Квант 1974, №8 · Страницы

1974
8
Квашт
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Физико-математический школе при МИИТе — 5 лет

Да, уже 5 лет работает ФМШ МИИТа. О конференции, посвященной этому событию, расскажено в статье В. И. Каппуна (см. с. 56—58). Помещенные здесь фотографии знакомят вас с атмосферой на занятиях ФМШ.
● Лекцию по физике учащимся 9 классов читает В. Д. Козлов.
● Андрей Кутын на занятиях по математике с учащимся 8 класса.
● Гриша Кацман читает лекцию по математике учащимся 10 класса.

1

Главный редактор
академик И. К. Киони
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллии,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слоболецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург.
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березни,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Черпова

В НОМЕРЕ:

3. П. С. Александров. Павел Самуилович Урысон
   (к пятидесятлетию со дня смерти)

4. М. С. Торонджадзе, А. Д. Бендукидзе. Кривые Пеано

5. Б. Понтекорво. Юность Энрико Ферми

6. Н. Б. Демидович. Как начертить п-мерный куб?

7. Я. А. Смородинский. О силах инерции

8. А. К. Кионин. Физики, математики, спорт…

Математический кругхок
40. А. Л. Тоом. Вступительная контрольная работа в ВЗМШ в 1974 году. Решения задач

Задачик «Квант»
44. Задачи M276—M280; Ф288—Ф292
46. Решения задач M236—M240; Ф243—Ф247

Рецензии, библиография
54. И. Зорич. Энрико Ферми — физик

Информация
56. В. И. Капулун. Физiko-mатематический школе при МИИТе — 5 лет

59. В. А. Волков, А. Л. Лихмарников, И. С. Рубанов. Конференции по работе со школьниками

«Квант» для младших школьников
61. Задачи
62. В. К. Смышлёв, А. П. Савин. Нет ли другого доказательства?

64. Ответы, указания, решения
    Смесь (с. 27, 35)

На 1-й с. обложки помещен рисунок, показывающий, как строится «ковер Серпинского» (рис. С. Ф. Лухина). Если в цените квадрата вырезать в 3 раза меньший квадрат, в остальных (по краям) в квадратах опять вырезать в 3 раза меньшее квадраты и mak до бесконечности, то остальные множество мочек, которое является ли и ией — множеством (на плоскости) размерности 1. Подробно об определении понятия размерности мочечны х и множество, предложенном П. С. Урысоном, рассказано в сматье академика П. С. Александрова (см. с. 3).

4-я с. обложки — рис. Э. В. Назарова.

© «Квант», 1974 год

3

17 августа 1974 года исполняется пятедсят лет со дня смерти одного из самых талантливых советских математиков П. С. Урьсона.

Павел Самуилович Урьсон родился 3 февраля 1898 года в Одеске. Его большое способности проявились в детские годы: ученые ему давалось легко и широкая его любозначательность сказалась и в отношении естественных наук (главным образом физики и химии), и в отношении математики, а также языков и литературы. Вместе окончив в 1915 году Московскую часть гиниманию П. Н. Поповой, он в том же году поступил в Московский университет на физico-mатематический факультет, причем предполагал стать физиком. На его выдающиеся способности очень обращалось внимание П. П. Лазарев, который содержал предложение превращенный полицейский-бioprokатического характера, возникших при поступлении П. С. Урьсона в университет. Под руководством П. П. Лазарева была сделана первая научная работа Павла Самуиловича, она называлась «О радиации трубки Кулиджа», имела экспериментальный характер и была направлена в 1915 году.

Однако научные интересы П. С. Урьсона стали все более склоняться в сторону математики. Решающие влияние в этом отношении имели лекции, прочитанные в Московском университете Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным, учеником которых П. С. Урьсон всегда себя и счи-

4

tal. Особенно велико было, конечно, влияние Н. Н. Лузина, который находился тогда в расцвете своей педагогической деятельности в Московском университете и сосредоточил вокруг себя наиболее живых и способных к математике студентов. В конце университетского курса Н. Н. Лузин предложил Павлу Самуилович «остаться при университете» (то есть поступить в аспирантуру) под его руководством. Это предложение, приятое П. С. Урьсоном, определяло окончательно выбор им математической специализации.

Аспиранский период в жизни П. С. Урьсона, продолжавшийся с 1919 по 1921 год, целиком попал в независимые первые годы формирования последовательной, советской математической школи. Το были годы необычайного подмена и увлечения внесало раскрышимся новыми творческими возможностями, годы подготовного цветения для многих молодых людей, впервые вкусивших радуть творческого соприкосовения с научкой в тех новых, небывалых условиях, которые открыла Революция. Мало найдется в истории математической науки периодов столгочего энтузизма, как начало даватьх годов в Московском университете, когда в столбокий срок, буквально за несколько лет, возникла целая большая научная школа, в значительной степени определяющая дальнейшее развитие математики в нашей стране и сразу вывинушая целый ряд новых выдающихся ученых.

П. С. Урьсон сразу же попал в самый центр этого сообщества молодых математиков — в первую очередь, конечно, вследствие необычайно яркого своего математического таланта, но также и вследствие свей увлеченности научкой, своей жизнирадостиности, своего кипучного темперамента и обязательных свойств своего характера, открыто, дружеливоного, совершенного чужого какой бы то ни было мелочности. Его любили в товаре尉ской среде, как любят людей, в которых чувствуется подлинное движение большой человеческой личности,妒ренной не только в смысле способностей к одной какой-нибудь специализации, но и по всему диапазону эмоциональных, этических и социальных свойства человека.

Matематическое творчество П. С. Урьсона развивалось бурно и разнообразно. Уже в студенческие годы он овладел математкой своего времени, а его аспиранские отчеты наделго запомнили в среде Москвыских математиков: почти каждый отчет, даже по специальностям, далеко от основных математических интересов Павла Самуиловича, содержал тот или иной новый результат или, в крайнем случае, какое-нибудь существенное прошенное или усвоенное доказательств. А сколько различных ошибок и неочистей находил по этому поводу Павла Самуилович в математической литературе!

Но и это не все. Из аспиранских отчетов П. С. Урьсона возникли некоторые его исследования по математическим аnalizу (в частности, работа по нейнейным интерральным уравнением), ставшие впоследствии значенными и в полном смысле этого слова «классическийми». Тем не менее, в наиболее степени обеспечители его имя топологические исследования и в первую очередь созданная им теория размерности, явившаяся одним из значительных достижений математической мысли первых десятилетий текущего века.

Теорию размерности П. С. Урьсон построил в течение 1921/22 учебного года. К этому времени он уже закончил аспирантуру и в июне 1921 года был утвержден в должности доцента Московского университета. Тем же летом Д. Ф. Егоров поставил перед П. С. Урьсоном задачу: дать внутреннее молоценское определение лили, коморое для плоских фигур (то есть для множества, лежащих в плоскости) было бы эквивалентно известному определению канторовой кривой

5

как замкнуто, связно множества моек плоскости, не содержащего внутренних моек (относительно плоскости)*). В той же беседе Д. Ф. Егоров поставил и задачу определения возможного широкого класса множества, которые естественно было бы называть поверхностями.

Обе задачи оказались поставлены удачно (хотя с формальной точки зрения и не вполне определенным образом). Павел Самуилович сразу же стал упорно думать над этим задачими. Очень скоро предмет его размышленый стало общее определение размерности, то есть числа измерений геометрической фигуры. Все лето 1921 года прошло в направлении попытках найти «настоящее» определение, причем Павел Самуилович переходил от одного варианта к другому, постояно строгой примеры, показывающие, почему тот или иной варианта надо отбросить. Это было мясца действительно всепоглошащих размышлений. Наконец, в одной утро в конце августа Павел Самуилович проснулся с готовым, окончательным и всем теперь хорошо известным «индуктивным определением размерности» (см. ниже).

Это было в деревне Бурково вблизи Болшева, на берегу реки Клязьмы, там группа молодых Москвых математиков (в том числе В. В. Степанов, Д. Е. Меньшов, Н. К. Бари) жила на дайте. В то же утро, во время купания в Клязьме П. С. Урьсон расскаазал мне свое определение размерности и тут же, во время этого разговора, затянущегося на несколько часов, набросал план всего построения теории размерности, с целью ряdom теorem, бывших тогда гипотезами, за которые неизвестно было, как и взятся, и которые затем

*) To есть не содержащего никакой точки, которая входила бы в данное множество вместе с какой-нибудь своей окрестностью (за окрестностью можно взять, например, круг или квадрат).

доказывать одна за другой в течение последующих месяцев. Никогда потом я не был участником или свидетельством математического разговора, который состоял из такого сплошного потока новых мыслей, как в этой августаское утро.

Вся набросанная тогда программы полностью осуществилась в течение зимы 1921/22 года, к весне 1922 года вся теория размерности была готова. Оказысь, что можно естественным образом поставить в соответствии каждому множеству $E$ (каждому метрическому пространству) некоторое неотрицательное целое число $E$ — размерность этого множества. Новое определение оказалось плодотворным, оно явилось источником установления целого ряда новых свойств точных множества, что в свою очередь приведело к постановке новых математических задач.

Попытаемся изложить предложенное П. С. Урьсоном «индуктивное» определение размерности, отступив от первогоначального формы, данной этому определению его автором.

Под множестем будем попытать любое замкнутое множество, лежащое в каком-либо метрическом пространстве (или хотя бы только в каком-либо эквивалентном пространстве произвольного числа измерения). Скажем, что два множества $P$ и $Q$, лежащие в любом метрическом (или даже топологическом) пространстве $R$, отделены друг от друга от друга от друга от друга (хотя имеют общую предельную точку 1). Точно так же отделены друг от друга внутрикуруга и все внешняя к данному кругу области (состояная из всех точок плоскости, расстояние каждого из которых от центра круга превосходит его радиус).

Скажем далее, что какое-либо множество $B$ является переодородкой между

6

ду множества $C$ и $D$, если дополнение $R \setminus B$ множества $B$ (до всего рассматриемого нами пространства $R$) может быть представлено в виде суммы $R \setminus B = P \cup Q$ двух отделенных друг от друга множества $P$ и $Q$, из которых одно (пустя это будет $P$) содержит множество $C$, а другой содержит множество $D$:

$$P \supset C, \quad Q \supset D, \quad B \cup P \cup Q = R.$$

После этого определение размерности метрических пространств (или хотя бы множества, лежащих в включенных пространствах любого числа измерений) осуществляется по индекции следующим образом.

Пусть множество приписываемся размерность —1.

Предположим, что мы уже определили множества размерности, не превозходящей n—1. Складем, что множество $X$ (метрическое пространство) имеет размерность не более n, если между любыми двумя лекциями в $X$ замкнутыми множествами без общих мочек имеется перегородка размерности не более чем n—1. После этого мы естественно говорим, что размерность множества $X$ равна n, если $X$ входит в класс множества, имеющих размерность не более n, и не входит в класс множества, имеющих размерность не более n—1.

Если интересовать лишь так называемые «сепарабельными» метрическими пространствами (то есть имеющими счетное вслуду плотное подмножество точек)—а только им и интересовались в начале построения теории размерности,—то определение размерности, эквивалентное данному выше, можно сформулировать и так.

Размерность пустого множества полагаем равной —1.

Предположая, что множества размерности не более n—1 уже определены, говорим, что размерность множества $X$ не превозодит n, если, какова бы ни была точка $x \in X$ и не со

держащее ее замкнутое множество $F$ между $x$ и $F$ существует перегородка размерности не более n—1.

После чего утверждение в свою очередь эквивалентно такому.

Какова бы ни была точка $x \in X$ и ее окрестность $O(x)$, существуют меньше окрестности $O_1(x)$ между точками, макая, что граница окрестности $O_1(x)$ имеет размерность не более n—1.

Теперь читатель уже легко доказет что всякое конечное множество (на прямой, на плоскости) и вообще всякое метрическое пространство, состоящее из конечного числа точек, имеет размерность 0; что прямая и окружность, а также все известные читателью «элементарные кривы» (парабола, эллипс, синусоид и другие) имеют размерность 1. По индуктивному определению отсюда следует, что плоскость и сфера имеют размерность не более чем 2. После этого, снова пользоваться индукцией, доказываем, что трехмерное пространство имеет размерность не более чем 3. Но что плоскость имеет размерность равно 2, читатель еда ли удаться доказать—для этого надо знать больше, чем можно знать, никака не изучая топология.

Что же касается прямого (то есть основывающегося непосредственно на данных выше определениях) доказательства того, что размерность трехмерного пространства не меньше чем 3 (и следовательно, равна тем), то для такого доказательства Урбисону понадобилось свыше двацати страниц!

Идти дальнейше таким же непосредственным путем было невозможно; попадобились какие-то «обходные материйки Лебea», впервые заметившего в 1911 году (хотя и не доказавшего строгого) следующее глубокий геометрический факт (впервые

7

строго доказанный Брауэром*) в 1913 году).

Пусть n-мерный куб $Q^n$ покрыт конечным числом замкнутых множества $\Phi_1, \Phi_2, \ldots, \Phi_s$. Если эти множества достаточно малы по диаметру (а именно, если их диаметры меньше ребра куба), то имеется хотя бы одна точка, принадлежая не менее чем n+1 множеству из числа данных множества $\Phi_1, \Phi_2, \ldots, \Phi_s$.

С другой стороны, уже рисунок 1 показывает, как построить покрытие квадрата сколь уголно мелким замкнутыми множествами (далее квадратами), имеющее «кратность» 3**). Читатель легко обобщит это построение на кубы трех и более измерений. Таким образом, мы приходим к следующему новому определению размерности, которое формулируется для ограниченных замкнутых множества, лежащих в эклидовых пространствах любого числа измерений (хотя это определение легко допускает обобщение на любые метрические и даже на еще более обобщие пространства).

Скажем, что размерность dim X пространства X не превыходит n, если это пространство допускает сколь узгодно мелкое покрытие замкнутыми множествами, имеющее кратность не более чем n+1.

Урысон доказал заменательную «теорему эквивалентности», утверждающий, что для всех ограниченных замкнутых множества X, лежащих в ких-x-libо эклидовых пространствах, только что определенная размерность dim X совпадает с ранее определенной индуктивной размерностью. В действительности этот факт имеет

*) Л. Э. Я. Брауэр (1881—1966) — выдающийся голландский математик, один из создателей топологии и целого направления («интутционизм») в обосновании математики.

**) Мы говорим, что данная система множества имеет кратность k, если k есть наиболее число множества с неупустим пересечением среди множества данной системы (на рисунке 1 точка A принадлежит тем множествам).

Рис. 1.

место для всех метрических (и еще более общих) пространств. Глубина доказанной Урысоном теоремы эквивалентности состоит в том, что она установливает эквивалентность двух совсем не схожих между собой геометрических свойств, двух совершенно различных по их формулировкам определений, являющихся, как оказалось, определениями одного и того же понятия, а именно понятия размерности геометрической фигуры, что это понятие может быть таким образом охарактеризовано с совершенностью сторон. Именно также сопоставления, казалось бы, совершенно различных подходов к таким-нибудь явлениям и оказываются в наuke наиболее плодотворными.

Как следствие своей «теоремы эквивалентности» Урысон доказал, что n-мерное в элементарном геометрическом смысле эклидово пространство имеет кратность n и в смысле приведенного выше общего индуктивного определения размерности. Но этим далее не ограничилось значение этой теоремы, она послужила поворотной точкой в развитию теории кратности и значительной части топологии вообще. В частности, эта теорема является отправной точкой для построения геометрической теории

8

п; для любых двух множества A и B выполяется неравенство Урысона:

$$\dim(A \cup B) \leq \dim A + \dim B + 1.$$

Из последнего неравенства и из теоремы о сумме замкнутых множества П. С. Урысон выведел следующий факт: размерность любого множества есть наименьшее такое число n, что данное множество может быть представлено в виде суммы n+1 нульмерных множества (при этом нульмерные множества могут быть определены, например, как множества, геометричные подмножества множества ирациональных чисел числовой прямой или канторова совершенного множества).

Большое значение Павел Самуилович придавал предложению, что орангиченное множество, являющееся совместной границей двух связных областей в n-мерном включенном пространстве $R^n$, есть так называемое (n+1)-мерное канторово многообразие (под k-мерным канторовым многообразием П. С. Урысон понимал k-мерный континуум, который остается связным после удаления из него любого множества размерности не более k—2). Для случая n=3 это предложение доказал П. С. Урысон, а впоследствии оно было доказано во всей общности. Все общные многообразия являются и канторовыми многообразиями (в частности, канторовыми многообразиями соответствующего числа измерений являются все кубы). Именно понятие канторова многообразия П. С. Урысон считал центральным в созданной им теории: одномерные канторовы многообразия суть простого одномерные континуумы, это и есть линия в наиболее общем смысле слова; плоские линии в этом смысле совпадает с канторовыми кривыми. Таким образом решается первая исходная задача, поставленная Д. Ф. Егоровым. Двумерные канторовы многообразия П. С. Урысон считал поверхностями в самом широком смысле слова, и с этой точки зрения теорема о том, что совместная граница двух

10

ности. Как я уже сказал, все эти теоремы были доказаны в течение зимы 1921/22 года. Параллельно Павел Самулович читал в Московском университете курс под заглавием «Топология континуумов», в котором излагались все эти результаты, часто точас же после их доказательства. Этот курс — первый топологический курс, прочтанный не только в Московском университете, но и вообще в нашей стране,— был, несомненно, одним из самых замечательных математических курсов, когда-либо прочитанных в стенах Московского университета, именно в силу его сплошь творческого характера.

Лето 1922 года, проведенное П. С. Урьсоном вместе со мной снова в окрестностях Болшева (в так называемых Старых Горках), было периодом наших совместных исследований по теории топологических пространств.

В течение этого лета были получены результаты, вошедшие в наш общий «Метуар о компактных пространствах», третье издание которого недавно (в 1972 году) было опубликовано в виде отдельной монографии.

В это же лето и часть следующей зимы Павел Самулович сделал свою работу по теории меры. Зимой 1922/23 года Павел Самулович продолжал заниматься главным образом теории топологических пространств. В это время была доказана наша совместная теорема о необходимых и достаточно условных условиях для того, чтобы топологическое пространство было геометрично метрическому (так называемая «общая метризационная теорема»), была доказана П. С. Урьсоном и замечательная теорема о том, что все метрические пространства со счетным всоду плотным множествам и молко они/homeomorphы множествам, лежащим в сильбертовом пространстве. Доказательство возникности топологически включить в глобертво пространство всякое нормальное пространство со счетной базой*), то есть доказательство того, что нормальное представляем собой необходимое и достаточно условное для метриземости пространств со счетной базой, было получено Павел Самулович лишь несколько позже, в 1924 году. За зиму 1922/23 года П. С. Урьсоном был окончательно отредактирован темуар по теории размерности, а мною — наш общий темуар по теории компактных пространств. В эту же лето Павел Самулович с большим увлечением изучал теорию относительнойности, с тем, чтобы на следующий год (то есть зимой 1923/24 года) читать по этому предмету курс лекций в университете. Лето 1923 года ушло на поездку в Германию, где Павел Самулович с большим успехом делал доклады в Геттингенском математическом обществе и сразу же привлек к своим топологическим работам внимание Гильберта**). В качестве отдельных было предприятного пешекодное путешествие по Норвегии. Вернувшись в Москве осенью 1923 года, Павел Самулович стал со своейственным ему увлечением занимается новыми отделами топологии: он изучал темуары Пуанкаре и Брауэра.

В эту последнюю зиму своей жизни П. С. Урьсоном все больше и больше интересовался так называемой «комбинаторной топологии», не бросая, однako, своих занятений и различными вопросами теоретико-множественной топологии. В последние же зимы он написал свой известный темуар «О мощности связих

*) Топологическое пространство называется нормальным, если любые его непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности (то есть содержащие их непересекающиеся окритьые множества).

**) Д. Гильбер (1862—1943) — один из величайших математков девятнадцатого и двадцатого веков. Ему принадлежат функментальные работы почти во всех области математики.

11

П. С. Александров, Л. Э. Я. Браузер и П. С. Урьсон летом 1924 года.
(Фотография публикуется впервые)

множеств», где среди других результатов были построен знаментий пример счетного связного хаусдорфова пространства, одновременно он построил универсальное метрическое пространство со счетной базой, содержащие изометрический образ всякого метрического пространства со счетной базой. П. С. Урьсон доказал, что построенное им пространство является (с моностью до изометрии) единственным полным универсальным метрическим пространством со счетной базой, обладающим свойством метрической однородности в том смысле, что любые два его изометричных конечных множества могут быть переведены друг в друга изометрическим отображением всего пространства на себя. Кроме того, построенное П. С. Урьсоном метрическое пространство обладает рядом еще и других интересных свойств, в том числе связность и локальной связность (всякие две его точки могут быть соединены прямолинейным отрезком).

Лето 1924 года П. С. Урьсон снова провел в загранничной командировке. В этом нашем совместном путешествии были посещены Германия, Голландия и Франция. В частности, работы Павла Самуловича произвели очень большое впечатление на Браузера и Хаусдорфа, которые видели в этих работах самое большоетоологическое достижение того времени. Для отдельных была предприята поезда в маленькое рыбакское поселенние Ба (Batz) в южной части Бретании. Туда мы приехали во второй половине июля, и там Павел Самуловича написал свою работу о связных множеств. Это пребывание было превращено лишь недельной поездкой на крайний запад Бретании—Финистерр, супровые и дикие места, произведшие на Павла Самуловича огромное впечатление. Из этой поезда мы вернулись 11 августа, а 14 августа Павел Самуловича закончил свой темуар и собирался последовать писать сначала работу о мет-

12

ризации нормальных пространств со счетной базой, а потом работы об универсальном метрическом пространстве. Лишь первая страница первой из этих двух работы была им написана — в день его смерти. В эти дни в окане нарастало волнение, привлекавшее Павла Самуловича и заставляющее его плавать с особенным увлечением. К 17 августа это волнение перешло в настоящий шторм, и купанные, предприятые в этот день в начале шестого часа пополудни, оказалось для него роковым: схваченный набежавший огромной волной, Павел Самулович был брошен его о скалу. Его удалось вытащить из воды лишь спустя сорок минут, и попытки вернуть его к жизни остались безспешными.

П. С. Урьсон пожоронен там же, накладище в Ба.

Вся научная деятельности П. С. Урьсона продолжалась какихибудь четыре года, и за эти немного годы он оставил неизгладимый след в науке. Теория размерности, метризационные теоремы, знаменитая «Лемма Урьсона» о существовании достагоно многих непрерывных функций в нормальных пространствах, теорема о включении в гильбертово пространство — эти и другие результаты П. С. Урьсона представляют собой огромный вклад в науку, не только не забываемый из текущего со дня его смерти половину века, но доказавший свою жизнь способность в многочисленных дальнейших исследованиях.

Оставшиеся независимыми научные работы П. С. Урьсона, иногда имеющиеся лишь в набросках и даже только в устных высказываниях, были много подготовлены к печати и опубликованы полностью при деятельности Браузера, который, в частности, прочитал корректуры всех работ П. С. Урьсона. Их первые публикации были отчеты на немецком, отчеты на французском языке, полный русский перевод составил два тома,ышедших под названием «Труды по топологии и другим областям матики» в 1951 году. Сейчас основные топологические теоремы, доказанные П. С. Урьсоном, входят во все учебники топологии.

Трудно, да и бесполезно галять о том, в каких направлениях развивалось бы математическое творчество П. С. Урьсона, если бы его жизнь не оборвалась так преждевременно и так граничски. Но несомненно, что в его лице математическая наука потеряла ученого самого большого масштаба, с универсальной математической одаренность, с интересами, охватывающими всю математку, с любознательностью, распространшейся на самые разнообразные области человекаского познания. Общая одаренность его личности, объективно запечатывающая в его научном наследии, воспринималась с ним людьми в самых различных ее проявлениях: в его lekциях, удивительные по проникновенности и образности мысли, в его умении и любви работать, в его сильных и глубоких реакциях на все значительное, что проискодило вокруг него в жизни человекаского общества, в той остrote, с которой он воспринимал природу и искусство (главным образом музыку), и во многом другом, что делает образ Павла Самуловича не только живым и независимым, но и неповторимым по своей творческой силе и по своему человеческому обаянию для всех людей, который пришлось с ним встретиться на жизньном пути.

13

С 26 по 30 марта 1974 года в Тбилиси состоялась вторая научная конференция учащихся Тбилиской физико-математической средней школе-интерната имени В. М. Комарова. На этой конференции грузинская школьница Медея Торонджадзе прочитала доклад «Кривые Пеано», подготовленный под руководством А. Д. Бендукидзе. Доклад был оформлен в виде статьи, которое мы предложаем вниманию читателей. В ней рассказано о том, как роздалось определенные линии, и о кривой, из-за которой это определенное пришлось менять. Окончательное определенные линии (точнее, размерности точного множества) вы найдете в статье академика П. С. Александрова (см. с. 3).

Что такое линия?

Наверное, многое из тех, кому будет задан этот вопрос, с недоумением пожут плечами и ответят: «Линия? Да это же очень просто! Проведите острием хорошо отточенного карандаша по бумаге, и вы получите линию».

Кажется, что они правы,— ведь говоря о линии, мы и в самом деле представляем себе нечто, похожое на выощийся тонкий штрих, например на листе бумаги.

И тем не менее они не будут правы! Причина очень проста: они должны не определенное, а указание на то, что следует понимать под линей. Впрочем, винить их вряд ли стоит, так как дать точное математическое определение линии не стоит просто, как это может показаться с первого взгляда. Математикам для этого понадобилось около 2200 лет!

Первым, кто попытался определить линию, был Евклида французский математик РенЕ Де-

Медея Торонджадзе читает доклад «Кривые Пеано» на конференция учащихся физико-математических школе-интернатов в Тбилиси

14

намы коморых удовлетворяном некоморому уравнению вида $F(x, y) = 0$.

Это было довольно общее и хорошо определение линей. Оно было хорошо тем, что позволяло свести изучение линей к изучению задающего ее уравнения $F(x, y) = 0$. Но позже выяснились, что нередко функция $F(x, y)$ имеет довольно сложный вид.

Например, если окружность радиуса $R$ задается уравнением

$$x^2 + y^2 - R^2 = 0$$

(здесь $F(x, y) = x^2 + y^2 - R^2$), то спираль Архимеда таким простым уравнением задается нельзя. Спираль Архимеда — это кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по лучу, который при этом равномерновращается вокруг неподвижной точки (рис. 1). Эту кривую проще изучать геометрические, не прибегая к уравнении.

Определение Декарта имело еще один недостаток: если не накладывать никаких ограничений на вид функции $F(x, y)$, то любое множество на плоскости по Декарту является линейной (достаточно определить функцию $F(x, y)$ так: на заданном множество пар $(x, y)$ эта функция равна нулю, во всех остальных точках плоскости $F(x, y) = 1$). Например, единный квадрат по Декарту является «линий», он задается уравнением

$$|x| + |x-1| + |y| + |y-1| - 2 = 0$$

здесь функция

$$F(x, y) = |x| + |x-1| + |y| + |y-1| - 2$$

далее непрерывна!

Во второй половине XIX века другой французский математик Камилл Жордан (1838—1922) развил понятие линей, предложенное Декартом. Жордан определил плоскую линию как множество точек плоскости, координаты $x$ и $y$ компых данных уравнениями

$$x = \varphi(t), y = \psi(t)$$

еде $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ — функция, непрерывные на отрезке [0, 1].

Рис. 1.

Сейчас такой способ задания линей называется параметрическим (с параметром $t$).

Например, параметрическое уравнение окружности радиуса $R$ имеет вид

$$x = R \cos 2\pi t, \quad y = R \sin 2\pi t.$$

Спираль Архимеда (точнее, ее кусок) задается несложными уравнениями

$$x = vt \cos \omega t, \quad y = vt \sin \omega t.$$

Некоторые времен казалось, что, наконец, найдено удачное определение линей, при котором квадрат уж никак в «линии» не попадет. Как бы не так!

В 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано (1858—1932) построил пример кривой, обегающей все точки квадрата, и при этом удовлетворяющей определению линей, данному Жорданом! В дальнейшем были найдены и другие примеры подобных «линий». Теперъ также «линии» называются «кривыми Пеано». Построение одной из кривых Пеано мы приведем в конце статьи.

Кривые Пеано показывают, что определение Жордана слишком широко. Трудно считать линейный кривую, заполняющую целый квадрат. В то же время оно и слишком узко — существенно линни, не подхождение под этого определение.

15

Итак, что же такое линей? В случае плоских линей окончательный ответ на этот вопрос был дан одним из крупнейших математиков конца XIX — начала XX века Георгом Канторов (1845—1918). Не оставливаясь на точной формулировке этого определения, приведем один интересный пример канторов линей, построенный известным пользователем Ващлавом Серпинским.

Возьем квадрат. Разделим его на двеять конгрузных квадратов и удалим из него внутренние точки центрального квадрата. Каждый из оставшихся восемми квадратов разделим на двеять конгрузных квадратов и в каждом из них снова удалим внутренние точки центрального квадрата. Продолжая этот процесс неограниченно, мы и получим искому ли ию. Ее называют ковром Серпинского (на первой странице обложки показана фигура, которая получается при построении ковра Серпинского после третьего шага). Обратите внимание на то, что сколь угодно близко от любой из оставшихся точки (ковра Серпинского) найдется точка, выкинутая из исходного квадрата.

В 20-х годах нашнего века соверший математик П. С. Урысо и обобщил определение Кантора и дал общее определение линей *).

Построение кривой Пеано

1. Пусть σ — единчный отрезок [0,1]. Разделим его на четыре конгрузных отрезка:

$$\sigma_{1}^{(1)} = \left[ 0, \frac{1}{4} \right], \quad \sigma_{2}^{(1)} = \left[ \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right], \quad \sigma_{3}^{(1)} = \left[ \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right], \quad \sigma_{4}^{(1)} = \left[ \frac{3}{4}, 1 \right].$$

*) Об этом подробно рассказано в статье академика П. С. Александрова «Павел Самулович Урысон» (см. с. 3). См. также А. С. Пархоменко «Что такое линия», М., Гостехидат, 1954.

Назовем эти отрезки отрезками первого рана. Разделив каждый из них на четыре конгрузных отрезка, получим 16 отрезков второго рана $\sigma_{i}^{(2)}$ ($i = 1, 2, \dots, 16$). Просдолжая процесс деления, получим отрезки третьего, четверого и больших ранов. При этом отрезки $r$-го рана будут иметь вид:

$$\sigma_{i}^{(r)} = \left[ \frac{i - 1}{4^r}, \frac{i}{4^r} \right] \quad (i = 1, 2, \dots, 4^r).$$

Возьем теперь некоторую точку $t_0 \in \sigma$.

Если она не совпадает ни с одной точкой деления, то существуетровно один отрезок каждого рана, ее содержащий. Пусть таким являются $\sigma_{i}^{(1)}, \sigma_{i}^{(2)}, \sigma_{i}^{(3)}, \dots$. Поставим в соответствии точке $t_0$ бесконечную последовательность натуральных чисел $i_1, i_2, i_3, \dots$ и будем это записьвать так:

$$t_0 = (i_1, i_2, i_3, \dots).$$

Пример. $1/3 = (2, 6, 22, 85, \dots)$.

Если же точка $t_0$ совпадает с какой-либо точкой деления, то есть имеет вид $m/4^n$, то начиная с отрезков $n$-го рана ее будет содержать два соседних отрезка каждого рана. Сопоставим ей две последовательности натуральных чисел ($i_1, i_2, i_3, \dots$), в которых $1 \leq i_1 \leq 4$, $4i_k - 3 \leq i_{k+1} \leq 4i_k$. Обратно, каждая такая последовательность определяет единственный точку отрезка $\sigma$ (доказайте!).

2. Проведем аналогичное построение для единчного квадрата Q. Разделив его на четыре конгрузных квадрата, получим квадраты первого рана: $Q_{1}^{(1)}, Q_{2}^{(1)}, Q_{3}^{(1)}, Q_{4}^{(1)}$. Деление каждого из этих квадратов на четыре конгрузных квадрата дает квадраты второго рана и так далее. Вообще, деление каждого квадрата $r$-го рана $Q_{i}^{(r)}$ на четыре конгрузных квадрата дает четыре квадрата $(r+1)$-го рана: $Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}$ ($i = 1, 2, \dots, 4^r$). Нумерацию квадратов проведем так, чтобы:

1. первый квадрат любого рана содержался точку (0, 0);

2. можно было из квадрата $Q_{i}^{(r)}$ обойти в нем последовательное квадрата $Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}, Q_{4i+1}^{(r+1)}$ и выйти в квадрате $Q_{i+1}^{(r)}$, пересекая лишь стороны (но не вершины!) квадратов рана $(r+1)$.

16

Рис. 2.

Предлагаем читателю доказать, что такая нумерация всегда возможно. На рисунке 2 приведены квадраты первых трех рангов, причем красной ломаной указаны путь, по которой идет нумерация квадратов (начиная с левого нижнего квадрата).

Продолжая рассуждение, убеждаемся, что каждой точке $(x_0, y_0)$ квадрат $Q$ можно привести в соответствии одному или несколько (сколько?) последовательности натуральных чисел, запишем это так:

$$(x_0, y_0) = [i_1, i_2, i_3, \dots]$$
$$(1 \leq i_1 \leq 4, 4i_k - 3 \leq i_k + 1 \leq 4i_k).$$

При меры: $(1/3, 1/3) = [1, 3, 9, \dots]$;
$(1/2, 1/3) = [1, 3, 10, \dots] = [1, 14, 56, \dots]$;
$(1/2, 1/2) = [1, 3, 11, \dots] = [2, 8, 32, \dots] = [3, 9, 33, \dots] = [4, 14, 54, \dots].$

И здесь можно доказать, что каждая такая последовательность определяет единственный точку $(x_0, y_0)$ из $Q$.

3. Запись точек отрезка $\sigma$ и квадрата $Q$ в виде бесконечных последовательностей натуральных чисел дает возможность осуществить отображение $\sigma$ на $Q$.

В самом деле, путь $t_0$ — произвольная точка $\sigma$ и

$$t_0 = (i_1, i_2, i_3, \dots).$$

Посленя последовательность однозначно определяет точку $(x_0, y_0)$, которое соответствует последовательности $[i_1, i_2, i_3, \dots]$. Если даже $t_0$ представимо в виде двух последовательностей, то обе они приводят к одной и той же точке $(x_0, y_0)$. Это легко доказать, если учеть, что длины стороны квадрата с возрастанием ранга стремятся к нулю. Итак, каждому $t_0$ соответствует единственное $(x_0, y_0)$.

Пусть теперь точка $(x_0, y_0) \in Q$ произвольна и $[i_1, i_2, i_3, \dots]$ — одно из представлений этой точки. Взяв $t_0 = (i_1, i_2, i_3, \dots)$, убеждаемся, что при нашем отображении каждая точка квадрата $Q$ соответствует хотя бы одной точке отрезка $\sigma$. А это значит, что $\sigma$ отображено на $Q$. Заметим, что это отображение не является взаимно однозначным, неотображением $Q$ соответствует двум, тем или даже четырем точкам $\sigma$.

17

Ферми родился в Риме 29 сентября 1901 года в семье служащого. Если можно говорить о вождении призвания, то, несомненно, Ферми был рождения физиком. Хотя в семье ничего не побужdal его к занятием научкой, он с детства проявил исключительный интерес к математике и физике. Интелектуальное развитие мальчика, впоследствии генциального ученого, представляет большой интерес, и я хотел бы подробнее остановиться на этом.

Ненизвестно точно, когда впервые у Ферми появился интерес к науке, но мы располагаем неокоторыми фактами благодаря свидетельством Энрико Персико, профессора физики Римского университета и близкого друга Ферми с того времени, когда им было по 14 лет; его жены, Лауры Ферми, и ряда его сотрудников и друзей, особенно Франко Разетти и Эмилло Серре, с которых Ферми делился восполниманиями. Серре, например, рассказывает о следующем эпизоде: когда Ферми было только десять лет, он сумел понять, почему окружность описывает уравнение $x^2 + y^2 = R^2$, хотя это и потребовало от него напряженного интеллектуального усилия.

Позже тринадцатлетему Ферми очень помог найти правильную дорогу в научном лабиринте инженер Амидей, добрый пожилой человек, друг семьи Ферми, который по праву может гордиться тем, что, обнаружив исключительные способности Ферми, оказал на него большее, а может быть, и решающей влияние. Инженер Амидей был очень аккуратным человеком. Когда после смерти Ферми Серге попросил Амидея рассказать о первых шагах Энрико в науке, он сумел привести (41 год спустя!) крайне точные и ценные для истории науки сведения, позволяющие понять некоторых элементы в формированиитианческой личности Ферми. Ниже почтите полностью приводится письмо инженера Амидея профессору Серре, рассказывающее о периode жизни Ферми от осени 1914 до осени 1918 года.

«…В 1914 году я занимал должность директора инспекторов в минстерстве железных дорог. Вместе со мной работал главный инспектор Альберто Ферми. После работы мы

18

объчно возврашает домой вместе. Почти всегда нас сопровождает Энрико Ферми — сын мого коллеги. Мальчик постояно встречал отца после работы. Узнав, что я серbezно занимаюсь математикой и физикой, Энрико стал задавать мне вопросы. В то время ему было 13 лет, а мне 37.

Хорошо помню его первый вопрос:
— Правда ли, что существует раздел геометрии, в котором важные геометрические свойства выявляются без использования представления о mere?

Я ответил, что это совершенно справедливо и что раздел этот называется проектной геометрией.

— Но каким образом эти свойства используют на практике инженерами?— спросил он.

Этот вопрос показался мне совершенно резонным. Рассказав мальчик о некоторых свойствах, нахождения успешное применение, я побещал ему привести на следующий день — что и сделал — книгу по проектной геометрии.

Через несколько дней Энрико сказал мне, что он уже проштудировал первые три урока, и общал возвратить книгу, как только прочет ее. Примерно через два месяца книга была возвращена. На мой вопрос, встретились ли ему какие-либо трудности, мальчик ответил: «Никаких», и добавил, что он доказал все теоремы и легко решил все задачи (в книге их было более 200).

Я был изумлен: ведь я знал, что среди этих задач были такие, от решения которых я вынужден был отказаться, потому что на это ушло бы список много времени. Но я убедился, что Энрико справился с этим задачими. Было совершенно оченьindo, что в свободные часы, оставшиеся от приготовления школьных заданий, мальчик в совершенстве изучил проектную геометрию и с легкостью решал сложные задачи. Я убедился в том, что Энрико исключительно одаден, во всяком случае в области геометрии. Когда я сказал об этом его отцу, тот ответил, что в школе Энрико считается хорошо учеником, но не больше.

Воспледствии я узнал, что Энрико изучал математку и физку по развимым случайным книгам, которые он покупал в букнистических магазинах на рынке Kamпо дени Фьори. Он надеался, в частности, найти в этих книгах теорию, обязывающего движение волков и гироскопов. Объяснения он так и не нашел. Но, возвращаясь к этой проблеме слова и слова, мальчик самостоялно приблизился к разъяснению природузадачного движения волка. Все же я сказал ему, что к точному научному обязыванию можно подойти, лишь овладев теоретической механикой. Но для ее изучения потребуется знание trigonometрии, алгебры, геометрии и дифференциального исчисления… Энрико согласился со мной, и я стал доставать для него книги, которые могли бы дать ему новые идеи и прочитую математическую основу…

Энрико нашел векторный анализ очень интересным, полезным и несложным. С сентября 1917 до июля 1918 года он изучил такие некоторые стороны инженерного дела по книгам, которые я доставал для него.

В июле 1918 года, прошедя трехгодичный курс лицей за два года, Энрико получил диплом. Возникло вопрос, имеет ли ему смысл поступать в Римский университет. Мы с Энрико влили на эту тему длинные разговоры.

Я спросил у него, чем он хочет посвятить себя: математике или физике? Привожу дословно его ответ:

— Я изучал математку с таким временем потому, что считал это необходимой подготовкой для последующего изучения физики, который я намерен посвятить себя целиком и полнострою.

Тогда я спросил у него, считает ли он свое значение физики столь же об-

20

Дополнительно посещает лекции и семинары в школе.

Высшая Нормальная школа в Пищеба была создана в 1813 году Наполеоном по типу Высшей Нормальной школи в Париже; она была единственным бесплатным высшим учебным заведением Италии. Хотя официально школа предназначалась для выпускки как гуманитарного, так и естественного отделения избранали карьер и исследователь и становится знаменитыми, что поднимало престиж школы. В частности, почти все известные итальянские математики от Бианки и Кастельнуово до Вольтерра и Леви-Чивиты были выпускниками.

На вступительном конкурсном экзамене в школе от Ферми требовалось изложить свои знания по теме «Характер и причины звуков». Его «сочинение» дает представление об уровне знаний по классической физике, достигнутом Ферми в 17-летнем возрасте. Достаточно сказать, что далеко не все выпускники физических фактически университетов (а не только средней школи) смогли бы написать такое сочинение, в котором использовется метод Фурье при решении дифференциального уравнения колеблющегося стержня. Ферми сам рассказывал, что экзаменатор был удивлен сочинием и сказал, что никакого ничего подобного в своей практике не встречал.

Хотелось бы немного прокомментировать письмо инженера Амидея. Мне кажется, что оно должно заптересовать не только физиков и историков науки, но и более широкие кругги читателей, особенно школьников, которые начинают увлекаться научкой, а также педагогов. Быть может, благодар инженеру Амидею одаренный мальчик и стал генем. Конечно, Ферми был приожденным физиком, но кто может сказать, какова была бы его судьба, если бы инженер Амидей отнесся к нему инчете, если бы на вопросы мальчика он ответал, например, так: «Это пока слишком трудно для тебя. Подрастишь — поимешь!». Возможно, Фер-

21

ми и не увлекся бы так серьено математикой и физикой в тринадцатилетнем возрасте и в результате стал бы, скажем, лишь хорошим инженером или физиком. Он мог бы, например, выполнять, мог запointerсовать шахматами или теннисом, иностранными языками или геологей. Дело в том, что перед тринадцатилетним Ферми был только один пряной путь, который мог бы привести его туда, куда он впоследствии пришел (и этот путь был указан Амидеем), но при этом было огромное число «боковых» дорог.

Во всяком случае, я совершенно уверен в том, что Ферми стал великим Ферми именно потому, что его интересы определялись и его интеллектуальные запросы уже удовлетворялись, когда он был еще малыйком. В этом меня убеждал стиль Ферми во всем, что относилось к физике; читал ли он лекции, обязывал что-либо сотруднику, выражал ли сомнение в чем-либо, всегда создавалось печатание, что все ему просто и знаком, что физика для него то же, что дом родной.

Если мое сухжение правильно, то число потенциальных Ферми в мире куда больше, чем это обычно представляется.

Вот что писал Энрико Персико: «…Исключительные способности Ферми в точных науках проявились очень рано; когда я познакомился с ним (ему было 14 лет), я с удивлением обнаружил, что приятель у меня не только «дока» в науке, как говорят на школьном жаргоне, но и товарищ, форма ума которого совершенно отличается от типичной для всех «умных» мальчиков и блестиших учеников, с которых я был знаком… В области математики и физики он проявил знания по гораздо большему числу разделов, чем учили в школе, причем знания были не школьскими, и он оперировал им севершенной непринужdenно. Для него уже тогда знание теоремы или закона ознакомлено, прежде всего, умение их использовать».

Верячто, читателя заинтересует вопрос, как учился Ферми в школе по гуманитарным предметам? Конечно, он был хорошим учеником, что не удивительно, если учеть наличие у него прекрасной памяти, но, опираясь на некоторые вопросы, субъективные впечатления, я сказал бы, что по гуманитарным предметам Ферми был не более чем «нормальным отличником». Правда, он знал довольно много стихов наизусть, но это, я бы сказал, характеризует скорее его феноменальную память, чем страсть к поззи. Мне помнится, где-то в 30-х годах Ферми сказал, что главным источником его общей культуры является многоотомная иллюстрация Детская энциклопедия — довольно удачная и красочно оформленная книга для юношества. Это подтверждает, что интересы Ферми в области физики и математики были все-tаки довольно ограничены.

22

Отрезок, квадрат, куб…

Какая разница между отрезком, квадратом и кубом? Отрезок — часть прямой линии, квадрат — часть плоскости, а куб — часть пространства. А что между ними общего, кроме слова чась в их определении? Оказывается, существует глубокая аналогия в процессе их построения. В самом деле, процесс построения квадрата при заданном отрезке можно, например, описать так:

из концов данного отрезка восставляемем перpendикуляры к нему так, чтобы эти перpendикуляры лежали в одной плоскости; на каждом перpendикуляре по одному сторону от данного отрезка откладываем отрезки псевдины и затем соединием концы получившихся отрезков.

Запишем теперь процесс построения куба при заданном квадрате:

из каждой вершины данного квадрата восставляемем перpendикуляры к плоскости квадрата (мо есть к двум сходящимся в этой вершине сторонам квадрата) так, чтобы эти перpendикуляры находились в одном пространстве; на перpendикулярах по одному сторону от квадрата откладываем отрезки, равные по длине ребра квадрата; через концы этих отрезков проводим прямы, параллельные ребра квадрата (то есть сторим квадрат, параллельный данному).

В этой записи бросается в глаза искусственно и неужность оборота «чимбы эти перpendикуляры находились в одном пространстве»: ведь

наше пространство вообше одно! Но давайте побантируем и опишем процесс еще одного построения:

из каждой вершины данного куба восставляемем перpendикуляры ко всем темем сходящимся в ней ребра (?!) так, чтобы эти перpendикуляры находились в одном пространстве; на этих перpendикулярах по одному сторону от куба (?!) откладываем отрезки, равные по длине ребра куба; через концы этих отрезков проводим прямы, параллельные ребра куба и равные им по длине (мо есть сторим куб, параллельный данному (?!)).

Геометрические такое «построение», конечно, невозможно — хотя бы потому, что в нашем пространстве нельзя проводить более трех попарно перpendикуляры линей. Но логически это рассужждение в полне строюное и приводит к понятию «чемырехмерно» куба (то есть куба, в каждой вершине которого сходятся 4 попарно перpendикулярных ребра). Более того, продолжая описание построения «по индукции», мы приедем к понятию «пятимерного», «шестимерного» и в общем случае — «n-мерного» куба. Согласно этому рассужению, обикновенный куб — «трехмерный», квадрат — «двумерный», а отрезок — «одномерный» куб (рис. 1, 2, 3).

Спрашивается, а существует ли реальные объекты, соответствующие по своим свойствам n-мерному кубу (n=1, 2,…)? Оказывается, существуют; один из таких объектов будет рассмотрен в следующей главе.

23

Таблица вершин n-мерного куба
Отрезок (одномерный куб) имеет два конца (две вершины). Обозначим один из концов цифров 0, а другой — цифрой 1. Получим табл и у вершин отрезка:
0
1

Множество вершин квадрата (двумерного куба) распадается на два подмножества вершин параллельных друг другу сторон. Обозначим соответствующие вершины сторон одинаковыми цифрами (0 или 1); чтобы их отличать друг от друга, добавим слева к обозначенным вершин одной стороны цифру 0, а другой — 1. Таблица вершин квадрата прибретает следующий вид:
00 10
01 11

Аналогично из таблицы вершин квадрата строится табл и у куба:
000 010 100 110
001 011 101 111

Далее — табл и у вершин «четырехмерного» куба:
0000 0010 0100 0110 1000 1010 1100 1110
0001 0011 0101 0111 1001 1011 1101 1111

Процесс построения таких таблиц можно продолжать неограниченно. Эти таблицы и представляют собой алгебраические образы n-мерных кубов; при этом вершине n-мерного куба соответствует некоторый упорядоченный набор из n нулей и единиц, называемых координатами вершины.

Опишем теперь основные свойства вершин и ребер n-мерного куба.

1. На каждом ребре n-мерного куба лежитровно две его вершины; все соответствующие координаты этих вершин одинаковы, за исключением одной: у одного конца ребра она равна 0, а другого — 1. Именно эта координата и характеризует направление ребра.

2. Все ребра одного направления параллельны между собой и перпендикулярны к ребрам любого другого направления.

3. Число различных направлений равно n. Все они описываются базисными ребрами, соединяющими вершину 00… 0 с вершинами

00 . . . 01
00 . . . 10
.

.

01 . . . 00
10 . . . 00

4. Из любой вершины n-мерного куба выходитровно n ребер. Все они попарно перпендикулярны между собой.

Для n=1, 2, 3 указаны свойства проверяются непосредственно (проверьте!). Для n>3 описанные свойства вершин и ребер куба мы будем построировать (убедиться в их внутренней непротиворечности предоставляем вам самим).

24

Паралельное проектирование

Наряду с реализным чисто алгебраическим образом — таблицей вершин — $n$-мерному кубу можно поставить в соответствии и реализный чисто геометрический образ — чертеж.

На рисунке 1 изображен чертеж куба. Отметим следующие его свойства:

1. Паралельные ребра куба остаются паралельными и на чертеже.
2. Перпендикулярные ребра куба на чертеже не паралельны.
3. Разные вершины куба на чертеже не слияют в одну.

Иными словами, чертеж куба представляется собой как тыльь, падающий на горизонтальной площадку от освещения проводной модели куба космии паралельными лучами света, не лежащими в плоскости ни одной из границ.

Оказывается, если подобное паралельное проектирование применить к кубу любой размерности $n$, то получится плоский чертеж $n$-мерного куба, обладающий третья указанным выше свойствами. Но прежде чем доказыть это, посчитаем

Сколько же вершин $n$-мерного куба?

Пусть $A$ — произвольная вершина куба с координатами $a_n, a_{n-1}, \dots, a_2, a_1$. Так как $a_i$ равно либоную, либо единце, то мы можем координаты этой вершины рассматривать как двойное представление некоторого числа $\varepsilon$:

$$\varepsilon = a_n \cdot 2^{n-1} + a_{n-1} \cdot 2^{n-2} + \dots + a_2 \cdot 2 + a_1$$

(тогда двойная запись $\varepsilon$ имеет вид:

$$\hat{\varepsilon}_2 = a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1).$$

Вершинам $n$-мерного куба соответствует всевозможные наборы нуля и единиц ($a_n, a_{n-1}, \dots, a_2, a_1$); каждому же takому набору соответствует полне определенное число $\varepsilon$; число $\varepsilon + 1$ получается из числа $\varepsilon$ по следующему правилу: все правые разряды $a_1, a_2, \dots, a_j$, подряд являющиеся единичными, заменяются на нулы, перный справа нульевой (или отсутствующий) разряд $a_{j+1}$ — на единицу, а остальные (если они есть) остаются без изменения. Представим, например, в двойной системе числа 0, 1, 2,…, 15:

$$\hat{0}_2 = 0, \quad \hat{4}_2 = 100, \quad \hat{8}_2 = 1000,$$

$$\hat{1}_2 = 1, \quad \hat{5}_2 = 101, \quad \hat{9}_2 = 1001,$$

$$\hat{2}_2 = 10, \quad \hat{6}_2 = 110, \quad \hat{10}_2 = 1010,$$

$$\hat{3}_2 = 11, \quad \hat{7}_2 = 111, \quad \hat{11}_2 = 1011,$$

$$\hat{12}_2 = 1100,$$

$$\hat{13}_2 = 1101,$$

$$\hat{14}_2 = 1110,$$

$$\hat{15}_2 = 1111.$$

Легко видеть, что число $2^n$ в двойной системе числения представляется в виде единиц с $n$ нулями, а число $2^{n-1}$ — набором из $n$ единиц. Значит, существует $2^n$ различных двойных чисел (от нуля до $2^n - 1$) разрядности не выше $n$; следовательно, число вершин $n$-мерного куба также равно $2^n$.

Попробуем теперь построить

Чертеж $n$-мерного куба

Проведем на плоскости две прямые линей под углом друг к другу — насовет их основь ми. Отложим на одной из них (назовем ее первой) по одну сторону от точки пересечения $2^n - 1$ раз масштаб $a$, а в второй — $n$ раз масштаб $b$ (рис. 4, $a$). Понумеруем концы масштабных отрезков на первой линей числа

$$1, 2,..., 2^n - 1,$$

а на второй — числа

$$1, 2,..., n.$$

Через конец каждой масштабного отрезка проведем прямую линей, паралельную другой основной линей. Получим координату сетку. Каждому узлу этой сетки поставим в соответствие пару целых чисел $(X, Y)$ — координаты узла вдоль первой и второго направления (точка пересечения ос-

25

Рис. 4: $a$ — куб четырехмерный; $\delta$ — куб пятимерный

новых линей имеет координаты $(0,0)$). Вершину куба с координатами $(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1)$ помещим в узел образованшейся сетки с косоугольными координатами

$$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot 2^{i-1}, \quad \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^*.$$

Таким образом, первая косоугольная координата узла, которую

$$*) \text{Знак } \Sigma \text{ (сигма)} \text{ — это знак суммирования, } \sum_{i=1}^{n} b_i = b_1 + \ldots + b_n.$$

мы изобраем вершину куба, равна номеру этой вершины, а вторая — ее вес $a_1 + \ldots + a_n$ (то есть суммарному количество единиц координат вершины).

Если две вершины $n$-мерного куба отличаются лишь одной координатой, то соответствующие им изобрания вершин на косоугольной координатной сетке соединим отрезком прямой — этот отрезок будет служить изобранием ребра нашего куба.

На этом построение чертежа $n$-мерного куба заканчивается (на рисун-

26

ке 4, а изображен чертеж четырехмерного куба, а на рисунке 4, б—пятимерного куба). Чтобы убедиться в том, что и в общем (n-мерном) случае чертеж n-мерного куба представляется собой результат параллельного проектирования куба на плоскость, проверим

При свойства чертежа

Свойство 3), очевидно, выполняется: разным вершинам соответствуют разные номера, а потому их изображения имеют разные первыые координаты, и, следовательно, не совпадают.

Проверим теперь свойство 1) — сохранение параллельности ребер. Возьмем любые два параллельные ребра куба. Обозначим координаты вершин первого ребра через $\tilde{a}^1$ и $\tilde{a}^2$:

$$\tilde{a}^1 = (a_n^1, a_{n-1}^1, \dots, a_i^1, a_1^1),$$
$$\tilde{a}^2 = (a_n^2, a_{n-1}^2, \dots, a_i^2, a_1^2);$$

а координаты вершин второго ребра — через $\tilde{b}^1$ и $\tilde{b}^2$:

$$\tilde{b}^1 = (b_n^1, b_{n-1}^1, \dots, b_i^1, b_1^1),$$
$$\tilde{b}^2 = (b_n^2, b_{n-1}^2, \dots, b_i^2, b_1^2).$$

Направление ребра здесь характеризуется $i$-й координатой.

Имеем:

$$a_j^1 = a_j^2, \quad j \neq i.$$

Не нарушая общности, можно считать, что

$$a_i^1 = b_i^1 = 0,$$
$$a_i^2 = b_i^2 = 1.$$

Рассмотрим теперь изображения $\tilde{a}^1, \tilde{a}^2, \tilde{b}^1, \tilde{b}^2$ этих четырехмерных на коорудальной координатной сетке. Проведем через образы вершин $\tilde{a}^1$ и $\tilde{b}^1$ прямы, параллельные первому коорудному направлению, а через образы вершин $\tilde{a}^2$ и $\tilde{b}^2$ — прямы, параллельные второму направлению (рис. 5). Точки пересечения этих прямых обозначаем через $\tilde{a}$ и $\tilde{b}$ соответственно. Получаем два треугольника: $\tilde{a}^1 \tilde{a}^2$ и $\tilde{b}^1 \tilde{b}^2$. Вычисляем длину сторон $\tilde{a}^1 \tilde{a}^2$ — по построению она равна modulo разности первых коорудных координат вершин $\tilde{a}^1$ и $\tilde{a}^2$:

$$\left| \sum_{j=1}^{n} a_j^1 \cdot 2^{j-1} - \sum_{j=1}^{n} a_j^2 \cdot 2^{j-1} \right| =$$
$$= \left| \sum_{j=1}^{n} \left( a_j^1 - a_j^2 \right) \cdot 2^{j-1} \right| =$$
$$= \left( a_i^2 - a_i^1 \right) \cdot 2^{i-1} = 2^{i-1}.$$

Длина сторон $\tilde{b}^1 \tilde{b}^2$ также равна $2^{i-1}$. Длина второй стороны треугольника

27

ника $\tilde{a}^2 a_*^2 (\tilde{b}^2 b_*^2)$ равна модулю разности вторых косоугольных координат вершин $\tilde{a}^1$ и $\tilde{a}^2$ (соответственно вершин $\tilde{b}^1$, $\tilde{b}^2$) и равна единице; действительно:

$$\left| \sum_{j=1}^{n} a_j^1 - \sum_{j=1}^{n} a_j^2 \right| = \left| \sum_{j=1}^{n} \left( a_j^1 - a_j^2 \right) \right| = a_i^2 - a_i^1 = 1 - 0 = 1.$$

Итак, треугольники $\tilde{a}^1 a_*^2$ и $\tilde{b}^1 b_*^2$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, стороны $\tilde{a}^1 a_*^2$ и $\tilde{b}^1 b_*^2$, являющиеся изображениями ребер куба одного направления, также равны и параллельны — что и требовалось доказать.

Для доказательства свойства 2) — непараллельности изображений перпендикулярных ребер куба—достаточно убедиться в непараллельности изображений базисных ребер. А последнее очевидно, так как изображения базисных ребер.

Заключение

Мы доказали возможность косого параллельного проектирования $n$-мерного куба на плоскость. Заметим, что чертежи кубов, изображенные на рисунках 4, а, б, обладают еще одним свойством: вершины odinakovoeo beca лежат на одной прямой, параллельной первому координатному направлению. Это свойство чертежа не является необходимым для параллельного проектирования — оно, например, не имеет места на рисунке 1. Но часто именно это свойство способствует лучшему пониманию внутренней структуры такого числа алгебраического объекта, каким является $n$-мерный куб.

Встреча с нашими читателями

Редакция журнала повышала в гостях у школьников подмосковного города Загорска, в библиотеке профома Загорского оптико-механического завода. Эта библиотека — одна из крупнейших в городе, среди ее читателей много школьников, выписывающих наш журнал.

Встречу вел заместитель главного редактора журнала В. А. Лешковцев. Он расскажал о задачах, которые ставит перед собой «Квант», о статиях, которые появятся в журнале в ближайшее время. Школьники в свою очередь высказали ряд пожеланий редакции, указыли разделы математики и физики, которые их особенно интересуют, подсказали ряд тем для статьи. Затем сотрудники редакции ответили на вопросы читателя.

В заключение был проведен небольшой конкурс по решению задачи, победители которого были нагружены памятными книгами.

В. Н. Березин

28

Слушай в автобусе
Начнем с обыденного происшествия. Автобус резко затормозил у свето-фора, пассажиров потянуло вперед. Кто-то наступил вперед стоящему на ногу и, конечно, извилился. С точки зрения правил поведения все в порядке. Но физик конец истории должен показаться неогничным. Пассажир, конечно, не виноват: винovat, наверно, зазававшийся водитель — он-то и должен увлекаться наукой о поведении, а только спросим себя, чем, собственно говоря, винovat водитель? Каким образом водитель смог толкнуть пассажиров? Ведь он сидит далеко и не может до них даже дотянуть. Можно сказать, что сила (конечно, не от водителя, а от motor или, быть может, от тормозов) передалась через пол. Такой ответ также нельзя признать удовлетворительным: ведьhora остаются стоять на месте — пассажиру каждется, что его потянули, скорее, за голову…

Если специально не пытается запутать дело, то объясняется все очень просто. Шофер затормозил автобус; ноги пассажиров (из-за большого трения покоя подошв о пол) тоже затормозились, а тульвище вместе с головой продолжало двигаться с прежней скоростью, повинуясь первому закону. Ныютона — закону инерции. Если бы трения не было, например, все пассажеры стояли на идеальных роликах (чего не сделаешь ради научки!), то никакого толка они сразу не почувствовали, а один за другим ударились бы во внесапно остановившуюся перед ним стенку кабины водителя.

Такое описание приведет всякий разумный наблюдается, который находится в инерциальной системе координат, например, наблюдается эту сцену, стоя на тротуаре.

Но может служиться, что ту же историю захотет проанализировать другой наблюдается, скажем, шофер автовуса, который плотно сидел в своей кресте. Он, конечно, знал, что автовус затормозил, то есть столдяться сускорением относительно земли, и поэтому его система отчета перестала бы инерциальной. Шофер так и объяснит происшествие. А что скажет

29

пассажир, который не знал о факте торможения, но неволно ощутел его? Таким образом, мы подошли к основному вопросу — как описываются механические движения в неинерциальных системах отчета?

Известно, что основные законы движения — законы Ньютона — справедливы только в инерциальных системах отчета. Поэтому естественно ожидать, что при переходе к неинерциальным системам уравнения движения должны измениться. Однако, если ограничиться только классической механикой, то есть не рассматривать движения со скоростями, сравнимыми со скоростью света, то оказывается, что основное уравнение движения можно записать точно в таком же виде, как второй закон Ньютона, если ввести новое понятие — понятие сил инерции.

Когда шофер тормозит автобус, он видит, что пассажир на роликах (то есть в отсутствие сил tremия) получает относительно автобусаускорение, направленное в ту сторону, в котором движался автобус до торможения. Или, что то же самое,ускорение пассажира противоположно по направлениюускорению, которое получает автобус.

Этоускорение не связано непосредственно с действием какого-то тела на пассажира, но наблюдается вускоренной системе координат, пытаясь описать движение с точки зрения обычных законов механики, должен будет сказать: если естьускорение, то его надо приписать действию какой-то силы. Такие силы, вводимые в неинерциальных системах отчета для того, чтобы описатьускоренное движение свободных тел, называют силами инерции.

Силы инерции отличаются от обычных сил, например, от электрических или gravитационных сил, прежде всего тем, что они вызваны не взаимодействием тел, аускоренным движением самой системы отчета. Силы инерции исчезают при переходе в инерциальную систему отчета (наблюдать на тротуаре), тогда как силы обичные не изменяются при переходе в любую другую систему отчета. Обичные силы, как говорят, инвариантны относительно перехода в другой системе координат, если только скорость новой системы отчета относительно исходной остаточной многоменшей скорости света*). Отмечая такоеfundamentalное свойство обичных сил, иногда силы инерции называют псевдосилами («как бы» силами) или фиктивными силами.

Еще одно важное отличие сил инерции состоит в том, что с точки зрения неинерциального наблюдается эти силы действуют во всех точках системы, где бы ни находилось исследуемое тело, причем в непосредственной близости от тела невозможно указыть источник этих сил. Если бы один пассажир, стоя на роликах, только другого, то они отъехали бы друг от друга в разные стороны, психуясь третьему закон Ньютона.

Второзащит же автобус все пассажиры подались вперед, и никто не поехал назад. В этом смысле действие сил инерции напоминает действие электрических или магнитных сил, которые передаются через электримагнитное поле и для которых тоже не так просто понять, что такое противодействие. Поэтому и в задаче о силах инерции можно вести аналогичное понятие — поле сил инерции.

Поле и силы

Известно, что взаимодействие электрических зарядов и токов осуществляется электримагнитным полем, силы всемирного тяготения передаются gravитационным полем, силы взаимодействия.

*) Если система отчета движения с скоростью, сравнимой со скоростью света, то, как показывает в теории относительнойности, и обичные силы не остаются инвариантными. Поэтому мы ограничиваем себя классическими нерелятивистскими системами отчета.

30

модействия между нуклонами — полем ядерных сил.

Во всех этих случаях взаимодействие тел проискодит без непредставленного контакта. Понятие физического поля сил и было введено для описания такого сорта взаимодействий. Это понятие прочно вошло в физику и в XX века совершенно вытестило понятие контактийных сил. Лишь на малых расстояниях иногда практические удобнее говорить о соприкосовении тел, о толчке или ударе.

Для того чтобы сохранить третий закон Ньютона, говорят об обратном воздействии тела на поле. Таким образом, например, свойят взаимодействие двух удаленных друг от друга электрических зарядов к взаимодействию заряда и поля в месте нахождения заряда.

Проискствие в автобусе тоже можно описать, используя понятие поля сил. В тормозящем автобусе, с точки зрения водителя, возникает поле сил инерции, которое действует на пассажиров. Но следует подчеркнуть, что это поле возникло из-за того, что система отчета движения сускорением, и оно может быть «уничтожено» переходом в инерциальную систему координат.

Таким образом, вускоренное движущемся автобусе (мы дальше будем говорить — в системе координат) возникает поле сил инерции, замечательное, прежде всего, тем, что оно создает всем телам в системе, независимо от их массы, одинаковыеускорения. Этиускорения равны по абсолотной величиныускорению системы координат и направлены в противоположную сторону.

Только одна сила в природа — сила тяготения — обладает таким же свойствам. Например, в поле тяжестей Земли все тела свободно падают с одним и тем жеускорением относительно инерциальной системы отчета. Эта аналогия на самом деле имеет глубокий смысл — она отражает линей приципп эkvивалентности *), фундаментальный смысл которого раскрывается в теории относительнойности.

А пока мы можем формулировать важный вывод: подобно силам тяготения, силы инерции пропорциональны массе тела. Это есть следствие равенстваускорения всех свободных тел в неперциальной системе координат.

Какие бывают силы инерции?

Приципп относительно Галилея утверждает, что в любой движущейся инерциальной системе отчета действуют те же законы механики, что и в покоящейся системе**). Иначе говорят, что никакими опытами внутри системы наблюдается не может узнать, движется он равномерно и прямолинейно или поконтся. В частности, матриальная точка, на которой в такой системе не действуют никакие тела, будет либо поконтся, либо движется безускорения. К этому мы должны добавить, что точка не должна находиться ни в электрическом, ни в магнитном полях и на нее не должна действовать извне никакое массивное тело. Разумно применять приципп относительно Галилея, так сказаны, в обратную сторону для установления того, является ли система отчета инерциальной или нет. Мерой этого, оченьindo, должна служить степень точности выполнения законов Ньютона в этой системе.

*) См., например, статью Д. Бородина «Гравитационная масса», «Квант», 1973, № 2.

Заметим, кстати, что полезен Земли тоже можно «уничтожить», перейдя в другую систему координат, например, в космический корабль. Явление неевосмотности (когда сила тяготения «уравновешивается» силой инерции) отражает текную гравитационные силы с силами инерции.

**) Приципп относительно Эйштейна идет еще дальше, утверждая, что все законы физики (а не только механические) остаются таким же. В этой статье мы будем говорить только о классических механических явлениях.

31

Рис. 1.

Если же мы рассматрием движение тела в неинерциальных системах отчета, то нельзя забивать, что кроме обычных сил взаимодействия на тела действуют еще силы инерции. Чтобы записать уравнение движения тела, надо уметь определять все силы. Объчные силы зависит от взаимного расположения тела и от их относительных скоростей. Силы инерции, вызванные ускорением движения системы отчета, очевидно, должны зависеть и от характера движения самой системы отчета.

Рассмотрим два случая:

1. система отчета относительно неподвижной инерциальной системы движения поступательно с некоторым постоянным ускорением;
2. система отчета врашается во кругл неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

В первом случае возникет только одна сила, которое так и называют силой инерции. Во втором случае надо говорить о двух силах. Первая зависят только от координат, то есть от расстояний до оси врашения; эти силы называют центровкой силой инерции. Вторая зависят от скорости движения тела относительно врашющейся системы отчета, но не зависят от координат; ее называют корниссовой силой в части французского механика Корполиса (1792—1843). О корниссовой силе в этой статье мы говорить не будем.

Для того чтобы получить конкретные выражения для силей инерции при поступательном движении и для центровкой силей инерции, достаточно сопоставить движения тела в инерциальной и неинерциальной системе отчета.

Поступательное движение системы отчета

Пусть система отчета $K'$ движется равноускоренно с ускорением $a_0$ относительно инерциальной системы $K$. Рассмотрим некоторое тело, на которое со стороны другого тела действует сила $F$, сообщая ему ускорение $a$ относительно системы $K$. Ускорение этого тела в системе $K'$ обозначаем $a'$. Опишем движения выбранного тела с точки зрения двух наблюдателей: один связан с системе $K'$ (будем назвать его подвижным наблюдателем), другой находится в системе $K$ ( его будем назвать неподвижным).

Для неподвижного наблюдателя (в инерциальной системе отчета) тело участует в двух движениях (рис. 1): с ускорением $a'$ относительно системы $K'$ и с ускорением $a_0$ относительно системы $K$, поэтому его полное ускорение

$$a = a' + a_0.$$

Запишем уравнение движения тела:

$$m a = F,$$

или

$$m (a' + a_0) = F.$$

Посленее равенство можно переписать по-другому:

$$m a' = F - m a_0.$$ (1)

32

В частином случае, когда $F = 0$, в системе $K$ ускорения нет, то есть $a = 0$, поэтому

$$a' = -a_0.$$

Таким образом, подвижный наблюдаемый обнаружит, что все свободные тела в его системе имеют ускорение, равное по абсолотной величины ускорению самой системы отчета, но направленное в противоположную сторону. Можно сказать, что в этой системе есть поле сил, которое действует на тела с силами $F_n$, называемых силами инерции.

Итак, с точки зрения подвижного наблюдаемого уравнения движения тела в общем случае надо записать так (рис. 2):

$$m a' = F + F_n.$$ (2)

Сравнивая (1) и (2), нетрудно заметить, что

$$F_n = -m a_0.$$

To есть в случае поступательного движения неперцательной системы отчета сила инерции зависит от ускорения этой системы, которое легко изменить на опыте. Заметим также еще раз, что сила инерции (подобно силе тяжесте) пропорциональная массе тела.

Потенциальной энергии тела в этом поле. Можно это сделать и для поля сил инерции, воспользоваться аналогий с полем тяжесте Земли. Сходство этих полей состоит, прежде всего, в том, что все свободные тела в ускоренной системе отчета движутся с одинаковыми ускорениями, не зависитми от их масс.

Известно, что в близи поверхности Земли (где ускорение свободного давления постоянно) тела массой $m$ обладает потенциальной энергией

$$\Pi = mgx,$$

где $x$ — высота тела над поверхностью Земли (рис. 3). Заметим, кстати, что величину $\varphi = gx$ называют потенциальом поля тяжесте. При перемещении тела с высоты $x_1$ на высоту $x_2 < x_1$ поле совершает работу

$$A = mg (x_1 - x_2) = -(\Pi_2 - \Pi_1),$$

то есть работу, равную убили потенциальной энергии тела. Эта работа идет на увеличение кинетической энергии тела: на сколько уменьшилась потенциальная энергия, настолько же увеличилась кинетическая энергия, так что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. Поэтому полная энергия

$$E = \frac{mv^2}{2} + mgx$$

остается неизменной, сохраняется во время движения.

Если система отчета $K'$ ускоряется в направлении оси $x'$ (рис. 4) и

33

Все свободные тела «падают» сускорением $a_0$, равнымускорению движения самой системы, то по аналогии выражение для потенциальной энергии тела массой $m$ в поле сил инерции можно записать так:

$$\Pi' = ma_0x'$$

где $x'$ — координата тела в системе $K'$. Величину $\varphi' = a_0x'$ разумно называть потенциальом поля сил инерции.

Тогда полная энергия тела вускоренной системе отчета равна

$$E' = \frac{mv'^2}{2} + ma_0x'$$

где $v'$ — скорость тела. Причем, величина полной энергии все время остается постоянной.

Центровежная сила инерции

Рассмотрим теперь систему отчета, котораявращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной оси. Такой системой может быть, например,вращающийся диск. Мы уже говорили о том, что в случае выращения системы отчета надо горорить о двух сил инерции — центровежной и корнилисьой. Ограничимся рассмотрением только центровежной силы инерции. Эта сила зависит от координаты тела и не зависит от того, поконтся оно или движется относительно выращенной системы отчета, поэтому для простоты рассужdenый будем считать, что тело неподвижно.

Пусть на главком врашающемся диске лежит тело, которое с помощью пружины удерживается на диске на расстоянии $r$ от оси врашения. Опшем его поведение с точки зрения неподвижного и подвижного наблюдаемой.

Неподвижный наблюдаемый (связанный с инерциальной системе отчета) скажет, что поскольку тела движется по окружности, то оно имеетускорение, называемое центростремильным и равное по величины

$$a_\mu = \omega^2 r.$$

Этоускорение тела сообщает сила упругости растянутой пружины $F_y$, поскольку никакие другие тела в горизонтальной плоскости на тело не действуют (рис. 5). Согласно второму закону Ньютона

$$m a_\mu = F_y.$$

С точки зрения подвижного наблюдаемой (связанного с врашающемся инерциальной системе отчета) тело поконтся, следовательно, сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Поэтому этот наблюдаемый должен сказать, что есть сила, уравновешивающая силу упругости (рис. 6). Это — центровежная сила инерции $F_{и.ц}$, равная

$$F_{и.ц} = -F_y = -m a_\mu.$$

Знак «минус» говорит о том, что эта сила направлена противоположно центростремильномуускорению, то есть по радиусу от оси врашения, и равна по величины $F_{и.ц} = m\omega^2 r$.

34

Здесь уместно заметить, что существует досадная двусмысленность в сложившейся терминологии. Дело в том, что в неподвижной системе отсчета слиу, с которой движущаяся по окружности материальная точка действует (по третьему закону Ньютона) на тело, удерживающее ее на окружности (на пружину в нашем примере), называют также центровежной слиой. С этой слиой никака не надо путать центровежную слиу инерции (это последнее, самое главное слово часто опускают), которая действует на любое тело во врашащейся (неинерциальной) системе отсчета. Эти две слиы проявляются в разных системах отсчета и приложены к разным телам (рис. 7).

Потенциаль поля центровежных слий инерции

Подсчитаем работу, которое совершает поле центровежных слий инерции по перемещению материальной точки массой $m$. Пусть начальная координата точки (расстояние от оси врашения) равна $r_1$, а конечная — $r_2$. Центровежная слия инерции равна $m\omega^2 r$ и направлена от оси врашения.

Если $r_2 - r_1$ мало, то можно записать

$$A = F_{и.ц} \Delta r = m\omega^2 \frac{r_1 + r_2}{2} \Delta r,$$

заменив среднюю слиу $F_{и.ц}$ слиой в средней точке. Подставив вместо $\Delta r$ значение $r_2 - r_1$, получим

$$A = \frac{m\omega^2 r_2^2}{2} - \frac{m\omega^2 r_1^2}{2}.$$

С другой стороны, работа всегда равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, то есть

$$A = -(\Pi'_2 - \Pi'_1).$$

Сравнивая два выражения для работы, заметим, что величины

$$\Pi' = -\frac{m\omega^2 r^2}{2}$$

можно назвать потенциальной энергий материальной точки в поле центровежных слий инерции, а величины

$$\varphi' = -\frac{\omega^2 r^2}{2}$$

соответственно потенциальом этого поля.

Тогда для врашащейся системы отсчета полная энергия точки при движении равна

$$E' = \frac{mv'^2}{2} - \frac{m\omega^2 r^2}{2}$$

и величины ее остаются постоянной.

Напомним, однако, что во врашащейся системе отсчета действует еще одна слия инерции (сила Корюлиса), зависит от скорости материальной точки. Поэтому, для того чтобы запись уравнение второго за-

35

кона. Ньютона в этой системе, недостаточно знать выражение для полной энергии. Но об этом будет расссказано в другой статье.

В заключение приведим несколько задач, причем читатель самим предлагается ввести все исходные данные, необходимые для решения этих задач.

Уражнения

1. В вагоне на полке лежал грузик, скрепленный со стенкой с помощью пружинки. Когда поезд стал движется сускорением, грузик на пружинке начал колебаться. Найти перiod его колебаний.

2. На этот раз грузик высел на вервочке. Приускоренном движении поезда он начал колебаться. Найти перiod колебаний и положение равновесия этого математического матрика.

3. В трубке, прикрепленной к тележке и изогнутой под прямым углом, налита вода, заполненная горизонтальное колено. На какую высоту поднимается вода в вертикальном колене, когда тележка начинает движаться ускорено?

4. Чемодан, лежащий на полке, был привязан вервкой. При какомускорении поезда вервка оборвется? Как влияет трене чемодана о полку?

5. Пружину с грузиком врашают с угловой скоростью $\omega$. Как будет колебаться грузик?

6. В цилиндрическом сосуде находится кислород. Сосуд врашается вокруг оси. Как изменяется давление газа по радиусу сосуда?

Задания

1. Направо и налево от нуля выписьают числа натурального ряда:
   …6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7…

Затем, отсчитывая от правой единици, зачеркивают каждое треть число (и налево, и направо), отсчитывая от левой единици— каждое пятое число, отсчитывая от правой двойки— каждое седьмое число, отсчитывая от левой двойки— каждое девятое число и так далее. Доказать, что в результате слева незачеркинутыми останутся все такие числа $k$, что $4k+1$ — простое число, а справа — все такие числа $m$, что $4m-1$ — простое число.

2. На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $L_1$, $M_1$, $N_1$ и $L_2$, $M_2$, $N_2$, причем так, что
   $$\frac{AL_1}{L_1B} = \frac{BL_2}{L_2A},$$
   $$\frac{BM_1}{M_1C} = \frac{CM_2}{M_2B},$$
   $$\frac{CN_1}{N_1A} = \frac{AN_2}{N_2C}.$$

Доказать, что площади треугольников $L_1M_1N_1$ и $L_2M_2N_2$ равны.

3. На стороны треугольника $ABC$ опущены высоты $AD$, $BE$ и $CF$. Доказать, что
   a) площadb треугольника, вершинами которого является середины $H$, $K$ и $L$ проведенных высот, равна $1/4$ площади треугольника $DEF$;

6. обозначим через $\theta$, $\varphi$ соответствие углы (отчисываемые против хода часовой стрелки), которые образуют прямые $HK$ и $AB$, $KL$ и $BC$, $LM$ и $CA$; тогда справаливо равенство
   $(\cos^2 A + \cos^2 B) \ tg \theta +$
   $+ (\cos^2 B + \cos^2 C) \ tg \varphi +$
   $+ (\cos^2 C + \cos^2 A) \times$
   $\times \ tg \psi = 0.$

36

А. К. Кикоин
ФИЗИКИ,
МАТЕМАТИКИ,
СПОРТ…

«Горы в моей жизни церали очень большую эмоцionalную роль, нетронутая природа приосила ни с чем не сравнимое духовное умиротворение. К этому присоединяется глубокое удовлетворение от предоления прелятствий. В горах зарождается скрепленная опасности druжба с товарицами, остаюцаяся на всю жизнь.»

И. Е. Тамп

37

«Идет к вершинам
Игорь Тамм,
А мы за Таммом
по пятам…»

Эти незамысловые стихи содержались в одном из приветствий, обращенных в день семидесятилетнего юбилея к академику Игорю Евгеньевичу Тамму. Вершины, о которых говорится в этом дустишии, — это не аллегорическая вершины науки, а вершины в буквальном смысле этого слова — вершины высоких гор. Физикам всего мира лауреат Нобелевской премии по физике академик И. Е. Тамм известен как автор многих выдающихся научных работ по теории ядерных сил, теории особых состояний электронов на поверхности кристалла («уровни Тамма»), теории излучения быстрых электронов в веществе, теории плазмы в магнитном поле и многих других. Но альпинистам в нашей стране И. Е. Тамм был известен также как entузиаст высокогорного спорта. И. Е. Тамм был одним из первых восходителей на вершины Алтая, а одна из вершин этого района носит его имя (пик Тамма).

Альпинисты знают и многих других ученых — физиков и математиков — любитей гор и восходений. Известный советский математик член-корреспондент

Нильс Бор на льжах.

Фредерик и Ирэн Жолно-Кюри перед лыжным походом.

Фредерик Жолно-Кюри с сыном на рыбалке.

И. Е. Тамм и заслуженный мастер спорта инженер-электрик Е. А. Козакова. Кавказ. 1960 г. (Фотография публикуется впервые.)

38

Академии наук СССР Борис Николаевич Делоне не только сам совершил немало восходений на вершины, но и был организатором первого альпинистского лагеря в нашей стране. Этот он положил начало той системе обучения и спортивного совершенствования альпинистов, которая сделала совершенные альпинистовые сильнейшими в мире.

Другой математик, академик Алексадр Данилович Алексадров, также известен не только как автор выдающийся работ по геометрии, но и как мастер спорта СССР по альпинизму, совершивший ряд труднейших восходений на

Кавказе и в других районах страны. Отличный горно-лыжник, он, будучи ректором Ленинградского государственного университета, не раз выгрывал совершенняния по сланому у молодых своих питомцев — студентов университета.

Многие другие физики и математики и нашей стране, и за рубежом, в том числе и самые прославленные из них, увлекательные высокогорным спортом. Не раз совершали восходения на вершины гор такие корифей физики, как Нильс Бор, Вернер Гейзенберг. Горные походы, пешие и даже влосипедные, любил совершать Энрико Ферми. Известьный физик Джон Тиндаль (явление рассеяния света в мутных средах носит название эфекта Тиндала) первым совершил восходение на одну из труднейших альпинистских вершин — Маттергорин.

Но альпинизм — не единственный вид спорта, который увлекался физики и математики. О Нильсе Боре рассказывают, что однажды, когда он прогулялся по улицам Копенгагана с приехавшим к нему физиком из Германии, последний обратил внимание на то, что можноство прохожих приветствует Бора. Загранничный рост выразил Бору свой восторг по пово-

39

Ду выиского культурного уровня датчан, так хорошо знающих своего знаменитого физика. Но Бор ответил ему, что привестишим его прохождение извлечен вовсе не как физик, а как…· боксер… Бор был также отличным яхтsemом, а во время пребывания его в США в период работы над atomной бомбой Н. Бор удивил молодых американских физков своим искусством горнолыжника. Ему было в то время около 60 лет…

На первый взгляд увеличение ученых спортом казетсястраным. Многие ведь считают, что успешная научная работа требует, чтобы ей отделалось все время ученого. Где уж тут выкроить время для путешествия по горам? Но недаром восточная последница говорит, что отдельки принадлежит труду, как ночь дню. Отдых необходим кождому, кто трудится. Но отдельать — значит открыться от того, чем занят во время труда. А ученому открыться от научки очень трудно. И лучший способ открытия — это занятия спортом. Да еще таким, который требует большой и продолжительной физической нагрузки и связан с сильными влечениями. Именно такое альпинизм: движение вверх, с тяжелым рюкзаком, в условиях постоянной опасности, наилучшим образом заставляет забыть о том, чем весь год был занят мозг… Возможно, что именно поэтому многие физики и математики отдают предопчение альпинизму. Но, как мы видели, и другие виды спорта не чужны им.

Спорт, любой вид спорта — лучший отдых для тех, кто занимается научкой. Да и для тех, кто еще только изучает ее!

40

Вступительная контрольная работа в ВЗМШ в 1974 году
Решения задач
А. Л. Тоом

В этом номере мы публикуем решения наиболее интересных задач из вступительного работы в ВЗМШ 1974 года (см. «Квант», 1974, № 1, c. 73).

Задание 1. Три другие сырные несколько партии в шахматы, причем каждый двое сырали друг с другой одинаковое количество партии. Помом стали решать, кто победил.

Первый сказал: «У меня больше, чем у каждой из вас, вышешей». Второй сказал: «У меня меньше, чем у каждой из вас, прощешей». Но коеда подсчитали очки, то оказалось, что больше всех очков набрал премьер (вызрыши — 1 очко; ничья — 1/2 очка, проезды — 0). Моело ли мак быть? Если нет — докажите, если да — приведите пример.

Да, так могло быть. Вот пример, доказывающий это. Пусть каждый двое сырали по 7 партии, причем из них:

первый выигral у второго две партии;

второй выигral у третього три партии;

третьий выигral у третього четыре партии.

Остальные партии закончились вничью.

Задание 2. Существуют ли три положительных целых числа a, b, c таких, что a меньше 1974, b на 1575 меньше c и a² + b² = c²?

Да, такие числа существуют. Можно было бы просто их выписать, но мы обьясим, как их найти, и получно показем, что эта тройка чисел единственна.

По условиям,
$$\begin{cases} c^2 - b^2 = a^2, \\ c - b = 1575, \\ a < 1974. \end{cases}$$

Из этой системы видно, что $a^2$ делится на 1575=3²·5²·7. Поэтому $a$ делится на 3·5·7=105.

Положим $a = 105$ k. Из неравенства $a < 1974$ следует, что $1 \leq k \leq 18$. Тогда
$$c = \frac{1}{2} (7k^2 + 1575),$$
$$b = \frac{1}{2} (7k^2 - 1575),$$
откуда $k > 15$. При $k = 16$ и $k = 18$ число $b$ получается нецелым. Остается только $k = 17$. Тогда
$$a = 1785, b = 224, c = 1799.$$

Легко убедиться, что эти числа удовлетворяют условиям.

Задание 6. Точка $D$ лежит на биссертрисе угела ACB. На луче AC выбрали точки $A_1$ и $A_2$, а на луче CB — точки $B_1$ и $B_2$ мак, что цельные точки $A_1$, $C$, $B_1$, $D$ лежат на одной окружности и цельные точки $A_2$, $C$, $B_2$, $D$ лежат на одной окружности. Доказите, что $A_1A_2 = B_1B_2$.

Введем обозначения: $CD = a$, $\rightarrow ACD = \rightarrow BCD = \alpha$. Нам надо проделать два аналогичных построения. Чтобы не писать два раза одного и то же, введем переменную $n$, принимающую два значения: 1 и 2, и опишем построение один раз, употребляя переменную $n$ (см. рис. 1). Продолжим

41

Рис. 1.

АС за точку C на отрезок CEₙ = CBₙ. Отложим на дуге CBₙD дуг DFₙ, равную дуге CBₙ. Очевидно, ⇒CDFₙ = α и DFₙ = CBₙ = CEₙ. Поэтому, учитывая соответствие ⇒AₙCD = ⇒CDFₙ, получаем, что CDFₙEₙ — параллелограмм, и EₙFₙ = CD = α. Далее, ⇒CAₙFₙ = ⇒CDFₙ, поскольку они опираются на одну дуг CFₙ; поэтому ⇒EₙAₙFₙ = α.

Таким образом, в треугольнике EₙFₙAₙ
EₙFₙ = FₙAₙ = α,
⇒EₙFₙAₙ = 180° - 2 α.

Позному треугольники E₁F₁A₁ и E₂F₂A₂ равны по первому признаку.

Рис. 2.

Тогда
E₁A₁ = E₂A₂,
B₁C + A₁C = B₂C + A₂C,
B₁C - B₂C = A₂C - A₁C,

откуда B₁B₂ = A₁A₂, что и требовалось доказать.

Задание 7. Подряд в стройку выписаны 1974 цифры. Каждый двумя числа, записьаемое двумя соседними цифрами (в том порядке, в каком они написаны), делится на 17 или на 23.

a) Последняя цифра 1. Какова первая?
b) Первая цифра 9. Какова последняя?

Удобно начертить «граф» (схему из стрелок), как показано на рисунке 2. В нем стрелка из цифры x в цифру y означает, что y может следовать за x, то есть двумя числами ху делится на 17 или на 23.

Мы видим, что перед 1 может стоять только 5, перед 5 — только 8 и так далее, каждая цифра однозначно определяет предыдущую. При этом, если мы идем по стрелкам назад от цифры 1, то цифры, начиная с 6, повторяются с перiodом 5. Поэтому, если 1974-я цифра 1, то 1971-я цифра 6, а так как дальше — повторение с перiodом 5, то первая цифра тоже 6.

Пусть теперь первая цифра 9. Поедем по стрелкам вперед. После 9 может стоять только 2, после 2 только 3, после 3 только 4, после 4 только 6, а вот после 6 может стоять и 9, и 8.

Но после 8 должно стоять 5, 1, 7, а после 7 ничего не может.

Таким образом, 8 может появиться не раньше чем на 1971-м месте, а до тех пор после 6 может стоять только 9. Цифра 6 в первый раз появилась на 5-м месте и будет повторяться с перiodом 5. Значит, на 1970-м месте будет 6. На 1971-м, как мы выяснили, может быть 9 или 8, а на 1974-м месте может быть 4 или 7.

Задание 8. Периметр выпуклое четырехугольника ABCD равен 10, его стороны AB и CD параллельны.

42

Найдите длины всех сторон, если известно, что биссектрисы углов А и В чётмырхолника делят сторону CD на три равные части, а биссектрисы углов С и D делят сторону AB на три равные части.

В этой задаче возможно четыре случая, схематически изображенные на рисунках 3, 4, 5, 6. Рисунки не воспроизводят действительных длин сторон или величины углов, показан только порядок следования точек пересечения биссектрис $AE$, $BH$, $CK$, $DM$ со стороны.

I случай (рис. 3). Пусть $AM = MK = KB = a$. Заметим, что $\Rightarrow AMD = \Rightarrow CDM = \Rightarrow ADM$. (*) Позному $AD = a$. Аналогично $BC = DE = EH = HC = a$. Позному перimetр четыреххрологически равен 8 $a$, откуда $a = 5/4$. Ответ для этого и других случав dan в таблице.

II случай (рис. 4). Пусть $AK = KM = MB = a$. Равенства (*) снова верны, поэтому $AD = 2$ $a$, и аналогично $BC = DE = EH = HC = 2$ $a$. Перimetр равен 13 $a$, откуда $a = \frac{10}{13}$.

III случай (рис. 5) аналогичен случаю II.

IV случай (рис. 6). Пусть $AK = KM = MB = a$. Используя те же равенства углов (*), получаем: $AD = BC = 2$ $a$, $DE = HC = 2$ $a$, откуда $DH = HE = EC = a$. Перimetр равен 10 $a$, откуда $a = 1$.

Задание 9. a) Перечисление все возможные прямоугольники, у которых длины сторон больше 10 и которые можно разрезать на 28 прямоугольников размером $3 \times 5$.

6. Можно ли 28 брусками размером $3 \times 5 \times 10$ заполнить какую-нибудь прямоугольную коробку $a \times b \times c$, где $a \geq b \geq c \geq 10$?

a) Очевидно, площадь такого прямоугольника равна $28 \cdot 3 \cdot 5 = 420$. Длины его стороны — целые числа. Значит, надо разбить число $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ на два целых множители, каждый из которых больше 10. Рассмотрим тот множество, который делится на 7.

43

Рис. 7.

Он больше 10 и меньше 42 (инначе второй множитель не больше 10).

Получаем четыре случая: 1) $14 \times 30$; 2) $21 \times 20$; 3) $28 \times 15$; 4) $35 \times 12$.

Мы выяснили, что никакой прямогольник, отличный от четырех перечисленных, не годится. Подходят ли эти четыре?

Заметим, что если длина одной стороны прямогольника делится на 3, а второй — на 5, то такой прямогольник можно разрезать на прямогольники размером $3 \times 5$. Отсюда сразу следует, что прямогольники размером $21 \times 20$ и $35 \times 12$ подходят.

Примогольник размером $14 \times 30$ разрежем сначала на два прямогольника: $9 \times 30$ и $5 \times 30$. Оба они могут быть разрезаны на прямогольники размером $3 \times 5$, значит, прямогольник размером $14 \times 30$ тоже подходит.

Примогольник размером $28 \times 15$ можно разрезать на прямогольники $25 \times 15$ и $3 \times 15$.

Значит, все четыре прямогольника подходят.

6. Да, можно. Приведем пример, доказывающий это. Пусть
   $$a = 20, b = 15, c = 14.$$
   Разрежем эту коробку размером $20 \times 15 \times 14$ на две: размером $20 \times 15 \times 9$ и $20 \times 15 \times 5$.

В каждой из двух полученных коробок одно измерение делится на 3, другое — на 5, третье — на 10. Поэтому каждую из них, конечно, можно заполнить брусками $3 \times 5 \times 10$. Всего брусков получится 28.

Задача 10. Существует ли девятизначное число, записываемое цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, у которой нельзя вычеркить пять цифр так, чтобы оставшиеся четыре цифры в порядке возрастания или в порядке убывания?

Да, существует. Докажем, например, что годится такое число:

321 654 987.

Легко проверить, что если какие-то две цифры этого числа стоит в у бы - в а ю щ е м порядке (меньшая сторие правее большей), то они обязательно из одной тройки. Значит, в этом числе нельзя выбрать большие трех цифры, стоящих в убывающем порядке, поскольку все эти цифры должны находиться в одной тройке.

Если же какие-то цифры этого числа стоит в воздухе щ е м порядке, то они обязательно из разных троек. Поскольку требен всего три, то нельзя выбрать более трех цифры, стоящих в воздухе щ ем порядке.

Существуют и другие примеры. Например, годится число:

638 159 274,

докажите это самостояльно.

Задача 11. Можно ли указать внутренний треугольник со сторонами 3, 4, 5 мощу, расстояния от компоной до каждой из сторон треугольника: a) меньше 2; b) меньше 1?

a) Можно, подходит центр вписанной окружности (ее радиус равен 1).

Ответ на вопрос 6): нет, нельзя. Докажем это. Проведем из центра O вписанной окружности радиуса ко всем точкам касания со стороны и обозначим прямыми цифрами части, на которых разделятся наши треугольники (см. рис. 7). Легко доказать, что если искомая точка M находится в части I (включая границу), то расстояние от M до AB не меньше 1. Аналогично, если M — в части II, то расстояние от M до BC не меньше 1, а если M — в части III, то расстояние от M до AC не меньше 1.

44

Задачик Кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 октября 1974 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта», М276, М277» или «… Ф288».
Решения задач по каждому из предметов [математике и физике], а также новые задачи просбапись в отдельных конвертах. Задания из различных номеров журнала просылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанием на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, просылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обещаем указывать, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наболее трудные отечечные звездочки.
В этом номере, как и в предыдущем, «Задачик «Кванта» составлен из задач последней Всесоюзной олимпiadы и их обобщений. Полный набор задач олимпiadы и подробный рассказ о заключителном.type мы помещим в № 10 за этот год.

Задачи

M276—M280; Ф288—Ф292

M276. Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем BP = BQ. Пусть H — основание перпендикула, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ — прямой. (10 кл.)

Н. В. Васильев

M277. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовем точку «особой», если более половины из соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки. (10 кл.)

А. М. Штейнберг

M278. a) Каждая из сторон выпуклого шестиугольника имеет длину больше 1. Всегда ли в нем найдется диагональ длины больше 2?

6. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF длины диагонале AD, BE и CF больше 2. Всегда ли у него найдется сторона длины больше 1? (8 кл.)

Н. Х. Адаханов

M279. На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно +1 или —1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешается узнать

a) произведение чисел на любых трех карточках?

6. произведение чисел на любых трех карточках, лежащих подряд? (n — натуральное число, больше 3). (9 кл.)

Ю. И. Ионин

45

М280*. Дан треугольник ABC площади 1. Пусть $A_1, B_1$ и $C_1$ — середины сторона BC, AC и AB соответственно. Какую минимально площадь может иметь общая часть треугольников $A_1B_1C_1$ и KLM, если точки K, L и M лежат соответственно на отрезках $AB_1, CA_1$ и $BC_1$? (10 кл.)

Б. М. Иольев

Ф288. Сосуд C (рис. 1) сообщается с окружающим пространством через малое отверстие. Температура газа в окружашем пространстве T, давление p. Газ настолько разрежен, что молекулы при пролете в сосуд и из сосуда на протяжении размеров отверстия не сталиваются друг с другом. В сосуд поддерживает температура 4 T. Каким будет давление в сосуд? (9 кл.)

Ф289. По сторонам прямого угла скользит жесткая палочка длины 2 l, в центре которого закреплена бусинка массы m. Скорость точки B постоянна и равна v (рис. 2). Определить, с какой силой действует бусинка на палочку в тот момент, когда $\alpha = 45^\circ$. (8 кл.)

Рис. 1. Рис. 2.

Ф290. Трубка, в которой находится пружинка с прикреплением к ней шариком, может врашаться вокруг вертикальной оси, проходящей через конец трубки. Свободный конец пружинки прикреплен к трубке (рис. 3). График зависимости силы упругости пружины F от деформации представлен на рисунке 4.

Нарисуйте примерный график зависимости смесения шарика вдоль трубки от угловой скорости при увеличении ее от нуля до такой величины,

когда $F = 5$ н. Как изменится эта зависимость при уменьшении угловой скорости? $l_0 = 2$ см. (8—9 кл.)

Ф291. Два одинаковых конденсатора A и B, каждый emкость C, и катушка с индуктивностью L соединены как показано на рисунке 5.

Рис. 5. Рис. 6.

В начальной момент ключ K разомкнут, конденсатор A заряжен до разности потенциальов U. Заряд конденсатора B и ток в катушке равны нулю. Определите максимальное значение тока в катушке после замыкания ключа. (10 кл.)

Ф292. Из одной точки на дне горизонтального кругового железа разлетаются шарики под небольшими углами к образующей железа с одинаковыми проекциями скорости вдоль этой образующей (рис. 6). Встретается ли эти шарики? (10 кл.)

46

Решения задач
M236—M240; Ф243—Ф247

M236. a) Имеется 51 двузначное число. Доказим, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Данны натуральные числа k и n, 1 < k < n. Для каждого наименьшего m верно следующие утверждения: при любой рассмановке m ладей на доске размером n × n можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из выбранных ладей не были друг друга?

Решим сначала задачу 6). Доказем, что если m = n (k − 1) + 1, то всегда можно выбрать k ладей так, чтобы никакие две из них не были друг друга. (To, что n (k − 1) ладей недостаточно,— очень много расставить в первых k − 1 столбцах и тогда больше чем k − 1 выбрать невозможно.) Итак, m = n (k − 1) + 1. Показем, что из этих m ладей всегда можно выбрать такую, что в ее «кресте» — прохождение через ладью столбце и строке — стоит не более n + k − 2 ладьи. Пусть этого сделать нельзя. Выберем среди всех рядов (строк и столбцов) тот, в котором ладей больше всего; обозначим их число через l. По предположению в кресте каждой из этих ладей стоит больше n + k − 2 ладьи; значит, всего ладей не меньше l (n − k − l), причем l ≥ n + k − l и n ≥ l, то есть l ≥ k. Теперь уже легко заметить, что l (n + k − l) не меньше n · k, что больше m = n (k − 1) + 1, если n больше единицы. Получили противоречение; поэтому найдется ладья, крест которой содержит не более n + k − 2 ладьи. Отметим эту ладью и вырежем ее крест из dockки. Из оставшихся частей составим dockу размерми (n − 1) × (n − 1). На новой доске будет не меньше m − (n + k − 2) = n (k − 1) + 1 − (n + k − 2) = (n − 1) (k − 2) + 1 ладей.

Предположим теперь, что для досок r × r, где r < n, утверждение уже доказано (проверьте его, например, для n = 3, k = 2). Тогда на доске (n − 1) × (n − 1) из (n − 1) · (k − 2) + 1 ладей всегда можно выделить (k − 1) ладью так, что никакие

47

каошпесся внутри треугольника в точке O (рис. 1). Заметим, что для того, чтобы центр тяжестки*) эти масс попал в точку O, необходимо выполнение соответствий $\frac{m_c}{m_a} = \frac{AD}{DC}$ и $\frac{m_b}{m_a} = \frac{AE}{BE}$ (доказите это). Перейдем теперь к решению задачи.
a) Пусть BD и CE—высоты в треугольнике ABC (рис. 2). Тогда
$$\frac{BD}{AD} = \text{tg} \alpha, \quad \frac{BD}{DC} = \text{tg} \gamma,$$
то есть
$$\frac{AD}{DC} = \frac{\text{tg} \gamma}{\text{tg} \alpha}.$$
Согласно следующему замечанию, $\frac{m_c}{m_a} = \frac{\text{tg} \gamma}{\text{tg} \alpha}$ и аналогично $\frac{m_b}{m_a} = \frac{\text{tg} \beta}{\text{tg} \alpha}$. Значит, в вершины A, B, C треугольника ABC можно поместить, например, массы $m_a = \text{tg} \alpha, m_b = \text{tg} \beta, m_c = \text{tg} \gamma$.
6) Пусть O—центр описанной окружности (рис. 3). Имеем:
$$\frac{AD}{BD} = \frac{\sin \beta_1}{\sin \alpha},$$
$$\frac{DC}{BD} = \frac{\sin \beta_2}{\sin \gamma}.$$
(терема синусов для треугольников ABD и BCD).
Позетому
$$\frac{AD}{DC} = \frac{\sin \gamma \cdot \sin \beta_1}{\sin \alpha \cdot \sin \beta_2}.$$
Треугольник BAK — прямогольный

*) О центрах тяжестки см. статью М. Б. Балка, Н. А. Григорьева, Механика помогает геометрии, «Квант», 1973, № 11, с. 34—35.

(✉BAK = 90°) и ✉BKA = ✉BCA = γ; поэтому $\sin \beta_1 = \cos \gamma$. Аналогично $\sin \beta_2 = \cos \alpha$.
Итак,
$$\frac{AD}{DC} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \cdot \frac{\cos \gamma}{\cos \alpha} = \frac{\sin 2\gamma}{\sin 2\alpha}.$$
Учитывая замечание:
$$\frac{m_c}{m_a} = \frac{\sin 2\gamma}{\sin 2\alpha}.$$
Таким же образом
$$\frac{m_b}{m_a} = \frac{\sin 2\beta}{\sin 2\alpha}.$$
Значит, можно взять $m_a = \sin 2\alpha, m_b = \sin 2\beta, m_c = \sin 2\gamma$.
в) Легко видеть (см. рис. 4), что AD=p-a, DC=p-c, где $p = \frac{a+b+c}{2}$, поэтому
$$\frac{m_c}{m_a} = \frac{p-a}{p-c}.$$
Аналогично AE=p-a, EB=p-b, то есть
$$\frac{m_b}{m_a} = \frac{p-a}{p-b}.$$
Позетому достаточно положить
$$m_a = \frac{1}{p-a}, \quad m_b = \frac{1}{p-b}, \quad m_c = \frac{1}{p-c}.$$
г) Так как BD—бисектриса угла B (см. рис. 5), то $\frac{AD}{DC} = \frac{c}{a}$ или $\frac{m_c}{m_a} = \frac{c}{a}$;
соответствие CE—бисектриса угла C и $\frac{AE}{BE} = \frac{b}{a}$, то есть $\frac{m_b}{m_a} = \frac{b}{a}$. Позетому можно взять $m_a = a, m_b=b, m_c=c$.

Б. Д. Гинзбург

48

Рис. 6.

M238. Докажите, что сумма $C_n^1 + C_n^3 \cdot 1973 + C_n^5 \cdot (1973)^2 + C_n^7 \cdot (1973)^3 + \dots$ делится на $2^{n-1}$. (Здесть $C_n^k$ – коэффициенты множителя множителя)

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^k b^{n-k}.$$

Будем решать нашу задачу по индукции. Положим

$$\gamma_n = C_n^1 + C_n^3 \cdot 1973 + C_n^5 \cdot (1973)^2 + \dots$$

Имеем:

$$\gamma_1 = 1 \text{ делится на } 2^{1-1}=1;$$
$$\gamma_2 = 2 \text{ делится на } 2^{2-1}=2.$$

Предположим, что при всех $k<n$

$$\gamma_k = C_k^1 + C_k^3 \cdot 1973 + \dots.$$

делится на $2^{k-1}$, и доказем, что тогда $\gamma_n$ делится на $2^{n-1}$. Из определения чисел $C_n^k$ сразу следует, что

$$\gamma_n = C_n^1 + C_n^3 \cdot 1973 + \dots = \frac{(1 + \sqrt{1973})^n - (1 - \sqrt{1973})^n}{2\sqrt{1973}}.$$

Обозначим $1 + \sqrt{1973}$ через $\alpha, a_1 - \sqrt{1973}$ через $\beta$.

Учитывая эти обозначения, перепишем $\gamma_n$ так:

$$\gamma_n = \frac{(\alpha^{n-1} - \beta^{n-1})(\alpha + \beta)}{2\sqrt{1973}} - \frac{\alpha \beta (\alpha^{n-2} - \beta^{n-2})}{2\sqrt{1973}} = 2\gamma_{n-1} + 1972 \gamma_{n-2} = 2\gamma_{n-1} + 4 \cdot 493\gamma_{n-2}.$$

По предположению индykции $\gamma_{n-1}$ делится на $2^{n-2}$, $\gamma_{n-2}$ делится на $2^{n-3}$; значит, все сумма делится на $2^{n-1}$ — что и требовалось доказать.

Л. Г. Лиманов

M239. На плоскости заданы две точки $A$ и $B$. Пусть $C$ — некоморяя точка, одинаково удаленная от $A$ и $B$. Построим последовательность точки $C_1 = C$, $C_2$, $C_3$, …, $C_n$, $C_{n+1}$, …, еде $C_{n+1}$ — ченстр окружности, описанной около треугольника $AC_nB$. При каком положении точки $C$

a) точка $C_n$ попадет в середину отрезка $AB$ (при этом $C_{n+1}$ и дальнейшие члены последовательности не определяны)?
b) точка $C_n$ совпадает с $C$?

Пусть $\not\Rightarrow C_nBA = \not\Rightarrow C_nAB = \alpha_n$. Легко проверить (рис. 6 а, 6), что для остругольного треугольника

$$\alpha_{n+1} = 2\alpha_n - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} < \alpha_n < \frac{\pi}{2},$$

для тупоугольного

$$\alpha_{n+1} = \frac{\pi}{2} - 2\alpha_n, 0 < \alpha_n < \frac{\pi}{4}.$$

Это можно записать одной формулой:

$$\alpha_{n+1} = \left| 2\alpha_n - \frac{\pi}{2} \right|, 0 < \alpha_n < \frac{\pi}{2},$$

которые годится и для прямого треугольника; при $\alpha_n = \frac{\pi}{4}$ получим $\alpha_{n+1} = 0$ — центр $C_{n+1}$ попадает в середину отрезка $AB$.

Положим $\alpha_n = x_n \cdot \frac{\pi}{2}$ ($x_n$ — отношение величины угла $\alpha_n$ к величине прямого угла). Из (3) ясно, что $x_n$ получается из $x_0$ $n$-кратным применимым отображения

$$x \rightarrow f(x) = |2x - 1|, x \in [0, 1],$$

рис. 7.