Квант 1975, №9 · Страницы

1975
9
Наугино-популярный
физико-математический
журнал

Всероссийский слет
активна научных
обществ учащихся

Летчик-космонавт СССР,
дважды Герой Советского Союза Н. Н. Руководник дает авторфы учатикам слета.

Шиитальские турыка, “Кванти” хотит использовать сведения ученых в изучении ссылок с помощью и широкей качения, ученых в вычислении научнойゲитивности!

Летчик-космонавт СССР

Заведующий лабораторий Института физики творого тела АН СССР, доктор физко-математических наук, лауреат Ленинской премии В. Л. Броуде рассказывает о своей работе.

Фото В. В. Бондарчука

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,

зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикеева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский,
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург,
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,

зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:

2 И. П. Смаханов. Электродинамика движущихся сред
7 Г. А. Гуревиц. Бесповторные последовательности
12 А. Д. Бендукидзе. У источов Грузинской математической школи

Наши интервью
17 Когда катет длинее гипотенузы . . .

Математический кругок
24 Г. И. Копылов. Задача на дом
30 Победители конкурса «Квант»
32 Задачи М341—М345; Ф353 — Ф357
34 Решения задач М304—М307; Ф312 — Ф317
45 Спрашивайте — отвечаем

Практикум абитуриента
49 Л. В. Рыжков, Ю. И. Ионин. Однородные уравнения

Информация
55 М. И. Жеенти. VI праздник юных математиков Закавказы
58 В. Н. Березин и др. Всеросский слет активных обществ учащихся
64 Библиотека имени К. Д. Ушинского — 50 лет
65 А. В. Качанов, И. И. Наслузов. Голубой экран — поступiacшим вузы

Рецензии, библиография
67 Ю. М. Брук. Солнце, воздух и вода
68 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги

«Квант» для младших школьников
70 Задачи
71 Ю. Г. Горст. На даче
73 Б. А. Кордемский. Как? А если невозможно, то почему?

Ответы, указания, решения
Смесь (23, 29, 47, 72)

На первой странице обложки изображена плистрация к золотом ломке Г. Э. Дыбеденius — оделю, сшитое из lockутков. Нужно «распорить» это оделю по «шву» так, чтобы получились два совершенного одинаковых куска. Попробуйте это сделать.

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант», 1975 год

2

«Известно, что электродинамика Максвелла в современном ее виде приводит в применении к движущимся телам к асимметрии, которая несовойствана, по-видимому, самим явлениям». Так начинается знаменитая работа Альберта Эйштейна «К электродинамике движущихся тел»*). Далее Эйштейн рассматривает в качестве примера не какoenибудь новое, только что открытое явление, а явление электромагнитной индукции: при относительной движении проводника и магнита в проводнике возникает электрический ток. Это было установлено Фарадем еще в первой половине прошло столетия. Что же привлекло внимание молодого, в то время еще никому не известного случая его было patentов в швейцарском городе Берне к таким отнюдь не новому и, казалось бы, уже давно обьясенному факту? Эйштейна неSTRAВАЛО не то, что это явление нельзя было обьясить, а то, что оно одинаково хорошо обьясняется двумя совершенно различными способами.

В самом деле, если считать, что движется магнит, а проводник остается в покое, то в нем возникает электрический ток потому, что изменяющиеся магнитное поле вызывает появление электрического поля, которое и приводит в движение заряды

*) Эта работа была опубликована в немецком физическом журнале «Анналы физики» в 1905 году, то естьровно 70 лет тому назад. В ней Эйштейн сформулировал основные положения относительной ответственности.

С другой стороны, если принять, что перемещается проводник, а магнит поконтся (рис. 1), то появление тока обьясняется силой Лоренца, действующей со стороны магнитного поля на свободные электроны, которые находятся в проводнике и движется вместе с ним в магнитном поле. Если $B$ — индукция магнитного поля, $l$ — длина движущегося проводника, $v$ — его скорость, то работа силы Лоренца, относняя к единичному положительному заряду, то есть электродвижущая сила индукции $\mathcal{E}$, равна

$$\mathcal{E} = -vBl$$

(знак минус обьясняется правилом Ленца для направления индукционного тока).

Однако, рассуждает Эйштейн, мы имеем здесь дело с одним и тем же явлением: относительным движением магнита и проводника; так почему же для обьяснения одного явления мы предлагаем две различные принципы? Плюхо, когда явление не имеет обьяснения, но имеет два обьяснения ненамного лучше, либо кто может гарантировать нам, что они на самом деле не противоречат друг другу? Нет, не все в порядке в величественном здании электродинамики. И Эйштейн берет это исходным пунктом для критики современной ему науки, критики, которая привела к радиакальной перестройке наших представлений о пространстве и времени.

Как известно, специальный принцип относительно утверждения, что

3

законы приоды должны быть одинаковы, или, как говоря, инвариантны в различных системах отчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Инвариантность законов приоды не означает совпадения самих наблюдаемых явлений. Однако и то же явление, рассматриваемое в различных системах отчета, описывается обычно различных количественных характеристиками. Так, несмотря на то, что законы падения тела в поезде, движущаяся равномерно и прямолинейно, и на станции одни и те же, предмет, упавший с полки вагона, по-разному движется в системах отчета, связанных с поездом и со станцией. В первом случае он падает по вертикальной прямой, а во втором — по параболе. Причина этого состоит в различных условиях условий. Тело, которое не имело в поезде горизонтальной проекции скорости, в системе отчета, связанной со станцией, имеет ее.

В проечем, существуют и такие величины, которые не зависят от того, в какой системе отчета они изменяются. Они называются инвариантами. К их числу принадлежит, например, заряд. Это утверждение представляет собой вывод, основанный на очень большом числе экспериментальных фактов.

В отличие от заряда, многие другие важные физические величины,

Рис. 1.

Рис. 2.

4

через $B_x, B_y, B_z$ — проекции вектора магнитной индукции на оси координат неподвижной системы отчета. Значения тех же величины, измененные в подвижной системе отчета, будем обозначать со штихами $(E_x', B_x')$ и т. д.). Теория относительной дает следующие соотношения между этим значениями:

$$E_x' = E_x, \quad B_x' = B_x;$$

$$E_y' = \frac{E_y - vB_z}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

$$E_z' = \frac{E_z + vB_y}{\sqrt{1 - v^2/c^2}};$$

$$B_y' = \frac{B_y + \frac{v}{c^2}E_z}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$

$$B_z' = \frac{B_z - \frac{v}{c^2}E_y}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.$$

Мы видим, что значения направности электрического поля и индукции магнитного поля оказываются различными в разных системах отчета. Так, если в системе $K$ магнитного поля нет $(B_x = B_y = B_z = 0)$, то электрическое поле в движущей системе отчета возвращает в $1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ раз и одновременно с этим в ней появляется магнитное поле. направление полей также меняется. Например, если в системе $K$ электрическое поле направлено по оси $Y$, то в $K'$ у него может появиться и проекция на ось $Z$ (при $B_y \neq 0$).

Рассмотрим такой пример. Предположим, что в неподвижной системе отчета $(K)$ имеет магнит, создавший магнитное поле $B$, линни индукции которого направлены вдоль оси $Z$, а электрическое поле отсутствуют. Тогда $B_z = B$, $B_x = B_y = 0$ и, кроме того, $E_x = E_y = E_z = 0$. Если $v \ll c$, то можно пренебречь в линчиной $v^2/c^2$ по сравнению с единицей и положить $\sqrt{1 - v^2/c^2} = 1$. Согласно первой из формул (3) получаем, что в движущей системе отчета возвращает электрическое поле,

$$E_y = \frac{E_y' + vB_z'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \quad E_z = \frac{E_z' - vB_y'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}};$$

$$B_y = \frac{B_y' - \frac{v}{c^2}E_z'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \quad B_z = \frac{B_z' + \frac{v}{c^2}E_y'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.$$

Если, например, в движущей системе отчета магнитного поля нет,

5

то из (8) следует, что

$$B_y = \frac{-\frac{v}{c^2} E'_z}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \quad \text{и} \quad B_z = \frac{\frac{v}{c^2} E'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

т. е. в неподвижной системе отсечета оно существует. Наоборот, если в движущейся системе отсеета нет электрического поля, то в неподвижной системе поле, согласно (7), появится. Таким образом, вопрос о том, имеем ли мы дело с чисто электрическим или чисто магнитным полем и каково соответствие напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, решается по-разному в различных системах отсечета. Или, другими словами, единое электромагнитное поле по-разному подзаделяется на электрическое и магнитное поля в различных системах отсечета.

Теория относительной позвольяет сократить число гипотез, которые лежат в основе электродинамики (пример с э. д. с. индукции для движущейся проводника). Теперь рассмотрим другой, не менее интересный пример, связанный с вопросом о силах, действующих на заряды. Мы постараемся показать, что для того чтобы найти силу, с которой магнитное поле действует на движущейся электрический заряд — силу Лоренца, — достаточно знать, как действует электросатическое поле на неподвижный заряд.

Воображим, что имеется заряжение тела, которое поконтся в системе отсечета $K'$, поскольку действие электрического поля уравновешено какой-либо другой силой, например силой упругости $F$. Предположим для определения, что электрическое поле в системе $K'$ направлено вдоль оси $X'$ (то есть $E'_y = E'_z = 0$), а магнитное поле — вдоль оси $Y'$ ($B'_x = B'_z = 0$). Сила, действующая на покоящийся электрический заряд $e$, равна произведению напряженности электрического поля на заряд. Так как заряжение тела поконтся, то сумма действующих на него сил

$$F_{\pi} = -e E_z = \frac{ev B'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Эта сила и компенсирует действие электрического поля вдоль оси $Z$. Каково же произведение силы $F_{\pi}$? Согласно одному из уравнений (8), в системе $K$ есть и магнитное поле, индукция которого

$$B = B_y = \frac{B'_y}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Сравниваем (9) и (10), получаем, что $F_{\pi} = ev B$.

Следовательно, $F_{\pi}$ — это и сила Лоренца.

Разберем еще одну задачу: сформулировать закон Ома для движущей-

6

гося проводника. Этот вопрос стал особенно актуальным в связи с появлением магнитной гидродинамики—отрасли науки, исследующей законы движения проводящей среды (жидкость или газа) в магнитном поле. Такой средой может оказаться, например, жидкий металл или плазма, движущаяся в космическом пространстве.

Согласно принципу относительной в системе отчета, движущейся вместе с проводником, справедливый обичный закон Ома, установленный для неподвижного проводника. Так как различные части среды могут двигаться с разными скоростями, то мы будем рассматривать достаточно малый объем ее и запишем закон Ома в виде

$$j' = \lambda E'$$

где $j'$ — плотность тока, $E'$ — напряжение проводника электрического поля, а $\lambda$ — удельная электропроводность.

Пусть (как это объясно и бывают) рассматривается среда движется со скоростью, малыми по сравнению со скоростью света, так что $v^2/c^2 \ll 1$.

Будем считать, что среда как целое не заряжена (это тоже чаще всего выполняется); тогда плотность электрического тока $j$ в неподвижной системе отчета ($K$) равна $j'$. Для заряженной среды это было бы, конечно, не так, поскольку движущейся заряд эkvввалентен току. Для того чтобы получить закон Ома, то есть установить связь между $j$ и $E$, для движения проводника, нам осталось знать напряжение электрического поля $E'$ через ее значение $E$ в неподвижной системе отчета. Это можно сделать с помощью формул (2) и (3). Однако мы еще ничего не сказали о направлении движения проводника.

Если направление движения проводника (вдоль оси $X$) совпадает с направлением тока, а значит, и электрического поля, то, согласно (2), $E' = E_x' = E_x = E$. При этом закон Ома имеет тот же вид, что и для неподвижных проводников.

Рассмотрим теперь другой частиный случай. Пусть имеется магнитное поле $B$, направленное в неподвижной системе отчета вдоль оси $Z$ (то есть $B_z = B$, $B_x = B_y = 0$), пусть проводник движется параллельно оси $X$, а ток течет по оси $Y$ ($E_y = E$). Тогда в движущейся проводнике $E_x' = 0$, $E_z' = 0$ и $E' = E_y'$. При условии, что $v^2/c^2 \ll 1$, $E' = E - vB$ и

$$j = \lambda (E - vB).$$

В данном случае закон Ома для движения проводника от такогоого для неподвижного: ток зависит не только от напряженности электрического поля, но и от скорости движения проводника, а также от индукции магнитного поля.

В заключение — несолько задач для самостоятельного решения.

Уражнения

1. Описать движение заряженной частицы в однородных электрическом и магнитном полях, направленных под прямым углом друг к другу (скрещенные поля). Начальная скорость частицы перpendикулярна обомим полям.

2. Найти выражение для разности потенциальов между обкладками бесконечного плоского конденсатора, движущейся со скоростью $v$ вдоль направления его обкладок. В системе отчета, связанной с конденсатором, разность потенциальов задана и равна $\Delta \varphi_0$.

3. Определить электромагнитное поле электрона, движущаяся с постоянной скоростью $v$.

7

Бесповторные последовательности

Г. А. Гуревич

Последовательности Аршона

Назовем последовательность цифр повторной последовательностью, если в ней есть хотя бы одна пара стоянных одинаковых групп цифр. Например, последовательности 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 1 и 1, 2, 2, 7, 6, 2, 7, 6, 8 — повторные, а последовательности 4, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 3 и 3, 2, 3, 1, 2, 7 не являются повторными. Неповторные последовательности мы назовем бесповторными. Через Б(n) обозначим множество последовательностей длины n, а через |Б(n)| — их число.

Интитивно ясно: чем длине последовательность, тем верятнее, что в ней найдется две рядом стоянные одинаковые группы цифр. И в самом деле, если вы научд выпише достаточно длинуную последовательность, то наверняка эта последовательность оказывается повторной.

Придамим этому утверждению точный смысл.

Заддача 1. Докажите, что для любого числа ε > 0 можно указать такое n, что среди всех последовательностей длины n доля бесповторных последовательностей будет меньше ε, то есть $$\frac{|\text{Б}(n)|}{10^n} < \varepsilon.$$

Легко доказать, что все последовательности длины больше трех, составленные из двух цифр 1 и 2 — повторные.

Однако из трех различных цифр уже можно составить как уголную бесповторную последовательность.

Этот факт в 1937 году доказал советский математик С. Е. Аршон предложил индуктивный способ построения бесповторных последовательностей, заключенной в следующем.

Обозначим через $K_1$ бесповторную последовательность 1, 2, 3. Предположим, что бесповторная последовательность $K_n$ уже построена. Последовательность $K_{n+1}$ получается из нее так.

Если число $n+1$ четно и на $n+1$-м месте в последовательности $K_n$ стоит 1, то к последовательности $K_n$ приписьвается тройка цифр 3, 2, 1; если стоит 2, — то тройка 1, 3, 2; если стоит 3, — то тройка 2, 1, 3.

Если число $n+1$ нечетно и на $n+1$-м месте в последовательности $K_n$ стоит 1, то к последовательности $K_n$ приписьется тройка 1, 2, 3; если стоит 2, — то тройка 2, 3, 1; если стоит 3, — то тройка 3, 1, 2.

В частиности,

$$K_2 = 1, 2, 3, 1, 3, 2$$
($n = 2$ — число четное, и на втором месте в $K_1$ стоит 2),

$$K_3 = 1, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1$$
($n = 3$ — число четное, и на третьем месте в $K_2$ стоит 3),

$$K_4 = 1, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1$$
($n = 4$ — число четное, и на четвертом месте в $K_3$ стоит 1) и т. д.

Доказательство бесповторности последовательностей, получающихся по способу Аршона, довольно гро-

8

моздко, и здесь мы его приводить не будем *).

Попробуем теперь оценить число $|B(n)|$ бесповторных последовательностей длины $n$ (из десяти цифр). Если удастся показать, что при любом натуральном $n$ это число больше нуля, то тем самым у нас получится еще одно — уже не конструит вное — доказательство существования сколь угодно длиных бесповторных последовательностей. На самом деле мы сейчас выведем существенно более сильное неравенство $|B(n)| > 8^n$, (1)

чем не только докажем существование сколь угодно длиных бесповторных последовательностей, но и дадим достаочного хорошего нижнего оценку их числа.

Задача M310

Тепер вспомним задачу M310 из «Задачника «Кванта» — см. «Квант» № 2 за 1975 год.

Докажите, что среди $n$-значных чисел найдется более $8^n$ максим, в десятичной записи компонных никакая группа цифр (в частности, никакая цифра) не встречается два раза подряд.

Ясно, что решение задачи M310 состоит в доказательстве неравенства (1). Мы докажем сначала неокоторое вспомогательное неравенство, которое пригодится нам в дальнейшем.

Вспомогательное неравенство. Допустим, что выписаны все бесповторные последовательности длины $n$ — всего $|B(n)|$ штук, и мы хотим выписать все бесповторные последовательности длины $n+1$.

Возьемем произвольную последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$ из множества $B(n)$. Запишем новые десять по следующей — длины $n+1$:

$$a_1, a_2, \dots, a_n, 0, a_1, a_2, \dots, a_n, 1, a_1, a_2, \dots, a_n, 9.$$

Так поступим со всеми последовательностями из множества $B(n)$. Получим неокоторое множество последовательностей; обозначим его через $B^*(n+1)$. Среди последовательностей множества $B^*(n+1)$ выберем те, у которых в конце строит две одинаковые цифры. Множество таких последовательностей обозначим через $B_1(n+1)$. Аналогично через $B_2(n+1)$ обозначим множество таких последовательностей из $B^*(n+1)$, у которых в конце два раза подряд строит одна и та же подобледовательность длины $i$. Поскольку все последовательности из $B^*(n+1)$ имеют длину $n+1$, то максимальное $i=n_1$, при котором множество $B_i(n+1)$ не пустое, равно $\left[\frac{n+1}{2}\right]$.

Все последовательности, принадяжшие множества $B_1(n+1), B_2(n+1), \dots, B_{n_1}(n+1)$ — повторные. Докажите самостояльно, что эти mismatches последовательности исчерпываются повторные последовательности множества $B^*(n+1)$ и что множество $B^*(n+1)$ содержит все бесповторные последовательности длины $n+1$.

Позтому, если из множества $B^*(n+1)$ вычеркить все последовательности, принадяжшие множества $B_i(n+1), i=1, 2, \dots, n_1$, то получится множество $B(n+1)$. Следовательно,

$$|B(n+1)| \geq |B^*(n+1)| - |B_1(n+1)| - |B_2(n+1)| - \dots - |B_{n_1}(n+1)|.$$ (2)

9

В силу построения множества $B^* (n+1)$ имеем: $|B^* (n+1)| = 10 \cdot |B(n)|$, и нам нужно только оценить число элементов каждой множества $B_i (n+1)$. Оказывается, $|B_i (n+1)| \leq |B (n+1-i)|$. (3)

Из неравенств (2) и (3) следует важное неравенство, которое мы и называем воспомогательным: $|B (n+1)| > 10 \cdot |B(n)| - (|B(n)| + |B(n-1)| + \dots + |B(1)|)$. (4)

Итак, нам нужно доказать неравенство (3).

Небольшие отсутствие

Пусть $A$ и $B$ — два конечных множества, и мы хотим узнать, в каком из них больше элементов. Первое, что приходит на ум, — это сосчитать количество элементов множества $A$ и множества $B$, а затем сравнить полученные числа. Но если множество содержит очень много элементов или как-то «хитро» устройно, то подсчитать его количество элементов бывают довольно сложно. И совсем уже непонятно, что делать, если множества $A$ и $B$ бесконечные. Оказыется, есть универсальный способ, позволяющий сравнить даже бесконечные множества. Опишем этот способ на примере.

Пусть $A$ — это множество школьников, приведших в книотатр, а $B$ — множество мест в крительном зале. Рассадим школьников по местам. Если остатус свободные места, то $|B| > |A|$. Если все места оказутся занятыми и часть школьников остается без места, то $|A| > |B|$. И наконец, если оказется, что все места заняты и все школьники расскажены, то $|A| = |B|$.

В чем же состоит описанный выше способ? Мы элементам множества $A$ ставили в соответствие элементы множества $B$. Если первыми оказались исчерпанныйми элементы множества $A$, то $|B| \geqslant |A|$, если же — элементы множества $B$, то $|A| \geqslant |B|$. При этом важно то, что разным элементам из $A$ ставились в соответствии разные элементы из $B$ (мы не разрешали одному ученику заниматься сразу места) и, наоборот, разным элементам из $B$ соответствовали разные элементы из $A$ (мы не разрешали каждой на одно место сразу учеников). Такое соответствие называется сdhозначным.

Доказательство неравенства (3)

Попробуем теперь установить однозначное соответствие между множествам $B_i (n+1)$ и частю множества $B (n+1-i)$ ($i=1,2,\dots,n_1$). Напомним, что последовательности из множества $B_i (n+1)$ имеют вид $a_1, a_2, \dots, a_l, b_1, b_2, \dots, b_i, b_1, b_2, \dots, b_{i-1}$ — беспроводная. Значит последовательность $a_1, a_2, \dots, a_l, b_1, b_2, \dots, b_i$ — также беспроводная. Поставим в соответствие последовательности (5) из множества $B_i (n+1)$ последовательность $a_1, a_2, \dots, a_l, b_1, b_2, \dots, b_i$ из множества $B (n+1-i)$:

$a_1, a_2, \dots, a_l, b_1, b_2, \dots, b_i, b_1, b_2, \dots, b_i$

Очевидно, что это соответствие однозначное, причем для каждой последовательности из $B_i (n+1)$ нашлась соответствующая ей последовательность из $B (n+1-i)$. Значит, $|B_i (n+1)| \leqslant |B (n+1-i)|$, и неравенство (3), а значит, и (4), доказаны.

Решение задачи M310

Докажем теперь (индукцией по $n$) еще одно неравенство:

$|B (n+1)| > 8 \cdot |B (n)|$; (6)

10

ясно, что нужно нам неравенство (1) из него следует, поскольку
$$|\beta(n)| > 8 \cdot |\beta(n-1)| > 8^2 \cdot |\beta(n-2)| > \dots > 8^{n-1} \cdot |\beta(1)|,$$
и $|\beta(1)| = 10$.

База индукции. $n = 1$.
$$|\beta(2)| > 8 \cdot |\beta(1)|,$$
так как $|\beta(1)| = 10$, а $|\beta(2)| = 90$.

Индукционный шаг. Предположим, уже доказано, что
$$|\beta(n)| > 8 \cdot |\beta(n-1)|,$$
$$|\beta(n-1)| > 8 \cdot |\beta(n-2)|,$$
$$|\beta(2)| > 8 \cdot |\beta(1)|;$$

нужно доказать неравенство (6).
Из неравенств (7) следует, что
$$|\beta(n)| > 8^i \cdot |\beta(n-i)|,$$
или
$$|\beta(n-i)| < \frac{|\beta(n)|}{8^i},$$
$$i = 1, 2, \dots, n-1.$$

Подставим найденные оценки (7’) для $|\beta(n-i)|$, $i = 1, 2, \dots, (n-1)$, в неравенство (4); получим
$$\beta(n+1)| > 10 \cdot |\beta(n)| - |\beta(n)| \cdot \left(1 + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{8^{n-1}}\right).$$

Так как
$$1 + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{8^{n-1}} < 2,$$
то $|\beta(n+1)| > 8 \cdot |\beta(n)|$.

Сформулируем теперь несколько задач.

2. Построите беспроводную последовательность, при приписьвании к концу которой любой цифры всегда будет получаться повторная последовательность.

3. Используя последовательность С. Е. Аршона, доказите существование как углоно длинных последовательностей, составленных из цифр 1 и 2, у которых нет трех одинаковыхрядом стоянных групп цифр.

4. Докажите, что для любого натурального $n$ беспроводных последовательностей длины $n$, составленных из четырех цифр 1, 2, 3, 4, больше чем $2^n$.

Из задачи 4 вытекает существование как углоно длинной беспроводной последовательности из четырех различных цифр. С. Е. Аршон показал, что на самом деле существования сколь углоно длинной беспроводной последовательности достаточно и трех цифр.

Бескочные беспроводные последовательности

Итак, мы доказали существование как углоно длинных беспроводных последовательностей. В этом параграфе мы доказем существование и бескочной беспроводной последовательности (заметим, что из первого еще не следует второе).

Задание 5. Докажите, что если существует хотя бы одна бескочная беспроводная последовательность, то существует и бескочно много таких последовательностей.

Обозначим через $B$ множество всех конечных беспроводных последовательностей. Поскольку множество $B$ бескочное, а различных цифр — конечное число (всего 10), то найдется по крайней мере одна цифра, с которой начинается бескочное много последовательности из $B$. Обозначим эту цифру через $a_1$. Выбросим из $B$ те последовательности, которые не начинаются с цифры $a_1$. Получим бескочное множество $B^{(1)}$. Аналогично найдется цифра $a_2$, стоящая на втором месте у бескочного числа последовательностей из $B^{(1)}$. Выбросим из $B^{(1)}$ те последовательности, у которых вторая цифра отличается от $a_2$. Получим бескочное множество $B^{(2)}$ и так далее.

Рассмотрим теперь бескочную последовательность $a_1, a_2, \dots$; доказем, что она беспроводная.

Для этого нам достаточно показать, что при любом натуральном $n$ беспроводная конечная последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n$. Но по построению все последовательности множества $B^{(n)}$ начинаются с последовательности $a_1, a_2, \dots, a_n$, а множество $B^{(n)}$ является подмножества множества

11

ва Б, и значит, все последовательности из Б^{(n)} бесповторные. Любое же начало бесповторной последовательности само является бесповторной последовательностью.

Задача 6. Докажите, что среди любых одиннадцатных беспонечных десятичных дробей, можно выбрать две дроби, у которых совпадают цифры в беспонечном числе разрядов.

Обобщение

Обозначим буквой P свойство «быть бесповторной последовательностью». Тогда только что доказанное утверждение имеет следующую структуру:

Посылака Следствие

Есть как угодно длинная последовательность, обладающая свойством P

Есть беспонечная последовательность, обладающая свойством P

Останется ли верным это утверждение, если считать, что P — произвольное свойство числовых последовательностей? В обшем случае — нет. Приведем пример: рассмотрим свойство «быть конечной последовательностью». Очевидно, что существует как угодно длинные конечные последовательности, но беспонечной конечной последовательности не существует.

Заметим теперь, что, докаживая существование беспонечной бесповторной последовательности, мы опирались только на следующие два факта, неосредственно вытекающие из определения бесповторной последовательности.

1°. Всякое начало последовательности, обладающей свойством P, также обладает этим свойством.

2°. беспонечная последовательность, как угодно длинные начало которого обладает свойством P, также обладает этим свойством.

О пределене. Произвольное свойство числовых последовательностей, удовлетворяющее условием 1°

и 2°, называем наследственным свойством.

Например, свойства «не содержать цифру 3», «состоять только из цифр 1, 2, 3», «начинается цифрой 7» — наследственные свойства, а свойства «содержать беспонечного цифр 4», «кончается цифрой 7» не являются наследственными свойствами.

Теорема. Пусть P — произвольное наследственное свойство. Тогда, если существуют как угодно длинные последовательности, обладающие свойством P, то существуют и беспонечная последовательность, обладающая этим свойством.

Мы не будем остановываться на доказательстве этой теоремы, поскольку оно полностью повторяет доказательство, приведенное в предыдущем параграфе.

Приложение

Рассмотрим числовые последовательности, составленные из трех цифр: 1, 2, 3. Изовем некоторые последовательности (длины два и более) запрещенными. Известно, что все запрещенные последовательности имеют разную длину.

Изовем последовательности, не содержащие запрещенных последовательностей, правильными.

Обратимся снова к «Задачнику «Квант» — к задачке М300 (см. «Квант» № 12 за 1974 год).

Из утверждения задачи М300 следует, что существуют сколь угодно длинные правильные последовательности. А теперь заметим, что свойство «быть правильной последовательностью» всегда наследеное свойство (доказante!) Значит, утверждение о существовании сколь угодно длинных правильных последовательностей можно заменить более сильным — о существовании беспонечной правильной последовательности, а утверждение задачи М300 — утверждение о существовании беспонечного слова без запрещенных буквосочетаний.

12

Уистоков Грузинской математической школе неразрывно связано с основанием грузинского университета.

В 1907 году подготовку к основанию грузинского университета, начавшуюся еще в XIX веке, возглавил молодой приват-доцент Петербургского университета, историк Иван Алексадрович Джавахши вили. Ему и его немногочисленным сортикам пришлось предложить множество прейтствий. И вот 26 января 1918 года в Тбилиси в торжественной обстановке был открыт грузинский университет.

Вначале университет имел лишь один факультет — философский; профессорско-преподавательский же состав университета насчитвал всего 17 членов. Среди них были один математик—приват-доцент Московского университета Андрей Михайлович Размадзе.

Вскоре преподавательский состав пополнился еще одним математиком — в мае 1918 года профессорский совет удовлетворил просьбу Арчила Кирилловича Харадзе о предоставлении ему должности сотрудника университета. Позже, в 1919 году, по предложению А. М. Размадзе, к университету для ведения научной работы был прикомандирован Георгий Николаевич Николадзе, а осенью 1920 года на должность заведующего кафедрой теоретической механики был приглашен Николай Иванович Муххелли вили.

Эти учены — А. М. Размадзе, Г. Н. Николадзе, Н. И. Мусхелышили, А. К. Харадзе — стоит у истоков грузинской математической школе и по праву считаются основоположниками высшего математического образования и научной работы в Грузии. Рассказаем немного о каждом из них.

1

А. М. Размадзе родился в 1890 году. Окончив в 1906 году Кутанское realmente училище, Размадзе поступает на математическое отделение физико-mатематического факультета Московского университета. Уже в студенчестве года Размадзе начинает интересовать проблемами варнационного исчисления*).

После окончания университета Размадзе был назначен преподаватель*

*) Вариационное исчисление — раздел математики, изучающий экстремумы функционирования (говора нетрого, функциониал — это функция от функций). Типичным примером варианной задачи является задача о нахождения геодезических, то есть кратчайших линии на той или иной поверхности. Возникновение варианного исчисления объясняется с задачей о брахистохроне или кривой кратчайшего спуска (brachistos — кратчайший, chronos — время). В этой задаче требуется найти линию, по которой шарик, катясь без трения, быстрее всего пройдёт из верхней точки в нижнюю. Задачу о брахистохроне построил И. Бернулли в 1696 году. Ее, кроме самого И. Бернулли, решили Лейбницц, Лопиталь, Я. Бернулли и Ньюотон. Кривая оказалась циклондой (см. статью С. Г. Верова «Касательные к рулеттам», «Квант», 1975, № 5).

13

lem в Муром. В Муром он продолжает свои занятия и в 1914 году публикует обстоятельный мемуар в одном из авторитетнейших европейских математических журналов. В 1917 году Размадзе становится приват-доцентом Московского университета.

После открытия университета в Тбилиси Размадзе возврашается в Грузию; с тех пор все его работа связана с Тбилиским университетом.

Наряду с интенсивной научной и педагогической деятельности Размадзе ведет большое работу по созданию учебников на родном языке. В 1920 году выходит в свет «Введение в анализ» — I том задуманого им многоотномого курса математического анализа, а спустя два года — «Неопределенные интерралы» — первый часть III том. Значение этих книг — первый университетских учебников на грузинском языке — очень велико. Жаль только, что их автор не успел завершить так быстрое начаное дело.

В 1924 году Размадзе проел доклад на Международном математическом конгрессе в Торonto, а в 1925 году в Сорбоннеащитил диссертацию на степень доктора математики. К этому времени Размадзе уже крупный специалист по варианционному исчислению — ему даже предлагают остаться в Париже на постоянную работу. Но Андрей Михайлович отклоняет это предложение и возврашает на родину.

Многогранную деятельности Размадзе превращала преждевременная смерть, последовавшая после тяжелой болезни осенью 1929 года.

А. М. Размадзе — первый руководитель грузинских математков, и полне закономерно, что Тбилиский Математический институт Академии наук ГCCР носит его имя.

2

Георгий Николадзе, по словам выдающегося французского математика Эли Картана, был рожен геометром. Сам Николадзе писал в 1907 году: «Я считаю себя человека, одаренным довольно большой геометрической интупцией, и мне кажется, что каждая моя мысль должна облекана в конкретный образ. Всякий новый закон (или теорему) я должен непрееменно понять интупивно — почувствовать геометрическое его необходимость. До тех порникакое логическое доказательство ничего не прояснит. Но когда я почувствовал, то я начинаю интупивно так ясно его представлять, что доказательство для меня лично часто становится излишним, хотя «математическое мое чувство» удовлетворяется волне только после того, как закон (или теорема) много: а) постигнут, б) логические доказан».

Однако после окончания гимназии Николадзе поступает не в университет, а в Петербургский технический институт: Г. Н. Николадзе, сын видного грузинского общественного деятельности Н. Я. Николадзе, понимал, что в время Грузия с ее природными богатствами больше нуждалась в инженерах, чем в математике. Исключительное чувство долга перед родиной, присуще волевой и целуустремленной науре Николадзе, предопределило выбор — он решил стать инженером-mеталлуром.

Блестище окончив в 1913 году Технологический институт, Николадзе для приобретения практических навыков едет в Донбасс, где начинает работать на металлургическом заводе. Кроме того, Георгий Николаевич занимается математкой, работает над грузинской технической терминологии, организовадает гимнастические кружки (спортом Георгий Николаевич увлекателься с детства; в 1912 году он был участником слета в Праге и получил первые нагradы с большими дипломами за выступления на гимнастических снарядах в легкоатлетическом шестиборье).

Весной 1918 года Николадзе возврашает в Грузию со своим первым

14

Грузинские математики (слева направо): А. М. Размадзе, А. К. Харадзе (стонт), Г. Н. Николадзе, Н. И. Мусхелышвили.

математический социеннем. Его приглашают работать в университете, и он начинает готовиться к сдаче докторанских экзаменов. Паралельно Николадзе ведет научную работу в области электрометалургии, организативает спортивное общество «Шевардени» («Сокол»), руководит восхождениеми на вершины Казбека и Эльбруса, участвует в создании политехнического факультета; позже на этом факультете он преподает не только математике, но и металлургию. По его инциативе проводится большая работа по разработке грузинской научной математической терминологии. В результате этой работы в 1925 году выходит составленный Н. И. Мусхелышвили, Г. Н. Николадзе и А. К. Харадзе «Русско-грузинский и грузинско-русский лексикон математических терминов».

В 1926 году Николадзе на два года командируется в Западную Европу для научной работы по математике и изучения некоторых вопросов в области электрохимии. Весной 1928 года на Международном конгрессе в Болонье он проел доклад о непрерывных системах геометрических фигур, а летом того же года зашитил в Сорбонне диссертацию и получил степень доктора математики.

В января 1931 года под руководством Николадзе на Тбилисском опытном ферромарганцевом завода началась серия плавок. В одну из холодных ночей Георгий Николаевич, спеша на завод, сільно простудился и заболел воспалением легких. 5 февраля 1931 года Г. Н. Николадзе скончался; ему не было еще и 43 лет.

За свою коротку жизнь Г. Н. Николадзе успел сделать очень много. Объяснить это одним талантом нельзя: Николадзе был исключительно организационным и дисциплинированным человеком. Его ученики-гимнастицы вспомняют, что занятия секции он назначал неровно в 7 ча-

сов, а в 7 часов 7 минут, или в 6 часов 54 минуты и т. д. Сам всегда приходил точно и требовал того же от других.

3

Н. И. Мусхелишвили родился в 1891 году. В 1914 году он окончил физико-математический факультет Петербургского университета и был оставлен при кафедре механики для подготовки к профессорскому званию.

В 1915 году появляется первая научная работа Николая Ивановича (выполненная им совместно с профессором Г. В. Колосовым), положившая начало целому циклу работ по теории упругости. В этом же году начинается его педагогическая деятельность — он становится преподавателем университета, а также Электротехнического института.

В 1920 году Мусхелишвили занимает кафедру теоретической механики в Тбилисском университете и вскоре избирается профессором. Николай Иванович принимает активное участие в работе университета, в частности в организации политехнического факультета (1922 год), на базе которого в 1928 году был создан Грузинский политехнический институт. Николай Иванович был деканом факультета, а позже — проректором института.

В 1922 году в свет выходят «Лекции по аналитической геометрии», послужившие основой выдержавшему несколько изданий «Курсу аналитической геометрии». Параллельно Мусхелишвили работает над созданием учебника по теоретической механике на грузинском языке. В 1926 году выходит I том этого курса, а в 1928 году — том II.

В 1933 году Николай Иванович избирается членом-корреспондентом Академии наук СССР, в 1934 году ему без защиты диссертации присуждается степень доктора наук. С 1939 года он действительный член Академии наук СССР.

В 1941 году была основана Академия наук ГССР; Н. И. Мусхелишвили — ученый с мировым именем — избирается ее президентом. Более 30 лет занимал он эту должность и вел огромную государственную работу. В данный момент Николай Иванович почетный президент Академии, президентом же избран его бывший ученик — ныне акдемик И. Н. Векуа, широко известный своими научными трудами.

Николай Иванович дважды удостаивался государственных премий — за монографии «Некоторые основные задачи математической теории упругости» и «Сингулярные интегральные уравнения». В 1945 году ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

Неоценим вклад Н. И. Мусхелишвили в грузинскую науку и культуру; особо же следует отметить то, что после смерти А. М. Размадзе и Г. Н. Николадзе он всю тяжесть научно-организационной работы по математике взял на себя и с честью справился с этой трудной и ответственной задачей.

4

Профессор А. К. Харадзе преподает в университете более полувека. Он ветеран математического факультета — все грузинские математики, получившие университетское образование,— его студенты.

А. К. Харадзе родился в 1895 году. Окончив в Тбилиси гимназию, он поступил в 1912 году на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета.

В это время в Московском университете под руководством Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина создавалась знаменитая московская школа теории функций, сыгравшая огромную роль в развитии математики в нашей стране. Заинтересовался вопросами теории функций и студент Харадзе. Он пишет конкурсное сочинение «Бес-

15

16

конечные последовательности функций», за которое получает пожавленный отзыв.

После окончания университета (1917 год) А. К. Харадзе по рекомендации Д. Ф. Егорова был оставлен в университете для подготовки к профессорскому званню, но в 1918 году начнет работать в Тбилисском университете и докторанские экзамены сделу уже в Тбилиси.

Свою первую лекцию в университете — по высшей алгебре — Арчил Кириллович вспоминает с удовлетворением. Лекции по высшей алгебре, читанные Харадзе в первые годы педагогического деятельности, легли в основу его учебника нарузинском языке. Арчил Кириллович является также автором первого учебника нарузинском языке по высшей математике для студентов.

Научные интересы А. К. Харадзе группируются вокруг классических вопросов анализа и теории функций. Они отражены в монографии «Теоремы о среднем значении в применении к полиномам» (1947 год) и в многочисленных журналных статьях.

Арчил Кириллович — блестящий лектор. Высокая культура речи и четкость изложения сразу же покрыют слушателя. Автор этих строк особенно запоминлись две лекции Арчила Кирилловича. Первая — вводная лекция для студентов-первокурсников (1938 год). Лектор вдохновенно говорил о математике, ее абстрактном характере, о взаимосвязи ее разных разделов. Вторая — лекция на тему «Что такое дифференциальное исчисление», прочитанная в 1963 году учащимся города Тбилиси.

Вначале Арчил Кириллович завершовал кафедрой алгебры и геометрии, а позже возглавил кафедру математического анализа, который руководит по сейчас день.

Весной 1918 года в Тбилиском университете был основан обеди-

ненный естественное-mатематический и врачебный факультет. В апреля 1919 года этот факультет разделился на два. Деканом естественного-mатематического факультета стал А. М. Размадзе. Началась подготовка национальных кадров математиков.

Первый выпуск факультета был в 1924 г. Он состоял из одного человека — Левана Петровича Гокилли (1901—1975). Сразу же по окончании университета Леван Петрович приступил к преподаванию в нем. Уже с 1927 года он, параллельно с А. М. Размадзе, читал курс математического анализа, который лег в основу его учебников «Дифференциальное исчисление» и «Введение в анализ». С 1930 года Л. П. Гокилли — профессор и заведующий кафедрой Университета. В 1935 году он зашищает докторскую диссертацию, в 1961 году избирается членом-корреспондентом АН ГССР.

Л. П. Гокилли внес существенный вклад в дело подготовки группских математиков. Автор этих строк и многоные его коллег до сих пор помнят его оригинальные лекции по математическому анализу.

К настоящему времени группские математики достигли больших успехов. Исследования ведутся по всем разделам современной математики. Это стало возможным благодаря своевременному прочитому функменту группической математической школи.

Подробнее о жизни Г. Н. Николадзе и других группских математиков вы можете прочитать в книге А. Н. Боголюбова «Георгий Николаевич Николадзе» (М., 1972).

17

Когда катет
длиннее
гипотенузы…

Беседа
с экс-чемпионом мира
по шахматам
Михаилом Талем

У математики и шахмат много родственного. Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математические способности часто сочетаются с шахматными. Достаточно упомянуть имена чемпионов мира по шахматам. Математик интересовался первый шахматный король В. Стейниц. Известным математиком был его преемник доктор Эм. Ласкер. Нынешний председент ФИДЕ экс-чемпион мира М. Эйве возглавлял крупнейший в Голландии вычислительный центр. Первый советский чемпион мира доктор технических наук М. Ботвинник в последнее годы работает над алгоритмом шахматной игры для ЭВМ.

Многие крупные математики проявляли к шахматной теме чисто научный интерес. Как известно, великий математик Карл Гаусс занимается «о расстановке всмыми ферзей», а другой великий математик Леонард Эйлер — задачей «о ходе коня». В нашей математики разных стран работают в области программирования шахмат (разумеется, разработываемые при этом математические методы могут быть использованы для решения других, более актуальных проблем). Шахматная доска, фигуры и сама игра часто применяется для использования разнообразных математических понятий и задач.

Таким образом, публикация в «Кванте» различных статей и задач с участием шахмат — в полне естественного языние. Мы утверены, что большеинструменты, увлеченных математикой и физикой, любят играть и в шахматы. Кстати говоря, в чемпионатах МГУ по шахматам чаще других побеждают студенты мехмата, и лишь недавно у них появились серые конкуренты, да и те — студенты факультета кибернетики.

Сегодня «Кванте» с большим удовлетворением предоставляет свои страницы одному из самых популярных шахматистов современности экс-чемпиону мира Михаилу Талю. Интервью у гроссейтера взял наш постояный «шахматно-mатематический» автор Евгений Гик.

18

Встретиться с Талем оказалось нелегкой задачей. Несколько месяцев подряд он переезжал с одного международного турира на другой (и всюду занимал первый места!). «Поимать» гроссейстра удалось в Ленинграде в последний свободный от игры день 42-го чемпината страны (высшей лиги). Во время бескеды Таль признался, что впервые в жизни дает интервью корреспонденту специального физико-математического журнала…

— Михаил Нехемьевич, общего вам не касаться сегодня матча Фишер — Карпов. Мой первый вопрос в какой-то степени связаан с математикой. Правда ли, что в школе у вас были незаурядные математические способности, и вы постояно побежали в математических викторинах?

— Конечно, мне трудно самому судить о своих способности. Но, насколько помню, алгебраические задачи я решал почти мгновенно.

— А геометрическе?

— С геометрией дела обстояли хуже. В ней, как меня учили, самое главное — чертеж. На моих же чертежах, как я ни старался, категет всегда оказывался длине гипотенузы.

— Понятно. Значит, вашим признанием была алгебра, и вы должны были стать алгебраистом. Как же в дальнейшем сложиласьаша математическая карьера?

— Учительница по математикеника не могла поверить, что я так быстро решаю задачи. Она не сомневалась, что я списываю ответы из задания и постояно ставила мне двойки. Так продолжалось года два, пока, наконец, родители не выдержали и не перевели меня в другую шкалу. В результате таких пертурбаний любовь к математике заметно остыла, и путь к шахматам был полностью «расчищен».

— Мой первый шахматный вопрос такой. Почему люди вообшегют в шахматы, а для многих эта игра становится смыслом жизни?

— Все начинается просто. Ребенок где-то впервые сталкивается с шахматами — дома или в школе. Начинает играть и сначала просто хочет выиграть — у брата, товарища, соседа. Дух соперничства его увлекает. Ведь шахматы—это прежде всего соперничство. Никто сначала не думает о спортивной карьере. Бореется. Соперничство втягавает, и вы заражаете шахматным микробом. Одини люди переосят эту болезнь легче, шахматы занимают в их жизни определенное место — важное, но не само важное. Другие заболевают хронически. Наступает качественная перемена. То, что было развлечением, игрой, приятным времяпрепровождением, становится страстью — абсолютино важным делом.

— Пусть для молодого человека шахматы стали, как вы говорите, абсолютино важным делом жизни. Стоит ли ему в этом случае стремиться к высшему образованию?

— Прежде всего, мне кажется, что в 17 лет еще трудно решить, какое место займут шахматы в жизни. Но предположим все-таки, что решение стать шахматистом — окончательное и беспроводное. Надо ли тогда тратить время на другие занятия?

Я убежен, что шахматы могут и должны стать профессionalными. Феномен Ботвинника для нашего времени совсем не характерен. Сейчас гроссейстрам приходится сталкивать с огромным потоком шахматной информации. И если не проглатывать, то во всяком случае продуктивность каждой частцу этой информации он обязана. Для того, чтобы добиваться

19

больших успехов, нужно много играть и работать над шахматами. При сегодняшнем уплотненном календаре просто физически невозможно успешно сочетать шахматы с другой профессией.

Но нет сомнений и в том, что общее развитие, общий культурный уровень шахматисту совершенно необходимы. Любой крупный гроссмейстер обладает высокой культурой и широкой эрудицией. В качестве исключения часто приводят Фишера. Возможно, его трудно назвать энциклопедистом, но это и не человек, так сказать, с низким интеллектуальным коэффициентом. Достаточно вспомнить, что он свободно владеет многими языками. А его «странные» поступки связаны скорее с характером, взглядом на шахматы и т. д.

Большинство моих коллег много пишут, стали профессиональными литераторами. И, быть может, не случайно в прошлом аспирант МВТУ Юрий Авербах и талантливый инженер Александр Котов ныне стали известными шахматными писателями. Кстати, я тоже закончил филологический факультет Рижского университета и полгода работал учителем русского языка и литературы в школе. Не скрою, преподавал я с большим удовольствием, но после того, как в двух четвертях у моих учеников несколько месяцев были «окна», я вынужден был уйти из школы.

— Итак, вы полагаете, что разумнее всего сначала попытаться сочетать шахматы с другой профессией и лишь позднее принять окончательное решение. Как вам кажется, до какой поры возможно такое сочетание?

— Думаю, что по крайней мере до мастерского звания совмещение шахмат с учебой или работой в другой области вполне возможно.

— Учитывая круг читателей журнала, давайте попробуем провести параллель между профессиями математика и шахматиста. И математика, и шахматы требуют постоянного и усиленного напряжения ума. Существует мнение, что 8 часов — это ежедневный минимум для занятия математикой. «Истинно добродетельный человек», как с долей юмора пишет известный английский математик Дж. Литлвуд, должен выкраивать за счет сна 10 часов работы в день. Мыслимо ли в таких условиях заниматься шахматами? Кстати, некоторые профессора избегают принимать в аспирантуру математиков, хорошо играющих в шахматы.

— Могу лишь согласиться, что шахматы — весьма опасная смежная профессия, и, видимо, для математики особенно.

— Не кажется ли вам, что профессия математика, если можно так выразиться, «надежнее», чем профессия шахматиста? Если вы не станете крупным ученым в области «чистой» математики, то сможете найти себя в смежной профессии, стать «прикладником». В шахматах же превыше всего спортивный успех. И если к тридцати годам шахматист начинает понимать, что зрительный зал уже никогда не разразится аплодисментами в ответ на его ходы, и в Пальме де Майорке ему не суждено блеснуть жертвой ферзя, что его юношеские мечты не сбылись, то что остается ему в шахматном мире?

2*

20

— Естественно, я пристрастен и не могу объективно оценивать то, чем посвятил всю свою жизнь. На мой взгляд, каждый человек, любящий шахматы, может найти себе место в шахматном мире. Многие из тех, кто не достигает выдающихся результатов в практической игре, становятся треherами, комментиратами, теоретиками.

Конечно, в шахматах, как и в любом другом виде спорта, прежде всего ценится успех, очки. Если вы не показываете крупных результатов, не беретесь за мировое переменство, то в глазах окружающих можете выглядеть неудачником, и с этим надо считаться. Увы, шахматную профессию пока не отнесешь к числу престижных. Люди, далеко от шахмат, часто спрашивают гроссейстеров, чем они занимаются, какова их основная профессия. Вот почему юноше, обладающего как математическими, так и шахматными способностями и «выбирающему жить», я бы не рискнул рекомендовать шахматный путь. Ни один порок не может гарантировать вам высоких шахматных достижений, и целиком отдать себя шахматом можно лишь в том случае, если вы бесконечно любите их и готовы во имя этой любви «пожертвовать» общественных менеджементов. Предупреждаю также, что шахматы — это очень нервное занятие, а хлеб шахматиста не всегда сладок.

— В науке существует определенная конкурсия, в результате которой все остются в выпрыше. В шахматах же торжествует только победитель. В последнее время даже появился теория, по которой для победителя или матчем нужно специально вызывать чувство злобы к противнику…

— Цель шахматной партии — победить противника. Шахматист без характера, мягкий, безволный не имеет шансов. Шахматист — прежде всего борец. А в борьбе естествен двух агрессии. Но все-tаки чаще полезят агрессивности ограничивается шахматной доской и не переносится на личность противника. Спасский сравнил как-то шахматистов с главnatорами, но ведь главаторы в перчатках уже несовсем главаторы. В конце концов в шахматах после схватки часто обе стороны остаются живыми… Кстати, сам Спасский в жизни очень мягкий человек и непрязнь к противнику ему скорей мешает. Он великолепно играет с теми, с кем его связывает другба или хотя бы хорошее отношение, и слабее играет с теми, к кому относится с антипатейем. Про себя я тоже не могу сказать, что «заряжаюсь» перед игрой. И временами, когда партнер мне симпатичен и я знаю, что эта партия для него по каким-то принципам очень важна, мне трудно собраться и играть во всю силу. Думаю, это, скорее мои минус.

Нayka — не спорт, и в идеале, видимо, такого «ужестоения», как в спорте, там не должно быть. У нас же даже звание гроссейтера не гарантирует способной жизни. Вечная борба, вечный отбор, конкурсия. Но должен сказать, что у шахматистов есть радости, не доступные лодям других профессии. Сыграв одну красивую партию, путь не в очень крупном турини-

21

ре, вы можете на долгне годы оставить след в шахматной истории. Далее шахматиста преследуют спортивные неудачи, он может гордиться отдельными достижениями, жить красотой шахмат. Для него в каждом турине есть приз «за красивейшую партию» (далее этот приз не установлен официально).

В мире шахматного места для самых разных людей. Крускоп, мой первый учитель — теперь говорят «тренер», раныше говорили «учитель», и мне это больше нравилось — не был видимоимся шахматистом. Он имел первый категорию. Но он как раз был учитель, педагогом, он любил шахматы и любил детей. И не случайно очень многое его воспитники так или иначе посвятили жизнь шахматам. Думаю, что этот человек былчастлив. Он открывал детям красоту шахмат…

— Михаил Нехемьевич, уже в возрасте 23 лет вы вошли в золотую летопись шахмат. Признание, слова, восхшение — всего этого вы достигли очень раннего возраста.

— Шахматист, как, видимо, и математик, никогда не может сказать себе, что достиг всего. Это было бы концом. Действительно, после победы в крупном турине, после завоевания титula чемпиона мира приходит минута пустоты, делается немного скучно. Но проходит время, и аппетит к борбе пробуждается, ошушается шахматный голод. Новые туриры, новые планы — не только спортивные, но и творческие. К счастью, шахматная перменчива. Сегодня ты — чемпион мира, завтра — уже экс-чемпион. Всегда есть за что бороться.

— Нельзя сказать, что ваш шахматный путь был успешной розами. А случалось, что шахматы надоедали вам, вызывали разражение? Вы никогда не желели, что отдали им всего жизни?

— Вотчера во время партии с гроссмейстером Ваганяном была подобная минута. Противник пошел конем на g1, и неожиданно выяснилсь, что у меня уже нет выиграша… Я безумно расстроился. Если же говорить сердезно, то, понимаете, шахматы — это мой мир. Не дом, не крепость, в котором я украваюсь от жизниных тревог, а именно мир — мир, в котором я живу полной жизни, в котором я выражаю себя… Люблю атмосферу матей, туриров, шахматных дискусий. Я не могу представить себя на необитаемом острове без партнера, разве что Пятница пришлось бы играть со мной в шахматы. Я не люблю играть при закрытых дверях. Люблю публику.

22

Шум в зале мне не мешает. Когда после мого хода зал начнет гудеть, это меня воодушеляет — знаю, что я сыгral интересно.

Но шахматный мир для меня не замкнут. Он соединяется многими нитями с другими мирами. Многие мои друзья, может быть, большеинструто, не играют в шахматы или играют совсем по-любительски. И с ними у меня тоже есть общий язык. Только мои друзкие интересы — театр, литература, музыка — никогда не могли конкурировать с шахматами; существовали шахматы, а все другие — подле них. Поэтому я ни о чем не желаю, несмотря на пороження, неудаччи, трудности. Мне не жельдругих перспектив, несуществленных возможностей. Я просто люблю играть в шахматы.

— Разрешите задать вам еще два, так сказать, математических вопроса. Как вы думаете, могут ли в практической игре помогать математические способности?

— Уже при первом знакомстве с шахматной доской мы имеем дело с числами — 8×8=64! Припоминаю, что когда-то на меня сільное впечатление произвело шахматное доказательство (при помощи шахматной доски) теоремы Пифагора. Многие эндшпильные позицини носят чисто математический характер. Но прямой связи между шахматной силой и математическим способностями я не нахожу. Правда, в шахматном анализе техническое образование может быть полезным. Скажем, я не представляю, как сумел бы Ю. Авербах доступь в своем трехтомном труде по эндшпилю такой четкой систематизации, если бы не имел опыта работы в точных науках.

— Недавно состоялся первый чемпionат мира по шахматам среди ЭВМ. Опасается ли вы конкуренции со стороны машин?

— Я, правда, не знаком с технической стороны дела, но отношь скепптически к шахматным возможностям ЭВМ. Сомневаюсь, что она смотет обычным мастером. Верячто, шахматная машина приготовится для решения иных, нешахматных задач, но шахматы слишком многосторонни, сложны, в них не бывают однозначных ответов…

Конечно, не для «Кванта» будет сказано, но должен сознать, что шахматы у меня прежде всего ассоциируются не с математикой, а с музыкой. По типу приема, по роду переживания. Тут есть что-то очень близкое. Для меня это сходство стол поразительно, что отдельные выдающие шахматные ассоциируются с композиторами. Например, Смыслов — это Чайковский: способствие, мелодичность, направность и изредка великолепный взрыв, произвольный огромное впечатление, Петросян — Лист, абсолотная виртуозность, Ботвинник, пожалей, — Бах, а Керес — Шопен…

— А Фишер и сам Таль?

— Фишер? Необычайно талантливый музыкант, но не пожожий ни на кого — великолепная музыкальная машина: ведь теперь машины не только

23

решают задачи, но и сочиняют музыку. Я же скорее всего Гершвин, а, может быть, Кальман…

— Михаил Нехемьевич, мой последний вопрос будет все-tаки связан не с музыкой и даже не с математкой, а с шахматами. Вы уже говорили о красоте шахмат. Как лично вы понимаете шахматную красоту?

— Для одних шахматная красота — триумф логики. Прекрасная партния, по их менению, — это великоленное классическое значение с безупречными пропорциями, в котором каждый элемент, каждый кирпичок стоит на своем месте. И хотя мне тоже часто «приходилось» выиграть чисто позиционные партии, меня больше вычеет триумф алгоритности, irrationalности, абсурда: на доске ведется яростная борба, подчиненная какой-то идее, борба за то, чтобы осуществить некий план, а исходы резает невинная пешечка, которая не имеет ничего обшего с главным мотивом драмы. Выражаясь математическим языком, мне больше нравится, когда в шахматах катет оказывается длине гипотенузы.

Teorema Пифагора
на шахматной доске

На шахматной доске нарушаем квадрат, как показано на рисунке 1. Доска разбивает на этот квадрат и четыре конгрузных прямогольных треугольника. Те.перь посмотрим на рисунок 2
На нем мы видим те же четыре треугольника, что и на рисунке 1. Значит, треугольники на общих рисунках занимают одну и ту же площадь. Следовательно, одну и ту же площадь в общих случях занимают и оставшиеся части шахматной доски без треугольников. Итак, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямогольного треугольника, равна площади двух квадратов, построенных на квадратах, —

Рис. 1.

«пифагоровы штаны во все стороны равны»!

Может быть, гроссейстер М. Таль имел в виду именно это доказательство теоремы Пифагора.

(Разумеется, если говорить строго, наш рассуждения не доказывают теорему Пифагора, поскольку исследован лишь некоторые части случай, а лишь исключируют ее. Но такое доказательство проходит и без использования шахматной доски — для любого прямогольного треугольника можно подобрать квадрат, который разбивает подобным образом.)

E. Я. Гик

24

Задча на дом
Г. И. Копылов

— Я люблю решать трудные задачи. Люблю искать новые доказательства теорем и читать книги об ученых. Учусь я с удовлетворением, на школьной олимпиде получил приз. Я хотел бы стать ученым. Но смогу ли я стать им? Гожусь ли я в ученые? Как проверить себя?

К сожалению, признаков, по которым можно было бы распознавать будущего ученого, нет. Успех в школе вовсе не гарантирует, что такие же успехи будут у окончившего университет: школьник решает то, что задано, усваивает чужие мысли; ученный же ставит свои задачи. Далее ученик хорошо имеет проводить логические рассудения, это еще не значит, что он годится в ученые. Умение хорошо рассудить ученому действительно необходимо, кроме тех случаев, когда именно скажок в логическом построении,— то есть не логика, а логика,— обеспечивает решение проблемы. И так далее.

Но хотя учеба в школе вовсе не похожа на научную работу, некоторые качества, необходимые ученому, можно развивать, даже готовя уроки. Над только, решив очередную задачу, не спешить переходить к следующей. Еще разок перечесть условия, поглядеть на полученный ответ — и дать волю своему воображению… Спросить, например, у себя: а что еще может быть? Можно ли решать задачи потруднее, опираясь на только что решенную?

Впрочем, подслушаем лучше разговор двух ребят. Они учатся в одном классе и сегодня готовят уроки вместе.

Д. Что нам задали по алгебре?
О. Доказать, что если числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{c+a}$, $\frac{1}{a+b}$ составляют аргументе скруто программирования, то и числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ также составляют аргументе программирования.

Д. По-моему, задача нетрудная. Каждый аргументеской программической есть среднее аргументеское двух соседних с ним. Значит,
$$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)=\frac{1}{c+a}.$$

Избавимся в (1) от пробей, раскроем скобки, приведем подобные члены; получим
$$a^2+c^2=2b^2,$$
то есть
$$\frac{1}{2}(a^2+c^2)=b^2,$$
а это и нужно было доказать.
О. Да, вроде все верно…
Д. Что там еще задано на завтра?
О. Подожди, дай подумать…
Д. Над чем?
О. Над задачей, который мы только что решили.
Д. Что над ней думать, если она уже решена?
О. Сначала один числа обрабатывается, а в конце — совсем другие. Что общего между $\frac{1}{b+c}$ и $a^2$? Почему они связаны?
Д. Ты же видел, почему.
О. Я не могу только обьясить, но чего-то здесь не хватает. А как

25

ты думаем, верно ли обратное — что если $a^2, b^2, c^2$ — прогрессия, то и $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ — опять прогрессия?

Д. Безусловно. Как же иначе? Проделай выкладки в обратную сторону — все и получится.

О. Ну, это некарасиво. Знаешь, давай лучшие попробуем на числах.

Д. Как это — на числах? На числах ничего не доказешь.

О. … возьмем, например, числа $a^2=1, b^2=4, c^2=7$. (3)

Они образуют прогрессию. Проверим, что $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ — тоже прогрессия.

Д. Зачем? Ясно, что проверка получится. Я ведь все на буквах доказал. Ничего нового числа не добавит.

О. Ну, а я хочу посмотреть, как именно все получается. Итак, пустые есть числа (3). Возьмем только положительные корни: $a=1, b=2, c=\sqrt{7}$.

Д. Вычисляем:

$$\frac{1}{b+c} = \frac{1}{2+\sqrt{7}}, \quad \frac{1}{c+a} = \frac{1}{\sqrt{7}+1}, \quad \frac{1}{a+b} = \frac{1}{3}.$$

Нужели это прогрессия? Впрочем, давай избавимся от irrationalности в знаменателе:

$$\frac{1}{b+c} = \frac{\sqrt{7}-2}{3}, \quad \frac{1}{c+a} = \frac{\sqrt{7}-1}{6}.$$

О. Конечно же, это прогрессия. Сумма крайних членов

$$\frac{\sqrt{7}-2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{7}-1}{3}$$

вдвое больше среднего.

Д. Да; а разность прогрессии равна $\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}-1}{6} = \frac{3-\sqrt{7}}{6}$.

О. Погоди. Тепер я знаю; как надо доказать то, что из (2) следует (1). Надо просто как бы избачится от irrationalности в знаменателе.

Д. Как это? Ведь там нет irrationalности!

О. Конечно, нет; но действовать надо так, как если бы она была. Смотри:

$$\frac{1}{b+c} = \frac{b-c}{b^2-c^2}, \quad \frac{1}{c+a} = \frac{a-c}{a^2-c^2}, \quad \frac{1}{a+b} = \frac{a-b}{a^2-b^2}.$$

По условиям этой разность через $d$. Тогда $a^2-c^2=2d$. Числа $\frac{b-c}{d}, \frac{a-c}{2d}, \frac{a-b}{d}$, очевидно, образуют прогрессию.

Д. Ну хорошего … что там еще задали?

О. Подожди, теперь ты понимаешь, как связаны прогрессии $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ и $a^2, b^2, c^2$?

Д. Я и раньше понял.

О. Пусть $a, b, c$ — произвольные числа. Расмотрим тройку $b-c, \frac{a-c}{2}, a-b$ это уже прогрессия. Члены этой прогрессии можно делить на любое число $d$. В задаче подобрано $d$ так, что деление на него приводит к числам $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$; поэтому-то вместе произвольных $a, b, c$ и нужно взять такие, чтобы $a^2-b^2=b^2-c^2=d$, то есть чтобы числа $a^2, b^2, c^2$ составляли прогрессию. Но тут снова возникнет вопрос: могут ли все три числа $a, b, c$ быть целыми?

Д. А не все ли равно — могут, не могут?

О. Так это же интересно! А вдруг есть такая тройка целых чисел $a, b, c$, что $a^2, b^2, c^2$ — это аргументческая прогрессия. И тогда числа

26

$\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ тоже окажутся прогрессей. Это же красиво—две прогрессии и обе из целых чисел…

Д. Вторая-то будет из дробных, потому что если $a$ и $b$ целые, то $\frac{1}{a+b}$ дробь.

О. Неважно. Мне хочет, чтобыники корней не получалось. Пусть $a, b, c$ будут даже не целые, а рациональные — все равно красиво. Но как подобрать три рациональных числа $a, b, c$, чтобы $a^2 - b^2$ было равно $b^2 - c^2$? Ведь это уравнение не первой степени, корни могут и не извлекаться… Погоди, но у нас же есть выражение с первыми степениями! Это (1).

Д. Не понял.

О. Смотри. Пусть $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ изввстная прогрессия. Например, 1, 3, 5. Или 100, 101, 102. Из любых рациональных чисел. Значит, у нас есть система из трех уравнений первой степени с третья неизвестными $a, b, c$. Ее можно решить *). Решения — снова рациональные числа. А тогда $a^2, b^2, c^2$ автоматически составят рациональную прогрессию.

Д. Ну-ка, ну-ка, давай попробем. Пусть, например, есть прогрессия 1, 3, 5.

О. Нет, давай сразу в обшем случае: рассмотрим прогрессию $\alpha - \beta, \alpha, \alpha + \beta$, где $\alpha$ и $\beta$ — произвольные числа. Для определения чисел $a, b, c$ получаем такую систему уравнений:

$$b + c = \frac{1}{\alpha - \beta},$$

$$c + a = \frac{1}{\alpha},$$

$$a + b = \frac{1}{\alpha + \beta}.$$

*) Всегда ли можно?

Д. Сложим все уравнения и разделим сумму на два; получим

$$a + b + c = \frac{3\alpha^2 - \beta^2}{2\alpha(\alpha^2 - \beta^2)}.$$

Вычитем из (7) последовательно (4), (5), (6); получим:

$$a = \frac{\alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha\beta}{2\alpha(\alpha^2 - \beta^2)}, \quad b = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2\alpha(\alpha^2 - \beta^2)},$$

$$c = \frac{\alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha\beta}{2\alpha(\alpha^2 - \beta^2)}.$$

Значит, какие бы $\alpha$ и $\beta$ мы ни взяли *), числа $a^2, b^2, c^2$, где $a, b$ и $c$ вычисляются по этим формулам, должны образовать прогрессию. Давай проверим.

О. Сейчас. Я вот о чем подумал. Для чисел $a, b$ и $c$ у нас получились дробные выражения. Отбросим у них знаменателя; тогда $a, b, c$ увеличается в одно и то же число раз и станут целыми числами, если, конечно, $\alpha$ и $\beta$ взяты целыми. При этом числа $a^2, b^2, c^2$ по-прежнему будут образованы в прогрессию.

Д. Конечно. Если 1, 3, 5 прогрессия, то и 10, 30, 50 — тоже.

О. Значит, мы вывели формулы для прогрессий $a^2, b^2, c^2$, у которых $a, b, c$ целые. А именно:

$$a = \alpha^2 - \beta^2 - 2\alpha\beta,$$

$$b = \alpha^2 + \beta^2,$$

$$c = \alpha^2 - \beta^2 + 2\alpha\beta,$$

(10) где $\alpha$ и $\beta$ — любые числа числа.

Д. Проверим. Пусть $\alpha = 2, \beta = 1$; тогда

$$\alpha^2 - \beta^2 = 3, 2\alpha\beta = 4,$$

$$\alpha^2 + \beta^2 = 5.$$

О. Гляди-ка, ведь это египетский треугольник…

Д. Это случайно. Считаем данные:

$$a = 3 - 4 = -1; \quad b = 5;$$

$$c = 3 + 4 = 7.$$

Действительно, 1, 25, 49 — прогрессия.

О. Значит, мы с только научились решать в целых числах неопределен-

*) А как же с ОДЗ?

27

ное уравнение
$$a^2 + c^2 = 2b^2;$$
(12)
решения записьюются формулами (8)—(10).

Д. Откуда это уравнение?
О. Так ведь оно — краткая запись условия, что числа $a^2, b^2$ и $c^2$ образуют прогрессию.
Д. А, понял. Только не доказано, что формулы (8)—(10) дают все решения этого уравнения.
О. Почему? Ведь это ясно; любое решение уравнения (12) таково, что числа $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ образуют прогрессию; а всякая прогрессия может быть представлена в виде $\alpha - \beta, \alpha, \alpha + \beta$. Перебрав всеозможные пары $(\alpha, \beta)$, получим все решения уравнения (12). Понятно?
Д. Каждый, да.
О. Но не в этом дело. Любопытен сам метод, каким мы отыскали решение: вместе того чтобы решить уравнение (12) второго порядка, мы решили эквивалентную ему систему (4)—(6) линейных уравнений с произвольной правой частью. Интересно, есть ли еще неопределенные уравнения второго порядка, которые, если их решать в целых числа, свойства к системе уравнения первого порядка?
Д. Может, отходнем? Послушаем магнитофон?
О. Пожалуйста… (Заводят магнитофон. О. снова просматривает решение. Возелас удивления.)
Д. Что?
О. (показываем на строку (11)). Смотри, ведь это формулы для пифагоровых треугольников! Они дают все целочисленные прямоугольные треугольники с катетами $u, v$ и гипотенузой $w$:
$$u = \alpha^2 - \beta^2, v = 2\alpha\beta, w = \alpha^2 + \beta^2, \text{— можно проверить, что } u^2 + v^2 = w^2.$$
Значит, египетский треугольник (11)—не случайность. Можно взять любой пифагоров треугольник с катетами $u, v$ и гипотенузой $w$ и образовать из длин его сторон решение уравнения (12):
$$a = u \pm v, c = u \mp v, b = w.$$
Д. Любопытно. Проверим. Пусть длины сторон прямоугольного треугольника равны 5, 12 и 13. Тогда $12 + 5 = 17, 12 - 5 = 7$. Получаем числа $7^2, 13^2, 17^2$. Действительно, $7^2 + 17^2 = 2 \cdot 13^2$.
О. Как же это я по виду уравнения (12) не доказался сразу представить числа $a$ и $c$ в виде суммы и разности двух чисел $u$ и $v$? Ведь тогда это уравнение свойства к теореме Пифагора; смотри:
$$(u + v)^2 + (u - v)^2 = 2(u^2 + v^2),$$
и, значит, $b^2 = u^2 + v^2$.
А решения в целых числах такого уравнения известны. Какая красивая штука! Ведь $(u + v)^2$ — это площадь квадрата, построенного на сумме катетов, а $(u - v)^2$ — площадь квадрата, построенного на разности катетов. Значит, мы доказали, что площади квадратов, построенных на разности катетов, гипотенузе и сумме катетов любого прямоугольного треугольника, образуют прогрессию.
Д. Подумаешь, открытие! Все доказательство укладывается в одну строку.
О. Открытие неевелико, да свое. Мы же раньше этого не знали.
Д. Все равно это где-нибудь в какой-нибудь книжке написано.
О. И пусть! А я без книжки…
Д. (u в нем, наконец, проснулось любопытство) А почему нереcemенно быть сумму и разность катетов $u$ и $v$? Положим, например, $a = 2u + v, c = u - 2v$; тогда
$$a^2 + c^2 = 5(u^2 + v^2) = 5w^2.$$
Значит, решения в целых числа неопределенного уравнения
$$a^2 + c^2 = 5w^2$$
(13)
то же можно получить из пифаговых треугольников $u, v, w$ ($w$ — гипотенуза) по формулам
$$a = 2u + v, c = u - 2v, b = w.$$
О. Верно. Понятно, что таким образом можно решить в целых числах

28

любое неопределенное уравнение вида $a^2 + c^2 = (m^2 + n^2) b^2$, где $m$ и $n$ — целые.

Д. А как решить уравнение
$$a^2 + c^2 = 3b^2?$$

О. Не знаю. Надо будет подумать. Мы не выяснили еще один вопрос: какое из неопределенных уравнений вычислых степеней можно свести к системе линейных? Уравнение (12), например, мы свели к системе (4)—(6). Но тогда мы не знали, есть ли еще примеры таких уравнений. Теперя я понял, что их можно придумать сколько уголно. Вот продуктей мне какое-нибудь равенство, пожоже на (1), но с другими коэффициентами. Начини, например, так:
$$\frac{2}{3a + 2b}.$$

Д. Пожалуйста (диктумем):
$$\frac{2}{3a + 2b} - \frac{3}{c - a} = \frac{1}{b + 4c}$$

О. Хорошо. Получилось уравнение, связывающее три неизвестных $a, b, c$. Оно равносильно такому уравнению второго порядка:
$$3a^2 - 6b^2 + 8c^2 - 9ab - 47ac - 24bc = 0.$$

Мы хотим найти рациональные решения этого уравнения. Если $a, b, c$ рациональны, то и добрив в (15) рациональны. Обозначим первую через $2\alpha$, вторую — через $3\beta$: тогда третья равна $2\alpha - 3\beta$ ($\alpha$ и $\beta$ — рациональные). Получаем систему
$$3a + 2b = \frac{1}{\alpha}, \quad c - a = \frac{1}{\beta},$$
$$b + 4c = \frac{1}{2\alpha - 3\beta}.$$

Решив ее, найдем
$$a = \frac{-16\alpha^2 + 24\alpha\beta + 3\beta^2}{5\alpha\beta (2\alpha - 3\beta)},$$
$$b = \frac{24\alpha^2 - 31\alpha\beta - 12\beta^2}{5\alpha\beta (2\alpha - 3\beta)},$$
$$c = \frac{-6\alpha^2 + 9\alpha\beta + 3\beta^2}{5\alpha\beta (2\alpha - 3\beta)}.$$

Это и есть искомые рациональные решения уравнения (16). Числители же выражений (18) дают его целые решения, если $\alpha$ и $\beta$ целые. Если бы мы взяли не три неизвестных $a, b, c$, а больше, то, написав вместе (15) в правой и левой части столько дробей, сколько неизвестных, мы получили бы неопределенное уравнение более высокой степени. Вообще, чем дробей больше, тем выше степень возниккающего неопределенного уравнения; и тем через больше число произвольных параметров $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ выражается решение.

Д. Но ведь ты не знаешь заранее, какое именно уравнение получится. И не всякое уравнение высшей степени равносильно уравнению, куда входит сумма дробей. А если и равносильно, то как эти дроби найти?

О. Вот в том-то и дело. Надо будет еще поразмыслить…

На этом мы перевем воображаемый разговор двух других. У них разные характеристики: Д. все время хочет побистей отделаться от задачи, а О. хочет до конца разобраться в ней. В итоге вместе одной задачи, заданной на дом, он придумывает несколько других, неизвестно, решаемых ли. На первый взгляд он ведет себя неразумно, расходу времени, отведенное на уроки. Но именно у О. качества, присущение ученому, выражены ярче. Поиск первогоринин замененных фактов, поиск между проблемами и есть та побудительная сила, которая заставляет работать ученого,—ее называют любопытством, пытливостью, склонностью к обобщениям. Однако мало умеет задавать вопросы,—надо и ответать на них. Было бы смешно, если бы О., вместе того чтобы решить конкретную задачу, заданной на дом задачу, перечислил все связанные с него проблемы, так и не осилив ни одной из них. В поисках решения новых возникших задач—зачастую неожиданных—важна интуция. Инутупция, договораность—это плодотворные разрывы в логике; благодарей ей делаются

29

неожиданные шаги в непредсказуемом направлении; и размах этих шагов изменяет талант человека.

Нам остается повторить: не торопитесь, выполив домашнее задание, захлопнуть учебник и тетрадь. Просмотрите задание еще раз: что они вам сообщили нового? частный ли факт кроется в них или же он допускает обобщение? какие задания решались аналогично? можно ли, не меняя способа решения, условиять задачу? а что будет, если избавиться от части условий задачи? или заменить их противоположными? усилить требования задачу? добавить новые ограничения? Все это — прекрасный способ привести в движение фантазию, договоравость и любознательность, быть может, dremlюшие в вас.

Уражнения

1. Найдите, при каких коэффициентах $a_1, b_1, \dots, c_3$ уравнение
   $$\frac{1}{a_1x + b_1y + c_1z} + \frac{1}{a_2x + b_2y + c_2z} + \frac{1}{a_3x + b_3y + c_3z} = 0$$
   принимает форму $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$.

2. Решите в целях числа уравнения $6x^2 = 2y^2 + z^2$. Попытайте найти другие уравнения типа $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$, решемые в целях числа, а также способы их решения.

3. Попытайте найти уравнения типа $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$, не решаемые в целях числа (не считая нульового решения).

4. Решите в целях числа уравнение $xyz = yzv + xzv + xyv$.

5. Придумайте обобщение следующей задачи: «Известно, что при любых значениях $x$
   $$a_1x^2 + b_1x + c_1 > a_2x^2 + b_2x + c_2$$.
   Докажите, что $a_1 \geq a_2$, $c_1 \geq c_2»$.

6. Придумайте обобщение такой задачи: «Найти сумму всех несократимых дробей со значением 3, заключенных между целыми положительными числами $m$ и $n > m$».

7. То же для задачи: «Найти арфметическое программирование, у которой среднее арфметическое $n$ первых членов при любом $n$ равно их числу».

Задания

1. На рисунке вы видите две касающиеся окружности $l_1$ и $l_2$ радиусов $R$ и $r = R/2$ соответствующего $AB \perp O_1O_2$, $BC \perp O_1O_2$, касательная к окружности $l_1$, $AC \perp$ касательная к окружности $l_2$.

Доказать, что длина отрезка $BC$ равна длине окружности $l_1$ с относительной ошибкой менее 0,005.

Л. М. Дубинский

2. Дана парабола — график функции $y = x^2$. На оси $Oy$ взята точка $A$. Найти кратчайшее расстояние от точки $A$ до параболя.

Можно пользоваться таким определением: парабола — это множество точки, равноудаленных от некоторой точки $F$ и некоторой прямой $l$.

М. Л. Преезер

3. Доказать, что числа вида
   $$7^{2n+1} + 2^{2n+1} + 5,$$
   где $n$ — натуральное, нельзя представить в виде суммы трех кубов натуральных чисел.

Н. И. Михайлов

30

ПОБЕДИТЕЛИ КОНКУРСА «КВАНТА»

Редколлегия журнала «Квант» установила специальные премии за наиболее интересные решения задач, помещенных в «Задачнике «Кванта». За 1974-75 учебный год редакция получила свыше 3 000 писем с решениями задач из «Задачника «Кванта». Среди авторов этих писем редакция отобрала школьников, регулярно присылавших особенно удачные и оригинальные решения. Они награждаются годовой подпиской на журнал «Квант» на 1976 год. В соответствии с решением Оргкомитета Всесоюзной олимпиады эти школьники допущены на республиканские туры Всесоюзной олимпиады 1976 года наравне с победителями городских и областных олимпиад по математике и физике.

1. Х. АБДУЛЛИН (г. Алма-Ата)
2. Г. АЙЗИН (г. Брест)
3. М. ГЕДАЛИН (г. Тбилиси)
4. Г. ГОЛУБЦОВА (г. Москва)
5. О. ГОДИН (г. Симферополь)
6. В. ГУСЕЙНОВ (г. Нахичевань)
7. М. ИМЕРЛИШВИЛИ (г. Тбилиси)
8. С. ЛИФИЦ (г. Харьков)
9. И. СОКОЛОВ (г. Москва)
10. Ю. ФИЛОСОФОВ (г. Саратов)
11. С. ФИНАШИН (г. Ленинград)
12. Б. ЯЦАЛО (с. Морочно Ровенской обл., УССР)

За успешное участие в IX Всесоюзной физико-математической олимпиаде годовой подпиской на 1976 год на журнал «Квант» награждаются:

1. Г. АБДУЛЛАЕВ (г. Кировобад)
2. Л. АРБУЗОВ (г. Норильск)
3. А. АУЗИНЬШ (г. Рига)

31

4. В. БАЛЬЧИТИС (г. Шауляй)
5. Ю. ГИМАТОВ (г. Клин)
6. Е. ГЛЕЗИН (г. Ленинград)
7. А. КОДРЯНУ (г. Рыбница)
8. В. ОСЛОН (г. Киев)
9. Е. ПОНОМАРЕВ (п/o Черноголовка Московской обл.)
10. Д. САМЕДОВ (г. Красноводск)
11. А. СМИРНОВ (с. Семибратово Ярославской обл.)
12. С. ХАШИН (г. Иваново)
13. П. ХОБЗЕЙ (г. Киев)
14. Р. ШАРИПОВ (г. Каракуль)

Годовой подпиской на 1976 год на журнал «Квант» награждаются следующие участники Всервскийского слета активных обществ учащихся:

1. О. БАРАКИН (г. Казань)
2. А. МАЛЬЦЕВ (г. Калининград Московской обл.)
3. М. ПОПОВ (г. Дубна)
4. С. РАЧИНСКИЙ (г. Москва)
5. А. СЫЧИКОВ (г. Челябинск)
6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО «ИНТЕГРАЛ» учащихся средней школы № 17 г. Северо-двинска
7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО «ПОИСК» учащихся средней школы № 2 г. Малая Вишера
8. НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО учащихся средней школы № 48 г. Волгограда
9. СЕКЦИЯ АСТРОНОМИИ юношеского научного общества Московского городского Дворца пionеров и школьников

Редакция журнала «Квант награждает также годовой подпиской на 1976 год следующего читателя, присваивах правильные решения японских головоломок [см. «Квант», 1975, № 1]:

1. А. БЕЗБОРОДОВ (г. Иваново)
2. В. ДОБНИК (г. Омск)
3. В. ДУПЛЕНКО (г. Днепропедержинск)
4. С. КАРДАШЕВСКИЙ (г. Макеевка)
5. С. ЛЕВИТИН (г. Днепропетровск)
6. Л. ЛУЗИНА (г. Ленинград)

32

Задачи

M341—M345; Ф353—Ф357

M341. В чемппонате мира участуют 20 команд. Среди них $k$ европейских команд, результаты встречи между которых на чемппонате мира идут в зачет чемппоната Европы. чемппонат проводится в один круг. При каком направлении $k$ может оказаться, что европейская команда, набравшая строго наибольшее количество очков в чемппонате Европы, набрет строго наименьшее количество очков в чемппонате мира, если это а) чемппонат по хоккею (допускаются ничьи),
б) * чемппонат по волейбoly (ничных не бывают)? Какими будут ответы на эти вопросы, если команд не 20, а $n$?

Ю. А. Шрейдер

M342 *. a) Докажите, что из цифр 1 и 2 можно составить $2^{n+1}$ чисел, каждое из которых $2^n$-значно и каждое из которых различаются не менее чем в $2^{n-1}$ разрядах.

6. Докажите, что больше чем $2^{n+1}$ таких $2^n$-значных чисел составляет нельзя.

C. В. Фомин

M343. В некоторых государстве города сединины дорогами. Длина любои дороги меньше 500 км и из любого города в любои другой можно попасть, проехав по дорогам менее 500 км. Когда одну дорогу закрыли на ремонт, выяснили, что из любого города можно проехать в любои другой по оставшимся дорогам. Докажите, что это можно сделать, проехав не более 1500 км.

C. Л. Елисеев

M344. На шахматной доске отмечены центры всех 64 полей. Можно ли проверсти на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на которые эти прямые делят доску, оказалась не более одной отмеченой точки? (Прямы не должны проходить через центры полей, рис. 1).

А. Н. Печковский

M345. В последовательности 197523… каждая цифра, начиная с пятой, рав-

33

Рис. 1.
на последней цифре суммы предыдуших четырех цифр. Встретается ли в этой последовательности подряд
a) четыре цифры 1 2 3 4?
b) вторично цифры 1 9 7 5?
b) цифры 8 1 9 7?

Г. А. Гуревич

Ф353. Фокусное расстояние вогунто-феррического зеркала равно F. Каким оно становится, если зеркало нагреть на t градусов? Во сколько раз увеличится при этом световой поток Ф от Солнца, который можно сокусировать зеркалом?
Козффициент линейного расширения металла, из которого сделано зеркало, равен α.
И. Ш. Слободецкий

Рис. 2.

Ф354. Необходимо сконструировать печь, на нагревательном элементе которой должны выделяться мощность 2,1 кВт. Напряжение сети равно 220 В, сопротивление подводящих проводов 1 ом. Каким необходимо сделать сопротивление нагревательного элемента печи?

О. Ф. Кабардин

Ф355. На pV-диаграмме (рис. 2) изображен замкнутый процесс, проведенный с одним молем газа. Участики 1—2 и 3—4 графика — прямы, проходящие через начало координат, а участики 2—3 и 4—1 — изотермы. Нарисовать график этого процесса на TV-диаграмме. Найти объем V₃, если известны объемы V₁ и V₂ = V₄ = V.

Ф356. С какой скоростью движется тень Луны по земной поверхности во время полного солнечного затмения? Заттение наблюдается на экваторе. Для простоты считать, что земная ось перпендикулярна земной и лунной орбитам.

Рис. 3.

Ф357. Кубик массы m прикреплен к двум пружинам с жесткостьми k₁ и k₂ и длинами в недеформированном состоянии l₁ и l₂ соответственно. Пружины закреплены другими концами (рис. 3), так что кубик может движаться по горизонтальной плоскости. Козффициент треня между кубиком и плоскостью μ, расстояние между точки закрепления пружин L, размер кубика мал и им можно пренебреть. Найти область, в которой кубик может находиться в равновесии.

34

Решения задач

M304. Будем обозначать кругочком некоморую (неизвестную пока) операцию, применимую к любым двум целым неотрицательным числам a и b и дающий може целое неотрицательное число a*b=c. Пусть эта операция удовлетворяет следующим условиям:

1. ab = ba;
2. если ab=c, то bc=a;
3. если ab > c, то bc < a или ac < b.
   a) Найдем 00; 01; 11; 0*2.
4. Докажиме, что 0a=a и 1a =
   -{a+1, если a четное,
   -a-1, если a нечетное.
5. Докажиме, что существует не более чем одна операция, удовлетворяющая условиям задачи.
6. Докажиме, что макая операция существует, и указим правило, позволяющее по заданным a, b вычислять a*b.

a) Найдем 00.
Допустим, что 00>0. Подставив в условия 3) a=b=c=0, получим, что 00<0, что невозможно. Значит, 00=0. Найдем 01.
Если 01=0, то 00=1, что неверно. Если 01>1, то из условия (3) 11<0,, что невозможно. Поэтому 01=1.
Аналогичными рассудениями получим, что
11=0, 02=2.

6. 1. Докажим, что 0a=a индикцией по a.
      Допустим, это верно при всех a<n и докажем, что 0n=n. Пусть 0n=k<n. тогда 0k=n, что противоречит допущению. Пусть 0n>n. тогда из условия 3) nn<0, что невозможно. Итак, 0*n=n.

7. Докажим, что 1*a =
   {a+1, если a четное,
   a-1, если a нечетное.

индикцией по a.
Допустим, что это доказано для всех a<n, и докажем для a=n.
Рассмотрим два случая.

(a) n — четное.
Обозначим 1n=k. тогда 1k=n. Если k≤n, то получаем противоречие. Пусть теперь 1n>n+1. тогда по условия 3) 1(n+1)<n или n*(n+1)<1, но и то и другое приводит к противоречению. Итак, 1*n=n+1.

(6) n — нечетное.
Тогда по доказанному 1*(n-1)=n, откуда 1*n=n-1.

в) Докажем теперь, что существует не более, чем одна операция, удовлетворяющая условиям задачи.
Допустим, что есть две такие операции. Обозначим первую операцию знаком $\circ$, а вторую — знаком $\odot$. По предположению существует по крайней мере одна такая пара чисел a, b, для которых ab≠ab. Выберем из всех таких пар ту, в которой сумма a+b наименьшая. Итак, пусть ab≠ab; если же a’+b’<a+b, то a’b’=a’b’. Обозначим ab=k, ab=l. Пусть k<l (случай k>l аналогичен). Поскольку ab>k, то ak<b или bk<a. Пусть ak=m<b (случай, когда bk<a, аналогичен). тогда am=k. Поскольку m<b, то a+m<a+b, и поэтому am=am=k. Тогда ak=m, что противоречит тому, что ak=b.

Полученное противоречение и доказывает утверждение в).
г) Докажим теперь, что такая операция существует.
Всякое целое неотрицательное число a единственным образом представляется в виде
a=a₀·2⁰+a₁·2¹+a₂·2²+…+aₖ·2⁷+…*).

*) Это — запись числа a в двойной системе чисел.

35

Здесть $a_0, a_1, \dots$ бесконечная последовательность, в которой конечное число членов — единицы, остальные — нули.

Пусть $a = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 2^k, b = \sum_{k=0}^{\infty} b_k \cdot 2^k$.

Определим значение $c = a \circ b$: положим $c = \sum_{k=0}^{\infty} c_k \cdot 2^k$, где числа $c_k$ определяются по следующему правилу:

$$c_k = \begin{cases} 0, & \text{ если } a_k = b_k, \\ 1, & \text{ если } a_k \neq b_k. \end{cases}$$

To, что для так определенной операции выполняются условия 1) и 2) очевидно. Проверим, что выполняется условия 3). Переформулируем его так:

если $a \circ b \neq c$, то: $a \circ b < c$, или $a < c < b$, или $b \circ c < a$.

Пусть $a \circ b \neq c$. Обозначим через $k$ наиболее номер, при котором не выполняется условия (*). Тогда имеет место один из следующих двух случаев:

(a) $a_h = b_h = c_h = 1$.

В этом случае выполняется даже все три неравенства. Действительно, доказем, например, что $a \circ b < c$. Поскольку $k$-й разряд числа $a \circ b$ равен 0, а в $(k+1)-м, (k+2)-м, \dots$ разряд числа $a \circ b$ и $c$ совпадают, то

$$a \circ b \leq 2^0 + 2^1 + \dots + 2^{k-1} + \Delta = 2^k - 1 + \Delta,$$

где через $\Delta$ мы обозначили число $c_{k+1} \cdot 2^{k+1} + c_{k+2} \cdot 2^{k+2} + \dots$. Но $k$-й разряд числа $c$ равен 1; значит, $c \geq 2^k + \Delta$, откуда $a \circ b < c$.

(6) Из трех чисел $a_h, b_h, c_h$ одно равно единице, другие два — нulo.

Пусть $a_h = b_h = 0, c_h = 1$ (остальные случаи аналогичны). Тогда $a \circ b < c$, поскольку снова $a \circ b \leq 2^k - 1 + \Delta, c \geq 2^k + \Delta$.

A. A. Грицорян, A. Л. Тоом

♦

a) Возможны два случая; они изображены на рисунках 1, а и 6. Расмотрим треугольники $B'PC'$ и $BPC$. Для их площадей имеем

$$\frac{S_{B'PC'}}{S_{BPC}} = \frac{|C'P| \cdot |B'P|}{|CP| \cdot |BP|} = \frac{q' \cdot |B'P|}{q \cdot |BP|}.$$

С другой стороны,

$$\frac{S_{B'PC'}}{S_{BPC}} = \frac{S_{A'PB'} \cdot \frac{|B'C'|}{|A'B'|}}{S_{APB'} \cdot \frac{|BC|}{|AB|}} = \frac{|B'P| \cdot |A'P| \cdot |B'C'| \cdot |AB|}{|BP| \cdot |AP| \cdot |BC| \cdot |A'B'|}.$$

Так как $\triangle APB \sim \triangle A'PB'$, то

$$\frac{|A'P|}{|A'B'|} = \frac{|BP|}{|AB|},$$

то есть

$$|A'P| \cdot |AB| = |BP| \cdot |A'B'|.$$

Позному

$$\frac{q' \cdot |B'P|}{q \cdot |BP|} = \frac{|B'P| \cdot |B'C'|}{|AP| \cdot |BC|},$$

36

откуда
$$|B'C'| = \frac{|BC| \cdot |AP|}{|BP|} \cdot \frac{q'}{q}. \tag{1}$$

Аналогично
$$|A'C'| = \frac{|AC| \cdot |BP|}{|AP|} \cdot \frac{q'}{q}. \tag{2}$$

Перемножая равенства (1) и (2), получаем
$$\frac{s'}{s} = \left( \frac{q'}{q} \right)^2. \tag{3}$$

Далое
a) $$|AP|^2 = |AC|^2 + |CP|^2 + 2|AC| \cdot |CP| \cdot \cos(\widehat{BCP}) =$$
$$= |AC|^2 + q^2 + 2q \cdot |AC| \cdot \cos(\widehat{BCP});$$
$$|BP|^2 = |BC|^2 + q^2 - 2q \cdot |BC| \cdot \cos(\widehat{BCP}).$$

Умножая первое соответствие на |BC|, второе — на |AC| и складывая их, получаем
$$|AP|^2 \cdot |BC| + |BP|^2 \cdot |AC| = (s + q^2) \cdot |AB|,$$
то есть
$$s + q^2 = \frac{|BC| \cdot |AP|^2 + |AC| \cdot |BP|^2}{|AB|}. \tag{4}$$

Таким же образом находится, что
$$s' + (q')^2 = \frac{|A'C'| \cdot |B'P|^2 + |B'C'| \cdot |A'P|^2}{|A'B'|}. \tag{5}$$

Преобразуем соответствие (5), учитывая равенства (1), (2), (4), и подобные треугольников APB и A’PB':

$$s' + (q')^2 = |A'P|^2 \cdot \frac{1 + \frac{|B'P|^2}{|A'P|^2} \cdot \frac{|A'C'|}{|B'C'|}}{1 + \frac{|A'C'|}{|B'C'|}} =$$
$$= |A'P|^2 \cdot \frac{1 + \frac{|B'P|^2}{|A'P|^2} \cdot \frac{|AC| \cdot |BP|^2}{|BC| \cdot |AP|^2}}{1 + \frac{|AC| \cdot |BP|^2}{|BC| \cdot |AP|^2}} =$$
$$= |A'P|^2 \cdot |AP|^2 \cdot \frac{|AB|}{|BC| \cdot |AP|^2} = \frac{t^2}{s + q^2},$$
то есть
$$\frac{s' + (q')^2}{t} = \frac{t}{s + q^2}. \tag{6}$$

Осталось только доказать, что, например,
$$\frac{t}{s + q^2} = \sqrt{\frac{s'}{s}}.$$

Но это уже просто упражнение (см. (3) и (6)):
$$\frac{s' + (q')^2}{s + q^2} = \frac{s'}{s} \Rightarrow s' + (q')^2 =$$
$$= \frac{s'}{s} \cdot (s + q^2) \Rightarrow t^2 = \frac{s'}{s} \cdot (s + q^2)^2.$$

Рис. 1.

Рис. 2.