Квант 1978, №12 · Страницы

КЕАНМ 12
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Астролябия — «схватывающая звезды» — более полутора тысяч лет верой и правой служила человека естеству, помогая астрономам и мореплавателям. Устройство этого прибора основано на свойств так называемой stereографической проекции. Подробнее об этом вы можете прочитать на с. 50.

Астролябия, которое вы видите на этой фотографии, была изготовлена в 1532 году нюнбергским мастером Г. Хартманом. Сделана она из позолоченной латуни и, как многое старинные приборы, является настоящим произведением искусства. Впрочем, это совершенно не менеело пользоваться его.

1

Основан в 1970 году
12
1978

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-mатематической литературы

В НОМЕРЕ:

2 А. Геронимус. Диофантовы уравнения по простому модулю
7 В. Кравцов, И. Сербин. Уголковые отражатели
10 Е. Гик. Существует ли бесконечная шахматная партния?

Лаборатория «Кванта»
13 В. Мильман. Почему сгоревшая спича изогнута?

Математический кругхок
15 Г. Гальперин, А. Кушиниренко. Спутники и задача уплошения

Задачик «Кванта»
22 Задачи М536—М540; Ф548—Ф552
24 Решения задач М491—М493; Ф503, Ф505—Ф507

Список читателей, приславших правильные решения задачи из Задачика «Кванта» (с. 12, 36, 41, 53)

По страницам школьных учебников
34 А. Земляков. Еще 17 вопросов

«Квант» для младших школьников
37 Задачи
38 В. Махров. Старые знакомые

Практикум абитуриента
40 И. Горев. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
42 Л. Табачников. Элементы статики деформаруемых тел
47 В. Тонян. О подготовительных отделениях при взазах
50 В. Береzin. Сtereografическая проекция и астролябия

Рецензии, библиография
54 И. Зорич. Будущим создателем космической техники

Информация
55 В. Сковорцов. XX Международная математическая олимпиада школьников
56 Н. Васильев. Задачи республиканских олимпиад 1978 года по математике

Ответы, указания, решения
61 Напечатано в 1978 году

© Главная редакция физико-mатематической литературы
издательства «Наука», «Квант», 1978

2

Диофантовы уравнения по простому модулю

«Достопопченейший Дионисий, зная, что мы ревностно хочешь научиться решению задачи, касающейся чисел, я попытался изложить природу их и могучеством, нашная с тех оснований, на котором покошся эта наука.

Может быть, этом предмет показется мне затруднительным, поскольку мы еще с ним незнаком, а начинающие не склонны надяться на успех. Но он сначала удается твоему усердию и моим погрешиям, либо страстная любовь к науке помогаем быстрювати учение».

Таким посвящением открывается «Арифметика» Диофанта Александриского.

В этой книге Диофант (он жил предположительно в III в.) суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных (т. е. с несколько переменными) алгебраических уравнений в целых или рациональных числах. С тех пор эти уравнения стали называться диофантовыми.

Вот примеры таких уравнений:
$$x^2 + y^2 = z^2, \quad x^2 = y^3 + 5y + 7.$$

Интерес к диофантовым уравнением связан, видимо, с самой природой человека — сохранившие документы обнаруживают его следы в глубине тысячелей. Еще в Древнем Вавилоне занимались поисками пифагоровых проект — целочисленных решений $x^2 + y^2 = z^2$.

«Арифметика» Диофанта легла в основу теории чисел нового времени. Со времен Ферма (XVII в.) диофантовы уравнения стали предметом глубоких исследований самых выдающихся математиков и неослабного интереса всех любителей чисел, не уступающих в revenни достопочтеннойшем Дионисию.

Росло и растет могущество задач, о котором говорится в посвящении. Теория диофантовых уравнений проиталась связями edва ли не со всеми областями современной математики.

Только в одном Диофант ошибся — предмет не стал удобопонятным.

Вероято, последним, кто разделял эту надежду, был знаменитый немецкий математик Давид Гильберт. В 1900 году в докладе на Втором Международном конкурсе математиков он сформулировал 23 проблем из разных областей математики. Десятая проблема формулировалась так: указывает способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установки, разрешимо ли данное диофантово уравнение в целых числах.

Длительный период исследований завершился в 1969 году отрицательным решением этой проблемы: оказалось, что общего способа, о котором говорится в ее формулировке, вообще не существует *).

В связи с диофантовыми уравнением ставились и более простые задачи. При их решения возникали очень красивые теории. О началях одной из них — теории диофантовых уравнений по простому модулю — мы рассекjem в этой стране. Чтобы этот рассказ был вам понятен, советуем перечитать статьи «Сравнения и классы вычетов» (№ 10) и «Сравнения по простому модулю» (№ 11).

Переход к уравнении по простому модулю

Рассмотрим какое-нибудь диофантово уравнение. Предположим, что оно имеет решение, и рассмотрим вместе

*) Подробнее об этом см. «Квант», 1970, № 7.

3

входащих в решение чисел их классы вычетов по mod p. Легко видеть, что полученный набор будет являться решением приведенного уравнения — уравнения, получающейся из данного заменой каждой коэффициента на его класс вычетов по mod p. Поэтому необходимо счеловаться решением у диофанта уравнения является существование решения приведенного уравнения по mod p при всех p*).

В этом разделе мы приведем два примера перехода к mod p, а в следующем изучем динамическую диофантовый уравнение по mod p (т. е. уравнения с коэффициентами в множесте F_p) сами по себе. Их теория гораздо проще, чем теория обычных диофантовых уравнений. Множество F_p конечно, и установить, имеет ли данное диофантово уравнение решение, можно простым перебором. Поэтому не так удивительно, что для множества F_p имеются общее теоремы, гарантирующие существование решений. Мы формулируем и обсудим эти теоремы в следующих разделах.

Каковы целочисленные решения уравнения

$$35x^4 + 24y^3 = 100\ 000?$$

(1)

Приведем это уравнение по mod 3. 35 ≡ 2 (mod 3), 24 ≡ 0 (mod 3), 100\ 000 ≡ 1 (mod 3); поэтому по mod 3 уравнение (1) принимает вид

$$\bar{2}x^4 = \bar{1}.$$

(2)

$$\bar{2}x^4$$ при x ∈ F_3 принимает значения 0 и 2 (проверьте), поэтому у уравнения (2) нет решений, значит, нет решений и у уравнения (1).

Рассмотрим пример последнее:

$$5x^3 + 11y^3 + 13z^3 = 0.$$

(3)

У этого уравнения есть одно очевидное решение: x = y = z = 0. Постаемся доказать, что других решений у него нет.

Естестенно рассмотреть уравнение (3) по modulo 5, 11 или 13 — тогда один из трех членов обратится в 0. Какой же именно modulo нам выбрать?

*) О вычислениях «по modulo» говорится также в статье М. И. Башмакова («Квант», 1971, № 3).

Ответить на этот вопрос нам по-может решение задачи 4 статьи «Сравнения по простому modulo». Из него следует, что в множества F_5 и F_{11} все элементы являются кубами, а в множестве F_{13} только 5 элементов являются кубами.

После приведения уравнения (3) по modulo 5 оно принимает вид

$$y^3 + \bar{3}z^3 = \bar{0}.$$

(4)

Поскольку любой элемент множества F_5 является кубом и в F_5 возможно деление, для любых a и b найдут такие y и z, что y^3 = a и 3z^3 = b. Поэтому в множестве F_5 у уравнения (4) существует много неулевых решений (соответствующих парам a, b, для которых a + b = 0). Аналогичный результат верен и для F_{11}. Поэтому у нас нет найдены, рассматривая уравнение (3) по modulo 5 или 11, доказать, что оно имеет только нулевое решение.

Рассмотрим уравнение (3) по mod 13:

$$\bar{5}x^3 + \bar{11}y^3 = \bar{0}.$$

(5)

В множестве F_{13} кубами является только элементы 0, 1, 5, 8, 12. Составим таблицу возможных значений выражения $\bar{5}a + \bar{11}b$, где a, b ∈ {0, 1, 5, 8, 12} (в пересечении стоит сумма $\bar{5}a + \bar{11}b$). Из таблицы видно, что единственный решением уравнения (5) является x = y = 0.

Значит, для любого решения x_0, y_0, z_0 уравнения (3) x_0 и y_0 делятся на 13: x_0 = 13x_1, y_0 = 13y_1. Подставив эти выражения для x_0 и y_0 в (3),

4

мы получим $5 \cdot 13^3 x_1^3 + 11 \cdot 13^3 y_1^3 + 13 z_0^3 = 0$, откуда $z_0$ делится на 13: $z_0 = 13 z_1$. Подставив и сокращив на 13: $5 x_1^3 + 11 y_1^3 + 13 z_1^3 = 0$. Отсюда следует, что $x_1 = 13 x_2$, $y_1 = 13 y_2$, $z_1 = 13 z_2$, и т. д. Таким образом, $x_0, y_0, z_0$ делятся на любую степень 13, что возможно, только если $x_0 = y_0 = z_0 = 0$.

Teоремы Шевалле и Варнина

Знание множества $F_{13}$ позволяет нам сообщать, какой именно модель сравнения стоит выбрать для исследования уравнения (3).

А что будет, если в уравнении не три переменные, а четыре или пять? Что будет, если степень уравнения — не 3, а 4, 5 или 6? Чувствуется, что если число переменных x уведомляется, то нашши шансы доказать невозможность решения исходного уравнения, рассматривая его по какому-нибудь модели, подают; если же уведомляется его степень — растут. Это интуитивное сообщение можно уточнить.

Справедлива следующая замечательная Теорема Шевалле: рассмотрим множество $R(x_1, x_2, \dots, x_n)$ с коэффициентами в множестве $F_p$; пусть $x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$ — решение уравнения $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$; если степень множество $R(x_1, x_2, \dots, x_n)$ меньше n, то уравнения $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ есть и ненулевое решение.

Teорема Шевалле сразу следует из такой теоремы Варнина: если степень множелена $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ равно 0 или $\ge p$. Но первый случай исключен, так как уравнения есть нулевое решение. Значит, у него есть еще по крайней мере p — 1 решение.

Доказательство теоремы Варнина настоящего простого и красivo, что приведем его здесь, но сначала поговорим.

О некоторых суммах, равных нулю

Чему равна сумма $\bar{b}_1 + \bar{b}_2 + \dots + \bar{b}_p$ всех элементов множества $F_p$? Умножим все слагаемые на какой-нибудь элемент $\bar{a}$ из $F_p$, не равный 0 и 1. Тогда сумма умножится на этот же элемент: $\bar{a} \bar{b}_1 + \bar{a} \bar{b}_2 + \dots + \bar{a} \bar{b}_p = \bar{a} (\bar{b}_1 + \bar{b}_2 + \dots + \bar{b}_p)$. С другой стороны, при умножении всех элементов множества $F_p$ на какой-нибудь элемент ($\neq 0$), мы снова получим все элементы из $F_p$; поэтому $\bar{b}_1 + \bar{b}_2 + \dots + \bar{b}_p = \bar{a} (\bar{b}_1 + \bar{b}_2 + \dots + \bar{b}_p)$. Значит, $\bar{b}_1 + \bar{b}_2 + \dots + \bar{b}_p = 0$.

А чем равна сумма $\bar{b}_1^2 + \bar{b}_2^2 + \dots + \bar{b}_p^2$ квадратов элементов множества $F_p$? Умножим снова все элементы на какой-нибудь элемент $\bar{a} (\neq 0, 1)$. Тогда сумма по тем же причине, что и раньше, остается прежней: $(\bar{a} \bar{b}_1)^2 + (\bar{a} \bar{b}_2)^2 + \dots + (\bar{a} \bar{b}_p)^2 = \bar{b}_1^2 + \bar{b}_2^2 + \dots + \bar{b}_p^2$; с другой стороны $(\bar{a} \bar{b}_1)^2 + (\bar{a} \bar{b}_2)^2 + \dots + (\bar{a} \bar{b}_p)^2 = \bar{a}^2 (b_1^2 + \dots + \bar{b}_p^2)$. Если $\bar{a}^2 \neq 0, 1$, то $b_1^2 + \bar{b}_2^2 + \dots + \bar{b}_p^2 = 0$.

И вообщее: если в множестве $F_p$ найдется такой элемент $\bar{a}$, что $\bar{a}^k \neq 0, 1$, то сумма $k$-х степеней всех элементов из $F_p$ равна 0.

Ясно, что если $\bar{a}^k = 1$ для первого многочлена $\bar{a}$ из $F_p$, то тем более $\bar{b}_k = 1$ для всех остальных элементов $\bar{b} \neq 0$. Если $\bar{a}^k = 1$ в том и только в том случае, когда k делится на p — 1. В частности, если $0 < k < p - 1$, то $\bar{a}^k \neq 1$ и сумма k-х степеней равна 0. Поскольку $\bar{0}^{p-1} + \bar{1}^{p-1} + \dots + \bar{p-1}^{p-1} = \bar{p-1}$, а $x^p = x$ для $x \in F_p$ (Малая теорема Ферма), мы нашли сумму k-х степеней элементов из $F_p$ для любого k ≠ 0:

$$\bar{b}_1^k + \bar{b}_2^k + \dots \bar{b}_p^k =$$

$$= \begin{cases} 0, \text{ если } k \neq 0 (\text{mod } p - 1), \\ p - 1, \text{ если } k \equiv 0 (\text{mod } p - 1) \text{ и } k \neq 0. \end{cases}$$

5

Рассмотрим теперь некоторый одночлен $q = x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_t^{k_t}$ и всевозможные упорядоченные наборы $\langle \bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n \rangle$, где $\bar{c}_i \in F_p$ ($i = 1, 2, \dots, n$). Таких наборов $p^n$. Будем считать, что $t \leq n$. тогда для каждой набора можно вычислить значение одночлена $q$, принимаем на этом наборе: нужно подставить вместо $x_1, x_2, \dots, x_t$ первый $t$ чисел набора. Чему равна сумма всех этих $p^n$ значений? (Решенная нами задача о сумме $k$-х степеней является частным случайем этой задачи: $q = x_1^k, n = 1$.) Мы предоставляем читателю исследовать этот вопрос.

Для дальнейшего нам понадобится только, что если $t < n$ или $0 < k_i < p - 1$ для некоторого $i$, то исключая сумма равна $0$. Это вы без труда доказательства сами.

Доказательство теоремы Варинга

Обозначим степень многочлена $R(x_1, x_2, \dots, x_n)$ через $m$, число решений уравнения $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ через $N(R)$. Нам надо из условия $m < n$ вывести, что $N(R)$ делится на $p$.

В множество $M$ всевозможных упорядоченных наборов элементов из $F_p$ длины $n$ рассмотрим подмножество $M_R$ решений уравнения $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$. Подмножество $M_R$ состоит из наборов $\langle \bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n \rangle$, для которых $R(\bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n) = 0$.

Рассмотрим функцию $f_R$, которая каждому элементу $\langle \bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n \rangle \in M$ сопоставляет число 1, если $\langle \bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n \rangle \in M_R$, и число 0, если $c \langle \bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n \rangle \notin M_R$.

(Функция, определяная на некотором многочстве $M$ и принимающая значение 1 на некотором подмножестве $A \subset M$ и значение 0 на остальных элементов из $M$, называется характеристической функцией подмножества $A$. Таким образом, функция $f_R$ является характеристической функцией подмножества $M_R$.) Из самого определения функции $f_R$ следует, что число решений $N(R)$ уравнения $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ равно сумму значений функции $f_R$ по всем элементам множества $M$. Это утверждение, казалось бы, ничего не добавляет к определению $f_R$. Тем не менее читатель увидит, что замена множества $M_R$ функцией $f_R$ является ключевой в доказательстве.

Рассмотрим теперь функцию $f_R$, которая отличается от функции $f_R$ тем, что вместо чисел 1 и 0 принимает на решении и нерешения соответствующего значения $\bar{1}$ и $\bar{0}$ из $F_p$. Сумма $S(\bar{f}_R)$ значений функции $f_R$ по всем наборам $\langle \bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n \rangle$ равна классу вычетов $N(R)$ (по mod $p$) числа $N(R)$. Поэтому для доказательства теоремы Варинга достаточно убедиться, что $S(\bar{f}_R) = \bar{0}$.

Воспользовавшись Малой теореме Ферма, представим функцию $f_R$ многочленом. Для этого рассмотрим многочлен $Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \bar{1} - R(x_1, x_2, \dots, x_n)^{p-1}$. Если $R(\bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n) \neq 0$, то Малой теореме Ферма $R(\bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n) = \bar{0}$. Если $R(\bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n) = \bar{0}$, то $R(\bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n)^{p-1} = \bar{0}$ и $Q(\bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n) = \bar{1}$. Поэтому $f_R = Q$.

Многочлен $Q(x_1, x_2, \dots, x_n)$ является суммой одночленов: $Q = q_1 + q_2 + \dots + q_l$.

Нам достаточно проверить, что суммы значений каждого из одночленов $q_1, q_2, \dots, q_l$ по всем наборам $\langle \bar{c}_1, \bar{c}_2, \dots, \bar{c}_n \rangle$ равны $\bar{0}$. Тогда и сумма $S(f_R) = S(Q)$ будет равна $\bar{0}$, поскольку $S(Q) = S(q_1) + S(q_2) + \dots + S(q_l)$.

Возьем, например, одночлен $q_1 = x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_t^{k_t}$. Степень многочлена $Q$ равна $(p - 1) m$. Поэтому степень одночлена $q_1$ меньше $(p - 1) n$ (по условию теоремы $m < n$). Значит, $k_1 + k_2 + \dots + k_t < (p - 1) n$. Из этого неравенства следует, что либо $t < n$, либо среди $k_1, k_2, \dots, k_t$ найдется показатель $k_i$, для которого $0 < k_i < p - 1$. Равенство $S(q_1) = \bar{0}$ следует теперь из результата, сформированного в конце предыдущого раздела.

Teорема Вейля — Лэнга

Выше мы уже говорили, что если у dioфантов уравнения есть решение

6

нице, то у любого приведенного уравнения (по любому простому modulo $p$) тоже есть решение.

Утверждение: «Если у диофантова уравнения есть ненулевое решение, то у любого приведенного уравнения есть ненулевое решение», не верно. Например, уравнение
$$x^2 + y^2 = 9 = 0$$
имеет ненулевое решение ($x = 3, y = 0$), но по modulo 3 приведенное уравнение
$$x^2 + y^2 = 0$$
таких решений не имеет.

Тем не менее ясно, что если у диофантова уравнения есть ненулевое решение, то для всех $p$, начиная с некоторого, у приведенного уравнения тоже есть ненулевое решение.

Обратное неверно: уравнение
$$x^2 + y^2 + z^2 = 0$$
(6)
по теореме Шевалле имеет ненулевое решение в лию бом $F_p$, а уравнение
$$x^2 + y^2 + z^2 = 0$$
ненулевых решений (не только в $Z$, но и в $R$) не имеет *).

Рассмотрим теперь снова диофантово уравнение
$$R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$$,
козффициенты которого — целые числа. Интересно знать, каково множество тех простых $p$, для которых существует решение по mod $p$. Ответ на этот вопрос дает замечательная теорема Вейля — Лэнга. Если множество $R(x_1, x_2, \dots, x_n)$ абсолитно приведение, то уравнение $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ имеет решение по простому modulo $p$ для всех $p$, начиная с некоторого.

Под абсолитно приведение многочленом мы будем понимать такой многочлен, который нельзя разложить в произведение двух многочленов по modulo $p$ для всех $p$, начиная с некоторого.

*) Это не очень интересный пример: читатель может проверить, что по modulo 8 уравнение (6) ненулевых решений не имеет. В упомянутой статье М. И. Башмакова указан пример диофантова уравнения ($3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0$), не имеющего ненулевых решений, для которого приведение уравнение ненулевое решение по лию бому modulo $p$ не имеет.

Условие абсолитной неприводимости в формулировке теоремы существенно: из заданий 2 к статье «Сравнение по простому modulo» следует, что уравнение $x_1^2 + x_2^2 = 0$ разрешимо при $p = 4k + 1$ и неразрешимо при $p = 4k + 3$. Простых чисел вида $p = 4k + 3$ бесконечного много, поэтому заключение теоремы для многочлена $x_1^2 + x_2^2$ не верно. Разумеется, для него неверна и посылака: из разрешимости уравнения $x_1^2 + x_2^2 = 0$ по modulo $p = 4k + 1$ (а простых чисел этого вида тоже бесконечного много) следует, что оно разложимо на множители по этому modulo.

Можно доказать, что «подавляющее большинство» многочленов абсолитно неприводимы.

В отличие от теоремы Варинга, доказательство теоремы Вейля — Лэнга в общем случае очень трудно.

Рассмотрим один очень частный случай уравнения $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$: когда многочлен $R$ — первой степени: $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b$ (хотя один из коэффициентов $a_i$ предполагается отличным от 0). Легко видеть, что в этом случае $N(R) = p^{n-1}$. Действительно, можно считать (переставив, если нужно, неизвестен ie), что $a_1 \neq 0$; тогда, придавая $x_2, \dots, x_n$ всевозможные значения из $F_p$ и положив $x_1 = -a_1^{-1}(a_2x_2 + \dots + a_nx_n + b)$, мы получим решение.

Teорему Вейля — Лэнга можно уточнить: при больших $p$
$$|N(R) - p^{n-1}| < c \cdot p^{\frac{n-1}{2}},$$
где $c$ — коэффициент число, зависит от многочлена $R$.

Первоначальное доказательство Вейля основано на открытых им глубоких связях между, казалось бы, дальнейми вопросами: дискретной, и даже конечной, задачей о числе решения уравнения $R(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ по простому modulo и геометрическим строением непрерывного многочлена комплисных решений этого уравнения, то есть тех наборов комплисных чисел $\langle d_1, d_2, \dots, d_n \rangle$, для которых $R(d_1, d_2, \dots, d_n) = 0$.

Недавно элементарное (не использованное никаких косвенных методов), но тем не менее весба сложное доказательство теоремы Вейля — Лэнга для сверлдовский математик С. А. Степанов.

7

Уголковые отражатели — это устройство, которое применяется для отражения радиолокационных или оптических лучей в направлении, противоположном первоначальному. Еще в недавнем прошлом оптические уголковые отражатели использовались только как скромное дорогное предупредительное устройство — на велосипедах, автоматических, поездах, на дорогных указаелях. Назывались они катафотами *). В настоящее время уголковые отражатели находят очень широкое применение: они используются и в навигащенной радиолокации, и в меторологии, и в космических исследованиях.

Как же «работает» уголковый отражатель?

Устройство его очень просто. На рисунке 1 приведены различные типы

*) «Катафот» (греч.) — отражатель света на зад к источнику.

Уголковые отражатели. Это может быть треугольная призма, две боковые грани которой взаимно перпендикулярны (рис. 1, а). Эти грани (ОAA’О’ и OBB’O’) с внутренних сторон покрыты тонким слоем материалов, хорошо отражающего свет. Уголковый отражатель может представлять собой четырехгранную парамиду (рис. 1, б), три взаимно перпендикулярные грани которой (AOB, BOC и AOC) посеребренны. Радиолокационные уголковые отражатели — это три взаимно perпендикулярные плоские пластины (рис. 1, с), изготовленные из материалов, хорошо отражающего радиоволны.

Как видно, уголковый отражатель можно схематично представить как система взаимно perпендикулярных плоских зеркал. Чтобы лучше понять принцип действия отражателя, рассмотрим, как изменяет ход световых лучей системы из двух таких зеркал ($3_1$ и $3_2$ на рисунке 2).

Луч S, падающий на зеркал $3_1$ под углом $\phi_1$, отражается от него (в точке A), попадает на зеркал $3_2$ под углом $\phi_2$ и отражается от него (в точке B). Легко видеть, что в результате отражений луч «поворачивается» на угол $2\phi_1 + 2\phi_2 = 180^\circ$, то есть луч отраженный паралелен лучу падающего и направлен в противоположную сторону.

Роль двух таких зеркал выполняется в отражатель-призме (рис. 1, а) грани ОAA’О’ и OBB’O’. Луч света, падающий на грань-«гипотенузу» ВAA’B’, после отражения в призме выходит стого в обратном направлении. Отметим, что предполнение луча на грани-гипотенузе не сказавается.

8

на «оборачиващем» действии отражаателя (рис. 3). (Очевидно, что если луч падающий и луч отраженный параллельный друг друг по одному сторону от преломляющей грани $BAA'B'$ — внутри угла, то они параллельны и по другую ее сторону.)

Однако отражаатель, состоящий из двух взаимно перpendикулярных зеркал, «обращает» только те лучи, которые лежат в плоскости, перpendикулярной к ребру двугранного угла, образованного зеркаlami. Это недостатка лишен отражаатель, состоящий из трех взаимно perpendикулярных зеркал. Покажем, что всякий луч, попавший на такой отражаатель и испытающий последовательное отражения от всех трех зеркал, изменит свое направление на прямо противоположное.

Для этого предварительно расстоянием, как изменяется единчный вектор, определяющий направление луча, при отражении луча от плоского зеркала. На рисунке 4 зеркало, $S$ — луч, падающий на зеркало под углом $\varphi$, $s$ — единчный вектор, определяющий направление падающего луча, $n$ — единчный вектор, перpendикулярный к плоскости зеркала, $s'$ — единчный вектор в направлении луча $S$. Представим как сумму трех составляющих $s_x, s_y$ и $s_z$, параллельных осем $X$, $Y$ и $Z$ соответственно. После первого отражения — отражения от зеркала $3_1$ — луч идет по направлению, определяемой единственным вектором $s'$. Составляющие вектора $s'$-это $s_x, s_y, s_z$, (составляющая $s_x$ вектора $s$, перpendикулярная к плоскости зеркала $3_1$, меняет знак на противоположную

9

ложный, а составляющие $s_y$ и $s_z$, параллельные этой плоскости, остаточная неизменными). Проследив последовательные отражения луча от зеркал $3_2$ и $3_3$, мы убедимся, что после третього отражения (от $3_3$) луч идет по направлению, задаваемому единующим вектором $s''$, составляющие которого равны соответствию $-s_x, -s_y, -s_z$. Значит, любой луч, попадающий на систему трех взаимно перpendикулярных зеркал, отражается этой системе в направлении, противоположном первоначальному.

Такую систему зеркал образуют три взаимно перpendикулярные посебренные грани углового отражателя-пирамиды (см. рис. 1, б). На лице «закрывающей» угол грани ABC не нарушает действия отражающих граней AOB, BOC и AOC.

Мы уже говорили о том, какое широкое применение находится угловые отражатели. Самые «старые» из них, кадафты, можно представить себе как набор отражателей-пирамиды, скопированных таким образом, что ребра двугранных углов, образованных отражащими граями, лежат в одной плоскости и повернуть друг относительно друга под всевозможными углами. Каждая та-кая призма отражает «назад» лучи, перpendикулярные к ребру двугранного угла. Отгого кадафот и каждая светащимся.

В повышенной практике угловые отражатели типа изображенного на рисунке 1, в использованной радиолокации. Например, бакены и буйки, снаженные такими отражателями, становятся более заметными для радиолокаторов. С помощью отражателей, прикрепленных к метеорологическим шарам-зондам, радиолокационным методом определяются скорость и направление ветра на большей высоте.

Уникальны по своему применению оптические угловые отражатели в космических исследований. Помещенный на искусственный спутник или на космический корабль отражатель позволяет с очень большой точностью определять расстояния до этих объектов. При этом в качестве луча лазера.

В 1969 году угловый отражатель был поставлен экипажем американского космического корабля Аполлон-II на Луну. Через год на Луне появился второй угловый отражатель — установленный на советском автоматическом самоходном аппарате

(Окончание см. на с. 46)

10

Е. Гик

Существует ли беконечная шахматная партия?

Новые правила проведения матча на первенство мира по шахматам в принципие допускают ситуацию, при котором матч может продолжаться до беконечности или до полного истошения одного или общих участников.

А может ли сама шахматная партия длится беконечно долго?

Если на доске возникла матовая позиция, то ясно, что сколь долго бы ни длилась данная партия до наступления этой позиции, она окончится за конечное число ходов. Таким образом, результатная партия не может быть беконечной. В ничейной же позиции партия могла бы продолжаться беконечно, если бы в правильах шахмат не было специальных оговорок.

Напомним известное правило оничных в шахматной партии: если на доске три раза или более возникнет одна и та же позиция, то в этот момент вы имеете право потребоватьничью. Говоря, что позиция одна должна быть за одной и той же стороны и внутреннее воздействие позиции тоже должна быть одинаковыми (это касается рокировки и взяття пешек «на проходе»).

Будем считать, что при troекpatном повторении позиции ничья наступаем автоматически. Тогда из конечности числа шахматных позиций следует, что продолжительность шахматной партии ограничена сверху. Обозначим число различных позиций на доске через A.

Уражнение 1. Найдume какую-нибудь верхнюю оценку для A.

Ясно, что тогда ни одна партия не может продолжаться более чем 3А ходов (под ходом мы понимаем два

11

полухода — белых и черных). Действительно, за это время по крайней мере одна позиция повторится трижды (при очереди хода у одной и той же стороны), и, если партия не закончилась раныше, то в игру вместе судья и зафиксирует ничью. Следовательно, при нашем предположении (которого нет в шахматном кодексе!), правило о troекратном повторении позиции исключает бесконечную партию.

Предположим теперь, что ничего настоящего при troекратном повторении не одной и той же позиции, а одной и той же серии ходов подряд. Покажем, что при этом условии может существовать бесконечная шахматная партия, т. е. существует такая партия, в которой никакая серия ходов не повторяется три раза подряд.

Рассмотрим простейший случай, когда на доске перемещаются только короли. Более того, каждому из них разрешим маневрировать всего на трех полях! Пусть белый король перемещается в левом нижнем углу — по полям a1, a2, b1, а черный в правом верхнем — по полям h8, h7, g8 и других фигур на доске нет. Обозначим ход каждой короля по часовой стрелке через 1, а против часовой стрелки через 2. Если начальное положение королеве зафиксировано, то всякому их передвижению соответствует пределенная последовательность из единиц и двоеек. Верно и обратное: любая последовательность из единиц и двоеек задаем некоморое передвижение королевей. Если, например, короли стоит на угловых полях (белый — на a1, черный — на h8), то последовательности 12 21 21 12 21 12 соответствуют такие ходы: 1. Кр a1—a2 (первый член последовательности 1 — белый король идет по часовой стрелке) 1 … Кр h8 — g8 (второй член 2 — черный король идет против часовой стрелки) 2. Кр a2—a1 Кр g8 — h8 3. Кр a1 — b1 Кр h8 — h7. 4. Кр b1 — a1 Кр h7 — h8 5. Кр a1 — b1 Кр h8 — h7 6. Кр b1 — a1 Кр h7 — h8.

Таким образом, на языке математики наша задача может быть формулирована так: доказать, что существует макая бесконечная последовательность, состоящая из цифр 1 и 2, в котором нет трех одинаковых рядом стойших цифр. В книге А. М. и И. М. Ягломов *) доказано, что существуют сколь угодно для и неные последовательности, состоящие из цифр 1 и 2, в которых нет одинаковых рядом стойших цифр. Следовательно, существует и бесконечная партия, в которой ни одна серия ходов не встречается три раза подряд.

Укажем теперь правила шахматного кодекса, которые исключают существование бесконечной партии.

Это, во-первых, «правило пятидесятки ходов»: если в течение 50 ходов подряд на доске не была взята ни одна фигур и ни одна пешка не сделала хода, то партия считается законченой вничью. Во-вторых, партия считается ничейной в том случае, если на доске возникла позиция, в которой выигрыш невозможен (король против короля, король против короля и легкой фигуры, король и слон против короля и слона «того же цвета»).

*) А. М. Яглом, И. М. Яглом. Незlementарные задачи в элементарном изложении. М., Гостехидат, 1954. Задча 1236).
**) «Квант», 1975, № 9.

13

Почему сгоревшая спичка изогнута?

Известно, что играть со спичками опасно, — это может привести к пожару. Но давайте все таки, соблюдая самые тщательные меры предосторожности, проведем серию простых опытов с горяшими спичками. Мы предлагаем вам понадобить, как меняется форма спички при горении.

Прежде чем приступить к опытом, обеспечим их полную безопасность. Спички нужно будет держать пинцетом над тазом с водой, который должен стоять на металлическом листе. Выполнить соответствующее приготовление, приступим к опытом.

О пыт 1. Держим зажженную спичку горизонтально. Пlamя передвигается по спичке, и по мере его перемещения сгоревшая часть спички поднимается. У разных спичек высота этого подема различана. Некоторые спички при этом закручиваются (рис. 1). Важно отметить, что «загибается» уже остыщий (обгоревший) участок спички.

О пыт 2. Зажженную спичку держим в пламени плиты. Обгоревшая спичка почти не загибается.

О пыт 3. Посмотрим, как горят разные по толщине спички. Утолщенные спички загибаются большие обичны, а лучинки, отколотые от спички, — меньше.

Посмотрим еще раз внимательно на горяшую спичку, расположенную горизонтально. Пlamя медленно продвигается вдоль спички; при этом древесина, нахождения в пламени, ещеровная (не загибается). Цвет этой части спички — черный. Значит, температура этого участка сравнительно не выше 500÷600°C. Сразу за пламенем движется узкий (≈2 мм) красный полосок. Это зона с максимальной температурой (≈700÷750°C), в которой только что закончилась горение. Если посмотреть на этот полосок сбоку, «в профиль», то видно, что верхняя его часть раскалена докрасна, а нижняя — черного цвета. Значит, верхняя часть спички начинает остывать, имея более высокую температуру, и поэтому должны сохранять красный цвет. Причина такого неравномерного горения— конвекционные потоки воздуха.

Может быть, именно этим — разность температур верхней и нижней части спички — и объясняется тот факт, что горяшая спичка загибается? Причем загибается так, что выпуклость всегда направлена в стороны более низкой (при горении) температуры. Это предположение подтверждается таким образом: если осторожно (так, чтобы она не погасла) дуть сверху на горяшую спичку, то после сгорания получается почтировый уголок — мы сдуваем пламя вниз, температуры верхней и нижней части выравниваются; если к горяшей спичке прикоснуться сизу холодным металлическим предметом (например, гвоздем) и подержать его немного (так, чтобы спичка не погасла), то спичка будет загибаться сильнее, чем при обычном горении.

Итак, качественно наше предположение о принципах, вызывающих

14

Загибание спички, как будто оправдывается. Попробуем произвести количественный оценку. Для этого воспользовемся следующей моделью.

Условно разделим спичку горизонтальной плоскостью на две части. Во время горения температура верхней части выше, чем нижней, но их длины одинаковы. При остывании верхняя, более нагретая часть скимается (укорачивается) сильнее, чем нижняя, так как разность температур этой части спички и окружащего воздуха больше. Поэтому длина верхней части остывающей спички будет меньше, чем длина нижней ее части, и спичка изогнется выпуклостью вниз (в сторону более холодной при горении части). Такая модель наполняет бimetаллическую пластинку — пластинку из двух сваренных металлов с разными коэффициентами теплового расширения. Основываясь на этой модели, оценим разность температур верхней и нижней части спички в области красного пояска.

Пусть $l_0$ — длина спички, $d$ — ее толщина. Для приближенной оценки можно считать, что в результате горения эти размеры почти не меняются. Однако длина верхней и нижней части сгоревшей изогнутой спички не одинаковы. Разность длины средних сечений этих частей равна

$$l_2 - l_1 = l_0 \alpha \Delta t,$$

(1) где $\alpha$ — коэффициент теплового расширения, $\Delta t$ — разность максимальных температур верхней и нижней частей спички;

$$l_1 = \beta \left( R - \frac{d}{4} \right), \quad l_2 = \beta \left( R + \frac{d}{4} \right),$$

$$l_2 - l_1 = \frac{\beta d}{2} = \frac{l_0}{R} \frac{d}{2}$$

(2) (см. рис. 2). Сравнивая (1) и (2), получаем выражение для $R$:

$$R = \frac{d}{2\alpha \Delta t}.$$

(3)

Измерить величины $R$ нелегко, но через $R$ можно выразить легко изменяемого величины $h$ (см. рис. 2):

$$h = R (1 - \cos \beta) = R \left( 1 - \cos \frac{l_0}{R} \right).$$

Для нашей оценки с достаточно хорошо приближенным можно считать, что $1 - \cos \beta = \frac{\beta^2}{2}$*, и $h = \frac{l_0^2}{2R}$.

Подставив в это выражение значение $R$ (см. (3)), получим

$$h = \frac{l_0^2 \alpha \Delta t}{d}.$$

Отсюда находим $\Delta t$:

$$\Delta t = \frac{h}{l_0^2} \frac{d}{\alpha}.$$

(4)

Итак, чтобы оценить величины $\Delta t$, нам нужно экспериментально найти отношение $h/l_0^2$. Результаты экспериментального приближением можно считать

$$L/l_0^2 = \text{const} \approx 10^{-2}.$$

Принимая $d = 1$ мм, $\alpha = (5 \div 10) \cdot 10^{-5}$ град$^{-1}$, по формуле (4) находим $\Delta t = (100 \div 200)$ (град).

Измерения $\Delta t$, сделанные с помощью термопары, для значения $t_{\text{верхн}} = (730 \pm 10)^\circ \text{C}, \ t_{\text{низн}} = (650 \pm 10)^\circ \text{C}$ и $\Delta t = (80 \pm 20)^\circ \text{C}$. Как видно, сделанная нами теоретическая оценка неплохо согласуется с этим данныхми. Так что можно считать, что рассмотренная модель, которая нижним образом не учитывает химической природы процесса горения, верна.

Возможно, наблюдая за горяшей спичкой, вы предложите какое-нибудь другое обязывание причин ее загибания. Тогда поставайте обосновать и проверить свои предположения. И провода свой эксперименты, помните: НЕОБХОДИМО СОБЛЮДАТЬ ОСТОРОЖНОСТЬ!

*) Погрешность формулы не превышает 1% при $\beta < 38^\circ$ и 10%—при $\beta \leq 60^\circ$.

15

Г. Гальперин, А. Куширенко

Спутники и задача уплощения

Большинство задач, с которых школьники стalkиваются на олимпидах, конкурсах и страницах математических книг и журналов — это задачи так называемого олимпидного типа: их решение, как правило, основывается на одной единственной идее. В работе профессионала-математика также задачи возникают достаточно часто, но только же часто математику приходится иметь дело с задачими, в решении которых нужно использовать несколько рассужdenной совершенню разного типа.
В этой статье мы хотим познакомить читателя с решением одной такой неолимпидной задачи.

1. Уплощение и ориентированный объект

Иногда три небесных тела оказываются на одной прямой. Если это Солнце, Земля и Луна, то астрономы называют такое явление затмением, а если три произвольных тела — то сизецей.

Затмения, сизгини и другие редкие расположения небесных тел издавана интересуют астрономов и математков. В этой статье мы будем заниматься одним из таких редких явлений — попаданием четырех небесных тел в одну плоскость; назовем это явление уплощением. Точнее говоря, мы будем решать задачу об уплощении в космической системе, состоящей из планеты и трех ее спутников.

Задча. Вокруг планеты О по тем различным круговым орбям с центром О равномерно врачаются при ее спутниках $P_1, P_2$ и $P_3$ с угловыми скоростями $\omega_1, \omega_2$ и $\omega_3$. Обязательно ли найдется момент уплощения рано или поздно наступает при любых начальных положениях спутников, а при некоторых других угловых скоростях удается подобрать такие начальные положения спутников, что момент уплощения не наступает никакогода.

Поставленный выше вопрос для трех конкретных значений угловых скоростей:
a) $\omega_1 = \omega_2 = \omega_3 = 1$;
b) $\omega_1 = \omega_2 = 1, \omega_3 = 2$;
b) $\omega_1 = 2, \omega_2 = 3, \omega_3 = 4$
составил содержание задачи М495 из Задачника «Кванта» («Квант», 1978, № 3).

Приступая к изучению уплощений, мы прежде всего должны научиться описывать уплощение алгебраических. Возникает

Вопрос 1. Как, зная координаты трех мочек в пространстве, определять, лежат ли эти мочки в плоскости, прохождение через начало координат?

Рассмотрим сначала вопрос полегче.

Вопрос 2. Как, зная координаты двух мочек на плоскости, определять, лежат ли эти мочки на прямой, прохождение через начало координат?

Ответ. Обозначим координаты данных точки $M_1$ и $M_2$ через $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$. Мы утверждаем, что прямая $M_1M_2$ модели и molky модели прохождение через начало координат, когда выражение $x_1y_2 - y_1x_2$ обращается в нуль.

Действительно, если $x_1y_2 = y_1x_2$, то при $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$ можно написать $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$, т. е. точки $M_1, M_2$ расположены на прямой $y = kx$.

Обратно: если $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой $y = kx$ и $x_1 \neq 0, x_2 \neq 0$, то $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$ и $x_1y_2 - y_1x_2 = 0$. (Случай $x_1 = x_2 = 0$ и $x_1 = 0, x_2 \neq 0$ разберете сами.)

16

У правахнения. Докажите, что число $|x_1y_2-y_1x_2|$ равно площади параллелограмма со сторонами $OM_1$ и $OM_2$.

Это упражнение поясняет, почему выражение $x_1y_2 \leftarrow x_2y_1$ называют орентированной плоскостью параллелограмма (рис. 1).

Вернемся к вопросу 1.

Утверждение 1. Три мощки $P_1(x_1; y_1; z_1), P_2(x_2; y_2; z_2)$ и $P_3(x_3; y_3; z_3)$ пространства расположены в плоскости, проходящей через начало координат, модула и molъко модула, коеда выражение $z_1(x_2y_3 \leftarrow x_3y_2) \leftarrow z_2(x_1y_3 \leftarrow x_3y_1) + z_3(x_1y_2 \leftarrow x_2y_1)$ (*)

обращается в нуль.

Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге У. Сойера «Прелюдия к математике». Геометрический же смысл его весыма прост: выражение () есть так называемый орентированный объект параллелена, построенного на ребрах $OP_1, OP_2, OP_3$, где $O$ — начало координат. (Модуль орентированного объема равен общимому объему.) Из утверждения 1 мы получаем, что уплощение мощки $O$ (0; 0; 0), $P_1(x_1; y_1; z_1), P_2(x_2; y_2; z_2)$ и $P_3(x_3; y_3; z_3)$ пространством модула и molъко модула, коеда выражение (*) обращается в нуль.

Подготовительная работа проведена; мы можем приотупать к изучению случаев a)—b).

2. Простейший случай: $\omega_1=\omega_2=\omega_3=1$

Положение спутника $P_1$ в момент времени $t$ обозначим через $P_1(t)$; координаты точки $P_1(t)$ обозначим через $x_1(t), y_1(t), z_1(t)$. Аналогичное (*) М., «Просвещение», 1965.

3. Случай $\omega_1=\omega_2=1, \omega_3=2$

Проведем через точки $O, P_1(t)$ и $P_2(t)$ плоскость $π(t)$. Она пересечет орбиту спутника $P_3$ в двух точках — концах диаметра $D(t)$ (рис. 2). (To, что мы сделали, разумеется,

17

Рис. 2.
имеет смысл только тогда, когда точки $O, P_1(t)$ и $P_2(t)$ в момент времени $t$ не находится на одной прямой. Если же в момент времени $t_0$ точки $O, P_1(t_0), P_2(t_0)$ лежат на одной прямой, то $t_0$ — момент уплощения. С течением времени диаметр $D(t)$ врашается, но, разумеется, неравномерно.

Обозначим концы диаметра $D(t)$ через $D_1(t)$ и $D_2(t)$. Момент уплощения соответствует попаданию равномерного врашающего точки $P_3(t)$ в одну из точек $D_1(t), D_2(t)$.

Поскольку $\omega_1$ и $\omega_2$ — цельные числа, диаметр $D(t)$ врашается хотя и неравномерно, но периодически: $D(t + 2\pi) = D(t)$ (так как $P_1(t + 2\pi) = P_1(t), P_2(t + 2\pi) = P_2(t)$). Но и $P_3(t + 2\pi) = P_3(t)$, так что можно ограничиться рассмотрением движения за время $2\pi$. Таким образом, у диаметра $D(t)$ существует средняя угловая скорость врашения, равная средней угловой скорости его врашения за время $2\pi$; обозначим ее через $\omega$.

Спрашивается: как связана скорость $\omega$ с $\omega_1$ и $\omega_2$?

Утверждение 2. Если сгутиники $P_1$ и $P_2$ имеют близкие орбиты и врашают по ним в одном направлении, то $\omega = \omega_1 + \omega_2$.

Рис. 3.

Поэтому если $\omega_3 > \omega_1 + \omega_2$, то точка $P_3(t)$, вращаясь в среднем быстрее диаметра $D(t)$, в некоторых моменты будет обгонять его концы $D_1(t)$ и $D_2(t)$. Эти моменты обгона и есть моменты уплощения. Аналогично, моменты уплощения имеются в случае $\omega_3 < \omega_1 + \omega_2$.

К сожалению, мы не умеем доказывать утверждение 2 чисто геометрическим. Поэтому вывод, который мы из него сделали, читатель должен рассматривать как правополобный, но не доказанный. Этот вывод показывает, что если мы ищем движение без уплощения, то стоит рассматривать только случай $\omega_3 = \omega_1 + \omega_2$.

В нашем случае средняя угловая скорость $\omega$ врашения диаметра $D(t)$ равна 2 и совпадает с угловой скоростью врашения спутника $P_3$. Запустим спутник $P_3$ так, чтобы при $t = 0$ сдвиг фаз между $P_3(0)$ и $D_1(0)$ был равен $\frac{\pi}{2}$ (рис. 3). Если диаметр $D(t)$ вращался равномерно, то этот сдвиг был неизменен. Если же врашение $D(t)$ неравномерно, но мало отличается от равномерно, то естественно ожидать, что сдвиг фаз между $P_3(t)$ и $D(t)$ будет периодически колбаться около значения $\frac{\pi}{2}$ и поэтому никакого не станет равным нулю.

А теперь, формально не опираясь на предыдущие рассуждания, приведем пример трех спутников $P_1, P_2$ и $P_3$, врашающихся вокруг планеты равномерно с угловыми скорностями $\omega_1 = 1, \omega_2 = 1, \omega_3 = 2$ и без уплощений.

Рассмотрим сферу $S$ единного радиуса. Пусть планета находится в центре $O$ этой сферы, а спутники $P_i$ врашаются по ее большим окружностям $\gamma_i$. Пусть $A \in \gamma_1 \cap \gamma_2 \cap \gamma_3$. Поместим в момент времени $t = 0$ спутник $P_1$ в точку $A$, спутник $P_2$ — в точку $B$ орбиты $\gamma_2$ такую, что $\widehat{AOB} = \frac{\pi}{2}$, спутник $P_3$ — в точку $C$ орбиты $\gamma_3$ такую, что $\widehat{AOC} = \frac{\pi}{2}$ (рис. 4). Тогда $D(0) = K_2 \cap K_3$, где $K_2$ и $K_3$ — два больших кругs с границами $\gamma_2$ и $\gamma_3$ соответствующего, $D_1(0) = A, D_2(0) = \bar{A}$ (рис. 4).

18

рая общая точка пересечения $\gamma_1$, $\gamma_2$ и $\gamma_3$, диаметрально противоположная точка $A$, так что $P_3(0) = C$ не совпадает ни с $D_1(0)$, ни с $D_2(0)$.

Постотрим, где будут находиться точки $P_3(t)$, $D_1(t)$ и $D_2(t)$ в разных моменты времени. При $0 < t < \frac{\pi}{4}$ точка $P_1(t)$ лежит внутри дуги $AA_{\pi/4}$, точка $P_2(t)$ — внутри дуги $BB_{\pi/4}$, конец $D_1(t)$ диаметра $D(t)$ — внутри дуги $AC$, противоположный конец $D_2(t)$ диаметра $D(t)$ — внутри симметричной дуги $\bar{A}\bar{C}$, и, наконец, точка $P_3(t)$ — внутри дуги $C\bar{A}$ (рис. 5). При $t = \frac{\pi}{4}$ точки $P_1(t)$, $P_2(t)$, $D_1(t)$, $D_2(t)$ и $P_3(t)$ расположены соответственно в точках $A_{\pi/4}$, $B_{\pi/4}$, $C$, $\bar{C}$ и $\bar{A}$ (рис. 6). Аналогичным образом легко указыть положения этих точек на интервалах $\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$, …, $\frac{7}{4}\pi < t < 2\pi$ и в концах этих интервалов и убедиться, что точка $P_3(t)$ в промежутке времени от 0 до $2\pi$ никака не совпадает ни с $D_1(t)$, ни с $D_2(t)$. Поскольку этим промежутком времени расматривается движение полностью описывается, в построенном примере моменты уплощения отсутствуют.

4. Нули функции и определенный интервал

Чтобы установить, что в какой-то момент времени $t_0$ произходит уплощение, достаточно показать, что введенная в п. 2 функция $V(t)$ при $t = t_0$ обращается в нуль. Но как, вообще говоря, можно установить, имеет ли данная функция на данном промежутке нуль? Вы знаете, как это сделать для квадратного трехчлена; вам известны нули основных трионометрических функций $\sin t$, $\cos t$, $tg t$, $ctg t$. Вы можете ответить на вопрос о нулях функций последнее — например, функция $\alpha \cos t + \beta \cos 2t + \gamma \cos 3t$. Однако уже для функций $\alpha \cos t + \beta \cos 2t +$

• γ cos 7t элементарные методы не дают возможность ответить на вопрос о существовании нулей.

Оказывается, воспользовавшись понятием определению интеграла (см. «Алгебра и начала анализа 10» или «Квант», 1977, № 5) можно доказать, что на заданном промежутке та или иная функция обращается в нуль.

Утверждение 3. Если $\int_a^b f(t)dt = 0$ и функция $f$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, то она на этом отрезке принимает значения только одного знака (см. замечание в конце п. 2). Из определения интеграла следует, что если функция $f$ во всех точках отрезка $[a; b]$ положительная, то и интервал от нее на этом отрезке положитель, а если $f$ всуду на $[a; b]$ отрицатель, то и интервал от нее также отрицатель.

Утверждение 3 доказано.

Пример. Докажем, что при любых $\alpha, \beta, \gamma$ функции $f(t) = \alpha \cos t + \beta \cos 2t + \gamma \cos 7t$ имеет нуль на отрезке $[0; 2\pi]$. Действительно, одной из первообразных для функции cos $nt$ является функция $\frac{1}{n}\sin nt$. По формуле Ньютона — Лейбница

$$\int_0^{2\pi} (\alpha \cos t + \beta \cos 2t + \gamma \cos 7t) dt = \left( \alpha \sin t + \frac{1}{2} \beta \sin 2t + \frac{1}{7} \gamma \sin 7t \right) \bigg|_0^2 = 0,$$

так что существование у функций $\alpha \cos t + \beta \cos 2t + \gamma \cos 7t$ нуля на отрезке $[0; 2\pi]$ следует из утверждения 3.

Возвращаясь к нашей задаче, мы видим, что для доказательства существования момент уплощения достаточно показать, что

$$\int_0^{2\pi} V(t)dt = 0.$$

5. Самый интересный случай:
   $\omega_1 = 2, \omega_2 = 3, \omega_3 = 4$

В этом параграфе мы, пользовясь утверждением 3, доказем, что в случае $\omega_1 = 2, \omega_2 = 3, \omega_3 = 4$ момент уплощения всегда существует.

Найдем общий вид функции $V(t)$. Для этого найдем общий вид координат $x_i(t), y_i(t), z_i(t)$ точек $P_i(t)$ ($i = 1, 2, 3$) как функции от времени. Мы сейчас показем, что каждая координата точки $P_i(t)$ совершает гармоничное колбание, т. е. имеет вид $\alpha \sin \omega_i t + \beta \cos \omega_i t$. (***)

Формула (***) непредседенно вытекает из такой леммы:

Лемма. a) Пусть $u, v$ два взаимно перpendикулярных вектора одинаковой длины $R$ в пространстве. Тогда конец вектора

$$\vec{w}(t) = u \cos \omega t + v \sin \omega t$$

равномерно врачается с угловой скоростью $\omega$ по окружности радиуса $R$, расположенной в плоскости, который принадлежит эмя окружности, найдуется два взаимно перpendикулярных вектора $u, v$ одинаковой длины маки, что

$$\vec{OP}(t) = u \cos \omega t + v \sin \omega t.$$

Доказательство a) По скольку вектора $u \cos \omega t$ и $v \sin \omega t$ взаимно перpendикулярны, по теореме Пифагора

$$|\vec{w}(t)|^2 = |u|^2 (\cos \omega t)^2 + |v|^2 (\sin \omega t)^2 = R^2.$$

Следовательно, конец вектора $\vec{w}(t)$ движется по окружности радиуса $R$.

Скорость конца вектора $\vec{w}(t)$ есть вектор

$$v \omega \cos \omega t - u \omega \sin \omega t,$$

а потому величины скорости в каждой момент времени одна и та же

20

и равна $\omega R$, так что конец вектора $\vec{w}(t)$ врашает равномерно.

6. В качестве вектора $\vec{u}$ надо взять вектор $\vec{OP}(0)$, а в качестве вектора $\vec{v}$ — вектор $\vec{OP}\left(\frac{\pi}{2\omega}\right)$. Лемма доказана.

Для получения общего вида функции $V(t)$ обратимся к выражению (). Это выражение есть сумма шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех компонентей, каждой из которых, в свою очередь, является суммой вида (***). После раскрытия скобок в каждом произведении у нас получится сумма сорока во всем членов вида

$$\lambda p_1(t) p_2(t) p_3(t), \quad (****)$$

где $\lambda$ — число, а $p_i(t)$ — либо $\sin \omega_i(t)$, либо $\cos \omega_i(t)$, $i = 1, 2, 3$.

К счастью, нам вовсе не нужно выписать явно эти 48 членов, так как значения коэффициентов $\lambda$ для нас оказывается не важными (так же как не важны были значения коэффициентов в примере из предыдущего параграфа).

После приведения подобных членов получаем, что $V(t)$ есть сумма нескольких слагаемых вида (). Чтобы показать, что интегral от каждой слагаемого () в выражении $V(t)$ равен нулю.

Преобразуем произведение $p_1(t) p_2(t) p_3(t)$ в сумму. Возможны различные случаи, в зависимости от того, сколько раз — один, два или три — в это произведение входит снус. Например

$$(\sin \omega_1 t \sin \omega_2 t) \sin \omega_3 t =$$

$$= \frac{1}{2} \left( \cos \left( \omega_1 - \omega_2 \right) t - \cos \left( \omega_1 + \omega_2 \right) t \right) \sin \omega_3 t =$$

$$= \frac{1}{4} \left[ \sin \left( \omega_1 - \omega_2 + \omega_3 \right) t + \sin \left( \omega_1 - \omega_2 - \omega_3 \right) t - \sin \left( \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 \right) t - \sin \left( \omega_1 + \omega_2 - \omega_3 \right) t \right].$$

Преобразовав аналогично остальные произведения, мы получим, что $V(t)$ есть сумма членов вида $\mu \sin vt$ или $\mu \cos vt$, где $v = \pm \omega_1 \pm \omega_2 \pm \omega_3$ со всехможными комбинациями знаков. При целых значениях $v$, отличных от нуля, получаем

$$\int_0^{2\pi} \sin vt dt = \left( -\frac{\cos vt}{v} \right) \int_0^{2\pi} = 0;$$

$$\int_0^{2\pi} \cos vt dt = \left( \frac{\sin vt}{v} \right) \int_0^{2\pi} = 0.$$

Разумеется, только что сделанные выкладки можно проводить лишь при $v \neq 0$. Однако при любой комбинации знаков сумма $v = \pm 2 \pm 3 \pm 4$ отлична от нуля. Поэтому

$$\int_0^{2\pi} V(t) dt = 0.$$

Следовательно, найдется такое значение $t_0 \in [0; 2\pi]$, что $V(t_0) = 0$, т. е. обязательно найдется момент уплощения.

6. Задчаа о спутниках-солнцах

Разумеется, читатель заметил, что все рассуждения п. 5 остаются справедливыми, если в качестве $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ взяты любые целые числа, для которых они одна из сумм вида $\pm \omega_1 \pm \omega_2 \pm \omega_3$ не равна 0.

Мы уменьшаем, но, к сожалению, не элементарно, следующее теорему о планете и трех спутников:

Теорема. Пусть $\omega_3$ — наиболее уловая скорость среди уловых скоростей $\omega_i$, $i = 1, 2, 3$.

1. Если $\omega_3 \neq \omega_1 + \omega_2$, то для любых начальных расположений орбит и спутников на них всегда найдется момент уплощения.

2. Если $\omega_3 = \omega_1 + \omega_2$, то для некоторых начальных расположений орбит и спутников на них всегда найдется момент уплощения.

Используя этот результат, можно решить еще одну задачу (о спутников-солнцах).

Вокруг сферической планеты с центром $O$ нужно запустить с постоянными неулевыми уловыми скорностями по круговым орбитам (с центрами $O$) несколько мощных спутников-солнцах максим образом, чтобы в каждом