонал механиков, оптиков и отделные изобретатели, вроде знаменитого Кулибина.

Научная жизнь Академии долго времени, до недавнего прошло, целком определялась личным составом ее членов. Поэтому, естественно, наш очерк строится на комментированном списке членов Академии…

Даниил Бернулли (1700—1782)… в своем знаменитом трактате по гидродинамике (который он писал в Петербурге) и длином ряде метуаров по механике и акстике проявил себя как один из самых заметных представителей математической физики. В Петербурге он пробил 8 лет (1725—1733), но до конца жизни сохранил техническую связь с Академией…

[Даниил Бернулли введ в механику принцип сохранения «живой силы» (суммы произведений масс тела на квадраты скоростей). Исподя из

13

Д. Бернулли

этого принципиа, он получил знаменитый закон, характеризующий движение жидкости по трубам.]

Иоганн Лейтман (1667—1736)… занял в Академии кафедру механики и оптики, и его по праву можно назвать отцом оп讶ехники и точной механики в России. Он был известен Петру I как автор книг о часах и шлифовании стекол, и Петр стремился пригласить его в России еще до основания Академии. Прибив в Петербург в 1726 году, он вскоре взялся за налаживание работ по точной механике и оптике… Есть достаточные основания думать, что особое внимание и успехи в практических областях оптики в Петербурге в XVIII века в работах Ломоносова, Кулибина, Эпинуса, Эйлера и других были в значительной мере определены детельностью академика Лейтмана.

Великий Леонард Эйлер (1707—1783)… был в Петербургской Академии сначала профессором физиологии, затем физики и, наконец, математики… Вместе с Петром I и Ломоносым Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определяющим ее славу, ее крепость, ее продуктивность. Физика Эйлера, конечно, бlekнет в лучах его математической славы, но сама по себе она очень импозанна и заслуживает гораздо большего внимания, чем ей уделяется до сих пор. Несмотря на роковые ошибки волновой оптики Эйлера, именно она подготовила оптику Френеля. Диоптрическое фолланты*) Эйлера, написанные в Петербурге, знаменовали поворотный пункт в развитие геометрической оптики. Его «Письма о некоторых физических и физофисических материи», письные к некоторой немецкой princesce — великолепная популярия и полная оригинальность идеи энциклопедия физики XVIII века. По отличному русскому переводу «Писем», сделанному учеником Эйлера академиком Румовским, учились физике многое поколения русских людей.

Георг Рихман (1711—1753)… наведки запечател свое имя в истории физики как экспериментатор, граничски погибший на посту во имя науки… Занимался он вопросами о парообразовании, воздействии на насосами и машинами для подмена воды, а также других разнообразными естественно-наченными и техническими явлениями и задачами. К электрическим опытам Рихман перешел задолго до знаменитой публикации Франклина… Известие об опытах Франклина в 1752 году произвело во всем мире такое же впечатление, как в свое время первые наблюдения Галилея с телефоном, а в конце XIX века — опыты Рентгена. Всюду, в том числе и в Петербурге,lixорадочно принялись за их повторение. Рихман с громадным увлечением занялся наблюдениями над грозами и атмосферным электристом у себя на дому, на углу 5-й линии и Большого проспекта Васильевского острова. Хорошо известны

[*) Имеется в виду сочинение Эйлера под названием «Диоптрика».]

14

обстоятельства гибели Рихмана во время опыта 26 июля 1753 года [он погиб от удара молнии]. Работа Рихмана в Академии — одна из трагических, но славных стран академического физики.

Миханл Васильевич Ломоносов (1711—1765)… Во всех областях науки и «художеств», которые занимались Петербургская Академия в XVIII века (за исключением математики), Ломоносов был, бесспорно, самым замещенным и наиболее самобытным представителем. Для русского государства Ломоносов стал вопросным доказательством талантов, склонностей и умения русского народа в деле науки и культуры… Известно, что Ломоносов считал основной «профессией» своей химию, но в химии Ломоносов по премиуществу был великим физик-химиком. Вместе с тем, и в области чистого физических Ломоносов проявил себя с поражательной шировой и оригинальной. Заслужили Ломоносова в физике начнаются с создания необходимых условий для развития ее в России…

Во втором издании [переведенной М. В. Ломоносовым] «Вольфанской экспериментальной физики», в 1760 году, Ломоносов помещил «Прибавления к экспериментальной физике», заключающее краткие упоминания о некоторых результатах в области физики, полученных им самим. Это, прежде всего, его кинетическая теория теплоты, или, как он говорит, «моя система теплового движения», одна из замещенных представителей кинетической теории; далее, его оригинальная и несмотряна на ошибочность, веса острумная и глубокая «новая теория о цветах», в котором впервые делается конкретная попытка связать учение о свете и веществе; наконец, его теория атмосферного электречства…

Опубликование научных рукописей Ломоносова, а также изучение его забытьх печатных научных материалов открыло перед нами Ломоносова как замещательного оптика, изобретателя и конструктора новых телекопов, микросопов, фотометров, перископов, строившего их влаборатории-мастерской вместе с подручными мастерами…

Глубиной и своевобразием порядкают многое записи и афоризмы Ломоносова, касающиеся законов сохранения движения и вещества, теории атомов и эфира, вопроса о соответствии тяжелой и инертной масс…

Франц Эпиниус (1724—1802) явился в Академии представителем нового поколения и существенного нового направления в физике. Для этого поколения выотоновский метод решения задач о принятиельных и отталкиваемых силах становится бесспорным, хотя еще недавно для Бюльфингара, Эйлера, Ломоносова он был компнительным. Утверждая с самого начала в своем знаменитом трактate «Опыт теории электречства и магнетизма» (Петербург, 1755): «Полягаю несомненной аксиомой, что тело не может действовать там, где его нет», Эпиниус фактически пользовется выотоновской схемой в своей теории электреатических взаимодействий и индукции. Имя Эпиниуса связано и с другими важными физическими результатами. Ему принадлежит открытие пирозлектрических свойств турмалина, реализация первого ахроматического микросопа*), построенного в Петербурге и долго время хранившегося в физическом кабинете Академии наук…

Беглый просмотр деятельности [неборных] академиков-физков дает довольно ясную картину состояния и развития физики в Петербургской Академии в XVIII века. По своему качеству эта физика занимала од…

[*] Ахроматический микросопion имеет сложный объектив, в котором изобравжения предметов, образованные световыми волнами различной длины, практические совпадют и потому не искажают.]

15

но из первых мест, если не первое в Европе. Нужно иметь в виду при этом общее состояние физики в Европе в эту эпоху. Это было время разработки ньютоновского наследства, с одной стороны, его укрепления, с другой — критики. Сам XVIII век в физике не дал результатов, по значению своему хотя бы приближенно равноценных ньютоновским. Очень сильно продвинлась электростатика, оптика, главным образом геометрическая; большая подготовительная работа в XVIII веке была сделана в учении о теплоте, но все же прициппально новое и больше в электромагнитизме, оптике и теплоте сухдено было сделать физиком XIX века.

На общем фоне физики в XVIII веке работам Эйлера, Ломоносова, Элинуса принадлежит очень мощное место. При этом в области optики Эйлер и Ломоносов подготовили почву для развития теории световых волн.

Таково общее научное значение нашей академической физики в XVIII веке. Но у нее была и свой особая черта, имеющая значение по применству для России. Академические физики почти до конца века большое внимание уделили техническим вопросам. Практическая optика, оптическое приборстроение на Васильевском острове в XVIII веке находится на такой высоте, который могла позавидовать любая страна

16

мира. Работы Лейтмана с учениками, оптическая мастерская Ломоносова, работы по геометрической оптике Эйлера и его учеников, ахроматический микрокопп Эпинуса, телекопы, рефлекторы Кулибина — все это было смытым передовым для своего времени… Петербургские академики-физики вели систематические meteorologicalские и магнитные наблюдения, давали консультации по техническим вопросам и непрерывно занимались учебной работы. У них был и свой центр — Физический кабинет с инструментальной палатой», т. е. мастерской. В Кабинете велись опытты, подготовливались демонстрации для студентов и для показов на заседании Академии и при дворе…

Василий Владимирович Петров (1761—1834)…
В 1795 году В. В. Петров стал экстраordinарным профессором только что образованной Медико-хирургической академии. Здесь он собрал образцовый для своего физический кабинет, где и были произведены основные его экспериментальные работы. Они собраны в трех книгах:

1. «Собранное физico-химические новых опытов и наблюдений», 1801;
2. «Известие о Гальвании — Вольтовских опытах», 1803; 3) «Новые электрические опыты», 1804. В этих томах перед нами очень большой опытный материал… по выяснению природы различных слуаев ломинесценции*), по значентным опытам с волтовой дуговой, открытий Петровым, и по электростатике. В отличие от Ломоносова, Петров совсем не был склонен к широким обобщениям, он был эмпирком, строившим, однako, свои опыты весыма рационально и продуманно. Среди русских учены и иностранцев, работавших в России в то время, В. В. Петров был, несомненно, крупным явлением…

[*] Ломинесценция — особый вид свечения. Так светятся светлочки и гнилушки, цифрблаты часов и стрелки компасов, покрыты особым веществом — ломинофorum.]

Э. Х. Ленц

Эмилий Христанович Ленц (1804—1865)… прочно вписал свое имя в историю электромагнитизма наряду с Омом и Джоулем и стал основателем направления русской физики, концентрировавшего внимание на электромагнитизме и развитию прецизонных изменений в этой области.

[Среди многочисленных научных работ Ленца особенно известны две: «Об определении направления галванических токов, возбуждаемых электродинамической индукции» и «О законах выделения тепла галваническим током». В первой из них он установил правило, определяющее направление индуцированных токов (знаменитое правило Ленца), во второй — открыл закон теплового действия тока (закон Джоуля—Ленца).]

Борис Семенович Якоби (1801—1874)… Говоря совершенным языком, Якоби во многих области своей деятельности, какова открыта и развита им галванопластка, электрические машины, электрический телефонф, электрические талоны, был техническим физиком, но нарушу с этим он занимает вместе

17

с Ленцем видное место в чисто физическом исследовании законов электromagnetизма.

Якоби был одним из самых заметных представителей той новой фазы в истории физики, когда ее результаты сразу в виде важнейшего фактора переходили в технику, электromagnetизм превращался в электротехнику. Физики Якоби и Ленц в 1839 году каталогсь по Неве на построенной имми моторной лодке с двумя гательем, развившим от 64 элементов Грова одну лошадину силу. В физическом кабинете строились и исследовали различные новые телеграфные аппараты и в разных видах развивались галванопластика, замененные образцы которого служат украшением Физического института Академии наук. Физик Якоби вместе с Ленцем составляет проект громоотвода для порохового погреба, является изобретателем электрических минных взрываителей.

Имя академика Якоби, выдавшегося физика, генциального электротехника и изобретателя, по праву должен быть поставлен наряду с другимилавными именами академиков физики — Эйлера, Ломоносова, Петрова…

Генрих Иванович Вильд (1833—1902)—организаторшейцарской и русской meteorologicalческий сети, автор замещенных футометрических и поляризационных приборами, выдавшийся исследователь земного магнетизма. Россия Г. И. Вильд отладл 27 лучших творческих лет своей жизни. Русская meteorологическая сеть до работы Вильда насчитывала всего 31 станцию, при его отъезде она имела 650 станций, оборудованные новыми приборами…

Аксель Вильгельмович Гадолин (1828—1892)—особенно известен своей работой 1867 года «Вывод всех кристаллографических систем и их подзаделений из одного объекта»…

Б. С. Якоби

Борис Борисович Голлцын (1862—1916)… Научная работа Голлцына сначала протекла в разнообразных направлениях (критические состояния вещества, лучи Рентгена, спектросопия, физиологическая оптика). Очень интересны и важны оптические работы В. В. Голлцына… Среди них особенно значение получило экспериментальное доказательство спектросопического явления Доппера *), продолжающее и в высокой степени уточняющее опыты А. А. Белопольского. Сначала нового столета интересы Голлцына сконцентрировалась на новой геофизической дисциплине — сейсмологии, одним из основателей которой Голлцын по праву и может считаться. Голлцын дал первые эксперименты, разработал аппаратуру, организовал довольно обширную сеть сейсмологических станций…

[*] При движении источника излучения и приннимающего устройства относительно друг друга частота приннимаемого излучения не совпадает с частотой испускаемого излучения. Таким образом, спектральные линии регистрациинего излучения оказываются смешенными по сравнению со спектром испускаемого излучения.]

18

А.К. КИКОИН
СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ
НА
ВРАЩАНОЩУЮСЯ ЗЕМЛНО

Иногда можно встреть утверждение о том, что из-за того, что Земля врашается вокруг своей оси, в разных местах на поверхности Земли различана сила мягкости, действующая на какое-нибудь тело. Говорят также, что в разных местах Земли различиен вес тела. И то, и другие связи с тем, что в различных местах на врашающее Земле различино ускорение свободного падения тела. Верно ли все это? В этой статье мы постараемся ответить на этот вопрос.

1. Механическое движение, как известно, относительно. Это значит, что, если пользоваться различными системами отчета, то относительно этих систем движение одного и того же тела оказывается различным. Если, например, связать систему координат с летящим с постоянной скоростью в горизонтальном направлении самолетом, то в этой системе координат сброшенный (вернее, выпавший) с самолета груз движется вниз по вертикальной прямой (рис. 1). Но в системе координат, связанной с какойибудь точкой на поверхности Земли, например, с точкой O (см. рис. 2), тот же груз движется по кривой, называемой параболей. Различны, следовательно, траектории движения. Различны и скорости движения. Если условно считать систему координат, связанную с Землей, неподвижной, то при скорости движения самолета (и связанной с ним системы координат) относительно Земли, равной $v_c$, скорость $v$ груза относительно Земли в любой момент времени равна

$$v = v_c + v_r,$$

(1)

где $v_r$ — скорость движения груза относительно самолета в расстоянии момент времени. Так как скорость $v_r$ — это скорость свободного падения, то

$$v_r = gt,$$

где $g$ — ускорение свободного падения, а $t$ — время, относительно от

Рис. 1.
Рис. 2.

20

Рис. 3.

Ныютона и закону всемирного тяготения абсолотное значение этого ускорения равно

$$g = \gamma \frac{M}{R^2},$$

где $\gamma$ — гравиатционная постоянная, $M$ — масса Земли и $R$ — ее радиус. Направлено это ускорение по полярному радиусу к центру Земли. Величина $g = \gamma \frac{M}{R^2}$ — значение ускорения свободного радия относительной неподвижной (инерцальной) системы отсчета.

А какое значение ускорения падающего тела будет получено при изменении на экваторе? Для этих изменений и здесь нужно установить линейку со шкалой (рис. 4). Koординантную ось мы и здесь направим к центру Земли вдоль экваторального радиуса. Разумеется, и на экваторе абсолотное значение ускорения, вызванного притяжением Земли, будет таким же, как и на полюсе. Вращение Земли не влияет на силу, с которой она притягивает тела *). Но изменение ускорения на экваторе производится относительно системы отсчета, которая сама движется с ускорением относительно выбранной

$$g = g' + \omega^2 R$$

(ускорение свободного падающего тела относительно неподвижной системы координат ($g$) равно сумме ускорения тела относительно подвижной системы ($g'$) и ускорения самой подвижной системы относительно неподвижной ($\omega^2 R$)).

Иначе говоря, ускорение $g'$ свободного падаения, измененное на экваторе, то есть относительное ускорение движущейся системы отсчета, не равно ускорению $g$, изменению на полюсе. Оно меньше $g$ на величины $\omega^2 R$:

$$g' = g - \omega^2 R.$$

21

3. Мы рассмотрели случай свободного падения тела на полюсе и на экваторе Земли. Расмотрим теперь свободное падение тела в произвольном месте (где-то между экватором и полосами Земли).

Из рисунка 5 видно, что теперь центростремительное ускорение, связанное с врашением Земли, направлено на экваторе, а к той точке на оси врашения Земли, которая является центром соответствующего параллельного круга. (Радиус этого круга на рисунке 5 сбозначен буквой r.) Повторя приведенные выше рассуждения, мы приdem к выводу, что ускорение свободного падения $g'$, измененное в любом месте, будет меньше, чем ускорение $g$, измененное на полюсе. Надо учеть центростремительное ускорение соответствующей точки земной поверхности. Но теперь направления ускорения $g$ и $\omega^2 r$, входящих в формулу (4), образуют угол $\varphi$, представляющий собой широту точки, в которой изменяется ускорение $g'$. Пользовь правильом сложения векторов, мы найдем, что вектор $g'$ направлен уже не к центру Земли, а несколько отклонен к экватору (см. рис. 5).

Понятно, что ускорение $\omega^2 r$ на широте $\varphi$ меньше, чем ускорение $\omega^2 R$ на экваторе. Легко видеть, что на любой широте $\varphi$ относение $r/R$

Рис. 5.

равно с ф, так что $r = R$ cos $\varphi$ и $\omega^2 r = \omega^2 R$ cos $\varphi$. Соответствие, $g' = g - \omega^2 R$ cos $\varphi$ *).

4. Посмотрим теперь, насолько численно отличается значение $g'$ для данного широты $\varphi$ от $g$. Для этого нужно, очевидно, только вычислить величины $\omega^2 R$.

Угловая скорость $\omega$ уращения Земли невелика, так как период врашения Земли равен одним суткам, то есть 86164 с. Следовательно,

$$\omega = \frac{2\pi}{86164} = 7.3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с.}$$

Радиус Земли на экваторе равен 6378 км, или $\approx 6,38 \cdot 10^6$ м. Таким образом, на экваторе ($\varphi = 0$)

$$\omega^2 R = (7.3 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6.38 \cdot 10^6 = 3.4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2.$$

На столбко и отличяется ускорение свободного падения на экваторе от того ускорения, которое наблюдалось бы, если бы Земля не совершала своего суточного движения. В любом другом месте это различие еще меньше. Разница настоящего мала, что об этом не стоит бы и статью писать, если бы не принципальная важность самого вопроса о движении тел относительно ускорению движения системы координат. В проечем, стоит, может быть, добавить, что как ни мала разница между $g'$ и $g$, она иногда играет и существенно роль. Так, например, часы с магнитком (перiod колбаный магнитка зависит от ускорения свободного

*) Мы не учили, что в верхней точке траектории тела обладало линейной скоростью врашения вокруг земной оси, большей скорости врашения точки отсчета на Земле (поскольку угловая скорость суточного врашения одна и та же, а расстояние до центра врашения от начальной точки падения тела больше, чем от точки отсчета на Земле). Следовательно, уравнение тел окажется смесенным к востоку относительно осования линейки. Вследствие этого при падении тела в верхнего конца линейки на Землю появляется дополнительное ускорение — так называемое ускорение Корполиса, — которое мы и неучитыем.

22

ного padения) на экваторе от совершению таких же часов на полное большие, чем на 3 минуты за сутки. В большине же случаев разницей между $g'$ и $g$ можно пренебреть.

5. Теперь обсуждим вопрос о силе тяжестии, действующей на врашающее Земле, и о весе тел на ней.

Сила тяжестии, приложенная к какому-нибудь телу массой $m$ на поверхности Земли, — это сила всемирного тяготения между этим телом и Землей. Абсолютное значение этой силы равно

$$F = \gamma \frac{mM}{R^2},$$

и направлена она к центру Земли. Ясно, что на эту силу врашение Земли никаким образом влиять не может.

По второму закону Ньютона эта сила равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:

$$\gamma \frac{mM}{R^2} = mg.$$

Следовательно,

$$g = \gamma \frac{M}{R^2}.$$

Ускорение $g$, входяще в выражение для силей тяжестии, — это ускорение в «неподвижной», или, как говоря, в инерциальной системе отчета. Как известно, только для таких систем верны законы движения Ньютона, которые мы пользовались, записывая формулу (5). Иначе обстоит дело с величины, называемой весом тела.

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору, на которой оно помещено, или на подвес, к которой оно подвешено. Сила эта может быть любой, в зависимости от того, с каким ускорением относительно неподвижной системы координат движения опора или подвес вместе с телом.

Если опора или подвес покояется относительно неподвижной системы координат или движется относительно нее без ускорения, то вес тела просто равен силей тяжестии, действующей на него.

Но весы, при помощи которых измеряется вес тела в любом месте Земли, кроме полосов, движутся с ускорением (из-за врашения Земли). Поэтому веде, кроме полосов, вес меня не равен силе мяжести. Вес тела $P$, изменяемый весами, движущимся с ускорением $a$ относительно неподвижной Земли, равен

$$P = m(g - a).$$

В нашем случае роль ускорения $a$ играет ускорение $\omega^2 R \cos \varphi$. Поэтому

$$P = m(g - \omega^2 R \cos \varphi).$$

Так как ускорение $\omega^2 R \cos \varphi$ различно на разных шипотах, то различен и измененный на разных шипотах вес тела. Наименьшим вес тела будет на экваторе. Впрочем, величины веса тела на экваторе и на полное различие так же мало, как и величины ускорения свободного падения, измененные в этих точках.

Мы видим, таким образом, что когда мы пользовемся «неподвижной», то есть инерциальной системе координат, то для веса тела мы можем написать выражение

$$P = mg.$$

Но когда мы пользовемся неперинарной системе координат, то есть системой координат, движущимся с ускорением, то вторым законом Ньютона пользоваться нельзя. Нельзя, значит, пользоваться и формулой $P = mg'$, которая получается из второго закона Ньютона. Тем не менее, мы написали формулы (6) и (6a), которые как раз иозначают, что $P = mg'$, где $g'$ — ускорение относительно неперинарной системы координат. Но ведь это же «незаконно»? Да, незаконно. Но о том, почему также «незаконные» формулы пишутся, будет расссказано в другой стате.

Ураженяя

1. В сверном положении камень из-за врашения Земли следует в сторону экватора. Куда отклонится камень в южном положении?

2. С какой угловой скоростью должна была бы врашаться Земля, чтобы ускорение свободного падения тела на экваторе было равно нулю? Каков был бы в этом случае вес тела? Какая тяжестин действующей на него?

23

Одна из глав превосходной книги по теории графов *) начинается с описания … болеени:

«Гипотезу четырех красок можно с полным основанием называть еще «болееью четырех красок», так как она во многом похожа на zabолевание. Она в высшей степени заразна. Иногда она протекает сравнительно легко, но в некоторых случаях преобретает затяжной или даже угрожающий характер. Никаких приввок против нее не существует …»

Это высказывание американского математика Ф. Харари, очень похожие на памятку врача-эпидемиология, стоит дополнительmente известного математика и педагога О. Оре:

«Ниболье знаменита среди этих задач **)— проблема четырех красок, впервые поставленная перед математики Де Морганом около 1850 года. Никакая другая пробела не вызывала столь многочисленных и остроумных работ в теории графов. Благодаря своей простой формулировке и разражающей неуловимости она до сих ocasется мощным стимулом исследовании различных свойств графов» ***).

*) Ф. Харари, Теория графов, перевод с англ. изд-во «Мир», М., 1973.
**) Имеются в виду задачи теории графов. — Прим. ред.
***) О. Оре, Теория графов, перевод с англ., изд-во «Нayka», М., 1968.

По-видимому, именно «раздражающая неуловимость» этой проблемы-гипотезы и есть главный возбудитель болеени, описанной Ф. Харари; что же касается «простой формулировки», то она, верятоно, известна большимству читателей: всякую карту на сфере можно раскрасть не более чем в четыре цвета мак, чтобы любые две сессии страны были окрашены в разные цвета.

Имеется в виду, конечно, идеализированная карта: на географических картах один (синей) цвет всегда соответствует водным поверхностям. Мы будем считать, что на наших картах их нет, как нет и стран, состоящих из двух и более не связанных между собой частей (так обстоит дело, например, с Данней и ее заморской провинцией Гренландей). Эти примеры показывают, что понятие карты нуждается в уточнении.

Наша цель — расскаазать об одном из наболее ранних и, пожалуй, наболее остроумных подходов к решению этой проблемы — условно его можно назвать аргументческим; работа в этом направлении продолжается и понятие, и наш расскааз не будет почти ничем напоминать персональноного изложения персоноткрытей.

Условия заданий, решения которых приведены в конце номера, являются фактически частью текста; некоторые из них не сложнее картинок из альбомов «Раскрась сам».

24

Карты на сфере
Картой на сфере мы будем называть всякое разбиение сферы отрезками гладких кривых на конечное число области — стран карты. Относительно этих отрезков кривых естественно предполагается следующие:

1. каждый из них не имеет само-пересечений;
2. любые два из них любо совсем не пересекаются, либо пересекаются в концевых точках;
3. концевые точки любого из них входят в число концевых точек одного или нескольких других отрезков, то есть не является «висяцами».
   Ясно, что всякий из этих отрезков, составляющих в совокупности границы карты, является частью границы двух стран (или всей этой границей); также страны мы и будем называть соседними. Отметим, кстати, что строое доказательство утверждения, начинающегося выше словами «ясно, что…» и называемого теоремой Жордана, чрезвычайно громоздко, несмотря на всю его очень видимость.
   Сферические карты удобно рисовать в виде разделенного на страны «континента», окруженного «океаном» — одной из страны (на рисунке 1).

Рис. 1. Карта (страны от A до N), правильно раскрашенная в четыре цвета.

Рис. 2. Карта, для которой число не связанных между собой кусков графа границ (число «островов» в «океане» A) равно trem (Krp = 3).

ке 1 страной A; «континентов» может быть и несколько, как на рисунке 2). Страны M и E на рисунке 1 — не соседние, хотя и имеют общую точку границы; страны D и E обладают даже двумя разрозненными участками общей границы.

Потребуем еще, чтобы на карте не было страан, имеющих только одного соседа («острова» в «океане»); карты с таким странами раскрашивать, конечно, ничего не труднее, но изложение осложняет исключения и уточнениями.

Раскраски карт
Раскраску карты в п цветов называем правильной n- раскраской, если любая пара соседних страна окрашена в разные цвета. Нарисовав несколько сферических карта и раскрасив их, вы легко убедитесь в том, что хотя есть карты, для правильной раскраски которых достаточно трех или даже двух красок, но такие карты «нетипичны» — общую нужны четыре краски.

Задание 1. Нарисуйте карту из четырех стран, коморую нельзя было бы правильно раскрасть двумя или третья красками.

Задание 2. a) На плоскости даны n окружности. Доказте, что при любом расположении этих

25

самостояльно найти доказательство этого факта, установлено еще в конце XIX века.

Графы карты

Всякую систему точек и линей, соединяющих некоторые из этих точек и попарно не пересекающихся, называют графом; точки называют вершинами, линей — ребрами графа.

Как видно из определения и свойств 1) — 3) карты на сфере, она характеризуется своим графом границ; его вершины — точки, в которых сходятся не менее трех страны, ребра — участки границ между вершинами (рис. 3). Мы определим также граф столиц и дороге карты; его вершины — «столцы» стран (произвольные, но фиксированные точки, выбранные по одной внутренкой каждой страны), ребра — «дороги», соединяющие столцы соседних стран (по одной на каждой пару соседей) и прохождение через участок границ между ними (рис. 4, 5).

Раскраску карты можно заменить раскраской вершин графа столиц и дороге этой карты; правильность раскраски имеет тот же смысл, если условия две вершины любого гра-

Рис. 3. Граф границ карты.

окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасть двумя красками.

б) Сформируйте условия, необходимые и достаточно для того, чтобы карту можно было правильно раскрасть двумя красками.

В результате многоолетней коротлевой работы было доказано, что любая карта, содержащая не более 41 страны, имеет правильную 4-раскраску. Из этого ясно, что если и существует пример, опровергающий нашу гипотезу, то построить его трудно. Вместе с тем правильная 5-раскраска существует для любой сферического карты. Попытайтесь

Рис. 4. Страны от A до N, их столцы и дороги.

Рис. 5. Граф столиц и дороги карты и его правильная 4-раскраска.

26

Рис. 6. Красыми линяями изображены ребра, достаточно граф столиц и дорог карты рисука 1 до графа триангуляции; ребра эти можно было бы стройть и по-другому (например, ME вместе NI и т. п.).

фа считать соседними, когда они соединены ребром.

Приступая к раскраске вершин графа столиц и дорог карты на сфере, проверим, можно ли его дополнить ребром, не пересекающим других ребер графа, и если можно, то дополним (например, граф на рисуке 5 — ребром AK). Любая правильная 4- раскраска вовь полученного графа будет правильной и для исходного графа; обратное, вообщее говоря, неверно — две несоедние вершины стали соседними и должны быть разноветными. Мы продолжим этот процесс добавления ребер.

Задание 3. Докажите, что этом процесс завершится в том момент, когда граф будет разбиать сферу на кривolineные преуzelники. (На рисунке 6 изображен граф, полученный из графа рисука 5.)

Такой граф называют графом триангуляции сферы *), а треугольник называют граями графа. На рисунке 7 изображен граф вершин и ребер (в привчном геометрическом понимании этих слов — «вершина tetraэдра», «ребро куба») правильного двацатигранника — икосэдра; граь 20 выглядит как внешняя часть треугольника XYZ.

Задание 4. Какой должна быть карта, чтобы ее граф сполщил и dorое был графом триангуляции?

Задание 5. a) Докажите, что граф вершин и ребер правильного восемиранника — окнаэдра — может быть правильно раскраisen треязыми.

б) Сформулируйте условия, необходимые и достаточно для того, чтобы граф триангуляции обладает 3- раскраской.

Геометрия раскраски

Правильно 4- раскраске вершин любого графа триангуляции сферы можно придать простой и красный геометрический смысл. Этим и обьясняется наше желание перейти от графа столиц и дорог карты к его графу триангуляции, хотя сама задача раскраски на первый взгляд условия.

Рассмотрим неокторный tetraэдр, какая из четырех вершин которого раскрашения в свой цвет (рис. 8, д). Предположим теперь, что неокторный граф триангуляции сферы правильно

*) Триангуляция (геодезичный термин) — разбиение местности на треугольники.

27

Рис. 8. Процесс наложения поверхности octаэдра на поверхности tetraэдра.

раскрашен в те же четыре цвета. Тем самым каждой его вершине соответствует вершина tetraэдра, причем любым двум соседним — разные. А это означает, что каждому ребру и каждой грани графа соответствует некоторое ребро и некоторая грань tetraэдра: ребру графа — то ребро tetraэдра, вершины которого окрашены в те же два цвета, что и вершины ребра графа, а грани графа — подобным же образом определенная грань tetraэдра. Мы можем представлять себе это соответствие как наложение раскрашенной трианглрованной поверхности сферы на четырехгранную поверхности tetraэдра, вершины которого символьизуют четыре цвета раскраски. Это наложение можно найти с любой окрашенной в некоторых цветов вершины трианглации, совместив ее с вершиной tetraэдра того же цвета. Переход к соседней вершине трианглации и совмещая ее с соответствующей по цвету вершиной tetraэдра (которая всегда отлична от первой!), мы одновременно получим совмещение ребра трианглации с ребром tetraэдра. Подобным же образом совмещим грань трианглации с гранью tetraэдра, и затем, шаг за шагом добавляем нужного наложения.

Описанный процесс наложения изображен на рисунке 8 (а — д) для поверхности правильно восьми-граника — octaэдра. Внимательно проследив детали этого процесса на примере рисунка 8, нетрудно уяснить себе, почему такое наложение приправлен 4- раскраске возможно и как оно происходит (в частиности, поверхности сферы приходится считать гибкой и допускающей в случае необходимости самопересечения).

Арифметика раскраски

Если при наложении конкретиной вершины трианглации достаточно указаать вершину tetraэдра, в котором она переходит (то есть цвет цвета), а при наложении конкретиной грани недостаточно указаать грань tetraэдра — нужно еще знать, какой сторон она накладывается на эту грань — «лицевой» или «тыльной». Проследить это можно на примере наложения, изображенного на рисунке 8. Сформируем теперь следующие правила.

(*) Если при наложении грани графа призначении на грань метраэдра ее внешняя сторона ледла на внешнюю сторону грани метраэдра, то сопоставим этой грани графа призначении число +1; если же на внутреннюю, то — 1 (см. рис. 8, a).

28

Эти числа называют числами Хивуда раскраски — в честь английского математика П. Хивуда, пionера задач о раскрасках и первоткрывателя «арифметических» законов в проблемы четырехкраскок.

Основное, хотя и волне очевидное свойство чисел Хивуда состоит в следующем:

Лемма. Если числа Хивуда двух соседних граней тренагуляции равны, то эти грани отображаются на разные (но, конечно; всееда соседние) грани метраэдра, если они не равны, то эти грани отображаются на одну грань метраэдра, одна «лицевой» стороной, другой — «мыльной».

Эта лемма только детализирует определение чисел Хивуда; а вот следующие три арифметические свойства этих чисел на первый взгляд довольно неожиданны:

1. Сумма всех чисел Хивуда правильной раскраски вершин графа тренагуляции делится на 4 (это свойство стало известно недавно).

2. Возьмем любую вершину тренагуляции; сумма чисел Хивуда граней, сходящихся в этой вершине, делится на три (этот фундаментальный факт был открыт Хивудом в 1898 году).

3. Наоборот, если нам удостраняться подобрать числа ±1 для граней графа тренагуляции так, чтобы они удовлетворяли условию 2), то задача о раскраске решена — можно накладывать тренагуляцию на поверхность метраэдра, соблюдая правило (*); условие 2) обеспечит выполнимость такого наложения.

Иллюстрацией утверждений 1), 2), 3) может служить рисунок 9, где изображен граф икасэдра и его правильная 4- раскраска.

Мы доказем только утверждение 1); доказательство утверждения 2) аналогично и составляет содержание задания 6; доказательство 3) не совсем элементарно, и мы его не приводим. Отметим только, что делимость на три связана с тем, что в

29

Мы докажем, что суммы чисел Хивуда граней, входящих в каждую их этих групп, равны между собой (если какая-то из групп пуста, то есть не содержит ни одной грани, то естественно считать соответствующее сумму равной нулю; тогда и другие суммы будут равны нулю). Так как сумма всех чисел Хивуда распадается на суммы по четырем группам граней, то из равенства этих сумм по группам и будет следовать делимость на четые.

Выберем произвольным образом две грани tetraэдра. Расмотрим соответствующие им группы граней триангляции и составим суммы чисел Хивуда граней по каждой из этих групп. Возьмем теперь любую графа триангляции, входящую в одну из этих групп, и то ее ребро, которое отображается на общее ребро двух граей tetraэдра, выбранных нами вначале. Расмотрим ту графة триангляции, которая имеет с первой именного это общее ребро; понятно, что такая соедняя грань определяется однозначно. При этом она может отображаться лишь на одну из выбранных граней tetraэдра и поэтому либо входит в ту же группу граней, что и первая,— тогда по лемме числа Хивуда этих граней не равны, либо входит во вторую из этих групп— и тогда по той же лемме числа Хивуда этих двух граей равны. Отсюда следует, что если в одну из двух рассматриваемых нами сумм входит какое-то слагаемое (число Хивуда некоторой грани), то либо в другую сумму входит равное слагаемое (число Хивуда единственной соседней грани из второй группы), либо в ту же сумму входит равное по величины, но противоположное по значку слагаемое (число Хивуда опять единственной соседней грани, но на этот раз из той же группы). Эти равенство двух сумм доказано.

Задание 6. Докажите тем же методом свойство 2) чисел Хивуда.

Не раскрашивать, а вычислять

Свойство 3) чисел Хивуда позволяет зачать задачу нахождения правильной 4-раскраски некоторой арфметической задачей на графе: ищутся значения неизвестных $x$ (чисел Хи-

30

Задачи

M256—M260; Ф268—Ф272

M256. Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служебными второгами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон одного многоугольника равно произведение расстояний от этой точки до сторон второго.

(Под рассмотрением от точки M до стороны попирается расстояние до прямой, на которой лежит эта сторона.)

А. Н. Черныйев

M257. При каких натуральных $n \geq 2$ неравенство
$$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \geq p(x_1 x_2 + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n)$$
выполняется для любых действительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, если $p = 1$; 6) $p = \frac{4}{3}$; 8) $p = \frac{6}{5}$?

Нeyer Конг Квил (Ханой, ДРВ)

M258. На плоскости дны три точки K, L, N. Про четырехугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трех его сторон лежат в данных точках K, L, N. Найдите множество точки, в которых может попасть:
a) середина четырехугольника;
b) вершина этого четырехугольника.

А. П. Савин

M259. Наозовем кварметом четырехугольку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямогоугольника со сторонами, параллельными линям сетки. (Например, на рисунке 1 нарисовано три кварметом, не имеющих общих клеток, можно разместить:
a) в квадрат $5 \times 5$?

31

6. в прямогольнике $m \times n$ клеток?

А. Григорян, ученик 10 класса

М260*. Окружность разбита точками $A_1, A_2, \dots, A_n$ на $n$ равных частей, каждой из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги (с концами в точках разбиения) называются одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвет каждой части, совпадает с другой. (Например, на рисунке 2 дуги $A_2A_6$ и $A_6A_{10}$ одинаково окрашены.)

Доказите, что если для каждой точки разбиения $A_i$ можно указыть две непересекающейся одинаково окрашенные дуги с общим концом $A_i$,

Рис. 1.

то всего окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска «перiodическая». Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две: скажем, красная и черная.

Г. А. Гурееви

Ф268. Для определения отношения тепломкости газа при постоянном давлении и при постоянном объеме иогда применяется следующий метод. Определение количества газа, начальная температура, объем и давление которого равны соответствующее?

Рис. 3.

32

Ф270. В длиной пробирке на расстоянии $l_1$ от запаянного конца имеет короткий стольник ртути (рис. 4). Масса ртути $m$. С какой угловой скорость о нужно вращать пробирку вокруг вертикальной оси, чтобы ртуть достигла конца пробирки? Длина пробирки $l$, температура воздуха в пробирке не меняется. Атмосферное давление равно $p_0$.

Ф271. Подсчитать среднюю плотность $\rho$ электронских зарядов в атмосфере, если известно, что направленность электронского поля на поверхности Земли равна 100 $\beta \cdot m^{-1}$, а на высоте $h = 1,5$ км эта направленность падает до 25 $\beta \cdot m^{-1}$.

Рис. 4.

Ф272. К стенке, наклоненной под углом $\alpha$ к вертикали, подвешен матрик длины $l$ (рис. 5). Мягтинок отклонили в плоскости, перpendикулярной к стенке, на небольший угол $\beta$ от вертикального положения и отпустили. Найти перiod колебаний матрика, если $\beta > \alpha$ и удар шарика о стенку абсолотно упругий.

Рис. 5.

Решения задач

M211—M218; Ф223—Ф227

M211. Дано $n$ точек, $n > 4$. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы каждой точки в каждую блюда попасть, пройдя либо одной стрелке, либо по двум (каждаые две точки можно соединить стрелкой молky в одном направлении; один стрелке молky в указанном на ней направлении).

При $n = 5$ требуемый граф (так называется система точек, соедининых стрелками) представлен рисунком 1. Теперь произведем индукционный переход: докажем, что, если можно соединить стрелками $n$ точек так, как требуется в условиях, то можно соединить и $n + 1$ точек. Пусть $n$ точки уже соединины — получится граф с $n$ вершинами. Можно считать, что любые две из этих $n$ точки соединины стрелкой: иначе мы проводим все недостающие стрелки (направив их в любую сторону), и условия задачи тем более будет выполнться. Обозначим новую точку через $C$.

Рассмотрим два случая.

a) $n$ — четное. Тогда эти $n$ точки разобем на пары. Пусть точки $A_h B_h$ — одна из пар ($1 \leq k \leq n/2$) и из $A_h$ идет стрелка в $B_h$. Тогда проведем из $C$ стрелку в $A_h$ и из $B_h$ проведем стрелку в $C$ (см. рис. 2). Так проделаем для каждой пары. Новый граф с $n + 1$ вершиной построен. Докажем, что он удовлетворяет условиям задачи. Пусть $X, Y$ — две любые различные его вершины. Нам надо доказать, что из $X$ в $Y$ можно прийти, пройдя одну две стрелки. Если и $X$ и $Y$ не совпадают с $C$, то это так по индукционному предположению. Пусть $X$ или $Y$ совпадает с $C$. Тогда другая из этих точки ($Y$ или $X$) входит в какую-то пару из тех, на которые мы разбили первые $n$ точки. Таким образом, $X$ и $Y$ — это какие-то две из трех точки, изображенных на рисунке 2. Глядя на этот рисунок, легко перебрать все возможные при этом варианты и убедиться, что требование выполнется.

b) $n$ — нечетное. В этом случае разобем первые $n$ вершин на несколько пар и одну тройку. Следем это следующим образом. Выберем любую вершину $A_1$. Она

33

соединена стрелками со всем остальных $n - 1$ вершинами: $A_2, \dots, A_n$. Из $A_1$ выходят не менее чем две стрелки или в $A_1$ входят не менее чем две стрелки. Действительно, в противном случае $n$ было бы меньше четырех.

Пусть из $A_1$ выходят не менее чем две стрелки (другой случай аналогичен) и приходят в вершины $A_2, A_3$. Остальные вершины разобъем на пары. Тепер соединим стрелками новую вершину с тройкой $A_1, A_2, A_3$ — как показано на рисунке 3, а со всем парами — как показано на рисунке 2. Как и в случае a), легко доказать, что полученный граф удовлетворяет условию задачи. Индукционный переход законен. Итак, мы доказали по индукции, что $n$ точек можно соединить так, как требуется в условии, при $n \geq 5$. Если вы поняли доказательство, то без труда разбереть в следующем парадоксе. При $n = 3$ требуемый граф тоже существует (рис. 2), а при $n = 4$ такого графа нет (в этом легко убедиться перебором). Но, применив индукционный переход к частному случайю $n = 3$, получаем: если такой граф существует при $n = 3$, то он существует и при $n = 4$. Получилось противоречение *). В чем дело?

**M212. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — файлыные, остальные — настоянце, причем узнал, какие именно файлыные, а какие — настоянце. Суд же знаем только, что файлыные монеты весят одинаково, настоянце монеты весят одинаково и файлыные лезе настоянцы. Эксперт хочет время взвешивания на чашечных весах без цифровых суду, что все обнаруженные им файлыные монеты действимельно являются файлыными, а остальные — настоянцы. Сможем ли он это сделать?

На рисунках 4, а, б, в показано, какими треями взвешиваниями эксперт может убедить суд, что монеты $\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_7$ — файлыные, а $H_1, H_2, \dots, H_7$ — настоянце. Каждый раз права чашка перевищает, а это возможно лишь в том случае, если файлыных монет больше на левой чашке, чем на правой (а настоянях — на правой больше, чем на левой).

Этот способ легко обобщить, и тогда тот факт, что данные $n$ монет — файлыные, а другие $n$ — настоянные, удается доказать, произведя $[\log_2 n] + 1$ взвешивание. Не смотря на то, что такая система взвешивания очень экономна (при $n = 1000$ достаточно 10 взвешивания), мы не можем доказать, что она оптимальная. Интересно было бы доказать, что минимальное число взвешивания все же растет неограниченно при $n \rightarrow \infty$ (или опровергнуть это).

A. Л. Тоом

*) Почти как в §§ 2 и 3 статьи М. Милга «Что сказал проводник» («Квант», 1973, № 8).

M213. Дан узол с вершиной О и окружность, касающаяся его строки в монках A и B. Из точки A паралельно OB проведен луч,

Рис. 4.

34

пересекающий округность в точке C. Отрезок OC пересекает округность в точке E, а прямые AE и OB пересекаются в точке K. Доказать, что OK = KB.

Мы получили много различных решений этой задачи, в которых использоваются теоремы о касательных и секущих, о подбнитереугольника, о вписанных углах и т. п. Приведем одно из самых коротких и красивых.

Проведем касательную к округности в точке C; пусть P и N — точки ее пересечения со стороны AO и OB угла AOB (рис. 5). Ясно, что PB — ось симметричной треугольника OPN, поэтому все четыре касательные равны:

$$OA = OB = BN = CN.$$

Треугольники NOC и OAK подбны, поскольку

$$\angle CNO = \angle AOK, \angle NOC = \angle ACO = \angle OAK$$

(каждый из последних двух углов измеряется поливной дуг AE). Отсюда

$$\frac{OK}{OB} = \frac{OK}{OA} = \frac{CN}{ON} = \frac{1}{2}.$$

M214. Квадратный треугольен f(x) = ax^2 + bx + c маков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней. Доказать, что уравнение f(f(x)) = x макже не имеет вещественных корней.

Эту задачу можно решить чисто алгебраически, воспользовавшись тем, что если f(x) — многочлен, то f(f(x)) — x всегда делится (как многочлен) на f(x) — x, то есть

$$f(f(x)) - x = (f(x) - x)g(x).$$

Здесь g(x) — многочлен второй степени. Несложные выкладки показывают, что дискриминant этого многочлена отрицательен. Большинство читателей присладали, однako, более красное решение, использующие наглядные сообщения, связанные с графиками.

Условие, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней, означает, что парабола y = f(x) целиком расположена выше или целиком — ниже прямой y = x (рис. 6). Другими словами, для всех x

$$f(x) > x,$$

но тогда для всех x

$$f(f(x)) > f(x) > x,$$

или для всех x

$$f(x) < x,$$

а тогда для всех x

$$f(f(x)) < f(x) < x.$$

Таким образом, в общих случаях уравнение f(f(x)) = x не имеет решений.

**M215. На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашено в черный цвет. В моменты времени t = 1, 2, … проискодим одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k прибретаем том цвет, который имело в предыдущей моменте большимство из трех клеток: самой клетки k и ее соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то к становится белой, если две или три из них были черными), а Доказать, что через конечное время на листе не оставится черных клеток.

б) Доказать, что черные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.

Пусть Ч — какое-то множество черных клеток. Обозначим буквой Γ (от слова «головование») оператор перекрашивания, то есть через Γ (Ч) будем обозначать множество клеток, которые получаются из Ч, через Γ²(Ч) — множество Γ(Γ(Ч)), в котором передет Ч за два шага, через Γ³(Ч) — за три шага и т.д. (см. рис. 7; кстати, этот рисунок опровергает предположение, что общее количество клеток в Γ(Ч) всегда меньше, чем в Ч).

Утверждение a) сразу следует из двух таких почтенных предложений.

(1) Если к множество Ч добавить еще черных клеток, то к множество Γ(Ч) тоже могут только добавиться черные клетки, но ни одна не пропадет. Используя знак ⊆(A ⊆ B означает, что множество A целиком содержится в B, в частиности, может с ним

35

совпадать), это можно записать так:

$$\chi \subset \chi' \Rightarrow \Gamma(\chi) \subset \Gamma(\chi')$$

(2) Если $\chi_0$ — множество всех клеток внутри квадрата на клетчатой бумаге (состорной $N$ клеток), то через конечное число шагов от $\chi_0$ ничего не останется (рис. 8); точнее, уже через $(2N-1)$ шагов получится пустое множество черных клеток:

$$\Gamma^{2N-1}(\chi_0) = \varnothing$$

Ясно, что любое множество $\chi$ можно заключить в достаточно большой квадрат $\chi_0$; согласно (2) этот черный квадрат $\chi_0$ за конечное число шагов «выимрет», а согласно (1) и любое $\chi$ не может просуществовать долше, чем $\chi_0$. Тем самым задача a) решена.

Доказать 6) значительное труднее.

Приведем решение задачи 6), придуманное на олимпиде десятиклассиком А. Гомилко из Хмельницкого (за это он получил специальный приз).

Кстати говоря, то, что решение 6) не может быть очень простым, показывает примеров множество из $n$ клеток, вымирающихровно за $n$ шагов (рис. 9).

Докажем утверждение 6) индукцией по $n$ — количество клеток в начальном множество $\chi$; для $n = 1$ оно очевидно.

Пусть уже доказано, что если в $\chi$ меньше $n$ клеток, то

$$\Gamma^{n-1}(\chi) = \varnothing$$

Рассмотрим теперь $\chi$, состоящее из $n$ клеток. Заключим его в прямой угол $x \geq 0$, $y \geq 0$ (оси координат $Ox$ и $Oy$ направим вправо и вверх по линям сетки, сторона клетки равна 1) так, чтобы в полосе $0 \leq x \leq 1$ лежала хотя одна черная клетка и в полосе $0 \leq y \leq 1$ — тоже (рис. 10).

Пусть $\chi^1$ — часть $\chi$, лежащая в полуплоскости $x \geq 1$. По предположению индукции, $\Gamma^{n-1}(\chi^1) = \varnothing$. А клетки из $0 \leq x \leq 1$ не оказывают никакого влияния на то, что произходит выше прямой $x = 1$. Следовательно, $\Gamma^{n-1}(\chi)$ целиком лежит в полосе $0 \leq x \leq 1$ (очевидно, что в

36

ПОЛУПЛОСКОСТИ $x < 0$ черные клетки возвратные не могут).

Точно так же доказывается, что $\Gamma^{n-1}(\Upsilon)$ содержится в полосе $0 \leq y \leq 1$. Отсюда следует, что $\Gamma^{n-1}(\Upsilon)$ может содержать максимум одну клетку: $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$ и, значит, $\Gamma^n(\Upsilon) = \emptyset$.

Н. Б. Васильев

M216. $N$ человек не знакомы между собой. Нужно mak познакомить dtype с другой некоморых из них, чтобы ни у каких трех людей не оказалось одинакового числа знакомых. Доказите, что это можно сделать при любом $N$.

Решим задачу методом математической индукции. При $N < 3$ утверждение задачи очевидно.

Предположим, что удалость познакомить $k$ человек, так, что никакие трое из них не имеют равного числа знакомых. Присоединим $k+1$-го. Укажем способ, как познакомить $(k+1)$-го чтобы в группе из $(k+1)$-го человека по-прежнему никакие трое не имели равного числа знакомых. Если среди первых $k$ человек найдется человек, знакомый со всеми остальных, то $k+1$ не будет ни с кем знакомить. Если же такого нет, то познакомим $(k+1)$-го со всеми.

В первом случае $(k+1)$-й не имеет знакомых, а каждый из остальных имеет хотя одного знакомого — того, который был знаком со всеми. Во втором случае $(k+1)$-й имеет $k$ знакомых, количество знакомых у каждой из первых $k$ человек возросло на единицу, но ни у одного из них не стало $k$ знакомых.

На рисунке 11 показаны схемы знакомств при $k=6$, получающейся описанным способом.

Существует и много других решений этой задачи. Например, если занумеровать $n$ человек числами от 1 до $n$ и познакомить $i$ с $j$, если

$$|i-j| \leq \frac{n}{2},$$

то равное количество знакомых имеют только пары людей с номерами $k$ и $n-k$ (при

38

этоо найдем, как меняется со временем скорость корабля.

Так как $m\Delta v = F\Delta t$ и $F = -kv$, то
$$\frac{\Delta v}{\Delta t} = -\frac{k}{m} v.$$

Мы получили, что скорость изменения скорости корабля пропорциональна самой скорости. Но, как известно (см., например, статью С. Д. Осятинского и Л. З. Румшинского «Экспонента», «Квант», 1972, № 12), если изменение какой-либо величины пропорционально самой этой величины, то такая величина изменяется по экспонензialному закону, поэтому

$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m} t}.$$

Из этой формулы следует, что $v = 0$ при $t \to \infty$. To есть путь $s_2$ корабль мог бы пройти за бесконечно большое время! Это означает, что второй вопрос задачи при условии $F \sim v$ следует уточнить. Будем считать, что тело остановилось, если его скорость уменьшилась, например, в тысячу раз (число может быть, конечно, и другим; все зависит от целей эксперимента).

Ф224. По деревянным скодням, образующим угол $\alpha$ с горизонтом, вмackивающим за вервку ящик. Коэффициент трения ящика о скодни $\mu$. Под каким углом к горизонту следует направить вервку, чтобы с наименьшим числом вмackиваемых ящик: а) равномерно, б) с заданным ускорением $a$?

Рассмотрим силы, действующие на ящик (рис. 14). Это — сила тяжесте mg, сила натяжения вервки F, сила реакции скодней N и сила треня F_Tp, величина которого F_Tp = μN. Спроектируем все силы на направление вдоль скодней и перpendикулярно к ним и запишем соответствующее уравнение движения.

Так как ящик не перемещается в направлении, перpendикулярном к скодням, то сумма проекций сил на это направление

$$\text{Рис. 14}$$

должна быть равна нулю, то есть
$$N + F \sin(\beta - \alpha) - mg \cos \alpha = 0.$$ (1)

Вдоль скодней ящик движется с ускорением $a$ (в частином случае при равномерном движении $a = 0$), поэтому сумма проекций сил должны равна ma:

$$F \cos(\beta - \alpha) - mg \sin \alpha - \mu N = ma.$$ (2)

Из уравнений (1) и (2)

$$F = \frac{ma + mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{\cos(\beta - \alpha) + \mu \sin(\beta - \alpha)}.$$ (3)

В полученное выражение для силы F угол $\beta$ входит только в значатель. Следовательно, величины силы F будут минимальным при таком значении угла $\beta$, при котором значатель в формуле (3) максимален, то есть максимальная уравнение движения.

$$\cos(\beta - \alpha) + \mu \sin(\beta - \alpha).$$

Сделаем некоторые преобразования. Представим коэффициент трения $\mu$ как тангенс некоторого угла $\gamma$:

$$tg \gamma = \mu; \quad \gamma = \arctg \mu;$$

$$\sin \gamma = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}; \quad \cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

Тогда можно записать:

$$\cos(\beta - \alpha) + \mu \sin(\beta - \alpha) = \sqrt{1 + \mu^2} \cos(\beta - \alpha - \gamma).$$

После нее выражение максимальное и равное $\sqrt{1 + \mu^2}$ при $\beta - \alpha - \gamma = 0$, то есть при $\beta = \alpha + \gamma = \alpha + \arctg \mu.$ (4)

При таком значении угла $\beta$ и минимальная сила F. Причем, если ящик движется равномерно ($a = 0$), то

$$F_{\min} = \frac{mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{\sqrt{1 + \mu^2}},$$

а при движении с ускорением $a$

$$F_{\min} = \frac{ma + mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

Однако это решение верно не для любого ускорения. Так как направление силы F не зависит от $a$, а абсолотная величина силы F увеличивается с увеличением ускорения, то при некотором значении ускорения $a = a_0$ сила F становится такой, что ее составляющая $F \sin(\beta - \alpha)$, перpendикулярная к наклонной плоскости, будет равна по абсолотной величины составляющей силы тяжесте $mg \cos \alpha$. При этом обратится в нуль как сила N, так и сила $F_{\text{Tp}}$. В дальнейшем (при $a > a_0$) для того чтобы не оторвался от положев, направление силы F должно меньше с увеличением ускорения $a$ так, чтобы составляющая силы F, перpendикулярная

39

к наклонной плоскости, оставалась равной составляющей силы тяжесте, то есть
$$F \sin(\beta - \alpha) = mg \cos \alpha.$$
Для составляющих этих сил, параллельных наклонной плоскости, можно записать
$$F \cos(\beta - \alpha) = mg \sin \alpha = ma.$$
Из двух последних равенств найдем:
$$tg(\beta - \alpha) = \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a},$$
откуда
$$\beta = \alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a}.$$
Величину $a_0$ можно найти из тех сообщений, что при $a = a_0$ значение угла $\beta$ из (4) и (5) совпадает:
$$\alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a_0} = \alpha + arctg \mu,$$
откуда
$$a_0 = g \left( \frac{\cos \alpha}{\mu} - \sin \alpha \right).$$
Итак,
при $a \leq a_0$ (следовательно, и при равномерном движении тоже)
$$\beta = \alpha + arctg \mu,$$
при $a > a_0$
$$\beta = \alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a}.$$
Мы решили задачу. Однако, приведем еще одно решение. Это — красивое геометрическое решение.
При равномерном движении вдоль сходней сумма всех сил должны равна нулю. Заменим силы $N$ и $F_{TP}$ их равнойствующей $Q = N + F_{TP}$ (рис. 14) и будем складывать силы $Q$, $F$ и $mg$. Они должны образовать замкнутый треугольник.
Заметим, что направление силы $Q$ составляет с перpendикуляром к наклонной плоскости угол $\delta$ такой, что
$$tg \delta = \frac{F_{TP}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu,$$
то есть при изменении величины и направления силы $F$ направление силы $Q$ остается неизменным. Следовательно, абсолотная величина вектора $F$ будет минимальная, если он перепendlкулярен к вектору $Q$ (рис. 15) (так как величина и направление вектора $mg$ не меняются). При этом с горизонтом силы $F$ будет составлять угол
$$\beta = \alpha + \delta = \alpha + arctg \mu$$
(углы $\beta$ и $\alpha + \delta$ равны как углы с взаимно перепendlкулярными сторонами).
Точно так же решается задача, когда ящик движется сускорением $a < a_0$. В этом случае сумма векторов $mg$, $Q$ и $F$ должны равна $ma$ (рис. 16). Это изменит абсолотную величину силы $F$, но не изменит ее направления.
При $a > a_0$, когда силы $N$, $F_{TP}$, $a$, следовательно, и $Q$ равны нулю, сила $F$ должна соединяться концы векторов $mg$ и $ma$ (рис. 17). Легко видеть, что в этом случае
$$\beta = arctg \frac{g + a \sin \alpha}{a \cos \alpha} = \alpha + arctg \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a}.$$
Ф225. В смакан наличии две несмещающееся жидкости: чем перехлористый улерод $CCl_4$ и вода. При нормальном атмосферном давлении $CCl_4$ кипит при $76,7^\circ \text{C}$, вода — при $100^\circ \text{C}$. При равномерном нагрении смакана в водной бане кипение на границе раздела жидкости наинается при температуре $65,5^\circ \text{C}$. Определить, какая из жидкости быстрое выкипаем при максим «пограничном» кипении и во сколько раз. Давление насыщенных паров воды при $65,5^\circ \text{C}$ составляет 192 мм рм. см.
Для кипения однородной жидкости необходимо, чтобы давление насыщенного пара в пузырьках, образующихся по всему объему жидкости, было равно внешнему атмосферному давлению *).
При «пограничном» кипении в пузырьках, находящихся на границе воды и четыреххлористого улерода, содержится как
*) В действительности давление насыщенного пара должна быть больше атмосферного на величину $\Delta p = \rho gh + \frac{2\sigma}{R}$, где $\rho gh$ — гидростатическое давление на глубине $h$, $\frac{2\sigma}{R}$ — добавочное давление под изогнутой поверхностью жидкости (σ — коэффициент поверхности натяжения, $R$ — радиус пузырька). Obviously этой величины можно преобразить по сравнению с внешним атмосферным давлением.

41

Аргумент комплексного числа
Ю. В. Сидоров

В этой статье рассматривается понятие аргумента комплексного числа и тригонометрическая форма записи комплексного числа. При этом предполагается, что читатель знает определение комплексного числа, понятие модели и геометрическую интерпретацию комплексного числа *).

Определения
Начнем с определения аргумента комплексного числа. Чаще всего встречаются два определения.

Определение 1. Аргументом комплексного числа $z \neq 0$ называется угол между действительным осью и вектором $\vec{Oz}$, описываемый от положимного направления действительной оси. При этом, если

*) См., например, В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунн, «Лекции и задачи по элементарной математике», М., «Наука», 1971, а также В. В. Пекарская, «Геометрия комплексных чисел», «Квант», 1973, № 6, с. 54.

отсчет ведется произволь хода часовой стрелки, мо величина уела сцимается положимной, а если no ходу часовой стрелки, мо отрицательной (см. рисунок).

Определение 2. Аргументом комплексного числа $a + bi \neq 0$ называется угол φ, который удовлетворяет одновременно двум равенствам:

$$\begin{align*} \sin \varphi &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \cos \varphi &= -\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \end{align*}$$

Чтобы до конца понять определение аргумента, необходимо условить следующее.

1°. В обихх определения угол может выражаться и в градусах, и в радианах. В школьном курсе математики равноправны обе записи. Для определности договорами в этой статье изменять углы только в радианах, причем слово «радIAN», как обычно, будем опускать. Такой выбор не случайен — в высшей математике чаще всего применяется именно радианное изменение углов. Поэтому аргументом комплексного числа следует считать отвлеченным числом.

Таким образом, в определении 1 слово «угол» надо помнить как «алгебраический угол», то есть отвлеченное число, выражающее число радиан величины «геометрического угла». Аналогично, в определении 2 число φ означает число радиан, а не градусов.

42

2°. Определения 1 и 2 эквивалентны: если φ является аргументом числа z = a + bi ≠ 0 в смысле определения 1, то выполняются равенства (1); наоборот, если φ — аргумент комплексного числа z = a + bi ≠ 0 в смысле определения 2, то φ — угол между положительным направлением действительной оси и вектором z. Это утверждение при a > 0, b > 0 вытекает непосредственно из рисунка (см. с. 41) и определений синуса и косинуса. Для остальных чисел z доказательство аналогично (проверьте!).

Таким образом, не имеет значения, какое из определений 1 или 2 выбрано за исходное — другое будет являться необходимым и достоинным критерiem.

3°. Для числа z = 0 понятие аргумента не существует. Поэтому для краткости во всех дальнейших расчудениях, связанных с понятием аргумента, будем предполагать (и этого нельзя забывать!), что z ≠ 0.

4°. Для фиксированного комплексного числа z ≠ 0 аргумент определяется неоднозначно: если φ₀ — неокторный аргумент числа z, то каждое из чисел

$$\varphi_0 + 2k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$$

тоже является аргументом этого же числа z, и никакое число, не совпаданное ни с одним из чисел, указывается в (2), не является аргументом числа z (доказьте!).

Таким образом, для каждого фиксированного числа z ≠ 0 имеется бесконечное множество аргументов, из которых каждые два отрицательные dyres от dyres на число, кратное 2π.

5°. Многозначность аргумента, описанная в 4°, затрудняет понимание действий над аргументом комплексного числа. Но часто именно благодая этой многозначности удается решать довольно трудные задачи.

В некоторых последних по элементарной математике в определение аргумента включается ограничение вида 0 ≤ φ < 2π, то есть считается, что аргумент комплексного числа z — это наименьший неотрицательный угол между положительным оси и вектором z. Тогда для каждой числа z аргумент определяется однозначно, и на первый взгляд кажется, что все теория должна быть проще. Однако такое ограничение лишь еще больше усложняет правильная действия над аргументами (например, сумма аргументов двух комплексных чисел не всегда является аргументом какого-либо комплексного числа). Иногда это приводит к значительному неочевидному *), поэтому лучше придерживать общей приоритетю определения (1 или 2).

Arгумент комплексного числа

Рассмотрим вопрос о нахождения аргумента комплексного числа. Но сначала договораемся об обозначениях.

Для обозначения того факта, что число φ является аргументом комплексного числа z, пишут

$$\varphi = \arg z \text{ или } \arg z = \varphi.$$

(3) Например, какое из соответствий

$$\frac{\pi}{2} = \arg i$$

и

$$\arg i = \frac{\pi}{2}$$

означает только то, что число π/2 является аргументом числа i.

Заметим, что соответствия (3), хотя и выглядает формально как равенства, является необчислимыми. Однако из свойств обычных равенств является, например, следующое: если A = B и B = C, то A = C (A, B, C — числа или геометрические фигуры). А равенства (3) таким свойством не обладают. Например, можно записать, что

$$\frac{\pi}{4} = \arg (1 + i), \arg (1 + i) = \frac{9\pi}{4},$$

*) См., например, В. В. Зайцев, В. В. Рыжков, И. М. Сканави, «Элементарная математика», М., «Наука», 1967, с. 41: в формуле (15.1) сумма φ₁ + φ₂ может быть больше 2π, и поэтому смысл формулировки теоремы после этой формулы неонятен. Аналогичная неочевидность допущена на той же странице в формуле (15.2) и в тексте после нее.

Причем нередактира. Сейчас готовится новое, переработанное издание этой книги, оно выйдет из печати в 1974 году.

43

$\frac{\pi}{4} \neq \frac{9\pi}{4}$.

Таким образом, соответствия (3) можно читать так: «ф равняется аргументу числа $z$ или «аргумент числа $z$ равняется $\varphi$», но смысл этих фраз только один: $\varphi$ является аргументом числа $z$ или, другими словами, $\varphi$ является одним из аргументов числа $z$, как отмечалось в (2). Этот факт записьюот в виде формулы

$$\arg z = \varphi_0 + 2k\pi,$$

$$k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Например, все значения аргумента числа $i$ содержатся в формуле

$$\arg i = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Отметим, что «равенства» видна (4) часто встречаются при решении трионометрических уравнений. Например, решение уравнения $\sin x = 1$ записьяется так:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Смысл последнего «равенства» такой же, как и соответствия (4): для каждой целого $k$ число $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ удовлетворяет уравнению $\sin x = 1$ и только эти числа являются корнями уравнения $\sin x = 1$.

Для нахождения всех значений аргумента комплексного числа $z = a + bi \neq 0$ нужно найти все числа $\varphi$, удовлетворющие обимом равенством (1), то есть решить совместно уравнения (1).

Пример 1. Наимен все значения аргумента числа $z = -5$.

Так как $a = \text{Re} z = -5, b = \text{Im} z = 0$, то решениями первого уравнения $\cos \varphi = -1$ из системы (1) являются числа $\varphi = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$, а решениями второго уравнения $\sin \varphi = 0$ числа $\varphi = n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Общими корнями обонх уравнения являются числа

$$\varphi = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Ответ: $\arg (-5) = \pi + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Заметим, что ответ в примере 1 можно записать и в другом виде, например:

$$\arg (-5) = -\pi + 2n\pi, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$$

или

$$\arg (-5) = 3\pi + 2m\pi, m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$$

Нужно иметь в виду, что все эти формулы различные записи эквивалентны (в каждом из этих ответов содержатся все значения аргументов числа $-5$), то есть это одинаковые ответы, написанные разными формулами.

Arгумент комплексного числа $z = a + bi \neq 0$ можно нахождение процедуры сначала точка $z = a + bi$ (например, используя геометрическую интерпретацию комплексного числа), а затем воспользоваться одним (любым) из уравнений (1) (доказательный ответ по формуле (4)).

Ответ: $\arg (-1 + i) = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Заметим, что если $\varphi = \arg (a + bi), a \neq 0$, то

$$\tg \varphi = \frac{b}{a}.$$

Однако обратное утверждение неверно: из уравнения (5) нельзя

44

чить, что $\varphi = \arg(a + bi)$. Например, для числа $-1 + i$ значение $\varphi = -\pi/4$ является решением уравнения (5), но не является аргументом этого числа.

Но если сначала определить, в какой четверти находится точка $a + bi$, и затем найти также решение уравнения (5), которое является углом в этой четверти, то получим аргумент числа $a + bi$ (доказатель!).

Пример 3. Наименование из аргументов числа $1 - i\sqrt{3}$.

Точка $1 - i\sqrt{3}$ лежит в четвертой четверти. Находим какое-нибудь решение уравнения (5), то есть $\arg(\varphi) = -\sqrt{3}$, которое является углом в этой четверти, например: $\varphi = -\pi/3$.

Ответ: $\arg(1 - i\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

В этом примере по смыслу вопроса ответ неоднозначен. Является верным так же следующие ответы:

$$\arg(1 - i\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{3},$$
$$\arg(1 - i\sqrt{3}) = -\frac{7\pi}{3},$$
$$\arg(1 - i\sqrt{3}) = \frac{41\pi}{3}$$

и другие.

Пример 4. Наименование числа $\sqrt{3} + i$.

Аналогично тому, как это сделано в примерах 2 или 3, находим (найDITе!):

$$\arg(\sqrt{3} + i) = \frac{\pi}{6}$$

(то есть $\pi/6$ является одним из аргументов числа $\sqrt{3} + i$). Остается выяснить, как писать ответ: достаточно указыть одно значение аргумента или нужно найти все?

Вспомним, например, задачу: решить уравнение $x^2 = 1$. Это уравнение имеет два корня $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Чтобы ответ был полным, в него необходимо включить оба корня. Часто и в геометрических задачах встречаются необходимые ответы. Например, найти сторону $AB$ треугольника $ABC$, если $AC = 8$ см, $BC = 7$ см, $\angle A = \pi/3$. Полный ответ должен быть таким: $AB = 3$ см или $AB = 5$ см (доказатель!).

Так же и в нашем примере 4: чтобы ответ был полным, нужно найти все значения аргумента числа $\sqrt{3} + i$. Так как один аргумент $\pi/6$ уже найден, то все значения аргумента этого числа находим по формуле (4).

Ответ: $\arg(\sqrt{3} + i) = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Таким образом, вопроса 4 является простой короткой формулировкой вопроса примера 2.

Обратим внимание на одну распространенную ошибку. Иного абитуренты пытаются находить аргумент числа $a + bi$ по формуле $\varphi = \arctg\frac{b}{a}$, а не которые даже принимают эту формулу за определение аргумента. Однако для каждой $x$ функция аргумента $x$ имеет только одно значение, причем $-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}$. Значит, формула $\arg(a + bi) = \arctg\frac{b}{a}$ верна только при $a > 0$, причем дает только одно из значений аргумента.

Можно доказать (доказатель!) справедливость следующей формулы:

$$\arg(a + bi) = \begin{cases} \frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b > 0; \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если } a = 0, b < 0; \\ \arctg\frac{b}{a}, \text{ если } a > 0; \\ \pi + \arctg\frac{b}{a}, \text{ если } a < 0. \end{cases}$$

По этой формуле можно находить одно из значений аргумента, но часто проще поступать так, как сделано в примерах 2 или 3.

45

Тригонометрическая форма комплекского числа

Рассмотрим понятие тригонометрической формы комплекского числа. Вспомним, что модуlem комплекского числа $z = a + bi$ называется число

$$r = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

Пусть $\varphi = \arg(a + bi)$, перепишем формулы (1) так:

$$\cos \varphi = \frac{a}{r}, \sin \varphi = \frac{b}{r},$$

откуда $a = r \cos \varphi, b = r \sin \varphi$, а потом

$$a + bi = r(\cos \varphi + i \sin \varphi).$$

Таким образом, любое комплекское число $a + bi \neq 0$ можно записать в виде (6), если $r$ — модуль числа $a + bi$, а $\varphi$ — один из аргументов этого числа:

$$r = |a + bi|, \varphi = \arg(a + bi).$$

Верно и обратное утверждение (доказатель!)： если комплекское число $a + bi$ представлено в виде (6), если $r > 0$, то

$$r = |a + bi|, \varphi = \arg(a + bi).$$

Определение. Представление комплексною числа $z$ в виде

$$z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi),$$

(7) если $r > 0$, называется тригонометрической формуой записи комплексною числа.

Сказанное выше означает, что каждое комплекское число $z \neq 0$ можно представить в тригонометрической форме (7), причем

$$r = |z|, \varphi = \arg z.$$

Для того, чтобы найти тригонометрискую форму заданного комплексною числа, нужно найти метод числа, какой-нибудь аргумент этого числа, а затем записать это число в виде (7). Если при этом $|z| = r = 1$, то можно целый $r$ в формуле (7), как обычно, опускается, то есть в этом случае тригонометрическая форма записи имеет вид

$$z = \cos \varphi + i \sin \varphi.$$

Например, для числа $i$ запись

$$i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$$

является тригонометрической формуой записи этого числа.

Заметим, что в силу многозначности arg $z$ тригонометрическая форма фиксированного комплексною числа также неоднозначна. Например, для числа $i$ тригонометрической формуой является также записи

$$i = \cos \frac{5\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2},$$

$$i = \cos \left(-\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)$$

и другие.

Необходимо подчернуть, что не всекая запись комплексною числа через тригонометрические функции является тригонометрической формуой этого числа. Например, запись числа $i$ в виде $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{5\pi}{2}$ или $i = (-1)\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right)$ не является тригонометрической формуой числа $i$. Так как аргументы числа $i$ являются числами $i$ является числами $i$.

$$\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$$

и только они, то и тригонометрическая форма числа $i$ обязательно имеет вид

$$z = 1 + \cos \frac{10\pi}{9} + i \sin \frac{10\pi}{9}$$

можно представить в виде (проверьте!):

$$z = 2 \cos \frac{5\pi}{9} \left(\cos \frac{5\pi}{9} + i \sin \frac{5\pi}{9}\right) =$$

$$= 2 \cos \frac{14\pi}{9} \left(\cos \frac{14\pi}{9} + i \sin \frac{14\pi}{9}\right).$$

Вторая из этих записей является

46

тригонометрической формуй данного числа, а первая — нет, так как $\cos \frac{5\pi}{9} < 0$.

Итак, если $r = |z|$, $\varphi_0 = \arg z$ (мо есть $\varphi_0$ является одним из аргументов числа $z$), то для каждого целого $k$ запись $z = r[\cos(\varphi_0 + 2k\pi) + i\sin(\varphi_0 + 2k\pi)]$ является тригонометрической формуой комплексного числа $z$, и никакая другие запись не является тригонометрической формуой этого числа.

На этом в школьном курсе математики заканчивается рассмотрение свойств аргумента комплексного числа.

Одно свойство аргумента

С помощью тригонометрической формуы легко выводится следующие правила умножения и деления комплексных чисел (проверьте!): если

$$z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1),$$
$$z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2),$$

mo

$$z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)],$$
$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)].$$

Из этого правила неоспределенно вытекает следующая важная теорема Пусть $\varphi_1 = \arg z_1$ и $\varphi_2 = \arg z_2$. Тогда

$$\varphi_1 + \varphi_2 = \arg(z_1z_2),$$
$$\varphi_1 - \varphi_2 = \arg\frac{z_1}{z_2}.$$

Вспомним, что запись $\varphi = \arg z$ означает только тот факт, что число $\varphi$ является одним из аргументов комплексного числа $z$. Значит, формулы в теореме следует читать так: сумма аргументов комплексной числа $z$ является аргументом произведения, а разность аргументов делимого и делимая аргументом частного.

Обратим внимание на одну распространенную ошибку. Иnorда первого частного теоремы записью в виде «формулы»

$$\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2,$$

которая не имеет смысла, так как arg $z$ — многозначная функция, а в школьном курсе математики не рассматривается поняття суммы и равенства двух многозначных функций.

Следует иметь в виду, что если $\varphi_1 = \arg z_1$, $\varphi_2 = \arg z_2$ и $\varphi = \arg(z_1z_2)$, то

47

Московский государственный университет
имени М. В. Ломоносова

Мы уже рассkaзывали о факультетах физико-математического профля Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова *). Ниже приведятся материалы вступительных экзаменов 1973 года по математике и физике на этих факультетах.

Matematika

Механико-математический факультет
Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$2(\cos x)^{5/2} - \cos 2x = 1 + \frac{\sin x}{\sqrt{3}}(1 - \sqrt{\cos x}).$$

2. В трапеции $ABCD$ точка $K$ — середина основания $AB$, точка $M$ — середина основания $CD$. Найти площадь трапеции, если известно, что $DK$ есть биссектриса угла $D$ трапеции, $BM$ есть биссектриса угла $B$ трапеции, наиболее низ углов при нижнем основании трапеции равен $60^\circ$, а ее перimetр равен 30.

3. Решить неравенство
   $$5x + \sqrt{6x^2 + x^3 - x^4} \log_2 x > (x^2 - x) \log_2 x + 5 + 5\sqrt{6 + x - x^2}.$$

4. Точки $K$ и $M$ являются соответствующими ребер $AB$ и $AC$ треугольной парамиды $ABCD$, площадь основания $ABC$ которого равна $p$. Найти площадь грани $BDC$, если сечение $MDK$ имеет площадь $q$, а основание высоты парамиды попадает в точку пересечения медиан треугольника $ABC$.

5. Найти все пары чисел $x, y$, удовлетворяющие условиям
   $$\begin{cases} \sqrt{2x^2y^2 - x^4y^4} = y^6 + x^2(1 - x), \\ \sqrt{1 + (x + y)^2} + x(2y^3 + x^2) \leq 0. \end{cases}$$

*) См. «Квант», 1973, № 4.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$1 + \cos 2x + \cos^2 x \log \sqrt{3} tg^2 x + 3 \sin x = 2 \sin x \log_{1/3} tg^3 x.$$

2. В трапеции $ABCD$ точки $K$ и $M$ являются соответствующими серединами оснований $AB$ и $CD$. Известно, что $AM \perp DK$ и $CK \perp BM$, а угол $CKD$ равен $60^\circ$. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 1.

3. Решить неравенство
   $$\sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 2x > 2x \times 3^x \sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 4x^2 \cdot 3^x.$$

4. В треугольной парамиде $ABCD$ через ребро $AD$, равное $a$, и точку $E$ — середину ребра $BC$ — проведено сечение, образующое с грамими $ACD$ и $ABD$ соответствующего углы $\alpha$ и $\beta$. Найти объем парамиды, если площадь сечение $ADE$ равна $S$.

5. Найти все пары чисел $x, y$, удовлетворяющие условиям
   $$\begin{cases} 4y^2 - 2x^2 = \sqrt{2(x + 2y)^2 - (x + 2y)^4}, \\ x^4 + 2 \leq 4y(x^2 - 1). \end{cases}$$

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Вариант 3

1. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sin y \cos x + \sin x = 0, \\ 2 \cos^2 y + \sin y \sin x = \cos 2y \cos x. \end{cases}$$

2. Решить неравенство
   $$\log_2 x - \frac{4}{25} \left( \frac{x^2 - 14x + 51}{50} \right) \leq 0.$$

3. В прямогольном треугольнике $ACB$ из вершины прямого угла $C$ проведены биссектриса $CL = a$ и медиана $CM = b$. Найти площадь треугольника $ACB$.

4. Точки $A, B, C, D, E, F$ лежат на поверхности шара радиуса $\sqrt{2}$.