Квант 1976, №3 · Страницы

Квашт
1976
3
Научно-популярный
физико-математический
журнал

82

Знаментийный физик-теоретик первого половины XX века Пауль Эренфест вместе сженой Татьяной Алексеевной Афанасьевой с 1907 по 1912 год жил в России. Он оказал большое влияние на развитие русской физики. В организационном им домашнем семинаре занимались известные советские физики и математики А. Ф. Иоффе, Д. С. Рождественский, А. А. Фридман, С. Н. Бернштейн и другие. В 1912 году он переехал в Лейden (Голландия), где стал заведовать университетской кафедрой физики вместе выSEDшего в отставку по возрату выдающегося голландского физика Гендрика Лоренца. До последних дней жизни Эренфест сохранял дружеские отношения со многими советскими физками и огромный интерес к нашей стране и ее молодой науке.

Многие советские ученые, командированные за границцу, гостили у Эренфеста. В его доме была выделена специальная комната для гостей, которые перед отъездом по традиции расписывались на одной из стен. Мы воспроизведем здесь два фрагмента этих подписей. На первом отчетливой видны подписи американского физика Робerta Милликена, первым измерившего величины заряда электрона, и Альберта Эйнштейна. На втором фрагменте мы видим подписи профессора А. А. Эйхенвалда и члена-корреспондента АН СССР А. И. Шальникова (помечены цифрами 4 и 5). Кроме них имеются также подписи Эйнштейна, Нильса Бора, Эрвина Шредингера, Поля Дирака, Волфранга Паули и выдающегося немецкого математика Феликса Клейна.

1

Главный редактор
академик И. К. Кионин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

Редакция:
В. Н. Березин
А. Н. Виленкин
И. Н. Клумова
Т. М. Макарова
(художественный редактор)
Т. С. Петрова
В. А. Тихомирова
Л. В. Чернова
(зав. редакцией)

В НОМЕРЕ:

2. В. Болтянский. Загадка «аксиомы паралельных»
3. С. Гиндикин. Волшебный мир Анри Пуанкаре
4. А. Ширшов. Модель Кэли—Клейна геометрия Лобачевского
5. М. Волкенштейн. Квантование и стояние волны

Лаборатория «Кваenta»
34. В. Майер. Ольты по полному внутреннему отражению

Задачник «Кваenta»
36. Победители конкурса «Кваenta»
38. Задачи М371—М375; Ф383—Ф387
39. Решения задач М331—М335; Ф343—Ф347

Практикум абитриента
51. В. Ляховский. Логарифмические и показательные …
58. А. Диденко, Г. Дубровский. Применение диаграмм тепловых процессов
63. Ю. Несмеренко, М. Поманов, А. Складкин, Н. Тяпунина. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

«Кваент» для младших школьников
68. Задачи
69. Е. Семенов. Ошибки Степы Мошкина
74. Ответы, указания, решения
Смесь (с. 25, 50, 67)

На обложке изображена «модулярия фигура», играющая важную роль в теории функций и теории чисел. Первые они появились у Гаусса. С точки зрения модели Пуанкаре плоскости Лобачевского (см. статью «Волшебный мир Анри Пуанкаре») — это покрытие двух плоскостей Лобачевского конгрузительных «равно-бедренными» треугольниками, у которых боковые стороны паралелены, а углы при основании равны 60°. На евклидовой плоскости таких треугольников, конечно, нет. Треугольники, все время уменьшаясь в своих «евклидовских» размерах (но не с точки зрения геометрия Лобачевского), «прижимаются» к линии, разделяющей плоскости.

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Наука», «Кваент», 1976 год

2

Необъчная ассоциация

В одном городе учреждили ассоциацию коллекционеров, объединившую филиалстов, нумизматов, собирателей игольных ушков и т. п. Решили, чтоправление ассоциации должно состоять из нечетного числа персон (это удобно при голосовании). Решили также, чтоправление размещает внутренней связи. А чтобы не условиять устройство внутренней связи, решили коммутатор не установивать, а прямо соединить каждую персону телефонными линиями с какими-либо темя персонами.

— Ну, что же, — сказал один изучредителей ассоциации, — я думаю, такая организация работы правления достаточно удобна.

— Особенно мне нравится, — сказал второй (известный Собиратель математических диковинок), — чтоработуправления можно описать абстрактной аksiomatической схемой. Судите сами, у нас есть три персональных понятия: «персона», «линия», «соединяет», и мы хотим, чтобы выполнялись следующие аksiомы:

1. число персон нечетно;
2. каждая линия соединяетровно две персоны;
3. каждая персон соединена линиямировно с третья другimi персонами.

— Ну, а какой смысл в этой аksiomatике? Можно ли из нее вывести какие-либо теоремы, чтобы получалась «теория», отражающая работу нашего правления?

— Отчего же, известте! Во-первых, аksioma 1 показывает, что хотя бы одна персон существует (ведь нуль — четное число!). Далее, аksioma 3 убеждает нас, что поскольку есть хотя бы одна персона, то найдется еще три другие, так что общие число персон не меньше четырех. наконец, еще раз применяя аksiому 1, находим, что общее число персон

не меньше памяти. Такова первая теорема этой «теории».

— Что же, это утверждение, в самом деле, можно считать теоремой, поскольку вы его доказали, то есть, логически вывели из аксиом.

— Или вот еще пример оценки простой теоремы: среды любых примеров обязательно найдутся две, которые не соединены линей.

— Ну, это понятно: иначе к каждому из этих пяты было бы подведено не менее четырех линей.

— Совершенно верно! Кстати, высказали: линяя «подведена» к персоне. Этот можно делать четкое определение в рамках нашей аксиomatики. Именно, если $A$ — некоторая персона и $l$ — линяя, соединяющая ее с некоторой другой персоной, то пару $(A, l)$ будет называть вводом.

— И теперь можно сказать, что каждая персон $A$ участвуетровно в трех вводах $(A, l_1), (A, l_2), (A, l_3)$. Это и будет означает, что к $A$ «подведены» три линей $l_1, l_2, l_3$ (аксиома 3).

— Прекрасно! — заулыбался Совиратель математических диквинок.

— Продолжая выше рассужждение, можно сформулировать следующую теорему: число всех вводов нечетно. Ведь персон — нечетное число (аксиома 1), и каждая участвуетровно в трех вводах.

Внезапно лице Совирателя омрачилось. Голос его стал уныльным.

— К сожалению, можно доказать также и то, что число вводов четно. Ведь каждая линя $l$ (соединяющая, скажем, персоны $A$ и $B$) участвует в двух вводах: $(A, l)$ и $(B, l)$, так что число всех вводов в две больше числа всех линей.

— Да, но это же противоречит предыдущей теореме?

— В том-то и беда. Выходит, наша аксиomatika промиворецва, разиз нее можно вывести две теоремы, противоречащие друг друга. Так что лоппуля наша теория: систему связи, описываемую аксиомами 1, 2 и 3, просто невозможно осуществить.

Другая аксиоматика

— Что же нам делать? Пойти на то, чтобы число членов правления было четным? Но ведь нам так хотелось этого избежать!

— Почему же, есть и другой выход, — ответил Совиратель математических диквинок. — Оставим аксиомы 1 и 2 прежними, а третью аксиому заменим следующей:

3’) каждая персона соединена линияровно с четырьмя другими персонами.

Правда, придется пропожить большее число линей, но загоскomatika станет непротиворечной, да и теоремы сохраняются. По-прежнему, общее число персон не менее пяты; из любых шести персон найдется две, которые не соединены линей; общее число вводов будет четырьмя аксиомиками! А если так, то кто же может гарантировать отсутствие противоречи?

— О, здесь я вполне уверен! Сейчас я объявило вам причину такой уверенности. Вы ведь, надексь, не сомневается в «правильности» арфметики?

— Нисколько не сомневаюсь; но арфметика-то тут причем?

— А вот причем. Я сейчас из «материала» арфметики построю, как говорят математики, модель для расматриваемой аксиomatики. Кстати, сколько персон (ориентировочно) будет вправленни?

— Думаю, не меньше 30 человек.

— Прекрасно! Условимся считать

4

«персонами» числа 1,2,…, 36,37.

Удобно расположить их на окружности (рис. 1), чтобы за 37 «следующее» было число 1. Теперь «линиями» будем назвать пары чисел, причем лишь такие пары, в которых числа стоит либо рядом, либо через одно на этой окружности. Например, «линиями» будут пары (1; 3), (4; 5), (37; 2); а вот пара (3; 6) «линий» не будет — числа стоит слишком далего друг от друга.

— Каждый, я понял, что вы хотите. В этой, как высказали, модели, есть 37 «персона», т. е. нечетное число (аксиома 1). Каждый линяя соединяетровно две персоны (аксиома 2), так как пара состоит из двух чисел.

Рис. 1.

Кроме того, ясно, что в каждой «персоне» проведеныровно четыре линии (аксиома 3); это можно посчитать схемой, показанной на рисунке 2. Значит, в этой модели выполняются все аксионы 1, 2, 3. Однако почему же это гарантирует непротиворечивость рассматриваемой аксиоматики?

— Так ведь модель-то эта «сделана» из чисел! Если бы из аксиом 1, 2 и 3 можно было вывести две противоречные друг друг теоремы, то это противоречие обнаружилось бы и в этой модели. Выходит, что, рассуждая о числах, мы могли бы получить противоречие. Но, какется, в непогрешности арфметики вы не comневаете?

— Ну, что же, я понял ваш доводы. И, позвольте, повторю их, так сказать, в общем виде. Вы рассматри-

Рис. 2.

ваете д в е теории, P и Q. Теория P (в качестве нее была взята арфметика) не вызывает сомнений, рассматривается, как незыблемая и непогрешная. Теория же Q — это новая теория, определяемая списком аксиом. Нам нужно получить гарантини непротиворечивости теории Q. Для этой целей применяется такой пример: из понятный теории P, как из «строительного материала», пытаются построить модель теории Q, то есть такую схему, в которой все аксионы теории Q выполняются; если это удается сделать, то тем самым непротиворечивость теории Q доказана.

Страна геометрия

— Мы несколько отошли от обсуждения вопросов, связанных с ассоциацией коллекционеров. Но поскольку я коллекционную математические дисковинки, я хочу сейчас предложить вам одну из них: довольно необычную модель геометрии.

— С удобством «взгляну» на эту дисковинку.

— Представьте, что из плоскости

Рис. 3.

6

2000 лет назад дал систематическое ее изложение). Правда, я описал модель не до конца. Не было сказано, как изменять длины, какие треугольники следует считать равноведенными, и т. д. Кроме того, надо добавить еще точку $\infty^*$) для полотны этой модели. Но существуелася: мы построили модель обычной (евклидовой) геометрии.

— Что же получается? Исподная теория $P$ — это геометрия, и из «материала» этой теории построена модель той же самой теории?

— Совершенно справедливо! Привел же эту модель я лишь для того, чтобы показать, что не так уж странно считать кривые линии «прямыми» в некоторых модели **).

Рис. 7.

Трагадия Лобачевского

— А теперь — еще один эксперимент из коллекции математических дисковинок. Речь идет о геометрии, открытой вликим русским математиком Н. И. Лобачевским.

— Насколько я знаю, он построил геометрию, в котором через точку можно проведти более одной параллельной к данной прямой (рис. 7).

— Верно. И хотя все рассуждания Лобачевского были логически без

$\infty$ — это «бесконечно удаленная точка».

**) Читатель мы советем понять, «что» в этой модели «к чему»; для этого полезно воспользоваться инверсей.

Рис. 8.

зупречны, он при жизни так и не дообился признания своих идеей. Слишком уже необучны были выводы.

— Например?

— Ну, например, параллельные прямые слияжаются (рис. 8). Можно даже построить «бесконечный треугольник», стороны которого параллельны (рис. 9). И хотя на рисунке 9 изображены кривые линии, в геометрии Лобачевского существует прямы e, которые имеют так расположены. Далее, сумма углов треугольника всегда меньше 2 $d$ и т. д., и т. п.

— Но ведь это же все не так на самом деле!!!

— Вот, вот! То же говорили и современники Лобачевского. А он понял, что дело-то здесь в том, противореча в лице неет та геометрия, которая получается из положенных в ее основу аксиом; криме того, разговоры: «в действительности все не так», — основаны лишь на том, что нашим наблюдением доступна небольшая часть пространства, где различия между ενклидовой геометрией и его геометрией не заметны (лежат за пределами точности измерений). И, кстати, современная физика все более подтверждает это.

— Удивительно. Но вы, насоколько я понял, хотя говорить о чисто

7

математическое подтверждение правильности геометрии Лабачевского?
— Точнее, о ее непромышленности.

— Ах, понимо! Видимо, вы хотите сказать, что из «материала» какой-то теории $P$, в правильности которого мы не сомневаемся, можно построить модель геометрии Лабачевского?

— Совершенно верно! И этой теории $P$ является вскладова геометрия! Оказывается, из «материала» геометрии Евклида можно построить модель геометрии Лабачевского.

— И что же, Лабачевский знал об этом?

— Нет; но он построил другую замечательную модель. Ему удалось из «материала» своей геометрии построить модель вскладовой геометрии.

— Значит, если бы все были уверены в непогрешности геометрии Лабачевского и сомневались в правильности геометрии Евклида, то этой модель можно было бы убедить всех, что геометрия Евклида тоже непротиворечива! А ведь желательно, чтобы все было наоборот.

Запоздания справедливо

— Вы теперь видите, что Лабачевский хорошо понимаал, что такое модель, и как можно было бы доказать непротиворечность его геометрии. Надо было, приявв вскладу геометрию за исходную теории $P$, построить из ее «материала» модель теории $Q$ — геометрии Лабачевского. Но Лабачевскому не удалось сделать это. Такие модели были найдены лишь после смерти ученого.

— Кто же сделал это?

— Белтрами, Кэли, Клейн, Пуанкаре и другие ученые *).

— И что же, эти модели очень сложны?

*) См., например, статью С. Гиндикина «Волшебный мир Арип Пуанкаре» (с. 9), рассказывает о модели, в котором «точками» служат точки верхней полуплоскости, а прямыми — вертикальные лучи и ortogonalные к граничной прямой верхние полукружности. Подумайте, почему это — одинаковые модели (вспомните об инверсии).

8

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

есты как бы в «бесконечно удаленных точках» паралельны прямои $a$. Ну, а на рисунке 13 изображен «бесконечный треугольник», стороны которого попарно паралельны. Короче, это есть модель именного геометрия Лобачевского. Конечно, я описал эту модель далеко не полностью: надо указыть, как изменяется длины, определенные, какие фигуры считаются равными (конгруэнтными) и т. д. Но в общих чертах модель строится именно так.

— А другие учены, имея которых вы назвали, построили такую модель?

— О нет! Сейчас известно много разных модели геометрия Лобачевского. Например, в работах Клейна и Кэли построена модель, в которой тоже рассматривается только точки, лежащие внутри некоторого кругга $K$, но «прямыми» у них считаются хорды этого кругга (без концов). На этой модели еще проще видеть, что через точку впрямой $a$ проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих с $a$ (рис. 14). Однако углы, например, в этой модели изменяются сложнее, чем в модели Пуанкаре.

— Да, ваш «математические доказанки» очень интересны. Тепер поянято значение открытия Н. И. Лобачевского, который не только построил совершенное необъичную геометрию, но и положил начало для нахождения все новых и новых «геометрий». Я слышал, что математика сейчас рассматривает много разных пространств и геометрий, причем они применяются в физике и других областях. Наверно, и в вашей коллекции есть немало удивительных пространств, геометрий, математических «миров»?

— Есть, конечно. Но об этом по-goворим как-нибудь в другой раз.

9

С. Гиндикин

Волшебный мир
Анири
Пуанкаре

Я описал воображаемый мир, обитатели которого неминуто должны были бы прийти к созданию геометрии Лобачевского.

А. Пуанкаре

Когда сегодня расссказывают историю геометрии Лобачевского, может сложиться впечатление, что докажи создатели неевклидовой геометрии ее непротиворечность — и она была бы благосклонно принята. Однако прежде всего критков смущало не отсутствие этого доказательства. Люди привыкли, что геометрия имеет дело с нашим реализным пространством и что это пространство описывает неевклидовой геометрией. Характерно, что Гаусс выделил геометрию среди остальных разделов математики, считая ее подобно механике экспериментальной науки. Но при этом Гаусс, так же как и Лобачевский и Бойяи, понимал, что, во-первых, возможность логических стройные геометрические построения, за которых не стоит физическая реальность — «воображаемые» геометрии, и, во-вторых, не только бесспорно, что встроенные масштабах в нашем мире царит геометрия Евклида. Однако то, что понимали лишь немного математики, было абсolutно недоступно непрофессионалам. Утверждение геометрии Лобачевского они мерили наевклидов аршин своей геометрической интуициии — и получали неисчерпаемый источник для острумия.

Н. Г. Чернышевский писал сыновым из ссылки, что над Лобачевским смялась вся Казань: «Что такое «кривизна луча» или «кривое пространство»? Что такое геометрия без аксиомы паралельных линей? Он сравнивает это с «возведением салог в квадраты» и «извлечением корней из голенищ», и говорит, что это столбже неелепо, как «писать по-русски без глаголов» (здесь достается Фету: «шеlect, робкое дыхание, трели соловья», над которых, оказывется, тоже «хохотали до боли в боках»).

Новый этап в развитию неевклидовой геометрии настояml, когда по-

10

явились первые ее модели *). Сейчасмы воспринаем эти модели как средство для доказательства непротивовостни геометрии Лобачевского; но они были заменять не только этим. Даже при благожелательном взгляде геометрия Лобачевского казалась чересур изошренной, не связанной с остальной математикой, а модель Кэли — Клейна показала, что она естественным образом возникает на столбовой дороге проектной геометрии, очень популярюй в то время! С другой стороны, расстояние модели, основные понятия которого конструкция из образов привлечной нам евклидовой геометрии, давало возможность заменить формульное аксиоматическое изложение неевклидовой геометрии более наглядным.

Еще одну модель придумал Ани Пуанкаре, занимаясь чисто аналитически вопросами теории функций комплексного переменного. Он неожиданно обнаружил, что появляющиеся у него преобразования можно интерпретировать как перемещения в плоскости Лобачевского. Это открытие произвело на него настоящко сильное впечатление, что много лет спустя он вспоминал, как оно пришло ему в голову: «без всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий», когда он поднимался на подножку omnibуса во время экскурсии в Кутанс. Через десять лет Пуанкаре сделал замечательное дополнение к своей модели — подвел под нее «физическая» основание. Рассказу о модели Пуанкаре и посвящена эта статья.

Экскурсия в физике

Наши геометрические представления имеют физические предложки. На

*) О моделих см. статьи В. Болтянского «Загадка аксиомы параллельных» (с. 2) и А. Ширшова «Модель Кэли — Клейна геометрия Лобачевского» (с. 18), а также статью С. Гиндикина «Феликс Клейн», опубликованную в «Кванте» № 12 за 1975 год.

пример, как прямые мы воспринаем световые лучи. Идущий к нам световой луч продолжает казаться прямым, даже если он преломился по дороге (например, войдя из воздуха в воду). Чтобы рассеять эту или позacentить эксперимент, или посмотреть на проискодящее со стороны.

Пусть у нас есть оптически недорогая среда на верхней полуплоскости (y>0), в котором величина скорости света меняется по закону $c(x, y) = y$ (независимо от направления луча). Из принципи Ферма следует, что пусть распространения света между двумя точками есть такой путь, для прохождения которой свету требуется наименьшее возможное время. В нашей среде (где $c(x, y) = y$) свет между двумя точками будет распространться по таким кривым $L$ (рис. 1), для которых

$$\frac{\sin \alpha(y)}{y} = k,$$

где $\alpha(y)$ — угол, который касательная, проведенная к $L$ в точке с ordinатой $y$, образует с вертикалью *); $k$ — фиксированное для всех точек кривой $L$ число. Ясно, что условию (1) удовлетворяет все окружности с центрами на оси $x$-ов (то есть, перпендикулярные этой оси); для каждой точки окружности $k = \frac{1}{r}$, где

*) См. статью С. Верова «Брахистохрона, или еще одна тайна циклопды», «Кванте», 1975, № 12.

11

r — ее радиус. При $k=0$ мы получаем вертикальные прямые. Можно показать, что других кривых, удовлетворющих условию (1), нет; этому есть и физическое объяснение (например, такое: свет распространется из заданной точки в заданном направлении по единственному пути).

Окружности, перpendикулярные к оси $x$-ов, и вертикальные прямые (вернее, их части, расположенные в верхней полуплоскости) и будут главную роль в нашем расссказе.

«Пуанкария» и ее геометрия

Мир Пуанкаре (назовем его в честь создателя Пуанкарей) представляет собой верхнюю полуплоскость $((x, y)$,

Рис. 2.

$y>0$ без границ $y=0$ (это важно!) . Существва, населяющие Пуанкарию (пуанкарейе), воспринят как «прямы» верхние полупружности с центрами на оси $x$-ов (без концов!) и вертикальные лучи (рис. 2). Будем называть эти прямые п-прямыми. П-прямы каждой пуанкариом бесконечными (свет распространется по ним неограниченно долго), а концы п-прямы, — как и все х-ов, — невидимыми. Итак, пуанкарие считают, что их Пуанкария неограниченная во все стороны. На

*) Можно было бы рассмотреть и «трехмерный» мир, но на плоскости проще рисовать картины, и ради этого мы будем иметь дело с «плоскими» существами.

зовем невидимые точки п-прямой ее бесконечно удаленными точками; для луча одной из его бесконечно удаленных точек будем считать точку $\infty$ (beсконечность). П-прямы однозначно определяются парой своих бесконечно удаленных точек (почему?); так мы их и будем разливать и обозначать через $L(\alpha, \beta)$, где $\alpha, \beta$ — вещественные числа (одно из них может быть $\infty$) — координаты.beсконечного удаленных точек на оси $x$-ов.

Попробуем вместе с пуанкариями построить геометрию их пространства. Как и нам, — при жизни вевклидовом пространстве, — некоторые утверждения касаются пуанкариным оченьными, они приннимают их без доказательства (аксиомы) и выводят из них более сложные утверждения (теоремы). Для нас, смотрящие на Пуанкарию со стороны, все эти утверждения будут выгладеть инчете, чем для пуанкари (например, п-прямы для нас получаются или лучи!), поэтому мы будем «переводить» формулировки пуанкарина на свой «прозанческий» евклидов язык и доказывать по-своему.

Например, пуанкарие знают, что через две различные точки полуплоскости проходит единственная полупружность, перpendикулярная к оси $x$-ов, или вертикальный луч (доказhte!); см. рисунок 2. Заметим, что физическое объяснение этого утверждения, состоящее в том, что свет между двумя точками распространется по единственному пути — одно и то же и для пуанкарии, и для нас (впрочем, для геометрии это объяснение доказательной силы не имеет). Нетрудно убедиться, что в Пуанкарии справедливы все аксиомы евклидов геометрии, касающиеся взаимного расположения точки и прямых и порядка точек на прямой. (Что бы привлекнуть к Пуанкарии, разберите с п-отрезками, п-полуплоскями, на которые п-прямая делит Пуанкарио

12

так, что п-отрезки, соединяющие точки в одной п-полупоскости, не пересекают граничную п-прямую, а п-отрезки, соединяющие точки в разных п-полупоскостях — ее пересекают; нарисуйте п-треугольники, п-многоугольники; подумайте о п-выпуклости, если вы знаете об «объчной» выпуклости. Вам помогут рисуки 3a и 36.)

Отличие геометрии Пуанкарии отевклидовой прояляется при расстоянии взаимного расположения пары п-прямых. Мы уже знаем, что две различные п-прямы могут пересекаться не более чем в одной точке. Если же они не пересекаются, то они имеют общую бесконечную удаленную точку (невидимую!) или не имеют общих точек даже на невидимой границе. В первом случае мы будем называть такие п-прямы паралелями, а во втором — сверхnapалелями. Если имеется п-прямая $L(\alpha, \beta)$, то через точку вне ее проходят только две паралелые $L(\alpha, \beta)$ п-прямы (отвечающие бесконечную удаленным точкам $\alpha$ и $\beta$ соответственно; рис. 4) и бесконечное множество сверхnapалелых, лежащих между паралелями. Таким образом, в Пуанкарии неправедлива аксиома паралелых (нас, наблюдаемый, в проем, это не оченьудивляет — ведь пуанкаряне не знают, что их «прямы» — «не настоящие»!); это позволяет нам надеяться на то, что геометрия Пуанкарии и окажется геометрией Лобачевского.

Главное, что теперь нам нужно сделать, — определять в Пуанкарии расстояния и перемещения.

Расстояния и перемещения

С точки зрения оптики естественное всего в качестве расстояния между точками $A$ и $B$ взять в Пуанкарии времени, за которое свет должно из точки $A$ в точку $B$: тогда п-прямы будут кратчайшими линями между лежащими на них точками. Из физических соображений следует, что определение таким образом расстояние $\rho(A, B)$ обладает общными свойствамиев сколидова расстояния:

1. $\rho(A, B) = \rho(B, A)$;
2. если $A, B, C$ лежат на одной п-прямой

Рис. 3a.

Мой и $B \in [AC]$, то $\rho(A, B) + \rho(B, C) = \rho(A, C)$ (свет расстояния из $A$ в $C$ по п-прямой и пройдет через точку $B$);

3. для любых точки $A, B, C: \rho(A, B) + \rho(B, C) \geq \rho(A, C)$ — неравенство треугольника, причем равенство имеет место лишь тогда, когда $B \in [AC]$ (если бы это неравенство не выполнялось, то свет на путь по ломаной $ABC$ попадилось бы меньше времени, чем на путь по п-прямой $AC$ — наиболеешемему пути, чего не может быть).

Для пуанкарян введенное расстояние $\rho$ первый (заметим, что относительно этого расстояния свет расстояния с единной скоростью), и у них нет причин выра-

14

П-симметрии относительно п-примых. Для лучей — это общная осевая симметрия, а для получения инверсия *). (Например, п-симметрия относительно п-примой $L(-1,1)$ — это инверсия относительно окружности с центром $O=(0;0)$ радиуса 1; она переводит точку $A$, отличную от центра $O$, в точку $A'$, лежащую на луче $OA$, такую, что $|OA| \cdot |OA'|=1$). Мы знаем, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности или прямые, причем величины углов сохраняются. На языке Пуанкарии это значит, что, например, при п-симметрии относительно п-примой $L(-1,1)$ п-прима $L(\alpha,\beta)$ переходит в п-примую $L\left(\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta}\right)$. В частности, п-примы $L(\alpha,0)$, являющиеся при $\alpha \neq \infty$ полученными, переходят в п-примы $L\left(\frac{1}{\alpha},\infty\right)$, являющиеся лучами. Итак, п-симметрии переводят Пуанкарию в себя, причем п-примы переходят в п-примы. Отделно проверяется (мы эту проверку опускаем), что п-симметрии не меняют п-расстояния $\rho$. (Впрочем, в Пуанкарии всякое преобразование, переводшее п-примы в п-примы, сохраняет $\rho$ (здесь нет готовый); в этом — важнейшее отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.)

*) См. статью А. Савин на «Инверсия и окружность Аполлония», «Квант», 1971, № 8, или решение задачи М305, «Квант», 1975, № 9.

П-перемещений, которые можно получить, комбинируя п-симметриями, ужеxbатает для того, чтобы любую п-примую перевести в любую п-примую; более того, при этом любую заданную точку первой п-примой можно совместить с заданной точкой второй, и любой п-лучс с другой п-лучом (доказайте!). Значит, этими п-перемещениями можно совместить любые п-отрезки равной п-длинны, и мы получаем, что такие отрезки п-конгруэнтны. Можно показать, что все п-перемещения свойства к описанным.

При п-перемещениях угол переходит в угол, равный ему вевклидовом смысле (поскольку это так для параллельных переносов, готовый, осевых симметрии и инверсии). Поэтому понятие конгруэнтности углов в Пуанкарии не отличается отевклидова. С учетом этого обстоятельства Пуанкарие, точно так же как и мы, докажут два признака конгруэнтности треугольников: по двум сторонам и углу между ними и по стороне и двум приложшим к ней углам. Сложнее обстоятельство с доказательством треугольников — по тем сторонам: ведь наше доказательство этого признака использует тот факт, что окружности пересекаются не более, чем в двух точках. К счастью, оказывается, что п-окружности совпадают севклидовыми (целиком лежащими в верхней полуплоскости), только п-центр у них не совпадает с общным (это — довольно непростой

15

факт), а потом и с признаком конгруэнтности по тем сторонам в Пуанкарии все в порядке. Однако в Пуанкарии есть еще один признак конгруэнтности треугольников: конгруэнтны треугольники с попятайтесь доказать его; см. рисунок 5 и задачу 4.) Значит, площадь треугольника в Пуанкарии (как и сам треугольник) определяется величины его углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше $\pi$. Величина $\pi$—($\alpha+\beta+\gamma$) называется дефектом треугольника. Можно заметить, что дефект треугольника ведет себя так же, как площадь; точнее: если данные треугольник разрезать прямой, проходящей через его вершину, то площадь его будет равна сумме площадей получившихся треугольников; то же будет справедливо и для дефекта всякого треугольника: он равен сумме дефектов образованшихся треугольников (рис. 6). Отсюда можно вывести, что величина площади треугольника в геометрии Лобачевского пропорциональна дефекту $\pi$—$\alpha$—$\beta$—$\gamma$.

Неколько задач

1. a) Убедитесь, что все п-примы, перpendикуляры к фиксированной п-примой, сверхпаралелены (рис. 7). b) Покажите, что для пары сверхпаралелей существует общий п-перpendикуляр (рисунки 8, а и б).

2. Проверьте, что п-биссектрисы п-треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной п-окружности. Подумайте, что можно сказать об описанной п-окружности — всегда ли она существует (см. рисунок 9: на этом рисунке п-треугольники $A_iBC_i$ — равноведенные, с осью симметрины $L(0, \infty)$; $i = 1, 2, 3$; снимом цветом изображены перpendикуляры к п-серединам сторон этих треугольников)?

3. Убедитесь, что у тупоугольного (но не остроугольного) п-треугольника высоты могут быть сверхпаралелены (на рис. 10; стороны треугольника показаны снимом а его высоты — красным). Что можно сказать о медианах?

4. Покажите, что у равноведенного п-треугольника углы при основании равны,

17

метим, что в этих условиях при помощи обычного термометра пункароне не могут изменить температуру, поскольку такое изменение предполагает сравнение расширения тела с разными коэффициентами теплового расширения.) Твердое тело характеризуется тем, что при движении в среде с постоянной температурой расстояние $r(A, B)$ (евклидово) между любыми двумя его точками $A$ и $B$ сохраняется. Но если тело переместится из области с температурой $T_1$ в области с температурой $T_2$, то расстояние между его точками уменьшится на $T_2/T_1$, другими словами, остается прежним относение $r(A,B)/T$. А что будет, если тело сразу окажется в области с разными температурами?

Рис. 12.

Какая величины будет сохранять в этих условиях? Пусть, например, достаточно большое термодное тело перемещается в среде, где по одному стороны от некоторой прямой $m$ температура $T_1$, а по другую — $T_2$; пусть $A$ — точка тела, находящаяся в области с температурой $T_1$, а $B$ — точка тела, находящаяся в области с температурой $T_2$. Возьмем ломанную с концами в точках $A$ и $B$ и вершиной $C$ на прямой $m$. Обозначим $|AC|=r_1$, $|CB|=r_2$ и расстояние $r_1/T_1+r_2/T_2$. Оказывается, что при движении в такой температурной среде сохраняется наименьшее значение величины $r_1/T_1+r_2/T_2$, взятое по всем ломанным с вершинами на прямой $m$ и с концами в двух данных точках $A$ и $B!$ Далее можно в точности повторить те же расхождения, что и при применении принципа Ферма, например, к выводу закона преломления Снеглиуса, и мы получим, что искomme наименьшее значение будет отвеять ломаной, для которой $\frac{\sin \alpha_1}{T_1} = \frac{\sin \alpha_2}{T_2}$, где $\alpha_i$ — угол соответствующего звена ломаной с нормалью к прямой $m$.

Пусть теперь в Пуанкарии в точке $(x; y)$ постоянно поддерживается абсолотная температура $T(x, y)=y$. тогда за счет выбранного температурного режима при движении твердых (в нашем смысле!) тел будут сохранять уже не ενклидовы расстояния, а п-расстояния, и с точки зрения Пуанкарии (ведь они не чувствуют разницы температур!) размер тела, движущегося в такой среде, сохраняется, то есть оно — п-твердое. Осталось позаботиться лишь о том, чтобы все предметы имели малые тепломкости и перемещались настолько медленно, чтобы нахождение в тепловом равновесии, и чтобы изменение температуры было для Пуанкарии незаметно. В результате Пуанкарие не только не увидят границы мира, но и не смогут никакого добраться до нее: при приближении к границе температура стремится к абсолотному нулю, а потом будет стремиться к нулю и разметы предметов, без изменения пропорций между предметами. Анри Пуанкаре старался исключить для Пуанкарии все возможные узнать, что их неевклидов мир всего лишь сконструирован в нашем евклидовом. Но все ли он предусмотрел? Если вы обнаружите какие-либо неученные возможности Пуанкарии, напишите нам об этом.

18

А. Ширцов

Модель Кэли-Клейна геометрия Лобачевского

В этой статье рассматривается модель плоскости Лобачевского, отличная от модели Анри Пуанкаре, о которой рассказано в статье С. Гиндикина «Волшебный мир Анри Пуанкаре».

Определение «плоскости»

В геометрии Евклида мы имеем дело с точками и прямыми obliquной плоскости, и с помощью всем известных перемещений (параллельных переносов, осевых и центральных симметрий и поворотов) может любую точку плоскости перевести в любую другую, любые две точки, лежащие на заданном расстоянии, перевести в другие две точки, лежащие на таком же расстоянии, и любые две прямые перевести в две прямые, образующие такой же угол. Сейчас же мы рассмотрим геометрию, мочиками которой будет внутреннее точки неокружности), а прямыми — всевозможные хорды этого круга (без концов); опишем все перемещения такой «плоскости», и затем введем расстояния между «точками» и улы между «прямыми» так, чтобы они сохранялись при указанных перемещениях.

Можно проверить, что геометрия, которое мы построим, «ничем не хуже» евклидовой: в ней будет выполенены все аксиомы, кроме «аксиомы параллельных»: легко видеть, что теперь через «точку» вне «прямой» можно проверить более одной, ее «не пересекающей». На рисунке 1 через точку $A$, не лежащую на хорде $L$, проведены две хорды — $L_1$ и $L_2$, имеющие с $L$ по общему концу; эти хорды $L_1$ и $L_2$ называются параллельными $L$, поскольку мы рассматриаем как прямые хорды без концов, и с нашей новой точки зрения прямая $L$ не пересекается ни с $L_1$, ни с $L_2$. (Отметим также, что прямые, «не пересекающие» с $L$, расположены в области, ограниченной прямыми $L_1$ и $L_2$, закрашенной синним, а прямые, пересекающие с $L$ — в незакрашенной области.) Значит, «новая»

20

Будем теперь считать перемещением любое отображение, получающееся в результате последовательного выполнения нескольких элементов перемещений.

Элементарные перемещения, а значит, и перемещения, все точки какой-либо хорды переводят в точки некоторой хорды, и образ пересечения двух хорд при каком-либо перемещении совпадает с пересечением образов этих хорд.

Наши перемещения переводят прямые в прямые, причем любая точка первого прямой может быть переведена в любую точку второй (проверьте это).

Задача 1. В окружность вписана равновесная трапеция, боковые стороны которого пересекаются в точке P, а диагонали — в точке Q; d — диаметр, лежащий на прямой PQ. Доказите, что $\varphi_d = \varphi_P \varphi_Q = \varphi_Q \varphi_P$ ($\varphi_M \varphi_N$ означает последовательное выполнение перемещений $\varphi_M$ и $\varphi_N$).

Теперь нужно определить «расстояния» между точками нашего круга и «углы» между прямыми так, чтобы они сохранялись при описанных перемещениях.

Расстояния и углы

Пусть C и D — две точки нашего круга. Проведем через них «прямую» — хорду AB, соединим точки A, C, D и B с некоторой точкой P, не лежащей на окружности, и обозначим углы, образовавшиеся при точке P, через α, γ и β (см. рис. 2). Расстоярим относение $\frac{|AD| \cdot |BC|}{|AC| \cdot |BD|}$. Имеем:

$$\frac{|AD| \cdot |BC|}{|AC| \cdot |BD|} = \frac{S_{APD} \cdot S_{PBC}}{S_{PAC} \cdot S_{DPB}} = \frac{|AP| \cdot |PD| \sin(\alpha + \gamma) \cdot |PC| \cdot |PB| \cdot \sin(\beta + \gamma)}{|AP| \cdot |PC| \cdot \sin\alpha \cdot |PD| \cdot |PB| \cdot \sin\beta} = \frac{\sin(\alpha + \gamma) \cdot \sin(\beta + \gamma)}{\sin\alpha \cdot \sin\beta}.$$

(Здесть $S_{XYZ}$ — общная площадь треугольника $XYZ$.)

Понятно, что если $C'$ и $D'$ — образы точек C и D при элементарных перемещениях $\varphi_P$ (или $\varphi_d$), то

$$\frac{|A'D'| \cdot |B'C'|}{|A'C'| \cdot |B'D'|} = \frac{|AD| \cdot |BC|}{|AC| \cdot |BD|}$$

(поскольку углы α, β и γ не меняют свое величины), и, следовательно, элементарные перемещения, а значит, и перемещения вообще, сохраняют это относение.

Определим «расстояние» между любыми двумя точками C и D так:

$$\rho(C, D) = \log_q \frac{|AD| \cdot |BC|}{|AC| \cdot |BD|},$$

где q > 1 — некоторое фиксированное число.

Важное замечание. При определении расстояния существен порядок точек на прямой AB, именно: если мы ищем расстояние $\rho(C, D)$, то точка A — соседняя с C точка, а точка B — соседняя с D точка; если же мы ищем $\rho(D, C)$, то A — соседняя с D точка (соответственно B — соседняя с C точка).

Для общного расстояния между точками C и D мы сохраним общание $|CD|$. Из формулы (1) следует, что $\rho(C, D) \geq 0$, причем $\rho(C, D) = 0$ лишь в том случае, когда точки C и D совпадают (то есть $\gamma = 0$). Кроме того, $\rho(C, D) = \rho(D, C)$. Если же есть три точки, C, D и E, лежащие на одной прямой, причем точка D находится между точками C и E, то

$$\rho(C, D) + \rho(D, E) = \rho(C, E)$$

(проверьте оба утверждения).

21

Задание 2. Докажите, что для произвольных трех точек $A, B$ и $C$ выполняется «неравенство треугольника»:

$$\rho (A, C) + \rho (B, C) \geq \rho (A, B).$$

Таким образом, расстояние $\rho$ ведет себя как и обычное.

Задание 3. Докажите, что для любой прямой $AB$, любой точки $C$ на ней и любого положительного числа $t$ можно указыть две такие различные точки $D$ и $D_1$ на прямой $AB$, что $\rho (C, D) = \rho (C, D_1) = t$. Другими словами, докажите, что от точки можно отложить отрезок любой длины.

Две фигуры (например, треугольники, отрезки, углы) мы будем называть конгруэнтные отрезки имеют равную длину.

Задание 4. Докажите существование и единственное середины отрезка.

Задание 5. Докажите, что отрезки, имеющие одинаковую длину, конгруэнтные.

Осталось ввести величины угла.

Пусть есть неокторный угол с вершиной в точке $C$, — угол $C$. Возьмем любое перемещение, переводящее точку $C$ в центр данного кругга, и положим вершину угла $C$ равной эквлидовой вершине угла (с вершиной в центре кругга), в которой угол $C$ переходит при этом перемещении. Из дальнейшего будет следовать, что эта вершина не зависит от выбора перемещения. (Попытайтесь получить это самостояльно, доказав, что повороты вокруг центра нашего кругга являются перемещениями и в геометрии Лобачевского.)

Рис. 3.

Teорема косинусов

Введем такие обозначения: если $l$ — неокторный отрезок, то $|l|$ — его общая (евклидова) длина, $\{l\}$ — его длина в новом смысле, а $[l] = \frac{q \{l\} - 1}{q \{l\} + 1}$ ($q > 1$ — основание логарифма в определении расстояния $\rho$). Заметим, что вершина $[l]$ всегда меньше единицы (но больше нуля).

Рассмотрим треугольник $ABC$, у которой вершина $C$ совпадает с центром кругга. Пусть $|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c$, и $r$ — радиус кругга. Продолжим сторону $AB$ до пересечения с окружностью в точках $M$ и $N$, соединим точки $M$ и $N$ с вершиной $C$ (рис. 3) и обозначим образованные углы через $\alpha$, $\gamma$ и $\beta$ ($\gamma$ — угол при вершине $C$ треугольника $ABC$).

Тогда $M\hat{N}C = N\hat{M}C = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}$, и по общей теореме синусов находится:

$$\frac{|a|}{r} = \frac{\cos \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}},$$

$$\frac{|b|}{r} = \frac{\cos \frac{\alpha + \beta + \gamma}{2}}{\cos \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}}.$$

22

Далlee:

$$\{a\} = \log_q \frac{r \cdot (r + |a|)}{r \cdot (r - |a|)} = \log_q \frac{r + |a|}{r - |a|},$$

и поэтому

$$[a] = \frac{|a|}{r}. \tag{4}$$

Аналогично,

$$[b] = \frac{|b|}{r}. \tag{5}$$

В силу формулы (1)

$$\{c\} = \log_q \frac{\sin(\alpha + \gamma) \cdot \sin(\beta + \gamma)}{\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)},$$

значит,

$$[c] = \frac{\sin(\alpha + \gamma) \cdot \sin(\beta + \gamma) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha + \gamma) + \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)}. \tag{6}$$

Из соответствия (4) — (6), с учетом (2) и (3), несложными, но довольно громоздками вычислениями получаем, что

$$\frac{(1 - [a]^2)(1 - [b]^2)}{1 - [c]^2} = (1 - [a] \cdot [b] \cdot \cos \gamma)^2. \tag{7}$$

Соотношение (7) является аналогом теоремы косинусов общной геометрии. Так как при перемещениях величины $\{a\}, \{b\}$ и $\{c\}$, а следовательно, и $[a], [b], [c]$, не меняются, то этим соотношениям определяние величины угла, данное в предыдущем пункте.

Докажем теперь два замечательных утверждения геометрии Лобачевского.

Две теоремы

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше π.

Доказательство. Рассмотрим вначале прямоугольник ABC, с прямым углом при вершине C: $\hat{C} = \frac{\pi}{2}$ (рис. 4). Из теоремы косинусов следует, что

$$(1 - [a]^2)(1 - [b]^2) = 1 - [c]^2, \tag{8}$$

или

$$[c]^2 = [a]^2 + [b]^2 - [a]^2 \cdot [b]^2.$$

Далlee, из этой же теоремы (см. рис. 4)

$$\frac{(1 - [a]^2)(1 - [c]^2)}{1 - [b]^2} = (1 - [a] \cdot [c] \cos \beta)^2;$$

подставив сюда выражение (8) для $1 - [c]^2$, получим

$$\frac{(1 - [a]^2)^2(1 - [b]^2)}{1 - [b]^2} = (1 - [a] \cdot [c] \cos \beta)^2,$$

откуда

$$1 - [a]^2 = 1 - [a] \cdot [c] \cdot \cos \beta,$$

и

$$\cos \beta = \frac{[a]}{[c]},$$ то есть $\beta = \arccos \frac{[a]}{[c]}$.

23

Аналогично, $\alpha = \arccos \frac{[b]}{[c]}$, и мы получаем, что

$$\alpha + \beta = \arccos \frac{[a]}{[c]} + \arccos \frac{[b]}{[c]} = \arccos \frac{[a] \cdot [b] - \sqrt{([a]^2 - [a]^2)([c]^2 - [b]^2)}}{[c]^2}.$$

Поскольку $[c]^2 = [a]^2 + [b]^2 - [a]^2 \cdot [b]^2$, то выражение, стоящее под знаком последнего арккосинуса, можно преобразовать в такое:

$$\frac{[a] \cdot [b] - \sqrt{([a]^2 - [a]^2)([b]^2 - [a]^2[b]^2)}}{[c]^2} = \frac{[a] \cdot [b]}{[c]^2} \left(1 - \sqrt{(1 - [a]^2)(1 - [b]^2)}\right),$$

и так как $0 < [a] < 1$ и $0 < [b] < 1$ (см. ранее сделанное замечание), то последнее выражение положительное; значит арккосинус от него строго меньше $\frac{\pi}{2}$, и мы получаем, что $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$, то есть

$$\alpha + \beta + \hat{C} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.$$

Случай прямогольного треугольника разобран.

Рассмотрим теперь произвольный треугольник $ABC$ и предположим, что $\{c\}$ — самая длинная его сторона. Опустим из точки $C$ на сторону $AB$

Рис. 4. Рис. 5.

перpendикULAR $CD$. Он разбивает наш треугольник $ABC$ на два прямогольных: треугольник $ACD$ с «острыми» углами $\alpha$ и $\gamma$ и треугольник $BCD$ — с углами $\delta$ и $\beta$ (рис. 5). По доказанному, $\alpha + \gamma < \frac{\pi}{2}$ и $\beta + \delta < \frac{\pi}{2}$, откуда сумма углов треугольника $ABC$: $\alpha + \beta + \gamma + \delta$ — меньше $\pi$.

Пусть читателя не смущает выражение «опустим перpendикULAR». Легко проверить, что факты, используемые нами при доказательстве теоремы 1, не опираются на аксиomy параллельности, и при желании их все можно доказать, как и в обычной геометрии.

Теорема 2. Четвертый признак конгруэнтности треугольников. Если улыбь однозоно треугольника соответствующего конгруэнтны улыбь другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.

Доказательство. Обозначим величины $[a], [b]$ и $[c]$ для треугольника $ABC$ через $x, y$ и $z$; косинусы углов, соответствующего лежащих против сторона $a, b$ и $c$, — через $m, n$ и $p$. Получим, использую теорему косинусов (7), системе трех уравнений с треями неизвестными $x, y$ и $z$:

24

(значения $m, n$ и $p$ нам заданы, так как величины углов известны).

Эта система имеет единственное положительное решение:

$$x = \frac{D}{np + m}, \quad y = \frac{D}{mp + n}, \quad z = \frac{D}{mn + p},$$

где

$$D^2 = m^2 + n^2 + p^2 + 2mnp - 1$$ (проверьте!).

Следовательно, задание углов однозначно определяет стороны треугольника, и теорема 2 доказана.

Площади. Приложения

Мы не имеем возможность подробно говорить о теории площадей в геометрии Лобачевского. Поэтому ограничемся лишь краткими замечаниями. Допустим, что каждому многоугольнику $T$, не обязательно выпуклому (но без самопересечения), поставлено в соответствии неокоторое положительное число $S(T)$, причем:

1. если многоугольник $T$ разбит на несколько многоугольников $T_1, T_2, \dots, T_k$, то $S(T) = S(T_1) + S(T_2) + \dots + S(T_k)$;
2. если многоугольники $T_1$ и $T_2$ конгруэнтны, то $S(T_1) = S(T_2)$. Тогда будет говорить, что $S(T)$ — площад многоугольника $T$.

Представляем читателем доказать или убедиться на простых примерах, что в плоскости Лобачевского в качестве площади $n$-угольника $T$ может быть взята величина $S(T) = \lambda [(n - 2)\pi - (\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n)]$, где $\lambda$ — произвольное фиксированное положительное, $n$ — число сторон, а $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ — внутренние углы многоугольника.

Указание и е. Заметьте, что величины $(n - 2)\pi$ это сумма внутренних углов $n$-угольника $T$ в геометрической Евклидise, то есть, что величина $S(T)$ пропорциональна от теля и его сумм углов многоугольника в эклидовой геометрии и геометри Лобачевского; попробуйте доказать формулированное утверждение для треугольников. Вам помогет стать «Волшебный мир Анри Пуанкаре».

Площади криволинейных фигур (например, площад круга) вычисляются, как и обычно, с помощью предельного перехода. Докажите, например, что площад круга радиуса $R$ равна

$$\lambda \pi \left( \frac{R}{q^4} - q^{-\frac{R}{4}} \right)^2.$$

И в заключение отмечим следующие особенности. Все выше изложенные результаты могут служить источником многоих задач卑ной геометрии, а также использоваться при решении задачи.

Поясним это на примере.

Через точку $P$, лежащую на диаметре $AB$ (рис. 6), проведены хорды $MM'$ и $NN'$. Нужно доказать, что хорда $TT'$, перепределительная к диаметру и проходящая через точку $P$, пересекается хордами $MN$ и $M'N'$ в точках $S$ и $S'$, равно удаленных от точки $P$.

Решение и е. Перемешение $\varphi_P$ переводит хорду $MN$ в хорду $M'N'$, а хорду $TT'$ переводит в себя. Поэтому точка $S$ переходит в точку $S'$ и $\rho(P, S) = \rho(P, S')$, то есть

$$\frac{|TP| \cdot |T'S|}{|TS| \cdot |T'P|} = \frac{|T'P| \cdot |TS'|}{|TP| \cdot |T'S'|}, \quad \text{и } |TP| = |T'P|;$$

из этого следует, что $|SP| = |S'P|$.

Задание 6. Докажите аналогичное утверждение для случая, когда точка $P$ лежит на проджении диаметра $AB$.

25

Головоломка Сэма Лойда

Сзм Лойд (1841—1911) — на редкость изобретательный американский конструктор головоломок.

Многие его головоломки, если их несколько иначе сформировать, превращаются в проблемные математические задачи, допускают обобщение, наталкивают на новые задачи.

Но у Лойда задачи даются в занимаемый игровой форме. Лойд опубlikовал тысячи занимаемых задачи (не только математических, но также лингвистических и шахматных).

Он сам делал рисуки к задачам, более того, иногда сам набирал и печатал свои произведения. Головоломка, который мы здесь помещаем, публиковалась в книге «Sam Loyd’s Puzzles», вышедшей в Филадельфии, в 1912 году.

Вoy Scouts Puzzle

При осмотре этой минишени спор разгорелся лишь о том, кто из стрелявших поразил центр: было известно, что все произве-
ли по шесть выстрелов и набрали по 71 очку. Сможете ли вы указать три набора из шести чисел, содержащих по 71 очку?

26

Квантование и строение волны

М. Волькинитейн

Квантовая механика — это наука о законах движения микрочастиц (атомов, электронов, нейтронов и т. п.). Это — физика микромира. Она объясняет множество важнейших явлений — и радиоактивный распад, и электропроводность металлов, и природу химического связи. Но прежде всего квантовая механика объясняется линейчатые спектры atomов — ответила на вопрос о том, почему atoms способны испускать или поглощать свет лишь со стого определенными частотами колебаний световой волны. Квантовая механика показала, что электроны в atomах могут обладают только фиксированными, перевывными значениями энергии. Физики обычно говорят, что электроны располагаются на дискретных уровнях энергии $E_1$, $E_2$, … — энергия электрона в atomе квантована. Поглощение или испускание света atomом происходит при переходе электрона с одного уровня энергии на другой. В первом случае электрон переходит с уровня с меньшей энергейой на уровень с большей энергейой, во втором случае — наоборот. Частота испускаемой (или поглощаемой) световой волны определяется условиям частот Бора.

$$v_{nn'} = \frac{E_n - E_{n'}}{h},$$

(1)

где $E_n$, $E_{n'}$ — уровни энергии, $n$, $n'$ — значения квантового числа, характеризующего эти уровни.

Одна из главных задач квантовой механики состоит в нахождения квантованных значений энергии для данной системы частиц, в частности, для atoms. Согласно уравнению (1) решение такой задачи означает одновременное и расчет спектра системы, то есть определение набора частот света, испускаемого этой системы. Строое решение этой задачи сводится к решению основного уравнения квантовой механики, так называемого уравнения Шредингера. Это—дифференциальное уравнение в частих про-

27

изводных второго порядка, и школьник, размещется, не может его решить. Однако ряд интересных результатов, относящихся к квантованию энергии, можно получить, не решая уравнения Шредингера, исходя из довольного простых сообравений.

Собиться, проинсходящие в микромире, стал объяснимыми лишь после того, как появился идея о волновой природа микрочастиц. Эту идею впервые высказал де Бройль. Он предложил, что наряду с корпускулярными свойствами матерinalные частицы обладают волновыми свойствами и между ними существует однозначная связь. Частите, движущейся со скоростью $v$ и обладающей импульсом $p=mv$, соответствуют волно-

$$n \frac{\lambda}{2} = L,$$

или

$$\lambda_n = \frac{2L}{n},$$

где $n=1, 2, 3, \dots$ (рис. 1).

Попытемся при помощи модели стоящих волн на структуе найти условия квантования для нескольких задач квантовой механики.

Электрон
«в потенциальном ящике»

Допустим, что электрон может свободно двигаться вдоль отрезка длиной $L$ без действия каких-либо сил. Иными словами, потенциальная энергия электрона в этом интервале равна нулю. А на границах отрезка потенциальная энергия электрона возвращает до бесконечности. Электрон ведет себя так, как вelo бы себя тяжелое тело, имеющее возможность свободно двигаться по дну ящика с бесконечно высокими вертикальными стенками, упруго отражаясь от его стенок. Спрашивает, каковы возможности значения энергии электрона?

Если у структуз закреплены концы, то на них обязательно располагаются узлы стоящей волны, которая не распространяется за пределы структуы. Подобно этому тяжелое тело в ящике не может выйти за его пределы, так как это требует бесконечного большой энергии. Электрону, движущейся в «ящике» со скоростью $v$, соответствуют волна де Бройля $\lambda = \frac{h}{mv}$. Поскольку электрон не может выйти за пределы отрезка $L$ (он упруго отражается от стенок «ящика»), то и волна де Бройля должна отражаться от

28

стенок ящика. Поятому волновую картину, соответствующее движению электрона, можно представить как установившиеся сточные волны де Бройля. Узлы должны располагаться на концах отрезка $L$, а на самом отрезке должны укладывать целое число полуволн (рис. 2), то есть должны выполнять условие

$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{2L}{n} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$$

Отсюда следует, что скорость электрона внутри ящика квантована:

$$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = \frac{nh}{2mL} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$$

Соответствие квантована и его кинетическая энергия. Внутри ящика потенциальная энергия электрона равна нулю и, значит, полная энергия совпадает с кинетической:

$$E = \frac{mv^2}{2}.$$

Подставляя сюда возможность значения скорости (3), находим

$$E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$$

На первый взгляд этот результат кажется неожиданным. Он означает, что и энергия тяжелого тела, движущегося в ящике с бесконечно высокими стенками, должна быть квантована. Однако даже для очень малой частицы квантование становится заметным лишь в том случае, когда «ящик» имеет размеры порядкаatomных. Действительно, для электрона, масса которой $m = 9,8 \cdot 10^{-28} e$, помещенного в ящик длиной $L = 1$ cm, возможно значения энергии

$$E_n = n^2 \frac{(6,62 \cdot 10^{-34})^2}{8 \cdot 9,8 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-4}} \approx n^2 \cdot 5,6 \cdot 10^{-34} \partial x = n^2 \cdot 3,5 \cdot 10^{-15} \partial v$$

и «расстояние» между соседними уровнями

$$\Delta E_n = E_{n+1} - E_n = (2n+1) \cdot 3,5 \cdot 10^{-15} \partial v.$$

Это очень большие «расстояния», испектр энергии действительное.

Условие квантования энергии (4), которое мы получили, пользоваться аналогией с колебанями струны, оказывается в полне строгим — оно точно совпадает с тем, которое дает решение уравнения Шредингера для данной задачи. Мы еще вернемся к формуле (4) и показем, какие интересные результаты из нее следует. А пока обратимся к другой задаче.

Гармоническая oscillатор

Рассмотрим квантование гармонического oscillатора. Так называется частница, находящаяся под действием уругой силы $f = -kx$, пропорционально отклонению $x$ частцы от положения равновесия и стремящейся вернуть частцу в это положение.

Коэффициент пропорциональности $k$ — константа, характеризующая уругие свойства системы, со стороны которой действует уругая сила. Например, в случае прижинки $k$ — жесткость прижинки.

Выведенный из положения равновесия oscillатор совпадает гармо-

29

нические колебания с частотой

$$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}. \quad (5)$$

Энергия гармоничского осциллятора в любой момент времени (при любом отклонении $x$ от положения равновесия) складывается из потенциальной $\Pi = \frac{kx^2}{2}$ и кинетической $K = \frac{mv_x^2}{2}$ энергий, т. е.

$$E = \frac{kx^2}{2} + \frac{mv_x^2}{2}.$$

Если колебляется микрочастица, то ее полная энергия оказывается квантованной. Найдем условия квантования.

График потенциальной энергии осциллятора — парабола $\Pi = \frac{kx^2}{2}$ (рис. 4).

Микрочастица, колеблющая с максимальным отклонением $x_0$, по существу, движется по отрезку длины $2x_0$, и скорость этого движения зависит от координаты $x$ ($v = \sqrt{\frac{k}{x}(x_0^2 - x^2)}$).

Поэтому длина волны де Бройля, соответствующей частице, не будет оставаться постоянной. Это значительное условие решения задачи. Чтобы упростить решение, сделаем некоторые допущения — предположим, что между точками $x_0$ и $-x_0$ на всем отрезке полная энергия частицы равна кинетической энергии.

Сделанное нами допущение означает, что осциллятор можно рассматривать как частицу в «потенциальном ящике», «глубина» которого $\frac{kx_0^2}{2}$ (см. рис. 3). На «стенках» полная энергия равна потенциальной, т. е.

$$E = \frac{kx_0^2}{2}.$$

Следовательно, расстояние между стенками

$$L = 2x_0 = 2\sqrt{\frac{2E}{k}}.$$

Тот факт, что внутри «ящика» на всем отрезке $L$ кинетическая энергия составляет постоянной $\left(\frac{mv^2}{2} = \frac{kx_0^2}{2}\right)$, означает, что скорость частицы внутри «ящика» постоянна. Такой частице соответствует стойчеве волны де Бройля, длины которых определяются условиям.

$$\lambda_n = \frac{2L}{n} = \frac{4}{n}\sqrt{\frac{2E}{k}}.$$

Следовательно, возможно значение скорости частицы

$$v_n = \frac{nh}{4m}\sqrt{\frac{k}{2E}}.$$

Найдем возможность значения энергии осциллятора:

$$E = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}\left(\frac{nh}{4m}\sqrt{\frac{k}{2E}}\right)^2,$$

откуда

$$E_n = \frac{nh}{8}\sqrt{\frac{k}{m}},$$

или, с учетом (5),

$$E_n = \frac{\pi}{4}nhv \quad (n = 0, 1, 2, \dots).$$

Сторое решение задачи с помощью уравнения Шредингера имеет вид

$$E_n = nhv + \frac{1}{2}hv (n=0, 1, 2, \dots).$$

Существенно, что несгорее решение (6) отражает основную особенность квантования осциллятора —

30

пропорциональность значения энергии квантовому числу $n$. Уровни энергии гармоничского осциллятора расположены на равных расстояниях друг от друга. И это также отражает решение (6). Правда, встроом решения эти расстояния равны $hv$, а в нестрогом $-\frac{\pi}{4} hv$. (Опыт подтверждает, конечно, строое решение.) Кроме того, согласно строому решения минимальная энергия гармоничского осциллятора при $n=0$ отлична от нуля и равна $\frac{hv}{2}$ (рис. 4a).

В нестрогом решения $E_0=0$ (рис. 46). Из условия квантования (6) следует, что возможность значения максимального отклонения от положения

Рис. 4a.

равновесия дискретны:

$$E_n = \frac{kx_n^2}{2} = \frac{\pi}{4} hv,$$

откуда

$$x_n = \sqrt{\frac{\pi}{2}nh\frac{v}{k}}.$$ (8)

Этот вывод кажется совсем страным. Ведь амплитуда колебаний, по существу, задается начальным смешением из положения равновесия. А из «житейского» опыта известно, что смешение, скажем, шарика наружное менять плавано, непрерывно. В чем же дело? Попробуйте сами, пользовясь формулой (8), найти расстояние между «соседними» значениями $x_n$ и $x_{n+1}$, например, для шарик массы $m=10$ $e$, колеблощегся наружные жесткости $k=1000$ $h/m$. И вы убедитесь, что это расстояние столмалю, что спектр возникших значений $x$ практически непрерывный. И только для микрочасти спектры $E_n$ и $x_n$ дискретны.

Атом водорода

Рассмотрим еще одну задачу — о квантовании энергии atoms водорода. Первые эта задача была решена Нильсом Бором. Он рассчитал спектр atoms водорода, пользовясь так называемой планетарной моделью. Хотя расчетные значения энергии электрона совпадали с наблюдаемым спектром, эта модель не позволяет расчитать другие характеристики atoms.

Согласно современным представлениям квантовой механики планетарная модель лишь очень условно отражает действительное поведение электронов. В этом водорода единственный электрон как бы образует вокруг ядра электронное облака — облака отрицательного заряда, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в данной области внутри atoms. В невозбуженном состоянии atoms радиус с сферы наибольшей плотности равен приблизительно 0,53 Å. (В планетарной модели этому расстоянию

31

соответствует наименьший радиус орбиты электрона ~0,53 А.)
Как мы уже говорили, на вопросы о строении и свойств электронных оболочек atomов дает ответ решение уравнения Шредингера для данной системы. Мы же попытаемся решить задачу о квантовании энергии atomа водорода, не пользовать ни планетарной моделью, ни уравнения Шредингера — ограничимся по-прежнему механической аналогией с колебаниями струны с закрепленными концами.

Потенциальная энергия электрона, обусловленная его взаимодействием с ядром, равна

$$\Pi = -\frac{e^2}{r},$$

рис. 5a.

где $e$ — величины заряда электрона, а $r$ — радиус сферы наиболье верятного пребывания электрона в atomе (т. е. радиус сферы наибольшей плотности электронного облака).

График зависимости $\Pi(r)$ — потенциальная кривая — имеет вид гиперболы (рис. 5a). Можно считать, что при данном значении $r$ электрон движется в atomе внутри области, линейный размер которого равен $r$.

Будем считать, что на «границе» этой области все энергия электрона равна его потенциальной энергии, т. е.

$$E = \Pi = -\frac{e^2}{r}.$$

«Внутри» отрезка энергия электрона в каждой точке $x$ складывается из кинетического и потенциальной:

$$E = \frac{mv^2(x)}{2} + \Pi(x) = -\frac{e^2}{r}.$$

Скорость электрона меняется на протяжении отрезка $r$; следовательно, длина волны де Бройля, соответствующей электрону, не будет постоянной. Это условияет решение задачи. Чтобы простить его, сделаем следующее допущение: будем считать, что скорость электрона постоянна. Например, пусть скорость равна по величины значению $v(r/2)$.

Так как $\Pi(r/2) = -\frac{2e^2}{r}$, то из (9) находится значение $v = v(r/2)$

$$v = \sqrt{\frac{2e^2}{mr}} = \sqrt{\frac{-2E}{m}}.$$

Сделанные нами допущения, по существу, означают, что мы представляем электрон в atomе как частицу в «потенциальном ящике», «глубина» которого равна $-\frac{e^2}{r}$, а «ширина» равна $r$ (см. рис. 5a). Такой частице соответствует строение волны де Бройля, возможно делины которых определяются условиями

$$\lambda_n = \frac{2r}{n} = -\frac{2e^2}{nE}.$$

32

Следовательно, возможность значения скорости электрона

$$v_n = \frac{h}{m\lambda_n} = -\frac{hnE}{2me^2}.$$

Согласно (10) полная энергия электрона может быть выражена через его скорость: $E = -\frac{mv^2}{2}$. Подставив возможность значения $v_n$ из (11), получим

$$E = -\frac{mv_n^2}{2} = -\frac{h^2n^2E^2}{8me^4}.$$

Следовательно, возможность значения энергии электрона —

$$E_n = -\frac{8me^4}{n^2h^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots).$$

Сторое решение этой задачи (решение уравнения Шредингера) имеет вид

$$E_n = -\frac{2\pi^2me^4}{n^2h^2} \quad (n = 1, 2, 3, \ldots).$$

Решения (12) и (13) отличаются друг от друга лишь численными множителими. Так что полученное нами решение качественно верно описывает спектр атома водорода. Уровни энергии электрона в atomе сближаются при возрастинии квантового числа $n$ (рис. 56). Значения энергии на разных уровнях относятся как

$$E_1:E_2:E_3:\ldots = 1:\frac{1}{4}:\frac{1}{9}:\ldots$$

С ростом $n$ энергия электрона расчет (напомним, что $E_n < 0$), и при $n \to \infty$ ($r \to \infty$) обращается в нуль. Электрон отрывается от atoma. Энергия свободного электрона положительная, а спектр ее возможных значений непрерывный.

Таким образом, сообщения о стоячих волнах де Бройля в рассмотрении нами случая помогают обяснить квантование энергии системы.

Металлическая модель молекулы

Вернемся теперь к потенциальному ящiku с бесконечными стенками. В отличие от других задач, мы получили здесь волне строгое решение. Спрашиваемся, где может попадиться такая модель? В теории молекул.

Молекулы ограниченных соединений, в которых двойные связи углерод — углерод сопряжены с единичными связями, т. е. чередуются с ним, обладают подвижными электронами. На каждую двойную связь приходится по два подвижных электрона (они называются пи-электронами). Этти электроны могут свободно перемещаться вдоль системы связи, но, конечно, для того чтобы покинуть молекулу, электроны должны приобретти очень большую энергию.

Вшеества, молекулы которых содержат большое число сопряженных связей, т. е. пи-электронов, оказываны: Это значит, что, в отличие от большинства ограниченных соединений, которые беспсевены, эти вещества поглощают свет в видимой области спектра. Именно таким веществами является ограниченное связь тем большше, чем большие сопряженные связей, т. е. чем большие пи-электронов. Например, в ряду углеводородов с сопряженными связями длинны волн $\lambda$, отвечающие на более длинноволновому поглощению, представлены в таблице.

| Формула углеводорода | Число пи-электронов | Длина волны поглощенного света $\lambda$, мм |
| :— | :— | :— |
| $H_2C=CH_2$ | 2 | 180 |
| $H_2C=CH-CH=CH_2$ | 4 | 217 |
| $H_3C-HC=CH-CH-CH=CH-CH=CH_3$ | 8 | 320 |
| $H_3C-HC=CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH_3$ | 12 | 372 |

33

Эти вещества поглощают свет в ультрафилотовой области спектра, но при дальнейшем увеличении числа сопряженных связей полока поглощения свигается в видимую область. Мы видим, что λ примерно пропорциональна числу пи-электронов.

Вычислим длины волн λ при помощи модели потенциального ящика.

Рис. 6.

Ширина ящика $L$ равна длине цепочки сопряженных связей, т. е. $L = Nl$, где $N$ — число сопряженных связей, $l$ — длина одного звена цепи (связывай $C - C = C$) (рис. 6). Наиболее длиноволновая полока поглощения соответствуют переходу электрона с последнего занятого уровня энергии на первый свободный. Число пи-электронов в молекуле с $N$ двойными связями равно $2N$. Согласно правилм квантовой механики (прицип Паули) на каждом уровне энергии могут расположиться два электрона (с антипаралельными спинами, т. е. присущими электрону моментами количество движения). Следовательно, $2N$ электронов занимают $N$ уровней, и наиболее длиноволновая полока поглощения отвечает переходу электрона с $N$-го занятого уровня на $N + 1$-й уровень, который свободен. Этому переходу согласно формуле (1) соответствует частота световой волны

$$v_{N, N+1} = \frac{E_{N+1} - E_N}{h}.$$

Значения энергии $E_{N+1}$ и $E_N$ мы находим из условия (4) квантования

34

Опыты по полному внутреннему отражению

Рис. 1. 1 — стакан с водой, 2 — стеклянные пластинки, 3 — предмет.

В 70-х годах прошло столетия был разработан простой метод определения показателей преломления жидкости, основанный на использовании явления полного внутреннего отражения света. Мы предложаем вам поставить опыт, иллюстрирующий этот интересный метод.

Между двумя тонкими стеклянными пластинками положите вырезную в виде рамки картонную прокладку и обжать края пластинок пластином так, чтобы воздушная плость между ними была изолирован от окружающей среды. В стеклянную банку или стакан налейте воду и вертикально погрузите в нее пластинки. Посмотрите через стекан и пластинки, ориентированные перпендикулярно к лучу зрения, на какойибудь достаочного ярко освещенный предмет (рис. 1). Теперь постепенно поворачивайте пластинки, меняя угол между ними и направлением наблюдания. Начиная с некоторого значения этого угла, вместе предмета, расположенного за стеканом с водой, вы видите блестищую, как превосходное зеркало, внутреннюю поверхность ближайшей к глазу пластинки.

Ясно, что результат опыта обясняется явлением полного внутреннего отражения света.

Рис. 2.

отражения: при переходе света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду существует такой предметный угол падения света на границу раздела сред, что угол предметления составляет 90°. Если угол падения prevышает предметный, то свет во вторую среду не проникает.

Можно ли в описанном выше опите определить показатель преломления жидкости? На первый взгляд, казалось бы, нет: свет переходит в воздух из стекла, а значит, предметный угол зависит от показателя преломления стекла. Однако более внимательное рассмотрение условий опыта показывает, что это не так. Дейстивель-

но, пусть абсолотные показатели преломления стека и жидкости соответственно равны $n_{\text{CT}}$ и $n_{\text{ж}}$. Тогда по закону преломления (рис. 2).

$$\frac{\sin i_1}{\sin i'} = \frac{n_{\text{CT}}}{n_{\text{ж}}}.$$ (1)

Поскольку стеклянная пластинка плоскопаралельна, $i'$ — это одновременного угол падения света на границу стекло — воздух. Если наблюдается полное внутреннее отражение, то угол преломления $i_2 = 90^\circ$. Следовательно, для границ раздела стекло — воздух по закону преломления

$$\frac{\sin i'}{\sin i_2} = \sin i' = \frac{1}{n_{\text{CT}}}.$$ (2)

Рис. 3a.

Сопоставляя формулы (1) и (2), видим, что

$$n_{\text{ж}} = \frac{1}{\sin i_1}.$$

Следовательно, в описанном эксперименте можно определить показатель преломления жидкости, если изменить угол падения $i_1$ света из жидкости на стеклянную пластинку.

Это можно сделать с помощью транспортера, положенного на дно банки. По результатам измерений, пользоваться таблицами значений синусов, можно вычислить показатель преломления жидкости.

Полное внутреннее отражение — настоящко красивое явление, что трудно до тех пор, пока не наступит полное внутреннее отражение света: при этом предмет, находящийся во второй половине стекланую трубку, соединенную с резиновой группей, в которой набрана вода. Нажимая на грушу, вы будете поднимать уровень воды во второй половине стеклана, и при этом «появится» предмет; уменьшая давление на грушу, вы повышаστεпмет «исчезнуть».

С помощью пластинок с «воздушной прокладкой» этот фокус можно осуществить и так, как показано на рисунках 3a и 36.

36

ПОБЕДИТЕЛИ
КОНКУРСА
«КВАНТА»

В соответствии с решением Оргкомитета Всесоюзной Олимпiadы школьники, регуляро присвязывание особенно ориентиальные и полные решения задач «Задачника «Кванта», получают право участвия в ресурсikanском type Всесоюзной олимпiadы.

За прошлий, 1975 год редакция получила много писем с решениями задач. Редколлегия журнала «Квант» совместно с членами Оргкомитета отбрала авторов правильных и наиболее интересных решений.

Ниже публикуется список школьников — победителей конкурса «Кванта», — которые получили право участвовать в ресурсikanских олимпiadах 1976 года.

Matematika

О. АПОЛОНСКИЙ г. Жуковский, с.ш. 1, 10 кл.
З. БЕРКАЛИЕВ г. Караганда, с.ш. 1, 10 кл.
М. ГЕДАЛИН г. Тбилиси, ФМШ при ТГУ, 10 кл.
Р. ГИЛЯЗОВ г. Навон, с.ш. 1, 10 кл.
В. ГИШЛАРКАЕВ с. Урус-Маршан ЧИ АССР, с.ш. 3, 10 кл.
С. ГРИШИН г. Рыбное, Рыбновская с.ш., 10 кл.
В. ГУСЕИНОВ г. Нахчевань, с.ш. 3, 10 кл.
А. ДАНИЛОВ г. Шумерля, с.ш. 1, 10 кл.
А. ДИДЕНКО г. Краснодар, с.ш. 28, 9 кл.
М. ИМЕРЛЛИШВИЛИ г. Тбилиси, с.ш. 101, 10 кл.
И. КАЛИКА г. Кнев, с.ш. 145, 9 кл.
А. КАМАЛЯН г. Иджеван, Русская с.ш. им. Б. Нерси-сяна, 10 кл.
А. КНЯЗЮК г. Кнев, с.ш. 145, 9 кл.
Ш. КУХАЛЕЙШВИЛИ г. Тбилиси, ФМШ при ТГУ, 10 кл.
Д. ЛИТВИНЕНКО г. Севастополь, с.ш. 34, 10 кл.
С. ЛИФИЦ г. Харьков, с.ш. 27, 10 кл.
В. МЕДВЕДЬ г. Молодечно, с.ш. 3, 9 кл.

37

И. МОРОЗОВ г. Горький, с. ш. 184, 10 кл.
О. ОКУНЕВ г. Казань, с. ш. 122, 10 кл.
Д. ПАПУШ г. Харьков, с. ш. 27, 8 кл.
С. ПОСЛАВСКИЙ г. Харьков, с. ш. 116, 10 кл.
Ю. ПОШЕХОНОВ г. Саратов, с. ш. 13, 10 кл.
А. РОМАНОВ г. Ташкент, с. ш. 103, 10 кл.
Б. СМИРНОВ г. Уфа, с. ш. 86, 9 кл.
С. ТРЕГУБ г. Ташкент, с. ш. 103, 10 кл.
Ю. ФИЛОСОФОВ г. Саратов, с. ш. 13, 10 кл.
С. ФЛОРЯ Сату-Ноуская с. ш. Чимшилиский р-н Молд. ССР
Б. ЯЦАЛО Зареченская с. ш. Ровенской обл., 10 кл.

Физика

Х. АБДУЛЛИН г. Алма-Ата, РФМШ, 10 кл.
Г. АИЗИН г. Брест, с. ш. 1, 10 кл.
М. ГЕДАЛИН г. Тбилиси, РФМШ при ТГУ, 10 кл.
О. ГОДИН г. Симферополь, с. ш. 40, 10 кл.
Г. ГОЛУБЦОВА г. Москва, с. ш. 410, 8 кл.
Ю. ГОНИК г. Брянск, с. ш. 5, 10 кл.
А. КНЯЗЮК г. Киев, с. ш. 145, 9 кл.
К. КОПЕЙКИН г. Ленинград, с. ш. 239, 10 кл.
С. КОПЫЛОВСКИЙ п. Знобы-Новгородское Сумской обл., с. ш., 10 кл.
О. ЛИЩЕНКО г. Киев, с. ш. 145, 9 кл.
И. МОРОЗОВ г. Горький, с. ш. 184, 10 кл.
Ю. МУХАРСКИЙ г. Киев, с. ш. 145, 9 кл.
В. ПОЗНЯК г. Баранович, с. ш. 8, 10 кл.
Е. ПОНОМАРЕВ п. Черноголовка Москва, обл., с. ш. 82, 8 кл.
И. РУДОЙ г. Харьков, с. ш. 27, 10 кл.
П. САРГАЗАКОВ г. Новосибирск, РФМШ при НГУ, 10 кл.
И. СОКОЛОВ г. Москва, с. ш. 179, 10 кл.
Ю. ХАБАРОВ г. Павлово-Посад Москва, обл., с. ш. 1, 10 кл.

38

Задачи
M371—M375;Ф383—Ф387

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 мая 1976 г. по адресу: 113035, Москва, Ж-35, ул. Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». Последа на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта»» M371 или «…Ф383».
Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просба присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в различных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещите: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). Последе формулировки задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Нанболее трудные задачи отмечены звездочкой.

M371. В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причем в разных клетках — разные числа. За один вопрос, указывая любую совокупность полей, узнать совокупность (множество) чисел, стоящих на этих полях. За какое наименьшее число вопросов можно узнать число в каждой клетке?

C. Фомин

M372. Дан треугольник ABC. Доказать, что условие $ACB \geq 120^\circ$ необходимо и достаточно, чтобы для любой точки P плоскости выполнялось неравенство $|AP| + |BP| + |CP| \geq |AC| + |BC|$.

П. Хайдуков

M373. a) Все натуральные числа (записанные в десятичной системе) разбиены на два класса. Докажите, что любую бесконечную десятичную дробю разрезать на такие конечные куски, чтобы все они, кроме, быть может, первого куска, принадлежали одному классу.
b) Та же задача, но натуральные числа разбиены не на два, а на несколько классов.

M374. Пусть $a, b$ и $c$ — положительные числа, $a > c$ и $b > c$. Докажите неравенство
$$\sqrt{c(a-c)} + \sqrt{c(b-c)} \leq \sqrt{ab}$$
A. Резников

M375. Внутри выпуклого многогранника объема 1 отмечено $3 \cdot (2^n - 1)$ точки.
Доказать, что из него можно вырезать выпуклого многогранника объема $(1/2)^n$, не содержащий внутри себя ни одной отмеченной точки.

B. Макеев

Ф383. Цепочка массы $m$ и длины $l$ надета на главный круговой конус с углом при вершине $2\alpha$. Конус вместе с цепочкой вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрики конуса. Плоскость цепочки горизонтальная. Найти наяжение цепочки.

Ф384. Две взаимодействующие между собой частицы 1 и 2 с массами $m_1$ и $m_2$ соответственно об-

39

разуют замкнутую систему. На рисунке 1 показана траектория частицы 1 и положение обих частиц в момент времени, когда скорость частицы 1 равна v, а скорость частицы 2 равна — 3v. Построить траекторию частицы 2, если $\frac{m_1}{m_2} = 3$.

Ф385. Большая тонкая проводящая пластина площи S и толщины d помещена в однородное электрическое поле E, перpendикулярное пластине. Какое количество теплла выделится в проводнике, если поле выключить?

П. Зубков

Ф386. В верхних равноведренного прямого треугольника, катет которого равен a, расположены одинаковые металлические шарики радиусов r (r≤a). Шарики заряжены зарядом q каждый. Шарики 1 и 2 соединяют проводником, затем проводник убирают. Затем также поступают с шариками 2 и 3 и, наконец, с шариками 3 и 1. Какие заряды установились на шариках?

Ф387. Два велиспедиста в цирке едут с одинаковыми линейными скоростями v по окружностям радиусов R₁ и R₂, центры которых находится на расстоянии l друг от друга (l < (R₁+R₂)). Один из велиспедистов движется по часовой стрелке, другой — против. Найти относительные скорости велиспедистов (в системе координат, связанной с одним из них) в тот момент, когда они оба находится на линии, проходящей через центры окружностей, в точках: a) A₁ и A₂; б) A₁ и B₂; в) B₁ и B₂; г) A₂ и B₁ (рис. 2).

Решения задач

M331. a) Треугольник A₁B₁C₁ получился из треугольника ABC поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший 180°. Доказание, что точки пересечения соответствующих прямых: (AB) и (A₁B₁), (BC) и (B₁C₁), (CA) и (C₁A₁) — являются вершинами треугольника, подобно треугольнику ABC.

b) Четырехугольник A₁B₁C₁ получился из четырех-

Многие читатели присладали решения этих задач, основанные на рассмотрении вписанных углов. Такие решения, как правило, не содержали разбора случая, при котором пересекаются не соответствующие стороны, а ихprodолжения. Приведем более простое и общее решение, использующее геометрические преобразования.

a) Обозначим точку пересечения прямой AB с прямой A₁B₁ (получившейся из (AB) поворотом вектора O описанной окружности на угол α) через C₂: C₂ = (AB) ∩ (A₁B₁) (рис. 1). Проведем из центра O перpendикуляр OC₀ к хорде AB; тогда C₀ — середина хорды AB. Очевидно, что

$$|OC_2| \cdot |\cos \frac{\alpha}{2}| = |OC_0|.$$

40

уездыка ABCD, описанное в окружностстве центром O, поворотом вокруг центра O на некоторый угол, меньший 180°. Доказим, что мощ пересечения соответствует прямых: (AB) и (A1B1), (BC) и (B1C1), (CD) и (C1D1), (DA) и (D1A1) — являются вершинами параллелограмма.

Следовательно, середина C0 хорды AB переходит в точку C2 пересечения прямых AB и A1B1 в результате последовательного выполнения двух преобразований: поворота на угол α/2 относительно центра O и готовится с тем же центром и коэффициентом 1/|cos α/2|. Указанное преобразование не зависит от выбора хорды, поэтому после его выполнения середины A0 и B0 хорд BC и AC соответственно переходит в точки A2 = (BC)∩(B1C1) и B2 = (CA)∩(C1A1). Из этого следует, что треугольник A2B2C2 подобен треугольнику A0B0C0 с коэффициентом подобия 1/|cos α/2|.

6. Решение этой задачи совершено аналогично предыдущему. Пусть P, Q, R, S — середины хорд AB, BC, CD, DA (рис. 2). Нетрудно доказать, что четырехугольник PQRS — параллелограмм. Поэтому и точки пересечения P1 = (AB)∩(A1B1), Q1 = (BC)∩(B1C1), R1 = (CD)∩(C1D1) и S1 = (DA)∩(D1A1) являются вершинами параллелограмма P1Q1R1S1, подобного параллелограмму PQRS с коэффициентом подобия 1/|cos α/2|.

3. Скопец

Рис. 1.

Рис. 2.

М332. Можно ли составить куб размеры k×k×k из белых и черных кубков 1×1×1 так, чтобы для каждой кубикаровно два из его соседей имели бы том же цвет, что и он сам? (Два кубика сцимаются соседними, если они имеют общую грань.)

Ответ. При k четном можно, при k нечетном нельзя.

Пример для четного k построить нетрудно: можно, например, составить куб из чередушихся черных и белых блоков размеры 2×2×1 или из чередушихся слоев, изображенных на рисунке 3 (на этом рисунке показаны два сечения куба k×k×k, k = 8, горизонтальных плоскостей, нахождения на расстоянии единица друг от друга).

Предположим, что и для нечетного k составить нужный куб можно. Соединним центры соседних белых кубков отрезками. Из каждой центра будет выполнить по два отрезка. Таким образом, мы получим одну или несколько замкнутых ломаных, звенья которых параллельны ребрам куба, а общая длина равна числу белых кубков. Нолина замкнутой ломаной, составленной из единичных отрезков трех взаимоперендикулярных направлений, очень удобна. Поэтому без

41

Рис. 3.

М333. Три мужи ползают по сторонам треугольника ABC так, что центр мужи образуется треугольника остатся на одном месте. Докажите, что он совпадает с центром мужи треугольника ABC, если известно, что одна из мужи прополза по всей границе треугольника. (Центр мужи называется точка пересечения его медиан.)

Рис. 4.

М334. Дан многочлен P (x):
а) с натуральными коэффициентами,
б) с целыми коэффициентами.
Для каждого натурального числа п через aₙ обозначим сумму цифр в десятичной записи числа P (n). Докажите, что найдется число, которое встречается в последовательности a₁, a₂, a₃, … бесконечное число раз.

Пусть P(x) = cₙxᵙ + cₙ-1xᵙ-1 + … + c₁x + c₀, cₙ ≠ 0.
a) Числа cₙ, cₙ-1, …, c₁, c₀ — неотрицательны.
Рассмотрим такое натуральное число l, что 10ᵀ больше чисел cₙ, cₙ-1, …, c₁, c₀. Тогда в десятичной записи числа aᵢ = P(10ᵀ) будет сначала идти цифры числа cₙ, затем нулы; затем цифры числа cₙ-1 — опять нулы; цифры числа cₙ-2 — нулы и т. д. Таким образом, сумма цифр числа aᵢ = P(10ᵀ) равна сумме S цифр всех чисел cₙ, cₙ-1, …, c₁, c₀. Рассуждая аналогично, мы видим, что

S = сумма цифр a₁₀l+1 = сумма цифр a₁₀l+2 = …,
t. е. число S встречается в последовательности a₁, a₂, … бесконечное число раз.

6. Заменив, если нужно, P (x) на — P (x), мы можем считать, что cₙ > 0. Пусть m — какое-то натуральное число. Положим Q (x) = P (x + m) = cₙ (x + m)ᵙ + cₙ-1 (x + m)ᵙ-1 + … + c₁ (x + m) + c₀. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, мы видим, что Q (x) — многочлен с целыми коэффициентами. Если bₖ — сумма цифр числа |Q(k)|, то ясно, что bₖ = aₖ+m. Поэтому нам достаточно подобрать число m так, чтобы все коэффициенты многочлена Q (x) были неотрицательны; тогда неокторое число будет бесконечное число раз встречается в последовательности b₁, b₂, … и, значит, встречается бесконечное число раз и в последовательности a₁, a₂, … Покажем, что для этого нам достаточно взять любое число m, строго больше всех чисел |cₙ-1|, |cₙ-2|, …, |c₀|. Действительно,

P (x) = (cₙ - 1)xᵙ + (x + cₙ-1 - 1)xᵙ-1 + (x + cₙ-2 - 1)xᵙ-2 + … + (x + c₀ - 1) + 1.

43

Найдем такое наиболее возможное значение числа $A = \sum_{k=1}^{7} a_k$, чтобы последнее неравенство все еще было верным. Нетрудно доказать (мы сделаем это ниже), что

$$\sum_{k=1}^{7} a_k^2 \geq \frac{1}{7} \left( \sum_{k=1}^{7} a_k \right)^2 = \frac{1}{7} A^2;$$

тогда из неравенства (**) следует, что

$$\frac{1}{7} A^2 - A \leq \sum_{k=1}^{7} a_k^2 - \sum_{k=1}^{7} a_h \leq 42,$$

или $$\frac{1}{7} A^2 - A \leq 42,$$ или $$A^2 - 7A \leq 294,$$ то есть $(A - 21)(A + 14) \leq 0$, откуда $A \leq 21$.

Доказательство для квадрата $13 \times 13$ клеток проводится аналогично, и мы советем читательм проделать все выкладки самостояльно.

Сейчас мы доказем (для любых $n \geq 1$, $a_k \geq 0$, $k = 1, 2, \dots, n$) неравенство

$$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 \geq \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)^2.$$

Для удобства выкладок положим $na = \sum_{k=1}^{n} a_k$ и доказем, что $\sum_{k=1}^{n} a_k^2 \geq na^2$. Обозначим разность между числом $a_k$ и средним значением $a$ чисел $a_k$ через $\varepsilon_k: \varepsilon_k = a_k - a$. Тогда

$$na = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (a + \varepsilon_k) = na + \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k,$$

и поэтому

$$\sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k = 0.$$

Отсюда следует:

$$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \sum_{k=1}^{n} (a + \varepsilon_k)^2 =$$

$$= \sum_{k=1}^{n} a^2 + 2a \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k + \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k^2 = na^2 + \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k^2 \geq na^2.$$

В заключение следует одно замечание. В условиях задания мы обошли молчанием тот факт, что правильные квадраты из $7 \times 7$, $13 \times 13$ (вобше, $(m^2 + m + 1) \times (m^2 + m + 1)$, где $m = 2, 3, \dots$) клеток допускают красивое геометрическое истолкование. Например, таблицу на рисунке 5 можно считать таблицей инцидентности семи точек и семи прямы на рисунке 7 (пунктирную кривую … $A \dots B \dots C \dots$)

44

Ф343. Уеол, под коморым видно Солнце с Земли (уеловой диаметр), равен приблизимелю $\alpha \approx 10^{-2}$ рад. Радуус Земли $R_3 = 6400$ км. Ускорение свободного падения на Земле $g \approx 10$ м/сек². Определите из этих данных отношение средних плотностей Земли и Солнца, приимая во внимание, что $1 \text{еод} \approx 3 \times 10^7$ сек.

При мечанце. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ — радуус шара.

Рис. 8.

Ф344. Заряд Q равномерно распределен по монкому диэлектрическому колцу, коморое лежит на главной горизонтальной плоскости. Индукция магнитного поля, перpendикулярного к плоскости колца, меняется от 0 до $B_0$. Какую уеловую скорость врачиния при этом колюцо? Масса колца равна $m$.

При движении Земли вокруг Солнца слияя тяготения $F = \gamma \frac{m_C m_3}{L^2}$ сообщает Земле центростремительное ускорение $a_ц = \omega^2 L = \frac{4\pi^2}{T^2} L$. Здесь $\omega$ — угловая скорость, $T = 1 \text{еод}$ — период обращения Земли вокруг Солнца, $m_C$ — масса Солнца, $m_3$ — масса Земли и $L$ — радиус орбиты Земли. Согласно второму закону Ньютона

$$\gamma \frac{m_C m_3}{L^2} = m_3 \frac{4\pi^2}{T^2} L.$$

(1)

Но $\gamma \frac{m_3}{R_3^2} = g$, следовательно,

$$m_C g \frac{R_3^2}{L^2} = m_3 \frac{4\pi^2}{T^2} L.$$

(2)

Так как $m_3 = \frac{4}{3} \pi R_3^3 \rho_3$ и $m_C = \frac{4}{3} \pi R_C^3 \rho_C$, то из соответствия (2) следует, что

$$\frac{\rho_3}{\rho_C} = \frac{g R_C^3 T^2}{4\pi^2 L^3 R_3}.$$

Тепер нам остается только выражить $R_C$ через $L$ и $\alpha$. Очевидно, что $R_C = L \alpha/2$ (рис. 8). Поэтому окончательно получаем

$$\frac{\rho_3}{\rho_C} = \frac{g \alpha^3 T^2}{32\pi^2 R_3} \approx 4,4.$$

◆

При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, направленность которого в каждой точке колца направлена по касательной к колцу. Эту направенность можно вычислить, разделив Э. д. с. индукции, возбуждаемую в круговом контуре радиуса $R$, равного радиуса колца, на длину окружности контура:

$$E = \frac{|\mathcal{E}_{инд}|}{2\pi R} = \frac{1}{2\pi R} \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|.$$

Выделим малый участок колца длиной $\Delta l_i$ с зарядом $\Delta Q_i = \frac{Q}{2\pi R} \Delta l_i$ и массой $\Delta m_i = \frac{m}{2\pi R} \Delta l_i$.