Квант 1979, №5 · Страницы

КВАНМ 5
1978

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этих photographs вы видите бумажные модели «самовозвода-щегоса домика» в разных стадиях готовности. Подробнее об этой конструкции вы можете прочитать на странице 54.

1

Главный редактор
акademик И. К. Кионин

Первый заместитель
главного редактора
акademик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. елавного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. елавного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ:
2 Б. Голубов. Что такое ряд Тейлора?
8 Л. Тарасов. Открытие нейтрона
15 Т. Черновор. После захода Солнца

Matematический кругхок
18 М. Севрюк. Вариация на тему классических неравенств

Задачик «Кванта»
22 Задачи М561—М565; Ф573—Ф577
24 Решения задач М513, М514; Ф514, Ф521—Ф525

«Квант» для младших школьников
31 Задачи
32 В. Тихонов. Опытые с воздушными шариками
33 А. Дозоров. Шарик, который не сдувает

Практикум абитуриента
34 М. Крайзман. Заменим фигуру
39 Н. Берюлева. Построение изображений в линзах и сфереческих зеркалах
44 С. Алешин и др. Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
47 В. Ильин и др. Новосибирский государственный университет
49 Л. Асламазов. Московский институт стали и сплавов

Спрашивайте — ответаем

Рецензии, библиография
55 Г. Луканкин, М. Смолянский. Подарок учтелю и школьнику

Ответы, указания, решения

Наша обложка (с. 53, 54)

Смесь (с. 21, 38, 43)

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1979

2

Б. Голубов

Что такое ряд Тейлора?

Имя английского математика Брука Тейлора называется вошло в историю математики благодаря открытию, которое он сделал в 1715 году, в возрасте 29 лет. Что это за открытие? Об этом мы и постараемся расскажать.

Посмотите на рисунки 1—3. На них изображены графики функций $y = e^x$, $y = \frac{1}{1+x}$ и $y = \ln(1+x)$.

Под номером 1 на каждом из этих рисунков изображена касательная к соответствующему графику в точке $x = 0$, то есть график некоторой линейной функции $y = ax + b$ (проверьте, что именно будет соответственно функция-

ции $y = 1+x$, $y = 1-x$ и $y = x$). Под номером 2 на каждом из этих рисунков изображена касательная квадратного треугольника $y = ax^2 + bx + c$, который в точке $x = 0$ прилегает к графику соответствующей функции «теснее» всех других квадратных треугольников. Точнее, речь идет о таких квадратных треугольнах, которые в точке $x = 0$ совпадают с соответствующими функциями вместе со своим произвольным первого и второго порядка. В этих случаях говорят, что графики этих квадратных треугольнов имеют с соответствующими графиками касание второго порядка (проверьте, что таким будет соответствено квадратные треугольны $y = 1+x + \frac{x^2}{2}$, $y = 1-x + x^2$ и $y = x - \frac{x^2}{2}$).

Наконец, под номером 3 на рисунках 1—3 изображены графики функций $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, которые имеют с графиками соответствующих кривых в точке $x = 0$ касание третьего порядка (легко сообщить, что это

значит; проверьте, что таким будет соответствен функция

$$y = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6},$$

$$y = 1 - x + x^2 - x^3 \text{ и } y = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}.$$

Обратимся теперь к рисунку 4. На нем изображены график функции $y = \sin x$ и графики многочленов, имеющие с графиком синуса в точке $x = 0$ касание первого, третьего и пятого порядков (проверьте, что это — соответствен, многочлены $y = x, y = x - \frac{x^3}{6}$ и $y = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$).

Как видно из этих рисунков, чем выше порядок касания, тем теснее график многочлена примыкает в близи точки $x = 0$ к графику соответствующей функции.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

4

В этой статье мы получим ряды Тейлора для функции $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=e^x$ и $y=\ln(1+\dot{x})$.

Необходимые сведения из анализа

Прежде всего нам понадобится формула Ньютона — Лейбница:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a),$$

где функция $f$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, а функция $F$ является для нее первогообразной на этом отрезке.

Далее, из геометрического смысла интеграла вытекает, что $\int_a^b f(x) \, dx \geq 0$, если $f(x) \geq 0$ на $[a; b]$ (рис. 5). Отсюда легко следует, что если две непрерывные функции на отрезке $[a; b]$ удовлетворяют неравенству $f(x) \leq g(x)$, то $\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx$, то есть неравенства, связывающие неправильные функции, можно интерпровать, получая неравенства того же знака.

Наконец, нам понадобится равенство

$$\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{n!} = 0,$$

где $x$ — любое действительное число. Доказем его. Найдем по данному $x$ такое натуральное число $N$, что $\frac{|x|}{N+1} \leq y=f(x)$

Рис. 5. $S = \int_a^b f(x) \, dx$.

$\leq \frac{1}{2}$. Тогда для всех $n > N$ будут выполенены неравенства

$$0 \leq \frac{|x|^n}{n!} = \frac{|x|}{1} \cdot \frac{|x|}{2} \cdot \dots \cdot \frac{|x|}{N} \times \times \frac{|x|}{N+1} \cdot \dots \cdot \frac{|x|}{n} \leq \frac{|x|^N}{N!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-N} = \frac{|x|^N \cdot 2^N}{N!} \cdot 2^{-n}.$$

Поскольку $N$ фиксировано, то при $n \to \infty$ предел последовательности, стоящей в правой части этих неравенств, равен нулю. Отсюда и следует равенство (1).

Представление функции $\sin x$ и cos $x$ рядом Тейлора

Пусть функсировано $x > 0$. Тогда, интеграру неравенство $\cos t \leq 1$ по отрезку $[0; x]$, получим, что

$$\int_0^x \cos t \, dt \leq \int_0^x 1 \, dt.$$

Но так как sin $t$ является первообразной для cos $t$, а $t$ — первообразной для 1, предыдущей неравенство на основании формулы Ньютона — Лейбница можно записать в виде $sin x \leq x$. Это неравенство можно было бы написать сразу, но мы хотели обяснить принцип получения дальнейших неравенств и потому привели его доказательство.

Интеграру неравенство $\sin t \leq t$ по отрезку $[0; x]$, получим, что

$$\int_0^x \sin t \, dt \leq \int_0^x t \, dt.$$

Поскольку функция — cos $t$ является первообразной для sin $t$, а $\frac{t^2}{2}$ — первообразной для $t$, предыдущей неравенство на основании формулы Ньютона — Лейбница приет вид

$$1 - cos x \leq \frac{x^2}{2} \text{ или } cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}.$$

Интеграру это неравенство по отрезку $[0; x]$ и снова пользоваться формулой Ньютона — Лейбница, приdem к неравенству $\sin x \geq x - \frac{x^3}{3!}$.

5

Продолжая процесс последовательного интегрирования (и пользоваться методом математической индукции), легко доказать неравенства

$$\cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{4n}}{(4n)!},$$

$$\sin x \leq x - \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!},$$

$$\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!},$$

$$\sin x \geq x - \frac{x^3}{3!} + \dots - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!},$$

где $n = 0, 1, \dots, x > 0$.

Объединия первое и третье из неравенств (2), получим

$$1 - \frac{x^2}{2!} + \dots - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \leq \cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{4n}}{(4n)!}.$$

Левый многочлен можно рассматривать как приближенное значение $\cos x$ с недостатком, а правый—как приближенное значение $\cos x$ с известным (рис. 6). Но разность между правым и левым многочленами из неравенств (3) равна $\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!}$, и при $n \to \infty$ она стремится к нулю на основании (1). Поэтому

$$\cos x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots - \frac{x^{4n+2}}{(4n+2)!} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{4n}}{(4n)!} \right).$$

Результат записьюот в виде

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + \dots.$$

Правая часть этого равенства и называется $prdom Teйлора функции$ $\cos x$.

При доказательстве неравенств (3), а значит, и равенства (4), предполагаюсь, что $x > 0$. Но они справедливны и для $x < 0$ в силу четности всех входящих в них функций. Наконец, они легко проверяют и для $x = 0$ и, таким образом, справедливы при всех действительных $x$.

Аналогично, для $x > 0$ из (2) имеем

$$\sin x = \lim_{n \to \infty} \left( x - \frac{x^3}{3!} + \dots - \frac{x^{4n+3}}{(4n+3)!} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( x - \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^{4n+1}}{(4n+1)!} \right).$$

Этот результат записьюот в виде

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + \dots,$$

а выражение в правой части этого равенства называют $prdom Teйлора функции$ $\sin x$.

Заметим, наконец, что равенство (5) остается справедливым и для $x \leq 0$ в силу четности всех входящих в него функций.

Разложение функций $e^x$ в ряд Teйлора

Известно, что $(e^x)' = e^x$, откуда следует, что при любой построной $C$ функция $e^x + C$ является первообразной для $e^x$. Кроме того, нам важно знать, что $e > 1$ ($e = 2,718\dots$).

Поскольку $e > 1$, то $1 \leq e^t \leq e^a$ для всех $t \in [0; a]$. Интеррируя это неравенство по отрезку $[0; x]$, где $0 \leq x \leq a$, получим $x \leq e^x - 1 \leq e^ax$ или $1 + x \leq e^x \leq 1 + e^ax$. Эти неравенства также можно проинтегрировать по отрезку $[0; x]$, заменив в них предварительно $x$ на $t$. В результате получим

$$x + \frac{x^2}{2!} \leq e^x - 1 \leq x + e^a \frac{x^2}{2!},$$

Рис. 6.

6

илли

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} \leq e^x \leq 1 + x + e^a \frac{x^2}{2!} (0 \leq x \leq a).$$

Продолжая процесс последовательного интегрирования, получим неравенства

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} \leq e^x \leq 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^n}{n!} e^a,$$

где $n=0, 1, \dots, 0 \leq x \leq a$.

Таким образом, для каждого значения $x$ из отрезка $[0; a]$ получено приближенное значение для функции $e^x$ с недостатком и с избытком в виде многочленов степени $n$. Разность между правым и левым многочленами в неравенствах (6) равна $(e^a - 1) \frac{x^n}{n!}$; при $n \to \infty$ она стремится к нулю на основании (1). Поскольку $a$ — произвольное положительное число, из неравенств (6) следует, что при любом $x \geq 0$

$$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} \right).$$

Запишем это в виде равенства

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$$

(7)

Выражение в правой части (7) называется рядом Тейлора функции $e^x$.

Уражение не 1. Обосновите равенство (7) при $x < 0$. (Указание не. Воспользовитесь тем, что $e^x < 1$ при $x < 0$).

Разложение функции $\ln(1+x)$ в ряд Тейлора

Функция $\ln(1+x)$ определяется как $\log_e(1+x)$, то есть основание логарифма равно $e$. Поскольку $\ln(1+x)^\prime = \frac{1}{1+x}$ при всех $x > -1$, то для $\frac{1}{1+x}$ функция $\ln(1+x) + C$ является первообразной на интервале $-1; +\infty$ [ при любой построенной $C$. Этим мы воспользуемся следующимся ниже. Заметим, что при $t \geq 0$ справедливый неравенства

$$1 - t + \dots + t^{2n-2} - t^{2n-1} \leq \frac{1}{1+t} \leq 1 - t + \dots + t^{2n-2} - t^{2n-1} \leq \frac{1}{1+t} \leq 1 - t + \dots + t^{2n-2} - t^{2n-1} + t^{2n}.$$

(8)

(Обосновите их самостоятельное.)

Интеррируя неравенства (8) по отрезку $[0; x]$, где $x \geq 0$, и пользоваться формулой Ньютона—Лейбница, получим неравенства

$$x - \frac{x^2}{2} + \dots - \frac{x^{2n}}{2n} \leq \ln(1+x) \leq x - \frac{x^2}{2} + \dots - \frac{x^{2n}}{2n} + \frac{x^{2n+1}}{2n+1},$$

(9)

в которых $x \geq 0$. Разность между правым и левым многочленами равна $\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$. Если $0 \leq x \leq 1$, то она стремится к нулю при $n \to \infty$. Поэтому

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n + \dots$$

(10)

для $0 \leq x \leq 1$.

Уражение не 2. Убедитесь, что это равенство справедливо и для $-1 < x < 0$. (Указание не. Воспользовитесь тем, что при $t > -1$ $1 - t + \dots + t^{2n-2} - t^{2n-1} \leq \frac{1}{1+t} \leq 1 - t + \dots + t^{2n-2} - t^{2n-1} + t^{2n}$ если $\lambda > \frac{1}{1+t}$.)

Выражение в правой части равенства (10) и называется рядом Тейлора функции $\ln(1+x)$.

При находении рядов Тейлора функции $\sin x$, $\cos x, e^x$ и $\ln(1+x)$ мы использували различных искусственных приемы. На самом деле существует единый метод нахождения ряда Тейлора функции — он основан на ее последовательном дифференцировании. С ним мы можете познакомиться по замечательной книге А. Я. Хинчина «Восемь лекций по математическому анализу» (M., «Наука», 1977).

Что дает полученные оценки?

Полученные выше оценки функции $\sin x$, $\cos x, e^x$ и $\ln(1+x)$ позволяют вычислять их в произвольной точке с любой требуемой точностью.

7

Например, если требуется узнать значение функции sin x в точке $x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$ с погрешностью, не превысходящей числа $\varepsilon > 0$, то найдем сначала такое целое $n \geqslant 0$, что $x^{4n+1}/(4n+1)! < \varepsilon$. Тогда значения многочленов из неравенств (2) в точке $x$ дают нам значение sin x с точностью до $\varepsilon$, одно с недостатком, другие — с известком. Вычисление же значений в других точках с помощью формул приведения свойства к вычислениям в точках отрезка $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$.

Немного истории

Сочинение Б. Тейлора «Methodus incrementorum directa et inversa» вышло в свет в 1715 г. в Лондоне на латинском языке. Тейлор был современником Ньютона и Лейбница — основателем дифференциального и интегрального исчисления. Его метод был основан на формуле Ньютона, которая дает приближенное представление функции на заданном отрезке в виде многочлена степени $n$, совпадаетщего с данной функцией в $n+1$ равностоящих точках отрезка (в том числе и в его конечных точках). Тейлор совершил переход к предлуу в формуле Ньютона при $n \rightarrow \infty$ совершенно формульно, не заботясь об обосновании предельного перехода.

По этому поводу видный немецкий ученый и историк математики Ф. Клейн писал: «В существии, Тейлор здесь операрует с бесконечно малыми (дифференциальами) горздо, если можно так выразиться, легкомысленное, чем это когда-либо делали последователь Лейбница; интересно отметить, что он еще… на глазах Ньютона так уклонился от метода пределов, который пользовался последний» *).

Воспследствие многое математики из разных стран занимались обоснованием метода Тейлора: Лагранж, Коши, Шлёмльх, Рош, Пеано и другие. Благодаря их усилиям метод представления функции рядами Тейлора и метод приближенного изобравжения функции многочленами получили полное обоснование.

В настоящее время понятие ряда Тейлора является одним из основных в вычислении математике. Ряды Тейлора или их конечные суммы находят применение почты всюду, где имеется необходимость точного или приближенного изобравжения плавающего меняющихся функций.

Задание

1. Пользовать равенство
   $$\text{arctg} x = \int_0^x \frac{dt}{1+t^2} (-\infty < x < \infty),$$

доказать, что при $x \geqslant 0$ и $n = 0,1, \dots$ справедливые неравенства
$$x - \frac{x^3}{3} + \dots - \frac{x^{4n+3}}{4n+3} \leqslant \text{arctg} x \leqslant x - \frac{x^3}{3} + \dots + \frac{x^{4n+1}}{4n+1}.$$

Если же $x < 0$, то в этих неравенствах знак «≤» следует заменить на «≥».

2. Доказать, что для $-1 < x \leqslant 1$ справедливо равенство
   $$\text{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots$$

3. Доказать равенство $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$

4. Доказать равенство $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

5. Доказать равенство
   $$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$$

6. Доказать равенство
   $$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)}{n!} x^n + \dots,$$
   где $-1 < x \leqslant 1, -\infty < \alpha < +\infty$.

Л. ТАРАСОВ

ОТКРЫТИЕ
НЕЙТРОНА

Всес нас весьма интересует вопрос о
строении ядра и возможности ключ для
его решения, появившийся благодаря
открытую нейтрона.

Нильс Бор (1932 год).

Мыслу о возможном существовании
нейтрона была впервые высказана
в 1920 году вликом английским физиком Резерфордом. Нейtron представлялся Резерфорду в виде «нейтральногоублета» — тесного соеди-
нения протона и электрона.

Нейтронная гипотеза Резерфорда

Резерфорд пришел к нейтронной гипотезе, размышляя над проблемой структуры atomных ядер. Например, было известно, что atom геля имеет 2 электрона и, следовательно, ядро этого atomа должно содержать 2 протона (ведь atom нейтранен). Однако масса atomа геля не в два, а в четыре раза больше массы atomа водорода. В связи с этим возникала мысль, что ядро геля составляют 2 электрона и соответственно 4 протона. С точки зрения Резерфорда, ядро геля состоит из 2 протонов и 2 нейтральных дублетов. Atom кислорода, например, имеет 8 электронов, а его масса в 16 раз больше массы atomа водорода; поэтому можно было предположить, что ядро кислорода содержит 16 протонов и 8 электронов (по Резерфорду — 8 протонов и 8 нейтральных дублетов).

Почему Резерфорд представляет нейтрон в виде «дублета» из протона и электрона, а не в виде самостояльной нейтральной частицы? Это можно понять, если вспомнить, что в 20-е годы нашего столетия были известны только три элементарные частицы — электрон, протон, фотон; в то время было принято считать, что эти частицы полностью исчерпывают весь набор «элементарных кирпичков», из которых построена материя. Расматривая гипотетический нейтрон как «объединение» протона с электроном, Резерфорд тем самым следовал общепризнанной концепции. Кроме того, открыта еще в 1898 г. β-радноактивность ядер, как казалось, вполне определенно указывала на наличие электронов внутри atomных ядер β-излучение ядер — поток электронов).

Ограниченность нейтронной гипотезы Резерфорда не умаляет ее исторической ценности. Резерфорд сумел заразить идеей «нейтрона» (пуст даже представляемого в виде минитаорного atomа водорода) много своих учеников. И в полне закономерно, что именно одному из них, Д. Чедвину, удалось действительно открыть нейтрон — не нейтрый «нейтральный дублет» из протона и электрона, а новую элементарную частицу.

Это произошло в 1932 г. Открытие предшествовал ряд интереснейших событий в мире физики.

«Изгнание» электронна из atomного ядра

Одно из таких событий произошло в 1924 г., когда французский физик Луи де Бройль предложил сопоставлять с электроном некуло волину. Длина этой волны λ выражалась через импульс электрона p следующим образом:

$$\lambda = \frac{h}{p},$$

где $h=6.6 \cdot 10^{-34}$ Дж·с — универсальная физическая постоянная — постоянная Планка. В 1927 г. гипотеза де Бройля (и в частисти, формула (1)) получила экспериментальное подтверждение в опытах, обнаруживших диффраκцию электронов при прохождения сквозь тонкие металлические пластинки.

Обнаружение у электронов волновых свойства существенного меняло представления физков о структуре atomного ядра. Теперь стало ясно: электроны в состав atomного ядра не входят — по той причине, что электрон просто не может «поместиться» внутри ядра.

Условные схемы, илиструрующие структуру ядра геля: а) — протонно-электронная модель; б) — модель с нейтральными дублетами Резерфорда; с) — протонно-нейтронная модель. Обозначения: 1 — протон, 2 — электрон, 3 — нейтральный дублет, 4 — нейтрон.

В самом деле, чтобы помещиться в ядре, электрон должен иметь длину волны λ, не превышающего диаметра d ядра: λ<d. Используя (1), получаем отсюда неравенство

$$p > h/d.$$

Minimalное значение импульса электрона, определяющее этим нера-

10

венстом, очень велико. Действительно, подставив $d \sim 10^{-14}$ м (характерные размеры atomного ядра были оценены в опытах по рассеянию $\alpha$-частиц, выполенных Резерфордом еще в 1910 г.), получим
$$p \approx 6,6 \cdot 10^{-20} \text{Дж.}$$

Для частицы, масса которой $m \approx 9,1 \times 10^{-31}$ кг, это — огромный импульс. Поэтому для оценки энергии $E$ электрона надо воспользоваться соответствием релятивистской диамники
$$E = pc^2/v,$$
(3)

где $c = 3 \cdot 10^8$ м/c — скорость света в вакууме, $v$ — скорость электрона. (Это соответствие следует из известных релятивистских формул
$$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$$
где $m_0$ — масса электрона.)
Полагая в рассматриваемом нами случае $v \approx c$, получаем из (3):
$$E \approx pc.$$
Теперь неравенство (2) может быть переписано в виде
$$E > hc/d.$$
Подставив сюда значения $h$, $c$ и $d$, получим: $E > 2 \cdot 10^{-11}$ Дж, или $E > 10^8$ ЭВ (напомним, что 1 ЭВ = 1,6 $\times$ 10$^{-19}$ Дж).
Итак, чтобы поместиться внутренAtomного ядра, электрон должен энергию не менее $10^8$ ЭВ. При β-распаде ядра эта энергия должна была бы освобождаться. Однако, как показывает опыт, энергия, выделяющая при β-распаде ядр, существенно меньше — она не превыходит $10^5 - 10^6$ ЭВ (в расчете на одно ядро).
Следовательно, приходит признать, что, во-первых, электрон в состав ядер не входят и, во-вторых, электрон при β-распаде ядрарождается в момент акта распада (подобно тому какрождаются фотоны при испускании света atomами).
Впрочем, надо заметить, что несмотря на обнаружение у электрона волновых свойств, вопрос о наличии электронов в ядрах неотоденое время продолжал оставаться открытым. может быть, по той причине, что волновые свойства электрона казались весы неопонятными?

Загадочное изучение

В 1919 г. Резерфорд впервые осуществил искусственное расщепление ядра азота $\alpha$-частиц. Эта ядерная реакция в современной записи выглядает так:
$$\frac{14}{7}N + \frac{4}{2}He \rightarrow \frac{17}{8}O + p$$
($\frac{14}{7}N$ — ядро азота, состоящее из 7 протонов и 7 нейтронов; $\frac{4}{2}He$ — ядро гелия, или $\alpha$-частица (2 протона, 2 нейтрона); $\frac{17}{8}O$ — ядро одного из изготовов кислорода (8 протонов, 9 нейтронов); $p$ — протон).
В последующие годы началось интегирование изучения ядрных реакций, произходящих под действием $\alpha$-частиц. Было установлено, что многолегкие элементы при обстреле $\alpha$-частицами испускают протоны. Многие, но не все!
В мае 1930 г. немецкие физики Боте и Бекер обнаружили, что берилли при обстреле $\alpha$-частицами испускает не протоны, а какое-то другое испускание, до тех пор не известное. Излучение это не оставляло трехков в камере Вильсона; через довольно только съвизцовые плиты (толщиной 10 см) это испускание проходило, почти не ослабевая. Поэтому было высказано предположение, что это очень жесткое $\gamma$-излучение — электромагнитное излучение, кванты которого ($\gamma$-кванты) несут огромную энергию.
Загадочный излучением Боте — Бекера занитесовались французские физики Ирен и Фредерик Жоллю-Кюри. Они поставили на пути изизлучения заслоку из водородсодержащого вещества — парафина — и немедленно получили интересный результат: парафиновая заслока, в отличие от свинцовой, надежно перекрывала излучение Боте — Бекера; при этом из парафина летело в направлении излучения весы большое число быстрох протонов.
Жоллю-Кюри предположили, что протоны — ядра отдачи, появляющиеся в результате стольновения с atomами водорода, имеющимся в парафине, фотонов с очень большой энергей. Протоны «выбиваются» из atomов водорода. Зная энергию протона,

11

можно оценить энергию фотона, «выбившего» этот протон. Жоллю-Кюри сделали эту оценку. Энергия протонов была определена по максимальным расстояниям, проходным имми в воздухе. Затем, на основании законов сохранения импульса и энергии, быладана оценка соответствующей энергии фотона. Значение этой величины оказалось очень большим: ~5×10⁷ эВ.

Хотя в общих чертах обяснение является было дано, признать его удовлетворительным и окончательным было нельзя. Многое оставалось неясным. Откуда берется столь большая энергия фотонов? Почему, охотно передавая свою энергию протонам, футоны в то же время не желают взаимодействовать сатомами свинца? И тем не менее в своей работе, опубликованной 18 января 1932 г., Ирен и Фредерик Жоллю-Кюри продолжали считать, что излучение Боте — Бекера — жесткое электромагнитное излучение. В заключительных строках работы говорилось: «Итак, насмотции опытими, по-видимому, установлено, что электромагнитное излучение высокой частоты способно освободить в водородсодержащих веществ промоны и придавать им высокие скорости».

Открытие нейтрона Чедвиком

Познакомившись с работой Жоллю-Кюри, английский физик Д. Чедвик из лаборатории Резерфорда в Кембридже договорался, что французские физики (равно как и немецкие физики Боте и Бекер) имели дело не с жестким электромагнитным излучением, а с нейтронами. Чедвик был учеником Резерфорда; под влиянием учителья он давно и основательно проникся идеей «нейтрона», искал нейтроны, ожидал встреть их в любом новом излучении. Воспследствии он признавался: «Мой мысли, естественно, вертельсь вокруг нейтронов».

Чедвик повторил опыты Жоллю-Кюри, внеся в них существование дополнительные с целью проверки нейтронной гипотезы: он использовал разные засlonки, содержащие легкие элементы (водород, литий, углерод, азот и другие). Чедвик обнаружил, что загадочное излучение, возниклошее приombardировке бериллия α-частицами, способно создавать не только протоны, но и другие ядра отдачи — ядра лития, углерода, азота и т. д.

Для измерения энергии ядер отдачи Чедвик воспользовался импульсной номизационной камерой с использованием и осцилографом. Ионизационная камера имеет два электрода, между которых подана разность потенциалов (10²—10³ В). Ядро отдачи, пропелая влизи этих электродов, производит номизацию atomов газа, направляющего камеру. Возникающие на пути ядра отдачионы и электроны движутся под действием электрического поля к соответствующим соираюшим электродам; в результате в цепи номизационной камеры появляется импульс тока, который может быть успешно и подан на осцилограф. Измеряя величины наблюдаемого на осцилографе импульса, Чедвик определял энергию различных ядер отдачи (протонов, ядер азота и др.). Сравнив затем энергии, он пришел к выводу: излучение, возниклошее приombardировке бериллия α-частицами, есть не что иное, как поток нейтральных частиц с массой, практически равной массе протона.

12

И вот 27 февраля 1932 г. (то есть спустя всего лишь месяц после опубликования работы Жоллю-Кюри) появляется краткое сообщение Чедвика «Возможность существования нейтрона». В сообщении, в частиности, говорилось:

«… Результаты, полученные много, очень трудно обяснить, исходя из предположения об электронном излучении, если при стольновении должны сохраняться энергия и количество движения. Однако трудности исчезают, если предположить, что излучение состоит из частиц с массой 1 и загрязом 0, то есть из нейтронов. Можно предположить, что в результате захвата α-частицы ядром Be образуется ядро $^{12}$C и испускается нейтрон … Столковения этих нейтронов с атомами, через которые они проходят, создают атомы отдачи; наблюдаемая энергия атомов отдачи находится в полном соответствии с макой точкой зрения».

Рассужждение и довольно простые расчеты Чедвика, основанные на законах сохранения энергии и импульса, весы почительны. Попробуем повторить их.

Предположим, что ядро массы $m$ (предполагаемый нейтрон), имеющее скорость $v$, испытывает любое упругое столковение с покоящимся ядром массы $m'$. Законы сохранения энергии и импульса для данного столковения имеют вид:

$$mv^2/2 = mv_1^2/2 + m'v_2^2/2,$$

$$mv = mv_1 + m'v_2,$$

где $v_1$ и $v_2$ — скорости ядер $m$ и $m'$ после столковения. Заметим, что векторы $v, v_1$ и $v_2$ направлены вдоль одной прямой. Из этих уравнений найдем скорость ядра отдачи (ядра $m'$):

$$v_2 = 2vm/(m + m')$$

($v_2, v$ — абсолотные значения скоростей). Далее предположим, что в одном случае ядро-minшень имеет массу $m'$ (обозначим его скорость после столковения как $v_2'$), а в другом случае — массу $m''$ (скорость $v_2''$). Из (5) следует, что

$$v_2'/v_2'' = (m + m'')/(m + m'').$$

В случае водородсодержащей и азотсодержащей миниеней значения масс ядер отдачи соответствующего $m'=1$ и $m''=14$. Измерив для этих миниеней энергии ядер отдачи, Чедвик нашел, что $v_2'/v_2'' \approx 7$. В этом случае соответствие (6) прибретает вид

$$(m + 14)/(m + 1) \approx 7,$$

откуда немедленно следует, что $m \approx 1$.

Схема экспериментальной установки Чедвика: В. К. — вакуумная камера; 1 — полоний, являющийся источником α-частиц; 2 — α-частицы; 3 — бериливая миншень; 4 — проникающей излучение (нейтроны); 5 — заслона, из которой выбиваются ядра отдачи (опыты проводились с разными заслонами из легких элементов); 6 — вылетошие из заслонки ядра отдачи; И. К. — ионизационная камера для измерения энергии ядер отдачи; 7 — электроды для собриванияонов, образующихся внутренними камерными при прохождения через ядер отдачи.

14

ний ядерных реакций легко обьяснить. При стольновении загяженной частицы с ядром вероятность ее проникновения в ядро ограничена кулоновской силой расталкивания. В случае же соударения нейтрона с ядром ограничения такого типа не существует. Сила взаимодействия нейтрона с ядром вначале весма мала; лишь на очень малых расстояниях она начинает быстро растити и носит характер притяжения… Поэтому даже нейтроны очень малой энергии могут проникнуть в ядро.»
В 1934 г. италянским физиком Э. Ферми была открыта искусственная радиоактивность atomных ядер под действием нейтронного облучения.
В том же 1934 г. Ферми с сотрудниками наблюдали деление ядер тяжелых элементов под действием медленных нейтронов. (Правда, верную интерпретацию наблюдаемого явления Ферми не дал. Только в 1939 г. немецкие физики О. Ган и Ф. Штрасман сделали правильный теоретический вывод: под действием медленных нейтронов проискают деление тяжелых ядер с образованным радиоактивным осоклов.)
С открытом нейтрона началась эра ядерной физики, ознакомовавшаяся в середине XX столетия развитием физики элементарных частиц и розденим ядерной техники.
В истории физики 1932 г. обычно называют «годом чудес», отдавая должное обилию замечательных открытий, выпавших на долю этого года. С этим названем можно согласиться даже в том случае, если учитывать только открытие нейтрона.

Открытие нейтрона — своеобразный узел в сети направленный научных исследований

ИССЛЕДОВАНИЯ ЕСТЕСТ – ВЕННОЙ РАДИОАКТИВНОСТИ АТОМНЫХ ЯДЕР

НАКОПЛЕНИЕ ДАННЫХ ПО СТРУКТУРЕ АТОМНЫХ ЯДЕР (РАЗМЕРЫ, МАССА, ЗАРЯД, СОСТАВ И Т.П.)

ИССЛЕДОВАНИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ, ИНИЦИРОВАННЫХ α - ЧАСТИЦМИ

РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦ

ОТКРЫТИЕ НЕЙТРОНА

СОЗДАНИЕ МОДЕЛЕЙ АТОМНЫХ ЯДЕР

ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОВЛЕМЫ ЯДЕРНЫХ СИЛ

ИССЛЕДОВАНИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ, ИНИЦИРОВАННЫХ НЕЙТРОНАМИ

ОТКРЫТИЕ РАДИОАКТИВНОСТИ ЯДЕР, НАВЕДЁННОЙ НЕЙТРОНАМИ

ОТКРЫТИЕ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР

15

Т. Черновор

После захода Солнца

Можно ли невооруженным глазом увидеть искусственный спутник Земли? Ответ на этот вопрос представляется очень удобным: конечно, нет. Ведь для того чтобы глаз видел удаленный предмет, необходимо, чтобы угловой размер ф этого предмета (рис. 1) был не меньше $\varphi_{\min} \approx 1' \approx 10^{-4}$ рад. Значит, спутник, нахождение $R \approx 500$ км от поверхности Земли, может быть виден невооружным глазом, если его линейный размер $d$ не меньше чем $R \varphi_{\min} \approx 50$ м! Так что наблюдается Земли невооружным глазом искусственный спутник нельзя. Однако…

Попробуем оценить угловые размеры звезд. Будем считать, что расстояние до звезды $R \approx 10^{16}$ м (на

16

захода Солнца (или перед его восходом). Дело в том, что между моментом захода Солнца на уровне горизонтта и на некоторой высоте над горизонтом существует временной интервал. И если на той высоте, где находится спутник, Солнце еще не зашло, а для наблюдаемого $H$ — уже зашло (рис. 2), то на участке $CC'$ орбиты спутник для такого наблюдаателя светится. Ясно, что чем меньше времени прошло после захода Солнца на уровне горизонтта, тем больше участок орбиты, на котором можно наблюдаать светящийся спутник.

Мы сказали «наблюдать». Но как? Можно ли видеть светящийся спутник невооруженным глазом? Посмотрим.

Для глаза существует энергетический порог видимости: глаз реагирует на световое излучение, если мощность этого излучения, попадающая в глаз, не менее $P_{\min} \approx 3 \cdot 10^{-17}$ Вт. Оценим попадающий в глаз мощность излучения спутника. Точнее, ту мощность солнечного излучения, которая, отражаясь от спутника, попадает в глаз наблюдая.

Будем назвать интегиивностью энергии излучения, прохождение за единицу времени через единичную площадку.

В околоземном пространстве интегиивность солнечного излучения равна $I_0 \approx 1,4 \cdot 10^3$ Вт/м². Если площадь поверхности спутника $s \approx 10$ м², то мощность солнечного излучения, попадающая на спутник,

$$P_c = I_0 s \approx 1,4 \cdot 10^4$$ Вт. Часть этой энергии, — приблизительно 0,1, — отражается от поверхности спутника *). Так что мы можем рассматривать спутник как источник излучения мощностью $P_\pi = kP_c \approx 1,4 \cdot 10^3$ Вт ($k=0,1$ — коэффициент отражения).

Интенсивность этого излучения на расстоянии $R$ от спутника равна $I_R = P_\pi/4\pi R^2$ ($4\pi R^2$ — это площадь сферы, «окружающего» спутник; через эту площадь прохождение мощность $P_\pi$ излучения спутника; так что $P_\pi/4\pi R^2$ — это как раз мощность излучения, попадающая на единицу площади, то есть интегиивность). Если спутник находится на расстоянии $R \approx 500$ км от поверхности Земли, то интегиивность излучения, попадающего в глаз наблюдая, $I_R \approx 0,4 \cdot 10^{-9}$ Вт/м². Считая, что площадь экрана наблюдая приблизительно 0,3 см², находится излучения, попадающего в глаз наблюдая: $P \approx 10^{-14}$ Вт.

Таким образом, $P \gg P_{\min}$. Значит, наблюдая с Земли может видеть

*) То, какая часть солнечной энергии отражается от поверхности спутника (инными словами, коэффициент отражения), зависит от состояния этой поверхности, от ее обработки. А это определяется целевым назначением спутника. Так что величины коэффициента отражения колблется в широких пределах. Мы же для наших оценок возьмем значение 0,1.

18

Вариация на тему классических неравенств

Эта заметка написана десятиклассиком Мишей Севриоком на основе его доклада на конференции НОУ Московской школы № 2. В ней доказываются неравенства, найденные автором, видимsementшие и обобщенные неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Они, конечно же, не новые: в классических области математики практические нет «белых пятен», достижимых без серверной подготовки. Доказательства упомянутых неравенств содержатся, например, в замечательной, но трудно доступной книге Харди, Литвуда и Поляна *); однако чисто комбинаторные доказательства М. Севриока оригинальных и заметно проще.

Неравенства указаанного типа интересют и многих других наших читателей. Кроме заметки М. Севриока мы в этом номере публикуем в виде задачи (М565) неравенства Маклорена, интересные доказательства которых прислал М. Розенберг, а также задачу P. Винокура, показывающего применимость неравенств указаного типа в самых разнообразных ситуациях.

В наш век электронных компьютеров приятно сознавать, что живое искусство алгебраических преобразования не утратило свою привлекательность и не перестало быть полезным …

Еще древние греки знали, что среднее геометрическое $\sqrt{ab}$ двух неотрицательных чисел не преосходит их среднего арифметического $\frac{a+b}{2}$. Эта теорема справедлива для любого числа неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$:

$$\frac{1}{n} (a_1 + \cdots + a_n) \geq (a_1 \dots a_n)^{1/n}$$

(равенство наступает только тогда, когда все $a_i$ совпадают); она будет служить основой всего дальнейшего.

Первая серия неравенств

Здесь по-прежнему $a_1, a_2, \dots, a_n$ — произвольные неотрицательные числа. Кроме суммы $S_1$ всех $a_i$ по отдельности, как в неравенстве (1), нас будут интересовать сумма их всевозможных попарных произведений $S_2 = a_1 a_2 + a_1 a_3 + \dots + a_{n-1} a_n$,

сумма их всевозможных произведений по три

$$S_3 = a_1 a_2 a_3 + a_1 a_2 a_4 + \dots + a_{n-2} a_{n-1} a_n$$

и вообще сумма $S_k$ их произведений по $k$ компонентей ($k \leq n$). Аналогично, кроме произведения $P_1$ всех $a_i$ по отдельности, нас будут интересовать произведение всевозможных попарных сумм

$$P_2 = (a_1 + a_2) (a_1 + a_3) \dots \dots (a_{n-1} + a_n)$$

произведение сумм по три

$$P_3 = (a_1 + a_2 + a_3) (a_1 + a_2 + a_4) \dots \dots (a_{n-2} + a_{n-1} + a_n)$$

и вообще произведение $P_k$ их сумм по $k$ слагаемых ($k \leq n$).

Оказывается, величины $S_k$ и $P_k$ при $k=1, 2, \dots, n$ можно дать следующие оценки сверху и снизу (через $S_1 = a_1 + \dots + a_n$ и $P_1 = a_1 \dots a_n$):

$$C_n^k \left( \frac{S_1}{n} \right)^k \geq S_k \geq C_n^k P_k^{\frac{k}{n}}$$

$$\left( \frac{k}{n} \right)^{C_n^k} S_1^{C_n^k} \geq P_k \geq k^{C_n^k} P_1^{\frac{k}{n}}$$

Развернуть запись этих формул выглядит очень внутренно. Не пуляйтесь! Расшифруйте лучше одну из этих формул (при конкретных, не слишком больших значениях $k, n$) и вы увидите — все это не так страшно. Например, при $k=3, n=4$, форму

19

мула $(I_2)$ выглядит так:

$$4 \left( \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \right)^3 \geq a_1 a_2 a_3 + a_1 a_2 a_4 + a_1 a_3 a_4 + a_2 a_3 a_4 \geq 4 \left( a_1 a_2 a_3 a_4 \right)^{3/4}.$$

При $k=1$ неравенства $(I_2)$, $(II_1)$ превращаются в $(1)$; $(I_1)$ и $(II_2)$ превращаются в $(1)$ при $k=n$ (проверьте!). Таким образом, все четыре неравенства $(I)$, $(II)$ можно рассматривать как обобщения неравенства $(1)$.

Доказательство неравенства $(I_2)$. Положим для краткости $C = C_n^k$, а через $\tilde{p}_1, \tilde{p}_2, \dots, \tilde{p}_{C_n^k}$ обозначим слагаемые суммы $S_k$ (их, оченьindo, $C = C_n^k$ штук). Так как $\frac{S_k}{C}$ — среднее арифметическое чисел $\tilde{p}_1, \tilde{p}_2, \dots, \tilde{p}_c$, согласно (1)

$$\frac{S_k}{C} \geq \left( \tilde{p}_1 \tilde{p}_2 \dots \tilde{p}_c \right)^{1/C}.$$

Каждее $a_i$ входит компонентомровно в $C_{n-1}^{k-1}$ из чисел $\tilde{p}_1, \tilde{p}_2, \dots, \tilde{p}_c$. Значит, $\left( \tilde{p}_1 \tilde{p}_2 \dots \tilde{p}_c \right)^{1/C} = P_1^v$, где $v = \frac{C_{n-1}^{k-1}}{C} = \frac{C_{n-1}^{k-1}}{C_n^k} = \frac{k}{n}$. Поэтому $\frac{S_k}{C} \geq P_1^{k/n}$, то есть $S_k \geq CP_1^{k/n}$, что и требовалось.

Равенство в $(I_2)$ имеет место при $k=n$, при $a_1 = \dots = a_n$, или при равенстве нулю не менее $n-k+1$ чисел из множества $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$.

Доказательство неравенства $(II_2)$. Обозначим через $\tilde{s}_1, \tilde{s}_2, \dots, \tilde{s}_C$ компоненты произведения $P_k$ (по-прежнему $C = C_n^k$). Положим для краткости $q = k^C$. Влевой части нашего неравенства, т. е. в выражении $P_k$, раскроем скобки. Получим сумму из $q$ слагаемых, каждое из которых есть произведение $C$ чисел из множества $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$, взятых по одному из каждой $\tilde{s}_i$. В произведении этих слагаемых каждое $a_i$ входит компонент, в силу симметрии, одинаковое число раз (обозначим это число через $\mu$). Поэтому это произведение равно $P_1^\mu$, откуда со

$$\frac{P_k}{q} = \left( P_1^\mu \right)^{1/q},$$

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда все наши $q$ слагаемых равны, что, в частности, имеет место при $a_1 = \dots = a_n$; пользоваться этим, найти $\mu$.

Пусть $a_1 = a_2 = \dots = a_n = 2$. Тогда в (2) имеет место равенство $\tilde{s}_1 = \tilde{s}_2 = \dots = \tilde{s}_C = 2k, P_1 = 2^n$, откуда $\frac{(2k)^C}{q} = \left( 2^n \right)^{\frac{\mu}{q}}, 2^C = 2^{\frac{n\mu}{q}}, \mu = \frac{Cq}{n}$.

Подставляя это значение в (2), получаем $(II_2)$.

Ясно, что равенство имеет место либо при $k=1$, либо при $a_1 = \dots = a_n$, либо при равенстве нулю не менее $k$ чисел из множества $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$.

Для доказательства неравенства $(I_1)$ нам будет нужно неравенство Маклорена. Положим $S_k = \frac{S_k}{C_n^k}$. Тогда

$$\bar{S}_1 \geq \bar{S}_2^{\frac{1}{2}} \geq \bar{S}_3^{\frac{1}{3}} \geq \dots \geq \bar{S}_n^{\frac{1}{n}}$$

(если все $a_i$ положительные и не все $a_i$ одинаковы, то введите стопт знак >).

Доказательство этого неравенства можно найти в ХЛП, стр. 69 *).

Доказательство неравенства $(I_1)$ сразу получается из (3). Действительно $S_k C^{-1} = \bar{S}_k, S_1 n^{-1} = \bar{S}_1$, так как $C_n^k = n$. Значит, $(I_1)$ приннимает вид $\bar{S}_1 \geq \bar{S}_k^{\frac{1}{k}}$, а это содержится в (3).

Доказите самостоятельное с помощью неравенства Маклорена также и $(I_2)$.

Неравенство $(II_1)$ доказывается аналогично $(I_2)$; это доказательство мы оставляем читателю.

Условие равенства в $(I_1)$: $a_1 = a_2 = \dots = a_n$ или $k=1$, в $(II_1)$: $a_1 = a_2 = \dots = a_n$ или $k=n$.

*) Другое доказательство, прислаанное М. Розенбергом, будет опубlikован как решение задачи М565.

20

Вторая серия неравенства

Здесь $a_1, a_2, \dots, a_n - n$ положительны х чисел. Введем следующие обозначения (мы предполагаем, что $k \leq n - 1$):

$$\Sigma_i = \frac{\tilde{s}_i}{S_1 - \tilde{s}_i},$$

$$\Pi_i = \frac{\tilde{p}_i}{P_1 - \tilde{p}_i} \left( i = 1, 2, \dots, C = C_n^k \right).$$

Нас интересуют границы изменения величины $^*$ $\Sigma_1 + \Sigma_2 + \dots + \Sigma_C, \Pi_1 + \Pi_2 + \dots + \Pi_C, \Sigma_1 \Sigma_2 \dots \Sigma_C, \Pi_1 \Pi_2 \dots \Pi_C$. Оказывается, эти границы для выражения $\Sigma_1 \Sigma_2 \dots \Sigma_C$ зависит от $k$; именно:

$$\text{при } k \in \left[ 1, \frac{n}{2} \right] \quad \text{имеем}$$
$$\Sigma_1 \dots \dots \Sigma_C \in \left[ 0, \left( \frac{k}{n-k} \right)^C \right], \quad (\text{III}_1)$$

$$\text{при } k = \frac{n}{2} \quad \text{(если } n \text{ четно)}$$
$$\Sigma_1 \dots \dots \Sigma_C = 1, \quad (\text{III}_2)$$

$$\text{при } k \in \left[ \frac{n}{2}, n-1 \right] \quad \text{имеем}$$
$$\Sigma_1 \dots \dots \Sigma_C \in \left[ \left( \frac{k}{n-k} \right)^C, +\infty \right]. \quad (\text{III}_3)$$

Доказательство утверждения (III$_3$). Наозовем соотношения I рода соотнения из $n$ чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ по $k$, соотнения II рода — соотнения из этих же чисел по $n-k$. Их тоже будет $C$, так как $C_n^k = C_n^{n-k}$. Занутерум соотнения II рода в произвольном порядке, причем сумму чисел в $i$-м соотнения II рода обозначим через $\tilde{s}_i'$. Ясно, что $\tilde{s}_1' \cdot \tilde{s}_2' \dots \tilde{s}_C' = \left( S_1 - \tilde{s}_1 \right) \times \left( S_1 - \tilde{s}_2 \right) \dots \left( S_1 - \tilde{s}_C \right)$. Расмотрим произвольное соотнение I рода с номером $i - \left( a_{i_1}, a_{i_2}, \dots, a_{i_k} \right)$. Из $k > \frac{n}{2}$ следует, что $k > n-k$ и из чисел, входящих в это соотнение, можно составить $C_n^{n-k}$ соотнения II рода (с какими-то номерами $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_R$, где $R = C_n^{n-k}$), причем каждое число из множества $\{ a_{i_1}, a_{i_2}, \dots, a_{i_k} \}$ будет входитьровно в $C_n^{n-k-1}$ таких соотнения II рода. Значит, $C_n^{n-k-1} \tilde{s}_i = \tilde{s}'_{\gamma_1} + \tilde{s}'_{\gamma_2} + \dots + \tilde{s}'_{\gamma_R}$.

Из (1) и (4) следует, что $C_n^{n-k-1} \tilde{s}_i \geq R \left( \tilde{s}'_{\gamma_1} \tilde{s}'_{\gamma_2} \dots \tilde{s}'_{\gamma_R} \right)^{1/R}$. (5)

*) Эти величины интересны для некоторых вопросов теории вероятности (прим. ред.).

21

Из (7) и (8)

$$\Sigma_1 + \dots + \Sigma_c = \left( \frac{S_1}{S_1 - \tilde{s}_1} - 1 \right) + \dots + \left( \frac{S_1}{S_1 - \tilde{s}_c} - 1 \right) = S_1 \left[ \frac{1}{S_1 - \tilde{s}_1} + \dots + \frac{1}{S_1 - \tilde{s}_c} \right] - C \geqslant \frac{C^c \sqrt{H}}{C - C_{n-1}^{k-1}} \cdot \frac{C}{\sqrt{H}} - C = \frac{C^2}{C - C_{n-1}^{k-1}} - C = \frac{kC}{n-k},$$

что и требовалось доказать.

Равенство в (IV) имеет место только при $a_1 = \dots = a_n$. Если это не так, то не все $\tilde{s}_i$ равны и уже в (6) и (7) имеет место знак >.

С другой стороны, $\Sigma_1 + \dots + \Sigma_c$ можно сделать как уголно большим, например, неограниченно увеличивая $a_1$ при фиксированных значениях чисел $a_2, a_3, \dots, a_n$.

Приведем теперь для полотны оценки изменения величины $\Pi_1 + \dots + \Pi_c$ и $\Pi_1 \dots \Pi_c$. Первая величина при $k \neq n/2$ принимает любые положительные значения. При $k = n/2$ (n — четно) она имеет минимум, равный $C = C_k^n$, который достигается при $a_1 = \dots = a_n$, а сверху по-прежнему не ограничена. Вторая величина при $k \neq n/2$ также может принимать любые положительные значения, а при $k = n/2$ (n — четно) эта величина всегда равна 1.

Дешевый ящик

Две стенки ящика, имеющие форму прямогоольного параллелипеда и объем 1 м³, изготовляются из одного материала, а чемпре другие — из материала, который стоит в 8 раз меньше. При каких размерах $x, y, z$ ящика стомимость материалов, нужных для его изготовления, минимальная?

Решение е. Пусть стоимость 1 м² второго материала равна $p$ рублей. По условиям, из первого материала, — смежные, либо — нет. В первом случае стоимость материалов равна

$$S_1 = 8p(xy + yz) + p(xy + yz + 2xz) = p \cdot xyz \left( \frac{9}{z} + \frac{9}{x} + \frac{2}{y} \right) = p \left( \frac{9}{z} + \frac{9}{x} + \frac{2}{y} \right),$$

во втором —

$$S_2 = 8p2xy + p(2xz + 2yz) = 2pxyz \left( \frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right) = 2p \left( \frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right).$$

Приименим неравенство

$$\frac{a + b + c}{3} \geqslant \sqrt{abc}$$

между средним арфметическим и средним геометрическим (см. с. 18) к этим выражениям. Получим

$$S_1 \geqslant 9 \sqrt[3]{6} p \text{ и } S_2 \geqslant 12p.$$

Легко видеть, что $9 \sqrt[3]{6} p > 12p$. Стоимость $S_2$ будет минимальная тогда и только тогда, когда минимальный будет сумма $\frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x}$ при последнее условие будет выполнено в том и только в том случае, когда $\frac{8}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ при последнее условие.

Для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы $8/z = 1/y = 1/x$.

Поскольку $xyz = 1$, от сюда следует, что $x = y = 0,5; z = 4$.

Таким образом, стенки из первого материала должны быть несмежными и имеет форму квадрата со сторонай 0,5 м, а расстояние между ними равно 4 м.

Р. Винокур

Еще одно доказательство теоремы о средних

Неравенство между средним арфметическим и средним геометрическим двух положительных чисел является очень важным математическим соотношением. В нашем курсе не раз уже публиканы материалы на эту тему. На рис. 1 показано квадрата со сторонай 0,5 м, а расстояние между ними равно 4 м.

$$|CD| = \sqrt{|AD| \cdot |DB|},$$
$$|OC| = \sqrt{|AD| + |DB|}$$