Квант 1980, №2 · Страницы

КВАНМ 2
1980

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Красные линии: эллипс и гипербола — проходят через центры двух семейств окружностей. Окружности этих семейств (они обозначаены тонкими черными линяями) касаются двух пересекающих кругов, закрашенных желтым цветом. Получившаяся конфигурация — не просто причудливая выдумка художника; она тесно связана с математической «классикой»: кончексими сечениями и задачей Аполлоня. Подробнее см. с. 33.

1

Основан в 1970 году
2
1880

Научно-популярный
физiko-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академи педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физiko-mатематической литературы

В НОМЕРЕ:

Главный редактор
акademик И. К. Кикоин
Первый заместитель
главного редактора
акademик А. Н. Колмогоров

Редакционная коллекция:
М. И. Башмаков
С. Т. Беляев
В. Г. Болтянский
Н. Б. Васильев
Ю. Н. Ефремов
В. Г. Зубов
П. Л. Капица
В. А. Кириллин
А. И. Климанов
С. М. Козел
В. А. Лешковцев
(зам. главного редактора)
Л. Г. Макар-Лиманов
Н. А. Патрикева
И. С. Петраков
Н. Х. Розов
А. П. Савин
И. Ш. Слободецкий
М. Л. Смолянский
(зам. главного редактора)
Я. А. Смородинский
В. А. Фабрикант
А. Т. Цветков
М. П. Шаскльская
С. И. Шварцбург
А. И. Ширшов

2 Б. Гнеденко. Математика в Московском государственном университете
10 В. Гуревиц. Флуктуации физических величины
17 С. Ашманов. Числа и многочлены
22 З. Керимов. Как найти целый корень?

Лаборатория «Кванта»
24 А. Митрофанов. Вверх по наклонной плоскости

Математический кругхок
26 Н. Вадутен. Сопряженные числа

Задачик «Кванта»
34 Задачи М606—М610; Ф618—Ф622
36 Решения задач М551—М556; Ф563—Ф567

«Квант» для младших школьников
43 Задачи
44 А. Бендукидзе, А. Савин. Производные пропорции

Практикум абитуриента
46 В. Дубровский. Неожиданный ракурс
51 В. Можаев, Б. Федосов, В. Чехлов. Московский физiko-технический институт

Искусство программирования
53 Заочная школа программирования. Урок 6

Информация
56 В. Комаров. На пути в большую науку
57 А. Виленкин. II Всероссийский слет актива НОУ
59 Шахматная страница
60 Ответы, указания, решения

Наша обложка (25, 33)

Смесь (23, 32, 45, 55)

© Главная редакция физiko-mатематической литературы издательства «Наука», «Квант», 1980

2

Б. Гнеденко

Математика
в Московском государственном университете

25 января 1980 г. исполнилось 225 лет со дня подписания указа об учреждении Московского университета. При университете были созданы двеимазии: одна — для двояянских детей, другая — для детей разночинцев. Торжественное открытие университета состоялось 26 апреля 1755 г. Но это было лишь открытие иммазий. Занятия же со студентами начались только летом 1755 г., когда в университете собрались 30 молодых людей, откомандированных духовными семинарами (других подготовленных абитриентов для университетских занятий в ту пору в стране не было).

Московский университет был открыт благодаркой кипучей деятельности М. В. Ломоносова, добавившегося широкого распространения просвещения в России, не связанного с сословными ограничениями. Однако в ту пору прави-тельство крепостнической империи категорически отказало крестьянству в самомвозможности получения высшего образования. Ломоносов же утверждал, что «в университете тот студент почтеннее, кто больше научился: а чей он сын в том нет нужды».

На первых порах университет состоял из трех факультетов: философского, юридического и медицинского — и, формально, двух гимназий. Фактически же гимназия была одна. Только занятия проводились разделно для двояянских детей и детей разночинцев. Объединение разрешалось только в последнем, так называемом «ректорском» классе. Этот последний класс давал дополнительную подготовку для поступления в университет, и занятия в нем продолжались одинаковая года.

Все студенты должны занять занятия на философском факультете, являшемся свободозразной общеобразовательной студенью для перехода на медицинский и юридический факультеты. Занятия на философском факультете продолжались три года, а на медицинском и юридическом — четверге года. Таким образом, обучение в университете продолжалось 7 лет. медицинский и юридический факультеты назвались в ту пору «вышиними» факультетами.

Преподавание в университете было lekционным; lekция продолжалась два часа. В первые годы lekции студентам

3

читались на латинском, французском и немецком языках, и только с 1767 года, когда в университете стали работать в качестве профессоров много востранники самого Московского университета, преподавание стало весеть на русском языке.

Уже в первый год своего существования университетская гимназия приняла несколько сот учащихся, а к концу XVIII века их число возросло до трех тысяч. В 1758 г. по настоящий Московского университета была открыта гимназия в Казани. Она фактически была составной частью Московского университета. Университет обеспечил ее средствами, учебными пособиями, преподавательским составом. Интересно, что в это время гимназии не было даже в Петербурге — столице Российской империи.

В последней четверти XVIII века Московский университет принял активное участие в организации гимназии в ряде губерских городов России — Ярославле, Твери, Владимире, Костроме, Вологда. Выпускники университета становились первыми преподавателями вновь созданных гимназий. Таким образом, в первое время университет был основным центром подготовки научных и педагогических кадров.

Первоначально кафедры математики в университете не было. Математика входила в ведение кафедры физики и преподавалась лишь на филиосфском факультете. Содержание курса математики не выходило за пределы элементарной математики и включало в себя арифметик, элементарную алгебру, геометрию и начала тригонометрию. Для преподавания этого курса был приглашен один из учеников М. В. Ломоносова Антон Алексеевич Барсов (1730—1791).

Но уже через три года (в 1758 г.) было принято решение о создании специальной кафедры численматhematics.

В первые годы математику преподавали не профессоналы. Так, первый профессор математики А. А. Барсов был специальным в области синтаксиса русского языка. Преподавание курса прикладной математики было поручено Ивану Акимович Росту, преподававшего того английский язык.

В первые пятьдесят лет существования Московского университеталектор обычно строго придерживался раз и навсегда избранного им учебника. Traдиционными оставались даже дни и часы лекций. Так, А. А. Барсов еще в 1757 году избрал для лекций по чистой математике среду и субботу. В те же дни и часы после А. А. Барсов читал его ученик Дмитрий Сергеевич Аничков (1733—1788), а затем и другой выпускник университета Василий Кондратьевич Аршеневский (1758—1807). То же самое случае и с лекциями по прикладной математике: И. А. Ростчитал их по понедельникам, вторникам, четвергам и пяту-

4

нищам. Эти же дни для курса сохранили и его преемник Михал Иванович Панкович (1757—1812).

Кафедру чистой математики от А. А. Барсова принял Д. С. Аничков. Для него преодавление математики было делом жизни. В связи с этим он не только преодавал, передавая содержание учебников, уже написанных другими авторами, но стремился как можно лучше прососить изложение к психологическим особенностям учащся. Им были написаны четыре учебника, пользовавшихся в ту пору широкой известностью: «Арифметика» (1764), «Геометрия» (1780), «Тригонометрия» (1780) и «Алгебра» (1781). В то время книги не назвались так просто, их заголовки были многословными и звучали очень торжественно. Вот как звучит заголовок учебника по геометрии: «Теоретическая и практическая геометрия, в ползу и употребление не токмо юношества, по и тех, конружиются в землереми, фортификации и артиллерии, из разных авторов собранная… Дмитрием Аничковым».

Как ни распространяется были учебники Аничкова в XVIII века, все же основную извлечность ему принесла его диссертация на тему «Рассужждение из натуральной богатливии о начале и произвести натурального богаточитания», которая за atenciónческого направлено была по распоряжению Синода сожена на Лобном месте.

Сейчас, спустя два столетия, мы яснее видим недостатки учебников того времени, в первую очередь — их формализм и оторванность от жизниных проблем, волновавших в ту пору практику. На этот недостаток книг по математике не установли указать и передовые мыслители того времени. В частности, М. В. Ломонсов недократно указал на необходимость теоретических научных предметств натура, однako вы найдете там не натуру, изъясненно математикой, как бы то надлежало, а математику, налагающий натуре свои законы: натура никака не учитыв математике, а, напротив, математика — у натуры, которая всех наук умнее и преосходнее».

В XIX веке Россия переживала годы быстро промышленного и хозяйственного развития. Это вызвал появление большого числа гимназий в губерских и узdhых городах. Появлась большая потребность в преодавательях естественного цикла.

Все это привело к выработке нового университетского Устава (1804 г.). Согласно этому устavу, Московский университет разделился уже на четыре отделения (факультета): 1) практиенных и политических наук, 2) словесных наук, 4) врачебных, или медицинских наук, 4) физических и математических наук.

В то время, как правило, учитель математики преодавал также и естественные дисциплины — физику, астрономию, ботанику, зoolогию, географию. Это обстоятельство неизбежно приводило к своевобранию обучения на физико-mатематическом факультете того времени. Внедело студент факультета имел всего-навсего шесть-восемь лекций по математике, разза в три большие лекций по физике, ботанике, минералии, а также другим предметам естественного научного цикла. В те годы стремились придать школьному и университетскому обучению практический характер, чтобы молодой человек после окончания гимназии мог сразу начать работу в сфере коммерции или промышленного производства. Заметим, что новый университет вменял профессор в обязанность на занятия образования, пополняя курсы результатами новых открытий. Это обстоятельство существенно меняло направление деятельности университета.

Уже в начале XIX века ряд профессоров Московского университета начали читать лекции по новейматике. Так, профессор И. А. Иде (1775—1806) начал чтение курсов аналитической геометрии и математической анализа. Профессор В. К. Аршеневский сообщил, что при раза внедело будет «преодавать случаем своим высшую геометрию, в которой показет полезную и интерральных исчисления». Кроме того, студенты сущали курсы артиллерии и баллстики, математической географии. В результате физико-mатематической факультет дал стране выдающихся ис-

5

Д. М. Перевошиков

следователей в области математики, биологии, физики, химии, механики, внешней баллистики и артиллерии.

Отечественная война 1812 года тяжело отразилась на Московском университете: наполеоновская артиллерия разграбила и сожгла коллекции, библиотеку, здания. Многие студенты и преподаватели ушли зашищать страну. Занятия в университете прекратились. Для восстановления доступного уровня преподавания потребовалось дiligительное время, и дальнейший прогресс математической жизни Московского университета относится уже к двадцатым годам. Этот прогресс в значительной степени связаан с изменением профессора Дмитрия Матвеевича Перевошикова (1790—1880), автора ряда учебников по математике и тринадцатомной «Ручной математической энциклопедии», служившей настоящий книгой математков, инженеров, артиллеристов, естественными астрономическими обсерватории, а затем с 1830 по 1851 год был ее директором, совмещая эту работу с работой декана, профестора, ректора. Ему принадлежит более семидесятных научных (математических и астрономических), педагогических и научно-популярных работ.

Среди непосредственных учеников Перевошикова в первую очередь следует упомянуть Николая Ефимовича Зернова (1804—1862). С его именем связан значительный процесс математического образования, его существование обновление. В частности, именно Зернов по настоящее своему учителью впервые начал чтение в университете курса теории вероятности. Тема магистерской диссертации Зернова «О суточном и годовом движении Земли» была предложена ему учительом, а тему докторской диссертации — «Рассужение об интеррации уравнения с частными дифференциальами» (1837) — выбрал он сам. Интересно отмечить, что это была первая докторская диссертация по математике, защищенная в Московском университете.

Декабрьские события 1825 года сильно сказались на жизни университета. Достаточно сказать, что среди востпитников университета было по меньшей мере шестьдесят декабристов и треть из них — студенты и бывшие студенты физико-математического факультета. За университетом было установлено полноеское наблюдение, вместе програмсивного установки 1804 года был введен новый, так называемый цензурный ustav. Согласно этому ustavу университету запрещалось печать научные работы по естественным научам, философии и медице. Разрешалось печать только учебники (конечно, после соответствующего docтра).

В известном произведении «Былое и думы» выпускника физико-математического факультета Московского университета А. И. Гермена содержатсяенные воспоминания о профессорах, однокурсников и своевозащии университетской жизни 1829—1833 гг. Гермен высоко оценил роль Московского университета в развитие русской культуры:

«В истории русского образования и в жизни двух последних поколений Московский университет и Царское сельскей лице играют значительное роль.

Московский университет вырос в своей значении вместе с Московью после 1812 года; разжалованная император Петром из царских столиц, Москва была произведена Наполеоном (сколько волю, а более неволью) в столицы народа русского… В ней университет больше и больше становится средоточим русского образования».

По словам Гермена, Николай I не любил Московский университет и называл его «вольным гнездом». Его哉вование резко отрицательно сказалось на жизни Московского университета: поступление в университет было затрудено, число студентов в университете сократилось. Особенно это сказалось на

6

Н. Д. Брашман

детях разночинцев. Оdnako, вопросы политике правительства, молодежь университета выработывала с помощью программы обеспечения научные и педагогические идеалы и стремилась осуществлять их в жизни.

Дух творческих исканий, обновления математического образования входил в Московский университет, наряду с Перевошиковым, выходец из Моравии Николай Дмитриевич Брашман (1796—1866). Почти сразу же после окончания Венского университета он переехал в Россию. Сначала он проработал совем короткий срок в Петербурге, затем перевался в Казанский университет и, наконец, в 1834 году переехал в Москву и стал профессором Московского университета. Москва стала как бы второй его родной. Здесь он проявил способности ученого, организатора научки и воспитателя научной молодежи. Он публиковал научные статьи, писал оригинальные учебные руководства, читал лекции и настоящую искал талантливых студентов, которые стремились побудить к самостоятельным научным понским. Ему удалось воспитать ряд выдающихся математических — ученых и педагогов. Среди его учеников в первую очередь следует указать академиков П. Л. Чебышева (1821—1894) и И. И. Сомова (1815—1876), а также профессора А. Ю. Давидова (1823—1886). Они всевесли значительный вклад в развитие математической культуры России. От Брашман идет интерес Московских математиков к задачам механики, в частности к задачам гидродинамики. В какой-то мере это обстоятельство повлияло на постепенное формирование Московской школы механики, давших во второй половине XIX века серьезные результаты в разработке гидравлики, механики твердого тела и гидродинамики.

Взгляды Н. Д. Брашман на математику хорошо изложены им в речи «О влиянии математических наук на развитиеумственных способностей», которая была произнесена им в университете 17 июня 1841 г.: «Геометр не трудится просто для удовлетворения своего любительства: богатый запас форму геометрии, символьов анализа и его сложных действия — не простая русная уродивостьумственный изобретательности, не собранное редкость для любителей; напротив, это могучественный арсенал, из которого исследователи природы и техники берут лучшие свои ордия».

В 1864 г. Брашман вышел на пенсию, но он не хотел и психологически не мог порвать с университетом. Для него университет был всем: домом, семьей, самой жизни. Он добился разрешения научреждение премии за лучшую студенческую научную работу по математике, на что он передал все свои сведения. Эта premя регуляро присуждалась в течение пятидесети лет.

Непосредственно перед выходом на пенсию он предложил своим ученикам, сослуживцам и другими математикам собраться у него на дому для обмена научными и педагогическими мыслями, а также для реферирования наиболее интересных исследований, которые появлялись в печати. На заседании 15 сентября 1864 г. было решено этот частный кругок превращать в регуляро действующего математического общество. Президентом общества единственно был избран Брашман. Члены общества разделили между собой области математики, за которых они обязались регуляро следить и своевременно сообщать товарищам о всех мало-мальских интересных новых результатах.

Помимо «взамнимого содержания в занятиях математических наук», вовь организованное общество развительного широкого популяризаторского, просветительского и литературного деятельности. Вскоре назела необходимость в издании печатиного органа общества. Такое решение было принято в апреле 1865 г. Предполагалось, что ежегодно будут выходить два выпуска нового журнала под названием «Matематический сборник». Это был первый специальный математический журнал в Росси-

7

Н. Е. Жуковский

син. Так возник один из авторитетнейших математических журналов мира, в котором с первых номеров печатались статьи, сыгравшие значительное роль в развития математики. Для примера укажем, что во втором томе была опубликована знаменитая статья П. Л. Чебышева, в которой содержалось изложение закона больших чисел и исключительное по простоте его доказательство.

Послеушие годы для математических научамbecма многое. В первую очередь мы должны отметить замечательные исследования Николая Егоровича Жуковского (1847—1921) в области гидродинамики и аэродинамики. Им были созданы основы теории полета аппаратов тяжелее воздуха и созданы основы советского самолетастроения. Недаром В. И. Ленин называл Жуковского «отцом русской авиации». Далее следует заметить, что традиционные для Московского университета исследования по теории дифференциальных уравнений и геометрии продолжали развиваться в течение всего XIX и истекших десятилетий текущего XX века. Об этом мы еще скажем.

Сейчас же хотелось бы отметить работы Виктора Викторовича Бобинина (1849—1919), посвященные истории математики. Он впервые проблемы истории научки воспринял как понск закономерностей развития научных идеи, а не только как изложение научных биографий выдавшихся учены. Большое внимание он уделил изучению развития математики в нашей стране. В частности, ему принадлежит научное описание ряда древних русских математических рукописей. Последней Октябрьской революции Бобинин начал деятельности с советскими организациями просвещения. Наркомпрос поручил ему написание одноготном «Истории русской математики» и трехтомного труда «Всеобщая история математики». К сожалению, эта работа не была завершена в связи с кончиной автора.

Серbezная работа по истории математики возродилась в Московском университете уже в тридцать годы, когда ее возглавила профессор Софья Александровна Яновская (1896—1966).

Существенный слив в содержании и характере математического образования произойдет в начале XX века и связан с именами профессоров Дмитрия Федоровича Егорова (1869—1931) и Болеслава Корнелевича Млодезевского (1859—1923). Они начали, нарушуя счете лекций и ведением упражнений, проведение занятий специальных семинаров, посвязываемых новым областям математики. Участики коллекции задания ознакомиться с определенными работами и на их базе подготовить доклады. Это нововведение оказалось исключительно полезным, поскольку дало возможность весьма эффективно приближать студентов и аспирантов к активной научной деятельности. На семинаре каждой доклада, а вместе с ним и каждой математической идея поддержются всестороннему обсуждение. В результате возникало новые вопросы, требующие дополнительных исследований, уучащих семинаров появляются возможность активно включаться в самостоятельное творчество. Эта форма работы в настоящее время занимает видное место в жизни университета.

Уже в 1901 году Млодезевский прочитал первый специальный курс, посвященный научной развивающей в ту пору теории функций действительного переменного. В следующем десятилетии эта область математики стала для Московского университета основным направлением творческих интерсексов молодых математиков. Дальнейшее развитие этого направления связано с Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным (1883—1950). Школа теории функций действительного переменного является одной из наиболее важных страниц в истории математики Московского университета. Если только к созданию этой школы явились упомянутые курс Млодезевского и работа Егорова, то ее основателем и многолетним вдохновителем, несомненно, является Николай Николаевич Лузин. Его исследования 1911—1915 гг. составили

8

предмет докторской диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915), которая не только стала вехой в развитию теории функций в Московском университете, но и надолго определяла развитие этой теории как в Советском Союзе, так и его пределами. Большое число нерешенных вопросов, выдвинутых Лузиным в этой диссертации, явилось предметом последующих исследований многих математиков.

Идеи теории можноествить оказали существенное влияние на развитие теории функций комплексного переменного. Ярким представителями этого направления исследовании в Московском университете, которое получило значительные примена в азро- и гидродинамике, были В. В. Голубев (1884—1954), И. И. Привалов (1891—1941), М. В. Келдыш (1911—1978). Крупнейшим представителем этого направления исследований является М. А. Лаврентьев, исследования которого по теории функций комплексного переменного тесно связаны не только с азро- и гидродинамикой, но и с теории дифференциальных уравнений.

Большие успехи были получены учеными Московского университета в теории дифференциальных уравнений — как общиховенных, так и частных произвольных. Классические считаются работы В. В. Степанова (1889—1950), воспитавшего сильную шкалу в качественой теории дифференциальных уравнений, И. Г. Петровского (1901—1973) и А. Н. Тихонова, с разных позиций разработавших теорию дифференциальных уравнений в частных произвольных вычислительных порядков.

Значительные успехи получены математики университета в области теории чисел. А. Я. Хинчин (1894—1959) получил ряд функментальных результатов в области метрической теории чисел; Л. Г. Ширельман (1905—1938) совсем элементарным путем доказал заменатель факт на пути решения задачи Гольдбаха: каждое целое число представимо в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых. А. О. Гельфонд (1906—1968) разработал заменатель метод исследования, позволивший ему доказать следующее гипотезу, высказанную в начале века Д. Гильбертом: всякое число вида $a^\beta$, где $\alpha$ и $\beta$ — алгебраические числа, причем $\alpha \neq 0$ и $\alpha \neq 1$, а $\beta$ irrationalно, является трансцендентным.

Начиная с 1923 года, в круг интересов Московских математиков вошла теория вероятности. А. Я. Хинчин был пioneером в этой области. Через два года вопросами теории вероятности занятелевался А. Н. Колмогоров. С этого времени на

Д. Ф. Егоров

чалась интересная работа по преобразованию теории вероятности: были найдены необходимые и достаются условия для закона больших чисел; в связи с задачами физики было введено понятие случайного процесса и дано широкое развитие основных теории случайных процессов; разработано аксиоматическое построение теории вероятности. Так возникла Московская школа теории вероятности, преобразившая лице этой науки. За пятьдесят с небольшим лет удалось воспитать многочисленные исследования, с успехом разработавших как теоретические проблемы теории вероятности, так и многочисленные ее применения. Достаточно сказать, что только через испитания стали профессорами высших учебных заведений, избраны академики и членами-корреспондентами. В настоящее время выпускники Московского университета созданы сильные теоретические школы за пределами МГУ: в ГДР, Болгарии и неокторых союзных ресурсных.

Усилиями О. Ю. Шмидта (1891—1956) и А. Г. Курша (1908—1971) в университете и далеко за его пределами создана община школа современной алгебры, оказавшая и оказывающая сильнейшее влияние на развитие практических всех направлений алгебраических исследований.

9

В качестве одного из крупнейших условий современной математики следует назвать создание Л. С. Понтрягиным и его учениками математической теории оптимального управления. Его предшествование работы заслуженно принесли ему положение одного из ведущих топологов.

В Московском университете успешно развиваются и многослеленные другие направления, которые принесли математике новые идеи и глубокие результаты: функциониальный анализ, математическая логика, математическая кибернетика, геометрия, оптимизацияные проблемы и вопросы управления.

Несколько слов необходимо сказать о вычислительной математике. До Великой Отечественной войны здесь развивались классические подходы, в том числе методы номографии. Начиная с конца сороковых — начала пятидесступ годов стало ясно, что основной путь приближенных вычислений связыван с электронной вычислительной техники и программированием. Буквальное на пустом месте за исключительно короткие сроки удалось создать мощную шклуру современной вычислительной математики, которая разработала новые методы программирования вычислительных и логических задач для постановки их на ЭВМ, методы статистического моделирования и автоматизации программирования. Усилиями А. Н. Тихонова из механико-математического факультета в начале семидесятых годов был выделен особый факультет вычислительной математики и кибернетики, который с каждым годом набирает силы и технологии задачами современности.

Matematika в Московском университете в настоящее время развивается не только на двух математических факультетах, но также на физическом и экономическом факультетах, на которых имеются специальные кафедры математики, а также на биологическом факультете, где создана специальная laboratorия математической статистики.

В настоящее время на каждом из двух математических факультетов Московского университета обучается значительное количество студентов, чем во всем дереволюционном университете. Московский университет принимает сейчас ежедневно студентов-математиков больше, чем до революции было студентов-математиков во всей России. Вот это-то обстоятельство — постоянный приtok модели — делает университет вечно молодым, способным к воспрянию и раз-

0. Ю. Шmidt

работке новых идеи как в науке и применениях, так и в педагогическом процессе.

К своему двухсотдвадцатилетию Московский университет пришел полным сил и научной сведения. Работники университета с гордостью могут оглинуться на пройденный путь. Восппанники Московского университета принимали деятельности и непосредственноеучастие в становлении Советской власти в стране, борьбе с разрухой, создании научно-технической базы нашей страны, на фронтах гражданской и Великой Отечественной войн и в совершенствование обороны страны. Его работники и восппанники с успехом работают во всех областях народного хозяйства, просвещения, науки и культуры; во многих областях научного творчества они продолжили новые пути и довели до логического завершения ранее начные функциональные исследования.

Московский университет знает, что его будущее техническими нитями связано с восппанением интереса к науке и прикладной деятельности у теперьших школьников. Именно поэтому учены иspiраны уделяют стол большое внимание работы с учащимся школе, преподавателями школе и взов, а также научно-пропагандистской работе.

10

В. Гуревич

Флуктуации физических величины

Рассмотрим физическую систему, состоящую из очень большого числа атомов или молекул. Такие системы называются макросоппечскими. Газ, заполняющий сосуд, жидкость, напитая в сосуд, твердый кристалл — это все примеры макросоппечских систем.

Представим себе, что требуется изменить какую-нибудь физическую величины, характеризующую макросоппечую систему. Это могут быть, например, ее масса, электрический заряд, давление или температура.

Любое физическое изменение производится с определенной точностью. Мы привели к тому, что точность изменения, как правило, определяется конструкцией изменительного прибора. «Пложие» приборы дают низкую точность, «хорошие» — высокую. Например, анализтические весы дают точность изменения массы примерно в десять тысяч раз больше шуру, чем обычные тортовые весы.

Но всегда ли точность изменения определяется конструкцией изменительного прибора? Можно ли беспредельно повышать точность изменения физических величины, совершенствуя эту конструкцию? Или есть принципальные ограничения, корняшиеся в самом природаве вещея, которыекладут предел возможной точности изменений?

Для того чтобы понять, каким может быть ответ на этот вопрос, давайте разберем простейший пример. Расмотрим сосуд, наполненный газом. Пусть газ находится при атмосферном давлении и комнатной температуре, а объем сосуда равен двум литром. Разделим мысленно сосуд на две части, правую и левую, и будем наблюдать за газом, например, в левой половине сосуда. Сколько молекул газа имеет в этой половине сосуда? Можно подчитать, что приблизительно 2,5·10²². А может ли мы расчитать или изменить это число более точно? Например, можно ли в принципе указыть все 23 цифры этого числа, предполагая, что и температура, и давление газа известны с достаточно точностью?

11

Чтобы понять это, вообразим, что существует очень точный измерительный прибор, который может определить, сколько молекул газа имеет в данной момент в выбранной половине сосуда. С другой стороны, мы знаем, что молекулы газа совершают беспорядочное,xaотическая движение (так называемое тепловое движение) во всех направлениях, время от времени стальяясь друг с другом и со стенками сосуда. Поэтому, многократно повторяя измерения, мы будем, как правило, всякий раз получать разные числа. Это неудивительно: молекулы движутся беспорядочно, и их число в каждой половине сосуда будет, верятнее всего, меняться от опыта к опыту. Точно числа молекул мы не можем указать заранее. Зато всегда можно вычислить верятность того, что их будет какое-то определение число. Ниже мы вычислим эту верятность. Но сначала пробуем ответить на более простой вопрос: при каком числе молекул эта верятность наиболее важная, то есть каково наиболее верятное распределение молекул между обемами половинами сосуда?

Большинство читателей, наверное, скажет, что над ответом на такой вопрос и думать нечего. Если молекул обозначит через 2N, то они, верятнее всего, распределятся поровну между обемами половинами сосуда, так что в каждой из них оказывается по N молекул.

Какова же верятность этого наиболее важное распределения? Чтоы понять, как вычислить такие верятности, начинаем с самого простого случая, когда N=1, то есть всего в сосуде две молекулы. Эти молекулы можно распределить между обемами половинами сосуда четырьмя способами, которые изобразены на рисунке 1. В двух случаях из четырех в каждой половине сосуда оказывается по одной молекуле. Если молекулы можно считать незаимодействующими, то их положения неависимы, и каждый из изображенных четырех способов равноверятен. Следовательно, верятность равного распределения молекул равна $\frac{1}{2}$.

Когда полное число молекул есть 2N, то число способов их распределения между двумя половинами сосуда есть $2^{2N}$. Число же способов, приводящих к равномерпределенению, когда в каждой половине сосуда оказывается по N молекул, равно числу сочетаний из 2N по $N:C_{2N}^V = \frac{(2N)!}{(N!)^2}$. Вероятность интерсецущего нас собственной получения, если число способов, осуществляющих равное распределение между обемами половинами, разделить на полное число способов:

$$w = \frac{(2N)!}{2^{2N}(N!)^2}.$$

При N=1 эта общая формула дает уже полученную величины $\frac{1}{2}$.

Вероятность легко считать по формуле (1), когда N равно небольшому числу. Но как рассчитать ее, когда N порядка 10$^{22}$? В этом случае существенно приближенная формула для N!, которая «работает» тем точнее, чем больше число N. Вычисления, проделанные с помощью этой формулы в Приложении, дают

$$w = \frac{1}{\sqrt{\pi N}}.$$

Для любого реального сосуда с газом это очень маленькая велиница. Если как в нашем примере, N=2,5·10$^{22}$, то $\omega = 3,7·10^{-12}$. А этоничтожно малое число. Почему же наиболее верятное распределение оказывается совершенным? Чтобы понять это, вычислить верятность $w(n)$ такого распределения, когда влевой половине сосуда число частин немного отличия от N, а именно, равно N+n, а в правой половине, соответствующего N—n. Слова «немного отличия» означает, что мы будем вычислить верятность $w(n)$ только для таких n, которые по абсцилтной велинице городадо меньше N.

Выкладки, проделанные в Приложении, дают для этого случая

$$w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} e^{-n^2/N},$$

где e=2,71…— основание натуральных логарифмов.

График этой функции изображен на рисунке 2. Он симметричен относительно оси ordinate и имеет максимум

12

при $n=0$. Вблизи максимума кривая изменяется плавано, а затем начинает спадать резко. Быстро убывания обычно характеризуют так называемой полушириной максимума. Это — поливна расстояния между абсциссами тех точек кривой, ordinаты которых в $e$ раз ниже ordinаты максимума. Полуширина кривой на рисунке 2 равна $\sqrt{N}$. Когда $n$ заменно превышает $\sqrt{N}$, $w(n)$ оказывается гораздо меньше своего максимального значения.

А теперь вспомним, что суммарная вероятность всех возможных событий по определению равна единице:

$$\sum_{n=-N}^{N} w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} \sum_{n} e^{-n^2/N} = 1.$$

Сколько же надо учитывать слагаемых в этой сумме? Казалось бы, вопрос не имеет большого смысла. Достаточно взглянуть на предель суммирования, чтобы увидеть, что всего слагаемых $2N+1$. На самом деле, задавая такой вопрос, мы хотим понять, какое число слагаемых фактически дает в сумму заменный вклад. Ведь при $n^2$, города больше чем $N$, слагаемые становятся очень маленькими, и их можно попросту отбросить. Число же существуетх слагаемых в этой сумме — порядка $\sqrt{N}$. Это значит, что если взять в сумме число слагаемых в несколько раз больше $\sqrt{N}$, то допущенная погрешность, то есть отличие суммы от единицы, будет очень маленькой.

За этим математическим фактом проекта следует интересная физика. Многократно изменяя число молекул в данной половине сосуда, мы, скорее всего, никака не получим числа $N$. Всякий раз будет получаться новое число молекул — то немного больше $N$, то немного меньше $N$.

Как можно охарактеризовать величины таких флуктуации? Ведь $n$ принимает различные значения, положительные и отрицательные. Поэтому естественно для описания флуктуации используются следующие величины. Усреднение будем производить по большому числу изменений или, что то же самое, по достаточно большому промежутку времени — ведь можно представить себе, что изменения делаются последовательно, одно за другим, в течение этого промежутка. Усреднение будет обозначаться чертом над усредняемой величины. Наша цель — найти количество меру величины флуктуации, то есть какое-то число, которое характеризовало бы их «размах», так чтобы мы могли сравнивать величины флуктуации в разных случаях. Не может ли такой мерой служить средняя величина $\bar{n}$? Чтоы найти $\bar{n}$, какое значение $n$ надо умножить на вероятность, появления этого значения и просуммировать по всем $n$. В итоге мы получаем:

$$\bar{n} = \sum_{n=-N}^{N} nw(n) = \sum_{n} \frac{1}{\sqrt{\pi N}} ne^{-n^2/N}.$$

Легко видеть, что эта сумма равна нулю. Действительно, каждому номером $n$ можно подобраться «пару» — с номером $-n$, а два таких слагаемых в сумме даут нуль. Это значит, что $\bar{n}$ не может служить мерой интенсивности флуктуации. Это значит также, что $N$ есть не только наиболее вероятное число части в данной половине сосуда, а также и среднее их число.

Мерой интенсивности флуктуации может служить средний квадрат флуктуации числа части, то есть среднее значение $n^2$, равное

$$\bar{n}^2 = \sum_{n=-N}^{N} n^2w(n).$$

Эта величина равна $N/2$*, так что формулу (3) можно теперь переписать в виде

$$w(n) = w(0)e^{-n^2/2n^2},$$

где $w(0) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n^2}}$. Квадратный корень из $n^2$ называется средневадратной флуктуации числа части. В нашем случае средневадратная

*) Мы вычислим эту величины в Приложении.

13

флуктуация равна

$$\sqrt{n^2} = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{2}}$$

Эта величины имеет наглядный физический смысл: если изменять число частиц в одной половине сосуда, то оно, вероятнее всего, будет отличаться от среднего числа частица на величины порядка средневадратичной флуктуации (причем знак соответствующей разности может быть любым).

Таким образом, чем больше частиц в системе, тем больше и средневадратичная флуктуация. Однако с ростом числа частицы средневадратичная флуктуация растет не пропорционально $N$, а гораздо медленнее — пропорционально $\sqrt{N}$.

Теперь понятно, с какой максимальной точностью имеет смысл изменять число молекул в данной половине сосуда. Эта точность определяется величины средневадратичной флуктуации. В нашем случае (когда объем половины сосуда равен одному литру) средневадратичная флуктуация составляет приблизительно $2.2 \cdot 10^{11}$. Это значит, что в выражении для числа молекул следует сохранять, самое больше, 11 первых значших цифр. Если же выполнить серio изменений с большей точностью, то 11 первых цифр будут повторяться практически во всех изменениях (флуктуации, заметно превышшие средневадратиную, имеют очень малую вероятность), в то время как прочие цифры будут меняться от одного изменения к другому случанным образом.

В приведенном примере максимальное число значших цифр, которые можно удержать в ответе, очень велико, и реально, конечно, предел точности изменения ставится конструкцией прибора. Однако это число может быть и небольшим, если изменять среднее число молекул газа в малом объеме. Так, например, среднее число молекул в одном кубищеском микроне ($10^{-18}M^3$) равно при тех же условиях $2.5 \cdot 10^7$. Средневадратичная флуктуация в этом случае равна приблизительно $4 \cdot 10^3$, так что определить число молекул в таком объеме имеет смысл, самое больше, с четырьмя значшими цифрами.

На явление флуктуации можно взглянуть и с несколько иной точки зрения. Рассмотрим мысленный эксперимент, в процессе которого неотторое число $n$ молекул перемещается из правой половины сосуда влево не в результате самопроизвольной флуктуации, а под действием внешней силы. (Число $n$ порехнему мало по сравнению с $N$.) Какая работа совершается при таком перемещении?

На вопрос, поставленный в такой форме, ответа даны below. Совершенная работа зависит от того, каким способом перемещать молекулы, и даже от формы сосуда. Дело в том, что в зависимости от условий опыта, в первую очередь — от скорости перемещения газа, мы должны будем совершать различную работу против сил треня, преятствующих газу перетекать под давлением из одной половины сосуда в другую. Поскольку величина сил треня в газе пропорциональна скорости, чем меньше скорость, тем меньше работы против сил треня приходится совершать. Наименьшая работа $A_{\min}$ будет совершена, если перемещать газ предельно медленно. И если мы скажем, что хотим вычислить именно эту наименьшую работу, то тем самым задача будет сформирована вп前列еению.

А как можно было бы переместить указанное число молекул газа? Представим себе, что в сосуд с газом вступает тонкий поршень. Он делит весь объем не точно пополам, а таким образом, что слава от него имеет $N + n$ молекул, а справа $N - n$. Начнем движать поршень влево, как показано стрелкой на рисунке 3, пока он не займет половения, показанного пунктиром, при котором он делит объем сосуда пополам. Требуется вычислить работу, которое совершает поршень против сил давления газа.

Что происходит при движении поршня? Перемещая влево, поршень сжимает газ влевой части сосуда и расширяет в правой. В результате давление слева повышается, а справа поняется. Сила, действующая на поршень, равна произведению его площади $S$ на разность давления влевой и правой части сосуда. По условиям $n$ гораздо меньше $N$, а значит, и пусть, пройденный поршнем, мал по сравнению с размерами сосуда. Поэтому в первом приближении разность давления можно считать пропорционально этому пути. (Попробуйте оценить сами, с какой точностью справедливо это утверждение.) Тогда работа $A_{\min}$

Рис. 3.

14

есты произведение пути на среднюю силу. Средняя же сила равна половине силы, действующей на поршень в конце его перемещения, то есть половине величины $(p_1 - p_2)S$, где $p_1$ и $p_2$ — соответственное конечные значения давления в левой и правой половинах сосуда. Отсюда работа

$$A_{\min} = \frac{1}{2} (p_1 - p_2) v,$$

где $v$ — объем облака, ограниченной сплошной и пунктирной линиями на рисунке 3.

Обозначим полный объем сосуда через 2V. Согласно закону Бойля — Марютта

$$p_1V = p(V + v), \quad p_2V = p(V - v),$$

откуда

$$p_1 - p_2 = 2p \frac{v}{V}.$$

Таким образом,

$$A_{\min} = p \frac{v^2}{V}.$$

Принимая во внимание уравнение Клапейрона — Менделеева, которое мы запишем, в виде $pV = NkT$, и учитываем, что $v : V = n : N$, мы можем представить выражение для $A_{\min}$ в следующем окончательном виде:

$$A_{\min} = kT \frac{n^2}{N}.$$

(6)

Вернемся теперь к формуле (3) для $w(n)$. Сравнивая (3) и (6), мы видим, что (3) можно переписать так:

$$w(n) = w(0) e^{-A_{\min}/kT}$$

(7)

(напомним, что $w(0) = 1/\sqrt{\pi N}$). Для вероятности $w(n)$ у нас есть одно выражение — через средневадартиную формулу числа части (см. (5)):

$$w(n) = w(0) e^{-n^2/2n^2}.$$

(напомним, что средневадартиная формула — это $\sqrt{n^2}$). Сравнивая это выражение с (7), мы находим, что

$$\frac{n}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{2A_{\min}}{kT}}.$$

(8)

Соотношение (8) означает, что каждой формулированное сопоставить некоторую работу, которая требуется, чтобы создать данные формулированное отклонение с помощью внешних сил! Источник этой работы в случае самопроизвольных формулиций — тепловая энергия, запасенная в системе. В нашем примере это — энергияxaотическая движения молекул газа. Чем больше работа $A_{\min}$, тем менее вероятина формула же (7)

Рис. 4.

15

представлена в столб обшем виде, не зависящем от конкретного устройства физической системы, что, пользоваться его, можно вычислить флуктуации любых физических величины. Для этого необходимо только получить формулу, для работы $A_{\min}$, которое нужно затрапить, чтобы создать данные флуктуационное отклонение. Как это делается, мы сейчас проследим на несколько примерах.

Начнем с того, что рассмотрим флуктуации числа части в объеме $V$, содержащем в среднем $N$ части газа. Но при этом будем считать, что он сообщается не с другими таким же объемом, а является малой частью большого сосуда с газом. Как должна измениться в этом случае средневартанция флуктуации числа части по сравнению со случаям, рассмотренным выше?

Из физических сообщений ясно, что она должна увеличиться: появились дополнительные возможности для приготова молекул в объем $V$ или оттока из него. Но на сколько?

Подсчитаем работу $A_{\min}$, которое нужно затрапить для перемещения $n$ молекул в объем $V$. Считается она, по существу, так же, как и выше. Единственное различие состоит в том, что внешнее давление $p_2$, которое устанавливается после перемещения, можно с достаточной точностью считать равным первоначальным давлению $p$; поскольку объем всего сосуда города должно больше объема $V$, изменение давления в сосуда города должно меньше, чем изменение давления в объеме $V$, и им можно пребежать. Проведяя расчеты, мы найдем, что

$$A_{\min} = \frac{1}{2} kT \frac{n^2}{N},$$

то есть получим величины, вдвое меньше, чем выше. Воспользовавшись формулой (8), находим средневартанцию флуктуацию числа части:

$$\sqrt{n^2} = \sqrt{N}.$$

Эта величина в $\sqrt{2}$ раз больше, чем полученное ранее значение средневартанционной флуктуации числа части в поливине сосуда.

В качестве другого примера рассмотрим флуктуации в электрическом цепи, изображенной на рисунке 5. Цепь состоит из конденсатора емкости $C$ и резистора с сопротивлением $R$, соединенных в замкнутый контур. Электрические заряды в резисторе совершают тепловое движение, следствие которого черезistor течет флуктуационный ток, а значит, на конденсатор возникает флуктуационный электрический заряд.

Среднюю квадратную флуктуацию этого заряды мы и хотим вычислить.

Подсчитаем работу $A_{\min}$, которое надо затрапить, чтобы сообщить конденсатору заряд $Q$, то есть зарядить его до напряжения $Q/C$. Среднее значение напряжения в процессе зарядки

$$w(Q) = w(0)e^{-Q^2/2CkT},$$

и по аналогии с (8) мы можем сразу написать выражение для средневартанционной флуктуации заряд:

$$\sqrt{Q^2} = Q \sqrt{\frac{kT}{2A_{\min}}} = \sqrt{CkT}.$$

В качестве еще одного примера найдем средневартанную скорость части, участующих в бравлении какой-нибудь оси, например оси $X$. Проекцию скорости на это направление мы обозначим через $v_x$. Очевидно, в данном случае $A_{\min}$ равна кинетической энергии части $mv_x^2/2$, где $m$ — масса частицы. Средневартанную скорость мы можем вычислить сразу — по аналогии с формулой (8). Она равна

$$\sqrt{v_x^2} = \sqrt{\frac{kT}{m}}.$$

Так, если масса частицы $10^{-15}$ кг, при комнатной температуре $\sqrt{v_x^2} \approx 0,002$ м/с.

В заключение обратим внимание на одно интересное и важное обстоятельство. И средневартанная флуктуация заряд на конденсаторе, и средневартанная флуктуация скорости тем больше, чем выше температура. Это естественно, поскольку температура — это мера интенсивности беспорядочного теплового движения молекул, которое служит прийной флуктуации. Для газа средневартанная флуктуация числа молекул не зависит от температуры. Но сама формула (5) справедлива

16

только при достаточно высоких температурах. При понженении температуры газ конденсируется в жидкость, и формула (5) становится неприменимой, потому что движения отдельных молекул нельзя считать независяными.

Подведем некоторые итоги. Из сказанного следует важный вывод. Не все физические величины в принципе определяются со скольгу уголно высокой точностью. Прициплально можно, например, измерить с любой точностью массу, заряд или число atomов какого-нибудь изолированного тела. Эти величины не флуктуируют, если только тело не обменывает частицами с другими телами.

Мы здесь встретились с примерами величины, способных флуктуировать. Их значения в принципе не имеет смысла задавать с неограниченной точностью. Мы видели, что число молекул в каждой-то части сосуда с газом имеет смысл задавать только с точностью до среднеквадратной флуктуации. То же самое можно сказать и относительно давления газа на стенку сосуда. Флуктуирует, и потому по самой своей природе не может быть изменена со слишком высокой точностью, и температура. Чем меньше размеры физической системы или число atoms в ней, тем больше относительные флуктуации характераизующих ее физических величины и с тем меньше относительной точностью они могут быть заданы или изменены.

Приложение

Чтобы получить выражение (1), воспользуемся приближенной формулой Стирлинга для $N!$, справедливо при больших значениях $N$. Эта формула имеет вид:

$$N! = \sqrt{2\pi N} e^{N(\ln N-1)},$$

где $\ln$ обозначает логарифм, взятый по основанию $e$. Относительная точность этой формулы тем выше, чем больше число $N$; можно показать, что относительная погрешность, которую она дает, меньше $\frac{1}{8N}$. Воспользуемся его для вычисления вероятности (1), мы получаем выражение (2).

Приимена ту же формулу для расчета вероятности

$$w(n) = \frac{(2n)!}{2^{2N}(N+n)!(N-n)!},$$

мы получаем

$$w(n) = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{\pi(N^2-n^2)}} \times e^{2N\ln 2N-(N+n)\ln(N+n)-(N-n)\ln(N-n)}$$

В выражении под корнем мы преберегли малой величины $n^2$ по сравнению с большей величины $N^2$; тогда коэффициент перед экспонентийом оказывается равным $\frac{1}{\sqrt{\pi N}}$. Для того чтобы вычислить выражение в показателе, представим формулу, справедливо для любых малых по абсцизной величины положительных или отрицательных $x$:

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2}$$

(например, при $|x| < 0,1$ эта формула дает погрешность, не превышающего 0,4$x^3$). В итоге получается выражение (3), приведенное в тексте.

Нам осталось еще доказать, что средний квадрат флуктуации числа частиц (см. (4)) равен $N/2$. Идея доказательства проста. Сначала вспомним, как доказывается известное соответствие.

$$\sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} = 2^{2N}.$$

Для этого рассматривается биоминальное разложение функции $f(x) = (1+x)^{2N}$. Она имеет вид

$$f(x) = \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} x^{n+n}.$$

Отсюда немедленно следует, что сумма $\sum C_{2N}^{n+n}$ есть $f(1)=2^{2N}$.

В нашем случае для вычисления суммы (4),

равной $2^{-2N} \sum_{n=-N}^{N} n^2 C_{2N}^{n+n}$, требуется найти функцию, биоминальное разложение которого имело бы вид

$$g(x) = \frac{1}{2^{2N}} \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} n^2 x^n.$$

Тогда $g(1)$ дает искомое среднее значение $n^2$. Проверьте сами, что $g(x)$ имеет вид

$$g(x) = \frac{N}{2^{2N}x^N} (1+x)^{2N-2} [N(1+x)^2-2(2N-1)x].$$

Отсюда $g(1)=\frac{N}{2}$.

17

С. Ашманов

Числа и многочлены

В этой статье мы рассскажем о том, каким образом в математике переплесшь комплексные числа и многочлены.

Когда чисел не хватает

Числа бывают разные: положительные и отрицательные, рациональные и irrationalные, алгебраические и transcendentные. История появления каждого нового класса чисел весна почительна и даже драматична.

Такой прививчий для нас объekt, как отрицательные числа, являлся предметом дискусий в течение столией. О них знали в древности в Индии, Китае и Вавилоне, однako споры о природа отрицательных чисел, о их праве на существование велись еще во времена Ньютона в конце XVII века.

Поводом для введения отрицательных чисел явилось, по-видимому, железная решать уравнение вида $x+a=b$ для любых положительных чисел $a$ и $b$.

Введение рациональных чисел должно возникнуть решать уравнение вида $ax=b$, где $a$ и $b$ — целые числа ($a \neq 0$).

После того как в Древней Греции была доказана и рациональноесть числа $\sqrt{2}$, то есть невозможность решить уравнение $x^2=2$, имея в своей распоряжении только рациональные числа, человекаство вновь столкнулось с необходимостью расширить свой числовой запас.

Расширить множество рациональных чисел так, чтобы уравнение $x^2=2$ в новом, более широком, множество имелю корень, можно не только так, как это делается в учебнике, но и следующим образом:

Введем символь $j$ и положим $j^2=2$. Будем рассматривать выражения вида $a+bj$, где $a$ и $b$ — произвольные рациональные числа.

Сформируем правила действия над нашими кандидатами в новые числа:

$$(a_1+b_1j) + (a_2+b_2j) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)j;$$

$$(a_1+b_1j) (a_2+b_2j) = (a_1a_2+2b_1b_2) + (a_1b_2+a_2b_1)j.$$

19

Еслы добавить i

Попробуем подобно тому, как мы поступили с полем рациональных чисел и уравнения $x^2=2$, расширить поле R действительных чисел, присоединив к нему «корень» уравнения $x^2+1=0$.

Пусть $i$ — символ, единственный свойством которого является то, что он — корень уравнения $x^2+1=0$; то есть $i^2=-1$.

Рассмотрим выражения вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — произвольные действительные числа; назовем их комплексыми числами. Введем правила действия над комплексыми числами:

$$\begin{align*} (a_1+b_1i) + (a_2+b_2i) &= (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i; \\ (a_1+b_1i) (a_2+b_2i) &= (a_1a_2-a_1b_2) + (b_1b_2+a_2b_1i). \end{align*}$$

Читатель без труда докажет, что множество комплексы чисел с так определенными сложением и умножением является полем.

Легко проверить, что комплексы числа вида $a+0i$ ведут себя так же, как действительные числа. Поэтому действительное число $a$ и комплекское число $a+0i$ можно отождествить друг с другом. Значит, можно считать, что мы действительное расширили поле действительных чисел до поля комплексы чисел. В этом более широком поле уравнения $x^2+1=0$ имеет корень: $i^2+1=0$ (и даже два корня: $(-i)^2+1=0)$.

Но чего мы добавлись? Только того, что уравнение $x^2+1=0$ прибрело корни? Оказывается, мы добавлись города больше. Имеет место заменательная

Основная теорема алгебры

Любой многочлен $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0$ ненулевой степени имеет в многочете комплексы чисел хотя бы один корень (которые, конечно, может быть и действительным числом).

Первую попытку доказательства этой теоремы предприял Даламбер в 1746 году. Строое же доказательство привел Гаусс в 1799 году.

Оказывается, основная теорема алгебры верна не только для многочленов

сложение: 1. коммутативно, 2. ассоциативно, 3. существует ноль, 4. для каждого элемента из M существует противоположный;

умножение: 5. коммутативно, 6. ассоциативно, 7. существует единица, 8. для каждого ненулевого элемента из M существует обратный, 9. дистрибутивно по отношению к сложению.

с действительными коэффициентами, но и для многочленов с комплексыми коэффициентами (или, как принято говорить, для многочленов над полем комплексы чисел).

Основная теорема алгебры позволяет дать изящный ответ на вопрос, сколько корней имеет произвольный многочлен $n$-й степени, если рассматривать многочлены над полем комплексы чисел.

Чтобы формулировать этот ответ, нам понадобится понятие «кратности» (корня многочлена), а это понятие определяется через понятие «один многочлен делится на другой». Говорят, что многочлен $P_1(x)$ делится на многочлен $P_2(x)$, если существует такой многочлен $q(x)$, что $P_1(x) = q(x) \cdot P_2(x)$.

Поняття «делится» и «корень» теорема 1. Число а тоеда и только тоеда является корнем многочлена $P(x)$, корда $P(x)$ делится на $x$-а.

Теорему 1 нетрудно доказать самостояльно. (У казан и е. Делите «уголком».).

Может служить, что многочлен $P(x)$ степени $n$ будет делиться не только на $x$-а, то и на некоторую степень $x$-а. В соответствии с этим условиями а называется $k$-кратным корнем многочлена $P(x)$, если $P(x)$ делится на $(x-a)^k$, но не делится на $(x-a)^{k+1}$. (Например, число 1 является двукратным корнем многочлена

$$P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x-1)^2(x+3).$$

Телер легко может быть доказано

Теорема 2. Всякий многочлен $P(x)$ степени $n$ (с действительными или комплексыми коэффициентами) имеет в поле комплексы чиселровно $n$ корней (среди которых, разумеется, могут быть и действительные числа), если каждый корень считать только раз, какова его кратность.

Доказательство. По основной теореме алгебры многочлен $P(x)$ имеет в поле комплексы чиселровно $n$ корней. Допустим, что $a_1$ есть корень многочлена $P(x)$. По теореме 1 $P(x) = (x-a_1)q(x)$, где $q(x)$ — многочлен степени $n-1$. (Далее коэффициенты многочлена $P(x)$ — действительные числа, многочлен $q(x)$ будет, если $a_1$ — комплекский корень, имеет комплексы коэффициенты.)

Приименим далее то же рассужждение к многочлену $q(x)$. По основной теореме алгебры существует корень $a_2$ многочлена $q(x)$, так что $q(x) = (x-a_2)h(x)$, где $h(x)$ — многочлен, степени которого уже $n-2$. Повторяя это рассужение $n-1$ раз (применяя, конечно, при

20

строгом изложении прицил математической индукции), мы, в конце концов, придем к разложению

$$P(x) = a_n (x - a_1) (x - a_2) \dots (x - a_n),$$

где $a_n$ — коэффициент при старшей степени $x^n$ многочлена $P(x)$.

Из тождества (*) следует не только то, что комплексные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ (средние них могут быть и равны!) являются корнями многочлена $P(x)$, но и то, что иных корней этот многочлен не имеет. В самом деле, если число $\beta$ — многочлен многочлена $P(x)$, то

$$P(\beta) = a_n (\beta - a_1) (\beta - a_2) \dots (\beta - a_n).$$

Но произведение комплексных чисел равно нулю в том и только в том случае, когда один из компонентей равен нулю (доказательное это). Поэтому один из компонентей равен нулю, то есть $\beta = a_i$. Это завершает доказательство теоремы 2.

По мере развития науки стало ясно, что без комплексных чисел нельзя обойтись в самых что ни на есть «действительных» делах. Когда появились самолеты, потребовались теория обтекания крыла самолета потоком воздуха. Выяснились, что самым естественным языком описания подобного процесса, т. е. языком аэродинамики, является теория функций комплексного переменного! Поэтому, когда вы видите современный авиалайнер, знайте, что его сделали гейн конструкторов, инженеров, рабочих и… комплексные числа. То же можно сказать и о науке об обтекании судна водой — гидродинамике. Знаете такжекую игрушку — Ванька-вставка? Положишь Ваньку спать, а он тут же вскочит — у него само устойчивое положение, когда он стоит. Подобными вопросами для города более сложных механических, электрических и других систем занимается математическая теория устойчивости. И вовь оказалась, что ответ на то, является ли система устойчивой, кроется в свойствах комплексных чисел, являющихся корнями некоторого многочлена, характеризующего рассматриваемого системы.

Современный самолет и Ванька-вставка — такое диапазон действия комплексных чисел. Мы привели только несколько области их применения, поскольку все перечисленные невозможно. Вот тебе и минимые числа!

Мы расскажем сейчас для примера, как комплексные числа помогли ответить на некоторые важные вопросы относительно многочленов с действительными коэффициентами.

Многочлены, похожие на простые числа

Рассмотрим множество всех многочленов произвольной степени от переменной $x$. Вы имеете складывать и переменные элементы этого многочлена, то есть многочлены, умете разлагаять их на многочлены.

Это очень похожие на то, что вы умете делать с натуральными числами. Натуральные числа вы еще умете разлагаять на простые многочлены. Вы, наверное, знаете, что это можно сделать в всегда и притоме единственным образом.

Роль простых чисел в теории многочленов играют так называемые неприводимые многочлены. Говорят, что многочлен $P(x)$ степени $n > 0$ неприводим, если он не делится ни на какой многочлен степени $0 < s < n$.

Аналог утверждения о разложении любого натурального числа в произведение простых многочленей звучит так:

Теорема 3. Всякий многочлен неулевой степени разладает в произведение неприводимых многочленов:

$$P(x) = P_1(x)P_2(x) \dots P_m(x),$$

и это разложение является единством do порядка и многочленей нулевой степени*).

Доказывая теорему 2, мы получили, что всякий многочлен $P(x)$ степени $n$ раскладывается над полем комплексных чисел в произведение линейных (т. е. первой степени) неприводимой (*)).

Таким образом, над полем комплексных чисел неулевой степени неулевой степени.

А какие многочлены неулевыми над полем действительных чисел? Ответить на этот вопрос нам помогут, как ни страна, комплексные числа.

Пусть $z = a + bi$ — произвольное комплексное число. Наозем комплексе число $z = a - bi$ сопряженным к числу $z$.

Нам понадобится теорема 4. Если $z$ — корень многочлена $P(x)$ с действительным коэффициентами, то $u$ $z$ — его корень.

Для доказательства отметим следующие свойства операции взятяя сопряженного числа $z$:

1. Число $z$, сопряженное к сопряжению числу $z$, совпадает с исходным комплексным числом $z$.
2. Число $z$ равно смещению числу $z$, тогда и только тогда, когда $z$ является действительным числом.
3. Сопряженное к сумме комплексных чисел, сопряженных к слагаемым:

$$z_1 + z_2 = z_1 + z_2.$$

4. Число, сопряженное к произведению, равно произведению сопряженных к комплексным:

$$z_1 \cdot z_2 = z_1 \cdot z_2.$$

*) Доказательство теоремы 3 см., например, в «Кванте», 1976, № 8, c. 15.

21

С помощью метода математической индукции можно показать, что правило 3 и 4 распространяются на сумму и произведение более чем двух чисел:

$$\frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_m}{z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_m} = \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_m}{z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_m}$$

в частности, $\bar{z}^m = (\bar{z})^m$.

5. Произведение многочленов $x - z$ и $x - \bar{z}$ является многочленом с действительными коэффициентами:

$$(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2).$$

Доказательство теоремы 4. Пусть

$$P(x) = a_n x^n + a_n \frac{1}{x^{n-1}} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,$$

где $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ — действительные числа, $z$ — корень этого многочлена. Тогда

$$0 = P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0.$$

Воспользовемся свойством операции сопряжения:

$$0 = \bar{P}(z) = \frac{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0}{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0} = P(\bar{z}).$$

Теорема 4 доказана.

Из теоремы 4 легко следует

Теорема 5. Многочлен с действительными коэффициентами имеет четное число не действительных корней.

В самом деле, по теореме 4 не действительные корни многочлена с действительными коэффициентами «ходят парами»: $(z; \bar{z})$.

Из теоремы 5 немедленно вытекает

Теорема 6. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

По основной теореме алгебры этот многочлен имеет нечетное число корней (равное его степени), следовательно, по теореме 5, они не могут быть все не действительных корень.

С помощью компплексных чисел мы доказали в полне «действительное» теорему. Но гораздо более важным и интересным является следующий факт:

Теорема 7. Любой многочлен с действительными коэффициентами, степень которого больше двух, приводим на полем действительных чисел.

Доказательство. Если у многочлена $P(x)$ имеет действительный корень $a$, то $P(x) = q(x) \cdot (x - a)$. Из придуманного вам доказательства теоремы 1 видно, что $q(x)$ — многочлен с действительными коэффициентами. Следовательно, в этом случае $P(x)$ есть приведение двух многочленов с действительными коэффициентами, то есть $P(x)$ приводим на полем действительных чисел.

Пусть теперь все корни $z_1, z_2, \ldots, z_m$ многочлена $P(x)$ — не действительные. По теореме 6 $n$ — четное и

$$P(x) = a_n (x - z_1) (x - z_2) \ldots (x - z_n).$$

Разобъем корни $z_1, \ldots, z_n$ на сопряженные пары вида $(z_i; \bar{z}_i)$ и запишем $P(x)$ так:

$$P(x) = a_n (x - z_1) (x - \bar{z}_1) (x - z_2) (x - \bar{z}_2) \times \ldots \times (x - z_k) (x - \bar{z}_k);$$

здесь $k = \frac{n}{2}$.

Какждый многочлен $P_i(x) = (x - z_i) \times (x - \bar{z}_i)$, $i = 1, 2, \ldots, k$, имеет как мы видели, действительные коэффициенты. Следовательно, многочлен $P(x) = a_n P_1(x) P_2(x) \ldots P_k(x)$ приводим на полем действительных чисел — ведь в этом произведение не менее двух сомножителей (из $n > 2$ следует $k > 1$).

Поэтому окончательный вывод о непроведимости многочленов над полем действительных чисел таков:

Теорема 8. Над полем действительных чисел непроведимы являются лишь многочлены первого степени и многочлены второго степени с отрицательным дискриximантом.

Следствие. Любой многочлен с действительными коэффициентами разложим в произведение многочленов первого и второго степени с действительными коэффициентами.

О чем мы еще не расссказали? О том, какую роль сыграли многочлены в решении знаменательных задач деревности — задач о трисекции угла, квадратype кругга и удвоения куба. О том, как юным Нильсом Абелем было доказано, что формул для нахождения корней многочленов степени вышечетверой не существует; как еще более юный Эварист Галya полностью решил проблему о решении уравнения в радиках. Накоонец, мы ведь еще не доказали основную теорему алгебры…

Нет, автор должен признаться, что взялся за непосильную задачу; он в изнеможении откладавaitе перо и просит читателя не быть слишком взыскательным.

22

3. Керимов

Как найти целый корень?

Пусть нам надо решить уравнение
$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0.$$ (1)

Если $n = 1$ или $n = 2$, мы это умеем — в школьных учебниках есть формулы. Если $n = 3$ или $n = 4$, то же существует формулы («Квант», 1976, № 9), правда, довольно громоздкие. Если же $n > 4$, то таких формул просто не существует — не «не найdeno», а доказано, что не существует («Квант», 1976, № 5, с. 6). Как же быть? Как находится корни уравнения «высших степеней»?

Для отыскания целых корней уравнения с целыми коэффициентами*) можно воспользоваться следующим достаточно условием: если $l$ — целый корень уравнения (1) с целыми коэффициентами, то $l$ является делителем свободного целена $a_n$.

В самом деле, если $l$ — корень уравнения (1), то
$$a_n = l(-a_0l^{n-1}-a_1l^{n-2}-\dots-a_{n-1}).$$ (2)

Если $l \in \mathbb{Z}$ и коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$, $a_n$ — тоже целые числа, то $-a_0l^{n-1}-a_1l^{n-2}-\dots-a_{n-1} \in \mathbb{Z}$ и (2) означает, что $a_n$ делится на $l^{**}$).

Таким образом, если мы рассмотрим все — положительные и отрицательные! — делители числа $a_n$ и каждый из них проверим, не является ли он корнем, мы найдем (если они есть!) все целые корни.

*) Впрочем, уравнение с рациональными коэффициентами легко заменяется равносным уравнению с целыми коэффициентами. Как?

**) Понятия «делитель», «делится» определяются для целых чисел.

Пример 1. У свободного члена уравнения
$$3x^3+5x^2+x-46=0$$ (3)

следующие делители: ±1, ±2, ±23, ±46. Проверив «маленькие» делители (±1, ±2), мы увидим, что 2 является корнем уравнения (3). Дальше можно было бы проверять «большие» делители (впрочем, для данного конкретного уравнения легко увидеть, не вычисляя до конца, что ни одно из чисел ±23, ±46 корнем не является), но проще, как говоря, понизить степень уравнения, воспользовавшись легкой доказываемым утверждением: число $l$ тогда и только тогда является корнем многочлена $f(x)$, когда $f(x)$ делится на $x-l^*$): Поскольку 2 является корнем уравнения (3), многочлен $3x^3+5x^2+x-46$ делится на $x-2$. Найдем частное.

$$\frac{3x^3+5x^2+x-46}{3x^3-6x^2} = \frac{x-2}{3x^2+11x+23}$$

Итак, $3x^3+5x^2+x-46 = (x-2)(3x^2+11x+23)$. Значит, вместе кубичеко уравнения (3) мы можем решать теперь квадратное уравнение $3x^2+11x+23 = 0$. Это последнее уравнение корней (действительных) не имеет. Значит, уравнение (3) имеет один корень 2.

Пример 2. У свободного члена уравнения
$$x^4-17x^3+77x^2-85x+360=0$$ (4)

очень много делителей: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±9, ±10, ±12, ±15, ±18, ±20, ±24, ±30, ±36, ±40, ±45, ±60, ±72, ±90, ±120, ±180, ±360. Подставлять их все в левую часть уравнения — не очень благодарный труд. Правда, сразу видно, что у данного уравнения не может быть отрицательным корней, но остатся еще 24 делителя.

Воспользовемся следующим обобщением с формулированного выше утверждения о целых корнях: если $l$ — целый корень уравнения (1) с целыми коэффициентами, то для любого $m \in \mathbb{Z}$ разность $m-l$ является делителем числа $f(m)$ (здесь через $f(x)$ обозначен много-

*) См. статью С. Ашманова «Числа и многочлены», с. 17.

23

член, стоящий в левой части уравнения (1) *).

В самом деле, если $l$ — корень уравнения (1), то $f(l) = 0$ и

$$f(m) = f(m) - f(l) = a_0(m^n - l^n) + a_1(m^{n-1} - l^{n-1}) + \dots + a_{n-1}(m - l).$$

При целях $m$ и $l$ какдая скобка делится на $m - l$, значит, и $f(m)$ делится на $m - l$.

Таким образом, целые корни достаточно искать среди чисел вида $m + p^*$), где $p$ — делитель числа $f(m)$, причем «степень свободы» — выбор числа $m$ — в нашей власти. Процем, по-видимому, проще не перебирать делители числа $f(m)$, а рассмотреть разности $m - l$ для делителей $l$ свободного члена.

Вернемся к примеру 2. Пусть

$$f(x) = x^4 - 17x^3 + 77x^2 - 85x + 360.$$

Нанчем с намишего делителя 1. Процем с намишего делителя 1.

*) При $m = 0$ отсюда легко получается первоначальное утверждение.

**) Почему мы написали $m + p$, а не $m - p$?

М. В. Ломоносов
и Московский университет

Создание Московского университета неразрывно связано с именем великого помеща, выданной государством русского ученого-самородка М. В. Ломоносова (1711—1765).

Еще к 1748 году относится письмо М. В. Ломоносова, где он формулирует свое мнение об университетском регламенте и; в частиности, указавает, что «в университете неотменно должно быть третье факультет: юридический, медицинский и философский (богословский оставляю синодальный училищам), в которых бы производились в магистры лицензия и докторы». В 1754 году М. В. Ломоносов составляет проект организации в Московский университет и двух гимназий при нем. Наконец, в январе 1755 года энергичные услуги М. В. Ломоносова увеличилисьспехом: публикуется указ об учрежении Московского университета. Символно, что значение, в котором сначала размещался первый русский университет, стояло на Красной площади, рядом с кремлем — на том месте, где сегодня возвышается Исторический музей.

В 1940 году Указом Президиума Верховного Совета СССР Московскому государственному университету присвоено имя его основателя. В 1961 г. в связи с 250-летием со дня рождения М. В. Ломоносова, была выпущена памятная настольная бронзовая медаль, на котором, в частиности, изобранен контур Главного здания МГУ на Ленинских горах (эту медаль вы видите на снимке).

Н. Х.

24

Вверх по наклонной плоскости

Предлагаем вам проведение опыт, оценить старый и очень похожий на фокус.

Возьмите два одинаковых конуса, например из дерева, пластассы или металла (материал не имеет решительно никакого значения). Конусы могут быть сплошными или пустотельными, лишь бы они не были слишком легкими. Прочно соедините конусы основаниями (например, склейте), причем так, чтобы они конусов обязаательно совпадали. Для опыта вам понадобится также только старая книга и два одинаковых достагоно длиных стержня.

Положите книгу на стол, а стержни расположите так, чтобы они одними концами опирались на ребро книги, другими — на стол, причем в одном и том же месте. Короче говоря, стержни и ребро книги должны образовать своеобразную «наклонную плоскость» в форме равноведренного треугольника (рис. 1).

Тепер возьмите скрепленные конусы и положите их на стержни, при этом ось консов должно быть горизонтальной. Как только вы это сделаете, вы увидите, что конусы сами, без подталкивания, показятся по наклонной плоскости… не визз, а вверх, вопроси привычному опыту и здравому смыслу.

В чем же секрет этого фокуса? Чудес здесь, конечно, никаких нет. Проство оказывается, что при выполнении некоторых условий центры также конусов в процессе их «скатывания» вверх будет не подниматься, а опускаться. Именно сила тяжесте и является причиной такого, на первой взгляд, необъчного движения.

Какие же условия должны выполнаться? Расмотрим этот вопрос подробнее. Обозначим угол наклона плоскости к горизонту через α, угол между стержнями — через 2β и угол при вершине конусов — через 2γ (рис. 2). Пусть конусы перемещаются вверх по направляющим стержням из положения I в положение II, l₁ и l₂ — соответствующие расстояния между точками касания конусов со стержнями.

Из рисунка 2, а видно, что по отношению к точкам касания центр тяжесте конусов опускается (по вертикали) на величины

$$H = \frac{l_2 - l_1}{2} \text{tg} \gamma.$$

Сами же точки касания при этом естественно поднимаются, высота их поднятия равна (см. рис. 2, б)

$$h = |MN| \sin \alpha = \frac{l_2 - l_1}{2} \text{ctg} \beta \sin \alpha.$$

Тепер нетрудно сформировать условия «скатывания» конусов вверх по наклонной плоскости. Очевидно, что для этого должно выполнять требование H > h:

$$\frac{l_2 - l_1}{2} \text{tg} \gamma > \frac{l_2 - l_1}{2} \text{ctg} \beta \sin \alpha,$$

или

$$\sin \alpha < \text{tg} \beta \text{tg} \gamma,$$

Только в таком случае тяжесте конусов будет опускаться при движении конусов вверх по плоскости.

Если выполняется противоположное неравенство

$$\sin \alpha > \text{tg} \beta \text{tg} \gamma,$$

конусы будут по-настоящему скатывать с плоскости, то есть опускается вниз.

При условии

$$\sin \alpha = \text{tg} \beta \text{tg} \gamma$$

конусы будут находиться на наклонной

25

ЗАПОЛНЕНИЕ
ПЛОСКОСТИ
МНОГОУГОЛЬНИКАМИ.

Посмотрите внимательно на конфигурацию, изображенную на первой обложке: она составлена из большого числа конгрузных девятугольников. Эти девятугольники — невыпukлы, их неправильная форма наполинает латинскую букву S (см. обложку). Оказывается, конфигурация может быть продолжена до бесконечности; при этом девятугольники продолжают разворачивать по «двойной спирали» и заполют всю плоскость (без пробелов и наложений друг на друга). Это доказано в 1937 г. ее создателем, немецким математиком X. Ворден-берром.

Задача о заполнении плоскости многоугольника уже не раз обуждалась на страницах нашего журнала. В частиности, в «Кванте» 1979, № 2, с. 9 приводилась классификация паркетов, в «Кванте» 1972, № 8, с. 41 — калейдоскопов. В отличие от нашей конфигурации, паркеты и калейдоскопы обладают простыми свойствами регуляности и периодичности. В частиности, все вершины у них устроены одинаково, их можно сdwгать самих в себя с помощью различных переменений. Наша же конфигурация обладает набором вершин разных типов (к ним примыкают 18, 7, 6 или 5 многоугольников) и лишь одно нетождественное перемещение (какое?) переводит фигуру в себя.

Попробуйте самостоятельно придумать подобные перегуляные плоскости одинаковыми многоугольниками. Если эта тематика вас занитереует или если у вас получается красные картины — напишите нам. Мы тогда вернемся к этим вопросам.

26

Математический кругок

Н. Ваеутен

Сопряжение числа

Читать эту статью (или проводить на ее основе занятие математического кругка) можно по-разному. Простейший способ — разобрать решения предложенных в ней задач, пропустив мелкий шрифт, а затем закрепить продемонстрированные приемы, перешевать предложенные в конце статьи упражнения. Но если вас заинтересовала та или иная задача или серия задач, можно поступить и иначе: внимательно прочитать помещенный вслед за ней мелким шрифтом текст и, пользовсь указанной автором дополнительной литературой, более глубоко разобраться в существе затронутых вопросов.

Читатель, вероятко, известны на первый взгляд兢яд трудные геометрические задачи, которые мгновенно решаются, если заменить одну данную точку другой, симметричной ей относительно какой-то прямой. Сообщения симметричны очень важны и в алгебре.

В этой статье мы рассмотрим ряд ситуаций, в которых число вида $a+b\sqrt{d}$ полезно заменить сопряженным $a-b\sqrt{d}$. Мы увидим, как этот простой примем — замена знака перед радиалом — помогает в решении разнообразных задач алгебры и анализа — от нежитых оценок и преобразования до трудных olимпидных задачи и замысловых придумок составителей конкурсных экзаменов.

Большинство наших примеров может служить первым знакомством с глобими математических теориими (кое-где мы указываем статьи и книги для продолжения знакомства). Среди задач, включенных в статью, две — из Задачника «Кванта» и несколько — из писем читателей, уже испытывших удовлетворение от трюков с радиалами и железоих поделиться им с другими.

Пары сопряженных чисел появляются в полне естественных образом, когда мы решаем квадратное уравнение, а корень из дискрипината не извлекается: скажем, уравнение $\lambda^2-\lambda-1=0$ имеет пару «сопряженных» корней: $\lambda_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ и $\lambda_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. К этому мы еще вернемся, а начнем с примеров другого рода: займется «перебросами»…

28

(тут, конечно, нам повезло: разность квадратов $(2n+1)^2-4n(n+1)$ равна 1)
$$\leq \frac{1}{(2\sqrt{n}+\sqrt{n})(2n+2n)} = \frac{1}{16n\sqrt{n}}.$$

Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многоимпалями) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную $n$ на $h$ $1/n$ и воспользоваться формулой Тейлора $\sqrt{1+h} = 1+h/2 - h^2/8 + \dots$ (См. [6]).

Заменим плоск на минус

Мы уже говорили о пользовании симметрики в геометрических задачах. Свое рода симметрией в алгебре является замена плоска на минус.

Так, если какое-либо выражение от $\sqrt{d}$ равно $p+q\sqrt{d}$ и мы всюду в этом выражении заменим $\sqrt{d}$ на $-\sqrt{d}$, то естественно ожидать, что новое выражение оказывается равным сопряженному числу $p-q\sqrt{d}$. Мы будем пользоваться таким очевидным частным случаем этого свойства ($a$ и $b$ — рациональные, $\sqrt{d}$ — нет):

$$(a+b\sqrt{d})^n = p+q\sqrt{d} \Rightarrow (a-b\sqrt{d})^n = p-q\sqrt{d}.$$

5. Доказать, что уравнение

$$(x+y\sqrt{5})^4+(z+t\sqrt{5})^4 = 2+\sqrt{5}$$

не имеет решений в рациональных числах $x, y, z, t$.

Можно, конечно, найти отдельную сумму членов левой части, не содержащих $\sqrt{5}$ (она должна быть равна 2), и отдельно — коэффициент при $\sqrt{5}$ (он должен равнять 1). Но что делать с полученной громоздкой системой, неясно. Вместо этого воспользовемся (4) и заменим плоск перед $\sqrt{5}$ на минус!

$$(x-y\sqrt{5})^4+(z-t\sqrt{5})^4 = 2-\sqrt{5}.$$

Слева стоит неотрицательное число, справа — отрицательное.

6. Доказать, что существует бесконечно много пар $(x; y)$ натуральных чисел, для которых $x^2$ отличается от $2y^2$ на 1:

$$|x^2-2y^2| = 1.$$

Несколько таких пар с небольшими $(x; y)$ легко найти подбором: это $(1; 2)$, $(3; 2)$, $(7; 5)$, $(17; 12)$, … (рис. 1). Как продолжить этот набор? Можно ли записать общую формулу для этих решений?

Рис. 1. Прокодят ли эти гипербольы через бесконечно число узлов клетчатой бумаги?

Найти ответы на эти вопросы нам помогет число $1+\sqrt{2}$. Закономерность, позволяющая получить все новые решения $(x; y)$, указывая в таблице:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & (1+\sqrt{2})^n & x_n & y_n & x_n^2-2y_n^2 & (1-\sqrt{2})^n \\ 1 & 1+\sqrt{2} & 1 & 1 & 1-2=-1 & 1-\sqrt{2} \\ 2 & 3+2\sqrt{2} & 3 & 2 & 9-8=1 & 3-2\sqrt{2} \\ 3 & 7+5\sqrt{2} & 7 & 5 & 49-50=-1 & 7-5\sqrt{2} \\ 4 & 17+12\sqrt{2} & 17 & 12 & 289-288=1 & 17-12\sqrt{2} \\ 5 & 41+29\sqrt{2} & 41 & 29 & 1681-1682=-1 & 41-29\sqrt{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \end{array}$$

Какой будет шестая строка?

Видно, что коэффициенты $x_n, y_n$ в числе $x_n+y_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n$ будут давать нужную пару. Доказать это помогет кольника таблицы из сопряженных чисел (мы снова применяем (4)):

$$x_n-y_n\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^n.$$

Переменная два последних равенства, получим

$$x_n^2-2y_n^2 = (1+\sqrt{2})^n(1-\sqrt{2})^n = \\ = ((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}))^n = (-1)^n,$$

и интересующее нас выражение попереенно равно то 1, то — 1. Складывая и вычитая эти же два равенства, мы получим явное выражение для $x_n$ и $y_n$:

$$x_n = ((1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n)/2$$

$$y_n = ((1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n)/2\sqrt{2}.$$

29

Можно ли в решении этой задачи про целые числа обойтись без irrationalных чисел $1 + \sqrt{2}$ и $1 - \sqrt{2}$? Тепер, зная ответ, мы можем легко выразить $(x_{n+1}; y_{n+1})$ через предыдущую пару $(x_n; y_n)$ из $x_{n+1} + y_{n+1}\sqrt{2} = (x_n + y_n\sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ вытекает

$$x_{n+1} = x_n + 2y_n, \quad y_{n+1} = x_n + y_n.$$ (6)

До этого рекуррентного соотношения можно было, видимо, договорая по нескольким первым решением, а потом проверить, что

$$|x_n^2 - 2y_n^2| = |x_{n+1}^2 - 2y_{n+1}^2|.$$

Добавив начальное условие $x_1 = 1, y_1 = 1$, отсюда (по индекции) можно было бы заключить, что $|x_n^2 - 2y_n^2| = 1$ для любого $n$. Далее, выразив обратно $(x_n; y_n)$ через $(x_{n+1}; y_{n+1})$, «метод спуска» ([8]) можно доказать, что найденой серий исчерпываются все решения уравнения (5) в натуральных числах $(x; y)$. Подобным же образом решается любое «уравнение Пелля» $x^2 - dy^2 = c$ (а к уравнении такого типа свойства любое квадратное уравнение в целых числах $x, y$), но у исходного уравнения может быть несколько серий решенной ([7]).

Рекуррентные соотношения типа (6) возникают не только в теории чисел, но и в разных задачах анализа, теории вероятности. Вот характерный пример комбинаторной задачи такого типа (она предлагалась на последней международной оптимизации в Лондоне):

7(M595). В вершине $A$ правильного восмцуольника сидит лярушка. Из любой вершины восмцуольника, кроме вершины $E$, противоположной $A$, она может прыенуть в любую из двух соседних вершин. Попав в $E$, лярушка останавливается и остается там. Найти ко-

личество $e_m$ различных способов, которые лярушка может попасть из вершины $A$ в $E$ровно за $m$ прыжков.

Если раскрасть вершины восмцуольника через одну в черный и белый цвет (рис. 2), сразу станет ясно, что $c_{2k-1} = 0$ при любом $k$: цвет вершин при каждом прыжке меняется. Обозначим через $a_n$ и $c_n$ количество способов, которые лярушка может за $2n$ прыжков попасть из вершины $A$, соответственно, в вершину $A$ и в одну из вершин $C$ (из сообщений симметрия ясно, что в каждой из вершин, обозначенных на рисунке буквой $C$, можно попасть одним и тем же числом способов). Как легко проверить (см. рис. 2a, б, в, е)),

$$a_1 = 2, \quad c_1 = 1;$$

$$a_{n+1} = 2a_n + 2c_n,$$

$$c_{n+1} = a_n + 2c_n.$$ (7)

А интересующее нас число $e_{2n}$ равно, очень много, $2c_{n-1}$ (рис. 2d).

Как же найти явную формулу для $a_n$ и $c_n$? Запишем наше рекуррентное соотношение (7) так:

$$a_{n+1} + c_{n+1}\sqrt{2} = (a_n + c_n\sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$$ (8)

и — как вы уже, конечно, доказались — еще так:

$$a_{n+1} - c_{n+1}\sqrt{2} = (a_n - c_n\sqrt{2}) (2 + \sqrt{2}).$$ (9)

Отсюда по индекции, получая (7), по-

Рис. 2. a) Из $A$ в $C$ за два прыжка можно попасть только один способ: $c_1 = 1$.

б) Из $A$ в $A$ за два прыжка можно попасть два способ: $a_1 = 2$.

в) В $A$ можно попасть из $C$ двумя способами

30

Лучаем:

$$a_n + c_n \sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^{n-1} (a_1 + c_1 \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})^n;$$

$$a_n - c_n \sqrt{2} = (2 - \sqrt{2})^{n-1} (a_1 - c_1 \sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})^n.$$

Поэтому $c_n = [(2 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2})^n] : 2\sqrt{2}$, а так как $e_{2n} = 2c_{n-1}$, получаем окончательно

$$e_{2n} = [(2 + \sqrt{2})^{n-1} - (2 - \sqrt{2})^{n-1}] / \sqrt{2}; \quad e_{2n-1} = 0.$$

Задача решения. Нясно только, как в этой задаче (и в предыдущей задаче 6) можно было допустить до формул, содержащих $\pm \sqrt{2}$, — в задаче решить идет о целых числах! (Для участников олимпиды и читателей «Кванта» задача 7 была облегчена тем, что в формулировке указывался ответ — «Квант», 1979, № 11, М595).

Однако «споряженные числа» возникли бы совершенно автоматически, если бы мы владелили началом линейной алгебры (см. [12]), и применили стандартные правила этой науки к решению уравнений (7). Эти правила предлагают сначала выяснить, какие геометрические прогрессии ($a_n = a_0 \lambda^n$, $c_n = c_0 \lambda^n$) удовлетворяют данному рекурентному соотношению. Значения, для которых также прогрессии существует, — они называются характеристическими значениями или собственными числами — определяются из некоторого уравнения (он тоже называется характеристическим). Для (7) характеристической уравнения имеет вид $\lambda^2 + 2 - 4\lambda = 0$, его корни — как раз $2 + \sqrt{2}$ и $2 - \sqrt{2}$. Знача эти корни, любое решение рекурентного соотношения мы можем получить как «линейную комбинацию» соответствующих геометрических прогрессий ([11]). «Начальное условие» (в нашем случае $a_1 = 2$, $c_1 = 1$) определяет нужное нам решение однозначно.

Недвижительное, что даже самые простые рекуррентные целочисленные последовательности, для которых характеристические уравнения — квадратное с целыми коэффициентами (примеры — те же (6) и (7) или последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8,…, $\Phi_{n+1} = \Phi_n + \Phi_{n-1}$ — см. [9], [10]), выражаются, как функция номера, с помощью «споряженных» квадратных иризационныхностей.

Заметим, что большие характеристические числа определяют скорость роста последовательности: при больших $n$ в задаче $7e_n \approx (2 + \sqrt{2})^n / \sqrt{2}$. Можно сказать это еще так: $\lim_{n \to \infty} (e_{n+1}/e_n) = 2 + \sqrt{2}$.

Для задачи 6 аналогичное наблюдаем:

$$\lim_{n \to \infty} (x_n/y_n) = \sqrt{2}$$ — показывает, что оба числа $x_n$ и $y_n$ при больших $n$ применно равны друг другу. Интересное продление этого факта мы видим в следующей задаче с большим числом «споряженных» иризационныхностей.

Почередно меняем все знаки

8 (М520). Пусть $(1 + \sqrt{2} \Phi' \sqrt{3})^n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$, где $q_n, r_n, s_n$ и $t_n$ — целые числа. Найти предельный $\lim_{n \to \infty} r_n/q_n$, $\lim_{n \to \infty} s_n/q_n$, $\lim_{n \to \infty} t_n/q_n$.

Конечно, мы здесь можно выразить $(q_{n+1}; r_{n+1}; s_{n+1}; t_{n+1})$ через $(q_n; r_n; s_n; t_n)$, получясь тем, что $q_{n+1} + r_{n+1} \sqrt{2} + s_{n+1} \sqrt{3} + t_{n+1} \sqrt{6} = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}) = (1 + \sqrt{2} + 3)^n$.

Нетрудно сообщить, каковы будут другие. Расмотрим вместе с данным числом $\lambda_1 = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ еще три «споряженными»: $\lambda_2 = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}$, $\lambda_3 = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$, $\lambda_4 = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

Мы можем выразить $q_n, r_n, s_n, t_n$ через $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$:

$$q_n = (\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) / 4,$$

$$r_n = (\lambda_1^2 - \lambda_2^2 + \lambda_3^2 - \lambda_4^2) / 4\sqrt{2},$$

$$s_n = (\lambda_1^2 + \lambda_2^2 - \lambda_3^2 - \lambda_4^2) / 4\sqrt{3},$$

$$t_n = (\lambda_1^2 - \lambda_2^2 - \lambda_3^2 + \lambda_4^2) / 4\sqrt{6}.$$

Теперь заметим, что $\lambda_1 > |\lambda_2|$, $\lambda_1 > |\lambda_4|$. Позумуем $\lim_{n \to \infty} r_n/q_n = \lim_{n \to \infty} s_n/q_n = 1/\sqrt{6}$.

Мы говорили выше, что соряженные числа $a \pm b\sqrt{d}$ возникают как корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. В связи с последней задачей такое желание:

9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Возникает подозрение, что вместе с этим числом $λ_1$ уравнение с целыми коэффициентами удовлетворяют и соряженные, которые в решении предыдущей задачи мы обозначили $\lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$. Нужное уравнение можно записать так:

$$(x - \lambda_1)(x - \lambda_2)(x - \lambda_3)(x - \lambda_4) = 0;$$

то есть

$$(x - 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) \times (x - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \times (x - 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0;$$