Квант 1974, №5 · Страницы

КВАНТ
1974
5
Научно-популярный
физико-математический
журнал

АКАДЕМИИ НАУК СССР 250 ЛЕТ

27

ПИСЬМА
о разНЫх
ФИЗИЧЕСКИХ
и
ФИЛОЗОФИЧЕСКИХ
МАТЕРІЯХЬ,
писания
къ нькоторой ньмецкой
ПРИНЦЕССЬ
съ Французского языка на Российский
переведения
СТЕПЛНОМЬ румовскимь
Академии Наукъ Членомъ , Аспирономомъ
и Профессоромъ
ЧАСТЬ ПЕРЬВАЯ.
Въ САНКТПЕТЕРЬургъ
при Императорской Академии Наукъ
1768 года.

Титульный лист книги Леонарда Эйлера в переводе на русский язык.
Эта книга — великоленная популярная и полная оригинальная идея
энциклопедия физики XVIII века, по которой учились физике несколько
поколенный русских читателей (о работах Эйлера см. с. 27).

1

Главный редактор
академик И. К. Киоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакции:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Черпова

В НОМЕРЕ

2 250 лет Академии наук СССР
6 В. А. Лешковцев. Физика в Академии наук СССР (1917—1974 гг.)
18 Б. В. Гнеденко. Академия наук и прогресс математики
26 Б. Н. Делоне. Леонард Эйлер
36 И. К. Киоин. Он проекл счастливую жизнь
43 Д. С. Людмилов, С. Д. Людмилова. Праводоподобные рассуждения и математика

Задачник «Квант»
48 Задачи М261 — М265, Ф273 — Ф277
50 Решения задач М219 — М221; Ф228 — Ф232

Практикум абитуриента
58 И. Ф. Шарыzin. Задачи о пересечении тел
64 И. А. Зайцев. Электрические машины постоянного тока
70 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Рецензии, библиография
72 В. П. Лищевский. Новые книги

«Квант» для младших школьников
73 Задачи
74 В. Н. Крупский, А. И. Орлов. Коза на привязи

Ответы, указания, решения
Уголок коллекционера
А. В. Алтыкис, В. А. Лешковцев. На марках — Академия наук СССР (3-я с. обложки)

Смеся
(c. 35, 42, 63)

На первой странице обложки приведена фотография эдания Президиума Академии наук СССР, находящаяся в Москве.

© «Квант», 1974 год.

2

250 ЛЕТ АКАДЕМИИ НАУК СССР

Исполнитель 250 лет с момента образования высшего научного учреждения нашей страны — Академии наук СССР. Вся страна торжественно отмечает это выдающееся событие в истории отечественной науки. Отмечают его и во многих других государственных делеко за пределами нашей родины. Юбилей Академии наук — это смотр достиненной отечественной науки.

Об истории Академии наук с момента ее возникновения и до Великой Октябрьской революции мы рассказали в предыдущем номере журнала в статьях академика С. И. Вавилова и академика АН УССР Б. В. Гнеденко. Телерь мы рассказем о судьбе Академии наук в последние 56 лет.

Великая Октябрьская революция вызывала огромные перемены в деятельности Академии наук. Советское правительство, возглавляемое В. И. Лениным, сразу раскрыло перед русскими учеными совершенное невиданные ранее возможности научной работы. Для победившей революции была цена всякая научная инцидита, был дорог какдый ученый, старый и молодой, выдавшийся и начинaoший. С первых же месяцев существования советской власти, несмотря на крайне тяжело обстановку в стране, правительство оказало большую помощь научным учреждением и отдельным ученым.

В. И. Ленин прекрасно понимал, что встроительстве социальizaма наука должна принимать активное участие. Поэтому он поставил такую задачу: «… все, что завоевала человека наука, человека техническа наука, человека техническа наука, все условия специализования, все должно поейти на службу объединенного рабочего» *).

Октябрьская революция изменила место и роль науки в жизни общества. Телерь наука должна была служить интересам всего народа. Учитывая это, В. И. Ленин сказал в одном из выступлений в 1918 году: «Раньше весь человекаский ум, весь его геней творил только для того, чтобы дать одним все блата технически и культуры, а других лишить самого необходимости — просвещения и развития. Телерь же все часа технически, все завоевания культуры станут общенародным достоянием…» **).

Об этом же прекрасно сказал в своей речи на 200-летнем юбилею Академии наук Председатель ЦИК СССР М. И. Калинин: «… именно социальстическое общество больше, чем какой бы то ни было общественный строй, нуждается всего в широком развитии как абстракт-

*) Ленин В. И. Полн. собр. соч. Изд. 5, т. 38, с. 26.
**) Ленин В. И. Полн. собр. соч. Изд. 5, т. 35, с. 289.

ных, так и практических научных дисциплин, и оно же впервые дает научной мысли и работе условия подлинной свободы и плодотворного общения с самых широкими массами».

Эти идеи настоящего и последовательного проводились в жизнь. Советское правительство сразу же признало необходимость поддержки Академии наук. 9 апреля 1918 года секретарь Совета Народных Комиссаров Н. П. Горбунов по поручению В. И. Ленина сообщил руководству Академии, что «Совет Народных Комиссаров считает крайне желательным возможность широкого развития научных предприятий Академии и приглашает Академию довести до сведения Совета об имеющихся предположениях экспериментальной исследования и экспериментных работ. И все это было сделано в труднейшее для молодой советской республики время, в условиях гражданской войны, когда положение на фронтах было отчажным, а разруха парализовала хозяйственную жизнь в стране.

В это же время В. И. Ленин составил «Набросок плана научно-технических работ» — первый шаг к перспективному планированию развития советской науки. В нем В.И. Ленин выдвинул идею градинозного экономического подема страны при непосредственном учении науки. Этот документ начинается словами: «Ака-

деми наук, начавшей систематическое изучение и обследование естественных производных сил России, следует немедленно дать от Висшго совета народного хозяйства поручение…».

Новые задачи требовали новых форм организации науки, прежде всего создания большого числа научных институтов, объединяющих остальных в стране учены и готовых новые научные кадры из талантливой молодежи. Еще при жизни В. И. Ленина в Академии наук были организованы Физико-математический институт, Институт физиокимического анализа, Институт по изучениюplatiniи и других благородных металлов. Тогда же при других ведомственных были организованы Физико-технический институт, носящий теперь имя его основателя А. Ф. Иоффе, Государственный оптический институт имени Д. С. Рождественского, Радиевый институт имени В. Г. Хлопина, Центральный агроидропинмический институт имени Н. Е. Жуковского, Государственный институт прикладной химики, Институт по изучению Севера и ряду других крупных научных центров. Воспследствии деятельности этих институтов была тесно связана с Академией наук.

В. И. Ленин внимательно следил за работами Академии наук по изучению Курской магнитной атомалини, природных богатств Кольского полюстров. Большая помощь была оказана им великоу русскому физиологу академику И. П. Павлову и выдавшемся механику члену-корреспонденту Академии наук Н. Е. Жуковскому. Он привлек к участию в разработке плана электрификации России (плана ГОЭЛРО) крупнейших учены будущих академков Г. М. Кржинжановского, Г. О. Графтю, В. Ф. Митковча, будущего члена-корреспондента Академии наук М. А. Шателена.

Вскоре после смерти В. И. Ленина, в июле 1925 года, было при-

4

наго решение о преобразовании Российской Академии наук, сферой деятельности которого была в основном РСФСР, во Всесоюзную Академию наук. Академия получила ряд новых институтов. Ей было поручено руководство Всесоюзными конференции и совещаниями по различным проблемам науки и техники.

В 1934 году Академия наук переехала из Ленинграда в Москву. Здесь она стала быстро превращаться в штаб советской науки, текно связанный с другими государственными органами.

23 ноября 1935 года Совет Народных Комиссаров СССР утверждил новый учет Академии наук. В первом пункте этого установки: «Академия наук Союза ССР является высшим научным учреждением СССР, объединяющим наиболее выдающиеся учены страны».

В трудные годы Великой Отечественной войны Академия внесла большой вклад в победу нашего народа над фашизмом. Герончесскую страницу в истории Академии вписали ее ленинградские учреждения во время блокады города-героя.

После окончания войны учены Академии наук решили цельряд важнейших проблем науки и техники. Под руководством академика И. В. Курчатова в небольчайно короткие сроки было создано советское атомное и термодерное оружие. Успешно были решены также проблемы мирного использования атомной энергии. Известно, что первая в мире атомная электростанция была построена в СССР. Академик С. П. Королев возглавил работу по созданию пакетно-космического комплекса для исследований и использования космического пространства. В нашей стране создана сложнейшая вычислительная техника. Особенно важное значение работы Академии приобрела в связи с проискодящей в настоящее время научно-технической революцией, в которой науке принадлежит решающая роль.

Академия наук сегодня — это сотни научно-исследовательских институтов и учреждений и десяти тысяч научных работников. В 1928 году весь штат Физико-математического института Академии наук составил из семи человек: директора, двух заведующих отделами и четырех научных сотрудников. Сегодня в одном лишЬ физического институте Академии наук имени П. Н. Лебедева работает несколько тысяч сотрудников. По данным на начало 1973 года в Академии составили 244 академика, 449 членов-корреспондентов и 69 иностранных членов. Все деятельности Академии направляется Президиумом, возглавляемым председателем учреждения во время блокады города-героя.

Многочисленные академические институты и учреждения объединены в отделения по различным разделам науки: математики — в отделение математики, физики — в отделение физики и астрономии и отделение ядерной физики, механики — в отделение механики и процессов управления. Всего в состав Академии находится 16 отделений. Помимо этого, Академия наук СССР имеет очень крупное Сибирское отделение, в состав которого входит более 30 институтов, а также Уральский и Дальневосточный научные центры. В состав Академии входят также 6 фильмов: Казанский, Башкирский, Дагестанский, Каральский, Колский и Коми-филиал.

Каждая соозная республика имеет свою Академию наук, текно связанную с Академией наук СССР.

Академия наук внесла огромный вклад в развитие советской физики и математики. Мы расскажаем о нем в статьях, помещенных в этом номере.

5

В. И. ЛЕНИН. НАБРОСОК ПЛАНА НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ РАБОТ

Написан в апреле 1918 г.

«Академии наук, начавшей систематическое изучение и обследование естественных производительных сил *) Россия, следует немедленно дать от ВЫШЕГО совета народного хозяйства поручение образовать ряд комиссий из специальов для возможного более быстрого составления плана реорганизации промышленности и экономического подъема России.

В этот план должно входить:

рациональное размешение промышленности в России с точки зрения близости сырья и возможности наименшей потери труда при переходе от обработки сырья ко всем последовательным стадиям обработки получабрикатов вплоть до получения готового продукта.

Рациональное, с точки зрения новыйшей наиболье крупной промышленности и особенно трестов, слияние и сосредоточение производства в немногих крупнейших предприятиях.

Найбольшее обеспечение теперьней Российской Советской Республики (без Украины и без занятых немцами облестей) возможности самостоятельно срабатить себя всем главнейшими видами сырья и промышленности.

Обращение особого внимания на электрификацию промышленности и транспорта и применение электричества к земледелю. Использование непервоклассных сортов топлива (торф, уголь худших сортов) для получения электрической энергии с наименышими затратами на добычу и перевоз горючего.

Водные силы и ветряные двигаатели вообще и в применении к земледелю.**

*) NB: Надоускорить издание этих материалов изо всех сил, после об этом бумажку и в Комиссariat народного просвещения, и в союз типографских работных, и в Комиссariat труда.

**) Лени и В. И. Полн. собр. соч. Изд. 5, т. 36, с. 228—231.

6

ФИЗИКА
В АКАДЕМИИ НАУК СССР
(1917-1974 г.г.)
В. А. Лешковцев

Созданная Петром I Академия наук на протяжении XVIII века была почти единственным центром физической науки в России. Но уже в самом начале XIX века в стране начали возникать и успешно развивать новые научные центры, где проводились физические исследования. Это были университеты, медико-хирургическая Академия, Московское общество испытательной продукции. Со временем внекадемическая физика стала играть очень важную роль в развития физики в России. Алексадр Григорьевич Столетов, Николай Алексеевич Умов, Петр Николаевич Лебедев, Алексадр Степанович Попов и ряд других известных русских физikов не были членами Академии наук. Можно сказать, что роль Академии в развития отечественной физики в конце XIX и начала XX века была веснаскромной.

Это положение коренным образом изменилось вскоре после Великой Октябрьской революции. В начале тридцатых годов Академия наук становится высшим научным учреждением Советского Союза, объединяющим крупнейших ученых различных отраслей знания, в том числе и физков. Уже в эти годы в ее состав мы видим выдающийся советских физikов Абрама Федоровича Ноффе, Дмитрия Сергеевича Рождественского, Леонида Исааковича Мандельштама, Сергея Ивановича Вавилова,

Дмитрия Владимировича Скобельцына, Николая Дмитриевича Папалекси, Владимира Алексадровича Фока, Игоря Евгеньевича Тамма, Петра Леонидовича Капицу, Льва Давидовича Ланду и других. Быстро расширяется сеть научных институтов, занимающихся разработкой физических проблем.

Физика оказывает решающее влияние на развитие отрасли техники — энергетику, связи, промышленное производство. В нашей она является одной из главных движущих сил научно-технической революции, преобразующей современную промышленность. В связи с этим возникает необходимость успешного развития физических исследований.

В настоящее время в состав Академии наук СССР входит более двадцатых научных физических институтов. Средних физических институтами А. Ф. Иоффе, Институт физических проблем имени С. И. Вавилова, Институт критического имени А. В. Шубникова, Институт теоретической физики имени Л. Д. Ланду, Институт радиотехники и электроники, Институт физики творого тела, Институт физики высоких делений и других. Многочисленные научные физические институты созданы в Республиканских Академиях. Кроме того, члены Академии руководят работой во многих физических ин-

7

ститутах, не принадлежих Академии наук (Иститутatomной энергии имен И. В. Курчатова, Объединенный институт ядерных исследований, Иститут физики высоких энергии, Иститут точной механики и вычислительной техники и т. д.).

Академия наук СССР определяет развитие современной физики и обеспечивает подготовку научных работников наиболее высокой квалификации.

В небольшой степени совершенно невозможно расскадаать о достижениях Академии наук в области физики за годы совершенствования. Об этом уже написаны обстоятельные научные труды. К тому же большим работ по своему научному содержанию необсячайно сложно и далеко выходит за рамки школьных представлений.

Мы рассекем здесь лишь о некоторыхfundamentальных исследованийвыдающихся современных физиков — членов Академии наук СССР. При этом решойой о работах, авторов которых уже нет среди нас. Что же касается ниже здравствующих авторовfundamentальных физических исследований, то мы надемся, что они сами рассекут о свойствах достижения на страницах нашего журнала.

Несмотря на большое количество направлений, на которые разделились современная физика, основными ее разделами остатся физика творого тела, оптика и радиоэлектроника, физика atomного ядра и элементарных частиц. В каждом из этих направлений современные физики выполили исследование, ставшие классические.

Наш рассказ мы научем с физики творого тела.

Огромный вклад в эту чрезвычайно важную область физики внесли работы Академика Абрама Федоровича Юффе и его ученников.

Большинство творых тел имеет критический структуру. При исследовании их свойств физики всегда

Академик А. Ф. Юффе (1880—1960).

стремятся пользоваться образцами, максимально приближающимся к идеальным критическим структурам, так и по степени химического чистоты. Это вплоне оправдано, потому что только на совершенных образах можно получить однозначные результаты исследований.

Долго время в физике господствовали представления о том, чтоrealные критические тела мало чем отличятся от идеальных. Общепризнанная теория критических тел, разработанная Максом Борном, исходила из представления об идеальном критале, где каждый atom находится на своей месте, а какие-либо нарушения структуры (примеся, внутренние дефекты) полностью отсутствуют. Эта теория описывала многое свойства критических тел (электропроводность, теплопроводность и т. д.). Но как только дело доходит до определенения прочности на разрыв, наблюдаюсь громадное расхождение между теоретическими представлениями и экспертизами.

9

А. Ф. Иоффе метод стал одним из основных методов исследования механизма деформаций кристаллических тел.

Продолжая эти исследования, А. Ф. Иоффе установил, что пластичная деформация происходит в кристалле не неперивно, как думали до той поры все физики, а скачообразно. При неперивно действующей нагрузке деформация идет скачками, повторяющимся через одинаковые промежутки времени и даже сопроводяющимся сlaubыми щелчками, напоминающим тиканече часов.

Этими, а также и неокторыми другими работами А. Ф. Иоффе заложил фундамент современных представления о механизме прочно и пластничности реальных твердых тел. Он подал физикам глубокую идею о необходимости изучения различных дефектов кристаллической решетки, чрезвычайно сильно влияющих на многое свойства твердых тел.

Другой области физики тердого тела, в котором академик А. Ф. Иоффе также внес вместе с своим учениками огромный вклад, является физика полупроводников. Сегодня трудно себе представить развитие техники без полупроводников. Но сорок с лишним лет назад, когда А. Ф. Иоффе заняла систематическая исследование свойств полупроводников, многие физики весла критически относясь к этому начинию. В то время казалось, что только металлы и диэлектрики являются материалов, достойными серbezных физических исследований. Проводники и изоляторы — это важно и нужное техническое, а полупроводники, хотя к ним относится большимство природных соединений, — бесполезный и бесперспективный материал. Но А. Ф. Иоффе генциально представил ту огромную революционизирующую роль, которое уже сегодня полупроводники играют в технике. «Можно предложать, — говорил он немного позднее, — что прогресс техники в гораздо меньшем程度上 позволяет стать одним из основных методом исследования механизма деформаций кристаллических тел.

На первых порах нужно было разработать методы получения достагоно чистых полупроводников и способы определения их основных физических характеристик: концентрации носителей тока, типа проводимости (электронный или дырочный), подвижности электровов и дырок и т. д. Многие из этих методов, впервые созданные А. Ф. Иоффе и его учениками, стали впоследствии классифицими.

Школа Иоффе выполнила целую серию пюнерских исследований электрических, галванамагнитных, термозлектрических и фотоэлектрических свойств полупроводников различных типов.

Одним из важнейших результатов, полученных А. Ф. Иоффе и его сотрудниками, было обнаружение огромного влияния примесей на электрические свойства полупроводников. А. Ф. Иоффе показал, что применение только меняют в широких пределах проводимость полупроводников, но могут изменять даже накопитель тока, превращать электронный полупроводник в дырочный и наоборот. Причем, роль применения могут играть не только чужеродные atoms, но и собственные atoms полупроводника при их избытке или недостатке. Например, избыток atoms в полупроводнике PbS делает этот полупроводник электронным, а избыток atoms серы — дырочный полупроводником.

А. Ф. Иоффе первым сформировал и экспериментально обосновал современные представления о механизме выпрямляющего действия полупроводников. Он показал, что в результате контакта двух полупроводников с различными носителями тока — электронного и дырочного — образуется запирающий слой (по современной терминологии «p — n-переход»). При этом ток может свободно проходить через соприкасающие

10

ся участки только в том направлении, при котором электrons и дырики движутся навстречу друг друг по направлению к контакту, где они встречаются и рекомбинируют. В противоположном случае электrons и дырики расходятся друг от друга и проводимость контактоного слоя резко падает, так как в нем остается крайне мало носитель тока. Эти работы открыли путь к созданию полупроводниковых выпрямителей (диодов).

Особенно большее внимание А. Ф. Иоффе уделял исследованием термозлектрических и фотоэлектрических свойств полупроводников. Использовая эти свойства, можно создать новые методы прямого преобразования энергии теплла и света в электрическую энергию. Работами А. Ф. Иоффе были заложены основы современных солнечных батарей, успешно использованы на космических аппаратах.

А. Ф. Иоффе создал теорию термозлектрического и термозлектрических холодильников, открыв для современной техники новую общую — полупроводниковую энергетику. Под его руководством были сконструированы десяти новых типов полупроводниковых прибора и энергетических устройств, получивших разнообразные практические применения.

С давних пор была известна аналогия между электрическими и магнитными полями. Известна и формульная аналогия между магнитной и диэлектрической проницаемостью. Но долго время среди диэлектриков не было обнаружено вещество с аномально большой диэлектрической проницаемостью, подобной аномальной магнитной проницаемости ферромагнитков. Только в двадцать годы было найдено несколько таких веществ, в том числе сегнетова соль. Их исследованием заняла академик Игорь Васильевич Курчатов со своей сотрудниками. В течение короткого времени их работы положили начало новой области физики диэлектриков, которая называется сегнетоэлектрическом. Оказалось, что зависимости электрического момента сегнетовой cols от внешнего электрического поля такая же, как и намагниченная ферромагнитков от магнитного поля: наблюдается такая же histерезисная петля. Исследовались точка Кюри (их оказалось две) и явления, сопровождающие переход через эту точку. Словом, был воспроизведен электрический вариант длиной истории изучения ферромагнитков.

В истории советской физики имя академика И. В. Курчатова неразрывно связано с решением градинозной проблемы создания отечественного атомного и термоядерного оружия и развития атомной энергетики.

Рассказ об этих исследовании вы найдете в статье академика И. К. Кикона «Он прохил счастливую жизнь», помещенной в этом же номере нашего журнала.

В современной физике творого тела важную роль играет теоретическая физика с ее веса сложным математическим аппаратом. Кристаллическое тело, которое прежде расстматривалось как система, состоящая из колблющся атомов и молекул, теперь расстматривется как объем, заполненный фономным газом. Фононами называют кванты поля колбачий решетки — по аналогии с фономами, квантами электромагнитного поля. Фонон, как и фотон, во многих отношениях ведет себя так, как если он был частицей; поэтому их часто называют квазичастцами. Честъ введения в научку понятия «фонон» принадлежит академике Игорю Евгеньевичу Тамму, который в 1930 году использовал понятие «квант упругости» при рассмотрении вопроса о рассеянии света в кристалках.

11

мин «фонон» в том же году ввел в физический литературу член-корреспондент АН СССР Яков Ильич Френкель. Поведение фононного газа описывает тем же математическим аппаратом, что и изучение абсолотно черного тела. Без понятия фонона трудно было бы представить себе, как любое возбужждение, например колебание отдельного.atoma, перемещается в твердом теле.

В 1931 году Я. И. Френкель теоретически predсказал весма интересное физическое явление. Решая задачу о возбужении.atомов светом в идеальном кристалле, он показал, что возбуженное состояние, которое возникает у какого-либо.atoma такого кристалла после поглощения кванта света, не может быть локализован там, где находится этот.atom, а не претенmeno должно перемещаться по кристаллу в виде свободозначной квазичстицы, которое Френкель называет «экситоном».

Дело в том, что, как показывает расчеты, энергия кристалла не изменится, если в таком же возбуженном состоянии оказывается не перваначальный возбуженный.atom, а любой другой.atом кристалла. Состояния, в которых любой из.atомов кристалла оказывается возбуженным, физически неразличны. Поэтому энергия возбужения будет переходить от.atoma к.atomy до тех пор, пока один из получивших ее.atомов не перейдет в нормальное невозбуженное состояние, испустив полученный им квант. Существование экситонов было в дальнейшем подтверждено в экспериментах член-корреспондента АН СССР Евгения Федоровича Гросса. Теперь существует широкая научная область, которое можно назвать «экситонной физикой».

Для описания электрических и оптических свойств ряда полупроводников и диэлектриков оказалось необходимым ввести еще одну квазичстицу — «полярон». Она возникает вследствие поляризации электроном окружающей среды. В результате

12

нов является следствием стремления кристаллической структуры притини в состояние с минимальной энергейой.

Л. Д. Ландду предсказал теоретически, что свободные электроны (электроны проводимости) в металле должны создавать во внешнем магнитном поле дополнительный магнитный момент, направленный в сторону, противоположную направлению внешнего магнитного поля, то есть диамагнитный момент. Это — так называемый диамагнетизм Ландду.

Мы не оставливаемся здесь на классический работе Л. Д. Ландду по теории сверхтекучести жидкого тела. О ней подробно рассаказано в статье А. Ф. Андреева («Квант», 1973, № 10).

Переход к работам по оптике, остановимся лишь на заменательных исследований академков Дмитрия Сергеевича Рождественского, Леонида Исааковича Мандельштама и Сергей Ивановича Вавилова.

Академик Д. С. Рождественский разработал отчет성ную технологическую приготовления оптического стекла, благодаря чему уже в 1925 году Советский Союз полностью отказылся от покупки такого стекла в других странах. Он внес очень важный вклад в изучение резонансного поглощения света пармишелей металлов и развитие спектрального анализа. Им была существенно усовершенствована теория микросопа.

Физика долго не могла дать правильного ответа на такой, казалось бы, простой вопрос: «А почему небо голубое?» Даже Ньюотон, посвятый этой проблемы много лет упорного труда, так и не сумел ее решить. Первым удовлетворительно теории рассеяния света в атмосфере создают другой англійский физик — Рэлей. Предположив, что свет рассеяющий молекулы воздейства на получил хорошее совпадение с результатами наблюдений.

Казалось бы, все ясно, проблема полностью решена. И только один физик, академик Л. И. Мандельштам, не согласился с этой интерпретацией. Он доказал, что истинной причиной, порождающей голубой цвет неба, является флуктуации плотности (случайные изменения плотности воздуха по отношению к средней плотности), произходящие под влиянием теплового движения. Л. И. Мандельштам показал, что формула Рэлея верна, а физическая существость картины рассеяния света совершенствована она. Эта работа была опубликована еще в 1907 году. Она являсь одной из первых работ по теории флуктуации, то есть микросоппических отклонений той или иной физической величины от среднего значения.

Л. И. Мандельштам был первым физиком, обратным внимание на то, что флуктуации давления, температуры, концентрации или орен-

14

Так как в общих условиях число невозбужdenных молекул значительное больше, чем возбужdenных, интенсивность линей, смесенных в «красную» сторону спектра, должна быть значительное выше, что соответствует действительности.

Продолжая свои исследования, Л. И. Мандельштам и Г. С. Ландсберг создали новый метод спектрального анализа молекул, основанный на изучении спектров комбинационного рассеяния. Этот метод получил широкое распространение и применяется теперь во всех странах *).

Мы не можем здесь, ввиду их сложности, расскадать оfundamentальных работах академиков Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси по теории и технике колебаний, последивших основой развития радиофизики и радиотехники.

Академик С. И. Вавилов с первых лет научной деятельности заинтересовался явлением фотолиминесценции, изучение которого он не прекрашал до конца своей жизни. Под действием света неокторые вещества сами испускают характерное для них свечение, которое получило название лиминесценции. Это свечение продолжается и после прекрашения облучения. При лиминесценции происходит поглощение возбуждающего света и испускание (с неокторой задержкой по времени) света лиминесценции, для волны которого отлична от длины волны поглощенного света.

Лиминесценция различных веществ чрезвычайно разнообразна по спектральному составу испускаемого излучения. Длительные понски законов, управляющих лиминесценции

*) Только случайная задачка с пересылкой в редакцию журнала уже готовой научной статьи лишила авторов этого крупнейшего открытия Нобельской премии.

Академик С. И. Вавилов (1891—1951).

ей, приведли лишь к установлению некоторых эмпирических правил, которые не охватывают всех основных опытных фактов и допускали значительные исключения. Примером является так называемое правило Стокса, согласно которой длина волны излучения лиминесценции должна быть больше длины волны возбуждающего света. Так как энергия излученных квантов прямо пропорциональна частоте v (и обратно пропорциональна длине волны λ), то увеillance длины волны при лиминесценции свидетельствует о том, что неокторая доля энергии, поглощенной лиминесентным веществом, остается в нем, переходя в телло. Однако это правило нередко нарушается на опите. Подлинные законы спектрального преобразования света были открыты С. И. Вавиловым в результате длиного экспериментального и теоретического исследования энергетики лиминесентных процессов. Они являются теоретической основой не только для научки о лиминесценции, но и для технических приложений.

15

За последние десятилетия люди несуществия широко использование в различных областях науки и техники. На ее основе разработаны новые методы химического и сортового анализа различных веществ — так называемый логистический анализ. В развитии этих практических применений логистический большой залуга приналежит С. И. Вавилову. Но особенно большое значение имеют работы по созданию логистических источников света, открывшие новый этап в истории светотехники.

Основной источник света в наших дни — электронские лампочки накладания — имеет очень большое значение. Козффициент полезного действия этих ламп не превышает 8%. Большое 90% энергии теряется или на создание невидимого инфракрасного излучения. Спектральный составвидимого света у этих ламп значительно отличается от состава солнечного света, к которой наиболее приспособлен человекский глаз. Температура накаала волфрамовой нити в лампе 2200—2300°С. Для получения света, близкого к солнечному, и увеличения светотдачи пришлось бы поднять ее до 6000°С. Однако еще задолго до этого нить лампочки распылиется.

Недостатки электронских ламп накладания позволяют учены искать новые, более экономные и удобные источники света. Таким источками и оказались логистические лампы. Логистические вещества являются световыми трансформаторами. Они могут превращать один вид света в другой, например, невидимыеультрафилотовые, то есть бесполезные в светотехническом отношении, лучи в видимые, или однородный свет — в широкие спектральные полосы самого различного состояния.

С. И. Вавилов первым предложным мощноеультрафилотовое излучение ртутих ламп для получения видимого света с помощью логистических веществ. Идя по этому пути, он создал логистические лампы наивлюдения лампы дневного света.

Основной частью логистических ламп Вавилова является газоразрядная трубка, заполненная парáми рутии при низком давлении. Электронные прохождение трубку при разряде, возбуждают ультрафилотовое излучение ртути. Если наблюдаются разряд через произанные стены трубки, то можно заметить, что внутренность ее светится слабым голубым светом. Основная доля излучения ртути сосредоточена в ультрафилотовой области. Для преобразования ее в видимый свет на внутреннюю стенку трубки наносит слой «светового трансформатора» — кристаллического логистического порошка. Применяя различные порошки, можно получить свет лобого света. Набольший практический интерес представляют порошки, свечее которых близко к дневному рассеянию солнечного света (например, дневному свету при облачном небе). Козффициент полезного действия и средний срок службы лампы значительно больше обычных.

Перейдем теперь к работам в области физики atomного ядра.

Атомные ядра включают в себя заряженные частицы — протоны, сближенные до расстояния порядка 10⁻¹³ см. Казалось бы, они должны немедленно разрушаться под влиянием громадного электростанческого отталкивания протонов друг от друга. Но мы знаем, что этого не происходит. Только очень тяжельые ядра элементов, стоящих в конце периодического системы Менделеева, оказываются неустойчивыми, и это приводит к радиоактивному распаду. Что же придает такое необсячную прочность atomным ядрам? Атомные ядра существенно только потому, что между всеми входящими в них частицами действуют могучея ядры сили.

16

Основная идея, на которую опираются современные представления о природе ядерных сил, была вывинута в 1934 году академик И. Е. Таммом. Он первым понял, что эти силы могут быть только обменными. К этому времени уже были разработаны основные представления о квантовой природе электромагнитного поля, согласно которым взаимодействие двух заряженных частиц осуществляется посредством квантов, испускаемых и поглощаемых этим частицами. Таким образом, взаимодействие есть результат обмена промежуточными частицами, созданнойми электромагнитное поле.

И. Е. Тамм предложил, что не только электромагнитное, но и ядерное взаимодействие носит квантовый характер и осуществляется путем обмена каким-то промежуточными частицами. Предположив, что ядерные частицы обменааются электронами, И. Е. Тамм построил первую математическую теорию ядерных сил. Однако величины этих сил оказались на несколько порядков меньше их действительного значения.

Вскоре после этого японский физик Юкава показал, что если масса обменной частицы будет примерно в 300 раз больше массы электрона, то теория И. Е. Тамма хорошо описывает особенность ядерных сил. Воспследствие физики обнаружили частицы, отвечающие за перенос ядерных сил. Ими оказались так называемые пи-мезоны. Масса пи-мезонов и их свойства соответствуют теории Тамма—Юкавы.

И. Е. Тамм первый приSEL к казалось бы парадоксальному выводу о том, что у нейтрона должен быть собственный магнитный момент, хотя эта часть не имеет электрического заряда. В 1934 году он не только теоретически представал существование магнитного момента у нейтрона, но и правильно определил знак этого момента.

Успех ядерной физики второй половины двацатого века неразрывно сускорителями заряженных частиц. Ускорители позволяют создавать новые элементы частицы, которые рождения в момент взаимодействия ускоренных частиц снарядников с частицами, входящими в состав минщеней. При этом чем выше энергия ускоренных частиц, тем более разнообразные новые элементы частицы и античастицы (меzonны, гипероны, резонансы) могут быть получены с их помощью. Ускорители используют также для изучения строения элементов частицы (протонов и нейтронов). На них же создаются сверхъжелые химические элементы, стоящие после урана в периодической системе Мендлеева (их называют трансурановыми) и атомные ядра с необъчным отношением числа протонов и нейтронов.

В настоящее время наиболее распространены циклические ускорители, в которых заряженные частицы движутся по пути, близким к окружностям, многоократно ускоряясь в специальных ускорительных устройствах. Первым таким ускорительом был циклотрон. Однако предел энергии, которое можно сообщать протонам в циклотроне, сравнительно невелики и составляет несколько десятков миллионов электрон-вольт.

Создание современных ускорителей на десяти и сотни миллиардов электрон-вольт стало возможным благодаря работам академика Владимира Иосифовича Векслара. В 1944 году он предложил значенный прицип «автофазировки» ускоряемых частиц, открывший новые горизонты перед ядерной физикой и физкой элементов частицы. Этот прицип позволяет создать новые типы ускорителей — фазотроны, синхрофазотроны.

18

Великая Октябрьская социальстическая revolución 1917 года существенно изменила роль Академии наук в жизни страны, формы ее работы и развития ее деятельности.

Академия наук не только начала численно расти, но, что самое важное, существенное изменила свое научное лицо: стала близке к жизниным нуждам страны, к потребностям ее экономики, промышленности, культуры. В составе Академии наук появились крупнейшие научно-исследовательские учреждения, в которых под руководством выдали исходные ученых производятся исследования наиболее важных проблем науки, а также рассматриваются вопросы, представляющие особый интерес для развития страны. Необходимые для этого расходы взяло на себя государство. Наука стала важной частью жизни советского общества, а Академия наук взяла на себя ответственную функцию руководителя советской науки, как принято у нас говорить, стала штабом советской науки.

Но такая перестройка не могла осуществлять сама по себе, она требовала огромных организационных услуг, постоянного внимания руководителей партии и правительства. История сохранила в воспоминаниях современников и в документах память о геронческих днях revolución и гражданской войны, когда страна истекла кровью и напрягла все услуги, чтобы выстоять в отчаянной борьбе с контрреволюцией, интервен-

тами, голодом, разрухой. Но и в эти дни В. И. Ленин и его соротники заботились о научном и техническом прогрессе страны, о выходе ее на передовые позиции во всех областях знания. Уже в 1918 году Ленин не только принял меры к сохранению лучших представителей русской древволюционной науки, но и к привлечению их на сторону советской власти, к сотрудничеству с новым общественным строем, к активному решению тех научных проблем, которые стояли перед страной. Характерный эпизод, неосредственное относится к этим событиям, приведен М. Горьким в воспоминаниях о Ленине *).

«Помню, я был у него с tremячленами Академии наук. Шел разговор о необходимости реорганизации одного из высших научных учреждений Петербурга. Проводив ученых, Ленин удовлетворенно сказал:

— Это я понимо. Это умники. Все у них просто, все сформировано строго, сразу видись, что люди хорошо знают, чего хотят. С таким работать — одно удовлетворение. Особенно понравился мне этот…

Он назвал одно из крупнейших имен русской науки, а через день уже говорил мне по телефону:

Спросите С., пождет он работать с нами?

*) Горький А. М., В. И. Ленин. — В книге: «Воспоминания о В. И. Ленине». Ч. I, М., 1955, с. 383.

20

душero специализированного математического института. Возглавил этот кабинет сам автор предложения — В. А. Стеклов.

Идей создания кабинета в научном отношении себя оправдала, и уже через два года В. А. Стеклов сел необходимым представить в бюро физико-mатематического отделения записку с предложением и положением обоснованием необходимости организации в Академии наук специализного научного учреждения — физико-mатематического института. В этой записке он писал: «Ни одна из естественных наук, если дело идет не о собирании сырого материала, а о действительном творчестве, не обойдется без математики, матери всех наук. Что же касается физики, поставленной впереди всех других наук, как и следует в проекте Ломоносвского института, то в настоящее время математика и физика до такой степени слились в одно целое, что иногда трудно отделить — где кончается математика и начинается физика» *).

Предложение В. А. Стеклов было единодушно поддержано как в физико-mатематическом отделении, так и в Преддиуме Академии наук. В результате в том же 1921 году виду «назревшей в науке потребности связать техническим образом физические науки с чисто математическим» был основан физико-mатематический институт Российской Академии наук. Директором института был избран В. А. Стеклов. Институт был организован на базе Математического кабинета, физический laboratorии и Сейсмический сети.

Физико-mатематический институт просуществовал до 1934 года, а затем он был разделен на два самостоятельных учреждения — Математический институт им. В. А. Стеклов *)

*) Протокольный физико-mатематического отделения АН, 1921. Приложение к протоколу первого заедания (10 января 1921 г.).

и физической институт им. П. К. Лебедева. С первых дней существования самостоятельного математического института его возглавил академик И. М. Виноградов — крупнейший в современной науке специализит по теории чисел.

Отметим еще несколько штрихами и другие стороны широкой, крупнейшей деятельности В. А. Стеклова. В годы гражданской войны он принимал деятельности участие в исследовании Курской магнитной аномалии, заведуя теоретической и вычислительной частью эксперимента северного района. Совет Труда и Обороны высоко оценил эту его работу, и в апреле 1923 года объявил ему благодарность. Немедленно после свержения царского режима В. А. Стеклов вместе с Горьким нацал активную деятельности по популяризации науки. Он написал ряд биографических оценок о выдающихся ученых. Прошлого — П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунове, А. А. Маркове, А. Пуанкаре, В. Томсоне и других, две книги научно-биографического характера о М. В. Ломоносове и Г. Галиlee, а также интересную книгу историк-философского содержания — «Matematika и ее значение для человека».

В некоторых случаях деятельности математического просвещения А. В. Луначарским через день после смерти В. А. Стеклова, особое внимание уделялось философским взглядам покойного. Там было написано, что «… он был убежданым стороныком чисто эмпирического возникновения математики и с величайшим необходимым относился к идеалistically и формалistically в этой науке. Он беспрестанно повторял, что математика — все земная, но вместе с тем верил, что математическая формулировка является природу представляет собой предельную ясность

*) Имя В. А. Стеклова было присвоено институту в 1926 году.

21

истины. Он мне говорил как-то: «Люди непреемно все согласятся между собой и притом по всем вопросам, но это будет тогда, когда наука о природе, то есть истина, будет математически формулирована» *).

Рассскажем теперь о еще одном замечательном члене нашей Академии.

Алексей Николаевич Крылов (1863—1945) прожил долетю и полнокровную жизнь. Математика, механика, кораблестроение—в каждой из этих областей он сочетал талант ученого и энерггию организатора, высокоую культуру теоретических исследований и глубокое понимание роли практических приложений.

Свои первые научные работы А. Н. Крылов выполнили в компасной части Главного гидрографического управления. Эти работы были посвязываны исследованию/devиации магнитных компасов — отклонений стрелки компаса от направления на магнитный полос Земли, вызванных влиянием намагнитенных тел (стального корпуса судна) или электромагнитных полей судовых электрических и радиоустановок.

В течение года А. Н. Крылов работал на кораблестроительном заводе. Затем он поступил в Морскую академию, которое окончил за три года (в 1890 году), а после этого преодолал в ней почти 50 лет. Академии он руководил занятиями по математике, а с 1892 года стал также читать лекции по теории корабля.

Созданные А. Н. Крыловым учебные курсы составили подлинную класску корабельной науки, а принадлежие ему методы вычисления основных характеристик корабля и ниже являются фундаментом теории непотопляемости судна. В этой области А. Н. Крылов следовал идеям замечательного русского филотворца и ученого адмирала С. О. Макарова.

*) Луначарский А. В., В. А. Стеклов. — «Наша газета», 1926, 1 июня.

А. Н. Крылов развил и усвоершенствовал теорию бортовой качки корабля, которая до его работ носила чисто приближенный характер, и по существу создает теорию килевой качки. Следует отметить, что до работы А. Н. Крылова создание подобной теории считалось невозможным ввиду «непреодолимых математических трудностей».

К концу 1890-х годов относится работа А. Н. Крылова по теории колебаний корабля при волнении, эти работы до них пор служат основой для решения важнейших вопросов и мореходных качеств кораблей. Воспеледвини (к 1908 году) А. Н. Крылов разработал специализную теорию вибрации судов и первым в мировой науке создают курс этой дисциплины. Строгая математическая теория колебаний различных управных систем, содержащаяся в этом курсе, выходит далеко за рамки кораблестроения, она играет важнейшую роль во всей строительной механике. В развитии этой инженерной дисциплины выдаюшуюся

23

натуральной философии» И. Ньютона (с рядом важных дополнения) и «Новая теория движения Луны» Л. Эйлера. Им же написан ряд ярких очерков о жизни и деятельности замечательных учены, его предшественников и современников. А его книга «Мон воспоминания» — это не только выдающийся вклад в историю русской и мировой науки и культуры, но и замечательно талантливый, живой рассказ о всей жизни общества, которое по праву может гордиться таким достойным своим членом.

Алексей Николаевич Крылов был Учителем в подлинном и высоком смысле этого слова. Он создал школау кораблектортелей, из которой вышли многое замечательные учены: В. Л. Поздонин, П. Ф. Папкович, Ю. А. Шиманский и другие.

А. Н. Крылов был и замечательным изобретателем, он построил первую в России машину для интегрирования дифференциальных уравнений, ряд важных корабельных и артиллерийских приборов.

И, конечно, А. Н. Крылов памятен нам как замечательный граждан, общественный деятель, патриот. Еще в дороголюционные годы он начал применять достижения науки к нуждаемым обороны страны: с 1900 года А. Н. Крылов заведовал Опытовым бассейном для испытаний модели судов, в 1908—1910 года он был Главным инспектором кораблектория и председателем Морского технического комитета, в последующие годы консультировал на Металлическом, Путиловском, Обуховском и других заводах. С новым размахом развернулась его работа после Великой Октябрьской социалистической revoluciónи, за год до которой А. Н. Крылов был избран действительным членом Академии наук. В 1919 году А. Н. Крылов стал во главе Морской Академии. В 1921—1927 года А. Н. Крылов в составе комиссии для возобновления научных связей нахождения в загранничной команде, выполняя важное задание Советского правительства: он наблюдал за постройкой судов, заказанных для советского флота. По возвращении Алексея Николаевич продолжал руководить Морской академией, активно участвуя в решении важнейших технических вопросов военно и гражданского доступа. В годы Великой Отечественной войны эта многоогранная деятельности А. Н. Крылов приобрела особо важное значение.

В 1943 году за выдающиеся достижения в развитию советской науки и оборонного дела Алексея Николаевич Крылов был удостоен звания Героя Социалистического Труда, трижды он нагradался орденами Ленина. Ныне имя А. Н. Крылов носит Военно-морская академия в Ленинграде.

С организацией математического института им. Стеклава характер математических исследований в Академии наук резко изменился. Прошло время великих математиков-одиночек, и наступил период работы больших коллективов над проблемами, которые требуют не только вывяжения крупных идеей, но и систематической работы многоих учены над различными аспектами одной проблемы. Сказанное совсем неозначает, что талант отделного ученного perestалиграть роль в развитию науки, но он perestал垃 быть единственной движущей силой. Все больше и больше роль стала организованной коллективным, мысль которого и стремления направлены в одну сторону, на определенные решающие вопросы науки.

Влияние Академии наук распространилось на вычисление значения, поскольку они стали широко применяться к современным исследованиям. Учены, работающие вузах, включались в специальные комиссии, создавемые Академии наук для решения конкретных научных проблем.

24

Академические институты в настоящее время отечеют за создв Весоизных съездов по областям науки, а также Весоизных научных совещаний. Редколлегии основных научных журналов также сосредоточены в Академии наук. Время от времени Академия наук издает проблемы записки, в которых подводятся итоги исследований по определению проблемы и намечаются перспективы ее дальнейшего развития. В академических институтах способные ученызаны исключительно научными исследованиями. Окружающий коллектив, увлеченный научными изысканиями, стимулирует поиск в наиболее трудных вопросах науки.

Общение с аспирантами и организация научных семинаров, доступ на которые открыт для всех желающих, обеспечивает постоянные связи с молодежью, стремящейся к научным исследованиям и нахожденияце на первичной стадии формирования творческих интересов и научных идеалов.

Вопрос о подготовке научной степени, о более широком привлечении молодежи к научным исследованиям с особой остротой возникк в конце двадцатых годов, когда страна оправилась от разрухи, вызванной перой мировой и гражданской войнами, и перешла к развитию промышленности, подъему экономики. В результате уже в 1928 году, а затем в ноябре 1929 года ЦК ВКП (6) принял постановления о расширении и лучшении подготовки научно-исследовательских кадров как для возрата оценей сети взов, так и для Академии наук. Один университет с этой огромной задачей справится не могли, и поэтому в полне естественного, что к ее решению была привлечена Академия наук. Аспирантура в Академии была организована в 1929 году, в том же году был обьявлен прием. Заявленный было подано 365. Специальная комиссия по приему в аспирантуру, в состав которого входили крупнейшие учены, приняла лишь 69 человек и принтом всех в кандидатскую аспирантуру. На следующий год принято было уже 97 человек (из них один в докторантру). В 1931 году Академия приняла уже 207 человек, причем 7 кандидатов были приняты в докторантру.

Нужно сказать, что организация аспирантуры в институтах Академии принесла заместительные результаты. Многие ее воспитники выросли в крупнейших представителей науки наших дней и внесли заметный вклад в прогресс не только избранных им направленной научных исследований, но и в развитие многих областей практики. В качестве примера я позвонол себе привести следующий факт: аспирантом Математического института им. В. А. Стеклова в 1934—1937 года был М. В. Келдыш, который получил результаты первого степени в теории функций, теории дифференциальных уравнений и аэродинамике. Им были обучены страницы для авиации прошло явления флаттера (колебаний типа положения флага на ветру) и входнения в штоопор, а также указаны методы борьбы с ними. Эти научные результаты были широко использованы нашей промышленностью в период Великой Отечественной войны. В настоящее время М. В. Келдыш является председателем Академии наук и проявляет глубокое понимание не только математики и механики, но и других наук.

Из аспирантуры Академии вышили многое выдающееся представители науки соозных ресурсик. Им пришлось взять в свои руки организацию научных исследований и подготовку национальных научных кадров во многих случаях буквалино на пустом месте. В этом им помогла Академия которая организовала в соозных ресурсиках свои фильпалы, позднее преобразованные в ресурсиканские Академии наук. Сейчас математические институты в большшинстве Академии соозных ресурсикзанимот творды позицини в прогрессе

25

науки, а в некоторых направлениях занимают руководящие позиции.

Великая Отечественная война и последовавший за ней период восстановления народного хозяйства показали важность математических методов. Математики Академии наук, наряду со всем советским народом, внесли свой весом вклад в дело победы. Здесь и участе в расчетных новых конструкций, и составление таблиц бомбометания, и проблемы контроля качества промышленной продукции, и помощь в поисках полезных ископаемых новых методами. Родина высоко оценила эту работу советских математиков, в том числе сотрудников Академии наук.

В последовенное время математики Академии наук приняли активное участие в решении важнейших проблем, связанных с восстановлением народного хозяйства и укреплением обороны страны. Овладение atomной энергии, завоевание космоса, создание современных вычислительных машин и разработка методов программирования, решения проблем оптимального управления процессами — во всех этих работах содержится огромный труд советских математиков.

Noаряду с этим никака не превращается систематической понск новых математических методов исследования, решения задач самого математического науки, построения ее теории.

В последовные годы выяснили, что одного институт им. Стеклава уже не хватает для полнокровного прогресса советской математики.

В недрах этого института выросли новые крупные научные учреждения — Ленинградское отделение Математического института (ЛОМИ), Институт прикладной математики, Вычислительный центр Академии наук, Уральский математический институт. Но, пожалуй, самым крупным событием в развитию Академии наук следует считать обработание ее Сибирского отделения. Инициатором организации этого отделения и бессменным его руководителем является крупный представитель теории функций комплексного переменного и гидромеханики — академик М. А. Лаврентьев.

Представители этого отделения участвуют как в разработке чисто прикладных проблем, так и в решении труднейших теоретических проблем математики. Телерь начинается новый этап развития Академии — создание Дальневосточного научного центра.

Mathematics,работающее и работавшее в Академии в советский период ее существования, могут с городством оглянутся на проеденный путь. Они внесли неоценный вклад в развитие теоретической математики и ее применений буквально во всех области знания. В результате их трудов существенно развились многое области математической науки, ряд из них существенно изменил свое содержание, появились новые направления исследований.

Академия сильна не только тем, что в ней трудятся многое выдающие учены, но и своими постояными связями с университетами и другими учебными заведениями страны. Академические институты ежедневно выпывают в себя научную молоджь.

В свои 250 лет Академия наук по-прежнему молода, она береется за труднейшие научные проблемы и успешно их решает, она постояно принимает учение в решении актуальных проблем, стоящих перед нашей страной, она сама не остается неизменной, а растет и развивается так же, как развивается все наша страна.

27

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

Б. Н. Делоне

За время существования Академии наук в России, видимо, самый значимым ее членом был математик Леонард Эйлер. В этой статье мы рассакываем о его жизни и некоторых его математических работах:

ХVII век был для математики необычным веком. Декарт и Ферма создали аналитическую геометрию, а Ньютон и Лейбниц — дифференциальное и интегральное исчисления. Эти два величины достижения математики подняли человека на существенное новую научную ступень. Открылась возможность решать задачи, совершенное не доступные прежним эпохам. Методы, развиты в интегральном и дифференциальном исчислениях, позволили решать задачу о касательной, о максимах и минимумах исследуемой переменной величины, о кривизне линии в разных ее точках, а после того как Ньютону и Лейбниц уделось доказать значенную теорему анализа, связывающего дифференциальное и интегральное исчисления, оказалось возможным вычислять площади, объемы, находить центры тяжестей таких фигур, для которых до того нельзя было и мечтать это сделать. После всех этих достижения наиболее глубокие дальнейшие результаты в области анализа *) принадлежат Якову Бернулли, его младшему брату Иоганну и сыновям Иоганна — Николаем и Даниилом—возникла дружба, сыграшая очень большую роль в жизни Эйлера.

Когда в 1724 году по указау Петра I была организана Академия на-

28

ук в Петербурге, из-за недостатка собственных учены было решение привлечь зарубежных специалистов; перспективы работы в новом крупном центре научи и образование была для многих весма заманчивой. В числе первых получили приглашение несколько математиков — видный последователь Лейбница Я. Герма и, преподавший в университете Франкфурта-на-Одере, а также молодые Николай и Даниил Бернулли — друзья Эйлера. Осенью 1725 года все треое базельцев были уже в Петербурге. В своей автобографини Эйлер рассказывает, что он «преисполнился невыразимым желанием поехать вместе с ним в 1725 году в Петербург»*). Друзья исключотали приглашение Эйлера на вакантую должность.

В Петербурге имелись самые благоприятные условия для расчета гения Эйлера: материльная обеспечность, возможность занимать любным делом, наличие ежедневного журнала для публикации трудов. Здесь же работала самая большая тогда в мире группа специалистов в области математических наук, в котором входили, кроме упомянутых Я. Германа и Д. Бернулли (его брат Николай скончался в 1726 г.), разносторонний Х. Гольдбах, с которым Эйлера связьвали общее интересы к теории чисел и другим вопросам, автор работ по тригонометрии Ф. Х. Майер, астроном и географ Ж. Н. Дел и ль, математик и физик Г. В. Крафт и другие. С этого времени Петербургская Академия стала одним из главных центров математики в мире.

Открытия Эйлера, которые благодаря его ожидленной переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя все более ширококо известным. Улучшаетя его положение в Академии наук:

*) См. Историк-математические исследования, вып. X, с. 14.

*) За эти интересные сведения я горяче благодарю Адольфа Павловича Юшкевича.

29

рах между Петербургским учеными, присылал темы для научных конкурсов, посылал информацию о новых научных открыях и т. д.

Из Берлина, Эйлер, в частности,VEL переписку с Ломоносовым, в творчестве которого он высоко ценил счастьюное сочетание теории с экспериментом. В 1747 году он дал блестиший отзыв о присланых ему на заключение статых Ломоносова по физике и химини, чем немало разочаровал влиятьного академического чиновника Шумахера, крайне враждебно относительно Ломоносову.

Эйлер пробил в Берлине 25 лет и так же направлено работал, как в Петербурге. Однако обостренное отношение с королем Пруссии Фридрихом II (который, хотя и преклонлся перед Вольтером и французской культурои, но по существу был типичным солдадоном) привело к тому, что Эйлер в 1766 году решил вернуться в Петербургую Академию наук, где он был встречен с величайшим почетом и устроен так хорошего, как только было можно.

Последние 16 лет жизни Эйлер опять жил в Петербурге. Там он и умер в 1783 году.

Эйлер отличался несравненной работоспособностью и за свою жизнь написал около 900 научных работ, и это несмотря на то, что он потерял один глаз еще в возрасте 31 года и почти ослеп на второй в 66 лет.

Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Достаточно открыть 48 том второго издания Большой Советской Энциклопедии на страницах 338—340, чтобы найти сведения о двацати формулах, уравнениях, интеграх и т. д., носящих имя Эйлера. В учебниках для высшей школы их еще больше; а многое введенные им в общодеоремы и методы давно перестали связывать с чым-либо именем. Далее школе логарифмы и тригонометрию изучают до сих пор в значительной степени «по Эйлеру».

Кроме математики, Эйлер занимался также многими другими, в том числе и совсем прикладными, вопросами — основной корабля, картографей, механикой, астрономей, физкой, диоптрикой. Но все же главные достужения Эйлера относятся к математике.

Полное собрание сочинений Эйлера расчитано на 72 том (вышло уже 62 больших тома). 30 из них посвящено математике, 31 содержит его работы по механике и астрономии, 11 будут содержать работы по физике и другим предметам. В процентном отношении работы по математике распространяется (по объемам, а это дает лучшую характеристику, чем по числу работ, так как работы чрезвычайно отличаются по размерам) так: анализ — 60%, геометрия — 17%, теория чисел — 13%, алгебра — 7%, теория вероятности — 3%.

Внутри анализа особенно большое место занимают работы по интегральному исчислению — 33%, по дифференциальным уравнениям — 25%, по рядам — 22% и по варианционному исчислению — 11%. В остальные 9% входят том «Дифференциальные исчисления» и первый том «Введение в анализ бесконечного мальх». В целом эта статистика довольно верна.

Перейдем теперь к разбору некоторых математических работ Эйлера.

Работы Эйлера по теории чисел

После работы древнегреческого математика Диофанта уже в новое время (в 1600-е годы) французский математик, советник суда в Туллузе, Пьер Ферма расстотрел ряд глубоких задач элементарной теории чисел и сообщил полученные им результаты, но по общему того времени скрыл их доказательства. Эйлер нашел доказательства всех теorem Ферма, показал неверность одной из них, а значенитую «великую теорему»

30

Ферма»*), не доказанную и не опровергунутую и до сих пор, о целых решениях уравнения $x^n + y^n = z^n$, доказал для $n=3$ и $n=4$.

Эйлер начал последовательно строить элементарную теорию чисел. Он начал с теории последует остатки (вычеты), которые получаются, если делить степени фиксированного натурального числа $a$ на простое число $p$ (модуль), не являющегося делителем $a$. Оказывается, вычет $a^{p-1}$ всегда равен единице. (Это так называемая «малая теорема Ферма»*). Эйлер дал и ее доказательство.) Но $a^m$ при делении на $p$ может быть остаток, равный единице, и при $m$, меньше чем $p-1$. Тогда $m$ есть делитель $p-1$ и вычиты степеней $a$ до $p-1$-й повторяются периодически. Особенно важны те значения $a$, для которых при делении на $p$ остаток равен 1 только при показатель, равном $p-1$, а не при меньше. Их Эйлер называл первого разными корнями $p$. Для таких значений $a$ степени $a, a^2, \dots, a^{p-1}$ дают все $p-1$ различных ненулевых возможных остатков по модulo $p$. Если два числа $b$ и $c$ имеют такие же вычеты, как $a^\beta$ и $a^\gamma$, то $\beta$ и $\gamma$ называются и десками чисел $b$ и $c$. При умножении $b$ на $c$ индекс складываются (то есть получается аналогия с теорией логарифмов).

Далее Эйлер заняла квадратные вычеты. Назовем $a$ квадратным вычетом простого числа $p$, если вычет $a$ такой же, как у некоторого квадрата. Все вычеты разбиваются на две совокупности: квадратные вычеты и квадратные невычеты $p$ (при $p>2$ их равное число, нулевой вычет не расматривается).

Если $a$ — произведение нескольких сомножителей, то квадратная вычётность или невычётность $a$ по модulo $p$ зависит от того, какое число его сомножителей — невычеты. Если это число нечетно, то $a$ — невычет, если четно — вычет. Самый трудный вопрос, связанный с квадратными вычетом,— найти при фиксированном $a$ вид тех простых чисел $p$, для которых $a$ является квадратным вычетом. Эйлер заметил, что это $p$, которые находятся в некоторых определенных арифметических прогрессиях, зависит от $a$. Это так называемый квадратный закон в записи*).

Эйлер также много лет занимался решением неопределенных уравнений 2-й степени с двумя неизвестными. Еще Ферма в 1651 году предложил всем математикам мира показать, что при целом положительном $A$, не являющегося квадратом, неопределенное уравнение $x^2-Ay^2=1$ (его теперь называют уравнением Пелля) имеет бесконечно много решений $(x,y)$ в целых числах. Эйлер исследовал общее неопределенное уравнение $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, где $a, b, c, d, e$ и $f$ — целые числа и $x$ и $y$ также ищут целые.

Такие же уравнения 1-й степени $ax+by+c=0$ были решены еще в древности: если $c$ делится на наиболее общий делитель $a$ и $b$, то такое уравнение всегда имеет бесконечно много решений.

Эйлер понял, что для уравнения 2-й степени задача, поставленная Ферма, совпадая с доказательством того, что квадратный корень из натурального числа $A$ (если $A$ не квадрат) всегда разлагается в периодическую непрерывную дробь**)

*) См. «Квант», 1972, № 8.
**) См. статью С. Г. Гиндикна «Малая теорема Ферма», «Квант», 1972, № 10.

**) Ему посвязывает статья С. Г. Гиндикна «Золотая теорема», помещенная в «Квант», 1973, № 1.
**) См. статью Н. М. Бескина в «Квант» № 1 за 1970 год.

31

$$\sqrt{A} = a_1 + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots$$

Очень большую роль в упорядочивании элементарной теории чисел, сыграла и введенная Эйлером функция $\phi(n)$, равная числу чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$.

Во всех этих трех функментальных вопросах (которые больше двух столетий после Эйлера и составляли основной объем элементарной теории чисел) — степенные вычетты, закон взаимности, решение неопределенного уравнения 2-й степени—Эйлер ушел очень далеко, однako во всех трех его постигла неудача: существование первогообразного корня для всякого $p$ доказал Гаусс, и как доказал! Закон взаимности тоже доказал Гаусс, причем дал 6 разных, но, правда, весма трудных доказательств. Периодичность разложения $\sqrt{A}$ доказал Лагранж в 1768 году, и тем самым, как это ранее показал уже Эйлер, решил общее уравнение 2-й степени и, в частности, уравнение Пелля. Эта работа Лагранжа несомненно является коронным бриллиантом в венке славы Лагранжа как математика. Она имела в дальнейшем цель ряд заменательных обобщений, над которых работают еще и сейчас.

В переписке Эйлера с его другом академиком Петербургской Академии наук Гольдбахом находятся две значительные «задания Гольдбаха»: доказать, что всякое нечетное натуральное число есть сумма трех простых чисел, а всякое целое — двух. Первые из этих утверждений было при помощи весма заменального метода доказано уже в нашей время (1937 г.) академиком И. М. Виноградовым, а второе не доказано до сих пор.

Эйлеру принадлежит инцициатива создания и второй части теории чисел — анализческий теории чисел, в котором глубоко

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}},$$

где $\Pi$ обозначает произведение, которое берется по всем простым числам $p$. Из этой формулы он получил новое аналогичное доказательство бесконечности числа простых чисел, из нее же он вывед (правда, без достагоно строгого обоснования) приближенное равенство

$$\sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p} \approx \ln \sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n}$$

(здесь $p$, как и выше,— простые числа, а $n$— целые).

Из этого равенства возникли в настоящее время метод исследования закона распределения простых чисел $p$ в натуральном ряде чисел и в прогрессиях. С его помощью П. Л. Чебышев впоследствии установил, как ведет себя функция $\pi(x)$ — число простых чисел $p$, не превышающих числа $x$ — при $x$, стремящемся к бесконечности**), а Ж. А. дамр, использую глубочайшее сообщение Римана о поведении $\zeta(s)$ в компликционной плоскости доказал предельный закон:

$$\pi(x) : \frac{x}{\ln x} \rightarrow 1.$$

*) $\Sigma$ — знак суммирования; например, запись $\sum_{n=k} f(n)$ обозначает такую сумму: $f(k) + f(k+1) + \dots + f(l)$.
**) См. «Квант», 1971, № 5.

32

Созданная Эйлером анализческая теория чисел продолжает свое развитие и в наши дни. Один из самых глубоких в ней методов создан в 1934 году академик И. М. Виноградовым.

Эйлер также интересовался вопросом арифметической природу чисел. От него идет постановка Гольдбахом вопроса о трансцендентности чисел $\alpha^\beta$, где $\alpha$ и $\beta$ — алгебраические числа*). Эта задача была решена уже в нашей время (1930 г.) членом Академии наук СССР А. О. Гель фо идом.

В работе Эйлера по теории чисел порождает не только глубина идеи и тонкость методов, но и то, что он никогда не оставливался перед вычислительными трудностями задачи.

Большая часть работы Эйлера по теории чисел, направленных в развитие академических изданиях, была затем собран в издании его ученика Фусса под названием «Commentationes Arithmeticae Collectae», то есть «Собранение арифметических исследований».

Работы Эйлера по геометрии

Всес работ Эйлера по геометрии 75, и они занимают три из томов полного собраня его сочинений. Часть из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху. Во-первых, Эйлера надо считать одним из зачитателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый dal связное изложение анализческой геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, введ так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты тела вокруг точки.

В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, коморым подчинены тела, оранженные плоскими граями» Эйлер дал доказательство того, что у выпуклого многогранника числа В — его вершин, Р — его ребер и Г — его граней всегда связаны соотношениям В—Р+Г=2. Это в некоторых смысле первая в истории математики крупная теорема топологи*) (самой глубокой части геометрии), которая (в несколько более общем виде) не утратила значения до сих пор.

Доказательство Эйлера основано на последовательном уничтожении вершин многогранника. Если бы его излагаать сейчас, надо было бы сказать следующее. Всякий выпуклый многогранник определяется заданием своих вершин — он есть «выпуклая оболочка» своих вершин, то есть наименьшее выпуклое тело, которое принадлежат эти вершины**). Пусть числа его вершин, ребер и граней суть В, Р и Г. Выкинем одну из его вершин О и рассмотрим выпуклый многогранник, вершинами которого является.

*) Напомним, что число $\alpha$ называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого уравнения
$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0,$ где все числа $a_0, a_1, \dots, a_n$ — целые. Не алгебраические числа называются трансцендентными.

*) Топология изучает свойства фигур, не меняющейся, если фигур можно как угодно растягивать, скимать и изгибать, но нельзя скленвать и равать.
**) Выпуклым называется тело, которое наряду с двумя точками содержит и содержит их отрезок.

34

Работа 1769 года «Об оттоговальных траекториях» Эйлера содержит блестящие сообщения о получении с помощью функций комплекционной переменной из уравнения двух взаимно ortogonalных семейств кривых на поверхности (то есть таких линей, как меридианы и паралелы на сфере) бесконечного числа других взаимно ortogonalных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной. В следующей работе 1771 года «О мелах, поверхность комorbых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает значенную теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить, лишь изгибая плоскость, но не растявая ее и не скимая (как лист бумаги, который изгибается, но почти не растязывает), если она не кончесная и не цилиндрическая (то есть не получается движением образующей прямой, проходящей постоянно через одну точку или паралелю само-seбе), представляет собой совершенную касательных к некоторой пространственной кривой (ее ребру возврата).

Столь же замечательны работы Эйлера по картофrequecим проектом.

В заключение описания геометрических работ Эйлера мы вполне присоединиемся к высказыванию немецкого математика В. Коммеряя: «Слава и заслуги Гаусса не построают, если мы указыва на то, что рядомылей и методов, которые Гаусс так блестящие использовали в «Disquisitiones generales» (правда, частно лишь в специальной форме или лишь неполно формулированные), имеется уже Эйлера, например сфериское отображение (когда куку поверхности ставится в соответствии кусок сферы радиуса 1, состоящий из всех таких точек, в которых радиус этой сферы паралелы нормалям к поверхности в точках этого ее куска), задание поверхности в параметрической форме, совпадение линейных элементов как условие наложимости при изгибании, исследование геодезических линей (то есть кратчайших линей на поверхности между двумя ее точками) при помощи угла, который они образуют с кривыми неокоторого семейства на поверхности и другие».

Можно себе представить, каким откровенным для математков той эпохи явились бы работы Эйлера о кривизне поверхностей и о развертывающихся поверхностях. Работы же, в которых Эйлер исследует отображение поверхности, сохраняющие подобие в малом (конформы отображения), основанные на теории функций комплекского переменного, должны казаться прямо-tаки трансцендентными. А работа о многогранних начиная ссовсем новую часть геометрии и по своей принципальнойности и глубине стояла в ряду с открытиями Эвклида.

О работах Эйлера по анализу

Работ этих так много, и они столбце всеобъемлющи, что мы не решаем здесь давать их описания. Складем только, что он упростил и дополил цельные большие отделы анализа бесконечного малых, интерпроввание функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, которые были начаты уже до него, так, что они прибрели примерно ту форму, которая за ним в большой мере остается и до них пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа — варианционное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж и получилась новая наука.

Влияние Эйлера на развитие математики в России

Лодотворное влияние Эйлера испытывали практические все творческие работыющие математики в России. Стиль и направленность работ Эйлера оказали определенное влияние на все дальнейшее развитие математики.

тики в Петербурге (М. В. Остро-градский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев и его школа: А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков, Г. Ф. Вороной, В. А. Стеклов, И. М. Виноградов и др.). Знаменита Петербургская математическая школа есть, собственно говоря, школа Эйлера—Чебышева. Это одна из самых своеобразных и глубоких математических школ в мире. Основным ее принципом является принцип Эйлера—Чебышева: исходя из трудной математической задачи, и часто такой, которую ставит другой наука или техника, строить больше и глубокие математические теории, а при решении математических задачи всегда доводить их решение до удобного на практике результата, то есть до числа, не остававливаясь ни перед какими вычислительными трудностями.

Большая математика в Москве стала развивать в начале двадцатого века (Д. Ф. Егоров, Н. Н. Лузин). Молодое Московское направление, быть может, более принципальное, более глубокое и более современное, чем Петербургское, значительное углубило и услилио нашу математике.

После переезда Академии наук в Москве (1935 г.) постепенно произвелло слияние обоних направлений, Петербургского и Московского, которые вместе со школьами Казани, Киева и других научных центров и дали то, что мы теперь называем советской математикой.

Амперарская своей рассеяность. Проhero рассказывали, что однажды он с сосредоточенным видомварил в воде три минуты своей часы, держа яйцо в руке. Другой часто приводимый случай: Амперар щел по улице, производа, как всегда, в уме сложные расчеты. Онничуть не удивился, когда прямо перед ним возникла прекрасная черная доска, способно доставл из спортука непреемный кусок меда и стал записьвать результаты; он не удивился и тогда, когда доска начала двигаться вперед, и для того, чтобы поспевать за ней, ему пришлось идти, а затем… бежать. Доска оказалась задней стенкой кареты.

В начале XVIII века в России не существовало физики; не было никаких пособий по физике и даже научной терминологии. Еще в 1728 году в «Кратком описании коментариев Академии наук» (так назывались труды Академии, издавшиеся на латинском языке) переводчики этих коментариев на русский язык и редакторы перевода не знали, как лучше писать: «физика», «фисика» или «физика». Издавав в 1746 году сокращенный перевод «Экспериментальной физики» немецкого ученого Вольфа, М. В. Ломоносов предупреждал читатель о том, что он принужден был «искать слова для наименования некоторых физических инструментов, действий и натуральных веществ, которые хотяся сперва показутя несколько страны, однако… со временем через употребление знакоме будут».

В. Л.

36

ОН ПРОЖИЛ СЧАСТЛИВУЮ ЖИЗНЬ

И. К. Кикоин

В истории физики известны имена выдающихся ученых, которые свойствами трудами более или менее значительно определяли свой век. Так, например, Ломоносов почти на столете раныше «срока» формулировал идею молекулярно-kinетической теории. То же можно сказать и о Циолковском, который примерно на полстолетия операдил эру ракетной техники. Заслуженное признание и слова этих ученых пришли для них слишком поздно. Они при жизни не могли участвовать в развитию идеей. Современные этим ученым научка и техника не были подготовлены для воспрятия их идеи. И это обстоятельство в неокотором смысле было бедой для таких, безусловно великих, ученых: они не были признаны

Стация впервые опубликована в журнале «Природа», 1974, № 1. Перепечатьвается с небольшими изменениями.

Фото Д. С. Переверзева

ны современниками. Истинно счастлив ученый, который идет «в ногу» со временем.

Академик Игорь Васильевич Курчатов был именно счастливым ученым. Он неизменно интуитивно чувствовал развитие современной ему физики. Он всегда занимался наиболье животрепешущими вопросами физики. Так, в середине 20-х годов электричесные свойства диэлектриков были одной из актуальных проблем физики. Именно к этому времени относятся работы Курчатова в области электричесной прочитности диэлектрических кристаллов, которые затем привели его к замечательным исследованиям сегнетэлектричества. Здесь Курчатову, можно сказать, вдвойне повезло. Его исследования являются сегнетэлектричества совпали по времени с появлением квантовой теории ферромагнетизма, электричесим аналого котором и является сегнетэлектрическим

37

Академик И. В. Курчатов и академик И. Е. Тамп.

ричество (его часто называют ферроэлектрическом). Таким образом, работы Курчатова сразу оказывась в русле развития двух актуальных проблем современной ему физики твердого тела: физики диэлектриков и физики магнетизма. В это время Игорь Васильевич энергично «озадачивал» (одно из любых его выражений) теоретически из Ленинграда (Я. И. Френкеля) и из Харькова (Л. Д. Ландду), которые занимались теоретическим магнетизма. Этот цикл работ Курчатова завершается изданием известной монографии «Сегнетоэлектричество», изданной одновременно и во Франции.

С 30-х годов, как известно, началось бурное развитие ядерной физики, которое сопровождалось касадом крупнейших открытий. Это открытие нейтрона, позитрона, искусственный радиоактивности и т. д. Курчатов решительно переключит свою laboratorию на работы в этой многообещающей области физики.

В это время в Ленинградском физico-техническом институте (ЛФТИ), где работал Курчатов, практические не было «культуры» физики atomно-ого ядра, кроме небольшой лаборатории Д. В. Скобельцына, который в основном занимаемся космическими лучами.

Курчатову с его группой приходилось все начинать практические на пустом месте. В это время Игорь Васильевич целыми днями просживал в библиотеке и изучал литературу. «Литературный» период длился сравнительно недолго. Очень скоро в лаборатории Курчатова начались экспериментальные работы по ядерной физике. Довольно быстро определилось основное направление его интерес: искусственная радиоактивность при облучении нейтронами. Тогда можно было видеть типичную картину: Игорь Васильевич митится из одного конца коридора в другой с облученным образом в руке для исследования очередного короткожившего ядра.

В те времена в стране не было еще ни одного действияшего циклторана и только в Радиевом институте заканчивалось строительство первого циклторана с вертикальной расположением.

38

Женными метровыми полюсами магнита. Этот циклотрон долго не могли наладить. Курчатов немедленно связьается с заведующим физическим отделом Радиевого института Л. В. Мысовским и начинает с ним целую серию физических работ. Мысовский с давних пор занимался исследованием природной радиоактивности. Практические все руководство работами по наладживанию циклотрона взял на себя Игорь Васильевич, и довольно быстро циклотрон был запущен.

Работы в лаборатории Курчатова велись с максимальной интенсивностью. Для химической идентификации искусственных ядер он привлек своего брата Бориса Васильевича Курчатова, и очень скоро были наладжены радиоимические исследования с индикаторными (то есть ничтожно малыми) количеством веществ. Словом, в течение получения лет работы по ядерной физике в лаборатории Курчатова доступили, как принято говорить, мирового уровня.

Вскоре после начала работы вышла монография И. В. Курчатова под названием «Расшепление atomного ядра» (1935 г.). В связи с этим не могу не вспомнить о трагикомическом событии в институте, одним из героев которого был и автор этих строк. В начале 30-х годов мне понадобилось обучать α-частицами алюминиевый порошок, который служил источником позитронов (это было вскоре после открытия супругами Жоллю-Кюри искусственной радиоактивности). Для этой цели я использовал амплуу с радиом, которая была закрыта тонким слюдным окшком. НаCLUDE помещался облучаемый образец. Чтобы избежать опасности утечки радиона, амплуа хранилась в другой комнате, которая неизменно запиралась. Однако по какой-то случайности комнату не закрыли, кто-то вошел в нее и, по-видимому случайно, провал слюдное окшко амплуы. Сразу же запелали счетчики во всех лабораториях института. Поднялась

панника. Немедленно были приняты меры: открыты все окна, включена вся наличиеventilция. Через несколько часов «авария» была ликинирован и счетчики пришли в норму. На этом можно было бы и успокоиться, если бы не введенное одного из сотрудников, который решил об этом случае доложить директору института Абраму Федорович Иоффе. У А. Ф. Иоффе была сильно развита богать радиоактивных излучений. Происшествие очень расстроило его, и он назначил комиссию для расследования, выяснения причин и определения последствия. Председателем комиссии был назначен Курчатов. Подсчет показал, что даже если бы долговивущий продукт распада радона — ради Е с периодом распада 29 лет — из всей амплуы осел на поверхности здания института, то радиоактивность оказалась бы на порядок меньше естественного фона. Комиссия составила соответствующий акт, который и успокоил А. Ф. Иоффе. Однако в течение нескольких месяцев об этом событии не раз вспомнили, и оно было отражено в одном из очередных капустников.

На подаренной мне монографии Игорь Васильевич сделал следующее: «Дорогому Исааку на добрую память. В книге много недостатков. Ты их сам заметшь; укажу только на один, который может от тебя ускольнуть: ничего не написано об амплуах для α-частиц и ихковарных свойствах. 20/IV 1935 г. И. В. Курчатов». Видно, это событие надого времени в его память.

Работы по ядерной физике непрерывно велись до самого войны. Правда, начиная с 1937 года я уже не мог за ним следить, потому что уехал в Свердловск и практические не встречались с Игорем Васильевием. И только в конце 1942 года Курчатов неожиданно появился в Свердловске,ащел ко мне в лабораторию иpointerсовался, чем я занимаюсь. Внешне его посещение тогда ни на чем не сказалось, но позже стало ясно,

39

что он имел поручение произдировать возможность привлечения к новой тематике. Действительно, в начале 1943 года я был вызван в Москву, где встретился с И. В. Курчатовым и А. И. Алихановым у С. В. Кафтанова. Мне сообщили, что имеется поручение правильства заняться вопросами практического использования деления урана. Едва ли нужно упоминать, что после открытия деления урана это был самый животрезущий вопрос, который интересовал всех физиков. На ядерной конференции 1940 года в Москве пробела деления урана обсуждалась веса окивленного при активном учатии Курчатова. По его инциативе была составлена записка правильства, в котором указавалось на важность этой проблемы и на необходимость организации широких исследований в этой области.

В начале 1943 года организация работ по практическому использованию явления деления урана была оформлена правильствием актом. Началась совместная деятельности с И. В. Курчатовым уже на новом портище, в новой роли. Понято, что более актуальной физической проблемы в то время нельзя было себе представить. Конечно, проблема защиты кораблей от магнитных мин, который занимается тогда Игorb Васильевич, тоже была очень актуальная. Известно, что работы А. П. Алексадрова и И. В. Курчатова в этой области позволили спастям жизни многимтьсям моряков. Но problema урана не терпела никаких отличательств. Так началась направленная эпопея решения практической задачи создания atomного оружия. Первое время непосредственного работами занималось считанное число людей. Вскоре Игorb Васильевич привлек крупных теоретиков (Я. В. Зельдовича, И. Я. Померанчука и др.). Довольно быстро было произведено разделение сферы влияния. Проблемы, не связанные непосредственно с ядерной физикой, были поручены мне:

как выразился Курчатов, «ты у нас специализит по изучкам» (он в шутку называл все работы, не связанные с ядром, изучковой физикой). Вопросами ядерной физики занимаются сам и А. И. Алиханов.

Начался бурый организационный период, когда нужно было собрать людей, доставать помещения, оборудование. Временно нам было предоставлено помещение в Пыжевском переулке и в Институте неорганического химии на Калужской улице. И снова Игоря Васильевич можно было видеть бегущим с облученными миншеними из одного конца коридора в другой. Казалось, мы снова в ЛФТИ. Наряду с этой работой Курчатов выполнял огромную организаторскую работу. Засихивались мы на Пыжевском до поздней ночь.

Однажды было сказано, что нужно готовить доклады о программе работы с указанием конечных сроков практического решения проблем. Мы засеели за составление такого доклада — каждый по своей части. И в один из вечеров представили правильством. Докладывали тоже каждый по своей части. В каждом докладе содержался пункт, указавший сроки получения практических результатов. Как известно, эти сроки были выдержаны.

В это время Игоря Васильевич организовал работ не только по созданию института. Теоретики и экспериментаторы взаимно обучались основам будущей ядерной техники. Коллективно обсуждались основные проблемы, связанные с практической задачей, которая была поставлена. Все, особенно Курчатов, чувствовали огромную на коллектив. Больше беспокойство вызывал вопрос, не обгонит ли нас фашистская Германия. Не было никакой уверенности, что Германия успел не занимать пробелу урана. Было ясно, что если в 1941 году все публикации, относящие к делению урана, вдруг прекратились, то все, в том числе и

40

немцы, должны были поннимать, что начались работы по использованию этого явления для важных целей. Нужно было принять во внимание и то, что в печати появился ряд статей с оценкой того действия, которое может вызвать цепная ядерная реакция, если она осуществится.

В лаборатории поначалу эксперименты осуществлялись в очень малом масштабе: не было места. Но теоретические и расчетно-оценочные работы велись с чрезвычайной интенсивностью. После наших докладов о перспективах решения проблем организации лаборатории резко ускорился. Довольно быстро было выделено новое помещение и приведено в порядок старое. К концу 1944 года мы уже имели достагоно приложные помещения для работы.

Организация работ по этой проблеме в нашей стране шла очень интенсивно. Число сотрудников возрастало по экспоненциальному закону:

$$N = N_0 e^{at}$$

($N_0$ — начальное число сотрудников, $N$ — число сотрудников в момент времени $t$).

Научная и организационная деятельность Игоря Васильевича была предельно направленной. Тогда с руководством работами по изменению основных ядерныхCONSTANTУРАНА. Необходимо было получить с большой точностью данные о количестве нейтронов, освобождающихся в одном акте деления ядра урана, определять энергетические спектры нейтронов и др.

Как и в прошлом, Курчатов «озадачивает» теоретические необходимо развитие теории цепных ядерных реакций. Как известно, наш теоретики с большим успехом справились с этой задачей. Курчатов неосредственно заняла строительством первого atomного реактора. Он целиком был захвачен этим делом и сам руководил проектными, конструкторскими и научными разработками. Он сумел привлечь к проблеме большое количество научных институтов и ученых са-

41

мых разных специалностей. Его интересовал не только сам реактор. Он понимал, что предстоять большехимических исследований по выделению плутония*). Я помню, однажды, когда мы были в Кремле, Игорь Васильевич демонстрировал первую стеклянную амплучку с несколькими микрограммами плутония, который был получен на нашем первом реакторе, находящемся в «задании» монтажных мастерских.

Вскоре Курчатов выехал на площадку, где началось сооружение промышленного реактора, и в Москве был наземом, как и другие руководители.

Наконец, наступил день, когда все было готово для испытания atomного оружия. Непосредственное руководство первым взрывом осуществлял Курчатов. И несмотря на то, что на месте испытания присутствовали ответственные члены правительства, было сказано, что руководство всеми работами поручается Курчатову. И все работы были подчинены лично ему. Доверие правительства Игорю Васильевич было неограниченным.

Игорь Васильевич быстро понял, что актуальной проблемы последнего времени — мирное использование atoms в энергетике. И поэтому не удивительно, что первая atomная электростанция была создана под его неосредственным руководством. Курчатов понимал также, что для дальнейшего развития atomной науки требуется обеспечить ее тылы, создать современные установки для изучения физики элементарных частиц. И по его инциативе, также весма своевременно, началась организация Объединенного института ядерных исследований (ОИЯИ) под Московью в Дубне. Можно сказать, что Дубна — это

*) Плутоний — трансурановый элемент, занимающий 94-ю клетку перiodической системы Менделеева. Приоден для создания atomного оружия и мириго использания atomной энергии.

детише Курчатова, хотя физика элементарных частицы была далека от личных научных интересов ученого.

Едва ли нужно доказывать, насколько своевременно были начаты работы по управляемым термодерным реакциям. Тогда еще не было известно, что в других странах тоже ведутся также работы. Это было наало 1952 года. Курчатов внимательно следил за ходом работы, хотя первоое время неосредственного учестия в них сам не принимал. Не менее своевременно он оценил полученные при исследовании результаты и понял, что perвооначальные надежды на быстroe решение проблем оказылись сликом оптимистичными. Он понял, что необходимо серверная систематическая работа в этой области, и опять же своевременно оценил целесообразность рассекречивания этих работ. Как известно, в 1956 году он в своем докладе в Англии изложил наши результаты по управляемому термодерному синтезу.

Помню, с какой тщательностью Курчатов готовил свой доклад: оттачивал какдуго фразу, обсуждал, исправлял, переедывал. Доклад в Англии произвел сенсцию. Только после этого стало известно, что аналогичные работы велись и в США, и в Англии. С тех пор начался период ширинародного сотрудничества в достижении управления термодерной реакции. Личные интересы Курчатова также переместились в эту увлекательную область. В последние годы он сам руководил работы по термодерному синтезу. Он привлек к ним многие научные учреждения, конструкторские организации. Причем, он решил исследованием отчетливую целенаправленность и даже настанвал, чтобы наалося проектирование будущего термодерной электростанции.

С самого начала организации Института atomной энергии (ИАЭ) Игоря Васильевич беспоконил вопрос, сумем ли мы наладить работу так, как она была организована А. Ф. Иоф-

42

фе в ЛФТИ, где в основе лежал беспредельный энтузизм сотрудников. Все мы чувствовали себя ответственными перед Иоффе, авторитет которого был чрезвычайно высок. Это Курчатов понимал и хотел обеспечить такую же интенсивную работу у себя в институте. Он не раз высказывался в том дуxe, что нам придется надяться не на личное обаяние руководителей, а на важность и градинозность решаемой проблемы. В действительности его личный авторитет был велик. Что касается обаяния, то ему тоже было его незаимать. Он сам в этом не был убежен, но когда ему на это указывал, ухмылялся и говорил: «Посмотрим». Опыт показал, что и личное обаяние Курчатова, и его большой научный авторитет, нарушу с градинозностью проблемы, которая была поручена институту, действительно, обеспечили высокую интенсивность и производительность научного труда. Сторудники ИАЭ тоже работали, не считаясь со временем, не за страх, а за советь.

Термоядерный синтез — это легбедная песня Курчатова. Последние дни он проводил непосредственное в laboratorии, за пультом, за рабочим столом, на термоядерных установках нашего института и был полон надежд, что в самом близкой время термоядерный синтез будет практически осуществлен.

Можно утверждать, что Курчатов проекл счастливую жизнь. Игорь Васильевич занимался самыми актуальными, самых животрепешущими, самых многообещающими вопросами научки. Он верил в беспредельную мощь научки и заразил этой верой своих сотрудников. На этом и сейчас знжутся успexи atomной научки в нашей стране.

Биосфера и ЭМП

Изобретатель радно А. С. Попов когда-то говорил, что человекский организм не имеет еще такого органа чувстввств, который заменал бы электронагнитные волны. Это высказывание расшифровалось как вывод об отсутствии биологического действия радноволн. Сегодня такой вывод имеет лишь исторический интерес.

Биосфера — область распространения жизни на земном шар — подвержена влиянию различных ЭМП (электромагнитных полей), источниками которых служат Земля, Солнце и космическое пространство. Все живое на Земле растет и развивается в геомагнитном поле, величина которого в среднем равна около 0,5·10⁻⁴ мл.

Этот факт до недавнего времени считался несущественным. Однако наавшаяся эра космических исследований поставила на повестку дня вопрос о детальной оценке условий жизни на Земле. Выяснили, что снижение геомагнитного поля до уровня магнитного поля Луны,

(окончание см, c. 63)

43

Праводоподобные рассуждения и математика

Д. С. Людмилов, С. Д. Людмилова

«Написав, что нечто оченьindo, вы, наверное, mak и думали. Но когда, спустя месяц, или два, или шесть, вы внутри рукопись и перечитали ее заново, вы по-прежнему продолжаете mak считать? …
Когда вы обязаны это другу или на семинаре, было ли это место воспринято как оченьindo? Или кто-нибудь задавал вопросы и усказвался, вопрос, после ваших уведомов? Вы его убедили или запутали? Ответы на эти риторищеские вопросы ограничиваются использованием слова «очевидно». Если еще и другое правило, главное, его знаем какдый; нарушение этого правила — самый частный источник математических ошибок: удостовериться в том, что «очевидное» — верно.»
П. Р. Халмош. Как писать математические тексты.

Праводоподобные рассуждения, подсказываемые интуицией, играют значительное роль в математических исследованиях, в поиске решения задачи. Математку было бы труднее находить решение новых математических проблем, если бы он не получал «подсказок» от своей математической интуициии.

To же самое можно сказать об ученике, который имеет способ решения задачи. Поиск решения — это формулировка различных гипотез и последовательная их математическая проверка.

No… будьте осторожны! Нельзя недооценивать математическую строость и переоценивать интуицию. То, что интуитивно оченьindo, не всегда соответствует действительности.

Переправа

Рассмотрим один почительный пример, который обязывает, почему математики стремятся строго доказывать «очевидное».

В книге П. Ю. Германовича «Сборник задачи по математике на сообщательность» (М., Учпедгиз, 1960) есть такая задача.

Канал шириной 3,5 м имеет повором (рис. 1). Как организовать переправу через него, если имеются две

Рис. 1.
Рис. 2.

44

доски, но длина каждой из досок только 3 м?

Авторское решение задачи показано на рисунке 2. Судя по этому рисунку, автор предполагает, что

(1) края A и B первой доски должны упраться в края рва (мы считаем, что доски не изгибаются);
(2) первая доска AB должна образовать с краями рва улы 45°;
(3) вторая доска CD должна быть перепendlukулярной AB (точка C — вершина противоположного угла рва).
(4) макое расположение досок указанных размеров возможно (и, следовательно, обеспечивает переправу).

Все эти гипотезы интуитивно праводопобны, не так ли? Но… давайте займемся проверкой.

Первый сорприз

Начнем с гипотезы 4. Веряятоно, очень легко поверить в ее справедливость: неужели за счет лишних 2,5 м (6 м — 3,5 м) доски нельзя указанным на рисунке 2 способом получить недостаточное 0,5 м (3,5 м — 3 м)?

Однако проведем расчеты. Из рисунка 2 имеем:

$$OC = 3,5\sqrt{2} \text{ m}, \quad OD = \frac{1}{2}AB = 1,5 \text{ m},$$

$$CD = OC - OD = (3,5\sqrt{2} - 1,5) \text{ m}.$$

Переправа возможно, если выполняется неравенство

$$3,5\sqrt{2} - 1,5 \leq 3$$

Рис. 3.

Рис. 4.

или 3,5\sqrt{2} \leq 4,5, откуда 7\sqrt{2} \leq 9, а это неверно. Поэтому в действительности CD > 3 м!

Следует ли отсюда, что переправиться невозможно? Пока что нет, ведь этот выбор получен из предположения, что первый три гипотезы выполняются. Быть может, существует другое расположение досок, обеспечивающее переправу?

Второй сорприз

Из рисунка 3 видно, что гипотеза 1 верна: действительно, если один из концов A первой доски (или оба ее конца) не лежит на самом краю рва, то эту доску удается перевинуть в более высокое положение.

Нетрудно подтвердить и гипотезу 3: если вторая доска CD не будет перепendlukулярна AB (см. рис. 4), то она должна будет иметь большую длину.

Рис. 5.

45

Рис. 6.

Остается проверить гипотезу 2.
На первый взгляд каждец, что и эта гипотеза подтверждается. Действительно, рассмотрим два положения первой доски (рис. 5): $MN$ ($\Rightarrow MNO = 45^\circ$) и $AB$ ($\Rightarrow ABO \neq 45^\circ$). Пусть $CD \perp MN$, $CP \perp AB$, $K$ — точка пересечения $CP$ и $MN$. Ясно, что $CP > CD$, так как $CP > CK$ и $CK > CD$ (гипотенуза больше катета).

Однако отрезки $MN$ и $CP$ могут и не пересекаться, соответствующей расположение доски указано на рисунке 6. Обратите внимание, что на этом рисунке $CD \geq CP$. Предыдущей рассуждении не проходит. По-видимому, непредседательно геометрической проверить гипотезу 2 нелегко.

Попытаемся сделать это алгебраически. Обозначим ширину канала через $a$, длину каждой доски — через $l$ ($a > l$), $\Rightarrow ABO$ через $\alpha$ (рис. 7) и будем считать величины $a$ и $l$ постоянными, а величины $\alpha$ переменной. Гипотеза 2 утверждает, что минимум длины отрезка $CP$ ($CP \perp AB$) достигается при $\alpha = 45^\circ$. Поэтому надо выразить $y = CP$ как функцию от $\alpha$.

Проведем $ECF \parallel AB$ и $OLK \perp AB$ (рис. 7). Тогда

$$EF = EC + CF = \frac{a}{\cos \alpha} + \frac{a}{\sin \alpha}; \quad OF = EF \cos \alpha = a + \frac{a \cos \alpha}{\sin \alpha}; \quad OK = OF \sin \alpha = a \sin \alpha + a \cos \alpha; \quad OB = AB \cos \alpha = l \cos \alpha; \quad OL = OB \sin \alpha = l \cos \alpha \sin \alpha; \quad y = LK = CP = OK$$

$-OL = a \sin \alpha + a \cos \alpha - l \sin \alpha \cos \alpha$.

Исследуем функцию $y(\alpha)$ на максимум и минимум. Пусть

$$x = \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin (45^\circ + \alpha).$$

Тогда $x^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$,

$$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{x^2 - 1}{2},$$

$$y(x) = ax - \frac{l(x^2 - 1)}{2} = \frac{-lx^2}{2} + ax + \frac{l}{2}.$$

Если бы область определения функции $y(x)$ не была ограничена, то она не имела бы минимума, а имела бы максимум при $x = \frac{a}{l}$ (рис. 8).

Этот максимум равен

$$\frac{1}{2} \left( -l \frac{a^2}{l^2} + 2a \frac{a}{l} + l \right) = \frac{a^2 + l^2}{2l}.$$

Однако области определения функции $y(x)$ ограничена, так как $x = \sqrt{2} \sin (\alpha + 45^\circ)$ и $0 \leq \alpha \leq 90^\circ$.

Функция $x(\alpha)$ имеет минимум $x = 1$ при $\alpha = 0^\circ$ (этот минимум достигается, когда $\alpha = 0^\circ$ — доска $AB$ всегда на одном береру) и максимум $x = \sqrt{2}$ при $\alpha = 45^\circ$. Отсюда находится определение функции $y = f(x)$: $1 \leq x \leq \sqrt{2}^*$.

*) На самом деле, при $\alpha$, близком к $0^\circ$ ($90^\circ$) и $AB$, меньше $\alpha$, точка $P$ на рисунке 7 оказется на продолжении $AB$, то есть на береру и потребуется доска длины, меньше чем $CP$, но если конец $P$ доски $CP$ лежит на береру, то $CP$ — наименьшее при $\alpha = 0^\circ$ и совпадает с $y(x)$ при $x = 1$.

46

Точка $x = 1$ на оси абсцисс расположена всегда между точками $x = 0$ и $x = \frac{a}{l}$ ($a > l$). Точка же $x = \sqrt{2}$ может занимать два положения: слева от точки $x = \frac{a}{l}$ (рис. 9) или справа от этой точки (рис. 10).

В том и в другом случае графиком функции $f(x)$ является дуг $AB$ парабольный между точками $x = 1$ и $x = \sqrt{2}$.

В первом случае $\left(\frac{a}{l} \geq \sqrt{2}\right)$ функция $y(x)$ при $x = \sqrt{2}$ ($\alpha = 45^\circ$) достигает максимума (!), равного $a\sqrt{2} - \frac{l}{2}$, а при $x = 1$ – минимума, равного $a$ (рис. 9; переправа в этом случае невозможна, так как при любом $1 < x \leq \sqrt{2}$ будет $y > a$).

Мы получили результат, прямо противоположный интуитивно предполагаемому! Рисунок 6 не направно на источников насас. Если $\frac{a}{l} \geq \sqrt{2}$, то при $\alpha = 45^\circ$ расстояние $CP$ от точки $C$ до первого доступа не наименьшим, а наибольшим! Согласно себе, что интуция, подсказавшая гипотезу 2, очень даже красиво обманула нас. Кроме того, невозможность переправы при $l \leq \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (например, при $a = 3,5$ м, $l \approx 2,4$ м) трудно предсказать интуитивно, хотя ясно, что какое-то ограничение на $l$ должно быть, при очень малом $l$ переправа невозможна.

Продолжим исследование

Постотрим, всегда ли возможность переправа, если $1 < \frac{a}{l} < \sqrt{2}$. В этом случае функции $y(x)$ имеет максимум, равный $\frac{a^2 + l^2}{2l}$ (рис. 10). На интересует минимум этой функции. Функция достигает минимума при $x = 1$ или при $x = \sqrt{2}$. Пусть $y(1) \leq y(\sqrt{2})$ (рис. 10). Поскольку $y(1) = a$, $y(\sqrt{2}) = a\sqrt{2} - \frac{l}{2}$, то $a\sqrt{2} - \frac{l}{2} \geq a$, откуда $\frac{a}{l} \geq \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$. Итак, при $\frac{\sqrt{2} + 1}{2} \leq \frac{a}{l} < \sqrt{2}$ переправа неосуществима, так как при $1 < x \leq \sqrt{2}$ будет $y(x) > a$ (рис. 9). Остается рассмотреть случае $1 < \frac{a}{l} < \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$.

В этом случае $y(\sqrt{2}) = a\sqrt{2} - \frac{l}{2} - \frac{l}{2} < a = y(1)$, минимум функции $y(x)$ равен $a\sqrt{2} - \frac{l}{2}$ (рис. 11) и достигается при $x = \sqrt{2}$, $\alpha = 45^\circ$. Переправа возникла, если этот минимум не превыходит длины $l$ второй точки, то есть при $a\sqrt{2} - \frac{l}{2} \leq l$, или $\frac{a}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4} (< \frac{\sqrt{2} + 1}{2})$.

Подготовивая, получаем, что переправа невозможна при $\frac{a}{l} > \frac{3\sqrt{2}}{4}$

47

и возможна при

$$\frac{a}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4}.$$ (*)

Отношение $\frac{a}{l} = \frac{3,5}{3}$ условию (*) не удовлетворяет, так как $\frac{3,5}{3} > \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Из неравенства $\frac{3,5}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4}$ находим, что переправа возможна, если $l \geq \frac{7\sqrt{2}}{3} \approx 3,3$ м.

Невозможность переправы геометрической ознакомеет, что множество точек, «заметаемые» первой и второй dockой, не пересекаются (рис. 12).

Если $\frac{a}{l} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$, то эти множество имеют лишь одну общую точку.

Если $\frac{a}{l} < \frac{3\sqrt{2}}{4}$, то область пересечения указанных множеств содержит бесписсленное множество точек.

Если $\frac{a}{l}$ близке к 1, чем к $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ (области пересечения множеств достаточно велика), первой dockу можно располагаать и не под углом $45^\circ$ к берегам, а вторую dockу — не перепендикулярно к первой, можно даже отодвинуть ее конец от вершины угла (точки $C$).

Итоги

Какой же вывод можно сделать из всего сказанного? Подтверждают ли все наши рассуждения тот факт, что интуитивное предсказание гипотезы 2 является верным?

Мы видели, что гипотеза 2 в формулировке

a) первая доска оказывается на нашемшем расстоянии от $C$, если $\alpha = 45^\circ$,
не соответствует действительности. В формулировке же

b) если переправа возможна ($\frac{a}{l} \leq \frac{3\sqrt{2}}{4}$), то первая доска оказывается на нашемшем расстоянии от $C$, если $\alpha = 45^\circ$,

гипотеза 2 соответствует действительности. Однако предсказать этот результат интуитивно трудно.

В связи с рассмотренной задачей возникают новые интересные задачи. Вот некоторые из них.

Упражнения

1. При какой минимальной длине двух одинаковых досок (ширина канала равна 3,5 м) переправа возможна, если запас покрытия для каждой dockи должен составлять 20 см (по 10 см для каждой конца)?

2. Вывести условие возможности переправы через канал ширины $a$ с помощью двух досок различной длины: $m$ и $n$ ($m < a$, $n < a$). В частности, выяснить, возможна ли переправа, если $a = 3,5$ м и $m + n = 6$ м.

3*. Через канал питания переправится с помощью трех досок. При каких длинах $a$, $b$, $c$ досок это возможно? Хватит ли трех досок по 3 м каждая?*)

4*. Две ветви канала имеют различную ширину: $a$ ($m$) и $b$ ($m$) ($a > b$), причем имеются две dockи одинаковой или различной длины: $m$ и $n$, — какая из которых меньше $b$. Вывести необходимое и достаточно условие возможности переправы.

5*. Ветви канала образуют произвольный (а не прямой) угол $\varphi$, их ширина равна $a$ и $b$, dockи — различной длины ($m$ и $n$). При каком условиях возможна переправа?

Литература

1. Д. Пойа, Математика и праводопобные рассуждения, ИЛ, 1957.

2. Д. Пойа, Математическое открытие, М., «Наука», 1970.

3. Д. Пойа, Как решать задачу, М., Учредгиз, 1957.

4. Г. Д. Балк, М. Б. Балк, Испытания на праводопобие. «Квант», 1972, № 1.

*) Задание 3—5 решать не обязательно, их решения очень трудные, громоздкие, требуют знания, выходящих за пределы школьной программы.

48

Задачи

M261—M265; Ф273—Ф277

M261. Обруч радиуса $R$, внесший на неподвижном круге радиуса $r < R$, начинойот катить по этому кругу. Докажите, что точка обруча описывает ту же траекторию, которое описывает снаружи по тому же кругу радиуса $r$ (рис. 1, а, б). (Качение проискодит без скольжения — так, что длины прокатившихся друг по другу дуг равны.)
С. Г. Гиндикин

M262. Какое наиболее число:
a) ладей,
b) ферзей
можно расставить на шахматной доске $8 \times 8$ так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

B. и Л. Рабинович

M263. Даны два числа $p$ и $q$, большие 1. На сторонах $BC$ и $DC$ прямотolgника $ABCD$ берется точки $P$ и $Q$ так, что $|BC| = p \cdot |BP|$ и $|DC| = q \cdot |DQ|$. При каком отношении длион сторон $AB$ и $AD$ угол $PAQ$ будет иметь наиболее величины? Какова эта наиболее величина в частном случае $p = 2$, $q = \frac{3}{2}$ (рис. 2)?

Э. Г. Готман

M264. В горode одна синяя площать и $n$ зеленьх, причем каждая зеленья площать соедиена улицами с синей и с двумя зеленьми (рис. 3). На каждой из $2n$ улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую

49

Рис. 2.

плошадь можно приехать и с каждой — уехать. Докажите, что с любой плошади этого города можно, не нарушая вредных правил, доехать до любой из остальных.

(Для города, план которого изобранен на рисунке 4, аналогично утверждение было бы неверным.)
Б. Розенитейн, ученик 9 класса

Рис. 3.

Рис. 4.

М265. Диагональ $d$ прямогольного параллелепипеда образует с его ребрами $a, b$ и $c$ углы $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Докажите, что $\alpha + \beta + \gamma$ меньше $π$.
М. Л. Гервер

Ф273. Для получения газов при сверхвысоких температурах и давлениях иногда применяется установка, состоящая из закрытого с одной конца цилиндра-ствола и поршня-пулы, влетающей в цилиндр с открытой стороны. При хорошего обработке ствола и пуля удалется добиться малой утечки газа через зазор. Благодаря очень высоким температурам сильно скатые газы в этих условиях еще можно считать идеальным. Оценить верхний предел температуры аргона, подвергнутого скатению в такой установке, если пуля массы $m = 100$ е влетает в ствол, имеющий объем $V_0 = 200\text{ cm}^3$,

с начальной скоростью $v = 250\text{ m/c}$. Начальные температура и давление газа равны соответствию $T_0 = 300^\circ\text{K}$ и $p_0 = 1\text{ atm}$.

Ф274. Решите задачу Ф232 или прочитите ее решение в этом номере журнала. Какое количество теплла выделится на сопротивлении $R$ после замыкания ключа $K$, если волтамперная характеристика диода будет такой, как показано на рисунке 5?

Рис. 5.

Ф275. На обод массивного колеса массы $M$ надет дополнительный груз малого размера и массы $m$, причем $M : m = 15$. С какой скоростью должен катиться колесо, чтобы оно подпрыгивало?

Ф276. Какие они следует прописать человеку, если в воде он видит нормально?

Рис. 6.

Ф277. Определить период колебаний грузника $C$, шарнирно прикрепленного двумя очень легкими стержнями длины $l$ к стержню $AB$, укрепленному под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 6). $\rightarrow BAC = \rightarrow ABC = \beta$. Третий примебречь.

50

Решения задач

M219—M221; Ф228—Ф232

M219. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллеленедов, для которых эти точки служат вершинами?

Сначала решим аналогичную плоскую задачу. Данны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько существует различных параллеленедов, для которых эти точки служат вершинами?

Эта задача значительно проще пространственной. Ответ в ней: 3 параллелограмма.

Убедиться в этом можно, например, так. Предположим, что параллелограмм имеет три данные точки вершинами. Тогда одна из них (C на рис. 1) играет особую роль: она соединена с двумя другими точками сторонами параллелограмма (а те две между собой — диагональ). Ясно, что такой точкой C можно «назначить» любую из трех данных точки, после чего параллелограмм строится единственным образом (рис. 2).

Перейдем теперь к пространственной задаче. Самое замечательное в ней — ответ: 29 параллелопедов.

1-е решение. Сначала, как полагается в задаче «на построение», проведем небольшой анализ, то есть представим себе, что параллелопед (имеющий четыре данные точки вершинами) построен.

Из восемьи вершин параллелопеда четыре вершины, не лежащие в одной грани, можно выделить четырьмя существования различными способами *), как показано на рисунках 3, a, b, в, 2. Чтобы отличить эти способы, достаточно, например, посмотреть,

*) Словам «существенно различными» можно придать такой точный смысл: два 4-подмножества вершин считаются существенно различными, если нельзя отобразить множество из восемьи вершин на себя так, чтобы вершины одной грани перешли в вершины одной грани, а подмножество из четырех вершин — одно в другое. На этом языке можно было продолжить решение, но мы выбрали более наглудный способ изложения.

51

Рис. 4.

соединена с точкой $B''$ — и обе жесткие грани, а тем самым, и параллелепид будут определенны однозначно. Всего в этом случае можно построить 12 параллелепидов.

$\theta$) Здесь — одна жесткая грань, содержащая три из четырех точек, а четверняя точка $C'$ должна быть, очевидно, противоположной вершиной параллелепида по отношению к точке $C$ — «главной» вершине жесткой грани. На роль $C$ можно назначить любую из четырех точек, на роль $C'$ — любую из трех остальных. После этого жесткая грань, а затем и весь параллелепид строится однозначно. Итак, получим еще 12 параллелепидов.

$\varepsilon$) Жестких граней нет, и поэтому, как нетрудно доказать, в каждой грани должны быть две выделенные точки, не лежащие на одном ребре. При возникних разбиения множества из четырех точек на два подмножества по две точки в каждой позиют построить три пары скрещивающихся прямых (диагоналей противоположных граней параллелепида), а значит, и три пары параллельных друг друг плоскостей, при пересечении которых получается нужный параллелепид. Здесь он только один (это неудивительно, поскольку роли всех точек совершено одинаковы).

Складывая, получаем ответ: $4 + 12 + 12 + 1 = 29$. На рисунке 4 воспроизведены все 29 штук.

Приведем теперь второе решение задачи (далее же ответ получается совсеминаче, что уже гарантирует от ошибки), но равные вернемся на минуту к плоскон задаче.

Ответ «3» можно обосновать еще так. Заметим, что «средние линии» будущего параллелограмма (прямы, параллельные стороны и расположенные посередине между ними) — это прямые, равнодаленные от всех трех данных точек. Имея две такие «средние»

52

Рис. 5.

прямы, легко построить параллелограмм — достаточно проверсти параллельные им прямые через данные точки. Всего прямых, равноудаленных от трех данных точек, существует три (они идут по средним линям треугольника с вершинами в данных точках). Выбрать две из них можно трея способами (рис. 5).

2-е решение. Три «средние плоскости» искомого параллелоппеда (плоскости, равноудаленные от всех восеми его вершин) должны удовлетворять следующим условиям:

1° каждая из них равноудалена от данных четырех точек;

2° все три плоскости пересекаются в одной точке.

Обратно, если удостраняться указать тройку плоскости, удовлетворяющих условием 1° и 2°, то параллелоппед, в котором они служат «средними», определяется однозначно: достаточно через четырех точки проверсти все различные плоскости, параллельные каждой плоскости из этой тройки, — и параллелоппед готов.

Сначала выясним: сколько существует плоскости $p$, равноудаленных от четырех данных точек $K, L, M, N$ (не лежащих в одной плоскости)? Докажем, что семь. Действительно, достаточно указать, как точки лежат по одному сторону $p$, а какие — по другую. Возможно, что по одному сторону будет три точки, а по другую — одна (четыре плоскости), а, возможно, что по обе стороны будет по две точки (tri плоскости).

Легко видеть, как строить все эти плоскости: все они пересекают ребра tetraэдра KLMN в серединах, а его грани — по средним линям (четыре плоскости пересекают tetraэдр по треугольнику, а три — по параллелограмму, рис. 6).

Tri плоскости из семи мы можем выбрать $C_3^7 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$ способами. Каждый из этих трех удовлетворяет условию 1°; система выяснить, сколько из этих трех «плохих», не удовлетворяющих условию 2°, то есть параллельных одной прямой.

Рис. 6.

Пользовать тем, что линяя пересечения каждой двух из семи плоскостей либо соединяет середины двух противоположных ребер tetraэдра KLMN (таких случая в него три — пересечение двух плоскостей), либо параллельна одному из ребер tetraэдра (причем каждому ребру параллель три из семи плоскостей), — получим, что «плохих» треок столкко же, столкко ребер у tetraэдра — шесть.

Вычитая, получаем ответ: 35 — 6 = 29.

Н. Б. Васильев

M220. Король общей шахматную доску $8 \times 8$, повышав на каждом полеровно один раз и вернутьись последним ходом на исходное поле. (Король ходим по общим правилам: за один ход он может перейти по горизонтим, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Кода нарисовали его путь, последовательно соединив ценный полей, которые он проходит, получилось замкнутая ломанная без самопересечения. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице).

Король сделал 64 хода. Поскольку каждая квадрат хода равна либо единице, либо $\sqrt{2}$, то длина всего пути заведено не меньше 64. (Путь длины 64 действительно существует — см. пример на рисунке 7.) Покажем теперь, что длина пути короля не может быть больше $28 + 36 \sqrt{2}$. Для этого достаточно показать, что пути короля содержит не менее 28 «прямых» ходов. Расстояние два соседних выхода короля на границу поля. Легко сообщить, что эти границы поля должны быть соединины, иначе пути короля оказывается самопересеченной (см. рис. 8; построайте строко доказать это утверждение). Так как цвет этих полей различает, а при ходах по диагонали цвет не меняется, то между двумя соединими выходами на границу должны быть «прямой» ход. Поскольку граничных полей 28, то и выходов на границу — тоже 28, и следовательно, прямолинейных ходов действительно не меньше 28. Из примера пути короля, приведенного на

53

Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.

рисунке 9, следует, что можно обойтисьровно 28 «прямыми» ходами.

М221. На бумагау поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определяли наименьшее расстояние от границы кляксы, а также наибольшее расстояние от границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выбрали наибольшее $r_0$, а среди наибольших выборки наименьшее $R_0$. Какую форму имеет клякса, если $r_0 = R_0$?

Пусть $A$ — точка кляксы, наименьшее расстояние от которого до границы кляксы равно $r_0$. Тогда круг радиуса $r_0$ с центром в точке $A$ содержится внутри кляксы (если бы этот круг не содержался полностью внутри кляксы, то какая-то точка границы кляксы оказалась бы внутри круга, и расстояние до нее от точки $A$ было бы меньше $r_0$, что противоречит выбору $r_0$, — см. рис. 10).

Аналогично, если $B$ — точка кляксы, наибольшее расстояние от которого до границы кляксы равно $R_0$, то все клякса содержится в круге радиуса $R_0$ с центром в точке $B$ (рис. 10).

Итак, первый построенный круг содержится в кляксе, а клякса в свою очередь содержится во втором круге. Но по условию $r_0 = R_0 = \rho$, откуда следует, что круги совпадают; знаем, совпадают и точки $A$ и $B$, а клякса имеет форму круга с центром в точке $A (= B)$ раздела р.

Г. А. Гальперин

Ф228. На конце докси длины $L$ и массы $M$ находимся короткий брусок массы $m$ (рис. 11). Доска может скользить без претензий по горизонтом плоскости. Козффициент претензии скольжения бруска по поверхности докси равен $m$. Какую скорость $v_0$ нужно молком сообчитать доксе, чтобы она выскольнула изnod бруска?

Рис. 11.

Так как доксе скользить сообщается только ком, то в начальной момент брусок покопится относительно плоскости, а докса имеет скорость $v_0$. В горизонтом направления на брусок и доксу действуют только силы претензии скольжения $F_{tr.}$ и $F_{tr.6}$. Между ними (рис. 12). Эти силы равны по абсцилтной величины $\mu m g$ и сообщают бруску и доксе ускорения, равные соответствению

$$a_6 = \frac{\mu m g}{m} = \mu g,$$

$$a_7 = -\frac{\mu m g}{M} = -\mu \frac{m}{M} g.$$

Таким образом, скорость бруска будет увеличивать со временем, а скорость докси уменьшается.

Если начальная скорость докси нечала, то через некоторое время после начала движения скорости бруска и докси станут равны, после чего брусок и докса будут движ-.

54

Рис. 12.

гатся как одно целое, то есть с одной и той же скоростью. Если разность переменной бруска и доски к этому моменту равна длине бруска (рис. 12), то брусок в дальнейшем будет движаться, находясь на краю доски. Брусок сосользнет с доски, если эта разность переменной будет больше $L$.

Найдем скорость $v$ совместного движения бруска и доски. Так как на системе доска — брусок в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, то импульс этой системы со временем не меняется. Поэтому $Mv_0 + m \cdot 0 = (M + m)v$, откуда

$$v = \frac{M}{M + m} v_0.$$

Для нахождения величины переменной доски и бруска воспользуемся формулой, которая связывает скорости тела $v_1$ и $v_2$ в некоторых моменты времени с его ускорением $a$ и переменением $s$ за время между этим моментами:

$$v_2^2 - v_1^2 = 2as.$$

Начальная скорость бруска $v_1 = 0$, а в тот момент, когда скорости бруска и доски станут равны, $v_2 = v$. Поэтому величина переменения бруска к этому моменту равна

$$s_0 = \frac{v^2}{2a_0} = \frac{M^2v_0^2}{2(M + m)^2\mu g}.$$

Аналогично найдем величины переменения доски:

$$s_1 = \frac{v^2 - v_0^2}{2a_1} = \frac{M(m + 2M)v_0^2}{2\mu g(M + m)^2}.$$

Брусок сосользнет с доски, если

$$s_2 - s_0 > L,$$

или

$$\frac{M(m + 2M)}{2\mu g(M + m)^2}v_0^2 - \frac{M^2}{2(M + m)^2\mu g}v_0^2 > L.$$

Отсюда найдем, каким должно быть $v_0$:

$$v_0 > \sqrt{2\mu gL(1 + \frac{m}{M})}.$$

Ф229. Оdnородной монкой шайбе, лежащей на горизонтальном шероховатом поверхности, свободном врачамельное движение с угловой скоростью $\omega_0$ и поступательное со скоростью $v_0$ (рис. 13). По какой траектории движется центр шайбы? В каком случае шайба проедет больший путь до остановки: при $\omega_0 = 0$ или при $\omega_0 \neq 0$ ($v_0$ одинаково в общих случаях)?

Для нахождения траектории движения центра шайбы необходимо выяснить, какие силы действуют на шайбу. Так как шайба находится на шероховатом поверхности, то очевидно, что единственная сила, которая действует на шайбу в горизонтальном плоскости, это сила треня, которая всегда направлена противоположно возможно перемещению тела. Каждый точка шайбы одновременно участвует в двух движениях: в поступательном и врачамельном. Поэтому вличина и направление результатующего скорости для каждой точки свод. Значит, и силы треня, действующие на различные участки шайбы, различны. Поэтому для определения результатующего силы треня разобъем шайбу на элементарные участки и рассмотрим силы, на них действующие.

Выделим два одинаковых участка шайбы 1 и 2, расположенных симметрично относительно диаметра шайбы, перpendикулярного направления скорости $v_0$ (рис. 14). На эти участки действуют одинаковые по абсциссной величины треня $|F_1| = |F_2| = kmg$ ($m$ — масса участика, $k$ — коэффициент треня). направления же сил треня $F_1$ и $F_2$ различны. Найдем эти направления.

Скорость каждого из участков равна сумме скоростей поступательного движения центра шайбы $v_0$ и линейной скорости врачамельного движения этого участика относительно центра шайбы $u$, перpendикулярной радиусу $R$, проведенном к этому участику из центра шайбы.

55

Так как $R_1 = R_2$, то $|\mathbf{u}_1| = |\mathbf{u}_2| = \omega^2 R$, то есть линейные скорости по величины равны. Кроме того, углы, которые составляют скорости $\mathbf{u}_1$ и $\mathbf{u}_2$ с направлением вектора $\mathbf{v}_0$, одинаковы. Это означает, что скорости $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$ участвоват 1 и 2 точек равны по абсцилотной величины, составляют с направлением вектора $\mathbf{v}_0$ одинаковые углы $\beta$, но отклонены от направления вектора $\mathbf{v}_0$ в разные стороны. Сильные триния $\mathbf{F}_1$ и $\mathbf{F}_2$ и направления противоположно вектора $\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{v}_2$ соответственно. Их вертикальные составляющие, очевидно, равны между собой по абсцилотной величины, но направлены в противоположные стороны, поэтому их сумма равна нулю. Следовательно, суммарная сила триния, действующая на симметричные элементарные участки шайбы, равна сумме горизонтальных составляющих и направления противоположно вектору $\mathbf{v}_0$.

Рассматривая и другие подобные пары элементов, мы приdem к выводу, что результатушая сила триния, действующая на весь диск, тоже направлена противоположно скорости $\mathbf{v}_0$. Эта сила может изменить абсцилотную величины скорости поступательного движения центра шайбы, но не может изменить ее направление (ускорение, сообщаемое шайбе силой триния, направлено противоположно скорости центра шайбы). Следовательно, траекторий движения шайбы будет прямая линия.

Если в начальной момент $\omega_0 = 0$, то все силы триния, действующие на элементарные участки шайбы, направлены одинаково, то есть против скорости $\mathbf{v}_0$. Поэтому результатушая сила триния, равная их сумме, больше по величины, чем в предыдущем случае. Большое будет и величинаускорения.

Следовательно, пусть, проиденный шайбой до остановки, будет меньше в том случае, когда $\omega_0 = 0$, и больше, когда $\omega_0 \neq 0$.

Ф230. На системе, состоящую из двух соединительных пружиной шариков массы $m$, показующая накладной горизонтальной поверхности, налетаем слева шарик массы $M$ (рис. 15). Происком любой абсцилотно упруей udар. Наимпiricalно отношение масс

Рис. 14.

$$\gamma = \frac{m}{M}, \text{ при котором уdar произойдет раз.}$$

После соударения шариков 1 и 2 шарик 1 будет двигаться поступательно с некоторой постоянной скоростью. Центр масс системы шариков 2 и 3 тоже будет двигаться поступательно с постоянной скоростью, и, кроме того, шарики 2 и 3 будут колесаться относительно их центра масс. Для того чтобы ответить на вопрос, столкнутся ли шарики 1 и 2 второй раз, нужно найти зависимость координат этих шариков от времени и посмотреть, могут ли эти координаты совпать.

Будем считать, что удар мгновенный. В этом случае он произойдет так же, как соударение двух свободных шариков, не связанных с другими телами, и можно воспользоваться законом сохранения импульса и энергии*). Обозначим скорость шарика 1 до соударения $v_0$, его скорость после соударения $v_1$ и скорость шарика 2 после соударения $v_2$. Тогда можно записать

$$Mv_0 = Mv_1 + mv_2,$$

$$\frac{Mv_0^2}{2} = \frac{Mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2}.$$

Из этих уравнений нетрудно найти $v_1$ и $v_2$:

$$v_1 = v_0 \frac{M - m}{M + m} = v_0 \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma},$$

$$v_2 = v_0 \frac{2M}{M + m} = v_0 \frac{2}{1 + \gamma}.$$

После соударения первого шарика будет двигаться равномерно, но с скоростью

$$v_{\text{ц}} = \frac{v_2}{2} = v_0 \frac{1}{1 + \gamma}$$

(так как шарики 2 и 3 одинаковы). Это означает, что координата центра масс меняется со временем по формуле

*) Время соударения $t$ должно быть таким, чтобы можно было не учитывать смеси шарика 2 и деформации пружины. Для этого должно выполняться неравенство: $t \ll T$, где $T$ — период колесаний шарика 2 относительно центра масс шариков 2 и 3.

56

Рассмотрим движение шариков 2 и 3 в системе координат, связанной с их центром масс. В этой системе в начальной момент шары движутся настречу друг друг с равными по абсцилотной величины скорости, поэтому в дальнейшем каждый из шаров будет совершать гармоничное колесание (относительно центра масс) по закону:

$$x = A \sin \omega t.$$

Если жесткость половины пружины обозначить $k$, то частота этих колебаний $\omega = \sqrt{k/m}$. Амплитуду колебаний $A$ можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии. В начальной момент пружина не деформирована, шарик 2 имеет скорость $\frac{v_2}{2}$ и энергию $\frac{mv_0^2}{2(1+\gamma)^2}$. Эту энергию приравняем энергии пружиной деформации пружины в тот момент, когда отклонение шарика от положения равновесия максимального и равно амплитуде колебаний $A$:

$$\frac{mv_0^2}{2(1+\gamma)^2} = \frac{kA^2}{2}.$$

Отсюда найдем $A$:

$$A = \sqrt{\frac{mv_0^2}{(1+\gamma)^2k}} = \frac{v_0}{(1+\gamma)\omega}.$$

Тепер можно записать зависимость координат шарика 2 от времени в системе координат, связанной с горизонтальной плоскостью:

$$x_2 = v_0t + A \sin \omega t = v_0 \frac{1}{1+\gamma} t + \frac{v_0}{(1+\gamma)\omega} \sin \omega t.$$

Шарики 1 и 2 столкнутся еще раз, если возможно равенство $x_1 = x_2$, то есть

$$v_0 t \frac{1-\gamma}{1+\gamma} = \frac{v_0 t}{1+\gamma} \left(1 + \frac{1}{\omega t} \sin \omega t\right),$$

рис. 17.

или

$$\sin \omega t = -\gamma \omega t.$$

Подобные уравнения удобно решать графически. Нарисуем графики для правой и левой части последнего уравнения как функции $\varphi = \omega t$ (рис. 16). Решения уравнения определяются точками пересечения прямой $y = \gamma \varphi$ и синусoidы $y = \sin \varphi$. Очевидно, решение существует, если $\gamma \leq \gamma_1 \approx tg \gamma_1$. Из рисунка видно, что

$$\gamma_1 \approx \frac{1}{\left(\frac{3}{2} \pi\right)} \approx 0.21,$$

то есть отношение масс равно приблизительно 0,21.

Ф231. Заряженный металлический шар радиуса $R$ разрезан на две части по плоскости, отстоящей на расстоянии $h$ от центра (рис. 17). Найти силу, с которой отталкиваются эти части. Полный загрудц шара $Q$.

Так как шар металлический, загруд $Q$ распределится равномерно по его поверхности, поэтому в дальнейшем мы будем говорить о загруженной сфере. Для того чтобы определить силу, действующего на стороны нижней, разобъем эту часть сферы на элементарные части и найдем сначала силу $F_i$, действующего на один из таких участков (рис. 18):

$$F_i = qE,$$

где $q$ — загрудный участок поля, созданного всей таловой частью сферы. Величина $q = \frac{Qs_i}{4\pi R^2}$, где $s_i$ — площадь загруженного участка.

Как известно, направление поля вне сферы у ее поверхности равна

$$E_c = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2},$$

а направление поля внутри сферы равна нулю. Из принципи суперпозиции следует, что поле как внутри, так и вне сферы складывается из поля выделенного участка сферы и поля отталкивающей сферы. Будем считать

58

Задание
о пересечении тела
И. Ф. Шарыцин

В этой статье разработся решение нескольких довольного трудных и, на наш взгляд, полезных задач на вычисление объемов пересечений тела. Основная трудность подобных задач заключается в том, что при их решения требуется хорошо развищное воображение. В частности, при решения любой задачи о пересечении тела очень важно сделать хороший чертеж. Нередко именно от чертежа зависит в решении задачи. Прежде чем перейти к разбору задач, даим вам следующие условия: прочтя условия той или иной задачи, не смотрите сразу же ее решение, подумайте неокторое время, попытайте сделать чертеж и решить задачу самостоятельно. Тогда вы получите и удовлетворение, и возможность сравнить свое решение с предлагаемым в стате (вполне возможно, что вам удается придумать решение, отличное от приводимого в стате). Если вашлия не уведомляется спелом, то все равно время, потраченное на раздумы, поддет на ползу и облегчит чтение статьи.

Задание 1. В кубе с ребром а помещены три правильные четырехугольные прямоугольные прямоугольные ребер двух прямоугольных граней куба. Найти объем частки куба, принадлежащей всем этим грамм призам.

Поскольку довольно трудно представить себе, а тем более сразу изобрать искусное тело, поступим следующим образом. Поместим сначала в куб одну призму (рис. 1), затем посмотрим, что «отсечет» от нее вторая, и, наконец, что остanetся, когда мы добавим третью призму.

Пусть вершинами второй призмы являются середины ребер $AA_1, A_1D_1, D_1D, AD, BB_1, B_1C_1, C_1C$ и CB (основания этой призмы лежат в «передней» и «задней» гранах куба). Ребро второй призмы, соединящее середины ребер $DD_1$ и $CC_1$ куба, пересекает отрезок $NN_1$ в его середине. Значит, грань второй призмы, проходящая через точки $K_1M_1$ и середины ребер $DD_1$ и $CC_1$, пересекаются с граню $KK_1N_1N$ по прямой $K_1P$, а все эта грань второй призмы отсечет от первого призму $K_1M_1PN_1$.

Проведяя аналогичные рассуждения для остальных граней второй призмы, мы можем изобраться общую часть первых двух призм (рис. 2). Она представляет собой две четырехугольные парамиды: $KK_1M_1MP$ и $KK_1M_1MQ$ (P и Q — центры граней $DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$), сумма объемов

59

которые равна $\frac{a^3}{3}$, так как $S_{KK_1M_1M} = a^2$ и $PQ = a$.

Тепер посмотрим, что «отрезет» от этого тела треться призма, основания которого лежат в гранах $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$. Боковые грани этой признамы «срежут» четыре вершины: $K_1$, $M_1$, $K$ и $M$. На рисунке 3 изображена парамида $KK_1M_1MP$ со «срезаными» третийей признакой углами. «Отрезанные» углы являются равными треугольными парамидами. (Одна из них — $RTSK_1$, где $R$, $T$ и $S$ — середины $KK_1$, $K_1M_1$ и $PK_1$). Объем каждой из них составляет 1/16 часть объема парамиды $KK_1M_1MP$ (это легко проверяется; например, объем парамиды $RTSK_1$ в восемь раз меньше парамиды $KM_1PK_1$, который вдвое меньше объема парамиды $PKK_1M_1M$; подробные вычисления и доказательства проведите самостояльно).

Таким образом, от парамид отсекается $4 \times 1/16 = 1/4$ часть. Объем общей части всех третий признам составляет 3/4 объема общей части первого и второй признам, равного $\frac{a^3}{3}$, то есть он равен $\frac{a^3}{4}$.

Рис. 2.

Рис. 3.

Задча 2. Данные две равные правильные треугольные парамиды объема $V$ какдая, расположенные симметрично относительно точки $O$. Найти объем общей части этих двух парамид, если точка $O$ лежит на высоте одной из них и делит эту высоту в относительной 2:1, считая от парамиды.

В этой задачерезвiallyно важно, хотя и достаточно трудно, сделать правильный, хороший, обоснованный чертеж. Пусть $SABC$ — первая парамида. Основание $A_1B_1C_1$ второй парамиды пересекает высоту $SH_1$ в точке $H$, деляшей ее в относительной 1:2 (считая от вершины $S$), а в пересечении с парамидой $SABC$ дает треугольник $MNP$, подобный треугольнику $ABC$, $MN = \frac{1}{3} AB$.

Отсюда легко вывести (проверьте!), что треугольник $MNP$ целиком находится внутри треугольника $A_1B_1C_1$. Аналогично внутри основания $ABC$ будет находиться треугольник $M_1N_1P_1$, являющийся сечением второй парамиды плоскостью треугольника $ABC$.

Тепер можно изобразить тело, являющееся общей частью рассматриемых двух парамид (рис. 4), причем положение, например, точки $L$ находится так: надо соединить точку $S$ с серединой ребра $BC$, пересечение этой прямой с прямой $S_1A_1$ дает точку $L$ (для доказательства рассмотрите сечение парамид плоскостью $SA_1S_1$). Аналогично нахо-

60

Дятся остальные точки на рисунке 4.
Для вычисления исходного объема мы должны от объема парамиды SABC отнять объем парамиды SMNP (этот объем составляет $\frac{1}{27}V$),
затем отнять объемы трех одинаковых парамид, равных KTRC, и прибавить объемы трех «маленьких» парамид, равных QM₁RL.

Найдем объем парамиды KTRC.
Так как плоскость KRT параллельна плоскости SAB, то $V_{KTRC} = \left(\frac{TR}{AB}\right)^3 V$.
Аналогично, $V_{QM_1RL} = \left(\frac{M_1R}{AB}\right)^3 V$.
Нам осталось найти $\frac{TR}{AB}$. Треугольники ABC и M₁N₁P₁ правильные, имеют соответствие параллельные стороны, их центры совпадают, и $M_1N_1 = \frac{AB}{3}$.

Отсюда легко найти, что $\frac{TR}{AB} = \frac{5}{9}$, $\frac{M_1R}{AB} = \frac{1}{9}$ (проверьте!). Искомый объем равен $V - \frac{1}{27}V - 3 \cdot \left(\frac{5}{9}\right)^3 V + 3 \left(\frac{1}{9}\right)^3 V = \frac{110}{243} V$.

Задча 3. Дан куб с ребром α. Второй куб получается из данного повтором вокруг его диагона на угол α ($\alpha \leq 60^\circ$). Найти объем объекта этих кубов.

В этой задаче представить себе и изображить пересечение тела в целом трудно, легче понять, как пересекаются отдельные элементы одного тела с элементами другого тела.

Обозначим вершины данного куба буквами A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁ (см. рис. 5), и пустыку поворачивается вокруг диагона B₁D против хода часовой стрелки. Посмотрим, какие куски исходного куба могут средаться при его повороте. Вершины куба расположены дальше всего от центра куба O — середины диагона B₁D, которая остается на месте. Поэтому уйти при повороте внутри куба вершины не могут, наоборот они оказываются вне куба и средаться будут куски куба около вершин. Далее, средать куски куба могут только грани. Поэтому достаточно найти, какой кусок куба средает каждой грань.

Найдем, что средет грань DCC₁D₁. Подсказем сразу ответ: средается парамида D₁LPD (см. рис. 5), где D₁L = D₁K = C₁P, причем основания перпендикуров, опущенных из точек L и K на B₁D,

Рис. 4.
Рис. 5.

61

совпадают (доказите!) в точке, которая на рисунке 5 обозначена буквой $M$, и $\angle LMK = \alpha$. Таким образом, при повороте куба точка $K$ переходит в точку $L$. Обозначим $LD_1$ через $x$ (его мы найдем позднее). Пусть $Q$—точка на ребре $CC_1$, $C_1Q = C_1P = x$. Тогда при повороте куба точка $Q$ переходит в точку $P$ (доказите!). Итак, грань $DCC_1D_1$ пересекает куб по треугольнику $LPD$ и отсекает пирамиду $D_1LPD$ объема $\frac{1}{6}ax(a-x)$ (доказите!). Аналогично рассматривают остальные грани — они отсекают такие же пирамиды. Поэтому объем объей части кубов будет $a^3 - ax(a-x)$. Осталось найти $x$.

Пусть $N$—точка пересечения $B_1D_1$ и $LK$. Изображим на отдельном чертеже (рис. 6) прямоугольник $BDD_1B_1$. Пусть $T$—основание перпендикула, опущенного из $D_1$ на $B_1D$. Имеем: $LN = ND_1 = \frac{LK}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2}$ (см. рис. 5). Из $\triangle LMK$ получим:

$$MN = LN \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} = \frac{x\sqrt{2}}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2},$$

$$B_1N = B_1D_1 - ND_1 = a\sqrt{2} - \frac{x\sqrt{2}}{2}.$$

Рис. 6.

Легко из $\triangle B_1D_1D$ найти $D_1T$: $D_1T = a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Из подобия треугольников $B_1NM$ и $B_1D_1T$ получим:

$$\frac{B_1N}{B_1D_1} = \frac{NM}{D_1T},$$

$$\frac{a\sqrt{2} - x\frac{\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{x\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}}{a\sqrt{2}}$$,

откуда $x = \frac{2a}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}}$, искому объем равен

$$V = a^3 - \frac{2a^2}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} \times$$

$$\times \left( a - \frac{2a}{1 + \sqrt{3}\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} \right) =$$

$$= \frac{3a^3}{2[1 + \cos(\alpha - 60^\circ)]}.$$

Задча 4. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Середины двух его промивоположных ребер $AB$ и $C_1D_1$ служат середина двух скрещивающих ребер правильного метраэдра, причем на одном из этих ребер лежит соответствующей ребро куба. Найти объем объей куба и метраэдра.

Пусть точка $K$—середина $AB$—является серединой ребра $PQ$ правильного метраэдра, а $M$—середина $D_1C_1$ и одновременно середина ребра $RS$ метраэдра ($D_1C_1$ лежит на $RS$ (рис. 7)).

Если ребро метраэдра равно $b$, то расстояние между серединами его скрещивающих ребер легко исчисляется, оно равно $b\frac{\sqrt{2}}{2}$ (проверьте!). С другой стороны, $MK = a\sqrt{2}$. Значит, $b = 2a$.

Мы знаем длину ребра метраэдра, однако не так просто изобразить пересечение данных тел—неясно, будут ли ребра метраэдра пересекать куб. Чтобы ответить на этот вопрос,

62

спроектируем данные тела на плоскость ABCD (рис. 8). Поскольку PQ составляет с этой плоскостью угол 45° (доказайте!), то длина проекции PQ на эту плоскость будет $b \frac{\sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}$.

Пусть $L$ — точка пересечения проекций прямых AB и PR. Из подобия треугольников PLK и PMR легко найдем:

$$LK = \frac{RM \cdot PK}{PM} = a \frac{1}{1 + \sqrt{2}} < \frac{a}{2}.$$

Значит, ребро PR tetraэдра (а следовательно, и другие ребра: PS, QR и QS) пересекает куб.

Для вычисления объема удобно изобразить заданное тело как tetraэдр со среданным углам. Чтобы определить, какую часть объема tetraэдра составляет каждый из среданных пирамид, удобно воспользоваться следующим утверждением (доказите его самостояльно), которое оказывается полезным довольно часто.

Даны две пирамиды SABC и SA$_1$B$_1$C$_1$, причем A$_1$ лежит на SA; B$_1$ на SB; C$_1$ на SC. Тогда отношение объемов этих пирамид равно отношению произведений длины ребер, выходящих из вершины S, а именно

$$\frac{V_{SA_1B_1C_1}}{V_{SABC}} = \frac{SA_1 \cdot SB_1 \cdot SC_1}{SA \cdot SB \cdot SC}.$$

Тепер легко найти объемы пирамид, «отрезанных» от вершин P и Q. Каждый из них составляет $\frac{PK}{PQ} \cdot \frac{PL}{PR} \cdot \frac{PN}{PS} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2(3 + 2\sqrt{2})}$

часть объема tetraэдра, а объемы пирамид, «отрезанных» от вершин R и S, составляют $1/16$ объема tetraэдра (проверьте!). Объем tetraэдра равен $\frac{b^3 \sqrt{2}}{12} = \frac{2a^3 \sqrt{2}}{3}$. Значит, объем объей части куба и tetraэдра будет равен $\frac{2a^3 \sqrt{2}}{3} \left( 1 - \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{8} \right) = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} (16\sqrt{2} - 17)$.

Уражнения

1. Данные две равные правильные треугольные пирамиды, симметричные относительно точки O, расположенной на высоте одной из этих пирамид. Найти объем объей части двух пирамид, если точка O делит эту высоту, считая от вершины пирамиды, в относении: a) 3:1; b) 1:1; b) 4:1.

2. Дан правильный tetraэдр объема V. Второй tetraэдр получается из данного поверхности его на угол α вокруг прямой, соединяющей скрещивающихся ребер tetraэдра. Найти объем объей части двух tetraэдров.

3. Треугольная пирамида PQMN и куб ABCD$_{1}$B$_1$C$_1$D$_1$ расположенным следующим