Квант 1978, №9 · Страницы

КВАНМ 9
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке изображено семейство кривых второго порядка, проходящих через точки (0,0), (1,2), (3,0) и (3,2). Кривая второго порядка — это график уравнения $ax^2+bxy+cy^2+ex+fy+q=0$ (где числа $a, b, c$ не равны нулю одновременно). Примеры кривых второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых. (Подробнее о кривых второго порядка можно прочитать в «Кванте», 1977, № 8.) По теореме Паскала в общем случае через путь точек проходитровно одна кривая второго порядка. Поэтому через точки проходит целое семейство кривых второго порядка, которое и показано на рисунке. Особую роль здесь играют «красная» парабола, пара параллельных прямых $y^2-2y=0$ и пара пересекающих прямых $(2x-3y)(x+y-3)=0$. Эти линии отделяют области, заполненные кривыми разных типов. Например, белая область заполнена эллипсами, зелена область — одним семейством гипербол, желтая — другим семейством гипербол.

1

Основан в 1970 году
9
1978

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-mатематической литературы

В номере:

2 С новым учебным годом!
4 В. Беляков. Каналирование части в критICALХ
13 В. Залгалер. Непрерывно изгибаемый многограничник

Лаборатория «Кванта»
20 В. Майер. Реакция вытекающей и втекающей структу
Математический практикум
22 В. Василов. Сетчатые номограммы
30 И. Клумова. Номограммы из выраженных точек

Математический кружок
33 А. Тоом. Решения задач ВЗМШ
35 Премни «Кванта»
Задачик «Кванта»
36 Задачи М521—М525; Ф533—Ф537
38 Решения задач М471—М474; Ф487—Ф490, Ф492

По страницам школьных учебников
45 Р. Мешойер. Комбинаторные доказательства формулы Ньютона

«Квант» для младших школьников
47 Задачи
48 Е. Семенов. Расстояние Степы Мошкина (из писем другу)
51 А. Строгова. Метод наименьших квадратов

Практикум абитриента
53 В. Литвиненко, А. Мордкович. Предеты

Рецензии, библиография
59 М. Смолянский. Математика на шахматной доске
60 И. Зорич. Мир, лишенный очертный

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 19, 21, 29, 32, 34, 58, 64)

© Главная редакция физико-mатематической литературы изда-
тельства «Наука», 1978

2

С новым учебным годом!

Редакция поздравляет наших юных читателей с новым, 1978/79 учебным годом!

Прошоль учебный год был насыщен крупными событиями, которые послужили своеобразным научством наступающей учебному году.

Это был год, когда советский народ и все прогрессивное человечество торжественно отмечали шестидесятейлетие Великой Октябрьской социалистической революции, открывшей новую эру в истории человечества.

Непосредственное отношение к вам, как и ко всем гражданам нашей Родины, имеет еще одно важнейшее событие истекшего года — принятие новой Конституции Советского Союза.

Минувший год был также годом XVIII съезд Ленинского комсомола, молодежной организации, членами которого состоит подавляющее большинство читателей «Кванта». Нашим читателем особенно близка яркая речь Генерального секретаря ЦК КПСС, Председателя Президиума Верховного Совета СССР Л. И. Брежнева на XVIII съезд ВЛКСМ. В ней были изложены задачи, решение которых коммунистическая партия возладает на комсомол, выразив утвернность в том, что они ему по плечу.

А в самом конце прошло учебного года в Москве состоялся Всесоюзный съезд ученых — наставников и друзей ученяя молодежи. На этом съезд рассматривались проблемы, неосредственно касающиеся всех учащихся. Выступления участников съезда были проникнуты заботой об учащей молодежи, о том, как лучше и эффективнее подготовить ее к будущей самостоятельной жизни. Нашей молодежи многое дано. Ни одно государство в мире не предоставляет юношам и девушкам таких возможностей для обучения, какие имеются в Советском Союзе.

С первых же дней после победы Октябрьской Советское государство считало одной из важнейших задач организации дела народного образования. Надо помнить, что в это время подавляющее большинство населения нашей страны было неграмотным. С тех пор мы прошли огромный путем от кружков по ливидании неграмотности до всеобщшего среднего образования. Вот, к примеру, несколько церфт только по одной союзной республике, взятых из юбилейного статистического издания «Народное хозяйство Узбекистой СCP за 60 лет Советской власти»: в 9498 общеобразовательных школах в 1976/77 учебном году занимались 3 789 900 учащихся, которые обучали 203 600 ученели; в 42 вузах получали образование 254 300 студентов.

В нашей стране все виды обучения как в средней школе, так и в высшей — бесплатны. А принято в прошлом году Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР обеспечит и бесплатное пользование учебниками. Большинство пionерского возраста в летнее время бесплатно пользовется одородительными ученежениями. А детям дошкольного возраста предоставлена возможность почти бесплатного воспитания в служех и детских садах. На все это Советское государство расхудует огромные материалы средства.

Партия и правительство постояно заботятся об учащей молодежи, о повышении качества ее обучения. Свидетельством этому служит ряд документов, принятых в последнее время, которые имеют огромное значение для развития народного образования в нашей стране. Средние них — Постановления ЦК КПСС и Совета Министров СССР о завершении перехода ко всеобщему среднему образования, о сельской школе, о совершенствовании обучения и воспитания учащихся системы профессионального технического образования, о совершенствовании обучения, воспитания и подготовки к труду учащихся общеобразовательных школ. Верховный Совет СССР утвердил «Основы законодательства Союза СCP и союзных ресурсных о народном образования».

Все это — вопросы одного из основных прав советского человека, гарантированного Конституцией, — права на образование. Но, кому много дано, с того много и справивается. Должно школьника, каждой учащего ПТУ достойно ответить на внимание и zaboty партии и Советского правительства, в полной мере использовать представленные народом возможности для обучения, для получения образования.

XVIII съезд ВЛКСМ обращил особое внимание на эту задачу. В результате принятой съездом, сказано: «Ленинский комсомол призван вносить конкретный вклад в осуществление решения XXV съезд партии, постановлений ЦК КПСС и Советского

3

правительства о дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания, подготовки к жизни и труду молодежи…».

XXV съезд нацелил всех труденков нашей страны на борбу за повышение эффективности и качества работы. Эта задача имеет самое непосредственное отношение к учащимся. Ведь качество знаний сегодня — это высокая эффективность труда завтра. Вот почему XVIII съезд ВЛКСМ обращался к учащимся с признамом объявить войну «серебряным тройкам». Необходимо увлечь ребят ученем, пробудить в них жажду знаний, «угадать» и развит их таланты. Для этого надо максимально использовать возможность внешкольных занятий, кружков, научных обществ учащихся и т. д.

Помочь решению этой задачи призван и наш журнал «Квант». Его основная цель — пробудить интерес учащихся к физике и математике — научкам, лежащим в основе современной техники. Мы надемемся, что публикуемые на страницах журнала интересные материалы, доступные широкому кругу читателей, будут способствовать повышению уровня преодавания физики и математики в школе. Журнал и впредь будет знакомить своих читателей с достижениями физico-mатематических наук и применением их в технически внешкольных занятиях, кружков, научных обществ учащихся и т. д.

Среди читателей «Кванта» много юношеи и девушек, серверно интересующихся математикой и физикой, отлично знающих эти предметы, регуляро занятияющихся в кругжках и успешно выступающих на олимпiadах. Мы хотели бы, чтобы они стали первыми помощниками учительей физики и математики, чтобы они считали своим долгом обучаться трудные вопросы товаровism, увлекательных к красотой и радостью научного познания. Ольт показывает, что, обьясняя тот или иной вопрос, усаиваешь его лучшие и глубже. Помощь товаровism по школе оказывается таким образом взаимной. «Ни одного отстающего рядом!» — этот лозунг уdarникков производства должен стать.devизом учащихся.

Школьное образование в нашей стране связано с трудовым воспитанием. Такая политика, проводимая партией и правительством, помогает учащимся выбрать себе будущего трудового профессии. Поясняя эту политику, Л. И. Брежнев подчерчнул: «Если, например, раньше говорилось о права на труд, то теперь это дополнительная правом на выбор профессии,рода занятый и работы в соответствии с признамем, способностями, профессиональной подготовкой и образования гражданна, а также — что не менее важно — и с учетом общественных потребностей».

Совершенно иначе обстоит дело с трудоустройством молодежи в капиталистическом мире. Вот типичная история, о которой 30 мая 1978 года рассказала «Комсомольская правда»:

«…Способности к математике у него проявились в раннем детстве. В четыре года он уже умел считать до тысячи. В семь лет его освободили в школе от уроков математики… В восемь он мог давать консультации выпускникам школи… В двенадцать лет его допустили к занятиям на факультете математики Монхенского университета, а в тринадцать он делал доклады в педагогическом институте своего родного города.

Все это заставило говорить об Элмаре Эдере как оундеркинде…

Вундеркинда направили учиться в специальную математическую школе в Англии, который он с блеском окончил в пятнадцать лет. Через три года он получил диплом об окончании математического факультета Монхенского университета, а еще через два года был присвоен степеню доктора.

Годы обучения остались позади, и перед двадцатиме математиком встал вопрос о месте работы. Университеты, институты и научно-исследовательские центры, в которых молодой математик обращался с просьемой предметами ему работу, давали один ответ: свободных мест нет.

Эту фразу в ФРГ недократно получили в ответ и 40 тысяч других выпускников высших учебных заведений.страны…».

К сожалению, у нас все еще встречался юноши и девушки, которые не хотят познать производство, не привели уважать людей труда. Они пытаются отличить приобретение трудовых навыков до окончания школы и прикрыть отсутствие интереса к труду различных отговорками. Таким учащимся следует напомнить слова первого секретаря ЦК ВЛКСМ Б. Н. Пастухова, который в своей докладе XVIII съезд ВЛКСМ отметил: «Общественное полезный труд — это активное постжение мира, познание самого себя. Он не преястивует, а содержит сознанному выбор профессии, углубленную знания. Лаурpeat Ленинской премии, академик Рем Викторович Хохлов начал работать после школы австлесарем, затем стал студентом Московского университета, а спустя годы — его ректором. Выдающийся советский физик всегда теперь вспоминал школь рабочого коллектива. Такие университеты не забываются».

Старшеклассики, учащиеся профессионально-технических училищ, как и все советские люди, испытывали законную юридость за те выдающейся успехи, которых достигла наша Родина под руководством родной Коммунистической партии, ясно осознают, что стартовая площадка всех этих успехов — социальстический общественный строй. Мы убежданы, что учащая молодежь Страны Советов сделает все, чтобы научащий учебный год — год 60-летия ВЛКСМ — был достигно отмечен новыми успешами в учебе и труде.

4

В. Беляков

Каналирование части в кристаллах

Во втором номере нашего журнала за этот год была опубликована статья А Китай-городского «Как изменяются расстояния между atomами в кристаллах». В этой статье расссказываюсь об основных методах исследования кристаллических структуры —RENTНОСТРУКТУРНОМ ANALIZЕ.

Теперь мы предлагаем вашему вниманию расссказ еще об одном, совсем недавно появшемся, методе изучения кристаллов.

Немного истории

Тот, кто видел модель кристала, выполненную из шариков и тонких стержней (см. заставку к статье), конечно же, образил вынимание на ее интересное свойство. Если, медленно врашая, разглядывать такую модель на просвет, можно видеть, что в некоторых направлениях она почти произрана, в других — практические непрозрачана. Произрачной модель оказывается тогда, когда открывается отверстия (или, как говорят, каналы), образованные рядом atoms — шариков, или щелки между плоскостями, образовными шариками; непрозрачной — когда все полезня полностью перекрывается шариками.

Это свойство модели кристала еще в 1912 году (на заре развитияatomной физики и физики твердого тела) побудило немецкого ученого Штарка задуматься над тем, имеет ли отношение описанное свойство модели к реальным кристаллам. Штарк пришел к выводу, что имеет. В частности, он предсказал, что, если кристалл облачает положительно заряженными частицами, то глубина их проникновения в глубь кристала зависит от угла, под которым пучок частиц падает на кристалл. Так, если направление пучка совпадает с на-

5

правленем одного из описанных выше каналов, то частицы пропникают в кристалл более глубоко, чем в других случаях.

Одноко теоретическое представление Штарка тогда проверить неудаюсь, и оно было найдено забито. Прошло более пятидесети лет, прежде чем ученыые занялись экспериментальным исследованием зависимости глубины пропникавления заряженных частиц в кристаллы от ориентации образцов кристаллов относительно пучков этих частиц. Оказалось, что, действительно, если направление движения частицы совпадает с направлением кристалческого канала или близко к нему, то частица при своем движении в кристалле теряет энергию значительное медленнее, чем при движении в других направлениях. В результате длина ее пробета оказалась значительно большие в этом направлении, чем в других (рис. 1). В таком случае говорят, что происходит захват частицы в кристаллеческий канал, а само явление называют каналированием частиц.

Интерес к этому явлению пробудило «второе открытие» каналирования, сделанное в начале шестидесетых годов (как и в первый раз, теоретически) при моделировании на электронно-вЫЧИСЛЕТЬНОМ машине движенияонов в монокристалле. Оказалось, что каналирование и сопутствующие ему явления представляют большой интерес для физики твердого тела и ядерной физики, так как являются эффективным методом исследования свойств кристаллов и некоторых ядерных явлений. Обнаружились и широкие возможности технического использования каналирования, в частности, в полупроводниковой технике. Но обо всем этом речной под территории несколько позже.

Об описании кристаллечских структур

Как известно, в кристаллах atoms расположены в пространстве регулярным образом и образуют так называемую кристаллечскую решетку. Atoms кристаллов (как и всех других тел) совершают тепловое движение, но это движение сильно ограничено. Atoms колеблотся в близки разновесных положений, называемых кристаллечской решетки, с очень малой амплитудой ($\sim 10^{-9}$ см). Поэтому для описания ряда свойств кристаллечских структур можно считать, что atoms вообще не движутся. Во всяком случае, модель кристалла с неподвижными atomами является, как говорят физики, хорошо изучим приближением для описания многохотных свойств кристаллов. В дальнейшем мы будем пользоваться таким представлением о строении кристаллов.

Надо оговориться, что нарисованная выше идеальная картина, в которой atoms во всем объеме кристалла находится строго на своих местах, в природае реализуется весма редко. Такие идеальные образцы называют монокристаллими. Обучные кристаллечские тела далены от такого совершенного — очень малых области, в которых существует совершенный порядок в расположении atoms, но при переходе от одного кристалла к другому порядок нарушается. Обсуждаемое нами явление каналирования лучше всего проявляется в экспериментах именно с монокристаллими, поэтому в дальнейшем под термином «кристалл» будет понятно «monокристалл».

В связи с тем, что в кристалле (monокристалле) существует строгий порядок в расположении atoms, для изучения кристаллов достаточно использовать минимальный объеме кристалла, полностью отражаемым все его структуры связи. Такой минимальный объем называют элементарной ячейкой кристалла. Размеры элементарной ячейки порядка (1—10) $10^{-8}$ см.

На рисунке 2 приведены примеры элементарных ячейек (для определения — кубических). Простейшая ячейка представляет собой куб, в верхних коротках расположено по atomу. Большой структурой обладает объемноцентрированная, граенцентрированная и базцентрированная ячейки (их устойчиво очень видно из рисунка 2).

6

Рис. 1. Иллюстрация зависимости пробега нана от начального направления его скорсти относительно оси канала на примере двумерной модели кристаллической решетки. Около траекторий части указано значение угла, образуемого начальной скоростью части с осью канала.

Как уже говорилось, не все направления в кристалле равноверны. Для того чтобы в этом убедиться, удобно (как это принято в кристаллофизике) связать систему координат с элементарной ячейкой. Общно начало координат выбирают в одной из вершин ячейки, а оси координат направляют вдоль ее ребер, при этом длину ребер условно считают единичной. направление вдоль оси $X$ обозначают [100], вдоль оси $Y$ — [010], вдоль оси $Z$ — [001]. Плокости, совпадающие с граями куба и перpendикularные осем $X$, $Y$ и $Z$, обозначают соответствию (100), (010), (001). направления вдоль диагоналей граней обозначают [110], [101], [011], а кристалические плоскости, перpendикularные этим направлениям, — (110), (101), (011). Наконец, направление пространственной диагонали обозначают [111], а перpendикularные ей кристалические плоскости — (111).

Рассматривая изобравнение элементарной ячейки, легко видеть, что направления [100], [010], [001] кристала эквивалентны друг другу и не эквивалентны направлению [111].

Выше мы перечислили так называемые кристаллографические скние направления и кристаллографические плоскости. Другие направления и плоскости обозначаются аналогично: [hkl] для направления и (hkl) для перpendикularных этом направлению плоскостей. Величины $h$, $k$, $l$ принимают целочисленные значения и называются кристаллографическими индексами (или индексами Мюллера). Для направлений и плоскостей, отличных от главных, хотя бы один из индексов отличается от 0 или 1.

Символ (hkl) обозначает не одну какую-то плоскость, а совокупность параллельных плоскостей, проходящих через узлы (атомы) кристаллографических решетки. При этом в плоскости, соответствующих малым кристаллографическим индексам, плотность atomов оказывается большие, чем в плоскости с более высокими индексами, а расстояния между этим плоскостями больше, чем расстояния между плоскостями с высокими кристаллографическими индексами. Например, для кристалла с простейшей кубической ячейкой расстояние между плоскостями (100) равно 1, а между плоскостями (110), соответствующими более высоким индексам, расстояние равно $\sqrt{2}/2$ (см. рис. 2).

8

был выбран так, чтобы при вращении образца направления самых широких кристалических каналов последовательно совпадали с направлением пучка, при этом наблюдалось резкое увеличение тока (то есть числа прошедших через образец протонов).

Влияние каналирования на ядерные процессы. Эффект блокировки

Очень интересны результаты экспериментов по изучению ядерных реакций в условиях каналирования частиц, вызывающих ядерную реакцию. Оказылось, что каналированные частицы вступают в реакцию менее охотно, чем частицы, не исплавшие каналирования. Расмотрим, например, такую реакцию. Если ядра изотопа кремния $^{28}$Si bombardировать протонами, то в результате возникают ядра фосфора $^{29}$P и gamma-кванты:

$$2^{28}Si + p \rightarrow 2^{29}P + \gamma.$$

О числе актов реакции можно судить по числу испущенных γ-квантов.

В эксперименте, в котором в качестве мишени использовался кристалл кремния, а пучок протонов направлялся на кристалл под различными углами к направлению [110], выявлась резкая зависимость числа γ-квантов от ориентации пучка (рис. 4). При совпадении направления пучка протонов с направлением [110] наблюдается минимум в числе актов реакции, о чем говорит уменьшение скорости счета γ-квантов.

Аналогические результаты были получены и для ряда других ядерных реакций.

Рис. 4. Орентационная зависимость выхода ядерной реакции $^{28}Si + p \rightarrow 2^{29}P + \gamma$ при изменении направления пучка протонов вблизи оси [110].

Рис. 5.

Явленем, тесно связанным с каналированием, является так называемый эффект блокировки. Он заключается в том, что выход из кристалла заряженных частиц, возникших в процессе радиоактивного распада ядер в монокристалле, резко зависит от угла между направлением их скоростями и оси кристаллеского канала. Причем, в направлении оси канала число вышедших из кристалла частиц оказывается минимальным. Это связано с тем, что радиоактивный распад ядра происходит в узле кристаллечской решетки, и движению частицы, испущенной в направлении, параллельном оси канала, превращают.atомы, образующие стенки канала.

Рассейние на большие углы

Близким к эффективу блокировки — по наблюдаемым результатам — является отражение (или рассейние назад)онов от монокристаллечских мишеней. Действительно, для того чтобы произшло отражение она назад (рассение на большой угол), необходимо, чтобы он почти вплотную приблизился к какому-нибудь ядру atoma кристалла. Только в этом случае электростантическое отталкивание положительное заряженного она и atomного ядра будет достигно сильным, чтобы изменить направление движения она на противоположное. Таким образом, рассейние она назад практически аналогично рассмотренному выше вылету заряженной частицы из ядра в процессе радиоактивного распада. Эксперименты полностью это подтверждают.

Например, если рядом с кристаллом, облучаемым протонами, помещ-

10

как бы образуоших стенки канала. Если составляющая скорости она, перпендикулярная оси канала, мала, сны отталкивания не позволяетону выйти из канала. В этом случае он, «оттолкнувшись» от одной стенки канала, будет приближаться к противоположной его стенке, одновременно перемещая вдоль оси канала. Затем он точно так же «оттолкнется» от противоположной стенки. В целом движение она вдоль кристаллеского канала будет сопровождаться его «колебаниями» между стенками канала.

Если поперечная составляющая скорости она слищом влика, сил кулоновского отталкивания оказывается недостаочно, чтобы удержать он в кристаллеском канале; он выходит за пределы канала, то есть каналирования не происходит.

Наглядной модель такого поведения она может служить движение шарика в желобе (рис. 7). Если мы, пуская шарик вдоль оси желоба, одновременно придаим ему небольшую скорость, перпендикулярную оси желоба, то его движение по желобу будет сопровождаться колебаниями от стенки к стенке. Если же перпендикулярная оси составляющая скорости будет слищом влика, шарик просто выскочит из желоба. Существование предельной поперечной скорости шарика, при которой он еще не выскакивает из желоба, соответствует введению выше критическому углу $\psi_c$ для каналирования.

На первый взгляд, аналогия между движением каналированной частицы и движением шарика в желобе может вызвать удивление. Действительно, «стенки» кристаллеских каналов города более к рыболовной сети с крупной ячейкой или волейбольной сетке, чем к сплошным стенкам желоба. Аналогия оказывается хорошего только потому, что при движении вдоль оси канала частица совершает одно колебание от стенки к стенке на длина пробела, приближительно равной сотне международных расстояний, так что дискретность стенки оказывается неусущественной. Если же частица резко меняет направление своего движения за счет взаимодействия с одним ядром, аналогия с движением шарика в желобе не работает. Но при этом, как мы видели, не происходит и каналирования частиц. Так что пока частица каналируется, analogия с желобом вполне хороща.

Заметим, что движение частицы в кристалле наиболее близко к движению шарика в желобе, когда речь идет о межплокостном каналировании частицы, при котором частица совершает колебания между кристаллеческими плоскостями, ограничивающими канал. В случае освого канала движения частицы оказывается более сложным (см., например, заставку к статье).

Приведенное выше качественное описание поведения каналированной частицы в кристалле позволяет получить зависимость критического угла $\psi_c$ от энергии частицы. Обозначим через $v$ скорость движения частицы, а через $v_c$ — критическое значение ее поперечной скорости. Для частицы, движущейся под малым углом к оси канала, поперечная скорость

$$\vec{v} = \vec{v}_c - \frac{\vec{v}_c}{\|\vec{v}\|}.$$

Выражая скорость частицы через

12

Этот метод подходит для измерения времени ядерных процессов (реакций), сопровождаемых испусканием заряженных частиц. Ход таких реакций может быть разбит на два этапа. Первый этап — захват ядром атома кристалла одной из частиц, которые обладает образец. Второй этап — распад ядра, захватившего частиц.

Время, прошедшее с момента захвата частицы до распада ядра, может быть определено по тому, как проявляется эффект блокировки на выходе заряженных продуктов распада из кристалла. Идея метода проекта и изящна и состоит в следующем. Ядро, захватившее частицу (как говорят физики, компаунд-ядро), восприявим импульс поглощенной частицы, оказывается выбитым из занимаемого им кристаллечского узла и начинает двигаться в кристалле с очень большой скоростью, порядка $10^8-10^9$ см/c. Если время жизни компаунд-ядра очень мало и оно до распада практических не успевает отчеты от занимаемого им узла, при выходе заряженных продуктов распада из кристалла в полной мере проявляется эффект блокировки.

Если же за время жизни ядро успевает отчеты от своего узла, то проявляется ослабление эффекта блокировки, так как в этом случае движению продукта распада вдоль оси кристалла не преляется автоматически. Образующие стены канала. По степени ослабления блокировки определяют расстояния, на которые смешается компаунд-ядро, и, зная его скопление в настоящее время еще отсутствует полное понимание особенностей движения этих частиц в монокристаллах. Тем не менее ясно, что в руках физиков появляется новый удивительное тонкий метод исследования кристаллов. Следует ожидать, что в недалеком будущеем каналрование станет таким же методом исследований кристаллов, каким в настоящее время являетсяRENTеноструктурный анализ.

Рис. 7. Траектории шарика в желобе при различных значениях его поперечной скорости. Траектории 1, 2 и 3 относятся, соответственно, к малой, близкой к предельной и большей пределной поперечным скоростям шарика.

13

В. Залгаалер

Непрерывно изгибаемый многогранник

1. Многогранник
   Многогранником мы будем здесь называть поверхность (не тело!), составленную из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники — грани многогранника. Стороны граней — ребра многогранника. Предполагается, что по каждому ребру прилегают друг к другу не более двух граней. (Так, поверхность, изобравенная на рисунке a) на заставке не многогранник.) Многогранник должен состоять из одного куска: от любой его грани можно перейти к любой другой, переходя от грани к грани последовательно через ребра, по которой соседние грани прилегают.

Если у многогранника есть ребро, принадлежшее всего одной грани, то это — многогранник с краем (рис. 6). Если же каждое ребро принадлежит двум граням, многогранник называют замкнутым (рис. 8). У замкнутого многогранника края нет.

Многогранник будем называть выпуклым, если он является границей выпуклого тела. Такой многогранник — обязаательно замкнутый. Как правило, мы будем рассматривать только многогранники, чьи грани

14

2. Изгибание многогранника

Будем считать, что форму и размеры каждой грани многогранника изменять запрещено, т. е. грани будем рассматривать как твердые матерIALные пластинки. Двугранные углы при ребрах разрешим изменять. Если изменением углов при ребрах исходный многогранник можно перестроить так, чтобы при сохранинии порядка прилегания граней его форма изменилась, то говорят, что новый многогранник получается из исходного конечным изгибанием.

Изгибание многогранника с краем представить себе легко. Например, у многогранника, составленного из двух треугольников, можно произвольно изменить угол при обшем ребре.

Приведем пример конечного изгибания замкнутого многогранника. Многогранник на рисунке 1, а составлен из пяти граней куба, шестая же грань заменена боковой поверхностью невысокой правильной четырехугольной прямиды, поставленной на куб. Многогранник на рисунке 1, б построен аналогично, только теперь та же пирамида входит внутри куба. В этом примере при изгибании многогранника двугранные углы при некоторых ребрах не только изменили свою величины, но стали из выстрашших — входящими. Интересный пример конечного изгибания многогранника изобажен на рисунке 2*). Здесь при изгибании выступающие двугранные углы остаются выступающими, а входящие — выходящими.

В обих примерах изгибание осуществляется с качком, не перерывно. Если, например, скленть много

*) Этот пример занимает из заметки А. Д. Алексаидрова и С. М. Владимировой («Вестник Ленинградского университета», 1962, № 13).

15

Рис. 3.

Рис. 4.

$a \approx 5,3752$ см; $b \approx 5,9103$ см; $c \approx 9,0935$ см. К центру звезды подходят ребра $b$ и $c$.

В дальнейшем мы будем считать, что в замкнутом многогранике все грани абсцилтоно твердые, а по ребрам соседние грани соединины шарниро, подобно пластинам дверной петли. Допускаем ли хоть один малый замкнутый многограник непрерывное избытие?

4. Первый октаэдр Брикара

Рассмотрим на плоскости $P$ четырехзвенный механизм $ABCD$ (рис. 3). Вершины $A, C, B, D$, в которых размещены шарниры, служат вершинами равновойной трапеции. Четырехугольник $ACBD$ подвижен: угол $\alpha$ можно менять в некоторых пределах; при этом звенья $AB$ и $CD$ свободно скольает друг по другу. При изменении $\alpha$ вершины четырехугольника продолжают составлять равновойную трапецию. Поэтому воокруг четырехугольника $ACBD$ в каждой момент можно описать окружность.

Зафиксируем теперь на плоскости $P$ положение ребра $AB$. Тогда радиус $R(\alpha)$ описанной окружности непрерывно зависит от $\alpha$. Центр окружности $O(\alpha)$ также непрерывно зависит от $\alpha$ (в том смысле, что мало изменение $\alpha$ приводит к малому сдвигу точки $O(\alpha)$).

Проведем через точку $O(\alpha)$ перпендикуляр к плоскости и отложим на этом перпендикуляре вверх и вниз от плоскости $P$ отрезки $O(\alpha) M$

3. Немного истории

Еще в 1813 году известный французский математик Огюстен Коши доказал, что выпуклый многограник вообще не допускает избытие с сохранением выпуклости (если не считать изгибанием его зеркальное отражение) *. Пытаясь ответить на вопрос, может ли непрерывно изгибаться замкнутый невыпуклый многограник, Р. Брикар в 1897 году построил примеры такого рода многограников. Но это были многограники с самопересечениями. Ниже мы опишем две конструкции Брикара.

Вопрос о существовании непрерывно изгибемого замкнутого многограника без самопересечения оставался открытым. Многие геометры предполагали, что такой многограника не существует. Однако в 1977 году американский математик Р. Коелли **) такой многограник построил! Его построение опирается на результаты Брикара.

4. Первый октаэдр Брикара

Рассмотрим на плоскости $P$ четырехзвенный механизм $ABCD$ (рис. 3). Вершины $A, C, B, D$, в которых размещены шарниры, служат вершинами равновойной трапеции. Четырехугольник $ACBD$ подвижен: угол $\alpha$ можно менять в некоторых пределах; при этом звенья $AB$ и $CD$ свободно скольает друг по другу. При изменении $\alpha$ вершины четырехугольника продолжают составлять равновойную трапецию. Поэтому воокруг четырехугольника $ACBD$ в каждой момент можно описать окружность.

Зафиксируем теперь на плоскости $P$ положение ребра $AB$. Тогда радиус $R(\alpha)$ описанной окружности непрерывно зависит от $\alpha$. Центр окружности $O(\alpha)$ также непрерывно зависит от $\alpha$ (в том смысле, что мало изменение $\alpha$ приводит к малому сдвигу точки $O(\alpha)$).

Проведем через точку $O(\alpha)$ перпендикуляр к плоскости и отложим на этом перпендикуляре вверх и вниз от плоскости $P$ отрезки $O(\alpha) M$

*) Ostroymное доказательство Коши изложено, например, в книге Адамара «Элементная геометрия», том 2 (Учредгиз, 1952).

**) R. Connelly, A counterexample to the rigidity conjecture for polyhedra (Publ. Math., IHEE, 1978, v. 47. c. 333—338).

16

и $O(\alpha) M'$ длины $h(\alpha) = \sqrt{L^2 - R^2}(\alpha)$, где $L$ — некоторая постоянная. На каждом из звенев $AB, BC, CD, DA$, как на основании, построим по два треугольника: с вершиной $M$ и с вершиной $M'$. Все боковые стороны этих треугольников имеют длину $L$ (независимо от $\alpha$!). Эти восемь треугольников составляют первый самопересекающий октаэдр Брикара (рис. 4). С изменением $\alpha$ он непрерывно изгибается.

К сожалению, даже если мы сумем изготовить шарнирный механизм $ABCD$, построить из бумаги действующего модель первого октаэдра Брикара нам не удалось: моделировать переменное пересечение треугольников ($AMB$ и $DMC$, $AM'B$ и $DM'C$) листами бумаги нельзя! Однако, если эти треугольники построить, натянув на их боковые стороны горизонтально сеть нитей, то на полученной модели будет видно, как треугольники непрерывно проскальзывают друг сквозь друга (рис. 4).

5. Зарубка Конелли

Рассмотрим двугранный угол $QlQ'$, состоящий из прямолинейного ребра $l$ и полупоскостей $Q$ и $Q'$ (рис. 5). Его bicсекторialную плоскость обозначим через $P$. Построим первый октаэдр Брикара так, чтобы звоно $AB$ лежало на прямой $l$, четырехугольник $ACBD$ — в плоскости $P$, а треугольники $AMB, AM'B$ — в полупоскостях $Q$ и $Q'$. После этого удалим из ребра $l$ участок $AB$, а из граней $Q$ и $Q'$ — треугольники $AMB$ и $AM'B$. Эти же два треугольника удалим и из октаэдра Брикара. Останется фигура, изображенная на рисунке 5. Будем говорить, что на ребре двугранного угла сделана зарубка Конелли.

Многогранник с краем, изображенный на рисунке 5, допускает непрерывное изгибание: с изменением $\alpha$ изгибается октаэдр Брикара и, одновременно с этим, непрерывно меняется расстояние $MM'$, а также (в некоторых пределах) изменяется величины двугранного угла $QlQ'$.

В отличие от первого октаэдра Брикара, изготовить действующее

17

Рис. 7.

Рис. 8.

≤ α ≤ 180°. Часть CDMB соответствующего переломом по ребру MC, при котором образуется угол β (α), выбираемый для каждой α так, чтобы угол между отрезками BM и MD в обенях частях оказывался одинаковым. После этого приложим эти две части друг к другу по линии BMD.

Зафиксируем положение одной грани (например, грани ABM) в пространстве. Тогда изменению α в пределах 179° ≤ α ≤ 180° соответствует непрерывное изгибание четырехгранного многограника с краем. Если считать, что в ходе изгибания двумя углы при ребрах AM, MC направлены ребром вниз, то хотя бы один из углов при ребрах AM, MD будет направлен ребром вверх (рис. 7). При α=180° все эти углы распрямляются, и мы приходим к плоскому положению четырехгранника, показанному на рисунке 6.

Рис. 9.

7. Многогранник Конелли

Рассмотрим второй октаэдр Брикара в том его положении, когда α=180° и он выродился в дважды покрытый прямогольник. Заменим каждую из его восмит們 треугольных

18

«граней» боковой поверхности треугольной парамиды, поставленной на эту грань. При этом парамиды, основаниями которых служат треугольники с вершиной $M$, помещим на д плоскостью $ABCD$ (рис. 9), а парамиды с треугольными основаниями, имеющими вершину $M'$, — по од это плоскостью.

Полученный многограник (составленный боковым поверхностями всех восемми парамид) уже «почти» не имеет самопересечений: его части, расположенные над и под плоскостью $ABCD$, содержаются (кроме контура $ABCD$) всего в двух «лишних» точках (точки $a$ и $b$ на рисунке 8). На рисунке 10 изображено это соприкосовение в точке $a$ (он имеет вид внешнего одноточного соприкосовения ребер двух двумя углов).

Устраним теперь самоприкосовение многограника в точке $a$, сделав на ребре $BM'$ зарубку Конелли. Аналогично вычисли точки $b$ сделаем зарубку на ребре $DM'$.

Многограник Конелли готов: он, очень длин, допускает непрерывное изгибание! Его общий вид показан на рисунке 12; его можно изготовить из чертежной бумаги.

У критических настроенного читателя могут возникнуть сомнения в том, что с помощью зарубки Конелли действительное можно установить соприкосовения в точках $a$ и $b$; это, однако, будет очень тем, кто изготовит модель зарубки Конелли или внимательно изучит рисунок 11. Дотошный читатель сумет дать и строгое доказательство этого факта.

В заключение отметим, что в процессе изгибания объем многограника Конелли не меняется (он сможет изгибаться, даже если его наполить нежимаемой жидкость!). Попробуйте это доказать самостояльно.

---

Пока эта заметка готовилась к печати, геометр из Харькова А. Д. Милка прислад нам сделанную им и его товаризами модель многограника Конелли. При изготовлении модели харьковане пользовались следующие дополнительными «конструкторскими» сообщениями.

1. Положение точки $M$ в прямоугольнике $ABCD$ (рис. 6) произволь-

20

В. Майер

Реакция вытекающей и втекающей струй

Представьте себе, что на плоту нахо-дится сосуд с поршнем, заполненый водой, причем из бака выведена за борт труба (рис. 1). Если поршень опустить, из трубы выйдет струй воды, и плот, очевидно, начинается в направлении, противоположном направлению движения воды в струye. А что произойдет, если поднять поршень так, чтобы струя воды вошла в сосуд?

Рис. 1.

В порядке физико-психологического эксперимента этот вопрос задавался школьником, учитель физики, преподавателем вузов. В большинстве случае овчедающее были единоудушны и говорили, что, конечно, плот начнет двигаться навстречу входящей по трубе в сосуд струye жидкости. Правильно ли это?

Чтобы вы почувствовали нетривиальное поставленного вопроса, затем, что в конце прошло время он привлек внимание выдающегося русского ученого Н. Е. Жуковского. Более того, Жуковский отпил проблему: вначале он приближенно показал, что реакция втекающей в сосуд жидкости очень мала, и лишь затем строго доказал, что она равна нулю! Разработанная Жуковским теория непроста, и нет смысла здесь ее рассматривать.

Можно придумать немало красивых опытов, позволяющих наблюдать реакцию втекающей и втекающей струй. Некоторые из них описал еще Жуковский.

«Опыты подтверждают найденный нами результат о незначительности обратной реакции. Мы установить сосуды (рис. 2 и 3), которые поддерживают на воде с помощью пробковых поплавков и сообщались гуттaperчевыми трубками с небольшим воздействием насосом. Вдувая и вытягивая воздуха, мы заставли вытекать воду из сосуда или вбегать в него. При этом обнаружилось, что сосуд остается неподвижным, как бы сильно в него ни втягивали воду, и сейчас же приходит в движение, как скоро вода выталкивается. Таким об-

Рис. 2.

Рис. 3.

21

разом, совершая последовательное втягивание и выталкивание воды, можно получить быстрое движение сосуда в сторону, обратную выталкивание воды.

Рис. 4.

Рис. 5.

Слабость обратной реакции подверждает также на опыте с сегнеровым колесом. Два сосуда (рис. 4) А и В соединены гуттаперцевой трубкой. В дне сосуда А установлено маленькое сегнеровое колесо, через которого трубка сообщается с сосудом B. В оба сосуда налито некоторое количество воды. Если поставить сосуд B выше сосуда A, то вода начинает переливать из B в A, и сегнеровое колесо придет во врашательное движение; но если сосуд B поставить значительное ниже сосуда A, то вода будет переливать из A в B, а сегнеровое колесо будет оставаться неподвижным»).

Обыт с сегнеровым колесом можно проверсти самостоятельно с помощью прибора, изобразенного на рисунке 5. В шарике для пинг-понга аккуратно просверлите три отверстия диаметром 4—5 мм так, чтобы их центры совпадали с концами двух взимно перпендикулярных диаметров шарика. В два отверстия, лежащие на одной линии, вставьте изогнутые над горячеей плиткой полихлорвиниловые трубочки (они часто используются для изоляции проводов). В третье отверстие введите металлический стержень от шариковой авторучки, в верхней части которого (находящей внутри шарика) сделано несколько отверстий. Чтобы шарик для пинг-понга устойчиво держался на конце стержня, в шарике изнутри тупым шилом нужно сделать небольшое углубление. На нижний конец стержня наденьте резиновую грушу.

При нажатии на грушу из изогнутых трубок сегнерова колеса выходит воздух, и колесо начинает врашаться. При втягинии воздуха сегнерово колесо остается неподвижным. Периодически нажимая и отпуская грушу, можно заставить врашаться сегнерово колесо с довольно большой скоростью.

Подумайте, какие еще опыты, в которых проявляются реакции втекающий и вытекающий стрый, можно было бы поставить.

*) Н. Е. Жуковский. Собранное сочинение. Том 3. М.—Л., Гостехидат, 1949.

Еще одна демонстрация неевесомости

В четвертом номере нашего журнала была помещена стая А. Дозорова «Дemonстрация неевесомости», в котором описываются несложный прибор, позволяющий наглядно убедиться в отсутствии веса у свободно подающий тел. После этой публикации редакция получила письмо, в котором читатель Ю. Смирнов из Тулы пшет, что «продемонстрировать неевесомость гораздо легче и проще, если использовать полизтиленовый мешочек с небольшой дыркой, наполненный водой».

Вот какие несложные наблюдения предлагает Ю. Смирнов. Когда мешочек удерживается неевесомно на весу, из дырки вытекает стружу воды. Если, удерживая наполненный водой мешочек за края, поднимается егоускоренное, стружа становится более сильной. Если уже удерживая его за края, струж воды ослабляется. Если же отпускить мешочек, представив ему возможность падать свободно, вода через дырку не вытекает.

Эти несложные опыты демонстрируют не только неевесомость, но и возникновение перегрузок («положительные») и «отрицательные»).

22

Сетчатые номографмы

В. Вавилов.

Сетчатые номографмы

На этом занятии вам будет предложено несколько заданий. Экспериментальная часть (выполнение чертежей) доступна всем, а обоснование требует знания произвольной. Наш совет — научите с чертежной работы, а потом займите докаазательствами.

Отметим, что номографмы, изображенные на рисунках, не могут быть достаточно эффективно использовать на практике (из-за полиграфических трудностей они слищком мелки и не точны).

Математики, как французы: все, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это точас же становится чем-то совершенно иным.

Н. В. Гёте

1. Квадратные тречлены и фазовая плоскость

Рассмотрим семейство квадратных тречленов $\{x^2+px+q\}$ (p и q — действительные числа). На некоторых плоскости π — называем ее фазовой — поставим в соответствие квадратному тречлену $x^2+px+q$ точку с координатами p и q. Например, тречлену $x^2+x+1$ соответствует точка (1; 1), а точка (0; 0) соответствует тречлену $x^2$.

Выясним, какие точки фазовой плоскости соответствуют тречленам, имеющим совпадание корни. Для этого приравняем дискриминант тречлена к нулю; получим равенство

$$q = \frac{1}{4} p^2.$$

Равенство (1) определяет в плоскости π так называемую дискриминантнуюнуюную точку параболу (рис. 1); эта парабола состоит из точек, соответствующих тречленам вида $(x-x_0)^2 = x^2-2x_0x+x_0^2$.

Неравенство $q > \frac{1}{4} p^2$ задает в плоскости π область, лежащую «внутри» параболы (синяя область на рисунке 1). Точки этой области соответствуют тречленам, не имеющим действительных корней. Квадратным тречленам, имеющим два различных действительных корня, соответствуют точки, координаты которых удовлетворяют соответствию $q < \frac{1}{4} p^2$. Это — розовая область на рисунке 1.

Рассмотрим на плоскости π прямую

$$ap+q+a^2=0$$

(2) (здесь p, q — переменные, a — фиксированное число). Легко сообщить, что точки, лежащие на прямой (2), соответствуют тречленам, имеющим корень a. Прямая (2) называется корневой прямой. (Разумеется, корневых прямых много — каждому потенциальному корню a отвечает своей прямой.)

Как расположена корневая прямая по отношению к дискриминантной параболе? Ясно, что они касаются друг друга. Действительно, корневая прямая не пересекается с синей области и имеет одну общую точку с границей этой области, а именно точку, соответствующую тречлену $(x-a)^2 = x^2-2ax+a^2$. Этот вывод легко проверить неоспределенным решением системы

$$\begin{cases} q = \frac{1}{4} p^2, \\ ap+q+a^2=0. \end{cases}$$

Поскольку точка $(-2a; a^2)$ принадлежит и прямой (2), и параболе (1), прямая (2) и параболе (1) касаются друг друга в этой точке.

Проведя рассудение в обратном порядке, можно доказать, что всякая прямая, касающаяся дискриминантной параболе, является корневой прямой (доказатель сами!).

Итак, через каждую точку дискриминантной параболе проходит

23

Рис. 1.

ровно одна корневая прямая (каса-тельная к параболе). Через точки синей области не проходит ни одной корневой прямой. Это согласуется с тем, что из «внутренности» парабoles нельзя проверки к ней ни одной касательной. Наконец, поскольку каждой точке, лежащей в розовой области, соответствует уравнении, которое имеет два различных действительных корня, через каждую точку можно проверки две различные корневые прямые. Это также согласуется с тем, что через точку, лежащую во «внешности» парабoles, можно проверки к нейровно две касательные.

Взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости и квадратными уравнениями позволяет найти описать все уравнения с заданным свойством корней, указав соответствующее множество точек фазовой плоскости.

Для примера опишем все такие точки плоскости π, которые соответствуют квадратным уравнением $x^2+px+q=0$ с двумя различными корнями, принадлежими интегралу ]—2; 1[.

Легко сообщить, что квадратное уравнение $x^2+px+q=0$ могда и молко могда имеет различные действительные корни, принадлежите заданному интегралу, когда трехлен $x^2+px+q$ имеет положительный дискрипант, на кончах интеграла принимает положительные значения и абсцисса вершины

парабoles $y=x^2+px+q$ приадлежит заданному интегралу.

Для интересующего нас интереся лемma ]—2; 1[ таким образом получается система:

$$\begin{cases} q < \frac{1}{4} p^2, \\ 4 - 2p + q > 0, \\ 1 + p + q > 0, \\ -2 < -\frac{p}{2} < 1. \end{cases}$$

На плоскости π система (3) задает множество точек, закрашенное на рисунке 2 розовым цветом. Таким образом, квадратным трехленам, имеющим различные действительные корни, приадлежите интегралу ]—2; 1[, соответствует внутренние точки этого кривойного треугольника.

Корневые прямые $-2p+q+4=0$ и $p+q+1=0$ (отвечающее корнем ]—2 и 1) делят внешность дискрипант на шесть области: $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma$ и $\delta$ (рис. 2). Число корней уравнения $x^2+px+q=0$, попадающих в интеграл ]—2; 1[, зависит от того, в какой из перечисленных области плоскости π находится соответствующая этому уравнению точка $(p; q)$. Эта зависимость отражена в таблице, приведенной на рисунке 2 (проверьте!).

Задание 1

1. a) Найдиме множество всех таких точек $(p; q) \in \pi$, для которых уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два действительных корня $x_1, x_2$, причем $a < x_1 < b$, $c < x_2 < d$ и $a < b \leqslant c < d$.

6. Составьте таблицу, при помощи которой по положению точки $(p; q)$ на плоскости π можно было бы отвести на вопрос, сколько корней уравнения $x^2+px+q=0$ попадаем в интегралы $|a, b|$ $|c, d|$ (для заданных $a, b, c$ и $d$).

Рассмотрим, например, случай, когда $a=-3$, $b=0$, $c=1$, $d=3$.

Следующая задача — для самостоятельного исследования.

2. Рассмотрим на отрезке $[0; \pi]$ семейство функций $\{\cos^2x+p \cos x+q\}$. Как и раньше, каждой функция

24

Рис. 2.

этого семейства поставим в соответствии точку $(p; q) \in \pi$.

a) Исследуйте функцию $\cos^2 x + p \cos x + q$ на возрастание и убывание в зависимости от положения точки $(p; q)$ на плоскости $\pi$.

6. Пусть $M_0 = (p_0; q_0)$ — фиксированная точка плоскости $\pi$, $M = (p; q)$ — переменная точка; $f_0(x) = \cos^2 x + p_0 \cos x + q_0$, $f(x) = \cos^2 x + p \cos x + q$. Для заданных точек $M$ и $M_0$ положим

$$d(M, M_0) = \max_{[0; \pi]} |f(x) - f_0(x)|.$$

Найдиме множество точки $M = (p; q) \in \pi$ максим, что

1. $d(M, M_0) = 1$;
2. $d(M, (2; 2)) = d(M, (-2; -2))$.

2. Номографма для решения уравнения $x^2 + px + q = 0$

Проведем на фазовой плоскости $\pi$ достаточно много корневых прямых $ap + q + a^2 = 0$, придавая параметр $a$, например, значения 0; ±0,5; ±1; ±1,5; ±2; ±2,5; ±3; ±3,5.

Возле каждой проведенной прямой напишем соответствующее значение $a$ (рис. 3). Получившаяся «сеть» из прямых называется семиатом номерамой (для решения квадратных уравнений).

Чтобы при помощи построенной номограммы найти корни данного уравнения $x^2 + px + q = 0$, нужно установить, какие корневые прямые проходят через соответствующее ему точку $(p; q) \in \pi$.

Решим, например, уравнение $x^2 + 0,5x - 3 = 0$. Через точку $(0,5; -3)$ проходят корневые прямые с помощью $a = -2$ и $a = 1,5$; следовательно, числа $-2$ и $1,5$ являются корнями нашего уравнения.

Рассмотрим теперь уравнение $x^2 + x - 3 = 0$. Ему на фазовой плоскости соответствует точку $(1; -3)$. Корневые прямые, проходящие через эту точку, на нашей номограмме не нанесены. В этом случае поступим так. Заметим, что точка $(1; -3)$ лежит внутри четырехугольника $ABCD$, образованного корневыми прямыми при $a = -2,5$; $a = -2$; $a = 1$ и $a = 1,5$ (рис. 3).

25

Точка этого четырехугольника соответствует уравнению с двумя действительными корнями, один из которых попадает в интервал ]1; 1,5[, а другой — в интервал ]—2,5; —2[. Следовательно, корни уравнения $x^2+x-3=0$ также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения исходных корней:

$$x_1 \approx \frac{1,5+1}{2} = 1,25,$$

$$x_2 \approx \frac{-2-2,5}{2} = -2,25.$$

Подставив эти значения $x_1$ и $x_2$ в данное уравнение, получим:

$$(1,25)^2 + 1,25 - 3 = -0,1875,$$

$$(-2,25)^2 - 2,25 - 3 = -0,1875$$

результат довольно грубый. Чтобы с помощью номограммы получить более точные значения корней, нужно, очевидно, увеличить на ней число корневых прямых, т. е. увеличить частоту изменения параметра $a$.

Для приближенного решения уравнения с совпадующими корнями удобно программировать дискриминантную парабoly $q = \frac{1}{4} p^2$. Уравнение с корнями $x_1=x_2=a$ соответствует на ней точка $(-2a; a^2)$. Придавая параметру $a$ различные значения и помечая этиими значениями точки $(-2a; a^2)$ дискриминационный парабoly, получаем на ней шкалу для решения уравнения с совпадующими корнями (рис. 3).

Задание 2

Начертите на миллиметровой бумаге семиатрую номограмму для решения уравнения $x^2+px+q=0$.

3. Номограмма для решения уравнения $x^3+px+q=0$

Рассмотрим теперь семейство кубических x трехчленов $\{x^3+px+q\}$. Каждому трехчлену поставим в соответствии на фазовой плоскости п точку $(p; q)$.

Выясним, какие точки фазовой плоскости соответствуют кубическим трехчленам, имеющим совпадующие корни.

Рис. 3.

26

Пусть $a$ — кратный корень кубического трехчлена $x^3+px+q$, т. е. $x^3+px+q=(x-a)^2(x-b)$, где $b$ не обязательно отлично от $a$. Раскрыв скобки, получим тожество
$$x^3+px+q=x^3- -(2a+b)x^2+(a^2+2ab)x- -a^2b.$$
Отсюда $2a+b=0, a^2+2ab=p, a^2b=-q$. Исключив из этих уравнений $b$, получим $p=-3a^2, q=2a^3$; наконец, исключив $a$, получим искомое соответствие
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=0,$$
(4)

Являющеся необходимым и достаточно условием для совпадения по крайней мере двух корней трехчлена $x^3+px+q$. Множество точек $(p; q) \in \pi$, координаты которых удовлетворяют уравнению (4), это кривая, изображенная на рисунке 4. Кривая (4) называется дискриминатной кривой уравнения $x^3+px+q=0$.

Прямая
$$ap+q+a^3=0,$$
(5)

соответствует уравнению трехчленам, имеющим корень $a$, как и раньше, называется корневой.

Каково взаимное расположение кривой (4) и прямой (5) на фазовой плоскости $x?$ Имеют ли они точки пересечения, и, если имеют, то сколько?

Чтобы ответить на эти вопросы, заметим, что, поскольку в уравнениях $x^3+px+q=0$ член с $x^2$ отсутствует, сумма его корней $x_1, x_2$ и $x_3$ равна нулю: $x_1+x_2+x_3=0$ (доказьте это). Точке пересечения $(p; q)$ кривой (4) с прямой (5) соответствует кубический трехчлен $x^3+px+q$, у которого $a$ либо кратный корень, либо — нет. В первом случае $x_1=x_2=a$ и $x_3=-2a$. Во втором случае $x_1=a$ и $x_2=x_3=-\frac{a}{2}$. Значит, кривая (4) и прямая (5) имеют две общие точки $(p_1; q_1)$ и $(p_2; q_2)$: одна из них ответает трехчлену $x^3+p_1x+q_1=(x-a)^2 \times (x+2a)$, другая — трехчлену $x^3+p_2x+q_2=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2(x-a)$. Эти две точки совпадают в том и только в том случае, когда $a=0$.

Рис. 4.

Рис. 5.

Найдем теперь точки пересечения прямой (5) и кривой (4) чисто алгебраически. Для этого из (5) выразим $q$ через $p$ и подставим в (4). Мы получили для определения $p$ кубическое уравнение
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{a^3+pa}{2}\right)^2=0.$$

Нетрудно убедиться в том, что
$$\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{a^3+pa}{2}\right)^2= \frac{1}{27}(p+3a^2)^2\left(p+\frac{3a^2}{4}\right).$$

Отсюда следует, что числа $p_1=-3a^2$ и $p_2=-\frac{3a^2}{4}$ — корни уравнения (6), причем $p_1$- кратный корень.

Кратному корню уравнения (6) соответствует «совпадение» точки пересечения кривой (4) и прямой (5). В этой «сдвоеной» точке пересечения корневая прямая касає т с я дискриминатной кривой (строю доказательства этого утверждения мы здесь, к сожалению, привести не можем; интуитивная идея доказательства ясна из рисунка 5).

27

Рис. 6.

Проведяя все рассуждания в обраthом порядке, мы получим, что всякая касательная к дискриминантой кривой является корневой прямой.

Начертив на плоскости л доста-toчно много корневых прямы (5), мы получим сетчатую номограмму для решения кубических уравнений $x^3+px+q=0$. Такая номограмма изображана на рисунке 6.

Число корней конкретного уравнения $x^3+px+q=0$ зависит от того, сколько касательных можно проведены из точки $(p; q) \in \pi$ к дискриминантой кривой (4) (каждая касательная является корневой прямой, а каждой корневой прямой отвечает свое значение корня).

Дискриминантная кривая делит плоскость л на две части: внутреннюю (содержащую отрицательную полуось изменения $p$) и внешнюю.

Так как дискриминантная кривая состоит из двух симметричных выпуклых дуг $^*$), то через любую точку внешней области можно проведити только одну касательную к ней (рис. 7, а): если точка $(p; q)$ лежит выше оси $Op$, то к нижней дуге, а если ниже оси $Op$, то к верхней; сама ось $Op$ касается кривой (4) в ее особой точке (0; 0). Таким образом, точки внешней области соответствуют тем кубических уравнениям, которые имеют только один (действительный) корень. В этой области

$$\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 > 0. \tag{7}$$

Неравенство (7) является необходимым и достаточным условием того, что уравнение $x^3+px+q=0$ имеет в точности один действительный корень.

В любой точке внутренней области выполняется противоположное неравенство

$$\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2 < 0. \tag{8}$$

С другой стороны, из любой точки внутренней области можно проведити три различных касательные к кривой (4) (рис. 7, б). Действительно, для

28

точек, расположенных на оси $Op$, это следует из симметриности кривой (рис. 7, $\theta$); число же касательных не может изменяться, если переходить к другим точкам, не пересекая при этом кривой. Таким образом, неравенство (8) является необходимым и достаточно условием того, что уравнение $x^3+px+q=0$ имеет три различных действительных корня.

Если точка $(p; q)$ лежит на верхней дуге кривой (4), то через нее можно проверить касательную к кривой в самом этой точке и, кроме того, еще касательную к нижней дуге (рис. 7, $\varepsilon$). Аналогично — для точки нижней дуги. Следовательно, в случае $\left(\frac{p}{3}\right)^3+\left(\frac{q}{2}\right)^2=0$ ($p \neq 0, q \neq 0$) уравнение $x^3+px+q=0$ имеет один корень кратности 2 и один корень кратности 1.

Точка $(0; 0)$ — исключительный случай; ей отвечает уравнение $x^3=0$ с третья совпаданием корнями.

Задание 3

1. Начертиме на миллиметровой бумаге семчатую номограмму для решения уравнения $x^3+px+q=0$.

2. Найдите множество всех таких точки $(p; q) \in \pi$, для которых уравнение $x^3+px+q=0$ имеет три различных действительных корня, принадлежих заданному интегралу $la; b[$. Составьте таблицу, при помощи которого по положению точки $(p; q)$ на плоскости $π$ можно было бы определить, сколько корней уравнения $x^3+px+q=0$ попадаем в заданный интеграл $la; b[$.

Рассмотрим, например, случай, когда $a=-2, b=4$.

В качестве задачи для самостоятельного исследования предлагаем построить (и обосновать) сетчатые номограммы для решения следующего степени:

a) $x^4+px+q=0$,
b) $x^4+x^2+px+q=0$,
b) $x^4-x^2+px+q=0$.

Сделать это вам помогут книги:

1. А. Н. Колмогоров и др. Летняя школа на Рубском озере (М., «Просвещение», 1971).
2. Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения вычисления (М. — Л., Гостехториидат, 1933).

Приложение

(для читателей, знающих, что такое комплексные числа).

Здесь мы рассмотрим квадратные уравнения $x^2+px+q=0$ с действительными $p$ и $q$ и отрицательным дискриminantом, т. е. уравнения, для которых $q > \frac{1}{4} p^2$ (этим уравнения на фазовой плоскости $π$ соответствует «внутренность» дискриminantной параболы). Такие уравнения имеют два сопряженных корня: $a+bi$ и $a-bi$. По теореме Виета

$$\begin{cases} 2a = -p, \\ a^2+b^2 = q, \end{cases}$$

откуда

$$q = \frac{p^2}{4} + b^2.$$

Найдем все точки $(p; q) \in \pi$, соответствующие уравнению с комплексными корнями вида $a+ni$ ($n \in Z$).

Из соответствия (10) следует, что уравнения с корнями такого вида соответствуют точки плоскости $π$, лежащие на параболах

$$q = \frac{p^2}{4} + 1, q = \frac{p^2}{4} + 4, q = \frac{p^2}{4} + 9, \dots$$

(рис. 8); эти парабoles получаются парал-

29

Рис. 8.

лельным переносом дискриминантной параболы.

Из (9) видно, что уравнения с корнями вида $n + bi$ (n — целое число) соответствуют на плоскости $n$ точки лучей $p = -2n$ с вершинами на дискриминантной параболе (рис. 8).

Поэтому уравнения $x^2 + px + q = 0$, имеющим комплексный корень $a + bi$, удовлетворяющий, например, условиям:
$$1 < a < 2, \quad 1 < b < 2,$$
на плоскости $n$ соответствуют точки $(p; q)$, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
$$\begin{cases} q > \frac{1}{4} p^2, \\ -4 < p < -2, \\ \frac{1}{4} p^2 + 1 < q < \frac{1}{4} p^2 + 4. \end{cases}$$

Таким образом, чтобы при помощи сетчатой номограммы, изображенной на рисунке 8, решить конкретное уравнение $x^2 + px + q = 0$, у которой $q > \frac{1}{4} p^2$, надо посмотреть, между какими лучами и между какими параболами на плоскости $n$ лежит точка $(p; q)$.

Занитересовавшимся читателем мы предлагаем рассмотреть в плоскости $n$ области комплексный корней для уравнения $x^3 + px + q = 0$ и $x^4 - x^2 + px + q = 0$.

30

Номограмы из выравнений точек

В статье В. Вавилова (с. 22) расссказывается о приближенном решении уравнений второй и третьей степей с помощью сетчатых номограмм. На с. 83 «Четырехначных математических таблиц» В. М. Брадиса тоже изображена номограмма для приближенного решения уравнений $x^2 + px + q = 0$ (таблица XXII). Однако это не сетчатая номограмма, а так называемая номограмма из выравнений точек. Что это такое, как она получается и как пользоваться такой номограммой, обязывается в настоящей заметке.

Нарисуем две вертикальные параллельные прямые — ось $p$ с началом отсечета $A$ и ось $q$ с началом отсечета $B$ (рис. 1; на этом рисунке отрезок $AB$ перепределился осем $p$, $q$, но это вовсе не обязательно).

Возьем произвольные числа $\alpha$, $\beta$ и положительное число $a$. На оси $p$ возьмем точку $C$ с координатой $-a^{\alpha-\beta}$, на оси $q$ — точку $D$ с координатой $-a^\alpha$. Пусть $[AD]\cap \bigcap[BC] = E$.

Проведем через $E$ произвольную прямую, не параллельную осем $p$, $q$. Обозначим координату пересечения $M$ этой прямой с осью $p$ через $p_0$, пересечения $N$ с осью $q$ — через $q_0$. Тогда

$$a^\alpha + p_0 a^\beta + q_0 = 0,$$

(1)

т. е. число а является корнем уравнения

$$x^\alpha + p_0 x^\beta + q_0 = 0.$$

(2)

Прямая $MN$ может пересекаться с осями $p$, $q$ одним из трех способов: $p_0 < 0$, $q_0 > 0$ (рис. 1); $p_0 > 0$, $q_0 < 0$ (рис. 2); $p_0 < 0$, $q_0 < 0$ (рис. 3). Доказем равенство (1) для случая, изображенного на рисунке 1 (остальные два случая рассматриваются аналогично).

Из подобия треугольников $AEC$ и $BED$ имеем $$\frac{|BD|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|AE|},$$ откуда $$\frac{|DE|}{|AE|} = \frac{a^\alpha}{a^{\alpha-\beta}} = a^\beta.$$ Далее из подобия треугольников $AEM$ и $NED$ следует $$\frac{|DN|}{|AM|} = \frac{|DE|}{|AE|},$$ то есть $$\frac{a^\alpha + q_0}{-p_0} = a^\beta$$ (рис. 1), что и дает (1).

Зафиксируем произвольные $\alpha$, $\beta$ и рассмотрим всевозможные уравнения.

31

Рис. 3.

нения

$$x^\alpha + px^\beta + q = 0.$$ (3)

Номографма для отыскания положительных корней таких уравнений рисунется следующим образом: параметру $a$ принадлежит положительную каждую и для каждой из них строится точка $E$ так, как рассказано выше; полученные точки, помещенные соответствующими значениями параметра, соединяются плавной кривой $\Gamma$ (рис. 4).

Если мы хотим теперь при помощи этой номографмы приближенно найти положительные корни конкретного уравнения $x^\alpha + p_0 x^\beta + q_0 = 0$, надо на оси $p$ взять точку $M$ с координатой $p_0$, на оси $q$ — точку $N$ с координатой $q_0$ и проведсти прямую $MN$. Каждая точка пересечения прямой $MN$ с кривой $\Gamma$ дает, в силу (1), положительный корень уравнения (2).

Теперь понятно, почему так построенная номографма называется номограммой из выраженных точек: точки, соответствующие коэффициентам $p, q$ уравнения, и точки, соответствующие искомым положительным корнем уравнения $x^\alpha + px^\beta + q = 0$, лежат на одной прямой.

Уражнения

1. Построите номограммы из выраженных точек для нахождения положительных корней уравнения

$$x^m + px^n + q = 0$$

если $m = 3, n = 2; m = 4, n = 1; m = 4, n = 2; m = 4, n = 3.$

32

решения уравнения (3) при $\alpha=2$, $\beta=1$. Эта номограмма взята из «Четырезначных математических таблиц» В. М. Брадиса.

Точки на осах $p$ и $q$ имеют на рисунке координаты от $-12,6$ до $+12,6$. Поэтому, если значения коэффициентов $p_0$ и $q_0$ данного конкретного уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ не превысают по модулю 12,6 и отличны от 0, то для нахождения по ло-
жи и тельны x корней этого уравнения нужно проделать то, что описано выше. Построенная прямая $MN$ может пересекаться с кривой Г в двух точках (в этом случае оба корня данного уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ положительных), в одной точке (в этом случае второй корень уравнения отрицательен), может касаться кривой (в этом случае уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ — кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой Г ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней).

Для получения отрицательных корней уравнения $x^2+p_0x+q_0=0$ надо, сделав замени переменной $x=-t$, искать на той же номограмме положительные корни уже для уравнения $t^2-p_0t+q_0=0$.

Если значения коэффициентов $p$ и $q$ по модулю превозходит 12,6, то следует сделать замени переменной $x=kt$ и перейти от уравнения $x^2+px+q=0$ к уравнению $t^2+(p/k)t+q/k^2=0$; число $k$ выбирается так, чтобы числа $p/k$ и $q/k^2$ были в указанных на номограмме интервалах.

В случае, если оба корня уравнения $x^2+px+q=0$ близки к нулю, также выгодно сделать замени переменной $x=kt$. Так, для уравнения $x^2-0,89x+0,16=0$ значения корней по номограмме найти трудно. Положив $x=0,2t$, получим уравнение $t^2-4,45t+4=0$; его корни $t_1=1,2; t_2=3,2$, откуда $x_1=0,24, x_2=0,64$.

Уражение 3

Использовая таблицу XXII из «Таблицы» Брадиса, решите следующие квадратные уравнения:

a) $x^2-2,4x+1,5=0$; b) $x^2-6x+9=0$;
a) $x^2-6x+8,99=0$; b) $x^2-13x+17=0$;
d) $x^2-0,3x+0,2=0$; e) $x^2-17x+0,8=0$.

Задачи наших читателей

1. Докажите неравенство
   $$\sqrt{2}+\sqrt{4-2\sqrt{2}}+\sqrt{6-2\sqrt{6}}+\dots+\sqrt{2n-2\sqrt{(n-1)n}} \geq \sqrt{n(n+1)}$$
   O. Бабаев
   (r. Нахчевы)

2. Назовем натуральное число $A$ интегральным, если при вычитании из него числа, состоящего из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, получается натуральное число, состоящее из тех же цифр, что и $A$. Таковым, например, является число 1980, так как 1980 – 891 = 1089 (подразумевается, что 0891 = 891).

a) Существует ли 1978-значное интеграное число, состоящее только из единиц, четверок и семерок?

b) Найдите все трех значные интеграbles числа.

b) Существует ли четверок и семерок?

г) Сколько существует интеграbles чисел, цифры которых образуют аргументную прогрессию?

d) Докажите, что 1979-значных интеграbles чисел будут больше 10^{100}.

e) Для какого натурального $N$ существует интеграное число?

B. Бамышев
(r. Москва)

3. Докажите без помощью таблицы, что $tg 34^\circ > 2/3$.

C. Майэрус
(r. Запорожье)

4. Постройте бесконечную последовательность чисел, в которой первый член равен $a (a \neq 1)$ и сумма любого числа первых членов равна их произведению.

H. Суев
(r. Кищнев)

33

Решения задач ВЗМШ

В этой статье приведется решение некоторых задач из вступительного работы в ВЗМШ 1978 года («Квант», 1978, № 1).

3. Какие значения может принимать a, если
   $$|a + b| \leq 1 \quad \text{и} \quad |a - 3b| \leq 2$$
   Ответ: $-\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{5}{4}$.

Проще всего решать эту задачу графически. Возьмем на плоскости системы координат и найдем область, состоящую из точек $(a; b)$, удовлетворяющих неравенству. Легко сообщить, что это параллелограмм с вершинами $(\frac{5}{4}; -\frac{1}{4}), (\frac{1}{4}; \frac{3}{4}), (-\frac{5}{4}; \frac{1}{4})$ и $(-1/4; -3/4)$.

4. На плоскости данной квадрат с центром в точке O. В этой точке расположен проектор, который освещает угол вершины 90°. В начальной моменте проектор освещает угол, стороны которого проходит через две вершины квадрата. Затем проектор нанал врачается вокруг точки O. В какой момент времени площадь освещенной части квадрата будет больше: когда проектор повернется на 45° или на 72°?

Площадь освещенной части все время одинакова и составляет четверть площади квадрата. Действительно, стороны угла в 90° с вершиной в центре квадрата вместе с их продолжениями делят квадрат на 4 конгрузные части, переходящие друг в друга при поворотах на 90°, 180°, 270°.

5. Ивана Александровича Хлестакова приласили управляемом и в течение трех дней прислали 30 000 курьеров. Известно следующие: если бы в первый день было прислано ввое больше курьеров, то общее число курьеров было бы чемвертой степенью много числа, на котором в третьий день прислали курьеров больше, чем во второй. Сколько курьеров было прислано Хлестакову в каждой день? (Приведите все возможные ответы.)

Пусть в первый день прислали x, во второй y, в третьий z курьеров. Из условия следует, что
$$2x + y + z = (z - y)^4.$$
С другой стороны, очевидно, что
$$30 000 \leq 2x + y + z \leq 60 000,$$
откуда
$$30 000 \leq (z - y)^4 \leq 60 000.$$
Подсчетом убеждаемся, что в этом промежутке лежат только
$$14^4 = 38 616 \quad \text{и} \quad 15^4 = 50 625.$$
В каждом из этих случаях легко ответить:
$$\begin{cases} x = 8 616, \\ y = 10 685, \\ z = 10 699 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 20 625, \\ y = 4 680, \\ z = 4 695. \end{cases}$$

7. Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению
   $$x^2 - xy - 2y^2 = 18.$$
   Левую часть можно разложить:
   $$(x + y)(x - 2y) = 18.$$
   Заметим, что разность множителей, стоящих в левой части, равна 3. Итак, 18 надо разложить на 2 множители, разность которых делится на 3. Это можно сделать четрьмя способами, каждый из которых дает свой ответ:
   $$18 = 3 \cdot 6, \quad 18 = (-3) \cdot (-6),$$
   $$18 = 6 \cdot 3, \quad 18 = (-6) \cdot (-3),$$
   $$\begin{cases} x = 4 \\ y = -1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = -4 \\ y = 1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases} \quad \begin{cases} x = -5 \\ y = -1. \end{cases}$$

8. Дан прямуюольник ABCD. Внутри него берется произвольная точка и через нее проводится две прямые, параллельные сторонам AB и BC. Эти прямые разбиают прямуюольник на 4 меньших прямых. Доказать, что площадь хотя

34

бы одно из прямого лыбников, содержащих точки A или C, не больше чем вертипи площади исходного прямого лыбника.

Пусть сторона AB разрезана на куски, составляющие части k и 1—k от нее, а сторона BC разрезана на куски, составляющие части l и 1—l от нее. Нам надо доказать, что $kl \leq \frac{1}{4}$ или $(1-k)(1-l) \leq \frac{1}{4}$ при всех k, l от 0 до 1.

Для этого достаточно убедиться, что $kl(1-k)(1-l) \leq \frac{1}{16}$. Но $k(1-k) \leq \frac{1}{4}$ и $l(1-l) \leq \frac{1}{4}$ (эти неравенства выводятся из неравенств $\left(k - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ и $\left(l - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$).

Позному $kl(1-k)(1-l)$ действительно не больше $1/16$.

9. Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 1 + x_1^2 = 2x_2, \\ 1 + x_2^2 = 2x_3, \\ 1 + x_3^2 = 2x_4, \\ 1 + x_4^2 = 2x_1. \end{cases}$$

Сложив все уравнения, получим $(x_1-1)^2 + (x_2-1)^2 + (x_3-1)^2 + (x_4-1)^2 = 0$.

Это равенство возможно только, если $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1$, что и дает единственный ответ.

10. Ученику присладайте, составнее из 20 задач. За каждую правильную решенную задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решенную — минус 5 баллов; если же он задачу не решил, ему ставят 0 баллов. В результате ученик получил 13 баллов. Сколько задач решал ученик?

Пусть ученик правильно решил x задач и неправильно решил y задач. Тогда

$$8x - 5y = 13,$$

откуда 5y+13 должно делиться на 8.

Ясно, что y нечетно. Пробуем нечетные значения y подряд и находим подхождения: y=7 и y=15. Подхождение только первое: y=7, x=6. (При y=15, x=11 и x+y=24>20.)

Советуем купить!

Matematika

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиверкомплиексные числа. Ц. 22 к. Перельман Я. И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. Ц. 30 к. Посткинов М. М. Теорема Ферма. Ц. 20 к. Солодовников А. С. Системы линейных неравенств. Ц. 15 к.

Физика, астрономия

Бутенин Н. В. Введение в аналитическое механику. Ц. 56 к. Бутников Е. И. и др. Физика для поступающих в вызы. Ц. 1 р. Китайгородский А. И. Введение в физiku. Ц. 1 р. 41 к. Кошкин Н. И., Ширкевич М. Г. Справочник по элементарной физике. Ц. 69 к. Кресин В. 3. Сверхпроводимость и сверхтекучесть. Ц. 35 к. Майер В. В. Простые опыты с ультразвуком. Ц. 20 к. Сборник задачи по общему курсу физики (Механика). Ц. 67 к. Сборник задачи по общему курсу физики (Термодинамика и молекулярная физика). Ц. 32 к.

(Окончание см. c. 58)

35

Премии «Кванта»
В 1977/78 учебном году редакция получила более 12 тысяч писем с решениями задач из Задачника «Кванта». Школьники, решившие наиболее число задач или приславшие наиболее оригинальные решения, награждаются специальной премией, учрежденной редакционной коллекцией журнала — подпиской на «Квант» на 1979 год.

1. БАЛИНСКИЙ АЛЕКСАНДР (с. Дубляны Львовской обл.)
2. БАРЗЫКИН АЛЕКСАНДР (пос. Черноголовка Московской обл.)
3. БАТЫРЕВ ВИКТОР (г. Москва)
4. ГАВРИЛОВ МИХАИЛ (пос. Черноголовка Московской обл.)
5. ГРИШЕЧКИН СЕРГЕЙ (г. Москва)
6. ГУБА ВИКТОР (г. Вологда)
7. ИЗМАЙЛОВ РАУФ (г. Баку)
8. КУЛЕСКО АЛЕКСАНДР (г. Донецк)
9. ЛАШКИН ВЛАДИМИР (г. Киев)
10. ЛЮДМИРСКИЙ ДМИТРИЙ (г. Киев)
11. МИНДЛИН ДМИТРИЙ (г. Ташкент)
12. МИРЛИН АЛЕКСАНДР (г. Ленинград)
13. НЕНАШЕВ АЛЕКСАНДР (г. Ленинград)
14. ОПАРИН АНДРЕЙ (г. Горький)
15. РОЖАНСКИЙ ЛЕВ (г. Москва)
16. ТРОФИМОВ ВЛАДИМИР (г. Москва)
17. ФИРСОВА ГАЛИНА (г. Ленинград)
18. ШВЕЙДЕЛЬ ВЛАДИМИР (г. Великие Луки)

За успешное участие в XII Всесоюзной физико-математической оптимизации подпиской на «Квант» на 1979 год награждаются:

1. АБДУГАНИЕВ АБДУВАЛИ (Ташкентская обл.)
2. БРАТЧЕНКО СВЕТЛАНА (х. Бойко-Понура Красно-дарского края)
3. ИРМАТОВ АНВАР (г. Наманган)
4. ЛУЧКО ЮРИЙ (д. Словатич Гродненской обл.)
5. ФАИСМАН АЛЕКСАНДР (г. Ташкент)
6. ШЕРБАКОВ СЕРГЕЙ (г. Ленинград)

36

Задачик
кванта

М521—М525; Ф533—Ф537

М521. Обозначим через $a_n$ целое число, близкий к $\sqrt{n}$. Найдите сумму
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_{1980}}.$$ (8,9 кл.)
Г. Гуревич

М522. На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим проверить еще несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающую ломаную. Всегда ли это можно сделать? (8 кл.)
В. Произвольов

М523. Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передвигает ее на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, где фишка уже побила, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.
a) Докажите, что если $n$ четно, то начинающий игру может добиться выигрыша, а если $n$ нечетно, то выигрыает второй.
b) Кто выигравает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним? (8 кл.)
Н. Нечувтаев

М524. Докажите, что ни при каком натуральном $m$ число 1978$^m$ —1 не делится на 1000$^m$ —1. (8 кл.).
С. Конягиин

М525. Докажите, что для любого tetraэдра существует такие две плоскости, что отношение площадей проекций tetraэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$. (10 кл.).
А. Берзины

37

Ф533. Гантелька длины $l$ стоит в углу, образованном гладким плоскостями (рис. 1). Нижний шарик гантельки смешают горизонтальное на очень маленькое расстояние, и гантелька начинает двигаться. Найти скорость нижнего шарика в тот момент, когда верхний шарик оторвется от вертикальной плоскости.

А. Зильберман

Ф534. Астронавты «Скайлэба» с помощью спецального радиолокационного высотомера обнаружили, что поверхность океана в районе «Бермудского треугольника» ниже нормального уровня на 25 метров (см., например, журнал «Наука и жизнь», 1976, № 9). Предполагая, что этот «прогиб» можно обьясить наличием под дом океана шаровой полости, заполненной водой, оценить радиус этой полости. Глубина океана $h = 6$ км, средняя плотность земных пород $\rho = 3 \times 10^3$ кг/м$^3$.

А. Стасенко

Ф535. Потенциальная энергия взаимодействия двух одинаковых загруженных маленьких шариков с зарядами $q_1$ и $q_2$ равна $W_1 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 l}$, где $l$ — расстояние между центрами шариков. Если шарики соединить проволокой, заряды шариков станут одинаковыми, и потенциальная энергия взаимодействия шариков станет равной $W_2 = \frac{(q_1 + q_2)^2}{16 \pi \varepsilon_0 l}$. Так как $(q_1 + q_2)^2 > 4 q_1 q_2$ (при $q_1 \neq q_2$), то $W_2 > W_1$, то есть потенциальная энергия взаимодействия загровов возрастает! Откуда берется дополнительная энергия?

Ф536. Жесткая прямогольная конструкция $AOB$ ($AOB = 90^\circ$) врашает вокруг вертикальной оси $OO'$, так что $AOO' = \alpha$ (рис. 2). С помощью колес, которые могут свободно скользить по сторонам $AO$ и $OB$, на конструкцию надет легкий стержень $KE$ длины $2a$. К середине стержня прикреплен небольший массивный шарик. При какой угловой скорости вращения конструкции стержень займет горизонтальное положение?

С. Кротов

Ф537. Полировкой металлической пластины ее можно сделать зеркальной. Оценить, какова может быть максимальная высота шероховатей, оставшихся после полировки, чтобы пластина зеркальное отражала пучок света с длиной волны $\lambda = 5 \cdot 10^{-8}$ м, падающий на нее под углом $\alpha = 45^\circ$.

38

Решения задач
M471—M474; Ф487—Ф490, Ф492

М471. Две пересекающие окружности вырезают из плоскости три оргацииенные непересекающие области. Докажите, что не существует окружности, делящей пополам площадь каждой из этих трех областей.

Рис. 1.

М472. Внутри куба расположен выпуклый многообразник, проекция которого на каждую из границ куба совпадает с этой границы. Докажите, что объем многообразника не меньше 1/3 объема куба.

Рис. 2.

М473. Имеется две группы no n цирь, в каждой из которых цирь расположен в порядке возрастания их масс. Покажите, что

a) 2n — 1 взвешивания можно расположить и все 2n цирь в порядке возрастания их масс;

В решении мы будем использовать следующие почты оченьное сообщение: если каждая из двух крывых делит площадь данной фигуры пополам, то они обязательно пересекаются. Предположим, что нужно окружность нашлась. Проведем прямую $O_1O_2$, соединяющую данные окружностей $\gamma_1$ и $\gamma_2$ (рис. 1). Она делит площадь фигуры $G_1$ пополам. Но и $\gamma$ делит эту площадь пополам. Значит, внутри $G_1$ у $\gamma$ и $(O_1O_2)$ есть точка пересечения. Аналогично, у них есть точки пересечения внутри $G_2$ и внутри $G_3$. Мы получили, что окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках — противоречие. Значит, такой окружности $G$ быть не может.

Предлагаем вам подумать над задачей с аналогичной формулировкой (эту задачу нам прислал читатель В. Калмыков из г. Воронежа).

Две концентрические окружности ограничиваются две области: колюц и круг меньше радиуса. Докажите, что не существует окружности, делящей пополам площадь каждой из этих двух областей.

С. Фомин

На каждом ребре куба $K$ должен существовать по крайней мере одна точка, принадлежащая многограннику $T$, — иначе проекция $T$ в направлении этого ребра куба не совпадает с соответствующей граничью куба. Выберем на каждом ребре куба $K$ по точке многогранника $T$ (некоторые из них могут оказаться вершинами куба). Пусть $C$ — их выпуклая оболочка (рис. 4). Из выпуклости многогранника $T$ следует, что $C \subset T$. Полягая длину ребра куба равной 1, подсчитаем объем дополнительного $K \setminus C$ многогранника $C$ до куба $K$.

$K \setminus C$ — это объединение всех трех угловых прямид при восхимах куба $K$ (рис. 2). Разобем эти прямиды на пары — по паре прямид при каждом из четырех вертикальных ребер куба. Сумма объем каждой пары прямид не превыходит $\frac{1}{3} h S_1 + \frac{1}{3} (1-h) S_2$ (см. рис. 2).

Поскольку $S_1 \leqslant \frac{1}{2}, S_2 \leqslant \frac{1}{2}$, получаем $\frac{1}{3} h S_1 + \frac{1}{3} (1-h) S_2 \leqslant \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (h + (1-h)) = \frac{1}{6}$.

Итак, объем $(K \setminus C) \leqslant 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$, следовательно, объем $T \geqslant$ объем $C \geqslant 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Заметим, что оценка $1/3$ — точная: объем tetraэдра, вершины которого — четые несмежных вершины куба, составляет $1/3$ объема куба.

В. Прасолов

Рассмотрим более общую задачу: имеется две группы цирь, в одной группе — m цимук, в другой — n. В каждой группе цирь расположены в порядке возрастания их масс. Требуется найти число φ($m, n$) макое, что

a) проведя φ($m, n$) взвешивания, можно расположить все $m + n$ цирь в порядке возрастания их масс;

b) меньше чем φ($m, n$) числом взвешивания этого сделать, вообще говоря, нельзя.

Задача М473 состоит в том, чтобы доказать, что φ($n, n$) = 2n − 1.

40

шце при делении на 6 остаток 1, должны иметь вид $12k + 1$.

Если же $N = 6l + 3$, то аналогично можно показать, что $N$ может быть совершенным только тогда, когда оно имеет вид $12k + 9$.

Таким образом, мы доказали, что если нечетное совершенное число существует, то оно либо имеет вид $N = 12k + 1$, либо $N = 12k + 9$. Полученный результат можно еще успешить. Как нам сообщили авторы задачи К. Самаркулов и С. Юеай, в 1952 году английский математик Тушаар доказал, что если нечетные совершенные числа существует, то они либо имеют вид $N = 12k + 1$, либо $N = 36k + 9$. Результат Тушаара немедленно вытекает из следующих двух утверждений:

1. Нечетное совершенное число имеет вид $3^{2n}(4k + 1)$, либо $3^{2n+1}(4k + 3)$.
2. Совершенные чисел вида $3^{2n+1}(4k + 3)$ не существует.

Попробуйте доказать эти утверждения самостояльно.

И. Клумова

Ф487. Жука формирающую в двух масштабах: с расстояния $d_1 = 3F$, еде $F$ — фокусное расстояние объектива, и с расстояния $d_2 = 5F$. Во сколько раз надо изменить диаметр диафрамы объектива, чтобы обеспечность изображения на пленке в обих случаях была одной и той же? Считать, что диаметр объектива в обих случаях много меньше $F$.

Рис. 3.

Обозначим через $B$ световой поток, испускаемый единцией плошади поверхности жука внутри единного телесного угла (поверхностная яркость). Тогда с плошади $S_0$ (рис. 3) на объектив photoаппарата падает световой поток

$$\Phi = BS_0\Omega = BS_0 \frac{S_\pi}{d^2}.$$

Здесь $\Omega = \frac{S_\pi}{d^2}$ — телесный угол (на самом деле это равенство не точное, а приближенное), $S_\pi$ — плошадь диафрамы объектива, $d$ — расстояние от photoаппарата до жука.

После объектива световой поток попадает на фотопленку, создавая на ней изображение. Освещенность этого изображения

$$E = \frac{\Phi}{S} = \frac{BS_0S_\pi}{d^2S},$$

где $S$ — площадь изображения выделенного участка поверхности жука. Найдем ее.

Поскольку линейное увеличение линзы равно $f/d$ (f — расстояние от линзы до изображения), относение плошадей изображения и предмета

$$\frac{S}{S_0} = \left( \frac{f}{d} \right)^2.$$

Согласно формуле линзы, $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, откуда

$$f = \frac{Fd}{d - F},$$ и $\frac{f}{d} = \frac{F}{d - F}$.

Следовательно, освещенность изображения

$$E = \frac{BS_\pi}{d^2} \frac{S_0}{S} = \frac{BS_\pi(d - F)^2}{d^2F^2}.$$

По условию задачи при фотографировании жука в двух масштабах освещность изображения должна быть одной и той же:

$$\frac{BS_\pi(d_1 - F)^2}{d_1^2F^2} = \frac{BS_\pi(d_2 - F)^2}{d_2^2F^2}.$$

Отсюда

$$\frac{S_{\pi 2}}{S_{\pi 1}} = \frac{(d_1 - F)^2 d_2^2}{(d_2 - F)^2 d_1^2} = \frac{25}{36},$$ и

$$\frac{D_{\pi 2}}{D_{\pi 1}} = \frac{5}{6}.$$