КВАНТ
1975
2
Научно-популярный
физико-математический
журнал

На верхней фотографии изображены «костяные дощечки Непера» в медной коробочке, изготовленные в 1617 году — в том самом году, когда они были изображены. Это своеобразное вычислительное устройство, прицип действия которого использует оченьидные свойства Пифагоровой Таблицы умножения, представляя ее в «разъемном варианте». С помощью изображения Джона Непера, перекладывая «дощечки», можно выполнить умножение, деление целых чисел и даже извлекать квадратные корни. Умножение производится особенно просто и практически, благодаря «дощечкам», заменяется сложением. Поэтому современники высоко оценены «костяные дощечки». На недостатки прибора, в том числе, на то обстоятельство, что составные части его легко рассмотреть, обладают прибора обработали внимание позже.

Настоящий прибор входит в коллекцию Парижского музея Прикладных искусств. О том, как пользоваться вычислительным устройством Непера, рассказывается в «Кванте» № 2, с. 42.

1

Главный редактор
академик И. К. Киони

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург.
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:
2 А. В. Елецкий. Скорость света и ее изменение
10 А. В. Хацем. Транспортные сети и электрические цепи
18 В. И. Арабаджи. Дифраクционная окраска насекомых

Математический кругок
20 Э. Г. Готман. Прямая Эйлера

Задачик «Квата»
26 Задачи M306—M310; Ф318—Ф322
28 Решение задач M268—M272; Ф278—Ф284

Практикум абитуриента
43 Е. В. Ваховский, А. А. Рывкин. Когда помогают графики
49 В. Е. Белонуккин, В. И. Чехлов. Московский физико-технический институт

Рецензии, библиография
52 Н. В. Метельский. Математики о математике
52 К. И. Кудель. Как это изменить?
55 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги

Информация
57 И. Г. Венецкий, Ю. И. Соркин. Прята математическая оптимизация МЭСИ

«Квант» для младших школьников
58 Задачи
59 М. П. Барболин. Головоломки и графики

Ответы, указания, решения
Смесь [с. 17, 25, 42, 56]

На первой странице обложки вы видите фотографику части хвоста павлина. Яркие глаза хвостового пера могут менять свой цвет. Это объясняется тем, что окраска павлина визвана дифрактуей. О дифраクционной окраске птиц и насекомых рассказывается в статуе В. И. Арабаджи, опубlikованной в этом номере журнала на с. 18.

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975 год.

2

СКОРОСТЬ СВЕТА
И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ

А. В. Елеукий

Многие законы современной физики содержат в качестве параметра скорость света с. Эта величины входит в уравнение электромагнитного поля, через нее выражается полная энергия вещества, уровни энергии электронов в atomе и т. д.

Наряду с другими постояными величины, таких, например, как заряд электрона и гравиатционная постояная, скорость света относится к фундаментальным физическим постояным. Ясно, что точность физических законов определяется той точностью, с которой известны значения соответствующих постояных, единственных способом определения которых является эксперимент.

Приципл измерения скорости света, идея которого впервые была высказана еще Галилеем, основан на измерении времени, за которое световой сигнал прохит определенное расстояние. Развитие этого метода — от астрономических наблюдений Рёмера до филигранных интерферометрических измерений Майкельсона — было подробно описано в нашем журнале*). Согласно измерениям такого рода значение скорости света было принято равным 299 792,6±0,25 км/c. Отметим, что наиболее относительная точность, достигающая при измерении скорости света с помощью такого метода, получена в 50-х годах нашего столетия и составляет около одной десятичной доли процента, или 10⁻⁸.

Напомним, что любое измерение можно характеризовать относительной и абсолотной ошибками. Абсолотная ошибка — это возможность отклонения результата измерения от точного значения измеряемой величины. Такое отклонение может быть связано с несовершенством измерительного прибора или процесса измерения и всегда должно оценивать заранее. Относительная ошибка измерения — относение абсолотной ошибки к самой измеряемой величины. Хотя заранее оценидно, что при точных измерениях нужно статьяуменьшать как абсолотную, так и относительной ошибку, в большинстве случае наиболее важной характеристикой точности измерения является относительная ошибка. В самом деле, измерение, рассчитняя от Земли до Луньи с абсолотной ошибкой ±1 м — всегда точное измерение, а измерение, с той же абсолотной ошибкой размера комнаты — всего лишь грубая оценка. Это стало бы ясно сразу, если мы мы указали, что в первом случае относительная ошибка составляла величины 10⁻⁸, а во втором случае — 10⁻¹.

Дальнейшее повышение точности измерения скорости света интерференционными методами наталкиваюсь на принципиальные трудности. Расстояние, которое мы можем измерить с высокой точностью (это расстояние соизмеримо с эталоном длины —

*) См. статью В. Винцкого «Измерение скорости света», «Квант», 1972, № 2.

3

метром), свет проходит за чрезвычайно малые промежутки времени, порядка $10^{-8}с$. При измерении таких промежутков времени возникает значительная ошибка. С другой стороны, время прохождения светом больших расстояний (скажем, свыше 10 км) может быть зафиксировано достаточно точно, однако при измерении самого расстояния с помощью эталона длины накапливается значительная ошибка. В таком случае для измерения больших расстояний пользуются как раз оптическим методом, но для его использования необходимо заранее знать величину скорости света. Получается замкнутый круг.

Разрешить это противоречие удалось в последние годы, когда стало практически возможным использование другого принципа измерения скорости света, основанного на том, что длина волны λ и частота ν электромагнитных волн в вакууме связаны между собой фундаментальным соотношением

$$c=\lambda\nu. \quad (1)$$

Измерив независимо друг от друга длину волны и частоту одного и того же электромагнитного излучения, мы могли бы простым умножением этих величин получить значение скорости света. Точность такого эксперимента будет весьма высокой, если мы сможем удовлетворить одновременно двум требованиям.

Во-первых, мы должны уметь измерять длину волны и частоту электромагнитных колебаний с высокой степенью точности.

Во-вторых, частота колебаний электромагнитного излучения, с которым мы собираемся экспериментировать, должна поддерживаться возможно более постоянной.

Из соотношения (1) следует, что для электромагнитной волны относительные степени непостоянства частоты и длины волны совпадают.

В самом деле, пусть частота электромагнитной волны ν изменилась на малую величину δν ≪ ν. Это повлечет за собой изменение длины волны на величину δλ, так что произ-

1*

ведение нового значения частоты ν + δν на новое значение длины волны λ + δλ должно по-прежнему равняться скорости света c. Решая уравнение (1), написанное для этого случая, относительно δλ получим

$$\delta\lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \frac{c}{\nu} =$$

$$= -\frac{c\delta\nu}{\nu(\nu+\delta\nu)} = -\lambda\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu}$$

Отсюда

$$\frac{\delta\lambda}{\lambda} = -\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu} \approx -\frac{\delta\nu}{\nu},$$

поскольку δν ≪ ν. Таким образом, относительные неточности в значениях частоты и длины волны противоположны по знаку и равны по величине.

Итак, если мы имеем источник электромагнитных колебаний постоянной частоты, то длина волны таких колебаний будет в той же степени постоянна. Это есть частный случай общего утверждения, что если две физические величины обратно пропорциональны друг другу, то их относительные неточности равны, если только коэффициент пропорциональности (в нашем случае — c) считать точно известным.

Создание электромагнитных колебаний, длина волны и частота которых остаются постоянными с высокой степенью точности в течение длительного времени, стало возможным в последние годы благодаря появлению лазеров — источников мощного монохроматического излучения. Однако, хотя частота и длина волны лазерного излучения постоянны с высокой точностью, их совместное измерение наталкивается на значительные технические трудности. Рассмотрим это подробнее.

Эталон для измерения длины

Всякое измерение сводится в конце концов к сравнению с некоторым эталоном. Существуют эталоны для измерения самых разнообразных параметров физических объектов и процессов: например, эталоны длины, времени, силы тока, массы вещества и т. д. Эталоны стараются выбирать

4

таким образом, чтобы их значения не зависели от внешних факторов, таких как температура и давление воздуха, высота над уровнем моря и т. п.

В частности, современный эталон длины связан с длиной волны электромагнитного излучения, возникающего при переходе электрона в атоме криптона из одного возбужденного состояния в другое.

Электроны в любом атоме могут находиться в различных состояниях, отличающихся друг от друга энергией. Если для определенного атома известен полный набор таких состояний, то говорят, что известен спектр атома. Для физика атомы различных химических элементов отличаются друг от друга, главным образом, своими спектрами, так что спектры служат «портретами» атомов. Из состояния с большей энергией $E_2$ электроны могут самопроизвольно (спонтанно) переходить в состояние с меньшей энергией $E_1$. При этом энергия $E_2 - E_1$ выделяется в виде кванта электромагнитных колебаний. Частота $\nu$ этих колебаний связана с выделяющейся энергией соотношением

$$\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}, \tag{2}$$

где $h$ — постоянная Планка.

Поскольку энергия состояний, в которых могут находиться электроны в атомах, крайне слабо подвержена воздействию внешних условий, частота излучаемых атомами колебаний оказывается постоянной с высокой степенью точности. А так как степени постоянства частоты и длины волны электромагнитных колебаний совпадают, длина волны излучаемого света оказывается также строго постоянной. Поэтому такой свет удобно использовать в качестве весьма точной «линейки» для измерения длины.

По определению международный эталон длины — метр — содержит 1 650 763,73 длин волн излучения, возникающего при переходе между двумя определенными состояниями атома криптона. Это излучение испускается газоразрядной лампой, заполненной криптоном при строго определенном давлении и работающей при строго определенном токе и напряжении питания. Крип-

тоновая лампа выбрана потому, что она относительно проста в изготовлении и имеет большой срок службы.

Измерение длины волны лазера

Измерение длины с помощью криптонового эталона основано на явлении интерференции света.

В каждой точке пространства, где распространяется световая волна, возникает электромагнитное поле, причем величины векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля изменяются по гармоническому закону. Когда через некоторую точку пространства в одном направлении проходят два когерентных световых луча, то суммарный эффект будет зависеть от того, в каких фазах происходят колебания векторов напряженности электрического (или индукции магнитного) поля обоих лучей в этой точке. Если фазы колебаний совпадают, то есть векторы напряженностей направлены одинаково, то интенсивность света в этой точке максимальна. Если, наоборот, фазы колебаний противоположны, то есть векторы напряженностей направлены противоположно друг другу, интенсивность света в точке минимальна. Таким образом, если два луча света одинаковой частоты с постоянной разностью фаз (то есть с постоянным соотношением между векторами напряженности электрического поля или индукции магнитного поля) направить на экран, то мы увидим на экране чередующиеся светлые и темные полосы — так называемую интерференционную картину.

Одна из возможных схем для измерения длины предмета, в которой используется интерферометр Майкельсона, показана на рисунке 1. Световая волна от источника 1 разделяется в полупрозрачной пластинке 2 на две волны. Одна волна отражается от нижней поверхности пластинки и идет вверх, отражается от неподвижного зеркала 3, проходит

5

Рис. 1.

пластинку 2 и линизу 6, попадает на экран 7, расположенный в фокальной плоскости линизы. Вторая волна, пройдя пластинки 2 и 4, отражается от зеркала 5, укрепленного на тележке, возвращается к пластинке 2, отражается от ее нижней поверхности и идет к экрану. Пластинка 4 нужна для того, чтобы уравнять оптические пути обених волн. Действительно, первая волна при раза прохождения пластинку 2, а вторая волна — только один раз.

В результате интерференции двух лучей на экран возникнет интерференционная картина, представляющая собой чердоване темных и светлых полос. При передвижении тележки с зеркалом вдоль предмета, длину которого нужно изменить, интерференционная картина также будет как бы перемещаться по экрану. Например, при передвижении тележки на расстояние, равное половине длины волны света, используется в опыте, все темные полосы на экране станут светлыми и наоборот (рис. 2). Поэтому какая точка экрана по мере перемещения тележки будет попеременно темной или светлой, то есть будет возникать «вспышки» одна за одной. Причем число «вспышек» равно числу волн, которые укладываются на длине изменяемого предмета. Подсчет числа «вспышек» удобно производить в центральной точке интерференционной картины. Величина освещенности в центре интерференционной картины фиксируется фотоприемником, который соединен со счетчиком импульсов. Таким образом, процесс изменения можно

Рис. 2.

6

но автоматизировать. Высокая чувствительность фотоприемника позволяет измерять длину объекта с точностью до одной сотой длины волны оптического излучения, что составляет около $10^{-8}$ м. То есть предметы длиной около метра можно измерять с относительной ошибкой порядка $10^{-8}$.

Длину волны лазерного луча легко определить, измерив длину одного и того же предмета сначала с помощью криптонового эталона, а затем с помощью лазера и посчитав, во сколько раз отличается число «вспышек» в первом и во втором случаях.

Мы подробно рассмотрели, как измеряют длину волны лазерного излучения. Благодаря тому, что эталон длины — метр — основан на длине волны излучения атомов криптона в видимой области спектра, точность такого измерения примерно соответствует точности самого эталона длины, то есть равна $10^{-8}$. Это наиболее высокая точность, какая можно достичь в настоящее время. Повысить эту точность можно будет только после введения нового, более точного эталона длины.

Цезиевый эталон частоты

Гораздо сложнее дело обстоит с измерением частоты лазерного излучения.

В качестве эталона частоты используется излучение цезиевого мазера — квантового генератора электромагнитного излучения с длиной волны, лежащей в области радиоволн. Принцип работы цезиевого мазера состоит в следующем. Атом цезия обладает магнитным моментом, то есть представляет собой мельчайший магнитик. При обычных условиях существует два сорта атомов цезия, отличающихся друг от друга величиной магнитного момента. Другими словами, магнитное поле, создаваемое атомом одного сорта, несколько больше, чем поле, создаваемое атомом другого сорта. Если такие атомы поме-

стить в магнитное поле (например, между полюсами магнита), то сила взаимодействия магнитных моментов атомов с полем будет зависеть, во-первых, от величины внешнего магнитного поля, а во-вторых, от того, какой величиной магнитного момента обладает данный атом. Чем больше сила, тем больше и потенциальная энергия атомов цезия. Таким образом, в магнитном поле два сорта атомов цезия будут отличаться энергиями. Обозначим эти энергии, зависящие от величины внешнего магнитного поля, через $E_1$ и $E_2$ $(E_1<E_2)$.

Подвергнем пары цезия действию электромагнитного излучения, энергия квантов которого $h\nu$ равна разности энергий $E_2-E_1$:

$$h\nu = E_2 - E_1.$$

Тогда атомы первого сорта, энергия которых равна $E_1$, поглотив такой квант, увеличат свою энергию до значения $E_2$, то есть превратятся в атомы другого сорта. Поскольку разность энергий атомов цезия при определенном значении магнитного поля весьма слабо подвержена воздействию внешних условий, такое излучение можно использовать в качестве эталона частоты. Но для этого надо уметь отделять атомы одного сорта от атомов другого сорта. Такая сортировка возможна с помощью магнитного поля. Если пучок атомов обоих сортов пропускать через неоднородное магнитное поле, то траектории атомов разного сорта будут различными, так как различны энергии взаимодействия магнитного момента атома с полем. Отсортированный таким образом пучок атомов цезия подвергается воздействию электромагнитного поля. Если частота колебаний поля соответствует разности энергий $E_2-E_1$, то атомы переходят в другое состояние, так что их траектория в неоднородном магнитном поле изменяется.

Значение частоты электромагнитных колебаний, при которой происходит такой переход, может быть зарегистрировано с относительной пог-

7

решность порядка $10^{-12}$. Это значение определяное при строго фиксированной величины внешнего магнитного поля, равно 9 192 631 770,0 герц и является, по соглашению, Международным этапом частоты.

Возникает вопрос: а как пользоваться таким этапом частоты? Как, например, проверить понему точность хода наших часов? Ведь магнитное механизм делает 1—10 колебаний в секунду, а сигнал измененного этаона представляет собой электромагнитную волну, интенсивность которого изменяется за секунду примерно $10^{10}$ раз. Как с помощью цезерного этаона частоты можно измерить частоту лазера, излучение которого проходит с частотой порядка $10^{15}$ сч?

Ясно, что приное сравнение столбцличных по масштабу частот является задачей такой же бездействной трудной, как, например, точное измерение расстояния от Земли до Луны с помощью метровой линейки. Точное измерение возможно только при сравнению близких по масштабу величины. Поэтому для измерения с помощью цезерного этаона частот различных колебаний необходимо прежде всего приблизить измеренную частоту к частоте этаона. В настоящее время эта задача решается использованием техники неползованным техники неползованным преобразованием частоты электромагнитного излучения.

Нелинейная система

Преобразование частоты путем многократного ее умножения проискодит; например, при воздействии синусоидного колебания неокторой частоты v на нелинейный элемент. Для того чтобы понять, что такое нелинейный элемент, вспомним закон Ома, связывающий напряжение $U$, приложенное к проводнику с сопротивлением $R$, и ток $I$, протекающий через этот проводник: $U=IR$. Если велича $R$ не зависит ни от тока, ни от напряжения, говоря, что про-
водник является линейным элементом. И наоборот, сопротивление нелинейных элементов зависит либо от приложенного напряжения, либо от протекающего через них тока. Например, обычные сопротивления представляют собой линейные элементы, а полупроводниковый диод — нелинейный элемент.

Важнейший характеристкой любои системы, как линейной, так и нелинейной, является связь между сигналом, подаваемым на вход такой системы, и сигналом, возвращимым на ее выход. Для линейных систем возможно только изменение амплитуды сигнала при неизменной зависимости величины сигнала от времени. Знача коэффициент пропорционального между амплитудами сигналов и характера входного сигнала, мы однозначно определим выходной сигнал (в случае линейных сопротивлений, подчиняющихся закону Ома, таким коэффициентом служит величина сопротивления $R$). Посокльку свойства нелинейных систем сами зависит от подаваемого на их вход сигнала, форма выходного сигнала уже не будет повторять в точности форму сигнала, подаваемого на вход. Для того чтобы охарактеризовать нелинейную систему полностью, недостаточно задать коэффициент пропорционального, связывающего величины входного и выходного сигналов. Необходимо еще знать зависимость этого коэффициента от величины входного сигнала.

Например, если растягивает кусок упругого материала, то увелищение его длины $\Delta l$ будет связано с приложенным усилением $F$ законом Гука: $F=k\Delta l$. При малых значениях $F$ зависит линейная, то есть коэффициент $k$ от $F$ не зависит, и рассматриваемый образец является линейной системой. При увеличении приложенной силы линейность нарушается. Оказывается, при больших значениях $F$ все материалы становятся нелинейными, то есть становится существенно зависящее к $F$.

Среди нелинейных элементов большое место занимают нелинейные колебательные системы. Типичным примером колебательной системы с нелинейными свойствами является морская поверхность. Пока амплитуда колебаний (в данном случае — это высота волн)

8

невелика, форма воли — синусоида. При достижении достаточно большой амплитуды колебаний волны становится нелинейным, то есть их форма определяется их амплитудой — возникают «барашки». При дальнейшем увеличении амплитуды волны и вовсе теряют сходство с синусоидой.

Число примеров нелинейных колебаний систем, существующих в природе и в технике, может быть продолжено.

Общим свойством всех нелинейных элементов является их способность искажать подаваемый на их вход сигнал. В частности, если входной сигнал является синусоидным с частотой $v$, на выходе он таковым уже не является. Приодаче на вход такого преобразователь колебаний не только частоты $v_1$, но и гармоники, то есть колебания частот $2v_1$, $3v_1$ и т. д. Поэтому также элементы называют нелинейными преобразовательами частоты.

Рассмотрим в качестве примера нелинейного преобразователь части полупроводниковый диод, волтамперная характеристка которого может быть аппроксимирована параболой:

$$i = a + bu + cu^2,$$

где $a, b$ и $c$ — неокоторые константы. Пусть направление $u$, подаваемое на диод, меняется по закону

$$u = U_0 \cos \omega t = U_0 \cos 2\pi vt.$$

Тогда

$$i = a + bU_0 \cos 2\pi vt + cU_0^2 \cos^2 2\pi vt =$$

$$= a + bU_0 \cos 2\pi vt + \frac{cU_0^2}{2}(1 + \cos 4\pi vt) =$$

$$= \left(a + \frac{cU_0^2}{2}\right) + bU_0 \cos 2\pi vt +$$

$$+ \frac{cU_0^2}{2} \cos 4\pi vt.$$

Таким образом, ток через расматриваемый преобразователь не является гармоничским, а представляется собой сумму трех компонент: постоянной составляющей, колебаний с основной частотой $v$ и колебаний с удвоенной частотой $2v$.

Если зависимость $i (u)$ является более сложной и поэтому она должна быть представлена большим числом слагаемых:

$$i = a + bu + cu^2 + du^3 + \dots + lu^k,$$

то выходной сигнал будет содержать города более высоких гармоник (2v, 3v, …, kv).

Еще более сложная картина получается на выходе, если на вход нейной системы поступает сигнал более сложный, чем синусоидный. Особый интерес представляется случай, когда входной сигнал является суммой двух синусоидальных сигналов с частотами $v_1$ и $v_2$. Оказывается, что на выходе в этом случае возникают не только гармоники какдой из частот, но и так называемые комбинационные частоты: $v_1 + v_2, v_1 - v_2, 2v_1 + v_2$ и т. д. (это можно показать, проверяя расчудения, аналогичные вышеприведенными). В общем виде комбинационные частоты можно представить так: $nv_1 \pm mv_2$, где $n$ и $m$ — любые целые числа.

Измерение частоты излучения лазера

Теперь мы можем вернуть к конкретичной задаче — как измерить частоту лазерного излучения. Но сначала познакомимся с общим принципом измерения частот, близких к эталонным. Исследуемые колебания вместе с эталонными подаются на нелинейный преобразователь. Как мы уже говорили, на выходе возникают различные комбинационные частоты, среди которых есть частота $v_1 - v_2$, называемая частотой бинейной. При условии, что частоты $v_1$ и $v_2$ близки друг другу, частота бинейной оказывается очень малой и ее можно измерить обычными методами (например, с помощью осциллографа). При этом, хотя относительная ошибка измерения частоты колебаний с помощью осциллографа довольно больше ($\approx 10^{-4}$), абсолотная ошибка измерения оказается порядка 1 — 10 $2\mu$. А поскольку эталонные частоты имеют величины примерного $10^{10} \epsilon$, то относительная ошибка измерения таких высоких частот будет $10^{-9} - 10^{-10}$.

Для измерения частот, сильно отличается от эталонной, кроме целевого эталона, являющегося первичным эталоном частоты, необходимо иметь набор вторичных эталонов.

Значения частот вторичных эталов изменяются плавно, что позволяет добиться большей близости частот и получить как можно меньше частот биени. Точность вторичных эталов не хуже, чем точность первого этаона, так как они постояно проверяют с помощью цезиевого этаона.

Итак, если сравниваемые частоты имеют различный масштаб, меньше из частот путем многократного умножения повышают до значения, близкого к большей частоте. При этом, если исследуемое количество произходится с частотой, меньше этаонной, умножают его частоту. Если же исследуемое количество более высокочастотное, как в случае излучения лазера, умножение надо производить для этаона частоты.

Вот, например, как была измерена частота лазера на парах синильной кислоты HCN (длина волны 3,4×10⁻² см, частота 890 758 Мец). Это излучение с помощью нелинейного преобразования смешиваюсь с двенадцатой гармонкой сигнала, испускаемого генератором сверхвысокочастотных колбаний (клистроном). На выходе нелинейного преобразования возникали колбания разностной частоты, равной 30 кец. Частота клистрона находится в той же области спектра, что и частота цезиевого этаона, поэтому ее можно изменить непосредственно. А зная частоту клистрона и разность частот (частоту биени), легко определять частоту лазерного излучения.

После того как была измерена частота излучения лазера на парах синильной кислоты, стало возможным измерение частоты более коротковолнового излучения. Так, была измерена частота излучения лазера на парах тяжелой воды D₂O (длина волны 8,4·10⁻³ см, частота 3 557 143 Мец) которая близка к четырёхтерой гармонке излучения предыдущего лазера (890 758 Мец×4=3 563 032 Мец). Затем были измерены частоты лазера на углекис-

10

1. Решение должно быть оптимальным
   В населенный пункт В необходимо организовать бесперебойную доставку грузов из пункт А. В пункт А имеется достаочное, практическое неограниченное количество автоматизированного тоннжа, но количество грузов, отправляемых из А в В в единицу времени, ограничено из-за дорогных условий.

Пункты А и В связаны сетью дорог, схема которой приведена на рисунке 1. Номер 1 на этой схеме обозначен пункт отправления А, номер 5 — пункт назначения В, номерами 2, 3, 4 — промежуточные пункты — перекрестки дорог. Направление движения указано стрелками. Каждый участок пути может пройти за единицу времени не более определенного числа тонн грузов (обусловливаемого шириной участка пути в его наиболее узком месте, характером покрытий, состоянием местов и др.). Изовем это число пропускной способностью и будем считать его известным для каждой из участков пути, соединяющих качне-либо два пункта на нашей схеме.

11

Пропускную спссобность участка, ведущего из пункта $i$ в пункта $j$ (участка $i - j$), созначит через $a_{ij}(T/\mu a c)$.

Допустим, что мы стремимся отправлять в каждой единицу времени из $A$ в $B$ грузов как можно больше. Не следует, однako, думать, что для этого нужно отправлять ежедневно $a_{12}$ тонн по участку $1 - 2$ и $a_{13}$ тонн по участку $1 - 3$: ведь может оказаться, что из-за недостаточной пропускной способности других участков пути в каких-то промежуточных пунктах образуется «пробки», в результате чего движение нарушится или прекраится совсем. Например, если $a_{12} > a_{23} + a_{24}$, то «пробка» возникнет на перекрестке 2. Значит, для налучшей организации транспортировки грузов из $A$ в $B^*$) нам нужно решить такую задачу: определить, сколько тонн грузов нужно ежедневно по каждой участку дорогной сети, связывающей пункты $A$ и $B$, чтобы при этом не превысить пропускной способности ни одного из участков сети, не создать ни одной «пробки» в промежуточных пунктах и чтобы количество грузов, ежедневно доставляемых в $B$, было наиболее.

*) Такую организацию снабжения называют оптимальным.

Искомое количество грузов, проводимых по участку $i - j$ ежедневно (объем перевозок), обозначим через $x_{ij}(T/\mu a c)$.

Итак, задача поставлена. Но как ее решить?

2. Листая старые номера «Кванта»

Просматривая комплект журнала «Квант» за 1970 год, в разделе «Сети и потоки» статьи М. И. Башмакова «Паросочетания и транспортные сети» находим нашу задачу, только в несколько более «уценой» одежде.

Оказывается, схемы, составленные из точек и стрелок (как на рисунке 1), называются орентированными графами, причем точки — вершин нами, а стрелки — угами графа. Каждый дуга имеет определенное направление (отсюда и название — орентированный граф), поэтому одна из соединений его вершин — начальная, другая — конечная; говорят также, что дуга выходит из начальной вершины и входит в конечную. Вершина, являющаяся для всех связанных с него дуг начальной (конечной), называется входом (в выходом) графа (на рисунке 1 — вершины 1 и 5 соответственно). Орентированный граф с одним входом и одним выходом — это и есть граница сеть (именено таков граф на рисунке 1). Вершины транспортировки сети, не являющиеся входом или выходом, называются проекторными м尼.

Остановим на минуту этот поток терминов и переведем двух. Конечно, замена слов «сеть дорог» — «транспортная сеть», «пункт» — «вершина», «участок пути» — «дуга» нас к решению не приблизила. Зато выяснились, что мы не perвыше запитересовались подобной пробелой. Провните еще немного терпения — и вы придете к широкому известной в математике формулировке нашей задачи.

Искомую величины объема перевозок $x_{ij}$ называют потоком по

12

дуге $i-j$, а сумму потоков по всем дугам, выходящим из входа сети (в нашем случае $x_{12} + x_{13}$), — потоком по сети. Теперь, наконец, нашей задаче можно придать «парадную форму».

Задача о максимальном потоке. Дана трансортиная сеть, для каждой дуги комори указана пропускная способность. Требуется определить потоки по дугам сети, не превосходящие соответствующих пропускных способностей, так, чтобы для любой промежуточной вершины сумма потоков по входящим дугам была равна сумме потоков по выходящим дугам («условие неперерывности потока») и чтобы поток по сети был наиболее низ возможных.

Итак, наша задача — частный случай задачи о максимальном потоке (условие неперерывности потока — это знакомое нам условие отсутствия транспортиных «пробок»). Пользовясь веденными обозначениями, ее можно сформировать так:

Найти максимальное $x_{ij}$ потоков по дугам, при коморых достизации максимума величины потока по сети
$$X = x_{12} + x_{13}$$

(1)
при следующих условия:
a) определение пропускных способностей дуг
$$x_{12} \leq a_{12}, x_{13} \leq a_{13}, x_{23} \leq a_{23},$$
$$x_{24} \leq a_{24}, x_{34} \leq a_{34}, x_{35} \leq a_{35},$$
(2)
неперерывность потока в пропускных вершинах
$$x_{12} - x_{23} - x_{24} = 0,$$
$$x_{13} + x_{23} - x_{34} - x_{35} = 0,$$
$$x_{24} + x_{34} - x_{45} = 0.$$

(3)
При установившемся потоке количество грузов, вывозимых из входа 1, должно быть равно количество грузов, поступающих за то же время на выход 5 (иначе нарушилось бы условия неперерывности потока):
$$X = x_{12} + x_{13} = x_{35} + x_{45}.$$

(4)
Раз мы нашли в стате М. И. Башмакова формулировку нашей задачи, естественно там же попскать и решение. И действительно — углубившись в чтение, находим изложение алгоритма Форда — Фолкерсона, с помощью которого можно определить все значения $x_{ij}$ (предполагая, правда, что это целые числа). Нало только запасись терпенiem; чтобы разобраться в алгоритме и суметь применить его, придется изрядно потрудиться. Не удивительно, если у читателей, недолюбливающих вычисления, возникнет в этом месте вопрос: а нельзя ли как-нибудь инчае?

3. О полные аналогий

Посмотрите внешательно на уравнение (3). Чем-то они нам очень знакомы… Ба, да ведь если трансортиную сеть считать электрической цепью, а объемы перевозок $x_{ij}$ — величины токов в соответствии их ветвях цепи, то уравнения (3) выражают просто 1-й закон Кирхгофа для промежуточных узлов цепи: аллебрацией сумма токов в узле равна нулю (то есть сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, втекающих из узла)!

Правда, эта аналогия не полная, поскольку закон Кирхгофа обычно формулируется для за мкнутей цепи и относится к любом безмкнутя, а условия типа (3) неверны для крайних узлов 1 и 5. Однако можно так видно изменить задачу о потоке, что отмеченное расхождение устройства. С этой целью ведем в транспортиную сеть дополнительнуюную дуги ограничивающую не будем, а поток по ней применять равным $X$, то есть поток по сети. По полученной обобщенной сети поток будет совершать уже замкнутый путь от входа к выходу по заданной транспортиной сети, а затем — от выхода на вход по дополнительной дуге.

Тогда нашу задачу можно переформулировать так: определить также обобщенную перевозок $x_{ij}$, при коморых

13

Рис. 2.

доступаем максимум величина $X$ (помок по семи) при ограничениях (2) и условиях (3) и (4) непрерывности потока во всех узлах:

$$X - x_{12} - x_{13} = 0,$$
$$x_{12} - x_{23} - x_{24} = 0,$$
$$x_{13} + x_{23} - x_{34} - x_{35} = 0,$$
$$x_{24} + x_{34} - x_{45} = 0,$$
$$x_{35} + x_{45} - X = 0.$$

Получалась полная аналогия с законом Кирхгофа, и поэтому возникнет вопрос: а нельзя ли построить электрический модель транспортиной сети, в которой искомым потокам по дугам соответствовали бы токи в ветвях, определяемые непосредствием измерением без каких-либо вычислений?

Мы показем, что такую модель построить можно.

Естественно, что дугам сети в этой модели должны соответствовать ветви электрической цепи, а вершина — узлы цепи.

Заметан ие. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: $\sigma$ — источник тока указанного направления, $a$ — сила тока в ветви; $\mu$ — источник направления, $u$ — величины направления в ветви; $\beta$ — диод, пропускящий ток в направлении слева направо.

Для прохождения тока по цепи необходимо наличевать в ней некоторый электрический силу. Поэтому в дополнительную ветвь цепи источник единного направления

14

Рис. 4.

При этом в схеме ветви появились узлы $\alpha$ и $\beta$, которые в транспортировке не были. Направление и величины тока в ветви $\alpha - M - \beta$, содержащей источник тока, выполняются этим источником; направление тока в ветви $\alpha - N - \beta$ определяется диодом; величины тока в ней обозначим $I_{ij}$. Токи в ветвях $i - \alpha$ и $\beta - j$ обозначим через $\tilde{x}_{ij}$ и $\tilde{y}_{ij}$ соответственно, направления этих токов указаны на схеме.

Применение закона Кирхгофа дает:

1. в узле $\alpha$: $\tilde{x}_{ij} + I_{ij} = a_{ij}$ или $I_{ij} = a_{ij} - \tilde{x}_{ij}$ по свойству диода $I_{ij} \geq 0$, следовательно,
   $$\tilde{x}_{ij} \leq a_{ij},$$
   (6)
2. в узле $\beta$: $a_{ij} = \tilde{y}_{ij} + I_{ij}$, то есть
   $$\tilde{y}_{ij} = \tilde{x}_{ij}.$$
   (7)

Значит, по основной ветви $i - j$ цепи идет ток заданного направления (от узла $i$ к узлу $j$), величина которого $\tilde{x}_{ij}$ не превозходит пропускной способности $a_{ij}$ соответственно; по правилам построения модели $U = 1$.

Мы утверждаем, что ток $\tilde{x}_{ij}$, установливающийся в основных ветвях электрической модели транспортировки, численно равны объемам перевозок по соответствующим дугам и дает решение задачи о максималь-

15

ном потоке для этой сети. При этом ток $\tilde{X}$ в дополнительной ветви модели численно равен максимальном потоку по сети.

Если нам удastoreя это доказать, то построенная модель полностью решает нашу задачу: достаточно, приведем модель в действие, изменить амператором токи $x_{ij}$ в ветях!

4. Итак — за работу

Чтобы убедиться, что численные значения токов $\tilde{x}_{ij}$ в ветях модели являются объемами перевозок, дающим решение задачи о максимальном потоке, нужно доказать, что при $\tilde{x}_{ij} = \tilde{x}_{ij}$ выполняются условия (2) и (3) и что величины потока $X$ в сети принята наиболее из возможных значений.

Не первый часть этого утверждения мы уже доказали. В самом деле, написав неравенства (6) для всех ветвей модели $\tilde{x}_{12} \leq a_{12}, \tilde{x}_{13} \leq a_{13}, \tilde{x}_{23} \leq a_{23}, \tilde{x}_{24} \leq a_{24}, \tilde{x}_{34} \leq a_{34}, \tilde{x}_{35} \leq a_{35}, \tilde{x}_{45} \leq a_{45}$, (9) получим, что для токов $\tilde{x}_{ij}$ условия (2) выполнены, а применив 1-й закон Кирхгофа ко всем основным узлам модели, получим для токов $\tilde{x}_{ij}$ пять соответствующих условий (3).

Значит, осталось только доказать, что величина $\tilde{X}$ в электрической цепи есть наиболее из возможных значений потока $X$, совместимых с условиями (2) и (3). Доказательство этого факта состоит из двух частей.

1. Покажем сначала, что для любых значений переменных $x_{ij}$, удовлетворяющих условия (2) и (3), выполняется неравенство
   $$\tilde{X} = x_{12} + x_{13} \leq \sum_{i,j} a_{ij}u_{ij},$$ (11)

где $u_{ij}$ — численное значение напряжения в ветви $i - j$, а сумма берется по всем ветям электрической цепи *), то есть показем, что при любых допустимых объемах перевозок по дугам транспортировки сети поток $X$ по сети не превышает числа $\sum_{i,j} a_{ij}u_{ij}$.

В силу неравенств (2) и неотрицательности $u_{ij}$ (см. (8)) имеем $x_{ij}u_{ij} \leq a_{ij}u_{ij}$; следовательно,
$$\sum_{i,j} x_{ij}u_{ij} \leq \sum_{i,j} a_{ij}u_{ij}.$$ (12)

Вспомним теперь, что $u_{ij} = p_i - p_j$, где $p_i, p_j$ — потенциальы соответствуют узлов. Поэтому
$$\sum_{i,j} x_{ij}u_{ij} = \sum_{i,j} x_{ij}(p_i - p_j) = x_{12}(p_1 - p_2) + x_{13}(p_1 - p_3) + x_{23}(p_2 - p_3) + x_{24}(p_2 - p_4) + x_{34}(p_3 - p_4) + x_{35}(p_3 - p_5) + x_{45}(p_4 - p_5) = p_1(x_{12} + x_{13}) + p_2(-x_{12}) + p_2(x_{13} - x_{23}) + p_3(-x_{13} - x_{23}) + p_4(-x_{24} - x_{34}) + p_5(-x_{35} - x_{45}).$$

Выражения в скобках при $p_2, p_3$ и $p_4$ равны нулю (см. (3)); при $p_1$ и $p_5$ равны $X$ и $-X$ (см. (4)), $p_1 - p_5 = U = 1$; поэтому
$$\sum_{i,j} x_{ij}u_{ij} = p_1X - p_5X = (p_1 - p_5)X = X.$$ (13)

Учитывая (12), получаем нужное неравенство
$$\tilde{X} \leq \sum_{i,j} a_{ij}u_{ij}.$$ (14)

*) Символ $\sum_{ij}$ обозначает сумму членов расматриваемого вида, соответствующих всем возможным для данного задачи набора значений индексов $i, j$. В нашем случае
$$\sum_{i,j} a_{ij}u_{ij} = a_{12}u_{12} + a_{13}u_{13} + a_{23}u_{23} + a_{24}u_{24} + a_{34}u_{34} + a_{35}u_{35} + a_{45}u_{45}.$$

16

Рис. 5.

Это и будет означать, что $\tilde{X}$ — наиболее из возможных значений $X$.

Для доказательства равенства (14) воспользуемся соответствием (8), описывающим свойство идеального диода:

$$u_{ij} (a_{ij} - \tilde{x}_{ij}) = 0$$ или $a_{ij} u_{ij} = \tilde{x}_{ij} u_{ij}$.

Отсюда непосредственно следует, что

$$\sum_{i,j} a_{ij} u_{ij} = \sum_{i,j} \tilde{x}_{ij} u_{ij}.$$ (15)

Поскольку для токов $\tilde{x}_{ij}$, $\tilde{X}$ выполняны те же соответствия (1), (4), что и для $x_{ij}$ и $X$, то

$$\sum_{i,j} \tilde{x}_{ij} u_{ij} = \tilde{X}.$$ (16)

5. Попробуйте сами

Из тех же (идеализированных!) элементов — источников тока, источников напряжения и диодов — можно построить электрические модели для решения и других оптимизации задач, связанных с трансportными сетями. Рассмотрим здесь одну такую задачу, имеющую больше значения в экономике.

Задача о минимизации трансportных затрат. Пусть дна трансportная сеть и известно, что стоимость перевозки единицы груза по дуée $i - j$ равна $c_{ij}$ (см. рис. 5). Требуется определить объем перевозок $x_{ij}$ по дуе-

Рис. 6.

гам сети, при которых из входа сети в ее выход будет перевезена 1 единица груза, а суммарная стоимость перевозок будет минимальна.

Перевозка $x_{ij}$ единиц груза по дуге $i-j$ стоит $c_{ij}x_{ij}$.

Поэтому общие затраты на перевозку равны

$$S = \sum_{i,j} c_{ij} x_{ij}. \tag{17}$$

Нужно найти такие значения величин $x_{ij}$, при которых $S$ принимает наименьшее из возможных значений и которые удовлетворяют условиям:

а) непрерывности потока в промежуточных узлах (см. (3));

б) неотрицательности объемов перевозок: $x_{ij} \geqslant 0$;

в) равенства единице суммарного потока по сети:

$$X = x_{12} + x_{13} + x_{35} + x_{45} = 1. \tag{18}$$

Для построения электрической модели транспортной сети этой задачи нужно заменить каждую дугу $i-j$ ветвью с последовательно включенными диодом и источником напряжения, величина которого численно равна $c_{ij}$, а в дополнительную ветвь из выхода на вход сети включить единичный источник тока. Соответствующая схема представлена на рисунке 6.

Можно доказать…

Но нам уже пора поставить точку. Читатели, заинтересовавшиеся этими вопросами, могут попробовать свои силы, решая следующие

Упражнения

1. Докажите, что токи $x_{ij}$, которые устанавливаются в ветвях электрической цепи, изображенной на рисунке 6, дают решение задачи минимизации транспортных затрат.

2. Докажите, что каждый ненулевой ток по ветви этой цепи обязательно равен 1, т. е. что в действительности ток не разветвляется в узлах, а идет от входа к выходу по определенному пути («путь минимальных затрат»).

3. Используя задачу о минимизации транспортных затрат, покажите, как с помощью той же модели (рис. 6) можно определить кратчайший путь по дугам транспортной сети, ведущий от входа к выходу.

2 Квант № 2

На сборе в пятом-б

— Сегодня я покажу вам фокус, — объявила пионервожатая Лена. — Согласны?

— Согласны! — послышались голоса пятиклассников.

— А какой фокус? — спросил Сережа. — Я тоже знаю фокус с иголкой…

— Я покажу арифметический фокус, — сказала Лена — Пусть каждый из вас задумает какую-нибудь цифру. Только мне не говорите, — объявила Лена. Теперь умножьте это число на 5. К произведению прибавьте 4 и удвойте полученную сумму. Готово?

— Теперь прибавьте еще 99, — сказала Лена, — и у каждого из вас получится трехзначное число. Оставьте в этом числе только последнюю цифру, а первые две зачеркните.

— Как это: зачеркнуть? — спросил Юра.

— Например, у тебя получилось число 364, — сказала Лена. — Если зачеркнуть первые две цифры, то останется только 4.

— К тому, что осталось, продолжала Лена, — прибавьте 28, а потом разделите на 5.

Соня, сидевшая на последней парте, быстро сосчитала и рассмеялась.

— Почему ты смеешься? — спросила Лена. — Иди сюда. — И она тихонько сказала Соне на ухо:

— У тебя получилось 7.

— Верно, — обрадовалась Соня. — А как ты узнала?

— А у меня сколько получилось? — нетерпеливо спросил Сережа.

Лена подошла к нему и тихонько сказала:

— У тебя получилось 7.

Потом Лена подошла ко всем по очереди и каждому сказала:

— У тебя получилось 7.

---

Как Лена могла узнать, что у каждого получилось семь?

17

18

Дифракционная (структурная) окраска птиц, бабочки и жуков весыма распространена в природе. Большое разнообразие в оттенках дифракционных цветов свойственно Павлинам, фазанам, черным аистам, колибри, бабочкам тропической зоны и многим видам жуков (среди них рогачи, долгоносики, листоеды и др.). Дифракционную окраску животных изучали не только биологи, но и физики, например Релей, Вуд, Майкельсон.

Внешняя поверхность оперения у многих птиц и верхий покров тела бабочки и жуков характеризуется регулярным повторением элементов структуры с периодом от одного до нескольких микрон. У некоторых животных подобные структуры могут покрывать тело в несколько слоев, образуя многоэтажную (объемную) дифракционную решетку.

Наряду с дифракционной животные могут иметь и чисто интерференционную окраску, образуующую на тонких и произчных внешних покровах (клинообразных по сечению вдоль основной оси симметрии) с толщиной оптически деятельности микрона до нескольких микрон.

На рисунках 1 и 2 вы видите снимки крыла бабочки-переливници и спинки жука — азиатского листоеда (выбранны участки с дифракционной окраской). Снимки 1, 2, 3 получены с помощью микросопа со стократным увеличением. Для выявления элементов структуры использованы боковое освещение. На снимках четко видно повторение элементов структуры.

Цвет поверхности поркова может изменяться в зависимости от того, под каким углом падает свет на поверхности решетки, как ориентированы лучи света по отношению к элементам структуры, под каким углом расматривается поверхности.

Очевидно, что окраска поверхности связывана с отражением лучей. Рассмотрим количество дифракционов в отраженном свете. Пусть лучи света падают на решетку под углом $\theta_0$ и отражаются от нее под углом $\theta$ (рис. 4). Разность хода лучей 1 и 2 равна

$$\Delta = \Delta_2 - \Delta_1 = d \sin \theta_0 - d \sin \theta,$$ (1)

или

$$\Delta = 2d \cos \frac{\theta_0 + \theta}{2} \sin \frac{\theta_0 - \theta}{2}.$$ (2)

Поскольку для дифракционных максимумов $\Delta = k\lambda$ ($k = 1, 2, \dots$), то

$$k\lambda = 2d \cos \frac{\theta_0 + \theta}{2} \sin \frac{\theta_0 - \theta}{2}.$$ (3)

Нанбольшая энергия локализована в первом дифракционном максимуме ($k = 1$). Для этого максимума, полагая, что $\theta$ близко к $\theta_0$, из выражения (3) получим

$$\lambda = (\theta_0 - \theta) d \cos \theta_0.$$ (4)

Пусть $\theta_0 = 65^\circ$ (в расматриемом случае дифракция в отраженном свете наблюдается при наклонном падении лучей), а $\theta_0 - \theta = 3^\circ$ (примерно 0,05 рад). Тогда, например, для $d = 2 \cdot 10^{-3}$ см длина волны ди-

Рис. 1.

Рис. 2

Рис. 3. Структура центральных глазков хвостового оперения павлина. Цвет глазков меняется в зависимости от того, как падает на них свет, под каким углом мы на них смотрим. (На фотографии, помещенной на первой странице обложки, эти глазки синие.)

фрагированного света из уравнения (4) равна $\lambda \approx 0{,}4 \cdot 10^{-4}$ см.

Полученная величина $\lambda$ соответствует синей области спектра. Чаще всего дифракционная окраска в природе наблюдается в зеленом, синем

или голубом свете. Из формулы (4) видно, что длина волны $\lambda$ зависит от угла падения света $\theta_0$. Действительно, если освещать поверхность под разными углами, окраска может изменяться.

В случае многослойной дифракционной решетки условие образования дифракционных максимумов описывается уравнением

$$k\lambda = 2l \cos \theta_0, \tag{5}$$

где $l$ — расстояние между соседними слоями решетки. Это уравнение получается путем определения разности хода $\Delta = \Delta_1 + \Delta_2$ между лучами $1$ и $2$ (рис. 5) и замены $\Delta$ для дифракционных максимумов через $k\lambda$.

Полагая $k = 1$, из выражения (5) получим

$$\cos \theta_0 = \frac{\lambda}{2l}. \tag{6}$$

Отсюда следует, что дифракция на многослойной структуре возможна при $2l > \lambda$.

Рис. 4.

Рис. 5.

2*

19

20

Свойства треугольника были хорошо изучены еще древним греками.

В знаменительных «Началах» Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения середины перепедикуляров к его сторонам.

Архимед, определяя положение центра тяжести однородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Точку пересечения медиан треугольника называют центром мягости или центром домом треугольника.

Позднее было доказано, что три высоты треугольника также пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром.

Законмерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника — центра О описанной окружности, центроид G и ortоцентра H — впервые обнаружил знаменный математик Леонард Эйлер (1707—1783). Расстоярим сначала один частный случай: прямогольный треугольник ABC (рис. 1).

Середина O гипotenузы AB является центром описанной около него окружности. Центрид G делит медиану CO в отношении 2:1, считая от вершины C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ortоцентром H треугольника. Таким образом, точки O, G, H лежат на одной прямой, причем $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$. Получясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между треями указыанных точками либо о треугольника. Мы доказем этот факт с помощью векторов, причем от читателя требуется знакомство лишь с простейшим операциями: сложением векторов и умножением вектора на число.

Деление отрезка в данной относении

Пусть A, B и O — данные точки плоскости, и известно, что точка G делит отрезок AB в относении k: $\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{GB}} = k$ (рис. 2). Выразим вектор $\overrightarrow{OG}$ через векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$. Для этого подставим в равенство $\overrightarrow{AG} = k \times \overrightarrow{GB}$ выражения всех векторов через $\overrightarrow{OG}$, $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$: $\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = k (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OG})$. Решая это уравнение относительно $\overrightarrow{OG}$, получим

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB}}{1 + k}.$$ (1)

Например, если G — середина отрезка $\overrightarrow{AB}$, то $k = 1$ и $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке

Здесь мы получно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем.

21

Теорема 1. Медицины преуездника $ABC$ пересекаются в одной точке $G$ и делятся его в отношений 2:1, считая от вершины, причем
$$3\overrightarrow{PG} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC},$$
(2)
еде $P$ — любая точка плоскости, или пространства.
Доказательство. Возьмем на медиане $CD$ треугольника $ABC$ точку $G$, определяемую соответствием $|CG| : |GD| = 2:1$ (рис. 3). Согласно формуле (1),
$$\overrightarrow{PG} = \frac{\overrightarrow{PC} + 2\overrightarrow{PD}}{3},$$
$$\overrightarrow{PD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}),$$
откуда
$$\overrightarrow{PG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}).$$
Вычисляя вектор $\overrightarrow{PG}$ с концом в точке $G'$, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим справа то же самое выражение:
$$\overrightarrow{PG'} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}),$$
позному $\overrightarrow{PG'} = \overrightarrow{PG}$, и точка $G'$ совпадает с точкой $G$. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке $G$, определяемой соответствием (2).

Теорема о высотах произвольного треугольника
Теорема 2. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке $H$, причем
$$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC},$$
(3)
еде $O$ — центр окружности, описанной около треугольника.
Доказательство. Пусть $ABC$ — треугольник, отличный от прямого угольного (рис. 4). Найдем сумму векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$. Для этого

22

построим точку $M$, симметричную $O$ относительно стороны $AB$, тогда $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. Затем построим точку $H$, для которой

$$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},$$

и докажем, что точка $H$ и есть ортоцентр треугольника $ABC$.

Действительно, по построению прямые $CH$ и $OM$ параллельны, $OM$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, следовательно, прямая $CH$ также перпендикулярна к прямой $AB$, и точка $H$ лежит на высоте треугольника $ABC$, проведенной из вершины $C$.

Если повторить построение, начиная с векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OC}$, то получится та же точка $H$, но те же рассуждения показывают, что теперь точка $H$ лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины $B$. Аналогично получим, что точка $H$ лежит на высоте, проведенной из вершины $A$. Следовательно, высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, определяемой соотношением (3).

Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника.

Прямая Эйлера

Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника.

Т е о р е м а 3. Центр $O$ описанной окружности, центроид $G$ и ортоцентр $H$ любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка $G$ лежит между точками $O$ и $H$ и $|OG| : |GH| = 1 : 2$.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 1

$$3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

Сравнивая это равенство с равенством (3), получим

$$\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}.$$

Следовательно, векторы $\overrightarrow{OH}$ и $\overrightarrow{OG}$, имеющие общее начало $O$, располо-

жены на одной прямой и $|\overrightarrow{OG}| : |\overrightarrow{GH}| = 1 : 2$.

Прямая, на которой лежат точки $O$, $G$ и $H$, называется прямой Эйлера.

$$* \quad * \quad *$$

В стереометрии простейший многогранник — тетраэдр (треугольная пирамида) играет ту же роль, что и треугольник в планиметрии. Свойства треугольника и тетраэдра во многом схожи. Попробуем распространить свойство замечательных точек треугольника на тетраэдр.

Сфера, описанная около тетраэдра

Известно, что около всякого тетраэдра можно описать сферу, ее центр $O$ лежит на перпендикулярах к граням тетраэдра, восставленных в центрах окружностей, описанных около граней.

Медианы тетраэдра

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника.

Т е о р е м а 4. Четыре медианы тетраэдра $ABCD$ пересекаются в одной точке $G$, которая делит каждую из них в отношении $3:1$, считая от вершины тетраэдра, причем

$$4\overrightarrow{PG} = \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}, \quad (4)$$

где $P$ — любая точка пространства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем на медиане $DG_1$ тетраэдра $ABCD$ точку $G$, определяемую соотношением $|DG| : |GG_1| = 3:1$ (рис. 5). Согласно формуле (1),

$$\overrightarrow{PG} = \frac{\overrightarrow{PD}+3\overrightarrow{PG_1}}{4}.$$

Учитывая, что центроид $G_1$ треугольника $ABC$ удовлетворяет соотношению $3\overrightarrow{PG_1} = \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$, получим

23

$$\vec{PG} = \frac{1}{4}\left(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD}\right).$$

Вычисляя вектор $\vec{PG'}$ с концом в точке $G'$, делящей любую из трех других медиан тетраэдра в отношении $3:1$ (считая от вершины), получим то же самое выражение. А это означает, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке $G$, удовлетворяющей соотношению (4). Точка $G$ называется центром тяжести (или центроидом) тетраэдра.

Высоты тетраэдра

Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке. Однако это не так.

Для примера рассмотрим тетраэдр $ABCD$ с прямым двугранным углом при ребре $AB$, в котором $|AC| = |BC|$, но $|AD| \neq |BD|$ (рис. 6). Высоты $CE$ и $DF$ тетраэдра лежат соответственно в гранях $ABC$ и $ABD$, но точка $E$ — середина $AB$, а $F$ — нет. Если бы длины ребер $DA$ и $DB$ были равны, то основания $E$ и $F$ высот совпадали бы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку $E$.

Таким образом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки.

Тем не менее существуют и тетраэдры, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке. Таким будет, например, тетраэдр $ABCD$ с прямыми плоскими углами при вершине $D$. Ребра $DA$, $DB$ и $DC$ являются его высотами, а вершина $D$ — ортоцентром (точкой пересечения всех четырех высот).

Попробуем найти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной точке.

Пусть высоты тетраэдра $ABCD$, проведенные из вершин $C$ и $D$, пересекаются в точке $H$ (рис. 7). Тогда $CH_1 \perp AB$ и $DH_2 \perp AB$, то есть прямая $AB$ перпендикулярна к двум

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

23

24

пересекающийся прямым, лежащим в плоскости CDH, следовательно, AB⊥CD. Аналогично доказывается, что если две другие высоты тераэдра ABCD проходят через ту же точку H, то AC⊥BD и AD⊥BC. Итак, если все высоты тераэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тераэдра взаимно перпендикулярны. Такой тераэдр называется ортоцентическим.

Теорема 5. ЧемЫе высоты ортоцентического тераэдра ABCD пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тераэдра взаимно perпендикулярны. Такой тераэдр называется ортоцентическим.

Теорема 5. ЧемЫе высоты ортоцентического тераэдра ABCD пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тераэдра взаимно perпендикулярны. Такой тераэдр называется ортоцентическим.

Пусть ABCD — ортоцентрический тераэдр, DG₁ — его медиана, DH₁ — его высота (рис. 8). Тогда G₁ — центroid, а H₁ — ортоцентр треугольника ABC (доказите это самостояльно — именно здесь используется перпендикулярность противоположных ребер тераэдра), причем точки O₁ (центр окружности, описанной около треугольника ABC), G₁ и H₁ лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тераэдра ABCD, лежит на перпендикулярке к плоскости треугольника ABC, восставленном в точке O₁.

Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника: строить разными способами точку H, удовлетворяющий (5).

Вначале сложим векторы $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$:

$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}.$$

По теореме 1 $\overrightarrow{OG}_1 = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$, поэтому $\overrightarrow{OM} = 3\overrightarrow{OG}_1$ или $\overrightarrow{G}_1\overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{OG}_1$. Точки O₁, G₁, H₁ лежат на прямой Эйлера треугольника ABC, причем $\overrightarrow{H}_1\overrightarrow{G}_1 = 2\overrightarrow{G}_1\overrightarrow{O}_1$. Следовательно,

$$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OD}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$$

Отсюда вытекает, что прямые H₁M и OO₁ параллельны, а так как прямая OO₁ перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H₁M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точка M лежит на прямой DH₁ (если точки O и O₁ совпадают, то точки M и H₁ тоже совпадают).

Пусть теорель $\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OD}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$ Из левого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, то есть точка H лежит на высоте DH₁ тераэдра.

Аналогично строится точка N: $\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ и также $\overrightarrow{H}:\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OC})$ и доказывается, что точка H лежит на высоте тераэдра, проведенной из вершины C, и т. д.

Следовательно, высоты ортоцентиского тераэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соответствующим (5).

Прямая Эйлера тераэдра

Теорема 6. Ценир O описанной сферы, ценирод G и ортоцентиского тераэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки O и H симметрины относительно точки G.

Доказательство. По формулам (4) и (5)

$$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}),$$

$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}),$$

откуда $\overrightarrow{OH} = 2\overrightarrow{OG}$. Полученное равенство означает, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем точки O и H симметрины относительно точки G.

Прямую, на которой лежат точки $O$, $G$, $H$, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.

Упражнения

Решите с помощью скалярного произведения векторов задачи 1—4.

1. а) Докажите, что если $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, и $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$, то $H$ — точка пересечения высот треугольника.

б) Докажите, что если $O$ — центр сферы, описанной около ортоцентрического тетраэдра $ABCD$, и $\overrightarrow{OH} = {}^{1}\!/_{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$, то $H$ — точка пересечения четырех высот тетраэдра.

2. Докажите, что если $A$, $B$, $C$ и $D$ — четыре произвольные точки пространства, то

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0.$

Пользуясь этим равенством, докажите, что

а) три высоты треугольника пересекаются в одной точке;

б) если противоположные ребра $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ перпендикулярны, то ребра $CA$ и $BD$ также перпендикулярны.

3. Докажите, что если $A$, $B$, $C$, $D$ — четыре произвольные точки пространства, то

$$|AB|^2 + |CD|^2 - |AD|^2 - |BC|^2 = 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}.$$

Пользуясь этим равенством, докажите, что

а) сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований;

б) диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны;

в) для того чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов его противоположных ребер были равны.

4. Докажите, что все плоские углы при одной вершине ортоцентрического тетраэдра либо одновременно острые, либо прямые, либо тупые и хотя бы одна его грань является остроугольным треугольником.

5. а) Докажите, что точки, симметричные ортоцентру $H$ треугольника $ABC$ относительно середин его сторон, а также точки, симметричные ортоцентру $H$ относительно прямых $BC$, $CA$ и $AB$, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

б) Пусть $H$ — ортоцентр тетраэдра $ABCD$, $G_1$ и $H_1$ — соответственно центроид и ортоцентр грани $ABC$, а $G_2$ и $H_2$ — такие точки, что $\overrightarrow{HG_2} = 3\overrightarrow{HG_1}$ и $\overrightarrow{HH_2} = 3\overrightarrow{HH_1}$. Докажите, что точки $G_2$ и $H_2$ лежат на сфере, описанной около этого тетраэдра.

6. а) Докажите, что середины трех сторон, основания трех высот треугольника и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с тремя вершинами, лежат на одной окружности, а центр этой окружности (называемой окружностью десяти точек) лежит на прямой Эйлера.

б) Докажите, что центроиды четырех граней, основания четырех высот ортоцентрического тетраэрда и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, в отношении 1:2 (считая от ортоцентра), лежат на одной сфере, а центр этой сферы (называемой сферой двенадцати точек) расположен на прямой Эйлера.

7. Докажите, что

а) если основание одной из высот тетраэдра есть ортоцентр соответствующей грани, то тетраэдр является ортоцентрическим;

б) основание любой из высот ортоцентрического тетраэдра есть ортоцентр соответствующей грани (эти свойства использованы при доказательстве теоремы 5).

---

Где ошибка

— Прямая теорема равносильна теореме, противоположной обратной, — сказал ученик Крестиков. — Если $\overline{A}\Rightarrow\overline{B}$ — прямая теорема, то вместе с ней верна или неверна теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$.

— А что такое $\overline{B}$ и $\overline{A}$? — спросил ученик Нуликов.

— Так обозначаются отрицания утверждений $B$ и $A$.

— А откуда ты знаешь, что они равносильны?

— Могу доказать.

— Давай.

— Пожалуйста. Пусть теорема $A\Rightarrow B$ верна, а теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ неверна. Тогда вер-

на теорема $\overline{B}\Rightarrow A$. Из этой верной теоремы и верной прямой теоремы следует, что $\overline{B}\Rightarrow B$. Ты же понимаешь, что так не бывает! Значит, на самом деле, теорема $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ верна.

— Понятно, — сказал Нуликов.

Они встретились на другой день.

— Я доказал, что из прямой теоремы следует обратная, — сказал Нуликов.

— Этого не может быть! Бывает, что прямая теорема верна, а обратная нет.

— А я тебе докажу!

— Ха! Попробуй!

— Пусть теорема $A\Rightarrow B$ верна. Нам надо доказать, что теорема $B\Rightarrow A$ тоже верна.

Предположим, что она неверна. Тогда верна теорема $B\Rightarrow\overline{A}$, ты сам говорил это в прошлый раз. Но ей равносильна теорема $A\Rightarrow\overline{B}$, а значит, она тоже верна. Получилось, что верны две такие теоремы: $A\Rightarrow B$ и $A\Rightarrow\overline{B}$, а это чепуха. Значит на самом деле теорема $B\Rightarrow A$ верна.

— Ничего не понимаю, — пробормотал Крестиков.

— Я рассуждал так же как ты, — сказал Нуликов.

А теперь ответьте

1. Верно ли доказательство Крестикова?

2. Верно ли доказательство Нуликова?

3. Верно ли последнее заявление Нуликова?

В. И. Рыжик

26

Задачи

М306 — М310; Ф318 — Ф322

М306. Из шахматной доски (8×8) удалена одна угловая клетка (1×1) (рис. 1). На какое наименьшее число равновеликих треугольников (одинаковых по площади) можно разрезать оставшуюся часть доски?

В. П. Федомов

М307. Плоскость разбита на одинаковые шестиугольные комнаты (рис. 2). В некоторых стенах проделены двери так, что для любой вершины, в которой сходятся три стены (стороны шестиугольников), двери имеютровно в двух стенах. Докажите, что любой замкнутый путь по такому лабиринту проходит через четное число дверей.

В. П. Голубятников

М308. Если при любом $x$
$a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + \dots + a_n \cos nx \geq -1$
то для чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполне-

но неравенство
$a_1 + a_2 + \dots + a_n \leq n$.

Докажите это утверждение a) для $n = 2$; 6) для $n = 3$; в) для любого натурального $n$.

Ю. И. Ионин

М309. a) При каких $n$ многочлен $x^{2n} + x + 1$ делится на $x^2 + x + 1$?
6) При каких $n$ число
$10 \dots 010 \dots 01$
делится на 37?

В. Г. Шлейфер

М310. Докажите, что среди $n$-значных чисел найдется более $8^n$ таких, в десятичной записи которыхникагруппа цифр (в частностиникагруппа цифра) не встречается два раза подряд.

Г. А. Гуревии

Ф318. При каком $C_1$ емкость системы конденсатора, показанной на рисунке 3, равна: a) $C$; b) $kC$ ($k \neq 1$); b) $C_1$?

Б. Б. Буховцев

Ф319. На расстоянии $2F$ от собирающей линии $\varLambda_1$ с фокусным рас-

27

стоянием $F$ находится светящейся предмет. Освещность четкого изображения предмета на экран при этом равна $E_0$. Между экраном и линзой $\Pi_1$ помещили рассеивающий линзу $\Pi_2$ с фокусным расстоянием —2$F$. Для получения четкого изображения предмета пришлось экран перевидить на расстояние, равное $F$. Определить освещность изображения предмета во втором слуае.

В. Е. Белокукин

Ф320. В откачном состоянии емкость $V = 1 \text{ л}$ находится 1 $\text{е}$ гидрида урана $\mathrm{UH}_3$. При нагреве до температуры $t = 400^\circ \mathrm{C}$ гидрид полностью разлагается на уран (атомный вес $A = 238$) и водород. Найти давление водорода в сосуде при этой температуре.

Ф321. На горизонтальномMEMбрану насыпан мелкий песок._MEMбрана совершает колебания с частотой $v = 500 \text{ец}$ в вертикальной плоскости. Какова амплитуда колебаний_MEMбраны, если песчинки подскакивают на высоту $h = 3 \text{ мм}$ по отношению к положению равновесия_MEMбраны?

Ф322. Две звезды врашают вокруг общого центра масс с постоянными по абсолотной величины скоростими $v_1$ и $v_2$ с периодом $T$. Найти массы звезд и расстояние между ними.

В. А. Луговцов

28

Решения задач

M268. В уеле шахматной доски стошт фцурра. Первый церок может ходить его два раза подряд как обычным конем (на два поля в одном направлении, на одно — в перепendlкулярном), а второй — один раз как конем с удлиненным ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перепendlкулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фцурру в противоположный угол, а второй — ему помещать. Кто из них выдерживает (размеры доски — $n \times n$, где $n \geq 4$)?

Пусть вначале конь находится влевом нижнем углу доски. Понятно, что первый игрок первый же ходом может вывести коня из угла доски и поставить его на диагональ (см. рисунок 1 — синейкрестик — это результат хода первого игрок). Докажем, что первый игрок может как бы мы своими ходом возвраться на диагональ, причем все выше и выше.

Пусть первый игрок поставил коня на какую-то клетку диагонали доски (рис. 2). Клетки, в которые второй игрок может сместить коня с диагонали, помещены на рисунке 2 черными и красными крестиками. Из клеток, помещенных красными крестиками, первый игрок может вернуть коня на диагональ доски, сдинув его при этом вверх ровно на одну клетку (в направлении нужного угла). Из клеток же, помещенных черными крестиками, первый игрок также может вернуть коня на диагональ, но уже не в следующую клетку, а через одну. Оdnako ясно, что ставить коня в клетки, помещенные черными крестиками, в конце игры второй игрок не сможет: доска ограничена, и когда до верхнего угла остается одно или два поля, верхняя и правая границы доски «отрезут» от получающейся конфигурации черные крестики — клетки (рис. 3); второй игрок будет вынужден начать ставить коня в клетки, помещенные красными крестиками. Понятно, что в таком случае первый игрок достигнет цели.

И. Н. Клумова

M269. Обозначим через $T_k(n)$ сумму произведений по $k$ чисел от 1 до $n$. Например, $T_2(4) = 1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.4 + 3.4 = 35$.

a) Найдите общую формулу для $T_2(n)$ и $T_3(n)$.
b) Докажите, что $T_k(n)$ выражается многочленом от $n$ степеней $2k$ (для каждого натурального $k \geq 2$).
b) Укажите метод нахождения многочленов $T_k(n)$ ($k = 2, 3, 4, \dots$) и примените его для отыскания многочленов $T_4(n)$ и $T_5(n)$.

Мы доказем, что $T_2(n), T_3(n), T_4(n)$ и $T_5(n)$ соответственно равны
$$\frac{(n+1)n(n-1)(3n+2)}{24}, \frac{(n+1)^2n^2(n-1)(n-2)}{48},$$
$$\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(15n^3+15n^2-10n-8)}{5760}$$

и
$$\frac{(n+1)^2n^2(n-1)(n-2)(n-3)(3n^2-n-6)}{11520}$$

(попробуйте неосредственно доказать, что эти числа — целые при любом целом $n$), а также, что при любом $k$ числа $T_k(n)$ является значением многочлена $T_k$ степеня $2k$ (с старшим коэффициентом $\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2k-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdots(2k)}$), для которого числа — 1, 0, 1, …, $(k-1)$ служат корнями.

Заметим кстати, что $T_1(n)$ — сумма произведений чисел от 1 до $n$ «по одному» — равна
$$\sum i = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

29

Первый способ. Можно найти формулы для $T_k(n)$, воспользовавшись известными формулами для сумм степеней натуральных чисел:

$$\Sigma i^2 = 1^2 = 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$

$$\Sigma i^3 = 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \text{ и т. д.}$$

(см., например, статьи В. С. Абрамовича в «Кванте» № 5, 1973 и № 6, 1974). Например, из равенства

$$(\Sigma i)^2 = \Sigma i^2 + 2 \sum ij$$

следует, что $T_2(n)$ равно

$$\sum_{i<j} ij = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n^2+n}{4} - \frac{2n+1}{6} \right) =$$

$$= \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$$

(проверьте, что $T_2(2) = 2$, $T_2(3) = 11$, $T_2(4) = 35$, $T_2(5) = 85$).

Из равенства

$$(\Sigma i)^3 = \Sigma i^3 + 3 \sum ij^2 + 6 \sum ijk,$$

$$i \neq j \quad i < j < k$$

$$(\Sigma i)(\Sigma j^2) = \Sigma i^3 + \sum ij^2$$

следует $T_3(n) = \sum ijk = i < j < k$

$$= \frac{1}{6} \left( (\Sigma i)^3 - 3(\Sigma i)(\Sigma j^2) + 2\Sigma i^3 \right) = \frac{n^2(n+1)^2}{6} \times$$

$$\times \left( \frac{n(n+1)}{8} - \frac{2n+1}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)^2(n-1)(n-2)}{48}.$$

Ниже мы показем, как можно найти $T_k(n)$, не получяя формулы для сумм степеней.

Рекуррентная формула. Если все слагаемые суммы $T_k(n)$ разбить на две группы: в одну включить те произведения, в которых входит $n$, в другую — остальные, то получится такая основная формула:

$$T_k(n) - T_k(n-1) = nT_{k-1}(n-1)$$

(1)

Она вместе с очередным равенством

$$T_k(k) = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k = k!$$

позволяет последовательно определить все числа $T_k(n)$ при $n \geq k$, если $T_{k-1}(n)$ уже известны. (Заметим, что если $T_k$ и $T_{k-1}$ — многочлены, то формула (1) должна выполняться при всех $n$, а не только при целых $n$, больших $k$; получая этиим, легко убедиться, что $T_k(n)$ должно равнять 0 при целых $n$ от $(-1)$ до $(k-1)$, и найти значения $T_k(n)$ при целых $n$, указанные в таблице 1.) Из формулы (1) можно было бы вывести, что $T_k(n)$ — многочлен степеня $2k$, если справа стоит многочлен $nT_{k-1}(n-1)$ степени $2k-1$ от $n$ (см. статьи В. С. Абрамовича, упомянутые выше, или статью В. Н. Вагутена в «Кванте» № 2, 1972); однако мы не будем доказывать это отдельно, а сразу получим формулы для многочленов $T_k(n)$.