Квант 1980, №7 · Страницы

КВАНТ
7
1980

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

По поводу этого узора, нарисованного ЭВМ, см. с. 18

В НОМЕРЕ:

2 Праzdник молодежи мира
4 В. Болтянский. Транзитивные множества и правильные многогранники
10 В. Орлов. Голография

Лаборатория «Кванта»
19 А. Варламов, А. Шапиро. Об «ovo»

Задачик «Кванта»
22 Задачи М631—М635; Ф643—Ф647
24 Решения задач М573, М575—М577; Ф583—Ф585, Ф588

«Квант» — Олимпиде
31 ЭВМ на олимпиде
33 Ю. Первин. Обработка протоколов совершенний по прижам в высоту
36 И. Лапушонок. Программное обеспечение фехтовальных туриров
38 А. Савин. Олимпийские колыца

Практикум абитриента
41 В. Приходько, В. Пыж, О. Уваров. Попражняйся и проверь себя

Вариantsы вступительных экзаменов вузы в 1979 году
42 Московский институт инженеров железнодорожного транспорта
43 Московский авнационный институт им. Серго Орджоникдзе
45 Московский энергетический институт
46 Московский институт электронного машиностроения
47 Московский институт стали и сплавов
48 Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии
49 Московский архитектурный институт
49 Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана
51 Московский институт нефтехимической и газовой промышленности им. академика И. М. Губкинд
52 Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской

Рецензии, библиография
53 А. Едоров, М. Смолянский. Новые книги
54 Шахматная страница
55 Ответы, указания, решения
Шахматный конкурс (3 с. обл.)
Наша обложка (18)
Смесь (9, 40)

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, «Квант», 1980

2

Праздник молодежи мира

Сейчас вимание всего мира приковано к Москве, где спорстены ведут прекрасный спор в силу, ловкости и быстроте.

Избранные столцы СССР в качестве хозяйственных XXII летних Олимпийских игр — явление закономерное, обусловленное историческим ходом развития спорта. Сегодня весь мир признет огромный вклад, который спорстены нашей страны внесли в укрепление современного олимпийского движения.

Четыре года назад, когда подобный праздник мирового спорта проходил в Монреале, в своей телефонме членам Международного олимпийского комитета, Организацияно-мукомитету и участникам XXI летних Олимпийских игр Леонид Ильич Брежнев писал:

«ССCP поддерживает и будет поддерживать современное олимпийское движение. Сейчас советские люди ведут подготовку Московской Олимпiadы 1980 года и сделают все для того, чтобы она прошла на высоком уровне, для новые импульсы благополном идем других и мира».

Советская столица сделала все, чтобы гостириимо подготовиться к празднику олимпийцев планеты. Все Москвы, более того — все советские люди, восприняли Олимпiadу как свое родное, кровное дело.

И вот годы труда, годы волнений позади. Завершена градинознача создательная работа. Да, градинознача: ведь одновременное сооружались или реконструировались 76 различных крупных объектов; некоторые из них не имеют себе равных и, по существу, являются уникальными. Средние них крытый stadion на 45 000 зрителей и плаваетный бассейн на проспекте Мира, футбольно-легкоатлетический комплекс ЦСКА, гребной канал, колщевая трасса и крытый володром в Крылатском, Дворцы спорта в Измайлове и Сокольниках, конно-сортивная база профессионов в район Битцы, спортивный зал «Дружба». Проведена генеральная реконструкция Центрального stadionна имени В. И. Ленина, где состоялась церемония открытия Игр, проходят составная по семи видам спорта. Возведены новые гостиницы и отели, построен олимпийский аэрокозал «Шереметево-2», приведены в образцовый порядок все службы огромного города, одевшегося в праздничный паряд.

Одной из важнейших черт Олимпiadы-80 является ее культурная программа, выполнение которого начасось еще в прошлом году. В лучших театрах и концертных залах, на открытых сценических площадках, в музеях, выступных залах идет широкий показ советского многонационального искусства. Разве не знаменательно, что только в дни Олимпiadы в нашей столице состоит около 600 спектаклей и 1500 концертов! Все это, включая показ произведенный советского киноискусства, вернисажи, экскурсии по историческим местам города и его окрестностям; позволит участникам и гостиям Олимпiadы оценить духовное богатство нашей народа, нашей страны, понять, какое место занимает удовлетворение культурных запросов советских людей в нашем образе жизни, представить, какой значительный вклад мы вносим в сокровищницу мировой культуры.

4

В. Болтянский

Транзитивные множества и правильные многогранники

Группа самосовмещений фигуры

Перемещение $f$ называется самосовмещением фигуры $F$, если оно переводит эту фигуру в себя: $f(F) = F$. Легко доказать, что множество всех самосовмещений фигуры $F$ является группой (определенные группы см., например, в «Кванте», 1976, № 10); условия обозначать группу самосовмещений фигуры $F$ через $\Gamma(F)$.

Задачи

1. Укажите все самосовмещения: а) окружности; б) прямой; в) отрезка.
2. Укажите фигуру $F$, для которого группа $\Gamma(F)$ содержитровно три самосовмещения.

Группа самосовмещений фигуры $F$ существует связывана с «геометрией» этой фигуры. Пусть, например, $P$ — параллелограмм, не являющийся ни прямогольником, ни ромбом. Существуют два перемещения, переводящие $P$ в себя: тождественное отображение $e$ и симметрия $r$ относительно точки пересечения диагоналей.

Задача 3. Докажите, что не существует самосовмещений такого параллелограмма $P$, отличных от $e$ и $r$.

Из того, что $\Gamma(P)$ содержит центральную симметрию $r$, вытекают все основные свойства параллелограмма: конгруэнтность и параллельность противоположных сторон, конгруэнтность противоположных углов и т. д.

Группа самосовмещений ромба $Q$, не является квадратом, содержит, кроме $e$ и $r$, две освые симметрины $s_1$, $s_2$ относительно диагоналей, то есть $\Gamma(Q) = \{e, r, s_1, s_2\}$. Из наличии в группе $\Gamma(Q)$ дополнительных (по сравнению с параллелограммом обещено вида) самосовмещений вытекают специфические свойства ромба (помимо свойств, присушихся путем параллелограмму): перпендикулярность диагоналей, совпадение диагоналей с биссектрисами углов и т. д.

Задачи
4. Перечислите все четырехугольники, у которых группа самосовмещений содержитровно два элемента.
5. Докажите, что если фигура $F$ является ограниченной (то есть содержится в некотором кругле), то $\Gamma(F)$ не может содержать параллельный перенос, отличный от $e$.

Транзитивные множества на плоскости

Множество $H$ называется транситивным, если любая точка этого множества может быть переведена в любую другую его точку некоторым самосовмещением множества $H$. На рисунке 1 изображен квадрат, от которого отрезаны четырехугольники равнобедренных прямогольных треугольника. Множество всех вершин получившегося восbmную множество на плоскости, то существует ограниченное множество, оно, по определению, содержитровно некоторым кругле. Тогда существует и круг наименьшего радиуса,

Рис. 1.

5

Рис. 2.
содержащий $H$. Пусть $K$ — такой наименьший круг, $O$ его центр.

Возьем две произвольные точки $A, B$ множество $H$. Покажем, что $|AO| = |BO|$. Отсюда будет следовать, что $H$ лежит на некоторой окружности (легко видеть, что эта окружность ограничивает круг $K$).

В силу транситивности множество $H$ существует такое самосовмещение $f \in \Gamma(H)$, что $f(A) = B$. Из $H \subset K$ следует $f(H) \subset f(K)$. Но $f(H) = H$. Значит, $H \subset f(K)$. Таким образом, $H \subset K \cap f(K)$.

Поскольку $f$ — перемещение, $f(K)$ — круг, конгрузительный кругу $K$. Если бы круги $K, f(K)$ не совпадали, существовал бы круг менш его радиуса, содержащий $K \cap f(K)$, а потом и $H$, что противоречило бы выбору круга $K$. Итак, $f(K) = K$, а значит, и $f(O) = O$.

Из $f(A) = B, f(O) = O$, и того, что $f$ — перемещение, следует $|AO| = |BO|$.

Очевидно, пустое, любое одноэлементное и любое двухэлементное множество транситивны.

Задание 6.
Докажите, что если транситивное множество содержит $2k + 1$ точек ($k > 0$), то эти точки служат вершинами правильного многоугольника.

7. а) Докажите, что если транситивное множество содержит 4 точки, то эти точки являются вершинами прямойного многоугольника.

6. Докажите, что если транситивное множество содержит 2k точек ($k > 2$), то эти точки служат вершинами двух правильных $k$-угольников, вписанных в одну окружность.

8. Докажите, что бесконечное ограничение транситивное множество $H$ всегда плоно заполняет содержащую его окружность (то есть не существует других этой окружности, свободной от точки множество $H$).

А существуют ли неограниченные транситивные множества?

Рис. 3.
нечно, существуют: например, вся плоскость и любая прямая на ней. Попробуйте придумать хотя бы еще один пример.

Многоугольник, множество всех вершин которого транситивно, условимся называть транситивным многоугольником. Очевидно, любой правильный многоугольник является транситивным. Оdnako правильный многоугольник $P$ обладает более глубоким свойством, которое можно назвать сільной транситивностью: если $A_1, A_2$ — две произвольные вершины, а $l_1, l_2$ — стороны, прямыхкающие к этим вершинам (рис. 2), то существует самосовмещение $f \in \Gamma(P)$, удовлетворяющее условиям: $f(A_1) = A_2, f(l_1) = l_2$.

Если многоугольник $P$ обладает свойством сільной транситивности, то он правильный.

Задание 9. Докажите, что для правильного $n$-угольника $P$ группа $\Gamma(P)$ содержит $2n$ переменной. Убедитесь, чторовно полована из этих переменной — осевые симметрины.

Транзитивные множества в пространстве

Можно рассматривать транситивные множества и в пространстве. Например, множество всех вершин прямой признамы, в основании которого лежит транситивный многоугольник (рис. 3), транситивно.

Теорема 2. Если $H$ — ограничное транситивное множество в пространстве, то существует сфера, содержащая $H$.

Доказательство — то же, что и на плоскости, только вместе наименьшего круга надо рассматривать наименьший шар, содержащий $H$. Придирчивый читатель может, однако, заметить, что доказательства эти — неполые: надо еще установить сущность наимень-

6

шero круга (или шара), содержащого заданное ограниченное множество $H$ (это можно вывести, например, из теоремы Вейерштрасса). Приведем поэтому другие доказательство; оно не содержит пробелов, но пригодно лишь для конечного множество $H$.

Лемма. Пусть $H = \{A_1, \dots, A_n\}$ — конечное множество точек. Тогда существует, и при этом только одна, точка $O$, для которого
$$\overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_n = \overrightarrow{0}.$$

(Tакая точка называется центром тяжестти точек $A_1, \dots, A_n$.)

Доказательство. Возьмем произвольную точку $Q$ и обозначим через $\overrightarrow{a}$ вектор $\frac{1}{n} (\overrightarrow{QA}_1 + \dots + \overrightarrow{QA}_n)$, а через $O$ — такую точку, что $\overrightarrow{QO} = \overrightarrow{a}$. Тогда
$$\overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_n = (\overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QA}_1) + \dots$$
$$\dots + (\overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QA}_n) = n \overrightarrow{OQ} + (\overrightarrow{QA}_1 + \dots$$
$$\dots + \overrightarrow{QA}_n) = n (-\overrightarrow{a}) + n\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0},$$
то есть точка $O$ — исключая.

Докажем ее единственное. Пусть $\overrightarrow{O'A}_1 + \dots + \overrightarrow{O'A}_n = \overrightarrow{0}$. Тогда
$$(\overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_1) + \dots + (\overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA}_n) = \overrightarrow{0},$$
то есть $n\overrightarrow{O'O} = \overrightarrow{0}$, а потому $\overrightarrow{O'O} = \overrightarrow{0}$, и значит, точки $O$ и $O'$ совпадают.

Докажем теперь теорему 2. Пусть $H = \{A_1, \dots, A_n\}$ — транситивное множество и $O$ — центр тяжестти точек $A_1, \dots, A_n$. Возьмем произвольное самосовмещение $f$ множество $H$ и обозначим образы точки $A_1, \dots, A_n$, $O$ при перемещении $f$ через $A'_1, \dots, A'_n$, $O'$. Из равенства $\overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_n = \overrightarrow{0}$ следует, что $\overrightarrow{O'A'}_1 + \dots + \overrightarrow{O'A'}_n = \overrightarrow{0}$. Но ведь $A'_1, \dots, A'_n$ — это же точки $A_1, \dots, A_n$, только взятые в каком-то другом порядке (поскольку $f(H) = H$). Поэтому соответствие $\overrightarrow{O'A'}_1 + \dots + \overrightarrow{O'A'}_n = \overrightarrow{0}$ можно, переставляя нужным образом слагаемые, записать в виде $\overrightarrow{O'A}_1 + \dots + \overrightarrow{O'A}_n = \overrightarrow{0}$. Согласно лемме $O'$, совпадает с $O$, то есть $f(O) = O$. Итак, при любом самосовмещении множество $H$ точка $O$ переходит в себя. Отсюда, как и в доказательстве тео-ремы 1, вытекает, что все точки множество $H$ находится на одинаковом расстоянии от $O$.

Из нашей доказательства видно, что если $H = \{A_1, \dots, A_n\}$ — транситивное множество, не расположенное в одной плоскости, и $O$ — центр сферы, содержащей множество $H$, то $\overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_n = \overrightarrow{0}$.

Многогранник, множество всех вершин которого является транситивным, условимся называется транситивным многоограничком. Согласно теореме 2 существует сфера, проходящая через его вершины (описанная сфера). А из сделанного замечания вытекает, что если $A_1, \dots, A_n$ — все вершины транситивного многоограничника и $O$ — центр описанной около него сферы, то $\overrightarrow{OA}_1 + \dots + \overrightarrow{OA}_n = \overrightarrow{0}$.

Правильные многоогранички

Для многоограничков свойство сільной транситивности формируется следующим образом: пусть $A_1, A_2$ — транситивные вершины многоограничка $M$, $l_1, l_2$ — ребра, прямых щочек к $A_1, A_2$, и $\gamma_1, \gamma_2$ — грани, прямых щочек к $l_1, l_2$; тогда должно существовать самосовмещение $f \in \Gamma(M)$, удовлетворяющее условиям $f(A_1) = A_2$, $f(l_1) = l_2$, $f(\gamma_1) = \gamma_2$. Многогранник, обладающий свойством сільной транситивности, называется правильным многоограничком $^*$.

Задание 10. Докажите, что самосовмещение $f \in \Gamma(M)$, удовлетворящее условиям $f(A_1) = A_2$, $f(l_1) = l_2$, $f(\gamma_1) = \gamma_2$ (о которых идёт речь в определении сільной транситивности), единственно.

11. Докажите, что число элементов группы $\Gamma(M)$ вытверго больше числа правильного многоограничка $M$.

Пусть $M$ — правильный многоограничок, $\gamma$ — его грань, $A_1$ и $A_2$ — две ее вершины и $l_1, l_2$ — стороны многоугольника $\gamma$, прямых щочек к вершинам $A_1, A_2$. В силу свойства сільной транситивности существует самосовмещение $f \in \Gamma(M)$, удовлетворяющей условиям $f(\gamma_1) = \gamma_2$.

*) Данное определение правильного многоограничка эквивалентно школьному («Геометрия 9—10», § 54). «В одну сторону» это будет сейчас доказано.

7

воряющее условия $f(\gamma) = \gamma, f(A_1) = A_2, f(l_1) = l_2$. Первое из этих равенств означает, что $f \in \Gamma(\gamma)$. Мы видим, что многоугольник $\gamma$ сильно транситивный, то есть правый и.

Из свойства сильной транситивности многоугольника $M$ вытекает также, что все его грани конгрунтины. Далее, из свойства транситивности (далее обобщной, не сильной) следует, что к каждой вершине примыкает одинаковое число граней. Итак, все грани правильно многоугольника являются конгрунтными правильными многоугольниками и к каждой вершине примыкает одинаковое число граней.

Лемма. Пусть $M$ — правильный многоугольник, $A$ — одна из его вершин, $AB_1$, …, $AB_k$ — примыкающие к ней ребра. Тогда многоугольник $B_1...B_k$ — правильный.

Доказательство. Обозначим через $\gamma_1$, …, $\gamma_k$ грани, примыкающие к вершине $A$, а через $O$ центр описанной около многоугольника $M$ сферы (рис. 4). Так как $|OB_1| = |OB_2| = R$, где $R$ — радиус описанной сферы, векторы $\vec{b}_1 = \vec{OB}_1, \vec{b}_2 = \vec{OB}_2$ и $\vec{p} = \vec{B}_1\vec{B}_2$ удовлетворяют условию $\vec{b}_1^2 = \vec{b}_2^2 = (\vec{b}_1 + \vec{p})^2$, то есть $2\vec{b}_1\vec{p} = -\vec{p}^2$. Так как, кроме того, $|AB_1| = |AB_2| = a$, где $a$ — длина ребра многоугольника $M$, векторы $AB_1 = \vec{a}_1, AB_2 = \vec{a}_2$ удовлетворяют условию $\vec{a}_1^2 = \vec{a}_2^2 = (\vec{a}_1 + \vec{p})^2$, то есть $2\vec{a}_1\vec{p} = -\vec{p}^2$. Таким образом, $2\vec{a}_1\vec{p} = 2\vec{b}_1\vec{p}$, то есть $\vec{p}(\vec{a}_1 - \vec{b}_1) = 0$, а это означает, что $(AO) \perp (B_1B_2)$. Такой же подсчет показывает, что каждая из прямых $(B_1B_3), ..., (B_1B_k)$ перpendикулярна $(AO)$. Следовательно, плоскость $\Pi$, проходящая через точку $B_1$ и перpendикулярная прямой $AO$, содержит все точки $B_1, B_2, ..., B_k$. Далее, в силу свойства сильной транситивности существует самосовмещение $f \in \Gamma(M)$, переводящей вершину $A$, ребро $AB_1$ и грань $\gamma_1$ соответственно в вершину $A$, ребро $AB_2$ и грань $\gamma_2$. В частности, $f(B_1) = B_2$. При этом самосовмещения две стороны грани $\gamma_1$, прямых妒шие к $A$, перейдут в две стороны грани $\gamma_2$, прямых妒шие к $A$, то есть $AB_1$ перейдет в $AB_2$, а $AB_2$ — в $AB_3$ (рис. 4). Итак, $f(B_2) = B_3$. Рассуждая аналогично, находим, что при перемещении $f$ точки $B_1, ..., B_k$ циклические переставляются: $f(B_1) = B_2, f(B_2) = B_3, ..., f(B_{k-1}) = B_k, f(B_k) = B_1$. Отсюда и вытекает, что многоугольник $B_1...B_k$, расположенный в плоскости $\Pi$, является правильным.

Доказанная лемма позволяет легко вычислить основные параметры правильных многоугольников. Найдем, например, радиус сферы, описанной около правильного многоугольника с $k$ гранями при каждой вершине, являющихся правильными $n$-угольниками (длину ребра обозначим через $a$). Имеем: $AB_1B_2 = \frac{180^\circ}{n}$ (грань $\gamma_1$ является правильным $n$-угольником). Из треугольника $AB_1B_2$ находится $k$-угольника $B_1B_2...B_k$:

8

$$\left| B_1 B_2 \right| = 2a \cos \frac{180^\circ}{n},$$
после чего находится $r = \left| QB_1 \right|$ описанной около него окружности (рис. 5):

$$r = \frac{\left| B_1 B_2 \right|}{2 \sin 180^\circ / k} = a \cdot \frac{\cos 180^\circ / n}{\sin 180^\circ / k}.$$

Далее, из треугольника $QAB_1$ и $OAB_1$ находится $\frac{r^2}{a^2} + \frac{|AQ|^2}{a^2} = 1$, $|AQ| = \frac{a^2}{2R}$, то есть $\frac{r^2}{a^2} + \left(\frac{a}{2R}\right)^2 = 1$. Подставляя сюда вместо $r$ его значение, получаем последующее:

$$R = \frac{a}{2\sqrt{1 - \left(\frac{\cos 180^\circ / n}{\sin 180^\circ / n}\right)^2}}.$$

Формула (*) не только дает выражение для радиуса сферы, описанной около данного правильного многогранника, но и позволяет указыть, какие значения могут принимать $n$ и $k$. В самом деле, поскольку $n \geq 3$, $\frac{180^\circ}{n} \leq 60^\circ$, $\cos \frac{180^\circ}{n} \geq \frac{1}{2}$; следовательно, $\sin \frac{180^\circ}{k} > \frac{1}{2}$ (начье подкоренное выражение не будет положительным), откуда $k < 6$. Придавая числу $k$ возможные значения $k = 3, 4, 5$, находим, что подкоренное выражение положительное лишь в пятей случах, которые и соответствуют пятей возможным правильным многогранникам (см. «Геометрию 9—10», с. 133).

Задание 12.
Пользовать формулой (*), найти радиус сферы, описанной около каждой из правильных многогранников. (Ответы к этой и последующим задачам будут приведены в следующем номере «Кванта»).

Указание. Найдите длины сторон треугольников на рисунке 6 и выведите отсюда, что $\cos 36^\circ = \frac{\xi}{2}$, $\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{\xi}}$, $\sqrt{3 - 4\cos^2 36^\circ} = \frac{1}{\xi}$, где $\xi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

13. Для каждой правильного многогранника найдите угол, под которым его ребро видно из центра описанной сферы.

14. Вычислите площадь поверхности каждой из правильных многогранников, знаний $a$ его ребра.

15. Докажите, что для каждой правильного многогранника существует сфера, касающаяся всех его ребер.

16. Вычислите высоту $h$ правильной парамиды, основанием которого служит грань правильного многогранника, а вершина совпадает с центром $O$ описанной около многогранника сферы. Докажите, что сфера радиуса $h$

Рис. 6.
с центром $O$ содержится в правильном многограннике и касается всех его граней (вписанная сфера).

17. Вычислите объем каждого из правильных многогранников, знаний $a$ его ребра.

18. Пусть $M$ — правильный многогранник. Через $M^*$ обозначает многогранник, вершинами которого служат центры окружностей, описанных вокруг граней многогранника $M$. Докажите, что многогранник $M^*$ (он называется двойственным к многограннику $M$) является правильным. Какой многогранник двойствен кубу? Додекадру?

19. Пусть $a$ — величина двойствного угла правильного многогранника $M$, а $\beta^*$ — угол, под которым ребро двойственного многогранника $M^*$ видно из центра описанной сферы. Докажите, что $\alpha + \beta^* = 180^\circ$. Пользовать этиим, вычислите двойствный угол каждой из правильных многогранников.

20. Докажите, что середины ребра правильного многогранника служат вершинами гранитивного многогранника.

На рисунке 7 изображен кубооктаэдр — многогранник, вершинами которого служат середины ребра куба (или середины ребер октаэдра). Форму кубооктаэдра имеет многое кристаллим; например, при определенных условиях — кристаллим поваренной соли.

В нашем рассаке о правильных многогранниках остался невьюсенным вопросом о их существлении. Ведь все вычисления проведены в пределложении, что существует правильный многогранник, гранями которого служат правильные $n$-угольники, и у которой к каждой вершине примыкает $k$ граней. Конеч-

Рис. 7.

9

Рис. 8.

но, зная величины дугранного угла (задача 19), можно попытаться склить требуемый правильный многогранник: один правильный $n$-угольник приклеиваем под нужным углом к другому, к ним приклеиваем третий и т. д. Но где уверенность, что скленваемый многогранник «замкнется», а не получится что-то вроде изображенного на рисунке 8?

Существование можно доказать фактическим построением правильного многогранника в координатах. Поместим начало координат в центр описанной около будущего многогранника сферы. Будем считать, для простоты, что вершина $A$ лежит на положительной полуоси абсцисс, то есть имеет координаты $(R; 0; 0)$, а соседние с ней вершины $B_1, \dots, B_k$ имеют абсциссу $x = R \cos \alpha$, где $\alpha$ — угол, под которым ребро видно из центра описанной сферы. Так как многоугольник $B_1 \dots B_k$ — правильный и находится в плоскости, перпендикулярной $(OA)$, можно считать, что точка $B_l$ имеет координаты $(R \cos \alpha; r \cos \frac{2\pi l}{k}; r \sin \frac{2\pi l}{k})$; $l = 1, \dots, k$, где $r$ — радиус описанной около многоугольника $B_1 \dots B_k$ окружности. В случае, например, искается это дает вершины $A, B_1, \dots, B_5$. Остальные вершины симметрины этим относительно начала координат (рис. 9). Наиболее простые выражения для координат получаются при $R = \sqrt{5}$ (тогда $R \cos \alpha = 1, r = 2$): $A = (\sqrt{5}; 0; 0)$; $B_5 = (1; 2; 0)$; $B_1 = \left(1; \frac{\sqrt{5} - 1}{2}; \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}\right)$; $B_2 = \left(1; -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}\right)$.

координаты остальных точек получаются изменением знаков. Чтобы проверить, что действительное получился правильной икоаздр, достаточно убедиться в конструктивности всех ребер; это нетрудно сделать с помощью формулы расстояния между точками в координатах.

Задачи наших читателей

1. Найдите все выпukлы четырехугольники, удовлетворяющие следующему условию: четыре прямые, проходящие через вершины четырехугольника и делящие его a) площадь

6. перimetр пополам, пересекаются в одной точке.
   В. Дубровский, Н. Жук

2. a) Впише квадрат в правильный пятугольник.
   • b) Докажите, что пра-

вильный пятугольник нельзя в правильный шестиугольник.
в) Докажите, что при $n > 5$ правильный $n$-угольник нельзя в правильный $(n + 1)$-угольник.

3. Положим
   $\sin_1(x) = \sin x,$
   $\sin_2(x) = \sin(\sin_1(x)),$
   $\sin_3(x) = \sin(\sin_2(x)),$
   $\cos_1(x) = \cos x,$
   $\cos_2(x) = \cos(\cos_1(x)),$
   $\cos_3(x) = \cos(\cos_2(x)),$
   a) Постройте графики функций
   $y = \sin_2(x), y = \sin_3(x),$

$y = \cos_2(x), y = \cos_3(x).$
6) При каких $n$ уравнение $\sin_n(x) = \cos_n(x)$ имеет решение на $[0; \pi/2]$?

И. Жук

4. Докажите неравенства $9r \leq h_a + h_b + h_c \leq \frac{2}{3} \frac{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}{R}$,
   где $h_a, h_b, h_c$ — длины высотданного треугольника, $m_a, m_b, m_c$ — длины его медиан, $r$ — радиус высанной в треугольник окружности, $R$ — радиус окружности, описанной около него.

М. Ибрацимов

10

В. Орлов

Голография

Кто, волны, вас остановил,
Кто оковал ваш без моучи,
Кто в пруд безмолвный и dremyчный
Поток митежный обратил?

Взырайте, ветры, взройте воды,
Разрушите.zipельный оплот!
Где ты, зроза — смвол свободы?
Промисс поверх неволных вод.

А. С. Пушкин

А. С. Пушкин, написав в 1823 году строки, вынесенные нами в эпиграф, безусловно, не думал о голографии. А вот современные физики смогли бы ответить на вопросы, поставленные в стихотворении, следующим образом. «Остановил» волны и «оковал» их «бег могучи» английский физик Денис Габор в 1947 году, предложив метод записи и восстановления волнового фроента. «Пруд безмолвный и dremyчный» — это голограмма. Достагоно посмотреть на вид голограммы (рисунок 1), чтобы убедиться в правете пушкиинских слов,— разобраться в «дремучем» переплетении сложного интерференционного узора на голограмме, какется, невозможно. «Гроза — символь свободы» — это луч лазера, разрушющий «гибельный оплот» и восстановливающий изображение, скрытое в голограмме.

За свое открытие Габор в 1971 году получил Нобелевскую премию.

Что это такое — голография

Голография — это метод записи и восстановления изображений. Но то же самое можно сказать о фотографии. Чем же отличается голография от фотографии?

При фотографировании предмета регистрации, по существу, распределение в плоскости фотопластики амплитуд световых волн, отраженных предметом,— ведьпочерне пластинки определяется интенсивностью света, а интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды световой волны.

При голографировании на пластинке фиксируется распределение в плоскости пластинки амплитуд, фаз и частот колебаний в световых волнах, отраженных предметом.

Для получения источной волновой картины в плоскости пластинки Габор предложил использовать является неизменной во времени. Для расчета амплитуды проще всего воспользоваться методом векторных диаграмм (см. «Физика 10», с. 51).

При сложении двух колебаний с одной и той же частотой $\omega$ и начальных физических колебаний различны, но в каждой точке амплитуда остается неизменной во времени. Для расчета амплитуды проще всего воспользоваться методом векторных диаграмм:

$$X_p^2 = X_1^2 + X_2^2 + 2X_1X_2 \cos(\omega t + \varphi_1) + X_2 \cos(\omega t + \varphi_2) = X_p \cos(\omega t + \varphi)$$

(см. рисунок 2). Амплитууд $X_p$ и физико-resультирующего колебания можно найти из векторной диаграммы:

$$X_p^2 = X_1^2 + X_2^2 + 2X_1X_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)$$

tg $\varphi = \frac{X_1 \sin \varphi_1 + X_2 \sin \varphi_2}{X_1 \cos \varphi_1 + X_2 \cos \varphi_2}$.

Следовательно, «запись» интенсивности результирующей волны содержит информацию о разности физической составляющей волнами. Если фаза одной из них (опорной) известна, то по разности фаз Δφ или по фазе φ результирующего ко-

11

Рис. 1.
лебания можно, в принципие, определять фазу второй (сигналной) волны, рассеяной объектом. Как образно сказал профессор В. А. Фабрикант, «интерференция переводит на язык интенсивностей фазовые соответствия световых волн, что и делает возможной их запись на фотопластинке».
Аналіз является интерференции позволил Габору доказать, что амплитуду и фазу monohроматической волны, рассеяной объектом, можно зарегистировать фотографическим способом, если эта волна проинтегрирует с опорной monohроматической волной той же частицы. Фотопластинка с зарегистированной на ней интерференционной картиной называется голограммой. В дословном переводе с гречского это означает «полная запись» — запись пространственной структуры волны, отраженной предметом.
Светового волну, рассеяную любым предметом, можно расматривать как совокупность вторичных волн, источниками которых являются отдельные точки этого предмета. Следовательно, для того чтобы образование голограммы сложного объекта, надо детально разобраться, как получается процесс шая голограмма — голограмма точки.

Простейшая голограмма — зонная решетка Френеля
На рисунке 3 изображена картина наложения двух monohроматических волн одинаковой частицы: сферический волны, испускаемой точкой S, и плоской опорной волны. Сплошные черные окружности и прямы показывают положения волновых фронтов сферической и плоской волны через время T, равное периоду

Рис. 2.
колебаний. Штриховые окружности и прямы показывают положения волновых фронтов через время, равное T/2. (Более точно — эти линии фиксируют сечение волнового фронта плоскостью чертежа.)

В точках пересечения сплошных окружностей и сплошных прямы, а также штриховых окружностей и штриховых прямы, выполняются условия интерференционных максимумов:
$$\Delta \varphi = 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi \dots \Rightarrow$$
$$\Rightarrow X_p^2 = X_1^2 + X_2^2 + 2X_1X_2 = (X_1 + X_2)^2 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow X_p = X_1 + X_2.$$

Красные линии на рисунке 3, соединяющие эти точки, являются многожеством точек, для которых выполняются условия интерференционных максимумов.

В точках пересечения сплошных окружностей и штриховых прямы, а также штриховых окружностей и сплошных прямы, выполняются условия интерференционных минимумов:
$$\Delta \varphi = \pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi \dots \Rightarrow$$
$$\Rightarrow X_p^2 = X_1^2 + X_2^2 - 2X_1X_2 = (X_1 - X_2)^2 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow X_p = X_1 - X_2.$$

Синние линии на рисунке 3, соединяющие эти точки, являются многожеством точек, для которых выполняются условия минимумов.

Расположив фотопластинку в плоскости $NN'$, перpendикулярной к плоскости чертежа, мы получим на ней чередующес светлы и темные колыца. Радиусы светлы колыц, как видно из рисунка 3, определяются выражением
$$r_k = \sqrt{(a + k\lambda)^2 - a^2} = \sqrt{2ka\lambda + k^2\lambda^2} \approx \sqrt{2ka\lambda},$$
(*)

где $a$ — расстояние от точки $S$ до фотопластинки, $\lambda$ — длина волны,

12

Рис. 3.

$k$ — порядковый номер колыза; мы пренебрегли величины $k^2\lambda^2$ по сравнению с $2ka\lambda$, так как $a \gg k\lambda$.

Подученное выражение для радиусов колец интерференционной картины совпадает с выражением для радиусов колец так называемой зонной пластинки (зонной решетки) Френеля, хорошо известной в физике более 150 лет*).

Итак, простейшая географма — географма точки — представляет собой зонную пластину Френеля. (Увеличенная fotografия зонной пластинки представлена на рисунке 4.) Единственный отличием географмы точки от классической зонной пластинки является плавный переход от темных колец к светлым.

Восстановление сферической волны с помощью простейшей географмы — зонной пластинки

Для восстановления изображения по географме Габор предложил освещать географму опорной волной.

*) Со свойствами зонных пластинок вы познакомитесь, прочитав статью О. Кабардина и Н. Шефера, опубликованную в «Кванте» № 1 за 1979 год.

Рассмотрим процесс восстановления изображения точки с помощью зонной пластинки. Осветим пластинку такой же плоской волной (такой же длины), как и опорная, с помощью которого была получена географма точки. Пластинку при этом расположим так, чтобы она была параллельна фронту плоской волны (рисунок 5).

Любой малый участок зонной пластинки можно рассматривать как дифраクционную решетку. Выделим на пластинке узкую полоску. Она представляет собой решетку, период которого непостоян — он равен $d_k = \Delta r_k = r_{k+1} - r_k$ и, как видно из выражения (*), уменьшается по мере удаления от центра пластинки к перифери. Рассмотрим небольший участок решетки. Поскольку $r_k$ медленно меняется с ростом $k$, можно считать, что на малом участке решетки период ее постоян и равен приблизительно постоянное величене $d = \Delta r_k$ — расстояние между двумя соседними светлыми полосами (то есть расстояние по радиусу между двумя соседними колыцами).

13

Рис. 5.

Каждая точка в щели решетки, на котором падает световая волна, является источником вторичных световых волн, распространяющих во всех направлениях. Например, распространяясь по которым вторичные световые волны от выбранного нами участка решетки усливают друг друга, определяются условия $d \sin \alpha_k = \pm n \lambda$ ($n = 0, 1, 2, \dots$) (**)

(см. «Физика 10», с. 183). Максимум энергии прихождения на световые лучки нульового ($n=0$) и первого ($n=1$) порядков. Следовательно, наиболее успешные вторичные световые волн проискают по направлениям, определяемых углами

$$\alpha_0 = 0, \sin \alpha_k = \pm \frac{\lambda}{d} = \pm \frac{\lambda}{\Delta r_k}.$$

Значение $\Delta r_k$ найдет, воспользоваться (*):

$$\Delta r_k = r_{k+1} - r_k = \frac{r_{k+1}^2 - r_k^2}{r_{k+1} + r_k} \approx \frac{2a \lambda}{2r_k} = \frac{a \lambda}{r_k}.$$

Таким образом,

$$\sin \alpha_k = \pm \frac{r_k}{a}.$$

Как видно из выражения для $\sin \alpha_k$, с ростом $k$ величины $\alpha_k$ растет.

Иными словами, чем dalleше от центра пластинки, тем больше угол, под которым распространяется лучи из пучков первого порядка. В результате все лучи, отклоненные на углы $\sin \alpha_k = +\frac{r_k}{a}$, пересекаются в одной точке $S'$, создавая действительное изображение точки $S$; лучи, отклоненные на углы $\sin \alpha_k = -\frac{r_k}{a}$, пересекаются на своих продолжениях в точке $S''$, создавая минимое изображение точки $S$. При этом точки $S'$ и $S''$ находится на расстоянии $a$ от пластинки.

Докажем это. Как видно из рисунка 5, расстояние $x$ от зонной пластинки до точки $S'$ и $S''$ равно

$$x = r_k \text{ ctg } \alpha_k = \frac{r_k \sqrt{1 - \sin^2 \alpha_k}}{\sin \alpha_k} = \frac{r_k \sqrt{1 - r_k^2 / a^2}}{r_k / a} \approx a.$$

Таким образом, при освещении головраммы точки $S$ опорной плоской волной мы получим два изображения точки $S$: действительное изображение $S'$ и минимое изображение $S''$, находящиеся по разные стороны от пластинки на расстоянии $a$ от пластинки.

Свойство зонных пластинок фокусировать волны, создавая действительное изображение предмета, было хорошо известно еще в XIX веке. Свойство их создавать минимое изображение было оценено лишь в головрафини, так как именно расходящиеся лучки света восстанавливают неисраженное изображение объекта, являясь точной копией сигналов световой волны.

Для появления сказанного расстоянием две точки $A$ и $B$ предмета, расположенные при получении головраммы на расстояниях $a$ и $b$ от фотопластики. Эти точки рассеявают световые волны, которые, интерферия с опорной плоской волной, создадут на головрамме две зонные пластинки с различными радиусами колец. (Это следует из выражения для $r_k$.) Действительные и минимые изображения точки $A$ и $B$ при восстановлении полученной головраммы оказывается на расстоянии $a$ и $b$ от головраммы. Как видно из

14

рис. 6.

рисунка 6, в минимом изображении предметы мы видим точку $B''$ дальше точки $A''$. Именно так и были взамимо расположены точки $A$ и $B$ при получении головраммы. В действительном изображении точка $B''$ расположена близке к нам, чем точка $A'$. Таким образом, действительное изображение предмета, получаемое с помощью головраммы, является искаженным: выдуклы места воспринимаются как волнуные и наоборот. Такое искажение получило название псевдоскопичности.

Рассмотренная нами схема получения головраммы была предложена и впервые осуществлена самим Габором. Эта схема обладает существенных недостатками. действительное и минимое изображение предмета при рассмотрении «анфас» оказывается на одной прямой и создают взаимные помехи.

Для разделения действительного и минимого изображений американские учены Э. Лейт и Дж. Ю. Упатникес в 1961 году предложили, а в 1963 году осуществили двухлучевую схему головарирования. По этой схеме луч лазера разделяется на два луча — опорный и сигналный (рисунок 7, а). Сигналный луч направляется на предмет, отражается от него и попадает на фотопластику, где интерфейрует с опорным лучом. Как видно из рисунка 7, 6, действительное изображение предмет не мешает наблюдателью рассматривать минимое изображение этого предмета.

Рис. 7. П — предмет, Л — лазер, З — зеркало, С. П. — сигналный лучок, О. П. — опорный лучок; Г — головрамма, Д. И. — действительное изображение, М. И. — минимое изображение.

15

Голография с записью в трехмерной среде

В 1962 году советский физик Ю. Н. Денисок предложил запись интерференционной картины на фотопластику с толстым эмульсионным слоем. Толщина эмульсионного слоя может быть порядка 20 длин волн света.

На рисунке 3 прямотolgный PQRT — участок толстослойной эмульсини (сечение плоскостью рисунка). При достаточно толщине эмульсионного слоя опорная и сигналная волна интерферрирует внутрен слоя. При этом в местах интерференционных максимумов выделяется максимальное количество середба. Множество точек максимумов на рисунке 3 (красные кривы) — это парабольы*). Так что в пространстве (в объеме эмульсини) точки интерференционных максимумов образуют параболиды. Иными словами, в эмульсионном слое образуется как бы система соосных полупроэрачных параболических зеркал с общим фокусом — точкой S.

Голографму, полученную на платинке с толстослойной эмульсией, называют объемной. Чтобы получить изображение точки S с помощью объемной голограммы, надо осветь голограмму плоской световой волной, фронт которого параллелен плоскости платинки. При этом длина плоской волны совсем не обязательно должны быть равна длине опорной волны. В этом состоянии основное премиущество объемной голограммы и оно приводит к замечательным следствиям. Чтобы понять, о чем *) Напомним, что парабола есть множество точки на плоскости, одинаково удаленных от неекоторой точки — фокуса — и прямой — директрисы. Точка S на рисунке 3 — фокус всего семейства парабол (и синх, и красных); прямые линии, изображющие фронт плоской волны, — директрисы разных парабол.

Рис. 8.

идет речь, разберемся, как восстановляется изображение с помощью голограммы.

Параллельные лучи света, пронивая внутренняя эмульсини, попадают на первое параболическое зеркало; частично они отражаются от него, частично проходят дальше, попадая на второе параболическое зеркало; здесь опять часть лучей отражается, часть проникает в глубь эмульсини, попадая на третье зеркало, и т. д.

На рисунке 8 изображен ход лучей при освещении голограммы с двух противоположных сторон. Если плоская волна падает на поверхность PT голограммы (рисунок 8, а), то лучи, отраженные от выпуклых поверхностей зеркала, на своих продолжениях собираются в фокус параболидов — в точке S″, которая и является минимым изображением точки S. При освещении голограммы со стороны поверхности QR (рисунок 8, б) лучи, отражющиеся от волнух поверхности зеркала, собира-

16

раются в точке $S'$, создавая действительное изображение точки $S^*$).

Как видно, с помощью объемной глограмммы создается отдельно либо действительное, либо минимое изображение предмета, а не оба вместе, как это имеет место в плоских глограммах. Действительное изображение псевдоскопичного, поэтому работают, как правило, с минимым изображением.

В принципе для восстановления фронта волны достаточно образования в эмульсионном слое одной поверхности интерференционных максимумов (одного параболического зеркала). Тот факт, что в толстослойной эмульсини образуется несколько таких поверхностей, позволяет восстановить изображение с помощью белого света. При этом изображение будет получено в том же цвете, что и цвет опорной волны. волны именно этой цветовой компоненты белого света при отражении от разных зеркальных параболидов будут приходит в фокус всегда в фазе и, складываясь, усиливаться. Волны всех остальных цветовых компонент, отраженные от зеркал, будут приходит в фокус в различных фазах, и усилия их не будет.

Нибольное эффективные объемные глограмммы при получении цветных изображений. С этой целью объект освещают светом от трех лазеров, длины волн которых $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ подобраны так, чтобы наблюдаете полное передать цвет предмет. Объчно использует сочетание красного, желтого и синего цветов. Каждый лазер создает в эмульсионном слое своего системы полупрозрачных зеркальных поверхностей. При освещении такой глограмммы светом от трех лазеров, использованных при ее создании, при «одноцветных» изображения оказывают совмещенными в пространстве и образуют цветное изображение предмета.

*) О замещальном свойстве параболических зеркал фокусировать параллельные лучи рассказывалось в статье М. Файнольда «Этот удивительный параболид» («Квант», 1975, № 12).

Цветное изображение получается и в том случае, если осветь такую глограммму солнечный светом. В этом случае система зеркал, выделяя и отражая компоненты солнечного света с длинами волн $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$, создает в определенном месте пространства цветное изображение предмета.

За создание теории объемных глограмм Ю. Н. Денисок в 1970 году был удостоен Ленинской премии.

Свойства и особенности глограммм

Демонстрация изображения, восстановленных с помощью глограммм, показает воображение любой аудитории. Изображение настоящего «реально», что хочется пошупать его, чтобы убедиться, что это только изображение, а не сам предмет. Изображение можно рассматривать под различными углами; можно, перефокусировать глаз, рассматривать близкие и далеко части предмета, наблюдаать игру световых бликов на предмете. На рисунках 9 и 10 представлены фотографии изображения, полученного с помощью глограммм, сделанные из различных точек наблюдения.

Очень важный свойством глограммм является возможность восстановления всего изображения с помощью отдельных участков глограммм и слабая чувствительность глограммм к пылинкам, царапинам и мелким дефектам регистрации среды. Эти свойства обусловлены тем, что каждая точка пластинки при экспонировании облучается светом, рассеяным всем точками предмета, и свет, отраженной каждой точкой предмета, освещает всю пластинку. Эти свойства глограммм легко проверить с помощью самодельной зонной пластинки: изображение, полученное с помощью пластинки, сохраняет при экспонировании части пластинки.

Перечисленные нами замещательные свойства глограммм обеспечивают возможность широкого применения глографикаского метода не только в области оптических длины

17

Рис. 9.

волн, но и в любых волновых процесах (в акустике, в радиоидапазоне, в сейсмических процесах и т. д.). Голографикаский метод позволяет решать задачи, которые не могут быть решены никакими другими методами.

Заключение

В заключение статьи хотелось бы ответить на такой вопрос: почему голографика — в принципе простой способ Fotoэплисини интерференционной картины, образованной двумя когерентными пунктами,— создана лишь совсем недавно? Действительно, является интерференция и дифракция были хорошо исследованы еще в XIX веке; в середине XIX века была изобретена фотографика; так что Габору для открытия голографика не потребовался знания каких-либо новых достинений науки. Однако потребовались глубокое понимание явлений интерференции и дифракции и, конечно, изобретательный ум, чтобы обединить все известные элементы голографии в одну яркую идею. Пример создания голографии хорошо использовался, что в нашей morphologie новые и ценные идеи и открытия рождаются на основе старых, хорошо известных понятий.

Рис. 10.

Кроме того, необходимо подчеркнуть, что наряду с принципами трудности в развитии голографии существует и чисто технические. Далее в 1947 году идея Габора была еще преждевременной, так как для изготовления качественных голограмм были необходимы источники монхроматического корекентного света. Такие источники — лазеры — появились лишь в 1960 году. Для создания голограмм хорошо качества необходимы фотоматериалы с высокой разрешающей способностью. Как мы видели, при получения объемных голограмм расстояния между параболическими зерками внутри эмульсионного слоя оказываются порядка длины волны. Именно этой величины и должа определяться разрешающая способность эмульсини. Для видимого света $\lambda \sim 10^{-6}$ м; это означает, что на одном миллиметре фотопластики должно разрешаться («видеться» разделеными) $\sim 10^3$ линей. Такие материалы созданы лишь в последние годы. Большое количество технических трудностей стоит в настоящее время перед создателями голографического кино и телевидения. Но очень многое уже сделано, чтобы эти трудности преодолеть.

(Список литературы см. на c. 18.)

18

Семейство кубических парабол

Посмотрите на вторую страницу обложки — на ней показано семейство из 169 кубических парабол, образующие замы сливоватый узор, «автор» которого — ЭВМ. В этой заметке будет рассмотрено как подобные кривые использующие на практике.

В машинной графике передко возникнет потребность вычерчивать плавные кривые линии. Иногда это должно быть выполнено определение кривые, соответствующие заданным уравнением. В других случаях кривая первого замения его компоненты Δx₃, Δy₃). Как известно, угловой коэффициент равен kᵢ = Δyᵢ/Δxᵢ. Таким образом, каждую из четырех других, которые составляют общую кривую, нам надо провести по четырем начальным условиям (положение двух точек и наклон касательных в двух точках). Какой выбрать для этого тип кривой? В анализеском смысле это должно быть «четырех параметрическая» кривая, то есть, грубо говоря, ее уравнение должно иметь 4 коэффициента. Чтобы получить конкретнуюдугу, надо определить соответствующие значения этих четырех коэффициентов и указать интервал изменения аргумента. Наверное, простейшим решением нашей задачи является дуга кубического параболы, точнее, часть графика кубического полинома:

y = A + B · x + C · x² + D · x³.

Зная координаты начальной и конечной точки, а также направление касательных в этих точках, легко получить систему из четырех уравнений для определения коэффициентов A, B, C, D.

Этот простой способ построения кривых не волне универсален. Точки с вертикальным касательными касательными для него «недоступны». Провести замкнутую или самопересекающую линию, даже если разделить ее на ряд дуг, этим способом сложно. Но, конечно, у математиков-проgramмистов есть в запасе много более хитрых и усовершенствованных способов построения различных кривых.

На нашей обложке — машинный чертеж из дуг кубического полинома (рисунок повернуть на 90°). Каждый из 13 верхин точек соединена дугой с 13-ю нижними точками. В каждой из 26 исходных точки задана связь касательная. Дуги, пересекаясь, неожиданно образуют кружевной узор с рядами «узелков». Подумайте, почему так проискот. Как расположены горизонтальные прямы, содержащие «узелки»?

Лаборатория «Кванта»
А. Варламов
А. Шапиро
ОБ „OVO“

Главное в том, что, как бы осторожно мы ни старались быть яйцо в чашку, мы не можем изменить законов физики. Яйцо может не раститься, а у умелого кулинара никогда не растется, но оно неизбежно будет nadать по вертикали сускорением силы тяжесте соедлано закону Джоуля — Ленца.

Из книги В. Похлебкина «Гайны хорошей кухни».

«Abovo» — в переводе с латыни это буквально означает «от яйца». В переносном же смысле это выражение употребляется, когда хотят указать на изначальное, первичное чего-либо. Именно этот переносный смысл и включавали древние как основной в слова «abovo». Сами того не ведая, они тем самым разрешили в ползу яйца существующей с незапамятных времен софизим: что появилось раныше — курица или яйцо? Мы этот вопрос оставим в стороне, а займется некоторыми физическими явлениями, избрав в качестве орудия исследования… куриное яйцо.

Кто не помнит роковой причины раздела между Лилипутей и империй Блефуску, описанного в «Путешествиях Гуливера»? Это при-
чиной был указ императора Лилипути, предписывающий всем его подданным под страхом смертной казни разбивать яйца с острого конца. Гуливер полагал, что выбор конца, с которой следует разбивать яйцо,— дело хозяйское. С какого хочешь — с того и разбиая. Авторы полностью согласны с Гуливером, но все-tаки: с какого конца яйцо легче разбить? Решение этой задачи помогет вам выборить правильную тактику при «сражениях на вареных яйцах», которые так часто возникают за завтраком в пинонерских лагерях.

Как правило поступать: нападать на противника или ждать нападения самому? выбрать больше яйцо или маленькое? держать его острым или тупым концом к противнику? — вот основные вопросы тактики в таком сражении. Бытует мнение, что выигравает нападaison. Однако при равномерном движении яйца безразлично — нападать самому или ждать нападения противника. Чтобы убедиться в этом, не надо быть яйца; достаточно вспомнить прицип относительно Галиея и «перейти» в системе отччета, в которой нападало-

20

ший поконтся. В такой системе он автоматически из «агрессора» превращается в «пострадавшую сторону».

Рассмотрим теперь сам процесс столковения двух яиц. Мы будем считать, что яйца совершенно одинаковые — и по размерам, и по форме, и скорлупа у них «расчитана» на одну и ту же предельную нагрузку $T$. Сталкиваются яйца разными концами — одно тупым, другое острым.

Согласно 111 закону Ньютона силы, действующие в процессе столковения со стороны одного яйца на другое, равны по абсолотной величины и направлены в противоположные стороны. Представим силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ как суммы сил $\vec{f}_1, \vec{f}_1'$ и $\vec{f}_2, \vec{f}_2'$, соответственно направленных по касательным к соприкасающимся поверхностям яиц. Абсолотная величина силы $\vec{f}$ зависит от угла между касательными: $f = \frac{F}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$. Таким образом, чем больше угол между касательными, тем больше «расрывающие» силы, возникшие при соударении. Так что, действительное, выгоднее сравнять, держа яйцо острым концем к противнику. Имеется и еще один довод в ползу такой стратегии: в яйце у тупого конца расположен «воздуший мешок», и из-за этого тупой конец менее прочный (попробуйте объяснить этот факт).

Обратим внимание читателя на то, что приведенный анализ сил указывает путь к победе с помощью маленькой хитростии. Не нарушая принципа относительной Галилея, направший имеет дополнительный шанс на победу, даже если его противник

![Graph showing the relationship between forces and angles in a circular motion scenario.]

Сырое яйцо так врашает не будет. Тренние между слоями жидкости в яйце и между жидкостью и скорлупой существенно тормозит врашение, поэтому раскрутить сырое яйцо до нужной скорости не удалется. Благодаря такому различию в поведении вареного и сырого яйц их всегда можно различить, не разбивая,— для этого яйцо достаточно просто раскрутить на столе. Сырое яйцо, совершив несколько оборотов, останавливается, а вареное будет враться долго.

…В предыдущих опитах нам нужно было вареное яйцо. А как правильно его сварить, чтобы яйцо не треснуло? Почему опитная хозяйка варит яйца в соленой воде? На эти кулинарные вопросы вы не найдете ответа даже в толстой поваренной книге.

При варке яйца в预先 воде оно лежит на дне (его плотность большие плотности воды). При кипе-

21

нивелизи дана возникают ихревые потоки воды, которые могут привести к раскалыванию скорлупы при ударе о стенки или до кострюоли. При этом белок выливается через образовавшуюся трещину и затвердевает хлопьями.

Один мой знакомый шестиклассик Вася обьясил необходимость соленя воды так: «Если в кастрюлю с яйцом сыпать соль ложками, то при достаточном колючестве соли, расторившейся в воде, яйцо всплывет, так как плотность соленой воды становится больше плотности яйца. И яйцо не будет стукаться о дно».

Коля, член кружка юных физков, предложил свое обяснение: «Наличие соли в воде приводит к увеличению ее теплопроводности, а это способствует более способному кипению и равномерному обогреву яйца».

Увлеченная биологическая Валя отнесяла влияние соли совсем к другой области явления: «Присустствие соли в воде приводит к лучшей сворачиваемой белка. Поэтому если яйцо и треснет, то в соленой воде немедленно образуется пробка из свернувшегося белка, которая закупорит трещину, и яйцо не вытечет».

Как видите, обяснения самые разные. А вы что думаете по этому поводу?

…Итак, яйцо сварилось. Выньте его ложкой из кипятка и быстро, пока яйцо еще влажное, возьмите его в руки. Хотя яйцо горячее, удержать его в руках можно. Однако, когда яйцо выходит (это произойдет очень быстро), вы не сможете его держать в руках — очень горячо. С чем связано это явление?

Ответив на предыдущий вопрос, попытайте яйцо очистить. Вы видите, что скорлупа накрепко приплела и вырывается только с кусками белка. Это можно было избежать, если бы сразу из кипятка опустил яйцо в холодную воду: у белка и скорлупы различные коэффициенты объемного расшириения, и при резком охлаждении белок скимается сильнее, чем скорлупа, и сам от нее «отлипает». Яйцо легко чистится.

…Пока мы видели, как проявляется в свойствах куриного яйца законы механики, гидродинамики и молекуляри физики. А какие электронские явления можно наблюдать с помощью яйца?

Яйцо — диэлектрик. Именно это свойство яичной скорлупы и использовал Майкл Фарадей для демонстрации явления электризации.

Возьмите сырое яйцо и проколите иглой в нем две дырочки. Дуя в одну из них, вы можете вылить все содержимое яйца, и у вас в руках остнется пуста с целая скорлупа. Поднести теперь к ней налектризованную эбонитную палочку или обыкновенную пластмассовую расчесу, который вы только что причесались. Теперь, куда бы вы ни перемешали палочку или расчесу, скорлупа, как собачонка на привязи, неотступно будет следовать за ними. Подумайте, почему?

…Можно, не разбивая яйца, узнать — свежее оно или нет? Можно. Опустите сырое яйцо в воду. Если яйцо тонет — оно свежее, если всплывает — испортившееся. Дело в том, что в несвежем яйце происходит разложения белка и желтка. Эти процессы сопровождают выделением сероводорода, который «улетучивает» из яйца через мелчайшие поры в скорлупе. Позному плотность яйца уменьшается.

Но ведь не придешь же в магазин со своей кастрюлей, чтобы проверять, свежие яйца или нет?! Можно поступить проще: посмотрит яйцо «на просвет»; если оно просвечивает — значит, свежее, если оно темное — значит, несвежее. Сероводород, выделяющийся в испорчном яйце, уменьшает его произношность.

В заключение попробyte проделать следующий опыт-фокус. Возьмите две ромки для яиц и поставьте их вплотную. В одну из них положите свареное вкусу яйцо. Сильно дуньте в зазор между яйцом и стенкой ромки. Яйцо выпрыгнет из ромки и перерыгнет в соседню. Попытайте объяснить этот фокус.

Пытливому и наблюдающему человеку в самых простых вещех может открыться много новых и сложных явлений. Позному pouшите удивляйте окружающему вас миру, задавайте вопросы и стремитесь прежде всего сами отыскивать ответы.

22

Задачи

M631 — M635; Ф643 — Ф647

M631. Двузначные числа от 19 до 80 выписаны подряд. Делится ли получащеся число 192021… …7980 на 1980? (8)

В. Федотов

M632. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на орбитальную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза 18 тонн. Имеется семь транспортных кораблей «Прогресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они смогут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груз. (8—9)

A. Колотов

M633. На диаметре AC неокоторой окружности дана точка E. Проведите через нее хорду BD так, чтобы плошадь четырехугольника ABCD была наиболее широкая. (9)

И. Шарыцин

M634. Обозначим через S(n) сумму всех цифр натурального числа n.
a) Существует ли натуральное n такое, что n + S(n) = 1980?
b) Докажите, что хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представimo в виде n + S(n) для неокоторого третьего натурального числа n. (8)

C. Коняцин

M635. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, вдруг стали более гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никак не простужался, здоровые коротышки заболевали, навсегда своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка более гриппомровно день, причем после этого у него по крайней мере еще один день есть иммунитет — т. е. он здоров и заболеть опять в этот день не может. Не смотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навешает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки заболели о прививках и не делают их. Докажите, что:
a) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь годно долго:

23

6. если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится. (8)

А. Колотов

Ф643. С южного и северного полюсов Земли одновременно стартуют две пакеты с одинаковыми начальные скоростями, направленные горизонтально. Через время τ = 3 ч 20 мин пакеты оказались на максимальном удалении друг от друга. Определить максимальное расстояние между пакетами. Ускорение свободного падения на Земле считать известным. Радиус Земли $R_3 = 6400$ km. (10)

С. Козел

Ф644. Цепь, состоящая из двух конденсаторов с емкостими $C_1$ и $C_2$ ($C_2 > C_1$) и двух идеальных диодов $\varDelta_1$ и $\varDelta_2$ (рис. 1) подключена к источнику переменного напряжения $u = U_0$ cos $\omega t$. Определите зависимости напряжения на конденсаторах от времени в установленном режиме. Изображите полученные зависимости на графике. Сопротивление идеального диода в прямом направлении равно нулю, в обратном — бесконечности. (10)

В. Скороваров

Ф645. Громкоговоритель имеет диффузор с плоскью поперечного сечения $S = 300$ cm$^2$ и массой $m = 5$ г. Резонансная часть диффузора $v_0 = 50$ Гц. Какой оказывается его резонансная часть, если предметить громкоговоритель на стенке закрытого ящика объема $V = 40$ л (рис. 2). Расчет проводится в предположении, что температура воздуха внутри ящика не изменяется при колебании диффузора. (10)

А. Зильберман

Ф646. Направленный поток электровылает из тонкой широкой щели со скоростью $v = 10^5$ м/с (рис. 3). Концентрация электров в потоке $n = 10^{10}$ частиц/м$^3$. На каком расстоянии от щели толщина пучка увеличится в 2 раза? Масса электрона $m = 9 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, диэлектрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м. (9)

А. Зильберман

Ф647. Крупная джедевая капля покинала облака в безветренную погоду на большой высоте. В момент, когда ускорение капли были равным 7,5 м/с$^2$, ее скорость составляла 20 м/с. Вблизи Земли капля padала с постоянной скоростью и, попав на боковое стекло автоматически, оставила на нем след под углом 30° к вертикали. Оштрафует ли инспектор ГАИ водителя за превышение скорости, если разрешенная скорость движения объема 60 км/ч? Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной квадрату скорости капли. (9)

В. Белонуккин

24

М573. Через точку $O$ а) на плоскости; б) в пространстве проведено 1979 прямых, никакие две из которых не перепendlukулярные другие другие. На прямой $l_1$ взята произвольная точка $A_1$, отличная от $O$. Доказите, что можно выgbать на каждой из остальных прямых по точке $A_i \in l_i$ ($i=2, 3, \dots, 1979$) так, чтобы следующее 1979 пар прямых были взаимно перепendlukулярными:

$$(A_1 A_3) \perp l_2,$$
$$(A_2 A_4) \perp l_3, \dots,$$
$$(A_{i-1} A_{i+1}) \perp l_i, \dots,$$
$$..., (A_{1977} A_{1979}) \perp l_{1978},$$
$$(A_{1978} A_1) \perp l_{1979},$$
$$(A_{1979} A_2) \perp l_1.$$

М573, М575—М577; Ф583—Ф585, Ф588

Выберем на каждой прямой $l_i$ по единному вектору $e_i$. Тогда для точек $A_i \in l_i$ можно написать $\overrightarrow{OA_i} = a_i \overrightarrow{e_i}$. Условие перпендикулярности прямых $A_i A_{i+2}$ и $l_{i+1}$ можно записать в виде $\overrightarrow{A_i A_{i+2}} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = 0$, или, поскольку
$$\overrightarrow{A_i A_{i+2}} = \overrightarrow{OA_i} + \overrightarrow{OA_i},$$
$$(a_{i+2} \overrightarrow{e_{i+2}} - a_i \overrightarrow{e_i}) \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = 0,$$
то есть
$$a_{i+2} \overrightarrow{e_{i+1}} \cdot \overrightarrow{e_{i+2}} = a_i \overrightarrow{e_i} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}}.$$

Положим $\overrightarrow{e_i} \cdot \overrightarrow{e_{i+1}} = c_i$ ($i=1, 2, \dots, 1979$; $c_i$ — костиус угла вектора $\overrightarrow{e_i}$ и следующим по номеру вектора $\overrightarrow{e_{i+1}}$; $c_i \neq 0$). Мы получим формулу
$$a_{i+2} = a_i \frac{c_i}{c_{i+1}},$$
(*)

которая позволяет последовательно определить по точке $A_1$ точки $A_3, A_5, \dots, A_{1977}, A_{1979}, A_2, A_4, \dots, A_{1978}$, и, наконец, снова точку $A'_1$ на прямой $l_1$, которая будет совпадать с точкой $A_1$: в силу формулы (*)
$$a'_1 = a_1 \frac{c_1}{c_2} \cdot \frac{c_3}{c_4} \cdot \dots \cdot \frac{c_{1979}}{c_1} \cdot \frac{c_2}{c_3} \cdot \dots \cdot \frac{c_{1978}}{c_{1979}} = a_1.$$

(Формулу (*), конечно же, можно получить, рассматривая также проекти точек $A_i A_{i+2}$ на прямую $l_{i+1}$, — эти проекти должны совпадать, так как $(A_i A_{i+2}) \perp l_{i+1})$.

Н. Васильев

М575. На прямой no порядку расположены точки $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ так, что дины отрезков $A_0 A_1, A_1 A_2, \dots, A_{n-1} A_n$ не преводятся 1. Требуется отметить $k-1$ из точек $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$ красным цветом так, чтобы дины любых двух из $k$ частей, на которые отрезок $A_0 A_n$ разбиваем красными точками, отличались не более, чем на 1. Доказите, что это всегда можно сделать а) для $k=3$;
б) для каждого натурального $k<n$.

Сначала сформируем условие задачи несколько инчаe. Будем рассматривать всеозможно расстановки $k+1$ фишек $M_0, M_1, M_2, \dots, M_k$ в точках $A_0, A_1, \dots, A_n$. Рассматрику назовем правильной, если $M_i$ расположена неправеем, чем $M_{i+1}$, и расстояния между $M_i$ и $M_{i+1}$ различаются не более, чем на $1 (0 \leq i < k)$. Тогда исходная задача превращится в такую: доказать, что существует правильная расстановка фишек $M_0, M_1, \dots, M_k$ такая, что $M_0$ находится в $A_0, a M_k - b A_n$. Можно, конечно, что в этой расстановке $M_i$ и $M_j$ попали в одну точку, но тогда, очевидно, $|A_0 A_n| < k-1$ (подумайте сами, что надо делать в этом случае).

Покажем, как из произвольной правильной расстановки фишек получить другую правильную, в которой часть фишек сдинится вправа, а $M_0$ останется на месте. Введем предварительно некоторые обозначения.

Пусть мы имеем расстановку фишек $M_0, M_1, \dots, M_k$. Будем через $M_i$ обозначать также ту точку $A_j$, в которой находится фишка $M_i$, а через $M'_i$ — точку $A_{i+1}$ (если она существует — см. рисунок). В частности, $|M_i M'_i| < 1$. Мы показем, как часть фишек переставить с $M_i$ на $M'_i$ с сохранением правильности расстановки.

Выберем среди расстояний $|M_i M_{i+1}|$ минимальное; пусть это $|M_s M_{s+1}| = a$. Тогда $a \leq |M_i M_{i+1}| \leq a+1$ при всех $i$ (так как расстановка правильная). Если нам удостоим часть фишек вправа с сохранением этих неравенств, то новая расстановка будет правильной. Посмотрим, нет ли среди фишек $M_1, M_2, \dots, M_k$ такой фишки $M_i$, для которой $|M_{i-1} M'_i| \leq a+1$, то есть такой, при сдвиге которой вправа все новые расстояния между фишками не превысят $a+1$. Все такие фишки назовем левоподвижными. Оказывается, левоподвижные фишки существенно. Действительно, такова, например, фишка $M_{s+1}$: $|M_s M'_{s+1}| = |M_s M_{s+1}| + |M_{s+1} M'_{s+1}| = a + |M_s M'_{s+1}| \leq a+1.$

25

Теперь посмотрим, нет ли среди фишек $M_0, M_1, \dots, M_{k-1}$ такой, для которой $|M'_i M_{i+1}| \geq a$, то есть такой, при сдвиге которой вправо ни одно из расстояний между фишками не станет меньше $a$. Такие фишки называем правоподвижными. Правоподвижной, естественно, будет и фишка $M_k$.

Заметим, что если $M_i$ не является левоподвижной, то $|M'_{i-1} M'_i| > a$. В самом деле,
$$|M'_{i-1} M'_i| = |M_{i-1} M'_i| - |M_{i-1} M'_{i-1}| > (a+1) - |M_{i-1} M'_{i-1}| \geq (a+1) - 1 = a.$$
А если фишка $M_i$ не является правоподвижной, то
$$|M'_i M'_{i+1}| = |M'_i M_{i+1}| + |M_{i+1} M'_{i+1}| \leq a+1.$$
Теперь из всех левоподвижных фишек выберем самую правую. Пусть это будет $M_l$. Среди всех правоподвижных фишек из $M_l, M_{l+1}, \dots, M_k$ выберем самую левую. Пусть это будет $M_r$ (возможно, $l=r$). Теперь сливнем фишки $M_l, M_{l+1}, \dots, M_r$ соответственно и показан, что последовательность $M_0, \dots, M_k$ остается правильно.

$$|M_{l-1} M'_l| > |M_{l-1} M_l| \geq a \text{ и } |M_{l-1} M'_l| \leq a+1,$$
так как фишка $M_l$ — левоподвижная.
$$|M'_l M_{r+1}| < |M_r M_{r+1}| \leq a+1 \text{ и } |M'_l M_{r+1}| \geq a,$$
так как фишка $M_r$ — правоподвижная.
При $l \leq i < r$, согласно сделанным выше замечаниям относительно свойств неподвижных фишек, $a < |M'_i M'_{i+1}| \leq a+1$, так как фишка $M_{i+1}$ — не левоподвижная (она стоит правее $M_l$ — самой правой левоподвижной фишки), а $M_i$ — не правоподвижная (она стоит левее $M_r$ — самой левой правоподвижной фишки). Поэтому для всех расстояний $|M_{i-1} M_i|$ остается верным неравенство $a \leq |M_{i-1} M_i| \leq a+1$, $i=1, 2, \dots, k$. Надо, права, еще доказать, что фишка $M_i$ не может оказаться правее фишки $M_{l+1}$, но это понятно, так как если равные $M_i = M_{i+1}$, то фишка $M_{i+1}$ — левоподвижная и, значит, фишка $M_i$ дивитаться не могла. Итак, мы добились следующего: из любой правильной последовательности сдигом неекоторой части фишек $M_1, M_2, \dots, M_k$ на соседние точки ($M_i$ сдигалов в $M'_i$) вправо получена новая правильная последовательность.

Отметим интересную роль, которое сыграли в этом процессе фишки $M_s$ и $M_k$. Они сами в операции, быть может, не участвовали, но их наличие обеспечило существование необходимых нам фишек $M_l$ и $M_r$.

Теперь завершить доказательство совсем просто. Поместим все фишки $M_0, \dots, M_k$ в $A_0^*$ — эта последовательность, оченьindo, правильная — и научем применить процесс.

Расстановка фишек по точкам все время меняется, причем каждая фишка движется лишь вправо. Ясно, что после неекоторого количества таких операций фишка $M_k$ придет в точку $A_n$, что и требовалось.

Другие известные решения задачи использовать такжерупедуру (говора в терминах приведенного выше решения): сначала фишки $M_0$ и $M_k$ закрылиют в точках $A_0$ и $A_n$ соответственно, а остальные расставляют произвольно; затем перевищем фишек $M_1, M_2, \dots, M_k-1$ добавляются требуемого. (Этот подход сразу какется наиболее естественным, поэтому так неожиданна идея изложенного решения: не закрылять фишку $M_k$.)

В. Гальперин

M576. На плоскости данной точке. Для некоторых пар ($A; B$) этих точек взяты векторы $AB$, причем так, что в каждой точке начинается столь же векторов, сколько в ней заканчивается. Доказите, что сумма всех выбранных векторов равна $\vec{0}$.

Эту задачу можно решать многоимплицы способами. Приведем два из них.

Первое решение. Применим индекцию по числу векторов. Для $n=2$ имеем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, сумма которых есть $\vec{0}$. Пусть утверждение справедливо для $n$ векторов. Расстояние системы из $n+1$ векторов. Заменим в этой системе

*) Или в точки $A_0, A_1, A_2, \dots, A_k$.