Квант 1979, №10 · Страницы

КВАНМ
10
1979

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Все эти фигуры получены преобразованием одной и той же модели, составленной из двенадцати стержней, скрепленных нитками. Автор этой модели В. Колейчук называет трансформируемый кубом. О том, как изготовить такой куб, рассказано на с. 58.

Основан в 1970 году
10
1979

Научно-популярный
физико-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академи педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-mатематической литературы

В НОМЕРЕ:

Главный редактор 2
акademik И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора 8
акademik А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков 20
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский 21
Н. Б. Васильев 21
Ю. Н. Ефремов 21
В. Г. Зубов 26
П. Л. Капицца 26
В. А. Кириллин 28
А. И. Климанов 28
С. М. Козел 28
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов 36
Н. А. Патрикеева 36
И. С. Петраков 39
Н. Х. Розов 39
А. П. Савин 40
И. Ш. Слободецкий 40
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский 49
В. А. Фабрикант 49
А. Т. Цветков 49
М. П. Шаскольская 54
С. И. Шварцбург 54
А. И. Ширцов 54

В НОМЕРЕ:

Лаборатория «Кванта»
Олимппада дома

Математический кругхок
Г. Шестопал. Как обнаружить фальшивую монету

Задачик «Кванта»
Задачи М586—М590; Ф598—Ф602

Решения задач М530, М531, М533, М534, М536, М537; Ф537, Ф542—Ф545

По страницам школьных учебников
М. Балк, Ю. Ломакин. Доказательство неравенств с помощью произвольной

«Квант» для младших школьников
Задачи

А. Дозоров. Можно ли носить воду в решете?

Практикум абитуриента
С. Овчинников. Если промежуток не замкнут…

Л. Асламазов. Закон сохранения импульса. Реактивная сила

Заочная школа программирования
Урок 3

Информация
О. Овчинников, К. Шимбирва, Ю. Широков, Г. Яковлев.
Всероссийская олимппада школьников

Н. Васильев. Задачи ресурсikanских олимппад

Наша обложка (с. 60)

Ответы, указания, решения
Смесь (с. 7, 14, 25, 38, 57)

© Главная редакция физico-mатематической литературы изда-
тельства «Наука», «Квант», 1979

2

Праздник твоого учителя

Партия и Советское правительство высоко ценят неутомимую, плодотворную деятельности учителей и выражают глубокую благодарность за их самоотверженный труд.

Из привствия ЦК КПСС, Преддиума Верховного Совета СССР, Совета Министров СССР Всегоизному съезду учителей.

В октября наша страна торжественно отмечает традиционный праздник — День советского учителя. Этот праздник — день цветов и улыбок, поздравительных слов и налучших пожеланий учеников своим наставником и воспитателем. Редакционная коллекция и редакция журнала «Квант» искренне присоединиются к темпам поздравлениям, адресованным слабой артиллерийной интеллигенции, школа вышла к главной задаче сегодняшнего дня — завершению программы всеобщого обязательного среднего образования, воспитанию гармоничской личности активного человека общества развития социальизма. За 1918—1940 года полную среднюю школе окончили около 1,5 миллиона человек, а за 1976—1978 года более 8,9 миллиона человек завершили среднее образование. Вдумайте в эти цифры! В них — яркая характеристика невиданного роста народного образования в СССР.

Мы уже привыкли к успехам советской школы, ее достижения стали для нас естественными, закономерными. В этом огромное завоевание социальизма — право на образование неотделимо от нашего бытия, невозможно представить себе наших детей, юношества без школи, без знаний. Иную картину представляют собойrealность капиталистического мира. По оценке зарубежной печати, в странах капитала около 300 миллионов детей школьного возраста не посещает школ. А вот, например, признание агентинской прессы: в стране из каждой четырех учащихся один вынужден уходить из начальной школе, не закончив даже второго класса; изста учеников лишь половине удается получить начальное образование. Причина? Тяжелое материальное положение семьи трудщихся, не позволяющее их детям посещать школьу.

Роль учителя в нашей жизни переоценить трудно. Ведь это на его глазах, под его непосредственным влиянием проходит самый ответственный период жизни человека — период возникания, становления личности. Рождение каждого нового гражданна Страны Советов, труденика и творца, в значительной мере неотделимо от кропотливого, понятие самоотверженного труда учителя. Именено поэтому учитель, педагог пользовется любым и уважением всех советских людей, а его профессиональный праздник стал понятие общенародным.

3

Но праздник наших учительей — это не только день поздравления и пожелания, сколько бы искренними они ни были. В этот день каждый ученик должен особенно четко и четно ответить самому себе на главный вопрос — все ли ты делаете для того, чтобы труд учитель был более эффективным, легким, радостным? Результаты труда учитель зависит не только от его таланта, знаний, опыта — они зависит от учеников, от их желания учиться, от их сознаательности и понимания дисциплины, от их воли и умения подчас делать не то, что хочеется, а то, что необходимо.

Состоящийся в мае с. г. IV пленум ЦК ВЛКСМ в своем постановлении «Об успешни работе комсомола по коммунистическому воспитанию учащихся общеобразовательных школ и подготовке их к труду» особое внимание обращил на необходимость «воспитать у учащихся понятие того, что получение всеобщего образования является гражданским долгом и жизниенной потребностью каждого молодого советского человека». Это прежде всего означает, что школьник не может быть пассивной стороне в процессе обучения, воспитания. Он должен активно способствовать созданию атмосферы творчества и занитересованности в области знаниями, принимающего реагировать на случай недисциплинированности, стремиться к глубокому внутреннему усвоению марксистско-леинского идеологии и коммунистической морали.

Особые поздравления редакционная коллегия и редакция «Кваента» адресуют сегодня дорогим коллегам — учитель математики и физики. Именно им миллионы школьников обязаны своим знаниями по этим предметам. И именно им тысячи и тысячи школьников обязаны своей любовью к этим наукам, своих первыми успехами. Подметить способности ученика, пробудить в нем интерес к предмету, направить его дальнейшие занятия, помочь превращению интереса к предмету в выбор профессии — сколько все это требуется труда, знаний, педагогического мастерства!

Многие скромные школьные учитель математики и физики внесли неоценным вклад в развитие этих наук — помогли талантливой молодежи найти свое признание, принять в большеную накуку. И нет более приятной, более высокой нагруды за труд учитель, чем достижения его ученика в математике или физике.

Пройдет не так уж много времени и сегодняшие старшеклассники — учитель «Кваента» окончат школа, выйдет на широкую дорогу самостоятельной жизни. Большинство из них выберет себе специальность, так или иначе связанную с физиком-mатематическими науками. Можно суверенностью сказать, что они оказывается достойными учениками своих учительей.

4

А. Ширцов, А. Никитин

Обобщенная сумма углов многогранника

В евклидовой геометрии важное место занимает теорема о сумме углов плоского многоугольника, поэтому естественно возникает вопрос о пространственном анализе этой теоремы. О таком анализе и о связанных с ним понятиях рассказывается в этой статье.

Мера $n$-гранного угла

Будем изучать плоские и многогранные углы следующим образом. Пусть $AOB$ — произвольный угол на плоскости. Построим окружность радиуса $r > 0$ с центром в точке $O$ и примем за метру угла $AOB$ величины отношения длины дуги $A'mB'$, находящейся внутри угла $AOB$, к длине всей окружности (рис. 1).

При таком изучении углов, например, метра угла в один градус равна $\frac{1}{360}$, метра угла в л радиан равна $\frac{1}{2}$, а известные теоремы о сумме углов треугольника и сумме углов выпуклого $n$-угольника формулируют с соответствием следующим образом: величины суммы углов треугольника равна $\frac{1}{2}$ и величины суммы углов выпуклого $n$-угольника равна $\frac{n}{2} - 1$.

Рассмотрим произвольный $n$-гранный угол. Вокруг его вершины (а в случае двугранного угла бокруг произвольной точки ребра этого угла) построим сферу и наозем метой $n$-гранного угла величины отношения площади части сферы, находящейся внутри угла, к площади всея сферы (рис. 2).

Если $n > 2$ и $A_1, A_2, \dots, A_n$ — точки пересечения $n$-гранного угла со сферой, то через $|A_1, A_2 \dots A_n|$ обозначим меру нашего $n$-гранного угла, а через $|\hat{A}_1|, |\hat{A}_2|, \dots, |\hat{A}_n|$ обозначим соответствию меры внутри

5

ренних двугранных углов $\hat{A}_1$, $\hat{A}_2$, …, $\hat{A}_n$ $n$-гранного угла.

Каждая из граней $n$-гранного угла пересекается со сферой по большей okружности и все грани $n$-гранного угла отсекают от сферы фигуру, которое обычно называют сферическим $n$-удольником (см. рис. 2).

На рисунках 3 и 4 показаны сферические 2-угольник и треугольники.

Мера двугранного угла, как видно из рисунка 3, равна мере его линейного угла. Из известной формулы площади сферического треугольника, которая дает нам выражение площади через величины углов, измеренных в радианной мере (см. «Квант», 1977, № 1, с. 9), переходя к нашим обозначениям, получим

$$2|ABC| = |\hat{A}| + |\hat{B}| + |\hat{C}| - \frac{1}{2},$$

где $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ — внутренние двугранные углы при ребрах $OA$, $OB$, $OC$ нашего треугранного угла.

Действительно, площадь фигуры $\Phi_1$, составленной из двух сферических треугольников $ADC$ и $A'D'C$, совпадает с площадью 2-угольника $C^*$), площадь фигуры $\Phi_2$, составленной из треугольников $AD'B$ и $A'DB$, — с площадью 2-угольника $\hat{B}$; фигура же $\Phi_3$, ограниченная получением $ABA'$ и $A'CA$, есть 2-угольник $\hat{A}$. Пересечение этих трех фигур $\Phi_1 \cap \Phi_2 \cap \Phi_3 = \Phi_1 \cap \Phi_2 = \Phi_2 \cap \Phi_3 = \Phi_3 \cap \Phi_1$ является интересующим нас сферическим треугольником $ABC$. Поэтому, вычисляя сумму площадей этих трех фигур, мы трижды, т. е. два лишних раза, посчитаем площадь треугольника $ABC$. Вычитая из этой суммы удвоенную площадь треугольника $ABC$, мы получим площадь видимой (на рисунке 4) получcfеры. Итак, $1/2 = |\hat{A}| + |\hat{B}| + |\hat{C}| - 2|ABC|$, т. е. справедлива формула (1).

Из равенства (1) следует, что сумма мер внутренних двугранных углов произвольного треугrahного угла на $\frac{1}{2}$ превышает его удвоенную меру.

*) 2-угольник мы обозначем так же как соответствующий двугранный угол.

6

Рис. 5.

Найдем теперь меры вЫ пук-лого $n$-гранного угла. Заметим, что всякий выпуклый $n$-угольник может быть разбит на $n - 2$ треугольника. Аналогично этому, всякий выпуклый $n$-гранный угол ($n > 2$) может быть разбит на $n - 2$ треугольных угла, а соответствующий сферический $n$-угольник разбиается при этом на $n - 2$ сферических треугольника (рис. 5). Применяя формулу (1) ко всем этим треугольникам и суммируя, видим, что для сфериского $n$-угольника $A_1A_2 \ldots A_n$, соответствующего неокторому выпуклому $n$-гранному углу, выполняется формула

$$|\hat{A}_1| + |\hat{A}_2| + \ldots + |\hat{A}_n| - 2|A_1A_2| \ldots A_n|$$

(to есть сумма мер внутренних двумерных углов $n$-гранного угла на $\frac{n}{2} - 1$ превышает удвоенную меру $n$-гранного угла (при $n > 2$).

Величину $|\hat{A}_1| + |\hat{A}_2| + \ldots + |\hat{A}_n| - 2|A_1A_2 \ldots A_n|$ в дальнейшем будет назвать избытком многогранного угла $OA_1A_2 \ldots A_n$.

Уражнение 1. Применяя формулы (1) и (2), найдем а) меру треугольного угла в вершинах куба; б) меру треугольного угла в вершинах правильного треугольника; в) меру четырехугольного угла в вершинах octаэдра.

Сумма углов многогранника

Рассмотрим теперь произвольный теграэдр. Обозначим через $\alpha_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$) величины его треугольных углов, а через $\beta_j$ ($j = 1, 2, \ldots, 6$) величины его двумерных углов. Избыток всякого треугольного угла равен $\frac{1}{2}$, поэтому сумма избытков всех треугольных углов составляет $\frac{6}{2} \beta_j - 2 \sum_{i=1}^{4} \alpha_i = 2$. Следовательно,

$$\sum_{j=1}^{6} \beta_j - \sum_{i=1}^{4} \alpha_i = 1.$$

Рассмотрим произвольную выпуклую $k$-угольную парамиду. Обозначим через $\alpha$ величины $k$-угольного угла (при вершине парамиды), через $\bar{\alpha}$ сумму величины всех двумерных углов при основании парамиды и через $\bar{\beta}$ сумму величины всех двумерных углов, образованных ее боковыми гранями. Как и в случае теграэдра, вычислим сумму избытков по всем вершинам парамиды.

Из формулы (2) следует, что $\bar{\beta} - 2\alpha = \frac{k}{2} - 1$, а из формулы (1) получаем, что $\bar{\beta} + 2\beta - 2\bar{\alpha} = \frac{1}{2} k$, поэтому,

$$\beta - \bar{\alpha} + \alpha = \frac{1}{2},$$

$$\beta + \bar{\beta} - (\alpha + \bar{\alpha}) = \frac{k + 1}{2} - 1.$$

Таким образом, из формулы (3) и (5) вытекает, что как для теграэдра, так и для любой выпуклой $k$-угольной парамиды разносить между суммой величины всех двумерных углов и суммой величины всех многогранных углов при вершинах есть величины, зависящая molко от числа гранями парамиды.

Рассмотрим теперь произвольный выпуклый многогранник с $n$ гранями (рис. 6). Выберем произвольную внутреннюю точку $A$ и соединим ее со всем точками ребер многогранника. В результате получим разбиение многогранника на $n$ парамид.

7

Заметим следующее: сумма величины всех многогранных углов этих парами с вершинами в точке $A$ равна 1; сумма величины всех трехгранных углов при основаниях парами совпадает с величины суммы $\varphi$ всех многогранных углов при вершинах многогранника; сумма величины двухгранных углов при основании парами из нашего разбиения совпадает с величины $\varphi$ всех двухгранных углов многогранника. Отсюда и из формулы (4) непосредственно получаем, что $1 - \varphi + \bar{\varphi} = \frac{1}{2} \cdot n$ или

Заметим, что требование выпуклости многогранника присутствуют лишь для простоты изложения. Обобщения в этом направлении читатель может получить самостояльно.

Teorema об обобщенной сумме углов tetraэдра впервые была доказана de Гюз в 1783 г., дальнейшие обобщения опубликованы Брианшоном в 1837 г.

Удивительное свойство формулы (4) состоит в том, что, в отличие от плоского случая, эта формула остается справедливой и в неевклидовой геометрии.

Уражнения

2. а) Найдите обобщенную сумму углов куба и дodeкадра. 6) Для этих многогранников найдите сумму мер многогранных углов при вершинах.

3. Используя формулу (1): вычислите сумму избытков многогранных углов выпуклого многогранника, у которого $P$ ребер и $B$ вершин. (Ответ. $P - B$.)

4. Выведите из упражнения 3 и формулы (6) знаменитию формулу Эйлера, связывающего число граней $\Gamma$, число вершин $B$ и число ребер $P$ вы пуклого многогранника: $P - B = \Gamma - 2$.

5. Приведите пример многогранника, для которого $B - P + \Gamma = 0$.

Список читателей, приславших правильные решения задач из Задачника «Кванта»

В этом номере мы публикуем фамилии читателей, приславших правильные решения задач М536—М544 и Ф533—Ф547 (жирные цифры после фамилий — последние цифры номеров решенных задач).

Математика

Н. Абдибеков (Аркальск) 6а; К. Абдухалков (Алма-Ата) 6—8; А. Адаев (с. Покровка АзССР) 7; З. Алавердян (Иджеван) 3; Ф. Алиев (Баку) 1, 3, 4; А. Андреасян (Бюрегаван АрмССР) 3; Р. Ардан (Львов) 6, 7, 1—3; К. Арстамян (Кафан) 7; Н. Арутиной (Киев) 2—4; П. Ахметевов (Москва) 2—4; А. Ахметхозин (Анджан) 6а, 7; А. Бадалян (пос. Берд АрмССР) 6—8; Б. Байсаколов (Алма-Ата) 6, 7; К. Бакланов (Тула) 6а, 7; А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 6—9, 1—4;

А. Барг (Николаев) 6, 7; А. Барышников (Москва) 6; Б. Бегун (Москва) 6, 2; А. Белода (Кривой Рог) 3; Н. Березовский (Черновцы) 2, 3; С. Берковайко (с. Котово Белгородской обл.) 3; С. Беспамятных (Артемовский) 6—9, 2; Н. Бовсунский (с. Путлович Житомирской обл.) 3; А. Борисев (Ленинград) 6, 8, 0, 3,4; Е. Бравый (Пермь) 6; А. Брациский (Волгодск) 6, 0; Я. Бретман (Киев) 3; А. Бурин (Москва) 6, 1, 4; Ю. Бусин (Черемхово) 7, 3; Э. Вайслер (Киев) 3; В. Бардаков (Таштагол) 6; С. Василовский (Ашхабад) 1; Н. Владимиров (Москва) 2, 3; А. Влэдеску (СРР) 7, 8, 0; Х. Воктор (Днепропедерский) 1, 3; А. Воронов (Москва) 6; М. Гаврилов (пос. Черноголовка Московской обл.) 6а, 7, 8, 1—4; Э. Гаджиев (Тбилиси) 6а, 3; М. Гайсинский (Ташкент) 4; Н. Гасилов (Баку) 7, 1, 3; А. Генин (Москва) 3; А. Генязок (Киев) 3; А. Гильман (Москва) 6, 7, 4; А. Гилок (Флорешты) 2; Л. Гимллин (Витебск) 6—8; Ю. Глухов (Шелково) 6, 7; С. Глушко (Дрогобыч) 3; О. Горбачев (Кустанай) 6, 3, 4; О. Гордиенко (Павлодар) 7, 8; М. Горлов (Белорец) 6; Л. Гринаш (г. п. Дятлово Гродненской обл.) 7; Н. Грипбер (Киев) 6, 7, 1; В. Губа (Вологда) 6—8, 1—4; С. Гузов (Львовский)

(Продолжение см. на с. 14)

И. Урусвский

Бег, ходба и физика

Может ли человек, связанный по рукам и ногам, бегать быстро «развязанного»? Может! Не верите? Давайте разберемся…

С точки зреня теории колебаний бег человека в системе координат, связанной с бегуном, есть простое болтание ногами. Таким образом, они при беге и ходбе выступают в роли мятников, соединенных шарниром с корпусом и колеблющся в поле тяжестки около своего положения равновесия — вертикального положения. Ноhora — это не «груз на неевесом нити», не математический мятник, который изучают в школе: масса ноги не сосредоточена в одной точке, а распределена вдоль всей ноги. Ноhora — это физический мятник.

Важнейшая характеристика всякого мятника — частота его свободных колебаний. Для математического мятника, как известно, частота свободных колебаний равна $v_0 = \sqrt{g/l}$ и зависит только от длины $l$ мятника. У физического мятника, в отличие от математического, частота свободных колебаний зависит не только от его длины, но и от распределения масс вдоль мятника: чем больше расположены массы к оси колебаний мятника, тем выше частота его свободных колебаний. Однако и для физического мятника частоту тоже можно записать как $v_0 = \sqrt{g/L}$, где $L$ — очень важная характеристика мятника — его приведеннаялина. Этолина такого математического мятника, который имеет ту же частоту, что и данный физический.

Для пропорционального сложных людей приведеннаялина должна пропорциональная росту. Поэтому частоты свободных колебаний

9

лог людей разного роста относится как корни квадратные из отношения (обратного) ростов. Это дает нам очень простой способ определения $v_0$ для человека любого роста. Достаточно изменить собственную частоту колебаний вшей собственнойоги. А это несколько: стоя на одной ноге, показайте, расслабив мышиы, другой и сосчитайте среднее число колебанийоги за одну секунду. Например, для человека, имеющего рост 175 см, частота оказывается равной 0,8 Гц. Так что для человека рост $h(\text{см}) v_0 = 0,8 \sqrt{175/h}$ (Гц).

Если ногу согласно как это бывают при беге, то приведенная длина ноги уменшится и частота свободных колебаний возрастет примерно на одну четверть.

При ходьбе ноги совершают вынужденные колебания под действием мыши. Известно, что при вынужденных колебаниях их размах зависит не только от величины силы, но и от частоты ее действия. Частоту, при которой получается наиболее размах, называют резонансной частотой.

Резонансная частота $v_p$ почти совпадает с частотой $v_0$ свободных колебаний мятника:

$$v_p = v_0 \sqrt{1 - \alpha^2},$$

где $\alpha = \frac{1}{2\pi} \ln n \approx 0,37 \lg n$, $n$ — число, показывающее, во сколько раз уменшается амплитуда свободных колебаний за один период. Амплитуда свободных колебаний ноги человека уменшается за один период приблизительно в два раза, так что в интервушем нас случае $n \approx 2$, $\alpha \approx 0,11$ и резонансная частота от собственной всего на 0,6%.

Ясно, что с точки зрения экономии сил выгоднее всего ходить, переставляя ноги с резонансной частотой. При таком темпе ходьбы запасаемая при подъеме ноги потенциальная энергия наиболее полным образом переходит в кинетическая в момент прохождения ноги через положение равновесия, а через четверть периода (через полшага) кинетическая энергия колебательного движения наиболее полно переходит в потенциальную. Максимальные значения потенциальной и кинетической энергии в этом случае почти одинаковы, и полнительная нагрузка на мышиы ног, связанная с необходимостью «болтать» норми при ходьбе, минимальная.

Люди действительно ходят, переставляя ноги с резонансной частотой. Отклонения «работей» частоты от резонансной весы не велики. Иясно почему: чем больше это отклонение, тем больше добавочная нагрузка на мышицы, связанная с предоленением инерции ноги при сильном быстро темпе ходьбы или с предоленением действующей на ноги силы тяжести при сильном медленном темпе.

Ситуация совершенного аналогична знакомой всем практике раскачивания на качелях: сравнительно легко раскачать качели на их резонансной частоте, но если вы будете пытаться раскачать их с частотой, скажем, вдвое больше, то быстро устанете, а качели практические не сдвинутся с места.

Теперь понятно, почему человек, если требуется идти быстрое, прежде всего уvelичивает ширину шага, а не темп ходьбы. Скорость движения при этом возрастает, а резонансная частота колебаний ноги изменяется очень мало: из физики известно, что резонансная частота почти не зависит от размера колебаний.

Кроме уvelичения ширины шага, есть еще один резерв уvelичения скорости хода: сгибание ноги в колене в то время, когда она оторвана от земли. На ширине шага это, конечно, не отражается, а резонансная частота при этом возрастает, и человек, «подстроив» таким образом резонансную частоту своих ноги к более высокому темпу ходьбы, может идти быстрое.

Руки человека также приспособлены для ходьбы. Поскольку ноги движутся в двух разных параллельных плоскостях, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, движение ноги вызывает момент сил, стремящейся повернуть корпус человека вокруг вертикальной оси. Чтобы сохранить прямую походку, люди размахивают руками «навстречу» движению ноги. При таком движении рук возникает момент сил, противоположный момент силы, обусловленному движению ноги, и компенсирующий его. Задно уменшаются

10

смещения по вертикали центра тяжести тела и связанная с этим работа: ведь разделение нор при ходьбе смещает центр тяжести вниз, а разделение рук — вверх. Конечно, человек может сохранять прямую положку и не размахивая руками, но лишь ценой дополнительного напряжения мыши, а это невыгодно.

Размахивать руками при ходьбе легче всего, если резонансные части колебаний рук и ног одинаковы. Оказывается, эти частоты действительно совпадают. Более того, если человек «подстраивает» резонансную часть колебаний ног подускренный темп движения, сибая их, при этом он соответствен сибает и руки, поддерживая тем самым равенство резонансных частот колебаний рук и ног.

Чем больше скорость ходьбы, тем сильнее прихождения сибать ноги (и руки), чтобы «подстраивает» резонансную часть колебаний ног подужаемую длину ноги, вам не удался (таково уж устройство ног). Значит, нельзя увеличить частоту резонансных колебаний ног более чем в $\sqrt{2}$ раз. (А если учеть, что во время отталкивания от землиhora должна быть пряной, то станет ясно, что «козффициент увеличения» зависит меньше $\sqrt{2}$.)

Итак, «подстройка» резонансной части под темп ходьбы или бета возмножна лишь в довольно ограниченных пределах. И когда прихождения бекать в быстром темпе, то запасаемой при каждом подъеме ноги потенциальной энергии неxbатает для сообщения ноги во время отталкивания от земли нужной кинетической энергии колебательного движения. Восполнять ее недостачу прихождения за счет работы мыши. А требуемая кинетическая энергия быстро растет с увеличением скорости: она пропорциональная квадрату скорости движения бегуна. Если же учеть, что при той же ширине шага скорость пропорциональная числу шагов в секунду, то выходит, что энергия, «попусть» затрачиваемая на «болтание» ногами при быстром темпе движения, пропорциональная третьей степени скорости. Это означает, что увеличение скорости бета всего на 10% требует увеличения затраты энергии на одну третье, а двукратное увеличение скорости потребовано бы восмноженного увеличения затрачиваемой энергии. Что же касается требуемых сил, с которых мыши должны пройти в движение ноги при быстром темпе, то они пропорциональны квадрату скорости.

Такая резкая нелинейная зависимость затрата энергии от скорости объявления сравнительно небольшой разрыв в скорости бета на коротке дистанции между рекордсменами и простого хорошим легкоатлетами. Вот почему так трудно «выжать» лишние доли секунд на стометровке. Кстати сказаать, это также объясняет, почему при бете на длиные дистанции, когда особенно нужно беречь силы, люди предпочтают бежать, делая сравнительно большие пряжки, но переставляя истин с частотой, близкой к резонансной. И это несмотряна то, что каждое подрыгивание требует дополнительной затраты энергии.

Для нахождения количество сил, которые должны развивать мыши, от частоты перестановки ног нужно, кроме частоты свободных колебаний ног, знать еще и степень затухания этих колебаний. У человека амплитуда колебаний ног уменьшается примерно в два раза за один период. Сила мыши, движущая ногу вперед и назад, действует периодически, притом можно приближенно считать, что она меняется по синусoidальному закону. Эти данные дисстановно, чтобы полезь известиыми формулими теории колебаний, расчитать силу, необходимую для любого темпа ходьбы.

Результаты расчеты приведены на графике. Видно, что требуемая сила имеет минимум при частоте перестановки ног, равной резонансной, и резко возрастает при отклонении от этого значения. График наглядно показывает, насколько выгоднее ходить, переставляя ноги именно с резонансным

11

График зависимости сил, приводяших в движение ноги, от темпа ходьбы. Здесь $v$ — частота колебаний ноги при ходьбе, то есть число шагов одной ноги за секунду; $v_0$ — резонансная частота колебаний ноги. По вертикали отложена величины, показывающая, во сколько раз больше силы должны создавать мышцы по сравнению с ходьбой на резонансной частоте.

ной частотой, и как καταстрофические возрастает требуемая сила с увеличением темпа ходьбы. Так, например, при увеличении частоты колебаний ноги вдвое по сравнению с резонансной частотой, то есть при двукратном увеличении числа шагов в секунду, сливая нагрузка на мышцы ноги при той же ширине шага возрастает в 14 раз! Уже при отклонении темпа ходьбы всего на 10% от резонансной частоты требуемая сила заметно возрастает. Отсюда ясно, почему люди идут, стрательно придерживая своей резонансной частоты: так легче ходить. (Качественное приведение зависимости сохраняется и в случае бета. Нужно только учитывать, что резонансная частота при бете из-за сгибания ноги в коленях несколько выше, чем при ходьбе).

Чем меньше приведение длина ноги при той же их длине (пraktическая — чем тонше делаются ноги книзу и чем резце происходит уменшение их толщины сверху вниз), тем больше резонансная частота колебаний ноги и тем больше скорость при тех же условиях может развивать их обладаться. С другой стороны, чем легче ноги, тем меньше усилий требуется от мыши ноги для движения с той же скоростью (поскольку сила пропорциональная весу ноги). Именно поэтому все быстроigne животные (антилопы, гепарды, скаковые лошади, борзые собаки) имеют сильно утончающесся книзу и сравнительное легкие ноги.

Правда, второе условие имеет меньше значения по сравнению с первым, поскольку решающую роль в быстроте бета играет резонансная частота колебаний ноги. Например, слоны с их массивными, но сравнительно стройными ногами бегают довольно резво, а в Индии выражение «походка, как у слона» — высшая похвала.

Да что там слоны и антилопы! Попробуйтека договора обыкновенного поросенка, который задался целю убежать от вас. Форма ноги поросенка — того, что в обиходе называют окороком,— характеризуется очень резким уменшением толщины ноги сверху вниз. Окорок нужен поросенку вовсе не для того, чтобы из него делали ветчину, а чтобы резонансная частота ноги была pobлше. Короткие ноги поросенка имеют настоящее высокую резонансную частоту, что позволяет ему конкурировать в скорости бета с человекам, ноги которого гораздо длине.

Итак, решающую роль в быстроте бета и ходьбы играет резонансная частота колебаний ноги. Естественно, возникает вопрос: а нельзя ли ее увеличит? Сделать это было бы веса заманчиво: увеличение резонансной частоты позволяет бы лодать и бегать быстрое.

В принципие возможны по крайней мере два способа решения проблем. Первый способ — увеличить силу земного тяготения повлекло бы за собой увеличение резонансной частоты колебаний ноги в $\sqrt{2}$ раз. Правда, увеличить силу земного тяготения, мягго говоря, не так просто, а главное, пожалей, и не стоит. Но для космонавтов, которые когда-нибудь будут разгульивать по другим планетам, во-

12

прос о зависимости резонансной части колебаний ног от ускорения силы тяжестии носит далеко не академический характер: ведь на каждой планете свое ускорение силы тяжестии.

Второй способ решения проблем несравнено прошше. Если запасаемой при каждом подьеме ноги потенциальной энергии не хватает для сообщения norte требуемой скорости колебательного движения, то, связав ногиластичным резиновым шнуром или присоединив к ногам каким-либо иным способом упругие элементы, стремится возвратить в положение равновесия отклонению от этого положения ногу, мы тем самым увеличим потенциальную энергию, накопливаему (за счет кинетической) при подьеме ноги. В результате уменышится бесполезная добавочная нагрузка на мышицы, связанная с необходимостью предолевать инерцию ног при ходьбе и беге. Прикрепленные к ногам упругие элементы будут игrate роль резервуаров потенциальной энергии, пополняемых и опустошаемых движжды за каждой перiod колебаний, и, как во всех колебательных системах, они будут повышать резонансную часть колебаний. Чем больше упругость этих элементов (например, чем только связывающий ноги резиновый шнур), тем выше резонансная часть. Значит, чтобы ходить и бегать быстрее, нужно… связать ноги (разумется, упругой связи).

В одной стороны немецкой сказке повестиется о человека, который мог бегать на редкость быстро. Чтобы ходить с нормальной скоростью, он привязвал к ногам гири. Скород знал, что делал. Ведь тем самым он уvelичивал приведенную длину ноги, следовательно, уменышал их резонансную часть колебаний, а вместе с ней — и скорость хода. А вот если бы вместе гирь он прикреплял к ногам упругие элементы, то бегал бы еще быстрее. Впрочем, можно подозреть, что секрет быстроого бета скорохода как раз и состоит в том, что его ноги имели города более высокую резонансную часть колебаний, чем у других людей.

Любой здоровый человек может стать скороходом, повышив с помощью упругих элементов резо-нансную часть колебаний.

Представим себе такое человек, принимающего участие в легкотлетических состояниях. Перед стартом он связывает себе ноги и, чтобы как-то объяснить свое страное поведение, скромно посягет судьям, что он-de бегает очень быстро и, чтобы не убегать слишком далеко от своих соперников, имеет общиховение слегка связывать ноги. Заняв свое место на старте, наш спортмен с некоторым усилением отводит одну ногу назад, тем самым «заряжая» ее потенциальной энергейой. Как только в момент старта он отрывает эту ногу от земли,hora «выстреливается» вперед, как из рогатки. Кстати, при этом сокращается и время разгона. Конецно, бегун со связанным ногами придет к физишу первым. Вот только остановиться ему будет труднее, и он пробежит несколько лишних шагов: ведь связанныеластичной резинкой ноги «бегут сами». Кстати, уж если бы последовательным до конца, то с целью облегчения бета следует прикреплять упругие элементы и к рукам, которые, как уже было отмечено, играют определенную роль при ходьбе и беге. Это можно сделать, например, привязав руки (повышшее кисти) к поясуластичными резинками. Общий выбор таких: если «связывать» человек по рукам и ногам, он будет бегать быстрее.

13

Когда я изложил эти сообщения своим товарищам по работе, они посмеялись, но согласились со мной, а самый решительный из них, заявив, что нечего тянут резину, пошел к экспериментаторам и принесот них резиновый амортизационный канат. Такой канат состоит из множества тонких эластичных резинок. Нарезав эти тонкие резинки на куски длиной по 75 см, мы изготовили из них несколько жгутов-колес топшной примерно в один сантиметр. Техника изготовления была простой: из каждого куска, связав его концы, сделали колюц, а из семи-восьмидесятков таких колц составили одно толстое колью-жгут. Дабы жгут не рассыпался, его пришлось перезать в несколько местах (точно также, как переявывалот прутья при изготовлении веника).

Если такое колюц надеть на обе ноги, то в положении, когда ноги составлены вместе, колюц оказывается нерастутым, но будет плотно обхватывать ноги, не провисая. При ходьбе или беге оно будет периодически растягивать. Возникающие при этом упругие силы будут стремиться возвратить ноги в положение равновесия, что и приведет к повышению резонансной частоты колебаний ног. Однако такое колюц, обхватывающее ноги на уровне икр, повышает резонансную частоту в полтора раза.

Чтоы колюц не перегигавало кровеносные сосуда, мы надевали его поверх жестких повязок, сделанных из картона или другого подходящого материала. Наконец, чтобы колюц не съездало с повязок (вверх по ноге), мы прикрепляли его к повязкам в двух точках, а другие две точки колюца соединяли бечевками с обувью. Бечевки превращаются смесению точек колюца, к которым они были прикреплены, вверх по ноге, но не стесняли движения колюца в горизонтальной плоскости, поскольку угол между бечевкой и ногой всегда мал и бечевка остается практическим параллельной ноге.

Резиновые колюца можно надевать на ноги как выше, так и ниже колен — в любом случае резонансная часть колебаний ног будет возрастать. Но поскольку кинетическая

14

Список читателей, приславших правильные решения задач из Задачника «Кванта»

(Начало см. на с. 7)

2—4; В. Дашевский (Москва) 7; В. Джалоян (с. Урцадзор АрмССР) 7, 8; В. Добров (Ангарск) 2; С. Довбыш (Москва) 6—9, 1—3; А. Дорозовцев (Киев) 2; А. Дубинский (Москва) 2; К. Дубровский (Славянск) 3; Д. Дужчев (с. Махмудавар АзССР) 2, 3; Д. Дунцев (Масалынский р-н АзССР) 7; И. Елишевич (Чернигов) 6, 7; А. Ермолин (Петрозаводск) 6—8, 1, 3, 4; А. Забаринов (Заволжск) 3; И. Зверович (Минск) 6, 7; М. Зламоустовский (с. Правая Хава Воронежской обл.) 3; Зозуля (Баку) 6а; В. Золоматевский (Киев) 1, 3, 4; К. Ильин (Вильнюс) 7; Ф. Кабдыкаиров (Алма-Ата) 6—8, 3; А. Кадаманов (Белорек) 6, 7; П. Калужин (Москва) 1—4; Р. Камалян (Ереван) 7, 2, 3; А. Канель (Москва) 6—8; А. Каплан (Сумгант) 6а, 7, 8, 1—4; А. Келарев (Свердловск) 6, 7, 1—4; Е. Кнаус (Павлодар) 6; А. Коран (Москва) 6, 7, 9; Д. Коломиццев (Сумгант) 6а; А. Коломицев (Ангарск) 6, 7; И. Колаков (Сочи) 7, 3; Ю. Кондрахин (Новосибирск) 7, 2; М. Концевичи (Химки) 6—9, 1, 3, 4; Д. Корнеев (Саратов) 2; А. Король (Ташкент) 6, 7; О. Кравец (Воронеж) 6а, 7, 8, 2; И. Кроунк (Львов) 6; О. Крылов (В. Устюг) 6, 7, 4; И. Кузь (Львов) 6а, 1;

Е. Кузьмин (Черповец) 6; А. Кулеско (Донецк) 6, 8, 9; В. Кухарчик (с. Малый Шпаков Ровенской обл.) 6, 3; А. Кушнеров (Москва) 6, 7; А. Куши (Днепропетровск) 7; Б. Лапидус (Москва) 66; Ю. Лапусма (Терпололь) 6а, 7; Б. Лейтес (Москва) 6, 7, 3, 4; А. Липин (Ленинград) 8, 1, 3; С. Лоунов (Москва) 7, 8; А. Лукашов (Лебедин) 6; Ю. Макаров (Ленинград) 1; Г. Малхасян (с. Цалка ГрССР) 7; Р. Мамедов (Баку) 6, 7, 1, 3; М. Марьянович (СФРЮ) 3; А. Меегрецкий (Ленинград) 2—4; М. Мелamed (Запорожее) 2; В. Мельник (Гайсин) 6а, 7, 3; Г. Мильников (пос. Черноголовка Московской обл.) 1; А. Миндлин (Саратов) 6, 8; С. Мокроусов (Ленинград) 4; Г. Молчанов (Саратов) 2; С. Морейно (Москва) 6, 7; П. Мулин (Иркутск) 6а; Р. Набоков (Саратов) 2, 3; Н. Назнибида (Черновцы) 3; О. Назавов (с. Фахрало ГрССР) 6а, 7, 3; Н. Низкарадзе (Тбилиси) 3; А. Николаев (дер. Октябрь ТАССР) 7; А. Нинцевский (Воронеж) 3; С. Новаковский (Саратов) 2; С. Новиков (Херсон) 6а, 9, 3; В. Ольхов (Горький) 3; А. Опарин (Горький) 6—8; А. Павлцев (Рига) 6, 7, 2; Е. Палош (Ворошиловград) 3; М. Панмаев (Москва) 1; А. Панмелев (Ростов-на-Дону) 7; А. Пашкевич (ПНР) 2; В. Пашенко (Киев) 6; К. Пелих (Павловский Посад) 6, 7; Г. Пельц (Ленинград) 7; Г. Перельман (Ленинград) 8; (Продолжение см. на с. 25)

15

На пути к энергетике будущего

Развитие цивилизации неразрывно связано с увеличением производства энергии. Наноблее заманчивым путем является использование энергии синтеза ядер тяжелого водорода, запасы которого необходимо велики (см. «Физика-10», § 145). При этом проискодят следующие реакции:

$$\text{1H}^2 + \text{1H}^2 \rightarrow \text{2He}^3 + \text{0n}^1,$$

(1)

$$\text{1H}^2 + \text{1H}^2 \rightarrow \text{1H}^3 + \text{1H}^1.$$

(2)

В первой их них два ядра тяжелого водорода превращаются в ядро легкого геля и нейтрон, во второй — в ядро сверхтяжелого водорода и протон. Одновременно освобождается большое количество энергии. Еще больше энергии можно получить за счет реакции между тяжелым водородом и искусственно созданным сверхтяжелым водородом:

$$\text{1H}^2 + \text{1H}^3 \rightarrow \text{2He}^4 + \text{0n}^1.$$

(3)

Так как atomные ядра имеют положительные электрические заряды и отталкивают друг друга, реакции синтеза могут идти только в веществе, ядра которого обладают большой кинетической энергейой, достаточно для совершения работы против сил отталкивания. А это значит, что указанные ядры реакции могут реализовать, когда вещество нагрето до очень высокой температуры. Поэтому такие реакции называются термодерными. Для осуществления интегированных термодерных реакций (1—2) нужно нагревать тяжелый водород до несколько сотен миллионов градусов и поддерживать такую температуру хотя бы в течение нескольких секунд. Реакцию (3) можно наблюдать при температуре около 100 миллионов градусов. При таких температурах вещество переходит в состояние плазмы — atoms водорода распадаются на составляющие их электроны и atomные ядра. Для того чтобы плазма нагреенно «не убежала» на холодные стены окружащего ее сосуда, надо поместить ее в магнитное поле. При этом слала Лоренца, действующая на каждую заряженную частьцу, заставит ее «навивать» на линии магнитной индукции, преястствуяуходу части на стенки сосуда (см. «Физика-9», § 93).

Создание термоядерного реактора является чрезвычайно сложной научно-технической задачей. Учены и инженеры уже почти трицать лет занимаются попсками путье ее решения. Наноблее заманчивым путем является использование энергии синтеза ядер тяжелого водорода, запасы которого необходимо всего лишь один виток. Этот виток образован замкнутой колцевой камерой в форме тора (бублика). Камеру заполняется водородом при низком давлении. Пропуская ток большой силы по первичной обмотке такого трансформатора, вызвывает электрический пробой в заполняющем камеру газе. Водород NONизуется, а текущий через него вторичный ток нагревается его до очень высокой температуры. Колцевой ток под действием магнитных сил стягивается в тонкий плазменный шур, так как параллельные одинаково направленные токи пригиваются (см. «Физика-9», § 88). Для успешного изоляции водородной плазмы используется дополнительное магнитное поле, создавшее электромагнитом, катушки которого намогают на внешнюю поверхность тора. Слово «токамак» образовано от первых слотов названной основных элементов установки (ТОрондальная КАмера в МАГнитном поле). Сейчас в различных странах работает более 50 токамаков.

Есть принципиальное понятие путь к управляемым термоядерным реакциям. Термоядерный синтез может быть осуществлен на основе периодических микроверзивов небольших порций твердого термоядерного топлива (водорода). Лучи мощного лазера или плотные пучки электронов,ускоренных до скорости, близких к скорости света, в принципике, могут скимать и нагревать твердую миньень с термоядерным топливом до таких высоких значений плотности и температуры, при которых термоядерная реакция успешает пройти в веществе минения за доли наносекунд. Этот путь также исследуется советскими учеными.

В нашей стране работает по управляемым термоядерным реакциям ведутся широким фронтом. В этом фотоочерке расскажется о некоторых термоядерных исследованиях, осуществляемых в Институтеatomной энергии имени И. В. Курчатова. Фотографии выполнены В. Ободзинским.

Читательям, которые хотели бы детальнее познакомиться с рассматриваемыми здесь проблемами, рекомендуем стать:

В. Кадомцев. Путь к термоядерной энергетике. «Наука и жизнь», 1976, № 1, с. 44; В. Кадомцев. Физика токамаков. «Природа», 1979, № 2, с. 21.

16

Рис. 1. Одной из крупнейших в мире термоодерных установок является «Токамак-10», вступивший в строй в 1975 году. Термература плазмы в нем достигнет 13 миллионов градусов. Плотность плазмы близка к ее значению у будущих технческих термоодерных реакторов. Для создания таких реакторов, в принципие, достаточно значительное увеличить размеры торидальной камеры. Поэтому «Токамак-10» можно считать прообразом будущих термоодерных электростанций.

Рис. 2. В последнее время разработывается метод дополнительного нагрева плазмы с помощью «приискивания» в нее ядер водорода, разогнанных до высоких скоростей на специальныхускорительных устройства. В высокотемпературной плазме также частицы образуют еще более горячую компоненту.

Стакливаясь с частицами более холодной компоненты, они отдают им часть своей кинетической энергии, тем самым повышая температуру плазмы. Подобный способ нагрева плазмы изучается на изображенной здесь установке «Токамак-11» с двумя инженерами (приискивающими)ускоренных ядер водорода.

Рис. 3. На установке «Токамак-3» исследуется еще один способ дополнительного нагрева водородной плазмы — с помощью электромагнитных колебаний высокой частоты. Как показывает расчеты и эксперименты, энергия таких колебаний в конце концов переходит в кинетическое энергию части плазмы.

Рис. 4. В обмотках электромагнитов, создающих изолирующее магнитное поле, теряется много энергии, расходуемой на нагревание проводов. В установке «Токамак-7» испытывются обмотки из сверхпроводника, который охлажден до температуры жидкого геля, равной 4,2 К. В сверхпроводящих обмотках нет потерь энергии на нагревание проводов. Поэтому они будут использоваться и на будущих термоядерных электростанциях. По своим размерам «Токамак-7» близок к «Токамаку-10».
На рисунке вопросзведена только главная его часть — торидальная камера со сверхпроводящей обмоткой.

Рис. 5. Плазму можно нагревать до огромной температуры лишь при высокой степени ее чистоты. Далее десять доли процента примеющейяжелых элементов (Mo, Cr, Fe), которые попадают в плазму со стенок камеры, не позволяет «зажчь» термоядерную реакцию. На установке «Токамак-4» ведутся исследование по предварительной очистке стенок камеры нагреванием ее до температуры 800—1000°С. На установке «Токамак-12» (см. рис. 6) создана специальная конфигурация магнитного поля, которая позволяет отводить загрязненную плазму с поверхности плазменного шнура в специальное устройство — дивертор, где она осаждается на стенки. Так защитают более глубокие слоны плазмы от загрязнения. Траектории движения частиц плазмы в диверторе видны на рисунке, помещенном на первой странице обложки.

Рис. 6. Для того чтобы термоядерный реактор произвел значительное количество энергии, необходимо не только нагреть плазму до гигантской температуры, но и сохранить такую температуру до тех пор, пока прореагирует заметная доля atomных ядер. Время жизни горячей плазмы зависит от геометрики камеры. Эта зависимость изучается на установке «Токамак-12», где плазменный шнур имеет в своей сечении форму овала.

Рис. 7. Установки «Токамак» — не единственный тип устройств, на основе которых ученые надeiотся создают термоядерный реактор. Другой тип термоядерных устройок — ловушки с магнитными пробками. Частцы плазмы удерживают в них благодаря отражению от «магнитных зеркал» — обладает с повышенной индукцией поля, в которых происходит гушение силовых линий. На рисунке представлена одна из таких устройок «Огра-3Б».

Рис. 8. Установка «Ангара-1» используется для нагрева плазмы лучком электронов,ускоренных до околосветовых скоростей. Она создает импульсы электронов с энергий порядка 2,5 Мэв при токе до 400 кА. Длительность импульса 6·10⁻⁸ с. На рисунке показан высоковольтный генератор устройки.

20

Лаборатория «Кванта»

Задание 1
Определите плотность неизвестной жидкости.

Оборудование: сосуд с водой, сосуд с неизвестной жидкостью (с растором соли), мензурка, пробирка.

Задание 2
Сравните коэффициенты поверхности натяжения воды и мыльного раствора.

Оборудование: стеклянная трубка, пластинн, кусок проволоки, сосуд с водой, сосуд с мыльным раствором, линейка.

Задание 3
Определите разрешающего способность глаза и исследуйте ее зависимость от диаметра отверстия в экране, помещенном перед ним.

Оборудование: лист миллиметровой бумаги, лист белой бумаги, игла, рулетка или метровая линейка.

21

Г. Шестомал

Как обнаружить фальшивую монету

Представьте себе, что на стол высыпана кучка совершенного одинаковых по виду монет, но вам сказали, что одна из этих монет — фальшивая. Она отличается от остальных монет по весу, но вам не сообщили, легче она или тяжелее. В вашем распоряжении имеются часочные весы без гриб. Как нужно действовать, чтобы выделить эту монету и выяснить ее тип (то есть узнать, легче она или тяжелее) за минимальное число взвешивания?

Многие из вас, наверное, уже решали эту задачу для 12 монет. На рисунке приведено одно из решений этой задачи. Тем возможным исходом первого взвешивания соответствует три различных варианта выбора монет для второго взвешивания. (На рисунке монеты переумерованы, буквы л и т ознакомятся соответственно, легкая и тяжелая.)

Характерной особенностью этого решения является зависимость выбора монет для очередного взвешивания от результата предыдущего.

Поставим теперь задачу в общем виде.

Имеется $m \geq 3$ одинаковых по виду монет. Все монеты, кроме одной, имеют одинаковый вес, а одна отличается от них по весу, но неизвестно, в какую сторону. Каким наименьшим числом взвешивания на часовых весах безzip можно найти эту монету и выяснить ее мин? *)

Эта задача более трудится лет назад прилекла к себе внимание многих математков, главным образом:

*) Очевидно, для значений $m < 3$ задачу не имеет смысла решать: при $m = 1$ монета будет фальшивой, но неизвестного типа; при $m = 2$ монеты будет иметь разный вес, и выбрать из них фальшивую невозможно.

22

зом в Англии и США. В 1945 году в английском журнале «The Mathematical Gazette», пожемем по своему направлению на «Квант», появилось решение этой задачи. Его автор Р. Л. Гудстейн впоследствии стал известным специалистом в области математической логики.

Гудстейн указывает метод определения фальшивой монеты и ее типа за $n \geq 3$ взвешиваний, если число монет

$$m \leq \frac{1}{2} \left( 3^n - 2n + 3 \right)$$

(заметьте, что для $n = 3$ $m \leq 12$).

Однако оказалось, что для $n > 3$ его решение не является лучшим: за $n$ взвешиваний можно выделить фальшивую монету и определить ее тип из большого числа монеты:

$$m \leq \frac{1}{2} \left( 3^n - 3 \right).$$

Это обнаружили незначимую друг от друга сразу несколько математических, и в следующем 1946 году тот же журнал опубликовал довольно длинный перечень их имен и разных ступеней успеха, доступных на поршше розыска фальшивой монеты. В этом же номере журнал напечатано самое лучшее решение – решение Ф. Дж. Дайсона, будущего известного физика-теоретика.

Идея Дайсона основана на использовании троичной системы числения: все монеты маркируются специально выбранными троичными числами – маркерами, позволяющими удобно отражать ход последовательных взвешиваний. Особенно привлекательным при этом методе решения оказывается независяимость выбора монеты для последующего взвешивания от результата предыдущего.

В последующие годы были напечатаны другие решения этой задачи *), а метод Дайсона был незаслушен забыт.

Позному интересно расссказать о нем подробно.

Все решения Дайсона можно разбить на два этапа.

*) Налример, в книге А. Яглома, II. Яглома «Вероятность и информация» (M., «Наука», 1973).

А. Если

$$m = \frac{1}{2} \left( 3^n - 3 \right), n = 2, 3, \dots,$$

то для выделения одной фальшивой монеты из общего числа $m$ монет и определения ее типа достаточно произвести $n$ взвешиваний.

B. Если число монет

$$m < \frac{1}{2} \left( 3^n - 3 \right), m \geq 3,$$

то для достижения той же цели $n$ взвешиваний также будет достаточно.

Рассмотрим каждый этап в отдельности.

Первый этап

Пусть число монет $m = \frac{1}{2} \left( 3^n - 3 \right)$.

Рассмотрим все $n$-значные числа (наборы из цифр 0, 1, 2) 00 … 00, 00 … 01, …, 22 … 22. Их $3^n$. Используем их для маркировки монет следующим образом: в качестве маркеров возьмем все числа, за исключением трех, состоящих из одинаковых цифр: 0 … 0, 1 … 1, 2 … 2.

《Построим》 все маркеры в пары: в одну пару «поставим» два дополнительных маркера – таких, у которых цифры соответствуют 2 (другими словами, дополнительными будет те маркеры, сумма которых равна 22… 22).

Назовем маркер правим, если в нем первая слава пара неравных цифр — 01, 12 или 20. В противном случае маркер будет назвать левым. Очевидно, в каждой паре дополнительных маркеров один пару маркеров. Например, 12 монет можно «замаркировать» так, как показано в таблице.

Обозначим соответствующее через $M(i, 0), M(i, 1)$ и $M(i, 2)$ множество монет, для которых $i$-й разряд соответствующего им правого маркера равен 0, 1 или 2.

23

Легко видеть, что число монет в каждой из множества $M(i, 0)$, $M(i, 1)$ и $M(i, 2)$ одинаково и что эти множества не имеют общих элементов (см., например, таблицу).

Метод взвешивания монет, придуманный Дайсоном, состоит в следующем:

Производится последовательно $n$ взвешивания монет.

При $i$-м взвешивания ($i = 1, 2, \dots, n$) на левую чашку весов кладутся все монеты множества $M(i, 0)$, на правую чашку — все монеты множества $M(i, 2)$. Результат каждого взвешивания будем обозначать цифрой 0, если перевесила левая чашка весов, цифрой 1, если обе чашки имеют одинаковый вес, и цифрой 2, если перевесила правая чашка (см. рис.). Результат $i$-го взвешивания обозначим через $l_i$.

Из цифр $l_1, l_2, \dots, l_n$ составим маркер

$$l = l_1 l_2 \dots l_n^*).$$

Оказывается, $l$ — маркер фальшивой монеты $F$ и если $l$ — правый маркер, то $F$ тяжелее остальных монеты, а если $l$ — левый маркер, то $F$ легче остальных монеты.

Действительно, посмотрим, что производит, когда производится $i$-е

*) Докажите, что это действительно маркер, т. е. что цифры $l_1, l_2, \dots, l_n$ не могут быть одинаковыми.

$$l_i = 0$$

взвешивание. В результате этого взвешивания весы либо остались в равновесии, либо одна из чашек пересечена.

Если весы остались в равновесии, то фальшивой монеты на них нет, следовательно, она — в множестве $M(i, 1)$. Но это означает, что $i$-й разряд ее правого (и левого) маркера равен 1, на что и указывает результат взвешивания $l_i = 1$.

Если одна из чашек весов пересечена, то фальшивая монета лежит на весах. Пусть, например, пересечена правая чашка, т. е. $l_i = 2$. Этот результат возможно в двух случаях:

— фальшивая монета лежит на правой чашке (тогда она тяжелее остальных монет), значит, она находится во множестве $M(i, 2)$, $i$-й разряд ее правого маркера равен 2, следовательно, результат взвешивания совпадает с $i$-м разрядом ее правого маркера;

— фальшивая монета лежит на левой чашке (тогда она легче остальных монет), значит, она находится во множестве $M(i, 0)$, следовательно, $i$-й разряд ее правого маркера равен 0 и результат взвешивания совпадает с $i$-м разрядом ее левого маркера.

Совершенно аналогичен «симметричный» случай, когда пересечит левая чашка весов ($l_i = 0$).

Позному, действительно, сформированный в результате последовательных взвешивания маркер $l = l_1 l_2 \dots l_n$ есть маркер фальшивой монеты, при этом правый в случае более тяжелой монеты и левый — в случае более легкой, что и требовалась dokазать.

Интересно отмечать, что тип монеты, как правило, определяется равnisse, чем произведены все взвешивания,— как только в процессе формирования маркера $l$ появятся две различных цифры.

Существеной особенность описанного метода, как уже было отмечено равnisse, является то обстоятельство, что выбор монет для каждой из множества взвешивания не зависит от результатов предыдущего взвешивания.

24

Например, для 12 монет, замаркированных так, как показано в таблице, нужно проделать такие три взвешивания: (1,4,7,10), (3,6,9,12); (3,6,9,10), (2,5,8,12); (3,4,8,12), (2,6,7,11).

Второй этап

Коротко наметим метод Дайсона для случая $m < \frac{1}{2} (3^n - 3)$. Если в этом случае монетам сопоставлять маркеры произвольно, то в множествах $M(i, 0)$ и $M(i, 2)$ может оказаться разное число монет. Поступим поэтом следующим образом. Разобъем все маркеры на группы по шесть: в одну группу отнесем правые маркеры, получающей друг из другa циклической заменой цифр $0 \rightarrow 1$, $1 \rightarrow 2$, $2 \rightarrow 0$ и соответствующим им левые маркеры.

В каждой группе оказывается по три правых маркера и три левых маркера. Группу, содержащую правые маркеры $00 \ldots 01, 11 \ldots 12, 22 \ldots 20$, выделим особо. Разобъем монеты на группы по три, пока это возможно, и замаркируем их следующим образом. Monetam из одной группы сопоставим пары маркеров из одной группы, а для остатка, если он есть, используем пары маркеров из выделенной группы. Если остается одна монета, не вошедшая в тройки, то сопоставим ей правый маркер $11 \ldots 12$, а если две, — то правые маркеры $00 \ldots 01$ и $22 \ldots 20$ (и соответствующие левые маркеры).

При такой маркировке первые $n — 1$ взвешивания произвольется по стартим правым. Как производить последнее взвешивание, сообщите самостояльно.

Метод Дайсона описан. Убедимся теперь, что он в определенном смысле является наличием. А именно, показем, что если из $m$ монет можно выделить $n$ взвешиваниями фальшивую монету и определить ее тип, то $2m \leq 3^n — 3$. Разумеется, мы не будем учитывать возможность «везення»: при нем для определения фальшивой монеты из любого числа монет может хватить и двух взвешивания.

Итак, предположим, что $n$ взвешивание достаточно.

Занumerем монеты чисlamи $1,2, \ldots, m$ и приготовим $2m$ бумажек. Напишем на них все возможные варианты: первый монета легче, первый монета тяжелее, второй монета легче и т. д. Ясно, что при этом все $2m$ бумажек оказывается использованным и ни один из возможных вариантов не будет упущен. Будем обозначать, как мы условиясь выше, результат взвешивания цифрами $0, 1$ или $2$. Каждый взвешивание показывает, что часть возможных ответов не подходит, а часть — остается под подозрением. Отберем монеты для первого взвешивания. Не производя его фактически, напишем на каждой из бумажек тот результат первого взвешивания, который оставляет ее под подозрением. Ясно, что на каждой бумажке будет написана одна из цифр $0, 1$ или $2$. Таким образом, все бумажки будут разбыты на три группы. Поэтому в наиболее многочисленной группе оказывается не меньше $2m/3$ бумажек. Значит, как бы мы ни организовывали первый взвешивание, может оказаться, что после него под подозрением останется не меньше $2m/3$ бумажек.

Аналогично, второе взвешивание рассортирует эту подозрительность группу на три подгруппы. Поэтому в наиболее многочисленной из них оказется не меньше $2m/9$ бумажек. Точно так же после $n$ взвешивания мы можем получить $2m/3^n$ подозрительные бумажки в одной группе. Следовательно, если $2m/3^n > 1$, то фальшивая монета и ее тип, вообще говоря, за $n$ взвешивание определены быть не могут. Поэтому $n$ взвешивание достаточно, то $2m \leq 3^n$.

Но это еще не все! Мы не разобрались еще со случайем $2m = 3^n — 1$ (четное число $2m$ не может равнять ни $3^n — 2$, ни $3^n$). Для него изложенных выше сообщений недостаточно.

25

Рассмотрим более внимательное первое взвешивание. Ясно, что число бумажек, на которых написана цифра 0, равно числу бумажек, на которых написана цифра 2. Пусть тех и других — по $p$ штук, тогда на $2m - 2p$ бумажках будет написана 1.

Заметим, что $p$ — четное число. Действительно, если на левой и правой части весов лежит по $k$ монет, то $p = 2k$. Если $p$ или $2m - 2p$ больше $3^{n-1}$, то по рассмотрению для определения нужной бумажки может не хватить оставшихся $n - 1$ взвешивания. Если же $p = 2k \leq 3^{n-1}$ и $2m - 2p \leq 3^{n-1} - 1$, то, поскольку $3^{n-1} - 1$ число нечетное, $p \leq 3^{n-1} - 1$, $2m - 2p \leq 3^{n-1} - 1$. Но тогда $2m = (2m - 2p) + 2p \leq 3^{n-1} - 1 + 2(3^{n-1} - 1) = 3^n - 3$. Итак, если $n$ взвешивания достаточно, то $2m \leq 3^n - 3$.

В заключение — несколько задач, которые могут быть решены методом Дайсона.

Список читателей, приславших правила решения задач из Задачника «Кванта»

(Начало см. на с. 7, 14)

А. Петросли (Ереван) 6а; Л. Петрусевич (дер. Козлы Минской обл.) 6; И. Пиковский (Киев) 3; А. Подвязников (Мосальск) 7; В. Подстрицан (Львов) 6, 8, 1; А. Попелохин (Киев) 6, 7; А. Попов (Москва) 7; В. Поманов (Новосибирск) 3; С. Пошехонов (Энгельс) 7; Г. Пуричамишили (Тбинис) 6а; Б. Рабинович (Тула) 6, 7, 1, 3, 4; В. Радченko (Киев) 6а, 2—4; М. Рейтман (Москва) 6а, 7, 2; С. Рехвашили (Павлодар) 6; И. Ройзман (п. г. т. Калиновка Винницкой обл.) 6—8; Н. Рубинмешин (Ленинград) 6а; Б. Рублев (Киев) 2, 3; И. Савенков (р. п. Львые горы Саратовской обл.) 6, 7; Г. Самельсон (Ленинград) 3; М. Севрюк (Москва) 6—9, 1—3; П. Селиванов (Семипалатинск) 6а, 7, 2; А. Сивацкий (Ленинград) 6а, 7, 9, 0, 2, 3; А. Смирнов (Курган) 6, 7; А. Смыслов (Коньково) 6; А. Сромин (Ленинград) 6, 7; С. Смадиниценко (Москва) 6—8, 3; Ф. Сукоев (Ташкент) 6—9; Н. Сумовский (Львов) 7, 8; О. Тавень (Минск) 6а, 7; К. Таталян (Ереван) 6; Л. Тенер (с. Ялтушков Винницкой обл.) 6, 7; К. Терехов (Рязань) 6а; В. Титенко (дер. Блужа Минской обл.) 7; А. Уливанов (Горький) 9; В. Уманский (Баку) 6, 7; Р. Ушаков (Киев) 3; Д. Файнгауз (Ленинград) 6, 7, 0; В. Фарбер (Баку) 3; А. Фамуллаев (Баку) 3; Н. Федин (Омск) 2; А. Федоров (Москва) 7, 3; О. Хоружский (Черновцы) 7; С. Хосид (Алма-Ата) 6а, 7; З. Цихистави (Телави) 3; И. Черная (Ленинград) 3; О. Чечель (Москва) 6—8, 1, 4; А. Шациян (Ереван) 7; П. Шаприн (Киев) 7; Н. Шаромет (Москва) 6, 7, 2, 4; Ю. Ширман (Харьков) 6; Г. Штерен (Орск) 6а; М. Яковлев (Кемерово) 2; А. Ялыцев (Тула) 6, 7; Л. Яновская (Харьков) 7; А. Яценко (Тбилиси) 7.

Ф и зика

Почи все читатели справились с задачими Ф 539 и Ф 542. Остальные задачи правильно решили:

В. Абиджаев (Львов) 33; Е. Александрова (Глазов) 35, 40, 41; Ю. Анисимов (Торопецкий р-н Калининской обл.) 35; А. Арбамский (Благовещенск-на-Aмуре) 40, 41; А. Базиров (с. Кировка АзССР) 40; Л. Бараз (Свердловск) 38—41; И. Баранец (п. Дзержинский Московской обл.) 38—41; А. Барзикин (п. Черноголовка Московской обл.) 33, 35—41; А. Белоусов (Калининград) 36; А. Васильев (Выру) 40, 41; Д. Виноградов (Дзержинск) 35; М. Гаврилов (п. Черноголовка Московской обл.) 35, 38—44, 47; М. Гольцман (Днепропетровск) 43, 44, 47; И. Гопчи (Новосибирск) 38, 41; В. Горпиненко (Кольчугино) 40; И. Даниловский (Горький) 33, 38; В. Дидух (Львов) 35, 37, 38, 40—44, 47; С. Довбищ (Москва) 33, 35, 38—41, 47; С. Довженко (Донецк) 34—36, 38—41; Е. Емельянов (Москва) 43, 47; А. Ермолин (Петрозаводск) 36, 38; В. Жордочки (Орск) 38; А. Журавлев (Ленинград) 38—41; Э. Зерныш (п. Кузьмовка Ленинградской обл.) 40, 41; Е. Зудин (Александров) 34, 35, 37, 40, 41—44, 46; С. Зуев (п. Черноголовка Московской обл.) 40; А. Иоваша (Окончание см. на с. 38)

26

Задачи

M586—М590; Ф598—Ф602

M586. В треугольнике $ABC$, у которой $\hat{B}=60^\circ$, провели биссертрисы $AD$ и $CE$, пересекающие в точке $O$. Докажите, что $|OD|=|OE|$.

M587. Дана тройка чисел $2, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}$. Разрешается любые два из них заменить двумя такими: их суммой, деленной на $\sqrt{2}$, и их разность, также деленной на $\sqrt{2}$. Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел $1, \sqrt{2}, 1+\sqrt{2}$? (9)

M588. a) Через точку, взятую внутри произвольного tetraэдра, параллельно его ребрам проведены отрезки с концами на гранах tetraэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длины отрезков к длиам параллельных им ребер всегда trem.
b) Сформируйте и докажите аналогичное утверждение для треугольника (на плоскости). (9)

Э. Ясиновый

M589. На плоскости дан набор из $n$ векторов,лина каждой из которых не превышает 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор $n$ векторов, сумма которых имеет длину
a) не превышает $\sqrt{n}$;
b) не превышает $\sqrt{2}$. (9)

П. Гусятиников, А. Плоткин

M590. a) Найдите наименьшее значение выражения $|\cos x|+|\cos 2x|$. Докажите, что для любого числа $x$ и любого натурального числа $n$ сумма
$|\cos x|+|\cos 2x|+|\cos 4x|+\ldots+|\cos 2^n x|$
6) не меньше $\frac{n}{4}$;
b) * не меньше $\frac{n}{2}$. (10)

П. Гусятиников

Ф598. Сосуд глубины $H$ заполнен жидкостью, плотность которого линейно меняется от $\rho_0$ на поверх-

27

ности до р на дне сосуда. В сосуд погружают два маленьких шарика одинакового объема $V$, связанных тонкой неевесомой нерастижной нитью длины $l$. Плотность одного шарика $\rho_1$, плотность другого—$\rho_2$. Через некоторое время шарики установливаются так, как показано на рисунке 1. Найти силу наяжения нити. (8)

О. Овчинников

Ф599. Через блок, укрепленный в потолке, перекиниута ввервка, на котором груз массы $M$ уравновешен лестницей с человеком массы $m$. По какому закону должен дивгаться человек относительно лестниццы, чтобы реакция блока на потолок равна лась нулю? Блок неевесом, ввервка абсолотно гибка, нерастижма и неевесoma. (8)

А. Варцен

Ф600. В схеме, приведенной на рисунке 2, ключ попеременного замыкают и размыкают в те моменты, когда направление на первом конденсаторе равно нулю. Нарисовать график зависимости напряжения на катушке индуктивности от времени. (10)

Ф601. На Луне в вертикальном цилиндре, закрытом тяжелым поршнем, находится аргон при температуре $T_1$. Поршень может перемешаться в цилиндре без трения. На поршень кладут осторожно второй такой же поршень. Определите температуру $T_2$ газа при новом равновесном положении поршня. Теплоемкость поршня и цилиндра, а также теплотадачу, не учитывать. Газ считается идеальным. (9)

Ф602. К цепи, состоящей из резистора с сопротивлением $R$ и источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r=R/3$, присоединяют конденсаторы с емкостьми $C_1$ и $C_2$, замыкая клеммы 1—2, 3—4, 5—6 (рис. 3). После замыкания напряжение на конденсаторе $C_1$ оказывается равным $\mathcal{E}/2$, причем потенциаль клеммы 3 выше потенциаль клеммы 2. Определите, какой заряд $p_0$ был на конденсаторе $C_2$ до замыкания. (9).

28

Решения задач

M530, M531, M533, M534, M536, M537;
Ф537, Ф542—Ф545

Заменим наш лист бумаги таблицей из нулей и единиц: если клетка черная, напишем на ее месте единицу, а если белая — ноль (рис. 2). Определим для каждой клетки сумму ее соседей «по модулю 2», то есть по следующему правилу:

$$0+0=1+1=0;$$
$$1+0=0+1=1.$$

Сумму соседей данной клетки называем ее ореолом, а вместе с слов «черная клетка» будем писать «1- клетка».

Из условия задачи следует, что состояние клетки (т. е. записанное в ней число) в некоторых момент времени равно ее ореолу в предыдущей момент.

a) Если множество $B$ «1- клеток» при перекрашивании не изменяется, то ореол любой «1- клетки» множество $B$ равен 1. Сложим ореолы всех «1- клеток». Каждая сторона, общая для двух «1- клеток», вносит в эту сумму (всех ореолов) две единицы; поэтому сумма всех ореолов равна сумме четного числа единиц, то есть равна нулю. Но так как ореол каждой «1- клетки» равен 1, получаем, что клеток в $B$ — четное число.

b) Будем писать $A \rightarrow B$, если при перекрашивании таблица $A$ переходит в таблицу $B$. Изовем суммой таблицы $A$ и $B$ таблицу $A+B$, получающую поклочным сложением чисел таблицы $A$ и $B$ (по указанным выше правилам; см. рис. 3).

Лемма a. Если $A \rightarrow A_1$, $B \rightarrow B_1$, то $A+B \rightarrow A_1+B_1$.

Это следует из того, что при сложении ореолы клеток тоже складывают.

Приступим к решению задачи 6). Пусть
$$B_1 \rightarrow B_2 \rightarrow \dots \rightarrow B_r \rightarrow B_1.$$
Используя лемму, получаем:
$$B_1+B_2 \rightarrow B_2+B_3 \rightarrow \dots \rightarrow B_r+B_1 \rightarrow B_1+B_2;$$
$$B_1+B_2+B_3 \rightarrow B_2+B_3+B_4 \rightarrow \dots \rightarrow B_r+B_1+B_2 \rightarrow B_1+B_2+B_3;$$

$$B_1+B_2+B_3+\dots+B_r \rightarrow B_1+B_2+B_3+\dots+B_r.$$

Из последней строки и задачи a) следует, что в таблице $B_1+B_2+\dots+B_r$ — четное число «1- клеток». Затем теперь, что число «1- клеток» в таблице $A+B$ равно сумме чисел «1- клеток» в таблицах $A$ и $B$ минут с ное и сл о (получающейся из-за того, что $1+1=0$); поэтому четность числа «1- клеток» в таблице $A+B$ и суммарного числа «1- клеток» в таблицах $A$ и $B$ одинаков а. Поскольку в таблице $B_1+B_2+\dots+B_r$ — четное число «1- клеток», получаем, что и общее число «1- клеток» в множестве $B_1$, $B_2$, …, $B_r$ четно.

Задача M530 решена. Но в связи с ней возникнет много интересных вопросов. Например, чем может равняться $r$, то есть каким может быть перiod и превращенный множество «1- клеток» данной таблицы? Как будет произходить «эволюция» для таблицы «непрямогоного» вида? Примуговые таблицы подаются исследованием с трудом. Это объясняется «неравноправностью» их клеток: разные клетки имеют разное число (от двух до четырех) соседей. Но если из прямогольной таблицы склент(top (бублик), то у каждой клетки будет уже по четыре соседea. Для того уже удается кое-что доказать: например, установлено, что на торе, склеенным из квадрата $(2^n+1) \times (2^n+1)$,лина перiodа $r$ обязательно равна делителью числа $2^n-1$. Но возникнет новые вопросы для данного тора все также $r$? Например, на торе, склеенным из квадрата $65 \times 65$, существует периоды длины 1 и 63, но неизвестно, существует ли период

29

М531. Из пунктов А и В не одновременно выехали настрему другую автоматическим и величиным. Встретились в точке C, они могли развернуть и второй разстремились в точке D; здесь они вновь развернул и m. д. В какой точке отрезка AB произошла их 1978-я встреча?

Рис. 3.

Для длины 3, 7, 9 и 21. Продвинутся в решении задачи на торе помогает аналогичная задача на окружности из n клеток (похожая задача M19 была разобранна в «Кванте», 1970, № 4).

Р. Измайлов

◆ Лучше всего решать эту задачу с помощью графиков движения. Постоянство скорости движения точки означает, что ее график движения образует один и тот же угол с осью времени t (рис. 4). Пусть моменты встреч — t₁, t₂, t₃, … Ясно, что оба графика движения на участках t₁ < t ≤ t₂ и t₂ ≤ t < t₃ идут симметрично относительно прямой t = t₂, поэтому третья встреча произойдет в той же точке C, где и первая. Точно так же прямая t = t₃ является осью симметрики графиков движения при t ≤ t₃ и t ≥ t₃; поэтомучетвертая встреча произойдет в той же точке D, что и вторая, и т. д.: каждая нечетная встреча будет проискодить в точке C, каждая четная, в том числе и 1978-я, — в точке D.

Из нашей решения ясно так же, что числа t₁, t₂, t₃, … образуют арифметическую прогрессию: встреч произходит через равные промежутки времени d = tₙ₁ + tₙ₂, и вся картина полностью повторяется с периодом T = 2d.

Это наблюдается — частный случай полезного факта: если график функции y = f(x) симметричен относительно прямых x = a и x = b (то есть f(a + x) = f(a - x) и f(b + x) = f(b - x)), то функция f — периодическая с периодом 2|b - a| (в нашем задаче роль x играет t).

Н. Васильев

Рис. 4.

М533. Наозем выпуклый многоугольник особым, если некоморые при его диагонали пересекаются в одной внутренней точке. Доказим, что у каждой особым семиугольника найдется вершина A, обладающая максимим свойством: для любого ε > 0 вершину A можно ссыпать на расстояние, меньшее ε (не меняя остальных вершин), так, что полученный семиугольник будет неособым.

◆ Наозем диагональ выпуклого шестиугольника елавной, если по обе стороны от прямой, на которой лежит эта diагональ, расположены по две вершины шестиугольника. Если MP — побочная (не главная) diагональ выпуклого шестиугольника и N — вершина, смежная с вершинами M и P (рис. 5), то во внутренних точках diагональ MP пересекаются лишь diагонали, выходящие из N. Поэтому никакие другие д в diагонали не пересекаются с [MP] в общей внутренней точке. Иначе говоря, единственный проекой диагоналей выпуклого шестиугольника, которая может обусую точку внутренней шестиугольника, является проекция его елавных diагоналей.

Пусть теперь B₁B₂ … B₇ — произвольный выпуклый семиугольник. Расстояние выпуклые шестиугольники B₁ … B₅B₆ и B₁ … B₅B₇ (рис. 6). Диагонали [B₁B₄] и [B₂B₅] являются в них главными. Обозначим через P точ-

31

Чтобы приямы, о которых говорится в условия (параллельные стороны треугольника ABC), проходили через одну точку. Пусть эти приямы образуют треугольник $A_1B_1C_1$ (рис. 9) и пусть $k$ — коэффициент готовности треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$ ($|k| = \frac{|A_1C_1|}{|AC|}$). Выполнить построение, описанное в задаче М534, получим треугольники $AEK$, $BDM$, $CFL$, прилегающие к сторонам $\Delta ABC$, и центральный треугольник $DEF$. Пусть, как и выше, их площади равны $S_1$, $S_2$, $S_3$ и $S_0$ соответственно. Доказите самостояльно, что

$$S_0 - kS_{ABC} = S_1 + S_2 + S_3.$$

Подумайте, как можно формулировать этот результат для случая любых готовительных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Ф. Вайнштейн

M536. a) Докажите, что любой прямогольник размером $m \times 2n$ клеток ($m > 1$) можно замостить двумя слоями космиек домино (плиток $1 \times 2$ клетки) так, чтобы каждый плимка верхнеzo слоя опиралась на две разные плимки нижнего слоя.

6. Прямогольник размером $2k \times 2n$ клеток уже замостен одним слоем космиек домино. Докажите, что его можно замостить вторым слоем так, чтобы выполнялось мо же условия (m. e. чимбы плимки разных слоев не совпадали).

a) Разрежем прямогольник размером $m \times 2n$ клеток на полосы размером $2 \times m$ клеток. Если $m$ — нечетное, то в каждой полосе устроим наши два покрытия так, как показано на рисунке 10; если же $m$ четное, — так, как на рисунке 11.

6. Разрежем прямогольник размером $2k \times 2n$ клеток на квадраты размером $2 \times 2$ клеток. Второе покрытие в каждом квадрате будет строить отдельно.

Рис. 10.

Рис. 11.

В квадрате $2 \times 2$ возможны три случая расположения костяшки первого покрытия: обе костяшки целиком лежат в квадрате, только одна костяшка целиком лежит в квадрате, ни одна из костяшки целиком не лежит в квадрате. В третьем случae две костяшки в квадрате во втором покрытии можно расположить произвольно, а в первых двух случах костяшки второго слоя нужно расположить перпендикулярно к костяке (или костякам), целиком лежащей в квадрате в первом слое.

В. Прасолов

M537. Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг размеры ABC, а также равных сторон AB и AC это море треугольника в точках P, Q соответственно. Докажите, что середина отрезка PQ является центром окружности, описанной вокруг размеры ABC.

Отметим на оси симметрины треугольника $BAC$ точки $H \in [BC]$, $K \in [PQ]$, центр $O$ данной окружности и точку $T$ ее касания с окружностью, описанной вокруг треугольника $BAC$ (рис. 12). Поскольку отрезки $TB$ и $OP$ оба перпендикуляры к прямой BA (угол $TBA$ опирается на диаметр $[AT]$), а $[OP]$ — радиус, идищей в точку касания), а отрезки $BH$ и $PK$ перпендикуляры к оси симметрины $(AT)$, получаем

$$\frac{|AH|}{|AT|} = \frac{|AK|}{|AO|} = \cos^2 \alpha,$$

где $\alpha = \frac{\widehat{BAC}}{2}$.

Пусть $B'$ и $C'$ — точки пересечения сторон угла $BAC$ с касательной, проведенной в точке $T$. При этом с

32

центром $A$ и коэффициент $k = \cos^2 \alpha$ треугольник $B'AC'$ перейдет в треугольник $BAC$ (при этом $T$ перейдет в $H$), а центр $O$ окружности, вписанной в $\triangle B'AC'$, перейдет согласно (*) в точку $K$. Таким образом, мы доказали, что центр окружности, вписанной в $\triangle ABC$, — точка $K$.

Н. Васильев

Рис. 12.

Ф537. Полировской металлической пластины ее можно сделать зеркальной. Оценить, какова мощность бытных максимальных высота церковатосмеи, оставшихся после полировки, чтобы пластина зеркального отражения пучок света с длиной волны $\lambda = 5 \cdot 10^{-8}$ м, падающий на нее под углом $\alpha = 45^\circ$.

Рис. 13.

$\widehat{MBL} = \alpha, \widehat{MKB} = \beta.$
$\Delta = |AD| - |CB|$
$|AD| = |AK| \sin \beta = (a + h \text{ ctg } \beta) \sin \beta = a \sin \beta + h \cos \beta.$
$|CB| = |CL| - |BL| = |AL| \sin \alpha - \frac{h}{\cos \alpha} = (a + h \text{ tg } \alpha) \sin \alpha - \frac{h}{\cos \alpha} = a \sin \alpha + h \frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos \alpha} = a \sin \alpha - h \cos \alpha.$
$\Delta = a (\sin \beta - \sin \alpha) + h (\cos \beta + \cos \alpha).$

Для того чтобы шероховатая поверхность отражала свет зеркально, необходимо, чтобы не проискдило уменьшенная интенсивность отраженного света из-за интерференции волн, отраженных от разных точек поверхности. Для этого разность хода $\Delta$ лучей, отраженных под одним и тем же углом от разных точек поверхности, должна быть много меньше длины волны.

Очевидно, наиболее разность хода имеет луч, отраженные от владинны и от вершины шероховатости (точки $A$ и $B$ на рисунке 13). Обозначим $\alpha$ угол падения и $\beta$ угол, под которым наблюдается отражение от поверхности. Проведяя из точки $A$ перpendикуляр $AC$ к падационным лучам, найдем точку $C$ на луче 2, в которой фаза волны совпадает с фазой в точке $A$ ($AC$ — фронт падационной волны). Проведяя из точки $B$ perpendикуляр к отраженным лучам, найдем точку $D$, в которой фаза отраженной волны совпадает с фазой в точке $B$ ($BD$ — фронт отраженной волны). Разность хода $\Delta$ лучей 1 и 2 равна $|AD| - |CB|$. Проведяя вычисления, найдем (см. рис. 13):

$$\Delta = a (\sin \beta - \sin \alpha) + h (\cos \beta + \cos \alpha).$$

Отражение будет зеркальным, если $\Delta \ll \lambda$. Так как расстояния $a$ между владинами и выступами на отражающей поверхности могут быть совершенно произвольными (как маленькими, так и большими), то для выполнения условия $\Delta \ll \lambda$ первое слагаемое в (*) должно быть равным нулю. Это значит, что зеркальное отражение возможно лишь в том случае, если $\alpha = \beta$, то есть угол падения равен углу отражения.

В этом случае $\Delta = 2h \cos \alpha$, и отражение будет зеркальным, если $2h \cos \alpha \ll \lambda$, то есть $h \ll \frac{\lambda}{2 \cos \alpha}$. (П р и м еч а n e. Так как при $\alpha \rightarrow \frac{\pi}{2} \cos \alpha \rightarrow 0$, при больших углах падения ($\frac{\pi}{2}$) зеркальной становится и грубая поверхность с большими шероховатостими.)

При $\lambda = 5 \cdot 10^{-8}$ м и $\alpha = 45^\circ h \ll 3,6 \cdot 10^{-8}$ м.

35

ка сразу же после его образования и через большое время после эмодо, если меллопроводность воды неевелика, а ее меллоемкость очень большая. Считать, что пузырьки находятся в области поверхности воды.

Изменение внутренней энергии системы равно $\Delta U = \sigma \Delta s + \Delta u$. Здесь $\sigma \Delta s$ — изменение поверхностной энергии за счет изменения площади поверхности пузырьков на $\Delta s$ (σ — поверхностное натяжение воды); $\Delta u$ — изменение внутренней энергии воздуха.

Внутренняя энергия воздуха в результате слияния пузырьков изменяется на величины

$$\Delta u = \frac{5}{2} \frac{m}{\mu} R \Delta T,$$

где $m$ — масса воздуха в пузырьках; $\Delta T$ — изменение температуры воздуха. (Воздух состоит в основном, из двухatomных молекул азота и кислорода, поэтому его можно считать двухatomным газом. Внутренняя энергия одного моля двухatomного газа равна $5/2 RT$.)

Давление $p$ воздуха в пузырьках в нашем случае остается практическим постоянным. Действительно, давление $p$ отличается от давления в воде на уровне пузырьков на величины $\frac{2\sigma}{r} (r = r_1 = r_2)$ — в первоначальном пузырьке и на величины $\frac{2\sigma}{\rho}$ — в новом пузырьке радиуса $\rho$ ($\rho > r$). Поскольку слияние происходит у поверхности воды, можно считать, что давление в воде равно атмосферному, то есть равно $p_0 \approx 10^5$ H/$m^2$. Так как $\frac{2\sigma}{r} = \frac{2 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2}}{3 \cdot 10^{-3}} \approx 49$ (H/$m^2$) «$p_0$, можно считать, что давление в пузырьках остается неизменным и равным $p_0$. Поэтому, согласно уравнению газового состояния, $p_0 \Delta V = \frac{m}{\mu} R \Delta T$, откуда $\Delta T = p_0 \Delta V \frac{\mu}{mR}$. Таким образом,

$$A = p_0 \Delta V = c \Delta s + \frac{5}{2} p_0 \Delta V,$$

или $\sigma \Delta s = -\frac{3}{2} p_0 \Delta V$.

Подставляя в это выражение $\Delta V = \frac{4}{3} \pi (\rho^3 - 2r^3)$ и $\Delta s = 4\pi (\rho^2 - 2r^2)$, получим:

$$p_0 \rho^3 + 2\sigma \rho^2 - 2p_0 r^3 - 4\sigma r^2 = 0,$$

или, с учетом численных данных,

$$10^5 \rho^3 + 14,6 \cdot 10^{-2} \rho^2 = 5,4 \cdot 10^{-3}.$$

Поскольку заведено $\rho > 3 \cdot 10^{-3}$ м, второе слагаемое влевой части равенства малó по сравнению с первым и им можно пренебреть. Поэтому

$$\rho \approx \sqrt[3]{5,4 \cdot 10^{-8}} \approx 3,8 \cdot 10^{-3} \text{ м},$$

то есть $\rho \approx 3,8$ мм.

И. Словодецкий

36

Доказательство неравенств с помощью произвольной величиной лагере школьников «Matematik-79» (Вологодская область), показано, как процесс сведения о произвольных могут быть использованы для проверки истинности неравенств.

Для доказательства неравенств особенно полезна следующая теорема («Алгебра и начала анализа 9», п. 54):

Теорема 1. Если функция $f$ имеет положительное произвольную какдой моче интеграла $|a|; b|$, то эта функция возвращает на $|a|; b|$. Если функция $f$ имеет отрицательное произвольную какдой моче интеграла $|a|; b|$, то функция в какдой моче получится (или, соответствующего, убывание) имеет место на всем этом получимерале $*$).

Начнем с двух примеров на применение этой теоремы: первый — простой, второй — последнее.

Пример 1. Докажите, что при $x > 1$
$$x^2 - 1 > 2 \ln x.$$
Сохраняется ли это неравенство при $0 < x < 1$?

Решение. Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 1 - 2 \ln x$.

*) Аналогическое утверждение остается верным, если вместо получимерала $|a|; b|$ быть получимерал $|a|; b|$ или отрезок $|a|; b|$.

Имеем
$$f'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2}{x}(x^2 - 1) > 0$$
при $x > 1$.

Поэтому $f$ возвращает на $1; +\infty$ [. Если мы учтем еще, что функция $f$ непрерывна на $1; +\infty$ [(т. е. в какдой точке этого промежутка), то возвращение $f$ имеет место на $1; +\infty$ [. Поэтому при $1 < x < +\infty$ будет $f(x) > f(1)$, т. е. $x^2 - 1 - 2 \ln x > 0$. Итак, $x^2 - 1 > 2 \ln x$ при $0 < x < 1$.

Пример 2. Вышение, что больше: $79^{3/5} + 1900^{3/5}$ или $1979^{3/5}$?

Решение. Решим более обширную задачу: что больше $a^p + b^p$ или $(a + b)^p$, если $0 < a < b$ и $0 < p < 1$? Рассмотрим на $0; +\infty$ [функцию $f(x) = (a + x)^p - (a^p + x^p)$].

Имеем:
$$f'(x) = p(a + x)^{p-1} - px^{p-1} = p\left(\frac{1}{a+x}\right)^{p-1} - \left(\frac{1}{x}\right)^{p-1} < 0$$
при $0 < x < +\infty$. Значит, $f$ на $0; +\infty$ [убывает. Поэтому из $0 < a < b$ следует, что $f(b) < f(a)$, т. е. $(a + b)^p - (a^p + b^p) < (a + a)^p - (a^p + a^p) = a^p(2^p - 2) < 0, a^p + b^p > (a + b)^p$. В частности, $79^{3/5} + 1900^{3/5} > 1979^{3/5}$.

Для решения дальнейших примеров нам потребуется такое следствие из теоремы 1:

Теорема 2. Пусть какдая из функций $f$ и $g$ непрерывна в какдой моче получимерала $|a|; b|$ и имеет произвольную в какдой моче интеграла $|a|; b|$. Для этого чтобы вседу на интеграле $|a|; b|$ было верно неравенство
$$f(x) < g(x),$$
(1)
достаточно, что объедовренно выполняется два условия:
I. $f'(x) < g'(x)$ вседу на $|a|; b|$,
(2)

37

П. $f(a) \leq g(a)$. (3)

Доказательство. Функция $F(x) = g(x) - f(x)$ неперрывна на $[a; b]$, причем $F(a) \geq 0$ и $F'(x) > 0$ на $[a; b]$. По теореме 1 функция $F$ возрастает на $[a; b]$, так что при $a < x < b$ имеем $F(x) > F(a) \geq 0$, т. е. $f(x) < g(x)$ всюду на $[a; b]$.

Применение теоремы 2 мы тоже проиллюстрируем на двух примерах.

Пример 3. Докажите, что при $x > 0$
$$\ln(1+x) < x.$$ (4)

Решение е. Дифференцируя (4), получим
$$\frac{1}{1+x} < 1,$$
что, очевидно, верно на $[0; +\infty]$. Кроме того, $\ln(1+0) = 0$. Следовательно, согласно теореме 2 неравенство (4) верно при $0 < x < +\infty$.

Пример 4. Проверите, справедливо ли при $x_1 > x_2 > 0$ неравенство
$$\frac{x_1 - x_2}{\ln \frac{x_1}{x_2}} < \frac{1}{2}(x_1 + x_2).$$ (5)

Решение е. Мы можем перейти от неравенства с двумя переменными к неравенству с одним переменным, если положим $x = \frac{x_1}{x_2}$. Тогда (5) принимает вид
$$\frac{x-1}{\ln x} < \frac{1}{2}(x+1).$$ (6)

Из $x_1 > x_2 > 0$ вытекает $x > 1$. Дифференцировать дробь, у которой $\ln x$ в знаменателе, неудобно. Перепишем поэтому неравенство (6) в такой равносильной форме:
$$\frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{2}\ln x.$$ (7)

*) Если дополнительно потребовать еще неправивность функций $f$ и $g$ в точке $b$, то (как ясно из доказательства) неравенство (1) будет верно в точке $b$. Можно доказать, что теорема 2 остается верной и в том случае, когда строгое неравенство (2) нарушается (заменяется равенством $f'(x) = g'(x)$) в конечном числе точек (или даже в бесконечном числе точек, если только такие точки не заполняют какой-либо промежуток вида $]a; c[$, где $a < c \leq b$).

Чтобы решить, верно ли это неравенство, выясим, верно ли неравенство, которое возникает при его почленном дифференцировании. Таким образом, мы должны рассмотреть неравенство
$$\frac{2}{(x+1)^2} < \frac{1}{2x}$$ (8)

или равносильное ему неравенство $(x-1)^2 > 0$.

Посленее при $x > 1$ верно и, следовательно, при этих $x$ верно (8). Далее, при $x = 1$ обе части неравенства (7) принимают равные (нулевые) значения. Видим, что условия теоремы 2 соблюдены, так что неравенство (7) верно, а вместе с ним верны (6) и (5).

Иногда при доказательстве неравенства полезно применить почленное дифференцирование не один, а несколько раз. Точнее говоря, иногда полезно воспользоваться следующим следствием из теоремы 2*):

Теорема 3. Пусть какая из функций $f$ и $g$ неправивна на получимерале $[a; b]$ и имеет в каждой точке интеграла $]a; b[$ производуно порядка $n$. Для того чтобы всюду было верно неравенство
$$f(x) < g(x) \text{ на } [a; b],$$ (9)
достаточно, чтобы одновременно выполнялись также условия:
I. Выполняется неравенство, получающей из неравенства [9] путем $n$-кратного дифференцирования, $m. k$. всюду на $[a; b]$
$$f^n(x) < g^n(x);$$ (10)
II. $f(a) \leq g(a)$,
$$f'(a) \leq g'(a),$$ …
… $f^{(n-2)}(a) \leq g^{(n-2)}(a);$
$$f^{(n-1)}(a) \leq g^{(n-1)}(a).$$

Доказательство. Так как $[f^{(n-1)}(x)]' < [g^{(n-1)}(x)]'$ на $[a; b]$ и $[f^{(n-2)}(x)]' < [g^{(n-2)}(x)]'$ всюду на $[a; b]$. Кроме того, по условиям, $f^{(n-2)}(a) \leq g^{(n-2)}(a)$. Поэтому по теореме

*) Провзводная от произвольной функции $f$ называется ее второй произвольной и обозначается через $f''$; аналогично определения третья, четвертая произвольные и вообще произвольная любого порядка $n$ (обозначение: $f^{(n)}$).

38

реме 2: $f^{(n-2)}(x) < g^{(n-2)}(x)$ всегда на $|a|; b[$. Повторяя аналогичные расчёнения, мы после конечного числа шагов получим, что всё на $|a|; b[$ справедливый строгие неравенства $f^{(n-3)}(x) < g^{(n-3)}(x), \dots, f''(x) < g''(x), f'(x) < g(x)$ и, наконец, $f(x) < g(x)$, что и требуется доказать.

Пример 5. Докажите, что при $x \neq 0$ справедливо неравенство $e^x + e^{-x} > 2 + x^2$.

Решение. Рассмотрим сначала случай $x > 0$. Будем дифференцировать (11) почленно несколько раз и посмотрим, не получим ли неравенство, справедливо которого не вызывает сомнения. Получаем последовательное:
$e^x - e^{-x} > 2x;$
$e^x + e^{-x} > 2;$
$e^x - e^{-x} > 0$.

Посленее неравенство при $x > 0$, оченьindo, верно. Кроме того, при $x = 0$ верны равенства $e^0 + e^{-0} = 2 + 0^2, e^0 - e^{-0} = 2 \cdot 0, e^0 + e^{-0} = 2$. В силу теоремы 3 неравенство (11) верно при $x > 0$. Так как при замене $x$ на $-x$ обе части неравенства (11) не изменятся, то это неравенство верно и для всех $x < 0$.

Список читатель, приславших правленные решения задач из Задачника «Кванта»
(Окончание. Начало см. на с. 7, 14, 25)
(Kaynas) 38; Г. Ирисов (Донецк) 40;
А. Капралов (Тбилисн) 38—41; В. Кельман (Москва) 38, 40; Е. Кодан (Дипропетровск) 38; А. Кожевников (Дипропетровск) 34; Г. Коломицев (Сумгант) 36; В. Комов (Александров) 33—41, 43—46; К. Кондратье (Москва) 38, 40, 45, 47; Ю. Кордюков (Серов) 38; И. Коротков (Волгоград) 43, 47; А. Костереев (Семилук) 38—41; О. Кравец (Воронеж) 40, 41, 46; А. Крейнес (Кольчугино) 35; А. Крунцов (Курск) 33; А. Куприн (Москва) 38—41; В. Курьян (Ростов-на-Дону) 34, 38—41, 44; А. Кучер (Донецк) 35; А. Кушеров (Москва) 38, 44; А. Лазарян (Лобня Московской обл.) 35, 37; В. Лашкин (Киев) 35—40; А. Лебедев (Горький) 40; С. Лодунов (Москва) 40, 47; Д. Лодмирский (Киев) 33, 34, 36, 37, 47; С. Мазарян (Кострома) 38; С. Маламанов (Ленинград) 35, 38; А. Масленников (п. Н-Тарьял Мар АССР) 46; А. Минаев (Саратов) 38; А. Моцильер (Свердловск) 35, 38, 40, 41, 44, 46, 47; М. Морозов (Ашхабад) 40; И. Муромцев (Москва) 33, 36, 38—41; Д. Надеждин (Курган) 38—41; В. Наталии (Ашхабад) 38, 47; А. Одловлин* (Иркутск) 38, 41; И. Омелян (Львов) 35, 37—44, 46, 47; О. Орзамедов (р/ц Кызыл-Атрек ТССР)

Ураженя

Проверьте справедливость следующих неравенств:

1. $e^x > 1 + x$ при $x \neq 0$;

2. $(p + q)^6 < 32(p^6 + q^6)$ при $p > 0, q > 0$;

3. $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ при $x > 0$;

4. $2\sqrt{x} > 3 - \frac{1}{x}$ при $x > 1$;

5. $tg x > x + \frac{x^3}{3}$ при $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

6. $\sin x < \frac{1}{2}x(\pi - x)$ при $0 < x < \frac{\pi}{2}$;

7. $2ab \ln \frac{b}{a} < b^2 - a^2$ при $0 < a < b$;

8. $e^x > 1 + x + \frac{1}{2}x^2$ при $x > 0$;

9. $\ln (1 + x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$ при $x > 0$.

10. В окружность радиуса $R$ вписан правильный $n$-угольник с перimetром $p_n$ и окло не описан правильный $n$-угольник с перimetром $P_n$. Докажите следующее неравенство (принадлежшее известному физку и математике Христану Гюйгенсу): $2p_n + P_n > 6\pi R$.