Квант 1979, №12 · Страницы

КЕАНМ
12
1979
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Фигура на этой странице обложки составлена из стата пятiko-
нечных звезд. О том, как построить пятikoнечный звезду цир-
кulum и линейкой, рассказывает на с. 48.

1

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
академик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

В НОМЕРЕ:

Первая научная работа Максвелла
М. Цаленко. Комбинаторные задачи информационного поиска
Я. Смородинский. Планеты движутся по эллипсам
Задачник «Квант»
М596—М600; Ф608—Ф612
Решения задач М540—М544; Ф553—Ф557
«Квант» для младших школьников
Задачи
О. Оре. Простые числа Ферма
Практикум абитриента
В. Иванов. Преобразование решения тригонометрического уравнения
Искусство программирования
Л. Виленкина, Г. Звеницгородский. IV Всесоюзная летняя школа юных программистов
Спрашивайте — ответаем
Рецензии, библиография
И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги
Информация
И. Слободецкий. XI Международная физическая olимппада школьников
В. Мицин, А. Савин. XXI Международная математическая olимппада школьников
Л. Садовский. 10 лет ФМШ МИИТа
Г. Мякицев. Энциклопедия микромира
А. Криворучко, М. Немцценцер. Olимппада в Омске
Ж. Раббом. Новый прием во Всесоюзную заочную математическую шкoly
И. Серееев. Новый прием на малый механизм
Напечатано в 1979 году

Как получить красивый многогранник, изображенный на первой странице обложки. Посмотрит…
на четвертой странице обложки.

© Главная редакция физiko-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1979

2

Первая научная работа Максвелла

5 ноября 1979 года исполнили 100 лет со дня смерти великого английского ученого Джеймса Клерка Максвелла. Разгадка природы колец Сатурна, теория цветового зрения, знаментий закон распределения молекул газа по скоростям и, прежде всего, теория электромагнитизма входят сейчас в сокровищницу мировой науки. Имя Максвелла, как говорил Макс Планк, «блещет на вратах классический физики».

Для молодежи особый интерес представляют ранние работы крупных ученых. И не потому, что эти работы более просты и понятны, чем фундаментальные открытия, пришешие славу их авторам. А потому, что они учат труду, творчеству, раскрывают красоту научного понска. Сам Максвелл заметил, что «наука захватывает нас только тогда, когда, заинтересовавшись жизньвой великих исследователей, мы начинаем следить за исторей развития их открытий».

Свою первую научную работу Максвелл выполнил, когда ему было четиринадцать лет. Биографы Максвелла так описывают это событие. После ранней смерти матери (она умерла, когда Джеймсу было 8 лет) воспитанием сына занимался его отец, глубоко образованный человек, сам увлекательная научными и техническими вопросами. У Джеймса очень рано пробудился интерес к технике и развились практические навыки. В немалой степени этому способствовали постоянное обещание с отцом, чтение и, конечно, детские игры и первые «научные» игры. До десяти лет Джеймс жил в деревне, и это было для него счастливым временем. Потом отчеты его в Эдинбург, в школа, которая называлась академией.

Поначалу в академии Джеймс чувствовал себя неважно. Он сразу наполнился на отсутствий прием одноклассников, для которых он был простым деревенским парнем. Джеймс приехал в академию в середине учебного года, по одежде и по поведению он сільно отличался от сверстников, был необщительным, а в науках на первых порах не блистал. У него даже появилось произведение «дуралей». Мальчик скучал по дому, по отцу, по волной жизни в деревне. Но потом Джеймс удивил одноклассников. Он увлекся геометрией и стал первым учеником в школе по математике. В 14 лет за блестише успехи он был нагружен медалью.

3

К описанию овалов и многофокусных овальных кривых

(c замечиями профессора Форбса)

Мистер Клерк Максвелл островно предлагает распространить общную теорию фокусов конических сечений на более сложные кривые следующим образом:

(1) По аналогии с эллипсом и гиперболом, у которых постоянны соответствие сумма и разность расстояния от произвольной точки кривой до двух точек, называемых фокусами, автор приходит к выводу, что в некоторых степени похожи от предыдущих геометрических аппарат. Причем Максвелл предложил действительное новый способ, ранее неизвестный математикам.

Значение этого способа оказалось большим, чем одно из возможных решений задачи древних этуроков. Действительно, геометрические построения юного Максвела открывают перед нами удивительные оптические свойства овалов и вводят нас в круг интерсейших задач геометрической оптики, над которых трудилось немало замечательных ученых прошло.

Профессор Форбс, покровительствовавший молодым талантам, 6 апреля 1846 года доложил об исследовании Максвела на заседании Эдинбургского королевского общества.

Перевод изложения этого документа, напечатанного в Трудах общества, помещен ниже.

Перевод, подготовка к публикации и подготовке примечания А. Митрофанова

4

Рис. 1.

охватывающий три или более закрепленные бульавки и ограничивающей подвижную точку $P$, которая при своем движении вычерчивает искому кривую. Смотри рисунок 3. Далее, автор рассматривает кривые с двумя фокусами как частный случай класса кривых с многоими фокусами, у которых два или более фокусов совпадают; фокус, где две нити встречаются, рассматривается как двойной фокус, если три нити встречаются, то это тройной фокус, и т. д.

Профессор Форбс заметил, что уравнение кривой с двумя фокусами легко приводится к виду

$$\sqrt{x^2 + y^2} = a + b\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$$

т. е. такому же, как семейства кривых, известных как овалы Декарта первого рода *). Мистер Максвелл

*) Овалами в широком смысле слова называют плоские кривые яйцеобразной формы: сам термин «овал» происходит от латинского слова «ovum» (яйцо). Овалы Декарта первого и второго рода — некооторий классов овалов (см. «Квант», 1977, № 6, с. 43).

Рис. 2.

установил, что когда один из фокусов находится в бесконечности (или когда нить при построении кривой движется почти параллельно самой себе и ограничивается только максимальным размером стола), вычерчивается кривая, похожая на эллипс, — факт, натолкнувший профессора Форбса на вывод о тождественности построенного овала и декартового овала, так как последний, как хорошо известно, имеет такое же свойство. Но наиболее отчетливо идентично объект из принципи построения, т. е. из равенства

$$mr + nr' = const$$

(r и $r'$ — расстояния от произвольной точки кривой до фокусов), на самом деле ясно выражающего оптическое свойство рассматриемых поверхностей *), вытекающее из волновой теории, а именно: свет, испущенный из одного фокуса, расположенного в свободном пространстве, ходится точно в фокусе, находящемся в среде, и относение $\frac{n}{m}$ равно коэффициенту преломления среды.

Назовем степенью (или порядком) фокуса количество отрезков нити, которые подходят к бульавке, закрепленной в этом фокусе для построения кривой по схеме Максвелла. Если один из двух фокусов находится в бесконечности и если степень фокусов равны, то построенная кривая является параболой; если степень конеч_

*) To есть поверхностей тел врашения овалов.

5

ного фокуса большие, чем бесконечного, то кривая — эллипс; если же степень удаленого в бесконечность фокуса большие, то кривая — гипербола. Очевидно, первый сулучай соответствует отражению параллельных лучей в фокус, когда при отражении от поверхности скорость света не изменяется; второй сулучай — это преломление параллельных лучей в фокус тела, оптически более плотного, чем окружающей пространство; третьий — это преломление параллельного лучка в оптически менее плотную среду.

Декарт описал свои овалы в «Геометрии», предложив также способ их построения, но только в частином случае, и его метод оказался менее простым, чем метод мистера Максвелла. Иллюстрация оптических свойств овалов быладана Ньюотоном с помощью синусов и Гюйгенсом (в его «Трактate о свете»). Но вряд ли кто подозревал, что существует такой легкий и изящный способ построения овалов с помощью булавок и нити в любом случае, когда порядки фокусов созмерены. Например, на рисунке 2

Кривая с фокусами второго и третьего порядка задает форму сечения поверхности тела из стека с коэффициентом преломления 1,5, подходящую для того, чтобы лучи, испущенные из точки f, собрались в точке F.

Что же касается сложных кривых с треем и более фокусами, то мы не в состоянии на сегодящий день дать им четкую физическую интерпретацию, но такой метод построения кривых, удовлетворяющих уравнению

$$mr + nr' + pr'' + \dots = const,$$

в силу своей простоты представляется самостояльный интерес. И если, следуя мистеру Максвеллу, считать овалы Декарта предельным случаем овальных кривых со многими фокусами, то мы имеем дальнейшее обобщение того же сорта, как у Монтиокла *, предлагавшего рассматривать конечное сечение как частный сулучай овалов Декарта.

*) Жан-Этъен Монтюкла — французский ученый XVIII века, механик, автор многоотомной «Истории точных наук».

Построим овал

Для тех, кого заинтересовала работа Дж. Максвелла (с. 3), мы здесь приводим несколько геометрических задач на построение овалов различных цертежными средствами. Для выполнения цертежей, кроме карандаша, циркуля и линейки, вам потребуетсяровная доска, булавки или тонкие гвоздики, суровая нитка и тонкий длиной металлической прутик (можно прямой кусок жесткой проволоки) со свободно скользывающим по нему колечком. А для решения задач — смекалка! (Впрочем, нетерпельные любители черчения могут подглядеть решения на с. 63.)

Для разминки начните с повторения конструкций Максвелла: прикрепите конопками лист чертежной бумаги к доске, воткините в него две булавки, обмотайте нитку так, как показано на рисунке 2 на с. 4, и проведите овал Декарта первого рода типа m:n = 2:3. (Если у вас нитка будет сокальзывать с карандаша, рекомендуем на его кончике проделать круговую лунку, по которой нитка сокальзывать не выскакивать.)

Задча 1. Укажите способ построения точек лежащих на овале Декарта первого рода, с помощью только циркуля и линейки. Проверьте его экспериментально, построив несколько точек на направлении Максвелла овале Декарта типа 2:3.

Задча 2. Укажите способ вычерчивания профиля плосковыпуклой линзы (см. рис.) толщины d (по оси), фокусирующей точечный источник A (расположенный по оси на расстоянии l₁ от выпуклой поверхности) в точку B (на расстоянии l₂ от плоской поверхности), если коэффициент преломления материала, из которого сделана линза, равен 1,5 или 2. (Здесь, кроме нитки и булавок, вам приготовится стержень с колечком!)

А. Митрофанов

6

М. Цаленко

Комбинаторные задачи информационного поиска

Научно-техническая революция, проискодающая сейчас в промышленно развитых странах, тесно связана с появлением и развитием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Современные ЭВМ могут выполнять миллионы арифметических действия в секунду. Оdnako ЭВМ вторгают также в такие области человекаской деятельности, в которых нет больших и сложных вычислений и которые вводе бы далек от математики. По-учительным примером служит библиотечное дело. В настоящее время рассказывается, почему ЭВМ начали широко применять в библиотеках и какие интересные и трудные математические задачи возникают при этом.

1. Что такое информационный поиск?

В крупных современных библиотеках хранятся миллионы книг, журналов, газет и других печатных материалов. Для того чтобы не запутаться в этом огромном собраннии литературы, сотрудники библиотек создают справочную систему из каталогов с аннотированными карточками.

Телерь представляет себе читателья, который прищел в библиотеку, чтобы прочесть какую-нибудь популяриую книгу о решении уравнений в радиках. Он может знать, что этой трудной задачей занимались многие математики и что ее решение связано с именами Абеля и Галуа, одnakо его математическое образование не достаточно для чтения специальной

7

литературы. Таким образом, появление нашей читателя в библиотеке приводит к так называемому информационному запросу: «НАЙТИ ПОПУЛЯРНУЮ ЛИТЕРАТУРУО РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛAX», и прежде чем читатель удовлетворит своего любозательность, он должен решить задачу информационного поиска: среди всех хранящихся в библиотеке книг отыскать ту, которая в наиболее степени его удовлетворит. Здесь на помощь ему приходит система каталогов. В тематическом каталоге он найдет раздел, содержащий перечень книг по математике, а внутри него — часть, содержащую перечисление книг по алгебре. И вот среди каталогных карточек этой части нужно выбрать те, которые, указывают на отыскиваемую литерару.

Теперь проведем несколько простых расчетов. Допустим, что на ознакомление с карточкой, расходуется в среднем всего 20 секунд. Это значит, что читатель работает очень быстро: считается, что на выполнение одной арифметической операции целевек траит порядка 10 секунд. Если читатель должен просмотреть 200 карточек, то он потратит около 67 минут только на отбор интересующей его литературы. Этот оборот составляет непроизвольную часть общего процесса поиска интересующих читателей сведений. Сам процесс называют информационным поиском; проведенный расчет показывает, что при информационном поиске с помощью каталогов значительная часть времени траится непродуктивно. Так как читательные самые крупных библиотек в течение одного дня посещают сотни лодей, а их информационные запросы бывают города более сложными, чем в приведенном выше примере, непроизвольные затраты времени при информационном поиске выражаются сотнями и тысячи часов.

Что бы пропллюстрировать сложность информационного поиска, приведем еще одну цифру. Сейчас во всем мире изделия свыше 750 журналов и других периодических изданий, посвященных только вычислительной технике. Это значит, что в течение года на различных языках публикуются десяти тысяч статей, занимающих сотни тысяч печатных страниц, которые относятся только к одной области человекаской деятельности. Однако эта область представляется для специалистов самых различных специальностей: инженероконструкторов, физиков, химиков, математиков, социологов, философов и многих других. Разобраться в нарастящем потоке литературы, найти необходимые сведения, использовать их в своей работе и не повторять уже выполненные работы очень трудно. Системы каталогов оказывается недостаточно, и во многих странах мира создаются специальные институты информации.

2. ЭВМ и информационный поиск

Замечательной особенность ЭВМ является ее умение «читать» и сравнивать слова, установливавать, одинаковы они или различны. Дело в том, что для написания любого слова русского языка нужно уметь изобраться всего 33 буквы. С другой стороны, ЭВМ легко распознавать последовательности из единиц и нуля. Расмотрим, как это принято, во многих современных вычислительных машинах, все последовательности из единиц и нуля, имеющиеровно во всем членов. Например, сюда войдет также последовательности:

00000000, 01010101, 11110000
(для краткости между членами последовательностей запятая не ставится).

Так как в каждой последовательностировно восемь членов, а любой член равен нулю или единице, общее число рассматриваемых последовательностей равно 2⁸=256. Условимся вместе первых букв а, б, в, 2, д, е русского алфавита писать соответственно последовательности:

10000000, 11000000, 11100000, 11110000, 10100000, 10010000

Подчерким, что каждую последовательность мы рассматриваем как один, а не восемь символов. Теперь с помощью новой символики можно записывать слова так, что их можно

8

«узнавать» ЭВМ. Наример, слово
беда будет выглядеть так:
1100000 10010000 10100000 10000000

Разумеется, подобный способ записи неудобен для человека, но он позволяет ЭВМ «читать». При этом машина может читать тексты на многохых языках, поскольку 256 последовательностей она может запомнить не только русские буквы, но и цифры, латинские буквы и многое специализные знаки, например знаки арифметических действия.

Наученная человеком читать, машина немедленно обгоняет его по скорости чтения: если человеку нужно 67 минут на прочтение 200 каталожных картокек, то ЭВМ справляется с этой работой за несколько секунд. При чтении машина может сравнивать два текста, установливать наличие в них общих слов или выражений, определять частью повлижения отдельных слов и т. д.

Однако естественные языки (русский, английский, немецкий или любой другой) машина «пониматить» очень трудно: каждую мысль на них можно выразить многоими способами. Поэтому лингвистия разрабатывает искусственные языки, называемые информационно-посковыми, которые свободны от этого недостатка.

Основной частью информации поискственных языков является совокупность понятий, терминов, словосочетаний, которые постоянно используются в конкретной предметной области — в математике, химии, биологии и т. д. Составляя аннотацию книги или реферат научной статьи, можно вместе предложенный естественного языка дать перечисление тех терминов, которые в наиболее степени отражают содержание книги или статьи. То же самое можно сделать и с информационными запросами читателей. Например, в серии «Популярные лекции по математике» была выпущена брошюра А. Г. Куроша «Алгебраические уравнения высших степеней». Ее аннотация могла бы быть записана следующим образом:

Комплексные числа, решение в радиалах уравнения второй и третьей степени, теорема Абе-

ля о неразрешимости в радиаклах общего уравнения прямой стелени, приближение вычисление корней, группа, колъю, поле.

Аннотация статьи Б. Н. Делоне «Алгебра (теория алгебраических уравнений)», помещенной в первом томе коллективного трехтомного труда «Matematika, ее содержание, методы и значение», может выглядеть так:

Решение в радиалах уравнения низших стеленей, формула Кардно, теорема Абея о неразрешимости в радиалах общего уравнения прямой стелени, теорема Галуа, расположение корней уравнения на комплексной плоскости, основная теорема алгебры, приближение вычисление корней.

Вспомним теперь о читателье, желавшем получить литературу о решении уравнения в радиалах. Его запрос можно описать так:

Решение в радиалах уравнения низших стеленей, теорема Абея о неразрешимости в радиалах общего уравнения прямой стелени.

Сравнение запроса с двумя приведенными выше аннотациями показывает, что почти все встречались в нем словосочетания входят в аннотации. Поэтому с большой вероятностью можно предложить, что брошюра А. Г. Куроша и статьи Б. Н. Делоне содержат интересующие читателя сведения.

Теперь становится ясным, какую часть информацииного пониска можно передать вычислительной машине: машина должна проверять, содержать ли термины и словосочетания запроса в аннотациях книги или статьи, хранящихся в библиотеке. Термины, понятия, словосочетания информацииного пониска называются ключевыми словами.

3. ЭВМ нужно использовать эффективно

Теперь рассмотрим несколько подробнее выполнение операций в ЭВМ. В каждой современной вычислительной машине имеются четые главы

9

ные компоненты: центральный процессор, оперативная память, внешняя память и устройство ввода — вывода. Центральный процессор управляет работой всей системы, и в нем совершается арифметические и логические операции, причем на отдельную операцию расходится миллионные доли секунды. Данные (числа, слова), с которых операрует процессор, находятся в оперативной памятии. Она имеет сравнительно небольшой объем, поскольку ее стоимость очень высока.

Напомним, что на запись отдельного символа (буквы, цифры, спецалгоритма знака) уходит восмчленная последовательность единиц и нулей. В оперативной памятии совершенных ЭВМ обычно можно записать 256000 или 512000 таких последовательностей, или знаков. Много это или мало? Как показывает практика, библиографическая карточка вместе с аннотацией содержит 1000—1500 знаков. Следовательно, в оперативной памятии можно в лучшем случае размещить около 500 карточек. Ясно, что это очень мало.

Остальные карточки помещаются во внешней памятии, объем которого в сотни раз больше объема оперативной памятии. Однако на передачу данных уходит времени в тысячу раз большие, чем на работу центрального процессора, который во время передачи подросту просстанавел. Ясно, что передача данных неосредственного отношения к информационному понску не имеет и является неопознавательной тратой времени. Таким образом, возникает задача об уменьшении числа обращений к внешней памятии. Существуют различные подходы к ее решению. Однако из них приводит к красной и трудной математической задаче, о которой и будет расссказано в заключение.

4. Как уменьшить «вес» множества слов?

Пусть $A$ — какое-то множество из $n$ элементов. Элементы будем обозначать малыми латинскими буквами $a, b, c, \dots$. Произвольное подмножество элементов из $A$ будем называть «словом» и вместе традиционной записи $\{a, b, c, d\}$ будет писать простой $abcd$; размещется, с одинаковым успесом можно написать $bdac$ или $dcab$ и т. д. Слово, в котором нет букв, т. е. пустое слово, рассматривается не будет. Поэтому имеется всего $2^n - 1$ слов.

Для связи с предыдущими рассмотрениями укажем, что буквами мы стали обозначать ключевые слова информационно-понскового языка, т. е. термины, понятия, словосочетания. Их число может быть очень большим, например порядка 10000. Набор ключевых слов может быть аннотацией или информационным запросом.

Предположим, что некоторое множество слов $M$ размещено во внешней памятии $EBM$ и что необходимо найти все слова из $M$, в которых встречаются буквы $a, b$ и $c$. Чтобы справиться с этой задачей, нужно почередно «прочесть» все слова из $M$, предварительно переписав их в оперативную память. Если $M$ неведено, то можно сразу все множество $M$ переместить туда. В обшем же случае такое перемещение осуществляется порциями, размер которых заранее определен. Следовательно, число обращений размером $M$ и размером передаваемой порции. Это число можно было бы уменьшить, если бы при помещении слов во внешнюю память слова с буквами $a, b$ и $c$ записьвали отдельно. Однако для задачи: найти все слова с буквами $b, c$ и $d$ — продолжанная работа бесполезна.

Тем не менее предварительно сортировка слов при их записи во внешнюю память оказывается полезной, если имеет в виду не отдельный запрос, а все возможные запросы. Разобъем множества $M$ на части и помещим каждую часть в отдельный конверт, а на конверт перечислим все буквы, встретившиеся в положениях в конверт словах. Теперь при поиске слов с буквами $a, b$ и $c$ начинала обращаться конверты, на которых надписаны эти буквы, а потом прочитываются слова из этих конвертов. Слова по конвертам следует разместить таким образом, чтобы общие число «вскрытый» конвертов для

10

всех возможных запросов оказалось наиболее простым примером. Пусть множество $M$ состоит всего из трех слов $ab, ac$ и $bc$, а запросы, которые мы будем делать, должны быть неупустыми подмножествами множества $\{a, b, c\}$. тогда общее число запросов равно семи. Поместим сначала каждое слово в отдельный конверт. Тогда конверт со словом $ab$ откроется три раза: при поиске слов $a$, слов $c$ и слов $a$ и $b$. Так как все конверты равновыны, то общее число вскрытый равно 9. Тепер поместим слова $ab$ и $ac$ в один конверт, а слово $bc$ в другой. В этом случае первый конверт придает открытый семь раз, а второй по-прежнему три раза, и общее число вскрытый равно 10.

Наконец, поместим все слова в один конверт. Тогда общее число вскрытый равно 7: при каждом запросе надо открыть конверт, а всего запросов 7. Таким образом, в нашем примере лучше всего держать $M$ в одном конверте. (Изменится ли результат, если к $M$ добавить слова $a$ и $abc$ или удалить из $M$ слова $bc$?)

Тепер мы готовы к рассмотрению общей задачи. Пусть $M$ — произвольное множество слов. Число $k$ различных букв, встречающихся в словах из $M$, называется уровень множества $M$ и обозначается $l(M)$. Например, если

$$M = \{abc, bcd, cde, dea, eab\},$$

(1) то уровень $M$ равен 5.

Весом множество $M$ называется число $2^l(M) - 1$. В приведенном выше примере все $M$ равен 31. Ясно, что все $M$ равен числу слов, которые можно составить из $l(M)$ букв.

Задучу, которая возникает при попытках уменьшить число обращений к внешней памятии ЭВМ, можно формировать так: для любого множества слов $M$ указыва метод его разбиения на такие непересекающие подмножества $S_1, S_2, \dots, S_k$, что сумма весов

$$P = (2^l(S_1) - 1) + \dots + (2^l(S_k) - 1) = \sum_{i=1}^{k} (2^l(S_i) - 1)$$

является наименьшей.

11

ными экземплярами одного и того же минимального блока. В дальнейшем такие блоки для нас равноправны.

Докажем теперь одну из теорем, дающих представление об устройстве минимальных блоков.

Теорема. Minimalные блоки уровня 5, состоящие из трехбуквенных слов, с точностью до замены букв исчерпываются следующим списком:

$$S_1 = \{abc, bcd, cde, dea, eab\};$$
$$S_2 = \{abc, abd, abe, acd, ace, ade\};$$
$$S_3 = \{abc, abd, abe, acd, ace, bde\}.$$

Доказательство. Каждое трехбуквенное слово имеет вес $2^3 - 1 = 7$. Все любого множества уровня 5 равен 31. Поэтому в любой блоку уровня 5 входит не менее пяты слов: в противном случае сумма весов отдельных слов была бы меньше 31.

Далее, в любом блоке уровня 5 каждая буква должна встречаться не менее трех раз. В самом деле, пусты буква $a$ встречается менее трех раз. тогда все множества слов, в которых нет $a$, не превозходит 15, а сумма весов слов $a$ не превозходит 14. Значит, общая сумма весов меньше 29, что противоречит определению блока.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1. Minimalный блок $S$ содержит пять слов. Так как число всех букв в $S$ равно 15, в силу предыдущего замечания каждая буква встречаетсяровно три раза. Введем для наглядности расчёкдений квадратную таблицу размена $5 \times 5$, в первом столбце которого будет записья буква $a$, во втором — $b$ и т. д. (см. таблицы 1a—1b).

Предположим, что какая-то пара букв, например $a$ и $b$, встречается только один раз. Тогда возникает ситuação, изобравенная на таблице 1a. Обозначим через $c$ ту букву, которая входит в первое слово. Эта буква обязана встретиться еще по разу с $a$ и $b$: если она еще два раза встретилась с $a$, то в двух последних строках таблицы стояло бы одно и то же слово, что невозможно. Поэтому от таблицы 1a мы переходим к таблице 16.

Ясно, что в третью и пятую строки таблицы нужно поставить слова ade и bde. Но тогда во вторую строку следует поместить $d$ (или $e$), а в четвертую — $e$ (или $d$); ввиду симметрины между $a$ и $b$ на таблице 16 обе возможности равноправны. Таблица 1в дает возможность кандидата в минимальный блок. Построенное множество слов $S$ действительное является минимальным блоком, поскольку любое его подмножество из трех слов имеет вес 31. Оно переходит в $S_1$, если $d$ заменить на $e$, $e$ на $a$ и $a$ на $d$.

Никакая пара букв не может встретиться три раза, так как не хватит букв для пятого слова; поэтому остается предположить, что каждая пара букв встретиется дважды. Однако и этот вариант невозможен: буквы $a$, $b$ и $c$ можно разместить только так, как показано на таблице 2, и для последнего слова недостаочно букв.

Случай 2. В минимальном блоке $S$ шесть слов. Тогда в словах

Табл. 2.

12

из $S$ встреется всего 18 букв. Число 18 можно следующего способами представить в виде суммы пяты слагаемых, каждое из которых равно 3, 4, 5 или 6:
a) $18=6+3+3+3+3$;
b) $18=5+4+3+3+3$;
c) $18=4+4+4+3+3$.

При способе a) одна буква, например $a$, встреется шесть раз. Поэтому $S$ совпадает с $S_2$; предполагаем читатель самостояльно доказать, что $S_2$ — минимальный блок.

Перейдем к способу 6). Пусть для определенности путь раз встреется буква $a$, четыре раза—буква $b$. тогда сразу получаем таблицу 3a. В четырёх и пятой строках какая-то из букв: $c$, $d$ или $e$ — появляется дважды; обозначим ее через $c$. В шестой строке может стоять только слово $bde$, и в результате мы приходим к таблице 36.

Табл. 3a. Табл. 36.

Для доказательства того, что построенное множество слов $S_3$ является блоком, достаточно заметить, что в $S$ любое подмножество уровня 4 содержит не больше трех слов, а остальные слова образуют подмножество уровня 5 и потому сумма весов не может быть меньше $36=15+7\times 3$, а вес $S$ равен 31. Minimalность следует из того, что, какое бы слова ни удалить, в оставшихся словах буква $a$ встреется не менее четырех раз, чего не может быть в блоках уровня 5 из пятых слов в силу первого случая.

Переходим к способу b). Пусть буквы $a$, $b$ и $c$ встреются по четыре раза. тогда либо какая-то пара этих букв встреется три раза, либо любая пара встреетсяровно два раза. В соответствии с этим мы приходим к таблицам 4a и 46 (с точностью до переменования букв).

Первое построение множество является блоком, но неминimalным: после удаления из него слова $abc$ получится блок типа $S_1$. Второе множество вообще не является блоком, так как оно является объединением своих подмножества {abd, acd, bcd} и {abe, ace, bce} уровня 4, и для этого разбиения сумма весов равна $30<31$.

Теперь остается доказать, что других минимальных блоков уровня 5 из трех буквенных слов не существует. Если в множество $S$ девять или десять слов, то хотя бы одна буква встреется шесть раз, и потому в $S$ содержится блок типа $S_2$. Значит, $S$ — всегда минимальный блок.

Если в $S$ семь или восемь слов и ни одна буква не встреется шесть раз, то всегда найдется такая пара букв, скажем $a$ и $b$, что $a$ встреется пяты раз, $b$ — не менее четырех раз, а пара $a$, $b$ встреется три раза (проверьте!). Поэтому считать (убедитесь в этом!), что в $S$ входят следующие пять слов: $abc$, $abd$, $abe$, $acd$, $ace$. К ним надо добавить не менее двух слов из следующих четырех: $bcd$, $bce$, $bde$, $cde$. Если добавится одно из слов $bde$ или $cde$, то в $S$ попадет минимальный блок типа $S_3$. Если же добавится слова $bcd$ и $bce$, то в словах из $S$ вообще не встреется пара букв $d$ и $e$, чего не может быть в блоке (см. ниже задачу 3).

Задание 1.

1. Описать все минимальные блоки уровня 5 из двух буквенных слов.
2. Множество $S'$ получено из множества $S$ приписыванием к ним новейшей буквы. Доказать, что если $S$ — минимальный блок, то и $S'$ — минимальный блок.
3. Если в словах блока $S$ встреется буквы $a$ и $b$, то в $S$ найдется слово, содержащей $a$ и $b$.

4.**. Описать все минимальные блоки уровней 6 и 7 из трех буквенных слов.
5*. Доказать, что не существует блоков уровня 8 из трех буквенных слов.

13

Я. Смородинский

Планеты
движутся
по эллипсам

«Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце».
Этот закон приоды был открыт Кеплером в XVI веке. Как «первый закон Кеплера» он вошел во все учебники, стал привчным и «само собой разумениюся». И для нас нет ничего странного в поведении планеты.

А ведь на самом деле этот факт удивительен. Почему по эллипсу? Конецно, по какой-то кривой планета должна двигаться. Но почему она движется по замкнутой кривой? Почему планета, сделав полный оборот вокруг Солнца, возвращается в ту же точку? Как она эту точку запоминает? Почему движение планеты в поле тяжестей Солнца оказывается периодически? Это свойство весына

необычно. Если бы сила притяжения планеты к Солнцу не была обратно пропорциональная квадрату расстояния, а изменялась бы, например, по закону $1/r^3$ или даже $1/r^2,^{01}$, то орбита планеты не была бы замкнутой.

Отсюда, между прочим, следует, что в Солнечной системе планеты, вообще говоря, не могут движаться по эллипсу. Прияжение других планет, и особенно такого гигаента, как Юпитер, должно как-то сказаться на движении планеты. И оно сказывается: сделав полный оборот вокруг Солнца, планета не возвращается точно на старое место, а «просакивает» его. Именено этим объясняется смение перигеля Меркурия в направлении его движения примерно на 1,2″ за один оборот (на 5″ за земной год). (К счастью, Кеплер об этом не знал — его наблюдения Марса, для которого он строил свою теорию, был недостаочно точны, чтобы заметить столб маленькую «прецессию».)

Нелегко было Кеплеру в XVI веке освободиться от старого убеждания, что небесные тела — самые «идеальные» тела в нашем мире — должны и двигаться по самым идеальным кривым, то есть по окружностям. Дa-

14

Же Коперник, отбросивший представление о покоящейся Земле и приписавший ей такое же круговое движение, какое совершают другие планеты, не смог отказывать от идеальных кривых и использовал для точного описания движения планет системы каташихся окружностей.

Но ни Коперник, ни его предшественники не проволили тщательного сравнения своих моделей с наблюдаемыми. А небольшие расхождения их не смущали. Только Кеплер поставил перед собой деревку по тому времени задачу: описать движение планет точно, не примяясь ни с какими расхождениями наблюдаемей с теорией. Решить такую задачу ему помогло сотрудничество с датским астроνομом Тихо Браге, который, из дня в день наблюдая в течение почти 25 лет положение планет, собрал необычайно полный по тому времени материал *).

Кеплер задумался о том, почему планеты искривляют свой путь вокруг Солнца. Оногдаался, что Солнце действует на планеты, несмотря на то, что планеты находятся на больших расстояниях от него. Но установить правильную зависимость силы этого действия на расстоянии Кеплер не смог — он думал, что эта сила обратно пропорциональна расстоянию. О вывода формулы орбиты Кеплер не мог даже подумать — у него не было уравнения движения.

Только спустя более чем полвека Ньюотон в своей замечательной книге «Начала натуральной физистичной» (так тогда назвали физику) показал, как вывести все законы движения планеты из уравнения **). Вывод Ньюотона лежит в основе небесной механики и в наших дни. Только сейчас для

*) Тихо Браге был последним Великим астроνομом, у которого не было телескопа. Все наблюдения он проволил, просто смотря на него и измеря углы с помощью астроологии.

**) Ньюотон решил обратную задачу: какова должа быть зависимость действия на планете силы прятяжения к Солнцу от расстояния между планетой и Солнцем чтобы планета двигалась по эллипсу? Он показал, что должа быть обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Рис. 1. $r_1 - r = 2c, r_1 + r = 2a$.

15

Закон сохранения энергии

При движении планеты ее полная энергия $E$ остается постоянной:
$$E = \text{const.}$$

Эта энергия равна сумме кинетической энергии $K = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии планеты в поле силы тягежи Солнца
$$\Pi = -\gamma \frac{mM}{r} = -\frac{\alpha m}{r} \quad (\alpha = \gamma M)^*$$

$(m - \text{masca планеты}, M - \text{masca Солнца}, r - \text{расстояние между ними и } \gamma - \text{гравитационная постоянная}).$ Итак,
$$E = \frac{mv^2}{2} - \frac{\alpha m}{r}. \quad (1)$$

Для удобства вместе постоянной $\Sigma$ введем другую постоянную $v_0$ такую, что
$$E = -\frac{mv_0^2}{2}.$$

Мы поставили в этой формуле знак минус, потому что полная энергия планеты отрицательна, а $v_0^2 > 0$.

Формулу (1) мы теперь можем записать так, что масса «выпадет» из уравнения:
$$-\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} - \frac{\alpha}{r},$$
или
$$\frac{v^2}{2} + \frac{v_0^2}{2} = \frac{\alpha}{r}. \quad (1')$$

Разделив обе части этого равенства на $v_0^2/2r$, получим
$$\left(\frac{v}{v_0}\right)^2 r + r = \frac{2\alpha}{v_0^2}.$$

Постоянную $2\alpha/v_0^2$ обозначим через $2\alpha$, а отношение $v/v_0 - \text{буквой } u$.

*) Наломним, что потенциальная энергия принимается равной нулю при бесконечном большом $r$. Поэтому в случае сил притяжения потенциальная энергия оказывается отрицательной. По абсолотной величине потенциальная энергия больше кинетической — планета не может «оторвать» от Солнца.

Рис. 2.

Получим простую формулу
$$\sqrt{ru^2 + r} = 2a. \quad (*)$$

В таком виде закон сохранения энергии очень удобен для наших целей.

Мoment импульса

При движении планеты остается постоянной еще одна величины — момент импульса:
$$L = mvr \sin \alpha,$$
где $\alpha$ — угол между радиус-вектором $r$ планеты и вектором $v$ ее скорости (о моменте импульса рассказано в Приложении).

Нам удобнее будет вместе $L$ ввести величину, которая тоже остается постоянной,—
$$L_0 = L/m = rv \sin \alpha.$$

Из рисунка 2 видно, что $v \sin \alpha$ — это проекция вектора $v$ на направление, перpendикулярное радиус-вектор $r$. Это означает, что величины $(v \sin \alpha)/r$ равна угловой скорости $\omega$ планеты в тот момент, когда ее положение определяется радиус-вектором $r$. Таким образом,
$$L_0 = \omega r^2. \quad (2)$$

Уравнение движения

Согласно второму закону Ньютона под действием силы притяжения к Солнцу $F = -\gamma \frac{mM}{r^2}$ планета движется, сускорением
$$w = -\gamma \frac{M}{r^2} = -\frac{a}{r^2}.$$

16

Это уравнение движения планеты правильнее записьать в векторном виде. Чтобы сделать это, введем вектор $n$ такой, что

$$\vec{n} = \frac{\vec{r}}{r}.$$

Эта запись означает, что длина вектора $n$ равна единице, а направлен этот вектор по радиус-веktorу $\vec{r}$. Таким образом, в векторном виде уравнение движения планеты можно записать так:

$$\vec{w} = -\frac{\alpha}{r^2} \vec{n}.$$

(3)

Вектор Лапласа

Теперь мы можем приступить непосредственно к нашей задаче. Попытаемся найти вектор, связанный с орбитой планеты, который при движении планеты остается постоянным и которое мы можем сопоставить вектор $2c$.

При движении по круговой орбите угловая скорость постоянна и векторы $v$ и $n$ все время остаются взаимно перепределкульрями. При движении же по некруговой орбите (например, по эллипсу) угловая скорость изменяется со временем и угол между векторами $v$ и $n$ не остается постоянным.

Найдем, по какому закону изменяется вектор $n$. Для определения будем считать, что движение по орбите проискодит против часовой стрелки.

Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ планета переместилась по орбите из точки $B$ в точку $C$ (рис. 3) так, что радиус-веktor ее $r$ повернулся на угол $\omega \Delta t$ (время $\Delta t$ мало настолько, что угловую скорость $\omega$ можно считать неизменной). Вектор $n$ в результате поворота перейдет в новый вектор $n + \Delta n$, но длина этого нового вектора, разумеется, равна единице. Изменение $\Delta n$ вектора $n$ найти нетрудно: $\Delta n = \omega \Delta t n$, а на

17

Это выражение, очень удобно, можно записать так:

$$\Delta(-L_0 v' - \alpha n) = 0.$$

Но это означает, что вектор

$$\vec{A} = -L_0 v' - \alpha n$$

при движении планеты остается постоянным. Как мы увидим далее, это и есть тот вектор, который мы ищем.

Преобразуем формулу (7). Прежде всего избавимся от вектора $v'$. Сделаем мы это с помощью рисунка 4. Как видно из рисунка,

$$v' = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \vec{v} - \frac{v}{\sin \alpha} \vec{n}.$$

Учитывая, что $\sin \alpha = L_0/rv$, а $\cos \alpha = \frac{r \cdot v}{rv}$, выражение для $v'$ мы можем записать так:

$$v' = \frac{1}{L_0} [(r \cdot v) \vec{v} - v^2 r]$$

(поскольку $rn = r$). Подставляя это $v'$ в формулу (7), получим:

$$\vec{A} = v^2 r - (r \cdot v) v - \alpha r/r.$$

(8) Этот вектор в механике называют вектором Лапласа.

Выражение (8) мы еще преобразуем. Из формулы (1’) для закона сохранения энергии находится:

$$\frac{\alpha}{r} = \frac{v^2 + v_0^2}{2}.$$

Подставим это выражение в (8), разделим обе стороны на $v_0^2/2$, перейдем к новой переменной $u = v/v_0$ и обо-

Рис. 4.

значит вектор $\vec{2A}/v_0^2$ через $\vec{2c}$:

$$\vec{2c} = u^2 r - 2(r \cdot u) u - \vec{r}$$

(здесь $\vec{u} = v/v_0$). Если ввести и еще одно обозначение:

$$\vec{r}_1 = u^2 r - 2(r \cdot u) \vec{u},$$

то последнее равенство записется совсем просто:

$$\vec{r}_1 - \vec{r} = 2\vec{c}$$

(**)

Уравнение эллипса

Если читатель надоели преобразования, то ему будет принято узнать, что задача уже решена. Траектория планеты заключита в двух формулах в рамках: в формуле (*), которое мы получили из закона сохранения энергии,

$$u^2 r + r = 2a$$

и в формуле (***).

Для того чтобы убедиться в этом, вычислим квадрат длины вектора $\vec{r}_1$:

$$\vec{r}_1^2 = u^4 r^2 - 4 u^2(r \cdot u)^2 + 4(r \cdot u)^2 u^2 = u^4 r^2.$$

Отсюда следует, что длина вектора $\vec{r}_1$ равна $u^2 r$, то есть как раз первому члену в равенстве (*).

Теперь это равенство (*) выглядит как уравнение эллипса

$$r_1 + r = 2a.$$

Итак, мы доказали, что три вектора $\vec{r}, \vec{r}_1$ и $2c$ образуют треугольник, сумма двух сторон которого постоянна и равна $2a$. Но это и значит, что геометрическое место концов всевозможных радиус-векторов $r$ (при постоянном векторе $c$) есть эллипс.

Теперь выясняется геометрический смысл введенных постоянных, $a = \alpha/v_0^2$ — это большая полученная эллипса. Она зависит только от полной энергии планеты и не зависит от момента импульса. Вектор $2c$ соединяет два фокуса эллипса. Длина $c$ равна фокусному расстоянию (половине расстояния между фокусами). По-

18

Приложение

Закон, о котором поддет речь, впервые был установлен И. Кеплером. Изучая движение планет вокруг Солнца, Кеплер обнаружил, что площадь, «заметаемая» радиус-вектором планеты в единицу времени, постоянна. Она не зависит от положения планеты на орбите. Обозначим через $r$ радиус-вектор планеты и через $v$ ее скорость в момент времени $t$ (рис. 6). За маленный промежуток времени $\Delta t$ планета совершит перемещение $v \Delta t$. При малых $\Delta t$ площадь сектора эллипса совпадает с площадью треугольника, построенного на векторах $r$ и $v \Delta t$, то есть

$$\Delta S = \frac{1}{2} rv \Delta t \sin \alpha,$$

сторная $v_0$ — это значение скорости планеты в тот момент, когда планета находится на конце малой полуоси. Покажем это. На конце малой полуоси, по определению, длины радиус-векторов $r$ и $r'$ равны. Следовательно, $u^2 = 1$ (так как $r_1 = u^2 r$). Это и означает, что $v = v_0$. Отсюда, в частности, следует, что малая полуось эллипса $b$ равна

$$b = L_0/v_0$$

(это равенство разьясняется рисунок 5).

Итак, подведем итог. Мы показали, что планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Параметры этого эллипса таковы:

большая полуось: $a = \alpha/v_0^2$,
малая полуось: $b = L_0/v_0$,
где $\alpha = \gamma M$ (M — масса Солнца), $L_0$, $v_0$ — константы для данной планеты.

Посленее замечание

Мы получили практические все формылы, которые описывают движение планеты по эллипсу. Все, кроме одной, — мы не знаем, как изменяется во времени положение планеты на орбите. Это — более сложная задача, и мы не станем его запоминается. По крайней мере сейчас.

Рис. 6.

19

Рис. 7.

Таким образом, мы будем считать, что
$$\Delta r = v \Delta t,$$
$$\Delta v = w \Delta t^*).$$

Естественно, что при вычислении изменения площади параллелограмма нас также будет интересовать только скорость изменения площади, а ускорения (величины, пропорциональные $(\Delta t)^2)$ мы будем отбрасывать. Ускорение планеты пропорционально силе $\vec{F}$, действующей на планету. Сила же направлена к Солнцу, т. е. противоположна по направлению радиусвектору. Следовательно, вектор $\Delta v$ параллелен вектору $\vec{r}$. Направлен же он противоположно вектору $\vec{r}$. Телерь нетрудно наиссовать векторы $\Delta r$ и $\Delta v$, затем векторы $r' = r + \Delta r$ и $v' = v + \Delta v$ и построить на них параллелограммы (рис. 7). Площади этих параллелограммов равны соответствию $S_2 = v' r' \sin \beta$, где $\beta$—угол между векторами $v'$ и $r'$, и $S_3 = \Delta r \Delta v \sin \alpha$. Нетрудно показать, что
$$S_2 = S_1 + S_3.$$
Телерь мы заметим, что площадь $S_3$ пропорциональная $\Delta t^2$, так как и $\Delta r$, и $\Delta v$ пропорциональных $\Delta t$. Так как мы условиям величины, пропорциональных $(\Delta t)^2$, пренебрегаются, мы можем выкинуть и площадь $S_3$. Мы получаем нужное нам утверждение
$$S_2 = S_1,$$
т. е. площадь параллелограмма не изменяется со временем.

*) $w$ есть ускорение для вектора $\vec{r}$, но это—скорость изменения скорости $v$.

Наше рассужждение, конечно, не очень строгое, но его можно сделать точным, особенно если уметь дифференцировать.

Вернемся теперь к физике. Если $\Delta t$ мало, то площадь маленького параллелограмма можно считать очень маленькой. Так что при движении планеты площадь параллелограмма, построенного на векторах $r$ и $v$, остается постоянной:
$$vr \sin \alpha \approx v' r' \sin \beta = \text{const.}$$

Остается только заметить, что площадь треугольника, построенного на тех же векторах, вдвое меньше площади параллелограмма, и мы приходим к второму законуке:

Кеплера: $$\frac{1}{2} vr \sin \alpha = \text{const.}$$

При доказательстве мы используем только то обстоятельство, что сила, действующая на планету, направлена вдоль радиус-вектора. В таких случаях говорят, что тело движется под действием центральной силы, т. е. силы, направленной всегда в одну точку (или от нее). Поэтому доказанное нами утверждение можно сформулировать так:

Для матерIALНОЙ МОЧКИ, коморая движется под действием центральной силы, величины $rv \sin \alpha$ остаются постоянной. Остается построенной в величины $mvr \sin \alpha$, где $m$ — масса матерIALНОЙ ТОЧКИ. Но $mv = p$ — это импульс частицы. Величина же $L = pr \sin \alpha$ называется моментом импульса. Так мы пришли к закону сохранения момента импульса:

При движении матерIALНОЙ МОЧКИ в поле центральной силы момент импульса остаются постоянными.

Этот закон играет для движения в поле центральной силы роль, пожекую на роль закона сохранения импульса для движения в отсутствие сил.

20

Задачи

М596—М600; Ф608—Ф612

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшеней школьной программы. Наноблее трудные задчи отмеются звездочкой. После формирования задчи мы обчено указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задчи публикуются впервые. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 1 февраля 1980 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 12—79» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «М596, М597» или «Ф607». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации (или цикла задач), присвайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конвертеометьте: «Задачик «Кванта», новая задча по физике» или «… новая задча по математике»). В начале каждой письма просим указываать вашем, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

М596. Дана пятнуюльная признама с основаниями $A_1A_2A_3A_4A_5$ и $B_1B_2B_3B_4B_5$. Все ребра оснований и все отрезки $A_iB_j(i, j=1, 2, 3, 4, 5)$ окрашены либо в красный, либо в зеленьй цвет так, что в каждом треугольнике вершинами в вершинах признамы, стороны которого окрашены, есть две стороны разного цвета. Докажите, что все десять ребер оснований окрашены одинаково.

XXI Международная олимпiad по математике, 1979 г.

М597. Положим
$$x_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}.$$
a) Докажите существование предела
$$\gamma = \lim_{n \to \infty} (x_n - \ln n).$$
b) Докажите, что для любых $n$, $m \in N$
$$\gamma < x_n + x_m - x_{nm} \subseteq 1.$$
b) Найдите $\gamma$ с точностью до 0,1.

В. Ясинский

М598. Даны плоскость $P$, точка $P$ на этой плоскости и точка $Q$ вне плоскости $P$. Найдите все точки $n$ в плоскости $P$, для которых отношение $(|QP| + |PR|)/|QR|$ максимально.

XXI Международная олимпiad по математике, 1979 г.

М599. a) Сколькими нулями оканчивается число $4^{56} + 6^{54}$?
b) Указите наиболее наиболее интересный число
$$1978^{1979}1980 + 1980^{1979}1978.$$
П. Гусятиков

М600. Два величины едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной из точек их пересечения и сделав по одному обороту, величины вновь встретились в этой точке. Докажите, что на плоскости, в которой лежат окружности, существует такая неподвижная точка, расстояния от которой до величины встретились все время одинаковы, если они едут:
a) в одном направлении (против часовой стрелки);
b) в разных направлениях.

Н. Васильев, И. Шарьен

$^*) a^{bc}$ означает $a^{(bc)}$

21

Ф608. Космический корабль массой $M=12$ т движется вокруг Луны по круговой орбите на высоте $h=100$ km. Для перехода на орбиту приложения на короткое время включается реактивный двигаель. Скорость вылеташих из солла ракеты газов $u=10^4$ м/c. Радиус Луны $R_\perp=1,7 \cdot 10^3$ km,ускорение свободного падения у поверхности Луны $g_\perp=1,7$ м/c$^2$.

1. Какое количество топлива необходимо израсходовать для того, чтобы при включении тормозного двигаеля в точке $A$ траектори корабля он опустился на Луну в точке $B$ (рис. 1)?

2. Во втором варианте приложения кораблю в точке $A$ сообщается импульс в направлении на центр Луны, чтобы перевести корабль на орбиту, касающийся Луны в точке $C$ (рис. 2). Какое количество топлива необходимо израсходовать в этом случае?

X1 Международная олимпиада по физике, 1979 г.

Ф609. Деталь, изготовления из алюминия, взвешивается на аналитических весах с помощью латунных гирь. При одном взвешивании воздутири весов сухой, при другом — влажный, давление водяных паров в котором равно $p_B=15,2$ мм рт. ст. Внешнее давление ($p=760$ мм рт. ст.) и температура ($t=20^\circ\text{C}$) воздуха в обонх случах одинаковы.

При какой массе детали можно заметить разница в показаниях весов, если их чувствуетность $m_0=0,1$ мг? Плотность алюминия $\rho_1=2,7$ г/cм$^3$, латуни $\rho_2=8,5$ г/cм$^3$

X1 Международная олимпиада по физике, 1979 г.

Ф610. В советско-французском эксперименте по оптической локации Луны импульсное излучение рубинового лазера на длине волны $\lambda=0,69$ мкм направляясь с помощью телекскола с диаметром зеркала $D=2,6$ м на лунную поверхность. На Луне был установлен отражатель, который работал как идеальное зеркало диаметра $d=20$ см, отражающей свет точно в обратном направлении. Отраженный свет улавливается тем же телекскопом и фокусировался на фотоприемник.

1. С какой точностью должен быть установлен оптическая ось телекскола в этом эксперименте?

2. Пренебрегая потерями света в атмосфере Земли и в телекопе, оценить, какая доля световоэнергии лазера будет после отражения от Луны зарегистирована фотоприемником.

3. Можно ли отраженный световой импульс зарегистировать невооруженным глазом, если пороговочую чувствуетность глаза принять равной $n=100$ световых квантов, а энергия, излучаемая лазером в течение импульса, равна $E=1$ Дж?

4. Оценить выигрыш, который дает применение отражателя. Считать, что поверхность Луны рассеивает $\alpha=10\%$ падающего света равномерно в телесный угол 2π стер.

22

Расстояние от Земли до Луны $L = 380 \cdot 10^3$ km.
Диаметр зрача глаза приять равным $d = 5$ мм.
Постоянная Планка $h = 6,6 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.
Х1 Международная олимпиада по физике, 1979 г.

Ф611. Акробат, находясь на боковой поверхности цилиндра, лежащого на очень шероховатом полу, перебирает ногами и движется с постоянной скоростью вправа. Считая коэффициент треня ботинок акробата о поверхности цилиндра равным $\mu$, определять предельный угол $\alpha$, который может составить с вертикально радиус цилиндра, проведенный в точку, в которой находится акробат. Чему будет равна при этом треня ботинок акробата о цилиндр?

Ф612. Какое количество теплоты необходимо сообщить 0,1 кг неона для его нагрева на $5^\circ\text{C}$, если при нагревании давление неона пропорционально его объему?

Решения задач

M540—M544; Ф553—Ф557

М540. Международное общество состоит из представимелей шести различных стран. Список членов общества состоит из 1978 фамилии, заимерерованных числами 1, 2,…,1978.

Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равняется сумме номеров двух членов из его стран или удовлетворяют номеру некоморого члена из его страны.

Рис. 1.

Предположим, что заключение задачи не выполняется. Заметим, что одна из стран представлена в обществе не менее чем 330 членами. Действительно, если бы каждая делегация состояния не более чем из 329 членов, то всего в обществе было бы не больше чем $329 \times 6 = 1974$ члена. Аналогичным рассужdenем (известным под названием причина Дирихле) мы будем пользоваться еще несколько раз, не посягая его специально. Расположим номера ученых этой страны в порядке возрастания: $a_1, a_2, \dots, a_{330}$, В силу нашего предположения ученые с номерами $a_2-a_1, a_3-a_1, \dots, a_{330}-a_1$ представляют оставшиеся пять стран. Средних не менее 66 представляют одну страну; пусть это ученые с номерами $b_1, b_2, \dots, b_{66}$. Тогда ученые с номерами $b_2-b_1, \dots, b_{66}-b_1$ представляют оставшиеся четырьше страны. Средних не менее 17 ученых представляют одну страну; пусть их номера $c_1, c_2, \dots, c_{17}$. Тогда ученые с номерами $c_2-c_1, \dots, c_{17}-c_1$ живут в оставшихся трех странах. Из них мы аналогичным образом найдем 5 ученых, представляющих две страны, а затем двух представителей одной страны, разность номеров которых не может быть номером ученого ни одной из стран. Противоречие!

Задча решения.

Если поставить теперь вопрос о том, сколько должно быть членов в обществе из представителей $k$ стран, чтобы заключение задачи наверняка выполнялось, то приведенный выше метод решения дает ответ $n_k = [k!e] = k! \left( 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{k!} \right)$ (проверьте это самостояльно).

Однако эта оценка может быть уличшена уже для $k=3$. Как сообщил нам А. Ходульев, для трех стран достаточно не 16=[3!e], а 14 представителей. Для тринадцатей представителей трех стран заключение задачи не выполняется; соответствующий пример приведен на рисунке 1. А для четырех стран достаточно 45 представителей; для 44 же представителей четырех стран можно привести пример, когда заключение задачи не выполняется. Оценка сизу для количества членов общества из $k$ стран, для которых

23

М541. В компании из N. человеку у каждойровно трое друзей.
а) Доказите, что N чемно.
б) Всегда ли макую компанию можно разбить на N/2 пар马克, чтобы люди в каждой паре были друзьями?

Рис. 2.

М542. Дан прямоугольный треугольник $A_0A_1A_2$ с каметами $|A_0A_2| = a$ и $|A_1A_2| = b$. Муравей полем по бесконечной ломкой $A_2A_3A_4A_5\dots$, еде $A_nA_{n+1}$ — высота треугольника $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
а) Найдиме длину его пути (из бесконечного числа отрезков).
б) Построите предельную точку L, к комpoей приближается муравей. На каких расстояниях от каметов она находится?

a) Подсчитаем число пар друзей. Поскольку каждый имеет трех друзей, то есть входит в 3 такие пары, то общее число пар равно 3N/2. Отсюда следует, что N четно.

Если изображать людей точками — вершинами, а друзей соединять отрезками — ребрами, то конфигурация, удовлетворяющая условию задачи, будет однородным графом стелени 3 (от каждой вершины отходит 3 ребра). На языке графов нашей решение можно записать так: поскольку у каждой из M ребер графа два конца и каждой из N вершин служит концом трех ребер, $2M=3N$, откуда $M=3N/2$.

6. Ответ. Не всегда. Простейший пример, который привел почисти все читатели, правильно решившие задачу, содержит 16 вершин и, стало быть, 24 ребра (рис. 2). Если выбрать пару $OA_1$, то пятерки, содержащие $A_2$ и $A_3$, уже нельзя разбить на пары. Как отметил десятиклассник В. Губа из Вологды, также примеры существуют при всех четырех $N \geq 16$.

Во всех контрипмерах, приведенных читателями, на графе имеется перешеек — ребро, после выбравания которого граф распадается на два куска (в нашем примере три перешеек: $OA_1$, $OA_2$ и $OA_3$). Это не случайно. Можно доказать — предлагаем это как задачу читателям, — что в однородном графе стелени 3 без перешееквсегда существует граф, содержащих все вершины графа и не имеющих общих вершин. (См., например, главу 18 книги К. Бержа «Теория графов и ее применения» (М., ИЛ, 1962).)

Задание о паросочетаниях — достаточно продвинутый раздел теории графов. О некоторых из этих задач рассывалось в «Кванте» (1970, № 4, c. 14; 1974, № 11, c. 23).

Рассмотрим преобразование подобия Π, переводящей треугольник $A_0A_1A_2$ в треугольник $A_2A_3A_4$. Его коэффициент подобия

$$k = \frac{|A_2A_3|}{|A_0A_1|} = \frac{ab}{a^2 + b^2}.$$

Преобразование Π, оченьindo, отображает интересующую нас красную ломаную Γ, дополнительную двумя начальными звеньями $[A_0A_1]$ и $[A_1A_2]$, в точности на Γ, поскольку Π $(A_n)=A_{n+2}$ для $n=0, 1, 2, \dots$ (рис. 3). Поскольку П сокращает все расстояния в k раз,лина z ломаной Γ определяется из уравнения

$$k(|A_0A_1| + |A_1A_2| + z) = z,$$

откуда

$$z = \frac{k(\sqrt{a^2 + b^2} + b)}{1 - k} = \frac{(\sqrt{a^2 + b^2} + b)ab}{a^2 + b^2 - ab}.$$

(В этом рассуждении завыалирован общий способ отискания суммы бесконечной геометрической прогрессии: $(\sqrt{a^2 + b^2} + b)(k + k^2 + k^3 + \dots) = z$.) Заметим, что каждый треугольник $A_nA_{n+1}A_{n+2}$ содержит следующее $(n=0, 1, \dots)$, а пересечение всех этих треугольников—точка L, к которой в пределе стрелки муравей. Поскольку Π $(\triangle A_nA_{n+1}A_{n+2}) = \triangle A_{n+2}A_{n+3}A_{n+4}$, получаем Π $(L) = L$, то есть точка L является неподвижной точкой преобразования Π.

Преобразование Π — центральное подобное вращение; его можно получить как композицию поворота на 90°

24

и готовит (с коэффициентом $k$) с центром $L$. Отсюда следует, что $A_0LA_2 = A_2LA_4 = 90^\circ$; таким образом, точку $L$ можно построить как пересечение двух полукругностей с диаметрами $[A_0A_2]$ и $[A_2A_4]$ или еще проще — опустить из $A_2$ перpendicular $A_2L$ на отрезок $A_0A_4$. А найти расстояния $x$ и $y$ от точки $L$ до катетов длины $a$ и $b$ треугольника $A_0A_1A_2$ можно, воспользоваться линбо тем, что $L \in [A_0A_4]$ и $|LA_4| : |LA_0| = k^2$, линбо тем, что перpendicularы, опущенные из $L$ на отрезки $A_0A_2$, $A_2A_4$, $A_4A_6$, получают друг из друга преобразования $\Pi$, откуда

$$\begin{cases} y = kx, \\ ka - x = ky \end{cases}$$

(на рисунке 3 отрезок длины $x$ голубой, отрезок длины $y = kx$ — зеленьй, отрезок длины $ky$ — снова голубой). Таким образом,

$$x = \frac{ka}{k^2 + 1} = \frac{a^2b}{a^4 + 3a^2b^2 + b^4},$$

$$y = \frac{k^2a}{k^2 + 1} = \frac{a^3b^2}{a^4 + 3a^2b^2 + b^4}.$$

В ряде писем эти ответы получены как суммы геометрической прогрессии со значателем $k^2$ — коэффициентом готовится преобразование $\Pi^2$.

М543. Пусть

$$\rho(x, y) = \frac{|x - y|}{\sqrt{1 + x^2}\sqrt{1 + y^2}}.$$

Докажите, что для любых действительных чисел $a, b$, с выполено неравенство

$$\rho(a, c) \leq \rho(a, b) + \rho(b, c).$$

Рис. 4.

Формулу для «расстояния» $\rho$ можно существенно проектить, установив взаимно однозначное соответствие $y = tg\alpha$ между числами $y \in \mathbb{R}$ и числами $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Если $y_1 = tg\alpha_1$, $y_2 = tg\alpha_2$, то, заменив $tg\alpha$ на $\sin\alpha/\cos\alpha$, получим

$$\rho(y_1, y_2) = \frac{|tg\alpha_1 - tg\alpha_2|}{\sqrt{1 + tg^2\alpha_1}\sqrt{1 + tg^2\alpha_2}} = |\sin(\alpha_1 - \alpha_2)|.$$

Таким образом, нужно нам неравенство треугольника для расстояния $\rho$ вытекает из следующого неравенства:

$$|\sin(\alpha_1 - \alpha_2)| \leq |\sin(\alpha_1 - \alpha_2)| + |\sin(\alpha_2 - \alpha_3)|;$$

(2) справедливо после него неравенства (для всех $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$) не вызывает сомнений: для любых $\beta$ и $\gamma$

$$|\sin(\beta + \gamma)| = |\sin\beta\cos\gamma + \sin\gamma\cos\beta| \leq |\sin\beta\cos\gamma| + |\sin\gamma\cos\beta| \leq |\sin\beta| + |\sin\gamma|;$$

положив здесь $\beta = \alpha_1 - \alpha_2$, $\gamma = \alpha_2 - \alpha_3$, получим (2).

Эти формулы трионометрические выкладки, как затемили многое читатели, можно прояснить с помощью геометрической интерпретации нашего расстояния $\rho$. Начертим на плоскости окружности, касающейся координатной прямой $Oy$ в точке $O(y=0)$, с диаметром $|OP|=1$ и каждой точке $Y$ (с координатой $y$) нашей прямой поставим в соответствие пересечение $F=F(y)$ отрезка $PY$ с этой окружностью (рис. 4). Пусть $F_1=F(y_1)$, $F_2=F(y_2)$. Тогда $\rho(y_1, y_2)$ есть просто дилинах $|F_1F_2|=\sin\beta$.

(Это сразу ясно из (1), поскольку $F_1PF_2=|\alpha_1 - \alpha_2|=\beta$, но легко установить и геометрическим — направер, затем, что площадь треугольника на рис. 4 с длиной основания $|y_1-y_2|$ и высотой длины 1 равна половине произведения $\sqrt{1+y_1^2}\sqrt{1+y_2^2}\sin\beta$.) Теперь «неравенство треугольника» оченьindo.

Отображение $y \rightarrow F(y)$ прямой на окружность и аналогичное отображение плоскости на сферу — «стереогра-

25

Фическая проекция — очень важный инструмент для решения разнообразных геометрических задач *).

Читатели, знакомые с комплексьми числами, оценят и такое решение (которое указал десятиклассик В. Губа из Вологды). После преобразования $y \rightarrow \frac{1}{y+i} = z (y)$ расстояние $p$ переходит в обычное расстояние между точками на комплекской плоскости: $\rho (y_1, y_2) = \left| \frac{1}{y_1+i} - \frac{1}{y_2+i} \right|$; затем, что геометрическая интерпретация этого отображения приводит, по существу, к тому же рисунку 4.

Н. Васильев

M544. Какое наиболее число вершин, из которых нельзя проверить ни одной диагонали (лежащей целиком внутренний многоугольника), может иметь выпуклый n-уzelbnik? Решите эту задачу сначала для $n=4,5,6,7$.

Рис. 5.

Рис. 6.

Докажем, что число таких вершин не превыходит $\left[ \frac{n}{2} \right]$.

Это сразу вытекает из следующей леммы:

Лемма. Если $A$ и $B$ — соседние вершины невыпуклого многоугольника $M$, то из $A$ или $B$ можно проверить диагональ.

Докажательство. Пусть $B$ и $C$ — вершины многоугольника $M$, соседние с $A$.

Предположим сначала, что $BAC < 180^\circ$. Если в треугольнике $ABC$ (включая его стороны) нет других вершин многоугольника $M$, то искомая диагональ — $[BC]$. Если же в треугольнике $ABC$ есть другие вершины многоугольника $M$, то выберем средние их вершину $D$, нахождение на минимальном расстоянии от прямой $l$, прохождение через точку $A$ параллельно $[BC]$. Тогда $[AD]$ — искомая диагональ, поскольку в противном случае отрезок $AD$ пересекала бы какая-то сторона $EF$ многоугольника $M$ (рис. 5), один из концов которой лежал бы близке к прямой $l$, чем точка $D$, что противоречило бы выбору последней.

Пусть теперь $BAC > 180^\circ$. Покажем, что в этом случае всегда можно проверить диагональ из вершины $A$. Для этого продолжим сторону $BA$ многоугольника $M$ за вершину $A$ до первого пересечения со сторонами многоугольника $M$ в некоторой точке $D$. Если $D$ — вершина многоугольника $M$, то $[AD]$ — искомая диагональ. В противном случае $D$ лежит на стороне $EF$ многоугольника. Пусть вершина $E$ расположена по разные стороны от прямой $BA$ с вершиной $C$ (рис. 6). Будем двигать переменную точку $P$ на стороне $EF$ от точки $D$ к точке $E$. Тогда переменный отрезок $AP$ заметет треугольник $ADE$. Если в треугольнике $ADE$ нет вершин многоугольника $M$, то $[AE]$ — искомая диагональ. Если же такое найдет, то мы обязаательно нахнемся на одну при повороте отрезка $AP$ от положения $[AD]$ до положения $[AE]$. Отрезок от вершины $A$ до ближайшей к $A$ вершине на отрезке $AP$, впервые «встретившем» вершины многоугольника $M$, будет искомой диагональю.

Лемма доказана.

*) См., например, книгу И. М. Яглома «Геометрические преобразования, II. Линейные и круговые преобразования» (М., ГТТИ, 1956); брошюру Б. А. Розенфельда и Н. Д. Сергеевой «Стегерфайце преобразия» («Популярные лекции по математике», вып. 53, М., «Нayka», 1973); статьи из «Кванта»: 1977, № 10, с. 14; 1978, № 12, с. c.: 1, 50 и 2-я с. обложки.

26

На рисунках 7, а и 7, б приведены примеры новых пунктов (2k)-угольника и (2k+1)-угольника, для которых оценка $\left[\frac{n}{2}\right]$ достигается.

Таким образом, наиболее число вершин новых пунктов $n$-угольника, из которых нельзя проверсти ни одной диагонали, равно $\left[\frac{n}{2}\right]$.

С. Бичков

Ф553. Тяжелая доска массы $M$ лежит на двух монокомментих камках радиусов $r$ и $R$ и равных масс. $m$.
Рассмотрене между центрами камков $l$. С каким ускорением начнем движаться доска, если ее отнустить?
Треннее между всеми поверхностями массо, что присваивается нем.

Так как просkalзывание между всеми поверхностями отсутствует, при движении доски и катков будет оставаться неизменными расстояние $|AB|$ между точками касания катков и горизонтальной плоскостью и равное ему расстояние $|A'B'|$ между точками касания катков и доски (рис. 8). Следовательно, не будет изменяться расстояние $|O_1O_2| = l$ между центрами катков. А это означает, что скорости центров обихок катков в любой момент времени одинаковы и направлены по прямой $O_1O_2$.

Найдем направление скорости центра масс доски $O$.
Пусть скорость центров катков равна $\vec{v}$. Тогда в системе отчета, движущейся с этой скоростью, центры катков неподвижны, скорости же точек $A'$ и $B'$, а значит, и скорость $\vec{v}'$ центра масс доски равны по модулю $\vec{v}$ и направлены вдоль доски. В неподвижной относительной горизонтальной плоскости системе отчета скорость $\vec{u}$ центра масс доски равна векторной сумме скоростей $\vec{v}'$ и $\vec{v}$.
Из рисунка 8 видно, что скорость $\vec{u}$ направлена параллельно прямой $O_1O_2$. Так же направлены перемещение доски и ее ускорение.

Обозначим через $\vec{s}$ перемещение центра масс доски в тот момент, когда его скорость равна $\vec{u}$. В этот момент модель скорости центров катков $\vec{v} = |\vec{u}|/2 \cos \alpha$ и книнетическая энергия всей системы равна

$$2 \frac{m |\vec{v}|^2}{2} + \frac{M |\vec{u}|^2}{2} = \frac{|\vec{u}|^2}{4} (m \cos^2 \alpha + 2 M).$$

Рис. 8.

28

откуда

$$t_0 = \frac{\mu g}{b} (m_1 + m_2).$$

Теперь нетрудно построить графики зависимости $|\vec{a}_1|$ и $|\vec{a}_2|$ от времени $t$ (рис. 10).

И. Слободецкий

Ф555. a) Легкий жесткий стержень длины $l$ с грузом массы $m$ наверху закреплен шарнирно в нижней точке и удерживает в вертикальном положении двумя горизонтальными пружинами жесткости $k$, скреплеными с его верхимом кончом (рис. 11). В направлении, перендикулярном к пружинам, стержень двуязысь не может. При какой массе груза вертикальное положение стержня перестановить быть устойчивым?

б) Сmallая спица длины $l$ задалена в полмак, что стомин вертикально. Если к ее верхему концу приложить небольшую горизонтальную силу $\vec{F}$, верхий конец спицы отклонится на величины $a \ll l$. Оценить, груз какой массы может выдержать, не сознушись, спица на своей верхем конце. Различием формы, который при действии на нее горизонтальной или вертикальной сил, упругости, уравновешивающей силу $\vec{F}$, к смесению конца стержня, то есть $\frac{|\vec{F}|}{a}$.

Следовательно, максимальная масса груза, которой выдержать спица, равна приблизительно

$$m \approx \frac{|\vec{F}| l}{ag}.$$

Рис. 11. Рис. 12.

можно пренебреть. Тогда задача становится аналогичной задаче a), в котором величины $2k$, характеризующую жесткость пружин на растяжение (сжатие), нужно заменить жесткость $k'$ спицы на изгиб, равной относению modуля силы упругости, уравновешивающей силу $\vec{F}$, к смесению конца стержня, то есть $\frac{|\vec{F}|}{a}$.

Следовательно, максимальная масса груза, которой выдержать спица, равна приблизительно

$$m \approx \frac{|\vec{F}| l}{ag}.$$

29

Ф556. Если на ледяной брусок надеть проволочную nemло, к котором подвешен érуз (рис. 13), проволока начинаем резать лед. Это объясняется тем, что при повышении давления температура плавления льда попирается, лед под проволокой начинаем мягь, а над проволокой — вновь смерзаться. Однако если nemло сделать не из проволоки, а из капроновой нити макое же или даже меньше диаметра, лед практически не режется. Почему? Попробуйте проверсти описанный опыт.

Рис. 13.

Ф557. В схеме, изображенной на рисунке 14, ключ К замыканом. Наиммаксимальный ток в цепи и максимальное напряжение на конденсаторе.

Рис. 14.

При повышении давления температура плавления льда действительно попирается. Однако при плавлении льда поглощается теплота плавления, и температура льда под проволокой начинает падать. Это происходит до тех пор, пока температура льда в области повышенного давления не упадет до температуры плавления при этом начинает. Дальнейшее плавление льда будет определяться теплом, которое вседствие теплопроводности будет приходит к области повышенной температуры.

В случае проволоки это тепло будет проводиться за счет хорошего теплопроводности металла от замеразающей сверху воды, и процесс разрезания льда будет быстрым. В случае капроновой нити, обладающей малой теплопроводностью, тепло будет проводиться главным образом за счет охлаждения всего бруска льда в целом, и процесс разрезания нijiет очень медленно.

И. Слободецкий

После замыкания ключа в цепи потечет ток. Из-за наличия индуктивности ток вырасти мгновенно не может; он будет увеличивать постепенно, пока не достигнет максимального значения.

Ток, текущий через индуктивность, заряжет конденсатор. Согласно закону сохранения энергии в любой момент времени

$$\frac{LI^2}{2} + \frac{CU^2}{2} = q$$ (*)

Здесть $I$ — ток, текущий через индуктивность в данной момент, $LI^2/2$ — энергия, запасенная к этому моменту в магнитном поле индуктивности, $U$ — напряжение на конденсаторе, $CU^2/2$ — энергия конденсатора в данной момент, $q = CU$ — заряд, прошедший через батарею, $q$ — работа, совершенная батареей.

При некотором значении тока $I_0$ напряжение на конденсаторе становится равным $\varepsilon$. С этого момента конденсатор продолжает заряжаться за счет энергии магнитного поля индуктивности. При этом ток через индуктивность начинает уменьшаться.

Следовательно, $I_0$ и есть максимальный ток в цепи. Из (*) при $U = \varepsilon$ находится

$$I_0 = \varepsilon \sqrt{C/L}.$$

Зарядка конденсатора продолжается до тех пор, пока в цепи течение не occurs ((*) при условии $I = 0$:

$$U_{\max} = 2\varepsilon.$$

П. Зубков

30

Задания

1. В обонх примерах, приведенных на рисунке, используны все десять цифр. В первом примере буква 0 является цифрой нуль, буква П равна букве И, а буква В — букве Я, остальные буквы имеют самостоятельные цифровые значения. Во втором примере нет букв, имеющих одинаковые значения, загоизвесно, что Ч$^E$=C, причем Е — нечетная цифра.

Определите значения всех букв в каждой примере.

2. Мальчик купил на рублей почтовых марок, причем двух копеечных марок он купил в 10 раз меньше, чем однокопеечных, остальные же марки были пятикопеечными. Сколько марок каждого достоинства купил мальчик?

3. На диаметре окружности с центром в точке O находится центры A и B еще двух окружностей, касающиеся первоначальной окружности и друг друга (см. рисунок). Еще одна окружность, центр которого обозначает через C, касается всех трех расстояний равене окружностей, как на рисунке. Докажите, что периметы треугольников AOC и BOC равны длине диаметра первой окружности.

4. Ученик 6 класса Петя Иванов придумал две новые теоремы:
   a) если натуральное число делится на 27, то и сумма его цифр делится на 27;
   b) если сумма цифр натурального числа делится на 27, то и само число делится на 27.
   Сможет ли Петя доказать эти теоремы?

31

О. Оре

Простые числа Ферма

Вероятно, одним из первых свойств чисел, открыты люdbми, был тот факт, что некоторые числа раскладываются на два меньших множители, например
$$6=2\cdot 3, 9=3\cdot 3, 30=2\cdot 15=3\cdot 10,$$
в то время как другие, например
$$3, 7, 13, 37,$$
на множители подобным образом не раскладываются.

Если число $c$ является произведением двух чисел $a$ и $b$ ($c=a\cdot b$), мы называем числа $a$ и $b$ множегелями или делимелями числа $c$. Каждое число имеет привальное (простейшее) разложение на множители:
$$c=1\cdot c=c\cdot 1.$$
Соответственно числа 1 и $c$ мы называем множегелями делимелями числа $c$.

Эта статья является открытом из книги О. Оре «Приглашение в теорию чисел», выходящей в 1980 г. в Библотечеке «Квант» (перевод Л. Савиной под ред. А. Савина).

Любое число $c>1$, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число, большее единицей, имеет только тривиальное разложение на множители, то оно называется простым. Среди первыхста чисел простыми являются следующие 25 чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, а все остальные числа, кроме 1, являются составными.

За последние 200 лет было издано много таблиц простых чисел. Наноблее обширной из них является таблица Д. Н. Лехмера, содержащая все простые числа до 10000000.

Некоторые энтузинасты составили таблицы простых чисел, превозходящих 10000000, однako, по-видимому, нет большего смысла публиковать эти таблицы. Лишь в очень редких случаях математику, даже специальную по теории чисел, приходит решать вопрос, является ли какое-то большее число простым. Кроме того, большее число, о которых математик хочет узнать, является ли они простыми или составными, не возникают произвольно. Они обычно появляются в специальных математических задачах и поэтому имеют очень специфичную форму.