Квант 1976, №2 · Страницы

КВАНТ
1976
2
Научно-популярный
физико-математический
журнал
150 ЛЕТ ГЕОМЕТРИИ
ЛОБАЧЕВСКОГО

Страница из единственной дошедшей до нас полностью геометрической рукописи
Н. И. Лобачевского. Это рукопись его учебника «Геометрия》(1823 год).

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. СLOBODEЦКИЙ
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Кломова
Т. М. Макарова
(художественный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

В НОМЕРЕ:

Навстречу XXV съезду КПСС

150 лет геометрии Лобачевского
П. Александров. Николай Иванович Лобачевский
А. Норден. Великое открытие Лобачевского
Я. Смородинский. Лобачевский и физика

Лаборатория «Квант»
А. Натанзон, М. Плоткин. Маятник с вибрирующим подвесом

Математический кругок
Ю. Ионин, Л. Курляндик. Поиск инварианта

Задачик «Квант»
Задачи М366—М370; Ф378—Ф382
Решения задач М326—М329; Ф339—Ф342

Практикум абитуриента
Я. Суконик, П. Горштейн. Простой ответ в «сложной» задаче
Г. Мякицев. Расчет цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм
С. Козел, В. Чехлов, А. Шелазин. Московский физико-технический институт

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. Орлов. «Все», «некоторые» и отрицание

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 27, 31, 45)

24 февраля 1826 г. на засеединении физико-математического факультета Казанского университета Н. И. Лобачевский сделал доклад, в котором показывалось, что значенный пятый постулат Евклида недоказуем. Проблема, две тысячи лет неподдавшаяся услиям математиков, была решена совершенно неожиданным образом!
О Н. И. Лобачевском, о его заместительных открытиях рассказывается в статьях этого и следующего номеров нашего журнала.
Обложка этого номера (1-я и 4-я страницы) выполена художником Г. Казаковцевым.

© Главная редакция физико-математического литературы издательства «Нука», «Квант», 1976 год

2

Навстречу XXV съезду КПСС

Февраль 1976 года нассгда войдет в историю нашей страны. В этом месте состояется XXV съезд Коммунистической партии Советского Союза. Съезд подведет итог градинозной работы нашего народа по выполнению девятого пятилетнего плана и утвердит основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы.

Основная задача десятий пятилетки в области развития народного хозяйства — резкое повышение качества продукции и эффективности производства деятельности во всех сферах труда. Недаром эту пятилетку называют «пятилеткой качества».

Успешно завершив девятый пятилетный план развития народного хозяйства, советский народ сделал крупный шаг на пути к коммунизму. В этих достинениях важную роль сыграли физика и математика. Роль этих наук в новом пятилетном плане будет еще более существенно.

Мы живем в эпоху, которое часто называют эпохой научно-технической revolución. Наука в нашей дни превращалась в непосредственную производительность силу, могущество которого непрерывно растет. На протяжении последних трех десятилетий мы стали свидетельми градинозных условий физики-математических наук, в результате которых возникла ядерная энергетика, идушая на смену традиционной химической энергетике. Родилась ракетно-космическая техника. Появились электронные вычислительные машины. Они сделали доступными решения таких проблем, о возможности решения которых предшествующие поколения могли только мечтать. Шириtte производство полупроводников, радиоэлектронной аппаратуры, разнообразных средств автоматизации. Оdnовременно с этим наука готовит глубокие революционные перемены и в дальнейшее существенно отражаются—a металлургии и машиностроении, легкой и пищевой промышленности, строительстве и сельском хозяйстве. Смысл этих перемен — в необсячайно быстром повышении производительных труда, эффективности производства и качества продукции.

В недалеком будщем большимство предприятий превращаются в комплексно-автоматизированные производства, на которых человек уже не будет привязан к станку или конвейеру. Все производственные операции возьмут на себя машины и контрольно-управляющие механизмы. Человек же будет создавать эти сложные комплекты машин-автоматов, готовить для них программы работы и контролировать их исполнение, непрерывно совершенствовать производство. На таких заводах производительность труда сделает огромный скачок. А ведь именно небывали рост производительных труда является, по словам В. И. Ленина, решающим фактором в борьбе за коммунизм.

Комплексно-автоматизированное производство ведет нас кизобилию материалов благ. Атомная и термоядерная энергетика открывает человечеству путь к изобилию энергии. Большая химия создает небычайное богатство исходных материалов и сырья для промышленности. Электронные вычислительные машины позволяют своевременно и четко обработать гигантские количество информации, перед которым человек, лишенный этих средств, бессилен. Так, в ходе научно-технической

3

революции поднимается на новую, качественно более высокую ступень производство, энергетика, материалов и управления.

Социальное общество открывает широкий простор для новых производительных сил,рождающихся в ходе научно-технической революции. Но полное освоение этих заменательных возможностей требует упорной творческой работы всех трудящихся. Задача исторической важности — организаски соединить достижения научно-технической революции с премишествами социальстической системы хозяйства, поставленная генеральным секретарем нашей партии товаров Л. И. Брежневым в отчетном докладе на XXIV съезд КПСС, по-прежнему остается одной из главных задач, с которым мы встречемся на пути к коммунизму.

Проблема резкого повышения качества продукции и эффективности труда может быть успешно решена только с помощью современной науки. Большой вклад в ее решение должен внести физико-математические науки. Они и сейчас широко используются при определении качества продукции. В основе современных методов массового контроля качества изделия лежат теория вероятности и математическая статистика. Достижения оптики, физикиRENTовских лучей, физики ультразвука, магнетизма, ядерной физики являются научной основой разнообразной контролю-измерительной аппаратуры. Оптический иRENTовский спектральный анализ, магнитная и ультразвуковая дефектоскопия, gamma-излучения радиоактивных источников давно и успешно используются в производстве для измерения толщины изделия и обнаружения скрытых дефектов.

Современная физика предоставляет промышленности принципиальное новые методы воздействия на материалы. Концентрированные лучки быстрых электронов ионов, луч лазера, мощные потоки нейтронов, создавемые atomными реакторами, сверхсильные магнитные поля и сверхвысокие давления позволяют воздействать на всю толщу изделия, упрощая кристаллическую решетку и придавая изделия необъянойную проность, износоустойчивость, надежность и долговечность. Физика открывает путь к новым технологическим процессам и способам производства, изменения толщины изделия и обнаружения скрытых дефектов.

Возьемем в качестве примера создание atomных двигателей для морского транспорта — ледоколов, подводных лодок. Советские atomные ледоконы «Ленин» и «Арктика» проводят караваны судов зимой в таких высоких арктических шипотах, которые совершенню недостатны для обычных ледоколов в это время года. Советские atomные подводные лодки успешно совершают кругосветные плавания, ни разу не всплывая на поверхности океана на всем протяжении своего пути.

Благодаря выданнойемся достижением радиоэлектроники и реакторных открываемых возможность создания новой механизмов системы радиорелейной и телевизионной связи, которая позволяет передавать телевизионные программы любого государства во все остальные страны мира. Для ее реализации потребуется запустить в экваторальных шипотах несколько синхронных (образующихся вокруг Земли с такой же скоростью, с какой Земля обращается вокруг свеей оси) искусственных спутников Земли, сабженных мощными ретрансляционныхми устройствами. Так возникнет качественное новая система передачи информации.

Нука раскрывает перед человеком градинозные перспективы развития и совершенствования всех видов труда. И наиболее полно эти возможности могут быть реализованы только в условиях социальизма.

6

Казанский университет в 1840-е годы. С литографии В. Турина.

нием всех вообше студентов. Однако уже первый, вообше очень лестный отзыв, который университетский инспектор дал Лобачевскому при утверждении его в звании камерно студента, дает почувствовать живой, экспансивный и шаловливый характер молодого студента, в существии, еще малчика (не забудем, что Лобачевскому весной 1809 года не было еще и 17 лет!).

В июле 1811 года по постановлению Совета Казанского университета Лобачевский, очевидно, за плюое поведение, звания кандидата не удостанается, но уже на следующем заседании Совета возводится прямо в степень магистра (утвержден был в этой степени 3 августа 1811 года).

К этому времени Лобачевский уже математик — если в июне 1810 года (когда Лобачевскому еще нет полных 17 лет!) Литтров *) начинает записаться с ним астрономей «для преварительного приготовления к деланию наблюдаем», то в октября 1811 года Бартельс *) уже занялася с Лобачевским у себя на дому математикой по четыре часа в неделю, прохода с ним недавно вышшие «Арифметику» Гаусса и первый том «Небесной механики» Лапласа — великие произведения математической мысли, с самого своего появления ставшие классические. Одновременно Бартельс пишет восторженное письмо о Лобачевском попечителью учебного округа Румовскому. Наконец, в это же время Бартельс привлекает Лобачевского к педагогической работе со студентами на правах его, так сказать, приватного ассистента: «…сверх того, г. Лобачевский будет объяснять слушательм его, г. профессора, чего они недоразумевают»…

За частной ассистентуой у Бартельса не замечило последовать и начало официальной педагогической деятельности Лобачевского: оно относится к 1812 году, и скромно вы-

*) Литтров Иосиф Антонович — известный астроном, первый профессор астрономии Казанского университета, затем директор Венской астрономической общеватории.

*) Бартельс Мартин Федорович — выдающийся математик, доктор физологии Иенского университета; с 1805 года — профессор Казанского университета по кафедре чистой математики.

7

разилось в курсах арифметики и геометрии для готовящся к экзамену «на чин».

26 марта 1814 года Лобачевский произведен в адыонкты чистой математики; 1814—1815 учебный год является первым годом университетского преподавания Лобачевского; он читает в университете курс теории чисел по Гауссу и Лежандру. (Теория чисел «по Гауссу» Лобачевский читает и в 1815—1816 учебном году.) 7-го июля 1816 года Лобачевский был утвержден в звании экстраординарного профессора Казанского университета. В 1816—1817 учебном году он читает в университете курс элементарной алгебры, геометрии и trigонометрии (плоской и сфериской) — «по собственным тетрадям», т. е. не опираясь ни на какой определенный литературный источник, в 1817—1818 году читает курс диференциального и интегрального исчисления по Монжу и Лакруa. Лекции по геометрии, читавшиеся Лобачевским в 1816—1817 учебном году, представляют для нас особый интерес, так как на этих лекциях он, по-видимому, впервые вплотную подошел к тому вопросу, решение которого составило славу все его жизни,— к вопросу об аксиоме параллельных. Правда, это первое соприкосновение с основным предметом все его теоретической деятельности было еще полне традиционным — Лобачевский, так же как и многочисленные его представленияки в области неевклидовой геометрии, начал с попыток доказательства знаментий аксиомы Евклида. Теперь, благодарная дальнейшим работам Лобачевского, мы знаем, что попытки эти не могли привести к удовлетворительному результату. Но такое начало было, конечно, не только естественным, но и единственным возможным как с историческим, так и с психологической точки зрения. Во всяком случае надо считать, что именно в эту пору, когда Лобачевскому было примерно 24 года, возникли первые его геометрические

иден, приведшие его через несколько лет к открытию неевклидовой геометрии.

Юностъ Лобачевского кончилась. Начался период полного раскрытия богатой и многообразной личности на всех пути взанмодейства с окружавшим ее миром: началось научное творчество, исключительное по его отвлеченной математической силе, началась и быстро развивалась его изучительное многосторонняя, использованная непреклонной энергии и страстного увлечения работы профессора — вскоре во всех отношениях первого профессора Казанского университета, началось его горячее участие во всех сторонах работы, организация и строительства университета, перешедшее затем в двацатилетное полное и единличное руководство всей университетской жизни.

II.

Как уже сказано, Лобачевский с 1816 года — профессор Казанского университета; через два года начинается и его административно-организационная деятельность, различные формы которой сопутствуют ему далее в течение трех десятилетий его жизни: в августа 1818 года Лобачевский назначается членом училищного комитета. В эти годы над Казанским университетом, да и над всем вообществом русским просвещением собирались темные тучи; реакционные устремления последнего десятилетия царствования Алексадра I с каждым годом услышались, делались все более давящими. Наступавшая эпоха в истории русской культуры известна под названием «эпохи Магнитского», по имени знаменитого своим мраковением попечителя Казанского учебного округа. Kazань делается, таким образом, центром и рассадником самой мрачной реакции, захватывающей все области культурной жизни. Тем больше трудности выпали на долю Лобачевского, который именно в эту

8

Анатомический театр Казанского университета. Арх. М. П. Коринфский, 1834 — 1842 гг. Снимок 1910-х годов.

пору должен быть делать свои первые шаги на поррище организационной университетской деятельности. Между тем, как мы сейчас увидим, работа его на этом поррище быстроями шагами развивается: в декабре 1819 года Лобачевский вместе с профессором Вердерамо получает поручение по приведению в порядок университетской библиотеки, находившейся в крайне запущенном состоянии. Через месяц, в января 1820 года, с уходом Вердерамо из университета, вся работа по приведению в порядок библиотеки целиком ложится на плечи Лобачевского. Как и ко всякой взятой на себя работе, Лобачевский отвечает к своим тяжелым и утомительным библиотечным обязаностям с самоотверженной добросовестностью,трата на их исполнение массу времени и сил. Тем не менее обстановка была такова, что в июне 1821 года он, «обманутый надежной привести библиотеку в новый порядок», просит об освобождения его от работы в библиотеке.

В конце 1820 года на Лобачевского ложится еще более ответственные обязаности: 19 ноября он избирается деканом физico-mатематического факультета. Однако и эта его деятельности заканчивается летом 1821 года, приблизительно одновременно с библиотечной деятельности.

Профессорская деятельность Лобачевского в эти годы получила существенное новое содержание: ему посручаются кафедры физики и астрономии. В связи с этим Лобачевский два учебных года, 1819—1820 и 1820—1821 года, математического преподавания не ведет, отдавая себя всецело преподаванию физики и act-

9

Астропомническая обсерватория Казанского университета. Арх. М. П. Коринфский, 1834—1842 гг.

рономии. Между прочим, Лобачевский и в дальнейшем не открывается от преподавания физики и механики, продолжая интерсоваться также астрономей и meteorological. Преподавание математики было возобновлено Лобачевским в 1821—1822 учебном году.

25 февраля 1822 года Лобачевский избрается профессором, а весною следующого 1823 года на него вторично падают обязаности декана.

Однако, еще годом раньше — весною 1822 года, — Лобачевский оказался перед лицом новых, сложных и утомительных обязаностей, не имеющих никакого отношения к его научной деятельности: образуетсястроительный комитет по построке новых и приведению в порядок старых университетских зданий, членом которого был Лобачевский.

Как всегда, Лобачевский относяся к своим новым обязаностям не только с добросовестностью и сервисностью, но и с огромным увлечением. Через три года, в 1825 году, Лобачевский уже — председатель строительного комитета. Специально изучив как инженерную технику строительного дела, так и собственно архитектуру, Лобачевский в значительной мере делается руководителем строительных работ и в техническом, и художственном отношении. Многие наиболее удачные в архитектурном отношении здания на территории Казанского университета являются осуществлением строительных замыслов Лобачевского. Таковые — анатомический театр, библиотека, астрономический обсерватория.

Чуть ли не каждый год приносил Лобачевскому то или иное увлечение-

10

нице объема его организационный деятельности: в 1823 году Лобачевский вторично становится деканом физико-математического факультета; в 1825 году он становится университетским библиотекарем, поставив себе задачу, путь очень большими трудами, но все же положить конец тому состоянию совершенного хаоса, в котором находилась библиотека Kazанского университета. На конец 30 июля 1827 года Лобачевский назначется ректором университета. На этом поступ он пребывает целых девятнадцать лет — до 14 августа 1846 года.

Свои объединности ректора Лобачевский понимал очень широко — от иденого руководства жизни и работой университета в целом до личного входения в повышенные нужды университета. В качестве примеров энергии и активности, проявленных Лобачевским на благо университету, упомянем об его роли во время двух трагических событий, обрушившихся на население Казани в середине прошло века. Первым из этих событий была холерная эпидемия 1830 года; эпидемия эта (бывшая частью холерной эпидемии 1829—1832 года) свираствовала у нас в особенности в Поволжье и унесямные тысячи жертв. Когда холера в своей распространении достигла Казани, Лобачевский сразу же приял в отношении университета герончесне меры: университет был фактически изолирован от всего остального города и превращен как бы в крепость. Было организовано проживание и питание студентов на самом университетской территории, все это при самом деятельности участи ректора Лобачевского.

Успех был велик — эпидемия прошла mismo университета, среди студентов и работников университета не было, или почти не было, случав холерного заболевания. Энергияная и самоотверженная работа Лобачевского по борьбе с холерной произвела на все тогдашнее общественное мнение больное впечатление, и офисные институты почли необходимым ее отметить: Лобачевскому было выражено «высочайшее благовоеление» «за усердие по предохранению университета и других учебных заведений от холеры».

Другим стихийным бедствием, разразившимся над Казанью в эпоху ректорства Лобачевского, был пожар 1842 года. Во время этого ужасного пожара, уничтожившего часть города, Лобачевский вовь принял чрезвычайно энергичные меры по спасению университетских построек и оборудования. В частности, благодая его распорядельности были сохраены библиотека и астрономические инструменты.

Интересно отметить, что даже будучи ректором, Лобачевский не считал возможным отказаться от обязательных библиотекаря в течение целых восемми лет: лишь в 1835 году, когда работа библиотеки могла считаться уже в полне налаженной, Лобачевский оставляет место библиотекаря.

Необходимо указать также на изделияскую деятельности Лобачевского (с 1823 года он — член изделияского комитета). Лобачевский впервые поставил изделияское дело в Казанском университете на должную высоту. Он создал «Ученызаписки» Kazанского университета, явившиеся на смену реакционному и малосодержательному «Казанскому вестику», организационному Магнитским.

Избранное Лобачевского на пост ректора университета было лишь несколько месяцев отделено от смены попечителья учебного округа: 6 мая 1826 года Магнитского отстранили от должности попечителья за денежные расчеты. Отстрание Магнитского, да еще с такой складной мотивировкой, не могло не разрядить атмосферу и в округе, и в университете, и это obligительно положение Лобачевского, тем более, что новый попечитель, Мусин-Пушкин, очень уважал Лобачевского и в высшей степени считался с ним. Таким образом, становится

11

понятными те возможности, которые получил Лобачевский для своей организации деятельности.

III.

Для них и Солнце, знать не дышит, И жизнь нет в морских волнах, Лучи к ним в душу не сходили, Весна в груди их не чуела, При них лес не говорили И ночь в звездах нема была.

Тютчев
…но вы, которые существование неправедливый случай образил в тяжелый налог друем, вы, которые ум отупел и чувство заслохло, вы не наслаждаете жизнь! Для вас мерта природа, чужые красоты позици, лицена прелести и великолея архитектура, незнамательна история веков. Я утечаюсь мыслю, что из нашей университета не выйдет подобные произведения растительного природы; даже не войдут сюда, если, к несчастью, родились с таким назначением. Не войдут, повторю, потому, что здесь продолжается любовь славы, чувство чсти и внутреннего достоинства.

Лобачевский

Приведенные слова Лобачевского, как и те, которые взяты эпиграфом к этой статье,— из его знаментий речи «О важнейших предметах воспитания», произнесеной 5 июля 1828 года, и являющейся программной для всей деятельности Лобачевского как воспитатель юношества. Несомненно, что именно воспитатель юношества в первую очередь чувствовал себя Лобачевский в многообразии своих ректорских обязанностей. Все остальные стороны его организации деятельности составляли только рамку для двух основных устремлений его жизни: творческий научной деятельности и воспитательной. Эта последняя воспринималась им с исключительной широкималась и охватывала все стороны формирующей личности молодого человека, начиная с физического развития и кончая специализм научным образом. Проблемы воспитания интересованы Лобачевского во всем их объeme и самым горячим образом. Еще с 1818 года он состоит членом Училищного комитета, ведшего средними и низшими школьами, и с тех пор не терял из виду нарушу с вопросами университетского образования и всех сторон собственного школьного преподавания. В частности, постояно председательства в комиссии по приемным экзаменам в университет, Лобачевский прекрасно знал, с какими знаниями школьник того времени приходил в высшее учебное завершение.

Сам Лобачевский обладает в полной мере разнообразием и широкой жизни интересов, входящих в его идеал гармоничeki развития человека личности. И он много требовал от молодого человека, пришешего в университет учиться: он прежде всего требовал от него, чтобы он был гражданном, который «высокими познаниями составляет часть и славу своего отчечества». Он подчеркивает, что «одно образованиеумственное не довершает еще воспитания».

Заметим, между прочим, что Лобачевский уделял внимание и физическому развитию юношества, в частности, содержавал введение заястий гимнастикой в средней школе.

Лобачевский может служить примером, верятно, самого крупного человека, выдвинутого нашей почти двухсотлетней университетской жизни. И даже если он не написал ни одной строки самостоятельных научных исследований, мы должны были бы вспомнить о нем как о значительнейшем нашем университетском деятельности. Но в том-то и дело, что Лобачевский, кроме того, был еще и гениальный ученым.

IV.

Размещение научных открытий в жизни сделавшего их ученого не у всех ученых одинаково: у одинх оно более или менее равномерно и распределяется если не на всю жизнь, то во всяком случае на значительную часть ее.

14

абстракцией, не существует точек и прямых в том идеализированном смысле, в каком их понятие геометрия, а существуют лишь предметы, более или менее наполняющие точки и прямы. Тем более бессмысленно справливать о том, пересекутся или нет две данные «физические прямы» (например, два световых луча), так какникогда и ни в каком физическом опыте эти «prямы» не даны во всей их бесконечной протяженности, а даны лишь больше или меньше их отрезки. Поэтому единственно, что мы можем утверждать, оставаясь на почве опыта, это что евклидова геометрия является адекватной идеализцией пространственных представлений, полученных в условиях наблюдания явления, произходящих на земной поверхности, или, скажем, в масштабе Солнечной системы, но не выходящих из этих масштабов слишком далеко ни в ту, ни в другую сторону, т. е., с одной стороны, не ставших вопросом о геометрии «мира как целого», а с другой,— не идущих в «микромир», скажем, в пределы atomного ядра.

Геометрия «мировых области» средней величины есть, конечно, евклидова геометрия — в том смысле, что евклидова геометрия с полне достаочного точностью описывает все то, что мы в этих областях действительно наблюдаем. Если же выйти за их пределы, то, как обнаруживать в современной физике, могут попадаться системы, города более сложные, чем даже и неевклидова геометрия, в том смысле, как ее полимал Лобачевский. Тем более нельзя говорить о «едининой», неподвижной геометрии, раз нассегда охватывающей все разнообразие пространственных соотношений, которые могут быть отвлечены нашим позанием от окружащего нас материального мира.

Бессмертной заслугодой Лобачевского является то, что он впервые пробил брешь в восприятии геометрии как единственной мыслимой логической системы.

Вполне понятно, что прида к столбным выводам, Лобачевский не мог расчитывать не только на признание, но даже на простое понимание своих идей — потребовалось полвека для того, чтобы эти идеи вошли в математическую науку и сделались неотъемлемой ее составной частью. Поэтому при своей жизни Лобачевский попал в тяжело положение «непризнанного ученого». В такое же положение попал и его современник, венгерский ученый Янош Бойяи, который пришел к неевклидовой геометрии независимо от Лобачевского, хотя и опубликовавший свои результаты несколько позднее его. Но какая разница между двумя этими учеными!
Если Бойяи был, если такое можно выразиться, придавлен непринзаннем своих идей и так и не нашел никакого выхода из создавшегося для него в силу этого непринзання действительно глубоко драматического положения, то Лобачевский нашел этот выход в разнообразной, кипучей деятельности. Сила личности Лобачевского восторжствовать не только над всеми трудностями времени, в которой он жил, восторжствовать она и над тем, что для ученого, может быть, труднее всего пережить: над идеой изоляцией, над полным и всесторонним непоннимем того, что ему было дороге и нужнее всего — его научных открытий и идеи. Не обнаруживник никакого противоречия в созданной им геометрической системе и получив полную уверенность в том, что никакого противоречия в ней нет и не может быть, Лобачевский доказательства непротиворечности не дал и этим открыл возможность для развития субъективных оценок произведенного им переворота в геометрии. Он умер, не доходавшись того, чтобы основное дело всея его жизни было понято и оценено.

Из иностранных математиков только Гаусс понял и оценил Лобачевского вполне. Гауссу же принадлежит и инциатива единственной научной почетки, которая выпала на

15

дело Лобачевского: по представлению Гаусса Лобачевский был избран в 1842 году членом-kорреспондентом Геттингенского королевского общества наук.

Право на бесплатные и трудные годы XIX века были период вышено расщева как творческий, так и научно-педагогический и организационный деятельности Лобачевского, то с середины сороковых годов, иритом совершенню внесло, для Лобачевского настоящего периода бездействия. Собитием, принесим с собой этот трагический перелом всей его жизни, было уволнение 14 августа 1846 года с должности ректора. Это произшло вопроси желанию как самого Лобачевского, так и Совета университета. Однако временно произшло и уволнение Лобачевского с должности профессора по кафедре чистой математики. Последнему акту сам Лобачевский, быть может, дал некоторый повод, так как, исполняя с весы 1845 года обязательности попечителью округа вместе переведенного в Петербург Мусина-Пушкин, он, преровождая в минстерство постановление Совета университета об избранении его на новое пятиле на кафедру математики, присовокупил, что «готов отказаться от должности в ползу достойного молодого человека, каков доктор математики Попов».

Увольнение Лобачевского имело все черты грубой службыбной дисквалификации, граничшей с прямымоскорблением. Такова была офисная благодарность правил辈ства императора Николая I не только величайшейму русскому ученому девятнадцатого века, но и крупнейму нашему университетскому деятельности.

Вполне понятно, что Лобачевский, для которого его деятельности на порции университетского образования, да и вообще народного просвещения, была большой и незаменимой частью всей его жизни, восприял свою отставку как тяжёлый, неправимый удар. Особенно тяжел был этот удар, конечно, потому, что он разразился в ту эпоху жизни Лобачевского, когда его научная работа в ссновном была уже законена и, следовательно, университетская деятельности естественного становила основным содержанием его жизни. Если к этому прибавить исключительно деятельности характера Лобачевского и имеет в виду его привчку, созданную десятилетиями, быть в организации делах именно руководителем, а не рядовым участником (привыка, на котором Лобачевский воистину имел право!), то размеры разразившейся над ним καταстрофистанту вполне ясными. Лобачевский от этой καταстрофиции править не смог. С весы 1847 года он фактически совершенню отстранился от участия в делах как учебного округа, так и университета. Началась старость — преждевременная, но тем более гнетущая, с прогрессироващими признаками парадокально раннего одряхления. Его здоровье было на убыль. Он стал сленнуть, и к концу своей жизни ослен совершенню. Его последнее научное произведение — «Пангеометрия» — писалось уже под диковку. Ko всему этому присоединилась еще смерть сына. Разбитый жизнь, большой, слепой старик, Лобачевский умер 12 февраля 1856 года.

16

А. Норден

Великое открытие Лобачевского

Лечение остановить Солнце,леечение двинуть Землю,чем уменьшить сумму углов в треугольнике,свести параллелю к скожделению,и развить перепределкуры к прямой на расстояние.

В. Ф. Каган

История великих открытий всегда почительна. Но как часто остаются неизвестными обстоятельства, при которых они сделаны, и ход мысли, приведший к ним ученого! Вместо этого создатся легенды: об Архимеде, открышем свой закон вванне, или о яблоке Ньютона. Известно, однako, что на вопрос о том, как он приSEL к своему открытию, Ньюton ответал: «Постоянно о нем думая»,— но он нигде не описал своих мысли, пока не приSEL их к полной ясности.

В этом году отмечается стопятдесятные открытия Николаем Ивановичем Лобачевским неевклидовой геометрии. Датой этого открытия условно считается день 24-го февраля 1826 года, когда молодой профессор представил свой доклад физико-математической факультету Казанского университета. Текст доклада не сохранился, но, по словам автора, его содержание было опубликовано в 1829 году в статье под заголовком «О начальных геометрии».

Открытие Лобачевского позволило уже во второй половине прошло века называть его «Коперником геометрии», но только теперь становится ясным все его значение для математики в целом и для физики. Пострааемся вкратце описать идеи великого геометра и осветить ход мысли, который приведел к ним.

История вопроса, разрешенного Лобачевским, занимает два тысяче лет. В третьем веке до нашей эры, в Алексадрин появился руководство «Начал» Евклида, в котором геометрия излагалась в строго систематическом виде, мало отличающего от того, который до самого последнего времени был принят в учебниках геометрии. В основу построения Евклида положен ряд первоначальных утверждений (аксиом), которые не доказываются. Все альтернативы (меоремы) выводятся из аксиом логических. Среди всех аксиом Евклида выделяются «аксиома о параллельных»: Две прямы a и b, пересеченные премьем, пересекаются между собой с моей стороны, где сумма внутренних односторонних углов a и β меньше суммы двух прямых углов (рис. 1).

Это положение приведело внимание продолжателей и комментировав Евклида по разным принципам Во-первых, оно было сложнее всех остальных аксиом— например, таких, как «Через две точки проходит прямая» или «Все прямы углы равны». Во-вторых, обратное утверждение «Сумма двух углов треугольника меньше двух прямых», легко доказыва-

18

Такую теорию и создат Лобачевский. Он называет ее сначала осторожно «воображаемой» геометрией, а потом, в конце жизни, «Панцеометрией», то есть геометрией всеобщей.

Вернемся к рисунку 1, предложив для простоты, что угол α прямоий (рис. 2). Через точку B можно проведи в правой полуплоскости различные лучи, пересекающие прямую a. При врашении против часовой стрелки мы, наконец, встретим пе р вый из непересекающихся лучей; он называется паралельным прямоий a; угол, который этот луч образует с лучом BA, называется углом паралелизма. Примая b, содержащая такой луч, тоже называется паралельной a.

Все сказанное справедливо независимо от аксиомы Евклида, которая утверждает, что угол паралелизма — прямоий, так что при β < d*) луч b пересекает прямую a. Если мы не примем этой аксиомы, то нам придется ограничиться более общим и менее определенным утверждением, что угол паралелизма Π не превыходит d. На этом предположении и основывает Лобачевский свой дальнейшие расчудения.

Если Π = d, то аксиoma Евклида соблюдается, и из нее вытекают все предположения общий геометрий — евклидовой, или, как ее называет Лобачевский, — «употребимельной». Если же Π < d, то из этого допущем

*) d — принятое обозначение величины прямоого угла.

пнятекают совершенно иные следствия, которые составляют содержание новой геометрии — ее Лобачевский и называет «воображаемой», а мы теперь называем геометрией Лобачевского.

Многие теоремы «воображаемой» геометрии, к которым при этом приходится Лобачевский, явно противоречит нашим привычным представлением, и нужна была большая силамысли, чтобы не принять эти противоречия за логическое. Лобачевский владел этот силой и развил геометрию с большой полотной, завершив ее построением своего образной тригонометрики (которую принято теперь называть «зиперболической»).

Важным разделом геометрии Лобачевского является учение о сумме углов треугольника. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 3), и будем врашать прямую BC (b) против часовей стрелки вокруг точки B. Если мы не принимаем аксиомы Евклида, то должны предложить, что пряма b «оторвется» от прямои a и станет паралельной ей еще прежде, чем сумма углов α + β станет равной 2d. С другой стороны, легко показать, что при врашении прямои b величина угла γ при точке C стремится к нулю. Отсюда следует, что при некоторых прямои b сумма углов α + β + γ будет меньше 2d. Можно показать также, что неравенство α + β + γ < 2d справедливо для любого треугольника, так что в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов треугольника меньше двух прямых.

21

личные подходы к новой геометрии и ее приложения к вычислению интегралов. В последней из работ — «Пангеометрии», — которое он, уже слепой, диктовал независимо до смерти, обсуждается вопрос об осуществимости «воображаемой» геометрии в космическом пространстве.

Иден великого русского геометра получили всемирное признание только после его смерти. Чтобы понять, как это произошло, нужно вернуть назад. В 1828 году вышла книга Гаусса «Исследования о кривых поверхностях», в котором строится «геометрия на поверхности» или ее внутренняя геометрия. Гаусс дал формулы, позволяющие вычислять длины других кривых линей на поверхности, определять углы между кривыми или плоскими ограниченных имми obластей, нахождение геодезических (т. е. кратчайшие) линии на поверхности и определить так называемую зауссову криизну — величины, характеризующее отклонение внутренней геометрии поверхности от геометрии плоскости.

Ученик Гаусса, Ф. Миндин г. (1806—1885), работавший в Дерпте (ныне город Тарту), изучая так называемую псевдосферу, т. е. поверхности постоянной гаussовой криизны, получил еще в 30-х годах прошло века некоторых формулы тригонометрии геодезических треугольников на этой поверхности. В 1868 году итальянский геометр Э. Белтрами обратил внимание на то, что формулы Миндинга совпадают с формулими гиперболической геометрии Лобачевского. Отсюда следовало, что внутренняя геометрия псевдосферы является геометrier Лобачевского.

Таким образом, оказалось, что вевклдовом пространстве можно построить model) плоскости Лоба-

*) О моделих и их применении для доказательства непротиворечности аксиомы расскажем в следующем номере журнала.

22

Лобачевский и физика

Математика всегда служила физиком ordinem исследования. Кеплер не смог бы сформировать свои законы, если бы не знал теорию конечных секений. Ныютону для того, чтобы решать задачи механики, пришлось создавать новый раздел математики: дифференциальное и интегральное исчисление. Но и на фоне этих великих открытий открытие неевклидовой геометрии выделяется по тому влиянию, какое оно оказало на наш предметления о физической картине мира.

В те годы, когда работал Николай Лобачевский, никто не сомневался в правильности механики Ньютона, а вопросы о природа пространства и времени хотя и интересовали ученых, но казались совсем абстрактными, не имеющими практического значения.

Лобачевского сравнивают с Коперником. Лишь Землю положения центра мира, Коперник открыл Вселенную для исследования. Лобачевский, показав, что ενклидова геометрия не единственная, заставил естественными тателей задуматься о том, что пространство, в котором развивается Вселенная, также должно быть предметом изучения. Геометрия после Лобачевского лицлась своей абсолютиной непогрешимость и обработалась к опыту за подтверждением или отрицанием своих законов.

Лобачевский понимал, что возможность изменения законов геометрии может повлечь за собой и возможность изменения законов механики. «…некоторые силы в природа,— писал он,— следует одной, другие свойства геометрии… силы всё производят один: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы».

Физики очень долго не обращали внимание на эти предостережения. Только после открытия специальной (СТО) и общей теории относительной (ОТО) стало ясно, какой глубокий смысл содержится в этих словах Лобачевского. Физики должны считать Лобачевского одним из великих творцов своей науки. История неевклидовой геометрии до них пор служит ярким примером того, как самые абстрактные теории могут привести к полному переместу взглядов на наш реальный мир.

Приведем несколько примеров, которые показут, как идеи геометрии Лобачевского нашли свое отражение в теории относительной地理и.

СТО: сложение скоростей

Решая задачи по kinematике, мы пользовемся правилами сложения векторов, предписываемыми геометрией Евклида. При этом и векторы перемещений, и векторы скоростей мы складываем одним и тем же способом.

С открытием специальной геометрии относительно непогрешности и обработывания к опыту за подтверждением или отрицанием своих законов.

Рассмотрим такой пример. Предположим, что мы наблюдаем с маяка за корабелем, который удаляется с по-

23

стоянной скоростью $u$. С корабля вертикально вверх выпускают ракеты с разными скоростями $v_i$ относительно корабля ($i=1, 2, 3, \dots$). Как найти скорости ракет по отношению к маяку (то есть скорости $v_i'$ ракет в системе отсчета, связанной с маяком)?

С точки зреня механики Ньютона $v_i' = u + v_i$ (*)

— суммарный вектор $v_i'$ может быть найден по правилу треугольника (рис. 1).

Решение этой задачи в специальной теории относительной среджит математические трудности, предодеть которые большеинститу наших читателей не смогет. Поэтому мы приведем только ответ:

$$v_i' = u + v_i \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}.$$ (**)

В тех случаях, когда скорости $u$ и $v_i$ становятся сравнимыми со скоростью света, точно значение скорости $v_i'$ может быть найдено только по формуле (**)— именно kinematika СТО описывает движение тел с большими скоростями.

Очевидно, что при сложении векторов $u$ и $v_i$ по ενклидову правли треугольника ответ (**) не может быть получен.

Обратим еще раз внимание на тот факт, что мы получем геометрическую

*) Наломним, что скорости $u$ и $v_i$ взаимоперендикулярны. Решение (**) записано именно для такого случая.

скими терминами и правилами, по применяем их не к общному пространству, а к набору скоростей, о котором говорят, что он образует пространство скоростей. Полъязысь этой терминологии, из всего сказанного можно сделать вывод: пока мы остаемся в рамках классической механики, пространство скоростей совпадает с ενклидовым пространством; в механике СТО для описания пространства скоростей геометрия Евклида непримемема.

Какой геометрический образ можно сопоставить пространству скоростей в релятивистской механике? Оказывается, этим геометрическим образом может служить пространство Лобачевского. Но переход от физических величины к их геометрическим образом в релятивистском случае не так прост, как в классическом. Изображая на ενклидовой плоскости (на лице бумаги) скорости, мы рисунем отрезки, длины которых (в определенном линейном масштабе) равны значениям скоростей. Для того чтобы представить себе, как перейти от скоростей к отрезкам на плоскости Лобачевского, вернемся вовь к задаче о маяке, корабле и ракете.

Итак, для скорости $v'$ ракеты в системе отсчета, связанной с маяком, специальная теория относительной среджит математические трудности дает ответ (**). Оказывется, на плоскости Лобачевского скорости $u$, $v$, $v'$ соответствует прямойольный треугольник, длины сторона которого равны значениям некоторой линейной функции $f$ от величины скоростей $u$,

24

v, v’. Будем считать, что треугольник BAD (рис. 2) нарисован на плоскости Лобачевского,

$$|a| = f(|u|), \quad |b| = f(|v|), \quad |d| = f(|v'|)$$

Нахождение скорости v’ сводится к нахождению по правлим геометрии Лобачевского стороны d треугольника BAD по двум известным сторонам a и b и прямоту углу между ними *).

Угол β треугольника BAD — это угол, который составляет скорость v’ с горизонтом. Правило, по которым строится сторона d, — это привченное для правлим треугольника. Однако формулы, позволяющие определить длину стороны d, в геометрии Лобачевского иные, чем в геометрии Евклида (например, в рассматриваемой нами задаче теорема Пифагора неприменима). Но в том случае, когда скорости u и v много меньше c, эти формулы практические совпадают с формулиами геометрии Евклида.

Можно сказать, что СТО находится в таком же отношении к классическому механике Ньютона, как геометрия Лобачевского к геометрии Евклида.

В рассмотренной нами задаче можно дать «физическая» представление геометрического понятия параллельности. Чем больше скорость пакеты v_i, тем больше угол α, который составляет скорость v’ с горизонтом.

В классический механике скорость v_i может быть как угодно величка.

*) Для тех, кто знаком с натуральными логарифмами, приведем вид функции f:

$$f(|v'|) = \frac{1}{2} \ln \frac{c + v'}{c - v'}$$

Что бы от стороны d перейти к значению скорости v’, надо совершить обратный переход:

$$|v'| = g(d) = c \frac{e^d - e^{-d}}{e^d + e^{-d}}$$

**) В общем случае, когда скорости u и v составляют друг с другом не прямой угол, на плоскости Лобачевского в соответствии треугольнике угол между сторонами a и b равен углу между u и v.

Рис. 3.

При v_i \rightarrow \infty \alpha \rightarrow 90^\circ. То есть в этом пределном случае направления v_i и v’ становятся практическими параллельными. Таким образом, параллельные прямые вкладовой геометрис с точки зрения физики — это векторы скоростей бесконечного быстро пакеты, рассматриваемой из разных систем отсутства, движущихся друг относительно другая равномерно с конечными скоростями (рис. 3, a).

Согласно СТО скорость пакеты v_i не может быть больше скорости света c. В том случае, когда |v_i| = c — с корабля выпускают света (фотон), — велича скорости v’ также равна c. Действительно (см. (**)),

$$(v'_i)^2 = u^2 + v_i^2 \left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right).$$

Подставив в это выражение v_i = c, получим v’_i = c.

На плоскости Лобачевского в этом случае стороны b и d (соответствующие скорости v_i и v’_) становятся бесконечным (см. рис. 3, б). Но угол β, который составляет сторона d со стороны a (соответствующие скорости u), при этом остается

25

menыше 90°. В геометрии Лобачевского этот угол называется углом параллельности и обозначется Π(a). Но β— это тот угол, который в системе отчета, связанной с маяком, составляет скорость v′ с горизонтом. Величина этого угла определяется условием cos β = u/v′ = u/c. Это предельный, максимальный угол, под которым наблюдается в этой системе может «увидеть» скорость фона. Поэтому естественно возникает «физическая» образ параллельных прямых геометрии Лобачевского: это скорости фона, наблюдаемые из разных равномерно движущихся систем отчета.

Ко всему, что мы рассказали, можно добавить, что специальная теория относительной развивалась независимо от геометрии Лобачевского. Все формулы были получены Эйнштейном методами механики. Только в 1909 году немецкий физик Зоммерфельд обнаружил тождействность всего математического аппарата СТО с геометрией Лобачевского.

Развитие современной физики, таких ее области как ядерная физика, физика элементарных частиц, невозможно без теории относительной геометрии, то каждой теореме, каждой задаче можно сопоставить задачу из физики элементарных частиц. И при расчете путь частиц вускорительных, процессов стольновения элементарных частиц формулы геометрии Лобачевского оказываются очень полезными — вычисления становятся короче и проще.

ОТО: кривизна пространства

Вероятно, каждый может себе представить, как выглядит поверхность шара с точки зреня двумерного жука, который по ней ползает. Очевидно, что его воспрятие не совпадает с нашим. Мы можем посмотреть на шар «стороны», из трехмерного пространства, и увидеть, что поверхность его — сфера. А для двумерного жука, который этого сделать не может,— для него нет треться изменения,— поверхность сферы представляется плоскостью. И если размеры жука много меньше радиуса сферы, то он заключит, что эта плоскость — евклидова. Но если жук «граммотный», то, проведя некоторые изменения, он может убедиться, что геометрия на его плоскости отличается от евклидовой. Например, измену углов очень большого треугольника, он обнаружит, что она отличается от 180°.

Живя в трехмерном пространстве, мы в какой-то степени находится в положении жука. Геометрию этого пространства мы моделируем на основе поверхности — евклидова. А что можно сказать о геометрии пространства в масштабах нашей галактики, все Вселенной? Этот вопрос, по существу, был впервые поставлен Лобачевским. Справадивы ли законы геометрии Евклида при громадных (с точки зреня Земли) расстояниях? Действительно ли, например, сумма углов очень большого треугольника равна 180°? Основываясь на данных, полученных из астрономических наблюдений, Лобачевский пытается найти ответ на этот вопрос. Вывод его был таким: «… в треугольнике, который бока равняются почти с расстоянием Земли до Солнца, сумма углов не может разниться с двумя прямыми более 0,0003 секунды градуса».

Хотя Лобачевский и не обнаружил отклонений от законов Евклида, но сама мысль о том, что мир, в котором мы живем, может не быть ενклидовым, была постине революционной.

За 150 лет, прошедших со временем создания Лобачевским его геометрии, наука сделала огромный шаг на пути познания реального мира. И самый важным этапом на этом пути является Эйнштейном обозначением геометрии относительной системы отчета. Она установила связь между силой всемирного тя-

27

Teория относительной является незаменимым аппаратом в изучении свойств Вселенной. В настоящее время существует много модели Вселенной. О справедливости их, о том, какая из них в действительности описывает свойства Вселенной, можно будет судить по результатам экспериментов. Но эти экспериментырезультатной сложны, многое из них пока лишь «мысленные», для их осуществления современная наука не обладает возможностьми. Но среди этих модели есть такие, согласно которым геометрия пространства — это геометрия Лобачевского.

Геометрические свойства Вселенной изменяются со временем; астронымы видят, как разбегают галактики и квазары; совсем недавно в созвездии Лебедь была открыта первая «черная дыра»—точка, где плотности обращаются в бесконечность, а длины в нуль. И наука может обяснить эти явления только потому, что 150 лет назад на берегу Волги молодой казанский математик Николай Лобачевский просил: а так ли оченьindo, что через точку вне прямой можно proveсти только одну прямую, не пересекающий данную? Кто мог подумать тогда, что это был один из самых каверзных вопросов, который когда-либо задал человек природа.

Физики шутят

Чему равен один год?

Недавно замечательный американский физик Р. Фейнман высказал важную космологическую гипотезу:

$$1 \text{ год} = \pi \cdot 10^7 \text{ сек},$$

(1) где π — число Архимеда.

Докажем справедливо этой интересной гипотезы.

Известно, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите, радиус которого равен $R = 150 \text{ мл. км.}$ Оргбитальная скорость Земля равна $\sigma = 30 \text{ км/ сек.}$

Если бы с такой постоянной скоростью Земля движалась не по самой орбите, а по ее диаметру, то она прошла бы от одного «края» орбиты до другого за время

$$t = \frac{2R}{v} = \frac{2 \cdot 150 \cdot 10^6}{30} = 10^7 \text{ сек.}$$

(2)

По определению один год есть время обращения Земля по ее орбите вокруг Солнца. Понятно, что это время относится к найденному выше времени $t$, как длина окружности орбиты к ее диаметру. Последнее относение для всякой окружности, согласно Архимеду, есть π. Отсюда следует, что $1 \text{ год} = \pi \cdot t$. Подставляя сюда значение $t$ из (2), приходим к формуле (1).

Итак, мы доказали справедливо гипотезы Фейнмана. Более того, мы выясили физический смыслCONSTANTES $10^7$, входящей в формулу (1).

Для проверки справедливости гипотезы Фейнмана был поставлен следующий эксперимент: с помощью настичных часов «Маяк» мы определили продолжительность 1975 года. Она оказалась равной $3,15 \cdot 10^7 \text{ сек.}$. Формула (1) дает $3,14 \times 10^7 \text{ сек.}$. Мы склонны думать, что полученное расхождение теоретических и наблюдаемых данных есть результат одного из двух следующих эффектов: а) орбита Земля отличается от круговой, б) пространство — время искривлено.

Замечательно, что нашей resequence позволяет обобщить гипотезу Фейнмана и для других планет.

1976 год, января, Бiopаканская обсерватория

28

Лаборатория «Кваenta»

А. Натанзон, М. Плоткин

Маятник с вибрирующим подвесом

Как известно, неподвижное тело находится в состоянии устойчивого равновесия, когда его потенциальная энергия минимальная. В частности, для математического (или физического) матрика потенциальная энергия минимальная, когда его центр тяжести находится под точкой подвеса. Конечно, у такого матрика есть положение равновесия и в перевернутом состоянии, когда центр тяжести расположен выше точки подвеса, но это положение неустойчиво. Договоримся, что мы будем рассматривать такой математический матрик, у которого нерастижная неиссметная нить заменена жестким неиссметным стержнем. Однако не всегда положение центра тяжести тела над точкой опоры исключает устойчивое равновесие. Например, детская игрушка юла не падает, пока вращается достагоно быстро. И не только вращение может повысить устойчивость тела.

Оказывается, при быстрых вертикальных колебаниях подвеса матрика (т. е. точки закрепления) перевернутое положение матрика становится устойчивым. В этих условиях он способен стоять в вертикальном положении или плавано качаться около него (рис. 1). Количество исследовании этого явления связано со значительными математическими трудностями. В 1951 году академику П. Л. Капице удалось приближенно описать поведение матрика с вибрирующим подвесом для случая, когда длина матрика $L$ много больше амплитуды вибраций подвеса $x_0$ и частота вибраций намного превозходит собственную частоту колебаний матрика. Мы же ограничимся лишь качественными рассуждениями.

Если при наблюлении не обращать внимание на мелкое движение матрика, связанное с вибрацией подвеса, то его плавание движение будет таким, как если бы на маттник действовал момент сил, стремящийся приблизить

29

это к направлению вибрации. Этот фиктивный момент сил П. Л. Капица называют «вибрационным».

Попробуем понять причину возникновения вибрационного момента. Предположим сначала, что силы тяжести отсутствуют. Пусть подвеся матрика колеблется вдоль направления вибрации с амплитудой $x_0$ и частотой $\omega$ по гармоничскому закону $x = x_0 \cos \omega t$. Допустим, что матрик составляет с направлением вибраций угол $\varphi$ (рис. 2). Перемешение подвеса можно разложить на два перемешения: вдоль матрика и перpendикулярно к нему. Первое лишь смешает груз вдоль линни стержня, а второе поворачивает стержень, не смешая груза (углы поворота предполагаются малими). Поэтому при наибольших отклонениях матрик займет положения I и II (см. рис. 2).

Удобнее рассматривать поведение матрика в системе отчета, связанной с подвесом. Положения матрика I и II в этой системе показаны на рисунке 3. Выбранная система отчета является неинерциальной*), поэтому в ней на магнитик (т. е. на массу, содержитную на его конце) будет действовать сила инерции, равная $F = -ma$, где $a$ — ускорение подвеса в данной момент времени.

Так как подвеся колеблется по гармоничскому закону, то проектия его ускорения изменяется тоже по гармоничному закону: $a = -\omega^2 x = -\omega^2 x_0 + \omega^2 x_0$. Поэтому сила $F$, проектия которой равна в этих положениях $F = \pm m\omega^2 x_0$, направлена, как показано на рисунке 3. Очевидно, что момент силы $F$ относительно точки подвеса в положении I больше, чем в положении II, а так как время действия ее «вверх» равно времени действия «вниз» (по положение перiodа вибрации, то в итоге матрик должен смешаться вверх, т. е. по кратчайшейему пути к направлению вибрации.

Вибрационный момент $M_B$, под действием которого происходит это смение, пропорционален разности моментов силы $F$ в положениях I и II. Найдем эту разность.

Пусть магнитик отклонен на угол $\varphi$ от направления вибраций подвеса. Как видно из рисунка 2, угловая амплитуда мелких вибраций матрии-

30

ка $\alpha \approx \frac{x_0 \sin \varphi}{L}$, где $L$ — длина матрика. Эта же амплитуда изображена и на рисунке 3. Тогда
$$M_1 - M_{11} = FL \left[ \sin (\varphi + \alpha) - \sin (\varphi - \alpha) \right] = 2FL \sin \alpha \cos \varphi.$$
Так как $\frac{x_0}{L} \ll 1$, то
$$\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x_0 \sin \varphi}{L}$$

Значит,
$$M_n \sim M_1 - M_{11} \approx m\omega^2 x_0^2 \sin 2\varphi.$$
Такое качественное рассмотрение позволяет получить причины появления вибрационного момента и установить правильную зависимость этого момента от амплитуды вибраций подвеса, частоты вибраций, массы матрика и угла отклонения $\varphi$, но не позволяет найти значения коэффициента пропорциональности. Более строое рассмотрение, проведенное П. Л. Капицей, приводит к соответствии
$$M_B = \frac{m\omega^2 x_0^2}{4} \sin 2\varphi. \quad (1)$$

Пользовясь понятным вибрационно-моента, написем теперь условия равновесия матрика в поле силы тяжестei. Будем считать, что вибрации подвеса проинсходят в вертикальном

Рис. 4.

направлении. Кроме вибрационного момента $M_B$ на магнитке действует еще момент силы тяжестei $M_T = mgL \sin \varphi$. В положении равновесия эти моменты равны:
$$mgL \sin \varphi = \frac{m\omega^2 x_0^2}{4} \sin 2\varphi,$$
или
$$\sin \varphi \left( \frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} - \cos \varphi \right) = 0. \quad (2)$$

Удовлетворяющие этому уравнение значения $\varphi$ являются положения равновесия. Они таковы:
$$\varphi_1 = 0, \quad \varphi_2 = 180^\circ, \quad (3)$$
$$\varphi_3, 4 = \pm \arccos \frac{2gL}{\omega^2 x_0^2}.$$

Здесь $\varphi_1 = 0$ — верхнее положение грузика, $\varphi_2 = 180^\circ$ — нижнее положение грузика.

Рассмотрев соответствие величины вибрационного момента и момент силы тяжестei около положений равновесия, можно убедиться, что $\varphi_1$ и $\varphi_2$ — устойчивые положения, а $\varphi_3$ и $\varphi_4$ — неустойчивые. Таким образом, если магнитка находится в области $A$ (рис. 4), то он будет колбааться около положения $\varphi_1$, а если в области $B$, — около положения $\varphi_2$. Из (3) видно, что если $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} = 1$, то $\varphi_1 = \varphi_3 = \varphi_4$ и положение $\varphi_1$ становится анализа случай, когда направление вибраций составляет некоторый угол с вертикальным. Но, оказывается, что устойчивое положение перевернутого матрика возможно при любом направлении вибраций. Правда, параметры матрика не могут быть при этом произвольными. Расчет дает, что если $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} < 0,5$, то положение

31

устойчивого равновесия перевернутого магнитка всегда найдется.

В заключение предложаем вам проведение самостоятельные исследования поведения магнитка с вибрирующим подвесом.

Влабораторных условий обусловлено использование легкий металлической стержень или кусок толстой проволоки длиной 15—20 см. При скорости вращения 3 000 об/min достаточно амплитуды вибраций подвеса 5—6 мм.

Следует обратить внимание на то, что для стержня, являющегося физическим, а не математическим магнитком, во всех формулах выражение $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2}$ необходимо заменить на $\frac{4gL}{3\omega^2 x_0^2}$.

《Необычное》поведение магнитка с вибрирующим подвесом легко можно наблюдать и в домашних условиях. Нужно только иметь электробритву типа «Нева», «Москва» или «Эра» и два пустьх стержня от шариковой ручки. Сияв ножи с электробритвы, надо надеть на ножки вибратора бритвы по отрезку стержня длиной 3—3,5 см и проткнуть их концы проволочной или бульавкой (см. заставку кстатье). (Такая длина отрезков обеспечивает их резонанс при колебаниях, что увечивает амплитуду вибраций до нескольких миллиметров.) Эта же проводочка произвела конец целого стержня, который и является магнитком.

Заметим, что этот опыт совершенно безопасен для электробритвы.

Задачи наших читателей

1. Докажите, что в квадрате чисел
   $* \times * = b$
   $: \times -$
   $* : * = *$
   $* + * = *$

в котором * заменяет некоторые натуральные числа, число * b всегда равно шести. Скольники разными способами можно расшифровать эту запись?

У. Шулте (е. Сцезулда)

2. Ни одно из трех целых чисел a, b, c не делится на три. Докажите, что тогда делится на три
   a) $a^2 + b^2 + c^2$;
   b) $a^{2k} + b^{2n} + c^{2m}$.

3. Докажите, что если существуют такие натуральные числа m и k, что $A = 12^{4k} + 3^{11m} < 200$, то число A — простое.
   С. Охитин (е. Оренбург)

4. Известно, что для данного * n* любой набор из * k* натуральных различных чисел, ни одно из которых не больше * n*, содержит хотя бы три таких элемента, что существует треугольник со стороны * n*, длины которых выражаются этими числам.

Какое наименьшее значение может принять * k* как функция от * n*?

О. Беридзе (е. Батуми)

5. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и T такие, что
   $\frac{|AM|}{MB|} = m$, $\frac{|BN|}{NC|} = n$, $\frac{|CT|}{TA|} = t$.

Известно, что прямые MN и BT пересекаются в точке O. Найти отношение $|BO|:|OT|$.

Г. Сверчков (е. Москва)

32

Ю. Ионин, Л. Курляндчик

Понск
инварианта

В этой статье рассматривается задачи, сходные по формулировке. В каждой из них идет речь о некоторых совокупностях чисел или знаков, и указывает, которые можно над ними произвольить. Читатель, внимательно проработавший статью, обнаружит не только внешнее сходство встречающихся в ней задач и упражнений, но и общую идею, на которой основано их решение.

Задача 1. На доске написано десять плосков и пятнадцать минутсов. Разрешается стеремь любые два знака и написать вместе их плоск, если они одинаковы, и минутс в противном случае. Какой знак останется на доске после выполнения двадцатим минутов операций?

Решение. Заменим каждый плоск числом 1, а каждый минутс числом —1. Разрешенная операция описывается тогда так: стеремя любые два числа и записывается их произведение. Поэтому произведение всех написанных на доске чисел остается неизменным. Так как вначале это произведение равнялось —1, то и в конце останется число —1, то есть знак минутс.

Это рассужждение можно было проведти иначе. Заменим все плоскы нулями, а минутсы — единицами, и затем, что сумма двух стеремых чисел имеет ту же четность, что и число, записываемое вместе них. Так как

сначала сумма всех чисел была нечетной (она равняя 15), то и последнее оставшееся на доске число будет нечетным, то есть единицей, и, значит, на доске останется минутс.

Наконец, требуется задание можно получить, затем, что в результате каждой операции число минутсов либо не изменяется, либо уменьшается на два. Поскольку задача число минутсов было нечетным, то и в конце останется минутс.

Проанализируем все три решения.

Первое решение основывает на неизменемости произведения написанных чисел, второе — на неизменемости четности их суммы и третье — на неизменемости четности числа минутсов. В математике вместе с слова «неизменяемость» употребляют термин «инвариантность». Можно сказать, что в каждом решении нам удалось найти инвариант: произведение написанных чисел, четность суммы, четность числа минутсов. Решение последующих задачи и упражнения также основывается на удачном подборе инварианта.

Уражнение 1. На доске написано несколько плосков и минутсов. Разрешается стеремь любые два знака и написать вместе их плоск, если они различны, и минутс в противном случае. Докажите, что последний останется знак не зависит от порядка, в котором произвольились страницы.

Задача 2. В таблице 4×4 знаки «+» и «—» рассматриваются как показано на рисунке 1. Разрешается изменить знак на промивоположный одновременно во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или вдоль прямой, параллельной какой-нибудь из диагоналей (в частности, в любой угловой клетке). Можно ли с помощью этих операций получить таблицу, не содержащую ни одного минута?

Решение. Заменим плоскы и минутсы чисlami 1 и —1. В качестве инварианта можно взять произведение чисел, находящихся в клетках, которые

33

рыце заштрихованы на рисунке 2, поскольку оно в результате разрешенной операции все время сохраняет первоначальное значение, равное —1.
Но, значит, среди заштрихованных чисел всегда будет оставаться —1, следовательно, получить таблицу, не содержащую ни одного минуса, нельзя.

Упражнение 2. Решите задачу 2 для таблицы, изображенных на рисунках 3—5.

Задача 3*). На доске написано несколько нулей, единиц и двоеек. Разрешается стеремь две неравные чисцы и вместе их написать одну цифру, отличную от стеремых (2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2).
Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором произвольись стерема.

*) Это — задача М338 из «Задачника «Кванта», см. «Квант», 1975, № 8.

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

Решение. Обозначим через $x_0, x_1, x_2$ число нулей, единиц и двоеек соответственно. Выполнить один раз разрешенную операцию, мы изменим каждое из этих чисел на 1 и, следовательно, изменим четность всех трех чисел. Когда на доске остается одна цифра, два из чисел $x_0, x_1, x_2$ становится равным нулю, а третье — единица. Значит, с самого начала два из этих чисел имеют одну четность, а третье — другую. Поэтому независяимо от того, в каком порядке произвольятся стеремя, в конце едините может равнять лишь одно из чисел $x_0, x_1, x_2$, которое с самого начала не ту четность, что два других.

Из приведенного решения видно, что если числа $x_0, x_1, x_2$ имеют одну и ту же четность, то мы не сможем добиться, чтобы на доске осталась одна-единственная цифра. Докажите, что если чисел $x_0, x_1, x_2$ есть как чётные, так и нечётные, и, кроме того, хотя бы два из них отличны от нуля, то существует такой порядок

Рис. 4.
Рис. 5.
Рис. 6.

34

стираний, что в результате на доске остается одна цифра.

Изменим условия задачи 3: потребуем, чтобы один и те же две нервные цифры стирались два раза, а вместе них записьвалось одна цифра, отличная от стерых. Предположим, что снова после некоторого числа операций на доске осталась одна единица, по числу нулей, единиц и двоек, предвидеть, какая это цифра?

Рассужждение с четырьмя здесь не помогает, но в результате выполнения каждой операции одно из чисел $x_0, x_1, x_2$ меняет свою четность, а два других сохраняют четность, так что числа, имеющие разную четность, могут теперь получить одну и ту же четность. Однако можно заметить, что остатки от деления чисел $x_0, x_1, x_2$ на 3 изменяются каждый раз таким образом, что равные остатки остаются равными, а нервные остаются нервными. Дальнейшие расчужнения повторяют решение задачи 3.

Задача 4. В каждой клетке таблицы $8 \times 8$ написано некоторое целое число. Разрешается выбрать в таблице любой квадрат размерами $3 \times 3$ или $4 \times 4$ и увеличивать на единицу все стоянные клетках выбранного квадрата числа. Всегда ли можно с помощью таких операций преобразовать исходную таблицу в таблицу, у которой числа делятся на 3?

Решение и.e. Нет, не всегда. Найдем сумму чисел, написанных в заштрихованных на рисунке 6 клетках. Поскольку любой квадрат размерами $4 \times 4$ содержит 12 заштрихованных клеток, а квадрат размерами $3 \times 3$ — 6 или 9 таких клеток, то в результате описанной операции остаток от деления на 3 этой суммы (чисел, стоящих в заштрихованных клетках) не будет меняться. Поэтому, если с самого начала найденная сумма не делится на 3, то среди заштрихованных клеток все время будут сохраняться клетки, в которых написанные числа не кратны тем.

У разженние 3. Из всякой ли таблицы можно в условиях задачи 4 получить таблицу, не содержащую четных чисел?

Задача 5. Числа 1, 2, 3, …, $n$ расположены в некотором порядке. Разрешается менять местами любые два рядом стоянных числа. Доказите, что если проделать нечетное число таких операций, то наверняка получится отличное от первогоначального расположение чисел 1, 2, 3, …, $n$.

Решение. Пусть $a_1, a_2, ..., a_n$ — произвольная перестановка из чисел 1, 2, 3, …, $n$. Будем говорить, что числа $a_i$ и $a_j$ образуют в этой перестановке инверсии, если $i < j$, но $a_i > a_j$, то есть большее из этих чисел предшествует меньшему. Поменяв местами два соседних числа в перестановке, мы увеличим или уменьшим число инверсии на 1. Проделав же нечетное число таких операций, мы изменим четность числа инверсии, а значит, изменим и перестановку.

У разженние 4. Доказите, что утверждение задачи 5 остается справедливым, если разрешить местами любые два числа в перестановке.

У казан и.e. Доказите, что любые два числа можно поменять местами, проделав нечетное число операцию, описанной в задаче 5.

Переход от одной перестановки чисел 1, 2, 3, …, $n$ к другой перестановке этих чисел, при котором какие-либо два числа меняются местами, а остальные остаются на месте, называется транспозицией. Результат упражнения 4 можно сформировать так: выполнить нечетное число транспозиции, мы изменим перестановку.

Задача 6. В различных пунктах количество автоматом в одной и то же время в одном направлении стармовали 25 автоматом. По правилам автоматом могут обойти друг друга, но при этом запрещен двойной обойти. Автомобили филишировали одновременно в тех же пунктах, что и стармовали. Доказите, что во времяzonки было четное число обознавов.

Решение. Окраим один из автоматов в желтый цвет, а остальные автоматом присвоит номера

35

1, 2, 3, …, 24 в том порядке, в каком они располагаются на старте за желтым автоматом. В центре авторома установлен свойство табли, на котором после каждого обгона будем указать номера автоматей в том порядке, в каком они следует за желтым автоматом. Тогда обгон, в котором не участвует желтый автоматиль, приводит к тому, что на световом табло меняются местами два соседних числа.

Постотрим, что произойдет, если какой-нибудь автоматиль обгонит желтый. Если перед этим обгоном числа на табли образовывали перестановку $a_1, a_2, a_3, ..., a_{24}$, то после обгона они образуют перестановку $a_2, a_3, ..., a_{24}, a_1$. Заметим, что к такой же перестановке можно прийти, выполив последовательное 23 трансозиции:

$$a_1, a_2, a_3, ..., a_{24} \rightarrow a_2, a_1, a_3, ..., a_{24}, a_1.$$

Если же желтый автоматиль совершил обгон, то из перестановки $a_1, a_2, a_3, ..., a_{24}$ мы получим перестановку $a_{24}, a_1, a_2, a_3, ..., a_{24}, a_1.$

Этот переход также можно заменить два соседних числа трансозиции.

Таким образом, либо обгон сводится к нечетному числу трансозиции. Если бы общее число обгонов было нечетным, то нечетным оказалось бы и общее число трансозиции. Остается воспользоваться результатом управления 4.

Уражнения
5. По окружности выписаны в произвольном порядке четыре единиц и пять нуля. В промежуток между двумя одинаковыми цифрами выписается 1, а между разными 0, после чего все первоначальные цифры стираются. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, получить набор из девятей нуля?
6. Петь разорвал листок бумаги на десять кусков, неоторые из этих кусков он снова разорвал на десять части, и т. д. Мог ли Петь получить таким путем 1975 кусочков бумаги?
7. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1975. Разрешается стереть любые два числа

и написать вместе стертых чисел остatok от деления суммы этих чисел на 13. После некоторого числа таких операций на доске осталось одно число. Каким оно может быть?

8. Каждый от 1 до 1 000 000 заменяет числом, равным сумме его цифр. С получившимся числам продаваяют ту же операцию, и так делают до тех пор, пока числа не станут однозначными. Каких чисел в результате получения большие: единиц или двое?
9. Из трехначного числа вычису его цифр. С получившимся числом продаваяют то же самое, и так далее — это раз. Какое в результате получения число?
10. Круг разбит на 10 секторов, в каждом из которых стоит по одной цифре. Одним ходом разрешается любые две фишки передвинуть в соседние секторы, но так, чтобы фишки двигались при этом в противоположных направлениях. Можно ли собрать все фишки в одном секторе?
    11a). В верхне $A_{12}$ правильно 12-угольника $A_1A_2A_3...A_{12}$ поставлен минус, а в остальных вершинах — плоцы. Разрешается выбрать любые три вершины, образующие непрямуюный равноведенный треугольник, и изменить знаки, написанные в этих вершинах, на противоположные. Можно ли с помощью таких операций добиться, чтобы в верхне $A_1$ оказался минус, а в остальных вершинах — плоцы?
    6). Сохранить ли результат управления a), если допустить перемену знака в верхних любого равноведенного треугольника, в том числе и прямогоного? *).
11. В каждой клетке таблицы $4 \times 4$ написан плоскус. Разрешается одновременно менять знак на противоположный во всех клетках одной строки или одного столца. Наименьшее число минус, к которой можно прийти, начав с данной таблицы, называется характерисмкой этой таблицы. Какие значения может принять характерисмкой?
12. По кругу стоит 30 фишек — 10 белых и 20 черных. Разрешается менять местами любые две фишки, между которых стоит еще три фишки. Два расположения фишек называются эквивалентными, если одно из них можно получить из другого, применив несколько раз указанного операцию. Сколько существует неэквивалентных расположений фишек?
13. Числа 1,2,3, …, 1975 записаны по порядку. Разрешается выбрать любые числа и расставить их на тех местах, которые они занимали, но в обратном порядке. Можно ли с помощью таких операций прийти к расположению 1975, 1974, …, 3, 2, 1?

*) Эту задачу прислал в «Квант» ученик 10 класса школь № 3 г. Нахивана Вилаям Гусейов.

36

Задачик
Квана
Задачи
М366—М370; Ф378—Ф382

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 апреля 1976 г. по адресу: 113035, Москва, Ж-35, Б. Ордынка, 21/16, журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задачи вы посылаете, например: «Задачик «Квана», М366, М367» или «… Ф378». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Квана», новая задача по физике или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наиболее трудные задачи отмечень звездочкой.

М366. Можно ли расположить на плоскости несколько треугольников так, чтобы две вершины каждой из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников?

В. Колосов

М367. Может ли произведение a) трех; б) четырех последовательных натуральных чисел равняться неокоторой степени неокоторого натурального числа (квадрату, кубу, и т. д.)?

Д. Флейшман, уч. 10 класса

М368. Докажите, что пересечение трех прямых круговых цилиндров радиуса 1, оси которых попарно взамимо перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержатся в неокотором шаре радиуса $\sqrt{3/2}$.

С. Фомин

М369*. Дан остроугольный треугольник ABC. Н — точка пересечения его высот, γ — окружность с центром H, лежащая внутри этого треугольника. Построите треугольник $A_1B_1C_1$, описанный около окружности γ и вписанный в треугольник ABC (так, что

$$A_1 \in [BC], B_1 \in [AC], C_1 \in [AB].$$

Д. Изаак

М370*. Пусть a, b, c — трейка положительных чисел. Образуем из нее новую трейку:

$$|a-b|, |b-c|, |c-a|,$$

затем из этой трейки по тому же правлу — следующую и т. д. Обязательно ли среди полученных таким образом чисел встретиется 0, если исходные числа a) целые; б) действительны?

Ф378. Пассажиры самолета не испытывали неприятных ошибений, если только их вес в полете не увеличивается более чем вдвое. Какое максимальное ускорение в горизонтальном полете допускает это условие?

В. Смирнитский

Ф379. Внешний диаметр стеклянной капиллярной трубки существенно больше диаметра канала. По-

37

казатель преломления стека $n = \frac{4}{3}$. Видимый через боковую поверхность трубки диаметр канала $d = 2,66$ мм. Определить истинный диаметр канала.

Е. Кузнецов

Ф380. Найти период малых колебаний системы, изобравенной на рис. 1. Стержни считать невероятными, их длины $l_1$ и $l_2$, массы шаров $m_1$ и $m_2$.

Ф381. В устройстве для определения изотопного состоява (масс-спектrografе) однозарядныеоны калия с atomными весами $A_1 = 39$ и $A_2 = 41$ сначала ускоряются в электрическом поле, а затем попадают в однородное магнитное поле, перепедикулярное к направлению их движения (рис. 2). В процессе опыта из-за несовершенства аппаратуры ускоряющий потенциал меняется около среднего значения $u_0$ на величины $\pm \Delta u$. С какой относительной точностью $\frac{\Delta u}{u_0}$ нужно подерживать значение ускоряющего потенциала, чтобы пучки изотопов калия не перекрывались?

С. Козел

Ф382. Найти радиус наиболее капли воды, которая может испариться, не поглотив телла извне.

Решения задач

M326—M329; Ф339—Ф342

Введем следующие обозначения (рис. 1): $O$ — центр окружности, $|AB| = a$ — длина стороны большого квадрата, $|A'B'| = a'$ — длина стороны меньшего квадрата, $(OH) \perp (BB')$. Точки $A$, $H$ и $A'$ лежат на одной прямой. Опустим из точки $O$ перепедикляр на $AA'$: $(OK) \perp (AA')$. Пусть

$$k = \frac{a}{|AH|} = \frac{a'}{|A'H|} = \frac{|KH|}{h}.$$

Тогда

$$a - a' = k(|AH| - |A'H|) = 2k|KH| = 2k^2h.$$

Из $\triangle ABH$:

$$|AB|^2 + |BH|^2 = |AH|^2,$$

т. е.

$$|AB|^2 + \left(\frac{|AB|}{2}\right)^2 = |AH|^2,$$

или

$$k^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = 1,$$

откуда

$$k^2 = \frac{4}{5},$$

и, значит, $a - a' = \frac{8}{5}h.$

Н. Васильев

38

М327. В компании N человек. Каждый из них правитсяровно k любей из этой компании. При каждом наименьшем k можно утверждать, что обязаетлено найдуся два человека из этой компании, которые правятся другие?

M328. По правилам метраэдру ползаом муxa и два nayka. муxa ползаем только no ребрам, а nayки — no всей поверхности. Максимальная скорость муxa в 2 раза больше максимальной скорости nayков.

а) Докажите, что при любом наименьном расположении nayки могут появиться муxa в 2 раза больше максимальной скорости nayков?

б) Верно ли это, если максимальная скорость муxa больше чем в 2 раза превышает максимальную скорость nayков?

в) Как изменится объем, если разрешить nayкам ползаем только no ребрам метраэдра? no всему объему метраэдра? (муxa по-прежнему движется молко по ребрам.)

Обозначим членов компании точками на плоскости (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Тот факт, что A правится B, будем обозначать отрезком со стрелкой, направленный от точки A к точке B. Тогда из каждой точки будет выходитьровно k стрелок, а всего kn стрелок. Nam нужно найти число k₀ — наименьшее значение k, при котором обязаетно хоть на одном отрезке будет поставлены стрелки в обе стороны.

Всего существует $\frac{n(n-1)}{2}$ отрезков без стрелок, соединяющих n точек. Если на каждом отрезке не более одной стрелки, то стрелок не больше, чем $\frac{n(n-1)}{2}$. Значит, если $kn > \frac{n(n-1)}{2}$, то $k \geq k_0$. Отсюда

$$k_0 \leq \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{ если } n \text{ четное,} \\ \frac{n+1}{2}, & \text{ если } n \text{ нечетное.} \end{cases}$$

Докажем, что неравенство (1) можно заменить на равенство. Поставим в формуле (1) знак равенства и показем, что n точек при любом n можно так соединить отрезками со стрелками, что из каждой выходитровно k₀ — 1 стрелок, и ни на одном отрезке нет двух стрелок. Вот один из способов сделать это. Надо n точек расположить в вершинах правильно n-угодника и из каждой точки направить стрелки в k₀ — 1 вершин, следующих за ней по часовой стрелке. Поскольку k₀ — 1 < $\frac{n}{2}$ при всех n, то никакие две стрелки не оказываются на одном отрезке.

А. Колодин, А. Тоом

Обозначим максимальный скорость пукуков и мухи соответственно через $v_{\pi_{\max}}$ и $v_{\mu_{\max}}$. Докажем, что, независимо от того, как разрешено движаться пукум (по ребрам, граням, или же по всему объему тетраэдра), верны следующие два утеверяния.

1°. Если $v_{\pi_{\max}} \leq 2v_{\pi_{\max}}$, то пукуки могут появить муху при любом наименьном расположении.

2°. Если $v_{\pi_{\max}} > 2v_{\pi_{\max}}$, то при некоторых наименьших расположениях пукун не смогут появить муху. Ясно, что утверждение 1° достаточно доказать в самом «плохом» для пукув сличае — когда им разрешено движаться лишь по ребрам тетраэдра; а утверждение 2°, наоборот, в самом «лучшем» для пукув сличае, когда они ползают по всему объему тетраэдра.

Обозначим вершины тетраэдра буквами A, B, C, D, точки, где нахождение мухи и пукуки — M, $\Pi_1$ и $\Pi_2$ соответственно. Будем считать, чтолина ребра тетраэдра равна 1, и что $v_{\mu_{\max}} = 1$.

Докажем утверждение 1°, считая, что пукум разрешено движаться только по ребрам тетраэдра.

Обозначим проекцию точки M на ребро AB через M’ (если M находится на ребре, перепедикулярном ребру AB, то M’ совпадает с серединой ребра AB).

Стратегия пукуков, обеспечивающая полмку мухи, может быть следующей.

Пукук $\Pi_1$ занимает вершину A и движется по ребру AB, пока не достигает точки M’ (это обязательно когда-нибуда

39

произойдет, так как $M'$ не может выйти за точку $B$ — см. рисунок 2). Затем $\Pi_1$ движется по ребру $AB$ так, чтобы все время оставаться в точке $M'$: он может это сделать, если муxa не на ребре $AB$, поскольку $v_M' = v_M \cdot \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол между ребром $AB$ и ребром, по которой движется муxa, а для любого из ребра, кроме ребра $AB$, cos $\alpha \leqslant \frac{1}{2}$ (точнее, cos $\alpha$ равен либою $1/2$, либоную). Но на ребро $AB$ муxa попасть не сможет, так как для этого ей придется проятки либо через вершину $A$, либо через вершину $B$, где она будет попачана пайком $\Pi_1$ ввиду условия $\Pi_1 = M'$.

Итак, муxa не может проятки через точки $A$ и $B$: доступная ей область изображена на рисунке 3, а.

Как видно из рисунков 3,6 и в, паук $\Pi_2$ теперь легко может понимать муху, дивяясь все время к ней и сужая доступную ей область. Утверждение $1^\circ$ доказано.

Перейдем к утверждению $2^\circ$ (телерь мы считаем, что паук разрешено дивяться по всему объему tetraэдра). Оно непосредственно следует из следующей леммы:

Если в момент времени $t$ муxa не понимана и находится в вершине метраэдра, то за время $1$ она может переползти в других вершину метраэдра (т. е. в интервале времени от $t$ до $t + 1$ пауки не смогут понимать муху).

Докажем эту lemму. Пусть муxa находится в вершине $A$. Соединним точки $\Pi_1$ и $\Pi_2$, в которых сидят пауки, с этой вершиной; получим отрезки $\Pi_1A$ и $\Pi_2A$. Докажем, что найдется ребро tetraэдра, исходящее из точки $A$, которое образует с каждой из отрезков $\Pi_1A$ и $\Pi_2A$ улыbi, не менящие $30^\circ$. В самом деле, если бы такого ребра не оказалось, то один из отрезков, например, отрезок $\Pi_1A$, образовывал бы угол меньше $30^\circ$ по крайней мере с двумя ребрами, исходящими из $A$, например, с $AB$ и с $AC$. Но тогда для плоских углов трехранного угла $ABC\Pi_1$ было бы $\widehat{BAC} = 60^\circ$, $\widehat{BA\Pi_1} < 30^\circ$, $\widehat{CA\Pi_1} < 30^\circ$, что невозможно (должно быть $\widehat{BA\Pi_1} + \widehat{CA\Pi_1} \geqslant \widehat{BAC}$).

Чтобы не было понимать, муxa должна с максимальной скоростью дивяться по ребру, образующему с отрезками $\Pi_1A$ и $\Pi_2A$ улыbi, не менящие $30^\circ$. Через единницу времени она дополнет до другого конца этого ребра. Докажем, что на выбранном ребре пауки не смогут понимать муху. Действительно, пусть какой-нибудь паук, например $\Pi_1$, появляет муху в момент времени $t + \Delta t$ в точке $P$ (принадлежащей выбранному ребру; см. рисунок 4), тогда

$$|AP| = \Delta t \cdot v_{M_{\max}} = \Delta t$$
$$(v_{M_{\max}} = 1),$$
$$|\Pi_1P| \leqslant \Delta t \cdot v_{\pi_{\max}} < 1/2 \Delta t = 1/2 |AP|$$
$$(v_{\pi_{\max}} < 1/2 v_{M_{\max}}).$$

Опустим перепendlкуляр $PQ$ на $\Pi_1A$; получим

$$|\Pi_1P| \geqslant |PQ| = |AP| \cdot \sin(\widehat{AP}) \geqslant \frac{1}{2} |AP|,$$

поскольку $\Pi_1AP \geqslant 30^\circ$ в силу выбора ребра.

Итак, с одной стороны $|\Pi_1P| \geqslant \frac{1}{2} |AP|$, а с другой $|\Pi_1P| < \frac{1}{2} |AP|$ — противоречие; следовательно, пауки не смогут понимать муху в интервале времени от $t$ до $t + 1$, и она дополет до другой вершины tetraэдра. Лемма, а значит, и утверждение $2^\circ$ доказано.

A. Ходульев

40

М329. Выпуклы n-уольник помещен в квадрат со стороной 1. Доказим, что найдем три вершины A, B, C эмного n-уольника также, что площадь треугольника ABC меньше 8/n².

Рис. 5.

Обозначим через $a_1, a_2, \dots, a_n$ длины сторона нашего n-уольника, через $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ — величины его внешних углов. Пусть $S_i$ — площадь i-ого треугольника (с стороны $a_i$ и $a_{i+1}$ — см. рис. 5, $i = 1, 2, \dots, n-1$), $S_n$ — площадь треугольника со стороны $a_n$, $a_1$. Имеем: $2S_i = a_i a_{i+1} \sin \alpha_i$, $i = 1, \dots, n-1$, $2S_n = a_n a_1 \sin \alpha_n$. Пусть $S$ — наименьшая из площадей этих треугольников. Тогда

$$2S \leq a_i a_{i+1} \sin \alpha_i,$$

откуда

$$(2S)^n \leq \prod_{i=1}^{n} a_i^2 \prod_{i=1}^{n} \sin \alpha_i < \prod_{i=1}^{n} a_i^{2*}).$$

то есть

$$2S < \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^{2/n}.$$

Но

$$\left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \cdots + a_n^{**}}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n},$$

позетом

$$2S < \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} \right)^2.$$

Пусть $p_i$ и $q_i$ — длины проекций i-й стороны n-уольника на вертикальную и горизонтальную стороны квадрата. Тогда $a_i \leq p_i + q_i$, то есть $\sum_{i=1}^{n} a_i \leq \sum_{i=1}^{n} p_i + \sum_{i=1}^{n} q_i \leq 4$.

Позетом

$$2S < \left( \frac{4}{n} \right)^2,$$

откуда

$$S < \frac{8}{n^2}.$$

Получшаяся оценка довольно груба — мы с самого начала отбросили $\prod_{i=1}^{n} \sin \alpha_i$, оценив это произведение единицей. Уточним эту оценку. Имеем:

$$(2S)^n \leq \prod_{i=1}^{n} a_i^2 \prod_{i=1}^{n} \sin \alpha_i,$$

то есть

$$2S \leq \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^{2/n} \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} \sin \alpha_i \right)^{1/n} \leq \frac{16}{n^2} \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n} \sin \alpha_i}{n}.$$

*) Здесть $\Pi$ — знак произведения: $\prod_{i=1}^{n} a_i = a_1 \cdots a_n$.
**) Мы воспользовались неравенством о среднем арithmeticом и среднем геометрическом.

41

Так как $\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 2\pi$ (как сумма внешних углов $n$-угольника), то мы можем интерпретировать $\sum_{i=1}^{n} \sin \alpha_i$ как удовлетворую площадь вписанного в единичную окружность $n$-угольника с углами $\alpha_i$ при вершине $Q$ — центре окружности (рис. 6). Поэтому $\sum_{i=1}^{n} \sin \alpha_i < 2\pi$, и, значит,

$$S \leq \frac{16\pi}{n^3}.$$

А. Клячко

Ф339. Теннисный мяч попадаем на мягкую ракетку и упруго отракается от нее. Масса мяча много меньше ракетки, а скорость мяча до стольновения с ракеткой равна $v$ и составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с перпендикуляром к ракетке. С какой постоянной скоростью должен построить ракетка для моего, чтобы мяч отразился от нее под прямым углом к направлению первоначального движения? Как до, так и после стольновения с ракеткой мяч не врачается.

◆ При упругом стольновении мяча с неподвижной ракеткой скорость мяча не меняется по абсцилотной величины, но меняет направление. При этом составляющая скорости $v_y$ (рис. 7, а) остается постоянной ($v_y' = v_y$), а составляющая $v_x$ меняет направление на противоположное ($v_x' = -v_x$).

По условияю задачи скорость ракетки должна быть такой, чтобы мяч отракался под углом $\beta = 30^\circ$ (для неподвижного наблюдаателя), т. е. должно выполнять условия (см. рис. 7, б).

$$\frac{|v_y'|}{|v_x'|} = \mathrm{tg} \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$ (*)

Послеtrim, как меняется скорость мяча при стольновении с движущейся ракеткой. Для этого рассмотрим движение в системе координат, связанной с ракеткой, движущейся относительно неподвижной системы координат с постоянной скоростью $w$ (так как масса ракетки много больше мяча, скорость ракетки после стольновения практически не меняется). Поскольку система инерциальная, отражение проискодит по закону «угол падения равен углу отражения».
Скорость мяча в этой системе до стольновения равна $u = v$ — $w$ (см. рис. 7, $\theta$). Составляющие скорости $u_x$ и $u_y$ равны соответствующим $u_x = v_x - w$, $u_y = v_y$. При стольновении составляющая $u_y$ остается постоянной ($u_y' = u_y = v_y$), а составляющая $u_x$ меняет направление на противоположное: $u_x' = -u_x = -v_x + w$.

Рис. 7.

42

В неподвижной системе координат скорость мяча после столкновения равна $v' = u' + w$, причем составляющие $v'_y$ и $v'_x$ равны $v'_y = v_y$, $v'_x = u'_x + w = -v_x + 2w$.

Учитывая, что $|v_y| = |v| \sin \alpha$, $|v_x| = |v| \cos \alpha$, из условия (*)

$$\frac{v \sin \alpha}{v \cos \alpha + 2w} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

найдем w:

$$w = \frac{\sqrt{3} v \sin \alpha - v \cos \alpha}{2} = \frac{v}{2}, \quad w = -\frac{v}{2}.$$

И. Слободецкий

Ф340. Спутник Земли массой $m=10$ кг, движущийся по круговой орбите в высоких слоях аммосферы, испытываем сопротивление разреженной воздуха. Сила сопротивления $F=5 \cdot 10^{-4}$ н. Определять, на сколько изменится скорость спутника за один оборот вокруг Земли. Высому полета спутника над поверхностью Земли считать малой по сравнению с радиусом Земли.

Полная энергия $E$ спутника массой $m$, движущeresя по орбите радиуса $R$, складывает из его кинетической энергии $K = \frac{m v^2}{2} = \gamma \frac{m M}{2 R}$ (скорость спутника на круговой околоземной орбите равна $\sqrt{\gamma \frac{M}{R}}$, где $R$ – радиус Земли) и потенциальной энергии $\Pi = -\gamma \frac{m M}{R}$ (знак «минус» обусловлен характером сил притяжения между спутником и Землей: по мере сближения тел потенциальная энергия уменьшается). Таким образом,

$$E = K + \Pi = -\gamma \frac{m M}{2 R}.$$

В результате действия силы сопротивления энергия спутника меняется, следовательно, меняется радиус орбиты. Подсчитаем изменение радиуса за один оборот.

Энергия спутника за один оборот изменяется на величины $\Delta E$, численно равную работе силы сопротивления на пути $2\pi R$, то есть $\Delta E = -2\pi RF$. Таким образом,

$$\Delta E = -\gamma \frac{m M}{2 (R + \Delta R)} + \gamma \frac{m M}{2 R} = \gamma \frac{m M}{2} \frac{\Delta R}{(R + \Delta R) R}.$$

Предполагая, что $|\Delta R| \ll R$, можно записать

$$\gamma \frac{m M}{2} \frac{\Delta R}{R^2} = -2\pi RF.$$

Учитывая, что $\gamma \frac{M}{R^2} = g$, окончательно получим

$$\Delta R = -\frac{4\pi RF}{g m} \approx -4 \cdot 10^2 m$$

($g = 9,8 \text{ m/сек}^2$, $R \approx 6,4 \cdot 10^6 \text{ m}$).

Видно, что сделанное нами предположение $|\Delta R| \ll R$ справедливо.

Итак, в результате действия силы сопротивления радиуса орбиты спутника уменьшается. Следовательно, скорость спутника увеличивается. Найдем изменение скорости,

Кинетическая энергия спутника на орбите радиуса $R + \Delta R$ равна

$$K_{R+\Delta R} = \frac{m (v + \Delta v)^2}{2} = \gamma \frac{m M}{2 (R + \Delta R)}.$$

44

Парадокс этот легко разрешить, если принять во внимание, что при замыкании цепи у свободных зарядов проводящей жидкости появляется составляющая скорости, направленная перpendикулярно пластином. Следовательно, появляется составляющая силы Лоренца, направленная против скорости v. Так что полная работа силы Лоренца складывается из работы двух ее составляющих. И эта суммарная работа равна нулю. Убедимся в этом.

Перемещение заряда внутри конденсатора от одной пластинки к другой проискодит за счет действия составляющей силы Лоренца, perpendикулярной пластином. Значение этой составляющей

$$F_1 = qvB.$$
Работа, совершаемая силой $F_1$ за единицу времени (т. е. мощность), равна

$$N_1 = F_1v_1 = qvBv_1,$$

где $v_1$ — составляющая скорости заряда, направленная perpendикулярно пластином.

Составляющая силы Лоренца, направленная против скорости v, равна по величины

$$F_2 = qv_1B.$$
Работа, совершаемая этой силой за единицу времени,

$$N_2 = -F_2v_1 = -qv_1Bv$$

(sила $F_2$ действует как тормозящая сила, и потому совершаемая его работа отрицательна).

Таким образом, работа силы Лоренца (если учесть все составляющие силы) действительное оказывается равной нулю:

$$N_1 + N_2 = 0.$$
Источником энергии в данной схеме, очевидно, является насос, протоняющий жидкость через конденсатор. Этот насос должен постоянно совершать работу, так как на жидкость действует сила сопротивления, и все эта работа в конечном случае переходит в тепло, выделяющегося в цепи.

С. Козел

По замкнутой цепи, состоящей из последовательно включенных сопротивлений $R$ и $2R$ и источника с э. д. с. Е и внутренним сопротивлением $r$, идет так

$$I = \frac{\varepsilon}{3R + r}.$$

Пусть padение напряжения на конденсаторах $U_1, U_2, U_3$, а их заряды соответственно $q_1, q_2, q_3$ (см. рис. 8). Сумма padений напряжения на конденсаторах $C_1$ и $C_2$ равна padению напряжения на сопротивлении $R$, т. е.

$$U_1 + U_2 = IR.$$

Сумма padений напряжения на конденсаторах $C_2$ и $C_3$ равна сумме padений напряжения на сопротивлениях $R$ и $2R$:

$$U_2 + U_3 = 3IR.$$

Суммарный заряд выделенной на рисунке схемы равен нулю, т. е. $q_1 - q_2 + q_3 = 0$, или

$$CU_1 - CU_2 + CU_3 = 0.$$

Решая совместно уравнения (1) — (3), найдем

$$U_2 = \frac{4}{3} IR = \frac{4}{3} \frac{\varepsilon R}{3R + r}.$$

Следовательно, заряд конденсатора 2 равен

$$q_2 = C_2U_2 = \frac{4}{3} \frac{\varepsilon R}{3R + r}.$$

И. Словодецкий

45

Головоломки
Сэма Лойда

«Крокет»
Юная леди, которую вы здесь видите, задумалась, как наименьшим числом прямых ударов проводится шар через все верота, начиная с А и кончая Z.
Подсказки, какей поступить.

«Лиса и гусь»
За сколько ходов вы сможете поменять местами гусей и лисиц? В конечной позиции гуси должны находиться на полях 3 и 4, а лисы — на полях 5 и 6.
Передвигать фигурки начинайте с лисицы. Каждый фигурка за один ход передвигается на соседнее поле (кружок).

46

Простой ответ в «Сложной» задаче

В этой статье новь поднимается вопрос о том, как следует решать планимерические задачи – «алгебраические» или же «чисто геометрические»? *) Конечно же, было бы неразумно противопоставлять эти два метода, главная задача при подготовке к вступительным экзаменам — научиться их сочетать. Понски «чисто геометрического» решения целесообразны далеко не всегда — только если оно приходит в голову достаточно быстро. Мы лишь хотим предостеречь будущего абитриента от головоломных вычислений в сравнительно простой геометрической задаче, легко решающся с помощью «чисто геометрической» идеи. Задчи, рассматриваемые в этой статье, допускают разные, иногда очень громоздкие решения, хотя ответы всегда получаются простые. На их примерах можно легко убедиться, насоклько важно уметь «геометрические» мыслить и применять в обшем-то хорошо всем известные теоремы планимерии. Конечно, чтобы найти простое геометрическое решение, нужно проявить изобретательность. Умнение «решить задачу красно» — это искусство, овладеть которым можно, лишь постоянно развивая свое геометрическое мышление и intuцию. А для этого — решайте как можно больше задач, и помните, что понск решения — процесс творческой.

*) См. также статью С. В. Романова и И. Ф. Шары г. ина «Алгебраический метод решения геометрических задач», «Квант», 1975, № 11.

Начнем с таких двух задач.

Задача 1 (МАИ, 1973). В прямоеольном треугольнике один из острых углов равен α. На отрезкахzionенцы, образуемых основанием опущенной на нее высоты, как на диаметрах, построены получокружности, расположенные отzionенцы по одному сторону с данным треугольником. Наименование длины отрезков каметов, заключенных внутри этих получокружностей.

Первое решение. Пусть $CAB$ — данный треугольник (угол $A$ — прямой), $AD$ — его высота, точки $E$ и $F$ — точки пересечения получокружностей с катетами $AC$ и $AB$ (см. рис. 1). Очевидно, что $(DE) \perp (AC)$ и $(DF) \perp (AB)$. Позотому

$$\begin{cases} |DF|^2 = |AF| \cdot |FB|, \\ |DE|^2 = |AE| \cdot |EC|. \end{cases}$$

Введем неизвестные: $x = |DF| = |AE|$ и $y = |AF| = |DE|$.

Тогда, обозначив $|AC| = b$ и $|AB| = c$, получим систему:

$$\begin{cases} x^2 = y(c - y), \\ y^2 = x(b - x), \end{cases}$$

откуда

$$x = \frac{bc^2}{b^2 + c^2}, \quad y = \frac{b^2c}{b^2 + c^2}.$$

Но

$$|FB| = c - y = \frac{c^3}{b^2 + c^2}, \quad |EC| = b - x = \frac{b^3}{b^2 + c^2}.$$

47

Следовательно,

$$\frac{|FB|}{|EC|} = \frac{c^3}{b^3}.$$

Но $\frac{c}{b} = \text{tg}\alpha$, значит, $\frac{|FB|}{|EC|} = \text{tg}^3\alpha$.

Второе решение. Заметим, что

$$\widehat{DCE} = \widehat{DAF} = \widehat{BDF} = x.$$

Позтому

$$\frac{|FB|}{|EC|} = \frac{|DF| \cdot \text{tg}\alpha}{|EC|} = \frac{(|AF| \cdot \text{tg}\alpha) \cdot \text{tg}\alpha}{|EC|} = \frac{|DE| \cdot \text{tg}^2\alpha}{|EC|} = \text{tg}^3\alpha.$$

Мы видим, что для получения ответа вовсе не нужно вводить никаких неизвестных и составлять алгебраические системы, — достаточно лишь заметить, что перечисленные три угла конгруэнтны.

Задача 2. Дан треугольник ABC. Проведена окружность, касающая стороны BC в основании проведенной к ней высотны AD длины h и проходящая через середину стороны AC длины b. Наимену диаметр этой окружности.

Первое решение. На рисунке 2 показано одно из возможных расположений: диаметр DF окружности меньше высоты, окружность пересекает сторону AC в двух точках K и E, из которых верхняя точка E является серединой, и не пересекает второй стороны треугольника.

Обозначим диаметр исключой окружности через x: $|DF| = x$, а длину хорды $KE$ — через y: $|KE| = y$.

Рис. 2.

Приименя теоремы о касательной и секущей, а также о двух секуших, проведенных к окружности из одной точки (C и A соответственно), получаем

$$|CD|^2 = |CK| \cdot |CE|,$$

$$|AF| \cdot |AD| = |AE| \cdot |AK|.$$

Отсюда имеем

$$\begin{cases} b^2 - h^2 = \frac{b}{2} \left( \frac{b}{2} - y \right), \\ h(h - x) = \frac{b}{2} \left( \frac{b}{2} + y \right). \end{cases}$$

Решая эту систему относительно x, находим $|DF| = x = \frac{b^2}{2h}$.

Однако это решение нельзя считать исчерпывающим — ведь остальные неразsobранными другие возможности (например, когда $|DF| > |AD|$, и вторая точка пересечения находится на продолжении стороны AC). Разбор каждого из этих случаев приводит к разным системам и, более того, требует использования разных теорем (в случае $|DF| > |AD|$) понадобится теорема о двух пересекающихся хордах).

Сейчас мы приведем другой, геометрическое решение этой задачи; убедитесь сами, что оно уже не зависит от того, как окружность пересекает стороны данной треугольника.

Второе решение. Соединним точку E с точками D и F. Поскольку DE — медиана, проведенная к гипотенузе прямого углового треугольника CAD, имеем: $|DE| = |AE| = \frac{b}{2}$, и $\widehat{EDF} = \widehat{EAD}$ (углы при основании равноведренного треугольника). Следовательно, прямой угловые треугольники DEF и ADC подобны. Отсюда

$$\frac{|DF|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|AD|},$$

или

$$|DF| = \frac{|AC| \cdot |DE|}{|AD|},$$

то есть

$$|DF| = \frac{b^2}{2h}.$$

48

Рис. 3.

Часто решение геометрических задач алгебраических методом приводит к сложным irrationalным уравнениям. Иногда благодаря дополнительным сообщением этого удается избежать. Вот две типичные задачи.

Задача 3 (ЛГУ, 1973). Определить высоту трапеции, если длины ее оснований равны 6 и 11, длина одной из боковых сторонравна 4, а сумма углов при нижнем основании равна $\frac{\pi}{2}$.

Первое решение. Проведем в трапеции $ABCD$ высоты $BE$ и $CF$ (рис. 3) и положим $|BE| = |CF| = x$. Будем считать, что $|AB| = 4$. Из прямогольного треугольника $AEB$ находим $|AE| = \sqrt{16-x^2}$. Поэтому

$$|FD| = |AD| - (|AE| + |EF|) = (|AD| - |BC|) - |AE| = 5 - \sqrt{16-x^2}.$$

Поскольку сумма углов при основании $AD$ равна $\frac{\pi}{2}$, прямогольные треугольники $AEB$ и $CF$ подобны; следовательно,

$$\frac{|BE|}{|FD|} = \frac{|AE|}{|CF|}.$$

Получаем irrationalное уравнение

$$\frac{x}{5 - \sqrt{16-x^2}} = \frac{\sqrt{16-x^2}}{x},$$

из которого находим высоту трапеции:

$$x = |BE| = 2,4.$$

Второе решение. Сделаем дополнительное построение: проведем $(BK)$ параллельно $(CD)$. Получим (см. рис. 3 и условия задачи) прямогольный треугольник $ABK$, из которого легко находит высота трапеции:

$$|BE| = \frac{|AB| \cdot |BK|}{|AK|} = \frac{|AB| \cdot \sqrt{|AK|^2 - |AB|^2}}{|AK|} = \frac{|AB| \cdot \sqrt{(|AD| - |BC|)^2 - |AB|^2}}{|AD| - |BC|} = \frac{4 \cdot \sqrt{(11-6)^2 - 16}}{11-6} = 2,4.$$

Задача 4. На сторонах $AD$ и $CD$ квадрата $ABCD$ со стороны 3 взяты две точки $M$ и $N$ так, что длина ломаной $MDN$ равна квадрата. Прямые $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $E$. Найти длину отрезка $ME$, если $|NE| = 4$.

Первое решение. Обозначим длину отрезка $DN$ (рис. 4) через $x$. Тогда $|DE| = \sqrt{16-x^2}$. Из подобия треугольников $NDE$ и $BAE$ имеем

$$\frac{|DN|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|AE|},$$

то есть

$$\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{16-x^2}}{3 + \sqrt{16-x^2}}.$$

Это irrationalное уравнение свойится к таким уравнению четвертой степени

$$x^4 - 6x^3 + 2x^2 + 96x - 144 = 0.$$

49

Рис. 5.

Многочлен, получившийся в левой части, раскладывается в произведение двух квадратных треугольников: $x^2 + 2x - 6$ и $x^2 - 8x + 24$. Поэтому $(x^2 + 2x - 6)(x^2 - 8x + 24) = 0$.

Это уравнение имеет единственный положительный корень:

$$x = |DN| = \sqrt{7} - 1.$$

Тепер мы легко находим

$$|ME| = |MD| + |DE| = 3 - |DN| + \sqrt{16 - |DN|^2} = 3 - \sqrt{7} + 1 + \sqrt{16 - (\sqrt{7} - 1)^2} = 4 - \sqrt{7} + \sqrt{(V\overline{7} + 1)^2} = 5.$$

Простой ответ наводит на мысль, что существует другое, менее сложное решение. Вот оно.

Второе решение. Поскольку треугольники BCN и NDE подобны, то

$$\frac{|BC|}{|CN|} = \frac{|DE|}{|DN|},$$

или

$$\frac{3}{3 - |DN|} = \frac{|DE|}{|DN|},$$

то есть

$$3(|DE| - |DN|) - |DN| \cdot |DE| = 0.$$

Прияв во внимание, что $|MD| = 3 - |DN|$, и $|DN|^2 + |DE|^2 = 16$, получим

$$|ME| = |MD| + |DE| = (3 - |DN|) + |DE| = \sqrt{(3 - |DN| + |DE|)^2} = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot 0} = 5.$$

Провив изобретательность, мы смогли обойтись без irrationalного уравнения, решать которое, согласно себе, было не так-то уж и принято!

Одним из самых распространенных среди абитриентов методов решения планиметрических задач является применение тригонометрики. Безусловно, это очень важный и полезный метод, — порой введение тригонометрических функций является естественным и оправданным путем к решению. Однако в каждом конкретном случае следует подумать, нет ли более простого, геометрического решения. Вот показательный пример.

Задача 5 (MГУ, факультет вычислительной математики и киберNETики, 1971). В треугольнике ABC сторона AC больше стороны AB, а угол при вершине A равен α. На стороне AC взята точка R, так что $|AB| = |RC|$. Пусть E — середина отрезка AR, D — середина стороны BC. Найти угол CED.

Первое решение (triгонометриское). Обозначим длины сторон треугольника ABC буквами a, b, c, величины его углов—буквами A, B, C соответственно, а величины искомого угла CED—буквой x.

Тогда (см. рис. 5):

$$\widehat{CDE} = 180^\circ - (C + x),$$

$$|CD| = \frac{a}{2},$$

$$|CE| = |CR| + |RE| = c + \frac{b - c}{2} = \frac{b + c}{2}.$$

По теореме синусов нахождения треугольника CDE:

$$\frac{|CE|}{\sin CDE} = \frac{|CD|}{\sin CED},$$

то есть

$$\frac{b + c}{\sin (C + x)} = \frac{a}{\sin x};$$

из треугольника ABC:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},$$