Квант 1977, №8 · Страницы

КВАНМ 8
1977

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Здесь вы видите три кривые. Одна из них — окружность. Другая — «красная» — квадратrica Динострата. Изобретение ее приписьвают знаменитому софистиу Гиппnio, жившем в пятом веке до н. э.,— одному из первых математиков, имея которых донесяла до нас история. Гиппний использовал эту кривую для решения задачи о трисекции угла (позному ее называют также трисектисной). Динострат (четвертый век до н. э.) использовал ее для решения задачи о квадратере круга (отсюда — квадратриса). Оба они рассматривали только тот участок кривой, который виделен жирной линией.

Третья изобравенная здесь кривая — кохлеона — получается из квадратрисы Динострата в результате инверсии относительной нарисованной окружности. Ее название проинсходит от греческого хохλος (улитка). Она напоминает линия, которые видны на ракушках некоторых двустороных моллюсков.

Подробнее об этих кривых читайте на с. 57.

1

Главный редактор
академик И. К. Кионин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кирилин
А. И. Климанов
(главный художник)
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ:

2. С. Гиндикин. Карл Фридрих Гаусс
3. Л. Алексеева. Вихри, которые «делают погоду»
4. О. Жаутыков. Кривые второго порядка
5. З. Тымеладзе. Теория игры

Лаборатория «Квант»
34. Н. Ростовцев. Как с помощью проволоки изменить длину световой волны

Математический кругок
38. В. Рабинович. Аффининые задачи и теоремы

Задачик «Квант»
42 Задачи М456—М460; Ф468—Ф472
44 Решения задач М416—М419; Ф428—Ф431

«Квант» для младших школьников
51 Задачи
52 Н. Виленкин. Математика и шифры

Рецензии, библиография
58 Н. Клумова, М. Смолянский. Новые книги

Физики шутят
60 Об аутентичности научных анекдотов

Информация
62 Заочная физическая школа
63 Вечерняя физическая школа

63 Ответы, указания, решения

Сместь (с. 26, 37, 56, 57)

© Главная редакция физico-mатематической литературы изда-
тельства «Нука», «Квант», 1977

2

С. Гиндикин

Карл Фридрих Гаусс
(K 200-летio со дня рождения)

В 1854 г. здоровье тайного советника Гаусса, как его именовал коллеги по Геттингенскому университету, решительно ухудшилось. Не могло быть и речи о продолжавшихся в течение двадцати лет ежедневных прогулках от Обсерватории до Литературного музея. Профессора, приближавшегося к восемидесятилетнему рубежу, удалилось уговорить обратиться к врачу! Летом ему стало лучше и он даже приступовал на открытии железной дороги Ганновер — Геттинген. В января 1855 г. Гаусс согласился позировать художнику Геземану для

4

Любимейшая наука
величий математиков

Это один из многочисленных эпитетов, которые Гаусс наделял аргументку (теорию чисел). К тому времени аргумента из набора изолированных наблюданий и утверждений уже превращалась в науку.

Позднее Гаусс написет: «Главным образом, более поздним исследователем, правда немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу, — маким, как Ферма, Эйлер, Лаэранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищне этой бокесенной науки и показали, какими богатствами она наполнена». Но всего этого еще не знает малчик из Брауншвейга, который с поражательной скоростью переоткрывал то, на что у его великих предшественников ушли многое годы. Вот несколько тем, которые занимали его.

Гаусс рано подмечает, что остатки от деления квадратов целых чисел на простые числа $p$ не могут быть любыми. Например, при делении на 3 остатки могут быть либо 0, либо 1; при делении на 5 — 0,1 или 4. Но можно посмотреть на ситuação и с другой стороны: для каких $p$ существует числа $n^2$, дающие при делении на $p$ заданный остаток $q$? При $q=1$ годятся любые $p(n=p+1)$, а вот остаток $p-1$ для некоторых $p$ получается, а для некоторых — нет: для $p=3$ остатка 2 при делении квадрата не былает, а при $p=5$ остаток 4 былает $(n=3)$, при $p=7, 11, 19$ остатка $p-1$ не былает, а при $p=13, 17$ былает. Возникает гипотеза: если $p=4k-1$, то никакое $n^2$ при делении на $p$ не дает остаток $p-1$, а при $p=4k+1$ такое $n^2$ указать можно. Гаусс не знаел, что эту гипотезу сформулировал до него еще Ферма и что справедливо ее была установлена Эйлером.

«Я случайно намолкнулся на одну изимительную аргументическую истиниру, и, как как она не только показалась мне прекрасно сма по себе, но и наела на мысль, что она связана и с другими видами истинирования фактами, я со всей энергейы взгляся за мо, чтобы выяснить причины, на которых она основывается, и получить строю ее доказательство. После того как это желание, наконец, осуществилось, преследствие этихисследований настолько улыблено меня, что я уже не мои их оставить».

Гаусс интересуется, для каких $p$ числа $n^2$ могут давать остатки $q=2$, 3 и т. д. Для $q=2$ он договорается, что все дело в остатке от деления $p$ на 8 (это не удалось доказать Эйлеру, но доказал Лагранж), для $q=3$ все определяется остатком от деления $p$ на 12. Общее утверждение состоит в том, что все простые $p$, имеющие одинаковый остаток при делении на $4q$, либо одновременного могут давать остаток $q$ при делении неокоторого $n^2$ на $p$, либо не могут. Это утверждение Гаусс называет «золотой теоремой»; сейчас его принято называть квадратным законом взаимности *). «Золотая теорема» не поддерживает юного Гаусса. «Эта теорема муцила меня целый год и не поддавалась наряженной им усилиям». Но это была та точка, в которой он «догнал» совершенную ему математку: числа крупнейших математиков, пытающихся доказать квадратный закон взаимности, были безрезультатными.

Вот другой tema размышлений Гаусса. Маленького Гаусса радует, что если делить 1 на $p$, то через некоторое время десятичные знаки начинают повторять — получается бесконечная десятичная периодическая дробь. Доказать периодность не мудрено, а как сосчитать длину периода? Гаусс, не торопясь с выводами, перебирает простые числа подряд, не леняясь точно выписывать периоды. Это может показаться скучным заятением (например, для 97 период содержит 96 знаков), но Гаусс перебрал все $p<1000$. Он установил, что длина периода всегда является делитель числа $p-1$. (Это легко следует из Малой теоремы Ферма **), которое Гаусс передоказал.) Гаусс интересуют те $p$, для которых период в точности равен $p-1$. Для этого достаточно, чтобы среди остатков от деления на $p$ чисел $10, 10^2, \dots, 10^{p-1}$ встречались все ненулевые остатки. Бесконечно или конечно число таких $p$, не известно по сейчас день.

*) См. статью «Золотая теорема» («Квант», 1973, № 1).
**) См. статью «Малая теорема Ферма» («Квант», 1972, № 10).

5

Гаусс подметил, что при делении чисел 3, 9, 27, …, 3$^{16}$ на 17 встречаются все возможные неуполятья остатки: 1, 2, …, 16. Это наблюдание послужило только к первому велику открытю Гаусса — построению правильного 17-угольника *).

Гаусс знал, что циркулем и линейкой можно построить правильные $n$-угольники (или, что то же, разделить окружность на $n$ равных частей) при $n = 3, 4, 5$. Он, конечно, понимаал, что такие построения возможны также при $n = 2^k, 2^k \cdot 3, 2^k \cdot 5, 15\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}\right)$. По-видимому, Гаусс знал, что ни для каких других $n$ древним построение выполнить не удалось.

Новое время принесло возможность перевести задачу построения правильного $n$-угольника на алгебраической язык. Возможность построения такого многоугольника циркулем и линейкой сводится к представлению корней ) уравнения $z^n - 1 = 0$ или (если отбросить корень $z = 1$) $z^{n-1} + z^{n-2} + \dots + z + 1 = 0$ в виде квадратных ирациональныхностей (т. е. выражению их через разциональные числа при помощи арифметических операций и извлечения квадратного корня).

Эта редукция позволяет единобразно рассмотреть случай, доступные древним, в то время как сами древние для каждой случай изисквали особый способ.

Гаусс думал об уравнения деления круea (так называется вышеча-zанное уравнение), одновременно размышляя о делимости чисел. 30 марта 1796 года он при побужении неожиданного увидел связи между этим задачами.

Пусть $n = 17$. Если $\varepsilon$ — корень уравнения $z^{16} + z^{15} + \dots + z + 1 = 0$, то $\varepsilon^2, \varepsilon^3, \dots, \varepsilon^{16}$ — его остальные корни. Гаусс

*) См. статью «Дебют Гаусса» («Квант», 1972, № 1).

**) Здесь и ниже речь идет о комплиексные числа — распределение множества действительных чисел, введенное для того, чтобы квадратное уравнение имело корни. О комплиексных числах можно прочитать, например, в книге P. Курата и Г. Роббинса «Что такое математика?» (М., изд-во «Просвещение», 1967).

Таким образом, Гаусс смог продвинуться в задаче, в котором со временем Евклида не было сделано ничего нового. Элементарность формулировки позволяет сообщить об этом открытии в газете.

Позднее Гаусс решил проблему деления окружности полностью. Задача сводится к случае при простых $n$ вида $2^{2k} + 1$ (это так называемые простые числа Ферма) построение проходит по той же схеме, что и при $n = 17$. Следующое $n$ такого вида равно 257. Есть сведения, что Гаусс не поленился проводить построения и для этого случая. Для простых $n$, не имеющих такого вида, построение, как доказал (но не опубликовал) Гаусс, неозможно (в частисти, для $n = 7, 11$).

Теперь судьба Гауссы была решена: ни о какой филологически речь уже не шла. Он будет Математиком! На склооне лет Гаусс вспомнил, как бурлили в это время в его голове идени. Он еда успевал делать отрывные записи о том, чем занимается. Гаусс начинает вести дневник. Первая запись в нем датирована 30 марта 1796 г. Она посвязывает построению правильного 17-угольника. Вторая (от 8 апреля) свидетельствует, что ему удалось доказать квадратный закон взаимности. Из дневника мы узнали, что великий математик продолжает учиться, акурато поодействия «студенческе» уражения.

В 1798 г. Гаусс заканчивает университет и отправляется в родной Брауншвейг, чтобы запись своей

6

Геттингенский университет (совр. гравiopа).

результаты по теории чисел. На эту работу ушло четые направленные года. В 1801 г. вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гауса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гауса: квадратный закон взаимности, задачу деления круга, вопрос о представимости целых чисел в виде $am^2 + bmn + cn^2$ (в частности, в виде суммы квадратов). Книга была издана на средства герцога и ему посвящена. В изданном виде книга состояла из семи частей. На восемую часть делег не хватило. В этой части речь должна была идти об обобщении квадратного закона взаимности на степени выше второй, в частности — о биквадратном законе взаимности. Полное доказательство квадратного закона Гаусс нашел лишь 23 октября 1813 г., причем в дневнике он отметил, что это совпало с розделением сына.

За пределами «Арифметические исследования» Гаусс по существу теорей чисел не занимался. Он лишь продумал и додельвал то, что было задумано в те годы. Например, он придумал еще шесть разных доказательств квадратного закона взаимности. «Арифметические

7

Молодой Гаусс. (1803 г.).

Гельштадтская диссертация

В Брауншвейге Гаусс не имел литературы, необходимой для работы над «Арифметическими исследованиями». Поэтому он частоездил в соседний Гельштадт, где была хорошо библиотека. Здесь в 1798 г. Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству Основной теоремы алгебры — утверждения о том, что всякий многочлен с комплексьми (в частности — с действительными) коэффициентами имеет комплексьный корень (если хотеть оставаться в области действительных чисел, то Основную теорему алгебры можно сформировать так: всякий многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение многочленов первой и второго степени). Гаусс критически разбирает все представующие попытки доказательства и с большой тщательностью проводит идею Даламбера. Безупречного доказательства все же не получилось, так как не хватало строгой теории непрерывности. В дальнейшем Гаусс придумал еще три доказательства Основной теоремы (последний раз — в 1848 г.).

Лемниската и арифметико-геометрическое среднее

Рассскажем еще об одной линии в работе Гаусса, начавшейся в детстве.

В 1791 г., когда Гаусс было 14 лет, его занимала следующая игра. Он брал два числа $a_0, b_0$ и строил для них среднее арифметическое $a_1 = \frac{a_0 + b_0}{2}$ и среднее геометрическое $b_1 = \sqrt{a_0 b_0}$. Затем он вычислил средние от $a_1, b_1$: $a_2 = \frac{a_1 + b_1}{2}, b_2 = \sqrt{a_1 b_1}$ и т. д. Гаусс вычислил обе последовательности с большим числом знаков. Очень скоро он уже не мог разлинить $a_n$ и $b_n$ — все вычисленные знаки совпадали. Другими словами, обе последовательности быстро стремились к общему пределу $M(a_0, b_0)$ (называемому арифметико-геометрическим средним).

В те же годы Гаусс много возил с кривой, называемой лемниской (или лемниской Бернулли), — множество точек, произведение расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек $O_1, O_2$ (фокусов) построено и равно $\left(\frac{1}{2} \left| O_1 O_2 \right|\right)^2$ (рис. 1). К системеческому изучению лемнискаты Гаусс перешел в 1797 г. Он долго пытается найти лемнискаты, пока не догадывается, что она равна $\frac{2\pi}{M(\sqrt{2}, 2)} \left| O_1 O_2 \right|$.

Мы не знаем, как Гаусс сообщил это, но знаем, что было это 30 мая 1799 года и что, не имея вначале доказательства, он сосчитал обе величины с одинаковым (!) десятичными знаками. Гаусс придумал для лемнискаты функции, аналогичные тригонометрическим функциям для okружности. Например, для лемни-

9

Прежде всего надо иметь в виду, что, начиная с работ Кеплера, Галилея и Ньютона, астрономия была наиболее ярким местом приложения математики. Эта традиция была продолжена в трудах Эйлера, Даламбера, Клеро, Лагранжа, Лапласа. Предсказывая и объясняя небесные явления, математики чувствовали себя как бы допущеными к тайнам мироиздания. Гауссс, с его ранним интересом к конкретным вычислениям, не мог, конечно, не попробовать своих сил на этом традиционном поррище.

Впрочем, были причины и розанческие. Гауссс занимамал скромное положение приват-доцентта в Брауншвейге, получая 6 талеров в месяц. Пенсия в 400 талеров от герцогапокровителя не настояло улушила его положение, чтобы он мог содержать семью, а он подумывал о желтитьбе. Получить где-нибудь кафедру по математике было не просто, да Гауссс и не очень стремился к активной преподавательской деятельности. Расширяющаяся сеть обсерватории делала карьер астронама более доступной.

Гауссс начал интересоваться астрономейеме еще в Геттингене. Кое-какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причем часть герцогской пенсии он израсходовал на покупку секстрата. Он шеет достойную вычислительной задачу, решая пока мелкие задачи. Так, он публикует простой способ вычисления времени Пасхи и других циклических раздикков вместе чрезвычайно путемных решетов; которые пользовались раньше. Мысль о настоящей задаче появилась в 1801 г. при следующих обстоятельствах.

1 января 1801 г. астроном Пиаши, составляющий звездный каталог, обнаружил неизвестную звезду 8-й звездной величины. Понаблюдав за ней 40 дней, Пиаши обратился к крупнейшим астрономам с просьбой продолжить наблюдения. По разным принципам его просба не была выполнена. В июне эти сведения до Цаха, издавшего единственный в то время астрономической журнал. Цах высказал гипотезу, что печь идет «о давно подозреваемой между Марсом и Юнитером, а менее, по-виществом, открытой, новой большой планете». Гипотеза Цаха показалась правдоподобной, и надо было срочно искать «потерянную» планету. А для этого надо было вычислить ее траекторию. Определить эллиптическую траекторию по дуге в 9°, которое знал Пиаши, было за пределами вычислительных возможностей астрономов. В сентябре 1801 г., оставив все свои дела, вычисленем орбиты заяляся Гауссс. В ноябре вычисления были закончены. В декабрьом номере журнал Цаха они были опубликованы, а в ночь с 31 декабря на 1 января —ровно через год после наблюдания Пиаши —известный немецкий астроном Ольберс, основываясь на траектории, вычисленной Гаусссом, нашел планету (ее назвали Цирерой). Это была подписаннаяся!

25 марта 1802 г. Ольберс открывает еще одну планету — Палладу. Гауссс быстро вычисляет ее орбиту, показав, что и она располагается между Марсом и Юнитером. Действенностью вычислительных методов Гаусаста для астрономов несомненной.

К Гауссс приходит признание. Одиним из признаков этого было избранное его членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Вскоре его пригласили занять место директора Петербургской общеватории. Гауссс пишет, что ему лестно получить приглашение в город, где работал Эйлер, и серbezно думает о переезде. В письмах Гауссс пишет, что в Петербурге часто плохая погода, а потому он не будет слишком занят наблюдениями, и будет оставаться время для занятий. Он пишет также, что 1000 рублей, которые он будет получать, больше 400 талеров, которые он имеет сейчас, но жизнь в Петербурге дороже.

В то же время Ольберс предпринимает успешная, чтобы сохранить Гауса для Германии. Еще в 1802 г. он предлагает куратору Геттингенского университета пригласить Гауса на пост директора вновь организованной общеватории. Ольберс пишет при этом, что Гауссс «к кафедре математики имеет положительное значение». Согласно было dado, но переезд состоялся лишь в конце 1807 г.

10

За это время Гаусс женился («жизнь представляется мне весной со всегда новых яркими цветами»). В 1806 г. умирает от ран герцог, к которому Гаусс, по-видимому, был искренне привязан. Теперь ничего не удерживает его в Брауншвейге.

Жизнь Гаусса в Геттигене складывалась не сладко. В 1809 г. после рождения сына умерла жена, а затем и сам ребенок. Вдобавок Наполеон обложил Геттиген тяжелой контрибущей. Сам Гаусс должен был заплаать непосильный налог в 2000 франков. За него попытались ввести деньги Ольберс и, прямо в Париже, Лаплас. Оба раза Гаусс гордо отказался. Однако нашелся еще один благодетель, на этот раз — аноним, и деньги возврашает было некому (много позднее узнали, что это был курфюст Майнский, друг Гетё). «Смерть мне малень makой жизни», — пишет Гаусс между заметками по теории эллиптических функций. Окружающие неценили его работ, считали его, по меньшей мере, чудаком. Ольберс успокаивает Гаусса, говоря, что не следует расчитывать на понимание людей: «их нужно желать и им служить».

В 1809 г. выходит законченная в 1807 г. знаменита «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по кончесимся ценями». Задержка произошла отчеты из-за опасений изделия, что книга на немецком языке не найдет спроса, а Гаусс из патронических сообщений отказывался печать книгу по-французски. Компромисс состоял в издании книги на латыни. Это единственная книга Гаусса по астрономии (сверх этого он напечатал несколько статей).

Гаусс излагает свои методы вычисления орбит. Чтобы убедиться в силу своего метода, он повторяет вычисление орбиты кометы 1769 г., который в свое время за три дня направленшегося счета вычислил Эйлер, потеряший после этого зрене. Гауссу на это потребовал час. В книге изложен метод наименьших квадратов, оставшийся по секундом из самых распространенных методов обработки результатов налодений.

Гаусс указывал, что он знает этот метод с 1794 г., а с 1802 г. систематически им пользовется. (За два года до выхода «Теории движения» Гаусса метод наименьших квадратов был опубликован Лежандром.)

На 1810 г. пришлось большее число почетей: Гаусс получил премию Парижской академии наук и Золотую медаль Лондонского королевского общества, был избран в несколько академии.

В 1804 г. Парижская академия выбрала в качестве темы для большой премии (золотая медаль весом 1 кг) теории возмущений Паллады. Срок дважды переносился (до 1816 г.) в надежде, что Гаусс представляет работу. Гауссу помогал в вычислениях его ученник Николан («юноша, неутомимый в вычислениях»), и все же вычисления не были доведены до конца. Гаусс перевал их, находясь в тяжелой депрессии.

Регулярные занятия астрономией продолжались почти до самой смерти. Знаменитию комету 1812 г. (которая «предвезала» пожар Москвы!) всуду наблюдали, пользоваться вычислениями Гаусса. 28 августа 1851 года Гаусс наблюдал солнечное затмение. У Гаусса было много учеников-астрономов (Шумахер, Герминг, Николан, Струве). Крупнейшие немецкие геометры Мёбниц и Штаудт учились у него не геометрии, а астрономии. Он состоял в активной переписке со многими астрономами, регуляров читал статьи и книги по астрономии, печатал решения. Из письм астрономам мы многое узнали о занятиях математикой. Как не пожож облик Гаусса-астронома на представление о недоступном отшельнике, существовавшее у математков!

Геодезия

К 1820 г. центр практических интелегсов Гаусса переместился в геодезию. Еще в начале века он пытался воспользоваться результатами измерений других меридиана, предприятых французскими геодезистами для установления эталона длины (метра), чтобы найти истинное скатание Земли. Но дуга оказалась слишком мала. Гаусс

13

можность спокойно работать. Он предупреждает Гермина, который собирался лишь упомянуть, что поступал о параллельных может оказаться неверен: «Не осы, неиздо которых Вы разрушаете, поднимется над Вашей воловой». Постепенно зреет решение записьать результаты, но не публиковать их: «Вероятно, я еще не скоро смогу обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубlikовать. Возможно даже, я не решyb на это во всю свою жизнь, потому что болезнка безопаснее *), который поднимется, если я высказу свой воззрения целиком» (письмо Бессело 1829 г.). В мае 1831 г. Гаусс начинает систематически записи: «Вот уже несколько недель, как я начал излазать письменно неокторые результаты моих собственных размышлений об этом предмете, частично имеющих уже 40-летнюю давность, но никогда много не записанных, следствие чего я должен был 3 или 4 раза возобновлять весь труд в моей волове. Мне не хотелось бы, oddako, чтобы это позибло вместе со мной» (письмо Шумахеру).

Однако в 1832 г. он получил от Фаркаша Бойян небольшие сочинение его сына Яноша «Аппендикс» (название связано с тем, что оно было издано в виде приложения к большей книге отца). «Мой сын ставит на тое сужение больше, чем на сужение всей Европы». Содержание книги поразило Гаусса: в ней полно и систематически строилась неевклидова геометрия. Это были не отрывочные замеаня и договора Швейкарта — Тауринуса. Такое изложение собирался получить сам Гаусс в ближайте время. Он пишет Гермину: «…я нашел все мои собственные идеи и результаты, развитие с большим изящемом, хотя, следствие сжатости изложения, в форме, трудно доступной тому, кому чужда эта область… Я считаю, что этот юный геометр Бойя — гений первой величины». А вот, что написано отцу: «…все содержание этой работы, путь, no котором твой сын пошел, и результаты, которые он получил, — почти сплошь совпадают с моими, которые я частично получил уже 30—35 лет тому назад. Я действительно этим крайне поражен. Я имел намерение о своей собственной работе,кое-что из которой я теперь нанес на бумаду, при жизни ничего не публиковать… я имел намерение…, чтобы эти мысли, по крайней мере, не подібли со мной. Я поэтому чрезвычайно поражен сущимся — оно освобождает меня от этой необходимости; и меня очень радует, что именно сын моeso старого друга таким удутельным образом меня предвосхитил». Никакой публичной оценки или поддержки Яноша от Гаусса не получил. По-видимому, одновременно Гаусс превращал систематические записи по неевклидовой геометрии, хотя сохранили эпизодические заметки, относится к 40-м годам.

*) По преданию жители Бостина славились в Древней Греции своей глупости.

В 1841 г. Гаусс познакомился с немецким изданием работы Лобачевского (первые публикации Лобачевского относятся к 1829 г.). Верный себе, Гаусс интересуется другими публикациями автора, ограничиваясь высказыванием о нем в переписке с близкими корреспондентами. Впрочем, по предложению Гаусса, в 1842 г. Лобачевского, «как одного из превосходнейших математических русского государства», избрали членом-kорреспондентом Геттигенского ученого королевского общества. Гаусс лично извлечил Лобачевского обизрании. Однако ни в представлении Гаусса, ни в дипломе, выданном Лобачевскому, неевклидова геометрия не упоминалась.

О работах Гаусса по неевклидовой геометрии узнали лишь при публикации посмертного архива. Так Гаусс обеспечил себе возможность спокойно работать отказом обнаружать свое великое открытие, вызвав несмолкацию по сейчас день споры о допустимости занятой им позиции.

Следует отметить, что Гаусса интересует не только чисто логический вопрос о доказуемости поступала о параллельных. Его интересует геометрию в естественных наукках, вопрос об истинной геометрии нашей физической мира (см. выше высказывание 1817 г.). Он осуществляет возможность астрономического проверки, с интересом отзываться о сообщениях по этому поводу Лобачевского. При занятях геодезия Гаусс не удержался от изменения суммы углов треугольника с вершинами Высокий Гаген, Брокен, Инсельберг. Отложение от 2л не превысило 0,2′.

Электродинамика и земной магнетизм

К концу 20-х годов Гаусс, перешедший 50-летний рубеж, начинает поиски новых для себя области научной деятельности. Об этом свидетельствуют две публикации 1829 и 1830 г. Первая из них несет печать размышлений об общих принципах механики (десь строится «приципиная наименование приужжения» Гаусса); другая посвящена изучению капиллярных явлений. Гаусс решает заниматься физикой, но его уже интересны еще не определились. В 1831 г. он пытается заниматься кристаллографей. Это очень трудный год в

14

Жизни Гаусса: умирает его вторая жена, у него начнется тяжелейшая бессонница. В этом же году в Геттинген приезжает приглашенный по инцициативе Гаусса 27-летний физик Вильгельм Вебер. Гаусс познакомился с ним в 1828 г. в доме Гумбольда. Гаусс был 54 года; о его замкнутости ходили легенды, и все же в Вебере он нашел cotоварица по занятым наукой, какого он никогда не имел прежде.

«Внутреннее разлице этих людей достагоно выражалось также и в их внешнем oblique. Гаусс — признаетый; крепко телосложеня, настоящий представитель Нижней Саксонии, малоразоворичный и замкнутый в себе. Своеобразной противоположностью ему является небольшой, изящный, подвижный Вебер, чрезвычайная любезность и разговориность которого сразу же обнаружили коренное соконца; он был действительно родом из Виттенберга, этой страны «саксонцев в квадрате». На геттингенском памятнике Гауссу и Веберу эта противоположность их художественных собравлений смягчена и даже по возрасту они кажутся более близки, чем это было в действительности». (Клейн)

Интересы Гаусса и Вебера лежали в области электродинамики и земного магнетизма. Их деятельности имела не только теоретические, но и практические результаты. В 1833 г. они изобретают электромагнитный телефон (это событие запечатлено в их общем памятнике). Первый телефонфсязывал обсерватorio и физический институт. По финансовым принципам ведрить телефонфсязы в жизнь его создается не удалось.

В процессе занятия магнетизма опирались как на наблюдения в магнитной обсерватории, созданной в Геттингене, так и на материалов, которые собирались в разных странах «Союзом для наблюдения над земным магнетизмом», созданным Гумбольдтом после возвращения из Южной Америки. В это же время Гаусс создает одну из важнейших глав математической физики — теория потенциала.

Совместные занятия Гаусса и Вебера были превращены в 1843 г., когда Вебера вместе с шестю другими видными профессорами изгнали из Геттингена за подписание письма королю, в котором указывались нарушения последним конструкции (Гаусс не подписал письма). Возвращался в Геттинген Вебер лишь в 1849 г., когда Гауссу было уже 72 года.

---

Мы закончим наш рассказ о Гаусе словами Клейна: «Гаусс наполняем мне образ высочайшей вершины базарского горного хребма, какой она представляет перед глазами наблюдаемая,лядяцело с свега. В этой стороны цепи в направлении с востока на запад отдельные вершины поднимаются все выше и выше, достигая пределной высоты в мочечем, высящемся в цепире велика; кругло обрываясь, этом горный исполнением измененного новой формы, в котором на много десятиков клометров dalеко пропикают его отроzen, и стекающее с него потоки несум владу и жизнь».

Портрет Гаусса на с. 2 прислан профессором К. Р. Бирманом из ГДР.

15

Вихри, которые «делают погоду»

«… символические спиралы, как бы олицетворющие грозный атмосферный вихрь, можно встретить на изобравенях идлов и божеств, дополнительных do нас со временем древних цивилизаций.

… Идол с берегов Океании — более бурь у племени марии в Новой Зеландии — тоже украшен многочисленных спирами.»

И. Ситников. «Бетси, Камила и другие…»

Удивительное это образование — вихрь! От других потоков однородной жидкости или газа он отличается только характером движения, включшим вращение вокруг внутриеней оси. Но, по сравнению с другими потоками, вихрь обладает замечательной целостностью, устойчивостью и долговчувствью (см. «Квант» № 4, 1971 г.).

Высокое под потолок летят вихревые дымные колыца, выпущенные курильщиком, тогда как дым от его папиросы, едва поднявшись, разбивается на стружки, перемешивается с воздухом и распливается. Классические опыты с большими вихревыми колыцами, которые со стуком удалялись о стену лаборатории, описаны в статье американского физика-экспериментатора P. Вуда (см. «Квант» № 12, 1971 г.).

В природе вихри возникают во множестве. Они появляются в той части потока, где скорость быстро меняется в направлении, перпендикулярном потоку. Каждому случалось видеть вихри в быстро реке на перехождение от быстроины к замедленному течение у берега. Целая цепочка вихрей может тянться за движущимся предметом, скажем, автоматом. Их особенно удобно наблюдать на шоссе в метельные дни, когда машина обдувается крепким встречным ветром, а хлопья снега проявляют движение произрачного воздуха. Такие вихри появляются при обтекании преятистей.

Вихревой характер сильно ветра был заменен в 1821 г. У. Рэдфилдом, содержателем небольшего магазина в штате Коннектикут (США), который, объезжая после шторма района штата, обратил внимание на поваленные ветром деревья. В одном месте деревья лежали макишки к северо-западу, тогда как на некоторых систему ветров. Беседуя с моряками и анализируя судовые журналы, он установил направление вращения крупных вихрей и нашел траектории их центров. В 1831 г. вышел

16

труд У. Рэдфилда, излагающий результаты его исследования. Ближе взгляды высказывал немецкий ученый В. Дове. В эти же годы были построены первые ветровые карты.

Вобщество, вихревые движения характеристи для atmosферы Земли. Однако далеко не все выход «делают погоду». Погода на земном шаре в сильной степени зависит от присутствия гигантских atmosферных вихрей-циклов и антицикловов, задающих ветровой режим в данной Земли.

В выходной системе, называемой цикломом (рис. 1), atmosферное давление поняется от периферии к центру. Поэтому влизывание тестирования Земли воздействие текущего направления к центру циклона. Все циклоны имеют врашательную составляющую скорости ветра. В Северном полушарии она направлена против часовой стрелки, в Южном — по часовой. В развивающихся циклонах (т. е. таких, у которых давление в центре продолжает падать) наблюдается восходящие потоки. При этом образуется мощная облачность и выпадают осадки.

Посление два свойства циклона очень сильно между собой. В самом деле, выделим мысленно неокоторий объем воздуха и посмотрим, что произойдет при его подъеме. По падая в более разреженные слоны atmosферы, этот объем расширяется, температура воздуха внутри него падает, и содержащийся в нем водяной пар конденсируется.

Направление врашения цикломов в различных полушарях можно объяснить закручивающим действием силы Корилиса (подробнее см. «Квант» № 2, 1975 г.), связанной с суточным врашением Земли. Наломним известный факт, что отклоняющее действие этой силы заставляет реки подмывать свои правые берега. Воздуший поток не удерживает берегом, и поэтому при своем движении к центру он будет отклоняться вправо, если смотреть в сторону центра, т. е. против часовой стрелки при взгляде сверху.

Заметим, что возле самого экватора в полосе широт ≤5° по обе стороны мощные выходи не образуются. Этот факт хорошо вяжется с приведенным обязыванием, поскольку на экваторе горизонтальная составляющая силы Корилиса равна нулю.

В выходной системе антициклона все наборот: давление возраствает, достигаем максимума в центре выходи. В развивающихся антициклоне присутствуют низходящие потоки. Опу-

Рис. 1. Стрелками указаны направления ветров в циклоне.

Рис. 2.

скаясь, газ нагревается и удаляется от состояния насыщения водыным паром. Поэтому для антициклона характеристи ясная малооблачная погода. Anttiиклоны врашаются по часовой стрелке в Северном полушарии и против часовой стрелки в Южном. Направление врашения антициклона обязывается также закручивающим действием силы Корилиса.

17

В зависимости от места зарождения циклоны делят на тропические и внетропические.

Рисунки 2 и 3 представляют вид сверху, соответственно, внетропического и тропического циклонов. Внетропический циклон (называемый иногда просто циклоном) — это самый крупный атмосферный вихрь, достигающий нескольких тысяч километров в поперечине. Высота его коллебляется между 2—4 и 15—20 км. Скорость ветра в нем в большине служев не превыходит 40—70 км/час.

Поперечный размер тропического циклона (называемого также ураганом, тропическим ураганом, тайфуном и пр.) значительно меньше — всего несколько сот километров, высота его — до 12—15 км. Давление в ураганах падает намного ниже, чем во внетропическом циклоне. При этом скорость ветра достигает 400—600 км/час.

Самые большие скорости ветра в урагане наблюдаются вокруг так называемого «глаза бури» — зоны покоя в центральной части урагана. Черное пятно правильно формы на рисунке 3 — это и есть глаза бури. Выразительное описание глаза урагана дает оченьедц, пропелевший через тайфун на самолете meteослужбы — французский журналист П. А. Молэн, автор книги «Охотники за тайфунами».

«Мы летим на высоте 3 км в колодце диаметром 22 км, в котором плавает несколько перистых облаков, мирных, как игрушки. Степы этого колодца представляют недвижимая бури, удерживаемая тинстенной причины. Она направлена к верхушке стены, выходу из этого колодца в 15 км над нами. И перед нашим удивлением взором развертиются эти кипящие стены, эта гигантская бездна, это крупное ответение, которое и заставило назвать все явление «глазом тайфуна»».

Заметим, что внетропические циклоны «глазом» не обладают.

Еще четец зона покоя (полость) у мелкомасштабных вихрей — смерчей (торнадо, тромбов) (рис. 4). Размеры их очень малы: ширина — от нескольких метров до 2—3 км, в среднем 200—400 м, высота от нескольких десятков до 1500—2000 м, в среднем несколько сот метров. Скорость ветра в смерче иногда превышает звуковую (1200 км/час!).

В сердцевине смерча давление падает очень низко, поэтому смерчи

18

Рис. 5.

Рис. 6.

«всасывают» в себя различные, иногда очень тяжельые предметы, которые переносят затем на большие расстояния. Люди, оказывается в центре смерца, погибали. Поэтому нет наблюданий его полости изнутри. Но ее видели сизу, когда смерч проходил над головой наблюдаателя. Рисунок 5 представляет собой фотографию внутри полости смерца, снятую сизу.

Рис. 7.

По рассказам оченьидцев полость смерча похожа на внутренность черного пустого цилиндра, освещенного изнутри блеском молний, просакивающих между стенами. В некоторых случаях наблюдаемый молний не видели.

Однажды нижний край смерча прошел над головой наблюдаателя на высоте 6 м. Ширина внутренней полости этого смерча была около 130 м, тогда как толщина стенки — всего 3 м. В середине полости находится яркое, светящееся голубым светом произрачное облака. Немного позже, когда смерч уже прошел над наблюдаателем, конец его спустился к земле, коснулся соседнего дома и в одно мгновение унес его. Дом распался в воздухе.

So стороны смерч напоминает столб (рис. 6), воронку (рис. 7) или хобот (рис. 4), свешивающийся из основания мощного грозового облака. Может образовать сразу группа смерчей (рис. 8). Интересна зарисовка смерча с двумя воронками (рис. 9). В черной туче скрыта горизонтальная часть смерча — выходное образование, врашающее вокруг оси, вытянутой паралельно поверхности Земли. Эту часть смерча видел летчик, пролетавший на высоте около 300 м. По его словам, она напоминала огром-

21

Попробуем схематично описать «встречу» двух вихрей. У каждого одиночного вихря областить интенсивного врашення отделена от неподвижной зоны так называемой periферическая область, в которой скорость постепенно спадает до нуля. Представим себе, что два урагана оказались на таком расстоянии, что центр каждого их них попал в periферическую область другого. Пусть, для определения ураганы врашаются против часовой стрелки. Каждый из них приведет в движение центр своего «собрата» таким образом, чтобы тот врашался относительно него против часовой стрелки. Как легко видеть, это приведет к врашению центров обихх ураганов также против часовой стрелки относительно некоторых расположений на отрезке прямой, соединяющей центры ураганов, близке к более мощному вихрю. В нижних слоях атмосферы воздействуют питаекет к центру урагана, тогда как наверху оттекает от центра. В зависимости от интенсивности этих процессов у данной конкретной пары ураганов они могут слияться, если преобладает «всасывание», или отступать друг от друга, если сильнее проявят себя оттекающие потоки в верхних слоях.

При этом ураганы все время продолжают влиять друг на друга. По выражению американского физика К. Орра, движение их напоминает поведение боксов на ринге, выждающих момент для нанесения решающего удара.

Аналогичная схема позволяет расматривать встречу антициклов и пары циклон—антициклон. Кроме того, ее можно распространить на случай, когда вихрь попадает в мощное воздействовать с ним.

Развитие вихря определяют многие факторы, и сделать заранее какие-либо предположения о результате «встречи» двух вихрей практических невозможно.

Путь уже развившегося урагана иногда оказывается очень длинным, и, проходя его, вихрь испытывает различных превращения. При выходе из тропиков ураган принимает форму сильно внутреннего циклона.

Штормовые циклоны Западной Европы часто оказываются бышими тропическими ураганами, которые прошли вдоль берегов Северной Америки и пересекли Атлантику. Некоторые из них, пройдя по Европе, уходят затем в Азию.

Когда ураган выходит на сущу, то из-за «шероховатости» земной поверхности его нижние слоны начинают разрушаться. Кроме того, проходя над сущей, ураган слабее из-за недостатка «питания» — влаги. Но если ураган оказывается наadjacent to верхняя часть может «раскрутить механизм» с прежней силой.

Обрушиваясь на густонаселенные районы сущи, ураган уносит тысячи человекческих жизни и причинает огромный материалный щербб. Энергия его громадна: за один день больший ураган «расходует» энергию, равную энергии взрыва 13 000 мегатонных ядерных бомб; кинетическая энергия среднего урагана равна запасу энергии 1000 атомных бомб.

Деятельность ураганов меняет рельеф земной поверхности: исчезают кораловые острова, «передвигаются» берега океана, появляются новые profiles и т.п.

Прогнозы перемещений циклонов и антициклонов за последние два десятилетия стали намного надежнее благодарялись использованию ЭВМ и информации, доставляемой спутниками, радиолокатрами и самолетами. На помощь служебного приходят новые совершенные аппараты и приборы. Служба эта ведется постоянно.

22

Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называют график уравнения второй степени с двумя неизвестными

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

(1)

где $A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R}$. Обозначим многочлен в левой части уравнения (1) через $f(x, y)$. Тогда точка $M(x_0; y_0)$ принадлежит графику уравнения (1), если $f(x_0, y_0) = 0$ (см. «Алгебра 6», п. 54).

Ссновная наша задача — научиться определять вид этого графика по коэффициентам $A, B, C, D, E, F$.

Будем считать, что $A, B, C$ не обращаются одновременно в нуль (если $A = B = C = 0$, то получается кривая первого порядка — график линейного уравнения $Dx + Ey + F = 0$).

Мы изберем следующий план: сначала изучим несколько простых частных случаев — когда неокоторые коэффициенты уравнения (1) обращаются в нуль, а потом научимся параллельными переносами и поворотами получать график уравнения (1) из этих частных случаев.

Частные случаи

Случай эти таковы (все коэффициенты при вычисляемых членах, кроме быть может, $F$, отличны от нуля):

$$Ax^2 + Ey = 0,$$

(2a)

$$Cy^2 + Dx = 0,$$

(26)

$$Ax^2 + Cy^2 + F = 0,$$

(3)

Графиком уравнения (5a) является парабола (см. «Алгебра 6», п. 24 и статьи И. Н. Бронштейна «Парабола» в «Кванте», 1975, № 4). Легко понять, что уравнение (56) тоже определяет парабoly — она получается при отражении параболы $y = -\frac{C}{D}x^2$ относительно биссертисы первого координатного угла (см. рис. 1).

Окражность, эллипс, гипербола, начало координат, пара прямых или пустое множество. Все это может быть графиком уравнения (3).

Действительно, если $A = C$ ($\neq 0$), то уравнение (3) можно переписать в виде

$$x^2 + y^2 = \frac{-F}{A}.$$

(6a)

Если $-F/A > 0$, то уравнение (6a) задает окружность радиуса $\sqrt{-F/A}$ (рис. 2). Если $-F/A = 0$, то уравнение (6a) удовлетворяет лишь пара $x = 0, y = 0$, и графиком уравляется начало координат. Если же $-F/A < 0$, то уравнение (6a) решений не имеет, его график — пустое множество.

Пусть теперь $A \neq C$. Тогда если $A$ и $C$ одного знака (то есть $C/A > 0$), то график уравнения (3), которой можно переписать в виде

$$x^2 + \frac{C}{A}y^2 = \frac{-F}{A},$$

(66)

является эллипс, если $-F/A > 0$ (см. рис. 3 и статьи И. Н. Бронштейна «Эллипс» в «Кванте», 1975, № 1), начало координат, если $-F/A = 0$, и пустое множество, если $-F/A < 0$.

23

Рис. 1.

Если же $A$ и $C$ разных знаков (то есть если $C/A < 0$), то уравнение (66) при $F \neq 0$ определяет гиперболу (см. статью И. Н. Бронштейна «Гипербола» в «Кванте», 1975, № 3), а при $F=0$ — пару прямых (рис. 4)

$$x + \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0,$$
$$x - \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0$$

(см. «Алгебра 6», п. 21; эти уравнения легко привести к виду $y=kx$).

Прямы и ли пустое множество. В уравнениях (4а) и (46) надо рассмотреть три случая: $F=0, F/A > 0$ (или $F/C > 0$) и $F/A < 0$ (или $F/C < 0$).

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Если $F=0$, то (4а) превращается в уравнение $x=0$, график которого — ось $Oy$, а (46) дает $y=0$ — это ось $Ox$.

Если числа $F$ и $A$ (или $F$ и $C$) разных знаков, то уравнения (4) дает каждое пару прямых, параллельных оси $Oy$:

$$x = \pm \sqrt{\frac{-F}{A}}$$

или оси $Ox$

$$y = \pm \sqrt{\frac{-F}{C}}.$$

Если же числа $F$ и $A$ (или $F$ и $C$) одного знака, то график уравнения (4а) (и (46)) — пустое множество.

24

Переменения

Это — преобразования, которые передают фигуру в конгруэнтную ей фигуру. Стало быть, прямая в результате переменения остатся прямой, парабола — параболой, гипербола — гиперболой. А вот уравнения этих линей изменяется (но по-прежнему будет уравнениями второй степени), и этим можно воспользоваться для упрощения уравнения — скажем, подобрать перенос, после которого в уравнения исчезнет член $Dx$, или поворот, аннулирующий $Bxy$. Переносами и поворотами мы и ограничимся.

Параллельный перенос. Пусть при параллельном переносе $\vec{r}(a; b)$ точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(u; v)$. тогда $x+a=u, y+b=v$ (рис. 5), поэтому

$$x = u - a,$$
$$y = v - b.$$

Если координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению $f(x, y)=0$, то координаты точки $M'(u; v)$ удовлетворяют уравнению

$$g(u, v) = f(u - a, v - b) = 0,$$

то есть при перенос $\vec{r}(a; b)$ график уравнения $f(x, y)=0$ отображается в график уравнения (в переменных $x, y$)

$$g(x, y) = f(x - a, y - b) = 0.$$

Обратный перенос $\vec{r}'(-a; -b)$ отображает график уравнения $g(x, y)=0$ в график уравнения $f(x, y)=0$.

В учебнике «Алгебра и начала анализ 10» (п. 9*) доказывается, что при переносе $\vec{r}(a; b)$ график функции $y=f(x)$ отображается в график функции $y=f(x-a)+b$. Этот факт легко получается из доказанного нами свойства переносов (при этом выясняется, почему $a$ входит в последнюю формулу со знаком «минус», а $b$ — со знаком «плюс»). График функции $y=f(x)$ совпадает с графиком уравнения $g(x, y) = y-f(x) = 0$.

При перенос $\vec{r}(a; b)$ из графика уравнения $g(x, y)=0$ получается график уравнения $g(x-a, y-b)=0$, то есть уравнения $(y-b)-f(x-a)=0$, или функция $y = f(x-a)+b$.

Повороты. Рассмотрим поворот с центром $O(0; 0)$ на угол $\beta$ в положительном направлении (против часовой стрелки). При таком повороте $R_0^\beta$ точка $M(x; y)$ отображается в точку $M'(u; v)$. Попробуем связать $u, v$ и $x, y$. Пусть $|OM|=r$ и точка $M(x; y)$ получается из точки $K(r; 0)$ на оси $Ox$ поворот на угол $\alpha$ (рис. 6). Тогда (см. «Алгебра и начала анализ 9», §.14, п. 70, 71) $x=r\cos \alpha, y=r\sin \alpha$. Но точка $M'(u; v)$ получается из точки $K(r; 0)$ поворот на угол $\alpha+\beta$, поэтому $u=r\cos (\alpha+\beta), v=r\sin (\alpha+\beta)$. Посокльку

$$\cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta,$$
$$\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$$

25

мы получаем:

$$u = r \cos(\alpha + \beta) = x \cos \beta - y \sin \beta,$$
$$v = r \sin(\alpha + \beta) = x \sin \beta + y \cos \beta.$$

При обратном повороте $R_0^{-\beta}$ точка $M'(u; v)$ отображается в точку $M(x; y)$, поэтому
$$x = u \cos(-\beta) - v \sin(-\beta) = u \cos \beta + v \sin \beta,$$
$$y = u \sin(-\beta) + v \cos(-\beta) = -u \sin \beta + v \cos \beta.$$

Если координаты точки $M(x; y)$ удовлетворяют уравнению $f(x, y)=0$, то координаты точки $M'(u; v)$ должны удовлетворять уравнению

$$g(u, v) = f(u \cos \beta + v \sin \beta, -u \sin \beta + v \cos \beta) = 0,$$

то есть при повороте $R_0^{\beta}$ график уравнения $f(x, y)=0$ отображается в график уравнения (в переменных $x, y$)

$$g(x, y) = f(x \cos \beta + y \sin \beta, -x \sin \beta + y \cos \beta) = 0.$$

Упрощение уравнения $f(x, y)=0$

Вернемся к общему уравнению (1) кривой второго порядка

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Попробуем поворотом изображения от члена $Bxy$. Подставляя в уравнение $f(x, y)=0$ выражения $x, y$ через $u, v$ (формулы (8)), мы получим некоторое уравнение $g(u, v)=0$ второй степени. Выписываем члены, содержащие лишь $uv$, найдем $B'$ — новое значение коэффициента при произведении $uv$:

$$B' = (A - C) 2\sin \beta \cos \beta + B (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta).$$

Приравняем его к нулю:

$$(A - C) \sin 2\beta + B \cos 2\beta = 0$$

и найдем $\beta$:

$$\mathrm{tg} 2\beta = \frac{B}{C - A}$$

$$\cos 2\beta = 0 (\beta = 45^\circ)$$ при $A = C$.

Итак, поворотом всегда можно изображения (1) к виду

$$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

При мер. Пусть дано уравнение

$$7x^2 + 6\sqrt{3}xy + 13y^2 + 4(\sqrt{3} - 8)x - 4(8\sqrt{3} + 1)y + 4 = 0.$$

Здесь $A = 7, B = 6\sqrt{3}, C = 13$, поэтому $tg 2\beta = \sqrt{3}, \beta = 30^\circ$. Подставляя (по формулам (8)) в уравнение (10)

$$x = \frac{\sqrt{3}}{2} u + \frac{1}{2} v,$$

$$y = -\frac{1}{2} u + \frac{\sqrt{3}}{2} v,$$

получаем (проверьте!) уравнение

$$4u^2 + 16v^2 + 8u - 64v + 4 = 0.$$

Значит, график уравнения (10) получается из графика уравнения

$$4x^2 + 16y^2 + 8x - 64y + 4 = 0$$

поворотом $R_0^{-30^\circ}$.

Теперь воспользуемся переносами и попробуем свести уравнение (9) к еще более простому — без членов $Dx$ и $Ey$. При переносе $r(a; b)$ график уравнения $f(x, y)=0$ переходит в график уравнения $g(x, y)=0$, где $g(x, y)=f(x-a, y-b)$, то есть уравнение (9) переходит в такое:

$$A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + D(x-a) + E(y-b) + F = 0.$$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$$Ax^2 + Cy^2 + (D - 2aA)x + (E - 2bC)y + Aa^2 + Cb^2 - aD - bE + F = 0.$$

Приравняем к нулю коэффициенты при $x, y$, приходим к уравнении относительно $a$ и $b$:

$$D - 2aA = 0, E - 2bC = 0,$$

откуда $a = \frac{D}{2A}$ (при $A \neq 0$), $b = \frac{E}{2C}$ (при $C \neq 0$).

При мер (продолжение). В уравнении (11) $A = 4, C = 16, D = 8, E = -64, F = 4$, поэтому $a = 1, b = -2$, и перенос $r(1; -2)$ переходит график уравнения (11) в график уравнения

$$4x^2 + 16y^2 - 64 = 0,$$

или

$$x^2 + 4y^2 - 16 = 0.$$

А это — уравнение вида (3), оно задает эллипс

$$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1.$$

26

Позотому график уравнения (10) является эллипсом и получается из найденного нами эллипса переносом $\vec{r}(-1; 2)$ и затем поворотом $R_0^{-30^\circ}$.

Итак, если $A \neq 0$ и $B \neq 0$, то можно избавиться от членов $Dx$ и $Ey$. Если же $A=0$ (или $C=0$), то член $Dx$ (или $Ey$) остается, но тогда если $D \neq 0$ (или $E \neq 0$), то можно аннулировать $F$ переносом $\vec{r}\left(\frac{F}{D}; 0\right)$ (или $\vec{r}\left(0; \frac{F}{E}\right)$).

Таким образом, мы научились свойства уравнения $f(x, y)=0$ второй степени к одному из следующих видов:

| вид уравнения (9) | результат переноса |
| :— | :— |
| $A \neq 0, B \neq 0$ | $Ax^2 + By^2 + F = 0$ |
| $A \neq 0, B=0, E \neq 0$ | $Ax^2 + Ey = 0$ |
| $A \neq 0, B=0, E=0$ | $Ax^2 + F = 0$ |
| $A=0, B \neq 0, D \neq 0$ | $By^2 + Dx = 0$ |
| $A=0, B \neq 0, D=0$ | $By^2 + F = 0$ |

А все написанные справа уравнения нами разобраны — это и есть частиные случаи уравнения (1) (формулы (2) — (4)). Таким образом, мы решили поставленную задачу.

Заметим еще, что уравнение (26) можно привести к виду (2a), а уравнение (46) — к виду (4a). Для этого надо произвести поворот $R_0^{90^\circ}$, при котором график уравнения $f(x, y)=0$ отображается в график уравнения $f(y, -x)=0$. Попробуйте это доказать, а также решить следующие задачи.

Уражения

Построить графики следующих уравнений:

1. $5x^2 + 8xy + 5y^2 - 18x - 18y + 9 = 0$;
2. $4x^2 - 4xy + y^2 - 16x + 6y + 22 = 0$;
3. $x^2 - 4xy + y^2 + 4\sqrt{2}x -$
   $-2\sqrt{2}y + 11 = 0$.

Задания «Последние цифры»

1. Пусть число $a$ не делится ни на 2, ни на 5.
   Доказать, что при возвлении числа $A=a^{5 \cdot 10^{n-2}}$ в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменятся ($n \geq 4, a \in \mathbb{N}$).
2. Пусть число $b$ не делится на 2, но делится на 5.
   a) Доказать, что при возвлении числа $B=b^{2^{n-1}}$ ($n \in \mathbb{N}$) в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменятся.

6. Пусть $r, q, n \in \mathbb{N}$, $r \geq n$. Доказать, что последнее $n$ цифр выражения $b^{2^{n-1}q+r}$ и $b^r$ соответственно равны.

3. Пусть число $c$ делится на 2, но не делится на 5.
   a) Доказать, что при возвлении числа $C=c^{4 \cdot 5^{n-1}}$ в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменяется.

6. Пусть $r, q, n \in \mathbb{N}$, $r \geq n$. Доказать, что последнее $n$ цифр выражения $c^{4 \cdot 5^{n-1}q+r}$ и $b^r$ соответственно равны.

4. Пусть $m \in \mathbb{N}$. Доказать, что при возвлении числа $M=m^{10^{n+1}}$ в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменяется.

5. Найдите три последние цифры выражения $3^{105}+4^{105}$.

6. Докажите, что разность $3^{999}-2^{999}$ оказалась цифрами 1979.

7. Докажите, что если выражение
   $$11^{10^8} - 6^{5^3}$$
   возвесится в любую натуральную степень, то более 200 000 его последних цифр не изменятся.

8. Докажите, что при любом натуральном $n$ разность
   $$n^{n^n}-n^{n^n}$$
   делится на стое.

9. Найдите семь последних цифras
   $$9999^{999}999$$

10. В книге М. Гарднера «Математические новеллы» (М., «Мир», 1974) на странице 349 приведены 3376 цифр двацать третьего числа Мерсена $2^{11213}-1$, отпечатанного ЭВМ Университета шита Илинойс. Последние его десять цифр таковы: 7696398191. «Математические факультет университета был так горд открытым 23-го числа Мерсена, что ставил на конвертах специализый штемпель, известной об этом событии», —сказано в книге. Однако четвертая от конца цифра выдана неверно. Доказать, что это число должно быться цифрами 2191, а не 8191.

Причем свазанны с автоматными числами (см. «Квант», 1971, № 10, с. 39; 1973, № 1, с. 33 и 1973, № 7, с. 55).

М. Штеребер

27

3. Тымеладзе

Теория игр

Верда или Калимна?

Еще никака за все сто гартов Великой Войны при штабе сиреневых не совещались так долго. Пары окиси молибдена клубились над групной генералов, охесточенно споривших у доски со следующей таблицей:

ПОТЕРИ АРОКЕРОВ
СТРАТЕГИЯ ФИОЛЕТОВЫХ НАША СТРАТЕГИЯ
АТАКА НА КАЛИМНУ
ОБСТРЕЛ ВЕРДЫ
ЗАЩИТА ВЕРДЫ
6
3
ЗАЩИТА КАЛИМНЫ
1
5

Генералиссимус Дор покосился на табличку «Здесь молибден не описляют», но не стал взрывать к ней, а лишь молча кивнул Мотсу, представляя ему слово.

— У филотовых может быть только два плана: или звездолетаная атака на Калимну, или обстрел… — генерал Мотс заказаллся («угробит его в конце концов это присутствие к молибдену», — подумал Дор, но Мотс уже продолжал) — … или обстрел Верды. По моему мнению, мы должны все силы бросить на оборону Верды. Тогда, если противник атакует ее, мы потеряем лишь три боевых джокера.

— А если филотовые сунутся на Калимну? — нетерпelinво вместе Луд. — Тогда не сдобровать шести нашим джокерами.

Он самодовольно забросил в себя очередную порцию молибдена и продолжал:

— Калимна — вот наша главная опора. Все силы на ее защиту! Тогда атака на Калимну принесет филотовым в добьучу всего один джокер.

28

— А Верда? — подавился возмущением Мотс. — Мы потеряем там пять докеров!

— Потище, генералы, — беспеременно перевал их Дор. — Попробуем разобраться. Наша задача — потерять как можно меньше докеров, — Дор еще раз посмотрел на таблицу с вариантами, — но все зависит от того, какой план изберет противник. А что говорит разведка?

Нахит неохотно ответил:

— У нас пока еще нет точных данных. Но, надо думать, противник тоже коллебляется. Иначе говоря, мы можем считать, что веряностъ принятия противником каждой плана равна $1/2$. Не беспокоятесь, господа, я так же, как и вы, не знаком с теорией веряностой. Из всей этой мудреной науки я знаю лишь, что веряностъ $1/2$ означает один шанс из двух, да еще правило для исчисления ожидаемых потерь. К примеру, если веряностъ наладения на Калимну составляет $1/2$, а наш потери в результате такого наладения будет равны шести докерам, то ожидаемые потери в Калимне составят $6 \times \frac{1}{2} = 3$. А если бы, скажем, веряностъ наладения составляла $1/3$, то это означает бы ожидаемые потери $6 \times \frac{1}{3} = 2$.

Это достаточно, чтобы подсчитать ожидаемые потери в каждой из двух наших возможных планов:

| СТРА-ТЕГИЯ | ОЖИДАЕМЫЕ ПОТЕРИ АРОКЕРОВ |
| :— | :— |
| в Калимне | в Верде | Итого |
| ЗАЩИТА ВЕРДЫ | $6 \times \frac{1}{2} = 3$ | $3 \times \frac{1}{2} = 1.5$ | $3 \times \frac{1}{2} = 1.5$ |
| ЗАЩИТА КАЛИМНЫ | $1 \times \frac{1}{2} = 1.5$ | $5 \times \frac{1}{2} = 2.5$ | $5 \times \frac{1}{2} = 2.5$ |

Вы видите, что при зашите Калимны мы потеряем на целых полтора докера меньше.

— Недурная осведомленность для начального разведки, — сызывил Луд, снова закладывая в себя молибden.

— А почему вы решили, что веряностъ наладений на Верду и Калимну равны? Мне так не кажется. По-моеу, фиолетовые скорее всего ринутся на Верду. Ведь они уже один раз ее брали. И если они атакуют Калимну в одном случае из четырех, то есть с веряностью $1/4$, а Верду — с веряностью $3/4$, то ваш расчет совсем к другому выводу:

Разве не ясно, что нам выгоднее защищать Верду?

— Личное мне не ясно, — возразил Дор. — Эти расчеты были оправданы, если бы можно было как-то обосновать оценки шансов наладения на Верду и Калимну. Но пока это один договора. А строить рассуждения на договора — это вредная привычка, вроде описания молибдена. И нам пора от нее избавляться.

Генералы скучно переглянулись—Дор один среди их пребегреgal молибдом.

— Нельзя ли принять правильный план, не делая заранее предположений о шансах принятии противником того или иного плана? Что думате вы, Рол, как ведущий военный теоретическ?

— Я читал в «Межпланетном вестике», что где-то на далекой планете построили теорию, позволяющую это сделать. Давайте предположим, что нам нужно использовать не один план, а оба, с неизвестными пока веряностями $p_1$ и $p_2$. Если, скажем, $p_1 = 0,2$, а $p_2 = 0,8$, то в двух случаях из десяти нужно защищать Верду, а восьми — Калимну. Иначе говоря, давайте ответим на неопределенность службыности.

— Мы не можем ставить судьбы сависимость от службы-

29

ности, — просипел Мотс. — Ведь речь идет … кхе-кхе… не о результате матча в брастул, а о судьбе государства, и…

— Продолжайте, Рол. Мне кажется, в ваших словах есть нечто интересное, — вместе рассудительный Дор.

— Теперь нам нужно найти эти вероятности $p_1$ и $p_2$. Разумеется, сумма их должны быть равна единице — ведь какое-то решение нам так или иначе придется принять:

$$p_1 + p_2 = 1.$$

(1)

— Интересно, как это вам удалось найти два неизвестных из одного уровня, — не успокаивался Луд.

— Давайте теперь потребуем, чтобы в любом случае среднее число потерянных докеров не превысило величины $v$, пока еще неизвестной, — продолжал Рол.

— Третье неизвестное! — с возможением заменил Луд, но Рол увлеченно продолжал, не обращая внимание ни на Луд, ни на других генеральов.

— Допустим, что филотовые направления на Калимну. Если бы мы приняли план защиты Верды, то потерялы бы брокеров, но поскольку мы защищаем Верду лишь с вероятностью $p_1$, то и потеряем на этом $6p_1$ докеров. С вероятностью $p_2$ мы защищаем Калимну, и это приведет к потере $1 \times p_2 = p_2$ докеров. Итого в результате направления противника на Калимну мы потеряем $6p_1 + p_2$ докеров. Чтобы не превысили величины $v$, должно выполнять неравенство:

$$6p_1 + p_2 \leq v.$$

(2)

— Но противник может напасть и на Верду, — напомнил Нахит.

— Да, и это дает нам еще такое неравенство:

$$3p_1 + 5p_2 \leq v.$$

(3)

Мне, как, найдесь, и вам всем, хотите бы чтобы величина $v$ была помещше. Однако она все же будет положительной: $v > 0$, — поскольку какое-то количество докеров нам придется потерять. Обозначим $x_1 = p_1/v$, $x_2 = p_2/v$, $L = 1/v$. Тогда неравенства (2) и (3), условия неотрицательности $p_1$ и $p_2$ и уравне-

напишутся так:

$$\begin{cases} 6x_1 + x_2 \leq 1, \\ 3x_1 + 5x_2 \leq 1, \\ x_1 \geq 0, \\ x_2 \geq 0, \\ L(x_1, x_2) = x_1 + x_2. \end{cases}$$

(4)

Нас интересует наименьшее значение $v$, поэтому $L$ должно быть наиболее низким. Задача отыскания из системы (4) $x_1$ и $x_2$, при которых функция $L(x_1, x_2)$ принимает наиболее низкое значение, называется життями той далекой планеты задачей линейного прораммирования *). При двух неизвестных $x_1$ и $x_2$ эту задачу можно решать графически. Каждый из неравенств системы (4) задает на координатной плоскости $x_1Ox_2$ полуплоскость, пересечение этих полуплоскостей образует четырехугольник (см. рис. 1), а уравнение $L = x_1 + x_2$ задает прямую, пересекающую оси координат в точках $x_1 = L$ и $x_2 = L$. При разных $L$ получаются параллельные прямые. Наибольшее $L$, при котором прямая $x_1 + x_2 = L$ пересекает четырехугольник (то есть система (4) имеет решение), соответствует точке $A$ (4/27; 1/9) и дает $L = 4/27 + 1/9 = 7/27$, поэтому $v = 27/7 = 3^6/7$, $p_1 = 4/7$, $p_2 = 3/7$. Таким образом, в четырех

*) См., например, статьи 3. Я. Тьмеладе «Физика и линейные неравенства» («Кваант», 1975, № 10), Б. Алейнкова, П. Бузыцкого, М. Дубсона «Симплекс-метод» («Кваант», 1976, № 7).

30

случаях из семи мы должны зашищать Верду, а в трех — Калимну. И наши потери составят в среднем менее четырехров.

— Но заметьте, — вмешался Мотс из-за облачка паров молибдена, — равные мы ожидали меньших потерь — только 3 или $3^3/4$ дрокера.
— Недвижительное, — возразил Нахит. — Ведь нам пришлось что-то заплаать за недостающую информацию.

Но тут не выдержал Луд.

— По-моему, мы и так сликом много траим на разведывательную службу, не получая взамен даже жакlikих крок информации потивнике.

Атмосфера снова начала накаплять, но вместество Дора неало разрастись взаимным упреком.

— Скажите, Рол, а как в этих условиях будет действовать противник? Есть ли у него оптимальная стратегия?

— Да, есть. Противник не знает наших планов, но ему известны последствия нападения на Верду и Калимну — его разведка обычно не подводит; поэтому он со своей стороны должен стать нанести нам наибольший урон. Если обозначить наш урон через $w$, а вероятности нападения противника на Калимну и Верду через $q_1$ и $q_2$, то $q_1 + q_2 = 1$, $6q_1 + 3q_2 \geq w$, $q_1 + 5q_2 \geq w$, $y_1 = q_1/w$, $y_2 = q_2/w$, $M = 1/w$, и противник придет к следующей за-

$$\begin{cases} 6y_1 + 3y_2 \geq 1, \\ y_1 + 5y_2 \geq 1, \\ y_1 \geq 0, \\ y_2 \geq 0, \\ M(y_1, y_2) = y_1 + y_2, \end{cases}$$

причем надо искать наименьшее значение $M$. Когда противнику удался решить эту задачу линейного противников, он получит: $y_1 = 2/27$, $y_2 = 5/27$, $M = 7/27$, откуда $q_1 = 2/7$, $q_2 = 5/7$, $w = 3^6/7$ (рис. 2).

To есть противник для достижения наибольшего уровня наимнимой в двух случаях из семи должны наладать на Верду, а в пяты — на Калимну. И его добиться будет равна тем же $3^6/7$ дрокера. Разумеется, он должен наладать так, чтобы мы не знали определенно, какое наладение предстоит.

— Учитывая работу нашей разведки, — не удержался Луд, — это нетрудно.

— Скажите, Рол, —ointересовался Дор, а что будет, если противник не станет следовать своей наличищей стратегии?

— В «Межпланетном вестнике» пишут, что всякое уклонение от нее может привести лишь к уменьшению успехов.

Рол закончил свою жестом победителья, но у Дора она не имела успеха.

— Я волне согласился бы с вами, Рол, если бы нам предстояло несколько стольконовей с филолетовыми. Но насжет лишь одна битва. Какое решение нам принять?

— Независимо от числа битв мы должны бросать своеобразный жеребий. Если бы оптимальная стратегия имела вид $p_1 = 1/2$, $p_2 = 1/2$, то достаточно было бы бросить монетку, загадывая на куху и кору. Стратегию $p_1 = 4/7$, $p_2 = 3/7$ реализовать несколько труднее. Но можно. Например, так: 4/7 — это примерно 34/60, а 3/7 — это 26/60. Можно взглянуть на часы, и если секундная стрелка будет между 0 и 34 секундами, принять решение оборонять Верду, а если между 34 и 60 — Калимну. Я считают, что так и нужно поступать, даже если битва всего одна.

31

Я не согласен! — возразил Мотс, и по многим причинами. Так стоило бы действовать, если бы нам противостоял разумный противник, равный нам по интеллекту — например, бордовые. Но филотовые принадлежат к низшей категории… кхекxe… их можно рассматривать просто как силы природу. Подумать только! Вместо молибдена эти варвары употребляют всему! Они никогда не допумаются…

Новый приступ кащила сломил Мотса, и он уже не мог продолжать. Срочно вызванный штабной врача занялася пашентом, и совещание пришлось на время перевать.

Первое возвращение на Землю

Участики военного конфликта наделкой планете использвали математическую теорию, хорошо известную у нас на Земле, — теорию церр. Ее применяют в тех случаях, когда нет информации о замыслах противника. Первоначально эта теория развивалась применительно к азартным играм, от чего и получила свое название. Но затем ее приложения стали весьма многообразными — от экономики до военноного дела. Следует отметить, что исходные положения теории церр не бесспорны. И применима она, строго говоря, лишь тогда, когда игра повторяется достаточно много раз. Однако находится стороники ее применения и к однократным решением (в их числе — генерал Рол).

В числе многих интересных проблем теории игры — проблема смешанных стратегий. Нередко информация, имеющаяся в распоряжении того, кто принимает решение, недостаточная. В этих условиях невозможно указыть какую-то одну безусловно лучшую стратегию, и приходится прибегать к использованию смешанной стратегии — с некоторыми верятностями применения нескольких вариантов, как предложил впервые французский математик Эмиль Борель (1871—1956). Воспледствии для отыскания оптимальных смешанных стратегий стали применять линейное программирование.

Смешанные стратегии нуждаются вdamчикке случайных чисел (простейшие варианты таких датчиков — монета, часы с секундной стрелкой; размещется, существуют и более совершенные датчики случайных чисел, реализуемые на ЭВМ). Если смешанная стратегия не будет доставлять датчиком случайных чисел, а будет назначаться, есть опасность, что противник отгадает, какой варнант его ждет, и получит возможность действовать более эффективно. Но против случайной смешанной стратегии у противника только одно средство — использование своей оптимальной смешанной стратегии, также определяемой случайным образом.

Сиреневые не употребляли еще несколько важных терминов теории игры, с которым полезно познакомиться читателю. Так, самая первая таблица, показывающая возможность потери сгенёвых, называется матрицей церры. А величина v — средний урон, который попустит сгенёвые в случае использования им оптимальной смешанной стратегии, называется ценой церры.

Способ расужdenя, которое предложил генерал Нахит, — не зная, что сделает противник, считать все варнаntenы равноверятными — принимает англійскому математнику XVIII века Т. Бейесу.

Как мы уже отмечали, в теории игры нет единого, обоснованного решения действия, что дает простор для творчества. Именено это остояльство и определило дальнейший ход совещания при штабе сгенёвых после вынужденного перерыва, вызванного скверной привчкой генерала Мотса.

Калимна или Верда?

— Ну как, скоро? — торопил Дор врача.

Врач откинул спинной кожух Мотса и показал паяльником на пыльное хитросплетение тронутых ржавчиной транзисторов.

— Боюсь, что…

— Составьте дефектную ведомость, — коротко приказал Дор, — и дайте мне на утверждение.

32

Генералы понимающее мигнули — они знали закон сиреневых: после составления дефектной ведомости большого разбиали на запчасти, если стоимость ремонта превышала стоимость нового индивидума. А здесь, по-видимому, дело шло к этому.

Дор невозмутино продолжал.

— Я должны согласиться с генеральом Мотсом. Рекомендуемая стратегия сликом рациональная. Между тем даже в нашем обществе, которое по своей морали и интеллектуку куда выше общества филологически, не все действуют разумно. Иначе откуда бы развилось это губительное пространство к молибdenу, которое вдвое сокращает жизнь?

— Да будет позволено мнеставить слово, — снова вмешался Нахит. — К чему мы, собственно говоря, стремемся? Мы стремемся потерять как можно меньше докеров. Мы могли бы, разумется, принять превосходное решение, если бы знали в точности, на что решится противник. Но узнать это мы не можем, несмотря на то, что наша разведка прикладывает геронческие услуги.

— Вот именно, — выравлось у Луда.

— Давайте же действовать так, чтобы добиться наименьшего ущерба от возможных ошибок в выборе стратегии. Взглянем еще раз на таблицу. Если бы противник атаковал Калимну и мы зашищали Калимну, то противили бы всего один докер. Это было бы верное решение. А если бы стали зашищать Верdy, то противили бы лиших 6—1=5 докеров. Аналогично при обстреле Верды, зашищая Калимну, мы противили лиших 5—3=2 докера. Это позволяет составить следующую таблицу лиших потерь от неправильных решений:

| Стратегия филологических | Атака на Калимну | Обстрел Верды |
| :— | :— | :— |
| Защита Верды | 5 | ○ |
| Защита Калимны | ○ | 2 |

А теперь остается составить задачу линейного программирования: $5p_1 \leq v$, $2p_2 \leq v$, $p_1+p_2=1$, $z_1=p_1/v$, $z_2=p_2/v$, $K=1/v$, откуда получаем систему

$$\begin{cases} 5z_1 \leq 1, \\ 2z_2 \leq 1, \\ z_1 \geq 0, \\ z_2 \geq 0, \\ K(z_1, z_2) = z_1 + z_2. \end{cases}$$

Наименьшее $v$, то есть наиболее $K$, будет при $z_1=1/5$, $z_2=1/2$, откуда $K=7/10$, $v=10/7$, $p_1=2/7$, $p_2=5/7$. Смотрите-ка, было $p_1=4/7$, $p_2=3/7$, то есть $p_1>p_2$, а теперь наборот: $p_2>p_1$. По этому критерию зашита Верды к менее привлекательна. Вы были правы, генерал Луд.

Тем временем Дор мелком взглянул на дефектную ведомость. Так и есть, больше половины узлов требуют замены, в том числе дорогая система питания. Дешевле собрать на конвейере нового генерала. И он размашисто расписался.

— Так какой жребий вы предлагали, Рол? — спросил Дор, которое подход Нахита понравился больше, чем подход Рола, хотя Нахит решал совсем другую задачу: минимизировать не потери, а последствия ошибки. — Да, вспомним: часы. Прикинем: 2/7 — это 17/60. Всего семнадцать секунд решают судьбу планеты! Дор поднял к фотореле шестое шупальце с часами. Секундная стрелка была вблизи 47 секунд.

— Подготовиться к зашите Калимны! — приказал он. — Совещание объявляю закрытым! Посор филолетовым!

— Позор филолетовым! — эхом отозвалось совещание, и все стали быстро развязаться, унося с собой запах паров молибдена. Большое других торопился штабной врача: ему еще нужно было передать шифровку в штаб филолетовых.

Второе возвращение на Землю

Да, такой исход трудно было предвидеть. Вся стратегия сиреневых стратегics на отсутствии информации у общих противников, в то время как филолетовые теперь будут принять

решение при полной информации. В этом, конечно, нет вины американского математика Л. Севиджа, методом которого воспользовались сгеневые, он ничего не смог бы им помочь, если бы даже захотел: Севидж — специальность по статистике, а не по контразведке. Но в любом случае выбор налучшей стратегии — это очень тяжела задача, допускающая недозначные решения.

Нанлучшая стратегия не всегда существует. Например, ее нет в игре в «Спортлото»: вы можете как уголно назначать номера, и при этом верятность угадывания какого-то количества номеров не изменится. Правда, нужно отметить, что существует возможность влиять на величины выигрыша: для этого нужно использовать такой стратегию, против которой большинство участующего в игре почему-либо предъеденно — ведь выигрыш делится между угадающими. Бывают явные предъедения (например, некоторые уверены, что никака не выиграют первыше шесть номеров подряд), а бывают и неявные (числа кратные пяты, выбираются чаще других).

В развитой сейчас теории игры рассмотрено уже много задач. В некоторых из них выбор приходится делать не из конечного, а из бесконечного числа стратегий. Не все поставленные задачи решены — не решена, например, задача «Приписса и Чудовишце», формирование американским ученым Р. Айзексом.

В абсолютино темном помещении заключаены Приписса, комора может движаться с любой скоростью и в любом направлении, и Чудовишце, скорость которого ограничена. Чудовишце захватывает Приписсу, если рассмотрение между ними становится меньше заданного. Какой должна быть стратегия Приписцы, чтобы она могла максимально оттягнуть позицию (вероятно, до прихода приница)?

Ясно, что если Приписса начинает метаться, сполна использую свою скорость, она сама наткнется на Чудовишце, а если она будет стоять, то планомерный обход Чудовишем всего помещения принесет ему успех (в среднем за время, равное половине времени обхода). Айзекс попадает, что оптимальная стратегия Приписсы должна быть смешанной, но какой — никто не знает. По-видимому, Приписсе следует менять случайным образом скорость и направление.

Особенно трудно вырабатать налучшую стратегию, когда игра ведется не против разумного противника, который стратегия нанести набольший ущерб, а против природы. Стратегию природа нельзя предвидеть по принипу набольшего ущерба — природа беззлобна. Чтобы проникнуть в ее стратегию, нужно знать физические законы, а этим занимается не теория игры, а совсем другие теории…

У разженния

1. На этот раз перевести шкoles по футбольу решили проводить без замен игровок. И перед 7² встала проблема: ставить или не ставить на матч с 7⁶рослою, но не поворотливого Сеню? Если противники договораются поставить в защиту долговязого Колю, то Сеня будет нейтрализован и не забет ни одного года. Но если противники поставят не Колю, а Алика, то Сеня забет верных три года с навесов на штрафную площадку. Можно поставить вместе Сеню юрого Васю — тот еще ни разу не уходил с поля без года, а если его будет опекать не Алика, а Коля, то не миновать и двух голов. Кого же ставить — Сеню или Васю, если их возможность хорошего известны противникам?

2. Решить предыдущую задачу, если выбор приходится делать между Сеней и Петей, который всегда забиваетровно один год.

3. Это же надо! Остается час до начала занятия, а Петя из-за футбола еще не приготовил домашнего задания по алгебре, русскому и физике. Но ведь он общеалютнуться по алгебре и физике на комсомольском собрании! Катастрофическая ситуация, если учесь, что сегодня наверняка будет контрольная или по алгебре, или по физике (ровно одна — как учетеля договора, а учтеля кнему придираются). За час можно подготовить только один предмет. Если вычить алгебру и по ней будет контрольная, то ее удаться напись на четверку, но если при этом контрольная будет по физике, то двойка обеспечена. А если вычить физiku, то контрольная по ней принесет тройку, зато контрольная по алгебре принесет два балла. Наконец, если вычить русский, то двойки будут по любой из контрольных. За что же хвататься?

36

ветствуют участки $AA_1, A_1A_2, \dots$ и $BB_1, B_1B_2, \dots$. Расстоянием в начале волны от зон $AA_1$ и $BB_1$. Точки в этих зонах, отстоящие друг от друга на расстоянии $3/2 d$, направлены, точки $A_1$ и $B$, будем называть соответственно. У всех волн, выходящих из соответствующих точек, расположены будем одинаковой. Из треугольника $A_1BD$ эта разность хода равна

$$|A_1D| = 3/2 d \sin \varphi.$$ (3)

Из соответствии (2) и (3) следует, что $|A_1D| = 3/2 \lambda$, то есть разность хода равна нечетному числу полуволн. Такие волны газят друг друга. Следовательно, все волны от зон $AA_1$ и $BB_1$ при выполнении условия (2) газятся в точке $K$.

Аналогичные расчудения можно проведити для любой пары последующих симметрично расположенных зон и показать, что волны от всех зон газят друг друга и в точке $K$ действительно наблюдается минимум.

Таким же образом можно показать, что второй минимум наблюдается при выполнении условия $d \sin \varphi = 2\lambda$. В этом случае волновой фронт надо разить на зоны шириной $d/4$ и проведити соответствующие расчудения.

Формула (1) позволяет определить длину световой волны:

$$\lambda = \frac{d \sin \varphi}{k}.$$

Однако изменения значительно упрощаются, если используются простейшее изменительное устройство, называемое эриометром. Для изготовления эриометра берут квадратный кусок картона со сторонами 10—15 см и в его середине проводят окружность радиусом $r = 20—30$ мм. В центре окружности прокалывают отверстие диаметром 2—3 мм, а вдоль окружности прокалывают 6—8 отверстием меняющего диаметра.

При изменениях эриометра $A$ (см. рис. 1, а) устанавливают непосредственно перед лампочкой накаливания. Отойдя от эриометра на расстояние 1—2 м, находят такое положение, при котором через отверстие $O$ в глаз наблюдаются попадают лучи, induce непосредственно от одного из участков раскаленной нити. Затем перед глазом помещают поток проводки и добавляют хорошего видения внешов, перемещая поток в направлении, перепедикулярном лучам. Изменя расстояние между эриометром и глазом, находят положение, при котором окружность эриометра с отверстиями совпадает с серединой темного колыца с номером $k$ (на рисунке 1 изображен случай, когда $k=2$).

Как видно из рисунка 1, тангенс угла дифракции $\varphi$ для темного колыца подсчитывается по формуле $tg \varphi = r/l$, где $r$ — радиус окружности эриометра, $l$ — расстояние от эриометра до потока проводки. При малых углах дифракции, с которых приходит именно дело до при таких изменениях, справедливо соотношение

$$\sin \varphi = tg \varphi = \frac{r}{l}.$$

Подставляя значение sin $\varphi$ в выражение (1), получаем формулу для определения длины волны:

$$\lambda = \frac{dr}{kl}.$$ (4)

Радиус окружности эриометра $r$ нам заранее известен. Расстояние $l$ легко изменить. Номер темного колыца $k$ определяется при наблюдании внешов. Диаметр проводки $d$, если он не известен, изменяют микрометром.

Если изменения производят в белом свете, то по формуле (4) находят эфективную длину световой волны, к которой наиболеечевителен наш глаз. Она приблизительно равна 0,56 мкм. Световые волны также соответствуют зеленой части спектра.

Венцы могут возникать и при дифракции света на круглых прередах. Наблюдаются их можно следующим образом. Насыпьте на стеклянную пластинку небольшое количество ликопodia (ликоподий — порошок из спор плауна, его можно купить в аптеке). Легким поступиванием торца пластинны о стол удалите излишек порошка. Если через такой пластинку посмотреть на точечный источник света, то вы видите венцы. Роль круглых пререда в этом опите играют споры сферического формы. Особенно яркие

37

венцы возникают при рассматривании капли крови, скатой между двумя стекляными пластинами. В этом случае венцы возникают при дифракции на эритроцитах — красных кровяных телых.

Венцы, возникающие от круглых и прямугольных преград, несколько отличются друг от друга. Условие минимумов для венцов от прямугольных преград выражается соответствием (1). Для венцов от круглых преяктствий оно имеет вид:

$$d \sin \varphi = 1, 22\lambda; \ 2, 23\lambda; \ \dots$$

Здесь $d$ — диаметр круглого экрана. Применя эриометр, по формуле (5) можно определить средний диаметр спор плана и эритроцитов без микроскопа!

В природа венцы наблюдаются вокруг Солнца, Луньи и даже планет. Они возникают при прохождения света через облака, состоящее из каралек воды (круглые преграды) или ледяных кристалков — признак (примугольные преграды). Хорошо видимые венцы получаются лишь в том случае, когда в облаке преобладают капельки одинакового диаметра или кристалки одинаковой толщины. Иногда венцы наблюдаются при прохождения света от удаленного фона через слой тумана или оконное стекло, покрыто морозными узорами.

У права нения

1. По известной эфективной длине волны ($\lambda = 0, 56$ мкм) найдите с помощью эриометра диаметр элементов нитей, из которых изготовливают капроновые чулки и ленты.

2. Как по виду венцов определить, состоит ли облако из водяных капелек или кристалков льда?

3. Углесвой диаметр Луньи равен 32′. Оцените диаметр капелек в облаке, если углевой радиус центрального круга в венциях в четыре раза больше углового диаметра Луньи.

Задачи наших читательей

1. Дан треугольник $ABC$ площади $S$, в котором $|AB| = c, |BC| = a, |CA| = b$, $p$ — полуперimetр, $p_a = p - a, p_b = p - b, p_c = p - c; r_a, r_b, r_c$ — радиусы внешних окружностей, касающийся соответственно $BC, CA, AB; R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус описанной окружности,

Доказать, что

a) $$\frac{p_a}{\cos \frac{\hat{A}}{2} \sin \frac{\hat{B}}{2} \sin \frac{\hat{C}}{2}} =$$

$$\frac{p_b}{\cos \frac{\hat{B}}{2} \sin \frac{\hat{C}}{2} \sin \frac{\hat{A}}{2}} =$$

$$\frac{p_c}{\cos \frac{\hat{C}}{2} \sin \frac{\hat{A}}{2} \sin \frac{\hat{B}}{2}} = 4 R;$$

b) $$r_a \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} =$$

$$r_b \mathrm{tg} \frac{\hat{C}}{2} \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} = r_c \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} \times \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} = r;$$

c) $$S = r_a^2 \mathrm{ctg} \frac{\hat{A}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} = r_b^2 \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{A}}{2} = r_c^2 \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2};$$

d) $$S = p_a^2 \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} = p_b^2 \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{A}}{2} = p_c^2 \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2};$$

e) $$\frac{\mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2}}{r_a^2} + \frac{\mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2}}{r_b^2} +$$

$$\frac{1}{S};$$

ж) $$\frac{1}{p_a p_b} + \frac{1}{p_b p_c} +$$

$$+\frac{1}{p_c p_a} = \frac{1}{r^2}.$$

Y. Алла (г. Выру)

2. В системе

$$\begin{cases} 2 \cdot \text{он} = \text{тук}, \\ 7 \cdot \text{трон} = \text{туктук} \end{cases}$$

разным буквам соответствуют разные, отличные от нуля цифры. Определить, какое четырехзначное число соответствует слову «трон».

M. Штеребере (г. Саратов)

3. Доказать, что при любом натуральном $t$ значение многочлена $36 t^4 + 48 t^3 + 40 t^2 + 16 t + 5$ является составным числом.

G. Шаехов (дер. Н. Табын Тат. АССР)

38

В. Рабинович

Аффинные задачи и теоремы

Можно ли задачу о параллелограмме решать для квадрата? Достаточно ли теорему о треугольниках доказать для равносторонних треугольников? Оказывается, иногда можно, иногда достаточно. О таких задачах и теоремах расссказывается в данной стате.

1. Параллельное проектирование

Пусть имеются две плоскости $\alpha$ и $\beta$ и прямая $a$, пересекающая каждую из этих плоскостей (рис. 1). Определим отображение $\Pi_a$ плоскости $\alpha$ на плоскость $\beta$ следующим образом: произвольной точке $A \in \alpha$ поставим в соответствии точку $A' \in \beta$, в котором прямая, проходящая через точку $A$ и параллельная прямой $a$, пересекается с плоскостью $\beta$. Применяя общие функцииnalные обозначения, будем писать $\Pi_a (A) = A'$. Отображение $\Pi_a$ естественно называется параллельным проектированием. Очевидно, если $A \neq B$ ($A \in \alpha$ и $B \in \alpha$), то $\Pi_a (A) \neq \Pi_a (B)$. Таким образом, параллельное проектирование является обратным отображением («Алгебра 8», п. 20)*. Поэтому можно говорить об обратном отображении. Отображение $\Pi_a^{-1}$, обратное к параллельному проектированию $\Pi_a$, будет, очевидно, параллельным проектированием плоскости $\beta$ на плоскость $\alpha$: $\Pi_a^{-1} (A') = A$.

Параллельное проектирование $\Pi_a$ любую фигуру $\Gamma$ на плоскости $\alpha$ переводит в некоторую фигуру $\Pi_a (\Gamma)$ на плоскости $\beta$ (рис. 1) — образ функции $\Gamma$ при отображении $\Pi_a$.

У разженне 1. Докажите, что образ прямой при параллельном проектировании есть прямая и при этом, если точка $A$ лежит между $B$ и $C$, то $\Pi_a (A)$ лежит между $\Pi_a (B)$ и $\Pi_a (C)$.

Отсюда, очевидно, вытекает, что образ отрезка есть отрезок, образ многоугольника есть многоугольник (с тем же числом сторон).

У разженне 2. Докажите, что параллельное проектирование сохраняет параллельность: если $l \parallel m$, то $\Pi_a (l) \parallel \Pi_a (m)$.

Значит, образ параллельства — параллельства. У разженне 3. Докажите, что отношение длины параллельных отрезков есть инвариант параллельного проектирования: если отрезки $AB$, $CD$ лежат на одной прямой (или на параллельных прямых) в плоскости $\alpha$, то $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|A'B'|}{|C'D'|}$ (здесь $A' = \Pi_a (A)$ и т. д.).

Следовательно, если $AK$ — медиана треугольника $ABC$ ($\triangle ABC \subset \alpha$), то $A'K'$ — медиана треугольника $A'B'C'$.

У разженне 4. Докажите, что отношение площей фигур есть инвариант параллельного проектирования: если $\Gamma \subset \alpha$ и $\Delta \subset \alpha$, то $\frac{S(\Gamma)}{S(\Delta)} = \frac{S(\Pi_a (\Gamma))}{S(\Pi_a (\Delta))}$. Ука-Zание. При доказательстве разрешается

*) Параллельное проектирование, рассматриваемое в данной стате, есть отображение плоскости (на плоскость). Параллельное проектирование из §12 «Геометрии 9» есть отображение пространства (на плоскость). Обратным оно не является.