Квант 1978, №6 · Страницы

КЕАНМ 6
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

«Наверное, нет на свете такого малчика, который не играл бы с увеличительным стеклом (линзой)». Так начинается стать «Знакомы ли вы с линзой?» Но чтобы познакомиться с линзой, совсем не обязательно иметь увеличительное стекло. Эти капли росы на дубовом листе — тоже линзы. Если выникогда не смотрели на росу с такой точки зрения — присторпесь. И вы видите тонкие прожилки листа как замысловатую сетку дорог, а паутинку — как можно нитку. И каждая капелька фокусирует солнечный свет.

2

В. Фабрикант

Что происходит в геляй-неоновом лазере

Геляй-неоновый лазер становится распространяющим прибором, широко применяемый в самых различных областях техники и науки. Во многих школах появились такие лазеры, и с их помощью изучаются свойства когерентного света.

Сердцем каждого лазера служит свой так называемой активной среды, успливающей проходящий сквозь нее световой луч. В геляй-неоновом лазере такой средой является плазма, образующаяся при прохождения электрического тока сквозь смесь геляя с неоном в газорарядной трубке.

Что такое лазер или мастер, на какой они возникли базе?
Л. Мартынов

Объчно при прохождения через среду световой луч испытывает ослабление — часть энергии луча поглощается средой. Однако можно создать среду, при прохождения через кого-то рую свет будет не ослабляться, а успливается. Впервые возможность создания такой среды была указана в 1939 году. Конечно, в процессе успешления света закон сохранения энергии не нарушается. Дополнительную энергию световой луч черпает из внутренней энергии atomов среды.

Эйнштейн анализирует взаимодействие света с atomом

Переходы, переходы…
ИЗ песни

Для того чтобы понять, как «работает» успливающая свет среда, надо рассмотреть более подробно взаимодействие света с atomами. Впервые такое рассмотрение проводилось теории относительной Альберт Эйнштейн. Поразитное, сколько фундаментальных результатов в самых различных областях современной физики связывано с именем Эйнштейна!

В 1916 году Эйнштейн, развивая идеи Макса Планка о квантовом характере взаимодействия света с atomами, впервые четко сформулировал существование трех элементарных оптических процессов, в которых участвуют atomы.

Как известно, согласно квантовым представлениям внутренняя энергия atomов может изменяться только скачками.Atom, как мы говорим, может находиться в Staционном состоянии на одном из энергетических уровней (рис. 1), соответствующих волне определенным запасам внутренней энергии. Оптические переходы atomа с одного уровня на другой сопроводятся испусканием или поглощением atomом фотонов. Согласно закону сохранения энергии должно выполнять равенство

$$hv = E_2 - E_1,$$

(1)

где $hv$ — энергия фотона ($h$ — постоянная Планка, $v$ — частота света), $E_1$ и $E_2$ — энергии Staционных состояний atomа, между которых пропускают переход. Ясно, что для перехода с одной энергетической уровня на более высокий atom должен поглощать фотоны. Энергия поглощенных фотонов идет на увеличение внутренней энергии atomа. Наоборот, при переходах на более низкий уровень atom должен поглощать фотоны, уносящие избыток внутренней энергии atomа.

Эйнштейн указал, что существует один тип процессов поглощения фотонов и два типа процессов испускания фотонов (рис. 2). В процессе поглощения atom как бы глотает подлеτεвший к нему фотон и переходит на более высокий энергетический уровень (рис. 2, а). Процесс испускания atomом фотона может пропускать спонтанно — самопроизвольно, без всякого внешнего воздействия (рис. 2, б). Конечно, для того чтобы могло возникнуть спонтанное испускание фотона, необходимо atom предварительно возбудить. Спонтанное испускание пропускит из-за неустойчивости возбужденного состояния atomа. Продолжительность жизни изолированных возбужденных atomов различна для разных состояний. (На более короткие продолжительность жизни возбужденных atomов довольно мы — порядка $10^{-8}$ с.)

Наиболее важным для лазеров было открытие Эйнштейном существования второго типа процессов ис-

пускания photonов — так называемого вынужденного, или стимулированного, испускания. (Мы намеренно несколько отклонились от систематики оптических процессов, данной самим Эйнштейном. Он называл вынужденное испускание отрицательным поглощением, объединия тем самым этот процесс с процессом поглощения. Ниже мы увидим, что для этого есть основания, но в современной литературе установилась терминология, использующая нами.)

Вынужденное испускание возникает при стольновении photona с возбужденным atomом. Как показал Эйнштейн, вынужденный переход atomа с уровня $E_2$ на более низкий уровень $E_1$ может стимулировать только photon с энергейой, удовлетворяющей равенству (1). Фoton как бы только и без того неустойчивый возбужденный atom, и тот «падает» на более низкий энергетический уровень, испуская новый photon (рис. 2, б). При этом photon, стимулированный переход, не меняет свой энергии и направления своего полета. Важно подчеркнуть, что вновь розденный photon

4

ТОН ЯВЛЯЕТСЯ «БЛИЗНЕЦОМ» ФОТОНА, СТИМУЛИРОВАШЕГО ЕГО РОЖДЕНИЕ, — он несет такую же энергию и летит по тому же направлению.

Итак, после встречи первого фоТОНА с возбужденным atomом дальше летят уже два совершенного одинаковых фоТОна, а atom переходит на более низкий энергетический уровень. Абсолютная одинаковость этих двух фоТОнов проявляется не только в равенстве энергии и в совпадении направления их полета, но и в свойстве, называемом когерентностью. Существует квантовая теория когерентности, особенно развившаяся после появления лазеров; однако более наглудно это свойство описывается на основе классических, волновых представлений без всякого скачка фазы и изменения направления.

Теперь нам понятно, почему процесс вынужденного испускания Эйшштейн называют прицательным поглощением. Ведь поглощение и вынужденное испускание — это два «взаимно обратных» процесса. Начальное состояние в первом процессе совпадает с конечным состоянием второго и наоборот (рис. 3). Кроме того, при поглощении уменьшается интенсивность падающего света, но его когерентность не нарушается; в результате вынужденного испускания интенсивность падающего света увеличивается за счет тимулированного излучения, которое когерентно с падающим светом.

Таким образом, если в среде имеются возбужденные atoms, способные к вынужденном испусканию, то прохождение такого же уровня света во время потоку увеличивается свою интенсивность, оставящее когерентным, и этот процесс приноит противоположен процессу поглощения.

Именного когерентное успление света при вынужденном испускании лежит в основе создания оптических квантовых генераторов — лазеров. Само слово «лазер» образовано из начальных букв англяйских слов light amplification by stimulated emission of radiation (усиление света стимулированным испусканием излучения).

Инверсия населенность и как ее получают

Всеверх дом
Название англяйской сказки

Теперь уже можно обьясить, почему различные среды обычно ослабляют, а не усиливают свет. Все дело в том, что в обычных условиях всегда больше atoms на нижних уровнях энергии, чем на более высоких (рис. 4). Поэтому в среде больше atoms, способных «глотать», а не испускать фоТОны, и число актов поглощения превышает число актов вынужденного испускания.

Для получения усиливающей среды необходимо создать инверсию населенностей atomами энергетических уровней — создать ситуацию, когда на верхних уровнях находится больше atoms, чем на нижних (рис. 5). Тогда акты вынужденного испускания будут преобладать над актами поглощения, и за счет вынужденного испускания будет происходить успление света. Посмотрим, как инверсия

Рис. 4. Нормальное распределение atomов по энергетическим уровнем.

6

Рис. 7. Распределение электронов по энергиям.

Все электроны обладают одной и той же энергии, равной средней энергии $E$ их теплового движения, то ни один из них не смог бы возбудить atom. При данной температуре (при данном значении $E$) энергии $\frac{mv^2}{2}$ теплового движения отдельных электронов отличаются от значения $E = \frac{mv^2}{2}$ – существует, как говоря, разброс электронов по энергиям. На рисунке 7 приведен график распределения электронов по энергиям при данной температуре. Видно, что лишь малая часть электронов обладает энергийой выше порога возбуждения atom.

Населенность уровня зависимости стольновений, но и от продолжительности жизни atom на данном энергетическом уровне. Ясно, что чем больше продолжительность жизни на данном уровне, тем больше atomов накапливается на нем. Поэтому для получения инверсии населенностей выгодно иметь верхний уровень с большей продолжительностью жизни, а нижний — с меньшей. Для лазера, работающего в непрерывном режиме, это условие является жестким.

На рисунке 8a изображены методы управления схема интерсуцих насуровней atomа неона. Переходы между уровнями $E_3$ и $E_2$ сопровождаются испусканием красной линии с длиной волны 0,6328 мкм. Продолжительность жизни atomов на уровне $E_3$ равна примерно $2 \cdot 10^{-7}$ с, а на уровне $E_2 = 10^{-8}$ с, т. е. примерно в пять раз меньше, что благоприятствует получению инверсии. Однако до уровня $E_3$ atoms могут возникать только электронами с энергиями, превышающими $E_3 - E_1$, а до нижнего уровня $E_2$ — электронами с энергиями, превышающими $E_2 - E_1$*). Так как $E_3 - E_1 > E_2 - E_1$, то данная ситуация не благоприятствует инверсии. Чем выше уровня, тем труднее электронам возбуждать atoms до этого уровня. В результате игры этих двух факторов очень трудно получить инверсию в чистом неон. Это и заставляет применять смесь геля с неоном, причем геля в этой смеси примерно в десять раз больше неон.

*) Возможна и такая ситуация: atom, стольновыйся с электроном и перешедший на возбужденный уровень, успевает за время жизни стольнуться со вторым электроном и перейти на более высокий уровень (такое возбуждение называется ступенчатым). Однако концентрация возбужденных atomов мала (из-за очень малой продолжительности жизни atomов в возбужденном состоянии), и поэтому при обычных условиях вероятность такого события ничего неон.

Рис. 8a.

Рис. 86.

8

Рис. 11.

Образовавшаяся лавина фотонов натыкается на одно из зеркал лазера и, отражившись, идет обратно сквозь активную среду, что сопровождается нарастанием лавины. Затем происходит отражение от второго зеркала и опять нарастание лавины и так далее. Мы с помощью зеркала как бы удлиняем активную среду. Однако не следует думать, что даже при идеальных зерканах, отражающих все падающие на них фотоны, лавина будет безгранично нарастать. Лавина сама себе портит условия нарастания. При достаточно высокой плотности потока фотонов они настолько быстро будут «сбивать» возбужденные atoms на более низкий энергетический уровень, что исчезнет инверсия населенностей. А ведь наряду с вынужденным испусканием происходит процесс поглощения и спонтанного излучения. В процессе спонтанного излучениярождающейся фотоны распространяется в пространстве равномерно по всему направлении, и их вклад в фотонную лавину очень мал и представляется собой некорегентный свет. Спонтанное излучение atomов создает в лазере небольшой так называемый «шум». Когда в результате изчезновения инверсии населенностей наступит равновесие между числом актов поглощения и числом актов спонтанного и вынужденного испускания, дальнейшее усиление свет прекратиется. (Согласно закону сохранения энергии при этом мощность, выделяемая в процессе испускания, становится мощности, подводимой для возбуждения atomов Ne.)

От успешия к генерации

Точное определение «образной связи» не имеет никакой важности. У.Р. Эшби. «Введение в кибернетку»

Тепер выясним роль реальных зеркала с коэффициентом отражения меньше единицы. Без зеркала газоразрядная трубка с гелий-неоновой смесью работала бы как усилитель света. Зеркала превращают прибор в генератор света. Применяя радиотехническую терминологию, можно сказать, что зеркала обеспечивает положительный обратную связь.

Когда описанная выше световая волна достигает одного из зеркала, она частично отразится,нойдет в обратном направлении сквозь активную среду, опять усиливаясь, и достигает второго зеркала, где повторится все то же. Волна будет «метать» между зеркаlami, как тигр в клетке.

Напомним, что одно из зеркала чут-чут произное. При каждом отражении от этого зеркала нарушу выйдет небольшая часть световой волны. Луч лазера превращает сумму этих частей световой волны, мечущейся в зеркальной клетке. И если потери света в зеркалах (а зеркала без потерь не былает) будут компенсироваться усилением света в активной среде, установится стационный режим генерации. Активная среда гелий-неонового лазера обладает очень слабым усиливающим действием (интенсивность светового потока увеличивается приерно на 10 % на одном метре пути в активной среде). Поэтому зеркала в таком лазере

9

должны иметь очень высокие коэффициенты отражения, превышающее 90 %.

Итак, мы разобрались в том, какие явления произходят в газоразрядной трубке гелиний-неонового лазера. По существу, в лазере произходит процесс преобразования энергии. Основные этапы этого процесса можно представить схемой, приведенной на рисунке 11.

Луч лазера
Молниевидный бриземет луч.
Ф. Тючев

Свечение активной среды принимаально отluaется от свечения таких источников света, как лампа накаливания или люминесцентная лампа. В обычных источниках света царит полный хаос — то здесь, то там возникают отдельные световые вспышки, сливоцесса в общее свечение. Эти световые вспышки представляют собой отдельные группы волн, испускаемых различными источниками (различными возбужdenными атомами), и начальные фазы этих волн совершенно служайны, никаким образом не согласованы. Свечение обычных источников света напоминает гул неорганизованной, чем-то возбужdenной толпы. Совсем иная картина в лазере. Благодаря актам вынужденного испускания световая волна упорядочивает излучение отдельных атомов. Здесь напоминает стройный хор — сначала вступают один хорстицы, затем другие, сила звучания нарастает. Дирижирует хором сама порождаемая им световая волна. Фазы отдельных группы волн, испускаемых различными атомами, согласованы между собой. Вот это и приводит к когерентности излучаемого лазером света.

Итак, луч лазера представляет собой сумму частей световой волны, выходящих через полупрозрачное зеркоало. А так как все эти частные когерентные между собой, то в результате их сложения произходит интерфейсция. Как известно, максимальная amплитуда результирующей волны получится, если разности хода складываемых волн равны целому числу длины волн. Длина пути, проходимого волной лазера между двумя отluaющими от одного и того же зеркала, равна 2L, где L — расстояние между зеркалами. Следовательно, для получения яркого выходящего луча должно выполняться следующая следующие условия:

$$2L = n\lambda,$$

где n — целое число, λ — длина световой волны. Условие (3) имеет простой смысл: на длине лазерной трубки (резонанта) должно укладывать целое число полуволн. При колбанях струны с закрепленными концами на длине струны также укладывается целое число полуволн. Это — условие установления стоячих волн. И внутри лазера устанавливается стоячая световая волна (точнее, почти стоячая — из-за прорачности одного из зеркала).

Условие (3) можно переписать в таком виде:

$$v = n \frac{c}{2L},$$

где c — скорость света, v = \frac{c}{\lambda} — частота.

Но частота света, излучаемого атомами неона при переходе с уровня E₃ на уровень E₂, равна

$$v = \frac{E_3 - E_2}{h}$$

Таким образом, частота света, генерируемого лазером, должна одновременно удовлетворять и уравнению (4), и уравнению (5). Первое уравнение определяет условие резонанта между светом и резонантом и носит классический характер. Поскольку зеркальный резонант имеет максимологические размеры, свет взаимодействует с ним как световая волна. Уравнение (4) имеет квантовый характер и определяет условие резонанта между светом и атомами активной среды, представляющих микрорезонантами как поток фотонов.

Таким образом, в лазере одновременно проявляется и волновые, и квантовые светства света.

10

Рис. 12.

Рис. 13. «Острота настройки» атомов не она и зеркального резонанса.

Постотрим теперь, что практические ознакомы с излучением, обладающим строю определенной частотой $v_0$ (рис. 12, а), мы должны были подобрать размер резонанса — расстояние $L$ между зеркалами — таким, чтобы собственная частота резонанса (определяемая условиям образования сточных волн) была как раз равна $v_0$. И поддерживать это расстояние надо было бы с точностью до малых долей длины излучения. Практические удовлетворить этому требованию очень трудно. К счастью, эта задача облегчает тем, что на самом деле частота излучения атома не в точности равна $v_0$, а лежит в неоктором интервале значений $v_0 \pm \Delta v$. Однако из причины, по которым это происходит, является тепловое движение атомов. Поскольку скорости отдельных атомов могут быть большие или меньше скорости теплового движения, энергия атомов на данном энергетическом уровне не в точности равна $E_n$, а лежит в неоктором интервале значений $E_n \pm \Delta E$ (рис. 12, б). В интервал частот $|(v - \Delta v), (v + \Delta v)|$ попадают несколько значений собственных частот резонанса (рис. 13). Поэтому для данной частоты излучения мощный луч лазера получается при настройке резонанса на неокторный набор частот (соответствующих различных значений целых чисел $n$ в условиях (4)). Если не принять специальных мер, гелян-неоновый лазер излучает весь этот набор частот, правда, сосредоточенный в довольно узкой области (ширина спектральной линии атома неона).

Есть и одночастиные лазеры, но в них имеется специальное устройство, выделяющее один из узких резонансов.

Мощность луча гелян-неонового лазера невелика — порядка одной десятичной仗та. Несмотря на это, попадание луча в глаз может повредить зрене. Разрядная трубка лазера потребляет для возбуждения активной среды мощность от 20 до 100 Вт. Таким образом, гелян-неоновый лазер преобразует электрознергию в энергию светового луча с к. п. д. не выше долей процента.

Вместе с тем луч лазера обладает рядом весы ценных свойства, сlixвой компенсирующих низкий к. п. д. Прежде всего, это — направленность луча. Когда мы рассказывали о зарождении фотонной лавины, мы указывали на то, что первый фотон должен вылетать паралельно оси разрядной трубки. «Косо» вылетающий фотон и порожденые им фотоны быстро уйдет в «аут» через боковую стенку трубки, не испытовывающего усления. Отражение от зеркал толькоусгугиитэффект. Так что внутри трубки сохраняется направленный луч, угловая расходимость которой всего порядка $10^{-3}$ радина. Высокая направленность луча гелян-неонового лазера делает его незаменимым для точно установления направленный при строительстве различных сооружений и при прокладке туннелей. Высокая монхроматность излучения гелян-неонового лазера, даже не одночастиного, делает этот лазер весы удобным источником для изучения и практического применения различных интерференционных явлений. Кроме гелян-неонового лазера, есть большое число других типов газовых лазеров, использующих в качестве активных сред различные атомарные и молекулярные газы. Средние их есть и весы мощные. Есть и лазеры с довольно высоким к. п. д. Но это, как говорится, уже другая история.

11

Е. Габович

Задача
коммивояжера

«Пользуйтесь услугами Аэрофлота!»
Два автомобильства, инженер А. Невский и экономист Б. Литейный, решили съездить в Закавказье, посетить Баку и Тбилиси, заехать в Москву, Киев и Горький, а затем вернуть в родной Ленинград. Начали обсуждать маршрут путешествия. Невский посмотрел на карту и предложил такую последовательность посещения городов:
Л → М → Г → Б → Т → К → Л
Литейный же, достав атлас автомобильных дорог, выписал расстояния между нужными им городами в таблицу (см. таблицу 1) и подсчитал длину предложенного маршрута:
696 + 410 + 2937 + 579 + 1863 + 1207 = 7692 км. «Длиноваато! — сказал он. — Расстояние аэрофлотское! А нельзя ли короче? Уверен ли ты, что этот маршрут является кратчайшим?»
Уверенности такой у Невского не было. Более того, обьясить, почему он решил ехать именно так, Невский не мог. Проство интуиция подсказывал ему, что такой маршрут, если и т.д.

Таблица 1

| Город | Л | М | К | Б | Т | Г |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Ленинград | — | 696 | 1207 | 3223 | 2797 | 1106 |
| Москва | 696 | — | 858 | 2527 | 2101 | 410 |
| Киев | 1207 | 858 | — | 2283 | 1863 | 1268 |
| Баку | 3223 | 2527 | 2283 | — | 579 | 2937 |
| Тбилиси | 2797 | 2101 | 1863 | 579 | — | 2511 |
| Горький | 1106 | 410 | 1286 | 2937 | 2511 | — |

12

не короче всех других, то близок к кратчайшейему.

«А не просмотреть ли нам все вообще маршруты? — предложил Литейный. — Много ли их?» Сталил подсчитывать. «Из Ленинграда можно поехать в любой из пятин городов. Если мы поедем, скажем, в Москве, то из нее можно направиться в любой из отличных от Ленинграда и Москвы городов. Итак, имеется 20 поездок вида $Л \rightarrow X \rightarrow Y$, где $Л \neq X \neq Y \neq Л$. Поездок вида $Л \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z$ уже 60, но из $Y$ можно поехать в любой из оставшихся трех городов. Если мы выберем $Z$, то можем считать следующим за $Z$ городом любой из последующих двух городов. Итак, 120 маршрутов, либо завершается путешествие однозначно: по пути домой поещается последний из шести городов. Многоваго! Так что это не метод, — перебирать все маршруты! Ведь если мы хотели посетить шесть городов, у нас было бы 720, а если семь, то уже 5040 маршрутов!»

«Тогда давай поступим так — предложил Невский, — поедем из Ленинграда в ближайший город, из него — в ближайший, еще не посещенный, и т. д. Это дает нам маршрут $Л \rightarrow M \rightarrow Γ \rightarrow K \rightarrow T \rightarrow Б \rightarrow Л$. Его длина, — сейчас подсчитано, — 8057 км. На 365 км длинее!»

Задача коммивояжера

Задача, которую решают Невский и Литейный, известна в математике под названием задачи коммивояжера *) (бродячего торговца).

Сформируем ее в общем виде: имеется $k$ городов, расстояния между которых известны; коммивояжеру нужно выйти из одного из этих городов, посетить остальные $k-1$ городов, побив в каждой из нихровно по одному разу, и вернуть в

*) Вероятно, впервые сформируем задачу коммивояжера известный математик Карл Менгер. Произошло это 5 февраля 1930 года на математическом колоквинуме в Вене. Менгер пользовался известным «Задача о посыльном».

Рис. 1.

исходный город; как найти кратчайший маршрут?

Очевидно, выбор начального пункта маршрута несуществен — задачу коммивояжера можно сформулировать и так: найти кратчайший замкнутый маршрут, прохождение по разу через каждый из $k$ городов.

Уражнение 1. Докажите, что общее число маршрутов коммивояжера равно $(k-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (k-1)$.

Заметим, что таблица расстояний, составленная Б. Литейным (математики называют такие таблицы матриц), оказывается симметричной относительно диагонали, на которой стоит проечерки. В задаче коммивояжера допускается и несимметричные таблицы. Несимметриная таблица расстояний может возникнуть, например, в следующей задаче (o колчевом автовосном маршруте). В городе, на некоторых улицах города разрешено только одностороннее движение, фиксированы $k$ точек (мест будуших остановок). Через них должны проечерки замкнутая автобусная линия. Требуется найти также циклическую последовательность прохождения точки остановок, при которой каждой последовательности один и только один раз, а весь маршрут имеет минимальную протяженность.

Уражнение 2. В пластинке размером $7 \times 9$ лучлазера должен проесть щелей в направлениях, указанных на рисунке 1 стрелками, и вернуть в исходное положение. Задача минимализии холодного проега лазерной головки есть задача коммивояжера. Выпишите матрицу расстояний для нее. (Обратите внимание на то, что она получается несимметричной.)

13

Из упражнения 2 мы видим, что «городами» в задаче коммувожера могут быть вовсе не города, а «растойнями» — вовсе не растойня. Например, под «растойнем» между двумя городами можно попытаться или продолжитьность путешествия между ними. В этом случае минимизируется, соответственно, суммарная стоимость путешествия или его продолжительность.

Рассмотрим еще для примера задачу о стане. Деталь в процессе обработки на стане подвергается $k$ операции. При переходе от одной операции к другой станок должен зановно настроиваться, что приводит к потери времени. Требуется найти такой порядок проведения всех операций (с возвращением станка в исходное состояние), при котором суммарные потери были бы наименьшими. Ясно, что здесь мы имеем дело с задачей коммувожера — с таблицей потерь времени на перестройку станка в качестве матрицы растойния. «Городами» являются состояние станка после различных операций.

К задаче коммувожера приводят задачи планирования производства и проектирования линейной связи (скажем, телефонной сети), задачи составления маршрута дляпочтального (врача, контролера телефонов-автоматов и т.п.) и даже некоторых задачи проектирования ЭВМ.

Полный перебор

Итак, в каждой конкретной задаче коммувожера требуется найти кратчайший тур при заданной матрице растойния. Можно случайно, что

| Номер операции | I | II | III | IV | V |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| I | — | 0 | 11 | 5 | 20 |
| II | 31 | — | 0 | 52 | 8 |
| III | 9 | 16 | — | 0 | 41 |
| IV | 64 | 31 | 61 | — | 0 |
| V | 0 | 93 | 19 | 7 | — |

сделать это окажется крайне просто. Например, если потери на переналку в задаче о стане заданы таблицей 2, то оченьно, что оптимальный является такая последовательность операций: $I \rightarrow II \rightarrow III \rightarrow IV \rightarrow V \rightarrow I$ (с нульым суммарным времени переналки).

Уражнение 3. Решите задачу коммувожера из упражнения 2, если известно, что во время хлопотного хода лазерная головка может передвигаться только параллельно краям пластинки.

Однако чашце всего для конкретных таблиц растойний бросаются в глаза решений нет. И если даже кто-нибудь подсказет нам, какой маршрут является кратчайшим, возможно больше трудности, когда мы захотим проверить, так ли это на самом деле.

Matematиков же интересют не столько решения конкретных задач коммувожера, сколько общие решения всех таких задач (или хотя бы всех задач коммувожера при $k \leq m$, где $m$ — некоторое фиксированное число).

Заметим, что в каждой конкретной задаче коммувожера можновести все маршрутов конечно. Поэтому можно организовать полный перебор всех маршрутов, вычислить их длины и выбрать кратчайший маршрут. Такой полный перебор в принципе является общим методом решения задачи коммувожера.

Однако вспомним Невского и Литейного. Хотя им предстояло провести замкнутый маршрут всего лишь через шесть городов, они не захотели перебирать все 120 туриов (правда, автоматически не заметили того, что из-за симметриности таблицы 1 только 60 туриов имеют различную длину). В общем же случае коммувожеру приходится выбирать кратчайший из $(k-1)$! возможность маршрутов. Это число с ростом $k$ растет очень быстро, а потому указывающий способ решения при больших значениях $k$ практически не применим. Так, автору известен пример, когда для осуществления перебора в задаче коммувожера с десятью городами $(k=10)$ на ЭВМ М-220А было израсходовано 4 часа 45 минут! Быст-

15

Эксперименты показали, что без использования специфических свойств каждой конкретной задачи коммуникатора существует ЭВМ и методы решения задач целочисленного линейного программирования позволяют справляться с задачи коммуникатора лишь при необходимости числе городов (не превысаяшем десяти). В то же время самые последние работы в этой области показывают, что сведение к задаче целочисленного линейного программирования может быть эффективно использовано в сочетании с другими методом решения задачи коммуникара — методом ветвей и границ.

Метод ветвей и границ

Нанлучшим методом решения задачи коммуникара в настоящее время является метод ограничного перебора, или метод ветвей и границ. Он применяется в нескольких модификации, имеющих различную эффективность.

Осуществляя полный перебор, мы можем, конечно, выписать все туры друг за другом. Можно поступить иначе: нарисовать дерево возможных поездок. Для случая четырех городов оно изображено на рисунке 2. В кругжках — номера городов; стрелками изображены поездки. Ясно, что при переходе к дереву поездок количество стрелок уменьшается по сравнению с их количеством в записи всех маршрутов (при $k > 3$). На пример, при выписывании всех маршрутов подряд стрелку I → II пришлось бы нарисовать дважды. Но еще большее экономии мы достигнем, если будем строить не все дерево поездок, а только некоторую его часть. Именено такое усеченное дерево, отличающее от дерева всех поездок отсутствием тех ветвей, которые не могут дать кратчайшего маршрута, и конструкруется в излагаемом ниже варианте метода ветвей и границ.

Опишем последовательность этапов такого метода решения задачи коммуникара (блок-схема излагаемого алгоритма приведена на рисунке 3). Выполнить этап, переходим к следующему, если нам не предписано иное.

1. Рисуем корневую вершину дерева (для определения будем считать, что она соответствует городу I). Присваиваем ей оценку 0.

2. Производим ветвление из любой вершины с минимальной оценкой (первоначально из корневой). Это значит, что мы проводим от выбранной вершины все те стрелки, которые исходили бы из нее в дереве возможных поездок, и рисуем соответствующие вершины дерева.

3. Каждый новой вершине присваиваем оценку, равную длине той части маршрута, которая описывает стрелками, ведущими из корневой вершины в данную.

16

Рис. 3.

4. Если получена вершина, соответствующая городу I, то нахо-
   дим длину Г кратчайшего из получен-
   ных к этому моменту туров. Если нет,
   переходим к этапу 2.

5. Отсекаем все вершины, из которых еще не производилось ветвление (концевые вершины) и оценка ко-
   торых не меняше Г. Это означает, что из таких вершин ветвление впредь не производится. Если не все конце-
   вые вершины отсечены, переходим к этапу 2. Если все, то задача решения: оптимальный тур имеет длину Г и восстанавливается по той концевой вершине, с помощью которого было получено последнее значение Г (см. этап 4).

Этап 2 описывает правило ветвления, этап 3 — процедур вычисления оценок, этап 4 — нахождение границ и этап 5 — процедур отсечения.

Решим методом ветвей и границ задачу коммивояжера с расстояниями, заданным таблицей 3.

Решение приведено на рисунке 4. Пер-
выые четыре ветвления изображены с помощью зеленьх стрелок. Присваиваем Г значение

Г=8 и отсекаем две вершины. Пятое ветвление соответствует синей стрелке. Мы выбрали из двух концевых вершин с минимальной оценкой 4 ту, которая дальше от корня (в надежде на более быстroe получение еще одного тура и уменьшение значения Г). При следующих ветвления отмечены красными стрелками. Телерь Г=5, и мы отсекаем все остальные концевые вершины. Решением является тур I→II→III→IV→I длины 5.

Описанный вариант метода ветвей и границ позволяет решать на ЭВМ задачу коммивояжера с k≤20. Ясно, что он действительное всегда приводит к кратчайему туру, либо в нем используется дерево возможных

Таблица 3

N I II III IV

I — 4 0 9

II 5 — 0 3

III 6 4 — 1

IV 0 2 6 —

17

поездок, а отбрасываются лишь те ветви, которые заведом не могут давать более коротких туров, чем уже найденные.

Можно справиться и с сотней городов!

В 1963 году был опубликован очень удачный вариант метода ветвей и границ, в котором при вычислении оценок к длине уже пройденой части маршрута добавлялось число, оценивающее длину его остальной части. Правило ветвления в этом метода (его автор — Катта Мурти — американский математик индийского происхождения) таково, что при каждом ветвлении образуется две новые ветви *). Метод Мурти позволил за сравнительно короткое время решать на ЭВМ задачу коммивояжера для $k \leq 40$.

Позднее был разработан еще один вариант метода ветвей и границ (метод Истмена — Шапиро). С помощью этого метода удалось решить несколько задач коммивояжера при $k \leq 70$. Дальнейшая разработка метода Истмена — Шапиро позволила довести размер решаемых на ЭВМ задачу до 100—120 городов.

В метода Истмена — Шапиро для вычисления оценок используется то обстоятельство, что существует в связи эффективные машинные методы решения так называемой задачи о назначения *), тесно связанной с задачей коммивояжера. Содержательно задача о назначениях формулируется следующим образом: имеются $k$ человек и $k$ должностей, и известна матрица баллов несоответствия людей должностям. Требуется найти такое назначение работников на должности, которое минимизирует сумму баллов несоответствия. Здесь матрица баллов играет ту же роль, что и матрица расстояний в задаче коммивояжера. А назначения, как и позедки, можно записывать в виде $x \rightarrow y$. Разница лишь в том, что из назначений не обязательно складывается замкнутый маршрут (тур). Возможно, например, такое назначение $I \rightarrow V \rightarrow I$, $II \rightarrow II$, $III \rightarrow IV \rightarrow VI \rightarrow III$ (это значит, что первый человек назначется на пятую должность, пятый — на первую, второй — на вторую, третий — на четвертую и т. д.).

Итак, каждый тур можно считать назначением (но назначение $k$ лиц

*) Описание метода Мурти см., например, в брошюре В. И. Мудрова «Задча коммивояжера», М., «Знание», 1969.

*) Про задачу о назначениях было рассказано в статье М. И. Рейтмана «Транспортная задача» («Квант», 1974, № 7).

Рис. 4.

18

Оказывается туром в среднем лишь в одном из $k$ случайов: ведь существует ($k-1$!) туров, а общее число $k$-назначений равно $k!$. Поэтому сумма баллов для оптимального $k$-назначения не превыходит длины оптимального типа. А эту сумму баллов, как мы уже отмечали, ЭВМ находит сравнительно быстро. Ее-то и использует в качестве оценки в метода Истмена — Шапиро, в котором строится не дерево поедок, а совсем другое дерево, вершинами которого является вспомогательные задачи о назначениях (пример такого дерева избражен на рисунке 5).

По этому методу сначала решается задача о назначениях с матрицей расстояний задачи коммуникатора в качестве матрицы баллов. Ей соответствуют корневая вершина дерева. Сумма баллов для оптимального назначения считается оценкой корневой вершины (и исходной задачи коммуникара). Если решением является тур, то задача коммуникара решена: найdenный тур является оптимальным. Если же $k$-назначение состоит из нескольких циклических последовательностей, например, $I \rightarrow III \rightarrow VII \rightarrow V \rightarrow I$, $IV \rightarrow VI \rightarrow II \rightarrow IV$, то поскольку в оптимальном type не может быть «подтуров», все эти циклические последовательности нужно разорвать. В метода Истмена — Шапиро это осуществляется в ходе вводаления, причем всегда работает одна — наиболее короткая — последовательность назначений, с тем чтобы в дальнейшем решать меньшее число новых задач о назначениях.

В нашем примере — это вторая; в нее входят три города: $II$, $IV$ и $VI$. Накладываем запреты на позедки $IV \rightarrow VI$, $VI \rightarrow II$ и $II \rightarrow IV$, после чего решаем три новые задачи о назначениях с треями новых матрицами баллов, получающимся из матрицы, соответствующей корневой вершине: в первой из них элемент $c_{46}$, во второй — элемент $c_{62}$, а в третьей — элемент $c_{24}$ заменены символом $\infty$, содержательно ознакомим запрет соответствующего позедки (через $c_{ab}$ мы снова обозначили расстояние между городами $a$ и $b$). Если среди решений есть туры, то $\Gamma$ полагается равным длине кратчайшего из них. Задачи с оценкой, не меняшей чем $\Gamma$, «отсекаются». Очередное ввведение осуществляется для той из этих задач, у которой $k$-назначение не является туром, а оценка (сумма баллов несоответствия) оказывается наименьшей.

Прокомментируем процесс решения, схема которого приведена на рисунке 5.

Выили сделаны два вввления и решены шесть задачи о назначениях. Решением задачи 4 оказался цикл. С этого момента $\Gamma = 44$, и задачи с оценкой 45 и 44 отсекаются.

В решении задачи 3 входило назначение $IV \rightarrow V \rightarrow IV$. Второе вввление приводило к двум новым задачи: 5 и 6. Решение задачи 5 — цикл длины 42. Это новое значение $\Gamma$ позволяет отсекаться.

Эвристические методы

Если задачу коммуникара не удалось решить точно, ее пытаются решить бы приближенно. При этом ищется маршрут, сравнительно неного отличиями от кратчайшего. Методы отыскания таких маршрутов навыывают приближенные, субоптимальные или эвристическими.

Субоптимальные является, например, метод «иди в ближний», т. е. в ближайший из непройденных го-

19

родов. В том, что этот метод не является точным, легко убедиться на примере следующей простой матрицы расстояний (см. таблицу 4).

Для нее процедура «иди в ближний» дает маршрут I→III→II→I длины 10, в то время как нелена процедура «иди в дальней» приводит к туру I→II→III→I длины 8. Так как других маршрутов у коммуникация сейчас нет, этот пример означает, что наш эвристический метод может иногда давать даже самый плоской из туров.

Тем не менее, прицели «иди в ближний» (и другие эвристические методы) нередко используется на практике — особенно при решении задачи коммуникация с очень большим числом городов. Делается это по нескольким принципам. Во-первых, этот метод довольно быстро работает. Во-вторых, практика показывает, что с ростом $k$ метод «иди в ближний» все чаще дает туры,лина которых незначительно отличается от длины кратчайшего тура (а, порой, и совпадает с ним). И, наконец, общее для всех эвристических методов обстоятельство: во многих практических задачах нас интересует не наплачшее решение, а лишь достаточно хорошо приближение к нему (ведь порой и расстояния между городами определяются несовсем точно). К тому же точно алгоритма «иди в ближний» увеличивается (но заго缕 увеличается и трудоемкость), если в ходе его работы строятся $k$ туров, первый из которых начинают конструкровать с первого города, второй — со второго и т. д.; некоторые из этих туров могут оказаться разными, и в заключение выбирается кратчайший из них.

Для задчи коммивояжаса создано немало весы эфективных эвристических методов. В частности, неплохо себя зарекомендовали методы ветвей и границ, работа которых обрывается на одном из найденных типов (не обязательно — оптимальным). Так, в 1976 г. два японских математika решили на ЭВМ НITAC-8800 задачу коммивояжара для 300 городов. При этом за 2 минуты было найдено решение, отлично оценесая от оптимального на 0,2 процента.

Удивительная страна

Представим себе, что уже знакомые нам А. Невский и Б. Литейный решили попутешествовать по небольшой стране (назовем ее Константей). Прибив в ее столицу и найдя в путешествительстве семь самых интересных городов Константей, они планируют маршрут своего поезда. На этот раз расстояния между городами оказались не только большими (см. таблицу 5). Поэтому друзья решили не гнаться за минимальное, а вычислить длины нескольких случайно взятых туров и выбрать кратчайший из них (такая процедура тоже представляется собой субоптимальный метод, известный под названием метода Monme-Karло). Выбор пал на следующие туры:

I→II→III→IV→V→VI→VII→VIII→I;
I→III→VII→II→IV→VI→VIII→I;
I→IV→VII→II→V→VIII→I.

Подсчитали их протяженность; оказалось, что все три тура имеют длину 794 км! Занитересовавшись, наши

20

герои проанализировали еще десять маршрутов. Каждый из них имел длину 794 км! Можно себе представить, как смутились наши героны. Но удивление их было бы еще больше, если бы они узнали, что при данной матрице расстояний все вообще туры имеют одинаковую длину.

Почему? Ларчик открывается простое: все числа 5 получены путем сложения друг с другом чисел 48, 55, 66, 38, 61, 42, 50 и 37. Например, в третьей строке стоит суммы 66+48=114, 66+55=121, 0, 66+38=104 и т. д. А так как при вычислении протяженности маршрута мы берем по одному и только одному числу из каждой строки и из каждой стольца таблицы 5, то в результате длина любого типа оказывается равной удвоенной сумме задуманных чисел (сумма восемми задуманных чисел равна 397, а 794=397×2).

Возникает вопрос: а нельзя ли описать все вообще матрицы расстояний, при которых любые два тура имеют одинаковую длину? Оказывается, можно: для любой такой матрицы обязательно найти числа $a_1, a_2, \dots, a_k$ и числа $b_1, b_2, \dots, b_k$, такие, что расстояние $c_{xy}$ от города $x$ до города $y$ ($x \neq y$) будет равно сумме $a_x + b_y$.

Докажем эту теорему для случая трех городов.

Пусть $c$ — длина каждой из двух туров:
$$c = c_{12} + c_{23} + c_{31} = c_{13} + c_{21} + c_{32}.$$
Выразим из этих соотношений $c_{31}$ и $c_{32}$:
$$c_{31} = c - c_{12} - c_{23},$$
$$c_{32} = c - c_{13} - c_{21}.$$
Нам нужно решить систему уравнений
$$x_1 + y_2 = c_{12}, x_1 + y_3 = c_{13},$$
$$x_2 + y_1 = c_{21}, x_2 + y_3 = c_{23},$$
$$x_3 + y_1 = c - c_{12} - c_{23},$$
$$x_3 + y_2 = c - c_{13} - c_{21}.$$
Приводим неизвестному $y_3$ произвольное значение $d$. Тогда из первых пятей уравнений находится, что $x_1 = c_{13} - d, x_2 = c_{23} - d, y_2 = c_{12} - c_{13} + d, y_1 = c_{21} - c_{23} + d,$
$$x_3 = c - c_{12} - c_{23} - c_{21} + c_{23} - d = c - d - c_{12} - c_{21}.$$
При этом оказывается удовлетворенным и шестое уравнение. Положив $d = 0$, получим набор $a_1 = c_{13}, a_2 = c_{23}, a_3 = c - c_{12} - c_{21}, b_1 = c_{21} - c_{23}, b_2 = c_{12} - c_{13}, b_3 = 0$ чисел с нужным нам свойством.

Сформирована выше теорема является довольно типичной для теоретических исследований по задание коммивояжера. В них важную роль играют различные специальные случаи. (Совпадение длинны всех туров — это тоже специальный случай. Впрочем, веса узкий.) Для специальных случаяев порой удаляется не только построить быстро работающий метод (при этом говорят о разрешимом случае), но и выяснить, какие протяжности может иметь оптимальный тур.

Читатель может продолжить знакомство с разрешимыми случаями задачи коммивояжера, решив предлагаемые ниже задачи. В части из них решить о путешествии по шахматной доске, где в роли коммивояжера выступают шахматные фигуры. При этом будем говорить не о.type коммивояжера, а о.type коня, ладьи и т. д. Тур шахматной фигуры продолжитровно один раз по всем полям шахматной доски и заканчивается возвращением на начальное поле.

Задание

1. Города расположены в вершинах выпуклого многоугольника. Докажите, что длина оптимального типа равна перimetру многоугольника.
2. Сводится ли к задание коммивояжера задача о кратчайшем маршруте туриста, который выздает из пункта 1, послеает пункты 2, 3, …, $k-1$ и покидает страну из пункта $k$? Тот же вопрос для задачи о минимизации пути посыльного, который направляется из пункта 1 в пункта 2, 3, …, $k$. Возможно ли это сведение для задачи о диверсантах, которые, чтобы взорвать объекты, расположенные в пунктах 1, 2, …, $k$, планируют место decantирования и кратчайший маршрут через все пункты?
3. На плоскости расположены 30 городов. Их координаты: $y = 0, 1, 2$ при $x = 0; y = 0, 1, 2, 4, 5, 6$ при $x = 1; y = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8$ при $x = 2; y = 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8$ при $x = 3; y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ при $x = 4$. Решите задачу коммивояжера. Докажите, что полученный тур оптимален.
4. При каких размерах шахматной доски на ней существует тур ладьи? Тур ослабленной ладьи, которая ходит только на соседние поля?
5. На шахматной доске с нечетным числом полей одно поле вырезано. При каких разложениях вырезанного поля существует тур ослабленной ладьи?
6. Найдите тур коня на пространственной «доске», имеющей форму прямоугольного параллелепипеда размером $3 \times 4 \times 6$. «Полями» сейчас считаются 72 куба единичного объема, на которых наша «доска» естественным образом разбиется.
7. Данны числа $k$ и $m$. Как построить матрицу расстояний для задачи коммивояжера с $k$ городами, решением которого был тур длины $km?$

21

В. Лицевский

Иоганн Кеплер

Трудно представить себе судьбу более тяжело, чем та, которая выпала на долю Иоганна Кеплара. Голод и нищета, религиозные гонения и взяванные имми скитания, болезни и смерть близких предследовали его всю жизнь. Почти каждый день был заполнен понскими средства к существованию, и непонятно, когда же он успел прочитать все то, что было написано учеными до него, получить выдающиеся достинения в критICALографии, оптике, математике, астрономии и открыть свои знаменитые законы движения планет! После смерти Кеплара осталось одно изношенное платье, две рубашки, несколько медных монет, 12 694 гульдана неуплаченного жалования, 57 вычислительных таблиц, 27 напечатанных научных трудов и огромное руководное наследие. Какой же надо было обладать настоящимство, целуустремленностью, трудолюбием, желанием познать законы природы, чтобы в тех неимоверно тяжёлых условиях, в которых жил и творил Кеплер, выполнить такой колосальный объем работы и внести столь значительный вклад в мировую науку!

Иоганн Кеплер родился 27 декабря 1571 года в небольшом немецком городке Вейль-дер-Штадте, начитивавшем тогда всего несколько сотен жителей. Его отец — Генрих Кеплер — был человеком без определенных занятий, скитались (по словам Иоганна Кеплара), который в 1589 году исчез из дома окончательно. Мать Иоганна — Катерина Гульденман — обладала тяжельим и неуживчивым характеристим. Она немно-

23

этокий кипер Кеплер ознакомлен так: «Предвесник космографических исследований, содержащий космографический тайну»). В этой работе он пытается построить гелюцентрическую систему мира, установливая числовую зависимость между расстояниями планет от Солнца и размерами правильных многогранников. По КепLERу в сферу, на котором расположена орбита Сатурна, вписан куб, в него вписана следующая сфера — с орбитой Юпитера, далее последовательно вписаны тетраэдр, сфера Марса, додекаэдр, сфера Земли, икасэдр, сфера Венеры, октаэдр, сфера Меркурия *). В центре всего этой системы сфера и многогранников находится Солнце.

Свою «Тайну Вселенной» Кеплер послал Галилео Галилею и Тихо Браге. Оба учены ответили незаместильно. Галилей привствовал повление еще одного приверженца коперниковской системы. Браге, высказав свое отрицательное отношение к умозаключениям Кепера, обратил внимание на самостояльность мышления Кепера, на его значение астроνομии, на искусность и упорство в вычислениях. Чтобы лично познакомиться с молдым ученым, Браге приглашает его к себе.

В это время происходят изменения в личной жизни Кепера. В апреле 1597 года он женится на дочере мелника Барбаре Мюллер, и через год у них появляется сын Генрих. Прохив всего два места, ребенок умирает. Та же участок постгает и doch Сусанну, родившую годом позже. Кеплер тяжело переживает смертдетей. А тут еще и другие непряности. В начале 1598 года в Граце успеловать генения на протестантов, к которым принадлежал и Кеплер. В сентябре того же года под страхом смертной казни предложено покинуть город всем протестантским священником и учительом школа. Кеплер вынужден бежать из города. Правда, вскоре для него было сделано исключение, и через месяц Кеплер возвра_

*) Во времена Кепера были известны только шесть упомянутых планет Солнечной системы.

24

Третий закон был найден позднее, в 1618 году, он приведен в книге Кеплера «Гармония Мира», изданной в 1619 году. Сейчас этот закон формулируется так: квадраты перiodов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит.

В Праге Кеплер проеклел десять лет. Это был наиболее плодотворный в творческом отношении период его жизни. Здесь же, в Праге, Кеплер пишет два фундаментальных трактата по оптике: «Дополнитель к Вителлю, в которых излагается оптическая часть астрономии» (1604 г.) и «Диоптрика» (1611 г.).

Первая книга написана, действительно, как дополнения к хорошего известному в то время трактату пользового ученого XII века Вителлю. Кеплер оставливается на многохвопросах, касающейся геометрической и физиологической оптики. Он введ в оптику термины «оптическая ось» и «мениск», «сходимость» и «расходимость» световых лучков, создал теории механизма зрения, которая в основном совпаде с современной, объясил действие собирающих и рассеивающих очковх линиз, исправляющих дальнейзоркость и близорукость, вплотную подошел к разработке теории оптических инструментов.

Вторая книга (ее полное название — «Диоптрика, или доказательство того, как становится видимым изображение с помощью недавно изобретенной зрительнойтуры») является результатом дальнейших исследований, связанных с оптическими инструментами, особенно после создания Галилеем в 1609 году первого телесекона. Термином «диоптрика» Кеплер называют раздел оптики, где рассматривается явление преломления света (в отличие от ενклидовской катоптрики, изучающей отражение света). Поразнительно, что, не зная правильной формулировки закона преломления света (это закон был найден для частного случая Снеглинуом в 1617 году, а для общего — Декартом в 1637 году), Кеплеру удалось построить в целом правильную теорию действия оптических приборов и, в частности, зрительных труд.

Относительно благополучный десятилетний период пребывания Кеплера в Праге закончился. В конце 1610 года заболевет жена Барбара. Braчи находят у нее переменяющегося линорадку. Дети Кеплера заболевают осной, и в февраля 1611 года умирает сын Фридриx.

В эти дни Прага становится ареной военных действия. Это воюют за простолимерар Рудольф II и его брат Матвей. 23 мая 1611 года Рудольф II отрекается от простола. Королев Чехии, а вскоре и императором Священной Римской имперации становятся Матвей. Кеплер остается без своего высокоого покровителя, и хотя Матвей оставляет ученого на должности приворного математика, решает покинуть Прагу. В конце мая Кеплер уже в Линце — столце Верхней Австралии, где предлагает сословному собранню свои услуги в качестве преподавателя и провинциального математика. Его предложение принято, и Кеплер возврашает за семЬей в Прагу. Дома он застает женив

25

очень тяжелом состоянии, и 3 июля она умирает. Этот, 1611 год, был самым нечастливым в жизни Кеплера: смерть сына, смерть жены…

В Линце Кеплера прожил 14 лет. Помимо того, что он числился императорским математиком, его названияли математиком провинции Верхней Австрийи. Его главным делом было продолжение составления таблиц плаетных движений (на основе данных наблюданий Тихо Браге). Но Кеплера интересовали и сугубо математические проблемы. Это, прежде всего, — математика переменных величины и теория правильных многоугольников и многограничков.

В 1615 году вышла книга Кеплера «Стереометрия винных бочек», положившая начало целому ряду исследований в математике переменных величины, которые привели к созданию Ньюотоном и Лейбницем теории дифференциального и интегрального исчисления.

Поводом для написания книги (с словом самого Кеплера) послужила такая история. Как-то осенью 1613 года, когда Кеплер покупал вино, он был изумлен тем, как торговец определял вместеимость бочки. Он брал палку, на котором были нанесены деления,ставлял ее в наливное отверстие бочки и измерял расстояние от отверстия до самого дальней точки бочки — до края дница. Проделав это одно измерение, он сразу же говорил, сколько вина в данной бочке. Кеплера занйтесовало, насколько точно торговец определял объем бочки при помощи одного измерения.

Уже к концу года были получены результаты этого исследования. Вначале Кеплер нашел формулу для вычисления объема бочки, а затем — и других тел врашения. Для нахождения объемов этих неправильных тел он применил метод «исчерпывания», заполняя тела фигурами, объемы которых подавались вычисления.

Находя объем тела как сумму элементов объемов, заполняющих тело, Кеплер часто употреблял латинское выражение Summa opinium — сумма всех. Как известно, один из создателей интегрального исчисления — Лейбницев вскак интеграла $\int$ (удаленная буква S) именно для сокращенной записи выражения Summa opinium.

Тема правильных многоугольников и многограничков была развита в пятитомном труде Кеплера «Гармония мира».

Кеплер был выданшимся математиком не только по своему официальному званню, но и по самому сутти. Он внес большой вклад в теории кончических сечений, введет термин «фокус» (парабольы, гиперболы, эллипса). Введение им поняття бесконечного удаленной точки способствовало созданию проективной геометрии. Он был хорошо вычислителем, принимал участке в разработке теории логарифмов, составил собственные таблицы логарифмов, наконец, он способствовал изобретению первой вычислительной машины.

В Линце Кеплер много и плодотворно работает. Этот немало способствует его вторяжею — Сусана Рейттингер, на котором он женился в 1613 году. Это — способная, добрая и трудолюбивая женчина. Она терпеливо и с достоинством переносит невзгоды и лишення, радуется научным успехам мужа и умеет поддержать его в трудную минуту.

Однако способная работа в Линце прерывается письмом сестры, которая сообщает, что мать Кеплера обвиниют в колдовстве. Навет исходил от соседки, незлобившей мату ученого. Клевета упала на благодатную почву. Этот способствовали также необходимый и малосимпатичный характер Катернины и что, что она занималась «врачеванием». В то время в Германии повскодуvelась охота за ведмами. В Лейберте, где жила Катерина, только за одну зиму было сохраено шесть женишин, подозреваемых в колдовстве.

Получив письмо от сестры, Кеплер сразу же направил властям Лейберта письмо, в котором отводил от своей материи обвининие в колдовстве и ответгал слухи о том, что он сам тоже, якобы, занимается черной магней. Письмо не возымело действия, и началось следствие. Она тянулась почти 5 лет.

7 августа 1620 года Катерина была арестована и преровождана в тюрь-

26

Регенсибург. Старинная гравиора.

му. Узнав об этом, Кеплер специт в Леонберг. Процесс начался 4 сентября и продолжался более года. Кеплер построил зашиту очень искусно. Он не отвергал существование ведм, не отрицал свидетельские показания, а просто давал каждому конкретному служako вполне естественное обьяснение, отводящее от матери обвининие в колдовстве. 4 октября 1621 года прошесс был прекращен, и измунную желшину выпустили из тюрьмы. В апреле следующего года Катерина скончалась.

Мать Кеплера была спасена от костра инквизицини благодаря своему сыну, но какой ценой! ШестЬ лет вместе занятый наукой всемирно известный ученый вынужден был бороться с невежством, тупостью, жестокостью.

Кеплер возврашает в Линц. Здесь он заканчивает работу над таблицами логарифмов, начатую еще летом 1619 года, когда он познакомился с книгой Д. Непера «Описание удивительных таблицами логарифмов» (1614 г.). Так как Кеплеру приходилось много вычислять, он не мог пройти mismo изобретения Непера и составил свои таблицы логарифмов, которые по структуре были более похожи на современные.

Летом 1624 года Кеплер, наконец, заканчивает составление новых актиномических планетных таблиц, над которых он трудился 22 года. Эту работу Кеплер считал основным делом своей жизни. Старые таблицы движения планет были неточны, и новые кеплеровские таблицы с нетерпенеммждали моряки и астронымы, составили кальдарей и астрологи. После опубlikования в 1627 году «Рудольфинские таблицы» (названные так по имени Рудольфа II) в течение почти двух веков службы людям, только в начале XIX века они были заменены более точными.

Последение года жизни Кеплера был вовь омрачены невзгодами, лишениями и скитанями. Нет денег на жизнь, ни на издание своих трудов. В лице началь讼ся гонения на протеантов. Им всем предложено или перейти в каталогство, или в течение шести месяцев покинуть город. Кеплеру и работником его типографии разрешено оставаться в городе до окончания работы над «Рудольфинскими таблицами».

Уже воcemь лет идет Тридцатлетняя война. Линц, как и вся Верхняя Австрария, оккупирован базарским войскам, которые ведут себя как завоеватели. Город муается в тисках города, начинаются эпидемии. В городе вспыхивают пожары, и в огне сгорает типография Кеплера; руколись книги чудом остается целой.

27

Кеплер не может больше оставаться в Линце. Он забирает семью, грузит книги, рукописи и немудреную домашнюю утварь на судно, и душевое вверх по Дунаю, и отправляется в Ульм, где он договорился издать «Рудольфинские таблицы». Начинаются сильные морозы, реку скровыает лед. Кеплер вынужден оставить семью в Регенсбурге, а сам добирается до Ульма на лошадях. В Ульме Кеплер живет около года, из которых девять месяцев уходят на печатание «Таблиц».
Наконец, «Рудольфинские таблицы» увидели свет. Кеплер называет семью в Регенсбурге и отправляется в Прагу, где в то время находился император Фердинанд.
Император миллиство встречает Кеплер, приннимает от него в подарок экземпляр «Таблиц» и передадает перейти в каталогчество, обещая за это всяческе блага. И вновь Кеплер открывается — он не может пойти на сделку со своей собственью.
В судьбу Кеплара вместеется любимец императора — полководец Альбреxt Валленштейн. Он давно знает Кеплара, так как дважды обращался к нему как к астрологии. Валленштейн передалает Кеплер поступить к нему на службу. Учены соглашается, и летом 1628 года вместе с семьей переезжает в герцогство Саган — владения Валленштейна.
В августа 1630 года Валленштейн получает отставку, и Кеплер вновь остается без покровителя и… без детей. Осенью того же года он отправляется в Регенсбург на сбор германских книгей, где тогда находился император, чтобы получить хотя бы часть причитающихся ему денег. Вскоре после приезда в Регенсбурге Кеплер тяжело заболел лихорадкой. Здесь он и умер 15 ноября 1630 года на 59 году жизни.

Злоключения Кеплара продолжались и после его смерти. В результатеская нейкиладбище, на котором его похоронили, было полностью разрушено, и от могилы Кеплара не осталось даже следа. Его руководное наследие переходило из рук в руки, терялось, растскивалось, пока, наконец, в 1774 году бóльшая часть архива Кеплара не была приобретена Петербургской академией наук *).

С именем Кеплара связаны основные законы небесной механики. В его честь наваны один из лунных кратеров и малая планета № 1134. В начале XIX века жители Регенсбурга соорудили Кеплеру памятник, а к 300-летию со дня рождения был установлен монументальный памятник на родине Кеплара в Вейль-дер-Штадте. В этих же городах открыты музей его имени.

*) В настоящее время 18 из 22 томов рукописного наследия Кеплара хранятся в Ленинградском отделении Архива Академии наук СССР.

Непридуманные операции

Трапецья — несчастный случай четырехугольника (частный!)

---

На гадкой поверхности лежит брусок (на гладкой!)

---

Добросовестно забудившийся оппонент (забудждавшийся!)

---

Читатель сетуют (советуют!)

Неприприримые отклонения от верных результатов (неприримемые!)

---

Модное радиоактивное излучение (мошное!)

---

Траектории пересекаются под углом 60°С

---

{x} — удобная часть числа x (дробная!)

---

Качательная (касательная!)

---

Положительные получи (получи!)

28

А. Таллер

Сюорпизы
листа Мёбинуса

Представим себе поверхность и сидящего на ней муравы. Удассяли муравы до оправной стороны поверхности — образно говоря, до ее изнанки, — не перележая через краей? Конечно же нет! В этом были утверены математики до середины прошло века, когда немецкий астроном и геометр Август Мёбинус привел первый пример односторонней поверхности, в любое место которого может доползти мурави, не перележая через краей. Об этой поверхности, называемой листом (или лентой) Мёбинуса, мы и рассケем.

Прежде, чем читать далее, изготовьте модель листа Мёбинуса: возьмите бумажную полоску длиной узкий прямогольник ABCD (рис. 1); перекрутите ее на 180°, склейте из нее колюцо — лист Мёбинуса готов. Попробуйте закрыть одну его сторону, оставив другую белой. Вскоре вы судивлением обнаружите, что краситель «изнанку». Таким образом, лист Мёбинуса действительно является односторонней поверхностью.

Лист Мёбинуса преодолесет вам не один скорpirз и в том случае, если вы попытаете его разрезать:

1. Разрежьте вашу ленту Мёбинуса по центральной линии. При последнем разрезе (рис. 2) положка, вместе того, чтобы развалиться на два куска, разворчивается в длинуную связную замкнутую ленту.

2. Полученную после первого разреза ленту снова разрежьте по ее центральной линии. Перед последним скатнем пожкини попробуйте угадать, что будет?

3. Возьмите еще одну очень узкую полоску бумаги, скрутите ее на этот раз не на 180°, а на 360° и склей-

Рис. 1.

29

те; затем разрежьте и ее по центральной линии. Сравните результат с результатом предыдущего разреза.

Почему так происходит? Не прибегая более к бумажным модельм и ножницам, попробуем посять это математически.

Уравнение поверхности Мёбнуса

Построим поверхности Мёбнуса в трехмерной декартовой системе координат $Oxyz$. Расмотрим на плоскости $z = 0$ окружность радиуса $R$ с центром в начале координат $O\left(x^2 + y^2 = R^2\right)$. Пусть точка $A$ равномерно движется в положительном направлении по этой окружности; тогда плоскость $\alpha$, проходящая через ось $Oz$ и точку $A$, будет вместе с ней равномерно врашаться вокруг оси $Oz$. Расмотрим в плоскости $\alpha$ прямую $l$, проходящую через точку $A$. Пусть прямая $l$ врашается вокруг точки $A$ против часовой стрелки (если смотреть на $\alpha$ в направлении движения точки $A$), причем в любой момент угл между лучом $OA$ и прямой $l$ равен половине угла $\varphi$ между осью $Ox$ и лучом $OA$. Таким образом, когда точка $A$ завершит полный оборот, прямая $l$ оказывается поверхности относительно начального положения на $180^\circ$.

Множество точек пространства, через которых проходит прямая $l$ (участвушая в двух движениях), есть поверхности Мёбнуса (рис. 3). При-
Рис. 2.

Рис. 3.

30

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

где $0 \leq \varphi < 2\pi, \lambda \in \mathbb{R}^*$).

Общий вид поверхности Мёбиуса изображен на обложке журнала. На рис. 4 показана часть поверхности, отвечающая $-1 \leq \lambda \leq 1$; эту часть поверхности мы и изображали бумажной моделью.

Если при обходе окружности мы будем врашать нашу прямую с удвоенной скоростью, то при $-1 \leq \lambda \leq 1$ получим полоску, перекрученную на $360^\circ$ (вспомните разрез 3)). Это уже двусторонняя поверхности (рис. 5). Ее уравнение, очевидно, будет

$$\begin{cases} x = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \cos \varphi, \\ y = \left( R + \lambda \cos \varphi \right) \sin \varphi, \\ z = \lambda \sin \varphi. \end{cases}$$

Заметим теперь, что при $\varphi = 0$ образующая $l$ пересекает исходную окружность еще и в точке $(-R, 0, 0)$. Следовательно, она пересекает не

*) Такое задание поверхности часто называют параметрическим; здесь параметры $\varphi$ и $\lambda$ используются исключительно поверхности (подобно ширете и долгите на земной поверхности).

Линняя самопересечения

Чтобы найти линю самопересечения поверхности Мёбиуса, выясним, какие пары образующих могут пересекаться.

Если две образующие лежат в различных вертикальных плоскостях, то точка их пересечения, если она существует, должна лежать на линей пересечения этих плоскостей, т. е. на оси $Oz$.

Для каждой $\varphi \in [0; 2\pi]$ найдем точку пересечения образующей с осью $Oz$. Для этой точки

$$x = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \cos \varphi = 0,$$

$$y = \left( R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} \right) \sin \varphi = 0.$$

Поскольку $\sin \varphi$ и $\cos \varphi$ не могут быть равны 0 одновременно, $R + \lambda \cos \frac{\varphi}{2} = 0$. При $\varphi \neq \pi$, $\lambda = -\frac{R}{\cos \frac{\varphi}{2}}$. Из (1) $z = -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2}$.

Таким образом, координаты точки пересечения образующей с осью $Oz$:

$$\left( 0, 0, -R \mathrm{tg} \frac{\varphi}{2} \right).$$

Существием для нас является тот факт, что все образующие при $\varphi \neq \pi$

31

пересекают ось $Oz$ в различных точках. При $\varphi = \pi$ образуются параллельна оси $Oz$.

Таким образом, пересекаются могут только такие пары образуших, которые лежат в одной вертикальной плоскости; иными словами, если одной из пересекающих образуших соответствуют угол $\varphi$, то другой соответствуют угол $\varphi + \pi$. Пусть положение точки пересечения этих образуших определяется значением $\lambda_1, \lambda_2$ параметра $\lambda$. Тогда из (1)

$$\begin{cases} x = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y' = \left(R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ = -\left(R - \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Из этих выражений следует, что $\lambda_1, \lambda_2$ удовлетворяют системе уравнений

$$\begin{cases} R + \lambda_1 \cos \frac{\varphi}{2} = -R + \lambda_2 \sin \frac{\varphi}{2}, \\ \lambda_1 \sin \frac{\varphi}{2} = \lambda_2 \cos \frac{\varphi}{2}, \end{cases}$$

откуда ($\text{при } \varphi \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$) находится $\lambda_1 = -2R \frac{\cos \frac{\varphi}{2}}{\cos \varphi}$. Подставив найденное значение $\lambda_1$ в уравнения (1), получим координаты точки самопересечения:

$$x = -R, \ y = -R \text{tg} \varphi, \ z = -R \text{tg} \varphi.$$

Отсюда видно, что при изменении $\varphi$ точка самопересечения поверхности Мёбиуса движется вдоль прямой, которая лежит в плоскости $x = -R$ и описывает равенением $z = y$. Таким образом, линии самопересечения является прямой (но не является образующей!). Отрезок этой прямой изобразен на обложке. Внимательно изучив заставку, вы найдете линю самопересечения и на ней.

Рис. 6.

Почему же лист Мёбиуса не распадается при разрезе?

Тепер нетрудно ответить и на этот вопрос. Расмотите на рисунке 4 (и на обложке) край ленты Мёбиуса, т. е. линю $\lambda = \pm 1$. Присмотите: этот край не распадается на пару замкнутых кривых, как было бы в случае неперекрутенной плоски, а представляет собой одну неперерывную кривую. Наш разрез не касался края, и поэтому края (а значит и все полоска) после разреза будет оставаться целым кусом.

Как объяснить другие сiopриззы?

Можно считать, что второй разрез осуществляется по линии $\lambda = \frac{1}{2}$ (рис. 6).

Координаты точки на этой линии описываются (при $\varphi \in [0, 2\pi]$) уравнениями

$$\begin{cases} x = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \cos \varphi \\ y = \left(R + \frac{1}{2} \cos \frac{\varphi}{2}\right) \sin \varphi \\ z = \frac{1}{2} \sin \frac{\varphi}{2}. \end{cases}$$

Очевидно, разрез делит нашу плоску на две части, которые можно условно назвать внешней и внутренней, причем внутренняя часть является такой же, только более узкой, полоской листа Мёбиуса. Что же представляется собой внешняя часть?

(Продолжение см. стр. 59)

32

И. Яелом

Поговорим об определенных

Из чего состоит математика? Разумеется, в первую очередь, из теорем и аксиом («Геометрия 6», п. 6). Важнейшую часть математики составляют доказательства. Знаментий трактат Н. Бурбаки «Начала математики»*) начинается со слов: «Со времен греков говорить „математика“ — значит говорить „доказательство“».

Наряду с этим фундаментальной роль играют в математике определения («Геометрия 6», п. 2) — ведь, прежде чем доказывать теоремы о тех или иных математических объектах, надо поннимать, что это за объекты. Да что «доказывать»! Даже для того, чтобы просто понять теорему «Касметельная к окружности перпендикулярна диаметру, проходящему через точку касания», мы должны знать, что такое «окружность», «касметельная к окружности», «точка касания», «диаметр», «перпендикуляр».

*) Группа французских математиков, объединенная под псевдоном «Николá Бурбаки», поставила перед собой цель — написать полный трактат по современной математике. Traктат издается отдельными выпусками в Париже с 1939 года. У нас в стране перевод трактата начал выходить в 1958 году. Traктат еще не закончен. Поскольку во времяписания трактата математика тоже движется вперед, возможно, он не будет завершен ни когда.

Рис. 1.

33

СТВИЯ — «Ближайший род», из которой мы выделяем функции, а «кажду элементу одного множества…» — «видовое отличие», характеризующей их.

Определения по схеме Аристотеля существуют не только в математике. Так, можно сказать, что слон — это млекопитающее, обладающее длиным хобом. Как известно, богатика — это наука о растенях.

Одно и то же понятие «через близкий род и видовое отличие» можно, конечно, определить по-разному. Так, квадрат можно определить как прямоугольник со взаимно перпендикулярными диагоналими или прямоугольник, в котором можно вписать окружность. Можно также один и тот же «вид» выделять из разных «родов». Например, квадрат можно определить как ромб, имеющий прямой удел (рис. 1).

Уражнения

1. Дайте еще несколько определений квадрата по схеме Аристотеля.
2. Определите по той же схеме прямоугольник, ромб, параллелограмм.
3. Дайте несколько разных определений по схеме Аристотеля какого-нибудь нематематического понятия.

Многие определения в математике не укладываются в схему Аристотеля. Например, в определениях «График функции y=ax³ (a≠0) называют кубический параболой», «Мы будемоворить, а больше b’’, если разность a — b положительна», «Модулем числа a называется само число a, если a ≥ 0, и число — a, если a < 0» вряд ли можно естественно указыть «Ближайший род» и «видовое отличие».

Каждеое определение является соглашением об употреблении некоторого термина или обозначения. Поэтому нельзя говорить об истинности-ложности или доказательстве определений. С другой стороны, о разумности, о полезности, об удобстве того или иного определения размышлять можно и должно.

Из любого определения автоматически вытекает (верная) теорема, имеющая вид «равnocислности» («Алгебра 7», п. 21). Например, из определения центральной симметрии. Известное вам определение («Геометрия 6», п. 17) можно сформировать и так: фиксируем точку O; каждой точке A плоскости поставим в соответствие точку A’ той же плоскости, симметрично точке A относительно O (рис. 2); описанное отображение плоскости на себя называется симметричным с центром O.

Аристотель (Рим, Национальный музей у Терм).деления квадрата на с. 32 следует теорема «Прямоугольник модели и молко модели является квадратом, когда его смесные стороны конгузнуты».

Одна и та же теорема может тривильно вытекать из определения при одном способе построения некоторой теории и требовать содержательных рассуждений — при другом способе. Например, в школьном курсе геометрия теорема «Если точка X лежит между точками A и B, то |AX| + |XB| = |AB|» прямой следует из определения («Геометрия 6», п. 5), а в геометрии, основанной на системе аксиом Гильберта, требуется довольно длиного доказательства.

Рассмотрим два определения по нуля центральной симметрии. Известное вам определение («Геометрия 6», п. 17) можно сформировать и так: фиксируем точку O; каждой точке A плоскости поставим в соответствие точку A’ той же плоскости, симметрично точке A относительно O (рис. 2); описанное отображение плоскости на себя называется симметричным с центром O.

34

Рис. 2.

Задача 1. Докажите, что отображение плоскости на себя тогда и только тогда является симметрией с центром $O$, когда его единственный неподвижной точкой является точка $O$ (т. е. $O'=O$ и при $A \neq O$ имеем $A' \neq A$), любую прямую оно переводит в параллельную прямую и существует такая точка $B$, для которой $|B'O|=|BO|$.

Теорема, установлена в задаче 1, позволяет дать понятие центральной симметрией второе определение: отображение плоскости на себя называется симметрией с центром $O$, если его единственный неподвижной точкой является точка $O$, любую прямую оно переводит в параллельную прямую и существует такая точка $B$, для которой $|B'O|=|BO|$.

В первом определении мы конструкровали неокоторый объект (отображение плоскости на себя) и далее извищение. Второе определение имеет вид: объект неокоторогорода называется mak-mo, если он обладает такими-то свойствами.

Определения первого вида называют конструктивными или прямыми, определения второго вида — дескриптивными (от латинского descriptio — «описание») или косвенными.

Сразу же подчеркием: понятие конструктивного и дескриптивного определений мы недаром объявили только на примере — они вряд ли допускают строгое описание. Несмотря на их распливчатость, нечеткость, противопоставление конструктивных и дескриптивных определений часто бывают полезным.

Если какое-то понятие определено дескриптивно, то не обязательно соответствующий объект существует. Изовем, например, натуральное число, отличное от 1, перфективным, если оно равно сумме своих делителей. В этом случае данное нами определение никакого объекта не определяло, потому что в числе делителей числа $n$ входит и само $n$; перфективных чисел не существует*).

Таким образом, в отличие от конструктивных определений, любое дескриптивное определение требует еще доказательства, что соответствующий объект существует.

Рассмотрим еще один пример дескриптивного определения: прямые $a$ и $b$, лежащие в одной плоскости, называются сходящими, если они не имеют общих точек и при движении точки по одной из этих прямых в одном из направлений расстояние от нее до другой прямой неограниченно убивает (рис. 3). Задает ли это определение какой-нибудь объekt? Другими словами, существует прямые? Оказывается, ответ на этот вопрос зависит от того, в какой геометрии мы «находимся», какую геометрию рассматриваем.

В включенной геометрии (или, что для данного вопроса все равно, при той аксиоматике, которая принята в школьном учебнике) сходящся прямых, конечно, не существует (позто муы и были вынуждены прямые на рисунке 3 изображить искусственными). В геометрии же Лобачевского также прямые существуют (они там называются паралельными).

Средневековая научная мысль, дав декриптивные определения: философский камень — это препарат, позволяющий превращать неблагородные металлы в золото; вечный дикезамель (perpetuum mobile) — это прибор, позволяющий производить работу без затрата энергии, — безупречно билась над построением не

*) Стонт, однако, в определение перфективного числа добавить одно слово: натуральное число, отличное от 1, называется совершенным, если оно равно сумме своих делителей, — как ситuation меняется. Например, $6=1+2+3$, $28=1+2+4+7+14$. О совершенных числах в «Кванте» много писали (1971, № 8, c. 1; 1972, № 4, c. 39; 1973, № 10, c. 71; 1975, № 5, c. 7).

37

тить в автогенератор, если соответствующим образом подбрать обратную связь. Можно предложить большое количество опытов, подтверждающих этот вывод. Некоторые из них уже рассматривались на страницах нашего журнала *).

Вот еще один опыт. Для изготовления модели угольного микрофона вырежьте в фанерной пластинке круглое отверстие диаметром примерно 100 мм и заклейте его папиросной бумаги, которая будет выполнять роль_memбраны. В центре_memбраны помещите склеенную из плотной бумаги коробочку размером $5 \times 20 \times 20$ мм, на дне ее укрепите электрод из тонкой фольги. В коробочку насыпьте угольный порошок (можно, например, разробить молотком графитовый стержень от одного элемента батарейки для карманного фонаря;

*) См., например, статью В. Майера и Р.-Э. Шафира «Струйный автогенератор звука» («Квант», 1977, № 1).

38

Многогуольники на клетчатой бумаге

Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многогуольник данной формы, помещая при этом все его вершины в узлы сетки? Как правило — нельзя. Например, из правильных многогуольников так можно нарисовать лишь квадрат. А для каких многогуольников это можно сделать приближенно, т. е. помещая вершины сколь уголно близко от узлов? Оказывается — для всех.
В этой заметке, написанной школьниками, показано, почему и как это можно сделать.

Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевыые и неоклинеарные векторы, $O$ — некоторая точка; тогда множество $\Pi$ всех таких точек

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

39

Более того, в статье А. Егорова доказано *), что никакие правильные многоугольники, кроме треугольника, квадрата и шестугольника — неписываются ни в какую решетку. Понятно также, что наперед заданный многоугольник произвольной формы, как правило, неписывается ни в какую решетку.

Раз задача о вписывании многоугольников в решетку приводит в большинстве случаев к отрицательному результату, естественно ее ослабить: требовать, чтобы вершины попадали в узлы лишь приближeno. Дадим точное определение:

Многоугольник ε-присывается в решетку Π, если существует подобный ему (с натуральным коэффициентом подобия) многоугольник, каждой вершина которого находится на расстоянии, меньше ε, от одного из узлов решетки (рис. 5). Заметим, что при ε = 0 здесь получается определение вписанности, данное выше, а при больших ε (болееших, чем расстояние между узлами) определение бессодержательно.

Столь же бессодержательно оно стало бы, если мы сначала бы условие натуральности коэффициента подобия; взяв этот коэффициент достаточно близким к 0, можно было бы уменьшить весь многоугольник вблизи одного узла решетки. При натуральном же коэффициente подобия (и достаточно малом ε) любые две вершины многоугольника, очевидно, не смогут попасть в ε-окрестность одного и того же узла.

Далее, мы будем говорить, что многоугольник почищаемся в

*) «Квант», 1974, № 12, c. 30.

Рис. 5.

Рис. 6.

40

Рис. 7.

и $\{n\sqrt{3}\}$, где $m > n$ — натуральные числа. Тогда $(m-n)\sqrt{3}$ отличается от целого менее чем на $\frac{1}{N}$ и следовательно, менее чем на $\varepsilon$. Положив $k$ равным $m-n$, получим требуемое.

Теорема доказана, однako имеет место значительное больше общий факт.

Основая теорема. Лобой многоугольник почини вписывается в любую решетку.

Заметим, что пункт в) задачи М475 является частным случаем этой теоремы.

Доказательство. Пусть дана решетка $\Pi$, число $\varepsilon > 0$ и многоугольник $\Phi$.

Докажем, что при неокоторой гомотетии с натуральным коэффициентом $N$ многоугольник $\Phi$ перейдет в многоугольник $\Phi'$ такой, что все вершины $\Phi'$ будут на расстоянии, меньше $\varepsilon$, от узлов решетки.

Рассмотрим вершину $A$ многоугольника. Пусть при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ точка $A$ переходит в $A_k$ и $\overrightarrow{OA} = x_A \overrightarrow{a} + y_A \overrightarrow{b}$, где $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — векторы, порождающие решетку. Тогда $\overrightarrow{OA}_k = k(x_A \overrightarrow{a} + y_A \overrightarrow{b}) = (kx_A) \overrightarrow{a} + (ky_A) \overrightarrow{b}$.

Условие, что $A_k$ менее чем на $\varepsilon$ отстоит от узла решетки (рис. 7), будет выполнаться, если каждая из координат $(kx_A)$ и $(ky_A)$ будет отличаться от целого менее чем на $c.\varepsilon$, где $c$ — коэффициент, не зависит от $k$:

$$\text{можно, например, взять } c = \frac{1}{2\max(|\overrightarrow{a}|, |\overrightarrow{b}|)}$$

Действительно, пусть $\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{ma} + \overrightarrow{nb}$.

Рис. 8.

Тогда, если

$$|m|\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| \leq \frac{\varepsilon}{2} \text{ и } |n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2}, \text{ то } |A_kF| = |A_hF| = |\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}_k| = |m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} - kx_A\overrightarrow{a} - ky_A\overrightarrow{b}| = |(m - kx_A)\overrightarrow{a}| + (n - ky_A)\overrightarrow{b}| \leq |(m - kx_A)\overrightarrow{a}| + |(n - ky_A)\overrightarrow{b}| + |m\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| + |n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Но неравенства $|m|\overrightarrow{a}| - kx_A|\overrightarrow{a}| < \frac{\varepsilon}{2}$ и $|n|\overrightarrow{b}| - ky_A|\overrightarrow{b}| < \frac{\varepsilon}{2}$ эквивалентны неравенствам $|m - kx_A| < \frac{\varepsilon}{2|a|}$ и $|n - ky_A| < \frac{\varepsilon}{2|b|}$. Поэтому если $kx_A$ и $ky_A$ отличются от целых менее чем на $\frac{\varepsilon}{2\max(|\overrightarrow{a}|, |\overrightarrow{b}|)}$, то $|A_hF| < \varepsilon$ для неокотогоюго узла $F$, а это и требовалось.

Нам нужно, чтобы вершины многоугольника $\Phi'$ попали в $\varepsilon$-окрестности узлов решетки. Так будет, если все числа $Nx_A, Ny_A, Nx_B, Ny_B$, … отличятся от целых менее чем на $c.\varepsilon$, что каждое из чисел $m\alpha_i$, где $i = 1, 2, ..., n$, отличается от целого менее чем на $\varepsilon$; то, что $\alpha$ было равно $\sqrt{3}$, не существует). Теорема Кронекара утверждает, что для набора $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ любой длины при неокотогоюго натуральном $m$ числа $\alpha_i$ одно время не отличается от целых менее чем на $\varepsilon$.

Перейдем к доказательству теоремы Кронекара.

Рассмотрим $n$ последовательностей:

$$\{\alpha_1\}, \{2\alpha_1\}, \{3\alpha_1\}, ..., \{k\alpha_1\}, \dots$$

$$\{\alpha_2\}, \{2\alpha_2\}, \{3\alpha_2\}, ..., \{k\alpha_2\}, \dots$$

$$\{\alpha_n\}, \{2\alpha_n\}, \{3\alpha_n\}, ..., \{k\alpha_n\}, \dots$$

41

некоторые $k_1 < k_2 \leq M^n + 1$ наборы совпадут. В этом случае число $m = k_2 - k_1$ удовлетворяет условию, так как $\{m\alpha_i\} = \{(k_2 - k_1)\alpha_i\} = \{k_2\alpha_i - k_1\alpha_i\}$, а $\{k_1\alpha_i\}$ и $\{k_2\alpha_i\}$ находится в одном полупервале длины меньше $\varepsilon$, поэтому $m\alpha_i$ находится на расстоянии, меньше $\varepsilon$, от целого числа. Теорема доказана.

Do six pins pass matrizes reшетки на плоскости. Можно рассматривать и пространственные решетки. Они определяются так же, как плоские, только вместо двух неоклипных векторов нужно взять три некомпланных (рис. 9). Аналогично тому, как это делалось выше для многоугольников и плоских reшеток, определяется вписанность и почти вписанность многоугольников в пространственную reшетку. Какие из пяты правильных многоугольников (рис. 10) вписываются в целочисленную*) пространственную reшетку? Вот ответ:

Задача 4. Куб, тетраэдр и octаэдр вписываются в целочисленную reшетку.

Задача 5. Додекаэдр и икосаэдр не вписываются ни в какую reшетку.

Задача 6. Пусть в пространстве задано семейство параллельных плоскостей такое, что расстояния между соседними плоскостями семейства равны. Можно ли расположить в пространстве а) икосаэдр, б) додекаэдр так, чтобы их вершины лежали на плоскостях семейства?

Мы получили исчерпывающий ответ о вписывании правильных многоугольников в пространственную reшетку. Для почти вписывания тоже получается исчерпывающий ответ, такой же, как для плоского случая:

Задача 7. Любой многоугольник почти вписывается в любую reшетку в пространстве.

Все члены этих последовательностей принадлежат промежутку [0; 1[. Разобъем этот промежуток на кусочки (полупервалы) длины меньше $\varepsilon$:

$$\begin{align*} 0; \frac{1}{M} \mid ; \left[\frac{1}{M}; \frac{2}{M}\right] \mid \dots \mid \left[\frac{M-1}{M}; 1\right] \\ \mathrm{где} M - \mathrm{натуральное}, M > \frac{1}{\varepsilon} \quad (\mathrm{тогда} \frac{1}{M} < \varepsilon). \end{align*}$$

Теперь каждому из членов последовательностей поставим в соответствие тот кусочек промежутка [0; 1[, в котором он находится.

Тогда для каждого натурального $k$ будет определен упорядоченный набор полупервалов, соответствующих точкам $\{k\alpha_1\}$, $\{k\alpha_2\}, \dots, \{k\alpha_n\}$. Но так как рассматриваемых полупервалов всего $M$, а в каждый набор входит $n$ полупервалов, то число различных таких наборов равно $M^n$. Если $k$ пробегает значения от 1 до $M^n + 1$, то для

42

Задачик
Кванта

M506—M510; Ф518—Ф522

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментом основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Найболее трудные задачи отмечены звездочкой. После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 апреля 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант», «Задачик «Кванта». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например: «M486, M487» или «Ф498». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи, просбапись присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике» или «…новая задач по математике»). В начале каждого письма просим указывать вашему, фактическому номер школьи и класс, в котором вы учитель.

M506*. Докажите, что для положительных $a, b, c$ и $d$ справедливо неравенство:
$$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + 2 abcd \geq a^2 b^2 + a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 + c^2 d^2.$$
Э. Туркевиц

M507. Вышедших в прошлом году в русском переводе «Избранных задачах» из журнала American Mathematical Monthly (M., «Мир», 1977) две задания замечательного математика П. Эрдеша (№№ 138 и 139) были даны без решения. Редакция «Кванта» получила целый ряд писем, содержащих решения этих задач. Преждече чем познакомить с решениями читателей журнала, мы предлагаем самостояльно подумать над этим трудными задачами; для этого мы включаем их в Задачик «Кванта».
Пусть $a_1 < a_2 < \dots < a_n < 2n$ — конечная последовательность натуральных чисел ($n \geq 6$).
а) Докажите, что
$$\min_{i,j} |a_i, a_j| \leq 6 \left( \left[ \frac{n}{2} \right] + 1 \right),$$
где $|a_i, a_j|$ означает наименьшее общее кратное чисел $a_i$ и $a_j$, а минимум берется по всем параметрах чисел $a_i, a_j$.
б) Докажите, что
$$\max_{i,j} (a_i, a_j) > \frac{38n}{147} - c,$$
где $c$ не зависит от $n$, а $(a_i, a_j)$ означает наибольший общий делитель $a_i$ и $a_j$.
Оценки в задачах а) и б) нельзя улучшить (то есть коэффициент 6 заменить меньшим, а $\frac{38}{147} - \text{бóльшим})$.

M508. Окружность касается трех положительных с диаметрами $AB, BC$ и $AC$ ($C \in |AB|$, рис. 1). Докажите, что радиус окружности вдвое меньше от ее центра до прямой $AB$.

И. Шарыцин

43

М509. Решите в натуральных числах уравнения:
a) $2^x + 1 = 3^y$;
b) $z^x + 1 = (z + 1)^2$;
c) $z^x + 1 = (z + 1)^y$.

Д. Флейшман

М510. В книге «Венгерские математические олимпиады» приводится такая задача (№ 148): «Доказать, что для всех положительных $\alpha < \pi$ выполено неравенство
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha > 0.$$
Доказите следующее обобщение этого неравенства: для всех $0 < \alpha < \pi$ и натурального $n$
$$\sin \alpha + \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{3} \sin 3\alpha + \dots$$
$$\dots + \frac{1}{n} \sin n\alpha > 0.$$
И. Бирдер, Р. Ушаков

Ф518. На рисунке 2 показано положение двух точек $A$ и $B$ и их изображений $A'$ и $B'$, которые дает тонкая линия. Найти построением положение линия и ее фокусов.

XXIV физическая олимпиада школьников ПНР

Ф519. Груз $A$ подвешен кружке $BC$ с помощью нити $AB$ (рис. 3). Какова должа быть амплитуда колебаний груза, чтобы эти колебания были гармоничскими? Масса груза $m = 0,1$ кг, жесткость пружины $k = 1600$ Н/м.

Ф520. В проточном calorimetре (рис. 4) исследуемый газ пропускают по трубопроводу и нагревают с помощью спирали. Газ поступает в calorimetр при температуре $t_1 = 20^\circ\text{C}$. При мощности нагревателя $W_1 = 1$ кВт и расходе газа $m_1 = 540$ кг/ч температура газа за нагревателем оказалась такой же, как при мощности нагревателя $W_2 = 2$ кВт и расходе газа $m_2 = 720$ кг/ч. Давление газа в трубе всюду одинаково. Найти температуру газа $t_2$, если его тепломкость при постоянном объеме $c_V = 21$ Дж/(моль·К), а молярная масса газа $M = 29$ кг/кмоль.

Ф521. На рисунке 5 показана часть траектории движения хорошего объектаемого тела, брошенного под углом к горизонту. В точке $A$ тело имело скорость, равную по абсцилотной величины 20 м/с. Сколько времени тело летело от точки $A$ к точке $B$?

Ф522. Цель, показанная на рисунке 6, подключена к сети переменного тока с напряжением $U_0 = 220$ В. Каково напряжение между точками $A$ и $B$?

А. Зильберман

44

Решения задач
M456—M460; Ф472—Ф477

M456. В каждой вершине выпуклого многообразника сходятся 3 ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Доказим, что вокруг этого многообразника можно описать сфера.

Рис. 1.

Пусть $A$ — вершина многоугольника, $AB, AC, AD$ — выходящие из нее ребра. Поскольку точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, через них можно проводить сферу; обозначим эту сферу через $S_A$ (рис. 1).

Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины. Докажем, что сферы $S_A$ и $S_B$ совпадают. Отсюда сразу вытекает, что сферы $S_X$ совпадают для всех вершин $X$, то есть все вершины лежат на одной сфере.

Пусть $BE$ и $BF$ — ребра, выходящие из вершины $B$. Они лежат в двух гранах $CAB$ и $DAB$, граничших с ребром $AB$. Пусть, например, ребро $BE$ лежит в грани $CAB$, а ребро $BF$ — в грани $DAB$ (заметим, что точка $E$ может совпадать с $C$ и, аналогично, точка $F$ может совпадать с $D$). По условиям точки $C, A, B, E$ лежат на одной окружности. При этом три точки $C, A$ и $B$ лежат на окружности, которая получается при пересечении сферы $S_A$ плоскостью, проходящей через точки $C, A, B$. Так как через три различные точки можно проводить не более одной окружности, то две построенные окружности совпадают, то есть точка $E$ лежит на сфере $S_A$. Аналогично доказывается, что точка $F$ лежит на сфере $S_A$. Значит, сфера $S_A$ проходит через точки $B, A, E, F$, то есть она совпадает со сфером $S_B$, что и требовалось.

И. Бернистей

M457. На плоскости дана несаморесекающая замкнутая ломана, никакие три вершины коморой не лежат на одной прямой. Наозем пари несоседних звенев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар четно.

Рис. 2.

Рассмотрим какие-нибудь два последовательных звена $AB$ и $BC$ ломаной. Продолжим эти звеня за вершину $B$; получим лучи $BK$ и $BL$ (рис. 2). Обведенное таких двух лучей назовем узолком. Такой уголок можно построить при каждой вершине ломаной. Легко понять, что количество особенных пар равно количество пересечений звенев с уголками. Мы утверждаем, что каждай и уголок пересекается с ломаной в четном числе точек. В самом деле, пройдет из соседней с $B$ вершины $A$ ломаной в другую оседнюю с $B$ вершину $C$, мы видим, что наша ломана в ходи т внутри уголка столкко же раз, сколько в ходи т из него (поскольку точки $A$ и $C$ обе находится в не уголка). Значит, и число особенных пар звенев тоже четно.

С. Фомин

M458. Написан многочлен $x^{10} + x^9 + x^8 + \dots + x^2 + x + 1$. Двое церам в макую церу. Сначала пересечаем любую из звездочек некоморыми числом, затем второй элемент числом любую из оставшихся звездочек, затем снова пересечаем любую из звездочек

Дa, может. Покажем, как для этого второй игрок должен играть.

Всего нужно заменить на числа 9 звездочек — 5 при нечетных степенях и 4 при четных. Каждый ходом второй игрок должен стать любой коэффициент при степении, имеющей противоположную четность по отношению к коэффициенту, который только что поставил его противник. Тогда после семи ходов останется 2 звездочек при степенях $x^k$ и $x^l$, причем хотя бы одно из чисел $k$ и $l$ нечетно, и ход будет у второго игрока. Пусть $P$ — многочлен, который

45

Числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будем действительным корней, то вызываемет первый церок, а если будем хотя бы один корень—вызываемаем второй. Может ли второй церок выиграть при любой церемония?

Если многочлен $f(x)$ ни кончается отрезка $[a,b]$ пучимаем значения чисел знаков, то при некистории $c \in [a,b]$ он обвичается $b = f(c)=0$

Рис. 3.

М459. В некоторых странах из каждого города в любой другой можно проехать, минут остальные города. Известна стоимость каждого макого проезда. Составлены два матрицы по городам страны. В каждой из этих матрирутов каждой город входимровно по одному разу. При составлении первого матрирута руководствовались следующим принципом: начальный пункт матрирута выбирается произвольно, а на каждом следующем шале среды города, через комorbие матрируем еще не проходил, выбирается том, поезда в комorbий из предыдущого города имеет наименьшую стоимость (если максимогородов несколько, то выбирается любый из них), и так до тех пор, пока не будут проедены все города. При составлении второго матрирута начальный город может выбирается произвольно, а на каждом следующем шале среды города, через комorbие матрируем еще не проходил, выбирается том, поезда в комorbий из предыдущого города имеет наименьшую стоимость. Доказим, что общая стоимость проекта по верному матрируту не больше общей стоимости проекта по верному матрируту.

Пусть $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$ — билеты первого матрирута, $b_1, b_2, \dots, b_{n-1}$ — билеты второго матрирута ($n$ — число гордов). Обозначим стоимость любого билета $c$ через $\Pi(c)$, а стоимость проезда из города $A$ в город $B$ через $\Pi(B)$. Утверждение будет доказано, если нам удалось построить отображение $f: \{a_1, \dots, a_{n-1}\} \rightarrow \{b_1, \dots, b_{n-1}\}$, обладающее следующими двумя свойствами:

a) отображение $f$ взаимно однозначно;
b) для любого билета $a$ из первого матрирута $\Pi(a) \leqslant \Pi(f(a))$.

Мы укажем способ, по которым строится отображение $f$, обладающее свойством 6). Чтобы доказать его взаимно однозначность, мы показем, что этот способ приводит к построению отображения $g: \{b_1, \dots, b_{n-1}\} \rightarrow \{a_1, \dots, a_{n-1}\}$, — такого, что для любого билета $a$ из первого матрирута $g(f(a)) = a$.

Способ построения отображения $f$. Пусть $a$ — некоторый билет первого матрирута, взятый в городе $A$. Обозначим через $X_1(A)$ множество городов, которые в первом матрируте встречаются позже $A$, а через $X_2(A)$ — множество городов, встречающихся позже $A$ во втором матрируте. Возможны следующие два случая:

1. $X_1(A) \cap X_2(A) \neq \emptyset$.
   В этом случае наоземен билет $a$ первого матрирута счастливым и положим $f(a) = b$, где $b$ — билет второго матрирута, купленный в городе $A$ (см. рис. 4, a).

2. $X_1(A) \cap X_2(A) = \emptyset$.
   В этом случае наоземен билет $a$ первого матрирута несчастливым. Выберем из множества $X_1(A)$ такой город $B: B \in X_1(A)$, что $X_1(A) \cap X_2(B) = \emptyset$. Легко понять, что этими двумя условиями город $B$ определяется единственным образом. Действительно, предположив, что существует два города $B_1$ и $B_2$, такие, что $B_1 \in X_1(A)$, $B_2 \in X_1(A)$ и $X_1(A) \cap X_2(B_1) = \emptyset$, $X_1(A) \cap X_2(B_2) = \emptyset$, мы получим противоречие: поскольку из условия задачи следует, что для любых двух городов $C$ и $D$ либо $C \in X_2(D)$, либо $D \in X_2(C)$, должны быть либо $B_2 \in X_1(A) \cap X_2(B_1)$, либо $B_2 \in X_1(A) \cap X_2(B_2)$. Положим теперь $f(a) = b$, где $b$ — билет второго матрирута, купленный в выбранном городе $B$ (рис. 4, b).

48

Ф472. Нарисовать примерный график зависимости от времени показания волтметра после размыкания ключа K (рис. 7). Волтметр и камушка индукционности идеальны, R=100Ом, U=300В.

Рис. 7.

Рис. 8.

Ф473. Рисунок 9 сделан со стробоскопической формуле движения двух стальвающих шариков одинаковых диаметров, но разных масс. Стрелкой на рисунке показано направление движения одного из шариков do стольновения.

1. Определить отношение масс шариков.
2. Указать, в каком направлении движения второго шариков.

При разомкнутом ключе ток, текущий по цепи, равен $I_1 = \frac{U}{2R} = 1,5$ А. При этом волтметр показывает падение напряжения на сопротивлении III: $U_1 = I_1R = 150$ В.

После замыкания ключа в катушка возникает э. д. с. индукции, преяractвощая изменению магнитного потока через катушка, то есть преяractвощая изменению тока $I_1$, текущего по катушки. Так что в первый момент после замыкания ключа через катушка течение ток $I_1 = 1,5$ А. Найдем показание волтметра в этот момент. Очевидно, волтметр изменяет падение напряжения на сопротивлении II: $U_2 = I_2R$. Определим значение $I_2$. Из равенств

$$\begin{align*} I_0 &= I_1 + I_2, \\ U &= I_0R + I_2R \end{align*}$$

(см. рис. 7) находится

$$I_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{U}{R} - I_1\right) = 0,75$$ А.

Таким образом, в первый момент после замыкания ключа волтметр показывает

$$U_2 = I_2R = 75$$ В.

После установки ток в цепи волтметр, очевидно, будет показывать напряжение

$$U'_2 = U - I'_0R = U - \frac{U}{R + \frac{R}{2}}R = \frac{1}{3}U = 100$$ В.

Итак, сразу после замыкания ключа показание волтметра скачом падет от 150 В до 75 В, а затем постепенно нарастает до 100 В (рис. 8).

И. Слободецкий

◆

Пусть $m_1$ — масса первого шарика, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}'_1$ — его скорости соответствующего до и после стольновения, $m_2$ — масса второго шарика, а $\vec{v}_2$ и $\vec{v}'_2$ — его скорости до и после стольновения. Согласно закону сохранения импульса

$$m_1\Delta\vec{v}_1 + m_2\Delta\vec{v}_2 = 0,$$ или $m_1\Delta\vec{v}_1 = -m_2\Delta\vec{v}_2,$

(1)

где $\Delta\vec{v}_1 = \vec{v}'_1 - \vec{v}_1$ — изменение скорости первого шарика, $\Delta\vec{v}_2 = \vec{v}'_2 - \vec{v}_2$ — изменение скорости второго шарика при стольновении. Из (1) получаем

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|\Delta\vec{v}_2|}{|\Delta\vec{v}_1|}.$$

Следовательно, для того чтобы относение масс шариков, нужно построить векторы $\Delta\vec{v}_1$ и $\Delta\vec{v}_2$ и затем взять обратное относение их моделей.

49

Скорости шариков равны перемещениям шариков за время т между последовательными всышками лампы, деленным на т. Так как значение т одинаково для общих шариков как до, так и после столкновения, то в масштабе 1: $\frac{1}{\tau}$ векторы, изображющие скорости шариков, просто равны векторам перемещений шариков за время между последовательными всышками лампы. Воспользуемся этим для того, чтобы найти $\Delta v_1$ и $\Delta v_2$.

Мы знаем, как двигался один из шариков до столкновения. Для того чтобы построить вектор $\Delta v_1$, необходимо также знать, как двигался этот шарик после столкновения — по ветви II, III или IV? Для того чтобы выяснить это, нам придется переработь все возможные варианты (их всего три). При правильном выборе траекторий движения шариков векторы $\Delta v_1$ и $\Delta v_2$ согласно равенству (1) должны быть направлены в прямой проигнорложенные стороны.

Преждое чем приступить к построению, заметим, что $\Delta v$ не меняется при «обращении» движения шарика, то есть если do столкновения шарик 1 двигался по ветви I, а после столкновения — по ветви II, то $\Delta v$ такое же, как и в том случае, если do столкновения он двигался по ветви II, а после столкновения — по ветви I.

Теперь мы можем приступить к построению. Предположим, что к шарику 1 относится ветви I и II, а к шарику 2 — ветви III и IV. Построив в этом случае векторы изменений скоростей шариков (рис. 10), получим, что они не направлены вдоль одной прямой (на рисунке 10 для удобства векторы $v$ построены в масштабе 1: $\frac{1}{3\tau}$). Следовательно, нашей предположение не верно. Проверяя так же другие возможности варианты, убеждаемся, что к шарику 1 относится ветви I и IV, а к шарику 2 — ветви II и III (рис. 11). Измерив длины векторов, изображенных $\Delta v_1$ и $\Delta v_2$, найдем:

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{|\Delta v_2|}{|\Delta v_1|} = \frac{1}{3}.$$

Теперь ответим на второй вопрос. Обозначим $\tau_1$ время между моментом столкновения шариков и последней до столкновения всышкой лампы. Тогда ясно, что перемещение шарика за это время должно составлять $\tau_1/\tau$ часть перемещения шарика за время т между всышками. Измерив соответствующие перемещения шарика, найдем, что $\tau_1/\tau$ равно 11/19. Таким же оно должно быть и для второго шарика. Неосредственный изменением убеждаемся, что этому условию удовлетворяет ветвь III. Следовательно, шарик 2 до столкновения двигался по ветви III.

И. Словодечкий

Ф474. Цень, показанная на рисунке 12, собрана из одинаковых резисторов и волтемеров. Первая волтемер показывает $U_1 = 10$ B, а третий — $U_3 = 8$ B. Каково показание второго волтемера?

Ясно, что волтметры не идеальны — в противном случае точки через резисторы не протекали бы, и показания волтемеров были одинаковыми.

Показания волтемров пропорциональны токам, текущим через них. Значит, токи, текущие через резисторы I, II и III, относятся как

$$I_1 : I_2 : I_3 = (U_1 : U_2 : U_3) : (U_2 + U_3) : U_3.$$

Поскольку резисторы одинаковы, падения напряжения на них пропорциональны токам. Для резисторов II и III имеем:

$$\frac{U_1 - U_2}{U_2 - U_3} = \frac{I_1}{I_3} = \frac{U_2 + U_3}{U_3},$$

51

Ф476. Природный уран состоящим из смеси двух изомотов с относительной амортизации 235 и 238 и относением концентрации 7:1000. Для увеличения концентрации $^{235}$U, который примещается в амортизаторх, используется истенение газообразного соединения $UF_6$ (шестифтористный уран) в вакуум через маленькое отверстия (эффузия). Газ пропускается через трубу T с пористыми стенками (рис. 17). Процедший через стенки трубы газ откачивается из сосуда C. Определять относение концентрации $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в относительной массе фтора равна 19.

Ф477. Резиновое колючо массы m лежит на главной горизональной плоскости. Колючо немного расстоящаем так, что оно сохраняет форму окружности и центр его осмается неподвижным. После эмодного колючо отнуском. Описать дальнейшее поведение колца. Козффициент уррузости резинового железа равен k.

Подставив численные значения, найдем
$$R_x \approx 0.22 \text{ Om}, \quad R - R_x \approx 18 \text{ Om}.$$
При этом $U_{AB} \approx 0.6 \text{ B}$, и при изменении Э. d. с. Е в пределах ±1 В значение $U_{AB}$ меняется чем на 0,03 В. Расчитанная нами схема может быть использована как стабилизатор небольших напряжений; впрочем, практические лучшие использовать вместе потенциометра вторую цепь из лампочки и резистора, включенных в обратном порядке.

А. Зильберман

Обозначит $n_1$ и $n_2$ число молекул соответственно $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в единице объема газа $UF_6$. За время $t$ через отверстие площади s проходит число $N_1$ молекул $^{235}$UF$_6$, равное
$$N_1 = v_{N1}stn_1,$$
и число $N_2$ молекул $^{238}$UF$_6$, равное
$$N_2 = v_{N2}stn_2,$$
где $v_{N1}$ и $v_{N2}$ — проекции средних скоростей молекул $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ на ось $x$, направленную perpendicularно отверстию.
Отношение $N_1/N_2$ — отношение концентраций молекул $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в отк�aваемом газе — равно
$$\frac{N_1}{N_2} = \frac{v_{x1}n_1}{v_{x2}n_2}.$$
Очевидно, что $\frac{v_{x1}}{v_{x2}} = \frac{v_1}{v_2}$, где $v_1$ и $v_2$ — средние квадратичные скорости движения молекул газов. Так как $v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$, где $m$ — масса молекул, то $\frac{N_1}{N_2} = \frac{n_1}{n_2} \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ ($m_1$ и $m_2$ — массы молекул $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ соответственно). Отсюда
$$\frac{N_1}{N_2} = \frac{7}{1000} \sqrt{\frac{352}{349}} \approx \frac{7,03}{1000}.$$
И. Слободецкий

Из сообщений симметрины представляется ясным, что колючо будет колебаться — растягивать и скжиматься, сохраняя форму окружности, и центр его будет оставаться неподвижным. Чтобы убедиться правильности этих представлений, достаточно рассмотреть движение какой-нибудь одной точки (или малого элемента) колца и убедиться в том, что она действительно совершает колебания.

Выделим малый элемент A колца. Когда колючо растянуто, на элемент A со стороны соседних участков колца действуют силы $|\vec{f}|$ упругости, направленные по касателью