Квант 1980, №8 · Страницы

КЕАНМ
8
1980
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО - MATEMATIЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР и АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На этом рисунке, эскиз которого был выполнен учащимся школи-интерната при МГУ Васильевым, Кормильченко и Романовым, изображены линия уровня двух функций. Для функций $f$, принимающей действительную значения на точках $(x; y)$ плоскости, линии уровня $k$ — это множество $\{(x, y)|f(x, y) = k\}$. Если число $f(x; y)$ воспринят как высоту над уровнем моря (плоскостью $Oxy$) в точке $(x, y)$, эти линии можно понимать как обычные географические линии уровня. Однако выписать «действительные» выражения для использования «комплексных» функций arg $e^{z-3}$ (зеленые линии уровня) и $|e^{z-3}|$ (красные) мы здесь не решились — их запись в «действительных» обозначениях столбцовдка, что только испортит печатание от красного геометрического узора.

1

В НОМЕРЕ:

2 А. Сосинский. Перемещения пространства
8 В. Болтянский. Оптика черных дыр
12 Я. Смородинский, А. Урнов. Эффект Доплера
18 Г. Тарзиманова. Стхотворение Лобачевского

Лаборатория «Кванта»
20 А. Дозоров. Физика без приборов

Математический кругхок
23 А. Вайнтроб. Лучше — поровну

Задачник «Кванта»
26 Задачи М636—М640; Ф648—Ф652
28 Решения задач М579—М582, М584, М586—М594, М597; Ф589—Ф598
45 Письмо в редакцию
46 Спрашивайте — ответаем

«Квант» для младших школьников
47 Задачи
48 Д. Алексеев. Физика в книжкульы

Рецензии, библиография
51 Е. Левитан. Школьник об астрономической картине мира
51 И. Бровиков. Задачи комбинаторики
52 Е. Гик. Серии — 14 лет

Информация
53 В. Каслин, А. Стародуб. Праздник юных физиков
57 Е. Юносов. Турнир юных физиков
58 А. Криворучко, А. Фильков. Олимпда ОмПИ+МФТИ
60 Заочная физическая школа
61 Дополнительный прием в заочные математические школьы
61 Вечерняя физическая школа

Шахматная страница
63 Ответы, указания, решения
Шахматный конкурс (3-я с. обложки)

Смесь (7, 11, 45)

© Издательство «Нука». Главная редакция физico-matематической литературы, «Квант», 1980

2

А. Сосинский

Перемещения пространства

В этой статье я хочу расссказать вам, какие бывают перемещения пространства. Сперава написно: перемещением пространства называется отображение $f$ пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Это значит, что для любых точек $A, B$

$$|AB| = |A'B'|,$$

(1)

где $A' = f(A), B' = f(B)$.

Примеры вы, конечно, знаете — это симметрии (центральная, освая, относительно плоскости) и параллельный перенос $\vec{a}$; легко сообщить, что перемещением будет и по-

ворот $R_l^\phi$ вокруг прямой $l$ на данной угол ф (рис. 1). Наша задача состоит в том, чтобы перечислить все перемещения пространства, подобно тому как это было сделано для плоскости в статье В. Болтянского «Перемещения плоскости» («Квант», 1980, № 3).

Из определения легко вывести, что перемещение переводит прямую в прямую, плоскость в плоскость, окружность в конгрузитную окружность, угод в конгрузитный угол и т. д.

Перемещения и ориентации

На плоскости ориентация задается указанием одного из двух возможных направлений вращения — «по часовой стрелке» или «против часовой стрелки». Obviously направление «против часовой стрелки» называется положительным, «по часовой стрелке» — отрицательным.

В пространстве тоже есть две ориентации: одна задается при авы м буравичком (таков, например, общий штопор), другая — левый м (рис. 2).

Matematики не очень любят говорить про буравички — ориентацию пространства они предопчитают задавать указанием некомпланной тройки векторов $(\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})$.

Рис. 1.

3

Дело в том, что все такие тройки естественно делятся на два класса — на тройки, в которых кратчайшее время от первого вектора ко второму для наблюдается, находящемся на конце треться вектора, является положительным (см. рис. 3; назовем такие тройки положительные), и на тройки, в которых оно является отрицательным (отрицательные тройки).

Проконтроллерuye себя: в идите ли вы, что
a) тройки ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) и ($\vec{c}; \vec{a}; \vec{b}$) имеют одинаковый знак?
b) тройки ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) и ($\vec{a}; \vec{c}; \vec{b}$) имеют разный знак?
b) тройки ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) и ($\vec{a}; \vec{b}; -\vec{c}$) имеют разный знак?

Физики тройкам векторов предопчитают руки: правая рука задает положительное ориентацию, левая — отрицательную (рис. 4); вспомните правило левой руки в электронагенизме.

Итак, указыване некомпланной тройки векторов задает одну из двух возможных ориентаций пространства.

Если перемещение $f$ переводит выделенную тройку векторов в тройку того же знака (можно доказать, что тогда оно сохраняет знак либо тройки!), мы будем говорить, что оно сохраняет ориентацию; в противном случае мы будем, естественно,

Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.

Рис. 5.

4

Рис. 6.

говорить, что перемещение $f$ меняет ориентацию.

Например, параллельный перенос и поворот вокруг прямой (в частности, освая симметрия) сохраняют ориентацию, а центральная симметрия и симметрия относительно плоскости меняют ее (рис. 5).

Не хочу вводить вас в заблуждение: здесь все совсем не так просто. Например, сложочередная «против часовой стрелки» и «кратчайшее вращение … для наблюдаателя, находящого …» (см. выше) не имеют, строго говоря, никакого математического смысла — они не могут быть определены в рамках школьной акиноматики геометрии (и в других известных автору акиноматиках).

На самом деле, можно строго определить одинаково и против положно ориентированные «кругги со стрелкой» или тройки векторов, но формально нельзя отдать одному из типов кругов или тройки предпочтение. Далее, мы без доказательства приклады один нетривиальный факт: перемещение, сохраняющее ориентацию одной тройки, не может помещать ориентацию другой. Подробное обсуждение этих вопросов уведомы бы нас слишком далеко: для дальнейшего нам достаточно наглядной ясности.

Композиция перемещений

Композиция отображения $f$, $g$ (в частности, перемещений) называется отображение $h = g \circ f$, получающейся, если последовательно выполнить сначала $f$, а затем $g$; это значит, что для любой точки $A$

$$h(A) = g(f(A)).$$

Обратите внимание на порядок в записи $g \circ f$: сначала выполняется $f$, затем $g$. Запись эта в полне естественно, так как по формуле (2)

$$(g \circ f)(A) = g(f(A)).$$

Легко видеть, что композиция перемещений — перемещение (это мгновенно получается, если дважды применить (1)). Посмотрим, какие получаются перемещения, если брать композиции известных нам перемещений. Я начну с совсем простых примеров, которые вы легко разберете,глядя на соответствующее чертежи. Но здесь мало наглядного понимания — нужно проверсти доказательства (впрочем, весма процесы).

1°. Композиция двух симметричных относительно параллельных плоскостей — параллельный перенос (рис. 6 а).

2°. Композиция двух симметричных относительно пересекающих плоскостей — поворот вокруг кругов их лини пересечения (рис. 6 б).

3°. Композиция трех симметричных относительно трех взаимно перепадикулярных плоскостей — симметрия относительно их общей точки (рис. 6 в).

4°. Композиция симметричных относительно плоскости и перенос на перепадикулярный к ней вектор — симметрия относительно (другой) плоскости.

5

Рис. 7.

В этих примерах в результате композиции получались ранее известные нам перемещения. Но это, конечно, не всегда так — например, перемещение

$$W_{l,\vec{a}}^{\varphi} = \vec{a} \circ R_{l,\varphi},$$

где вектор $\vec{a}$ параллелен прямой $l$, нам до сих пор не встречалось; $W_{l,\vec{a}}^{\varphi}$ называется винтовым перемещением (с осью $l$, на угол $\varphi$ и на вектор $\vec{a}$); оно будет играть основную роль в дальнейшем расскаZE (рис. 7).

Ясно, что при $\vec{a} \parallel l$

$$\vec{a} \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi} \circ a.$$ (3)

Очевидно также, что композиция винтового перемещения и перемеща на вектор, параллельный оси врашения, будет снова винтовым перемещением с той же осью врашения, но с другим вектором перемеща (равным сумме старого перемеща и нового). А вот следующий факт совсем не оченьен:

$$5^\circ. \text{Композиция поворота } R_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ является винтовым перемещением } c \text{ осью } l' \parallel l \text{ на угол } \varphi.$$

Нам это утверждение скоро потребуется; доказем его. С этой целью разложим вектор $c$ в сумму $\vec{c} = \vec{c}_1 + \vec{c}_2$, где вектор $\vec{c}_1$ направлен вдоль оси $l$, а $\vec{c}_2$ перепendlуярен этой оси. Композиция параллельных переносов соответствуют сумма векторов, поэтому $\vec{c} = \vec{c}_2 \circ \vec{c}_1$, отсюда в силу (3)

Рис. 8.

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ \vec{c}_1) \circ R_{l,\varphi} = \vec{c}_2 \circ (\vec{c}_1 \circ R_{l,\varphi}) = \vec{c}_2 \circ (R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1) = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1.$$ (4)

Займется перемещением $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$, помня, что $\vec{c}_2 \perp l$. Расмотрим произвольную плоскость $l$ (рис. 8). На этой плоскости перемещение $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$ является композицией поворота плоскости $R_{0}^{\varphi}$ (где $O = l \cap \pi$) и перенос плоскости на вектор $\vec{c}_2$ (ведь $\vec{c}_2 \perp l \Rightarrow \vec{c}_2 \parallel \pi$). Такая композиция будет («Квант», 1980, № 3, с. 6) поворотом на тот же угол $\varphi$ вокруг нового центра $O'$, который легко построить (см. рис. 8, где $[OA] \rightarrow [AA']$). Такая же картина наблюдается во всех плоскостях, перепendlуярных $l$, так что

$$\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi},$$

где $l'$ — прямая, проходящая через $O'$ параллельно $l$. Из (4), учитывая $\vec{c}_1 \parallel l$, получаем

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1 = R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1 = \vec{c}_1 \cdot R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1.$$

Геометрические еще менее очевидно такое утверждение:

$$6^\circ. \text{Композиция винтового перемещения } W_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ осью, параллельной прямой } l, \text{ на угол } \varphi.$$

Однако этот факт можно доказать в два счета:

$$\vec{c} \circ W_{l,\varphi} = \vec{c} \circ (\vec{a} \circ R_{l,\varphi}) = (\vec{c} \circ \vec{a}) \circ R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1,$$

7

2. У f нет неподвижных точек. Возьмем любую точку A; пусть $A' = f(A)$; положим $\vec{a} = A'\vec{A}$. тогда точка A будет неподвижной точкой отображения $\vec{a}^\circ f$ и можно сслаться на уже разбранный первый случай. Получим (для некоторых прямой l и угла φ)

$$\vec{a}^\circ f = R_l^\phi$$

Приемя перемещение $(-\vec{a})$ к обеим частям этого равенства и пользову utfверждением 5°, получим

$$(-\vec{a}) \circ (\vec{a}^\circ f) = (-\vec{a}) \circ R_l^\phi$$

$$((-\vec{a}) \circ \vec{a})^\circ f = f = W_{l',e}^\phi$$

для некоторых $l'$ и $\vec{e} (l' \parallel l)$. Теорема доказана.

Чтобы сформировать аналогичную теорему о перемещениях, меняющих ориентацию, нам потребуется еще одно определение. Скользацей симметрией относительно плоскости π на вектор $\vec{a}$, где $\vec{a} \parallel \pi$, называется композиция $\vec{a}^\circ S_\pi (S_\pi - \text{симметрия относительно π})$.

Теорема 2. Всякое перемещение f пространства, меняющее ориентацию, является либо центральной симметрией, либо симметрией относительно плоскости, либо скользацей симметрией.

Я не буду доказать эту теорему — ограничись подсказкой. Есть два способа: 1) взять произвольную плоскость π, рассмотреть перемещение $S_\pi^\circ f$ и применить теорему 1; 2) рассудать в двух доказательства теоремы 1 (те же два случая, та же идея $A \rightarrow A' \rightarrow A''$).

Мы пришли к концу нашей раскaza: теперь, наконец, я могу вамсказать, какие бывают перемещения. Перемещения пространства бывают шести типов: паралельный перенос, поворот вокруг прямой, винтовое перемещение, центральная симметрия, симметрия относительно плоскости и скользацая симметрия.

Уражнения

1. Доказать, что любое перемещение пространства, сохраняющее ориентацию, является композицией двух поворотов около прямых.
2. Доказать, что любое перемещение пространства, сохраняющее ориентацию, является композицией четырех симметричных относительно плоскостей, но не является композицией никаких трех (и никаких пятей) симметричной относительно плоскостей.
3. Данны пять биссектрис пятей граней выпуклого пятигранного угла. Построить его ребра.
4. Данны: точка A, плоскость π, не содержащая A, и точка O∈π. Найти множество точки A’, симметричных всех возможных прямым l, проходящим через O и лежащим в π.
5. Может ли ограниченная фигура иметь два центра симметрии?
6. • Для данного четырехугранного выпуклого угла найти плоскый четырехугранный угол (то есть четырехугранный угол, все ребра которого лежат на гранах данного) с наиболее суммой плоских углов.

Ребусы

В этих ребах буквами зашифрованы неоторные цифры. В каждом примере одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры, разным — разные (ни одно «слоо» не начинается с нуля). Расшифруйте эти ребуры.

1. • коран
   • кора
     кран
     нора
     ооннн
2. • смex
   • мим
     eeee

3. $\sqrt{\kappa_{\text{корен}}} = \tau \tau$

4. $\sqrt{\Delta_{\text{воййка}}} = \alpha \alpha$

5. $\times \phi_{\text{ми}}$
   aaa
   иии
   фуга

6. • маска
   • рампа
     актер
     тетр
7. • вопрос
   • вопрос
     тройка

8. $(\text{от})^\kappa \cdot (\text{ос}) = \kappa \text{уст}$

9. $(\text{вар})^\kappa = \text{сталевар}$

A. Лебедев

8

В. Болтянский

Оптика черных дыр

От редакции
В настоящее время проводится интенсивная работа по изучению удаленных космических объектов. Развитие современных методов астрофизических исследований дает возможность накапливать огромный экспериментальный материал, расширять область астрономических наблюдений.

Наряду с экспериментальными исследованиями ведется большая работа по созданию различных теоретических моделей, объясняющих возникновение и развитие таких, во многом еще загадочных, астрономических объектов, как сверхновые звезды, туманности, квазары, пульсары и т. д.

Особое внимание привлекают к себе черные дыры. По современным представлениям черные дыры — это огромные сгустки материи, находящейся в состоянии чудовищного скатия. Все частицы, попадающие в некоторую окрестность черной дыры, безвозвратно затягиваются его, «исчезают». Никакая информация не поступает к наблюдателю из окрестностей черной дыры.

В этом номере журнала мы публикуем статью члена-корреспондента АПН СССР профессора В. Г. Болтянского, в котором популярино описывается одна из возможных моделей этого явления. Предлагаемая модель была математически строго расчитана автором; выводы, следующее из этой математической модели, во многом совпадают с известными экспериментальными данными.

Согласно общей теории относительнойности Эйнштейна налице масс изменяет свойства окружащего пространства, как бы искривляется пространство. Свет, проходящий в близи массивного тела, например Солнца, движется не по прямой, а по искривленной траектории.

Этот теоретический вывод подтверждает экспериментами.

Например, во время полного солнечного затмения можно наблюдать звезды, которые, согласно точным расчетам, в это время находятся за краем Солнца и должны быть недоступными для наблюдения с Земли. Видимыми они оказываются потому, что световые лучи, идущие от звезд, проходя в близи Солнца, искривляются (сплошные голубые линии на рисунке 1). В результате звезды кажутся находящимися друг от друга на большем угловом расстоянии, чем в отсутствие Солнца (пунктирные линии). Искривление светового луча при его прохождения близко к поверхности Солнца составляет примерно 1,75 угловой секунды.

Если бы все масса Солнца была локализована в очень небольшом объете (скажем, в шаре радиусом 1 км), то при таком сильном скатом (коллапсировавшем) «Солнце» искривление световых лучей, проходящих mismo него, было бы все более ощутым по мере уменьшения расстояния от «Солнце» до близкой точки световой траектории. На рис. 1.

Рис. 2.

сунке 2 схематично показаны эти искривленные траектории: те из них, которые проходят наболее близко к «Солнцу», могут даже совершить вокруг него один или несколько витков, прежде чем отправиться в дальнейший путь.

Конецно, — может сказать читатель,— все это «если бы…». Ведь на самом деле Солнце не следует до размеров, чуть больше Москвыкого Кремля. Однако это «если бы…» не так уж нереально. Теоретическиевыводы, сделанные на основе общей теории относительнойности, показывают, что существование сгустка материи в таком коллапсившем состоянии возможно. Такой сильно скатый сгусток материи — его называют коллапсом — ведет себя веса своегообразно: он притягавает к себе все близлежащие частицы (если они «имели легкомыслие» прополетадостаточно близко и с не очень большой скоростью), не отпуская от себя ничего, даже излучения. Все близлежащее безвозвратно «проваливается» внутри области коллапса, которая благодаря этому получила название «черная дыра». Горизонт собственный — поверхность, ограничивающая область «невозвратности», представляется собой сферу. Эту сферу называют сферу Шварцшильда — ее радиус был теоретически расши-frontнем немецким астрономом Шварцшильдом; он зависит от массы, локализованной внутри черной дыры. За горизонтом собственный сгустке лучи ведут себя так, как было описано выше (рисунок 3).

Искривление световых траекторий близки черной дыры приводит к явлению, которое можно назвать фокусировкой света черной дырой. Рисунок 4 иллюстрирует это явление. К наблюдается, нахождение в точке $E$, приходит не только прямые лучи от звезды $\gamma$, но и те лучи, которые, проходя близки черной дыры $O$, были «повернуть» его. Таким образом, хотя из самой черной дыры никакие сигналы не поступают, фокусированный черной дырой свет всех звезд

10

Приходит к наблюдается $E$ как бы из окрестности черной дыры. Благодаря этому черная дыра будет воспринять как объект чрезвычайной яркости. В центре такого объекта должно наблюдается маленькое черное пятышко, угловой размер которого равен $\varphi = 2r/d$, где $r$ — радиус сферы Шварцшильда, а $d$ — расстояние от наблюдается $E$ до черной дыры $O$. Разумеется, это черное пятышко может быть зафиксирован в том случае, если разрешающая способность приборов у наблюдается $E$ большие $\varphi$ (то есть приборы позвольют наблюдается разделными две точки, угловое расстояние между которых равно $\varphi$).

Не эффектом ли фокусировки объясняется каждящая огромная энергия гигантских квазаров, наблюдаемых астрофизиками? Не является ли эти квазары огромными черными дырами, которые сами ничего не излучают, а светят лишь чужим светом?

Еще одно оптическое явление, связанное с черной дырой, имеет место, если черная дыра находится строгого между наблюдается $E$ и звездой $S$. В этом случае в каждой плоскости, содержащей прямую $ES$, существует (теоретически) бесконечного много траектория, по которым свет от звезды $S$ приходит к наблюдается $E$. Две крайние из этих траекторий — это лучи, идущие от звезды, которые лишь слегка искривляются, прохода около черной дыры $O$; остальные лучи на пути от $S$ к $E$ совершают различное количество витков вокруг черной дыры (рисунок 5).

Такая картина световых траекторий будет наблюдается в любой плоскости, содержащей прямую $ES$. Поэтому наблюдается $E$ будет видеть звезду $S$ в виде системы концентрических колцез, наиболее из которых имеет видимый угловой диаметр $2\varphi$, где $\varphi$ — угол, который образует с прямой $ES$ каждой краей луч, приходящий от звезды к наблюдается. Если расстояние $ES$ настолько велико, что наблюдается не разрешает (не видит разделными) точки, угловое расстояние между которых равно $2\varphi$, а лишь фиксирует яркость, то он, не подозрева о существовании черной дыры, как бы видит звезду $S$ сквозь нее. При этом наблюдается видит звезду гораздо более яркой, чем если он наблюдается не непосредственно (в отсутствие черной дыры).

Если движущаяся звезда при своей движении пересекает прямую $EO$, соединяющего наблюдается и черную дыру (на рисунке 5 красной стрелкой указано направление, по которым движется звезда), то в течение некоторого времени наблюдается будет видеть эту звезду как сверхьяркий объект. Этот объект появится внешнюю, когда звезда будет подходить к прямой $EO$, и через некоторое время погаснет. может быть, именно этим объясняется редко наблюдается градинозное астрономическое явление — вспышка сверхновой звезды?

Мы рассмотрели математическое модели, которая описывает сверхьяркие астрономические объекты не как необходимости источники сверхвысокой энергии, а как оптические явления. Как относится к этой модели? Что это — научная фантастика или действительность?

(Окончание см. на c. 17)

11

Задание
наших читателей

1. Докажите, что для $0 \leq a \leq b$ выполняется неравенство
   $$\ln \frac{b}{a} \leq \frac{b^2-a^2}{2ab}.$$
   В. Ясинский

2. Докажите, что если неокторный член последовательности 1, 31, 331, 3331, … делится на 541, то он также делится и на 19.
   И. Суев

3. Докажите, что если
   $$x = a_1 + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_n - y}$$
   то
   $$y = a_n + \frac{1}{a_n - 1} + \dots + \frac{1}{a_2 + x}$$
   М. Гервер

4. Пусть $a, b, c$ — длины сторон треугольника $ABC$, $a_1, b_1, c_1$ — соответствующие длины сторон треугольника

$A_1B_1C_1$ с вершинами в точках касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности (см. рисунок). Докажите, что
$$\frac{a^2}{a_1^2} + \frac{b^2}{b_1^2} + \frac{c^2}{c_1^2} \geq 12.$$
В. Мельник

5. На основании прямого кругового конуса построен цилиндр. Докажите, что пересечения этого цилиндра плоскостью, касающейся конуса, получается эллипс, площадь которого равна боковой поверхности конуса.
   Б. Алейникков

6. В равноведренном треугольнике биссертиса угла при основании вдвое длине биссертисы угла при вершине. Найдите углы этого треугольника.
   С. Сефибеков

7. Докажите, что центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, точка пересечения его медиан и точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника $ABC$ с точками касания его сторон с внешисанным окружностями (внешисанная окружность — это окружность, касающаяся стороны треугольника и продолженной двух других его сторон), находятся на одной прямой.
   У. Алла

8. Докажите, что во всяком треугольнике
   $$m_a^2 = \left(\frac{b+c}{2}\right)^2 - bc \left(\sin \frac{\widehat{A}}{2}\right)^2,$$
   где $m_a$ — длина медианы, проведенной к стороне, лежащей против угла $A$, $b$ и $c$ — длины двух других сторон треугольника, $\widehat{A}$ — величины угла $A$.
   Ф. Кадиров

9. Множество $M$ содержит конечное число $n > 2$ точек плоскости, которые не лежат на одной прямой, причем, если неокторные три точки этого множества образуют треугольник, то точка пересечения высот этого треугольника также принадлежит много-

жеству $M$. Какие значения может принять $n$?
Р. Ушаков

10. Функцию $F$, определяющую на многожестве всех целых чисел и принимающего неотрицательные целые значения, мы будем называть современной, если для любых целых $m, n$ выполняется соответствия
    $$F(mn) = F(m)F(n),$$
    $$F(m+n) \leq 1980 [F(m) + F(n)]$$
    и, кроме того, $F(1980) = 0$.
    Найдите все современные функции.
    Б. Кац

11. Найдите наиболее число способов, которые один треугольник можно вписать в другой (вершины вписанного треугольника находятся на различных сторонах описанного).

А. Сердюк

12. Без помощью доказательства
    a) $\cos 42^\circ < \frac{3}{4}$;
    b) $\tg 70^\circ > \frac{19}{7}$.
    С. Майзус

13. В выражениях вида
    $$\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$$ часто можно избавиться от двойного корня, воспользовавшись формулой
    $$\sqrt{1 \pm 2 \cos \alpha \sin \alpha} = |\cos \alpha \pm \sin \alpha|.$$
    Например:
    $$\sqrt{13 \pm \sqrt{48}} = \sqrt{13} \sqrt{1 \pm 2 \sqrt{\frac{12}{13}} \sqrt{\frac{1}{13}}} = \sqrt{13} \left(\sqrt{\frac{12}{13}} \pm \frac{1}{\sqrt{13}}\right) = \sqrt{12} \pm 1.$$
    Вот несколько примеров для самостоятельного решения:

1. $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$;
2. $\sqrt{11 \pm \sqrt{21}}$;
3. $\sqrt{9 \pm 4 \sqrt{2}}$.
   В. Ольхов

12

Я. Смородинский, А. Урнов

Эффект Доплера

В 1842 году в журнале Пражского научного общества появился статья под названием «О цветном свете двойных звезд и некоторых других созвездий неба». Автор статьи, авторский профессор математики Христан Доплер, предложил новое и неожиданное обяснение окраски небесных объектов. Свою теорию Доплер строил на утверждении о том, что частота волновых колебаний должна зависеть от скорости движения источников относительной наблюдаемого (то есть прибора, воспринмашшего эти волны). Иными словами, один и тот же звук будет иметь различную высоту, а свет — различную окраску (цвет) для покоящегося и движущегося источника.

Доплер представлял себе причину окраски звезд следующим образом. Свет сам по себе белого цвета, поскольку является смесью различных цветов в равной пропорции. При движении источника цвета смешаются; например, желтый цвет по мере приближения звезды к Земле должен переходить в зеленьй и далее в голубой и фиолетовый; при удалении же звезды желтый цвет переходит в оранжевый и красный. Посольку глаз способен восприннимать только определенные цвета (от фиолетового до красного), а неокторые цветовые компоненты при смешении «выходят» за пределы чувствительности глаза, ввидимом наборе цветов неокторые из них оказываются в приемуществе, что и обясняет окраску звезды.

13

Для Доплера, как и почти для всех естественныхателей прошло века, свет был волной в некой «светоносной» среде — эфире, заполняшем все пространство и все «поры» в телах. Распространение света в эфире было подобно распространению звука в воздухе (или в другой среде), поэтому световые явления должны были иметь аналогию в явлениях звуковых*). Так и эфифект, предсказанный Доплером, должен были наблюдаться как для света, так и для звука.

Для проверки принципиа Доплера были осуществлены довольно необычные эксперименты. В позде, индемем с большой скоростью, находились музыканты, которые издавали звук определенного тона. На несколько железнодорожных станциях по пути следования поезда располагались музыканты-«наблюдатели», которые могли определять высоту тона на слух. В результате этих экспериментов было обнаружено, что высота звука, воспринимаемого наблюдаемым, действительно изменяется при движении источника в соответствии с предсказаниями Доплера.

Тем не менее стать Доплера «О цветном свете…» поддержась резкой критике, и, несмотря на попытки Доплера отстоять свою точку зрения, его теория была отвергнута большим инструментом известных физкового времени.

Объяснение Доплера цвета звезд действительно было неверным. Однако в его основе содержалась плодотворная идея об изменении цвета (длинны волны) излучения при движении источника относительно наблюдаателя. Такой эфифект был воспользулен и его назвали эфифетом Доплера. Правильное объяснение этого эфифекта было done лишь после того, как была понята природа излучения. Во времяена же Доплера никогда по существу не осознал значение иden Доплера — ни противники его теории, ни он сам. Только Большано, математик из Праги, в своей стране, посвященной работе Доплера, писал, что эта работа дает гораздо большие, чем общее ее заглавие, как для акстики, так и оптики и всего учения о волнообразном движении. Не веря в вычисления Доплера, Большано тем не менее заключило свою статью словами: «Я ожидало суверенностью, что со временем его (теории Доплера) будет пользоваться для разрешения на основании изменения цвета небесных тел вопросов, движутся ли эти последние, куда и с какой скоростью они движутся, какие расстояния отделяют их от нас и друг от друга, равно как для разрешения многохудожных других вопросов».

Возможности использования в физике и практического применения эфифекта Доплера были оценены значительно позднее, после открытия спектрального анализа. Его глубоко связа с таким фундаментальным понятиям физики, как пространство и время, установил Альберт Эйнштейн. В своей работе 1905 года, посвященной теории относительной事迹и, Эйнштейн впервые получил правильную формулу для изменения частоты света при относительной事迹и источника и наблюдаателя.

С тех пор как проверление доплера эфифекта в оптике стали устойчиво связывать со смешением спектральных линей, было накоплено множество экспериментальных свидетельств в его ползу. Любопытно, что первые доказательства были получены при исследовании спектров звезд. ВLABораторных условий явление наблюдаемал русский физик А. Белопольский, поставивший довольно хитруумные опыты с врашающимся зерканами (1900 г.). Существование так называемого поперечного доплера-ефифекта (о котором речь еще впереди) удалось надежно установить только полвека спуття (1948 г.).

После открытия квантовых свойства света возникла необходимость «примирить» ставшее уже привлечным явление с новыми необычными

14

ными воззрениями. Эту задачу успешно решил один из создателей современной (квантовой) механики Эрвин Шредингер, показавший возможность истолкования дополнитель-эффекта с точки зрения световых квантов.

И звук, и свет — волновые явления. Волны — это колебания, распространяющиеся в пространстве с течеем времени. Звуковые (акустические) волны в среде (вещесте) — это распространие колебаний плотности среды. Световые оптические волны — это распространие в пространстве электромагнитных колебаний.

Для описания любого процесса движения необходимо прежде всего выбрать систему отчета — система координат вместе с часами, покоямися в этой системе. Физическая содержание эффекта Доплера заключается в том, что частота колебаний зависит от системы отчета, в которой производится наблюждение. Формулы преобразования частоты при переходе от одной системы отчета к другой, движущейся относительно первого, дают математическое описание этого явления. Чрезвычайно важным, однako, является то остоятельство, что эти формулы различны для акустических и оптических волн.

Эффект Доплера для звука

Для того чтобы понять, как изменяется частота света при движении источника или наблюдаете, разберем следующую задачу. На озере плавают две лодки. С одной из них в воду опущен прибор, который может излучать звуковые колебания частоты $v_0$. С другой лодки в воду опущен приемник, который может регистрациивать частоту доходящего звука.

Какую часть звука будет регистрации приемник вследующих случях:

1. обе лодки покоятся на воде;

2. лодка с источником покоятся, лодка с приемником движения;

3. лодка с источником движения, лодка с приемником покоятся?

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1. Ответ на этот вопрос оченьлен: приемник регистрации звук частоты $v_0$. Действительно, если скорость звука в воде равна $c_0$, толина звуковой волны, излучаемой источником, равна $\lambda_0 = c_0/v_0$. Наблюдаемый во второй лодке, изменяющий скорость звука и длину волны, зафиксирует именно эти величины — $c_1 = c_0$ и $\lambda_1 = \lambda_0$. Так что частота звука, регистрации наблюдаемого, будет равна

$$v_1 = \frac{c_1}{\lambda_1} = \frac{c_0}{\lambda_0} = v_0.$$ (1)

2. Пусть теперь лодка с наблюдаемым началом движения вдоль прямой, соединяющей обе лодки. Обозначим скорость лодки с наблюдаемым через $v_h$ и будем считать, что она положитлена, если расстояние между лодками сокращается. Скорость звука, изменяющая наблюдаемым, будет теперь равна $c_0$, а

$$c_2 = c_0 + v_h = c_0 \left( 1 + \frac{v_h}{c_0} \right).$$

Длина волны звука в воде не зависит, конечно, от того, движется наблюдаемым или нет. Поэтому $\lambda_2 = \lambda_0 = c_0/v_0$. С другой стороны, $\lambda_2 = c_2/v_2$; значит, $c_0/v_0 = c_2/v_2$, то есть

$$v_2 = \frac{c_2}{c_0} v_0 = \left( 1 + \frac{v_h}{c_0} \right) v_0.$$ (2)

Итак, если расстояние между лодками сокращается, то приемник зарегистрировать более высокую частоту, чем частота источника звука. Наборот, если лодка с наблюдаемым удаляется от лодки с источником, то частота принимаемого звука уменьшается:

$$v'_2 = \left( 1 - \frac{v_h}{c_0} \right) v_0.$$ (2')

3. Расстояние случай, когда лодка с источником движения по направлению к наблюдаемому со скоростью $v_h$. Скорость звука в воде по-прежнему равна $c_0$. Длина волны, которой будет изменять наблюдаемую, теперь будет меньше, чем в том случае, когда лодки покоились. Действительно,лина волны — это рас-

15

стояние между двумя соседними точками, колеблющимися в фазе, например между соседними гребнями волны. За время $T = \lambda_0/c_0$, пока один гребень волны удалится от точки, в которой он был «испущен», на расстояние $\lambda_0$, источник переместится в том же направлении на расстояние $v_n\lambda_0/c_0$. Поэтому расстояние между «первым» гребнем и следующим будет равно не $\lambda_0$, а

$$\lambda_3 = \lambda_0 - v_n\frac{\lambda_0}{c_0} = \lambda_0 \left( 1 - \frac{v_n}{c_0} \right).$$

Значит, частота звука, которую зарегистирует наблюдаемый, будет равна

$$v_3 = \frac{c_0}{\lambda_3} = \frac{c_0}{\lambda_0 \left( 1 - v_n/c_0 \right)},$$

или

$$v_3 = \frac{v_0}{1 - v_n/c_0}.$$

(3)

В том случае, когда лодка с источником удаляется от лодки с применимом, частота звука, которую будет перегрировать применим, равна

$$v'_3 = \frac{v_0}{1 + v_n/c_0}.$$

(3')

Мы видим, что формулы (3) отличаются от формулы (2), хотя основные закономерности сохраняются: звук повышается, когда лодки слияются, и понятие, когда лодки расходятся.

Однако, если скорость лодки мала по сравнению со скоростью звука в воде, то мы можем воспользоваться приближенными равенствами

$$\frac{1}{1-\alpha} \approx 1 + \alpha, \quad \frac{1}{1+\alpha} \approx 1 - \alpha,$$

если $\alpha \ll 1$.

В этом случае формулы (3) приближенно совпадает с формулами (2):

$$v_3 \approx v_2 = \left( 1 \pm \frac{v_n}{c_0} \right) v_0.$$

Можно написать и общую формулу для случая, когда движутся обе лодки — и источник, и применик. Такая формула получится последовательным применением двух формул, полученных выше:

$$v = \frac{1 \pm v_n/c_0}{1 + v_n/c_0} v_0,$$

или приближенно, учитывая, что $(1 + \alpha)(1 + \beta) \approx 1 + \alpha + \beta$ при $\alpha, \beta \ll 1$,

$$v \approx \left( 1 \pm \frac{v_n \pm v_h}{c_0} \right) v_0.$$

Нетрудно видеть, что $v_n \pm v_h$ есть относительная скорость источника и применика. Знаки «+» соответствуют их движению в противоположных направлениях, знаки «—» — в одном направлении. Поэтому формулу для эффекта Доплера в приближении малых скоростей можно записать так:

$$v \approx \left( 1 + \frac{v}{c_0} \right) v_0,$$

где $v$ — относительная скорость источника и применика.

Полученную нами общую формулу можно еще раз обобщить — на тот случай, когда и среда движения. (Это обобщение означает, что в расстоянем нами примере лодки находится не на озере, а на реке.) В этом случае общий вид формулы не меняется, но под величины $v_n$ и $v_h$ теперь следует понимать скорости движения наблюдаемого и источника относительной реки; в соответствии с этим следует подставлять и значение $v$ в общую формулу.

И еще одно замечание. Мы рассматривали случай, когда источник и применик движутся вдоль одной прямой и вдоль этой же прямой распространяется фронт звуковой волны. Если же направление распространения звука составляет угол $\theta$ с направлением относительной скорости $v$, то частота, регистрируемая примеником, равна

$$v \approx \left( 1 + \frac{v}{c_0} \cos \theta \right) v_0.$$

Изменение частоты $v_0$ определяется проекцией $v \cos \theta$ относительной скорости на направление распространения звука. Если $\theta = 90^\circ$, то $v = v_0$ — так называемый поперечный эффект Доплера в обычной акустике отсутствует.

Итак, подведем итог. Частота звука, регистрируемая примеником, зависит от относительной движения источника и применик и определя-

16

ется следующими соотношениями:

1. $v = v_0$ — наблюдаемый и источник покояется относительно среды;
2. $v = \left( 1 \pm \frac{v_1}{c_0} \right) v_0$ — наблюдаемый движется, источник покояется;
3. $v = \frac{1}{1 - v_1/c_0} v_0$ — наблюдаемый покояется, источник движения.

Эффект Доплера для света

В прошлом вке считали, что изменение частоты света при движении источника или наблюдаемого описывается таким же формулами, как и изменение частоты звука. В то время считали, что свет распространяется в эфире — гипотетический среде, которая заполняет все пространство, но не оказывает сопротивления движению тел. Для такой среды формулы, выведенные для звука, должны оставаться неизменными, если только понятно в них под $c_0$ скорость распространения света в эфире. В теории относительной эфири исчез, а вместе с ним исчезло понятие абсолютного движения (движения по относению к эфиру, как считали раньше).

Одним из главных выводов теории относительной света был вывод о том, что никакое явление не может зависят от абсолютной скорости; в формулы может входить только скорость относительной. Формулы для актического эфиекта Доплера, как мы видели, содержат такую «абсолютную» скорость — скорость звука по относению к среде. Уже из этого следует, что эти формулы не могут быть справедливыми для света.

Действительно, в теории относительной другая формула эфиекта Доплера:

$$v = \frac{1 + \frac{v}{c} \cos(1)}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} v_0.$$

В этой формуле $c$ — скорость света в пустоте, $v$ — относительная скорость источника и приемника, а $\theta$ — угол между скоростью $v$ и направлением распространения света, измененный в системе отчета, связанной с источником излучения.

Если скорость $v$ очень мала, так что ее квадратом можно преобразить по сравнению с квадратом скорости света (то есть $v^2/c^2 \ll 1$), то эта формула не отличается от формулы для изменения частоты звука. Различие в этих двух формулах проявляется только в том случае, если нельзя преобразить величины $v^2/c^2$.

Почи во все формулы теории относительной света входит множество

$$\gamma = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} (\gamma \geqslant 1).$$

Этот множество — его называют Лоренцевым множеством — определяет изменение времени в движущей системе отчета, сокращение длины движения его стержня, увеличение массы движения его тела. Не удивительно, что этот множество входит и в формулу Доплера. Это становится естественно, если вспомнить, что энергия кванта связана с частотой соответствии $E = hv$, а потому в движущей системе координат частота должна изменяться так же, как энергия.

Это объяснение, конечно, не заменяет вывода формулы Доплера, но делает ее понятнее.

Существование различных акустической и оптической формул эфиекта Доплера проявляется в том случае, когда $\theta = 0$, то есть когда источник испускает волны в направлении, перpendикулярном своей движению. Для такого случая классическая (акустическая) формула предсказывает отсутствие эфиекта ($v = v_0$).

Релятивистская же (оптическая) формула предсказывает наличие поперечного эфиекта. Наблюдания над двойной звездой PSR 1913—16$^*$ подверделили существование этого эфиекта.

$^*$) Число, который обозначают звезду, — это ее небесные координаты: 19 ч 13 мин — прямое восходение, $16^\circ$ — склоние, PSR — шифр по каталогу.

17

Применение эффектив Доплера

Если просить школьника, который изучает механику, как изменить скорость тела, то он ответит, что для этого надо изменить время, которое затрачивает тело на прохождение заданного пути. Так, во всяком случае, мы поступаем, если хотим изменить скорость поезда, смотря из окна варона. Можно поступить иначе — изменить путь (число километровых указаателей), проходимый за заданное время. Вообще, надо «поделить путь на время».

Формула Доплера дает возможность изменить скорость совсем другим способом. Если с железнодорожной станции направить в поезд лазера, а в поезд вести с собой установку для изменения частоты изменения, то, сравнивая измененную частоту с той частотой, на которую был построен лазер на станции, можно найти скорость поезда относительно станции; точнее говоря, найти относение скорости поезда к скорости света.

Такой способ изменения скорости отличается от стандартного, «школьного» удивительной особенность. Нам не нужно ни масштабов длины (километровых стольов), ни масштабов времени (секундомеров).

Эффект Доплера позволяет открыть один из самых порозитных законов Вселенной — закон Хаббла.

Американский астроном Хаббл обнаружил, что в спектрах далеких небесных объектов — спиральных галактик — известные спектральные линии оказывается расширяющая туманность, в центре которой иногда имеет пульсар — источник, излучащий строю следующие друг за другом четкие радиоимпульсы. Однако рассмотренная нами модель праводоподобна как возможность подход к обьясению астрономических явлений.

$V = HR,$

где $V$ — скорость (лучевая) галактики, $R$ — расстояние до галактики, величины $H$ называют постоянной Хаббла; она равна (как это считают сейчас) примерно $\frac{20 \text{ km/c}}{10^6 \text{ свет. лет}}$. Это значение, что при увеличении расстояния до галактики на миллион световых лет скорость ее удаления от нас увеличивается на 20 км/c.

Граница нашей Галактики находится от нас на расстоянии около 2 миллионов световых лет, скопление в созвездии Девы — на расстоянии 35 миллионов световых лет, скопление в созвездии Гидры — 200 миллионов световых лет. Оценка расстояний до наболее далеких радиогалактики и квазаров показывает, что они удалены от нас на миллиарды световых лет (это соответствует скоростям удаления от нас, близким к скорости света — около 90% от скорости света).

18

Стихотворение Лобачевского

В письме, посланном из Сtokгольма осенью 1890 года, Софья Ковалевская пишет: «…нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтому в душе». И действительно, как показывает история науки, еще со времен пирагорейцев выдалоцес математики увлекательь позней и даже пробовал писать.

Интерес С. Ковалевской к литературе хорошо известен. Но разве писал стихи великий русский геометр Н. И. Лобачевский?

Ссылаясь на стихотворное послание Лобачевскому, сочиненное братом его жены Н. Е. Великополский, Л. Б. Модзалевский пишет*): «Из этого послания видно, что Н. И. Лобачевский в молодые годы сам занимался версификацией. Но

*)《Материалы для биографии Н. И. Лобачевского》（М., АН, 1948), с. 165.

его стихотворные опыты до нас не дошли.»

«Но может быть, их можно найти?» — подумала я, и начались длиные поиски. И вот перед мной тоненькая книжечка, 17-й номер литературного журнала «Заволжский муравей», вышедший в 1834 году. Читаю:

Разлив Волги при Казани

Царицаrek в торжественном течение К далеким Каспия обширного водам, Ты уклоняешься к Казани на свидетельстве поиски. И вот перед мной тоненькая книжечка, 17-й номер литературного журнала «Заволжский муравей», вышедший в 1834 году. Читаю:

Такими задушевными строками начинается это стихотворение о нашей Волге. Смотрю на подпись: «Пр. Л…ский».

Если в этом тиниственном сокращении «Л…ский» действительное скрыта фамилия великого геометра, то почему же «Пр.», а не «Н.» или «H. И.»?

Известно, что Лобачевский подписьвал свои публикации по-разному. В частности, два его сочинения: «Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без единиц делится на 8» и «Об исчезновении трионометрических строк» — выпущенные отдельными отисками типографий Казанского университета в 1834 году, то есть как раз тогда, когда выходил семнадцатый номер «Заволжского муравья», подписьны «Пр. Лобачевский». Значит, автор стихотворения «Разлив Волги при Казани» хотел бы узнать им. Сам Николай Иванович, можно сказать, велит нам узнать защищенное имя «Пр. Л…ский» — профессор Лобачевский! Но почему он, ректор Казанского университета и известный matематик, вдруг — именно в 1834 году — «рискнул» опубликовать свое стихотворение?

Не связано ли это с приездом Пушкина в Казань в centябре 1833 года? Пушкина, который сказал: «Вдохновение нужно в поззи, как в геометрии»?

Представляется мало вероятивным, чтобы во время пребывания Великого позта в Казани, где он собирал материалы о восстании Пугачева, не произшла его встреча с Великим геометром. Это могло произойти в библиотеке, или в хлебосольном доме Лобачевских (вспомним: жена Н. И. Лобачевского — единотробная сестра И. Е. Великополского, давнишнего приятель Пушкина), или же, наконец, на квартре профессиона Фукса, где был в гостях Пушкин и бывал Лобачевский. О его участии в литературных вечерах у коллег по университету можно прочитать в письме, отправленном из Казани 21 января 1832 года И. Е. Великополскому; в нем сообщается: «Мы были на литературном вечере у Фуксов… Н. И. Лобачевский читал стихи сочинения М-ме Фукс и несколько раз чуть не захотotal… Баратынский все время сидел с потупленными глазами»*)

Таким образом, встреча двух генев так или иначе должна beenозойти в centябре 1833 года. Откликом на приезд Пушкина явилось, по-видимому, появление в печати стихотворения Лобачевского «Разлив Волги при Казани», полный текст которого мы приводим ниже. Как хорошо звучит его заключительный аккорд:

Вот образ мирного могущества России!
Ее разлив не страшенникому.
Великоушие обуздыает силы,
Всерда, взде покорные ему.

Разлив Волги при Казани

Царица рек в торжественной течение
К далеким Каспия обширного водам,
Ты уклоняешь к Казани на свидание
С ней древней материалы Татарским городам!
Ее со всех сторон, как друг, обнимаешь,
И трепетной стреуей приветствуешь луча
И тихо с голубых рамен дары слагаешь
На окивленные Булака берега…

*) И. Андроников. Я хочу рассказать вам… (М., «Советский писатель», 1971), с. 186.

Вот шумный пир!… Но что тайнственный и важным
Вещаемей ей глаголом волн твоих?
Свой ли радости, ея ли войн отважных
И славы древние наполняешь дни?
Ах! прежде и Казань надменная гуляла
При полноводии раздольная весны
Иратью бурною широко заливала
Покорные поля окрестные страны.
Прошла ее пора: воитель потомки,
Как грязный или изсохшая реки,
Как славного места ничтожные обломки,
Теперь умолкшего лишь слабого громки.

Так исчезает все!… Но Ангел запустения
Ужели некогда всларит и над тобой?
Ужели и твоих изсκнет волн стремление —
И Волга зарастет болотного травой?
И где суда твои крылаты скользили,
Увязнет страника усталая нога?
Куда они с собой веселье привозили —
Осиротельные умолкнут берега!…
Нет!… бытие твое до вечности продукта
Как память ясная великих дел.
Великое в веках безмертем хранится
И не ему ничегоство — удел.

Ты поражаешь ли поля опустошены?
Ты пожищаешь ли надежды поселян?
Нет! на водах твоих всегда благовovenные Почет благодарных стран,
Тобой питаемых, только обогащенных!
Ты и земли безвредная краса,
И светленные в струях твоих невозмущенных,
Как в чистой совести, сияют небеса.

Вот образ мирного могущества России!
Ее разлив не страшенникому.
Великоушие обуздыает силы,
Всерда, взде покорные ему.
Стремится ль смеля на гордые Балканы,
Иль с Араратских гор пролегется на Иран?
Ломаются один нечастных цепи льдяны,—
И усмиряется неистовый тиран.
За то, когда ирахковарных истребится,
Россия не придет конец;
Могущества не скоро сокрушится
Увековеченный доброто венец.

Пр. Л…ский

20

А. Дозоров

Физика без приборов

Сейчас лето, пора веселых школьных канкул. Отложены в сторону учебники, не надо корпеть над домашними заданиями. Как хорошо прыгнуть с разбета в речку, или побродить по лесу, или просто лечь в траву и смотеть на небо, ни о чем не думая. Но посмотрите внимательно вокруг себя, и вы увидите много интересного в самых, казалось бы, привлечных и примельвшихся вещеzas.

Вот вы стопите у пруда или большой лесной лужки. Почти наверное по водной глади бегают туда-сюда жуки-водомеры. Не спешите, остановитесь и посмотрите, как жучок проминает под собой поверхностный слой жидкости, опираясь на него. Он, видимо, «знает» физку.

Летним вечером в густой траве или в лесу на пнях передко можно видеть светлячков. Эти живые фонарики вырабатывают в своей организации химические вещества, которые, окисляясь на воздухе, излучают свет. Светлячок «создал» в своей организации источник света.

Каракатица выталкивает из своего организации жидкость и движется при этом по законам реактивного движения. Тожде молодец.

И в неживой природе есть много любопытного. Предлагаем вам несколько опытов, которые вы сможете провести самостояльно или со своим товарищами. Не расстраивайте, если не сумеете их все обьясить. Наступит новый учебный год, и многое увиденное летом найдет свое обьяснение.

Итак, за дело.

1. Согласитесь, не много из жителей средней полосы, где летом не так уж жарко, видели мираж. Если у вас есть желание его видеть, наберите терпения и сделайте следующее. Сначала подберите подходящийровную стенку, обращенную днем к Солнцу. Дождиитесь безветренной солнечной погоды. Вставьте с товарищем на противоположных концах стенки, рядом с ней. Смотрите вымательно вдоль нее, и вы вдруг увидите…
   отражение вашего товарища.

IIредупреждаем еще раз, что опыт требует большого терпения. Всякий хороший эксперимент, как правило, получается не сразу.

2. Если вы будете регулятор посматривать на Луну, однажды обязательно увидите вокруг нее одно, а если повезет, то и два радужных колца.

21

Они видны особенно четко, когда между Луной и глазом находится легкое полупрозрачное облака. Лунный свет рассеивает на случайно расположенных недородностях облака и даст дифракционную картину в форме радужных окружностей.

Если вам не терпится видеть радужные линии, а Луны на небе по каким-то причины нет, дифракционную картину можно создать искусственно. Для этого потребуется кусочки засеченной фотопленки и объIkновенная иголка.

Проведите острием иголки по фотоэмульсии — вы получите так называемую дифракционную щель. Поднесите щель близко к глазу и посмотите через нее на какой-нибудя яркий источник света (например, на Солнце или лампу). Вы увидите яркую радужную полоску. Вращайте фотопленку — разноцветная полоска тоже будет поворачиваться, всякий раз оставясь перпендикулярной к щели. Теперь процарапайте на эмульсии небольшой кружок — дифракционная картина примет вид радужных колес. Прочертите другой набор линей и посмотите, что получится.

3. Радугу можно наблюдать и с помощью водяной капли. Посадите каплю на палочку или травинку. Вставьте спиной к Солнцу и осторожно поднимайте каплю. Когда лучи Солнца образуют с направлением глаз — капля угол около 42°, произнанакая капля вдруг вспыхнет чрезвычайно чистым по тону цветом. Каким? Любым! Если каплю осторожно перемешать по дуге окружности, можно увидеть все цвета радуги.

Однажды, собирая в лесу грибы, я был свидетельом забавной сцены. Мой сын внимательно рассматривал капельки росы на траве и на хвойных иглах. Со стороны его действия казались несколько странными: мальчик медленно приседал, устремив взгляд в казалось бы пустое пространство. В это время на полянку выщел еще один грибик, вполне солидный мужчина. Он долго с недоумением наблюдал за медленными и сквашными движениями моето сына, в конце концов не выдержал и обратился к нему за разясенями. Теперь я с удовлетворением смотрел на них обих, застьвших у ели в неуклюжих позах.

4. Оказывается, из капельки воды вы можете сделать маленький микросок. Для этого нужно взять плотную бумагу, проколить в ней только иголкой дырочку и на нее аккуратно посадить каплю воды. Микросок готов.

Поднесите капельку как можно ближе к газетному тексту. Вы увидите сильно увеличенную букву. Чем меньше капелька, тем больше увеличнение. Теперь, после такой «настройки прибора», можно рассматривать любые мелкие предметы.

Кстати заметим, что в первом микросоке, изобретенном Левенгуком, все было сделано именно так, только капелька была стеклянная.

23

Лучше — поровну

В различных задачах анализа и прикладной математики возникают вопросы такого типа:

Пусть данные два числа v и p: 0 < v < p. Расматривают всевозможные (конечные) наборы чисел $x_1, x_2, ..., x_k$ такие, что 0 < x_i ≤ v для любого i = 1, 2, …, k и сумма $\sum_{i=1}^{k} x_i$ всех чисел набора больше p.

Для каждого такого набора существует такое число D, что 1) сумма S неокторы чисел набора (может быть, в частности, всех) отличается от p на D: |S−p| = D и 2) любая другие сумма неокторы чисел набора отличается от p больше, чем на D.

Для каждого набора этого число D («порешность приближения») будет наиболее?

Как мы увидим, искомым будет набор из одинаковых чисел: «лучше — поровну».

Здесь мы рассмотрим несколько конкретных задач (в том числе — трудную задачу M583 из Задачника «Кванта») указаанного типа.

1. Расматривают наборы камней, масса каждого из которых не больше 2 кг, а общая масса набора — больше 10 кг. Из такого набора выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на нашемшее возможное для данного набора число D. Какое наиболее значение может принимать число D для всего возможных наборов камней?

(Эта задача predлагалась на Московской городской математической оптимизации в 1979 году.)

Понятоно, что число D для любого набора камней не превысит 2 кг, так как масса любого камня не больше 2 кг. Кроме того, очень много D не может быть равным 2 кг. Поэтому, чтобы использовать с наборами, все камни в которых одинаковы, заменаем, что наиболее D получается в том случае, когда камни все же достаточно тяжелы, а до 10 кг недостатетровно полкамня. Четыре камня отличаются от 10 кг больше, чем на 2 кг, а для пятки камней из уравнения 5x = 10−x/2 находится x = 20/11, то есть D = 10/11.

Докажем теперь, что для любого набора D не превышает 10/11, то есть показем, что из произвольного набора камней можно выбрать несколько, суммарная масса которых отличается от 10 кг не больше, чем на 10/11.

Будем отбирать камни по очереди: сначала возьмем самый тяжелый, затем самый тяжелый из остальных, и так до тех пор, пока масса выбранных камней не превышает 10 кг. Если среди выбранных есть камень, весящей меньше 20/11 кг, то либо их общая масса меньше (10+10/11) кг, либо на предыдущем шаге (перед тем, как был взят последний камень) мы имеем набор с массой, больше (10−10/11) кг (=10+10/11−20/11), но меньше или равной 10 кг.

Итак, наиболее значение D равно 10/11, причем это значение достигается на наборе из одинаковых камней.

Уражение 1. Покажите, что и в общем случае наиболее значение D достигается на наборе из одинаковых камней, причем это значение равно p/(1−2·[1/2−p/v]) ([x] — это целая часть числа x).

2. Решим теперь задачу M583 из Задачника «Кванта». Она отличается от задачи 1 одним дополнительным ограничением, значительное увеличение: известно, что общая масса набора — 50 кг.

Мы уже знаем, что D не превышает 10/11. Однако в данной случае

24

эта оценка не является точной, так как число 50 не делится на 20/11 (если бы суммарная масса набора равная не 50, а скажем, 100 кг, то ответ остался бы прежим).

Рассматривая всевозможные разбиения 50 кг на камни с равными массами, убеждаемся в том, что набольшее значение $D$ для таких наборов равно $D_0 = 20/27$ кг. (Оно достигается на наборе из 27 камней массы 50/27.) Наша цель — докаазать, что $D_0$ — это и есть исключное набольшее значение $D$. Для этого достаточно показать, что произвольный набор можно заменить набором из камней одинаковой массы, не уменьшив при этом $D$ (введ $D$ для наборов одинаковых камней не превыходит $D_0$).

Рассмотрим произвольный набор. Выберем из него те камни, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное число (то есть на $D$). Разобем камни с массой, большей $2D_0$, на две группы. К первой группе относят те из них, которые входит в число выбранных (пуст $a_1$, $a_2$, …, $a_m$ их массы). Ко второй группе относят камни с массами $b_1$, $b_2$, …, $b_n$ (большими $2D_0$), не входящее в число выбранных. Для краткости мы будем иногда писать «камень $a_i$» (соответствие $b_j$), имея в виду «камень, масса которого равна $a_i$» (соответствие $b_j$). Пусть $A$ — это сумма масс камней $a_i$ (иногда $A$ будет обозначать множество, состоящее из камней $a_1$, $a_2$, …, $a_m$; определяемые далее суммы масс $B$ и $C$ тоже могут быть использованы для обозначения соответствующих множества), $B$ — сумма масс камней $b_i$, а $C$ — сумма масс оставшихся камней (то есть тех, масса которых не превыходит $2D_0$).

Показем теперь, что существует набор, для которого $a_1 = a_2 = ... = a_m = b_1 = ... = b_n$, $C = 0$, а значение $D$ не меньше, чем у исходного. Это и будет означает, что $D \leq D_0$, так как для наборов, состоящих из одинаковых камней, $D$ не превыходит $D_0$. При этом возможно два случая:

1. Суммарная масса выбранных камней равна 10—D.

Для построения нужного набора нам придется доказать несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Все камни, входящие в $C$, принадлежат к числу выбранных (то есть $10—D = A+C$).

Действительно, если хотя бы один из камней, входящих в $C$, не выбран, то, добавив его к выбранным, мы получим несколько камней, масса которых отличается от 10 кг не более чем на $2D_0—D<D$. А это противоречит выбору рассматриемого набора.

Лемма 2. $a_i \geq b_j$ при любых $i$ и $j$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$).

Действительно, если бы каких-то $i$ и $j$ выполнялись неравенство $a_i < b_j$, то, добавив его к выбранным, мы получим несколько камней, масса которых отличается от 10 кг не более чем на $2D_0—D<D$. А это противоречит оптимальности выбранного набора.

Лемма 3. $b_j > C+2D_0$ при любом $j$ ($1 \leq j \leq n$).

Удалим из выбранного набора все камни, входящие в $C$, и добавим туда камень $b_j$. Если $A+b_j \leq 10—D$, то, добавляя по одному камни из $C$, мы в какой-то момент получим набор, масса которого больше 10—D (так как $A+b_j+C > A+C=10—D$), но меньше 10+D (так как каждый раз добавляется камень с массой, не превышает $2D_0<2D$). Значит, $A+b_j>10—D$, а потому (в силу минимности $D$) $A+b_j>10+D=A+C+2D>A+C+2D_0$, откуда $b_j>C+2D_0$.

Из леммы 2 следует, что и $a_i>C+2D_0$ при всех $i$.

Лемма 4. Если сумма масс $k$ камней из $A$ и $l$ камней из $B$ меньше 10+D, то $k+l \leq m$.

Если эта сумма меньше 10+D, то она в силу минимности $D$ меньше или равна 10—D. Пусть $k+l > m$. Заменяя по очереди камни $b_j$ в этой сумме не входящими в нее камнями $a_i$, мы в конце концов положим последний из камней $a_i$ и доведем таким образом сумму до величины $A+b_j+...>A+C+2D_0>10+D_0$ (см. леммы 1 и 3). Поскольку каждый

25

раз мы добавляли камень с массой не больше чем $2D_0$ ($a_i - b_j < 2D_0$), в какой-то момент эта сумма будет находиться строго между $10 - D$ и $10 + D$. Противоречие.

Докажем, наконец, что можно построить набор, состоящий из камней одинаковой массы, не уменьшив $D$.

Заменим каждый из камней $a_i$ ($i = 1, \dots, m$) камнем с массой $a = A/m$, каждый из камней $b_j$ ($j = 1, \dots, n$) камнем с массой $b = B/n$, а камни из $C$ оставим без изменения. Покажем, что для такого набора число $D$ не уменьшилось.

Допустим, что $D$ уменьшилось. Тогда при некоторых $k$, $l$ и $C' < C$ сумма $ka + lb + C'$ лежит строго между $10 - D$ и $10 + D$. Возьмем $k$ самых легких камней из $A$. Сумма их масс не превыходит $ka$ (почему?). Аналогично сумма масс $l$ самых легких камней из $B$ не превыходит $lb$. Но $ka + lb < 10 + D$, поэтому $k + l \leq m$ (см. лемму 4). В таком случае $10 - D = A + C = ma + C \geq ka + la + C' \geq ka + lb + C' > 10 - D$. Противоречие.

Если $a > b$, то $b$ не может входить ни в одну сумму, даошую $10 - D$ (заменив $b$ на $a$, получим противоречие). Поэтому мы можем читать (придайте точный смысл этим словам!) уменьшить все камни массы $a$, читучить уведомить при этом камни массы $b$, так чтобы $C$ оставалось неизменным. В результате этого у нас получится набор, имеющий больше значения $D$, чем исходный. Проделав так несколько раз, мы получим набор, у которого $a = b$.

Если в этом наборе $C > 0$, увеличим $a$ (число камней с массой $a$ равно $m + n$) на $\varepsilon$, где $\varepsilon < C/(m + n)$; при этом $C$ уменьшится на $(m + n)\varepsilon$. Но тогда $D$ увеличится на $n \cdot \varepsilon$, что и требуется. После нескольких шагов мы получим набор, у которого $a = b$ и $C = 0$.

Случай I разобран полностью.

II. Суммарная масса выбранных камней равна $10 + D$.

Этот случай можно рассматривать примерно так же. Но проще заметить, что если выбранные камни докот налучшее приближение (для данного набора) к 10 с и збыть коМ, то остальные камни набора дают налучшее приближение с недостатком к 50—10 (то есть к 40 кг в нашей задаче). Так как $D_0$ по-прежнему не меньше 2/4 кг (это единственное дополнительное условие, которое было использовано при рассмотрении случая I), все доказанные утверждения остаются в силу после замены 10 на 40.

Итак, задача решения. Найбольшее возможное значение $D$ оказывается $D_0 = 20/27$ кг.

Заметим, что наш рассужждение позволяет решить следующую общую задачу: найти максимум наименьших отклонений от $p$ по всезозможным наборам камней с массой, не превыходящей $v$, и суммарной массой $P$. Мы доказали, что если существует набор, для которого $D > v/4$, то максимальное значение $D$ надо искать среди наборов одинаковых камней.

Упражнения

2. Докажите, что при $v = 2$ кг, $p = 10$ кг, $P \geq 24$ кг существует набор, для которого $D \geq v/4$.

3. Доведите до конца решения задачи в общем случае.

Вот еще одна задача на эту тему: имеется несколько которых не больше 1 т, а их общая масса равна 10 т; на каком наименьшем количество трехтонок наверняка можно увеличти эти ящики?

Решить эту задачу (и ее обобщение) вам помогут следующие упражнения (первые два из них напоминают уже рассмотренные задачи):

4. Пусть единственный ограничением на суммарную массу ящиков является условие $P > 3$ т. Какой наиболее груз $\Gamma$ можно наверняка увеличти на одной трехтонике?

5. Каким будет ответ в предыдущей задаче, если известно, что $P = 10$ т?

6. Пусть теперь масса каждого ящика не превышает $v$, суммарная масса равна $P$ и в нашем распоряжении есть машина грузоподъемностью $p$. Пусть $\Gamma$ — масса максимального груза, который нам удался погрузить на машину. Докажите, что наименьшее значение $\Gamma$ достигается в случае, когда все ящики имеют одинаковую массу.

7. Каким наименьшим запасом $p$-тонок надо располагать, чтобы наверняка перевести все ящики из упражнения 6?

Попытайте найти возможность теорем, подтверждаюших принцип «лучше — поровну».

26

Задачи

M636—M640; Ф648—Ф652

M636. Множество $A$ состоит из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент $A$, кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежих $A$. Укажите среди всех множеств $A$, удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом элементов. (10)

Ю. Нестеренко

M637. Дан правильный треугольник $ABC$. Некоторые прямые, параллельные прямой $AC$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Точка $D$ — центр треугольника $PMB$, точка $E$ — середина отрезка $AP$. Определите углы треугольника $DEC$. (9)

А. Купцов

M638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги окрашены в красный цвет, остальные в синей, причем так, что каждый прямогольник из 6 клеток размером $2 \times 3$ содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямогольник из 99 клеток размером $9 \times 11$? (8)

Н. Карташов

M639. В тетраэдре $ABCD$ ($AC \perp BC$) и $(AD) \perp (BD)$. Докажите, что косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ меньше, чем $|CD|/|AB|$. (10)

Ю. Нестеренко

M640. Число $x \in [0; 1]$ записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получим новую бесконечную десятичную дробь, отвечающий неокоторому числу $x_1$. Переставив в десятичной записи числа $x_1$ цифры со 2-й по 6-й после запятой, получим десятиную записи числа $x_2$. Вообще, десятиная запись числа $x_{k+1}$ получается perestановкой цифр в записи $x_k$ с $(k+1)$-й по $(k+5)$-ю после запятой.

а) Докажите, что как бы ни perestавлять цифры на каждой шаге, получающая последовательность чисел $x_k$ всегда имеет неокоторый предел. Обозначим этот предел через $y$.

б) Выястите, можно ли с помощью такого процесса из

27

Ф648. Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, стороны которых относится как 3:2:1 (рис. 1). Вершина $A_3$ перемещается в горизонтальном направлении со скоростью $v_0$. Определить скорости вершин $A_1$, $A_2$, $B_1$ в тот момент, когда все углы конструкции прямые. (8)

С. Кротов

Ф649. В ведре находится смесь воды со льдом. Масса смеси 10 кг. Ведро внесли в комнату и сразу же начали изменять температуру смеси. Получившийся график зависимости $t$ (τ) изображен на рисунке 2. Известны удельная темпераность воды $c_B = 4200$ Дж/(кг·К) и теплота плавления льда $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг. Определите, сколько льда было в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкость ведра претензь. (8)

А. Буздин

Ф650. Для получения напряжения, величины которого мало зависит от температуры, собраная схема по рисунку 3. Вольтамперные характеристики дида Д при трех различных температурах окружающей среды $t_1 = 125^\circ\text{C}$, $t_2 = 25^\circ\text{C}$, $t_3 = -60^\circ\text{C}$ приведены на рисунке 4. Напряжение источника $U = 6$ В при температуре $25^\circ\text{C}$ и с увеличением температуры возрастает на $25 \cdot 10^3$ В/град. Найти напряжение между ажимами $A$ и $B$ при $t = 25^\circ\text{C}$ и зависимости этого напряжения от температуры. (9).

А. Зильберман

Ф651. В научно-фантастической поверхности описывается авариная ситuation, в которой actронов массы $M = 100$ кг оказывается на расстоянии $l = 100$ м от корабля со стаканом замерзшей воды. Обеспечивая сублиманию (испарение) льда, actронов возвращается на корабль. Реален ли такой способ возврашения? Оцените, за какое время actронов возврашает на корабль. Считайте, что сублимания льда происходит при постоянной температуре $T = 272$ К. Давление насыщающих паров при этой температуре $p_H = 550$ Па. Универсальная газовая постоянная $R = 8,3 \cdot 10^3$ Дж/(кмоль·К). Размеры стакана и массу льда задайте самостояльно. (9)

А. Стасенко

Ф652. Схема, изображенная на рисунке 5, состоит из двух одинаковых резисторов $R_2 = R_3 = R$ и двух одинаковых непленных резисторов $R_1$ и $R_4$, волтамперная характеристика которых имеет вид $U = \alpha I^2$, где $\alpha$ — некоторый изввствий постоянный коэффициент. При каком напряжении источника питания $U_0$ сила тока через гальванометр Г равна нулю? (10)

В. Скороваров

28

Решения задач

M579—M582, M584, M586—M594, M597;
Ф589—Ф598

М579. Докажите, что для любых чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$, принадлежих отрезку [0; 1], выполено неравенство
$$x_1 + x_2 + \dots + x_n + 1)^2 \geqslant 4(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2).$$

Первое решение. Относительно $x_n$ это неравенство — квадратное, $P_2(x) = 3x_n^2 + Ax_n + B \leqslant 0$, и оно выполняется на отрезке [0; 1], если $P_2(0) \leqslant 0$ и $P_2(1) \leqslant 0$. Этти два неравенства относительно $x_{n-1}$ — тоже квадратные, такого же вида, и выполяются на все отрезке [0; 1], если справедливый при $x_{n-1} = 0$ и $x_{n-1} = 1$. Рассуждая так далее, получаем, что достаточно проверить исходное неравенство для наборов $x_1, \dots, x_n$ из 0 и 1. Если число $x_i$, равных единице, равно $k$, то получаем очевидное неравенство $(k+1)^2 \geqslant 4k$ (то есть $(k-1)^2 \geqslant 0)$.

Второе решение. Поскольку числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ принадлежат отрезку [0; 1],
$$4(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) \leqslant 4(x_1 + \dots + x_n),$$
и нашей неравенство снова совпадается к очередному
$$4S \leqslant (S+1)^2.$$
А. Плоткин.
C. Фомин

M580. В parlamentе у каждой его члена не более трех врагов. Докажите, что parlament можно разить на две палаты так, что у каждой парламентаря в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считается, что если $A$ — враг $B$, то $B$ — враг $A$)

Проведем разбиение произвольным образом. Если в какой-нибудь из палат у некоторого parlamentaria $A$ будет $\geqslant 2$ врагов, то число его врагов в другой палате $\leqslant 1$. Поэтому после перемещения $A$ в другую палату суммарное число пар врагов внутри палат уменьшится. Такие перемещения продолжим до тех пор, пока требуется условие не будет выполено.

О. Бородин

M581. a) Существует ли трехзначное число, куб которого окачивается на три семерки?
6) Для любого или набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, окачивающийся этим набомом цифр?

a) Чтобы число $n^3$ окачивалось на 7, само число $n$ должно окачивать на 3, так что если искомое трехзначное число $n$ существует, то $n = ab^3 = 100a + 10b + 3 = 10(10a + b) + 3$. Тогда $n^3 = 10^3 \cdot A + 10^2(7a + 2b + 9b^2) + 10(7b + 2) + 7$.

Число $7b + 2$ окачивалось на 7 в том и только в том случае, когда $7b$ окачивался на 5, то есть когда $b = 5$. Тогда $n^3 = 10^3 \cdot A + 10^2(7a + 8) + 77$.

Число $7a + 8$ окачивался на 7 в том и только в том случае, когда $a = 7$.

Таким образом, $753^3$ окачивался (по крайней мере) на три семерки.

6. Нет, не для любого. Если число $n^3$ окачивался на 5, то и само число $n$ окачивался на 5. Но число $(10a + 5)^3$ окачивался на 25, если $a$ — четное, и на 75, если $a$ — нечетное. Поэтому ни для каждого $n$ число $n^3$ не окачивался на 05, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95.

Кроме того, если число $n^3$ окачивался четной цифрой, то $n^3$ делится на 2; тогда $n$ делится на 2 и, следовательно, $n^3$ делится на 8. Но число $a$ делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное время его последними цифрами, делится на 8. Значит, ни для каждого $n$ число $n^3$ не окачивался на четное трехзначное число, не делится на 8.

А какой будет ответ в задаче 6), если потребовать, чтобы последняя цифра данного набора была нечетной и отличной от 5?

29

М582. В окружность с центром О вписан четырехдольный со взaimно перпендикулярными диагоналими. Доказите, что расстояние от точки O до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.

Рис. 1.

Рис. 2.

М584. Можно ли представить все пространство в виде объедининия прямых, какые две из которых — скрещиваются (то есть не лежат в одной плоскости)?

Рис. 1.

Рис. 2.

Первое решение. Пусть K, L, M, N — середины сторона AB, BC, CD и AD вписанного четырехдольным ABCD (рис. 1), [AC] ⊥ [BD]. Докажем, что |ON| = |BL| и |OM| = |BK|.

Действительно, |KL| = |MN| и [KL] || [MN] как средние линии в треугольниках ABC и ACD с общим основанием AC. Поэтому BKL = BAC = BDC (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту жедугу). Далее, [OM] ⊥ [CD], а [MN] ⊥ [BD] (поскольку [MN] || [AC]), так что BDC = OMN. Значит, BKL = OMN. Кроме того, KBL = 180° – MDN = MON. Таким образом, треугольники BKL и MON конгружены (по стороне и двум углам), откуда |ON| = |BL|, |OM| = |BK|.

Равенства |OK| = |DM| и |OL| = |DN| следует из конгружности треугольников OKL и DMN.

Второе решение. Проведем хорду AE, перпендикулярную AD (рис. 2). Дуга AE конгрузится дуге BC (поскольку ADE = BAC), так что |AE| = |BC|. Так как EAD = 90°, ED — диаметр и O ∈ [ED]. Поскольку [ON] — средняя линия в прямойном треугольнике ADE, |ON| = |AE|/2 = |BC|/2, что и утверждалось.

И. Клумова

Приведем пример разбиения пространства на попарно скрещивающихся прямые.

Пусть прямая l0 вертикальная (ось Oz на рисунке 1). Через каждой точку T горизонтальной плоскости α (Oxy), отличную от O, проведем прямую TM, которая перпендикулярна отрезку OT и наклонена к плоскости α под углом arctg 1/|OT|.

Таким образом, при возрастании r = |OT| от 0 до +∞ прямая TM постепенно наклонится от вертикального положения l0 к горизонтальнойному. При фиксированном же r прямые TM врашают вокруг оси l0, образуя однополосный эйнерболюд Γr (рис. 2). Для каждой r > 0 получается гиперболид с «горловиной» радиуса r, все более широкий.

Прямы TM, построенные для всех точек T ∈ α, отличных от O, и прямая l0 образуют искомое разбиение. Доказем это.

Во-первых, доказем, что никакие две из проведенных прямых не параллельны. Действительно, если две прямые принадлежат разным семействам Γr1 и Γr2, r1 ≠ r2, то углы φ1 и φ2 их наклонка к горизонтальной плоскости α различны. Если же две прямые принадлежат одному семейству Γr, то их проекции либо на плоскость α, либо на вертикальную плоскость будут, оченьindo, не параллельны.

(Заметим, что на каждой гиперболиде Γr можно выбрать одно из двух семейств прямойнейных образующих: мы можем направить вектор TM′ от точки T (рис. 1) по или против часовой стрелки. Мы каждой раз направляем его одинаково.)

Во-вторых, нужно доказать, что через каждую точку пространства проходитровно одна из прямых. Это почти очевидно «из сообщений неперерывности», но для строого доказательства лучше использовать метод координат.

Пусть P(x; y; z) — точка прямой TM на рисунке 1; P′(x; y) ее проекция на плоскость α. Тогда |TP| = r|z|, поэтому |OP′|² = r²(1 + z²), то есть

x² + y² = r²(1 + z²).

31

М588. а) Через точку, взятую внутри произвольного tetraэдра, паралельно его ребрами проведены отрезки с концами на граних tetraэдра. Доказите, что сумма всех шести отношений длины отрезков к длиам паралельных им ребер всегда равна trem.
б) Сформируйте и докажите аналогично утверждение для треугольника (на плоскости).

Рис. 1.

Рис. 2.

М589. На плоскости дин набор из n векторов, длина каждого из которых не превышает 1. Доказите, что, заменяем неокторные векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор

Можно доказать (попробуйте это сделать!), что орбита любой начальной точки $(x_0; y_0; z_0)$ — множество точек, которые получаются из нее действием группы всех наших преобразований, — будет всоду плотна на сфере радиуса $\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}$ с центром $O$, то есть содержит точки в любом сколью уголно маленьком кругочке сферы.

Более трудные задачи — описать точное орбиту какой-либо точки, скажем точки (1; 0; 0) или одной из точек, данные в условиях или указать алгоритм, позволяющий по двум точкам сферы узнать, можно ли одну из них перевести в другую. Нам решение этих задач неизвестно.

Н. Васильев

◆
a) Проведем через точку $O$ внутри tetraэдра $ABCD$ отрезки $|A_1B_1| \parallel |AB|$ и $|C_1D_1| \parallel |CD|$, где $A_1 \in (ACD)$, $B_1 \in (BCD)$, $C_1 \in (ABC)$, $D_1 \in (ABD)$ (рис. 1). Этти отрезки определяют плоскость, пересекающего грани $ABC$ и $ABD$ по прямым $PN$ и $MQ$, паралельным $(AB)$, а грани $ACD$ и $BCD$ — по прямым $MN$ и $PQ$, паралельным $(CD)$. Значит, четырехугольник $MNPQ$ — паралелограмм. Имеем

$$\frac{|A_1B_1|}{|AB|} = \frac{|MQ|}{|AB|} = \frac{|DM|}{|AD|},$$

$$\frac{|C_1D_1|}{|CD|} = \frac{|MN|}{|CD|} = \frac{|AM|}{|AD|}.$$

Отсюда

$$\frac{|A_1B_1|}{|AB|} + \frac{|C_1D_1|}{|CD|} = \frac{|DM|}{|AD|} + \frac{|AM|}{|AD|} = \frac{|DM|+|AM|}{|AD|} = 1.$$

Итак, сумма отношений длины проводенных отрезков к длиам паралельных им скрещивающихся ребер tetraэдра равна единице. Следовательно, сумма всех шести отношений длины отрезков к длиам паралельных им сторон равна двум.

Пусть $O$ — точка внутри $\Delta ABC$, $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ — отрезки, паралельные сторонам треугольника (рис. 2). Из подобия треугольников $ABC$, $C_1CC_2$ и $A_1AA_2$ получаем (обозначения см. на рисунке 2)

$$\frac{|C_1C_2|}{|AB|} = \frac{|CC_1|}{|AC|} = \frac{x+y}{|AC|},$$

$$\frac{|A_1A_2|}{|BC|} = \frac{|AA_2|}{|AC|} = \frac{z+y}{|AC|}.$$

Кроме того, $$\frac{|B_1B_2|}{|AC|} = \frac{x+z}{|AC|}$$ (см. рис. 2). Поэтому

$$\frac{|A_1A_2|}{|BC|} + \frac{|B_1B_2|}{|AC|} + \frac{|C_1C_2|}{|AB|} =$$

$$= \frac{z+y}{|AC|} + \frac{x+z}{|AC|} + \frac{x+y}{|AC|} = \frac{2(x+y+z)}{|AC|} = 2,$$

что и требовалось доказать.

Э. Ясиновый

◆
Приведем решение задачи 6). Оно основано на следующем простом утверждении:

Лемма. Если $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — векторы на плоскости, по длине не превышает 1, то длина суммы или разности некоторых двух из них также не превышает 1.

Действительно, среди шести векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, -\vec{a}, -\vec{b}, -\vec{c}$ найдется два, величины угла которых не превышает 1.

32

п векторов, сумма которых имеет длину
a) не превысдающую $\sqrt{n}$;
b) не превысдающую $\sqrt{2}$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

М590. a) Найдите наименьшее значение выражения $|\cos x| + |\cos 2x|$. Докажите, что для любого числа $x$ и $60^\circ$. Но тогда, очевидно,лина разности этих двух векторов не превысит 1 (рис. 1).

Утверждение задачи доказывает теперь так. Пусть $n > 1$ и $a_n$ — наименьшее число, обладающее таким свойством: для любых векторов $\vec{a}_1, \dots, \vec{a}_n$ на плоскости, таких, что $|\vec{a}_1| \leq 1$, …, $|\vec{a}_n| \leq 1$, в сумме $x = \pm a_1 \pm \dots \pm a_n$ можно так выбрать знаки, что $|\vec{x}| \leq a_n$. Нам надо проверить, что $a_n \leq \sqrt{2}$. Лемма показывает, что если $n > 3$, то $a_n = a_{n-1}$. Поэтому $a_n = a_2$. Но, очевидно, $a_2 = \sqrt{2}$ (рис. 2), что и завершает доказательство.

Любопытно, что доказанный результат (с несколько худшей константой) справедлив и для «неевклидового» способа измерения длины векторов, при котором роль единчного круга играет произвольная выпуклая ограниченная центрально-симметричная фигура $\Phi$ на плоскости. Этот способ очень популяр в современной математике и состоит в следующем.

Чтобы изменить длину $\vec{a}$, отключим этот вектор от центра симметрики $O$ фигуры $\Phi$ — пусть $\vec{a} = OA$ — и найдем наименьшее число $\lambda > 0$, такое, что $A \in \lambda \Phi$ (λФ — образ фигуры $\Phi$ при тометении с центром $O$ и коэффициентом $\lambda$ — см. рисунок 3; мы предполагаем, что Ф содержит свою границу и что точка $O$ лежит внутри $\Phi$). Это число $\lambda$ и принимается за «обобщению длину» $|\vec{a}|_\Phi$ вектора $\vec{a}$, Ясно, что если $\Phi$ — круг радиуса 1, то $|\vec{a}|_\Phi = |\vec{a}|$ и что $|OA|_\Phi < 1 \iff A \in \Phi$. Выражаясь волноно, мы изменяем длины векторов, выбирая различные масштабы по разным направлениям. Легко убедиться в том, что введенное число $|\vec{a}|_\Phi$ обладает общными свойствами длины; в частности, справедливо неравенство $|\vec{a} + \vec{b}|_\Phi < |\vec{a}|_\Phi + |\vec{b}|_\Phi$ (Проверьте! Здесь вам понадобится выпуклость фигуры $\Phi$).

Аналог доказанного выше утверждения выглядит так. Если $|\vec{a}_1|_\Phi \leq 1$, …, $|\vec{a}_n|_\Phi \leq 1$, то в сумме $\vec{x} = \pm a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$ можно так выбрать знаки, что $|\vec{x}|_\Phi \leq 2$.

Доказательство ведется по той же схеме; нового рассужнения требует лишь доказательство леммы, поскольку мы не можем теперь утверждать, что если $|\vec{a}|_\Phi, |\vec{b}|_\Phi \leq 1$ и $(a, b) \leq 60^\circ$, то $|a - b|_\Phi \leq 1$.

Итак, пусть $|\vec{a}|_\Phi, |\vec{b}|_\Phi, |c|_\Phi \leq 1$. Это означает, что точки $A, B, C$, такие, что $OA = \vec{a}, OB = \vec{b}, OC = \vec{c}$, принадлежат $\Phi$.

Пусть $OD = a + b$. Ясно, что, рассматривая возможность точки $C$, мы можем ограничиться случаем, когда $C$ принадлежит углу $BOD$. Если при этом $C$ находится в треугольнике $OBD$, то $P_-b$ (C) лежит в треугольнике $AOB'$ (здесь $P_-b$ — параллельный перенос на вектор $-b$). Следовательно, $P_-b$ (C) ∈ Ф, так что в этом случае $|c - b|_\Phi \leq 1$. Оставшуюся часть угла $BOD$ разделим на зоны I и II, как показано на рисунке 4. Если точка $C$ лежит в зоне I, то точка $D$ принадлежит треугольнику $ABC$, лежащему в Ф, и потому $|\vec{a} + \vec{b}|_\Phi \leq 1$, а если $C$ — в зоне II, то, очевидно, точка $P_-b$ (C) принадлежит выпуклому четырехугольнику $OACB$, лежащему в фигуре $\Phi$, и мы снова получаем, что $|c - b|_\Phi \leq 1$.

Вводя теперь числа $a_n = a_n(\Phi)$ как и выше, мы опять видим, что $a_n(\Phi) = a_2(\Phi)$ при $n > 2$. Но $a_2(\Phi) \leq 2$, либо $|a_1 + a_2|_\Phi \leq |a_1|_\Phi + |a_2|_\Phi \leq 2$, и потому $a_n(\Phi) \leq 2$, что и требовалось. Заметим еще, что для произвольной фигуры $\Phi$CONSTANTУ 2 уменьшить нельзя: рассмотрите в качестве Ф параллель грамм $ABCD$, а в качестве $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$ — векторы $OA$ и $OB$.

A. Плоткин

a) Положим $t = |\cos x| \in [0; 1]$ и рассмотрим функцию $y(t) = t + |2t^2 - 1|$ на отрезке [0; 1].

Если $0 < t < \frac{1}{\sqrt{2}}$, то