Квант 1978, №1 · Страницы

КЕАНМ 1
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке вы видите две кривые, полученные с помощью вычислительной машины. Уравнение этих кривых в полярной системе координат имеет вид:

$$\rho = 35,5 + 10,5 \sin(80 \varphi) \sin\left(\frac{5}{2} \varphi\right),$$

$$\rho = 18,5 + 11,5 \sin\left(\frac{79,5}{16} \varphi\right) \sin\left(\frac{1}{32} \varphi\right).$$

(О полярной системе координат мы писали в «Кванте» № 9, 1977, с. 51). Эти кривые наполняют графики моделированных по амплитуде сигналов. Попробуйте найти перiodы этих кривых, то есть такие наименьшие положительные $T$, что $\rho(\varphi) = \rho(\varphi + T)$.

Ю. Котов.

1

Основан в 1970 году
1
1978

Научно-популярный
физiko-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физiko-mатематической литературы

В HOMEPE:

Главный редактор
акademик И. К. Киоин

Первый заместитель
главного редактора
акademик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляв
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширцов

На первой странице обложки вы видите изобравнение прямого гелинона. Концы брусков, из которых склеена эта модель, расположены по двум конгрузным винтовым линям. Подробнее о винтовой линии и прямом гелиноне читайте на с. 55.

2 В. Карцев. Тайны не разгадывают, их дарят…
(к 200-летию со дня рождения Ганса Христина Эрстеда)

8 Ю. Матиясевич. Модели многогранников

18 И. Киоин, С. Лазарев. ФЭМ-эффект

Лаборатория «Кванта»
23 В. Майер, Е. Мамаева. Два физических фокуса

Математический кругок
24 Л. Курляндик, Г. Розеньком. Метод бесконечного спуска

Задачник «Кванта»
28 Задачи М481—М485; Ф493—Ф497

30 Решения задач М436—М440; Ф448, Ф450—Ф452

По страницам школьных учебников
36 А. Земляков, Б. Ивлев. Вопросы по геометрии

«Квант» для младших школьников
37 Задачи

38 Е. Семенов. Доказать можно?— Доказать нельзя!

Практикум абитуриента
42 М. Маринчик. Первый закон термодинамики

47 И. Габович, П. Горштейн. Складное умножение векторов

53 А. Александров, А. Забовев, Н. Нарожный, Н. Шоловов. Московский инженерно-физический институт

Рецензии, библиография
54 Я. Гедузин. Живой рассказ о живой науке

55 В. Березин. Винтовая линия

Информация
56 Ж. Раббом. Новый прием во Всесоюзную заочную математическую школа

59 В. Аслаян, А. Кирьянов, Т. Чугунова. Заочная физистическая школа

62 Ответы, указаны, решения
Смесь (17, 22, 61)

© Главная редакция физiko-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант», 1978

2

В. Карцев

Тайны
не разгадывают,
их дарят…

[к 200-летию со дня рождения
Ганса Христина Эрстеда]

Когда сорокатрехлетий копенгагенский профессор Ганс Христин Эрстед разослал коллегам свой «памфлет» — четыре невесты странички на латинском языке — и учены Франции, Швейцарии, Англии и России смогли с ним ознакомиться, передними кроме научных проблем вставли и также, общечеловеческие. Как отнести к автору этих страничек, как оценить его труд? Кем показался им этот человек: трудолюбивым ученым, фантазером, романтиком, счастливиком? И вообше — кем он был? Физиком, химиком, фармацевтом, философом или позтом?

Чтоы ответить на эти нелегкие вопросы, безусловно, интересные и для нас, вернемся на два столетя назад и представим себе далекий датский островок Ланггеланд и городок на нем под названем Рюdkобинг, и семью бедного аптекаря, в которой родился — Ганс Христин. Нужда глалась за семьей по пятам, так что начальное образование браться Гансу Христину и Андерсу пришлось получать где придется: городской парикмахер учил их немецкому, его жена — датскому, pastor маленькой

4

1813 году во Франции выходит его труд «Исследования идентиности химических и электрических сил». В нем он впервые высказывает идею о связи электричесва и магнетизма. Он пишет: «Следует испробать, не производит ли электричесво … каких-либо действий на магнит…». Его сообщения были простыми: электричесво рождает свет — искру, звук — треск, наконец, оно может производить тепло — проволока, замыкающий зажимы источника тока, нагревается. Не может ли электричесво производить магнитных действия? Говорят, Эрстед не расставался с магнитом. Этот кусочек железа должен был непрерывно заставлять его думать в этом направлении. Магнит совершил, видимо, немало миль в эрстедовом сюртуке, пока… Нет, магнит Эрстеду так и не пригодился.

Идея связки электричесва и магнетизма, восходящая к простейшем сходству прияженияpushnок антарем и железных опилок магнитом, носилась в воздухе, и многие лучшие умы Европы были его увлечены. Еще в 1747 году ее подметил петербургский академик Эпиниус, а француз Араго потратил немало лет для сбора тиннстевных, на перый взгляд, ис-

торий о кораблях, сокровищах и необычных небесных явлениях, в которых он тоже видел этуускользаюшую связь.

Однажды на рейде Пальмы, главного портта Майорки, появилось французское военное судно «Ля-Ралейн». Состояние его было настолько жалким, что корабль едва дошел своим ходом до причала. Когда команда сошла на берег и уступила пальбу нескольким именитым французским ученым, в том числе и Араго, выяснилось, что корабль был разрушен молнийей. Пока комиссия осматривал судно, показивая головами при виде сгоревших мачт и надстроек, Араго поспешил к компасам и там увидел примерно то, что ожидал: стрелки компасов, перемагниченных молнийей, указывали в разные стороны.

Через год, копаясь в том, что еще несколько дней назад было генуззским судном (ono разбилось, насочив на скалы в близи алжирских берегов), Араго снова обнаружил, что стрелки компасов были перемагничены. В Кроменой туманной почти капитан, направив по компасу судно к свееру, подальше от опасных мест, на самом деле неудержимо движался к тому, чего так упорно старался избежать. Корабль щелк к югу, прямо к скалам, обманутый пораженным молнийей магнитным компасом.

А вот и обещанные сокровища. Они лежали в суддуке у эркфильдского купца и состояли из весы ценных, по тем временам, столовых принадлежностей, а предназначаены были для отпавки в новую англійскую колонию — Америку. После удара молнии часть предметов расплавилась, а часть очень сильно намагнитилась.

Все эти, на первый взгляд, малозначащие и не связанные между собой факты Араго собирал не зря. Только отгремели эксперименты с молнийей, проводимые Франклином в Америке и Ломоносовым и Рихманом в России. Молния — это гигантская электричесная искра! Сейчас нам трудно почувствовать сенсционность такого утверждения, но в то время многое простые люди, не то что уче-

5

ные, восторженно приветствовали это открытие. Араго, собраший множество фактов, свидетельствующих о связи молнии с магнетизмом, чувствовал, что он на пороге нового открытия. Радость и досада — вот,возможно, те чувства, которые он испытыл,увиведревшие долго не дававшейся ему задачи. Решение, найденное Эрстедом.

Историки науки, наверно, еще долго будет оставаться в неведении и недоумении относительно обстоятельств открытия, которое стало сейчас часть ли не классической примером счастливой случайности. Не известна точно дата этого открытия: некоторые исследователи относят его к 1819, некоторые — к 1820 году. Кое- кто сомневается даже в авторстве Эрстеда. Однако не будем забегать вперед.

15-го февраля 1820 года Эрстед, уже заслуженный профессор химики Копенгагенского университета, читал своим студентам лекцию. Лекция сопровождалась демонстрациями. На лабораторном столе находились источник тока, провод, замыкающий его зажимы, и компас. В то время, когда Эрстед замыкал цепь, стрелка компас вздрагивала и поворачивалась. При размыкании цепи стрелка возврашалась обратно. Это было первое экспериментальное подтверждение связи электричесма и магнетизма, того, что так долго искали многоные учены.

Казалось бы, все ясно. Эрстед продомонстрировал студентам еще одно подтверждение давишней идеи о всеобщей связи явленей. Но почему же возникают сомнения? Почему вокруг обстоятельств этого события впоследствии разгорелось так много способов? Дело в том, что студенты, присутствовавшие на лекции, рассказывали потом совсем другое. По их словам, Эрстед хотел продомонстрировать на лекции всего лишь интересное свойство электричесма нагревать проволоку, а компас оказался на столе совершенного случая. И именно случайность объясняли они то, что компас лежал рядом с этой проволокой, и совсем случая, по их мнению, один из зорких студентов обратил внимание на поворачивающую стрелку, а удивление и восторг профессора, по их словам, были неподдельными. Сам же Эрстед, в своих позднейших работах, писал: «Все присустствовавшие в аудитории свидетельели того, что я заранее объявил о результате эксперимента. Открытие, таким образом, не было случайностью, как бы хотел заключить профессор Гильберт из тех выражений, которые я использовал при первом оповещении об открытии». Так ли это важно в действительности — случайным или нет было открытие Эрстеда? И вообще, что это значит — «случайное открытие»? Слушано ли, например, что химик Эрстед читал лекции об электричесве? Разумеется, нет. Электричесво было открыто сравнительно недавно *), багаж знаний по электричесву в ту пору был неевелик, занятия им не требовали какой-нибудь особой подготовки. Так что им могли заниматься и физики, и химики, и механики. Оборудование тоже было несложным, его могли сделать в любой мастерской. Поэтому в лекции Эрстеда, да и в ее основании ничего случаяного в общем не было. Набор для электрических и магнитных исследований был в то время веса неприятазателен — волтов столь, проводнички, лягушачьи лапки, маг-

*) Имеется в виду, прежде всего, изобретение в 1800 году италянским физиком Алексаандро Волгата первого непрерывно действующего источника электрического тока — так называемого волтова столь.

6

нит да компас. Как писал Брэгг (разработавшийRENTгеноструктурный анализ кристаллов), приходиту удивляться не тому, что Эрстед случайно открыл действие электрического тока на магнитную стрелку, а тому, что открытия нужно было ждать целых двадцать лет, с момента изобретения волтова столбца. В десятих лабораториями имелись и волтовы столбцы, и проводнички, и компасы, и в течение двадцати лет эти предметы тысячи раз оказались рядом. Неминуем должно было однажды создаться такое положение, когда магнитная стрелка оказется, наконец, по соседству с проволочкой, замыкающей концы волтова столбца, повернется, и исследовать это заметит. И такого события пришлось ждать целых двадцать лет! Незвестный студент на лекции Эрстед выполнил, в известном смысле, свою историческую роль, взглянув на компас в подходящей момент. Его роль можно сравнить, в чем-то, с ролью матроса, крикнувшего Христофору Колумбу о новой земле — Америке. И еще. Слушайно ли то, что именно Эрстед сделал открытие? Ведь счастливое сочетание нужных приборов, их взаимного расположения и «режимов работы» могло получить в любой лаборатории? Да, это так. Но в данном случае случайность закономерна — Эрстед был в числе тогда еще немногих исследователей, изучающих связи между явлениями.

Вернемся, однako, к сути открытия Эрстеда. Нужно сказать, что отклонение стрелки компас в лекционном опите было весма небольшим. В июле 1820 года Эрстед снова повторил эксперимент, использую более мощные батареи источников тока. Теперь эффициент стал значительно сильнее, причем — тем сильнее, чем только probeoka, который он заказал контакты батарей *). Кроме того, он выясил одну страницу ее, не укладывающегося в ньютоновске

*) Сейчас нам это качество само собой разумениюся: чем больше диаметр проводки, тем меньше ее сопротивление и, стало быть, больше ток.

Рисунок Эрстеда из его лабораторных записей: при перемене поляриости источника тока стрелка компас (пунктирная стрелка) меняет направление.

представления о действии и противодействии. Сила, действующая между магнитом и проводокой, была направлена не по соединяющей их прямой, а перpendикулярно к ней. Выражаясь словами Эрстеда, «магнитный эффициент электрического тока имеет круговое движение вокруг него». Магнитная стрелка никогда не указывала на проводоку, но всегда была направлена по касательной к окружности, эту проводоку опоясьющим. Как будто бы вокруг проводки визрились невидимые сгустки магнитных сил, влекущих легкую стрелку компаса. Вот чем поражен ученыый. Вот почему в своей четырехстраничном «памфлете» он, опасясь недоверия и насмешек, тщательно перечисляет свидетель, не забывая упомянуть ни об одной из их научных哉ул.

Эрстед, давая в обшем неправильное теоретическое толкование эксперименту, заронил глубокую мысль о внешреом характеристиках электромагнитных явлений. «Вихреобразность» прощеся долго не находила стороны, большинство ученных были убежданы в том, что силы, действующие между проводником с током и магнитной стрелкой, — это общные силы прияжения и отталкивания, подобные ньютоновским силам всемирного тяготения или кулоновским силам взаимодействия между электрическими зарядами. Опыт Эрстед доказывает не только связь между электристом и магнитизмом. То, что открылось Эрстеду, было новой тайной, не укладывающейся в рамках известных законов.

7

Памятная медаль, выпущенная в честь Эрстеда американской ассоциации учительей физики.

Метуар Эрстеда вышел в свет 21 июля 1820 года. Мы не случайно датируем так точно. Дальнейшие события развивались в весме непрерывном для неторопливой тогда науки темпе. Уже через несколько дней метуар появился в Женеве, где в то время был с визитом Араго. Первое же знакомство с опытом Эрстеда доказало ему, что найдена разгадка задачи, над которой былся и он, и многие другие. Впечатление от опытов было столь велико, что один из присутствующих при демонстрации поднялся и с волнеением произнес, ставшую впоследствии знаменной, фразу: «Господа, проискодит переворот!».

Араго возврашается в Париж потрясенный. На первом же заседании Академии, на котором он присутствовал сразу же по возврашении, 4 сентября 1820 года он делает устное сообщение об опытах Эрстеда. Залиси, сделанные в академическом журнале ленинвой рукой протоколиста, свидетельствует, что академики просили Араго уже на следующем заседании, 22 сентября, показать всем присутствующим опит Эрстеда, что называется, «в натуральную величины».

Сообщение Араго с особым внимание слушал академик Амперар. Он, может быть, почувствовал в тот момент, что пришла егоopa перед лицом всего мира принять из рук Эрстеда естефету открытия. Он долго жждал этого часа — около двадцати лет — как Араго и как Эрстед. И вот час пробил — 4 сентября 1820 года

Амперар понял, что должен действовать. Всего через неедели он сообщил миру о результатах своих исследований. Он высказал генiallyю идею и сумел подтвердить ее экспериментально — все магнитные явления можно свести к электрическим. Так зародилась новая наука — электродинамика, теоретически связывающая электрические и магнитные явления. А еще через сорок лет электродинамика выпалась составной частью в теории электромагнитного поля Максвелла, до сих пор являлся нашим компасом в мире всех электромагнитных явлений.

После открытия почетки посыпались на Эрстеда, как из рога изобилия. Он был избран членом многоих авторитетнейших научных обществ, в том числе Лондонского Королевского общества и Французской Академии. Англиане присудили ему медаль за научные заслуги, а из Франции он получил приз в 3000 золотых франков, некоторые назначенный Наполеоном для авторов самых крупных открытий в области электричества.

Принимая все эти почетки, Эрстед не забывает о том, что новый век требует нового подхода к обучению наукке. Он основывает в Дании общество для поощрения научных занятий и литературный журнал, читает просветительские лекции дляженщин, поддерживает «маленького Ганса Христина», своевого тезку, будущего Великого писателя Ганса Христина Андерсена. Эрстед становится национальным гером.

К сожалению, Эрстеду не пришлось долго быть свидетельом своего триумфа. Девятого марта 1851 года Эрстед скончался. Хоронили его почью. Толпа из двухсот тысяч человек, освещая путь факелами, провожала его в последний путь. Звучали траурные медодии, специально сочиненные в его память. Учены, правильныественные чиновники, члены королевской семьи, дипломаты, студенты, простые датачане ощущали его смерть, как личную потери. За многое они были благодарны ему. И не в последнюю очередь за то, что он подарил миру новые тайны.

8

Ю. Матиясевич

Модели
многогранников

В недавно изданом переводе книги
М. Веннинджера «Модели многогранников» (М., «Мир», 1974) рассказано, как можно самому сделать модели симметричных многогранников, и приведены фотографии модели, сделанных автором. Это, несомненно, очень красивые модели, способные украсить математический уголок в школе или комнату юного математика. Однако вот что пишет автор по поводу их создания: «В среднем каждая модель отнимала у меня около воссыми часов; еще три-четыре часа я тратил на подготовку исходного материала».

В этой статье рассказано о конструкторе, придуманном американским архитектором Фредом Бассейти. Потребив два-ти часа на его изготовление, читатели получат возможность собрать желаемый многогранник за несколько минут. Конечно, получающие модели не только красивы, как kleeены, однако проистота изготовления, а также возможность разборки модели и повторного использования их частией окупают этот недостаток. Процесс сборки、多огранников несомненно доставит

12

чаются два многограничка, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. Они оба носят одно и то же название и считаются за один многограничик, когда говорят о 13 архимедовых телах. Точно так же два зеркальных варианта имеет плосконой додекадр.

Самая интересная картина возникает при сборке последнего архимедова тела — ромбокубооктадра. Здесь после однозначного окружения треугольной грани квадратными возникнет возможность выбора между треями продолжениями — см. схему на рисунке 3. Первые два варианта имеют однозначное завершение, а вот в третьем, после однозначного окружения второго треугольника, возникают пять способов присоединения третьсяго треугольника — см. схему на рисунке 4.

Сколько же получается разных многограничков? Семь? Нет, всего лишь два. Вариantsы a, b, c1, c3 и c4 приводят к одному и тому же многограничку, показанному на рисунке 5, а варианты c2 и c5 — к этому многограничку и к многограничку, изображенную на рисунке 6. Именно этот последний многограничок называется ромбокубооктадром, и только он является архимедовым телом.

Чем же многограничок с рисунка 5 «хужке» остальных 13 архимедовых тел? Вспомним, что в начале этого раздела мы отказались от требования одинаковости граней, но сохранили требование одинаковости вершин. Можно считать, что две вершины одинаковы, если их можно совместить так, что схождение в них грани попарно совпадает друг с другом (при этом разрешается замена на зеркальные отражения). В смысле этого определения все вершины многограничка с рисунка 5 одинаковы. Чем же тогда «плюхо» приведенное определение одинаковости вершин? Дело в том, что это определение имеет локальный характер — в нем говорится о попарном совпадении только тех граней, которые сходятся в расстативаемых вершинах. Архимедовый же тела обладают более сильным свойством: любые две вершины можно совпадить так, что все грани много-

Рис. 5.

Рис. 6.

граничка попарно совпадут друг с другом. Многограничок с рисунка 5 этим свойством не обладает. Древние греки обладают высокоразвитым чувством гармонини и не удивительно, что этот многограничок не попал в число архимедовых тел. В течение двух тысяч лет он «находился в тени» и был «изобретен» в середине нашей стороны независимо несколькими математками в разных странах. В нашей литературе этот многограничок часто называют телом Ашкинузе по имени советского математика, который первым образом на него внимание.

Как узнать, нет ли еще полуправильных многограничков? Схема рас-

13

сужdenный здесь в принципие такое же, как и в случае платоновых тел. В верхине должно сходиться не менее трех и не более пятей граней (почему?), следовательно, достаточно рассмотреть три типа вершин: $x \cdot y \cdot z$, $w \cdot x \cdot y \cdot z$, $u \cdot w \cdot x \cdot y \cdot z$ (средние $u, w, x, y, z$ могут быть и одинаковые числа). Соответствие получается три неравенства, аналогичные неравенству (1):

$$1 < \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z},$$

(2)

$$2 < \frac{2}{w} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z},$$

(3)

$$3 < \frac{2}{u} + \frac{2}{w} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}.$$

(4)

Мы должны найти все решения этих неравенств в целых числах $u, w, x, y, z$, которые не меньше 3.

Начнем с последнего неравенства. Так же, как и в случае платоновых тел, из неравенств $u \geq 3, w \geq 3, x \geq 3, y \geq 3$ и $z \geq 3$ и неравенства (4) легко вывести, что $u \leq 5, w \leq 5, x \leq 5, y \leq 5, z \leq 5$. Дальше остается (на долю читателей) конечный перебор возможностей.

Неравенство (3) выполено при любом $z$, если $w = x = y = 3$. Это дает бесконечную серию полуправильных многограничков типа $3^3 \cdot z$, называемых антипризмами. Никакой другой полуправильный многограничок (с четырьмя гранами, сходящимся в одной вершине) не может иметь более чем одинаковую угловую грань, либо система неравенств $w \geq 3, x \geq 3, y \geq 4, z \geq 12$ противоречит (3). Таким образом, данные могут считать, что $w \leq 11, x \leq 11, y \leq 11, z \leq 11$, и опять остается конечный перебор.

Большое хлопот вызывает первое неравенство, имеющее много решений, в том числе и таких, которые не соответствуют никаким полуправильному многограничку. Здесь нам помогет еще одно условие, являющееся аналогом неравенства треугольника: сумма плоских углов двух граней больше плоского угла треугольника. Это приводит к неравенству

$$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} - \frac{2}{z} < 1$$

(5)

(не ограничивая общности, мы считаем, что $x \leq y \leq z$, и не выписываем еще два аналогичных неравенства). Оба неравенства (2) и (5) выполенны при любом $z$, если $x = 3, y = 6$ или $x = y = 4$. В последнем случае мы получаем бесконечную серию полуправильных многограничков типа $4^2 \cdot z$, называемых призмами. Полуправильный многограничок типа $3 \cdot 6 \cdot z$ существует только при $z = 6$ (почему? как он называется?). При любых других значениях $x$ и $y$ либо $2/x + 2/y < 1$, и тогда $z$ не может быть скольго углового большим согласно (2), либо $2/x + 2/y > 1$, и тогда ограничение $z$ сверху получается из (5). В любом случае дело опять сводится к конечному перебору.

Терпельный читатель, рассмотрев все оставшиеся на его долю случая, придет к выводу, что кроме 5 платоновых тел, 13 архимедовых тел, тела Ашкинузе и бесконечных серий призм и антипризм никаких других полуправильных многограничков не существует (далее при локальном определении одинаковости вершин).

Правильногоные многогранички

Откинем, наконец, и условия одинаковости граней, и условия одинаковости вершин, но сохраним требование, чтобы грани были правильными многоугольниками, а сам многогранич был выпуклым. Сколько же еще многограничков удался при этом собрать? Оказывается, что каличество новых многограничков конечно.

Доказательство этого факта используется аналогизной из школьного курса теоремы о том, что сумма внешних углов любого многоугольника равна 2π. Внешний угол — это дополнительное угла многоугольника до предельного значения, равного π. Аналогично будем назвать кривизной в вершине многограничка разница между 2π (предельное значение) и суммой плоских углов всех граней, сходящихся в этой вершине. Например, кривизна вершины типа $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6$ равна π/6. Оказывется, что если просуммировать кривиз

14

ну по всем вершинам выпуклого многогранника, то всегда получится 4π (это можно проверить на любой модели; доказательство легко получается, если применить теорему Эйлера — см. «Кваант», 1974, № 4, с. 29; № 5, с. 32; № 10, с. 17). Следовательно, вершин типа 3·4·3·6 может быть не больше, чем 4π : π/6 = 24. Аналогично получается ограничение количества вершин любого другого типа. Число типов вершин, вообще говоря, бесконечно, но, перебирая все возможности при определении количества полуправильных многогранников, мы установили, что все вершины, за исключением конечного числа типов, попадают в одну из серий 4²·z, 3³·z или 3·6·z. Телерь осталось показать, что при достаточно большом z правильной выпуклой многогранник с вершиной из первой серии обязательной является признай, из второй серии — антипризмой, а из третьей — не может существовать.

После получения качественного результата о конечности числа правильного многограничных многогранников, отличных от признам и антипризм, хотелось бы узнать и их точное количество. Эта задача была полностью решена ленинградским математиком В. А. Залгаллером. Ее решение потребовала рассмотрения огромного числа вариантов, и к этой работе были приведены члены математического кружка 239 шкoles Ленинграда. В книге В. А. Залгаллера «Выпуклые многогранники с правильными граями» (Ленинград, 1967) приведено много лемм и названия их авторы — школьники, ставшие к тому времени студентами. Автор книги приносит им благодарность и указывает, что без их активного участия работа ведл бы была бы завершена. Кроме того, еще один активным участником этого исследования была ЭВМ, которая «расмотрела» много слуаев и «доказала» соответствующие леммы (подробнее о характере вклада ЭВМ рассказано ниже).

Результат, полученный В. А. Залгаллером, состоит в следующем: кроме 5 платовых тел, 13 архимедовых, признам и антипризм существенно еще

ровно 92 выпуклых многогранника с правильными граями. Интересно, сколько из них удался собственным «Кваента»? Все девяносто два? Укажем, что для этого достаточно граней тех же типов, что были необходимы при сборке архимедовых тел, т. е. 3-, 4-, 5-, 6-, 8- и 10-угольных.

А может быть, кто-либо из читателей соберет из конструктора 93 новых многогранника? Не удивляйтесь, такое, вообще говоря, возможно, ведь сборка многогранника из деталей конструктора еще не гарантирует его «математического существования». Чтобы понять, в чем тут разница, рассмотрим пример многогранника, развертка которого приведена на рисунке 7, а общий вид — на рисунке 8. Сборка этого многогранника не вызывает никаких трудностей, но давайте проследим за ней визмательно.

Пусть для определения длина сторон всех многоугольников равна единице. Грани A, B и D образуют жесткий трехгранный угол и тем самым фиксируют пространственное взаиморасположение точки 1—8. Телерь мы хотим добавить грань C. Нам удался это сделать, либо точки 3 и 7 расположены симметрично точкам 2 и 6 и, следовательно, расстояние между ними равно 1. Точно так же можно будет отдельно собрать в жесткую конструцию грани K, L, M, N. Поскольку обе собранные части одинаковы, то в них расстояния между точки 1 и 8 равны, и мы можем попарно совместить эти точки (см. рисунок 9). Получившаяся конструкция имеет всего одну степень свободы, а именно, две собранные жесткие части могут врашаться друг относительно друга вокруг оси, проходящей через точки 1 и 8. На самом деле из собранной симметричной взаимное положение этих частей уже фиксировано, например, требованием параллельности отрезков 4—5 и 11—12. Итак, уже к этому моменту пространственное расположение всех точки 1—14 других относительно друга фиксировано. Но нам еще надо добавить грани E, F, G, H, I, J. Сможем ли мы это сделать? Из собранной симметричной видно, что расстояние между точки 2 и 13 равно расстоянию между точки

16

6 и 9, 3 и 14, 7 и 10; обозначим это расстояние через $a$. Возможность практической сборки показывает, что с достаточно большой точностью $a \approx 1$, но имеет ли место строгое равенство $a = 1$, необходимое и достаточно для существования расматриваемого многограничника? В подобных случаях и может прийти на помощь ЭВМ. Конечно, если машина вычислит, что $a = 1,00000000$, то это еще вовсе не означает, что многограничник существует, либо все вычисления машина производит с ограниченной точностью и $a$ может отличаться от единицы, скажем, в двенадцатом знаке. Однако, если бы машина нашла, что, например, $a = 0,99998532$, а мы увеличены, что по крайней мере шесть знаков у машины всегда верны, то это немедленно доказывало бы лемму от том, что многограничка с разверткой, приведенной на рисунке 7, не существует. Читатель «Кванта», в большинстве своем, по-видимому, не имеет пока доступа к ЭВМ, и им придется здесь использовать свое искусство тригонометрических преобразований.

Рассмотренный пример показывает, что плоская фигура, обладающая всеми внешними признаками развертки многограничника, может, вообще говоря, и не быть разверткой никакого трехмерного тела. Чтобы придать точный смысл словам «внешние признаки», введем понятие заготовки. А именно, будем понимать под заготовкой произвольную систему выпуклых многоугольников, не обязательно правильно, у которых вершина присвоены натуральные числа (которые будут номерами вершин, если из заготовки удассся с склеить многограничик), так, что если две соседние вершины какого-либо многоугольника получили номера $i$ и $j$, то найдется ещеровно один многоугольник, в котором две соседние вершины также имеют номера $i$ и $j$, кроме того, ребро, соединящее вершины $i$ и $j$ в одном многоугольнике, имеет ту же длину, что и в другом многоугольнике. Мы уже встречались с темя условиями, легко проверяемыми по заготовке, которые необходимо для существования выпуклого многограничка:

I. В каждой вершине должно сходиться не менее трех граней,

II. Сумма плоских углов граней, сходящихся в каждой вершине, меньше 2π.

III. Сумма кривизн всех вершин равна 4π.

Очевидно, что должно быть выполнено еще и следующие условия:

IV. Для любых двух граней $A$ и $B$ существует последовательность граней $C_1, \dots, C_k$ также, что грани $A$ и $C_1, C_1$ и $C_2, \dots, C_{k-1}$ и $C_k, C_k$ и $B$ имеют по общемуребру.

Оказывается, что перечисленные четыре условия являются и достаточно — если заготовка обладает свойствами I—IV, то из нее можно склеить неокоторый выпуклый многограничник.

За работу, в которой этот глобкий геометрический результат является центральным, А. Д. Александров, ныне академик АН СССР, был удостоен в 1942 году Государственной премии СССР.

Вернемся теперь к рисунку 7. Нетрудно проверить, что все четыре условия I—IV выполнены; следовательно, из этой заготовки можно склеить выпуклый многограничник. Но почему же тогда у нас встретились трудности и сомнения? Дело в том, то теорема Александрова не утверждает, что исходная система многоугольников и будет системой граней многограничника. Условия I—IV достаточно лишь в том случае, если мы при склеке разрешим неокоторым многоугольником «переламываться». Например, согласно теореме Александрова на рисунке 10 изображена заготовка какого-то выпуклого многограничка. На первый взгляд, он имеет две квадратные и восемь треугольных граней, хотя на самом деле при склеке получится общимовенный куб. В случае заготовки с рисунка 7 пятугольные грани могут быть, например, переломиться по пунктирным линиям, увеличивая тем самым значение $a$. Иногда при сборке какого-либо многоугольника углы переламыния граней настоящего близки к л, что переломы не заметны на глаз, и читатели должны раз не забывать доказать

17

Вниманию
учащихся
старших классов!

Магазин № 8 «Техническая книга» Московги имеет в продаже и высылает наложенным платежом (без задатка) следующее книги:

Математика
Голомб С. В. Полимно («Мир»), ц. 46 к.
Дорофеев Г. В. и др.
Пособие по математике для поступающих вузы (избранные вопросы элементарной математики) («Нayka»), ц. 1 р. 04 к.

Кантор И. Л., Солодовник А. С. Гиперкомплексные числа («Нayka»), ц. 22 к.
Лиитвуд Дж. Математическая смесь («Нayka»), ц. 37 к.
Рудник А. Е. и др. Сборник задач по элементарной математике для технических «Нayka»), ц. 55 к.
ВЫГОДСКИЙ М. Я. Справачник по высшей математике («Нayka»), ц. 2 р. 60 к.

Физика
Тригг Дж. Решающие эксперименты в современной физике («Мир»), ц. 41 к.
Сборник задач и вопросов по физике для средних специальных учебных заведений («Нayka»), ц. 70 к.
Физика. Часть I. Вселенная («Нayka»), ц. 1 р. 30 к. Элементарный учебник физики (под ред. Г. С. Ландсберга). Том 3. Колебания, волны. Оптика. Строение atoma («Нayka»), ц. 1 р. 13 к. Шахмаев Н. М. Физика. Часть I. Молекулярная физика. Электричество («Выcisая школа»), ц. 50 к.

Шахмаев Н. М. Физика. Часть 2. Колебания и волны. Оптика. Строение atoma («Выcisая школа»), ц. 53 к. Бытько Н. Д. Физика. Часть 1 и 2. Механика, молекулярная физика и теплота («Выcisая школа»), ц. 51 к.
Бытько Н. Д. Физика. Часть 3 и 4. Электричество, оптика и строение atoma («Выcisая школа»), ц. 58 к.

Заказы (открытками) направляйте по адресу: 103031, Москва, Петровка, 15. Магазин № 8 «Техническая книга».

18

ФЭМ-эффект

Фотоэлектромагнитный (ФЭМ) эффект был открыт одним из нас в 1934 году. Заключается этот эффект в следующем. Если освещать полупроводник, помещенный в магнитное поле, то в нем возникает электродвижущая сила. На рисунке 1 приведена схема эксперимента, в котором обнаруживается фотоэлектромагнитный эффект. Полупроводник в виде прямогоольной пластинки помещен в магнитное поле, направленное вдоль оси X. Вдоль оси Y на поверхности пластинки падает пучок света. Тогда между гранями a и a’ вдоль оси Z возникает разность потенциальов, которое мы в дальнейшем будем назвать фотоэлектромагнитной э. д. с. Если на эти грани нанесены электриды и замкнутых их проводником, то включенный в цель измерительный прибор зарегистрирует наличие тока в цепи.

В первых экспериментах, в которых был обнаружен ФЭМ-эффект, использовались пластинки из закиси меди (Cu₂O). В то время закис меди была самым «модным» веществом, на котором подробно изучались основные закономерности, касающиеся полупроводников. Можно сказать, что в 30-х годах началась эра полупроводников, который сужено было совершить революцию в радиоэлектронной технике. Описанные выше опыты проводились на образах закис меди при температуре жидкого азота (77 K). В небольшим магнитном поле (около 1 T) при освещении образца довольным слабым светом от лампочки карманного фонарика разность потенциальов между точками A и A’ (расстояние между ними было около 2 см) достигала 15—20 В!

Опыты показали, что знак Э. д. с. ФЭМ-эффекта, а следовательно, и направление электрического поля в образце меняются при изменении направления внешнего магнитного поля. А при заданной направлении поля знак Э. д. с. меняется, если изменяя в направление падающего на образец света, то есть осветьить противоположную поверхность образца. При освещении образца в отсутствие магнитного поля Э. д. с. не возникнет.

Попытаемся обяснить проискожение ФЭМ-эффекта.

Итак, фотоэлектромагнитная Э. д. с. возникает только при действии на освещаемый образец магнитного поля. Между тем известно, что магнитное поле действует только на движущие электрические заряды. Поэтому надо понять, каким образом создается движение зарядов в полупроводнике в отсутствие источника Э. д. с.

Свет, падающий на поверхности пластинки полупроводника, поглощается в нем (если полупроводник не проразчен для этого света). Во многих случаях свет поглощается электронами atomов полупроводника. При достигающей энергии (hν) квантов света (фотонов) поглотивший их электрон от атома, становится свободным и может перемешаться внутри освещаемого тела. В металлах и без всякого действия света имеется огромное количество свободных электронов. В полупроводниках

20

будут диффундировать в глубь образца. Тогда совместная диффузия электров и этих положительных зарядов может продолжаться сколь угодно долго, поскольку, доход до противоположной поверхности образца, они не заряжают ее. Правда, при этом суммарный диффузionalный ток равен нулю, хотя перемещение разномерных зарядов происходит.

Именно такая картина и реализуется в действительности при освенении полупроводника. Но что это за положительные заряды, которыерождаются светом? Это — так называемые дырики. Представление о дыриках порождено квантовой механикой. ФЭМ-эффект — одно из первых физических явлений, для объяснения которых понятие дырики оказывась совершенно необходимым. В современной теории электропроводности электроннойырочее представление стало общепризнаным.

Итак, при освенении поверхности полупроводниковой пластинки происходит одновременноерождеение свободных электров и дырок (или, как говоря, роздение электроннойырочной пары), которые диффундируют в одном направлении. В магнитном поле сила Лоренца отклоняет движущиеся электровы и дырики в противоположные стороны, так что на грани $a'$ оседают электровы, а на грани $a$ — дырики. Очевидно, что при изменении направления падающего света или направления магнитной индукции знак э. д. с. ФЭМ-эффекта меняется на противоположный. Знак э. д. с. ФЭМ-эффекта можно определить по правилам левой руки: если левую руку расположить так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, а четые вытянутых пальца были направлены вдоль падающего на образец светового лучка, то отогнутый на $90^\circ$ большой палцукажет направление электрического поля в образце.

Такова в общих чертах качественная теория ФЭМ-эффекта. Конечно, эта теория была разработана после детального экспериментального исследования эффекта. Сам эффект был обнаружен неожиданно значительно равше создания теории, и сначала он казался удивительным. Расчеты, выполненные на основе развития теоретической модели, дают следующееую приближенную формулу для силы фотолектромагнитного тока $I$ в замкнутой цепи, когда электроды образца замкнуты накоротко (то есть когда сопротивление внешней цепи пребрежимо мало по сравнению с сопротивлением самого полупроводника):

$$I = KeN |B|,$$

где $e$ — заряд электрона, $N$ — количество квантов света, поглощаемых $1\ m^2$ поверхности образца в 1 секунду (очевидно, что $N$ пропорционально освенению образца), $|B|$ — значение индукции магнитного поля, а $K$ — коэффициент пропорциональнойности, значение которого зависит только от материалов образца. Прияма пропорциональность тока интенсивности падающего света и индукции магнитного поля была вывлена уже в первых экспериментах.

При обычных условиях в небольшим магнитном поле $\sim 1$ Т при освенениисти, создаваемой естественным дневным светом (что соответствует $N \sim 10^{21} \text{ квант})$, через обозначение monокристаллического терма (шириной 0,01 м в направлении магнитного поля) течет фотогнитный ток $\sim 10^{-3}$ А.

Знача внешние параметры ($N, |B|$), можно, изменяя формулу тока, находить характеристики полупроводниковых материалов, которые определяют величины коэффициента $K$. ФЭМ-эффект в современных laboratorиях стал простым и надежным инструментом для определения таких параметров, характеризующих качество полупроводниковых материалов, как время жизни носителей (электрона и дырики) т, скорость поверхностной рекомбинации $S$, диффузionalная длина $L$, подвижность носителей тока и некоторых других. Поясним кратко смысл этих величины.

Как мы уже знаем, под действием кванта света влентный электрон может «оторвать» от атома и стать электроном проводимости. Однако этот избыточный носитель тока не мо-

21

Жет существовать в образце бесконечного долго. Довольно скоро после своего рождения он по тем или иным принципам снова становится связанным, например, присоединившись конизированному atomу (этот процесс называется рекомбинацией). Среднее время т существования носителя тока в свободном состоянии называют временем жизни. В разных полупроводниках это время различно — от $10^{-10}$ с до сотых долей секунд. Электроны (или дырки) рекомбинаруют не только в объеме полупроводника, но и на его поверхности. Величина $S$, характеризующая скорость исчезновения носителей тока на поверхности, называется скоростью поверхности полупроводника. Длина диффузии носителей — $L$ — равна приближительно расстоянию, на котором успешот продолжировать электроны или дырки за время жизни $t$. Подвижность носителей — $\mu$ — это скорость их перемещения под действием электрического поля с направлением, равной единице. Эти параметры во многом определяют качество полупроводников, использемых в электронной технике.

В заключение описем один красный опыт, который использовал механизм возникновения ФЭМ-эффекта. Опыт составит в следующем. Из полупроводника (германия) вырезается образец в виде маленького цилиндра. Внутри цилиндра высверливается тонкий канал, в котором запрессовывает подпятник из твердого материала. Образец насаживает на иглу (как магнитная стрелка компаса). Цилиндр помещается между полюсами магнита (рисунок 2) и освещается светом (угол между направлением луча света и индикцией магнитного поля $\theta \sim 45^\circ$). Тогда образец начинает врашаться! Опыт наглядно демонстрирует непосредственное превращение энергии света в механическую энергию. Это явление можно назвать фотомагнитомеханическим эффектом. Попробуем обьясить происходние этого эффекта.

Луч света, падающий на боковую поверхность цилиндрического образца, освещает узкую вертикальную полоску небольшой ширины по всей длине цилиндра. Рождеенные светом электроны и дырки диффундируют из освещенной области в глубь цилиндрического образца. В результате силы Лоренца на диффундирующие в магнитном поле электроны и дырки возникает э. д. с. ФЭМ-эффекта. При этом все процессы диффузии и рекомбинациирожденных светом носителей разыгрываются в слое образца, протяженностью порядка диффузionalной длины. Остальная же толща образца пассивна и служит как бы проводником, замыкающим на себя э. д. с. ФЭМ-эффекта. Весь образец можно представить в виде бесконечного числа замкнутых контуров-рамок (одна из сторон этих рамок — узкая освещенная полоска поверхности образца). На каждую такую рамку стороны магнитного поля действует момент силы, максимальное значение которого пропорционально площади рамки и сле тока в ней. Однако в силу симметрицы цилиндрического образца все эти рамки можно заменить

22

одной «эквивалентной» рамкой, плоскость которого определяется направлением пучка падающего света. И если угол θ, который составляет плоскость рамки с направлением индукции магнитного поля, не равен 90°, то рамка поворачивается в магнитном поле (как рамка с током в общим электродвигателе). В описном нами опите θ ≈ 45°, и врашаюший момент, действующий на эквивалентную рамку, заставляет врашаться весь образец. При врашении цилиндра под пучок света попадают все новые участки его поверхности. Позному цилиндр будет врашаться непрерывно.

Если вы разобрались в механизме возникновения ФЭМ-эффекта, вы сможете ответить на такой вопрос: изменится ли направление врашения цилиндра, если направление поля помещать на противоположное?

Упражнения

1. Каков знак θ. д. с. ФЭМ-эффекта в полупроводниках n- и p-типа?
2. Нарисуйте график зависимости θ. д. с. ФЭМ-эффекта от силы света. Учитите при этом, что при освещении проводимость полупроводника σ составляет из двух составляющих — темновой проводимость σ′, не зависящей от интенсивности света, и добавки aN (а—константа), пропорциональной силе падающего света N: σ=σT+aN.
3. Пусть поглощение света происходит на достаточно глубине образца. Гибельроженых светом носителей у поверхности проискDATы быстрое, чем в объеме образца. Определите знак θ. д. с. ФЭМ-эффекта.

Фильм
о выдающемся математике

Эварист Галуа (1811—1832), выдающийся французский математик, насреддав вошел в историю науки *). Он не успел написать много работ. В русском издании его сочинения и черновые наброски занимают всего лишь 120 страниц в книге небольшого формата. Однако он по праву считает одним из творцов современной алгебры, ряд понятный котоорий носит его имя: теория Галуа, группа Галуа, поле Галуа, расширение Галуа…

Э. Галуа. интересовался следующим вопросом: каким необходимым и достаточно условным условиям должны удовлетворять коэффициенты алгебраического уравнения n-й степени, чтобы оно решалось в радиалах? Перед роковой дузлью, оборваншей его жизни, Э. Галуа в течение одной ночи изложил в письме к другу свои результаты, дающие ответ

На сниме: Марро Гарриба в роли Эвариста Галуа.
(Газета «Паззе сера»)

на поставленный вопрос. Однако разработанный Э. Галуа аппарат имел значение, далеко выходящая за рамки указанной задачи, и являющейся основной дальнейшего развития алгебры.

Жизнь Эвариста Галуа, короткая и трагическая, до краев заполнения творческим понском и политической борьбой, постоянно привлекала внимание многих исследователей и писателей. Здесь можно наполнить широкие известные книги, посвященные судьбе этого ученого:
А. Дальма «Эварист Галуа —революционер и математик»
(M., «Физматгиз», 1960);
Л. Инфельд «Эварист Галуа —избранник богов»
(M., «Молодая гвардия», 1966).
Телер образ Э. Галуа на丝ое вопросение и на экране.

«У меня нет времени»
На голубые экраны Итаили выselт трехсерийный фильм о великом французском математике. Фильм так и называет: «У меня нет времени». Создатель его, режимсер Ансано Джанарелли (сценарий написан им совместно с известным поэтому, публицистом и драматуром Эдоардо Сангвинети), раскрывает коротку и ярку, драматического жизни Галуа на фоне важнейших событий элохи: последние годы жизни Наполеона, реставрация Бурбонов, революция 1830 года, появление на исторической арене prolетариата.

Критики особо отмечают исполнение главной роли молодым актером Марро Гарриба. Большой вклад в создание телефильма внес научный консультант, известный в стране математик, педагог и редактор журнала «Риформа делла скуола», публицист Лючно Ломбард Радице. Выступает он здесь и в совершенном новом для него качестве… актера. Радице сначала в роли профессора математики — единственного, кто сумел оценить гениый Галуа, творившего в обстановке полного непоннимания и подозрительности со стороны представителей официальной, академической науки.

• «Инструанная литература», 1977, № 8.

23

Два физических фокуса

Вы берете стеклянную трубку с оттянутым, как у пипетки, концом и показываете ее своим зрителям. Другой рукой берете за верхний край стакан с водой и тоже показываете его. Опускаете трубку оттянутым концом в стакан и ждете, пока в нее не войдет вода. Затем вы закрываете пальцем верхнее отверстие трубки и вынимаете ее из стакана.

При этом зрители обнаруживают, что у нихнего отверстия трубки образуют воздушные пузырыки (рис. 1). Они растут, отрывются от стенок и поднимаются внутри трубки вверх. А вода из трубки не выливается!

Затем, открыв верхнее отверстие трубки, вы выливаете воду обратно в стакан, несколько раз плавано машете перед собой пустой трубкой и вовь набираете воду из стакана в трубку. Закрыв верхнее отверстие трубки пальцем, вы быстро вынимаете ее из стакана и переворачиваете (рис. 2)— из трубки быть мощный фонтан на высоту более метра.

Почи наверняка секрет этих фокусов не будет раскрыт. А он очень прост: в стакане находится вода, нагретая до 80—90°C, тогда как трубка имеет комнатную температуру около 20°C. С первым фокусом попробуйте разобраться сами, а второй мы поможем вам обьясить.

Когда в трубку из стакана попадает горячая вода, воздух в верхней части трубки (в силу его плоской теплопроводности) имеет практическую комнатную температуру. После того, как вы закроете пальцем верхнее отверстие трубки и трубку переверните, горячая вода по стенкам начинает стекать вниз, быстро нагревая воздуха. Давление воздуха в трубке возвращает, и расширяющийся воздух «выбрасывается» через узкое отверстие трубки не успевшую опуститься вниз body в виде фонтана.

В опите мы рекомендуем использовать стеклянную трубку диаметром 8—12 мм и длиной 30—40 см, маленькое отверстие которой имеет диаметр около 1 мм. В промежутке между фокусами трубку надо как следует охладить (можно даже подуть в трубку), так как высота фонтана зависит от разности температуры воздуха и воды, набранной в трубку. Оптимальное количество набираемой в трубку воды колблется в пределах от $1/4$ до $1/3$ объема трубки и легко подбирается экспериментально.

24

Метод бесконечного спуска

Какое irrationalное число само «старое»? Несомненно, $\sqrt{2}$. Мы не знаем точно, кто первый доказал irrationalность этого числа, однокто мы убежданы, что сделано было это примерно так.

Доказательство первого

Допустим, что число $\sqrt{2}$ irrationalно. Геометрический это означает, что диагональ квадрата длины $c$ созмерма с его стороны длины $a$, то есть найдет отрезок длины $d$ и целые числа $m$ и $n$ такие, что $c=dm$, $a=dn$. Отметим $m-1$ точек на диагонали $AC$ и $n-1$ точек на стороне $DC$, делящие эти отрезки на кусочки длины $d$. Отложим на $|AC|$ отрезок $AK: |AK|=|AD|;$ на $|DC|$ — отрезок $DE: |DE|=|KC|$. Точки $K$ и $E$ попадут в отмещенные точки

Рис. 1.

Доказательство второе

Иrrationalность $\sqrt{2}$ означает, что уравнения $x^2=2y^2$ нет решения в натуральных числах $x, y$. Допустим, что такие решения есть, и $x=m$, $y=n$ — одно из них.

Из уравнения следует, что $m$-четное число, $m=2m_1$. Подставляя $m=2m_1$ в уравнение, получаем $n^2=2m_1^2$, то есть $x=n$, $y=m_1$- тоже решение. Отметим при этом, что $n<m$, $m_1<n$. Тепер видно, что и $n$-четное число, $n=2n_1$, следовательно, $m_1^2=2n_1^2$. Таким образом

25

разом, $x = m_1, y = n_1$ — решение уравнения, при этом $m_1 < n, n_1 < m_1$. Мы можем построить так же и дальнейше, получая все меньше и меньше решение уравнения. Но здесь-то уже и есть противоречие. Ведь все числа $m, n, m_1, n_1, \dots$ — натуральные, $m > n > m_1 > n_1 > \dots$, а бесконечной убывающей последовательности натуральных чисел быть не может! Значит, наше предположение было ошибочно, и число $\sqrt{2}$ irrationalно.

Оба рассуждания по существу проходили по одному схеме: предположив, что у задачи есть решение, мы строили некоторый бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чем-то кончаться. Подобный метод и называется методом бесконечного спуска $^*$.

Часто метод спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добавились до естественного конца процесса, мы видим, что «остановиться» не может.

Доказательство третье

Пусть $x = m, y = n$ — решение уравнения $x^2 = 2y^2$ с наименьшим возможным $x$. Число $m$ должно быть четным, $m = 2m_1$, следовательно, $x = n, y = m_1$ — тоже решение нашего уравнения. Однако $m > n$, что противоречит выбору решение $m, n$ как «наименьшего».

Из этого варианта доказательства видно, что метод спуска средний метод математической индукции. Оба метода основаны на том факте, что любое неусмотное множество науральных чисел имеет минимальный элемент. Метод спуска наиболее удобен для доказательства «отрицанию» теорем.

Метод спуска в задачах

Задача 1. Доказать неразрешимость в науральных числах уравнения

$$8x^4 + 4y^4 + 2z^4 = t^4.$$

*) Метод бесконечного спуска изобрел, по-видимому, древнегреческий математик. Есть основания полагать, что Ферма пытается доказывать свою Великую теорему именно этим методом.

Решение. Допустим, что решение есть, и $x = m, y = n, z = p, t = r$ — решение с наименьшим возможным $x$. Из уравнения видно, что $r$ — четное число, $r = 2r_1$.

Подставляя это решение в уравнение и делая на 2, получаем

$$4m^4 + 2n^4 + p^4 = 8r_1^4.$$

Тепер ясно, что $p$ — четное, $p = 2p_1$, следовательно,

$$2m^4 + n^4 + 8p_1^4 = 4r_1^4.$$

Далее действует так же: $n = 2n_1$, $m^4 + 8n_1^4 + 4p_1^4 = 2r_1^4$.

Наконец, $m = 2m_1$, $8m_1^4 + 4n_1^4 + 2p_1^4 = r_1^4$.

Таким образом, $x = m_1, y = n_1, z = p_1, t = r_1$ — решение нашего уравнения. Но ведь $m_1 < m$! Мы получили противоречение с выбором решения $m, n, p, r$ как «наименьшего».

Рассмотрим задачу сложнее.

Задача 2. Доказать неразрешимость в науральных числах уравнения

$$x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 2xyzu.$$

Решение. Пусть $x, y, z, u$ — решение.

Так как $x^2 + y^2 + z^2 + u^2$ — четное число, то средние чисел $x, y, z, u$ — четное число нечетных, то есть либо четые, либо два, либо нуль. Если все числа нечетные, то $x^2 + y^2 + z^2 + u^2$ не делится на 4, а $2xyzu$ не делится. Если же только два нечетных числа, то $x^2 + y^2 + z^2 + u^2$ не делится на 4, а $2xyzu$ делится. Поэтому все числа, то есть $x = 2x_1, y = 2y_1, z = 2z_1, u = 2u_1$. Подставив эти значения в уравнение, получаем

$$x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + u_1^2 = 8x_1y_1z_1u_1.$$

Как и прежде, видим, что все четые числа нечетными быть не могут, иначе $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + u_1^2$ не делится на 8. Так же не могут быть нечетнымировно числа, либо и тогда $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 + u_1^2$ не делится на 8. Итак, мы получаем, что все числа нечетные, то есть

$$x_1 = 2x_2, y_1 = 2y_2, z_1 = 2z_2, u_1 = 2u_2.$$

26

Позтому

$$x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 + u_2^2 = 32x_2y_2z_2u_2.$$
Рассуждая как и раньше, получаем, что $x_2, y_2, z_2, u_2$ — четные числа и так далее. Легко понять, что при всяком натуральном s

$$x_s^2 + y_s^2 + z_s^2 + u_s^2 = 2^{2s+1}x_sy_sz_su_s,$$

причем

$$x_k = 2x_{k+1}; y_k = 2y_{k+1};$$

$$z_k = 2z_{k+1}; u_k = 2u_{k+1}; k \geqslant 1.$$

To есть при любом натуральном s числа $\frac{x}{2^s}, \frac{y}{2^s}, \frac{z}{2^s}, \frac{u}{2^s}$ — целые. Ну, а это невозможно ни при каких натуральных x, y, z, u.

А вот уравнение, у которой бесконечного много решений, но которое исследуется тем же методом.

Задача 3. Найти все решения в натуральных числах уравнения

$$x^2 - 2y^2 = 1.$$

Решение е. Очевидно, что $x_1 = 3, y_1 = 2$ — решение данного уравнения. Докажем, что если пара x, y — решение, то пара 3x + 4y; 2x + 3y — тоже решение. Это следует изложества

$$(3x + 4y)^2 - 2(2x + 3y)^2 = x^2 - 2y^2.$$

Таким образом,

$$x_2 = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 17,$$

$$y_2 = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12;$$

$$x_3 = 99, y_3 = 70,$$ и так далее.

Мы указываем бесконечную последовательность решений $x_1, y_1; x_2, y_2; \dots$ Докажем теперь, что других чисел, удовлетворяющих уравнению, нет.

Пусть x, y — неокторое решение. В таком случае 3x - 4y, 3y - 2x — также решение, либо

$$(3x - 4y)^2 - 2(3y - 2x)^2 = x^2 - 2y^2.$$

Из условия 9 = 9x^2 - 18y^2 > -2y^2 следует, что 3x > 4y; а при y > 2 из условия 4 = 4x^2 - 8y^2 < y^2 следует, что 3y > 2x. To есть при y > 2 мы из решения x, y получаем решение $x^{(1)}, y^{(1)}$ в натуральных числах, причем $x^{(1)} < x, y^{(1)} < y$. Так как этот процесс не может продолжаться бесконечно (в любом неупустом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент!), то когда-нибудь мы получим решение $x^{(n)}, y^{(n)}$, где $y^{(n)} \leqslant 2$. Так как $y^{(n)}$, очевидно, не может равнять 1, то $y^{(n)} = 2$. Значит, $x^{(n)} = 3$.

А это и означает, что числа x и y принадлежат построенной ранее последовательности.

Do сх пор мы рассматривали только уравнения. Телерь решим нашим методом «текстового» задачу.

Задача 4. Имеется 2n + 1 цифры, каждой из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 2n из них можно так разложить на чиси весов, по n на каждую, что настуит равновесие. Доказать, что все цифры имеют одинаковый вес.

Решение е. Ясно, что всегири одновременно имеют или четный или нечетный вес: вес любых 2 n гирь четен. Вычитем теперь весов всех гирь вес самой легкой гири (или самых легких, если их несколько). Новая система гирь, оченьindo, также удовлетворяет условиям задачи, причем среди гирь есть «гири» нульового веса. Поэтому опять же получаем, что вес всех гирь четен, и так далее. Из «бесконечного спуска» следует, что все «гири» нульовые, а это и означает, что все исходные гири имеют одинаковый вес.

Идея бесконечного спуска позволяет решать неокторные задачи комбиниаторов геометрии.

Задача 5. Можно ли куб разрезать на неокторко различных кубков?

Решение е. Сделаем сначала одно очень замечание. Пусть квадрат P разбит на конечное число различных квадратов. Тогда самый маленький квадрат не прилегает к границе квадрата P.

Допустим теперь, что куб Q удалилось разрезать на различные кубы Q_j; пусть P — одна из граней Q. Кубы Q_j, прилегающие к P, порождают разбиение P на попарно различные квадраты. Пусть P_1 — самый маленький из этих квадратов, Q_1 — соответствующий к границе P, следовательно, он окружен большими квадратами. Соответствующие кубы образуют «колодец», в котором лежит кубик Q_1.

27

Пусть $P_1'$ — «верхняя» грань (противоположная грани $P_1$) куба $Q_1$. Кубы, прилегающие к $P_1'$, порождают разбиение $P_1'$ на различные квадраты. Вновь самый маленький из них, $P_2$, расположен внутри $P_1'$, следовательно, кубы, окружающие соответствующей кубик $Q_2$, больше $Q_2$ и снова образуют «колодец». Продолжая построение и дальнейше, мы получим бесконечную «башню», состоящую из все уменьшаюшихся кубов, а это невозможно.

В заключение — задача на клетчатой бумаге.

Задача 6. Дан лист клемма-той бумаги. Доказать, что при $n \neq 4$ не существует правильного $n$-уольника с вершинами в узлах. Действительно, пусть $a$ — длина стороны этого треугольника; тогда $a^2$ — целое число по теореме Пифагора. Площадь треугольника равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, то есть irrationalна. С другой стороны, оченьindo, что площадь любого многоугольника с вершинами в узлах разциональная.

Поскольку в правильный шестиугольник можно писать правильный треугольник с вершинами в его вершинах, для $n=6$ утверждение тоже доказано.

Пусть $n \neq 3,4,6$. Допустим, что $P_1, P_2, \dots, P_n$ — $n$-уольник с вершинами в узлах. Отложим от точек $P_1, P_2, \dots, P_n$ векторы, соответствующее вектором $\overrightarrow{P_2}P_3; \overrightarrow{P_3}P_4; \dots, \overrightarrow{P_1}P_2$ (рис. 2). Новые точки вновь попадут в узлы решетки и образуют правильный $n$-уольник внутри первого равноваяного. С новым $n$-уольником можно построить так же, и так далее, без конца. Однако квадрат длины сторон $n$-уольника — целое число, а при наших построениях оно все время уменьшается!

У разженяя

1. Доказать, что основание и боковая сторона равноведренного треугольника с углом при вершине $36^\circ$ несозмерными.
2. Доказать, что число 7 нельзя представить в виде суммы квадратов трех разциональных чисел.
3. Решить в целых числах уравнения:
   a) $x^3 - 3y^3 - 9z^3 = 0$;
   b) $5x^3 + 11y^3 + 13z^3 = 0$.
4. Доказать, что уравнение
   a) $x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz$;
   b) $(x+1)^3 - x^3 = y^2$.
5. Решить в натуральных числах уравнения:
   a) $x^2 + (x+1)^2 = y^2 + 1$;
   b) $3x^2 - 7y^2 + 1 = 0$;
   b) $(x+1)^3 - x^3 = y^2$.
6. Доказать, что нижкое число вида $4^n(8k-1)$, где $k$ и $n$ — натуральные, не является полным квадратом и не представимо в виде суммы двух или трех квадратов чисел.
7. $a_1, a_2, \dots, a_n$ — набор попарно различных натуральных чисел ($n > 2$). Из него получается новый набор $\frac{a_1 + a_2}{2}, \frac{a_2 + a_3}{2}, \dots, \frac{a_{n-1} + a_n}{2}, \frac{a_n + a_1}{2}$;
   из него — следующее, по тому же правлиу, и так далее. Доказать, что через несколько шагов обязаательно получится набор, в котором не все числа будут целыми.
8. Дан выпуклый многоугольник и точка внутри него. Доказать, что хотя бы один из перпендикуляров к плоскостям граней, проведенных через эту точку, пересекается с соответствующей гранью. Верен ли этот факт для невыпуклого многоугольника?
9. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ — произвольный набор натуральных чисел. Доказать, что если образовать из него новый набор $b_1, b_2, \dots, b_{2n}$ по правлиу $b_k = |a_k+1 - a_k|$, $k=1, 2, \dots, 2^n$, $a_{2n+1} = a_1$, затем из набора $b_1, b_2, \dots, b_{2n}$ по тому же правлиу образовать набор $c_1, c_2, \dots, c_{2n}$, то через некоторое количество шагов мы придем к набору, состоящему только из нуля.

28

Задчи

M481—M485; Ф493—Ф497

М481. В последовательности натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ каждый член $a_{k+1}$ равен сумме квадратов цифр в десятичной записи числа $a_k(k \ge 1)$. Докажите, что при любом $a_1$ в этой последовательности встречается число 1 или число 89.

В. Панфилов

М482. Сечение правильного тетраэдра — четырехугольник. Докажите, что перimeter этого четырехугольника больше 2$a$, но меньше 3$a$; где $a$ — длина ребра tetraэдра.

В. Произволов, А. Савин

М483. a) Докажите, что отношение радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведенных из острых углов, не превышает 1/5.

6. Найдите наиболее значение, которое может принимать это отношение.

Я. Темралев

М484. При каких $n$ существует выпуклый $n$-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?

С. Н. Миронов

М485*. a) Докажите, что число $e$ заключено между числами $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ и $b_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ при любом натуральном $n$.

6. Докажите, что последовательность $c_n = \left(1 + \frac{1}{4n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ монotonно возрастает, а последовательность $d_n = \left(1 + \frac{1}{2n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ монotonно убывает.

в) Разделим отрезок $[a_n; b_n]$ на четыре равных по длине отрезка. В каком из них лежит число $e$?

г) Разделим отрезок $[a_n; b_n]$ на восемь равных частей. В какой из них лежит $e$?

д) А если отрезок $[a_n; b_n]$ разделить на $2^k$ равных частей (в этой задаче интересно получить ответ для достаточно больших $n$, например, для $n > 2^k$)?

29

(Напомним, что $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2,718...$, — см. учебник «Алгебра и начала анализа 10», pp. 106, 113.)

Т. Мартыненко, Р. Ушаков

Ф493. Какое влияние оказывает Луна на траекторию движения Земли вокруг Солнца?

Ф494. В схеме, изображенной на рисунке 1, $R_2 = 90 \text{ Om}$, $R_3 = 300 \text{ Om}$, $R_4 = 60 \text{ Om}$ и $L_2 = 900 \text{ F}$. Каковы значения $R_1$ и $L_1$, если через галванометр $G$ ток не идет независяimo от того, подключен к клемам $a$ и $b$ источник постояного или переменного тока?

XXIV Олимпца ПНР (1975 г.)

Ф495. Три несмешивающие жидкости с плотностью $\rho_1$, $\rho_2$ и $\rho_3$ заполняют замкнутую тонкую цилиндрическую трубку, образующую колюцо, плоскость которого вертикальная (рис. 2). Жидкость с плотностью $\rho_1$ заполняетдугу колюца с углом $\alpha_1$, а жидкость с плотностью $\rho_2$ —дугу с углом $\alpha_2$. Какой угол $\alpha$ образует с вертикально радиус колюца, проведенный к границе этих жидкости? Поверхностными эффективами претенбреть.

Ф496*. В цилиндрический конденсатор в точке $A$ впускается слегка расходящая пучок положительныхонов с малым углом растора $\alpha$ (рис. 3). Все они в пучке имеют одинаковую энергию. Те онны, у которых вектор скорости в точке $A$ направлен перpendикулярно $AO$, движется по окружности радиуса $|AO|=r_0$, концентрической с обкладками конденсатора. Доказать, что пучок оннов будет фокусироваться в точке $B$ такой, что $\widehat{AOB} = \pi \sqrt{2}$. Определить максимальный ширину пучка.

Ф497. Диск радиуса $r$, врашающая с угловой скоростью $\omega$, бросают со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Плоскость диска во время его движения остается вертикальной. Найти радиус кривизны траектории самой верхней точки диска в тот момент, когда диск достигнет максимальной высоты своего подьема.

30

Решения задач
M436—M440; Ф448, Ф450—Ф452

M436. Дано 20 чисел $a_1, a_2, \dots, a_{10}, b_1, b_2, \dots, b_{10}$. Докажите, что множество из 10 чисел (необязательное различных) $a_1 + b_1, a_1 + b_2, \dots, a_{10} + b_{10}$ можно разбить на 10 подмножества, по 10 чисел в каждой мак, чтобы сумма чисел в каждой подмножестве была одной и той же цифрой). Легко видеть, что в каждом столбце (в каждой строке) есть представители всех подмножества, так что индексы $i$ и $j$ чисел $a_i + b_j$, входящих в каждое из подмножества, принимают все значения от 1 до 10 (ровно по одному разу). Поэтому сумма чисел в каждом из подмножества одна и та же: $a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + b_1 + b_2 + \dots + b_{10}$.

С. Берковаю

Рис. 1.

Рис. 2.

М437. Докажите, что нечетное число, являющееся произведение n различных множителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел равно $2^{n-1}$ различными способами.

М438. В данной семетии вычисляются всевозможные пары касацихса окружности. Для каждой пары окружности через точку касация про-
Докажем, что все эти прямые проходят через точку $M$ — середину дуги сегмента, дополнительного данный сегмента до кругга. Обозначим границу этого кругга через $\gamma$ (рис. 3).

Через $K$ обозначим точку пересечения диаметра $MN$ окружности $\gamma$ с хордой $AB$ данного сегмента. Пусть $\gamma_1$ и

32

(еде $a_1, a_2, \dots, a_n$ — действительные $k_1, k_2, \dots, k_n$ — натуральные числа) имеет не более $n$ положительных корней.

в) Доказание, что уравнение
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(еде $a, b, c$ — действительные $k, l, m, p, q, r$ — натуральные числа) имеет не более 14 положительных корней.

Рис. 5.

части уравнения $(1')$ на $(-a_n x^k n^{-1})$, получим уравнение
$$b_1 x^{k_1}-k_n + b_2 x^{k_2}-k_n + \dots + b_{n-1} x^{k_n-1}-k_n = 1$$
(имеющей более $n-1$ положительных корней). Продифференцировав обе части уравнения $(2)$, получим уравнение
$$\bar{b}_1 x^{k_1}-k_n-1 + \bar{b}_2 x^{k_2}-k_n-1 + \dots + \bar{b}_{n-1} x^{k_n-1}-k_n-1 = 0$$
(имеющей более $n-2$ положительных корней). Проделав указанные действия $n-1$ раз, мы придем к уравнению
$$\alpha x^m = 1, (m = k_1-k_2),$$

которое, в силу сделанного предположения относительно уравнения $(1)$, должно иметь более одного положительного корня. Но это невозможно; значит, исходное уравнение $(1)$ не может иметь более $n$ положительных корней. Утверждение задачи 6) доказано.

Перейдем к задаче в). Нам понадобится следующий факт.

Пусть $P_m(x)$ — многочлен от $x$ степени $m$. Тогда произвольная выражения $x^k(x+1)^p P_m(x)$ имеет вид
$$x^{k-1}(x+1)^{p-1} P_{m+1}(x),$$ где $P_{m+1}(x)$ — многочлен от $x$ степени $m+1$ ($k$ и $p$ — любые действительные числа). Действительно,

$$(x^k(x+1)^p P_m(x))' = kx^{k-1}(x+1)^p P_m(x) +$$
$$+ px^k(x+1)^{p-1} P_m(x) + x^k(x+1)^p P'_m(x) =$$
$$= x^{k-1}(x+1)^{p-1} [k(x+1)P_m(x) + pxP_m(x) +$$
$$+ x(x+1)P'_m(x)] = x^{k-1}(x+1)^{p-1} P_{m+1}(x),$$

где $P_{m+1}(x)$ — многочлен степени $m+1$, записанный в квадратных скобках (напомним, что степень многочлена $P'_m(x)$ равна $m-1$).

Предположим теперь, что уравнение
$$ax^k(x+1)^p + bx^l(x+1)^q + cx^m(x+1)^r = 1$$
(имеющей более 14 положительных корней). Тогда, так же как и задачке 6), уравнение, полученное из него дифференцированием обихих частей, имеет более 13 положительных корней. Это уравнение будет такого вида (см. доказанное выше дифференцирования):

$$x^{k-1}(x+1)^{p-1} A_1(x) + x^{l-1}(x+1)^{q-1} B_1(x) +$$
$$+ x^{m-1}(x+1)^{r-1} C_1(x) = 0$$
(числа $k, p, l, q, m, r$ могут быть любыми действительными; $A_1(x), B_1(x), C_1(x)$ — многочлены первого степени).

Поделив обе части уравнения $(4')$ на $x^{m-1}(x+1)^{r-1}$ (это — «законная» операция: нас интересует только положительные корни!), мы получим уравнение
$$x^{k-m}(x+1)^{p-r} A_1(x) + x^{l-m}(x+1)^{q-r} B_1(x) + C_1(x) = 0$$
(имеющей более 13 положительных корней). Продилев обе части уравнения $(4'')$ два раза, получим уравнение
$$x^{k-m-2}(x+1)^{p-r-2} A_3(x) + x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2} B_3(x) = 0$$
(имеющей более 11 положительных корней (продумайте это!). Поделив обе части уравнения $(5)$ на $x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}$, получим уравнение
$$x^{k-l}(x+1)^{p-q} A_3(x) + B_3(x) = 0$$
(имеющей более 12 положительных корней). Продилев обе части уравнения $(5')$ на $x^{l-m-2}(x+1)^{q-r-2}$, получим уравнение
$$x^{k-l}(x+1)^{p-q} A_3(x) + B_3(x) = 0$$

34

Ф448. Почему бревна, пли-вуцице по реке, ориентированы вседа по местению, а не поперек его?

Рис. 8.

Ф450. Ядро массы m, легя-цee со скоростью $v_0$, распадается на лему на два одинаковых осолкка. Определим максимальное возможный угол между вектором скорости одного из осолков и вектором $v_0$, если при распаде покоящегося ядра осолки имеем скорость $|\vec{v}| < |\vec{v}_0|$.

Рис. 9.

Ф451. Нарисуйте примерный график зависимости мока через сопротивление R от положения движения левжака помещением (рис. 10). При каком значении $y = x/l$ этом ток максимален?

$$K \cdot C \cdot 3 \leq K_3 \cdot K_C \cdot C_K \cdot C_3 \cdot 3_C \leq \left[ \frac{1}{6} \left(K_3 + K_C + \dots + 3_K\right) \right]^6 \leq 50^8,$$

откуда $X \leq 2500$.

Пример расположения 2500 шампуров в соответствии с условиями задачи 6) приведен на рисунке 7.

Н. Нечьемаев,
C. Фомин

Действие сил треня приводит к тому, что в русле реки устанавливается определенное распределение скоростей различных частей потока. Tonкие слои жидкости, примыкающие к берегам (и дну реки), неподвижны, а по мере приближения к середине реки (и к поверхности воды) скорость воды непрерывно возрастает (рис. 8).

Если в реку помещить бревно, расположенное под углом к течение, то та часть бревна, которая находится близке к берегу, будет движаться с меньшей скоростью, чем часть бревна, находящая близке к середине реки. Это приводит к тому, что бревно начинает поворачиваться. И будет поворачиваться до тех пор, пока близкая к середине реки到期 бревна не оказывается впереди, а само бревно не будет ориентирован по течение.

Скорость $\vec{u}$ одного из осолков ядра равна

$$\vec{u} = \vec{v}_0 + \vec{v},$$

где $\vec{v}_0$ — его скорость до распада ядра, а $\vec{v}$ — скорость осолка относительно покоящегося ядра (то есть в той системе координат, в которой ядро до распада покойлось).

Расположим вектор $\vec{v}_0$ так, как показано на рисунке 9. Конец вектора $\vec{v}$ может лежать на окружности радиуса $|\vec{v}|$. Из рисунка 9 видно, что вектор $\vec{u}$ составляет максимальный угол $\alpha$ с вектором $\vec{v}_0$, если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\pi/2$. В этом случае

$$\alpha = \arcsin \frac{|\vec{v}|}{|\vec{v}_0|}.$$

Подвижный контакт (движок) делит сопротивление $r$ потенциометра на две части. Обозначим их через $r_1$ и $r_2$ (рис. 11), причем

$$r_1 = ry \text{ и } r_2 = r(1 - y).$$

Общее сопротивление $R_0$ цепи равно

$$R_0 = R_1 + r_2 + \frac{r_1R}{r_1 + R}$$

(считаем, что внутреннее сопротивление источника входит в $R_1$). Ток в цепи

36

Вопросы по геометрии

На каждый из перечисленных ниже вопросов дано 5 вариантов ответа (а, б, в, г, д), из которых в точности один — правильный. Попробуйте найти правильные ответы на все вопросы. Сверьте свои ответы с приведенными в конце номера. Для выполнения этого задания не требуется специальных знаний, выходящих за рамки школьной программы.

А. Геометрические преобразования и векторы

1 (VIII)*). Сколько существует перемещений плоскости, отображающих первый из указанных на рисунке отрезков (сторон прямогольника) на второй (см. рисунок)?

а) Одно, 6) два, в) три, г) четвере, д) бесконечного много.
2 (IX). Сколько существует перемещений пространства, отображающих данный отрезок на себя?
a) Одно, 6) два, в) три, г) четвере, д) бесконечного много.
3 (VIII). Треугольники $T_1$ и $T_2$ на плоскости подобыны с коэффициентом подобия 2. Сколько существует

*) После номера вопроса указаны классы, на которые он рассчитан.

треугольников, готовыми $T_1$ с заданным центром готовии и конгруэнтных треугольники $T_2$?
a) Один, 6) два, в) три, г) бесконечного много, д) ни одного.
4 (IX). В пространстве даны два отличных от 0 вектора $a$ и $b$. Сколько существует векторов $x$ длины 1 таких, что $x \cdot a = 0$ и $x \cdot b = 0$?
a) Ни одного, 6) один, в) два, г) бесконечного много, д) ответ зависит от $a$ и $b$.
Б. Взаимное расположение прямых и плоскостей
5 (VIII). В плоскости три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько в этой плоскости есть прямых, равнодаленных от данных точек?
a) Одна, 6) два, в) три, г) бесконечного много, д) ни одной.
6 (IX, X). Сколько существует плоскостей, равнодаленных от четырех данных не принадлежащих одной плоскости точек?
a) Одна, 6) два, в) три, г) четвере, д) бесконечного много.
7 (VIII, X). Сколько существует прямых, разбиающих данной треугольник на две части равной площади?
a) Одна, 6) два, в) три, г) четвере, д) бесконечного много.
8 (IX, X). Сколько существует прямых, пересекающих каждой из трех данных попарно скрещивающихся прямых?
a) Бесконечного много, 6) ни одной, в) одна, г) две, д) три.
9 (IX, X). Ортогональная проекция прямого угла $AOB$ на некоторую плоскость есть угол $A_1O_1B_1$. Какие значения может иметь угла $A_1O_1B_1$?
a) Только $90^\circ$, 6) любое от $0^\circ$ до $180^\circ$, в) любое от $0^\circ$ до $90^\circ$, г) любое от $90^\circ$ до $180^\circ$, д) любое от $45^\circ$ до $135^\circ$.
10 (X). Плоскость пересекает куб, но не проходит ни через одну из его вершин. Сколько ребра куба может пересекать эта плоскость?
a) 3 или 4, 6) от 3 до 5, в) от 3 до 6, г) от 3 до 7, д) от 3 до 10.

37

«Квант» для младших школьников

Задания

1. Из спичек сложили неверное равенство (см. рисунок). Переложите в этом равенстве одну спичку так, чтобы получить верное равенство.

2. Сколькоми способами можно прочитать слово МАРШРУТ на орнаменте, изобразением на рисунке, если начинать можно с любой буквы M, а каждую последуюшую букву выбирать из соседних клеток (соседними считаются клетки, имеющие либо общую сторону, либо общую вершину)?

3. В каждом из этих двух ребсоващифрован процесс сложения столбком. Одинаковый буква соответствует одинаковые цифры, разным—разные. Расшифруйте примеры.

4. Произведение двух двухначных чисел делится на 121 и является четым-рехзначным числом, в записи которого участвует лишь две цифры, причем каждая из них по два раза. Найditе эти числа.

XVI + II = XV

37

38

Е. Семенов
ДОКАЗАТЬ МОЖНО?

• ДОКАЗАТЬ НЕЛЬЗЯ!

— Пап, а, пап! А белка кушает кедровые орешки?
— Да, доченька.
— А кедр — это такая травка?
— Ну что ты, Танюша! Кедр — это дерево!
— Если бы моя белка была не кукульной, а настоящей, я взяла бы ее в лес, и если эта белка на какое-нибудь дерево запрыгнула, — значит, это кедр.
(Из разговора маленькой Танюши)

Трудно сказать, с какого возраста мы начинаем заниматься доказательствами. Может, с того времени, когда начинаем случайить и попытать сказать, когда свои куклы превращаем в героев условиях сказок, перемешивая детскую фантацию «со взрослой былью». Примером может служить только что приведенный разговор. Вы, наверное, заметили, что в разговоре маленькой Тани содержится (может быть, первоое в ее жизни) доказательство. Смотрите, она считает, что:

1. белка кушает кедровые ореши;
2. кедр — это дерево;
3. белка влеза на данное дерево.

На этом основании Таня делает выбор, что данное дерево — кедр. Правда, Танин вывод ошибочен. Чтобы этот выбор был верен, нужно еще одно условие:

4. если дерево — не кедр, то белка на макое дерево не полезет (инначе: из всех деревьев белка влазает молоко на кедр).

Посмотрим, однако, на Танино доказательство с другой стороны. В ее распоряжении были три перечисленных условий. Можно ли на их основе, не пользоваться никакими другими условиями, доказать полученный выбор? — Конечно, нет! А опровергнуть? — Тожде нет! Может оказаться, что дерево, на котором влазла белка, — кедр, и тогда вывод верен, но с таким же успехом белка может власть на берегу, и тогда вывод неверен. Математик сказал бы, что Танин заключение неависимо от ее трех условий.

И все-tаки… и в более старшем возрасте мы тоже иногда допускаем аналогичные ошибки. Сомневаетесь? Тогда послушайте историю, которая

39

произошла с нашим слабым шестиклассником Степой Мошкиным и его друзьями при изучении им геометрии.

1. Степа и его друзья ищут доказательство

—Третье свойство расстояний подозрительно! Почему оно дает без доказательства? Каждый его можно доказать с помощью perвых двух свойств расстояний! — глубокомысленно произнес Степа.

На другой день этим занимались все друзья Степы, увлеченные его идеей. Их усилия не были направлены: вскоре были найдены сразу несколько доказательств.

Прежде всего напомним читателем свойства расстояний. Их, как вы помните, три.

1. Расстояние от точки A до точки B положительно, если они различны, и равно нулю, если они совпадают:

$$|AB| > 0, \text{ если } A \neq B, \text{ и } |AB| = 0, \text{ если } A = B.$$

2. Расстояние от точки A до точки B равно расстоянию от точки B до точки A:

$$|AB| = |BA|.$$

3. Для любых трех точки A, B, C расстояние от A до C не больше (меньше или равно) суммы расстояний от A до B и от B до C:

$$|AC| \leq |AB| + |BC|.$$

А теперь познакомиться с одним из доказательств Степы и его друзей.

Надо доказать, что для любых трех точки A, B, C выполняется такое неравенство:

$$|AC| \leq |AB| + |BC|.$$

Допустим, что это не мак. Пусть

$$|AC| > |AB| + |BC|.$$

() Так как A, B, C — любые три точки, мо пусить, например, точка B совпадает с C, точка A отлича от B: B = C, A ≠ B. Поскольку в этом случае |BC| = 0 (no свойству 1), то из () получаем, что |AC| > |AB|. С другой стороны, поскольку точки B и C совпадают, |AC| = |AB|. Пришли к противоречению: |AC| > |AB| и |AC| = |AB|. Следовательно, допущение, что |AC| > |AB| + |BC|, неверно. Остаемся, естественно, что |AC| ≤ |AB| + |BC|, то есть свойство 3 выполняется!

Степа Мошкин и его друзья ликовали. Доказательство третьего свойства расстояний найдено! Причем это доказательство использует только первое свойство! Отсюда — новая идея: а нельзя ли доказать и второе свойство расстояний с помощью perвого? «Математическое общество» Степы Мошкин с удовлетворенной принялись за работу. Незввестно, когда и чем бы это все кончилось, если бы не Петр Иванович.

2. Доказательства не существует!

На очередном уроке по геометрии Степа и его друзья познакомили с найdenными доказательствами Петра Ивановича. Тот внимательно выслушал их и сказал.

— Знаете, в каждом из ваших доказательств содержится ошибка. Но самое главное не в этом. Я мог дать такой ответ, не знакомя с вашими доказательствами. С помощью perвых двух свойств расстояний третье свойство вы не доказете!

— Как! — воскликнул Степа. — Это было не может! А если бы до-

40

казательство было сделано другими?… Ну, например, десятиклассики?… Или каким-нибудь ученым, академиком?!

— Никакой ученый, друзья, этим занимается не станет, потому что он наперед знает о невозможности такого документаства. И десятиклассик не будет делать таких попыток, если он достаточно хорошо знать математику.

Все укоризенно посмотрели на Степу. Надо же было ему вовлечь их в это безнадежное дело. Столько времени затрачен! И вот такой печальный конец. Не могли договораться обратиться сразу к Петру Ивановичу!

— Да вы не расстраивайтесь! — сказал Петр Иванович. — Вы не одноки в своей «неудание». Аксиму параälельности Евклида документали в течение 2 тысяч лет много известные и талантливые математики мира. Далее Николай Иванович Лобачевский сначала пытался это сделать. И лишь в прошломве было установлено, что доказать эту аксиomy на основе других аксиом Евклида невозможно. А теперь сравните несколько дней ваших трудов с трудом продолжительного в 2 тысяч лет! Вы видите, насколько скромны ваши услуги по сравнению с усилиями многих математиков, отдавших на доказательство аксиомы параälельности всего своего жизни?

3. Доказать невозможно? — Почему?

— Но как, каким образом можно узнать, что доказательство невозможно? — заговорили сразу все ученики класса, даже те, кто не искал документа третьего свойства расстояния.

— Прежде всего, — начал Петр Иванович, — не считайте, что расстояние — это обязательное нечто, полученное с помощью масштабной линейки. Ведь в аксиомах расстояний об этом ничего не сказано! И почему бы не считать, что расстояние можно изменять, скажем, в градусах, с помощью транспорта? Разве аксиомы расстояния запрещают это делать? Да и вы передко измените расстояние в минутах — от дома до школьы 10 минут. Так вот, сейчас мы построим такую модель, в которой свойства 1 и 2 расстояний будут выполнться, а свойство 3 выполнться не будет.

Представьте себе такую фантастическую ситуацию. Город (плоскость) заселен крайне ленивыми существами. Они не ходят на работу, в кино, в гости, друг к другу, они лишь звонить друг друга по телефону. Причем из точки А в точку B и из B в А можно дозвониться за 3 минуты. В любую другую точку из A и B можно дозвониться за 1 минуту. Из любой точки, отличной от A и B, в любую другую точку можно дозвониться тоже за 1 минуту. А из любой точки в нее саму можно «дозвониться» за нульво времени.

Для таких лентяев расстоянием от одной точки до другой является время, за которой можно дозвониться из первой точки во вторую.

Проверьте выполнение расстояния в этом фантастическом городе. Видите? Первое и второе выполнения, а третье — нет. Например, $|AB| > |AC| + |CB|$, так как $|AB| = 3$, $|AC| + |CB| = 1+1=2$.

41

— Ну вот, а теперь можно сделать и вывод, — сказал учитель. — Что значит «доказать третье свойство расстояний с помощью perвых двух свойств»?

— Это значит доказать, что если свойства 1 и 2 выполняются, то и свойство 3 будет выполнаться, — ответил Степа сразу за всех.

— А в рассмотрении модели свойства 1 и 2 выполняется, а свойство 3 не выполняется. Значит, доказать свойство 3 с помощью свойств 1 и 2 невозможно! Свойство 3 неависимо от свойств 1 и 2.

4. Новая модель

Вам, наверное, не терпится узнать, доказали ли Степа и его друзья воое свойство расстояний с помощью первого? И существует ли такое доказательство?

После получения «урока» «математическое общество» Степы Мошкин стало действовать осмотрительнее. Его члены поняли, что занятие математкой ознакомает не только понок доказательства, но и выяснение: а существует ли они? Сначала ребята решили попытаться построить модель, в которой первоое свойство расстояний выполилось бы, а второе — нет. Удача ознакомала бы, что доказательства второго свойства на основе первого не существует. И им повезло. Вот какую «телефонную» модель они построили: $|AB| = 2, |BA| = 1, |AC| = |CA| = |BC| = |CB| = 1$. Очевидно, что первоое свойство расстояний для всех точек в такой модели выполняется. Однако для точки

$A$ и $B$ второе свойство не выполняется: $|AB| \neq |BA|$. Следовательно, второе свойство расстояний неависимо от первого свойства.

5. Эпилог

Вот так закончился еще одна история, проискедшая с шестиклассником Степой Мошкиным. Вы думаете, после нее он угоомился? Ошибается! Степа приготовил для вас задания!

Ураженняя

1. Найдите ошибку в «доказательстве» третьего свойства расстояний.
2. Выясните, выполняется ли третье свойство расстояний в модели, построенной Степой и его друзьями.
3. Возьмите две различные точки $A$ и $B$. Будем считать, что $|AB| = 1, |BA| = 3$. Расстояние между любыми другими несовпадющими точками считайте равным 1, между совпадениями — 0. Доказите с помощью этой модели неависимо второго и третьего свойства расстояний от первого.
4. Доказите путем построения соответствующей модели, что второе свойство расстояний неависимо от третьего свойства.
5. Изображите трехугольник $ABC$ такой, что $\hat{C} = 100^\circ, \hat{A} = 30^\circ, \hat{B} = 50^\circ$. За расстояние между двумя вершинами треугольника прием выполнению угла при третьей вершине: $|AB| = 100, |AC| = 50, |BC| = 30$. Расстояние между любыми другими различными точками будет считать равным 1, расстояние между совпадениями точками будет считать равным 0. Обосновите с помощью этой модели неависимо доказательства третьего свойства с помощью perвых двух свойств расстояний.

42

Первый закон термодинамики

В термодинамике и молекулярной физике изучаются свойства макросоппических тел, то есть тел, состоящих из большого числа частиц (молекул, атомов и т. п.). Такие тела или их группы обычно называют термодинамическими системами.

Все макросоппические тела нарушуются механическая энергия системы чашце всего остаётся неизменной, поэтому для описания подобных явлений необходимо знать лишь внутреннюю энергию $U$ этой системы. В молекулярной физике под внутренней энергией понятно сумму кинетической энергии частиц, входящих в состав данного тела, и потенциальной энергии взаимодействия между этим частицами. Это означает, что внутренняя энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой постоянной $U_0^*$). Но поскольку

*) Вобщеше говоря, внутренняя энергия тела включает в себя также и внутренние энергии частицы, входящих в состав данного тела. Это, например, кинетическая энергия электронов и потенциальная энергия взаимодействия электронов между собой и с ядрами атомов, энергия связи нуклонов в ядрах и др. Однако в явлениях, изучаемых в молекулярной физике, частицы, из которых состояят тела, остаются неизменными, следовательно, внутренняя энергия этих частицы постоянна. Это позволяет включить ее в вышеуказанную постоянную ку физической смысл имеет только изменение энергии (с ним связана совершенная работа), то конкретное значение этой постоянной несущественно.

Из определения внутренней энергии системы следует, что она определяется скоростями частиц и расстояниями между ними в данной момент времени и не зависит от значений этих величины в предыдущем моменты времени. Другими словами, внутренняя энергия системы зависит только от состояния, в котором она находится в данной момент времени, и не зависит от состояния, из которых она перешла в данное. (По этой причине внутреннюю энергию системы, так же как и другие физические величины, обладающие этим же свойствам, называют функцией состояния.) Это означает, что при переходе системы из какого-то состояния $1$, в котором внутренняя энергия принимала значение $U_1$, в другой состояние $2$, где внутренняя энергия равна $U_2$, изменение внутренней энергии $\Delta U = U_2 - U_1$ зависит только от самих состояния $1$ и $2$ и не зависит от способа системы из одного состояния в другой.

Как можно изменить внутреннюю энергию системы? Очевидно, для этого надо изменить ее состояние. Это можно сделать двумя, существенно отличующими друг от друга, способами. Один из них — совершение работы над системой, второй — теплобмен с окружающей средой.

Первый закон термодинамики, установленный на основании многочисленных оптовых, утверждает, что изменение внутренней энергии $\Delta U$ системы равно сумме совершаемой над системой работы $A'$ внешних сил и количества теплоты $Q$, переданного системе извлечения:

$$\Delta U = A' + Q.$$

Этот закон можно сформировать несколько иначе, если вместо работы $A'$ внешних сил говорить о работе $A$ самой системы. Поскольку $A' = -A$, то

$$\Delta U = -A + Q,$$ или $Q = \Delta U + A$ — полученное системой количественного теплоты равно сумме изменения ее внутренней энергии и работы, совершенной

43

шаемой системой над внешними телами. Первый закон термодинамики — это конкретаная формулировка закона сохранения энергии в применении к тепловым процесам.

В качестве примера конкретной термодинамической системы рассмотрим идеальный газ. Его состояние можно описать путем параметрами: $m, \mu, p, V, T$. Здесь $m$ — масса газа, $\mu$ — его молярная масса, $p$ — давление газа, $V$ — занимаемый объем и $T$ — температура газа. Все эти параметры связаны уравнением состояния идеального газа — уравнением Менделеева — Клапейрона

$$pV = \frac{m}{\mu}RT,$$

где $R$ — универсальная газовая постоянная.

Внутренняя энергия идеального газа (кинетическая энергия теплового движения его молекул) тоже может быть выражена через те же параметры. Так, для однозотного идеального газа

$$U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu}RT = \frac{3}{2}pV.$$

Отсюда

$$U_2 - U_1 = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu}R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1).$$

Напомним, что работу, совершаемую идеальным газом при любых процесах, удобнее всего определять графическими (рис. 1): она численно равна площади фигуры, ограниченной графиком соответствующего процесса на $pV$-диаграмме, осью $V$ и отрезками, соответствующими начальному и конечному давлением газа.

Такой метод определяния работы позволяет наглядно продемонстрировать очень важное свойство. Пусть газ переходит из состояния 1 в состояние 2. Этот переход можно осуществить разными способами, например, по пути $1a2$ или $1b2$ (рис. 2). Как видно из рисунка 2, площади под графиками $1a2$ и $1b2$ отличаются друг от друга. Это означает, что работа, совершаемая газом при переходе из одного состояния в другое, зависит не только от этих состояний, но и от способа перехода из начального состояния в конечное. (Другими словами, работа в термодинамике не является функцией состояния.)

Рассмотрим следующие конкреты задачи:

Задача 1. Газ переходим из состояния 1, характеризуемое параметрами $p_1 = 2 \cdot 10^5$ Pa и $V_1 = 0,1$ m$^3$, в состоянии 2, где его параметры равны соответствующим $p_2 = 10^5$ Pa и $V_2 = 0,4$ m$^3$, двумя различных способами (рис. 3). Найти работу газа в общих случаях.

44

В первом случае, когда газ переходит из состояния 1 в состояние 2 по пути 1 a 2, его работа численно равна площади под графиком 1 a 2:
$$A_{1a^2} = p_1(V_2 - V_1) = 6 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Аналогично во втором случае равна газа численно равна площади под графиком 1 b 2:
$$A_{1b^2} = p_2(V_2 - V_1) = 3 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Задача 2. 4 моля газа совершаем процесс, изображенный на рисунке 4. На каком участке равна газа максимальная?

Прежде всего нарисуем график данного процесса в координатах $p, V$ (рис. 5). Для этого из уравнения Менделеева — Клапейрона найдем объем газа в точках 1, 2, 3 и 4:
$$V_1 = 0,1 \text{ м}^3, V_2 = 2V_1 = 0,2 \text{ м}^3, V_3 = V_2 \text{ и } V_4 = 0,5 \text{ м}^3.$$
Из рисунка 5 сразу следует, что на участке 2—3 работы не совершается (процесс изхорическая):
$$A_{2-3} = 0.$$
На участке 3—4 (при изхорическом процесс) равна равна площади со-ответствующего прямого лыжника:
$$A_{3-4} = p_3(V_4 - V_3) = 1,5 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Оценим теперь работу при изотермическом процессе 1—2. Очевидно, что площадь под участком 1—2 изотермы меньше площади трапеции 1—2—$V_2 - V_1$. Эта последняя равна $1,5 \times 10^4 \text{ Дж}$, то есть равна площади прямого лыжника, соответствующего участку 3—4. Таким образом,
$$A_{1-2} < A_{3-4} \text{ и } A_{2-3} = 0.$$
Следовательно, равна газа максимальная на участке 3—4.

Задача 3. Газ, занимающий объем $V_1 = 2 \text{ м}^3$ при давлении $p_1 = 4 \cdot 10^5 \text{ Pa}$, совершает круговой процесс (цикл), состоящий из нескольких этапов. Сначала газ изхорически охлаждается до температуры, при котором его давление равно $p_2 = 10^5 \text{ Pa}$. Затем он изхорически охлаждается в начальное состояние максимального, что его давление изменяется с изменением объема по закону: $p = \alpha V$ ($\alpha$ — постоянная величины). Нарисовать график данного кругового процесса на $pV$-диаграмме и найти совершенную газом равному.

Как следует из условия задачи, состояние газа 1 и 3 изобразаются точками, лежащими на прямой $p = \alpha V$, проходящей через начало координат (рис. 6). Это означает, что $p_1 = \alpha V_1$ и $p_3 = \alpha V_3$.

С учетом того, что $p_3 = p_2$, получаем $V_3 = \frac{p_2V_1}{p_1} = 0,5 \text{ м}^3$.

Работа при круговом процессе численно равна площади фигуры, ограниченной графиком этого процесса, в данной случае — площади треугольника 1 2 3:

$$A = \frac{1}{2} (p_1 - p_2) (V_1 - V_3) = \frac{(p_1 - p_2)^2 V_1}{2p_1} = 2,25 \cdot 10^5 \text{ Дж}.$$

Теперь поговорим немного о тепломкости идеального газа. По определению уделяя тепломкость
$$c = \frac{Q}{m \Delta T},$$

45

где $Q$ — сообщенное газу количество теплоты, $m$ — масса газа и $\Delta T$ — изменение его температуры. Согласно первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A$, тогда $c = \frac{\Delta U + A}{m \Delta T}$. Как уже говорилось, изменение внутренней энергии не зависит от способа изменения состояния газа (то есть от условий его нагрева), а работа — зависит. Следовательно, и удаляя теплоекость идеального газа зависит от условий, в которых происходит его нагрева. Например, если газ нагревается изохорическая, работа газа $A = 0$ и удаляя теплоекость газа при постоянном давлении

$$c_V = \frac{\Delta U}{m \Delta T}.$$

Если же газ нагревается изохорическая, $A = p \Delta V = \frac{m}{\mu} R \Delta T$, поэтому удаляя теплоекость идеального газа при постоянном давлении

$$c_p = \frac{\Delta U}{m \Delta T} + \frac{A}{m \Delta T} = c_V + \frac{R}{\mu} > c_V.$$

Это объясняется тем, что при изобарическом нагревании газа только часть полученного количества теплоты идет на увеличение внутренней энергии газа (на увеличение его температуры), часть же превращается в механическую работу. При изохорическом нагревании все количество теплоты расходуется на увеличение температуры газа. Следовательно, для увеличения температуры на один градус одной и той же массы газа при постоянном давлении требуется большее количество теплоты, чем при постоянном объете. Это и означает, что

$$c_p > c_V.$$

Для примера рассмотрим такую задачу:

Задача 4. Вычислить удаление тепломкости при постоянном объете и при постоянном давлении для аргона ($\mu = 40 \cdot 10^{-3}$ ккал/моль).

По определению

$$c_V = \frac{\Delta U}{m \Delta T} \text{ и } c_p = c_V + \frac{R}{\mu}.$$

Аргон — одноатомный газ, и для него

$$\Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R \Delta T.$$

Рис. 6.

Рис. 7.

Тогда

$$c_V = \frac{3}{2} \frac{R}{\mu} \approx 311 \text{ Дж/(кг·К)}$$

и

$$c_p = c_V + \frac{R}{\mu} = \frac{5}{2} \frac{R}{\mu} \approx 519 \text{ Дж/(кг·К).}$$

Разберем еще несколько задач:

Задача 5. Некоторые количества одноатомного газа занимаем объем $V_1 = 0,1 \text{ m}^3$ при давлении $p_1 = 2 \cdot 10^5 \text{ Pa}$. Если газ переходит из этого состояния в конечное состояние 2 сначала при изобарическом, а затем при изохорическом нагревании, то он совершаем работу $A_1 = 4 \cdot 10^4 \text{ Дж}$. Если же переход осуществляется неосредственно по прямой 1—2, то работа газа $A_2 = 5 \cdot 10^4 \text{ Дж}$. Найти давление и объем газа в конечном состоянии 2, а также количество теплоты, полученные газом в обихах случай.

Изображим указаные процессы на $pV$-диаграмме (рис. 7). Работа газа в первом процессе равна

$$A_1 = p_1(V_2 - V_1),$$