Квант 1975, №10 · Страницы

КВАНТ
1975
10
Научно-популярный
физико-математический
журнал
250 АКАДЕМИИ
ЛЕТ НАУК
СССР

Вице-президент Академии наук академик В. А. Стеклов, начальник Военно-медицинской академии В. Н. Тонков, непреемный секретарь Академии наук академик С. Ф. Ольденбург и писатель А. М. Горький (слева направо) на приeme у В. И. Ленина 27 января 1921 года. Репродукция с картины В. А. Серова.

1

Главный редактор
академик И. К. Киоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков,
С. Т. Беляев,
В. Г. Болтянский,
Н. Б. Васильев,
Ю. Н. Ефремов,
В. Г. Зубов,
П. Л. Капица,
В. А. Кириллин,

главный художник
А. И. Климанов,
С. М. Козел,
зам. главного редактора
В. А. Лешковцев,
Л. Г. Макар-Лиманов,
А. И. Маркушевич,
Н. А. Патрикева,
И. С. Петраков,
Н. Х. Розов,
А. П. Савин,
И. Ш. Слободецкий,

зам. главного редактора
М. Л. Смолянский;
Я. А. Смородинский,
В. А. Фабрикант,
А. Т. Цветков,
М. П. Шаскольская,
С. И. Шварцбург.
А. И. Ширшов.

Редакция:
В. Н. Березин,
А. Н. Виленкин,
И. Н. Клумова,
художественный редактор
Т. М. Макарова,
Н. А. Минц,
Т. С. Петрова,
В. А. Тихомирова,
зав. редакцией
Л. В. Чернова

В НОМЕРЕ:
2 Штаб советской науки
4 Ленин о науке
5 Учены о Ленине
6 О. А. Жаутыков, А. Г. Кубесов. Выдающийся математик средневековый
9 Л. Г. Асламазов. Почему звучит скрипка
17 З. Я. Тымеладзе. Физика и линейные неравенства
24 М. А. Маневич, М. М. Слуцкин. ЭВМ в конструкторском бюро

Лаборатория «Квант»
30 М. М. Дазаев. Полное лунное заттение

Математический кругок
32 А. М. Степин, А. Т. Таги-Заде. Слова с ограничениями

Задачик «Квант»
38 Задачи М346—М350; Ф358—Ф362
40 Решения задач М308—М315; Ф318—Ф321

Практикум абитуриента
48 С. Б. Бельй. Учитесь делать дополнительные построения

Рецензии, библиография
52 Н. С. Петраков. История математики
53 Е. П. Левитан. Книга о космических фейерверках
55 Т. С. Петрова, М. Л. Смолянский. Новые книги

«Квант» для младших школьников
56 Задачи
57 Головоломки Дьюден
61 Ответы, указания, решения
Смесь (8, 16, 23, 54, 60)

© Главная редакция физico-mатематической литературы изда-тельства «Наука», «Квант», 1975 год.

2

Штаб советской науки

В октября 1975 года в Москве проводится торжественная юбилейнаяСССР, посвященная 250-летию с момента ее основания.СССР проводит как веснародный праздник советской науки и смотр ее выдающийся достижения.

Академия наук нашей страны была создана по указу Петра I, изданному 28 января 1724 года (по старому стилю). Оdnako торжественное открытие Академии состоялось уже после смерти Петра I в августа 1725 года.

Празднование юбилея Академии наук СССР началось еще в 1974 году. За это время в ее институтах и научных учреждениях были проведены научные исследования. Торжественные собрания прошли также в Республиканских Академиях наук. Был организованный многочисленные выставки и смотры результатов научных работ, проходившие под девизом «Достижения науки — народному хозяйству». Состоялись встречи крупнейших ученых с коллективами работ и колхозников. Нынешняя юбилеяСССР завершает эти торжества.

История Академии наук неоделима от истории отечественной науки. 250 лет — большой срок. И за это время роль и место Академии в нашей науке подвергались значительными изменениями. Эти перемены неизбежно отражались на состоянии всех областей русской науки.

В период, предшествовавший Великой Октябрьской социалистической революции, состояние математики и физики в России было существенно различным. Труды Н. И. Лобачевского, М. В. Острогадского, П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова, А. А. Маркова, В. А. Стеклова создали всемирный авторитет русской математике. Физика же в России была развита значительно слабее. Правда, и ее в этот период украшали именно А. Г. Столетова, П. Н. Лебедева, Н. А. Умова, но общий уровень развития русской физики был существенно ниже, чем за рубежом, и она не оказала заметного влияния на развитие мировой физики. Недаром выдавшийся физик А. Ф. Иоффе в своих воспоминаниях о дореволюционной отечественной физике писал, что большинство талантливых русских физков вынуждено было выполнять свои исследования в иностранных институтах и laboratorиях.

Октябрьская революция коренным образом изменила положение науки в нашей стране. Наука превращалась в одно из важнейших средств построения нового социалистического общества. Отромное внимание успешному развитию молодой советской науки уделял В. И. Ленин. В нейероганию тяжелых условий гражданской войны и хозяйственной разрухи Ленин стремился сделать все возможное для помощи ученым, которые вместе со всем народом терпели жестокую нужду и лишения. Он потратил много сил на то, чтобы обединить усилия ученых и направить их на решение важнейших проблем народного хозяйства. Ленин глубоко верил в то, что «перед союзом представителей науки, продетариата и техники не устотит никакая темная сила» *). И русские

ученые сознательно шли на огромные жертвы, мужественно переносили трудности, стоявшие на пути развития нашей науки. Вспоминая об этом, А. М. Горький писал: «Я наблюдал, с каким скромным героизмом, с каким мужеством творцы русской науки переживали мучительный голод и холод, видел, как они работали и как умирали. Мои впечатления за это время сложились в глубокий и почтительный восторг перед Вами — герои свободной, бесстрашной, исследующей мысли. Я думаю, что русские ученые, их жизнь и работа в годы войны и блокады дали миру великий урок мужества и выдержки».

Постоянная поддержка и помощь науке со стороны Коммунистической партии и Советского правительства вызвали невиданный научный подъем в нашей стране. За сравнительно короткий исторический отрезок времени советская физика, математика, механика и астрономия вышли на самые передовые рубежи мировой науки. Советские ученые успешно решили целый ряд необычайно сложных научно-технических проблем. Они создали атомное и водородное оружие, навсегда похоронив надежды империалистов на военное превосходство. Они проложили человечеству путь к мирному использованию атомной энергии. Ученые нашей страны успешно осуществляют разностороннюю программу исследования и использования космического пространства. Они оказывают огромную помощь в разработке и совершенствовании электронных вычислительных машин. Благодаря трудам наших ученых возникли целые новые области физико-математических наук.

Ученые всех стран с огромным вниманием следят теперь за развитием советской науки. Недаром многие научные журналы, выходящие в нашей стране, переводятся и переиздаются в наиболее развитых капиталистических странах. Русское слово «спутник» вошло без изменения во все языки мира, а дата запуска первого советского искусственного спутника Земли часто рассматривается в зарубежных странах как начало новой эры в организации науки и образования. Физики всех стран без перевода пользуются и другим научным термином — «Токамак», родившимся в нашей стране. «ТОроидальная КАмера в МАгнитном поле» — так назвали свою необычайно перспективную экспериментальную установку для изучения горячей плазмы и управляемых термоядерных реакций советские ученые. Подобные установки построены и строятся сейчас во многих странах.

Академия наук СССР — подлинный штаб советской науки. Она объединяет сотни крупнейших ученых, возглавляющих отдельные области современной науки в нашей стране. В ее многочисленных институтах и научных центрах, расположенных на всей территории Советского Союза, трудится огромная армия научных сотрудников.

Более четверти века на нашей планете происходит невиданная научно-техническая революция, охватившая фактически все области науки и техники. Наука на наших глазах превратилась в непосредственную производительную силу общества, она прочно объединяется с производством и оказывает на него необычайно важное, определяющее влияние. Прогресс производства — совершенствование технологии, орудий труда, способов обработки материалов, методов управления не только станками, но и целыми заводами — в наши дни неразрывно связан с прогрессом науки. Мир социализма, активно участвуя в этой революции, приобретает все необходимое для построения коммунизма. Плоды этой революции открывают нам путь к материально-технической базе коммунизма и построению коммунистического общества.

Трудно переоценить роль науки в строительстве коммунизма. Ведь такого общественного строя на Земле еще никогда не было, и учиться здесь нам просто не у кого. Научный анализ, марксистско-ленинские методы исследования — вот компас, по которому мы проверяем верность нашего пути.

Да здравствует же советская наука и ее генеральный штаб — Академия наук СССР!

1*

4

Ленин о науке

Ниже приведется высказывания В. И. Ленина, заимствованные из его работ или воспоминаний современников.

…Только социальным освободит науку от ее буржузных пут, от ее порабошення капиталу, от ее работы перед интересами граждного капиталистического корыстологии. Только социальным дост возникностью широко распространить и настоящим образом подчинить общественное производство и распределение продуктов по научным сообщениям относительно того, как сделать жизнь всех трудящихся наиболее легкой, доставляющей им возникностью благосостояния. (В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, Т. 36, с. 381).

…Я лично глубоко интересуясь наукой и придаю ей громадное значение. Когда вам что нужно будет, обращайтесь прямо ко мне. (Из воспоминаний академика С. Ф. Ольденбурга)

…Ведь вот, только бы победить нам все эти интервенции, все эти внутренние востстания кулаков, помещников и буржузин, и тогда мы устроим так, что деятельности общественного производства и распределение продуктов по научным сообщениям относительно того, как сделать жизнь всех трудящихся наиболее легкой, доставляющей им exigible возможности исследования, создавать лучшие laboratories, при самых лучших возникностях исследований и поставки работ по животрепещущим научным вопросам. (Из беседы с А. М. Горьким)

…Если наука в будущеем должна дать то, во что вы верите, — обновление жизни, то необходимо, чтобы те широкие массы, которые теперь стоит близко к власти, которые теперь имеют возникновость регулировать жизнь, чтобы они понимаили значение науки. Вы должны сделать им доступным и понятным значение тех отвлеченных истин, которые отделные люди понимают, но которые масса, который раны не предоставлялось возникновити подойти близко к этой науке, пока еще не понимает. (Из речи академика С. Ф. Ольденбурга на II Всесоюзном съезде Советов)

…Имейте в виду, что теперь широкие массы, страхнув с себя старую власть, взял свою жизнь в собственные руки, они являются вершительами жизни, в котором и вам, представителем науки, принимают соответствующее место. Но место это и вообще возникновость надлежащим образом работать научно будет зависеть от того, насолько значение науки будет понято массами, насолько они смогут на нее посмотреть не как на праздное, ненужное для жизни временпрепроводение, а как на тяжелый по своей сложности, необходимый и производительный труд. Мы, я и другие, конечно, понимаем значение науки, но сейчас не в нашем понимании дело, а в понимании масс. Естественно поэтому, что в первую голову внимание государства будет обращено на те науки, которые помогают нам выявлять и применять надел наши естественные богатства, особенно нужные разоренной войнами стране, т. е. науки естественные и математические и экономические. (Из доклада академика С. Ф. Ольденбурга на Общем собрании Академии наук 22 января 1927 года)

…Узнать о согласии Вице-президента Академии наук академика В. А. Стеклова сотрудничества с Советским правительством, В. И. Ленин сказал: «Вот так, одного за другим, мы перегнем всех русских и европейских Архимедов, тогда мир, хочет не хочет, а — перевернется!» (Из речи академика А. В. Топчева на исследу<A Академии наук, посвященной 90-летию со дня рождения В. И. Ленина, 21 апреля 1960 года)

5

Ученые о Ленине

… Нам — людям науки — особенно дорога в величавом облике Ленина его неустанная забота о процветании советской науки. С первых же дней существования Советской власти Ленин пристально занимался вопросами, связанными с развитием науки. В известных директивах Ленина еще в 1918 году четко были определены задачи Академии наук в деле экономического возрождения страны, в деле развития производительных сил нашей Родины. Мы горды тем, что Академия наук во всей своей деятельности неизменно руководствовалась указаниями Ленина. (Из речи президента Академии наук академика В. Л. Комарова 14 февраля 1944 года)

…В настоящее время наши историки, изучая подлинные материалы и документы первых лет революции, убеждаются в громадной активной роли Владимира Ильича в реформе Академии наук. Коротко говоря, дальнейшее развитие Академии, грандиозные размеры которого мы знаем теперь, было предусмотрено уже в первых указаниях Владимира Ильича. В первые же месяцы революции Владимир Ильич дал санкцию на организацию целого ряда научно-исследовательских институтов в Москве и в Ленинграде…

… В. И. Ленин с первых же шагов революции принял все меры для дальнейшего широкого роста и научных кадров, и научных учреждений. Этого требовала страна, которая должна была превратиться в страну социалистическую. Вместе с тем исключительное внимание со стороны Владимира Ильича к науке определялось, конечно, не в малой степени и тем, что сам он был величайшим ученым и оставил нам незабываемый пример как важности достигнутых результатов, так и методов научной работы. (Из речи академика С. И. Вавилова, посвященной памяти В. И. Ленина, 20 января 1940 года)

… Строя новую жизнь, осуществляя величайший в мире социальный переворот, борясь за новое Советское государство в разоренной войной, нищей и невежественной стране, Ленин не переставал думать о культурном строительстве и научном росте. С большим вниманием, с исключительной заботливостью относился он к науке и ученым. Всем известны факты его непосредственного вмешательства в вопросы, касающиеся научного строительства; вероятно, многие знают уже и о том, как много содействовал он нашей Академии наук в ее стремлении поставить и развить исследовательскую работу, нарушенную в годы войны и революции. (Из речи президента Академии наук академика А. П. Карпинского 21 января 1928 года)

… О диапазоне его знаний наглядно свидетельствуют и его богатейшее неоценимое литературное наследство, и те заметки, которые оставлены им на полях громадного количества прочитанных им книг. Просмотрите «Философские тетради» Ленина, и вам нетрудно будет видеть, какой глубокий, вдумчивый характер имели его конспекты, какую перекличку вел он в них с выдающимися представителями ученого мира. Так неустанно, изо дня в день оттачивалась острая мысль Ленина, одинаково сильная как в тонком анализе, так и в мощном синтезе…

… Владимир Ильич был не просто носителем мирового знания, он был ярчайшим представителем передовой, не отделяющей себя от народа и его нужд науки, той науки, которая создается не только для уразумения окружающих нас явлений жизни, но и для преобразований их на пользу трудящихся, науки революционеров, идущей на смену науке доктринеров. (Из воспоминаний академика Г. М. Кржижановского)

6

ОДНИМ из наиболее значительных культурных центров Средней Азии был Ограрский округ, расположенный в бассейне реки Сыр-Дары. Главный город этой области Ограр, или Фараб, как его называли арабские завоеватели, является родной нескольких выдающихся представителей науки и культуры всего средневекового Востока. Нанболее крупным из них был великий мыслитель, ученный-энциклопедист, разносторонний математик Абу Наср Мухаммед аль-Фараб, родившийся в 870 году. Он получил образование сначала у себя дома в Ограре, а затем в Бардаде. Еще при жизни аль-Фараб получил произведение «ал-муаллим ассания» — второго учитель. (Первым учительом «ал-муаллим аль-авзал» называли великого мыслителя античности Аристотеля.)

Аль-Фараб умер в Дамске в 950 г.

Аль-Фараб принадлежит околоста пятидести трудов по самым различным отраслям знания. Почти все они написаны на арабском языке — языке науки того времени. В его научной деятельности больше место занимают физико-mатематические дисциплины. По свидетельству историков только по геометрии, астрономии и музыке аль-Фараб принадлежит около 70 трудов, большество которых утрачено.

В настоящее время изучен ряд трактатов аль-Фараб. Эти сочинения опубликованы в русском переводе с подробными комментариями *). Аль-Фараб использовал арифметику, геометрию, тригонометрию в трудах по теории музыки, астрономии и математической географии. Остановимся вкратце на некоторых достижениях аль-Фараб в области математики.

Аль-Фараб в «Перечислении наук» старается по своему определить разделы, предмет и содержание всех отраслей математики своего времени (арифметики, геометрии, оптики, математический астрономии). Он одним из первых в истории математики определяет предмет новой отрасли математики — алгебры. «Эта наука, — пишет ученый, — является общей как для.arифметики, так и для геометрии. Она содержит разнообразные искусные методы нахождения чисел…». Он одним из первых установливает

*) Аль-Фараб. Математические трактаты. Алма-Ата, 1972.

7

однозначное соответствие между геометрическими величинами и числами и при этомводит особый термин «узм» для количественной (числовой) характеристики величины. Это начиная в дальнейшем получило развитие и сыграло большую роль в создании математики переменных величины.

Вопросы сложившейся традиции аль-Фараби включает прикладную математку, как он ее называет — «науку об искусных приемах», в числе основных математических разделов.

Большая заслуга принадлежит аль-Фараби в развитии геометрии, особенно конструктивной геометрии. В практике о геометрических построениях он впервые в истории математики в системеческий форме излагает методы решения многочисленных задач конструктивной геометрии, особо важные задачи на построение с помощью циркуля построенного расстояра.

Приведем одно из двух построений парабoles по точкам, по-видимому, впервые предложенное аль-Фараби. Парабoly он называет «лекалом зажигательного зеркала». Он пишет: «Если мы хотим построить (зажигательное) зеркало, то сначала построим лекало, определяющее зеркало. Для этого проведем круг, получающий которого равен величины расстояния, на котором мы хотим зажчь предмет. (Центр кругга—точка E, см. рис. 1.) Проведем его диаметр AB. Отложим на линии BE от точки B

Рис. 1.

несколько равных отрезков. Чем эти отрезки меньше, тем будет лучше и точнее лекало. Пусть это отрезки BC, CD и DE. Проведем через точки C, D и E линни под прямым углом (к BE) и продолжим их в обе стороны до точки K, L и M. Соединим B и K, B и L, B и M. Построим линю CN равную линии BK, линю DO, равную линии BL, линю EP, равную линии BM. Соединим точки B, N, O и P, и выполним лекало по этой линии. (Доказите правильность построения!)

Большой интерес для истории математики представляют исследование аль-Фараби по тригонометрию. Наболее важным являетсяведение им линей тангенса и котангена в тригонометрическом круге: равшие эти функции определялись только как тени гномона (шеста). Он определяет тангенс и котангенс как отрезки касательных к окружности. Аль-Фараби впервые формулирует теорему синусов для произвольного треугольника.

По аль-Фараби «синус есть полована хорды удвоенной дуги». Он добавляет к известным до него соответствям между тригонометриками функциями новые соотношения, в том числе

$$tg\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha}.$$

В «Книге приложений к «Альма-геосту»» он одним из первых доказал теорему синусов для прямого ного сферического треугольника. Аль-Фараби широко применяет тригонометрию для решения разнообразных задач математической астрономии.

У аль-Фараби мы встречаем интересные высказывания о вероятностных понятиях. В «Трактите о том, что правильно и что неправильно в природах звезд» он дает оценку возможности более и менее вероятных

*) «Альмагаст» — сочинение Птоlemея, величайшего астронома античного мира.

событий, приводит классификацию возможностей: «невозможное», «редко возможное», «равновероятное», «возможное в большинстве случаев», «достоверное». Аль-Фараби призывает исследовать явления, «возможные в большинстве случаев», считая, что «опыт полезен в отношении явлений, возможных в большинстве случаев».

В «Большой книге музыки» и в его обработках «Альмагеста» широко рассматривались функциональные зависимости, комбинаторные задачи, инфинитезимальные идеи и другие вопросы математического содержания. Большой интерес представляют функциональные зависимости, рассмотренные аль-Фараби в связи с созданием теории музыки. Аль-Фараби, например, находит количественные соотношения между высотой звука ($y$) в трубе духового инструмента и другими физическими величинами в виде следующей функциональной зависимости:

$$y = \frac{k\sigma F h}{Dd},$$

где $k$ — коэффициент пропорциональности, $D$ — диаметр трубы, $h$ — расстояние отверстия от мундштука, $d$ — диаметр отверстия, $\sigma$ — характеристика гладкости, $F$ — сила вдувания источника. Все эти соотношения выражаются словесно.

Труды аль-Фараби по математике оказали большое влияние на математическое творчество Абу-л-Вафы (940—998), Ибн Сины (980—1037), аль-Бируни (973—1050), Омара Хайяма (1048—1131), Наср ад-Дина ат-Туси (1201—1274), Роджера Бэкона (1214—1294), Леонардо да Винчи (1452—1519) и других.

Задачи наших читателей

1. Доказать, что если $a_1 a_2 \ldots a_n = p^n$ ($p$, $n$ — целые), то справедливо неравенство

$$(a_1^2+1)\,(a_2^2+1) \ldots (a_n^2+1) \geqq (p^2+1)^n.$$

С. Т. Берколайко

2. Найти возможно более простую формулу общего члена последовательности
   1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, …

Можно ли ее записать, используя лишь функции

$$y = \sqrt{x}\,,\quad y = [x]$$

и арифметические операции?

А. М. Асташов

3. Легко проверить следующие равенства:

$$\sqrt{49} = 4 + \sqrt{9}\,,$$
$$\sqrt{64} = 6 + \sqrt{4}\,,$$
$$\sqrt{81} = 8 + \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{100} = 10 + \sqrt{0}\,.$$

Этот ряд можно продолжить следующим образом:

$$\sqrt{121} = 12 - \sqrt{1}\,,$$
$$\sqrt{144} = 14 - \sqrt{4}\,.$$

Можете ли вы вывести общую формулу, объясняющую эти равенства?

С. Р. Гусейнов

4. Существует ли треугольник, у которого биссектриса делится точкой пересечения биссектрис пополам?

5. Доказать, что точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую из них (считая от основания) в отношении, равном отношению основания треугольника к сумме двух других его сторон.

И. А. Страшкевич

8

9

При движении тела в какой-либо среде возникают силы сопротивления движению, стремящиеся замедлить его. Механическому движению одного твердого тела по поверхности другого пряятствуют силы сухого треня; в жидкости или газе появляются вззое трене и азродинамическое сопротивление и. т. п.

Взанмодействие тела со средой — довольно сложный процесс, приводящий обусловно к тому, что энергия тела со временем переходит в тепло, или, как говорят физики, происходит дисп萨ция энергии. Однако сопротивление среды может игrate и обратную роль — увеличать энергию тела.

При этом, как правило, возникают колбания. Например, сила сухого треня между полозями саней и снегом тормозит движение саней, и эта же сила, действующая между саней и струной, вызывает колбания струны. Как вы увидите далее, причиной возникновения колбания является падающая зависимость силы треня от скорости движения. Колбания возникают тогда, когда сила треня уменьшается при увеличении скорости.

Аналогичные явления пропускают не только в механических, но и в электрических системах, в которых колбания возникают при падающей зависимости напряжения от силы тока.

Рассмотрим сначала процесс возникновения механических колбаний.

Колебания струны

Звучание скрипки вызывается движением смычка. Невозможно, конечно, объяснить здесь все сложные явления, связанные с особенностями звучания скрипки. Однако попробуем разобраться, почему возникают колбания скрипчной струны, когда по ней ведут смычком.

Силы треня между смычком и струной — это силы сухого треня. Можно говорить о силах треня покоя и о силах треня скольжения. Первая сила возникнет между соприкасающимся, но неподвижными друг относительно друга телами, вторая — при скольжения одного тела по поверхности другого.

Сила треня покоя, как известно, может принимать любые значения (в зависимости от внешней силы) от нуля до максимальной силы треня покоя $F^0_{\text{тр}}$, при этом она всегда равна по величины и противоположна по направлению внешней силы.

Сила треня скольжения зависит от материалов тела и от состояния трущихся поверхности, а также от относительной скорости этих тел. О последнем мы и будем говорить более подробно. Характер зависимости от скорости для разных тел различен; передко при увеличении скорости скольжения вначале пропускает уменьшение силы треня скольжения, а затем она начинает возрастать. График зависимости абсолютной величины-

10

Рис. 1.

ны силы сухого треня от скорости в этом случае показан на рис. 1. В скрипке силы треня между смычком и струной как раз и имеют такой характер. Вертикальный участок при $v=0$ соответствует слим треня покоя. Если относительная скорость струны и смычка $v$ соответствует падающему участку $0<v<v_0$, то увеличению относительной скорости на некоторую малую величины $\Delta v$ соответствует уменьшение слим треня, и наоборот, при уменьшении скорости соответствующое изменение слим треня положительное (см. рис. 1). Как вы сейчас видите, именно благодаря этой способности может увеличивать энергия струны за счет работы слим сухого треня.

При движении смычка струна отклоняется вместе с ним. При этом слияние покоя уравновешивается слиями натяжения струны (рис. 2). Равновесientушая $F$ сли натяжения пропорциональна отклонению струны $x$ от положения равновесия:

$$F = 2T_0 \sin \alpha = \frac{4T_0}{l} x,$$

где $l$ — длина струны, а $T_0$ — слияние струны, которое при малых отклонениях можно считать постоянной. Поэтому при движении струны со смычком слия $F$ будет расти, и в тот момент, когда она становится равной максимальной слияние покоя $F^0_{tp}$, начинается проскальзывание.

Рис. 2.

Будем пока для простоты считать, что в момент начала скольжения изменение слим треня происходит скачком: она уменьшается от максимальной величины слим треня покоя до небольшой слим треня скольжения. Иными словами, после начала скольжения движение струны можно считать почти свободным.

В момент срыва скопость струны равнялась скопости смычка, и вначале струна будет продолжать двигаться в стороны движения смычка. Но теперь равновесientушая слим натяжения ничего не скоппсирована, поэтому она будет тормозить движение струны, замедляя его. В какой-то момент скопость струны упадет до нуля, затем струна начинает двигаться в противоположную сторону, и после максимального отклонения от положения равновесия она опять будет двигаться в стороны движения смычка. А смычок продолжает двигаться равномерно со скопостью $u$. В некоторых моментах струны и смычка сравняются. При этом между струной и смычком просkalзывания уже нет, и появляется слияние покоя, равная равновесientушей слия натяжения.

При дальнейшем движении слим натяжения уменьшается и, соответствующего, уменьшается слияние покоя. После прохождения струной положения равновесия проще повторяется.

11

Соответствующий график зависимости отклонения струны от времени показан на рисунке 3, а. Движение струны периодически, причем в каждом период имеется два разных частка. Например, на участке $0 < t < t_1$ струна движется вместе со смычком с постоянной скоростью $u$, так что отклонение $x$ линейно зависит от времени ($\tau g \alpha = u$). В момент $t_1$ происходит сывив, и при $t_1 < t < t_2$ изменение $x$ со временем происходит по синусидальном закону. В момент $t_2$, когда касательная к синусиде имеет тот же наклон, что и начальный прямолинейный участок (условие равенства скорости), струна вовь захватывает смычком.

Рисунок 3, а соответствует идеальному случанию, когда сила стрения скольжения отсутствует и поэтому нет потреб энергии при свободном ходе струны. Полная работа силы стрения покоя на линейных участках за период при этом также равна нулю, так как при отрицательных $x$ совершается отрицательная работа (сила стрения направлена против движения), а при $x > 0$ совершается такая же по величины, но положительная работа.

Что же происходит в случae, когда сила стрения скольжения отлична от нуля? Стрение скольжения приводит к потерям энергии. Движение струны при раскальзывании теперь описывается графиком, показанным на рисунке 3, б. При отрицательных отклонениях эта кривая более пологая, чем при положительных. Поэтому зацепление струны смычком происходит при меньше по величины отрицательном отклонении $x_2$, чем положительное отклонение $x_1$, соответствующей сывив. В результате сила стрения покоя во время сцепления струны со смычком совершается за период положительного работы

$$A = \frac{k \left(x_1^2 - x_2^2\right)}{2},$$

где $k = \frac{4T_0}{l}$ — коэффициент пропорции.

Циональности между величины силы стрения покоя и отклонением струны.

Эта работа как раз и компенсирует потеря энергии за счет силы стрения скольжения. Колбанная струны являются не затухающим.

Энергетический баланс

Вообще говоря, для пополнения энергии струны за счет силы не обязательно, чтобы произходило сцепление струны со смычком. Достаточно, чтобы относительная скорость смычка и струны при колбанях струны находилась в пределах падающего участка зависимости силы стрения скольжения от скорости. Расмотрим более подробно явление возбуждения колбаний струны в этом случae.

Пусть смычок опять движется с некоторой постоянной скоростью $u$, а струна отклонена от положения равновесия на $x_0$ так, чтобы равновесия уравнилась $F(x_0)$ сил упругости уравно-

12

вешивала силу треня скольжения $F_{\text{tp}}(u)$. Если струна служно отклонится в сторону движения смычка, то относительная скорость уменьшится. В результате сила треня возрастет (относительная скорость соответствует падающему участку!), и струна отклонится еще больше. При дальнейшем отклонении упругая сила в какой-то момент обязает полностью превыстить силу треня (упругая сила пропорциональная величины отклонения, а сила треня скольжения не может превыойти максимального значения силы треня покоя), и струна начинает движаться в обратную сторону. Она пройдет положение равновесия, снова отклонится, остановится и т. д. Таким образом возбудится колебания струны.

Важно, что эти колебания будут незначухающим. В самом деле, при движении струны со скоростью $\Delta v$ в сторону смычка сила треня совершает положительное работу, а при обратном движении — отрицательную. Но относительная скорость $v_1 = u - \Delta v$ в первом случае меньше, чем скорость $u_2 = u + \Delta v$ во втором случае, а следовательно, сила треня $F_{\text{tp}}(u - \Delta v)$, наоборот, больше, чем $F_{\text{tp}}(u + \Delta v)$. Таким образом, положительная работа сил треня при движении струны в сторону смычка больше, чем отрицательная работа при ее возвраthом движении, и в целом силы треня совершают положительное работу. Амплитуда колебаний будет увеличивать. Однако лишь до определенного предела. При $v > v_0$ (см. рис. 1) скорость выходит за пределы падающего участка, и тогда отрицательная работа силы треня уже может стать больше, чем положительная. Энергия, а значит, амплитуда колебаний будет уменьшаться.

В результате установленная такая амплитуда колебаний, при которой полная работа сил треня равна нулю (говора точнее, эта работа компенсирует потеря энергии вследствие сопротивления воздуха, неупругогоxa

рактира деформаций и т. п.). С этой постояной амплитудой и будут происходить не затухающие колебания струны.

Возбуждение звуковых колебаний при движении одного твердого тела по поверхности другого происходит очень часто. Сухое трене в дверной петле может вызвать скрип двери. Скрипт положицы, обувь. Скрипт можно произвести просто пальцем, проведя им по какой-нибудь гладкой поверхности. Явления, произходящие при этом, во многом аналогичны возбужданию колебаний скрипчной струны. Вначале просkalзывания нет, и возникает упругая деформация. Затем происходит сыв, и возбуждаются колебания тела. Колебания не затухают, так как благодаря падающей характерские силы сухого треня поставляется необходимая энергия за счет работы этих сил.

При изменении характера зависимости сил треня от скорости скрип исчезает. Известно, например, что для этого достаточно смазать трушеся поверхности. Сила жидкого треня (при малых скорости) пропорциональная скорости, и условий, необходимых для возбуждания колебаний, нет. Наоборот, когда хотят возбуждать колебания, поверхности обрабатываются специальным образом, чтобы сделать уменьшенное сил треня при увеличении скорости более резким. Смычок скрипки, например, для этого натирают канифолью.

Знание законов сил треня помогает решать важные практические задачи. При обработке металла на токарном станке иногда возникнет вибрация резца. Эти колебания вызывают силими сухого треня между резцом и металлической стружкой, скользывающей по его поверхности при обточке металла (рис. 4). Зависимость сил треня от скорости стружки (скорости обработки) для ряда высококачеченных стелей оказывается падающей. Эти мы уже знаем, можно обяснить колебания резца.

13

Рис. 4.

Для борьбы с вибрацией используется, например, специальная заточка резца, при которой нет скольжения стружки. Тем самым устраняется причина возникновения колебаний.

Отрицательное сопротивление

Теперь речь пойдет об аналогичных явлениях (возникновения колебаний) в электрических системах. Для описания электрической системы удобно пользоваться вольтамперной характеристикой, т. е. зависимостью напряжения в системе от силы тока. Например, для обычного сопротивления справедлив закон Ома: напряжение пропорционально току, и вольтамперная характеристика — прямая линия, проходящая через начало координат. Однако для многих систем (электронной лампы, газоразрядной трубки, транзистора и т. п.) зависимость напряжения от тока более сложная.

Оказывается, что в том случае, если вольтамперная характеристика является падающей, т. е. если при увеличении тока через систему напряжение на ней уменьшается, в системе могут возбуждаться электрические колебания. Такими свойствами обладают некоторые полупроводниковые устройства, неоновая лампа, электрическая дуга и т. д. У всех этих приборов вольтамперная характеристика имеет падающей участок,

и это в определенных условиях приводит к возбуждению колебаний.

Попробуем разобраться в причинах возникновения электрических колебаний при падающей вольтамперной характеристике. Прежде всего проведем аналогию с механическими системами. При прохождении тока по проводнику электрические силы совершают работу, пропорциональную приложенному напряжению. Эта работа равна работе сил сопротивления движению зарядов. Поэтому можно сказать, что силы сопротивления пропорциональны напряжению. С другой стороны, скорость направленного движения зарядов связана прямой пропорциональной зависимостью с силой тока. Таким образом, падающая зависимость напряжения от силы тока соответствует падающей зависимости силы сопротивления от скорости, а это, как мы уже знаем, приводит к возбуждению колебаний.

Проведем теперь более подробный анализ условий возникновения электрических колебаний, используя такие же, как в механике, энергетические соображения. Пусть вольтамперная характеристика системы такая, как показано на рисунке 5. Зная ток, по этой характеристике можно найти напряжение, и наоборот. Пусть, например, в системе течет постоянный ток $i_0$; тогда напряжение равно $U_0$. Если по каким-либо причинам возникла также небольшая переменная составляющая тока, так что

$$i = i_0 + \Delta i_0 \sin \omega t,$$

то напряжение тоже станет переменным:

$$U = U_0 + \Delta U_0 \sin \omega t$$

($\Delta i_0$ и $\Delta U_0$ — амплитуды переменной составляющей тока и напряжения соответственно). Очевидно, что при падающей вольтамперной характеристике переменный ток и переменное напряжение колеблются в противо-

14

Фазе (так и напряжение одновременного прохождения положения равновесия, но знаки тока и напряжения в одинаковые моменты всегда разные и, следовательно, сдвиг фаз $\varphi = \pi$).

Мощность переменного тока, как известно, определяется формулой

$$P = \frac{\Delta U_0}{2} \frac{\Delta i_0}{2} \cos \varphi = \Delta U_\pi \Delta i_\pi \cos \varphi,$$

где $\Delta U_\pi$ и $\Delta i_\pi$ — действующие значения напряжения и тока, $\varphi$ — сдвиг фаз между напряжением и током. В нашем случае $\cos \varphi = -1$ и, следовательно, $P < 0$. Этот результат имеет простой физический смысл. Он означает, что переменный ток не расходует, а наоборот, увеличит свой энергию (так же, как увеличитась при колбании энергия струны за счет падающей зависимости сил сопротивления от скорости). Эта энергия, очевидно, черпается из энергии постоянного тока, мощность которого $P_0 = U_0 i_0$ всегда положительная. Таким образом, при падающей волтамперной характеристике энергия переменного тока со временем будет увеличится, и амплитуда колбаний будет нарастать.

Для количественного рассмотрения этого вопроса вводят понятие отрицательного электрического сопротивления, который обладает системы с падающим волтамперными характеристиками. Впрочем, понятие сопротивления при нелинейной зависимости напряжения от тока требует неокоторого уточнения. Поговорим об этом более подробно.

Если через систему при постоянном напряжении $U_0$ течет постоянный ток $i_0$, то сопротивление определяется по формуле

$$R = U_0 / i_0$$

и называется статической сопротивлением, или сопротивлением постоянному току. Как видно из рисунка 5, эта величина равна тангенсу угла наклона прямой, проведенной из начала координат в точку волтамперной характеристики, соответствующую току $i_0$ и напряжение $U_0$:

$$R = tg \alpha.$$

Эта величина, вообще говоря, зависит от силы тока $i_0$. Если у системы характеристика линейная, то $R$ совпадает с обычным сопротивлением проводника и не зависит от тока.

В случае переменного тока вводится понятие дифференциального сопротивления, или сопротивления переменному току $r$. Она определяется тангенсом угла наклона касательной к волтамперной характеристике (см. рис. 5): $r = tg \beta$ и по абсолотной величины равно отношению амплитуд переменного напряжения и тока: $|r| = \Delta U_0 / \Delta i_0$. Для общного проводника $r = R$, однако в общем случае нелинейной волтамперной характеристике сопротивления постоянному и переменному току разные.

Если волтамперная характеристика имеет падающий участок, то на этом участке касательная к кривой составляет тупой угол с осью токов (угол $\beta$ на рисунке 5), тангенс этого угла отрицательен и, следовательно, отрицательна величина $r$. Таким образом, системы с падающей волтамперной характеристикой дифференциальным сопротивлением.

Мощность переменного тока $P = (\Delta i_\pi)^2 r = (\Delta U_\pi)^2 / r$ на отрицательном сопротивлении $r$ — отрицательная. Это опять отражает тот факт, что энергия переменного тока при

15

Рис. 6, а.

падающей волтамперной характеристике увеличается со временем.

Используя понятие отрицательного сопротивления, исследуем, например, устойчивость электрическойдуги (рис. 6, а), включенной последовательно с обычным сопротивлением $R$ и источником постоянной э. d. c. $\mathcal{E}$ (будем считать, что внутреннее сопротивление источника тока включано в сопротивление $R$). Эта задача имеет практическое значение, так как при использованиидуги для сварки или в качестве источника света она должна горетьустойчиво, без колебаний тока.

Прежде всего найдем, какой постоянный ток может течь в такой цепи. По закону Ома для всей цепи сумма padений напряжения равна электродвижущей силе:

$$U(i) + iR = \mathcal{E}.$$

Пересечая слагаемое $iR$ в правую часть, получим, что напряжение на дуге $U(i)$ равно $\mathcal{E} - iR$. С другой стороны, $U(i)$ определяется волтамперной характеристикой. Поэтому возможные токи можно найти графически как точки пересечения волтамперной характеристики и зависимость $\mathcal{E} - iR$, причем последняя, очевидно, изобразяется прямой с отрицательным наклоном (рис. 6, б).

Как видно, в принципе, имеется два пересечения и, соответственно, в цепи возможны два значения тока $i_1$ и $i_2$. Оба ли току устойчивы?

Рис. 6, б.

При возникновении переменного тока его амплитуды на дуге и на сопротивлении $R$ одинаковы (они включены последовательно). Поэтому, сравнивая генерируемую на отрицательном сопротивлениидуги энергии $(\Delta i_\pi)^2r$ и потери энергии на общим сопротивлении $(\Delta i_\pi)^2R$, мы видим, что условием нарастания колебаний будет $|r| > R$. Обратимся теперь опять к рисунку 6, б. Легко видеть, что при токе $i_1$ дуга имеет большое по абсцилтовой величины отрицательное сопротивление, чем $R$ (наклон касательной большие, чем у прямой), и условие возникновения колебаний выполено. При токе $i_2$, наоборот, $R > |r|$, и колебания не могут возникнуть. Таким образом, можно сказать, что дуга будет горетьустойчивой при положительной полном сопротивлении цепи.

Если дуга включить в колебательный контур, то в нем могут возникнуть незначuousные колебания. Для этого необходимо, чтобы сопротивление контура и отрицательного сопротивлениядуги) было бы отрицательным. Однако для получения незначuousных электромагнитных колебаний сейчас использут не волтову дугу, а более надежные электрические системы с отрицательным сопротивлением. Сюда относится, например, ламповый генератор (в котором отрицательное сопротивление создается за счет обратной связи между сеткой и аномом лампы),

16

Рис. 7.

а также различные полупроводниковые устройства с падающим волтамперными характеристиками. Таким образом работают многое современные генераторы электромагнитных колебаний.

Упражнения

1. Мягтник подвешен с помощью втулки на равномерно врашающую горизонтальную ось. Объясните, почему, если трение между втулкой и осью — сухое, возможно возникновение незатухающих колебаний (так называемый магниток Фроуда).

2. Волтамперная характеристка электрического разряда в газах в некоторых случаях имеет $N$-образный вид (рис. 7). По заданной волтамперной характеристике разряда наиссимость силы тока в цепи, состоящей из последовательно соединенных разрядной трубки, сопротивления $R$ и источника постоянной э. d. c. $\mathcal{E}$, от величины сопротивления $R$.

3. Покажите с помощью закона Ома, что ток в цепи последовательно соединенных волтовой дуги, сопротивления и источника постоянной э. d. c. устойчив при положительной полном сопротивлении цепи.

4. Волтова дуга, включенная в колебательный контур, иногда начинает «петь», воспроизвода довольно чистые музыкальные тона. Объясните это явление.

Кто победил?

Представьте себе круглый стол разделенный на 6 равных секторов: $A, B, C, D, E, F$,—за которых сидят 6 игроков, каждый у своего сектора (см. рисунок). В центре стол — врашающия диск. На нем нанесены стрелки и цифры от 0 до 5, как показано на рисунке. Во время игры диск вращают 5 раз. После каждого вращения каждой игрок отmeчает число, которое оказывается у его сектора (если стрелки указывают на границу секторов, то данное вращение не учитывают). Побеждает игрок, у которого оказывается наибольшая сумма очков после 5 врашений. На рисунке вы видите распределение очков после первого врашения, в результате которого вышей вперед с пятую очками игрок $C$. Известно, так же, что после второго врашения вперед оказывается $D$. Наконец, после 5 врашений победил игрок $A$. Вот и все, что известно о результатах игры. Казалось бы, не так много. Но этого совершенню достаточно, чтобы определить, сколько очков получил в итоге каждой игрок. Попробуйте!

17

Физика и линейные неравенства
З. Я. Тымеладзе

Механика

Пушки революции грохотали на улицах Парижа. Картечь гвардейцев взрябила штукатурку у самой баррикады.
— Ты ранен, Этъен?
— Пустяки, царапина. Королевские гвардейцы стрелют из того особняка с колоннами. Если мы их не выьем оттуда, нам не продержаться до прихода отряда печатников.
— А наша пушка их не достanet?
— Нет, мало только от этой_maxины. Вот если бы ее удалось вкатить на ту площадку! Эй, Жан-Батист… Ох, это уже серbezнее,— простонал Этъен, схватившись за грудь.
— Что с вами, мосье?
— Гражданин Этъен, а не мосье! Ты уже не в монастые бенедиктище, мальчик, а в революционной армии. Пока меня переявывают, вкати с ребятами пушку вон на ту площадку.
— Слушаюсь, гражданин Этъен!
— Постойте,— вместе Пьер. — А выдержит ли площадка? Если она рухнет, мы лишимся единственной пушки.
— Это наш последний шанс,— проштал Этъен, теряя сознание.
— Что ты там рисуешь, Жан-Батист? Снова геометрия? Берись лучше за ружье, а пушкой нам нельзя рисковать!
— Гражданин Пьер! Пользуясь затишем, я готов доказать вам, что никакого риска нет. Пушку можно вкатывать.

— Ну, попробу! Я ведь пришел на баррикады из университета, из этого болота, где прошетают бездарности. Клянусь не возвращаться туда, пока профессорам не запретят читать лекции по шпаргалкам. Итак?

— Площадка имеет форму квадрата со стороны в 4 метра, она опирается на четыре столбца (см. рис. 1). Каждый столбецивает одну тонну, а пушка вместе с расчетом и ядрами весит 2,5 тонны. Сама площадка надежна, могут сломаться только столбцы, не так ли, гражданин Пьер?

— Допустим; но учти, столбцы вместе выдержат 4 тонны только в том случае, если положить груз в центр площадки. А пушку нам придется сdynнуть, так что ее центр тяжести будет в точке М — иначе не прострелять особняк.

— Давайте теперь определим, какую максимальную силу можно при-

Рис. 1.

18

ложить в точке $M$. Если эта сила больше всего пушки — то все в порядке, и мы заставим гвардейцев дорого заплаать за смертЬ ЭтЬена. Обозначим числа в столбах, на которые опирается площадка, через $R_1, R_2, R_3$ и $R_4$ и потребуем, чтобы было

$$\begin{cases} R_1 \leqslant 1, \\ R_2 \leqslant 1, \\ R_3 \leqslant 1, \\ R_4 \leqslant 1. \end{cases}$$

Положительные значения числий указывают на скатие в столбах, отпечатленные — на растяжение.

— Так-то оно так, но что из этого? Ведь это неравенства, а не уравнения, что о них можно сказать? Не помню, чтобы о них писали что-либо славные граждане Лагранж и Даламбер.

— И я не помню, хотя и изучал их труды. Но продолжим рассуждения. Силы $R_1, R_2, R_3$ и $R_4$ не могут быть любыми, они должны удовлетворять условиям равновесия. Два из них получается, если приравнять нулю моменты от всех сил, действующих на площадку, относительно линии 1—4 и 1—2. Учитывая, что момент — это произведение сил на плою, получаем два уравнения:

$$4R_2 + 4R_3 - P = 0,$$

$$4R_3 + 4R_4 - 2,5P = 0.$$

Третье уравнение равновесия нужно получить из равенства нулю суммы всех сил, действующих на площадку — иначе эта площадка упала бы вниз или вознеслась на небо.

— Подобно тому ловкачу, которое так чятит церковники! — встал Пьер.

— Отсюда получаем уравнение

$$R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = P,$$

— записал Жан-Батист, покрасневское из-за богатыхственной остроты волнодумца, чем из-за пули, просвистшей у егоуха. Из трех уравнений (2), (3) и (4) четыре неизвестных $R_1, R_2, R_3, R_4$, конечно, не определять. Но можно добавить такое условие: сила $P$ должна быть максимальная. Запишем его так: $P \rightarrow \text{max.} \text{Кроме того, у нас есть еще неравенства (1).}$

— Чудня задача,— сморщил люб гражданин Пьер.— Я не удивюсь, если еще лет это пятьдесят она не будет иметь названия. Не говорю уже о гражданах Даламбере и Лагранже, у которых ее почему-то…

— Оставим в стороне проочеется и тени великих и решим эту несложную задачу,— продолжал Жан-Батист.— Для этого выразим из уравнения (2) и (3) $R_3$ и $R_4$:

$$R_3 = \frac{1}{4}P - R_2,$$

$$R_4 = \frac{1}{4}\left(\frac{5}{2}P - 4R_3\right) = \frac{3}{8}P + R_2$$

и подставим их значения в уравнение (4); получим:

$$R_1 + R_2 + \frac{1}{4}P - R_2 + \frac{3}{8}P + R_2 = P.$$

Отсюда можно найти $P$:

$$P = \frac{8}{3}(R_1 + R_2)$$

и подставить в уравнение (5):

$$R_3 = \frac{2}{3}R_1 - \frac{1}{3}R_2, \quad R_4 = R_1 + 2R_2.$$

Теперь систему неравенств (1) можно переписать лишь для двух переменных $R_1$ и $R_2$ (остальные исключены с помощью трех уравнений):

$$\begin{cases} R_1 \leqslant 1, \\ R_2 \leqslant 1, \\ \frac{2}{3}R_1 - \frac{1}{3}R_2 \leqslant 1, \\ R_1 + 2R_2 \leqslant 1. \end{cases}$$

— Хорошо, но нельзя ли посоречать? Огонь усиливается.

19

Рис. 2.

Рис. 3.

— Осталось немного. Давайте изобразим эти неравенства графически. Введем оси координат $R_1$ и $R_2$ (рис. 2).

Неравенство $R_1 \leqslant 1$ означает, что допустимые значения $R_1$ должны лежать не правее линии $R_1 = 1$, а $R_2 \leqslant 1$, — что не выше линии $R_2 = 1$ — обозначим это штриховкой. Полагая $R_1 = 0$, из третьего неравенства системы (7) находим $R_2 \geqslant -3$, а полагая $R_2 = 0$, получаем $R_1 \leqslant 3/2$. Проведя через точки с координатами $(0, -3)$ и $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$ прямую и заштриховав ее сверху, получим графический образ третьего неравенства. Наконец, таким же способом изображаем и четвертое неравенство.

— Но, кажется, не все эти линии нужны.

— Верно! Самое существенное представлено на рисунке 3, где закрашена допустимая область значений сил $R_1$ и $R_2$. Точки внутри этой области, включая границу, удовлетворяют всем неравенствам. Но это еще не все. В допустимой области нужно найти такую точку, в которой $P$, определяемое равенством (6), принимает наибольшее значение. Для начала построим линию

$$P = \frac{8}{3}\,(R_1 + R_2) = 0.$$

Она проходит через начало координат, как показано на рисунке 3.

2*

— Но это нам мало что дает: ясно, что нулевую силу площадка выдержит.

— Разумеется. Но почему выдержит? Потому, что линия $P = 0$ пересекает допустимую область.

— Постой! Мне не совсем понятно. На линии $P = \dfrac{16}{9}$ есть точки, которые лежат вне допустимой области, скажем, точка $K$. Если в столбах возникнет распределение усилий, отвечающее этой точке, то площадка рухнет и…

— Вы не правы. Хотя я и не умею этого доказать, но чувствую: если материал столбов пластичен, то конструкция не разрушится при $P = \dfrac{16}{9}$. В ней возникнет распределение усилий, выражаемое какой-то точкой $E$ внутри допустимой области. Правда, неизвестно, какой именно точкой, но это уже неважно.

Рассмотрим теперь семейство линий $P = \dfrac{8}{3}\,(R_1 + R_2) = \mathrm{const} > 0$. Они параллельны линии $P = 0$ (ведь угловые коэффициенты у них одни и те же). Из этих линий нужно выбрать ту, которая дальше всего отстоит от линии $P = 0$, но при этом пересекает допустимую область. Это линия $P = \dfrac{8}{3}\,(1 + 0) = \dfrac{8}{3}$, проходящая через точку $B$ с координатами $R_1 = 1$, $R_2 = 0$. Понятно?

20

— Честно говоря, не совсем. Давно не занимался математикой. Революция требует от меня, чтобы я чаще заглядывал в географические карты, чем в учебник геометрии.

— Отлично! Вспомним географию! Представьте себе, что $ABC$ — это граница участка на местности, который равномерно повышается с юго-запада на северо-восток, а линии $P = \mathrm{const}$ — это горизонтали на географической карте. Чем выше отметка местности, тем больше в ней значение $P$. Ясно, что самая высокая отметка будет в точке $B$, где $P = \dfrac{8}{3} = 2\,\dfrac{2}{3}$. Это больше, чем весит наша пушка $\left(2\,\dfrac{2}{3} > 2\,\dfrac{1}{2}\right)$. Значит, пушку площадка выдержит.

— Закатывайте, граждане, пушку! — закричал Пьер вместо ответа: натиск гвардейцев нарастал, и медлить дальше было нельзя.— Гражданин Жан-Батист Фурье! Именно ты должен быть профессором математики! Смерть тиранам!

И Жан-Батист Фурье стал профессором математики созданного в 1794 году нового учебного заведения — Нормальной школы! Бездарные конкуренты не смогли этому помешать: в том же году революционный Конвент действительно издал закон, запрещавший профессорам пользоваться во время лекций записками.

Рождение линейного программирования

Только на склоне лет, в 1823 году, признанный математик Жан-Батист Фурье (1768—1830), бывший друг Наполеона, бывший префект департамента Изер и создатель «Теории теплоты», выступил во Французской Академии с несколько странным по тем временам докладом о линейных неравенствах, в котором он рассказал постановку и указал путь решения

описанной выше задачи. Но не была ли она ясна ему раньше, когда юношей он попал в революционный Париж? Ведь ничего особенно сложного в этой задаче нет — во всяком случае, теория рядов Фурье, принадлежащая тому же автору, куда сложнее.

Тем не менее название этой задачи — линейное программирование — родилось лишь в сороковых годах нашего века. Самые известные приложения линейного программирования связаны с экономикой *). Однако необходимость найти экстремум линейной функции при ограничениях в виде системы линейных уравнений и неравенств возникает в самых разнообразных задачах, в том числе и весьма далеких от экономики. Примером служит рассмотренная выше задача механики о действии сосредоточенной силы на квадратную пластинку — первое известное нам приложение линейного программирования.

В более общем виде задача линейного программирования формулируется так. Имеется n неизвестных $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Требуется найти такие их значения, которые удовлетворяют системе ограничений

$$\left\{\begin{array}{l} a_{11}x_1 + \ldots + a_{1n}x_n \leqslant a_1, \\ a_{21}x_1 + \ldots + a_{2n}x_n \leqslant a_2, \\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot \\ a_{r1}x_1 + \ldots + a_{rn}x_n \leqslant a_r, \\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot \\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cdot \\ a_{m1}x_1 + \ldots + a_{mn}x_n \leqslant a_m \end{array}\right.$$

и доставляют максимум функции

$$z = p_1x_1 + p_2x_2 + \ldots + p_nx_n,$$

носящей название «целевой». Коэффициенты $a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{mn}$ и свободные члены $a_1, \ldots, a_m$ при этом считаются заданными.

---

*) См. статью: А. Б. К а т о к, Экономика и линейные неравенства, «Квант», 1971, № 3, 4.

21

Иногда вместе максимума целевой функции требуется найти ее минимум — это зависит от смысла задачи (в этом случае можно искать максимум функции $z_1 = -z$). Заметим, что экстремум функции $z$ (minimum или максимум) всегда находится на границе допустимой области. Это остояльство использует самый распространенный метод решения задачи линейного программирования — симплекс-метод, которое мы здесь не касаемся.

А как же все-tаки быть с физическим обоснованием задачи Фурье? Прав ли он был, считая, что сама природа помогает конструкции найти то, быть может, единственное распределение внутренних условий, при котором конструкция способна выделять внешнюю нагрузку? Да, для плотного материала это так. Собственно, механики подозревали это obstructionное еще до Фурье, но строая теория была построена лишь в 1936 году советским ученым А. А. Гвоздевым. Согласно этой теории, конструкция как бы сама, повинуясь слим природы, решит вышепутомуную задачу линейного программирования и найти для себя наличище распределение внутренних условий. Найдет, если оно существует,— при нагрузке в 3 тонны на упомянутую площадную распределения условий в столбах уже не найдется, и площадка рухнет.

Электричество

Что бы убедиться в применимости линейного программирования к электрическим сетям, перенесемся с улиц Парижа в современную шкалу. Избретатели Витя и Коля собирают тиннственное устройство (о назначении которого они просили не говорить) по схеме, представленной на рисунке 4.

Устройство состоит из двух источников ЭДС, трех сопротивлений и трех приборов, называя которых

Рис. 4.

представляют профессиональную тайну изобретателей. Нам удалось только узнать, что прибор №1 требует тока не менее чем 2 а, прибор №2 — не менее 1 а, а на приборе №3 наряжение должно быть не менее 1,5 в. Все было готово к началу эксперимента, когда выяснили необходимое затруднение: у Вити и Коли оказалось всего 5 батареек с ЭДС 1 в каждая. Попытки включать их научд к успеху не приводили: приборы не сравывали. Изобретателиащили было в тупик, но тут Коля вспомнили о линейном программировании и начал рассуждать.

— Задачу можно сформировать следующим образом. Требуется подобрать источники ЭДС, чтобы они обеспечивали заданные токи и направления в сети и сумма ЭДС была минимальной:

$$z = E_1 + E_2 \rightarrow \min.$$ (8)

Формула (8) определяет целевую функцию задачи линейного программирования. Составим ограничения. Сумма токов в каждой сети должна быть равна нулю:

$$-I_1 + I_2 - I_3 = 0.$$ (9)

Сеть состоит из двух контуров, вдоль каждой из которых суммарное напряжение направляется сумме ЭДС:

$$I_1 + 2I_2 = E_1 + E_2,$$ (10)

$$2I_2 + I_3 = E_2.$$

22

Рис. 5.

Наконец, особенность секретных приборат требуют, чтобы токи и напряжения в них подчинялись ограничениям
$I_1 \geq 2, I_2 \geq 1, |U_3| \geq 1, 5$. (11)
Задача отыскания значений $I_1, I_2, I_3, E_1, E_2$, удовлетворяющих ограничениям (9)—(11) и доставляющих минимум целевой функции (8), есть задача линейного программирования. Выразив из уравнения (9) и (10) токи через ЭДС $E_1$ и $E_2$: $I_1 = \frac{1}{5} (3E_1 + E_2)$,
$I_2 = \frac{1}{5} (E_1 + 2E_2)$, $I_3 = \frac{1}{5} (-2E_1 + E_2)$, и подставив значения ЭДС в неравенства (11), получаем три ограничения:
$$\begin{cases} 3E_1 + E_2 \geq 10, \\ E_1 + 2E_2 \geq 5, \\ |-2E_1 + E_2| \geq 7, 5. \end{cases}$$

Не поняет, — сказал Витя, который тоже был знаком с линейным программированием. — Здесь есть знаки модели, что ты будешь с ним делать?

— Запишу третье ограничение в виде двух неравенств
$E_2 - 2E_1 \geq 7, 5; E_2 - 2E_1 \leq -7, 5,$
— отправовал Коля. — Тепер изобразим прямые, отвечающие всем неравенствам-огранчением (см. рис. 5), и получим две допустимые области $\Omega_1$ и $\Omega_2$ ($E_1$ и $E_2$ положительных)

Рис. 6.

и прямую, соответствующее целевой функция. Из рисунка видно, что оптимальное решение достигается в точке $A$, в котором $E_1 = 4, E_2 = 0, 5$.

— Дробить батарейки нельзя, — запротестивал Витя, хозяйн батареек. — Решение должно быть целочисленным. Давай округлим решение до целых: поставим вместе $E_1$ четыре батарейки, а вместе $E_2$ — одну.

— Не торопись и положки паяльник, — остановил его расудительный Коля. — Ведь видно, что точка $E_1 = 4, E_2 = 1$ лежит вне допустимой области, третий прибор работает не будет.

Так наши друзья выясниликовое свойство задачи линейного программирования: решения не всегда можно округлять до целых значений. Из-за этого пришлось специальное разработать целочисленное линейное программирование, которое справляется с этой трудностью. К счастью, ребятам

23

удалось получить решение. Все допустимые точки, изображающие разные варианты подключиния пяты батареек, показаны на рисунке 5 черными точками. Лишь одна из них — точка $B$ — лежит в допустимой области. Она и дает оптимальное целочисленное решение $E_1=5, E_2=0$, хотя значение целевой функции в точке $B$ будет больше, чем в точке $A$.

Заметим, что задачи такого типа — на определение оптимальных параметров технических устройств (например, количество использых батареек) — называются задачи оптимального проектирования, или оптимального сигнала. Они встречаются сейчас в самых различных области технических технологий.

Упражнения

1. Какой наиболее груз $P$ может выдержать система (см. рис. 6), состоящая из трех $I$, выделяющего растижение в 1 м, и двух распорок 2 и 3, каждой из которых выделяет скатание в 2 м, но не выделявает никакого растижения?
2. Измерение точки и падения направления на участке цепи для следующего результата:

| Номер измерения | 1 | 2 | 3 |
| :— | :— | :— | :— |
| $I$ | 4 | 5 | 7 |
| $U$ | 3 | 4 | 5 |

Каким следует принять сопротивление $R$, чтобы при рассмотренных значениях $I$ заключен Ома ($U=RI$) выполнялся с минимальной абсцилной погрешностью для $U$?

3. В цепе №1 включены последовательно три сосуда с электропитами, соответствующего содержащими $\text{CuSO}_4, \text{CuCl}_2$ и $\text{NiCl}_2$, а в цепе №2 три сосуда с электропитами, содержащими $\text{CuCl}_2, \text{NiSO}_4$ и $\text{NiCl}_2$. Через них пропускается ток в 100 а. Сколько времени должна работать какая цепь, чтобы с наиболее низким затратами электрозергини получить 2000 м³ меди и 3000 м³ nickel, но при этом выделить не более 5000 м³ хлора?

4. В точках 1 и 2 (рис. 7) нужно поместить два точных источника света, освещающих горизонтальную площадку под ними. Какими должны быть силы источников $I_1$ и $I_2$ (в свечах), чтобы освещность в точках $B$ и $C$ была не ниже 100 лк, в точке $A$ — 200 лк, а общая свеча источников была минимальной?

Задание наших читателей

1. Найти трехзначное число, цифры которого образуют геометрический прогрессию, такое, что если сложить его с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, то в сумме получится простое число.

В. Н. Кибирев

2. Два кota утащили со склада 1975 сосок, связанных в 99 цепочек. Приявшись за трапезу, коты по очереди стали перекусывать по одной перемычке между сосскими, и если при этом образовывались отдельные сосски, то кот, перекусивший перемычку, тут же эти сосски съедали.

Какой кот съедет больше сосок при правлении «стратегини» — начинающий трапезу или второй? Какова правильная стратегия?

А. А. Грицорян

3. Определить, существует ли цифра $m$ (если да, то чему она равна) такая, что при любом натуральном $k$ число

$$\frac{99\ldots9}{k}m \frac{0\ldots0}{k}$$

— полный квадрат.

М. Н. Левин

4. Доказать неравенства:

$$\frac{1}{2} < \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < \frac{2}{3}$$

(при $n \geq 8$).

С. Т. Берколаюк

24

В настоящем времени в связи с появлением чертежных автоматов, управляемых электронными цифровыми вычислительными машинами, возникла реализная возможность автоматизации многих графических работ, проводимых в конструкторских бюро. К таким работам можно отнести процессонных чертежей машиностроительных деталей, разверток поверхностей, аксонометрических (объемных) изображений и т. д. Использование чертежных автоматов и ЭВМ оказывает неоценную услугу инженерам-конструктором, разработывающим чертеж поверхности технических форм.

Эпир Монжа
Поясним сначала, как строится проекционный чертеж.
Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$ (рис. 1, а). Обозначим координаты плоскости $xOy, xOz, yOz$ соответственно через $H, V, W$, и будем их называть плоскостями проекций.
Опустим на них из произвольной точки $A$ внутри первого октана $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$ перpendикularы $Aa, Aa'$ и $Aa''$: а — горизонтальная, а’ — фронтальная, а’’ — профильная проекции точки $A$. Вращая плоскости $H$ и $W$ вокруг осей $Ox$ и $Oz$, совместим их с плоскостью $V$. Тогда в одной плоскости $V$ мы получим изображение пространственной системы координат $Oxyz$ и проекций точки $A$ (рис. 1, 6; в дальнейшем точки пространства мы будем обозначать прописными буквами, а их проекции — таким же строчными со шрихами). Аналогично строятся проекции фигур — можновести точек.

Анализируя рисунок 1, приходим к выводу, что точки $A$ пространства вполне задана двумя свойствами, например, $a$ и $a'$. Это

25

следует из того, что абсцисса ее $x = Oa_x$, ordината $y = a_x a'$ и аппликата $z = a_x a'$ определяются из чертежа однозначно. Таким образом, для задания фигуры достаточно иметь ее проекции.

Чертеж, полученный описанным методом, называют проекционным чертежом, эпюром Монжа*) или комплектным чертежом.

Построение линей пересечения поверхностей

За кульмном стопит конструктор. Он чертиит изображение какой-то детали. В некоторых местах поверхности детали имеет резкие переходы, уступы отверстия, выемки. Вот появились на чертеже изображения двух цилиндрических поверхностей, которые образованы как бы ступеньку в детали. Конструктор оставился. «В чем дело?» — справиваете вы. «Опять попалась линя пересечения, но не беда! Сейчас построю несколько точек, принадлежших двум поверхностями, а потом проведу через них плавную кривую по лекалу», — говорит конструктор. И вот на чертеже стали появляться отдельные точки линей пересечения.

С точки зрения графических операций построение линей пересечения поверхности к нахождению отдельных ее точек. Для этого

*) Гаспар Монж (1746—1818) — французский геометр.

Рис. 2.

Данные поверхности $\Phi_1$ и $\Phi_2$ (рис. 2) рассекают третий вспомогательной поверхности T (если пересекаются поверхности braшения, то в качестве вспомогательных поверхности чаще всего использовать сферы и плоскости), а затем определяют линей пересечения $m$ и $n$ вспомогательной поверхности T с двумя данными $\Phi_1$ и $\Phi_2$ и точку K пересечения построенных линей. Такой прием повторяют много раз, чтобы полученные точки можно было соединить плавной линей.

Пример 1. Построить линей пересечения сферы и прямого крутового конуса, заданных на проекционном чертеже (рис. 3).

Выберем произвольную плоскость T, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Эта плоскость рассекает сферу и конус по окружности $m$ и $n$ соответственно, пересекающим в точках $K_1$ и $K_2$. Построив эти окружности на горизонтальной плоскости проекций, получим точки

26

$k_1$ и $k_2$, принадлежие горизонтальной проекции линей пересечения (рис. 3). Фронтальные проекции $k'_1$ и $k'_2$ точек $K_1$ и $K_2$ будут в данной случае совпадать. Проделав это для ряда вспомогательных плоскостей, параллельных $T$, мы получим точки, общие для сферы и конуса, а соединив их плавными кривыми на каждой проекции, получим приближенные проекции линей пересечения. Чем больше точек будет построено, тем точнее получится кривая.

Но как мы ни старались, точность подобных построений ограничена, полученная линей пересечения далека от идеальной, а потраченное время зачительно. Эти недостатки могут быть ливидированы с помощью ЭВМ и чертежного автомата. Действительно, вычислительная машина производит миллионы действия за считанные секунды, а некоторые современные чертежные автоматы за одну секунду проводят отрезки прямых длиной более 300 мм.

При автоматизации процесса построения линей пересечения на чертеже выполняются следующие этапы.

1. Записьюются уравнения поверхностей, заданных на чертеже.

2. С помощью ЭВМ определяются координаты $x$, $y$, $z$ отдельных точек линей пересечения (с анализческой точки зреня определяние линей пересечения свойства к решению системы уравнений).

3. Koординаты полученных точек подаются на чертежный автомат в виде специальных команд движения пера.

Каждайый этап является самостоятельной задачей, иногда неелегкой. Поясним их более подробно на примере 2, аналогичном примеру 1. Для простоты дальнейших рассуждения выберем систему координат так, чтобы ось $Oz$ совместилась с осью конуса, а ось $x$ проходила через центр сферы.

Пример 2. Наимен линей пересечения сферы радиуса $r=50$, центр

коморой имеет координаты $x_0=30$, $y_0=0$, $z_0=0$ в декартовой прямой системе координат $Oxyz$, и прямого кругового конуса, вершина которой лежит на оси $Oz$ в точке $x_1=y_1=0$, $z_1=70$, ось совпадает с осью $Oz$, а диаметр основания, касающейся сферы, равен 120 (эти данные взяты из рисунка 4, масштаб на рисунке указаан).

Первый этап. Расмотрим сначала сферу с центром в начале координат и радиусом $r$ (рис. 5). Возьмем на ее поверхности произвольную точку $M$. Пусть ее координаты $x$, $y$, $z$. Нетрудно доказать (с помощью теоремы Пифагора), что для точки $M$ будет выполняться следующей равенство:

$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2.$$

Этоту равенству удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на поверхности сферы, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности сферы. Это равенство и есть уравнение сферы.

27

Рис. 5.

Уравнение сферы радиуса 50, центр которого сдиинут по оси $Ox$ на 30 единиц выше (именно такая сфера задана в примере 2), будет

$$(x-30)^2+y^2+z^2=50^2.$$

Можно показать, что

$$x^2+y^2-\frac{1}{4}(z-70)^2=0$$

— уравнение прямого кругового конуса, заданного на рисунке 4. При фиксированном $z=z_0$ оно принимает вид $x^2+y^2=\frac{(z_0-70)^2}{4}$ и задает округность — сечение конуса плоскостью $z=z_0$.

В данном примере мы быстро написали уравнение поверхности в силу их простоты. Но, вообше говоря, уравнение поверхности, заданной на чертеже, надо выводить. В этом заключется задача первого этапа.

Итак, мы имеем следующую систему уравнения:

$$\begin{cases} x^2+y^2-\frac{1}{4}(z-70)^2=0, \\ (x-30)^2+y^2+z^2=50^2. \end{cases}$$

Второй этап. Вычетем из первого уравнения полученной системы второе. После простых преобразований получим выражение

$$x=\frac{1}{48}z^2-\frac{7}{12}z-\frac{75}{12},$$

которое является уравнением фронтальной проекции линей пересечения.

Уравнение (*) задает парабoly, часть ее и изображена на рисунке 4.

Рассматривая теперь горизонтальную проекцию, из системы получим:

$$x^2+y^2-\frac{1}{4}(V\sqrt{50^2-(x-30)^2-y^2}-70)^2=0.$$

Вот какую линию описывает это уравнение, сразу и не скажешь.

Чтобы построить обе кривые на проекциях, будет давать переменной $z$ в уравнения () последовательно значения (например, с шагом $\Delta z=0,1$) в пределах — 42,5 $\leq z \leq 46,5$ (эти пределы соответствуют крайним точкам $1'$ и $2'$ на фронтальной проекции, см. рис. 4). Для каждого значения переменной $z$ сначала вычислим по формуле () значение переменной $x$, а затем (из уравнения сферы) найдем значение $y$ по формуле

$$y=\pm \sqrt{50^2-z^2-(x-30)^2}.$$

Указанный процесс вычисления легко осуществляется на ЭВМ. Таким образом, ЭВМ за короткий промежуток времени вычислит и напечатает координаты $x, y, z$ более 200 точек линей пересечения. Телефь эти координаты надо в виде команды подать на чертежный автомат. Начинается третий этап.

Чертежный автомат

Существуют разные виды чертежных автоматов, которые по-разному стыкуют с вычислительными машинами. Современные чертежные автоматы (их часто называют страфопостроiemелями) типа Итекан (СССР), Бенсон (Франция; см. рис. 6), Дигиграф (Чехословакия) могут работать и от перфоленты, и от магнитной ленты, на которые выдает информацию вычислительной машина. Чертежный автомат может стыковать с ЭВМ при мочерез специальное перехождение электронное устройство.

Большинство существующих чертежных автоматов выполны с ли-

28

Рис. 6.

нейной и круговой интерполяцией. Это означает, что если задать координаты двух точек $A$ и $B$, то перо чертежного автомата может проводить либо отрезок прямой $AB$, либо дуг окружности, проходящий через точки $A$ и $B$ (при этом дополнительно задается ее центр). Поскольку ЭВМ вычисляет координаты достаточно большого числа точек, ломанная линия, наиссованная пером автомата (далее в виде отрезков), получаетсядовольно плавной.

Построение аконометрических изображений

При проектировании различных штампов передко требуется наертить не только проекционный чертеж, но и аконометрическое изображение поверхности. Как же научить чертежный автомат вычерчивать аконометрическое изображение?

На рисунке 7 показано изображение произвольной точки $A$ в аконометрических осях $Ox, Oy, Oz$. Эта точка имеет три координаты, и ее изображение построено по определенным геометрическим правилам. Но чертежный автомат не знает ни этих правил, ни что такое аконометрическое координаты $x, y$ и $z$. Он работает по двум осам, например, $x'$ и $y'$. Произвольная точка $A (x, y, z)$ имеет какие-то две координаты по этим осам. Очевидно, должна существовать связь между координатами $x'$

и $y'$ и аконометрическими координатами $x, y, z$ для произвольной точки на плоскости. Эта связь известна и записьвается так:

$$x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z,$$
$$y' = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z,$$

(**)

где $a_{ij} (i=1,2; j=1,2,3)$ — числа, принимающие определенные значения для данного выбора осей.

Например, для изометрики (в этом случае оси проведены под углами $120^\circ$ друг к другу) уравнения (**) принимают следующий вид:

$$x' = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y,$$
$$y' = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + z.$$

Таким образом, ЭВМ должна перечитать координаты $x, y, z$ по формулам (**) и подать их в нужной последовательности на чертежный автомат, который и вычерчивает аконометрическое изображение.

Построение разверток поверхности

Будем представлять себе поверхности гибкой, но нерастимой кривойнейной пленкой. Существуют поверхности, которые можно построено деформаровать и совместить с плоскостью так, что при этом не будет ни разрывов, ни складок. Такие поверхности называются развертывающими, а фигура, полученная после совмещения их с плоскостью, называется разверткой.

29

Рис. 8.

Идей графическое построения развертки поверхности заключится в следующем: в поверхность вписываемся многообразная поверхность Ф, плоские грани коморой обычно являются треугольниками. Затем на плоскости строятся все грани в натуральную величины в определенной последовательности.

Пример 3. Построить развертку наклонного конуса с круговым основанием, заданного на проекционном чертеже (рис. 8).

Поступаем следующим образом. Разбиваем основание конуса точками $A_1, A_2, \dots$ на $n$ равных частей, например, на 16, и соединяем их с вершиной $S$. Тогда на чертеже мы получим две проекции наклонной парамиды (с треугольными гранями), вписанной в конус. Теперь надо построить грани парамиды в натуральную величины. Расмотрим грань $SA_1A_2$. Ее горизонтальная проекция будет $s_a1a_2$, фронтальная — $s'a'1a_2$. Нетрудно видеть, что $s'a'1$ — натуральная величина стороны $SA_1, a_1a_2$ — натуральная величина стороны $A_1A_2$. Чтобы найти натуральную величины стороны $SA_2$, поверхем ее вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину $S$, так, чтобы она стала параллельна фронтальной плоскости проекции $V$ ($s_a2$ на горизонтальной проекции). Из полученной точки $a_2$ проводим линюю связи до пересечения с фронтальной проекцией основания конуса в точке $a_2'$ — $s'a'2'$ и будет натуральной величины стороны $SA_2$. Аналогично находятся линии сторона $SA_3, SA_4$ и т. д.

Теперь на отдельном листе бумаги построим грань $SA_1A_2$ (рис. 9), к ней пристроим грань $SA_2A_3$ и т. д. В результате получим развертку наклонной парамиды, которая будет приближенной разверткой наклонного конуса.

При увеличении числа граней вписанной парамиды развертка становится все более точной, но ее построение вручную становится практическим невозможным. Положение спадает ЭВМ, которая по заданной прорамме вычисляет координаты точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ в некоторой системе координат и подает их на чертежный автомат в виде команда движения пера. При большом количестве точки отрезки ломаной будет малы, а линия, нарисованная автоматом, — плавной кривой.

30

Полное лунное затмение — явление довольно редкое. Но вот в ночь с 18 на 19 ноября 1975 г. его можно будет наблюдать почти на всей территории Советского Союза, кроме самых восточных районов, где уже в самом начале затмения начнется день и Луна зайдет за горизонт.

Луна обращается вокруг Земли в направлении с запада на восток и когда она своим левым краем входит в земную тень, начинается лунное затмение. Пока Луна не полностью погрузилась в земную тень, затмение называют частным и фазы Ф лунного затмения определяются долей b лунного диаметра d, покрытой земной тенью: Ф=b/d. По мере погружения Луны в земную тень фаза затмения возрастает и в момент полного погружения становится равной единице — начинается лунное затмение.

Во время полного затмения фаза определяется по формуле:

$$\Phi = \frac{R + r - \Delta}{2r},$$

где R — угловой радиус земной тени, r — угловой радиус лунного диска и Δ — угловое расстояние между центрами лунного диска и земной тени. В середине представшего полного лунного затмения R=40′07″≈40′,1, r=15′07″≈15′,1 и Δ=22′53″≈22′9; поэтому наиболее фаза полного затмения Фmax=1,07.

Все фазы лунного затмения будут видны на территории, расположенной к западу от линии, проходящей в близи Кяxtы, Улан-Удэ и Олекминска к Сангару и острову Врангеля, а также севернее географической параллели φ=71°, где в эту ночь Луна не заходит за горизонт. Восточнее этой линии лунное затмение тоже будет видно, но по его окончини Луна в частином затмении зайдет за горизонт. Восточнее же линии, проходящей от Буренчерез Нелькан и Певск к острову Врангеля, можно будет видеть только частные фазы.

Обстоятельства лунного затмения по Московскому времени приведены в следующей таблице:

| Явление | Moment времени | Фаза затмения |
| :— | :— | :— |
| Начало затмения | 18 ноября 23 и 38 мин | 0,00 |
| Частные фазы | 19 ноября | 0,38 |
| Начало полного затмения | 0 06 | 0,74 |
| Начало полного затмения | 1 02 | 1,00 |
| Наибольшая полная фаза | 1 23 | 1,07 |
| Конец полного затмения | 1 44 | 1,00 |
| Частные фазы | 2 12 | 0,74 |
| Конец частного затмения | 2 40 | 0,38 |
| Конец частного затмения | 3 08 | 0,00 |

Чтобы узнать моменты тех же явлений по местному времени, нужно к табличным моментам прибавить разницу между местным и Московским времени. Так, например, в Новосибирске, время которого отличается от Москвыского на 4 часа, частное лунное затмение начинается 19 ноября в 3 и 38 мин, а полное — в 5 и 02 мин.

Наблюдая полных лунных затмений доот науки общирный

31

материал для изучения структуры земной тени и состояния верхних слоев земной атмосферы. К таким наблюдием относятся оценки общего (интеррального) блеска Луны в разных фазах затмения, оценки цвета Луны и отдельных деталей ее поверхности, определение моментов покрытия земной тенью деталей лунной поверхности.

Оценки общего блеска Луны могут быть проведены различными способами с помощью простейших приборов.

Одним из способов состоит в том, что Луна рассматривается в школьный телефон (или просто в бинокль со стороны объекта). Подбрав заранее подходящий дымчатый (нейтральный) светофильтр, можно ослабить блеск Луны до блеска звезд нулевой звездной величины (например, Вегги, Арктура, Капельы) и в течение всего затмения через равные промежутки времени (5—10 мин) сравнивать блеск Луны, наблюдаемой в телефон, с блеском звезд различной звездной величины, наблюдаемых невооруженным глазом. Для сравнения нулевой вздамно выбрать звезды в пределах от 0 до 4 звездной вздамно и запомнить их вздамное расположение, чтобы во время наблюдаемой быстро и безшибочного отыскивания их на небе. Когда блеск Луны станет очень слабым, нулевой светофильтр и продолжать наблюдания без него.

Если у вас есть чувствительный фотоэкспонетр, то изменение интеррального блеска Луны во время затмения можно изучать по его показаниям. Для этого перед входным ответием фотоэкспонетра следует жестко установить трубку таких размеров, чтобы она защищала фотодемент от рассеяного света неба, а сквозь нее прохолил бы только свет от Луны. Так, при длине трубки 60 cm ее внутренний диаметр должен равен 10 мм. Внутреннюю поверхность трубки покрывают черной матовой красной. Фотоэкспонетр с трубкой укрепляют на тубусе телекопа так, чтобы трубка была параллельна тубусу. При наблюдиях телекоп направляют на Луну и все время ведут за ней. Показания фотоэкспонетра и характеризуют блеск Луны.

Интересные результаты можно получить, регистрации видимость звезд неооруженным глазом или в б кратный бинокль на протяжении всего затмения (включая и его частиные фазы) в определенной области неба. (Чтоы на результатах наблюданий не сильно сказывалось поглощение света в земной атмосфере, необходимо выбрать область неба с неизменной высотой над горизонтом. Объчно это либо область вокруг Полярной звезды, либо область зенита. В новь затмения включаются зенита будут находиться созвездия Персея и Возниччего.) Предварительно со звездных.atlasов нужно скопировать на калькую около 30 звезд последовательно убывающего блеска от 4 до 6 звездной величины (или, при наблюдинии в биокль, до 8,2 звездной величины), пропуемровать их, а во время затмения через каждые 5 мин регистрации намера наиболее слабых звезд, видимых на предлее зрения. Знача звездную仗чиную отчеченных звезд, можно найти степень ослабления лунного света в различных фазах затмения.

Все описанные способы требуют обязательной регистрации времени с точностью до 1 мин и двух-трех наблюдений до начала затмения и после его окончания.

Цвет Луны следует оценить при полном затмении, описывая его словами или по шкале Данжона.

Шкала Данжона: 0—затмение очень темное, в середине затмения Луна почти или совсем не видна; 1—затмение темное, сёре, детали поверхности Луны совершенно не видны; 2—затмение темно-красное или рыжевое, около центра тени наблюдается более темная часть; 3—затмение красно-кирпичного цвета, тень окружена сероватой или желтоватой каймой; 4—затмение медно-красное, очень яркое, внешняя зона светлая, голубоватая.

Фотографы-любители могут сформировать затмение на цветную пленку, сделав серю символов (30—35 шт.) с одинаковой экспозицией. По изображениям Луны можно будет судить и о цвете, и об изменении блеска Луны.

Моменты начала и конца покрытия земной тенью крупных деталей лунной поверхности (с точностью до 5—10 с), степени их видимости, моменты их полного исчезновения (если это произойдет) и появления, а также цвет темной тени и каймы вокуг не можно зарегистировать при наблюдании в телефон с наиболеешим возможным увеличением. Схематически карту лунной поверхности можно найти в школьном учебнике астрономии.

Если вам удалось интерресные результаты, присылайте их по адресу: 103009, Москва, К-9, а/я 918, Астрономическая секция ВАГО.

32

Слова с ограничениями

А. М. Степин,
А. Т. Таци-Заде

Эта статья по теме очень близка к статье Г. А. Гуревича «Бесповторные последовательности», которая была опубликована в «Кванте» № 9 за этот год. Статья посвящена вычисленному количеству (и доказательству существования) слов любой длины (в том числе, и бесконечной), в данном алфавите с ограничениями, — попутно в ней решается задача M300 из «Заданияка «Кванта», № 12, 1974. У Гуревича же вычислилось количество (и доказывалось существование) последовательностей любой длины (и бесконечной), у которых никакая группа цифр не встречается два раза подряд, и решалась задача M310.

Комбинаторная техника, с помощью которой решены задачи M300 и M310 (и их обобщения), находит широкое применение в серверной математической науке: теории групп, теории алгебра, алгебраической теории чисел.

Наше знакомство со словами и с алфавитами мы научем с разбора задачи M300, предлагавшейся в «Заданиеке «Кванта», см. «Квант» № 12 за 1974 год.

Задание M300

Алфавит состоит из трех букв a, b, c. Назовем словом последовательность любой длины, состоящую из этих букв. При обработании слов некоторых буквосочетания (длины два и более) считаются запрещенными. Известно, что в списке запрещенных буквосочетаний все слова имеют разную длину.

Доказим, что существуют слова любой длины, не содержащие запрещенных буквосочетаний.

Задание M300 можно придать иную — «развлекательную» — форму:

По городу с прямогольной планировкой улицездит некий автоматист. Попав на перекресток, он либо продолжает ехать прямо, либо поворачивает налево или направо (поворачивать наад нельзя!) — с учетом того, что правилами уличного движения запрещены некоторых комбинации этих довоотов (налево и направо) и проезда прямого.

Известно, что все запрещенные комбинации имеют длину не меньше двух (например,лина комбинации «налево — направо» равна двум) и что нет различных комбинаций одинаковой длины. Оказывается, что если город достаточно велик и автоматист стартует в центре, то, несмотря на все запреты, он может проехать в этом городе любое заданное число перекрестков.

Решать задачу M300 все же удобно в терминологии «букв» и «слов».

Запрещенные буквосочетания мы будем называть отечеными словами и считать слово хорошим, если оно не содержит внутри себя ни одного отеченого слова. Совокупность отеченых слов мы иногда будем называть списком запретов или ограничений. Слово, содержащшее внутри себя хотя бы одно отеченое слово, называем «плохим».

Обозначим число хороших слов длины l через $G_l$. Чтобы доказать существование хороших слов любой длины, достаточно показать, что при любом натуральном l число $G_l$ больше нуля. Мы же сейчас показем, что для любого l хороших слов длины l довольно много: $G_l \geq 2^l$.

33

Упорядочим отмещенные слова по длине и обозначим через $l_i$ длину $i$-го отмещенного слова ($l_i \geq i$).

Лемма 1. Для чисел $G_l$ справедливо неравенство

$$G_l \geq 3 \cdot G_{l-1} - \sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i} \cdot i$$

($G_1$, оценидно, равно тем; положим $G_0$ равным единице).

Доказательство. Заметим, что все хорошие слова длины $l$ содержатся среди слов, получающихся приписыванием справа одной из букв $a, b, c$ к хорошим словам длины $l-1$. При таком приписывании получается $3 \cdot G_{l-1}$ слов, среди которых, помимо хороших слов, могут быть и неокоторые плоские слова длины $l$. Оценим их число. Очевидно, что в полученном плоском слова отмещенное слово может находиться только в его конце, то есть оно устроено так: последнее $l_i$ букв образуют отмещенное слово, а первый $l-l_i$ букв — хорошое слово ($2 \leqslant l_i \leqslant l$). Число плоских слов (длины $l$) описанного типа, оканичивающих отмещенным словом длины $l_i$, не больше числа хороших слов длины $l-l_i$, то есть числа $G_{l-l_i}$ (по условию у нас есть только одно отмещенное слова длины $l_i$). Все же в результате приписывания справа одной из букв $a, b, c$ к хорошим словам длины $l-1$ получится не более $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$ плоских слов. Значит, среди полученных $3 \cdot G_{l-1}$ слов длины $l$ хороших слов не меньше $3 \cdot G_{l-1} - \sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$.

*) Сумма $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$ — это, вообще говоря, не то же самое, что $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-i}$: в первой сумме произвольная суммированные лишь по таким значениями $l_i$, $2 \leqslant l_i \leqslant l$, для которых в списке запретов есть отмещенное слово соответствующей длины $l_i$ (то есть, $l_i$ принимает, быть может, не все из значений 2, 3, …, $l$): так, если в списке запретов нет отмещенного слова длины 3, то в сумме $\sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i}$ член $G_{l-3}$ отсутствует.

Неравенство (1) сыгает главную роль при оценке числа $G_l$.

Лемма 2. Для любого натурального $l'$

$$G_l \geq 2 G_{l-1}.$$

(2)

Доказательство леммы 2 проведем метод математической индукции.

База идукции: $l = 1$; очевидно, что $G_1 \geq 2 \cdot G_0$.

Шаг индукции: Предположим, что неравенство (2) выполняено для всех натуральных $l \leqslant L$, то есть

$$\begin{cases} G_L \geq 2 \cdot G_{L-1}, \\ G_{L-1} \geq 2 \cdot G_{L-2}, \\ \dots \\ G_2 \geq 2 \cdot G_1. \end{cases}$$

(2')

Докажем, что $G_{L+1} \geq 2 \cdot G_L$.

Из неравенств (2’) имеем:

$$G_L \geq 2 \cdot G_{L-1} \geq 2^2 \cdot G_{L-2} \geq \dots \geq 2^k \cdot G_{L-k},$$

то есть

$$G_{L-k} \leq G_L/2^k,$$

(2’')

где $k = 1, 2, \dots, L$.

Учитывая оценки (2’’), неравенство (1) и способку к нему, получим, что

$$G_{L+1} \geq 3 \cdot G_L - \sum_{i=1}^{2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{L+1-l_i} \geq$$

$$\geq 3 \cdot G_L - \sum_{k=1}^{l} G_{L-k} \geq *$$

$$\geq 3 \cdot G_L - G_L \cdot \sum_{k=1}^{l} \frac{1}{2^k} \geq$$

$$\geq G_L \cdot (3-1) = 2 \cdot G_L,$$

а это и требовалось доказать.

Поскольку $G_{l-1} \geq 2 \cdot G_{l-2}, G_{l-2} \geq 2 G_{l-3}, \dots, G_1 \geq 2 \cdot G_0 = 2$, то $G_l \geq 2^l$, и мы получаем теорему 1:

Для любого натурального $l$ в числовии задачи М300 число хороших слов длины $l$ не меньше, чем $2^l$:

$$G_l \geq 2^l,$$

(3)

которой и заканчивается решение нашей задачи.

*) Здесь уже объявная сумма:

$$\sum_{k=1}^{l} G_{L-k} = G_{L-1} + G_{L-2} + \dots + G_{L-l}.$$

34

Бесконечные слова

Тепер мы знаем, что в «словаре» задачи М300 есть хорошее слова любой длины. А есть ли в нем бесконечное длиные хорошие слова?

Сейчас мы докажем, что если список отчечных слов конечен (есты лишь конечное число запрещенных буквосочетаний), то существует и бесконечное длиное хорошее слова. Однако отметим сразу, что на самом-то деле требование конечности списка отчечных слов не существует: утверждение о существовании бесконечного длиного хорошего слова остается верным и в случае бесконечного числа запретов *).

Возьем самое длиное отчечное слова (так как по предположению число отчечных слов конечно, это можно сделать); пусть еголина равна $n$. Выберем натуральное $N$ так, чтобы $N$ было больше $n$. Поскольку у нас есть хорошее слова любой длины, возьем хорошее слова длины

*) Доказательство этого факта вы можете найти в статье Г. А. Гуревича «Бесповторные последовательности» (см. «Квант» № 9). В статье Гуревича фактически доказано, что из свойства «ессть как угодно длиное хорошее слова» следует свойство «ессть и.beсконечно длиное хорошее слова», то есть что в действительности существование хороших слов любой длины эквивалентно существования.beсконечного длиного хорошего слова. Мы же докажем, что в наших предложениях существует перiodическое.beсконечное слова, и указываем способ, позволяющий такое слово построить (дадим, как принято говорить, конструкторное доказательство).

$N \cdot (3^N + 1)$, обозначим его через $A$. Разделим слова $A$ на $(3^N + 1)$ равных по длине частей $B_k$ длины $N$: если

$$A = x_1, x_2, \dots, x_N \cdot (3^N + 1).$$

где $x_i$ — это $a$, либо $b$, либо $c$, то $B_k = x_N \cdot (k - 1) + 1, x_N \cdot (k - 1) + 2, \dots, x_N \cdot k.$

Поскольку $A$ — хорошее слова, каждое $B_k$ — тоже хорошее слова длины $N$. Но в нашем алфавите всего три буквы $(a, b, c)$, поэтому различных хороших слов длины $N$ будет не более, чем $3^N$. У нас же получилось $(3^N + 1)$ хороших слов $B_k$; значит, среди них есть одинаковые. Пусть, например, $B_{n_1} = B_{n_2}$ и $n_1 < n_2$. Возьем кусок слова $A$, состоящий из частей $B_k$ с номерами $k$ от $n_1$ до $n_2 - 1$ включительно. Это будет хорошее слова $C$ длины $m \geq N$:

$$C = x_N \cdot (n_1 - 1) + 1, \dots, x_N \cdot (n_2 - 1).$$

Припишем к слову $C$ справа то же самое слова $C$. Получим слова $D$ длины $2m$:

$$D = x_N \cdot (n_1 - 1) + 1, \dots, x_N \cdot (n_2 - 1),$$

$$x_N \cdot (n_1 - 1) + 1, \dots, x_N \cdot (n_2 - 1).$$

Доказем, что $D$ — хорошее слова.

Предположим противное: $D = CC$ — плоское слово; тогда оно содержит какое-то отчечное слово. Очевидно, что это отчечное слово

35

может нахождение только в области «склейки» двух хороших слов $C$, так что его пересечение с «правым» и «левым» словами $C$ не пусто. Но $B_{n_1} = B_{n_2}$ илина любого отмеченного слова меняше $N$; значит, это отмеченное слово должно лежать в области «склейки» частей $B_{n_2}-1$ и $B_{n_1}$ хорошого слова $A$, а этого не может быть, и, следовательно, слово $D$ — хорошое.

Понятно, что бесконечное переодическое слово $CC \dots C$ с перiodом $C$ будет также хорошим, а это, собственно, и дает все, что нужно.

Итак, наш автоматический может разъездать по городу бесконечного долго, не нарушая при этом правил уличного движения!

Интересный пример

Вернемся к неравенству (1), с доказательствам которого мы начали решение задачи М300; перепишем его так:

$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + \sum_{l_i, 2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i} \geqslant 0.$$ (4)

Насколько точно это неравенство? Можно ли в нем знак «≥» заменить знаком «=»? Вообше говоря, нельзя, и вот почему.

Число $3 \cdot G_{l-1}$ — это число слов, получившихся приписыванием справа к хорошим словам длины $l-1$ одной из букв $a, b, c$; среди таких слов находятся все хорошие слова длины $l$. Вычитая из числа $3 \cdot G_{l-1}$ числа $G_{l-l_i}$, где $l_i$ — какое-то из значений 2, 3, …, $l$ (возможно, и все значения), мы тем самым как бы вычеркиваем из построенных слов длины $l$ все те плоские слова, которые получаются, если к хорошему слову длины $l-l_i$ добавить отмеченное слово длины $l_i$. Но при этом может получиться так, что какое-то плоское слово длины $l$ оказывается вычеркинутым несколько раз из числа $3 \cdot G_{l-1}$ получившихся слов. Если же среди наших $3 \cdot G_{l-1}$ слов длины $l$ нет слов, получающихся из хороших слов длины $l-l_i$ приписыванием справа отмечного слова длины $l_i$, то соответственно число $G_{l-l_i}$ вообше вычитать не надо.

Однако при некоторых дополнительных условиях на список запретов вместе рекуррентных нераевенств (4) для чисел $G_l$ ($l$ — любое) будут выполятаться аналогичные рекуррентные равенства:

$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + \sum_{l_i, 2 \leqslant l_i \leqslant l} G_{l-l_i} = 0.$$ (4')

В таких случаях $G_l$ записьвается явно в виде функции от $l$, и для каждой конкретного значения $l$ число $G_l$ можно посчитать.

В частности, из сказанного следует, что для справедливости рекуррентных равенств (4’) достаточно таких двух условий:

1. Среди слов длины $l$, получающихся приписыванием справа одной из букв $a, b, c$ к хорошим словам длины $l-1$, находящего все слова, получающихся из хороших слов длины $l-l_i$ приписыванием справа отмечного слова длины $l_i$ (оно по предположению есть в списке запретов).

2. Каждый полученное максимum приписыванием (одной буквы) положое слово длины $l$ представляет в виде какого-то хорошого слова (меньшей длины) и отмечного слова единственный образом.

Условие 2° выполняется, если в списке запретов никакое отмечное слово не является концом какого-нибудь другого отмечного слова.

Уражение 1. Проверить, что для алфавита из трех букв и списка отмечных слов $ab, acb, accb, \dots, ac\dots cb$ выполняется условия 1° и 2°, и что для чисел $G_l$ справедливый также рекуррентные соотношения:

$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + G_{l-2} + \dots + G_{l-s} = 0.$$ (5)

(s — длина самого длиного отмечного слова).

Если списк запретов упражнения 1 ограничить двумя отмечными словами $ab$

*) Уравнение вида $G_l + b_1 G_{l-1} + b_2 G_{l-2} + \dots + b_s G_{l-s} = 0$ ($b_1, \dots, b_s$ — некоторые постоянные), называются конечно-разностными уравнениями; о методах их решения можно прочесть в книге А. О. Гельфона «Исчисление конечных разностей». М., «Наука», Глава V, § 4, п. 2.

36

и acb, то мы получим уравнение
$$G_l - 3 \cdot G_{l-1} + G_{l-2} + G_{l-3} = 0. \quad (5')$$
Решение уравнения (5’) будем искать в виде
$$G_l = \lambda^l. \quad (5'')$$
Подставляя (5’’) в (5’), получим уравнение
$$\lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda + 1 = 0,$$
имеющие три различных корня:
$$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 1 + \sqrt{2}, \quad \lambda_3 = 1 - \sqrt{2}.$$
Общее решение уравнения (5’) записывается так:
$$G_l = C_1 + C_2 (1 + \sqrt{2})^l + C_3 (1 - \sqrt{2})^l,$$
где $C_1, C_2$ и $C_3$ — постоянные, определенные из начальных условий:
$$G_0 = 1, \quad G_1 = 3, \quad G_2 = 8.$$
Получается такая система для определения $C_1, C_2, C_3$:
$$\begin{cases} C_1 + C_2 + C_3 = 1, \\ C_1 + C_2 (1 + \sqrt{2}) + C_3 (1 - \sqrt{2}) = 3, \\ C_1 + C_2 (3 + 2\sqrt{2}) + C_3 (3 - 2\sqrt{2}) = 8, \end{cases}$$из которого находится
$$C_1 = -\frac{1}{2}, \quad C_2 = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ C_3 = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2},$$
значит,
$$G_l = -\frac{1}{2} + \left(\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (1 + \sqrt{2})^l + \left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (1 - \sqrt{2})^l$$
(в частисти, $G_3 = 20$).

Обобщение задачи М300

Пусть менярь алфавит состоящим из $n$ буква $a_1, a_2, \dots, a_n$, а в списке отмещенных слов (длины не меньше двух) имеется более $m$ различных слов одинаковой длины.

Сейчас мы докажем, что при некоторых ограничениях начища $n$ и $m$ и в таком «слове» будут сколь угодно длиные хорошие слова, причем для каждой натурального $l$ ($l$ — длина слова) — опять-tаки довольного многого.

Как и при решении задачи М300 (для М300 имеем: $n=3, m=1$) вначале нужно докажать.

Лемму 3. При выполнении условий «обобщенной задачи М300» для чисел $G_l$ хорошо схов длины $l$ верны также соотношение:
$$G_l \geq n \cdot G_{l-1} - \sum_{i=1}^{n-1} m_i \cdot G_{l-i}, \quad (6)$$
еде через $m_i$ обозначено число отмещенных слов длины $l_i$ ($G_1$, оченьindo, равно $n$, а $G_0$ снова полагаем равным 1).

Лемма 3 доказывается в точности теми же рассужdenями, что и лемма 1 (см. с. 33); мы ее доказываем не будем.

Так как по условияю каждой $m_i$ не больше $m$ (в дальнейшем мы будем считать $m = \max\{m_i\}$ и называть $m$ кратностью системы ограничений), то
$$G_l \geq n \cdot G_{l-1} - m \cdot \sum_{i=1}^{n-1} G_{l-i}. \quad (7)$$
Следующий после леммы 3 шаг — доказательство важной леммы 4:
$$m \leq \left(\frac{n-1}{2}\right)^2, \quad (8)$$
мо. существует макое $\lambda > 1$, что для любого натурального $l$
$$G_{l+1} \geq \lambda \cdot G_l. \quad (9)$$
Лемма 4, как и лемма 2 первого параграфа, доказывается методом математической индукции с использованием неравенства (7) и соответствий (2’) и (2’’), в которых число «2» заменяется буквой «λ» (см. с. 33). Индикционный переход от $L$ к $L+1$ возможно, поскольку квадратное относительное $\lambda$ неравенство
$$n - \frac{m}{\lambda - 1} \geq \lambda$$ с неотрицательным (в силу (8)) дискриминантом
$$\left[ \left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m \right]$$ имеет решение
$$\lambda_1, 2 = \frac{n+1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m}.$$
Так как $G_1 = n \cdot G_0$ (напомним, что $G_0 = 1$) и
$$n \geq \frac{n+1}{2} + \sqrt{\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m},$$
то
$$G_1 \geq \left(\frac{n+1}{2} + \sqrt{\left(\frac{n-1}{2}\right)^2 - m}\right) \cdot G_0,$$
и существует числа $\lambda > 1$ доказано.
Наконец, аналогично теореме 1, мы пслучим теорему 2:
Если в условия «обобщенной задачи М300» $m \leq \left(\frac{n-1}{2}\right)^2$, то