Квант 1979, №8 · Страницы

КВАНМ 8
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

37

Как мерить расстояния между географическими пунктами? Ведь некоторые из этих пунктов весыма велики и, скажем, совсем не безразлично, от какой точки Москвы мерить расстояние до Мытищ: результат может измениться почти вдвое. О том, как связаны рисунок на этой странице обложки и упомянутая проблема, можно прочесть на с. 37

Основан в 1970 году
Кваим
8
1978

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академии педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-mатематической литературы

В номере:

3. Главный редактор академик И. К. Киоин
4. Первый заместитель главного редактора академик А. Н. Колмогоров
5. Первый заместитель главного редактора академик А. Н. Колмогоров
6. Редакционная коллекция:
   М. И. Башмаков
   С. Т. Беллев
   В. Г. Болтянский
   Н. В. Васильев
   Ю. Н. Ефремов
   В. Г. Зубов
   П. Л. Капица
   В. А. Кириллин
   А. И. Климанов
   С. М. Козел
   В. А. Лешковцев (зам. главного редактора)
   Л. Г. Макар-Лиманов
   А. И. Маркушевич
   Н. А. Патрикеева
   И. С. Петраков
   Н. Х. Розов
   А. П. Савин
   И. Ш. СLOBODEЦКИЙ
   М. Л. Смолянский (зам. главного редактора)
   Я. А. Смородинский
   В. А. Фабрикант
   А. Т. Цветков
   М. П. Шаскольская
   С. И. Шварцбург
   А. И. Ширшов

В номере:

E. Кузьмин, А. Ширшов. О числе e
A. Мидал. Вычисления без вычислений
P. Винокур. Домовой, колдун и … резонатор Гельм-гольца
A. Вирский, А. Звоникин. Овал, восьмерка, два овала…
C. Берколайко. Интерgal помогает доказать неравенство Коши

Лаборатория «Кваанта»
В. Майер. Опыты с ложкой бульона

Математический кругхок
A. Лопшиц. Векторное решение аффициных задач

Задачник «Кваанта»
Задачи М576—М580; Ф588—Ф592
Решения задач М521—М527; Ф533—Ф536

«Квант» для младших школьников
Задачи
A. Савин. Веселая викторина
Новые картины к калейдоскопу

Рецензии, библиография
Н. Розов. С учетом специальности
В. Болтянский, М. Смолянский. По страницам новой книги
E. Левитан. Путеводитель по звездным лабиринтом

Информация
В. Большаков. Страейший технический взгляд страны
Э. Марченко. Заочная школа при НГУ
A. Васильев. Вечерняя физическая школа

Ответы, указания, решения
Наша обложка (с. 36, 37)
Смесь (с. 8, 17, 25, 35, 37)

© Главная редакция физико-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант», 1979

2

Алексей Иванович Маркушевич

4 июня 1979 года на 72-м году жизни скончался член редакционной коллекции журнала «Квант», известный советский ученый-математик и педагог, видный организатор народного образования в нашей стране, член КПСС, академик Академии педагогических наук СССР, профессор Московского университета Алексея Иванович Маркушевич.

А. И. Маркушевич принадлежит большое число статей, монографий и учебников по теории функций компплексного переменного, по истории и методике математики. Много вимания А. И. Маркушевич уделял популяризацию науки. Он является автором ряда книг, адресованных школьниками: «Площади и логарифмы», «Комплексные числа и конформные отображения», «Возвратные последовательности», «Ряды» и др. При его активном участии были подготовлены и вышли в свет такие хорошего знакомые многим издания, как «Детская энциклопедия», «Энциклопедия элементарной математики», «История очечственной математики». Алексей Иванович сыграл большую роль в организации научно-популярного физико-математического журнала «Квант» и, как член редакоплегии с момента основания журнала, постоянно оказал существенное помощь в его издании. Заметный вклад А. И. Маркушевич внес в развитие советской школы и педагогических науки, работая на протяжении многих лет первым заместителем министра просвещения РСФСР, вице-президентом АПН РСФСР и АПН СССР.

3

О числе e

1. Что такое e?

В школе вы еще в пятом классе знакомпесь с числом π, имеющим очень длинную историю, начало которого теряется в глубине веков, в античном мире *). Затем вы встречаете с ним в восемом, девятом, десятом классах. С числом e вы стalkиваете только в конце десятого класса. Однако это замечательное число, вошедшее в обиход в XVIII века вместе с развитием математического анализа, играет в современной математике едва ли не более важную роль.

В школьном учебнике для числа e даются два определения. Во втором (первое нам не понадбится) числом e называется предел последовательности $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Докажем, что этот предел существует.

Лемма 1. Для любых m, n

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m+1}.$$

(1)

неравенство (1) очень легко доказывается при помощи знаменного неравенства Коши:

$$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n} < \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n},$$

(2)

где $a_1, a_2, \dots, a_n$ — положительные числа, среди которых есть различные**). Из (2)

$$\sqrt[n]{1 + \frac{1}{n}} \left(1 - \frac{1}{m+1}\right)^{m+1} < \frac{n \left(1 + \frac{1}{n}\right) + (m+1) \left(1 - \frac{1}{m+1}\right)}{m+n+1} = 1,$$

откуда $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \left(1 - \frac{1}{m+1}\right)^{m+1} < 1$$ и $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m+1}.$$

Лемма 2. Последовательность $(x_n)$ – возрастаюшая.

Доказательство. Обозначим $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n+1$ через $y_n$. Согласно лемме 1, $x_{n(n+2)} < y_{n+1}$, то есть

$$\left(1 + \frac{1}{n(n+2)}\right)^{n(n+2)} < \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+2}.$$

*) Много интересных подробностей о числе π можно найти в книге Ф. Кымен а и «История числа π» (М., «Наука», 1971). См. также статью А. Звонкина «Что такое π?» («Квант», 1978, № 11).

**) Постраайтесь доказать его самостояльно. Можно также прочитать его доказательство на с. 26.

4

Значит,

$$\left(1 + \frac{1}{n(n+2)}\right)^n < 1 + \frac{1}{n+1}.$$

Следовательно, $$\left(1 + \frac{1}{n(n+2)}\right)^n = \frac{(n+1)^2n}{n^n(n+2)^n} < \frac{n+2}{n+1}.$$

Поэтому $$\left(\frac{n+1}{n}\right)^n < \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$$ или $$x_n < x_{n+1}.$$

Из лемм 1, 2 и теоремы Вейерштраса вытекает, что последовательность $(x_n)$ имеет предел. Обозначение $e$ для этого предела было введено Л. Эйлером (1707—1783).

Упражнение. Докажите, что $$\lim_{n \to \infty} y_n = e$$ и что для любых $m, n$

$$x_n < e < y_m.$$

Число $e$ можно определить еще и как предел последовательности $s_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!}$. Докажем это. По формуле Ньютона

$$x_n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^2} + \dots + \frac{n(n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} + \dots + \frac{1}{n^n} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \dots + \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \times \left(1 - \frac{2}{n}\right) \dots \dots \left(1 - \frac{k-1}{n}\right) \times \left(1 - \frac{2}{n}\right) \dots \dots \left(1 - \frac{n-1}{n}\right).$$

(Из (3) тоже видно, что последовательность $(x_n)$ — возрастоящая.) Отбрасывая множители в круглых скобках, мы увеличим каждое слагаемое в правой части равенства (4). Следовательно, $x_n < s_n$ (при $n > 1$).

Фиксируем теперь произвольное $k > 1$. Считая, что $n > k$, отбросим в правой части равенства (3) все слагаемые, начиная с $(k+2)$-го. Получим

$$x_n > 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \dots + \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \dots \dots \left(1 - \frac{k-1}{n}\right).$$

При $n \to \infty$ (и фиксированном $k$) правачасть неравенства (4) стремится к $s_k$. Переходя в неравенстве (4) к пределу, получим $e \geqslant s_k$. Итак, $x_n < s_n \leqslant e$. Из $$\lim_{n \to \infty} x_n = e$$ получаем $$\lim_{n \to \infty} s_n = e.$$ Таким образом,

$$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots.$$

Последовательность $(s_n)$ гораздо удобнее пользоваться для вычисления приближенных значений числа $e$, чем последовательность $(x_n)$. Оценим разность $e - s_n$. Из (5)

$$e - s_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \dots =$$

$$= \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \dots \right] <$$

$$< \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \dots \right] =$$

$$= \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{n+2}} = \frac{n+2}{(n+1)^2 \cdot n!} < \frac{1}{n \cdot n!}.$$

Полученный результат можно записать в виде равенства

$$e = s_n + \frac{\theta_n}{n \cdot n!} \quad (0 < \theta_n < 1).$$

Из (6) легко получить irrationalность числа $e$. Действительно, предположим, что $e = \frac{p}{q}$. тогда $q!e$ — целое число. Из (6) при $n=a$

$$q!e = q! + q! + \frac{q!}{2!} + \dots + \frac{q!}{q!} + \frac{\theta_q}{q}.$$

Получается, что и $\frac{\theta_q}{q}$ — целое число, что, очевидно, неверно. Вот первые десятичные знаки числа $e$.

$$e = 2,718281828459045\dots$$

2. Задча о разбиениях

Число $e$, баловень математического анализа и теории функций, довольно неожиданно возникает в некоторых комбинаторных задачах. Рассмотрим одну такую задачу.

Начнем с примера. Двухlementное множество $\{a_1, a_2\}$ можно разбить на непересекающийся подмножества (говора о разбиениях, их называют классами) двумя способами: это — «позелемное» разбиение $\{a_1\}, \{a_2\}$ и вырожденное «целое» разбиение $\{a_1, a_2\}$. Аналогичные разбиения имеются (при $n>2$) у любого $n$-элементного множества. При $n=3$ к ним добавляются еще три разбиения (рис. 1).

Обозначим число разбиения $n$-элементного множества через $\tau(n)$ *).

Очевидно, $\tau(0) = \tau(1) = 1$. Как мы только что отметили, $\tau(2) = 2$, $\tau(3) = 5$. А чему равно $\tau(n)$ для произвольного $n$? Нельзя ли для $\tau(n)$ указывать какую-нибудь простую формулу?

Как это часто бывают в комбинаatorных задачах, легко найти рекуррентное соотношение, связывающее $\tau(n)$ со значениями $\tau(k)$ для $k < n$.

Пусть $M = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$. Рассортируем все разбиения множества $M$ в зависимости от того, чем равно число $k$ элементов класса, в котором попадает при данном разбиении элемент $a_1$. Число $k$ может быть равно 1,2,…,$n$. При фиксированном $k$ число таких разбиений равно, очевидно, $C_{n-1}^{k-1}\tau(n-k)$.

Таким образом, $\tau(n) = \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}\tau(n-k)$. Легко проверить, что

$$\sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}\tau(n-k) = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k-1}\tau(k).$$

Okончательно,

$$\tau(n) = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k-1}\tau(k).$$

При помощи формулы (7) нетрудно подсчитать, что $\tau(4)=15$, $\tau(5)=52$, $\tau(6)=203$, $\tau(7)=877$, $\tau(8)=4140$ — с ростом $n$ числа $\tau(n)$ быстро возрастает.

*) Числа $\tau(n)$ называются числами Белла («Квант», 1978, № 7).

6

Рекуррентной формулой (7) мы воспользовемся для доказательства любитного утверждения, в котором необходимо проверять число $e$:

$$e \cdot \tau(n) = \frac{1^n}{1!} + \frac{2^n}{2!} + \dots + \frac{k^n}{k!} + \dots \quad (n \geqslant 1)$$

Доказательство. Приимем метод математической индукции. При $n=1$ (8) верно в силу (5). Предположим теперь, что (8) верно для всех чисел, меньше некоторого $n$; доказем, что тогда оно верно и для $n$. По (5) и по предположению индукции справедливо равенства

$$e \cdot \tau(0) = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{k!} + \dots$$

$$e \cdot \tau(1) = \frac{1}{1!} + \frac{2}{2!} + \dots + \frac{k}{k!} + \dots$$

$$e \cdot \tau(2) = \frac{1^2}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \dots + \frac{k^2}{k!} + \dots$$

$$e \cdot \tau(n-1) = \frac{1^{n-1}}{1!} + \frac{2^{n-1}}{2!} + \dots + \frac{k^{n-1}}{k!} + \dots$$

(Бескочечные суммы в правых частях надо, естественно, понимать как предельные частичных сумм.) Сложим почленно эти равенства с коэффициентами, соответствующими $C_{n-1}^0, C_{n-1}^1, C_{n-1}^2, \dots, C_{n-1}^{n-1}$. В левой части, согласно (7), мы получим $e \cdot \tau(n)$, в правой

$$1 + \frac{\varphi(1)}{1!} + \frac{\varphi(2)}{2!} + \dots + \frac{\varphi(k)}{k!} + \dots$$

где $\varphi(t) = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 t + C_{n-1}^2 t^2 + \dots + C_{n-1}^{n-1} t^{n-1} = (1+t)^{n-1}$.

Следовательно,

$$e \cdot \tau(n) = 1 + \frac{2^{n-1}}{1!} + \frac{3^{n-1}}{2!} + \dots + \frac{(k+1)^{n-1}}{k!} + \dots = \frac{1^n}{1!} + \frac{2^n}{2!} + \frac{3^n}{3!} + \dots + \frac{(k+1)^n}{(k+1)!} + \dots$$

что и требовалось доказать. Из (8) получается красивая формула

$$\tau(n) = \frac{1}{e} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^n}{k!}$$

неудобная, однако, для вычисления $\tau(n)$. Ниже мы получим примые (в смысле «не рекуррентные») конечные (не через ряд) формулы для вычисления $\tau(n)$.

Назовем ранgeom данного разбиения число классов, из которых оно состоит. Обозначим через $c_{n,k}$ число разбиения ранга $k$ $n$-элементного множества $^*$. Очевидно, ранг может принимать только значения $1,2,\dots,n$; поэтому

$$\tau(n) = \sum_{k=1}^{n} c_{n,k}.$$

При $k>n$ положим $c_{n,k}=0$.

Для чисел $c_{n,k}$ легко получить рекуррентное соотношение. Пусть $M=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}, M'=\{a_2,\dots,a_n\}$. Разделим разбиения множества

$$^*$$

*) Числа $c_{n,k}$ называются числами Стирлинга.

7

ства $M$ ранга $k$ на две групы — на разбиения, содержащие однозеленное множество $\{a_1\}$ в качестве класса разбиения, и не содержащие. Разбенный первого вида, очевидно, существует столько же, сколько разбиений множества $M'$ ранга $k-1$, то есть $c_{n-1,k-1}$; разбиений второго вида — в $k$ раз больше, чем разбиений множества $M'$ ранга $k$ (элемент $a_1$ можно поместить в любой из $k$ классов разбиения множества $M'$), то есть $k \cdot c_{n-1,k}$. Итак, при $n > 1, k > 1$

$$c_{n,k} = c_{n-1,k-1} + k \cdot c_{n-1,k}. \tag{10}$$

Докажем, что при $n \geqslant 1, k \geqslant 1$

$$c_{n,k} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-1}}{s! (k-s-1)!}. \tag{11}$$

Обозначим правильное частное решение (11) через $b_{n,k}$. Если $k=1$, то $b_{n,1} = 1 = c_{n,1}$. Если $k > 1$ и $n=1$, то

$$b_{1,k} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s}{s! (k-s-1)!} = \frac{1}{(k-1)!} \sum_{s=0}^{k-1} (-1)^s C_{k-1}^s = \frac{1}{(k-1)!} (1-1)^{k-1} = 0 = c_{1,k}.$$

Если, наконец, $k > 1$ и $n > 1$, то

$$b_{n,k} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-1}}{s! (k-s-1)!} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-2} \cdot (k-s)}{s! (k-s-1)!} = k \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-2}}{s! (k-s-1)!} + \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s+1 (k-s)^{n-2} \cdot s}{s! (k-s-1)!} = k \cdot b_{n-1,k} + \sum_{s=1}^{k-1} \frac{(-1)^s+1 (k-s)^{n-2}}{s! (k-s-1)!} = k \cdot b_{n-1,k} + \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s+1 (k-s)^{n-2}}{s! (k-s-1)!} = k \cdot b_{n-1,k} + b_{n-1,k-1}.$$

Таким образом, числа $c_{n,k}$ и $b_{n,k}$ удовлетворяют одному и тому же перерентному соотношению вида (10); кроме того, их «начальные значения»: при $k=1$ (и любом $n \geqslant 1$) и при $n=1$ (и любом $k \geqslant 1$) совпадают. Следовательно (рис. 2), $c_{n,k} = b_{n,k}$ для любых $n \geqslant 1$ и $k \geqslant 1$.

Из (9) и (11)

$$\tau(n) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-1}}{s! (k-s-1)!}. \tag{12}$$

Обозначим $k-s$ через $t$; тогда $1 \leqslant t \leqslant n$. При фиксированном $t$ в двойной сумме (12) $s$ может изменяться от 0 до $n-t$. Собирая коэффициенты при $t^{n-1}$, можно формулой (12) преобразовать к виду

$$\tau(n) = \sum_{t=1}^{n} \left( \sum_{s=0}^{n-t} \frac{(-1)^s}{s!} \right) \frac{t^{n-1}}{(t-1)!}.$$

8

Числа $c_{n,k}$, имеющие ясный комбинаторный смысл, неожиданное возникают в одной алгебраической задаче, связанной с многочленами.

Положим $x^{(1)} = x, x^{(2)} = x (x-1), x^{(3)} = x (x-1)(x-2)$ и т. д. Многочлены 1, $x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(n)}$ имеют, соответственно, степени 0, 1, 2, …, $n$. Поэтому любой многочлен от $x$ степени не выше $n$ единственным образом представляется в виде суммы этих многочленов (с некоторыми коэффициентами). В частности,

$$x^n = a_{n,1}x^{(1)} + a_{n,2}x^{(2)} + \dots + a_{n,n}x^{(n)}$$

(13)

Для некоторых чисел $a_{n,k}$, $(n \geqslant 1, 1 \leqslant k \leqslant n)$. Для $k > n$ положим $a_{n,k} = 0$. Оказывается, $a_{n,k} = c_{n,k}$. Доказем это.

Полагая в (13) $x = 1$, получаем $a_{n,1} = 1 = c_{n,1}$. Если $k > 1$ и $n = 1$, то $a_{1,k} = 0 = c_{1,k}$. Пусть теперь $k > 1$ и $n > 1$.

$$x^n = \sum_{k=1}^{n} a_{n,k} x^{(k)} = x \cdot x^{n-1} = x \cdot \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i)} = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i)} \left[ (x-i) + i \right] =$$

$$= \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} \left[ x^{(i)} (x-i) + ix^{(i)} \right] = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} \left[ x^{(i+1)} + ix^{(i)} \right] = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i+1)} +$$

$$+ \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} ix^{(i)}$$

Сравнивая коэффициенты при $x^{(k)}$, получаем $a_{n,k} = a_{n-1,k-1} + k \cdot a_{n-1,k}$. Как и выше, из этого вытекает, что $a_{n,k} = c_{n,k}$ при всех $n, k$.

У права не ие. Доказите равенство:

$$\tau(n-1) = \sum_{t=0}^{n-1} (-1)^t C_{n-1}^t \tau(n-t).$$

ВЫЧИСЛИМ ЧИСЛО $e$

На с. 4 было доказано, что число $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ равно сумме ряда $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Однако можно указать ряд, частные суммы которого сходятся к $e$ наимного быстрее частных сумм ряда $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Ниже представляется несколько задач, решив которые, вы с помощью нескольных выкладок научитесь точно вычислять много знаков числа $e$.

1. Докажите, что при $n \geqslant 2$ справедливо равенство:

$$1 + 1 + \frac{1}{2!} +$$

$$+ \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} +$$

$$+ \frac{1}{n \cdot n!} = 3 - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2!} -$$

$$-\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 3!} - \dots - \frac{1}{(n-1) \cdot n \cdot n!}$$

Указание. Примените метод математической индукции.

2. Докажите, что

$$e = 3 -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+2)!}$$

3. Докажите, что

$$e = \frac{87}{32} -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!}$$

4. $e = \frac{87}{32} -$$$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} -$$$$- R_k$. Оцените остаток $R_k$.

5. Вычисление приближенной значения $e$, взяв при целенарда ряда (1), и оцените порешность приближения.

6. Докажите, что

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} < 0,00047.$$

Г. Сорокин

А. Миедал

Вышисления
без вычислений

Если математика — это искусство избегать вычислений, то теоретическая физика — это искусство вычислять без математики.

Высказывание, приведенное в качестве эпиграфа, возникло в результате споров физков и математиков и нуждается в разъяснения. Далее самые простые вычисления в физике не обходятся без математики. Однако, на первой, самой важной стадии работы физика-теоретика, когда устанавливается физическая картина явления, математика отступает на задний план и играет только подсобную роль. Но прежде чем говорить о связи физики и математики, следует пожить, что такое теоретическая физика.

I. КАК РАБОТАЮТ ФИЗИКИ?

Экспериментаторы и теоретики

Существует два типа физков — экспериментаторы и теоретики, причем эти две профессии почти никогда не совмещаются в одном лице. Физики-экспериментаторы исследуют соответствия между физическими величиными или, говоря более торжественно, открывают законы природы, пользоваться экспериментальными установками, то есть производа измерения физических величины с помощью прибора. Для этого надо глубоко понять изучаемые явления, чтобы знать, что и как измерять. Физики-теоретики

10

изучают природу, пользовать только бумагой и карандашом, то есть выводные соотношения между наблюдаемыми величиными, опираясь на найденные ранее экспериментальное и теоретически законы природу. Причина разделения этих двух процесси не только в том, что каждая из них требует своих специальных знаний: знания методов измерения — в одном случае и владения математической аппаратам мышления и различным формам интуции. Интуция, то есть способность подознать находить правильный путь, играет важнейшую роль, особенно на первых стадиях работы. К сожалению, дар интуции возникает не сразу, а в результате упорной работы, как награда за решение многих научных задач.

Поскольку теоретическая физика имеет дело с более отвлеченными понятиями, чем физика экспериментальная, физика-теоретическу требует более абстрактная форма интуции, близкая иногда к интуции математика. В прошлом вке, когда физика еще не была так специализирована, многое физики совмещали обе процессии. Так, Максвелл, который получил теоретически уравнения, описывающие все электромагнитные явления, занимался и экспериментами. Герц, который обнаружил экспериментально электромагнитные волны, был одновременно и хорошо теоретическим. И все-tаки в каждом случае можно указать, какая из процессии главная: для Максвелла это — теоретическая физика, а для Герца — физика экспериментальная.

В XX веке одним из самых замечательных примеров «универсального» физика — и теоретика, и экспериментатора — был Энрико Ферми. Наряду со многими другими работами Ферми создал теорию радиоактивного распада и вместе с физками своей группы открыл экспериментальное искусственное радиоактивное элементов, возникающего приombардировке нейтронами.

Еще одним примером выдающегося теоретика, тесно связанного с экспериментом, был академик Г. И. Буд-

кер, у которого теоретическая физика совмещалась с заменательными инженерными идеями. Он руководил теоретической разработкой и практическим осуществлениемускорителей на встречных пучках заряженных частиц в Новосибирском Академгородке.

Однако это — редкие исключения, и молодой человек, интересующийся физикой, должен решить для себя, какую из двух процессии он выбирает.

В дальнейшем речь по работе физиков-теоретиков.

Физика и математика

Итак, задача физика-теоретика — получать соотношения между наблюдаемыми величиными с помощью математических выкладок. Не означает ли это, что теоретическая физика представляет собой нечто прикладной математики? Такая точка зрения совершенного неверна. И по характеру задач, и по методам подхода к задачам математика и теоретическая физика категорически отличаются.

В математике важнейшую роль играют математические стороны, то есть логическая безпречность всех выводов, вытекающих из принятых аксиом, и исследование всех логических возможных соотношений. Задача физики — восходить по возможностям точно картину мира без строих «правил игры», использую все известные экспериментальные и теоретические факты, используя основные на интуции договора, которые в дальнейшем будут проверены на опите. Так, математик исследует все логические возможные типы геометрии, физик же выясняет, какие геометрические соотношения осуществляются в нашем мире.

Matematик, даже если он занимается прикладными задачами, то есть задачи, пришедшие не из математики, берется за решение только тех задач, которые не требуют дополнительных недоказанных предложений. Физик же, как правило, имеет дело с задачими, в которых имеются исходных данных недоста-

11

точно для решения, и искусство состоит в том, чтобы угадать, какие недостающие соотношения реализации в природа. Именно для этих договора требуется не математическая, а физическая интуция.

Убедитесьность в физике достигается получением одного и того же результатата из разных исходных предложок. При этом приходится выделить лишние, логические не необходимые аксимоны, каждая из которых сама по себе не абсолютою достоверна. Единственное условие состоит в том, чтобы уменьшить степень убедительности того или иного предложения и ясно понимать, какие предложения требуют дальнейшей проверки.

Если какая-либо области физики достигает такого развития, что все ее результаты можно будет вывести из нескольких строгого установленных экспериментального аксиом, то эта область перестанет быть частью развивающейся физической науки и передет в раздел прикладной математики или техники. Так произшло с классической механикой.

Разумеется, очень полезно анализировать структуру физической теории, то есть выяснять, из каких исходных предложок получаются те или иные результаты. Однако, центр тяжести в таком аксиоматическом подходе — не в общности и математической структуре выводов, а в правильном выборе исходных предложений и в оценке того, какие из них наиболее достоверно подтверждены опитом. А для этого требуется интуция физика. В тех случаях, когда эту работу проделывает математик, он обязательно, хотя бы на время, делается физиком-теоретиком. Иначе он рискует оказаться, по выражению пользового catрика Леца, в положении экsimoca, который вырабатывает для життелей Конго правила поведения во время жары.

Итак, математика и физика — науки с развитием задачами и с развитием методами подхода к задачам.

В математике достигается логическоеstrukturio и анализом всех логических возможных решений. В физике рассматриваются только те решения, которые могут осуществляться в природае, и достоверность достигается многоократной проверкой сделанных предложений. Математическая строость в физике представляет собой невозможную и неужную российскую. Добиваться в физике математической структуре так же не нужно, как требования от бригадиров лесоповала, чтобы они на работе разговаривали стихами. Но вместе с тем физико-теоретическим словом владеть математическим аппаратом, то есть знать и уметь использовать все те математические методы, которые могут оказаться полезными при решении физических задач.

II. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ

Попробуем показать на простых примерах, как работаот физики-теоретики на первой, самой важной стадии работы, когда делается качественный анализ поставленной задачи. Как мы увидим, на этой стадии работы почти без всяких вычислений получаются грубые соотношения между входящими в задачу величиными. Следующая стадия работы — получение точных количественных соотношений с помощью математического аппарата теории — целиком опирается на первый стадию, во время которой проясняется физическая картина явления и возникнет проект ожидаемого решения. Не имея такого предложительного проекта, нельзя приступать к поискам точного решения. Действительно, доказать удаетя только те утверждения, которые были заранее угаданы. Из этого правила почти не было исключающей.

Одним из главных элементов качестваенного анализа является решение задачи на прощенных моделях, в которых отброшено все несущенные. Усложняя решению задачу несовравенно проще, чем заново решать сложную.

В некоторых простых случаях многое проясняет простой размерный анализ в задачу величины и возможности соотношения между ними.

12

Размерные оценки

Для инллюстрации докажем теорему Пифагора, пользовясь сообщениями размерности. Из размерности следует, что площадь $S$ прямоугольного треугольника можно записать как произведение квадрата гипотенузы на неокторную функцию одного из острых углов: $S=c^2f(\alpha)$. Аналогичным образом можно представить площади двух подобных прямоугольных треугольников, которые получаются, если опустить высоту из прямого угла. Для этих треугольников роль гипотенузы играют катеманную треугольника. Позтому

$$c^2f(\alpha)=a^2f(\alpha)+b^2f(\alpha).$$

Сократив на $f(\alpha)$, получим теорему Пифагора.

В качестве другого примера рассмотрим задачу о нахождения перiodа колбаний грузика наружные. Прежде всего выясним, какие величины могут входить в выражение для периода. Поскольку силы, действующие на грузик, — это сила тяжестки и сила упругостики, естественно предположить, что период колбаний зависит от укорения свободного падения $g$ и массы $m$ грузика и от жесткости пружины $k$. Разумеется, такие величины, как температура и вязкость воздуха, не войдут в задачу, если мы пребрегаем затуханием колбаний. (Что бы упростить задачу, надо знать, чем можно пребречь!) Из величины $g$, $m$ и $k$ можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность времени, — $V/m/k$. Следовательно, период $T$ равен

$$T=C\sqrt{m/k}.$$

Diagram of triangle with sides $S_1 = S_2 + S_3$, $S_1 = c^2f(\alpha)$, $S_2 = a^2f(\alpha)$, $S_3 = b^2f(\alpha)$

Ускорение $g$ не вошло в ответ. Безразмерная константа $C$ не может быть найдена из размерных сообщений; можно только сказать, что она не очень велика и не очень мала, — она порядка единицы. Действительно, значение $C$ должно быть найдено из решения ненаписанного нами уравнения движения грузика. А безразмерные коэффициенты, возникшие уравнением, встречающих в физике, как правило, оказываются порядка единицы *). Точно вычисление дает для $C$ значение 2π.

Таким образом, мы без вычислений, пользовясь только размерным анализом, нашли примернуюеличину перiodа колбаний грузика наружные.

Пример обобщения — осцилляртор

Во всех областях физики встречаются задачи, связанные с колбанями систем околоположения. Для понимания многохявлений, а следовательно, для качественного анализа этих явлений нужно знать общие свойства таких систем. Системы, совершающее колбаня околоположения равновесия, неависимо от их устройства называют осциллярами. Простейшие примеры осцилляртов—грузик наружные, математический матник. Более сложный пример — натянутая страна; у нее может быть много типов колбаний: колбаня с пучностью посередине (основной тон), с одним узлом, двумя узлами и т. д. (обертоны). Таким образом, страна — это набор осцилляров разных частот. Аналогичный пример — столб воздуха в организу труда; его можно заставить колбаться с наиболее частотой (основной тон) или с более высокой частотой, когда в некоторых точках воздуха будут неподвижны (аналог узлов в колбанях струны).

Общее свойство всех осцилляров состоит в следующем: неависимо от конкретного устройства осциллярную

*) Это утверждение нельзя доказать в общем виде, но оно практически всегда справедливо, и этим фактом широко пользуется при всех оценках.

13

шей (то есть колблющейся около положения равновесия) системы, энергия системы в любой момент времени может быть записана в виде

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta \dot{q}^2 / 2,$$

(*)

где $q$ — величины, характеризующая отклонение от положения равновесия, а $\dot{q}$ — скорость изменения величины $q$ во времени (то есть $\dot{q} = \Delta q / \Delta t$, где $\Delta t$ — малый промежуток времени). Слагаемое $\Pi = \gamma q^2 / 2$ — это потенциальная энергия осиллятора; коэффициент $\beta$ называют массой осиллятора. Слагаемое $K = \beta \dot{q}^2 / 2$ — это кинетическая энергия осиллятора; коэффициент $\beta$ называют массой осиллятора. (Вспомните, как записьается энергия простейшего осиллятора — грузика наружне, и вам станет понятно, почему $\gamma$ называют жесткостью, а $\beta$ — массой осиллятора.)

Как бы ни был конкретно устройен осиллятор, его угловая часть колбанный $\omega = 2\pi/T$ выражается следующим образом через жесткость $\gamma$ и массу $\beta$:

$$\omega = \sqrt{\gamma / \beta}.$$

Введение «обобщенного» осиллятора, координата которого — не обязательно расстояние от положения равновесия, а может иметь любой смысл, лишь бы энергия имела также структуру, как $E$ в выражении (*), позволяет делать выводы о поведении колблющейся системы без расстояния физической природы проискодиях в ней процессов.

Для посянения приведем еще один пример осиллятора, не пожожий на все приведенные выше примеры. Допустим, имеется катушка индуктивности $L$ из хорошо проводящей проводки, концы которой присоединют к конденсатору emкость $C$, имеющей заряд $Q_0$. В цепи возникают электромагнитные колбания. Если катушка сделана из сверхпроводника (для этого нужна низкая температура), колбания практически не будет затухать.

Энергия такой системы состоит из двух слагаемых: энергии магнитного поля в катушке и энергии электрического поля в конденсаторе. Энергия электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату заряда $Q$, который в данной момент находится на обкладке конденсатора: $\Pi = \frac{1}{C} Q^2 / 2$.

Энергия магнитного поля катушки пропорциональна квадрату силы тока $I$, текущего в данной момент по катушке: $K = L I^2 / 2$. Но сила тока равна скорости изменения заряда конденсатора со временем: $I = \dot{Q}$. Таким образом, энергия магнитного поля катушки $K = L \dot{Q}^2 / 2$.

Следовательно, энергия системы в любой момент времени равна

$$E = \frac{1}{C} Q^2 / 2 + L \dot{Q}^2 / 2.$$

Наша система — осиллятор; роль координаты осиллятора играет заряд $Q$, потенциальная энергия осиллятора — энергия конденсатора, кинетическая — энергия магнитного поля катушки. Из записи энергии видно, что жесткость этого осиллятора — величины $1/C$, а роль массы индуктивности $L$. Сразу можно записать часть колбаний: $\omega = \sqrt{1/LC}$.

14

Такой осциллятор называется электрическим колебательным контуром.

Как угадать решение?

Приведем пример того, как просяния некоторых черты решения, прежде чем будет построен аппарат для точного решения задачи, до того как найдены уравнения, на основе которых задача будет решаться. Это задно и пример более сложного анализа размерностей, чем в случае осциллятора.

Одна из труднейших и неразрешенных задач теоретической физики—связь гравиатционной и электриматинных явлений.

Если такая связь существует, то в результате решения каких-то еще не найденных уравнений будет получено безразмерное число *), дающее соответствие между гравиатционной построенной γ и величины, характеризующими электромагнитные явления, таким как скорость света c, заряд электрона e и его масса m.

Если существует квантовые явления, то в задачу может войти еще построенная Планка h. Зная размерности величины γ, c, e, m, h, нетрудно убедиться, что из этих величины составить только две независимые безразмерные комбинации:

$$\alpha = e^2/\hbar c; \quad \xi = \hbar c/\gamma m^2$$

(напомним, что $\hbar = h/2\pi$).

Первая из этих комбинаций характеризует взаимодействие электриона с электромагнитным полем (безразмерный «заряд» электрона) и называется построенной тонкой структуры. Подстановка численных значений дает $\alpha = 1/137$, $\xi = 5 \cdot 10^{44}$. Можно ли такое большое число как ξ возникнуть в результате решения каких-либо разумных уравнений? Безразмерные числа, возникшие в результате решения физических задач, как мы уже говорили, имеют порядок нескольких единиц или долей единиц.

*) Для того чтобы соответствие между различными физическими величиными не зависело от выбора единиц, оно должно быть записано в виде безразмерной комбинации.

Поэтому мы вправе ожидать, что величина ξ войдет в задачу в такой форме, чтобы в результате получилось число порядка 1. Пока мы применяли здравый смысл. Тепер должен быть сделан небольшой интупитный логический скачок. Правоподобно, что в теорию войдет комбинация

$$\alpha \ln \xi \sim 1.$$

Ясно, что знание такого соответствия облегчает поиск решения. Именно в такой форме входит величина ξ в существующие сейчас теоретические попытки решения задачи о связи электринами с гравиатцией.

III. ПРЕДЕЛЬНОЕ УПРОЩЕНИЕ

Основная идея квантовой механики

Попробуем показать на другом примере, как, предельно упрощая задачу, можно определить главные черты явления. Этот пример посящит, что такое качественный подход к задаче.

Согласно квантовой механике энергия электрона в.atome может принять только дискретные значения.

Возможные значения энергия электрона в.atome водорода даются выражением

$$E_n = - \frac{me^4}{\hbar^2} \frac{1}{2n^2}.$$

(**)

Разности значений $E_n$ для двух разных $n$ (n=1,2,3,…) определяют с большой точностью частоты наблюдаемых на опите спектральных линий.

Основная идея квантовой механики состоит в том, что каждая частица (в данном случае — электрон) характеризуется неимом волновым процессом с длиной волны

$$\lambda = \frac{2\pi \hbar}{mv},$$

где $m$ — масса частицы, $v$ — ее скорость. Дискретные значения энергии электрона получаются из того условия, что на длине орбиты, по которой движется электрон, должно уклады-

*) физики, как правило, не пользоваться системой СИ. (Примечание автора.)

15

ватся целое число волн. Если радиус орбиты $r$, то $n$-ному состоянию электрона соответствует условие $2\pi r = \lambda n$ ($n=1, 2, \dots$), или $mv_n = \hbar n/r$. Отсюда нетрудно найти кинетическая энергия в $n$-ном состоянии:

$$W_n = m v_n^2 / 2 = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2.$$

Полная энергия электрона складывает из кинетической энергии и потенциальной энергии в поле ядра, которая отрицательна и равна $U = -Z e^2 / r$. Полная энергия электрона в atomе водорода равна

$$E_n(r) = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2 - e^2 / r.$$

В нашем вывода мы предполагаем, что радиус орбиты $r$ имеет фиксированное значение. Согласно квантовой механике радиуса орбит «разбросаны» в окрестности классических источников орбиты. В качестве оценки радиуса можно взять значение $r$, которое соответствует минимуму энергии $E(r)$.

Чтобы найти минимум $E(r)$, поступим следующим образом. Перепишем выражение для $E(r)$ в таком виде:

$$E = A x^2 - B x.$$

Мы выели такие обозначения: $x = 1 / r$, $A = \hbar^2 n^2 / 2 m$, $B = e^2$. Видно, что при $x_1 = 0$ и $x_2 = B / A$ значение $E$ равно нулю. Внутри интеграла $]x_1, x_2[$ Е отрицательно. Где-то внутри этого интеграла лежит минимум $E$. Будем для оценки считать, что $E_{\min}$ соответствует значению $x$ в середине интеграла, то есть $x = B / 2 A$. Соответственно, $r = 1 / x = 2 A / B$, то есть

$$r_n = \frac{\hbar^2 n^2}{m e^2}.$$

(Отметим, что при $n = 1$ это выражение

$$E_n = - \frac{m e^4}{\hbar^2} \frac{1}{2 n^2},$$

то есть выражение, совпадающее с (**)!

В действительности электрон может с разной вероятностью находиться на любом расстоянии от ядра. Наше упрощение состояния в пределложении, что это расстояние определяное, равное $r$, и находится из условия минимального энергии. Разумеется, мы действовали грубо. Поэтому нельзя доверять числовому множителю впереди этой формулы, хотя он случайно получился правильно. Но всему остальном можно доверять! И множество $me^4 / \hbar^2$, и, что особенно важно, зависитности от «квантового числа» $n$.

Точное решение потребовало бы значения основного уравнения квантовой механики (уравнение Шредингера) и очень сложной (по школьным понятиям) математики. То, что мы получили, и есть качественное решение, когда результат получается с точностью до неизвестного числового множителя, но характер зависитности от параметров задачи передается точно. Качественные решения чрезвычайно облегчает получение точного решения, поскольку выясняются главные черты явления. Более того, если есть качественные решения, а точного не удается получить аналитические, можно без особых потерь в позиции задачи ней его с помощью вычислительных машин.

Еще одно обобщение — квантовые осцилляторы

Не сложнее решается задача о квантовании осциллятора. При этом нам не существует, как реализован осциллятор — представляется ли он груз, колеблющейся наружнее, или электрический колебательный контур.

Обозначим через $q$ обобщенную координату осциллятора. Запишем энергию осциллятора:

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta q^2 / 2.$$

16

Можно себе представить, что осциллярор — это некая «частица» с массой β, колблющаяся наружное сжесткость γ. Для того чтобы формулировать для этого объекта основную идею квантовой механики, ведем длину волны λ волнового процесса, связанного с нашей «частицей»:

$$\lambda = 2\pi \hbar / \beta q.$$

В знаменатель стопт произведение «массы» на ее скорость. Так как скорость изменяется при движении частицы, то и длина волны тоже меняется — она минимальная величина положения равновесия и растет в тех области, где скорость «частицы» мала.

Пусть «частица» движется в области от — $q_0$ до $q_0$. (Подчеркием, что $2q_0$ — не размах колблющей осциллятора, а та область, в которой «дрожит» его координата.) Для того чтобы образовать стоячая волна, на «длина» $2q_0$ должны укладывать цельное число полувольns: $2q_0 = (n+1)\lambda/2$ ($n=0, 1, 2, \dots$). В качестве оценки скорости возьмем значение скорости при $q=q_0$, то есть $(q)_0 = 2\pi \hbar / \beta \lambda = \pi \hbar (n+1)/2\beta q_0$. Подставляя это значение в выражение для кинетической энергии, находим:

$$W_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2}.$$

Для полной энергии получаем:

$$E_n(q_0) = \frac{(\pi \hbar)^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2} + \frac{\gamma q_0^2}{2}.$$

При малых значениях $q_0$ энергия велика из-за первого слагаемого, а при больших $q_0$ — из-за второго. Примерное значение $q_0$, даше неименьшую энергию, получится, если приравнять оба слагаемых. Из этого условия находим:

$$q_0^2 = \frac{\pi \hbar (n+1)}{2\sqrt{\beta \gamma}}.$$

Подставляя в выражение для энергии, получаем:

$$E_n = \frac{\pi}{2} \hbar \sqrt{\gamma/\beta} (n+1) = \frac{\pi}{2} \hbar \omega (n+1) \quad (n=0, 1, 2, \dots).$$

Величина $\omega = \sqrt{\gamma/\beta}$ представляется собой частоту колблющей классического осциллятора.

При точном расчете для энергии получается:

$$E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right).$$

Таким образом, мы ошиблись в числовом множителе ($\pi/2$ вместо 1), а также в численном значении энергии в самом низшем состоянии, то есть при $n=0$ ($\frac{\pi}{2} \hbar \omega$ вместо $\frac{1}{2} \hbar \omega$). Но все остальное получилось точно! Теперь, когда результат получен, следует задуматься над тем, что мы использували для его получения и что вытекает из полученных нами выражений для энергии осциллятора и для величины $q_0^2$.

Прежде всего, мы применили к нашему осцилляту, не интересясь тем, как он устроен, принципы квантовой механики, установленные первоально применительно к электронам. Конечно, естественно ожидать, что общее принципы должны быть таким же и для других частиц, массы которых отличются от массы электрона. Действительно, такое обобщение с большой точностью подтвердилось опитом. Но почему эти принципы можно применять и к таким образом, как колбательный контур, где роль «координаты» играет заряд на обкладках конденсатора? Здесь мы подошли к важному предположению, которое шириоко использовано и используется в теоретической физике XX века. Если две системы имеют энергию, одинаково зависит от координат и скоростей, то такие системы обладают одинаковыми свойствами, несмотря на то, что «координаты» и «скорости» могут иметь совершенное разный смысл в этих системах.

Не было ни одного примера, где бы это предположение противоречило опиту. Поэтому мы вправе считать, что решили задачу о применении квантовой механики сразу для всех возможных осцилляторов.

Теперь подумаем, что ознакомит полученные нами результаты. Как они переходят в формулы классического механики? Прежде всего, мы

17

получили, что энергия изменяется не непрерывно, а порциями величины $\hbar \omega$. Правда, величина $\hbar$ очень мала, и для обычных макросоппических осцилляторов эта скачкообразность изменения энергии практически не наблюдается. Впрочем, есть такие особые макросоппические системы, где скачкообразность играет определенную роль (например, лазеры). Правильность получения нами выражения для энергии осциллятора проверена с большой точностью для многих видов осцилляторов.

Есть еще одно важное свойство квантового осциллятора, которое тоже нами получено. Когда энергия минимальная, классический осциллятор находится в покое в положении равновесия; между тем квантовый осциллятор в направлении наниизшем энергетическом состоянии совершает колебания (их называют «нулевые колебания»). Кинетическая и потенциальная энергия этих колебаний порядка $\hbar \omega$. При этом среднее значение координаты осциллятора равно нулю, а среднее значение квадрата координаты дается приведенной выше формулой для $q_0^2$. Это замечательное свойство квантовых осцилляторов хорошо проверено на опите и играет важную роль в современной физике.

Если рассмотреть звуковые колебания в твердом теле как квантовых осцилляторов, то мы получим, что при абсолотном нулев температуры atoms твердого тела не неподвижны, а совершают нулевые колебания. И этот факт был подтвержден опитами по рассеянию света при низких температурах! Если мы будем рассматривать электromagнитные волны, которые могут распространяться в пустом пространстве, как набор осцилляров, то мы придем к заключению, что в пустоте, даже когда в ней нет ни частиц, ни квантов, должны проискать нулевые колебания электromagнитного поля. И эти колебания также были обнаружены на опите!

Но это уже более сложный вопрос, который требует подробного обсуждения.

Понимание возникает в процессе работы

Мы введем обяснение несколько непонятных слов: квантование, волновой процесс, связанный с частицей, квантовый осциллятор и т. д. И начали действовать, не очень их понятия. Тем не менее мы нашли, как зависит энергия atoma водорода от квантового числа $n$; узналы, что квантовый осциллятор в наниизшем энергетическом состоянии колебляется, и даже стали применять результаты квантования осциллятора к такиму объекту, как колебания электromagнитного поля в пустоте. И в результате этих действия возникло хотя бы частиное понимание.

Итак, понимание возникает в процессе работы. Ведь если мы попытались добиться полного понимания до того, как начали наши процессы вычисления, ничего бы не получилось. Понимание возникает не скачком, а по мере продвижения в работе. Иhaoорот, работа продвигается по мере углубления понимания.

Для того чтобы достичь более глубокой понимания, надо самому решать задачи в данной области физики. Пассивное изучение дает только слабое представление о тех красотах, которые открываются при самостоятельной работе.

Задание наших читателей

1. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторона $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $G_a$, $G_b$ и $G_c$ соответственно. Вневписанные окружности касаются сторона $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $N_a$, $N_b$ и $N_c$. Пусть $r$, $r_a$, $r_b$ и $r_c$ — радиусы вписанной и вневписанных окружностей соответственно. Докажите следующие равенства:

$$\frac{1}{|AG_c| \cdot |G_c B|} + \frac{1}{|BG_a| \cdot |G_a C|} + \frac{1}{|CG_b| \cdot |G_b A|} = \frac{1}{|AN_c| \cdot |N_c B|} + \frac{1}{|BN_a| \cdot |N_a C|} + \frac{1}{|CN_b| \cdot |N_b A|} = \frac{1}{r^2};$$

$$\frac{|BN_a|^2}{r_a r_b} + \frac{|CN_b|^2}{r_b r_c} + \frac{|AN_c|^2}{r_c r_a} = \frac{1}{r^2};$$

(Окончание см. с. 25)

18

Р. Винокур

Домовой, колдун
и… резонатор
Гельмгольца

В рассказе А. Выоркова «Пустырь» *) можно прочитать о том, как некий Иван Павлович, желающий разбогатеть, наял артель каменщиков для постройки «доходного» дома и жестоко обманул их, выплатив лишь часть заработных денег. Однако «доходный» дом не принес мощеннику желанных прибылей — постепенно его покупили все квартиросъемщики. Их направл танистенный домовой, поселившийся в доме. Не помогла Ивану Павлович избавиться от «нечистой силы» и полиция.

*) А. Вьюрков. Рассказы о старой Москве. (М., «Московский рабочий», 1958.)

«… В квартиру выехавшего купца посадили на ночь двух городовых. Они уселись в кухне на пустые ящики, доставли «для храбрости» бутылку воды, колбасу и стали ждать «домового». — В случае, ежели что… — наставлял старший чин младшего, — ты его хватей, а я руки крутить буду.

«Засада» выпивала и прислушивалась. В квартире было тихо. На улице гудел ветер, выла собака, хлопала калитка уворот, и вдруг… в пустых комнатах кто-то вздохнул и завыл. Городовые переглянулись и, не пожевав колбасы, вскочили и вылетели на улицу легче пуха.

— Так точно… — дрожа от страха, доложил джурному старшой.
— Своими глазами видел, ваше благородие!… Голова у него — во! Хвост и рога — во!
После этого проискестия из дома выехало еще несколько живцов…».

Наступил срок уплаты процентов, денег не было. Ивана Павлович арестовал. И только много лет спустя строительный подрядчик, также когда-то обманутый Иваном Павловичем, раскрыл ему секрет:

«Это тебя, брат, Иван Павлович, каменщики подвели. Они тебе в стену бутылки пустые заложили, ветерокто в них и гудел. Поди их теперь ищи. Не придумаемы, где и стену ломать…»

Звучащие свойства пустых сосудов извесны давно. Так, еще в античном театре большие глиняные либо бронзовые сосуды использались для усиления голoca актера. Большое практическое применение в актические получили так называемые резонанторы Гельмольца — полости шарообразной или бутылочной формы с узким длиным горлом.

С помощью набора резонаторов Гельмольца (названных так в честь немецкого физика Гельмольца, создателя физической теории слуха) можно производить анализ сложных звуков. Действие резонатора основано на резонансе колебаний воздействия, заключенного внутри резонатора. Из всех колебаний, входящих в состав сложной звуковой волны, каждый резонатор сильнее всего откликается на частоту, равную собственной частоте колебаний воздействия в нем.

От чего и как зависит собственная частота колебаний резонатора Гельмольца? Если размеры резонатора малы по сравнению с длиной звуковой волны, его можно рассматривать как колебательную систему, аналогичную пружинному маятнику. Поскольку горло узкое, при колебаниях скорость движения воздействия в горле газадо большие скорости воздействия внутри полости, так что роль колеблющей массы играет, главным образом, воздействие в горле. Другими словами, кинетическая энергия колебательной системы сосредоточена, в основном, в горле. Упругой же энергий обладает воздействия, находящейся в горле намного меньше, чем в полости, изменением объема воздействия в горле при колебаниях можно пребречь и считать, что весь этот воздействие как единое целое — своевобразная «воздуная пробка», а объем воздействия в полости изменяется заметно. Таким образом, воздействие роль пружины в нашей колебательной системе.

Как известно, собственная частота колебаний пружинного маятника равна

$$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

20

воздуха в полости равно

$$\Delta p = \frac{|\vec{F}|}{\Delta S} = \Delta \rho c^2$$

— изменение давления пропорционально изменению плотности воздуха.

Тепер можно найти сили, действующего на «воздунуную пробку» со стороны воздуха в полости. При перемещении «пробки» на расстояние $x$ плотность воздуха внутри резонанта увеличивается на $\Delta \rho = \frac{\rho S}{V} x$,

а давление — на

$$\Delta p = \Delta \rho c^2 = \frac{\rho S c^2}{V} x.$$

Значит, на «пробку» площадь $S$ будет действовать сила упругости

$$|\vec{F}_{\text{упр}}| = \Delta p S = \frac{\rho S^2 c^2}{V} x.$$

Это означает, что поведение воздуха в полости аналогично поведениюружины с коэффициентом упругости

$$k = \frac{|\vec{F}_{\text{упр}}|}{x} = \frac{\rho S^2 c^2}{V}.$$

Следовательно,

$$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{2\pi} \sqrt{\frac{S}{Vl}}.$$

Оценим теперь резонансную часть точки колбаний воздуха в бутылке, рассматривая ее как резонантор Гельмогольца. К сожалению, нам не известны точные размеры бутылок, выпускаемых во время «дейтельности» Ивана Павловича. Поэтому для оценки предположим, что $S = 1$ см$^2$, $l = 5$ см, $V = 500$ см$^3$, скорость звука в воздуха $c = 340$ м/с. Подставляя эти значения в формулу для частоты, получим $v \approx 108$ Гц. Проверим, кстати, справедливо истинно предположения: длина звуковой волны в воздухе, соответствующая этой частоте, равна $\lambda = c/v \approx 3,2$ м и, следовательно, действительное наборы гармоничских колбаний различных частот (так называемых чис-

20

21

Овал, восьмерка, два овала…

В этой статье рассматривается примеры алгебраических кривых четверго порядка. Напомним, что алгебраический кривой n-zo порядка называется графикуравнения $p_n(x,y) = 0$, где $p_n(x,y)$ — многочлен n-ой степени от переменных $x, y$). Например, алгебраическая кривая первого порядка — это прямая линия; алгебраических кривых второго порядка является, в частности, эллипс, гипербола, парабола — известные вам кривы, обладающие рядом замечательных свойств **).

Более интересны, да к тому же не полностью изучены, кривы более высоких порядков. Достаточно сказать, что знаменитая «шестнадцатая проблема Гильберта» для случая кривы шестого порядка была решена лишь совсем недавно, а для больших порядков осталось много просто формулируемых, но нерешенных проблем. Об этом, однako, мы скажем подробнее в Последовии, а сейчас перейдем к обещанным примерам.

*) Вспомним, что такое степень многочлена от двух переменных. Степень одночлена $a \cdot x^k y^l$ называется число $k+l$ (например, $xy$ — одночлен степени 2). Степень многочлена называется максимальная степень входящих в него одночленов (например, многочлен $p(x, y) = x^3 + 2xy^4 + 11y^2 - xy$ имеет степень 5).

**) См. «Квант», 1975, №2 1, 3, 4.

Изменим однослово

Хорошо известно геометрическое определение эллипса: эллипс — это множество точек (на плоскости), с сумма расстояний от которых до точки $F_1$ и $F_2$ построена: $|MF_1| + |MF_2| = 2a$. Заметим в этом определении однослово:

$$|MF_1| \cdot |MF_2| = a^2.$$ (1)

Точки $F_1$ и $F_2$, как и у эллипса, называются фокусами. «Овал Кассини» появился на свет благодаря ошибке. Его «изобрел» знаментий французский астроном (итальянец по проискждению) Жан Доминник Кассини (1625—1712). Этот выдающей учены, член Парижской академии наук, директор Парижской общеватории, открывший врашение Юпитера и Марса, а также четырех спутника Сатурна, почему-то считал, что именно такой форму имеет орбита Земли. Дальнейшее развитие научки показало, что более верным ответом будет общий эллипс. Но овал Кассини остался жить. Дело в том, что он обладает одним замечательным свойством.

Обозначим расстояние между фокусами через 2c и составим уравнение овала Кассини в системе координат, в котором $F_1(-c;0)$, $F_2(c;0)$. Подставляя

22

$$|MF_1| = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}, \quad |MF_2| = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$

в равенство (1) и возводя в квадрат, после преобразования получим

$$(x^2 + y^2 + c^2)^2 - 4c^2x^2 = a^4.$$

Получилось уравнение четырех степени. Конкретный вид кривой зависит, размещается, от того, какие мы выберем значения параметров $a$ и $c$. Давайте, для примера, зафиксируем $a$ и будем увеличивать $c$ (можно поступить и наоборот: зафиксировать $c$ и уменьшать $a$—результат будет тот же; см. рис. 1). Тут-то и произойдет самое интересное: подобно куску теста, который растягивает в разных стороны, овал сначала удлинится, потом у него появится «талия», она будет становиться все тонше, пока, наконец, наша фигура не разорвется на две части, на два меньших овала. Более точного картина будет такой (рис. 2):

1. при $c=0$ — окружность;
2. при $0 < c \leq \frac{a}{\sqrt{2}}$ — выпуклый овал, пожожий на эллипс;
3. при $\frac{a}{\sqrt{2}} < c < a$ — овал с «талейй»;
4. при $c=a$ — «лежащая восьмерка» (она имеет отдельное название — лемисскама Бернулли);
5. при $c>a$ — два овала; один из них содержит внутри точку $F_1$, другой — точку $F_2$.

Указанное свойство «делимость» овалов Кассинни впервые обнаружил и детально изучил другой французский ученый — Жан Поль де Гюа де Мальв (1712—1785). Его работа была одной из первых работ, посвященных исследованию особых точек алгебраических кривых (особой точкой в данном случае является точка самопересечения при $c=a$). Воспел逮ии из таких работ родилась общирная ветвь современной математики — алгебраическая геометрия.

Второй пример

Рассмотрим теперь множество мочек $M$, для которых сумма величины, образных квадратам рассмотреной от

$$\frac{1}{|MF_1|^2} + \frac{1}{|MF_2|^2} = \frac{1}{b^2}.$$

Как и прежде, положим $|F_1F_2|=2c$. Подставляя в (2) формулы для $|MF_1|$ и $|MF_2|$, получаем уравнение $$\frac{1}{(x+c)^2 + y^2} + \frac{1}{(x-c)^2 + y^2} = \frac{1}{b^2}.$$

Контрольный вопрос. Почему уравнение (3) является уравнением четырех степени?

Полученная кривая своим поведением очень напоминает овали Кассинни. На рисунке 3 изображены последовательные «фазы деления», которые проходят кривая при увеличении параметра $c$ (параметр $b$ остается постоянным). Рассмотрим этот процесс чуть подробнее.