Квант 1979, №2 · Страницы

КЕАНТ
2
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке показан замысловатый, но красивый многогранник — объедининие пяты дodeкаэдров, расположенных, в некотором смысле, «максимально симметрично». Вершины этих 5 дodeкаэдров (их 5×20=100) распадаются на два типа — одиночные (их 60, в них скодятся по три ребра нашего многогранника, а сами вершины группируются в виде 12 маленьких пятугольников) и сдовеенные (их 20=40:2, в каждой из них ско- dentция 12 ребер). Попробуйте найти путь вершин одной грани одного дodeкаэдра (две сдовеенные, три одиночные). Найдите на рисунке остальные видимые грани этого дodeкаэдра; найдите грань какого-либо другого дodeкаэдра. Убедитесь, что любые два дodeкаэдра имеютровно две общие вершины и получаются друг из друга поворотом вокруг оси, соединяющей эти вершины. Модель конструкирована В. Гамаюновым.

1

В НОМЕРЕ:

2 Ю. Иванов. Школа творчества
5 Г. Комкин. Почему плохо кричат против ветра?
9 О. Михайлов. Одиннадцать правильных паркетов
15 И. Белкин. О ньютовских законах движения. Масса

Лаборатория «Квант»
[М. Грабоевский]. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Математический кругхок
26 Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. 2-адические числа

Задачик «Квант»
32 Задачи М546-M550; Ф558-Ф562
34 Решения задачи M500 (a-b) — M503; Ф502, Ф504, Ф512

По страницам школьных учебников
40 М. Чернявский. Задачи на геометрической смысле произвольной

«Квант» для младших школьников
32 Задачи
46 В. Майер. Электричество и … температура

Практикум абитриента
48 С. Овчинников, И. Шарыzin. Решение неравенств с модулем
52 Ю. Зайчиков. Сила Лоренца и ее работа
56 С. Козел, Б. Федосов, В. Чехлов, А. Шелазин. Московский физико-технический институт

Информация
58 Приглашаем на мальй мех-мат
59 Новый прием в ВЗМШ
61 В. Орлов. VI Всероссийский слет юных рационализаторов и конструкторов

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 22, 44, 47)
Наша обложка (с. 8)

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Нука», «Квант», 1979

3

Непреемным условием жизниности обществ является их技术和 с производством, взами, научными учреждениями, правлениями и советами ВОИР, HTO, обществом «Знание». Очень важно и ценно, что деятельности большинства НОУ носит общественно полезную направление.

Неколько лет назад в г. Свердловске было создано научное общество учащихся, которое сегодня переросло в области НОУ или, как называют его ребята, «Малую академию наук». Здесь на 11 отделениях — физический, химический, математический, общественных наук и других — занимается около 40 тысяч школьников области. Руководят их работой 3 тысячи молодых ученых Уральского научного центра, студентов и преподавателей взов, учитель школ, специалистов ряда промышленных предприятий, колхозов и совхозов. Много сил и энергии отдают работе со школьниками зав. лабораторий института «УральпромстройНИПроект», передается Совета кураторов общества доктор технических наук С. А. Тимашев, молодые учены, сотрудники институтов Уральского научного центра АН СССР И. В. Кочергина, Ю. В. Болтыцев, М. И. Гусев. Четкая структура, интересные традиции, постоянное внимание заинтересованных организаций, творческая, эмциональная атмосфера позволяет добиться высокого уровня деятельности общества.

Интересно стоит свою работу юношеское научное общество Московского городского Дворца пionеров и школьников. Постоянно в нем занимается около 500 учащихся. Работу возглавляет Совет общества, состоящий из школьников, направляет — Совет кураторов-ученых. В течение учебного года проводятся общественные организации, творческая, эмциональная атмосфера позволяет добиться высокого уровня деятельности общества.

Интересно стоит свою работу юношеское научное общество Московского городского Дворца пionеров и школьников. Постоянно в нем занимается около 500 учащихся. Работу возглавляет Совет общества, состоящий из школьников, направляет — Совет кураторов-ученых. В течение учебного года проводятся общественные организации, творческая, эмциональная атмосфера позволяет добиться высокого уровня деятельности общества.

В Узбекистане хорошо известно научное общество учащихся средней школы № 110 г. Ташкента. Цели и задачи общества определяны специальным постановлением педагогического совета и комитета комсомола школа. Научно-педагогическое руководство осуществляется совместно учетными школьными и учеными Академии наук Узбекистана, преподавателями и студентами ряда ташкентских взов. Между школой и шками заключены договоры с другой стороны.

Ежегодно в сентябре и мае проходят конференции, на которых утверждаются планы и программы, рассматриваются отчеты, вручаются памятные удостоверения «Лучший математик школь», «Лучший физик школь», премии шефствующих организаций. Между конференции руководство общества осуществляется детский Совет. Общество объединяет секции математики, физики, химии, истории, литературы, права. Секции составит из клубов для учащихся 6—7 классов, проблемных групп для старшеклассников.

Например, в секцию математики входят клубы «Считай, смекай, отгадывай» (для учащихся 6-х классов), «Занimatельная математика» (для семиклассников и высим классников), постоянно действующий семинар «Поиск и решения, исследования ивыводы» и практикум будущего исследования (для учащихся 8—10 классов). Каждая секция и все проблемы группы имеют научных консультантов. Члены общества изучают теоретические вопросы, проводят экспериментальную работу в laboratorиях взов и НИИ, учебных кабинетах школа, изготовливают различные пособия, оборудование, приборы для школь и народного хозяйства.

4

Кроме комплектных HOY в ряде ресурсных, краев успешно действуют профилные объединения учащихся, такие как «Малая лесная академия наук» в Каралии, научно-технические и сельскохозяйственные общества в Краснодарском крае, общество юных астрономов в Азербайджане, юных химиков и механиков в Казани, Ростовское областное общество юных краеведов.

Более десяти лет работает в средней школе № 5 г. Углита Ярославской области крупок юных астрономов. Здесь技术和 теоретическая экспериментальная и практическая работа. Основными направлениями деятельности являются: исследование массовых мероприятий, направленных на пропаганду астрономических и атестических знаний среди учащихся, родителей и населення. Ребята собственными руками построили и оборудовали школьную обсерватorio, кино- и фотографторию, сконструировали и изготовили необходимую радиоаппаратуру.

В исследовательской работе основное внимание уделяется изучению солнечной активности и ее связи с явлениями на Земле. Юные астрономы на занятиях изучают теоретические аспекты проблемы, ведут наблюдения за диамикой солнечных пятен, их фото- и киносъемку, регистрации все meteorologicalские изменения, производящие на Земле. Они разработали метод определения глубины солнечных пятен, наскрыли огромный наблюдаемый материал, собранли специальную литературу по данному вопросу. Ребята организуют празднование Дня космонавтики, проводят экскурсии, беседы в обсерватории, атестические вечера, викторины, читают лекции для учащихся школьных. Круjuk школьы — постоянный участник Всесоюзных слетов юных астрономов, он нагружен бронзовой медалью и дипломом ВДНХ.

Все больше распространяется получают юшеские школьы по предметам естественных и гуманитарных наук. Это добровольные, массовые объединения учащихся 8—10-х классов общеобразовательных школа, создавемые при высших учебных заведениях и научных учреждениях с целью углубления знаний, удовлетворения и развитию интересов школьников к определению отрасли науки, расширения научного кругозора и профессиональной ориентации. Преподавание осуществляется учеными, научными сотрудниками, преподавателями, аспиранами и студентами на общественных началах. Очень популярные среды школьников очень, заочные, вечерние, летние школьные юных математиков, физиков, химиков, историков; педагогов, медиков. Интересный опыт этой работы накоплен в Белоруссии, Татарской АССР, Горьковской области, Хабаровском крае, г. Москва.

Аналіз деятельности научных обществ учащихся всех видов показывает, что они активно способствует повышению качества знаний школьников, расширению их научного и технического кругозора, овладению навыками самостоятельной творческой работы, восприятие готовности к создательному выбору будущего профессии и творческого труду.

Но пока, к сожалению, научные общества не созданы повсеместно. Нет ресурсных, областных, городских HOY в ряде соизных ресурсных, неокоторых областных центрах РСФСР, хотя здесь есть все возможности для их работы. Недостаточно еще привлечены к этой работе молодые учены и специалисты научно-исследовательских институтов. Нас тревожит, что в ряде объединений всего деятельности ребят к подготовке их к поступлению вуз. Не ведется пока целенаправленная разработка программы для HOY. Часто учитель занимают пассивную позицию по отношению к HOY, не использует его как хорошого помощи в работе по повышению качества знаний ученных, пропаганд доступной науки и техники.

Повышению эффективности деятельности HOY способствовала публикация на страницах соответствующих журналов, таких как «Квант», списков тем работ, заданий учены и специалистов, учреждений и организаций юным исследовательям.

Задача и долг прежде всего молодых учены, учитель, студентов — превращать каждое научное общество учащихся в настоящую школе творчества, восприятие будущего советской науки и техники.

Ю. Иванов,
Ответственный организатор
Отдела школьной молодежи ЦК ВЛКСМ

5

Г. Комкин

Почему плохо кричат против ветра?

Почему мы плохо слышим звук, если ветер дует от нас к его источнику?
На первый взгляд, это ясно. Против ветра близке падает брошенный камень, медленнее летит птица… Пробуем, однako, проверти колчестvenную оценку.

Пусть скорость звука относительно воздуха равна $c$, а скорость ветра $u$. Тогда скорость звукового сигнала относительно земли равна $|c| - |u|$ и время его распространения на расстояние $l$ равно $t = \frac{l}{|c| - |u|}$. За это время сигнал проходит относительно воздуха расстояние

$$l' = |c| t = \frac{l |c|}{|c| - |u|}.$$

Именное величины $l'$ определяет ослабление звука: нахождение на расстоянии $l$ от источника звука (против ветра), мы слышим звук таким же, как если бы ветра не было, а мы находились на расстоянии $l'$.

Прием $|u| = 15$ м/c (довольно сильный ветер), $|c| = 330$ м/c, $l = 50$ м. Тогда $l' \approx 52$ м. Ветер «отодвигает» нас примерно на 2 м. Это мы, пожалуйста, и не заметили бы. В действительности, влияние ветра города сильнее. Следовательно, надо искать другое обьясение.

Обратим внимание на тот факт, что скорость ветра не одинакова на разных высотах — она растет с увеличением высоты над уровнем земли. Каждый бы, это никак не должно повлиять на распространение звука, когда источник и приемник расположены на одной высоте. Если же приемник (или источник) звука опустится, часть пути звуковой сигнал будет проходить в слоях воздуха, движущся с меньшей скоростью, и придет менее ослабленный. На самом же деле, если случаяющий (или криащий) человек присдает, слышимость только ухудшится. И все-tаки дело именно в зависимости скорости ветра от высоты.

Чтобы легче было разобраться в картине распространения звука, расстоянием сначала такой пример. Представим себе motorную лодку $J$, идущую со скоростью $c$ относительно воды под углом к течение (рис. 1). Пусть средняя в ней человек (будем называть его капитаном) «целит» на видимую где-то вдали заводскую трубу $T$. Если бы течение не было, лод-

6

ка пристала бы к берегу в точке $A$. В действительности, скорость лодки относительно берега $\vec{v} = \vec{c} + \vec{u}$. Если бы скорость течения $\vec{u}$ была неизменной вплоть до берега, лодка пристала бы в точке $B$. Но скорость течения убивает по мере приближения к берегу, поэтому изменяется величины и направление скорости лодки $\vec{v}$, так что она движется по кривой $JD$.

Предположим, что капитан ненадолго задремал, но продолжает удерживать руль в прежнем положении. Пока он спит, посмотрим на плывую по течению льдину $C\Pi$. Эта льдина плывет вращаясь: ее приводит во вращение вода, которая у одного края льдины ($C$) от нее отстает, а у другого края ($\Pi$) — обгоняет ее. То же самое происходит и с лодкой. Она будет поворачиваться, при этом будет изменяться направление скорости $\vec{c}$ (несмотра на неподвижно удерживаемый руль). Проснувшись, капитан увидит, что лодка, описавшая дугу $JE$, удаляется от берега.

Тепер нам нетрудно изобразить и картину распространения звуковых сигналов. Их траектории («лучи») искривляются, подобно траектории лодки со спящим капитаном (рис. 2; ветер дует справа налево). При этом область $MLN$ оказывается «мертвой зоной»: в нее не заходят «лучи» звука. Человек в этой области почти не слышит звука от источника $S$. (Некоторые слышимость в «мертвой зоне» связана с рассеянием звука при отражении от поверхности земли, а также с дифракцией звука.)

Вспомним, однако, что мы обнаружили несостояльность первого обьяснения явления при попытке количественной оценки. Попробуем проверить количественную оценку и для второго обьяснения. Оценим расстояние до «мертвой зоны». Расстояние «лучи» $SLM$ (см. рис. 2), будем считать его направление близким к горизонтальном. Выделим мальй участок $AB$ волновой поверхности, будем считать его плоским и расположенным вертикальным (рис. 3). Через время $\Delta t$ этот участок

Рис. 2.

займет положение $A'B'$, причем

$$|AA'| = (|\vec{c}| - |\vec{u}_A|) \Delta t,$$

$$|BB'| = (|\vec{c}| - |\vec{u}_B|) \Delta t$$

($\vec{u}_A$ и $\vec{u}_B$ — скорости ветра на высоте точек $A$ и $B$). При этом расматривается участок повернется на малый угол $\alpha$:

$$\alpha \approx tg\alpha \approx \frac{|B'B''|}{|A'B''|} =$$

$$= \frac{(|\vec{c}| - |\vec{u}_A|) - (|\vec{c}| - |\vec{u}_B|)}{\Delta h} = \frac{|\Delta u| \Delta t}{\Delta h},$$

где $|A'B''| = |AB| = \Delta h$ и $\Delta u = \vec{u}_B - \vec{u}_A$.

Таким образом, участок волновой поверхности повернется с угловой скоростью

$$\omega = \frac{\alpha}{\Delta t} \approx \frac{|\Delta u|}{\Delta h}.$$

С такой же угловой скоростью вращается и вектор скорости $\vec{c}$ — скорости звука относительно воздуха.

Будем считать, что величины $\omega$ построенная вдоль всего «луча», тогда расматривается участок $SLM$ (см. рис. 2) можно считать дугой окружности. Скорость звукового сигнала

7

Результат, есть много причины, ухудшающих clsимость при ветре, но приведенный расчет дает увеличность, что главную причину мы указали правильно.

У практики

1. В летний полдень жук решил полететь на Солнце и полетел со скоростью $|\vec{v}| = |\vec{c}| - |\vec{u}| \approx |\vec{c}|$ можно связать с радиусом $r$ этой окружности: $|\vec{v}| = \omega r$. Отсюда (рис. 4)
   $$|SO| = |OL| = r = \frac{|\vec{v}|}{\omega} \approx \frac{|\vec{c}| \Delta h}{|\Delta u|}.$$
   Из треугольника OSF
   $$|SF| = \sqrt{|OS|^2 - |OF|^2} = \sqrt{r^2 - (r - h)^2} \approx \sqrt{2rh} \approx \sqrt{2|\vec{c}|h \Delta h}.$$
   Итак, слушатель, находящийся на той же высоте $h$, что и источник звука, попадает в «мертвую зону» на расстоянии
   $$|SS'| = 2|SF| \approx 2\sqrt{2|\vec{c}|h \Delta h}.$$
   Прием $\frac{|\Delta u|}{\Delta h} \approx \frac{|\vec{u}|}{h}$. Тогда окончательно
   $$|SS'| \approx 2h \sqrt{\frac{2|\vec{c}|}{|\vec{u}|}} \approx 3h \sqrt{\frac{|\vec{c}|}{|\vec{u}|}}.$$
   Для $h=1,5$ м, $|\vec{c}| = 330$ м/c и $|\vec{u}| = 15$ м/c получаем
   $$|SS'| \approx 20$$

вполне разумный результат. Точный расчет формы «звуковых лучей» приводит пример к такому же результату.

8

Невозможные объекты

На 1 странице обложки по звездному небу летят «невозможные объекты»: красная лестница все время опускается довольно кругу вниз, но, обойдя по ней полный виток, вы оказываешь в исходном месте; три параллельные цилиндрические ножки фиолетовой детали умурядятся примыкать к соединитьной перекладине… в двух местах; с синним и оранжевым объектами то же что-то неладно — их длиельное разглядивание вызывает непряятное ошушение внутринего противоречия.

Попытайтесь понять, в чем секрет «эффекта невозможности» в каждом случае. Впрочем, все ли эти объекты невозможны? Нельзя ли так «увидеть» неоторные из них, чтобы противоречия не было?

Оказывается, по оранжевому треугольнику (это — так называемый треугольник Л. и P. Пенроузов) можно сконструировать реальный объект, который в некоторых ракурсах будет выгляделать именно как треугольник Пенроузов. Об этом в «Кванте» уже писалось (1971, № 5, с. 26—29). Здесь же мы помещаем два новых конструктивных решения этого треугольника, присланных в редакцию вместе с фотографиями архитектором В. Колейчком.

Послерите на первые две fotografии (рис. 1, 2). На них один и тот же предмет, состоящий из «скрученных» деревянных брусков, склеенных «трея» угольником», снять из разных точек. Фотограф нащел такую точку (рис. 1), из которой все три бруска кажутся прямыми.

Еще интереснее следующие фотографии (рис. 3, 4). Trungно поверить, что на них сформатирован один и тот же предмет.

Приципл построения этого предмета совсем прост. Нарисуем на плоскости π.

изображение треугольника Пенроузов (рис. 5) и выберем точки А’ и B’ над так, что (AA’) || (BB’). Тогда любая кривая γ, соединяющая A’ с B’ и лежащая в плоскости ABB’A’, будет выгляделать как отрезок, если на нее смотеть, поместив глаз в плоскость ABB’A’ или в точку, расположенную «очень далеко» над плоскостью π по направлению луча [AA’]. Поступив аналогично с другими отрезками, можно построить пространственный предмет, изображенный на рисунке 3.

Ясно, что глаз (или фотоаппарат), помещенный достаточно далеко по направлению луча [AA’], увидит этот предмет таким, как он изображен на плоскости π.

9

О. Михайлов

Одиннадцать правильных паркетов

В повседневной жизни мы нередко встречаем с покрытями плоскости многоугольников: полы в жильых домах застилают паркетами, стены ванных комнат покрывают кафельными плитками, современные здания украшают орnamentами. О наиболее симметричных покрытях — математики называют их правильными паркетами — в «Кванте» уже писалось: в стате А. Колмогорова («Квант», 1970, № 3) обсуждалась задача классификации правильных паркетов. В настоящее время приводится одно из возможных ее решений.

Паркетом мы будем называть покрытые плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если его можно наложить на себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую направленную вершину.

Сколько всего правильных паркетов? Как они устроены? Наша задача — ответить на эти вопросы.

Легко видеть, что вообще паркет — не обязательно правильных — существует бесчисленное множество *) (показите это самостояльно). Однако, подобно тому как при бесчисленном многоугольнике во другой паркете можно сходиться не более шести и не менее трех многоугольников. Действительно, при схожении в одной вершине семи или более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60°, что невозможно (минimalный, угол — у треугольника — равен 60°).

*) Два паркеты мы считаем различием миногоугольников, так и при бесчисленном многоугольнике паркетов существует лишь конечное число правильных паркетов.

Иногда в этой статье мы будем для краткости правильные паркеты называть просто паркетами.

Решение нашей задачи естественно наать с исследованием вершин паркета. Из определения правильности сразу вытекает принципи эквивалентности вершин: любые две вершины устроены одинаково в том смысле, что звезды всех вершин одинаковы. (Звездой вершины называется фигурą, образованная всем многоугольниками, содержащими ее.)

Обозначим через $m_i$ число прилегающих к вершине $i$-угольников, а через $\alpha_i$ — величины внутри него угла правильного $i$-угольника. Тогда в каждой вершине, очень/no, выполняется соответствие соответствие.

$$\sum m_i \alpha_i = 360^\circ = 4d,$$

где в сумму мы включаем все слагаемые с номерами $i$, для которых к вершине примыкает хотя бы один $i$-угольник *).

Подставляя в эту формулу известное из геометрины выражение для $\alpha_i$, $\alpha_i = 2(1 - 2/i)d$, и сокращая на 2$d$, получим

$$\sum m_i \left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Таким образом, числа $m_i$ являются целочисленными решениями уравнения (1). Однако, как мы увидим ниже, не все целочисленные решения уравнения (1) реализуют правильными паркетами!

Далее, в вершине паркета можно сходиться не более шести и не менее трех многоугольников. Действительно, при схожении в одной вершине семи или более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60°, что невозможно (минimalный, угол — у треугольника — равен 60°).

*) Впрочем, $m_i = 0$ для остальных $i$, поэтому формульно можно считать, что мы суммируем по всем $i$.

14

числовых решений, нам будет нужна следующая

Лемма. В вершине правильного паркета не могут сохраняться при различных многооудольника, у одного из которых нечемое число сторон.

Действительно, пусть такой паркет существует (рис. 5). Тогда вокруг нечетногоolgника оставшиеся $m$- и $n$-угольники должны идти черезясь. Поэтому при его обходе рядом оказывается два одинаковых многооудольника, вопросы условия леммы.

Благодаря лемме мы можем в (2) заменить $k$ на $2k_1$, $m$ на $2m_1$, $l$ на $2l_1$ и перейти к уравнению

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} = 1.$$

Не нарушая общности, можно предложить, что $k_1 < m_1 < n_1$. Тогда

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} < \frac{3}{k_1},$$

позному $k_1 = 2$. Следовательно, $\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} = \frac{1}{2}$, откуда $m_1 = 3$, $n_1 = 6$ (если $m_1 \geq 4$, то $n_1 \leq m_1$). Полученное решение $\alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_{12}$ дает нам очередной паркет (рис. 6).

Паркеты с четырьмя многооудольниками в вершине

В этом случае мы приходим к уравнению

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = 1.$$ (3)

Будем считать, что $l \leq k \leq m \leq n$. Легко видеть, что тогда $l \leq 4$. Если $l = 4$, то приходим к набору $4\alpha_4$. Если $l = 3$, то получаем уравнение

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} = \frac{2}{3},$$

из которого находится, что $k < 5$. Если $k = 4$, то, поскольку $m \geq k$, приходим к единственному решению $m = 4$, $n = 6$. Если же $k = 3$, то получаем два решения: $m = 4$, $n = 12$ и $m = 6$, $n = 6$.

Нам, следовательно, представит исследовать четыре набора:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6; \alpha_4 + 2\alpha_3 + \alpha_{12}.$$

Первый набор $4\alpha_4$ дает тривалный квадратный паркет (рис. 7).

Для комбинации $\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6$ возможны две неэквивалентные вершины (рис. 8, а, б), но только варниант $8,a$ дает правильный паркет (рис. 8, б). Убедитесь самостояльно, что варниант $8,b$ не дает никакого правильного паркета.

Для $2\alpha_3 + 2\alpha_6$ также возможны две различных вершины (рис. 9, а, б), но только вторая дает правильный паркет (рис. 9, б). Достройка первого приводит к противоречению. Таким образом, «четырехного уравнений» паркетов три:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6.$$

Паркеты с пятую многооудольниками в вершине

В этом случае нужно найти решение уравнения

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = \frac{3}{2}.$$ (4)

Из него сразу видно, что $j = k = l = 3$ (мы считаем, что $j \leq l \leq k \leq m \leq n$). Получилось уравнение $\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{2}$, у которого два решения: $m = 3$, $n = 6$ и $m = 4$, $n = 4$.

Остается теперь рассмотреть найденные комбинации:

$$\alpha_6 + 4\alpha_3 \text{ и } 2\alpha_4 + 3\alpha_3.$$

Первая из них дает единственный тип вершины и единственный правильный паркет (рис. 11). Вторая комбинация допускает две неэквивалентные вершины, причем каждая из них образует паркеты (рис. 12 и 13).

Таким образом, «пятимного уравнений» паркетов три:

$$4\alpha_3 + \alpha_6; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)'; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)''.$$

Паркеты с шестю многооудольниками в вершине

Совершенно очевидно, что такой паркет (рис. 14) — единственный, получающий из комбинации $6\alpha_3$.

Перечисленными выше случаями исчерпывается все многообразие правильных паркетов. Как видно из сказанного, общее число — одинаковать.

15

И. Белкин

О Ньютоновских законах движения.
Масса

Законы механического движения тела были открыты Ньютоном в середине XVII века. Изложены они были в его книге «Математические начала натуральной философии», напечатанной в 1687 году. Без преуvelенияя можно сказать, что с этой книги началась современная механика.

Об основных идеях механики и открытых Ньютоном законах движения и будет расссказано в этой статье.

Немного о механике до Ньютона

Что бы понять суть той революции в науке о движении тел, которое совершил Ньютоон, познакомимся сначала в самых общих чертах с наукой о движении, которая существовала до Ньютона.

Набольшей известностью в допытомовские времена пользовалась механика Аристотеля (384—322 до н. э.). О ней мы здесь включите и рассскажем, хотя эта теория почти во всех своих частях оказалась ложной. Но именно ей пришла на смену механика Ньютона.

В своих построениях и умозаключениях Аристотель опирался на наблюдания, повседневный опыт. (На такой основе, несомненно, и строится научка.) Оdnako наблюдания эти часто были поверхностными и не сопровождались изменениями. Поэтому и выводы, сделанные Аристотелем, оказались неверными.

Наблюдания показывают, например, что повозка наровной дороге движется лишь тогда, когда ее тянет лошадь. Значит, для того чтобы тело движалось (обладало скоростью), нужно, чтобы на него влияло другое тело. Это влияние одного тела на другое наозовем силой. По Аристотелю сила — причина движения. При отсутствии силы возможен покой и только покой.

С другой стороны, наблюдания показывают, что существуют движения,

16

обходящая «без лошадей», без сил. Так, всякое тяжелое тело само по себе падает, движется вниз; легкие тела (дым, нагретый воздух и т. д.) движутся вверх и тоже сами собой. Наблюдения, наконец, показывают, что «без лошадей» движутся планеты.

На основании таких наблюданий Аристotelь делит все движения на два класса: насильственные и естественные. Причиной насильственных движений является влияние других тел, то есть сил. Что касается движений естественных, то здесь причина совсем другая. Аристotelь определяет ее так: всякому телу природой предназначего определенное место. Тяжелым телам отведено место внизу, легким — наверху. Планетам и звездам предопределено вечное врашение вокруг Земли. Так что причиной естественных движений является стремление. тел занять то место, которое им определено природой.

Но тяжелые тела могут двигаться и вверх. Как бы с брошенным вверх камнем? Согласно Аристotelю это уже насильственное движение. А причина его заключена в том, что природа не допускает существования пустоты: воздух стремится немедленно заполнить место, освобождаемое телом при движении, и все время подталкивает это тело. (Это представление о «боязни пустоты» сохранялось в физике вплоть до Галилея и Торричели, которые, наконец, покончили с ним.)

Мы видим, что механика Аристotelя не была единой науки о законах движения. Различным движением приписывались различные причины, а сами причины формулировались очень неопределенно. Но авторитет Аристotelя был столбелик, что его механика просуществовала почти два тысячеления, до времени Галилея и Ньюотона.

Механика Ньюотона.
Первый закон механики

В отличие от наивных представлений доньiotоновской механики, механика Ньюотона является единой теории, относящаяся к любым движениям тел. Все движения подчиняются одним и

17

тем же строим законам. Что же это за законы?

В механике Ньютона прежде всего обращается внимание на то, что движение должно изучаться относительно определенной системы отчета. Фактически Ньютон пользовется системой отчета, связанной с Солнцем.

В ту пору было уже известно, как движется планеты относительно Солнца (законы движения планеты изучены Кеплером). Анализируя эти движения, а также движения тела на Земле, изученные отчасти им самим, отчасти его предшественниками, прежде всего — Галилеем, Ньютон пришел кFundamentalному выводу: если какое-либо тело движется относительно Солнца сускорением, то этоускорение всегда вызвано влиянием на тело какого-либо другого тела или несколько тела. Так, сускорения движения планеты. Этиускорения вызываны влиянием Солнца. Ускорение падающего на Землю тела вызывано влиянием Земли. Ускорение тела, прикрепленного кружине, вызывано влиянием пружины и т. д. Это — закон приоды:ускорение любого тела относительно Солнца всегда вызвано влиянием на него какого-либо тела или тел. По Аристotelю сила — причина движения (скорости) тела и притом только насильственного. В механике Ньютона сила — причина изменения движения (изменения скорости —ускорения) тела при любых движениях.

А как должно вести себя тело, на которое не влияют другие тела? Согласно Аристotelю такое тело должно покопаться, скорость его должна быть равна нулю. По Ньютону у такого тела в системе отчета, связанной с Солнцем, должно быть равно нулюускорение. Это значит, что в этой системе тело, на которое не влияют другие тела, может или покопаться, или движаться прямолинейно и равномерно. В этом и состоит первый закон Ньютона — закон инерции.

Закон инерции справедлив не только тогда, когда на тело не влияют никакие другие тела. Ему подчиняются и такие тела, которые испытывают влияние других тел, но этих «других» тел не одно, а несколько, и влияние каждого из них компенсируется всем остальным. Слово «инерция» и обозначает явление, состоящее в том, что тело, на которое не влияют другие тела (силы) или влияния на которое других тел компенсируется, не изменяет своего движения, то есть не изменяет своего скорости.

Как мы говорили, Ньютон расматривает движение в системе отчета, связанной с Солнцем. Но если тело движется с постоянной скоростью относительно Солнца, то относительно любого другого тела, движущемся безускорения относительно Солнца, оно также движется с постоянной скоростью (но уже другой). Так что в системе отчета, связанной с этим «другим» телом, тоже выполняется закон инерции. Все такие системы называются инерциальными.

Первый закон Ньютона теперь принято формулировать так: сущесвучом также системы отчета, относительно компонных поступаемых движущемся мела сохраняются свою скорость постоянной, если на них не действуют другие мела или действующие мела компенсируется.

А если связать систему координат с телом, которое относительно инерциальной системы координат само движется сускорением?

Относительно такой системы любое тело, на которое не влияют другие тела, будет движаться сускорением. В этой системе тело может находиться в покое, несмотря на влияние на него другого тела. Все такие системы отчета, движущемся относительно инерциальной системы сускорением, называются неинерциальными.

Можно ли говорить, что система координат, связанная с Землей, — инерциальная? Строю говоря, нет, потому что Земля движется вокруг Солнца по кривolinейной траектории (почти по окружности), и следовательно, относительно Солнца она движется сускорением. Кроме того, Землявращается около своей оси. Это движение тожеускоренное. Но вокруг Солнца Земля совершает всего один оборот за год, а около оси — за сутки. Обаускорения настолько малы, что в большинстве случае Землю можно принять за инерциальную систему отчета.

18

Факт существования в мире инерционных систем отчета вовсе не представляется очевидным, само собой разумениемся. Античным мыслителем (Аристotelю) было трудно понять, почему тела продолжают двигаться и после того, как влияние на них других тел прекратилось. Почему, например, стрела продолжает свой полет после того, как тетива лука перестала ее толкать?

Галлией первым заметил ошибность убежения в том, что другие тела должны поддерживать движение (скорость) данного тела. Он задался вопросом: какое свойство движения тела зависит от влияния на него других тел? Никакие умозрительные расужения не могут дать ответ на этот вопрос. Здесь нужно обратиться неосредственно к природу, то есть к опыту.

Ответ, который дала природа, оказался неожиданным и состоит в следующем: существуют инерционные системы отчета; в них для поддержания движения тела с постоянной скоростью ничего не требуется — оно проискодит само собой.

Когда такой ответ был получен, это явилось крупнейшим открытом. Именно поэтому закон инерции относится к числу важнейших законов природы.

Взаимодействие тел и ускорения. Масса

Еще один важный факт установил Ньюотон из наблюдаемой за движениями тел. Он состоит в том, что когда какое-нибудь тело влияет на другие тела и сообщает ему ускорение, это другой тело «отвечает» ему тем же, то есть сообщает и ему ускорение. Влияние одного тела на другой не является односторонним — тела взаимодействия, сообщая друг друга ускорения. Если, например, стalkиваются два шара (столковение — это пример взаимодействия), ускорение получает каждый из них. Каковы эти ускорения? Как они направлены? Каковы их численные значения?

Опыт показывает, что во всех случаях ускорения взаимодействующих тел противоположны по направлению.

Если, например, движущийся шар стalkивается с таким же неподвижным шаром так, что скорость шара направлена по линии, соединяющей центры шаров (рис. 1), то скорость первого из них уменышится, а скорость второго — уведомится. А это и означает, что ускорения шаров противоположны по направлению.

Что касается абсолютиных значений (модулей) ускорений, то они могут быть любыми. Это зависит от того, как движались тела до взаимодействия (от начальных условиях), от характера взаимодействия, от того, какие именно тела взаимодействуют. Но для данной пары взаимодействующих тел относение ускорения всегда одно и то же. Они не зависит ни от характера взаимодействия, ни от начальных условий. Значит, зависит от какого-то особого свойства, таящегося в самом взаимодействующих телах. Свойство этого, внутренне присущее каждой теляty, выражается величиной массы тела.

Ныютон открыл это свойство и введил в научку величины, количественно характеризующую его, — массу. Что это за свойство?

Представим себе, что два взаимодействующих тела — это два шара одинаковых объемов. Первый из них — деревянный, второй — алюминевый. Если они каким-то образом станут взаимодействовать (они могут столькоаться, взаимодействовать через пружину (рис. 2, а); взаимодействие может осуществляться посредством нити, связывающей шары, врашающееся на центровкой машине (рис. 2, б); это может быть электрическое взаимодействие, если шары электрическими загружены), то каждой из них изменит свой скорость — получит ускорение (рис. 2).

И в любом случае ускорение $a_1$ де-

20

соответствие

$$\frac{m}{m_{\text{эт}}} = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}}$$

где $m_{\text{эт}}$ — масса эталона, $\overrightarrow{a}_{\text{эт}}$ и $\overrightarrow{a}$ — соответственно ускорения эталона и тела, прибретаемые в процессе взаимодействия. Из (3) находится

$$m = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}} m_{\text{эт}} = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}} 1 (\text{кг}).$$

Но вернемся к соответствию (2), из которого следует формулы (3) и (3a). Вдумаемся, в какой мере оно обосновано опытом. Опыт нам показал лишь, что отношение ускорений двух взаимодействующих тел—вполне определенная величины (формула (1)).

Далее мы условиясь (именно условиясь!) приписать телу, ускорение которого меньше, то есть более инертному телу, большешую массу.

Matематически мы это выразили уравнения (2), из которого и следует, что большей массе соответствует меньше ускорение. Но вместе уравнения (2) можно написать, например, следующее формулу:

$$\frac{\overrightarrow{a}_2}{\overrightarrow{a}_1} = \frac{m_1^2}{m_2^2}$$

или

$$\frac{\overrightarrow{a}_2}{\overrightarrow{a}_1} = \frac{m_1^n}{m_2^n}.$$

Из этих формул тоже следует, что из двух взаимодействующих тел меньше ускорение получает только большей массы! Почему же мы выбрали простейшую формулу (2), из которого следует приведенный выше способ изменения массы?

Потому что при таком способе изменения массы оказывается, что масса нескольких тел, сложных вместе, равна сумме масс слгааемых тел (закон сохранения массы).

Представим себе, что при взаимодействии двух тел $A$ и $B$ изменили их ускорения и, пользовсь формулой (2), нашли, что масса тела $B$ второе большие массы тела $A$ (рис. 3, а):

$$m_B = 3m_A.$$

Возьем еще треть $D$, приведем его во взаимодействие с телом $A$, изменим ускорения этих тел и найдем отношение их масс. Предположим, оказалось, что масса тела $D$ вдвое большие массы тела $A$ (рис. 3, б):

$$m_D = 2m_A.$$

Соединним теперь вместе тела $B$ и $D$. Приведем «сложное» тела $B + D$ во взаимодействие с телом $A$ и по измененным их ускорениям найдем относение массы тела $B + D$ к массе тела $A$. Опыт показет, что (рис. 3, с):

$$m_{B+D} = 5m_A.$$

Выходит, что

$$m_{B+D} = m_B + m_D$$

— массы складываются.

Если для изменения масс тела пользоваться соответствием (*), то оказывается, что массы тел не складываются. Вот почему в физике приято соответствие (2).

В быту и в технике, в научных исследованиях часто (но не всегда) массу изменяют другим способом — взвешивание. Этот способ не связаан с законом движения; он связаан с законом всемирного тяготения, и им изменяется не инертная, а так называемая gravитационная масса. Но удивительно образом эти две совпадения по своей роли в механике массы совпадают. В этой статье идет речь об инертной массе, которая является мерой инертности тела. Именно из-за существа инертной массы, из-за существа свойства инертности взаимодействие тел оказывается причины появления ускорения (а не скорости) у взаимодействующих тел.

В обихode, а иногда и в книгах по физике под словом «масса» подразумеется количество веществ в теле. Но ведь количество веществ в теле определяется числом частиц (атомов или молекул) данного вещества в нем. А масса определяет инертность тела и ничего больше. Но масса тела из данного вещества пропорциональна числу частиц этого вещества в теле. Измерять массу легко, а считать число частиц трудно. По этой причине и пользоваться массой как мерой количества вещества.

Интересно, что сам Ньюотон определял массу именно как количество

21

вещества. Но это обьясняется тем, что в то время считалось, что все вещества состояят из совершенного одинаковых атомов, лишь различным образом движущихся. Поэтому одинаковые массы содержали и одинаковые количество веществ. Истинный же смысл массы состоит в том и только в том, что масса — мера инертистия тел. Никакого другого смысла масса в механике Ньютона не имеет.

Масса в теории относительной (Добавление)

В начале нивеннего столетия Эйнштейном была создана так называемая специализная теория относительной, совершивая в физике не менеею по значению революцию, чем в свое время механика Ньютона. Она оказала влияние на всю физику, и механика не составила исключения. Теория относительной показала, что законы механики Ньютона верны лишь приближительно. В частности, не вполне точна и приведенная нами формула (1). Если два тела взаимодействуют так, как показано на рисунке 2, б, и прибретают при этом ускорения $a_1$ и $a_2$, то в действии телности постояным остается не относение $|\vec{a}_2|/|\vec{a}_1|$, а относение

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

где $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — соответственное скорости первого и второго тела, $c$ — постоянная величины, имеющая размерность скорости и равная $3.10^8$ м/с (таково же и значение скорости света!).

Посленство этого отношения тоже связано со свойством инертистия тел, выражаемым их массами. Так что мы опять можем написать, обозначив теперь массы тел через $m'_1$ и $m'_2$:

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

Формулу этого переписать в таком виде:

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

Сравнивая формулы (4) и (2), мы видим, что массы $m'_1$ и $m'_2$, о которых идет речь в теории относительной, и ньюто-

22

новские массы $m_1$ и $m_2$ связаны соотношениями

$$m_1' = \frac{m_1}{\sqrt{1 - v_1^2/c^2}}, \quad m_2' = \frac{m_2}{\sqrt{1 - v_2^2/c^2}}.$$

Они показывают, что масса тела вовсе не является постоянной величины — она зависит от скорости движения тела и возрастает с ростом скорости. А как как скорость — величина относительная и изменяется при переходе от одной системы координат к другой, то и масса — величина относительной.

Однако, когда скорости тела очень малы по сравнению со скоростью света $c$, то, как это видно из формул (5), можно считать, что $m_1' = m_1$ и $m_2' = m_2$. Это значит, что ньютоновские массы $m_1$ и $m_2$ — это инерные массы медленного движения, в пределе — покоящихся, тел. Их так и называют массами покоя. В механике Ньютона инерность тела выражается массой покоя, которая действительно является неизменнойся характеристикой тела.

Te скорости, которые встречаются в обычной технической практике, всегда много меньше скорости света. Далее скорости искусственных спутников Земли и космических кораблей (до 40 000 км/ч), даже скорость Земли в ее движении воокруг Солнца (108 000 км/ч) слищом малы, чтобы сказалось влияние скорости на массу, и можно считать, что массы тел, движущихся с таким скоростями, — это все еще постоянные и неизменные массы покоя. Лишь так называемые элементарные частицы могут движаться со скоростями, близкими к скорости света. Тогда и только

Как быть?

В некоторых шкoles, в некоторых искаляпersonобразную для функции $f(x) = \sin x \cdot \cos x$.

И было получено два ответа:

$$F_1(x) = \frac{1}{2} \sin^2 x$$

$$F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos^2 x.$$

Поскольку все полагали, что нашли одну и ту же первообразную, на доске появилось равенство

$$\frac{1}{2} \sin^2 x = -\frac{1}{2} \cos^2 x,$$

откуда быстрее оказалось

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 0,$$

или, попросту говоря;

$$1 = 0.$$

От такой чепухи надо было послое избавиться и получить ответы были записаны иначе:

$$F_1(x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C$$

$$F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos^2 x + C.$$

Однако на доске опять появилось равенство

$$\frac{1}{2} \sin^2 x + C = -\frac{1}{2} \cos^2 x + C,$$

из которой после вычитания $C$ снова получилось $1 = 0$.

И тогда ответы были записаны совсем аккуратно:

$$F_1(x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C_1$$

$$F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos^2 x + C_2.$$

Но ведь этиними постоянными могут быть любые числа, в том числе — одни и те же. И опять на доске появилось равенство

$$\frac{1}{2} \sin^2 x + 1979 = -\frac{1}{2} \cos^2 x + 1979,$$

из которой после вычитания 1979 снова получилось $1 = 0$.

В той школе, в том классе в конце концов поляли, что можно и чего нельзя писать, когда имеешь дело с первообразными. А вы?

В. Рыжик

23

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

В этой статье рассматривается довольно простые опыты, на которых можно познакомиться со сложением двух взаимно перпендикулярных колебаний. Попробуйте самостоятельное проделать предлагемые опыты и объяснить полученные результаты.

I. В верхнюю часть рамы дверного проема вбейте гвоздь. Слегая согласно его, прилав ему форму крючка. Привяжите к крючку тонкую прочную некруташуюся нить (бечевку) длиной 1,4—1,6 м. К свободному концу нити привяжите гирю массой 0,5—0,6 кг.

Вы получите так называемый математический матник. При небольших отклонениях от положения равновесия (а также при указанных значениях длины нити и массы гири) колебания матрица можно считать гармонческими.

С помощью секундомера или секундной стрелки наручных часов определяйте период колебаний матрица.

ника в плоскости дверной рамы (будем называть ее основной плоскостью). Повторите опыт, вызвав колебания матрица с той же амплитудой в плоскости, перпендикулярной основной (назовем ее перендикулярной плоскостью). Убедитесь в том, что найденные значения перiodов колебаний в обихах служах практических совпадают.

Теперь проделайте опыты по сложению двух указанных колебаний. Сначала вызовите колебания матрица с амплитудой 20—25 см в основной плоскости вдоль оси X. Затем толкните груз (например, с помощью молоточка) с расчетом вызвать его колебания в перпендикулярной плоскости вдоль оси Y.

Вы увидите, что движение груза изменится. Прежде всего груз будет двигаться по другой траектории, причем эта траектория определяется соответствием амплитуды слагаемых колебаний и начальным сдвигом фаз между ними.

Какие же виды траекторий возникны? Расмотрим сначала несколько частных случаев. Предположим, вы ударили по грузу в тот момент, когда он проходил положение равновесия, — груз будет колебаться по прямой, составляющей некоторый угол с осью X (рис. 1).

Теперь ударьте по грузу в момент его набольшего смешения из положения равновесия — груз начинает двигаться по эллипсу (рис. 2). Если же нанести удар в другом крайнем положении груза (с противоположной стороны от положения равновесия)

24

новесия), траекторий груза будет по-прежнему эллипс, но направление движения изменится на противоположное.

Оказывается, и во всех остальных случаях груз будет двигатся тоже по эллипсу, причем направление движения будет определенся тем, к какому именно крайнему положению близок груз в момент удара. Проверьте это. Кроме того, убедитесь в том, что движение по любой траектории происходит с периодом, равным периоду крайнему положению близок груз в момент удара.

Заметим, что для успешного проведения описанных опытов необходима некоторая тренировка. Особенно трудно наносить удары по грузу в положении равновесия, когда скорость движения груза наиболее записать:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
а по оси $Y$ — по закону
$$y = y_m \cos (\omega t - \varphi_0).$$

Здесь $x$ и $y$ — смешенная матрица от положения равновесия, $x_m$ и $y_m$ — амплитуды крайнения, $\omega$ — циклическая частота крайнения и $\varphi_0$ — начальный сдвиг фаз.

В первом частном случае, когда удар наносится в положении равновесия, сдвиг фаз $\varphi_0$ может быть равным либо 0, либо $\pi$.

Если $\varphi_0 = 0$, крайнения матрицы описываются уравнениями
$$x = x_m \cos \omega t$$
и $$y = y_m \cos \omega t.$$
Поделим второе уравнение на первое:
$$\frac{y}{x} = \frac{y_m}{x_m},$$
или $$y = \frac{y_m}{x_m} x.$$

Это уравнение прямой, наклоненной к оси $X$ под углом $\alpha$ таким, что $\tg \alpha = \frac{y_m}{x_m}$. В частности, при равенстве амплитуды крайнения ($y_m = x_m$) $\tg \alpha = 1$ и $\alpha = 45^\circ$.

Если $\varphi_0 = \pi$, уравнение крайнения матрицы таковы:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi) = -y_m \cos \omega t.$$

Отсюда
$$\frac{y}{x} = -\frac{y_m}{x_m},$$
или $$y = -\frac{y_m}{x_m} x.$$

При $y_m = x_m \tg \alpha = -1$ и $\alpha = 135^\circ$.

Второй частиный случай, когда удар наносится в крайних положениях груза, соответствует сдвигам фаз $\pi/2$ или $3\pi/2$. Для $\varphi_0 = \pi/2$ можно записать:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi/2) = y_m \sin \omega t.$$

После несложных алгебраических преобразований получим:
$$\frac{x^2}{x_m^2} + \frac{y^2}{y_m^2} = 1.$$

Это действительное уравнение эллипса.
При $\varphi_0 = 3\pi/2$ результат оказался тем же.
Если $y_m = x_m$, эллипс превращается в окружность, уравнение которого
$$x^2 + y^2 = x_m^2.$$

Заметим, что при сдвиге фаз $\varphi_0 = \pi/2$ движение груза по эллипсу (или, в частности, по окружности) происходит против часовой стрелки, а при $\varphi_0 = 3\pi/2$ — по часовой стрелке.

П. Перейдем к более сложным опитам. Вбейте в дверной проем еще один гвоздь на расстоянии 30—40 см от первого и опять слегка загипте его. Подвесьте груз на двух нитях, прикрепленных к двум крючкам. Вы получите матрикс с двойным (или бифиллярным) подвесом.

Подберите длины нитей такими, чтобы расстояние от груза до дверного проема было длиннее нитей простого матрики, с которым вы проводили первую серию опитов.

Вызовите крайнения матрики в перпендикулярной плоскости и экспериментально определите его период крайнения. Убедитесь в том, что найденный период практическим совпадет с периодом крайнения математического матрика.

Затем охватите обе нити небольшим проводочным колечком и поднините колечко как можно выше (рис. 3). Полученный матрикс с разведением подвесом может колечаться как в основной, так и в

25

перpendикулярной плоскости, но частоты колебаний будут разными. Это связано с тем, что период колебаний нашего матрика в основной плоскости определяется длиной $l_1$, а в перpendикулярной плоскости — длиной $l_2$ (см. рис. 3). Поскольку $\omega = \sqrt{g/l}$ и $l_1 < l_2$, получается, что частота колебаний в основной плоскости больше, чем в перpendикулярной.

Как будет себя вести матрик с развовенным подвесом, если его заставить колебаться одновременно в двух взаимно перpendикулярных направлениях?

Вызовите колебания матрика в основной плоскости. Когда груз будет находиться в одном из краейних положений, удальте по нему в перpendикулярном направлении — матрик начнет колебаться и в/perpendикулярной плоскости тоже. Постайтесь сделать так, чтобы амплитуда обих колебаний совпадали.

Сначала груз движется по окружности вокруг вертикальной оси (рис. 4). Через некоторое время окружность превращается в эллипс. Большая ось эллипса постепенно поворачивается, а малая ось — уменьшается, так что в некоторых момент эллипс стягивает в отрезок. Затем груз опять движется по эллипсу, но уже в противоположном направлении, через некоторое время эллипс превращается в окружность. Дальше все перiodические повторяется. Характерно, что при каждом переходе эллипса в прямую направление врашения груза изменяется на противоположное.

Попробуем обьясить такое поведение матрика. Напомним, что частоты колебаний матрика в двух взаимно/perpendикулярных направлениях не одинаковы — в основной плоскости по оси $X$ частота несколько больше, чем в/perpendикулярной по оси $Y$. Это приводит к тому, что разность фаз колебаний с течение времени постепенно изменяется (а не остается постоянной, как в/perpendикулярном).

Предположим, в начальной момент разность фаз колебаний равна $\pi/2$ — груз движется по окружности против часов стрелки (см. рис. 4, а). Со временем колебания по оси $Y$ остаются от колебаний по оси $X$ все больше и больше — окружность переходит в эллипс. Когда отставание достигает $\pi$, груз будет колебаться по прямой, составляющей с осью $X$ угол $135^\circ$. При разности фаз $3\pi/2$ груз опять будет движется по окружности, но уже по часов стрелке (см. рис. 4, б). Еще через некоторое время разность фаз колебаний становится равной $2\pi$, то есть, другими словами, колебания совпадут по фазе — груз будет движется по прямой, наклоненной к оси $X$ под углом $45^\circ$. Наконец, разность фаз снова увеличится до $\pi/2$ — груз, как и в начальной момент, груз движется по окружности против часов стрелки. И так далее.

26

2-адичские числа

Если бы вас спросили, что можно назвать «расстоянием между двумя рациональными числами», то, подумав, вы, верятоно, должны такой ответ: «расстоянием между двумя числами следует назвать модуль их разности. Такое определение выполняем разумно — это «расстояние» удовлетворяет всем аксиомам расстояния (см. «Геометрия 8», п. 132). Но, оказывается, расстояние между рациональными числами, удовлетворяющей всем аксиомам, можно вести и по-другому. Это сделал немецкий математик К. Гензель (1861—1941) — он придумал даже целый класс таких расстояний. Об одном из них и рассказывает в этой статье.

Исследования Гензеля оказались очень важными для алгебры и математики в целом, а нам его расстояние помогет решить две задачи, на первый взгляд, вообще не связанные ни с какими расстояниями.

2-адичское расстояние

Пусть $a$ и $b$ — рациональные числа. Если $a \neq b$, то представим число $a-b$ в виде $a-b = 2^k \cdot \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — нечетные числа, а $k$ — целое число (положительное, отрицательное или нуль). 2-адичским расстоянием между числами $a$ и $b$, $a \neq b$, называется число $\rho(a, b) = 1/2^k$. Если $a=b$, то положим $\rho(a, b) = 0$.

Напомним аксиомы расстояния:

A1. $\rho(a, b) > 0$, если $a \neq b$, и $\rho(a, b) = 0$, если $a=b$.

A2. $\rho(a, b) = \rho(b, a)$.

A3. $\rho(a, c) \leqslant \rho(a, b) + \rho(b, c)$.

Свойства A1 и A2 для 2-адичского расстояния, а также свойство A3 в случае, если среди чисел $a, b, c$ есть равные, оченьницы.

Докажем свойство A3 для различных рациональных чисел $a, b, c$. Пусть $a-b = 2^{k_1} \cdot \frac{m}{n_1}$, $b-c = 2^{k_2} \cdot \frac{m_2}{n_2}$, $a-c = 2^{k_3} \cdot \frac{m_3}{n_3}$, где все $m_i, n_i$ — нечетные числа. Так как $a-c = (a-b) + (b-c)$, то $k_3$ не меньше меньше из чисел $k_1$ и $k_2$. Но тогда $\frac{1}{2^{k_3}}$ не превышает большого из чисел $\frac{1}{2^{k_1}}$ и $\frac{1}{2^{k_2}}$ и тем более $\frac{1}{2^{k_3}} \leqslant \frac{1}{2^{k_1}} + \frac{1}{2^{k_2}}$.

Итак, мы видим, что все аксиомы выполняются, так что $\rho$ действительно можно назвать расстоянием.

Что же изменяет это расстояние? Оказывается, оно изменяет степень делимости рационального числа на 2. Чем лучше делится число на 2, тем оно ближе к нулю. Например, 8 ближе к нулю, чем 1/2; 16 ближе к нулю, чем 8; 480 ближе к нулю, чем 16; 384 ближе к нулю, чем 480.

В действительности, мы доказали, что 2-адичское расстояние обладает свойством A3’, более сильным, чем свойство A3. А3’. Расстояние $\rho(a, c)$ не превышает большого из расстояний $\rho(a, b)$ и $\rho(b, c)$.

У пряженние 1. Докажите, что если $\rho(a, b) \neq \rho(b, c)$, то $\rho(a, c)$ равно большему из чисел $\rho(a, b), \rho(b, c)$, а если $\rho(a, b) = \rho(b, c) \neq 0$, то $\rho(a, c) < \rho(a, b)$.

Свойство A3’ приводит к любопытным следствиям. Известем 2-адичским кругом радиуса $r$ с центром $a$ (а рациональное число, $r$ — положительное вещественное число) множество рациональных чисел $x$, для которых $\rho(a, x) < r$.

У пряженния 2. Докажите, что если два 2-адичских кругга имеют непустое пересечение, то один из этих кругов содержится в другом.

27

3. Докажите, что 2-адичский круг радиуса $r$ содержит бесконечно много попарно непересекающихся 2-адичских кругов радиуса $r$.

По аналогии с обычным моделем числа мы определим 2-адичский модуль $\|a\|$ рационального числа $a$ как 2-адичское расстояние от этого числа до нуля: если $a = 2^k \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — нечетные числа, то $\|a\| = \rho(0, a) = \left(\frac{1}{2}\right)^k$. Легко установить следующие свойства 2-адичского модуля:

M1. $\|a\| > 0$, если $a \neq 0$, и $\|0\| = 0$.
M2. Если $\|a\| > \|b\|$, то $\|a+b\| = \|a\|$, если $\|a\| = \|b\| \neq 0$, то $\|a+b\| < \|a\|^*$.
M3. $\|ab\| = \|a\| \cdot \|b\|$.

Ураженяя

4. Выведите из свойств M1—M3 следующие свойства 2-адичского модуля:

a) $\|a\| = \|a\|$, б) если $\|a\| \neq \|b\|$, то $\|a-b\| = \|a+b\|$.
5. Докажите, что если $\|1-x\| < 1$ и $\|1-y\| < 1$, то $\|1-xy\| < 1$.

Задача о квадрате

На рисунке 1 изображен квадрат, разбитый на кругуэнтные треугольники. Квадраты на рисунке 2 разбиты на треугольники равной площади. В каждом из этих примеров число треугольков разбиения четно.

Задача a. Доказать, что квадрат нельзя разбиить на нечетное число треугольников равной площади.

Выберем на плоскости системы координат таким образом, чтобы вершины $O, A, B$ и $C$ данной квадрата имели координаты $O(0; 0), A(1; 0)$,

$\cdot$ Так что в любом случае $\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$.

$B(1; 1), C(0; 1)$. Предположим, что квадрат разбит на $n$ треугольников равной площади. Тогда площадь каждого из треугольников разбиения равна $1/n$. Если $n$ нечетно, то $\|1/n\| = 1$, если же $n$ четно, то $\|1/n\| \geq 2$. Поэтому четность числа $n$ будет доказана, если мы установим, что $\|1/n\| \geq 2$.

Разберем частный случай. Пусть вершины треугольников разбиения — точки с рациональными координатами. В этом случае каждой вершины $(x; y)$ можно окрасить в зеленьй, красный или синний цвет по следующему правилу: если $\|x\| < 1$ и $\|y\| < 1$, то точка окрашивается в зеленьй цвет; если $\|x\| \geq \|y\|$ и $\|x\| \geq 1$, то точка окрашивается в красный цвет; если $\|x\| < \|y\|$ и $\|y\| \geq 1$, то точка окрашивается в синний цвет (см. рис. 3). Будем считать, что раскрашены не только вершины, а все рациональные точки плоскости.

Ураженяе 6. a) Докажите, что если $P$ — зеленьая точка, то при параллельном пересечении $\overrightarrow{PO}$ ($O$ — начало координат) каждой окрашенной точке сохраняет свой цвет.

6. Докажите, что ни на какой прямой не встречются точки всех трех цветов.

Предположим, что у одного из треугольников разбиения все вершины — разных цветов (в приложении доказано, что такой треугольник обязательно найдется). Пусть $K$ — зеленьая вершина этого треугольника.

При параллельном пересечении $\overrightarrow{KO}$ мы снова получим, в силу упражнения ба), треугольник с вершинами всех трех цветов. Обозначим через $L_1(x_1, y_1)$ красную вершину полученного треугольника, а через $L_2(x_2, y_2)$ — его синюю вершину (зеленья

28

вершина этого треугольника — точка $O$). Так как треугольник $OL_1L_2$ получен параллельным переносом треугольника разбиения, то его площадь равна $1/n$. С другой стороны, площадь треугольника $OL_1L_2$ равна $1/2|x_1y_2-x_2y_1|$. (Доказите, это самостоятельно.)

Таким образом, мы получили равенство $1/n=1/2|x_1y_2-x_2y_1|$. Тепер уже нетрудно установить неравенство $\left\|\frac{1}{n}\right\| \geq 2$. В самом деле, так как $L_1$ — красная точка, а $L_2$ — синяя точка, то $\|x_1\| \geq \|y_1\|$, $\|x_2\| < \|y_2\|$.

Переменная эти неравенства, мы получаем $\|x_1\| \|y_2\| > \|x_2\| \|y_1\|$, и, значит, по свойству $M3$ $\|x_1y_2\| > \|x_2y_1\|$. В силу свойства $M2$ и упражнения 46) $\|x_1y_2\| = \|x_1y_2\|$. Кроме того, $\|x_1\| \geq 1$, $\|y_2\| \geq 1$, так что $\|1/n\| = 2\|x_1\| \|y_2\| \geq 2$.

Для того, чтобы решить задачу в общем случае, достаточно доказать, что 2-адичский модель имеет продолжение на множество всех действительных чисел, т. е. существует функция $x \rightarrow \|x\|$, определяная на множество всех действительных чисел, обладающая свойством $M1-M3$ и совпадающая на множество разновальных чисел с 2-адичским моделем. Такая функция действительного существует, но доказательство ее существования требует привлечения города более сложных средств, чем те, которые мы располагаем в этой стате.

2-адичское разложение

Как известно, любое натуральное число можно представить в виде суммы степеней числа 2. Например, $1000 = 2^3+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9$. Используя 2-адичское рассмотрение, это разложение можно получить так. Сначала мы ищем степеня числа 2, которая находится на том же расстоянии от 0, что и число 1000. Найди эту степень $(2^3)$, вычитаем ее из числа 1000 и для получения числа 2, находящуюся с ним на одинаковом расстоянии от 0. Затем ищем степеня числа 2, находящуюся на одинаковом расстоянии от 0 с числом $960 = 992-2^5$, и так далее.

29

Используя отрицательные степени числа 2, можно получить аналогичные разложения рациональных чисел вида $\frac{m}{2^k}$, где $m$, $k$ — натуральные числа. Например,

$$\frac{1477}{256} = \frac{1 + 2^2 + 2^8 + 2^7 + 2^8 + 2^{10}}{2^8} = 2^{-8} + 2^{-6} + 2^{-2} + 2^{-1} + 2^0 + 2^2.$$

Никакие другие рациональные числа нельзя представить в виде суммы степени двойки, но, оказывается, такие сумми можно сколь угодно точно приближить любое рациональное число. Действительно, пусть $a$ — рациональное число и $\|a\| = \frac{1}{2^{k_1}}$. Поэтому $a_1 = a - 2^{k_1}$. Тогда $a_1$ близке к нулю, чем $a$ (см. упражнение 1).

Позному либо $a_1 = 0$, либо $\|a_1\| = \frac{1}{2^{k_2}}$, где $k_2 > k_1$. Поляга $a_2 = a_1 - 2^{k_2}$, мы снова получим, что либо $a_2 = 0$, либо $\|a_2\| = \frac{1}{2^{k_3}}$, где $k_3 > k_2$, и так далее. Таким образом, либо некоТОРое число $a_s$ равно нулю, и тогда $a$ является суммой степени двойки: $a = 2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_s}$, либо все $a_s$ отличны от нуля, и тогда сумми вида $2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_s}$ число $a$ приближается сколь угодно точно. В этом случае удобно считать, что $a$ равно бесконечной сумме $a = 2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_s} + \dots$.

Определение. Пусть $x_1, x_2, \dots, x_n$ — последовательность рациональных чисел. Будем говорить, что рациональное число $a$ равно бесконечной сумме $x_1 + x_2 + \dots + x_n + \dots$, если 2-адичное рассмотрение между числом $a$ и конечными сумми $S_n = x_1 + \dots + x_n$ стремится к нулю при $n$, стремящемся к бесконечности, то есть

$$\lim_{n \to \infty} \rho(a, S_n) = 0.$$

У практике, что если $\|q\| < 1$, то бесконечная сумма $a + aq + aq^2 + \dots + aq^n + \dots$ определяна и равна $\frac{a}{1 - q}$.

Мы доказали, что всекое рациональное число можно представить либо в виде конечной суммы $2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_n}$ ($k_1 < k_2 < \dots < k_n$), либо в виде бесконечной суммы $2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_n} + \dots$ ($k_i$ — целые числа, $k_1 < k_2 < \dots$). В обихх случае это представление, которое мы будем называть 2-адичским разложением числа $a$, можно записать в виде $\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \dots + \varepsilon_{k+n} 2^{k+n} + \dots$, где $k$ — целое число, а каждое из чисел $\varepsilon_{k+1}, \varepsilon_{k+2}, \dots, \varepsilon_{k+n}, \dots$ равно 0 или 1, причем $\varepsilon_k = 1$. Числа $\varepsilon_k, \varepsilon_{k+1}, \dots$ называются 2-адичскими цифрами числа $\frac{p}{q}$. Нетрудно доказать, что каждое рациональное число имеет одно и только одно 2-адичское разложение.

У практике 8. Докажите, что $-1 = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n + \dots$,

$$\frac{1}{6} = 2^{-1} + 1 + 2^2 + 2^4 + \dots + 2^{2n} + \dots$$

В силу упражнения 8 2-адичские цифры — 1 образуют последовательность 1, 1, 1, …, а 2-адичские цифры числа $\frac{1}{6}$ образуют последовательность 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, … Обе полученные последовательности перiodичны. Можно показать, что у любого рационального числа $\frac{p}{q}$ последовательность 2-адичских цифр перiodична *).

Для этого рассмотрим последовательность чисел $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$, определяемых равенствами $\frac{p}{q} - \varepsilon_k 2^k = \frac{a_1}{q} 2^{k+1}, \frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$

$$\frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$$

$$\frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$$

$$\frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$$

Теперь заметим, что 2-адичское разложение числа $\frac{p}{q}$ можно получить из 2-адичского разложения числа $\frac{a_n}{q}$, умножив каждое слагаемое в

*) В том же смысле, в котором периодина десятичная дробь, представляющая рациональное число: периодина, начная с некоторого места.

30

последнем разложении на $2^{k+n}$ и приписав к получившейся сумме спереди и $\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \dots + \varepsilon_{k+n-1} 2^{k+n-1}$.

Поэтому периодичность последовательности $\varepsilon_k, \varepsilon_{k+1}, \varepsilon_{k+2}, \dots$ будет установлена, если мы докажем, что в последовательности $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ какое-нибудь число встреется дважды. В действительности, последовательность $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ ограничена, и так как члены ее целые числа, среди них обязательно встреется равные. Ограничность этой последовательности устанавливается следующей цепочкой неравенств:

$$|a_n| = \left| \frac{p}{2^{k+n}} \right| - \left( \frac{\varepsilon_k}{2^n} + \frac{\varepsilon_{k+1}}{2^{n-1}} + \dots \right)$$

$$\dots + \frac{\varepsilon_k}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2} \left| q \right| \leqslant \left| \frac{p}{2^{k+n}} \right| + \left( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2} \right) \left| q \right| \leqslant \left| \frac{p}{2^{k+n}} \right| + \left| q \right|.$$

У праванице 9. Используя результат упражнения 7, докажите, что если $\varepsilon_k, \varepsilon_{k+1}, \varepsilon_{k+2}, \dots$ — периодическая последовательность цифр 0 и 1, то бесконечная сумма $\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \varepsilon_{k+2} 2^{k+2} + \dots$ является 2-адическим разложением неокоторого рационального числа.

2-адические числа

Кроме периодических разложений, которые задают рациональные числа, можно рассматривать и непроизводные разложения, считая, что они задают неокоторые новые числа. Эти числа вместе с рациональными образуют множество $Q_2$, элементы которого называются 2-адические числами.

Элементы из $Q_2$ можно попарно складать и переменная. Вот как это делается. Пусть $\alpha = \varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \dots$ Запишем $\alpha$ подобно бесконечной дроби: $\alpha = \varepsilon_k \dots \varepsilon_0, \varepsilon_1 \varepsilon_2 \dots$.

Если есть два числа из $Q_2$, записанных таким образом, то их сумму (производение) следует вычислять так же, как сумму (производение) двух бесконечных дробей, но с переносами «слева направо». (Примеры см. на рисунке 4.) Мы не можем оставаться на этом более подробно и предлагаем читателю самостояльно проверить, что сумма и произведение элементов из $Q_2$ вовь дает элемент из $Q_2$ и что эти операции обладают общими для умножения и сложения свойствами: удовлетворяют переместительному, сочетательному и распределительному законом.

2-адический модель и распостраняются на $Q_2$:

$$\sum_{n \to \infty} x_n = 0, \text{ мо существуют}$$

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} x_k = 0.$$

У праванице 13. Докажите достаточно условия $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} x_k = 0.$

14. Докажите, что сумма $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n! + \dots$ определяна, и найдите ее значение.

15. Докажите, что если $x \in Q_2$ и $\|x\| \leqslant \frac{1}{2}$, то определена сумма $\frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n} + \dots$.

2-адический логарифм

В заключение мы придадим более естественный форму решения задачи №434*.

Для этого рассмотрим функцию $L(x) = \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n} + \dots$, определяную на множество 2-адических чисел $x$, модуль которых не больше $\frac{1}{2}$ (см.)

*) Условие этой задачи см. в «Кванте» №12 за 1977 год.

31

Для решения задачи М434в достаточно доказать, что $L(2)=0$. Введем еще одну функцию по формуле $\log x=-L(1-x)$. Равенство $L(2)=0$ означает, что $\log(-1)=0$. Функция log (она называется 2-адицекским логарифмом) обладает основным свойством логарифмов: $\log(xy)=\log x+\log y$. Из этого свойства легко вывести равенство $\log(-1)=0$. Действительно, $\log 1=\log(1\times 1)=\log 1+\log 1=2\log 1$, откуда $\log 1=0$. С другой стороны, $\log 1=(\log(-1)\times(-1))=\log(-1)+\log(-1)=2\log(-1)$ и поэтому $\log(-1)=0$. 2-адицекный логарифм в множество 2-адицекских чисел играет ту же роль, что и обычный логарифм в множество вещественных чисел. 2-адицекный логарифм определяет для тех чисел $x$, для которых $\|x\|=1$, так как именно в этом случае $\|1-x\| \leqslant \frac{1}{2}$. (В частности, определяем $\log(-1)$.) Равенство, на котором основано решение задачи М434 в «Кванте», в пределе при $n$, стремящемся к бесконечности, принимает вид $L(2x-x^2)-2L(x)=0$. Это равенство также является следствием основного свойства логарифма. Действительно, $L(2x-x^2)=-\log(1-x)^2=-2\log(1-x)=2L(x)$.

С доказательством основного свойства 2-адицекого логарифма и срядом других свойств 2-адицекских чисел вы можете познакомиться по книге 3. И. Боревича и И. Р. Шафарвича «Теория чисел». Кроме логарифма есть и другие замечательные функции 2-адицекой переменной. Однако из таких функций является экспоненга — функция, определяенная равенством

$$\exp x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots$$

У праванке 16. Докажите, что экспоненга определяется на множество 2-адицеких чисел $x$, удовлетворяющих условиями, аналогичными свойством экспоненга: $\exp(x+y)=\exp x\cdot\exp y$, $\exp(\log x)=x$, $\log(\exp x)=x$. (Эти равенства справедливы для тех значений переменных, для которых они определены.)

Подобно тому, как было определено 2-адицекое рассмотрение, с помощью произвольного простого числа $p$ можно определить $p$-адицекое рассмотрение. Обаывается, все рассмотрения между различными числами эквивалентны либо общному, либо одному из $p$-адицекских рассмотрений. Но это — tema для другого расссказа.

Приложение

Нам осталось доказать существование треугольника с вершинами всех трех цветов. Сформулируем и доказем более общее утверждение:

Пусть квадрат OABC разбит на несколько треугольников. Предположим, что средние треугольники разбинаются нет такого, которое имеет вершины всех трех цветов, т. е. в каждом треугольнике разбинается есть две вершины одного цвета. Так как каждое звено, находящемся на контуре квадрата OABC, лежит на стороне одного треугольника разбинания, а каждое звено, находящемся на стороне двух треугольников разбинания, то из того, что каждый треугольник разбинается имеет две вершины одного цвета, следует, что на контуре квадрата лежит четное число звеньев типа 3K. С другой стороны, на отрезке OC и BC таких звеньев нет, на отрезке OA — четное число звеньев. Получено противоречие.

32

Задачик
Квана

М546—М550; Ф558—Ф562

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наболее трудные задачи отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Размещается, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 1 апреля 1979 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Квана» № 2—79» и номера задач, решения которых вы посылаете, например, «М546, М547» или «Ф558». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации (или цикла задач), присвайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Квана», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»)). В начале каждого письма просим указываать ваше имя, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

М546. Из произвольной точки $M$ окружности, описанной около прямогольника, опустили перpendикуляры $MP$ и $MQ$ на две его противоположные стороны, и perpendикуляры $MR$ и $MT$ — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые $PR$ и $QT$ perpendикуляры друг друга, а их точка пересечения приадлежит диагонали прямогольника.

Введе Шафарян, ученик 10 класса (Ереван)

М547. Для того чтобы уравнение $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число, имею единственное решение в натуральных числах $x, y$, необходимо и достаточно, чтобы $n$ было простым. Докажите это.

А. Данцелян

М548. a) На окружности расположено 4 точки. Через середину хорды, соединяющей две из них, проводится прямая, perpendикулярная хорде, соединяющей две других точки. (Такая прямая проводится для каждой пары точек.) Докажите, что все шесть построенных прямых проходят через одну точку.

6. На окружности расположено 5 точки. Через центр тяжесте трех из них (точку пересечения медиан треугольника с вершинами в этих точках) проводится прямая, perpendикулярная хорде, соединяющей остальные точки. Докажите, что все десять построенных прямых проходят через одну точку.

в) Обобщите эти утверждения на случай $n$ точек.

А. Лопшиц

М549. Дано натуральное число $N$. Выпишем все его делители $d_1, d_2, \dots, d_n$ и для каждой из них найдем, сколько делителей оно имеет. Докажите, что для полученных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ выполняется равенство

$$(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 = a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3.$$