Квант 1974, №9 · Страницы

Квашт
1974
9
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Научная конференция
учащихся
специальрованных
школ-интернатов

1. Участики конференции во время заседания.
2. Майя Миминовили (Тби-лиси) читает доклад «О группах преобразований».
3. Руководитель киевской делегации И. Н. Яковлев и Владимир Харламов демонстрирует головгамму.
4. Доклад читает Анатолий Иванов (Москва).
5. Виктор Зубко (Киев) рассказывает о своей работе по исследованию комет.
6. Владимир Драчев (Новосибирск) и его фотокамера «Рыбный глаз».
   7—8. Встреча с «Квантом».

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Климова,

художственный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,

зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2 С. Г. Гиндикин. Из истории маятниковых часов
14 М. Л. Гервер. От перемены мест слагаемых…
20 Я. Е. Геузин. Капля

Matematический кругок
26 И. Н. Клумова. Игра «Жизнь»
31 А. Л. Тоом. Из жизни единиц

Задачик «Квант»
40 Победители конкурса «Квант»
42 Задачи M281—M285; Ф293—Ф297
44 Решения задач M241—M245; Ф248—Ф252

Практикум абитурения
53 В. Г. Болтянский. Четырехутольники

Рецензии, библиография
57 В. П. Лицевский. Рассказ о капле
58 И. М. Яглом. Слишком маленькая серия
60 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги

Информация
62 А. Н. Виленкин, В. А. Тихомирова. Научная конференция учашихся специальизированных школь-интернатов
62 Л. В. Кованцова. XIV математическая олимпиада школьников України
67 И. А. Дьяконов, А. В. Качанов, И. И. Наслузов.
77 Телевидение готовит вуз

«Квант» для младших школьников
68 Задачи
69 Ира Попова. Об одной задаче
70 И. Г. Булавко. Дelimость чисел
74 М. П. Головой, Л. С. Куликова. Ветка — барометр

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 13, 19, 52, 57)

На первой странице обложки помещена формуерация часов, матемиком которых описывается концептуо-поверхность. Эти часы были изготовлены во Франции в конце прошлого стольня. Сейчас оки находятся в Москва в Политехническом музее. Впервые часы с концептом матемиком были изобретены и построены Христманом Гюйевском. Об этом рассказано в столье С. Г. Гиндикин. Из истории маятниковых часов (с. 2).

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант» №9 1974 год.

2

Знаменитая история о сутках, «потеряных» во время крутоветного путешествия Магеллана, свидетельствует, в частности, о том, что моряки, отправляясь в дальнейе плавание, доволно скоро лишались информации о местном времени в пункте отплытия. «Хранить» же это время им было важно не только по причанию sentimentalным — для удобства размышлений о родном доме и семье. Вопрос «хранения» времени тесто связаан с проблемой измерения географических координат на борту корабля. Трудно себе представить, что можно совершать дальние плавания, не обладая надежными способами измерения координат в открытом море. Однако исторические факты свидетельствуют о том, что надежные способы для измерения шипоты (по высоте подьема Солнца в полдень) имелись по крайней мере в XVI веке, а сколько-нибуд точно измерить долготу в открытом море море мореплавателя были не в состоянии еще к началу XVII века. Проблема эта интересовала морские державы из сообщений сугубо экономических, и не удивительно, что с самого начала XVII века французские короли Генрих IV и ЛюдовикХIV, король Испании Филипп II, английский parliament и Генеральные Штаны Голландии, как бы соревнусь, предлагали огромные премии за создание удовлетворительного способа измерения долготы.

Хотя такого способа не существовало, исходную идею предлагал еще Гиппарх: надо воспользоваться тем, что разность долгот в двух пунктах земного шара пропорциональная разности местных времени в этих пунктах в любой фиксированный момент времени. В пунктах, долготы которых отличаются на 15°, разница в местном времени — 1 час (360°/24 = 15°). Поэтому задача измерения долготы своеголась к тому, чтобы сравнить местное время на корабле с местным времени какого-либо пункта, долгота которого известна. Местное время в пункте находится корабле измерить несложно, и единственное,

4

ный полдень) они бы справились. Но именно такие точные часы, выделяющие морскую качку, создать не удавалось.

В 1655 году Генеральные Штаты Голландии получили очередной проект изменения долговы — на этот раз при помощи наблюдений над высотой Луньи. Рассмотрение проекта было поручено Христану Гюйгенсу, 27 летнему сыну влиятельного члена Государственного Совета. Х. Гюйгенс, уже известный к тому времени своим научными достижениями, в частности, открыли колыца Сатурна, убедился в несостоятьности проекта, однако заинтересовался самой задачей. После этого Гюйгенс настоящего пытается найти конструкцию часов, пригодных для измерения долговы. 12 января 1657 года он писал: «На этих днях я нашел новую конструкцию часов, при помощи которого время измеряется так точно, что появляется немалая надежда на возможность измерения при ее помощи долговы, даже если придется вести их по морю». Гюйгенс сам хорошоумел работать руками (вместе с братом Константином он шлифовал линзы для своего телескона), но все же он предпочел доверить изготовление первого экземпляра часов гаагскому часовку Соломону Костеру. 16 июня 1657 года патент Генеральных Штатов закрепил за Гюйгенсом авторство на мятниковые часы, а в 1658 году вышла брошора «Ногологиит» с описанием изобретения.

Гюйгенс предложил несколько технических новинок в конструкции часов, но главная из них — использование перiodа колебания мятника в качестве меры времени. Впервые Галлей обратил внимание на разительную устойчивость перiodа свободных колебаний мятника при изменении амплитуды размах: «Колебания мятника совершается в определенные сроки с такой неизбежностью, что совершено невозможно заставить совершаться в иные сроки иначе, как удлиня или укорачивая nitь. Другая особенность, понятие удивительная, заключится в том, что один и тот же магнит совершает свой колебания с той же или весмало и почти неощутimo различной частотой, будут ли колебания совершаться по самым большим или самым малым другом той же окружности». Гюйгенс был, разумеется, знаком с этим наблюдением Галлия, опубликованным в знаментий книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относится к механике и местному движению».

История этого замечательного открытия описана в письме Вивании, знаменитого ученика Галлия, принцу Леопольду Медчичи, также бывшему учеником Галлия:

«В 1583 г., имея около давцами лет от роду, Галлией находился в Пизе, где, следуя совету отца, изучал философию и медицину. Однако, находясь в соборе этого города, он, со свойственной ему любозательностью и смекалкой, решил наблюдать за движением люстры, подвешенной к самому верху, — не оказется ли продолжительность ее размахов, как вдоль больших дуг, так и вдоль средних и малых, одинаковой; оно ему казалось, что продолжительность прохождения большой дуги может сократить за счет большей скорости, к которой, как он видел, движется люстра на более высоких и наклонных участках. И пока люстра размеренно движалась, он сделал грубую прикидку — его общное выражение — того, как происходит движение взад и вперед, с помощью биеней собственного пульса, а также темпа музыки, в которой он тогда уже был искусен с немало от того для себя ползой. И ему на основании таких подсчетов показалось, что он не заблужался, подсчитав, что времена колебаний одинаковы, но не удовлетворенной этим, вернулись домой, он, чтобы надежнее в этомудостовериться, решил сделать следующее.»

5

Он привязал два свинцовых шара на нитях совершенного одинаковой длины так, чтобы они могли свободно раскачивать…, и, отклоняя их от вертикали на разное число градусов, например, один шар на 30, другой на 10, он отпускал их в одно и то же мгновение. С помощью товараша он наблюдал, что пока один мятник делал такое-то число колебаний по большим дугам, другой делал в точности столько же по малым дугам`.

Гюйгенс решил воспользоваться тем, что перiod колебаний мятника не меняется ни при естественном затухании колебаний от сопротивления воздуха, ни при раскачке во время волнения на море. Оказывается, и Галилей предложал воспользоваться мятником для создания часов. Но к рассмотрении колебаний мятника после опытов 1583 года Галилей вернулся лишь через 50 лет, когда в 1634 году, после суда инквизции и отречения от «лжечения» Коперника, он решил запись в «Беседах» свои открытия по механике, полученные в юности (книга вышла из печати в 1638 году). 5 июня 1636 года в письме администрау Реалю Галилей писал о соединении мятника со счетчиком колебаний. Лишь в 1641 году, всего за год до смерти, Галилей присутствил к практическому осуществлению проекта. Но слепому старику эта инженерная задача была уже не по плечу. Он завезал ее окончание своему сыну Винченцо, который несколько лет не присутствал к работе, а вскоре после ее возобновления умер.

Широкой огласки эта деятельности не получила, но ученики Галилея знали о ней и, ознакомившись с брошюрой Гюйгена, они попытались восстановить приоритет учитель. Леопольд Медчи пересылает влиятьному французскому астроному Буйо, покровительствовавшего Гюйгена, письмо о приоритете Галилея, подробный рассказ Вивани об истории открытия (мы его цитировали выше) и рисунок часов Галилея для передачи Гюйгена. Возможно, Гюйгена даже подозревал в плагиате. Ученики Галилея знали о переговорах с Генеральными Штатами Голландии относительно способа измерения географической долговы, которые ГалилейVEL в строкайшей тайне, опасясь инквизции. Все же на последней стадии флорентийский инквизтор узнал о его контактах с Голландей и добился их запрещения. В заключение он успоколил Рим, что Галилей «уже скорее лежит в гробу, чем занимается математическим построениями». Переговоры были столб секретны, что ученики Галилея не узнали, какой метод предложил их учитель, и предположили, что реб могла идти об измерении долговы при помощи мятниковых часов, и что присланным материалами мог воспользоваться Христан Гюйгенс, отец которого был членом комиссии, разбираший предложение Галилея. Мы знаем теперь, что это не так, а реб шла об использованении заттенников Юптера.

6

Ознакомившись с полученными от Буйо материалов, Гойгенс конструктивал, что Галилей выдвигал идею матриковых часов, но был далек от технической реализации проекта. Характерно, что Макс Лауз в своей «Истории физики», отмечая, что «решащий шаг для создания часов в современном смысле сделал Христан Гойгенс в 1657 году», выдвигает на первый план не использование перiodа колебаний матрика как меры времени, а идею «обратной связи»: в часах Гойгensa впервые энергия источнику колебания доставляется, не нарушая перiodа колебания, причем «сам источник колебаний определяет моменты времени, когда требуется доставка энергии». У Гойгensa эту роль выполняет простое и острумное устройство в виде якоря с коэсзанными зубцами,ритмические подталкивающего матрик.

В 1673 году Гойгенс писал: «Некоторые утверждают, что Галилей пытается сделать это изобретение; но не довел дело до конца; эти лица скорее уменьшают славу Галилея, чем можно, так как выходит, что я с большим успехом, чем он, выполил ту же задачу». Нельзя только забивать, что когда Галилей занимается этой задачей, он был слеп и на 50 лет старше Гойгensa.

Вообщие Гойгенс в большей степени, чем кто бы то ни было, следовал по пути Галилея. По словам Лагранжа, Гойгенсу было сухлено усовершенствовать и развить важные открытия Галилея. Эта связь между двумя великами учеными имела значенательное начало: 17-летний Гойгенс собирался доказать, что брошенные тела движутся по параболам, но обнаружил доказательство в книге Галилея и не захотел «писать Илиаду после Гомера».

Гойгенс, еще при построении первых часов, заметил, что утверждение Галилея об изохронности колебаний математического матрика (независимость перiodа $T$ от максимального угла отклонения от вертикали $\alpha$) не точно. Это утверждение с хорошей точностью выполняется для малых $\alpha$, но заметно нарушается, например, при $\alpha = 60^\circ$. Неопонятно, как Галилей просмотрел это обстоятельство: оно должно было выявиться в опытах, описанных Вивании. Гойгенс отметил в книге, изданной в 1673 году, что относение перiodа для $\alpha = 90^\circ$ к периоду для малых друг равно 34:29. Точность, с которой найдено это относение, позволяет использовать этой формулы для малых $\alpha$. Получение формулы для перiodа колебаний матрика при любых $\alpha$ требует применения математического аппарата, не известного во времени Гойгensa. Не смотря на это, Гойгенс получил очень точные оценки для перiodа, причем не всегда понятно, какими средствами он этого добивался *).

Построив первые часы, Гойгенс «заболел» пробелой построения точных часов, надежных в условиях мореплавания. Для этого надо было придумать устройство, компенсирующее изменение перiodа колебаний простого (математического) матрика при увеличении угла отклонения. Гойгенс заметил, что для этого можно специализировать образом ученыть длину матрики при увеличении угла отклонения. В первой конструкции он подбирал зависимость длины от угла экспериментального, затем ему удалось найти нужную зависимость теоретически. В результате Гойгенс изобрел *).

*) Для оценки перiodа колебаний удобно пользоваться приближенной формулой

$$T \approx 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \times \left( 1 + \frac{1}{4} \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \frac{9}{64} \sin^4 \frac{\alpha}{2} \right),$$

тогда еще не известной.

7

Циклопдальный маятник, который впервые был использован в часах в 1659 году. Гюйгенс возлагал на часы с циклопдальным маятником большие надежды, брал патенты в разных странах, организовавал морские испитания, которые, увы, проходили с переменным успехом. Часы хорошо зарекомендовали себя в 1663 году при путешествиях капитана Холмса из Лондона в Лиссабон, в 1664 году при плавании из Гвиненя, в 1668 году на французской эскадре, плавающей около острова Крит. С другой стороны, испытания при плавании адмирала Рищера в Канаду и Англюю в 1670 году, капитана де Граафа на мыс Доброй Надежды в 1687 году и испытания самого Гюйгensa на Зюйдерзее в 1685 году для отрицательные результаты. Не оправдал себя циклопдальный маятник и в «сухопутных часах».
Так же судьба постигла другой предложенной Гюйгенсом источник изохронных колебаний — конический маятник, основанный на одной из самых заменательных работ Гюйгensa «О центробежной силе». Однако математические и механические результаты, полученные в связи с этим изобретениями, стали одной из ярчайших страниц в истории науки.

Все же Гюйгенсу удалось найти путь, на котором, правда, уже не им самим, был создан морской хронометр (считается, что первый удовлительный хронометр сконструировал Гаррисон уже в XVIII веке). В 1675 году Гюйгенс предложил идею приложенных часов с балансром. Его последняя работа о часах была опубликована в 1693 году, за два года до смерти.

Что касается маятниковых часов, то в дальнейшем оказалось, что удобнее всего добаваться изохронизма, прикрепляя к верхнему концу специально подбранную приложину.

К 1673 году Гюйгенс придумал большое число условиянтований к маятниковым часам, а паржский часовик Исаак Тюре изготовил экземпляр часов с учетом всех новостей.

Кроме того, Гюйгенс привед в порядке исследований по математике и механике, предприятые в процессе работы над часами. Все это было подтверждено в книге «Маятниковые часы», вышедшей в 1673 году в Париже. На титульном листе было написано: «Христан Гюйгенс, сын Константина, из Зейлихема. Маятниковые часы, или Геометрические доказательства, относится к движению маятников, приспособленных к часам. Париж. В типографии Ф. Мюге, печатника короля и светлейшего архиесского, на улице Гитары, под вывеской трех волхвов. 1673. С привлеченной короля». Книга Гюйгensa наряду с «Беседами» Галлея и «Математические начали натуральной философии» Ньютона является одним из трех книтов, на которых покопится механика XVII века.

В дальнейшем книга стала кратко назваться «Маятниковые часы», но

8

Эскиз часов с циклондальным маятинком, сделанный Гюйгенсом.

это название недостаточно полно отражает ее содержание. Собственное конструкция маятинковых часов описывается лишь в первой из пятин частей.

Своим главным достинением Гюйгенс считал изобретение циклондального маятника. Во-первых, Гюйгенс доказал, что если конец маятника движется по циклонде *) (а не по окружности, как в случае математического маятника), то его колебания изохронны. Во-вторых, он придумал очень острумный способ подвески маятника, обеспечивающий движение его конца по циклонде: поместил подвеску между двумя пластинками (шеками), изогнутыми по циклонде, на которые при отклонении маятника наматывается часть нити. Cyklондальному маятнику посвязывана большая часть книги (вторая и третья части), где доказываются механические и математические утверждения, необходимые для обоснования изохронности Cyklондального маятника и правила его подвески. Гюйгенс пишет: «Для проведения этих доказательств потребовалось укрепить и, где нужно, дополнительное учение великого Галилея о падении тел. Наболее желательным плодом, как бы великий вершиной этого учения, и является открытое много свойство Cyklонды».

Четвертая часть книги «О центре качания» начинается так: «Когда я был еще почти мальчиком (ему не было 17 лет. — С. Г.], ученейший муж Мерсенн задал мне и многим другим задачу — определить центр качания. Из писем, которые писал мне Мерсенн, а также из недавно опубlikованных темуаров Декарта, заключающих ответ на письма Мерсенна по этому поводу, я заключаю, что эта задача пользовалась в то время».

*) Cyklонду описывает фиксированная точка границы круга, который катится без скольжения по прямой. Математики в XVII века обнаружили много замечательных свойства, которые обладают эта кривая.

9

Внешний вид часов с циклондальным математиков…
Мерсенн называил большой вызывающий завись премию на тот случай, если я решу задачу. Однако он тогда ни от кого не получил того, что требовал».
Речь шла о следующей задаче. Имеется физический математик — фигура, подвешенная в одной точке и совершающая колебания. Его приведенной длиной называется длина математического математика, имеющего тот же период колебания. Проведем через центр тяжести матрика отрезок этой длины, начинаяошися в точке подвеса. Тогда другой конец отрезка называется центром качания. (Мерсенн начинал с попытки ответить на вопрос, как надо быть мечом, чтобы удар был наиболее эффективен. Если считать меч отрезком, который «воин» держит за конец A, то оказывается, что центр качания отстит от A на $\frac{2}{3}$ длины.

Мерсенн считал, что оптимальная точка совпадает с центром качания и далека от центра тяжести.

Оппонент Мерсенна Бальди считал, что надо быть местом, наиболее близким к центру тяжести.) В задачах, предложенных Мерсенном Гюйгенсу, речь шла о центрах качания круговых секторов, сегментов, равноведренных треугольников, по-разному подвешенных. Гюйгенс писал: «…я в то время не нашел, что позволило бы мне приступить к расчетам, и как бы повернул назад у самого порога, и воздержался от всякого исследования. Но и те, кто надеялись, что решили задачу, знаменитые люди, как Декарт, Оноре Фабри и другие, вовсе не достигли цели или достигли ее только в немногих, особенно простых случаях…

Повод к новой постановке опытов для регулируемые матрики наших часов, снабженные, кроме нижнего постоянного груза, еще вторым подвижным грузиком, как сказано при описании часов.

Исходя из этого, я начал исследование сначала, на этот раз с лучшим. Видами на успех, и, наконец, одолел все трудности и решил не только все задачи Мерсенна, но нашел еще и новые задачи, более трудные, и, наконец, нашел общий метод для вычисления центров качания линей, площадей и тел. От этого я имел не только удовольствие, что я нашел нечто, что направо искали столь многое, и понял законы природы, относится к этому случаю, но получил и определенную пользову, которая вообще заставила меня занять этим вопросом, а именно, я нашел легкий и удобный способ регулировки часов. «Я нашел это правило в 1664 году», — отметил Гюйгенс на письме Мерсенна с постановкой задачи. Правило регулирования матрика с подвижным грузом он нашел еще раныше, в 1661 году.

Наконец, в пятой части без доказательства приводятся теоремы о

10

центровежной силе *) и описывается конструкция часов с конечским матриком (известно, что Гойгенс изобрел их 5 октября 1659 года). Доказательства теорем содержатся в работе «О центровежной силе», написанной в 1659 году, но выведшей в свет лишь через восемь лет после смерти Гойгensa. О центровежной силе знал еще Аристотель, а Птолемей считал, что если бы Земля врашалась вокруг своей оси, то из-за центровежной силе предметы не могли бы удерживать на ее поверхности. Кеплер и Галилей опровергли эту точку зрения, обьясняя, что в этом случае

*) Гойгенс всуду пользовется понятным центровежной силе инерции, которое он называет просто центровежной силой. Эта сила возникает во врашащей системе отсчета. Она численно равна центростремительномуускорению тела, умноженному на его массу, и направлена по радиусу от оси врашения. Подробнее о силах инерции расскажется в статье Я. А. Смородинского «Силы инерции» («Квант», 1974, № 8).

вес уравновешивает центровежную силу, фактически предполагая, что при удалении от центра врашения центровежная сила уменьшается. Однако лишь Гойгенс получил знамениту формулу для центровежной силы $F_{\pi,6} = \frac{mv^2}{R}$. Ниже приведится подлинный текст Гойгensa и читатель сможет увидеть, в каком (быть может, не самом экономном с сегодняшней точки зрения) виде были впервые сообщены результаты, полученные Гойгенсом. Для облегчения понимания сделаем два предварительных замечания.

1. Какой бы задачей Гойгенс ни занимался, он всегда думал о возможных приложениях получения результатов к часам. И в этом случае он хотел воспользоваться конечским матриком. Так называется нить с группом, врашающая вокруг оси, проходящей через точку подвеса (рис. 1). Пусть $l$ — длина нити, $\alpha$ — угол нити с вертикалью, $R$ — расстояние от груза до оси. Если магнитик движется по окружности, и угол $\alpha$ остается постоянным, то $\frac{mv^2}{R} = mgtg\alpha$. Отсюда $v = \sqrt{gRtg\alpha}$. Для периода — временного оборота — получаем (поскольку $T = 2\pi R/v$):

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}ctg\alpha = 2\pi \sqrt{\frac{l\cos\alpha}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{u}{g}}.$$ (1)

Здесь $u = l\cos\alpha$ — длина проекции нити на ось магнитка.

В тексте Гойгensa проводятся многочисленные обсуждения формулы для периода конечского матрика. Движение конечного матрика сравнивается с двумя движениями, которые к тому времени были основательно изучены: со свободным padенком и колебаниями простого, или математического, матрика (Гойгенс называет его колебания боковым, в отличие от круговых колебаний конечного матрика).

11

2. Пусть имеется неокоторая поверхность braшения (у Гюйгена параболид — поверхность braшения параболы $py = x^2$ вокруг оси $y$, рис. 2). Тяжелая материалов точка источников braшается по горизонтальному сечению (кругу), если равнойствушая все и центровкой силы направлена по нормали к поверхности (перpendикуляру к касательной плоскости), а потом здесь применена формула для конечного матрика. В этом случае $\alpha$ — угол нормали с осью, $l$ — длина отрезка нормали между осью и поверхности, $u$ — проекция этого отрезка на ось. Здесь переход от конечного матрика к braшению тяжевой точки в какой-то мере аналогичен переходу Галлея от математического матрика к движению тяжевой точки по круговому железу. Далее Гюйгенс заменяет, что у параболы $py = x^2$ величины $u$ (проекция отрезка нормали на ось)

не зависит от положения точки и равна $\frac{p}{2}$. Отсюда он делает вывод, что период braшения тяжевой точки по любым горизонтальным сечениям параболюда один и тот же:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{p}{2g}}.$$

Это следует из (1) и дает новый способ получения изхронных колебаний, что так важно было при построении часов. Если подвесять конечный матрик так, чтобы независимо от угла $\alpha$ наклона нити к оси его конец двигался по поверхности параболюда, полученного от braшения параболы $py = x^2$, то период braшения не будет зависит от $\alpha$. Другими словами, надо сделать так, чтобы при изменении $\alpha$ длина $l$ изменялась, обеспечивая постоянство проекции $u$ на ось. Гюйгенс придумалрезвычайно острумный способ подвески. Он предложил изготовить пластинку по формулуубичесной параболы $y^2 = ax^3 + b$, заключить в некоторое точке конец нити и тогда, оказывается, можно так подобрать $a, b$ и длину нити, что как бы мы ни натянули нить, намотав часть ее на пластинку, другой конец будет находиться на параболе. Секрет этого острумного способа подвески опирается на те же математические соображения, что и способ подвески циклондального матрика.

12

Пятая часть
«Маятниковых часов», содержащая другую конструкцию часов с использованием кругового движения маятников, и теоремы о центровкой силе
Х. Гюйенс

…У меня было намерение изделия описание этих часов вместе с теоремии, относящими к круговому движению и к центровкой силе, как я хочу ее назвать. Но относительно этого предмета у меня больше материалов, чем времени для его изложения в настоящий момент. Но для того чтобы лица, интересующаяся этим вопросом, быстро познакомились с новым, отноидь не бесполезным открытом, чтобы какая-либо случайность не помещала опубликованию, я, противно моему первоначальному предположению, присоединил еще и эту часть к предыдующим. В ней кратко описывает конструкция новых часов и далее следуют теоремы о центровкой силе; их доказательство откладывается на более позднее время.

КОНСТРУКЦИЯ ВТОРЫХ ЧАСОВ
Я не счел нужным изложить здесь распределение колес внутреннего механизма; это устройство легко могут осуществить часовки в различных вариантах. Будет достаточно описать ту часть часов, которая регулятор их ход определяемых образом.
Следующий рисунок изображет эту часть часов.

Ось DH следует представлять себе вертикальной, способной вращаться в двух подшипников. В А к оси приделана пластинка, имеющая определенную ширину и искривленная по кривой AB, которая есть полученная в紊 линия BAE и образуется парабола EF. ВCF — нить, закрепленная на кривой AB, конец которой описывает парабoly.

К нити прикреплен групп F. Если ось DHвращается, тогда нить BCF, вытянутая в прямую, повлечет за собой групп F, который будет описывать горизонтальные круги. Эти круги будут больше или меньше, в зависимости от большей или меньшей силы, с которой действуют на ось колеса, вращающее барбан K. Но все эти круги будут лежать на параболическом кониде и именно потому продолжительность одного оборота будет всегда одна и же, как вытекает из того, что я объявню об этом движении впоследствии. Если оборот должен совершаться в полескунды, то параметр параболы EF должен составлять $4^{1/2}$ дюйма моющего фуга, то есть он должен быть равен половине длины маятника, у которого каждое колбание длина $1/2$ секунды. Из параметра параболы определяется параметр полученной параболы; он равен $27/16$ первого параметра; определяется также отрезок AE, который равен половине длины параболы EF. Если же оборот должен совершаться в секунду, то надо длины брать в четыре раза больше, как параметры, так и длину AE.

ТЕОРЕМЫ О ЦЕНТРОВЕЖНОЙ СИЛЕ, ВЫЗВАННОЙ КРУГОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ*)

Если два одинаковых тела в одинаковое время описывают неодинаковые окружности, то их центровные силы относятся, как длины окружностей или как диаметры.

Если два одинаковых тела движутся с одинаковой скоростью по окружности разных кругов, то их центровные силы обратно пропорциональны диаметрам.

Если два одинаковых тела движутся по одинаковым кругам с разной скоростью, но оба равномерно, как мы это

*) Примечания к тексту данных в квадратных скобках. В примечаниях использоваются следующие обозначения: $m$ — масса тела, $F$ — центровная сила, $T$ — период, $R$ — расстояние до центра, $v$ — скорость.

13

Счастливые билеты

1. Назовем автобусный билет «счастливым», если сумма цифр его шестизначного номера записана двумя последними цифрами, взятыми в том же порядке. Например, счастливыми билеты с номерами 728124, 032419. Сколько счастливых билетов имеется в первом миллионе, то есть от номера 000 000 до 999 999?

Б. И. Алейников

Маятниковые часы, экспонирующие в Москве в Политехническом музее.

здесь всегда подразумеваем, то их центральные силы относятся, как квадраты скоростей.

IV

Если два одинаковых тела движутся по разным окружностям и обнаруживают одинаковую центровенную силу, то их времена обращения относится, как корни квадратные из диаметров.

V

Если тело движется по окружности кругга с той скоростью, которое бы оно прибрело, свободно padая с высоты 1/4 диаметра кругга, то испытываем им центровная сила равна весу, то есть оно тянет за нить, при помощи которой оно прикреплено к центру, с той же силой, как если бы было подвешено к нити.

[Если высота $H = R/2$, то для конечной скорости при свободном padении имеем: $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{Rg}$, а для указанной центровной силы имеем:

$$F = \frac{mv^2}{R} = \frac{mRg}{R} = mg.$$]

VI

Если тело пробегает различные горизонтальные окружности, которые все лежат на кривой поверхности параболического конца (параболона) с вертикальной осью, то время оборотов всегда одно и то же, будут ли кругги больше или меньше, и это время обращения вдвое больше продолжительности колбания маятника, длина которого равна половине параметра обращения параболы.

2. Шестизначный номер автобусного билета $N$ запишем в виде $N = 1000A + B$, где $A$ и $B$ — трехначные числа.

Назовем билет с номером $N$ «дважды счастливым», если сумма цифр числа $A$ равна сумме цифр числа $B$ и произведение цифр числа $A$ равно произведение цифр числа $B$. Существуют ли не тривailableные дважды счастливые билеты? Тривailableми мы назовем такие дважды счастливые билеты, у которых в номере $N$ число $B$ получается из $A$ перестановкой цифр, а также билеты, в записи номера которых встречаются нули.

Г. К. Коромаев

14

О некоторыхweisах в «Кванте» трудно расскаазать не потому, что они трудны сами по себе, а потому, что для их понимания хорошо бы заранее знать коe-что помимо школьной программы. Иного даже не помимо, а чуть глубже. Старшеклассники знают, например, что такое предел последовательности, но знают облично довольно поверхностно. А именно этим материалом нужно свободно владеть, чтобы разобраться в предлагаемой стате, где доказывается заменательная теорема Римана о перестановках условий сходящся рядов.

В «Кванте» № 3 за 1974 год мы предложили читательям 20 задач на пределы. Тот, кто справился с задачими, может смело приниматься за эту статью.

Впрочем, решив задачи, не откладывайте в сторону ручку и бумагу: основной текст статьи содержит многочисленные упражнения; лишь самостояльно решив их, вы сможете понастоящему во всем разобраться.

Сумма ряда

Начнем с очень простых уppaженей.

1. a) Найти сумму $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots$$

6. To же для прогрессии

$$\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, \dots$$

Ответ: a) $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$; 6) $S_n = \frac{1}{3} \left[ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^n \right]$.

2. Найти суммы $S^{(1)}$ и $S^{(2)}$ бесконечно убивающих геометрических прогрессий (1) и (2).

Ответ: $S^{(1)} = 1, S^{(2)} = \frac{1}{3}$.

Суммы $S^{(1)}$ и $S^{(2)}$ можно найти, используя готовую формулу $S = \frac{b_1}{1-q}$ (где $b_1 = 1-1$ член, а $q$ — знаменатель бесконечного убивающего геометрического прогрессии):

$$S^{(1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 1,$$

$$S^{(2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$$.

Можно поступить иначе, воспользоваться упражнениям 1. Найдем, например, этим способом $S^{(1)}$. При $n = 1, 2, 3 \dots$ получаем частиные суммы:

$$S_1 = 1 - \frac{1}{2}, \quad S_2 = 1 - \frac{1}{2^2},$$

$$S_3 = 1 - \frac{1}{2^3}, \dots, \quad S_n = 1 - \frac{1}{2^n}, \dots$$

Послеовательность (3) стремится к пределу $S^{(1)} = 1$. Этот предел по определению называется суммой прорезссии (1).

Приведенные два решения, по сути дела, не различаются: формула $S = \frac{b_1}{1-q}$ получается из формулы

15

$S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ именно представим переходом. Мы приведем решение простого чтобы наполнить определенные суммы бесконечного убывающей геометрической прогрессии. А это нам понадобилось для того, чтобы дать следующое общее определение.

Определение. Пусть $a_1, a_2, a_3, \dots$ — произвольная числа последовательности. Выражение $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ имеет специальное название: $p$rd. Образуем последовательность частных сумм:

$$S_1 = a_1, S_2 = a_1 + a_2, S_3 = a_1 + a_2 + a_3, \dots, S_n = S_{n-1} + a_n, \dots$$

Если эта последовательность имеет предел $S$, то говорят, что $p$rd

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots = S.$$

Если $p$rd $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ не сходится, то он называется расходящимся.

Упражнения
3. Приведите примеры расходящихся рядов:
a) придумайте ряд, частные суммы которого стремятся к бесконечности;
b) придумайте ряд, для которого последовательность частных сумм не стремится ни к какому числу и не стремится к бесконечности.
4. Докажите, что ряд
$$1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots$$
сходится. Сумма его — значенное число $e^*$ (основание натуральных логарифмов). Докажите, что $2 < e < 3$. Докажите, что $e$ — irrationalное число.
5. Докажите, что ряд
$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots$$
сходится, и его сумма $S < 2$. При каких натуральных $k$ сходится ряд
$$1 + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \dots + \frac{1}{n^k} + \dots$$?

Указание. Если все члены ряда положительных (как в упражнениях 4 и 5),

*) См. статью Л. Г. Лиманова «О числе $e$ и $n!$», «Квант», 1972, № 5.

то, чтобы доказать сходимость ряда, достаточно проверить, что все частиные суммы меньше некоторого (одного и того же) числа $C$; тогда сходимость последовательности частиных сумм следует из того, что любая возможность определения последовательности имеет предел.

6. Сходится ли ряд
   $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} + \dots$$

Можно ли порознь суммировать положительные и отрицательные слагаемые?

Вы уже нашли сумму ряда
$$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \dots$$

(она равна $\frac{1}{3}$). А можно ли вычислить ее так: просуммировать сначала все положительные члены ряда, потом все отрицательные, а затем сложить результаты?

Почему бы и нет? Попробуем:
$$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \dots = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3},$$
$$-\frac{1}{4} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} - \dots = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{1}{3},$$
$$\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.$$

Ответ, во всяком случае, получается правильный. Спрашивает: всегда ли так можно действия?

Упражнения
7. Ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ сходится. Его сумма равна $S$. Можно ли вычислить ее так: сначала просуммировать все положительные слагаемые $a_n$, потом — все отрицательные, а затем сложить результаты?
8. Ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ сходится. Его сумма равна $S$. Дано, что если просуммировать все положительные слагаемые $a_n$ — число $q$. Можно ли утверждать, что $p + q = S$?

17

Упражнения

11. Может ли быть так, что ряд (8) сходится, а ряд (7) расходится?

12. Как сходится ряд (5) — условно или абсолютоно?

13. Докажите, что ряд из упражнения 8 сходится абсолютоно.

14. Что получится, если сумму ряда (5) вычисляется по решетty, предложенном у упражнения 7?

15. Докажите, что сумму абсолютоно сходляется ряда можно вычислять по решетty, указанному в упражнения 7.

16. Докажите следующую теорему о перестановке членов абсолютоно сходщегося ряда. Пусть ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ абсолютоно сходится. Произвольно переставим его члены. Тогда новый ряд может абсолютоно сходится, и суммы обихих рядов одинаковы.

Teorema Римана

Переставляя члены любого условия сходического ряда, можно получить расходящийся ряд и можно получить сходящийся ряд, сумма которого равна произвольному зааннее заданному числу.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая

Лемма. Если ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ сходится условно, то ряд, составленный из его положительных членов, расходится, и ряд, составленный из отрицательных членов, может расходится.

Упражнения

17. Докажите эту лемму (вспомните упражнения 8, 13 и 15).

18. Пусть $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ — сходящийся ряд. Докажите, что тогда последовательность $\{a_n\}$ стремится к нулю:
    $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0.$$

Доказательство теоремы Римана

А. Укажем, как нужно переставлять члены ряда $a_1 + a_2 + \dots$, чтобы получить расходящийся ряд, частные суммы которого стремятся к бесконечности.

Сначала будем выписать только положительные члены ряда — до тех пор, пока их сумма не станет больше 1 (по лемме это возможно). Затем выписем первый отрицательный член. Далее снова будем выписать положительные члены, пока сумма всех выписанных чисел не станет меньше 1, то меньше —1.

Б. Укажем теперь, как нужно переставлять члены ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, чтобы новый ряд оказался сходическим к зааннее заданному сумме S.

Сначала будем выписать только отрицательные члены ряда, пока сумма всех выписанных чисел не станет S; потом добавим один

18

несколько положительных членов, чтобы вся сумма стала большей $S$.

Продолжим выписывать отрицательные члены, пока сумма всех выписанных членов не станет опять меньше $S$; как только это произойдет, добавим вторую группу положительных членов, так чтобы вся сумма превышала $S$, и так далее.

На $n$-м этапе выписывается очередная группа отрицательных членов (пока сумма всех выписанных чисел не станет меньше $S$), а затем очередная группа положительных членов (пока вся сумма не станет больше $S$). По лемме членов каждого знака «хватит».

По построению частные суммы нового ряда ведут себя так: убивают, пока не станут меньше $S$, и тут же начинают расстил, пока не станут больше $S$; снова убивают и так далее. Всякий раз «перескок» через $S$ обеспечивает добавлением одного единственного члена. Тем самым, поскольку $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$, отклонения частных сумм от $S$ тоже стремятся к нулю, то есть новый ряд сходится к $S$, что и требовалось доказать.

Пример. Ряд
$$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \dots - \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^n} - \dots$$
сходится к нулю. Переставим его члены так, чтобы их номера образовали последовательность 1, 3, 2, 5, 7, 4, 9, 11, 6, … (два нечетных — одно четное). Получим ряд $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \dots$, который сходится к $-\frac{1}{2}$; это сразу становится ясно, если расставить скобки следующим образом:
$$-\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) + \dots$$

Аналоги и обобщения

Осторожнее со скобками! В последнем примере мы расставили скобки, чтобы убедиться, что ряд сходится к $-1/2$. В данном случае мы действовали правильно (это легко обосновать), но вообще расставлять скобки нужно с осторожностью. Простейший пример: расходящийся ряд $1-1+1-1+...$ после следующего расстановки скобок
$$(1-1) + (1-1) + \dots$$
превращается в ряд, сходящийся к нулю.

Этот пример не слишком интересен. Большого внимания заслуживает такой факт: существуетом расходящейся ряды, которые при подходящей расстановке скобок становятся сходящими к любому заранее заданному числу.

У праванении 19. a) Приведите пример ряда, обладающего только что указанным свойством.

6. Докажите, что любой ряд, полученный из сходического расстановкой скобок, сходится, и имеет такой же сумму, как исходный ряд.

в) Пусть $S_n$ — частные суммы расходящейся ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, который получен перестановкой членов из некоторого условиях расходящейся ряда. Пусть $a < b$ — предельные точки последовательности $\{S_n\}^*$, и пусть $S$ — произвольная точка отрезка $[a, b]$: $a \leqslant S \leqslant b$. Докажите, что тогда существует расстановка скобок, при которой ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ становится сходящимся к $S$.

ЧERO можно добиться, меняя знаки. Пусть $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ — произвольный условно сходящийся ряд. Разрешим поменять знаки у части членов $a_n$ (оставив остальные $a_n$ без изменения). Другими словами, разрешим заменить ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ рядом $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots$, где $|b_n| = 1$.

У праванении 20. Докажите, что для любого числа $S$ и для любого условия ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ можно так подобрать числа $b_1, b_2, b_3, \dots$

*) Определение предельной точки см. «Квант», 1974, № 3, c. 30.

19

(где $|b_n| = 1$), чтобы ряд $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \dots$ сходился к $S$.

Переставляем только отрицательные члены. Ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ условно сходится.

Разрешим переставлять между собой только отрицательные члены $a_n$ (оставляя все положительные члены $a_n$ на их первоначальных местах).

Уражнение 21

a) Может ли при указанных перестановках ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ стать расходящимся?

b) Всегда ли можно с помощью таких перестановок сделать его сходящимся к произвольной заданной сумме $S$?

b) К каким суммам можно заведomo статьить его сходиться такими перестановками?

Комплексный вариант теоремы Римана. До схормы считали члены ряда $a_n$ произвольными действительными числами. Разрешим им теперь принять любые комплисные значения.

Уражнения

22. Пусть ряд $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ ($a_n$ — комплисные) сходится к сумме $Z_1$, и пусть его члены можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к сумме $Z_2$. Возьмем на прямой, проходящий через $Z_1$ и $Z_2$, произвольное $Z$. Доказите, что можно так переставить члены ряда $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$, чтобы сумма полученного ряда оказалась равной $Z$.

23. Пусть $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ — произвольный сходящийся ряд из комплисных чисел. Расмотрим всевозможные сходящиеся ряды, получащиеся из него перестановкой членов $a_n$, и отметим на комплисной плоскости все числа $Z$, которые служат суммами расматриваемых рядов. Доказите, что возможно только три случая:

a) отмещенной окажется одна единственная точка $Z$,

b) отмещенными окажется все точки неекоторой прямой,

b) отмещены будут все числа $Z$ (то есть все точки комплисной плоскости).

Маневры

So станции $K$ на путь 5 (см. рисунок) приближемый локотив $J$ с вагонами $C$ и $D$. На пути 2 и 3 стоит порожные вагоны $A$ и $B$. Требуется с помощью локотива $J$ поставить вагон $C$ на путь 2, вагон $D$ — на путь 3, а вагоны $A$ и $B$ во главе с локотивом поставить на путь 5 для отправления на станцию $K$.

При маневрах вагоны можно прицелять к локотиву с любой стороны. Вместимость пути 1—5 не ограничена, а в тупики 1—111 помещается только один вагон или локотив. За какое наименьшее число операций можно произвести требуемые маневры? Операцией мы будем считать перестановку одного или нескольких вагонов с одного пути (тупика) на другой путь (тупик). Холодые рейсы локотива операцией не считаются.

И. В. Грессерман

20

КАПЛЯ
Я.Е.ГЕГУЗИН

Три коротенных очерка о капле — это малая малость того, что можно о ней расскаatzать. Ее пристальное изучают и физики, и математики, и биологии, и meteorологии, и даже medicine, интересясь состоянием крови больного, придумали метод «капельной пробы». Кое-что о капле я расскаatzал в недавно вышедшей книге*]. Если читатели «Кванта» пристальные пристмотряс к каплам, они увидят много неожиданного и интересного. Капля достойна внимания жаждуших знать и любящих природу.

*] Я. Е. Гегузин. Капля. М., «Наука», 1973. Рассказ об этой книге вы найдете в конце журнала в разделе «Рецезии, библиография».

Раздавленная капля

Аналогиярождается на перекрестках памяты и раздумий и иногда связывает воедино образы и события, состоящие в очень дальнейем родстве. Неожиданная аналогия, даже отдельная или поверхностная, родившаяся вовремя, может помочь использовать выйти из тупика и осветить путь к решению.

Когда-то, в конце 40-х годов, я участвовал в экспериментальной работе. Ее цель заключалась в определении физических характеристик вещества, которое ранее не исследовалось. Ранее этого вещества в чистом виде просто не было — ценой больших усилий его получили химики.

На первый взгляд, задача совсем не новая, и решать ее следует, дивяясь путими, проторенными многими исследователями, изучавшими физические характеристики других веществ. Наша задача, однako, была усложнена тем, что экспериментровать мы могли лишь с микросоппескими крупинками. Каждая крупинка весила около одной миллионной грамм, а размер ее — несколько десять микрон. Колчеством крупинок мы были очень ограничены — химики их добавали с трудом.

Группа, в которой я работал, должна была определить температуру плавления и поверхностное натяжение вещества в жидкой фазе.

В обычном «макросоппеском» эксперименте температура плавления изменяется легко и просто: в образец погружают термометр и следят за тем, как меняются его показания по мере нагрева образца. температура постепенно возрастает. Когда она достигнет неокоторого значения, ее рост пристановится в связи с тем, что тепло, притекающее к образцу, начинает расходовать не на нагрев, а на процесс расплавления. Эта температура и является температурой плавления. Когда же масса крупинки — одна миллионная грамм, термометр внедрить в нее невозможно, и для оп-

21

ределеня температуры плавления следует искать обходные пути.

Один из участников нашей группы, у которого за плечами были работы в литераном цехе, предложил совсем неожиданное решение задачи. Его память хранила воспоминание, родившее аналогию. В годы войны, — сказал он, — я вел лавку одновременно в несколько одинаковых тигельных электронных. Загружал их алюминевыми чушками и, чтобы определить начало расплавления шихты в печи, не забираясь на ее загрузочную площадку, в каждую печу между чушками вертикально установивал длиной металлической стержень, который был виден над печью. В момент начала плавления стержень наклонлся — это служило сигналом.

Это воспоминание подсказало идею, с помощью которого можно было изменить температуру плавления круплинки. Опыт заключался в следующем. На тщательно отполированной пластинке круплинка. Сверху ее накрывали другой пластинкой круплинка, касаясь круплинки, образовывала неокторный угол с первой пластинкой. Это устройство нагрева, и в тот момент, когда круплинка расплавлялась, верхняя пластинка раздавливала образовывающая каплю и угол между пластинками скачкообразно умешалася. Чтобы надежнее этот момент зарегистрировать, на внешнюю поверхность верхней пластинки нанесли зеркальное покрытие и следили за тем, как отражаемый от нее луч скачом смещается. Пластика, меняющая свое положение, была подобна металлическому стержню, который наклонлся, свидетьвую о начале прощеся плавления. Так как масса круплинки пребрежимо мала по сравнению с массой круплевых пластинок, между которых она зажата, температура круплинки равна температуре пластинок и,

следовательно, изменить ее весы просто.

В описанном опыте, вореки извесной пословите, нам удалось попытать двух зайцев: определить, во-первых, температуру плавления, и, во-вторых — величины поверхности натяжения расплавленного вещества. Дело в том, что верхняя пластинка, раздавливая свежея тяжестую каплю, превращала ее в лепешку определенной толщины. Сколько бы раз ни повторялся опыт по расплавлению одной и той же круплинки, образовавшаяся жидкая капля весом пластинки расплошивалась до одной и той же толщины $h$. Эту величины можно было уменьшить, увеличивая вес верхней пластинки. Легко понять, что дальнейшем расплюшивание превращается сLIEDХ поверхностного натяжения, приложенные к той части поверхности расплошенной капли, которая граничит с воздухом. В наших опытах вещество капли практически не смачиваю кварц (именно поэтому опыты иставлись с кварцевыми пластинками) и, следовательно, можно считать, что радиус закругления свободной поверхности $r = \frac{h}{2}$.

Величина поверхностного натяжения $\alpha$ может быть определена из условия равенства давления, которое оказывает пластинка на жидкую каплю $(P_\mu)$, и лапасовского давления $(P_\pi)$ — избыточного давления, обусловленного искривленностью свободной поверхности капли. Если пластинка давит на каплю с силой $F$, а плщад ее контакта с расплошенной каплей $\pi R^2$, то $P_\pi = \frac{F}{\pi R^2}$. Величина $P_\pi = \frac{\alpha}{r} = \frac{2\alpha}{h}$. Приравнивая $P_\pi$ к $P_\mu$, находим формулу, с помощью которой определить величины поверхностного натяжения вещества:

$$\alpha = \frac{Fh}{2\pi R^2}$$

Величина $h$ и $R$ можно изменить с большой точностью, а силу $F$ легко определить, зная вес верхней пластинки.

Способ решения стоящей перед нами задачи, который подсказала возникшая вдуг аналогия, конечно же, был не единственно возможным. В данном можно было придумать и иные приемы, но нас прилекла в нем неожиданность аналогии и… возможность определения пословиц о двух зайках.

22

хватит ее и вместе с ней поползет ответно по стеклу, оставляя за собой новый след.

В этом явлении многое нужно изучается в обьясении. Почему одна капли полут, а другие застывают, прикленшись к стеклу? Почему остается за каплей след? И всегда ли он остается?

Прежде чем обязанить, что произходит с джедевой капли на отвеском оконном стекле, рассмотрим поведение капли на гладкой поверхности твердого тела, которая с горизонтом образует некоторый угол $\psi$. Если бы на гладкой поверхности располагалась не жидкая капля, а, скажем, твердый кубик, произходило бы следующее. До некоторого значения угла $\psi$ кубик по поверхности не дивгался бы, а затем, при дальнейшем увеличении угла, он начал бы скольнить по поверхности. Об этом подробно расссказывают в школе на уроках физики, говоря, что на кубик действуют три силы: сила тяжесте $mg$, сила реакции опоры $N$ и сила треня $F_{TP}$.

Будет или не будет скольнить кубик по наклонной плоскости, зависит от соответствии между величины силы треня и проекции силы тяжесте на направление возможного движения кубика ($mg \sin \psi$):

С увеличением угла $\psi$ сила треня уменьшается (так как $F_{TP}$ пропорциональна $N$, а $N$ уменьшается при увеличении угла $\psi$), а величины проекции силы тяжесте растет.

Начиная с некоторого значения $\psi$ (при котором $mg \sin \psi = F_{TP}$) при дальнейшем увеличении угла кубик начинает скольнить.

Тепервернемся к капле. Схематически здесь все так же, как в случае твердого кубика: есть сила тяжесте, есть и сила, подобная силе треня, только в случае капли эта сила отличается некоторой особенно, так как капля не скольнит, а переливается по поверхности. По наклонной поверхности жидкая капли отверхности и перетекает вLOBOVУ часть. В этом процессе любой участок жидкости, контактирующий с поверхности, со временем оказывается перед необходимостью от нее. Сила, которая для этого необходима, и является аналогом силы треня, действующей, когда твердый кубик скольнит по твердой поверхности.

Чтобы понять, что проискходит на оконном стекле во время дожления, надо определить две конкурирующие силы: проекцию силы тяжесте на направление, образующей с горизонтом угол $\psi$ ($F_{1}$), и силу, необходимую для отрыва жидкости от твердой поверхности ($F_{2}$) в области твердой части движшения капли:

Сила $F_{1}$ с углом $\psi$ связана оченьным соотношением: $F_{1} = mg \sin \psi$ (м — масса капли).

Проискождение силы $F_{2}$ связано с тем, что жидкость и твердое тело, на поверхности которого она находится, прягиваются друг к другу слиями молекулярного взаимодействия. Это взаимодействие количество можно охарактеризовать той энергией, которая необходимо затрапить, чтобы отдельный жидкость от твердой поверхности по площики контакта 1 $cm^2$. До отрыва энергия, связанная с границией жидкости — твердое тело, равная $\alpha_{жт}$. После отрыва жидкости от твердого тела образуют две поверхности: одна из них — свободная поверхность жидкости с энергией $\alpha_{жт}$, второй — свободная поверхность твердого тела с энергией $\alpha_{жт}$.

Таким образом, интересующаяся за энергия отрыва в расчете на 1 $cm^2$ равна $\Delta \alpha = \alpha_{жт} + \alpha_{жт} - \alpha_{жт}$.

Имея в виду каплю, которая с поверхности твердого тела соприкается по кругу диаметра 2R, величины силы $F_{2}$ можно вычислить, следующее очевидной логике. Мысленно сметим каплю как целое на неокоторе расстояние $x$. При этом будет выполнена работа (или затрачаена энергия), равная произведению площади, на которой жидкость оторвалась от твердого тела, на величины $\Delta \alpha$. Легко сообщить, что эта площадь равна 2Rx и, следовательно, выполнена работа $A = 2R\Delta \alpha x$. А так как работа равна произведению силы $F_{2}$ на путь $x$, то $F_{2} = 2R\Delta \alpha$. может возникнуть вопрос: почему унитывается затрата энергии на отрыв твердой части капли от поверхности твердого тела и не унитывается выигрыщения энергии вследствие «набегания»LOBOVУ части капли на эту поверхность? Дело в том, что энергия, выиграна при «набегании», не используется для облегчения отрыва. Она просто рассеивается, быть может, учитывать нагревая каплю. (Идущеему по болоту не легче вы垃скивать правую ногу из трясины из-за того, что лева в это время легко туда проваляется.)

Чтобы капля поползла по наклонной поверхности, необходимо выполнение условия: $F_{1} > F_{2}$, или $mg \sin \psi > 2R\Delta \alpha$.

Учтя, что оконное стекло наклонено по отношению к линни горизонтала под углом $\psi = 90^\circ$, — а это означает, что sin $\psi = 1$, — легко приедем к заключению, что по стеклу поползут лишь те

23

капли, масса которых удовлетворяет условиям:

$$m > \frac{2R\Delta\alpha}{g}.$$

Для простоты предположим, что на поверхности горизонтального стека капля имеет форму полусферы. Тогда

$$m = \frac{2}{3} \pi R^3 \rho \approx 2R^3 \rho$$

(ρ — плотность жидкости капель). Имея это в виду, из предыдущего соответствия легко получим следующий результат: по поверхности оконного стека поползут капли, радиус которых удовлетворяет условиям:

$$R > \left( \frac{\Delta\alpha}{\rho g} \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Изложенные сообщения и простые формулы дают возможность получить многое из того, что происходит во время дохождения на оконном стекле. Во-первых, становится ясным, что движущаяся капля будет за собой оставлять след при условии, если величины $\Delta\alpha > 2\alpha_{ж}$. В этом случае капле выгоднее смешаться по оставляемому на стекле жидку слою, чем оголять твердую поверхность. Величину $\Delta\alpha$ мы сравниваем с величиной $2\alpha_{ж}$ потому, что при отрыве жидкой капли от жидкого слоя образуется две поверхности жидкости. Если же величины $\Delta\alpha$ оказывается меньше, чем $2\alpha_{ж}$, капли будут скатывать по стеклу, не оставляя за собой влажного слода.

На сухом, точнее, на почти сухом стекле окна капли оставляют след. Это означает, что в последней формуле вместе $\Delta\alpha$ мы можем писать $2\alpha_{ж}$. Для воды $\alpha_{ж} = 70 \text{ дин}/\text{см}$, и потому по оконному стеклу будут скатывать капли, радиус которых больше 0,35 см. По смотите во время дохождения на оконном стекле связано с тем, что все время на нем появляется новые капли. Неокоторы из них — новые дохведение капли, а неокоторы — маленькие капель, возникшие из распадающегося слода, оставляемого движущимся большими каплями.

Описать словами, что происходит на оконном стекле с дохидниками — затем неверойно трудная: никакими словами не передать огромного разнообразия происходящих событий. В лаборатории мы сначала об этом фильм. И назвали его так же, как называется этот очерк, — «Дождь на оконном стекле». Чтобы ответить за печататель все происходящие условия «чернильный» дохды: воду слегка подкрасили черниlamии и направили капли на вертикальное стеckло.

Книokaдры выразительные слов, и поэтому без дополнительных комментариев к очерку прилагается книографма.

24

ВЕСЕННЯЯ КАПЕЛЬ

Много физических явлений связано с весенней капелью. Например, можно рассмотреть о закономерности образования изменительной по совершенству и красоте «капельидной» формы капли, готовящейся от таюшей сосульки. Не могу объяснить почему, но форма набухающей капли мне представляется верхом геометрического совершенства. Разве лишь сфера может сравнить с ней по красоте и логической закономерности формы. Можно рассмотреть о солнечных бликах, живущих на поверхности капли, которая набухает на кончике сосульки. Блики колблюются в ритме дыхания набухающей капли. Можно рассмотреть о весеннем зоне, который, по мысли поэта, сопровождает полет сосульки из зимы в весну. Звон капли звучит во многих стихотворных и музыкальных строках, и, конечно же, следовало бы расссказать об акустике удара капли о поверхности воды или льда, покрыто водяным слоем. Капля разбивает на мелкие осолки, и каждый из осолков вносит звучание в весенний звон.

Много физических явлений связано с весенней

26

Игра
«Жизнь»
И. Н. Клумова

— А может вы исчезать и появляться не так внезапно? — спросила Алиса. — А моу меня волова идем кругом.
— Хорошо, — сказал Ком и исчез—на этом раз очень медленно. Первые исчез кончик его хвоста, а последней—улыбка. Она долго парила в воздухе, когда все остальное уже пролало.
— Д-да, подумала Алиса. — Видала я комов без улыбок, но улыбка без кома! Такого я в жизни не встречала.
Льюис Кэрролл. «Алиса в стране чудес».

В октябряом номере журнала «Scientific American» за 1970 год появилось описание увлекательнейшей игры — «Жизнь», придуманной современным американским математиком Джоном Хортоном Конвеем. О ней прекрасно рассказано в книге известного американского специалиста в области заиматательной математики М. Гарднера. Игра эта очень не похожа на все остальные; лишь вычислительная машина дает возможность полностью ощутить, насколько эта игра необыча и красива.
В игру «Жизнь» можно игrarть одному, без партера. Внимательному и уже очень опытному игру достаточно иметь большой лист клетчатой бумаги и карандаш, чтобы делать ходы. Но начинающему игру лучше запастись dockой, разграфленой на клетки, и фишки дыхов их цветов, например, черными и белыми (и лист, и доска считаются бесконечными).

Правила игры
Идей игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь простого расположения черных фишек («организмов») на доске, проследить, что будет проискодить с этой исходной позицией («колонней») под действием «генетических законов» Конвея. «Генетические законы»— это и есть правила игры, они управляют розделением и в нем, гибелью и в жизни и нем фишек на доске.

Заметим, что каждая клетка dockи может находиться в одном из двух состояний — либо она пустая, либо же на ней стоит одна черная фишка, — и что у нее есть восем соседи клеток (четыре имеются с ней общее стороны, и еще четыре — общее вершины). Будем называть колонню, получающего из предыдущей в результате одного хода, следующим поколением. Сформируем теперь правила игры, то есть определим, когда фишка «погибает», когда «рождается» и когда «выживает».

Фишка вы жи и вает (остается на доске на своем месте) и переходит в следующей поколение, если у нее есть две или три соседи фишки.

Фишка поги ибает, — снимается с dockи,— если она имеет большие, чем три или меньше, чем два соседи (соответствие из-за перемещности или же от одиночства).

Фишкарождается в некоторых случаях, если в клетках соседи с этой пустой клеткой, стоит проверить три фишки. Процессы «рождания» и «гибели» проискодят одновременно.

Конвей рекомендует производить ходы следующим образом. Определьить, какие фишки должны получить и положить на каждую из них еще по одному черной фишке. Затем определить, в каких клетках должны «родиться» фишки, — и поместить в каждой такую клетку белую фишку. Внимательно проверить еще раз, все ли сделано правильно (допустить ошибку, особенно, если играешь впервые, очень легко), и затем убрать с dockки все столбики из черных фишек, а белые фишки заменить черными — при этом получится следующей поколение исходной колонии (для этого нам и нужны фишки двух цветов).

Начав игру, вы обнаружите, что первооначальная колоння может претерпеть самые неожиданные и порой очень красивые изменения. Иногда колоння вымирает (с dockи исчезают все клетки); произойти это может и не сразу, а лишь после того, как смениться очень много поколений. Но чаще всего исходные конфигурации либо переходят в устойчивые, то есть перестановят изменяющиеся вообщество (их Конвей называет «любителями способной жизни»), либо «выходят на колбательный режим», то есть испытывать цикл превращений с определенным периодом. Во всех этих трех случаях эволюция конфигурации считается законченной.

Проискождение «видов»
Посмотрим, что проискодит с некоторыми простыми конфигурациями.

27

Одна или две фишки всегда погибают после первого же хода. Конфигурация из трех фишек (ее Конвей называет тр и п л е т о м) чаще всего погибает. На рисунке 1 изображены пять триплетов. Первые три погибают уже на втором ходу. Триплет (2) переходит в устойчивую конфигурацию из четырех фишек, называемую «блоком». Триплет (3) Конвей называет «мцалкой» — он превращается попеременно то в вертикальный, то снова в горизонтальный ряд.

Отметим еще, что любой диагональный ряд фишек постепенно вымирает: с каждым ходом число фишек на доске уменышается на два («погибают» крайние фишки).

На рисунке 2 изображена эволюция пяты террамино — так Гарднер называет конфигурацию из четырех клеток, связанных между собой ходом ладьи. Конфигурация (a) нам уже известна — это «блок», террамино (б), (в) и (2) переходит также в устойчивую конфигурацию, называемую «ульем»: (б) и (в) — на втором ходу, а (2) — на третьем. Конфигурация (δ) называется «навигационными осими», замещальная она тем, что на девятом ходу распадается на четыре отдельные «мигалки», дальнейшие превращения которых в

Рис. 1. Эволюция пяты триплетов

Рис. 2. Эволюция пяты террамино

28

Рис. 3. Устойчивые конфигурации

Рис. 4.

Рис. 5. «Планер»

самом деле напоминают «действность» светофоров.

На рисунке 3 изображены две надцатьные наиболее часто встречающиеся устойчивых конфигураций — «любителей спокойной жизни».

Задание 1. Существует две надцатьные конфигурации из пятки клеток, связанных между собой ходом ладьи («пентамино»). Самый сложной из них является pentamino в форме буквы г (рис. 4 a). Эта конфигурация превращается в устойчивую лишь после тысяча сто третьего хода, распадаясь при этом на восемь «блоков», четыре «мигалки», четыре «улья», «каравай», «лодку» и «кораабль» (см. рис. 3!) Попучить этот результат без ЭВМ было бы, конечно, невозможно; при этом счетная машина должна обладать устроястом, позволяющим выводить выходные данные на экран, — только тогда мы сможем наблюдать за всеми изменениями, произходящими на доске. Попробуйте выяскить, что будет проискоить с остальным одинаковым конфигурациями.

Задание 2. Выясните судьбу конфигурации, изобравенных на рисунке 4б—e.

Заметим лишь, что если эвволюция буквы Н заканчивается быстро, то буква П (или «ворота»), неожиданное оказывается «долгожительем» — лишь после 173 хода она распадается на пятку «мигалок», шесть «блоков» и два «пруда»!

На рисунке 5 изображены конфигурация из пятки фище, которое Гарднер считает одним из самых изумительных открытий игры «Жизнь»; Конвей назвал ее «планером». Замечательно здесь то, что «планер» является фигурой, действительно перемещающегося по доске («летящей»): после второго хода он «входит в пикке», а на четвертом ходу переходит в себя, смешая при этом на одну клетку вправо и одну вниз относительно начальной позиции. В игре «Жизнь» скорость, с которой

29

Рис. 6. «Космические корабли»

по доске перемещается шахматный король, называется «скоростью света». Связано это с тем, что большие скорости в этой игре просто не достигаются: ни одна конфигурация не воспроизводит себя настолько быстро, чтобы двигаться с такой скоростью. Скорость движения фигуры у Конвея равна дюби, в знаменатель которого стоит число ходов, необходимых для воспроизведения фигуры, а в числитель — число клеток, на которой она при этом смешается. Скорость «планера» (по диагонали) составляет 1/4 скорости света (проверьте это!). Конвей доказал, что в «Жизни» такая скорость (по диагонали) будет максимальным и что скорость любой конечной фигуры, перемещаются по вертикали или по горизонтиали, не может превышать половины скорости света. На рисунке 6 показаны три «космических кораблей» («планер» — самый «легкий» из всех «космических кораблей»), передвигающиеся по горизонтиали со скоростью, равной половине скорости света. «В полете из них вылетают «искры», — пишет Гарднер, — которые тут уже гаснут при дальнейшем движении «корабля». Оказывается, что «сверхяжеемые космические корабли» (у них горизонтальный ряд состоит более чем из шести фишек) уже требуют эскорота из двух или большого числа «кораблей». Меныших размеров, в противном случае на доске появляются мелкие фигуры, мешающее движению. На рисунке 7 изображен самый тяжелый из «космических кораблей», который достигно имеет два сопроводящих более легких «корабля». Как вычислил Конвей, «кораблю» длиной в 100 клеток нужно эскорот, состоящий уже из тридцати кораблей.

ПРОБЛЕМА «РОСТА»

Пожалуйста, самой сложной задачей игры «Жизнь» была следующая: сущность имитация макая конечная исходная колоння, число «организмов» которой просто бы при перехождение от поколения к поколению бесконечно.

Опубликовав свою игру, Конвей пообещал premio тому, кто найдет ответ на этот вопрос. Задча была решена в ноябре 1970 года группой математиков Массачу-Рис. 8. «Планерное ружье»

30

ла бы засевать поле с той же скоростью, с которой живейка его убирает».
И, наконец, отметим, что игра «Жизнь» — далеко не только игра; она по праву заняла видное место в «теории клеточных автоматов», вызван интересу многих ученых, занимающихся проблемами использования ЭВМ. «Например, создание «планерного ружья», — пишет Гарднер, — открывает волнуощую возможность имитации в игре Конвея машины Тьюринга*), способной (в принципе) произвольить все действия, которые только доступны самым совершенным из современных ЭВМ».
Читательям, занимающиеся игрой Конвея, мы предлагаем еще несколько задач.
Задание 3. Что проискодит с горизонтальным рядами из n фишек при n=5, 6, …, 9?
Задание 4. Как ведут себя конфигурации, изображенные на рисунке 11a, 6, 8 («восьмерка», буква Z, два «планера», леташие навстречу друг другу).

Рис. 9. «Чеширский кот»

Рис. 10. «Жнейка»

Рис. 11.

*) Машина Тьюринга — это идеальный автомат, способный произвольить юбьи в вычисления, изображен английским математиком А. М. Тьюрингом.

31

Из жизни единц
A. Л. Тоом

Увы! — сказал сатурниц,
— мы живем всего лишь пятьсот
больших оборотов Солнца…
Наше существование — точка, срок
нашей жизни — мнновение, наша
планета — atom.

Вольтер. «Микромедас».

Не так давно стало известно, что некоторые, на первый взгляд, совершенно разные явления и процессы, происходящие в жизни, например, превращения полимеров, жизниедятельность биологических ткани, рост кристаллов и даже работа вычислительной машины, у которой вычисления производенного во всех рабочих ячейках (такой вычислительной машины показан нет, но построить ее было бы очень занучиво), тем не менее имеют нечто общее. Это общее выявляется тогда, когда делается попытка описать данные процессы языком математики, создать то, что учены называют математической моделью.

Известный советский физик Я. И. Френкель говорил, что математическая модель должна быть похожа скорее на карикатуру, чем на «реалистический» рисунок. Основное требование, предъявляемое к модели — это простота: жизньные процессы настояком математики, создать то, что учены наделя подается математическим изучению с трудом. В настоящее время больше популяриность прибрежели так называемые «решчатые модели», описывающие процессы, производящие на решете из одинаковых «клеточек». В таких модели трудности возникют уже тогда, когда каждая клеточка может находиться только в двух состояниях. Об этом мы и рассказем в статье.

1. Колонии и операторы

Для математika клетчатая бумага tant в себе много привлекательных возможностей. Воспользуемся здесь одной из них. Откройте страницу тетради в клетку. Вы видите на ней сетку из вертикальных и горизонтальных линей. Точки их пересечения будем для краткости называть узлами. Представим себе мир, который только из всех этих узлов и состоит. Правда, страницу при этом вообразим бесконечной. Пусть в этих узлах могут жить с щетва: edиницы. На рисунках единцы будем обозначать жирными точками, как на рисунке 1. В каждом узле может находиться одновременного только одна единца, а если в узле нет единцы, то там стоит нуль. Совокупность всех узлов, заятых единцами, будем назвать колоней. Если единц конечное число, то колоню называет конечной. Если нет ни одной единцы, то мы скажем, что у нас пустая колоня. (Время, как и пространство, дискретно. Это значит, что оно нумеруется целыми числами: 0, 1, 2,…) Должен быть задан оператор P, то есть п ра в и л о, которое для любой колонии K, существуют в некоторых момент времени t, определяет, какая из нее получится колония PK в следующий момент времени t + 1.

Пусть такой оператор P задан. Основной вопрос, который мы попытаемся выяснить, таков. Существует ли для данного оператора P бессмертная конечная колония, то есть макая конечная колония K, что, сколько бы раз ни применять к ней оператор P, всегда будет получаться неусмотряя колония? Или же набором, оператор P может, что всякая конечная колония через некоторое время вымирает, то есть не остается ни одной единцы?

Разберем сначала два примера. Введем координаты оси, взяв за начало координат O один из узлов и направив, как обычно, ось абсцисс вправа, ось ordинат вверх (см. рис. 1) и приняв сторону клетки за единцу.

32

Пример 1. Пусть в момент $t + 1$ в узле $A = (x, y)$ будет единица в том и только в том случае, если в момент $t$ единицами было занято больше и иствою из пятей узлов: этого узла $A$ и четырех соседних с ним: справа $(x + 1, y)$, слева $(x - 1, y)$, сверху $(x, y + 1)$ снизу $(x, y - 1)$. Оператор $P$ задан.

Упражнение 1. Что порождают колонии, изображенные на рисунке 1 («жирные» точки и крестики), под действием этого оператора? Проследите дальнейшую эволюцию колонии. Существует ли для этого оператора бессмертная конечная колония?

Пример 2 (см. задачу M215). Пусть в момент $t + 1$ в узле $A = (x, y)$ будет единица тогда и только тогда, если в момент $t$ единицами было занято больше и иствою из трех узлов: этого узла $A$ и двух соседних: справа $(x + 1, y)$ и сверху $(x, y + 1)$. Оператор $P$ задан.

Из решения задачи M215 (опублікованного в «Кванте» № 3, 1974) следует, что под действием этого оператора всякая конечная колония вымирает. (Проверьте это для колонии на рис. 1). Докажем этот факт еще раз способом, который пригодится нам в дальнейшем.

Изучим эволюцию колониий специального вида, заполняющих равноведенный прямогольный треугольник с катетами, направленных вправо и вверх от вершины прямого угла (рис. 2). Оказывается, какый такой треугольник в следующий момент времени переходит в треугольник такого же вида, но с меньшей на единицу длиной катетов. Только самый маленький треугольник с длиной катетов 1 переходит в одну точку, а она на следующем шаге пропадает. (Проверьте это, проследив эволюцию рисунка 2.) Поэтому какый такой треугольник вымирает за время, равное первоначальной длине катетов.

Пусть теперь у нас есть произвольная конечная колония $K$. Ее можно заключить в равноведенный прямогольный треугольник, что и сделано на рисунке 3. Тогда колония, получающаяся из нее в следующий момент, будет помещаться внутри меньшего треугольника такого же вида, и так далее.

Здесь мы воспользуемся важным свойством оператора $P$: если колония $K_1$ есть часть колонии $K_2$ (это можно записать так: $K_1 \subset K_2^*$), то $PK_1$ есть часть $PK_2$: $PK_1 \subset PK_2$ (что не исключает возможность, что $PK_1$ и $PK_2$ совпадают). Наозем это свойство, которое коротко можно записать так:

$$K_1 \subset K_2 \Rightarrow PK_1 \subset PK_2,$$

монotonность оператора $P$. В этой статье рассматривается только monotonные операторы.

Для немонotonных операторов воросо том, когда существует бессмертные конечные колонии, в общем виде не решен и, возможно, очень труден. Интересный и общий материал об исследовании одного конкретиного немонotonного оператора, получившего название игры «Жизнь», собран в книге М. Гарднер «Matematические досуги» (глава 38). Познакомиться с этой игрой вы можете на с. 26 этого номера журнала.

Опишем теперь точно, какого вида оператора $P$ мы будем рассматривать.

*) Знак $\subset$ означает включение множества. Мы будем дальнейшее пользоваться также понятными пересечениями, объединениями и дополнениями множества (об операциях над множествами см., например, статью С. Г. Гиндин и «Сколько существует операция над множествами», «Квант», 1973, № 7).

33

Пусть $O$ — «нулевой» узел, начало координат. В описание $\mathbf{P}$ входит список $\mathbf{U}$, состоящий из $r$ узлов $u_1, \dots, u_r$, от состояний которых в момент $t$ зависит состояние узла $O$ в момент $t + 1$. В примере 1 число этих узлов $r = 5$, в примере 2 $r = 3$. Состояние любого узла $A$ в момент $t + 1$ зависит от состояния узлов $A + u_1, \dots, A + u_r$ в момент $t$. Знак + здесь означает сложение векторов. Например, если $A = (x, y), u_1 = (x', y')$, то $A + u_1 = (x + x', y + y')$.

Упражнение 2. Напишите координаты векторов $u_1, \dots, u_5$ в примере 1 и векторов $u_1, u_2, u_3$ в примере 2.

Кроме списка $\mathbf{U}$, в задании оператора $\mathbf{P}$ входит функция, определяющая как именно зависит состояние узла $A$ в момент $t + 1$ от состояния узлов $A + u_1, \dots, A + u_r$ в момент $t$. Чтобы задать такую функцию, нужно указыть, что будет в узле $A$ в момент $t + 1$ — единица или же нуль — для каждого комбинации единиц и нулей в узлах $A + u_1, \dots, A + u_r$ в момент $t$. Всего таких комбинаций $2^r$. Можно, например, составить таблицу, в которой против каждой комбинации из единиц и нулей поставить либо единицу, либо нуль, что и сделано на рисунке 4 (проверьте, что функция, заданная этой таблицей, определяет оператор $\mathbf{P}$ из примера 2).

| Состояния узлов | В момент $t$ | $t + 1$ |
| :— | :— | :— |
| $(0,0)$ | $(0,1)$ | $(1,0)$ | $(0,0)$ |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |

Рис. 4.

Составлять таблицу, конечно, не обязательно, можно функцию задать сложенно, но так, чтобы по сложному заданию можно было бы однозначно составить такую таблицу.

Функции $f = f(a_1, a_2, \dots, a_r)$, аргументы и значения которых принимают только два значения, 0 и 1, называются булевскими или двойными. Булевская функция называется monotonной, если из

$$a_1 \leqslant a'_1, \dots, a_r \leqslant a'_r$$

следует

$$f(a_1, \dots, a_r) \leqslant f(a'_1, \dots, a'_r).$$

Как уже говорилось, мы будем рассматривать только монotonные операторы. Они задаются монotonными функциями. Положим, кроме того, $f(0, \dots, 0) = 0$, $f(1, \dots, 1) = 1$.

Эти ограничения не существует, поскольку не удовлетворяют им из монotonных функций только константы — функции, принимающие только одно значение (всегда нуль или всегда единицу). Функции - константы очень просты, и поэтому неинтересны.

Пример 3. Пусть в момент $t + 1$ в узле $A = (x, y)$ будет нуль в том и только в том случае, если в момент $t$ выполняется хотя бы одно из двух условий:

a) нули стояят в общих узлах $(x, y)$ и $(x, y + 1)$;
b) нули стояят в общих узлах $(x + 1, y)$ и $(x + 1, y + 1)$.

Оператор $\mathbf{P}$ задан.

Упражнение 3. a) Проследите эволюцию колонни, изображенных на рисунке 1, под действием этого оператора.

Неправда ли, создается впечаление, что колонни сплошивают с правого бока, но заговляется впечаление?

b) Доказите, что под действием оператора примера 3 всякая конечная колоння вымирает.

Пример 4. Пусть в момент $t + 1$ в узле $A = (x, y)$ будет нуль тогда и только тогда, если в момент $t$ выполняется хотя бы одно из двух условий:

a) нули стояят в общих узлах $(x, y)$ и $(x + 1, y + 1)$;
b) нули стояят в общих узлах $(x + 1, y)$ и $(x, y + 1)$.

Оператор $\mathbf{P}$ задан.

34

Рис. 5. Рис. 6.

Для этого оператора существуют беспетрные конечные колонии, правда, все время изменяющиеся, но никака не вымирающие. Найдите какую-нибудь из них.

2. Нульевые множества.
   Теорема о выживании

Вспомним теперь, что на плоскости, кроме узлов, есть еще и другие точки. Конечно, с точки зрения единниц, живущих только в узлах, никаких других точки в природа не существует, но для нас-то они существуют. Будем рассматривать всевозможные геометрические фигуры — множества точки на плоскости. Скажем, что фигура М заполнена нулями, если нули стоит во всех узлах, принадлежих этой фигуре.

Определение 1. Фигура М называется нулявой (для данного оператора P), если из мою, что она заполнена нулями в момент t, следуем, что в узле O будет нуль в момент t + 1.

Так, в примерах 1, 2 фигура является нулявой, если она содержит большинство из пяти — в примере 1 — или трех — в примере 2 — узлов, составляющих множество U.

Пусть на плоскости проведена прямая l. Изовем полупоскстью множество точки, расположенных по одному сторону от прямой, включая саму эту прямую.

В соответствии с определением 1 полупосксть называется нулявой, если из того, что она заполнена нулями в момент t, следует, что в узле O будет нуль в момент t + 1.

Обозначим через σₚ пересечение всех полупоскостей, нулявых для данного оператора P.

Теорема о выживании. Под действием оператора P всякая конечная колония вымирает модель и molъко мода, если множество σₚ пусто.

Уражнение 4. (Проверка теоремы для примеров 1—4.) Доказайте следующие утверждения.

a) В примере 2 три полупоскости, защищенных на рисунке 5, являются нулями. В примере 3 две полупоскости, защищенных на рисунке 6, являются нулями.

В обихах случае защищенные полупоскости не имеют общих точки, то есть их пересечение пусто. Поэтому σₚ — пересечение всех нулявых полупоскостей тем более пусто. В соответствии с теоремой все конечные колония вымирают.

b) В примере 1 множество σₚ состоит из одной точки O (и в соответствии с теоремой, существует беспетрная конечная колония).

В примере 4 множество σₚ состоит из одной точки ξ = (1/2, 1/2). (Точка ξ — не узел. Вот почему нам не хватило узлов!)

В примере 1 точки O входит в σₚ, а конечная беспетрная колония остается на месте. В примере 4 простейшая беспетрная колония состоит из четырех узлов — вершин одного единчного квадрата (рис. 7). В следующий момент времени она порождает «крест», а этот крест в свою очередь такой же квадрату, но сдиинутий

35

на единицу влево и вниз. Складем, что колония $K$ заполняет фигуру $M$, если она содержит все узлы, входящие в $M$. И крест, и квадратик на рисунке 7 можно представить как колонии, заполняющие равные фигуры — квадраты, показанные на этих рисунках. Таким образом, колонии, порождаемые в последовательные моменты времени, можно представить как заполняющие один и тот же квадрат, сдигασищей за единицу времени на вектор $-\vec{\xi} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$. Заметим, что стороны этого квадрата параллельны прямым $u_i$ и $\xi$, где $u_i \in U$. В примере 1 стороны единичного квадрата, заполняемого колонией, также параллельны линям $u_i O$.

У праванние 5 (изделательское) Если бы были единичей и жили бы в мире, управляемом оператором примера 4, то существовала бы для вас точка $\xi = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ или нет?

3. Выпуклы множества и выпуклы оболочки

Множество точек $M$ на плоскости называется выпуклым, если удовлетворяет следующему условия:

если точки $A$, $B$ принадлежат $M$, то и все точки отрезка с концами $A$, $B$ принадлежат $M$.

У праванние 6. Доказите, что всякая полуплоскость — выпуклое множество.

У праванние 7. Доказите, что пересечение нескольких выпуклых множества — выпуклое множество.

У праванние 8. В некоторых условиях многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одному сторону от прямой, проведенной через каждой его сторону. Доказите, что многоугольник будет выпуклым в этом смысле тогда и только тогда, когда выпуклое множество точек, расположенных на его контуре и внутри него.

Итак, если выпуклое множество $M$ содержит точки $A_1, \dots, A_h$, то оно содержит также и все отрезки с концами в этих точках, и все треугольники с вершинами в этих точках. Обедининие всех точек $A_1, \dots, A_h$ на плоскости, отрезков с концами в этих точках и треугольников с вершинами в этих точках называется выпуклой оболочной точек $A_1, \dots, A_k$ (на рисунке 8 выпуклая оболочка точек $A_1, \dots, A_k$ закрашена). Можно сказать, что выпуклая оболочка точек $A_1, \dots, A_k$ — это то, что обязаетлено входить в все коеев выпуклое множество, содержащие точки $A_1, \dots, A_k$.

У праванние 9. а) Доказите, что множество, состоящее из четырех точек (на плоскости), всегда можно разбит на два подмножества, выпуклые оболочки которых пересекаются.

6. То же, если множество состоит из $n > 4$ точек.

Вспомним определение множества $\sigma_P$. Если искать $\sigma_P$, следует этому определению, то придется строить все нульевые полуплоскости, а их бесконечно много. Правда, в примерах 1—4 мы суммали найти $\sigma_P$, но пока не ясно, как сделать это в общем случае. Оказываться, с помощью выпуклых оболочных можно строить $\sigma_P$ уже для любого оператора $P$.

Рассмотрим все подмножества $U$. В соответствии с определением 1, множество $U' \subset U$ называется нульевым, если из того, что $U'$ заполнен нульями в момент $t$, следует, что в точке $O$ будет нуль в момент $t + 1$.

Лемма 1. Множество $\sigma_P$ совпадает с пересечением выпуклых оболочных всех нульевых подмножества $U$.

Доказите эту лемму самостояльно. Указан ие. Полуплоскость является нульевой тогда и только тогда, когда она содержит целиком хотя бы одно нульевое подмножество $U$.

Пользовать леммо 1, можно по всякому оператору $P$, заданному набором $U$ и функцией $f$, построить $\sigma_P$. Именно, надо выписать все подмножества $U$ (их $2^r$ штук), далее, зная функцию $f$, выбрать из них нульевые, построить их выпуклы

37

Рис. 12.

после $t$ применений оператора $P$ согласно следующим замечанием и из-заedom будут заполнены нулем и из-заedom будут заполнены нулем полуплоскости, получающие из $\Pi'_1, \Pi'_2, \Pi'_3$ сдвиги на $t v_1, t v_2, t v_3$; при $t \geq d$ эти полуплоскости тем более покройот всю плоскость. Значит, все плоскость будет заполнена нулем, а это и означает, что колония $K$ вымирает.

Лемма 3. Пусть две полуплоскости, ограниченные двумя параллельными прямыми и расположенные по внешние стороны от них, являются нулевыми для оператора $P$ (как на рис. 6). Тогда под действием этого оператора всякая конечная колония единц вымирает.

Докажите эту лемму самостоятельно. Указан ие. Обобщите решение упражнения 3.

Леммы 2 и 3 можно обединить в одно следующое утверждение:

Лемма 4. Если пересечение трех нулевых полуплоскостей пусто, то всякая конечная колония единц вымирает.

Доказательство. Если пересечение трех полуплоскостей пусто, то либо они расположены как на рисунке 10, либо какое-то две из них расположены как на рисунке 6, а для этих двух случав утверждение леммы 4 доказано.

Б. Пусть теперь множество $\sigma_p$ содержит хотя бы одну точку. Докажем, что тогда существует конечная бескмерная колония.

Лемма 5. Пусть бесконечная колония $K$ заполняется $t$ полуплоскость $\Pi$, имеющую хотя бы одну общую точку с множеством $\sigma_p$. Тогда колония $PK$ содержит узел $O$.

Доказательство. Допустим, что $PK$ не содержит $O$. Значит, в момент $t + 1$ в точке $O$ стоит 0, то есть в момент $t$ какое-то нулевое подмножество $U$ было целиком заполнено нулями. Значит, это нулевое подмножество не имело ни одной общей точки с $\Pi$, то есть принадлежало дополнительно к $\Pi$. Но дополнительное к $\Pi$ — выпуклое множество. Поэтому выпуклая оболочка этого нулевого подмножества тоже целиком принадлежала дополнительно к $\Pi$. Значит, (см. лемму 1) и $\sigma_p$ целиком принадлежало дополнительно к $\Pi$, что противоречит условиями.

Следствие. Пусть бесконечная колония $K$ заполняется полуплоскость $\Pi$, имеющую хотя бы одну общую точку с множеством $A + \sigma_p$, где $A$ — узел. Тогда колония $PK$ содержит узел $A$.

Основной для случая Б является Лемма 6. Пусть точка $\xi$ принадлежит $\sigma_p$ (как точка $(1/2, 1/2)$ в примере 4). Тогда существует такой выпуклый многоугольник $M$, что, если колония $K$ заполняется $M$, то колония $PK$ заполняется многоугольник $M - \vec{\xi}$ (рис. 12), колония $P^2 K$ заполняется $M - 2\vec{\xi}$ и так далее; вообщее, колония $P^n K$, получаемая из $K$ через $n$ моментов времени, заполненное многоугольник $M - n\vec{\xi}$, равный $M$ и полученный из $M$ свызом на вектор $-n\vec{\xi}^*$). При этом все колония $K$, $PK$, $P^2 K$, … непусты.

*) Мы утверждаем, что единцами заняты все узлы, принадлежащие $M - n\vec{\xi}$ но, возможно, не только они: не исключено, что единцы будут и вне этого мнестоугольника.

38

Из этой леммы, в частности, следует, что если точка $O$ принадлежит $\sigma_p$, то существует «стабильная» колония, не теряющая в процессе эволюции ни одного своего узла (но, возможно, прибретающая новые).

Доказательство. Заметим, что мы не претендуем на то, чтобы найти наименьшую бессмертную колонию (как мы нашли для примеров 1 и 4). Нам достаточно найти какую-нибудь. Поэтому будем с самого начала считать многоугольник $M$ очень большим. Каким точно, скажем ниже.

Утверждение леммы достаточно доказать только для $n = 1$; для больших $n$ это будет следовать по индукции. Итак, предположим, что колония $K$, существующая в момент $t$, заполняется $M$; доказем, что колония $PK$ заполняется многоугольник $M - \xi$.

Пусть какой-то узел $A$ принадлежит $M - \xi$ (см. рис. 14). Покажем, что $A$ принадлежит $PK$ (это записьют так: $A \in PK$). Очевидно, $(A + \xi) \in M$. Обозначим через $R$ наиболее из расстояний от точки $\xi$ до узлов $u_1, \dots, u_r$. Тогда круг с центром $A + \xi$ и радиусом $R$ накроет все узлы $A + u_1, \dots, A + u_r$. Выберем $M$ столбцы, чтобы всякий круг с центром внутри $M$ принадлежа $R$ либо ввобше не накрывал точок сторона многоугольника $M$, либо накрывал точки лишь одной стороны $M$, либо накрывал точки лишь двух соседних сторон, но не больше. (На рисунке 13 изображен круг, накрывающий точки трех сторон треугольника — такого быть не должно!) Расмотрим три случая.

a) Круг с центром $A + \xi$ радиуса $R$ помещается целиком внутри $M$ (см. рис. 14). Тогда все узлы $A + u_i$ тем более внутри $M$, то есть они входят в $K$; значит, узел $A$ входит в $PK$.

b) Круг с центром $A + \xi$ и радиусом $R$ накрывает точки только одной из сторон $M$ (как на рисунке 15). Проведем прямую $l$ через эту сторону. Если колония $K$ заполняется все полуплоскость $\Pi$, ограниченной $l$ (на рисунке 15 эта полуплоскость защитыхована), то колония $PK$ содержаiba бы узел $A$ по следствию из леммы 5 (полуплоскость $\Pi$ содержит точку $A + \xi$, и поэтому пересекается с множеством $A + \sigma_p$). Но колония $PK$ будет содержать узел $A$ и в том случае, если $K$ заполняет только $M$, так как состояние узла $A$ в момент $t + 1$ зависит только от состояния узлов $A + u_i$ в момент $t$, а эти узлы не входят в разность между $\Pi$ и $M$.

b) Круг с центром $A + \xi$ радиуса $R$ накрывает точки двух соседних сторон $M$ (см. рис. 16). Мы хотим доказать, что для того, чтобы в узле $A$ в момент $t + 1$ была единица, достаточно чтобы в момент $t$ единицы были в тех точках

39

Рис. 16.

$A + u_1, \dots, A + u_r$, которые попадают в область пересечения $M$ с кругом. Мы докажем, что на самом деле для этого достаточно наличия единиц даже в меньшей области — пересечения того же круга с многоугольником $M'$, полученным из $M$ таким сдигром, при котором обшая вершина двух соседних сторон $M$, часть которых накрыта кругом, попадает в точку $A + \xi$ (рис. 16). Для этого нам потребуется наложить на $M$ еще одно, теперь уже последнее, условия.

Проведем прямые через точку $\xi$ и каждой из узлов $u_1, \dots, u_r$, отличных от $\xi$ (если все $u_i$ отличны от $\xi$, то получится $r$ прямых; если один из них совпадает с $\xi$, то получится $r - 1$ прямая). Потрёбут, чтобы для каждой из этих ($r$ или $r - 1$) прямых нашли две стороны многоугольника $M$, ей параллельные. Тогда каждой прямой, параллельная прямой, проходящей через $\xi$ и кakyонибудь из точки $u_1, \dots, u_r$, отличных от $\xi_2$ либо вовсе не пересекает $M$, либо имеет с $M$ целый общий отрезок. Этому условия, например, удовлетворяет квадрат на рисунке 7 (пример 4).

Проведем теперь через точку $A + \xi$ прямую $l$, имеющую с многоугольником $M'$ лишь одну общую точку $A + \xi$ (см. рис. 16). Если только $K$ заполняется всю популское $\Pi$, ограниченную прямой $l$ (на рисунке 16 она затрихована сининим), то по следствию леммы 5, в точке $A$ в момент $t + 1$ была бы единица. Но колония $PK$ будет содержать узел $A$ и в том случае, если $K$ заполняет только $M$, поскольку узлов $A + u_i$, лежащих в популское $\Pi$, но вне $M'$, — нет. Доказем это. Допустим, что какой-то узел $A + u_i$ оказывается в разности между $\Pi$ и $M'$. Но в то же время он находится в круге с центром $A + \xi$ радиуса $R$. Значит, узел $A + U_i$ лежит в одном из двух секторов, заштрихованных черным. Тогда прямая, проходящая через $A + u_i$ и $A + \xi$, имеет $C'$ лишь одну общую точку, что невозможно в силу выбора $M$. Тем самым лемма 6 доказана.

В. Теорема Хелли. Итак, мы исследовали также два случая:

A) пересечение каких-то трех нулевых популское пусть (lemma 4);

B) пересечение всех нулевых популское пусть (lemma 6).

Оказывается, только эти случая и возможности. Это следует из известной теоремы Хелли.

Это очень важная и красивая теорема, имеющая много разных формулировок, доказательств и применений. Nam она понадобится лишь в следующем варианте (доказательство ее см. на с. 77).

Теорема Хелли. Пусть на плоскости имеется $n \geq 4$ выпukых множества, какые при из которых имеются общую точку. Тогда все эти $n$ множества имеются общую точку.

Приименим ее к нашему случае. По следствию из леммы 1 можноесто $\sigma_p$ есть пересечение конечного числа популское пусть, а это и есть случая $A$. Тем самым теорема о выживании доказана.

40

ПОБЕДИТЕЛИ
КОНКУРСА
«КВАНТА»

Редколлегия журнала «Квант» установила специальные премии за наиболее интересные решения задач, помещенных в «Задачике« Квант».
Редакция получила за 1973—1974 гг. около 3000 писем с решениями задач, помещенных в разделе «Задачик« Квант». Среди авторов этих писем редакционная коллекция отбрала школьников, регуляро присылавших особенно оригинальные и удачные решения. Они нагружаются годовой подпиской на журнал «Квант» на 1975 год.
В соответствии с решением Оргкомитета Всесоюзной олимпиады эти школьники допущены на областные туры Всесоюзной олимпиады 1975 года нааровне с победителем районаных математических и физических олимпиад.

1. ГОНЧАРОВ А. (г. Никополь Днепропетровской обл., 9 кл.)
2. ДОКУЧАЕВ Ю. (г. Ленинград, 10 кл.)
3. ИВАЩУК В. (г. Киев, 10 кл.)
4. КОРШУНОВ С. (п. Монино Москов, обл., 10 кл.)
5. ЛЮБИЧ М. (г. Харьков, 10 кл.)
6. МЕЛЬНИК С. (г. Харьков, 10 кл.)
7. МИХЛИН Л. (г. Курск, 9 кл.)
8. РЕМЕЕВ А. (г. Ташкент, 10 кл.)
9. РЕШЕТНЯК В. (г. Киев, 10 кл.)
10. РЫЖИКОВ В. (г. Ахтубинск, 10 кл.)
11. ФИНАШИН С. (г. Ленинград, 9 кл.)
12. ШМЕЛЕВ Г. (г. Ярославль, 10 кл.)

41

За успешное участие в VIII Всесоюзной физико-математической оптимизации годовой подпиской на журнал «Квант» нагружаются:

1. БЕЛОШАПКО А. (Брянская обл., Новозыбковский р-н, п. Вышков, 9 кл.)
2. БОТВИЧ Д. (Курская обл., Обоянский р-н, с. Камынино, 10 кл.)
3. КРИВОПУЩЕНКО А. (БССР, Витебская обл., п. г. т. Ушачи, 9 кл.)
4. ПЕЧЕНКОВ В. (Приорский край, Спасский р-н, с. Красный Кут, 10 кл.)
5. ЯЦАЛО Б. (УССР, Ровенская обл., Зареченский р-н, с. Морочное, 9 кл.)

Годовой подпиской на 1975 год нагружаются также следующие участники научной конференции учащихся физико-математических школ-интератов (об этой конференции мы расссказываем в этом номере журнала):

1. МИМИНОШВИЛИ М. (г. Тбилиси, 9 кл.)
2. ТОРОНДЖАДЗЕ М. (г. Тбилиси, 10 кл.)
3. САНИКИДЗЕ М. (г. Тбилиси, 8 кл.)
4. ТИМОШИН А. (г. Рига, 10 кл.)

42

Задчи

M281—M285; Ф293—Ф297

M281. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Г. А. Гальперин

M282. В клетках прямогольной таблицы размерами $m \times n$ записаны любые натуральные числа. За один разрезается удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равными нулю.

С. Коняцин

M283. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны одновременно на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. До

кажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

M284. Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Доказите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

M285*. Прямогольный лист бумаги размерами $a \times b$ разрезан на прямогольные полоски, у каждой из которых одна сторона имеет длину 1. Доказите, что хотя бы одно из чисел $a$ и $b$ — целое.

А. В. Климов

Ф293. Марс во время противления на расстоянии $l = 5,56 \cdot 10^{10}$ м от Земли и его угловой диаметр равен 25″, 1. Определитьускорение свободного падения на поверхности Марса, если известно, что максимальное угловое расстояние между центрами Марса и его

43

спутника Фобока β = 34°, 5, а перiod обращения Фобока вокруг давления, необходимо подводить телло. Во время опыта меняется давление в камере, и это приводит к изменению сопротивления любой проволоки, используемой в качестве нагревателя. На рисунке 1 показана схема, используя в случае, когда необходимо, чтобы количество подводимого за одно и то же время телла очень слабо зависит от давления. Сопротивление $R_3$ — это обмотка нагревателя, $R_1$ и $R_2$ — некоторые постоянные сопротивления, которые находятся в камеры высокого давления. При каком соответствии между $R_1$, $R_2$ и $R_3$ мощность, рассеиваемая на сопротивлении $R_3$, меняется меньше всего при изменении величины сопротивления $R_3$?

Ф295. Какова должа быть точность измененияускорения свободного падения у поверхности Земли для того, чтобы можно было обнаружить изменение этой величины в течение суток из-за притяжения Лунны? Считать, что изменение произвольится в точке, которая лежит в плоскости орбиты Лунны; врашением Земли пренебречь.

44

Решения задач

M241—M245; Ф248—Ф252

М241: Доказим, что
31974 + 51974
делится на 13.

Автор задачи С. И. Майзус предложил такое довольное хитroe решение. Запишем число 31974 + 51974 в виде суммы
(31974 + 21974) + (51974 - 21974)

и доказем, что каждая скобка делится на 13.
1°. При любых целых a, b и нечетном n а^n + b^n делится на a + b:
a^n + b^n = (a + b) ×
× (a^{n-1} - a^{n-2} b + … + b^{n-1}).
Позотому
(3^2)^{987} + (2^2)^{987} = 9^{987} + 4^{987}

делится на 13.
2°. При любых целых a, b и натуральном n a^n - b^n делится на a - b:
a^n - b^n = (a - b) ×
× (a^{n-1} + a^{n-2} b + … + b^{n-1}).
Позотому
(5^3)^{658} - (2^3)^{658} = 125^{658} - 8^{658}

делится на 125 - 8 = 117 = 9.13.

Большинство читателей предложают более естественное решение, пригодное для любых аналогических примеров.

Будем следить за тем, какие остатки дают степени 3 и 5 при делении на 13. Обозначим эти остатки чисел 3^n и 5^n через r_n и r’_n соответственно. Последовательно находим остатки r_n при делении 3^n на 13:
$$\frac{n}{r_n} \left| \begin{array}{c c c c} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ 1 & 3 & 9 & 1 & 3 & 9 & 1 & \dots \end{array} \right|$$

(Для того чтобы составлять такую таблицу, вовсе не нужно делить 3^5, 3^6, … на 13: ясно, что если 3^n - r_n делится на 13, то 3^{n+1} - 3r_n тоже делится на 13, так что остаток r_{n+1} можно получить просто как остаток при делении 3r_n на 13.) Таким образом, остатки повторяются с периодом 3, и поскольку 1974 делится на 3, то r_{1974} = r_0 = 1.

Для остатков, получающихся при делении на 13 чисел 5^n, имеем такую таблицу:

$$\frac{n}{r_n} \left| \begin{array}{c c c c c c c c c} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \dots \\ 1 & 5 & 12 & 8 & 1 & 5 & 12 & \dots \end{array} \right|$$

Здесь период равен 4, и r’_i = r’_i = 12. Таким образом, 31974 дает в остатке 12, а их сумма делится на 13.

Подробнее о закономерности, которые встречаются в последовательности остатков чисел a^n (n = 0, 1, 2, …) при делении на некоторое простое p, расссказано в статье С. Г. Гиндикна «Малая теорема Ферма», «Квант» № 10, 1972.

M242. Пусть $A_i H_i$ — высота и $A_i M_i$ — медиана, проведенные из вершины $A_i$ островального треугольника $A_1 A_2 A_3$ (i = 1, 2, 3). Доказим, что одно из трех произведений $|H_1 M_1| \cdot |A_2 A_3| \cdot |H_2 M_2| \cdot |A_3 A_1| \cdot |H_3 M_3| \cdot |A_1 A_2|$ равно сумме двух других *). Верно ли это утверждение для прямогоlocalhost и mysqllocalhost треугольника?

Доказем, что это утверждение верно для любого треугольника. Выразим произведение $|H_1 M_1| \cdot |A_2 A_3|$ через длины стороны $|A_2 A_3| = a_1$, $|A_3 A_1| = a_2$, $|A_1 A_2| = a_3$.

Из теоремы Пифагора, примененной к $\triangle A_1 H_1 A_2$ и $\triangle A_1 H_1 A_3$ следует, что (рис. 1) $|A_1 H_1|^2 = |A_1 A_2|^2 - |A_2 H_1|^2 = |A_1 A_3|^2 - |A_3 H_1|^2$, осткуда
$|A_2 H_1|^2 - |A_3 H_1|^2 = a_3^2 - a_2^2$.

Доказем, что по модulo разность (1) равна 2 $|H_1 M_1| \cdot |A_2 A_3|$.

Чтобы не рассматривать отдельно случай расположения точки H_1 относительно точки A_2, M_1, A_3, введем на прямой A_2 A_3 системы координат. Примем за начало отсчета точки M_1. Пусть координаты точки A_2, A_3 и H_1 соответствуют

*)Через |KL| обозначается длина отрезка с концами K и L.

45

Рис. 3.

равны $-\frac{a_1}{2}, \frac{a_1}{2}$ и $h_1$ (рис. 2). Рассстояние между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ равно $|x_2 - x_1|$, поэтому

$$\left|A_2H_1\right|^2 - \left|A_3H_1\right|^2 = \left|h_1 + \frac{a_1}{2}\right|^2 - \left|h_1 - \frac{a_1}{2}\right|^2 = \left(h_1 + \frac{a_1}{2}\right)^2 - \left(h_1 - \frac{a_1}{2}\right)^2 = 2h_1a_1.$$

Поскольку $|h_1| = |H_1M_1|$, то из (1) и (2) вытекает равенство

$$2|H_1M_1| \cdot |A_2A_3| = |a_3^2 - a_2^2|.$$

Аналогично доказывается равенства

$$2|H_2M_2| \cdot |A_3A_1| = |a_1^2 - a_3^2|,$$

$$2|H_3M_3| \cdot |A_1A_2| = |a_2^2 - a_1^2|.$$

Но сумма трех чисел $a_3^2 - a_2^2, a_1^2 - a_3^2$ и $a_2^2 - a_1^2$ равна 0. Поэтому модель одного из них равен сумме модели двух других. Отсюда следует утверждение задачи.

(Если обозначения вершин выбрать так, что $a_1 \geq a_2 \geq a_3$, то

$$\left|a_1^2 - a_3^2\right| = \left|a_1^2 - a_2^2\right| + \left|a_2^2 - a_3^2\right|$$

и, стало бы,

$$\left|H_2M_2\right| \cdot |A_3A_1| = |H_1M_1| \cdot |A_2A_3| + |H_3M_3| \cdot |A_1A_2|.$$

Н. Б. Васильев

M243. $n$ отрезков $A_1B_1, A_2B_2, \dots, A_nB_n$ (рис. 3) рассматриваны на плоскости макс, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, окачивается на другой прямой, и проходит через точку $G$ (не лежащую на данных прямых) — центр мяжества edиничных масс, помещенных в точках $A_1, A_2, \dots, A_n$. Докажите, что

$$\frac{A_1G}{GB_1} + \frac{A_2G}{GB_2} + \dots + \frac{A_nG}{GB_n} = n.$$

Мы немного обобщим формулировку данной задачи, имено, будем считать, что в точках $A_i$ находится не единчные массы, а массы $m_i$ (точка $G$ — центр тяжестей масс $m_i$, расположенных в точках $A_i$). Докажем, что тогда

$$\sum_{i=1}^{n} m_i \frac{A_iG}{B_iG} = \sum_{i=1}^{n} m_i.$$

Поместим в каждую из точек $B_i$ массу $M_i = m_i \frac{A_iG}{B_iG}$. Тогда центр тяжестей пары точек $B_i$ и $A_i$ (для всех $i$) будет находиться в точке $G$. Мы предполагаем, что не все точки $A_1, \dots, A_n$ лежат на одной прямой (для удобства обозначим наши прямые буквами $l_1$ и $l_2$). Центр тяжестей точки $A_i$, лежащих на прямой $l_1$, обозначим через $C_1$; соответствует центр тяжестей точки $A_i$, находящих на прямой $l_2$, обозначим через $C_2$. Аналогично, центр тяжестей точки $B_i$, лежащих на прямой $l_k$ ($k = 1, 2$), обозначим через $D_k$. Соответствующие массы обозначим $P(C_1), P(C_2), P(D_1), P(D_2)$.

Из условия задачи следует, что центр тяжестей точки $C_1$ и $C_2$ будет в точке $G$. С другой стороны, из выбора масс $M_i$ следует, что центр тяжестей точки $C_1$ и $D_2$ будет также в точке $G$. Поэтому должно быть $P(C_2) = P(D_2)$. Аналогично получаем $P(C_1) = P(D_1)$; значит,

$$P(C_1) + P(C_2) = P(D_1) + P(D_2).$$

Но $P(C_1) + P(C_2) = \sum_{i=1}^{n} m_i$, а $P(D_1) + P(D_2)$

$$+ P(D_2) = \sum_{i=1}^{n} M_i$$, то есть

$$\sum_{i=1}^{n} m_i = \sum_{i=1}^{n} M_i = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot \frac{A_iG}{B_iG},$$

что и требовалось доказать.

Б. Д. Гинзбург

M244. Данные набора из $n$ вещественных чисел:

$a_1, a_2, \dots, a_n$ и $b_1, b_2, \dots, b_n$.

Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:

a) $u_3 a_i < a_j$ следует, что $b_i \leq b_j$;

b) $u_3 a_i < a_j$, где $a = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$, следует, что $b_i \leq b_j$,

то верно неравенство

$$n \left(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n\right) \geq \left(a_1 + a_2 + \dots + a_n\right) \times \left(b_1 + b_2 + \dots + b_n\right).$$