Квант 1975, №7 · Страницы

КЕАНТ
1975
7
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Фотография, которую вы видите на первый полосе обложки, сделана в Институте космических исследований АН СССР. Владимир Сыроматников, руководитель советской рабочей группы (справа) и Рэй Ларсон, вице-президент фирмы Роквелл Интернейшнэл обсуждают результаты очередной стыковки летных образцов стыковочных агрегатов.

Фото А. Моклецова АПН.

Удав на нашу обложку попал не случайно. Он оказался здесь, «завязавшись» в узел. Математики занимаются узлами; более того, существует красивая математическая теория — теория узлов. С этой теорией вы можете познакомиться, прочитав статью Э. Г. Белаги «Узел на столе математика», опубликованную в этом номере журнала (см. с. 6). Там вам снова встретиется наш «удав», но уже «без головы» и без «хвоста».

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березии,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2 Международная встреча на космической орбите
6 Э. Г. Белаea. Узел на столе математика
21 В. З. Кресин. Гигантские кванты
30 В. М. Фищман. Решение задач с помощью геометрических преобразований
Математический кружок
36 В. Н. Березин, В. Н. Слепой. Если треугольник задан …
Задачник «Квант»
40 Задачи М331—М335; Ф343—Ф347
42 Решения задач М296—М299; Ф303—Ф311, Ф299

Практикум абитуриента
53 Г. Ю. Граковский, Ю. Д. Кабалевский, П. И. Самойенко. Математические специальности в технических
55 Вступительные экзамены вузы
55 Э. А. Голубов. Уральский государственный университет им. А. М. Горького
57 Ю. С. Бабурин. Куйбышевский государственный университет
58 В. А. Тонян. Московский институт электронного машиностроения
59 В. С. Колпаков, Р. Н. Сахарова. Ярославский политехнический институт
60 Л. П. Боровских. Новосибирский институт инженеров железнодорожного транспорта
61 Н. Н. Карelin, И. С. Оспицин, М. А. Паленцика. Львовский политехнический институт
63 Ю. В. Комленко. Ижевский механический институт

Рецензии, библиография
64 М. П. Шаскольская. О диффузии в критICALх

«Квант» для младших школьников
66 Задачи
67 А. П. Савин, Л. М. Финк. Разговор в трамвае

Ответы, указания, решения
Смеся (с. 20, 65, 70)

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1975 год.

2

МЕЖДУНАРОДНАЯ ВСТРЕЧА
НА КОСМИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ

Июль 1975 года навсегда войдет в историю космонавтики. В соответствии с соглашением между СССР и США о сотрудничестве в исследовании космического пространства в мирных целях на этот месту назначен первый совместный полет по программе ЭПАС — экспериментальный полет «Аполлон» — «Союз».
Важнейшим моментом этого эксперимента будет стыковка кораблей.

Стыковка и расстыковка космических кораблей — чрезвычайно важный элемент космических программ. Сегодня она необходима при доставке космонавтов на орбитальные научные станции и возврашения их на родную Землю. В будущеем без невозможна будет сборка в околоземном пространстве сложных многоцелевых орбитальных станций, которые будут собираться из специальных блоков различного назначения, почередно доставляемых на орбиту при помощи пакет-носителей. Она является также необходимой частью будуших полетов человека к планетам Солнечной системы. При этом космический корабль остается на удаленной от планеты орбитке как базовая станция, с которой направляется к поверхности планеты возврашаетые автоматические зоны и космонавты-исследователь们. Наконец, без проведения стыковки невозможно также и оказание помощи пользовим в беду экипажам космических кораблей.

И в советской, и в американской программах космических исследований было осуществлено много полетов с проведением стыковок в космическом пространстве. Однако, конструкции советских и американских кораблей сильно отличаются друг от друга и стыковка кораблей «Союз» и «Аполлон» потребовала от конструкторов и космонавтов решения дополнительных, принципиально новых задач. В связи с программой ЭПАС в Советском Союзе и США был выполен большой объем работ по отработке новых систем и узлов космических кораблей. Космонавты проходили сложные наземные тренировки в условиях, максимально приближенных к тем, которые планируют в совместном советско-amerikanском полете. В декабря 1974 года был проведен полет космического корабля «Союз-16». Экипаж корабля — А. В. Филиппенко и Н. Н. Руководщик — проводил в космических условиях испытание нового стыковочного агрегата, совершал маневрирования на орбите, характерные для предстоящего совместного полета с кораблем «Аполлон».

Осуществление совместного полета кораблей «Союз» и «Аполлон» — это круглого космического эксперимента — является важным в развитие международных научных связей, будет способствовать укреплению взаимного доверия между СССР и США и дальнейшей разрядке международной напряженности.

Мы помещаем небольший фоточерок о советских косминах, подготовленный фотокорреспондент Агентства Печати Новости А. С. Моклецовым.

3

1. Центр подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина. Летчики-космонавты СССР Герон Советского Союза Алексея Гу-барев (слева) и Георгий Гречко на одной из тренировок в макете станции «Салют».

1* 3

4

2. Орбитальная станция «Салют». Макет станции в центре подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина.

3. Испытания космического корабля «Союз» и ракеты-носителя.

4. Центр подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина. Летчики- космонавты СССР Герон Советского Союза Георгий Гречко (слева) и Алексей Губарев после тренировки в оригинальной станции-тренажере «Салют».

5

5. Во время подготовки к полету экипажа космического корабля «Союз-12» командир корабля подполковник Василий Лазарев и бортиженер Олег Макаров проводят тренировки на море.

4-я с. обложки — центр подготовки космонавтов им. Ю. А. Гагарина. Летчик-косямовт СССР Герой Советского Союза Георгий Гречко в кабине космического корабля-тренажера «Союз».

6

Узел — древнейшее изобретение, наимного более древнее, чем колесо, и настолько прививное, что его трудно назвать изобретением. В течение тысяче лет тому назад. Мы расскажем о некоторых проблемах и открыях этой красной теории. Нашему читателю мы соедетем запасись достаочного длины куском белки, чтобы буквально «свойми руками» проверять утверждение и решать задачи, которые естеятся в тексте.

§ 1. Мог ли Алексадр Македонский открыть теорию узлов?

Книги античных исторков сохранили для нас легенду-притуу о том, как македонский царь Алексадр, проходя с войском его время своего победочного похода в глубины Азии через персидский город, посетил храм и увидел одну из достопримечательностей Перси — узел, сплетенный мудрецем Гордием; предание гласило, что тот, кто развяжет этот узел, станет царем Вселенной. Юный царь разрубил узел мечом.

Восхищаться ли нам находиться Алексадра или сохранить, что тем же ударом меча он лишил себя завинойвозможности стать основателем теории узлов?

Рис. 1. Небольшая коллекция морских узлов.

7

No he будем преувеличивать: даже если Алексадр хорошо знал античную математику (а это, скорее всего, так — еоспитателем Алексадра был Аристotel), он, конечно, был бы удивлен, узнал, что задача, от решения которого он так по-царски уклонился, математическая. Тем более, что решение эта задача была только в нашей время, около пятнадцати лет тому назад, когда был придуман метод, позволяющий по виду или описанию узла определять, развязывается данный узел или нет.

§ 2. Кунсткамера узлов

Знакомство с узлами мы начнем с морских узлов, изображенных на рисунке 1*). Концы узлов уходят за пределы рисунка и там крепятся. Однако при изучении узлов удобно считать, что свободные концы каждой из них соединены друг с другом; после такой операции привчийный для насвервоный узел с двумя торцашми или болташмися концами превращится в плетеное берегочное колюцо.

На рисунке 2 изображены такие «абстрактные» узлы, получающие

*) Рисунок Н. Павлинова из книги Б. Житкова «Морские истории», М., «Детская литература», 1972.

из некоторых морских узлов рисунка 1: восперка изображена на рисунке 2, а, мболовый узел — на рисунке 2, б, прямои и бабий узлы (на рисунке 1 у этих узлов по четыре конца!) превращаются либо узлы на рисунках 2, в и 2, z, либо в зацелления (рис. 2, д и 2, e).

Примеры зацелления изображены на рисунке 3.

В теории узлов зацелления изучаются наравне с узлами; к сожалению, из-за недостатка места мы не сможем о них расскадать.

Рисунок 4 пополняет нашу конструкру новыми образцами узлов вместе с их математическими вариантими.

Наши первые впечатления об узлах приводят нас к таким определеням:

Узел — это замкнутая пространственная кривая, не имеющая моек самопересечения.

Зацелление — это совокупность двух или более попарно непересеченных и самопересечающих замкнутых пространственных кривых.

Рисунки всех рассмотренных нами узлов содержат кратные точки — точки, в которых скрещиваются несколько участков линии, изображающее узел. Такие точки на рисунках узлов называют моечами скрещивания — двойными, тройными

Рис. 2. Математические двойники некоторых морских узлов.

8

Рис. 3. Небольшая коллекция зацепленей.

или $n$-кратными, если в них встречются две, три или $n$ линей. Все точки скрещивания на рисунке 2 — двойные; это не случайно: тройных точек и точек большей кратности, а также совпадения линей и прочих «неправильностей» плоского изображения узла всегда можно избежать выбором подходящего «места», откуда мы «смотрим» на узел, когда рисунке 2).

Любое плоское изображение узла, все кратные точки компози — это двойные точки скрещивания, называется диараммой узла.

Для каждой двойной точки скрещивания на диарамме узла нужно, конечно, указыть, какая из двух пересекающихся в этой точке линей проходит «над», а какая «под» другой (obъчно «низкого» из двух линей перевыают, как это и сделано на рисунке 2).

§ 3. Об искусстве плести узоры извервоного колыца

Житейский опыт говорит нам, что любой, даже очень сложный узел может быть при некоторых терпении развязан. Но вспомним: развязывая узел, мы, как правило, манипулируем его концами. У наших же «абстрактных» узлов концов нет, и следует ожидать, что не разрывая «веревки», из которой «связан» узел, мы не смоЖем развязать большинство из уже рассмотренных нами узлов.

Рис. 4. Одинарный узел, «бантик» и свитер, связанный из одной нити.

9

Рис. 5. «Лестница Иакова» — тривиальный узел?

Согласно определению, окружность также следует считать узлом — простейшим из всех узлов, или, как еще его называют, тривиальным узлом.

Рассматривая топовый узел на рисунке 1, можно заметить, что он легко развязывается, если только его петли не охватывают деталей основки корабля.

Упражнение 1. Показите, что топовый узел на рисунке 2, 6 может быть распутан и превращен в окружность.

Узлы, которые, подобно топовому, могут быть развязаны, называют узами тривиального мира, или простого тривиальных.

Большой опыт в искусстве «плетения» тривиальных (но часто весма затейливых) узлов наоплен любителями популярной игры с веревочным колылом. Один из таких узловзоров под названием «лестница Иакова» изобразен на рисунке 5*).

Итак, топовый узел, «лестница Иакова» и окружность — это один и тот же узел в разных областях. Существуют ли другие типы узлов? И как различать узлы?

§ 4. Узлы дикие и узлы ручные

No preжде, чем пускаться в опасное плавание по неведомому нам Морю Узлов, проверим прочность нашей суденышка — определения.

Должны ли мы считать узами замкнутые кривы, изобразенные на

*) Способ плетения этого узла на пальцах двух рук и другие подробности об «игре в веревочку» можно найти в книге М. Гардира «Matematические доступи», М., «Мир», 1972, глава 22.

Рис. 6. Два диких узла. Цветные «рамочки» пригодятся позже.

Рис. 7. Узлы перед зеркалом.

рисунках 6, а, б? И кривые ли это? Не вдаваясь в детали *), мы должны признать за этими странными конструкциями право называться кривыми, а, следовательно, и узлами. Но узлами «дикими», в отличие от «ручных», похожих на обычные веревочные узлы.

Ручной узел может быть приведен к замкнутой пространственной ломаной с конечным числом звеньев и без точек самопересечения.

Все узлы, изображенные на рисунках 2 и 4, можно считать ручными: каждый из них разбивается на конечное число «почти прямолинейных» отрезков. С другой стороны, очевидно, что узлы на рисунке 6 не ручные, такие узлы и называются дикими.

Дикие узлы могут обладать неожиданными сеойствами; например, узел, изображенный на рисунке 6, б **), развязывается, но лишь после бесконечного числа последовательных операций: сначала петлю $A_1$ нужно вынуть из петли $A_2$, потом петлю $A_2$ — из $A_3$ и так далее. Развязать же этот узел в обычном смысле невозможно.

---

*) Строгое определение кривой потребовало бы многих страниц (см., например, книгу А. Пархоменко «Что такое линия», М., 1954).

**) Рисунок взят из книги «Введение в теорию узлов» Р. Кроуэлла и Р. Фокса, М., «Мир», 1967.

10

§ 5. Типы узлов можно определять по-разному

Нам хотелось бы, чтобы наша теория узлов сохранила наивное представление об «одинаково завязанных» узлах, которое есть у всех нас. Так возникает п е р в о е из двух (разных) определений типа узла.

П е р в о е о п р е д е л е н и е. Говорят, что два узла изотопны, или имеют один изотопический тип, если один узел можно «перевязать» в другой, не разрезая его и не допуская самопересечений.

Практически изотопность двух узлов можно иногда доказывать либо с помощью веревочного кольца, либо на серии рисунков-диаграмм. Например, как мы уже знаем, топовый узел изотопен «лестнице Иакова» и оба они изотопны окружности. Вот еще пример: одинарный узел (см. рис. 4, а, б) изотопен (проверьте это!) простейшему после окружности узлу, изображенному на рисунке 7, а. Благодаря сходству с контуром клеверного листа, этот узел называется клеверным листом, или трилистником. Нарисуйте сами узел «двойной бантик»; уже в возрасте двух-трех лет вы умели доказывать (потянув за свободный конец веревочки), что «бантик» (см. рис. 4, в, г) и «двойной бантик» изотопны одинарному узлу, а значит, и клеверному листу.

У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что прямой узел (рис. 2, в) изотопен сквер-узлу (рис. 8, а), а бабий узел — бабушкину узлу (рис. 2, г и 8, б).

11

Рис. 8. Еще девять экспонатов из нашей кунсткамеры.

Второе определение. Говорят, что два узла эквивалентны, или имеют одинаковый тип, если они изотопны или если один из них изотопен зеркальному изображению второго.

Согласно этому определению, всякий узел эквивалентен своему зеркальному образу. А вот восьмерка даже изотопна!

Упражнение 3. Докажите это, «перевязав» узел на рисунке 7, б («левую» восьмерку) в «правую» восьмерку.

Узлы, которые, подобно восьмерке, изотопны своему зеркальному изображению, называют зеркальными. Существуют ли незеркальные узлы? Да: в 1914 году немецкий математик Ден, один из основателей теории узлов, доказал незеркальность клеверного листа (см. рисунок 7, а). Иными словами, эквивалентные узлы не всегда изотопны (изотопные же эквивалентны по определению). Хотя сквер-узел и бабушкин узел очень похожи (рис. 8, а и 8, б), они не только неизотопны, но и неэквивалентны. Строгое доказательство этого

утверждения сложнее, например, доказательства нетривиальности восьмерки (или клеверного листа). Тем не менее нетрудно указать «причину» их неэквивалентности: она состоит в незеркальности клеверного листа (обратите внимание на упражнение 9 в § 8). Не эквивалентны и узлы истинной (рис. 8, в) и ложной, (рис. 8, г) дружбы (есть и такие!), беседочный узел, турецкая чалма и китайская роза (рис. 8, д, е, ж), узел грузчика и удавка (рис. 8, з, и).

§ 6. Инварианты узла

По каким же признакам различают узлы? Одного ощущения, что два узла «похожи» или «не похожи», мало: даже такие простые узлы, как клеверный лист и восьмерка, можно изображать и завязывать по-разному (мы уже сравнивали рисунки 4, б, г и 2, а с рисунками 7, а и 7, б). Для нас важны только те признаки и свойства узлов, которые не зависят от способа их реализации или изображения и которые совпадают поэтому для всех узлов одного типа.

12

Рис. 9. Является ли этот узел замкнутой пятизвенной ломаной?

Такие признаки называют инвариантими узла *).

Большинство известных инвариантов определяется и вычисляется довольно сложно.

Найблее изученный и удобный из алгебраических инвариантов — группа узла — вычисляется по совершению точно описанным правилам, которые в принципе могут быть запомнить любой старшеклассник; однако для понимания как этих правил, так (что, конечно, важнее) и самого определения групп узла нужно знать начало топологии и вычислений алгебры. Используя именно группу узла, обычно доказывают, что узел нетривиален или что два узла неэквивалентны.

*) Инвариант (слово латинского произхождения) — неизменный, не зависящий от формы.

Тем интереснее познакомиться с простейшим числовыми инвариантими, в том числе — с минимальным числом скрещиваний и родом узла. Для достаточно простых узлов значения этих инвариантов находится сразу по диаграмме узла; но доказать, что найденное число и есть значение инварианта, как правило, очень сложно.

А. Минимальное число скрещиваний узла

Из всех диаграмм (см. § 2) узла В выберем ту, для которой число скрещивания минимально. Это число М (B) и называется минимальным числом скрещиваний узла B.

У праванте 4.1. Доказите, что М (A) = 0 тогда и только тогда, когда узел A тривален.

2. Доказите, что не существует узлов A, для которых М (A) = 1 или М (A) = 2.

3. В § 5 уже упоминалось (хотя и не доказываюсь), что окружность, kleverный лист и восемерка попарно не эквивалентны. Полъязысь этим, доказите, что равенства М (A) = 3 и М (B) = 4 выполнются тогда и только тогда, когда узел A эквивалентен kleverному листу, а узел B — восемерке. Тем самым мы получили исчерпывающие сведения об узлах с минимальным числом скрещивания, не превосходящим 4.

Б. «Изломанность» узла В соответствии с определениемручных узлов (§ 4) представим узел A

Рис. 10. Тривальный узел на сфере, kleverный лист на «бублке» и восемерка на «кренделе».

13

Рис. 11. Сферы с ручками и завязанными тор.

в виде замкнутой ломаной с наименьшим возможным числом звеньев. Наозовем это число И (А) «изломанностью» узла A.

У пряженние 5. Вычислите «изломанность» узла, изобравенно на рисунке 9 (ответ: восемь). Чему равна «изломанность» восмерки? Существуют ли узлы с «изломанностью» три, четыре и пяты?

В. «Кондитерское число» узла

Из всех узлов только окружность можно нарисовать на сфере без точек самопересечения; kleверный лист можно нарисовать на «бублике» (торе), а для восмерки нужно «крендель»; как расположить эти узлы на таких поверхностях, видно из рисунков 10, а, б, в.

И тор, и «крендель» получаются из грибной сферы, к которой приклеены полые грибные «ручки» (см. рис. 11, а, б).

Наименьшее число ручек, которые нужно приклеить к сфере, чтобы на получившейся поверхности можно было разместить узел A без точек самопересечения — исключой инвариант K (А) узла A.

У пряженние 6. Узлы, для которых K (А) = 1, называют морищеми. Постройте все торичские узлы с минимальным числом скрещиваний, равным 3, 5, 7.

У инварианта K (А) нет общеприятного назначения. Мы будем называть его «кондитерским числом» узла. Для того чтобы определение K (А) стало вполне корректным, нужно

14

Рис. 13. «Контурные узлы» сфер с ручками.

но доказать, что для любого узла существует хотя бы одна сфера с ручками, на которой можно расположить этот узел без точек самопересечения.

Упражнение 7. Придумайте какой-нибудь способ построения такой сферы с ручками по диаграмме узла (подсказка: рисунок 12).

§ 7. Род узла — важнейший из числовых инвариантов

За простой последнего определения кроется подвох: любой узел можно расположить на торе, стоит только «завязать» тор таким узлом! (Как это сделать, видно, например, из рисунков 11, 8, 2.) Следовательно, при определении «кондитерского числа» нужно условиями, что ручки сфера «не завязаны»: например, очень малы, разбросаны по поверхности сферы далеко друг от друга и имеют форму «половины бублика» (как на рисунке 11, 6).

Напротив, при построении, пожалуй, наиболее полезного из числовых инвариантов рассматривается как раз сферы с произвольным расположением ручек (ручки могут быть перевиты, завязаны и сцеплены); а ограничение накладывается на способ размещения узла на такой поверхности: требуют, чтобы после разрезания вдоль узла эта поверхность распадалась на две части. Ясно, например, что после разрезания тора и «кренделя» вдоль узлов на рисунках 10, 6, 8 (проверьте это!) получается только

Рис. 14. От перемены мест узлов их композиция не меняется.

15

Рис. 15. Разные обличия одного узла.

один «кусок» поверхности. «Кренделли» же, разрезанные вдоль узлов-контуров на рисунках 13, а, б, распадаются каждый на две части — верхнюю, обращенную к нам, и нижнюю (первый из них — это kleверный лист, а второй — восьмерка).

Род P (A) узла A — это половина наименьшего числа ручек у сферы, допускающей «разрезающее» размешение узла A.

У разженние 8. Докажите, что при разрезании как уголно заязанного тора вдоль любого узла на нем можно получить только один связный «кусок» поверхности. (Вместе с рисунками 13, а, б, это утверждение доказывает равенство рода kleверного листа и восьмерки единице.)

Нам нужно еще доказать возможность «разрезающего» расположения любого узла хотя бы на одной сфере с ручками; кроме того, определение наводит на мысль, что «наименьшее число ручек» всегда четно (это действительное так — см. упражнение 12 в § 10). Мы вернемся к этим вопросам в § 10, где доказем самое замечательное свойство рода узла.

§ 8. Арифметика узлов

Если два узла заязаны рядом на одной вервке, то получившийся узел называют произведением или композицией этих двух узлов.

Операция композиции узлов очень похожа на операцию умножения целых чисел.

1. Роль «единицы» при «умножении» двух узлов, очевидно, играет трюпальный узел — окружность. Обозначив его буквой E, а композицию двух узлов A и B через A # B, получим A = E # A = A # E (см. рис. 14, a).

2. Композиция — коммумативная операция:

A # B = B # A.

Это легко доказать, протаизив по вервке один узел «сквозь» другой (см., например, рис. 14, б—д).

У разженние 9. Сквер-узел и базушкин узел можно разложить в композицию двух узлов. Как это сделать и какая разница между этим двумя разложениями?

Коммутиативность композиции часто бывают удобно использовать для доказательства изотопности узлов; например, три узла на рисунках 15, а, б, в изотопны, так как … Но вам будет интереснее понять это самоестоящее.

Композицию узлов можно было бы определить и так, как ее понятно детя — любители заязываемых узлы покрепче, как правило, на шнурах от собственных туфель: сначала заязывается один узел, на него второй, затем третьий и так далее.

У разженние 10. Использовая идею «перемешения» узла по вервке, доказите, что такой сложный узел изотопен композиции составляющих его узлов. Инными словами, новое определение композиции по существу совпадает со старым.

3. Узел B делит узел A, если найдет такой узел C, что

A = B # C.

Подобно единше, тривальный узел делится только сам на себя.

16

Иначе, никакой нетривиальный узел нельзя развязать, завязав рядом с ним другой.

Это очевидное на первый взгляд утверждение в доказательстве. Вот идея одного из возможных доказательств: предположим, что $A \# B = E$; завязем последовательно бесконечное число пар узлов $A$ и $B$. Мы получим дикий узел, изображенный на рисунке 6, $a$. Он легко развязывается — для этого достаточно внутри всех красных трапеций одновременного развязать бесконечное число пар $A_k$, $B_k$ (вспомним, что $A_k = A$, $B_k = B$ и $A \# B = E$). Если мы также одновременно развязем все пары $(B_1, A_2)$, $(B_2, A_3)$, … внутри синхтрапеций, то получим узел $A_1$ (= $A$); следовательно, он развязывается! Итак, $A = E$, а значит, и $B = E$.

4. Узел называется простым, если он нетривиален и делится только на тривиальный узел и на узлы, изотопные ему самому.

Подобно простым числом, существуют бесконечное число простых узлов. Подробнее о простых узлах мы рассскажем в § 9.

5. Как и натуральное число, любой нетривиальный узел представим в виде композиции конечного числа простых узлов, причем такое представление единственное.

Доказательства свойств 4 и 5 найдены сравнительно недавно — в 1949 году (о разложимости узла на простые узлы расссказано в следующем параграфе; единственное такое представление мы не доказываем).

§ 9. О простых узлах

Существование простых узлов было доказано более чем через двадцать лет после того, как простые из них были собраны и систематизированы; в 1926 году американские математики Алексаан держ (один из основателей теории узлов) и Бриггс опубликовали таблицу диаграмм узлов (в те времена их еще не назвали простыми), аналогичную таблицам простых чисел*) (с. 17). Место узла в таблице определяется, прежде всего, его минимальным числом скрещиваний, а среди узлов с одинаковым таким числом — прежде всего, «кондитерским числом» узла, а затем уже другими, нам пока незнакомыми инвариантами.

Уражение 11. Найдите все простые узлы на рисунках 2—8 и их диаграммы в таблице. Вычислите значения инвариантов М, И, К, и Р для этих узлов.

В основе доказательства как существование простых узлов, так и разложимости любого нетривиального узла на конечное число простых лежит заменательное свойство рода узлов: род композиции двух узлов равен сумме родов «сомножителей», то есть:

$$P(A \# B) = P(A) + P(B).$$

Мы рассекjem об этом свойстве в § 10, а сейчас дважды воспользовемся им.

1°. Итак, рассмотрим нетривиальный узел $A$. Если он простой, то существование простых узлов уже доказано, как доказана и разложимость узла $A$ на конечное число простых. В противном случае разложим $A$ на композицию двух узлов, затем разложим, если это возможность, какдый из узлов «сомножителей» и так далее. Не более чем через $(P(A) - 1)$ шагов мы получим нужное нам разложение — род каждой из (нетривиальных!) «сомножителей» не меньше 1, а сумма их всех равна $P(A)$.

2°. Дадим теперь предельно короткое доказательство утверждения «никакой нетривиальный узел нельзя развязать, завязав рядом с ним другой» (см. § 8, свойство 3). Действительно, если $A \# B = E$, то $P(A \# B) = P(A) + P(B) = 0$, так что $P(A) = P(B) = 0$, а значит, и $A = B = E$.

§ 10. Род и композиция

Прежде чем переходим к доказательству равенства $P(A \# B) = P(A) + P(B)$, вернемся к замечанию, сделанному в конце § 7, и попытаемся установить пробель в определении рода узла.

Итак, показем, что для данного узла всегда найдется хотя бы одна

$3_1$ $4_1$ $5_1$ $5_2$ $6_1$
$6_2$ $6_3$ $7_1$ $7_2$ $7_3$
$7_4$ $7_5$ $7_6$ $7_7$ $8_1$
$8_2$ $8_3$ $8_4$ $8_5$ $8_6$
$8_7$ $8_8$ $8_9$ $8_{10}$ $8_{11}$
$8_{12}$ $8_{13}$ $8_{14}$ $8_{15}$ $8_{16}$
$8_{17}$ $8_{18}$ $8_{19}$ $8_{20}$ $8_{21}$

2 «Квант» № 7

18

Рис. 16. Двусторонняя пленка, натянутая на kleверный лист и раскрашенная с кажной стороны в свой цвет.

сфера с ручками, на которой можно расположить этот узел так, чтобы он разбивал всю поверхность на два «куска». Возьмем наш узел и «натянем» на него двустороннюю поверхность (как мыльную пленку на проволочный каркас); один из способов такого «натягивания» описан в 9-й главе уже упоминавшейся книги М. Гарднера (см. скоку на с. 9). Как это проделать, например, для kleверного листа, видно из рисунков 16, б—ж.

Замечание е. Не всегда поверхность, край которого есть некий узел, будет двусторонней; лист Мебуса на рисунке 16, а — пример односторонней поверхности, натянутой на тривальный узел!

Будем считать, что пленка, который мы «натянули» на узел — двойная (в том смысле, в котором употребляется выражение «двойной лист бумаги»), so склеенный видольяка краями, то есть некое подобное спушеного воздушного шарика. Раздуем теперь этот «воздушный шарик»; мы получим сферу с ручками, на которой «нарисоваан» наш узел. Если разрезать «шарик» вдоль узла, то он распадется на две пленки, из которых он был склеен.

Уражнение 12. Введем понятие «окантованной сферы с ручками»: на сфере мы располагаем «кант» по экватору, на каждой ручке — по двум противоположным образушим, и приклеиваем ручки, соединяя концы каnten на сфере и на ручках (ручки могут перекручиваться, как на рис. 13, а, б). Докажите, что если узел разрезает сферу с наименьшим воздушным числом ручек, то этот узел можно реализовать как кант для нашей сферы (илистрацией могут служить рисунки 16, д—ж).

Уражнение 13. Докажите, что кант сферы с нечетным числом ручек, «разрезаюший» эту сферу на два куска, всегда будет не узлом, а зацепленем.

19

Рис. 17. Как скленвают сферы с ручками.

Из упражнения 12 и 13 следует, что род любого узла — целое число.

Устранив неясности в определении рода узла, докажем теперь равенство рода композиции двух узлов сумме родов компонент.

Нетрудно доказать неравенство Р (A ≠ B) ≤ Р (A) + Р (B): возьмите две сферы с 2Р (A) и 2Р (B) ручками и расположенными на них «разрезаются» узлами A и B, и соединим сферы в «гантель» с 2 (Р(A) + P(B)) ручками так, чтобы узлы образовали композицию A # B (см., например, рис. 17). Очевидно, что узел A # B разрезает «гантель».

Рис. 18. Как из одной поверхности с узлом A # B «скроить» две помещые с узлами A и B

2* 19

20

Упражнение 14. Доказите подобным образом неравенства
$$M(A \# B) \leq M(A) + M(B),$$
$$K(A \# B) \leq K(A) + K(B).$$

Неравенство же $P(A \# B) \geq P(A) + P(B)$ доказать сложнее (для инвариантов $M$ и $K$ аналогичное неравенство выполняется не всегда).

Рассмотрим сферу с 2Р ($A \# B$) ручками и «разрезающим» узлом $A \# B$ на ней.

По определению композиции, мы всегда можем «растащить» узлы $A$ и $B$ на значительное расстояние друг от друга, например, так, чтобы они объединались в композицию по средством двух соединяющих их параллельных отрезков ($KL$ и $MN$ на рисунке 18, а); одновременно нам придется «растануть» и исходную сферу с ручками.

Проведем теперь плоскость, разделяющего узлы $A$ и $B$. Эта плоскость рассекает сферу с ручками, во-первых, по «трубке», вдоль которой проходят два отрезка, связывающих узлы (доказите, что эти отрезки действительно проходят по одной трубке, а не по двум разным!); заклеим образованшиеся два отверстия «заплатами» с нарисованным на них дугами, замыкающим каждый из узлов (дуги $PQ$ и $RS$ на рисунке 18, б). Во-вторых, плоскость может «случайно» вырезать «дыры» в тех частях сферы с ручками, которые не содержат линей узла; заклеим «заплатами» (на этот раз без нарисованных дуг) и эти «дыры».

Очевидно, что каждый из получшихся узлов $A$ и $B$ расположен на своей сфере с ручками и разрезает ее, причем сумма чисел ручек каждой из этих сфера не больше числа ручек исходной сферы, то есть $P(A \# B) = P(A) + P(B)$, что и требовалось.

Уражнение 15. Попытайте тем же способом доказать неравенство $K(A \# B) \geq K(A) + K(B)$.

Вот мы и закончили наше нелегкое путешествие. Если вы хотите продолжить его — путешеителем вам послужит интересная (хотя и трудная) книга Кроуэлла и Фокса.

Алгебраические задачи

1. Доказать, что $x^{13} - 1 = (x - 1)(x^6 - ax^5 + 2x^4 + bx^3 + 2x^2 - ax + 1) \times (x^6 - bx^5 + 2x^4 + ax^3 + 2x^2 - bx + 1)$, где $a$ и $b$ корни квадратного уравнения $z^2 + z - 3 = 0$. Найти аналогичное разложение для $x^{17} - 1$, выбрав в качестве $a$ и $b$ корни квадратного уравнения $z^2 + z - 4 = 0$.

2. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ корни кубического уравнения $x^3 + bx + c = 0$. Составить уравнение, имеющее корни $\alpha(\beta - \gamma)^2, \beta(\gamma - \alpha)^2, \gamma(\alpha - \beta)^2$.

3. Доказать, что при любом натуральном значении $r$ числа
   $$N_1 = r^{r+1} - 2r^r + 1,$$
   $$N_2 = 2r^{r-2} - r^{r-3} - 1$$
   $(r > 2),$$$$N_3 = r^{r+1} - 2r + 1,$$$$N_4 = r^{r-2} + r - 2$$делятся на целое на$(r - 1)^2$, а числа$N_1$и$N_2$делятся на целое на$(r - 1)^3$, если$r$четно. 4. Доказать, что если$(x + y)(x + z) = bcyz, (y + z)(y + x) = acxz, (z + x)(z + y) = abxy, то $a + b + c = abc + 2$ или $a + b + c = abc - 2$.

4. Доказать, что если $x + y + z = 0, \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} + \frac{z^2}{c} = 0, ayz + bzx + cxy = 0$, то $(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c) = abc$.

5. Пусть натуральное число $D$ такое, что при обращении дроби $\frac{1}{D}$ в десятиную получается число перiodического дробь, имеющая $p$ цифр в периоде. Обозначим через $N(n, m)$ натуральное число, десятичная запись которого состоит из $m$ групп вида 00…01, причем в каждой группе $n - 1$ нуль (в самом левой группе нулы опускаются). Доказать, что если $n$ делится на $p$, то $N(n, m)$ делится на $D$ в том и только том случae, когда $m$ делится на $D$.

H. B.

21

Квантовая теория и физика низких температур возникли почти одновременно, в начале этого столета. На первых порах они развивались независимо друг от друга, но в дальнейшем обнаружились глубокая связь этих «ровесников». Прежде всего, стало ясно, что без квантовой физики невозможно обьясить явления, наблюдаемые при низких температурах. В дальнейшем, и особенно в последние годы, физика низких температур сама внесла важный вклад в квантову теории.

Квант — фундаментальное понятие современной физики. Важность этого понятия поддержита и названем журнала, который вычитаете в данный момент. Оно из основных положений квантовой физики состоит в том, что цель ряда физических величины, таких как энергия, импульс и др., в определениях условий квантующия, то есть могут применять только дискретный ряд значений. Но неадвенного времени считалось, что квантование касается только микромира, то есть оно свойственно процессам, проискодящим в атомах, атомных ядрах и т.п. Действительно, при изучении макросоппических объектов мы имеем дело с громадным числом частиц. И хотя поведение каждой отдельной частицы описывается закономи квантовой физики, в целом в макросоппическом образце квантование энергии, импульса и других физических величины не проявляется из-за хаотического теплового движения частиц. Квантовые эффективы как бы успешно, «сходят на нет». Таким образом, тепловое движение atomов массирует квантовые закономерности. Однако изучение некоторых макросоппических объектов, размеры которых в сотни тысяч раз больше атомных. Вблизи абсолотного нуля, когда тепловое движение не играет значительной роли, оказывается возможным неосредственное наблюдание квантовых закономерностей.

О двух явлениях макросоппического квантования иной детree в этой статье.

Квантование магнитного потока

Вначале мы обратимся к явлению сверхпроводимости. Сверхпроводники, как известно, замечательны тем, что в них при некоторых температуре (она называется критической и обозначается $T_k$) исчезает электрическое сопротивление. Это явление было открыто в 1911 году голландским ученым Kamерлинг-Оннесом. Но природа сверхпроводимости стала понятной спуста почти полвека, в 1957 году, когда, наконец, была построена теория сверхпроводимости.

В этой статье мы не будем останавливаться на обьясении сверхпроводности.

22

димости, а расскажем о некоторые явлениях, наблюдаемых в мире сверхпроводников, явлениях, в которых, пожалуй, наиболее ярко проявляются законы квантовой физики.

Начнем со следующого эксперимента. Возбудим в металлическом колце электрический ток (например, использя электромагнитную индукцию). При комнатных температуре ток в колце будет быстро затухать. Протекание тока сопровождается тепловыми потерями, и эти потери приводят к затуханию тока.

Совершенно иная картина наблюдается в случае, когда температура близка к абсолотному нулю и металл является сверхпроводником. При этих условиях однажды набеденный ток становится незатухающим. В одном из оптовок ток циркулировал в сверхпроводящем колце 2,5 года, и если бы эксперимент не прекратили, мог бы циркулировать сколь угодно долго.

На первый взгляд описанная картина незатухащего ток в сверхпроводящем колце кажется легко обьясимой. В самом деле, в сверхпроводниках ток течение без всякого сопротивления. В них нет джойлевых потерь. Поэтому не теряющие свойства энергии электроны и могут сколь угодно долго дивгаться по колцу.

Однако дело обстоит значительно сложней. Конечно, тепловые потери в сверхпроводнике отсутствуют. Тем не менее картина остается загадочной и совершенно необъяснимой с точки зрения классической физики.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Движение электронов, образующих ток в колце, не является равномерным. Электроны движутся по окружности и, следовательно, сускорением. Ноускорение движение электрического заряда всегда сопровождается излучением электромагнитных волн *). Должны излучать электро-

*) Рекомендуем вам прочитать статью М. И. Каганова «Электрон движется с тренем» в «Кванте», 1974, № 12.

магнитные волны и электроны, движущиеся с центростремительнымускорением в расматриваемом металлическом колце. Постепенный расход энергии на излучение и должны привести, даже в отсутствие тепловых потерь, к затуханию тока в колце.

Но опыт (а именно он является главным судьей, определяющим правильность всякого теоретического рассмотрения) показывает, что ток не затухает и может циркулировать в сверхпроводящем колце сколь угодно долго.

В истории физики уже возникла задача.

В 1911 году Резерфорд, основываясь на своих классических опытах по рассеянию α-частиц, создал планетарную модель атома. Он предложил (сейчас мы настолько привели к планетарной модели, что слово «предположил» звучит даже страно), что atom состоит из ядра и электронов, врашащихся вокруг него по круговым орбитам.

Основная трудность планетарной модели атома была связана сускорением характерами движения электронов вокруг ядра. Движущие с центростремительнымускорением электрон должен излучать электромагнитные волны, при этом энергия его должна уменьшаться, а это должно привести кpadению его на ядро. Иными словами, из основных положений физики электромагнитных явлений следует вывод о неустойчивости планетарной модели атома. Но ведь в действительности atoms устойчивы.

Исследование этой фундаментальной трудности, стоящей на пути признания планетарной модели атома, привело к созданию квантовой теории Бора. Согласно поступлении Бора существенно изменяется орбиты, при движении по круглым электроне излучает электромагнитные волны *). Должны излучать электро-

n — целое число (n = 1, 2, 3, . . .).

На каждой из таких орбит электрон обладает полное определение энергии. Иными словами, в квантовой теории атома момент импульса и энергия электрона могут принимать лишь дискретный ряд значений.

23

Бор сохранил планетарную модель атома и пришел к выводу, что в микромире действуют законы, радикально отличающиеся от законов, установленных физиками при изучении обычного окружающего нас макромира.

Вернемся теперь к рассказу о сверхпроводящем кольце, в котором циркулирует незатухающий электрический ток. Излучение электромагнитных волн в этом случае не возникает по той же причине, по которой не излучает электрон, двигаясь вокруг атомного ядра. В обоих случаях основную роль играют законы квантовой физики. Но если при изучении свойств атома мы сталкиваемся с квантованием в микромире, который мы не можем наблюдать непосредственно, то сверхпроводимость дает пример квантования непосредственно наблюдаемой нами макроскопической величины — силы тока.

Оказывается, сила тока в сверхпроводящем кольце не может принимать любое численное значение и изменяться непрерывно. Для всего электронного коллектива, движущегося в таком кольце, возникает гигантская «боровская» орбита. Аналогично тому, как в планетарной модели атома разрешенные орбиты электрона характеризуются определенными значениями момента импульса и энергии, гигантские орбиты электронов в сверхпроводящих кольцах характеризуются вполне определенными значениями силы тока.

Поскольку сверхпроводящий ток тесно связан с магнитным полем (см. рис. 1), квантование тока приводит к тому, что индукция $B$ поля может принимать только дискретный ряд значений. Следовательно, будет квантоваться и магнитный поток $\Phi = \pi r^2 B$ через сечение сверхпроводящего кольца. Иными словами, магнитный поток $\Phi$ может быть кратен некоторой минимальной порции — кванту магнитного потока $\Phi_0$, то есть $\Phi = N\Phi_0$, где $N$ — целое число. Магнитный поток — макроскопическая величина, и возможность его квантования означает переход к гигантским

по сравнению с атомными масштаба квантования.

Эксперимент, в котором наблюдалось квантование магнитного потока, был проведен американскими физиками Б. Дивером и В. Фэрбенком в 1961 году. На медную проволоку диаметром $1{,}3 \cdot 10^{-3}$ см наносился по всей поверхности тонкий слой олова. Таким образом, получался «полый» цилиндр из олова, и в этом цилиндре при температурах ниже $T_к = 3{,}8°$ K (при $T < 3{,}8°$ K олово становится сверхпроводником) возбуждался сверхпроводящий ток. (Медь не является сверхпроводником, и поэтому она играла роль остова, необходимого для приготовления сверхпроводящего цилиндра. В дальнейшем поэтому мы будем говорить только об оловянном цилиндре. В нем и циркулировал незатухающий ток.) Для измерения магнитного потока в полости, окруженной этим током, у одного из концов цилиндра помещалась индукционная катушка. Цилиндр приводился в колебательное движение вдоль его оси, частота колебаний достигала 100 гц. При этом в катушках возникал индукционный ток, позволяющий судить о величине магнитного потока, находящегося внутри цилиндра. Опыт показал, что поток, равный $\Phi = \pi r^2 B$ ($r$ — радиус цилиндра), принимает дискретный ряд значений:

$$\Phi = N\Phi_0,$$

$N$ — целое число ($N = 1, 2, 3, \ldots$), а $\Phi_0$ — квант магнитного потока.

Рис. 1.

24

На рисунке 2 приведен график изменения магнитного потока через сечение сверхпроводшего колба при непрерывном изменении внешнего магнитного поля, возбуждающего ток в колбе.

В следующем разделе мы вычислим значение кванта магнитного потока $\Phi_0$. Он оказывается равным $2 \cdot 10^{-15} \text{вб}$. Такова величина минимальной порции магнитного потока. Значение кванта магнитной индекции, как видно из формулы $\Phi = \pi r^2 B$, зависит от радиуса цилиндра. В опите Дивера и Фэрбенка он был равен $1.3 \cdot 10^{-3} \text{см}$, и кванту магнитного потока соответствовал поле $B \approx 5 \cdot 10^{-6} \text{мл}$. Это максимическая величина. Она всегда в 10 раз меньше индекции магнитного поля Земли.

Квант магнитного потока

Мы вернемся еще к эксперименту, в котором было обнаружено квантование магнитного потока, а сейчас перейдем к вопросу: как расчитать значение кванта магнитного потока $\Phi_0$? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся аналогией с планетарной моделью atoma и примем представления теории Бора к току, циркулирующейму в колбе (или цилиндре).

Электроны, движущие в сверхпроводящем колбе, подобны atomным электронам, находящимся на боровской орбите. Запишем условия квантования момент импульса этих электронов:

$$mvr = N\hbar.$$

Теперь под $r$ следует поннимать не радиус электронной орбиты, а радиус колба, в котором циркулирует сверхпроводящий ток. Посольку радиус колба — величина определяна, то условие (*) можно рассматривать как условие квантования электронного импульса $p = mv$. Квантование импульса означает, что ток в колбе может принимать лишь дискретный ряд значений. А это в свою очередь приводит к квантованию магнитного потока. Найдем, как связаны между собой $p$ и $\Phi$.

Энергия, которой обладает ток $I$, текущий по контуру с индуктивностью $L$, равна $E = \frac{LI^2}{2}$. Эта же формула справедлива для случая сверхпроводшего контура *).

Посольку магнитный поток равен $\Phi = LI$, то выражение для энергии может быть записано в виде

$$E = \frac{I\Phi}{2}.$$

Сила тока, создаваемого в колбе $n$ электронами, движущимся со скоростью $v$, очень high. Подставляя это выражение в (1), приходим к следующей формуле для энергии:

$$E = \frac{\Phi ne}{2\pi r} \cdot \frac{v}{2}.$$

Энергия частицы, движущая со скоростью $v$, как известно, равна $E = \frac{mv^2}{2} = \frac{pv}{2}$, где $p$ — импульс частицы. Следовательно, энергия $n$ электронов, движущихся со скоростью $v$ по сверхпроводящему колбцу, равна

$$E = \frac{npv}{2}.$$

*) В «Приложении II» в конце статьи приведен выбор формулы $E = \frac{LI^2}{2}$.

25

Сравнивая формулы (2) и (3), приходим к следующему выражению для импульса электрона:

$$p = \frac{\Phi e}{2\pi r}$$

(4)

Существняя особенность сверхпроводников состоит в том, что в них электроны разбияются на связанные пары. Поэтому имеет смысл говорить об импульсе электронной пары как целого, который равен удвоенному импульсу электрона:

$$p = \frac{\Phi e}{\pi r}$$

(5)

Формула (5) неисредственно связана с электронный импульс в сверхпроводнике с магнитным потоком, создаваемым сверхпроводящим током. Подставив это выражение в закон квантования (*), получим

$$r \frac{\Phi e}{\pi r} = N\hbar (N=1, 2, 3, \dots).$$

Отсюда

$$\Phi = N \frac{\hbar \pi}{e} = N \frac{h}{2e},$$

то есть

$$\Phi = N\Phi_0,$$ где $\Phi_0 = \frac{h}{2e}$.

Таким образом, квант магнитного потока оказывается равным $\frac{h}{2e}$. Магнитный поток, произвольной сверхпроводящей колюцо, может принимать только значения, кратные $\Phi_0$. Величину кванта легко составляет, подставив в (**) численные значения постоянной Планка $h$ и заряда электрона $e$:

$$\Phi_0 = 2 \cdot 10^{-15} \text{ e}\sigma.$$

В опите Дивера и Фэрбенка, о котором мы расссказывали выше, и было обнаружено, что магнитный поток в цилиндре принимает значения, кратные именно этой величины.

«Вихри» в сверхтекучем гелини

Другой пример квантования, которое произходит в огромных по сравнению с atomными масштабах, наблюдается также при низких температурах, когда изучается другой «сверхявленное» — сверхтекучесть жидкого геляя.

Известно, что при температуре $T = 4,2^\circ\text{K}$ при нормальном давлении гелиний переходит из газообразного состояния в жидкое и при дальнейшем попежении температуры вплоть до абсолотного нуля так и не затвердевает (лишь под давлением в 25 ампм при температуре, близких к абсолотному нулю, гелиний можно перевести в твердое состояние). Но этим не исчерпываются замены свойства этого вещества. При $T = 2,17^\circ\text{K}$ гелиний переходит в особое состояние — сверхтекучесе. Явление сверхтекучести, открытое академиком П. Л. Капицей в 1937 году, состоит в способности жидкого геляя при температуре, меньше $T = 2,17^\circ\text{K}$, протекать в узких капиллярах без всякого треня. Гелиний при температуре, меньше $2,17^\circ\text{K}$, называют HeII — в отличие от HeI ($4,2^\circ\text{K} > T > 2,17^\circ\text{K}$), является обичной жидкостью.

Явления сверхтекучести и сверхпроводимости весы сходны друг с другом. Можно сказать, что сверхпроводимость представляет собой сверхтекучесть электронов. Аналогия сверхпроводимости и сверхтекучести оказывается весы глубокой, и в частиности, она проявляется в возможность наблюдания макросоппечских квантовых явлений как в сверхпроводниках, так и в сверхтекучеме гелини.

При определении сверхтекучести не следует отмечаться способность геля протекать без треня именно в узких капиллярах. Дело в том, что вязкость жидкости (или внутреннее трене) может быть изменена двумя независимыми способами. Первый из них связан с изменением скорости вытекания жидкости из узкого капилляра (чем больше вязкость, тем меньше скорость вытекания). Для исследования вязкости других других других

26

Рис. 3.

Рис. 4.

дом в жидкость опускается диск, совершающий крутильные колебания (рис. 3). Чем больше вязкость, тем быстрее затухают колебания диска. Для всех жидкостей оба метода измерения дают один и тот же результат. Однако имеется единственное исключение из этого правила, и этим исключением является HeII. При протекании HeII по узким капиллярам вязкость оказывается равной нулю, то есть обнаруживается сверхтекучесть. Можно было бы ожидать, что колебания диска, опущенного в HeII, окажутся незатухающими. Однако при втором способе определения вязкости HeII ведет себя как обычная жидкость — колебания диска затухают.

Эти поразительные свойства гелия нашли свое объяснение в теории сверхтекучести академика Л. Д. Ландау, построенной им в 1941 году. Согласно этой теории HeII характеризуется двумя типами движения — нормальным и сверхтекучим. Наглядно можно представить его как бы состоящим из двух компонент. Одна из них представляет собой нормальную жидкость, а другая — сверхтекучую. Колебания диска затухают благодаря трению его о нормальную компоненту. В опыте с протеканием гелия по узкому капилляру обнаруживается сверхтекучая компонента. При абсолютном нуле нормальная компонента отсутствует.

При $T > 2{,}17\ ^\circ$К, наоборот, обращается в нуль сверхтекучая со-

ставляющая. А в промежуточной области температур ($0\ ^\circ$К$\leqslant T \leqslant 2{,}17\ ^\circ$К) присутствуют обе компоненты.

Вращающийся гелий

Исследуем свойства HeII, налитого в цилиндрический сосуд, вращающийся вокруг оси (см. рис. 4). Будем исходить из описанной выше двухжидкостной модели и постараемся представить себе картину такого вращения. Нормальная компонента благодаря трению о стенки цилиндра должна вовлекаться в движение стенки. Что же касается сверхтекучей компоненты, то, на первый взгляд, кажется, что она должна оставаться неподвижной.

К какому наблюдаемому эффекту должна привести эта своеобразная картина? Как известно, при вращении жидкости, налитой в сосуд, свободная поверхность жидкости принимает форму параболоида. Поскольку в нашем эксперименте вращается не весь гелий, а только его нормальная компонента, то следует ожидать, что при вращении HeII эта поверхность должна быть менее изогнута, чем в случае, когда в цилиндре находится HeI.

Что же показывает эксперимент? Форма поверхности вращающегося HeII оказывается такой же, как в нормальной жидкости.

Как объясняется это явление? Не противоречит ли картина вращающегося гелия теории сверхтекучести

и представлению о двух компонентах HeII? Оказывается, что никакого противоречия нет, но картина вращающегося гелия совсем не так проста, как это могло вначале показаться.

Жидкий гелий вращается совершенно спокойно (это соответствует ламинарному течению) только при очень малых скоростях вращения (обычно меньших $\sim 10^{-2}\ см/с$). С увеличением скорости возникает картина, похожая на турбулентный режим. Представьте себе движущуюся жидкость, содержащую большое количество воронок — областей, в которых движение жидкости подобно движению воздуха в смерче. Вращающийся гелий и оказывается пронизанным такими областями. Они получили название вихрей. Сверхтекучая компонента, находящаяся в области вихря, вращается вокруг его оси. Скорость вращения возрастает по мере приближения к оси вихря, и на некотором расстоянии от оси (порядка межатомных расстояний) происходит «срыв» сверхтекучести; то есть свойство сверхтекучести сохраняется до некоторой критической скорости ($\sim 60\ м/с$). Поэтому вблизи оси вихря возникает область, содержащая нормальную жидкость. Появление воронок, связанных с вихрями, и приводит к искривлению свободной поверхности вращающегося HeII.

Таким образом, вращающийся сверхтекучий гелий оказывается пронизанным вихрями; ствол вихря представляет собой нормальную компоненту. Атомы гелия вращаются вокруг оси вихря, подобно тому, как вращаются электроны в сверхпроводящем кольце *). Движение этих атомов также подчиняется правилу квантования, которое аналогично правилу квантования Бора для орбит электронов в атоме.

---

*) В некоторых сверхпроводниках при определенных условиях возникает картина, аналогичная появлению вихрей в HeII. Об этом рассказывается в «Приложении I» в конце статьи.

Если $p$ — импульс атома гелия (в сверхтекучей компоненте), $r$ — радиус ствола вихря, то

$$pr = N\hbar, \text{ или } m_{\mathrm{He}} v \cdot r = N\hbar \quad (***)$$
$$(N = 1, 2, 3, \ldots)$$

($m_{\mathrm{He}}$ — масса атома гелия). Иными словами, в случае вихрей в гелии квантуется орбитальный момент атома гелия. Величина кванта орбитального момента равна $\hbar$.

Радиус вихрей в сверхтекучем гелии — величина, которая может принимать любые значения, вплоть до размеров сосуда, в который налит жидкий гелий. Обычно в экспериментах сосуд имеет радиус 1 см, то есть масштаб квантования по сравнению с атомным возрастает приблизительно в $10^{8}$ раз (напомним, что размер атомной орбиты $\sim 10^{-8}\ см$).

Из () видно, что скорость вращения атомов гелия вокруг ствола зависит от расстояния их до оси вихря — $v = N\dfrac{\hbar}{m_{\mathrm{He}} r}$ — и при одном и том же значении $r$ может принимать дискретный ряд значений. Для характеристики движения по замкнутому контуру радиуса $r$ пользуются величиной $vr$, которую называют циркуляцией. Как видно из формулы (), при образовании вихрей в сверхтекучем гелии циркуляция жидкости может принимать только дискретный ряд значений, то есть является величиной квантованной:

$$vr = N\frac{\hbar}{m_{\mathrm{He}}}\ (N = 1, 2, 3, \ldots).$$

Закон квантования (***) экспериментально исследовался в работе английского физика Вайнена. Результаты опыта показали, что величина $m_{\mathrm{He}} vr$ действительно принимает дискретный ряд значений, и квант орбитального момента равен $\hbar$.

Таким образом, в сверхтекучем гелии, также как и в сверхпроводниках, наблюдается эффект макроскопического квантования.

В мире низких температур, где тепловое движение еще не играет

27

28

такой большой роли, как при обычных для нас комнатных температурах, оказываются господствующими квантовые законы. Изучение свойств вещества, находящегося в столь необычных условиях, углубляет и наше понимание квантовой физики. Само название «квантовая» отражает важную особенность физических величин: их дискретность, существование отдельных порций, квантов. И если раньше казалось, что это относится только к величинам, описывающим свойства микрочастиц — электронов, протонов, отдельных атомов и т. п., то из рассказанного выше ясно, какое важное обобщение возникло при изучении физики низких температур. Квантование возможно и в макроскопическом масштабе. Дискретными оказываются величины, описывающие свойства гигантских по сравнению с атомными объектов.

Приложение I

«Вихри» в сверхпроводниках

В этом приложении рассказывается о том, как магнитное поле проникает в некоторые сверхпроводящие вещества. Процесс этот носит квантовый характер: поле проникает в вещество отдельными порциями. Прежде чем перейти непосредственно к описанию этого явления, кратко остановимся на вопросе об использовании сверхпроводников для создания сильных магнитных полей.

На первый взгляд может показаться, что сверхпроводники идеально подходят для создания сколь угодно сильных магнитных полей. В самом деле, при использовании электромагнитов приходится считаться с тепловыми потерями. Рост силы тока в обычном соленоиде влечет за собой и рост джоулевых потерь. И если нам требуются очень сильные магнитные поля, то наряду с большими затратами мощности для поддержания тока необходимы сложные охлаждающие системы, предотвращающие провода от перегрева и даже от плавления. При использовании сверхпроводящего тока, протекающего без всякого сопротивления, эти трудности полностью отсутствуют.

Однако дело обстоит не так просто, как это может показаться на первый взгляд. Предположим, что обычный сверхпроводник находится во внешнем магнитном поле. Оно не может проникнуть внутрь, в толщу сверхпроводника. Дело в том, что существует неразрывная связь между магнитным полем

и сверхпроводящим током. Воздействие внешнего магнитного поля приводит к появлению в поверхностном слое металла сверхпроводящего тока. Этот поверхностный ток создает собственное магнитное поле, противоположное приложенному полю. В теории сверхпроводимости доказывается, что происходит полная компенсация магнитного поля внутри сверхпроводящего вещества (это явление называют эффектом Мейсснера).

Если мы создадим в металле сверхпроводящий ток, то в окружающем пространстве возникнет магнитное поле. Оно не может проникнуть в сверхпроводящий образец. Однако такая картина наблюдается до тех пор, пока ток и соответствующее поле не очень велики ($\sim 3 \cdot 10^{-3}$ $тл$). Когда поле достигает некоторого значения $B_\mathrm{к}$ (критическое значение), оно проникает внутрь сверхпроводника и, «врываясь» в него, разрушает сверхпроводящее состояние. Поэтому длительное время казалось, что получение с помощью сверхпроводников сильных магнитных полей (больших $B_\mathrm{к}$) невозможно.

В дальнейшем выяснилось, однако, что существуют сверхпроводники, с помощью которых можно получать очень большие (сверхсильные) магнитные поля. Эти сверхпроводники — их называют сверхпроводниками второго рода — могут находиться в так называемом смешанном состоянии, теория которого была разработана советским физиком-теоретиком А. А. Абрикосовым.

Если сверхпроводник второго рода, по которому течет ток, находится в магнитном поле, то при некотором значении индукции $B_{\mathrm{к}1}$ (эта величина называется нижним критическим полем) поле начинает частично проникать в толщу сверхпроводящего образца. Электроны в сверхпроводнике под действием силы Лоренца начинают двигаться по окружностям (если их скорость перпендикулярна силовым линиям поля). Возникающая при этом картина сходна с картиной вращающегося Не II: в сверхпроводнике появляются вихри. Сверхпроводящие электроны вращаются вокруг оси вихря; скорость вращения возрастает по мере приближения к оси, и на некотором расстоянии от нее происходит

Рис. 5.

29

«срыв» сверхпроводимости — магнитная индукция внутри выхода от нуля. «Ствол» выхода находится в нормальном состоянии.

Таким образом, сверхпроводящий образец оказывается произненным нитями, представляющим собой объчные неверхпроводические области. Вихри в сверхпроводнике образуют треугольную решетку (см. рис. 5). Стволы выходе ориентированы в направлении сливых линей магнитного поля. В пространстве между выходами свойства сверхпроводимости сохраняются. Magнитный поток, произвольный сечение ствола выхода, оказывается одним и тем же для всех выходей и равным по величине кванту магнитного потока $\Phi_0$. То есть каждый выход несет один квант потока, и в виде таких отдельных порций магнитное поле проникает внутри сверхпроводника.

При увеличении поля ($B > B_{K1}$) число нормальных области растет, выходные нитки слижаются, и при некотором значении поля $B_{K2}$ (эта величина называется верхим кремтическим полем), когда расстояние между выходными нитями становится $\sim 10^{-6}$ м, сверхпроводимость полностью разрушается и вещество переходит в нормальное состояние.

Такая своеобразная картина проникновения магнитного поля в сверхпроводника второго рода позволяет использовать их для получения сливых магнитный полей. Значение верхнего критического поля $B_{K2}$ может оказаться очень большим. Например, для сплава Nb$_3$Sn $B_{K2} \approx 20$ мл. (Сверхпроводниками второго рода являются сплавы с высоким содержанием примеси.)

При использовании сверхпроводников второго рода для получения сливых магнитных полей энергетически затраты в сотни—тысячи раз меньше, чем при использовании электромагнитов. Например, для получения поля в 10 мл с помощью обычного соленода требуется источник питания мощностью 5000 кВт и, кроме того, необходима сложная установка для охлаждения обмотки соленода. При использовании сверхпроводников необходимо лишь затраты энергии для получения жидкого геля (при температуре жидкого геля металл соленода находится в сверхпроводшем состоянии). Но для этого в приведенном примере необходимо мощность всего 5 кВт. То есть энергетические затраты уменьшаются в 1000 раз.

Приложение II

Приведем вывод формулы для энергии, которой обладает ток, текущий по проводнику.

Рассмотрим контур, по которым проектируется ток $I$. Magнитный поток $\Phi$, создавший этим током, возвращает при увеличении $I$ по закону $\Phi = LI$, где $L$ — индуктивность контур. Предположим, что в начальной момент времени $t_0 = 0$ ток в контуре равен $I_0$, и, начиная с этого момента, сила тока равномерно возвращается равной $I_t$. Ясно, что возрастание силы тока сопровождается ростом энергии магнитного поля, создавшего ток.

За время $t$ по проводнику переместился заряд $q$. Заряд движения скоренено, так как сила тока возвращается (плотность тока равна $j = nev$; при постоянном $n$ возрастание $j$ обусловлено ростом $v$). Для того чтобы получить формулу для энергии тока, вычислим работу электрических сил по перемещению заряда $q$ вдоль всей замкнутой цепи. Работа выражается формулой $A = qE$, где $E$ — электродвижущая сила, равная в обычном проводнике $E = IR + \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$.

Первое слагаемое в правой части этого равенства связано с общными омическими потерями, а второе обусловлено наличие эффектива самондукции, ослабляющего ток. Ясно, что $q = I_{cp} \cdot t$ ($I_{cp}$ — средняя сила тока, равная при равномерном возрастании тока $I_{cp} = \frac{I_0 + I_t}{2}$). Таким образом, равна оказываться равной

$$A = \frac{I_0 + I_t}{2} t E.$$

В сверхпроводниках $R = 0$ и $E = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$. Поскольку формула $\Phi = LI$, то $E = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. В нашем случае изменение точки $\Delta I$ равно $\Delta I = I_t - I_0$, а промежуток времени $\Delta t = t$. Тогда $E = L \frac{I_t - I_0}{t}$. Подставляя это значение для $E$ в формулу для работы, приходим к следующему выражению:

$$A = \frac{I_0 + I_t}{2} t \cdot L \frac{I_t - I_0}{t}.$$

Работа, таким образом, оказывается равной

$$A = \frac{LI^2}{2} - \frac{LI_0^2}{2}.$$

Видно, что величина работы описывается изменением величины $\frac{LI^2}{2}$. Ее естественно считать равной энергии тока, так что

$$E = \frac{LI^2}{2}.$$

(Внимательный читатель обнаружит аналогию приведенного вывода формулы для энергии тока с выводом выражения для кинетической энергии в обычной механике.)

30

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

В школьном курсе геометрии вы часто встречаете со многими геометрическими преобразованиями плоскости: парапельными переносами, симметриями, врашеними, преобразованиями подобия. О важности этих понятий говорит хотя бы то, что при доказательстве конгрузентности фигур использует геометрические преобразования — перемешения. Однако геометрические преобразования встречаются не только в формулировках определений и в доказательствах школьных теорем; они применяются при решении самых разнообразных геометрических задач. При этом преобразования совсем не обязательно должны фигурировать непосредственно в формулировках задач: часто бывают так, что формулировка задачи носит совершенню «статичный» характер, а самоое простое и изящное решение оказывается «динамичным», существенно использующим различные геометрические преобразования заданных фигур. В этой заметке мы рассекем о том, как можно научиться видеть эту внутреннюю «динамику» планиметрических задач.

Общие сведения о геометрических преобразованиях

Начнем с определения перемещения.

О пределене 1. Перемещением называется отображение плоскости на себя, при котором сохраняется расстояния между точками.

Докажем такую теорему о перемещениях:

Теорема 1. Существует одно и только одно перемещение, которое переводит вершины A, B и C заданного невыраженной преуездника ABC соответствующего в вершины A1, B1, C1 конгрузительного ему преуездника A1B1C1.

Доказательство. Существование такого перемещения следует из того, что треугольники ABC и A1B1C1 конгрузны. Докажем, что оно единственно.

Пусть F — некоторое перемещение плоскости, такое что F(A) = A1, F(B) = B1, F(C) = C1, и пусть X — произвольная точка плоскости. Тогда точка F(X) должна находиться на расстояниях |XA|, |XB|, |XC| соответственно от точки A1, B1 и C1.

Но три окружности с центрами в точках A1, B1, C1, не лежащих на одной прямой, имеют не более одной общей точки; значит, точка F(X) определяется однозначно.

Вы знакомы с темя видами перемещений:

1. Параallelными переносами.
   (Параallelный перенос определяется заданием точки и ее образа).

2. Поворомами.
   (Поворот определяется заданием его центра O, угла поворота α и направления поворота; угол поворота α при этом считается заключенным в пределах 0° ≤ α ≤ 180°. Но если выбрать какое-либо направление поворота в качестве положительного, а противоположное направление считать отрицательным, то тогда поворот полностью определяется заданием его центра и угла поворота α; угол поворота при этом считается направленной вершиной, числовое значение которого может быть как положительным, так и отрицательным. Поворот с центром O на угл α обозначает

31

$R_0^\alpha$. Теперь любой поворот может быть задан указанием его центра и угла поворота $\alpha$, лежащого в пределах $-180^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$. Если $\beta = \alpha + 360^\circ$, $n$, где $n$ — целое и $-180^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$, то поворот на угол $\beta$ называется поворот $R^\alpha$.

3. Осевыми симметриями.

(Освая симметрия определяется заданием оси симметрии — прямой $l$.)

Простейшим перемещением является мождественное отображение плоскости, которое любую точку $X$ отображает на себя; его обозначают буквой $E$, — тогда $E(X) = X$. Тождественное отображение считается поворотом на нулевой угол вокруг центра $O$. Подобным же образом размещено считать тождественное отображение и параллельным переносом на нулевое расстояние. Тождественное отображение — единственное перемещение, которое является одновременно поворотом и переносом.

Для любого центра $O$ поворот на $180^\circ$ в обохх направлениях совпадает и является центральной симметрией (относительно центра поворота $O$).

Можно доказать, что любое перемещение является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо композицией параллельного переноса или поворота с некоторой осевой симметрией. Понятие композиции двух геометрических преобразований будет для нас очень в дальнейшем, поэтому останавемся на нем более подробно.

Пусть данные два отображения $F$ и $G$ неоторого множества $M$ на себя. Произведя их последовательно, мы получим новое отображение $H$, которое отображает $x \in M$ на $H(x) = G(F(x))$. Это новое отображение $H$ является тоже отображением множества $M$ на себя. Оно называется композицией отображения $F$ и $G$ и обозначется $G \circ F$.

Из определения 1 следует, что композиция любых двух перемещений (то есть отображений плоскости на себя, сохраняющих расстояния между точками), снова является перемещением. Обратите внимание на порядок записи: обозначая композицию $G \circ F$, мы справа ставим обозначение отображения, которое производится первым. Это заменение существенно; мы увидим, что операция композиции, вообще говоря, не переме-

стительна — существуют такие отображения $F$ и $G$, для которых $G \circ F \neq F \circ G$.

Попытаемся теперь разобраться, что представляется собой композиция известных нам отображений — перемещений — в конкретных случаях.

Особенноство композиции двух параллельных переносов является перемещением — это одна из причины, по которой композицию параллельных переносов (векторов) называют их сложением композицию отображений называться сложением не принято).

Случай композиции двух поворотов более интересен; перемещем к нему. Нам понадобится следующие определения: точка $X_0$ множество $M$ называется неподвижной точкой отображения $G$ множество $M$ на себя, если $G(X_0) = X_0$.

Характеристическое свойство поворотов описывается.

Теорема 2. Немождественное перемещение является поворотом модула и молко модула, когда оно имеет единственный неподвижную модулу.

Доказательство. Невобходимость условия очевидна: единственный неподвижной точкой поворота на нулевой угол является центр поворота.

Достаточноств. Расмотрим неокторое перемещение $F$ с единственным неподвижной точкой $O$. Выберем неокторую точку $A$, отличную от $O$, и рассмотрим ее образ $B = F(A)$; точка $B$ отлична от $A$ и лежит на окружности $(O; r)$ с центром в точке $O$ и радиусом $r = |OA|$.

Если для любой точки $A \widehat{AOB} = 180^\circ$, то $F$ — симметрия относительно точки $O$, и достаточно условия доказана. Предположим теперь, что существует точка $A$ такая, что $\widehat{AOB} = \alpha \neq 180^\circ$. Расмотрим точку $F(B) = F^2(A)$ ($F^2$ — это сокращенное обозначение для композиции

32

Рис. 1.

Рис. 2.

$F\circ F$). Так как перемещение $F$ сохраняет расстояния, то точка $F(B)$ снова лежит на окружности $(O;r)$ и расстояние между точками $F(B)$ и $B$ равно расстоянию между точками $B$ и $A$. Этим условиям удовлетворяют две точки: точка $A$ и точка $C$ окружности $(O;r)$ такая, что $B\hat{O}C=\alpha$ (рис. 1). Но если $F(B)=A$, то середина отрезка $AB$ — точка $D$ — является неподвижной точкой преобразования $F$: $F(D)=D$ (докажите!), а это противоречит тому, что точка $O$ — единственная неподвижная точка $F$. Значит, $F(B)=C$, и мы доказали, что перемещение $F$, как и $R_O^\alpha$, переводит точки $O$, $A$ и $B$, не лежащие на одной прямой, в точки $O$, $B$ и $C$ соответственно. Из теоремы 1 следует, что $F=R_O^\alpha$. Теорема доказана.

Рассмотрим повороты $R_O^\alpha$ и $R_O^\beta$ с общим центром $O$. В результате их композиции получается поворот вокруг того же центра $O$ на угол $\alpha+\beta$:
$$R_O^\beta\circ R_O^\alpha=R_O^{\alpha+\beta}.$$

(Полное доказательство этой формулы требует разбора ряда частных случаев — проделайте это самостоятельно.)

Так как всегда $\alpha+\beta=\beta+\alpha$, то

$$R^\beta\circ R^\alpha=R^{\beta+\alpha}=R^{\alpha+\beta}=R^\alpha\circ R^\beta,$$

и композиция поворотов с общим центром переместительна.

Пусть теперь есть два поворота $R_{O_1}^{\alpha_1}$ и $R_{O_2}^{\alpha_2}$ с различными центрами

$O_1$ и $O_2$ и углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ такими, что $\alpha_1$ и $\alpha_2$ одного знака (то есть повороты осуществляются в одном и том же направлении) и $|\alpha_1+\alpha_2|\neq 360^\circ$. Покажем, что в этом случае их композиция $R_{O_2}^{\alpha_2}\circ R_{O_1}^{\alpha_1}$ является поворотом на угол $\alpha_1+\alpha_2$, и найдем центр этого поворота.

Обозначим для краткости поворот $R_{O_1}^{\alpha_1}$ через $R_1$, поворот $R_{O_2}^{\alpha_2}$ — через $R_2$. Нам нужно найти все неподвижные точки перемещения $R_2\circ R_1$.

Предположим, что некоторая точка плоскости $A$ является неподвижной точкой перемещения $R_2R_1$, то есть что $R_2(R_1(A))=A$. Обозначив точку $R_1(A)$ через $B$, получим, что $R_2(B)=A$. Из этого равенства следует, что точка $O_2$ равноудалена от точек $A$ и $B$; но так как $B=R_1(A)$, то и точка $O_1$ равноудалена от точек $A$ и $B$; следовательно, точки $A$ и $B=R_1(A)$ должны быть симметричны относительно прямой $O_1O_2$ (рис. 2).

Так как $A\hat{O}_1B=\alpha_1$, и точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$, то точка $A$ должна лежать на прямой $l_1$, проходящей через точку $O_1$ и переходящей при повороте вокруг точки $O_1$ на угол $\alpha_1/2$ в прямую $O_1O_2$. С другой стороны, поскольку $B\hat{O}_2A=\alpha_2$, то точка $A$ должна лежать и на прямой $l_2$, в которую переходит прямая $O_1O_2$

33

при повороте на угол $\alpha_2/2$ вокруг точки $O_2$. По предположению $\frac{|\alpha_1 + \alpha_2|}{2} \neq 180^\circ$ и значит, прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, то есть пересекаются в единственной точке — точке $A$. Итак, точка $A$ пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ является единственной неподвижной точкой перемещения $R_2 \circ R_1$. Из теоремы 2 следует, что перемещение $R_2 \circ R_1$ — поворот вокруг $A$. Найдем угол этого поворота.

Чтобы это сделать, достаточно найти образ произвольной точки, отличной от центра $A$, при повороте $R_2 \circ R_1$ вокруг $A$. Удобнее всего взять точку $O_1$. Поворот $R_1$ оставляет ее на месте, а поворот $R_2$ переводит в такую точку $C$, что $|O_2O_1| = |O_2C|$ и $O_1\widehat{O}_2C = \alpha_2$ (рис. 2). Следовательно, перемещение $R_2 \circ R_1$ — это поворот вокруг $A$ на угол $\widehat{O_1AC}$. Вычислим этот угол для случая $0^\circ < \alpha_1 + \alpha_2 < 360^\circ$ (рис. 2).

$$\widehat{CAO}_2 = O_2\widehat{AO}_1 = 180^\circ - \alpha_1/2 - \alpha_2/2,$$
$$O_1\widehat{AC} = 360^\circ - \widehat{CAO}_2 - O_2\widehat{AO}_1 = \alpha_1 + \alpha_2.$$

(Для случая $-360^\circ < \alpha_1 + \alpha_2 < 0^\circ$ следует использовать)

Задание 3. Композиция $R_{02}^{\alpha_2}$. $\circ R_{01}^{\alpha_1}$ двух поворотов $R_{01}^{\alpha_1}$ и $R_{02}^{\alpha_2}$ с различными центрами $O_1$ и $O_2$ и уделами поворотов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ максими, что $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — однозоно знака $u$ $|\alpha_1 + \alpha_2| < 360^\circ$, является поворотом на угол $\alpha_1 + \alpha_2$. Центром этого поворота служит точка перемещения прямых $l_1$ и $l_2$, где $l_1$ — это прямая, проходящая через точку $O_1$ и переходящая при повороте вокруг точки $O_1$ на угол $\alpha_1/2$ в прямую $O_1O_2$, а $l_2$ — это прямая, в котором переходит прямая $O_1O_2$ при повороте вокруг точки $O_2$ на угол $\alpha_2/2$.

Заметим, что при выполнении условий 3 композиция $R_{01}^{\alpha_1}$.

Рис. 3.

$\circ R_{02}^{\alpha_2}$ является поворотом на угол $\alpha_1 + \alpha_2$ вокруг $B$, симметричной точке $A$ относительной прямой $O_1O_2$. Это и показывает, что композиция поворотов с различными центрами не переместительна.

Задание 1. Доказите, что композиция двух поворотов с центрами $O_1$, $O_2$ и углами поворотов $\alpha_1$, $\alpha_2$ такими, что $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — однозоно знака $u$ $|\alpha_1 + \alpha_2| = 360^\circ$, является параллельным переносом. Постройте этот параллельный перенос по заданным $O_1$, $O_2$, $\alpha_1$. Переместительная ли композиция двух таких поворотов? (Подсказка: расстояние композицию симметричной относительной двух различных точек.)

Задание 2. Найдем композицию:
a) двух освых симметри;
b) параллельного переноса и поворота.

Исследуйте переместительность композиции различных видов перемещений.

Задание

Постараемся теперь применить полученные результаты к решению некоторых планимерических задач.

Рассмотрим сначала такую задачу (она поможет нам в дальнейшем):

На плоскости даны два квадрата $A_1B_1A_2C_1$ и $A_2B_2A_3C_2$ с общей вершиной $A_2$ (см. рис. 3). Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры квадратов, $B$ — середина отрезка $B_1B_2$, $C$ — середина отрезка $C_1C_2$. Доказите, что $O_1BO_2C$ — квадрат.

Конечно, эту задачу можно решить и без геометрических преобразований, произведя дополнительные построения и рассмотрев неокторные конструктивные треугольники. Однако то, что в задаче говорится о «правильных»

34

фигурах — квадратах,— наводит на мысль попробовать применить при ее решения геометрические преобразования.

Заметим, что поворот на 90° вокруг точки $O_1$ переводит точку $B_1$ в точку $A_2$, а поворот на 90° вокруг точки $O_2$ переводит точку $A_2$ в точку $B_2$. По теореме 3 композиций этих двух поворотов является поворот на 180°, то есть центральная симметрия относительно некоторых точки. Так как в результате последовательного выполнения этих двух поворотов точка $B_1$ переходит в точку $B_2$, то композиций рассмотренных поворотов будут симметрично относительно определенных отрезка $B_1B_2$ — точки $B$. С другой стороны, из теоремы 3 следует, что центр композиции этих двух поворотов лежит на пересечении двух прямых, проходящих через точки $O_1$ и $O_2$ соответственно под углами 45° к прямой $O_1O_2$. Значит, эти прямые пересекаются в точке $B$, и треугольник $O_1BO_2$ — равноведренный с прямым углом при вершине $B$. Аналогично доказывается, что и треугольник $O_1CO_2$ — равноведренный, с прямым углом при вершине $C$. Обедининие этих двух треугольников дает квадрат $O_1BO_2C$, что и требовалось доказать.

Следующие две задачи — это задачи М291 и М297 из «Задачика «Квант»» (см. «Квант», 1974, №911, 12). Решения этих задач с помощью геометрических преобразований оказались не только более простыми и изящными, но и более содержательными, чем традиционные решения, основывающиеся на различных искусственных приемах.

М291. На сторонах $A_2A_3$, $A_3A_1$, $A_1A_2$ треугольника $A_1A_2A_3$ построены квадраты с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$, лежащие вне треугольника (рис. 4). Доказите, что:

a) отрезки $O_1O_2$ и $A_3O_3$ равны по длине и взаимно перпендикулярны;
b) середины отрезков $A_3A_1$, $O_1O_2$, $A_3A_2$ и $A_3O_3$ являются вершинами квадрата;

Рис. 4.

в) площадь этого квадрата в 8 раз меньше площади квадрата с центром $O_3$.

Обозначим через $B_1$ середину отрезка $A_3A_2$, через $B_2$ — середину отрезка $A_1A_3$. Применив к квадратам с центрами $O_2$ и $O_3$ результат предыдущего задачи, получим, что треугольник $O_2B_1O_3$ — равноведренный с прямым углом при вершине $B_1$. Следовательно, поворот на 90° вокруг точки $B_1$ переводит отрезок $A_3O_3$ в отрезок $O_1O_2$, что доказывает утверждение a). Так как поворот на 90° вокруг точки $B_2$ переводит точку $O_2$ в точку $A_3$, то, применяя теорему 3 к композиции этих двух поворотов (вокруг точки $B_1$ и $B_2$), мы получим, как и в предыдущей задаче, что треугольник $B_2C_1B_1$, где $C_1$ — середина отрезка $A_3O_3$, — равноведренный с прямым углом при вершине $C_1$. Аналогично, треугольник $B_2C_2B_1$, где $C_2$ — середина отрезка $O_1O_2$, равноведренный с прямым углом при вершине $C_2$, и утверждение б) доказано. Утверждение же в) следует из того, что диагональ $B_2B_1$ полученного квадрата как средняя линия треугольника $A_1A_2A_3$ в два раза меньше стороны $A_1A_2$ квадрата с центром $O_3$.

М297. На плоскости заданы 12 точки, являющиеся вершинами четырех квадратов $A_1B_1A_2C_1$, $A_2C_2A_3B_2$, $A_3B_3A_4C_3$ и $A_4C_4A_1B_4$ (вершины каждойdoю квадрата перечислены по часовой стрелке, рис. 5). Доказите,

35

что $B_1B_2B_3B_4$ и $C_1C_2C_3C_4$ — конецрузимные паралелограммы, один из которых получается из другой поворотом на $90^\circ$ (эти паралелограммы могут быть вырожденными: чемые вершины какдоо из них в этом случае лежат на одной прямой).

Пусть $D_1$ — середина отрезка $A_1A_3$, $D_2$ — середина отрезка $A_2A_4$.

Рассматривая композиции двух соответствующих поворотов на углы $90^\circ$ (с центрами в отечеющих им вершинах заданных квадратов, см. рис. 5), мы, как и прежде, получим, что треугольники $B_1D_1C_2$, $B_3D_1C_4$, $B_4D_1C_3$ и $B_2D_1C_1$ — равноведенные с прямым углом при вершине $D_1$.

Поэтому поворот на угол $90^\circ$ вокруг точки $D_1$ переводит четырехугольник $B_1B_4B_3B_2$ в четырехугольник $C_2C_3C_4C_1$, что доказывает их congruentность (одновременно получаем, что отрезки $B_1B_3$ и $C_2C_4$ равны по длина и взаимно перпендикулярны, что является обобщением утверждения a) задачи М291 на случай произвольного четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$).

Осталось доказать, что, например, четырехугольник $B_1B_2B_3B_4$ — паралелограмм. Для этого заметим, что все треугольники $C_2D_2B_3$, $C_4D_2B_1$, $C_3D_2B_2$, $C_1D_2B_4$ — равноведенные с прямым углом при вершине

Рис. 5.

шине $D_2$. Значит, поворот на угол $90^\circ$ вокруг точки $D_2$ переводит четырехугольник $C_2C_3C_4C_1$ в четырехугольник $B_3B_2B_1B_4$. Композиция двух поворотов вокруг точки $D_1$ и $D_2$ на углы $90^\circ$ является центральной симметрией относительно некоторых $O_1$ и отображает четырехугольник $B_1B_4B_3B_2$ на себя так, что вершины $B_1$ и $B_3$, $B_2$ и $B_4$ меняются местами. Из этого следует, что четырехугольник $B_1B_2B_3B_4$ — центрально-симметричный, то есть паралелограмм, а это и требовалось доказать.

Примена к композиции поворотов на углы $90^\circ$ вокруг точки $D_1$ и $D_2$ теорему 3, мы получим также, что центры $O_1$ и $O_2$ паралелограмм $B_1B_2B_3B_4$ и $C_1C_2C_3C_4$, и середины $D_1$ и $D_2$ диагоналей четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$ являются вершинами квадрата.

Это утверждение является обобщением утверждения б) задачи М291 на случай произвольного четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$.

Докажите теперь, что в условиях задачи М297, середины строки четырехугольников $B_1C_2B_3C_4$ и $C_1B_4C_3B_2$ являются вершинами квадрата. Центры этих квадратов и квадрата $D_1O_1D_2O_2$ совпадают и лежат в центре пляжесты четырехугольника $A_1A_2A_3A_4$.

И наконец, задача, которая предлагалась в 1961 году на втором type XXIV Московской математической olимпиды. Тогда эту задачу решили только два участника olимпиды, причем оба — с применением геометрических преобразований. Телерь, когда вы освоили техническую геометрическую преобразование, для вас ее решение не должно представить больших затруднений.

Задача 3. Точки $A$ и $B$ двужутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружности $O_1$ и $O_2$ соответствующим (промышленным стрелки). Докажите, что вершина $C$ правильно треугольника $ABC$ также двужутся равномерно по некоторой окружности.

36

Если треугольник задан…

В. Н. Березин, В. И. Слепой

Общно в геометрических задах приходится иметь дело с углами в 30°, 45°, 60°, …; но есть и такие задачи, где встречаются углы в 80°, 40° и даже 47°! О таких задах и почти речь.

Во всех задах, разбирающихся в этой заметке, фигурируют лежащие в одной плоскости треугольник и точка, соединенная с его вершинами отрезками. Известными считаются либо какие-то углы между прямыми, либо какие-то метрические соотношения между отрезками прямых, либо и то, и другие. Требуется определить какой-нибудь неизвестный угол (помеченный на соответствующем чертеже знаком вопроса и краснойдужкой).

Основные обозначения в заметке стандартные, но иногда при решении задач оказываются полезными и вспомогательные обозначения. Это, прежде всего, «окрашивание» в одинаковый (не черный) цвет равных отрезков и выделение цветом тех участков плоскости, на которые при решении задачи полезно обратить внимание.

Начнем с самой простой задачи.

Задание 1. Дан равносторонний треугольник ABC и.makeая точка D вне его, что длина отрезка BD равна стороне $\Delta ABC$, а $\widehat{DBC}=40^\circ$ (см. рис. 1). Найти $\widehat{ADC}$.

Нетрудно посчитать (сделайте это самостояльно), что $\widehat{ADC}=30^\circ$. Инterресно же то, что $\widehat{DBC}$ может быть любым (а вовсе не обязательно равным 40°); $\widehat{ADC}$ при этом все равно остается равным 30°.

Решите теперь такую задачу.

Задание 2. Дан равноведренный треугольник ABC ($|BC|=|CA|$, см. рис. 2) с углом BAC, меньшим 60°, и точка D.makeя, что отрезок AD образует со стороной AC треугольника угол, равный разности между углом в 60° и углом BAC (мо есть

Рис. 1.
Рис. 2.

37

Рис. 3.

прямая AC служит bisсектисой угла DAE), причем $|AD| = |AB|$. Найти $\widehat{ADC}$ (он снова оказывается равным 30°).

Следующая задача представлена на XV Московской математической олимпиде.

Задча 3. Из вершин A и C равноведренного треугольника ABC с углом при вершине $\widehat{ABC} = 20^\circ$ (рис. 3) проводится две прямы до пересечения с проминоположными сторонами треугольника соответственно в точках D и E так, что угол CAD равен 60°, а угол ACE равен 50°. Определить угол ADE.

Решение. Составим из равноведренных треугольников, равных треугольнику ABC, правильный 18-угольник $ACC_1C_2 \dots C_{15}C_{16}$ (см. рис. 4) с центром в вершине B исходного треугольника. Проведем диагонали $AC_8, AC_6, CC_9, CC_{12}, C_1C_{12}, C_1C_{16}, C_4C_{16}$ этого 18-угольника. Диагонали $AC_6$ и $C_1C_{12}$ симметрины относительно диагонали $CC_9$ и пересекаются в точке D. Аналогично доказывается, что диагонали $CC_{12}, C_4C_{16}$ и $AC_8$ пересекаются в общей точке E. Заметим теперь, что $[C_4C_{16}]$ и $[BC_1]$ — диагонали ромба $BC_4C_1C_{16}$; следовательно, отрезок $C_4C_{16}$ перпендикулярен отрезку $BC_1$ и проходит через его середину; но так как $\Delta BC_1D$ равноведренный ($\triangle DBC_1 \cong \triangle DC_1B$), то $C_4C_{16}$ содержит его высоту, и значит, проходит через точку D. Тепер ужеясно, что $\widehat{ADE} = 30^\circ$ (он равен полусумме дуг $AC_{16}$ и $C_4C_6$ окружности, в котором вписан наш правильный 18-угольник).

Кстати, заметим, что угол ECD также равен 30° и что треугольник AEC — равноведренный ($|AE| = |AC|$).