Квант 1976, №8 · Страницы

Кeaнм
1976
8
Научно-популярный
физико-математический
журнал

3

DIOPHANTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX,
ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS
LIBER VNVS.

VM COMMENTARIIS C. G. BACHETI V. C.
Observationibus D. P. de FERMAT Senatoris Tolofani.

Accessit Doctrinæ Analyticae inuentum nouum, collectum ex varijs eiusdcm D. de FERMAT Epistolis.

TOLOSE,
Excudebat BERNARDVS BOSC, e Regione Collegij Societatis Iefu.

M DC LXX.

Титульный лист латинского издания Диофанта с коммента-
риями Баше де Мезирка и замечаниями Ферма. О Ферма
мы рассказываем в статье на с. 3

1

В НОМЕРЕ:

И. Башмакова. Пьер Ферма
Б. Мартынов. Теорема Ферма для многочленов
Л. Туриянский. Приицп Ферма
Я. Гельфер, В. Лейковцев. Амеедо Авогадро
А. Есаян. ЭВМ опровергает

Лаборатория «Квант»
В. Майер, Е. Мамаева. Опыты с порошковыми фигурами

Задачик «Квант»
Задачи M396—M400; Ф408—Ф412
Решения задач M354—M358, M360; Ф362—Ф368

Рецензии, библиография
В. Бронштэн. Как роздаются, живут и умирают звезды
Е. Левитан. Интересующимся космонавткой

Спрашивайте — ответаем
Информация
В. Березин. Заочные физико-mатематические школи
В. Пшеничнер. III Всесоизный слет юных астрономов
А. Антошин. Заочная физическая школа при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова

Физики шутят
Джон Слейт. Как расшепить atomное ядро в домашних условиях

«Квант» для младших школьников
Задачи
А. Розеналь. Правило «крайнего»

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 16, 27, 29, 35, 55)

Мы получили письмо от нашей читательницы из Крыма пятилассицы Светы с экземпляром рисунка, который вы видите на первой странице обложки. Такую фигуру она и ее товарищи чертили на занятии математической круглка. По экзизу, присланному Светой, была составлена программа для машины, «уменецей» рисовать. Сделанный машиной рисунок и приведен на обложке. Хотя фигура состоит только из отрезков прямы, на рисунке явно видны восемь крывых линий. Сумеете ли вы определить, что это за крывые? Правда, предупреждаем вас, что задача эта довольно трудная.

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Нука», 1976 год

2

В этом номере мы отмеаем юбилей крупнейшего математика XVII века Пьера Ферма. Ферма внес вклад почти во все разделы математики XVII века. Его труды непредседатель предшествовали появлению исчисления бесконечного малых и теории вероятности. Ферма заслуженно может быть отнесен и к числу создателей анализческого геометрии. Но особенно важное значение имеет его работы в теории чисел.

Пьеру Ферма посвязываны три статьи этого номера. О жизни, научных интересах и открытия Ферма рассказано в статьи И. Башмаковой. В статьи Б. Мартынова формулируется и доказывает для многочленов анализогелей Ферма. Наконец, в статьи Л. Туриянского рассказывает о единственной работе Ферма, посвязываенной физической проблеме — закону преломления света. И к этой проблеме Ферма подошел с чисто математической точки зрения: в ней он применил свой метод решения экстремальных задач. По существу это было первым применением в физике той области математики, которая теперь называетсяварнационным исчислением.

9 февраля 1665 г. в «Журнале Ученых» был помещен некролог Пьер Ферма, в котором говорилось:

«Это был один из наиболее замечательных умов нашего века, такой универсальный гений и такой разносторонний, что если бы все ученые не возникли должное его необходимым заслугу, то трудно было бы поверить всем вещем, которые нужно о нем сказать, чтобы ничего не упустить в нашем пожавальном слове».

И хотя уже при жизни Пьер Ферма был признан первым математиком своего времени, а после смерти слова его еще умножилась, о нем самом мы знаем очень мало.

Вот то немного, что известно. Пьер родился в августа 1601 года на юге Франции в небольшом городке Бомон-de-Ломань, где его отец — Доминик Ферма — был «вторым консулом», т. е. чем-то вроде помощика мэра. Мать Пьера, Клер де Лонг, произходила из семьи юристов. Итак, Пьер Ферма приналежал к «третьему сословию».

Доминик Ферма дал своему сыну очень солидное образование. В коллекже родного города Пьер прибрел хорошо известные языков: латинского, греческого, испанского, итальянского и французского. Воспледствии он писал стихи на латинском, французском и испанском языках «с таким изящестом, как если бы он жил во времена Августа и провел большое число частных живений при дворе Франции или Мадрида».

Ферма славился как тонкий античности. К нему обращались за консультаниями по поводу трудных мест при издании греческих классников. По общему мнению, он мог бы составить себе имя в области греческой филологии.

Однако всю силу своего гения Ферма направил на математические исследования. И все же он не математиком-профессionalом. Ученые его времени не имели возможности посвятить себя любимой наукке целиком. Внет был юристом и тайным советником французских королев, Декарт — офицером, Мерсенн и Кавальери — монахами. Ферма избирает юридическую.Mы не знаем, в каком городе он изучал право. Эту часть опаривают Тулуза и Бордо. Известно только, что степень балалавра была ему присуждена в Орлеане. С 1630 года Ферма пересеглая в Тулуза, где получает место совершника в Parlamentе (т. е. суде). О его юридической деятельности мы читаем в упоминавшемся уже «похвальном слове», что он выполянел ее «с большой добросовестностью и таким умением, что онлавился как один из лучших юридических своего времени».

*) Мне кажется, что я винуя яркий свет (из письма к Мерсенну, 1640 г.).

4

В 1631 г. Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны — Лунзе де Лонг. У Пьера и Лунзы было пять детей, из которых старший — Самюэль — стал позтом и ученым. Ему мы обязаны первым собранем сочинений Пьера Ферма, выSEDШим в 1679 г. Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

Вот перечень тех сухих фактов, которые мы знаем жизни этого замечательного математика.

К сожалению, Самюэль Ферма не оставил никаких воспоминаний об отце. Правда, жизнь ученого, как правило, былает бедна внешними событиями. Основное ее содержание раскрывается только в творчестве, которое и составляет огромный духовный подвиг ученого.

Ни одна из работы Ферма не была опубликована при его жизни. Собранное сочинений, которое он неоднократно пытался подготовить, так и не было им написано. Однако несколько трактатом он приделил в полне законченный вид, и они стали известны в рукописи большиству современных ему ученых (это были трактаты по аналитической геометрии, о максимумах и минимумах и о квадратуре парабол и гипербол). Кроме этих трактатов осталась еще его общирная и чрезвычайно интересная переписка.

В XVII века, когда еще не было специальных научных журналов («Журнал Учены» был одним из первых, он начал выходить в 1665 году), переписка между учеными играла особую роль. В ней ставились задачи, сообщалось о методах их решения, обсуждались остые научные вопросы.

Корреспондентами Ферма были крупнейшие математики его времени: P. Декарт, Этбен и Блез Паскаль, B. Френикль де Бесси, X. Гюйгенс, Э. Торричелли, Дж. Валлис. Письма посылались либо непосредственно адресату, либо в Париж аббату Мерсенну, который размножал их и посылал математикам, занимающимся аналитическим вопросами. Но письма ведь почти никогда не было только коротками математических темарами. Общино в них просkalзывают живые чувства авторов, которые помогают воссоздать их образы.

Когда Ферма в 1636 году послал Мерсенну свой «Метод отыскания максимумов и минимумов», Декарт, не поняв метода Ферма, подверг его резкой критике. В июне 1638 года Ферма послал Мерсенну для пересылки Декарту новое, более подробное изложение своего метода. Письмо его содержанию, но не без внутренней ironии: «…Таким образом, обнаруживается, что либо я плюю объясился, либо г. Декарт плюю понял мое латинское сочинение… Я все же пошло ему то, что уже написал, и он несомненно найдет там вещи, которые помогут ему открыться от его мнения, будто я нашел этот метод случайно и его подлинные основания мне неизвестны…». Ферма ни разу не изменяет своего ему способной тону. Он чувствует свое глубокое как математика, поэтому не входит в мелочную полемнику, а терпельно старается растолковать свой метод, как это сделал бы учитель ученику.

Широкой публике (далее дальней от математики) Ферма известен прежде всего благодаря Великой теореме, носящей его имя. Однако Ферма занимается не только наиболее любимой им теореей чисел, к которой относятся эта теорема, но и математических проблемами, стоящими в центре внимания ученых XVII века, а именно задачи определения максимумов и минимумов, находжения касательных, вычисления площадей и длин дуг кривых, короче — теми вопросами, которые мы сейчас относят к математическим анализу. И здесь Ферма принадлежат самые крупные результаты, предшествующие созданию исчисления Ньютоном и Лейбницем. Кроме того, Ферма первая в новое время пришел к

5

идее координат и создал аналитическое геометрию. Он занимался также задачами теории вероятности. Ферма не ограничивается одной только математикой: он занимается и физкой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в неоднородной среде *).

Аналитическая геометрия

Одним из первых математических произведений Ферма было восстановление двух утвернных книг Аполлония «О плоских местах». Методы, которые пользовался Аполлоний, мы бы сейчас отнесли к аналитической и проектной геометрии. Однако во время Аполлония не было еще буквенной символики, поэтому ему приходилось записьать алгебраические формулы и уравнения кривых геометрических. Например, наша формула $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ записьалась (и доказывалась!) древними с помощью чертежа (рис. 1).

Основное отличие современных методов решения геометрических задач от методов Аполлония — в применении буквенной алгебры. Первым, кто понял, как следует применить новую алгебру к задачам геометрии, был Ферма.

В 1636 г. появилось в рукописе его сочинение «Введение в изучение плоских и пространственных мест» **), в котором последовательно строится аналитическая геометрия на плоскости. Еще при восстановлении книг Аполлония Ферма оценил применущества метода координат и понял, что уравнение с одним неизвестным полне определяет некоторое число, уравнение с двумя неизвестными — множество точек на плоскости (кривую), уравнение с третья неизвестными —

*) «Квант», 1975, № 12, c. 30 и в этом номере — c. 17.
**) Под «плоскими местами» Ферма, следуя древним, понIAL прямы и окружности, под «пространственных местами» — кончечное сечение.

Рис. 1.

множество точек в пространстве (поверхность). Свое «Введение» Ферма начинает с выбора в качестве осей координат двух прямы, которые пересекают друг друга под некоторым определенным углом (не обязательно прямым).

По существу, он показывает, что любое уравнение первой степей между координатами. Представляет пряму линию, а уравнение второй степей — некоторое кончечное сечение, причем отмечает условие, при котором соответствующее геометрическое место будет окружность. Для приведения уравнения второй степей к одному из канонических видов, известных древним, Ферма применяет преобразование координат. Все изложение Ферма строго последовательно.

Годом позже вышло в свет сочинение P. Декарта «Рассужждение о методе», четвёртая часть которого «Геометрия» была также посвящена аналитической геометрии. Это произведение затмило «Введение» Ферма, хотя с чисто математической точки зрения оно было написано менее систематично. Дело в том, что Декарт создал новое, более удобное исчисление, который мы пользовемся с незначительным изменением и сейчас, тогда как Ферма применял быстрое уставшую символьку Виета. Кроме того, Декарт представил новую алгебру вместе с координатным методом как «универсально математику», общий метод

6

для решения всех задач. Такая «реклама» не в менышей мере, чем новая алгебра, способствовала популяриости его произведение.

Квадратуры парабол и гипербол. Вычисление длин кривых

Do Ferma systematicne методы квадратур, т. е. вычисления площадей, разрабатываются английский ученый Б. Кавальери (1598—1647). Он написал довольно только книгу «Геометрия недelmных» (1635), в котором вычислялась площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 1$. В последствии (1647) он вычислил аналогичные площади для парабол $y = x^3, y = x^4, \dots, y = x^9$.

No уже в 1642 г. Ferma открыл метод вычисления площадей фигур, ограниченных любыми «параболами» $y = ax^{p/q}$ ($p/q > 0$) и любыми «гиперболами» $y = \frac{a}{x^{p/q}}$. Изложение Ferma занимало всего 10 страниц. Для «гиперболы», у которой $\frac{p}{q} > 1$, он впервые вычислил площадь неограниченной фигуры, расположенной между осью абсцисс, прямой $x = x_0$ и кривой (рис. 2). Таким образом, было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ferma, один из первых, занялся задачей спрямления кривых, т. е. вычисленем длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению неокторных площадей. Так, он показал, что вычисление длины других параболы $y^2 = 2px$ от точки (0, 0) до неокторной точки $(x_1, y_1)$ (рис. 3) свидетелья о нахождения параболей $x^2 - y^2 = p^2$, осью ordинат, осью абсцисс и прямой $y = y_1$ (рис. 4).

Ferma оставался только шаг, чтобы перейти от «площади» к абстрактному понятию «интерграла». Этот шаг сделан Ньюотоном и Лейбницем уже после его смерти.

Находение экстремумов. Определение касательных

He posited 1629 г. Ferma открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые с современной точки зрения сводятся к отысканию произвольной. В конце 1636 г. законченное изложение метода было передано Мерсенну и с ним могли позна-

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

7

компЬся все желающие. Он сообщил о своем методе и в письме к Декарту (1638 г.). Для нахождения экстремума многочлена $F(x)$ Ферма предлагает следующие правила: 1) подставляем в $F(x)$ вместо $x$ выражение $x + h$; 2) приравниваем $F(x)$ и $F(x + h)$: $F(x) = F(x + h)$; 3) после приведения подобных членов сокращаем на $h$; 4) полагаем $h = 0$. В результате получаем равенство $A(x) = 0$. Ферма утверждает, что все значения $x$, при которых многочлен $F(x)$ имеет экстремум, необходимо является корнями уравнения $A(x) = 0$. Сама функция $A(x)$, которая по правилау Ферма получается чисто алгебраической (т. е. без предельного перехода), теперь называется произвольной от $F(x)$.

Как Ферма обосновывает свое правило? Он предложил несколько различных обоснований. Приведем одно из них в несколько модернизированном виде. Пусть многочлен $F(x)$ достигает максимума в точке $x_0$. Это значит, что при небольших $h > 0$ имеем $F(x_0 + h) < F(x_0)$ и $F(x_0 - h) < F(x_0)$. Располагая члены многочленов $F(x_0 \pm h)$, по степени $h$, получим систему:

$$\begin{cases} F(x_0) + h \cdot A(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0. \end{cases}$$

откуда

$$A(x_0) + h \cdot B(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0.$$

Но при малых $h$ знак суммы будет зависеть только от $A(x_0)$. Тогда из первого неравенства следует, что $A(x_0) \leq 0$, а из второго: $A(x_0) \geq 0$. Итак, необходимо, чтобы $A(x_0) = 0$.

Ферма дал также общий метод для определения того, будет ли точка $x_0$, в котором $A(x) = 0$, точкой максимума, минимума или точкой перее

гиба функции $y = F(x)$. С современной точки зрения метод был основан на рассмотрении второй произвольной.

Заметим, что все методы Ферма были вполне строгими. После него математики отбросили требование строости и перешли к некритическому операрованию с бесконечно малыми величиными, определять которые они не умели. Строгие методы в математическом анализе появились новые только в начале прошло века в работах Гаусса и Коши.

Ферма первым увидел своей между задачими на отискание экстреммов и задачими на определение касательных. Он дал метод нахождения последних, основанный на том же принципе, что и его метод экстреммов. Теперь в основе обихх методов лежит нахождение произвольной.

Дальнейшие успехи методов определения «площадей», с одной стороны, и «касательных и экстремумов», с другой, состояли в установлении их взаимной связи. Есть указания на то, что Ферма уже знал, что «задачи на площади» и «задачи на касательные» являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие подробно. Поэтому часть его по правилами принадлежит И. Барроу, И. Ньюотону и Г. В. Лейбниццу, которые это открытие и позволяет создать дифференциальное и интегральное исчисление.

Teория чисел

Если в описанных нами работах Ферма исследовал вопросы, которые были в центре внимания и других математиков его времени (Кеплера, Кавальери, Торричели, Блеза Паскала, Валлиса), то в теории чисел он был первооткрытелем. Никто из его современников и никто из математиков, живших после него вплоть до Эйлера, не понял ни значения подятых им пробел, ни внутренней их связи.

От античности остались две большие работы, посвященные вопросам теории чисел: «Начала» Евклида

8

(III в. до н. э.) и «Арифметика» Диофанта (по-видимому, середина III в. н. э.). В первой из них были изложены элементы арифметики целых чисел, доказаны однозначность разложения на простые множители и бесконечность множества простых чисел.

«Арифметика» Дисфанта до сих пор представляется одним из загадочнойших явлений в истории науки. По своему стилю она резко отличается от классических произведений Евклида, Архимеда и Аполлоня. В ней вводились обозначения для неизвестного и первых его шести положительных и отрицательных степеней; кроме того, там были введены отрицательные числа и отрицательный знак для них, соответствующий нашему минусу. При решении задач под «числом» понималось не натуральное число, как это было до него, а любое рациональное. Из 13 книг, составляющих «Арифметику», до нас дошло 6 *). Все они посвязываны решения неопределенных уравнений в положительных рациональных числах. В этих книгах нет теореми чисел в собственном смысле слова, однако при решении задач иногда накладывались ограничения на те или иные целые числа, входящие в условие задачи. По существу, каждое такое «огранчение» представлено теорему теории чисел.

Долго время замещательная книга Диофанта не была известна в Европе. Но в XVI в. рукопись ее нашли в библиотеке Batikana и в конце того же века был издан ее латинский перевод (со множеством «темных мест», так как переводчик не был знаком с математкой). В 1621 году вышел новый перевод Башше де Мезирика, в котором приводился параллель греческий текст и комментарии Башше. Эта книга и сделалась настоящей для Ферма. Многие свои теоремы он вычитывал из нее, на другие его наводили размышления по поводу некоторых задач, и он записвал свои мысли и открытия на полях этой книги. Воспследствие все эти замечания были изданы *). Они составляют значительное часть его наследия по теории чисел. Другие его результаты в этой области сформированы в письмах. Общно он ставил их в виде проблем перед другими математиками.

Сам Ферма писал: «Арифметика имеет свою собственную область, теория целых чисел, эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последовательными (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которые наслило разрушительное действие времени); арифметики, следовательно, должны ее развить или возобновить».

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Ферма для теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возниккающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, те проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений — так называемого метода неопределенного, или бесконечного, спуска (см. ниже). Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

Представление чисел квадратных формуми

Ферма поставил вопрос об определении вида целых чисел, которые представляют в виде суммы двух

*) Недавно были найдены еще 4 книги на арабском языке, которые приписываются Диофанту.

9

К этому вопросу его привела одна из задач Диофанта. В ней были сформированы условия, которые должны удовлетворять число $a$, чтобы оно представлялось формулой (1), однокоперписчики, не понимая смысля этих условий, неправильно их воспроизведили. Ko времени Ферма текст был безнадежно испорчен, и, чтобы его восстановить, ему пришлось решать задачу заповью.

Читатель легко докажет, что числа вида $4n + 3$ не представимы формулой (1). С другой стороны, числа вида $4n + 1$ могут быть как представимыми (например, $5 = 1^2 + 2^2$), так и не представимыми (например, 21). Ферма договорая, что сначала надо исследовать, какие простые числа представляются формулой (1). Он обнаружил, что все простые числа вида $4n + 1$ представляются формулой (1), и притом единственным образом. (Это утверждение впоследствии было назван первым дополением к закону взаимности.) Доказательство самого Ферма до нас не дошло. Никто из его современников также не сумел его проверить. Первое доказательство было дано только Леонардом Эйлером.

Установив закон представимости простых чисел, Ферма уже легко доказал, что число $a$ тогда и только тогда представимо формулой (1), когда в его разложение на простые множители никакое простое число вида $4n + 3$ не входит в нечетной степени. Путеводной нитью для него последнюю Диофанта о том, что произведение двух чисел, представимых формулой (1), также представимо, и притом двумя различными способами, формулой (1):

$$\begin{align*} (x^2 + y^2)(u^2 + v^2) &= (xu + yv)^2 + (xv - yu)^2 \\ &= (xu - yv)^2 + (xv + yu)^2. \end{align*}$$

От формулы (1) Ферма перешел к рассмотрению форму $x^2 + 2y^2$, $x^2 - 2y^2$, $x^2 + 3y^2$. Он нашел вид простых чисел, представимых каждой из этих формул. Для формулы $x^2 + 2y^2$ это будет простые числа вида $8n + 1$ и $8n + 3$. Простые числа вида $8n + 5$ и $8n + 7$ такой формул не представляются. Это предложение получило название «много дополнительная к закону взаимности». Оно было доказано Ж. Л. Лагранжем (1736—1813).

Эти работы Ферма положили наcology плодотворным исследованием Эйлера, Лагранжа и Лежандра. Итог всему предшествующему развитию этого вопроса подвеел Гаусс, который в начале прошло века создал стройную теорию квадратных формум, т. е. форму вида $ax^2 + 2bxy + cy^2$, где $a, b, c$ — целые. Оказаюсь, что вопрос о том, какие простые числа представимы квадратными формуми с одним и тем же дискрипантом $D = ac - b^2$, полностью решается с помощью квадратного закона взаимности. Закон взаимности был открыт Эйлером, а затем вновь открыт и доказан Гауссом *).

Уравнение Пелля $x^2 - Ay^2 = 1$
Это уравнение (где $A$ — натуральное число, не являющееся точным квадратом) решили в целых числах еще в древности. В новое время им запрещалось Ферма **).

Он уже четко разливал два вопросы, связанные с ним: найти наименьшее решение $(x_0, y_0)$, т. е. решение с наименьшим $x_0 > 0$, и найти все решения, исходя из наименьшего.

В февраль 1657 г. в письме к английским математикам, которое получило название «второго вызова» («первая вызов») был отправлен в Англюю

*) «Квант», 1973, № 1 и 1974, № 5, с. 30.
**) Извание «уравнение Пелля» принадлежит Эйлеру. Исторические было бы справедливое название уравнения Ферма.

10

в явbare того же года), Ферма предложил доказать, что уравнение Пелля имеет бесконечно много решений. Он предложил также решить его при $A$, равном 109, 149 и 433. Наименьшее решение уравнения Пелля при таких значениях $A$ стоял величко, что его нельзя найти подбором.

Matematические вызывы в то время игralли немало значения для поддержания части наци. Так, в конце «первого вызова» Ферма писал:

«Я жду решения этих вопросов; если оно не будет дано ни Англей, ни Бельгийской или Кельтской Галлей, то это будет сделано Нарбонской Галлей…».

Англійский математик лорд Броункер первым приSEL к мысли, что для нахождения наименьшего решения уравнения Пелля надо разложить $\sqrt{A}$ в непрерывную дроби к ней *). В последствии этим уравнением заняла Л. Эйлер, который понил, что решение Броункера основано на периодичности непрерывной дроби для $\sqrt{A}$. Полное доказательство этого факта и окончательный анализ уравнения Пелля принадлежат Ж. Л. Лагранжу.

Малая теорема Ферма

В письме к Френиклю де Бесси от 18 октября 1640 г. Ферма высказал следующие утверждения: если число $a$ не делится на простое число $p$, то существует такой показатель $\lambda$, что $a^{\lambda} - 1$ делится на $p$, причем $\lambda$ является делителем числа $p - 1$. В частности, $a^{p-1} - 1$ всегда делится на $p$. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Она является основным во всей элементарной теории чисел.

Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств. Кроме того, Эйлер обобщил малую теорему на случай, когда число $p$ является

*) «Квант», 1970, № 1 и № 8.

*) «Квант», 1972, № 10.

11

бре. С той только разницей, что эта последняя проблема уже решена Э. Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает математиков к новым исследованием.

С другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди нематематиков и к образованнию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Г. Дэвенпорта, «смешость значительно превосходит их математические способности». Позному Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четырех степеней.

В своем доказательстве Ферма применил «метод неопределенного или бесконечного спуска». Этот метод он описал в письме к Каркави (август 1659 г.) следующим образом:

«Если бы существовал неокоторый прямогольный треугольник в целях числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы теми же свойствами. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы, в силу подобного расужения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но, если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые *) числа). Откуда следует, что не существует никакого прямогольного треугольника с квадратной площадью».

Именно этим методом были доказаны многие предложения теории чисел.

В частности, с его помощью Леонард Эйлер дал новое доказательство

*) Говоря «целые», Ферма имел в виду «целые положительные» числа.

Великой теоремы для $n=4$, а спуста 20 лет и для $n=3$. Дело в том, что последнее доказательство он смотрови только с помощью совершенного новых идей, а именно, обобщения понятия целого числа. Мы привыкли связывать это понятие только с натуральными числами, однako оказалось, что есть и другие математические объективы, которые ведут себя как целые числа. Среди этих объектов можно выделить «простые числа» и развить аргументы, аналогичную обычной. Такие числа называются теперь «целыми алгебраическими». В прошлом веке Э. Куммер, занимаясь Великой теоремой, построил аргументы для целых алгебраических чисел определяного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для неокоторого класса простых показателей $n$. В настоящее время справедливо Великой теоремы проверена для всех показателей $n \leq 5500$.

Отметим также, что Великая теорема своего связывана не только с алгебраической теорейчелем, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интегрировна развивается *).

Вышедутом письме к Каркави, который после смерти Мерсенна занял его место в крупже паряжских математиков, Ферма писал:

«Быть может, потомство будет признанное мне за то, что я показал ему, что Древние не все знали, и это может произнуть в сознание тех, которые придут после меня для traditio lampadis ad filios**), как говорит Великий канцлер Англии ***), следуя чувством и девизу которого я добавлю: Multi pertransibunt et augebitur scientia ****».

Это письмо получило название «Завещание Ферма».

*) «Квант», 1972, № 8.
**) Передачи факела сыновям.
***) Т. е. Френсис Бэкон.
****) Многие будут приходить и уходить, а наука обогащаться.

12

Все вы, конечно, слышали о Великой теореме Ферма; она формулирована им для натуральных чисел. В этой статье доказывается теорема Ферма для многочленов. Эта статья трудная. Некоторые факты, используемые в ней, выходит за рамки школьной программы. Занитересовавшиеся читатели найдет все необходимое в книге P. Курата и Г. Роббинса «Что такое математика» или во втором томе «Энциклопедии элементарной математики».

Постановка задачи

Предположение, высказанное Ферма, заключается в том, что уравнение $x^n + y^n = z^n$ при $n > 2$ не имеет решения в натуральных числах. Доказательство этого предположения для общего случая не найдено и посядь.

Однако оказавется, что если заменить натуральные числа $x$, $y$ и $z$ многочленами от одной переменной $t$: $x(t), y(t), z(t)$ — и написать уравнение

$$[x(t)]^n + [y(t)]^n = [z(t)]^n,$$

(to аналогичную теорему уже удается доказать).

Уточним постановку задачи. Предже всего заметим, что многочлены $x(t), y(t)$ и $z(t)$ удовлетворяют уравнению (1) тогда и только тогда, когда ему удовлетворяют многочлены $p(t) \cdot x(t), p(t) \cdot y(t)$ и $p(t) \cdot z(t)$ (здесь $p(t)$ — произвольный многочлен, отличный от нуля). Поэтому достаточно доказать, что не существует тройки взаимно простых многочленов. Многочлены называются взаимно простыми, если они не имеют общего множителя, отличного от константы (константа — это многочлен нулевой степени). Кроме того, надо, конечно, исключать тривиальное решение: тройку многочленов нулевой степени, поскольку для любых $a$ и $b$ тройка

$$x(t) = a, y(t) = b, z(t) = \sqrt[n]{a^n + b^n},$$

очевидно, является решением уравнения Ферма.

Между прочитам, при $n = 1$ уравнение (1) имеет решение направления $x(t) = t, y(t) = t + 1, z(t) = 2t + 1$.

Имеет оно решение и при $n = 2$. Легко проверить, направления; что тройка

$$x(t) = t^2 - 1, y(t) = 2t, z(t) = t^2 + 1$$

является решением уравнения

$$[x(t)]^2 + [y(t)]^2 = [z(t)]^2.$$

Целью статьи является доказательство аналога Великой теоремы Ферма для многочленов:

При $n > 2$ не существует трех взаимно простых многочленов $x(t),$

14

Разобем наше доказательство на несколько этапов.

1. Из условия $1^\circ - 3^\circ$ следует, что каждые два из многочленов $x, y, z$ можно просыпать. В самом деле, если, скажем, $x$ и $y$ имеют общий делитель $d$, то $z^n$ делится на $d^n$, и тогда $z$ делится на $d$, то есть $d$ является общим многочленом многочленов $x, y$ и $z$. Это противоречит условию $1^\circ$.

2. Пусть $m$ — наиболее из степеней многочленов $x, y, z$ (по условию $3^m > 0$). Можно считать, что степень $m$ имеет многочлен $z$. Действительно, исходное уравнение можно при желании сделать симметричным относительно $x, y, z$: надо заменить $z$ на $\varepsilon z$, где $\varepsilon$ — комплексное число, $n$-я степень которого равна $-1: \varepsilon^n = -1$. Получим

$$x^n + y^n + z^n = 0.$$

3. Пусть $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$ — все различные корни $n$-й степени из числа $-1$. Мы получаем тем, что у всякого компликного числа, отличного от нуля, естьровно $n$ различных корней $n$-й степени (см. п. 1*). Тогда многочлен $x^n + y^n$ раскладывается на многочлены

$$x^n + y^n = (x - \varepsilon_1 y) (x - \varepsilon_2 y) \cdot \dots \cdot (x - \varepsilon_n y).$$

Для доказательства можно построить так: взять многочлен $u^n + 1$, корнями которого являются числа $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$, разложить его на многочлены: $u^n + 1 = (u - \varepsilon_1) \cdot (u - \varepsilon_2) \cdot \dots \cdot (u - \varepsilon_n)$ (п. 2*), а затем подставить вместе $u$ дробь $\frac{x}{y}$ и освободиться от знаменателя.

4. Многочлены $x - \varepsilon_i y$ попарно взаимно просыпать. Действительно, если бы отличный от константы многочлен $d$ был бы общим делителем многочленов $x - \varepsilon_i y$ и $x - \varepsilon_j y$ ($i \neq k$), то разность этих многочленов, равная $(\varepsilon_h - \varepsilon_i) y$, тоже делилась бы на $d$, а значит, и многочлен $y$ делился бы на $d$ (введ $\varepsilon_h - \varepsilon_i$ — константа, отличная от нуля). Тогда и многочлен $x = (x - \varepsilon_i y) + \varepsilon_j y$ делился бы на многочлен $d$, что противоречит взаимному простоте $x$ и $y$ (п. 1).

5. Если произведение попарно взаимно просыпать, то каждые два из многочленов есть общим делитель $d$, то $z^n$ делится на $d^n$, и тогда $z$ делится на $d$, то есть $d$ является общим многочленом многочленов $x, y$ и $z$. Это противоречит условию $1^\circ$.

Доказательство п. 5 мы приводим в дополнения к статубе.

6. Так как $x^n + y^n = (x - \varepsilon_i y) \times (x - \varepsilon_2 y) \dots (x - \varepsilon_n y) = z^n$, и многочлены $x - \varepsilon_i y$ попарно взаимно просыпать, каждый многочлен $x - \varepsilon_i y$ есть $n$-я степень многочлена. Пусть $x - \varepsilon_i y = u_i^n$, где $u_i$ — многочлен. Обозначим степень многочлена $u_i$ через $m_i$.

Выберем среди многочленов $u_i$ тот, который имеет наиболее многочлен $u_1$. Будем считать, что наиболее многочлен имеет многочлен $u_1$.

7. $m_1 < m$.

Действительно, очевидно, что $m_1 \leq m$ (напомним, что $m$ — степень $z$). Если бы выполнялось равенство $m_1 = m$, то все остальные многочлены $x - \varepsilon_i y$ при $i > 1$ были константими. Возьмем $x - \varepsilon_2 y$ и $x - \varepsilon_3 y$ (это можно — ведь $n \geq 3$). Если $x - \varepsilon_2 y = A$, $x - \varepsilon_3 y = B$, то

$$(B - A) x - (B \varepsilon_2 - A \varepsilon_3) y = 0,$$

т. е. $x = Cy$ (введ $A \neq B$ — доказательство), а это противоречит взаимному простоте $x$ и $y$.

Заметим также, что $m_1 > 0$, т. е. $u_1$ — не константа.

Мы хотим от многочленов $x, y, z$ перейти к темного многочленам без общего многочлена, удовлетворяющим Ферма и имеющим максимальную степень, меньшую чем $m$. Покажем, что в качестве таких многочленов могут быть взяты многочлены $u_1, u_2$ и $u_3$ (см. п. 6), умноженные на некоторые константы.

15

8. Имеем:

$$\begin{cases} x - \varepsilon_1 y = u_1^n, \\ x - \varepsilon_2 y = u_2^n, \\ x - \varepsilon_3 y = u_3^n. \end{cases}$$

Подберем три числа $c_1, c_2, c_3$ (не все равные нулю) так, чтобы при сложении этих равенств с коэффициентами $c_1, c_2, c_3$ лежая часть обратилась в нуль. Ясно, что для этого надо, чтобы выполнялась система

$$\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 0, \\ c_1 \varepsilon_1 + c_2 \varepsilon_2 + c_3 \varepsilon_3 = 0. \end{cases}$$

Найти хотя бы одно ненулевое ее решение легко — например, положить $c_3 = 1$ и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными. Проделяйте это вычисление сами.

Найдя $c_1, c_2$ и $c_3$ получим

$$c_1 u_1^n + c_2 u_2^n + c_3 u_3^n = 0.$$

《Загоняя》 коэффициенты под $n$-е степени, получим:

$$\left[ \sqrt[n]{c_1} u_1 \right]^n + \left[ \sqrt[n]{c_2} u_2 \right]^n = \left[ \sqrt[n]{c_3} u_3 \right]^n.$$

Легко проверяется, что новые три многочлена удовлетворяют тем же условиям, что и $x, y, z$. При этом наиболее степень их уменьшилась (оставаясь положительными числом).

Наш метод доказательства, придуманный еще Ферма, носит название метода «бесконечного спуска». К сожалению, этот метод не проходит для доказательства неразрешимости уравнения Ферма в натуральных числах, поскольку на числа вида $x - \varepsilon_i y$, где $x$ и $y$ — целые числа, не переносится теорема об однозначности разложения на простые многочлены (см. п. 3*, с. 13). Исследованием этого интересного вопроса занимается «высшая арифметика» — теория алгебраических чисел — активно развивающаяся сейчас область математики.

Дополнительное

А. Докажем утверждение, формулировано в п. 3* статья (см. с. 13), т. е. докажем, что любой многочлен однозначно разлагается в произведение неприводимых многочленов (с точностью до порядка многочленей и до многочленей, являющегося константой). (Неприводимый многочлен — это аналог простого числа в многочлене натуральных чисел: многочлен $q$ называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение многочленов ненулевой степени, отличных от $q$.)

Вначале показаем, что всякий многочлен можно разложить в произведение неприводимых. В самом деле, если $Q$ — неприводим, то $Q = Q_1 \cdot G_2$, где $G_1$ и $G_2$ — какие-то многочлены. Если $G_1$ и $G_2$ — неприводимы, то нужно разложение получено; если же какой-то из $G_i$ ($i=1, 2$) приводим, то снова $G_i = S_1^{(i)} \cdot S_2^{(i)}$, и т. д. Ясно, что этот процесс через конечное число шагов оборвется, поскольку степень многочлена $Q$ конечна. Таким образом мы получим разложение многочлена в произведение неприводимых.

А теперь мы хотим доказать, что если для неприводимых многочленов выполняем равенство $p_1 \cdot p_2 \dots p_l = q_1 \cdot q_2 \dots q_s$, то $l = s$, и для каждой i найдется такое $k$, что $q_i = c \cdot p_k$. Для этого нам понадобится следующую утверждение: если произведение $u \cdot v$ двух многочленов $u$ и $v$ делится на неприводимый многочлен $q$, то любо $u, v$ делится на $q$. Разделим многочлены $u$ и $v$ на многочлен $q$ с остатком (ползучая алгоритм Евклида). Мы получим в остатке многочлены $u$ и $v$, степени каждой из которых меньше степени многочлена $q$, а произведение $u \cdot v$ делится на $q$. Нам нужно доказать, что любо $u = 0$ (тогда $u$ делится на $q$), любо $v = 0$ (тогда $v$ делится на $q$). Докажем это утверждение методом математической индукции (по степени многочлена $q$).

База иndukции. Minimalная степень отличного от константы неприводимого многочлена равна 1. Пусть $q$ — линейный многочлен. Тогда, если ни $u \neq 0$, ни $v \neq 0$, то $u = \text{const}$ и $v = \text{const}$. Но тогда и $u \cdot v$ — тоже константа, а потому $u \cdot v$ не может делиться на $q$. Поэтому для линейных неприводимых многочленов утверждение справедливо.

Шаг иndukции. Предположим, что утверждение справедливо для всех неприводимых многочленов степени меньше, чем степени, нщшего многочлена $q$. Докажем его для многочлена $q$. Допустим, что $u \cdot v \neq 0$. Поскольку $u \cdot v$ делится на $q$, имеем: $u \cdot v = q \cdot q$, $q \neq 0$, и степени многочлена $q$ строго меньше степени многочлена $q$ (так как степень произведения $u \cdot v$ меньше степени многочлена $q$). Разложим $q$

в произведении неприводимых многочленов:
$$\bar{q} = \bar{q}_1 \cdot \dots \cdot \bar{q}_s.$$
Степень каждого многочлена $q_i$ меньше степени многочлена $q$. Тогда $\bar{u} \cdot \bar{v} = q \cdot \bar{q}_1 \cdot \dots \cdot \bar{q}_s$. По предположению индукции, из того, что $\bar{u} \cdot \bar{v}$ делится на $\bar{q}_i$ (для каждой $i$), следует, что либо $\bar{u}$, либо $\bar{v}$ делится на $\bar{q}_i$. Последовательно сокращая произведение $u \cdot v$ на $\bar{q}_1, \dots, \bar{q}_i$, получим равенство $\tilde{u} \cdot \tilde{v} = q$ ($\tilde{u}$ и $\tilde{v}$ — это многочлены, полученные из $u$ и $v$ соответствующими сокращениями на многочлены $\bar{q}_i$). Но $q$ — непроведимый многочлен, поэтому либо $\tilde{u} = c \cdot q$, либо $\tilde{v} = c \cdot q$. Однако эти равенства выполняться не могут (из-за степени расматриваемых многочленов). Следовательно, предположение, что $\bar{u} \cdot \tilde{v} \neq 0$, т. е. что $\bar{q} \neq 0$, неверно; значит, либо $\bar{u} = 0$, либо $\tilde{v} = 0$, и утверждение доказано.

Докажем теперь однозначность разложения в произведение неприводимых многочленов. Имеем:

$$p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_l = q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_s.$$
Положив $u = p_1$, $v = p_2 \cdot \dots \cdot p_l$, получим, что либо $u$ делится на $q_1$, и тогда $p_1 = cq_1$, поскольку $p_1$ — непроведимым; либо $v$ делится на $q_1$. Во втором случае положим $p_2 = u_1$, а $p_3 \cdot \dots \cdot p_l = v_1$; получим, что либо $p_2 = c \cdot q_1$, либо $p_3 \cdot \dots \cdot p_l$ делится на $q_1$, и т. д. до тех пор, пока не найдем номера $i$, для которого $p_i = c \cdot q_1$. Поступая аналогично с $q_2$, найдем такое $k$, что $p_k = c \cdot q_2$, и т. д., для всех $m = 1, \dots, s$. Отсюда получаем также, что $l = s$.

Б. Покажем что если произведение попарно взаннотrophic многочленов $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$ равно $n$-й степени неокоторого многочлена $q$: $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k = q^n$, то каждый многочлен является $n$-й степени неокоторого многочлена $f_i : p_i = f_i^n$.

Разложим многочлен $q$ на непроведимые многочлены: $q = q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_m$. Тогда $q^n = q_1^n \cdot q_2^n \cdot \dots \cdot q_m^n$. Возьмем многочлен $p_1$, и пусть $p_{11}$ — непроведимый многочлен, входящий в его разложение. В силу однозначности разложения на непроведимые многочлены, $p_{11}$ совпадает с каким-то многочленом $q_l$, то есть многочлен $p_1$ делится на $q_l$. Но многочлены $p_i$, где $i \neq 1$, на $q_l$ не делятся (поскольку $p_1, \dots, p_k$ попарно взаннотrophic), а потом многочлен $p_1$ делится и на $q_l^n$, то есть $p_1 = q_l^n \cdot \bar{p}_1$. Применяя аналогичное рассужждение к многочлену $\bar{p}_1$, найдем, что $p_1 = q_l^n \cdot q_s^n \cdot \dots \cdot q_r^n = f_i^n$, где $f_1 = q_l \cdot q_s \cdot \dots \cdot q_r$. Аналогично поступим и с остальных многочленами $p_i$; $i \neq 1$.

Задачи
наших
читателей

1. Дан треугольник $ABC$ со стороны $a, b, c$ и медианами $m_a, m_b, m_c$. Доказать heravенства

a) $\frac{m_a^2}{a^2} + \frac{m_b^2}{b^2} + \frac{m_c^2}{c^2} \geq \frac{9}{4}$;

b) $\frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Когда в этих heravенствах достигается равенство?

2. Дан произвольный выпукленный четырехугольник $ABCD$ (возможно, выроженный — две его вершины могут совпадать). Точки $P, K, S, N$ — середины стороны $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Пусть $(AK) \cap (BN) = L; (KD) \cap (NC) = M; (PC) \cap (BS) = Q; (AS) \cap (PD) = T$. Доказать, что

a) $\frac{S_{KMN}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{3}$;

b) $\frac{1}{3} \leq \frac{S_{KMN} + S_{PQST}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{2}$.

3. Снова $ABCD$ — произвольный выпукленный четырехугольник, точки $E, F, G, H$ — середины стороны $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Обозначим $(AF) \cap (BG) = K; (BG) \cap (CH) = L; (CH) \cap (DE) = M; (DE) \cap (AF) = N$. Доказать, что

$$\frac{1}{6} \leq \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{5}.$$

В. Матизен
(г. Новосибирск)

17

История понсков закона преломления растянулась почти на два тысячеления. Весь необходимый «инструмент» для открытия закона был в аренале античный ученых. Так, Клавдий Птолемей (II в. н. э.) получил экспериментально довольно точные значения углов padения и преломления света. Он же составил первые таблицы значений тригонометрических функций. Но Птолемей пытался установить закономерность в соответствии углов padения и преломления и не договорая заменить углы их тригонометрических функциями.

В последующие века вплоть до XVII исследованием преломления света занимались многое ученые. Средних были и крупнейший оптик средневековый Ибн-ал-Хайтан (Альхазен), и создатель небесной механики великий Кеплер. Оdnakoникому из них не удалось установить закона преломления света.

…В 1637 году аббат Мерсенн переслал Пьеру Ферма первые главы трактата Декарта «Диоптрика» с тем, чтобы Ферма высказал свое мнение об этом труде. Оdnа из главы посвящена законом отражения и преломления.

Декарт рассматривает движение мяча, брошенного под углом на слабо натягнутую сетку. Если мяч прорывает сетку, то направление движения его меняется. Пользоваться простыми геометрическими сообщениями, Декарт получает соответствие между тригонометрическими функциями углов padения и преломления мяча:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \text{const.}$$

А затем, без каких-либо обоснований, он переосит это условие на случай распространения света при прохождения им границы двух сред *. Во времяда Декарта считали, что более плотная среда всегда преломляет свет, и чтобы увазыть с этим фактом свой теоретические результаты, Декарт заключает, что скорость света в более плотной среде больше, чем в менее плотной (что, конечно, не верно!). Надо сказать, что все физические расуждения Декарта были очень низкими, и понять, что подразумевает Декарт под светом, невозможно.

Ферма отправил свой отзыв на «Диоптрику» Мерсенну. В нем он высказал, в основном, два замечания, касавшиеся вывода закона преломления. Ферма считал совершенное неправомерным переходом свейств двин

*) Раньше Декарта закон преломления открыл голландский физик, математик и астроном Снеллаус. Оdnako, он нигде не опубликовал свои результаты.

18

Женяя брошенных тел на распространение света. Еще менее обоснованным, по мнению Ферма, является утверждение, что свет должен дивятся в более плотной среде с большей скоростью, чем в менее плотной. Из всего этого Ферма делает вывод, что формулировка закона распространения, приводимая Декартом, не верна.

Мерсенн переслал отзыв Ферма Декарту. Чтобы Декарт почувствовал авторитет решения, с работами которого он не был знаком, Мерсенн вложил в письмо еще и работу Ферма «О метода нахождения наиболее и наиболее значений». Это была та область математики, в которой Декарт имел значительные результаты и считал себя первопроводцем.

Ответ Декарта на решение был резким и во многом не справедливым. После обмена нескольких письмами каждой из сторон осталась при своем мнении, и дискуссия переключится на метод нахождения наиболее и наиболее значений.

К оптической проблемы Ферма возвратился только через 20 лет, уже после смерти Декарта. Толчком для некоторых новых идей о пути установления закона распростления ему послужила книга по оптике его друга Кюро де ла Шамбра. В этой книге были приведены выводы законов отражения света на основе «признания кратчайшего пути», формулированного древнегреческим ученым Героном (I. В. н. э.).

В трактате «Катоптрика» Герон, рассматривая отражение света от плоских и сферических зеркал, поступовал следующей утверждение: свет отражается таким образом, чтобы путь луча, падающего из данной точки и отражающегося в данную точку, был минимальным.

Однако во многих случаях свет этому принципи не следует. В частности, при распространении света в неоднородной среде путь света от одной точки до другой оказывается далеко не минимальным.

Занявшись вновь понским закона решением, Ферма решил попытаться видизнить принцип Герона. Основная его идея заключится в следующем. «Кратчайшие» пути, выбираемые светом, следует поннимать как самые «легкие», как пути, на которых свет испытывает наименьшее «спортивление» со стороны среды, в которой он распространется. Четкого физического объяснения этому «спортивлению» Ферма не давал. Дело в том, что он считал распространение света мгновенным. Введение же понятия «спортивление» несомненно вызываило представление о распространении света во времени. Это, конечно, понимал Ферма, но в нем говорил, прежде всего, математик. И обойти этот вопрос туманными расуженными об «антипати» света веществу, Ферма переходит к чисто математической постановке задачи.

Пусть луч света, выходящий из точки A в среде I (рис. 1), попадает в точку B в среде II. Разумеется, самый короткий путь между этим точкими — это прямая AB. В этом случае свет проходил бы границу сред в точке D. Но если «спортивление» сред I и II различно, то путь ADB может оказаться для света не самым легким.

Пусть, например, спортивление, оказываемое свет средой I на единице пути, равно r, спортивление, оказываемое средой II, равно

20

ность понятия «спротивление», полная неясность в вопросе о распространении света во времени. Но мы хотим еще раз подернуть, что Ферма смотрел на эти вопросы сковать пальцы, интересясь исключительно математической сторой проблемы.

Очень скоро резкие сужения по поводу принципи Ферма стали смягчаться. Тот же Гюйгенс, повторив расчеты Ферма и убедившись в их безукоризненности, настолько уверовал в этот принципи, что при создании волновой теории света использовал этот замечательный «феномен Ферма».

Практические все дальнейшее развитие лучевой оптики и построение волновой оптики так или иначе было связано с принципиом Ферма. По мере накопления экспериментальных и теоретических данных формулировка его уточнялась и видозменялась. Установление зависимости скорости распространения света от плотности среды позволило выявить смыслCONSTANTЫ в законе располнения:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n = \frac{v_1}{v_2},$$

где $n = v_1/v_2$ — относительный показатель располнения, равный отношению скоростей света в средах I и II (см. рис. 1). Это устранило неясность, связанную с понятием сопротивления, и позволило сделать следующий шаг в определении пути распространения света: под «самыми легкими» путими следует понимать пути, для прохождения которых свету требуется наименьшее время. Однако в ряде случаев (в частиности, при отражении от волнуных зеркал) свет явно «предпочитал» максимальные по времени пути…

В конце концов принципи Ферма прибрел более общую формулировку, чем та, которую дал сам Ферма: свет распространется по такому пути, оптическая длина которого экстремальная, то есть она либо максимальная из всех возможных, либо минимальная, либо остается постоянной.

Оптической длиной пути в случае однородной среды называют произведение геометрической длины пути $s$ на абсолотный показатель располнения вещества: $l = ns$. Если среда недородна, то оптическая длина пути равна сумме оптических длины в различных участках, показатели располнения в которых построены.

Приципл Ферма оказался первымчетко и сознательно сформированным экстремальным, или точнее, варианционным принципиом.

И. Бернулли в конце XVIII века с помощью принципи Ферма решил задачу о брахистохроне — кривой кратчайшего спуска. (Мы расссказывали об этом в 12 номере нашего журнала за 1975 год.) Мопертион и Эйлер в XVIII веке, отправляясь от того же принципи Ферма, открыли варнационный принципи в механике. Гамильтон в XIX веке создал обобщенный варнационный принципи и для механики, и для оптики. Современная теория квантовой механики основывается на принципие Гамильтона. Таким образом, принципи Ферма являлся родоначальником целого семейства варнационных принципов в физике, и его влияние прослеживается плоть до наших дней.

И в заключение мы предлагаем вам попытаться, основываясь на принципие Ферма, вывести законы отражения и располнения света.

21

Лоренцо Романо Амедео Карло Авогадро ди Кваренья эдди Черрето родился 9 августа 1776 года в Турине — столице итайянской провинции. Пьемонт в семье служащого судебного ведомства Филипто Авогадро. Амедео был третий из всему детей. Предки его с XII века состояли на службе католической церкови адвокатами, и по традиции того времени их профессии и должности передавались по наследству. Когда пришла пора выбирать профессию, Амедео также занялся юридическими. В этой науке он быстро преуспел и уже в двадцать лет получило степень доктора церковного законоведения.

Юридическая практика не увлекла Амедео, его интересы были дальней от юридических. В юношеские годы он nedолго посещал так называемую школа геометрии и экспериментальной физики. Она-то и пробудила в нем любовь к этим наукам. Но, не получив достаточно систематических знаний, он вынужден был занять самообразование. Когда ему уже исполнили 25 лет, он стал все свободное время посвящать изучению физико-математических наук. Трудолюбие и настоящие принесли свои плоды: в 1803 и 1804 годах он, совместно со своим братом Феллце, представил в Туринскую академию наук две работы, просвещенные теории электрических и электрохимических явлений, за что и был избран в 1804 году членом-корреспондентом этой академии. В первой работе под названием «Аналитическая заметка об электричестве» он объяснал поведение проводников и диэлектриков в электрическом поле, в частности, явление поляризации диэлектриков. Высказанные им идеи получили затем более полное развитие в работах других ученых.

22

В 1806 году Авогадро получил место репетитора в Туринском лице, а затем, в 1809 году, переводится преподавателем физики и математики в лице города Верчелли, в котором он проработал около десяти лет. В этот период он знакомится с огромным количеством научной литературы, делая многочисленные выписки из прочтанных книг и журналных статей. Эти выписки, которые он не прекращал встини до конца своих дней, составили 75 томов примерно по 700 страниц в каждой!
Содержание этих томов свидетельствует об энциклопедичности интересов Авогадро, о колосальной работе, которое он проделал, «переввалифицировану» из юриста в физика.

В сентября 1819 года Авогадро избирается членом Туринской академии наук. К этому времени он уже прибрел известность в кругу своих коллег работами в области молекулярной теории, электричеса и химии. В 1820 году королевским указам Авогадро назначается первым профессором новой кафедры высшей физики (телер бы мы сказали — математический физики) в Туринский университет.

Интересны взгляды Авогадро на преподавание физики, высказанные им при занятии этой должности. Итальянская наука в это время была еще очень слабо развита. Стремясь к тому, чтобы помочь своей родине сравнять по уровню развития естественных наук с другими европейскими странами, Авогадро наметил общирный план действия. Основная его идея заключалась в необходимости сочетания преподавания с научной деятельности. Для этого надо организовать при кафедре физики два кабинета — один для учебных занятий, другой для проверки научных открытий и проведения оригинальных исследований. Это особенно важное для тех студентов, которые решат посвятить себя преподавательской деятельности в области физико-математических наук. Научный кабинет доля

жен быть укомплектован современными приборами и соответствующим штатом сотрудников. Весьма важное также, чтобы на приобретение новых прибораров регулировно отпускались необходимые суммы, которые руководитель кафедры мог бы тратить по своему усмотрению, представляя лишь письменный отчет о произведенных расходах. Кроме того, необходимо научный журнал, в котором местные физики могли бы публикаровать свои исследования.

Эти программы идея не существует было осуществиться из-за военных и политических событий в Италии начала двадцать годов. В 1822 году, после студенческих волнений, Туринский университет был на целый год закрыт властями, а ряд его новых кафедров, в том числе и кафедра высшей физики,LINKидированы. Тем не менее, в 1923 году Авогадро получает почетный титул заслуженного профессора высшей физики и назначется старшим инспектором в палату по контролю за государственными расходами (должность финансово-юридического исследования, весы далея от науки. Вспомним, тем не менее, что Исаак Ньюотон долгие годы был директором монетного двора!). Несмотря на новые обязаности, Авогадро продолжал заниматься научными исследованиями.

В 1832 году Туринский университет вновь получил кафедру высшей физики, но ее предложили не Авогадро, а известному французскому математику Огюстену Луи Коши, покинувшем родину в 1830 году. Только спустя два года, после отъезда Коши, Авогадро смог занять эту кафедру, где и проработал до 1850 года. В этом году он ушел из университета, передав кафедру своему ученнику Феллце Кью.

Свою семейную жизнь Авогадро устроил довольно поздно, когда ему было уже за тридцать. Работая в Верчелли, он познакомился с будущей jenой Анной Марней Мацьеди Джузеппе, dochерью потариуса,

23

которая была моложе его на 18 лет.
От этого брака он имел восемь детей—двонх сыновей и шесть дочерей. Никто из них не унаследовал его профессии.

Современники в своих воспоминаниях рисунот Авогадро как человека очень сыновей и шесть дочерей. Они отмечают его доброжелательность, искренность в обращении с другими людьми. «Высокообразованный без педагогизма, мудрый без человека, презирающий роскошь, не заботящейся о богатстве, не стремяющейся к почетям, безразличный к собственным заслугам и собственной извесности, скромный, умененный, доброжелательный» — так характеризует Авогадро один из его современников. По своему безразличию к почетям он представлял редкое искусение среди ученых того времени.

После ухода из университета Авогадро неокоторое время занимал должность старшего инспектора Kontrolной палаты, а также состояние членом Высшей статистической комиссии, Высшего совета народного образования и представлением Комиссии мер и весов. Несмотря на почтенный возраст, он продолжал публикавать свои исследования в трудах Туринской академии наук. Посленяя его работа вышла из печати за три года до смерти, когда Авогадро исполлилось 77 лет. Он умер в Турине 9 июля 1856 года и похоренен в семейном склеpe в Верчелли. На следующий год после смерти Авогадро в знак признания его заслуг перед научкой в Туринском университете был установлен его бронзовый бост.

Чем же обогатил научку, в частности физику и химию, за свою долгу жизни этот замечательный человек?

Нет ничего удивительного в том, что Авогадро начал свою научную деятельности именно с изучения электрических явлений. Электричество и магнетизм давно уже привлекали внимание ученых. Этот интерес особенно

Бронзовый бост Авогадро, установленный в Туринском университете.

усилился после того, как Волта в 1800 году изобрел первый источник электрического тока (вольтов столь), а также в связи с дискусцией между Гальвани и Волта о природа электричества. Эти вопросы находились на переднем крае научки того времени, и естественно, что молодой Авогадро решил попробовать свои силы именно здесь. Работы Авогадро, посвященные разным проблемам электричества, появлялись вплоть до 1846 года. Большое внимание уделял он также исследованием в области электрохимии, пытаясь найти связь между электрическими и химическими явлениями, что приело его к созданию своего электрохимического теории. В этом отношении его исследование соприкасались с работами знаменитых химików Дэви и Берцеллиуса. Но в истории физики Авогадро вошел как открыватель одного из важнейших законов молекулярной физики.

Почти до самого конца XVIII века химия не знала никаких количественных законов. Первым таким законом стал закон сохранения массы

24

участвуоших в реакции веществ, открытий М. В. Ломоносовым в 1756 году и независимо от него Лавузье в 1774 году. В начале XIX века были открыты еще два закона — закон постоянства состава и закон кратных отношений. Первый из них утверждал, что каким бы путем ни было получено данное химическое соединение, состав его всегда один и тот же. Иными словами, при образования данного сложного вещества элементы, из которых оно состоит, всегда соединяются друг с другом так, что их массы находится в строго определенном отношении. Например, в воде относение масс водорода и кислорода всегда равно 1:8.

Второй закон указывает, что в различных химических соединениях, образованных одними и теми же элементы, массы этих элементов относится друг к другу как небольшие целые числа. Например, в различных окисах азота (N₂O, NO, N₂O₃, N₂O₅)

Титульный лист «Избранных трудов» Авогадро, изданных в 1911 году.

Для объяснения этих законов знаменитый английский химик Дальтон выдвинул гипотезу о том, что все процессы вещества (элементы) состоит из простых atoms, а сложные — из «сложных atoms», которые при химических реакциях могут распадаться на atoms простых веществ. До этого в химии не существовало четкого разграничения понятий «atom» и «молекула». Оба эти понятия были слиты воедино в термин «частица», которая рассматривалась как бесструктурая единица вещества. Дальтон составил первый табличу относительных atomsных масс элементов, прияватом массу водорода за единицу. (Как показал позднее Авогадро, эта таблица была неверной, так как Дальтон считал, что газообразный водород участвует в реакциях в виде одноатомного вещества (H), а в действительности реакции происходит с участием молекулярного водорода (H₂). По этой же причине оказались неправильными представления Дальтона о составе молекул.)

В 1808 году французский ученый Гей-Люссак, изучая реакции между газами, установил, что объем втупайоших в реакцию газов и газообразных продуктов реакции относится как небольшие целые числа. (Конецно, при этом все объемы должны быть изменены при одинаковых давлениях и температурах). Например, в реакции образования водного пара объемы водорода, кислорода и продуктов реакции относится как 1:1:2, т. е.

В реакции образования хлористого водорода объемы водорода, хлорз и продуктов реакции относится как 1:1:2, т. е.

1 + 1 = 2
объем водорода
объем хлора
объем хлористого водорода

25

Согласно представлениям Дальтона указанные реакции должны выглудеть так:

$$2\text{H} + \text{O} = \text{H}_2\text{O}, \quad \text{H} + \text{Cl} = \text{HCl}.$$

При этом должны быть образоваться по одному объему паров воды и хлористого водорода. Так что согласовать опытные данные Гей-Люссака с теорией Дальтона было невозможно.

В такой ситуации и появилась в 1811 году статья Авогадро «Очерк метода определения относительных масс элементов молекул тел и пропорций, согласно которым они входят в соедининия». Излагая основные представления молекулярной теории, Авогадро показал, что она не только не противоречит данным, полученным Гей-Люссаком, но направив, прекрасно согласуется с ним и открывает возможность точно определения atomных масс, состава молекул и характера происходящих химических реакций. Для этого прежде всего необходимо предположить, что молекулы водорода, кислорода, хлора и неокторых других простых веществ состоит не из одного, а из двух atomов.

В этой же работе Авогадро пришел к следующему важному заключению: «…число… молекул всегда одно и то же в одинаковых объемах любых газов». (Разумеется, что объемы изменены при одинаковых давлениях и температурах.)

Далее он писал, что теперь «имеется средство очень легкого определения относительных масс молекул тел, которые можно получить в газообразном состоянии, и относительно числа молекул в соедининиях».

В самом деле, относение масс молекул таково же, как и относение плотности газов при одинаковых давлениях и температурах. Если у нас есть два разных газа, массы которых равны $M_1$ и $M_2$, а объемы, измененные при одинаковых температурах и давлениях, соответственно

$$V_1 \text{ и } V_2,$$

то, следуя Авогадро, мы можем написать такое соответствие:

$$\frac{M_1}{M_2} = \frac{m_1 N_1}{m_2 N_2},$$

(1)

где $m_1$ и $m_2$ — массы молекул первого и второго газов, а $N_1$ и $N_2$ — число таких молекул в объемах $V_1$ и $V_2$. Разделив в этом выражении числители обихедей на $V_1$, а значенатели на $V_2$, получим:

$$\frac{\frac{M_1}{V_1}}{\frac{M_2}{V_2}} = \frac{m_1 \frac{N_1}{V_1}}{m_2 \frac{N_2}{V_2}}.$$

(2)

Но $M_1/V_1$ и $M_2/V_2$ — плотности газов $\rho_1$ и $\rho_2$, а $N_1/V_1$ и $N_2/V_2$ — числа молекул в единице объема. Согласно Авогадро $\frac{N_1}{V_1} = \frac{N_2}{V_2}$. При этом соответствие (2) принимает следующий вид:

$$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{m_1}{m_2}.$$

Авогадро приводит такой пример: плотности кислорода и водорода равны 1,10359 и 0,07321 (за единицу принята плотность атмосферного воздуха). Следовательно, относение масс молекул кислорода и водорода принимает $\frac{1,10359}{0,07321} \approx \frac{15}{1}$.

Из опытов Гей-Люссака следует, что для образования двух каких-либо одинаковых объемов водяного пара необходимо два таких же объема водорода и один объем кислорода. Значит, на каждую молекул кислорода приходится по две молекулы водорода. Если бы молекулы водорода и кислорода состояли из одного атома, то мы имели бы реакцию $2\text{H} + \text{O} = \text{H}_2\text{O}$, в результате которой из двух объемов водорода и одного объема кислорода получился бы один объем воды. Но это противоречит результаты опытов Гей-Люссака. Следовательно, приходится предположить

26

что в каждом элементарном акте реакции возникает по две молекулы воды (2H₂O), а молекулы кислорода и водорода содержат по два атома (O₂ и H₂). Так мы приходим к правильной формуле реакции:

$$2H_2 + O_2 = 2H_2O.$$

Эта хорошего нам знакомая формула впервые была получена Авогадро.

В 1814 году появляется второй статья Авогадро «Очерк об относительных массах молекул простых тел, или предполагаемых плотностях их газа, и о конституции некоторых из их соедининий». Здесь четко формулируется закон Авогадро: «…равные объемы газообразных веществ при одинаковых давлениях и температуре отвечают равному числу молекул, так что плотности различных газов представляют собой меру масс молекул соответствующих газов». Далее в статье рассматривается приложения этого закона для определения состава молекул многочисленных неорганических веществ.

Так как молярная масса (масса одного моля вещества) пропорциональна массе отдельной молекулы, то закон Авогадро можно формулировать как утверждение, что моль любого вещества в газообразном состоянии при одинаковых температуре и давлениях занимает один и тот же объем. Как показали эксперименты, при нормальных условиях ($p=1\text{ amm}, t=0^\circ\text{C}$) он равен 22,414 л. Число молекул в грамм-молекULE любого вещества одинаково. Оно получило название числа Авогадро. Его принято обозначать буквой $N_A$. По современным данным

$$N_A = 6,022094 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}.$$

Это число — одна из важнейших универсальных постоянных современной физики и химии. Она использует при определении ряда других универсальных постоянных, например, постоянной Больцмана, постоянной Фарадея и т.п.

Число Авогадро можно определить многоими независными друг от друга методами. Прекрасное совпадение полученных при этом значений является убедительным доказательством реального молекул и справедливости молекулярно-кинитической теории.

В 1821 году в статье «Новые сообщения о теории определенных пропорций в соединениях и об определении масс молекул тел» Авогадро поделил итог своей почты десятилетней работы в области молекулярной теории и распространил свой метод определения состава молекул на цельный ряд организаческих веществ. В этой же статье он показал, что другие химики, прежде всего Дальтон, Дэви и Берцелуус, не знакомые с его работами, продолжают придерживаться неверных взглядов на природу многих химических соединений и характер пропускания между ними реакций.

Эта работа интересна еще в одном отношении: в ней впервые встречается имя Ампера, по выражению Авогадро, «одного из самых искусных физков наших дней», в связи с его исследованием в области молекулярной теории. Эту сторону деятельности Ампера обычно не упоминают, поскольку егоаслужи в области электронная математики затмевают все остальные работы. Тем не менее, Ампер работал и в области молекулярной физики и неависимо от Авогадро (но несколько позже) приSEL к некоторым из идеи, высказанных Авогадро. В 1814 году Ампер опубликовал письмо к химку Бертолле, в котором формулировал положение, по существу совпадающее с законом Авогадро. Здесь же он указывает, что соответствующая работа Авогадро стала ему известна уже после написания письма к Бертолле.

Чтобы закончить расссказ о работах Авогадро в области молекулярной теории, отметим, что в 1837—1841 года он издал четЫреxtомное сочинение «Физика весомых тел, или практиат об общей конституции тел».

27

Каждый том имел более 900 страниц. К этому времени Авогадро уже исполнилось 65 лет, но ум его попрежнему был ясным, а любовь к науке и трудолюбие неиссякаемыми. Этот труд оказался первым в истории учебником молекулярной физики.

Огромный вклад Авогадро в развитие молекулярной теории должно время остановся практическими независимыми современниками. Более того, открытий им закон большинстров ученых связьвало с именем Ампера. (И даже много позже этот закон в литературе часто именовал законом Авогадро — Ампера, хотя Авогадро формировал его на три года раньше Ампера.) Вплоть до начала 60-х годов XIX века в химии царил произволь как в оценке молекулярных масс, так и в описании химических реакций; оставалось немало новейных представлений об atomном составе многохлорных веществ. Дело доходило даже до попыток вообще откаазаться от молекулярных представлений. Лишь в 1858 году итальянский химик Канниццар, ознакомившись с письмом Ампера к Бер-
толе, в котором есть ссылка на работы Авогадро, заново «открыл» эти работы и с удивлением убедился, что они внесят полную ясность в запутанную картину состояния химии того времени. В 1860 году Канниццар подробно расссказал о работах Авогадро на Первом Международном химическом congressе в Карлсруэ, и его доклад произвел огромное впечатление на присутствовавших там ученых. Как сказаал один из них, он почувствовал, как завеса упала с глаз, сомнения исчезли, и вместе них появилось способной чувство уверенности. Великий русский химик Д. И. Менделеев, также участковый в работе congressа, писал позднее: «Решающим моментом в развитие моей мысли о периодическом законе я считаю 1860 год — съезд химков в Карлсруэ, в котором я участковал, и на этом съездде — идеи, высказанные итогянским химком Канниццар» (то есть, по существу, идеи Авогадро). Заслужги Авогадро как одного из основоположников молекулярной теории получили с тех пор всеобщое признание.

Плоский правильный граф степени 5 с 18 вершинами

В «Кванте» № 11 за 1975 год была опубликована статья М. Каца «О. плоских правильных графах». Напомним, что плоский граф называется правильным, если из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер; это число и называется степенью графа.

В этой статье, в частности, обсуждался вопрос о числе вершин правильного графа степени 5; было доказано, что число вершин правильного графа степени 5 может быть любым числом, не меньше 12, кроме 14 и, быть может, 18 (см. с. 14, 15). Недавно в редакцию пришло письмо из Чехословакини от старшего ассистента кафедры математической информации Яна Нинчака с примером правильного графа степени 5 с восемнадцатью вершинами *) (см. рис.). Найdenный граф имеет 3 четырехреберника и 26 трехреберников (на рисунке ребра четырехреберников — головного цвета).

*) Позже один пример прислада В. Линис из Риги.

28

ЭВМ
опровергает

Великому математику Л. Эйлеру принадлежит следующая задача:

Обойти конем все клетки шахматной доски, повышав в каждой клеткеровно по одному разу.

В 1823 году Варисдорф в брошюре «Простейшее и наиболее общее решение задачи о хode коня» предложил следующей правила обхода доски:

На каждом ходу ставка коня на маску клетку, из которой можно совершить наименьшее число ходов на еще не проиденные клетки. Если маски клеток несколько, разрешается выбирать любую из них.

Отметим, что правило Варисдорфа не является алгоритмом, поскольку оно не всегда однозначно указывает следующий ход коня (см. вторую фразу правила).

Например, если конь начинает свое движение с поля d4, правила Варисдорфа позволяет ему пойти первым ходом на любое из полей b3, b5, c2, e2 (рис. 1). (Оdnako, если конь начинает свое движение с поля c2, то даже на первом ходу правила Варисдорфа однозначно указывает ему, куда пойти — на поле a1!)

Варисдорф высказал утверждение: с какого бы поля конь ни начинаал свое движение, любой путь, удовлетворяющий его правила, в конце концов приведет к полному обходу доски (т. е. к решению задачи Эйлера). До недавнего времени не было известно, справедливо ли это утверждение. Еще в 1971 году Е. Я. Гик писал в «Кванте» (№ 9, с. 53), что утверждение Варисдорфа «на практике всегда оправдывается…, хотя оно и не подтверждено теоретически».

Для ЭВМ «Проминь-2» была составлена программа перечисления некоторого множества путей коня. Первый контрирмер был построен менее чем за 1 минуту. Перебрав 6464 путей, ЭВМ получила контрирмеры

Рис. 1.
Рис. 2.

29

с 21 начального поля. Среди них были 10 контрипмеров с полей, отмененных на рисунке 2 звездочки. Легко сообщать, что эти 10 контрипмеров достаточно, чтобы утверждать: с какое-то поля конь ни начinal свое движение, существуем путь, удовлетворяющий правилам Варисдорфа, который обращается равно полного обхода доски. На рисунках 3, 4 приведены 2 контрипмера (красными кружками отменены поля, не проиденные конем).

В заключение поставим ряд задач:

1. Справедливо ли утверждение: с какое-то поля конь ни начinal свое движение?

2. Решить уравнение
   $$\frac{xy^m}{m+1} = \frac{xyy \dots y}{m+1}$$
   где $m$ — целое число.

3. Через вершины $A, B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведены прямые, пересекающие в одной точке $O$.

Обозначим $\alpha = \widehat{OAC}$, $\beta = \widehat{OBA}$, $\gamma = \widehat{OCB}$, причем каждый из этих углов будет считать положительным, если он содержит соответствующий внутренний угол треугольника или сам содержится в нем, равным нулю, если его стороны совпадают, и отрицательным в противном случае. Пусть $O$ — одна из шести замечательных точек треугольника $ABC$ — центр вписанной или центр описанной окружности, ортоцентр или один из трех центров внешписанных окружностей. Доказать, что тогда $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$.

В. Колбасенко (г. Суходольск)

30

Опыты с порошковыми фигурами

Какое отношение имеет пыль — мелкий сыпучий порошок — к физике?
Если вы думаете, что физик вспомниет о пыли только в те не очень приятные моменты, когда ему надо почистить свою экспериментальную установку, то глубоко заблуждается. Невозможно даже перечислять все то, что дало науке и технике изучение свойств мелких порошков и их взвеся (супензий), или указаать те области, где эти свойства нашли применение. Вот несколько примеров.

С помощью порошка впервые была достаточно точно измерена длина звуковой волны в воздухе; порошок и сейчас применяется при изучении звуковых колебаний различных пластинок и_memбран. Взвешенный в жидкости порошок позволяет реализовать молекулярного движения (вспомните броуновское движение).

Металлический порошок использует для наблюдения доменов ферромагнетиков. Ферромагнитные порошки применяются в дефектоскопии.

Разработываются и применяются колосальные установки для улавливания пыли (без знания свойств пыли здесь не обойтись). Но столже интенсивно ведутся работы по созданию расыляющих различные веществ установок.

Любые опыты с мелкими порошками интересны сами по себе. Кроме того, они поччительны еще и тем, что показывают, как много дает изучение общеданных веществ, на которые мы зачастую не обращаем внимание.

Предлагаем вам несколько простых, но очень эффективных опытов. Они не требуют никакого оборудования, поэтому вы их сможете проводити даже в домашних условиях.

Получение порошковых фигур

На алюминевую пластинку равномерным тонким слоем насыпем порошок зубврачебной пластmasсы «Протакрил» (продается во всех аптеках). Пластикную проводником соединим с конденсатором (емкость конденсатора $C = 0,01$ мкф, рабочое напряжение 400 $\theta$). Второй конденсатор приJAем к проводнику со штекером. Включим штекер в одно из гнезд розетки электросветительной сети (127 или 220 $\theta$). Пальцем проводем по порошку, насыпанному на алюминевую пластинку, — на пластинке остатуса перевистий след (рис. 1).

Попробуем обязывать результат опыта. Переменный электрический ток в розетки квартры поступает по двум проводам. Один из этих проводов замещен — потенциаль его равен потенциальу земли, который обычно считают равным нулю. Человеческое тело также более или менее хорошо замещено, так что и его потенциаль можно приять равным нулю. Алюминевая пластинка через конденсатор соединена с другими проводами сети, который называют фазовым. Конденсатор «пропускает» переменный ток. Таким образом, между проводящим по порошку пальцем и самой алюминевой пластинкой имеется переменная разность потенциальов.

Когда пальц движется по порошку, в результате tremя порошок

31

электризуется, заряжаясь, например, положительно (быть может, он заряжается и отрицательно, но суть дела от этого не меняется, а выяснять, каков именно заряд порошка, мы не будем). Поскольку между аломиневой пластинкой и движущимся пальцем имеется переменная разность потенциалов, порошок пригивается к пластинке, когда ее потенциаль отрицательный, и приплпает к пальцу в те моменты, когда он имеет отрицательный потенциаль относительно пластинки. Так получается тот прерывистый след, который вы видите на рисунке 1.

Описанную экспериментальную установку можно видизнить. Заменим аломиневую пластинку электропроводной бумагой. Ее приготовить нетрудно. Объичный лист бумаги (размером примерного 20×30 см) надо покрыть с одной стороны густоразведенной черной гушью. После высыхания краски образуется тонкий электропроводный слой, имеющий довольно высокое сопротивление. Лист электропроводной бумаги конопками следует прикрепить к фанере. Проводник можно соединить с электропроводной бумагой с помощью обычной канцелярской скрепки.

Вместо порошка пластmasсы «Протакрил» вопытах лучше использовать сухой зубной порошок — прерывистый след получается более устойчивым. На электропроводную бумагу его можно нанести тонким равномерным слоем, применяяvatный тампон. При необходимости зубной порошок можно подсушить на электропилите, насыпав порошок в металлическую баночку. Можно также использовать linkоподий или «серный цвет» (мелко истолченая сера). Первый порошок продается в аптеках, второй можно найти в школьном химическом кабинете.

Может оказаться, что для опытов нужна меньше разность потенциаль, чем та, которая получается при непосредствном использовании напряжения сети. Для регулярования разности потенциаль между электропроводной бумагой и землей следует воспользоваться потенциометром (рис. 2; сопротивление потенциометра $R=470$ ком). С целью соблюдения правил техники безопасности цель нужного смонтировать в корпусе из изоляционного материала (можно использовать подходящийую пластмассовую баночку). Общий вид установки для опытов представлен на рисунке 3.

Для чего можно использовать порошковые фигуры?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два опыта. Развертем проводник, идущий от конденсатора к электропроводной бумаге. В разрыв проводника включим диэлектрик: например, очищенные концы проводов несколько раз обмотаем вокруг стекланной трубки так, чтобы расстояние между витками составляло 1—2 см. Проведем пальцем по насыпанному

32

на электронроводуную бумагу зубному порошку. При этом на бумаге остатся, хотя и менее резкий, чем изображенный на рисунке 3, но все же отчетливый перерывистый след.

Сtekло — очень хороший диэлектрик, через который электронческий ток практический не проходит (точнее, проходит очень малый ток). Но на бумаге появился перерывистый след! Следовательно, с помощью порошковых фигур можно регистрации чрезвычайно малые токи.

Поставим еще один опыт. В разрыв проводника, индущего от конденсатора к электронроводуной бумаге, включим переключатель (тумблер), позволяющий размыть и замыкать цепь. Провода по порошку пальцем, включим и быстро выключим тумблер, не прекращая движения пальца. При этом на время включения тумбера след становится перерывистым. Получившееся на траектории движения пальца светлые или темные участки мы будем назвать временными метками. Время, прошедшее от момента возникновения одной метки до момента появления соседней, должно составлять 0,02 сек (частица переменного тока $f=1/T=50$ сч). Таким образом, сосчитав число меток на траектории движения пальца, можно определить время, в течение которого был включен тумблер.

В опите удобно использовать делитель напряжения (см. рис. 2). Дело в том, что тела, которые мы привыклились считать непроводниками, отноньд не диэлектрики в полном смысле этого слова. Поэтому даже когда тумблер, разрывающий фазовый провод, выключен, по цепи идет небольшой ток, и на бумаге появляется порошковые фигуры. Чтобы установить это нежелательное явление, необходимо уменьшить разность потенциаль между электронроводуной бумаго и пальцем. Подобрать оптимальную разность потенциаль и позволяет делитель напряжения (потенциометр). Заметим, что этот опыт удобнее проводить вдвоем (можно предложить своему товарищу проверить его реакцию на включение и выключение тумбера).

Итак, описанные опыты показывают что порошковые фигуры могут быть использованы для обнаружения небольших токов и изменения малых промежутков времени.

Телерь — несколько конкретичных примеров.

Ионизация воздуха пламенем

В разрыв фазового проводника сети, сделанный после конденсатора, влаяем две латунные или жестные полоски размером примерно $10 \times 80$ мм. Получившиеся электроны укрепим в спичечных коробках, которые будут выполять роль шатинов. Расположим электроны параллельно друг друг так, чтобы промежуток между ними составлял 2—5 мм (рис. 4). Проведем пальцем по слою зубного порошка на электронроводуной бумаге — след получается сплошным, без временных меток.

Внесем в промежуток между электронами пламя зажженной спички или горяшей свечи и вновь проверем по бумаге пальцем. Сразу же на траектории движения пальца появляется временные метки (см. рис. 4).

В этом и аналогичных ему опытах удобно непровивно водить пальцем по кругу; тогда нетрудно будет заметить момент появления и исчезновения временных меток. Продаленный опыт показывает, что в обычных условиях воздухах является диэлектриком. Внесеное пламяонизирует воздух, делает его проводником. Электрическая цепь замыкается, в цепи возникает электронческий ток.

Измерение ускорения свободного падения

Возможно с помощью порошковых фигур измерять небольшие промежутки времени можно использовать в опыте по определению ускорения свободного падения.

33

Рис. 3. Внешний вид установки для опытов с порошковыми фигурами. Установка состоит из розетки электросветительной сети, делителя напряжения с конденсатором и листа электропроводной бумаги с порошком.

Рис. 4. Ионизация воздуха пламенем. До внесения пламени в промежуток между электродами движущимися палец оставляет на электропроводной бумаге сплошной след; сразу после внесения пламени след становится прервиистым.

Рис. 5. Схема установки для определенияускорения свободного падения. 1 — нормальное разомкнутые контакты, 2 — падающие тело, 3 — нормальное разомкнутые контакты, 4 — лист электропроводной бумаги с порошком.

Если поднятое над землей тело начинает падать, то, как известно из механики, пусть $h$ оно пройдет за время $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$. Следовательно,ускорение свободного падения может быть найдено по формуле

$$g = \frac{2h}{t^2},$$

(*)

если известны высота $h$, с которой падает тело, и время падения $t$. Высоту можно измерить линейкой, а время падения — определять методом порошковых фигур.

Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 5. Проводник, идущий от конденсатора к листу электропроводной бумаги, разорван двумя парами контактов. Контакты 1 — нормальное разомкнутые (к нижнему контакту с помощью нитки подвешено тело 2, оттягивающее его вниз). Контакты 3 — нормальное разомкнутые. В исходном состоянии цель разомкнута. Когда тело начинает падать, контакты 1 соединяются, и цель становится замкнутой на промежуток времени, в течение которого тело падает. При этом на траектории движения палца (на электропроводной бумаге 4) образуется временные метки. Как только тело попадает на нижний контакт 3, цель вновь размыкается, и появление меток прекращается.

Внешний вид установки изображен на рисунке 6, а. Верхняя пара контактов (рис. 6, 6) изготовлена из прикрепленных изоляционных лентой к карандашу управления латунных полосок (можно использовать контактуную пару от подходшего реле). Нижняя пара контактов устроена еще проще: на карандаше закреплена латунная полоска, на которой свободно лежит вторая полоска, припаянная к мягкому проводнику (рис. 6, 6). Когда падающее тело ударяется о первую полоску, вторая полоска падает, и целый размыкается.

Опыт проводится в следующем порядке. Ниткой привазывают тело

34

Рис. 6. Экспериментальная установка для определения ускорения свободного падения. В качестве падающего тела использована массивная шайба. a) — общий вид установки. b) — устройство верхней и нижней контактивы пар.

к нижнему контакту верхней пары. Линейкой изменяют расстояние между телом и нижней контактной парой. Начинают вести пальцем по зубному порошку на электронроводной бумаге, и затем, не прекращая движения пальца, спичкой пережигают нить. На траектории движения пальца образуется область с отчетливыми временными метками. Сосчитав число полученных меток, определяют время падения тела, и по формуле (*) расчитывают ускорение свободного падения.

В нашем опыте путь, проходимый телом при падении, составлял 27 см. Число меток оказалось равным 12. Следовательно, тело падало 0,24 сек. Исходя из этих данных, ускорение свободного падения $g \approx 9,4 \text{ m/sec}^2$. Учитывая простоту эксперимента, этот результат следует признать достаточно хорошо. Точность изменения ускорения свободного падения можно значительно повысить, если увеличить высоту, с которой падает тело.

Для успешной постановки опыта необходимо с помощью делителя напряжения подобрать такую разность потенциальов, чтобы при разомкнутой цепи метки не появлялись (напомним, что площадя изоляция приводит к фактическому замыканию цепи, и метки образуют даже тогда, когда контакты разомкнуты). Штатив в экспериментальной установке использовать совсем не обязательно: в домашних условиях к держащей с контактами можно привязать к деревянной рейке или к спинке и ножке стула.

Уражнения

1. Проведя пальцем по зубному порошку на электронроводной бумаге, получите прерывистый след. Телер прикоснитесь пальцем другу руки к электронроводной бумаге и вновь повторите опит. Почему в последнем случе на траектории движения пальца не остаются временные метки?

2. Объясните, почему порошковые фигуры могут быть использованы для регистрации малых токов?

3. Поставьте опит, демонстрирующий фотоэффект.

35

Таннстевный остров
Вы узнали, конечно, иллюстрацию к роману Жюля Верна «Таннстевный остров»? Кольшки в песок выкает в конец тени от шеста всезнающий и все умEOший инженер Сайрус Смит. С часами стоит журналист Гедон Спилет… А вот подробность, которое вы могли и забыть: остров, где происходили описываемые в романе события, находился южнее 30° южной широты.
Гравер Ж. Барбан и художник П. Фера, иллюстрированные романы Ж. Верна, как правило, прекрасно справлялись со своей задачей.
Но в данном случае…
Попробуйте ответить на следующие вопросы:

1. Верно ли изображены тени на иллюстрации?
2. В какую стороны должны быть выпукла крывая, которое можно провести через основания колышков — от шеста или к шесту?
3. Верно ли, что колышки выкались слева направо?
   Попробуйте нарисовать крывую, которое описывает конец тени от шеста в течение дня на разных широтах. Шест направлен паралелно оси врашения Земли.

В. Тихонов

Задачи-близнецы
Шахматистам знакомы так называемые «задачи-близнецы», условия которых имеют небольшое различе, а решения совершенню разные. Вот забавный пример двух математических задач-близнецов.
Между А и В произошел следующий диалог.
A: У вас есть дети?
B·(1): Да, есть.
B·(2): Да, трое.
A: Какого возраства?
B: Произведение их возраствов рано 36, а сумма — числу окон в том доме.

A (подумав): Я не могу определить их возраст.
B: Добавлю: старший — мальчик.
A: Теперь все ясно.
Требуется определить количество и возраст детей при двух вариантах ответа на первый вопрос ((1) и (2)). Самое удивительное заключается в том, что хотя ответы разные, но в том и другом случае детей трое.

В. Шарафутдинов
(г. Новосибирск)

36

Задчи

M396—M400; Ф408—Ф412

Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 ноября 1976 г. по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задчик «Кванта», М396» или «…Ф408».
Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просбапись присылать в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанием на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задчик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).
В этом номере «Задчик «Кванта» составлен в основном из задач, предлагашихся на последней Всесоюзной олимпиде. В скобках (после задач заключительного типа олимпиды) указаан класс, для учеников которого предлагается задача.
Нанболее трудные задачи отмещены звездочкой.

M396. Треугольник, все стороны которого больше 1 см, называем «большим». Дан правильный треугольник ABC со стороны 5 см. Докажите, что a) из треугольника ABC можно вырезать 1000 «больших» треугольников; b) треугольник ABC можно разрезать на 1000 «больших» треугольников; b)* треугольник ABC можно трианглировать на 1000 «больших» треугольников, то есть разбит его так, чтобы любые два треугольника либо не имели общих точек, либо имели только общую вершину, либо имели общую сторону; г) сделайте пункты 6) и b) для правильного треугольника со стороны 3 см. (8—9 кл.)

С. Фомин

M397. На плоскости данных три окружности одинакового радиуса.
a) Докажите, что если все они пересекаются в одной точке, как показано на рисунке 1, то сумма отмеченных дуг AK, СК, EK равна 180°.
b) Докажите, что если они расположены так, как показано на рисунке 2, то сумма отмеченных дуг AB, CD, EF равна 180°. (8 кл.)

M398. На окружности расположены n действительных чисел (n≥3), сумма которых равна нулю. Одно из этих чисел равно 1.
a) Докажите, что есть два соседних числа, различающихся не менее чем на 4/n.
b) Докажите, что есть число, отличное от среднего арфметического двух своих соседей не менее чем на 8/n².
b) Оценку, предложенную в предыдущем пункте, можно улушить. Попробуйте заменить в ней число 8 каким-нибудь большим числом так, чтобы утверждение этой задачи по-прежнему выполнялось для всех натуральных чисел.
g)* Докажите, что для n=30 на окружности есть число, отличное от среднего арфметического двух своих соседей не менее чем на 2/113. Приведите пример набора 30 чисел на окружности,

37

в котором ни одно число не отличается от среднего арифметического двух своих соседей более чем на 2/113.

д)* Найдите в этой задаче точную оценку разности между числом и средним арифметическим его соседей для любого $n$. (9 кл.)

M399. На отрезке длины 7 можно поставить путь точек (см. рис. 3) так, чтобы для любого $m=1, 2, \dots, 7$ нашлись две из этих пятей точек на расстоянии $m$.

Попробуйте выяснить, какое наименьшее число $k_n$ точек нужно поставить на отрезке длины $n$ так, чтобы для любого $m=1, 2, \dots, n$ нашлись две из этих $k_n$ точек на расстоянии $m$.

a) Решите эту задачу для нескольких значений $n$ (нам известно $k_n$ для $n \leqslant 13$).

b) Получите оценки для $k_n$ для любого $n$. Известны оценки $(\sqrt{8n+1}+1)/2 \leqslant k_n \leqslant \sqrt{4n+5}-1$. Постраайтесь доказать эти неравенства и, если сможете, найдите более точные оценки.

A. Савин

M400. Последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, \dots, a_h$ называем универсальной для данного $N$, если из нее можно получить вычеркивание части членов любого последовательность из $N$ чисел, в котором каждое из чисел 1, 2, …, $N$ входит по одному разу.

a) Приведите пример универсальной последовательности из $N^2$ членов.

b) Приведите пример универсальной последовательности из $N^2-N+1$ членов.

в) Докажите, что любая универсальная последовательность состоит не менее чем из $\frac{N(N+1)}{2}$ членов.

г) Докажите, что при $N=4$ самая короткая универсальная последовательность состоит из 12 членов.

d) Попробуйте найти для данного $N$ как можно более коротную универсную последовательность. (9 кл.)

Г. Гуревич

Ф408. Из сопротивлений в 1, 2, 3 и 4ом собрана схема, показанная на рисунке 4. Какой ток течение амperметр $A_2$, если ток через амperметр $A_1$ 5 $a$? Показания волтметра 10 $b$. Измерительные приборы идеальные. (8 кл.)

Ф409. Почему с помощью линзы можно зажчь бумагу светом от Солнца, но нельзя светом от звезды? (10 кл.)

38

Ф410. В электронакумном приборе чистый воль-фрамый катод находится в большой колбе, содержащей остатки кислорода при давлении $p = 10^{-7}$ атм и температуре $T = 300^\circ\text{K}$. Считая, что каждая молекula, попавшая на катод, прилипает к нему, оценить время образования мономолекулярного слоя. Молеклы можно считать шариками диаметром $d \approx 3 \cdot 10^{-8}$ см. (9 кл.)

Ф411. Одним U-образным рутным манометром можно изменять давления до 1 атм. Какое наиболее давление можно изменить, если соединить последовательную два таких манометра короткой трубкой? (9—10 кл.)

Ф412. Учитель, ответныйись к доксе, следит за классом по отражениям в стеклах очков. При этом он видит два отражения ученика, сидящого от него в 5 м: одно на расстоянии 5 м, другое — на расстоянии $\frac{5}{7}$ м. Повернуть лишь лицом к классу, он через очки видит изображение того же ученика на расстоянии 2,5 м. Определить показатель преломления стекла, из которого изготовлены линзы очков. (10 кл.)

Решения задач
M354 — M358, M360; Ф362 — Ф368

М354. Можно ли рассмотреть числа 1, 2, 3, …, $4n + 2$ в вершинах и серединах сторон правильно (2n + 1)-уzelника мак, чтобы сумма трех чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон odинаковой?

Рассмотрим в качестве примеров случай $n = 3, n = 8$,

Рис. 1.

Ответ. Можно.

Приведем один из способов расстановки. В серединах сторон многоугольника поставим по порядку числа от 1 до $2n + 1$. Расставить остальные числа $2n + 2, \dots, 4n + 2$ помогает такое сообщение. Найдем сумму $S$ трех чисел, стоящих в конце и середине каждой стороны. Очевидно, $S = \frac{\Sigma + \Sigma'}{2n + 1}$, где $\Sigma = 1 + 2 + \dots + (4n + 2) = (2n + 1) \times (4n + 3)$ — сумма всех выписанных чисел, $\Sigma' = (2n + 2) + \dots + (4n + 2) = (2n + 1) (3n + 2)$ — сумма чисел, которые нужно расставить в вершинах; поэтому $S = 7n + 5$. Поставим теперь в вершине, обшей для сторон с числами 1 и 2 посредине, число $4n + 2$, а числа $4n + 1, 4n, \dots, 2n + 2$ будем ставить в вершинах через одну, считая вершину с числом $4n + 2$ начальной — см. рисунок 1 (на этом рисунке все точки расположены на одной окружности; черные точки — это «середины», красные — «вершины»). Покажем, что таким образом в каждую вершину будет поставлено нужное число (то, что это будет именно числа $2n + 2$, …, $4n + 2$, сомненей не вызывает). В самом деле, через $n$ шагов мы первый раз попадем в вершину, соседнюю с начальной, причем в эту вершину будет поставлено число $(4n + 2) - n = 3n + 2$, так что сумма чисел на стороне с единичей посередине оказывает как раз $(3n + 2) + 1 + (4n + 2) = 7n + 5$. Теперь уже очень точная сумма не

39

М355. N ребям перекідиваются N мячами. В начале церры каждой из них бросаем свой мяч кому-нибудь из свойх товарницей и сам ловим бросенный ком-нибудь мяч (он может подбросить и поимать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята опять бросают мяч тем же, кому они бросали их в первой раз и mak далее. Игра останавливается, когда все мячы вернуть к своим владельцам (имобы мяч не переупались, будем считать их разноцветными).

Докажите, что
a) к каждой из участников мяч вернуть в него через N бросанный;
b) церра обязает закончиться;
e) длиельность церры всегда является делительом числа N!=1·2·…·N;
d) длиельность церры не может превышать $\frac{N}{3}$.

Пусть игрок $A_1$ передал свой мяч игроку $A_2$, игрок $A_2$ — игроку $A_3$ит. Д. Поскольку игроков — конечное число, в этой последовательности рано или поздно один из игроков встретиется дважды. Ясно, что первый таким игроком будет игрок $A_1$. Действенный, пусть игрок $A_n$ передает свой мяч игроку $A_k$, где $k < n$ и $k > 1$. Тогда игроки $A_n$ и $A_{k-1}$ передают мячи одному и тому же игроку, и из условия задачи следует, что игроки $A_{k-1}$ и $A_n$ — это одно и то же лице. Поэтому игроков $A_1$, $A_2$, … можно расставить по кругу так, чтобы каждый игрок передавал и получал мяч от своих соседей. Все же игроков можно расставить в несколько таких кругов. Поскольку в каждой из таких кругов стоит не более N человек, мяч к любому из игроков вернет не более чем через N бросанный.

Пусть всего у нас получилось s кругов, в которых стоит $l_1$, $l_2$, …, $l_s$ человек соответственно. Если в круге стоит l человек, то после m·l бросанный все мячи в нем оказывается у владельцев. Поэтому игра закончится после $T = H.O.K.(l_1, l_2, ..., l_s)$ бросаней. (H. O. K.(l_1, …, l_s) — это наименьшее общее кратное число $l_1$, …, $l_s$). Поскольку все $l_i \leq N$, ясно, что T — делитель N!. Таким образом, мы ответили на пункты a), б) и г) задачи. Разберем пункт d).

Заметим, что $l_1 + l_2 + ... + l_s = N$, и все $l_i$—целые числа.

Покажем, что $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s \leq 3$. (В условии задачи, опубликованном в «Кванте» № 11 за 1975 год, в пункте d) была допущена опечатака: длиельность игры не может превышать $\frac{N}{3}$, а не 3N/3.) Действенный, если неокоторое $l_s \geq 4$, то, заменив его на 2+($l - 2$), мы не изменим сумму $l_1 + l_2 + ... + l_s$ и не уменьшим произведение $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s$. Поэтому от произведения $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s$ можно перейти к неменшему, в котором уже все компоненты не больше трех. Заметия, если это окажется возможным, 1+1 на 2, 1+3 на 2+2 и 2+2+2 на 3+3, мы получим произведение вида 3·3·…·3, 3·3···3·2 или 3·3···3·2·2 в зависимости от остатка, получающегося при делении N на 3, которое не меньше любого произведения $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s$. А именно: если N называет делится на 3, то возьмем $\frac{N}{3}$ troек, и получим нужную оценку; если в остатке получится 1, то возьмем $\frac{N}{3}$ troек и две двойки; тогда $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s < 2 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{N-4}{3}$; но 4·3 < 3, поскольку $4^3 > 3^4$. Если же в остатке получится 2, то возьмем $\frac{N}{3}$ troек и одну двойку;

40

М356. Из точки M, взятой внутри треугольника $A_1B_1C_1$, опущены перpendicularы $MA_2$, $MB_2$, $MC_2$ на прямые $B_1C_1$, $A_1C_1$, $A_1B_1$ соответственно, затем из этой точки точки M опущены перpendicularы $MA_3$, $MB_3$, $MC_3$ на прямые $B_2C_2$, $A_2C_2$, $A_2B_2$ и так далее. Доказим, что в полученной последовательности треугольников $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$, $A_3B_3C_3$, … треугольник $A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1}$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$.

Докажем прежде всего такое вспомогательное соответствие: $\hat{A}_{i+1} = B_i\hat{M}C_i - \hat{A}_i$ (соответствие $\hat{B}_{i+1} = A_i\hat{M}C_i - \hat{B}_i$, $\hat{C}_{i+1} = A_i\hat{M}B_i - \hat{C}_i$).

Действительно, поскольку $MA_{i+1}\bot B_iC_i$, $MB_{i+1}\bot A_iC_i$ и $MC_{i+1}\bot A_iB_i$, вокруг четырехугольников $MA_{i+1}C_iB_{i+1}$ и $MA_{i+1}B_iC_{i+1}$ можно описать окружности с диаметрами $MC_i$ и $MB_i$ соответственно. Поэтому $MA_{i+1}\bot B_{i+1} = MC_i\bot B_{i+1}$ и $MA_{i+1}\bot C_{i+1} = MB_{i}\bot C_{i+1}$ (как висанные углы, опирающиеся на одни и те же дуги), и для угла $A_{i+1}$ имеем (см. рис. 3):

$$\hat{A}_{i+1} = C_{i+1}\hat{A}_{i+1}B_{i+1} + MA_{i+1}C_{i+1} = MC_{i}\hat{B}_{i+1} + MB_{i}\hat{C}_{i+1} = (\hat{C}_i - M\hat{C}_iB_i) + (\hat{B}_i - M\hat{B}_iC_i) = (\hat{B}_i + \hat{C}_i) - (M\hat{B}_iC_i + M\hat{C}_iB_i) = (180^\circ - \hat{A}_i) - (180^\circ - M\hat{C}_i) = B_i\hat{M}C_i - \hat{A}_i.$$

После темпер углы треугольника $A_4B_4C_4$. Имеем:

$$\hat{A}_4 = B_3\hat{M}C_3 - \hat{A}_3 = (180^\circ - \hat{A}_2) - (B_2\hat{M}C_2 - \hat{A}_2) = (180^\circ - B_2\hat{M}C_2) = \hat{A}_1.$$

Аналогично $\hat{B}_4 = \hat{B}_1$, $\hat{C}_4 = \hat{C}_1$, то есть $\Delta A_4B_4C_4 \sim \Delta A_1B_1C_1$. Прияв треугольник $A_4B_4C_4$ за исключением ($\Delta A_1'B_1'C_1'$), точно так же доказем, что

$$\Delta A_7B_7C_7 \sim \Delta A_4B_4C_4 \sim \Delta A_1B_1C_1,$$

затем, что

$$\Delta A_{10}B_{10}C_{10} \sim \Delta A_7B_7C_7 \sim \dots \sim \Delta A_1B_1C_1,$$

и так далее, так что

$$\Delta A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1} \sim \Delta A_{3n} \sim 2C_{3n} \sim 2 \dots \sim \Delta A_1B_1C_1,$$

что и требовалось доказать.

Я. Суконик