Квант 1980, №1 · Страницы

КВАНМ
1
1980

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Сложная геометрическая структура, изобразенная на обложке, составлена из десяти аналогических между собой частей. Каждая из них состоит из составных ромбических двадиатграничков и шестиграничков (см. Фотографию). Ромбические двадиатграники (их 15 штук в каждой части: 10 — во внешнем колюце, 5 — во внутреннем) строятся следующим образом: берется дodeкадр и на каждое его ребро (их 30) кладется ромб так, чтобы его короткая диагональ совпала с ребром; размеры ромбов (все ромбы одинаковы) и их положения выбраны так, чтобы ромбы составивались сторонами, образуя выпуклый тридиатграник (проверьте, что это возможно!); из тридиатграника удален «экваторальный吻с» из десяти ромбов; скленяя две оставшиеся «шапочки», получаем наш двадиатграник.

Шестиграники составлены из ромбов тех же размеров и бывают двух типов (почем?); они образуют сложную сеть «коридоров» между «комнатами»- двадиатграниками.

Эта структура послужила основой экспериментального архитектурного проекта жилого поселка для Крайнего Севера.

О. Боднар

1

Главный редактор
академик И. К. Кикоин

Первый заместитель
главного редактора
академик А. Н. Колмогоров 10

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беллев 18
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов 26
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов 27
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов 31
Н. А. Патрикеева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов 41
А. П. Савин 42
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант 51
А. Т. Цветков
М. П. Шаскольская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов 52

В НОМЕРЕ:

В. Лешковцев. Физика в Московском государственном университете
В. Вышенский, Н. Пересток, А. Самойленко. Поговорим о дифференциальных уравнениях
И. Воробьев. Гора и ветер
С. Гиндикин. История о том, как Галилей открыл законы движения

Лаборатория «Кванта»
В. Майер. Автоколебания в потоке воздуха

Математический кругок
М. Мамикон. Обобщенная задача о фальшивых монетах

Задачик «Кванта»
Задачи М601—М605; Ф613—Ф617
Решения задачи M546—M550; Ф558—Ф562

«Квант» для младших школьников
Задачи
Д. Изаак, Т. Уткина. Кружочки Степы Мошкина

Практикум абитуриента
Н. Виленкин. Три точки, три точки…
А. Александров, А. Забоев, Н. Шолохов. Московский инженерно-физический институт

Искусство программирования
Заочная школа программирования. Урок 5
А. Салихова, Н. Соколова. Графическая система Шпага

Информация
В. Аслаян, С. Коршунов, Т. Чугунова. Заочная физиотехническая школа

Шахматная страничка

Ответы, указания, решения

Наша обложка (45)

Смесь (9. 17, 25, 29, 40, 55, 62)

Главная редакция физico-mатематической литературы издательства «Нука», «Квант», 1980

2

В. Лешковцев

Физика
в Московском государственном университете

Московский государственный университет (МГУ) недаром носит имя великого русского ученого Михаила Васильевича Ломоносова. Университет был создан 225 лет тому назад по его совету и проекту. «Главное мое основание — писал Ломоносов по поводу этого проекта — чтобы план служил во все будущее годы». Эта надежда была — университет возник и вскоре стал одним из основных очаров русского просвещения и научки. Оdnako непосредд.

Вверху изображено здание физического факультета МГУ на Ленинских горах.

ственного участия в деятельности Московского университета Ломоносов не принимал. Учеников в области физики у него не было, поэтому он практически не мог оказать какое-либо влияние на развитие физики в МГУ.

Московский университет был сформирован по указу императрицы Елизаветы Петровны 12 января 1755 года. Сначала в нем было всего лишь три факультета: физофский, юридический и медицинский; на последнем циталя курс физики. Только в 1804 году был образован факультет физических и математических наук. Сама жизнь (развитие производства, потребности армии) начала предъявлять требования к подготовке специалистов в этих области науки.

Еще Петр I, стремясь к развитию отечественной науки, указывал на необходимость не только обучать наукам, но и «производить они». Но в то время, как в Академию наук приглашались из-зарубежные учены (Эйлер, Бернулли, Ленц и другие), для Московского университета ничего подобного следуя.

3

лано не было. К тому же научные труды по физике, публикавшиеся преподавателями за первые полвека его существования, погибли во время пожара 1812 года.

Первым крупным физиком, работавшим в Московском университете, был Алексадр Григорьевич Стоletов. Он отдал университет более 30 лет своей жизни. Стоletов был воспитником Московского университета, который он окончил с отличием в 1860 году. Вскоре его на три года направили за границу, где он продолжил свое образование в лабораториях Берлина, Гейдельберга, Геттингена, Парижа. В эти годы он учился у Гельмгольца, Кирхгофа, Вебера, Магнуса и других крупных ученых.

В 1865 году Стоletов вернулся на родину и вскоре начал преподавать физку в университете — деятельности эта продолжалась до последних дней его жизни (он умер в 1896 году). Он первый начал читать курс математической физики. Ценю огромных усилия ему удалось в 1872 году создать первый физический лабораторию, в котором было проведить самостоятельные научные исследования. До этого момента преподаватели университета, в том числе и сам Стоletов, проводили научные исследования только в иностранных laboratories. Стоletов основал также первый постояно действующий научный семинар по проблемам физики, из числа участников которого выросли такие крупные учены, как Н. А. Умов, П. Н. Лебедев, Н. Е. Жуковский.

Работы Стоletова заложили основы теоретической электротехники; они получили широкое международное признание. В 1871 году Стоletов начал исследование магнитных свойства железа — основного материала электротехники.

Под действием магнитного поля железо прибретает магнитные свойства — оно становится магнитом. Натагничивание тела I и его магнитная проницаемость μ зависит от величины магнитной индукции намагничивающего поля. Кроме того, эти величины зависит также от форма тела, что весма осложняет исследование. До Стоletова величины I и μ изменяли только на длины стержнях. Стоletов создал новый метод измерения этих величины форм тела и получить закономерности, характеризующие материалы, из которого оно сделано. Опираясь на эти закономерности, создатели электрических машин нашли ключ к решению многих практических задач.

В 1887 году немецкий физик Герц обнаружил загадочного связывания электрическим пробой в газах (просакивание искры между включенными в электрическую цепь электродами), он обнаружил, что obлучение электродов ультрафилотовыми лучами облегчает пробой. Приступив к исследованию этого явления (восплездии названного фотоэлектрическим эффектом, или сокращенно — фотоэфектом), Стоletов создал оригинальный методку, позволив-

4

шую раскрыть основные закономерности фотоэфекта.

На рисунке приведена схема его экспериментов. В электронческую цель, состоящую из батарей Б и галванометра Г, включены также две металлические пластинки $K_1$ и $K_2$, одна из которых сделана в виде сетки. Электрическая дуга Д является источником ультрафилотовых лучей. Освезая им металлические пластинки, Стоletов наблюдал прохождение тока в «разомкнутой» электрической цепи. Тепермы знаем, что носители тока служат электроны, которые вырывают квантами ультрафилотового излучения из металлического катода $K_2$ и устремляются к аноду $K_1$.

В результате своих экспериментов Стоletов установил характер зависимости силы фотоотока, текущего по цепи, от напряжения, приложенного к пластинкам. Окзадность, что с увеличением напряжения фотооток сначала растет до определенной величины (ее называют током насыщения), после чего остается практическим постоянным. Это означает, что все электроны, покинувшие под влиянием света катод $K_2$, достигают анода $K_1$ и частуют в прохождения тока по электрической цепи. Стоletов показал также, что сила фотоотока насыщения пропорциональна светому потоку, падающему на катод, или по-современному — числу падающих на катод квантов света. Законы фотоэфекта, открыты Стоletовым, сыграли важную роль в обосновании квантовой теории излучения и нашли много ценных практических примений.

После смерти Стоletова созданная им кафедра экспериментов

Graph showing the relationship between current and voltage in a circuit

В начале 1874 года Умов опубликовал работу «Уравнения движения энергии в телах». В ней содержится идея о потоке различных видов энергии в разных средах. Умов показал, что многие физические процессы (например, распространение световых волн или урругие колбания в твердом теле) связаны с непрерывным потоком энергии. Он первый ввел понятие плотности энергии, скорости ее распространения, направления потока энергии, дав им строгие физические определения. Исходя из закона сохранения энергии, Умов получил общий закон распространения энергии. Физические свойства этого закона таков: изменение энергии в заданном объеме какой-лобо среды за единицу времени равно потоку энергии через поверхность, ограничивающего этот объем. Сегодня эти идеи Умов стали общепризнаны. Но в то время Умов натолкнулся на глубокое непонимание со стороны больших физков. Лишь десять годами позже, в 1884 году, английский физик Пойнтиг опубликовал получившую широкую известность статью о переносе электромагнитной энергии, основные выводы которой совпадали с выводами из более общей теории Умов.

5

Старое здание физического факультета МГУ на Моховой.

Вторая проблема, исследованная Умовым, о котором мы хотим здесь расскаatzать, это земной магнетизм. Известно, что Земля является громадным магнитом. Характер магнитного поля Земли весма непрост, а о проискждении этого поля учены спорят до сих пор. Формальную математическую теорию земного магнитного поля разработал великий немецкий математик Гаусс. Он выел формулу, по которой можно вычислить величины магнитной индукции для любой точки на поверхности земного шара. Она представляет собой сумму из 24 слагаемых с постояными коэффициентами, определяемых из опыта. Умову впервые удалось раскрыть физический смысл отдельных слагаемых и коэффициентов в формуле Гауса.

Посленим выдающимся физком, работавшим в Московском университете до Октябрьской революции, был Петр Николаевич Лебедев. Он не был питомцем Московскойго университета, так как высшее образование получил в Московском высшем техническом училище. Подобно Столетову и Умову, он также совершенствовал свое образование за рубежом — в Страсбурге и Берлине. В 1891 году Лебедев получил степень доктора наук Страсбургского университета. Представленная им к защите работы была посвящена теории диэлектриков и определению диэлектрической проницаемости паров некоторых веществ.

Teория электромагнитных явлений, созданная Максвелом в середине XIX века, далек не сразу получила научное признание. За утверждение этой теории активно боролся Столетов. (Он провел серий опытов по гочному определению соответствия между коэффициентами, определяющими силу взаимодействия электрическихарядов и силу взаимодействия электрических токов. Согласно теории Максвелла относение этих коэффициентов равно

6

Мemornalная доска на здании, где работал П. Н. Лебедев.

скорости света, что и подтвердилась в опытах Стоletова.) В этой же борббе принимал участие и Умов, чья работа о потоке энергии подтверждала и развивала некоторыевыводы, вытекающие из теории Максвела. Конечно, очень важную роль в признании теории Максвела сыграли опыты Герца, доказавшие существование электромагнитныхволн. Но и П. Н. Лебедеву такжеудалось сделать очень крупныйвклад в обоснование этой теории.

Из теории Максвела следует, что свет, падая на поверхности тела, оказывает на него давление. Однако попытки проверить этотвывод экспериментально, предпринять несколькими учеными, законились безспешно. Они пришли квыводу, что если световое давление и существует, величина его оченьмала и перекрывается другими, во много раз более заметными физическими эффектами, неизбежноприсутствуются в таких экспериментах. Прежде всего это радиометри-ческий эффект, связанный с тем, что нагреваемое светом тело отделело по-разному с освещенной и неосвещенной сторон. Вторым побочным эффектом, осложняющимэксперимент, является конвекиция—возникновение тепловых потоковв нагретом светом воздуха; теплыйвоздух поднимается вверх, холодный—опускается.

Лебедев первым предполел все эти трудности. В построенном им приборе достигалась рекорднаяпо тому времени степень разрежениявоздуха. Платиновые крылышки, на которых свет поочередно падаютто с одной; то с другой стороны, былиочень тонкими, что практически исключало влияние радиометрическогоэффекта. А стеклянный баллон, внутри которого помещалось изменительное устройство, был достаточно больших размеров, что значительное ослабление влияние конвекиционных потоковвоздуха. Измененная Лебедевым величина давления света на легкие платиновые крылышки совпала со значением, вычисленным по теории Максвела. Эта работа была дополена Лебедевым в Париже на Всемирном съезде физиков в 1900 году и сразу получила всеобщее признание. Выдающийся английский физик ВильямТомсон (лорд Кельвин, чьим имеем назван абсолотная шкала температур), узнал о работах Лебедева, сказал знакомитому русскому биологу Кlementу Аркадьевич Тимирзеву: «Вы, может быть, знаете, что я всю жизнь воевал с Максвелом, не признавая его светового давления, и вот ваш Лебедев заставил меня сдаться перед его опитами».

В 1909 году Лебедев закончил трехлетние эксперименты по доказательству существования светового давления на газы, потребовавшие еще большей изобретательности. Оказалось, что свет оказавшее давление на газы и именно этим обязывается форма кометных хвостов.

Не менее важным итогом деятельности П. Н. Лебедева является создание им первой научной шкалы физиков в России. Средя его ученков были также извлеченные впоследствии учены, как академик П. П. Ла-

7

зарев, член-корреспондент АН СССР Т. П. Кравец, профессора В. К. Аркадьев, А. Б. Молодевский, Н. А. Капцов, К. П. Яковлев. Петр Николаевич был также инциатором создания независимого от университета первого в России физического института, который сейчас находится в системе Академии наук СССР и носит его имя. К сожалению, Лебедев не доходит до открытия института: сказаюсь тяжело заболевание сердца, от которого он умер в 1912 году в возрасте 46 лет.

Первым директором физического института, открывшегося 1 января 1917 года, был академик П. П. Лазарев. Следуя примеру своего учителья, он объединил вокруг себя большую группу молодых ученых, из числа которых вышипропадают МГУ академики С. И. Вавилов, Г. С. Ландсберг и В. В. Шулейкин, профессора В. В. Ильин, С. Н. Ржевкин, Э. В. Шпольский.

После Октябрьской революции физический факультет МГУ непрерывно развивался и совершенствовался. Очень большую роль в его развития сыграло создание кафедры теоретической физики, первый руководителем которого был талантливый молодой ученый С. А. Богуславский, приглашенный из Саратова. Продатов в МГУ два года, он умер от туберкулеза. Тогда на его место был приглашен из Одесккого университета профессор (а впоследствии академик) Леонид Исаакович Мандельштам, который приехал вместе со своим сотрудником (воспследствии также академик) Игорем Евгеньевич Таммом. Оба они были выданными советскими учеными, оказавшими большое влияние на развитие всей советской физики. Постепенно уровень преподавания физики в МГУ сравнялся с лучшими зарубежными высшими учебными заведениями.

Недавно мы отмеали в нашем журнал *) 100-летие со дня рождения академика Л. И. Мандельштама. Он создал одну из крупнейших физических школ в нашей стране.

*) См. «Квант», 1979, № 7.

Среди его учеников назовем лишь академиков А. А. Андронова, М. А. Леонтовича, И. М. Франка, А. М. Просорова, членов-kорреспондентов АН СССР С. М. Рытова, В. В. Мигулина, профессоров С. Э. Хайкина и Г. С. Горелика. Л. И. Мандельштам внес существенный вклад в цель ряда разделов современной физики — оптику, теорию колебаний, распространение радиолин, статистическую физiku.

Нанболее крупным из числа сделанных им открытий является открытие комбинационного рассеяния света. Если осветить какое-либо тело светом строго определенной длины волны, то и рассеяный этим телом свет будет иметь ту же длину волны. Эта истина давно и надежно была установлена оптиками. Но Л. И. Мандельштам и Г. С. Ландсберг решили выяснить, а не возникает ли при рассеянии света в кристаллах каких-нибудь новых световых волн, которые нет в падаюшем на кристалл свете. Для этого они поставили следующее опыт.

Монхроматический свет, полученный от грутной лампы с помощью фильтра, падал на кристалл максимально чистого и однородного кварица. Свет, рассеяний кристаллом, анализировался при помощи спектrographа. Одна из основных трудностей эксперимента составляет в том, что из общего количества световой энергии, падающей на кристалл, рассеяется лишь около одной десятимиликардной доли, причем практические всея рассеяния свет по длине волны совпадает с падающим светом. Обнаружить какие-то новые длины волн в отраженном кристаллом свете необучающего трудно.

Тем не менее после чрезвычайного долгой эксперимента Мандельштам и Ландсберг нашли в отраженном свете две дополнительные спектральные линии, симметрично расположенные на равных расстояниях от вершиной. Разности между частотами этих линей и частотой падающего света одинаковы и совпадают с частотой внутренних колебаний молекул рассеяющего вещества. Атомы, образующие молекулы, могут совершать колебатель-

9

мик Сергей Иванович Вавилов. Он руководил кафедрой общей физики. При нем были существенно усвоенные общий и специальный физические практики, создано много новых лекционных демонстраций.

В середине сороковых годов при физическом факультете МГУ был образован Научно-исследовательский институт ядерной физики, где готовятся специализы в области физики atomного ядра, элементных частиц и космических лучей. В это же время возникла и кафедра физики низких температур, первым руководителем которого был А. И. Шальников (ныне академик).

В последние годы на физическом факультете успешно развивались работы по квантовой электропищевом, получившим прекрасную подготовку в области теории колбаций. Среди выполненных им работ наиболее известностью пользователя создание параметрических лазеров с плавано изменяющейся частотой излучения.

Объчисленные лазеры имеют строо физированную часть, а значит,

*) Нелинейная оптика изучает оптические явления, происходит при очень высоком интенсивности света, создаваемой лазерами. В таких условиях оптические свойства среды (например, показатель преломления) зависят от интенсивности света.

Задание наших читателей

Производную полезно применять для доказательства неравенства как с одной переменной («Квант», 1979, № 10), так и с нескольких переменными. Вот примеры таких задач, присланы нашим чи-tателями:

1. Доказать неравенство
   $$\frac{tg\beta}{tg\alpha} > \frac{\beta}{\alpha}$$

для чисел $\alpha, \beta$, удовлетворяющих

$$0 < \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}.$$

Л. Курляндик

2. Доказать неравенство
   $$\sin^2\alpha + \sin\beta \sin\gamma \leq \frac{25}{16},$$

в котором $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника.

С. Берколайко

10

Поговорим о дифференциальных уравнениях

Если в обычных уравнениях, решаемых в школе, требуется найти численные значения некоторой переменной, то в дифференциальных уравнениях искомой является функция, причем в уравнение входит произведение этой функции. С простыми дифференциальными уравнениями вы знакомы по школьному учебнику. Это уравнение показательного роста (или убывания)

$$y' = ky,$$

(1)

где $y = y(x)$ — неизвестная функция, $k \neq 0$ — заданная постоянная («Алгебра и начала анализа 10», п. 110), и уравнение гармоничских колебаний

$$y'' = -\omega^2 y,$$

(2)

где $y$ — опять неизвестная функция, $\omega > 0$ — постоянная (там же, п. 80).

В различных областях человекаской деятельности возникают задачи, связанные с дифференциальным уравнением. Характер этих задачи и методку их решения можно описать примерно так. Изучается какой-нибудь процесс — физический, биологический и т. д. Нас интересует изменение во времени какой-то характерistikи этого процесса, то есть неокторой величины (температуры, давления, массы и т. п.). Если у нас имеется достаточно много сведений о течение этого процесса, мы можем попытаться построить его математическое модели. Во многих случаях из экспериментальных данных или из физических и прочих законов удаляется получить информацию о скорости изменения величины $y = y(t)$ в зависимости от времени $t$, то есть о произvodной $y' = y'(t)$. Эта информация обычно может быть записана в виде дифференциального уравнения с неизвестной функцией $y = y(t)$. Получающееся уравнение как раз и описывает наш процесс с точки зрения его характеристики $y$. Отскав все решения дифференциального уравнения — само по себе это уже чисто математическая задача, мы находим все возможные варианты изменения величины $y$.

Отметим, что при математическом описании (такое описание называют моделью) всегда приходится делать некоторые упрощенные предложения, пребегать теми или иными побочных явлениями, принять «идеальные» условия — одним словом, абстрагироваться от конкретных деталей. Это приводит к известным ограничениям в применении построенной модели.

Опыт развития различных наук показывает, что многие данные друг от друга по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным дифференциальным уравнением. Поэтому естественно разрабатать методы решения таких уравнений безносительно к тем задачам, которые приведены или могут привести к ним. Эти как раз занимается математическая теория дифференциальных уравнений.

Если какая-нибудь задача связаится к дифференциальному уравнению, методы решения которого уже известны, то эту задачу можно считать решенной. В этом случае творческая часть решения заканчивается составлением дифференциального уравнения, второй же этап — отскание решения уравнения — будет представлять собой хотя и важную, но чисто техническую задачу. Тут имеется полная аналогия с задачими, связащимися к общным алгебраическим уравнениям.

В этой статье мы проиллюстрируем сказанное на примере задачи, связащимися к дифференциальным уравнением (1) и (2) из школьного

11

курса. Начнем с некоторые наполни-
нный.

1. Линейные дифференциальные
   уравнения

Уравнение $y' = ky$ называется линей-
ным, поскольку неизвестная функция
$y$ и ее произведение $y'$ входят в него
linейный образом. Как известно из
учебника, любое решение этого урав-
нения записывается в виде

$$y = Ae^{kx},$$

(3)

где $A$ — произвольная постоянная.

Оказывается, если на координат-
ной плоскости изображать графики
этих решений при всехозможных
значениях $A$, то они покройот всю
плоскость, причем через каждую
точку плоскости пройдет в точности
один из графиков. Плоскость ока-
зывается как бы «сотканной» из гра-
фиков $y = Ae^{kx}$ (рис. 1).

Докажем это, для чего найдем
среди функций вида (3) все те, гра-
фики которых проходят через данную
точку $(x_0; y_0)$ координатной плоскости. Для определения постоянной $A$ получаем уравнение

$$Ae^{kx_0} = y_0,$$

котрое имеет единственное решение
$A = y_0e^{-kx_0}$. Следовательно, через нашу точку проходит один и только один из графиков (3) — это

$$y = \left(y_0e^{-kx_0}\right) \cdot e^{kx} = y_0e^{k(x-x_0)}.$$

(4)

Полученный нами факт часто
формулирует следующим образом:
дифференциальное уравнение $y' = ky$ имеет единственное решение, удовлетворяющее начальном у

Рис. 1.

условию $y(x_0) = y_0$; это решение
задается формулой (4).

Более общее линейное дифферен-
циальное уравнение записывается в виде

$$y' = ky + a,$$

(5)

где $a$ (как и $k$) — постоянная. Урав-
нение (5) легко совпадается к уже ис-
следованному уравнению (1): если
правую часть записывается в виде

$$ky + a = k\left(y + \frac{a}{k}\right)$$

(напомним, что мы считаем $k \neq 0$) и обозначить функцию $y + a/k$ через $z$, то

$$z' = \left(y + \frac{a}{k}\right)' = y' = ky + a = kz.$$

Таким образом, функция $z(x) = y(x) + a/k$ удовлетворяет уравне-
нию $z' = kz$, поэтому $z = Ae^{kx}$, то есть $y + a/k = Ae^{kx}$, откуда

$$y(x) = -\frac{a}{k} + Ae^{kx}.$$

Значение постоянной $A$ опять-tаки
однозначно определяется, если за-
дано начальное условие $y(x_0) = y_0$.

Вот, по существу, и все математическая теория линейных дифференциальных уравнений первого порядка, то есть уравнения, включая их только первою произвольную от неизвестной функции.

2. Приложения линейных
   дифференциальных уравнений

В школьном учебнике рассмотрен
ряд процессов, исследованные кото-
рых свойства к линейным дифферен-
циальным уравнением, то есть к при-
менению изложенной в п. 1 теории.
Это процессы радиоактивного рас-
пада,posta народонаселения и телообмена. Мы рассмотрим еще три примера из других областей науки.
Напомним, что главное для нас —
свести задачу к дифференциальному уравнению.

(A) Модель роста популя-
ций бактерии. Пусть $N(t)$ — численность размножающего популяции бактерии в момент времени $t$. При идеальных условиях $\Delta N(t) = N(t + \Delta t)$ — $N(t)$ за время от $t$ до $t + \Delta t$ для
многих видов бактерии можно счит-

12

таблично пропорциональным количеством имеющих в момент времени $t$ бактерии; кроме того, при малых $\Delta t$ приращение $\Delta N(t)$ должно быть приерно пропорционально $\Delta t$.
Таким образом, при сделанных допущения можно записать
$$\Delta N(t) \approx kN(t)\Delta t,$$
где $k > 0$ — коэффициент, зависимости от вида бактерии. Итак,
$$\frac{\Delta N(t)}{\Delta t} \approx kN(t).$$
Отвлекаясь от того, что численность может изменять только целыми числами, будем считать, что $N(t)$ изменяется во времени непрерывно. Учитывая, что последнее равенство должно быть тем точнее, чем меньше $\Delta t$ (обдумайте), после перехода в нем к предлу при $\Delta t$, стремящемся к 0, получим дифференциальное уравнение вида (1):
$$N'(t) = kN(t).$$
Следовательно (см. п. 1),
$$N(t) = Ae^{kt},$$
так что численность популяции возрастает по показательному закону. Если при этом известна начальная численность популяции, то есть начальное условие $N(0) = N_0$, то, следуя формуле (4), можно записать
$$N(t) = N_0e^{kt}.$$
(B) Своободное padение с тренем (модель парашюта). Пусть тело массы $m$ падает вертикально вниз с некоторой высоты, причем наряду с силой тяжесте $F_\tau = mg$ на него действует направленная противоположно направленную скорости сила взского треня, пропорциональная величины скорости: $F_{\tau p} = -\alpha v$, где $\alpha > 0$ — коэффициент треня. Определим зависимость скорости от времени.
В данном случае дифференциальное уравнение получается сразу из второго закона Ньютона: $ma = F = F_\tau + F_{\tau p}$, то есть $mv' = mg - av$. Разделив обе части на $m$, опять приходим к линейному дифференциальному уравнению, но на этот раз вида (5):
$$v' = -\frac{\alpha}{m}v + g.$$

ИЗ (6)
$$v(t) = \frac{mg}{\alpha} + Ae^{-\frac{\alpha}{m}t}.$$
В случае, когда $v(0) = 0$, находим $A = -\frac{mg}{\alpha}$ и
$$v(t) = \frac{mg}{\alpha}\left(1 - e^{-\frac{\alpha}{m}t}\right).$$

При свободном padении без трения ($v' = g$) величина скорости возрата линейно: $v(t) = gt$. При наличии же взского треня скорость, возрата, тем не менее стремиется к постоянной: при возратани $t$ величина $e^{-\frac{\alpha}{m}t}$ стремиется к 0, поэтому $v(t)$ стремиется к предельному значению $v_{\text{np}} = mg/\alpha$ (график величины скорости изображен на рис. 2).

(B) Барометрическая формула. Хорошо известно, что чем выше, тем воздуха разреженное — атмосферное давление с высотой уменьшается. Попробуем определить зависимость $p = p(h)$ давления $p$ от высоты над уровнем моря $h$.

Напомним, что за величины atmospheric давления принимается вес вертикального столба воздуха с плоской

Рис. 2.
Рис. 3.

13

шадью сечения $S = 1$ см$^2$. Следовательно, разность

$$p(h) - p(h + \Delta h) = -\Delta p(h)$$

численно равна весу стольника воздействия от высоты $h$ до высоты $h + \Delta h$ (рис. 3), то есть

$$-\Delta p(h) = \Delta mg,$$

где $\Delta m$ — масса этого стольника. Объем стольника равен $\Delta V = S\Delta h = \Delta h$, поэтому, если средняя плотность воздействия в стольнике равна $\rho_{cp}$, то $\Delta m = \rho_{cp}\Delta h$, откуда $-\Delta p(h) = g\rho_{cp}\Delta h$ и, наконец,

$$\frac{\Delta p(h)}{\Delta h} = -g\rho_{cp}.$$

Обозначим плотность воздействия на высоте $h$ через $\rho(h)$; тогда при $\Delta h$, стремящемся к 0, средняя плотность $\rho_{cp}$ стремится к $\rho(h)$, и из последнего соответствия мы получаем дифференциальное уравнение

$$p'(h) = -g\rho(h),$$

в котором, однако, функция $\rho(h)$ тоже неизвестна.

Предположим теперь, что температура воздействия одна и та же во всех слоях атмосферы. Тогда из закона Бойля — Мариотта или из уравнения газового состояния легко вывести, что давление пропорционально плотности$^*$:

$$p(h) = b\rho(h).$$

Из этого и предыдущего равенств получаем окончательное дифференциальное уравнение

$$p'(h) = -\frac{g}{b}p(h)$$

— оно снова имеет вид (1)! Применяя теорию из п. 1, находим

$$p(h) = p_0 e^{-\frac{g}{b}h},$$

где $p_0$ — атмосферное давление на уровне моря, то есть при $h = 0$.

Итак, давление убивает с высотой по показательному закону, в соответствии с полученной так называемым

$$*) pV = RT,$$

откуда $p = \frac{RT}{V} = \frac{RT}{M} \times \frac{M}{V} = b\rho$, где $b = \frac{RT}{M}$, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M$ — молярная масса газа.

ваемой барометрической формулой. Полученная нами формула «отказывает» при высотах, сравнимых по величины с радиусом Земли. И связано это не только с тем, что мы пренебрегли изменением температуры с высотой, но и с изменениемускорения свободного падения.

Отметим, что в данном случае дифференциальное уравнение описывает не физический процесс, а просто изменение одной физической величины ($p$) в зависимости от другой ($h$).

3. О гармоничских колебаниях

Остановимся теперь на втором из изучаемых в школе дифференциальных уравнений — на уравнения гармоничских колебаний

$$y'' = -\omega^2 y.$$

Как известно из школьного курса, любое решение этого уравнения записьется в виде

$$y(t) = A \cos (\omega t + \varphi),$$

где $A$ и $\varphi$ — произвольные постоянные, причем можно считать, что $A \geq 0$, $\varphi \in [0; 2\pi]$. При этих ограничениях постоянные $A$ и $\varphi$ однозначно определяются начальными условиями, которые в данном случае нужно уже два: $y(t_0) = y_0$ и $y'(t_0) = v_0$.

Заметим, что в данном случае через каждую точку $(t_0; y_0)$ координатной плоскости проходит бесконечно много графиков вида (7). Однако график определяется однозначно, если задать в данной точке еще и касательную к графику (объяснение). Связано это с тем, что уравнение (2) второго порядка, то есть в него входит вторая произвольная искомой функции.

Про величины $y$, меняющую во времени по закону (7), говорят, что она совершает гармоничские колебания с частотой $\omega$. Важно отмечить, что частота не зависит от начальных условий, а определяется только коэффициентом в исходном уравнении.

Уравнения вида (2) встречаются при описании многогрих колебательных

14

систем, причем не только механические. В учебнике рассмотрен пример колебаний шарика наружинке: если масса шарика $m$, коэффициент жесткости пружинки $k$, смешение шарика от положения равновесия $x$, то по второму закону Ньютона $mx'' = -kx$, откуда $x'' = -\omega^2 x$, где $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Разберем еще пример.

Мальные колебания матрика. Пусть шарик массы $m$ закреплен на конце $M$ невесомого стержня $OM$, подвешенного шаририно в точке $O$ так, что получается качающийся в одной плоскости матрик (рис. 4). Отклонение матрика $OM$ от положения равновесия $OM_0$ удобно изменять величиной $x$ угла $M_0OM$, взятой в радианах.

На шарик действуют две силы: направления вертикального вниз силы тяжесте $F_\tau = -mg$ и направления по радиусу $MO$ сила реакции стержня $N$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на касательную:

$$m(lx)'' = -mg \sin x,$$

то есть

$$x'' = -\frac{g}{l} \sin x$$

Будем рассматривать только малые колебания матрика, то есть считать величины $x$ малой. Тогда sin $x$ можно заменить на $x$ (вспомните, что

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

— «Алгебра и начала анализа 10», п. 78) и от полученного дифференциального равновесия мы приходим к равновесию гармоничских колебаний

$$x'' = -\frac{g}{l} x,$$

или $x'' = -\omega^2 x$,

где $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$.

Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия колебания матрика будет почти гармоничским, с частотой $\omega = \sqrt{g/l}$, не зависящей от массы $m$ и от начальных условий, лишь бы $x_0$ и $v_0$ были достающим малыми.

Конечно, все многообразие природных процессов и явлений не сводится только к управлением двух разновозвязных типов. Мир дифференциальных равновесий богат почти настолько же, насолько богат реальный мир. Опыт науки показывает, что использование дифференциальных равновесий в качестве математических модели очень плодотворно — конечно, если при этом не забывать об ограниченной области применения любого рода модели.

Упражнения и задачи

1. Найдите решение дифференциального равновесия $y' = -2y + 4$, удовлетворяющее начальному услованию $y(0) = 5$.

2. Имеется некоторое количество радиоактивного вещества. Известно, что через 30 дней распадается 50% этого вещества. Через сколько дней останется 1% от начального количества вещества?

3. В среду с постоянной температурой $20^\circ$ помещили тело, нагретое до $100^\circ$. Через 10 минут температура тела понизилась до $60^\circ$. Через какое время температура теластанет равной $25^\circ$?

(Указание к задачам 2 и 3. Воспользовитесь примерами 1 и 3 из п. 110 учебника.)

4. Через 12 часов после начала опыта использовательной некоторой популяции бактерии возросла в три раза. Во сколько раз увеличится число бактерии через суток?

5. Значение постоянной $b$ в барометрической формуле для общного воздействия равно $7,7 \cdot 10^4 \text{ m}^2/\text{c}^2$. На какую высоту нужно подняться для того, чтобы давление уменьшилось вдвое?

6. Лодка замедляет свое движение при действии сопротивления лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/c, а ее скорость через 4 с равна 1 м/c. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/c? Какой путь может пройти лодка до остановки?

7. Девочка качается на качелях. Максимальное отклонение от положения равновесия равно 1 м, максимальное ускорение — 4 м/c². Считая колебания гармоничским, найдите их период. Определите высоту качелей.

8. Найдите общий вид решения дифференциального равновесия $y'' = -\omega^2 y + a(\omega > 0)$ и $a$ — постоянные.

15

И. Воробьев

Гора и ветер

— Завтра будет славная погода! — сказал я. Штабс-капитан не отвеал ни слова и указал мне пальцем на высокую гору, поднимающийся прямо против нас.
— Что же это? — спросил я.
— Гуд-гора.
— Ну так что же?
— Посмотрите, как куриится.
И в самом деле, Гуд-гора курилась; по бокам ее ползали легкие стружки облаков, а на вершине лежала черная туча, такая черная, что на темном небе она казалась пятном.
М. Ю. Лермонтов.
Героий нашего времени

Путешествиеник, пересекающий горный хребет в направлении ветра — с подветренной стороны на наветренную, сразу заметит перемену погоды. Поднимаясь к вершине, он оказывается в облачности, а то его еще и захватит ливень или снегопад; за перевалом же — безоблачно и ветер теллей и сухой. Такой ветер называют фёном. Почему происходит это резкое изменение погоды? Как осуществляется «подогрев» воздуха? Чтоы разобраться в этом вопросе, посмотрим, что произойдет, если на пути влажного ветра оказывается высокий горный хребет.

《Столкнувшись》 с горой, поток воздуха начинает «взбираться» по склону. При этом любая виделенная масса воздуха переходит в область более низкого давления. Происходит увеличение объема, занимаемого этой массой. В первом приближении можно пренебречь теплообменом между отдельными массами воздуха и считать процесс расширяния аднабатным. В таком случае работа совершается за счет убили внутренней энергии воздуха. А это означает, что температура воздуха понялается.

Посмотрим, что происходит с влажностью воздуха по мере подъема на гору. Как известно, давление, при котором происходит насыщение паров, уменьшается с понжением температуры. Так что чем выше в гору, тем больше часть влаги, содержащейся в воздуха, конденсируется. Образуется множество капелек,

16

висящих в воздухе, — туман или облако.

Процесс конденсации происходит с выделением теплла парообразования. И тепло это не малое — на килограмм образовавшейся из пара воды выделяется около 2,5 · 10⁶ Дж при температуре 18°C. За счет этого тепловыделения температура у влажного воздуха уменшается при подъеме медленнее, чем у сухого. Если облака вместе с воздухом перевалили через хребет, не потеряв ни капли воды, то в дальнейшем при спуске по наветренному склону и увеличении температуры воздуха вода снова бы испарилась, а на это затратились бы как раз ранее выделшеся тепло. Воздух у подножья с наветренной стороны стал бы иметь ту же температуру и влажность, что и у подножья с подветренной стороны хребта.

Не если ветер влажный, а хребет достагоно высокий, то значительная доля воды оседает с туманом или выпадает с джемом и снегом. Опускается уже подсущенный воздух, у которого температура при спуске растет быстро, чем она падала у влажного воздуха при подъеме. (Хребет должен быть высоким, чтобы попжение температуры воздуха с подъемом оказалось достагоным для конденсации.) Поэтому на одной и той же высоте температура воздуха с наvestренной стороны выше, чем с подветренной.

Оценим теперь количество разницу температур. Расмотрим изогнутый слой воздуха, у которого боковая поверхность следует направленно скорсти ветра, а торцы находятся по разные стороны хребта. Спустя небольшие время неокоторая масса воздуха M этого слоя покинет объем V₁ с подветренной стороны у подножья горы, где температура T₁, а давление p₁. С подветренной же стороны воздуха, опускаясь, займет новый объем V₂ при температуре T₂ и давлении p₂. (Мы будем считать, что в каждом фиксированном месте температура воздуха, давление, скорость ветра остаются со временем неизменными. В частности, это означает, что через любое сечение слоя за одно и то же время проходит одна и та же масса воздуха.)

Внутренняя энергия одного моля одноатомного газа с температурой T равна, как известно, $\frac{3}{2}RT$. Воздух состоит в основном из двухатомных молекул азота и кислорода. Для двухатомного газа внутренняя энергия одного моля равна $\frac{5}{2}RT$.

Изменение внутренней энергии выделенного нами слоя воздуха равно

$$\Delta U = \frac{5}{2} \frac{M}{\mu} R (T_2 - T_1).$$

Рассчитаем теперь работу, совершенную против сил внешнего давления. Спустившийся на наvestренной стороны воздуха вытеcnил из объема V₂ ранее здесь находившийся воздуха с давлением p₂, совершив положительный работу p₂V₂; на подветренной же стороны воздуха покинул объем V₁ при давлении p₁, совершив отрицательную работу —p₁V₁. Полная же работа равна

$$A = p_2V_2 - p_1V_1.$$

С помощью уравнения состояния для идеального газа ($pV = \frac{M}{\mu}RT$) выразим работу через температуры T₂ и T₁:

$$A = \frac{M}{\mu} R (T_2 - T_1).$$

(Tак как объемы V₁ и V₂ находится на одной и той же высоте, потенциальная энергия воздуха в конечном случае не меняется.)

Будем считать, что гора настолько высока, что при подъеме воздуха на подветренной стороны почти всяга конденсируется и выпадает в виде джедра. Если масса выпавших осадков Δm, то тепл Q, выделшеся при конденсции, равно λΔm (λ — удельная температура парообразования).

В конечном случае именно это тепл Q и идет на изменение внутренней энергии ΔU воздуха и на совершение работы A:

$$Q = \Delta U + A.$$

Оценим величины Q. Удельная температура парообразования слабо зависит от температуры, и мы будем считать ее постоянной. Пусть влаж-

17

ность воздуха с подветренной стороны такова, что при давлении воздуха $p_1$ давление воды паров равно $p$. С массой $M$ воздуха, занимающего объем $V_1$, приходит масса $\Delta m$ водыных паров. Согласно уравнению состояния

$$pV_1 = \frac{\Delta m}{\mu_0}RT_1, \quad p_1V_1 = \frac{M}{\mu}RT_1$$

($\mu_0$ — молярная масса воды), откуда

$$\Delta m = M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1}.$$

Таким образом, $Q = \lambda M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1}$.

(В предыдущих наших рассуждениях мы считали, что вся масса $M$ воздуха из объема $V_1$ переваливает через хребет, то есть игнорировали изменение массы за счет выпадающих осадков. Полученное выражение для $\Delta m$ показывает, что такое уравнение допустимо: $\mu_0 = 18$ г/моль, $\mu = 29$ г/моль, а $p \ll p_1$ (например, если влажность воздуха 50%, то при температуре $18^\circ\text{C}$ и давлении $p_1 = 10^5$ Па давление воды паров $p \approx 0.01 \cdot 10^5$ Па), поэтому $\Delta m/M \ll 1$).

Запишем теперь в окончательном виде выражение (*):

$$\lambda M \frac{\mu_0 p}{\mu p_1} = \frac{5}{2} \frac{M}{\mu} R(T_2-T_1) + \frac{M}{\mu} R(T_2-T_1) \Rightarrow \lambda \mu_0 \frac{p}{p_1} = \frac{7}{2} R(T_2-T_1).$$

Отсюда находим выражение для разности температуры:

$$T_2-T_1 = \frac{2}{7} \frac{\lambda \mu_0 p}{Rp_1}.$$

Подставляя $p_1 = 10^5$ Па, $p = 0.01 \times 10^5$ Па, $\lambda = 2.5 \cdot 10^6$ Дж/кг, $R = 8.3 \cdot 10^3$ Дж/(кмоль·град), $\mu_0 = 18$ кг/кмоль, получим $T_2-T_1 \approx 15$ град!. Вот какова разница температур на подветренной и наветренной сторонах горы.

Жители горных мест и альпинисты подветрждают правильность этой оценки.

В чем дело?

В некоторых шкoles, в некоторых классе решили задачу: найти все значения параметра $a$, при которых оно и имеет решение; тогда остальные действиячные числа являются бы ответом задачи. Но это была бы длинная канитель, и все обработались, когда Федя Крестиков предложил графическое решение: «Функция $\sqrt{x-5}$ это полована параболью. Выражение $a-x$ задает семейств линейных функций. Видно (см. рисунок), что прямые этого семейства пересекаются с параболой $\sqrt{x-5}$ тогда и только тогда, когда $a \geq 5$. Значит, ответ в задаче: $a < 5$».

Все были довольны, но другг раздался голос Васи Нуликова: «А ведь задача-то устная!». Его попросили обязывать, и сказал Вася вот что: «Из левой части уравнения (1) видно, что если оно имеет решение, то $x \geq 5$. Из правой части видно, что если $a-x \geq 0$ или $a \geq x$. Значит, если уравнение (1) имеет решение, то $a \geq 5$. На уроке математики нам говорили, что теорема „Если $A$, то $B$” равно сольна теореме “Если не верно $B$, то не верно $A$”*. Значит, если $a < 5$, то уравнение (1) не имеет решения. А это и есть ответ. И выдержав в почтильно наступившей тишине многозначительно

*) Если вам это не говорили, читатель, попробyte доказать это сами. Можно также прочитать это в «Кванте», 1975, № 2, с. 25.

Здесь как раз график вряд ли поможет. И вот что получилось. Сначала все шло так же, как и вочерашнем уравнении: $x \geq 5$, $a \geq x$, значит, $a \geq 5$; следовательно, при $a < 5$ уравнение (2) решения не имеет. И только я обработался, как заметил, что при $a = 5$ оно тоже решения не имеет*). Где же это значение параметра потерялись при Васином способе?». Сказал и сел на место.

А мы стали думать: если Вася прав, то как бы с примером Крестикова? А если неправ, то почему выera у него получился верный ответ?>

В чем дело?

*) Сообщите, почему.

18

История о том, как Галилей открыл законы движения

С. Гиндикин

Первые основы динамики были заложены Галилеем. Действие сил do него рассматривали исключительно в случае их равновесия; и хотя ускоренное движение свободно подающим тел и кривлениеное движение бросенных тел также присвивали постоянное действующее силу тяжесте, но никаку не удалось установить законов указанного объеденного явления, зависящего от столь простой причины. Галилей первый сделал этот шаг и открыл новую и безграничную область для развития механики. Это открытие… составляет теперь наиболее значительный и непрекрасемый часть заслуge этого велико человека. В самом деле, чтобы открыть спутники Юпитера, фазы Венеры, солнечные пятна и т. д., требуется только телефон и наблюдательность, но нужен исключительный гений, чтобы установить законы природы на явлениях, которые всегда были у всех перед глазами и тем не менее ускользали от внимание философов.

Лагранж

Пролог

Винченцо Галилей, известный во Флореции музыкант, долго размышлял над тем, какое поррище выбрать для своего старшего сына Галилео. Сын, безусловно, был способен к музыке, но отец предпочитал что-нибудь более надежное.

В 1581 году, когда Галилей использовать семнадцать лет, чаша весов склонилась в сторону медицинны. Винченцо понимал, что расходы по обучению будут велики, заго будущее сына будет обеспечено. Местом

20

Портрет Галилея. Гравюра XVII века.

го университета. В Пизе Галилея находился до переезда в 1592 году в Падую. Восемнадцать лет, проживших в Падуе, Галилея считал самым счастьым периодом в своей жизни. С 1610 года и до конца жизни он — «философ и первый математик светлейшего великого герцога тосканского Козимо II Медици». В апреле 1611 года Галилей стал членом Академии Линчиев (рысвеглазых), основанной независимо до этого Федерако Чези, маркизом Монтичелли. С тех пор все труды Галилей подписывал «Галилео Галилей ЛинчEO».

Свободное padение

Что касается научных интересов Галилея, то его по-прежнему интересют движения и, прежде всего, свободное padение тел, одно из самых распространенных естественных движений. Как и полагалось в это время, начать нужно с того, что по этому поводу утверждал Аристотель. Мнение последнего свободилось к двум аксиомам: скорости padающих тел пропорциональны их весу и обратно пропорциональны «густоте среды». Очевидные сложности возникали со вторым утверждением: получалось, что в пустоте, «густота» которой равна нулю, скорость padения должна быть бесконечной. На это Аристотель добавлял, что в природа пустоты не былает («природа бонтся пустоты»).

В 1585 году Галилей получил возможность ознакомиться с недвижимым трактатом Бенедетти, который позволил себе не согласиться и с первым утверждением Аристотеля. И вот в чем дело. Пусть имеются два тела — тяжелое и легкое (рис. 1); первое должно padать быстро. Теперь соединим их. Естественно предположить, что легкое тело приоритет тяжелое и скорость padения становится промежуточной между скоростями padения составляющих тел. Но по Аристотелью скорость должна стать больше, чем скорость каждой тела. С продумыванием работы Бенедетти Галиле начинает свои размышления. Но рассужданием не очень верили, и, по словам Вивании, «он доказывал это неоднократными экспериментами, производившимися с выcostы Пизанской башни в присутствии других лекторов, философов и всей ученой братии». Галилея по сейчас часто рисуют кидошим камни с Пизанской башни.

Еще больше вынимание Галилея привлекло другое наблюдение Бенедетти, что скорость свободного padения увеличается по мере движения.

21

Женя тела. И Галилей решает найти математические точное описание этого изменения скорости. Здесь следует сказать, что первоначально Галилей видел свою задачу в том, чтобы математизировать физику Аристотеля: «Философия написана в величайшей книге, которая постоянно открыта нашим глазам (я говорю о Вселенной); но нельзя ее понять, не научившись сперва понimatь язык и различит знаки, которые она написана. Налисана же она языком математических, и знаки ее суть треугольники, круги и другие математические фигуры». Однако скоро стало ясно, что математизация требует систематического перемотра всех фактов.

Как же найти закон изменения скорости свободного падения? Эксперимент только начинаал входить в практику научного исследования. Для Аристотеля и его последовательей он считался лишьним и недостойным занятем как при установлении истинны, так и при ее проверке. Галилей мог бы попытаться проделать серию экспериментов со свободно падающим телами, проверisti тщательные измерения и искать закономерность, которая их объясняет. Так современник Галилея Кеплер, образытывая многочисленные наблюдения Тихо Браге, обнаружил, что планеты движутся по эллипсам. Но Галилей выбирает другой путь. Он решает вначале указать закон из общих соображений, а уже затем проверить его экспериментально. Раньшеник так не поступал, но постепенно такой план исследований станет одним из ведущих при установлении научных истин.

Теперь о том, как Галилей попытался указать закон. Он решает, что природа «стремится применять во всех своих приспособлениях самые простые и легкие средства», а значит, и закон нарастания скорости должны проискать «в самом простой и ясной для всякого форме». Но раз скорость растет с ростом пройденного пути, то что может быть проще предположения о том, что скорость пропорциональная пути: $v = cs$, $c$ — постоянное число. Это предположение испугало его по началу: ведь получается, что падение начинается с нулевой скоростью, а каждая, что скорость с самого начала велика. Но вот какое рассуждение убедило его, что противоречия нет (рис. 2): «Если груз, падающий на свою с высоты четырех локтей, воняет последнюю в землю приблизительно на четыре дюйма,— при padении с высоты двух локтей он воняет ее в землю меньше и, конечно, еще меньше при padении с высоты одного локтя или одной пяди, и когда, наконец, груз падает с высоты не более толщины пальца, то производит ли он на свою большие действия, чем если бы он был положен без всякого удара? Еще меньшешим и совершенню независимым будет действие груза, поднятого на толщину листа. Так как действие удара находится в зависимости от скорости ударящего тела, то может сомневаться в том, что движение чрезвычайно медленно и скорость минимальная, если действие удара совершенню независимо?»

Галилей долго исследовал различные следствия из сделанного предположения и неожиданно обнаружил, что.. по такому закону движение вообще проискать не может! Давайте и мы попытаемся понять, в чем дело. Козффициент пропорционального с зависит от выбора единиц времени. Будем считать для простоты, что $c = 1$, пусть изменяется в метрах, а время в секундах. Тогда во все моменты времени $v = s$.

22

Рассмотрим точку $A$, находящаяся на расстоянии 1 м от начала $O$. Прикинем, через какое время от начала движения тела оказывается в этой точке. В точке $A$ скорость равна 1 м/c. Возьмем точку $A_1$, лежащую посередине между началом $O$ и $A$. На отрезке $A_1A$ мгновенная скорость будет меньше 1 м/c, и на отрезок длиной 1/2 м потребуется больше 1/2 с. Возьмем теперь точку $A_2$ — посередине между $O$ и $A_1$. На отрезке $A_1A_2$ мгновенная скорость будет меньше 1/2 м/c (все точки нахождения от $O$ на расстоянии, меньше 1/2 м), и на отрезок $A_1A_2$ длиной 1/4 м уйдет опять более 1/2 с. Вы уже, конечно, доказались, как мы будет рассуждать далее: точка $A_3$ — середина отрезка $OA_2$, на отрезок $A_2A_3$ длиной 1/8 м при скорости, меньше 1/4 м/c, опять-tаки уйдет более 1/2 с и т. д. Процесс деления можно продолжать неограниченно, и мы можем набрать любое число отрезков, на прохождение которых уходит больше 1/2 с, так и не добавись до $O$. Значит, тело из $O$ попасть в $A$ вообше не может!

Мы предложили, что $A$ находится на расстоянии 1 м от $O$. Но аналогично показывается, что вообше ни в какую точку тело из $O$ попасть не может. Вот с какого замечательного рассуждания началась классическая механика!

Ну что же, у Галилея были все основания обидется на коварство природы, которая не выбрала самого простого пути. Однако в результате природы у Галилея не угасла. Он рассматривает не менее простое предположение, что нарастание скорости проискодит пропорционально времени: $v = ct$. Такое движение он называется ускоренным, но прижился термин «равномерно ускоренное движение».

Галилей рассматривает график скорости на отрезке времени от 0 до $t$ (рис. 3) и заменяет, что если взят момент времени $t_1$, $t_2$, равносторные от $t/2$, то насколько в $t_1$ скорость меньше $ct/2$, настоящего в $t_2$ она больше. Отсюда он делает вывод, что в среднем скорость равна $ct/2$, а проijdенный путь равен $ct/2 \cdot t = ct^2/2$ (не слишком строго расуждайте!). Значит, если рассмотреть равносторные отрезки времени $t=1$, 2, 3, 4,…, то отрезки пути, проijdенные от начала, будут относиться как квадраты натуральных чисел 1, 4, 9, 16,…, а отрезки, проijdенные между соседними моментами отчета,— как нечетные числа 1, 3, 5, 7,….

Именно этот вывод Галилей считает основным и его он хочет проверить. Но как это сделать? Нельзя же продолжать кидать камни с Пизанской башни (хотя, может быть, для наблюдения и удобно, что она разделена на этажи), а в лаборатории падение проискодит слишком быстро. Галилей и здесь находится выход. Он показывает, что если свободное padение равноускоренное, то равноускоренным будет и движение тел по наклонной плоскости. Он проводит серio очень остручно подобраных экспериментов.

Движение по наклонной плоскости

Галилей поступает следующим образом. Он замечает, что из предложения о равноускоренном padении следует равноускоренное движение тяжелой точки по наклонной плоскости. По существу — это привчное середина рассуждание с разложением сил, показывающее, что тяжелая точка скатывается по наклонной плоскости с постоянным ускорением $gsin\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона к горизонтали ($g$ — ускорение свободного padения). Рассуждение Галилея более громоздки: он не вводит ускорения свободного padения, а маннипулирует, как это было принято

23

тогда, с большим числом пропорций. Он делает целья ряд следствий из равноскорености движения точки по наклонной плоскости, которые уже удобны дляLABораторной проверки (если угол наклона мал, то время скатывания велико). Центральное место занимает утверждение, что если наклонные плоскости имеют одинаковую высоту $AB$, то времена скатывания относится как пройденные пути $AB_j$ (рис. 4).

Движение по наклонной плоскости представляется для Галилея самостояльный интерес. Он делает целья ряд наблюданий. Например, если точки движения по хордам окружности $AE_i, BF_j$ (рис. 5), $AB$ — вертикальный диаметр, то все времена скатывания равны времен свободного падения по $AB$ (доказите!). Довольно сложное рассужждение приводит Галилея в доказательство того, что если $A, B, C$ — последовательные точки на окружности (рис. 6), то точка по ломаной $ABC$ скатывается быстрее, чем по хорде $AC$. С этим утверждением связана известная ошибка Галилея: он считал, что быстрее всего точка из $A$ в $B$ скатывается по четыртой окружности, в то время как этим свойством обладает дуга циклиды (см. «Квант», 1975, № 12, с. 29).

В экспериментах с наклонными плоскостями Галилея нуждается в средстве для сравнения времени. Для этого он пользовался медленно вытекающей стреуей воды, то есть неокторым вариантом водяных часов.

Движение брошенных тел

Такое движение Галилея называл приужждением (в отличие от свободного падения). Путь, по которым он движался, был прежним: теория (модель явления) предшествовала экспериментам. Догадка Галилея была генциально простой: движение тела,

*) Никколо Тарталья (1500—1557). Подробнее о нем можно прочитать, например, в статье С. Гиндикина «Великое искусство» («Квант», 1976, № 9).

Рис. 4. Рис. 5. Рис. 6.

24

Рис. 7.

брошенного под углом к горизонту, складывается из равномерного прямоугольного движения, которое имело бы место не будь силы тяжести, и свободного падения. В результате тело движения по параболе (рис. 7). Отметим, что в этом расчужdenнии существенно используется закон инерции — закон Галиллея.

Открытие Галиллея порозило современников. Кончесне сечения (эллипсы, парабольы, гипербольы) — вершина греческий геометрии — казались плодом математической фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности. И вот Кеплер обнаружил, что по эллипсам движения планеты, а Галиллей показал, что парабольы возникают уже совсем в «земной» ситуации. (Еще в XIX веке Лаплас приводил применение кончесских сечений как самое необходимое из применений чистой математики.) Пользовсь свойствми парабольы, Галиллей составил цель таблиц, которые, в частности, допускают экпериментально проверку. Он доказал утверждение Тарталы о том, что угол в 45° отвечает набольшей дальности полета, и показал, что для углов, дающих в сумме 90°, дальности полета одинаковы (при фиксированной величины скорости).

Работы Галиллея по механике были закончены в Падуе, но опубликованы лишь в конце жизни Галиллея в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению».
Она вышла в 1638 году, а была написана после отречения Галиллея, когда он был тяжело болен и почтил.

«Я хотя и молчу, но провожу жизнь несовсем праздно» — писал он. Книга написана в форме диалогов, которые ведут в течение шести дней Сальвиати (проводящий точку зрения автора), Сагредо и Симпллюно (сторонник Аристотеля, его имя переводится как «простак»). В третий и четвертый дни они читают трактат академика (Галиллея) «О местном движении» и подробно обсуждают его. Эта дискуссия позволяет многое узнать про то, как Галиллей шел к своим открытиям.

Эпилог

У расссказанной истории есть и другая сторона: это — история не только о совершившемся открытии, но и об открытии… упущеном. После того как Галиллей понял, что по закону $v(t) = cs(t)$ движение проискодить не может, он потерял интерес к этому закону. Его интерес только естественные движения, проискодшие в природа, а не те умозрительные движения, «которые в действительности в природа не встречаются, но могут соответствовать предполагаемых условиям».
Вскореwortlandский лорд Непер заинтересовался движением, проискодшим по аналогичному закону.

Непер рассмотрел прямоугольное движение, проискодшее по закону $v(t) = l(t)$, где $v(t)$ — мгновенная скорость в момент времени $t$, а $l(t)$ — расстояние движения точки в момент $t$ от фиксированной точки 0 на прямой. Слушай, рассмотренный Галиллеем, ответает ситuation, когда движущая точка находится в начальной момент $t = 0$ в точке 0, то есть $l(0) = 0$, $l(t) = s(t)$. У Непера $l(0) > 0$, $l(t) = l(0) + s(t)$.

Оказывается, что движение с таким свойством в принципе проискодить может и обладает замечательными математическими свойствами (хотя «в природа и не проискодит»!). Прежде всего, если начальное расстояние $l(0)$ умножить на $c$, то на $c$ умножается расстояния $l(t)$ и скорости $v(t)$ во все моменты

25

DISCORSI
E
DIMOSTRAZIONI
МАТЕМАТИСНЕ,
intorno à due nuove scienze
Attenenti alla
МЕСANICA & i MOVIMENTI LOCALI,
del Signor
GALILEO GALILEI LINCEO,
Filofoto e Matematico primario del Serenillimo
Grand Duca di Tofcana.
Con vna Appendice del centro digrauità d’alcuni Solidi.

IN LEIDA,
Appresso gli Elsevirii. M. D. C. xxxviii.

Tитульный лист «Бесед».

времени. Далlee, Непер ограничивается случайем $l(0) = 1$. Тогда $l(t_1 + t_2) = l(t_1)l(t_2)$. Наметим доказательство этого соотношения. Удобно объявить момент $t_1$ новый началом отчета времени. Тогда в силу сказанного выше в новый момент $t_2$ (старый $t_1 + t_2$) расстояние до 0 должно быть в $l(t_1)$ раз больше, чем в старый момент $t_2$. Это и означает что $l(t_1 + t_2) = l(t_1)l(t_2)$. Так впервые появился в науке показатель функции.

Имеем $l(x) = e^x$, где $e = l(1)$, то есть это расстояние от 0 в момент $t = 1$. Пользовать тем, что $e$ — расстояние от 0 в момент времени $t = 1$, и тем, что $v = l$, нетрудно показать, что $e > 2$ (доказите!). На самом деле $e = 2,71828$…; $e$ стали называться числом Непера. Расматривая движения, произходящие по закону $v(t) = ks(t)$, можно получить показательные функции с другими основаниями.

Для всякого положительного $a$ время $t$, для которого $s(t) = a$, Непер называл логарифмом (натуральным) $a$ (обозначается $\ln a$). В силу сказанного выше $\ln ab = \ln a + \ln b$. Двадцать лет составлял Непер таблицы логарифмов, и в 1614 году вышло «Описание удивительного таблицы логарифмов», предведемление к которой содержало извивания за неминуемые ошибки и кончалось словами: «Ничего сначала не былоет совершенством».

Открытие Непера замечательно не только тем, что он создал таблицы логарифмов, но и тем, что он показал, что новые функции могут появляться при изучении движения. Начиная с этих работ Галилея и Непера, механика стала для математики построенным источником новых функций и кривых.

ИЗ ИНОСТРАННОГО ЮМОРА

Проискствие на экзамене

«Альфа» 73 — № 1

26

Автоколебания в потоке воздуха

Существует несколько способов возникления незатухающих колебаний упругих тел. Однако из них — с помощью построного потока воздуха. Предлагаем вам проверки несложный эксперимент, позволяющий воочию убедиться в этом.

Выражьте из плотной бумаги полоску шириной 2 — 3 см и длиной 50 — 80 см. Концы полоски несколько раз оберните вокруг двух карандашей и возьмите за них руками. Свободно расположите полоску на расстоянии 20—50 см перед включенным вентилятором так, чтобы плоскость полоски была горизонтальной. Вы увидите, что под действием потока воздуха полоска начинает колебаться, причем колебания ее будет нерегулярными и неперiodическими.

Теперь постепенно натягивать полоску (прикладывать слишком большие числа не нужно). При некоторых натяжении возникнут довольно сильные периодические колебания и на полоске установится стоячая волна (см. рисунок). По-явившиеся колебания будут продолжаться в течение всего времени, пока вы сможете условия опыта поддерживать неизменными. Очевидно, это — авторолебатель процесс.

Попробуем разобраться в причине образования авторолебаний. Поток воздуха, обтекающий полоску, вызывает появление воздушных вихрей, которые периодически срывают с полоски. В моменты отрыва вихрей изменяется сопротивление полоски воздушному потоку. Поскольку вхрини отрываются через равные промежутки времени, можно сказать, что со стороны воздуха потока на бумажную полоску периодически действует сила. В результате полоска совершает авторолебания.

Почему же колебания стала заметными лишь при определенном натяжении бумажной полоски? Дело в том, что полоска представляет собой упругое тело, способное совершать собственные колебания. Изменяя натяжение полоски, мы тем самым меняли частоту ее собственных колебаний. Когда частота собственных колебаний совпадает с частотой авторолебания, наступил своеобразный резонанс и амплитуда авторолебаний резко возросла.

Таким образом, в этом эксперименте тесто переплетаются авторолебательные и резонансные явления.

О том, к каким нежелательным эффектам могут привести эти явления, расссказываясь в третьем номере журнала за 1972 год в статье Л. Асламазова «Почему гудят провода».

27

М. Мамикон

Обобщенная задача о фальшивых монетах

Многим читателем хорошо известна следующая классическая задача о фальшивых монетах, порождающая тем, что она разрешима:

Задача о мешке с фальшивыми монетами

Имеются N мешков и в каждом из них достаточно количество монет. Все мешки, кроме одного, содержат одинаковые «normальные» монеты, в одном же мешке все монеты фальшивые. Известен все нормальной монеты и известно, что фальшивая монета на 1 грамм легко нормаль-ной. Требуется при помощи одного взвешивания на весах с разновесками обнаружить мешок с фальшивыми монетами.

Вот как решается эта задача. Мешки последовательно numерюются и из каждой мешка берется количество монет, равное номеру этого мешка. Суммарный вес всех взятых таким образом монет будет «не дотягивать» до веса такого же количество нормальных монет (которые нам известен) на количество граммов, равное номеру именно того мешка, который содержит фальшивые монеты*).

Раздувавая над этой задачей, я пришел к более удивительному выводу о том, что одним взвешиванием может быть решение и более сложная задача:

*) Эта задача решается — правда, хитрее — и в том случае, когда все нормальной монеты неизвестен и разновесков нет. Подумайте, как.

28

Задача о нескольких мешках с фальшивыми монетами

Пусть в условиях предыдущего задачи имеется не один, а несколько мешков с фальшивыми монетами, причем их количество неизвестно. Требуется при помощи одного взвеси ваня на весах с разновесами обнаружить все эти мешки.

Решив и эту задачу, я осмелился на дальнейшие условия. Задача оказалась разрешимой при еще более удивительных условиях:

Задача о мешках
с тяжелыми и легкими монетами
Среди N мешков имеются неотрое (неизвестное) количество мешков с тяжелыми и неотрое (то же неизвестное) количество мешков с легкими монетами. Леская монета на 1 глече нормальной, а тяжелая, наоборот, на 1 глече нормальной. Требуется при помощи одного взвеси ваня на весах с разновесами узнать, какие мешки содержат нормальные монеты, какие — тяжелые, а какие — легкие. (Напомним, что внутри данного мешка все монеты одинакового веса и что все нормальной монеты известен.)

Разрешимость и этой задачи входновила меня на дальнейшее обобщение, которое уже направалось само собой. До сих пор мы фактически рассматривали задачи о двух или трех сортах (типах) монет, поэтому естественно следует

Задача о мешках
с разновостями монетами

Пусть имеется N мешков и в каждом достаточно колисего монет. Имеются монеты разных сортов, но в каждом мешке содержатся монеты только одного сорта. Колисего мешков с монетами данного сорта произвольное, и нам оно неизвестно. Монеты разных сортов отличия друг от друга по весу, причем на целое число граммов. Все монеты каждого сорта изменен. Требуется при помощи одного взвеси ваня на весах с раз-

новесами определить, к какому сорту приадлежат монеты в каждом мешке.

Мы предложаем читателю пробовать самостоятельное решение предыдущего задачи, прежде чем перейти к излагаемому ниже решения обобщенной задачи о фальшивых монетах.

Решение задачи о мешках
с разновостями монетами

Перенумеруем последовательно мешки от 0 до N—1. Обозначим все самой легкой монеты через m. Пусть мешок под номером j содержит монеты веса m+Δj, то есть Δj определяет сорт монеты в j-м мешке. Пусть в зависимости от сорта монеты величины Δ могут принимать (целые) значения 0, 1, 2,…, меньше k, то есть колисего сортов монет равно k.

Теперь возьмем из мешка с номером j колисего монет, равное kj, то есть из первого мешка — одну монету, из второго — k,…, из последнего — kN−1 монет. Всего взязывах монет будет

$$M = \sum_{j=0}^{N-1} k^j = 1 + k + k^2 + \dots + k^{N-1} = \frac{k^N - 1}{k - 1}.$$

Их суммарный вес S на весах будет равен

$$S = \sum_{j=0}^{N-1} (m + \Delta_j) k_j = m \sum_{j=0}^{N-1} k^j + \sum_{j=0}^{N-1} \Delta_j k^j = m \cdot M + \sum_{j=0}^{N-1} \Delta_j k^j.$$

Поскольку всегда Δj < k, вторая сумма в правой части

$$\Delta = \sum_{j=0}^{N-1} \Delta_j k^j = \Delta_0 + \Delta_1 k + \Delta_2 k^2 + \dots + \Delta_{N-1} k^N - 1$$

представляет собой перевод числа Δ из десятичной системы численения (в котором работает весы) в системе численения с основанием, равным k. В этой системе Δ записьается в виде числа со следующей последо-

29

вательность цифр:
$$\Delta \rightarrow \Delta_{N-1} \Delta_{N-2} \dots \Delta_{2} \Delta_{1} \Delta_{0}.$$

Мы видим, что каждая цифра этой записи показывает сорт монеты в последовательности мешков, взятой в обратном порядке. В этом состоянии суть нашего решения.

Итак, из суммарного веса S всех выбранных M монет вычитаем величины Mm — вес того же количества монет наилегчайшего сорта и оставшееся число $\Delta = S - Mm$ переводим в систему счисления с основанием $k$ (разлагаем по степеням $k$, начная со стартей). Тогда мы получим число вида (*). Его $j$-я цифра с конца (счет ведется от нуля) показывает сорт монеты $\Delta_j$ в мешке под номером $j$.

Пример

В приводимой ниже таблице указаны веса монет, содержащихся в пятей мешках. Сверху дана нумерация мешков справа налево (это и есть обратный порядок), а под мешками указаны сорта монет. Они являются искомыми.

| номер мешка $j$ | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $11\text{ r}$ | $12\text{ r}$ | $10\text{ r}$ | $12\text{ r}$ | $10\text{ r}$ | $10\text{ r}$ |
| $1$ | $2$ | $0$ | $2$ | $0$ | $0$ |
| $81$ | $27$ | $9$ | $3$ | $1$ | $1$ |

В этом случае $k=3$ и количество взятых монет соответствует степеней, как показано в последней строке таблицы. Все мы взяли $M=121$ монету. Их общий вес на весах будет равен $S=1351$ г. Вычитая величины $M \cdot m=121 \cdot 10$, получим $\Delta=141$ г. Переводя $\Delta$ в троичную систему
$$\Delta = 1 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + +0 \cdot 3^2,$$
получим число $\overline{12020}$, последовательность цифра которого совпадает с исходной последовательностью сортов, приведенной в таблице.

Если $k=10$, то надоность перевода $\Delta$ из одной системы счисления в другую отпадает. Для случая $k=3$ существует несколько отличия от нашей интерпретации решения задачи. Найти ее мы предоставляем читателю.

Немного истории

Классический задачу об одном мешке с фальшивыми монетами можно найти во многих популяриных книжках по математике. Говорят, что во время второй мировой войны английане «сбросили» эту задачу над немецкими солдатами с целью их dezорганизации и что те потеряли над ее решением более 40 000 человек-часов.

В книге Д. Бизама и Я. Герцега «Многосветная логика» (М., «Мир», 1978 г.) рассматривается также случай двух мешков с фальшивыми монетами и приводится решение этой задачи при помощи двух взвешивания.

Классический задача о фальшивых монетах в последнее время нашла применение в теории кодирования и информации — для обнаружения ошибки в коде.

ИЗ ИНОСТРАННОГО ЮМОРА

Кто из студентов здоровался со мной за руку
«Альфа» 77 — № 3

30

Задачник
кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер уже 10 лет — с момента основания журнала. В нем публикуются задачи, решения которых мы ожидаем получить от читателей. Среди них — задачи, близкие к оптимизации, требующие дилительных размышлений. Наряду с относительной легкими задачи встретаются и такие, которые нелегко решить и специализатам. Самые трудные задачи помогают звездочек.

Если задача вас заинтересовала, но не получилась сразу — не опускайте руки, попробуйте вернуть к ней через день, через недель. Не откладывайте ее даже после того, как она сделана — подумайте, как наиболее рационально и убедительно записать решение, как обобщить задачу, чтобы ее результат, какие близкие задачи она позволяет решить.

Во второй части раздела мы помещаем решение задач (примерно через 8—10 месяцев после публикации условий) с учетом присланных читателей писем. Каждый решение — это, по существу, небольшая отдельная статья. Мы советуем разобраться в них и тем, кто не выписвал в прошлом году «Квант» или не решал задач.

Мы регулятор публикуем фамилии читателей, приславших нам решения. Школьники, прислающие интересные и полные решения, получают право участвовать в ресурсikanских турах Всегоозной оптимизации (итоги, на основании которых победители конкурса Задачника «Кванта» получают приглашение на оптимизации, подводятся в декабря).

Для учеников Всегоозной заочной математической школы правильное решение задач из Задачника считается выполненем факультативных заданий.

Разумеется, не все наши задачи публикуются впервые. После формирования мы обычно указываем, кто предложил нам задачу. Придумать новую оригинальную задачу — сделать небольшое самостоятельное «открытие» — пожалей, даже труднее, чем решить готовую чужую. Если вам это удострая, пришли нам задачу вместе с кратким решением. Hanоболее интересные задачи мы публикуем в Задачнике или других разделах журнала. Новые задачи, а также решения и комментарии к задачам из Задачника мы будем получить не только от школьников, но и от взрослых читателей журнала.

Наш адрес: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» — и указывае, решения каких задач вы посылаете (например: «№ 1 (1980), М602, М605, а, 6»), либо пометете «Новая задача по математике (физике)». Решения задачи по разным предметам или из разных номеров журнала просылать в разных конвертах. Формулировки новых задачи (как и любые материалы, предназначенные публикации) нужно присылать в двух экземплярах. Мы стараемся ответать всем нашим корреспондентам. Происм оформлять решения аккуратно, чтобы облегчить работу редакции и консультантам раздела Задачника «Кванта». В начале письма обязательно напишите свою фамилию, имя, отчество, домашний адрес; школьников просим также указывать класс и школа ( и «номер» или адрес фильма, если вы учитесь в ВЗМШ).

Крайний срок посылаки ответов на задачи этого номера — 15 марта 1980 года.

31

Задание

M601—M605; Ф613—Ф617

M601. Докажите, что в любом треугольнике $ABC$ середина стороны $BC$ лежит на отрезке, соединяющим точку пересечения высот треугольника $ABC$ с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине $A$, и делит этот отрезок пополам.

Г. Грошев, ученик 10 класса

M602. В треугольнике Паскала, начало которого изображено на рисунке 1 (каждое «внутреннее» число равно сумме двух стороны над ним), в следующий строке встречаются по др яд три числа, образующие арифметическую прогрессию.
a) В какой следующей строке следует такое же событие?
b) Докажите, что оно произойдет в бесконечном количестве строк, и поставляется указаать все номера таких строк.

А. Аврамов

Рис. 1. В $n$-й строке $k$-е по порядку число равно
$$C_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k}.$$

Рис. 2.

M603*. Решите систему уравнений
$$x + \frac{3x - y}{x^2 + y^2} = 3, \quad y - \frac{x + 3y}{x^2 + y^2} = 0.$$
Л. Купцов

M604. a) Андрей, Виктор, Сергей, плавающие под водой, одновременно выhirнули в точках $A_0, B_0, C_0$ и тут же нырнули снова, причем Андрей решил проплыть за минуту треть пути до Виктора, Виктор — треть пути до Сергея, Сергей — треть пути до Андрей. Через минуту они выhirнули вновь (точки $A_1, B_1, C_1$ — см. рис. 2) и решили повторить этот маневр — уже за полминуты; потом — за четверть минуты и т. д.
Где и когда они встретиются?
б) Внутри сферы радиуса 1 км расположен миллион точек, занумерованных чисlamи от 1 до миллиона. Каждый секунду одновременно каждая точка двигается к следующей по номеру на $1/3$ расстояния до этой точки; последняя точка точно так же двигается к первой. Докажите, что через некоторое время все точки соберутся внутри некоторой сферы радиуса 1 мм.

Ф. Шлейфер

M605. На плоскости отмеченies $2n+1$ различных точек. Занумеруем их чисlamи 1,2,…,2n+1 и расстоянием следующей преобразование $R$ плоскости: сначала делается симметрия относительной первой точки, затем — относительной второй и т. д.— до $(2n+1)$-й точки.
a) Докажите, что у этого преобразования $R$ есть единственная «неподвижная точка» (точка, которая отображается в себя).

32

Рассмотрим всевозможные способы измерения на ших $2n + 1$ точек (числами 1,2,…,$2n + 1$). Каждый такой нумерации соответствует свое преобразование плоскости $R$ и своей неподвижная точка. Пусть $F$ — множество неподвижных точек всех этих преобразований.

6. Укажите множество $F$ для $n = 1$.
   в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество $F$ при каждом $n = 2,3,...$?

А. Талалай

Ф613. Коробка массы $M$ стоит на горизонтальном столе. В коробке наружные сжеткости $k$ подвешен груз массы $m$ (рис. 1). При какой амплитуде колебаний груза коробка начинает подпрыгивать на столе?

Л. Баканина

Ф614. В замкнутом сосуде находился газообразный азот при комнатной температуре $t_0 = 20^\circ\text{C}$ и давления $p_0 = 10^5$ Pa. В сосуд впрыснул некоторые колибестоjo жидкого азота с температурой $t_1 = -196^\circ\text{C}$ (температура кипения азота при нормальном атмосферном давлении). Жидкий азот быстро испарился, после чего температура в сосуде оказалась равной $t_2 = -140^\circ\text{C}$. После того как сосуд прогрелся до комнатной температуры, в нем установилось давление $p = 1,5 \cdot 10^5$ Pa. Определить молярную теплоту испарения жидкого азота. Теплоемкость газообразного азота при постоянном объеме $C_V = 20,8$ Дж/(моль·К).

В. Белончкин

Ф615. В случае несамостояльного газового размера зависимость точки $I$ через газоразрядную трубку от напряжения $U$ между электродами трубки имеет вид, показанный на рисунке 2. Трубка с последовательно соедининым баллостным сопротивлением $R = 3 \cdot 10^8$ Ом подключена к источнику с постоянной ЭДС $8 = 6$ кВ. Найдите, какой ток установится через трубку и чем будет равно при этом напряжение на трубке. Внутренним сопротивлением источника претенбрець.

В. Можаев

Ф616*. Длина нити накаливания электрической лампочки равна $l$, а диаметр — $d$. Каковы длина $l_1$ и диаметр $d_1$ другой лампочки, расчитанной на то же напряжение сети, но с вдвое большим световым потоком, если КПД обеих лампочки один и тот же?

Ф617. Газетный текст, фотографируется аппаратом «Зенит» с объективом, имеющим фокусное расстояние 50 мм, дважды:

1. с наименьшего допустимого для этого объектива расстояния $a = 0,5$ м;
2. после присоединения объектива к камере через удлинительное колюдо высотой $h = 25$ мм (также с минимально возможного расстояния).

Найдите отношение газов изобравней, полученных на фотопленке в этих двух случях.

В. Дерябкин

33

М546. Из произвольной точки М окружности, описанной около прямугодыника, опустили перpendикуляры MP и MQ на две его противоположные стороны и перpendикуляры MR и MT на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямы PR и QT перpendикуляры другие другие другие. А их точка пересечения принадлежат диагоналям прямугодыника.

М547. Для того чтобы уравнение $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число, имею.edинстенное решение в натуральных числах $x$, $y$, необходимо и достаточно, чтобы $n$ было простым. Докажите это.

Обозначим через $M_1$ и $P_1$ точки пересечения отрезков $MT$ и $MP$ с данной окружностью (см. рис.). Поскольку углы $MMP_1$ и $ADC$ прямые, углы $M_1AP_1$ и $AM_1C$ также прямые и четырехугольник $AP_1CM_1$ — прямогольник. С другой стороны, четырехугольники $AM_1TQ$ и $ARPP_1$ — параллелограммы (пары отрезков $M_1T$, $AQ$ и $AR$, $PP_1$ параллельны и равны по длине). Позному $(AM_1) \parallel (TE)$ и $(AP_1) \parallel (RP)$. Отсюда следует, что $(TE) \perp (RP)$.

Второе же утверждение задачи $(E \in (AC))$ эквивалентно подблюдению прямугодыников $AP_1CM_1$ и $AGEF$. Покажем, что они действительно подблены.

В самом деле, все отмеченные на рисунке углы конгрузентны; пусть они равны по величины $a$. Тогда, если $|AM_1| = a$ и $|CM_1| = b$, то $|AF| = |AR| \sin a = |PP_1| \sin a = |CP_1| \sin^2 a = a \sin^2 a$ и аналогично $|AG| = b \sin^2 a$, то есть $\frac{|AM_1|}{|CM_1|} = \frac{|AF|}{|FE|}$.

Позному $E \in [AC]$.

И. Клумова

◆ Из уравнения $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ следует, что $\frac{1}{x} > \frac{1}{n}$, то есть $x < n$. Поэтому, если $n = 1$, то в натуральных числах решения нет. Пусть $n \neq 1$, тогда $x = n - i$, $0 < i < n$, и $\frac{1}{n - i} - \frac{1}{n} = \frac{1}{y}$. Отсюда $y = \frac{n(n - i)}{i}$. Однако решение (в натуральных числах) всегда есть: оно получается при $i = 1: x = n - 1, y = n(n - 1)$.

Пусть теперь $n$ — простое и $i > 1$. Тогда числа $n$ и $i$ взаимно просты и числа $n - i$ и $i$ также взаимно просты, а следовательно, числа $n(n - i)$ и $i$ также взаимно просты (убедитесь в этом, рассмотрев, например, сумму $n(n - i) + ni$. Позному, если $n$ — простое, а $i > 1$, получаем $y = \frac{n(n - i)}{i} \notin \mathbb{N}$. Значит, при простом $n$ обязательно $i = 1$, и у нашей уравнения решения единственно.

Если же $n$ — составное: $n = n_1n_2$, то положив, например, $i = n_1$, получим, кроме решения $x = n - 1$, $y = n(n - 1)$, еще одно: $x = n - n_1$, $y = n_2(n - n_1)$. Это полностью доказывает утверждение задачи.

А. Данцелян

◆ Решим сразу пункт в) задачи. Для этого прежде всего сформировать:

На окружности расположено $n$ точек. Через центр таких $n - 2$ из них проводится прямая, перpendикулярная хорde, соединищей оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.

Но что такое центр таких $k$ точек? Дадим определение: центром таких $k$ точек $A_1, A_2, \dots, A_k$ называется такая точка $G$, что

$$\overrightarrow{GA_1} + \overrightarrow{GA_2} + \dots + \overrightarrow{GA_k} = \overrightarrow{0}.$$

37

ниям на величипедах, сине — перемещениям пешком. На этом рисунке выделены графики перемещения одного из выехавших из $A$ и одного из выездших из $A$ величипедов (ломанные $AC_3D_3B$ и $AA_2B_3B$). Из графика видно, что время перемещения каждого величипеда равно $t_{\min}$.

Случай $m=2$, $n=3$ пропилострирован на рисунке 2: сним цветом изображен график перемещения первого величипеда; красным — второго и черным — третьERO.

С. Кротов

Ф558. Маленький тяжелый шарик влетает через отверстие внутри главной сферы той же массы, проходя на расстоянии $R/2$ от центра сферы ($R$ — радиус сферы). После влета шарика отверстие автоматически закрывается. Считая соударения между шариком и сфером абсолотно упругими, найти траектории шарика и центра сферы в той системе отчета, в которой сфера переоначально покопалась. Определить параметры этих траекторий и отметить на них точки, в которых происходят соударения.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Пусть шарик влетает в отверстие со скоростью $\vec{v}$ относительно той системы отчета, в которой сфера первогоначально покопалась. Очевидно, что все движения будут происходить в плоскости, где лежат вектор $\vec{v}$ и центр сферы.

Массы шарика и сферы равны, поэтому центр масс системы будет дивгаться со скоростью $\vec{v}/2$ по прямой, лежащей в той же плоскости на расстоянии $R/4$ от центра сферы. Так как внешние силы на системе не действуют, движение центра масс не изменится даже при наличии каких-либо соударений внутри системы.

По условию задачи соударения абсолотно упругие, а поверхносты гладкие. Это означает, что касательная проекция скорости шарика относительно сферы остается неизменной, а нормальная меняет знак на противоположный. Следовательно, при каждом соударении модель вектора скорости шарика относительно сферы не меняется и остается равным $|\vec{v}|$, а углы padения и отражения конгрузенты. Траектория шарика относительно сферы имеет вид виснанногоравностороннего треугольника со стороны $R\sqrt{3}$ (показан красным на рисунке 1), а промежутки времени между последовательными соударениями равны $R\sqrt{3}/|\vec{v}|$.

Центр масс системы относительно сферы движется со скоростью вдвое меньше, и его траектория — тожеравносторонний треугольник, но со стороны $R\sqrt{3}/2$ (показан черным на рисунке 1).

Тепер рассмотрим поступательно движущуюся система отчета, где неподвижна не сфера, а центр масс системы. Скорости шарика и центра сферы в этой системе одинаковы по модулю, который равен $|\vec{v}|/2$, а движение происходит по траекторям, изобразенным соответствующими цветами на рисунке 2 и 3.

В заключение остается перейти в исходную систему отчета, где сфера первогоначально покопалась, шарик движется со скоростью $\vec{v}$, а центр масс все движется со скоростью $\vec{v}/2$ (рис. 4). Для такого перехода необходимо прибавить вектор $\vec{v}/2$ ко всем векторам скоростей, изобразенным на рисунках 2 и 3. Получится, что до первого соударения (после «нулевого», треугольного, шестого, $3n$-го) шарик движется со скоростью, равной по модулю $|\vec{v}|$ и направленной параллельно скорости (и траектории) центра масс, и происходит рассоглашение $R\sqrt{3}$. Сфера в этот промежуток времени покопится.

После первого (четвертого, седьмого,…, $(3n+1)$-го) соударения вектор скорости шарика направлен под углом $-\pi/3$ к вектору скорости центра масс и по модулю равен

38

До второго соударения шарик проходит путь $R\sqrt{3}/2$. Соответствие скорость сферы направлена под углом $\pi/6$ к тому же вектору, а ее модель равен $|\vec{v}|\sqrt{3}/2$. Сфера проходит путь $3R/2$.

После второго (пятого, восьмого,…, $(3n+2)$-го) соударения векторы скоростей шарика и центра масс составляют угол $\pi/3$ и равны по модели $|\vec{v}|/2$. Путь шарика прежний, то есть $R\sqrt{3}/2$. Наконечная скорость сферы в это время — $\pi/6$, модель скорости $|\vec{v}|\sqrt{3}/2$, путь $3R/2$.

Далее картина повторяется, то есть между третийм и четвертым соударениями сфера снова поконтся, а шарик движется со скоростью $\vec{v}$ и т. д.

Б. Буховцев

Ф559. Соедасно теории Бете уелеродный цикл звездных термодерных реакций состоит из следующих реакций:

$$p + ^{12}C \rightarrow ^{13}N + \gamma,$$
$$^{13}N \rightarrow ^{13}C + e^{+} + v,$$
$$p + ^{13}C \rightarrow ^{14}N + \gamma,$$
$$p + ^{14}N \rightarrow ^{15}O + \gamma,$$
$$^{15}O \rightarrow ^{15}N + e^{+} + v,$$
$$p + ^{15}N \rightarrow ^{12}C + ^{4}He.$$

Начти энергию, выделяющую при образовании моля тела.

Цикл Бете приводит к образованному из четырех протонов одного ядра геля:

$$4p \rightarrow ^{4}He + 2e^{+} + 3\gamma + 2v.$$

Подсчитав по формуле $E = mc^2$ энергии части слева и справа, найдем энергию, выделившую при синтезе одного ядра атома геля ($m_p = 1,6724 \cdot 10^{27}$ кг, $m_{He} = 6,6439 \cdot 10^{27}$ кг, $m_{e} = 0,9108 \cdot 10^{30}$ кг, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с):

$$E_{выд} = (4m_p - m_{He} - 2m_{e})c^2 = 0,3951 \cdot 10^{-11}$$ Дж.

При образованнии моля геля выделяется энергия

$$W = E_{выд}N_A \approx 2,4 \cdot 10^9$$ кДж

(здеся $N_A \approx 6 \cdot 10^{23}$ моль $^1$ — число Авогадро).

Ф560. Плоская бесконечная струя толщины $d_0$ nadает nod уелом а на плоскость (рис. 1). Скорость струи равна $\vec{v}$, ее плотность $\rho$. На какое струи распадается струя?

Обозначим через $d_1$ и $d_2$ толщины образованших струй (рис. 2), а через $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — их скорости. Так как через поперечное сечение первого嗽альной падаюшей струи за одну секунду проходит такая же масса жидкости, что и через поперечные сечение обиха образованших струй, то

$$\rho d_0 v = \rho d_1 v_1 + \rho d_2 v_2$$

(1)

(здеся $v, v_1$ и $v_2$ — молли соответствующих скоростей).

Выделим так называемую трубку тока жидкости (на рисунке 2 она показана цветом) и рассмотрим ее участок между сечениями $I$ и $II$. За малое время $\Delta t$ через сечение $I$ площально $\Delta s$ втекает, а через сечение $II$ площально $\Delta s_1$ втекает одна и та же масса жидкости.

$$\Delta m = \rho \Delta s v \Delta t = \rho \Delta s_1 v_1 \Delta t.$$

Изменение кинетической энергии этой массы жидкости равно работе $A$ сил давления $\vec{F}$ и $\vec{F}_1$. Если при перехождение через $I$ работа положительная, то при перехождение через $II$ она отрицательна, поэтому

$$A = F v \Delta t - F_1 v_1 \Delta t = p \Delta s v \Delta t - p_1 \Delta s_1 v_1 \Delta t,$$

где $F$ и $F_1$ — молли сил давления, а $p$ и $p_1$ — давления в сечении $I$ и $II$ соответственно.

Но давление как влевой, так и в правой струях равно давлению в падаюшей струye (все струи имеют свободную плоскую поверхность и давление в них равно атмосферному), то есть $p = p_1$. Кроме того,

$$\Delta s v \Delta t = \Delta s_1 v_1 \Delta t = \frac{\Delta m}{\rho}.$$

39

Таким образом,

$$A = p \frac{\Delta m}{\rho} - p \frac{\Delta m}{\rho} = 0,$$

и изменение кинетической энергии массы $\Delta m$ жидкости равно нулю, то есть $v_1 = v$. Точно так же можно показать, что и $v_2 = v$. Поэтому из равенства (1) получаем

$$d_0 = d_1 + d_2.$$

(2)

Так как на жидкость не действуют никакие внешние горизонтальные силы, горизонтальная проекция импульса текущей жидкости должна оставаться постоянной:

$$mv \cos \alpha = m_1 v_1 - m_2 v_2,$$

где $m \sim d_0$, $m_1 \sim d_1$, $m_2 \sim d_2$ и $v = v_1 = v_2$. Следовательно,

$$d_0 \cos \alpha = d_1 - d_2.$$

(3)

Из равенств (2) и (3) получаем

$$d_1 = d_0 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \quad \text{и} \quad d_2 = d_0 \sin^2 \frac{\alpha}{2}.$$

◆ а) Сила, действующая по экватору на нижнюю часть батинскафа, равна весу стольба воды над верхней полусферой (рис. 1). Объем этого стольба равен объему цилиндра радиусом $R$ и высотой $H$ без объема полусферы радиусом $R$, поэтому модель веса воды равен

$$P = \rho g \left( H \pi R^2 - \frac{2}{3} \pi R^3 \right).$$

Напряжение, которое должен выдерживать шов батинскафа, равно

$$\sigma_a = \frac{P}{2 \pi R} = \frac{1}{2} \rho g \left( HR - \frac{2}{3} R^2 \right).$$

б) Расстоянием две маленькие плоскники площадью $\Delta s$ каждой, находящемся на расстоянии $h$ выше и ниже центра сферы (рис. 2). На верхнюю плоскку действует сила $\overrightarrow{F_1}$, модель которой $F_1 = \rho g (H - h) \Delta s$. Проекция этой силы на горизонтальном плоскости равна

$$F_1 \cos \alpha = \rho g (H - h) \Delta s \cos \alpha.$$

На нижнюю плоскку действует сила $\overrightarrow{F_2}$, ее модель $F_2 = \rho g (H + h) \Delta s$, а проекция на горизонтальном плоскости равна

$$F_2 \cos \alpha = \rho g (H + h) \Delta s \cos \alpha.$$

Сумма этих проекций не зависит от $h$ и равна

$$2 \rho g H \Delta s \cos \alpha.$$

Но $\Delta s$ cos $\alpha$ представляется собой проекцию плоскники $\Delta s$ на вертикальном плоскости. Отсюда следует, что сумма $F$ горизонтальных проекций силы, действующих на всю правую полусферу, равна произведению величины $2 \rho g H$ на половину плоскии сечения полусферы, проходящero через вертикальный диаметр:

$$F = 2 \rho g H \frac{1}{2} \pi R^2 = \rho g H \pi R^2.$$

Напряжение, которое должен выдерживать шов батинскафа, равна

$$\sigma_a \approx \sigma_6 = \frac{1}{2} \rho g HR = 10^8 \text{ H/m}.$$