Квант 1975, №8 · Страницы

КЕАНМ
1975
8
Научно-популярный
физико-математический
журнал

Эти астрономические часы были сделаны в 1572 году. Внешняя шкала верхнего циферблата разделена на 24 часа — дважды по 12. По этой шкале три стрелки указывают солнечное, лунное и звездное время. По двум другим шкалам циферблата определяется время, отсчитываемое от восхода или от захода Солнца (эти шкалы тоже разделены на 24 деления). Астролябия, установлена в верхней части часов, показывает положение Солнца относительно созвездий Зодика.
В настоящие время часы хранятся в музее истории искусств в Вене.

1

Главный редактор
акademик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
акademик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:

М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капница,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:

В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,

художственный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,

зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2. Н. Я. Виленкин. Анри Лебег (к столетю со дня рождения)

3. А. А. Михайлов. Что такое долгота и широта?

4. С. Г. Веров. Тайны циклопды

5. В. Я. Френкель. Пушкин и точные науки

6. В. Н. Вагутен. Близкие дроби

7. И. М. Яглом. О задаче Радо

Математический кругок

46. А. Г. Резников. Две последовательности треугольников

Задачик «Квант»

49. Задачин М336—М340; Ф348—Ф352

50. Решения задачи М301—М303

51. И. М. Быстрый. Конструирование уравнения по графикам функций

«Квант» для младших школьников

58. Задачи

59. А. Д. Бендукидзе. О системах числения

60. Б. А. Кордемский. Подарок веселого капитана

61. Ответы, указания, решения

Смеся (с. 48, 61)

Прибор, который вы видите на первой странице обложки, называется пинкомпас (прин по англійски означаетстержень, штырек); этот прибор, который пользовался мореплавателями еще в XVIII века, хранится сейчас в музее Альтоны в Гамбуре. Определять с его помощью координаты нельзя, но это можно «записывать» курс корабля. На каждом румье (1 румь=360°:32) розы ветров сделаны в ответии. Все ответия образуют в совокупности концентрические окружности. Так что «циферблат» пинкомпас как бы покрыт координатной сетью. Каждая полцаса вхтенный оставляет штырь в ответие, соответствующое определению направления. В этом направлении корабль будет держать курс в близжайте полцаса. Но для того, чтобы определить нужное направление, необходимо знать координаты корабля в данной момент. О том, как определят эти координаты, читайте в статье академика А. А. Михайлова (с. 11).

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Нука», 1975 200

2

Анри Лебег
(к столетю со дня рождения)

Анри Лебег родился это лет тому назад, 28 июня 1875 года, в маленьком французском городке Бовэ. После успешного окончания школы Лебег поступил в Парижскую Высшую Нормальную школа, где слушал лекции Ж. Таннери, К. Жордана и других выдающихся математиков. Окончив ее, он работал преподавателем математики лицея в Нанси, продолжая научную работу, начатую еще в Париже. Зашитив в 1902 году докторскую диссертацию, Лебег перешел на кафедру математики провинциального университета в городе Ренне, откуда переехал в Пуатье, и лишь в 1910 году вернулся в Париж, где стал профессором Сорбонны, а с 1921 года — Коллек де Франс.

За свои научные заслуги Лебег был избран в 1922 году членом Французской Академии наук, в 1924 году — почетным членом Лондонского математического общества, а в 1930 году — членом Королевского общества (Англійской Академии наук). Четыре раза он получал академические премии, написал несколько книг и много научных работ. После тяжелой болезни Лебег скончался 26 июля 1941 года.

Тихая, неторопливая жизнь кабинетного ученого! Но насколько незаетейливыми были внешние события жизни Лебета, настолько ярким и глубокими оказались его научные достижения. Если открыть научад любу страницу какой-нибудь книги по теории функций действительного (или, как еще говорят, вещественного) переменного, по функциональном анализу или по теории вероятности, почти наверняка там встреется слова «мера Лебета», «точка Лебета», «интеграл Лебета», или введенные им понятия «суммируемая функция», «почти всюду», а иногда имя Лебета оказывается зашифрованным символом $L^p$: ведь $L$ — это первая буква его фамилии Lebesque, а $L^p$ — пространство функций, $p$-я степень которых суммируется по Лебету. Почти все понятия, относящиеся к современной теории меры и интеграла, восходят к работам Лебета, и введение этих понятий в каком-то смысле оказалось поворотным пунктом перехода от математики XIX века к науке XX века.

В развитии научки бываютdlительные перiodы, напоминающие способное течение большой реки. В эти периоды, исходя из уже готового запаса понятий и представлений, учены们 получают новые научные результаты и расширяют области применения уже известных методов. Но понемного научного накапливается проблемы, решения которых в рамках существующих научных представлений невоз-

можно. Тогда наступает рора революционных преобразований — подвергаются критике основные понятия, меняются взгляды на ценность различных научных результатов, на самые цели и задачи научного творчества в данной области научки. И только появление совершенного новых идей выводит научку из создавшегося тупика.

Таким переломным моментом в истории развития математики оказалась вторая половина XIX века. В течение почти двухсот лет математический анализ развивал идеи Ньютона и Лейбница, создавших исчисление бесконечного малых, математику переменных величины. Разумеется, вводились новые понятия, неизвестные основоположникам анализа, но эти понятия естественно вытекали из уже имевшихся идеи. И если бы каким-то чудом Ньютону или Лейбницу попал в руки математический журнал середины XIX века, то они довольно быстро поняли бы постановки большинства задач и методы их решения. Далее обозначения не очень изменились за протекшие годы. А самое главное, неизменной оставалась основная установка: ценность научного результата зависит от того, насолько успешным оказаться новый метод в решении практических задач.

Но характерной черной математики является то, что, нарушу с созданием новых методов решения практических задач, она интересует самим создавенным его инструментом, для каждого возникшего понятия ищет наиболее широкую и естественно область его применимости, для каждого доказанной теоремы — наиболее общие условия, при которых она справедлива. И это — не пустые занятия математических способов, а необходимость. Только установив понятия и теоремы в наиболее общности, освободив их от ненужных ограничений, связанных с той конкретной задачей, из которой они возникли, можно увидеть связи между даликами друг от друга сластими научки, научиться применять созданные методы в ситуациих, на первый взгляд, не имеющих ничего обещенного с тем вопросом, где они возникли.

В течение двухстолетий математики без особых размышлений пользовались понятями числа, геометрической фигуры, функции, длинны, площади, объема и т.п. Расссказывали, что когда один французский генерал принес в Академию наук свое «решение» проблемы квадратуры круга, его спросили, что именно он поняла под площадью круга. «Площади не определяют, их вычисляют!», — воскликнул бравый генерал. И такая точка зрения была распространена среди большинства математиков. Они считали, что площадь — это свойство геометрической фигуры, выражаемое числом и обладающее очень видными свойствами (плошадь целого равна сумме площадей частей, конгрузные фигуры имеют равные площади и т.д.). Ни на одну минуту не сомневались они в том, что любая плоская геометрическая фигура имеет площадь (быть может, равную нулю или бесконечности). Впрочем, и по другим вопросам взгляды математиков XVII—XVIII веков отличались такой же некритичностью — они были убежданы, что ко всем линям в любой точке, за исключением, быть может, несколько особых точек, можно проведсти касательную, что все поверхности гладки, а функцию они отложены с выражением, которой она задана. Но такая расплываются основных определений стала приводить к ошибочным результатам, и уже с начала XIX века начался процесс уточнения математических понятий, дивизиная несколько десятилетия.

В ходе этого процесса были определения таким понятям, как фигурция, предел, линия, длина линии, площадь области, интерgal и т.д. Но, как это часто бывают, после уччения понятий оказалось, что они охватывают горизонто более широкий класс объектов, чем это казалось perвооначально, что свойства уточненных

4

понятный не слишком положи на привычные.

Оказалось, например, что существуют непрерывные линии, проходящие через любую точку квадрата, кривые, к которым ни в одной точке нельзя проверсти касательную, области, которые нельзя приписать никакого значения площади. Дело было в том, что понятие геометрической фигуры стало применяться в ином смысле, чем это делали математики предыдуших поколений. После того как Кантор создал теорию бесконечных множеств, математики стали считать фигурами любые точные множества, в том числе определяемые с помощью бесконечных процессов. Вот несколько примеров таких фигуры.

Возьем квадрат со стороны 1 и разделим его на 9 квадратов. После этого выбросим «крест», образованный пятью квадратами, сохранив границы оставшихся квадратов. Получится фигура, состоящая из четырех квадратков (рис. 1). С каждым из них проделаем ту же операцию и будем продолжать этот процесс до бесконечности. У нас будет получаться фигуры, состоящие из все большого и большого числа квадратков, размеры которых все время уменьшаются. Фигуры, полученные на каждом шагу этого про-
цесса, обччны, но если взять пересечение всех получившихся фигуры, то перед нами оказывается весьное множество.

Другое множество получается, если выбрасывайте не креsts, а лишь центральные квадраты, оставляя их границы (рис. 2).

Исследования таких множеств, а также фигуры, имеющих веса страницы свойства (например, всоду разрывных, или непрерывных во всех irrationalных точках и разрывных во всех разциональных точках, фигуций, графики которых не имеют ни в одной точке определенного направления), стали все чаще и чаще появляться во второй половине XIX века. Эти исследования привètствовались далеко не всему учеными!

Mathematики классического направления считали, что наука должна иметь дело с объектами, неосредственно отражающими свойства реального мира. Их мнение о таких исследованиях ярко выражил один из крупнейших ученых того времени Ани Пуанкаре. Он сказал: «Раньше, когда изобретали новую функцию, то имели в виду какую-нибудь практическую цель; теперь их изобретал, не извлекая из них никакой ползы, а только для того, чтобы обнаружить недос-

5

татки в рассужdenях наших отцов».
Еще резче выразился на эту тему руководитель французской математической шкалы Шарль Эрмит. В своей письме видному голландскому математику Т. Стильсесу он писал: «Я сужасом и отвращением отворчиваюсь от этой разратающейся языfuкиций, не имеющих производной». Новую математику классики назвали «тераторогей» (наукой об уродствах) функций.

Но молодежь тянулась к новым областям науки, не обращая внимание на вопросные математиков предшествующего поколения. Во Франции их вдохновляли лекции Жюля Таннери и Камилла Жордана, в которых математического анализа строился на творной основе точных определений, безупречных доказательств, железной логики. Они усаивали на этих лекциях, что хотя разрывные функции и не встречались в существовавших тогда приложениях, их надо изучать наравне с непрерывными, так как этого требуют правильно понимание интерсымы математики; они узнавали, что определения длин, площадей и объемов, годные лишь для гладких линей и поверхностей, слишком узки, что надо искать более общие определения. Эти идеи накопились, переодили в убеждания, становились стимулом к научной работе. В 1898 году молодой французский ученый Р. Бэращитил диссертацию, в котором дал глубокую классификацию разрывных функций. В том же году появился книга одного из самых ярких лидеров молодежи, двадцатисемилегного математика Эмиля Бореля, посвященная новой теории функций. К этой научной школе и примкнул начинающий в ту пору своего научную деятельности Анира Лебег.

Одной из первых работ Лебега была заметка «О непленечных развертывающихся поверхностях». Эта работа разгневала математков классического направления. Особенно возмущался один из ведущих геометрового времени Гастон Дарбу. Само название работы казалось ему противоестетенным. Дело в том, что развертывающийся называют поверхности, достаточно маленькой которых можно получить, изгибая кусок плоскости. Но все известные к тому времени развертывающие поверхности — цилиндры, конусы и другие — составили из прямолинейных образующих. Они были, как говорят, линейными. Поэтому говорить о непленечных развертывающихся поверхностях казалось полной нелепостью. Но все дело было в том, что молодой автор по-иному, чем геометры-классики, понимал развертывающие поверхности. Он считал таким не только поверхности, получаемые аккуратным изгибанием листа бумаги, но и поверхности, которые получаются, если этот лист скомкать (объясняя эту работу своим друзям, он так и сказал: «Представьте себе скомканный носовой платок»). Оказалось, что можно так «скомкать» кусок плоскости, что после этого на нем не остается ни одного прямолинейного отрезка. Разумеется, получившаяся развертывающая поверхность игнорде не имела касательной плоскости, она всегда из складок и изломов. И понятно, почему ее пропустили геометры, классифицируя развертывающие поверхности — они-то занимались лишь гладкими поверхностями.

Интерес Лебега к развертывающимся поверхностям не был случайным. Его интересовал общий вопрос, поставленный еще Камиллом Жорданом: как определить площад поверхности, не предполагая ее гладкости. Найти площад скомканной развертывающей поверхности легко — достаточно развертнуть ее на плоскость. Но сосчитать площад такой поверхности по формулам, предлагаем классический математикой, невозможно — в них входят произвольные, а они существуют лишь для гладких поверхностей.

Конечно, вместе касательных плоскостей можно было попробовать вы-

Рис. 3.

числить площадь поверхности по-другому, вписывая в нее многогранники и переходя к пределу при уменьшении всех размеров граней. Но немецкий математик Г. Шварц доказал, что таким путем невозможно найти площадь самого обыкновенного цилиндра — в него можно вписать многогранник со сколь угодно малыми гранями, имеющий сколь угодно большую площадь. Такой многогранник весь состоит из мелких складочек.

Лебегу удалось после длительных размышлений придумать определение площади поверхности, которое не требовало проведения касательных плоскостей, но в то же время обходило все трудности, связанные с примером Шварца. Решая эту частную задачу, Лебег пришел к общим идеям о том, что такое мера множества, как измерять длины, площади и объемы самых причудливых фигур. Этим вопросом интересовались до него многие математики. Наиболее удачным оказалось определение Жордана.

Основная идея Жордана заключалась в следующем. Существуют фигуры, заведомо имеющие площадь, например, многоугольники. Предположим теперь, что фигура $\Phi$ обладает следующим свойством: какое бы малое положительное число $\varepsilon$ мы ни взяли,

найдутся две многоугольные области*) $\Phi_\varepsilon$ и $\Phi_\varepsilon^*$, такие, что $\Phi_\varepsilon$ целиком содержится в фигуре $\Phi$, а $\Phi_\varepsilon^*$ целиком ее содержит, причем разность площадей $\Phi_\varepsilon^*$ и $\Phi_\varepsilon$ меньше $\varepsilon$. Тогда за площадь фигуры $\Phi$ надо принять число, которое заключено между площадями $\Phi_\varepsilon$ и $\Phi_\varepsilon^*$ для всех $\Phi_\varepsilon$ и $\Phi_\varepsilon^*$. По другому это же определение можно сформулировать так: фигура $\Phi$ измерима по Жордану, если для любого $\varepsilon > 0$ ее можно представить в виде объединения многоугольной области $\Phi_\varepsilon$ и остатка, который покрывается многоугольной областью, имеющей площадь ме́ньшую, чем $\varepsilon$. Мера же $m\,(\Phi)$ такой фигуры заключена между числами вида $m\,(\Phi_\varepsilon)$ и числами вида $m\,(\Phi_\varepsilon) + \varepsilon$, где $m\,(\Phi_\varepsilon)$ — площадь $\Phi_\varepsilon$.

Это определение соответствует обычному процессу измерения площадей фигур. К нему мы прибегаем в школе, измеряя площадь круга — в роли внутренних многоугольников выступают правильные вписанные многоугольники, а остаток состоит из сегментов круга, отрезанных сторонами этого многоугольника. Эти сегменты можно заключить в треугольники, образованные хордами и касательными (рис. 3) и показать, что при достаточно большом числе сторон многоугольника суммарная площадь этих треугольников сколь угодно мала.

Мера Жордана обладает многими хорошими свойствами, в частности, как тому и положено быть, объединение конечного числа попарно непересекающихся измеримых по Жордану множеств измеримо, и его мера равняется сумме мер частей. С помощью этой меры удалось приписать площадь множествам, которые математики-классики не считали настоящими фигурами. Например, вспом-

---

*) Многоугольной называется область, которую можно разбить на несколько многоугольников, не имеющих общих внутренних точек.

6

7

ним фигуру, которое мы получили путем выбрасывания крестов из квадрата со стороны 1. После $n$ выбрасывания остается $4^n$ квадратов, каждый из которых имеет площадь $1/9^n$. Поэтому все остальные множества можно покрыть квадратами с общей площадью $\left(\frac{4}{9}\right)^n$. Но $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n = 0$, а это значит, что при достаточно большом $n$ общая площадь покрывающих квадратов сколь угодно мала, а потому мера всего оставшегося множества равна нулю.

To, что описанное выше множество имеет нулевую меру по Жордану, не удивительно, ведь оно пасквозь продуктявлено выбрасываемыми крестами и не имеет «живого места». Удивительно то, что другие столы же дырявые множества оказались невозможно изменить по Жордану. Такое множество можно построить, более экономно выбрасывая крестья, а именно выбрав первый крестья с площадью $1/4$, потом четыре крестья общей площади $1/8$ и т. д. Остационные квадраты имеют последовательное общие площади в $3/4$, $5/8$, $9/16$ и т. д. Все эти числа больше, чем $1/2$, и потому любой многоугольник, содержащий остащееся после бесконечного числа выбрасываний множество, имеет площадь не меньше, чем $1/2$. В то же время это множество не содержит ни одного целого квадрата, и потому его площадь не может быть больше нулю. Получившееся противоречие показывает, что это множество не имеет меры по Жордану. Таким образом, определенные меры по Жордану не охватывают многое интересные фигуры.

Выход из создавшегося положения нашей Борель. Сложив площади всех выбрасываемых крестов, он получил бесконечную убывающую геометрическую прогрессию

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n+1}} + \dots,$$

сумма которой равна $1/2$. Это число Борель принял за площадь выбро-
шенной части, а за площадь остатка — разность $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Конечно, такой ответ оказывается весом непrivичным — в множестве не было ни одной целой части, а его площадь положительная. Но Борель пошел еще дальше, изменяясь различные множества с помощью двух приципов:

a) Если множество $\Phi$ состоит из счетной *) совокупности изменимых подмножества $\{\Phi_n\}$, никакие два из которых не имеют общей точки, то

$$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \Phi_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(\Phi_n).$$

b) Мера дополнения к изменимому множеству $\Phi$ получается вычитанием из меры целого $U$ меры подмножества,

$$m(\Phi') = m(U) - m(\Phi).$$

Первый из этих приципов — далеко идущее обобщение древнего положения: мера целого равна сумме мер его части; второй следует из того же положения. Получясь своим приципами, Борель нашел меры всех множества, с которых имели дело математики его времени. Например, из его приципов следовало, что любое счетное множество точек имеет нулевую меру: ведь каждая из точек имеет меру нуль, а тогда и объедининие этих точек имеет нулевую меру.

Но в построениях Бореля был один недостаток — одно и то же плоское множество $\Phi$ можно сконструировать из многоугольников различными способами. И ноткуда не следует, что при этом получится один и тот же результат для меры. Над было даь определенные меры, не зависимости от выбора того или иного способа построения множества.

Эту-то пробелу и решил в своих работах Лебег. Взяв от Бореля идею суммирования рядов, он следующим образом видозменил определенное

*) Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно переменать.

Жордана. Во-первых, он разрезил, покрывать остаток множества любой счетной системой многоугольников, лишь бы их суммарная площадь не превысodia ε. А во-вторых, он предложил не только добавлять к многоугольнику малые остатки, но и удалять из него малые множества.

В болеестрогом виде определение меры Лебега можно формулировать следующим образом *). Известно множество $E$ -покрываемых по Лебегу, если его можно покрыть объединением счетной системы многоугольников, суммарная площадь которых меньше чем ε. Множество Ф измеримо по Лебегу, если для любого ε>0 его можно представить в виде многоугольной области $\Phi_\varepsilon$, к которой присоединено ε-покрываемое множество $D_\varepsilon$, и из которого удалено ε-покрываемое множество $E_\varepsilon$. За меру Лебега множества Ф применяется $m(\Phi)$, которое больше всех чисел $m(\Phi_\varepsilon) - \varepsilon$, но меньше всех чисел $m(\Phi_\varepsilon) + \varepsilon$. Разумеется, определение Лебега после соответствующего видоназнения годилось для длины, объемов и т. д.

Идея Лебега оказалась очень удачной — все измеримые по Жордану множества оказались измеримы и по Лебегу, равно как и все множества, измеримые по Борелю. Лишь позднее удалось указать пример множества,

*) Излагаемое здесь определение внешне отличается от того, которое в свое время предложил Лебег, но эквивалентно ему.

не изменимо по Лебегу, однako, средства, которые для этого были использованы, признаются далеко не всemi математиками. Во всяком случае,нику не удалось дать эффективную конструкцию, приводящую к таким множеству. Мера Лебега удовлетворяла и принципи a) Бореля, она была, как говоря, сцемно-аддимивной.

Однако своим основным достижением Лебег считал не создание нового понятия меры, а применение этого понятия для нового определения интеграла. Если функция $y = f(x)$ не перерывна и неотрицательна на отрезке $[a, b]$, то $\int_a^b f(x)dx$ не что иное, как площадь кривойнейной трапеции (рис. 4). Поэтому, умея нахождение площадь этой трапеции, можно найти и значение интеграла. Но если функция имеет бесконечного много точек разрыва, например, разрыва в каждой точке, то соответствующая ей кривойнейная трапеция не является фигурой в классическом смысле слова и может не иметь общий площади. Вычисления же эту площадь методом Лебега, получим значение интеграла от такой функции.

Определение интеграла как меры кривойнейной трапеции, казалось не слишком убедительным самому Лебегу — еще со времен Коши, т. е. с начала XIX века, математики были приучены определить интеграл чисто аналитически, не прибегая к таким понятям, как площадь или объем. Лебег придумал аналитическое определение для своего интеграла. Объясняя это определение, он использовал следующие следующие образ: если имеется некоторая сумма денег, то неопытный человек будет ее перечислять подряд, бере друг за другом монеты и банковские билеты различного состояния. Опытный же кассир разложит десятики к десятикам, пятерки к пятеркам, рублей к рублей и т. д., а потом умножит число десятика на 10, число пятерок на 5 и т. д. и сложит все получившиеся произведение.

9

Точно так же, чтобы счастить значение интеграла от счёв разрывной функции, Лебег предложил делать не область изменения аргумента, а область значений функции. Если заданы числа $y_k$ и $y_{k+1}$, то через $E_k$ обозначим совокупность тех значений $x$, для которых выполняется неравенство $y_k \leq f(x) < y_{k+1}$. Интегральной суммой Лебега называют сумму $\sum_{k} y_k m(E_k)$.

Переход к предлу при безграничном изменении отрезков разбиения, получаем число, которое и равно интегралу Лебега $\int_a^b f(x) \, dx$. Наглядно говоря, суть иден Лебега состоит в том, что для разрывных функции «криволинейную трапецю» надо было резать не параллельно оси ordinат, а параллельно оси абсцисс.

В настоящее время лебеговский процесс вычисления интеграла кажется математикам чем-то само собой разумением. Но в начале века он казался потрясающим самые основы математики. И тогда Лебег придумал новое обоснование того, что его метод вычисления интегралов естествен. Возможно, на него оказал влияние пример Гильберта, давшего несколько ранее аксиоматку геометрии. Подобно этому Лебег сформулировал систему требований, который должен удовлетворять интеграл, и доказал, что единственным определением интеграла, которое удовлетворяет всем этим требованием, является предложенное им.

В 1902 году, благодар поддержке К. Жордана и Э. Пикара, удалось предолеть предубежение противников новой математической шкалы, и Лебег успешно зашитил докторскую диссертацию.

Создание меры и интеграла Лебега позволило предолеть многое трудности, накопившее к тому времени в математическом анализе. Особенно полезной оказалась идея Лебега, что не надо требовать, чтобы каксе-то свойство функции выполнялось для всех значений аргумента, а достаточно изучать свойства, выполняющиеся почти всюду, т. е. всюду, кроме множества точек нулевой меры. Оказалось, например, что если функция $y = f(x)$ ограничена и интерпретаем по Лебегу, то функция $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ почти для всех значений $x$ имеет произвольную, совпадаюшую с $f(x)$. Чрезвычайно полезен интеграл Лебега в теории тригонометрических рядов, т. е. рядов вида

$$\frac{a_n}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx).$$

Сам Лебег много и с увлечением заималался этой теории.

На первый взгляд казалось, что интеграл Лебега — слишком сложный и тонкий инструмент для того, чтобы им можно было пользоваться в приложениях; на практике также «дикие» функции и множества не встречаются, и все практические проблемы обслуживания объчными интеграми. Но в те годы стала развивать теория бесконечномерных пространств, необходимая для изучения и решения интегральных уравнений (уравнения, содержащих искому функцию под знаком интеграла). К таким уравнением свойства многое задчи математической физики, и были придуманы способы их решения, основанные на построении последовательности функций, в известном смысле приближающегося к искому решение. Доказать, оставаясь в рамках классической математики, что такая последовательность кчем-то приближается, не удалалось. Положение дел на поминало здесь попытку решить уравнение $x^2 = 2$, попытясь лишь рациональными числами. Конечно, можно составить последовательность рациональных чисел, приближающегося к искому корню, но сам корень интегрален, и последовательность не имеет предела внутри множества рациональных чисел. Как известно, что

10

бы выйти из этого положения, надо пополнить множество рациональных чисел, присоединив к нему иррациональные числа.

Точно так же последовательность функций, получаемых при приближенном решении интегрального уравнения, не всегда сходится к какой-нибудь «хорошей» функции. Чтобы быть уверенным в существовании решения, надо пополнить множество функций, присоединив к нему разрывные функции. Но если присоединить к множеству непрерывных функций какие попало разрывные функции, то хорошей теории построить не удастся. Оказалось, что присоединять надо функции, квадрат которых интегрируем по Лебегу. Тогда получается пространство, очень похожее по своим свойствам на наше евклидово пространство, только бесконечномерное. Это пространство называют гильбертовым.

Триумф идей Лебега, Бэра и Бореля привел к тому, что даже Дарбу изменил свое мнение о новой математике, и, выступая в 1908 году на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики XX века, о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с неизведанными перспективами. Он подчеркнул, что наука XX века не боится атаковать основы построений, которые столь долго казались непоколебимыми.

Позже идеи, приведшие к созданию меры и интеграла Лебега, позволили А. Н. Колмогорову построить аксиоматику теории вероятностей, Н. Винеру определить понятие меры для функциональных пространств. Всюду, куда проникали идеи меры, использовались конструкции и понятия, восходящие к Лебегу. Весьма полезны они оказались в статистической физике, дав возможность А. Я. Хинчину и Дж. фон Нейману обосновать некоторые идеи американского физика Гиббса.

Замечательные работы, лежавшие в области теории функций действи-

тельного переменного (так стали называть область математики, изучавшую общую теорию функций, меры и интеграла) сделали московские математики Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин, а также их многочисленные ученики.

Сам же Лебег в эти годы интересовался возникавшей тогда теоретико-множественной топологией, предвосхитив в одной из работ позднейшие исследования П. С. Урысона по теории размерности топологических пространств, теорией потенциала и другими вопросами математики. И хотя ничего равного достижениям своей математической молодости он уже не создал, их оказалось вполне достаточно, чтобы обессмертить его имя.

Последние двадцать лет жизни Лебег посвятил проблемам истории и преподавания математики. Естественно, что основное внимание он уделил теории измерения величин в средней школе. В серии статей, позднее собранных в книгу «Об измерении величин» (она переведена и на русский язык), он остроумно подверг критике распространенные заблуждения в преподавании этих вопросов. Он показал в своей книге несостоятельность распространенных определений длины, площади и объема, критиковал учебники за стремление к строгости в одних местах при грубых логических промахах в других.

Прошло 75 лет с тех пор, как Лебег создал свою теорию меры и интегрирования. Эти понятия навсегда вошли в математику — без них нельзя мыслить ни теорию вероятностей, ни функциональный анализ, ни статистическую физику, ни топологическую алгебру.

11

Что такое долгота и широта?

Положение точки на поверхности Земли определяется двумя координатами: географической широтой и географической долготой. Знаете ли вы, откуда произошли эти названия? Во втором веке н. э. греческий астроном и географ Клавдий Птолемей введил понятие длины и ширины применительно к измерению страна, приложениях к Средиземному морю, вытянутому с запада на восток. Результаты измерения вдоль моря он назвали длиной, а поперек — шириной. При переводе на русский язык вместо этих слов, которые можно относить к любым объектам, для характеристики положения тела на земной поверхности были введены специальные термины — долгота и широта. Хотя эти понятия, наглядно иллюстрируемые на глобусе, широко известны, далеко не все знают их точное определение.

Часто говорят, что широта ф есть угловое расстояние данного пункта от земного экватора, а долгота λ — это двугранный угол между плоскостью данного meridiana и плоскостью условно выбранного начального meridiana. Следовательно, нанесенная на глобус сеть параллелей и meridianов позволяет нам указать географические координаты любой точки земного шара. Естественно, что значение координат необходимо для ориентации. Но, нахождение в какой-то точке на Земле, мы должны сами уметь определить свои географические координаты. Как известно, это делают с помощью астрономических наблюдений. Предположим, мы вычислили широту и долготу пункта, в котором мы находимся. Можно ли мы теперь, найдя на глобусе точку с таким координатами, быть уверенными, что мы находимся именно в этой точке Земли? Нет! Даже если точка на глобусе указана с предельной точностью.

Дело в том, что Земля не является шаром, и глобус — лишь упрощенная наглядная модель Земли. Именно неправильность (нешарообразность) формы Земли приводит к расхождения географических координат, полученных из астрономических наблюдений, и координат, определенных для данной точки на глобусу, по карте.

Если Землю считать шаром, то ответная линия в любом месте на зем-

12

ной поверхности прохит через центр Земли, а meridianы и экватор — окружности, радиусы которых равны радиусу Земли. Тогда географическая широта можно измерять двумя meridianами от плоскости экватора до данной точки, а долготу — дугой экватора от условно выбранного начального meridianа до данного.

Истинная форма Земли, называемая геодом, весна сложна, хотя и близка к эллипсной врашения, сплошному в направлении полосов. Сложность формы вызвана неравномерностью распределения массы внутри и на поверхности Земли, в частиности, наличием материалов с высокими горами и глубоких вадин в океанах.

Вследствие эллипснойдальности Земли отвечая линия не в любой точке прохит через центр Земли, а неправильности геода приводят еще и к боковым отклонениям от внешней линии, так что она вообще может даже не пересечь земную ось. Отсюда возникают так называемые уклонения отвеса, выражающиеся в неправильных изменениях направления отвеса при переходе от точки к точке. А поскольку при практическом нахождения широт и долгот одним из основных направлений, по которым ориентируется астрономические инструменты, является отвесная линия, расхождение между истинными географическими координатами точки Земли и ее координатами на глобусе становятся полне понятными.

Сформируем четкое определение широты и долготы. Широта есть угол между ответной линей в данном месте и плоскостью экватора. Понятно, почему мы не сказали «плосостью земного экватора». Из-за уклонения отвеса и земной экватор — линия, во всех точках которой географическая широта равна нулю, — отклоняется от плоского сечения Земли на величины уклонения отвеса, которые могут достигать и даже превозходить, особенно в гористых местностях, 10″, что в линейной мере соответствует примерно 300 м. Все сказанное о земном экваторе относится и к паралелям — линям равной широты, которые по той же причине не являются плоскими кривыми.

Строое определение географической долготы должно быть таким: долгота — это есть двугранный угол между двумя плоскостями, паралелными оси вращения Земли, одна из которых содержит отвесную линию в условиях выбранной исходной точке, а другая — отвесную линию в определаемой точке. От градусной меры долготы можно перейти к временным координатам. Переход этот произвольится с помощью несложных расчетов: оборот Земли вокруг собственной оси на 360° соответствует 24 часов, следовательно, 1 час = 15°, 1 минута времени = 15′ дуги, 1 секунда времени = 15″ дуги. Очевидно, что в пунктах, которые соответствуют разные долготы, полдень (и соответствующего полночь) наступает в разные моменты. Легко понять, что разность (по времени) между моментами полдня в данном месте и в пункте, долгота которой принята за нуль, и есть долгота данного места.

За исходный пункт в определении долгот в 1884 году по международному соглашению была принята Гринвичская обсерватория, основанная в 1675 году в предмете Лондона. Этоого в разных странах за исключные пункты принимались различные главные общественные обсерватории: в России — Пульковская близ Петербурга, во Франции — Парижская обсерватория и т. д. В старину долготы отсутствивы от одного из Канарских островов — Ферро, который был наиболее западной точкой Старого света, т. е. материков Евровы с Азей и Африки. Поэтому все долготы считались в одном направлении и одного знака — к востоку от Ферро.

Вследствие уклонения отвеса и все meridianы — линии, все точки которых имеют одинаковую долготу,— тоже не плоские кривые, получаемые в течение Земли плоскостями, содержащими земную ось, а слегка

13

извилистые линии, уклоняющиеся в обе стороны от плоских сечений на расстояния до несколько сотен метров.

С какой точность находится географические координаты из астрономических наблюдений? Это зависит всего от назначения таких определений. Наноблее точно определены координаты астрономических observatorий, широта которых известна с точностью до 0°′,1, а долгота — до 0,01 секунды времени. Для оценки этих величины затем, что 1″ дуги меридиана соответствует 31 м на земной поверхности, 0°′,1 секунды времени на экваторе равна 46 м, а в средних широтах — почти в два раза меньше. Таким образом, указаная точность соответствует примерно 3 м на Земле. Поэтому, например, недостаточно сказать, что широта Парижской observatorии равна 48°50′11″,2 и восточная долгота — 0°9′20″,93.

Рис. 1. Географическая широта данной точки — угол между отвестий линий в точке и плоскостью экватора — равна угловой высоте полюса мира над плоскостью местного горизонта.

Плоскость горизонта практически определяется свободной поверхности в сосуда, пузьрьком в трубке спиртового уровня или направлением, перпендикулярным к отвестий линии в данном месте. Другое направление — к полюсу мира — находится из астрономических наблюдений. Полюс мира лежит посередине между точками верхней и нижней кулыминай какойибудь близполюсной звезды.

Точное определение долговы в данном месте Земли свойства к определению местного времени. Выбрав условно за начало отсечета долговекторое место, в котором по наполнению Солнца или звезд определено местное время, и сравнивая результаты определения времени в каком-то месте Земли с этим исходным времени, находят долготу этого места.

Нужно указать, к какому месту обсерватории это относится — в данном случае к большому meridianному кругу (это один из приборов для измерения координат светил).

Рассскажем теперь, как же нахождение широта и долгота из астрономических наблюдений. Определение широты сравнительно просто и своедится к измерению угловой высоты полюса мира*) над горизонтом (рис. 1). Так как полюс мира на небе ничего не отмечен, то наполдают какуюибудь звезду, угловое расстояние которого от полюса известно, или Солнце, для которого это расстояние дается в эфемеридах**) на каждый день

*) См. «Комментарий» в конце статьи.
**) Эфемериды — это таблицы, в которых положения светил даются на любые избранные моменты времени (иногда на много лет вперед).

14

Данного года. Измерение высоты произвольится во время прохождения светила через небесный meridian, когда эта высота максимальная. Для этого пользовются специальными угломерными приборами. Еще в средние века появился первый простейший угломерный прибор, называющий якобштабом, а в 30-х годах XVIII столетия в Англии был изобретен секстант (рис. 2) — угломерный инструмент, который пользовался по секунд для оркентации в открытом море и в воздухе. Во время наблюдения секстант держится в руке, что позволяет компенсировать корабельную качку. Объчно совмещают изобравжение Солнца (или в сумерки звезды) с линей морского горизонта. При некоторых наблюдениях таким образом высоты над горизонтом с точностью до минуты дуги или даже несколько точнее. На суше, где инструмент можно дать прочную установку, использует более точные инструменты, например, универсальный инструмент. С его помощью угловые расстояния измеряют с точностью до 1″ и даже еще точнее.

Определение долговы по идее очень просто: разность долговы двух пунктов равна разности их местных времени в один и тот же физический момент. Однако до изобретения радио на практике изобравние долговы было очень трудной задачей. Действительно, как при отсутствии прямой связи узнать, сколько часов, минут и секунд местного времени в данной момент в Гринвице (т. е. в исходном пункте для определения долговы), если вы нахоДитесь за сотни или тысячи километров от него? В старину для этой цели наблюдали какое-нибудь астроономическая явление, видимое одновременно из этих пунктов и о котором было

15

заведомо извесно, в какой момент гринвичского времени оно происходит. Это были, например, лучшие затмения и затмения спутников Юптера (на использование последних для определения долготы указал еще Галилей, открывший спутники Юптера в 1610 году). К сожалению, эти явления происходит не мгновенно, а дляся в течение нескольких минут, так что зафиксировать их можно лишь с соответствующей ошибкой. Между тем, одна минута времени соответствует 28 км под экватором, так что определение долготы таким способом было сопряжен с возможной ошибкой в сотни километров. Кроме того, была еще та трудность, что затмения спутников Юптера почти невозможно наблюдаются с пальцами качающегося корабля и явления эти присходят далеко не ежедневно, а в течение нескольких месяцев в году Юптер вообше не виден. Затмения Луны и вовсе редкие явления и присходят не чаше, чем два раза в год. Поэтому при путешествиях приходилось по несколько дней или даже недель дождаться, пока не удался сделать несколько (для контроля и повышения точности) таких наблюдений, а в море для целей наблюдения такой способ определения долготы былсовсем не пригодным.

В XVI веке был найден другой способ определения местного времени начального меридина — по так называемым лунным расстояниям, правила, практическое применение его стало возможным лишь после изобретения секстага. Луна ежедневно обходит вокруг Земли, уподоблясь как бы стрелке часов, движущейся по «циферблату» — звездному небу. Но эта стрелка движется через昌ной медленно, в 55 раз медленнее часов стрелки обикновенных часов. Понятно, что по движению часов стрелки действительное можно определить время, но очень неточно из-за медленности ее движения. Очевидно, что определить время по движению Луны еще менее надежно, но здесь помогает точность и тонкость делений «циферблата» — точно известные положения звезд. Правда, и положения Луны относительно этих звезд нужно изменять с очень большой точностью, хорошо углом около 30°, поэтому изменение лунного расстояния от звезды с точностью до 1′ позволяет определить время с точностью до двух минут. Для того чтобы воспользоваться этим методом, нужно очень хорошо знать все особенности движения Луны, так чтобы по наблюдениюу положению Луны можно было получить время начального меридина, разность которого с местным временем этого пункту даст долгут последнего. Очевидно, что этот способ предывляет очень высокие требования к небесной механике, которая разрабатывает теории движения Луны, отличнуюшуюся большей сложностью. Способ лунных расстояния по точности мало превосходил предыдущего, но он мог применять в любое время, когда видна Луна и звезды, почему и получил большое распространение при путешествиях, особенно морских.

Однако и метод лунных расстояний не в полне удовлетворял моряков (в основном из-за сложности вычисления и малой точности). Плавание на парусных судах, зависимости от силы и направления ветра, часто длилось местами вне видимости берегов, поэтому было очень важно уметить определить положение корабля (его широту и долгуту). В 1713 году английское правилоство, будучи особенно заинтересованным в безопасности навгации (в то время Англия была страной с наиболее развитым морским флотом), назначило огромную-preмию в 20 000 футов стерлингов за разработку уверенного способа определения долготы с точностью до $1/2$ градуса. Часть этой premии была присуждена (уже посмертно) немецкой

астроному Тобиасу Майеру за составление таблиц движения Луны, которые позволили уточнить определение долготы по лунным расстояниям. Половину премии получил английский изобретатель и часовщик Харрисон, который построил в 1735 году морской хронометр. Это — пружинные

Якобштаб.

Универсальный инструмент.

16

часы, устройство которых аналогично устройству карманных и наручных часов. На хронометре имеются три стрелки — часовая, минутная и секундная, причем секундная резко перескакивает каждую полусекунду с четким ударом, слышимым на расстоянии нескольких метров. Хронометры очень удобны тем, что их можно переносить, не нарушая их хода. Для этого их помещают в ящике на карданном подвесе (подвес с двумя взаимно перпендикулярными осями), что позволяет им все время сохранять горизонтальное положение. Вскоре способ перевозки хронометров получил широкое применение и на суше — при путешествиях, для определения долгот населенных пунктов при составлении географических карт и для определения долгот основных обсерваторий разных стран. Так, например, после основания в 1839 году Пулковской обсерватории ее первый директор В. Я. Струве организовал в 1843 году специальную экспедицию, оснащенную 60-ю хронометрами для определения разности долгот между Пулковом и Гринвичем.

Задача определения долготы получила совсем новое решение с изобретением в середине прошлого столетия телеграфа, что дало возможность передавать сигналы времени начального меридиана и определять разность местных времен двух пунктов с недосягаемой ранее точностью — до долей секунды. Правда, для этого между пунктами должна быть телеграфная связь, что, очевидно, исключало применение такого способа для кораблей в открытом море. Тем не менее прокладка подводных кабелей позволила связать между собой разные континенты. Таким образом, например, была определена очень точно долгота обсерватории в Вашингтоне. В России основное время (по которому, к примеру, составлялось расписание поездов) было Петербургское, вернее, время Пулковского меридиана. Оно передавалось по проводу из Пулковской обсерватории на

17

Хронометр.

центральный телефон в Петербурге, а оттуда — телефонным и железнодорожным станциям по всей стране. По этому же времени стрелла в полдень пушки в Петропавловской крепости.

Наконец, само универсальное решение приесло изобретение беспроводного телефонфа. Уже в 1921 году радиостанция Новая Голландия в Петрограде стала передавать несколько раз в сутки так называемые ритмические сигналы времени, состоящие из 61 точек в минуту, поэтому промежутки между точками были меньше секунды на $1/60$ секунды. Замечая на служ совпадения секунды ударов хронометра с точками радиосигналов, можно было сверить свой хронометр со всемирным, т. е. Гринвичским, временем с точностью до сотых долей секунды. Правда,следствие ошибок хода часов обсерватории и разных технических помех эти сигналы были на доли секунды ошибками, но это можно было учеть позже, после приема их на обсерватории и последующих астрономических наблюдений. Для этого ежемесячно публикались специальные биологические точный момент выхода в эфир прошлых сигналов, что позволяет задним числом исправлять показания хронометра. Это нужно было, конечно, лишь при пределении долготы с предельной точностью; в навигащии же, где точность до 1 секунды более чем достаточно, публикуемые поправки переданных сигналов времени никакого значения не имели. Ныне, благодар изобретению кварцевых, а затем и молекулярных часов *), хранящих время до тысячных долей секунды в течение многих месяцев, поправки передавых радиосигналов практических сведений к нулю. Старая задача определения географической долготы получения наиболее точное решение.

Законным нашу статью таким примером. Представьте себе человека, знакомого с астрономическими методами определения его местоположения. Пусть его заведут в любое место — на неботтаемый остров, в пустыню, в горы, куда угодно, и пусты он совершенно не знает, где находится, в какой стране, даже в каком полушарии. Пусть он потерял счет времени и не знает ни места, ни числа. Но дайте ему астрономический ежедневник с таблицами логарифмов, универсальный инструмент, хронометр, показывающий произвольное время, и радиоприемник для сигналов времени (без права приема других передач). Разрешите ему в одну ясную ночь пронаблюдать звезды, а на следующей утро — Солнце. Обработав своиления, он скажет месту, а по географической карте укажет, где он находится и в каком направлении нужно идти, чтобы попасть в ближайший или заданный город. Словом, такому человеку невозможно забудиться на земном шаре.

*) В кварцевых часах роль маттика выполняет пластинка из кварца, вырезанная определенным образом. В кварце возбуждаются электромагнитные колебания, частота которых долгое время сохраняет неизменной.

Действие молекулярных часов связано с собственными колебаниями молекул неокторых веществ.

18

Комментарий

Если в течение нескольких часов наблюдать за звездным небом, то можно заметить, что положения созвездий изменяются относительно сторона горизонта. Например, в восточной части неба звезды поднимаются выше над горизонтом и перемещаются вправа. В сверхной стороне неба большим звездом в течение суток описывается окружности. Можно сказать, что весь небесный свод (небесная сфера) врашает вокруг небого оси, называемой осью мира. Точки пересечения оси мира с небесной сфера называют полосами мира — сверхным и южным. Северный полос — тот, со стороны которого вращение небесной сферы происходит по часовой стрелке (если смотреть извне). Это вращение в действительности кажется, так как на самом деле вращается Земля вокруг осей (в противоположном направлении). Очевидно, что ось мира параллельна оси вращения Земли.

Кроме оси мира и полосов мира, есть еще небеслою характерных линей и точек на небесной сфере (рис. 1). Плоскость SWNE — плоскость горизонта, плоскость, касательная к поверхности Земли в точке C, где находится наблюдаемый. Линия NS — полуденная линия (по этой линии в полдень падает тень от вертикальных предметов). Отвесная линия, проведенная в точке C, пересекает небесную сферу в точке зенита Z. Плоскость, проходящая через точки S, Z, P (северный полос мира), N — плоскость небесного meridiana. Небесный экватор — это линя пересечения плоскости, перpendикулярной к оси мира и проходящей через наблюдаемый (точка C), с небесной сфера.

Какое светило за сутки два раза пересекает небесный meridian; явления проходления светила через небесный meridian называются кульминациями. В верхней кульминации светило находится выше всего над горизонтом, в нижней кульминации — ниже всего (рис. 2).

У светил, находящихся в близи полоса мира, можно наблюдать обе кульминации (и верхнюю, и нижнюю); у восходящих и заходящих светил наблюдают только верхнюю кульминацию (низняя кульминация происходит под горизонтом).

Момент верхней кульминации Солнца называют истинным полном, а момент нижней кульминации Солнца — истинной полночью.

Рис. 1. Рис. 2.

19

Тайны циклоиды

С. Г. Веров

«Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели ее древние …, ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, когда непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота».

Паскаль

Кривую, «так часто вычерчивающуюся перед глазами каждого», первыми заметили Галилей (в Италии) и Мерсенн (во Франции). В Италии ее назвали циклоидой, во Франции — рулеттой. Привилось первое название, а рулеттами теперь называют кривые более широкого класса (см. статью «Касательные к рулеттам», «Квант», 1975, № 5, с. 22; в дальнейшем, ссылаясь на эту статью, мы будем писать КР). Математики XVII века, создававшие общие методы исследования кривых, были очень заинтересованы в новых «подопытных» кривых. Среди этих кривых циклоида заняла особое место. Она оказалась одной из первых трансцендентных кривых (кривых не алгебраического происхождения), для которых удалось найти красивый явный ответ в задачах о построении касательных и вычислении площади. Но больше всего поражало, что циклоида вновь и вновь появлялась при решении самых разных задач, в пер-

2*

воначальной постановке которых она не участвовала. Все это сделало циклоиду самой популярной кривой XVII века: в 1673 году Гюйгенс констатировал, что «циклоида исследована точнее и основательнее всех других кривых».

1. От кинематического определения к аналитическому

Кинематическое определение циклоиды содержится в эпиграфе к этой статье. Попробуем его расшифровать.

Выберем на плоскости систему координат так, чтобы прямая, по которой катится круг (направляющая прямая), совпала с осью $Ox$, и пусть круг (его называют производящим кругом) катится в положительном направлении оси $Ox$. Предположим, что в начальный момент времени наблюдаемая точка границы круга занимает положение $A_0=O=(0,0)$ (рис. 1). Если $r$ — радиус производящего круга, то центр его будет двигаться по прямой $y=r$. Чтобы полностью охарактеризовать качение круга, достаточно описать движение его центра, если только добавить, что круг катится без скольжения *). Нам удобно, зафиксировав единицу времени, предположить, что центр круга движется равномерно со скоростью $r$. В момент времени $t$

---

*) Вероятно, именно это и имел в виду Паскаль, когда писал, что колесо «катится своим движением».

20

центр круга оказывается в точке $C_t = (tr, r)$, и производящий круг будет касаться направляющей прямой в точке $B_t = (tr, 0)$.

Найдем теперь положение $A_t$ на ближайшей точки в момент времени $t$ (в силу определения $A_t$ будет точкой циклонды). Чтобы это сделать, нужно четко формировать у слова и е, что качение круга проискодит без скольжения: оно состоит в том, что длина отрезка между точками касания производшего круга с направляющей прямой в момент времени 0 и $t$ (отрезка $OB_t$; см. рис. 1) равна длина других $B_tA_t$, «прокатившейся» по этому отрезку (при этом дуга может превышать полную окружность).

Поэтому в момент времени $t$ угол $B_tC_tA_t$ равен $t$ (в радианной мере), так как длина других $B_tA_t$ равна $tr$. Обозначив через $D_t$ проекцию точки $A_t$ на прямую, проходящую через центр круга $C_t$ параллельно оси $Ox$, а через $E_t$ — проекцию точки $A_t$ на прямую, проходящую через центр $C_t$ параллельно оси $Oy$ (рис. 2), получим (с учетом направления координатных осей)

$$C_tD_t = -r\sin t, \quad C_tE_t = -r\cos t$$

(посмотрите, что будет в случае $t > \frac{\pi}{2}, t > \pi$). Следовательно, координаты точки $A_t$ циклонды равны соответственно

$$x = rt - r\sin t, \quad y = r - r\cos t$$

Заметим, что при $t = 2\pi$ длина отрезка $OB_t$ оказывается равной длине окружности, наблюдаемая точка вновь попадает на ось $Ox$ ($A_{2\pi} = (2\pi, 0)$) и картина начинает повторять. Таким образом, период циклонды равен $2\pi r$.

Итак, циклонду можно определить как множество точки с координатами $(rt - r\sin t, r - r\cos t)$ и при желании проискодное кinemатическое определение забыть. Мы получили так называемое параметрическое задание циклонды: обе координаты $x$ и $y$ точки $A_t$ циклонды являются функциями от некоторой вспомогательной переменной $t$.

Назовем точки циклонды, лежащие на оси $Ox$, остриями циклонды, точки, лежащие на прямой $y = 2r - \text{вершинами}$, а других соседними остриями — арками циклонды. В выбранной системе координат циклонда характеризуется одним параметром $r$ (радиусом производшего круга). Все циклонды, у которых точки $(0, 0)$ — острие, получают друг из друга готовотейной. По каждой точке $(x, y)$, $x \neq 0$ можно единственным образом выбрать $r$ так, что эта точка будет лежать на первой арке, выходящей из $(0, 0)$, соответствующей циклонды (доказите).

В статье КР доказано, что касательная к циклонде в точке $A_t$ (рис. 3) проходит через верхию точку производшего круга — точку $F$ на рис. 1.

21

сунке 3. Пусть $B_t$ — нижняя точка круга, $\alpha$ — угол между касательной и вертикальной $FB_t$. Тогда $A_t B_t$ — нормаль к циклоне (перpendикуляр к касательной), и для ординаты $y$ точки $A_t$ имеем: $y = E_t B_t = 2 r \sin^2 \alpha$. Отсюда

$$\sin \alpha = \sqrt{\frac{y}{2r}}.$$

Это соответствие будет играть важную роль в дальнейшем. Можно показать, что циклона с параметром $r$ является единственной кривой, проходящей через точку $(0, 0)$, удовлетворяющей соответствию (1).

2. О площадях криволинейных фигур

Площади некоторых криволинейных фигур умелы вычислять еще в Древней Греции. Вначале интересовались лишь квадратурой фигур, т. е. построением для данной фигуры циклulum и линейной отрезка,лина которого равна ее площади. Как выяснили позднее, это можно сделать для тех фигур, площадь которых вычисляется при помощи арифметических операций и операции извлечения квадратного корня. Постепенно стали интересовать фигурами, площадь которых вычисляется с помощью произвольных алгебраических операций (алgebraическая квадратура), а затем даже и таким фигурами, в выражениях для площадей которых фигурировало число $n$. Основной метод вычисления площадей состоит в приближении данной фигуры многоугольниками и перехождение к пределу; но должно быть очень повезти, чтобы эти вычисления удалось довести до явного ответа.

Иногда вычисление площади фигур можно упростить, воспользоваться какими-нибудь общими свойствами площадей. Вот несколько таких свойства.

1. При этомеми фигуры с коэффициентом $k$ площадь ее умножается на $k^2$, а при расчженении фигуры относительно некоторой оси с коэффициентом $k$ площадь ее умножается на $k$.

2. Равносстравленные фигуры (m. e. фигуры, которые можно разрезать на попарно конгурзимные части) равновелики (имеются площади).

3. Две фигуры, при пересечении которых любой прямой, параллельной некоторых фиксированной прямой $l$, получаются конгурзимные отрезки, равновелики (этот принцп сформулировал в 1635 году Кавальери (1598—1647)).

Представим себе, что контур фигуры — гибкая лента, а сама фигура составлена из очень тонких жестких слоев, параллельных прямой $l$ («неделимых», по терминологии Кавальери). Расмотрим преобразования, сохраняющие эти слои, но сdwггаошие их друг относительно друга. Все получающие при таких преобразованиях фигуры в силу принципика Кавальери будут равновелики.

Перечисленные свойства площадей нужноются в доказательствах (основная трудность этих доказательств состоит в том, чтобы дать строгое определение площади), но в них легко проверить. Сейчас мы расскажем о том, как изящно применяются эти свойства при вычислении площади фигуры, лежащей под аркой циклонды.

22

3. Спутница циклонды, лепестки Роберваля и плошадь под циклондой

Поскольку циклонды подобны, мы ограничимся случаем $r=1$. Вслед за Робервалем (1602—1675) связь с каждой точкой циклонды $A_t$ (см. рис. 3) ее проекцию $E_t$ на вертикальной диаметр производащего круга. Точка $E_t$ имеет координаты $x=t, y=1-\cos t=1+\sin\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$.

Кривую, составленную из точек $E_t$ при всевозможных $t$, Роберваль называл «спутница циклонды». Ясно, что «спутница циклонды» — это сдиинутая синусоид (на 1 вверх и на $\frac{\pi}{2}$ вправо).

С этим обстоятельством связан исторический курсез. Математики с незапамятных времен занимались тригонометрическими функциями, но синусоид в первые появились лишь в XVII века, причем не как график с инуса, а как … «с путиица циклонды» (отчасти это можно обяснить тем, что долго не рассматривали функций не алгебраической проинсходения).

«Спутница циклонды» разбивает ее на три части (рис. 4): фигуру под синусоид и две симметричные фигуры, называные «лепестками Роберваля». В силу свойства 2 площади фигуры под синусоид равна $2\pi$: эта фигура равносstellена с прямогольником такой площади (рис. 5). Расстоянием один «лепесток». Горизонталь на высоте $y=1-\cos t$ пересекает его по отрезку $A_t E_t$ длины $|\sin t|$ (см. рис. 2). Переместив эти горизонтальные отрезки (при всевозможных $t$) вдоль своих горизонталей так, чтобы их левые концы попали на одну вертикаль, мы получим полукруг единичного круга (рис. 6). В силу принципа Кавальери площадь «лепестка» равна площади этого полукруга, т. е. $\frac{\pi}{2}$. Значит, площадь фигуры под аркой циклонды с $r=1$ равна $2\pi+2 \cdot \frac{\pi}{2}=3\pi$ (и следовательно, $3\pi r^2$ при $r\neq 1$).

Вопрос о вычислении площадей сегментов циклонды является менее элементарным. Гюйгенс (1629—1695) не без гордости писал: «Я первый промерил площадь точки циклонды, которая получится, если отсутствать от вершины $1/4$ часть оси и проведится параллель основанию. Эта часть составляет половину площадного шестиугольника, вписанного в образующий круг».

23

4. Таутохрона

«Циклопадный математический матрик был изобретен Христаном Гюйенсом, крупным ученым XVII столетия и генеральным часовым мастером всех времен».
Зоммерфельд. Механика

Галилей утверждал, что период колебаний математического матрика определяется только его длиной $l$ и не зависит от угла $\varphi$ его максимального размера. Гюйгенс, выясив, что это утверждение справедливо лишь для малых углов $\varphi$, решил построить матрик, период колебаний которого и в самом деле не зависит бы от $\varphi$ (такой матник называется maymoхронным или изохронным).

Построение таутохронного матрика Гюйгенс разделил на два этапа:

1. нахождение кривой, по которой должен двигаться конец матрика (maymoхроны);
2. нахождение подвески матрика, обеспечивающей движение его конца по таутохроне.

Мы начнем с понсков таутохроны (существование которого заранее не очень удобно).

Конец математического матрика движется по дуге окружности точно так же, как тяжелая матриальная точка — по желобу, контур которого совпадает с этой окружностью. Если пренебречь слими треня и сопротивления воздуха, то тяжелая точка, пущенная по кругу овому желобу без начальной скорости с высоты $H$, пройдя нижнее положение, снова поднимается на высоту $H$, и далее будет совершать периодические колебания, поднимаясь то в одну нота, то в другую сторону на высоту $H$. Неверное утверждение Галилей состоит в том, что при этом период колебаний $T(H)$ не зависит от $H$. Наша задача — определить, какой форму должна быть желоб, чтобы то, что утверждал Галилей, было верным.

Благодаря哉стливой случайности (они в истории науки играют не последнюю роль), Гюйгенс изучал цикл(longу (в связи с конкурсом Паскаля, 1658 год) в то same время, когда искал таутохронный матрик. Именно циклона и оказалась таутохроной! Вероятно, сам Гюйгенс этого заранее не ожидал (так можно поннимать его слова: «я обнаружил приготовность ее (циклоны) для измерения времени, исследуя ее по строим правлам науки не подозревая ее применением»).

Рассмотрим на желобе, сделанным по форме перевернутой циклоны (рис. 7; $r$ — радиус производащего круга) тяжелую матриальную точку; пусть в начальной момент времени она находится на высоте $H$ (в точке $C_0$ на рисунке). Попытемся найти время $t$, через которой она оказывается в нижней точке $B$ (вершине циклоны). Тогда через $2\tau$ она будет в точке $C_{2\tau}$ циклоны, симметричной относительной вертикальной оси точки $C_0$, а через время $T=4\tau$ (полный период) вернется в точку $C_0$. На интересует зависимость $t$ от $H$.

Пусть в момент времени $t$яжелая точка занимает положение $C_t$ на высоте $h=h(t)$. Вектор скорости $\vec{v}(t)$ в момент времени $t$ направлен по касательной к циклоне в точке $C_t$, его длина $|\vec{v}(t)|$ (величина скорости) определяется из закона сохранения энергии:

$$\frac{m|\vec{v}(t)|^2}{2} = mg(H-h(t)),$$

т. е.

$$|\vec{v}(t)| = \sqrt{2g(H-h(t))}.$$

Посмотрим, как движется проеки к цц и нашей точки на вертикаль $C_0B'$. В момент времени $t$ эта проекция занимает положение $C'_t$, а в момент времени $t$ она оказывается в точке $B'$ (см. рис. 7), проёдя отрезок $C_0B'$ длины $H$. Скорость $\omega(t)$ в момент времени $t$ этого прямолинейного движения (в точке $C'_t$ на рис. 7) — это проекция вектора скорости $\vec{v}(t)$ на

24

вертикаль: $w(t) = |v(t)| \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между касательной к циклюде и вертикалью. Поскольку (см. (1), с. 21) $\cos \alpha = \sqrt{\frac{2r-y}{2r}}$ и $y = 2r - h(t)$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{h(t)}{2r}}$, а значит, $w(t) = \sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \sqrt{h(t)(H-h(t))}$.

Итак, закон изменения скорости у нашей прямолинейного движения довольно сложный. Но Гюйгенс заметил (решаюшая докадка!), что при равномерном врашательном движении по окружности диаметра $H$ вертикальная компенента вектора скорости имеет тот же вид, что и $w(t)$. Действительно, построим на отрезке $C_0B'$ как на диаметре полукругжность, и пусть $C'_t$ — точка этой полукругжности, лежащая на высоте $h(t)$. Длина отрезка $C'_t C'_t$ равна $\sqrt{h(t) \cdot (H-h(t))}$.

Из подобия прямогольных треугольников, окрашенных на рис. 7 в красный цвет (их стороны взаимно перпендикулярны: $OC'_t$ — радиус, в точке $C'_t$ проведены касательная к полукругжности и вертикаль), следует, что касательный к окружности в точке $C'_t$ вектор длины $\sqrt{\frac{g}{r}} \frac{H}{2}$ имеет вертикальную проекцию длины $w(t)$. Значит, когда наша точка $C$ движется по циклюде, соответствующая ей точка $C''$ равномерно врашается с угловой скоростью $\sqrt{\frac{g}{r}} \cdot \pi$ точка $C''$ пройдет полукругжность $C_0B'$, за то же время точка $C'$ пройдет отрезок $C_0B'$, а сама точка $C$ — дугу циклюды $C_0B$. Итак, мы не только доказалиmayтохронность циклюды (т. е., что $\tau$ не зависит от $H$), но и нашли полный период колебаний:

$$T = 4\tau = 4\pi \sqrt{\frac{r}{g}}.$$

Формула (2) настоящего наполнения гипотетического формулу Галилея для перiodа математического матрика длины $l(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}})$, что было естественно попытаться воспользоваться (2) для обоснования последней. И в самом деле, с помощью (2) Гюйгенс получил первое строое доказательство формулы для перiodа колебаний математического матрика при малых углах размаха $\varphi$. Он заметил, что при малых углах круговой желез почти не отличается от циклондального, и оставалось только понять, при каком соответствии между длиной $l$ математического матрика и параметром $r$ циклонды это отличие наименьшее. Оказалось, что при $l = 4r$ (это не оченьный факт; мы еще к нему вернемся). Подставляя в (2) $r = l/4$, получаем знаменную формулу для перiodа математического матрика: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ (при малых $\varphi$).

*) Фактически доказано, что движение тяжелой материальной точки по циклондому железу можно представить в виде суммы равномерного врашательного движения с угловой скоростью, не зависит от того, с какой высоты $H$ пушена точка, и некоторого (вобше говора, неравномерного) построительного движения. При $H = 2r$ это легко вывести из кинематического определения циклюды и соответствия (1), с. 21.

25

5. Циклондальный матник

Создавая первую модель часов, Гойгенс надеялся скоппencировать отклонение простого (математического) матриника от татухронности, уменьшая в процессе отклонения его длину. Длину матрика можно регулировать, установив «шеки» (рис. 8), на которые в процессе отклонения будет наматьаться нить подвески. Попытки экспериментального пообрать нужную зависимость длины матрика от угла отклонения не дали успеха, и Гойгенс вследующих свойствах конструкции часов установивает вместе «шек» ограничители амплитуды размах. Когда же выяснили, что циклонда — татухрона, стало понятно, что форма «шек» должна быть такой, чтобы конец матрики дивgalся по циклонде.

Гойгенс искал форму «шек», расуждая (в несколько волном пересказе) примерно так. Пусть имеется препятствие, ограниченное кривой $L$, в некоторой точке $O$ которого закреплена нерастящим нить длины $l$ (рис. 9). Наятную нить мы наматываем на препятствие, наблюдая за кривой $M$, которое описывает незакрепленный конец нити. Гойгенс называл кривой $M$ разверткой кривой $L$; теперь $M$ называют эволюеной кривой $L$, а $L$ — эволюет кривой $M$ (с одной эволюютой связьается много эволюент, отвечающих разным длиам $l$). Нам нужно найти эволююту циклонды.

Кривая $M$ состоит из таких точек $B$, что сумма длин отрезка касательной $BA$ к кривой $L$ в точке $A$ и друг АО кривой $L$ равна $l$ (см. рис. 9 — это в точности означает натянутость частично намотанной на $L$ нити). Первая дорогка Гойгенса заключалась в том, что касательная к кривой $M$ в точке $A$ — является одновременного нормального к кривой $M$ в точке $B$. Проще всего посянить этот факт, исходя из kinematического определенения кривой $M$. Вспомним, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения и что при изменении действия сил вектор скорости не может измениться мгновенно (подробнее об этом см. в статье КР). «Обрубим» в точке $A$ препятствие, но будем продолжать движение натянутой нити (рис. 10); тогда конец нити начинает движаться по окружности с центром в точке $A$; векторная же скорость его в точке $B$ не изменится; поэтому в точке $B$ у кривой $M$ и окружности с центром $A$ будет общая касательная, перпендикулярная к радиусу $BA$.

Читатель статьи КР заметят также, что если рассматривать нити разной длины, то описанное движение конца нити продолжается до такого движения все плоскости как твердой пластинны, при котором точки кривой $L$ является меновенными центрами врацения, а различные эволюенты — траекториями точки плоскости. Из этого замечания сразу следует перпендикулярность

26

отрезка $AB$ к касательной к кривой $M$ в точке $B$.

Следующая догадка Гюйгена состоит в том, что в «хорошей» ситуации эволюция кривой восстанавливается сdhозначно (помните, у одной, кривой много эволюvent!) Дело в том, что нормали к кривой $M$ в разных точках — это касательные к ее эволюите $L$. «Хорошую» же кривой по касательным можно восстановить: взяв много касательных, построить описанную ломаную и, «учашая» затем касательные, все лучше приближать кривой (говорят, что кривая оценим множество своих касательных).

Нам нужно найти кривую, касательные к которой будет нормали к заданной циклоде. Гюйгенс догадался, что этой кривой будет такая же циклода, только поднята на $2r$ и сдинируется на полерида (так, что ее вершины совпадают с остриями исходной циклоды; см. рис. 11).

В самом деле, пусть $r=1$; $l$ и $l'$ — направляющие прямые соответствующего нижней и верхней циклод, $O$ и $O'$ — их начальные точки ($l'$ на дее единицы выше $l$; $O'$ на л единиц правее $O$). Возьмем на прямой $l$ точку $C$ и рассмотрим положения производаших кругов (обених циклод), когда они касаются $l$ в этой точке $C$. Пусть $C'$ и $C''$ — диаметрально противоположные ей точки соответствующего верхнего и нижнего кругов, $A$ и $A'$ — соответствующие точки циклод. Дуга $CC''A$ равна по длине отрезку $OC$; поэтому она на л больше других $C'A'$, равной по длине отрезку $O'C'$. Отсюда $C'CA' \cong C''CA$, и точки $A'$, $C$, $A$ лежат на одной прямой. Остается заметить, что $CA'$ — касательная к верхней циклоде, а $CA$ — нормаль к нижней ($AC''$ — касательная к ней).

Тепер мы знаем, что «шеки» тутохронного матрика должны быть циклодальные, и что длина нити $l$ должна равнять $4r$ (именно при таком значении $l$ мы в качестве эволюенты получим нужную циклоду). При малых же углах размаха фрегулирующие «шеки» почти не влияют на длину матрика, и циклода близка к другие окружности радиуса $4r$ (см. конец предыдущего пункту).

6. Теорема Христофора Рена.
   Эвольоты и вычисление длин кривых

Решив задачу о циклодальном матрике, Гюйгенс не остановился, понимая, что им создана замечательная математическая теория. Он пишет: «Для применения мочего изобретения к матрикам мне необходим было установить новую теорию, а именно, теорию обработания новых линей при посредстве развертывания кривых линей. Здесь я столкнулся с задачей сравнения кривых и прямых линей. Я изучил этот вопрос несколько далее, чем нужно было для моей цели, так как теория показалась мне изящной и новой».

Прежде всего Гюйгенс заметил, что когда нить матрика целиком на матывается на «шеку», то конец его оказывается в вершине циклоды; значит, длина нити матрика ($4r$) совпадает с длиной половины арки циклоды, и, значит, длина арки циклоды равна $8r!$ Эту теорему в 1658 году сформировал и доказал Христоф Рен; Гюйгенс же, как мы видим, получил очень естественное доказательство этой теоремы.

Теорема Христофора Рена произвела на современников очень сильное впечатление и вот почему.

27

Рис. 11.

Вычисленем длину кривых математики интерсовались не менее, чем вычисленем площадей. Вначале, по аналогии с квадратной (см. с. 21), они интерсовались ректификацией — построением циркулем и линейной отрезка соответствующей длины; позже стали интерсоваться и аллебраической ректификацией — выражением длины кривой при помощи любых аллебраических операций. Мы уже говорили, что квадратный неокругности, окачивающиеся в нижней точке округности, за одно и то же время (аналогично — для хорд, начиная ихся в верхней точке округности).

2. Пусть есть кривая $L$ (достаточно «хорошая») и точка $A$, не лежащая на $L$. Найдите на $L$ такую точку $B$, чтобы отрезок $AB$ проходился математной точкой под действием силы тяжеста за минимальное время.

Уражения Ньютона

Пусть есть центральное поле, в котором силы пропорциональны расстоянию $r$ до центра: $F(r) = kr$, $k > 0$.

Ньютон заметил, что в таком поле биоциклопды (см. КР) играют ту же роль, что циклопды — в поле тяжеста, а именно:

1. биоциклопды являются (в этом поле) математическим (Ньютон называет их изохронами);
2. эволюции биоциклопды являются же биоциклопды **).

Постарейтесь решить задачи Ньютона (на эту тему можно написать целое математическое «сочинение»). Вспомните, как проводятся касательные к биоциклопдам (статья КР), посмотрите еще раз решения аналогичных задач для циклопд и … Мыjdем ваших решений.

**) О математических часах см. статью С. Г. Гиндкина «Из истории математических часов», «Квант», 1974, № 9.

**) Это — чисто геометрический факт, не относится к механике, но он позволяет устроить биоциклопдальный математик, а задно — вычислить длину биоциклопды.

28

В. Я. Френкель

Пушкин и точные науки

«Бедный Пушкин»

Года два назад, отдыхая на скамейке в ленинградском скверике, я оказался невольным свидетелем такого разговора: «Бедный Пушкин,— сказала своей соседке молодая женщина, складывая свежий номер «Недели».— Живого места на человеке не оставили. Теперь вот пишут «Пушкин и минералогия» — о драгоценных камнях в его жизни».

…«Пушкин и точные науки». Не вызовет ли это заглавие сходный вздох сожаления, не покажется ли оно слишком претенциозным, отдающим в какой-то степени дань моде? Ведь речь пойдет не о применении новых математических методов в изучении стихов поэта (тема вполне содержательная, которую разрабатывают крупные математики). Мы просто посмотрим, как на страницах произведений Пушкина нашли свое отражение некоторые чисто научные термины. Начало прошлого века было ознаменовано замечательными открытиями в физике, химии, математике. Одинаково интересно, если у поэта, во всем стремившегося идти «с веком наравне», такие упоминания редки или часты.

Словарь языка Пушкина

Ответить на вопрос, в какой мере точные науки нашли свое прямое (и в какой-то степени внешнее) отражение в произведениях Пушкина, оказывается задачей не сложной. Дело в том, что к 150-летию со дня рождения поэта Институтом русской литературы (Пушкинским Домом) был издан «Словарь языка Пушкина». Это поистине фундаментальный труд! Каждый из четырех томов «Словаря» содержит по 800 страниц; сюда собраны все слова, использованные Пушкиным в его поэтических и прозаических произведениях (включая письма). 16 000 слов, построенных в алфавитном порядке, истолкованы в том смысле, который им придавался в пушкинское время. Указана «частота» их использования и дается ссылка на том и страницу Академического издания полного собрания сочинений поэта (подготовленного и изданного к 100-летию со дня смерти поэта, к концу тридцатых годов), где встречается соответствующее слово.

Итак, имея «Словарь» пушкинского языка, проще всего начать с того, что выписать имеющие прямое отношение к точным наукам слова, которыми мог пользоваться Пушкин, и поискать их в нем. Именно так и сделал автор настоящей статьи. И число «попаданий» оказалось весьма невелико.

Такая ситуация находится в соответствии с «традиционным» образом Пушкина, который, по воспоминаниям его сестры Ольги, в детстве плакал

30

ный слепец», «Опыт — сын ошибок трудных» и, наконец, «Гений — парадоксов друг». Академик С. И. Вавилов специально отмечал глубину этих пушкинских определений.

Укажем для полотны, что в третьий раз «алгебра» упоминается также в критической стате. Позт сравнивает татарское его с итом мавританским (в Испании) и пишет: «Татары не походили на мавров. Они, завоевав Россия, не подарили ей алгебры, ни Аристотеля».

В критической стате, посвященной работе Кюхельбекера, Пушкин пишет: «Вдохновение нужно в поззии, как и в геометрии». Знаменательная фраза! Профессору Гёттингенского университета Давиду Гильберту, одному из крупнейших математиков нашего века, однажды сказал, что его студент оставил математику, решив посвятить себя поззии. «Меня это не удивляет,— ответил Гильберт,— у него чувствовался недостаток фантации!» Вдохновение, о котором пишет Пушкин, это нечего чем родственное гильбертовской фантации.

Пушкинское суднение о геометрии было неслучайным; примерно в то же время, но уже по другому случанию, он записывает в своей тетради: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поззии», поменяв местами поззию и геометрию и как бы подеркивая их равноправие перед лицом вдохновения. Академик М. П. Алексеев замечает, что такое сопоставление неслучайно. В 1826 году, когда эти фразы были записаны Пушкиным, Н. И. Лобачесский уже говорил о своей новой геометрии, и отзвуки его речи в Казанском университе, произнесенной 24 февраля 1826 года, могли достигнуть и Пушкина.

Всегда соблазнительно проследить, не пересекались ли жизньные судьбы двух гениев, живших в одно и то же время, хотя и проявившихся в разных областях человека ккультуры. По мнении М. П. Алексеева, есть основания полагать, что имена Пушкин и Лобаческого можно соединить относительно механических. Прежде всего, И. Великоопольский, брат жены Лобаческого, хорошо знал Пушкин, виделся с ним недократно, переписьвался и даже обменяла стихотворениями (весьма колкими). Есть прямые свидетельства того, как любил Лобачесный поззию Пушкин: его стихи он часто читал наизусть в семейном кругу. Во время поедки в самом начале 30-х годов в Оренбург (в понискх материала для «Истории Пугачевского бунта») Пушкин оставился в Казан — городе, где прожил всю свою жизнь Лобаческий. Здесь Пушкин провел несколько дней в доме профессора Фукса — коллеги Лобачесского по университету. У Фукса и его общественный супруги каждой вечер бывалого много гостей; не исклоучено, что среди них в «пушкинские дни» были и Лобачесный. Правда, документальные свидетельств обнаружить неудалось. Но я полагаю, что именно эти понски и приведли Л. Б. Модзалевского — пушкинства и сына пушкинства — к изучению биографии Лобаческого. В результате Модзалевский стал автором одной из наиболее содержательных книг о великом отечественном математике.

Слова «физика» и «химия» Пушкиним использоваться по одному разу. «Химия» — в неинтересном контексте, а вот «физика» — очень звучно.

В ноябре 1824 года он написал цикл стихотворений «Подражания Корану», своего рода потчечный пересказ древней книги. К некоторым строкам Пушкин сделал примечания. Так, к строке

Земля недвижна — неба своды,
Творец, подержаны тобой,
Да не падут на сушь и воды
И не подавят нас собой.—

30

ный слепец», «Опыт — сын ошибок трудных» и, наконец, «Гений — парадоксов друг». Академик С. И. Вавилов специально отмечал глубину этих пушкинских определений.

Укажем для полотны, что в третьий раз «алгебра» упоминается также в критической стате. Позт сравнивает татарское его с итом мавританским (в Испании) и пишет: «Татары не походили на мавров. Они, завоевав Россия, не подарили ей алгебры, ни Аристотеля».

В критической стате, посвязываенной работе Кюхельбекера, Пушкин пишет: «Вodoxновение нужно в поззии, как и в геометрии». Знаменательная фраза! Профессору Гёттингенского университета Давиду Гильберту, одному из крупнейших математиков нашего века, однажды сказал, что его студент оставил математику, решив посвязывать себя поззии. «Меня это не удивляет,— ответил Гильберт,— у него чувствовался недостаток фантази!» Вodoxновение, о котором пишет Пушкин, это нечего чем родственное гильбертовской фантази.

Пушкинское суднение о геометрии было неслучайным; примерно в то же время, но уже по другому случанию, он записывает в своей тетради: «Вodoxновение нужно в геометрии, как и в поззии», поменяв местами поззию и геометрию и как бы подеркивая их равноправие перед лицом вдохновения. Академик М. П. Алексеев замечает, что такое сопоставление неслучайно. В 1826 году, когда эти фразы были записаны Пушкиным, Н. И. Лобачесский уже говорил о своей новой геометрии, и отзвуки его речи в Казанском университе, произнесенной 24 февраля 1826 года, могли достигнуть и Пушкина.

Всегда соблазнительно проследить, не пересекались ли жизньные судьбы двух гениев, живших в одно и то же время, хотя и проявившихся в разных областях человекаской культуры. По мнении М. П. Алексеева, есть основания полагать, что имена Пушкин и Лобаческого можно соединить относительно механических. Прежде всего, И. Великоопольский, брат жены Лобаческого, хорошо знал Пушкин, виделся с ним недократно, переписьвался и даже обменяла стихотворениями (весьма колкими). Есть прямые свидетельства того, как любил Лобачесный поззию Пушкин: его стихи он часто читал наизусть в семейном кругу. Во время поедки в самом начале 30-х годов в Оренбург (в понискх материала для «Истории Пугачевского бунта») Пушкин оставился в Казани—городе, где прожил всю свою жизнь Лобаческий. Здесь Пушкин провел несколько дней в доме профессора Фукса—коллеги Лобачесского по университету. У Фукса и его общественный супруги каждой вечер бывалого много гостей; не исклоучено, что среди них в «пушкинские дни» были и Лобаческий. Правда, документальные свидетельств обнаружить неудалось. Но я полагаю, что именно эти понски и приведли Л. Б. Модзалевского—пушкинства и сына пушкинства—к изучению биографии Лобаческого. В результате Модзалевский стал автором одной из наиболее содержательных книг о великом отечественном математике.

Слова «физика» и «химия» Пушкиним использоваться по одному разу. «Химия» — в неинтересном контексте, а вот «физика» — очень звучно.

В ноябре 1824 года он написал цикл стихотворений «Подражания Корану», своего рода потчический пересказ древней книги. К некоторым строкам Пушкин сделал примечания. Так, к строфе

Земля недвижна—неба своды,
Творец, подержаны тобой,
Да не падут на сушь и воды
И не подавят нас собой.—

31

он записал: «Плохая физика, но это какая смелая позня!»
Приведем пример, к которомуpuskinская ремарка подходит не менее.
В известном стихотворении «Портрет», посвязываном красавице Закревской, он писал:

С своей пылаюшей душой,
С своими бурными страстями
О жены Севера, между вами
Она является порой
И мимо всех условий света
Стремится до утраты сил,
Как беззаконная комета
В кругу расчисленном светил.

Очевидно, однако, что движение кометы столбже расчисленно (законномерно), как и движение небесных светил: нет больше «законника», чем природа. Если нам иногда и кажется, что поведение ее объектов противоечит законам, то это просто значит, что мы еще не знаем других более сложных законов, которые они подчиняются!

Укажем, наконец, известную эпиграмму Пушкина, в которой он воспроизводит спор между представителями различных философских школ древности, касающийся существией физической содержательного понятия движения. Эпиграммма эта, написанная в Михайловском осенью 1825 года, так и называется — «Движение»:

Движения нет, сказал мудрец брадаты.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловать.
Но, господа, забавный случай сеи
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако же прав упрямый Галилей.

«Мудрец брадаты» — это древнегреческий философ Зенон Элейский (5 в. до н. э.), а его оппонент «другой» — Антисфен (род. около 440 г. до н. э.). В восьми строкахсеоей эпиграмммы великий позт с удивительной емкостью и выразительностью сумел передать существь спора; заключительные строки призываны предостеречь тех, кто счел «ответ замысловать» Антисфена исчерпывающим: Пушкин напоминает о галилеевской (коперниковской) гелиоцентрической системе мира, согласно которой движение Солнца — кажущеся является, иллюстрирующее относительной характер этого движения.

Что бы дать представление о той глубине, с которойpuskinники вникают в историю возникновения стихотворений позта, в явный и скрытый смысл каждой их строки, замечу, что исчерпывающего анализуpuskinского «Движения» в одной из статей академика М. П. Алексеева посвязывано 18 страниц убористого текста.

Заключительные замечания

Перечисленные примеры носят, конечно, иллюстративный характер и являются лишь «нулевым приближением» к содержательной теме «Пушкин и наука». Глубокие связи Пушкина с современной ему науковым многообразны. В них организаски включены его отношения с рядом ученых (прежде всего, гуманитариев). Однако из негуманитарев был «русский Кали-

32

остро*) — заменатель изобретатель П. Шиллинг, за этот свой талант получивший такое «чародейное» произведение. Шиллинг прославился не только изобретением «телеграфи по продавам»; известны его изобретения в морском деле, его работы по электричеству. Привлекает внимание и также разработана тема «Пушкин и Гумбольдт**).

Однако наиболее ярко широта интересов Пушкина, понимание им роли науки в жизни общества проявились в его журналистской деятельности и были связаны с изданием журнала «Современник» — предприятия, на которое он возлагал столько надежь и в которое внес столько сил в последние полтора — два года жизни.

Для русской журналистики 20—30 гг. прошло века публикация научно-популярных статей носила, можно сказать, традиционный характер. Пушкинский «Современник» и в этом плане был нанесен новый виде. Его издатель не хотел просто перечать научно-популярные обозоры из зарубежных журналов — он привлек к их написанию своего соответствника, книгя П. Б. Козлеского, профессионального дипломатата и глубоко образованного человека. В двух из четырех прижизненноыших номерах русского «Современника» были напечатаны статьи Козловского. Первая из них — «Разбор Парижского Ежегодника», говоря современным языком, решения на это издание, выпускающей под наблюдением секретаря Французской Академии наук Франсуа Араго. В своей развернутой решении Козловский не только пшет о последних успехах французской науки, но и горячно ratует за распространение просвещения у себя на родине, в России. Задча и благородная, и смелая, если помнить, что в глазах самодержавия просвещение было синонимом свободы. Следующая статья Козловского, помещенная в 3-м томе «Современника», называлась «О надежде». Это было первое в русской литературе популярное изложение основ теории вероятности. Последний термин в то время у нас еще отсутствовал, и Козловский предложал назвать эту теорию «теорий удоббостистей». Любопытно видеть на страницах «Современника» рядом с позицией Пушкина, Жуковского, Тючева, с произойдет алгебраические формулы, треугольник Паскала и даже график, который Козловский заканчил свою статью.

*) Граф Калиостро (настоящее имя — Иосиф Бальзамо (1743—1793)) — аванторис, прославившийся всевозможными «чародействами». Его имя, одnakо, было синонимом не только авantiоризма и шарлатанства, но и вообще всякого впечатящего и ощеломляющего воображение зрелщика. Примерно в этом контексте и следует понимать просвищение, данные Шиллинг,— настоящему чародею, который раскрывал перед людьми те «объикновенные чудеса», которые tant в себе истинная наука.

**) Алексадр Гумбольд (1769—1859) — немецкий естественный и географ. Много путешествовал по Южной и Центральной Америке. Весной 1829 года приехал в России. В Петербурге встречался со многими учеными и писателями, в числе которых были П. А. Вяземский и А. С. Пушкин. Совершил в этом же году получдовое путешествие в Сибирь. Его научные связи с русскими учеными продолжались в течение его долгой жизни.

33

В этой заметке рассказано о некоторых любопытных последовательностях добей и решена задача M298 из «Задачника «Кванта». Хотя в конце отчителя требуется знакомство с методом координат, векторами и принципиом математической индукции, но больше часть заметки будет понятна даже тем, кто лишь недавно познакомился с добями. Автор надеется, что старшеклассники и учитель найдет здесь удобный материал для занятий с учениками 5—6 классов. Упражнения включают существующее состояние.

1. Ряды Фарея. Наблюдения

Выпишем все правиланые доби, у которых знаменатель не больше 7:

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6},$$

$$\frac{5}{6}, \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$$

(мы пропустили сократимые доби: $\frac{2}{4}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}$ и $\frac{4}{6}$ — из добей, представляющих одно и то же число, мы выбираем одн и у добь, а именно ту, у которой числитель и знаменатель наименьшие).

Теперь запишем те же доби в порядке возрастания:

$$\frac{1}{7}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{2}{7}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7}, \frac{1}{2},$$

$$\frac{4}{7}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{5}{7}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}.$$

(1)

Проверьте, что в ряду (1) каждая добь действительное больше предыдущей

$$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6.7}, \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5.6},$$

$$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4.5}, \frac{2}{7} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4.7}, \dots$$

При этом соблюдается интересная закономерность: числомель разности двух соседних добей всегда получается равным единице, точнее,

A. Для любых двух соседних добей $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ ($2\delta e \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$) выполняется равенство

$$bc - ad = 1.$$

Какие еще закономерности присущи ряду добей (1)?

Нетрудно обнаружить, что сумма двух добей, симметрично стоящих в этом ряду, равна 1. Интересно, затемил ли читатель, что

B. Каждый добь получается из соседних с ней двух добей следующим образом: надо сложить их числели и разделить полученное число на сумму знаменателя.

В самом деле,

$$\frac{1}{6} = \frac{1 + 1}{7 + 5}, \frac{1}{5} = \frac{1 + 1}{6 + 4},$$

$$\frac{1}{4} = \frac{1 + 2}{5 + 7}, \frac{2}{7} = \frac{1 + 1}{4 + 3}, \frac{1}{3} = \frac{2 + 2}{7 + 5},$$

$$\frac{2}{5} = \frac{1 + 3}{3 + 7}, \frac{3}{7} = \frac{2 + 1}{5 + 2}, \frac{1}{2} = \frac{3 + 4}{7 + 7}$$

и так далее!

34

Таблица 1. Ряды Фарея.

Точно так же, как выписана строка (1) из правилных дробей со значенателем, не превосходящим 7, можно выписать в порядке возрастания дроби со значенателем, не превосходящим $n$. Расположим подряд также строки для $n=1, 2, \dots, 7$ в виде таблицы 1.

Первая строка и боковые стены из дробей $\frac{0}{1}$ и $\frac{1}{1}$ придают нашей таблице более законченный вид.

Упражнение 1. Проверьте, что закономерности А и Б, которые мы заметили в следующей строке таблицы, имеют место и во всех предыдущих строках.

Новые дроби в каждой строке мы выделили красным цветом.

Для новых дробей наблюдайте Б можно уточнить: у дроби, возникающее между двумя старыми, числитель равен сумме их числитель, значенатель — сумме значенателей. Таким образом, можно предложить простое правило, по которым получается новая $n$-я строка.

В. Нужно отметить в $(n-1)$-й строке все такие пары седних дробей $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$, у которых сумма значенателя равна $n$, и между ними встречаются дроби $\frac{a+c}{b+d}$ (они всегда получаются несократными).

Проделаем эту операцию с следующим пары седним строкой. Отметим пары седним

них дробей, у которых сумма значенателем равна 8. Это такие пары

$\frac{0}{1}$ и $\frac{1}{7}$; $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{5}$; $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3}$; $\frac{6}{7}$ и $\frac{1}{1}$.

Вставим между ними соответственно дроби $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}$ и получим восмную строчку

$$\frac{0}{1} \frac{1}{8} \frac{1}{7} \frac{1}{6} \frac{1}{5} \frac{1}{4} \frac{2}{7} \frac{1}{3} \frac{3}{8} \frac{2}{5} \frac{3}{7} \frac{1}{2}$$

$$\frac{4}{7} \frac{3}{5} \frac{5}{8} \frac{2}{3} \frac{5}{7} \frac{3}{4} \frac{4}{5} \frac{5}{6} \frac{6}{7} \frac{7}{8} \frac{1}{1}$$

Уражнение 2. Проделайте аналогичную операцию с восмой строчкой и проверьте, что таким образом получается строчка всех несократных дробей со значенателем не больше 9, иуших в порядке возрастания.

Уражнение 3. Проверьте, что в восмой и девятой строчках выполняются закономерности А и Б.

Строчка всех несократных дробей $\frac{p}{q}$, у которых $1 \leq p \leq q \leq n$ ($n$ — данные натуральное число), расположенных в возрастящем порядке, имеет в теории чисел специальное название — ряд Фарея, и обозначается иногда через $F_n$. Имя математика Фарея таким строчкам присвоил вликий французский математик Коши. Фарей интересы закономерности в этом ряду дробей, а Коши, обратив внимание на наблюдания Фарея, в 1816 году опубликовал их доказательство. Однако в полное воозможно, что эти закономерности были известны математикам и раньше.

Дадим два определения, связанные с нашими наблюдаениями.

Определение 1. Наозовем две дроби $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ близкими, если $bc$-ад равно 1 или —1.

Уражнение 4. Выберите из дробей (1) все пары близких дробей.

35

Определение 2. Изовем медиантом двух дробей $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ дробь $\frac{a+c}{b+d}$.

(Медианта несократимых дробей может оказаться сократимой дробью; приведите пример.)

2. Свойства близких дробей

Теперь наши гипотезы можно сформировать коротко так: в любом $n$-м ряду Фарея ($n$-й строке таблицы 1)

A. Соседние дроби близки дробу другую.

B. Каждая новая дробь $m/n$ является медиантом соседних с ней дробей.

В задаче М298 из «Задачника «Кванта» как раз и требовалось доказать свойство А: если $p/q < r/s$ — соседние дроби ряда $F_n$, то $qr - ps = 1$. Но оказывается, что значительное легко доказывать одновременно оба свойства — и А, и В. Мы наметим ниже целых три различных доказательства: одно — в пунктах 3—4, второе — в пункте 5, третье — в пункте 6. Укажем несколько простых свойств, характеризующих близкие дроби и медианты.

a) Для любых двух дробей $a/b$ и $c/d$ их разность по modulo не меньше 1/bd:

$$\left| \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right| \geq -\frac{1}{bd},$$

(2)

причем знак равенства в (2) получается в том и только в том случае, если дроби $a/b$ и $c/d$ близки. (Это объясняет выбор термин: близкие дроби.)

6. Медианта двух дробей всегда заключена между ними, m. e.

если $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$, то

$$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}.$$

b) Если две дроби близки дроби к другу, то обе они несократимы.

r) Если две дроби близки дроби к другу, то их медианта близка к каждой из них.

d) Если две дроби близки дроби к другу, то их значения взаимно просты и их численные взаимно просты *).

e*) Из всех дробей, заключенных между двумя близкими дробями, называемый знаменатом имеет их медианта.

Упражнение 5. Докажите свойства a) — d).

Допустим теперь, что читатель не только проделал упражнение 2 — получил из воспользования 2 — но, продолжая действовать дальше по правилам В, получает десятию строку, одинаковую и так далее.

Из свойств 6), В), r) следует, что во всех новых строках сохраняется также закономерности:

1. дроби-mediанты, которые мы вставим, будут несократимы;
2. дроби идут в порядке возрастания;
3. любые две соседние дроби близки другую.

Оставшийся более трудный вопрос состоит в следующем. Попадут ли по правилам В в $n$-ю строку в се несократимые дроби со значением $n$ или может оказаться, что какие-то будут пропущены? Оказывается, что все такие дроби будут обязательно вставлены, т. е. мы действительно получим строку $F_n$ целиком. На этом месте мы советем читатель оставить и попробовать придумать доказательство самостояльно (один из путей — доказать свойство e, отмеченное звездочкой).

Мы же пока сделаем небольшое отсутствие и обсуждение вопрос:

сколько всего дробей в $n$-й строке нашей таблицы?

*) Цельные числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, бóльших 1.

36

3. Функция Эйлера.
   Число красных дробей

Пусть у нас имеется натуральное число $n$. Расмотрим все натуральные числа, не превосходящие $n$, и выберем из них те, которые взаимно просты с числом $n$. Количество этих чисел обозначим через $\varphi(n)$.

Например, для $n=8$ таких числа будут 1, 3, 5, 7, и тем самым $\varphi(8)=4$.

Итак, каждому натуральному числу $n$ сопоставлено число $\varphi(n)$. Это соответствие $\varphi$ называется функцией Эйлера.

Перечислим некоторые свойства функций Эйлера:

1. $\varphi(n) < n$.
2. Если $n = p$ — простое число, то $\varphi(p) = p-1$.
3. Для $n > 2$ число $\varphi(n)$ четно.
4. Если $n = p^d$ — степень простого числа $p$, то

$$\varphi(p^\alpha) = p^\alpha - p^{\alpha-1} = p^\alpha \left(1 - \frac{1}{p}\right).$$

5*) Если $m$ и $n$ взаимно просты, то $\varphi(mn) = \varphi(m) \cdot \varphi(n)$.
6) Общая формула для $\varphi(n)$ такова:

$$\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{p_r}\right);$$

здеся $p_1, p_2, \dots, p_r$ — все простые числа, на которых делится $n$. (Эта формула доказана в статье «Малая теорема Ферма», «Квант», 1972, № 10.)

Доказать все эти свойства мы предлагаем читателю. Объясним только свойство 3). Все числа, меньше $n$ и взаимно простые с $n$, можно разить на пары: каждая пара состоит из таких чисел $q$, $s$, что $q+s=n$. Таким образом, число $\varphi(n)$ — четно.

Число красных дробей в $n$-й строке $F_n$, оченьindo, равно $\varphi(n)$, так как несократимых дробей $m/n$ ($0 \leqslant m/n \leqslant 1$) со значением $n$ столько же, сколько натуральных чисел $m$, меньше $n$, и взаимно простых с $n$.

Вопрос о том, сколько всего членов содержит $n$-й ряд Фарея $F_n$, обсуждает в своем письме читатель «Кванта». А. Китаев из Ленинграда. Ясно, что это число — обозначим его $\varphi(n)$ — равно

$$\varphi(n) = 1 + \varphi(1) + \varphi(2) + \varphi(3) + \dots + \varphi(n),$$

поскольку $\varphi(1) = 2$ и $\varphi(n) = \varphi(n-1) + \varphi(n)$ (см. таблицу 2). Простой формулы для $\varphi(n)$, видимо, не существует. Но интересно, что, несмотря на крайне нерегулярное поведение функции Эйлера $\varphi(n)$ (отно-

$$n \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9 \quad 10 \quad 11 \quad 12 \quad 13 \quad 14 \quad 15 \quad 16 \dots$$

$$\varphi(n) \quad 1 \quad 1 \quad 2 \quad 2 \quad 2 \quad 6 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 10 \quad 4 \quad 12 \quad 6 \quad 8 \quad 8 \dots$$

$$\varphi(n) \quad 2 \quad 3 \quad 5 \quad 7 \quad 11 \quad 13 \quad 19 \quad 23 \quad 29 \quad 33 \quad 43 \quad 47 \quad 59 \quad 65 \quad 73 \quad 81 \dots$$

Таблица 2. Функция Эйлера и число дробей $F_n$.

шение $\frac{\varphi(n)}{n}$ былает сколь угодно близко к 0, и к 1), для $\varphi(n)$ можно доказать такое предельное соотношение:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2} = \frac{3}{\pi^2} \approx 0,305 \dots,$$

т. е. $\varphi(x)$ при больших $x$ возрастает «приблизительно по параболе»: $\varphi(x) \approx \frac{3}{\pi^2} x^2$.

Это — одна из красивых теорем, полученных авторским математиком Ф. Мертенсом (1874 г.).

4. Соседние значенатели

Вернемся теперь к вопросу, поставленному в конце пункта 3, и обьясим, почему, действуюя по правилам В, мы получим все $\varphi(n)$ несократимых дробей со значенателем $n$. Сделаем еще одно наблюдение.

Обратим внимание на значенатели дробей в таблице 1. Составим для удобства из них новую таблицу 3. Правило В позволяет продолжать «таблицу значенателей» (не заботая о числительных) следующим образом.

В’. Нужно отметить в $(n-1)$-й строке все пары $q$, $s$ соседих чисел, сумма которых равна $n$, и между ними посмотрим $n$.

Как мы уже говорили, соседние значения $q$ и $s$ в таблице 3 — взаимно просты (см. свойство Д, пункт 2). Заметим теперь, что, вступая суммы $q+s=n$ в $n$-ю строку, мы встречаем какое из $\varphi(n)$ возможных представлений $n$ в виде суммы взаимно простых чисел (причемровно один). Например, в двоичной строке:

36

37

Таблица 3. Знаменатель рядов Фарея

$$9 = 1 + 8, \quad 9 = 5 + 4, \quad 9 = 7 + 2,$$
$$9 = 2 + 7, \quad 9 = 4 + 5, \quad 9 = 8 + 1.$$

Упражнение 6. Налишите еще три строчки таблицы 3 и проверьте, что все ф (n) представленный знаменатель n в виде суммы двух соседних знаменателей n = q + s встречаютсяровно по одному разу.

Наблюдение, сделанное в упражнении 6, формулируем так.
Г. В n-й строчке таблицы 3 каждое число, взаимно простое с n, былаем «соседом»ровно дважды: один раз — следа и один раз — справа.

Упражнение 7. Докажите, что если свойство Г выполняется во всех предыдущих строчках таблицы 3, то оно должно выполнять и в n-й строчке, полученной по правилау B'.

Из упражнения 7 вытекает (согласно принципу математической индукции), что если новые строчки таблицы 3 получать по правилау B’, то во всех строчках свойство Г будет выполняться, а следовательно, в n-й строчке будетровно ф (n) новых членов!

Упражнение 8. Пусть мы, начав со строчки $\left(\frac{0}{1}, \frac{1}{1}\right)$, несколько раз проделиваем такую операцию: между двумя уже написными дробями вставляем их медианту. Докажите, что для любой строчки, которое можно таким образом получить, выполняются свойства A и B.

Из результатата этой задачи, в частности, следует, что свойства A и B выполняются для каждой строчки таблицы 4, где между к а ж-dы ми и двумя дробями в следующее строчке вставляется медиант.

Упражнение 9. Докажите, что в таблице 4 в каждой строчке, начиная с n-й, встречаются все несократимые дроби со знаменателем n, причем каждая — один раз.

Таблица 4. 《Ускореенный》 ряд Фарея.

Таблица 4 тесто связывана с таблицей целых чисел, которая рассматривается в задаче М233 Г. А. Гальперина из «Задачника «Кванта». Эта таблица 5 появляется не только в знаменательх дробей таблицы 4, но и в их числительных (во второй «половине» таблицы 4, — начняя со второй строчки, во второй «четверти», — начняя с третий строчки и так далее!)!

5. Второе доказательство

Приведем короткое доказательство свойств А и В рядом Фарея $F_n$, опирающееся на свойство a) близких дробей (такое доказательство приведено в книге [2]).

Доказательство тоже проводится по индукции. Предположим, что для всех строчек $F_1, F_2, \dots, F_{n-1}$, предшествующих $F_n$, свойства A и B доказаны. Пусть некоторая дробь $m/n$ (so знаменателем n) заключена между соседними дробями $p/q$ и $r/s$ из $F_{n-1}, p/q < r/s$ (значит, $qr - ps = 1$).

Тогда

$$\frac{m}{n} - \frac{p}{q} \geq \frac{1}{qn}$$

и

$$\frac{r}{s} - \frac{m}{n} \geq \frac{1}{sn}.$$

Сложив эти неравенства, получим

$$\frac{r}{s} - \frac{p}{q} \geq \frac{q + s}{nqs};$$

38

$$\frac{q+s}{n} \leq qr - ps = 1;$$
$$q+s \leq n.$$

Сторое неравенство $q+s < n$ выполняется не может: в этом случае дробь $(p+r)/(q+s)$ встречается бы между $p/q$ и $r/s$ уже в $F_{n-1}$ (далее в $F_{q+s}$).

Следовательно,
$$n = q+s,$$
(4)
а поэтому неравенства (3) также должны быть равенствами, откуда
$$mq-np = 1, nr-ms = 1.$$ (5)
Из (4) и (5) следует, что $m = p+r$.

Итак, мы доказали, что $m/n$ — медианта дробей $p/q$ и $r/s$ и близка к каждой из них. (По существу, мы здесь доказали свойство e) близких дробей.) Значит, свойства A и B верны и для $F_n$.

У пряженние 10. Докажите, что:
a) если дроби $m/n$ и $p/q$, где $q < n$ — близки, то они — соседние дроби в $F_n$;
b) любая дробь, близкая к $m/n$, равна одной из дробей $(m+kr)/(n+ks)$, либо $(m+kp)/(n+kq)$, где $k = 0, 1, 2, \dots$, а $p/q$ и $r/s$ — соседи $m/n$ в $F_n$.

У пряженние 11. Пусть в последовательности дробей $\frac{1}{1} \leq \xi_1 \leq \dots \leq \xi_N \leq \frac{1}{1}$ каждые две соседние дроби близки друг к другу. Докажите, что эти последовательность можно получить проедурой, описанной в упражнения 8.

Геометрическая интерпретация, к которой мы переходим, значитно прояснить простые принципы закономерностей A и B, а заодно подсказket идею еще одного доказательства.

6. Решетки и параллелограммы

Возьем лист клетчатой бумаги и введем на нем систему координат. Две перpendикулярные линии сетки примем за оси координат, а сторону клетки — за единицу масштаба.

Поставим в соответствии каждой дроби $m/n$ ($0 \leq m/n \leq 1, n > 0$) точку с координатами $(n, m)$. (На рисунке 1 — это черные точки.) Вместо «точка» мы иногда будем говорить «дробь».

Несократимые дроби на рисунке 1 обведены голубыми кружками, а те из них, знаменители которых не больше 4, соединены голубыми отрезками с началом координат O.

Сформилируем несколько свойств дробей на геометрическом языке. Пусть $p/q$ и $r/s$ — две дроби, $A(q, p)$ и $B(s, r)$ — соответствующие им точки.

a) $p/q = r/s$ в том и только том случае, если точки A и B лежат на одном луче с началом O. Ближайший к O узел на этом луче соответствует несократимой дроби.

Дальше мы считаем, что $p/q \neq r/s$.

6. $p/q > r/s$, если луч OA составляет больший угол с горизонтальной осью координат, чем луч OB.

39

В) Дробь $(p+r)/(q+s)$ соответствует четырой вершине $C(p+r, q+s)$ параллелограмма $OACB$ (рис. 2). Для тех, кто знаком с векторами, запишем это так: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$. (Мы видим, что созвучность терминов «medianta» и «mediана» не случайна: отрезок $OC$ идет как раз по медиане треугольника $OAB$.)

г) $|qr-ps|$ равно удвоенной площади $\Delta AOB$, то есть площади параллелограмма $OACB$.

д*) Внутри и на сторонах этого параллелограмма $OACB$ в том и только в том случае нет узлов (за исключением вершин), когда $|qr-ps|=1$.

е*) В этом случае точка $C$ — ближайший к $O$ узел сетки, лежащей внутри угла $AOB$.

У праванние 12. Докажите свойства a)—r).

Ключ к обьясению закономерности ряда Фарея — свойства d) и e*).

Постотрим визимательно на рисунки 2 и 3. На них внутренность угла $AOB$ разрезана прямыми на параллелограммы, конгруэнтные параллелограмму $OACB$. Все их вершины лежат в узлах клетчатой бумаги. Но на рисунке 2 (где площадь $OACB$ больше 1) многое узлы внутренни угла $AOB$ не являются вершинами этих параллелограммов. А на рисунке 3 (здесь площадь $OACB$ равна 1) любои узел внутренни угла $AOB$ — вершина такого параллелограмма, т. е. для любого такого узла $M(n, m)$ найдуться натуральные числа $x$ и $y$, для которых

$$\overrightarrow{OM} = x \cdot \overrightarrow{OA} + y \cdot \overrightarrow{OB}.$$

(6)

Векторное равенство (6) эквивалентно системе уравнений

$$\begin{cases} px + ry = m, \\ qx + sy = n. \end{cases}$$

*). Их можно доказать, опираясь на свойства решеток на плоскости (см. статьи А. А. Егорова и Н. Б. Васильева, «Квант», 1974, № 12.

У праванние 13. a) Докажите, что если $|qr-ps|=1$, где $p, q, r, s$ целые числа, то система (7) при любых целых $m$ и $n$ имеет решение в целых числах $x$ и $y$.

б*) Сформируйте и докажите обратную теорему.

b) Выведите из a), что для двух близких дробей $p/q < r/s$ любую дробь $m/n$, где $p/q < m/n < r/s$, можно представить в виде $\frac{px+ry}{qx+sy}$, где $x$ и $y$ — натуральные числа.

г) Докажите свойства e* из пунктов 2 и 5 и выведите отicioда закономерности А и В рядом Фарея.

Заключение

Мы наметили несколько путьей построения небольший, но красивой теории рядов Фарея.

Эту теорию можно строить в самом начале изучения целых чисел, не опираясь на основную теорему арифметики (о единственности разложения на простые множители). Сама эта теорема может быть выведена из свойств рядов Фарея. Из этих свойств легко получить также решения в целых числах уравнения $ax-by=1$, где $a$ и $b$ взимено просты: достаточно рассмотреть дробь $\frac{a}{b}$ и взять любую из соседних с ней дробей в ряду Фарея.

Ряды Фарея, а также изображение дробей на решетке полезны и в более тонких вопросах приближения вещественных чисел дробями с небольшими значениями.

Литература

1. Н. Б. Васильев. Решение задачи М233. «Квант», 1974, № 7, с. 39.
2. И. М. Виноградов. Основы теории чисел. М., «Наука», 1965.
3. К. Чандраекхаран. Введение в анализические теории чисел. М., «Мир», 1974.
4. Д. Б. Фукс, М. Б. Фукс. «О наилучших приближениях». «Квант», 1971, №№ 6 и 11.

40

О задаче Радо

В «Кванте» № 5 за 1975 год в разделе «Задачик «Кванта» была опубликована задача М321 [автор А. В. Брайлов]. Напомним ее условия.

Имеется прямогольный стол площади 1. Докажите, что для любого ε > 0 можно указать систему прямогольных салфеток, покрывающих этот стол (края салфеток парапельны краям стола), такую, что любая ее подсистема, состоящая из неперекрывших салфеток, имеет площад меньше ε.

В этой заметке расссказывается о различных вариантах задачи о «системах неперекрывших салфеток». Некоторые из них имеют целую историю, другие — довольно просты и решаются с помощью одной идеи, как обычные «оплипадные» задачи.

По-видимому, гипотетическая (и имеющий отношение только к математике, а не к биологии) пример живых существ, для которых внешний мир — двумерная плоскость, а не трехмерное пространство, принимает знаменитomy немецкому естественнойателю и математику Г. Гельмгольцу у: это водомерки — «водяные пауки», скользывание движения которых по поверхности воды можно увидеть в любом застояшемся водоеме. «Водомерки» Гельмгольца так же не в состоянии вообразить прививчный нам «трехмерный» мир, как человек не может представить себе «четырехмерное пространство»*).

*) Воображаемым «живым существом», имеющим форму плоских геометрических фигура и населяющим двумерный мир, посвящена книга английского школьного учитель Э. Э. Эббота «Флетленд», изданная еще в 80-х годах прошло века и, к сожалению, ни разу не переводилась на русский язык. Сложет повести Ч. Г. Хинтона «Эпизод во Флетленде» (1907 г.), продолжающей ту же тему, кратко изложен в «Кванте», 1970, № 4, с. 28—31.

Мы начнем с еще болееprimитивного, чем у водомерок, внешнего мира: с одномерного аналoga задачи М321. Далее в таком «облегченном» варианте она относить не становится бессодержательной.

Покрытия отрезка

Сейчас у нас и «столы», и «салфетки» — не прямогольники, а отрезки прямой. Нас интересует такое Утверждение. Пусть заданы отрезок o длины 1 («стол`) и число ε > 0. Тогда можно указать систему отрезков («салфеток»), покрывающих «стол» o, такую, что любая подсистема непересекающийся отрезков (неперекрывшихся «салфеток») имеет общую длину, меньше ε*).

Верно это Утверждение или нет?

Испытаем сначала самые простые системы «салфеток».

На рисунке 1, а «стол» покрыт tremя «салфетками» длины 1/3. Из них

*) Условимся для точно системы непересекающейся любье две «салфетки», имеющие хотя бы одну общую точку.

41

можно выбрать подсистему из двух неперекрывающихся «салфеток» с общей длиной $2/3$. (Можно, конечно, выбрать подсистему из одной «салфетки», нолина такой подсистемы меньше.) Итак, если $\varepsilon > 2/3$, то наше утверждение верно: мы указываем систему отрезков такую, что любая ее подсистема, состоящая из непересекающих отрезков, имеет общую длину, не большею $2/3$, т. е. меньше $\varepsilon$.

У правахнения 1. Докажите, что для $\varepsilon > 1/2$ Утверждение тоже верно. (Построите соответствующее покрытие отрезка «стола» о меньшим отрезкам «салфетками».) Ясно, что каждый пример системы отрезков $K$ гарантирует справедливость нашего утверждения лишь при $\varepsilon > d_h$, где $d_h$ — некоторое положительное число, зависящее от этой системы $K$. Так, для примера на рисунке 1, а $d_h = 2/3$; на рисунке 1,6 $d_h = 3/5$. А вообще $d_h$ — это наиболее длинная подсистема $K' \subset K$, состоящей из непересекающих отрезков. Ясно, что чем меньше $\varepsilon$, тем труднее строить пример. Можно случиться так, что при $\varepsilon$, большех какого-то $\varepsilon_0$, нашей Утверждение верно, а при меньших $\varepsilon$ — уже нет. Докажем, что для одномерного варианта нашей задачи дело обстоит именно так.

При $\varepsilon = 1/3$ Утверждение неверно.

Другими словами, никакая система «салфеток» не может послужить требуемым примером для $\varepsilon = 1/3$, т. е. любая система «салфеток» содержит подсистему неперекрывающих «салфеток», покрывающих часть «стола» о длины $1/3$ (или больше $1/3$).

Пусть дана какая-то система отрезков $K$, покрывающих отрезок о длины 1. Выберем из $K$ на больше - ши и отрезок, обозначим его $i_1$. Выбросим теперь из системы $K$ все отрезки покрытия, пересекающие с отображенным отрезком $i_1$ (они покрывают отрезок длины не больше $3|i_1|$, где $|i|$ — длина отрезка $i$). Из оставшихся отрезков покрытия снова выберем на ибольший (обозначим его $i_2$) и выбросим все те отрезки, которые пересекаются с $i_2$ (они покрывают отрезок длины не больше $3|i_2|$), и так далее, пока не исчерпаем все отрезков покрытия. Выбранная подсистема непересекающих отрезков $i_1, i_2, \dots$ такова, что

$$3|i_1| + 3|i_2| + \dots \geq 1,$$

поскольку длины $3|i_1|, 3|i_2|, \dots$ в совокупности покрывают всего $K$ и, стало быть, все отрезок $o$ длины 1. Поэтому сумма длины $|i_1| + |i_2| + \dots$ не меньше $1/3$.

На рисунке 2 показан процесс выбора такой подсистемы $\{i_1, i_2, i_3\}$ для системы из семи отрезков.

У правахнения 2. a) Докажите, что из любой системы «салфеток», покрывающих «стол», можно выбрать подсистему «салфеток», которая тоже покрывает «стол», и такую, что никакая точка «стола» не покрыта более чем двумя «салфетками».

b) Докажите, что и при $\varepsilon = 1/2$ Утверждение неверно.

У правахнения 3. Докажите, что если «стол» — по-прежнему отрезок длины 1, а «салфетки» могут быть и «дырявыми», т. е. каждая «салфетка» может состоять из одного или нескольких отрезков, то Утверждение, сформированное в начале этого пункта, верно при всех $\varepsilon > 0$.

42

Решив упражнения 1 и 2, вы должны следующий факт:

Теорема 1. Пусть «стол» и «салфетки» — отрезки, длина «стола» равна 1.

а) Из любой системы «салфеток», покрывающих «стол», можно выделить подсистему неперекрыващихся «салфеток» общеей длины не менее $1/2$.

б) Если $\varepsilon > 1/2$, то вседа можно указать система «салфеток» макую, что любая ее подсистема неперекрыващихся «салфеток» имеет длину меньше $\varepsilon$.

Другими словами, Умверждение верно при $\varepsilon > 1/2$ и неверно при $\varepsilon \leq 1/2$.

Упражнение 4. Докажите аналогичную теорему для «стола» — окружности длины 1, и «салфеток» — друг этой окружности.

Квадратные салфетки

В 1928 году известный венгерский математик Тибор Радо (T. Radо) сообщил в письме редактору ведущего пользователя математического журнала Fundamenta Mathematicae, где в пользователе математической школе Ващлаву Сергинскому, что не может решить, по-видимому, несложную геометрическую задачу, связанную с теорией функций нескольких переменных. Изложив известные нам сообщения и результаты о покупциях отрезка отрезками, T. Радо ставит вопрос о получении аналогических оценок для «двумерной» задачи, в которой «салфетки» — квадраты (разны х размеров), а «стол» — скажем, квадрат (или прямоульник) площади 1, причем квадрат параллельный краям стола (рис. 3).

Итак, разница между задачей Радо и задачей M321 (Браилова) только в форме «салфеток»: в M321 они могут быть любыми прямоульниками, а у Радо — только квадратами. Но это «маленькое» различие, как передко бывают, полностью меняет дело.

Метод, который мы из системы отрезков, покрывающих отрезок длины 1, выделили подсистему длины не меньше $1/3$, работает и в двумерном случае. С его помощью T. Радо доказал такой факт.

Теорема 2. Из любое покрытие плоского «стола» площади 1 квадраtnы мы «салфетками» можно выбрать покрытие непере-

43

крывающийся «салфетками», сумма плошадей коморых не меньше $1/9$.

Упражнение 5. а) Докажите теорему 2.

6. Придумайте пример, показывающий, что в формулировке теоремы 2 нельзя число $1/9$ заменить на число $1/4$.

Таким образом, в задаче Радо (в отличие от задачи Браилова) тоже существует какое-то критическое значение $\varepsilon_0$ такое, что

при $\varepsilon > \varepsilon_0$ верно

Утверждение 1. Можно указыть пример системы «салфеток» такой, что любая подсистема неперекрыващихся «салфеток» имеет общую площадь меньше $\varepsilon$,

а для $\varepsilon < \varepsilon_0$ верно

Утверждение 2. Из любой системы «салфеток» можно выбрать подсистему из неперекрыващихся «салфеток» с общей площадью не меньше $\varepsilon$.

Разумеется, площадь «стола» мы все время считаем равной 1.

T. Радо суммл доказать, что для критического значения $\varepsilon_0$ верны оценки

$$\frac{1}{9} \leq \varepsilon_0 \leq \frac{1}{4},$$

(1)

но был уверен, что на самом-то деле $\varepsilon_0 = 1/4$.

Доказать это равенство он и предлагал в письме Вацлаву Серпиинскому.

Однако сделать это не удалось ни Серпиинскому, ни другим математикам, хотя за задачу Радо принимались многие. И лишь 55 лет спустя, в 1973 году, стало ясно, почему. Оказывается, гипотеза T. Радо просто неверна!

В «Бюллетене пользователя Академии наук» появилась сенсционная заметка венгерского математика М. Айтан (M. Ajtai), в котором довольно просто показывалось, что квадратми всего двух различных размеров можно так покрыть прямогольник площади 1, что из них нельзя выбрать неперекрыващую подсистему площади $1/4$ или больше. Сейчас известно, что

$$\frac{1}{8,6} < \varepsilon_0 < \frac{1}{4};$$

(2)

левое неравенство явилось результатом последовательных учточений неравенства (1) T. Радо, последнее из которых принадлежит ленинградскому геометру В. А. Залгалеру*) (по-видимому, оно также не является окончательным, будучи города близке к «грубому» результату теоремы 2, чем к гипотетической оценке T. Радо).

Нанболее красиво и просто решается частный случай задачи Радо, — когда все «салфетки» — квадраты о одного размера. В этом случае критическое значение $\varepsilon_0$ оказывается действительным равным $1/4$. Этот результат доказал еще в 1940 году молодой ленинградский математик А. С. Соколин (и позже, независимо от него, многие другие, причем несколькими различными путями).

Teорема Блихфельда и результат Соколина

Докажем сначала такую приятную теорему, одному из вариантов которого была посвящена вторая страница обложки «Кванта», 1973, № 10.

Teорема Блихфельда. Если площадь фидурры, расположенной на листе клецчатой бумаги, больше $n-1$ (еде $n$ — целое; сторона клецки принимается за 1), то эту фидурму можно параллельным переносом сdbинуть в макое положение, что она покроем по крайней мере $n$ узлов семки. (Узлами называют мочи, где пересекаются линия, разбиающие плоскость на квадратные клеи.)

Доказательство. Разрежем лист клецчатой бумаги на отдельные клетки и соберем вместе, в стопку, все те клетки, на которых помещается хотя бы часть фидурры (от рисунка 4, а перейдем к рисунку 4, 6). Поскольку сумма площадей кусков нашей фидурры больше $n-1$, то неокоторые точки в стопке будут покрыты по крайней мере $n$ кусками

*) В. А. Залгалер, Замечания о задаче Радо, сборник «Математические процесшения» (новая серия), вып. 5, М., Физматиз, 1960, с. 141—148.