Квант 1979, №6 · Страницы

КЕАНМ 6
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Этот красный паркет из криволинейных плиток получен деформацией объчного шестиугольного паркета из правильных шестиугольников. Как легко видеть, его можно продолжить на всю плоскость. Как устройства отдельные плитки, показано на схеме вверху. Стороны треугольников заменены дугами описанных около них окружностей.

1

Основан в 1970 году
6
1978

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-mатематической литературы

Главный редактор
акademик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
акademик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Белев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В номере:
2 П. Блехер, М. Кельберт. Алгоритмы классификации
9 А. Левацов. Опты Франка и Герма

Математический кружок
14 С. Поздняков. «Теория вероятности» без теории

Задачик «Квант»
16 Задачи М566—М570; Ф578—Ф582
17 Решения задач М515; Ф527—Ф529

По страницам школьных учебников
24 В. Гризореенко. Когда критических точек слишком много

«Квант» для младших школьников
27 Задачи
28 Животные на … плоскости

Практикум абитриента
30 Е. Кузнецов. Глаз на вступительных экзаменах
33 С. Овчинников, И. Шарцейн. Нестандартные задачи по стереометрии
Варшанты вступительных экзаменов вузы в 1978 году
39 Московский институт стали и сплавов
41 Московский институт электронной техники
43 Московский авнационный институт им. Серго Орджоникидзе
45 Московский энергетический институт
46 Московский авнационный технический институт им. К. Э. Циолковского
47 Московский геологический институт им. Серго Орджоникидзе
48 Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии
49 Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина (математический факультет)
50 Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской
52 Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена
53 Казанский авнационный институт им. А. Н. Туполева
54 Tomский институт автоматизированных систем управления и радиоэлектроники

Резцензини, библиография
56 И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги
58 Ответы, указания, решения
Смесь (с. 8, 15,26, 38)

© Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант», 1979

2

П. Блехер, М. Кельберт

Алгоритмы классификации

В этой статье мы рассакжем об одном из разделов не так давно возникшей науки — теории распознавания образов *). А именно: мы поговорим о методах классификации. Классификация — это разбение неокоторой совокупности объектов на группы объектов, близких в каком-то смысле. Можно классифицировать, например, фабрики данной отрасли, наблюдавшиеся в каком-то районное землетрясения, centябрьскую погоду за много лет, вымерших ящеров и т. д. Важно только, чтобы классифицируемые объекты характеризовались определенным набором чисел и признаков. Для простоты мы рассмотрим случай, когда каждой объект описывается только набором чисел.

*) Тем, кто хочет познакомиться с ней пользовке, мы советем прочесть увлекательную, хотя и не очень простую книгу М. М. Бонгарда «Проблема узнавания» (М., «Нayka», 1967).

Как классифицировать школьников?

Пусть мы хотим разделить всех школьников девятых классов данной школы по тому, как они используют свое внешкольное время. Мы просим каждого школьника и запишем, какую часть этого времени он траит на уроки и какую — на развлечения. Оставшееся время (на еду, сон, транспорт и т. д.) нас сейчас не интересует. В результате каждый школьник будет характеризоваться двумя числами: времени на уроки и времени на развлечения. Поэтому он может быть изображен точкой на координатной плоскости. Таким образом, мы приходим к чисто математическому вопросу: как разбить данные множество множеств на группы близких чисел?

К этому же вопросу приводят и многие серые прикладные задачи, только в них число координат города больше (порядка несколько десятиков).

Например, в текстильной промышленности работает огромное количество предприятий. Среди них есть

3

и специализированные фабрики с небольшим ассортиментом продукции, и комбинаты, выпускающие разнообразные изделия. Есть фабрики-гиганты, есть фабрики средних размеров, есть и небольшие местные производства. Чтобы сравнить детальность отдельных предметий и планировать их работу, необходимо классифицировать все эти предметия — разбитых их на группы однотипных предметий. Предприятия ралицются по своим экономическим показателям. Выберем среди них несколько самых важных (например, стоимость выполнения строительства отдельных предметий и фонд заработной платы) и будем проводить классификацию по ним. Число выбранных показателей обозначим через $n$.

Сопоставим каждому предметию набор чисел $(x_1; \dots; x_n)$, где $x_1$ — значение его первого показателя, $x_2$ — значение его второго показателя и т. д.

Пара чисел $(x_1; x_2)$ задает точку на плоскости, тройка чисел $(x_1; x_2; x_3)$ — точку в пространстве, а последовательность $n$ чисел $(x_1; x_2; \dots; x_n)$ по определенному считается мощной $n$-мерной пространства.

Таким образом, на этот раз мы приходим к задаче классификации точек в $n$-мерном пространстве.

Без машин трудно

Для решения задач классификации разработаны различные алгоритмы, позволяющие использовать вычислительные машины. Необходимость применения вычислительных машин вызвана двумя причины. Во-первых, как правило, объектов очень много, и обработка всех данных вручную просто невозможна. Во-вторых, классифицируемые объекты чаще всего многоометерны.

Если, как в примере со школьниками, координат всего две и число объектов невелико, то человек может справиться с задачей классификации не хуже, чем вычислительная машина. А именно: он посмотрит на картинику, где изображены точки, представляющие объекты, и виделит облакти, отвечающие сгущению точки. Эксперименты показывают, что все люди делают это примерно одинаково. Это связано с тем, что они (люди) непроизвольно стремятся к тому, чтобы точки в одной группе были близки друг к другу, а различные группы были удалены на достаточно расстояние. Если же число параметров равно тем или больше, то сообщения наглядности уже практические бесполезны и задача классификации становится трудно доступной для человека.

Психологами проводился следующий эксперимент *. Испытемым выдавались набор карточек с теми числами, соответствующими координатам точек в пространстве. Требования разбитить точки на две естественные группы. На самом деле существовала плоскость, ищая под углом к координатным осмам, которая разбила все точки на две группы так, что расстояние от любой точки до этой плоскости было достаточно велико по сравнению с расстояниями между точками внутри каждой группы. Большинство людей по значению одной из координат, что приводило к неестественным разбиениям; правильного разбиения не удалось построить почти никакому.

Позному для точек в многоометром пространстве были разработаны алгоритмы классификации. Однако из критериев правильности работы этих алгоритмов служит требование, чтобы при классификации точек на плоскости они давали естественные разбиения — те же, какие находят люди.

Дерево минимальной длины

Мы сейчас описем алгоритм построения связи новой системы отрезков, соединяющей данные точки, с минимальной суммой длины (система отрезков называется связной, если

*) Этот и неокоторые другие подобные эксперименты описаны в книге Н. Г. З агору ко «Медоды расознавания и их применения» (М., «Советское радио», 1972). В этой книге можно подробнее прочесть о многохвом вопросах, о которых мы упомянам только вскользь.

4

из любой данной точки по отрезкам этой системы можно добавться до любой другой данной точки). Для наглядности мы рассмотрим построение на плоскости. В многомерном пространстве алгоритм такой же, только нельзя нарисовать картину.

Итак, путь на плоскости данных $N$ точек $A_1, \dots, A_N$. Для простоты мы будем считать, что все попарные расстояния между точками различны. Выпишем все пары точек $(A_1, A_2), (A_1, A_3), \dots, (A_{N-1}, A_N)$ и упорядочим их так, чтобы вначале шла пара с минимальным расстоянием между точками, за ней пара со вторым по величины значением расстояния и т. д. Соединим теперь первую пару точек, затем вторую пару и т. д. Если при проведении очередного отрезка появляется цикл (то есть из системы уже проведенных отрезков можно выбрать несколько отрезков, образующих замкнутую ломаную), то этот отрезок мы пропустим и перейдем к следующему и т. д. — до тех пор, пока не переберем все отрезки. Полученная система отрезков по построению не содержит циклов. (Связную систему отрезков без циклов называют деревом.)

Задача 1. Докажите, что построенная система отрезков имеет минимальную длину всех связных систем отрезков, соединяющих данные точки.

Задача 2. Докажите, что ту же система отрезков можно получить следующим, как говорят математики, до вейнены м построением: соединним все пары точек отрезками и упорядочим эти отрезки в порядке у бы ваня их длины; отбросим самый длинный отрезок, затем второй по величины отрезок и т. д.; если при отбрасывании очередного отрезка оставшиеся отрезки не образуют связного множества, то пропустим этот отрезок и перейдем к следующему и т. д. — до тех пор, пока не переберем все отрезки.

Задача 3*. Пусть среди попарных расстояний между точками $A_1, \dots, A_N$ есть совпаданное. Упорядочим произвольным образом отрезки одинаковой длины и проведем проедуру, описанную в тексте или в задание 2. Докажите, что построенная система отрезков имеет минимальную длину независящего от того, как были упорядочены равные отрезки. Разумеется, в этом случае система отрезков минимальной длины может быть неединственной.

Описанный нами алгоритм построения дерева минимальной длины

сравнительно прост, но требует большого перебора и, следовательно, должно работать вычислительной машины. Существуют более быстрые (но и более сложные!) алгоритмы.

Разбение на группы

После того как дерево Г минимально длины построено, разбение множества точек $A_1, \dots, A_N$ на группы осуществляется отрасыванием некоторых отрезков, входящих в это дерево. Естественно отрасываются достаточно длинные отрезки, но так, чтобы точки, попавшие в одну группу, были расположены как можно теснее. Это наглядное сообщение можно формилизовать, если ввести следующее величины. Пусть мы хотим разбитить множество точек $A_1, \dots, A_N$ на $k + 1$ групп. Выберем произвольные $k$ отрезков дерева Г и отбросим их (рис. 1). Мы получим $k + 1$ связных групп точек: $\Gamma_1, \dots, \Gamma_{k+1}$. Для каждой группы $\Gamma_i$ разделим сумму длины отрезков дерева Г, соединяющихся точки, входящие в нее, на число отрезков. Мы получили среднюю длину отрезков в каждой группе $\Gamma_i$. Если какая-то группа состоит из одной точки, то по определению эта средняя длина равна нулю. Обозначим вычисленные средние длины через $l_1, l_2, \dots, l_k, l_{k+1}$. Пусть, кроме того, длины отросшенных отрезков — $b_1, b_2, \dots, b_k$. Образуем величины

$$F = l_1 + l_2 + \dots + l_{k+1} - b_1 - \dots - b_k.$$

Ясно, что чем меньше величины $F$, тем теснее рассоложены точки каждой группы и тем дальше друг от друга находится разные группы.

5

этому естественно предложить следующий алгоритм: из дерева минимальной длины всеми возможными способами отбрасываем $k$ отрезков и вычисляем величины $F$; среди всех полученных разбиений выбираем то, для которого велича $F$ минимальная; если «minimalных» разбиений несколько, берем любое из них.

В результате использовых алгоритмов величины $F$ определяется, как правило, более сложным образом.

Вычислительная практика показала, что алгоритмы описанного типа приводят к достаточно разумным разбиениям. Главный недостаток этих алгоритмов заключится в том, что требуется произведение слишком большей перебор. При увеличении числа точек задача становится недоступной даже для современных вычислительных машин.

Чтобы справиться с этой трудностью, используются следующие идеи. Точки, расстояние между которых меньше некоторой величины $a$, стараются относительно к одной группе. Все построение проводят в два этапа. На первом этапе множество точек $A_1, \dots, A_N$ разбивают на более мелкие группы $G_1, \dots, G_m$ так, чтобы для каждой группы $G_i$ существовал круг $S_i$ радиуса $R = a/2$, содержащий все точки группы $G_i$ и только их. Как это сделать, мы обсуим ниже. На втором этапе рассматривают только центры $O_1, \dots, O_m$ кругов $S_1, \dots, S_m$ и строят дерево минимальной длины уже для множества $O_1, \dots, O_m$. Минимизируя соответствующее этому дереву величины $F$, строят разбиение на группы множества точек $O_1, \dots, O_m$ так, как это было описано выше. Тем самым мы получаем и разбиение множества точек $A_1, \dots, A_N$. А именно, две точки $A_i, A_j$ относятся к одной группе, если они лежат в одной мелкой группе $G_i$ или если центры кругов соответствуют мелких группе попали при разбиении точек $O_1, \dots, O_m$ в одну группу. Смысл этой двухступенчатой процедуры состоит в уменьшении числа исходных точек: число $m$ оказывается много меньше $N$, и также процессур уже можно реализовать на вычислительной машине.

Задча о движущемся круге

Нам осталось обсуить, как разбит множество точек $A_1, \dots, A_N$ на мелкие группы. Для решения этой задачи используется алгоритм «Форель» (он несколько напоминает один из способов ловли форели). Опишем этот алгоритм для точек на плоскости, хотя точно так же он работает и в многомерных пространствах.

Итак, пусть на плоскости даны $N$ точек $A_1, \dots, A_N$. Поместим в эти точки шарики единничной массы и нарисуем какой-нибудь круг $S_0$ радиуса $R$, в котором лежит хотя один из шариков. Пусть $O_1$ — центр тяжестки шариков, попавших в круг $S_0$, и $S_1$ — круг радиуса $R$ с центром в точке $O_1$. Пусть $O_2$ — центр тяжестки шариков, попавших в круг $S_1$, и $S_2$ — круг радиуса $R$ с центром в точке $O_2$ и т. д. Например, на рис. 2.

6

Круга по маршруту $S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \rightarrow \dots$ не может пронсходить бесконечно. Точки, попавшие в последний круг, мы и отнесем к первой группе. К оставшимся точкам применяется та же процедура, то есть «выпускается» новый круг, конечное положение которого определяет вторую группу. Этот процессprodолжется до тех пор, пока все точки не будут отнесены к какой-то группе.

Почему круг останавливается?

Оставшаяся часть статы посвящена доказательству того, что круг действительно «остановливается». Расматривая рисунок 2, мы замечаем, что круги $S_0, S_1, S_2$, … захватывают все большие число точки и их конечное положение соответствуют группу. Естественно предположить, что при любых расположениях точки $A_1, \dots, A_N$ и круга $S_0$ число точки, попавших в круги $S_0, S_1, S_2$, …, по крайней мере, не убывает. Рисунок 3 показывает, что это неверно; однако в некоторых случаях возможно возрасти, только кроме числа точки, попавших в круг, нужно учитывать, насолько близко к центру круга они лежат.

А именно, путь в какой-то круг $S$ с центром $O$ попали точки $A_{i_1}, \dots, A_{i_h}$; определям величины

$$F(S) = \left(R^2 - |OA_{i_1}|^2\right) + \dots + \left(R^2 - |OA_{i_h}|^2\right).$$

Чем близке точки к центру круга $S$, тем больший вклад она в величины $F(S)$. Докажем, что последовательность величины $F(S_0), F(S_1)$,

$$F(S_2), \dots$$ возрастает до тех пор, пока круг не остановится.

Для доказательства нам понадобится момент иерции и системы материалов точек $A_1, \dots, A_m$ относительно некоторых $A$ и теорема Штейнера, которая очень полезна при решении многоих задач не только из геометрии, но и из механики *).

Моментом инерции системы материалов точек $A_1, \dots, A_m$ относительно точки $A$ называется величины

$$I(A) = |AA_1|^2 + \dots + |AA_m|^2.$$

Теорема Штейнера позволяет вычислить $I(A)$, если известен момент инерции $I(C)$. этой системы точек относительно их центра тяжестки $C$. Эта теорема утверждает, что

$$I(A) = I(C) + m|CA|^2.$$

Докажем теорему Штейнера. Введем прямогольную систему координат, помещив ее начало в центр тяжестки точки $A_1, \dots, A_m$ — точки $C$. Обозначим координаты точки $A_1, \dots, A_m$ через $(x_1; y_1), \dots, (x_m; y_m)$. Тогда центр тяжестки $C$ имеет координаты $(x_1 + \dots + x_m)/m; (y_1 + \dots + y_m)/m)$, а поскольку $C$ совпадает с началом координат, то $x_1 + \dots + x_m = y_1 + \dots + y_m = 0$. Пусть точка $A$ имеет координаты $(x; y)$. Тогда

$$I(A) = \left[ (x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 \right] + \dots + \left[ (x_m - x)^2 + (y_m - y)^2 \right] = \left( x_1^2 + y_1^2 \right) + \dots + \left( x_m^2 + y_m^2 \right) + m \left( x^2 + y^2 \right) - 2x \left( x_1 + \dots + x_m \right) - 2y \left( y_1 + \dots + y_m \right) = I(C) + m|CA|^2,$$

поскольку $2x(x_1 + \dots + x_m) = 2y(y_1 + \dots + y_m) = 0$. Теорема Штейнера доказана.

Докажем, что если круг $S_1$ не совпадает с кругом $S_0$, то $F(S_1) > F(S_0)$. Перенумерем точки $A_1, \dots, A_m$ так, чтобы точки, попавшие в круг $S_0$, не неопавшие в круг $S_1$, имели номера от 1 до $p$, точки, попавшие в пересечение кругов $S_0$ и $S_1$,— номера от $p + 1$ до $q$, а точ-

*) См. книгу М. Б. Балка «Геометрические приложения понятия о ценре мяжести» (М., Физматиз, 1959).

7

ки, попавшие в $S_1$, но не попавшие в $S_0$, — номера от $q + 1$ до $r$. Таким образом, в круге $S_0$ лежат точки $A_1, \dots, A_q$, а в круге $S_1$ — точки $A_{p+1}, \dots, A_r$. Ясно, что величины $F(S_0)$ можно выразить через момент инерции $I(O)$ точки $A_1, \dots, A_q$ относительно точки $O$ — центра круга $S_0$, а именно,

$$F(S_0) = (R^2 - |OA_1|^2) + \dots + (R^2 - |OA_q|^2) = qR^2 - I(O).$$

Точка $O_1$ — центр круга $S_1$ — является центром тяжестни точек $A_1, \dots, A_q$, поэтому по теореме Штейнера

$$I(O) = I(O_1) + q |OO_1|^2,$$

то есть

$$F(S_0) = qR^2 - I(O_1) - q |OO_1|^2 = (R^2 - |O_1A_1|^2) + \dots + (R^2 - |O_1A_q|^2) - q |OO_1|^2.$$

Сравним это выражение с

$$F(S_1) = (R^2 - |O_1A_{p+1}|^2) + \dots + (R^2 - |O_1A_r|^2).$$

В выражении $F(S_1)$ отсутствует слагаемые

$$(R^2 - |O_1A_1|^2), \dots, (R^2 - |O_1A_p|^2),$$

но появились слагаемые

$$(R^2 - |O_1A_{q+1}|^2), \dots, (R^2 - |O_1A_r|^2).$$

Позному

$$F(S_1) - F(S_0) = -(R^2 - |O_1A_1|^2) - \dots - (R^2 - |O_1A_p|^2) + (R^2 - |O_1A_{q+1}|^2) + \dots + (R^2 - |O_1A_r|^2) + q |OO_1|^2.$$

Заметим теперь — и это решающее обстоятельство,— что точки $A_1, \dots, A_q$ по построению лежат в некурата $S_1$. Следовательно, величины $R^2 - |O_1A_1|^2, \dots, R^2 - |O_1A_p|^2$ относятельны. Например, точки $A_{q+1}, \dots, A_r$ лежат внутри круга $S_1$; поэтому величины $R^2 - |O_1A_{q+1}|^2, \dots, R^2 - |O_1A_r|^2$ относятельны. Таким образом,

$$F(S_1) - F(S_0) \geq q |OO_1|^2,$$

то есть $F(S_1) > F(S_0)$, если точки $O_1$ и $O$ не совпадают.

Точно так же доказывается, что $F(S_{k+1}) > F(S_k)$, если не совпадают точки $O_{k+1}$ и $O_k$. Используя этот факт, теперь несложно показать, что, начиная с некоторого номера $n$, все круги $S_n, S_{n+1}, \dots$ совпадают. По построению точки $O_{m+1}$ является центром тяжестни точек, попавших в круг $S_m$. Если рассмотреть все подмножества множества точки $A_1, \dots, A_N$ и центры тяжестни точки этих подмножестств, то точки $O_{m+1}$ будет одним из этих центров тяжестни. Поскольку множество центров тяжестни конечно, в последовательности центров $O, O_1, O_2, \dots$ должны встречаться совпадующие, скажем, $O_i$ и $O_j$. Однако мы доказали, что

$$F(S_i) \leq F(S_{i+1}) \leq \dots \leq F(S_j),$$

и так как $S_i = S_j$, $F(S_i) = F(S_j)$, поэтому $F(S_i) = F(S_{i+1}) = \dots = F(S_j)$.

Вспомним теперь, что равенство $F(S_i) = F(S_{i+1})$ возможно ли в том случае, если круги $S_i$ и $S_{i+1}$ совпадают. Остается заметить, что если два последовательных круга совпадают, то с ним совпадают по построению все последующие круги. Таким образом, мы доказали, что движение круга $S_0 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \rightarrow \dots$ не может быть бесконечным, или, как говоря математически, доказали сходимость алгоритма «Форель». Попутно мы разобрали решение задачи, которая предлагалась на последней Московской математической оптимизации и в задачике «Кванта» (см. задачу М505 в «Кванте», 1978, № 5).

Две новые задачи

В заключение формулируем еще две задачи. Процедуры, которые описываются в этих задачах, также применяются для классификации точки в многомерных пространствах. Как и раньше, ограничимся случаем плоскости.

Задача 4. Пусть $N$ мощек $A_1, \dots, A_N$ разбиены на $l$ (неупустых) групп $G_1, \dots, G_l$. Пусть $O_1, \dots, O_l$ — центры тяжестни каждой из этих групп. Построим новое разбиение мощек $A_1, \dots, A_N$ по следующему правила: каждую точку отнесем к $i$-й группе ($i \leq l$), если близкой к ней

8

Рис. 4.

тром мягости является точка $O_i$ (если таких центров мягости несколько, то выбирается тот из них, который имеет наименьший номер). Пусть после отбрасывания пустых групп (приведите пример, когда среди групп $G_1$, …, $G_l$ появляются пустые!) осталось $p$ групп ($p \leq l$). Переумерровав их произвольным образом, получим новое разбиение $G_1^1, \dots, G_p^1$.

Найдя центры мягости $O_1^1, \dots, O_p^1$ мощ эмх групп $u$ повторив муже пройдуру, построим разбиение $G_1^2, \dots, G_q^2 (q \leq p)$ и $m. \delta$. Докажите, что, начиная с некоторого шага, разбиения совпадают.

Для формирования следующей задачи удобно ввести обозначение. Пусть на плоскости заданы точка $A$ и произвольное подмножество $G$ множество точки $A_1, \dots, A_N$. Положим $I(A, G) = |AA_i|^2 + \dots + |AA_j|^2$ (сумма берется по точкам из $G$).

Задача 5. Пусть, как и задаче 4, задано начальное разбиение множества точки $A_1, \dots, A_N$ на $l$ непустых групп $G_1, \dots, G_l$. Опишем правило построения нового разбиения $G_1^1, \dots, G_p^1$ мощ эмх групп $u$ повторив муже пройдуру, построим разбиение $G_1^2, \dots, G_q^2 (q \leq p)$ и $m. \delta$. Докажите, что, начиная с некоторого шага, разбиения совпадают.

Преимущество алгоритмов, описанных в задачах 4 и 5, по сравнению с алгоритмом «Форель» состоит в том, что эти алгоритмы быстро сходятся (то есть построение окончательного разбиения требует меньшего времени работы вычислительной машины). Однако при неудачном выборе начального разбиения эти алгоритмы могут привести к не очень естественному конечному разбиению на группы. Однако из таких примеров приведен на рисунке 4.

Задачи наших читателей

1. Число $a$ представили в виде $a = m_1 + n_1 = m_2 + n_2$. Докажите, что тогда $3m_1n_1 \leq m_2^2 + m_2n_2 + n_2^2$.
   В. Федоискин (г. Шекино)

2. Дан треугольник $ABC$, $H$ — точка пересечения его высот, $M$ — точка пересечения медиан. Докажите, что

$$\frac{|BM|}{\sin \widehat{AMC}} = \frac{|AM|}{\sin \widehat{BMC}} = \frac{|CM|}{\sin \widehat{AMB}};$$

$$\frac{|BH|}{\cos \widehat{AHC}} = \frac{|AH|}{\cos \widehat{BHC}} = \frac{|CH|}{\cos \widehat{AHB}}$$

(если все эти дроби определены).

A. Ягубьянц (г. Ростов-на-Дону)

3. Докажите, что сумма $2k (k > 1)$

a) нечетных последовательных стеленей числа 7 делится на 350;

6. четных последовательных стеленей числа 7 делится на 2450.

H. Михалкович (Минская обл.)

4. Обозначим через $q(n)$ число нулей, которые оканчиваются число $n!$, а через $s(n)$ — сумму цифр числа $n$ в пятеричной системе счисления. Докажите, что $n - s(n) = 4q(n)$.

B. Стовба (г. Зеленоград)

9

А. Левашов

Опыты
Франка и Герма

Начало XX века занимает в истории физики исключительное положение. Это был период переместа старых, устоявшихся представления об устройстве материалов мира. В ряде случаев этот перемест требовал отказа от законов классической механики и классической электродинамики.

В 1900 году Планк создает квантовую теорию излучения. В 1905 году Эйнштейн формулирует принцип специализной теории относительнойности. В этот же период наука вплотную подошла к вопросу о физической природе и внутреннем строении atoms. В 1911 году публикуются результаты опытов Резерфорада, на основе которых создается ядерная модель atoms, противоречающая классической физике. В 1913 году Бор формулирует квантовые поступаты, позволяющие объяснить резерфордовскую модель atoms и характер atomных спектров, но противоречащие как классической механике, так и классической электродинамике.

Каждеое из этих открытый указывало на новые пути к познанию материйного мира. Но развитие новых представлений всегда опирается на прочный экспериментальный фундамент. Именно поэтому экспериментальная проверка новых гипотез играет в науке исключительно важную роль.

Опыты немецких физиков Джеймса Франка и Густава Герма по существу явились первым экспериментальным подтверждением поступатов Бора.

Исторические опыты явились продолжением работы немецкого физика Ленарда, который пытался экспериментально определить энергиюонизации atomов задолго до возникновения

10

новения резерфордовской модели. В 1902 году Ленард поставил интересный опыт. Главной частью его установить была стеклянная трубка с треем ваянными электродами — прообраз современного триода (рис. 1). Трубка наполнялась газом, энергию иннзации которого изменяли. Давление газа в трубке было около 0,01 мм рт. ст. Схема всяей установленна на рисунке 2. Между катодом K и сеткой C от батареи $^1$ подается напряжение $U_1$, которое можно изменять с помощью потенциометра $R_1$. Между сеткой и аномом A подается напряжение $U_2$ от батареи $^2$. Это напряжение можноварить с помощью потенциометра $R_2$.

Идея опыта заключится в следующем. Вылетающие из катода электроды попадают в электрическое поле в пространстве катод — сетка и, ускоряясь этим полем, движутся к сетке. (Напряжение $U_1$ называютускоряющим.) Пройдя сетку, электроды попадают в пространство сетка — аномод. Здесь электронное напряжение $U_1$ называютускоряющим. При управленииускоряющим полем, движутся эти电极 не изменяются (изменяется только направление скорости электрода, а абсцилтоное значение скорости остается неизменным, так как масса атома в тысячи раз больше массы электрода). Так что электроды,ускоряясь электрическим полем, движутся изгзагообразно к сетке. Около сетки энергия электрода достигает максимального значения, определяемого из условия

$$K = \frac{mv^2}{2} = eU_1$$

(m — масса электрода, e — заряд электрода).

По мере увеличенияускорящего напряжения $U_1$ энергия электрода растет. Ленард полагал, что, когда максимальная энергия электрода вылизи сетки равна или несколько превышает энергию иннзации атома газа, стокновение электрода с атомом становится неупругим. При этом электрон отделяет практические всю свою энергию атому, и эта энергия идет на внутренатомные процессы —атомонизуется. Возникают вторичные заряженные частицы — электроды и положительныеоны. Все элект-

11

троны (и вторичные, и первичные — те, что вылетели из катада) в конце концов уходят в сеточную цель. А положительныеоны, попав в пространство сетка — аод, под действием электрического поля движутся, ускорясь к аоду. Позному в аодной цепи появляется ток, обусловленный вторичными заряженными частицами.

Итак, появление тока в аодной цепи, как считал Ленард, должно указывать на начало иннзации. Энергия иннзации численно равна $eU_n$, где $U_n$ — значение $U_1$, при котором возникк аодный ток.

Хотя в эксперименте действительно наблюдаюсь возникновение аодного тока при определенных значениях ускоряющего потенциала, все же Ленард не удалось получить надежных экспериментальных результатов из-за технического несовершенства его установки. Важно отметить, что Ленард исходил из неверных представления о взаимодействии электронов с атомами, так как он не мог еще знать о существовании дискретных энергетических уровней у атома. По этой причине опыт Ленард не оставил заметного следа в физике, хотя он несомненно интересен в историческом отношении. Усовершенствованная методика Ленarda была использована впоследствии при постановке классических опытов Франка и Гермца.

Совместную работу Франк и Германии в 1911 году в Берлинском университете. В этот период они занимались изучением законов электрического тока в газах. Естественно, что для них представляла интерес внешняя энергия иннзации атомов. Для ее определения они сначала восполнялись методом Ленarda, а позднее внесли в него существование изменения.

Прежде всего, была изменена конструкция лампы. Расстояние катод — сетка было сделано значительно большим расстояниям сетка — аод (рис. 3).

Давление газа (или пара), направляющего трубку, было увеличено до 1 мм рт. ст. Позному электроны, вылетующие из катада, испытывали в пространстве катод — сетка многоократные столкновения с атомами газа (или пара). Тормозшее напряжение Франк и Гермцы уменьшили и сделали постоянным (оно выбиралось в пределах 0,5—2 В). Позному ток в аодной цепи появляется ток, как только ускорящее напряжение $U_1$ становится больше тормозшего $U_2$.

Приступая к опыту, Франк и Гермцы, как и Ленард, намеревались энерггию иннзации. Результаты одного из опытов с лампой, наполненной параметром ртути, приведены на рисунке 4. Красная кривая на этом графике показывает характер изменения тока в аодной цепи при изменении ускоряющего напряжения (значения тока указаны в условиях единицах). Прежде всего обращает на себя внимание тот факт, что через равные промежутки напряжения $U_1$ ток резко падает. Максимумы значения тока соответствуют напряжением 4,9 В, 2·4,9 В и 3·4,9 В.

12

Полученные результаты Франк и Герц интерпретировали следующим образом. По мере увеличенияускоряющего напряжения ток в аодной цепи возрастает (с того момента, когда $U_1$ становится больше $U_2$). Когда $U_1$ становится равным (или немного больше) 4,9 В и электрон «набирает» на своем пути к сетке энергии 4,9 ЭВ, столковение электрона с атомом у сетки столковится неупругим — атом nonизуется, а электрон, потеряющий энергию, улавливается сеткой. В результате ток в аодной цепи резко падает.

При дальнейшем увеличенииускорящего напряжения проинсходит следующие: электрон успевает набрать энергии 4,9 ЭВ, не доходя до сетки, так что область неупругого столковения его с атомом «свидгается» близке к катоду. При этом электрон, потеряший при столковении энергию, продолжает под действием электрического поля двигатся ускоренно к сетке. Если на этом пути электронускоряется электрическим полем до энергии, превышающей значение $eU_2$, то он предолевает тормозшее действие напряжения $U_2$ и попадает на аод. На графике этому процессу соответствует область аодного тока после первого спада. Когда значение $U_1$ становится таким, что электрон, потеряший энергию (4,9 ЭВ) в первом неупругом столковении, успевает на пути к сетке вsetsающей значение $eU_2$, столковение его с атомом вновь столковится неупругим, и он уже не попадает на аод, а улавливается сеткой. Это — спад кривой на рисунке 4 после второго максимума. Третий максимум указывает на то, что на пути катод — сетка электроны трижды претерпевают неупругие столковения с атомами.

Исходя из полученных данных, Франк и Герц заключили, что энергияонизации ртути равна 4,9 ЭВ — той энергии, которая набирает электрон между двумя последовательными неупругими столковениями с атомами. Аналогичную кривую они получили в опытах с лампой, наполненной гелем, и нашли, что энергияонизации ртути равна 19,8 ЭВ.

Будучи увеличенными в том, что они действительно изменили энергиюонизации, Франк и Герц решили, тем не менее, поставить еще один эксперимент. Наоткнуло их на это решение следующего обстоятельство. Было известно, что пары ртути сильно поглощают излучение с длиной волны $\lambda = 2536$ Å. Этому излучению согласно теории Планка соответствует энергия

$$E = hv = \frac{hc}{\lambda} (\text{Дж}) =$$

$$= 1,6 \cdot 10^{19} \frac{hc}{\lambda} (\text{ЭВ}) \approx 4,84 \text{ ЭВ}.$$

Эта величины очень хорошо совпадает с полученным Франком и Герц значением энергиионизации ртути — 4,9 ЭВ. Случайно ли это совпадение? Именно это и решение было проверить: посмотреть, не появляется ли при напряжении $U_1 = 4,9$ В излучение с длиной волны 2536 Å.

Эта длина волны лежит в ультрафилелотовой области. Поэтому Франк и Герц сделали трубку из кварца, произрачного для ультрафилелотового света (примявашаяся имми ранее трубка со стеклянным баллоном не годилась — стекло не пропускает ультрафилелотовый свет). Конструция этой трубки была намного проще предыдущей. В ней была только нить накада (катод) и сетка. Трубку они наполнили парами ртути. Ультрафилелотный спектральный аппарат, чувствительный в ультрафилелотовой области спектра), направленный на трубку, должен был регистрации излучение паров ртути, если это излучение будет возникать.

Результаты, полученные Франком и Герц, оказались следующими. Пока направление $U$ между каталогом и сеткой было меньше 4,9 В, ток в сеточной цепи нарастал с ростом $U$ и никакого излучения не было. Когда же это направление стало равным при близкительной $4,9$ В, ток в цепи резко упал и спектральное обнаружение с длиной волны … 2536 Å!

На основании всех имеющихся результаты Франк и Герц пришли к таким выводу: в большинстве

14

С. Поздняков

«Теория вероятности» без теории

Хотелось бы написать, что на этом занятии математического кружка будет решаться задачи по теории вероятности. Но дело в том, что здесь как раз никакой теории не будет, не будет ни аксимом, ни формул, ни теорем — того, к чему мы привыкли в математике. Вместо этого вам придется пользоваться здравым смыслом и интуицией, то есть тем, из чего в ходе развития математики и образовательных точных математических понятий и аксимы *).

Задание 1. Какая из двух электронсхем, изображенных на рисунке 1, надежнее, если надежность диода 0,7 (m. e. 70%), надежность конденсатора 0,8, надежность резистора 0,9?

Вспомним теперь детскую игру «испорченый телефон», в котором по цепочке играющих на предметы слышимости передается слово или предложение и последний должен угадать, что сказал первый. Оказывается, и в этой ситуации можно говорить о надежности (игры или участников). Для этого полезно перейти с языка игр на язык схем.

Задание 2. Нарисуйте электронсхем схему, соответствующую церем «испорченый телефон» с пятью участниками. Obъяснение в терминах этой церы утверждает:

«Чем больше в схеме электронов, тем меньше ее надежность»,

«Надежность схемы меньше надежности ее самого неадежного элемента».

Рис. 1.

Чтобы увеличить надежность машин, состоящей из разных устройств, применяют параллельные двiligрузuite устройства. Тогда машина выйдет из строя только в том случае, если сломаются оба двiligрузuite друг друга устройства. Дублируются и средства связи. Рассмотрим такой пример: многожильный провод скручен из пятни проводков, надежность которых на обърыв 90%. Какова надежность провода? Вероятность того, что проводок оборвется, равна 10%, т. е. 0,1. Провод же порвется только, если порвится все пять проводков; если они рвутся, не влияя друг на друга, вероятность этого события равна

$$0,1 \times 0,1 \times 0,1 \times 0,1 = 0,00001.$$

15

или, в процентах, 99,999%. Здесь надежность «схемы» много больше, чем надежность ее элементов.

Задание 3. Вычислить надежность самолетов с двумя и четырьмя моррами при условии, что самолет может лететь на одном морре и надежность каждого морра равна a) 0,5, б) 0,8, в) 0,98.

Задание о случайномblurдании в лабиринтах

Как известно, чтобы предотвратить расхшение сокровищ из парами, египтане создали в них лабиринты; двигаясь по ним случайно, пожители зачастую гибли в ямахловушках.

В последующих задачах решить по-дет о таких лабиринтах; мы будем считать, что путник идет по лабиринту случайно, то есть, встречая развилку, выбирает любой путь наугад с равной вероятностью (если два пути — то с вероятностью 1/2, три — 1/3).

Задание 4. Чему равна вероятность того, что классамель найдет класс (рис. 2), и вероятность того, что он поевен?

Задание 5. Чему равны эти вероятности для лабиринта из рисунка 3 при условии, что классамель может продить случайно сколь узодно долю и делать петли?

Для решения этих задач полезно нарисовать граф лабиринта. Каждый перекресток обозначим точкой, а коридор отрезком. Например, лабиринт, изображенный на рисунке 2, изобразится графом, показанным на рисунке 4.

Эти задания предлагались на заястиях математического кружка в ГТУ № 24 Ленинграда.

Задание
наших читателей

1. Докажите, что если а и b — натуральные числа, то $ab(a^4-b^4)$ делится на 5.

О. Селевко
(г. Ярославль)

2. Докажите, что уравнение $7^x+10^y=13^z$ не имеет решения в натуральных числах.

С. Майзус
(г. Запороже)

3. Решите уравнение
   a). $\overline{abc}=abc(a+b+c)$;
   b) $\overline{abc}=abc+\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}$;
   b) $\overline{abc}=a!+b!+c!$.

Э. Туркевич
(г. Черновцы)

4. Докажите, что число
   $\sqrt[4]{1\ 0\ .\ 0\ 4\ 0\ .\ 0\ 1}$
   и найдите его.

Ю. Башлыков
(г. Белово Кемеровской обл.)

17

лα, образуемого стержнем с одной из сторон этого угла, ускорение сердных стержня (точки C), если конец B стержня движется с постоянной скоростью v?

Ф579. В схеме, показанной на рисунке 2, $R_1 = 10$ Ом, $R_2 = 20$ Ом, $R_3 = 15$ Ом, направление в сети переменного тока $U = 10$ В. Определить мощность, которая выделяется на резисторх с сопротивлениями $R_2$ и $R_3$.

Г. Комкин

Ф580. В схеме, показанной на рисунке 3, ЭДС батареи $\&$, ее внутреннее сопротивление $r$, сопротивление резистора $R$. При замыкании ключа $K_1$ стрелка галванометра $G$ отклоняется на угол $\alpha$. На какой угол отклоняется стрелка галванометра, если при замкнутом ключе $K_1$ замкнут ключ $K_2$? Отклонение стрелки пропорционально заряду, прошедшего через галванометр.

Ф581. Перед зеркалом стоит человек, закрыв один глаз. Изображение закрытого глаза в зерке он закрывает, наклевая на зеркою кусочек бумаги. Что увидит человек, если он открыет закрытый глаз и закрыет открытый?

Ф582. Тело плавает в воде так, что $2/3$ его объема погружены в воду. Какая часть объема тела будет находиться под водой, если сосуд с водой перемещать сускорением $a$ в верхIkальном направлении?

Решения задач
М515; Ф527—Ф529

В этой задаче мы изучаем такую операцию над произвольной фигурой (множеством точек) Ф:

$$W(\Phi) = \bigcup_{M \in \Phi} S_M(\Phi)$$

— рассматриваются симметричные образы фигуры Ф относительно различных точек $M \in \Phi$ и берется их обеединение (по всем точкам $M$). Очевидно, всегда $W(\Phi) \supset \Phi$ и

$$\text{ если } \Phi \subset \Phi', \text{ то } W(\Phi) \subset W(\Phi').$$

Выяснение поставленных в условия конкретих вопросов для последовательности вида

$$\Phi, W(\Phi), W^2(\Phi) = W(W(\Phi)), \dots, W^n(\Phi) = W(W^{n-1}(\Phi))$$,

полученных многократным применением операции $W$ к некоторым конечным множеством $\Phi$, мы включим в небольшие исследование, в ходе которого мы, по существу, научимся отыскивать выпуклую оболочку фигуры $W^n(\Phi)$ — наименшее выпуклое множество, содержащое $W^n(\Phi)$, — для произвольной фигуры $\Phi$, и отметим ряд любопытных свойства операции $W$.

18

6. Пусть $K_0$ состоит из трех вершин правильного треугольника площа 1. Найдем площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащого множества $K_n$ ($n=1,2,\dots$).

В следующих трех пунктах $K_0$ — множество четырех вершин правильного метраэдра объема 1.

8. Расстояние наименьшего выпуклого многоугольника, содержащий все точки множества $K_1$. Сколько и каких границ у этого многоугольника?

e) Чему равен объем этого многоугольника?

d) Найдем объем наименьшего выпуклого многоугольника, содержащого множества $K_n$ ($n=2,3,\dots$).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Прежде чем читать решение dalleше, нарисуйте фигуры $W(\Phi)$ и $W^2(\Phi)$, если $\Phi$ — пара точек; отрезок; прямоугольник; четыре вершины прямого/libника; три вершины треугольника. А каково $W(\Phi)$, если $\Phi$ — куб? восемь вершин куба?

Начнем с «одномерного» случая, когда фигура $\Phi$ лежит на прямой. Этот случай нужен для решения задачи a), но, как мы увидим, он пригодится и в более трудных задачах.

Пусть сначала наша фигура — это отрезок $\Pi=[AB]$ длины $d$ с серединой в точке $O$. Тогда $\Phi(\Pi)=[A_1B_1]$ — отрезок длины $3d$ с серединой в той же точке $O$. Отсюда сразу следует, что $\Phi^2(\Pi)=[A_2B_2]$, где $|A_2B_2|=9d$, и вообще $\Phi^n(\Pi)=[A_nB_n]$, где $|A_nB_n|=3^n d$, причем все отрезки $[A_nB_n]$ имеют середину в той же точке $O$ (рис. 1).

Будем в дальнейшем образить фигуры $\Phi$, имеющей центр симметрики $O$, при томотении с коэффициентом $k$ и центром $O$ обозначать через $k\Phi$. Мы выяснили, что если $\Pi$ — отрезок, то $W(\Pi)=3\Pi$ и вообще $W^n(\Pi)=3^n\Pi$.

Забегая вперед, заметим, что это верно для любой центрально-симметричной выпуклой фигуры $\Pi$. Но прежде законом с одномерным случае — ответим на вопрос a).

a) Пусть $K_0=\{A,B\}$, $|AB|=1$. Согласно (2), где $\Phi=\{A,B\}$, $\Pi=\Phi'=[AB]$,

$$K_n=\Phi^n(K_0)\subset\Phi^n(\Pi)=3^n\Pi.$$

При этом ясно, что $K_n$ содержит все точки отрезка $[A_nB_n]=3^n\Pi$, находящаяся на целочисленном расстоянии от точки $A$, причем крайные точки $\{A_n,B_n\}=3^n\{A,B\}$ находятся от $A$ на расстояниях $(3^n-1)/2$ и $(3^n+1)/2$ (рис. 2). Поскольку эти числа (рис. 3) больше 10 000 при $n\geqslant10$, ответ на вопрос a): $n=10$.

В решении плоских и пространственных задач про операцию $W$ очень полезно такое ее свойство: если $\Phi_l$ — проекция фигуры $F$ на прямую $l$, то

$$W(\Phi_l)=(W(\Phi))_l$$

(проекция $W(\Phi)$ на прямую $l$ совпадает с результатом применения $W$ к проекции $\Phi_l$) *. Это сразу следует из определения $W$ и того факта, что при проекции точки, симметричные относительно точки $M$, попадают в точки, симметричные относительно ее проекции $M_l$ (рис. 4).

Отсюда вытекает, что если $\Pi$ — полоса, а $3^n\Pi$ — ее образ при томотении с коэффициентом $3^n$ относительно центра симметрики (какой-либо точки на средней прямой), то выполено соответствие $\Pi$ — множество точек, заключенных между двумя плоскостями.

Из (2), (3), (5) и решения задачи a) следует также, что если мы заключаем фигуру $F$ в опорную полосу $\Pi$ какоголюбно направления — такую полосу $\Pi\supset\Phi$, края которой содержат все точки из $\Phi$, — то полоса $3^n\Pi\supset W^n(\Phi)$ будем опорной для $W^n(\Phi)$ (рис. 5). Это сообщение, обобщшее (4), позволяет найти выпуклую оболочку $W(\Phi)$ для любой фигуры $F$.

Разберем конкретные примеры.

6. Пусть $K_0=\{A,B,C\}$ — вершины правильного треугольника, $K_n=W^n(K_0)$, $n=1,2,\dots$(рис. 6). Докажем, что для любого $n\geqslant1$ выпуклая оболочка множества $K_n$ получается так: нужно взять концы отрезков $3^n[AB]$, $3^n[BC]$ и $3^n[AC]$ и построить выпуклый шестиугольник $\Sigma_n$ с вершинами в этих точках.

*) Проекцией пространственной фигуры $F$ на прямую $l$ называется множество точки $M\in l$ таких, что плоскость, проекция через точки $M$ и перпендикулярная к $l$, пересекается с $\Phi$.

21

Ф527. В схеме, показанной на рисунке 8, ЭДС батареи $G=100$ В, ее внутреннее сопротивление $r=100$ Ом, емкость конденсатора $C=200$ мкФ и сопротивление нарезавателя $R=10$ Ом. Ключ К переключаемся между конденсатами а и б с частотой $f=10$ раз в секунду. При подключении его к клемме а конденсор успешаем полностью зарядным, а при подключении к клемме б — полностью зарядным. Чему равен коэффициент полезного действия схемы? Во сколько раз он выше, чем при неопредседтном подключении нарезавателя к батарее? Какая мощность выделяется на сопротивлении $R$?

Рис. 8.

При подключении конденсатора к батарее он заряжается до напряжения $U=\mathcal{E}$, получая заряд $q=CU=\mathcal{C}\mathcal{E}$. Энергия конденсатора становится равной при этом $W=\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$.

Батарея же совершает работу $A=\mathcal{E}q=\mathcal{C}\mathcal{E}^2$. Следовательно, количество теплла $Q$, выделяющегося при этом в цепи, равно $A-W=\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$. Батарея соединена с нагреваемым последовательно, и в любой момент времени по ним течение один и тот же ток. Следовательно, теплло распределяется между ними пропорционально их сопротивлениям, то есть на нагреваете $R$ выделяется теплло

$$Q_1=(A-W)\frac{R}{R+r}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{R}{R+r}.$$

При замклении конденсатора на нагреваете (ключи $K$ в положении $6$) конденсатор полностью заряжается и его энергия $W$ переходит в теплло, выделяющегося на нагреваете:

$$Q_2=W=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}.$$

Итак, за один полный цикл на нагреваете теплло

$$Q=Q_1+Q_2=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{R}{R+r}+\frac{C\mathcal{E}^2}{2}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(\frac{2R+r}{R+r}\right).$$

КПД цепи равен

$$\eta_1=\frac{Q}{A}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\frac{2R+r}{R+r}=\frac{2R+r}{2(R+r)}=\frac{6}{11}.$$

При неопредседтном подключении нагреваете к батарее КПД цепи равен

$$\eta_2=\frac{R}{R+r}=\frac{1}{11}.$$

Таким образом, $\eta_1/\eta_2=6$.

Найдем мощность $P$, выделяющегося на нагреваете. За 1 секунду произходит $n=f/2$ полных циклов переключения ключа $K$. Следовательно,

$$P=nQ=\frac{f}{2}\frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(\frac{2R+r}{R+r}\right)\approx 5,5\text{ Вт.}$$

При.meчане. В условиях задачи предлагается считать, что конденсатор успешает полностью перезаряditся за время $t=1/f=0,1$ секунды. Проверим, насколько справавлено это предположение.

Когда конденсатор подключается к батарее, появляющийся ток равен $I=\mathcal{E}/(R+r)$. За время $t$, за которым конденсатор заряжается до напряжения $U=\mathcal{E}$, через батарею проходит полный заряд $q=C\mathcal{E}$. Следовательно, при токе $I=\mathcal{E}/(R+r)$ конденсатор заряжается за время $t=q/I=C\mathcal{E}/(R+r)/\mathcal{E}=C(R+r)=2,2\cdot 10^{-2}\text{ c}$. В действительности же по мере увеличения напряжения на конденсаторе ток будет уменьшаться, и конденсатор до напряжения $U=\mathcal{E}$ не заряжится никака. Однако, поскольку $t\gg t$, приближение можно считать, что конденсатор успешает полностью заряditся.

А. Зильберман

◆

Мощность $P$, выделяющаяся на лампочке, равна $U_\pi I$, где $U_\pi$ — напряжение на лампочке, $I$ — ток в цепи. Возможные соотношения между $U_\pi$ и $I$ определяются волтамперной характеристикой лампочки (рис. 9). С другой стороны, напряжение на лампочке определяется соответствующим

22

нику постояного направления $U=10B$ последовательно с резистором с сопротивлением $R=4\Omega$. Определить мощность лампочки.

Graph

Рис. 9.

Ф529. Использовая формула, сделанную для рекламного плака (рис. 10), определите: 1) фокусное расстояние объекта фомоапарата; 2) на каком расстоянии от ладоней рук располагался объектив при формулеировании; 0) размер рыбы, пояманной рыбаком; 4) диаметр объекта (предполагая, что размер демалей изобравеня на формуле не превысит 0,2 мм). Объектив формула рассматривается как монкую линзу.

Шением

$$U_{\pi}=U-U_R=U-IR,$$

где $U_R$ — напряжение на резисторе. Следовательно, при данном значении сопротивления $R$ $U_{\pi}$ и $I$ определяются точкой пересечения прямой $U-IR=10-4I$ (ее называют нагрузочной прямой) с волтамперной характеристикой лампочки. Проведяя на графике нагрузочного прямого, найдем значения $U_{\pi}$ и $I$, соответствующие точке $A$:

$$U_{\pi}\approx 5,5\ B, \ I\approx 1,2\ A.$$

Следовательно, мощность, выделяющаяся на лампочке, равна

$$P=U_{\pi}I\approx 6,6\ Bt.$$

И. Слободецкий

На фотографии сильно искажена перспектива. Различные детали объекта (лицо рыбака, ладони рук и т. д.) сформированы с различным увеличением.

Увеличением приято называть отношение размеров изображения и предмета, равное отношению расстояний от линии до плоскости изображения (то есть до фотопленки) и от предмета до линии. В нашем случае увеличение всех деталей меньше единицы. Заметная разница в увеличении лица и рук могла получить лишь при формулеировании с близкого расстояния.

Прием для оценок, что размер лица рыбака $l_1\approx 20$ см, ширина ладоней его рук $l_2\approx 10$ см, а расстояние от лица до ладоней вытянутых вперед рук $a\approx 50$ см. Обозначим расстояние от ладоней рук до объекта через $x$, а расстояние от объекта до фотопленки через $y$. На формуле размера лица $h_1\approx 1,5$ см, ширина ладоней $h_2\approx 1,5$ см. Увеличения $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ этих деталей выражаются относительно нашей

$$\Gamma_1=\frac{h_1}{l_1}=\frac{y}{x+a}, \ \Gamma_2=\frac{h_2}{l_2}=\frac{y}{x},$$

откуда

$$x=\frac{l_2}{h_2}\ y, \ y=\frac{ah_1h_2}{l_1h_2-l_2h_1}.$$

Из этих выражений после подстановки числовых значений

$$x\approx 50\ cm, \ y\approx 7,5\ cm.$$

23

Поскольку на фотографию расстояние между ладонями $h \approx 8$ см, мы можем заключить, что размер поляновой рыбаом рыбы

$$l = \frac{h}{\Gamma_2} = \frac{h l_2}{h_2} \approx 53 \text{ см.}$$

Для определения формулосяного расстояния $F$ объекта и его диаметра $D$ необходимо принять во внимание, что формулаемый объект в нашем случае имеет значительный размер вдоль оптической оси (глубину). Ближняя точка (ладон) находится на расстоянии около 50 см от объекта, а дальней точка (лицо) — на расстоянии около 100 см. Ясно, что объектив не может дать одновременного четке изображения обеих этих точек (и всех промежуточных) на фотопленке, которая расположена на расстоянии $y \approx 7,5$ см за объективом. Ход лучей от дальней (А) и ближайней (B) точки объекта появляется лишь неокоторая промежуточная точка $C$, лежащая где-то между ближайней и дальней точками. Четкие изображения точки $A$ и $B$ лежат соответственно перед и за фотопленкой, а на пленке их изображения получаются в виде пятен размером $\Delta$, не превышшим по условию задачи 0,2 мм. Прияв для оценок, что точка формусировки $C$ расположена на расстоянии $x + a/2 \approx 75$ см перед объективом, запишем, используя формулу линейы,

$$\frac{1}{x + a/2} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}.$$

Отсюда после подстановки числовых значений находится $F \approx 6,8$ см. Как видно из рисунка 11, для того чтобы при значительной глубине объекта резкость изображения всех деталей была достаточно высокой, объектив фотоаппарата должен быть сильно заднафрагмрован, то есть диаметр $D$ открытой части объекта должен быть достаточно мал. Определя по формуле линейы положение изображения $B_1$ близней точки $B$ —

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{d_1} = \frac{1}{F}$$

— и составляя оценную пропорцию

$$\frac{D}{d_1} = \frac{\Delta}{d_1 - y},$$

найдем после подстановки числовых значений: $d_1 \approx 7,9$ см; $D \approx 4$ мм. (Разумеется, для оценки диаметра объекта можно было бы использовать положение изображения дальней точки $A$.)

Итак, проведенные нами оценки дают:

1. формуле расстояние объекта фотоаппарата $F \approx 6,8$ см; 2) при формулерования объекта располагался на расстоянии $x \approx 50$ см от ладоней; 3) рыбку удалось попытать рыбу размером около 53 см; 4) объектив фотоаппарата был заднафрагмрован до 4 мм.

С. Козел

24

В. Григоренко

Когда
критических точек
слишком много

В п. 55 пособия «Алгебра и начала анализа 9» указывается правильное исследование критической точки на экстремум (теоремы 1, 2). Всегда ли это правильно?

О неожиданных ситуациях, в которых им нельзя пользоваться, расссказывается в этой статье.

Напомним, что внутренняя точка $x_0$ обладает определенной функцией $f$ называется критической для этой функции, если $f'(x_0) = 0$ или $f'(x_0)$ не существует.

Предположим (для простоты изложения), что функция $f$ неверывна в точке $x_0$. (Из этого предположения автоматически следует, что точка $x_0$ является внутренней точкой области определения функции $f$.)

Согласно достаточно условию максимума («Алгебра и начала анализа 9», п. 55, теорема 2), если существует максимум $|x_0| - \delta$; $x_0 + \delta$ [мочки $x_0$, влевой полукрестности $|x_0| - \delta$; $x_0$ [коморой $f'(x) > 0$ и правой полукрестности $|x_0|$; $x_0 + \delta$ [коморой $f'(x) < 0$, то точки $x_0$ является мощным функцией $f$.

Естественно спросят: верно ли обратное? Уточним наш вопрос: пустя функция $f$ дифференцируем в некоторой окрестности точки $x_0$ и пустя эта точка является точкой максимума функции $f$; обязаτεльно ли у точки $x_0$ существует такая окрестность, в которой производная «меняет знак с плоска на минус»? Грубо говоря, является ли достаточно условие максимума необходимым?

Оказывается, ответ на эти вопросы отрицательный.

Пример 1. Функция

$$f(x) = \begin{cases} 2 - x^2 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right), & если x \neq 0 \\ 2, & если x = 0 \end{cases}$$

дифференцируем на всей числовой прямой $R$, точка 0 является мощным максимумом функции $f$ и в каждой из получективностей любой окрестности ]—δ; δ[мочки 0 производная $f'$ меняет знак (рис. 1*)).

Действительно, функция $f$, очевидно, дифференцируем в любой точке $x_0 \neq 0$; она дифференцируем также в точке 0, так как

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h \to 0} \left[ -h \left(2 + \sin \frac{1}{h}\right) \right] = 0.$$

(Посленее равенство вытекает из того, что $\lim_{h \to 0} (-h) = 0$, а функция $y = 2 + \sin \frac{1}{h}$ ограничена на $R$, т. е. в силу аналoga теоремы 2 из п. 28 пособия «Алгебра и начала анализа 9».) Точка 0 является мощным максимумом $f$, так как при $x \neq 0$, очевидно, $f(x) < f(0)$. Наконец, в каждой из интервалов ]—δ; 0 [ и ]0; δ[ производная

$$f'(x) = -4x - 2x \sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x}$$

*) На всех рисунках масштабы по осям — разные. В окрестности нуля рисунки утрачивают необходимую степень подробности и становятся неверными.

25

меняет знак (объяснение «на пальцах»: при $x \to 0$ слагаемые $-4x$ и $-2x \sin \frac{1}{x}$ стремятся к 0 и, значит, делаются сколь угодно малыми, в то время как слагаемое $\cos \frac{1}{x}$ постоянно меняет знак, переходя от +1 к -1 и наоборот).

Причина такой непrivibличной ситуации в том, что в любой окрестности точки 0 имеется бесконечно много критических точек функций $f$ (см. рис. 1); проходя через них, производная $f'$ меняет знак.

Подобного «скопления» критических точек, конечно, не былает, если у функций $f$ конечное число критических точек или по крайней мере конечное число на любом отрезке $[a; b]$ (как, например, у функций $y = \sin x$). В этом случае на каждом интервале между соседними критическими точкими производная $f'$ сохраняет знак (это утверждение, верятоно, геометрическую очевидно, но доказать его не очень просто).

В случае «скопления» критических точек вектор неокторой точки $x_0$ исследоваать функцию на экстремум в этой точке по знаку производной нельзя.

Пример 2. Существуют также функции $f$ и $g$, дифференцируемые на $R$, что точка 0 является точкой максимума для одной из них и точкой минимума — для другой, но во всех точках неокторой окрестности точки 0 производные $f'(x)$ и $g'(x)$ имеют одинаковый знак.

Мы не будем приводить для нужных функций явных формул, а ограничимся их графиков (рис. 2); заметьте, что примеры функции не обязательно строить «на языке формул», их можно просто рисовать).

А как же поступить в таком случае? Никакого общего совета мы даны можно. Если у вас из тех или иных сообщений возникло предложение, что подобная точка $x_0$ является, скажем, точкой минимума функции $f$, можно попытаться «в любо» доказать неравенство $f(x) > f(x_0)$ для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$.

В примере 1 точка 0, вокруг которой «скопились» критические точки, тоже была критической. Однако это не обязательно.

Пример 3. В любой окрестности точки 0 имеется бесконечно много критических точек функций

$$f(x) = \begin{cases} x + x^2 \cos \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0, \end{cases}$$

по точке 0 не является критической.

Проверьте, что

$$f'(x) = \begin{cases} 1 + \frac{2}{x} \sin \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x \neq 0, \\ + 2x \cos \frac{1}{x^2}, & \text{ если } x = 0, \\ 1, & \text{ если } x = 0. \end{cases}$$

Так как в любой окрестности точки 0 производная $f'$ меняет знак (почему?), она в любой окрестности обращается в 0*); это — то же самое

*) Это в данной системе неложно доказать, воспользоваться теорем из п. 84 пособия «Алгебра и начала анализа 10».

Рис. 2

Рис. 3.

26

утверждение, о котором говорилось перед примером 2. Поскольку $f'(0) = 1$, точка 0 не является критической (рис. 3).

Производная $f'$ из примера 3 разрывна в точке 0 (проверьте).

Задание

1. Докажите, что если производная $f'$ функция $f$ неверивна в точке $x_0$ и в любой окрестности этой точки имеет бесконечную много критических точек функции $f$, то сама точка $x_0$ также является критической для $f$.
2. Докажите, что функции
   $$f(x) = \begin{cases} x^2(2 + \sin \frac{1}{x}), & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0, \end{cases}$$
   $$g(x) = \begin{cases} x^2(-2 + \sin \frac{1}{x}), & \text{ если } x \neq 0, \\ 0, & \text{ если } x = 0. \end{cases}$$

Просветровод

В 1841 году швейцарский профессор физики Колладон продомонстрировал замечательное сооружение — светацйся фонтан. Это красивое зреление было основано на явлении полного внутреннего отражения.

Полное внутреннее отражение возникло при перехождение света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду (показатель предложения первой среды больше показателя предложения второй среды). Когда угол падения луча света на границу раздела двух сред становится больше неоторого предложенного, луч не проходит через границу раздела — он отражается от нее и «возвращается» в оптически более плотную среду. Если после первого отражения луч попадает на границу раздела «более плотная оптическая среда — менее плотная» вновь под углом, больше предельного, то сгущается многократно полное внутреннее отражение, не будет выходить за пределы оптически более плотной среды — световой поток будет распространяться внутри среды с относительной малыми потерями на поглощение и рассеяние. Предельный угол зависит от относительной показателей предложения сред. Для границ раздела вода — воздух, например, этот угол равен $49^\circ$.

Тепер можно понять, как «работает» светацйся фонтан. Невидимый для наблюдателя источник «посылает» лучи света внутренней струпи. Изогнута струпа фонтана так, что эти лучи не выходят за ее пределы — каждый раз на границу вода — воздух лучи попадает под углом $49^\circ$. Там, где струя распадается на отдельные брызги, это условие нарушается и деталей.

Очень красивые декоративные светильники из светопроводов. Однако из таких светильников — на первой странице нашей обложки.

Т. П.

27

Задчи

1. В треугольнике длина одной стороны равна 6,31 м, длина другой стороны — 0,82 м. Чему равна длина треугольника, если известно, что она выражается целым числом метров?

2. На окружности расположены точки: 1977 белых и одна красная. Расматриваются всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких средних будет больше: с красной вершиной или без нее?

3. Пусть $a$ — произвольное 1979-значное число, делящееся на 9. Сумму цифр этого числа обозначаем буквой $A$. Сумму цифр числа $A$ обозначаем буквой $B$. Сумму цифр числа $B$ — буквой $C$. Найдите число $C$.

4. На клетке b8 шахматной доски мелом написано +1, а во всех остальных клетках —1. За одну операцию разрезается сменить все знаки на противоположные либо на одной (любоий) вертикали, либо на одной (любоий) горизонтали. Докажите, что, сколько бы операций мы ни выполнили, мы никогда не получим +1 во всех клетках доски одновременно.

5. Задча-шутка. При курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут двенадцать кур за dvенадцать дней?

28

Животные
на … Плокости

В пятом классе на уроках математики вы начинаете изучать координатную плоскость. Учителяница предлагает вам по координатам точки найти ее на плоскости, определять координаты точки, построить график каждой нибудь функции… Чтобы задания сделать более веселыми, «Квант» три года назад объявил «соревнование художников». На координатной плоскости задаются координаты несколько точек. Соседние точки соединяются отрезками. Если точки найдены правильно, то в результате получится какой-нибудь рисунок: например, слон, собака, кошка, мышка, белка, песец, пингвин, утенок, лось, бегущая лошадь, лисенок, тюлень (эти рисунки присланы в редакцию ученики средней школы № 5 г. Среднеуральска Свердловской области, учитель математики — Т. Н. Сергеева). Сегодня мы предлагаем «записать» этих животных «в координатах» и,kроме того, нарисовать такие картины:

1. (3; 3), (0; 3), (−3; 2), (−5; 2), (−7; 4), (−8; 3), (−7; 1), (−8; −1), (−7; −2), (−5; 0), (−1; −2), (0; −4), (2; −4), (3; −2), (5; −2), (7; 0), (5; 2), (3; 3), (2; 4), (−3; 4), (−4; 2); глаз (5; 0).

2. (−9; 7), (−7; 8), (−6; 10), (−3; 10), (−1; 7), (8; 1), (15; −2), (13; −4), (6; 0), (4; −1), (3; −1), (1; −7), (−1; −7), (1; −6), (2; −1),

(0; −1), (−2; −7), (−4; −7), (−2; −6), (−1; −1), (−5; 2), (−6; 5), (−7; 6), (−9; 7); глаз (−5; 8).

3. (1; 7), (0; 10), (−1; 11), (−2; 10), (0; 7), (−2; 5), (−7; 3), (−8; 0), (−9; 1), (−9; 0), (−7; −2), (−2; −2), (−3; −1), (−4; −1), (−1; 3), (0; −2), (1; −2), (0; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 5), (2; 6), (1; 9), (0; 10); глаз (1; 6).

4. (−5; 1), (−6; 3), (−6; 6), (−3; 8), (−1; 10), (2; 11), (3; 10), (3; 9), (6; 10), (7; 9), (7; 7), (4; 4), (4; 1), (2; −1), (2; −4), (5; −4), (6; −7), (5; −8), (1; −10), (1; −12), (−4; −12), (−7; −9), (−7; −7), (−6; −6), (−4; −7), (−4; −5), (−6; −4), (−6; −2), (−4; −2), (−3; −1), (−5; 0), (−5; 1); глаз (−3; 4), (−2; 4), (−2,5; 3), (−3; 4).

5. (−9; 4), (−5; 4), (−3; 5), (−7; 7), (−8; 7), (−10; 8), (−9; 8), (−10; 10), (−8; 9), (−10; 11), (−8; 10), (−9; 12), (−7; 10), (−5; 9), (−2; 8), (−1; 5), (0; 5), (−1; 7), (−1; 8), (1; 10), (2; 10), (2; 9,5), (3; 9), (1; 9), (0; 8), (0; 7), (1; 4), (−1; 3), (−3; 2), (−6; 2), (−6; 3), (−9; 4); глаз (1,5;9,5).

(Задание 1—5 составлены ребятами из Среднеуральска.)

6. (7; 0), (7; −1), (6,5; −2,5), (7; −5,5), (6; −6,5), (5; −6,5), (6; −5,5), (5; −2), (3,5; −0,5), (1; −1), (−2; −1), (−2; −2), (−3; −3), (−3; −5,5), (−4; 6,5), (−5; −6,5), (−4; −5,5), (−4; −2), (−5; 0); (−5; 2), (−7; 4), (−9,5; 4,5), (−10; 5,5), (−7,5; 5,5), (−7; 6), (−6; 6), (−5; 7), (−5; 6), (−3; 4), (−1; 3), (2; −2), (5; 3), (7; 2), (8; −2), (7; −3) и (5,5; −4,5), (5,5; −5,5), (4,5; −6,5), (4,5; −5,5), (5; −2) и (−2; −2), (−1,5; −5,5), (−2,5; −6,5), (−3,5; −6,5), (−2,5; −5,5), (−3; −3); глаз (−7; 5,5).

7. (2; 12), (2; 13), (3; 13,5), (4; 13,5), (5; 13), (3; 4), (8; 4), (6; 1), (3; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 11), (4; 12,5), (3,5; 12,5), (2; 11), (2; 12), (3; 12) и (3; 3), (4; 2), (6; 2); глаз (2,5; 12,5).

(В заданных и seven читателей А. Наймовым из Таджикстана, точки, разделенные союзом «и», соединять не нужно.)
Кто у вас получился?

31

мы, как правило, с существенно больших расстояний (объчно с расстояния наличишего видения, равного 25 см), поэтому в сразу попадает очень узкий пучок лучей, имеющих примерно одинаковые углы наклона. (Проверьте самостояльно, что для лучей, попадающих в центр зрача и на его края, система уравнения, аналогичных уравнениям (1) — (3), будет совместной, то есть продолжения преломленных лучей пересекутся в одной точке.)

Таким образом, мы можем видеть предметы, находящиеся под водой, благодаря тому, что сразу нашнего глаза является естественным ограничением ширины световых лучков, созданных избражения.

Задача 2. На дне сосуда, заполненного водой, лежит плоское зеркало. Человек, наклонившись над сосудом, видит изображение своего глаза в зеркале на расстоянии $d = 25$ см (рис. 2). Расстояние от глаза до поверхности воды $h = 5$ см. Показатель преломления воды $n = 4/3$. Определить глубину $H$ сосуда.

Самое главное при решении задачи такого рода — аккуратно постройход лучей. Пусть точка $A$ — какая-то точка глаза человека. Для построения избражения точки нужно использовать, как минимум, два луча.

Рис. 2.

В качестве одного луча обычно берется луч, перpendикулярный границе раздела различных сред,— на рисунке 2 это луч $AB$. Он проходит границу раздела, не преломляясь, и отражается от зеркала без изменения угла наклона.

Вторым лучом пусты будет произвольный луч $AC$. На границе раздела воздуха — вода (в точке $C$) он испытает преломление, doit дет до зеркала, в точке $D$ отражается от него, еще раз преломится на границе раздела (в точке $E$) и выйдет в воздух по направлению $EF$.

На пересечении продолжений лучей $BA$ и $EF$ и будет находиться избражение $A'$ выбранной точки $A$.

Теперь займемся расчетами. Поскольку размеры зрача глазы (они существенно меньше расстояний $d$, $h$ и $H$), все интересующие нас углы глазы, и их тангенсы можно заменять снусами или самими углами. (Заметим, что на рисунке 2 для наглядности масштаб по горизонтали сильно растут.) Как следует из рисунка 2,

$$|BC| = h \mathrm{tg} \alpha_1 = h \sin \alpha_1,$$
$$|CE| = 2H \mathrm{tg} \alpha_2 = 2H \mathrm{tg} \beta_1 = 2H \sin \beta_1/n,$$
$$d = h + |BA'| = h + |BE|/\mathrm{tg} \beta_3 = h + |BE|/\mathrm{tg} \alpha_1 = h + (|BC| + |CE|)/\sin \alpha_1 = 2h + 2H/n.$$

Отсюда

$$H = n (d/2 - h) = 10\text{ см.}$$

Вы видели, что в этой задаче глаз является как источником светового излучения, так и его приемником. Подобные ситуации позволяют при рассмотрении оптических систем, содержащих плоские или сферические зеркала.

---

Особый и весма общирный класс составляют задачи, связанные с коррекцией недостатков глаза с помощью очков. Как известно, глаз человека способен аккомодировать, то есть «приспособливаться» к резкому видению предметов, находящихся от него на различных расстояниях. В силу тех или иных принципов пределяя акко-