Квант 1975, №3 · Страницы

Квашт
1975
3
Научно-полуярный
физико-математический
журнал

Наша обложка

В движении знакомой всем детской игрушки юлы, или волчка, есть много удивительного и, на первый взгляд, странного. Объяснением свойств этого движения занимались и математики, и физики. Замечательные результаты в решении задачи о движении волчка получила Софья Васильевна Ковалевская. О жизни выдающегося русского математика мы рассказываем в этом номере журнала (см. с. 2).

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободский,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,

зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2. Н. Я. Виленкин, В. П. Лицевский. Софья Васильевна Ковалевская
3. И. И. Воробьев. Электронный ветер
4. И. Н. Бронштейн. Гипербола
5. И. П. Стаханов. Масса и энергия в теории относительнойности
6. Л. С. Хренов. Средства вычисления
7. А. Б. Мидал. Письмо школьникам, которые хотят стать физиками

Математический кругхок
39. З. А. Скопец. Расстояние между центроидами двух систем точек

Задачник «Квант»

44. Победители конкурса «Квант»
45. Задачи M311—M315; Ф323—Ф327
46. Решения задач M273—M279; Ф285—Ф290

Практикум абитриента

61. В. К. Едерев, А. Г. Мордкович. Правильная парамида

62. Л. К. Белопунхов, М. Г. Сухарев. Московский институт нефтехимической и газовой промышленности

63. Спрашивайте — ответаем

«Квант» для младших школьников

71. Задачи

72. А. П. Савин. Для чего нужны проценты?

73. Ответы, указания, решения (3-я стр. обложки)

Уголок коллекционера
Смесь (с. 24, 35, 43, 68, 70).

На первой странице обложки вы видите семейство кривых, координаты (x, y) точек которых удовлетворяют соответствующему k при всевозможных k > 0. Эти кривые называются superbolами. Подробнее о суперbolе и ее свойствах вы можете прочитать в статье на с. 16—24.

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант» № 3, 1975 год

2

С. В. Ковалевская (1850—1891)

3

СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ

Н.Я. Виленкин
В.П.Лишевский

( к 125-летию со дня рождения )

Первая премия

В 1888 году Парижская академия наук присуждала премию за лучшую научную работу, посвященную движению твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Эту задачу называли также задачей о движении волчка — ведь все точки быстро вращающегося волчка находятся в движении, за исключением конца острия, которым волчок касается пола. Издавна волчки (или, как их еще называют, юлы) были любимыми игрушками детей. Но они привлекали к себе внимание и солидных ученых — слишком удивительны были свойства вращающихся тел. Непонятно было, почему ось быстро вращающегося волчка сама совершает медленное вращение. Удивительным казалось и стремление оси волчка сохранять свое направление при действии на волчок внешних сил, причем изменение направления оси шло в направлении, отличном от направления этой силы. Интерес к движению волчка не был пустым любопытством. Объяснения свойств этого движения ждали астрономы, интересовавшиеся такими громадными волчками, как планеты и звезды, оружейники, давно заметившие, что пули и снаряды точнее попадают в цель, если придать им не только по-

ступательное, но и вращательное движение, техники, разрабатывавшие новые модели велосипедов, и многие другие.

До начала XVII века ученые, рассуждая о свойствах волчков, давали лишь объяснения, похожие на слова мольеровского персонажа, утверждавшего, что морфий усыпляет потому, что в нем содержится усыпительная сила. Но после работ Г. Галилея, объяснившего законы падения тел, и Х. Гюйгенса, интересовавшегося движением маятника, возникла новая ветвь механики — динамика. Одной из ее задач стало объяснение таинственных свойств волчка. В конце XVII века И. Ньютон и Г. Лейбниц, создав дифференциальное и интегральное исчисления, дали в руки ученых «золотой ключ», позволявший сводить задачи динамики к решению уравнений, содержавших искомые функции и их производные, — так называемых дифференциальных уравнений. Сила методов нового исчисления была проверена на задачах небесной механики: с их помощью И. Ньютону удалось объяснить кеплеровские законы движения планет, а его последователям — предсказать время возвращения одной из самых ярких комет — кометы Галлея.

1*

4

Естественно, что учены попытались применить новые методы к изучению движения волука. Им пришлось для этого ввести ряд новых понятий — момента инерции, инравшего в обьясении врашательных движений ту же роль, что масса тела в обьясении поступательного движения, эллипсона инерции, который показывает изменение момента инерции при изменении оси врашения, и т. д. Так, член Петербургской академии наук, один из величайших математиков XVIII века Л. Эйлер изучил движение тела вокруг центра тяжестии (рис. 1). Это имело большое значение, так как позволило обьясить причину так называемого «предварения равноведствий», связанного с изменением оси врашения земного шара, движение врашающихся орудийных снарядов и т. д. Исследования Эйлера были дополнены французским ученым Л. Пуансо. После этого волки стали излюбленной моделью, к которой прибегали физики, стремясь обьясить те или иные явления. Далее Дж. Максвелл, строго теории электромагнитных явлений, прибегал к механическим моделим, больше роль в которых играли волки, помещенные в каждую точку пространства.

Но теория Эйлера — Пуансо не могла обьясить движение волка, который любят играть малыши — его точка опоры находится не в центре тяжестии. Волок такого типа имеет форму тела врашения, а точка опоры находится на оси симметрии (рис. 2). Задачу о движении волка такой формы решил Ж. Лагранж, изложивший свое решение в книге «Аналитическая механика»; книга эта прославилась не только глубиной изложения, но и тем, что в ней не было ни одного чертежа — Лагранж считал механику наукой о решении дифференциальных уравнений и к наглядным представлением не прибегал. Решение Лагранжа развил и усовершенствовал С. Пуассон.

После Эйлера, Лагранжа, Пуансо и Пуассона многое учены пытались найти еще хотя бы одну форму волка, при которой решение уравнения его движения можно свести к вычислению интегров. Но никаку не удалось продвинутся вперед ни шаг. Это было особенно удивительно, потому что как раз в XIX веке в трудах К. Гаусса, М. В. Остроградского, К. Якоби, О. Коши, Б. Римана и многих других были созданы новые математические методы, позволившие решить самые трудные задачи математической физики. А глубже познать движение волка было нужно и для практики. Хотя в те времена гироскопические прибора не обходятся ни корабли, ни самолеты, ни ракеты, проницальные технически уже полами, что время гироскопов не за горами, а нет ничего более практиного, чем хорошая теория.

5

Поэтому следует признать, что выбор Парижской академией наук темы для конкурса был удачен. Изучив присланные рукописи, жюри признало лучшей работу под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что должен, будь, чему быть». В ней содержалось решение задачи о движении несимметричного волчка, центр тяжести которого лежит на экваториальной плоскости эллипсоида инерции, длины осей которого подчинены условию $A = B = 2C$ (рис. 3). Автор работы проявил не только большой математический талант, но и незаурядную эрудицию: в работе были использованы самые новейшие достижения математики того времени — теория функций комплексного переменного, гиперэллиптические интегралы и т. д. Выполненное исследование так понравилось членам жюри, что они решили увеличить сумму премии с 3000 франков до 5000 франков. Когда вскрыли конверт с именем автора, неожиданно оказалось, что самую лучшую работу написала единственная женщина, занимавшая в то время должность профессора математики, — Софья Васильевна Ковалевская.

Детство и юность

Долог и труден был путь Софьи Васильевны к этому триумфу, сразу поставившему ее выше всех женщин, занимавшихся до нее математикой — и гречанки Гипатии (V век нашей эры), читавшей лекции по философии и математике, и француженки Эмилии дю Шатле, переведшей в начале XVIII века на французский язык «Начала» Ньютона, и итальянки Марии Гаетаны Аньези, в честь которой одна из кривых была названа «локон Аньези».

Софья Васильевна родилась в Москве сто двадцать пять лет назад 3 (15) января 1850 года. Ее отец — генерал В. В. Корвин-Круковский, начальник московского арсенала,

вел свой род от венгерского короля Матвея Корвина. Мать, Елизавета Федоровна, происходила из ученой семьи — ее отец Ф. Ф. Шуберт был почетным членом Академии наук, а дед, академик Ф. И. Шуберт, известным астрономом и математиком.

В 1858 году Василий Васильевич Корвин-Круковский был уволен в отставку в чине генерал-лейтенанта и перебрался вместе с семьей в свое имение Палибино Невельского уезда Витебской губернии. Своим детям он дал домашнее образование. Наставниками Сони были англичанка М. Ф. Смит и домашний учитель И. И. Малевич. Но интерес к математике появился у девочки под влиянием дяди, Петра Васильевича Корвин-Круковского. «От него услышала я, например, в первый раз о квадратуре круга, об асимптотах, к которым кривая постоянно приближается, никогда их не достигая, и о многих других вещах подобного же рода» *), — вспоминала впоследствии Софья Васильевна.

Помимо бесед с дядей, было еще одно обстоятельство, довольно курьезное, пробудившее интерес Сони к математике. Вот как описала этот эпизод С. В. Ковалевская в своих воспоминаниях.

«Когда мы переезжали на житье в деревню, весь дом пришлось отделать заново и все комнаты оклеить новыми обоями. Но … на одну из наших детских комнат обоев не хватило… Эта обиженная комната так и простояла много лет с одной стороной, оклеенной бумагой. Но, по счастливой случайности на эту предварительную оклейку пошли именно листы литографированных лекций Остроградского о дифференциальном и интегральном исчислении, приобретенные моим отцом в молодости.

---

*) Здесь и далее цитируется по книге: С. В. Ковалевская, Воспоминания и письма. М., изд. Академии наук СССР, 1961.

6

Листы эти, испешенные страными непонятными формулами, скоро образили на себя мое внимание. Я помню, как я в детстве проводила целые часы перед этой танистенной стеной, пытаясь разобрать хотя бы отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны следовать друг за другом. От долгого, ежедневного созерцания внешний вид многих из формул так и времяся в моей памяти, да и самый текст оставил по себе глубокий след в мозгу, хотя в самый момент прочитания он и остался для меня непонятным.

Когда много лет спустя, уже пятнадцатилетней девочек, я брала первый урок дифференциального исчисления у известного преподавателя в Петербурге, Алексадра Николаевича Страннолюбского, он удивился, как скоро я охватила и усвоила себе понятия о пределе и о произвольной, точно я наперед их знала».

Увлечение Сони математикой привело к конфикту в семье. Генеральу Корвин-Круковскому совсем не хотелось, чтобы его dochста «синим чулком» или, того хуже, стриженной курсисткой, о которых говорили, что «они в бога не верят и живых лягушек режут». Позмоту Соне часто приходилось занимать математкой тайно. Идя спать, она клала под подушку полученный от Малевича «Курс алгебры» Бурдона, а когда все засыпали, при свете почника читала его почти до утра.

Помог Сониным занятиям соедок Корвин-Круковских по имению — профессор физики Н. Н. Тыртов. Однажды, заехав к соседям в гости, он услышал от Сони, что она прочитала его учебник элементарной физики и все там поняла. Тыртов ей сначала не поверил. Но, побеседовав с девочек, настолько удивился ее способностью, что отправился к генеральу и стал убеждать его в необходимости учить девочек смым серверным образом. Тыртов даже сравнил Сони с Паскалем, который в детстве сам вывел многое теоремы

евклидовой геометрии. И генераль согласился на то, чтобы Сони продолжила свои занятия математикой. Ееstal учить математик А. Н. Страннолюбский. В течение одной зимы она прошла с ним аналитической геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления.

Но не только Сони доставляла хлопоты почтенному генералу. Нежиданно он перехватил письмо, которое направил его старшей дочерки Анне Петербургский писатель и журналист Федор Михайлович Достоевский, совсем недавно вернушился в столицу после долги лет каталогных работ, к которым он был приговорен за участие в решолюционном кругжке Петрашевского. В письме высоко оценивались литературные достоинства повести, написанной Анной и посланной его в журнал, который руководил Достоевский. Сканиал был невероятный — doch уважаемых родителей тайком от них переписывается с незнакомым человеком, да еще вчерашним каталогником!

Анне и Соне стало ясно, что для дальнейшего развития своих способностей они должны вырвать изпод родительской опеки. Самым распространенным в то время способом эмансипации (освобождения) женишин был фиктивный брак, после которого фиктивные мужья представляли свои нам женам полную свободу. Осенью 1868 года Сони вступила в фиктивный брак с будущим выдаюшимся паленотологом Владимиром Онуфриевчем Ковалевским (1842—1883) и в следующем году уехала вместе с ним и старшей сестрой Анной в Германию для продолжения образования — в России доступ женишнам в университеты был закрыт.

Молодой доктор философии

Вначале Софья Васильевна поселлась в Гейдельберге, где в местном университете служила лекции видных естественныхателей Кирхгофа, Дюбya-Реймона и Гельмогlua.

7

Но еще более интересными казались ей лекции профессора Кенигсбергера, ученика крупнейшего немецкого математика того времени Карла Вейерштрасса. Получать знания из вторых рук было не в характере Софьи Васильевны, и она решила учиться у самого Вейерштрасса.

Это были годы расцвета научной и педагогической деятельности Вейерштрасса. Глубокое и систематическое развитие идей, заложенных им еще в первой работе, привело к результатам важнейшего значения. Основные работы Вейерштрасса были посвящены теории эллиптических интегралов, которую создали и развивали Абель, Якоби и другие математики предшествовавшего поколения. Еще Абель заметил, что некоторые из эллиптических функций можно записать в виде отношения двух степенных рядов, суммы которых существуют при любом значении аргумента, то есть в виде

$$\frac{a_0 + a_1(x-x_0) + \ldots + a_n(x-x_0)^n + \ldots}{b_0 + b_1(x-x_0) + \ldots + b_n(x-x_0)^n + \ldots}.$$

Дальнейшее развитие этой идеи потребовало систематического и глубокого изучения степенных рядов и функций, изображаемых такими рядами.

Со степенными рядами математики встретились в XVII веке. Оказалось, что в их теории есть тайны, связанные с бесконечностью числа слагаемых, а неосторожное обращение с бесконечными суммами ведет к недоразумениям, ошибкам, парадоксальным результатам. Только после работ Коши и Абеля бесконечные степенные ряды стали надежным орудием в руках математиков.

Вейерштрасс изучал свойства эллиптических и еще более общих функций с помощью степенных рядов. При этом он исследовал свойства таких рядов не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. В результате этих исследований возникла одна из

замечательных глав математики — теория функций комплексного переменного, находящая сейчас важные приложения в самых разных областях человеческой деятельности: аэро- и гидродинамике, теории упругости, картографии и т. д. Подход Вейерштрасса к теории аналитических функций был характерен строгой логичностью. Вейерштрасс считал, что сущность математического познания — в абсолютной полноте его обоснования. Гениальные работы Римана, иногда заменявшего строгую логику ссылкой на наглядность, были глубоко чужды Вейерштрассу. В то же время он хорошо понимал практическое значение математических исследований и верил, что его исследования по эллиптическим функциям сыграют свою роль и в приложениях математики.

Лекции Вейерштрасса по теории аналитических и эллиптических функций привлекали толпы слушателей. Ведь только на этих лекциях можно было познакомиться с его идеями — великий математик обладал странным отвращением к типографской краске и не позволял не только печатать, но даже литографировать свои лекции — их можно было лишь переписывать от руки. Софья Васильевна решила стать студенткой Берлинского университета. Но порядки в столице Пруссии были куда реакционнее, чем в сравнительно либеральном Гейдельберге — женщин не допускали на лекции даже в качестве вольнослушательниц. Поэтому Софье Васильевне пришлось решиться на крайний шаг — обратиться прямо к Вейерштрассу с просьбой давать ей частные уроки математики.

Когда Ковалевская пришла на квартиру к Вейерштрассу, то, чтобы проверить, насколько она готова к занятиям математикой, Вейерштрасс дал ей несколько трудных задач и попросил подумать на досуге над ними. Вероятно, в глубине души он считал, что больше никогда не увидит молодую русскую, обратившую-

8

ся к нему со столь странной просьбой. Но как велико было его изумление, когда ровно через неделю она принесла ему решения всех задач. Еще более поразился Вейерштрасс безукоризненно логичному и точному обоснованию всех решений. Как и он сам, Софья Васильевна на первое место ставила логику. На этот раз знаменитый математик внимательнее посмотрел на свою посетительницу. Он увидел одухотворенное лицо, на котором живо отражалось радостное сознание преодоленных трудностей, темно-каштановые коротко остриженные волосы, большие серо-зеленые глаза, в которых читались незаурядные ум и воля.

Получив положительный отзыв о Софье Васильевне от Кенигсбергера, Вейерштрасс дал согласие заниматься с нею. Так как ей не разрешали посещать Берлинский университет, занятия пришлось проводить дома. Эта совместная работа продолжалась четыре года.

Сохранились письма Вейерштрасса к своей ученице, которые рассказывают, как шли эти занятия, как раскрывались перед юной ученицей широкие горизонты новой теории функций и ее приложений, как появились задачи для самостоятельных размышлений, и как шаг за шагом она преодолевала возникавшие трудности.

Три проблемы поставил Вейерштрасс перед Софьей Васильевной. Первая из них касалась решения уравнений в частных производных. Еще И. Ньютон заметил, что степенные ряды — могучее орудие для решения дифференциальных уравнений. Но во времена Ньютона не задумывались над вопросами: имеет ли всякий степенной ряд сумму, является ли эта сумма на самом деле решением заданного уравнения. Новый подход Коши и Вейерштрасса открывал пути к построению строгой теории, давал уверенность в том, что данное уравнение решается с помощью степенных рядов. С. В. Ко-

валевской удалось доказать самую общую теорему. Она доказала, что решение систем уравнений очень общего вида аналитично, то есть выражается через степенные ряды. Исследуя решение одного из важнейших уравнений, описывающего распространение тепла в стержне, Софья Васильевна обнаружила свойства этого решения, оказавшиеся неожиданными даже для Вейерштрасса.

Вторая проблема была тесно связана с эллиптическими интегралами, третья касалась теории колец Сатурна. В последней работе Софья Васильевна уточнила исследования знаменитого французского математика и механика Лапласа.

Все эти проблемы были успешно решены, и в 1874 году по представлению К. Вейерштрасса Геттингенский университет за работы: «К теории уравнений в частных производных», «О приведении одного класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим» и «Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме кольца Сатурна» присудил заочно (без защиты) Софье Васильевне Ковалевской степень доктора философии с высшей похвалой. Такой чести удостаивались немногие.

На родине

В июле 1874 года С. В. Ковалевская вернулась в Россию. В это же время на родину приехала и ее сестра Анна вместе со своим мужем Шарлем Виктором Жакларом, который был деятельным членом I Интернационала.

Когда весной 1871 года разразились события Парижской коммуны, Жаклары приняли в них непосредственное участие. Виктор был избран в ЦК Национальной гвардии и командовал ее 17-м легионом. Он руководил вооруженными силами коммунаров в районе Монмартра. Анна вместе с приехавшей из Берлина в осажденный Париж Софьей ухаживала за ранеными.

9

После разгрома Парижской коммуны Виктор Жаклар оказался в тюрьме. Для спасения зятя в Париж приехал сам В. В. Корвин-Круковский, который лично знал Тьера. Старому генералу удалось несколько облегчит участь мужа своей дочеери, и вскоре при помощи четы Ковалевских и жены Анны Жаклару удалось бежать из тюрьмы и перебраться в Швейцарию. Вслед за мужем уехала Анна.

Так, три года спустя, все снова собрались вместе в Палибино. В старой усадбе царила атмосфера всеобщей любви и друзьбы. Софья была бы счастлива, если бы не мысли о будущеем. Как сложится ее дальнейшая судьба? Получит ли она должность преподавателя в университете? Ведь по законам Российской империи женщина могла преподавать математику только в начальных классах гимназии.

Отдохнув в Палибино, Ковалевские уехали в Петербург. Начались хлопоты о получении места преподавателя в каком-либо высшем учебном заведении. Они окончились провалом. Софье Васильевне не разрешили преподавать даже на Выcisших женских курсах.

Рассказывалот, что во время своих скитаний по бiopократическим учёждении Петербурга Софья Васильевна как-то попала в кабинет одного чиновника, который в ответ на ее просьбу разрешить преподавать в университете ответил отказам, грубо прибавив: «У нас всегда этим занимались мужчины. Справляются они со своим обязанностями, слова богат, хорошо, и поэтому не надо нам никаких нововведений!》 На это возмущенная Софья Васильевна сказал: «Когда Пифогор открыл свою знаменитию теорему, он принес в жертву богат 100 быков. С тех пор все скоты богатся нового…»

В жизни Ковалевских просходит важное событие. Дружба и взаимное уважение, связывающие Софью Ва-
сильевну и Владимира Онуфриевича, переходят в любовь и их брак становится фактическим. В 1878 году у Ковалевскихрождается dochь, которое в честь матери называют Софья.

В это время Софья Васильевна несколько отходит от занятый математикой. Теперь она — журналистка и рачителяхозяйка. В периодической печати появляются ее научно-популярные статьи, критические заметки, театральные рецепции. В гостирином доме Ковалевских быстро многоные учены и писатели: Д. И. Менделеев, И. М. Сеченов, С. П. Боткин, А. М. Бутлеров, П. Л. Чебышев, А. Г. Столетов, И. С. Тургенев, Ф. М. Достоевский и другие.

В то время неокоторая часть русского общества была охвачена «духом наживы и разных коммерческих предприятий». Это течение захватило и моето мужа и отчети, должна показаться в своих грехах, и меня самое», — вспоминала впоследствии Софья Васильевна. Ковалевские хотели обеспечить себя материально, чтобы потом, не думая о хлебе наиматься наукой.

Увлечение коммерцей закончилась трагически. Владимир Онуфриевич был вдаюшимся ученым, ноникудышным коммерсантом. Его обманывали компаньоны, подрядчики, рабочие, — все, с кем он имел дело. Вскоре он окончательно запутался в долгах и, не видя выхода, покопил жизнь самогоством.

Печальная весть застала Софью Васильевну в Париже, где она хлопотала о месте преподавателя на Выcisших женских курсах. Получив известие о смерти мужа, она заболела. Оправившись, она поспешила в Петербург и добавлась установления непринчастности Владимира Онуфриевича к темным делам его компаньонов. Научный мир скорбел о кончине доцента Московского университета, основоположника эволюционной палеонтологии, которое

10

Математик и литератор

В 1883 году Софья Васильевна Ковалевская получила приглашение от шведского математика Г. Миттаг-Леффлера (с которым она вместе училась у К. Вейерштрасса) занять должность приват-доцента в Стокгольмском университете. В ноябре этого же года она выехала в Швецию. Так как Софья Васильевна не знала шведского языка, ей разрешили в течение первого семестра читать лекции на немецком языке. Через несколько месяцев она уже способно владела шведским языком и могла вести на нем преподавание.

Летом 1884 года Софья Васильевна была назначена профессором Стокгольмского университета. За 8 лет она прошла 12 различных курсов, в том числе теории уравнения в частных произвольных, курс механики, теории алгебраических, абелевых и эллиптических функций и другие.

Но не только математикой занималась в те годы Софья Васильевна. Она прошла и незаурядный литературный талант: написала ряд рассказов, повесь «Нигилистка», драму «Борьба за счетье» (совместно с естерой Миттаг-Леффлера, оставившей интереснейшие воспоминания о Софье Васильевне). Дом Ковалевской стал одним из центров интелектуальной жизни Стокгольма — здесь были известный полярный исследователь Нансен, Миттаг-Леффлеры, много писали, профессора.

Много сил уделяла Софья Васильевна освободительному движению. Она участвовала в социалистических конгрессах, была знаком со многими русскими политическими эмigrантами, активно боролась за равноправие женщин.

В Стокгольме Софья Васильевна завершила свой главный труд — исследование движения волчка. За это она, как уже говорилось, в 1888 году получила premio Парижской академии наук. В следующем году она получает premio в 1500 крон от Стокгольмской академии наук за новую работу, также посвязыванию врашению твердого тела.

Русские математики неоднократно пытались привлечь С. В. Ковалевскую к научной и педагогической работе на родине, но безспешно. Не помогло также и прошение, поданное родственником Софьи Васильевны генералом А. И. Косичем на имя преидента Академии, в котором он, в частности, приводил слова Наполеона о том, что «всякое государство должно дорожить возвращением выдающихся людей более, нежели завоеванием богатого города».

Но новые веяния пропинкали и в Академию наук. 4 (16) ноября 1889 года в Академии был принципиально решен вопрос «о допущении лицжского поля к избраню в члены-корреспонденты». За это постановление голосовало 20 человек (против 6). И вот 7 (19) ноября на физико-mатематическом отделении по предложению академikus П. Л. Чебышева, В. Г. Имшенецкого и В. Я. Буняковского в члены-корреспонденты Российской академии была избрана доктор математики, профессор Стокгольмского университета Софья Васильевна Ковалевская. 2 (14) декабря 1889 года общее собрание Академии утвердило это решение.

Теперь Софья Васильевна пользовалась мировой slavery. Математикиждали ее новых работ о движении твердого тела. Она была полна научных и литературных заметок. Но все эти заметки остались неосуществлены. Возвращаясь в января 1891 года в Стокгольм из Франции, где она проволла зимние канкулы, Софья Васильевна простудилась и 29 января (10 февраля) умерла от воспаления легких.

На ее похоронах были преподавали Стокгольмского университета, студенты, многочисленные друзья

и знакомые. Прощаясь с ней, ее однофамилец М. М. Ковалевский сказал: «Софья Васильевна! Благодаря Вашим знаниям, Вашему таланту и Вашему характеру, Вы всегда были и будете славой нашей Родины. Недаром оплакивает Вас вся ученая и литературная Россия… Вам не суждено было работать в родной стране, и Швеция приняла вас. Честь этой стране, другу науки!… Но, работая по необходимости вдали от Родины, вы сохранили свою национальность, вы остались верной и преданной союзницей юной России, России мирной, справедливой и свободной, той России, которой принадлежит будущее…»

С тех пор прошло более 80 лет. Имя Софьи Васильевны Ковалевской занимает достойное место в ряду имен великих русских ученых, которыми по праву гордится наша Родина. Президент Академии наук СССР С. И. Вавилов сказал 13 января 1950 года на торжественном заседании, посвященном 100-летию со дня рождения С. В. Ковалевской: «Вклад, внесенный в науку Ковалевской за ее недолгую жизнь, необычайно полноценен и многозначителен. Ее фундаментальное исследование по вращению твердого тела послужило основой для дальнейшего развития важнейших вопросов механики в нашей стране и во всем мире. Ее тонкие исследования по теории дифференциальных уравнений и по некоторым вопросам математической физики и теоретической астрономии сохраняют свое значение и на сегодня. В истории человечества до Ковалевской не было женщины, равной ей по силе и своеобразию математического таланта… Ковалевская была не только математиком. Она проявила себя как писательница — автор романов, драматических произведений и рассказов — и как публицист. Она не замыкалась в узкую математическую специальность и глубоко понимала свой гражданский долг перед страной, перед народом…»

Выдающееся значение научного творчества Ковалевской высоко оценивалось всей передовой русской интеллигенцией. Выражением этого было исключительное событие для старой дореволюционной России — избрание Ковалевской членом-корреспондентом Академии наук в 1889 году. Для этого Академии пришлось ломать устав, решать сначала принципиальный вопрос о допущении лиц женского пола к избранию в члены-корреспонденты… Великая Октябрьская социалистическая революция навсегда широко открыла двери высшего научного учреждения страны для женщин, и с каждым годом число женщин-ученых, работающих в советской Академии, возрастает. Огромные творческие научные силы русской женщины были впервые раскрыты перед всем миром С. В. Ковалевской».

С. В. Ковалевская показала всему миру возможности женщин в области математического творчества. Через два года после ее смерти прусское правительство допустило женщин к слушанию лекций на правах вольнослушательниц. В 1895 году англичанка Грэс Чизгольм получила вслед за Софьей Васильевной там же, в Геттингене, звание доктора математики. Выдающиеся работы по математике написала в XX веке Эмми Нетер, являющаяся одной из основательниц современной алгебры. В Советском Союзе известны имена академика П. Я. Полубариновой-Кочиной, профессоров О. А. Ладыженской, О. А. Олейник и многих других женщин, которым принадлежат замечательные результаты в самых различных областях математики.

11

12

ЭЛЕКТРОННЫЙ ВЕТЕР

ЭЛЕКТРОННЫЙ ВЕТЕР

И.И. Воробьев

С конца прошлого века ведутся эксперименты по изучению проводимости жидких металлов. В нормальных условиях жидкие металлы встречаются не часто, но многие металлы легко образуют со ртутью жидкие растворы — амальгамы. Проводимость жидких металлов интересна тем, что в электрический ток должны вносить вклад не только электроны проводимости, но и ионы. А с движением ионов связан перенос массы.

Попробуем качественно представить, что произойдет при подключении к ванночке с чистой ртутью источника напряжения. Ртуть — это смесь электронов проводимости и положительных ионов. Казалось бы, все ясно — под действием электрического поля электроны будут двигаться от «минуса» к «плюсу», а положительные ионы ртути — в противоположном направлении. Если электроны могут путешествовать по всей электрической цепи, то с ионами дело обстоит иначе. Они, подойдя к отрицательному электроду, вроде бы, должны здесь скапливаться, повысив уровень ртути в этом месте.

Ничего подобного! Эксперименты показали, что уровень чистой ртути практически всюду один и тот же, а небольшое повышение уровня, если и происходит, то у «плюса», а не у «минуса». В одних амальгамах ионы двигаются, как следует, по полю, а ионы других металлов — против поля! Это удивительно — как могут ионы двигаться не туда, куда их влекут электрические силы?

Причина «странного» поведения ионов — это не учтенная нами непрерывная бомбардировка ионов электронами. Попробуем разобраться в существе дела. Выясним, какое влияние оказывают взаимные соударения электронов и ионов на движение электронов и ионов при наличии внешнего электрического поля.

Для наглядности будем считать ион массивным упругим шаром, на который налетает пучок легких частиц — электронов (масса иона в не-

13

сколько тысяч раз больше массы электрона). Пусть до столковения пучок частиц имеет среднюю направленную скорость $u$ и соответственно ненулевой импульс. Последовательная пучок рассеивает равномерно во все стороны (рис. 1) (также равномерно во все стороны зеркальный шар рассеивает направленный пучок света). То есть сразу после散ения все направления движения равноверятны, а значит, суммарный импульс электронов равен нулю.

Раз импульс пучка из-за散ения с понами меняется, то это означает, что на электроны со стороныонов действует сила. Если $u$ — средняя скорость электронов в пучке, то $mu$ — средний импульс электрона. Пусть время между столковениями электрона с понами — $t$, тогда можно считать, что именно за это время теряется средний импульс $mu$ каждого электрона. Так что средняя сила, относняя к одному электрону, равна

$$f = -\frac{mu}{\tau}.$$

Потеря импульса электронами в целом из-за столковений с понами и описывается средней тормозшей силой $f$. Конечно, на отдельный электрон действует не обязательно такая сила, но для движения пучка в целом важна именно эта散няя сила.

Хотя кроме направленного движения со средней скоростью $u$ электронам присутствие и хаотическое тепловое движение, это не изменит выражения для силой торможения. Полный импульс большого числа электронов при беспорядочном тепловении все время равен нулю, поэтому изменение суммарного импульса связывано только с потерей импульса упорядоченного движения.

При наличии внешнего электрического поля направленности $E$ «рассеянные» электроны «подхватываются»

*) Строное решение этой задачи приводится в курс теоретической физики.

14

с $eE$. Итак, при движении с установленной средней скоростью, когда полная сила равна нулю, тормозящая сила со стороны ионов в расчете на один электрон равна (рис. 2)

$$f = -eE.$$ (*)

А почему мы не учитываем соударения между электронами? Дело в том, что они не приводят к изменению средней скорости электронов. Действительно, рассмотрим стольновение двух электронов. Пусть их скорости до удара $v_1$ и $v_2$, а после удара $v'_1$ и $v'_2$. По закону сохранения импульса

$$mv_1 + mv_2 = mv'_1 + mv'_2,$$

откуда

$$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{v'_1 + v'_2}{2},$$

то есть средняя скорость до удара равна средней скорости после удара (рис. 3).

Какие же силы действуют на ионы? Расмотрим чистый живкий металл, у которого все ионы одинаковы, причем каждый atom отдал в общее пользование по $Z$ электронов проводимости. Электрическое поле действует на каждый он с силой $Z|e|E$, где $Z|e|E$ — заряд она (заряд электрона взят по модулю, либо он положитель). Со стороны каждой электрона действует в среднем сила

$$f_1 = -f$$

(по третьему закону Ньютона). Если число ионов $N$, то на каждый он с стороны одного электрона приходится сила $\frac{f_1}{N}$. Тогда сила, с которой на один он действуют все электроны (их число $ZN$), равна $Zf_1$. Но сумма сил

$$F = Z|e|E + Zf_1$$

равна нулю (рис. 4)! Чтобы в этом убедиться, подставим значение силы $f_1$, отличающей от $f$ только знаком, из выражения (*):

$$F = Z|e|E + ZeE = 0.$$

Итак, силы, действующие на ионы в чистом металле со стороны электрона

трического поля, компенсируются силами, действующими со стороны «электронного ветра» (движущихся электронов). Равенство полной силы нулю означает либо покой, либо равномерное движение. Но при течении жидкости в сосуде возникает вязкое трение (в конечном счете из-за взаимодействия со стенками сосуда), оно и обеспечивает покой жидкости относительно сосуда в случае компенсации остальных сил, действующих на жидкость.

А если в металле имеется небольшая примесь «чужих» ионов? Пусть заряд чужака равен $|e|Z'$. Из-за того, что размеры примесного иона другие, изменится и число ударов электронов об него. Если площадь сечения иона примеси $\sigma'$, а «своего» иона $\sigma$, то чужак подвергнется в $\dfrac{\sigma'}{\sigma}$ раз большему числу ударов, чем свой ион. Во столько же раз изменится и сила, действующая на примесный ион со стороны электронов. Поэтому сумма сил поля и электронного ветра для чужака равна (рис. 5)

$$\mathbf{F}' = Z'\,|e|\,\mathbf{E} + Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}\,\mathbf{f}_1.$$

Подставив $-|e|\,\mathbf{E}$ вместо $\mathbf{f}_1$, получим

$$\mathbf{F}' = |e|\left(Z' - Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}\right)\mathbf{E}.$$

Если $Z' > Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}$, то ионы примеси будут двигаться в направлении этой силы, их скорость будет направлена по полю. Если $Z' < Z\,\dfrac{\sigma'}{\sigma}$, то ионы будут двигаться против поля.

Как же объяснить тот факт, что в чистой ртути ионы движутся по направлению электронного ветра? Мы ведь показали, что в чистом металле ионы должны быть неподвижны! Дело в том, что предполагалась полная одинаковость всех ионов, но это не совсем так. Хотя большинство ионов, действительно, находится в одном и том же «нормальном» энергетическом состоянии, некоторые ионы всегда имеют энергию, больше нормальной.

Такие ионы называют «активированными». Вероятность столкновений электронов с ионами увеличивается с ростом энергии ионов. Можно сказать, что сечения активированных ионов как бы увеличились по сравнению с нормальными. Таким образом, активированные ионы можно считать чужаками с тем же зарядом, что и нормальный ион, но с бо́льшим сечением. Такие ионы увлекаются электронным ветром и сносятся к положительному полюсу источника. На этом основано разделение изотопов ртути в электрическом поле. У ионов разных изотопов заряд и сечение практически одинаковы, но активированные ионы легких изотопов сносятся электронным ветром быстрее, чем активированные ионы тяжелых изотопов, из-за их меньшей массы. Это приводит к увеличению их концентрации у «плюса», то есть, если около положительного полюса отсасывать ртуть, то она будет обогащенной легким изотопом.

Впервые «парадоксальный» перенос ионов в амальгамах ртути был обнаружен в 1907 году. Тогда же было и введено представление о взаимном трении ионов и электронов. В последующих теориях, просуществовавших до 1959 года, был сделан шаг назад: движения ионов и электронов считались независимыми. Отчасти это объяснялось неубедительностью результатов экспериментов. В 1953 году был открыт эффект разделения изотопов ртути постоянным током. После этого появился целый ряд работ по исследованию электропереноса ионов. Первые теоретические работы, где был вскрыт физический механизм действия электронного ветра, относятся к началу 1959 года.

С электронным ветром связана целая группа интересных и важных эффектов как в жидких, так и в твердых металлах и полупроводниках.

15

16

Гипербола

И. Н. Бронштейн

---

Что такое гипербола? На этот вопрос отвечают по-разному. Школьник ответит: «График обратной пропорциональности». Знакомый с коническими сечениями скажет: «Сечение прямого кругового конуса плоскостью, которая задевает обе его полы». А учащийся вуза или техникума даст ответ: «Множество таких точек на плоскости, что разность расстояний каждой из них до двух фиксированных точек одна и та же». В каждом определении используется какое-нибудь характеристическое свойство гиперболы, а остальные свойства могут быть выведены из определения.
В этой статье мы начнем со школьного определения гиперболы — из него сразу выявляется ее форма.

I. РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА

График обратной пропорциональности

Читатели знакомы с определением гиперболы как графика обратной пропорциональной зависимости. Как будет видно, это — определение частного вида гиперболы — равносторонней гиперболы (происхождение такого названия выяснится позже). Именно этой кривой мы посвящаем первую часть статьи. Для краткости мы будем пока называть равностороннюю гиперболу просто гиперболой.

Две переменных $x$ и $y$ называются обратно пропорциональными, если их произведение постоянно:
$$xy = k. \tag{1}$$
Будем сначала считать их положительными (от этого ограничения мы

скоро избавимся); тогда и $k > 0$. Одно из них, например, $x$, может принять любое положительное значение, тогда другое $y$ должно принять только одно значение $y = \dfrac{k}{x}$. Таким образом, равенство (1) представляет собою при каждом $k$ определенную функцию с областью задания $x > 0$ и областью значений $y > 0$. График этой функции, изображенный на рисунке 1, называется одной ветвью равносторонней гиперболы, мы для краткости будем первое время называть его просто гиперболой, не только пропуская слово «равносторонняя», но и не повторяя слов «одна ветвь».

Наше определение опирается на понятие графика функции. Можно, однако, принять другую, «чисто геометрическую» формулировку: гиперболой называется множество четвертых вершин $M$ прямоугольников заданной площади $k$, у которых одна вершина $O$ совпадает с вершиной данного прямого угла, а две — $L$ и $N$ — лежат на его сторонах (см. рис. 1).

Точка $O$ называется центром гиперболы — происхождение этого названия выяснится дальше.

Через каждую точку $M_1$ с координатами $x_1$ и $y_1$ *) пройдет одна (но только одна!) гипербола — именно та, для которой постоянная $k$, входящая в определение гиперболы, равна $x_1 y_1$. На рисунке 2 для красной гиперболы $x_1 = 2,4$, $y_1 = 3,5$, $k_1 = 8,4$. Если мысленно изобразить на общем чертеже все гиперболы (то есть, гиперболы при всевозможных $k$), то они заполнят всю «внутренность» угла $XOY$. На рисунке 2, кроме красной гиперболы, изображено еще несколько: при $k = 1, 2, 3, 4, 5$ и $16$. Таким образом, гипербол — бесконечное множество, каждая из них определяется значением параметра $k$ **).

---

*) Это обычно обозначают так: $M_1(x_1, y_1)$.
**) Термин параметр (от древне-греческого parametron — отмеривающий) — применяется в математике в различных смыслах. Чаще всего это — величина, сохраняющая постоянное значение лишь в условиях данной задачи.

17

Рис. 1.

Рис. 2.

Форма гиперболы, ее вершина и асимптоты

Гиперболы с различными значениями параметра $k$ похожи друг на друга, но они не конгруэнтны — их нельзя совместить наложением. Однако легко доказать, что все они подобны, даже подобно расположены с центром подобия $O$. Читателю предлагается доказать это, пользуясь рисунком 3.

Опишем форму гиперболы (точнее — одной ветви равносторонней гиперболы), то есть перечислим ее свойства, прежде всего бросающиеся в глаза.

Гипербола имеет бесконечное протяжение — она не может вся поместиться на ограниченном куске плоскости. Какое бы большое число $A$ ни было задано, можно указать на гиперболе точку, удаленную от точки $O$ на расстояние, большее чем $A$ (докажите).

Гипербола симметрична относительно биссектрисы $OT$ угла $XOY$ (рис. 4), то есть для любой точки $M_1(x_1,y_1)$ гиперболы симметричная точка $M_2(x_2,y_2)$ также принадлежит этой гиперболе (докажите).

Точка $A$ пересечения гиперболы с ее осью симметрии $OT$ называется вершиной гиперболы. Каждая координата вершины гиперболы с параметром $k$ равна $\sqrt{k}$. Расстояние вершины от центра гиперболы (его будем обозначать $a$) равно $OA=\sqrt{2k}$. Вершина — ближайшая точка гиперболы от центра (докажите).

В отличие от окружности, которая одинаково искривлена во всех своих частях, гипербола сильнее всего искривлена в окрестности своей вершины, а по мере удаления от нее в любую сторону «распрямляется». Мы не даем доказательства этого очевидного свойства гиперболы; не будем

Рис. 3.

Рис. 4.

2 «Квант» № 3

17

18

доказывать и другого важного свойства гиперболи — главности во всех ее точках *). Доказательства обихскойств требуют знания основныхференциального исчисления.

Остановимся на наиболее замечательном свойстве гиперболи, определяем ее форму: точка, бесконечно удаляющаяся по гиперболе в одну сторону будет неограниченно приближаться к одной оси координат, а точка, бесконечно удаляющаяся в другой стороны — неограниченно приближаться к другой оси координат **). Это свойство математически формул狸ют так: оси координат OX и OY являются ее асимптотами (от греческого asimptotos — несовпадаюший).

Докажем это свойство гиперболи. Возьмем на ней точку $M_1$, лежащую правее вершины $A(x_1 > V\sqrt{k})$, расстояние $y_1$, которое до оси OX меньше $\varepsilon$ (рис. 5). Это всегда можно сделать, взяв $x_1 > \frac{k}{\varepsilon}$. Тогда $M_1N_1 = y_1 = \frac{k}{x_1} < \varepsilon$ и для всех точек $M(x, y)$ гиперболи, лежащих правее $M_1$, $x > x_1$ и $y = \frac{k}{x} < y_1 < \varepsilon$, то есть ось OX является асимптотой гиперболи. Из симметрики кривой следует, что и ось OY является ее асимптотой.

Зная вершину гиперболи и ее асимпtotы, можно довольно точно вычертить гипербoly от рук.

Определение равносторонней гиперболи. Сопряженные гиперболи

Изучая график обратной пропорциональности, мы считали $x$ и $y$ положительных. Это делалось лишь для

*) Кривая называется главкой или плавой в данной ее точке, если в этой точке существует касательная к кривой.
**) Слова «неограниченно приближаться» означает, что какое бы малое число $\varepsilon > 0$ ни задать, можно указать на гиперболе такую точку, что ее расстояние до оси координат становится меньше $\varepsilon$ и при дальнейшем удалении будет оставаться меньше $\varepsilon$.

Удобства изложения. Функция, заданная равенством (1), определяна не только для положительных, но и для отрицательных значений $x$; число $k$ также может быть отрицательным: График функции (1) мы и будем называть метер гиперболой (равносторонней). Он состоит из двух одинаковых частей (ветвей), расположенных при $k > 0$, в I и III четвертых плоскости, а при $k < 0$ — во II и IV четвертых.

На рисунке б изображены две равносторонние гиперболи — красная и синия; их параметры имеют один и тот же модель, но противоположные знаки. Такие равносторонние гиперболи называются взаимно сопряженными.

Перечислим некоторые свойства «полной» равносторонней гиперболи* (они оченьны; читатель без труда проверяет их доказательства). Гипербола имеет центр симметрики $O$ (позтому мы и назвали эту точку центром гиперболи), две симметричные ветви, две оси симметрики $PR$ и $ST$ (биссектрисы координатных углов), две вершины ($A$ и $A'$ для красной, $B$ и $B'$ — для синия гиперболи). Расстояние между вершинами гиперболи ($AA' = BB' = 2\sqrt{2k}$) называется осью гиперболи. Ее положину $\sqrt{2k}$ (полу-

*) Слова «полная» взято нами в кавычки, чтобы подчеркнуть, что прежнее определение гиперболи было непользовать только к одной ветви гиперболи.

19

Рис. 6.

ось) обозначают $a$, таким образом,
$$k = \pm \frac{a^2}{2},$$
где знак «+» для гиперболы, лежащей в I и III четвертях, а «—» — во II и IV. Обе сопряженные гиперболы имеют общие взаимно перпендикулярные асимптоты.

Уравнение равносторонней гиперболы. Гипербола и окружность

Уравнение гиперболы, определяемой как график обратной пропорциональности, это — известное нам равенство $xy = k$. Мы запишем его в несколько иной форме: вместо параметра $k$ введем в (1) полуось $a$. Поскольку $k= \pm \dfrac{a^2}{2}$, где знак «+» для красной, «—» — для синей гиперболы, уравнения обеих гипербол примут вид
$$xy = \pm \frac{a^2}{2}. \tag{2}$$

Каждое из этих двух уравнений называется уравнением гиперболы относительно асимптот. Этими словами выражают, что осями координат в данном случае являются асимптоты гиперболы.

Уравнение любой линии зависит не только от ее формы и размеров, но и от того, как она расположена в плоскости координат. Возьмем теперь (рис. 7), в плоскости кроме системы координат $XOY$ («старой»), другую систему координат $X'OY'$, получающуюся поворотом осей $OX$ и $OY$ на $45°$ против часовой стрелки. Возьмем любую точку $M$ плоскости, на которой введены обе системы координат. Она имеет 4 координаты: старые $(x, y)$ и новые $(x', y')$. Можно доказать, что старые координаты выражаются через новые следующими формулами:
$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' - y'), \quad y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x' + y'). \tag{3}$$

2*

Рис. 7.

Докажите это, когда точка $M$ лежит внутри угла $X'OY$ — в этом случае все ее 4 координаты положительны.

Формулы (3) можно доказать и для всех других возможных положений точки $M$.

Рассмотрим теперь сопряженные гиперболы, асимптотами которых служат прямые $OX$ и $OY$ (рис. 7), новые оси $OX'$ и $OY'$ служат осями симметрии этих гипербол). В старых координатах они имеют уравнения $xy = \pm \dfrac{a^2}{2}$. Если подставить в эти уравнения формулы (3), то получим уравнения этих же гипербол в новых координатах, то есть уравнения двух сопряженных гипербол относительно осей симметрии:
$$x'^2 - y'^2 = \pm a^2.$$

В дальнейшем мы не будем возвращаться к старым координатам и поэтому не будем ставить штрихов ни у названий осей координат, ни у самих координат точек наших гипербол; оси будем чертить, как обычно, горизонтально и вертикально (рис. 8). Уравнения двух сопряженных гипербол будут такие
$$x^2 - y^2 = a^2 \tag{4}$$
и $x^2 - y^2 = -a^2$ (или $y^2 - x^2 = a^2$).

Обе эти гиперболы «вневписаны» в квадрат $pqrs$ со стороной $2a$; общими их асимптотами являются продолжения диагоналей $pr$ и $qs$ этого «фундаментального» квадрата.

Рис. 8.

19

20

Изменя параметр $a$, мы получим бесконечное множество гипербол с общими асимптотами.

Интересно, что окружность, вписанная в фундаментальный квадрат, имеет уравнение, сходное с (4):

$$x^2 + y^2 = a^2.$$

Сравнение уравнения (4) и (4a) показывает, что равносторонняя гипербола и окружность в некотором смысле родственны между собой, несмотря на то, что они совсем не похожи друг на друга.

II. ГИПЕРБОЛА ОБЩЕГО ВИДА

Определение гиперболы общего вида

Из статьи «Эллипс» читатели знают, что, если подвергнуть окружность преобразованияю растяжения — скатания (РС)*, то она перейдет в эллипс. Нас будет интересовать фигура, в которой перейдет каждой из равносторонних гипербол, изображенных на рисунке 9 штиrxовыми линии, в результате PC относительно оси симметрии $A'A$.

Фундаментальный квадрат $pqr$ этих гипербол перейдет в прямоугольник $PQRS$ (на рис. 9), его диагонали $pr$ и $qs$ перейдет также в прямые $PR$ и $QS$.

Сопряженные (красная и синяя) равносторонние гиперболы перейдет в результате PC в красную и синюю сплошные линии. Каждая из них также состоит из двух ветвей и симметрина относительно средних линей функentialного прямоугольника $PQRS$, диагонали которого служат асимптотами этих кривых. Но эти новые линии уже не будут конгрузентины. Мы будем назвать их по-прежнему сопряженными друг другу гиперболами.

Кривую, состоящую из двух ветвей и полученную в результате PC «полной» равносторонней гиперболы относительно средней линии функentialного квадрата, называют гиперболой общего вида или простого перьолой.

*) См. «Квант», 1975, № 1, c. 2

21

Рис. 11.

ветвь равносторонней гиперболы.
А именно (рис. 10): гиперболой (мочее — одной ее ветьью) называется множество четырьмя вершин M параллелограммов заданной площади k, у которых одна вершина O совпадает с вершиной данного угла, а две — L и N — лежат на его сторонах. Это определяние равностороннего предыдущего (доказите).

Каноническое уравнение гиперболы

Уравнение гиперболы общего вида, отвеченное к ее осям симметрии, зависит от того, лежат ее вершины на оси OX или на оси OY. Получить уравнение обих гипербол (красной и синей) можно из уравнения (4) равносторонних гипербол совершенного таким же способом, как было получено уравнение эллипса из уравнения окружности *). Приводим эти уравнения:

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \text{ (красная)},$$

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \text{ (синяя)};$$

здесь a и b — получи сопряженных гипербол (см. рисунок 9).

Уравнение (5) отличается от уравнения эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, вписанного в тот же фундаментальный прямогольник, тем, что влевой части y обих членов разные знаки. Замечательное сходство эллипса и гиперболы!

*) См. «Квант» № 1, с. 5. Вывести уравнение (5) из уравнения (4) представляем читателю.

III. ГИПЕРБОЛА — КОНИЧЕСКОЕ СЕЧЕНИЕ

Сходство эллипса и гиперболы на этом не ограничивается. Известно, что эллипс — наклонное сечение кругового цилиндра.

Докажем, пользовясь геометрическим определением гиперболы, что каждая гипербола может быть получена как сечение некоторого кругового конуса плоскостю, параллельной его оси.

При доказательстве мы будем рассматривать только одну гиперболь — наше свойства для точек в сей гиперболь следует из симметрины обих пол.

Дана ветвь гиперболы и ее асимптоты OX и OY, пересекающие под углом $\omega$ (рис. 11, a). По определению, для каждой ее точки площадь параллельграма ONML одна и та же — она равна ON·OL·sin $\omega$.

Обозначим произведение ON·OL, построенное для любой точки M гиперболы, через k: ON·OL = ML $\times$ MN = k. Проведем через M перепendикуляр QQ’ к оси симметрины гиперболы; он пересечет асимптоты OX и OY в точках Q и Q’. Произведение отрезков MQ и MQ’ — тоже построено для любой точки ветви гиперболы M. Действительно, MQ = 2·MN·sin $\omega/2$,

$$MQ' = 2ML \cdot \sin \omega/2,$$

$$MQ \cdot MQ' = 4k \cdot \sin^2 \omega/2 = (k')^2,$$

22

где $k' = 2\sqrt{k}\sin \omega/2$. Отрезок длиной $k'$, средний пропорциональный для отрезков $MQ$ и $MQ'$, один и тот же для всех $M$ может быть получен известным построением: на отрезке $QQ'$ как на диаметре, строим полукругность $QPQ'$ и проведем отрезок $MP$ параллельно оси гиперболи, до пересечения с этой окружностью, $MP = k'$.

Повернем теперь полукругг $QPQ'$ вокруг диаметра $QQ'$ на $90^\circ$ (рис. 11,6). Отрезок $MP$ станет вертикально над плоскостью чертежа 11a (будем считать ее горизонтальной). Точка $P$ станет над точкой $M$ на расстоянии $k'$ от нее ($P'$). Проделаем это с каждым полукругом, построенным указыанным образом для любой точки гиперболи. В результате все гипербола поднимается над плоскостью, в которой она лежала, на расстояние $k'$ и остanetся в одной плоскости. В то же время каждая полукругность $QPQ'$, повернуть на $90^\circ$, будет лежать на круговом конусе, полученным врашением асимптоты $OX$ гиперболи вокруг ее оси (доказите). Следовательно, точка $M$ нашей гиперболи (в поднятом положении) лежит и на поверхности конуса, и в плоскости, параллельной оси этого конуса, что и требовалось доказать.

Рис. 12.

Это замечательное свойство относится не только к сечению кругового конуса плоскостью, параллельной его оси, но и к любому сечению, задавощему обе полы конуса. Этот факт, относящийся к общей теории конических сечений, мы здесь не будем доказать *).

Фокальное свойство гиперболи

Известно, что эллипс обладет замечательным «фокальным» свойством: в его плоскости существует также точки $F_1$ и $F_2$ (фокусы), что с умма расстояний каждой точки $M$ эллипса до его фокусов одна и та же — она равна длине большей оси эллипса:

$$F_1M + F_2M = 2a.$$ (6)

Похожее свойство имеет и у гиперболи. В ее плоскости существует две точки (фокусы гиперболи), что разность расстояний каждой точки $M$ гиперболи для этих мочек одна и та же — она равна расстоянию между вершинами гиперболи:

$$F_1M - F_2M = 2a.$$ (7a)

Здесь $F_1$ — фокус, более удаленный от $M$, чем $F_2$ (рис. 12). Оба фокуса лежат на оси симметрины гиперболи, проходящей через вершины $A$ и $A'$; расстояние каждого фокуса от центра гиперболи равно

$$F_1O = F_2O = c = \sqrt{a^2 + b^2},$$

где $a$ и $b$ — длины полуосей данной гиперболи и ее сопряженной **). Важная связь между темя «элементами гиперболи $a$, $b$ и $c$

$$c^2 = a^2 + b^2$$ (8)

анаалогична связи $c^2 = a^2 - b^2$ для эллипса.

На рисунке 12 точка $M$ лежит на правой ветви гиперболи; для любой точки $M'$ на левой её ветви фор-

*) Об этом будет расссказано в «Кванте» № 5.
**) Доказывать фокальное свойство гиперболи мы здесь не будем. Читатель предлагается получить это доказательство самостоятельно — см. задачу М313 в этом номере журнала (с. 46).

23

мула (7а) будет иметь вид:
$$F_2M - F_1M = 2a.$$ (76)

Для сопряженной ей гиперболы (синей) фокусами будет $F'_1$ и $F'_2$. Все 4 фокуса взаимно сопряженных гиперболл лежат на окружности, центр которого — в центре гиперболы, а радиус равен половине диагонали OQ примугольника PQRS,Fundamentalного для обих гипербол.

Фокальное свойство часто принимается за определение гиперболы.

Вычерчивание гиперболы непрерывным движением

На фокальном свойстве основано вычерчивание гиперболы при помощи двух нитей, аналогичное известному вычерчиванию эллипса. Положим лист бумаги на чертежную доску и наколем на лист бумаги две канцелярские кнопки $F_1$ и $F_2$ (рис. 13). Возьмем две нити, разность длины которых (2a) меньше расстояния между кнопками (2c), конец каждой нити привязем к ножкам кнопок, а оставшиеся концы свяжем узлом (точка C). Держа теперь узел в левой руке, защищим обе нити острием карандаша $M$ и будем двигать карандаш на бумаге, так, чтобы обе нити $F_1MC$ и $F_2MC$ были все время в натянутом положении. Тогда острие $M$ карандаша все время находится на одной ветви гиперболы с фокусами $F_1$ и $F_2$ и длиной оси $2a = F_1M - F_2M$ (при $CMF_1 > CMF_2$), так как
$$F_1M - F_2M = (F_1M + MC) - (F_2M + MC) = 2a.$$
Для вычерчивания второй ветви следует поменять местами кнопки с привязанными к ним нитями. Вычерченные дуги гиперболы будут тем длине, чем длинее нити.

Приложение гиперболы в военном деле

Требуется определить на карте, как нужно направить ordine, чтобы порасть неподвижную звучащую цель, например, стрелляющее ordine противника (рис. 14).

По обе стороны ordine $O$ расположают симметрично относительно $O$ два пункта $F_1$ и $F_2$, в которых фиксируется время doisшего до них звука выстрела вражеского ordine $M$. Пусть этот звук слышен в пункте $F_1$ в момент $t_1$, а в пункте $F_2$ — в момент $t_2$. Если $t_1 = t_2$, то, очевидно, $F_1M = F_2M$ и ordine $O$ следует направить по перpendикуляру $OK$ к $F_1F_2$. Если же $t_1 \neq t_2$, то $|t_1 - t_2|$ есть $\frac{2a}{v}$, где $v$ — скорость звука в воздухе, а $2a$ — разность расстояний $|F_1M - F_2M|$ от пунктов $F_1$ и $F_2$. Значит, ordine находится на одной ветви гиперболы с фокусным расстоянием $F_1F_2 = 2c$ и расстоянием между вершинами $2a = v|t_1 - t_2|$, именно — на той

24

ветви, которая близке к пункту, где звук выступает усышен раныше.
Асимптоты этой гипербоды легко построить на карте: угол между асимптой и прямой $F_1F_2$ имеет косинус:
$$\cos \alpha = \frac{a}{c}.$$

Так как далекая точка $M$ близка к асимптоте, мы можем практически принять $\cos \alpha = \frac{a}{c}$ и направить ordine под углом $\alpha$ к $F_1F_2$.

---

Мы не обьяменили названия гипербоды (по древне- греческий hyperbole значит «избыток», «преувеличение»*) (что здесь преувеличено?), не расскаазали о других важных свойств этой кривой, общих для всех кончических сечений — эллипса, гипербоды и парабоды. Эти вопросы будут освещены в «Кванте» № 5.

*) Напомним, что оборот речи, состоящий в чрезмерном преувеличении, называется гиперболой.

Советы начнающим репетитором

Всякие уважающие себя папа и мама считают святым родительским долгом преоручить свои получивших среднее образование чад заботам репетиторов. Именно эти умные и обремененные знаниями люди представляют им ангелами небесными, расхивающийми перед их наследниками района взовские врата… Потребность в репетиторах растет, и скоро их днем с огнем нельзя будет сыскать. Между тем каждый человек, независимо от образования, способен давать платные уроки. И если репетиторство еще не принято массового характера, виной тому отсутствие соответствующих пособий. Предлагаемые советы призывают в какой-то мере помочь начнающим репетитором.

Как найти клиента

Нет лучшего способа избаиться от материальных затруднений, чем занять учениками. Правда, для создания соответствующей клиентуры следует проявить определению изобретательность и скоровку. Большую роль в оказать знаком директор школа. Попросите его получше, и он организует вам цельный поток абитриентов, от которых не будет отбоя. Не мешает также поседовать с заучем. Рассказите этой отзывачной жизни со сдержанной, но ясно оощутимой горечью о своим трудном материальном положении, сковывающим ваши духовные силы.

Едва ли не самым эффективным источником учеников служат обучления. Они должны привлекать внимание прохожих, и поэтому их следует выполнять наватание разноцветной тузыю. Постраайтесь, чтобы текст был двусмыслным и интиграющим. Статистика показывает, что наиболее распространенной программе, гарантийную поступление, «Группа кандидатов наук готовит к конкурсным экзаменам по всем предметам во все.byзы. Занятия в центре».

Разумеется, любая программа старка мир, а поступление в институт не может гарантировать ничего на свете. Но когда дело к касаетям, нет ничего проще, чем заставить родитель поверить в учdo. Конечно, упомянутая группа состоит из вас одного, а живого кандидата наук вы и в глаза не видели. Но пусть эта связая ложь не смущает вас — отношения между родителями и репетиторами строятся исключительно на доверии. Кстати говоря, если вы беретеся за подготовку в университет, то вовсе не обязанны сообщать о вашей собственной недадче в связи с поступлением в заочный мелюративный технику.

(Продолжение см. на с. 35)

25

МАССА И ЭНЕРГИЯ
В ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Один из самых пряных моментов
я истории математики — это момент,
когда выясняется, что два раздела
математики, которые ранее рассматривают отдельно и считались независимыми, в действительности являются двумя скрытыми формами одного и того же.

У. У. Сойер. «Прелюдия к математике»

Сказанное в эпиграфе относится не только к математике, но и к физике. Если бы околоста лет назад мы образили к физике с вопросом, не являются ли масса и энергия проявлением одного и того же свойства физических тел, то в ответ он только пожал бы плечами, что ознакомы бы:
«Какие страницы мысли могут иногда приходит в голову профамм!»
Из снисходения к нашей необразованности он мог бы разъяснить нам, что масса есть мера инертности тела, а энергия определяет способность тела совершать работу. Это совершенное развитие, потому что телу можно сообщить энергию, не меняя его массы. При этом он мог бы составлять на прямой опыт, напомнить, что масса холодного куска стали не меняется при его нагревании и плавления. Действительно, даже самые точные измерения не обнаруживают никаких изменений в esa при нагревании тела. Это было известно всем, и потому это лет назад мы, по всей веряностности, не задали бы такого вопроса.

Итак, по представлении прошло века, масса — неотъемлемое свойство тела. У тела можно ответить всю энергию, но не массу. Можно представить себе тело покоящимся в космосе вдали от других тел. тогда его температура близка к абсолотному нулю, а внешние поля, в том числе и поле тяготения, около него отсутствует. Такое тело не может совершать работы *), то есть его энергия равна нулю, но его инертность остается такой же, как и на Земле.

Наконец, физик прошло столетя добавил бы, что энергию вообще нельзя считать свойством, присутствим только самому телу. Так, кинетическая энергия стала, находящемся в комнате, равна нулю в системе координат, связанной с Землей, но в системе координат, покоящейся относительно Солнца, она во много раз превышает энергию летящого снаряда (относительно Земли). Масса же определяется свойством только самого тела.

Таков был бы ответ на поставленный вопрос до появления теории относительной математики. Сейчас мы знаем, что механика XIX века, которое объясно называют ньютоновской, классической или нерелятивистской механикой, применяется только в том случае, когда скорость тела мала по сравнению со скоростью света. Какже обстоит дело в релятивистской механике, где такого ограничения нет?

*) Строго говора, требуется еще, чтобы при этом не протекали химические реакции. Ядерных реакций физика прошло века не знала.

26

Прежде чем ответить на этот вопрос, посмотрим, что можно сказать об инертийном массе в нерелятивистской механике. Из школьного курса физики известно, что:

1. произведение массы на ускорение тела равно действующей на него силы;
2. произведение массы на скорость тела равно его импульсу;
3. масса тела не зависит от выбора системы координат;
4. масса изолированного тела сохраняется.

Из пункта 3 следует, что масса не должна зависеть от скорости. Действительно, скорость одного и того же тела в двух системах координат, движущихся друг относительно друга, различна. Если бы масса зависела от скорости, ее величины имела бы разные значения в этих координатных системах. В последнем пункте имеется в виду хорошо известный закон сохранения массы. Масса изолированного тела, на которое не действуют внешние силы, не может измениться в результате каких-либо внутренних процессов, произходящих в нем (например, вседействие изменения относительной скорости движения его части, возникающего из-за их взаимодействия).

Если масса тела не зависит от скорости, она не будет меняться и при действии внешних сил, ускорiousных тело. Таким образом, использование пункта 3 позволяет сформировать закон сохранения массы более широкого, чем это предполагается в пункте 4. Два функментальных свойств, приведенных в пунктах 3 и 4, обычно масса в ньютоновской механике оказывается важнейшей характеристикой физического тела. Именно благодаря этим свойствам масса считалась мерой количества материи, содержащейся в теле.

В релятивистской механике есть два понятия: релятивистская масса ($m$) и масса покоя ($m_0$), которые связаны между собой следующим соотношением:

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

где $v$ — скорость тела, $c$ — скорость света. Импульс $\mathbf{p}$ представляет в виде произведения релятивистской массы на скорость тела

$$\mathbf{p} = m\mathbf{v},$$

а энергия — в виде произведения

$$E = mc^2.$$

Как и в ньютоновской механике, если на тело не действуют внешние силы, то импульс $\mathbf{p}$ и энергия $E$, а следовательно, и релятивистская масса $m$ этого тела остаются неизменными.

Постотрим теперь, какую же величины следует назвать массой в релятивистской механике. Если импульс тела $\mathbf{p}$ за малый промежуток времени $\Delta t$ изменился на величины $\Delta \mathbf{p}$, то по законам ньютоновской механики относение $\Delta \mathbf{p}$ к $\Delta t$ равно действующей силе. Этот закон остается верным и в релятивистской механике:

$$\mathbf{F} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} = \frac{\Delta (m\mathbf{v})}{\Delta t}.$$

Однако согласно формуле (1) величины $m$ зависит от скорости и изменяется за время $\Delta t$. Поэтому ее нельзя вывести из-под знака $\Delta$, то есть $\Delta (m\mathbf{v}) \neq m\Delta \mathbf{v}$. Поэтому из закона движения, описываемого уравнением (4), нельзя сделать вывод о пропорциональности векторов сил и ускорения. Следовательно, вопрос о свойствам, содержащем в пункте 1, отпадает.

Как видно из выражения (2), релятивистская масса обладает свойством 2 ньютоновской массы. Кроме того, из закона сохранения энергии следует, что в системе, изолированной от действия внешних сил, релятивистская масса сохраняется. Следовательно, она обладает и свойствам 4 ньютоновской массы.

27

К сожалению, на этом аналогии кончаются, поскольку $m$ зависит от скорости и соответственно от выбора системы координат. Таким образом, в этом отношении релятивистская масса сходна скорее с энергией, чем с ньютоновской массой: она не является характеристикой, зависящей только от исследуемого тела.

В отличие от релятивистской массы $m$, масса покоя $m_0$ определяет инертность тела, когда скорость тела $v$ равна нулю. Отсюда следует, что $m_0$ не меняется при переходе к движущейся системе координат. Как и ньютоновская масса, масса покоя определяется только самим телом и не зависит от того, в какой системе координат это тело рассматривается. Однако масса покоя не равна отношению абсолютного значения импульса $p$ к абсолютному значению скорости тела $v$ и не является коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением.

Но главное отличие ньютоновской массы от массы покоя релятивистской механики состоит в том, что последняя не подчиняется закону сохранения. В качестве примера можно указать процесс аннигиляции электрона и позитрона, при котором эти две частицы превращаются в $\gamma$-кванты электромагнитного поля (фотоны). В результате аннигиляции электрон и позитрон исчезают, и вместо них появляются электромагнитные волны. Импульс $\mathbf{p}$ и энергия $E$ в такой системе сохраняются. Таким образом, должна сохраняться и полная релятивистская масса системы $m$. В то же время масса покоя системы меняется, поскольку вместо двух частиц (электрона и позитрона) с массой покоя, отличной от нуля, появляются $\gamma$-кванты, масса покоя которых равна нулю.

Другим примером является процесс деления ядер урана или плутония, который сопровождается образованием более легких ядер с меньшей суммарной массой покоя.

Итак, масса покоя также существенно отличается от ньютоновской массы. Строго говоря, в релятивистской механике вообще нет определенного понятия, которое можно было бы охарактеризовать свойствами, аналогичными свойствам «обычной» массы. Роль, которую играет эта величина в классической механике, распределяется между двумя величинами, каждую из которых можно, по-существу, с равным правом считать «наследником» ньютоновской массы.

Именно в таких ситуациях часто коренится причина трудности понимания новых теорий. Приписывая соответствие с объективной реальностью основным понятиям и терминам теории, мы, естественно, ожидаем от дальнейшего развития науки лишь уточнения этих понятий. В действительности же новая теория иногда очень непочтительно обходится «с реальностями» старой. По-существу, каждая новая теория заново определяет тот арсенал понятий и терминов, с помощью которых она собирается описывать реальность. Аналогия между терминами различных физических теорий часто оказывается очень неполной, и применение одинаковых названий при этом легко может ввести в заблуждение.

Сходная ситуация возникает с термином «кинетическая энергия». Нерелятивистская механика знала только два вида энергии — потенциальную и кинетическую. Кинетическая энергия обладает следующими двумя важными свойствами:

а) она обращается в нуль, когда скорость тела равна нулю;

б) если на тело не действуют внешние силы, энергия остается неизменной.

В релятивистской механике нет величины, которая обладала бы этими двумя свойствами одновременно. Энергия $E$, определенная равенством (3), обладает свойством б), но не обладает свойством а). При $v = 0$

28

она переходит в величину, называемую энергией покоя:

$$E_0 = m_0c^2. \qquad (5)$$

Выделим из полной энергии величину, характеризующую механическое движение тела:

$$T = E - E_0 =$$
$$= m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1\right). \qquad (6)$$

Энергия $T$ обращается в нуль при $v = 0$. Однако она не сохраняется, поскольку, как уже отмечалось выше, масса покоя (и соответственно $E_0$) может меняться даже в отсутствие внешних сил.

Выходит, что и свойства обычной кинетической энергии распределились в релятивистской механике между двумя различными понятиями. Какое из них следует называть кинетической энергией? Это в значительной степени дело вкуса. Принято величину $T$ называть кинетической, а $E$ — полной энергией тела.

До сих пор мы говорили не об объединении, а скорее о «расщеплении» понятий. Теперь пришла пора оправдать слова, сказанные в эпиграфе.

Рассмотрим вопрос о соотношении массы и энергии. Учитывая сказанное выше, необходимо уточнить, о какой массе и какой энергии идет речь. В дальнейшем, если не сделано специальной оговорки, мы под массой будем понимать релятивистскую массу $m$, а под энергией — полную энергию свободного тела $E$. Тогда из соотношения (3) следует, что они отличаются лишь множителем $c^2$, а этот множитель — мировая постоянная, то есть величина, которая никогда и ни при каких условиях не может измениться. В таком случае любое утверждение, относящееся к массе, автоматически относится к энергии и наоборот. Например, любое увеличение или уменьшение энергии тела, скажем, при нагревании и охлаждении или при излучении,

должно приводить к соответствующему изменению его массы*). С другой стороны, любая форма энергии, в том числе электромагнитное излучение, обладает инертностью.

То, что масса и энергия измеряются различными способами (например, масса посредством взвешивания **), а энергия в калориметре), не может, конечно, считаться возражением против совпадения физического смысла этих понятий. Ведь мы постоянно встречаемся с ситуациями, когда одна и та же величина может быть измерена несколькими различными способами. Только теория может окончательно решить вопрос о том, являются ли две разные экспериментальные процедуры измерением одной и той же величины или они дают сведения о разных величинах.

Различие единиц, в которых выражаются масса и энергия, также несущественно. Так, температура тела обычно выражается в градусах, но ее часто выражают и в эргах или электронвольтах (энергетическими единицами для измерения температуры широко пользуются в термоядерных исследованиях). Различие единиц не означает различия физического смысла величин.

В теоретической физике часто используют систему единиц, в которой принимается, что $c = 1$. В этой системе скорость, конечно, оказывается отвлеченной величиной. Это означает, что любая скорость измеряется в долях скорости света, принятой за эталон. Вследствие этого скорости всех тел и сигналов, которые, как известно, никогда не превышают $c$,

---

*) Из формул (3) или (5) видно, что изменение массы тела при увеличении его энергии даже на значительную величину $\Delta E$ (например, вследствие нагревания его до очень высоких температур) ничтожно мало: $\Delta m = \dfrac{\Delta E}{c^2}$.

**) При этом используется равенство инертной и тяжелой масс, которые согласно общей теории относительности представляют собой физически одно и то же.

28

29

представляются неименованныеми дробными числами от 0 до 1, а наименования длины и времени совпадают. Действительно, только при этом условии скорость, то есть отношение расстояния ко времени, будет неименованной (безразмерной) величины.

Несмотря на все сказаноное выше, в нашем языке надолго, возможно насегда, останется два термина: энергия и масса. С точки зрения релятивистской механики было бы целесообразнее употреблять для обозначения величины, которые здесь имеются в виду, какое-то одно название. Однако разговорный язык формируется на основе повседневного опыта, а в нем релятивистские эффекты отсутствуют.

Полная энергия, или релятивистская масса, определяет лишь верхний предел работы, которое может совершить данное тело. В действительности в грамадном большинстве случаев в работе удается обратить лишьничтожную долю этой энергии. Это верно даже для ядерных реакций. Исключение составляется только процесс annihilation внешства и антишества, при котором энергия, заключенная в внешстве, освобождается полностью. Но annihilation пока осуществляется только с элементарными частицами.

Из выражения (5) видно, что между энергейой покоя и массой покоя существует такое же соответствие, как и между $E$ и $m$, то есть эти понятия совпадают. А вот различия между энергейой покоя $E_0$ и полной энергейой (или, соответственно, между массой покоя и релятивистской массой) существены. При определениях условий энергия покоя может переходить в другие виды энергии. Имея в виду этот процесс, иногда говорят о переходе массы в энергию. Это неуданное выражение, хотя бы потому, что остается невыясенным, о какой массе и какой энергии идет речь. Только в ньютоновской механике можно было недвусмысленно говорить о массе, не добавляя ничего к этому термину.

В заключение обратится еще раз к формулам (1), (3) и (6). Невольно возникает вопрос: почему в чисто механических формулах такую важную роль играет скорость распространения электромагнитных волн? Дело в том, что в нашем мире существует абсциссная предельная скорость, равная $c$, величина которой одинаковая во всех системах координат. Естественно, что этот факт не может не иметь прямого отношения к законам движения физических тел, к законам механики. Именно поэтому величина $c$ и входит во все формулы релятивистской механики. Случайно оказывается с такой же скоростью. Предельная скорость $c$ называется скоростью света по чисто историческим принципам: простот потому, что впервые встретились с ней именно в оптике.

Уражнения

1. Определить зависимости энергии частицы с массой покоя $m_0$ от ее импульса $p$. Какой характер имеет эта зависимость при малых и больших значениях $p$?
2. Определить зависимости энергии от импульса для фонана (скорость движения фонана равна скорости света).
3. Показать, что при $v \ll c$ выражение (6) для кинетической энергии переходит в классический формулу.
4. Найти релятивистскую поправку к кинетической энергии искусственного спутника Земли массой 10 $m$, выражаются вокруг Земли со скоростью 8 $km/c$.
5. Как будет меняться радиус траектории заряженной частицы в магнитном поле, когда ее скорость $v$ приближается к скорости света?

30

СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ

Л.С. Хренов

ЭКВМ «Искра-110»

Стремление механизировать вычисления с помощью различных средств возникло в глубокой древности. На Руси различные средства вычислений применялись уже при строительстве первых каменных храмов в Новгороде, Киеве и других городах.

За последние десятилетия в средствах вычислений произошли большие качественные изменения, которые трудно сравнить даже с таким этапом, как появление логарифмов.

Такой качественный скачок в развитии вычислительной техники, и особенно счетных машин, был вызван развитием технического прогресса во всех отраслях народного хозяйства, что потребовало проведения в громадных объемах различных вычислений.

Теперь, в зависимости от точности исходных данных и целей проведения вычислений, пользуются различными средствами — номограммами, таблицами, приборами и счетными машинами.

Номограммы

Номограммы, представляющие графические изображения функциональной зависимости, строятся для какой-либо одной формулы или одного уравнения. Поэтому эффективность их использования при вычислениях зависит от массовости вычислительных операций по данной формуле. Номограммами пользуются для быст-

рого выполнения расчетов, не требующих большой точности (2—3 значащие цифры), или для контроля более точных вычислений. Основным элементом каждой номограммы является функциональная шкала, графически изображающая некоторую функцию $y = f(x)$ на линии*).

Таблицы

Таблица — это совокупность численных значений данной функции, соответствующих определенным, последовательно расположенным значениям аргумента.

В Вавилоне еще за 2 000 лет до н. э. были созданы таблицы, содержащие значения $n^2$, $n^3$, $n^2 + n^3$, $1/n$ и других функций. Повышение требований к точности вычислений привело к созданию в XV веке большого количества различных таблиц.

Быстрое развитие астрономии в XVI веке предъявляло повышенные требования к точности вычислений, что вызвало изобретение логарифмов. Логарифмы, которыми мы пользуемся теперь, были предложены независимо друг от друга шотландцем Дж. Непером (1550—1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552—1632).

В 1703 году в России была опубликована «Таблица логарифмов на числа от 1 до 1000 и синусов, тангенсов, секансов к научению мудролюбивых тщателей».

Дальнейшее развитие науки и техники вызвало необходимость разработки и создания, особенно начиная с середины XVII века, таблиц, содержащих значения самых раз-

---

*) См. для примера статью Ю. В. Матиясевич «Первое знакомство с номограммами», «Квант», 1971, № 5.

31

личных функций. А в первой половине нашего столетия всевозможных таблиц издано в несколько раз больше, чем за все предшествующие столетия.

В практике вычислений широкое применение находят математические таблицы, представляющие функции, главным образом, одного аргумента: $y = f(x)$, с шагом для аргумента, позволяющим применять линейную интерполяцию.

Из таблиц, содержащих значения элементарных функций, широко используются всемирно известные таблицы Барлоу, содержащие значения функций $n^2, n^3, \sqrt{n}; \sqrt{10n}, \sqrt[3]{n}$, и $1/n$ для аргументов $n$ от 1 до 15 000 с шагом в одну единицу.

Из логарифмических наиболее часто применяются таблицы десятичных логарифмов чисел, их сумм и разностей, а также логарифмов тригонометрических функций; они составлены с разным числом десятичных знаков в мантиссе, а наиболее употребительны — с 4—8.

При выборе для вычисления таблиц логарифмов необходимо учитывать количество верных значащих цифр логарифмируемых чисел, представляющих обычно не точные, а приближенные значения. Приближенно можно считать, что абсолютная погрешность десятичного логарифма равна половине относительной погрешности логарифмируемого числа, то есть следует пользоваться таблицами десятичных логарифмов с таким числом десятичных знаков в их мантиссах, сколько верных значащих цифр имеет логарифмируемое число, или на единицу больше.

Широкое использование различных счетных машин привело к замене логарифмических вычислений нелогарифмическими. В связи с этим особое значение приобретают таблицы, содержащие натуральные значения функций.

В отличие от таблиц логарифмов, число десятичных знаков после запятой в таблицах натуральных зна-

чений, скажем, тригонометрических функций, не вполне характеризует их точность. Такие таблицы содержат значения тригонометрических функций, абсолютная погрешность которых не превосходит $0,5 \times 10^{-n}$, где $n$ — число знаков после запятой. Относительная погрешность их будет резко меняться. Пользование такими таблицами приводит к потере точности результатов при вычислениях с функциями малых углов.

Так, например, если в прямоугольном треугольнике $ABC$ допустить, что его катеты соответственно равны $AB = 0,45$ $\mathit{м}$, а $BC = 103,13$ $\mathit{м}$, то при этих данных, пользуясь пятизначными таблицами натуральных значений тригонометрических функций, получим

$$\mathrm{tg}\, \sphericalangle ACB = \frac{AB}{BC}; \quad \sphericalangle ACB = \alpha = 0°15',$$

а гипотенуза

$$AC = \frac{BC}{\cos\alpha} = \frac{103,13}{0,99999} \approx 103,13\ \mathit{м};$$

с другой стороны,

$$AC = \frac{AB}{\sin\alpha} = \frac{0,45}{0,00436} \approx 103,21\ \mathit{м},$$

то есть получается разница в значении стороны $AC$ на $0,08$ $\mathit{м}$.

Если же пользоваться таблицами с пятью значащими цифрами, то относительная погрешность будет в пределах

$$0,5 \times 10^{-5} \leqslant \Delta\delta \leqslant 0,5 \times 10^{-4};$$

в них $\cos 0°15' = 0,99999$, а $\sin 0°15' = 0,0043633$, и

$$AC = \frac{0,45}{0,0043633} \approx 103,13\ \mathit{м},$$

то есть ошибки в вычислении стороны $A$ не будет.

При выборе для вычислений таблиц натуральных значений тригонометрических функций следует отдавать предпочтение таблицам, в которых значения всех шести функций даются с одинаковым числом значащих цифр, а не с одинаковым числом десятичных знаков.

Первыми дошедшими до нас тригонометрическими таблицами были таблицы, составленные К. Птолемеем (II в.) Они были помещены в его знаменитом сочинении «Альмогест» — величайшем памятнике астрономии. Основой же современных таблиц тригонометрических функций являются фундаментальные таблицы, составленные Рэти-

ком — учеником Н. Коперника, расширенные и дополненные в 1613 году немецким ученым Б. Питиском.

Приборы

Из прибора, применяемых для вычисления, особое значение имеет логарифмические линейки, без которых не обходится ни один инженерный расчет. Со времени их создания*) были предложены сотни различных конструкций, как универсальные, так и специально предназначенные для расчетов в определенных области значений, содержащих специальные функциональные шкалы.

Нанобольшее распространение имеет универсальные логарифмические линейки. Из отчетственных универсальных линейек наиболее совершенной является линейка «Ленинград» с двойными логарифмическими шкалами, позволяющими при расчетах пользоваться натуральными логарифмими, показательными функциями, решать показательные и логарифмические уравнения и быстрее, чем на обычных логарифмических линейках (ГОСТ 5161—57), вычислять степень с дробными показателями. При пользовании двойными логарифмическими шкалами следует учитывать, что на них длина отрезка $l$ от начала шкалы до штриха, соответствующего числу $N$, равна

$$l = m (\lg \lg N - \lg \lg e),$$

где $m$ — модуль двойной логарифмической шкалы, а $e = 2,718$ … — основание натуральных логарифмов.

На лицевой стороне корпуса линейки «Ленинград» нанесено четыре шкалы: $K(x^3), A(x^2), D(x)$ и $D1(1:x)$. При помощи этих шкал

*) Стремление механизировать логарифмические вычисления привело к использованию для этих целей логарифмической шкалы — прямолинейного отрезка, на котором отложены логарифмы чисел и трионометрических функций, — предложенной Э. Гюнгером примерно в 1620 году. Прототип современной линейки является конструкция прямогольной логарифмической линейки, предложенная англичанином Р. Биссакером в 1654 году.

производятся те же вычисления, что и по аналогичным шкалам нормальной логарифмической линейки.

На обратной стороне этой линейки нанесено шесть шкал: $L$ ($\lg x$), $LL_1$, ($e^{0,01x}$), $DF$ ($\pi \lg x$), $D$ ($x$), $LL_3$ ($e^x$) и $LL_2$ ($e^{0,1x}$) на корпусе и четыре шкалы $CF$ ($\pi \lg x$), $CIF = (1 : \pi x)$, $CI$ $(1 : x)$ и $C$ $(x)$ на движке.

Двойные логарифмические шкалы $LL_3$, $LL_2$ и $LL_1$ являются продолжением одна другой. При работе с этими шкалами следует учитывать, что длина соответствующего отрезка на шкале $D$, равная $m \lg x$ на двойной логарифмической шкале, будет

$$m \lg x = m (\lg \lg N - \lg \lg e),$$

а

$$\lg x = \lg \frac{\lg N}{\lg e},$$

откуда $\lg N = x \lg e$ или $N = e^x$.

Для определения результатов на шкалах $LL_1$, $LL_2$ и $LL_3$ значение степени основания находят на шкале $D$ корпуса и, совместив с ним основной указатель визира, прочитывают под ним значение величины $e^x$ на соответствующей шкале $LL_1$, $LL_2$ или $LL_3$.

Так, например, для определения $y = e^{0,08}$ совмещают основной указатель визира со штрихом, соответствующим цифре 8 на шкале $D$, и под этим указателем на шкале $LL_3$ прочитывают ответ $y = 1,0833$. Так же поступают и при пользовании шкалами $LL_1$ и $LL_2$.

Для вычисления $y = e^x$, когда $x > 10$, поступают так. Показатель степени разбивают на несколько частей, каждая из которых должна быть меньше 10, то есть выражение $y = e^x$ представляют в виде произведения

$$y = e^{\Delta x_1} e^{\Delta x_2} \ldots e^{\Delta x_n},$$

где $\Delta x$ — составная часть показателя степени.

Затем для каждого члена произведения определяют значение $e^{\Delta x} = \Delta y$. Таким образом, выражение $e^x$ при $x > 10$ можно представить в виде

3 «Квант» № 3

«ЭДВМ»

34

произведение

$$y = \Delta y_1 \Delta y_2 \dots \Delta y_n,$$

здесь $y_i = e^{\Delta x_i}$.

Шкала $DF$ на корпусе и аналогичная ей шкала $CF$ на движке представляют собой обикновенные логарифмические шкалы, но только сдины каждая на величины $x$. Следовательно, числу $x$ на шкале $C$ соответствует число $x$ на шкале $CF$.

Вторая сизу шкала $CI$ на движке, как и шкала $R$ на нормальной логарифмической линейке, является «обратной» шкалой, предназначена для вычисления значений $1/x$, то есть обратных значений чисел $x$, нанесенных на шкале $C$.

Шкала $CF$ служит для вычисления значений величины $1/x$. Например, для вычисления $q=1/πx$ при $x=2,6$ поступают так. На обратной стороне линейки совмещают начальные шрихи движка с начальных шрихами на корпусе и в таком положении движка устанавливают взир бегунка на шрих, соответствующей на шкале $D$ заданному числу $2,6$ и на шкале $CF$, пользовясь взиром, читают число $0,1224$, являющиеся исключим результатом, то есть $q=0,1224$.

На лицевой стороне бегунка нанесены (кроме основного указаателя визира) два коротких красьх шриха. Они нанесены так, что расстояния между основным взиром и каждой из крайних линейек соответствует на шкале $A$ относению $\pi/4 \approx 0,785$. С помощью этих шрихов можно быстро вычислять, например, площадь кругга.

Так, для вычисления площади кругга $S$ при диаметре $d=5$ м основной взир (можно любой из трех шрихов на бегунке) совмещают со шрихом 5 на основной шкале $D$ лицевой стороны корпуса линейки, а по короткуму левому (красному) шриху прочитывают на шкале квадратов $A$ значение площади $S=19,63 \ m^2$.

Счетные машины

Сейчас создано несколько сотен типов различных машин. Однако все многообразие их можно разделить на две группы: машины нерерывного действия и машины дискретного действия, но иначе называемые «счетно-фровыми машинами». Для машин первого категория характерна сравнительно ограниченной точностью получаемых результатов, в них математические величины (входные, промежуточные и выходные) изображаются в виде конкретных физических величины, количественные характеристики которых соответствуют изображаемыми имми числам (например, длина отрезка изображается наряжением, площадь — перемещением и т.п.). Самым простым примером вычислительной устройства непрерывного действия является планметр, при помощи которого на чертежах вычислют площади фигур *).

В машинах дискретного действия, позволяющих в принципе получить результат с неограниченной точностью, решения задачи сводится к последовательному выполнению отдельных арифметических действия. В таких машинах все математические величины (исходные, промежуточные и окончательные) изображаются как совокупности цифр в позиционной системе численения. Это и служит основанием называть такие устройства машинами дискретного действия. Они бывают с ручной и автоматической установкой исходных данных.

Машины с ручной установкой исходных данных делятся на суммирующие, предназначаемые применительно для сложения и вычитания чисел, и на малые вычислительные машины; последние разделяются на механические (рычажные «Феликс») и клавишные «ВК-1» арифметуры), электронные (автомат «BMM-2») и получатомат «BMP-2»), решения («Вильhic», «Вятка») и электронные. Из них наиболее современными являются электронные классические вычислительные машины (ЭКВМ), позволяющие автоматически выполнять не только все арифметические действия, но

*) См. статью Л. Е. Садовский, А. Л. Садовский «Как измеряют площадь», «Квант», 1973, № 10.

35

и извлекать корни, вычислять натуральные значения тригонометрических функций и производить ряд других действий.

Отечественной промышленностью серийно выпускаются различные ЭКВМ: «Искра», «Электроника», «Гелати», «Rasa», десятиклавишная электронная машина «ЭДВМ».

«Искра-110» позволяет производить (с учетом знака и запятой) четыре арифметических действия, а также вычисления типа $a^n + bp^n$ и другие. На ней все операции выполняются с 8-разрядными числами; положение запятой в числе устанавливается соответствующим переключением. На ЭКВМ «Электроника-ДД» можно производить не только четыре арифметических действия, но и вычисления с процентами, извлекать квадратные корни и выполнять различные комбинированные вычисления. Для получения результаты вычислений с определенным числом верных знаков после запятой служат клавиши положения запятой «0», «2», «4» и «6», расположенные на панели клавиатуры левее клавиш набора чисел. А наличие в этой машине блока памяти позволяет производить слож-

ные вычисления и полуавтоматически (без записи промежуточных результатов и повторного набора чисел) извлекать квадратные корни по итерационной формуле

$$y_n = \left(\frac{x}{y_{n-1}} + y_{n-1}\right)/2,$$

где $x$ — подкоренное выражение, $y_{n-1}$ — приближение корня. При этом итерации при вычислении заканчиваются при получении последовательных приближений, совпадающих в требуемом количестве разрядов.

На рисунке 5 показана электронная десятиклавишная счетная машина «ЭДВМ». На ней можно автоматически производить различные вычисления с 16-разрядными числами, а также полуавтоматически извлекать корни $n$-й степени, возводить числа в $n$-ю степень и вычислять натуральные значения тангенса и котангенса с 10 верными знаками.

В последнее время выпускается ЭКВМ «Электроника-70», позволяющая производить еще вычисление десятичных и натуральных логарифмов, показательных функций, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

---

Советы начинающим репетиторам

(см. с. 24)

Как заниматься с клиентом

Самое ответственное занятие — первое. Нужно сразу же завоевать безоговорочное доверие поступающего. Для этого запаситесь какой-нибудь монографией, предназначенной специально для аспирантов. Подберите в ней вопрос, над которым ученые безуспешно бьются в течение последних 15 лет. В результате вы отчетливо покажете абитуриенту, что без вашей

помощи ему не на что рассчитывать.

В последнее время у родителей наметилась явная тенденция подыскивать репетиторов из того вуза, который данное чадо намерено

осчастливить. Пойдите им навстречу. Нечаянно оброненное имя ректора создаст необходимый эффект. Более близкие отношения с ректором вы можете подчеркнуть, заметив, что это очень милый и неглупый человек.

Техника дальнейших занятий исключительно проста. Задача состоит лишь в максимальном уплотнении групп. Объединяйте по 10, 15 учеников, пределов здесь нет. Забегая вперед, отметим, что этот метод имеет и определенный материальный стимул. Если, скажем, вы одновременно обучаете не одного, а тринадцать учеников, то нетрудно подсчитать, что и доход за каждый час увеличивается в 13 раз!

(Продолжение см. на с. 43)

3*

35

36

А. Б. Мидал
Писмо школькам, которые хотят стать физикими

Учащие школы № 1 г. Лиды приспали письмо известному советскому физику-теоретику академику Аркадию Бейнусович Мигдалу. В письме они просили расказать, как началось его увлечение физикой и как подготовиться к этой профессии. Мы приводим ответ А. Б. Мидала, так как надемся, что он занимает всех наших читателей.

Когда мне было 12 лет, я разобил книгу Доната «Физика в играх» и стал делать физические игры. Некоторые из них придумывал сам. Потом начал строить различные физические приборы. Сделал тепловой ограничитель тока собственной конструкции. Делал детекторные примники (тогда никаких деталей в продукке не было).

После окончания школы я в течение года работал в школе лабораторном по физике. Тогда же опубликовал в журнале «Физика, математика, химия в средней школе» заметку «Приспособление, заменяющее машину Атвуда» (прибор для проверки 2-го закона Ньютона). Но по-настоящему стал заниматься физкой после поступления в Ленинградский государственный университет.

Как вы, наверное, знаете, физики делятся на два типа: физики-теоретики и физики-экспериментаторы. Мне уже с первого курса стало ясно, что я буду теоретиком. Физик-теоретик по характерам работы близок к математике. Его инструменты — бумага и карандаш. Полъязысь уже известными законами физики, он должен находить новые соответствия между различными величиными. Приведу два примера.

Во время блокады Ленинграда теоретики расчитали, при какой только льда можно безопасно переправлять грузовики с люdbми через Ладожское озеро. Это очень простая задача. Надо было только использовать найденный во многих экспериментах предел прочитости льда и применить хорошо известные уравнения теории упругости.

А вот задача неизмеримо более сложная, которая потребовала переместраться по понятный классический механики. Великий физик-теоретик Альберт Эйнштейн, анализирух ход физических процессов в движущихся телах, приSEL к заключению, что в быстрое движущейся системе времени течет медленнее. Позднее этот вывод блестише подтвердился в экспериментах по изучению распада быстрых элементарных частиц (например, м-мезонов). У движущихся частиц распад проискодит медленнее, чем у покоящихся, и зависитность времени распада от скорости в точности совпадает с той, которую предсказал Эйнштейн.

В данном примере задача эксперименторов состоит в проверке предсказанной теории. Однако чаще проискодит обратное — физики-экспериментаторы находят новую закономерность, не укладывающегося в существующие теории, и это дает толок развитию теоретической физики.

37

В случае теории относительной Эйнштейна, о которой только что упоминалось, таким только был изментийной опыт Майкельсона, в котором изменялась разность скорости света в направлении движения Земли и перpendикулярно к нему. Было показано, что обе скорости с колосальной точностью совпадают. Этот результат противоречил существованием в то время теории распространения света. Попытки объяснить результат опыта Майкельсона и приведли Эйнштейна к созданию теории относительной Эйнштейна и экспериментальная физика взаимно стимулируют друг друга.

Будущий физик рано или поздно должен решить, какая работа ему ближе по складу ума — теоретическая или экспериментальная? Чем раньше придет это решение, тем лучше.

Я расскажу о моей первой работе по физике. На втором курс я попал на практику в laboratorию завода «Электроприбор» (ныне—завод «Вибатор»). Как раз в это время была забракована большая партия волтметров из-за того, что при включении прибора в себя переменного тока положение конца стрелки размывалось на несколько миллиметров. Я решил попытаться выяснить причину брака. Было ясно, что дело в резонансе. Нужно было выяснить, какая именно часть стрелки входит в резонанс, и что следует изменить, чтобы от этого избавиться.

Я вынул стрелку из прибора и закрепил ее на станине частотомера (прибора, измеряющего частоту переменного тока). Затем я подложил под стрелку миллиметровую бумагу и, меняя обороты генератора, даюшего ток на частотомер, сял кривую зависимости амплитуды колебаний конца стрелки от частоты подводимого тока. Получилась типичная резонансная кривая с максимумом на 70 периодах в секунду (рис. 1). Но почему 70? Ведь в приборе максимальное размещение было при обычном токе, имеющим частоту 50 периодов в секунду. Я временно отложил этот вопрос и продолжал выяснять характер колебаний стрелки. Для этого я сделал точные царапинки в различных местах стрелки и освещал каждую из них почередно боковым светом так, что получалась движущаяся светящая точка. Наблюдая эти точки под увеличением (с помощью микроманипулятора), можно было определить амплитуду колебаний различных частей стрелки. Таким способом удалость доказать, что резонанс соответствует скручиванию вертикального колена стрелки (рис. 2), то есть что длиная часть стрелки поворачивается как целое бокруг оси, прохождение через вертикальное колено.

По жесткости материалов и распределению массы по стрелке можно было расчитать частоту колебаний. Расчитанная частота оказалась близкой к наблюдаемой, то есть составляла около 70 периодов в секунду. Так бы-

38

ло доказано, что характер колебаний установлен правильно. После этого надо было выяснить, в чем причина снижения резонансной части при помещении стрелки в прибор.

На станне частотомера стрелка была закреплена жестко, тогда как в приборе она скреплена с рамкой, по которой теет ток и которая сама может колебаться. Чтобы найти частоту стрелки при таком нежестком закреплении, нужно было решить задачу о двух связанных колебательных системах. Расчет показал, что частота стрелки, скрепленной с подвижной рамкой, действительное должа понизится с 70 до 50 периодов в секунду. Таким образом, причина была установлена. Осталось только расчитать, как следует изменить толщину вертикальной части стрелки, чтобы уйти от резонанса.

После этого была изготовлена серия в 1000 приборов с измененной стрелкой. Оказалось, что стрелка стоит как вопланная, не проискодит никаких вибраций. Только в двух приборах из 1000 положение конца стрелки по-прежнему размывалось, но когда эти приборы вскрыли, то оказалось, что туда по ошибке поставили стары стрелки. После этого мне предложили работу в заводской лаборатории параллельно с занятыми в университете. Я согласился и за это время научился самостоятельно ставить и решать прикладные теоретические задачи. Это очень помогло мне в дальнейшем.

Как и большимству физков-теоретическов, мне приходилось работать в различных областях физики. Атомная физика, космические лучи, теория металлов, atomное ядро, квантовая теория поля, астрофизика — все эти разделы физики какуся мне интересными. Сейчас наиболее принципальные вопросы решаются в теории элементарных части и в квантовой теории поля, но и в других областях физики есть много интересных нерешенных задач.

Что были познакомиться с различными областями физики, а главное — почувствовать их взаимосвязь, очень полезно внимательно прочитать замечательные «Фейнмановские lekции по физике», которые написаны известным американским физиком Ричардом Фейнманом.

Страйтеесь читать активно, пытаясь решить поставленные в книге задачи до того, как прочитете решение.

Для того чтобы заниматься научкой, надо не только много знать и уметь, но и воспитать в себе определенные качества характера. Вот несколько советов.

Не стаяйте с самого начала все понятия до конца. Понинимите приходит постепенно, в результате упорного труда, по мере привыкания к новым понятиям. Настоящее, глубоко понятие обязательно приводит к новым результатам, но приходит оно только после того, как хорошо поработаешь в данной области.

Если придет в голову какая-нибудь идея, надо не только站起来 ее подтвердить, но в еще большей степени站起来 ее опровернуть. Только так можно научиться добросовестно и объективно думать.

Главной движущей силой должен быть интерес к делу, а не стремление к эффективным решатам. Я знаю много примеров, когда талантливые люди терили способность добросовестно работать из-за стремления сделать «мировое открытие».

Задача научного работника — упорное и добросовестное исследование интересующего его явления, когда каждый малый шаг приносит радость. Открытие приходит только как побочный продукт такого исследования.

От идеи, даже самой хорошей, до достиверной научной истинны — тяжелый и трудный путь, иуший через сомнения и договора, черезровалы и взлеты подобно восхождение на непокоренную вершину, с которой открываются новые горизонты.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Расстояние между центроидами двух систем точек

З. А. Скопец

Рассмотрим систему из $n$ точек $A_1, A_2, \ldots, A_n$, произвольно расположенных в пространстве. Допускается, чтобы отдельные (или даже все) точки этой системы совпадали. Порядок точек безразличен.

Центроидом системы точек $A_1, \ldots, A_n$ называется такая точка $O$, для которой выполняется векторное равенство

$$\overrightarrow{OA}_1 + \overrightarrow{OA}_2 + \ldots + \overrightarrow{OA}_n = \sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{OA}_i = \vec{0}. \quad (1)$$

Из этого определения непосредственно не вытекает существование центроида. Поэтому докажем, что каждая система точек имеет центроид и притом единственный.

Выберем в пространстве систему точек $A_1, A_2, \ldots, A_n$, зададим произвольно точку $M$, которую примем за начало векторов, и еще некоторую точку $O$ (рис. 1). Тогда можно написать

$$\overrightarrow{OA}_1 = \overrightarrow{MA}_1 - \overrightarrow{MO},$$
$$\overrightarrow{OA}_2 = \overrightarrow{MA}_2 - \overrightarrow{MO},$$
$$\ldots \ldots \ldots \ldots$$
$$\overrightarrow{OA}_n = \overrightarrow{MA}_n - \overrightarrow{MO}.$$

Предположим, что точка $O$ — центроид данной системы точек. Просуммировав почленно эти равенства, получим с учетом (1)

$$\vec{0} = \overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \ldots + \overrightarrow{MA}_n - n \cdot \overrightarrow{MO}.$$

Отсюда находим

$$\overrightarrow{MO} = \frac{1}{n}(\overrightarrow{MA}_1 + \overrightarrow{MA}_2 + \ldots + \overrightarrow{MA}_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{MA}_i. \quad (2)$$

Проведя вычисления в обратном порядке, мы легко убедимся, что точка $O$, определяемая равенством (2), удовлетворяет соотношению (1), то есть является центроидом. Таким образом, существование центроида доказано. Остается доказать единственность. В самом деле, возьмем точку $O'$, отличную от $O$. Тогда

$$\overrightarrow{O'A}_1 = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_1, \ldots, \overrightarrow{O'A}_n = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_n.$$

Складывая эти равенства и учитывая (1), получаем

$$\overrightarrow{O'A}_1 + \ldots + \overrightarrow{O'A}_n = n \cdot \overrightarrow{OO'};$$

так как точка $O'$ отлична от $O$, то $\overrightarrow{O'O} \neq \vec{0}$ и $n \cdot \overrightarrow{O'O} \neq \vec{0}$, то есть

$$\overrightarrow{O'A}_1 + \ldots + \overrightarrow{O'A}_n \neq \vec{0}.$$

Таким образом, никакая отличная от $O$ точка $O'$ центроидом системы точек $A_1, \ldots, A_n$ не является. Этим завершено доказательство существования и единственности центроида системы $n$ точек. Кроме того, указан метод построения центроида (см. (2)).

Докажем теперь следующее утверждение.

Т е о р е м а 1. Пусть $O_1$ — центроид системы точек $A_1, \ldots, A_m$ и $O_2$ — центроид системы точек

39

40

В $B_1, \dots, B_n$. Тогда центрод $O$ системы всех $m + n$ точек $A_1, \dots, A_m, B_1, \dots, B_n$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и удовлетворяем условию $|O_1O| : |OO_2| = n : m$.

Доказательство. Для точки $O$, лежащей на отрезке $O_1O_2$ и удовлетворяющей условию $|O_1O| : |OO_2| = n : m$, имеем $\vec{mOO}_1 + n\vec{OO}_2 = \vec{0}$. (3)

Убедимся, что точка $O$ — центрод системы всех $m + n$ точек. В самом деле, так как $O_1$ — центрод системы точки $A_1, \dots, A_m$, то согласно (2) имеем

$$\vec{OA}_1 + \vec{OA}_2 + \dots + \vec{OA}_m - m \cdot \vec{OO}_1 = \vec{0}. \quad (4)$$

Аналогично, из того, что $O_2$ — центрод системы точки $B_1, \dots, B_n$, получаем

$$\vec{OB}_1 + \vec{OB}_2 + \dots + \vec{OB}_m - n \cdot \vec{OO}_2 = \vec{0}. \quad (5)$$

Складывая почленно соответствия (3), (4), (5), получаем

$$\vec{OA}_1 + \dots + \vec{OA}_m + \vec{OB}_1 + \dots + \vec{OB}_n = \vec{0},$$

а это и означает, что $O$ — центрод системы точки $A_1, \dots, A_m, B_1, B_2, \dots, B_n$.

Следствие. Пусть $A_1, \dots, A_m$ — некоторые системы точки $k$ — натуральное число, меньше $m$. Выберем из $A_1, \dots, A_m$ какие-либо $k$ точек, и пусть $O'$ — их центрод, а $O''$ — центрод оставшихся $m - k$ точек. Тогда все получающие таким образом отрезки $O'O''$) проходят через одну точку $O$ (центрод системы точки $A_1, \dots, A_m$) и делятся в этой точке в отношении $(m - k) : k$.

Из доказанной теоремы и этого следствия можно получить ряд выводов. Прежде всего из теоремы 1 при $m = n = 1$ находится, что центрод двух точек $A, B$ совпадает с серединой соединяющего их отрезка. Далее, при $m = 2, n = 1$ получаем из теоремы 1, что центрод $O$ трех точек $A_1, A_2, B$ лежит на отрезке, соединяющего $D$ отрезка $A_1A_2$ с точкой $B$, причем $|DO| : |OB| = 1 : 2$. Отсюда следует, в частности, если точки $A_1, A_2, B$ не лежат на одной прямой, то центрод этой системы точки совпадает с точки пересечения медиан треугольника $A_1A_2B$ (см. рис. 2; эту точку называют центром тяжестни треугольника).

Для случая четырех точек получаем (при $m = 3, n = 1$) следующее. Предположим, что никакие три из четырех точек $A, B, C, D$ не лежат на одной прямой, и соединим какую-либо из этих точек с центром тяжестни треугольника, имеющего вершины в трех других точек; может эти четырех точек

41

ре отрезка пересекаются в одной точке O и делятся в ней отношений 3 : 1.
Через эту же точку O проходят еще три отрезка, получающие, если середины отрезков с концами в двух точках соединить с серединами отрезков с концами в двух других точках.

Заметим, что эти утверждения справедливы для четырех точек не только на плоскости, но и в пространстве. Из них, в частности, следует, что две средние линии четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке O, которая служит общей серединой всех трех отрезков.
А для точек в пространстве можно дать еще такую формулировку: отрезки, соединяющие вершины tetraэдра с центрами тяжестями противолежных граней, пересекаются в одной точке O (называемой центром тяжестии tetraэдра) и делятся в ней отношений 3 : 1, считая от вершины; через эту же точку O проходят три отрезка, соединяющие середины противолежных ребер, причем O служит общей серединой этих трех отрезков.

Отметим еще случай пяти точек.

Пусть A, B, C, D, E — такие пяты точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости.
Соединив каждую точку с центром тяжестии tetraэдра, имеющего вершины в четырех остальных точках, получим пяты отрезков, пересекающих в одной точке O; через эту же точку будут проходить еще десять отрезков, каждой из которых соединяет середину отрезка с концами в двух точках с центром тяжестии треугольника, имеющего вершины в трех остальных точках.

Формула Лагранжа

Пусть O — центroid системы точек A₁, …, Aₘ и M — произвольная точка. Тогда, как мы видели выше, справедливо соотношение (2). Берияскаяярный квадрат*), получаем

$$|\vec{M}O|^2 = \frac{1}{m^2} (\vec{M}A_1 + \dots + \vec{M}A_m)^2 = \frac{1}{m^2} \left[ |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 + 2 \sum_{i < j} \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j \right].$$

Но

$$2 \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j = |\vec{M}A_i|^2 + |\vec{M}A_j|^2 - (\vec{M}A_j - \vec{M}A_i)^2 = |\vec{M}A_i|^2 + |\vec{M}A_j|^2 - |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Складывая эти соотношения для всех пар i, j, где i < j, получаем

$$2 \sum_{i < j} \vec{M}A_i \cdot \vec{M}A_j = (m - 1) \left( |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 \right) - \sum_{i < j} |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Подставляя (6’) в соотношение (6), находим (после упрощения):

$$|\vec{M}O|^2 = \frac{1}{m} \left( |\vec{M}A_1|^2 + \dots + |\vec{M}A_m|^2 \right) - \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} |\vec{A}_i \vec{A}_j|^2.$$

Соотношение (7) представляет собой известную формулу Лагранжа, выражающего квадрат расстояния от точки M до центроида O системы точек A₁, …, Aₘ через квадрат расстояния от точки M до точки Aᵢ и квадрат расстояния |Aᵢ Aᵢ|.

Расстояние между центроидами

Пусть, наконец, данные системы точек A₁, …, Aₘ и B₁, …, Bₙ. Вычислим расстояние d между центроидами O₁ и O₂ этих систем, полагая известными все взаимные расстояния между точками первого системы, все взаимные расстояния между центроидами Aᵢ и Aᵢ.

*) Скалярное произведение вектора a, на вектор b обозначает через a · b; равно |a| · |b| · cos α, где |a| — длина вектора, а α — угол между векторами a и b; поэтому скалярный квадрат a, a = |a|² = |a|².

42

Ду точками второй системы и взаимные расстояния каждой точки одной системы до каждой точки другой.
Введем обозначения:
$$|A_i A_j| = a_{ij}, |B_s B_t| = b_{st},$$
$$|A_p B_q| = c_{pq}.$$
Как выясено выше (см. (7)),
$$d^2 = |O_1 O_2|^2 = \frac{1}{n} |O_1 B_1|^2 + \dots$$
$$\dots + |O_1 B_n|^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{s < t} b_{st}^2,$$
$$|O_1 B_h|^2 = \frac{1}{m} (|A_1 B_h|^2 + \dots$$
$$\dots + |A_m B_h|^2) - \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} a_{ij}^2,$$
(где $k$ — любое из чисел 1, 2, …, $n$). Подставляя соответствия (8’) в формулу (8), получаем окончательно (после очередных упрощений):
$$d^2 = |O_1 O_2|^2 = \frac{1}{mn} \sum_{p, q} c_{pq}^2 -$$
$$- \frac{1}{m^2} \sum_{i < j} a_{ij}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{s < t} b_{st}^2.$$

По этой формуле и вычисляется в самом общем случае расстояние между центроидами двух систем точек.

Примеры

1. Пусть дан треугольник $A_1 B_1 B_2$. Центroid $O_1$ системы, состоящий из одной точки $A_1$, совпадает с $A_1$, центroid $O_2$ системы точек $B_1, B_2$ совпадает с серединой $[B_1 B_2]$ (рис. 3).

В этом случае $[O_1 O_2]$ есть медиана треугольника $A_1 B_1 B_2$. Имеем
$$d^2 = \frac{1}{2} (|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2) -$$
$$- \frac{1}{4} |B_1 B_2|^2.$$

2. Пусть дан четырехугольник $A_1 A_2 B_1 B_2$. Центroid $O_1$ системы точек $A_1, A_2$ совпадает с серединой отрезка $A_1 A_2$, центroid $O_2$ системы точек $B_1, B_2$ совпадает с серединой отрезка $B_1 B_2$ (рис. 4).

Воспользовемся формулой (9):
$$d^2 = \frac{1}{4} (|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2 +$$
$$+ |A_2 B_1|^2 + |A_2 B_2|^2 - |A_1 A_2|^2 -$$
$$- |B_1 B_2|^2).$$ (10)

Эта формула, выражющая квадрат расстояния между серединами противоположных сторон четырехугольника через квадраты его сторона и диагоналей, известна как формула Эйлера. Здесь вид четырехугольника произвольный: он может быть выпуклым, самопересекающимся, неплоским.

Если центроиды отрезков $A_1 A_2$ и $B_1 B_2$ совпадают, то четырехугольник есть параллелограмм, и мы получаем известную зависимость между сторонами и диагоналями параллелограмма. Отметим, что (поскольку $d^2 \geq 0$) из формулы (10) следует, что $|A_1 B_1|^2 + |A_1 B_2|^2 + |A_2 B_1|^2 + |A_2 B_2|^2 \geq |A_1 A_2|^2 + |B_1 B_2|^2$, то есть сумма квадратов всех сторон