Квант 1974, №6 · Страницы

КВАНТ
1974
6
Научно-популярный
физико-математический
журнал

1

В НОМЕРЕ:

2. Г. М. Герштейн. Сигналы. Спектры
3. В. С. Абрамович. Числа Бернули
4. В. Н. Березин. Первый учебник математики, напечатанный в России

Математический кругхок
15. Е. Я. Гик. О силе шахматных фигур

Задачик «Квант»
18. Задачи M266—M270; Ф278 — Ф282
20. Решения задач M222 — M230; Ф233 — Ф237

Практикум абитуриента
31. В. А. Тихомирова. Механические колебания
38. Л. Е. Садовский. «Прикладная математика» — новая специальность в техническихузах
42. В. И. Коровин, Ю. М. Лужнов. Московский институт инженеров железнодорожного транспорта
43. В. А. Тонян. Московский институт электропного машино-строения
44. Московский авнационный институт
46. Московское высшее техническое училище
47. Ленинградский государственный университет

Информация
49. Ю. Д. Кабалевский. «Прикладная математика» в техническихузах
50. А. Н. Борзак, А. Я. Диденко, П. Т. Дыбов, И. А. Дьяконов, В. В. Рошупкин. Телевидение готовит вуз

«Квант» для младших школьников
52. Задачи
53. А. Д. Бендукидзе. Фигурные числа
57. Н. А. Родина. Как изменить молекулу?

Ответы, указания, решения

Смеся (с. 9, 17, 56)

На первой странице обложки вы видите замеательный паркет, изобретенный солландским художником М. Эшером (1898—1972). Как и всякий паркет он обладает «фундаментальной области» (два коня — кориневый и желтый). Все остальные кони могут быть получены из них паралельными переносами. Постаайте ответы все нужные для этого паралельные переносы.

© «Квант», 1974 год.

2

В современной жизни нас буквально захлебывает поток разнообразной информации, объем которого неуклонно возрастает. Эта информация передается при помощи радио, телевидения, телефон и телефонфа в виде сигналов. Весьма важной характеристикой любых сигналов является их спектр, ограниченный связанными с формой и длительностью сигналов. Спектральные представления позволяют сравнивать разные по природу физических процессы и изучать актические, электромагнитные, оптические и другие явления с единой точки зрения. Поэтому полезно иметь понятие о сигналах и их спектрах, знать связь между спектрами и другими характеристиками сигналов. Об этом и будет идти речь в настоящей статье.

О сигнале

Первоначально информацию о богатом и разнообразном мире, окружающем нас, мы получаем при помощи глаз иушей. Мы любуемся восхитительным зрелищем восхода или заката солнца на море или на опушке леса, радугой и светным сиянием, попытами прославленных мастеров живописи, стройными зданиями, разнообразными машинами и т.п. Глядя на текст и формулы, мы воспринимаем выраженные им мысли других людей. То же самое проискодит, когда мы служаем речь или музыку. Во всех этих случаях человек воспринимает сообщения, которые играют роль носителей информации. С этой точки зрениячные звуки и изображения являются примерами сообщений.

Для передачи звука или изображения на далекие расстояния сообщение преобразуется всего преобразуют в соответствующей электрической сигнал, то есть в электрической процессе $u(t)$, характеризуемый определенной зависимости электрической величины $u$ от времени $t$, или, как говоря, кодируют сообщение. Звуки сравнительно просто кодируются микрофонным устройством. На микрофон воздействуют другие колабания воздуха, роль сообщения играет звуковое давление $p$ на_memбрану микрофона, изменяющееся во времени по закону $p(t)$. При этом, например, в угольном микрофоне соответствием образом изменяется сопротивление микрофона и ток в его цепи, в результате чего на выходе микрофонного устройства напряжение $u(t)$ изменяется во времени по тому же закону, что и звуковое давление $p(t)$.

Значительное сложнее кодировать изображение. Сначала специальное фотоэлектрическое устройство преобразует оптическое изображение в электрическое, в котором распределене направленный соответствует ярости различных участков изображения. затем с помощью электронного луча, обегающего электрическое изображение, осуществляется последователь-

3

ное преобразование этого изображения в электрический сигнал $u(t)$, характеризующий определенной зависимости $u$ от времени $t$. В зависимости $u(t)$ и запирофрована информация о данном изображении.

При изучении электрического сигнала обычно неуспешенно, какая именно электрическая величина подразумевается под $u$ — напряжение, ток или заряд. Важно не что изменяется, а как изменяется эта величина во времени. Можно отвлечься от физической природы этой величины и интерсоваться характером математической зависимости $u(t)$, то есть функцией времени $t$, например, непрерывная она или импульсная, синусоидальная или несинусоидальная и т. д. В конечном случае для нас важно, что независимо от физической природы сообщения кодирующий его сигнал передается в виде определенной функции времени.

Временное и спектральное представления сигнала

Изучая неокоторое событие, мы обычно интерсуемся тем, где и когда оно произойдет, какие перемещения в пространстве и изменения во времени имели место. Поэтому мы привыкли рассматривать большимство величины как функция пространственных координат и времени.

Иное дело сигнал. Значение пространственных координат источника сигнала не имеет особого смысла, поскольку в земных масштабах сигналы, перессимые электримагнитными волнами, распространяются практическими мгновенно (напомним, что в воздухе скорость электримагнитной волны $\approx 3 \cdot 10^8$ м/c). Например, при трансляции спектакля из Москвыго театра радиослушателя во Владивостоке услышат звук, произнесенный на сцене, даже раныше сидящих в задних рядах партера Москвычей, поскольку электримагнитные волны распространяются примерно в миллион раз быстрее звуковых.

Зато очень важно, как сигнал изменяется со временем, так как именно в зависимости $u(t)$ и содержится передаваемая информация. Это зависит можно записать аналогичные или представить в виде графика $u(t)$. Но можно сигнал охарактеризовать по-другому, с точки зрения его спектрального состояния, и тоже представить графическими соответствующим образом. Что же такое спектр сигнала? Попробуем в этом разобраться.

Будем рассматривать, главным образом, такие сигналы, которые являются перiodическими, то есть функция $u(t)$ удовлетворяет соответствующим образом.

$$u(t + nT) = u(t),$$

где $T$ — постоянная величины, называемая периодом, $n$ — любое число. Периодический процесс можно характеризовать также частотой $v = \frac{1}{T}$. Теоретически предполагается, что такая периодичность длится вечно и не имеет начала и конца во времени. Практические к периодическим процессам относят также процессы, длительность которых намного больше периода.

На рисунке 1 представлены графики трех различных периодических процессов. Легко заметить, что у них одинаковая частота, но различная форма колебаний. В дальнейшем вы увидите, что эти различные по форме колебания имеют разный спектральный состав.

Рассмотрим такой опит. Пусть есть много различных резонансных контуров, настроенных на частоты $v_0, 2v_0, 3v_0$ и т. д., и электрические сигналы, соответствующие указанным процессам, одновременно воздействуют на эти контуры. Оказывается, что первый сигнал $u_1(t)$ возбуждает колебания в трех контурах, настроенных на частоты $v_0, 2v_0$ и $3v_0$; на второй сигнал $u_2(t)$ откликется значительно больше контуров, а при воздействии последнего сигнала $u_3(t)$

4

колебания вознкают только в одном контуре с собственной частотой $v_0$. Очевидно, для таких колебательных контуров периодический процесс $u_3(t)$ является простейшим, поскольку он вызывает возбуждение только на одной частоте, равной $v_0$. Этот процесс вам, безусловно, знаком, он представляет собой так называемое синусидальное, или гармоничское, колебание, описываемое соответствием

$$u(t) = A \sin(2\pi v_0 t + \varphi) = A \sin(\omega_0 t + \varphi),$$

рис. 1.

колебания вознкают только в одном контуре с собственной частотой $v_0$. Очевидно, для таких колебательных контуров периодический процесс $u_3(t)$ является простейшим, поскольку он вызывает возбуждение только на одной частоте, равной $v_0$. Этот процесс вам, безусловно, знаком, он представляет собой так называемое синусидальное, или гармоничское, колебание, описываемое соответствием

$$u(t) = A_1 \sin(\omega_0 t + \varphi_1) + A_2 \sin(2\omega_0 t + \varphi_2) + A_3 \sin(3\omega_0 t + \varphi_3) + \dots + A_h \sin(k\omega_0 t + \varphi_h) + \dots$$

или, более кратко,

$$u(t) = \sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin(k\omega_0 t + \varphi_k),$$

где $k$ — номер гармоники, определяющий ее частоту, $A_k$ — амплитуда гармоники, $\varphi_k$ — начальная фаза гармоники, $\omega_0$ — круговая частота исследуемого процесса.

Таким образом, сигнал, представленный в виде суммы синусидом, можно удобно и просто охарактеризовать совокупностью величины $A_k$ и $\varphi_k$. Совокупность величины $A_k$ называется спектром амплитуд. Этот спектр нагрядно представляют графические, откладывая по оси ordinат значения $A_k$ и по оси абсцисс $v$ и изобрази-

5

Рис. 3.

жая амплитуды отдельных гармоник вертикальных отрезками соответствующей длины. Такой спектр является линейчатым и гармоничским. Последнее означает, что между частотами гармоник существует простые кратные соответствия. Если процесс не периодичен, он также может быть представлен суммой синусoid, но спектр подобного процесса не будет гармоничским. Совокупность величины $\varphi_h$ называют спектром фаз. При анализе сигналов в большинстве случае достаточно знать только амплитудные спектры. Поэтому для кратности амплитудные спектры называют часть простой спектрами, что мы и будем делать в дальнейшем.

Как правило, с увеличением номера гармоник их амплитуды убывают, и, начиная с некоторого номера, амплитуды последующих гармоник становятся столь малыми, что им можно пренебречь. Поэтому практические спектры имеют ограниченное число спектральных линий. Однако из характерistik спектра является его ширина. Шириной спектра называют интервал на шкале частот, в котором размещается такой спектр.

На рисунке 2 приведены спектры функций $u_1(t), u_2(t)$ и $u_3(t)$, полученные, например, с помощью упомянутого выше набора резонансных контуров. Они наглядно иллюстрируют связь между временными и спектральными представлениями сигнала. Мы видим, что чем резце измененная функция во время, тем богатое и ширнее ее спектр. Это естественно. Чтобы, складывая непрерывные и плавно изменяющиеся синусoidы, получить резкие изменения результатю функций, требуется сложить большое число синусoid с разными частотами, амплитудами и фазами. Для воспроизведения же непрерывного процесса, близкого к синусoidному, достаточно небольшого числа таких синусoid. В качестве примера на рисунке 3 показано графикаское сложение трех синусoid с частотами и амплитудами, соответствующими спектру рисуна 2, $a$, и начальных фазами, равными нулю. Результирующая кривая (она показана синим) по форме совпадает с кривой на рисунке 1, $a$.

Спектры звуковые

Звуковые сообщения обычно подразделяют на музыкальные звуки и шумы.

Музькальный звук представляет собой периодический изменяющий процесс, например, такой, как на рисунке 4, $a$. В частности, если этот процесс — гармоничский, говорят о музыкальном тоне. Использование Фурье, музыкальный звук можно рассматривать как совокупность основных музыkalного тона и несколько высоких гармоник — обертонов. В спектре соответствующего сигнала наиболее амплитуду имеет основной тон, с ростом номера гармоник амплитуди их заметно

6

именено инструменте звучит данная nota. На рисунке 5 представлены графики и спектры звуковой роли и кларнета для одной и той же ноты.

Такие отрывные звуки, как удары барабана, стук касанbet, являются шумами. Сигналы шумов отличятся неперiodичностью и сложной зависимости от времени (например, такой, как на рисунке 4, 6).

Один из таких спектров — спектр шума компрессора — показан на рисунке 6. В нем очень много различных частотных компонент. Спектр шума значительное шире и богатое спектра музыкальных тонов. В этом легко убедиться, произведя, например, простой опит с камертомами, имеющими различные собственные частоты колебаний. На длительное звучание чистого музыкального тонна откликется только один из камертов. Если же вблизи резко ударять по барабану, завычает много камертов. То есть чистый тон может быть представлен одной частотой, а удары барабана — большим числом частот.

Рис. 4.

падает, так что практические спектр музыкального тонна имеет сравнительно немного гармоник. Роль этих гармоник в эмцоноальном восприятии музыки очень велика. Они определяют тембр музыкальных звуков. Беря одну и ту же ноту на различных инструментах, мы получим звуки с разным числом гармоник и разными соответствиями между их амплитудами. Соответствие и спектры этих звуков будут различными, благодар чему наше уже различает, на каком

Рис. 5.

Рис. 6.

7

Качественное отличие различных шумов выражается в том, что спектр одного шума может иметь более интегированные спектральные компоненты в области низких частот, а другого шума — на более высоких частотах, то есть в различных пропорциях между спектральными компонентами.

Какого цвета шум?

Спектральные представления позволяют создать единый и наглядный язык для описания процессов различных физических природы, используемых подчас неожиданные ассоциации и аналогии.

Так, например, специальные иногда используют термин «белый шум». С точки зрения филологов это — бессмыслица, и они могут явить himself заметить, что шум не имеет цвета, мы его не видим, а слышим. Однако для физика это в полне понятное, довольно точное и емкое определение, использующое аналогию между звуком и светом.

Известно, что ошибение белого цвета является результатом воздействия на глаз целой гаммы световых лучей, от красного до филологового. Белый свет имеет сплошной спектр, в котором представлены все частоты видимой части шкалы электромагнитных волн (от 3,8·10¹⁴ до 7,5·10¹⁴ эц).

Хотя существует определение распределение энергии по частотам и максимум энергии, излучаемой источником белого света, приходится на конкретный участок видимого спектра (в частности, максимум энергии излучения Солнца находится в желто-зеленой части), излучение в остальных участках видимого спектра тоже достигано интенсивное, то есть в белом свете энергия красного, зеленного, синего и других цветов белое или менее равномерно распределена по всему диапазону видимых световых волн.

Аналогично этому «белый шум» — это такой шум, в сплошном спектре которого присутствует все звуковые частоты, причем различных спектральные компоненты отличия по энергии не очень сильно.

Спектры импульсных сигналов

В современной технике, например, в телефонни, радиолокации, телевидении часто использются сигналы в виде периодических повторяющихся импульсов прямогоной формы (рис. 7 и 8). Как видно из этих рисунков, такие сигналы имеют богатый спектр, содержащий много спектральных линей, сгурупированных в своеобразные «лепестки», причем частоты, соответствующие «узлам» этих лепестков, равны n/τ, где n — номер лепестка. Теоретически подобные спектры имеют бесконечную протяженность по частоте, но поскольку после третьего лепестка amplитуры гармоник становится пребрежимо малыми, практическими можно ограничить.

8

ничится первыми темя лепестками. Ширина такого ограниченного спектра Δv связана с дилительностью импульса τ простой зависимости:

$$\Delta v = \frac{3}{\tau},$$

то есть ширина спектра прямого ограниченного импульса обратно пропорциональна его дилительности.

Это соответствие имеет большое практическое значение. Оно показывает, что чем меньше дилительность импульсов, то есть чем меньше значимается линяя связи, тем более широким является спектр такого сигнала и тем более широкая полоса частот требуется для достаточно равильно его воспроизведение.

Так, например, при передаче телеграфных сигналов средняя дилительность импульсов (точек и тipe) примерно равна 0,1 с. Этому соответствует ширина спектра Δv = 30 2ц. Если, для того чтобы времени занимать линюю связи, передавать телеграфный сигнал в 100 раз быстрее (τ = 0,001 с), Δv возрастает до 3000 2ц. Следовательно, чем быстрее передается сигнал, тем шире его спектр.

Иного смана природа сообщения требует быстрый передачи соответствующего сигнала. Так, в частности, обстоятель дело в телевидении. Поскольку зрительное ошушение изображения сохраняется в нашем глаза только в течение примерно 1/25 секунды, нужно за это время успеть передать один кадр, то есть в виде импульсов последовательного передать информацию о яркости примерно 500 000 элементов изображения (по современным стандартам). В данном случае каждой импульс длися меньше миллионной доли секунды, при этом спектр телевизционного сигнала занимает полосу частот шириной вдесятки миллионов герц что обусловливает особые трудности его передачи.

На примере прямогоolgных импульсов мы столкнулись с весмаюбольшой закономерностью, справедливой и для других видов импульсов. Эту закономерность можно выразить математически, переписав приведенное выше соответствие в виде τ·Δv = const.

Физическая смысл этого соответствия состоит в том, что невозможно одновременно сконцентрировать такой сигнал во времени и по частотам. Если, например, стремясь скать сигнал во времени, то есть быстрее передать информацию, мы уменьшаем дилительность импульсов τ, при этом увеличается полоса частот и спектр сигнала расширяется.

Из приведенной формулы также следует, что ширина спектра Δv прямогоolgных импульсов определяется только их дилительностью τ и не зависит от частоты повторения импульсов v = 1/T. Это важное практическое, так как позволяет легко определить минимальное значение τ, при котором полоса частот, занимаемая данным сигналом, не превышает допустимую для данной системы передачи и приема импульсов сигналов.

Однако, с изменением частоты v изменяется число спектральных линей в каждой лепестке, то есть их густота. Так, с увеличением интервала между импульсами уменьшается v, и число этих линей в лепестках спектра увеличивается (рис. 7 и 8). Очевидно, в пределном случае перехода от периодических повторiousх импульсов к одиночному импульсу (T → ∞ и v → 0) спектр должен стать сплошным, что действительно подтверждается опитом.

Большой практический интерес представляет спектр импульсов, возникающих при включении рубильников, контактов различных электрических цепей, когда ток в цепи резко возрастает от нуля до определенной величины (рис. 9, а). Такой сигнал имеет сплошной спектр, показанный на рисунке 9, б, где по горизонтальной оси отложена непрерывно меняющая частота v. Из

9

Рис. 9.

рисунка видно, что наибольшую интегированность имеют спектральные компоненты низких частот. Действие таких импульсов мы часто обнаруживаем, сидя за радиоприемником, когда вблизи проходят трамваи, троллейбусы, работает электросварка и т. п.

Заключение

Спектральные представления универсальных, они объективно характеризуют практические важные свойства любых колебаний и волн. Как мы видели, спектры самим темным образом связаны с формой и дилительностью соответствующих процессов и сигналов. Спектральные представления позволяют сравнить различные информации (музыка, речь, помехи, изображения и др.) с единых позиций, определять ширину спектра кодирующих их сигналов и на основании этого судить о возможности передачи этих сигналов по тем или иным линиям связи.

Уражнения

1. Попробуйте убедиться в том, что неисчисленный периодический процесс $u_2(t)$ (рис. 1, б) можно приближенно представить суммой пяты синусод с частотами и амплитудами, соответствующими спектру рисунка 2, б, и начальным фазам, равными нулю. Сложите алгебраические ordinаты этих синусод для нескольких периодов сигнала $u_2(t)$ и построите результатную кривую.

2. В диапазоне каких частот создавать помехи прямогольные электрические импульсы дилительностью 10 мкс каждый, повторяющей 2 000 раз в секунду?

Задачи

1. Семиклассик Петя утверждает, что с помощью циркуля и линейки можно построить приближение любого острого угла с абсцилной погрешностью не более 0,0000001 градуса. Прав ли он?

2. Решить систему уравнений:

$$a^{10}\sqrt{a} + b^{10}\sqrt{b} = 1973,$$

$$a^{10}\sqrt{b} + b^{10}\sqrt{a} = 1974.$$

3. Можно ли расположить на плоском столе четыре одинаковые монеты, чтобы каждой из них касалась трех остальных?

4. Расшифровать равенства:

a) $tg \times tg = ctg$;
b) $\sin \times \sin = \arcsin$.

5. Будет ли при каких-либо натуральных значениях букв верно равенство

$$\sqrt[3]{l} + \sqrt[3]{g} = \sqrt[3]{lg}$$?

6. Сколько способами можно «расшифровать» пример:

$$\frac{\phi\mathrm{ут}}{\phi\mathrm{ут}}$$

В. Ф. Акулич
Н. Ф. Акулич

10

С древних времен математики пытались построить тайны удивительного мира чисел. Этот мир привлекает своим многообразием, строостью и совершенством законов. Здесь есть «великие» и есть «карлики», общные «трудяги» и такие «знаменитости», как л и е. Но еще более многообразен мир числовых последовательностей. Здесь и последовательность натуральных чисел
1, 2, 3, …,
и полная глубоких тайн последовательность простых чисел
2, 3, 5, 7, …,
и последовательность «биномальных коэффициентов»
$C_1^1, C_2^1, C_2^2, C_3^1, C_3^2, C_3^3, ...,$

появляющихся при возведении в степени 2, 3, 4, … «бинома» $a + b$:
$(a + b)^k = a^k + C_k^1 a^{k-1} b + C_k^2 a^{k-2} b^2 + \ldots + C_k^{k-1} a b^{k-1} + b^k.$

Числа $C_k^m$ являются основным инструментом увлекательной области математики — комбинаторики $^*$. Они нам будут нужны и в этой стране. Например, что вычисляется они очень просто — по формуле
$$C_k^m = \frac{k(k-1)(k-2)\ldots(k-m+1)}{1 \cdot 2 \ldots m},$$

$1 \leq m \leq k$, с помощью которого вы легко выведете их важнейшее свойство:
$$C_k^{m-1} + C_k^m = C_k^{m+1}$$

(теорема Паскаля). Формулу (2) можно переписать еще и в таком, более «компактном» виде:
$$C_k^m = \frac{k!}{m!(k-m)!},$$

где $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots n$ при $n > 0$; значение 0! получается равным единице (значок ! называется фактором). Из формулы (2*) немедленно вытекает еще одно свойство binominalных коэффициентов:
$$C_k^m = C_k^{k-m}.$$

$^*$ Об этой науке рассказано в книге Н. Я. Виленкина с однозначным названием, М., «Наука», 1969.

12

полагая затем $n = 0$, получим рекуррентную формулу для вычисления чисел $B_k$:

$$B_k = \frac{1}{k+1} \left[ C_{k+1}^2 B_{k-1} - C_{k+1}^3 B_{k-2} + \ldots + (-1)^k C_{k+1}^k B_1 - (-1)^k B_0 \right],$$

(7)

$B_0 = 1$.

Проверьте с помощью этой формулы значения первых четырех чисел Бернулли (см. (6)).

Бернулли удалость доказать, что и другие коэффициенты многочлена $S_k(n)$ вычисляются с помощью чисел $B_k$. Коэффициент при $n^2$ оказывается равным $\frac{B_{k-1}}{k-1} C_k^2$, коэффициент при $n^3$ равен $\frac{B_{k-2}}{k-2} C_k^3$, наконец, коэффициент при степени $n^k$ оказывается не зависящим от $k$ и всегда равным $\frac{B_1}{1} C_k^k = \frac{1}{2}$.

Особняком стоит коэффициент при старшей степени $k+1$, который сразу находится из формулы (5). Он равен $\frac{1}{k+1}$.

Таким образом, формула Бернулли имеет вид

$$S_k(n) = B_k n + \frac{B_{k-1}}{k-1} C_k^2 n^2 + \frac{B_{k-2}}{k-2} C_k^3 n^3 + \ldots + \frac{B_1}{1} C_k^k n^k + \frac{n^{k+1}}{k+1}.$$

(8)

В следующем параграфе мы показем, что формула (8) на самом деле вдвое короче.

2. Числа Бернулли с нечетными номерами

Теорема. Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме $B_1$, равны нулю: $B_{2m+1} = 0$ при $m \geqslant 1$.

Для доказательства воспользовемся равенством (1); применим его к разности $(1+a)^{2m} - (1-a)^{2m}$:

$$(1+a)^{2m} - (1-a)^{2m} = 2 \left( C_{2m}^1 a + C_{2m}^3 a^3 + C_{2m}^5 a^5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} a^{2m-1} \right).$$

Полагая здесь $a = 1, 2, \ldots, n$ и складывая полученные результаты, следует получим:

$$(S_{2m}(n) + (n+1)^{2m} - 1) - (S_{2m}(n) - n^{2m}) = (n+1)^{2m} + n^{2m} - 1.$$

Справа же получим выражение

$$2 \left( C_{2m}^1 S_1(n) + C_{2m}^3 S_3(n) + \ldots + C_{2m}^{2m-1} S_{2m-1}(n) \right).$$

(9)

Итак, имеем

$$(n+1)^{2m} + n^{2m} - 1 = 2 \left( C_{2m}^1 S_1(n) + C_{2m}^3 S_3(n) + \ldots + C_{2m}^{2m-1} S_{2m-1}(n) \right).$$

Вычислим коэффициент при $n^1$ в выражениях, получившихся в правой илевой части. В выражении, стоящем влевой части, этот коэффициент будет равен 2$m$ (очевидно). Получить вид коэффициента при первой степени $n$ в выражении, стоящем в правой части, немного сложнее: для этого достаточно в формуле (9) заменить суммы $S_j(n)$ ($j = 1, 3, \ldots, 2m-1$) числа Бернулли с теми же номерами (это утверждение следует из самого определения чисел Бернулли). Значит, имеет место такое подход:

$$C_{2m}^1 B_1 + C_{2m}^3 B_3 + C_{2m}^5 B_5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} B_{2m-1} = m.$$

13

No tak как $C_{2m}^1 = 2m$, а $B_1 = \frac{1}{2}$, то должно быть:

$$C_{2m}^3 B_3 + C_{2m}^5 B_5 + \ldots + C_{2m}^{2m-1} B_{2m-i} = 0. \tag{10}$$

Полагая здесь последовательно $m = 2, 3, 4, \ldots$ и учитьвая, что $C_n^k = 0$ при $k > n$, получим:

$$B_3 = B_5 = B_7 = \ldots = 0.$$

3. Связь с простыми числами

Христан Штаудт (1798—1867), исследуя числа Бернулли, получил красивый и глубокий результат, раскрывающий арithmeticую природу этих чисел. Пусть задано число $B_h$. Рассмотрим все простые числа $p$, не превосходящие $k + 1$, и также, что $p - 1$ называют $k$ (то есть номер данного числа Бернулли). По всем таким $p$ составим конечную сумму вида $\sum \frac{1}{p}$ – назовем ее суммой, соответствующей данному числу Бернулли $B_h$ (расмотренем как раз таких сумм и занимается Штаудт). Оказалось, что число $B_h$ и соответствующая ему сумма $\sum \frac{1}{p}$ взимно дополняют друг друга до целого числа. Итак, $B_h + \sum \frac{1}{p}$ – всегда число целое!

Приведем пример, позволяющий оценить важность этого результата Штаудта. Пусть нам известно, что $B_6$ такое, что $0 < B_6 < 1$. Мы хотим найти его точное значение; оказывается, что теперь это уже сделать легко.

Действительно, делители 6 являются числа 1, 2, 3, 6. Увеличив их на единицу, получим числа 2, 3, 4, 7. Из них простыми являются числа 2, 3 и 7. Подсчитываем сумму $\sum \frac{1}{p}$:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} = \frac{41}{42}.$$

Таким образом, по теореме Штаудта $\frac{41}{42} + B_6$ должно быть целым числом, но так как по условию $0 < B_6 < 1$, то единственным подходящим целым числом является 1. Поэтому

$$B_6 = 1 - \frac{41}{42} = \frac{1}{42}.$$

Уражение 1. Найдите $B_{14}$, которое заключит между числами 1 и 2.

4. О теореме Куммера

В 1850 году великим немецким математиком Эрнстом Куммера (1810—1893) был получен важный результат, относящийся к probleme существования решения в целых числах уравнения Ферма $x^n + y^n = z^n$, $n \geq 3$ – к probleme Ферма. Хотя результат этого и не решает полностью проблемы, тем не менее он и посядь остаться одним из самых значительных, полученных в этом направлении. Этот результат оказывается тесно связываным с числами Бернулли.

Прежде, чем формулировать теорему Куммера, введем следующие (предложение Куммера). Пусть задано простое

14

число $p \geqslant 3$. Изовем его результатом, если ни один из числителей чисел Бернулли $B_2, B_4, \dots, B_{p-3}$ не делится на него нацелло. Тогда теорема Куммера читается так: уравнение Ферма $x^p + y^p = z^p$, где $p$ — результатное, не решаемое в целых числах $x, y, z$, отрицных от 0. Можно проверить, что простые числа 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots будут результатами. Возникает вопрос: а не является ли все простые числа результатами? Оказывается, что нет. Однако первое негулярное простое число обнаруживается не так быстро. Это — двенадцатое по счету простое число 37. Удалось показать, что негулярных простых чисел бесконечного много. Что же касается результатных простых чисел, то до сих пор неизвестно, является ли их число конечным или нет.

Упражнения
2. Показите, что функция
$$f(x) = S_k(x) - \frac{x^k}{2}$$ является четной при нечетном $k$ и нечетной при четном $k$.
3. С помощью теоремы Куммера проверьте справедливость великой теоремы Ферма для $p=3, 5, 7, 11, 13, 17$.
4. Пользовать теоремой Паскала (3), найдите коэффициенты разложения
$$S_k(n-1) = a_0C_1^n + a_1C_2^n + \dots + a_kC_{n+1}^n.$$ (11)
Выведите отсюда явную формулу для чисел Бернулли (опираясь на эту формулу, Штаудт и доказал свою знамениту теорему).
5. Пусть $S_k(n) = b_0, kn^{k+1} + b_1, kn^k + \dots + b_k, kn$. Обозначим
$$S_k'(n) = (k+1)b_0, kn^k + kb_1, kn^{k-1} + \dots + b_k, k.$$
Используя формулу (5) и метод математической индукции, доказите, что
$$S_k'(n) = kS_{k-1}(n) + B_k.$$ (12)
6. Подумайте, как использовать соответствие (12) для определения коэффициентов многочлена $S_k(n)$, то есть для доказательства формулы Бернулли.

Первый учебник математики, направанный в России

Первым российским учебником математики была книга «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого, изданная в 1703 г. в Москве. В течение получения книги эта служила единственным учебником. По нему занимались в Московской Навиг讼ской школе и цифрных или аргументических школах будущее астрономы, геодезисты, ученые капитаны и адмиралы Российской флота. Средние численные у самого Л. Ф. Магницкого в Навиг讼ской школе исследователь Камчатки и Курильских островов С. И. Челюскин, геодезисты Ф. Ф. Лужин и И. М. Евренов, составившие первые географические карты Камчатки, вице-адмирал — гидрогraf и картофель, исследователь Каспийского моря, Чукотского полуострова и Охотского моря Ф. И. Соймонов, адмирал Н. Ф. Головин, генераль-adмирал М. М. Голицин, капитан-командор А. И. Чирков и многогеографии.

Самоучкой занимается по «Арифметике» Л. Ф. Магницкого Михаил Васильевич Ломонсов. Он, так же как до него Л. Ф. Магницкий, учится в Славяно-греко-латинской академии, а в ней математике не преодолали.

М. В. Ломонсов называют «Арифметику» Л. Ф. Магницкого «вратами учености» и, по свидетельству некоторых биографов М. В. Ломонсова, даже вычил ее наизусть.

«Арифметика» Л. Ф. Магницкого содержит примерно 600 страниц текста. Из них более 40 страниц отделено. И это было естественно — поскольку книга представляет собой не только учебник, но и получарное введение в математике. Она объясняет, зачем нужно математика, какую роль она играет в жизни.

Талантливо написанная книга математика-педагога, самоучки, крестьянского сына Леонтия Магницкого обеспечила его имя.

В. Н. Березин

15

О силе шахматных фигур

Е. Я. Гик

Если вы умете играть в шахматы, то наверняка знаете, что легкую фигуру (коня или слона) можно смело отдать за три пешки, а ферзя за две ладьи; конь и пара пешек компенсируют потерю ладьи и т. д. Конечно, истинная сила фигуры зависит от конкретной позиции: вы без труда приведете примеры, когда одна пешка матует вражеского короля, окруженного всеми армейскими фигур. И все же ясно, что каждая фигура в шахматной игре имеет некоторую среднюю силу. Для сравнения сил фигур за единцу общно принимают силу пешки, выражая через нее силы остальных фигур. В учебниках, как правило, предлагается такая шкала:

$$F_{\pi} = 1, \quad F_K = F_C = 3, \quad F_{\pi} = 5, \quad F_{\phi} = 9$$

(через $F_x$ мы обозначем силу фигуры $x$).

Эта шкала подтверждается многочисленной практикой и опытом шахматистов. Однако существуют и чисто математические пути определения сил шахматных фигур. Один из наиболее распространенных способов связан с подвижностью фигур. Расстоянием для примера ходы короля (рис. 1) С каждого из угловых полей он может сделать 3 хода, с неугловых полей крайних вертикалей и горизонталей — по 5 ходов, наконец, с остальных полей доски король в состоянии перемещаться на любое из 8 соседних полей. Суммируя, получаем число возможных ходов короля на шахматной доске, обозначим это число через $S_{Kp}$:

$$S_{Kp} = 3.4 + 5.24 + 8.36 = 420.$$

Из рисунков 2—6 находится числа $S_x$ для других фигур:

$$S_{\phi} = 21.28 + 23.20 + 25.12 + 27.4 = 1456,$$

$$S_{\pi} = 14.64 = 896,$$

$$S_C = 7.28 + 9.20 + 11.12 + 13.4 = 560,$$

$$S_K = 2.4 + 3.8 + 4.20 + 6.16 + 8.16 = 336,$$

$$S_{\pi} = 2.10 + 3.32 + 4.6 = 140.$$

Если мы теперь разделим $S_x$ — число возможных ходов фигуры $x$ — на $N_x$ — число полей, на которых эта фигура может стоять, то получим среднее число ходов фигуры с одной доски. Изозем это число $P_x$ подвижностью фигуры $x$:

$$P_x = \frac{S_x}{N_x}.$$

Очевидно, $N_x = 64$ для всех фигур, кроме пешки, а $N_{\pi} = 48$. По формуле (*) находим:

$$P_{Kp} = 6,5625; \quad P_{\phi} = 22,75; \quad P_{\pi} = 14;$$

$$P_C = 8,75; \quad P_K = 5,25; \quad P_{\pi} = 2,5.$$

Будем считать, что сила фигуры прямо пропорциональна ее подвижности. Принимая, как и выше, силу пешки $F_{\pi}$ за единцу, силы остальных фигур выразим через нее по формуле

$$F_x = \frac{P_x}{P_{\pi}}.$$

В результате получится следующая шкала (значения округлены до

16

десятых долей):
$$F_{\pi} = 1; \quad F_{Kp} = 2,6; \quad F_{\Phi} = 9,1;$$
$$F_{\lambda} = 5,6; \quad F_{C} = 3,5; \quad F_{K} = 2,1.$$

В вычислениях мы для простоты не учитывали возможность рокировки, а для решки рассматривали также диагональные ходы, которые она совершает при взятии. На рисунках 1—6 выделены поля, с которых соответствующая фигурма может сделать максимальное число ходов. Эти поля сосредоточены в центре, лишь ладья одинаково «сильна» на всех полях доски.

Король в полученной шкале получил очень низкую оценку, хотя на самом деле его «потеря» невозмездна *). Однако с точки зрения рокировности найdenная оценка в полне ответает действительности. Наша шкала имеет и неокоторые расхождения

*) При программировании на ЭВМ для силы короля обычно выбирают оцень большое число, подчеркивая этим его исключительно.

с практикой. Ее основной дефект заключится в слишком большом превосходстве дальнейных фигур (ферзя, ладьи и слона) над конем. В шахматах действия дальнейных фигур почистиется всегда ограничены другими фигурами. Мы могли бы учеть это обстоятельство, вводя поправочные коэффициенты, но сейчас нас интересует. сама идея, и на деталях мы не останавливаемся.

Matematический подход к оценке силы фигур позволяет рассматривать разнообразные обобщения. Представьте себе, что вы играете в шахматы прививчными фигурами, но на необъичной доске, например, размером 50 × 50. Исходя из одной интуции, вам будет довольно сложно определить сравнительную силу фигур на этой доске. Например, ясно, что слон здесь сильнее коня, но вот насолько, сразу сказать трудно. Пользовь введенным выше понятем рокировности, мы можем найти в полне разумные значения для силы фигур и на такой

17

доске. Аналогичным образом можно исследовать силу фигур на цилиндрической, сферической, пространственной и других шахматных «досках».

Другое обобщение состоит в изменении правил движения фигур. Шахматные композиторы, специализировanes в «фантастических шахматах», изображены так называемых «сказочных» фигур: кандлер, кентавр, почной сверчок, всадник, жук, леппард, гиппопотам, лев, зебра, имитатор, жираф и другие. Канцлер может ходить как ладья и конь, кентавр — как конь и слон, всадник — дальновойная фигура, совершаюшая непрерывные прыжки по маршруту общного конца в одном направлении (например, a1 — b3 — c5 — d7 или a1 — c2 — e3 — g4), лев ходит через поле в любом направлении и т. д. Наш способ позволяет без труда находить и силу сказочных фигур.

У практики

1. Найдите подвижность $P_x(n)$ какой шахматной фигуры $x$ на доске размера $n \times n$, пользовать формулой (*).

2. Как меняется подвижность фигур при неограниченном увеличении размеров доски?

3. На общий доске ладья по силе равна слону и коню (14 = 8,75 + 5,25). На какой еще доске это возможно? На доске какого размера одинаковую силу имеют король и слон?

4. Сколько способами на доске размером $n \times n$ можно поставить двух ферзей, чтобы они не угрожали друг другу?

5. Сколько способами можно поставить на доске $n \times n$ трех ферзей, чтобы они не угрожали друг другу?

6. Кто сильнее на бесконечной шахматной доске — ферзь или две ладьи?

7. Определите подвижность и силу канцлера, канцлера, всадника и льва.

8. Какую подвижность на бесконечной доске имеет конь типа $(a, b)$, передвигающийся на $a$ полей в одном направлении и на $b$ полей — в перpendикулярном (обаччий конь получается при $a = 2, b = 1$)?

Домино — пасьянс

28 косточek домино уложены в прямогоolgник $7 \times 8$. Границы косточek не изображены. Требуется восстановить их.

$$\begin{array}{c} 2 \ 2 \ 3 \ 0 \ 0 \ 4 \ 4 \\ 2 \ 5 \ 4 \ 4 \ 0 \ 1 \ 1 \\ 6 \ 1 \ 5 \ 4 \ 4 \ 0 \ 0 \\ 3 \ 2 \ 6 \ 6 \ 3 \ 3 \ 5 \\ 1 \ 5 \ 5 \ 6 \ 4 \ 3 \ 0 \\ 1 \ 1 \ 5 \ 2 \ 6 \ 0 \ 0 \\ 3 \ 2 \ 5 \ 1 \ 2 \ 2 \ 6 \\ 6 \ 4 \ 3 \ 6 \ 3 \ 5 \ 1 \\ 6 \ 6 \ 0 \ 6 \ 6 \ 0 \\ 4 \ 5 \ 2 \ 6 \ 6 \ 5 \ 1 \\ 4 \ 4 \ 5 \ 5 \ 4 \ 3 \ 3 \\ 0 \ 5 \ 1 \ 4 \ 1 \ 3 \ 2 \\ 2 \ 5 \ 2 \ 6 \ 1 \ 1 \ 1 \\ 3 \ 1 \ 5 \ 3 \ 4 \ 2 \ 2 \\ 3 \ 2 \ 6 \ 0 \ 0 \ 2 \ 2 \\ 5 \ 3 \ 3 \ 4 \ 0 \ 1 \ 4 \\ \end{array}$$

18

Задачик кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 августа 1974 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылете, например: «Задачик «Кванта», М266, М267» или «… Ф278». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просыпать в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала просыпайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, просыпайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»).

После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Ниболье трудные задачи отмечены звездочек.

Задачи

M266—M270; Ф278—Ф282

M266. Дан выпуклый $n$-угольник.
a) Докажите, что если для каждой тройки последовательных вершин $n$-угольника построить окружность, проходящую через эти три вершины, и из $n$ полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наибольший, то эта окружность содержит внутри себя весь данный $n$-угольник;
6) Докажите, что если для каждой тройки последовательных сторон $n$-угольника построить окружность, касающийся этих сторон, и из $n$ полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наибольший, то она будет содержать внутри данного $n$-угольника.

A. B. Карзанов

M267. В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5) (6, 15, 10)… каждый тройка получается из предыдущего таким образом: первое числожится на второе, второе — на третье, а третье — на первое, и полученные произведения дают новую тройку.

Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т. д.

Ф. А. Бартенев

M268. В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить его два раза подряд как общим конем (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз конем с удлиненным ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй — ему помещать. Кто из них выиграет (размеры доски — $n \times n$, где $n \geq 4$)?

П. Кацыло, ученик 10 класса (Москва)

19

М269. Обозначим через $T_k(n)$ сумму произведений по $k$ чисел от 1 до $n$. Например,
$$T_2(4) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 35.$$
a) Найдите общую формулу для $T_2(n)$ и $T_3(n)$.
b) Докажите, что $T_k(n)$ выражается многочленом от $n$ степени $2k$ (для каждого натурального $k \geqslant 2$).
b) Укажите метод нахождения многочленов $T_k(n)$ ($k = 2, 3, 4, 5, \dots$) и примените его для отыскания многочленов $T_4(n)$ и $T_5(n)$.
Э. А. Ясиновый

M270. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды окружности, а точки $K$ и $H$ построены так, что все четыре угла $KAB, KCD, HBA$ и $HDC$ — прямые. Докажите, что прямая $KH$ проходит через центр окружности и через точку пересечения прямых $AD$ и $BC$.
И. Ф. Шарыцин, А. И. Яновский

Ф278. Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте $h = 760$ км над поверхностью Земли. Его хотят перевести на эллиптическую орбиту с максимальным удалением от поверхности Земли $H = 40 000$ км и минимальным расстоянием от поверхности $h = 760$ км. Насколько для этого необходимо изменить скорость спутника? Каким будет период обращения спутника по новой, эллиптической, орбите?
А. Боржиевский, ученик 10 класса (Оришинская с.ш., Хмельницкая обл.)

Рис. 1.

Ф279. Цилинд, изготовленный из нетелепопроводящего материала, разделен нетелепопроводяшей перегородкой на две части, объемы которых $V_1$ и $V_2$. В первой части находится газ при температуре $T_1$ под давлением $p_1$. Во второй — такой же газ, но при температуре $T_2$ и под давлением $p_2$. Какая температура установится в цилинде, еслиубрать перегородку?

Ф280. Источник света на расстоянии $3a$ от линзы с фокусным расстоянием $a$. Во сколько раз изменится средняя освещенность пятна на экране, который находится на расстоянии $1,5a$ от линзы, если между источником и линзой помещить плоскопаралельную стеклянную пластинку толщины $0,5a$? Показатель преломления стекла равен $n$.

Ф281. В схеме, изобравенной на рисунке 1, $a$, первоначально ключ $K$ разомкнут. Э. д. с. первой батареи $E_1 = 1\ \sigma$, а ее внутреннее сопротивление $r_1 = 0,2\ \sigma$. Э. д. с. второй батареи $E_2 = 2\ \sigma$, внутреннее сопротивление $r_2 = 0,4\ \sigma$. Емкость конденсатора $C = 10\ \mu\mathrm{k}\phi$. На какую величину изменяется заряд конденсатора при замыкании ключа, если диод имеет волтамперную характеристику, показанную на рисунке 1, $\sigma$?

Ф282. Найти частоту «симметричных» колебаний системы, показанной на рисунке 2. Массы всех шаров $m$, коэффициенты упругости пружинок $k$.

Г. Л. Комкин

20

Решения задач
M222—M230; Ф233—Ф237

M222. Докажите, что у каждой выпуклого многоограничника найдуmsя две грани с одинаковым числом сторон.

Предположим, что, любые две грани не которая выпуклого многоограничника имеют различное число сторон. Расмотрим ту грань Г, у которой число сторон наиболее меньше. Рассмотрим ту грань О, у которой число сторон наиболее меньше. Рассмотрим ту грань С, у которой из остальных граней этого меньше. Значит, и количество оставшихся граней этого меньше m (введя даже если бы существовали 1-угольники и 2-угольники, мы смогли бы набрать всего лишь m — 1 разных многоугольников). С другой стороны, к грани Г примыкаютровно m других граней многоограничника (к каждой стороне — по одному). Мы получили противоречение.

Стою быть, какие-то две грани обязаательно иметь число сторон.

Приведенное решение почти дословно повторяет решение следующей, довольно известной задачи (на «приицип Дирихле» *)).

В книгеатре «Октябрь» на последнем сеанс обязаельно найдуmsя два целевка, число знакомых у которых одинаково.

Однако наша задача геометрическая по существу — в ее решении не иссure.

*) См. статью А. И. Орлова «Приицип Дирихле», «Квант», 1971, № 7.

Рис. 1.

пользовие выпуклости многоограничника — там, где утверждается, что к грани, имеющей m сторон, примыкают m граней. Это значит, что к каждому ребру грани многоограничника примыкаетровно одна грань, и к разным ребрам этой грани примыкают разные грани. Однако это неверно для невеликих многоограничников — на рисунке 1 к ребрам a, b примыкает одна и та же грань α, так что в подсчете граней она учитывает дважды, и приведенное выше рассуждается становиться неправильным.

Утверждение задачи тем не менее сохраняется и для невеликих многоограничников (без «сквозных дыр») — его доказательство основано на формуле Эйлера *)

В — Р + Γ = 2;

оно довольно громоздко и не столь изящно, чтоobi приводить его здесь.

Г. А. Гальперин

M223. Намуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого числа. (Например, число 28 — совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.

Пусть n = p₁ᵢ p₂ᵢ … pᵢᵢ m, где p₁, …, pᵢ — различные простые, r₁, …, rᵢ — натуральные числа (согласно основной теореме арифметики, каждое целое число n > 1 представляется в таком виде единственным образом).

Делители числа n — это числа вида

p₁ᵢ p₂ᵢ … pᵢᵢ m,

где 0 ≤ k₁ ≤ r₁, …, 0 ≤ kᵢ ≤ rᵢ. Поэтому сумма всех делителей числа n (включая 1 и n) равна произведению

S = (1 + p₁ + … + p₁ᵢ) … (1 + pᵢ + … + pᵢᵢ).

Так как n — совершенное число, то S должно быть равно 2n, то есть быть числом четным. Но если n — квадрат целого числа, то все показатели r₁, …, rᵢ — четные числа, поэтому квадрат крутляя скобка в произведении S

$$\frac{(1 + p_i + p_i^2 + ... + p_i^{i-1})}{1 + r_i}$$

есты число нечетное, следовательно, и S нечетное.

Получили противоречение, значит, совершенное число не может быть полным квадратом.

Некоторые читатели своей решения выводят из формулы 2p⁻¹ (2p — 1) для чего

*) См. статью А. П. Савина «Карты и раскраски», «Квант», 1972, № 4.

21

Рис. 2.

и вы совершенных чисел *). Такие решения неполны: ведь пока никто не доказал, что не существует нечетых совершенных чисел.

M224. У трехгранного угла проведены bicсектрисы плоских углов. Доказим, что попарные углы между тремимыми bicсектрицами либо все тулы, либо все остры, либо все прямы.

Самое простое решение этой задачи основано на понятии скалярного произведения векторов. Например, что скалярным произведением векторов a и b называется число

$$ab = |a| |b| \cos \varphi,$$

где $|a|$ и $|b|$ — длины векторов a и b, $\varphi$ — угол между ними. Таким образом, угол между a и b острый, прямой или тупой, если соответственно $ab > 0$, $ab = 0$ и $ab < 0$. Конечно, для любых векторов $ab = ba$. Нам потребуется еще дистрибутивность (распределительное свойство) скалярного произведения: для любых трех векторов a, b и c

$$(a + b)c = ac + bc$$

(это свойство подробно обсуждалось в «Кванте», 1972, № 6).

Пусть дан трехгранный угол. Например, по его ребрам векторы единичной длины a, b и c. Тогда векторы a + b, b + c, c + a и дут по bicсектрисам плоских углов. Скалярные произведения

$$\begin{align*} (a + b)(b + c) &= \\ (b + c)(c + a) &= \\ (c + a)(a + b) &= \\ \end{align*}$$

одинаковы — таким образом, углы между bicсектрисами будут одновременно острыми, прямыми или тупыми. Такое решение предлагал и автор задачи Э. Г. Готман.

Для тех, кто незнаком с векторами, приведем более наглудное, чисто геометрическое объяснение. Отметим сначала такой факт

*) См. «Кванте», 1971, № 8, c. 2.

Рис. 3.

Если $OL$ — луч, лежащий в плоскости $p$, $OM$ — луч, не перpendикулярный этой плоскости, $OM'$ — проекция лучa $OM$ на плоскость $p$, то угол $LOM$ острый, прямой или тупой в зависимости от того, острый, прямой или тупой угол $LOM'$; действительное, если через точку $O$ проведится плоскость $q$ perpendикулярно лучу $OL$, то точки $M$ и $M'$ всегда лежат по одному и ту же сторону от плоскости $q$ (ведь $MM' \perp p$ и $q \perp p$, см. рис. 2). Пусть $OA, OB, OC$ — ребра трехгранного угла; $OK, OL, OM$ — bicсектрисы углов $AOB, BOC, COA$; $p$ — плоскость, проходящая через $OK$ и $OL, OA', OB', OC', OM'$ — проекции лучей $OA, OB, OC, OM$ на плоскость $p$.

Лучи $OA$ и $OC$ симметричные лучу $OB$ относительно прямых $OK$ и $OL$ соответственно. Поэтому $OA'$ и $OC'$ симметрицы $OB'$ относительно тех же прямых, причем все три луча $OA, OB$ и $OC$ составляют одинаковые углы с плоскостью $p$.

Рассмотрим сначала ситuation в плоскости $p$ — для проекций. Если $KOL < 90^\circ$ (рис. 3), то $A'OC' = 2 \times KOL < 180^\circ$ содержит внутреннее луч $OK, OL$, ясно, что углы, которые составляют прямые $OK$ и $OL$ с bicсектрисой $OM'$ угла $A'O'C'$ — остры. Если $KOL > 90^\circ$ (рис. 4), то $A'OB' + B'OC' = 2 \times KOL > 180^\circ$, поэтому bicсектриса $OM'$ угла $A'OC'$ составляет $OK$ и $OL$ тупые углы. (Случай $KOL = 90^\circ$ рассмотрен сам.)

22

Из факта, упомянутого выше, теперь сразу следует, что углы LOM и KOM — острыые, тупые или прямые, если таков угол KOL.

Н. Б. Васильев

M225. Грани кубика занутованы числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 мак, что сумма номеров на противоположных гранах равна 7. Кубик камт из левого нижнего в правый верхний угол максимной докси размером 50 × 50 клеток (каждая клетка докси равна кубика) мак, что он каждой раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку; при этом разрезается выздамся молоко вправо или вверх. На каждой из клеток по пути кубика пышется номер грани, комора опиралась на эту клетку. Какое наиболее значение может иметь сумма всех 99 выписанных чисел? Какое наименьшее?

Пусть мы каким-то образом прокатили кубик из левого нижнего угла докси в правый верхний. Будем считать, что после каждого перекатывания через ребро на клетке докси отпечатывается число, записанное на той грани кубика, которая опиралась на эту клетку.

Отпечатавшиеся числа $\alpha_1, \dots, \alpha_{99}$ выпшем подряд в строчку, а их сумму обозначим через $\Sigma$:

$$\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_{99} = \Sigma.$$

Если числа на всех гранах кубика заменить средним числом 3,5, то сумма отпечатывания чисел будет равна

$$\Sigma_{cp} = 3,5 \cdot 99 = 346,5.$$

Нам необходимо определить наиболее значения $\Sigma$. Оценим для этого величины $|\Sigma - \Sigma_{cp}|$.

Самое важное свойство чисел в последовательности $\alpha_1, \dots, \alpha_{99}$ заключается в следующем. Пусть числа $\alpha$ в последовательности число $\alpha$ встретились два раза подряд ($\alpha =$ одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Так как числа $\alpha$ в последовательности столько же, сколько и чисел $7 - \alpha$;

2. либо чисел $\alpha$ровно на одно больше, чем чисел $7 - \alpha$;

3. либо чисел $\alpha$ровно на одно меньше, чем чисел $7 - \alpha$.

В случае 1) от замены всех чисел $\alpha$ и $7 - \alpha$ на 3,5 их включить в $\Sigma$ не изменится. В случае 2) и 3) от замены всех чисел $\alpha$ и $7 - \alpha$ на 3,5 их включить в $\Sigma$ увеличится или уменьшится на $(3,5 - \alpha)$. В результате все сумма увеличится или уменьшится самое большое на $(3,5 - 1) + (3,5 - 2) + (3,5 - 3) = 4,5$.

Таким образом,

$$342 = \Sigma_{cp} - 4,5 \leq \Sigma \leq \Sigma_{cp} + 4,5 = 351.$$

Значения $\Sigma_{max} = 351$ и $\Sigma_{min} = 342$ действительно достигаются, если катить кубик так, как это показано на рисунках 5 и 6.

Г. А. Гальперин

M226. В трех вершинах квадрата находится три кузнечика. Они церраном в чехарду. При этом, если кузнечик $A$ прядает кузнечика $B$, то после пряжения он оказывается от $B$ на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же пряной; рис. 7). Может ли после нескольких пряков один из кузнечков попасть в центральную вершину исходного квадрата?

Докажем, что попасть в центральную вершину ни один из кузнечков не может.

23

Рис. 7.

Введем координаты на плоскости так, чтобы три точки, в которых находится кузнечки в самом начале, получили координаты: (0, 0), (0, 1) и (1, 0).

Если кузнечик сидит в точке $(x, y)$ и прягает через кузнечика $(a, b)$, то он оказывается в точке $(2a-x, 2b-y)$ (рис. 8). Отсюда видно, что при пряжках четность обенх координат у каждой кузнечика сохраняется. Поэтому в те точки, у которых обе координаты нечетны, — в частиности, в точку $(1, 1)$ — ни один из кузнечков попасть не может.

Это решение можно объявить и без координат. На рисунке 9 изображено множество точек: синх, красных и черных. (Этими цветами мы пометили кузнечков, чтобы отличать их друг от друга). Нетрудно проверить, что при симметричной любой своей точки это множество точек переходит в себя, причем точка каждой цвета переходит в точку того же цвета. Отсюда следует, что каждой кузнечик может попасть только в точку своего цвета.

Докажите, что каждой кузнечик после нескольких пряжков может оказаться в лиюбой точке своего цвета. Попробуйте также ответить на более трудный вопрос: могут ли два кузнечика оказаться одновременно в лиюбых двух заданных точках соответствующего цвета? в какие точки могут попасть одновременно три кузнечика?

На вопрос этот существует простой и красный ответ, но мы не будем лишать читатель удовлетворяя найти его самостояльно, а вернемся к нему в одном из следующих номеров журнала.

M227. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырехугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырехугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

Очевидно, что если хотя бы одна из диагоналей четырехугольника KLMN (рис. 10) параллельна стороне параллелограмма ABCD, то площадь четырехугольника s равна половине площади параллелограмма S.

Предположим теперь, что диагональ LN не параллельна AD. Зафиксируем положения точки L, M и N и посмотрим, как меняется площадь s в зависимости от положения точки K на стороне BC. Поскольку площадь треугольника LMN не меняется, а площадь треугольника KLN с фиксированным основаим LN пропорциональна расстоянию от точки K до прямой LN, то ясно, что при движении точки K от B к C площадь четырехугольника KLMN будет меняться монотно: возрастать, если LC>BN, и убываать, если LC<BN. Нам известно, что если KM || AB, то площадь s равна половине S; но так как величины s меняется монотно, то значит, при всех других положениях точки K площадь s будет или больше, или меньше S/2.

Таким образом, $s = S/2$ только тогда, когда либо LN || AD, либо KM || AB, что и требовалось доказать.

Можно было бы обойтись без сообщений монотности (впрочем, веса полученных), а просто выразить отношение площадей s/S через длины отрезков $|BC| = |AD| = a, |AB| = |CD| = b, |AM| = x_1$.

Рис. 9.

Рис. 10.

25

лицейского равна $u$, а занесет — $v$. Цель полицейского — оказаться с занесетом на одной стороне квадрата. Докажите, что

a) если $\frac{u}{v} > \frac{1}{3}$, то он может добиться своей цели;
b) если $\frac{u}{v} < \frac{1}{3}$, то занесет может помещать ему это сделать.

В условиях задачи ничего не говорится о том, что произойдет с полицейским и гангстером в случае, если $\frac{u}{v} = \frac{1}{3}$. В приводящем здесь решения разбиается и этот вопрос.

Введем систему координат с началом в центре исходного квадрата $ABCD$ и осями, параллельными его сторонам. Положим сторону квадрата $ABCD$ равной 1 и будем считать, что максимальная скорость гангстера $v = 1$ (нам ведь важно лишь отношение $u/v$). Точки, в которых находится полицейский и гангстер, обозначаем через $\Pi(x_\pi, y_\pi)$ и $\Gamma(x_\pi, y_\pi)$ соответственно.

a) Пусть $u > \frac{1}{3}$. Докажем, что тогда полицейский доступет свое целли (то есть окажется с гангстером на одной стороне квадрата; будем говорить, что в этом случае он договорит (илиLOBит гангстера).

Обозначим через $\Gamma'$ точку с координатами $\left(\frac{1}{3}x_\Gamma, \frac{1}{3}y_\Gamma\right)$; очевидно, что если точка $\Gamma$ движется по контуру квадрата $ABCD$ с максимальной скоростью $v = 1$, то $\Gamma'$ движется по контуру подобного ему квадрата $A'B'C'D'$ (рис. 15) с максимальной скоростью $v_{\Gamma'} = \frac{1}{3}$.

Полицейский будетLOBИТ гангстера в несколько этапов.

Первый этап. Полицейский достинг своего целли (то есть окажется с гангстером на одной стороне квадрата; будем говорить, что в этом случае он договорит (илиLOBИТ гангстера).

Обозначим через $\Gamma'$ точку с координатами $\left(\frac{1}{3}x_\Gamma, \frac{1}{3}y_\Gamma\right)$; очевидно, что если точка $\Gamma$ движется по контуру подобного ему квадрата $A'B'C'D'$ (рис. 15) с максимальной скоростью $v_{\Gamma'} = \frac{1}{3}$.

Первый этап с его второго этапа полицейский должен развивать любую скорость, не превысходящую $\sqrt{u^2 - \left(\frac{1}{3}v\right)^2}$, (рис. 16). Потребуем еще, чтобы на втором этап полицейский дивигался к стороне $AB$ с максимальной по оси $Oy$ скоростью. Возможны два случая:

1. $\Gamma$ остается все время на $AB$. Тогда $\Pi$ через неокоторая.devигет $AB$, и следовательно, гангстер будет «пойман»; задача решения.
2. В какой-то момент $\Gamma$ удовлетворяет границей $AB$ (будем считать, точки $B$) начинается.

Третий этап. К началу этого этапа точки $G$ и $B$ совпадают, а точка $\Pi$ находится от каждой из сторон $AB$ и $BC$ на расстоянии, не больше $\frac{1}{3}$. На третьем этап полицейский должен с максимальной скоростью приближаться по перпендикуляру к той стороне, на которой находится гангстер (если $\Gamma = B$, то безразлично, к какой именно,— к стороне $AB$ или же к стороне $BC$).

Чтобы добежать из точки $B$ до точки $A$ или до точки $C$, гангстер попадит единица времени, а полицейскому, чтобы достигнуть соответствующей стороны ($AB$ или $BC$), попадбит строго меньше единицы времени. Следовательно, полицейский «пойман» гангстер на одной из сторон $AB$ или $BC$. Тем самым следует разобранить.

26

6. Пусть теперь $u < \frac{1}{3}$. Покажем, что в этом случае гангстер может выбрать такую страмеццию, при которой полицейский не сумет его «догнать».

Понятно, что если $u = \frac{1}{3}$ (напомним, что $v = 1$), то гангстер будет труднее «убежать» от полицейского. Посмотрим, что будет в этом, самом неблагоприятном для гангтера случай.

В центре квадрата $ABCD$ построим квадрат $A'B'C'D'$, подобный исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$; проведем прямые $A_2B_3$, $A_1B_4$, $D_4C_1$, $D_3C_2$, параллельные стороны $AB$, и прямые $A_3D_2$, $A_4D_1$, $B_1C_4$, $B_2C_3$, параллельные $BC$, так, чтобы $AA_3 = A_3A_4 = AA_2 = A_2A_1 = B_1B_2 = B_2B = D_4D_3 = D_3D$ (рис. 17).

Пусть в самом начале гангстер Г находится в середине стороны $AB$, а полицейский П — над прямой $A_2B_3$. Проведем две вспомогательные прямые $\hat{A}\hat{B}$ и $\hat{A}\hat{B}$, параллельные $AB$, так, чтобы полицейский П оказался над прямой $\hat{A}\hat{B}$ (рис. 18).

Покажем, что мы всегда можем выбрать неоторный отрезок $KM$ так, чтобы он содержал середину стороны $AB$ и чтобы из любой его точки гангстер Г успел бы добавить до любой из вершин $A$ или $B$ равше, чем полицейский П успет добавить от $\hat{A}\hat{B}$ до $AB$. В самом деле, расстояние от $\hat{A}\hat{B}$ до $AB$ больше $1/6$; следовательно, П попадбится больше $1/2$ единицы времени для того, чтобы добавить от $\hat{A}\hat{B}$ до $AB$; значит, в качестве отрезка $KM$ мы можем выбрать, например, отрезок, симметричный относительно середины стороны $AB$, с длиной, строго меньше $2\left(3|A\hat{A}| - \frac{1}{2}\right)$.

Опишем теперь страмеццию гангтера Г. Пока полицейский П находится выше прямой $\hat{A}\hat{B}$, гангтер остается на месте — в середине $AB$. Рано или поздно полицейский доступнет $\hat{A}\hat{B}$ (начие он никогда не появает гангтера); при этом возможно две ситуации:

(1) либо $x_{\Pi} \neq \frac{1}{3}x_{\Gamma}$,

(2) либо $x_{\Pi} = \frac{1}{3}x_{\Gamma}$.

Если имеет место случай (2), то Г начинает бегать с максимальной скоростью по отрезку $KM$ вправа — влево. Если при этом $x_{\Pi} = \frac{1}{3}x_{\Gamma}$ все время, то горизонтальная составляющая скорости полицейского должна быть равна $\frac{1}{3}$ горизонтальной составляющей скорости гангтера; а так как последняя равна 1, то, следовательно, горизонтальная составляющая скорости П должна быть равна $\frac{1}{3}$, то есть $u = \frac{1}{3}x_{\Gamma}$.

Будем считать, что гангстер замечает то, что полицейский сошел с прямой $\hat{A}\hat{B}$, достающий быстро, например, еще до того, как полицейский доступнет прямой $\hat{A}\hat{B}$.

Итак, сейчас у нас $x_{\Pi} \neq \frac{1}{3}x_{\Gamma}$, $\Pi$ — выше прямой $\hat{A}\hat{B}$, $\Gamma$ — на отрезке $KM$.

Дальнейшее поведение $G$ должно быть таково. Предположим, без ограничения общности, что $x_{\Pi} < \frac{1}{3}x_{\Gamma}$; тогда $\Gamma$ с максимальной скоростью движется вправо

27

к точке $B$ (или же если $x_{\Pi} > \frac{1}{3} x_{\Gamma}$, то он должен двигаться выше — к точке $A$). В силу выбора отрезка $KM$, полицейский не успет добежать до прямой $AB$ за то время, которое потребуется гангстеру, чтобы достичь точки $B$; значит, П не сможет понимать $\Gamma$ на стороне $AB$. Далее, поскольку мы предположили, что в «начальный» момент $x_{\Pi} < \frac{1}{3} x_{\Gamma}$ и $\Gamma$ безит вправо со скоростью $3 u$, то неравенство $x_{\Pi} < \frac{1}{3} x_{\Gamma}$ будет иметь место все время. Поэтому, когда $\Gamma$ достигает точки $B$, то П будет находиться левее прямой $B_1C_4$ (рис. 19).

Теперь $\Gamma$ безит с максимальной скоростью по стороне $BC$ к ее середине. Чтобы добежать до середины, $\Gamma$ требуется $1/2$ единиц времени; за это время П проijdет путь длины не более чем $1/6$, и следовательно, не успет достигнуть прямой $B_2C_3$.

Итак, мы пришли к уже рассмотренной конфигурации: $\Gamma$ — в середине стороны $BC$, а $\Pi$ — левее прямой $B_2C_3$. При этом точка $\Gamma$ из середины стороны $AB$ переместилась в середину стороны $BC$; значит, прошла по крайней мере 1 единица времени. Дальнейшее поведение $\Gamma$ аналогично описанному выше. Совершенно оченьindo, что при такой стратегии гангстера полицейский не «поймает» его ни за какое конечное время.

Таким образом, мы знаем, каково должно быть поведение гангтера в самом «плохом» случae: $u = \frac{1}{3}$; понятно, что при $u < \frac{1}{3}$ указаная для него стратегия будет тем более верной.

Г. А. Гальперин, А. Б. Ходульев

**M230. Доказание, что из любого выпуклогоравностороннего (но не обязательно правильно) прямогольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороны прямогольника (рис. 20).

Рис. 20.

Предположим, что для некоторого равностороннего выпуклого прямогольника $ABCDE$ со сторонами, равной единице, утверждение задачи неверно. Можно считать, что на иболь шая из диагоналей — AD, что точки $A$ и $D$ лежат на горизонтальной прямой (D правее $A$), точки $B$ и $C$ — в ее верхней полуплоскости, причем $C$ не близке к прямой $AD$, чем $B$ (рис. 21). Ясно, что $1 < |AD| < |AE| + |ED| = 2$.

Поскольку в треугольниках $ABD$ и $ACD$ сторона $AD$ — наиболеешая, углы $ABD$ и $ACD$, а тем более $ABC$ и $BCD$ все больше $60^\circ$, следовательно, равносторонние треугольники, построенные на сторонах $AB$, $BC$ и $CD$, должны пересекаться отрезком $AD$ (ведь каждый из них, по предположению, пересекается контуром прямогольника, а отрезками $AB$, $BC$ и $CD$ эти треугольники пересечся не могут). Таким образом, углы $BAD$ и $CDA$ меньше $60^\circ$.

Отметим на отрезке $AD$ точки $B_1$, $C_1$ и на его продолжении — точку $C_3$, для которых $|AB_1| = |C_1D| = |B_1C_3| = 1$, и построим в верхней полуплоскости равносторонние треугольники $AB_1B_2$, $C_1DC_2$, $B_1C_3C_4$ (рис. 22). Точка $B$ должна лежать где-то на дуге $B_1B_2$ с центром $A$, точка $C$ — на дуге $C_1C_2$ с центром $D$. С другой стороны, поскольку $|BC| = 1$ и $C$ лежит не ниже $B$ (но и не выше, чем на расстоянии $\sqrt{3}/2$ от прямой $AD$), то точки $C$ должна лежать правее дуги $C_3C_4$ с центром $B_1$. Но из (*)

28

Рис. 22.

следует, что $\triangle C_1DC_2$ расположен левее $\triangle B_1C_3C_4$, поэтому дуга $C_1C_2$ расположена левее дуги $C_3C_4$. Получили противоречие. Значит, углы $BAD$ и $CDA$ не могут быть одновременно меньше $60^\circ$, и существует хотя бы один равносторонний треугольник (построенный либо на стороне $AB$, либо на $BC$, либо на $CD$), который не будет пересекаться контуром пятуюльника.

Из различных решений задачи М230 мы выбрали именно это, поскольку оно подается обобщению и позволяет доказать утверждение задачи М230 для любого равностороннего выпуклого $(2n+1)$-угольника.

Н. Б. Васильев

Ф233. При скоростином спуске лыжника скольzm визу no склону ($\varphi=45^\circ$), не оптимизаясь палками. Коэффициент времени лыжки о снег $k=0,1$. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорстили лыжника $F_c=\alpha v^2$, где $\alpha$ — постоянная величины, равная $0,7$ и $(m/c)^2$. Какую максимальную скорость может развить лыжник, если его масса 70 кг?

Рассмотрим движение лыжника, спrockтировав все действующие на него силы на оси координат, направленные параллельно

Рис. 23.

наклонной плоскости, которое образует склон, и перpendикулярно к ней (рис. 23).

Так как вдоль оси $Y$ лыжник не перемещается, то

$$N-mg\cos\varphi=0.$$ (1)

Проекция силы тяжесте на ось $X$, равная $mg\sin\varphi$, и сила треня $F_{TP}=kN$ не зависит от скорости движения лыжника, а сила сопротивления воздуха $F_c=\alpha v^2$ возвращает с увеличением скорости лыжника. Поэтому, что при увеличении скорости лыжника наступает возрастать, и лыжник будет движаться равномерно. Скорость $v_{max}$, при которой это произойдет, и есть максимальная скорость лыжника.

Запишем уравнение равномерного движения лыжника вдоль оси $X$:

$$mg\sin\varphi-kN-\alpha v_{max}^2=0.$$ (2)

Из (1) и (2) найдем

$$v_{max}=\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}(\sin\varphi-k\cos\varphi)=$$

$$=\sqrt{\frac{70\cdot9,8}{0,7}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-0,1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\approx 25(m/c).$$

Ф234. Взрывая камера заполняется смесь метана и кислорода при комнатной температуре и давлении $p_0=760$ мм рм. см. Парциальные давления метана и кислорода одинаковы. После термизация камеры в ней происходит взрыва. Наименуется давление внутри камеры после охлаждения продуктов сортая до первого начального температуры, при котором давление насыщенных паров воды $p_H=17$ мм рм. см.

Запишем преждевое всего уравнение реакции взрыва:

$$CH_4+2O_2=CO_2+2H_2O.$$

Из этого уравнения видно, что каждый molета создает с двумя молями кислорода. В результате реакции получается 1 mol углекислого газа и 2 моля воды.

Do взрыва парциальные давления метана и кислорода были одинаковы и равны $\frac{1}{2}p_0$. Согласно уравнению газового состояния давления газа пропорционально числу молей газа. Тогда из равностроя парциальных давления метана и кислорода следует, что в сосудах находится одинаковое число молей газов. Следовательно, при взрыве весь кислород прореагирует с метаном, причем в сосудах остается еще половина первого начального количества метана, который не вступил в реакцию.

Таким образом, после взрыва в сосудах будет находиться метан, углекислый газ и вода,