Квант 1977, №6 · Страницы

КВАНМ 6
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОТИЧЕСКИХ НАУК СССР

Здесь изображено семейство кривых, называемых овалами Декарта. О том, что это за кривые, рассказывается в заметке «Овалы Декарта» на с.43.

1

Главный редактор
академик И. К. Кионн
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Белев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

На рисунке на первой странице обложки вы видите результат многократных иверсий трех попарно касаошихся окружностей: сначала — их иверсии относительно друг друга, затем — иверсии окружностей, получащихся после этих иверсий, относительно друг друга и т. д.
Как выполнен это построение? Какой геометрический смысл стоит за подбными преобразованиями? Об этом вы узнаете, прочитав статью В. Вавилова (см. с. 38).

В НОМЕРЕ:

3 И. Ньютон. Математические начала натуральной философии (Предисловие)
4 И. Башмакова. Исаак Ньютон
12 Я. Смородинский. Закон всемирного тяготения
19 А. Кушинренко. Многоугольник Ньютона
25 В. Кресин. Адинабатный процесс
30 Н. Васильев, А. Толпыzo. Плавные последовательности

Лаборатория «Квант»
35 А. Бондарь. Грампластинка и дифраクция света

Математический практикум
38 В. Вавилов. Геометрия круга

Задачик «Квант»
44 Задачи М446—М450; Ф458—Ф462
46 Решения задач М403, М405—М409; Ф413—Ф415, Ф417 — Ф422
57 А. Лодкин. Функциональное уравнение на сфере

«Квант» для младших школьников
61 Задачи
62 Н. Носов. Витя Малеев решает zadачи

Практикум абитуриента
67 И. Константинов. Насыщенный пар
71 Н. Розов. Читатель советуют

Вариantsы вступительных экзаменов вузы в 1976 г
78 В. Осипов, А. Шепелявый. Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова
79 Э. Голубов. Уральский государственный университет им. А. М. Горького
80 М. Хорошев. Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии
81 Н. Квачева, О. Малюков, В. Треноцин. Московский институт стали и сплавов
84 Г. Ефашкин, В. Тонян. Московский институт электронного машиностроения
86 В. Бесмаева, О. Овчинников, Г. Шадрин. Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
88 А. Карасев. Всегоизный заочный финансово-экономический институт
89 Примерные варианты письменных экзаменов по математике вузы в 1977 году

Резцензини, библиография
90 И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги

Смесь (37, 43, 60)

Ответы, указания, решения

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Нука», «Квант», 1977

3

Математические начала натуральной философии

Предисловие *)

«…Механика есть учение о движении, производимых какими бы то ни было слиами, и о слиах, требуемых для производства качихы то ни было движений, точно изложенное и доказанное.

Древними эта часть механики была разработана лишь в виде учения о пятии машинах *), применяемых в ремеслах; при этом даже тяжеть (так как это не есть усиление, производимое руками) рассматривалась именно не как сила, а лишь как грузы, движимые сказанными машинами. Мы же, расчуждая не о ремеслах, а об учении о природае и, следовательно, не об усилях, производимых руками, а о слиах природы, будем заниматься, главным образом, тем, что относится к тяжсти, легкости, силе упругости, сопротивленияю жидкостьей и к тому подобным приятиемным или на

*) Мы приводим небольший отрывок из «Предисловия» Исаака Ньютона к первому изданию «Математических начал натуральной философии», вышедему в 1686 году. Перевод на русский язык был сделан впервые в 1915 году замененным русским механиком академиком А. Н. Крыловым.

**) Основные машины, рассматриваемые древними авторами, суть: vectis — рычаг, axis in peritrochio — ворот, trochlea seu polispastus — блок, cochlea — винт, сипец—клин. Эти-то пяты машин и подразумевал Ньютон. (Прим. А. Н. Крылова.)

пирающим силам. Поэтому и сочнее это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первого и второй. В третьей же книге мы даем пример вышелупомянутого приложения, объясняя систему мира, либо здесь из небесных явлений, при помощи предположений, доказанных в предыдущих книгах, математических выводятся силы тяготения тел к Солнцу и отделным планетам. Затем по этим силам, также при помощи математических предложений, выводятся движения планет, комет, Луньи и моря. Было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы, расчуждая подобным же образом, либо многое засталяет меня предполагать, что все эти явления обусловливаются некоторыми силами, с которых частцы тел,следствие причин покуда неизвестных, или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные фигуры, или же взимно отталкивают друг от друга. Так как эти силы неизвестны, то до сих пор попытки философов объяснить явления природы остались бесплодными. Я надеюсь, что или этому способу расчуждания, или другому, более правильному, изложенные здесь основания достают неоткрого освещение.

При издании этого сочинения оказал содержание острумнейший и во всех областях научений муж Эдмунд Галлей, который не только правил типографские корректуры и ознакомился изготовлением рисунков, но даже по его лишь настоянием и приступил и к самому изданию. Получив от меня доказательства вида орбит небесных тел, он непрестанно настанвал, чтобы я сообщил их Королевскому обществу, которое затем своим бласклонным внимание и заботливостью заставило меня подумать о выпуске их в свет…»

4

И. Башмакова

Был этот мир глубокой тьмои окутан. Да будет свет! И вот явился Ньюотон.
А. Поп*)

Ньюотон был величайший генius из всех, когда-либо существовавших, и самый счастливый, либо только однajды дано человеку открыт системе мира.
Ж. Л. Лагранж

Каждай из вас, несомненно, слышал о Ньюотоне. Трудно найти ученого, оказавшего столь же сильное влияние на развитие мировой науки и культуры. Механика Ньюотона — краеугольный камень в фундаменте современного естественного естественного. Опираясь на открытыый им закон всемирного тяготения, Ньюотон создает логичную и строяную систему мироиздания. Большая часть математического аппарата современного естественного основана на разработанном Ньюотом исчисления бесконечно малых.

Несмотря на все значение творчества Ньюотона, серbezное изучение его наследия началось севcem недавно. Дело в том, что после смерти Ньюотона все его бумаги попали к мужу его племянницы — Джону Кондуиту, а затем к дочеги последнего, вышедшей замуж за одного из лордов

*) В XX веке эта эпиграммма XVIII века была продолжена:

Но сатана недолго ждал реванша — Пришел Эйштейн и стало все, как раньше.
(Перевод обихэ эпиграмм С. Я. Маршака.)

Портмутских. В этой семье бумаги Ньюотона хранились до 1936 года, когда все Портмутские коллекции были распроданы на публичном акциионе в Лондоне. Три миллиона оригинальных слов Ньюотона были оценены в 9.030 футов стерлингов 10 шиллингов. Только благодаря геронческим числяям некоторых ученых и общественных деятельности значительной часть бумаг попала в библиотеки Кембриджа и Лондона. Оdnako много бумаг уплело за океан. Некоторые пропали бесследно. Хронология рукописей, которое перед смертью установил сам Ньюотон, была безнадежно нарушена.

Систематическое исследование наследия Ньюотона началось лишь после Второй мировой войны. С 1959 года в Англии стала издаваться переписка Ньюотона (к настоящему времени издано 7 томов), были изданы его работы по динамике, и, наконец, с 1967 года начали выходить его математические рукописи (вышло уже 7 томов). Все это позволяет нам теперь более полно судить о силе и глубине гения Ньюотона. Великый ученый представляет теперь перед нами не только как создатель дифференциального и интегрального исчисления, но и как крупнейший алгебраист, исследователь в области алгебраической геометрии и теории чисел.

Исаак Ньюотон родился 4 января 1643 года в семье небогатого фермера-арендатора в деревне Вулсторп близ

5

города Грантзма. Отец Исаака умер еще до рождения сына. Мальчик посящал сначала сельскую школу, а затем школа в Грантзме. Директор школы образил внимание на способности юноши и уговорил его мать отправить сына учиться в университет. Летом 1661 года Исаак Ньюотон поступил в колледж св. Троицы (Тринити колледж) Кембриджского университета в качестве бедного студента, обязаноного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов. В 1665 году он окончил колледж со степенью бакалавра, через три года стал магистром, а еще через год по предложению своего учителя Исаака Барруу занял его кафедру. В университете Ньюотон читал лекции по физике и математике. Ньюотон не был желан — такова была традиция Тринити колледжа, восходящая еще к средневековью.

Жизнь Ньюотона протекала спокойно и размеренно и не была богатата собственными. Оdnako трудно найти жизнь, более насыщенную направленной, полной поисков и вдохновения созидательной работы.

В этой статье мы подробно рассакем о математических достижениях Ньюотона.

Как показывает черновые записи Ньюотона, в области математики он был самоучкой — в колледже читался только курс элементарной математики. Интерес молодого человека к математике был возбуден случайным obstructionным: летом 1663 года он купил на ярмарке книгу по астрологии. Что бы в ней разобраться, ему понадобилось знакомство с трионометрией, которое, в свою очередь, потребовал знания геометрии Евклида. Так Ньюотон приступил к изучению «Начал» Евклида, от которых перешел к сочинениям Виета и Декарта по алгебре и аналитической геометрии, затем познакомился с работами Валиса по исчислению бесконечного малых. Записные книжки показывают, что Ньюотну понадобилось около года, чтобы овладеть современной ему математкой и начать самостоятельные исследования. Именно в это время он записал знаменитую формулу разложения $(1+x)^r$ в ряд, где $r$ — любое рациональное число (о ней мы будем говорить ниже). Уже к 1664—1667 годам относится первыше исследований Ньюотона по анализческой геометрии и исчислению бесконечного малых.

Аналитическая геометрия и изучение кривых треугольного порядка

Кривые второго порядка (эллипс, гипербола и парабола) были весоронние изучены еще Аполлонем (III в. до н. э.). Во время Аполлоня не было еще буквенной алгебры, поэтому Аполлоний записьвал уравнения кривых геометрических, с помощью равенства некоторых площадей.

Аnalитическая геометрия, основанная на буквенной алгебре, была создана только в новое время Пьером Ферма (1636) и Рене Декартом (1637), причем последний придал буквенноу исчисленную современный вид. Вводя систему координат, оба математика рисовали одну координату ось (горизонтальную) с помещенным началом отчета, для второй оси задавалось только направление. Гораздо важнее то обстоятельство, что ни Декарт, ни Ферма не выводили свойств кривых из определения их уравнений. Они довольствовали тем, что приводили уравнение к одному из канонечских видов, встречалось у Аполлоня, а затем просто пользовались его результатами. Таким образом, специфика метода анализческого геометрии остался нераскрытым.

Молодой Ньюотон сразу же начал рисовать на чертеже об оси координат (под произвольным углом друг к другу). Все четыре квадраты были для него равнопривыны, тогда как предыдущие исследовательские старились сдиниуты кривую так, чтобы рассмотреннее велось, в основном, в первом и четвертом квадратах. Ньюотон ответил центральное место преобразования координат и выписал формулы параллельного перемена и поворота.

Наконец, Ньюотон начал исследование кривых треугольника, лишь отделные примеры которых были известны. Это исследование он провел с той же исчерпываю-

6

Внутренний вид школы в Грантэме (современная фотографика)

шей полhotой, с которой были изучены кривые второго порядка. Ньюотон обобщил на кривые третьего порядка понятия диаметра, оси, вершины, центра, касательной. Он разбил эти кривые на виды, которые оказалось 72. Эти результаты вскоре стали известны английским математикам, но опубликованы они были только в 1704 году в приложении к книге «Оптика». Это приложение — «Перечисление кривых третьего порядка» — написано весьма скатно, без всяких доказательств. Теперь, благодаря черновикам, мы можем узнать, как Ньюотон пришел к своим результатам, а это для математков часто бывают важнее самих результатов.

«Перечисление кривых» положило начало новой области математики — алгебраической геометрии. Это сочинение было вполне понято и оценено только в конце X1X — начале XX века.

Метод флюоксией

В это же время Ньюотон приступает к созданию нового исчисления.

В XVII века в связи с успехами механики земных и небесных тел (напомним, что в это время Галилеем были открыты законы падения тел и Кеплером — законы движения планет) учены образили к изучению трудов Архимеда, страясь извлечь из них обще методы определения касательных, экстремумов, скоростей, центров тяжестей, площадей и объемов.

Ньюотон первый понял, что все это множество задач распадается на два класса взаимно образных задач, которые могут быть сформированы в общем виде, причем для их решения можно дать единый алгоритм. Для этого Ньюотонводит прежде всего понятие флюенты (от латинского слова fluere — течь) — величины, меняющейся при изменении времени или другой величины (которую он называл обобщенным временем). Таким образом, флюента — это первое название для функции. Ньюотон обозначал флюенты последними буквами латинского алфавита: x, y, z. Скорость изменения флюенты, т. е. производную, он называл флюксей и обозначаал, соответственно, x, y, z. (В физике эти обозначения сохранили до сих пор.) После этого Ньюотон сформировал две основные задачи:

I. Дано соответствие между флюентами: $f(x, y, z) = 0$. Найти соответствие между их флюсиями: $\Phi(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z) = 0$.

7

II. Дано соответствие между флюксями: $f(x, y, z, x, y, z) = 0$.
Найти соответствие между флюксами: $\Psi(x, y, z) = 0$.

Частными случаями первой задачи являются нахождение скорости движения по пути, заданному как функция времени, нахождение экстремумов и касательных. Ныотон дает алгоритм решения этой задачи для случая, когда соответствие между флюксами задается с помощью многочлена $F(x, y)$ или $F(x, y, z)$.

Правило Ньютона такое: расположки многочлен по степеням каждойубуд из флюент, например $x$; умножь каждый член на $x/x$ и на соответствующее степень $x$; сделай то же самое по отношению к другой флюенте; возьмыми сумму полученных членов и приравняй ее к нулю.

Приименим, для примера, это правило к многочлену $y - x^n$. Получаем $y \cdot \frac{y}{y} - x^n \cdot n \cdot \frac{x}{x} = 0$ или $y = nx^{n-1}x$.

Свое правило Ньютон обосновывал следующим образом: увеличиваем время на «неопределенно малую часть» — момент $o$, тогда флюенты возраструт на $ox$ и $oy$; подставим новые значения флюент в первоначальное выражение и сократим все члены на $o$. Центральное место своего обоснования он излагает так: «Не так как мы предположили $o$ бесконечно малой величины…, то те члены, которые на нее умножены, можно считать за ничего по сравнению с другими. Поэтому я ими пренебрегаю».

Для рассмотрения примера имеем

$$y + oy = (x + ox)^n,$$

$$y + oy = x^n + nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x.$$

Ответ правильный! Однако обоснование его весма неубедительное.

Ныотон и сам был не удовлетворен изложенным обоснованием и необходимого пытается подвести под свое исчисление более прочный базис. Воведении к «Математическим началом натуральной флюософии» (1687) Ньютон изложил теорию пределов (она называлась у него «теория первых и последних отношений»), однако обоснования и систематического построения дифференциального исчисления он ее не применил. Это было сделано примерно 150 лет спустя в работах O. Коши (1789—1857) и некоторых других математических прошлого века.

Вторая задача в обшем виде является задачей интегрирования дифференциальных уравнений, т. е. уравнения, связывающихся неокторые функции и их произвольные. В частном случае — для уравнения $y = f(x)$ — эта задача сводится к отысканию первого образных.

Ныотон показывает, что problema «Определить площадь, ограниченную какой-либо заданной кривой» свойства к определению флюкции, так как флюксия (произвольная) площади $z = ADB$ равна ordinate $y = BD$ (см. рис. 1; см. также равенство (2) в п. 100 учебника «Алгебра и начала анализа 10»).

В обшем же случае для решения второй задачи Ньютон применил новый аналитический аппarat, который позволяет ему распространить свой алгоритм на очень широкий класс функций. Это был принципиальный шаг. Остановимся на нем подробнее.

8

Степенные ряды

Первоначально метод флюксией применлялся к многочленам. А как бы с другими функциями? Как, на пример, находить флюксиотот функций
$$\frac{x}{a^2+x^2}, \sqrt{ax+b}, \sin x$$ Как решать уравнение $\dot{y}=\sin x, \dot{y}=\sqrt{ax+b}$?
И вот Ньюотон пришел к мысли, что все известные ему функции можно записать в полне единобразно с помощью степенных рядов
$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + \dots,$$
которые представляют собой как бы бесконечные многочлены. Примером такой записи может служить (при $|x|<1$) равенство
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\dots+x^n+\dots.$$
Ньюотон пишет, что пришел к своей идее, руководствуясь аналогией с представлением чисел десятичных дробями: «… учение о буквенных выражениях находится в таком же отношении к алгебре, как учение о десятичных дробях к объкновеннойарифметике… И так же, как десятичные дроби обладают тем преимущестями, что выраженные в них объIkновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту полезную, что вскоре сложные выражения (дроби с составным знаменателем, корни составных величины или неявных уравнений и т. д.) можно с их помощью привести к ряду простых колчеств…»

Ньюотон получил разложение в степенные ряды для функций $a^x$, $\log_a(1+x)$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, а также для дробных и irrationalных функций. Именно для разложения последних Ньюотон обобщил известную для целого положительного $n$ формулу бинома
$$(a+x)^n = a^n + na^{n-1}x + \frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}x^2 + \dots + x^n$$
на случай, когда показатель есть любое рациональное число $r$:
$$(a+x)^r = a^r + ra^{r-1}x + \frac{r(r-1)}{1.2}a^{r-2}x^2 + \dots$$
При нецелом $r$ число членов суммы

уже не будет конечным. Например,

$$\sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{1\cdot2}x^2 + \dots$$

Ныютон придумал также способ, как разложить в ряд функцию $y$, заданную неявно с помощью уравнения $F(x, y) = 0$, где $F(x, y)$ — многочлен. Этот способ получил название параллелограмма Ньютона). Он был положен в основу работ Пюнзе и других математиков прошло века, изучавших алгебраические функции.

Ныютон прекрасно понимал роль рядов в созданном им исчислении. Он подчеркнул это и в самом заглавинии своих сочинений: «Метод флюкции и бесконечных рядов» и «Аналіз с помощью уравнения с бесконечным числом членов». Оба эти сочинения были широко известны английским и континентальным математикам уже с самого начала 70-х годов XVII века, однако публикация их по различным принципам все время откладывалась. Второе из них было опубликовано только в 1711 году, а первое — в 1736 году, через 9 лет после смерти автора и через 60 лет после того, как оно было написано.

Алгебра

Интерес Ньютона к алгебре пробудился очень рано. Первый его самостоятельный результат был записан им еще в 1664—1666 годах. Он относился к выражению сумм степеней корней алгебраического уравнения через его коэффициенты. Еще Франсуа Виет (1540—1603) установил связ между коэффициентами и корнями алгебраического уравнения: если $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни уравнения $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$, то

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_n = -a_1, \\ x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = a_2, \\ \dots \\ x_1x_2 \cdot \dots \cdot x_n = (-1)^n a_n. \end{cases}$$

(*) Подробнее о параллелограмме Ньютона см. с. 19.

Функции, задавемые левыми частими равенств (*), не меняются, если переставлять между собой аргументы. Они получили название элементарных симметрических функций.

Альбер Жирар (1595—1632) сумел выразить суммы степени корней

$$S_m = x_1^m + x_2^m + \dots + x_n^m$$

при $m=2, 3, 4$ (по теореме Виета $S_1 = -a_1$) через коэффициенты уравнения. Ныютон нашел общую рекуррентную формулу, которая в современных обозначениях (по определению $a_i=0$ при $i>n$) имеет вид

$$S_m + a_1S_{m-1} + a_2S_{m-2} + \dots + a_{m-1}S_1 + a_m \cdot m = 0.$$

Она позволяет найти $S_m$ для любого $m$.

С 1673 по 1683 год Ньютон читал в Кембридже лекции по алгебре, которые легли в основу его книги «Всеобщая аргументация», опубликованной в 1707 году. Основное внимание в ней Ньютон уделяет вопрос о нахождении корней уравнения, а также тому, как, не решая уравнения, узнать, в каких пределах лежат все его корни, сколько из них положительных, отрицательных или минимых.

Мы не упоминаем здесь о многох других математических результатах Ньютона, понимание которых потребовало бы от читателя специализIZATION.

Надо, однако, помнить, что Ньютон был физиком не менее, чем математиком. Уже в 1665—1667 года он открыл закон всемирного тяготения и приступил к выводу с его помощью законов движения планет. Однакоременно он исследовал проблемы оптики. Ньютон открыл дисперсию света и сконструировал зеркальный телекскоп-рефлектор. Этот телекскоп он представил Королевскому обществу (так называют в Англии Академию наук), которое настолько высоко оценило изобретение Ньютона, что избрало его в 1672 г. своим членом. С 1703 г. Ньютон становится президентом Королевского общества и сохраняет этот пост до конца жизни.

С 1680 г. Ньютон, уступая настоящ-

линию, который будет отвечать минимальное значение этой величины. Отбражения, ставшие в соответствие каждой кривой неокторого класса определяенное число, называются теперь функциональными.

Лейбниц извал эту задачу прекраснейшей и выразил мнение, что ее смогут решить только три математика. И действительно, помимо самого И. Бернулии и Лейбница, которые решили эту задачу еще до ее опубликования, решения представили Яков Бернулии и Лопиталь. Третье решение было опубликовано в Лондонском журнале «Philosophical Transactions» без подписи автора. Оdnako И. Бернулии сразу же узнал в неизвестном автора И. Ньютона; как он писал: «ех игноре leопis» (лъва узнал по его контям). Только после этого учены общеили внимание на то, что в «Математических нахалях» уже была решена задача того же рода, а именно: найти мело враценя, которое при движении в жидкостии по направлению своей оси испытыаем наименьшее сопротивление (предполагается, что сопротивление жидкостии пропорционально квадрату скорости).

Этот тип задач был воспользован Эйлером и Лагранжем, которые создали для их решения исчисление, получившее название варцационного.

О Ньютоне распростраенно много легенд и анecdотов. Его охотно представляют замкнутым, рассеянным, не замечащим ничего вокруг. Конечно, Ньютон был действительно, больше частью, погружен в свои мысли. На вопрос о том, как он сделал свои великие открытия, он ответил «постоянным размышлением о них». И все же он находил время, чтобы заботиться о нуждах университета и Королевского общества. Любят рассказывать, что, будучи выбранным в Parlament, Ньютон не произнес там ни слова, если не считать одного случая, когда он попросил закрыть форточку. Гораздо менее известно, что в качестве делителя Parlamentа он много помогал Кембриджскому университету, играл посредника между ним и правительством.

Прициплальное Ньютона и творость его характер проявились, когда в 1687 году король Яков Предложил Кембриджскому университету дать степень магистра одному бенедиктинскому монаху (Альбану Френсису). Университет отказался выполнить эту пробу и послал в Лондон делегацию, в котором входил Ньютон. Был момент, когда под нажимом короля все члены делегации хотели дать согласие при условии, что подобные случаи больше не повторятся. Только решительная позиция Ньютона привела к победе: король вынужден был отказаться от своего предложения.

Последение тридцать лет жизни Ньютон провел в Лондоне. Это было связано с тем, что в 1696 году он был назначен хранителем, а затем и директором Монетного двора. Должность эта не была просто почетным званением. Ньютону пришлось проверти перечеканку всей монеты Англии. Он активно занимался также делами Королевского общества. Научные интересы его переместились в области истории: он составил хронологический собитий египетской, древнегреческой и библейской истории. Занимался он и вопросами богословия.

Умер Ньютон в возрасте 84 лет, в ночь с 20 на 21 марта 1727 года.

Вот, что говорил сам Ньютон о своей творчестве: «Не знаю, как на меня посмотрит мир, но самому себе я представляюсь мальчиком, играющим на морском берегу и приходящим в восхождение, когда ему удается порой найти более глазки, нежели обыкновенно, камешек или красивую раковину; между тем, громадный океан сокровенной истинны пространства перед много».

12

Я. Смородинский

Закон всемирного тяготения

В современной физике есть постоянные, которые называют фундаментальными. Средние их скорость света $c$, заряд электрона $e$, масса электрона $m$, gravitationная постоянная $\gamma$, постоянная Планка $h$. Эти постоянные входят в формулы, описывающие физические процессы в микромире и в космическом пространстве. Фундаментальное этих постоянных в том, что их значения не изменяются ни со временем, ни с местом в пространстве. Где бы мы ни изменяли эти постоянные, мы всегда получим один и те же значения. Физики знают, что эти постоянные не изменились сколь-нибудь заметно за миллиарды лет эволюции Вселенной.

Первую фундаментальную постановку — gravitationную постановку $\gamma$ — введ в физку Исаак Ньюотон. Появился она с открытом закона всемирного тяготения.

В истории этого открытия много удивительных и интересного. Забавна легенда о том, как Ньюотон открыл этот закон, сидя под яблоне, когда ему на голову уплотнилось. Интересно, как Ньюотон смог доказать справедливость этого закона, изучая движение Луны. Удивительно, сколь точным оказался этот закон.

Но самым удивительным было, с какой смелостью Ньюотон обьявил, что закон тяготения есть всеобщий закон, который определяет взаимодействие любых тел во Вселенной.

Из равенства ускорения всех падающих тел он заключит, что сила, действующая на падающей тело, пропорциональная массе этого тела; сила, с которой Луна пригитается Землей, должна быть пропорциональная как массе Луны, так и массе Земли, поскольку можно с таким же успехом считать, что Земля пригитается Луной.

Это было главное в открытии Ньюотона. Но Ньюотон понял и то, что, хотя для разных тел ускорение должно быть одним и тем же, оно должно уменьшаться с возрастанием расстояния между пригитающейшимся телами.

В своей сочинини «Математические начала натуральной физиологии», вышедем в Англия в 1686 году,

13

Ныютон подвел итог своим многоолетним исследованием в механике *); он излагает, как он нашел зависимость сил прятяжения между телами от расстояния между ними.

Проще всего было бы вывести этот закон для движения по окружности (мы это и сделаем ниже); но планеты движутся по эллипсам, и надо было доказать, что из того же закона можно получить и эллиптическую траекторию.

В своей книге Ныютон формулирует четыре правила, которые должны руководствоваться естественным тательем. Он называет эти правила «правилами философствования». Мы приведем их полностью:

«Прави ило I. Не должно принимать в природаных принципах сверх тех, которые истинны и достаются для объяснения явлений.

Прави ило II. Позмоту, поскольку возможно, должно принимать те же принципы того жерода проявлениями природы.

Прави ило III. Такие свойства тела, которые не могут быть ни успешными, ни ослабляемы и которые оказываются присущими всем телам, над которых возможно произведение испitationя, должны быть почтаемы за свойства всех тел вообще.

Прави ило IV. В опытной физике предложения, выведенные из совершающихся явлений помощи наведения, несмотря на возможность противных им предположений, должны быть почтаемы за верные или в точности или приближению, пока не обнаружатся такие явления, которые они еще более уточняются или уже оказываются подверженными исключением.»

Правило III позволяет Ныютону сделать следующий вывод: «…Обытами и астрономических наблюдениями установливается, что все тела по соседству с Землей тяготют к Земле»

*) Натуральной физической в Англии называют в XVII века физик. Книга Ныютона была переведена на русский язык в 1915 году заменыным русским ученым А. Н. Крыловым. Этот перевод помещен в V томе Собраня социнней Крылова. Ниже в тексте статьи все цитаты приводятся из этого перевода.

ле, и притом пропорционально количеству материки каждой из них; так, Луна тяготет к Земле пропорционально своей массе, и взаимно наши моря тяготют к Луне, все планеты тяготют друг к другу, подобно этому и тяготение комет к Солнцу. На основании этого правил должны учитывать что все тела тяготют друг к другу. Зависимость сил тяготения от расстояния Ныютон формулировал так: «Если времена находится в получибическом отношении радиусов, то центростремительное силы обратно пропорционально квадратам радиусов…». Первая половина этой теоремы есть простой третий закон Кеплера:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_1^{3/2}}{R_2^{3/2}}$$

— перiodы обращения планет относится как получибическом отношении радиусов, то центростремительное же сила есть та сила, которая заставляет планеты падать на Солнце, то есть сила прятяжения планет Солнцем.

Книга Ныютона была первой книгой, где механика излагалась как точная наука; эту книгу нужно считать первой книгой по теоретической физике и считать год выхода книги — 1686 год — годом рождения теоретической физики. Влияние этой книги на научку было огромным. После нее нельзя было ограничиться только рассужданием, словесными описаниями явлений природы — надо было создавать их теорию. А правильность теории может быть установлена только опитной проверкой: если предсказания теории совпадают с данными опитов, наблюдений, — теория верна. Создание Ныютоном и Лейбницем математического анализа должно средства для выполнения этой программы.

Еще древние греки создали первый теоретический движение планет. Эта теория была изложена Птолемем в трактate «Алмагест». Но она совсем не касалась вопроса о том, почему движутся планеты. Такой вопрос и не возникал. Следуя учению Аристотеля, греки

14

Клавдий Птолемей (11 век н. э.)

считали, что планетам свойственное движение по окружности, подобно тому как тяжелим телам свойственное падать, а легким, как дым, подыматься вверх. Даже в средние века рассуждать о принципах движения планет значило смешивать астрономию с физикой, что было по представлении того времени не позволительно; законы небесные и земные принадлежали разным областям и в них не следовало искать чего-либо общего.

Все же Коперник в 1543 году говорил о том, что тяжеть — это общее свойство тел, «…страмление, благодаря которого они, смыкаясь в форме шара, образуют единое целое. И следует допустить, что этострамление присуше также Солнцу, Лунце и остальных планетами…».

Кеплер (а до Кеплара еще и Гильберт) сравнивал тяжость с магнитным действием. При этом Кеплер был первым, кто объявил задачу о движении планет физической задачей, и первым, кто ясно поставил вопрос, почему движется планеты, в то время как все остальные астрономыли лишь придумывали геометрические модели, которые описывают как движутся планеты. Физики времен Галилея и Кеплара решали физические задачи, составляя пропорции. Так, о падании тел на Земле говорилось, что если промежутки времени расположить в форме арифметической про-
грессии, то отрезки путь, проходимых телом за последовательные промежутки времени, будут относиться как квадраты последовательных чисел. Галилей знал, что все тела на Земле падают с одинаковымускорением; он вполне мог обьясить, почему брошенное на Земле тел летит по параболе. Описывая полет снаряда, он говорил, что это движение складывает из равноускоренного падения и равномерного прямолинейного движения по инерции, и не задавался вопросом о том, почему снаряд падает равноускоренно. Очень трудно было прийти к мысли, чтоускорение зависит от высоты. Галилей считал, что даже Луна (если остановить ее поступательное движение) будет паать на Землю с тем жеускорением, с каким камень падает на Земле.

Правда, Галилей считал, что и для Луны должны выполнять «земной» закон независястиускорения свойбодного падения от массы. Так что «половину» задачи он понял правильно! Но Галилей никак не мог воспринять идею, что Земля приятывает камень. Падение камня (Луны) на Землю есть просто проявление стремления всех тел собственся по близке к одному центру, собственся в некуло шарообразную «кучу». В то время считалось очевидным, что одно тело может действовать на другое, только соприкасаясь с ним. Действие на расстоянии казалось просто немыслимым. Поэтому Галилей ответил дою Кеплара о том, что приливы и отливы на Земле связаны с прияжением Луной вод океанов. Ко времени Ньюотона положение начало изменяться.

Не все слепо следовали за Галилеем. Так, Роберт Гук, основываясь на аналогии тяжости с прияжением магнитна, пытался в 1666 году опытным путем определить, как изменяется вес тела с высотой. Он проводил опыты с магнитами разной длины в Вестминстерском аббатстве в Лондоне. Ясно, что обнаружить что-либо существенно он так и не смог. Далее высказывая предположение о том, что сила прияжения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, он не смог облечь свои мысли в строгу форму уравнения.

15

Николай Конерник (1473—1543)

Гук не умел еще ни писать уравнения, ни решать их и потому не смог проверить справедливость этого предложения. Также ничего не смог сделать и другой знаменитый в то время механик англичанин Рен. Рен также говорил о законе обратных квадратов, но и у него все ограничивалось словами.

Только в руках Ньютона все стало на свой месте. Первая, и главная, идея пришла ему в голову в 1665 году, когда он спасался от чумы в своем родовом помеще. Как рассказывалот, все дело началось с яблока, упавшего с дерева. 23-летнего ученого поразила мысль, что причина, заставляющая яблоко падать на Землю, должна быть родственна причене, заставляющей Луну отклоняться от своего прямолинейного пути. Сейчас это кажется очевидным, но во время Ньютона сама мысль о подчинении космических тел простым земным законом была необычайно смелой. Но одно дело поверить самому в смелую гипотезу, а другое — убедить в ее справедливости других. Для этого надо, по крайней мере, найти способ ее проверки, найти способ, как мы говорим сейчас, сравнить теорию с опытом.

Лучше всего было начать с исследования движения Луны, использую имеющиеся результаты наδιοдений. Это требовал сил и времени. Ньютон, кроме того, был еще занят оптическими исследованиями; и вообще ученые того времени обычно не торопились с публикациями. Вероятно, поэтому лишь через 20 лет — в апреле 1686 года Ньютон представил Королевскому обществу (Англійской академии наук) первый том «Начал», а весь труд был опубликован к середине 1687 года. Только тогда теория была выдана на суд других физиков.

Напишем закон всемирного тяготения для Солнца и планеты (обозначая их массы $M$ и $m$). Сила притяжения

$$F = \gamma \frac{Mm}{r^2}.$$

Ускорение, сообщаемое этой силе планете,

$$a = \gamma \frac{M}{r^2}.$$

Как же Ньютон получил эти формулы?

В своих понках закона тяготения Ньютон исходил из третьего закона

16

Галилео Галилей (1564–1642)

Кеплера: квадраты средних времен образения планет относится как кубы их средних расстояний от Солнца. (Этот закон Ньютон называет полукубический относением.) Еще тогда, когда Ньютон сравнивал падение яблока и Луньи, он знал, что если тело движется по окружности, на это тело действует сила, прятягающая его к центру окружности; он знал также, что центростремительное ускорение пропорционально квадрату скорости и обратно пропорционально расстоянию.

Правда, честь открытия законов кругового движения приписывается Гюйгенсу, но Гюйгенс опубликовал свое открытие лишь в 1673 году (хотя знал о нем еще в 1659 году). Ньютону пришлось поэтому разбираться во всем самому.

Ньютон рассуждал примерно так. Третий закон Кеплера гласит, что для планет одной системы

$$\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} = \dots = \text{const.}$$

Пусть планеты движутся по окружности. Введем угловую скорость вращения планеты по орбите $\omega = 2\pi/T$. Тогда третий закон Кеплера примет вид:

$$\omega_1^2 R_1^3 = \omega_2^2 R_2^3 = \dots = \text{const.}$$

Предположим теперь, что сила вззада-

$$F = \gamma \frac{M_\odot m}{R^2}.$$

17

В этом вывода, однako, задача слишком упрощена. На самом деле она значительное сложнее.

Вводя в формулу одно-единственное расстояние $R$, мы рассуждали так, как будто бы Солнце — матерIALная точка, не имеющая размеров. Но Ньюотон понимал, что для того чтобы проверить закон тяготения, например, по движению Луны, надо уметь решать задачу для тела конечного размера, просуммировать как-то включы от разных частей Земли и Луны. Задча была сложной, и ее решение было получено не скоро. Вероятно, это было главной причиной, почему Ньюотон так долго не публиковал свое открытие.

Результаты решения этой сложной задачи Ньюотон представил в виде теорем. Для однородных по плотности тел формула для закона притяжения выглядит так, как будто бы вся масса тела сосредоточена в его центре. Ньюотон доказал, что сферический слой однородной плотности притягивает другими телами и, по закону равенства действия и противодействия, притягивает сам другие тела так, как будто вся его масса сосредоточена в центре *). Если представить себе шар сложным из сферических слов, то можно видеть, как вычислять поле тяготения тела с сферическим симметриным распределением массы. Эти теоремы Ньюотона решили дело. Теперь в выражении для силы, действующей между Луной

*) Речь идет о телах, находящихся в слоя. Ньюотон доказал, что внутреннюю гравиатционные силы равны нулю.

В «Началах» Ньюотон излагает решение обратной задачи: он находится, каков должен быть закон взаимодействия, чтобы траекторий был эллипс, и показывает, что это должен быть закон «обратных квадратов». Более того, Ньюотон доказывает, что если бы закон сил, действующих между планетой и Солнцем, хотя бы немного отклонения от закона обратных квадратов, то точки набольшего и наименьшего удаления планеты от Солнца не были бы неподвижны в пространстве. А из наблюдайшего, что эти точки (их называют апсидами) почти неподвижны. Это доказательство Ньюотона — одно из самых блестих в астрономии.

Обратим еще раз внимание на сказанное: можно утверждать, что закон обратных квадратов для сил

18

притяжения следует из одного только факта неподвижности апсид; так что расчеты силы прятяжения с помощью тревого закона Кеплера излиши; на самом деле третий закон является следствием первого. Это, конечно, Кеплер знать не мог *).

Много лет теория Ньютона была основой небесной механики, и хотя многое пытается обнаружить каким-либо поправки к закону всемирного тяготения, найти их удалость только Эйнштейну. Сейчас мы знаем, когда закон всемирного тяготения становится неточным, и умеем вычислять к нему поправки. Закон тяготения верен до тех пор, пока расстояние между телами много больше так называемого gravитационного радиуса прятягивающего тела. Гравитационным радиусом тела массы $M$ называют величины

$$R_{\text{rp}} = \frac{2\gamma M}{c^2},$$

где $\gamma M = C$ это известная уже нам «постоянная Кеплера», а $c$ — скорость света. Для Солнца gravитационный радиус равен 3 км, а для Земли — 7 мм. Отсюда мы можем заключить, что закон всемирного тяготения на поверхности Земли может иметь относительно ошибку, равную примерно $\frac{7 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{6,4 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx 10^{-9}$ (радис Земли $\approx 6400 \text{ км}$), а на поверхности Солнца $-\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{7 \cdot 10^8 \text{ м}} \approx 0,4 \cdot 10^{-5}$ (радис Солнца $\approx 700 \text{ 000 \text{ км}}$).

На расстоянии, равном расстоянию от Солнца до Меркурия (около 50 млн.км), мы можем ожидать ошибку в законе всемирного тяготения порядка $\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{5 \cdot 10^{10} \text{ м}} = 0,6 \cdot 10^{-7}$. Хотя ошибка и очень мала, но она приводит к наблюдаемому эффекту.

Это связано с указанным Ньютоном свойством апсид «отзываться» своим движением на нарушение закона обратных квадратов. Из-за малой поправки эллиптическая орбита Меркурия медленно поворачивается в пространстве. Это движение (встроную обращения Меркурия на орбите) накладывается на движение, связанное с возможностями действия Юпитера, которое объясняется ньютоновской теорией. За 100 лет накалливается дополнительное смесение $43^{\prime\prime}$, объяснение которого было дан лишь общей теорией относительнойности.

Не всегда поправки общей теории относительнойности стол малы. В глубинах космоса есть области, в которых эффективы общей теории относительнойности оказываются основными. Это — недра тяжелых звезд, ядра галактик. При описании Вселенной как физической системы основных «инструментом» является общая теория относительнойности. Но дорогу к таким исследованием открыл Ньютон. Он был первым, кто создал методы теоретической физики, и первым применил эти методы к изучению Вселенной.

*) Если бы сила прятяжения была пропорциональна расстоянию, планета имела бы замкнутую эллиптическую орбиту стол малы в том случае, если бы Солнце располагалось не в фокусе эллипса, а в его центре.

19

«Известна функentialная роль, которую сыграли исследования Ньютона в развитии анализа бесконечно малых. Большинство его идеи рассматривось в работах позднейших авторов, часто не сохранив ни имени Ньютона, ни его способа обозначений. Но в современной математике немало методов и результатов более частного характера, носящих имя Ньютона. Их значение было вскрыто лишь в горячдо более позднюю эпоху, когда общий процесс математики дал возможность оценить важность того илиного результата Ньютона, записанного частью в виде небольшого заменания. К числу такого родаRESULTATОВ ОТНОСТЯЯ «многоугольник», или, как его часто называют, «параллелограмм» Ньютона…»

Н. Г. Чебогарев

Важная характеристика многочлена от одной переменной — это его степень. Зная степень, можно многоескаать о многочлене, даже не зная его коэффициентов. Например, многочлен нечетной степени всегда имеет действительный корень, число действительных корней многочлена не превысходит его степени и т.п.

Самым простым и важным обобщением понятия степени для многочлена $P(x, y)$ от двух переменных $x, y$ будет так называемая полная степень многочлена по переменным $x, y$. Однако более тонким обобщением понятия степени для многочлена от двух переменных не число, а более сложная веще — именно, многоугольник на плоскости.

В этой статье мы каждому многочлену от двух переменных будем сопоставлять многоугольник на плоскости. В основном эта конструкция принимает влияет англійскому математiku и физiku Исааку Ньютону; начиная с XVIII века этот многоугольник называют «многоугольником Ньютона». Многоугольник Ньютона многочлена от двух переменных «наводит мест» между алгеброй и геометрией. Движение по этому месту не затухает вот уже 300 лет, а в последние годы оно стало особенно интенсивным. Obviously по месту можно дивгаться в двух разных направлениях — и многоугольник Ньютона полезен в двух отношениях. Расматривая многоугольник на плоскости как многоугольник Ньютона неокоторого многочлена, мы можем использовать алгебраические свойства многочленов для решения геометрических задач по многоугольника. Наоборот, геометрические свойства многоугольника Ньютона помогают решать задачи по многочлены. Два примера использования многоугольника Ньютона при изучении многочленов подробно разобраны в § 2 и § 3. Примеры использования многочленов при изучении многоугольников города сложнее, и мы не будем иммизаиматься.

20

§ 1. Что такое многоугольник Ньютона
Диаграмма Ньютона многочлен от двух переменных

Напомним, что однолетом от независимых переменных $x$ и $y$ называется функция вида $x^m y^n$, где $m$ и $n$ — неотрицательные целые числа, а многочлен от $x$ и $y$ с действительными коэффициентами называется функция $P(x, y)$, заданная формулой
$$P(x, y) = a_1 O_1 + a_2 O_2 + \dots + a_k O_k,$$
(1)
где $a_1, a_2, \dots, a_k$ — действительные числа, а $O_1, O_2, \dots, O_k$ — попарно различные однолетны *). Если в формуле (1) коэффициент $a_i$ отличен от нуля, то говорят, что однолетен $O_i$ входит в многочлен $P(x, y)$. Например в многочлен $2 + 3y - \sqrt{2}x^3y^2$ входят однолетны 1, $y$ и $x^3y^2$, а в многочлен $P(x, y) \equiv 0$ не входит ни один однолетен. Удобно изобразать однолетны, входящие в многочлен $P(x, y)$, точками на координатной плоскости: мы отмечаем на этой плоскости точку $M(m_0; n_0)$, если однолетен $x^{m_0}y^{n_0}$ входит в многочлен $P(x, y)$. Тогда каждому ненулевому многочлену $P(x, y)$ мы сопоставляем конечное множество на плоскости $Omn$ — будем обозначать его $D(P)$, — изображающее наглядно однолетны, входящие в $P(x, y)$. Точка плоскости, у которой обе координаты — целые числа, мы будем называть целой точкой. Для любого многочлена $P$ множество $D(P)$ состоит только из целых точек, поэтому его удобно рисовать на клетчатой бумаге. Например, многочлена
$$P(x, y) = xy - y^3 + 3x^2y^2 + 0,5x^4 - 2x^3y^4.$$
(2)
изображено на рисунке 1. Подчеркием, что значения ненулевых коэффициентов многочлена $P$ никак не учитываются при построении многочлена $D(P)$. Это множество обобщено называют * диagramмой Ньютона многочлена $P$.

Предостержение. Не следует смешивать числовую плоскость $R^2$ — обрабатыва определения многочлена $P$, с координатной плоскостью $Omn$, на которой мы рисуем диagramму Ньютона многочлена $P$. Точки этих плоскостей имеют разную природу.

Как Ньютон определял «диagramму Ньютона»

Ньютон тоже отмечал многочлены, входящие в многочлен от переменных $x, y$, на клетчатой бумаге. Ньютон расчерчивал такую бумагу сам и отмечал не углы клеток, а целые клетки. Вот как он описывает эти построения в письме одному из своих коллег.

«…Для лучшего уразумения этого правила появню его на следующей диagramме. Построй прямой угол $BAC$; стороны его $BA$ и $AC$ разделены на равные части и, восставив перпендикуляры, разделены угловую площадь на равные квадраты или параллелограммы, которые отметы вписанными в них измерениями букв $x$ и $y$ (см. рисунок 2). Затем, когда дано уравнение, отметы каким-нибудь знаком параллелограммы, соответствующие всем его членам…»

*) Независимые переменные $x$ и $y$ принимают значения в множестве действительных чисел; таким образом, функция $P(x, y)$ имеет в качестве области определения числового плоскость, а в качестве многочлена значений — числового прямого.

21

Здесь речь идет о построении «диаграммы Ньютона», а дальше Ньютоон описывает построение «многоугольника Ньютона» (мы продолжаем переванную цитату):

«… и приложи линейку к двум или же, что случайная иногда, к нескольким из отмеченных таким образом параллельгамов, из которых один является самым нижним в столбце $AB$ слева, другой попадает на линейку справа, а все остальные, не касающиеся линейки, находятся над ней…»

Как мы определляем многоугольник Ньютона
Мы видим, что Ньютоон прикладывает линейку к многоугольу $\Delta(P)$, удовлетворяя двум условиям:
(I) Не менее двух точек $\Delta(P)$ попадаем на линейку.
(II) Множество $\Delta(P)$ лежит по одному сторону линейки.

Рассмотрим выпуклую оболочку многоугольва $\Delta(P)$, то есть наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все точки $\Delta(P)$. Этот многоугольник мы будем обозначать через $F(P)$ и называть многоугольником Ньютона многочлена $P(x, y)$. Многоугольник Ньютона многочлена (2) изобразен на рисунке 3. Связь многоугольника $F(P)$ с методом Ньютона прикладывания линейки совершенно ясна. Если приложить линейку к любой стороне многоугольника Ньютона, то будут выполятые свойства (I) и (II). Обратно, если линейка приложена к многоугольму $\Delta(P)$ так, что выполняются (I) и (II), то линейка обязательно идет вдоль одной из сторон многоугольника $F(P)$.

Рис. 3.

Несолько простых упражнений по многоугольнику Ньютона

Чтобы освободся с определением многоугольника Ньютона, читатель стоит выполнить следующие условия:

1. Нарисуйте диаграмму Ньютона и многоугольник Ньютона для многочленов: $x, x + y, 1 + x + xy, x^2 + x^2y + x^5y^7 + x^{10}, (1 + x + x^3)(1 + y^4)^{*}$.
2. Докажите, что $F(\lambda P) = F(P)$ при $\lambda \neq 0$. Докажите, что $\Delta(P_1 + P_2) \subset \Delta(P_1) \cup \Delta(P_2)$. Верно ли, что $F(P_1 + P_2) = F(P_1) \cup F(P_2)$?
3. Пусть $Q(x, y) = P(x^a, y^b)$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Как связаны между собой многоугольники $F(P)$ и $F(Q)$?
4. Придумайте определение диаграммы Ньютона и многоугольника Ньютона для многочлена от трех переменных.

Естественно спросят, а как связаан многоугольник Ньютона произведение многочленов с многоугольниками Ньютона совместелей? Оказывается, операция, которую нужно продать с $F(P_1)$ и $F(P_2)$, чтобы получить $F(P_1 \cdot P_2)$, хорошо изучена в геометрии и носит специальное название: сумма Минковского.

5. Докажите, что $F(P_1 \cdot P_2) = F(P_1) + F(P_2)$, где «+» — сумма Минковского (см. статью H. Васильева «Сложение фигур», «Квант», 1976, № 4).

Это свойство многоугольника Ньютона обобщает известное свойство степени многочлена: при переменении многочленов их степени складываются. Именно это свойство помогает использовать многочлены при решении чистого геометрических задач.

§ 2. Зачем Ньютону попадобился «многоугольник Ньютона»?

Ньютоон решал уравнение $P(x, y) = 0$, где $P$ — многочлен от $x, y$. Под решением он понимал точное или приближенное выражение $y$ через $x$. Как это было принято в его время, Ньютоон не объясняет своего метода в общем виде, а поискает его на конкретных примерах. Продолжим цитату, переванную в § 1:

«…Затем возьмем все члены уравнения, которые содержатся в параллельгамах, задеты линейкой, и найди из них величины, которое следует получить в результате. Так, если нужно определить корень

*) Первые два примера показывают, что многоугольник Ньютона многочлена $P(x, y)$ может и не быть настоящим многоугольником, т. е. может совпать с точке или отрезку.

22

уравения

$$y^6 - 5xy^5 + \frac{x^3}{a} y^4 - 7aaxxyy + 6a^3x^3 + bbx^4 = 0,$$

(3)

то я обозначаю, как видим (см. рис. 2), параллелограммы, соответствующие членам этогоуравения, звездочкой. Затем я прикладываю линейку $DE$ к самому нижнему из отмеченных параллелограммов в первом столбце слева, вращаю линейку сизу в правую сторону, пока она не пройдет через какой-нибудь один или несколько различных отмеченных параллелограммов. При этом я вижу, что линейка заденет те места, в которых содержатся члены $x^3$, $xxyy$ и $y^6$. Позотому я составлю из нихуравение

$$y^6 - 7aaxxyy + 6a^3x^3 = 0$$

(kоторое, если угодно, я затем, полагая $y = u\sqrt{ax}$, приводу к $u^6 - 7uu + 6 = 0$) и из него нахожу $y$, который имеет четые значения, а именно:

$$+ \sqrt{ax}, - \sqrt{ax}, + \sqrt{2ax}, - \sqrt{2ax}...$$

Ныютон подробно обьясняет, что найdenные решения не точные, а приближенные (тем более точные, чем близке $x$ и $y$ к нулю). Он также указывает, как получить точное решение, прибавляя к уже найdenному решение конечное или бесконечное число поправочных членов. За недостатком места мы не будем приводить соответствующие выражки из трудов Ньютона.

В чем же состоит метод Ньютона приближенного решенияуравения $P(x, y) = 0$ при малых $x$ и $y$?

В общем виде метод Ньютона можно (несколько схематно) обьяснить следующим образом.

Мы хотим для достаточно малых $x$ и $y$ решить (приложенное)уравение $P(x, y) = 0$ (или нарисовать приближенное множество $P(x, y) = 0$). Пусть $\gamma$ — «обращенная к началу координат» сторона многоугольника $F(P)$ (такие стороны на рисунке 4 выделены красным). Обозначим через $P_\gamma(x, y)$ сумму взятых со старыми коэффициентами однолетов, входящих в $P(x, y)$ и ответающих точкам $\gamma$. Пусть угловой коэффициент ребра $\gamma$ равен $-k$, где $k > 0$. Положив $y = ux^{\frac{1}{k}}$ вуравении $P_\gamma(x, y) = 0$, мы получимуравение $x^l Q(u) = 0$, где $Q$ — некоторые многочлен от $u$. Пусть $u_1, u_2, \dots$ — ненулевые корни $Q$.

Тогда $y_1 = u_1x^{\frac{1}{k}}, y_2 = u_2x^{\frac{1}{k}}, \dots$ — это точные решенияуравения $P_\gamma(x, y) = 0$ и приближенные решенияуравения $P(x, y) = 0$. Объединяйтесь также решения по всем «обращенным к нулю» ребрам $\gamma$ многоугольника $F(P)$, мы получим все нетривиальные*) приближенные решенияуравения $P(x, y) = 0$ при малых $x$ и $y$. Доказательство последней фразы и даже обяснение ее точно смысл завыли бы нас слишком далеко. Наша ekромная цель — научить читателя практически находить приближенные решенияуравения $P(x, y) = 0$ (или, что то же самое, рисовать приближенно множество $P(x, y) = 0$) при малых $x$ и $y$.

Учимся работать с многоугольником Ньютона

У многоугольника Ньютона многочлен (2) к нулю обращены стороны $\gamma_1$ и $\gamma_2$ (рис. 4). Начнем со стороны $\gamma_1$: $P_{\gamma_1} = xy + 0,5x^4$. Замена $y = ux^3$ приводитуравение $P_{\gamma_2} = 0$ к виду $x^4(u + 0,5) = 0$, откуда $y = -0,5x^3$. Далее, $P_{\gamma_2} = xy - y^3$; замена $y = ux^{1/2}$ приводитуравение $P_{\gamma_2} = 0$ к виду $x^{3/2}(u - u^3) = 0$, откуда $y = -\sqrt{x}$ и $y = +\sqrt{x}$. Впрочем, последние два решения можно

*) Тривиальные названия решения вида $x = 0$ или $y = 0$.

Рис. 4.

23

но объединить: $x = y^2$. Итак, мы получили, что при малых $x$ и $y$ уравнение $P(x, y) = 0$, где $P$ задан формулой (2), имеет два приближенных решений: $y = -0,5x^3$ и $x = y^2$. (Привязываемых решений в этом случае нет, так как $P$ не делится ни на $x$, ни на $y$.) Вид приближенных решений показан на рисунке 5. Этот же рисунок при малых $x$ и $y$ можно рассматривать как приближенный рисунок множество $P(x, y) = 0$.

У правах ниже 6. Решите приближение уравнения $x^5y + x^3y^2 - 3x^2y^3 + xy^4 + y^7 + 2x^4y^2 + 3x^6y^3 - x^5y^5 + x^6y^6 + 7x^2y^8 = 0$ при малых $x$ и $y$ (см. рис. 6).

Ныютон указал также способ, с помощью которого можно решить уравнение $P(x, y) = 0$ при очень больших $x$ и $y$.

У правах ниже 7. Придумайте, как с помощью многоугольника Ньютона решить (приближенно) уравнение $P(x, y)$ при очень больших $x$ и $y$.

§ 3. Число решений системы двух уравнений с двумя неизвестными и многоугольник Ньютона
Teorema Безу
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными $x, y$:

$$\begin{cases} P(x, y) = 0, \\ Q(x, y) = 0, \end{cases}$$

(4)

Рис. 5.

Рис. 6.

где $P$ и $Q$ — многочлены с действительными коэффициентами. Если $P$ и $Q$ — многочлены первого степени *), то число решений системы (4) либо бесконечно, либо не превыходит 1. Если $P$ — многочлен первого степени, а $Q$ — многочлен степени $N$, то как легко видеть, число решений системы (4) либо бесконечно, либо не превыходит $2 \cdot N$. После этих примеров читателя не удивит формулировка хорошо известной еще в прошлом вке теоремы.

Teorema Безу. Если $P$ — многочлен степени $M$, а $Q$ — многочлен степени $N$, то число решений системы (4) либо бесконечно, либо не превыходит $M \cdot N$.

Можно ли услить теорему Безу?
Вообще говоря, нельзя: число $M \cdot N$ в формулировке теоремы Безу ни при каких $M$ и $N$ не может быть заменено меньшим числом, так как существует примеры системы, имеющихровно $M \cdot N$ решений (например, система $(x - 1)(x - 2) \cdot \dots \cdot (x - M) = (y - 1)(y - 2) \cdot \dots \cdot (y - N) = 0$).

Во многих практических случаях, однако, теорема Безу дает явно завышенную оценку для числа решений системы (4).

Пример. $P = a + bx + cx^2y^2, Q = d + ey + fx^2y^2$. Teoreма Безу утверждает, что если число решений системы $P = Q = 0$ конечно, то оно не превыходит 16. Между тем, решая эту систему непосредственно, легко получить, что если число решений конечно, то оно не превыходит 4.

Этот пример и другие более сложные примеры приводят к мысли обобщить теорему Безу. Ясно, что при этом мы должны заменить понятие степени многочлена каким-то более сложным понятем, полное учитывающим свойством многочленов. В качестве *) Напомним, что степень многочлена (иногда говорят — полная степень) — это максимум числа $m + n$ по всем однолетам $x^m y^n$, входящим в многочлен.

24

СТВЕ ТАКГОГО ОБОБЩЕНИЯ СТЕПЕНИ МЫ ВОЗБМЕМ МНОГОУЛЬНИК НЫОМОНА СИСТЕМЫ.

Пусть $D(P)$ — диаграмма Ньютона многочлена $P$ и $D(Q)$ — диаграмма Ньютона многочлена $Q$. Положим $D = D(P) \cup D(Q)$. Д— конечное множество на плоскости $Omn$. Точка $M(m_0; n_0)$ принадлежит $D$, если однолетен $x^{m_0}y^{n_0}$ входит с ненулевым коэффициентом хотя бы в один из многочленов $P$ и $Q$. Снова через $F$ обозначим выпуклую оболочку множества $D$, то есть — наименьший выпуклый многоугольник в плоскости $Omn$, содержащий все точки $D$. Многоугольник $F$ мы назовем многоугольник Ньютона системы (4). (Если в нашем примере коэффициенты $a, b, \dots, f$ многочленов $P$ и $Q$ отличны от нуля, то множество $D$ и многоугольник $F$ системы (4) также, как на рисунках 7, а, 6.)

Нельзя ли, пользовясь какими-нибудь характеристками многоугольника $F$, оценить сверху число решений системы (4)?

Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1. Число неупельных действительных решений системы (4) либо бесконечно, либо не превысим удовлетворяющим многоугольника Ньютона этой системы (решение $(x_0; y_0)$ системы (4) называется неупельным, если $x_0 \neq 0$ и $y_0 \neq 0$).

Теорема 1 принадлежит автору настоящего статьи. Доказательство ее косвенное: предварительно доказывается теорема, в котором использовется не площад многоугольника $F$, а другие его характеристики — именно, число целых точки в многоугольнике $F$ и в «удвоеном многоугольнике» 2F. Таким образом, при работе с многоугольниками Ньютона возникают любопытные геометрические вопросы по целые точки в многоугольнике. Еще более интересные вопросы в связи с многогrafаниками Ньютона. Подробно об всем этом расссказано в статье «Цельные точки в многоугольнике и многогrafаниках» («Квант», 1977, № 4).

Можно ли улучшить теорему 1?

Теорема 1 дает хорошего оценку для числа решений в тех случаях, когда многоугольники $F(P)$ и $F(Q)$ совпадают или достаточно близки (в противном случае оценка получается слишком группы: рассмотрите систему $x^n + y^{n+1} = y^n + y^{n+1} = 0$). Для получения более точной оценки нужно рассмотреть $D(P)$ и $D(Q)$ порозь, как это сделать. Н. Берништейн, который обобщил теорему 1 следующего образом.

Теорема 2. Пусть $A$ — многоугольник Ньютона многочлена $P$, $B$ — многоугольник Ньютона многочлена $Q$ и $C$ — многоугольник Ньютона многочлена $P \cdot Q$. Тогда число неупельных решений системы (4) либо бесконечно, либо не превысим числа $S(C) - S(A) - S(B)$. (Здесь через $S$ обозначена площадь соответствующего многоугольника.)

Многоугольник $C$ есть не что иное, как сумма Минковского многоугольников $A$ и $B$, а для числа $S(C) - S(A) - S(B)$ в геометрическе специализное название: смешанная площад многоугольников $A$ и $B$ (см. упражнение 5 и цитированную там статью Н. Васильева).

Уражнения 8. Примените теорему 1 к многочлену (2) и многочленам из упражнения 1.

9. Оцените по теореме Безу и по теореме 1 число решений системы $x^3 + y^4 = axy + bx^2y^2 + cx^3y^2 + dx^4y^3$ при $a \neq 0$ и $d \neq 0$.

10. Обобщите теорему 1 на случай системы трех алгебраических уравнений с треяя неизвестными $x, y, z$.

ЛИТЕРАТУРА

1. Исак Ньютон, Математическая работа. Метод фиксиции и бесконечных рядов с приложением его к геометрическим критикам. Перевод с латинского Д. Мордухай-Bолтовского, ОНТИ, 1937, с. 33—34.

2. Исак Ньютон, Второе письмо Ньютона к Ольденбургу, подлежащее сообщению Лейбниццу. 24 октября 1976 года, Там же, с. 251—252.

3. Н. Г. Чеботарев, Собранце сочинений. Т. 3. «Многоугольник Ньютона» и его роль в современном развитием математики», Изд-во АН СССР, М.—Л., 1950, с. 47—80.

25

В. Кресин

Адиабатный процесс

Различные разделы физики тесно связанны между собой. Можно привести немало иллюстрирующих примеров. Так, в данной статье расказывается об одном из важнейших процессов, изучаемых в молекулярной физике, — адиабатном процессе. При этом процессе изменяется температура газа. На础ет интересовать механизм изменения температуры; для этого потребуется некоторые сведения из механики. Поэтому мы и начнем с одной механической задачи.

Отражение от движущейся стены

Рассмотрим такое механическое явление: шарик подлегает к стенке со скоростью $v$ и после абсолотно упруго удара меняет направление своего движения. Для простоты ограничения случая нормального падения шарика на стенку.

Если стенка неподвижна, то ясно, что после удара направление скорости движения шарика изменится на противоположное, а абсолотная величины ее $|v|$ остаются неизменной.

Усложним теперь нашу задачу: шарик подлегает к движущейся стенке. Предположим, что стенка движется навстречу шарику со скоростью $u$ (рис. 1). С какой скоростью в этом случае будет движаться шарик после столковения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, сведем задачу к известной — соударение шарика с неподвижной стенкой. Другими словами, будем рассматривать явление в системе отчета, связанной со стенкой. С точки зрения наблюдателя в этой системе отчета скорость приближающегося к стенке шарика будет другой, а именно $|v'| = |v| + |u|$. После отражения (напомним, что в рассматриваемой системе отчета стенка поконтся) скорость изменит направление, а по абсолотной величины остается прежней. Для окончательного решения задачи снова перейдем в неподвижную систему отчета, связанную на приближающегося к стенке шарика относительно стенки, а сама стенка движется относительно земли со скоростью $|u|$. Следовательно, скорость шарика относительно земли равна $|v| + 2|u|$.

Таким образом, в результате упруго отражения от движущейся стены скорость шарика возвращается на удовенную скорость стены.

На этом мы заканчиваем рассмотрение вспомогательной механической задачи и переходим к основному вопросу — описанию адиабатного процесса.

Механизм изменения температуры при адиабатном процессе

Пусть в цилиндре под поршнем находится идеальный газ (рис. 2). Движение поршня $AB$ позволяет произвольить как скатие, так и расшире-

Рис. 1.

27

зано с уменьшением скорости молекул при отражении их от удаляющегося поршня.

Основной закон аднабатного процесса
При аднабатном процессе изменение объема идеального газа сопровождается изменением его температуры. Основная задача этого раздела статьи — получить формулу, связывающего температуру и объем при аднабатном процессе. Для этого воспользуемся молекулярно-кипетической картиной этого процесса.

Рассмотрим движение какой-нибудь молекулы одноатомного идеального газа. Пусть ее скорость равна $v$ и кинетическая энергия

$$\varepsilon = \frac{m |\vec{v}|^2}{2}.$$

Движение молекулы в пространстве можно представить в виде трех независимых движений по осям $X$, $Y$ и $Z$. (В этом смысле говорят о трех степенях свободы молекул.) С каждым из этих независимых движений связаны соответствующие процесции $v_x$, $v_y$ и $v_z$ скорости молекулы. Тогда выражение для кинетической энергии можно записать так:

$$\varepsilon = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$$

$$= \frac{m v_x^2}{2} + \frac{m v_y^2}{2} + \frac{m v_z^2}{2}.$$ (1)

Нас будут интересовать стольновия молекул с опускающимся поршнем (для определения расстояния случай аднабатного скатия). Поэтому мы будем говорить только о движении вдоль оси $X$ (см. рис. 2). Пусть поршень опускается со скоростью $\vec{u}$. Величина энергии $\varepsilon_x$ после стольновия с поршнем становится равной

$$\varepsilon' = \frac{n (|v_x| + 2 |\vec{u}|)^2}{2},$$

а изменение энергии

$$\Delta \varepsilon_x = \varepsilon' - \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}| + 2m |\vec{u}|^2.$$

Объчно $|\vec{u}| \ll |v_x|$. Тогда в выражении для $\Delta \varepsilon_x$ можно пребежать вторым слагаемым по сравнению с первым и считать

$$\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|.$$ (2)

Формула (2) описывает изменение энергии одной молекулы в результате одного стольновения с поршнем. Каждый же изменение в единицу времени все внутренней энергии расматривается идеально газа? Для ответа на этот вопрос мы должны просуммировать изменения энергии всех молекул, столкновихся в течение секунд с опускающимся поршнем. Обозначим через $N$ число молекул газа в сосуде, через $V$ — объем сосуда и через $S$ — площадь поршня. Для простоты расчужdenый будем считать, что все молекул газа характеризуется одним и тем же численным значением процесси скорости $v_x$ (в дальнейшем мы внесем необходимые коррективы). При этом в любой момент времени половина молекул движется к поршню, а вторая половина — от него (инначе было бы смешение всего газа как целого). В течение 1 сек стольновия испытают лишь те молекулы, которые, во-первых, движутся к поршню и, во-вторых, находятся от него на расстоянии, не превышающим $|v_x|^*$), то есть число молекул, испытающих соударения, равно

$$N' = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S.$$ (3)

У всех $N'$ молекул энергия после соударения с поршнем изменяется на величину $\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|$ (см. формулу (2)). Таким образом, полное изменение энергии газа в единицу времени

$$\Delta E = N' \Delta \varepsilon_x$$

$$= \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S \cdot 2m |v_x| |\vec{u}|$$

$$= 2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} |\vec{u}| S.$$ (4)

*) Более строго это расстояние равно $|v_x| + |\vec{u}|$, но мы воспользуемся тем, что $|\vec{u}| \ll |v_x|$.

28

Ясно, что величины $|\vec{u}| S$ численно равна, но противоложна по значению объема сосуда: $|\vec{u}| S = -\Delta V$. Тогда

$$\Delta E = -2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} \Delta V = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(5)

Мы считали, что все молекулы характеризуются одним и тем же значением проекции скорости $v_x$. Конечно, это предположение не соответствует действительности. На самом деле все молекулы движутся с различными скоростями, и реализно наблюдается значительный разбор значений $\varepsilon_x$. Поэтому в выражении (5) вместо энергии $\varepsilon_x$ надо взять среднее по всем молекулам значения энергии $\varepsilon_x$:

$$\Delta E = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(6)

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа, содержащого $N$ молекул, равна

$$E = \frac{3}{2} N k T,$$

(7)

где $k$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолотная температура газа. Величина $\frac{3}{2} k T$ и представляют собой среднее значение энергии молекул одноатомного идеального газа. Поскольку молекул складываются из трех независящих равноправных движений (по тем осем координат), ясно, что $\varepsilon_x = \frac{k T}{2}$. Подставим это значение в выражение (6):

$$\Delta E = -N k T \frac{\Delta V}{V}.$$

(8)

Запишем теперь иное выражение для $\Delta E$. Воспользуемся формулой (7) для внутренней энергии идеального газа. При аднабатном скатин температура газа изменяется. Пусть при изменении объема на $\Delta V$ температура газа изменяется на $\Delta T$. Тогда внутренняя энергия газа, содержащого же $N$ молекул, равна $E' = \frac{3}{2} N k (T + \Delta T)$, и изменение внутренней

$$\Delta E = \frac{3}{2} N k \Delta T.$$

(9)

Приравняв правила части выражений (8) и (9), приdem к следующему равенству:

$$-N k T \frac{\Delta V}{V} = \frac{3}{2} N k \Delta T,$$

(10)

или

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

(11)

Формула (11) устанавливает связи между температурой, объемом и их изменениями при аднабатном процессе.

Возникает вопрос: как должны быть связанные между собой температура $T$ и объем $V$ газа, чтобы при их изменении соответствующего на $\Delta T$ и $\Delta V$ выполнялось равенство (11)? Оказывается, эта связь при любых $T$ и $V$ должны иметь вид *)

$$\ln T = -\frac{2}{3} \ln V + \text{const},$$

(12)

где $\ln$ — натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e \approx 2,72$.

*) Дессятиклассики могут в этом убедиться самостояльно (см., например, «Алгебру и начала анализ 10», п. 114). Для остальных читателей приведем проверку того, что из выражения (12) действительное получается выражение (11).

В самом деле, пусть температура и объем изменились на малые величины $\Delta T$ и $\Delta V$ соответственно. Тогда из выражения (12) следует:

$$\ln (T + \Delta T) = -\frac{2}{3} \ln (V + \Delta V) + \text{const},$$

или

$$\ln T + \ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) =$$

$$= -\frac{2}{3} \ln V - \frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right) + \text{const}.$$

С учетом равенства (12) получаем

$$\ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) = -\frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right).$$

Теперь воспользуемся приближенной формулой: при малых $\alpha$ ln $(1 + \alpha) \approx \alpha$, тогда

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

29

Таким образом, температура и объем при аднабатном процессе связаны формулой (12), которая легко приводится к виду

$$\ln (TV^{2/3}) = \text{const},$$

или

$$TV^{2/3} = \text{const.}$$

(13)

Это и есть окончательная искомая формула, выражающая основной закон аднабатного процесса для одноатомного идеального газа: $T \sim \frac{1}{V^{2/3}}$.

Показатель степени $2/3$, фигурирующий в выражении (13), имеет определенный физический смысл. Можно показать (см. Приложение), что

$$\frac{2}{3} = \frac{C_p}{C_V} - 1,$$

где $C_p$ — тепломкость газа, если его нагрев происходит при постоянном давлении, а $C_V$ — тепломкость газа при постоянном объеме. Поэтому закон, описывающий аднабатный процесс (выражение (13)), обычно записывается в виде

$$TV^{\gamma-1} = \text{const},$$

где $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$.

Мы рассмотрели подробно аднабатный процесс для одноатомных газов. Но оказывается, уравнение (14) описывает аднабатный процесс и в случае многоатомных газов. Изменяется только значение величины $\gamma$. Например, для двухатомных газов $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$ (а не $2/3$, как для одноатомных газов). Это связано с тем, что для двухатомных газов внутренняя энергия $E = \frac{5}{2} NkT$ (а не $\frac{3}{2} NkT$).

Двухатомные молекулы могут содержать не только поступательное движение, но и вращение вокруг осей, проходящих через центр молекул. С этим вращением тоже связана определенная энергия. Вот почему показатель степени $\gamma - 1$ оказывается иным: $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$. Предлагаем читательам самостоятельно получить это значение.

Приложение

Величина тепломкости вещества зависит не только от его природы или температуры, но и от того, при каких условиях процесс нагревания. Например, при нагревании в закрытом сосуде не изменяется объем газа, а в сосуде, закрытом подвижным поршнем остается неизменным давление. При этом подводимое тепло расходуется не только на увеличение внутренней энергии газа, но на совершение работы по распределению. тепломкость в этих двух случаях различана. В первом случае ее называют тепломкостью при постоянном объеме и обозначают $C_V$, а во втором — тепломкостью при постоянном давлении $C_p$. Ясно, что $C_p > C_V$. Найдем разность этих величины.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты $Q$, подводимое к газу, равное сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta E$ и равны газа $A$:

$$Q = \Delta E + A.$$

Для одноатомных газов изменение внутренней энергии $\Delta E = \frac{3}{2} Nk\Delta T$. Работа газа $A$ при малых изменениях объема $\Delta V$ равна $A = p\Delta V$ (p — давление газа). Поэтому

$$Q = \frac{3}{2} Nk\Delta T + p\Delta V,$$

и тепломкость газа

$$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$

Если объем газа не изменяется, то его тепломкость

$$C_V = \frac{3}{2} Nk.$$

Если же измененным остатся давление, то

$$C_p = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + \frac{\Delta (NkT)}{\Delta T} = \frac{5}{2} Nk$$

(мы воспользуемся основным уравнением состояния идеального газа $pV = NkT$). Отсюда

$$C_p - C_V = Nk.$$

Тогда формулу (10) можно записать в виде

$$- (C_p - C_V) T \frac{\Delta V}{V} = C_V\Delta T,$$

или

$$\frac{\Delta T}{T} = - \left( \frac{C_p}{C_V} - 1 \right) \frac{\Delta V}{V} = - (\gamma - 1) \frac{\Delta V}{V},$$

откуда окончательно получаем

$$TV^{\gamma-1} = \text{const.}$$

30

Плавные последовательности

В этой заметке мы обсуждим характерные сообразения, возникшие при решении задач, где на последовательность или функцию наложены некоторые локальные orphanения — ей запрещено резко менять или круг поворачивать — и требуется оценить, насколько большим может оказаться колебание в целом.

Игра «гонки» и вторые разности

Вероятно, многие из наших читателей знают игру «гонки», описанную в книге M. Гарднера. «Matематические новеллы».

Напомним правила игры. На клетчатой бумаге рисунется более-менее произвольная изогнутая область (трек), у одного края трека для каждой игрока отмещается своей точка с тарта, у другого края — линия ф и и ша. Автомобилисты по очереди делают ходы в один из узлов сетки, причем изменять скорость разрешается только на единицу: если предыдущий ход автоматически был $\overrightarrow{AB}$, то следующий ход $\overrightarrow{BC}$ либо точно такой же ($\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$), либо заканчивается в одном из воспоминаних с $C$ узлов. Ходить можно только по отрезкам, целиком лежащим в пределах трека: тот, кто слишком «разогнался» и вылетел за границу, пропускает ход и начинает с единичной скоростью (так же проводится и старт, рис. 1).

По сравнению с другими играми на клетчатой бумаге (например, с «морским бомем») эта игра замечательна не только близостью к реальной ситу-

цин, но и разнообразием: ведь каждый новый трек — это новая игра.

Найти наиболее удачный путь на сложном треке — задача далего не простая. Такие задачи очень характерны для теории оптимального управления — сравнительно молодой и быстро развивающейся области математики. Мы не будет касаться общих сообщений, относится к этой теории, а рассмотрим одну конкретиную задачу, наeyerную игрой «гонки».

Задача 1. На клетчатой бумаге на одной горизонтальной линии семки $l$ отмещен отрезок $A_0A_1$ длины 1 (сторона одной клетки). Нужно, начав с эмодогом отрезка, построить путь, в котором:

1. каждый следующий шаг $A_kA_{k+1}$ либо макой же, как предыдущий $\overrightarrow{A_kA_{k+1}} = \overrightarrow{A_{k-1}A_k}$, либо отличается от него на одну единицу в ее рхили в и и з (в отличие от «гонок», скорость смещения вправо всегда остается одинаковой: 1 клетка за каждой шаг);

2. последний отрезок $A_nA_{n+1}$ лежит на той же пряной, что и первой $A_0A_1$.

На какую наиболее высокую высоту, при заданном $n$, может подняться макой путь над пряной l?

Эту задачу легко, конечно, сформировать и без клетчатой бумаги. Если считать, что отрезки $A_0A_1$ и $A_nA_{n+1}$ — это отрезки [0, 1] и [$n, n+1$] оси $Ox$ (рис. 2), то путь впол-

31

не определяется последовательностью координат $y_0, y_1, y_2, \dots, y_{n-1}, y_n, y_{n+1}$ точек $A_k = (k; y_k)$, причем эта последовательность должна удовлетворять таким условиям:

a) разность разностей $y_{k+1} - y_k$ и $y_k - y_{k-1}$ соседних членов последовательности, т. е. вморая разность
$$y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1} = (y_{k+1} - y_k) - (y_k - y_{k-1})$$
при каждой $k$, $1 \leq k \leq n$, не превыходит 1;

6. $y_0 = y_1 = y_n = y_{n+1} = 0$, а все другие $y_k$ — целые числа. В задаче спрашивается, какое наиболее значение может иметь наиболее или этой последовательности.

Путь, о котором говорится в первой формулировке, — в некотором смысле «график» последовательности $\{y_k\}$. Далее бы мы начали сразу с алгебраической формулировки, его очень полезно было бы «выдумать»: он помогает найти представить смысл условия a).

Перейдем к решению задачи.

Чтобы удовлетворить условия 1), «верхушка» ломаной $A_m A_{m+1}$ должна быть горизонтальной. Ясно, что можно рассматривать только симметричные пути: если $A_m A_{m+1}$ — самое верхнее звено, то более длинную из частей $A_1 \dots A_m$ и $A_{m+1} \dots A_n$ можно укоротить, заменив ее симметриным отражением другой части относительно серединой перпендикулара к отрезку $A_m A_{m+1}$.

Итак, достаточно рассматривать лишь участок по дыма (отведя на него более $n/2 - 1$ наклонных шагов) — с пуск к будет точного таким же.

Кстати, отсюда видно, что для четного $n$ максимальная высота подьема — обозначим ее $h_n$ — будет такой же, как и для следующего за ним нечетного числа: $h_n = h_{n+1}$.

Если подниматься и опускаться под углом $45^\circ$, то максимальная высота, как нетрудно проверить, будет $[n/2] - 1$. Но такой способ будет наиболее лишь до $n = 7$ (рис. 3, a). На рисунке 3, б показан путь для $n = 8$, который поднимается на высоту 4 (а не на $[8/2] - 1 = 3$).

Найти оптимальный путь нам еще раз помогут сообщения симметрины. Ясно, что поначалу выгодно максимальным образом наращивать скорость подьема: $1 + 2 + 3 + \dots$; но — чтобы успеть затормить — так можно поступать лишь до середины участка подьема [1; $m$] (рис. 4, 5).

Эти сообщения можно строго оформить так. Оценим разности одновременного с двух стороны участка:

$$y_1 - y_0 = 0, \quad y_{m+1} - y_m = 0, \quad y_2 - y_1 \leq 1, \quad y_m - y_{m-1} \leq 1, \quad y_3 - y_2 \leq 2, \quad y_{m-1} - y_{m-2} \leq 2, \quad y_4 - y_3 \leq 3, \quad y_{m-2} - y_{m-3} \leq 3, \dots$$

Тепер, чтобы получить оценку для наиболее высокей высоты $h_n$ подьема, т. е. величины $y_m - y_0 = y_{m+1} - y_0$, нужно сложить оценки первых разностей. Таким образом,

для $n = 4k - 2$ (например, $n = 18$, рис. 4)

Рис. 2.

Рис. 3.

32

$$h_n \leq 1 + 2 + \dots + (k - 1) + (k - 1) + \dots + 2 + 1 = k(k - 1);$$
для $n = 4k$ (например, $n = 20$, рис. 5)

$$h_n \leq 1 + 2 + \dots + (k - 1) + k + (k - 1) + \dots + 2 + 1 = k(k - 1) + k = k^2.$$

Ясно — из тех же рисунков, — что эти оценки точные, т. е. что такое высоту подьема можно реализовать. В частности, $h_{18} = 20, h_{20} = 25$.

Итак, мы нашли наиболее высокую высоту $h_n$ при любом $n$. Проверьте, что ответ можно записать в такой компактной форме: $h_n = [n/4] \times [(n + 2)/4]$, или, еще короче, $h_n = [[n/2]]^2/4$. (Напомним, что $h_{n+1} = h_n$ при четном $n$.) Значит, при любом $n$ достаточно точную оценку сверху для $h_n$ дает неравенство $h_n \leq n^2/16$.

Заметим еще, что вершины оптимальный траектории в каждой ее четвертой части лежат на одной параболе. Это происходит не случайно. Ведь если последовательность $x_0, x_1, \dots, x_m$ — арифметическая прогрессия (в частиности, отрезок натурального ряда), а у последовательности $y_0, y_1, \dots, y_m$ вторые разности $y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1}$ равны между собой, то точки $(x_0; y_0), (x_1; y_1), \dots, (x_m; y_m)$ лежат на одной параболе*). Именно так обстоятель дело в нашем случае (рис. 4, 5): в первой и последней четвертях траектории $y_{k+1} - 2y_k + y_k-1 = 2y_k + n^2/16$.

*) Ср. «Квант», 1973, № 2, с. 28—29.

$+y_{k-1} = 1$, а в средних четвертях $y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1} = -1$.

Мы увидим, что и в других задачах, где ограничения накладываются на вторые разности, оптимальная траектория также склеена из парабола.

Непрерывный анализ.
Скорости и ускорения

Задача 2. Электровоззамена в моче $O$, пропуская с места, но, дав «задний ход», через $n$ секунды снова вернулся в моче $O$ и оставился в ней. На какое наиболее расстояние $h$ он может удалиться за это время от мочи $O$, если абсолитная величина его ускорения ни в какой момент не превышает а см/сек$^2$?

Эта задача — полный анализ 1, с той разницей, что вместо дискретной последовательности $y_0, y_1, \dots, y_n$ теперь решить о функции $y(t)$ непрерывно в него аргумента $t$ (здесь $t$ — время; будем считать, что $t$ пробегает отрезок от 0 до $n$). Аналогом первых разностей является скорость (первая произведение $y'(t)$ от координаты $y(t)$), аналогом вторых разностей — ускорение (вторая произведение $y''(t) = (y'(t))'$). Мы решим эту задачу, пользоваться физическими терминами; те, кто уже знаком с произvodной и интегралом, легко переведут условия задачи и ее решение на языке математического анализа.

Докажем, что ответ в этой задаче таков: $an^2/16$ (см).