Квант 1979, №7 · Страницы

КВАНТ
7
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

17

На этом рисунке показана развертка модели «непрерывно изгибаемого многогранника Конелли», построенной харьковскими геометрами. Как изготовить такую детствую модель — это совсем не сложно — вы можете прочитать на с. 39. О том, как получается многогранник Конелли, мы уже писали (см. «Квант», 1978, № 9, с. 17).

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляв
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
А. И. Маркушевич
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ:
2 В. Фабрикант. Леонид Исаакович Мандельштам
9 Л. Мандельштам. Почему физика нужна инженеру?
14 Л. Садовский, М. Аршинов. Двоичное кодирование

Задачик «Квант»
22 Задачи М571—М575; Ф583—Ф587
24 Решения задач М517—М519; Ф526, Ф530—Ф532
33 Г. Курдюмов. Консервативность бесконечного строя

По страницам школьных учебников
37 А. Земляков. Проверя себя
40 «Квант» для младших школьников
Задачи

Практикум абитуриента
41 Г. Меледин. Можно ли проверить ответ?

Вариantsы вступительных экзаменов
44 Московский автономно-дорожный институт
45 Московский инженерно-строительный институт им. В. В. Куйбышева
46 Московский институт химического машиностроения
47 Московский институт электронного машиностроения
49 Московский экономик-статistical instituty

51 Ленинградское высшее ordenа Ленина Краснозаменное училище железнодорожных войск и военных сообещений им. М. В. Фрунзе
52 Ленинградский гидрометеорологический instituty
53 Ленинградский instituty точной механики и оптики
54 Ленинградский корпавестроительный instituty
Ленинградский политехнический instituty
55 им. М. И. Калинина
Ленинградский электrotechnический instituty
57 им. В. И. Ульянова (Ленина)
57 Саратовский политехнический instituty

Наша обложка (21, 39)

59 Ответы, указания, решения
Смесь (20, 32, 36, 43, 58)

© Главная редакция физico-mатематической литературы
издательства «Наука», «Квант», 1979

2

В этом году исполнили 100 лет со дня рождения Леонида Исааковича Мандельштама (1879—1944) — выдающегося советского физика, академика, зачемательного педагога, создателя одной из крупнейших советских физических научных школ.
Мы помещаем в этом номере статью одного из учеников Мандельштама — академика АПН СССР В. А. Фабрикана, в которой он делится своим восполнянями о Л. И. Мандельштаме и рассказывает об одном из основных открытий этого зачемательного ученого. Мы публикуем также, с небольшими сокращениями, вводную лекцию, прочитанную Л. И. Мандельштамом в 1918 году студентам Одесккого политехнического института. Эта лекция была посвящена вопросу, который не утратил свое активности и сегодня, — зачем изучать физку будущеу инженеру?

В. Фабрикант

Леонид Исааковича Мандельштам

Мандельштам — педагог
О Леониде Исааковице Мандельштаме я, студент-первокурсник, впервые услышал в 1925 г. на заседании предметной комиссии по физике Московского государственного университета.
В эту комиссию, наряду с преподавателями, входили и представители студентов. Председатель сообщеил, что удалось пригласить для работы в МГУ очень крупного ученого, известного физика — Л. И. Мандельштама. Мы, студенты, естественно, были заинтригованы.

Вскоре начались знаменитые мандельштамовские семинары. Студент-старшекурсник С. Шубин, ставший потом видным физиком-теоретиком и

3

почему-то опекавший меня, посоветовал ходить на эти семинары. Он сказал: «Поначалу ты мало что будешь поннимать, но это почувствуешь двух настояшей науки». Обе части его предсказания оправдались.

На семинарах Л. И. все было для нас необычно. Прежде всего — состав семинара. В нем участвовали не только студенты и аспиранты, но и многие наши преподаватели и совсем посторонние для нас, студентов, люди. В связи с этим семинары проводились в самом большой аудитории. «Взрослые» занимали первые скемы в аудитории, несколько подальше сидели студенты.

На семинаре царила атмосфера доброжелательного внимания к высказываниим любого участника, независимо от его научного «ранга». Нико не боялся задавать «глупые» вопросы, многие из которых, послеtlsательного обслужения, оказались далеко не такими «глупыми», как это казалось сначала. Вместе с тем любая физическая ошибка выяснялась и критиковалась в четкой, но не обидной форме. Решаюшую роль в создании такой атмосферы доброжелательности и корректности играли личные качества Л. И. Словами трудно передать его обаяние. Каждый встреча с ним была для нас радостую. Когда по каким-либо причине Л. И. отсутствовал на семинаре, студенты говорили «чай без сахара».

Объчно Л. И. предварил доклад кого-либо из участвовавших семинара несколькими краткими замечаниями, а после доклада подводил итоги. На поражала его способность излагать самые сложные вопросы и, с другой стороны, умение обнаруживать сложности в простых, на первый взгляд, вопросах. Недаром в те годы у физков появился термин «мандельштамовская ясность».

Когда на четвертом курс подошла моя очередь выступать в качестве докладчика на семинаре, я лично убедился в том, какую большеую работу проводили Л. И. и его сотрудники, готовя нас к выступлению. Сам Л. И. былlectящим лектором и докладчиком. Ученик его С. М. Рытов пшет в своих воспоминаниях:

«Я много думал над тем, в чем «секрет» совершенное особого воздействия выступлений Л. И., того эмоционального подема, который они всегда вызывал. Его lekции и доклады захватывали аудиторio, заставляли забывать об всем на свете и переживать условия. Так быает с лучшим произведениями театра или кино, вообше искусства. Но… «оружнем» Л. И. было не красно-байство или «театральница», а замечательное умение поразить слушатель, задеть их за живое,ажечь интерес и заставить увидеть вопросы там, где, казалось бы, все уже ясно в силу сказанного ранее».

Я невольно, как быший студент Л. И., начал с характерistikки Мандельштам-педагога, но это отличное незначает, что для него преподавание было главным делом. Правильнее будетсказать, что у Л. И. трудно было проверсти четкуго границу между исследователем деятельности и преподаванием.

Мандельштам — учены

В 1929 г. Л. И. Мандельштам был избран академиком. Выдающийся ученый, он создал одну из самых крупных советских научных школ в области физики. Его ученики — академики А. А. Андронов и М. А. Леонтович, член-корреспондент С. М. Рытов, профессора Г. С. Горелик, А. А. Витт, С. Э. Хайкин, С. П. Стрелков. Его близкие сотрудники — академики Г. С. Ландсберг и И. Е. Тамп. Нельзя не упомянуто близком друге Л. И. академике Николае Дмитриевчие Папалекси, с которой он работал совместно 45 лет. Все это — крупные имена в науке. Сейчас успешно работал научные «внуки» и «правнуки» Л. И.

Для того чтобы было понятно, как складывался круг научных интерсов Л. И., нужно привести некоторые краткие биографические данные. Окончив в 1897 г. гипназию с золотой медалью, Л. И. поступил на математическое отделение физико-mатематического факультета Новоросскийого университета. Однако в 1899 г., в связи со студенческими бес-

4

порядками, он был исключен из университета и уехал за границу, в Страсбург, где поступил на физиomatематический факультет университета. Кафедру физики в этом университете заимал выдавшийся ученый Ф. Браун, получивший в 1909 г. Новелевскую премию за работы по радиотелеграфии. Он же был директором образования для того времени физического института в Страсбурге.

Браун очень скоро оценил исключительные способности Л. И. и привлек его к научной работе в области физики электромагнитных колебаний. Первая научная статья Л. И. была посвящена определению времени затухания колебаний в контуре.

После окончания университета Л. И. в качестве ассистента Ф. Браун продолжал активную исследование гравычую работу, совмещая ее с частием в заводских испытаниях новой радиоаппаратуры. В этот период Л. И. сделал свое первое (из 60!) изобретение, позволившее существению повышить чувствительность приемной радиоаппаратуры. Характерно, что это изобретение, имеющее большое практическую ценность, было сделано на основе проведенного, Л. И. теоретического анализа.

Вicio последующую жизнь Л. И. занимался главным образом физиокий и технической колебаний и волн самом различной природы, порAZтельно сочетая творческую деятельности в столб разнородных областях, как проблемы теоретической физики, тонкости физического эксперимента и решение конкретных инженерных задач. А. А. Андронов в докладе, посвященном первой годовшине со дня смерти Л. И., очень правильно сказал: «…в нашей время резкого деления физков на теоретически и экспериментаторов, на «чистых» физков и «технических» физков, Л. И. — одновременно теоретически и экспериментатор, «чистый» физик и «технический» физик». К этим словам хочет добавить, что Л. И. умел ценить творческое начало в любои, даже очень далеко от науки и искусства области. Помню, с каким восхищением он говорил об изобретении застежки «молния», в то время — новинки, и интересовался, кто сделал это острумное изобретение.

К страсбургскому периоду относится также полемика Л. И. со значенным уже в то время физиком, родоначальником квантовой теории Максом Планком. Л. И., несмотря на прирожденную скромность и мягкость характера, твердо стоял на том, что у Планка в работе, посвященной волновой теории распространения света в произрачных средах, есть принципиальная ошибка. После длительного полемики Планк признал правоту Мандельштама. Этот эпизод интересен еще и тем, что здесь проявился способность Л. И. находит аналогою между явлениями в далеких друг от друга областях физики. В споре с Планком, судя по всему, Л. И. была использована аналогия между соседними атомами среды с колеблющимися в них электронами и близко расположенными работающими радиоантеннами.

В те же годы Л. И. начал цикл работ по молекулярному рассеянию света.

Каждай знает, что в мутион среде, будь то туман или молочное стекло, свет рассеивает. Причиной рассеяния является оптическая недорогость среды. Например, капельки воды, образующие туман, имеют показатель преломления, резко отличаются от показателя преломления воздуха. Казалось бы, в чистом воздуха не должны быть рассеяния света. Однако это не так. То, что мы видим над собой голубое небо, есть результат рассеяния солнечного света молекулами воздуха земной атмосферы. (Недаром на очень высоких горах не доходит к слуаичному воздействию концентрации атомов или молекул в одних точках среды и убыванию в других. Такие отклонения плотности от среднего значения называются флуктуациями плотности. Эти флуктуации вызывают, в свою очередь, локальные

прием. С повышением температуры растет скорость теплового движения atomов, молекул илионов вещества, а это приводит к росту величины флуктуации. С ростом же величины флуктуации увеличивается интенсивность молекулярного рассеяния. Вместе с тем рассеяние на дефектах кристалла не зависит от температуры.
Позному повышение температуры образца позволяет выделить молекулярное рассеяние в «чистом виде». Именно этот факт и предложил использовать Ландсберг.

Однако в МГУ не было спектральной аппаратуры, способной обнаружить малые изменения частоты, соответствующие эфекту Мандельштама — Бриллюзна. Мандельштам и Ландсберг пытались обойти это затруднение, использую сравнительную гречий спектrograf.

Как это ни удивительно, грубость аппаратуры сыграла положительное роль, приведя к открытию совершенного нового, важного явления — комбинационного рассеяния света. При комбинационном рассеянии — КР — возникало большое изменение частоты, на несколько порядков превышшие эфект Мандельштама — Бриллюзна. Чувствительность аппаратура, необходимая для наблюдения эфекта Мандельштама — Бриллюзна, оказалась бы слищом «деликатной» для обнаружения КР.

На рисунке 1 изображена схема экспериментальной установки для исследования рассеяния света в кристаллах. В качестве источника света использовалась рутная лампа, спектр которого состоит из ряда спектральных линей (рис. 2, а). В спектре света, рассеяного кристаллом кварца, около каждой яркой линей ртути было обнаружено появление дополнительных линей — спутников или, как их называют, сателлитов (рис. 2, б). Однако частоты, соответствующие этим линяям, отличались от частоты падающего света на гораздо большую величину, чем это ожидалось по теории эфекта Мандельштама — Бриллюзна. Это новое явление и получило название комбинационного рассеяния. Первые снимки спектров КР были получены в

7

знано, что открытие комбинационного рассеяния сделано Ландсбергом и Мандельштамом в кристалрах и Раманом в жидкостьх, независимо друг от друга и практическо одновременно. Оdnako в 1930 г. Нобелевская премия за это открытие была присуждена одному Раману, что было явной несправедливо.

Л. И., исходя из классических сообравенений, указал, что КР в кристалрах, так же как и эфект Мандельштама — Бриллюэна, возникает благородя модуляции рассеяного света колбанями кристалической решетки. Оdnako в данной случае роль модуляционных колбаний играют не актические, а так называемые оптические колбаня решения. Частоты этих колбаний лежат в инфракрасной области спектра. На рисунке 3 изображены два типа волн, возникающих в кристалической решетке, построенной из атомов двух сортов. Рисунок 3, а соответствует звуковой волне и, соответственно, актическим колбаняям решетки. Рисунок 3, б соответствует оптическим волнам и колбаням. Именно эти оптические колбаня моделируют падающий на кристалл световойную волну, что и вызывает комбинационное рассеяние света.

При КР в жидкостьх и газах модуляцию света вызывают колбаня atomов, входящих в состав отдельных молекул. Согласно классификации рис. 3. Два типа волн, возникших в кристалческой решетке, построенной из атомов двух сортов.
а) Актическая волна; б) оптическая волна.

чесной теории модуляции при КР в спектре рассеяного света около каждой спектральной линии падающего света должно возникать несколько сметрично расположенных линей — спутников. Частоты спутников получаются путем комбинирования частоты падающего света с частотами внутримолекулярных колбаней (отсюда и проискот называние явления) и удовлетворяют простым соотношением:

$$v_k = v_0 - v_M,$$
$$v_\phi = v_0 + v_M,$$

(1)

где $v_k$ — частота «красного» спутника, то есть линни, смещенной относительно основной (из спектра падающего света) в сторону больших длин волн, $v_\phi$ — частота «филотового» спутника, то есть линни, смещенной в сторону меньших длин волн, $v_M$ — частота внутримолекулярных колбаней (частота модуляции).

Соответствия (1) прекрасно согласуются с опытом. Оdnako, согласно классической теории, интенсивности сметрично расположенных спутников должны быть одинаковыми. Этот вывод находится в результате квадного «красного» спутника во много раз больше интенсивности сметриного ему «филотового» спутника (см. рис. 2, б). Это разлиние интенсивностей нельзя исключать из классической теории модуляции. Необходимо учеть квантовые свойства света и вещества.

Согласно классическим представлениям два сметрично расположенных спутника возникают при рассеянии света на одной и той же молекул. Согласно квантовым представлениям «красный» спутник возникает при рассеянии света — фотонов — на молекул, обладающей меньшим запасом внутренней энергии, а «филотовый» — при рассеянии на возбужденной молекULE с увеличенным запасом энергии (на классическом языке эти молекулы отличаются амплитудой внутримолекулярных колбаней). Согласно квантовым законом энергия внутримолекулярных колбаней может изменяться только определенными порциями, квантими, равными $hv_M$, где $h$ —

9

Л. Мандельштам

Почему физика нужна инженеру?

Приступая к четею лекций по физике, я хотел бы, прежде чем перейти к систематическому изложению предмета, остановиться сегодня на одном общем вопросе и поделиться с вами неокоторыми сообщениями насчет того положения, которое физика занимает и, по моему убежданию, должна занимать в ряде наук, изучению которых вы собираетесь просвятить близкой годы.

Мне хотелось бы дать вам материал, на основании которого вы могли бы сами убедиться, что физика нужна инженеру всегда, во все время его деятельности, и что на нее нельзя смотреть, как на предмет, который нужно — да и нужно ли? — раз пройти, а потом можно и забыть, так как ведь все равно то, что необходимо знать инженеру из физики, еще раз повторяется при прохождения специальных предметов.

Говоря, что инженеру нужна физика, я имею в виду не только то, что он должен быть знаком с теми отделными явлениями и законами, с которых он неосредственно встречает в своей практической деятельности. Такое утверждение было бы само собой очевидным. Что инженерстроитель, расчитывая прочность сооружения, должен быть знаком с основными законами управления, что инженер-электротехник в проектировании, скажем, осветительный сети должен знать закон Ома, связывающий силу тока, сопротивление и электродвижущую силу батареи, и т. д. — это, конечно, не нужноется в доказательстве. Нет, когда я говорю, что инженеру нужна физика, я этим хочу сказать, что ему нужно широкое владение этим предметом в его совокупности; я утверждаю, что ему нужно знание физики самой по себе как целый дисциплины с ее специфической методикой, а не только в зависимости от текущих применений. Я утверждаю, наконец, что для этого инженеру недостаточно знать только опытную часть ее, а что он должен быть основательно знаком и с теорией.

Не для того чтобы показать, что это действительное так, мы прежде всего должны поставаться выяснить себе структуру физики как научки и посмотреть, в каком соответствии находится теория и тот опытный материал, который физика оперирует.

Конечно, мы не можем решать здесь вопроса о существии физической науки во всей его полnote. Этот вопрос, относящийся к теории познания и краей интересный как для физика, так и для физософа, значительное более сложен, чем это может показаться на первый взгляд. В истории физофской мысли он всегда занимает место. Но нам для нашей цели и нет надобности особенно сильно в него углубляться. Нам достаточно будет знать только одной его стороны, хотя, правда, и здесь нам придется наать несколько издалека.

Не подлежит сомнению, что единственным средством, с помощью которого мы черпаем наши сведения об окружающей нас мире, является наши органы чувств. Но единчные чувственные восприятия сликом миниметы и неустойчивых, чтобы служить материалом для дальнейшей переработки. И вот человек выделяет и фиксирует в памяти те общие черты отдельных восприятий, которые повторяются и которые для него практически важны. Этот процесс, совершающая совершенное непроизвольное, ведет к образованнию того, что в логике называется понятями.

10

В образованни понятий состоянии первый шаг по пути познания природы. Они являются той базой, на котором строится дальнейшее. Но образованные таким образом первоначальные понятия обладают, как мне кажется, следующим свойством. Они не поддаются строому определению. Мы все владеем понятем «свет». Но объяснить словами, определять один другому существу этого понятия мы не можем. Чтоы научиться ему, нужно иметь глаза, нужно видеть, как освещается все нас окружающее при восхождение солнца и как погружается опять во мрак при его заходе. Если бы произнести, тому же можно научиться, включая и выключая электрическую лампочку. Но одно несомненно — слова, определяния здесь бессильны. Попробуйте объяснить слепому от рождения, что такое свет.

Итак, одним словами первоначальным физическим понятям научить нельзя. Вот почему, позвольте мне это здесь подчеркунуть, ни учебник, ни учитель недостаочных, чтобы научить физике. Учащийся должен хотеть немного работать опытно сам. Он должен хотеть поверхностно, но сам видеть, сам слышать, сам осознать те явления, о которых ему говорят.

Мы несколько отвлеклись в сторону. Вернемся к первым шагам по пути познания природы, к понятям, непосредственно навязанным нам природой. По мере того, как человекство уведомило свой запас наязываемых опитом понятий (опытных знаний), все настоящего же являясь потребность в их систематизации, без которой нет возможности разобраться в бесконечном обилии окружающих нас явлений. В этой системеизация громадную службу оказывает намаша способность образовать другого рода понятия, понятия более определенные, чем те, о которых шла речь выше, и менее зависящие от наших чувств. В первую очередь сюда относится понятие о числе и те понятия, которые оперирует математика. В области этих понятий, других словами, в области математического мышления мы себя чувствуем несявенно более уверенно, чем при оперировании с материалом, неосредственно поставляемым нам нашими чувствами. При помощи математических понятий можно определенно формировать посылки и так же определению и легко делать из них выводы и заключения. И вот, зная за собой эту силу, человек старается — вначале инстинктивно, а затем с развитием научки и сознанию — приспособить математические понятия и специально понятие о числе к сырому опытному материалу, к понятям физическим.

В этом процессе перехода от качественных соотношений к количественных заключится важнейший этап научной мысли. На нем основано как понятие об измерении, так и сам процесс измерения физических величины. Можно смело утверждать, что какая-нибудь область физических явлений вообще становится научкой только с того момента, когда мы научемся видеть в нее измерения. Так, например, пока не было точно понятия температуры и не умели ее измерять, научки о теплоте почти или даже совсем не существовало.

Пользовь в описанном смысле математикой, мы стараемся теперь системы в окружающих нас явлениях и облегчить себе их понимание тем, что ищем такие математические формулы в общем смысле слова, не непреемно узко алгебраической, которые охватывают все возможное число единиц фактов или общую сторону различных явлений. Если такая формула найдена, то мы говорим, что нашли физический закон. Возьмем пример. Закон преломления света при переходе из одной прорачной среды в другую гласит, как известно, так: падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости, и отношение между снуком угла padения и синуком угла преломления есть величины постоянная. Например, для воды и воздуха это отношение равно 1,33. Что пред-

11

ставляет собой этот закон? Это — формула, охватывающая бесплатное множество единчных случаев преломления. Она избавляет нас от необходимости делать в каждом отдельном случае опыт, она делает неужным заполнять или заполнить в таблицы для каждого отдельного случая угол падения и соответствий угол преломления луча. Зная закон преломления, вы уверены, что в любой момент, когда это вам понадобится, при помощи простейших вычислений вы сможете решить всякий представившийся в этом направлении вопрос.

По мере того как физические знанияросли, по мере того как число найденных законов увеличивается, все труднее и труднее становится разобраться в их разнообразном обилии. Движимые опять необходимостью возникновения лучше ориентировки в этом громадном материале, люди старились найти такие картины, такие точки зрения, которые позволили бы обединить в одно целое отдельные законы. Так создается физическая теория или, вернее, теория.

Teория, таким образом, находится в таком же отношении к отдельным законам, в каком законы находится к отдельным явлениям. Систематизирующая роль теории, конечно, не исчерпывает все сущеости, но все же, как вы видите, в систематизация наших знаний она имеет громадное значение. И тут математика является огромным подспорем. Только что рассмотренные соответствия между различными сторонами физики и постепенное развитие их могут быть прослежены на любой физической теории. Очень просто это сделать, например, на оптике.

Оптика, между прочим, — одна из самых древних научно разработанных отраслей физики. Изучение оптических явлений уже в древности привело к установлению некоторых законов. Закон прямолинейного распространения света и закон отражения от зеркал был известный давно. Позже, в XVII в., был найден закон преломления. Смотря по тому, какая группа явления поддержалась исследованию и с каких точек зрения к ним подходили, были установливаемые различные отрывные законы. Были открыты явления диффракции света, интерференции и т. д. Но пока не было обещей, обединиющей точки зрения, было чрезвычайно трудно разобраться во всей совокупности оптических явлений. Более того, отдельные законы, казалось, находились в противоречии друг с другом. Загибание света не вязалось, например, с прямолинейным распространением луча.

Так было до того, пока услиями ряда генциальных физков, из которых в первую очередь должны быть названы Гюйгенс и Френель, не удалилось найти ту картину, которую мы теперь называем волновой теории света и которая позволяет быстро в одно стройное целое. И все, что казалось сложно и противоречиво, сделалось простым и ясным.

А возьмите теorio всемирного тяготения Ньютона. Обединия с генциальной смелостью стол разнородные на взгляд наших чувств явления, как падение камня и движение небесных светил, она градиозна именно своей простой. В одной простой формуле она содержит всю динамику всего мира микродания.

Я ограничись этим примерами. может быть, в них осталось кое-что вам неясным. Это ничего. Понимание фактической стороны придет по мере того, как вы будете изучать физку, но я думаю, что для вас, по крайней мере в общих чертах, теперь выяснили соответствие между ее опитной и теоретической сторонами.

Эти две стороны, как вы видели, тено связаны между собой, они вместе представляют одно целое. В достижении нашей конечной цели — познания природы — могут подспорь, систематизирующим наш опит и дaoшим возможность пользоваться материалом, является теория. Теория, а значит и орудие, которые, как мы видели, она пользовется —

12

математика, не является балластом и чем-то искусственно пристегнутым к науке о природа. Нет, она есть то ordune, без которого мы не были бы в состоянии осилить окружающий нас мир как в практическом смысле, так и в смысле удовлетворения уственных потребностей.

Позному я нахожу — не считайте это парадоксом, — что нельзя требовать знания только опытной физики, но вовсе не потому, что это слишком мало, а потому, что это слишком трудно. Более или менее полезное знание опытной физики без помощи теории человека не под силу.

Изложенный взгляд на систематизирующую роль теории очень хорошо иллюстрируется одним красивым сравнению, сделанным Пуанкаре.

Пуанкаре сравнивает всю физку с огромной библиотекой. Отделные опытные данные, отдельные явления — это те тома, из которых библиотека состоит. Теория — это каталог нашей библиотеки. Как без каталога библиотека, особенно большея, представляет собой лишь сборщик книг, очень ценных книг, которые в существии продуктивно пользоваться нельзя, точно так же физика без теории не есть наука, а лишь довольно малoenный конгломерат отдельных фактов, разобраться в которых нет возможности.

А теперь нам будет уже нетрудно ответить на тот вопрос, который мы поставили себе вначале. Нужна ли инженеру физика в ее цель? Не достаточно ли ему знания отдельных, неисредственного для его практической работы нужных фактов? Ответ, мне кажется, ясен.

Что бы продуктивно работать — позволяет мне говорить на языке сравнения Пуанкаре, — инженеру не достаточно прочесть и знать несколько книг из громадной библиотеки знания. Он должен быть знаком или, по крайней мере, уметь разбираться в каталоге библиотеки.

История технически знает немало примеров загадачных неуспехов, неуспехов повторных и имеющих иногда весма непряятные последствия. И очень часто оказываюсь, что загадаочно обусловливаясь не присутствием действия новойых, до них пор вообще неизвестных факторов, а отсутствием у тех, кто данными вопросами занимается, широкого физического горизонта. И когда за решение брались люди, обладающие действительно широкими физическими знаниями, то загадака не только разъяснялась и находился способ предотвращать неуспех, но часто открывались и новые пути для дальнейшего прогресса.

Позвольте мне в заключение оставиться на одном примере, как мне кажется, иллюстрируем значение широкого физического горизонта при разрешении технических вопросов.

Я имею в виду вопрос об оптических инструментах и, в частности, вопрос о микросопеале. Вы знаете, что микросопоп играет чрезвычайно важную роль в очень многохарактеристиках прикладного знания. Я не буду напомнить вам его значение в медицине, в гигнене, в санитарии. Я ужежу только на то, что и в изучении металлов микросопоп в настоящее время не заменим. Микросопоп особенно заинтересовались уже в середине прошло столетия, после того как применение его в биологии открыло совершенное новые пути в изучении явлений жизни. Но после первых успешных обнаружилось, что существенно тогда микросопоп не были хорошо и не были сильны. Испледователи ясно чувствовали, что если бы удалось построить микросопоп с большим увеличением, то вместе с тем явились бы возможность проникнуть еще дальше в существе жизни. А также перспективы всегда с особенной силой манила людей. И фантазия не оставаласьлась перед построкой микросопоп, увеличивающих в десятики, сотни тысяч и миллионов раз, иждали от их применения чудес. Испледователи ждали, что с их помощью будет проникнуть в самые сокровенные детали строения живой материи.

Понятно, что при такой коньонктуре и специализы-конструкторы оптических прибора взялись с услесной энергей за усвершенствование микросопопа. И они считали прициппально возможным достигнуть

13

любых увеличений. Весь вопрос, казалось, сводился к предолению технических трудностей.

Дело в том, что в то время все расчеты, касавшиеся оптических приборов, велисъ исключительно при помощи так называемой геометрической оптики. В основании расчетов лежала та теория микрокоппа, которая оперирует со световыми лучами как с прямыми линяями (и которая, впрочем, до середнящего дня только и преодается в средней школе).
А с точки зрения геометрической оптики действительное не существует прициппальной границы для возможного увеличения микрокоппа.

Однако же весма скоро обнаружилась, что работа, направленная к условиянствованию микрокоппа, далеко не дает тех результатов, которые казалось можно ожидать. Между тем, что казалось доступным, и тем, что достигалось, было противоречие, которое обязывания не находилось.

Так обстоятель дело, когда иенский механик Цейсс, имеющий небольшую механическую и оптическую мастерскую и изготовляющий сам недурные по тому времени микрокоппы, пригласил в качестве консультанта тогда еще молодого физика Аббе. Аббе обладал хорошей теоретической подготовкой, хорошо владелел теоретической оптикой. Он знал, что геометрическая оптика есть лишь удобная схема для обработки классического явления преломления. Он знал ей цену, потому что сам очень много внесенного в эту область. Но он знал также, что с точки зрения волновой теории света, служащей базой для геометрической оптики, последняя есть не более как приближение. И он сразу подошел к вопросу о микрокопке с широким, не связанным узками рамками геометрической теории взглядам.

Результаты такого подхода к делу не заставили себя долго ждать. Один из главных результатов, к которым пришел Аббе, был следующий. Он показал, что волнообразная природа света ставит принципный предел тому полезному увеличению, которое может быть доступного при помощи микрокоппа или, вообще, любого оптического инструмента. Если детали объекта мелче определяют величины или нормы, то эти детали не могут быть видимы, выявить их ни один микрокопп не может. Все места об увеличении в 100 000 и больше раз и все связанные с ними надежды должны быть прициппально оставлены, и работа тех, кто хотел такие микрокоппы построить, совершенно бесцельна. Блестящими опытами Аббе подтвердил правильность своих теоретических выводов.

Позвольте мне на этом остановиться. Я надеюсь, что вы теперь согласитесь со мной, что знание, широкое, полное знание физики для инженера — не российь, а необходимость, что широкий физический горизонт должен быть достоянием не только тех отдельных избранных людей — инженеров, который сухедно прокладывает новые пути в технике, но и достоянием всякого инженера, сознаненно относительно своего дела. Если то, что я сказал, может способствовать укреплению в вас этого взгляда, то моя цель была доступна.

Но я не хотел бы закончить нашу сегоднянию безду, не указав хотя бы двумя словами на еще одну сторону вопроса. Я хотел бы еще сказать вам, что занятая физикой, углубление в ее основы и в те широкие идеи, на которых она строится, и в особенности самостоятельная научная работа приносит огромное умственное удовлетворение. Убеждать в этом я не хочу. Да и вред ли здесь возможно убеждание. Тут каждый должен убедиться с ним, что после кто-нибудь из вас почувствует в себе такое стремление, то для меня всегда будет большим удовлетворением способствовать всем, чем я могу, его осуществлению. В последнем удовлетворении таких чисто научных запросов учащся я, помимо многих личных смпатей, вжу одну, и не последнюю, задачу высшей школе.

14

Двоичное кодирование

Как передают сообщения по линиям связи? Схема такой передачи представлена на рисунке.

Кодирующее устройство сопоставляет каждому передаваемому сообщению определенную комбинацию сигналов (приемлемую для передачи по данному каналу связи), называемую кодом. Операция передода сообщения в последовательность различных сигналов называется кодированием, обратное преобразование, состававливающей ее по принятым сигналам переданное сообщение, — декодированием. Коды, используемые два различных элементарных сигнала, называются двойными. В телефонном диопчье коды Морзе и Бодо. В азбуке Морзе каждой букве сопоставляется определенная последовательность кратковременных (называемых моичками) и длительных (мире) импульсов тока. В коде Бодо каждой букве сопоставляется определенная последовательность из пятни элементарных сигналов — импульса и паузы.

Процесс кодирования, когда различных типов, требования, предъявляемые к ним, и многое смежные проблемы изучает теория информации и кодирования. В ней сочетаютсявероятностиные, алгебраические и комбинаторные методы.

Здесь мы останавливаемся лишь на некоторых частных вопросах кодирования, а заинтересовавшихся читателей отсылаем к специальным книгам — например, А. М. Яглом и И. М. Яглом «Вероятность и информации» (М., «Нayka», 1973), У. Питерсон «Коды, исправляющие ошибки (М., «Мир», 1964), У. Питерсон, Э. Уэлдон «Коды, исправляющие ошибки (М., «Мир», 1976).

Спрашиваем — ответаем

В основе двойного кодирования лежит очень простой принцип. Разьясним его на такой задаче.

Некто задумал число, заключенное между 0 и 7. Угадывающий разрешено задавать вопросы, ответы на которые даются лишь в форме «да» или «нет». Каким намененный числом вопросов можно обойтись, чтобы наверняка узнать задуманное число?

Самый бескатростный путь (так, наверное, поступил бы ребенок) — перебирать числа нагада, найдя на

15

удачу. При очень сильном воздействии может хранить и одного вопроса, но если не повезет, то может попадать целых семь. Поэтому оставим надежду на мгновенную удачу и постараемся построить такую систему вопросов, чтобы любоий из ответов на них — «да» или «нет» — давал нам одинаковую (пустых хотя и неполную) информацию о задуманном числе, а число вопросов было минимальным.

Например, первый вопрос может быть таким: «Заключено ли задуманное число в пределах от 0 до 3?». Оба ответа — и «да» и «нет» — одинаково приближают нас к цели: в общих случаях остаются четые возможности для неизвестного числа (первоначально их было воспеть).

Если на первый вопрос получен утвердительный ответ, то во второй раз можно просить: «Не является ли задуманное число нулем или единицей?}; если же ответ был отрицательным, просим: «Не является ли задуманное число четверкой или пятеркой?»

В любом случае после ответа на второй вопрос остается выбор из двух возможностей. Для того чтобы осуществить этот последний выбор, достаточно одного вопроса. Итак, для угадывания задуманного числа, каким бы он был, достаточно трех вопросов.

Если каждый из двух возможных ответов «да» или «нет» обозначить условно символами «0» и «1», то ответ записывается в виде последовательности, состоящей из 0 и 1. Так, например, если в разобранном выше примере задуманное число было нулем, то на каждый из трех вопросов ответом будет «да». Трем «да» соответствует последовательность 000.

Если было задумано число «3», то ответами будет: да, нет, нет. То есть «тройке» соответствует последовательность 011. По результатам ответов можно составить таблицу 1, приведенный ниже. Тот из вас, кто знаком с двойной системой чиселления, узнет в нижней строке двойную запись соответствующих чисел верхней строки.

Заметим, что вместе множества чисел от 0 до 7 можно рассматривать любое множество из возможных, и каждое из них мы можем за-

Таблица 1

16

кодировать последовательности из 0 и 1 длины 3. Последовательности из нуля и единиц можно закодировать любое конечное множество сообщений.

Действительно, двойных последовательностей длины 3 равно $2^3 = 8$ (все они приведены в таблице), двойных последовательностей длины 4 вдвое больше — их $2^4 = 16$. Вообще, число двойных последовательностей длины $n$ равно $2^n$. Поэтому, если требуется закодировать нуля и единиц, к примеру, 125 сообщений, то для этого с лихвой хватит двойных последовательностей длины 7 (их в нашем распоряжении $2^7 = 128$). Наконец, для закодирования любого числа $M$ сообщений можно использовать двойные последовательности длины $n$ такой, что $2^n \geq M$.

Код Фано

Всегда ли выгодно кодировать сообщения словами одинаковой длины так, как мы это делали выше?

Представим себе, что один сообщения приходится передать довольно часть, другие — сравнительно редко, третьи — совсем в исключительных случаях. Довольно понятно, что первые лучшие закодировать коротками словами, оставив более длинные слова для кодирования сообщений, появляющихся режем.

В математике меры частоты поовления того или иного сообщения являются его вероятность. Тот, кто не знаком с этим понятем, может представлять себе вероятность неокоторого сообщения (сообщения) как долю тех случав, в которых оно появляется, от общего числа рассматриваемых сообщений (сообщений) *). Вероятность сообщения $A$ обозначают $P(A)$.

Пусть четыре сообщения $A_1, A_2, A_3, A_4$ имеют вероятности

$$P(A_1) = \frac{1}{2}, P(A_2) = \frac{1}{4}, P(A_3) = P(A_4) = \frac{1}{8}.$$

*) См., например, указаны выше книгу А. Яглома и И. Яглома.

Это означает, что среди, например, 1000 переданных сообщений около 500 раз появляется сообщение $A_1$, около 250 — сообщение $A_2$ и примерно 125 раз — каждое из сообщений $A_3$ и $A_4$.

Эти сообщения нетрудно закодировать двойными словами длины 2, как показано в таблице:

| $A_1$ | $A_2$ | $A_3$ | $A_4$ |
| :— | :— | :— | :— |
| 00 | 01 | 10 | 11 |

При этом вероятность их появления никак не учитывается. Поступим теперь иначе. Разобем сообщения на две равноверятные группы: в первую попадает сообщение $A_1$, во вторую — $A_2$, $A_3$, $A_4$. Сопоставим первый группе символ «0», второй группе — символ «1». Это вплоне в двух прицilia, применящегося в задаче с угадыванием. Действительно, символ «0» соответствует ответу «да» на вопрос «Принадлежит ли сообщение первого группы?», а «1» — ответу «нет». Разница лишь в том, что раньше все множество разбиалось на две группы, состоящие из одинакового числа элементов, теперь — из разного. Но, как и раньше, разница это таково, что оба ответа «да» и «нет» равноверзможны. Продолжая в таком же духе, разобем множество сообщений $A_2, A_3, A_4$ снова на две равноверятные группы. Первой, состоящей из одного сообщения $A_2$, сопоставляем символ «0», второй, в которой входят сообщения $A_3$ и $A_4$, — символ 1. Наконец, оставшуюся группу из двух сообщений разобем на сообщения $A_3$ и $A_4$, сопоставляем первый символ 0, второй — 1 (они равноверятны). Процесс закончен. Сообщение $A_1$ на первом шаг образовало «самостояльную» группу, и ему был сопоставлен символ 0, он и кодирует это сообщение. Сообщение $A_2$ образовало самостояльную группу за два шага, на первом шаг ему соответствовал символ 1, на втором — 0; значит, сообщение $A_2$ кодируется словом 10. Аналогично, для

17

сообщений $A_3$ и $A_4$ имеем, соответствно, последовательности 110 и 111. Итак, мы получаем следующую кодовую таблицу:

| $A_1$ | $A_2$ | $A_3$ | $A_4$ |
| :— | :— | :— | :— |
| 0 | 10 | 110 | 111 |

Именно такой способ кодирования предложил Фано. Возникает вопрос, что же мы выиграли по сравнению с равномерным кодом, применив код Фано? Чтоы ответить на него, представим, что непрерывным потоком передаются сообщения $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ — всего 1000 сообщений. Посчитаем, сколько потребуется потребить двойных символов для их передачи при первом и втором способе кодирования.

При использовании равномерного кода это посчитать нетрудно: на каждое сообщение — два символа, значит, в общей сложности 2000 символов.

Пусть теперь использовать код Фано. Вспомним, что из 1000 сообщений примерно 500 раз появляется первоое, которое кодируется всего один символом (500 символов), 250 раз — сообщение $A_1$, оно кодируется двумя символами (еще 500), на сообщении $A_3$ и $A_4$, появляющиеся примерно 125 раз, придает потребить еще $3 \times 250 = 750$ символов. Итого нужно передать примерно 1750 символов. Выиграш? Конечно. Ведь во втором случае передача займет меньше времени. Можно представить себе ситуацию, когда выиграш от применения кода Фано оказывается значительнее, чем в приведенном примере.

Доверяй, но проверяй

Мы установили, что любое конечное множество сообщений можно закодировать кодовым словами из 0 и 1 (двоичными кодовым словами). Беда в том, что при передаче закодированных сообщений возможны ошибки.

Как правило, не в нашей власти полностью устранить источник ошибок. Как же тогда уберечься от их влияния и возможного ли это вообществу? А если возможно, то какой ценой?

Оказывается, такие возможности — обнаруживать ошибки и даже их исправлять — имеются. Но неизбежной платой за это является удлинение кодовых слов, то есть добавление некоторого числа символов. Эти символы уже не несут информацию о передаваемых сообщениях, но могут дать информацию о производших при передаче ошибках. Иными словами, их назначение — контролировать правильность передачи кодового слова. Вводимые дополнительные символы так и называют контROLНЫми (или проверочными).

Всero одна проверка

Минимальная дань — добавить к каждому кодовому слову лишь один проверочный символ. Разберемся, на что мы можем расчитывать в этом случае. Пусть $\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n$ — двойное кодовое слово ($\alpha_i = 0$ или 1). По всей видимости, контрольный символ $\alpha_{n+1}$ выгодно выбрать так, чтобы на его значение влиял каждый символ кодового слова. Самое простое — положить $\alpha_{n+1} = \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n$ (mod 2) *. Эта запись означает, что проверочный символ $\alpha_{n+1}$ равен нулю, если в кодовом слове $\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n$ содержалось четное число единиц, и единица — в противном случае. Например, присоединя такой проверочный символ к слову 1010, получаем слово 10100; соответственно, из слова 1110 получим 11101.

Заметьте, что все удаленные кодовые слова $\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n \alpha_{n+1}$ содержат число единиц, то есть $\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n + \alpha_{n+1} = 0$ (mod 2). (1)

Представим себе, что в процессе передачи в удаленное кодовое слово $\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_n \alpha_{n+1}$ включается одна ошибка (или даже любое нечетное число ошибки).

*) О сложении «по модулю» можно прочитать в статье Н. Виленкина «Сравнения и классы вычетов» («Квант», 1978, № 10).

18

бок). Тогда в исключном слове $\alpha'_1\alpha'_2 \dots \alpha'_n\alpha'_{n+1}$ число единиц станет нечетным. Это и служит индикатором того, что в принятом слове содержится ошибка. Разумеется, нам не надо скрупулезно подсчитывать число единиц, достаточно лишь проверить, выполняется ли для символов принятого слова равенство (1),— это легко сделать простейшее вычислительное устройство. Если равенство (1) выполняется, считаем, что сообщение передано правильно, в противном случае констатируем, что произошла ошибка, и, если это возможно, требуется повторения передачи кодового слова. Но самостоятельное исправить ошибку мы не сможем. Например, если принято «неправильное слово» 11100, то возможно, что было послан любое из кодовых слов:

01100; 10100; 11000; 11110; 11101.

Каждай из перечисленных случаев соответствует одиночной ошибке. Ошибки могут произойти также в трех или даже в пяты символах. Гораздо хуже, если произошла двойная ошибка или вообщее четное число ошибок. Ведь тогда соответствие (1) не нарушится, и мы воспримем искаженное слово как верное, в результате будет принято ложное сообщение.

Описанный код (его называют кодом с общей проверкой на четность) позволяет, следовательно, обнаружить нечетное число ошибок, но приводит к неверному декодированию, если ошибок четное число. Его выборно применять позитomy, когда достаточно влика верятность одиночной ошибки и очень мало верятны ошибки в большем числе символов.

Гораздо чаще применяют коды с несколькими проверочными символами — это позволяет не только обнаружить, но и исправлять ошибки, и не только одиночные, но и кратные.

Самый медленный код

Простейший прим, позволяющий исправлять ошибки, состоит в том, что каждый информационный символ повторяется несколько раз так, что символы 0 и 1 кодируются блоками, состоящими из $n$ нулей (соответственно, $n$ единиц). При декодировании $n$-буквенного блока, содержащого, быть может, ошибочные символы, принимается решение «большинством голосов». Если в принятом блоке нулей больше, чем единиц, то он декодируется как 00 … 0, в противном случае — как 11 … 1. Такое правило декодирования позволяет верно восстановить последанные символы, если помехи в канале искажают меньше положины символов в каждом передаваемом блоке. Если длину блока $n$ выбрать достаточно большой, то мы практически обезопасим себя от возможных ошибок, однако передача сообщений будет идти черезышми темпами.

Когда с общей проверкой на четность и код с повторением — два антипода. Первый очень быстро, но зачастую «легкомыслен». Возможности второго исправлять ошибки теоретически безграничны, но делает он это чересчур медленно.

Из сообщений, высказанных разнее, можно усмотреть, что для исправления ошибок нужно, чтобы использовать для декодирования слова достаточно сильно отличались друг от друга. В этом случае возможно при передаче ошибок они скорее всего останут различными, и искажения не помещают нам «угадать» посланное слово.

Необучное общное расстояние

Мы подошли к понятному расстоянию между кодовым словами. Расстоянием (точнее, расстоянием Хемминга) $ρ(x, y)$ между двумя кодовым словами $x, y$ называют числом символов, в которых они отличаются. Например, расстояние между словами 1010111 и 0110010 равно 4 — они отличаются символами на 1-м, 2-м, 5-м и 7-м местах.

Термин «расстояние» для величины $ρ(x, y)$ определяет тем, что она обладает основными свойствами общного расстояния между точкими на плоскости или в пространстве (п. 4 в «Геометрии 6» или п. 132 в «Геометрии 8»).

19

Важной характеристикой корректуриших способностей кода является его кодовое расстояние $d$, которое определяется как минимальное расстояние между различными кодовыми словами $\min \rho(x, y)$.

Ясно, что м чебольше кодовое расстояние, тем больше исправляющих способности обладает данный код. Мы можем сформулировать этот факт более точно:

Чтобы код исправляющие комбинации из $t$ (и меньше числа) ошибок, необходимо и достаточно, чтобы его кодовое расстояние было больше 2$t$.

Действительно, если это так, то $\rho(x, y) \geq 2t + 1$ для любых кодовых слов $x$ и $y$. Если в результате искажений оба слова перешли в одно слово $z$ (т. е. стали неразличными), то (в силу одного из свойств расстояния — аксиомы треугольника)

$\rho(x, z) + \rho(z, y) \geq 2t + 1$, и следовательно, либо $\rho(x, z) > t$, либо $\rho(z, y) > t$. Значит, любые ошибки в $t$ или меньше символьных любых кодовых слов $x$ и $y$ оставляют их еще различными, и поэтому можно восстановить оригинал. Еще проще доказывается обратное утверждение.

Задание

1. Имеется 8 двойных кодовых слов длины 3. Их можно изобразить в пространственной системе координат как вершины куба со стороны 1. Каков в этом случае «геометрический смысл» расстояния между кодовыми словами?

2. Доказать, что максимальный двойный код длины 5 (то есть код, у которого все кодовые слова имеют длину 5) с кодовым расстоянием, равным 3, содержит 4 кодовых слов. Указать такой код.

3. Существует ли код длины 20, содержащий 1000 кодовых слов и исправляющий кодификацию из трех или менее ошибок?

4. Доказать, что для обнаржения $s$ (или меньше числа) ошибок необходимо и остаточно, чтобы кодовое расстояние $d \geq s + 1$.

5. Доказать, что для исправления $t$ (или меньше числа) ошибок и вместе с этим обнаржения $s$ (≥ $t$) необходимо и остаточно, чтобы кодовое расстояние удовлетворило неравенству $d \geq t + s + 1$.

Код Хемминга

Пусть количество сообщений, которые требуется передавать абоненту, равно 16. Для их кодирования можно использовать слова длины 4, но тогда код не будет корректировать ошибки. Мы уже знаем, что при использовании слов длины 5 можно обнаружить любую одиночную ошибку в кодовом слове, но, увы, нельзя исправить. Двух добавочных символов тоже оказывается недостаточно для исправления одиночных ошибок (убедитесь в этом самостоянию).

А вот tremя добавочных символами можно распорядиться так, чтобы вывить и исправить любую одиночную ошибку.

Предположим, что нам удалось указать 16 кодовых слов длины семь — $\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4\alpha_5\alpha_6\alpha_7$, для которых по модели два выполнены следующие равенства:

$$\begin{cases} S_1 = \alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_6 + \alpha_7 = 0, \\ S_2 = \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_6 + \alpha_7 = 0, \\ S_3 = \alpha_1 + \alpha_3 + \alpha_5 + \alpha_7 = 0. \end{cases}$$

Тогда разряд, в котором допущена одиночная ошибка, указается числом с двойной записью $S_1S_2S_3$ (напомним, что каждое $S_i$ — это 0 или 1). В частности, для кодовых слов этого числа равно 0 (= 000), что указает на отсутствие разряда с ошибкой.

Сделанное утверждение вытекает из того, что при нашей кодировании (т. е. при нашей наборе кодовых чисел) для двойного слова длины 7 с одиночной ошибкой $S_1 = 1$ тогда и только тогда, когда эта ошибка допущена в четвертом, пятом, шестом или седьмом разряде (см. (2)), $S_2 = 1$ тогда и только тогда, когда ошибка — во втором, третьем, шестом или седьмом разряде, и $S_3 = 1$ — когда в первом, третьем, шестом или седьмом.

Пусть, например, $S_1 = 1$, $S_2 = 0$, $S_3 = 1$. Тогда ошибка — в одном из четырех последних разрядов ($S_1 = 1$), но в двух последних разрядах ошибки нет ($S_2 = 0$); значит, ошибка — в четвертом или пятом разряде; поскольку $S_3 = 1$, она — в пятом разряде, но $S_1S_2S_3 =$

20

=101 как раз и есть двойная запись числа 5. Остальные случаи рассматривают аналогично.

Осталось отыскать 16 кодовых слов, удовлетворяющих соответствием (2). Для этого достаточно заменить, что, если $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ и $\alpha_4$ выбраны произвольно и по mod 2 выполняются равенства

$$\begin{cases} \alpha_5 = \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4, \\ \alpha_6 = \alpha_1 + \alpha_3 + \alpha_4, \\ \alpha_7 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4, \end{cases}$$

то соответствия (2) верны.

Изученный здесь код — это код Хемминга длины 7 с четырьмя информатонными символами.

В общем случае кодовые слова двойного кода Хемминга, позволяющего исправить одиночный ошибку, имеют длину $2^m - 1$. Для определения положения ошибки тогда нужно $m$ проверок, т. е. $m$ проверочных символов. Оставшиеся $2^m - 1 - m$ символов являются информатонными.

Список читателей, приславших правила решения задач из Задачника «Кванта»

В этом номере мы публикуем фамилии читателей, приславших правила решения задач М516 — М530, Ф523 — Ф532 (жирные цифры после фамилия — последние цифры номеров решенных задач).

Математика

К. Абдухаликов (Алма-Ата) 16—18, 19a), 20, 21, 26—28; Е. Абрамчкин (Куйбышев) 16a); И. Авемисян (с. Мулки АрмССР) 18; О. Авраммава (Москва) 21; А. Адеев (с. Покровка АзССР) 166), 21, 22, 24, 26; С. Азнабаев (Новотроицк Оренбургской обл.) 26; В. Айриян (Раздан) 16a), 6) 18, 20, 22, 24, 26, 27; З. Алавердян (Иджеван) 26; В. Алиев (Тбилиси) 26; В. Андрусевич (Кобрин) 28; Р. Ардан (Львов) 28; К. Аромамян (Кафан) 26; Н. Арутиной (Киев) 28; А. Ахметхозин (Анджан) 27; А. Ашкинази (Москва) 16—19; Д. Бабарикин (Магнитогорск) 16a); А. Бадалян (пос. Берд АрмССР) 16, 21—23, 26—28, 30a); Б. Байсакалов (Алма-Ата) 166), 18, 19, 21, 24, 26—29; А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 16, 18, 19, 21—24, 26—28, 30; И. Баранец (пос. Дзержинский Московской обл.) 26—28; А. Барвинок (Ленинград) 28, 29; А. Барре (Николаев)

16a; 6); Б. Беун (Москва) 16, 21; А. Белуосов (Калининград Московской обл.) 26; С. Беспамятных (Артемовский Свердловской обл.) 19a), 24, 27, 28; В. Бобов (Ленинград) 26; Н. Бовсуновский (с. Путлювчи Житомирской обл.) 21; Т. Болотников (Харьков) 16, 18, 19a), 21, 26, 28, 29, 30a); А. Борцев (Ленинград) 19, 26—28; В. Боровко (Новополошк) 26; И. Бородин (Соликамск) 22, 23; О. Бохонов (Москва) 21, 22, 236), 24, 26, 27, 30a); А. Брациский (Воронеж) 24; А. Бурин (Москва) 28; А. Васильев (Саратов) 16a), 21, 26, 28, 30a); С. Великович (Минск) 28; В. Винорезадов (Москва) 16, 18, 19a), 21, 22, 23a), 24, 26—28, 30a); А. Воронов (Москва) 16; А. Габович (Харьков) 26; Э. Гаджilarов (Тбилиси) 26—28; А. Галенко (Москва) 16a), 6), 26; Э. Галстян (с. Айгезард АрмССР) 18; Н. Гасилов (Баку) 26; К. Гедалин (Тбилиси) 26; А. Гильман (Москва) 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26—28; Л. Гитлин (Витебск) 16a), 6), 21, 23; М. Гладина (В. Волочек) 21; Ю. Глухов (Шелково) 166), 18, 21, 28; А. Головин (Москва) 21; О. Гордиенко (Павлодар) 16a), 21, 22, 27; М. Горолев (Белороцк) 16, 18, 19, 26, 28, 30a); Г. Грабарник (Ташкент) 26, 27, 29, 30a; Г. Грабужик (Ташкент) 16, 18—24; П. Григорук (Гайворон) 21, 24; Н. Грибере (Киев) 26, 28; Л. Гройсман (Харьков) 28; В. Губа (Вологда) 16, 18—21, 24—29;

(Продолжение см. с. 32)

21

Не только игрушка

Наверное, как и большинство читателей «Кванта», вы уже перестали играть в детские игрушки. Все же мы вам предлагаем повозиться… с конструктором *). Игрушка, о которой идет речь, состоит из одинаковых гибких прямоугольных панелек; в двух противоположных углах каждой из них имеются отверстия, а в двух других — штырьки (рис. 1), что позволяет соединять панельки друг с другом. В руках любителя математики этот конструктор становится прекрасным средством для сборки модели поверхностей.

Задаим произвольные p и q (≥ 3) и начнем соединять детали, заботясь лишь о том, чтобы их корпические стороны ограничили q-угольники (эти q-угольники, хотя это несколько непrivibuous, мы будем называть вершинами), а длиные стороны образовывали p-угольники (p-угольники мы будем называть граними, а сами детали — ребрами). Полученные таким образом конструкции называем модиками.

Пример такого соединения с p=6, q=3 изобранен на рисунке 2. При значениях <p, q>, равных <6, 3>, <3, 6>, <4, 4> (рис. 2—4), мы получим заполнения плоскости правильными p-угольниками, при которых в каждой вершине сходится по q граней. Пока мы получили только плоские модики *). При

*) Этот конструктор выпускается в Белоруссии и Эстонии и поступает в магазина детских игрушек в крупных городах.

**) Эти модики являются правильными паркетами («Квант», 1979, № 2, с. 9).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

других p и q модики выходит в пространство. Если собрать модики типов <5, 3>, <3, 4>, <3, 5>, <4, 3> и <3, 3>, то получается «раздутие» каркасные модели правильных многогранников: додекадра octahedra, икосадра (рис. 5), куба и (правильного) tetrahedра, (§ 54 «Геометрии 10»). Эти модики называются сферическими.

Возьемтелер <p, q>=<3, 7> (рисунок на четырёх странице обложки). При сборке мы увидим, что конструкция «не желает быть плоской», но и не округляется как сферическая модель: получшаяся поверхность искривляется так, что каждый ее участок принимает следообразную форму. При этом в принципе мы можем продолжать построение неогранничено (в отличие от сферического, но подобно плоскому слугуа); правда, рано или поздно конструкция изгибается настолько, что натыкается сама на себя, и дальнейшая сборка возможно только, если допустить самопересечение.

Поверхность П, часть которой мы смеедлировали, называется псевдосферой. Оказывается, если расстоянием между двумя точками A, B ∈ П называется между ними, измененное в одной этой поверхности, то на П будет выполнять аксиомы геометрии Лобачевского. Таким образом, можно сказать, что вседосфера есть модель плоскости Лобачевского. Модика <3, 7> — один из простейших паркетов на ней.

Еще одно замечательное свойство этой модели: ее можно застать скольить саму по себе, практическим не деформаруя ребер, при этом любую вершину можно перевести в любую другую вершину! Иначе говоря, наша модика допускает самосовмещения. Аналогичным свойством, очень удобным плоскостью и сферическим модики: их самосовмещения — это просто перемещения плоскости и, соответственно, повороты сферы. Например, тор на первой странице обложки этаим свойством не обладает.

В заключение предлагаем следующую задачу: доказите, что плоские модики характеризуют условия (p-2)(q-2)=4, а сферические — (p-2)(q-2)<4, и перечислите все модики этих типов.

В. Дубровский

23

М575*. На прямой по порядку расположены точки $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ так, что длины отрезков $A_0A_1, A_1A_2, \dots, A_{n-1}A_n$ не превыходят 1. Требуется отметить $k-1$ из точек $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$ красным цветом так, чтобы длины любых двух из $k$ частей, на которые отрезок $A_0A_n$ разбивается красными точками, отличались не более, чем на 1. Доказите, это всегда можно сделать:
a) для $k=3$,
b) для каждого натурального $k<n$. (10)

В. Гринберг, В. Гальперин

Ф583. Наблюдатель движется с постоянной скоростью вдоль некоторой наклонной прямой. Брошенное под углом к горизонту тело пересекает траекторию наблюдаемой дважды с интервалом времени $t$. Оба раза тело находится впереди наблюдаателя на одном и том же расстоянии от него. Как выглядит с точки зрения наблюдаателя траектория тела?
После второго пересечения наблюдаатель изменяет пути, прошедные телом за последовательные равные промежутки времени длительного т. Найдите относение этих путей. (8)

М. Кицай

Ф854. В небольшую тонкостенную металлическую касстрою налили 0,5 л воды, поставили касстрою на плиту и, изменяя температуру воды в различных моменты времени, построили график зависимости температуры от времени. Затем воды выили, в касстрою налили 0,7 кг спирта и, поставив касстрою на ту же самую плиту, построили график зависимости температуры спирта от времени. Оба графика приведены на рисунке 1. Пользовать этими графиками, определите удельную тепломкость спирта и удельную теплоту его парообразования, если за 30 минут кипения количество спирта в касстрою уменьшилось вдвое. Теплоемкость касстрою 200 Дж/K. Испарением с поверхности жидкостью претенбреть. (9, 10)

И. Слободечкий

Ф585. Четыре одинаковых амператора и резистор включены так, как показано на рисунке 2. Амперметр $A_1$ показывает 2А, амперметр $A_2$ показывает 3А. Какие точки протекают через амператоры $A_3, A_4$ и резистор? Найдите относение внутреннего сопротивления амператора к сопротивлению резистора. (8, 9)

В. Скороваров

Ф586. Теплоизолированный соедн匀ан до глубокого вакуума. Окружающий соедн匀ан идеальный газ имеет температуру $T_0$. В некоторый момент открывают краан, и происходит заполнение сосуда газом. Какую температуру $T$ будет иметь газ в сосуде сразу после его заполнения? (9)

Е. Буттиков

24

Ф587. Проводник массы $M$ и длины $l$ подвешен к диэлектрику за концы с помощью двух одинаковых проводяших неvesомых пружин с общим коэффициентом жесткости $k$. К верхним концам пружин подсоединен конденсатор emkoсти $C$. Вся конструкция висит в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перpendикулярной плоскости из положения равновесия и отпускают. Определить дальнейшее движение проводника в вертикальной плоскости. Сопротивлением, собственной индуктивностью и емкостью проводников пренебречь. (10)

Д. Футорский

Решения задач

M517—M519; Ф526, Ф530—Ф532.

Нам понадобится следующая простая lemma: пусть треугольники $ABC_1$ и $ABC_2$ имеют общие основание $[AB]$ длины $R$; модель

1. если вершины $C_1$ и $C_2$ лежат по разные стороны от $[AB]$, то

$$S_{ABC_1} + S_{ABC_2} \leq \frac{1}{2} R \cdot |C_1C_2| \quad (\text{рис. 1, a})$$

2. если вершины $C_1$ и $C_2$ лежат по одному стороны от $[AB]$, то

$$|S_{ABC_1} - S_{ABC_2}| \leq \frac{1}{2} R \cdot |C_1C_2| \quad (\text{рис. 1, 6})$$

Докажите эту lemma самостояльно.

Приступим теперь к решению задачи. Пусть $A_1A_2 \dots A_n$ — $n$-угольник, вписанный в окружность с центром $O$; $B_1B_2 \dots B_n$ — второй $n$-угольник (с вершинами в отмеченых точках), причем $B_1 \in [A_1A_2]$, $B_2 \in [A_2A_3]$ и т. д.; пусть $P$ — его перimeter. Расмотрим треугольники $OA_1B_1$, $OB_1A_2$, $OA_2B_2$, …, $OB_nA_1$. Если центр окружности $O$ принадлежит многоугольнику $A_1A_2 \dots A_n$, то эти треугольники попарно не перекрывают и их объединение дает многоугольник $A_1A_2 \dots A_n$ (рис. 2), так что площадь $S$ многоугольника $A_1A_2 \dots A_n$ равна сумме площадей этих треугольников. Согласно lemma площадей двух таких треугольников с общим основанием $[OA_k]$ не превысо-
дит $\frac{1}{2} |OA_k| \cdot |B_{k-1}B_k| = \frac{1}{2} R \cdot |B_{k-1}B_k|$ (мы считаем,
разумется, $B_0 = B_n$), так что

$$S = (S_{OB_1A_2} + S_{OA_2B_2}) + \dots + (S_{OB_nA_1} + S_{OA_1B_1}) \leq \frac{1}{2} R (|B_1B_2| + \dots + |B_nB_1|) = \frac{1}{2} RP, \quad (1)$$

откуда $P \geq 2S/R$.

Если же центр $O$ лежит в не многоугольника $A_1A_2 \dots A_n$, скажем, по разные с ним стороны от хорды $A_nA_1$ (рис. 3), то тогда площади треугольников $OA_nB_n$ и $OB_nA_1$ входят в сумму, образующую площадь $S$, со знаком минус:

$$S = (S_{OB_1A_2} + S_{OA_2B_2}) + \dots + (S_{OB_n-1A_n} - S_{OA_nB_n}) + (S_{OA_1B_1} - S_{OB_nA_1}).$$

Снова применить lemму, получим требуемое неравенство.

25

В заключение отметим, что если стороны $B_{k-1}B_k$ многоугольника $B_1B_2 \dots B_n$ перпендикулярны соответствующим радиусом $OA_k$, то неравенство (1) превращается в равенство, так что в этом случае многоугольник $B_1B_2 \dots B_n$ имеет наименьший возможный перimeter $2S/R$. Предлагаем читателю, пользоваться этим, доказать, что треугольник $B_1B_2B_3$, вписанный в данной остроугольный треугольник $A_1A_2A_3$, имеет минимальный перimeter моеда и молко мореда, когда $B_i$ ($i=1, 2, 3$) — основания высотем треугольника $A_1A_2A_3$.

В. Дубровский

Рис. 3.

М518. Числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ принадлежат отрезку $[a; b]$, аде $0 < a < b$. Доказание неравенство

$$\left( x_1 + x_2 + \dots + x_n \right) \times \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} \right) \leq \frac{(a+b)^2}{4ab} n^2.$$

Рис. 4.

Рис. 5.

Наметим сначала геометрическую идею одного из самых коротких доказательств.

Рассмотрим на плоскости $Oxy$ $n$ точек $\left( x_i; \frac{1}{x_i} \right)$, $i = 1, 2, \dots, n$. Этти точки лежат на гиперболе $y = \frac{1}{x}$, причем по условию $a \leq x_i \leq b$. Точка $M^*(x^*; y^*)$ с координатами $x^* = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}, y^* = \frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}{n}$ (1)

— центр тяжестни $n$ одинаковых материальных точек $\left( x_i; \frac{1}{x_i} \right)$. Поэтому она принадлежит выпуклой фигуре, ограниченной двумя гиперболами и отрезком прямой с концами в точках $A\left( a; \frac{1}{a} \right)$ и $B\left( b; \frac{1}{b} \right)$ (рис. 4).

Произведение $x^*y^*$ — площь заштрихованного на рисунке 4 прямоугольника — достаточно максимума, когда точка $M^*$ попадает в середину отрезка $AB$. В самом деле, ясно, что если $(x^*; y^*)$ не лежит на $[AB]$, то площь можно увеличить, сдвинув точку $M^*$ на отрезок $AB$. А для точки $(x; y)$ этого отрезка $y$ — линейная функция от $x$, следовательно, площь $s(x)=xy$ — квадратный трехчлен от $x$. Поскольку $s(x)$ принимает при $x=a$ и $x=b$ одинаковые значения $s(a)=s(b)=1$, а $s(0)=0$ (рис. 5), максимум $s(x)$ достигается после диска $x=a$ и $x=b$ — при $x=\frac{a+b}{2}$, $y=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$.

Отсюда $x^*y^* \leq \frac{a+b}{2} \cdot \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} = \frac{(a+b)^2}{4ab}$, что и требуется доказать.

В более математическом обосновании нуждается лишь тот факт, что «центр тяжестни»—точка с координатами (1) — лежит и же отрезка $AB$. Заметим, что уравнение прямой $AB$ имеет вид $aby+x=a+b$ (проверьте, что точки $A$ и $B$ лежат на этой прямой), так что основной этап нашего доказательства — неравенство

$$aby^*+x^* \leq a+b.$$ (2)

Теперь все готовы для короткого формирования доказательства (которым мы могли бы ограничиться): для каждой $i$

$$\frac{ab}{x_i} + x_i \leq a+b,$$ (3)

поскольку $(x-a) (x-b) \leq 0$ для $x \in [a; b]$. Слю-

27

ли $\alpha \in I$, то и $\frac{1}{\alpha} \in I$. Пусть $\gamma > 1$ — правиль конец этого единного отрезка. Тогда $\gamma - 1$ — его левый конец и должно быть $\gamma - 1 = \frac{1}{\gamma}$. Отсюда находится, что $\gamma = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ (это число известно под названием «золотого сеценция»). Расстоянием стуацию $(i, j)$ такую, что $\frac{i}{j} = \alpha \in ]\gamma - 1; \gamma[$ (рис. 6), причем $\frac{i}{j} \neq 1$. Допустим, что $i > j$; тогда $\alpha \in ]\gamma - 1; \gamma[$. В этой ситуации у играющего имеется единственный ход $(i, j) \rightarrow (i - j, j)$, для которого

$$\alpha' = \frac{i - j}{j} = \frac{i}{j} - 1 = \alpha - 1 < \gamma - 1,$$

то есть этот единственный ход приводит к стуации с отношением $\alpha'$ вне интеграла $]\gamma - 1; \gamma[$. Кроме того, на этом ходе игра не кончается.

Пусть теперь $\frac{m}{n} = \alpha \notin ]\gamma - 1; \gamma[$ и $\frac{m}{n} \notin Z$ (случай, когда отношение $\frac{m}{n}$ — целое, описан выше); положим, для определенности, $m > n$. Найдется такое $k \in Z$, что $\frac{m}{n} - k \in ]\gamma - 1; \gamma[$, так что после хода $(m, n) \rightarrow (m - kn, n)$ мы получим стуацию с отношением, находящимся в интеграле $]\gamma - 1; \gamma[$ и не равным единице (поскольку $m/n \notin Z$).

Отсюда получаем выигрышную стратегию для начинающего игра. Если $\frac{m}{n} \in Z$, то он выигрывает первым ходом. Если $\frac{m}{n} \notin Z$ и $\frac{m}{n} \notin ]\gamma - 1; \gamma[$, то каждым свойством ходом он добавляется того, чтобы отношения $\frac{m_k}{n_k}$ попадало в интеграл $]\gamma - 1; \gamma[$, после чего его противник может сделать единственный ход, приводящий снова к стуации с отношением вне указанного интеграла. Понятно, что в конце концов начинающий играет. На рисунке 7 красные точки соответствуют выигрышным стуациям $(m, n)$, черные — проигрышным.

Таким образом, утверждение пункт 6) задачи верно при всех $\alpha > \gamma$ ($\gamma = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$).

A. Слинько

При решении этой задачи, как это часто бывают не только в элементарной математике, но и в серверных математических исследований, нам очень помог «угаданный» ответ: в некоторых моменты мы предположили, что все рациональные не целые точки некоторого интеграла единничной длины — проигрышные, и после этого быстро добавили исследование до конца. Но в этой задаче можно обойтись и без такого дополнительного шага: число $\gamma$ возникает в ней естественным образом из следующих рассуждений. Как уже было замечено, все проигрышные точки принадлежат интегралу $]1/2; 2[$. Легко сообщить также, что если точки $x \in ]1; 2[$ — проигрышная (выигрышная), то точка $x - 1$ — выигрышная (проигрышная). Поэтому все точки интеграла $]1; 3/2[$ — проигрышные, и нам остается исследовать точки интеграла $]3/2; 2[$. Предположим, что точка $x \in ]3/2; 2[$ — проигрышная. Тогда точки $x - 1$ и $1/(x - 1)$ — выигрышные, причем $1/(x - 1)$ меньше 1.

28

Позтому $1/(x-1)-1=(2-x)/(x-1)$ — проигрывная точка. Итак, если точка $x \in ]3/2; 2[$ — проигрывная, то и точка $(2-x)/(x-1)$ — тоже проигрывная. Нарисуем график функции $(x-1)/(2-x)$ (рис. 8). На рисунке 8 показано, как по точке $x$ найти точку $(x-1)/(2-x)$. При преобразовании $x \rightarrow (x-1)/(2-x)$ есть неподвижная точка — корень уравнения $x^2-x-1=0$, придлежащий интервалу $]3/2; 2[$ (это и есть число $\gamma$). Легко доказать, что если точка находится правее точки $\gamma$, тотерации и (повторения) нашего преобразования рано или поздно выведут ее за точку 2. (Одана из возможных схем доказательства приведена на рисунке 9: тангенс угла наклона черной прямой, проходящей через неподвижную точку $(\gamma; \gamma^2-\gamma-1)$, равен 2, а касательная к кривой $(x-1)/(2-x)$ идет кругу — убедитесь в этом.)
Позтому все точки из интервала $]\gamma; 2[$ — выигрывные и, следовательно, все точки из интервалов $]\gamma; \infty[$ и $0; \gamma^{-1}]$ — выигрывные. Аналогично, если предположить, что некоторая точка из интервала $]3/2; \gamma[$ — выигрывная, то ееращиями мы получим точку из интервала $]1; 3/2[$, откуда следует, что все точки из интервала $]1; \gamma[$ — проигрывные. Конечно, такое решение более громоздко. Однако оно и более почтельно!

Ф526. Положить меллоизолуруцих стенок колбы термока откачана до давления $p=10^{-5}$ атм (при комнатной температуре). Вместимость колбы 1 литр, площадь поверхности колбы $S=600\text{ cm}^2$. Оценить время, в течение которого чай в максимом термосцестим с $90^\circ\text{C}$ до $70^\circ\text{C}$. Телюмкость воды $c=4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кв.К); универсальная газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(К·моль). Умечу меняерез пробку неучимывать.

Отвод теплла от внутренней стенки колбы (от чая) осуществляется молекулами газа, оставшегося в полости между внутренней и внешней стенками колбы. Для того и отключают положить стенок, чтобы оставшийся там газ не образовывал сплошной теплопроводной среды, то есть чтобы молекулы двигалисы между стенками без столковения друг с другом.

Будем считать, что после столковения со стенкой молекулы имеет в среднем энергию, пропорциональную температуре стенки. После удаления о внешнюю стенку кинетическая энергия поступательного движения молекулы $\varepsilon_1 \sim 3/2$ $kT_K$, где $T_K$ — комнатная температура; после удаления о внутреннюю стенку $\varepsilon_2 \sim 3/2$ $kT'$, где $T'$ — температура чая. Эта температура все время меняется. Однако инвервал изменения $T'$ неVELик ($\Delta T=363\text{K} - 343\text{K} = 20\text{K}$). Поэтому для оценки можно считать, что $\varepsilon_1 \sim 3/2$ $kT_C$, где $T_C=353\text{K}$ — среднее значение температуры горячей стенки.

Следовательно, каждая молекula при удалении о горячую стенку «забирает» от чая энергию

$$\Delta \varepsilon \sim 3/2 k (T_C - T_K).$$

Число молекул, содержащихся с горячей стенкой за единицу времени, пропорционально $1/2 n |v_x| S$, где $n$ — плотность молекул газа, $|v_x|$ — среднее значение молекулы скорости молекул на ось $OX$, перpendикулярную стенке. Число молекул, ударившихся о стенку за время $\Delta t$,

$$N \sim 1/2 n |v_x| S \Delta t.$$

Эти молекулы заберут от чая энергию

$$\Delta E = N \Delta \varepsilon \sim 3/4 n |v_x| Sk (T_C - T_K) \Delta t.$$

Очевидно, что эта энергия равна изменению $\Delta U$ внутренней энергии чая за время $\Delta t$: $\Delta E = \Delta U$. Так как

$$\Delta U = Mc\Delta T,$$

где $\Delta T$ — изменение температуры чая,

$$3/4 n |v_x| Sk (T_C - T_K) \Delta t \sim Mc\Delta T.$$

Отсюда

$$\Delta t \sim \frac{4Mc\Delta T}{3n |v_x| Sk (T_C - T_K)}.$$

29

Считая что, $\sqrt{v_x} \sim \sqrt{RT_K/\mu}$, и учитывая, что $n = p/k T_K$ (это следует из уравнения Менделеева — Клапейрона), окончательно находится:

$$\Delta t \sim \frac{4Mc\Delta T \sqrt{\mu T_K}}{3p(T_c - T_k)S\sqrt{R}}.$$

Подставляя числовые значения ($M = 1$ кг, $\Delta T = 20$ K, $T_K = 293$ K, $p = 1$ Па, $\mu = 29.10^{-3}$ кг/mоль и т. д.), получим $\Delta t \sim 3.10^4$ с $\sim 10$ ч.

A. Стасенко

Ф530. В схеме, приведенной на рисунке 10, $\%_0 > \%_1$. Определить заряд, который прочитает батарею и сопротивление камушки равны нулю. Дiod ситамые идеальным (его прямое сопротивление равно нулю, обратное — бесконечности); конденсатор до замыкания ключа был не заряжен.

Рис. 10.

Будем считать, что диод начинает проводить ток, когда потенциаль на аноде будет больше, чем на катод. При этом сопротивление диода будет равно нулю и падение напряжения на нем будет также равно нулю.

Рассмотрим процесс, проискодящий в цепи после замыкания ключа $K$, по этапам.

1. Ток, текущий через индуктивность $L$, заряжает конденсатор. При некотором значении тока $I_1$ конденсатор заряжается до напряжения $\%_1$. Заряд конденсатора $q_1 = C\%_1$, энергия конденсатора $W_1 = C\%_1^2/2$, энергия магнитного поля индуктивности $LI_1^2/2$. Работа, совершенная к этому времени батареей, равна $A = q_1\%_1$.

2. Хотя напряжение на батарее $\%_1$ и на конденсатор одинаковы, конденсатор продолжает заряжаться — за счет энергии магнитного поля индуктивности. При некотором значении тока $I_0$ конденсатор заряжается до напряжения $\%_0$. Заряд конденсатора $q_0 = C\%_0$, энергия конденсатора $W_0 = C\%_0^2/2$, энергия магнитного поля индуктивности $LI_0^2/2$.

Работа, совершенная батареей $\%_1$ за время этапов 1 и 2, равна $A_1 = q_0\%_1 = C\%_0\%_1$.

3. С того момента, когда напряжение на конденсатор становится равным $\%_0$, ток начинает течь через диод в батарею $\%_0$. Напряжение на конденсатор с этого момента не меняется, энергия его остается равной $W_0 = C\%_0^2/2$.

Следовательно, энергия $LI_0^2/2$, имеющая в магнитном поле индуктивности, начинает уменьшаться — она идет на совершение работы по перемещению заряда батарею $\%_0$.

4. Энергия магнитного поля индуктивности равной нулю. Энергия конденсатора по-прежнему равна $W_0 = C\%_0^2/2$. Через батарею $\%_0$ прошел некоторый заряд $Q$. Энергия батареи $\%_0$ увеличилась на $\Delta W = Q\%_0$.

За время этапов 3 и 4 батарея $\%_1$ совершила работу $A_2 = Q\%_1$.

Итак, за время всего процесса батарея $\%_1$ совершила работу:

$$A_{\%_1} = A_1 + A_2 = C\%_0\%_1 + Q\%_1.$$

Эта работа прошла на сообщение энергии $W_0 = C\%_0^2/2$ конденсатор $C$ и на увеличение энергии батареи $\%_0$ на $\Delta W = Q\%_0$. Согласно закону сохранения энергии

$$A_{\%_1} = W_0 + \Delta W,$$

*) Так как $\sqrt{v_x^2} = \frac{1}{3} \sqrt{v^2} = \frac{1}{3} \frac{3RT_K}{\mu}$, то $\sqrt{v_x^2} = \sqrt{\frac{RT_K}{\mu}}$.

Хотя $\sqrt{v_x^2} \neq |v_x|$, однако $\sqrt{v_x^2} \sim \sqrt{v_x^2}$. Поэтому будем считать, что $\sqrt{v_x^2} \sim \sqrt{\frac{RT_K}{\mu}}$.

30

$$C_0^2 E_1 + Q E_1 = \frac{C_0^2}{2} + Q E_0.$$

Отсюда находится $Q$, протекший через батарею $E_0$:

$$Q = \frac{C_0^2 (2 E_1 - E_0)}{2 (E_0 - E_1)}.$$

Причем не. Из полученного результата видно, что через батарею $E_0$ заряд потечет только в том случае, если $E_1 < E_0 < 2 E_1$. Если $E_0 > 2 E_1$, то конденсатор никака не заряDITся до напряжения $E_0$. Иными словами, максимальное напряжение, до которого можно заряDITЬ конденсатор в схеме, приведенной на рисунке 11, равно $2 E_0$.

Пусть при некотором токе $I$ напряжение на конденсатор равно $U$, его заряд $q = CU$. Из закона сохранения энергии $q E = CU E$ = $\frac{LI^2}{2} + \frac{CU^2}{2}$ находится

$$\frac{LI^2}{2} = \frac{CU}{2} (2 E - U).$$

Процесс зарядки конденсатора прекраttся, когда ток в цепи становится нулю. При этом, как видно, $U = U_{\max} = 2 E$.

В. Скороваров

Ф531. Гейзеры могут рассматривать как большие подземные резервуры, наполненные грунтовой водой и подогреваемые земным менлом (рис. 12). Выход из них на поверхность земли осуществляется через узкий канал, который в «спокойный» период практической полнострых заполнен водой. Сцимая, что «активный» период наступает, когда закинаем вода в подземном резервуре, и что во время извержения канал заполнен молко паром, который выбрасывается наружу, оценить, какую часть воды термерует резервуар ещёера во время однозоно извержения. Глубина канала $h = 90$ м; температура воды $\lambda = 2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг; темперакость воды $c = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К). Зависимость давления насыщенного воды по температуре приведена на рисунке 13.

Рис. 12.

Рис. 13.

31

(M — масса объявшегося пара) находим

$$\frac{\Delta M}{M} \approx \frac{c(t-t_0)}{\lambda} \approx 0,15.$$

Приведенное решение является оценочным, так как оно не учитывает ряда факторов, которые практически могут несколько изменить полученный результат. Например, при решении не учитываяя подвод телла к воде от нагретых пластов во время «активного» периода, а также поступления в резервуар новых порций воды по подземным каналам в ходе извержения.

С. Козел

Ф532. Мягтник представляет собой легкий стержень длины l с грузом массой M на конце. К другой концу стержня прикреплена легкая цилиндрическая втулка a с внутренним радиусом r, надемая на врачацоцюся горизонтальную ось b (рис. 14). Коэффициент треения между втулкой и осью равен μ. Определить угол отклонения стержня от вертикали в положении равновесия.

Рис. 14.

Рис. 15.

Очевидно, что груз M при вращении оси b против часовой стрелки смешен вправа от вертикали O’O, проходящей через центр оси. При этом точка A (рис. 15), в которой втулка магнитка соприкается с осью, смешена от верхней точки оси в сторону, противоположную направлению вращения оси. Показем это.

При равновесии магнитка сумма моментов всех действующих на него сил равна нулю. На магнитке действуют силы тяжеста $\vec{P} = \vec{Mg}$, приложенная к грузу M, сила нормальной реакции оси N и сила треня скольжения $\vec{F}_{TP}$, приложенные к втуле A. Momentы сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{TP}$ относительно точки A равны нулю. Следовательно, и момент силы $\vec{P}$ относительно этой точки должен быть равен нулю. Это означает, что точка A должна лежать на линии действия силы $\vec{P}$, то есть должна быть смещена вправа от верхней точки оси.

Отметим, что даже при скольгу углоно большом коэффициент треения μ груз M при равновесии магнитка не может быть отклонен от вертикали O’O на расстояние, большое радиуса r втулки a. Это видно из рисунка 15.

Найдем угол α, определяющий положение точки A. Так как при равновесии магнитка векторная сумма сил $\vec{F}_{TP}$ и $\vec{N}$ направлена вертикально вверх (сумма сил $\vec{F}_{TP}$, $\vec{N}$ и $\vec{P}$ должны быть равна нулю), то

$$\mathrm{tg} \alpha = \frac{F_{TP}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu$$

($F_{TP}$, N — модули силу $\vec{F}_{TP}$ и $\vec{N}$).

Найдем теперь угол φ, который составляет стержень магнитка с вертикалью O’O в положении равновесия. Как видно из рисунка 15,

$$\sin \varphi = \frac{|OB|}{r+l} = \frac{r \sin \alpha}{r+l}.$$

Учитывая, что

$$\sin \alpha = \frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}},$$

находим (см. (1))

$$\sin \varphi = \frac{r}{r+l} \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

Обратите внимание, что величины угла отклонения магнитка определяется только значением коэффициента треения и размера стержня и втулки и не зависит от массы груза M и скорости вращения оси.

В пределном случае μ = 0 формула (2) дает φ = 0, то есть при отсутствии трея магнитка в равновесии занимает вертикальное положение. С ростом силы трея, то есть

32

при $\mu \rightarrow \infty$, множество $\mu/\sqrt{1+\mu^2}$ стремится к единице и sin $\varphi \rightarrow r/(r+l)$. Это значит, что величины отклонения груза $M$ впраvo от вертикали $O'O$ (то есть длина отрезка $OB$ на рисунке 15) стремится к $r$ (см. (1)).

Замечательно, что такой матрик, если его вывести из равновесия, будет совершать незначующее количество. При достаточно быстро вращении оси действующая на втулку сила трения скольжения при любом направлении движения матрика направлена в сторону вращения оси и приводит лишь к смешению среднего положения на угол $\varphi$ от вертикали.

Отметим, что существует еще одно положение равновесия матрика на вращающее оси — положение, в котором груз $M$ расположен выше оси, а стержень отклонен от вертикали впраvo на такой же угол $\varphi$. Но это положение равновесия, как легко убедиться, является неустойчивым.

Если ось, на которой надета втулка матрика, закреплена неподвижно (не вращается), то, благодаря силе трения покоя, величина которого может принимать любые значения от нуля до $\mu N$, матник может находиться в равновесии в любом отклонном от вертикали положении в пределах сектора с углом $\varphi$, определяемым той же формулой (2). Это так называемая область застоя (рис. 16). Если отклонить матрик на угол больше предельного (больше $\varphi$) и отпустить, то, совершив несколько коллебный субливающий амплитудой, матник оставится где-то внутри области застоя. Остановка матрика может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий. Интересно отметить, что такой же сектор положений равновесия существует и для «перевернутого» матрика на закрепленной оси.

Е. Бутников, А. Быков, А. Кондратов.

(Начало см. с. 20)

С. Гузов (Львов) 26; В. Джалоян (с. Урцадзор АрмССР) 16, 19a), 21, 24; О. Димитриев (Саратов) 16a), 21, 23a), 26, 28, 30a); В. Добров (Ангарск) 28, 30a); С. Довбыш (Москва) 16, 18, 19, 21; Е. Дюжикова (Архангельск) 16a); И. Елишевич (Чернигов) 21; А. Erмодин (Петрозаводск) 21, 22, 26, 28, 29; И. Зверович (Минск) 16a); Е. Зиманов (Алма-Ата) 21, 22, 25; Т. Зозрабян (пос. Деларис АрмССР) 26; М. Ибраемов (Шуша) 16a), 27; П. Иванов (Виллюйск) 26; О. Ижболдин (Ленинград) 16a), 6), 21—24, 26—30; Р. Измайлов (Баку) 16, 18, 19, 21—29; Ф. Кабдыкаиров (Алма-Ата) 18, 19a), 21, 26, 28; С. Каазан (Ленинград) 16, 21; А. Каазарман (Белорецк) 26; С. Калашников (Рязань) 16a), 6); А. Канель (Москва) 21, 23, 24, 26, 28, 30a); В. Кантерман (Вильнюс) 16a); А. Каплан (Сумгант) 16, 18, 19a), 21, 22, 24, 26—28, 30a); Г. Карадулин (Ереванн) 16, 18, 19a), 21, 22, 24—28, 29a); А. Келарев (Свердловск) 16, 19, 21, 23, 26—29, 30a); И. Кечов (Сухумин) 16a); С. Кодан (Ленинград) 28; Г. Коков (Тбилиси) 26; А. Колдацов (Тбилиси) 26, 28; С. Колева (НРБ) 18; А. Колмыцев (Ангарск) 30a); Ю. Кордюков (Москва) 26, 27, 30a); А. Король (Ташкент) 166), 22, 23; С. Кочемов (п/o Дружба Краснодарского края) 21, 24; О. Кравец (Воронеж) 16a), 26—28, 30a); В. Крикухин (Махачкала) 26; С. Крилов (Великий Устог) 28; И. Криков (Иван-

(Продолжение см. с. 43)

33

Г. Курдимов

Консервативность бесконечного строй

В этой заметке решается задача М500г) из Заданияка «Кванта» («Квант», 1978, № 4; см. также 1979, № 2). В конце заметки приводятся три новые задачи, решения двух из которых (задачи 1 и 3) не известны.

Имеется бесконечная в обе стороны переклассиков. По команде нале-ВО все переклассики, кроме конечного их множество, повернулись налево; остальные повернулись направо. В каждую последующую секунду каждый переклассик поворачивается на 180°, если первый и третий из стоящих перед ним повернуть к нему лицом. Все остальные переклассики остяются неподвижны. Доказите, что движение в этом бесконечном строй через конечное время прекратится.

Пусть вначале все переклассики стоят к нам лицом (рис. 1, а). После первого же поворота все они будут смотрить налево или направо. Изоведно, в первый момент правыми окажутся те, кто правильно выполнил команду «налево», а «нарушители» окажутсялевыми.

По условияю в первый момент левых переклассиков конечное число.

Изоведем переклассиков, которые в следующую секунду повернуть, вертунами (легко сообщать, что в каждой момент вертунов конечное число). Левых вертунов мы будем называть злостными. Очевидно, левый переклассик является злостным, если перед ним на первом или на третьем месте стоит левый переклассик (рис. 1, в). Вертинов мы будем рисовать зеленьим цветом, злостных переклассиков — красным, а правых вертунов — синым (рис. 1, в).

Прежде чем приводить доказательство в общем виде, рассмотрим для иллюстрации частный случай. Пусть левых переклассиковровно семь, и все они стоят подряд. Развитие во времени такого строя показано на рисунке 2. Мы видим, что через 12 секунд левых переклассиков не остается. Аналогичным образом бу-

Рис. 1.

34

дет пронсходить эволюция строя при наличии любого сплошного куска из n левых первоклассников: через 2n—2 секунд все первоклассники станут правыми, и движение прекраится.
Приведем теперь доказательство для общего случая — когда левые первоклассники стоят произвольным образом. Нам потребуется несколько дополнительных определений. Назовем островом отрезок, соединяющий самого правого из левых и самого ле-
вого из злостных левых. Болотом мы будем называть кратчайший отрезок, примыкающий к острову слева и включаяющий в себя всех вертунов (болота, конечно, может и не быть).
Первоклассников, не вошедших ни в остров, ни в болото, называем морем (рис. 3).
Лемма 1 (очевидная). Если правое правого первоклассника A стоям молко правые первоклассики, то A всегда mak и будем правым (рис. 4).

Рис. 2.
море
болото
остров
море

Рис. 3.

36

Рис. 7.

Утверждение леммы следует из того факта, что ни один из вышеуказанной тройки первоклассников не может быть правым вертуном (рис. 7).

Итак, после исчезновения острова права граница больша будет дивитаться влево со скоростью не меньше 3. Очевидно, левая его граница не может дивитаться влево со скоростью большие 1. Отсюда следует, что длина больша будет уменьшаться (со скоростью не менее 2) и через некоторое время после того, как исчезнет и больше. Все первоклассики станут правыми.

Задача решения. Немного более тонкими рассужdenями можно показать, что движение может продолжаться не более чем 2l + 2 секунд, где l — наиболее расстояние между двумя левыми первоклассниками после первого поворота (по команде нале-ВО).

Задача 1. Пусть n — количество левых первоклассников после первого поворота. Указите функцию f(n) такую, что время t движения в строко не может быть больше f(n), однako возможно t = f(n).

Итак, мы нашли такое состояние строки A₁ (все первоклассики смотрят впраvo), любое конечное изменение которого (т. е. поворот на 180° конечного числа первоклассников) исчезнет за конечное время (при эволюции по нашим правилам).

Ясно, что этим свойством обладает и состояние строк A₂ «все смотрят впраvo»: точно так же, как исчезает «остров» в «океане», будет исчезать «озеро» на «материке».

Указанные два состояния строки обладают свойством консервативности: они не меняются со временем, и, какому бы конечному изменению мы их подвергли, строй вернется к исходному состоянию.

Задача 2. Докажите, что другие консервативные состояния не существуют.

Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть A — некоторое состояние нашего строй (т. е. некоторая бесконечная в обе стороны целочка символьов ⊥ и ⊥). Обозначим через A(t) состояние, в которой строй (при эволюции по нашим правилам) перейдет через t секунд. Состояния A и B назовем эквивалентными, если со временем они переходят в одно и то же состояние, то есть если существуют такие t₁ и t₂, что A(t₁) = B(t₂). Будем говорить, что состояние A иммуно (так сказаны, неосприменно), если ему эквивалентно любое состояние A’, отличающее от A состояниями лишь конечного числа первоклассников.

Легко видеть, что все состояния, эквивалентные консервативным (в том числе — консервативные), иммуны.

Задача 3. Существуют ли у описанного выше строки иммунные состояния, не эквивалентные консервативным?

Советуем купить

Математика

1. Кокетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометrien. «Нука», ц. 50 к.

2. Поляна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2-я. «Нука», ц. 1 р. 20 к.

3. Дубошин Г. Н. Небесная механика. «Нука», ц. 1 р. 30 к.

4. Зубов В. Г. Механика. (Начала физики.) «Нука», ц. 90 к.

5. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. «Нука», ц. 85 к.

6. Майер В. В. Прощеые опыты с ультразвуком. «Нука», ц. 20 к.

7. Сборник задачи по общему курсу физики. Оntika. «Нука», ц. 55 к.

8. Сборник задачи по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. «Нука», ц. 45 к.

9. Сборник задачи по общему курсу физики. Тер-

modинамка и молекулярная физика. «Нука», ц. 32 к.
10. Сборник задачи по общему курсу физики. Механика. «Нука», ц. 67 к.
11. Фейнмановские лекции по физике. Задания и упражнения с ответами и решениями. «Мир», ц. 2 р. 36 к.
12. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т. 8. «Мир», ц. 2 р. 40 к.
13. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. «Нука», ц. 2 р. 68 к.

37

А. Земляков

Проверя себя

Ниже мы публикуем вопросы, предлагавшиеся на ресспубликанском.type Весоизной математической оптимизации школьников в 1979 году. На каждой вопросе нужно выбрать единственный правильный ответ.

VIII класс

Алгебра

1. Какое из указанных неравенств задает множество, показанное на рисунке 1 штриховкой?

Рис. 1.

А) $y \leq x - 1$; Б) $y \geq x - 1$; В) $y \leq 1 - x$; Г) $y \geq 1 - x$; Д) $y \leq x + 1$.

2. Используя практические примыты приближенных вычислений, найти разность $x - y$ чисел $x \approx 13,6517$ и $y \approx 10,4$.

A) 3,2517; Б) 3,25; В) 3,2; Г) 3,3; Д) нужное значение не указано.

3. Какой формулой задается функция, обратная к функции $y = \frac{2}{x}$?

A) $y = \frac{x}{2}$; Б) $y = \frac{2}{x}$;

В) $y = 2x$; Г) $y = -\frac{2}{x}$;

Д) $y = -\frac{x}{2}$.

4. При каких значениях $a$ верно равенство $\sqrt{a^2} = -a$?

A) при всех $a$; Б) при $a \geq 0$; В) при $a \leq 0$;

Г) при $a = 0$; Д) ни при каких значениях $a$.

5. При каких значениях $x$ верно равенство $x - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{x}$?

A) при всех $x$; Б) при $x \neq 0$; В) при $x > 0$; Г) при $x = 1$; Д) ни при каких значениях $x$.

6. На рисунке 2 изображены эскизы графиков трех показательных функций $y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$. Каковы соответствия между основаниями $a$, $b$ и $c$?

Рис. 2.

A) $c < a < b$; Б) $b < a < c$; В) $a < b < c$; Г) $c < b < a$; Д) $a < c < b$.

Геометрия

7. Определите знаки значений функций $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ для угла $\alpha = -1979^\circ$.

A) $\cos \alpha > 0$, $\sin \alpha > 0$; Б) $\cos \alpha > 0$, $\sin \alpha < 0$; В) $\cos \alpha < 0$, $\sin \alpha > 0$; Г) $\cos \alpha < 0$, $\sin \alpha < 0$; Д) определить нельзя.

8. Каким соответствием связанны длины сторона $a$ и $c$ прямогоного треугольника $ABC$ с острым углом $\hat{A} = \alpha$ (рис. 3)?

Рис. 3.

A) $c = a \cos \alpha$; Б) $c = \frac{a}{\cos \alpha}$; В) $c = a \sin \alpha$; Г) $c = \frac{a}{\sin \alpha}$; Д) $c = a \mathrm{tg} \alpha$.

9. Длины трех сторонам треугольника равны 1, 3 и 5. Каков вид такого треугольника?

A) остроугольный; Б) прямогоный; В) тупоугольный; Г) по длине.

Рис. 5.

37

38

A) при $x \in \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$; B) при $x \in \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$; B) при $x \in \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$; $\Gamma$ при $x \in \{x_2, x_3\}$.
5. Какую производную имеет функция $f(x) = (x^5 + 1)^6$?
A) $6(x^5 + 1)^5$; B) $5x^4 \times (x^5 + 1)^5$; B) $30x^4(x^5 + 1)^5$; $\Gamma)$ $(5x^4)^6$; $\Delta)$ $6(5x^4)^5$.
6. На рисунке 6 изображен график неокторной квадратной функции. Какой из расположенных под ним графиков A), B), B), $\Gamma$?

Рис. 6.
может являться графиком производной этой функции?
$\Delta)$ ни один из графиков не подходит.

Геометрия
7. Прямая $a$ скрещивается с прямой $b$, прямая $b$ скрещивается с прямой $c$. Каково может быть взаимное расположение прямых $a$ и $c$?
A) обязательно скрещиваются; B) обязательно параллельны; B) обязательно пересекаются; $\Gamma)$ либо скрещивается, либо параллельны; $\Delta)$ могут скрещивать, пересекаться, быть параллельными.
8. На поверхности параллельпеда взяты точки $A, B, C, D$, как показано на рисунке 7 ($A, B, C$ — вершины, $D$ — середина ребра). Каково взаимное расположение в пространстве прямых $AB$ и $CD$?

Рис. 7.
вершины, $D$ — середина ребра). Каково взаимное расположение в пространстве прямых $AB$ и $CD$?

A) пересекаются; B) скрещиваются; B) параллельны; $\Gamma)$ либо пересекаются, либо скрещиваются; $\Delta)$ могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными.
9. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ параллельnea $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 8). Каково разложение вектора $BM$ по векторам $a = AB, b = AD,$ $c = AA_1$?

Рис. 8.
A) $\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$; B) $\vec{a} + \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$; B) $\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$; $\Gamma)$ $\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$; $\Delta)$ $\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.
10. Каково множество всех возможных значений скалярного произведения $c = a \cdot b$, если известно, что длины векторов $a$ и $b$ равны 2 и 3?
A) $2 \leq c \leq 3$; B) $2 \leq c \leq 6$; B) $0 \leq c \leq 6$; $\Gamma)$ $-6 \leq c \leq 6$; $\Delta)$ $c$ может быть любым действительным числом.

Х класс
Алгебра и начала анализа

1. Какая из указаных функций является решением дифференциального уравнения $y'' = -4y$?
   A) $y = \cos(4x + \frac{\pi}{2})$;
   B) $y = \cos(2x + \frac{\pi}{2})$;
   B) $y = \cos(16x + \frac{\pi}{2})$;
   $\Gamma)$ $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{2})$;
   $\Delta)$ нужно функция не указана.

2. Упростите выражение $\cos(x - \frac{3\pi}{2})$.
   A) $\sin x$; B) $\cos x$; B) $-\sin x$; $\Gamma)$ $-\cos x$; $\Delta)$ упростить нельзя.

3. Чему равно значение arccos $\left(-\frac{1}{2}\right)$?
   A) $-\frac{\pi}{3}$; B) $-\frac{2\pi}{3}$; B) $\frac{2\pi}{3}$; $\Gamma)$ $\pm \frac{2\pi}{3}$;
   $\Delta)$ $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Сколько существует первообразных $F(x)$ для функции $f(x) = \cos 2x$ таких, что $F(0) = 2$?
   A) ни одной; B) одна; $\Gamma)$ четые; $\Delta)$ бесконечного много.

5. Какую производную имеет функция $f(x) = 2^3x$?
   A) $\ln 2 \cdot 2^3x$; B) $\ln (3x) \times 2^3x$; B) $\ln 3 \cdot 2^3x$; $\Gamma)$ $\ln 2 \cdot 2^3x$.

6. Какова область определения функции $f(x) = \log_5(5x)$?
   A) $]0; \infty$ [; B) $]1; \infty$ [; B) $]0; 1$ [; $\Gamma)$ $]0,5; \infty$ [; $\Delta)$ $]0; 0,5$ [.

Геометрия
7. Плоскость $\alpha$ перpendикулярна плоскости $\beta$, плоскость $\beta$ перpendикулярна плоскости $\gamma$. Каково может быть взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\gamma$?
A) обязательно перpendикулярны; B) обязательно параллельны; B) пересекаются, но не перpendикулярны; $\Gamma)$ либо параллельны, либо перpendикулярны; $\Delta)$ могут быть параллельными или пересекаются под любым углом.
8. Какой из указаных векторов $a$ перpendикулярен плоскости, заданной уравнением $-x + y - z = -2$?
A) $\vec{a} = (1; 1; 1)$; B) $\vec{a} = (1; -1; 1)$; B) $\vec{a} = (1; 1; 0)$; $\Gamma)$ $\vec{a} = (1; 0; 1)$; $\Delta)$ нужно вектор не указан.