Квант 1978, №2 · Страницы

КВАНТ 2
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

«…имею удобольствие сообщить Вам о некоторовых порозительных результатах, полученных много… Главный из этих результатов… это создание прибора, который по своим действиям… сходен с лейденской банкой, … но который, однako, действует непрерывно, то есть его заряд после каждого разряда восстанавливается сам собой; одним словом, этот прибор создает неучичтожаемый заряд…» Так писал Алексаандро Волта председету Королевского общества (Академия наук Великобритании) об изобретенном им приборе, который он сам называл «электродвижущим аппаратом». После французы стали называть его «гальванческим столбом» или «вольтовым столбом».

В Милане (Италия) в музее истории науки и техники хранения волтовых столбы, сделанные самим Алексаандро Волта. (Вы видите их на фото.)

В истории изобретения этого прибора большею роль сыграл Луиджи Гальвани и его значительные «гальванские опыты». Об этой истории вы можете прочитать в статье «Спор о лягушке» в этом номере журнала.

1

В НОМЕРЕ:

Главный редактор академик И. К. Кикоин
Первый заместитель главного редактора академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. В. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

На первой странице обложки изображенно семейство сферических эллипсов. Эти же кривые окаймляют «полоски» и «шапочки», на которые «разрезан» другой экземпляр сферы. Подробнее о сферическом эллипсе читайте на c. 25.

2 А. Китайеродский. Как изменяются расстояния между atomами в кристаллах
10 С. Семенов. Руководь, найденная в Сарагосе
14 А. Дозоров. Что это значит — «навести на резкость»?

Лаборатория «Кванта»
18 А. Николаев. Прибор для изучения преломления света

Математический кругхок
20 З. Скопец, Л. Кузнецова. Седлообразная поверхность◆
25 В. Березин. Сферический эллипс

Задачик «Кванта»
26 Задачи M486—M490; Ф498—Ф502
28 Решения задач M441—M443; Ф453—Ф457

По страницам школьных учебников
34 А. Земляков, Б. Ивлеб. Вопросы по алгебре и анализу
36 Б. Гейдман. Композиция двух осевых симметрии

«Квант» для младших школьников
39 Задачи
40 И. Белкин. Спор о лягушке

Практикум абитуриента
46 С. Алешин, М. Поманов, В. Слудский. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
49 А. Зазelo. Множества значений числовых функций

Международные olимпиды школьников
51 А. Савин. XIX Международная olимпида по математике
54 Спрашивайте — ответаем

Информация
55 Г. Гальперин. Задачи XL Московской математической olимпиды школьников

Рецензии, библиография
56 И. Клумова. Памяты Otto Данкela
58 Ответы, указания, решения
Смесь (9, 17, 35, 38, 48, 53)

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Нука», «Квант», 1978

2

А. Китайеводский

Как изменяются расстояния между atomами в кристаллах

Слова «структура», «строение» — очень емкие по смыслу. Разные исследования по нимют под этими словами разные вещи. Биолог может вести речь о структуре мыщечной ткани, имея в виду расположение волокон друг относительно друга; металлограф, говоря о строении сплава, обычно подразумевает форму и размеры зерен. Эти структуры наблюдаются с помощью общного микроскола при увеличении всего лишь в несколько сотен раз. Но те же самые слова используются и тогда, когда речь идет о частицах, входящих в состав atomного ядра, размещых изменяются триллюнными долями сантиметра. Тут слово «структура» имеет уже условный смысл, и физики пользоваются им с осторожностью, помня, что наглядные зрительные представления не годятся для столых кирпичков мироzdания.

В физике твердого тела слова «строение» и «структура» также могут употребляться в разных смыслах. Так, например, обсуждая электроное строение металла, имеют в виду вовсе не размещение электронов в пространстве, а характер распределения их по энергиям; говоря о структуре ферромагнитных материалов, описывают размеры, форму и размещение доменов. Есть и другие ситуации, где слово «структура» оказывается достаточно уместным.

В этой статье речь пойдет об atomной структуре кристаллов, под которой понимается узор, создаваемый центрами atomов. Атомная структ

4

падает первичный узкий пучокRENTЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ. Страюются подобрать условия опыта такими, чтобы кристалл был произчен для лучей. Тогда в создании рассеяного излучения (вторичного, дифрагированного — это все синомыми) будут участвовать все atoms кристалла.

Явление, о котором идет речь, далеко не простое. Но нам нет нужны входить в детали. Поэтому все проблемы будут рассмотрен на предмете. Первое упрощение — ограничимся изучением проекции структуры кристалла, второе — будем рассматривать прямую угольную решетку, третье — положим, что на ячейку приходит одна двухatomная молекula.

Сначала займемся описанием «пусть» решетки, из которой atoms «удалены». Остались один узлы. Отцц и сын Брэгги показали, что дифракциюRENTЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ можно рассмотреть как своеобразное избиранное (то есть проискодящей лишь при некоторых дискретных значениях угла) отражение лучей от систем узловых плоскостей, на которые может быть разбита решетка.

Ясно, что пространственная решетка кристалла может быть разбита на семейства узловых плоскостей самыми разными путями. На картине проекции «освобожденной» от atomов решетки легко показать следы узловых плоскостей, перpendикулярных к плоскости чертежа (рис. 4). Мы изобразили всего лишь пять се-mailств плоскостей. Однако эффективными для избранального отражения, существующего как которого будет описана ниже, являются неотъемлемые детали.

Какая система плоскостей характеризуется индексами $h$ и $k$. Их смысл иллюстрируется на примере семейства с индексами $h=10$ и $k=3$ (см. рис. 4). Чтобы не загромождать чертеж, мы построили шесть близких к узлу $O$ плоскостей и проведили еще одну, обозначенную $L$. Плоскость $L$ является близкой к узлу $O$, отсекающей целое число перiodов $a$ и $b$ по обеим осям решетки. Эти целые числа равны 3 по одной оси и 10 по другой. Проходя через ячейку $O'$, плоскость $L$ отсекает $1/10$ долю перiodа $a$ и $1/3$ перiodа $b$. Смысл индексов $h$ и $k$ становится очень интересным. Предоставляем вам самим составить фразу такого типа, как любят математики: «Индексами $h$ и $k$ называют…».

Системы плоскостей характеризуется также механизм расстояния $d$. Плоскость $L$ — близкая к узлу $O'$, поэтому $|O'B| = d$. Отрезки $|O'A|$ и $|O'C|$ можно записать, как $b/k$ и $a/h$. Поскольку

$$\sin^2 O'AB + \cos^2 BO'C = 1,$$

получим

$$\frac{1}{d^2} = \frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2}.$$

(Предлагаем вам решить просходную задачу, которая займет у вас не один час времени — выведите ana-

5

Рис. 4.

логичную формулу для трехмерной решетки, ячейка которой является косоугольным параллелепидом.)

Переходим к выводу основного закона селективного (избиратьного) отражения рентгеновских лучей кристаллом. Пусть падающий луч, представляющий собой электромагнитную волну определяющий длины $\lambda$, падает на кристалл под каким-то углом. Мы впраve полагать, что отражение рентгеновской волны будет проискодить по закону: угол падания равен углу отражения, то есть по такому же закону, как и для оптического луча. Но имеется существенное разлице с оптическим лучом. Луч света не проникает в глубь кристалла, а рентгеновский луч способен пройти сквозь кристалл. Это означает, что отражение рентгеновского луча будет проискодить не только от внешней поверхности кристалла, а от всех егоatomных плоскостей.

Рассмотрим одну из систем, характеризующуюся между плоскостным расстоянием $d$ (рис. 5). Каждая из плоскостей будет отражать падающий луч под одним и тем же углом $\theta$ (так называемый угол диффрациции). Эти отраженные лучи корреентны, а потом должны интерферировать между собой. Причем вторичные (отраженные) лучи будут успешать друг друга в том случае, если после отражения от всех плоскостей семейства они будут распространяться в одной фазе. Иными словами, если разность хода между лучами равна числу $n$ длин волн. Разность хода $|PM| + |MN|$ (см. рис. 5) между соседними отраженными лучами равна $2d\sin\theta$ (доказите!). Следовательно, условие диффрациции — условие успешения отраженных лучей — будет иметь вид

$$2d\sin\theta=n\lambda.$$ (2)

Оно носит название уравнения Брэгга.

Кристалл, как мы уже сказаили, можно разбить на системы плоскостей бесконечным числом способов. Но эффективной для отражения (телерь вам понятен смысл этих слов, не права ли?) оказывается лишь системе плоскостей с таким механизмом расстоянием и ориентированная так по отношению к падающей лучу, чтобы выполнялось уравнение Брэгга.

Если падающий луч монохроматической (то есть электромагнитная волна имеет одну определенную длину), то при произвольном положении кристалла по отношению к лучу отражение может и не произойти (вернее, суммарный эффект можноства отражения может оказаться нулевым). Однако, поворачивая кристалл, мы можем по очереди привести в отражающей положение различные системы плоскостей. Именно такой способ работы и оказался на практике наиболее подходящим.

6

Из уравнения Брэгга (уравнение (2)) следует, что для заданной длины волны существует минимальное значение расстояния $d$ между плоскостями, при котором возможно сельтивное отражение. Это расстояние равно $\lambda/2$ (поскольку синус не может быть большей единицей). С другой стороны, из приведенной выше формулы механических расстояний (формула (1)) ясно, что наиболее значением $d$ соответствует самые маленья $h$ и $k$.

Большей частью приRENTНОСТРУКТУРНОМ анализе используется одна из длин волн характераистического излучения меди, а именно 1,54 ангстрема *). Тогда наименьшие механические расстояния, способные принять участие в создании диффракционной картины, равны 0,77 ангстрема. Располагая этими сведениями, можно оценить, сколько систем плоскостей даут отражения, если известны периоды решетки $a$ и $b$. Попробуйте решить эту задачу геометрической для $a=10$ и $b=20$ ангстремам.

Для этой цели надо проводить окружность радиуса $1/\lambda$ в пространстве (в нашем двумерном случае — в плоскости) «обратной» решетки. И далее подчитать число… (чERO, догадайтесь). Но что такое «обратная» решетка и зачем нам понадобилось это новое понятие?

В нашем случае обратной решеткой называется решетка, ячейка которой есть прямогольник со стороны $1/a$ и $1/b$. Как видите, прилагательное «обратная» выполняется. На рисунке 6 построена такая решетка. Выберем начало координат в каком-либо узле и проведем оси координат — одну перепределулярно к оси кристалла, по которой период равен $a$, вторую перепределулярно к оси с периодом $b$. Проведем теперь в этой решетке вектор (он так и называется: вектор обратной решетки), соединяющий начало отчета с узлом обратной решетки, номер которого 10-й по одной оси, и 3-й по другой. Чему равна длина этого вектора?

*) 1 ангстрем = 1 Å = 10⁻¹⁰ м.

Рис. 6.

7

Рис. 7.

бо к фотографическому методу, либо использовать инициализонную камеру, счетчик Гейгера или иной прибор, регистрацииционный инициализации изучения.

Сейчас, разумется, все это делается автоматически, а в то время, когда пишущий эти строки начинают работать, процедура была такой. Установливался кристалл, затем приемник вторичного луча проводилась во всем диапазоне углов. Глаз следил при этом за показывающим ток прибором. Потом кристалл поворачивался, скажем, на один градус, и далее эти действия повторились до тех пор, пока мы не «натыкались» на отраженный луч. При этом, как ясно из рисунка 7, фиксировались два угла — значение брэгговского угла θ и положение нормали к отражающей плоскости (по отношению к какому-либо произвольному началу отчета).

Перед исследователем лежал лист бумаги, и он начал строить обратную решетку. Откладывал положение нормали к отражающей плоскости и наносил на линю этой нормали значение $n/d$, которое однозначно определялось из уравнения Брэгга. Когда эта работа заканчилась (в старое время она занимала места, а сейчас автоматически диффектометр выполняет ее в сотни раз быстрее), физик обретал картину обратной решетки. Из ее решетки он немедленно выяснал раз-

Рис. 8.

меры ячейки кристалла, а каждому отражению мог приписать номер узла обратной решетки, а значит, индекс $h$ и $k$ и порядок отражения $n$.

Кроме того, исследователю известны интенсивности всех отражений. Таким образом, в его распоряжении имеются практические все сведения о структуре кристалла, все, что касается характера строения молекул из atomов и кристалла из молекул.

Тепер нам надо перейти от «пустьой» решетки, состоящей из один узлов, к решетке, начиненной atomами. На каждых деталях диффективной картины сказывается структура ячейки? Ответ окажется следующим: структура ячейки влияет на интенсивность отраженных лучей. Что же касается геометрии диффективной картины, то она определяется только видом решетки. Атомы внутри ячейки не добавляют «лишних» отраженных лучей. В то же время вполне возможно, что структура ячейки заставит пропасть некоторых отражения — доведет их интенсивность до нуля.

Откуда следует такое заключение? Дело в том, что atoms внутри ячейки не создают новых систем плоскостей. Узор atomов приводит лишь к возникновению «вставных» плоскостей. Взгляните, на рисунке 8 изображена та же решетка, что и на рисунке 4. Но теперь она не «пустая». Выберем опять предельно

8

простой случай. Предположим, что реализная решетка построена из двухatomных молекул, а узел решетки был взят в центре такой молекулы. Реальная система плоскостей (для примера взят случай $h=2$ и $k=1$) будет выглудеть телер, как показано на рисунке 8. Отраженный лучой поддет в ту же сторону, брэгговский угол не изменится.

Покажем, что интенсивность отраженного луча будет зависеть от структуры ячейки — в данном случае от междуномого расстояния в молекуле и от угла, который образует ось молекулы с осью ячейки.

Интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды волны. Действительно, пусть в точке наблюдания поле, создаваемое решеткой atomов, записьвается как $A \cos \omega t$. Интенсивность равна $\frac{A^2 \cos^2 \omega t}{\alpha}$. Черточка сверху означает upreadение по времени (колебания производят быстрю, и опыт фиксирует средние значения). Но $\cos^2 \omega t = \frac{1}{2}$ (это несложно доказать). Поэтому интенсивность оказывается пропорциональной $A^2$ — квадрату амплитуды волны.

В случае решетки двухatomных молекул результатирующее поле электромагнитной волны можно рассматривать как сумму полей двух простых решеток. Эти два поля придут в точку наблюдания со сдигром фаз, который мы обозначим $2\alpha$. Сохраняя выражение $A \cos \omega t$ для решетки узлов, мы запишем теперь сумму полей двух решеток в виде

$$A \cos (\omega t + \alpha) + A \cos (\omega t - \alpha).$$

Каждай узел «расшипляя» на две частицы, созданное одно поле с определенным по фазе, а другое с отставанием. Складывая, возводя в квадрат и усредняя по времени, мы получим, что интенсивность отраженного луча будет пропорциональна $\cos^2 \alpha$.

По определению, $\alpha = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta$, где $\lambda$ — длина волны, а $\Delta$ — разность хода. Хотя вывод выражения для разности хода $\Delta$ ничего не отличается от вывода формулы Брэгга, мы все же для этого случая проводили аккуратное построение на рисунке 9, из которого читатель, слегка помучившись, найдет нужное выражение:

$$\Delta = |OC| + |OD| = 2r_n \sin \theta,$$

где $r_n$ — проекция радиуса-вектора $r$ (соединищего atoms молекулы) на направление распространения отраженной волны (на направление нормали $n$), $\theta$ — брэгговский угол рассеяния. Используем уравнение Брэгга и определение обратного вектора:

$$\Delta = 2r_n \sin \theta = \lambda r_n \frac{n}{d},$$

откуда разность фаз

$$\alpha = \frac{2\pi \Delta}{\lambda} = 2\pi r_n \frac{n}{d}.$$

Итак, интенсивность отраженной волны, пропорциональная $\cos^2 \alpha$, действительно определяется структурой элементарной ячейки кристалла. Очевидно, что если atomов в ячейке не два, а много, то все расуждения будут аналогичными.

Что же… задача решена? Интенсивности дифрагированных лучей связанных со структурой в общем-то простой формуле; расчет интенсивностей отраженных лучей по заданной структуре не сложен. Дело вводится к тому, чтобы определить разности хода между волнами, отраженными всеми «вставными» решетками. Вы можете справиться с этой задачей и для кристалла, состоящего

9

из сотни атомов. Вопрос лишь во времени.

Но читатель, несомненно, заметил, что расчет, о котором идет речь, не тот, который нам нужен. Задача состоит в нахождения atomного строения из данных опыта, а не в том, чтобы рассчитать диффрационную картину, исходя из сведений о структуре. Примая задача намного сложнее обратной. Интегиивность пропорциональна квадрату амплитуды результирующей волны, которая есть сумма тригонометрических функций. Не только технически сложно, но и просто невозможно определить аргументы косинусов, зная лишь квадрат их сумм. Вот если бы опыт давал значения амплитуд рассеяния, тогда дело обстояло бы совсем просто.

На первый взгляд ситuation какется безнадежной. Долго время исследователей действовали так называемым методом проб и ошибок. Это значит: придумывали структуру и смотрелли, сочетается ли она с опытом. Но так далее не уедешь.

Были придуманы способы обойти эту трудность. Решаюшую роль при этом сыграли электронно-вЫчислительные машины. Хотелось бы дать читатель идею о том, как эта трудность обходится, но разговор наш оRENTгеноструктурном анализе затялся. 《Маленькие хитрости》, к которым прибегают исследователи, это, во-первых, в структуру тяжелого atoms (тогда в первом приближении можно считать, что кристалл состоит из одних этих atoms) и, во-вторых, очень изящная теория, которая показывает, что между разными структурами амплитудами имеются связи.

Да, хорошо было бы расссказать об этом читателю, но для «Кванта» беседа была бы слишком длиной. Посему ничего не остается, как посоветовать интересующему читателю обратиться к специальной литературе.

Об успешах метода судят по его результатам. Το обстоятельство, что на сегодия определены структуры более 15 тысяч кристаллов, в том числе несколько десять структур белков, молекулы которых состоит из многих тысяч atoms, говорится само за себя. Определение структуры сложных молекул закладывает фундамент биологической химии и биологической физики. Эти науки находятся сейчас в буром периоде развития. От них ждут открытия секретов жизни, более ней и смерти. Рентгеноструктурный анализ, не смотря на свой солидный шестидесятпятилетный возраст, остается на передней линии фронта науки.

$$a = a + 1!$$

Прибавляя к обем его частям квадрат числа $\frac{2a+1}{2}$, получим:

$$\left( a - \frac{2a+1}{2} \right)^2 = \left( a + 1 - \frac{2a+1}{2} \right)^2.$$

Откуда

$$a = a + 1,$$

что и требовалось доказать. Где ошибка? (Этот софизм прислад в редакцию наш постоянный читатель C. Сефибеков).

10

Руководь, найденная в Сарагосе

Совсем недавно при раскопках в испанском городе Сарагоса археологически обнаружили старинную библиотеку, принадлежавшую некогда известной торговой фамилии Суарское. Среди прочих книг там оказались история семьи. Мы сейчас познакомим читателя с одним из фрагментов этой рукописи, поскольку он содержит постановку интересной и современной математической задачи. Итак…

«Вступив в тот возраст, когда рассудительный человек должен позаботиться о преемнике и продолжателье дела, Суаррес решил принять к себе сыновей, Алонсо и Лопеса, чтобы выяснить, насолько они способны заменить его. Сыновья не заменили явиться, и Суаррес обратился к ним с таким словами: «Дети! Я намерен внести от имени каждого из вас сроком на десять лет в некоторое надежное предприятие по 100 000 реалов. Это дело будет приносить ежедневно каждому 20% приближением, причем распорядкается вы сможете только этой суммой, но относ не самим капиталом. Часть этих денег вы можете прибавлять в конце года к капиталу, а остальное тратить, как вам вздумается. Ваша цель будет состоять в том, чтобы за 10 лет как можно больше денег потратить на свои нужды, либо наживать деньги стоит только для того, чтобы их потом traтить. Ответьте мне, как вы будете распорядкаться своим доходами?»

Первым ответом старший сын Алонсо, известный далеко за пределами города своим легкомыслием и расточительностью: «Отец! Я бы тратил весь доход сразу, поскольку не

11

вижу смысла заботиться об увеличении капитала, мне не принадлежшего!»

Лопес был, напротив, юношейскромным и добродетельным. Он так ответал отцу: «Я бы в течение 9 лет обходился лишь тем, что и сейчас именно в творем дома, отец, а свой доход прибавлял к капиталу. На десятий год я потрачу приготовления мне 20%. Надеюсь, что это будет значительная сумма, поскольку капитал, благодаря моим вложения, значительное увеличение».

Услышав ответы сыновей, почтенный купец нахмурился, и было видно, что ответами он остался недоволен. Когда же сыновья стали просить у него совет, он сказал: «Крайняя расточительное, дети мои, также неразумна, как и крайняя бережливость, а правильное решение находутия между этим крайностями. Учитывая это, я стал бы половину дохода прибавлять к капиталу, заботясь о его увеличении, а половину тратил на свои нужды. Вы же, как я выясил, еще недостаточно разумны и, увы, не способны заменить меня в делах». На другой же день Суарес приказал сыновям собираться в путь через Пиренен, в далекий Париж, и обучаться у известных паряжских ученых математике и прочим научкам…».

Здесь мы перевем цитату из «историческая документа», поскольку интересующая нас задача уже формулирована и даже предложены три различных варианта ее решения. Для начала сравним эффективность этих решений. Легко подсчитать (желательно могут проделать это самостоятельное, а остальные — воспользоваться формулими (2) и (3) настоящего статы) суммы денег, истраенные отом (S), Алонсо (A) и Лопесом (L) за 10 лет. А именно,

$$S = \left( \left( 1 + \frac{1}{10} \right)^{10} - 1 \right) 10^5 \approx 159374 \text{ реал},$$
$$A = 2 \cdot 10^5 = 200000 \text{ реал}$$
$$L = \frac{1}{6} \left( \left( 1 + \frac{1}{5} \right)^5 \right)^2 10^5 \approx 103169 \text{ реал}.$$

Результаты сравнения парадоксаны. Бережливый Лопес, оказався, предложил нахудшее решение, а легкомысленный Алонсо распорядился свои доходи лучшие своевого рассудительного и многоопытного родителя! Убедитесь внешне правдоподобных доводов оказались обманчивой. Быть может, нашучшее решение отлично от всех трех предложенных? Попробуем в этом разобраться.

Итак, обозначим величины капитала (после отсутствия процентов и, возможно, дополнительного вклада) в конце $k$-го (считая с момента первогоального вклада) года через $x_k$, $k=0, \dots, N$. В нашей задаче $N=10$, а величина начального вклада $x_0=10^5$. За $(k+1)$-й год приближится величины $ax_k$ (у нас $a=\frac{1}{5}$), и если доля $\lambda_k$ этой величины была прибавлена к капиталу в конце $(k+1)$-го года, то его прирост за год составляет $x_{k+1}-x_k=\lambda_k ax_k$ ($k=0, \dots, N$). (1) Остальные части приближения $(1-\lambda_k)ax_k$ будет потрачена.

Наши возможности влияния на процесс роста капитала или, другими словами, управления этим процессом, свойства к выбору вектора — упорядоченного набора чисел $\bar{\lambda} = (\lambda_0, \dots, \lambda_{N-1})$, $0 \leqslant \lambda_i \leqslant 1$. Такие векторы будут далее называться управлением $\bar{\lambda}$ полностью определят значение целевой функции $F$ — общее суммы денег, потраченных за $N$ лет:

$$F(\bar{\lambda}) = (1-\lambda_0)ax_0 + (1-\lambda_1)ax_1 + \dots + (1-\lambda_{N-1})ax_{N-1}.$$ (2) Задача состоит в нахождении наилучшего, оптимального управления $\lambda^{\text{опт}}$, т. е. такого управления $\lambda^{\text{опт}}$, что для любого другого управления $\bar{\lambda}$

$$F(\bar{\lambda}) \leqslant F(\bar{\lambda}^{\text{опт}}).$$

Вспомним, что в качестве оптимального Алонсо предлагали управление $(0, \dots, 0)$, Лопес — $(1, \dots, 1, 0)$, а почтенный купец — $\left(\frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{2}\right)$.

Может быть, у читателя создалось внешние, что такие кладчи управления нужны лишь тем, кто получает богатое наследство? Разумеется, нет! Вот еще пример. На ферме разводят чернобургых липсц. Количество липсц обозначим через $x_k$, где $k=0, 1, \dots, N$ — номер года (на интересует судьба фермы на ближайшие

12

N лет). Приплод в начале $(k+1)$-го года составляет $ax_k$ (где $a > 0$ — известное число), причем доля $\lambda_k$ этого приплода остается на ферме, а остальная часть отправляется на заготовки пущинины. Таким образом, справедливо соотношение (1), а количество шкурок, полученных за $N$ лет, выражается формулой (2). Как видите, и здесь мы имеем управляемый процесс, состояние которого в каждой момент $k = 0, 1, \dots, N$ характеризуется величины $x_k$, причем на течение этого процесса мы можем воздействать, выбирая управляющие воздействие $\lambda_k$ из «области управления», которое в данном случае является отрезок [0, 1]. Задча состоит в находении такого управления, при котором поставленная цель осуществляется бы на лучшим образом — целевая функция $F$ достигала бы максимума. Подобные задачи «оптимального управления» процессами, протекающих в «дискретном времени», возникают при исследовании производственных задач на заводах (в этом случае $k$ — номер завершенного производенного цикла или плановый месяц и т.п.), при описании работы несколько последовательно ссединенных химических реакторов ($k$ — номер реактора) и т. д.

Области математики, в котором разработавются методы решения подобных задач, называется теорейом оптимального управления. Эта теория за последние два десятика лет превращалась в мощную современную математическую науку, впечатяюшую как глубокими теоретическими результаты, так и эффективность в решении прикладных задач управления процессами. Развитие этого направления математической мысли связано с именами таких известных математиков, как Л. С. Понтрягин, Р. Беллман, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидze, Е. Ф. Мишенко, Н. Н. Красовский. Мы не будем, однako, излагать общую теорей оптимального управления, созданную этими авторами, а исследуем нашу задачу средствами элементарной математики.

Преобразуем формулу (1) к виду $x_{k+1} = (1 + a\lambda_k)x_k$, $(k = 0, \dots, N-1)$. (3)

Переменные равенства (3)почленно при $k = 0, \dots, n-1$, мы получим в явном виде зависимость $x_n$ от управления $\bar{\lambda} = (\lambda_0, \dots, \lambda_{N-1})$
$$x_n = (1 + a\lambda_0)(1 + a\lambda_1) \dots (1 + a\lambda_{n-1})x_0.$$ (4)

Предложение I. Пусть $\bar{\lambda} = (\lambda_0, \dots, \lambda_{i+1}, \dots, \lambda_{N-1})$ — некоторое управление, $0 \leq i \leq N-2$, $\lambda_i < \lambda_{i+1}$, а управление $\bar{\lambda}$ отличается от $\bar{\lambda}$ molky перестановкой чисел $\lambda_i$ и $\lambda_{i+1}$. Тогда $F(\bar{\lambda}) > F(\bar{\lambda})$.

Для доказательства достаточно проследить, как преобразуется слагаемые суммы (2) при передановке чисел $\lambda_i$ и $\lambda_{i+1}$. В силу формулы (4) слагаемые $(1 - \lambda_k)ax_k$ при $k \leq i-1$ вообще не зависит от $\lambda_i$ и $\lambda_{i+1}$ и очень дороги, не меняются при такой перестановке. Слагаемые $(1 - \lambda_k)ax_k$ при $k > i+1$ в силу формулы (4) имеют вид:
$$(1 - \lambda_k)ax_0(1 + a\lambda_0) \dots (1 + a\lambda_{i+1}) \times (1 + a\lambda_{i+1}) \dots (1 + a\lambda_{k-1}),$$
и, следовательно, также не меняются при передановке чисел $\lambda_i$ и $\lambda_{i+1}$. Таким образом, нам остается рассмотреть лишь сумму остальных слагаемых:
$$(1 - \lambda_i)ax_i + (1 - \lambda_{i+1})ax_{i+1} = (1 - \lambda_i)ax_i + (1 - \lambda_{i+1})(1 + a\lambda_i)ax_i = ax_i[(2 - \lambda_i - \lambda_{i+1}) - a\lambda_i\lambda_{i+1}] + a\lambda_i.$$

Величина $x_i > 0$ и не зависит от $\lambda_i$ и $\lambda_{i+1}$, выражение в круглых скобках при передановке не меняется, а второе слагаемое в квадратных скобках возвращается. Следовательно, $F(\bar{\lambda}) > F(\bar{\lambda})$.

Предложение II. Пусть $\bar{\mu}$ — некоторое управление. Тогда для любого $n = 0, \dots, N$ существует максимое управление $\bar{\mu}^{(n)} = (\mu_0^{(n)}, \dots, \mu_N^{(n)})$, что $1^\circ \mu_n^{(i)}$ есть 0 или 1 при любом $i < n$, $2^\circ F(\bar{\mu}^{(n)}) \geqslant F(\bar{\mu})$.

Доказем это утверждение методом математической индукции. При $n = 0$ это утверждение очевидно, поскольку можно положить $\bar{\mu}^{(0)} = \bar{\mu}$ и утверждение $1^\circ$ и $2^\circ$ будут выполнены автоматически.

Предположим, что для $n = k$ исключение управления существует $\bar{\mu}^{(k)} = (\mu_0^{(k)}, \dots, \mu_N^{(k)})$. Расмотрим функцию $y(t)$ одного переменного $t$, обладающего определенного которого является отрезок [0, 1], заданной формулой
$$y(t) = F(\mu_0^{(k)}, \dots, \mu_{k-1}^{(k)}, t, \mu_{k+1}^{(k)}, \dots, \mu_N^{(k)}).$$
Из формул (2) и (4) сразу видно, что $y(t)$ есть линейная функция $t$, т. е.
$$y(t) = At + B$$
при некоторых $A$ и $B$. Заметим, что линейная функция на отрезке [0, 1] достигает максимума в нулеве, если $A < 0$, в единице, если $A > 0$, а при $A = 0$ — постоянная функция. По-

13

ложим теперь
$$\mu_k^{(k+1)} = \begin{cases} 0, & A \leqslant 0, \\ 1, & A > 0, \end{cases}$$

и $\mu_k^{(k+1)} = \mu_i^{(k)}$ при $i \neq k$, $0 \leqslant i \leqslant (N-1)$. Управление $\overline{\mu}^{(k+1)}$ удовлетворяет условям $1^\circ$ и $2^\circ$ при $n = k + 1$. Действительно, числа $\mu_k^{(k+1)}$ при $i < k$ суть нулы или единицы по предположению индикции, а $\mu_k^{(k+1)}$ есть нуль или единица по определению. Далее, поскольку по определению числа $\mu_k^{(k+1)}$ для любого $t$, $0 \leqslant t \leqslant 1$
$$y(t) \leqslant y(\mu_k^{(k+1)}),$$
то $F(\overline{\mu}^{(k+1)}) \geqslant F(\overline{\mu}^{(k)})$. По предположению индикции $F(\overline{\mu}^{(k)}) \geqslant F(\overline{\mu})$, и, следовательно, $F(\overline{\mu}^{(k+1)}) \geqslant F(\overline{\mu})$. Доказательство законечно.

Выделим теперь среди всех управлений управления неокоторого специального, простейшего вида. А именно, рассмотрим такое управление $\overline{\theta}^{(m)}$, что
$$\theta_i^{(m)} = \begin{cases} 1 & \text{при } i < m, \\ 0 & \text{при } i \geqslant m, \end{cases}$$
для неокоторого $m$, $0 \leqslant m \leqslant N$. Множество управлений такого вида — мы их в дальнейшем будем называть ступенчатым — содержит $(N+1)$ элемент. Оказывается, что в нашей задаче оптимальное управление достаточно искать среди ступенчатых.

Теорема. Для любого управления $\overline{\lambda}$ существует такое управление $\overline{\omega}$, что $F(\overline{\omega}) \geqslant F(\overline{\lambda})$.

Действительно, в силу предложения II существует такое управление $\overline{\mu} = (\mu_0, \dots, \mu_{N-1})$, что $\mu_i$ есть нуль или единица при любом $i = 0, \dots, N-1$ и $F(\overline{\mu}) \geqslant F(\overline{\lambda})$. Далее, заметим, что если среди чисел $\mu_0, \dots, \mu_{N-1}$ есть 0, то, переставляя его местами со следующим за ним числом, мы не уменьшим значения целевой функции $F$ в силу предложения I. Таким перестановками все нулы можно переместить в конец набора, определяющего управление, т. е. перейти к неокоторому ступенчатому управлению $\overline{\omega}$, причем будут выполены неравенства $F(\overline{\omega}) \geqslant F(\overline{\mu}) \geqslant F(\overline{\lambda})$. Теорема доказана.

Выберем теперь среди ступенчатых управления оптимальное. В силу формул (2) и (4)
$$F(\overline{\theta}^{(m)}) = (N - m)a(1 + a)^m x_0.$$
Величина
$$C_m = \frac{F(\overline{\theta}^{(m+1)})}{F(\overline{\theta}^{(m)})} = (1 + a)\left(1 - \frac{1}{N - m}\right)$$
убывает при возникании $m$. Обозначим через $M$ первого целое число, большее либо равное нулю и $N-1 - \frac{1}{a}$.
Тогда в силу определения чисел $C_m$ и выбора числа $M$, справедливый неравенства
$$C_0 > C_1 > \dots > C_{M-1} > 1 \geqslant C_M > C_{M+1} > \dots > C_{N-1}.$$
Следовательно,
$$F(\overline{\theta}^{(0)}) < \dots < F(\overline{\theta}^{(M)}) \geqslant F(\theta^{(M+1)}) > F(\overline{\theta}^{(M+2)}) > \dots > F(\overline{\theta}^{(N)}).$$
Таким образом, в качестве оптимального можно выбрать управление $\overline{\theta}^{(M)}$.
Вернемся к нашей задаче из «древней рукописи». Для нее $N = 10$, $u = \frac{1}{5}$ и $M = 4$. Таким образом, управление $\overline{\theta}^{(4)} = (1, 1, 1, 1, 0, \dots, 0)$ будет оптимальным, а значение целевой функции — общее суммы потраченных за десять лет денег — при выбором таким образом управления есть
$$F(\overline{\theta}^{(4)}) = \left(1 + \frac{1}{5}\right)^4 \times 10^5 \frac{6}{5} \approx 248832 \text{ реал.}$$

Таким образом, решения задачи, предложенные нашими темя героями, действительно не являются оптимальными. Заметим, что управление $\overline{\theta}^{(5)}$ также оптимально, поскольку нулы выбрано среди ступенчатых, вообщеговя, не единственным образом.

Задча 1. Какие условия на $a$ и $N$ обеспечивают единственность оптимального управления среди ступенчатых?

Задча 2. Верно ли, что для нашей задачи оптимальное управление обязательно должно быть ступенчатым?

Задча 3. Найти такие наименьшее число лет $N > 10$, что управление бережливого Лопеса $(1, \dots, 1, 0)$ все же оказывается выгодной, чем управление $(0, 0, \dots, 0)$, предложенное расточительным Алонсо.

14

А. Дозоров

Что это значит — «навеси на резкость»?

Наводить на резкость, то есть добавиться резкого изображения, — приходилось всем. Во многих случаях смысл этого действия прост и понятен. Например, при фотографировании на резкость означает, что изображение, создаваемое объектным фотоаппарата, нужно поместить точно на эмульSIONный слой пленки. В кинозале требование публики добавится резкость изображения на экране сводится к требованию совместить изображение кадра фильма с плоскостью экрана.

Смысл наводки на резкость несколько затушевывает, если при наблюлении не требуется экран, например, если предмет рассматривается невооруженным глазом. Давайте проведем небольшой эксперимент. Посмотрите в окно. Удаленные предметы видны достаточно резко. Телерпосмотрите на предметы, находящиеся на расстоянии нескольких метров. Они тоже видны резко. Наконец, читая эту страницу, вы видите резкое изображение текста. Все это происходит потому, что глаз «автоматически» наводит на резкость. Управляет этой процедурой аккомодированный мускул глаза, который соответствует образом деформарует хрусталик глаза. В результате изображение предмета попадает точно на сетчатку глаза (так сказать, на экран) — изображение получается резким (рис. 1).

Другими словами, при изменении расстояния $d$ от предмета до наблюдаателя (точнее, до глаза наблюдаателя) расстояние $f$ от хрусталка глаза (лины) до сетчатки (экрана) остается неизменным. Это возможно лишь в том случае, если фокусное расстояние

16

Рис. 3. Влияние ширины светового лучка на глубину резкости изображения. Чем уже пучки, тем меньше резкости изображения точек А и С на экране.

ния. При этом, если удалить глаз от окуляра, не все лучи, выходящие из окуляра, попадут в глаз наблюдаются практические точки (видно резкое изображение), если угол зреня α, под которым виден кружок, порядка $1' \approx 3 \cdot 10^{-4}$ рад. Obviously мы рассматрием изображение с расстояния на лучшего зреня $l_0 = 25$ см. Тогда допустимый диаметр кружка

$$2r = l_0 \text{tg} \alpha \approx l_0 \alpha \approx 75 \cdot 10^{-4} \text{ см} = 0,075 \text{ мм.}$$

Пусть точки A и C (см. рис. 3) в плоскости экрана изображаются кружками рассеяния одного и того же радиуса r. В этом случае геометрическая глубина резкого изображения (расстояние между плоскостями, в которых получаются резкие изображения точек A и C) равна

$$l_1 + l_2 \approx \frac{2rL}{D} \approx \frac{Ll_0 \alpha}{D},$$

где L — расстояние от линии до экрана, D — диаметр линии. Отсюда неоспредственно видно, что глубина резкости действительно связана с шириной световых лучков.

Поскольку различные точки представляются не точками, а кружками рассеяния, важно, чтобы эти кружки не накладывались друг на друга. Если два соседних кружка рассеяния не перекрываются, они воспринимаются глазом разрешением.

В таком случае говорят, что оптическая система разрешаем эти две точки. Если кружки накладываются друг на друга, в изображении получается одно светлое пятно, то есть точки представляют системой не разрешаются. С уменьшением размеров линзы уменьшаются размеры кружков рассеяния и, следовательно, увеличивается разрешация способность. Если диаметр линзы велик, то разрешация способность становится низкой и вместе четкого изображения получается размаzanное пятно. Таким образом, ограничение лучка света, идущего от предмета, является принципиальным.

17

Загадочная дифракционная картина

Оdnажды вечером я ехал в автобусе. На улице было около двадцати градусов мороза. Пока пассажиров было мало, окна автовуса были чистыми. Но вот люди заполнили салон, и через некоторое время оконные стекла покрылись тонким слоем льда. Лед был настолько тонким, что сквозь него было хорошо виден вечерний город.

Очень красиво вышел личные фонари. Каждый фонарь окаймлялся цветная звездочка, такая как показано на рисунке. Нежные цвета ее лучей, от филетового в центре до красного на концах, красиво переливались на матовой поверхности стекла. Несомненно, это была дифракционная картина! Как она возникла?

Только по виду, без дополнительного исследования объяснить происхождение этой картины очень трудно. По-видимому, одно из объяснений может быть таким.

Кристаллики льда, освещие на стекле, образуют дифракционную решетку. Она-то и создает дифракционную картину. Белое изображение фонари в центре—нулевой максимум, а вдоль лучей звездочки располагаются максимумы первого порядка для всех цветов (спектр первого порядка). Шестугольная форма картины связана, скорее всего, с аналогичной формой кристалликов льда (снежинок, осевших на стекле).

По результатам наблюдения можно даже оценить величины перiodа решетки. Запшем условие главных максимумов для решетки:

$$d \sin \varphi = k \lambda.$$

Здесь $d$ — период решетки, $\varphi$ — угол, определяющий направление на максимум $k$-го порядка, $\lambda$ — длина волны. При рассмотрении расстояния около двух метров радиус звездочки для красного цвета составляет приблизительно два сантиметра. Это означает, что первый максимум ($k=1$) для красного света ($\lambda_{\text{кр}} = 7 \times 10^{-7} \text{ м}$) виден под углом ф также, что

$$\sin \varphi \approx \frac{2 \text{ cm}}{200 \text{ cm}} = 0.01.$$

Тогда

$$d = \frac{\lambda_{\text{кр}}}{\sin \varphi_{\text{кр}}} \approx 0.07 \text{ mm}.$$

А как вы обязываете возникновение этой красной картины?

В. Булам

18

Прибор для изучения преломления света

Явление преломления света на границе двух сред подробно изучается только в 10-м классе. Однако это явление столб распространяется природа, что все наши читатели, безусловно, недократно встречались с ним.
В данной стьте расссказывается, как можно самостоятельно изготовить прибор для проведения оптовой по преломлению света.

Если луч света падает на границу раздела двух сред, то луч падающий, луч преломленный и перpendикуляр к поверхности раздела, проведенный через точку разделяя луча, лежат в одной плоскости; при этом относение синуса угла разделяя α к синусу угла преломления β постояно для данных двух сред:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n.$$

Это — закон преломления света; постоянную величины n называют относительным показателем преломления или показателем преломления второй среды относительной первой:

$$n = \frac{n_2}{n_1}.$$

С помощью прибора, показанного на рисунке 1, можно проделать несколько оптовов, подтверждающих закон преломления света.

Но прежде о самом приборе. Основная его часть — это произная кивета. Ее можно, например, склеить из плескигласа или объIkновеного стекла или воспользоваться готовой коробочкой из какого-нибудь про-

Рис. 1.

19

Рис. 2.

О пыт 1. Если рамку установить под углом 45° к вертикали, то в прицел (по двум волоскам) видна точка $A$ (рис. 2), совпадающая с 52-мделением миллиметровой шкалы, то есть $a = 52$ мм. Высота $h$ оси врашення рамки тоже равна 52 мм. Следовательно, опыт подтверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно.

О пыт 2. Нальем в кивету воды до уровня оси врашення рамки. Терьер при том же положении рамки, что и в первом опыте, в прицел будет видна не точка $A$, а точка $B$, находящаяся на расстоянии $b < a$ (см. рис. 2). Это означает, что луч света, имеющий в воде направление $BO$, пересекая границу вода — воздух, преломляется и в воздухе идет по направлению $OC$. Другими словами, угол $\alpha$, который составляет падающий луч с нормально к границе раздела, не совпадает с углом $\beta$ преломленного луча.

О пыт 3. Установим прицельную рамку строгого вертикального. При этом в прицел под водой видно начало шкалы — ее нулевое деление. Значит, если угол падания $\alpha = 0$, то и угол преломления $\beta = 0$. Или, иначе, если луч падает перpendикулярно к границе двух сред, то он не преломляется. Это — важный частный случай закона преломления, о котором не следует забывать.

О пыт 4. Определим показатель преломления воды относительно воздуха. Для этого устанавливаем рамку под некоторым углом, например, под углом 30°. Это будет и углом преломления $\beta$ для луча света, переходящего из воды в воздуха. В прицел будет видно 21-е деление шкалы, то есть $b = 21$ мм (см. рис. 2).

Найдем синус угла падения $\alpha$:

$$\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + h^2}} = 0,37.$$

Синус угла преломления

$$\sin \beta = \sin 30^\circ = 0,5.$$

Согласно закону преломления света

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{n_2}{n_1},$$

где $n_2/n_1$ — показатель преломления воздуха (второй среды) относительно воды (первой среды). Отсюда показатель преломления воды относительно воздуха

$$n = \frac{n_1}{n_2} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 1,33.$$

С помощью предлагаемого прибора можно определить и предельный угол полного внутреннего отражения для воды. На этот раз прицельную рамку придает установить под углом, близким к 90°. Для отсутствия видимости шкалы на дне сосуда размеры прибора лучше увеличить в 2—3 раза.

Можно также проводить опыты не с чистой водой, а с расторрами сахара или соли и исследовать зависимость показателя преломления от концентрации растора.

20

Седлообразная поверхность

Каждай из вас, несомненно, знает, что множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перепределикулярной соединяющего их отрезка. Так же просто устроены множество точек, равноудаленных от двух параллельных или пересекающих ихся прямых. На рисунке 1 изображены два из этих множеств, правда, уже не для плоскости, а для пространства.

А как выглядит множество точек, равноудаленных от двух скре-

ш и в а ю щ и х с я прямых? Об этом вы и узнаете, прочитав статью.

Прежде чем перейти к основному изложению, даим определение нового пространства вокруг оси.

Повором пространства называется макое перемещение пространства, при котором множество неодвижных точек образует прямую (она называется осью поверхности). При повороте пространства вокруг оси каждой плоскости, перепределикулярная к оси поворота, переходит в себя. Получащиеся перемещения этих плоскостей являются поворотами вокруг точки их пересечения с осью на один и тот же угол в одном и том же направлении *) (рис. 2).

Обозначать поворот с осью $l$ мы будем через $R_l$, поворот, обратный поворот $R_l$, — через $R_{-l}^1$,

*) Тождественное перемещение тоже можно считать поворотом пространства вокруг оси (на нульевой угол), но в этой статье также повороты встречаются не будут.

21

Рис. 1.

Для описания нашего множества точек, (обозначим его через $F$) нам понадобится несколько утверждений о поворотах. Мы будем их формулировать по мере надобности в виде лемм, а доказательства всех лемм собствен в конце статьи. Для читателя будет очень полезно доказать эти леммы самостоятельно.

1. Первым делом показем, что через каждую точку нашего множества проходят две принадлежящие ему прямы.

Пусть $m$ и $n$ — данные скрещивающейся прямы и точка $A$ равнодалена от них. Обозначим через $A_1$ и $A_2$ ortogonalные проекции этой точки на прямы $m$ и $n$ соответственно (рис. 3). Пусть $l$ — перpendикуляр к плоскости $A_1AA_2$, проходящий через точку $A$. Повернем пространство вокруг оси $l$ так, чтобы точка $A_1$ перешла в точку $A_2$. Прямая $m$ перейдет при этом в прямую $m_1$, проходящую через точку $A_2$ и перpendикулярную к прямой $AA_2$. Далее можно сделать два раз и чьи хповорота с осью $AA_2$ — таких, что прямая $m_1$ перейдет в прямую $n$: $R_{AA_2}$ и $R'_{AA_2}$. В результате композиции поворотов $R_l$ и $R_{AA_2}$ ($R_l$ и $R'_{AA_2}$) прямая $m$ перейдет в прямую $n$. Оказывается, справедлива такая лемма: композиция двух поворотов вокруг пересекающих осей является поворотом вокруг оси, проходящей через точку их пересечения. Поэтому существует такая пряма $u$, проходящая через точку $A$, что $R_{AA_2} \circ R_l = R_u$. Аналогично, существует такая пряма $v$, проходящая через $A$, что $R'_{AA_2} \circ R_l = R_v$.

Рис. 2.

от точки $A$ до прямой $n$.

2. А существует ли хотя бы одна точка, принадлежащая нашему множеству?

Проведем через прямую $m$ плоскость, параллельную прямой $n$, а через прямую $n$ плоскость, параллельную прямой $m$. Эти плоскости параллельны. Обозначим через $\alpha$ плоскость, равнодаленную от них. Ортональные проекции $m'$ и $n'$ прямы $m$ и $n$ на плоскость $\alpha$ пересечится в некоторой точке $O$ (рис. 4). Очевидно,

22

точка $O$ принадлежит множество $F$. А тогда, как мы уже выяснили, через нее проходят по крайней мере две прямые, состоящие из точек нашего множества.

У праванние 2. Докажите, что через точку $O$ проходятровно две такие прямые (обозначим их через $x$ и $y$). Покажите, что эти прямы являются оси симметрины прямых $m'$ и $n'$.

Итак, наше множество содержит перепределкулярные прямые $x$ и $y$, причем через каждую точку этих прямых проходит еще одна прямая, принадлежая нашему множеству.

3. Убедимся теперь, что объединение точек этих прямых образует все наше множество. Докажем для этого, что если точка $A \in F$ не лежит ни на прямой $x$, ни на прямой $y$, то одна из проходящих через нее прямых, принадлежих множеству, пересекает $x$, а другая $y$, и что через каждую его точку проходит только две такие прямые.

a) На каждой из прямых $m$ и $n$ отметим стрелкой неокоторое направление, например, как на рисунке 4. Тогда любая ось поворота, переводшего направленную прямую $m$ в направленную прямую $n$ (с направлениями, указанными на рисунке 4!), параллельна плоскости, проходящей через прямую $x$ и перепределкулярную к плоскости $\alpha$.

В самом деле, ось $u$ образует с прямыми $m$ и $n$ равные углы. Пересечем параллельно прямые $m$, $n$ и ось $u$ так, чтобы они проходили через точку $O$ (см. рис. 4). Получим прямые $m'$, $n'$ и $u'$. Поскольку при параллельных переносах углы между прямыми не меняются, прямая $u'$ образует с прямыми $m'$ и $n'$ равные углы. Значит, она лежит в плоскости $xOz$, где $z \perp \alpha$ (см. упражнение 2 и рис. 4). Следовательно, прямая $u$ параллельна этой плоскости.

Возьемт теперь две оси $u$ и $v$ поворотов, переводящих прямую $m$ в прямую $n$ с сохранением направления. Покажем, что прямые $u$ и $v$ скрещиваются.

Предположим сначала, что они пересекаются в точке $B$. Выполним поворот вокруг оси $u$, переводящий $m$ в $n$ с сохранением направления, затем — поворот вокруг $v$, переводящий $n$ в $m$ — также с сохранением направления. Поскольку $u$ и $v$, по предложению, пересекаются, композиция указаных поворотов — поворот (лемма из п. 1). Этот поворот отображает прямую $m$ на себя с сохранением направления. Но это невозможно, как показывает такая лемма: при повороте пространства вокруг оси молко одна прямая отображается на себя с сохранением направления — ось поворота.

Предположим теперь, что $u \parallel v$. Как и выше, при перемещении $R^{-1}_v$ $\circ R_u$ прямая $m$ переходит в себя с сохранением направления. С другой стороны, композиция двух поворотов с параллельными осами является либо поворотом относительно прямой параллельной им оси, либо переносом в направлении, перепределкой к этим осам. В первом случае $m \parallel u$, а тогда и $n \parallel m$. Во втором — $m \perp u$, и получаются из $m$ поворотом вокруг прямого $u$ прямая $n$ лежит в одной плоскости $c$ $m$.

Таким образом, прямые $u$ и $v$ не параллельны и не пересекаются. Значит, они скрещиваются. Объединим эти оси в один класс.

6. Смена направления на одной из данных прямых, например, на $n$. Тогда оси поворотов, отображающих прямую $m$ на $n$ (с заданным на них новых направлениями), также попарно скрещиваются и параллельны плоскости $yOz$ (см. рис. 4). Полученные оси отнесем к другому классу.

23

Рис. 5.

в) Пусть ось $u$ принадлежит первому классу, а ось $v$ — второму. Покажем, что прямые $u$ и $v$ пересекают. Действительно, при перемещении $R^{-1}_v \circ R_u$ прямая $m$ перейдет в себя с изменением направления. Поэтому получаются преобразование прямой $m$ — симметрично неокторой точки $C \in m$ (доказатель!). Следовательно, $R^{-1}_v \circ R_u(C) = C$ и $R_v(C) = R_u(C) = D$. Из $R_u(C) = D, R_v(C) = D$ следует, что все точки прямых $u$ и $v$ равнудалены от точки $C$ и $D$. Но тогда $u$ и $v$ лежат в одной плоскости (см. рис. 1). Поэтому если $u$ и $v$ не пересекаются, то они параллельны. Поскольку $u \parallel xOz$ и $v \parallel yOz$, из $u \parallel v$ следует, что $u \parallel z$. Но это невозможно, так как $z \perp m$. Следовательно, $u$ и $v$ пересекаются.

г) Оси $x$ и $y$, очевидно, разных классов. Поэтому каждая ось пересекает либо прямую $x$, либо прямую $y$. Поскольку через точку множество $F$ не могут проходить три оси (так как тогда две из них принадлежали бы к одному классу), «посторонних» точек в фигуре нет.

4. Остается построить нашей множество. Построим для этого параллельned с осями, параллельными прямым $x, y, z$ и центром в точке $O$ (см. рис. 5), такой, что диагонали верхнего и нижнего оснований лежат на прямых $m$ и $n$ соответственно и расстояние от вершины $A$ до прямой $m$ равно его боковому ребру. Через точки $O_1$ и $O_2$ должны проходить оси, параллельные плоскости $yOz$. Ясно, что это прямые $O_1A$ и $O_2B$. Каждый ось, параллельная плоскости $xOz$, должна пересекаться с $O_1A$ и $O_2B$, то $|O_1A| = |O_2B|$. Соответствующие построение приведено на 20 страницце журнала. (Можно было, конечно, воспользоваться прямыми $y$ и $OA$, но тогда построение будет не таким симметричный.) Как вы видите, получается поверхность, похожая на седло.

5. Прием за оси координат прямые $x, y$ и $z$ в выведем управление этой поверхности. Условия задаваются прямую управления двух пересекающихся по ней плоскостей. Тогда управления прямых $m$ и $n$ запишутся в виде

$$\begin{cases} y = kx \\ z = c, \end{cases}$$

Направляющие векторы этих прямых имеют координаты:

$$\vec{m} = \{1; k; 0\}, \vec{n} = \{1; -k; 0\}.$$

Пусть точка $P(x, y, z)$ равнудалена от прямых $m$ и $n$. Если $M$ и $N$ — ortogonalные проекции точки $P$ на прямые $m$ и $n$ соответственно, то $|MP| = |MN|$. Выразим координаты точки $P$.

Так как $M \in m$, то координаты точки $M$ равны $k, y$ и $z$. Учитывая, что $\vec{MP} \cdot \vec{m} = 0$, $\vec{MP} = (x - \alpha, y - k\alpha, z - c)$, $m = \{1, k, 0\}$, получим $x - \alpha + yk - k^2\alpha = 0$, откуда следует, что $\alpha = \frac{x + ky}{1 + k^2}$, то есть точки $M$ имеет координаты

$$\frac{x + ky}{1 + k^2}, \frac{x + ky}{1 + k^2}, c.$$

Рассудядая аналогично, найдем координаты точки $N$:

$$\frac{x - ky}{1 + k^2}, -k \frac{x - ky}{1 + k^2}, -c.$$

Записьвая равенство $|MP| = |NP|$ после упрощения, получим выражение

$$xy = 2pz,$$

где $p = -\frac{1 + k^2}{2k}$.

Следовательно, множество точки $m$ и $n$, — это поверхности, управление которой имеет вид (1). (Впервые управление (1) было получено Л. Эйлером в 1748 году.)

24

Рис. 6.

Сечение поверхности (1) плоскостью $z = b - \text{гипербола}, a$ плоскостью $x = ly - \text{парабола} (b \neq 0, l \neq 0$ рис. 6).

«Математическое» называние поверхности — гиперболический параболод.

Пользованием (1), нетрудно показать, что один и тот же гиперболический параболод соответствует не одной паре скрещивающихся прямых!

Для любых прямых $\begin{cases} y = kx \\ z = c \end{cases}$ и $\begin{cases} y = -kx \\ z = -c \end{cases}$, у которых $k$ и $c$ находится в зависимости
$$p = \frac{c(1 + k^2)}{2k},$$

где $p$ — заданная константа, имеем один и тот же гиперболический параболид $xy = 2pz$. Поэтому в параллельных плоскостях $z = c, z = -c$ лежат две пары таких прямых. Если учеть, что $k = y/x$ и $c = z$, то подставляя их в (2), получим, что все прямые $m$ и $n$ образуют поверхности с уравнением $z(x^2 + y^2) = -2pxy$.

Плоскости $xOz$ и $yOz$ называются направляющими плоскостями поверхности $F$: «половина». Примолейных образующих параллельна плоскости $xOz$, а другая «половина» — плоскости $yOz$. В нашем случае эти плоскости взаимно перпендикулярны и гиперболический параболд называется равновобочный. В общем же случае эти плоскости образуют произвольный угол. Правда, в общем случае гиперболический параболд не получить объединением осей поворотов, однako конструкция, приведенная в п. 4, к ней применена. Только на прямых $O_1A$ и $O_2B$ нужно соединять такие точки $A_1$ и $B_1$, что $|O_1A| = \lambda |O_2B|$, где $\lambda \neq 1$.

Уражнение 3. Оси $x$ и $y$ перпендикулярны. Есть ли еще пары взаимно перпендикулярных осей?

Уражнение 4. Докажите, что прямая, не принадлежащая нашему множество, имеет с ним не более двух общих точки.

Приложение. Доказательство лемм

Заметим, что поворот с осью $l$ можно получить композицией двух симметричных относительно плоскостей, проходящих через прямую $l$. Дейстительно, пусть $R_l(A) = A_1$. Возьмем произвольную плоскость $\sigma \ni l$. Тогда $S_\sigma(A) = A'$. Проведем теперь плоскость $\pi$ через прямую $l$ и середину отрезка $[A'A_1]$. Легко сообщить, что $(A'A_1) \perp \pi$. Поэтому $S_\pi \circ S_\sigma(A) = A_1$. С другой стороны, $S_\pi \circ S_\sigma$ — поворот, так как это преобразование оставляет на месте только точки прямой $l$. Но поворот однозначно задается осью и образам произвольной, не лежащей на оси точки. Следовательно, $R_l = S_\pi \circ S_\sigma$.

1. Пусть оси $u$ и $v$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим плоскость $\pi$, содержащую эти прямые. Тогда $R_u$ и $R_v$ можно представить так: $R_u = S_\pi \circ S_\sigma, R_v = S_\sigma \circ S_\pi$. Отсюда $R_v \circ R_u = (S_\sigma \circ S_\pi \circ S_\pi \circ S_\sigma)$ = $S_\sigma \circ S_\sigma$, поскольку $S_\pi \circ S_\pi$ — тожественное преобразование. Но $\sigma_2 \ni O$ и $\sigma_1 \ni O$, поэтому прямая $\sigma_1 \cap \sigma_2$ проходит через точку $O$.

2. Пусть $m$ — прямая и $R_l(m) = m$. Если точка $A \in m$ и $A \notin l$, то $m$ проходит через $A$ и $R_l(A)$. Значит, $m$ принадлежит некоторой плоскости, перпендикулярной к $l$, и мы пришли к повороту плоскости, для которого утверждение очевидно.

3. Доказывается так же, как лемма 1, плоскobyчерез $u$ и $v$ можно проводить плоскость. Параллельные перености получятся, если $\sigma_1 \parallel \sigma_2$.

Рассудите их

Выполняя лабораторную работу, ученики получили на экран цветной спектр белого света, прошедшего через призму.

— Красота-то какая! — воскликнула Ира. — А если на месте экран оказется сетчатка глаза, то что тогда мы увидим? — спросила она. — Как что? — ответила Маша. — То же, что и экране. Отраженные цветные лучи от спектра на экран, так же как и световые лучи от различных объектов, проядя через хрусталик глаза, дают на сетчатке перевернуть изображение. А мозг человека «научился» переворочать изображения, возникшие на сетчатке. Поэтому мы видим все в реальном виде. Так что глаз будет видеть общие расположение цветных лучей в спектре белого света. — А я думаю, что мы видим спектр, «обратный» видимому на экран, — сказала Ира.

Как по-вашему, читатель, — кто из них прав?

В. Пармон

25

Сферический эллипс

Эллипс («Геометрия 10», § 59; см. также «Алгебра 8», п. 2) можно определить как множество точек на плоскости, сумма расстояния от которых до двух данных точек плоскости (называемых фокусами) есть величины постоянная. Если в этом определении «сумму» заменить на «модуль разности», получим эллерболу. Парабола — это множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки плоскости (фокуса) и данной прямой (директрисы) одинаковы.

Сферический эллипс — это множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки плоскости (фокуса) и данной прямой (директрисы) одинаковы.

Сферический эллипс — это множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки плоскости (фокуса) и данной прямой (директрисы) одинаковы.

Плоский эллипс превращается в окружность только в том случае, когда его фокусы сливаются. Как показал Н. И. Фусс, сферический эллипс превращается в окружность (а именно — большую окружность фокеры), если постоянная сумма расстояния, о которой говорится в определении, равна половине длины большей ok-ружности. Конгрузные сферические треугольники, выделенные на рисунке 1 около фокусов $F_1$, $F_2$, помогут вам доказать утверждение Фусса.

Рассмотрим сферу $\Delta$ и плоскость $\alpha$, касающейся в фокусе неокоторого сферического эллипса $l$ на ней. Проведем всевозможные прямые черзи центр сферы $O$ и точки сфериского эллипса $l$. Оказывается, полученная таким образом кончческая поверхность $\Gamma$ пересечет плоскость $\alpha$ по неокоторому эллипсу $\lambda$. Исходную сферу поверхность $\Gamma$ пересечет еще по одному сферическому эллипсу $l'$, симметрично с $l$ относительно $O$ (рис. 2).

Рис. 1.

Рис. 2.

Интересно, что по отношению к фокусам эллипса $l$ эллипс $l'$ будет сферической гиперболой.

Эллипс (плоский) можно определить также, как множество точек (на плоскости), относение расстояния от которых до данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы) постоянно и меньше 1. Аналогичным образом можно определить и сферический эллипс. Можно доказать, что центральная проекция директрисы эллипса $\lambda$ относительно $O$ на сферу $\Delta$ является директриской сферического эллипса $l$: относение расстояний от любой точки эллипса $l$ до фокуса и до получения при описанном проектировании большой окружности постоянно и меньше 1.

Углы между отрезками, соединяющими произвольную точку плоского эллипса с фокусами, и касательной к эллипсу в этой точке равны. В этом состоянии так называемое оптическое свойство эллипса. Аналогичным свойством обладает сферический эллипс: если в любой его точке $M$ проведится касательную большую окружность и соединить точку $M$ по большим окружностям с фокусами эллипса, то углы между этим последним окружностями и касательной окружностью окажутся равны.

Многие свойства сферического эллипса были обнаружены впервые русским математиком, швейцарцем по проискждению, Н. И. Фусс (1755—1825). Н. И. Фусс был учеником и помошником великого Л. Эйлера и большую часть своих первых исследований в области математики и механики проводил его руководством. В последствии Н. И. Фусс стал действительным членом Петербургской академии наук и ее непременным секретarem. Интересные результаты, касающиеся сферического эллипса, были получены также русским математиком Л. И. Магнусом (1790—1861).

В. Березин

27

деляемых тем же соответствием (1), но начинающейся с $P_0(x) = 2, P_1(x) = x$.

А. Зелевинский

М489. Даны три числа $a, b, c$. Построим три последовательности $(a_n), (b_n), (c_n)$, у которых $a_1 = a, b_1 = b, c_1 = c$ и
$$a_{n+1} = \frac{b_n + c_n}{2}, b_{n+1} = \frac{c_n + a_n}{2}, c_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$$

для любого $n=1, 2, 3, \dots$. Докажите, что все эти три последовательности имеют общий предел, и найдите его.

И. Бурмистрович

М490. $p$ — простое нечетное число. Дано $p=1$ целых чисел, не делящих на $p$. Докажите, что, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, можно получить $p=1$ целых, сумма которых делится на $p$.

С. Фомин

Ф498. Динамит тонкостенного цилиндрического стакана равен $d$, высота — $h$. Стенки и дно стакана одинаковой толщины. В стакан наливают воду. При каком уровне воды центр тяжести стакана с водой занимает нанизшее положение?

Ф499. Два стеклянных шара радиусов $r$ и $R$ соединены тонкой длиной стеклянной трубкой и наполненны воздуха. Посередние трубки находятся капляртути. Можно ли с помощью этого прибора измерять температуру окружащего воздуха?

Ф500. На столбе на высоте $h$ над землей видится звонок. На каком расстоянии от столба звук слышен громче всего, если скорость звука равна $c$, а скорость ветра, душшего горизонтальное, равна $v$?

Ф501. На краю стола высоты $H$ стоит шар радиуса $R$, причем, $R \ll H$. Шар начинает сокальзывать со стола без трения. На каком расстоянии от стола упадет шар?

Ф502. В крышке закрытоя ящика высоты $h=1$ м имеется круглое отверстие. Как изменится освещенность дня под ответием, если в ответие вставить линзу с оптической силой $D=1$ дитр? Ящик стоит под открытом небом, затянутым равномерно пленой облаков.

Поправка
В формулировку задачи М480, опубликованной в № 12 за 1977 г., включает ошибка. Задачу М480 в) следует читать так: последовательность $C_n$ определяется условиями $C_1=2, C_{n+1}=[3C_n/2]$ для $n \geq 1$; докажите, что существует число γ такое, что $C_n=[(3/2)^n\gamma]+1$ (здесь $[x]$ — целая часть $x$). (В № 12 в формуле для $C_n$ была опущена единица.) Срок присылаки решений этой задачи продлевается до 1 июня 1978 г.

28

Решения задач
M441 — M443; Ф453 — Ф457

M441. Внутри выпуклого 2n-уольника взята точка P. Через каждой вершину и точку P проведена прямая. Доказим, что найдется сторона многоугольника, с коморой ни одна из проведенных прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов стороны).

Рис. 1.

Внутем говорить, что прямая пересекает сторону многоугольника M, если их точка пересечения не совпадает с вершиной многоугольника.

Возможны два случая: 1) точка P принадлежит какой-нибудь диагонали AB многоугольника M; 2) точка P не принадлежит ни одной из диагоналей многоугольника M.

В первом случае прямые PA и PB совпадают с (AB) и не пересекают никаких сторон M, а прямые, проходящие через точку P и оставшиеся 2n-2 вершины M пересекают не более 2n-2 сторон. Поэтому по крайней мере две стороны многоугольника M не пересекает ни одна из проведенных прямых.

Пусть теперь P не лежит ни на одной из диагоналей M. Возьмем такую диагональ AB многоугольника M, которая делит его границу на две n-звенные ломанные Γ1 и Γ2, а 2n-угольник M — на два выпуклы (n+1)-угольника M1 и M2 (рис. 1). Допустим, что P находится внутри M1; и пусть C — произвольная вершина многоугольника M2 (отличная от A и B). Поскольку M1 и M2 находятся по разные стороны от (AB), P∈M1, C∈M2 и многоугольник M — выпуклый, прямые PC и AB пересекаются в некоторое точке K∈[AB] (см. рис. 1). Примая PC, проходящая через внутреннюю точку многоугольника M1 и пересекающая его границу в точке K на стороне AB, пересекает границу M1 еще в одной точке, не лежащей на AB, т. е., пересекает Γ1. Итак, любая прямая, проходящая через вершины Γ2 (отличные от A и B), пересекает границу выпуклого многоугольника M в двух точках: вершине Γ2 и точке, лежащей на Γ1 (возможно, совпадающей с вершиной Γ1). Следовательно, любая прямая не пересекает звеньев ломаной Γ2.

Аналогично доказывается, что прямые AP и BP также не пересекают звеньев ломаной Γ2.

Итак, n+1 прямых пересекают не более чем n сторон многоугольника M (звеньев ломаной Γ1). Оставшиеся n-1 прямых не могут пересечь более чем n-1 сторон многоугольника M (звеньев ломаной Γ2). Следовательно, хотя бы одна сторона (звеньев ломаной Γ2) не пересекается ни одной из проведенных через точку P и вершины многоугольника M прямых.

Г. Гуревищ

Перепишем сумму $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{p-1}$ так:

$$(a_1 + a_{p-1}) + (a_2 + a_{p-2}) + \dots + (a_{\frac{p-1}{2}} + a_{\frac{p+1}{2}})$$

($p-1$ — четное число; в последней сумме $\frac{p-1}{2}$ выражений в скобках). Расмотрим одно из выражений $a_i + a_{p-i}$, заключенных в скобки. Легко заметить, что

$$i^p + (p-i)^p = p^p - C_p^1 \cdot i \cdot p^{p-1} + \dots + C_p^{p-1} \cdot i^{p-1} \cdot p = p^2 l$$

— делится на $p^2$ (поскольку $C_p^{p-1} = p$; $p > 2$, $1 \leq i \leq p-1$). Поэтому $a_i + a_{p-i}$ делится на $p^2$; и так как $a_i < p^2$, $a_{p-i} < p^2$, то $a_i + a_{p-i} = p^2$ для всех $i = 1, \dots, p-1$. Итак,

$$a_1 + a_2 + \dots + a_{p-1} = (a_1 + a_{p-1}) + \dots +$$

$$+ (a_{\frac{p-1}{2}} + a_{\frac{p+1}{2}}) = p^2 \cdot \frac{p-1}{2} = (p^3 - p^2)/2$$

что и утверждалось.

С. Охимин